★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問

【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をrとする．
このとき，不等式
　　(a + b + c)/r ≧6√3
が成り立つことを示せ．

>>634
3辺a, b, cから円の中心へ向けて垂線を引いて出来る角を
それぞれα,β,γとする。円の半径rを1すると、

　a + b + c = 2(tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2))
　α + β + γ = 2π

AとBが(0, π)の範囲にあるとき、
n tan θ ≦ tan nθであることより、
α = β = γ、すなわち正三角形のとき、
a + b + c は最小となり等式が成り立つ。

自信はありません…

訂正

>>634
3辺a, b, cから円の中心へ向けて垂線を引いて出来る角を
それぞれα,β,γとする。円の半径rを1すると、

　a + b + c = 2(tan(α/2) + tan(β/2) + tan(γ/2))
　α + β + γ = 2π

θが(0, π)の範囲にあるとき、
n tan θ ≦ tan nθであることより、
α = β = γ、すなわち正三角形のとき、
a + b + c は最小となり等式が成り立つ。

自信はありません…

>>634　
略解

Ｓ=sr=√s(s-a)(s-b)(s-c)　からr を消去して不等式に代入して
相加相乗平均を３乗して分母分子をひっくり返した式　1/pqr≦27/(p+q+r)^3 　を用いると出る。等号は正三角形

>>634

外接円の半径をＲとすると正弦定理とsin の上に凸性より
(a+b+c)/R=2(sinA+sinB+sinC)≦2*3*sin{(A+B+C)/3}=3√3

6√3≦(a + b + c)/r≦3√3 R/r よって２≦R/r 　となり京大の問題が証明できるね。


(a + b + c)/2pi*r ≧6√3/2pi=1.6539...
(a+b+c)/2pi*R≦3√3/2pi=0.8269...

三角形の円周は内接円の円周の1.6539..倍以上で外接円の円周の0.8269..倍以下か。。

ﾊｧﾊｧ…

　全ての実数xについて連続な関数f(x)があり，任意のxについてf(x)=f(x+r)が成り立つ正の実数定数rが存在する．
(1) rの最小値をcとするとき，r/cは整数であることを示せ．
(2) g(x)は0≦x≦cにおいて微分可能な関数とする．p,qを
　p=∫[0,c]|f(x)|dx
　q=∫[0,c]g(x)dx
と定めるとき，
lim[n→∞]∫[0,c]|f(nx)|g(x)dxをp,q,cを用いて表せ．

↑nは一応整数と考えてください。整数じゃなくてもいいんですが、計算が大変になるので

(a + b + c)/r ≧6√3
aを固定して楕円を考えると、ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
おなじようにｂを固定するとａ＝ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
ａ＋ｂ＋ｃは一定なので、正三角形のとき左辺は最小になる。
ｔａｎ６０をつかってr=3^.5/6
3/3^.5/6＝６*3^.5
中学２年？

三角形ABCの内心をI、内接円とBC、CA、AB
の接点をP、Q、Rとする。
さらに∠BIP＝α、∠CIQ＝β、∠AIR=γとすれば
BC＋CA＋AB＝2r(tanα＋tanβ＋tanγ)
ここでα、β、γが正の鋭角でα＋β＋γ＝πであること
およびy=tanxの凸性より、
tanα＋tanβ＋tanγ≧3tan(π/3)=3√3
つまりa+b+c≧6√3

>>640
(1) 任意の整数kに対し、f(x+kc)=f(x)が成り立つ。ここで
r=kc+p (0<p<c、k∈Z)が任意のxに対してf(x+r)=f(x)を
満たすなら、f(x+kc+p)=f((x+p)+kc))=f(x+p)=f(x)が
任意のxで成り立つ。これはpがf(x)の周期であることを表し、
cがf(x)の基本周期であることに反する。
(2) kを1以上n以下の整数とする。u=(k-1)c/n、v=kc/nとする。
u≦x≦vにおけるg(x)の最大値をM、最小値をmとすると
pm*(c/n)≦∫[u,v]|f(nx)|g(x)dx≦Mp*(c/n)
これのk=1〜nの和を取る。さらにg(x)の微分可能性から、
lim[n→∞]M=lim[n→∞]mであることに注意して、
区分求積なり挟み撃ちなりを使うと、求める極限値はpqc
となりそう。
f(x)=sin(x)、g(x)=x^p などというタイプは頻出だけれども、
g(x)が単調関数でないので、挟み撃ちするのにゴニョゴニョ
した計算が必要。紙にやりたいw

nを0以上の整数とする。
p+q+r+s=n
を満たす0以上の整数p、q、r、sの組み合わせの全てについて、
1/((p!)*(q!)*(r!)*(s!)*(2^p)*(3^q)*(9^r)*(18^s))
の和を取ったものをT(n)とする。
無限級数T(0)+T(1)+T(2)+T(3)+・・・を求めよ。

>>642
それって「最大値が存在する」ということを前提として解いているため駄目と前に駿台の雲先生に言われたことあるな。
そのときは半径一定の円に内接する三角形の面積の面積を最大にせよという問題だったが。

e

幾何学だよ。ごくありふれた。
楕円の中の三角形のなかの円の直径は高々楕円状の点までの高さだよ。
カウント問題以外はごくありふれた幾何学で解けてしまう。

ｆ（ｘ）＝e^i2pix/rでフーリエしてlimとることです。

＞半径一定の円？

>>647
正解！
やはりここの住人には易しすぎたか orz

>>648
＞楕円の中の三角形のなかの円の直径は高々楕円状の点までの高さだよ。
いや、そりゃそうだけどさ
>>642の
一行目＞aを固定して楕円を考えると、ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
これはaを固定した上で最大でしょう。
二行目＞おなじようにｂを固定するとａ＝ｂ＝ｃのときｒが最大になる。
「bを固定してa,cをa+cが一定となるように動かしたときa=cのときrが最大となる」と解釈したがこのときのbは一行目のb=cという関係は崩れているのではないか？
>>650
あー、半径1だったと思うが忘れたので。

厳密に突っ込むんだったら、2点と等長のひもでできる図形が楕円だと証明してからつかえと、似たようなこといった教授がかつて独りいた。ほとんどあほだった。

|∫g(x)e^i2pinx/rdx|　０−＞ｃ
|n^-1∫g(x/n)e^i2pix/rdx|　０−＞nc
|n^-1g(w)∫e^i2pix/rdx|　0->nc
|g(w)∫e^i2pix/rdx| 0->c
|g(w)p|

Zorn's Lemmaによりａ＝ｂ＝ｃに収束します。
無限回、楕円を書いて、二等辺三角形にする操作を繰り返します。
バウンデッドセットなので。
でも、幾何学的にはオールモストトリビアに自明だよ。

ある証明問題を別の定理で証明するとき、その使う定理も証明しておかないと、
0点くれる教授がたまにいる。どこまでが既出とみるか、でも、すべてが選択公理
に帰結してくるので、どーでもいいことなのだけど。
数学事典を読めと添え書きしておくのもいい。

>>656
そんな教授の作る問題は、定義だけで1000ページくらい
あるんだろうね。問題取り掛かる前に時間終わっちゃうよね。
そりゃ0点だよね。

>>655
図形的に正三角形になることは見当がつけやすいですね。
「Zorn's Lemmaによりａ＝ｂ＝ｃに収束します。」
はよくわかりませんがググって調べます。

>>654
だからそれ高校範囲じゃないってば

xについての実数係数2次方程式x^2+ax+b=0が異なる2つの解がt,at+bの形で表されるとき、実数aのとりうる値の範囲を求めよ。

tは何。
益田さんてそういうこと書かないよね。
方程式にはいつも実数係数とか書いてるくせに、後半でまた実数aとか繰り返してるし。

とりあえず実数虚数に分けてやれば良いんじゃね
虚数にしたらいきなり確定されたけどな

tに指定はありません。実数とは限りませんよ、ってことですが

>661
お前がすでに罠にはまってる

a≧-1/4

>>665
それではまだ足りません。

虚数のことすっかり忘れてた…

a≠-1

>>668
a≠-1ではなくa=-1です

携帯からなんだが、
a＝‐1/4だと条件｢異なる２解｣
を満たさなくないか？

>>670
「異なる2解」は満たしますよ。
a=-1/4のとき
t=1/2, b=-1/8
at+b=-1/4
となり、t≠at+bであり、重解ではありません。重解となるのはt=0,-1のときです。

久しぶりに東大入試っぽい問題だったね

>>670
そっか！どうもです。

【問題】
3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする.
このとき, 不等式
　(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…,
が成り立つことを示せ.

等号は正3角形のとき,
直角3角形のとき 左辺は2.

