不等式への招待 第３章

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド （Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

不等式の本
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627010494
[5]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627075812
[6]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4894281740
[7]　数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4316801988
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4254110871
[10]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/052154677X

不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　http://rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　http://www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KöMaL　http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　http://imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/#proposed_problems (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　http://mathworld.wolfram.com/

海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html

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　　　　　! i 　!.´ __､ 　 　',.-- ､ i i　i 　 !
　　　　　｀'7ヽ!.'´　｀　　　　　 "ﾉ　/ i ｲ
　　　　　　!.　ﾊ"　　　 '___　　くン ､/'´　　　　　　乙でございます
　　　　　　 ヽ,ﾍ.>..　 ヾ ..ノ ,.ｲ／
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,,..-ヽ;:｀ヽ.　　,.イ´::::::>-‐-＜-‐'":::::::/ ｀ヽ.
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Cinco!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

sex

>>992
とっとと落せ？

任意の正の実数x、y、zに対して次の不等式が成立する実数wの最大値を求めよ。

√（x／（y＋z））＋√（y／（z＋x））＋√（z／（x＋y））＞w

x=1≦y≦z としてよい
y+z=k(≧2)とすると、kが一定ならy=1の時が最小値f(k)をとり、
f(k)は単調減少で、f(k)→2 (k→∞)
よってw=2

nを2以上の整数とするとき
((n+1)^(1+(1/n))-n^(1+(1/n)))/((n+1)^(n+1)-n^(n+1))^n)^(1/n)>1/n
を示せ

>>10
ちんｽﾚの人？
答えが必要な訳じゃないんだよね？

>>10
帰納法でいけるか

正の数 x、y が x+y+xy=1 をみたすとき、1/x + 1/y + 1/(x+y) のとりうる値の範囲を求めよ。

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

発掘しますた！
つ http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/old_problems/old_problems.pdf

19 はどうやるんでしょう？
27 は三角関数ヲタ向け？

C844、M1764、C846、C847、M1769、C851、C854、C855 に (；´Д｀)'`ｧ'`ｧ
http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html

たぶん、The American Mathematical Monthly (http://www.maa.org/) って雑誌の問題だと思う。
うちのDQN底辺大学の図書館、2007年度から購読を止めたので読めなくなった…。
ド田舎だから、県内に他に理系大学ないから、もう読めないぜ…
定期購読するしかないのか？

>8
　√{x/(y+z)} + √{y/(z+x)} + √{z/(x+y)} ≧ (√x + √y + √z)^2 / [√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √{z(x+y)}] > 2.

(略証)
左側:
　コーシーで簡単。
右側:
　x, y ≦ z としてもよい。
　f(z') = √z' のグラフは上に凸だから、接線の下側にある。
　√(z+y) < √{z+y+(y^2)/(4z)} = √z + y/(2√z) < √z + (√y)/2,
　√(z+x) < √{z+x+(x^2)/(4z)} = √z + x/(2√z) < √z + (√x)/2,
　√{z(x+y)} < {(x+y)+z}/2,　　(← 相加･相乗平均)
これらに √x, √y, 1 を掛けてたすと、
　√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √z(x+y)} < √(zx) + √(zy) + √(xy) + (x+y+z)/2 = (1/2)(√x + √y + √z)^2,
よって上式を得る。　(終)

ハｧハｧ　ゼｪゼｪ…

>13
x+y=s, xy=t とおく(基本対称式),
　題意より s+t=1, s>0, t>0,
　絶対不等式　s^2 -4t = (x-y)^2 ≧0,
より
　0.828427… = 2(√2 -1) ≦ s < 1,
　(与式) = s/t + 1/s = s/(1-s) + 1/s = 1/{s(1-s)} -1 ≧ 5(1+√2)/2 = 6.0355339…
　等号は x = y = s/2 = √2 -1 のとき。

実数x,y,zについて以下の不等式が成り立つことを示せ。また、等号成立条件を求めよ。

(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3

>>18
(右辺)-(左辺)=(xy+yz+zx)^2(x^2 + y^2 + z^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)≧0
より不等式は成立。
この表式より，等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z=0 だが，まとめると xy+yz+zx=0

>14
[19.] Series involving e. Find the sum of the following series:
Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^n}


n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +O(1/n^3)} = 1 -1/(2n) +O(1/n^2),
(1 +1/n)^n = e*{1 -1/(2n) +O(1/n^2)},
e -(1 +1/n)^n = e/(2n) + O(1/n^2).　
(e/2)Σ 1/n 〜 (e/2)log(n)　より対数発散…


蛇足だが、↓ならば収束すると思われ…
　Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^(n +1/2)}

>>16
> 左側:
> 　コーシーで簡単。

シュワちゃんをつかうと、分子は (x+y+z)^2 にならないですか？

>>16
> 左側:
> 　コーシーで簡単。

シュワちゃんをつかうと、分子は (x+y+z)^2 にならないですか？

>19 には負領域がない。 ゼロ面(node)は↓

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179324003/921-922
さくらスレ２１７

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1180169999/64, 109
さくらスレ２１８

>21-22
　ま〜たまた…

>>23
解説してね。

>>23
解説してよん

ｷﾓ

>>24-26
荒らしは自重しましょう

>>16
左側の証明が分からないのでお願いします。

知恵遅れはこのスレに来るなよ。目障り

>29 荒らすなよ．このスレでは仲良くしろ．
>23 性格変わった？意地悪せずに答えてやれよ．俺が分かるなら答えてやるんだけど．

つ Cauchy-Schwarzの不等式 (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) ≧ (ax+by+cz)^2

[√{x/(y+z)} + √{y/(z+x)} + √{z/(x+y)} ]・[√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √{z(x+y)}]
　≧ (√x + √y + √z)^2

不等式ヲタは仲良くしよう ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

a_1,a_2,a_3,・・・・a_n のk次基本対称式をe_k (k=1,2,...n)

F(k)≡(e_k/nCk)^(1/k)　とするとき

F(k)≧F(k+1)

>>32
まとめwikiの過去スレミラーから探せ。

>32
　a_1,a_2,…,a_n >0 のとき、…

* nに関する帰納法
　Part1 の 257, 263(1), 269, 271
　数セミ増刊「数学の問題 = 第�@集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(本文)

* 対称式, Muirhead
　第２章の 800, 810-818
　http://www.ams.org/proc/2004-132-09/S0002-9939-04-07384-8/home.html

* 微分法
　Part.1 の 480-481
　数セミ増刊「数学の問題 = 第�@集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(追補)
　E.F.Beckenbach and R.Bellman: "Inequalities, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete", Band 30, Springer-Verlag, Berlin (1961) p.11

>24-25
　亀レスだが…

Q.　ゼロ面(node) xy+yz+zx =0 はどんな形?

A.　座標軸を回して Z=(x+y+z)/√3 とし、(X,Y,Z)で直交系をなすようにすれば
　xy+yz+zx = {(x+y+z)^2 -x^2 -y^2 -z^2}/2 = {3Z^2 -X^2 -Y^2 -Z^2}/2 = Z^2 -(X^2 +Y^2)/2,
　よって、円錐面で、主軸はZ軸 すなわち x+y+z の方向。

>>35
ﾅﾙﾎﾄﾞﾅｰ

>21-22,28

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/
シュワちゃんスレ

>8
　√{z/(x+y)} = z/√{z(x+y)} > 2z/{(x+y)+z},　　　(← 相乗･調和平均)
循環的にたす.

>>8
見事。

>>38
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

>15

[C.851]
　b^2 +c^2 +bc = (3/4)(b+c)^2 + (1/4)(b-c)^2 ≧ (3/4)(b+c)^2,
　a√(b^2 +c^2 +bc) ≧ {(√3)/2}(ab+ca),
循環的にたす。


[C.844]
Σ[k=1,n] 1/k -γ -log(n) = ε(n) とおくと,
Σ[n=1,N] ε(n)/n = log(N)ε(N) + (1/2)ε(N)^2 - (1/2)γ^2 + (1/2)Σ[n=1,N] (1/n^2) + {(1/2)log(N)^2 - Σ[k=1,N] log(k)/k }
　→　-(1/2)γ^2 + (1/2)ζ(2) - L　(N→∞).

何者だ一体？
すげー実力ｗ

照れるぜ・・・

>>42
不等式マニア

>>42
不等式ヲタは共同体で連続体で群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだYO！

恒等式ヲタ出現きぼん

実数x,y,zについて以下の不等式が成り立つことを示せ。また、等号成立条件を求めよ。

　(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (xy+yz+zx)^3 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3.

>15

[C.846]
　(1/n)Σ[k=1,n] {C[n,k]}^(-k) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2).

(略解)
・n=1,2 は直接確かめる。
・n≧3 のとき、k=n の項だけ残す。
　n^2 ≦ 2^(n+1),
　n+1 ≦ 2^(n-1),
　(左辺) ≧ 1/n ≧ (1/2)^((n+1)/2) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2) = (右辺).

>>47
(右辺)-(左辺)=(3/2)(xy+yz+zx)^2((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
より不等式は成立。
等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z

>>15　 [C854]
H_k=∫[0,1]Σ[j=0,k-1]t^j dt=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt
n!/Π[j=0,n](k+j)=Γ(n+1)Γ(k)/Γ(n+k+1)=Β(k,n+1)=∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt
これらから
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt
=[∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dt]_[x=0,1]
部分積分を使うことで
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx
　+∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx
を得る。
kについてこれらの和を取る。(極限の順序交換の大雑把さは大目に見てください)
Σ[k=1,∞]∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx
=∫[0,1]∫[0,x] Σ[k=1,∞] {t^k-(tx)^k}/{t(1-x)}*(1-t)^n dtdx
=∫[0,1]∫[0,x](1-t)^(n-1)/(1-tx) dtdx
=∫[0,1]∫[t,1](1-t)^(n-1)/(1-tx) dxdt (積分の順序交換)
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt
同様に
Σ[k=1,∞]∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx
=-∫[0,1]log(1-x^2)*(1-x)^(n-1)/x dx
=-∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt (変数をtに書き換えた)

以上から
Σ[k=1,∞]H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt -∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt
=-∫[0,1]log(1-t)*(1-t)^(n-1)/t dt
=∫[0,∞]y*e^(-ny)/{1-e^(-y)} dy ( y=-log(1-t) と変数変換)
=∫[0,∞]Σ[j=n,∞]y*e^(-jy) dy
=Σ[j=n,∞]1/j^2=π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2
ゆえ
Σ[k=1,∞]H_k/Π[j=0,n](k+j)=1/(n!)*{π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2}

凄い！ こんなにガンガン解ければ楽しいだろうな…

A.422、B.3987、B.3989、C.892 （C.892は昔、入試問題で解いたような…）
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200703&t=mat&l=en
A.425、B.3997、B.4000
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200704&t=mat&l=en

三角関数の問題
△ABCが sin2A/5 = sin2B/4 = sin2C/3 をみたすとき、 Aの値を求めよ。

問54_3
http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai06-07.html

>52
　A,B,C は同時に鋭角、直角または鈍角。
　3つとも鈍角、直角は不合理なので、鋭角3角形。
　A=arctan(1)=45ﾟ, B=arctan(2),　C=arctan(3).

何所が不等式や

>54
ﾊｧﾊｧできればいいのさ
>53
過程がよくワカリマセン

>>15　 [C.854]　別法

　S_n = (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)……(k+n)]　とおき、
　S_1 = (π^2)/6 と S_n - S_(n+1) = 1/(n^2)　から
　S_n = (π^2)/6 -1 -1/(2^2) - … - 1/{(n-1)^2}
を示す。

S_1 = Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)]
　　= Σ[k=1,∞) (H_k){1/k - 1/(k+1)}
　　= Σ[k=1,∞) {(H_k)/k - H_(k-1)/k}　　　　　　　　(← H_0 = 0 )
　　= Σ[k=1,∞) 1/(k^2)
　　= ζ(2)
　　= (π^2)/6.

S_n - S_(n+1) = Σ[k=1,∞) (H_k){ (n!)/[k(k+1)…(k+n)] - (n+1)!/[k(k+1)…(k+n+1)] }
　　= (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[(k+1)……(k+n+1)]
　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) (H_k){1/[(k+1)…(k+n)] - 1/[(k+2)…(k+n+1)] }
　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) { (H_k)/[(k+1)…(k+n)] - H_(k-1)/[(k+1)…(k+n)] }　　(← H_0 =0)
　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) 1/[k(k+1)…(k+n)]
　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) (1/n){ 1/[k(k+1)…(k+n-1)] - 1/[(k+1)…(k+n)] }
　　= (n-1)!(1/n)(1/n!)
　　= 1/(n^2).

>51 上

[A.422]
Let x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1) be positive real numbers with x_1+x_2+…+x_n = x_(n+1).
Prove that
　Σ[i=1,n] √{x_i[x_(n+1) - x_i]} ≦ √{ Σ[i=1,n] x_(n+1)[x_(n+1) - x_i]},
(略解)
(左辺) ≦ (1/n){Σ[i=1,n] √x_i)}{Σ[j=1,n] √(x_{n+1} - x_j)}　　(← 逆順序積 ≦ 乱順序積)
　　≦ √{Σ[i=1,n] x_i}･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}　　　　　　　(← コーシー)
　　= √(x_{n+1})･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}
　　= √{Σ[j=1,n] x_{n+1}[x_{n+1} - x_j]}
　　= (右辺).

[B.3989]
　a,b,c are positive real numbers, such that a^2 +b^2 +c^2 +abc = 4.
　Prove that a+b+c ≦ 3.
(略解)
　1-a,1-b,1-c のうち2つは同符号、よって (1-b)(1-c) ≧0 としてもよい。
　3(3-a-b-c) + (a^2 +b^2 +c^2 +abc -4)
　= (1/2)(2-a-b)^2 + (1/2)(2-b-c)^2 + (1/2)(2-c-a)^2 -(1-a)(1-b)(1-c)
　= (1/4)(3-2c-a)^2 + (1/4)(3-2b-a)^2 + (1/2)(1-a)^2 + a(1-b)(1-c)
　≧ a(1-b)(1-c).

[C.892]
Prove that if x,y,z are positive real numbers and xyz=1, the values of the expressions
　 1/(1+x+xy),　y/(1+y+yz),　xz/(1+z+xz)
cannot all be greater than 1/3.
(略解)
　 1/(1+x+xy) = yz/(1+y+yz) =　z/(1+z+xz),
　xy/(1+x+xy) =　y/(1+y+yz) =　1/(1+z+xz),
　 x/(1+x+xy) =　1/(1+y+yz) = xz/(1+z+xz),
辺々たす.

>51 下

[B.3997]
　x,y,z are real numbers.　Prove that if xyz=u, then
　x^4 + y^4 + z^4 + x^2･y^2 + y^2･z^2 + z^2･x^2 ≧ 2u(x+y+z).

(略解)
　(左辺) - (右辺) = (1/2)(x^2 -y^2)^2 + (1/2)(y^2 -z^2)^2 + (1/2)(z^2 -x^2)^2
　　　　　　　　　+ (x^2)(y-z)^2 + (y^2)(z-x)^2 + (z^2)(x-y)^2.

ハァハァ

>>57
[C.892]の解答みて思い出した。
俺は この問題を解いて（いや解けずに答えを見て）、
不等式の世界に入ったんだ（いや囚われの身になったんだ）！
ﾊｧﾊｧ・・・

以前あった問題
a,b,c>0
ab+bc+ca=1で
(1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2a^2)/(c+a)^2≧5/2
を誰か解決してくれ。もうノート２冊分くらいぐるぐるしてる。
ちなみにいじってるうちに
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧(a-b)^2/(a+b)^2+(b-c)^2/(b+c)^2+(c-a)^2/(c+a)^2
と同値とか、わきにそれてばかりいる。

大体、２文字対称不等式だと、大抵そんなむずかしくはないし、使う式も大体
決まってるんだが、どうも、３文字対称不等式はめんどくさい。誰か解いてくれ。
それから、不等式もそろそろ分類してもいい頃あいだと思うんだが、、、。
むずかしそうで、ルーチンで解ける物、それ以外（これが多いから収集したりする
訳だが、、、）。

結局、相加相乗平均を使うだけの問題も多いと思う。

対称不等式だから
(1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2　＋　a^2)/(c+a)^2≧5/2
でいいんだよな

a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて
(t^2+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t^2+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t^2+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4
を示す
t^2+a^2+b^2=t^2-2ab+(a+b)^2等を使えば
(t^2-2ab)/(a+b)^2+(t^2-2bc)/(b+c)^2+(t^2-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値
左辺=f/(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2とすれば、根性で対称式で書いて
4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2
=4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su)
st-u≧0は容易、
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は
３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件
s^2-3t≧0はその解がすべて０以上の条件で、終り

間違ってるかもしれん。正しい／いい解法は実力者を待て

18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0と
s^2-3t≧0
合わせて実数解条件だったかもしれん
正の解の条件ではないな、
まあなんか本を見ておくれ

手許にあった論文
a new look at newton's inequalities (結構面白い、webで拾えると思う）
によると
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は実数解条件でwell-knownだそうだ
s^2-3t=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
は理くつ不要だった

スレ汚しすまん

18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s　＾３　u
なんかボロボロorz

またt^2とか間違いを見つけたので直したの貼り直しときます

a,b,c>0に対し、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて
(t+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4
を示す。これはt+a^2+b^2=t-2ab+(a+b)^2等を使えば
(t-2ab)/(a+b)^2+(t-2bc)/(b+c)^2+(t-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値。
左辺=f/((a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2)とすれば、
4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2
=4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u)
と基本対称式で書ける。（一応乱数入れてチェックしてみた）
ここで、s^2-3t=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)≧0...(*)、
st-u=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
≧3(abc)^(1/3)・3(ab・bc・ca)^(1/3)-abc=8abc>0であり、
D_3=18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u≧0は
３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件で
a,b,cがこの方程式の３解だから満たされている
等号条件は(*)よりa=b=cが必要で、このとき実際成立する。

>>60
あまり考えてないけど、x=b+c, y=c+a, z=a+b と置き換えて

(ab+bc+ca+a^2+b^2)/(a+b)^2

をx,y,zで表したらどうなる？

>>63
これでおじゃるかな？
( ﾟ∀ﾟ)つ http://www.emis.de/journals/JIPAM/article111.html?sid=111

>>67
そうです、ありがと

やってみたらたまたまできた？だけなんで
素人の力づく解法でみっともないかもしれない

このスレすごい人がいるから期待してる

>>66
それでうまく行きますね、俺何やってんだか・・・やっぱりみっともなかったｗ

>15

[M.1769]
Determine a formula for the coefficient of x^i･y^j in
P_n(x,y) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] x^(n-k)･(x+y)^k.

(略解)
　{(1+u)^(2n+1) - (1-u)^(2n+1)}/(2u) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] (u^2)^k = Q(u^2)
とおくと,
　P_n(x,y) = (x^n)Q({x+y}/x) = Σ[i=0,n] C[n+i,n-i] (4x)^i･y^(n-i) = Σ[j=0,n] C[2n-j,j] (4x)^(n-j)･(y^j).

ﾃﾍｯ

>>70
ｷﾀｯ！ｗﾍ√ﾚｖ-(ﾟ∀ﾟ)-ﾍ√ﾚ- !! ｽﾝﾊﾞﾗｽｨ！

(1+a^2*b^2)/(a+b)^2+(1+b^2*c^2)/(b+c)^2+(1+c^2*a^2)/(c+a)^2≧5/2
ごめんなさい。

>>72
( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ

>>51 下

[A.425]
　Let n≧2 and let a_1,a_2,…,a_n, x_1,x_2,…,x_n be positive real numbers such that a_1+a_2+ … +a_n =A,　x_1+x_2+ … + x_n =X.
Prove that
　2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j ≦ {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {a_i/(A-a_i)}(x_i)^2.

(略解)
コーシーより
　Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)} (x_i)^2　≧{Σ[k=1,n] x_k}^2 /{Σ[j=1,n] (A-a_j)/A } = {1/(n-1)}X^2,
よって
　(右辺) = {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)}(x_i)^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2
　　≧ {(n-2)/(n-1)}X^2 + {1/(n-1)}X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2
　　= X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2
　　= 2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j
　　= (左辺).

[B.3997]　>>58

[B.4000]
　Find the smallest possible value of x^2 +y^2, given that x and y are real numbers, x≠0 and xy(x^2 -y^2) = x^2 +y^2.

