***数学の質問スレ【大学受験板】part81***
1 :
大学への名無しさん:
数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。
質問をする際の注意
★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→
http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。(例:ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など)
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1) 1/2aは (1/2)a あるいは 1/(2a) ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2) 数列の場合も、anよりも a(n) 、a[n]、a_n などと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor 問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/ 前スレ
***数学の質問スレ【大学受験板】part80***
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1213496302/
数学は(艱難辛苦も確かに存在するが)、実に楽しい
3 :
大学への名無しさん:2008/07/17(木) 22:11:23 ID:lxdYbpmRO
数列{a[n]}はa1=7/2,(n+2)a[n+1]=7na[n] (n≧1)を満たす。
(1)a2,a3を求めよ
(2)数列{a[n]}の一般項を推測して,それが正しいことを証明せよ。
(1),(2)両方お願いします
両方って…
(1)くらいはやってこい!
5 :
大学への名無しさん:2008/07/17(木) 22:32:53 ID:JdxYa9ZM0
a[n+1]=7(n/(n+2))a[n]
a[n]=7((n-1)/(n+1))a[n-1]
…
a[2]=7(1/3)a[1]
a[n+1]=7^n((2・1)/((n+2)(n+1))a[1]
a[n]=7^n/((n+1)n)
6 :
大学への名無しさん:2008/07/17(木) 23:49:48 ID:dGyuVxq/0
前スレ
>>986の最後z=±1って書いちゃったけど、z=1の間違いね。
7 :
大学への名無しさん:2008/07/18(金) 01:36:42 ID:XYF0txTq0
マセマ合格1Aの55番の問題です。
10本のクジの中に2本の当たりくじがある。当たりクジを3回引くまで
繰り返しクジを引くものとする。ただし、1度引いたクジは毎回元に戻す。
n回目で終わる確率をPnとする。
(1)Pnを求めよ。
(2)Pnが最大となるnを求めよ。
Q1.当たりを引く確率をpとします。p=2C1/10C1となるのはなぜですか?
Q2.n-1回までに当たりが2回出ているのはわかります。n回目で3回目の当たりが出ると
条件で書いてありますから。しかし、なぜハズレがn-3回なのですか?
Q3.反復で求めるとPn=n-1C2・P^2・q^n-3・pになるのはわかります。
しかし、(n-1)!/2!(n-3)!×4^n-3/5^2・5^n-3・5がどうすれば
(n-1)(n-2)4^n-3/2・5^nとなるのですか?
質問する点が多く、わかりにくい書き方で大変申し訳ないのですが、
この問題がわかれば、類題の過去問も解けそうなのでどうか教えて下さい。
A1.10本から一本引くから 当り2本から一本引くから
A2.10回目までとして考えて見ましょう
10回目で3回目の当りを引く
つまり9回目までに当りが2回
9回中当りが2回なのですから外れは7回ですね
これを元に考えると外れのn−3回に当りの回数2を足すとn−1になります
A3.きっと誰かがやってくれる
A.1 高校の確率は[その事象の場合の数]/[全体の事象の場合の数]で演算されるから
2本の当たり(区別して)クジを引く場合の数C(2,1)通り/全体(全て区別)から2本引くC(10,2)通り
A.2 最後を除くn-1回のうち2回は当たり。すると残りのn-2回はハズレ。
A.3 qは何だろう。1-pっぽいけど。組み合わせの方だけ説明すればいいかな。
C(n, r)はn, n-1, n-2... と分子にr個、分母はr!という数。
C(5,2)=(5*4)/(2*1)
[ (n-1)!/(2!(n-3)!)=(n-1)(n-2)/2! ( (n-1)!=(n-1)(n-2)*(n-3)! ) ]
10 :
大学への名無しさん:2008/07/18(金) 05:49:50 ID:3GVP5j3YO
>>8-9 すみません、大切なことを書き忘れました。
qは1-p、すなわちハズレが出る確率(pの余事象の確率)です。
まずQ1とQ2はよくわかりました。
Q3ですが、すみませんがまだわかりません。
(n-1)!がどうして(n-1)(n-2)になるのですか?
参考書でも同じように(n-1)(n-2)×(n-3)!/(n-3)!になっており、
ここにたどり着くにはどうすればいいのかわかりません。
何か大切な公式でもあるのでしょうか?
>>11 お前自分で書いてるやん
(n-1)!/(n-3)!=(n-1)(n-2)×(n-3)!/(n-3)!=(n-1)(n-2)
だろ
13 :
大学への名無しさん:2008/07/18(金) 11:52:18 ID:G6nb29RTO
y=(log_x`10)/Xの関数のグラフを、微分を使い増減表をつくりなさい。
この問題をお願いします。
>>13 y=(log_x`10)/X
表記が謎すぎる
>>13 ln(x) を自然対数として、数II範囲の知識から
log[_x](10) = ln(10)/ln(x) (ただしx≠1かつx>0)
あとはふつーに合成関数の微分汁。
16 :
大学への名無しさん:2008/07/18(金) 13:05:35 ID:PV2beL9NO
基礎的な話しで申し訳ないです。
三角形OABにおいて、OA=3、OB=4、cos∠AOB=1/4で、辺ABを1:2に内分する点をCとする。
(ア)その時のベクトルOCをベクトルOA、OBを用いて表せ。
(イ)OP=aOCとおく場合、ベクトルAPを表せ。
(ウ)∠OAP=90゜となる場合のa及びOPを示せ。
です。ベクトルが全くわからないので、お願いいたします。
>>16 OA=3、OB=4、cos∠AOB=1/4より
OA↑・OB↑=|OA↑||OB↑|cos∠AOB=3・・・@
(ア)点CはABを1:2に内分する点であるから
OC↑=(2OA↑+OB↑)/3
(イ)AP↑=OP↑-OA↑=aOC↑-OA↑
∴AP↑=((2a/3)-1)OA↑+(1/3)OB↑
(ウ)∠OAP=90°よりOA↑・AP↑=0・・・A
OA↑・AP↑=OA↑・(aOC↑-OA↑)=0
∴a(OA↑・OC↑)-|OA↑|^2
以下計算面倒なので略
わからなかったから聞いてくれ
∴a=1
>>18 なにやってんだ俺\(^o^)/
a=9/7でした
スレ汚しスマン
>>17 また間違いが・・・何度も何度もレス申し訳ない
(イ)の答え(1/3)OB↑ではなく(a/3)OB↑です
a(1)=1,
a「1」 = 1 , a「n+1」 = a「n」/2a「n」+1 の数列 {a「n」} の一般項を求めよ。という問題で、
a「n+1」 = a「n」/2a「n」+1 の両辺の逆数をとる前に a「n」 > 0 であることを確認する意味がわかりません
理由を教えてください。お願いします。
>>22 a[n]=0だと逆数にしたとき分母が0になって困るから
>>12 ホントだ!自分で計算してみたら意味がよくわかりました。
(n-1)!=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)ですね。
(n-3)!=(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)とし直すと
確かに(n-1)(n-2)になりました。
初歩的なミスで本当にごめんなさい。
青チャート数Uの基本例題187(1)です。
2行目にf(t)をaからxまでtで積分して、その値をxで微分するとf(x)になる
とありますが、なぜこうなるのでしょう。もしかして定義そのものですか?
チャートなら最初のまとめのとこに書いてあるでしょ、そうなる過程も含めて
31 :
大学への名無しさん:2008/07/18(金) 23:43:10 ID:dshjIoab0
>>17 すいません、実際に解いて確認してみたんですが、
aがうまく出なかったので計算過程よろしくお願いおねがいします。
あと、OCの出し方ですが、図を描いたときに内分点の比が接しないほうを分子にすればよいのでしょうか?
>>31 >>17の続き
a(OA↑・OC↑)-|OA↑|^2=0
⇔a{OA↑・(2OA↑+OB↑)/3}-9=0 (∵(1),OA=3)
⇔a/3{2|OA↑|^2+(OA↑・OB↑)}-9=0
⇔a/3(2*9+3)-9=0 (∵@)
∴a=9/7
OCの出し方は公式から
「点CがABをm:nに内分するとき、OC↑=(nOA↑+mOB↑)/m+n」
34 :
大学への名無しさん:2008/07/19(土) 13:58:32 ID:Hu2eUEGB0
lim_[t→∞]f(t)=kxe^rt/k+x(e^rt-1)
この極限値がxの関数になることを示せ。
さっぱりわかりません。どうすればいいのでしょうか?
君の書いた式の方がさっぱりわかりません。
1から150までの自然数の中で
(1)3で割り切れるが5で割り切れない自然数の個数
(3)3でも5でも割り切れない自然数の個数
(1) {150/3]-[150/15]=40
(2) 150-([150/3]+[150/5]-[150/15])=80
訂正
(1)の最初の { は [ です
>>39 これで理解できたなら聞く必要なかっただろ。
数学2の指数関数・対数関数の底の変換公式についてなんですが
logab=logcb/logca
のcはどこから出てきたんでしょうか?
自己解決しました
44 :
大学への名無しさん:2008/07/19(土) 22:10:12 ID:VFcX9k5i0
45 :
大学への名無しさん:2008/07/20(日) 11:55:36 ID:IZ0r2/pX0
こんにちは。
先生に定石どおりにやればいいといわれたのですがよくわかりません…。
低レベルで申し訳ないのですが教えてください。
@A=
( x+2 , x+1 ) ()の形が変ですが全体にかかってます
(x^(2) , x^(2) -1 )
B=
( 4 , -4 , 2-x )
(3-x , -4 , 3 )
(5 , -6-x , 3 )
とする。Aが正則でBが正則でないようなxを求めよ。
Aa=
(-1) @と同様カッコは全体にかかっています
(2)
(x)
b=
(x)
(0)
(1)
c=
(1)
(2)
(3)
R^3の3つのベクトルが一次従属となるようなxの値を求めよ。
46 :
大学への名無しさん:2008/07/20(日) 12:21:40 ID:EF6JtAIY0
47 :
大学への名無しさん:2008/07/20(日) 13:03:23 ID:IZ0r2/pX0
>46
そうです、大学の試験です。
よくみたら大学受験版で板違いでした。
検索から飛んできたもので…申し訳ないです。
>>45 @detA≠0,detB=0をみたすxを求めればよい
Aa,b,cを並べてできる3×3行列の行列式=0
正射影に写った図形の面積や辺の長さがcosθ倍になるのを証明無しでいきなり使ってもいいですか。教えて下さい
51 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 11:17:00 ID:kiXSH3X5O
3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形があり、a+c=mb,a+b=ncとする。
(1)m>1かつn>1であることを示せ。
(2)m>1かつn>1であることの他に、三角形となるためのmとnの関係を表す不等式を求めよ。
(3)m≧nを満たす整数(m,n)の組をすべて求めよ。
サッパリです。><
どなたか詳しくお願いします m(__)m
52 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 11:18:17 ID:nRhHgCn/0
>>51 数学板とのマルチ
275 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2008/07/21(月) 10:44:20
3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形があり、a+c=mb,a+b=ncとする。
(1)m>1かつn>1であることを示せ。
(2)m>1かつn>1であることの他に、三角形となるためのmとnの関係を表す不等式を求めよ。
(3)m≧nを満たす整数(m,n)の組をすべて求めよ。
サッパリです。><
どなたか詳しくお願いします m(__)m
3辺の長さが1,X,(X+1)/2(X>1)である三角形Tがある。
Tの3つの角の大きさのうち最大のものをθとすると、cosθ=□であり、
Tが鋭角三角形になるようなXの範囲は1<X<□である。
質問です
多項式F(x)をx-1で割ると5余り、x^2+x+1で割ると-5x+1余る。F(x)をx^3-1で割るとき余りを求めよ
という問題で、解答を読んだのですが
>x^2+x+1で割ると-5x+1余る。
ことからどうして
ax^2+bx+c=a(x^2+x+1)-5x+1
となるのかが解りません
よろしくお願いします
xを3で割ると1余る。
x=3k+1
と同じ。
定数aに限定されてるのは分からないけど。
F(x)=(x-1)(x^2+x+1)Q(x)+ax^2+bx+c…@
とおける。F(x)を(x^2+x+1)で割った余りは-5x+1であるが、上式の第1項をx^2+x+1で割った余りは0
ということは第2項をx^2+x+1で割った余りが-5x+1ということになる。
すなわちax^2+bx+c=(x^2+x+1)*a-5x+1
これを用いて@をかきかえれば、F(x)=(x-1)(x^2+x+1)Q(x)+a(x^2+x+1)-5x+1
あとはF(1)=5よりaが定まり余りが求まる
57 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 20:40:11 ID:YReUYwdlO
反復試行の確率についてなんですが、よろしくお願いします。
毎回の打席でヒットを確率1/3で打つ。1試合で3回打席に立ち、その試合でヒットを1本打つ確率を求めよ。
という問題で、
3C1*1/3*(2/3)^2で答えをだすんですが、
この式は、ヒットを打つとき〇。そうでない時Χとすると、
(i)○ХХ (ii)Χ○Χ (iii)ΧΧ〇 確率の加法定理より
(i)∪(ii)∪(iii)
=(i)+(ii)+(iii)
=1/3*(2/3)^2+1/3*(2/3)^2+1/3*(2/3)^2
=3{1/3*(2/3)^2}
⇔3C1*1/3*(2/3)^2
ってことですか?よろしくお願いしますm(__)m
58 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 20:46:14 ID:1Efe4mpS0
>>58 本当にありがとうございましたm(__)m
60 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 21:26:14 ID:SP3Iza500
∫(x^2)e^(-x^2)dx
を解きたいんですけどどうやったらいいんでしょうか
n個の自然数1,2,3,…,n(n≧3)から同時に3つの数を選ぶ。
3つの数のうち、ちょうど2つが連続する選び方は何通りあるか。
この問題の解き方がよくわかりません。どなたかお願いします。
>>60 (sqrt(π)*erf(x))/4-(x*exp(-x^2))/2
どうやったらかいいか、だったか。
>>62は無視して。
64 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 21:50:10 ID:1Efe4mpS0
>>60 普通の関数では表せません
>>61 ちょうど2つ連続する選び方は何通りあって3つ目を連続しないように選ぶ選び方がそれぞれについて何通りあるか数えます
6(n-3)/{n(n-1)}
66 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 22:04:33 ID:8a2COnIFO
俺だけ低い質問いいすか?
でもマジ悩み
1から9までの整数の中から異なる二個の数を選んで並べ、二桁の整数を作る。このとき、次のような整数はいくつできるか
(1) 奇数
って問題なんだけど
これを 5×8で40 で 答えは40になると書いてあるんですが よくわかりません
白チャートの解説だと 1の位の数は奇数でなければならないから 5通り そのおのおのに対し、十の位の選び方は 9-1=8通り したがって積の法則により 5×8=40って説明になってるんだけど何度繰り返し読んでも理解できない
なんで 5×40になるかわかりやすいように説明してもらえないでしょうか?
67 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 22:07:27 ID:1Efe4mpS0
もしくは選ばれないn-3個の自然数を○で表しその間と両端のn-2箇所のうち連続する2個のある場所と連続しない1個のある場所を選ぶとしても求められます
68 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 22:09:41 ID:1Efe4mpS0
>>66 123だけでやってみたらどうですかね
できたら次は12345だけで
69 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 22:15:22 ID:8a2COnIFO
>>68 わかりましたやってみます
ありがとうございます
70 :
大学への名無しさん:2008/07/21(月) 23:42:11 ID:CeQcslf50
lim{x→0}e^x^2−1/xlog(1+2x) の値がわかりません
極限のどの公式を使ってイイかもわりません
教えてください お願いします
71 :
大学への名無しさん:2008/07/22(火) 00:03:19 ID:f3a+3YbSO
>>5>>3 すいません
やっぱりわからなかったんですが、詳しく解説して頂けないでしょうか?
>>70 まずはロピタルを使って・・・
答えは1/2かな
正式にやるにはx-(1/2)x^2<=log(1+x)<=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3
から1/(2x(1-x+(4/3)x^2))<=1/log(1+2x)<=1/(2x(1-x))
これを元の式に代入して
e^x^2-1/x^2(x->0)はe^tのt=0での微分係数だから
はさみこみで1/2なて
(e^(x^2)-1)/(x*log(1+2x))=((e^(x^2)-1)/x^2)/(log(1+2x)/x),
(e^(x^2)-1)/x^2 は e^(x^2)-1=t とでもおいて適当にやれ。
log(1+2x)/x=2*log((1+2x)^1/(2x))=….
>>71 a(2)=7^2/2*3,a(3)=7^3/3*4よりa(n)=7^n/n(n+1)と予想できる
a(k)=7^k/k(k+1)と仮定してa(k+1)=7^(k+1)/(k+1)(k+2)になることを確かめればよい
75 :
大学への名無しさん:2008/07/22(火) 20:34:59 ID:Ukv8CL0xO
lim(sinx^2)/(sinx)^2
x→0
極限値の求め方を教えてくださいm(__)m
三角形の内角A、B、Cで
cosA+cosB+cosc=2cos{(A+B)/2}cos{(A-B)}/2+cosc
になる理由を教えてください。
線分ABを斜線とする2つの直角三角形ABC,ABDである。(点Cと点Dは直径を軸と考えて同じ側にあります
AB=40,AC=30,BD=20で線分ADと線分BCの交点をEとする。
このときAE:BEと線分AEの長さを求めよ
AE;BEまでは分かったんですがそこから先が分からないのでお願いします。
>>76訂正
cosA+cosB+cosc=2cos{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}+cosc
79 :
大学への名無しさん:2008/07/22(火) 22:08:04 ID:Nt9YAS8T0
sin(x^2)/(sin(x)^2)=(1/x^2)*sin(x^2)*(x^2)/sin(x)^2=(sin(x^2)/x^2)*(x/sin(x))^2→1
・nがどのような自然数であっても、10^n −1は9の倍数であることを数学的帰納法によって証明せよ。
(T)n=1のとき10−1=9より成り立つ
(U)n=kのとき10^k −1 ・・・・・・・・。
ここからさっぱりペンが進まないのでどうか教えていただけんでしょうか。
旧数学Aの数列の範囲の問題です
n=k+1でやるんだ!