一松の問題と呼ぼう。(数セミ, 2007/09)

(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8
(S-4R)/r≦ 6√3 -8

面積が等しいでｆ（S,r,R)=0を作って微分するとか？

√(676) = 26 回払い

三角関数であらわすと全部消えて角だけの式になるから、とりあえずCを固定して微分、その後Cで微分
しようと思ったけどﾏﾝﾄﾞｸｾ。簡単にならないかな

S=abc/4R
r=2S(a+b+c)=2RsinAsinBsinc/sinA+sinB+sinC
与式=2R(sinA+sinB+sinC-2)/(2RsinAsinBsinc/sinA+sinB+sinC)
=(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB+sinC-2)/(SinAsinBsinC)

A+B+C=π
ここまでやった。後は知らん

一松先生にお会いした事あるけど、もういい年だったよなぁ……

Sr/2=A
2R(sina/2+sinb/2+sinc/2)=S=2A/r
(sina/2+sinb/2+sinc/2)/A=R/r
A=1
(sina/2+sinb/2+sinc/2)=R/r=p

S/r=2A/r^2=2/r^2
(S-4R)/r≦ 6√3 -8
f=2/r^2-4(sina/2+sinb/2+sinc/2)

3 2 5 20
2 5 6 15
4 8 7 20
1 〇 3 16


〇に入る数字は？

>>682
〇＝７

>等号は正3角形のとき

R=2r
(S-4R)/r=(S-8r)/r=S/r-8
S=3->r=3^.5/6
6*3^.5-8

Sを固定して、Rを与えると、cに対して、ｄ＝S-cの楕円とRの円との
交点がｒを与える。S-4R>0で最小のｒはS=2cでr=0。
でも２ｃ＞４Rだからｃ＞２Rが上限

３数x,y,z の分散が定数となるx,y,zはどのような曲面か？

>>685
範囲外だ馬鹿者

kは1より大きい定数として，α,βをksinα=sinβ,0＜α＜β＜π/2をみたすように定めるとき，β/αはβの増加関数であることを示せ．

μを1未満の定数とすると…

μβ,βをk sinμβ=sinβ,
0＜μβ＜β＜π/2をみたすように定めるとき，
β/μβはβの増加関数であることを示せ．

と云ってるように思えます。

>>688
そう言いかえたとこであまり意味ないと思うが

そう言い換えたらβの関数でなくなる訳だが

ksina=sinb
a=arcsink^-1sinb
u=b/a=barcsin^-1k^-1sinb
du

S=4R+a
S-4R=a
Sr/2=3^.5/4(S/3)^2
r=(3^.5/8*9)S
(S-4R)/r=(a/(4R+a))(3^.5/8*9)^-1

Ｓｒ／２＝Ａ＝１
ｒ＝２／Ｓ
（Ｓ−４Ｒ）／ｒ＝Ｓ（Ｓ−４Ｒ）／２
Ｓ＝CONST
ｍｉｎＲ＝正三角形

>>674
α=tan(45ﾟ+A/2),β=tan(45ﾟ+B/2),γ=tan(45ﾟ+C/2)
x=a/(b+c-a),y=b/(c+a-b),z=c/(a+b-c)　とすると
1/x+1/y+1/z=1
1/α+1/β+1/γ≧6-3√3　がいえる。問題の不等式は変形すると
x/(β+γ)+y/(γ+α)+z/(α+β)≧12-6√3
を示せばよいことになる。ここら辺から示せそう

5^70+7^70の桁数を求めよ．必要ならば常用対数log2=0.3010,log3=0.4771を用いてもよい．

問題間違えてない？？

4角形ABCDのどの角も2直角より小さいとする.
この4角形内に点Oがあり，Oを通るどの直線によっても4角形の面積が2等分されるという.
この時，4角形ABCDは平行4辺形であり，Oは2つの対角線の交点であることを証明せよ

ニュートン線考えれば瞬殺

ニュートン線を証明するための補題だった

△ABP+△CDPが一定となる点Pの軌跡
△BCQ+△ADQが一定となる点Qの軌跡

>>696
あまりない形なのでこの問題見せたらみんな「間違えてない？」と言いますが、間違いはないですよ。数値をよく考えたら分かります。

もし益田さんが120分6題で地底未満（神戸辺り？）の受験生対象に
試験つくるとしたらどんな問題出しますか？


5^50(1.2^50)＜5^50(1+1.4^50)＜5^50(1.5^51)かなぁ？

>695
　7^2 = 49,
20√6 = √(48*50) < 7^2 < 50 = (10^2) /2,
　1.6901 < 2*log(7) < 1.6990
これを 35 倍すると
　59.153 < 70*log(7) < 59.465
また
　log(5) = log(10/2) = 1 - log(2) = 0.6990
これを70倍すると
　70*log(5) = 48.928,

>>702
御名答。5^n+7^nではnが大きくなれば7^nの桁数しか問題になりません。ただ、7^n＜999…9900…00であることを示しておく必要ありますけどね。
>>701
こういう問題でしょうか。
a,bは実数とする．xについての関数f(x),g(x)をf(x)=x^2-1,g(x)=|ax+b|と定める．
(1) f(x)=g(x)の実数解の個数を求めよ．
(2) f(x)=g(x)の全ての実数解の総和が0となるとき，(a,b)の範囲を図示せよ．

>>695
>>703
完敗しますた…なるほど、5^70は無視できるのか…良問ですな

>>704
数学やってる奴なら見た瞬間に気付くだろ

>>705
受験生はなかなか気づかんだろ

それよりも常用対数log2とlog3を使ってlog7を挟むやり方が思いつかんかった‥答え見たら当たり前なんだけどな〜。

重量不明の５つの物を、２体比較を何回か繰り返して、重い順に並べ替えたい。
何回比較が必要か？
その回数で可能であること、及び、その回数未満では不可能なこと
これらを十分な論拠を持って示せ。

MASUDAさん、実際東大受験生は解けるんですか？

2つの連続する自然数の間に
・ad=bc
・a<b<c<d
なる自然数a,b,c,dは存在しないことを示せ。

訂正

2つの連続する平方数の間に
・ad=bc
・a<b<c<d
なる自然数a,b,c,dは存在しないことを示せ。

>>709
どの問題のことをおっしゃられてるんですか？

>>712
今まで出した問題においてです
実際受験生の半分くらいは解けるんですかね？

いつぞやの積分の問題はともかく、それ以外はそこまで無理な難問ではないですよ。東大受験生なら４割くらいの人は解けるかと。

>>711
少なくともd≧2b＞2a+1
もし
n^2＜a＜d＜(n+1)^2
であれば
2n^2+1＜d＜2(n+1)^2
2n^2+2＜(n+1)^2
∴(n-1)^2＜0
よって矛盾

a=6.
b=8.
c=9.
d=12.

(1) aを正の偶数，bを2以上の整数とする．a^b-1,a^b+1がいずれも素数となるような(a,b)を全て求めよ．
(2) kを正の整数とする．2数6k-1,6k+1がいずれも合成数となるようなkは無数に存在することを示せ．

(1)bが3以上の奇数だと、a^b+1がa+1で割り切れ、a^b+1>a+1>2よりa^b+1は素数でない。
　　bが4以上の偶数だと、a^b-1がa^2-1で割り切れ、a^b-1>a^2-1>3よりa^b-1は素数でない。よってb=2
　　a^2-1=(a-1)(a+1)でこれが素数なので、a-1=1すなわちa=2。これはaが偶数であること、a^2-1,a^2+1が共に素数であることを満たし、条件に合致する。
　　よって(a,b)=(2,2)
(2)(1)を無視すると、k=35m+1(mは正整数)のとき、6k-1は5の倍数、6k+1は7の倍数となり、共に素数でないのは明らか。
　　よって条件を満たすkは無限に存在する。

ここの問題が解けないからといって悲観する必要はない
こいつらは受験生の域を超えた問題を出しまくってる

719の域はとっくに超えている

>719
お前のレベルが低いだけだろ。たいがいCレベルだぞw

3の2000乗の下5桁の数を求めよ

>>716は>>715の反例か。

>>722
00001

3辺の長さがa，b，cである三角形の外接円の半径をRとする．不等式
　　1/a + 1/b + 1/c ≧ √3/R
が成り立つことを示せ．また，等号の成立条件を求めよ．

タダの計算問題：

関数f(x) = cos(x) cos(2x) cos(3x)の取りうる値の範囲を求めよ．

正弦定理と予想

最大値は間違いなく１
最小値わからん

>>726の答は，ワタシの計算が正しければ，
　　(10 - 7√7)/108 ≦ f(x) ≦ 1
です．

>>729
僕も答えが一致しました
2倍角・3倍角で展開→微分という方針

全成分が実数の2次の正方行列A，2次の単位正方行列をEとする．
A+Eの行列式をx，
A-Eの行列式をy，
A^2+A+Eの行列式をz，
と定める．1≦z≦2であるとき，x,y,zを座標とする点(x,y,z)の存在領域の体積を求めよ．