(略解)
　(1/4)(x^2 +y^2)^2 = (1/4){(2xy)^2 + (x^2 -y^2)^2} ≧ (1/2)(2xy)(x^2 -y^2) = xy(x^2 -y^2)
と与式から
　x^2 +y^2 ≧ 4,
等号成立は　2xy = x^2 -y^2,
　(x,y) = (±√(2+√2), ±√(2-√2)),　(±√(2-√2), 干√(2+√2))　〔複号同順〕

ハｧハｧ

△ABCが鋭角三角形のとき，
tanA tanB tanC ≧ 3√3
を示せ。

>>75
tanA=x　tanB=y　tanC=zとおく。
△ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。
また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy)　ゆえ
z-xyz=-x-y　すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。
x/(xyz)^(1/3)>0 ,y/(xyz)^(1/3)>0, z/(xyz)^(1/3)>0
について、相加相乗平均から
(x+y+z)/(xyz)^(1/3)≧3{xyz/(xyz)}^(1/3)=3
x+y+z=xyzから　(xyz)^(2/3)≧3　ゆえxyz≧3√3
等号成立はx=y=zのとき、それは
0<θ<π/2でのtanθの狭義単調増加性から
A=B=Cのときなので△ABCが正三角形のとき。

>>75
tanA=x　tanB=y　tanC=zとおく。
△ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。
また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy)　ゆえ
z-xyz=-x-y　すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。

…までは>>76と同じで，ここからはtan xの凸不等式でおしまい。

>>77
コピペの上に「〜でおしまい。」って。
人の事馬鹿にしてるのじゃなければ
もう少し書き様って物があるんじゃないですか?

>>75
解析的な証明。

tanA=x　tanB=yとおく。
まず，A,B<π/2よりx,yは正の数。
また，C<π/2 なので，tan(π-(A+B))=-(x+y)/(1-xy)>0 だから xy>1
つまり，x,y>0, xy>1 の条件下において，xy(x+y)/(xy-1)≧3√3 を示すことになる。

s=x+y, t=xy とおくと，s,t の変域は s>0，t>1，s^2-4t≧0.
この条件下で，st/(t-1)≧3√3 を示せばよい。

言い換えれば，t>1, s≧2√t ⇒ s≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。
つまり，t>1 ⇒ 2√t≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。

f(t)=2√t - 3√3 (1-1/t) とおけば，f'(t)=0 となるのは t=3 のときで，このとき最小値をとる。
よって f(t)≧f(3)=0 なので示された。

ごめん，怒られてる理由がいまいちわかんない。
だってほんとにtan xの凸不等式でおしまいじゃん。ｗ

>>78
凸不等式を知っているかね？ オービーくんッ！

>>80
見通しの悪い駄解答を書き込んですまんかったな。
わざわざコピペ引用までして晒し上げたうえに
あてつけの一言まで頂いたけるとは思わなかったよ。

仲良くしようぜ ('A`)

　　　　　　　★★小泉純一郎と安部は朝鮮人★★
コピペして各板に貼り付けよう　知人にも話そう 政治板もたまには覗こう
小泉純一郎　
・戦前大臣を務めた祖父小泉又次郎は純粋な日本人とされる。だが、純一郎の帰化朝鮮人である父が鮫島姓を買い取り
　又次郎の娘をたぶらかして婿として小泉家に入る　そこで小泉家は帰化朝鮮人である純一郎の父に乗っ取られた
　参照http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E6%B3%89%E7%B4%94%E4%B9%9F
・父親の純也は、鹿児島加世田の朝鮮部落の出身者といわれる　日大卒業名簿には、純也の日本名はなく、
　見知らぬ朝鮮名が書かれているという 　
　純也は朝鮮人の帰国事業、地上の楽園計画の初代会長であった
・結婚後、子供をもうけ即離婚した宮本佳代子は在日企業エスエス製薬創業者の孫
・小泉の元秘書官の名前は飯島勲←注目　帰化朝鮮人
・派閥のドン森喜朗も生粋の朝鮮人 ←森も帰化人がよく使う通名
・小泉は、横須賀のヤクザ、稲川会と関係が深い
安倍晋三
・岸家 毛利元就が陶晴賢と厳島沖で戦い大勝を収めた際、寝返って毛利方についた船の
　調達人が「ガン」と称する帰化人であったという　毛利はその功績によって「ガン」を
　田布施周辺の代官に召したてた　このガンを岸家の先祖とする説がある
・祖父岸信介が文鮮明と共に 反共団体　国際勝共連合（統一教会）を設立
・官房長官時代統一教会「合同結婚式」に祝電を送り、話題に
・安倍のスポンサーは、下関の朝鮮人パチンコ業者である
・グリコ森永事件時、明らかになった帰化朝鮮人企業森永のご令嬢と結婚
・そのわが国のファーストレディーは電通（会長成田豊、半島生まれの帰化人）勤務という分かりやすい
　経歴の持ち主の朝鮮の血筋
・韓国、中国の留学生に日本の企業に入ってもらうために住居費分、学費免除分、生活費など月計２０万〜３０万円相当の支給
　日本人のワーキングプア層を全く省みない　また帰化系在日系朝鮮人が日本の企業で技術を盗み、半島の現代などの企業に
　伝授していることが深刻な問題になっている　
・多くの朝鮮人が差別を主張し、警察、原発、自衛隊で職を得ている

>15

[C.847]
　面積を �� とおくと、
　r=��/s, 4R = 2a/sin(A) =abc/��,　
　(�竸2)/s = (s-a)(s-b)(s-c)　　　(← ヘロン)
より
　(左辺) = (r^2･s)^(1/3) = {(�竸2)/s}^(1/3) = {(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3),
　(中辺) = √{(4R+r)r /3} = √{[abc + (�竸2)/s] /(3s)} = √{[(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a)] /3},
　(右辺) = s /3 = {(s-a) + (s-b) + (s-c)} /3.
以下ry)

まとめ
　[C.844] >>41 [C.846] >>48 [C.847] ↑ [C.851] >>41 [C.854] >>50, >>56 [M.1769] >>70

ﾊｧﾊｧ

>51 上

[B.3987]
　Let n≧4 be an integer, and let a_1,a_2,…,a_n denote non-negative real numbers.
Prove that
　Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1} + a_{k+2})^2 ≧ (2^n)Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1})^2,
where a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2.

｛略解(in Hungarian)｝
(a+t)(t+d) = t(a+t+d) + ad ≧ t(a+t+d),
に t=b+c を入れて
(a+b+c)(b+c+d) ≧ (b+c){(a+b)+(c+d)} ≧ (b+c)・2√{(a+b)(c+d)}.　　(←相加･相乗平均)
循環的に掛ける。

http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B3987&l=en

ｺﾞﾎｺﾞﾎ

( ﾟ∀ﾟ)つ問題投下
a,b,c>0 のとき，
　(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ √((a^2+b^2+c^2)/3)
が成立することを示せ。

まず(b+c)/2≦√((b^2+c^2)/2)等だから、
(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧(√2/3)(a^2/√(b^2+c^2)+...)
よってa^2=x等とおいて、
(√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))≧√((x+y+z)/3)
を示せばよい。
k>0に対し、f(x)=x/√(k-x)は0<x<kで凸であるから、k=x+y+zとしておけば、
(√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))=√2・(f(x)+f(y)+f(z))/3
≧√2f((x+y+z)/3)=√((x+y+z)/3)

>87
　(2/3){a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3}.

(略証)
左側
　(左辺)*{(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2} ≧ (2/3)(a^2 +b^2 +c^2)^2,　　(←コーシー)
　(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 ≦ (2/3)(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2),　　(← 逆順序積 ≦ 乱順序積)
　辺々割る。
右側
　(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 ≦ 3(a^2 +b^3 +c^2),
　∴ 1/(a+b+c) ≧ 1/√{3(a^2 +b^2 +c^2)}.

ﾊｧﾊｧ

>>89
すげーな、プロの味がするｗ

>89 の左側の別解

　(左辺) ≧ (2/9)(a^2 +b^2 +c^2){1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)}　(← 同順序積 ≧ 乱順序積)
　　　　 ≧ 2(a^2 +b^2 +c^2) / {(b+c) + (c+a) + (a+b)}　　　　　(← 相加･調和平均)
　　　　 = (a^2 +b^2 +c^2) / (a+b+c).

>87

〔系〕 a,b,c>0 のとき
　(2/3){a^2/(b+c) +b^2/(c+a) +c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3} ≧ (a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3).


2. (IMO 1995 Canada)
　Let a,b,c be positive real numbers such that abc=u.　Prove that
　1/{a^3･(b+c)} + 1/{b^3･(c+a)} + 1/{c^3･(a+b)} ≧ (3/2)u^(-4/3).

(略証)　上式の a→1/a,　b→1/b,　c→1/c,　u→1/u とおく。

並べ替えの不等式について質問です。

ｎ！個の式のうち一番大きくなるは正順で、一番小さくなるのが逆順ですが
残りの中間の不等式で大小関係がはっきりつくグループは何個なんでしょうか？

ｎ＝３　のときは中間の３！−２＝４個の式が２個のグループに分けられるみたいですが。

>>93
面白いね、これって論文１本書ける問題じゃないのかな
専門家のコメント希望

>>93
n=4　のときにやってみたらハッセ図？みたいのが出来たけど、、

(*ﾟ∀ﾟ)=3

〔問題〕
a>0 とする。
関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=a, f(a)=0 を満たすとする。
また、関数g(x)は、0≦g(x)≦a を満たす連続関数とする。
このとき次の不等式が成り立つことを示せ（下記不等式中にある積分は全て区間[0,a]の定積分とする)。
　∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx + a^2 ≦ 2∫f(x)dx.

* f(x)の微分可能性は保証されていません。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/58-61
東大入試作問者スレ９

>97
　∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx.

(略解)
max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと
　(右辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma,
題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、折れ線 (0,f(0))−(h,M)−(a,0) より上側にある。
　(左辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma.

>98の訂正, ｽﾏｿ

>97
(略解)
max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと
　(左辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma,
題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、y=f(x)+x のグラフは 折れ線 (0,f(0))−(h,M)−(a,a) より上側にある。
　(右辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma.

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=744 より。

n≧1, m≧2とするとき、
Σ{k=1,n}( (1/k)^((m-1)/m) ) ＜ m n^(1/m)

>100

左辺に
　(1/k)^{(m-1)/m} < ∫[k-1,k] (1/x)^{(m-1)/m} dx
を代入するらしいお…

x,y,z is possible. Prove

{(xy^2+1)^(1/3)+(yz^2+1)^(1/3)+(zx^2+1)^(1/3)}^3≧xyz+1

>>102
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa#content_4
に３通りの解答を載せておきました。

>>103
ありがとう！

>>104 どちらさま？

>>103ありがとうございますっ
っってどうみても>>102には右辺の定数倍が欠けてるっっorz
右辺を３倍いやむしろ２７倍してもたぶん成立するという事実
102自体も問題としてはなりたっているが…

103様、もしよろしければ解き直して、wikiのほうも追加してもらえませんか？
申し訳ない

|　 |　　　　　　　　　　　　　
|　‖　　　　　 　　　　　ﾉﾉﾉﾉ　-＿_ 　勘違いするなよ！
|>>102　　　 　　　　　(ﾟ∈ﾟ　)　　─_＿___　___
|∧ 从ﾉ　　　　　 (ミ_　(⌒＼ヽ　_　__＿
（ (≡￣￣￣￣三＼⌒ノ　ノ )
|(つWつ ￣￣＼ 　⌒彡) 　 ﾉ　　＝＿
| ＼つ　つ　　　　＼,_＿_,ノノ
|　 |　 )　　　　　　　　/　／　≡＝
|　 |　　　　　　　　　 / ノ　　　　　　__________
|　 |　　　　　　　　 /ノ　＿─ (´⌒(´
|　 |　　　　　　　ﾐ/＝　(´⌒(´⌒;;
|　''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"''

>102

　(xy^2)^(1/3) =Z, (yz^2)^(1/3) =X,　(zx^2)^(1/3) =Y とおくと
　(X+Y+Z)/3 ≧ XYZ = xyz,

　g(t) = (t^n +1)^(1/n)　とおくと
　g'(t) = t^(n-1) /（t^n +1)^(1 -1/n)　>0, 　　　(単調増加)
　g"(t) = (n-1)t^(n-2) / (t^n +1)^(2 -1/n) >0,　　(下に凸)

　(左辺)^3 = {g(X) + g(Y) + g(Z)}/3 ≧ g((X+Y+Z)/3) ≧ g((XYZ)^(1/3)) = g((xyz)^(1/3)) = (右辺)^3,

>102 いつもの事だが訂正

　(X+Y+Z)/3 ≧ (XYZ)^(1/3) = (xyz)^(1/3),
　n>1
　(左辺)^(1/3) = …… = (右辺)^(1/3).

102は、f(e^x)がｘについて凸な関数のときに、（ｘ＞０）
Jensen不等式の相乗平均verが成り立つことを
問題にしたかっただけなんだ。
迷惑かけて申し訳ない。お詫びとして


a,b,cは正の実数。このとき常に次の式が成り立つような最大のαを求めよ

a^b+b^c+c^a>α

>109

c=a^(1/a) のとき、
　(左辺) = a^b + b^c + a,
a→0 のとき c⇒0 なので,
　lim[a→0] (左辺) = 0^b + b^0 + 0 = 1,
　α = 1.

>110

Q. ほんとに1以下にならない??

A.
(1) a,b,c の1つでも1以上なら おk,
(2) 0<a,b,c<1 のとき
　f(x) = (1/a)^x は下に凸だから、
　(1/a)^b < (1-b) + b/a = (a+b-ab)/a　　… ベルヌーイの不等式
　a^b > a/(a+b-ab) > a/(a+b+c),
辺々たす。

http://www.nikonet.or.jp/spring/zettaiti/zettaiti.htm

( ﾟ∀ﾟ)つ>>87の改良版
a,b,c>0 のとき，
　(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ ((a^3+b^3+c^3)/3)^(1/3)
が成立することを示せ。

Polyaの不等式のH.Alzerによる拡張

f,g,h は [a,b] 上の実数値関数で，f は単調増加，g,h はC^1級で，
g(a)=h(a)，g(b)=h(b) を満たすものとするとき，
(∫_[a,b] f(x)g'(x)dx) (∫_[a,b] f(x)h'(x)dx)≦(∫_[a,b] f(x)√[(g(x)h(x))']dx)^2

〔問題〕
　x+y+z=1,　x,y,z ≧0 のとき　f(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x) ≦ 1/(6√3) を示せ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1186908806/56
分かスレ２７９

>114

f(x,y,z)>0 となるのは 0≦x<y<z またはその cyclic の場合。
そこで、x<y<z の場合を考える。（他の場合も同様）
　f(x,y,z) = (y-x)(z-y)(z-x)
は zについて単調増加、xについて単調減少。
　f(x,y,z) ≦ f(0,y,z+x) = f(0,y,1-y) = y(1-y)(1-2y)
　= 1/(6√3) - 2{y -(1/2) +(1/2√3)}^2･{y +(1/2) +(1/√3)} ≦ 1/(6√3),
等号成立は x=0, y=(1/2)-1/(2√3), z=(1/2)+1/(2√3) のとき。

数蝉の最新号に、不等式が載っていたなはぁはぁ…せｄｆｒｔｇｙふじこｌｐ

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/634-

【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をrとする．
このとき，不等式
　　(a + b + c)/r ≧6√3
が成り立つことを示せ．

>117
　a/r = cot(B/2) + cot(C/2), …, …
を左辺に代入し、cotθは下に凸, A+B+C=π を使う。

【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の外接円の半径をRとする．
このとき，不等式
　　 (a + b + c)/R ≦ 3√3
が成り立つことを示せ．

>119
だから
　a/R = 2sin(A), …, …
を左辺に代入し、sinθ は上に凸, A+B+C=π を使うだお。

〔系〕R ≧ 2r.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/638-639

〔系〕R ≧ 2r.

これは、球殻不等式というんだお。 （・3・）

>121
�dクス.

△の3辺の中点を通る円の半径 = R/2. この円は△の3辺を切るから、半径 ≧r. (清水多門氏)

[前スレ.496-499,660,974] 文献[3] p.8 (絶版)

【問題】
3辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
　(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…,
が成り立つことを示せ.

等号は正3角形のとき,
直角3角形のとき 左辺は2.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/674
東大入試作問者スレ９

>123
このスレの解答は↓になるだろうな。ちっともエレガントぢゃねぇが…

a,b,cが3角形の辺をなすとき、次の附帯条件（3角不等式）がある。
　s-a >0,　s-b >0,　s-c >0, s=(a+b+c)/2
そこで s-a, s-b, s-c を独立変数と見れば、附帯条件は無くなる。基本対称式を
　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
　(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t,
　(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおくと abc = st-u,
　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),
　r = ��/s = √(u/s),
　R = abc/(4��) = (st-u) / {4√(su)},
　(左辺) = {2s - (st-u)/√(su)} / √(u/s) = 2(s^1.5)/√u - (st/u) +1,
示すべき式は
　{(st/u) +(右辺-1)}^2 - 4(s^3)/u = (1/t^2)H(s,t,u) ≧0,
　H(s,t,u) = {st + 2(右辺-1)u}sF_(-2) + 27(7-4√3)uF_(-1) + 3(16√3 -27)sG ,
ここに F_n はSchurの不等式のF_nで,
　F_(-2) = (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0,
　F_(-1) = (t^2 -3su)/u ≧0,
　F_0 = s^2 -3t ≧0,
　G(s,t,u) = st-9u ≧0,
これより、
　H(s,t,u) ≧0,

ぬるぽ

（補足）

3角形の面積を�凾ﾆおくと、
　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),　　　…… ヘロンの公式

グッジョブ！ (*ﾟ∀ﾟ)

【類題】
3辺の長さがa,b,cである鈍角*三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
　(a + b + c - 4R) /r ≦ 2,
が成り立つことを示せ。　(*直角3角形も含める)

等号は直角3角形のとき.

>127

　r=��/s, R=abc/(4��)　より,
　(4R+r)r = {(�竸2)/s + abc}/s = s^2 + (ab+bc+ca) = (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/4 (=t),
　(4R+2r)^2 - (a+b+c)^2 = 16R^2 +4(4R+r)r - (a+b+c)^2
　　= 16R^2 + (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2) - (a+b+c)^2
　　= 2(8R^2 -a^2 -b^2 -c^2),
　　= -16R^2 cos(A)cos(B)cos(C),　　　　　　　　(← 補題)

〔補題〕
　(a^2 +b^2 +c^2) -8R^2 = (a^2 +b^2 -c^2) - 2(4R^2 -c^2)
　= 2abcos(C) - 2(4R^2 -c^2)　　　　　　　 (← 第2余弦定理)
　= 8R^2 {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C)　　　　(← 正弦定理)
　= 8R^2 {sin(A)sin(B)+cos(A+B)}cos(C)　　　(← A+B+C=π)
　= 8R^2 cos(A)cos(B)cos(C),
これは、鋭角・直角・鈍角に従って 正･0･負。(終)
(数セミ, 2007/09)

ぬるぽ

〔問題〕
a,b,c は abc=G^3 を満たす正の実数である. 0≦p≦q のとき次の不等式が成り立つことを示せ.
　{a^p + b^p + c^p}*G^(q-p) ≦ a^q + b^q + c^q.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/753-754 を改作
東大入試作問者スレ９

>>129
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa?wiki_id=54872#content_5

>129 相加･相乗平均 と 乱順序積≦同順序積 より 左辺 ≦ (a^p+b^p+c^p)*{a^(q-p)+b^(q-p)+c^(q-p)}/3 ≦ 右辺.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/766,771

>129 は q≦p≦0 のときも成立.

q-p = d とおくと >131 より
　(左辺) ≦ (a^p + b^p + c^p)(a^d + b^d + c^d)/3 = (右辺) + {(a^p -b^p)(a^d -b^d) + (b^p -c^p)(b^d -c^d) + (c^p -a^p)(c^d -a^d)}/3 ≧ (右辺).