>>81 全然だめっす
n=1のとき 10^1 −1=9・10^0
n=2のとき 10^2 −1=9・10^1 + 9←(10^1 −1)
n=3のとき 10^3 −1=9・10^2 + 99←(10^2 −1)
n=4のとき 10^4 −1=9・10^3 + 999←(10^3 −1)
・
・
n=kのとき 【P】10^k −1=9・10^k-1 + (10^k-1 −1) が成り立つと仮定する
【P】を変形
【P´】10^k =9・10^k-1 + 10^k-1
【P´】の両辺を十倍
10^k+1=9・10^k + 10^k
よってn=k + 1 のときも成り立つ
以上より数学的帰納法によって
って書いて見たんですが問題無視して異次元不正解丸出し解答をしてしまうダメっぷりです
もう少しヒントをいただけませんか?
教えて下さい。
x^2+y^2≦9、x≧0のとき-x+yの最大値、最小値を求めよ。
-x+y=kとするところまでは分かります。
質問です。
0≦x≦3
⇔ー1≦xー1≦2
⇔1≦|xー1|≦2
とならない理由を教えてください。
おかしくなりますね。
じゃあ絶対値つけるときは0以上になると書けばよいのでしょうか?
>>80 ちょっと自信ないが
(U)n=kのとき10^(k)-1=9m (mは整数)が成り立つと仮定する
10^(k+1)-1=10*10^(k)-1
=10*(9m+1)-1
=10*9m+9
=9(10m+1)
よってn=k+1のときも9の倍数となり、成り立つ
以上より(以下略)
>>76 積和の公式より
cosA+cosB=2cos{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}
となるから
証明は教科書参照
10^n-1≡1-1=0(mod 9)とすると楽。
帰納法の第2段ではn=kのときの成立を仮定すると、10^k-1を強引にでも作りだすことを考えて
10^(k+1)-1=10*10^k-1=10*10^k-10+9=10*(10^k-1)+9は9の倍数
>10^n-1≡1-1=0(mod 9)とすると楽。
ここは受験板です。高校の教科書で証明されていない表現は避けましょう。
modはいいんじゃないの?
10≡1(mod 9)
は書いてもいいが、
a≡b ⇔ a^n≡b^n
a≡b ⇔ a+c≡b+c
などは証明されていません。
ま、「数学的に正しいからいいんだ」って仰る先生も居るみたいなんで
そう言う意見と心中したい人はどうぞご勝手に。
95 :
大学への名無しさん:2008/07/23(水) 13:51:33 ID:C5O0TFmQO
確率についての質問です。X=kの時の確率をP(x=k)とする。
…,k-1,k,k+1,…
かつ、kが整数の時、
一般式P(X=k)=P(X≦k)-P(X≦k-1)。
この一般式は、すべての確率計算において成り立つのですか?
また成り立つならば、それはなぜですか?
よろしくお願いしますm(__)m
10^n-1=9*(10^(n-1)+……+1)でもいいな。
>a≡b ⇔ a^n≡b^n
>などは証明されていません。
そりゃそうだよな。成立しないもんな
>>97は最近の入試問題の傾向が分かってないらしいな
いまだにこんなこと言い出すなんてな
>>95 一般式てなに?一般に成り立つ式なら常に成り立つんじゃねーの?
てか単なる言い換えだ、a=b⇔a≧bかつa≦bみたく
>>98 入試問題の傾向と採点におけるmodの取扱との間にいかなる連関があるのか是非とも拝聴願いたい
100 :
82:2008/07/23(水) 19:00:07 ID:b0vDAaDy0
ご親切にありがとうございますね
で、どの解答が正しいんでしょうか
mod使うときは証明しなきゃだめだろ
ロピタルと同じ様に
>>100 ここにあるのは全部合ってるけど、あんたは数学的帰納法でやりたいんじゃなかったっけ。
103 :
大学への名無しさん:2008/07/23(水) 22:03:44 ID:TFeP8hyf0
もう出てきてるのかもしれないんで大変申し訳ないんだけど,ろぴたるの定理なんですが,
答案で使うときは,どんな「証明」を書いておくものなんですか?
ろぴたるつかうと答えすんなり出る問題ってけっこう多いですし…
ロピタルの証明は完全に大学レベルだから知らなくていいよ。大学生でもわからない人いるしね。
あまりロピタルを使うような問題みないけど。知ってたら答えだけは先にわかるから解きやすくなる感じ。
合同式は問題なし
ロピタルはダメだが、合同式は良い
と言う判断基準は何なんでしょう?逆に聞きたいですね。
「自明だから」とか「簡単だから」なんて、まともに数学をやってない人みたいな言い方はやめて下さいね。
また、高校範囲で証明可能だから省略して使ってもいいだろ
なんてのもなしでお願いしますね。指導要領にはないんですから。
実際に現場で採点をしたことがある人ならわかってもらえると思いますが、
「その答案を書いた生徒が本当に証明できるかどうか」
なんて答案見ても解りませんし。
(それどころか証明されていようがいまいが適当に使う受験生の多いこと!)
私は
>>94に書いたように合同式そのものを書くことには問題はないと考えていますが、
その後の変形は証明なしに用いるのは… と言う立場です。
その根拠は
「合同式を使ってもよい」と表明している大学はありませんが
「高校指導要領にないものを使う事は好ましくない」と表明している大学は
東北、千葉、名古屋… などいくつかあるからで、
使わなくても答案が書けるのに、何もリスクを負うことはないと考えるからです。
ですが、使いたい人は使えばいいんじゃないですか?
「正しいんだから、いいだろ」って意見に文句つける気はないですから、
私に「使わないヤツは古い」とかイチャモン付けずに自由にジャンジャン使えばいいと思いますよ。
ご自分で勝手に作った基準に沿って、使ってよいものと使ってはいけないものを分けてね。
(大数なんて一部のマニア雑誌で認めてるから、なんて基準を信じて、
指導要領を信じない理屈は私には理解出来ませんけど)
106 :
大学への名無しさん:2008/07/23(水) 23:24:42 ID:jjdXuIRC0
>>105 つかそもそも
>a≡b ⇔ a^n≡b^n
>a≡b ⇔ a+c≡b+c
なんて成立しないよ
ぼくら受験生にとって大事なのは
数学的に正しいかどうかよりも
採点者的に正しいかどうかなんだ
>>103 どんな証明を書けばいいのかは誰もしらない。
そもそも「ド・ロピタルの証明を書いた場合このポイントを押さえていれば○」
みたいな採点基準が作られているとは考えにくい。
実際には何を書いても駄目かも知れない。
俺らは『完璧な証明を書けば減点はできないはずだ』という思い込みで
「証明すれば使っていい」と言ってるだけ。
>>106 でも平気で使う人が居るから書いたんですが、わかっていただけませんか?
>>94周辺の文脈を見る限りあんたはa≡b ⇔ a^n≡b^nを信じていたとしか思えない
今更何言っても遅いよ、勉強してこい
111 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 00:20:12 ID:foyc8uXEO
確率についての質問です。X=kの時の確率をP(x=k)とする。
…,k-1,k,k+1,…
かつ、kが整数の時、
一般式P(X=k)=P(X≦k)-P(X≦k-1)。
確率変数Xを最大値とする時には、この一般式はかなり有効ですが、
他の問題でこの一般式を使って解くことはあるのですか?
具体的によろしくお願いしますm(__)m
112 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 00:23:31 ID:dfgdDqS+0
ロピタル使ったら問題簡単になりすぎるから駄目なんじゃね
それ使ったら問題にならないじゃん
一応思考力試す試験なのにそんな知識使って一発で使われたら学生の質の
判定できないっしょ?
大人の事情なんだから察しろウンコ
次の式の値を求めよ。
2n
lim Σ(1/2n+j)
n→∞j=1
はさみうちの定理を使っても一向に解けません
114 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 00:43:14 ID:RJMVqsCB0
納j=1, 2n]1/(2n+j)=納j=1,2n](1/n)*1/(2+(j/n))→∫[0,2]dx/(2+x) (n→∞)
>>110 >>96で帰納法でも何でもないことを書いてる人に何を言われてもねぇ
(しかも後でご自分で「帰納法でやりたいじゃないのか?」とか書いてるし)
私の
>>94は
>>91の書き込みに対してされているのですが…
まぁ合同式を使いたい方の方がムキになりやすいみたいですから、
どうぞご勝手に解釈して下さい。
>>110に聞いてみたい
10^n-1≡1-1(mod9)
はどうして成り立つの?
自分で書いたんだから、説明できるよね?
そもそもaをbで割ったあまりcをa⊥cと書くことにする
とか自分で定義することだってできるのに
ごちゃごちゃぬかしてるやつは頭弱いの?
f(x)はf(x+y)=f(x)*f(y)をみたす。
このときf(n)=f(1)^nを示せ。(nは自然数)
どうやってアプローチしていくか全く分かりません。
教えてください。
f(n)=f(n-1)*f(1)=f(n-2)*f(1)*f(1)=f(n-3)*f(1)*f(1)*f(1)・・・=f(1)^n
数学的帰納法。
>>120 ありがとうございます。
f(x+y)=f(x)*f(y)
この式は関係ないんですか?
f(n)=f(n-1)*f(1)で
x+y=n
x=n-1
y=1
としてる。
125 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 12:16:03 ID:JVw9YMbxO
1〜10までのカードを小さい順にならべてある。
任意の二枚を抜き出し、それらの場所を入れ換える試行を繰り返す。n回行ったとき、一枚目にあるカードが1である確率Pnをゼンカ式を用いて求めよ。
次の漸化式はどう解けば良いのでしょうか?
t(n)=n*t(n-1)+n
128 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 12:44:36 ID:iH7WQlr40
>>117 1皿10個のリンゴが10皿あります。
これらのリンゴを9人に同じ数ずつ配ったらいくつあまりますか?
を考えたら
10^2≡1^2 (mod 9)
なのは小学生でも分かるだろ。
これを頭の中で理解できないゆとりは数式で証明すればいい。
129 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 12:54:09 ID:iH7WQlr40
>>100 数学的帰納法で解けと言われてるから
n=1のとき O.K.
ある自然数nで題意が成立すると仮定すると
10^(n+1) -1=(9+1)*10^n -1=9*10^n+10^n -1
となり仮定より10^(n+1) -1も9の倍数。
以上、数学的帰納法により題意は示された。
これでよし。
>>118 なるほど、あなたの意見では
aとbを9で割った余りが等しいことをa≡b(mod9)と書くことにする。
と定義すれば、証明なしに
10≡1(mod9)なので10^n-1≡1-1(mod9)
と書いていいってわけですね?
ちょっと数学をなめてませんか?
ちなみに私は
>>94で「a≡b(mod9)と書くことは構わない」と書いてあるんですが、、、、
読めませんでした?
日本語がちゃんと読めない人に「頭弱い」って言われてもねぇ
131 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 13:11:26 ID:8TetRRtZ0
>>125 P(0)=1
P(n)=(1-P(n-1))/45
45P(n)+P(n-1)=1
45a+a=1
a=1/46
45(P(n)-a)+(P(n-1)-a)=0
(P(n)-a)=(-1/45)(P(n-1)-a)=(-1/45)^n(P(0)-a)
P(n)=1/46+(-1/45)^n(45/46)
>>130 しつこいな
頭の弱いヤツの相手しないでスルーしろよ
133 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 13:20:43 ID:8TetRRtZ0
>>131 P(0)=1
P(n)=(1-P(n-1))/45+P(n-1)・36/45
45P(n)-35P(n-1)=1
45a-35a=1
a=1/10
45(P(n)-a)-35(P(n-1)-a)=0
(P(n)-a)=7/9(P(n-1)-a)=(7/9)^n(P(0)-a)
P(n)=1/10+(7/9)^n(9/10)
>>116 だから先ず帰納法で解き、その後参考程度に他の解法を示してあることも理解できませんか。
>>94にあるようにa^n≡b^n→a≡bを信じるような愚かな君はもっと勉強した方がいい。
君は例えば x^2≡1(mod 3) とあればx≡1を解答にするんだろ?話する気にもならない。
グレーゾンの存在する現実を無視しロピタルの定理と合同式を同一次元で考えるのも理解できない。
>>117 (9+1)^nを2項展開すれば一目瞭然。
>>132 それではお前が1番が2番ぐらいに頭弱そうに見えるぞ
135 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 13:45:27 ID:ySxSDUwX0
>>134 まずはこれ↓を是非
117 名前: 大学への名無しさん [sage] 投稿日: 2008/07/24(木) 01:57:19 ID:EAZYMmi40
>>110に聞いてみたい
10^n-1≡1-1(mod9)
はどうして成り立つの?
自分で書いたんだから、説明できるよね?
>>94に「証明されてない」と書いてあるのを「信じてる」と読み変え、
「説明しろ」の主旨も読み取れてない。
ID:7Opirr5t0は真性だなw
コテ付けてくれ。NG登録するから
139 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 14:20:49 ID:Qn8yIfYU0
a≡b(mod9)
⇔a-b=9M(Mは整数)
⇔(a+c)-(b+c)=9M
⇔a+c≡b+c(mod9)
間違いを指摘して下さい。
>>137 a≡b ⇔ a^n≡b^nは書き間違えたんだろ?
間違えたって素直に認めればいいじゃん。
それを認めたところであなたの「modに関する諸定理を証明なしに用いる答案を大学入試で書いても点数はもらえない」という主張が崩れるわけでもあるまい。
>>94のa≡b ⇔ a^n≡b^nという記述を正しくないと分かってて敢えて書いたと言い張るんなら、
この記述はあなたの主張に対する根拠にならんし、なんのためにそんなこと書いたのか分からん。
自分は非論理的ですっているようなもんだぞ。
141 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 16:17:31 ID:XE9lkRh20
∫sinx/(cos^3)x dx の不定積分をお願いします
142 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 16:23:02 ID:7Opirr5t0
-∫(cos(x))´cos^(-3)(x)dx=-(-1/2)cos^(-2)(x)+C=(1/2)*(1/cos(x)^2)+C
143 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 16:38:16 ID:XE9lkRh20
>>142 ありがとうございます。
部分積分を使うように思っていたのですが?
∫fg'=fg-∫f'gのfg部分はどうなっているのでしょうか?
144 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 17:42:32 ID:1Hjyi2rhO
部分積分ではなく特殊基本関数の積分だよ
145 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 17:58:52 ID:XE9lkRh20
146 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 18:00:14 ID:XE9lkRh20
∫x^2/(1+x^2)^3 dx
この不定積分の解き方も教えて欲しいです
147 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 18:17:16 ID:RJMVqsCB0
148 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 18:26:21 ID:XE9lkRh20
149 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 18:42:20 ID:OlM6I2WV0
1≦x≦4 の範囲で,関数f(x)=ax,g(x)=x^2-4x+9 について
次の命題が成り立つようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1)すべての組x1,x2に対して f(x1)≧g(x2)
(2)ある組x1,x2に対して f(x1)≧g(x2)
見当が付きません… 教えてください
>>148 まんまだぞ
dx=1/(cos^2θ)dθ
>>149 とりあえずグラフ書いて状況を掴んでみればいい
y=f(x)は原点を通る直線
(1)ではy=f(x)とy=g(x)が接する時が境目だと目で見て分かる
151 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 19:26:11 ID:XE9lkRh20
>>150 >dx=1/(cos^2θ)dθ
どうしても、理解できません・・詳しくお願いします
152 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 19:44:59 ID:OlM6I2WV0
>>150 149です
(1)は分かりました!ありがとうございます
(2)はどのように・・・?
>>151 x=tanθ
両辺をθで微分すると
dx/dθ=1/(cos^2θ)
>>152 すまん、
>>150で言った接するときが境目なのは(2)だった
154 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 20:24:03 ID:OlM6I2WV0
>>153 では(1)はどのように…?
あと記述なのでどのように
論を展開していけばいいのかわからないです
155 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 20:48:26 ID:RJMVqsCB0
>>154 問題自体勘違いしてた。今まで言ったのは忘れてくれ。マジですまんw><
考え方としては1≦x≦4でのf(x)の最大値をA,最小値をa
g(x)の最大値をB,最小値をbとすると
(1)の条件はa≧B
(2)の条件はA≧b
とそれぞれ同値になる。
156 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 21:01:41 ID:OJR0o4Nh0
一辺の長さが6の正四面体OABCがある。辺OAの中点をMとし、辺OB、OC、上にそれぞれ点P、Qをとり、OP=CQ=xとする。このとき0<x<□であり、PQ^2=□x^2−□x+□である。
(1)線分PQの長さはx=□のとき最小値□となる。
(2)線分PQ=2√3であるとき、x=●または、x=△である。ただし、●<△とする。
センターの問題で穴埋め式なのですが分かりません。
どうか力を貸してください。
なんかこのスレは無駄に攻撃的だよね
modの考え方って今の高校の教科書に載ってないでしょ?
そうであるなら試験に用いるべきじゃない
よってこのスレではmodの話は自重してください
158 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 21:20:13 ID:OlM6I2WV0
>>154 恥ずかしながら
どうしてそうなるのかが分かりません…
159 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 21:23:01 ID:Y89WdKptO
2次関数
Y=X^A-4aX+4a^A-4a-3b+9
が、X軸と交わらないときのaとbの値を求めるときは判別式を使うんでしょうか?教えて下さい。
160 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 21:25:45 ID:foyc8uXEO
161 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 21:38:51 ID:Y89WdKptO
>160
ありがとうございます。
162 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 22:19:45 ID:OJR0o4Nh0
底面が一辺の長さ2の正方形で、OA=OB=OC=OD=3である四角錐OABCDを考える。
このとき、cos∠AOB=@ cos∠AOC=A
である。
Oから平面ABCDに下ろした垂線と平面ABCDの交点をEとするとき、OE=√Bである。
さらに、線分OB、ODを2:1に内分する点をそれぞれG、Hとし、平面AHGと線分OC、OEの交点をそれぞれI、Jとするとき、AG=C AJ=Dである。
ここで、OI=a JI=bとおくと、OJは∠AOIの二等分線だから、b=Eaと表され、OI=Fである。
さらに、△IHGの面積をS1、△AHGの面積をS2とすると、S1/S2=G
@〜Gには答えが当てはまります。
解き方が全く分からないのでよろしくお願いします。
163 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 22:26:19 ID:foyc8uXEO
165 :
大学への名無しさん:2008/07/24(木) 22:52:22 ID:OJR0o4Nh0
>163
すいません
@は分かりました!