今年の入試良問ランキング教えてくれ

とりあえず京大の素数の問題は10本の指に入ると思うんだが

今年はあれが一番だろ

ああ、あれか。

自作問題。高校の範囲をギリギリ超えているかもしれない。

f：R→(0,＋∞)は連続とする。任意のx∈Rに対して、
a[0]＝x , a[n＋1]＝a[n]＋f(a[n]) (n＝0,1,2,…)で
定義される数列{a[n]}は発散することを示せ。

>725
〔補題〕
　s(x)>0, s(x) が上に凸 ⇒ 1/s(x) は下に凸。
(略証)
　{1/s(x)}' = - s'(x)/s(x)^2,
　{1/s(x)}" = {2s'(x)^2 - s(x)s"(x)}/s(x)^3,
　s(x)>0, s"(x) <0　⇒　{1/s(x)}" >0,
あとは凸不等式で

>726
　cos(2x) =z とおく。-1≦z≦1,
cos(x)cos(3x) = (1/2){cos(4x) + z} = z^2 +z/2 -1/2 = (z+1)(z -1/2),
　f(x) = z(z+1)(z -1/2) = g(z),
　g(z) = (1/3)(z +1/6)g'(z) + (1-14z)/36,
　g'(z)=0 の根は a=(-1-√7)/6, b=(-1+√7)/6,
　g(-1)= 0,
　g(a) = (1-14a)/36 = (10+7√7)/108 ≒ 0.264076474…
　g(b) = (1-14b)/36 = (10-7√7)/108 ≒ -0.078891288…
　g(1) = 1,
　>729 のとおり。

長方形ＡＢＣＤの　辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの中点をＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、長方形の中心をＯとする。

（１）三次関数ｆ(x) の変曲点がＥ、極小値をとる点がＦのときｆ（ｘ）は点Ｄを通ることを示せ。
（２）ｆ（ｘ）とＯＧの交点をＩとするとき、次の面積比を求めよ。
　　（領域ＡＥＯＨ）：（領域ＯＥＦ）：（領域ＥＢＦ）：（領域ＯＦＩ）：（領域ＩＦＣＧ）：（領域ＨＯＩＤ）：（領域ＤＩＧ）
　　　　

>735
いきなりf：R→と書いてる時点ですでに範囲外

>737
EG：EO=√3：2を使う

>739
間違えた
EI：EG=√3：2

>>738
それは難癖というものだ。

ますださん、コマネチ大学数学科デビューおめでとうございます。　このスレからも問題がスカウトされたりして。。

正十二面体を平面で切断したときの断面を考える。
1. 断面となる多角形の辺の本数は、最大でいくらか。
2. 断面となる多角形の面積は、最大でいくらか。但し、正十二面体の一辺の長さを1とする。

>>731
4z=3(x-1)^2+(y-3)^2なので2√3

全実数で定義された関数f(x),g(x)が，任意の実数x,yについて以下の条件を満たしている．
f(x+y)≧f(x)f(y)
f(x)≧x+1
(1) f(x)≧{f(x/n)}^n
が成り立つことを示せ．
(2) f(x)を求めよ．

※微分方程式を使うのは高校範囲外なのでできれば使わない方法を．

>>742
どうもです。デビューもなにも2題使われるだけです。しかも片方は入試問題ですから。

>>745
＞全実数で定義された関数f(x),g(x)が，任意の実数x,yについて以下の条件を満たしている．
g(x)？

>>747
あっ、余分でした。g(x)は無視しといてください。

7=√(49)

http://love6.2ch.net/test/read.cgi/ex/1187337579/l50

↑小中学生より知能の低い文系私立障害者のメッカ
こんな所に書いて願いが叶うと思うなんてどこまで馬鹿なんだ？
小学生でもそんなこと思うまいｗ

よかったら荒らしてやってｗ
「チンピラゴロツキ」書き込みをコピペするだけでいいから

(1) f(x)=f(n(x/n))≧f(x/n)*f(x/n)*・・・*f(x/n)による。
(2) (1)より、f(x)≧(1+(x/n))^n → e^x (n→∞)
がすべてのxで成り立つ。よって、f(x)≧e^x (☆)
また特に、f(0)≧{f(0)}^2かつf(0)≧0+1よりf(0)=1
ここで、あるsでf(s)>e^sであるとする。このとき、
f(0)≧f(-s)f(s)より1≧f(-s)f(s)>e^s f(-s)
よってf(-s)<e^(-s)
これは(☆)に反する。
すなわち、すべてのxでf(x)≦e^x (☆☆)
以上(☆)、(☆☆)より、f(x)=e^x

>>735
数列{a_[n]}が定数αに収束するならば、
α=α+f(α)
つまりf(α)=0
これはf(α)>0に反する。

a,b,cはabc=1を満たす実数である．p,qが1≦p≦qを満たすとき，以下の不等式が成り立つことを示せ．
　a^p+b^p+c^p≦a^q+b^q+c^q

>>753
「a,b,cは正」を追加しといてください。

行列の回転移動の公式を導出せよ
ただし加法定理は用いてはならない

行列の回転移動とはまた斬新な。

加法定理は用いてはならないって
加法定理の導出証明と同じことすりゃいいだけじゃないの？
とりあえず図はかけないんでいい加減になってしまうが

ベクトルe1,e2を単位ベクトル、e1,e2を座標系を反時計回りにβ回転したときの単位ベクトルをそれぞれe1',e2'とする
今ある点Pを(x,y)=e1*x+e2*y=e1*rcosα+e2*rsinαとする。
反時計回りに回転したときの座標系からは
Pはe1'*rcos(α-β)+e2'*rsin(α-β)となる
Pをβだけ時計回りに回転させたときの座標は座標軸を反時計回りにβだけ回転したときの座標と等しい。

座標を回転させても原点は変わらないので位置ベクトルも変わらず
Pの位置ベクトルについてe1*rcosα+e2*rsinα=e1'*rcos(α-β)+e2'*rsin(α-β)・・・�@
単位ベクトルについては
e1=e1'*cosβ-e2'*sinβ、e2=e1*'sinβ+e2'*cosβ
これを�@の左式に入れ、右式と比較する。
このことから、rを時計周りにβだけ回転すると
座標は(rcosα、rsinα)→(r(cosαcosβ+sinαsinβ),r(-sinβcosα+sinαcosβ))→(xcosβ+ysinβ,-ysinβ+xcosβ)
普通の回転(反時計回りにβ回転する)はβを-βに書き換え
以上により、回転行列が導き出せる

これじゃだめか？

>>753
不等式タン(;´Д｀)ﾊｧﾊｧ

公式の縛り証明って面白いよな

>>753
a=b=c=1のときは自明。
それ以外のときはa≧b≧c (a>1>c)として一般性を失わない。
f(x)=a^x+b^x+c^xとする。
f'(x)=a^x log a+b^x log b+c^x(-log a-log b)
=(a^x-c^x)log a+(b^x-c^x)log b
b≧1でf'(x)>0
c≦b<1のとき，f'(x)≧(a^x-b^x)log a+(b^x)log b=a^x-b^x(1+log b)
x<1でlog x<x-1 より 1+log b<b
よって，f'(x)=a^x-b^(x+1)>0

(1，0) → (cos θ，sin θ)
(0，1) → (-sin θ，cos θ)

今年の入試良問ランキング教えてくれ

>>753
p＝qのときは明らかなので、p＜qのときを考える。0＜xに対して{x^(q−p)−1}(x^p−1)≧0
であるから、変形してx^q−x^p≧x^(q−p)−1 となる。仮定よりa,b,c＞0であるから、
(a^q＋b^q＋c^q)−(a^p＋b^p＋c^p)≧a^(q−p)＋b^(q−p)＋c^(q−p)−3となる。
相加相乗平均の不等式よりa^(q−p)＋b^(q−p)＋c^(q−p)≧3(abc)^{(q−p)/3}＝3と
なるので、求める不等式を得る。

>>760
>>763
御名答。やぱ対称系の不等式はあっさりと解かれてしまいますな

nを自然数とする．4n+1個の整数1,2,…,4n+1の中から2n+1個を選んで順列をつくるとき，偶数が必ず偶数番目にあるような並べ方の個数をa[n]，偶数番目が必ず偶数となるような並べ方の個数をb[n]とする．
lim[n→∞] a[n]/b[n]を求めよ．

