★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
937 ：１３２人目の素数さん：
益田氏のHPの「解法から見る発想力」のところで、質問なんだけど、
[問題1．3変数不等式]
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1
最初の問題はかなり超越した発想力というものを見ていただこう。
ただの3変数不等式だが、見かけによらないDクラスの難問。
とりあえず試行錯誤して解くのであれば、まずは展開を試すだろう。
展開すれば
(左辺)=-(ac^2+ba^2+cb^2)+(ab+bc+ca)+(a+b+c)-2
となる。そのまま右辺-左辺をしてcを消去して微分にもちこめるが、
莫大な計算量になり、どれだけ早くても1時間はかかるだろう。
別の解法を考えよう。まずは簡単な発想として以下の3つがあげられる。
●左辺は3変数対称式
●0＜a≦b≦cとしても構わない
●等号成立はおそらくa=b=c=1
上の3つは普通にできておきたい発想だ。（後略）
_______________________________________________________
質問
１．左辺は3変数対称式じゃないですよね？
２．ということは0＜a≦b≦cとしてもあまり意味はないですよね？
[問題1．3変数不等式]
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1
最初の問題はかなり超越した発想力というものを見ていただこう。
ただの3変数不等式だが、見かけによらないDクラスの難問。
とりあえず試行錯誤して解くのであれば、まずは展開を試すだろう。
展開すれば
(左辺)=-(ac^2+ba^2+cb^2)+(ab+bc+ca)+(a+b+c)-2
となる。そのまま右辺-左辺をしてcを消去して微分にもちこめるが、
莫大な計算量になり、どれだけ早くても1時間はかかるだろう。
別の解法を考えよう。まずは簡単な発想として以下の3つがあげられる。
●左辺は3変数対称式
●0＜a≦b≦cとしても構わない
●等号成立はおそらくa=b=c=1
上の3つは普通にできておきたい発想だ。（後略）
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質問
１．左辺は3変数対称式じゃないですよね？
２．ということは0＜a≦b≦cとしてもあまり意味はないですよね？
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938 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 20:12:13
バカは消えてね
てかここで質問すんなカス
てかここで質問すんなカス
939 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 20:12:40
>>937
数オリの過去問じゃｎ
数オリの過去問じゃｎ
940 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 20:36:14
>>938
わかりました。質問スレに行きます。
わかりました。質問スレに行きます。
941 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 21:17:12
ここ頭イイ人いなくなっちゃったの？
942 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 21:36:34
ただ書き込みしないだけ
943 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:29:03
21:名無しなのに合格[sage]
2008/02/08(金) 04:23:23 ID:Dg8O6Brn0(24)
◆BHMb/z05DY
赤色、青色、黄色のカードがそれぞれ大小1枚ずつ合計6枚ある。
このカードを同じ色が隣り合わないように横一列に並べる並べ方は何通りあるか。
◆JYCvS9mfUA
大,中,小のサイコロを同時に投げ出た目の数をそれぞれa,b,cとして分数x=(b+c)/2^aを作る。
3つのサイコロを3度投げて得られた分数を順にx1,x2,x3とする。
1/8≦x1+x2＜1/4かつx1+x2+x3が整数になるような目の出方は何通りあるか。
◆SxtYbZEebE
平面上に1辺の長さが2の正3角形ABCと3角形ABCの内部(周上を除く)に点Pがある。
辺BC,辺CA,辺ABに関して点Pと対称な点をそれぞれL,M,Nとする時
3角形LMNが鋭角3角形となるような点Pが存在する領域の面積を求めよ。
2√2-πなら#2√2-π
◆eB.VEsDn4M
数列{an}(n=1,2,3,…)はa(n+1)=4an^3-3an(n≧1)を満たしn≧10の時
an=a(正の定数)が成り立つ時a1の取り得る値は何通りあるか。
頂決３
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1202402941/
2008/02/08(金) 04:23:23 ID:Dg8O6Brn0(24)
◆BHMb/z05DY
赤色、青色、黄色のカードがそれぞれ大小1枚ずつ合計6枚ある。
このカードを同じ色が隣り合わないように横一列に並べる並べ方は何通りあるか。
◆JYCvS9mfUA
大,中,小のサイコロを同時に投げ出た目の数をそれぞれa,b,cとして分数x=(b+c)/2^aを作る。
3つのサイコロを3度投げて得られた分数を順にx1,x2,x3とする。
1/8≦x1+x2＜1/4かつx1+x2+x3が整数になるような目の出方は何通りあるか。
◆SxtYbZEebE
平面上に1辺の長さが2の正3角形ABCと3角形ABCの内部(周上を除く)に点Pがある。
辺BC,辺CA,辺ABに関して点Pと対称な点をそれぞれL,M,Nとする時
3角形LMNが鋭角3角形となるような点Pが存在する領域の面積を求めよ。
2√2-πなら#2√2-π
◆eB.VEsDn4M
数列{an}(n=1,2,3,…)はa(n+1)=4an^3-3an(n≧1)を満たしn≧10の時
an=a(正の定数)が成り立つ時a1の取り得る値は何通りあるか。
頂決３
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1202402941/
944 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:34:56
945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
>>934
exp(π/12) = 1.2992658676977813229699617951293…
3 - √3 = 1.2679491924311227064725536584941…
>>937
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}
題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
exp(π/12) = 1.2992658676977813229699617951293…
3 - √3 = 1.2679491924311227064725536584941…
>>937
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}
題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,