でもその先が分かりません泣
166 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 00:55:15 ID:RsyecQItO
modは答案に使っていいらしいです。ソースは予備校講師。使うか使わないかは勝手だと思いますが…
a.bを実数とする
ab≧1ならばa^2+b^2≧a+bを示せ
答えを
(円:(a-1/2)^2+(b-1/2)^2=1/2
双曲線:ab≧1
を接点を求めて作図し)
図よりab≧1の範囲では明らかに
(a-1/2)^2+(b-1/2)^2≧1/2
∴a^2+b^2≧a+b
としたんですが、これでいいでしょうか?
>>166 オーソドックスな答案としては、
P={(a,b)|ab≧1},Q={(a,b)|a^2+b^2≧a+b}とおいて集合P,Qをab平面上に領域として図示
図よりP⊆Qだから〜とした方が「ab≧1の範囲では云々」といったあやふやな言葉で説明されるより満点つけやすい
勿論考え方は合っています
対称式だからa+b=u,ab=vと変換して二つの放物線を描いてもいい
あるいは図などかかずとも相加≧相乗平均を使えば結論の不等式は示せる
>>166 その予備校講師が、全てとは言わないまでも
主要な大学の入試採点基準を熟知している、という
そっちのソースの方を示してくれ
あるいは、具体的な予備校名とその講師の実名でも可
まあ、合同式程度なら、答案の冒頭で軽く説明しておけば
減点なしで進めることも可能かも知れんが
指導要領の範囲内で、よりエレガントな答案を作った受験生がいる場合
そいつとの点数差はつけなきゃならんだろ、採点官の立場として
範囲内でよりエレガントが存在する→減点される
範囲内でよりエレガントが存在しない→減点されない
こんなの絶対におかしいだろ。他の受験生の答案次第で減点されるかもしれないなんて。
すれち
y=-cosπxのグラフって
y=-cosxのグラフをx軸方向にπ/1倍すればいいんだよね??
解答がx=πの時、y=0で x=2πの時、y=1のグラフになってて合わないんだがwww
>>169 お前、絶対評価と相対評価の違いって知ってるか?
で日本の大学入試はどっちだか知ってるか?
エレガント(笑)
まあmod使わなければ解けない問題は出ないから気にすんなよ
例えば
「abをnで割ったときの余り」と、「aをnで割ったときの余りとbをnで割ったときの余りの積をnで割ったときの余り」が等しいというのは
自明なこととして答案に盛り込んでもいいでしょうか?
ここの住人なら
「当然いいよ、そんなの小学生でもわかるから」
って答えてくれると思うよ。
信じるかどうかは自分で決めな
たしかに小学生でも簡単に分かることである
しかし小中高の教科書に書いていないと思うので
証明したほうがよいかもしれない
実際問題としては、その証明が問題全体に対して占める割合、
すなわち問題の難易度を考慮して臨機応変に対応するのがよいのではないだろうか
178 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 12:17:05 ID:RW96RlAU0
マジレスすると、まともな大学の入試で合同式を使って減点されるなんてまずありえない。
既に多くの受験生が利用してるのに、大学入試懇談会でも採点官から
指摘すらされない。
もし減点されるなら多くの受験生が使用している現状を考えれば
そのような会合で警鐘を慣らされてるはず。
ロピタルなんかは証明にコーシーの定理やε-δ論法がが必要だったり、問題を
解くうえであまりにも有利になりすぎるから減点も当然だが、
合同式の基本性質なんかはまともな大学の受験生にとっては「自明」だからね。
普通の中学生でも証明できることに対して、いちいち減点なんてしないでしょう。
まぁどちらを信じるかは個人の判断。自己責任でやってくれ。
>多くの受験生が使用している
これだからマニアは…(ry
>>179 いまどき高校の授業でも合同式使ってるぞ
どうして使いたいヤツに限ってムキになるんだ?
どうでもいいことなのに。。。
>>180 自分の知ってる世界が全てだと信じきれるのはすごいことだな、ある意味尊敬するよ。
みなさんありがとうございます
特に
>>178さんのおっしゃっていることに説得力を感じましたので参考にしようと思います
一年にmodが使えそうな問題の数は微々たるもの
&
その解答にmodを使う受験生も微々たるもの
よって大学入試懇談会でも話題にもならない。
万が一
>>178が言うように「多くの受験生が使用」していたら
さすがに文科省が黙ってるわけないのに…
こんな簡単な構図を歪めて解釈し、自説の正当性のために権威を借りるなんて…
「使えるとカコイイ」とか思ってるのかなぁ
しかもそれに「説得力を感じる」ヤツまで居るのか…
ジエンならまだ『2chらしいなぁ』と思えるんだが
>>181 おまえが一番ムキになってるぞ
早く気づけw
ロピタルもこれほど多くの受験生が使っているのに
大学入試懇談会でも採点官から指摘すらされない。
ロピタルの定理に関しては、
ロピタルの定理の使用条件を明記してない答案がほとんどで
そのような答案は×と東大教養学部の数学教官がおっしゃっておりました
188 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 13:38:41 ID:RW96RlAU0
>>172 合同式を使った同じ解法でも周りの受験生次第で点がひかれるのか?
ちょっと考えてみれば、これがどれほどおかしなことが理解できるだろう。
そもそも、そんな非数学的な主観で減点しようなんてありえるか。
採点官がそんな信頼できないわけがない。嘘だ。バカげてる。
>>189 ロピタルも自分で証明してからなら使ってもいいじゃなかった?
ただ、すごい無駄な労力だろうけど
192 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 14:33:03 ID:6S7NFHRk0
どっちがムキになってるか火を見るより明らかだなw
2chの慣例によれば、ムキになる方が…
>modの定義くらいは書いてほしい。
「割った余りが等しい」とか書いて減点されるヤツが続出しそうで楽しみだな(爆)
定義書くんならそのまま解答にした方が早いのに
それでも使いたいかねぇ
ムキだとかムキじゃないとかどうでもいい
ちゃんとしたデータを挙げつつ喋っているかどうか
o(__)ノ彡_☆バンバン!!
合同式の話をロピタルにすり変えて
最後に入試懇談会とは無関係な話を一つ書いたのを
データ
って言うか
騙しのテクニックとしては最高だな
さすがにロピタルは気が引けるが、
合同式やバームクーヘンは(使わなくても解けるのに)さも凄いことを教えてやった
ってことにしないと、困る奴らが居るってことだな。
そいつらの生活を守るために、この話題は終りにして
そっとしといてやろうや。
合同式使う派も使わない派も同じくらい必死だろうが。
勝利宣言みたいできもい
198 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 16:12:32 ID:HeHOhTuP0
東大の教官が合同式を使うときは定義書けって言ってるし、
それ以上は望んでないみたいだから、定義書けばおkで終了
たぶんこのニュアンスだと定義書いてなくても減点はほとんどないと思うが
199 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 16:13:52 ID:HeHOhTuP0
夏休み入って大学の入試説明会やらオープンカレッジとかあるわけだし、志望校に行って聞くなりすれば
いいんじゃね
201 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 16:48:18 ID:c+N86NoU0
♥
202 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 18:26:55 ID:uYsMWwNH0
慶応経済志望だけど数学の分野別にいい参考書ある?
z会とか河合が出してるけど
合同式使わないよ派は挑発がヒドイ
はいはい、もーいーから黙っててね
205 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 23:32:30 ID:v6XFsW5V0
0/0型のロピタルの定理は2点を結ぶ可微分曲線上に2点を結ぶ線分と平行な接線を持つ点が存在するというコーシーの平均値の定理の系でありもちろん厳密には証明を要すところではあるがほぼ自明の事柄であろう
206 :
大学への名無しさん:2008/07/25(金) 23:38:04 ID:v6XFsW5V0
>>175 a=kn+r, b=ln+s ⇒ ab=(kln+ks+rl)n+rs
自明とは言い難いが
難しいというほどのことでもない
>>205 で、自明だから、と
自分がさもすごいことをやっているかのように誤解した
中レベル受験生が、自己満足に浸りながら
条件の吟味もせずにロピタル使って大減点→不合格、と
カワイソス
ちなみに、答案で「自明」とか書いちゃうと
採点官に与える印象が悪くなるのは自明
>>190 おまえ、入試の目的を知らないだろ
入試ってなあ、多数の受験生の中から
より優秀な人物を選抜するために実施されるんだぞ
そのためには、各答案に優劣をつけなければならない
例えば、ほぼ同じ内容の答案があっても
「うっかり」実数条件に触れなかった方の答案は減点されて当然だろ
「うっかりもんはうちにはイラネ」ってなもんで
ましてや、指導要領外の解法で作成された答案なら
それなりに差をつけなきゃ、かえって不公平になる
208 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 08:16:05 ID:eZKowOXV0
>>207 別に可哀想でもなく減点されないこともあり使わずに解けずに得点できないこともある
条件の吟味は欲しいところだが問題の状況によっては自明のこともある
採点は厳密に言えば不公平であることも自明
209 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 09:38:42 ID:+R477Ff50
ロピタルの定理、合同式、パップスギュルダンの定理、これらを使わなければ解けない
問題はないと思われます。楽しちゃだめだと思います。それに、いつでも使えると思っている
悲惨な受験生答案も散見されます。
210 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 09:57:21 ID:eZKowOXV0
もちろん作問者がそれを想定して作問するのは愚
しかし解答者の能力は一般には作問者よりも低く
作問者の意図通りの解答となることはむしろ希かもしれない
パップスギュルダンって明らかだけど証明難しいんだっけ?
>明らかだけど
どこがどう明らかなんだよw
しょせん高校範囲外をかっこいいと錯覚して使いたがるヤツのレベルはこの程度ってことか
213 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 11:43:09 ID:eZKowOXV0
>>211 そもそも一般の重心の定義が高校数学において行われていないしその存在は自明ではない
重心という点の存在を仮定するのではなく∫rf(r)dr=∫Rf(r)drとなるRの存在ならほぼ自明であり
パポスギュルダンに必要なのはこのRの方
単に自明といっても東大合格者(あえて受験者じゃなくて合格者)にとっての自明と
マーチ合格者の自明と言えるレベルにはずいぶん差がありそうだが
初項1/2公比(2n-1)/(2n)の数列の極限がわかりません。
>明らかだけど証明難しいんだっけ?
日本語でおk。
>>215 公比の絶対値が 1 より小だから、0 に収束。
217 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 14:33:32 ID:eZKowOXV0
lim[n→∞]∫[0,π/2]sin^(2n)θdθ=0を示すかな
218 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 14:35:40 ID:eZKowOXV0
>>216 >公比の絶対値が 1 より小だから、0 に収束。
a[n]=1+(1/2)^nも比の絶対値は1より小さいが0に収束しない
>>216 そんなんでいいんですか。ありがとうございます。
ん?(2n-1)!!/(2n)!! の極限ってこと?
だったら、((2n-1)!!/(2n)!!)^2=(1*1/(2*2))*(3*3/(4*4))*…*((2n-1)*(2n-1)/((2n)*(2n)))=(1*3/(2*2))*(3*5/(4*4))*…*((2n-3)*(2n-1)/((2n-2)*(2n-2)))*((2n-1)/(2n))*1/(2n)≦1/(2n)
だから、0<(2n-1)!!/(2n)!≦1/√(2n)→0.
>>218 それは比が一定じゃない。
221 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 14:57:46 ID:eZKowOXV0
a[n]=log(2n)-log(2n-1)+log(2n-2)-…+log2-log1
b[n]=log(2n-1)-log(2n-2)+…+log3-log2
a[n]-b[n]=log(2n)-log(2n-1)+2((log(2n-2)-(log(2n-1)+log(2n-3))/2)+…+(log2-(log3+log1)/2))>0
(∵log(x)は上に凸・単調増加)
2a[n]>a[n]+b[n]=log(2n) → ∞
e^a[n]=(2n)/(2n-1)・(2n-2)/(2n-3)…4/3・2/1 → ∞
(2n-1)/(2n)・(2n-3)/(2n-2)…3/4・1/2 → 0
>>207 勿論優秀な人材を選抜するための入試。だからといってやみくもに減点するわけではない。
「合同式を使った答案」のまずさを説明するのに君は「実数条件の見落とし」を
持ち出した。両者は全く次元を異にする問題。君は話にならない。
採点する側から見ると合同式を使っているほうが論理が明快になるし見やすい。
合同式を使うことによって受験者が受ける恩恵も微々たるもの。
東大教官のニュアンスにもあるように減点対象にはなりにくい。
ただ恩恵も微々たるものであるからこそ、別に使う必要もそこまでないと思うけど。
>>212 感覚的にわかるって意味で書いたんだが。
226 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 20:30:22 ID:nrtwEbT10
お前、数学を何だと思ってるんだ?
マトマンティス
>>225 全て感覚でわかるので答案には途中の考え方書かないんですね、わかります
漸化式から一般項を求める問題で
天下り式に一般項をいきなり書いて、これは漸化式を確かに満たす
というような感じの答案でも○もらえますよね?
そんな抽象的な質問されても困る
他に解がないことが示せるなら○だが…
232 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 22:07:06 ID:eZKowOXV0
>>229 一般項を求める問題だとマズいかも
大きな問題をといているなかの一部である数列の一般項を求める時に、帰納的に一般項は〜だったら大丈夫だと思う
×かな とか マズいかも じゃなくて、完全にアウトだろw
a[1]=1
(a[n+1]-n-1)(a[n]-n)(a[n+1]-1)(a[n]-1)=0
で定まる数列に対して、a[n]=nは漸化式を満たすから一般項はa[n]=nとでも書くつもり?
a[n]=1はどうするの?
(
>>233と同じようなことだが)
236 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 23:11:52 ID:eZKowOXV0
>>235 >×かな とか マズいかも じゃなくて、完全にアウトだろw
そうとも限らない
数学的な正しさに欠ける答案であっても
問題によってはまた採点者によっては
満点とは行かなくとも部分点が与えられることもある
漸化式を使って一般項を求めることの比重によるだろう
比重云々ではなくて必要十分条件が満たされば問題ないがな
238 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 23:15:15 ID:eZKowOXV0
>>235 >(a[n+1]-n-1)(a[n]-n)(a[n+1]-1)(a[n]-1)=0
これを漸化式と呼びたくはないな
239 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 23:17:26 ID:eZKowOXV0
>>237 問題には解き方を指定したものもある
漸化式から一般項を導く道筋を通らねば題意を正しく理解しているとは言えないと解釈されることもあるだろう
(a[n]-n)a[n+1]=a[n]^2-na[n]なら漸化式らしい?
明らかに一般項が1つに定まるものはOKだろ。
例えばa(N+1)=2a(N)+1,a(1)=1とかなら
>>239 出題者の意図に反してようが数学的に正しければ正解だろ
センター試験じゃあるまいし
> 問題には解き方を指定したものもある
問題というか採点基準がそうなってる。
ポイントになる式変形や明示すべき条件が決めてある。
高校数学の解答パターンから外れてしまえば数学的に正しくても満点は取れない。
>数学的に正しければ正解だろ
このバカまだ居るのか。。。
スマンがお前コテ付けてくれよ。
>>244 模試だとそうかも知れないが、入試では数学的に正しければ満点だろ。
247 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 23:38:34 ID:eZKowOXV0
>>242 >出題者の意図に反してようが数学的に正しければ正解だろ
問題を解かせるのは数学的な何かを示すことを要求する以外に問題を解く技術を習得しているかどうかを評価するという意味もある
>>244-245 合同式の人間とは違うがお前らの中では別解というのは存在しないのか?
行列のn乗みたいにたくさん求め方があるのだってあるだろうが
249 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 23:40:49 ID:eZKowOXV0
>>240 あるnでa[n]=nであるときa[n+1]は定まらない
250 :
大学への名無しさん:2008/07/26(土) 23:43:00 ID:eZKowOXV0
>>248=感覚で数学を解く天才クン
お前の周りに受験英語を教える人物が居たら聞いてみな。
「ネイティブが正しいと答えるものを書けば、正解ですよね?」
って。
「数学の問題を解く」ことと「大学入試問題を解く」ことの違いが解るまで修行してから出直すか、
でなければ、君の天才性を理解してくれない一般ピープルは無視して孤高に死んでくれ。
>>251 どこの見えない敵と戦ってるのか知らないけど感覚で解くのはID:D0OoPAChOだろ
全然数学と関係ないけど
>お前の周りに受験英語を教える人物が居たら聞いてみな。
>「ネイティブが正しいと答えるものを書けば、正解ですよね?」
これは当たり前だろwww
ネイティブが首を傾げるものを正解にする大学なんてないだろww
253 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 00:00:10 ID:D0OoPAChO
>>252 何おれになすりつけてるんだ?