>>753,764　相乗平均≦相加平均 と 乱順序積≦同順序積　より　左辺 ≦ (a^p+b^p+c^p)*(abc)^((q-p)/3) ≦ (a^p+b^p+c^p)*{a^(q-p)+b^(q-p)+c^(q-p)}/3 ≦ 右辺

>>765
a[n]について・・・偶数をk個(k≦n)使う場合、それらを偶数番目に
置く方法はnPk、残り(2n+1-k)個に奇数を並べる方法は (2n+1)P(2n+1-k)
よって、a[n]=Σ[k=1 to n] (nPk)*((2n+1)P(2n+1-k))=(2^n-1)*((2n+1)!)
b[n]について・・・偶数番目が必ず偶数 ⇔ 奇数は必ず奇数番目
よって、b[n]=Σ[k=1 to n+1] ((n+1)Pk)*((2n)P(2n+1-k))=(2^n)*(n+1)*((2n)!)
ゆえに求める極限は2

>>762
何を以て良問とするかの定義は難しい。個人的には
�@ 1，11，111，・・・の第100項までの和の下10桁 (岩手大)
�A x^n (n≧2)をx^2-6x-12で割った余りについて (東北大)
�B 三角関数の周期 (山梨医、九州大)
�C ωの計算 (早大理工)
�D 正方形に属する線分の長さ (上智法律)
なんかが印象的だった。

>>767
違うくね？

少なくとも偶数が0個の場合を忘れた orz
というか、解き方が下手というか、気に入らない。
昼寝してから考え直すわ

>>753,760,763,764,766
こんな方法も。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa#content_5

3の2000乗の下5桁の数字を求めよ

a^p+b^p+c^p≦a^q+b^q+c^q
G=a^p+b^p+c^p-s(abc-k)
Ga=pa^p-1-sbc=0->pa=sabc=sk
Gb=pb^p-1-sac=0->pb=sk
Gc=pc^p-1-sab=0->pc=sk
Gs=abc-k=0
abcp^3=s^3k^3=kp^3
s=pk^-2/3,a=b=c=k^1/3
a^p+b^p+c^p=3k^p/3

1
11
111
...
100
990
9800
...

本番約半年前ということで実践っぽい易セットを。
1.x,y,zは実数でcosx+cosy+cosz=1/4 cos2x+cos2y+cos2z=-7/8を満たす。
このときcosx*cosy*coszの取り得る値の範囲を求めよ。
2.x,y,zを正の実数とし、正整数nに対して数列p(n),q(n),r(n)はp(1)=x,q(1)=y,r(1)=z,p(n+1)=√{q(n)r(n)},q(n+1)=√{r(n)p(n)},r(n+1)=√{p(n)q(n)}を満たす。
(1)p(n+2)をp(n+1)とp(n)を用いて表せ。
(2)lim[n→∞]p(n)=lim[n→∞]q(n)=lim[n→∞]r(n)を示せ。
3.z≧x^2+y^2,x+y+z≦4を満たす領域の体積を求めよ。

4.(1)nを2以上の整数とし、z=cos(2π/n)+isin(2π/n)とする。
このときΠ[k=1,n-1] (1-z^k) の値を求めよ。
(2)Π[k=1,n] tan{kπ/(2n+1)}の値を求めよ。
5.一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHの点Aに動点Pが、点Gに動点Qがある。
二つの動点は毎秒1の速さで動き、n秒後(nは非負整数)には自分のいる頂点から伸びる辺のうち相手の動点がいない辺から等確率に一つ選んで進む。
(1)P,Qがn秒後までにあう確率を求めよ。
(2)n秒後にPQの長さが1である確率を求めよ。
6.(1)xy平面上で直線lは点(-1,0)を通り傾きの値が有理数である。
このとき直線lと単位円との２交点の座標はx,y共に有理数であることを示せ。
(2)y^2=x^3+3,y>0の有理数解(x,y共に有理数である解)を２つ求めよ。

>>765
(2n+1)/(3n+1)→2/3でしょうか？

>>771
バカ正直に展開して凄いことになってる証明があってワロタｗ

y^2-x^3=3
1,2

>>776
４番が高校範囲外となります

1を少なくとも1つ含む自然数を小さいものから並べた数列
　1,10,11,12,…
を{a[n]}とする．
(1) A[n]=1/a[1]+1/a[2]+…+1/a[n]とする．n→∞のときA[n]は発散することを示せ．
(2) S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
T[n]=1+2+3+…+(a[n]-1)+a[n]
とするとき，
lim[n→∞]S[n]/T[n]を求めよ．

>>777
正解です

>>780
複素数ってアウトでしたっけ？そもそも問題がおかしかったでしょうか
悪問失礼しました。

Πがoutなんでしょ

√(784) = 28 蕎麦っ　　ちゅるるん

>>782
Πも範囲外の記号なんですが、それ以外に、ド・モアブルの定理が現行課程では範囲外にされてしまったからです。ちなみに複素数は範囲として残っています(絶対値、極形式、複素数平面は範囲外になりました)

うっそー・・・
そういったことやらないんだ

最低限、高校の教育課程くらい把握して出題しろよ。

>>783
>>738もそうだが、こういうスレで記号についてツッコミを入れるのはナンセンスだろ。
そんなのは本質ではないし、実際の入試でも、高校では習わない記号を(もちろん説明つきで)
使ってる問題もあるし。

y^2-x^3=3
y=a^3,x=b^2
a^6-b^6=3
(a^3-b^3)(a^3+b^3)=3
a^3+b^3=1
a^3-b^3=3
a^3=2=y
b^3=-1->b=-1,x=1
a^3+b^3=3a
a^3-b^3=1/a
a^3=(3a+1/a)/2=y
b^3=(3a-1/a)/2=x^3/2

(3a^2-1)^2/4a^2=x^3
a=(2k+1)^3
3a^2-1=t^3
a^2=(t^3+1)/3=(2k+1)^6

突然で申し訳ないですが、質問です。
>>726の関数に最小値を与えるxの値を具体的に求めることは可能でしょうか？
cos(2x) = (-1 + √7)/6を満たすxを求めればいいんですが。

マルチで大変恐縮なのですが、こちら↓の問題を解ける方いらっしゃいましたら、
こちらにレスして下さるとありがたいです。失礼します。
ttp://oshiete1.goo.ne.jp/qa3289982.html

加法定理を図を用いずに証明せよ

>>793
内積で示せばおK

図を用いずにってすごいな。

>>793

p=(cos(a), sin(a)), q=(cos(b), sin(b)), r=(cos(a-b), sin(a-b)), s=(1,0)
に対し、|p-q|=|r-s| だから、cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) と求められる。以下同様

>>796
これマジなら綺麗な証明だな

> p=(cos(a), sin(a)), q=(cos(b), sin(b)), r=(cos(a-b), sin(a-b)), s=(1,0)
> に対し、|p-q|=|r-s| だから、cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) と求められる。以下同様

|p-q|=|r-s|は図を使わずにどうやって証明するの？

教科書にある定理にせよ内積による証明にせよ、結局は|p-q|=|r-s|を前提で始めるわけで、この時点で図形をすでに使っているわけだが
図形を使わんやり方は循環論法におちいるしかない

cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2
sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i)
と定義した上で、ガツガツ計算するとかかな。

「図形を用いずに」
という、無意味な制約をつける時点で、
東大らしからぬ問題だろうな。

>>801
それはもちろん高校の範囲を超えてるしな

「以下、全ての図形は頭の中でイメージする事」

鉄筋コンクリートで出来た直方体の的がある。
少し離れたところから、金属製の三角板を投げ、
直方体に突き刺す。
直方体だった立体の、3年後までの体積変化を記述せよ。

「図形を用いずに」は、「集合論を基礎とせずに」と同義だと捉えている俺。
従って、図形を用いずに何かを証明しろというのは無理難題すぎる。

2より大きい整数nを固定する。n個の任意の正の数、a_1、a_2、a_3、・・・、a_nに対して不等式

K<a_{1}/(a_{1}+a_{2})+a_{2}/(a_{2}+a_{3})+ ・・・ +a_{n}/(a_{n}+a_{1})<G

が成り立つような定数Kの最大値と定数Gの最小値を求めよ。

ごめん、悪問だった

確率の問題あまり無いですね
やっぱ趣向があるのかな

出来れば設定が単純で問題文が短くて難度がB〜C程度の見てみたいです

3人でじゃんけんを繰り返し、一人の優勝者を決める。
ただし、負けた人は次の回から参加しないものとする。
また、あいこも1回と数える。
(1) ちょうどn回目で優勝者が決まる確率を求めよ。
(2) 優勝者が決まるまでに要するじゃんけんの回数の期待値を求めよ。

