★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問

0<x<eのとき，
　(e+x)^(e-x)>(e-x)^(e+x)
が成り立つことを示せ。ただし e は自然対数の底である。

「東大レベル」でもいろいろあるからなあ・・・
98年後期のグラフの問題のような難問も出るし。
俺は難しい問題の方が好きだからMASUDAさんの問題はありがたい。

(e-x)log(e+x)＞(e+x)log(e-x)
⇔e{log(e+x)-log(e-x)}＞x{log(e-x)-log(e+x)}
⇔elog{(e+x)/(e-x)}＞xlog{(e-x)/(e+x)}
⇔elog{1+2x/(e-x)}＞-xlog{1+2x/(e-x)}
1+2x/(e-x)＞1よりlog{1+2x/(e-x)}＞0
∴両辺log{1+2x/(e-x)}で割ると
e＞-x
これが成り立つことは0＜x＜eより明らか

>>620
全部が全部東大レベル越えしてるわけじゃないですよ．私の問題は大半がCレベルもしくはDいくかいかないかのレベルですから．たまに出す>>435や>>518とかは東大越えしてます．

ここの住民にしてみたらCレベルでは物足りないところもあるだろしね
東大で1セット中1題出てくる難問くらいのレベルの問題をMASUDAは出してくるからちょうどいいとは思うが

ここの住人にしてみたらCレベルでは物足りないところもある
東大で1セット中1題出てくる難問くらいのレベルの問題をMASUDAは出してくるからちょうどいいとは思うが
難問でも少し手を抜いて易しく作ると>>622→>>624みたいに瞬殺されるし

最近の東大はA〜Bレベルがほとんど、1問くらいCがあるかないかって感じだけどな

0≦x≦1において連続な関数f(x)がある．nを2以上の自然数とするとき
n∫[a,a+1/n]f(x)dx=∫[0,1]f(x)dx
を満たす実数a(0≦a≦1-1/n)が必ず存在することを示せ．

>>624は見た瞬間おかしい（同じものが出るはずがない）
でよく見ると二行目で移項間違ってる

>>628
後期がなくなるから今年からはたぶん難化すると思う

>>527
スルーされてるがどうやるんだこれ？

nを2以上の自然数、eをネピア数とする。
次を示してください。

n^n＜n!/e^(1-n)＜n^(n+1)

(-Bくらいでしょうか)

>>629
g(a)＝n∫[a,a+1/n]f(x)dx−∫[0,1]f(x)dx (0≦a≦1−1/n)とおくと、gは連続。また、
g(0/n)＋g(1/n)＋…＋g((n−1)/n)＝0 であるから、g(i/n)≦0かつg((i＋1)/n)≧0を
満たすi(0≦i≦n−1)が存在するか、あるいは、g(i/n)≧0かつg((i＋1)/n)≦0を満たす
i(0≦i≦n−1)が存在する。どちらの場合も、中間値の定理から、g(a)＝0を満たすaが
存在する。

>>609
2^2^…^2^4-3

nを自然数とする．
(1) pが素数ならば，1≦k≦p/2をみたす全ての整数kについてC[p-k,k]+C[p-k-1,k-1]がpで割り切れることを示せ．
(2) 漸化式
a[1]=1，a[2]=3
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
で定められる数列{a[n]}について，pが素数ならば，a[p]-1はpで割り切れることを示せ．

ちなみに>>636は(1)と(2)の間もう1題誘導があったのですが，その誘導があるとこのスレの方々なら即答できるレベルになってしまうので省いてます．

進振りで後年しそうな俺が来ましたよ（´・ω・｀）

暇つぶしに解いていくかな

＞(1)と(2)の間もう1題誘導があったのですが
過去の模試問か何かでしょうか？

>>639
意外にマイナーなとある定理の証明問題を大学入試向けに私がつくりかえたものです．作った当初は誘導3題だった，ということです．

MASUDAさんはここ以外でも問題を出していますか？

MASUDAさんはここ以外でも問題を出していますか？

MASUDAさんはここ以外でも問題を出していますか？

ごめんなさい。なかなか更新されなかったんで失敗しちゃいました。

自分のサイトで出題しています

MASUDAで検索すれば見つけられますか？
あと高校生ですけど大丈夫でしょか？

http://83.xmbs.jp/checkmath/

>>647
ありがとうございます

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
高2だけどほとんど10分以内に解けるわ

>>649
相対的にあなたのレベルが高いということに気づかない時点で、

>>649
なんかずっとコピペしてるみたいだけど虚しくないか？

お馬鹿はスルーでＯＫす．

センター試験の男の試験総合
http://www.yoasobi.co.jp/aquarius
君は受かることが出来るのか？

>>636
(1)変形すればp(p-k-1)!/k!(p-2k)!
になる。ところで階乗記号ってこれでいいの？

解いても解かなくても文句たれるクソッタレ

>>636
階乗記号はそれで何ら問題ないですが．

>>655
だからよお、>>435解けたら認めてやるって言ってるじゃん。解いてみなよ？

>655
>解いても解かなくても
お前は１問も解いてないわけだが

真・スルー　何もレスせず本当にスルーする。簡単なようで一番難しい。
偽・スルー　みんなにスルーを呼びかける。実はスルーできてない。
予告スルー　レスしないと予告してからスルーする。
完全スルー　スレに参加すること自体を放棄する。
無理スルー　元の話題がないのに必死でスルーを推奨する。滑稽。
失敗スルー　我慢できずにレスしてしまう。後から「暇だから遊んでやった」などと負け惜しみ。
願いスルー　失敗したレスに対してスルーをお願いする。ある意味３匹目。
激突スルー　話題自体がスルーの話に移行してまう。泥沼状態。
疎開スルー　本スレではスルーできたが、他スレでその話題を出してしまう。見つかると滑稽。
乞食スルー　情報だけもらって雑談はスルーする。
質問スルー　質問をスルーして雑談を続ける。
思い出スルー　攻撃中はスルーして、後日その思い出を語る。
真・自演スルー　議論に負けそうな時、ファビョった後に自演でスルーを呼びかける。
偽・自演スルー　誰も釣られないので、願いスルーのふりをする。狙うは４匹目。
３匹目のスルー　直接的にはスルーしてるが、反応した人に反応してしまう。
４匹目のスルー　３匹目に反応する。以降５匹６匹と続き、激突スルーへ。
孤高のhageスルー　スレの流れや罵倒をスルーし定期的に淡々とh抜きを繰り返す。
ゲンスルー　連載そのものをスルーしてしまう。