>>132
確かに>>130の証明も，q≦p≦0のときにも成り立っていますね。
>>130の証明を追記しておきました。

IMO longlisted problem 1987
θ[1],θ[2],θ[3]・・・,θ[n]を実数とし、sinθ[1]+sinθ[2]+・・・sinθ[n]=0とするとき次の不等式を示せ。

|sinθ[1]+2sinθ[2]+・・・+nsinθ[n]|≦[n^2/4 ]


The IMO compendium P209 より
この本って問題は豊富なんだけど解答がその半分もないんですね

あっさりオイラー使えよ

nt-t+(n-1)t-2t...=tn(n+1)/2-2t(n/2)(n-2+1)/2=

tn(n+1)/2-2t(n/2)(n/2+1)/2= f

df/dt=n(n+1)/2-n(n+2)/4=0
nn/4=0
t=1->n^2/4

>134

a[k] = sinθ[k+1] + sinθ[k+2] + …… + sinθ[n],
とおく。題意より
　a[0] = a[n] = 0,
また
　|a[k-1] - a[k]| = |sinθ[k]| ≦ 1,
よって
　|a[k]| ≦ k　　　(k=0,1,2,…,[n/2])
　|a[k]| ≦ n-k　　(k=[n/2]+1,･･･,n-1,n)
与式 = | Σ[k=1,n-1] a[k] | ≦ Σ[k=1,n-1] |a[k]| ≦ ･･･

あっさり。

>>138　あっさりでしたか。
問題仕入れてきました。1988年/大学への数学「宿題」らしいです。

実数x[1],,x[2],・・・,x[n]が
x[1]+x[2]+・・・+x[n]=0
(x[1])^2+(x[2])^2+・・+(x[n])^2=1
を満たしながら動くとき次の不等式を示せ。ただしnは3以上の整数とする。

(x[1])^3+(x[2])^3+・・・+(x[n])^3≦(n-2)/√(n^2-n)

xk=-xn-k+1=t
nt^2=1
t^3=n^-3/2
nt^3=n^-1/2

>>139
[略解]
ラグランジュ乗数法で停留点条件を調べると，
x[1],x[2],……,x[n] たちは2種類の値のみをとることが必要と分かる。
そこで x[1] から x[n] のうちで p 個が a という値をとり，(n-p)個が b という値をとるとする。
ただし x[1]=……=x[n] とはなりえないので a<b，1≦p≦n-1 としてよい。
2本の束縛条件の式に代入して解くと， a, b を p の式で表せる。
すると (x[1])^3 + …… + (x[n])^3 が p の関数として表せる。
この関数は p について単調増加なので，p=n-1 のときが最大値。
その最大値は (n-2)/√(n^2-n) となる。

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/622-
より転載。

622 ：１３２人目の素数さん：2007/09/19(水) 11:28:28
0<x<eのとき，
　(e+x)^(e-x)>(e-x)^(e+x)
が成り立つことを示せ。ただし e は自然対数の底である。


ちなみにこれに続く>>624の解答は間違い。

>142
f(x) = (e-x)log(e+x) - (e+x)log(e-x)　とおく。
　f(0) =0,
　f '(x) = (e-x)/(e+x) + (e+x)/(e-x) -log(e+x) -log(e-x)
　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) +2 -log(e^2 -x^2)
　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) - log{1-(x/e)^2} >0,
∴ 0<x<e　⇒　f(x) >0.

〔問題〕
nは自然数、x>0として、(1+x)(1-x)x^n の最大値を、
「微分積分も 相加相乗平均も コーシーの不等式も 因数定理も 判別式も 平方完成も 使わずに」求めよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/272, 293
東大入試作問者スレ１１

>144

最大値は M = {2/(n+2)}{n/(n+2)}^(n/2) の辺りなので、差をとってみよう。
x･√{(n+2)/n} ≡ y とおくと、
　M - (1+x)(1-x)x^n = M - {1-(n/(n+2))y^2}･{n/(n+2)}^(n/2)･y^n
　= M{1 -(1/2)(n+2)y^n +(n/2)y^(n+2)}
　= M(1-y){1 +y +y^2 +･･･+y^(n-1) -(n/2)(1+y)y^n}
　= M(1-y)^2･{1 +2y +3y^2 +･･･+ny^(n-1) +(n/2)y^n} ≧ 0,
等号成立は y=1 のとき。

もっとも、x≧1 のときは (左辺)≦0 から明らかだが･･･

さすがに後付けにもほどがあるな

これは、「最大値を求めた」のではなく、最大値を取る付近で適当な変数を取って関数を展開しただけのこと。
微分方程式等、動きが判らない関数の性質を調べるときなど、よく使われる手法。お疲れ様

任意の三角形の三辺a,b,cに対して常に
a^(2n)+b^(2n)+c^(2n)＜2(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n)
が成り立つような正の整数nを全て求めよ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/352

まず必要条件を求めるため，xを0<x<1なる実数として，
a=2，b=1，c=1+x という三角形を考える。
このとき，題意を満たす n が存在するとすると，
　　2^(n+1) + 2(1+x)^n + 2^(n+1)(1+x)^n ＞ 2^(2n) + 1 + (1+x)^(2n)
が成り立つ。
これが0<x<1なる任意のxに対して成立するので，両辺 x→+0 として，
　　2^(n+2) ≧ 2^(2n)
　　∴ 4≧2^n
　　∴ n≦2
よって n≦2 が必要。

n=1のとき，
　2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)＝(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a) ＞ 0
より成立。

n=2のとき，
　2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)
　＝(a+b-c)^2(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)^2(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)^2 ＞ 0
より成立。

以上より n=1,2

〔問題〕
n を自然数として定積分 I(n) を
　　I(n) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx
で定める。このとき、すべての自然数n に対して　I(n+1) > I(n) が成り立つことを示せ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/174
東大入試作問者スレ１１

>149

(略解)
・n = 1 のとき
　I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1,
　I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･,
ゆえ n=1 のとき成立。
・n> 1 のとき
u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。
xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から
　I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
ここで ヘルダーの不等式 により
　{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
　I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),
　I(n) > I(2)^(n-1) > 1,
から
　I(n+1) > I(n),
n> 1 のときも成立。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/637
東大入試作問者スレ１１

〔問題〕
α、β、γ は 0 < α,β,γ< π/2 、(sinα)^3 + (sinβ)^3 +(sinγ)^3 =1 を満たす。このとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
　　(tanα)^2 + (tanβ)^2 + (tanγ)^2 ≧ (3√3)/2

〔略解〕
(sinθ)^3 / (tanθ)^2 = (sinθ)(cosθ)^2 = (sinθ){1-(sinθ)^2}
= 2/(3√3) - {(2/√3) + sinθ}{(1/√3) - sinθ}^2 ≦ 2/(3√3),

∴(tanθ)^2 ≧ {(3√3)/2}(sinθ)^3

θ=α,β,γを代入して辺々足せば得られる。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/438-462
東大入試作問者スレ１１

任意の実数 x[1],……,x[n] に対して
　�納k=1,n](x[k])^2･cosπ/n ≧ �納k=1,n-1]x[k]x[k+1]-x[n]x[1]
が成り立つことを示せ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/656
東大作問者スレ１１

>152
　2次形式なので行列で表す。半正値であることを使う。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/196-202
線形代数/線型代数４

[問題]
f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0を満たす滑らかな関数とするとき、次を示せ．
∫^1_0 |f'(x) x|^2 dx < 2 ∫^1_0 |f(x)|^2 dx

>>154
f(x)=sin(2πx) のとき，f(0)=f(1)=0 で，
2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (2π^2)/3 + 1/4 = 6.82……
よって不成立。

>>154
f(x)=sin(nπx)のとき，
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1/2
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (n^2π^2)/6 + 1/4
なので，>>154の命題は係数２をいかに大きくしても不成立。

>>154
成り立たないのですか！
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
の本の最後のページにこの手の不等式があって、幾つか自分でやったんですけど、
これだけはどうしても出来なかったが、間違っていたとは思わなかった orz

お騒がせしました。
しかし、直ぐに成り立たないと反例を挙げるその才能に驚きました。

〔問題〕
こんな問題が流れてきた。カッコ良く解いて呉れってよ。

x+y+z =s, x≧0, y≧0, z≧0 のとき、
　w(x,y,z) = (y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2) の最大値は?

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1193029141/59
分かスレ２８０

>158
いつものように 基本対称式を x+y+z =s, yz+zx+xy =t, xyz =u とおく。
　y^2 +yz +z^2 = s^2 -t -sx,
　z^2 +zx +x^2 = s^2 -t -sy,
　x^2 +xy +y^2 = s^2 -t -sz,
よって
　w(x,y,z) = (s^2 -t -sx)(s^2 -t -sy)(s^2 -t -sz)
　= (s^2 -t)^3 -(s^2 -t)^2･s^2 +(s^2 -t)ts^2 -us^3
　= (s^2 -t)t^2 -us^3
　≦ (s^2 -t)t^2 + min{0, -(s^3)(4st-s^3)/9},　(← s^3 -4st ≧ -9u)
ここで t/s^2 =τ, w/s^6 =ω とおくと 0≦τ≦1/3,
　ω ≦ τ^2 - τ^3 + min{0, -(4τ-1)/9},
ω(τ) の増減表から、ωは 0≦τ<1/4 で増加し、1/4<τ≦1/3 では減少する。
ゆえに τ=1/4 で最大値 3/64 をとる。
等号成立は τ =t/s^2 =1/4, u=0 のとき、すなわち
　(x,y,z) = (a,a,0), (0,b,b), (c,0,c).
ぬるぽ

問題を投下した者です。ちょっとこのスレ的ではない解ですが…

ω=exp(2πi/3) を用いて問題の関数は
w(x,y,z)=|(yω-z)(zω-x)(xω-y)|^2
と表せる。そこで p=x+yω+zω^2 という変数を考えるとpは複素平面上で
1,ω,ω^2 を頂点とする三角形の内部または周上 (Tとする) を動く。ここで

p-1=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)=(1-ω^2)(yω-z)
p-ω=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω=(ω-1)(zω-x)
p-ω^2=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω^2=(ω^2-ω)(xω-y)

であるから

w=(1/27)|p^3-1|^2

である。この式の形とTの形状から、pの動く範囲はTのうちの
2π/3≦arg(p)≦4π/3 に制限してもよいことがわかる。このとき
p^3の動く範囲(Dとする)を描いてみればわかるように、max(w)
を与えるpはTの周上のどこかになる。そこで
p = (-1+it√3)/2 (-1≦t≦1)と置いてwを計算してみると

p^3-1 = (3√3/8)(t^2-1)(√3+it)
|p^3-1|^2 = (27/64)(t^2-1)^2(3+t^2)
w = (1/64)(t^2-1)^2(3+t^2)

あとは u=t^2 (0≦u≦1) の3次関数の問題で、u=0で最大となる
ことがわかり、max(w)=3/64 である。最大を与えるpは p=-1/2
のときと p^3の位置が同じp、すなわち p=-1/2,-ω/2,-ω^2/2 である。

>>160 は >>158 の解でございます。

おっと >>158 は x+y+z=s になってますね。元の問題は x+y+z=1 です。

ｲﾊﾟｰﾝ化してしまうのが不等式ヲタのSA・GA

>>157
>>157
確かにその本にはそう書いてありますね。
しかし，前後の文脈を読むと，おそらく著者が言いたかったのは

「f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0 を満たす C^1級の関数で，かつ恒等的に0でないものとする。
このとき，
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＞ (1/4) ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
が成立する。」

ではないかと思われます。

おそらく著者は，
http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage
から引用したものだと思われますが，引用元のこの論文において既に同じミスをしています。

この修正版の不等式は，次のようにして示せます。

g(x) = √(x) f(x)$ とおくと，g(0)=g(1)=0 を満たし，かつg'(x)は[0,1]上で恒等的に0ではない。

また，f(x)=x^(-1/2)g(x)なので
{xf'(x)}^2＝(1/4)x^(-1){g(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2 ＝ (1/4){f(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2

よって，
∫_[0,1] {xf'(x)}^2 dx
＝(1/4)∫_[0,1] \{f(x)\}^2dx - (1/2)[{g(x)}^2]_0^1 + ∫_[0,1] x\{g'(x)\}^2 dx
＞ (1/4)∫_[0,1] {f(x)}^2dx (∵g(0)=g(1)=0, x\{g'(x)\}^2≧0で恒等的に0でない)


この係数1/4の最良性は言えそうで言えない……

>>164
ご丁寧な解答ありがとうございます。
逆向きの不等号ならば、本に書いてある方法でできますね。
ちなみに、積分区間は [0,1] となっていますが、これは任意の区間 [a,b]
（ただし，0<a, b< ∞）でも大丈夫ですね。

私も少し調べたのですが、大体関数 f の積分を f やそれらの微分を
使って上から押さえるタイプのが多いようです。
しかし、逆タイプ、つまり、f の微分を f で押さえるというタイプの
式が見つからなかったので、案の定、間違っていたのですね。

そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？

>>165
おっと，
http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage
をよく読むと，
　∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。
存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。

つまり，この論文は間違っておらず，この論文を「不等式への招待」に転載したときに
著者が「存在」を「任意」だと取り違えてしまった，というのが実情でしょう。

＞そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？

難しいと思いますね。
直観的に言うと，|f(x)|がいかに小さく抑えられていたとしても，
その小さな幅の中で激しく振動しまくれば，|f'(x)|はいくらでも大きくすることができてしまいます。
逆に，|f'(x)|がある程度小さく抑えられていれば，f(x)の変動が小さいわけですから，
|f(x)|もある程度の幅しか動けなくなります。

また，[0,1]上の関数f(x)を周期１の周期関数と見てexp(2πinx)によって
フーリエ級数展開したときのフーリエ係数をc_nとすると，パーセバルの等式から
　∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ＝ Σ_[n=-∞,∞] |c_n|^2
　∫_[0,1] |f'(x)|^2 dx ＝ (2π)^2Σ_[n=-∞,∞] n^2|c_n|^2
です。Σ|c_n|^2 と Σn^2|c_n|^2 の収束性の善し悪しを比較しても，
|f'(x)|を|f(x)|で評価することの困難さが分かると思います。

>>166
>∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
>については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。
>存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。

ご丁寧にありがとうございます。それなら、納得です。
（ところで、JSTORってフリーじゃないですね。）

このタイプの不等式、つまり、微分を評価するのは、偏微分方程式の解の
評価とかで非常に重要で、また、いろいろと応用が多いのですが、
さすがにこれだけの条件では無理ですね。

ただ、不等式の形が特殊なのでいけるのかな？と思ったんですけど、おっしゃる
ように関数が激しく振動してしまうと無理ですよね。

積分型の不等式で何か良い本がございましたら、教えてください。
（洋書でも構いません）

>>167
今手元にあるわけではなく，以前図書館でパラパラ見たときの記憶ですが，
http://amazon.com/o/ASIN/0444517952
には積分型の不等式が大量に載っていたように思います。
お探しのタイプの不等式が載っているかどうかは分かりませんが。

多変数が良いな。L^p, p\neq 2 に関する不等式はないか？
小平-Spencer-NirenbergのL^4 ぐらいで。

>>169
お前の負けだな。

リクエスト

｢二次式｣だけで、ごっつい不等式

>>171
[問題（激難）]
実数 a_i > 0 (i=1,,,n) のとき、

a_1/(a_2 + a_3) + a_2/(a_3 + a_4) + … + a_{n-1}/(a_{n} + a_1) + a_n /(a_1 + a_2) >= n/2

が成り立つような、n の範囲を求めよ。

>172

n≦13 および n(奇数)≦23 については成り立つらしいお。
　http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
　大関, ｢不等式への招待」 近代科学社 (1987) 絶版

n=3〜6 については
　過去スレのミイラ置場の 不等式スレ2.html の >889

n≦13 については
　H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954).

〔余談〕
(左辺) > n/3 ならば、3以上の自然数について成り立つらしい。
　過去スレのミイラ置場の 不等式スレ1.html の >501

>>173
>>171
激難というか、未解決問題じゃねえかよ！
Shapiro の巡回不等式だな。

まあ、答えが直ぐに出る問題もいいが、こんな不等式でも未解決である
ということは不思議だよな。（n によって真偽が異なるし）

これを解いたら、かなりいい雑誌に論文として載るだろうから、挑戦
する価値は十分にあるだろう。

不等式に未解決問題があるとは驚いた。

>>172　どうもです。
>>173　なるほど。
干からびるにはもっていこいということですね。

Shapiro's Cyclic Inequality (google)
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=Shapiro+Cyclic+Inequality&lr=

J. Ineq. Appl.
Shapiro’s cyclic inequality for even n (by P. J. Bushell and J. B. Mcleod)
http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1025583402000164

In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n
variables. All the numerical evidence indicates that the inequality
is true for even n≤12 and for odd n≤23.
We give an analytic proof for the case n=12, which implies the former
result. The remaining case n=23 remains an open problem.

2002年の時点ではまだ未解決。

>177
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!
Full-text PDF もDLして読んでまつ････

>>178
他にも Shapiroの巡回不等式関係の論文は山ほどあるから、最新のを探して
から読んだほうがいいよ。
漏れも今どこまで分かっているのか知らないから、もし分かったら教えてちょ。
しかし、Journal of Inequality なんて雑誌があるんだ。

不等式は奥が深いぞ！
やべ〜、はまりそうだ

『古田の不等式』は既出？

>>180
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1045388265/95

古田って前に新聞に出ていたけど、この不等式がよほどいい仕事だと
勘違いしているようだねｗ

かなり痛い男だｗ

95 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:18
古田の不等式。
作った本人に聞けばそれが載ってる数学辞典やら他
様々な文献を見せ付けられることでしょう。


96 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:28
ﾜﾛﾀ

問題　次の不等式を証明せよ。ただし0<=ｘ<=1とする。
　　　　1/2 <= 1/1+√x <=　1/1+x二乗
どうしても分かりません;;;誰か解いてください!!;;;;

858 名前：１３２人目の素数さん ：2007/11/14(水) 20:41:47
藤川英華っておばはん顔じゃんｗ
ブスだな

>>182
いや、ホンマに凄いことなんやで！

世界的数学者

古田の不等式
http://www.zaikai21.co.jp/zaifuku/back/0310.html

国際的に権威のある「数学百科全書」に名前が掲載されている日本人数学者はわずかしか存在しない。

数学百科全書ってなに？
Springerからでている　Encyclopaedia of Mathematical Science？

ディドロ＆ダランベール

>>183
すごいな
四年も粘着してるのか
どんな私怨があるんだろ？

>>189
どこにいる？

おまえのこと？

Shapiroの巡回不等式って、
本当に>>172のような単純な形をしているのか？
元の原型はもっと複雑な形をしているんじゃないのか？
不等式の未解決問題にしては妙に単純な形だ。
「不等式への招待」に現れる不等式の中には
何らかの理論の中に現れるものが結構あるのだが。

【問題】
f: [0,1] ---> R を C^2 級関数で f(0)=f(1)=0 をみたせば，
次の不等式が常に成立することを示せ：
max_{x ∈ [0,1]} |f(x)| ≦ 1/8 max_{x ∈ [0,1]} |f^{(2)}(x)|．

>193

(左辺) = |f(ξ)| とする。(ξ∈[a,b])
X>ξ でも X<ξ でも f(X)≦f(ξ) だから f'(ξ)≧0 かつ f'(ξ)≦0,
∴ f'(ξ) = 0,
　|f'(X)−f'(ξ)| = |(X-ξ)f"(η)| ≦ |X-ξ|･max{|f"(x)|;x∈[a,b]|},
　|f (X)−f (ξ)| ≦ (1/2)(X−ξ)^2･max{|f"(x)|;x∈[a,b]},
題意より f(a)=f(b)=0 だから,
　(左辺) = |f(ξ)| ≦ (1/2){min(ξ-a,b-ξ)}^2･max{|f"|} ≦ (1/8)(b-a)^2･max{|f"|} = (右辺),

注)　ξ∈[a,b] ⇒　min{ξ-a,b-ξ} ≦ |b-a|/2 を使った。

>180-189

「ある作用素不等式のやさしい証明」
数学(岩波), Vol.40, p.354 (1988)
http://wwwsoc.nii.ac.jp/msj6/sugaku/s-index.html

「それはスペルミスの手紙から始まった／フルタの不等式の成立をめぐって」
数セミ, Vol.32, No.10, 通巻385, p.68-71 (1993.10)
http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss9310.htm

>>192
そうだよ。
どうしてこの不等式が出てきたのかは知らないが、まだ未解決らしい。

もっとも、問題が簡単な形をしているから易しい、というのは完全な誤解。
それは、フェルマー予想やポアンカレ予想のことを思えば納得行くだろう。

しかし、Shapiro の巡回不等式の場合、n=14, 20 で反例があることは分かっている。
16≦n の場合を大型計算機ででチェックぐらいはすれば、ある程度は分かると思う。

なお、n が十分大きければ、不成立であることも分かっている。

Shapiro の巡回不等式は本当にあの形をしているのか！
むしろ、今まで多くの人に知られずにいたのが不思議なくらいだ。
フェルマー予想のように有名な問題であってよかった筈だが。

92 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [] 投稿日：2007/11/22(木) 21:22:50
a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ．
log√(ab)≦{(a+b)/2}^t

93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:15:42
>>92
a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et)　となるので、与不等式が成立するためには
et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。
次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。
y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので
x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。
このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……�@
また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……�A
�@でz=√abとして�Aと組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。
以上から、求めるtの最小値は1/e。

問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。

94 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:46:51
>92
相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A),
　>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。
　t*log(A) ≦ (1/e)A^t,
与式成立条件は、t≧1/e,

高校質問スレで質問したところ、こちらを勧められたので質問させて頂きます。

|a|,|b|,|c|<1のとき、(1)ab+1>a+b(2)abc+2>a+b+cを証明せよ。
という問題があり、この2つはゴリ押しで何とか解けたのですが
4文字以上の場合に繋がるような証明法がどうしても思いつきません。

|a1|,|a2|,・・・,|an|<1のとき、a1・a2・・・an+(n-1)>a1+a2+・・・+an
成り立つかどうかもわからないのですが、わかる方いましたらよろしくお願いします。

a(bc)+2>a+bc+1>a+b+c.