お前と同じ意見だっただけに失望した。
なんだ同一人物かと思ったのに、2匹もバカが居ついてるのか。。。
受験生に迷惑だから、二人ともコテ付けて解りやすくしてくれ。
>これは当たり前だろwww
英語の先生に聞いてからにしろ。
>>254 英作文とかネイティブが正解と言えば正解だろ
意味がわからん
エライぞ〜
そこまで言い切れれば、後はコテ付けるだけで
ココを見る真面目な受験生にはいい判断材料になるw
257 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 00:08:25 ID:2otFe/Av0
>>255 国語であっても日本人が正解と思えば正解という程単純な話ではない
>>229 ×とか言ってるアホは無視していい。どう考えても○。
漸化式の解法なんて、(学校で習う一部の例を除けば)
一般的にはひらめきがないと解けない。(両辺を3^nで割る…とかだってある種のひらめき)
カンニングしたとしか思えないような、突拍子もないひらめきじゃない限り、
×などありえない。(学校の定期テストは別)
260 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 00:35:17 ID:2otFe/Av0
>>258 >例えば?
日本人の書いたものでも正解とされることもあればそうでないこともある
題意の解釈が正当かどうかを評価されるのであって日本人が正しいと思うというだけでは答えを出せない
261 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 00:38:48 ID:2otFe/Av0
おそらくネイティブが正しいと思えば正しいと考えるのは
その程度の問題のレベルであるだけであろう
英語の問題の大半はそのレベルでは収まらない
そろそろスレ違いですね自重します
>>260 抽象的すぎて全然例えじゃないなw
題意通りに答えなければ満点もらえないってのは旧帝大以上の大学の入試ではきいたことないな
どこの大学の話をしているの?
263 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 01:37:40 ID:a7hJrvW80
a[1]=2/3,
a[n+1]=a[n]*( sqrt{ a[n]^2 + 2 } - a[n] )/( sqrt{ a[n]^2 + 2 } + 3a[n] )
よろしくお願いします。
>>259 お前は、ライバルを蹴落とそうと目論む卑怯な受験生だな
>>252 話が英語だとバカが混乱するから、国語で例えてみよう
ネイティブの日本人で、ら抜き言葉を使っている奴は多いが
少なくとも、受験国語や小論文においてら抜き言葉を使えば
減点の対象となっても当然、つかむしろ減点しない大学があれば
そちらの方が学問の府としての姿勢を問われることになろう
漸化式から定まる数列がただ一つである。
求めた一般項がその漸化式を満たす。
上の2つが明示された答案の不備を教えてくれ。
採点基準がどうこうなんてのは聞いていない。
266 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 09:08:07 ID:KjQQrxjcO
√2^√2の小数第1位が6であることを示せ。ただし√2は1,414…とする
267 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 09:17:33 ID:N/Tq++G4O
(1.6)^2<2^√2<(1.7)^2辺りを示せばいいんじゃないの?
268 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 09:35:55 ID:2otFe/Av0
>>266 √2^1.4<√2^√2<√2^1.5
1.6^10≒110<128=√2^14<(√2^√2)^10<√2^15=128√2≒181<201≒1.7^10
1.6<√2^√2<1.7
269 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 09:46:27 ID:2otFe/Av0
>>266 log2≒0.301
log3≒0.477
log√2^√2=(√2/2)log2≒0.707・0.301≒0.213
log1.6=log(16/10)=4log2-1≒0.204
log1.666=log(10/6)=1-log2-log3≒0.222
1.6<√2^√2<1.666
>>264 世の中には、与えられた漸化式から一般項を"推理"して帰納法で解くって問題が実際にあってだな・・・
まさか「代入して確かめる操作」と「帰納法で確かめる操作」が別物とは言わないだろうな?
英語と国語の話が上手い例だと勘違いしているようだけど、
学校でやる英語と国語は全然別の系統の学問。
外国人が習う「日本語」の延長線上に、日本の「国語」はないのと同じ。
ムダに頭の悪さ露呈してどうするの?
うざい
しつこい
受験と学問の違いが分からない人は
少なくとも受験板には来ないでくれませんか?
>>271 > 受験と学問の違いが分からない人
少なくとも入試で採点を担当する人間は
受験と学問の違いなんて意識してない
あなたは採点を経験したことがおあり?
なわけないですよね。(少なくともそれなりのレベルの大学ではないですよね)
憶測や想像をさも事実のように語るのはいかがなものでしょうか。
あなた方は本当に頭も良くて、数学が良く出来て、常識をわきまえた素晴らしい人物だとは思いますが
受験板には不要です。
どうかご活躍の場は数学板だけにしてくれませんか?
ハッキリ言って迷惑です。
>>273 昔京大の人間に聞いたことがある
採点基準の一番上にこう書いてあったという
「正しい答案に満点を与える」
>京都大学
まーた権威の力を借りてかよ。
しかも伝聞w
しかも昔の話ww
(京都大学の名誉のために訂正しておくと、現在ではもっとちゃんと取り組んでいます。受験生は惑わされないように)
>>264の意見がだんだん正解に思えてきたよ。
変なヤツに居座られちゃったなぁ
>>273はやさし〜く諭してあげようと思った(+イヤミ)がムダだった。
それすら読み取れないのか
抽象的な話ばかりするからいつまでも平行線なんじゃないか?
解があまりに複雑な数列を天下り式に閃くなんていうことは、現実的に考えられないから
そういうケースは○派も×派も想定していない。
>>229の質問の意図をくめば当然。
ただ漸化式が特殊な場合は、一般項が先に閃くなんてこともある。
例えば、a1=1, nan+1=(n+1)anという問題はa[n]=nという解がすぐに閃くだろう。
もちろん一般的には両辺をn(n+1)で割るなりしてとくべきだが
前者の回答を×にするやつなどいるか?
他に解がないことを示せるなら
と何度書けば…
まるで解の一意性を示すがの、
難しいかのような言い方ですね。
つまり○ってことで終了
なにこいつら・・・とっても仲良しってことですね
a_n, b_n が与えられた漸化式 x_(n+1)=f(x_n, x_(n-1), …, x_1), x_1=x (f は関数) を満たすとしよう。
n=1 のとき。仮定から、a_1=b_1.
k=n まで a_k=b_k となったとすると、
k=n+1 のとき、a_(n+1)=f(a_n, …, a_1)=f(b_n, …, b_1)=b_(n+1).
従って、すべての自然数 n について、a_n=b_n.
つまり、漸化式から定まる数列は一意。
283 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 14:15:17 ID:8xBr4PYfO
おまえら下らない議論してないで
>>263とかの質問に答えてやれよ
京都大学の名誉のために云々と自信持って言えるくらいだから
内部事情に精通した京大教官、最低でも京大生かなんかなんだろ?
>>282 まてその証明おかしいw
まずfはnにも依存するのでf(n,x_n, x_(n-1), …, x_1)と書くべきだし
x_1だけじゃなくx_2,x_3…,x_nも決めておかないと一意じゃない。
まあX[n+1]が一意的に決まってるんだから、解が一意なのは自明なので
そんな大げさにやることでもないですがw
>>284 一般項を求めてください。
よろしくお願いします
>>285 >まずfはnにも依存するのでf(n,x_n, x_(n-1), …, x_1)と書くべきだし
n は固定してるのでそこは問題じゃない。
>x_1だけじゃなくx_2,x_3…,x_nも決めておかないと一意じゃない。
帰納法の仮定。k=nまで……。
最後二行は、まあそうなんだけどw
288 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 14:36:51 ID:H0OIlVpPO
三流同士が慰みあうすれはここでつか?
289 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 14:48:43 ID:CT4e2dcH0
夏だねぇ
290 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 14:54:03 ID:Y60FceqsO
香ばしいヤシが一人いるとこうまでレスがのびるのか‥
291 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 14:58:26 ID:/56L5FVX0
>>285のレスで馬鹿を露呈して自爆してるのにワロタw
結局そうやって自演を繰り返して、うやむやにして終わらせるつもりですか。
まあ良いんですけどね。
>>279が勝手に墓穴掘ったせいでこれ以上話す事もなくなりましたし。
こうするしかないんでしょ?
スルー仕様と思ったけど、なんか
>>291が納得してないようだったので。
>>287 >n は固定してるので
それだとx[n+1]=x[n]+n^2タイプの漸化式が表現できない
>k=n まで a_k=b_k となったとすると
ってあるが、n=1の時しか確かめてないから、帰納法が起爆しない
294 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 15:37:19 ID:/53aSLcx0
a[1]=1,|a[n+1]|=a[n]
の一般項を求める問題で、
a[n]=1は与式を満たしているので、これが答
一意性は明らか
で満点がもらえますか?
296 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 15:42:42 ID:494kM4ASO
ABCが同一直線上にあるとき、AB:BC=s:1-sと置くとs+(1-s)=1じゃないですか、
それで比の和は1だなと思ってたんですが、よく考えたら比が3:4とかもあって、それは足しても1にならないんですよね。
って考えてたらわけわかんなくなってきたので誰か助けて下さい(´ヘ`;)
298 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 15:45:15 ID:zYtNi0Wb0
だって上の方に、漸化式の解は一意だって書いてあったから…
一意じゃないことがあっても、感覚的に書くか書かないか決めていいんですか?
すごく数学的ですね
>>297 3:4=(3/7):(4/7)とすれば1になるよ。
とかそもそも比の和が1である必要はない。ただ1に固定しておけば
一意的に数字が決まるよって意味。
300 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 15:47:16 ID:494kM4ASO
>>298 お前何回ID変えれば気が済むんだよ。
それは漸化式じゃない。こう言えば分かってもらえるかな?
そんな「問題として成立していないもの」をいくら反例として持ってこられたところでねえ。
逆に聞くけど解けるの?君なら?
302 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 15:57:26 ID:q2uB1PYC0
何を言ってるのかよく分かりませんけど…
あれは漸化式じゃないんですか?
>>293 f は n によって、一般に異なる関数。その漸化式は x_(n+1)=f(x_1, …, x_n)=f(x_n)=x_n+n^2 ってだけ。f_n とでも書いた方がよかったか。
下は何が言いたいかさっぱり。
y=(x-1)^2-2
-1<x<2のとき最大値がない理由を教えてください。
小数点が定まらない(この場合だと-0.999…)からですか?
回答お願いします。
305 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 19:25:13 ID:+3f2RFk8O
開区間だから
数列{a_n}(a_1=a>0)に対して数列{b_n}を
b_1=a、b_n=a_nーa_nー1(n≧2)で定義する。また、
S_n=Σ[k=1,n]1/a_k=1/a_1+1/a_2+…+1/a_n
とおく。数列{b_n}が公差d>0の等差数列であるとする
(1)d=1,a=1,n≧2のとき、S_nを求めよ
(2)d=2,a=3,n≧3のとき、S_nを求めよ
全く分かりません(>_<)解き方教えてください
受験の数学と学問の数学は違うっていうソースはあるの?
大学側が定めた採点基準にない答案は高校数学範囲内のものでも
認めない(あるいは減点)というソースはあるの?
308 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 20:23:37 ID:2otFe/Av0
309 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 20:26:45 ID:2otFe/Av0
>>294 有限数列の場合を許せば一意性は成り立たない
310 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 20:31:05 ID:1/iTe7lnO
xの4次の係数が1の4次関数f(x)が、(x+1)^2*(x-2)^2で割り切れるとき、xの4次の係数が1であるから、f(x)=(x+1)^2*(x-2)^2…@
となるらしいんですが感覚的にはわかるんですが何故そうなるのかというのがよくわかりません。
f(x)を(x+1)^2*(x-2)^2で割った商をQ(x)とすると余り0なのでf(x)=(x+1)^2*(x-2)^2*Q(x)と表すことが出来ますよね?
このように考えると@のようになるにはQ(x)が1にならなければなりませんよね?
それで、何故Q(x)が1になるのかと考えてみてもさっぱりわかりません。
それと、4次関数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eの解がx=f,g,h,iのときf(x)=a(x-f)(x-g)(x-h)(x-i)と因数分解出来ますか?
長々とすみません
どなたかよろしくお願いします。
駄文失礼しました
311 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 20:37:08 ID:2otFe/Av0
>>306 b[1]=a, b[2]=a+d, b[3]=a+2d, b[4]=a+3d, …
a[1]=a, a[2]=(a+a)+d, a[3]=(a+a+a)+(d+2d), a[4]=(a+a+a+a)+(d+2d+3d), …
1/((n+p)(n+q))=(1/(n+p)-1/(n+q))/(q-p)
312 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 20:38:23 ID:2otFe/Av0
>>310 >何故Q(x)が1になるのかと考えてみてもさっぱりわかりません。
その等式を展開してx^4の係数を比較
313 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 20:38:50 ID:VGvYiK+RO
314 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 20:39:00 ID:2otFe/Av0
>>310 >4次関数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eの解がx=f,g,h,iのときf(x)=a(x-f)(x-g)(x-h)(x-i)と因数分解出来ますか?
できる
315 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 20:39:49 ID:2otFe/Av0
>>311 だめだ…分からない(T^T)
ちなみに答えってどうなりますか?
お手数かけて申し訳ないです↓↓
318 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 22:16:59 ID:LWfa0qzP0
>>308 きれいな答えにならないというのは、なぜでしょうか?
>>305 ありがとうございます。
開区間とは何でしょうか?
320 :
yasu:2008/07/27(日) 22:25:59 ID:wtSMtgwC0
みんな大変だな〜大学生は楽w
U=20、n(A)=9、n(B)=9、n(C)=11で、このうちいずれか二つに該当するのの合計が10こ、また3つのどれにも該当しないのが5こで、n(A∩B∩C)=?っていう問題なんですが、わかりません。誰か教えて下さい
322 :
大学への名無しさん:2008/07/27(日) 23:52:58 ID:+3f2RFk8O
>>319 -1≦x≦2なら最大値はあるけど-1<x<2だとその関数のx=-1,2でグラフは存在しない。
lim[x→-1+0]f(x)で最大に近づくが最大値にはならない。
lim[x→1]のときx≠1
323 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 00:47:44 ID:cby2vfZYO
この二つ教えてください。次を部分分数分解せよ
(1)1/(x^3) +1 (2)x^2/(x−2)(x+1)^2
お願いします
>>322 わかりました。
ありがとうございました。
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∪B)-n(B∪C)-n(C∪A)+n(A∩B∩C)
の関係を使う。
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)に訂正
有理数と有理数の和は有理数ですよね。
なら、帰納的にe(ネイピア数)は有理数の気がするんですけど、
実際は無理数ですよね。
何か間違っているんでしょうか。
ご指摘お願いします。
よくある公式の(1+(1/h))^hが実際にとっていく値は有理数で、近づいて行く先のeをとることはない。
330 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 09:26:54 ID:QWqFpHPX0
>>328 3
3.1
3.14
3.141
3.1415
…
すべて有理数だが極限は無理数のπ
331 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 09:28:01 ID:QWqFpHPX0
332 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 09:46:06 ID:QWqFpHPX0
>>317 b[n]は等差数列なので
b[1]=a, b[2]=a+d, b[3]=a+2d, b[4]=a+3d, …, b[n]=a+(n-1)d, …
b[n]=a[n]-a[n-1]よりa[n]=a[n-1]+b[n]
a[1]=a, a[2]=a[1]+b[2]=a+(a+d)=(a+a)+d, a[3]=a[2]+b[3]=(a+a)+d+(a+2d)=(a+a+a)+(d+2d), a[4]=a[3]+b[4]=(a+a+a)+(d+2d)+(a+3d)=(a+a+a+a)+(d+2d+3d), …, a[n]=na+n(n-1)d/2, …
333 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 09:48:55 ID:QWqFpHPX0
a=d=1のとき
a[n]=n+n(n-1)/2=n(n+1)/2, 1/a[n]=2/(n(n+1))=2(1/n-1/(n+1))
a=3, d=2のとき
a[n]=3n+n(n-1)=n(n+2), 1/a[n]=1/(n(n+2))=(1/2)(1/n-1/(n+2))
334 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 11:14:21 ID:vFCReEHq0
|x - 2| = 3 を解く場合、「(@) x - 2 ≧ 0 と (A) x - 2 < 0」の場合に分けて
絶対値記号を外してそれぞれ解くという手段もありますが、絶対値は距離という意味であることから
x - 2 = ±3 と変形して解くこともできますよね?
ところが、|x^2 + 2x - 8| = 2x - 4 を解こうとして、x^2 + 2x - 8 = ±(2x - 4) とすると、
解が x = ±2,6となって正確な解がでません。
この場合、絶対値の中身の正負で場合分けをして解くと、x - 2 が求まり、これが正解のようです。
なぜ、x^2 + 2x - 8 = ±(2x - 4) とするといけないのでしょうか?