B難度かつ頻出のものを。
立方体の6つの面に1，2，3，4，4，4の数字を書いた，
変則的なサイコロがある。このサイコロをn回振り，
出た目を順にX[1]、X[2]、・・・、X[n]とする。
(1) 積X[1]*X[2]*X[3]*・・・*X[n] が4の倍数となる確率を求めよ。
(2) 和X[1]+X[2]+X[3]+・・・+X[n] が4の倍数となる確率を求めよ。

>>807
Kの最大値1
Gの最小値n-1
97年愛媛大(改作)

幾何分布の有名問題で。大学入試としては(2)が少し難しい？
サイコロを繰り返しn回ふる。
(1) 1の目が初めて出るまでにふった回数の期待値を求めよ。ただし、
n回目まで1度も1が出なかったときは「n回ふった」と解釈せよ。
(2) 1の目が初めて2回連続で出るまでにふった回数の期待値を求めよ。
ただし、n回目までに1が連続して出なかったときは、「n回ふった」と
解釈せよ。

これも有名問題だけど、(2)は少し難しい？
A君、B君を含む2^n人 (n≧2)でトーナメント方式の試合を行う。
(1回戦の組み合わせは、くじ引きにより決めるものとする)
ただし、各試合に引き分けはなく、実力が同じ者同士が試合をして
一方が勝つ確率は1/2であるとする。また、以下でpは0<p<1なる定数とする。
(1) B君は他の誰と対戦しても常に確率pで勝ち、B君以外(2^n)-1人の
実力は同じであるとする。この場合、A君が優勝する確率を求めよ。
(2) A君とB君は互いに実力が等しく、残りの(2^n)-2人も互いに実力が
等しいとする。また、A君はB君以外の(2^n)-2人と対戦した場合、
常に確率pで勝つ(B君も同様)。このとき、A君が優勝する確率を求めよ。

無駄に新課程チックに。
A、B、O、Eはいずれも2次正方行列で、Oは零行列、Eは単位行列
とする。また、A、Bは問題最後尾のように定める。6個の行列の積
P=C*D*F*G*H*Jを考える。ただし、C〜JにはそれぞれA、B、O、Eの
うち1つを確率1/4ずつで当てはめるとする。

(1) Pの計算結果として考えられるものは何通りあるか。
(2) P=Eとなる確率を求めよ。

以下A、Bの定義。2次正方行列の成分を(左上 \ 右上 \\ 左下 \ 右下）
で表す。(例えばE=(1 \ 0 \\ 0 \ 1)となる。)
A=(0 \ 1 \\ 1 \ 0)、B=-(1/2)* (1 \ √3 \\ -√3 \ 1)

>>815
ほとんど同じ問題が京大で出てる

>>816
京大のよりシンプルにしたつもりだが、どうだろうか？
個人的には問題の出来より、行列の書き方が受け入れられるか
の方がはるかに心配だwww

本来の趣旨と異なる方向に突っ走る問題。
nを正の整数とする。
意味はないけれどむしゃくしゃしたから、0〜nから2つの数を無作為に
選び、順にp、qとする(ただし、同じ数字を繰り返し選んでよい)。
p≧qの場合は q*(pCq) 回だけ「でん」を繰り返し言う。
p<q の場合は、「武勇伝！」と叫び、ポーズを決める。
(1) 「武勇伝！」と叫ぶ確率を求めよ。
(2) 口にする「でん」の回数の期待値を求めよ。

イオン化傾向Mg〜Agまで覚えよう。
-120以上120以下の整数から、無作為にk個(0≦k≦241)の整数を選ぶ。
(1)、(2)の各場合について、まず、kにあなたの好きな数を1つ
設定し、次に、選んだk個の数字の和の期待値を求めなさい。なお、
(1)と(2)でkの値は異なっていてもよい。また、得られた期待値を
各設問におけるあなたの得点とする。
(1) 異なるk個の数字を選ぶ場合。
(2) 重複を許してk個選ぶ場合。

何この京大の類題だらけの掲示板はｗ

>>820
同じ奴が連続投稿で問題出してるからね。やみくもにいっぱい出せばいいってもんでもないだろうに。

>>820
ゴメンよ。>>809 が「設定が単純でB〜C難度の問題を見たい」って言うから、
てきと〜に問題作ったら、こんな風になってしまった orz
さすがに>>811 >>815 の設定と >>819 の問題文は反省しているよ www
でも、ここ3年の東大の確率が以前より単純化している状況を鑑みると、
この程度でも(>>809 が要求したレベルの)練習になるかと。

京大、はじまったな

xy平面上に動点P(x,y)およびQ(x^2-y^2,2xy)がある．
(1) 原点O(0,0)を通らない直線Lがあり，L上をPが動くとき，Qの軌跡はどのような図形になるか．
(2) 原点Oを中心とする半径1の円に内接する正6角形Tがあり，Tの周および内部をPが動くとき，Qの動く領域の面積を求めよ．

正三角形
2007年8月11日 9:39:41 GOLD
半径1の円Cに外接する正三角形ABCがある。
点XをCの円周上の点とし、点Xから辺BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれP,Q,Rとする。
点XがCの円周を一周するとき、PX+2QX+3RXの最大値と最小値を求めよ。
よろしくお願いします。

2007年8月11日 12:22:07 益田
正三角形ABCの外心(重心)をOとすれば、
v(OP)=(v(OB)+v(OC))/2
v(OQ)=(v(OC)+v(OA))/2
v(OR)=(v(OA)+v(OB))/2

|v(PX)+2v(QX)+3v(RX)|^2
　=|6v(OX)-v(OP)-2v(OQ)-3v(OR)|^2
　=|6v(OX)-(5/2)v(OA)-2v(OB)-(3/2)v(OC)|^2…�@
ここで、
|v(OX)|=|v(OA)|=|v(OB)|=|v(OC)|=1
v(OA)･v(OB)=v(OB)･v(OC)=v(OC)･v(OA)=1*1*cos120゜=-1/2
であり、また、
(中略)
-|v(m)||v(n)|≦v(m)･v(n)≦|v(m)||v(n)|
が成り立ちます。

ここからいけますか？

#いけねーよ。
#ますだ頭大丈夫か？

三角関数
2007年8月28日 9:30:14 タンポポ
x,y,zは正で0°<x+y+z<180°とする。
sin(x+y+z)/(sin(x)+sin(y)+sin(z))<1が成り立つことを示せ。
3変数でわかりません。
教えてください。よろしくお願いします。

2007年8月28日 12:16:03 益田 WEB
図形を用いた別解答

点Oを中心とする半径rの円に内接する4角形ABCDについて
　∠AOB=x
　∠BOC=y
　∠COD=z
とすると
△AOC=(1/2)r^2*sin(x+y+z)
四角形ABCO=△AOB+△BOC+△COD
　=(1/2)r^2*sinx+(1/2)r^2*siny+(1/2)r^2*sinz　=(1/2)r^2(sinx+siny+sinz)
ここで
四角形ABCO=△AOC+△ABC＞△AOC
∴(1/2)r^2*sin(x+y+z)＜(1/2)r^2(sinx+siny+sinz)
⇔sin(x+y+z)＜sinx+siny+sinz
⇔sin(x+y+z)/(sinx+siny+sinz)＜1

#これも意味不明解答。
#ますださんって問題作る能力はあっても、
#(といってもガッコンやら何やらからの盗作が多いが)
#問題解く能力は無いね。
#質問に答える類の掲示板にはこれ以上出入りしない方が良いと思うよ。

砂上の楼閣

辺の長さを1,2,3とする直方体内部(表面含む)に一辺の長さがaの正方形Sがある。
aの最大値を求めよ。

どこや

>>825は明らかに益田が問題取り違えてる。>>826はCとDの書き間違いだけであとは普通に成り立ってるぞ。>>826の解答を意味不明というのは826の頭が足りんだけだ。

>826
>830
確かにCとDが一緒になっててこんがらがってるね
間違いに気がつかないと三角形と四角形がぐちゃぐちゃになる
でも数式で解くよりはこういう図形的解法の方が俺は好きだね

>>828
00年東工大の問題を思い出す。

>>832
東工大
00前期　三角柱の断面積
00後期　ひもの通りう領域の体積

何を思い出すんだ？

>>824
(1)原点を焦点とする放物線
(2)求める面積は放物線3つに囲まれた領域で1/6公式使ってだせば幾何的に解決

これ、複素数平面なしだと難問になるな

>>833
何となく、前者。
赤本、青本、大数、etc で大絶賛だったねぇと。
後者の計算地獄もインパクトは大だったが。

>>834
本質的には同じことだが、
P(r*cosθ、r*sinθ)とおいて、極座標を使うことを想定しているんじゃね？

>>835
大数 �B難易度B***
なんかと見間違えたんじゃない？絶賛する評価はないが。

>>830
意味不明とはCとDを書き違うというようなことを言う。

普通は前後の脈絡が不明とかそういう場合に使われる

>>834
御名答
>>836
それがたぶんベストです。数Ｃ範囲と1/6公式を使えば綺麗な解答になります。

>>837
☆つきじゃなかったっけ？しかも、その後の記事で何度か見たような？
記憶違いだったら許してね。
難度が高くないところがいいんじゃない？
大数はDレベルの問題に☆をつけることは少ない気がする。