ありがとうございました。

あげ

>177
Shapiro’s cyclic inequality for even n
を保存しようとした時、何か変なメッセージ
(Acrobat 8 がどうのこうのと言う）
が出た。そんな物持ってないのに普通に保存出来たが、問題あったかな？

今年こそは Shapiroの巡回不等式予想を解くぞ！

って、まだ本当に未解決なのか？

ふふ…

ただの 乱順序積 ≦ 同順序積 （積分版）だが…

〔FKG不等式〕
　f(x),g(x) を[a,b]上の単調増加（減少）な関数とすると
　∫[a,b] f(x)dx・∫[a,b] g(y)dy ≦ (b-a)∫[a,b] f(x)g(x)dx,

FKG は C.Fortuin, P.Kasteleyn, J.Ginibre の頭文字らしい…

http://elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~aida/lecture/18/double-integral2.pdf

(∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy

官軍の同志諸君、ならびに賊軍のあほんだれｗに告ぐ：−

御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。
ハイテク筏かどうかは不明！

決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！

語学力（英語で充分）を磨こう！

目標は、７万語の語彙だ。

"Word Power Made Easy"http://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_fb?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=Word%81%40Power%81%40Made%81%40Easy&Go.x=17&Go.y=15&Go=Go などを読んでおけ！

尚、同書がきつい者（読みこなせない）者は「試験に出る英単語」を
もう一度とりだして、「完全に」マスターすることから始めよ！

某スレで恩大は、こうおっしゃっているので引用しる：−

Yo(余) ni dekita koto ga soch-tachi ni dekinai wake ga
arouka?!!!!

Onaji mana kutte doko tsugau(違う)！！！！

任意の実数x,y,z,nに対して不等式

(x-y)(x-z)x^n + (y-z)(y-x)y^n + (z-x)(z-y)z^n ≧ 0

を証明せよ


これがわかりません

あきらか

>>209
問題設定おかしくね？

>>206　ただの 乱順序積 ≦ 同順序積 （積分版）だが…

それを、普通はチェビシェフの不等式と言う。
積分版も同じ。
FKGかなんかしらんが、チェビシェフの不等式のパクリ。

数学の世界で「パクリ」という言葉を初めて聞いた気がする

或る人が書いた数学本の中には、
不等式の本といってよいものが存在する。

どこの存在定理ですか？

>>213
でも定理の系や簡単な応用なのに名前をつけるのは、どうかと思う。

最初にやった人の功績は重要だが、それを統一化された現在では、
変てこな名前を言われるより、「チェビシェフの不等式」と言って
くれた方が十分通じるし、理解も早い。

同時期に独立に出したのなら、パクリではないが、
最近は論文数を増やす為のパクリも多い。

Shapiro's Cyclic Sum Constant
http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html

Shapiro's Cyclic Inequality is ture for all even n ≦ 12 and
odd n ≦ 23 (Mitrinovic et al. 1993).

Journal of Inequalities and Applications
http://www.hindawi.com/journals/jia/contents.html

P. J. Bushell and J. B. Mcleod
"Shapiro’s cyclic inequality for even n",
Journal of Inequalities and Applications Volume 7 (2002),
Issue 3, Pages 331-348

http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1025583402000164

Abstract
In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n variables.
All the numerical evidence indicates that the inequality is true for even n≤12
and for odd n≤23. We give an analytic proof for the case n=12, which implies
the former result. The remaining case n=23 remains an open problem.

〔問題〕
a,b,c は 0≦a,b,c<1 をみたす実数とする．また，
　S = 3(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca),
　A = (3+a^2)a/(1+3a^2),
　B = (3+b^2)b/(1+3b^2),
　C = (3+c^2)c/(1+3c^2),
と定める。このとき，
　A+B+C ≦ S < 3,
を示せ．(MASDA)

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/155 ,168
東大入試作問者スレ１３

>221

右側は
　1 - S/3 = 3(1-a)(1-b)(1-c)/(1+ab+bc+ca) >0 より。

左側は
　a = tanhα,　b = tanhβ,　c = tanhγ とおくと、tanhの加法公式より
　S = 3tanh(α+β+γ),
　A = tanh(3α),
　B = tanh(3β),
　C = tanh(3γ),
∴ tanhθy は θ≧0で上に凸だから、 A+B+C ≦ S.

ここに tanhθ = {e^θ -e^(-θ)}/{e^θ +e^(-θ)},

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

A(x) = ( a(x)_{ij} ) をn次対称行列で、各成分 a_{ij}(x) は [0,1] 上の連続関数とする。
このとき、次をしめせ。
　det { ∫_[0→1] A(x) dx }^{-1} ≦ ∫_[0→1] { det A(x) }^{-1} dx．

ただし，∫_[0→1] A(x) dx = ( ∫_[0→1] a_{ij}(x) dx ) であり、det は行列式を表す。

>>224
訂正：A(x) はｎ次の「正定値」実対称行列です。
「正定値」がぬけていました。

x > 2、y > 2、1/x + 1/y ≦ 1/2 のとき、2x+yの最小値を求めよ。

簡単だからエレガントに頼むぜ、ブラザー！

>>226
レポート問題を人にやらせるなよｗ

レポートって…（笑）
高校の問題をレポートに出す大学って、教育学部？

>>228
私立の文系（受験科目に数学なし）の選択必修など沢山ある。
文系は高校の微積分も知らないし、私大だと中学の数学（今はゆとり教育で、
以前は中学の数学が今は高校でやるようになった）が怪しい奴が大勢いる。

不等式の両辺に負の数を掛けると、不等号の向きが変るのが分からない奴が
いるから。ゆとり教育はマジでやばい。

>>229
分数の計算すらまともにできない大学生が蔓延っている今の日本
不等号の向きがナンチャラカンチャラなんぞ知らない人がいることなんて
別に驚くにあたらないし、今に始まったことでもない

これが今の日本の現状
事実だ！これが現状だ！
目を背けるな！

そして、じゃあはたして僕らはどうしたらいいのだろうと・・・
日々自問自答を繰り返している

そんな大学生が居ない大学に行けばいいだけの話だろ

そこで 1stVirtue 王国の創設だ。

じゃぁ数ヲタ達はエリートだな

>>231
私立大の文系ではほとんど入試科目に数学が無いから（最近は推薦やAO入試があるから
理系でもやばいけど）、一部の学生を除いて全然数学を勉強してきていない。
そういう奴らに数学を教えると、まあ易しいのをやれば大丈夫なのだが、そこで必ず
単位を落とすような奴が出てくる。よくよく問い詰めるとそういう奴は>>229や>>230
のように中学レベルの数学で落ちこぼれているんだから、救いようが無い。
私立のトップといわれるW大やKOでもそういう奴がいるそうだから、きついよ。
それにこれからもっとゆとり世代が入ってくるから、ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ。
手っ取り早い改善策は、とにかく入試問題に数学を課すことだ。
センターの数学でもいいからさ。

nを自然数とするとき
e-(1+1/n)^n＜e/(2n+1)
が成り立つことを示せ。

平成の時代に不平等は許されません
よって与式は成り立たない

不平等を許さないという奴が平成の時代にも居たのか。

>>235
見かけによらず意外に難しい…

不平等を許さないというやつは、すべての悪人に対しても平等を強いておけ。

Reply:>>235 e*(2*n)/(2*n+1)<(1+1/n)^n.

なんとなくレスをつけてみたが、e<(1+1/n)^n*(1+1/(2*n)) をどうやって証明しよう。

>>239
人の脳を読む能力を悪用する奴でも？

自作問題。

nとMは自然数で、1≦n＜Mを満たすとする。Q(n)を次のように定義する。
Q(n)＝Π[k＝0〜n−1](1−k/M)＝(1−0/M)*(1−1/M)*(1−2/M)*…*(1−(n−1)/M)
また、非負の実数cに対して、
a＝{−(2c−1)＋√{(2c−1)^2＋8Mc}}/2 , b＝{1＋√{1＋8Mc}}/2
とおく。

(1)次を示せ。
・n≧bならばQ(n)≦e^(−c)である
・n≦aならばQ(n)≧e^(−c)である
・0≦b−a≦2cである

(2)nは自然数で、1≦n＜365とする。n人の人間のうち、誕生日が一致する
2人がいる確率をP(n)とおく。次を示せ。
・n≧42ならばPn≧1−e^(−2.3) (≒0.9)
・n≦39ならばPn≦1−e^(−2.3)

Reply:>>241 思考盗聴で個人の生活に介入する奴を排除するかすべての人が思考盗聴できるようにならないと、平等にはならない。

>>235
0 ≦ d < 1 とする。
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - ……
　　　　 ≦ -d -(1/2)d^2 -(1/4)d^3 -(1/8)d^4 - ……　(等比級数)
　　　　= -2d/(2-d),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
　-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) ≦ -2/(2n+1),
　n･log(1 +1/n) ≧ 2n/(2n+1) = 1 - 1/(2n+1),
あとは exp( ) するだけ。
　(1 +1/n)^n ≧ e･exp(-1/(2n+1)) ≧ e{1 - 1/(2n+1)},

〔235の類題〕
nを自然数とするとき
　e･exp(-1/(2n+2)) > (1+1/n)^n > e･exp(-1/(2n+1)),
が成り立つことを示せ。

>245
右側は　>244
左側も同様に
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - ……
　　　≧ -d -(1/2)d^2 -(1/2)d^3 -(1/2)d^4 - ……　(等比級数)
　　　= -d -(d^2)/(2(1-d))
　　　= -d(2-d)/(2(1-d)),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
　-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) > -(2n+1)/(n(2n+2)),
　n･log(1 +1/n) < (2n+1)/(2n+2) = 1 -1/(2n+2),
あとは exp( ) するだけ。

〔235の拡張〕
nを自然数とするとき
　e/(2n+2) < e - (1+1/n)^n < e/(2n+1),
が成り立つことを示せ。

>247
右側は >244
左側も同様に
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 -(1/5)d^5 - ……
　　　> -d -(1/2)d^2 -(1/3)(d^3 +d^4 +d^5 + …… )　　　(等比級数)
　　　= -d -(1/2)d^2 -(d^3)/(3(1-d)),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
　-log(1 +1/n) = log(1 -1/(n+1))
　　> -1/(n+1) -1/(2(n+1)^2) -1/(3n(n+1)^2),
　　= -(1/n){1 -1/(2(n+1)) -1/(6(n+1)^2)},
　n･log(1 +1/n) < 1 -1/(2n+2) -2/(3(2n+2)^2)
　　≦ 1 -1/(2n+2) -1/(2(2n+2)(2n+1))　　　　　　(← 3(2n+2) ≦ 4(2n+1) )
　　< 1 + log(1 -1/(2n+2)),　　　　　　　　　　　( >246 の公式に d=1/(2n+2) を代入)
あとは exp( ) するだけ。
　(1 +1/n)^n < e{1 -1/(2n+2)},

>>245>>247
同じ問題はいいよ。つまんねえ

つまんなくて申し訳ねぇ…

nが大きいとき、マクローリン展開して
　n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +1/(3n^3) -1/(4n^4) + …}
　　= 1 -1/(2n) +1/(3n^2) -1/(4n^3) +1/(5n^4) - …,

　(1 +1/n)^n = e{1 -1/(2n) +11/(24n^2) -21/(48n^3) +2447/(5760n^4) - …},

　{e - (1 +1/n)^n}/e = 1/(2n) -11/(24n^2) +21/(48n^3) -2447/(5760n^4) + …,

　e/{e - (1+1/n)^n} -2n = 2n/{1 -11/(12n) + 21/(24n^2) -2447/(2880n^3) + …} -2n
　　　= 2n{1 +11/(12n) -5/(144n^2) +17/(1080n^3) -… } -2n
　　　= 11/6 -5/(72n) + 17/(540n^2) - … → 11/6,　(n→∞)

　e - (1+1/n)^n ≒ e/(2n +11/6).　　　(n>> 1)

数学科の微積分での証明だったら、これらは全部不合格だよ。

まず、e の存在を証明して（有界単調数列は収束する）から物事が始まる。
指数関数の定義やその逆関数として log x を定め、さらに、それらが解析的
であること、つまりTaylor展開できることという順番だからな。

ここの「証明」は全部循環論法。
e の不等式の証明にTaylor展開を使うのは、数学科だとアウト。

最初からTaylor展開でe^xを定義する事だってよくあるけど。
君が知らないだけで。定義も書かないで251みたいな事を書くのはナンセンス。

まあ>>249には大体同意。

>>251
それ、数学科の微積分じゃなくて、高校の微積分って言った方が正しいと思うよｗ

【問題】
f を開区間 (a,b) の C^2 級関数とするとき，次の不等式を示せ．
∫^b_a |f ' (x)|^2 dx ≦ 54 [ 1/(b-a)^2 ∫^b_a |f(x)|^2 dx + (b-a)^2 ∫^b_a |f ' ' (x)|^2 dx ]

>251
小平の解析入門なんかでは
無限級数の極限で定義してる。
いろんな定義が可能なことを知らないなんて
数学科ではないなｗ

数学科の微積分をナメるなよ！！！！！！！！１１１１１

ってか、king氏にも分からないことがあるんだと
かつ、このスレの優秀さを改めて見直した

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　　　/　　　ぐ　わ　　　｜ 　 　 　/　　　　　　　　　　　　　　　　|ﾉ/　　 　　 　　＼
　　/　　　　ら　か　 　 　|　　　 　|　　　　　　　　　　 　　　　　 )/.| 　 ・　　オ　　 |
　　|　　　　.い　ら　　　　| 　　　　|　　　　　　　　　 ,;';;,,　　　　/ﾉ | 　 ・ 　　レ 　　|
　　|　　　 　・　 な　　　　|　　　　|::::.................:::::::::;;,'^;､::::::'''..,,_;､丿 | 　 ・ 　　に　 　|
　　|　　　 　・　 い　　　　|　　 　/:::::::::::::::::::::::::::;"ﾞ, /ﾞ~ﾞ`''::;'ﾞ; 　 　 |　　・　 　だ.　　|
　　|　　　　あ 　こ　 　　｜　 　 `､;;::::::::::::::::;／　),;'　　　:.'.,、 　　｜ 　・ 　　っ　　｜
　　|　　　　る 　と　　　　|　 ,へﾉ 　 `'''''"´　 　.:;　　　　 .:::_ヽ　　｜　 ・ 　　て　 　|
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>>255
ふ〜ん
じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則
e^{x+y} = e^x e^y
や、三角関数の加法定理
sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
を証明してみせてよ。
数学科なんだからこのくらいは出来るよね。

>>259
どの定義からも他の定義のものが得られることが知られている
その証明はいい練習になるだろうが、本質的でない
本質でないことに拘ることの意味が分からないのですが

>>260
へ〜、どの定義から始めるかは大事なことだと思うけどね。
それは個人のスタイルだから、義務ではないけど、その時々に都合良く定義
を変えることは、何も証明をしていないことだね。

どの定義から始めても同等であることの事実は非常に重要なことですけど。
それは、実数の完備性をどの公理を採用するかの問題と似ていますね。

>>255
ふ〜ん
じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則
e^{x+y} = e^x e^y
や、三角関数の加法定理
sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
を証明してみせてよ。
数学科なんだからこのくらいは出来るよね。

e^xをどの定義で始めるかは一長一短がある。
お前はそれを知っていて、>>259のようなことを書きやがったな。
その通りだよ、この証明はベキ級数の収束の議論が入るから、非常に面倒だよ。
微分を使ってもいいけど、それには項別微分の可能性を示さなくてはならない。

指数法則はe^xが絶対収束することと二項定理から得られる
加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる

で、こんなの常識でしかないのだが

> 加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる

それは複素変数の場合
一応大学１年のレベルなんだから、複素数を使わないで証明してもらいたいね

何言ってるの？ 基地外？

exp(x)と同じようにやればいいだけなのもわからんのか

弧長とか使って厳密にsinとかcosとか定義するのも
それはそれで面倒だと思うけどな。

e^{x+y} = e^x e^y は実際にTaylor展開で証明してる本が
結構あると思うけど。三角函数もちょっと面倒になるだけで基本的には同じ。
（本質的には複素変数にしただけなんだから当然といえば当然）

>>268
>>三角函数

か・・・漢字が読めねぇ・・・orz

歴史的名著は大抵函数表記だった気がするが

>>269
ゆとり世代乙

>>270
収束のことを収斂とか書いていたが、流石に今は直されているだろう
だけど、函数は時々見かける。
あと、個人的には線形代数という表記が気に入らない。
線型代数だろうよと，，，

函はハコと読みます。

サンカクハコカズです。

>>271
>>収斂

俺も読めない・・・orz

>>269
北海道の函館（はこだて）って知らないのか？

ゆとり・・・

>>273
釣りかも知れんが「しゅうれん」だ。
覚えておけ！

〔問題〕
絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して (a,b,c) を
　a = x+y+z
　b = x^2 +y^2 +z^2
　c = x^3 +y^3 +z^3
と定める。下記の不等式が成り立つことを示せ。(MASUDA)
　|a^3 +6a -3ab +2c| ＜ 3|a^2 -b+2|,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/350 ,359
東大入試作問者スレ１３

>277
示すべき不等式を整理すると
　| (xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) | < 1,
を示せばよいことがわかる。
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。そこで
>>222 に習って x=tanhξ, y=tanhη, z=tanhζ とおこう。tanh の加法公式より
　(xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) = tanh(ξ+η+ζ),
　| tanh(……) | < 1,
よって、問題の不等式も示される。

>278 の補足
　(coshθ)^2 - (sinhθ)^2 = {[e^θ + e^(-θ)]/2}^2 - {[e^θ - e^(-θ)]/2}^2 = 1,
より
　1 - (tanhθ)^2 = 1/(coshθ)^2 >0,
よって
　|tanhθ| < 1,

>>269-276
読めない漢字＠数学板

三角函数（さんかく・かんすう）→三角関数

収斂（しゅうれん）→数学の用語で収束のこと

帰謬法（きびゅうほう）→背理法ともいう

数学板、誤変換

○確率
×確立

○置換
×痴漢

○偏微分
×変微分

○整式
×正式

○小数
×少数

○対数
×大数
（ただし『大学への数学』または"大数の法則"の意の場合も・・・）

○シミュレーション
×シュミレーション
（日本語にない発音のため。ただし方言には近い発音があるらしい）

○キチ（既知）
×ガイチ
（またちなみに、既出（きしゅつ）と読む。"がいしゅつ"ではない。）

既知の既の字に「木」へんが付くと
高木貞治の『解析概論』"かいせき・がいろん"の概の字になる。

　　　　　　　､＿＿__,,　-―――- ､ヽ 、
　　　　　　　_＞　　　　　　　　　　　ヽ} ）
　　　　　 ／　 ／　　 '　/　　　　　　　 ⌒ヽ
　　　　∠（ 　/　　^ﾒ､ //　 　 }　　 　 　 　 ',
　　　　 　 ヽ/　　　{　/ {{　　　ﾊ　　}　ヽ.　　|
.　　 　 　 ／　 　 ,ﾉx=ﾐ从　　/ |⌒/　　 Ｖ　|
　　　　∠ -ｧフ ,ｲ〃うﾊハ／ _ | ∧　 　 {　ﾘ
　　　　　　厶‐'´! } V辷j　　　≠弌 〉､ 　 ∨
　　　　　　　V{. ヽゝ　 　 '＿_　 　 /　 ＼　＼
　　　　　 　 　 ＼个　.　 V　_）　_厶　人ﾉ￣
　　　　　　　　　　＾ j人＞rー/＾}_ ,イﾉ´ 　　ニホンゴのカンジってムズカシイネ
　　　　　　　　　　xr＜了　 （｀ヽ{　/｀ヽ
　　　　　　 　 　 / ｛.　 {YY´￣　}７　　 }
　 　 　 　 　 　 /〃} 　 } 人_, 　 j　 　 /
　　　　　　　　/　{{ { 　 {{　　ヽ.　＼　/

1stVirtue教では応用数学の習得もする。

>>283
お前誰だ？　馬鹿じゃねーの？

Reply:>>284 日本人の心を持つことをお前様はわかるのだろうか。

>>285 は気違いだから相手にするな。


「1stVirtue教」だとさｗｗｗ

Reply:>>286 不心得者は早く日本から去りてくださいませ。

>>287
お前が出て行け！偽者。

Reply:>>288 誰が本物であるかの議論をしなくてはならぬのか。

>>289
当たり前だろ
それより俺の心を読むのをやめてくれないか

Reply:>>290 どうしろという。

数学の命題にはそれ自体真か偽かが証明不可能な命題が存在する（ゲーデル）

1stVirtue ◆.NHnubyYck

お前邪魔やからさっさと消えろや！

Reply:>>293 自分または自分の親戚がよそ者かどうか考えてみよ。

>>277
示すべき不等式を整理すると
　| N | < D,
を示せばよいことがわかる。ここに N = xyz + (x+y+z),　D = (xy+yz+zx) +1,
問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。よって
　D + N = (1+x)(1+y)(1+z) >0,
　D - N = (1-x)(1-y)(1-z) >0,
辺々掛けて
　D^2 - N^2 = (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) >0,
　| N | < D,

pUNSrO <a href="http://khiyeukbkpro.com/">khiyeukbkpro</a>, [url=http://tozwceqtvhzs.com/]tozwceqtvhzs[/url], [link=http://sisigqwdtxhd.com/]sisigqwdtxhd[/link], http://yllgcklstqui.com/

自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。
a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2}
を示せ。

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/69

（補注）
n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。

同スレからもう一題。

82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30
【補題】
x,y>0 のとき
　x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0,
　等号成立は x=y のとき。

(略証)
　(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k,　より明らか。
　{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より}

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/82

-------------------------------------------------------

(別証)
　(左辺) = (x-y)S,
ここに
　S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k,
とおいた。
x>y>0 のとき S >0,
　(左辺) = (x-y)S >0.
y>x>0 のとき S <0,
　(左辺) = (x-y)S >0.　(終)

入試レベルの不等式キボンヌ

ヘルダーの不等式を証明汁

>>300
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%d8%a5%eb%a5%c0%a1%bc%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0

同スレからもう一題。

【問題】(改作)
n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。
半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。
半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/162, 165

>302
(略解)
各点の座標を
　O = (0,0,…,0),　　原点
　A_1 = ( r,0,…,0),　A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r),
　B_1 = (-r,0,…,0),　B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r),
　P = (x_1,x_2,…,x_n)
とおく。題意より
　OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'.
Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。
　(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
　　　　　　　　 * {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2}
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i)
　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2,
i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。
　(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4,
等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。
題意より OP≦r', n≧2 だから、
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2),
とくに r'=r のとき
　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n),

(例)
　n=2, r'=r のとき 2r^4,
　n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6.