2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。

　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。
　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。

　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。
　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ
　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。
　　　・e*e=e
　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。
　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e

元、e,iを求めよ。

>>660
提唱者乙
そんな問題文じゃ誰も解いてくれないけどね

a,b,cは異なる複素数であり
　a^2=b，b^2=c，c^2=a
を満たす．このとき，a+b+cは実数となりうるか．
(極形式は現在高校範囲外ですので)

新参でアフォみたいな質問で悪いのだが、ここのスレって
解けたらここに記述でおｋ？
誰も答えを書かずにスルーされている問題が多くて気になった。

>>663
それでおk
ここに書くのもスルーするのも

自由だー！

サンクス

暇だったらここにでも書き込むか

MASUDAさんのホムペ見たけどなかなかおもしろいな
なまった頭を鍛えなおすとするか

実は前スレから↓の問題引きずってます。
解法、ひいては指針だけでもよいので教えていただきたい。


kは1より大きい定数として，α,βをksinα=sinβ,0＜α＜β＜π/2をみたすように定めるとき，β/αはβの増加関数であることを示せ．

>>666
[補題1] 0<p<1，0<x<π/2 に対して，ptan(x)>tan(px)
[証明] y=tan(x) 上の2点(0,0),(x,tan(x))を結ぶ線分がy=tan(x)より上に来ることを考えれば明らか。

[系1] 0<p<1，0<x<π/2 に対して pcos(px)sin(x)>sin(px)cos(x)

[補題2] p を 0<p<1 なる定数とするとき，f(x)=sin(px)/sin(x) は 0<x<π/2 で単調増加
[証明] f'(x) の分子が pcos(px)sin(x)-sin(px)cos(x) となるので[系1]より従う。

[補題3] 0<p,q<1 および 0<x<y<π/2 が sin(px)/sin(x) = sin(qy)/sin(y) を満たすならば，p<q
[証明] [補題2]より sin(px)/sin(x) は x に関して単調増加，また明らかに p に関して単調増加なので。

[>>666の証明]
α/β=p とおいて，p がβに関して単調減少であることを示す。
α=pβ なので，ksinα=sinβ ⇔ sin(pβ)/sinβ = 1/k
右辺が β によらない一定値であるので，βが増加しても sin(pβ)/sinβ の値は一定に保たれる。
従って[補題3]より，βが増加するとき p は減少する。よって題意は示された。

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
高1だけどほとんど5分以内に解けるわ

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
だけど、大学生になってから勉強してない俺にはどれも解けないな

ワッフルワッフル

東大の名を借りている癖にレベル高すぎるなここの問題
東大の問題なら３年に一回は満点なのにここはできない問題が多くて自信がなくなるわ

>>662
a+b+cが実数と仮定すると
a+b+c=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
∴ab+bc+caも実数
また、abc=(abc)^2
abc=0だとa=b=c=0となり矛盾
∴abc=1で実数
以上からa,b,cのうち少なくとも1つは実数となる
aを実数と仮定すると
b=a^2よりbは実数
c=b^2よりcは実数
∴a,b,cは全て実数
a=c^2=b^4=a^8
同様にb^8=b,c^8=c
以上からa,b,cはx^8-x=0の異なる3つ実数解となるが
x(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
∴実数解を0,1しか持たず矛盾
以上よりa+b+cは実数とはならない
■

>>672
御名答

>>636
(1)通分すれば明らか。
(2)p=2のときは明らかなので，pは奇素数と仮定してよい。
a[n]の一般項は a[n]={(1+√5)/2}^n + {(1-√5)/2}^n である。
n=pを代入し，二項展開すると，偶数番目の項のみが残って，
　a[p]=1/2^(p-1) Σ[k=0,(p-1)/2] C[p,2k]5^k
と表せる。分母を払うと
　2^(p-1) a[p]=Σ[k=0,(p-1)/2] C[p,2k]5^k
この両辺を mod p で眺める。まず，フェルマーの小定理より 2^(p-1)≡1 (mod p)
また，C[p,2]≡C[p,4]≡……≡C[p,p-1]≡0 (mod p) なので，右辺のΣはk=0の項のみが残り，
　a[p]≡C[p,0]5^0 = 1 (mod p)
となるので示された。

(2)で(1)を使わなかったんだが……

a,bを実数とする．xについての方程式x^2-ax+b=0の解をp,q(p≦q)，x^2-bx+a=0の解をr,s(r≦s)とすると，p,q,r,sは正の整数となる．(a,b,p,q,r,s)の組み合わせを全て求めよ．

>>674
それはフェルマー小定理使ってるからだろ

>>674
a[n]=Σ(二項係数+二項係数)
の形にすれば(1)が使える。MASUDAが隠した誘導はたぶんこの変形部分。これがあると(3)はほぼ自明に近い。
普通の受験生はa[n]の一般項から攻めようとは思わんだろ。フェルマー小定理もそのまま使っていいもんじゃないし。

>>674
フェルマーの小定理を使わなくとも
pが奇数の素数のとき、2^(p-1)≡1　(mod　p)となることは
2*2^(p-1)=2^p=C[p,0]+C[p,1]+･･･+C[p,p]≡2　(mod　p)より
2^(p-1)≡1　(mod　p)
と示せる(出題者の意図とは異なるだろうけれども)。

>>675
解と係数の関係からa,bも正の整数
２つの二次方程式が解を持つから判別式≧０
a^2-4b≧0
b^2-4a≧0
以上を満たす領域は(a,b)=(0,0)のみ
よって(a,b,p,q,r,s)=(0,0,0,0,0,0)

