線形代数/線型代数 4

〔問題〕
n>2, x[n] を実数としたとき
　cos(π/n)･�納k=1,n] (x[k])^2 ≧ �納k=1,n-1] x[k]･x[k+1] - x[n]･x[1],
が成り立つことを示せ.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/656
東大入試作問者スレ１１

>196

n=1,2 の場合は明らかなので省く。
　　λ･�納k=1,n] (x[k])^2 ) - (右辺) = ｘ・Ａ･ｘ
とおく。λは定数である。
Ａ[i,j] = λ　　( i=j )
　　　　-1/2　 ( |i-j| =1)
　　　　1/2　　(i,j)=(1,n) or (n,1)
　　　　0　　　( otherwise)
計算が少し長くなるが、
　det(Ａ) = (1/2)^(n-1)･{1 + Ｔ_n(λ)},
ここに Ｔ_n はn次の第1種チェビシェフ多項式。
Ａの固有値は λ - cos((2k-1)π/n),　　(k=1,2,…,n)
最小の固有値 λ - cos(π/n) が0になるようにλをとると、…以下(ry

>196

T_n(cosθ) = cos(nθ),
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheFirstKind.html

>>196
大学への数学の宿題だな

>197 の続き

最小の固有値 λ - cos(π/n) が0になるようにλをとると、
Ａのすべての固有値が非負、すなわち、Ａは半正値。
∴ (左辺) - (右辺) = tｘ･Ａ･ｘ ≧ 0.

(例)
n=3 のとき
　固有値 λ - 1/2 = 0 (二重),　λ+1 = 3/2,
　tｘ･Ａ･ｘ = (3/2)y[1]^2,　　y[1] = (x[1] - x[2] + x[3])/√3,

n=4 のとき
　固有値 λ-(1/√2) =0 (二重), λ+(1/√2) = √2 (二重),
　tｘ･Ａ･ｘ = (√2)y[1]^2 + (√2)y[2]^2,
　ここに, y[1] = {(x[1]+x[4])/√2}cos(π/8) - {( x[2]+x[3])/√2}sin(π/8),
　　　　　y[2] = {(x[1]-x[4])/√2}sin(π/8) + {(-x[2]+x[3])/√2}cos(π/8),

数学板でも首席クラスだな

へー
行列って便利だな
線形代数ちゃんと勉強し直そう・・・