半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を
単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。
(距離の積の２乗)
=Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2}
≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗）
={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n
={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n
よって右辺はr=1で最大となるから
距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n)
のとき最大値(4-4/n)^(n/2)

ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz

同スレからもう一題…

〔問題244〕(改作)
三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。
　R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3,　等号成立は R√3 =a=b=c のとき。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/244

>306
(略解)
　a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。
　a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2)
　　　= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) 　　　(←第2余弦定理)
　　　= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)}
　　　= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　(*)
　　　= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)
　　　≦(9R^2).

(*)　exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。

〔補題〕
　三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8,　等号成立は A=B=C=60ﾟ のとき。
(略証)
　・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0,
　・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0,
　　相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3
　　　　= (1/2)^3 = 1/8,　　　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)　　　(終)

訂正。スマソ。
　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3

相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ

>>309
君がしたまえ！

>>306
[同スレ262]

既に解かれているが別解。

a ≦ b ≦ c として考えてよい。
R = abc/4S　　（S は三角形の面積）
　= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}　　（∵ヘロンの公式）
　= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3
∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

0 = 左辺 - 右辺
　= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2
　= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2)
　≧ 0　　（∵ a ≦ b ≦ c）
だから等号は成り立っていなければならない。
等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。
このとき R = a/√3。

801

age

>>309

n個の正の数 {a,b,c,…} の相乗平均をGとする。
すべての要素がGに等しい場合を除いて、 a < G < b となるような要素a,bがある。ここで
　a' = G, b' = a･b/G,
と変更しても相乗平均はGのまま。一方、相加平均は
　(G + a･b/G)/2 - (a+b)/2= -(G-a)(b-G)/G <0
より減少する。
この変更操作を繰り返すと、(n-1)回以内にすべての要素がGに等しくなり、相加平均もGになる。
しかし相加平均は減り続けた筈だから、元々の相加平均Aは Gより大きかった。(終)

参考文献[3] の p.71-72

0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1の範囲で
{(x+y+z)/3}+√{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)}
のとりえる値の最大値を求めよ。

半径rの球面上を4点A，B，C，Dが動く．このとき，
　　AB↑･AC↑+AC↑･AD↑+AD↑･AB↑
の最小値をrで表せ．

>>316
0

>>315
(x+y+z)/3 =A の断面で考える。　Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積 より
　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A),
よって
　(与式) ≦ A + √[3A(1-A)]
　= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] }
　= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2,
等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。

>>316
球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。
　(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ)
　　= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ)
　　= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ)　　　(← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ)
　　= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)　　　(← 平方完成)
　　≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2)
　　= -(1/2)r^2,
等号成立は Ｓ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａ のとき。
　(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).)

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

ん？タン虫は４連で終わり？
つまらん！

１０００までやりゃいいのに

宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。

不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。
っていう問題です。

3≦2a-1/3＜4　を満たす　a　
を求めればよい。となっていますが、
5/3≦a＜13/6 となり
a＝２　と答はなりますが。。

解き方として

2a-1/3＜4　は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが
2a-1/3≧3　がどうして３がでてくるのか分かりません。

機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は
　　　整数値をBとした場合
　　　　B-1≦式＜B 　と機械式に覚えるのでしょうか。

また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は
　　　　整数値をCとした場合
　　　　C＜式≦C+1　　と機械式に覚えるのでしょうか。

　　　　

>>324
2a-1/3＜4　は成り立つが
2a-1/3＜3　は成立たない。（← 4は最小値）

a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式
　(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1])
　≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])}
　　+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])}
が成立することを証明せよ.
（出典；数学セミナー）

ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`)

>>327
低脳は書き込まないように。

>>328

>>328

>>328

>>314
蛇足だが…

その変更操作によって調和平均は
　2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-��) > 2ab/(a+b),
により増加する。
　……
しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終)

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/79
から転載

nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ
ただしnPkは順列の個数を意味する

>>333

nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n,
　 C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),
より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。
∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]),

〔補題〕
　C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2),
　等号成立は n=2 のとき。
(略証)
nについての帰納法による。
n=1,2 のとき成立。
nが偶数のとき、n=2m,
　C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1),
　C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。
　C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2),
nが奇数のとき、
　C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2),　　　(終)

※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。

>>334 の補足

　C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k),

　(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)},
(略証)
　2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0,

〔問題83〕(改作)
a,b,c>0 とする.
　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3),
を示せ。

東大入試作問者スレ１５
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/83

---------------------------------------------------------

(略証)
左端
　(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2,
　巡回的にたす。
中央左
　(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc,
　巡回的にたす。
中央右
　(1/2)(b+c) ≧ √(bc),
　巡回的にたす。
右端
　√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3),

ﾊｧﾊｧ…

>>326

a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。
　(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1])
　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1)
ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から
　　≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1)
　　= Σ_{k=1,n} b[k]
　　= (左辺).
ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。
ぬるぽ

http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html

a,b,c を実数，ｎを自然数としたとき，次の不等式を示せ．

|a+b+c|^{2n/n+1} ≦ 3^{2n/n+1} { |a|^{2n/n+1} + |b|^{2n/n+1} + |c|^{2n/n+1} }

>>339　|a+b+c|≦3*max{|a|, |b|, |c|}　から明らか。

543
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2008/prob_apr.pdf
B4101
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en
A.447
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200802&t=mat&l=en
B.4043
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en
B.4049
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en
A.439、B.4040
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en
A.435、A436、B.4029
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en
A.433、B4019、B4021
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200709&t=mat&l=en
B.4101（懐かしい）
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en

【f(x)】
A.450
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200803&t=mat&l=en
B.4060
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200801&t=mat&l=en

【nCr】
B.4091
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200804&t=mat&l=en

【other】
B.4046
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en
B.4035
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en
B.4031
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en
B.4097
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en

雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ

【問題148】(改作)
　sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/148

---------------------------------------------------
(略解)
・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より
　|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ),
・cosθ ≦0 のとき
　-1 ≦ cosθ ≦0,
　sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ),

>>341
A.435ムズイな…

>>341
やさしいのは･･･

B.4019.
　　1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)),
　より
　　(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4.
　なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･

B.4035. 積和公式
　2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x),
を使うと
　(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2),
　x=(2/11)nπ, 　　(nは整数, 但し11の倍数を除く.)

B.4043.
　(a,b,c,d) = (1,3,5,11)　(1,2,8,17)

B.4046.
　(a,b) = (169/9, 196/9)　　順不同
　|a-b|=3,

〔問題〕は↓でつ･･･

B.4019. Prove that
　　　1/(3^2) + 1/(5^2) + ･･･ + 1/(2n+1)^2 < 1/4,
　for every positive integer n.

B.4035. Solve the following equation:
　　　2cos(5x) + 2cos(4x) + 2cos(3x) + 2cos(2x) + 2cos(x) + 1 = 0.

B.4043. For what pairwise-different positive integers is the value of
　　　a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) + d/(d+1) = 3, or
　　　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1 ?

B.4046. Solve the following simultaneous equations:
　　　a√a + b√b = 183,
　　　a√b + b√a = 182,

私のコレクションの中にも無いなぁ…

A436とか微妙におもしろいね。不等式ならでは。解析ならでは。

中心がＯで半径１の円に内接する△ＡＢＣがある。
↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃ
とするとき

↑ａ・↑ｂ＋↑ｂ・↑ｃ＋↑ｃ・↑ａ

の取りうる値の範囲を求めよ。

>>341

B.4040.
　a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2)　　　　(0<A,B,C<π)
とおく。附帯条件から
　cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0,
　A+B+C = π,
　ABCは三角形をなす。

(1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき
　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3)　　(← 上に凸)
　　　　= 3cos(π/3) = 3/2.
(2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。
　　　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C)　(← 上に凸)
　　　　= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2
　　　　= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2　　(← sin(C/2) > 1/√2)

〔問題〕は↓でつ･･･

B.4040.
　a,b,c are positive real numbers, and ab+bc+ca=1. Prove that
　(1-a^2)/(1+a^2) + (1-b^2)/(1+b^2) + (1-c^2)/(1+c^2) ≦ 3/2.

>>351
ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、
　 1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4
を示せばよい。

s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、
　 （右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0
等号成立条件は a=b=c．

なぜならばっ！ なぜならばっ！
　 s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係）

蛇足、t=1 より
　 s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0
　 s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0

　　　　　　　　　　＿＿＿　　
　　　　|┃三　.／　　≧　＼
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　久々の出番だね！
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

>>352
　成る程。 >>350 は牛刀だったか･･･orz.

>>349
　(与式) = ↑a･↑b + ↑b･↑c + ↑c･↑a = {|↑a + ↑b + ↑c|^2 - |a↑|^2 - |b↑|^2 - |c↑|^2 }/2
　= {|↑a + ↑b + ↑c|^2 -3}/2,
ここに
　0 ≦ |↑a + ↑b + ↑c| ≦ 3,
　-3/2 ≦ (与式) ≦ 3,
等号成立は (左側 :ABCが正三角形のとき,　右側 : A=B=C のとき）
ハｧ ハｧ

>>350

>>353
牛刀も大歓迎です！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
なぜならばっ！ なぜならばっ！
不等式ヲタだからです！
別解が多いほど興奮するからです！

B.4101.
Assume xyz=8. Prove that
1/√(1+x^2) + 1/√(1+y^2) + 1/√(1+z^2) ≧ 1,

不等式スレッド　143-157

IMO-2001 (USA) Problem 2 の類題らしいよ。
http://imo.wolfram.com/problemset/index.html

>>355
解けたけど芋のもんだいよりは簡単だった。

>>341 , >>355 念のため･･･

B.4101.
　a=k／(x^(3/2)), b=k／(y^(3/2)), c=k／(z^(3/2)),　(k>0) とおくと
x^2 = 4bc/a^2, y^2 = 4ca/b^2, z^2 = 4ab/c^2,
　(左辺) = a/√(a^2 + 4bc) + b/√(b^2 + 4ca) + c/√(c^2 + 4ab)
　　　≧ a/√{a^2 +(b+c)^2} + b/√{b^2 +(c+a)^2} + c/√{c^2 +(a+b)^2} (← 相乗相加平均)
　　　> a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c)
　　　= 1.

>357 の訂正、ｽﾏｿ

　a=k／(x^(2/3)), b=k／(y^(2/3)), c=k／(z^(2/3)),　(k>0) とおくと

誰かA.435解いて〜

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/231

nは自然数とする
{Σ[k=0→2n](C[2n,k])}/{Σ[k=0→n](C[n,k])^2}≦2√n
を示せ

バーゼル不等式を自力で見つけた俺は普通より上

A435
s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc
S1*S2/S3≧6{a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)}

a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)={a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)}/{(s1-a)(s1-b)(s1-c)}

a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1-3abc
=S1^3-S1*S2-3*S3

>>362-364
証明になっとらん

a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)
=(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1+3abc
=S1^3-2*S1*S2+3*S3

(s1-a)(s1-b)(s1-c)=S1^3-(a+b+c)S1^2+(ab+bc+ca)S1-abc
=S1*S2-S3

>>366
続き教えてください

S1*S2/S3≧6{S1^3-2*S1*S2+3*S3}/{S1*S2-S3}

S1*S2*{S1*S2-S3}-6*S3*{S1^3-2*S1*S2+3*S3}≧0

-6*S3*S1^3+S2^2*S1^2+13*S2*S3*S1-18*S3^2≧0

>>369
それが常に成り立つことの証明は？

>>360

　(分子) = Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n),
　(分母) = Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n],
より
　(左辺) = {2^(2n)}/C[2n,n] = b[n]
とおく。
　b[1] = 2 = √(2n),
　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
　　< √{n/(n-1)}.
∴　b[n]/√(2n) は単調減少。
なお、
　b[n]/√(2n) → (√π)/2,　　　　(n→∞)

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/239

　b[1] = 2 = 2√n,
　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2)
　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)}
　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]}
　　< √{n/(n-1)}.
∴　b[n]/(2√n) は単調減少。
なお、
　b[n]/(2√n) → √(π/2),　　　　(n→∞)

a,b,cは0より大きく1/2より小さい実数でa+b+c=1を満たすとする。このとき
(7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18

>>373
0＜a,b,c≦1/2 で考えてください。m(_ _)m

∫[-1,1]|x^2+ax+b|dx≧1/2
を示せ

今までで一番綺麗だと思った不等式は何ですか

>376
シュワルツの不等式

>>375
(ア)　[-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は
　a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。

(イ)　[-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！
　(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx
　　　= {(1/6)(3β-α)α^2 + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)}
　　　= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3　　　　　　　　　　　　(αβ≧0 のときは 明らかに ≧2/3)
　　　= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2　(← 以下、α≦0≦β とした.)
　　　= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2
　　　≧ 1/2.
等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終)

いくら何でもマンドクセ？

>>342
B.4097.
　(x,y) = (6,2), (50,10), (294,42).

>>377
　さようなら。
　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/

>>378　　　　(← 注釈無用)

〔問題〕は↓でつ･･･

B.4097.
Solve the following equation on the set of integers:
　　　2^((x-y)/y) − (3/2)y = 1.

>>380
そういや、まだ考えてなかった…

Jensenの不等式で
f(t_1･x_1+…+t_n･x_n)<=t_1･f(x_1)+…+t_n･f(x_n)
が証明されて、特に
t_1=…=t_=1/n
とおけば
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
ですが、
t_1+…+t_n=1
の場合を示さないで、直接
f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n
を示すことは可能なんですかね？

入試問題でも貼ろうか？

不等式ならドンと来い

2S|x^2+ax+b|>2S|(1+a)x^2+b|>2S|x^2+b|>2S|x^2|>2/3|x|>2/3>1/2

>>380
x,yは整数でy≠0よりx≠0、さらに2^(x/y)は整数よりy|xかつｘ≧y≧1
あとはゴリ押しで、任意の正整数nに対して
x=(2/3)(2n+1)((2^n)-1)((2^n)+1)、y=(2/3)((2^n)-1)((2^n)+1)
が求める整数解となる

不等式とか関係ない気がするが

ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０，ａ＋ｂ≧ｃのとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ
｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛ｂ／（１＋ｂ）｝≧ｃ／（１＋ｃ）
（５３群馬大，５９中部工大）


２数ａ，ｂがａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１を満たすとき，
｛ａ＋（１／ａ）｝＾２＋｛ｂ＋（１／ｂ）｝＾２≧２５／２
を証明せよ （５２茨城大）


３つの正数ｘ，ｙ，ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすとき，不等式
｛２＋（１／ｘ）｝｛２＋（１／ｙ）｝｛２＋（１＋ｚ）｝≧１２５
が成り立つことを示せ （５８東京女大・数理）


ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１−（ｘ／ｎ）｝｛１−（ｙ／ｎ）｝｛１−（ｚ＋ｎ）｝
の最大値を求めよ （５８東京理科大）

暇潰しにもならないと思うがどうぞ

訂正
ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき
｛１−（ｘ／ｎ）｝｛１−（ｙ／ｎ）｝｛１−（ｚ／ｎ）｝
の最大値を求めよ （５８東京理科大）

フハハハハ…、解ける、解けるぞ！

(1-25/3n)^3
2*2.5^2=2*5^2/2>25/2
2(c/2+2/c)^2=(4+c^2)^2/2c^2>c/(c+1)

　2^((x-y)/y) − (3/2)y = 1
2^(x/y-1)=1+(3/2)y=(2+3y)/2
2^(x/y)=2+3y
(x/y)log2=log(2+3y)
xlog2=ylog(2+3y)
x=ylog(2+3y)/log2

log(2+3y)=klog2
2+3y=2^k
y=(2^k-2)/3=2(2^(k-1)-1)/3
2^(k-1)-1=3m
k-1=log(3m+1)/log2
k=log(3m+1)/log2+1
y=(2^k-2)/3=2(2e^log(3m+1)-2)/3=2(2(3m+1)-2)/3=4m
x=ylog(2+3y)/log2=4mlog(2+12m)/log2

私にも解けますた…

>>387
(1)　a/(1+a) + b/(1+b) ≧ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) = (a+b)/(1+a+b) ≧ c/(1+c).　　　{← x/(1+x) は単調増加}
　　∵ (a+b)(1+c) - (1+a+b)c = (a+b) - c ≧ 0.

(2)　a+b=s, b-a=d とおくと
　(左辺) = {a+(1/a)}^2 + {b+(1/b)}^2
　　= (a^2 + b^2) + {(1/a)^2 + (1/b)^2} + 4
　　= (a^2 + b^2){1 + (1/ab)^2} + 4
　　= (1/2)(s^2 + d^2){1 + 16/(s^2 - d^2)^2} + 4
これは d^2 について単調増加。d=0 のとき最小値
　(1/2)(s^2){1 + (2/s)^4} + 4 = 2{(s/2)+(2/s)}^2.
　(別法)　f(x) = {x + (1/x)}^2 = x^2 + 2 + 1/(x^2)　は下に凸だから
　　f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2) = 2f(s/2) = 2{(s/2)+(2/s)}^2.

(3)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
　(xy+yz+zx)/(xyz) = t/u ≧ 3*(3/s),
　(x+y+z)/(xyz) = s/u ≧ 3*(3/s)^2,
　1/(xyz) = 1/u ≧ (3/s)^3,
　(左辺) = {2+(1/x)}{2+(1/y)}{2+(1/z)} = {8xyz + 4(xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1}/(xyz)
　　= 8 + 4(xy+yz+zx)/(xyz) + 2(x+y+z)/(xyz) + 1/(xyz)
　　≧8 + 12*(3/s) + 6*(3/s)^2 + (3/s)^3
　　= {2 + (3/s)}^3

>>388
(4) 相乗相加平均より
　(与式) ≦ {1 - (x+y+z)/(3n)}^3 = {1 - s/(3n)}^3.