何か勘違いしてる気がする・・・

>>679
領域図示してみたか？
(a, b)は無数にあるぞ。

a,b正の整数って条件から原点のみになりそう
明日酒が抜けたらもう一回落ち着いて考えてみるわｗ

　　一辺ノ長サガ一ノ正十二面体ニ内接ス球ノ半径ハ幾ラカ(S16一高)

凸多角形アリ。ソノ内角ガ等差級数ヲナシ、再小角ガ１２０度、公差ガ
５ナラバソノ邊数如何。(11京城大)

一辺の長さが１の正方形ＡＢＣＤの内部に二つの点Ｐ、Ｑを取る。
このときAP+BP+PQ+CQ+DQの取りうる範囲を求めよ。

表面積が１の立体の体積の取りうる範囲を求めよ

>683

邊の數をn角形とし、内角をθ_1 〜 θ_n とする。
凸n角形は n-2個の3角形に分割できるので、内角の和は 180(n-2),
θ_k = 120 + 5(k-1),
θ_1 + θ_2 + … + θ_n = 120 + 125 + … + {120 + 5(n-1)} = 120n + (5/2)n(n-1),
一方、凸n角形は n-2個の3角形に分割できるので、内角の和は 180(n-2)
θ_n < 180 より n<13,
∴ n=9.

>>685
適当に出すな
高校範囲での解答を用意できてるのか？

無能ニートが涙目ｗｗｗ

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
中２女子だけどほとんど１０分以内に解けるわ

だってここのスレは無能オタクのすく…(ry

>>681
それは酔いすぎです．原点は答えには入りません．

>>688
お前、自分で正８面体の問題出しといて自分だけ答え分かってなかったから逃げ出したこないだのガキだろ？文体からバレバレ

>>688=690
ひどい自演
>>689
そのセリフ、なんかもうネタだなぁwww飽きたわ
中２女子の次は小学生あたりいきそうだけど、もうちょい斬新なのはないか？

>>688-690ってMASUDAのサイトにいたIQ200とかいう奴じゃね？それかピーコか。ここで最近現れる荒らしのパターンがだいたい同じなんだよな

a=p+q=rs、b=r+s=pq
a=bのときp+q=pq⇔(p-1)(q-1)=1から(a,b,p,q,r,s)=(4,4,2,2,2,2)
a＞bのときp+q＞pq⇔(p-1)(q-1)＜1
∴p,qの少なくとも一方が1なのでp=1とすると
a=1+q,b=qからa=b+1
∴rs=r+s+1⇔(r-1)(s-1)=2
∴(r,s)=(2,3),(3,2)
∴q=2+3=5
以上から
(4,4,2,2,2,2),(6,5,1,5,2,3)←全部書くのめんどくさいから省略するけどこれをいろいろ入れ替えたやつもおk

>>695
御名答

692 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 09:48:48
>>688
お前、自分で正８面体の問題出しといて自分だけ答え分かってなかったから逃げ出したこないだのガキだろ？文体からバレバレ


無能ニートの悲痛な叫びｗ

>697
くどい

>>684 数オリの予選問題じゃん

文体からバレバレとかさすがに痛すぎるだろ･･･

693 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 09:53:35
>>688=690
ひどい自演

これはひどいｗｗｗどこが自演なんだよｗｗｗ
国語大丈夫ぅ？ｗぷぅｗｗｗ幼稚園からやりなおせよｗｗｗ

>>688に対する>>692の返しが意味不明。バレたからってそれしか言い返せんのか？

>>701
お前ピーコだなwww

698 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 13:47:16
>697
くどい

すんならわざわざレスしなくてもスルーすればいいのにねぇｗｗｗ
図星で思わずレスしちゃったんだね？ｗｗｗ涙目のニート乙ぅｗｗｗ

かまってほしいだけのただのガキだろ？問題出すにも数オリからしか引っ張ってこれんし。
MASUDAさん早く次の問題〜

なんだオリジナルじゃないのかよ

論破完了ｗ

何をもって論破完了よwww

705 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 13:54:09
かまってほしいだけのただのガキだろ？問題出すにも数オリからしか引っ張ってこれんし。
MASUDAさん早く次の問題〜


嘘こけｗｗｗ適当に思いついた問題だぞｗｗソース出せよｗｗｗ低脳ｗｗｗ
解けなくて発狂したか？ｗ

ここの住民を無能って言いたいんなら1問くらい問題解いてみろよ？頭いいんならすぐに解けるんだろ？

702 ：１３２人目の素数さん：2007/09/21(金) 13:51:42
>>688に対する>>692の返しが意味不明。バレたからってそれしか言い返せんのか？

ニホンゴダイジョウブデスカ？

>適当に思いついた

ボロがデタ━━━＼(･∀･)／━━━！！

1993年 予選問題の5問目だな。

>>712 だって問題見ればわからね？
どう見たって適当だろ？ｗｗｗ

>>709
つまりは出題者自身解けない、と

>>715 だって俺私文志望の浪人だしｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

適当な問題出しといて「適当に出すな」と言われて「無能」と返しておきつつ「適当に出した」

お前馬鹿？

ニホンゴでおｋｗ

699=713だが数学の部屋の問題投稿にも似た問題を最近解いていたからわかった。
これ発想の仕方はなかなか面白いよ

>716
なんだ、ただの私文馬鹿か
まあ書き込み見てる限り数学どころか文系教科すらできなさそうだけどなwww

>>720 ほっとけよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
浪人がこんな時間に２ｃｈやってる時点で察しろｗ

だから書き込みで判断とかはさすがに痛いからよしとけ…

まあ仮にここの住民がニートだとしても
ニート≫私文志望の浪人
だからなぁ

数学なんて中学以来全く触れておりませんが何か？

それでも数学超できる方を泣かせる問題作れるとは自信になると同時に
数学オタの方は無能な方が多いことも分かりました。
帝京大学落ちたバカすら論破もできないとは…
理学部数学科＝オナニート学科ってことが分かっていい経験になりましたｗ

>>722
本人が認めてるからおk

ゆとりだねぇ・・・

>泣かせる問題
答えが円だってことはみんな分かってるよ。ここはそれをいかに高校範囲で解くかのスレ。
そもそもここに理学部数学科がはたして何人いるかって話だが、10人おらん気がする。一度アンケートとりたいけどな。大量出題してるMASUDAは理学部じゃないし