というかパクりばっかだな

>>842
それを言うなら学コンも全部パクりになる
完全なるオリジナルなど存在しない
野暮なこと言うな

>>841
あーそれで絶賛か、☆はあるね。

>>842
そんなことを言ったら、東大87年のチェビシェフ不等式の問題は
75年IMOの問題の完全にパクリ。07年のスペクトル分解は言うに及ばず。
07年文系5m^4の余りも05年の焼き直しに近いものを感じる。
06年前期の確率は98年一橋前期と酷似。同年理系前期第5問も
5年位前に横国で殆ど同じ問題が出ている。
05年も理系なら第1問、第3問、第4問、第6問と類似問題が過去に多数
出ているものが並んだ。
東大の入試問題が必ずしも新鮮さを追求しているとは感じない。

問題集を解くことが役立つのは類題が出題されるからなんだし

所詮大学入試

ちょっと語尾の日本語がおかしかった、ゴメ

教科書に準拠して作られているから、
その時の教科書の例題が解く鍵となる問題もあるだろう。

>>843,845,846,849
全く同感です。

同感にオレが含まれてる。よし。

　nを2以上の整数とする．n個の異なる実数a[1],a[2],…,a[n]について，最高次の係数が1であるn-1次の整式f[k](x)(k=1,2,…,n)を以下の条件(i)(ii)が成り立つように定める．
(i)　f[k](a[k])≠0
(ii) f[k](a[m])=0 (m≠k)
このとき，1≦c≦n-1を満たす任意の整数cについても，
　Σ[k=1,n]f[k](x)=0
は必ず区間a[c]＜x＜a[c+1]に実数解をもつことを示せ．

g(x)=(x-a[1])(x-a[2])・・・(x-a[n])
とすると、g(x)が区間a[c]<x<a[c+1]で極値を持つのは
明らかだから。

>>853
やはりここの人はあっさり見破りますなぁ。

確率の人気のなさに唖然 www

小出しにしないとスルーされがちになる

何でこんなに進んでるんだ？ｗ

問題文は一行でw

n人(n≧2)で1回じゃんけんをする。勝者の人数の期待値は？ 解答は1行で。

和の期待値＝期待値の和

サイコロを1億回振って、目の積をnとする。(8{Σ[k=1,n] (k^5+k^7)})^{1/4}が偶数になる確率は？ 解答は1文字で。

r,tを正の実数とする．半径rの円C[1]の周長をL[1]とする．また，長軸の長さがr+t，短軸の長さがr-tの楕円の周長をL[2]とする．L[1],L[2]の大小比較をせよ．

>>862
r＞tを追加

r≦tのとき、楕円じゃない。

ぷはｗｗｗ

>>862
楕円に外接し、各辺が座標軸に平行な長方形の
周の長さをL[3]とすると、L[3]<L[2]=4r<2πr=L[1]

間違えた。L[2]<L[3]=4r<2πr=L[1]

もっとシンプルに、半径(r+t)/2の円で考えればよかったのか。
まぁいいや。
↓ 改作
r,tをr>t>0なる数とする．半径rの円C[1]の周長をL[1]とする．
また，長軸の長さが2(r+t)，短軸の長さが2(r-t)の楕円の周長をL[2]とする．
L[1],L[2]の大小比較をせよ．

長半径、短半径と書くところを長軸、短軸にしてしまいました…>>868が出したかった問題です。

L:(rcost,rsint)->(arcost,bsint)

MASUDAが出題した問題の数をn、そのうち出題ミスしたものの数をkとする。
(1) 現時点でのk/nを求めよ。
(2) lim[n→∞] (k/n)を予想せよ(証明はしなくてよい)。

とりあえずMASUDAは(1)の解が出るまで、次の問題出すな。

L:(rcost,rsint)->(arcost,brsint)
ds=rdt->r(a^2cost^2+b^2sint^2)^.5dt
2pir->r(a^2-(a^2-b^2)sint^2)^.5dt

pi(a+b)(1+1/4h+1/(64)h^2+1/(256)h^3+...)=pi(a+b)+pi/4h>pi2r

h=((a-b)/(a+b))^2.

nande daensekibun dasuno?

Gauss-Kummer Series

p=approx pisqrt(2(a^2+b^2))
approx pi[3(a+b)-sqrt((a+3b)(3a+b))]
approx pi(a+b)(1+(3h)/(10+sqrt(4-3h))),

>>871
(1)2/9
解いてしまってわりぃ
出題ミスは多くてもMASUDAの問題は面白いから俺はキボンだ

>>875
楕円積分せずとも
∫√{(r+t)^2*cos^2θ+(r-t)^2*sin^2θ}dθ
と
∫√(r^2*cos^2θ+r^2*sin^2θ)dθ
を積分のまま比較すればいいんです。

Computer has not an idea for this problem.

弧長は範囲外。京大か！

たてに円を押しつぶしてよこに同率で伸ばすと無限大になるから、円のときが
一番小さいとピタゴラスなら察する？

数列 極限 不等式からめたのが多いな…

平面上に3つの異なる格子点A,B,Cがあるとき，∠ABCは120゜にならないことを示せ．

こういうシンプルな問題好きだぜ

あのー名古屋大学を受けようとおもってるんですが、どなたかセットの問題作ってもらえませんか？？

>>818
簡単じゃね？

点Bが原点に来るように座標を取って
BCの式をy=tan(k)xとする
∠ABCが120゜の時、ABの式はy=tan(k+120°)x
ABCは格子点であるから、BCの式y=tan(k)xはx、yが共に整数の時に成り立つ点(原点を除く)を持つ
よってtan(k)は有理数
この時tan(k+120°)は無理数になり、原点を除く整数x、yを解に持たない

＞この時tan(k+120°)は無理数になり
自明でないような気がするんだが

>>888
y=tan(k)xでx,yが整数であってもtan(k)が有理数とは限りません。

>>890
間違えました
「tan(k)が有理数とは限らない」
じゃなくて
「tan(k+120)が無理数とは限らない」
ですね。
厳密な証明を全部省いたなら別ですが

複素数平面で考える。Bが原点だとしてよい。Aをa＋bi (a,b∈Z)とし、
∠ABC＝120°であるとすると、Cは(a＋bi)(−1＋i√3)/2と表せる。
つまりCは(−a−b√3)/2＋i(a√3−b)/2 と表せる。a,bは整数だから
(−a−b√3)/2と(a√3−b)/2は無理数である。これは、Cが格子点で
あることに矛盾。

>>892
長さは？

とりあえず複素平面が範囲外なわけだが。

tan (k+120°)=(tan k-√3)/(1+√3 tan k)=q (有理数)
とすると、(q*tan k+1)√3= tan k-q
(1) tan k=-1/q のとき、tan k=q となるが、この両方を満たす実数qはない。
(2) tan k≠-1/qのとき、√3=(tan k-q)/(q*tan k+1) =(有理数)

(1)(2)とも不適。

>>887
B〜C級でとの要望に応えたので。(1)は論外。
(2)の期待値の計算でnCkの計算が少しゴチャゴチャするのと、
「武勇伝！」と叫ぶときにも「でん」を1回言っているのを
見落とす人がいるかと思った・・・という程度。

x,yが任意の実数値をとるとき，
(cosx+siny-2)/(sinx+cosy-3)
のとりうる値の範囲を求めよ．

120分。4(a)、4(b)から1題選択。公式集省略。
行列A=(左上 \ 右上 \\ 左下 \ 右下)=(3/5 \ -4/5 \\ 4/5 \ 3/5)
とする。正の整数nに対して、
A^n=(a[n] \ -b[n] \\ c[n] \ d[n])とするとき、\\
(1) b[n]=c[n]、a[n]=d[n]を証明し、{a[n]}^2+{b[n]}^2の値を求めなさい。
(2) (5^n)*b[n]を5で割った余りを求めなさい。ただし、負の整数k
に対しては、k+(k以上の最小の5の倍数)=(kを5で割った余り)とする。
(3) A^n=Eとなるようなnは存在するか？

2．θが0≦θ≦πの範囲を変化するとき、
直線L[θ]:y=(cosθ)x+sinθ-θcosθ が通過しうる領域をDとする。
(1) Dを図示しなさい。
(2) Dのうち、0≦x≦πを満たす部分の面積を求めなさい。