とりあえずIMO

'08 2
(1)x,y,z∈R-{1}, xyz=1のとき, x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1を示せ。
(2)(1)で、等号が成立する有理数の組(x,y,z)が無限に存在することを示せ。

>>392
(1)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
　{x(y-1)(z-1)}^2 + {(x-1)y(z-1)}^2 + {(x-1)(y-1)z}^2 - {(x-1)(y-1)(z-1)}^2
　= 3u^2 -4tu +2t^2 -2(st-3u) + (s^2 -2t) - (u-t+s-1)^2
= (t-3)^2 + 2(u-1)(u-t-s+5),
　= (t-3)^2　　　　　　　　　　 (← 題意より u=1)
　≧ 0,
これを {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 >0 で割る。

(2)　等号条件は t=3, u=1. なので･･･

とりあえず、>>373-374が解ければA.435が解けることが分かった。

そろそろ、３文字の対称式に対する不等式に対して一般的解法をここへ載せてもいい時期ではないか？
表立って現れて来ない条件は３文字が実数を現すって事だけで、後は問題の条件が付け加われば
もう、解法に使える条件式は本質的にはないのだから、後はその式が少々煩雑で
一般的にはそれほどよく目にしないってだけの話なんだから、、、。
そうして、文字の次数をあげれば、それはそれで一般的な理論への道が開けている。

そうして、事はそれほどには単純明快にはならないだろうが、、、。
ここらへんから先には幾何や代数もからんで来て数学を学んで視野や地平線を広げていくのには
格好の話題になると思う。

別に不等式だけからでも、数学の全分野に近い範囲を見渡す事だってできると思うし、
そいつは結構おもしろい旅路だと思うよ。

>>395
さあ！

a,b,c≧1のとき、次の不等式を証明せよ。
4(a+b+c)≧(1+a)(1+b)(1+c)
・・・なんか間違ってるような気がするんだが、
どのようなものと間違えたか心当たりある人いる？

>>397
a = b = c = 2 のとき左辺 = 24、右辺 = 27 にて不成立

頭悪いので次の式が成り立つのが分かりません。
C>1、nが正の整数であるとき、C<=(1+((C-1)/n))^n
教えてください。引き算と割り算のどちらからも
数学的帰納法をうまく使えませんでした。

数式部分を書き直すと、
Ｃ＞１で、nが正の整数であるとき、
C≦(1+((C-1)/n))^n

>>399
x ≧ 0 について (1 + x)^n = 1 + n x + ... ≧ 1 + n x なので
x = (C - 1)/n を代入するだけ。

早速のご回答ありがとうございます。リロードするのを忘れて
レスが付いたのに気づくのが遅れました。２項定理でしたか。
なるほど。ありがとう。

図書館に
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
あったから借りてきた
受験参考書っぽくてよさげ

>>403
すばらしい！
くれ！

どこの大学にもあるんじゃね？
うちの大学にもあるが数学科が借りてるらしい

うちの大学って言われても……

復刊希望ンヌ！

他スレから１題･･･

〔問題396〕実数 a,b,c が条件
　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 60,
を満たすとき、
　S = |a-b| + |b-c| + |c-a| の最大値と最小値を求めよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/396 ,442

>>408

(略解)
　b-a=x, c-b=y, a-c=z とおく。x+y+z =0,
∴ ≧0 のものと ≦0 のものがある。
題意より　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = -3xyz > 0,
{x,y,z} の2つは正、1つが負である。
x,y>0>z としてもよい。(x,y)-平面の第一象限で考える。
　(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = -3xyz = 3xy(x+y),

(最小値)
軸を45ﾟ回して
　S/(√8) = (x+y)/√2,　
　d = (x-y)/√2,
とおくと、
　3xy(x+y) = (3/√2){(1/8)S^2 - d^2}S,
題意より、
　0 ≦ d^2 = (1/8)S^2 - 80/S = F(S),　　　（F は単調増加函数）
　S ≧ 4･10^(1/3),
　等号成立は x = y = -z/2 = 10^(1/3), またはその rotation のとき。

(最大値) なし
　x→∞ のとき、0 < y < 20/x^2 →0,　S=2(x+y) →∞.

π^4+π^5<e^6を示せ

グーグルで計算したら殆ど同じだった。
でも少しだけe^6が大きかった。
これはただの偶然か？

これだけ近い値だと近似して示すのは無理ぽいな
なんかうまい方法があるのかな

π^4 + π^5 ≒ e^6 は有名な近似式でつ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

スゲーΣ(0д０`ノ)ノ
誰がこんな近似思いついたんだ！

持ってる本で一つ、>>410関連のことをごく短く書いてあるのがあったな

「数のエッセイ」（一松信、ちくま学芸文庫）
のP.236（ただし、俺の持ってるのは第二刷発行のものなので、それ以外はわからん）で、
文庫本編のエッセイに対する補足説明の部分の一文なのだが、


――――もっとおもしろいのは
π^4 + π^5 ＝ 403.4267758… ≒ e^6 ＝ 403.4267934…
であろう。
最後の式（↑の式のこと）はカナダでT^3（電卓研究会）が開かれたとき（2003年）、
現地の年配の女性教員から教えられた。


と書いてあった
他にも何かの本で見たような気がするが、ちょっと思い出せないな

別にすごくないでしょ。
eやπでの近似を考えて掛けたり割ったりしていれば
e^6をπで割っていってe^6/π^4を見れば気づく。

>>416
じゃあ、eとπだけを使って
π^4+π^5≒e^6
みたいに小さい数で見た目のキレイな誤差0.0001以下の近似を作ってみな
どうせ作れないから

>>417
　20 + π - e^π ≒ 0.0009000208 1052423273 3557015330 9555･･･
　e^6 - π^5 - π^4 ≒ 0.0000176734 5123210920 5537811247 561872･･･

>>418
「e π 整数」
とかで検索すると上の式の載ってるHPがいくつか出てくる。
それと、下の式をそんな自信満々に貼られても……移項しただけじゃん。


そろそろ不等式に戻ろうか。

近似式がすごいのか、思いつくのがすごいのか、どっちだ？

よく見つけるなーとは思う

係数と定数を無視すれば、e1項とπ2項では50乗くらいまでの中で一番良い近似っぽいね
これにて終了

結局
π^4+π^5<e^6
を示すのは電卓使わないと無理でＯＫ？

>>423
ゼータ関数ζ(3)を求める事くらい難しいと思うからＯＫ

>>423
その不等式を数値計算しないで示せというのが数検であったからＯＫじゃない

>>425　kwsk

３段の問題だな

>>427
もっとくわしく！ (；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ

>>415
情報グッジョブ！

http://www.suken.net/img/2008-07dani.pdf

これか

>回答締切 平成２０年９月１２日（当日消印有効）

ここに解答書いたらまずいってことか。
ここにいる猛者なら誰かは出来たであろう

x>1に対しd/dx (1 - √(ln(x)/x))^(√(xln(x))<0を示せ.

(√2)+(√3)-π＞0
であることをなるべく数値計算をせずに示せ

一応、答は用意してある

東大スレに不等式がらみのが沢山あるね

分かスレにもある･･･

〔問題823〕
曲面Q： (x/a)^r + (y/b)^r + (z/c)^r = 1　(a,b,c,r>0)と
平面P： ax + by + cy = 0 がある。

平面Pに平行で曲面Qに接する平面P'の式と接点の座標を a,b,c,r で表わせ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1217024032/823 874

面白スレに三角比の(；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ問題があるね

相加相乗平均に新証明法　高校教諭、運転中にひらめく
http://www.asahi.com/science/update/0816/OSK200808160004.html

高校の数学で習う定理の新しい証明法を県立倉敷古城池高校教諭の内田康晴さん（４９）が見つけ、オーストラリアの数学専門誌に論文が掲載された。
「高校の教育現場から論文投稿はもっと増えていい。励みになるだろう」と数学者からも喝采の声が上がっている。

証明したのは「相加相乗平均の定理」。高校１年で習うことが多い。

内田さんは、ある定理の証明で描いていた図形が、相加相乗平均の定理の証明に使えることに気づいた。さらに簡単な証明法がないかと連日、考えていたところ、
出勤途中の運転中にひらめいた。高校入学後すぐに扱う簡単な公式を使うだけの方法だった。

＞「この証明方法に気づいた人はこれまでにもいたはず。
＞簡単すぎるので発表済みと思ったのかもしれない」と謙遜（けんそん）する
分かってる先生だな。

>>437の証明法ってどういう証明かご存知の方いらっしゃいますか？

http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf

これじゃないでしょうか

萌え死にそうでつ
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

ありがとう。

http://www.nhk.or.jp/special/onair/070128.html
http://video.google.com/videoplay?docid=-8960593568071128585
http://www.nhk.or.jp/special/onair/080727.html
http://www.nhk.or.jp/special/onair/070903.html

>>439
あんまり簡単だとは思えないな。

まぁあれだ！
不等式があれば、あと10年は戦える！

実数a,b,cに対してf(x)=ax^2+bx+cとする．このとき

∫[-1,1](1-x^2){f'(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx

であることを示せ． (08京大文系)

>>445
x∈[-1,1] のとき 1-x^2 < 6 だから自明？

∫[-1,1](1-x^2){f’(x)}^2dx≦6∫[-1,1]{f(x)}^2dx

>>447
thanks
' が見えなかった

>>439
昔すう折りの本で見た子とあるぞ

>>437
相加相乗平均に新証明法　県立高校教諭、運転中にひらめく
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/news/1219015315/

>>433
用意しといた解答書いておく

sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π　　…(*)

一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
√2 + √3 - (8sin(π/12) + 4tan(π/12))
= √2 + √3 - (2√6 - 2√2 + 8 - 4√3)
= (√2-1)^2 (2-√3)^2 (√3-√2)
これは明らかに正なので
√2 + √3 ＞ 8sin(π/12) + 4tan(π/12)　　…(**)

(*)(**) より
√2 + √3 ＞ π

>>451
神過ぎる！

>>452
thx
今、こんなの見つけた
ttp://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html
簡単な証明あったら、カッコ悪いと思ったけど、大丈夫だった

>>451

sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3

これはどこから沸いてきた。

3 次のTaylor展開を用いた不等式でしょ。

ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、

｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝

を示せ。

>>445
　f(x) = ax^2 +bx +c,
　f '(x) = 2ax +b,
を与式の両辺に代入する。
奇数次の項は積分すれば0である（計算するには及ばない）。
(左辺) = ∫[-1,1](1-x^2){(2ax)^2 + b^2}dx = (16/15)a^2 + (4/3)b^2,
(右辺) = 6∫[-1,1]{(a^2)x^4 +(2ac+b^2)x^2 +c^2}dx = (12/5)a^2 + 4(2ac+b^2) + 12c^2
　　　= (16/15)a^2 + 4b^2 + (4/3)(a+3c)^2
　　　≧ (16/15)a^2 + 4b^2,

0<θ<π/4のとき不等式
(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。

>>458
この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか

x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。
x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。

>>460
学校の宿題は自分で考えましょうね

>>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。

>>462
ですよね

cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか

対数とって考えてみるか・・・

f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ)
を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。

最後の1行は勘違い。

全部勘違いだ〜

>>460(1)解説よろ

>>458

0≦t≦1 とする。
　f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
　f(0) = f(1) = 0,
　f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
　f(t) ≦ 0　　　　　　　　　　　　(0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
　log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
　cosθ･log(cosθ) ≧ sinθ･log(1/√2) ≧ sinθ･log(sinθ),　(0<θ≦π/4)

>>460(1) ,>>469
(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
　　= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
　　= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,

>>460(2)
　2x=u^2, y=v^2 とおく。
　(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
　D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
　k ≧ √(3/2),

>>470
見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ） かつ ｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示す方が簡単な ｈ（ｔ） を作ってくる眼力には脱毛だぁ

>>454

　f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
　f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
　x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
　f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
　x･f(x) > 0,

　{tan(x) - x} ' = 1/cos(x)^2 -1 = tan(x)^2 > 0,
と tan(0) -0 =0 から
　x･{tan(x)-x} > 0,　　(|x|<π/2)

　g(x) = tan(x) -x -(1/3)x^3
とおくと
　g '(x) = 1/cos(x)^2 -1 -x^2 = tan(x)^2 - x^2 >0　　(|x|<π/2)
これと g(0) =0 から
　x･g(x) >0,

>>473
マクローリンの ３次＋剰余項 で自明でないの。

>>474
ええじゃん。

誰か>>456をお願いします

通約可能って意味を教えてくんなませ
はーでぃの本でいきなりつまったwww

>>477
ネタ？
何ページ？

>>456って右辺は ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(9t^2)｝ にならないかな？
勿論 exp｛-4/(9t^2)｝ ≦ exp｛-4/(81t^2)｝ なんだけど。
おらの勘違い？

>>477
通約可能ってのは例えば 4/6 が = 2/3 と直せたり
(x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) が
= [(x + 1)(x - 1)]/[(x - 1)(x + 3)] = (x + 1)/(x + 3) と直せたりするように
分母分子に共通の因子があることだけど。

そういう意味で言ってるの？
もしかして不等式の専門書では通約可能という言葉を
難しい意味で使うのかな、とも思ってレス控えてたけど。

Hardyの本って「不等式」のこと？もしかして「数論入門」のほう？

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/937-945 より。


937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
　(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1

945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
　abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}

題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
　正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
　√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
　√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
　√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
　(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,

>>478, 480さん
レスありがとうございます。
「不等式」のほうです
例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の
話が出てきます

「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」
などと書いてあります。


それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、
abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を
a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは
一般的な方法なんですか?

うわwww　偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある
問題とその解答ですね。

ちょっと長めに引用しておきます

「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。

>>456,476

f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
　　= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
　　= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
　P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x},　　　　(a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。

〔補題〕 a<1, j>0 ならば
　(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j,　　　　等号成立は x=j/(1-a) のとき。

>>485
流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より

(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz

1＜cosA＋cosB＋cosC≦3/2
を示す巧い方法ありますかね？

>>487
成り立たないだろ

記号から考えて、A≧0，B≧0，C≧0，A＋B＋C＝πが仮定されているのではなかろうか。
凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。

(0,π)でcos xは凸関数でも凹関数でもないからなあ。
とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。

それはウマい方法じゃないだろｗ

A+B+C=π　π＞A≧B≧C＞0　として
cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0

log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) )　(∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)

log(x)の単調増加性から　cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から　1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2

>>487
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。

右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。

[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。

半径１の円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃをとる
↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ

>>487
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される

>>494
それ、ハイ理にあったような

>>496
ハイ理とは何ぞや？

>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？

>>497
ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?

>>498
( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...

----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
　 S = abc/(4R) を用いる

(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
　 R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)

(3) チャップル・オイラーの定理を用いる

(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------

私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…

その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します

不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...

>>495の式が一番明瞭の気がするけど、r/R示すのにまたワンステップ踏まないといけないのか

>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする

>>498
外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す

>>501
それ、チャップル・オイラー

ヴィルティンガーの不等式

有名どころでヘルダーの不等式。

>>503
聞いたことないのは不勉強？

ディルレヴァンガーの方程式

>>505
ヴィルティンガーつったらspellはwirtingerだろうからぐぐろうぜ

ぐぐったら聞いたことがあることになる？

聴覚を使わない限り聞いたことにはならないと思う。
ぐぐった結果、動画ファイルなどを見つけて聞いたのならOK

>>508
何その詭弁
空気読めないねって良く言われるだろ

>>509
死ねｗ

独学した内容は聞いたことないってのも珍しくないがな
聞いたことはないが知ってるってやつ

>>508
KY1級

不等式ではないですが・・・
θ=(360/11)°の時(1/cosθ)+(1/cos2θ)+(1/cos3θ)+(1/cos4θ)+(1/cos5θ)の値を求めよ
お願いします

なぜスレチとわかってて．．．

マルチと見た

>>513
ヒント：2倍して1を足せ

>>513

次の恒等式を考える。　　(11倍角公式)
　cos(11t) = T_11(cos(t)),
ここに　T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x,
T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2,
∴　cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。
∴　1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。
　(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32,
根と係数の関係より、
　(与式) = -6.

>498

>>121-122

>>497
左辺に 第二余弦定理　cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する.

　(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺),

ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S)　を使った。

>>487
中辺に 第二余弦定理　cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入して計算すると
　(中辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc),
ここで、
　√{( a-b+c)(a+b-c)} = √{a^2 -(b-c)^2} ≦ a,
　√{(-a+b+c)(a+b-c)} = √{b^2 -(c-a)^2} ≦ b,
　√{(-a+b+c)(a-b+c)} = √{c^2 -(a-b)^2} ≦ c,
辺々掛けて
　(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ≦ abc,

>>497
　ヘロンの公式も使った。
　s = (a+b+c)/2 とおくと、S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},

http://ja.wikipedia.org/wiki/ヘロンの公式
http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
遠山 啓, 数学セミナー, √{(三辺の和の半)×(同−第一辺)(同−第二辺)(同−第三辺)} (1977)
宮沢賢治, 和賀郡二子村・花巻農学校 齋藤貞一あて 封書 (1927)

∫[0→1]dx/(1+x^2*e^x)>1/(e-1)


x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3


△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)

>>521
>>ヘロンの公式
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない

For distinct real numbers $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ such that $a < b < c < d < e < f$ and $abcdef = - 6$, let
\[
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36)
\]

\[
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11)
\]
.

Prove the following inequality.
\[
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6.
\]

>>523
そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。

>>522

(上) コーシーの不等式より
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,

(中)
　f(x) = x･log(x) とおく。
　f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
　f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。

f’(x)≧0とする
∫[-1→1]{f(x)/√(1+x^2)}dx≧0

質問です
(0＜a＜b、X、Y、Zはいずれもa以上b以下であるー)「X+Y+Z=a+2b⇒XYZ≧ab＾2」を示せ

>>522 (下)

(Toth の証明)
　Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
　周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,

　一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
　n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。

文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162

http://www.thehcmr.org/issue2_1/problems.pdf

S08-4 が不等式の手強い問題。
既に応募締切は過ぎてるけど…。

というか寧ろ締切り過ぎてない問題は晒しちゃダメだろうｗ

>>522
(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
　(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
　(右辺) < 3/5.




>>528
　XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0,　　････ (1)
　Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0,　　････ (2)
　X+Y+Z -a -2b = 0,　 　　　　　　　　････ (3)
(1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より
　XYZ - ab^2 ≧ 0.
等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。

そう言えば上の数検の3段の問題は締め切りすぎてそろそろ回答できたやつもいるのかな。

今気付いたけどこのスレのURL0がいっぱい並んでて綺麗

>>528 2008 千葉大の問題でした。回答速報の答えはへたくそ。
実際、誘導つきなんですがねえ。

n個の正の実数x[1],x[2],,,,x[n]がx[1]+x[2]+･･･+x[n]=1を満たすとき
不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。

n> 2です

king ↔ うんち
(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²

荒らそうと必死ですね　わかります

>>535-537
(-1+�納j=1,n]x[j]x[j+1])^2　(x[n+1]=x[1])
=1-2�納j=1,n]x[j]x[j+1]+(�納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(�納j=1,n]x[j])^2-2�納j=1,n]x[j]x[j+1]+(�納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=�納j=1,n]x[j]^2+2�納1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(�納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞�納j=1,n]x[j]^2

↑なんか凄い見難いし、安価ミスってるし、�狽ﾌ記法もいい加減だけど、なんかこんな感じだと思う。

なんか²

Reply:>>538 お前は何をたくらんでいる。

>>540
＞　=(�納j=1,n]x[j])^2-2�納j=1,n]x[j]x[j+1]+(�納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞　=�納j=1,n]x[j]^2+2�納1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(�納j=1,n]x[j]x[j+1])^2

これはどういう変形？

>>544
(�納j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ

king ≤ うんこ

荒らそうと必死ですね　わかります

Reply:>>546 何をしている。

>>536
　x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
　Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
　s = 1,
　�納j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
　(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
　(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。

本質的に>>540=>>549

http://www.551horai.co.jp/

>>533
3段の方が4段より難しかったな。

〔問題620〕
全ての自然数nについて
　n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/620

(略証)
　左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。

　log(1!)=0　より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
　a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
　　= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
　　= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
　　< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
　　= log(n),
　b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
　　= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
　　= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
　　> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
　　= log(n),
よって成立。

不等式たん (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…

俺も>>410の証明知りたい
夏休みずっと考えたけどできんかった(´･ω･`)

>>555
みせてもらおうか！
その過程とやらを！

πを上から評価して e を下から評価するだけでしょ。
e の方はテーラー展開ですぐ出る。
π の方は単位円に外接する正 2^n 角形の面積を考えれば良い。

>>557
全然計算してないでしょ
それじゃあ、１日計算しても無理

>>557
なめんなよ！

>>415の小数第三位は 6 じゃ無くて 8 の間違いじゃない？
e^6 =403.42879 34927 35122 60838 71805.........
とかそんな感じになったんだけど。

〔問題096〕
連続函数f(x): R→R に対して、以下の2つの方程式(1)〜(4)を考える。
　f(x) = x　　… (1)
　f(f(x)) = x　　… (2)
　f(f(f(x))) = x　　… (3)
　f(f(f(f(x)))) = x　　… (4)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)〜(4)も実数解を持たないことを示せ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/096, 104, 118
京都大学入試作問者スレ�@

>>561 スレ違いっぽいが･････

(略証)
　f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
　g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
　g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)が実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴　g(x) は定符号。

題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
　x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
　x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …

>>557
評価がかなりｼﾋﾞｱなんで､手計算だとその方法では無理。

>>562
関数方程式ヲタもいるから、okokよん！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

e のほうはTaylor展開の収束がやたら速いから
十数桁ならすぐ計算できる。（解析概論に例題として載ってる）

だからこの問題は要するに
π を 誤差 0.00 001/400・5 = 1/200,000,000 ・100% 程度で
上から評価せよという問題とほぼ同義。11桁くらい正しく出ればうまくいく。

2^n 角形による近似は誤差が約 1/2 倍で小さくなっていくだけだから
1 桁進むのに 3.3 回くらい掛かる。 30 回程度は計算しないといけないので
一日じゃ無理そう。じゃあ不可能なのかというとそうでもなくて
1579年にVièteが外接正 393216 角形の周長から π ＜ 3.1415926537 を導出している。
1596-1610年にはLudolph van Ceulenが正 32212254720 ( = 60・2^29 ) 角形の周長から
32（35？） 桁まで正しく計算している。独逸では彼の業績を記念して円周率をLudolph数とも言う。
和算家の村松茂清が同じ方法で七桁正しく計算している。Archimedesから続く伝統的方法で
中国人は劉徽のalgorithmというらしい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui%27s_%CF%80_algorithm
# 建部賢弘は正1024角形を用いて42桁まで求めたとか書いてあるけど
# これは42桁まで正しかったんだろうか？だとするとかなり工夫を凝らした方法のはずだが。