数学超できる奴は2chに書き込みさえしない

どこをどう論破したというのかwww
論破そのものを分かってないwww

>>728
禿同

数オリ金メダリストの片岡君は数オリスレに去年書き込んでいたけどな

>>727
俺は理学部どころか理系学部ですらない。経済学部ね。

>>730が事実なら>>728-729は片岡君に菓子折り持って謝りに逝って来いよ。

超できる奴じゃなかったらどうするよｗｗｗ

大学院やそれ以上の数学の知識がある方を数学が超できるというのならばよくわからないが一人今、大学への数学でガッコンの解答や宿題の作問などを手がけていらっしゅるJ氏という人しか知らない。
>>732
去年の数オリのちょうど予選が終わったころだったかと思う。片岡君のHPの掲示板で片岡君が解答書き込んで２ｃｈでボーダーはいくつぐらいかと書いていた。

東大生喪だけどおまいら大学生？

ここは中学生〜受験生〜大学生〜社会人まで混成

つーか、どの問題のこと？

平面上の５つの点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあって４つの数a、b、c、dが
a、b、c、d≧０、a+b+c+d＝１の時、a↑OA+b↑OB+c↑OC+d↑ODはどんな図形
を作るか？

ベクトル勉強したぉｗちゃんと解けるの確認したから誰か今度こそ
解いて欲しいぉｗ

今度は教科書から引っぱってきたのか？ｗ

おまいら反応しないように。

さすがに素数様ネタはここではもう通じないか

姉は折り紙を四十枚、弟は折り紙を七十枚持っている。
姉が弟に折り紙を何枚かあげても、姉の枚数が弟の枚数より二倍より多くなるようにしたい。
姉は弟に何枚まであげることができるか。
あげる枚数をΧ枚として不等式を作って求めよ。

2^3は
にのさん「乗」
だから乗でいいんだよ
MASUDAさんは
「にのさん乗」を
2*3だと思ってるのかい？

>>743
ん？私に何か？いきなりふられたんでよく分かりませんがどの問題をさして言っておられるので？

流れが意味不明
MASUDAがとんだとばっちり受けてるよ
>>743の意図がわからん

どこにでもいる意味不明なこと口走る奴にいちいち対処していたらキリがない

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1180106693/
上と混乱している模様。

たぶん>>743は乗法という言葉を勘違いしていると思われ

>>743にダイレクトに問題
(1)「積」の意味を述べよ。
(2)「乗法」の意味を述べよ。
(3)「累乗」の意味を述べよ。

ん？
流れがよくわからんが
2^3が積だか情報だか累乗だかであることが東大入試と何か関係あるのか？

ようやくわかりました．私のサイトで「a*b」を「乗法」と説明しているのですが，>>743氏は「乗」という文字を見て「乗法はa*bじゃなくa^bだ」と主張しているかと．

>>743は
乗といってるが乗法とは言ってないような
「乗」ってなんだ？

加減乗除が分からん奴がこの板にいようとはな。履修漏れか？>>743は小学校に行きなおしなさい。

>>752
MASUDAはこの板では「乗」なんて言葉は一度も書き込んでない(はずだよな？)。
となればMASUDAの推測通り、743はMASUDAのサイトの数学記号表記説明を見て書き込んだとしか考えられない。

>>754
御名答(なのか知りませんが)

最近の東大作問スレおもしれーな色んな意味でｗ

よほどツマラン日々を送ってるんだな…合掌

MASUDAさんは「にのさん乗」を2*3だと思ってるでFAですね

俺の文章からどこに現実と結びつけられるところがあるんだろうｗ

みんなスルー力が足りないね

>>735
仲間がいたｗ

これまでMASUDAさんの問題を解答してきましたが，これからはMASUDAさんを見習って作問にもチャレンジしていこうかと思います。
初心作を一つ。

nを自然数とするとき，
　Σ_[k=0,∞] C[n+k,k]/3^(n+k+1) = 1/2^(n+1)
を示せ。

1　√2+√3が無理数で或る事を示せ
2　ｎが自然数のとき、√ｎ+√（ｎ+1）が無理数である事を示せ。

>762
　Σ_[k'=0,∞) x^k' = 1/(1-x),
これをn回微分して
　Σ_[k=0,∞) (n+k)(n+k-1)・・・(k+1)x^k = n!/(1-x)^(n+1),
　Σ_[k=0,∞) C[n+k,k] x^k = 1/(1-x)^(n+1),
　Σ_[k=0,∞) C[n+k,k] x^(n+k+1) = {x/(1-x)}^(n+1),

>763
背理法による。
x = ±√n + √(n+1)　は x^4 -2(2n+1)x^2 +1 =0 の根である。
xが有理数であると仮定すると、x=p/q　(p,qは互いに素な自然数)と書ける。
　p^4 -2(2n+1)(pq)^2 +q^4 =0,
よって
　p^2 -2(2n+1)q^2 +(q^2/p)^2 =0,
　(p^2/q)^2 -2(2n+1)p^2 +q^2 =0,
∴　q^2/p, p^2/q が自然数となる。
これは p,q が互いに素であることと矛盾する。

>>763
x = √n+√(n+1) とする
1/x = √(n+1)-√n

x が有理数とすると
x + (1/x) = 2√(n+1)
x - (1/x) = 2√n
の両方とも有理数となって矛盾

>>758
> MASUDAさんは「にのさん乗」を2*3だと思ってるでFAですね
ににさんを乗ずるとにのさん乗の区別がつかないとは・・・

>>764
さすがにこのスレでは一撃で解かれてしまいますね……

その解法で使われている，無限和と微分の順序交換（項別微分定理）は高校範囲外ですが，
和をS_nとおいて漸化式を立てれば，高校範囲で解くこともできます。

>>763の一般化

p, q, r を自然数とし，条件
「pq, qr, rp のいずれも平方数でない」
が満たされるものとする。
また，a_1,…,a_7 は
　(a_1)^2 + (a_2)^2 + … + (a_7)^2 > 0
を満たす有理数とする。