3. 任意の四面体には、それに外接する平行六面体が存在することを
証明しなさい。ただし、平行六面体OABC−DEFGに対して、
四面体OBEGはこの平行六面体に外接しているということにする。

4(a) 直方体の各面に1から6の数字を、向かい合う面の数字の和が7
となるように配置する。このゆがんだサイコロを1回振るとき、出た目の
数をxとする。
(1) xの期待値を求めなさい。
(2) 1、2、3の出る確率をそれぞれp、q、2pq (0<p<1、0<q<1)とする。
x^2の期待値が(73)/4であるとき、p、qの値を求めなさい。

4(b) aを定数とする。y=ax+cos(2x)+4cos(x) の区間0≦x≦2π
における極値の個数を調べなさい。

>>896
(3、2)を中心とする半径1の円と原点中心半径1の円の共通接線の傾き。

訂正
3. 3行目 「平行六面体に外接」→ 「平行六面体に内接」
4．(1)の前に、「ただし、向かい合う面に書かれた数字が出る確率は等しい。」

>>897-898
ずいぶんと過去問あぶりだしが多いようで…。

　nを正の整数とする．数列{a[n]}が
　a[1]=1，a[2]=1
　a[n+2]=a[n+1]+a[n]
を満たす．
(1) a[n]が5で割り切れるためのnの満たすべき条件を求めよ．
(2) a[1],a[2],…,a[n]の中から選んだ2項の積a[i]a[j](i≠j)の下1桁が0となる確率をp[n]とする．lim[n→∞]p[n]を求めよ．

>>901
名古屋大は昔から似たような問題を時々出す。
それを傾向と言い、その傾向にあわせた問題を要求されたから
それに応えたまで。

>>902
93年東大の類題。ずいぶんと過去問あぶり出しが多いようで。
お互いにww

改作 ↓
　nを正の整数とする．数列{F[n]}が
　F[1]=1，F[2]=1
　F[n+2]=F[n+1]+F[n]
を満たす．
(1) k、nを正の整数とする。F[kn]はF[n]の倍数であることを証明せよ。
(2) nが合成数でF[n]が素数となるようなnが存在すれば、それらを全て求めよ。

>>898の4aみたいな問題嫌いじゃないですぜ

周一定で最大面積は円ー＞同一周で楕円の面積より大きい円があるー＞同じ面積なら周は円より楕円のほうが大きい

>826 別解

　0 < sin(x+y+z) = c1*sin(x) + c2*sin(y) + c3*sin(z) - sin(x)sin(y)sin(z),
ここに　c1 = cos(y)*cos(z) ≦1,　c2 = cos(z)*cos(x) ≦1,　c3 = cos(x)*cos(y) ≦1,
題意より, sin(x)>0, sin(y)>0, sin(z)>0,

Ａ=∫ydx、Ｌ＝∫(1+y'^2)^.5dx=p
G=A-r(L-p)
Gx=0,Gy=0,Gr=0

δＡ＝０−＞Ｅ−Ｌ＝０

a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a,3b,3(a+b),3(a+2b),...
3^k(sa+tb)

a,b,a+b,a,b,... mod 2

>>906
しかし、円の面積はπr^2、楕円の面積はπ(r^2-t^2)
等周問題の結果を流用しても無理。

(1-p^2)^.5r<r

>>904
「お前の場合、まんまじゃん」とMASUDAは言いたいんだろ
確かにいくら似た問題といってもそこまで一緒じゃあね。ひねりが足りなさすぎだよ、あんた

>>904
その問題とMASUDAの>>902がどう改作なんだ？wwwいっしょなのフィボナッチだけだしwww>>902の(1)だけに限れば頻出問題だが、それを出さずに>>904の問題をだしてきて改作と言い切るあんたの分析力は脱帽もんだなww

>>913
言ってることは分かるし、ひねりが足りない(というよりひねってない)のは事実。
お気に召さなかったとすれば、力不足で申し訳ない。ただ、過去問の類題を
ほぼそのままの形で出したのには、理由があった。実際に名古屋大の問題を見てよ。
07年理系�@上三角行列、�A定数分離、�B淡々と計算する微積、�C(a) 反転、�C(b)ポリア
どれも「まんまじゃん」。06年だって話題のぴったり直線は頻出ネタそのまんま、
難問扱いの理学部後期だって有名問題そのまんま。さらに呆れる事に、
06年の確率漸化式、00年の接線の通過範囲、立方体の影になど、名大の過去問すら
何の捻りもなく使い回す。それが名大であり、ここ数年酷さが増している。
だから、それを忠実に再現してみたわけ。だったら過去問50年分やればいいじゃん
となる。しかし、受験生はそこまで暇じゃないだろうから、名大が何度か使い回した
ネタと、過去の易しい名作で参考になりそうなセットを作ってみたというわけ。
以上、長文ｽﾏｿ

ここが作問スレということを忘れているボケがいるようだな

>>904
そこまでぼろくそに否定されると、さすがに凹む orz
申し訳なかった。
ちなみに>>902 だが(1)はn=5の倍数。
(2)は偶数になる場合(n=3の倍数)を利用。n=15の場合、
i、jの取り方は15C2=105通り。下1桁が0になるのは
(i、jの一方が15)+(i、jの一方が5の倍数、他方3の倍数)
=14*2+(3+5-1)*2=42
よって、P[15]=2/5
nが大きくなると、15*15のます目で平面を覆う感じになるから、
P[n]→2/5 最後の極限は97年東大後期�@と類似。

>>917
お前はスレ違いって言葉の意味分かるか？
確率といい名大といい、スレ違いの問題を一度に大量にアップしてんだからたたかれても文句を言える立場じゃねーだろ

　f(x)は以下の等式を全て満たすn次(nは3以上の整数)の関数である。
　f(1)=1/2
　f(2)=1/3
　　…
　f(n)=1/(n+1)
　f(n+1)=1/(n+2)
このとき，f(0) , f(n+2)をそれぞれnを用いて表せ．

(x+1)f(x)-1=(x-1)(x-2)・・・・(x-(n+1))/{(-1)^{n+1}*(n+1)!}

>>884はこう解くのが綺麗。

∠ABC=120°となる異なる３つの格子点A,B,Cがとれたと仮定する。
(BA)↑=(a,b)，(BC)↑=(c,d)とおく。(a,b,c,d：整数)

△ABCの面積Sは S=|ad-bc|/2 と表せる。
また，辺の長さとなす角を使って S=|BA||BC|sin120°=(√3)/2*|BA||BC|とも表せる。

一方，(BA)↑と(BC)↑の内積を考えると，成分表示では ac+bd，長さとなす角を使えば
|BA||BC|cos120°= -1/2 |BA||BC|と表せる。

以上より，
　|ad-bc| = √3 |BA||BC|
　ac+bd = -1/2 |BA||BC|
という２式が成立する。

|BA|≠0，|BC|≠0 なので，辺々割って
　|ad-bc|/(ac+bd) = -(√3)/2
左辺は有理数，右辺は無理数なので矛盾。

>>921の最後の式の右辺は -2√3 の誤り。

>>921
数蝉(2001/1)で松本眞先生がかいた記事の中でこの解き方を読んだことあった。
ええっと、ｘｙｚ空間の有理点を頂点とする正三角形の辺の長さについての記事のイントロでかいてた。
ちなみに上の命題の結論は平方因子を除いた部分を√s とするとｓは偶数で、奇素数の因子はmod3 で0 or 1 となる
そうです。

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く地球から去った方が良い。

>>919
早稲田の焼き直し？

xy座標平面において|x|≦1かつ|y|≦1で定められる領域をUとする．
点(a,b)をUの周および内部にある点として，Uを直線x=aについて回転させてできる立体をT[1]，Uを直線y=bについて回転させてできる立体をT[2]，T[1]とT[2]の共通部分をT[3]とする．また，T[n](n=1,2,3)の体積をV[n]で表す．このとき，
　V[3]/(V[1]+V[2])
のとりうる値の範囲を求めよ．

>>926
MASUDAさん、それ、計算量がいかついです

てかそろそろ1000いくから誰かおNEWスレたてて

それは今から埋め立て（アラシ）をするということか？

（１）x^2+y^2=k^2で表される円がある。このときy=x+pが円を通るときのpの範囲を求めよ、ただしｋは定数。
(2)上の円と直線で切り取られる弧の長さを求めよ

>>929
夏休みの宿題かよw

新手のアラシだな

じゃあこれは？
（１）x^2+y^2=k^2で表される円がある。このときy=x^2+pが円を通るときのpの範囲を求めよ、ただしｋは定数。
(2)上の円と直線で切り取られる弧の長さを求めよ。大小複数あるがすべて求めよ