で、もっと早く求めたいなら色んな方法があるが、
θ ＜ (2sin θ + tan θ)/3 を使うSnell（Ludolphの弟子）の方法（1621）ってのがあって、
Huygensはこれを改良して正六角形だけで π ＜ 3.1415926538 まで出している。
これ系を使うのが一番賢いかな。

arctan のTaylor 展開（Gregory-Leibnitz級数）を使う方法もあり
これはかなり色んな亜種があってMachin-like formulaと呼ばれている。
π/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239) が本家Machinだけど、これ以外にいろいろあって
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/7) とか π/4 = 5arctan(1/7) + arctan(3/79) はEulerによる。
Eulerは後者を使って一時間で20桁計算したらしい。ただしEulerは暗算の達人だったので
自分も出来るなどとはあまり思わないほうが良いかも。
ただarctanを使って上から評価はきちんと厳密にやると面倒。ほぼ等比級数のスピードで収束。

Ramanujanの9801公式とかChudnovsky兄弟の公式なんてのもあって
これはきちんと証明されたのはつい最近のこと。厳密な上からの評価には向かなさそう。
計算機で計算する場合は算術幾何平均を利用した
Gauss-Legendre algorithm(Brent-Salamin algorithm)
とかBorwein's algorithmとかいうのも使われる。

円周率の公式と計算法
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi04.pdf

イロモノとしてはBBP公式なんていう、16進数表記での n 桁目を
n-1 桁までを計算せず直接に計算できるような公式や、
Buffon's needleと言って針を等間隔の縞模様にたくさん
確率計算から近似的にπを求める、というのもある。
統計的に処理できれば、これでも科学的には実験で値を測定したことになる。
数学的には却下だが。

残りの参考サイト
円周率の公式集 暫定版
http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/
http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Pi_algorithms
http://en.wikipedia.org/wiki/Pi 記事内のリンクも参照。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2

全面的に数値計算するのは題意に反してるんだが。
と思ったが>>410には書いてないか。数検の方にはなるべく数値計算せずに、と書いてある

綺麗には出て来ないと思うけどなあ。
だから「なるべく」と数値計算が少ない解答を
高く評価するという表現に止めてあるわけで。

Snellの公式改良してsinやtanのTaylor展開使ったら
数値計算は少なくて済むと思う。

>>410は数値計算しないで示すことができるの？
もしできても普通思いつきもしないようなことするんだろうな(人´Ａ`;)

>>410 のもとの問題文は↓(>>430)

円周率をπ、自然対数の底をeとするとき
　　π^4+π^5≒e^6　　(400余りの数値で小数点以下4けたまで同じ)
で、しかも右辺が僅かに大きいことがコンピュータによる数値計算で知られています。
　数値計算をせずに
　　π^4+π^5＜e^6
であることを理論的に証明しなさい。

Reply:>>570 数値計算もまた誤差の評価で成り立っている。

>>570
論理的になら証明できるんだけど、残念！

>>570
いかにもエレ解な問題だな

これなんで自然に出て来なさそうかというと、
π^4+π^5≒e^6
ってのは偶然近いだけで、別に
深い数学的事実の表れとかじゃないからなんだよなあ、

>>534
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
最後の2つを参照、作成時刻にも注目

>373-374 , 394
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/121

f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
　(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）

・境界上の極大
　6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
　1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
　(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。

・ 内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
　I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
　∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0　から
　f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,　　f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴　(a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で 極大値 18 をとる。

なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
　(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)

しかし･････後味わるいな。

・境界上の極大
　6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},

後味の悪さってのは、やはり、中高生でも分かる解法じゃないからだろうな

ド田舎に住んでいるんだけど、近所の大学にAMMが置かれなくなってネタがたりねぇ…

>>　f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,
を解くところを補足しとく。
　f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
　f "(x) = 12/(1-x)^3 - 2/(x^3),
∴　{x - 1/[1+6^(1/3)]}*f "(x) ≧ 0,
∴　区間 (0,1/2] で、f '(x) が等しいxは高々2個しかない。
∴　極値では、a,b,c のうちの2つは一致する。
a=b, c=1-2a としてよい。このとき
　(左辺) = 2f(a) + f(1-2a)
　　= 2{6/(1-a) -1/a} + 6/(2a) - 1/(1-2a)
　　= (1+8a-21a^2)/{a(1-a)(1-2a)}
　　= 18 - (4a-1)(3a-1)^2 /{a(1-a)(1-2a)}
　　≦ 18,　　　　　(1/4 ≦ a ≦ 1/2).
等号成立は a=1/4 と 1/3 のみ。

なお、a=0.279000307274921･･･ には極小（鞍点、峠点）がある。

>>341
A.435. Prove
　(a+b+c)*(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)},
where 1≦a,b,c≦2.

(略解)　　　　　　　　　　　　　　　(>>394 を参照)
>>373-374 から,
　6/(b+c) - 1/a + 6/(c+a) - 1/b + 6/(a+b) - 1/c ≦ 18/(a+b+c),
両辺に a+b+c を掛けて,
　6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} - (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≦ 0,

>>341

B.4021
a_k = 1 + b_k,　b_k≧0 とおくと
　(左辺) = (b_1 +2)(b_2 +2)(b_3 +2)･････(b_n +2) ≧ (b のn〜2次の項) + 2^(n-1)･(b_1 + b_2 + ･････ + b_n) + 2^n
　　　≧ {2^(n-1)}{b_1 + b_2 + ･････ + b_n +2) = (右辺).

A.433　A.436　A.439　A.447 は解答付き。

>>373-374 を何とか高校ﾚﾍﾞﾙで解けないか頑張ってみて
次の問題に帰着され所までいって挫折した。
より遠ざかった感もあり．．．

t に関する実係数3次方程式 t^3 - (r-2)t^2 + qt - r＝0 が全て1以上の実数解を3個持てば､
r(r+1)≧6q が成り立つ。

4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0、r≧5、q≧2 r-7 ならば
r (r+1)≧6 q が成り立てば良いか．．．駄目だ．．．

× 4 r^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0
○ 4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3≦0

〆切過ぎたから今月の大数の宿題

a_1=2，a_(n+1)={1+(2+√3)a_n}/{(2+√3)-a_n}

a_n<5を示せ

>586
　a_(n+1) = (2-√3 + a_n)/{1 - (2-√3)a_n}
　　　= {tan(π/12) + a_n}/{1 - tan(π/12)a_n},
∴　a_n = tan(α + (n-1)π/12),
ここに α = arctan(a_1), a_n は周期12をもつ。
　a_(n+6) = -1/a_n.
∴　はじめの6項を求めれば分かる。

多投スマ祖。

q≦2 r - 3 を忘れてた。
4 q^2 + 32 r - 4 q r - 11 r^2 - q r^2 + 2 r^3 ≦ 0 を q について解いて、
r-q 平面でグラフ書いて領域で責めたら何とかなった。

>>583
　t - {(r-2)/3} = T,
とおいて 2次の項を消すと、
　t^3 - (r-2)t^2 + qt - r = T^3 + QT - R,
ここに、Q = q -3{(r-2)/3}^2, R = r - q{(r-2)/3} + 2{(r-2)/3}^3,

・3つの実根をもつから
　Q <0,　R^2 < 4(-Q/3)^3,

・解が t≧1 だから
　(t-1)^3 -(r-5)(t-1)^2 + (q-2r+7)(t-1) + (q-2r-3) =0,
の解がすべて t-1≧0.
根と係数の関係より
　r-5 ≧0,　q-2r+7 ≧0,　q-2r+3 ≦0,

>>341

A.436. Prove that |{n√2} - {n√3}| > 1/(7n^3),
　for every positive integer n.

(略証)
0 ≦ {x} <1 より |t| <1, また、k = [n√3] - [n√2] とおくと　　　(← ガウスの記号)
　t = {n√2} - {n√3}
　　= n√2 - [n√2] - n√3 + [n√3]
　　= k - (√3 -√2)n (k∈N)
　　= ((k^2 -5n^2) + (2√6)n^2) / (k + (√3 -√2)n)
　　= ((k^2 -5n^2)^2 -24n^4) / ((k - (√3 +√2)n)(k + (√3 -√2)n)(k + (√3 +√2)n))
　　= (k^4 - 10(kn)^2 + n^4) / ((t -2√2･n)(t +2(√3 -√2)n)(t +2√3･n)),
　分母は0でない整数。

・ n≧20 のとき
　|t -2√2･n| < 2√2･n + 1 ≦ (2√2 + 1/20)n,
　t +2(√3 -√2)n < 2(√3 -√2)n + 1 ≦ (2(√3 -√2) + 1/20)n,
　t +2√3･n < 2√3･n +1 ≦ (2√3 + 1/20)n,
　辺々掛けて
　|分母| < 6.9356560324845688673761191952915･･･ * n^3,
　より成立。

・n≦20 のとき、
　(左辺) ≧ (√3 -√2)/n^3 > 1/(√10･n^3) > 1/(7n^3).

>590
　分子は0でない整数。


>>565
Snellの方法の略証
相加･相乗平均より
　{ cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2 }/3 > 1,
これをxで積分する。 [0<x<θ]

>>341

B.4049. a,b,c are positive real numbers, such that ab+bc+ca=t. Prove that
　　　a/(a^2 -bc+3t) + b/(b^2 -ca+3t) + c/(c^2 -ab+3t) ≧ 1/(a+b+c),

(略証)
　a+b+c =s, abc =u とおく。
　(左辺) - (右辺) = 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}　　････(*)
　　= 2{u(s^4 -9t^2) + (s^3 -4st +9u)t^2} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
　　= 2{u(s^2 +3t)F_0 + t^2･F_1} / {(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s^2}
　　≧ 0,
ここで Schur の不等式　F_0 = s^2 -3t ≧0,　F_1 = s^3 -4st +9u ≧0 を使った。

(*) a^2 -bc =A, b^2 -ca =B, c^2 -ab =C とおくと
　S = A + B + C = s^2 -3t,
　T = AB + BC + CA = -t(s^2 -3t),
　U = ABC = us^3 - t^3,
　(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t)
　　= (aBC + AbC + ABc +9st^2)) / (U +3tT +9t^2･S +27t^3)
　　= 2{us^3 + (s^2 -4t)t^2}/{(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3)s}.

次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
30分以内に確実にやって下さいと要請されたらどうするかっていうこと。

[問題]
abc=2なる正の実数a,b,cの組に対して、次の式の最小値を求めよ
1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1))

>>593
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？
> 次の問題を現実的な方法でやってくれませんか？

新手の釣り師か？

計算機で解けば？

釣りじゃないですよ。
この問題の出典は数学検定1級の2次という変なところなのですが、
試験時間が短めで、時間制限を気にしないといけないのです。
もちろん値だけではだめで、論証しないといけません。
なので、『現実的な方法』という言葉を使いました。
そこで皆様の知恵をかりたいのですが、どうでしょうか。

それのどこが不等式？

>597さん
a=b=c=2^(1/3)で最小を取ることが予想できるので、
abc=2なる任意に正の実数a,b,cに対して、
次の不等式を示すことになるので、
そういう意味で不等式の問題とみなせると思いました。

1/(a(b+1))＋1/(b(c+1))＋1/(c(a+1)) ≧ 3/(2^(1/3)*(1+2^(1/3)))

>>596
お前な、順序が間違ってるだろ！
まず、>>596を書いてから、>>593で質問だろ！
情報を小出しにするなとママに教わらなかったのか？

Σ［k＝1→n］（1／k）＞5
となる最小の整数nを求めよ

a，b，cが相異なる正の数で√a＋√b＋√c＝1を満たすとき
｛ab／（b−a）｝log（b／a）＋｛bc／（c− b）｝log（c／b）＋｛ca／（a−c）｝log（a／c）≦1／3
を示せ

Σ［k＝1→n］（1／k）= log(n)＋γ＋O(1/n) に注意すると、
だいたいn=[e^(5-γ)]＝83 とわかる。
答えはn=83

Σ［k＝1→n］（1／k）＞4
となる最小の整数nを求めよ

これだと高校生でも何とかできるか

それの改良問題。
[Σ［k＝1→n]（1／k)] = [e^(5-γ)]
を満たさない正整数nは無限に存在するか。
ただし、γはオイラー定数とし、
[x]はxの整数部分を表すとする。

これだと愚直に計算機使うだけじゃ無理。

>603
問題ミス。
Σ［k＝1→n］（1／k）＞m を満たす最小の整数nが、
n = [e^(m-γ)] とならない正整数mは無限に存在するか。

>>600
S_82 = 5 -　 971061970808803141778039548955447 / D_5,
S_83 = 5 + 16703434187251287967291034353582814 / (D_5 * 83),
D_5 = 2^6 * 3^4 * 5^2 * 7^2 *11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79,

>>602
S_30 = 4 - 11675421053 / D_4,
S_31 = 4 + 1967151510157 / (D_4 * 31),
D_4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 *7*11*13*17*19*23*29,


S_11 = 3 - 2221 / D_3,
S_12 = 3 + 89 / D_3,
D_3 = 2^3 * 3^2 * 5*7*11,

S_3 = 2 - 1/D_2,
S_4 = 2 + 1/(D_2*2),
D_2 = 2 * 3,

>>592 の訂正, ｽﾏｿ.

　(左辺) = a/(A+3t) + b/(B+3t) + c/(C+3t) = (3us + 8t^2)s/(6s^2･t^2 + 8t^3 + us^3).

>>600

↓の補題に x=√(a/b), √(b/c), √(c/a) を代入してたす。
　　(左辺) < √(ab) + √(bc) + √(ca) < (1/3)(√a + √b + √c)^2,

〔補題〕
x>0, x≠1 のとき
　{x/(x^2 -1)}log(x^2) < 1,
(略証)
　f(x) = x -(1/x) -2log(x),
とおくと、f(1) =0,
平均値の定理より
　{f(x)-f(1)}/(x-1) = f '(ξ) = (1 - 1/ξ)^2 >0,　　　(ξは1とxの中間にある)
これに x/(x+1) を掛ける。

ハｧハｧ

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

正の実数x,y,zに対して次を示せ。
(xy)^3/(x^3+1)＋(yz)^3/(y^3+1)＋(zx)^3/(z^3+1) ≧ 6/{xyz(1＋xyz)}
できる神いる？

>>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？

>>593>>598の変形し損ね？

>>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b　+ √c　= 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦　1/3
を示せ。　　　　　　　　　　　　　（２００７　阪大）

>>612
誘導なしだったら、いい感じだね

test

lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1

TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)�@と仮定しても一般性を失わない。

a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^k*ak
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k-1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k+1)
≧a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,,+a(k-1)^k*a(k+1)+ak^k*a(k+1)+a(k+1)^(k-1)*ak*a(k-1)
(ここまでの不等号は全てlemma3と�@による)
,,,,
≧(a1^k+a2^k+,,,+ak^k)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(,,,及び最後の不等号もlemmma3と�@による。
ai^k*ai+a(k+1)^i*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)≧ai^k*a(k+1)+a(k+1)^(i-1)*ai*a(i+1)*,,,*ak*a(k+1)
がやはりlemmma3と�@によって成立するので、この事が言える)

≧k*(a1*a2*,,,*ak)*a(k+1)+a1*a2*,,,*ak*a(k+1)
(この不等号は帰納法の仮定による）

=(k+1)*a1*a2*,,,*ak*a(k+1)

よってTH2が成立。

TH1.TH2において、Ak=ak^nと置いていけば、明らかな相加相乗平均の不等式が現れる。

という事が今年の夏、8/18だか8/19に日本の高校の教師が示された。

>>615
>>437

日本の高校の教師によって示された。

俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。

次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」

シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。

「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」

>>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？

最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)

>>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。

アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明

のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん

>>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。

x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ

ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？

>>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。

a^2-4b≦0

すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。

基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ ←>>625

>>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。

このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）

--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
このとき，
A_1≧A_2≧……≧A_n
が成り立つことを示せ。（出典：マクローリンの不等式）

>>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
　要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。

「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)�@と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an�@と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。

反応がないのは>>437で既出だからだよ>>615くん
どこの山から出てきたんだ？

単発スレ立てる厨房よりはマシじゃね？

>>630-631
少し黙ってろ！

a，b，cは自然数で
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)＜1
を満たすとき
（1/a)＋（2/b)＋（3/c)の最大値を求めよ

f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx−a cosx｜dx
の最小値を求めよ

x≧0において
f’（x）＞0，∫［0→x］ f（t）dt≧x
ならば，x＞0においてf（x）＞1を示せ

>>633

f（a）＝∫［0→π/4］ ｜sinx−a cosx｜dx
の最小値を求めよ

不等式では、ない。これ去年、代ゼミに通ってた友人が持ってきたテキストにあったな。

>>634
それは東工大の過去問だな。sinx=t と置換すれば ∫|f(t)-a|dt の形になるので，はみ出し削り論法で終わり。

>>633 (上)
　1-(1/1332),
(a,b,c) = (37,9,4) のとき.

>>633 (中)
　f(a)　=　1 - (1+a)/√2,　　　　　　　(a≦0)
　　　　= -1 - (1+a)/√2 +2√(1+a^2),　(0≦a≦1)
　　　　= -1 + (1+a)/√2,　　　　　　　(a≧1)

>>636
それf(a)求めただけやん(笑)

>>637
具体的に書けるから自明すぎてつまらないと言うメッセージなのかもしれない

>>638
おまいはテレパスか！

>>636
上教えてちょ

>>637
　f '(a) = 0 から a = 1/√7, 最小値は
　f(a) = -1 + (√7 -1)/√2 = 0.16372191220042316839103000405343･･･

>>633 (下)

部分積分を使うらしい･･･
　∫[0→x] f(t)dt = [ t･f(t) ](t=0→x) - ∫[0→x] t･f'(t)dt < [ t･f(t) ](t=0→x) = x･f(x).

その部分積分は名古屋大かどっかの問題にあったな
解いたことがある。もう忘れてたけど。

≧≦

>>642
g'(x)≧0 かつ ∫[0→x] g(x)≧0 と同値だから lim[x→0] g(x)≧0 が自然に言えて解決．

1/37+2/9+3/4=1331/1332.
1/31+2/3+3/10=929/930.
1/5+2/41+3/4=819/820.
1/38+2/9+3/4=683/684.
1/15+2/11+3/4=659/660.

不等式のノート作ってる方とかいます？

>>647
名前を書かれると無性に不等式を証明したくなるとか？

>>647
てふでまとめていますが何か？

>>649
もううｐせざるを得ないだろう

B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！

【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より

64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
　C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) 〜 (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),

(略証)
スターリングの不等式
　(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
　log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
　(2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) -1/(2880m^3) < log(C[2m,m]) < (2log(2))m -(1/2)log(mπ) -1/(8m) +1/(180m^3),

65 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:24:33
大学への数学１月号の宿題を解いたつわものはいる？
　lim[n→∞) {(1/2^(2n -1/2))*C[4n,2n]/C[2n,n]}^(2n)

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1200494361/113
さくらスレ２３５

66 名前：スターリング[sage] 投稿日：2008/01/20(日) 20:34:06
>65

log(n!) = (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) -1/(360n^3) +O(1/n^5),

log(C[2n,n]) = log((2n)!) - 2*log(n!)
　= 2log(2)*n -(1/2)log(nπ) -1/(8n) +1/(192n^3) +O(1/n^5),

log(与式) = -(2n -1/2)log(2) +log(C[4n,2n]) -log(C[2n,n])
　= {1/(16n) -O(1/n^3)}*(2n)
　= (1/8) - O(1/n^2) → 1/8,　　(n→∞)

〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
　|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.

(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。

　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/202

任意の正の整数mに対して不等式
　|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
　
(略証)
　(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}

なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ

>>653-654
ワイルの一様分布定理から、

〔補題〕 a/π≠整数 ならば、
　(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π.　　(m→∞)

訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数 ならば、

f(x)=x^2-2mx+m+6　とする。

(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
　　定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。

(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
　　定数mの値の範囲は-6<m<3である。

これを証明してください。

>>658
お前は勉強をやめた方がいい。

>>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1227275638/700

1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ

うるさい。

　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　　　>>662
　　　ﾋ‐=r=;'　　　 　∬　　　口を慎みたまえ！
　　　'ヽニ/　 っ━~~　　　 君は不等式王の前にいるのだぞ！
　＿と~,,　 ~,,,ﾉ_　　∀　　　
　　　　ﾐ,,,,/~).　│ ┷┳━　
　￣￣￣.じ'Ｊ￣￣|　┃
　￣￣￣￣￣￣￣　┻

nCrｵﾀ向け
�納k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？

>>661

[751] 微分法を使う。
　g(t) = log(sin(e^t))　とおくと
　g '(t) = (e^t)/tan(e^t) 　は単調減少(*)　
　g "(t) = −(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
　log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}

(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
　　より、x/tan(x) は単調減少。

[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1−(x/nπ)^2},
　{1−(x/nπ)^2}{1−1/(nπx)^2} = {1−1/(nπ)^2}^2 −(1/nπ)^2 (x−1/x)^2 ≦ {1−1/(nπ)^2}^2,
　等号成立は x=1 のとき,
∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2.

