★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問

a,b,cは0≦a≦b≦c＜1をみたす実数とする．また，S,A,B,Cを以下のように定める．
　S=3(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca)
　A=(3+a^2)a/(1+3a^2)
　B=(3+b^2)b/(1+3b^2)
　C=(3+c^2)c/(1+3c^2)
このとき，
　A+B+C≦S＜1
が成り立つことを示せ．