このとき，
　a_1√p + a_2√q + a_3√r + a_4√(pq) + a_5√(qr) + a_6√(rp) + a_7√(pqr)
は無理数であることを示せ。

>>758
私がいつそんなことを言ったというのですか？

馬鹿は相手しなくて良いよ。

nを自然数，pを0＜p＜1を満たす有理数とする．数列{a[n]}を以下のように定める．
　a[1] = 1
　a[n+1] = a[n]2^p (1≦a[n]＜2)
　a[n+1] = a[n]/2　(2≦a[n])
(1) a[n]＜4を示せ．
(2) 任意のnについてもa[n+c]=a[n]を満たす自然数cが存在することを示せ．また，cはどのような数か．

>>768
　(a_1)^2 + (a_2)^2 + … + (a_7)^2 > 0
を満たす有理数とする。

これは？

>>772
全部同時に0にはならんてことだろ

ふと思ったんですけど、「実数a_1,a_2....a_7のうち一個だけが0で他の6個は0でない」っていう条件は簡潔にかけますか？

ここの人はみんなしっとるかもしれんが

√(1+2√(1+3√(1+4√1+5√(1+‥‥‥
の値はいくつか

>>774
その前に「a=0 かつ b≠0」を簡単な式で表すことができないので無理だろう。

すみません，>>768の仮定は
「p, q, r, pq, qr, rp, pqr のいずれも平方数でない」
に訂正します。

>>776
a/b = 0 はどうよ？

>>775
ラマヌジャンの問題だろ

答えは３

ほかの奴が問題出すとMASUDAの問題の難度が際だつな
>>771の最後が分からん

>>771
(1)明らか。
(2)明らか。p=n/m(n,mは自然数)とするとc=m+n

今宵また　百の蝋燭に火が灯る……

生きる限り付き纏う“見えざる者”の恐怖
異界の記憶
忘れられない体験…

言葉として紡ぎ　百の物語を完成させましょう

蝋燭を吹き消すのは　あなたご自身です
灯りを落とし　手鏡をご用意下さい
百の怪を語り終えたとき　鏡に映るのは貴方だけではないかもしれません

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【９月２２日】『百物語』準備室【夜２１時〜】
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○募集しています○
進行役さん、語り部さん、DJさん。そして聞き役さん

このスレって東大狙ってる人が来てるわけじゃないんだよな？
そんな暇ないよな？

>>781
正確には「mとnは互いに素」がつくけどな。
証明問題で「明らか」じゃあ本当に解けたのわからんけど。c=m+nは実験すりゃすぐ分かるから。証明は「明らか」っていえるほど簡単じゃないだろ、これ

カスｗ

以下では10進法で考える．
ある整数aは2以上9以下である．a,a^2,a^3,…,a^n(n=1,2,3,…)のうち，最高位の数が1以上a-1以下である確率をp[n]とするとき，lim[n→∞]10^p[n]をaで表せ．

ｆ（x）=x^2+ax+bとする。
a,bを無作為に全実数の中から選んだ時
このとき、二次方程式f(x)=0の解は
2つの異なる実数解、重解、虚数解であるうちの
どの確率が一番高いか、求めよ。

はいはい
スルー

>>787
日本語が下手ですね

ｆ（x）=x^2+ax+bとする。
a,bを無作為に全実数の中から選んだ時
このとき、二次方程式f(x)=0の解は
2つの異なる実数解、重解、虚数解であるうちの
どの確率が一番高いか、求めよ。

平面上の５つの点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあって４つの数a、b、c、dが
a、b、c、d≧０、a+b+c+d＝１の時、a↑OA+b↑OB+c↑OC+d↑ODはどんな図形
を作るか？

一辺ノ長サガ一ノ正十二面体ニ内接ス球ノ半径ハ幾ラカ

ｆ（x）=x^2+ax+bとする。
a,bを無作為に全実数の中から選んだ時
このとき、二次方程式f(x)=0の解は
2つの異なる実数解、重解、虚数解であるうちの
どの確率が一番高いか、求めよ。

>>791
「ベクトルの作る図形」って何

>>790 >>793
無限の中からどのように２実数を選ぶか、その手順が明確に指定されない
限り、この確率は計算できない。

>>784
p=2/3,c=10のとき
p=n/m(n,mは自然数),c=m+n,mとnは互いに素
となるm,nは存在しない

>>794-795
正しい対応の見本。もしくはスルーするのがベスト。

>>784
いや、そんなに難しくない。

>>786
この問題文、言いたいことはなんとなく分かるが、日本語になってないと思うのだが…。
違和感感じるのは俺だけか？

>>795
集合でしょう。
すべて同じでいいのかな？

ｆ（x）=x^2+ax+bとする。
a,bは-ｋ≦a.b≦k（ｋは0より大きい実数）
を満たす範囲内の実数から、同率で選ばれる。
このとき、二次方程式f(x)=0の解が
2つの異なる実数解、重解、虚数解である確率を
R（ｋ）、M（ｋ）、I（ｋ）とおいたとき、
ｋ→∞において、最大と成るものはどれか、説明を交えて答えよ。

R（ｋ）＝I（ｋ）は自明だよね。
あとは、M（ｋ）だけど、たぶん同じだろう。

>>795
>>790は問題ちゃんと読めば明確だろ。あるaって書いてるし。
p[n]=loga

と馬鹿が申しています。

東大の名を借りている癖にレベル低すぎるなここの問題
高2だけどほとんど10分以内に解けるわ

>>803は本物の馬鹿の予感…!!

