★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
>>79
元々 a[n] = (1 + 1/n)^n が増加数列であることを
できるだけ計算しないで証明する方法を考えていた。
（相加相乗平均の不等式 (na+1)/(n+1) > a^{n/(n+1)}, a = 1 + 1/n は飛び道具的であまり好きじゃない）
x^(n+1) - (n+1) x y^n + n y^(n+1) = (x-y)^2 * Σ[k = 1 to n-1] {(k+1) x^(n-k-1) y^k}
という恒等式が x = 1 + 1/(n+1), y = 1 + 1/n を代入してほしそうにしてたからそうしてみた。
期待通り 左辺 = a[n+1] - a[n], 右辺 > 0 となり
a[n] が増加数列であることをほとんど計算しないで証明できた。
ちなみにこの天下り的恒等式は 1 + 2 a + 3 a^2 + … + n a^(n-1) を求めるという
よくある数列の問題から持ってきたもの。
で、せっかくだから少し評価してみようとΣの中身をいじくった。
x = 1 + 1/n に y = 1 + 1/(n+1) で置き換えて評価したのが>>69。
相加相乗平均の不等式で評価して、計算が単純になるように x = 1, y = n を代入したのが>>78。
元々 a[n] = (1 + 1/n)^n が増加数列であることを
できるだけ計算しないで証明する方法を考えていた。
（相加相乗平均の不等式 (na+1)/(n+1) > a^{n/(n+1)}, a = 1 + 1/n は飛び道具的であまり好きじゃない）
x^(n+1) - (n+1) x y^n + n y^(n+1) = (x-y)^2 * Σ[k = 1 to n-1] {(k+1) x^(n-k-1) y^k}
という恒等式が x = 1 + 1/(n+1), y = 1 + 1/n を代入してほしそうにしてたからそうしてみた。
期待通り 左辺 = a[n+1] - a[n], 右辺 > 0 となり
a[n] が増加数列であることをほとんど計算しないで証明できた。
ちなみにこの天下り的恒等式は 1 + 2 a + 3 a^2 + … + n a^(n-1) を求めるという
よくある数列の問題から持ってきたもの。
で、せっかくだから少し評価してみようとΣの中身をいじくった。
x = 1 + 1/n に y = 1 + 1/(n+1) で置き換えて評価したのが>>69。
相加相乗平均の不等式で評価して、計算が単純になるように x = 1, y = n を代入したのが>>78。
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