335 :
334:2008/07/28(月) 11:15:51 ID:vFCReEHq0
下から2行目
× x - 2 が求まり
○ x = 2 が求まり
>>334 |x - 2| = 3の右辺は正だが
|x^2 + 2x - 8| = 2x - 4の右辺は正とは限らない。
一般には、
|A|=B⇔A=±BかつB≧0
>>323 1/3{1/(x+1)-(x-2)/(x^2-x+1)}
4/{9(x-2)}+5/{9(x+1)}-1/{3(x+1)^2}
>>331 やる
>>331 厳密には指導要領外だが、入試では時々見かける。
340 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 13:40:12 ID:TBanjE5R0
285 名前:大学への名無しさん[sage] 投稿日:2008/07/27(日) 14:19:10 ID:BRgJdG/s0
>>282 まてその証明おかしいw
まずfはnにも依存するのでf(n,x_n, x_(n-1), …, x_1)と書くべきだし
x_1だけじゃなくx_2,x_3…,x_nも決めておかないと一意じゃない。
まあX[n+1]が一意的に決まってるんだから、解が一意なのは自明なので
そんな大げさにやることでもないですがw
こいつ馬鹿すぎww
341 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 14:18:16 ID:Yx6OoYYo0
【毎日・変態報道】“就活生を脱がす企画も”「毎日」系企業が出す「エロ雑誌」が過激すぎる…週刊文春が報道→雑誌、突然の休刊に★4
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1217218356/ 「毎日」系企業が出す「エロ雑誌」が過激すぎる
週刊文春(7月31日号)P137〜P138より抜粋
http://www.bunshun.co.jp/mag/shukanbunshun/ 7月20日、毎日新聞1面に「お詫び記事」が掲載された。毎日新聞が謝ったのは「ファーストフードで女子高生は性的狂乱状態」等々、
引用も憚られるような<品性を欠く性的な話題>で溢れ返っていた毎日の英文サイトコラム「waiwai」についてだった。
だが、その過激さにおいては「waiwai」を遥かに凌駕する雑誌を「毎日系企業」が発行しているから驚きだ。
「毎日新聞が出資する毎日コミュニケーションズの100%子会社が過激なエロ雑誌を作っているんです」(毎日新聞関係者)
毎日コミュニケーションズ(以下、毎コミ)とは、毎日新聞の関連会社として設立され、同じパレスサイドビルに入居する企業。
毎日新聞社は同社株を9%保有する第3位の大株主で、非常勤監査役に菊池哲郎・毎日新聞常務が名を連ねている。
毎コミといえば、大塚愛を起用したCMが話題の就職情報サイト「マイナビ」が有名だ。リクルートの「リクナビ」と並び、
最近の就活生には欠かせないアイテムだという。
(中略)
就活情報ならぬ、「エロ情報」を発信しているのは、01年に毎コミの100%出資で設立されたMCプレス。
同社は『DVDヤッタネ!』や『DVDデラデラ』などヌード満載のDVD付きグラビア誌4誌を毎月、発行しているのだ。
しかも「就活生を脱がす企画もある」(前出・関係者)という。
早速、確認してみると、『ヤッタネ!』4月号で「就活生を狙え 今はいているパンツに穴を開けていいですか?inマ○ナビ」
という企画が掲載されていた。付録のDVDではリクルートスーツ姿の女の子3人が、あられもない姿に。いくらなんでも、
これはちとヤリ過ぎでは・・・。
>>338 数学的帰納法で解け、という指定があるわけではないと思んで
それ使わずに。まあ、やってることは似たようなもん。
a_[n+1]=Σ[k=1,n+1](3^k*a_[n+1-k))
=3a_n+Σ[k=2,n+1](3^k*a_[n+1-k)) ←k=1の分だけ追い出した
=3a_n+Σ[l=1,n](3^(l+1)*a_[n+1-(l+1)]) ←k=l+1 としてlで書き直し
=3a_n+Σ[l=1,n](3*3^l*a_[n-l)[) ←l+1を書き換え
=3a_n+3Σ[l=1,n](3^l*a_[n-l)[) ←3倍をΣの外に出した。これでΣをよく見ると、
もとのa_nの定義式のkをlに書き換えただけだから
=3a_n+3a_n
=6a_n
よってa_nは公比6の等比数列。a_1=3を初項として見れば a_n = 3*6^(n-1)
>>338 帰納法はわからんが、a_nとa_n+1をΣを使わずにそれぞれa_n=〜、a_n+1=〜で表して、a_n+1ー3×anをしたほうが帰納法より楽だとおも
被ったスマソ
345 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 14:44:51 ID:5jgPE++N0
東大OPか東大実戦の過去問らしいのですが、答えがなくて困っています
nを自然数とし、
A=3^(n-1)+2^(n-1)、B=3^(n-1)-2^(n-1)とするとする。
C=A∪Bとするとき、Cが0以上1992以下の整数で表せない数の個数を求めよ。
346 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 14:45:19 ID:5jgPE++N0
↑よろしくおねがいしますが抜けました。すみません。
問題文をちゃんと書いてくれまいか?
>>349 そういうのは先ずお前が解答を書いてみせるもんだ
351 :
大学への名無しさん:2008/07/28(月) 20:27:54 ID:WpQEpuZNO
すみません。お願いします
すべてのx≧0に対して、f(x)=x^3-3x^2-k(3x^2-12x-4)≧0が成立つ条件を求めよ。(f(x)の最小値≧0を示す問題です)
(すみません、省略しますf(x)はx=2,2kで極値をとります)
k≧0でのf(x)の最小値はf(0),f(2),f(2k)のうち最小の値であるから
最小値≧0⇔f(0)≧0かつf(2)≧0かつf(2k)≧0である。
とあるのですが「かつ」と書いてあるのは、f(0),f(2),f(2k)で一番小さいものが0以上となり、そうなると他のものも0以上になるからなのでしょうか?
それともf(0),f(2),f(2k)のどれが最小値になるかわからないからf(0)≧0、f(2)≧0、f(2k)≧0とし、 これらの範囲をまとめたものが最小値≧0になるという解釈でいいんですか?
言葉足らずで申し訳ありません。
間違っていたらご指摘お願いしますm(_ _)m
>>329-330 遅れてすみません。ありがとうございました。
確かに極限の値を実際に取るわけではありませんね。
>>352 ちなみに
a[n+1]=(a[n]+2)/(a[n]+1)
というルート2の近似のぜんかすぃきは事態明白で分かりやすいね。
354 :
大学への名無しさん:2008/07/29(火) 03:03:05 ID:ZZwRFY/RO
x>aの範囲で単調増加である式を何種類かかけて新しく作った式は、x>aの範囲で単調増加ですよね?
355 :
大学への名無しさん:2008/07/29(火) 03:44:58 ID:kNB1C6ta0
>>354 んなこたぁない
例
f(x)=-2^(-x)は単調増加だが
{f(x)}^2=4^(-x)は単調減少
356 :
大学への名無しさん:2008/07/29(火) 05:38:31 ID:8j+FO5zZ0
>>351 どちらの解釈でもよいです(範囲をまとめるというのは合併集合のことですね?)
357 :
大学への名無しさん:2008/07/29(火) 06:55:14 ID:992xzLat0
よく教科書とかにのってる√2が無理数であることの背理法の証明で
√2=p/q(pとqは互いに素)とはじめにおくけど、なぜこれで
互いに素とおけるんですか?何か一般性をもたないような気がするんですが
358 :
大学への名無しさん:2008/07/29(火) 07:06:16 ID:8j+FO5zZ0
どんな分数も既約分数にできるからです
命題「X>0⇒X^2>0」
の真偽を教えていただきたいのですが。
361 :
大学への名無しさん:2008/07/29(火) 16:15:55 ID:rM0wZ/I3O
>>360 偽だと思うが、X>0が仮定だから、困る。
-2x^2 - 3x + 12 / (x - 3)^2 (x + 2)
の積分はどうやればいいのでしょうか?
お願いします。
>>361 y=x^2 (0, ∞)はy>0を満たすか。
また、x^2はxが実数である限り0以上であり、x^2=0となることはx=0に限る。
364 :
大学への名無しさん:2008/07/29(火) 17:06:18 ID:rM0wZ/I3O
>>363 真なの?偽なの?
御託はいいから、人の質問に答えてください。
>>361 言っている意味が全くわからんのだから
早く答えろと言われても‥
366 :
大学への名無しさん:2008/07/29(火) 17:26:20 ID:rM0wZ/I3O
>>365 命題が真か偽か聞いてるだけなのに、何の意味がわからないのかしらん。
ここまで自明な命題の真偽が分からないとなると
単に答えを知るだけじゃ何の解決にもならないと思うのだが。
なんで偽だと思ったの?
言語機能に障害がある可能性がある奴はほっとけ
a^2+b^2-2a-2b-8<0
が
(a+b)^2-2ab-2(a+b)-8<0
に変形されたのはなんでですか??
あほな質問でごめんなさい…
>>370前後の文脈ハッキリさせてくれないと答えられない
>>371 実数a,bについて、
x=a+b,y=ab とする。
a,bがa^2+b^2-2a-2b-8<0 をみたす実数をとって変化するとき、(x,y)が動く範囲をxy平面上に図示せよ。
って言う問題で、
(a+b)^2-2ab-2(a+b)-8<0←こういう式に変えられてたんですけど良くわかりません
a、bのままじゃ解けないだろ?
a+b=p、ab=q とすれば、
a、bは tの2次方程式 t^2-pt+q=0 の解になるから、
解の存在条件として p^2-4q>=0 が出てくる。
(a+b)^2-2ab-2(a+b)-8<0 は当然
p^2-2q-2p-8<0 ⇔ p^2-2p-8<2q
となるから、
この二次不等式と存在条件とで表される領域が求める範囲になるわけ。
要するに、2変数関数(a、bの関数)を1変数関数(pの関数)に置き換えてるわけだ。
374 :
373:2008/07/30(水) 01:09:22 ID:rM22qC4W0
>>372 「x=a+b,y=ab とする」って誘導付きかよw
これくらい誘導なしで出来なきゃまずい気がするけど
あと
>>373訂正。
「解の存在条件」は正しくは「実数解の存在条件」ね。
375 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 01:34:56 ID:G+ASq/Lx0
漠然とした質問で申し訳ないんですが
数A・場合の数での辞書的配列法や樹形図にものすごく時間を要してしまいます。
重複を見つけるのにかなり時間を掛けてしまうんです。
なにか早く正確にできるコツみたいなのはないですか?
具体的にどんな問題で?
いわゆる和の法則、積の法則と言われている法則が
自明に思えないようだと、場合の数・確率はきついよ。
377 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 02:03:28 ID:G+ASq/Lx0
例えば『U={a,b,c,d,e,f}の部分集合で、3個の要素からなるものをすべて求めよ』や、
『0〜5の6個の数字から異なる4個の数字をとって並べて3の倍数の整数を作れ』
といった問題で0を含むか含まないかで場合分けした後に和が3の倍数になる4数の組を数え上げるときなどです
>>375 問題集とかやって慣れろ
どの問題集がいいかの質問はこのスレの範囲ではないからね
樹形図でも網羅するだけでなく全体をイメージして
組み立ててからじゃないと書くとこなくなって困る。
だから、問題をこなしてパターンを蓄積すれば早くなる。
>>377 実際闇雲に数え上げるしかない場合もあるけど、
慣れてないんだったら、公式とかで簡単に数えられるケースで練習したほうが良い。
ちなみにその問題、前者は、個数だけなら秒殺で分かるし
後者も「各桁の和が3の倍数⇒3の倍数」ってのを知ってれば、そんなに時間はかからない。
ダブルカウントなどを防ぐために秩序立ててカウントするコツもある
例えば大小の序列をまず配置したり、順列なら、まず組み合わせから分類していったり。
383 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 02:45:02 ID:G+ASq/Lx0
>>381 前者は順列ですね。
後者はその方法でやったんですがそれでも3分近くかかってしまいます
重複がないように気をつけてると頭が混乱してくるので
公式が使えるなら公式でそうでなければ地道に数え上げという指針でやっていきたいと思います
>>382 大小の序列をまず配置とは?例をあげてくださると助かります
例えば1と2を使っての4桁の数字シラミつぶす際に
1111, 1112, 1121, 1122, 1211
というように闇雲にやらないっていう単純なことだよ。
一応書くけど、
>>384は他にもまだ1212とかあるよ。
>>384 なるほど。参考にします
ありがとうございました
387 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 12:10:48 ID:uNgjNkMjO
お願いします。
A(k)=∫[0,1]|x^2-2x+1-k^2|dx(k≧0)を求めよ。
という問題について質問があるのですが、この問題の解答でいきなり0≦k<1、k≧1で場合分けしてるんですが何故なんでしょうか?
お願いしますm(_ _)m
>>387 0≦k<1 の場合と k≧1の場合とで、
被積分関数(またはそれから絶対値を取ったもの)が
区間[0,1]でどうなってるかにはっきりとした違いがある。
これでピンとこなければ実際にそれぞれのグラフを(略式でいいから)
描いてみるべし。
絶対値を取り外した場合、頂点が(1,-k^2) にあって、
そこからy=x^2と同形の放物線が左に伸びてくわけだよ。
x=0のときのyの値はkの場合わけによってどう変わる?
>>387 x^2-2x+1-k^2={x-(1+k)}{x-(1-k)}だから
x=1+k,1-kの前後で絶対値の中の符号が変わる。
それが積分区間のなかにあるか否かという場合分けが必要
順列の「!」って何て言うのが正しいの?びっくり?
391 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 13:58:02 ID:2+HSyzQz0
392 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 14:19:26 ID:7odKMOuR0
kasu
393 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 15:30:16 ID:TSXyoCRZ0
n!はnの階乗と読みます(nびっくりと読む人もいますが)
そんな読み方してる人いたらビックリだよ
395 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 16:19:07 ID:zstR16GMO
絶対値 で |A|は
A≧0の時A
だけど A=0は Aではないとおもうんだ。
で今本質を考えてたんだが救済。
396 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 16:21:36 ID:2+HSyzQz0
397 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 16:43:46 ID:zstR16GMO
聞くのめっさ恥ずかしいけど…
|A| があり、
A=0だったら |0|で正も負も区別できない…
なのに不等式の絶対値問題の場合分けとかは
|A|≧0 = 正 A …
本質がわからん。死にたいぐらいはずいの。。
398 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 16:48:15 ID:TSXyoCRZ0
>391,393
サンクス!
400 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 17:07:21 ID:zstR16GMO
普通の標準問題精講の問題で
|x−2|+|x−5|≦5
を満たすxの範囲を求めよ。
なんだけど普通の例題+基礎なのにどうしてか ≦ ≧ の概念が身についてないのか…よくわからぬ。。。お願いします。
>>397 |0|=0だよ
ちなみに絶対値|A|の定義を
A>0のとき|A|=A
A≦0のとき|A|=-A
と、勝手に=を入れ替えても問題ない。
403 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 17:36:56 ID:TSXyoCRZ0
>>400 x=2,5の前後でx-2, x-5の符号が変わるからx<2, 2≦x<5, 5≦xの3つにわけて考えると
x<2ではx-2<0, x-5<0となるので|x-2|=2-x, |x-5|=5-xより条件は7-2x≦5すなわち1≦x
2≦x<5ではx-2≧0, x-5<0となるので|x-2|=x-2, |x-5|=5-xより条件は3≦5すなわち必ず成立
5≦xではx-2>0, x-5≧0となるので|x-2|=x-2, |x-5|=x-5より条件は2x-7≦5すなわちx≦6
以上より1≦x<2または2≦x<5または5≦x≦6となり求める範囲は1≦x≦6
グラフになれていればそちらから解く方が考えやすい
404 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 17:55:57 ID:zstR16GMO
そ、そういうことか…(∀)
皆様付き合ってくれてありがとうございます(*´д`;
馬鹿なんでまた質問するとおもいますがその時もお願いします。
405 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 18:20:49 ID:TSXyoCRZ0
nの二重階乗
408 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 23:20:59 ID:s7xWN9wm0
1/(x^4 -1)をax+b/(x^2 +1) + cx+d/(x^2 -1)としてa,b,c,dをもとめて
部分分数分解しようとするとおかしくなるんだけどどうしたらいい?
409 :
大学への名無しさん:2008/07/30(水) 23:40:39 ID:TSXyoCRZ0
おかしくならないと思う
410 :
大学への名無しさん:2008/07/31(木) 00:08:00 ID:s7xWN9wm0
a=-cかつa=c b=-dかつB=dになるんだけど計算間違いかな?
411 :
大学への名無しさん:2008/07/31(木) 00:13:24 ID:sldO3Ci20
計算間違いです
その場合簡単に
1/(x^4-1)=1/2*(1/(x^2-1)-1/(x^2+1))と分解できるはず
そんで1/(x^2-1)も分解か
こういうよくある分解は感覚的にできるようになった方がいい
a=-cかつa=cはあってる。つまりa=c=0。
b=-1/2、d=1/2 でええやん。
はさみうちの原理に関する問題で、
a[n]≧√2・・・@
a[n+1]-√2≦(1/2)(a[n]-√2)・・・A
A繰り返し用い,@とから,0≦a[n]-√2≦{(1/2)^(n-1)}(a[1]-√2)
となるのは何故ですか?繰り返し用い、の意味がよくわからないのですが。
a[n+1]-√2≦(1/2)(a[n]-√2)≦(1/2)^2(a[n-1]-√2)≦(1/2)^3(a[n-2]-√2)・・・≦(1/2)^(n-2)(a[2]-√2)≦{(1/2)^(n-1)}(a[1]-√2)
>>415 それはわかるのですが、そうなる理由がわからないんです。
どうして繰り返し用いることで、(1/2)(a[n]-√2)≦(1/2)^2(a[n-1]-√2) のようになるんですか?
繰り返し用いてるから
a[n+1]-√2≦(1/2)(a[n]-√2)
が証明できたならば
a[n]-√2≦(1/2)(a[n-1]-√2)
って簡単に創造できるじゃん普通。それなら
a[n-1]-√2≦(1/2)(a[n-2]-√2)
だと思うじゃん普通。それ繰り返せば
a[n+1]-√2≦(1/2)^n(a[1]-√2)
かなってわかるじゃん普通。
a[n+1]-√2≦(1/2)(a[n]-√2) はすべてのnに成り立つから
a[n]-√2≦(1/2)(a[n-1]-√2) も言えるわけだ
>>418-419 a[n]-√2≦(1/2)(a[n-1]-√2) も成り立つから、両辺に1/2をかけても不等号の向きは変わらなくて、
それを繰り返していくってことですよね?
理解出来ました!ありがとうございました。
421 :
大学への名無しさん:2008/07/31(木) 21:20:45 ID:OWACY4oD0
tの2次方程式t^2-2xt-2y+1=0が-1≦t≦1の範囲に少なくとも1つの
実数解をもつ条件を求めよ。という問題で余事象に注目して解くと
どうなるのか教えていだだけませんか?
通過領域の問題の途中の計算でxとyは定数のようにとらえています。
余事象を考える意味がないほど、そっちの方が場合が多くなる。
よってそんな解法は考えないのが結論。
終了
423 :
大学への名無しさん:2008/07/31(木) 22:28:04 ID:CBhDsb7A0
全体集合を200以下の自然数とします。
A = { x | xは5の倍数 }
B = { x | xは4でわると2余る数 }
このとき、n(A∩B)求めたいのですが、解答ではいきなり
A∩B = {10, 30, 50, 70, …, 190}
よりn(A∩B) = 10
とかいてあります。
A∩Bの要素はどのように考えるのでしょうか?