804と805の順番が逆になって、失礼しました。

>>807
神

>>803
それ、2つの確率の問題がごちゃ混ぜになってるよ

>>784
死ね

>791
　{OA,OB,OC,OD}の凸線形結合の集合、すなわち 集合{A,B,C,D}の凸包 (convex hull)

>794
　与式 = ↑OP としたとき、点Pの存在する範囲。

>>810
ずいぶん荒れてるねぇ

カルシウムがたりないね

　　　　　　　　 / :/ / :.:/ .:.{ :.{:.:　 {:.:.:..　　ヽ:.:.:ヽ:. ＼
　　　　　　　 / :/〃:.:.:.l :.:.八.:ヽ:.　',:.:.:.:..　　'.:.:.:.|:.:.l:. l
　　　　 　 　 ｌ　| l | :.:. |, /-‐ヽ.:＼:.:＼´:.￣ ヽ:.:l:.:.j:. |
　　　　 　 　 |　| i l :. /! {　__　＼{ ＼ヽ＞=くﾊ:/:./:./
　　　　 　 　 |　N八 :.:.l{ ｲﾃ下　　　　｀'f_:::: }V/ｲ /|
　　　　 　 　 | / {ﾍ:.ﾄ､:':{ﾊi_::::j　　　　　 r':;;ｿ 〃{:.　|　　まあまあとりあえずお茶でもどうぞ
　　　　　　　j/　　ヾｲﾞヽゝ v:ｿ 　 　 ' 　 ｀´　厶 |:.　l
　　　　　　 / 　 .:.:.:/|　:.:ﾍ、　　　 ー '　　 ,ｲ:.:.　|:.:. ﾊ
.　　 　 　 /　　.:.:;:'イ|　:.:小＞ ､ 　 　　 イ　|:.:　 ド､ い
.　　　　 /　　,／　　.|　:.:.:| ＼.　　￣´／〈　.!:.:　 l　 ＼ヽ
　　　　/　　/　　　　|　:.:.:|　　＼ ー ´　/ ヽｌ:.:.　 |　　 l い
.　　　/　　/　　　 　 !:. :.:.{　　　　 ー'　　〇}ﾘ:.　/　 ,　|:.　l
　　 /　　.:l　　　ヽ　 ヽ:.:.:ﾊ　　　　　　　　__{__}:./__ /　 l:.:i |
.　 ,'/　.:.:.:j　　　　 Y　 ＼!　　　　ヽ､/　├───┤ ｲ:.:i |
　〃! :.:.:./`　　　　 |!i　　 r=====┬‐─┤ V*　,,,　|　 Vﾘ:l
　l /!:.:.:/　　　　　　|l　　/　　　 　 V===.|　*ヽ";;./ﾞ|　　Vﾉ
　|ハ:.:.{_　　　　　__ |l　 {　　　　　　}　l/∧　{;.Y,,､∨__, -ゝ、
　ヽ ヽ:.:.丁¬‐厶__ヽ== ゝf士土,イ 三{==ヽｪｪｪｪ/=と∠＝'=ｧ
　　 　ヽ:.l　　ｨ{＞ーｧ‐‐ｧ‐ｯ────t─zr‐t―‐r‐v―､ｬ厂
　　　　 ｀| /　＼ '´ ／／ｲ`　　　　　　ﾊ　Lﾑﾍ 'ヽ_〉_＼_／
　　　　　ヽ　　　`ｰ^T´‐┘　　　　(⌒)! ヽ　　ヽ＼　　　/　

nは3以上の整数とする．空間にn個の点からなる集合Aがあり，Aのどの3点も直線上にないものとする．任意のAについても以下の条件を満たすような3点が必ずとれるとき，nの最小値を求めよ．
条件『3点をP,Q,Rとしたとき，PQ↑･PR↑＜0』

>771, 780, 798
　a[k] = 2^(p(k-1) - K), Kは非負整数、 1≦ a[n] < 2^(1+p).
　pが有理数のときは、p=n/m (n,mは互いに素な自然数) と書ける。
　a[1] から始めてm回目に増加したものを a[c] とすると
　2^p ≦ a[c] < 2^(1+p),
　a[c] = 2^(pm -K) = 2^(n-K) = 2^(n+m-c+1),
より　a[c]=2,　a[c+1] =1,
1〜c+1までの増加はm回だから、減少はK+1=c-m回　よって c=m+n

>814
　差し入れ �dｸｽ.

>636-637 >654-656

特性方程式 x^2-x-1 =0 の根： α=(1-√5)/2, β=(1+√5)/2,
　a_n = α^n + β^n = (1/2)^(n-1) Σ[k=0,[n/2]] C[n,2k] 5^k,

後は任せた…

>>816
>>796を嫁

C_1=ax^2
C_2=-(x-2)^2+1がある。
この二つの放物線は、共有点を持たない。
1、C_1上の点Pに対し、C_2上の点Qを、PでのC_1の接線とQでのC_2の
接線が平行に成るように取る。この時、
直線PQは点Pの取り方によらず定点を通る事を示せ
2、二つの放物線はこの定点を中心に、互いに相似である事を示せ。

>819
自分でどこまでやった？

>>622
f(x) = (e-x)log(e+x) - (e+x)log(e-x)　とおく。
　f(0) =0,
　f '(x) = (e-x)/(e+x) + (e+x)/(e-x) -log(e+x) -log(e-x)
　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) +2 -log(e^2 -x^2)
　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) - log{1-(x/e)^2} >0,
∴ 0<x<e　⇒　f(x) >0.

>>815
5

>796,>818

>>771 で p=2/3 の場合は
　a[1]=1, a[2]=2^(2/3) <2, a[3]=2^(4/3) >2, a[4]=2^(1/3) <2, a[5]=2, a[6]=1
にて c=5.

馬鹿だなぁ・・・

>>823
お前本当に馬鹿だなぁ・・・

>>826
お前本当に馬鹿だなぁ・・・

>>827
お前本当に天才だなぁ…

ぼくドラエもん

とりえず>>814のAAよりかわいいメイドさん置いときますね。
ttp://wotaku.jp/search.php?d=2007-01-30

>>822
不正解です

>>771はできればc=k(m+n)とお答えいただきたかったのですが

>>822
底面正方形、側面が全部正三角形の四角錐の5つの頂点が反例になるえ

>>831
その答は>>781と全く同じ意味なわけだが、形式に固執する理由はなんなの？
あと、>>799には返答なし？

>>831は>>781氏に対する返答ではございません．c=m+nと回答しておられる方が多いゆえ．
>>799ですが問題はないかと．とある御人の数学問題を高校レベルに落としただけで，日本語はほとんど変わってません．