ﾊｵﾊｵ

×直線
○曲線

>>932は解けない問題でした。ごめんなさい＞＜

>>926
[2/3pi,4/3pi]

xy平面上において，1≦x≦100,1≦y≦100の領域Uにある10000個の格子点の中から以下の条件を満たすような500個の格子点が選べることを示せ．
条件『どの異なる3点A,B,Cを選んでもAB↑+AC↑≠0↑である』

格子点は直角
Ab,ACをきめるのは２つの点が必要つまり１０００/２＝５００
よって示された

>>938
全然示せてない

>>939
たぶん>>938は内積と勘違いしてんじゃない？てか1000なんて数字はどっから出てきたんだ？

>>937
文章で説明が難しいので図で説明。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/d469f1bd54e407c3.pdf

sin(tan1)とtan(sin1)どちらが大きいか

◇●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●◇●●○○●●●●
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
●●◇●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●
●●●●○○●●●●

a=(x,y),b=(s,t),c=(u,v)
ab+ac=b+c-2a=(s+u-2x,t+v-2y)=0
s+u-2x=0,t+v-2y=0

ab=x+yi,ac=u+vi
ab+ac=(x+u)+(y+v)i=0
x=-u,y=-v

>>937
ひさびさに難問かつ良問がきたね

どっちかっていうと数オリっぽい雰囲気がしないでもない>>937

>>947
実際，>>937の問題も>>941の解答も，1983年IMOパリ大会第5問の2次元への拡張に過ぎない。

東大ってたまに数オリの真似するんじゃね？

私自身は数オリとは別の問題から拡張させましたが、数オリからも出てたんですね。3進法に関する誘導問題をつけてましたが、このスレの住人レベルを考慮して省きました。
2次に拡張した結果、529個(23^2)まで取れることは分かったものの530個以上取れるかは私の頭では分かりませんでした。

>>929
答えにarctanが出てくる・・・

すまん，ちょっとミスがあった。
ブロック同士をもう少し離さないと縁のところでAB↑+AC↑=0↑になってしまう。
というわけで，改訂版。
http://image02.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/43dce06dd93b7c7b.pdf

完璧に東大入試レベルを超えてるだろｗ

>>953
MASUDAが>>950で言ってる「3進法」の誘導をつけたら十分東大レベルになる
東大はn進法とか好きだから受験生も対策してるだろ

>>937に3進法の誘導をつけると
『3^0,3^1,3^2,3^3…の中から重複を許さずに選んだ数(1個でもよい)の和として考えられるもの全てを小さいものから並べた数列を{a[n]}とする．
このとき，任意の異なる自然数の組(i,j,k)をとってもa[i],a[j],a[k]が等差数列となることはないことを示せ．』
となります．

やたらにまわりくどい文章だな。誘導の方が難しそうに見えるｗ

>>955
確かに誘導は3進法思いつけば一撃だな
それを使うと>>937は細々した論証省くと
100[10]=10201[3]だからこれ以下で2を含まない最大値は10111[3]
2進法と考えて2^4+2^2+2+1=23
2次元だから23^2=529個とれることが分かる
∴500個とれる

>>948
IMO 1982/B3 solution
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln826.html
これかな？　

IMO 1983/B2 solution
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln835.html
失礼こっちか

33*33*4=4356

xy平面上において，1≦x≦100,1≦y≦100の領域Uにある10000個の格子点で原点から見える格子点の数は？

xy平面上において，半径ｒの円周上の格子点の数は？
xy平面上において，半径ｒの円内部の格子点の数は？

2*33*2+1

>>961
>>962
適当に作るなボケ

2つの球面S[1],S[2]は交円Cをもつ．このとき，以下の条件を全て満たす直線Lが存在することを示せ．
(条件1) 円Cの内部(周を除く)をLが通過する．
(条件2) 直線Lと球面S[1],S[2]との交点4つは等間隔に並ぶ．

解答者が現れやすい、みんなが挑戦したくなる問題には特徴があります。

●見た目がややこしい計算問題、あるいは実際解いてみると計算が大変な問題は敬遠されやすい

●教科書レベルの易しい問題は逆にあまり解かれない(挑戦するまでもないと思われがち)

●シンプルかつ綺麗な問題は挑戦されやすい

●長文で出す場合、パッと見て目を引く興味深い問題文や目立つ数式がなければ問題すら読まれない

●閲覧者は東大京大受験生が多く、東大・京大の25年ぶんの過去問を持っている人が多いため、
東大京大の問題は出しても敬遠されやすい

解き手の解答意欲をわかすような良問出題めざして頑張ってください。

おい、聞いているか？ MASUDAよ！

>>967
聞いてますが何か？私の問題が>>966にそぐわない内容だと思うならあなたがスルーすればいいだけのことです。

>>968偽物だからスルーでok

>>967この文章のソース分かるか？
高校生質問スレ荒らしてるやつと同一人物？

　／　　 _ノ　　＼　　　　　　　　　　 　　 　 　　　 　 　　　 　　 ＿＿＿_
　|　　　 ／ﾟヽ／ﾟヽ　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ／　　 　 　＼
　|　　 　　（__人__）　　　　　　　　　　　 　 　　　　　 　　　／ノ　　＼　　 u. ＼ 　　
　 |　　　　 |'|｀⌒´ﾉ　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　／（●） 　（●）　　　　＼　
.　 |.　　　　U　 　 }　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　|　 　（__人__）　 　　u. 　 |　やべぇよこいつ・・・・
.　 ヽ　　　　　 　 }　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ＼　u.｀ ⌒´　 　　　　／
　　 ヽ　　　　　ノ　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　ノ　　　　　　　　　　　＼
　　　/　　　 く　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／´

966≠967ですか、紛らわしいですね。確かにソース知ってたら967の書き込みは不自然ですな。

>>965
Cの1点Pに対して反転を叫ぶ

>>965
S[1],S[2]の中心をO[1],O[2]とする。
O[1]を通る直線がS[2]と接する点をP,O[2]を通る直線がS[1]と接する点をQとしO[1]P⊥PQ、PQ⊥O[2]QとなるようにP,Qをとる。
線分PQをP側、Q側にそれぞれ延長した直線PQがS[1],S[2]と交わる点をA,BとすればP,QはそれぞれAQ,PBの中点であり、4点A,P,Q,Bは同一直線上にありかつ等間隔にならぶ直線である。

d=r1cost1=r2cost2=p1p2/3

motto latice mondai aru?

点Oを中心とする、半径1、中心角4θ（0<θ≦45°）の扇形OADの弧上に、
弧AB=弧BC=(1/2)弧CD
となる点B, Cをとる。
線分ACと線分BDの交点をPとするとき、長さの比AP/PCをθを用いて表せ。

このスレにリアル受験生がいるのか？しんじられなーい。

>>973
O[1]P⊥PQ、PQ⊥O[2]Qとなるように

半径決まってないのにどうやったらそんな点とれるんだよw

O[1]P=R_[1]≦R_[2]=O[2]PとしO[1]O[2]=dとすれば
O[1]P^2=d^2-R[2]^2
O[2]Q^2=d^2-R[1]^2
PQ^2=O[1]Q^2-O[1]P^2=O[2]P^2-O[2]Q^2=R[1]^2+R[2]^2-d^2となるから

これでやるとPQ^2=0になっちまう。やべぇ困った。

R[1]^2+R[2]^2≠d^2のときしかできねぇ
後はR[1]^2+R[2]^2=d^2のときか

>>973
この問題はそこまで単純じゃないです。

>>982
はい、０に戻りました。周を除くという条件忘れてました。もう少し考えてきます。

次スレまだぁ？
俺ケータイだから立てられねぇ

これ図なし掲示板でで説明するの難しいな。
texで書いて見てもらったほうが手っ取りばやいのか。

このスレから良問を厳選してまとめてくれよ誰か・・

>>965
できたー。帰ったらtexで書きます。
あまり食いつき悪いのはやはり図なしで解答するのがめんどいからなのか。

>986
もうまとめるほどスレが残ってない
あと12しかないから

次スレたてたどー
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/

相手の球に他方の球の中心を含む接平面を描き、その円の２点をむすぶ直線。
中間が２個の球の外に出ないもの。
でおｋ

半径Ｒの球に半径ｒの球は最大何個はいるか。

半径Ｒの球面に格子点を地球儀みたいに描くとき、赤道から見える格子点の数は？

メッシュを稠密にすると、全格子点に対する見えてる格子点の数の比はいくつになる？

ガウス曲率がｋの平面上で見える格子点の比率は？

>>991
そんな恐ろしい問題を大学入試に出すのかw

>>992,993
「見える」ってどういうこと？