>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。

>>665 訂正

　f(x) = log(sin(x)) なので、
　log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},

みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？

>>668
おまえには教えてやらねーよ！

不等式を制する者は解析を制する。

△ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ

　 3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2


　　　∧_∧　
　　_ ( ﾟ∀ﾟ)　　　　　　　　　　　　たぶん、出したことないと思う…
　|≡(つc□≡|
　`Ｔ￣∪∪￣Ｔ
ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ

>>664
　(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,

　(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
　　　　　　　　　　　　= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],

　(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].


>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0,　c+a-b = b' >0,　a+b-c = c' >0,
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
　a = (b'+c')/2,　b = (c'+a')/2,　c = (a'+b')/2,
を代入すれば、
　(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0,
いつものように　s = a'+b'+c' = a+b+c,　t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。
等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。

ハｧハｧ

>>671

移項したらSchur不等式････
　(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････

さすが。

問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ

毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。

1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))

たのもー(　^ิิ,_ゝ^ิ)

homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？

1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから

別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。

それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。

>>677 , 679
　>>341 の [A.435] でつね。

>>394 いわく、
　とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。

>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････

もっとすきっとした解法はないもんかねぇ

>>576 を高校ﾚﾍﾞﾙで解いたのが
>>583-585>>588-589

>>588
　r-q 平面のグラフが見たい････

>>679
>>680
誤解してた、すまない。

1)a,b,cが正の実数のとき
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)≧9/(a+b+c+3)
を示せ

2)a,b,cが相異なる実数のとき
{(4a-3b)/(a-b)}^2+{(4b-3c)/(b-c)}^2+{(4c-3a)/(c-a)}^2≧25
を示せ

3)a,b,cが正の実数のとき
{(b+c-a)^2}/{(b+c)^2+a^2}+{(c+a-b)^2}/{(c+a)^2+b^2}+{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}≧3/5
を示せ(日本数学五輪1997)

つhttp://www.math.ust.hk/excalibur/v13_n3.pdf

>>686
(2)(3)は、ともに凸不等式に帰着できた
(1)に苦戦中

>>686
(3)は公式解答は汚い解法だったんだがエレガントに解けるのかな
俺はｼｭﾜたんで失敗した

>>686
(3)
Σはcycとして
a+b+c=1とおくと

与式
⇔Σ[(1-2a)^2/{(1-a)^2+a^2}]≧3/5
⇔Σ[1/(2a^2-2a+1)-9/5]≦0
⇔Σ[25/(2a^2-2a+1)-45-18(3a-1)]≦0 (∵Σ(3a-1)=3(a+b+c)-3=0)
⇔-Σ[(3a-1)^2*(6a+1)/{a^2+(1-a)^2}]≦0

a,b,c> 0よりこれは正しい。

実数上の任意の確率変数 X と、0以上の実数値が値域の関数f,gに関して
E[ f(X)g(X) ] ≦ E[ f(X) ] E[ g(X) ] が成り立つための関数f,gの条件として
∀x,y f(x)≦f(y) → g(x)≧g(y) が十分条件であると予想しているのですが
証明の仕方がわかりません。お願いします。

>>691
解答PDFを作ってみた。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/48ec20d82641686f.pdf

まさかのpdf、ありがとうございます。
自分の頭で理解できるか不安ですが
じっくり読まさせていただきます。

定理1のX(Y-E[Y])]≧X(x0)(Y-E[Y]) による
E[X(Y-E[Y])]≧E[X(x0)(Y-E[Y])]=0がコツですね。
どうもありがとうございました。

数蝉２月号は「不等式の世界」
http://www.nippyo.co.jp/magazine/maga_susemi.html

不等式ヲタとしては、買わねばなるまいな…
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

>>695
このスレの住民が満足できる内容ならいいね。
参考文献に付け加えられるくらいの内容を気盆濡！

>>588

Q,R を >>589 のようにおくと

(判別式) = 27R^2 - 4(-Q)^3
　= (q-1+2r){4q^2 +(32-4q)r -(11+q)r^2 +2r^3}　　　>>585
　= (q-1+2r){[2q - r(r+4)/4]^2 - (1/16)r(r-8)^3},
∴ r<8 には求める領域はない。

　rを固定したときの q の下限および上限は
　q_min = [r(r+4) - (√r)(r-8)^1.5]/8,
　q_max = min{[r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8, 2r-3}
　　　　= [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8　　　　　(8≦r≦9)
　　　　= 2r-3　　　　(r≧9)
　rが大きいほど細く鋭くなる。　　　　（素手で触るな）

　r>9 のとき q < 2r-3 = (1/6)r(r+1) -(1/6)(r-2)(r-9) < (1/6)r(r+1)
　8<r<9 についても同様。

>>588, 684, 697
　8<r<9 のときは、
　r-8 < r/9,
　q < [r(r+4) + (√r)(r-8)^1.5]/8 < [r(r+4) + (1/3)r(r-8)]/8 = (1/6)r(r+1),

-------------------------------------

　(2r-3) - q_min = 8(r-9)/{r^2 -12r +24 +(√r)(r-8)^1.5} → 0　(r→∞)

>>677
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) - 9 = Σ(a-b)^2/ab
6(Σa/(b+c)) - 9 = 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
より
Σ(a-b)^2/ab ≧ 3Σ(a-b)^2/((a+c)(b+c))
(a, b, c∈[1, 2])
を証明すればよい.
ここで,
S[a] = 1/bc - 3/((a+b)(a+c))
S[b] = 1/ca - 3/((b+c)(b+a))
S[c] = 1/ab - 3/((c+a)(c+b))
とおく.
また, a≧b≧c とおいても一般性を失わない。
S[a] = (a^2 + ab + ac - 2bc)/(bc(a+b)(a+c)) ≧ 0
(∵ ab≧bc, ac≧bc)
S[b] = (ab + b^2 + bc - 2ac)/(ca(b+c)(b+a)) ≧ 0
(∵ ab≧ac; a≦2, y, z≧1 より b+c≧a; よって b(b+c)≧ac)
ここで, S[b]+S[a]≧0 は明らかなので, S[b]+S[c]≧0 を証明する.
S[b]+S[c]
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b^3+c^3))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (bc(b+c)^2 + a^2(b^2-4bc+c^2) + a(b+c)(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ (a^2(bc) + a^2(b^2-4bc+c^2) + a^2(b^2-bc+c^2))/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
= (2a^2 (b-c)^2)/(abc(a+b)(b+c)(c+a))
≧ 0
よって SOS より ΣS[a](b-c)^2 ≧ 0.
等号成立は a=b=c or b=c=1, a=2 (cyc).

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

ネ申

自演乙

このスレで自演とか言ってるやつは新参者
自演は初代スレから恒例だ！
もうね アホガド バナナかと… ( ﾟ∀ﾟ)

飯島愛死亡だとよ

>>704
死因は何？

1:春デブリφ ★[sage]
2008/12/24(水) 16:29:31 ID:???0
　元タレント・飯島愛さんが都内のマンションで死亡。

■ソース(日テレニュース24）
http://www.news24.jp/125696.html
※有志によるキャプチャ画像
http://tvde.web.infoseek.co.jp/cgi-bin/jlab-dat/s/347618.jpg
■前スレ(1の立った日時　12/24(水) 16:14:24）
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230102864/

【訃報】飯島愛さん、東京都内のマンションで死亡★２
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1230103771/

　　 ／　 ≧ ＼
　／　　 _ノ　　＼
　|　　　（ ●）（●） 　＜おっと、スレ違いな発言はそこまでだ！
.　|　　　　 （__人__）＿＿＿_
　 |　　　　　｀ ⌒／ ─'　'ー＼
.　 |　　 　 　　／（ ○） 　（○）＼
.　 ヽ　　 　 ／　　⌒（n_人__）⌒ ＼
　　 ヽ　　　|、　　　　（　　ヨ　　　　|
　　　/　　 　`ー─−　　厂　　　／
　　　|　　 ､ ＿ 　　__,,／　　　　 ＼

x,y,n∈N,(1/x)+(1/y)<1/n

max{(1/x)+(1/y)}=(n^2+2n+2)/{(n+1)(n^2+n+1)}

>>708
なん…だと！

>>708
どうやったんだよ

>>678,685
誤解してた、すまない。
三角不等式で十分だった。


>>699 の証明によれば････
bはaとcの間にあるとしても、一般性を失なわない。
　c-a = (c-b) + (b-a) より
(左辺) - (右辺) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2
　　　　　　　　= (S[a]+S[b])(b-c)^2 + 2S[b](c-b)(b-a) + (S[b]+S[c])(a-b)^2,
また　(c-b)(b-a)≧0,
したがって、S[a]+S[b] ≧0, S[b] ≧0, S[b]+S[c] ≧0 を示せばよい。
　S[a] + S[b] = {2(c^2)(a-b)^2 + (a+b-c)[(b+c)a^2 + (c+a)b^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
　S[b] = {b(a+b+c) -2ac} / {ca(a+b)(b+c)}
　　= {2b^2 -Mm + (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)}　　(← {M,m}={a,c}, m≦b≦M とした.)
　　= {b(b+m-M) + (b-m)(b+M)^+ (c-b)(b-a)} / {ca(a+b)(b+c)},
　S[b] + S[c] = {2(a^2)(b-c)^2 + (b+c-a)[(c+a)b^2 + (a+b)c^2]} / {abc(a+b)(b+c)(c+a)},
これらが負にならないためには、a+b-c≧0, b+c-a≧0 （三角不等式）があれば十分。

[A.435] の拡張　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>341
a,b,c が三角形の３辺をなすとき、　
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 9,
　等号成立は (a,b,c) = (k,k,k), (2k,k,k), (k,2k,k), (k,k,2k) のとき。

そこで >>672 に習って
　b+c-a = a',　c+a-b = b',　a+b-c = c', a+b+c = a'+b'+c' = s,
とおく。上式に
　a = (b'+c')/2 = (s-a')/2,
　b = (c'+a')/2 = (s-b')/2,
　c = (a'+b')/2 = (s-c')/2,
を代入すると･･･

[A.435'] (正準形)
a',b',c' ≧0 のとき
　6 + 2{a'/(b'+c') + b'/(c'+a') + c'/(a'+b')} ≧ 6{(s-a')/(s+a') + (s-b')/(s+b') + (s-c')/(s+c')} ≧ 9.
　ここに s = a'+b'+c'.
　等号成立は (a',b',c') = (k,k,k), (0,2k,2k), (2k,0,2k), (2k,2k,0) のとき。

【系】
a,b,c ≧0 のとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/677

訂正、すまそ。

【系】
a,b,c が三角形の3辺をなすとき
　(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 6{a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ 18{(s-a)/(s+a) + (s-b)/(s+b) + (s-c)/(s+c) -1} ≧ 9.

>>712
　Sh_3(x,y,z) = x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) - 3/2,
とおく。

[A.435']
a',b',c' ≧ 0 のとき
　Sh_3(a',b',c')／Sh_3(b'+c', c'+a', a'+b') ≧ 3,

数セミ2月号出たね

>>715
うちの田舎は入荷数が少ないので予約注文したんだけど、
まだ連絡が来ないぜ… ('A`)

>>598 (593,596)

〔問題〕
abc = d^3,　√3 -1 ≦ d ≦ (1+√3)/2 なる正の実数の組(a,b,c)に対して、次を示せ。
　1/{a(b+1)} + 1/{b(c+1)} + 1/{c(a+1)} ≧ 3/{d(d+1)},

(略証)
　abc = … と来たら a=d･z/y, b=d･x/z, c=d･y/x とおく。（これ定石）
ただし x,y,z >0

　(左辺) - (右辺) = (1/d){y/(dx+z) + z/(dy+x) + x/(dz+y) - 3/(d+1)}
　　= {d(d+1)･S -(3d^2 -d-1)･T1 -d(-d^2 -d+3)･T2 -(d+1)(d-1)^2･(3xyz)} / {d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y)},
ここに、S = x^3 + y^3 + z^3,　T1 = yz^2 + zx^2 + xy^2,　T2 = zy^2 + xz^2 + yx^2 とおいた。

・√3 -1 ≦ d < 1.30 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {d(d^2 +2d-2)(S-T1) + d(-d^2 -d+3)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T1-3xyz)} ≧ 0,

・0.77 < d ≦ (1+√3)/2 のとき
　{(左辺)-(右辺)}d(d+1)(dx+z)(dy+x)(dz+y) = {(3d^2 -d-1)(S-T1) + (-2d^2 +2d+1)(S-T2) + (d+1)(d-1)^2･(T2-3xyz)} ≧ 0,

>>598

〔補題〕↑ のようにおくとき
　S ≧ T1 ≧ 3xyz,　S ≧ T2 ≧ 3xyz,

(左側)　チェビシェフ不等式から、あるいは
　(y^3 + 2z^3)/3 - yz^2 = (1/3)(y+2z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T1 ≧ 0,
　(2y^3 + z^3)/3 - zy^2 = (1/3)(2y+z)(y-z)^2 ≧ 0,　　(相加・相乗平均)
これを循環的にたすと S - T2 ≧ 0,

(右側)も　相加・相乗平均。

>>2に追加

数学セミナー vol.48 no.2_569，日本評論社，2009年2月号

http://web.mit.edu/~tmildorf/www/Inequalities.pdf

>>720 　　　　ﾊｧﾊｧ　　　∩　　　　　　　　　　　不等式と聞ゐちゃぁ
　　　　　　　　　　　　　　 ( ⌒)＿　　 ∩_ _　　　　　黙っちゃゐられねゑ…
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿　 ／/,. ノ≧　＼ .i　.,,E）__　　　
　　　　　／ nCr　 ＼| /　/＼ .／　|/　/ cos ＼　ﾊｧﾊｧ　　　　／/
　　_n 　.|::::＼ .／　　|/　/(●　(● |　ノ＼ .／　|　　　　　 　／　/＿＿＿
　（　l　　|::●)　●)　.|　/:::... .ワ ....ノ／(●　(● |　　　　 　./ 　／ 　 Σ　＼
　 ＼ ＼ヽ:::::.∀ 　 .ノ　　　　　　／ヽ:::::... .▽....ノ　　n　　 / ∩.|:::: ＼ .／ 　|
　　　ヽ__￣　　　ノ ヽ　　　　　 |　￣　　 　 ＼　 　 （ E） /　.| | |　(●　(●）|＿
　　　　　/ 　 　/　 　 ＼　　　　ヽ ﾌ　　　 / ヽ ヽ_／／./／ | | ヽ:::::. へ　 ノ／

非等式と不等式の違いはなんですか。

a,b,c＞0, a+b+c=1 のとき
(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)≧(41/5)(a/b+b/c+c/a-3)+1000/27

他スレで見かけたお。

次の等式を証明せよ。
nHr=Σ[m=1,n]{Σ[l=1,m]…(Σ[j=1,k]j) }
※右辺のΣの数はr-1個

↓例
8H3=Σ[m=1,8](Σ[l=1,m]l)
5H4=Σ[m=1,5]{Σ[l=1,m](Σ[k=1,l]k)}

面白い問題おしえて〜な 十五問目
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/99

このスレを見てる人は、もれなくそっちも見てると思

>>725
分かってないな〜チミ
そんなこと百も承知の助さ〜
ここに保存しておけば、後で探すときにどのスレだったか困らないだろ〜う

次の不等式は一見シンプルにみえますが、
左辺は対称式でないせいか、(私には)証明がうまくいかないです。

任意の非負実数a,b,cに対して、次が成立する。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3

もしよろしければ、どなたかご教授おねがい致します。

s、t、uでズコバコするといいよ

>>727
相加相乗から
(a+a+b)/3 ≧ (a*a*b)^(1/3)
2a+b ≧ 3(a^2b)^(1/3)
以下略

問題見まちがった

>>727 力づくで解いた

a+b+c=0 のとき題意は明らかなので a+b+c ＞ 0 としてよい
左辺-右辺 は同次式なので a+b+c=3 とする
a-1, b-1, c-1 のうち符号が同じ(または片方が 0)のものを
a-1, b-1 としても一般性を失わない
つまり (a-1)(b-1)≧0 とする

a = 1+x, b = 1+y, c = 1-x-y とする
a,b,c≧0 より、 x,y≧-1, x+y≦1　…(1)
(a-1)(b-1)≧0 より、 xy≧0　…(2)
(1)(2) より、 -1≦x,y≦ 1　…(3)

s = x-y, u = x^2+xy+y^2 として
((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
= 9(3-u){3u(3-u) - 2s(3u-s^2)} + s^2(3u-s^2)^2
(3) より 3-u≧0 なので { } の中が非負になることを言えばよい
3u-s^2 = 2x^2+5xy+2y^2 は (2) より非負
s＜0 のとき { } の中は明らかに非負なので、以降
s ≧ 0　…(4)
とする。また (2)(3) より s ≦ 1 …(5)

t = xy として
{ } の中 = -27t^2 + 9t(3-2s-2s^2) + s^2(9-4s-3s^2)　…(6)
(6) で s を一定と見て t を動かす。t の動く範囲は (2)(3)(4) より
0 ≦ t ≦ 1-s
t^2 の係数が負なので、端点の t = 0, 1-s について (6) が
非負になることを確認すればよい
t = 0 のとき (6) が正なのは (4)(5) より明らか
t = 1-s のとき
(6) = 9(1-s)^2 + s^2(5-3s)
これが正なのは (5) より明らか■

いろいろ間違ってた
× ((a+2b)(b+2c)(c+3a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3
○ ((a+2b)(b+2c)(c+2a))^2 - 27(ab+bc+ca)^3

あと、下から1行目と4行目の「正」は「非負」に直しといて

因みに、等号成立の必要条件は
a=b=c ∨ 3-u=0 ∨ s=t=0
なのは議論をたどれば分かる
結局、等号成立条件は
a=b=c か a,b,c のうちふたつ以上が 0 であること

V

>>727
x=a+2b, y=b+2c, z=c+2a とおくと、
右辺 = [ (-2/9)(x+y+z)^2 + xy+yz+zx ]^3.

X=[(x^2)/(yz)]^(1/3), Y=[(y^2)/(zx)]^(1/3), Z=[(z^2)/(xy)]^(1/3)
とし、X, Y, Z に関する相加相乗調和平均をそれぞれ A, G(=1), H とすると、
右辺/左辺 = (-2A^2 + 3/H)^3.

とはしてみたものの、もうだめかもわからんね

5行で証明できたのかと思って一瞬驚愕した

>>734-735
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u=abc とおくと　　　　　>>728
　(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ��,
だから↓を示せればいいのだが。。。

〔補題〕
a,b,c≧0 のとき |�處 ≦ (3t/2s)(s^2 -3t),
ここに、�� = (a-b)(b-c)(c-a).

107 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/11(水) 21:17:45
自然数nについての不等式
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
を証明せよ。
ただしeはネイピアの数

108 名前：１３２人目の素数さん[sage ] 投稿日：2009/02/11(水) 23:35:25
>>107
n=1 のときは 等号成立。
n>1 のときは log(1+x) < x を使う。
　k･log(k) - (k-1)log(k-1) -1 = k･log(k) - (k-1){log(k) - log(k/(k-1))} -1
　= log(k) + (k-1)log(1 + 1/(k-1)) -1 < log(k) +1 -1 = log(k),
　(k+1)log(k) - k･log(k-1) -1 = (k+1)log(k) - k{log(k) + log((k-1)/k)} -1
　= log(k) - k･log(1 - 1/k) -1 > log(k) +1 -1 = log(k),
k=2,3,･･･,n について たす。
　n･log(n) - (n-1) < log(n!) < (n+1)log(n) - (n-1),

>>737
〔補題〕 a,b,c≧0 のとき |�處 ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),

(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、　|�處 = xy(x+y),　s = 3m+2x+y,　t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y),　s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴　t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|�處 = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。

>>727
　(左辺) - (右辺) = (3st+��)^2 - 27t^3 = 9(t^2)(s^2 -3t) +6st�� + �竸2
　≧ (9-4√3)(t^2)(s^2 -3t) ≧ 0,

〔問題〕
n は自然数, N = 3n(2n^2 +1) のとき
　{N + (n^2)/N}^2 < (2n＾2 +1)(3n^2 +1)(6n^2 +1) < {N + 1/(6n)}^2,

(略証)
・左側
　(左辺) = N^2 + 2n^2 + {(n^2)/N}^2 < N^2 +2n^2 +1 = N{N + 1/(3n)} = (中辺),
・右側
　(中辺) = N{N +1/(3n)} < ｛N +1/(6n)}^2,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/555
京大入試作問者スレ�@

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

不等式に興味が出たんだけど
とりあえずモノグラフ注文してみたよ
まとめwikiの「よく使う不等式」すらわかんないレベルだけどねorz
群とかわかんないし・・・

>>742
分からないことを自分で調べていけば一生楽しめるぜ

前スレ49が気になったので注文した…
楽しみだぜ！

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

ミラーみれなくね？