自分なりの考えでは、まず、A∩Bの中で一番小さい数(10)を見つける。
あとは、5と4の最小公倍数の20を加えていった物が求める要素となっていると思うのですが、
なぜ最小公倍数を加えていくと求まるのでしょうか?
f(x)=ax^n+…+bについてf(α)=0をみたす有理数αはα=±(bの約数/aの約数)に限られますが、aとbの約数が多いとαになりうる数がかなり多くなるんですけど、これらを地道に一個ずつf(x)に代入してf(α)=0になるαを求める方法しかないのでしょうか?
問題やってたらαが22(±合わせると44)個出てきて計算地獄なんですが・・・
>>424 実際の数値を晒せ。 一般論で議論する限り、それだけやれ、というしかない。
>>423 10+5の倍数も5の倍数であり、逆にすべての10以上の5の倍数はこの形。
10+4の倍数も4で割って2余り、逆にすべての10以上の4で割って2余る数もこの形。
だから「5の倍数であり、かつ4で割って2余る数」は
10+「5の倍数かつ4の倍数」の形。
427 :
大学への名無しさん:2008/07/31(木) 23:33:12 ID:sldO3Ci20
>>421 -1≦t≦1に少なくとも1つの実数解を持つ
の余事象は
-1≦t≦1に実数解を持たない
これは
実数解を持たない
または
実数解を持つがそれは-1≦t≦1の範囲外
であり後者は
重解を持つがそれは-1≦t≦1の範囲外
または
2つの異なる実数解を持つがそれは-1≦t≦1の範囲外
であり後者は
2つの異なる実数解を持つがそれはt<-1の範囲に両方ある
または
2つの異なる実数解を持つがそれはt<-1の範囲と1<tの範囲に1つずつある
または
2つの異なる実数解を持つがそれは1<tの範囲に両方ある
である
428 :
大学への名無しさん:2008/07/31(木) 23:39:54 ID:sldO3Ci20
>>423 4で割って2余る数は偶数
5の倍数かつ偶数だから10の倍数
10はOK20はNGと順に考えたのかな
x=5m=4n+2のとき
10=5・2=4・2+2より
x-10=5(m-2)=4(n-2)は5と4の公倍数よって最小公倍数20の倍数
x-10=20kよりx=20k+10
429 :
大学への名無しさん:2008/07/31(木) 23:41:21 ID:sldO3Ci20
>>424 有理数解を求める目安に過ぎないので仕方ない
∫[0,a]2*x^3*e^(-x^2)dx
を求めよ
部分積分でいこうとしたのですが、どれが微分になるのか分かりません。解き方はあってますか?
違うかったら(できれば答えも)教えてください
431 :
大学への名無しさん:2008/08/01(金) 10:46:34 ID:BOaXAe060
良い質問スレがあったのでこちらで質問させていただきます
赤玉と白玉の個数の比が3;5で入ってる袋の中に
赤玉を12個いれたところ、赤玉と白玉の個数の比が11;15となった
白玉の個数を求めなさい。
>>431 お前マジ終わってんな
何その日本語wwwwwwww
ちょ 小学校通え
>>431 国語もできなきゃ算数も・・・・・・・・
偏差値50の小学生でも解けるだろ
>>430 ∫2*x^3*e^(-x^2)dx
=∫(-x^2)*(e^(-x^2))'dx
=(-x^2)*(e^(-x^2))+∫2xe^(-x^2)dx
=(-x^2)*(e^(-x^2))-∫(e^(-x^2))'dx
>>431 赤(初):赤(後):白=9:11:15より
12×15/2=90個
>>437みたいな発想ができないし式を見ても理解ができない。
僕がやると、どうしても3k+12 : 5k=11 : 15と文字を使っちゃう。
ゆとりはそれでもOK
分かったからいいや。
441 :
大学への名無しさん:2008/08/01(金) 14:06:24 ID:yIRHVOes0
>>430 e^(x^2)は積分が簡単な式で表せない
同様にx^2e^(x^2), x^4e^(x^2)なども
しかしxe^(x^2), x^3e^(x^2)はt=x^2と置換することでe^t, te^tの積分に帰着できる
t=-x^2と置くとdt=-2xdxより
∫[0,a]2x^3e^(-x^2)dx=∫[0,-a^2]te^t(-dt)=∫[-a^2,0]te^tdt=[te^t-e^t][-a^2,0]=1-(a^2+1)e^(-a^2)
なお(2x^2+1)e^(x^2)なら積分が簡単な式で表せる
>>440 > 分かったからいいや。
ってお前なんだよソレ 調子のんな
わざわざそんな簡単な問題に付き合ってやってんのに
お礼も岩ねーのかよ
何考えてんだよ 人間として最低だな
それで勉強できないときて どうやって生きていくんだよ
道徳から学び直せ
444 :
大学への名無しさん:2008/08/01(金) 15:07:47 ID:VneU7cpw0
e^(-x^2)は重積分使うことで解けるよ
ヤコビアンとか知らないと無理だけど
ほう。
446 :
大学への名無しさん:2008/08/01(金) 18:47:58 ID:KDb8Iik8O
f(x)=∫[0,1]x|x-t|dt(-1/2≦t≦2)における最大値、最小値を求めよ。
という問題でy=x|x-t|のグラフを考えて場合分けしようと思ったんですが、ごちゃごちゃしてわからなくなったので解答を見たら0≦x≦1におけるx-tの符号について場合分けをしていたんですが、これはパターンとして暗記しちゃっていいんですかね?
絶対値が被積分関数全てにかかっているとき(|f(x)|などです)はわかるんですが、このように一部だけに絶対値がついてるとわからなくなります…
447 :
大学への名無しさん:2008/08/01(金) 18:49:30 ID:yIRHVOes0
>>446 0≦x≦1なのでx|x-t|=|x^2(x-t)|
448 :
大学への名無しさん:2008/08/01(金) 18:49:54 ID:yIRHVOes0
>>447 >|x^2(x-t)|
|x(x-t)|
>>447 一部分にしか絶対値がかかっていないのになぜそんなことをするのか?
被積分関数云々に関係なく,絶対値の中身の符号を調べればよい
>f(x)=∫[0,1]x|x-t|dt(-1/2≦t≦2)における最大値、最小値を求めよ。
問題文変だよ。
451 :
大学への名無しさん:2008/08/01(金) 19:58:45 ID:yIRHVOes0
>>449 >一部分にしか絶対値がかかっていないのになぜそんなことをするのか?
質問者がそれなら分かるとのことだったから
452 :
大学への名無しさん:2008/08/01(金) 22:00:46 ID:EzwbjYPkO
初歩的ですがこれはこれでいいんですか?
点(0,-1)を通るy=x^3-2*x+15の接線と法線を求める
与式をf(x)と置いて
f'(x)=3*x^2-2で接点を(a,a^3-2*a+15)とすると
傾きは3*x^2-2
その方程式は
y-(a^3-2*a+15)=(3*a^2-2)*(x-a)
これが点(0,-1)を通るので-1-(a^3-2*a+15)=(3*a^2-2)*(x-0)
よりa=2
接点に代入して(2,19)
傾きは10
その方程式は
y-19=10*(x-2)
y=10*x-1
接点(2,19)を通り
法線の傾きは-1/10
その方程式は
y-19=-1/10*(x-2)
y=-1/10*x+96/5
453 :
大学への名無しさん:2008/08/01(金) 22:33:05 ID:PV1vZztK0
数学が大の苦手で今↓の問題にいきずまってます…
数学が得意な方、馬鹿な私でもわかるよう解説していただけないでしょうか?
問)
a(b²−c²)+b(c²−a²)+c(a²−b²)
=(−b+c²)a²+(b²−c²)a+bc(c−b)
=−(b−c){a²−(b+c)a+bc}
=−(b−c)(a−b)(a−c) ※ここまでは理解できました
=(a−b)(b−c)(c−a) 答え ★
★の部分が理解できません。解説では整理すると…(a−b)(b−c)(c−a)になる。
と書いてあるのですがなぜ−1をかけて(a−b)(b−c)の部分は変化しないのか
わかりません。お願いします…
マルチ乙
455 :
確率マン:2008/08/02(土) 00:30:06 ID:+UXmlC6+0
kを2以上の整数とする。硬貨を繰り返し投げて、表の出た回数がk回、もしくは、
裏の出た回数がk回になった時点で終了する。
問い)k≦n≦2k−1を満たす整数nにおいて、ちょうどn回で終了する確率は??
答えだけでいいのでお願いします
よろしくおねがいします
>>453 -abc=ab*(-c)
も分からんのかね
>>452 接線までの結果、および法線の計算手順は間違ってない。
(0,-1)がy軸上だから、傾きが10なら、即座に接線はy=10x-1 と
出るが、間違ってるわけではないし。
以下は微分の学習を始めたばかりなら無視してちょーだい。
見かけ上まったく違ったアプローチとして、y切片の情報から
接線を y=kx-1 として、接線と曲線の方程式を連立させた
x^3-2x+15=kx-1 ⇔ (x-a)^2(x-b)=0 (aは接点、bは交点のx座標)
と変形できることから、解と係数の関係を使ってk,a,b を求める、
という方法もある。(直接は微分を使ってないように見えるが、
このことを言うために微分の知識が要る)
この問題の場合なら、-2a-b=0かつ-a^2b=16 から、より
容易にa=2が出てくるが、まあ基本の考え方や解法を身につけた
後に至るべきところ。それでも、受験時点では、こっちでも
考えられるようにしておくことは必要だと思うけど。
458 :
大学への名無しさん:2008/08/02(土) 10:22:40 ID:hw2LPaYO0
>>455 (n-1)C(k-1)/2^(n-1)
459 :
nyo ◆c4LfhErga. :2008/08/02(土) 11:01:22 ID:K5WFJv5VO
図形と方程式の問題に躓いてしまいました。
点(2.1)通る直線で、点(5.3)からの距離が2であるものの方程式を求めよ。
なのですがプロセスの立て方も分かりません。お願いします
460 :
大学への名無しさん:2008/08/02(土) 11:13:31 ID:hw2LPaYO0
>>459 図を書いてみたらどうかな
距離はどう定義するかも含め
>>459 y=m(x-2)+1
と置いて点と直線の距離の公式にあてはめるだけ。
当然m≠0ね。
>>459 まっすぐ公式どおりで行くなら
>点(2.1)通る直線
とりあえずy=k(x-2)+1 ⇔ k(x-2)-y+1=0
>で、点(5.3)からの距離が2であるものの方程式を求めよ。
点と直線の距離の公式どおり
|k(5-3)-3+1|/√(k^2+(-1)^2 = 2
分母を移行して両辺2乗すると√と絶対値が外れるから
kの2次方程式を解く。2実数解が得られればよし、1解だけなら
x=定数 の形の直線に関してチェックする。
465 :
大学への名無しさん:2008/08/02(土) 12:11:06 ID:IX7dI3BAO
466 :
大学への名無しさん:2008/08/02(土) 12:29:20 ID:Td4Aze/00
なんで1+1=2なんですか?
別に1+1=10でもいいんだよ
と前にも書かれたよな?忘れちゃったのか?
思い出したら、まず部屋から外に出てごらん。
怖がらなくても大丈夫。
今は道を歩いてたら後ろから刺される時代だぜ。
ナイフ忘れんなよ。
場合の数について質問したいんだけど、例えば携帯のロック機能を解除する為には何通りを調べれば良いですかね?
番号は0〜9の10通りで、解除コードは8桁です
10^8
>>470 自分は8^10だと思ったのですが、正しいのは10^8ですか?
その理由を教えて頂けないでしょうか
1桁目10通り それと独立して2桁目も10通り これが8桁分
10*10*…10 と8回10を掛けるんだから10^8
あるいは、0以上で7桁以下の整数は、8桁に足りないとき、
左に0を入れると考えれば、(たとえば1234→00001234)
番号のバリエーションは0〜99999999 の整数の個数と一致。
ということは1〜100000000 の整数の個数とも一致。で、10^8
なんで別に1+1=10でもいいんですか?
ナイフで刺される前に知りたいんですが…
2進法というものがあるのです。
数をどう定義するかの問題に過ぎないからです。
1+1=2って何でとか言うやつって何なの?
そう定義したと言えば終わりだろ
2という文字がそういう雰囲気醸し出してるからそう定義したんだよ
終わり
477 :
大学への名無しさん:2008/08/02(土) 17:11:13 ID:hw2LPaYO0
あと和と
2進法にしちゃったら微分はどうやるんですか?
数値の表記法が変わっただけで微分は何も変わらないよ
みんなおれにかまうくらい暇なんだな
481 :
大学への名無しさん:2008/08/02(土) 18:55:48 ID:v9CUSmsq0
y=(1-x)e^x
の漸近線の求め方を教えてください。
まず2進法にしてそのあと微分しようね♪
483 :
大学への名無しさん:2008/08/02(土) 20:52:37 ID:ZD4Td5E70
周の長さLの2等辺三角形の面積の最大値を求めよ。
微積の授業を習っている大学生なんですが、教えていただけないでしょうか?
484 :
大学への名無しさん:2008/08/02(土) 21:01:43 ID:8ZAw8EgB0
等差数列an=3n-2で、
a2nからa4nまでのうち偶数である項はなぜn+1個なのですか?
>>484 2nから4nまで2n+1個
偶数だから半分のn
で、偶数までだから+1
486 :
大学への名無しさん:2008/08/02(土) 21:35:44 ID:hw2LPaYO0
487 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 00:08:05 ID:TxvisQg5O
(3,0)を一つの焦点とし、2直線 y+x+1=0, y-x-1=0 を漸近線とする双曲線の方程式を求めよ
答えは
(x+1)^2/8-y^2/8=1
で合ってますか?
488 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 02:27:00 ID:HXjCTfvA0
∫√(x^2+a)dxの解き方なんですけどx=√atanθとおいて解けませんか?
6個の数字1,1,2,2,3,5を一列に並べて6けたの整数をつくるとき奇数は何個つくれるかという問題で
場合分けで一の位が1のときに
5!÷2!でさらに2!で割らないのは何故なのでしょうか。1が二つあって区別できないからまた割らないといけないんじゃないんですか??
誰かお願いします
等差数列をつくる3つの数がある。その和が18、積が120である時、
この3つの数を求めよ。
ある3つの数a,b,cがこの順で等差数列をなしているとする
@2b=a+c
Aa+b+c=18
Ba^2+b^2+c^2=120
@Aよりb=6
b=6より
Ba+c=12
Ca^2+c^2=84
BC解いてa,b,cは6+√6、6、6−√6 あるいは6−√6、6、6+√6
よって求める3つの数は 6、6+√6、6−√6
解答は2、6、10なんですが何回やってもこれになるので
どうすれば2、6、10が出てくるのか教えてください
491 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 03:44:11 ID:UBzdSFH00
行列A=(a,b,c,d)3以上のある整数nに対してA^n=Oのとき
A^2=Oが成立することを示せという問題なんですが、
A^n=(a+d)A^(n-1)
よって
A^n=(a+d)A^(n-1)-(a+d)^2A^(n-2)=・・・=(a+d)^(n-1)A
となるので・・・
みたいな感じに教えてもらったのですが最後の式がよくわからないので教えてください。
492 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 03:44:55 ID:EE8hfJfa0
>>489 1を1つ使ってあと残りで考えているので5!/2!となるのですが
どちらの1を使うかを考慮したいのなら区別して並べる総数は5!ではなくて2・5!ということになり(2・5!)/(2!・2!)と計算することになります
493 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 03:47:45 ID:EE8hfJfa0
>>490 >Ba^2+b^2+c^2=120
この式はなぜ?
494 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 03:51:16 ID:EE8hfJfa0
>>491 >A^n=(a+d)A^(n-1)-(a+d)^2A^(n-2)
A^n=(a+d)A^(n-1)=(a+d)^2A^(n-2)ですか?
495 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 03:58:02 ID:UBzdSFH00
>>493 弱点科目が国語であるというのが実感できました。
本当にありがとうございます。
497 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 04:20:13 ID:nNYRu7JG0
>>496 ただの勘違いであってそんな深刻な問題ではないですよ^^;
498 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 04:25:04 ID:nNYRu7JG0
>>495 nに具体的に数字をいえていけばイメージしやすいと思いますが。
499 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 05:28:29 ID:EE8hfJfa0
>>488 a>0のときはそれで
a=0のときはxの符合で分けて
a<0のときはxの符合で分けてx=±√(-a)・(e^t+e^(-t))/2 (=±√(-a)cosh(t))で
あるいはaの符合によらずt=x-√(x^2+a)で
500 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 05:30:44 ID:EE8hfJfa0
501 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 11:21:08 ID:EE8hfJfa0
>>495 |A|^n=|A^n|=|O|=0より|A|=ad-bc=0 ⇔ a:b=c:d ⇔ (a, b)//(c,d) ⇔ (a,b)=p(r, s), (c, d)=q(r, s)と表せる ⇔ A=(p//q)(r, s) (//は改行つまり(p//q)は列ベクトル)
A^2=(p//q)(r, s)(p//q)(r, s)=(p//q)(pr+qs)(r, s)=(pr+qs)(p//q)(r, s)=(a+d)A
A^3=(p//q)(r, s)(p//q)(r, s)(p//q)(r, s)=(p//q)(pr+qs)(pr+qs)(r, s)=(a+d)^2A
A^4=(p//q)(r, s)(p//q)(r, s)(p//q)(r, s)(p//q)(r, s)=(p//q)(pq+rs)^3(r, s)=(a+d)^3A
…
A^n=(p//q)(r, s)…(p//q)(r, s)=(p//q)(pq+rs)^(n-1)(r, s)=(a+d)^(n-1)A
(a+d)^(n-1)A=A^n=O ⇔ (a+d)^(n-1)=0またはA=O ⇔ a+d=0またはA=O ⇔ A^2=(a+d)A=O
正の実数a,b,pに対して、
A=(a+b)^pとB=2^(p-1)(a^p+b^p)
の大小関係を調べよ。
すいません。やりかたの見当もつきません
>>502 両辺をb^pで割ってa/b=xとおく.
