★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
>>40
御名答。
関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=1,f(1)=0を満たすものとする。また、関数g(x)は、0≦g(x)≦1を満たす連続関数とする。このとき次の不等式が成り立つことを示せ(下記不等式中にある積分は全て積分区間[0,1]の定積分とする)。
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx
※f(x)の微分可能性は保証されていません
御名答。
関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=1,f(1)=0を満たすものとする。また、関数g(x)は、0≦g(x)≦1を満たす連続関数とする。このとき次の不等式が成り立つことを示せ(下記不等式中にある積分は全て積分区間[0,1]の定積分とする)。
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx
※f(x)の微分可能性は保証されていません
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59 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 12:21:00
増田さん、難しすぎです
max_{0\leq x\leq 1}(f(x)+x)=Mとすれば
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx \leq M
一方、\int_0^1 (f(x)+x)dx\geq 1+\frac12(M-1)だから
∫f(x)dx \geq\frac12M
max_{0\leq x\leq 1}(f(x)+x)=Mとすれば
∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx \leq M
一方、\int_0^1 (f(x)+x)dx\geq 1+\frac12(M-1)だから
∫f(x)dx \geq\frac12M
60 ：MASUDA ◆wqlZAUTQF. ：2007/07/01(日) 13:15:49
>>59
あっ…やっぱやりすぎました？一応高校の知識だけで解けるよーにはしたつもりでしたが、一般化しすぎましたかね
あっ…やっぱやりすぎました？一応高校の知識だけで解けるよーにはしたつもりでしたが、一般化しすぎましたかね
61 ：１３２人目の素数さん：2007/07/01(日) 13:31:34
うーん、でも面白いし良問ではある
わかってしまえばあっさりだから、難しかったころの京大って感じか
東大なら後期用でしょう
わかってしまえばあっさりだから、難しかったころの京大って感じか
東大なら後期用でしょう