>>833
そのお前はなんなの？www

>>830>>832
すまん。空間ではなくて平面で考えていた。
空間なら9だな。

>>836
御名答．

>>799に対して返答を求める方がおかしい
単に>>786のような言いまわしに>>799が慣れてないだけ
「違和感感じるのは俺だけか？」なんだからスルーでおk

>>821
御名答。

xy平面上に単位円C[0]があり，(x-1/2)^2+y^2=1/4，(x+1/2)^2+y^2=1を表す円をそれぞれC[1],C[2]とする．さらに，円C[n](n=3,4,…)を以下のように定める．
(i) 円C[n]は円C[0]に内接し，かつ円C[1],C[n-1]の両方に外接する．
(ii) 円C[3]の中心のy座標は正である．
円C[n]の半径をr[n]として，以下の問いに答えよ．
(1) r[n]をr[n-1],r[n-2]を用いて表せ．
(2) r[n]をnを用いて表せ．

>>840
円C[2]の式を
(x+1/2)^2+y^2=1/4
に訂正します．

>815
　8以下ではない。
　(判例)　直方体の8頂点

>>842
てことは9で示さにゃならんのか…
俺の頭では無理ポ…

>>815
n次元空間で2^n+1個と予想
俺には証明できないけど

>>815は答えは分かりやすいけど論証が悶絶級

>831,834
c: 周期(period): Qの部分群Gをなす。
　m+n: 基本周期(fundamental period): Gの基

>>846
んなこたぁみんな分かっとる

　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 _,,t-‐‐-､,-‐‐-､
　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 三'::::::............... .....::::::`ｙ,.
　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 ナ::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::ヾ
　　　　　　　 　 　 　 |￣|　　 V::::::::::::::::_{{ （{∫∬ﾉノｊヾ:::::{
　　　　　　 　 　　|￣| |￣| 　 ﾅ::::::::::::::i`__,,,,,,,ｧ_　 _,,,,,_ t;;:ﾇ
　　 　 　　　　　　| 　| |　 |　 イﾍ::::::(ヾ~!,ｬt､　!'''i ｨｔﾝ )=f }ｆ
　　　　　　 　 　　| 　| | 　|　　i {t）テ" ﾍ' '___,ｲ　ヽ＿/　介'
　　　　　　　　 　 | 　| |　 |　_,rﾍ_,ｊ|!'　　　　 /ｰ--''! 　 　 |' 　　　僕は名も無き救世主
　　　　　　　　 　 |,.ｨ―''''￣　／| |　　 　 　 ／二ｸ 　 　 ! 　　　　　
　　　　　　 　 　 /;;:::'';;::''::;;:／ {　!　、　　 　 ヾニﾝ　　　ﾉ＼　　　　　>>1 を助けに来たとは言うまでもない.....
　 　 　 　 　 　 /'''::::;r|''':::;;;|　　|　!　＼　　　　　　 _,,.／|::;;'''＼
　　　　　　　　/:;;／　|;;;''::;;| 　　丶＼ 　｀_＿＞-ｰ´　　　!;;;:'''::iヽ、
　　　 　 　 　 i／　　 |'::;;;;''|　　 　 　三 ―''"　　　　　　　!''::;;;;| /ヽ
　　　　　　　 /⌒ヽ　 |;;''':::;|　　　　　　　＼　 　 　 　 　 　 !;;::''|/　 i
　　 　 　 　 / 　 　 ＼{'';;;::''}　　　　　　　　　￣二ニ＝　 　 !::;;|　　 |
　　　 　 　 /ﾍ　　　　 |;;:::::;{　　　　　　　　　　　　‐-　　　 　 !/　　　|
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　　　　　/　　　l　　 　 |;;'';ｲ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｝　　 {、
　　　　　〉、　　　　　 ∧ﾃ{　ヽ 　＿　 　＿,,,,;;;;;:::-==ﾆ;;;_　 ﾉ　__,イ´
　 　 　 /　＼_　　 　/／レ!　　　　　￣　　　　　　　　　　￣ {￣　　|
　　　 /　　　　｀ｰ::v'´／ |　i　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 i　　　 |
　　　 i　　　　 　 /￣　　 |　|　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 i、　　|
　　　 i　　 　 　 /　　　　｜｜ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ヽ　 |

スレ間違えてるよ

>771 >780 >798
今更だが
　a[k] = 2^(p(k-1-K) -K), Kは非負整数、
だった。ｽﾏｿ.

x≧0のとき
(1/e)^x+x^(1/e)≧1
を示せ

>851

〔補題〕
　0<a≦1 のとき　a^x + x^a ≧1,

(略証)
x=0　のとき a^x = 1 より成立。
x≧1 のとき x^a ≧1 より成立。

0<x<1 のとき
　f(x) = (1/a)^x は下に凸だから
　(1/a)^x = f(x) ≦ (1-x)f(0) + xf(1) = 1-x +x/a,
　a^x > a/(a+x-ax), 　　　　　(ベルヌーイの式)
aとxを入れ替えて
　x^a > x/(a+x-ax)
辺々たす。(終)

放物線y=x^2上に点A(a,a^2),B(b,b^2),P(p,p^2)があり，∠APB=θとする．a＜p＜bを満たすように点Pが動くとき，θに最小値が存在するためのa,bが満たす条件を求めよ．

>853
線分APの傾き tanα = (p^2-a^2)/(p-a) = p+a,
線分PBの傾き tanβ = (b^2-p^2)/(b-p) = b+p,
AP↑とPB↑のなす角は β-α = π-θ で
　cot(π-θ) = cot(β-α) = {1+(tanα)(tanβ)}/(tanβ-tanα) = {1+(p+a)(b+p)}/(b-a) = {1+[p +(a+b)/2]^2}/(b-a) -(b-a)/4,
これは pの2次式で、p=-(a+b)/2 で最小となる。
題意より、
　a< -(a+b)/2 <b,
　a<0<b, 3|a|>b, 3b>|a|.