あとは微分利用でOK
tanθ÷(1+tan2乗θ)=sinθcosθとなることを示せ
この問題の式と答えが分かりません。教えてください。
1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2
506 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 18:50:45 ID:EE8hfJfa0
>>502 x>0においてy=x^pのグラフは下に凸
よって(a, a^p), (b, b^p)の中点((a+b)/2, (a^p+b^p)/2)よりもx=(a+b)/2におけるグラフ上の点((a+b)/2, ((a+b)/2)^p)の方が下になる
すなわち(a^p+b^p)/2≧((a+b)/2)^pこの両辺を2^p倍する
507 :
大学への名無しさん:2008/08/03(日) 18:53:53 ID:EE8hfJfa0
>>506 >y=x^pのグラフは下に凸
p>1の場合でしたp=1なら直線よって一致0<p<1なら上に凸よって大小逆
>>502 余談だけどそれ東工大の過去問でしょ。やった記憶あるし・・・。
しかも問1だからそこは完答しておかないときついよ。
>>497 「積」と明記された設問で勝手に平方を作るのは
「ただの勘違い」ではないばかりか極めて深刻な問題だ
2cos^4X−4√3cos^3X+3cos2X
これの周期が2πらしいのですがどうやって求めるのでしょう?
508って浪人生?
512 :
大学への名無しさん:2008/08/04(月) 18:13:22 ID:FAle5b82O
放物線y=(1/2)x^2と直線y=2x+kは2点P,Qで交わり、線分PQの流さは10であるという。
という問題についてなのですが、線分の長さってどのように求めるんですか?
>>512 P(p, p^2/2)、Q(q, q^2/2)とすると
x=p,qは、x^2-4x-2k=0の解より解と係数の関係から
p+q=4
pq=-2k
PQ^2=(p-q)^2 + (p^2 -q^2)^2
=(p-q)^2(1+(p+q)^2)
=((p+q)^2-4pq)(1+(p+q)^2)
=(16+8k)17
ゆえに
(16+8k)17=100
k=-43/34
すまん間違った
PQ^2=(p-q)^2 + (1/4)(p^2 -q^2)^2
=(p-q)^2(1+(1/4)(p+q)^2)
=((p+q)^2-4pq)(1+(1/4)(p+q)^2)
=(16+8k)5
ゆえに
(16+8k)5=100
k=1/2
傾きmの直線なら、2交点を結んだ線分を斜線とする直角三角形と
3辺の長さが1, m, sqrt(1+m^2)の直角三角形の相似を利用する手もある
>>512 >>513-514が微妙に遠回りに見える。間違いじゃないが。
傾き一定の直線なのだから、長さが与えられれば
x座標の差は確定する。そっちを先に出してしまって、
それをp,qで表したほうが計算量が少なく、結局は手早い。
>>515で言われてることとある程度共通するのだが。
傾き2の直線上にある2点P、Qの間の距離が10だから、それらの
x座標の値の差をdとすると
10^2 = d^2 + (2d) ^2 、これより d^2 =20
(図を描けば明らか、三平方の定理を使っただけ。)
これが直接(q-p)^2 に等しいとおける。
OA[1]=OB[1]=1 ∠B[1]OA[1]=θ(0<θ<π)であるような二等辺三角形OA[1]B[1]がある。
辺A[1]B[1]の中点をB[2]とし、辺OA[1]上にOA[2]=OB[2]となる点A[2]をとり
二等辺三角形OA[2]B[2]をつくる。以下、同様にしてn>2についても、二等辺三角形OA[n]B[n]を作ってゆく。
辺OA[n]の長さをa(n)とおく。
(1)a[3]sinθ/4を求めよ。
(2)lim_[n→∞]a[n]を求めよ。
(1)は解けたのですが(2)がわかりません。
(1)の誘導から
a(n)=sinθ/2^(n-1)sin{θ/2^(n-1)}
と出たので、それを数学的帰納法で証明したのは良いのですが、そこからどうやっていいのか・・・
519 :
大学への名無しさん:2008/08/04(月) 21:14:55 ID:tyY6z8tO0
P(p, 2p+k), Q(q, 2q+k)と置くと少しだけ楽ですか
520 :
大学への名無しさん:2008/08/04(月) 21:27:49 ID:R1tZ97LB0
a(n)=sinθ/2^(n-1)sin{θ/2^(n-1)}
=(θ*sin(θ))*(2^(n-1)/θ)*sin(θ/2^(n-1))→θsinθ
>>517 1:2:√5よりの直角三角形より
5*(p-q)^2=100 ということだね
なるほど、この方がp,qが式の中に少ないから速いね
今後利用させてもらうわ
522 :
大学への名無しさん:2008/08/04(月) 21:33:49 ID:tyY6z8tO0
>>518 おもしろいですね
角は半分になっていきますから
a[n]=a[n-1]cos(θ/2^(n-1))
a[n]sin(θ/2^(n-1))=a[n-1]cos(θ/2^(n-1))sin(θ/2^(n-1))=1/2・a[n-1]sin(θ/2^(n-2))=1/2^(n-1)・a[1]sinθ
a[n]=(sinθ)/(2^(n-1)・sin(θ/2^(n-1)))
ですか
a[n]=((sinθ)/θ)・(θ/2^(n-1))/sin(θ/2^(n-1)) → (sinθ)/θ (θ/2^(n-1) → 0)
となります
>>522 a[n]=((sinθ)/θ)・(θ/2^(n-1))/sin(θ/2^(n-1)) → (sinθ)/θ (θ/2^(n-1) → 0)
何故このような変形が出来るのでしょうか?詳しくお願いします。
>>520は間違っちゃった。確かに答えが変な気はした
525 :
大学への名無しさん:2008/08/04(月) 23:15:06 ID:tyY6z8tO0
>>523 (sin x)/x → 1 (x → 0)だからです
x=θ/2^(n-1) → 0 (n → ∞)ですのであのようになります
>>525 ありがとうございます。有名な公式?を使ってるんですね。
x=θ/2^(n-1) → 0 (n → ∞)
と、置いているのですがこれはどんなふうに考えたのでしょうか?
こういうタイプの問題はこうして考えるみたいな定石があるのでしょうか?
sin(x)/x→1 (x→0)の公式を使ってみようと思わないの?
>>527 やっぱり思いつくもんなんですかね・・・?
自分の勉強不足みたいですね、精進します。
529 :
大学への名無しさん:2008/08/05(火) 00:42:51 ID:qU7d8pUM0
>>528 構成要素にsin(θ/2^(n-1))がありますからn → ∞でどのようになるかを考えるのにθ/2^(n-1) → 0を見いだせなかったとしたら相当の精進が必要と思われます
530 :
大学への名無しさん:2008/08/05(火) 00:44:53 ID:qU7d8pUM0
その上でsin xに関連する公式としてはsin x → 0と(sin x)/x → 1を知っておく必要はあるでしょう
これらの知識があれば思いつかねばならないでしょう
>>529 厳しい言葉をどうも。
他科目とのバランスも考慮しつつ精進したいと思います。
532 :
大学への名無しさん:2008/08/05(火) 00:50:26 ID:St+kplPs0
これ1989年の京大の問題ですよね。
sin x)/x → 1使えないで京大の問題は無理ですよ><
533 :
大学への名無しさん:2008/08/05(火) 18:47:48 ID:B4VkXB3s0
>>501 遅れてすいません。ありがとうございます。
大変申し上げ難いのですが、わかりにくいです。
A=(p//q)(r, s)の表記がいまいちよくわからないです。
元の問題から余計に遠くなってしまいましたorz
もう少しわかりやすく説明していただけませんか?
どうか宜しくお願いします。
>>533 >>501じゃないけど、やってるのはいわゆる「繰り返して適用すれば」ってことだよ。
A~n=(a+d)A~(n-1) ってのは、
行列Aを繰り返して掛ける個数を1減らす代わりに、(a+d)倍しても同じ ってこと。
だから n≧3 として A^(n-1)=(a+d)A^(n-2) (n-1=mと置き換えて考えてもいい)
ってことは両者をあわせて使えば、A^n=(a+d)^2A^(n-2)
ただ、この議論の最初の A^n=O → A~n=(a+d)A~(n-1) はそんなに自明じゃないと思うんだが。
自分だったらこの問題は対偶を取って
「A^2≠O であれば n≧3 のいかなるnに対しても A^n≠O」 を証明すると思う。
ケーリー・ハミルトンの定理を前提として(要求によっては成分計算で証明)、
A~2=(a+d)A-(ad-bc)E
A^2≠O だから、ありうるのは
(i) a+d=0 かつ ad-bc≠0 の場合 …Aは単位行列の0以外の定数倍になってA^n≠O
(ii) a+d≠0 かつ ad-bc=0 かつA≠O の場合 …A^n=(a+d)^(n-1)A ≠O
(iii) a+d≠0 かつ ad-bc≠0 の場合
くりかえし適用することでA^n は pA+qE の形になる。これがOになりうるのは
AがEの0以外の定数倍になるときだけだが、単位行列の0以外の定数倍の行列が
n乗してOになることはありえない。
したがって問題の命題の対偶は真であり、問題の命題も真である。
535 :
大学への名無しさん:2008/08/05(火) 19:30:44 ID:qU7d8pUM0
>>534 >(i)�a+d=0�かつ�ad-bc≠0�の場合 …Aは単位行列の0以外の定数倍になってA^n≠O
A^2=-EでもAがEの定数倍とは限らない((i)自身は確かにA^n≠Oとなる)
>(iii)�+d≠0�かつ�ad-bc≠0�の場合
>くりかえし適用することでA^n�は�pA+qE�の形になる。これがOになりうるのは
>AがEの0以外の定数倍になるときだけだが、単位行列の0以外の定数倍の行列が
>n乗してOになることはありえない。
p=q=0となることはない?
>>535 つっこみありがとう。 (i)については、
「A^nはAまたはEの定数倍の形になる」ですな。
(iii) については、pのほうが(a+d)^(n-1) の形になるから
a+d≠0なら0にならないことは保証されてる。
言い訳めくけれど、場合わけのあとは略解のつもりですっ飛ばして
書いたら穴がボロボロ残ってしまった。ただ、方針としては問題ないと
思ってます。
537 :
大学への名無しさん:2008/08/05(火) 20:33:02 ID:qU7d8pUM0
>>536 >(iii)�については、pのほうが(a+d)^(n-1)�の形になるから
A=(1,-1//1,0)のときA^3=(-1,0//0,-1)=-Eとなりこの場合p=0
(これも(iii)の場合の反例ではないけれど)
>方針としては問題ないと
>思ってます。
細かな穴を塞げばこの方針でも解けると思います
>>537 う、これは細かいというよりも大穴です orz
(i)と(iii) の方針を、まとめて以下のように変更。
ad-bc≠0の場合、Aには逆行列が存在する。
このとき、A^n=Oとなるnが存在したとすると、
この状態から左辺右からAの逆行列をn-1回掛けるとE=Oとなり矛盾。
したがってA^n=O となるnは考えている条件下で存在しない。
すなわち、A^n=Oになることはない。
…… 叩いてもらったおかげで、かえってすっきり示せました。
539 :
大学への名無しさん:2008/08/05(火) 22:11:51 ID:CwNnMBf70
すべての実数x,yに対して、x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b>0が常に成り立つために定数
a,bの満たすべき条件を求めよ。
解答
xについて整理すると、x^2+2(2y+5)x+4y^2+ay+b>0ー@
D/4=(20-a)y+25-b
@が常に成り立つための条件はD<0,すなわち(20-a)y+25-b<0
がすべての実数yについて成り立つことである。
よって20-a=0かつ25-b<0
したがってa=20,b>25
低レベルで悪いんだけど、俺はxについてだけでなく、yについても整理してしまい、
4y^2+(a+4x)y+x^2+10x+b>0もすべての実数x,yについて成立すると考え、判別式を作った。
そうしたら、D/4=12x^2+(8a-40)x+a^2-4b<0という式がでてきた。だけど、これを常に満たす
xなんてないからおかしいな??と。こちらのほうは検討しなくていいのかな?
xについて整理してよいなら、yについて整理してもいいのでは?と思うのですが・・・。
あと二つの判別式が同時に成立するのが求めるaとbの条件だと考えたのですがこの考え方おかしいですか?
よろしくお願いします。
>>539 D/4=12x^2+(8a-40)x+a^2-4b<0
これがおかしい。計算間違ってる。そもそもD/4を使うのがおかしい。
>>539 元の問題のyをmに書き換えて文字順だけ変更した
x^2+4mx+4m^2+10x+am+b>0 が常に成り立つための(以下略
でも、xとmの両方について判別式を取る必要があると考えるかい?
感覚的な説明になるけど「主役の変数」であるxについての
判別式を取ることで、この不等式が常に成り立つためのa,bの
条件は十分に求められるのよ。脇役のy(m)は、xについて
取ったDを評価したときの考察があればそれでよし。
542 :
大学への名無しさん:2008/08/05(火) 22:51:10 ID:CwNnMBf70
>>540 ありがとうございました!!計算間違ってますね。本当にレベル低いわ・・・。
結局、xとyどちらに整理しても答えは同じになりますね。
D<0という条件ですべての実数xを検討し、判別式が成立する条件として、
すべての実数yについて検討してるから、その時点ですでにxとyを両方検討してることになるんですね。
だからその後わざわざyについて整理する実益がないということですね。
助かりました!
543 :
大学への名無しさん:2008/08/05(火) 23:10:18 ID:CwNnMBf70
>>541 なるほど。a,bの条件を求めるためには、xの判別式だけ検討すれば十分なんですね。
yはその後、付随的に検討すればよいということですね。
ありがとうございました!
>>542 >その後わざわざyについて整理する実益がない
一般論ではそうだが、今回は両方同じ解答が確認できたんだから
お前にとっては益があったと言える。
545 :
大学への名無しさん:2008/08/06(水) 11:49:46 ID:vC+/eRaD0
≫あと二つの判別式が同時に成立するのが求めるaとbの条件だと考えたのですがこの考え方おかしいですか?
おかしくない。これで正解。
この問題では,xとyがすべての実数を動き,xとyの間に
関数関係がない。つまり,xとyは完全にばらばらに,全実数の集合の中を動く。
だから,相互に無関係と考えてよい。したがって,それぞれが実数になる関係を判別式で
考えることが必要十分。
546 :
大学への名無しさん:2008/08/06(水) 14:37:04 ID:DnpK7AcT0
瞬間部分積分とはなんなのですか?
547 :
大学への名無しさん:2008/08/06(水) 17:35:44 ID:MgSk5olm0
理系人材としてニーズの高い「学科系統」上場(102社)
10ポイント≒■としてグラフ化
電気電子系 320 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
機械系 306 ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
情報工学系 146■■■■■■■■■■■■■■■
化学系 143 ■■■■■■■■■■■■■■
材料系 122 ■■■■■■■■■■■■
土木・建築系 97■■■■■■■■■■
数学情報科学系 69■■■■■■■
経営・管理系 50■■■■■
物理系 42 ■■■■
農学系 33 ■■■
生物系 20 ■■
資源系 7 ■
地学系 0
http://job.mynavi.jp/conts/saponet/release/needs/rikou/2008/03.html
>>546 部分積分を繰り返して適用するアルゴリズム。
xy平面上に4点E(1,1)、F(4,1)、G(4,4)、H(1,4)をとる。またm>0としy=m^2x^2で定まる放物線をCとする。
Cと四角形EFGHが共有点をもつようなmの値を求めよ。
解答
共有点をもための条件は、FがCの下側に、HがCの上側にあること、すなわち1≦16m^2かつ4≧m^2である。
という問題について質問なのです。
解答はぼんやりとはわかるのですがなぜそうなるのか確信を持って言えません。グラフを書いてみてもはっきりしません。
こんなアホな俺にもわかるように詳しく説明して下さい。
お願いしますm(_ _)m
>>549 y=m^2x^2のmを大きくしていくと原点を通る放物線Cの開き具合が
だんだん狭くなる
最初にぶつかるのはどこで最後にぶつかるのはどこ?
551 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 06:31:20 ID:vK+cySuq0
≫549
550で要点は書いてありますが・・・
y=m^2x^2 は,上に開いている放物線で,原点(0,0)が頂点。
ゆえに,mが大きくなると,原点を中心に考えて,だんだん左右対称に大きく開く。
EFGHは,正方形をしているので,放物線がFを通る時の開き方が一番広く,
Hを通る時が一番狭い。m^2は,開き方を示す数字だから,
Hの開き方≦m^2≦Fの開き方という式を立てることができる。
これを解いて,終わり。
仮に10点満点だとすると,放物線の形状についての記述に2点。
FとHでmの値が決まることを書いて,不等式をたてるのに4点。
計算して答えを出して,4点ぐらいの問題だとおもう。
類題としては,このEFGHが変数で動くものがあるし,放物線関数が原点中心ではない
ものや変数がもうひとつ増えているものもある。これだとすこし難しくなるが,直観的に
図を描くのはおなじ。
難易度☆(☆5つが受験標準)
>>551 > 仮に10点満点だとすると,放物線の形状についての記述に2点。
> FとHでmの値が決まることを書いて,不等式をたてるのに4点。
> 計算して答えを出して,4点ぐらいの問題だとおもう。
学校の試験? 模試?
少なくとも入試ではこんな採点はしないだろw
553 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 09:46:08 ID:650+wJVo0
原点から点C(3,3,3)へ行く最短経路のうちで点A(1,1,1)、B(2,2,2)のいずれもとおらないものの総数を求めよという問題で、
なぜA∧Bを全ての進み方の総数から引くだけではいけないのでしょうか..
