★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問

>>174

　I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1,
　I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = [ (1/6)x^3 +(1/8)(1-2x^2)sin(2x) -(x/4)cos(2x) ](x=0,π/2)
　　　　= π/8 + (π^3)/48 = 1.0386631792 0497040846 3586986807 9･･･,

u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加である。
そこで、xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から
　I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du,
ここで〔系〕により
　I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),
　I(n) > I(2)^(n-1) >1,
だから,
　I(n+1) >I(n),

〔ヘルダーの不等式〕
　(1/p)+(1/q)=1, p>1, q>1, a<u<b で f(u)≧0, g(u)≧0 ならば、
　{∫[a,b] f(u)^p du}^(1/p)・{∫[a,b] g(u)^q du}^(1/q) ≧ ∫[a,b] f(u)g(u)du,
　http://mathworld.wolfram.com/HoeldersInequalities.html

〔系〕
　n>1 のとき I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)),
　上の不等式に f(u) = s(u)^(n-1), g(u)=1, a=0, b=1, p=n/(n-1), q=n を代入する。(終)