>>853
a，bに何をいれても（条件をみたすようにいれる）
θに最小値はある気がするのですが
どうでしょうか（アホな質問だったらすいません）

>855
　もし a≦p≦b なら、あるだろうな･･･

>>855
ようするに最小値とるときのPが端なのかそうでないのかって違いだ
p＜aで最小値とるんならa＜p＜bでは最小値は存在しないだろ
a=pとはできないし

>>854
御名答
>>856
a≦p≦bでも最小値はありません．a=pだと点Aと点Pが一致してしまい，θそのものがないですから．

855ではないけど
a＜p＜bの範囲でθは最小値を持つと思った。

>>853-854
へぇ〜、見かけによらんもんだな
予想外の答えだよ　良問

>>857
８５５です
なるほど！！自分のアホさに少し気づきました。

(2^p+1)/p^2が自然数となる寄素数pを求めよ

元ネタは解けませんでした…
http://83.xmbs.jp/br_res.php?ID=checkmath&c_num=7002&no=101431&action=res

>>862
元ネタの方はあの中学生も手が出せてないもんな。あれは難しい

>>863
あまりにムズカッタので簡単にしました。
きわめて教科書的です。

>>862
2^p+1≡3 (mod p)が分かったら終わってしまう…

>684

最短 1+√3:　ABの中点とCDの中点を通る線分に乗る。P,Qに集まる3つの線分は等張力なので120ﾟをなす.
最長 2+3√2:　(P,Q)=(C,A),(D,B)のとき

>>863
あれって本当に中学生か？

1より大きい正整数nの約数の総和をf[1](n)とし、f[1](n)の約数の総和をf[2](n),f[2](n)の約数の総和をf[3](n)・・・という操作を繰り返す。
このとき、f[m](n)=15となる正整数mが存在することを示せ。

>>868
ミス発見した。スルーしとくれ

>>867
たぶん中学生だろ。確かにすごいけどとりわけ超人レベルってわけでもなさげ。あれくらいなら灘や開成にはわんさかいる。

>>868
･ := +/x
3･5 => 2･2･2 => [2･3] => 1･5 => [2･3] => … ?

>>869
失礼しました。

>>633
　log(k/(k-1)) = log(1 + 1/(k-1)) < 1/(k-1),
　log(k/(k-1)) = -log(1 - 1/k) > 1/k,
　(k-1)*log(k/(k-1)) < 1 < k*log(k/(k-1)),
真数をとって
　{k/(k-1)}^(k-1) < e < {k/(k-1)}^k,
(k^k)/{(k-1)^(k-1)} < ke < {k^(k+1)}/{(k-1)^k},
各辺の Π[k=2,n] をとる。

MASUDAんとこ出入りしてる奴らは両極端だな。中間層がいない
神童とよおすけの２人はアホすぎて何がやりたいのか分からん

>>870
あんな品のある答案の書き方が出来る中学生なんているか？

>>875
そこまで品があるわけでもないと思うが
式と式のつなげ方とか見る限りまだ論証には慣れてないように見えるし

↓MASUDAの掲示板のとこにあった問題だけど、

　　　sin(cos x) と cos(sin x) の大小を比較せよ。

これノーヒントでやるとしたらどう解いたらいいんだ？？

>>877
これっていつぞやの東大模試の問題。

x , y＞0のとき、x^(-y)＋y^(-x)≧2e^(1/e)が成り立つことを示せ。
また、等号が成立するときのx,yを全て求めよ。

あ…　計算ミスしてた／(＾o＾)＼
>>878は無かったことに。

誰か>>840-841の(2)を教えてくれ
解けん…

× >>878
○ >>879

>682,>792

内接球の半径　r = √(25+11√5) / (2√10) = 1.1135163644 1160673519 4375039486 9･･･
外接球の半径　R = (√3)(1+√5) / 4　　　 = 1.4012585384 4407354467 6677935322 1･･･

詳細は
　http://mathworld.wolfram.com/Dodecahedron.html
　http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html

>878
　cos(sin(x)), |sin(cos(x))| は周期πをもつから、-π/2 ≦ x ≦ π/2 で考える。
　|sin(cos(x))| ≦ |cos(x)|
cos(sin(x)) = cos|sin(x)| ≧ cos(x) = |cos(x)| ≧ |sin(cos(x))|,

>> 883
|sin(cos(x))| ≦ |cos(x)|
どう導けばよいのでしょうか？

cos(sin(x)) = cos|sin(x)| ≧ cos(x) = |cos(x)| ≧ |sin(cos(x))|
の等号は成立するのでしょうか？

sinx≦x

>>885
なるほど
sinx≦x の等号成立はx=0なので、それを放り込むと
cos(sin(x)) = cos|sin(x)| ≧ cos(x) = |cos(x)| ≧ |sin(cos(x))|
の等号は不成立ですね。ありがとう！

>>883
実際に調べるべきxの範囲を最初に求めたのは当然として、その後の式変形に必然性があまりない気がする。
普通に微分して示すほうが問題を解く力がつくと思う

>>887
やって見せてくれ

>>887
漏れは旧帝数理の院生だけど、>>877の問題を見て最初に考えることは、
（変数）≧（変数）を示すには、まず（変数）≧（定数）の形に変形する、
つまり、h(X)=sin(cos x)−cos(sin x)とおいて、h(X)と0を比較することを考える
次に、h(X)と0の比較に際して実際に調べるべきxの範囲を求める
h(X)の形から、0≦x≦2πの範囲で調べればいいことが分かる
本当は0≦x≦πで調べればいいのだろうが、漏れはおそらく試験場では気がつかないと思うw
で、あとは微分して増減表かな。これですんなり解けるかどうかは漏れは知らないw
普通に微分して上手くいかなくて結局>>883のような方法にもっていくことになるのかもしれんが
>>883のやり方は幾分エレガントというか、予備校が入試問題を新聞に載せる際に
（紙面の制約もあって）無駄なく解答を作っているような感じがする

以下の等式を満たす整数の組(x,y)を全て求めよ．
x^3+y^3+x^2-y^2-9xy=0

（−６，３），（−１，０），（０，０），（４，５）。

>>891
(-6, 3)
(-1, 0)
(0, 0)
(0, 1) <<抜けてない？
(4, 5)

>>892
御名答

>>841 (2)r[n]=(1/4)*1/{(3/√10+(n-3)/2)^2+1/2} (n≧3)

＞＞８９０どうやって求めたの？