いずれもというだけありAもBも通ることをさけるという考えはいけないのでしょうか
∩と∧は全く意味が違うぞ
>>553 「20歳未満の者は喫煙と飲酒のいずれもおこなってはならない」
自然な日本語だと思いますが、あなたはこれを「喫煙だけまたは飲酒だけならおっけー」と
読むのでしょうか。
A、Bいずれも〜ない は neither A nor B として解釈すべきでしょう。
556 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 12:53:45 ID:hgpzsjNz0
3.7<1.14^10<3.8であることを示せ
という問題なんですが、計算の方法を上手くする方法ないでしょうか?
地道に筆算すると3.70822131くらいになるんですがこれはさすがに厳しいので
>>556 ・誘導や大問(だとして)の前半はまったくないの?
・単元分けされているとすればどこでの扱い?
単元の問題としてならば、微積分か、指数・対数か、2項定理か、
いずれかだと思うけど…
558 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 15:52:16 ID:0HKSFrMa0
1.14^2=1.2996<1.3とかしてみれば?
559 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 18:47:47 ID:qJnLy5UN0
この問題お願いします!!
Dを半径1の円盤、Cをxy平面の原点を中心とする半径1の演習とする。Dが次の
二つの条件を満たしながらxyz平面内を動くときDの通過する部分の体積を求めよ。
1、Dの中心はC上にある
2、Dが乗っている平面は常にベクトル(0、1、0)と直行する。
お願いします!!
560 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 18:47:47 ID:650+wJVo0
>>555 でしょ?
だからAかつBをすべての最短距離の総数からひくんですが答えがあいません
なのであなたの考えはぼくもわかるのですが、この場合それだけじゃいけないようです
どなたかほかの方よろしくお願いします
>>538 遅レスだけど、
ad-bc≠0の場合、A^(-1) が存在するので、
A^2=O となるいまでかければいい。
背理法をとる必要はない。
562 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 19:13:51 ID:vK+cySuq0
553の問題
組合せの記号をCとすると,
全部の最短経路 6C3=20
Aを通る 2C1x4C2=12
Bを通る 4C2x2C1=12
AとBを通る 2C1x2C1x2C1=8
答えは,20−(12+12−8)=4
じゃあないか?
>>560 いーか、320人の学年から飲酒・喫煙で大量停学者が出た。
喫煙をやった奴が(喫煙"だけ”ではない)25人。
飲酒をやった奴が18人。
両方やった奴が10人。
どっちか一方でもやった奴は停学。
じゃあ、(その他の理由、というのは無かったとして)停学にならなかった奴は
何人よ。そして、これが元の問題の考え方として役立つのはわかるんだろうね?
564 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 19:21:43 ID:vK+cySuq0
555は間違いだよ。
565 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 22:21:41 ID:JED2xcSM0
566 :
大学への名無しさん:2008/08/07(木) 22:42:00 ID:JED2xcSM0
>>559 その平面で切った断面は2円の合併集合
それを積分すればよい・・・・・かな?
567 :
大学への名無しさん:2008/08/08(金) 02:09:08 ID:7wyAucs30
0≦a≦2のとき、y=(|x|-a)^2-4のグラフをかくとき、
x≧0のときはy=(x-a)^2-4と
なるので、x軸と交わる点は、x=a-2,a+2
x≦0のときはy=(-x-a)^2-4
となるので、x軸と交わる点は、x=-a-2,-a+2
になると思うのですが、解答では
y=(x-a)^2-4とx軸と交わる点は、x=-a+2,a+2
y=(-x-a)^2-4とx軸と交わる点は、x=-a-2,a-2
となっています。
これは誤植でしょうか?それともやっぱり俺が間違えている
のでしょうか?すみませんが、お願いします。
568 :
大学への名無しさん:2008/08/08(金) 02:26:10 ID:Q5kEX6MD0
>>567 君のがあってると思うけど
0≦a≦2だから
>x≧0のときはy=(x-a)^2-4と
>なるので、x軸と交わる点は、x=a-2,a+2
のうちx=a-2はx<0になる(a=2という例外を除いて)から除外しなきゃならん
そもそもグラフはy軸について対称だからx≧0について調べれば十分
変数θは0≦θ≦π/2の範囲を動くとする。点P(cosθ,sinθ)における単位円の接線をLとし、
Pとの距離がθであるL上の2点のうち、原点とPを通る直線に関して点A(1,0)と同じ側にある点を
Q(x,y)とする。
問、x,yをθで表せ。
ベクトルと行列を使えば解けるらしいんですが、
cos(θ−π/2) -sin(θ−π/2) {θ/2^(1/2)}cosθ
OQベクトル=OPベクトル+( )( )
sin(θ−π/2) cos(θ−π/2) {θ/2^(1/2)}sinθ
という式で解いてみると、明らかに答とは違う煩雑な式が出てきてしまいます。
どうやらPQベクトルの右の行列の値がおかしいみたいなんですが、正答を導くためにはどうすればいいでしょうか?
どうかアドバイスをお願いします。
>>569 行列は不要でしょ。
PQ↑と同じ方向の単位ベクトルは、(sinθ、-cosθ)
(OP↑に直交して長さが1のベクトルのうち、向きに関する条件を満たすもの)
よってQ(cosθ+θsinθ、sinθ-θcosθ)
で即終了、ではいかんの?
円x^2+y^2=3とy=x^2+aが2点で交わり、それぞれの交点における放物線の接線がともに原点を通るとき定数aの値および接線の方程式を答えよ。
という問題で片方の接線の方程式(y=√3*x)の求め方を求めて、その対称性によってもう一本の接線の方程式を出すんですけど対称性ってどういう意味ですか?
>>571 ちゃんとグラフを描いていれば、この問題の作図結果がy軸対称になるのは
一目瞭然だろう…
だったら、一方の接線がy=(√3)xなら、もう一方はy軸対称の直線である
y=(-√3)x になる、ということ。
573 :
大学への名無しさん:2008/08/08(金) 16:45:07 ID:+SRKVYhO0
>>568 やっぱり誤植でしたか・・・。
詳しい説明ありがとうございました。
574 :
大学への名無しさん:2008/08/08(金) 18:10:06 ID:8pcBr8OKO
f(x)=x^4-2x^2とするとき、y=f(x)とy=k(-1<k<0)で囲まれた3つの部分の面積を左から順にS、T、Rとする。S+T=Rとなるkの値を求めよ。
という問題で、グラフを書くとy=f(x)のグラフはy軸に関して対称になり、S+T=R⇔R=Tの面積の右半分
という条件が導けるのですが、S+T=R⇔R=Tの面積の半分となる理由はy=f(x)グラフがy軸に対して対称だからy=k(-1<k<0)で囲まれた面積Tの右半分の面積と左半分は同じになり、さらにS=RだからR=Tの右半分になるという解釈で良いですか?
でもこれだとTの右半分とRが同じになるという理由がはっきりしないというかなんというか、すっきりしないんですよね…
すいません、よろしくお願いします。
S+R=Tじゃね?
数列の漸化式のa(n+1)=pa(n)+q型の解法についての質問です。
a(n+1)=pa(n)+q を変形した形の a(n+1)−α=p{a(n)−α}
の数列{a(n)−α}が初項a(1)−α、公比pの等差数列になる原理分かりません。
左辺は a(n+1)−α なので初項は a(1+1)−α=a(2)−α になるのでは?と考えてしまいます。
公比に至っては全く分からない始末です。
レベルの低い質問かもしれませんが、是非よろしくお願いします。
577 :
大学への名無しさん:2008/08/08(金) 20:07:18 ID:uGnsQWHc0
数列{a[n]}についての漸化式 a[n+1]=p*a[n] 初項はa[1], 項比はp
数列{a[n]+q}についての漸化式 a[n+1]+q=p*(a[n]+q) 初項はa[1]+q, 項比はp
>>576 漸化式そのものが分かってないように思える。一般に左辺は
「前の項から生成される側」なんで、そっちが初項(独立して与えられる
初期状態)になる訳はないのだ。
全体としても、むしろ話は逆。この変形は、与えられた数列{a[n]}に
定数を加減することで「等比数列を作ろう」という意志を持って行うもの。
だから「〜になる原理」というのは見方自体が違う。
漸化式ではなく項を書く形で「式の意味」を書いてみる。
2,4,10,28,82,244… という数列はちょっと法則性がつかみにくい。
が、各項から1を引くと
1,3,9,27,81,243,… となって関係性が自明になる。
これが
a[n+1]-1 = 3{a[n] - 1} 、a[1]=2 (a[1]-1=1)
と対応しているんだ、ということはつかめてますか?
579 :
大学への名無しさん:2008/08/08(金) 20:27:05 ID:3XtDg8130
確率の問題なんですが、
袋の中に当たりくじ2本外れくじ2本計四本のくじがある。
袋の中から無作為に一本引き、当たりなら取り出し、外れなら袋に戻す。
この試行をn回(n≧2)繰り返して当たりが二本そろうときの確率を[Pn]とするとき。
[Pn]=(a/b)^n-1-(c/d)^n-1
a,b,c,d,を求めよ。
考えても分かりません、回答お願いします
行列列で
A^n+1−2A^n
={A^2−2A}3^n-1
={A−2E}3^n
って出来る?
>>579 段階を追って考える。まず、x回目ではじめの当たりが出る確率を考える。
(1/2)の確率のはずれがx-1回続いたあと、(1/2)の確率で当たりが出るから、
これは(1/2)^(x-1) * (1/2) = (1/2) ^n
この状態になった後、y回目で2本目の当たりがでる確率を考える。
はずれ確率 2/3、当たり確率1/3 で同じようにやるのだから
(2/3)^(y-1)*(1/3)
この1本目が当たってからy回目のあたりがn回目に当たるのだから、
x+y=n より y-1=n-x-1
1本目の当たりは1回目〜n-1回目のいずれかで発生するはずだから
Σ[x=1,n-1]{ ((1/2)^x)*((2/3)^(n-x-1)*(1/3))
xに関わらない定数を前に出すと
=(2/3)^n-1 * (1/3) * (Σ[x=1,n-1] (3/4)^x) 注(2/3)^(-x) = (3/2)^x
Σの部分は、初項1、項比3/4 の等比数列のn項和から初項1を引いたものだから
(1-(3/4)^n)/(1-3/4) -1
=4-4*(3/4)^n -1
=3-3*(3/4)^(n-1)
仕上げはご自分でどぞー。
>>578 よくわかりました!ありがとうございます。
漸化式そのもの自体つかめていませんでした。分かりやすい回答ありがとうございます。
チャートやっていたのですが漸化式の詳しい説明は例題より後のページに乗っていたので見落としていました。
>>581 括弧が抜けた。
xに関わらない定数を前に出すと
=((2/3)^(n-1)) * (1/3) * (Σ[x=1,n-1] (3/4)^x)
で、センター向け邪道解法で考えると、
n=2 のとき 1/2であたり・1/3であたりが連続するから1/6
n=3のとき
あたり・はずれ・あたり が(1/2) * (2/3) * (1/3)= 1/9
はずれ・あたり・あたり が(1/2) * (1/2) * (1/3)= 1/12
1/12 +1/9 = 7/36
(a/b)-(c/d)= 1/6
(a/b)^2-(c/d)^2 =7/36 →(a/b)+(c/d)=7/6
あとは連立方程式……酷すぎ……w
複素積分∫{ 1/(z^2-2) } dz
積分経路C:|z| = 1
これって0になる?
特異点がC上とC内部に入ってないから
586 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 08:16:43 ID:/F70VpAP0
>>581 すいませんが最後が分からないんですが・・・
最終的に(a/b)^(n-1)-(c/d)^(n-1){a,b,c,dは自然数}にならないんですよ、いくら計算しても・・・
587 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 09:27:05 ID:TrUYPTYJ0
>>586 横レスですが
連立方程式を解いた時点では
a,b,c,d自体、自然数でなくてもa/bとc/dを求めるのだから
結局は、分子分母とも自然数の分数になおせるんじゃないの?
ちなみのその最初の値いくらになりました?
588 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 11:05:15 ID:4+2Lkh1H0
>>586 計算したΣの部分を代入して
(2/3)^n-1 * (1/3) * (3-3*(3/4)^(n-1) )
=(2/3)^n-1 * 1 - (2/3)^(n-1) *(3/4)^(n-1)
=(2/3)^n-1 - ((2/3)*(3/4))^(n-1)
=(2/3)^n-1 - (1/2)^(n-1)
>>583の邪悪な解法の結果とも一致。
また n-1 に括弧付け忘れちゃったよ…
一対一の空間ベクトルの例題7のHの座標求めるときに↑AB↑ACに垂直な↑nを外積で出してから正射影で求めれますか??
591 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 11:53:23 ID:WOz8z/kM0
1.6<(√2)^√2<1.7を示せ。
これはどうとくのでしょうか?お願いします
592 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 12:31:21 ID:/F70VpAP0
>>587 すいません、計算ミスしていました・・・
パソ画面の記号と自分が書き写したものとが食い違ってただけでした・・・
>>581 >>583 解決しました、ありがとうございます。
593 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 12:41:42 ID:VgeRMb5a0
>>591 学コンだせば29日以降に回答帰ってくるよ!
締め切り前の学コンの問題をここで聞く奴って
数学やる前に別の勉強したほうがいいと思うよ
1対1Cの色々な曲線、関数の6番の例題の極方程式の奴で
OPに垂直な直線はcosθ(x-rcosθ)+sinθ(y-sinθ)=0ってなってますがどうやったらこれに繋がるんでしょうか?
>>590 >>595 テンプレ嫁。
>・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
>解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor 問○を教えてください」だけ書くような
>質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります
すみません。質問させてください。
(X−4)二乗+(Y−1)二乗=1
の答えは
X=4+√1
Y=1+2√1
で良いですか?
掲示板で数学の質問をするのが初めてなので見にくい書き方になりましたがどなたか教えてください。
>>597 ・そもそも√1 が残ってる時点で答えの表記としてはダメ
・↑を看過すれば、それも解の一つではあるが、他にも無数の解がある
さらに質問したいのなら
>>1とそこにある「数学記号の書き方」の
リンク先読んで、標準的な表記でよろ。
>>598 いや違った、√1=1 として計算しなおしても解になってない。
たとえばX=5ならY=0でないと解じゃない。整数解だけでも
このほかに(4,1) 等があるし、(4+(√2)/2 ,1+(√2)/2) なんてのも解。
>598
親身な対応本当にありがとうございます。
1を一応見てきました。
改めて説明させていただきます。
ある問題集を解いているのですが、解答を見てもよく分かりません。
その解答では
Y=2X−7……@
(X−4)^2+(Y−1)^2=1……A
欲しいのはXとYだから
@、Aより
X=4±(√5/5)
Y=1±(2√5/5)
となっています。
でも自分で計算すると>597の答えになります。
なので、どうか教えてください。
m(_ _)m
自分で計算すると〜になったんですけど・・
の類は自分の計算過程を書いた方が良いと思う。
回答者が懇切丁寧に書く羽目になるから。
イメージ的には
y=2x-7
はxy平面では直線をあらわしていて
(x-4)^2 + (y-1)^2 =1
は円の方程式だから
この二つを同時に満たすのは直線と円の交点だって思えば
気分は楽になるのに
>600
すみません。
では書かせていただきます。
自分が計算した過程では
(X−4)^2+(Y−1)^2=1
(X−4)+(Y−1)=√1
これにY=2X−7
を代入して
X−4+2X−8=√1
3X−12=√1
3X=√1+12
X=4+√1
XをYに代入して
Y=8+2√1−7
=1+2√1
になりました。
>>600 その後、問題がどう展開するのか分からないけど
(展開しだいで解そのものを求めなくて言い場合もあるから)
とりあえず、数I 的手法からあまり離れずに解く方法で解を求めてみる。
(X-4)^2+(Y-1)^2=1 のYに Y=2x-7 を代入して
(X-4)^2+(2X-8)^2=1
ここからこの問題での値の特殊性によることになるけど、
第2の括弧が第1の括弧のちょうど4倍( (2X-8)~2= 4(X-4)^2 )
だから
5(X-4)^2=1 → (X-4)^2=1/5
平方完成されてる形だからそのまま解いて
X-4=±(√(1/5))=±(√5)/5
X=4±((√5)/5)
2X=8±((2√5)/5) より Y=2X-1=7±((2√5)/5) (複合同順)
別解:いきなり、第2式から Y-1=2X-8=2(X-4) という関係が見抜ければ、
p=X-4、q=Y-1 と置いて、
q=2p かつ p^2+q^2=1 より 5p^2=1 (以下略)
>>603 遠慮せず言えば、初手から間違ってる。
a^2+b^2=c^2 のとき a+b=c ではないでしょ?
三平方の定理の典型例で 3^2+4^2=5^2 だけど、3+4≠5 なのだから。
これに a=X-4 、b=Y-1 、c=1 と当てはめてみれば、ダメな変形を
していることは分かると思う。
606 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 16:00:23 ID:DzG/apFb0
数学の文章問題を解くときどのように考えればいいんでしょうか 特に2次関数が分かりません
607 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 18:19:15 ID:mxvpUYsDO
√(a-1)^2+(2a-2)^2=√5|a-1|
この変形の仕方がわかりません。
ちなみに最初のルートは全部にかかっていて次の式のルートは5だけにかかっています。
お願いします!
2a-2=2(a-1)
609 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 18:27:00 ID:mxvpUYsDO
>>608 わかりました!!
ありがとうございます。
>>607なんですけどもうひとつすみません
>√5|a-1|
なぜここで絶対値がくるんでしょうか
かっこじゃだめなんでしょうか
お願いします
左辺は正の数
てか、根号のはずし方の復習を
612 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 18:43:13 ID:mxvpUYsDO
613 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 19:23:51 ID:yEKEqDHtO
文1目指している浪人です。
今チョイスをやっているのですが、8月中をかけてやっていて良いレベルでしょうか。
次にはプラチカをやろうと思っています。
>>613 スレの趣旨くらい読もうよ。ここは具体的な問題に関する質問スレ。
a,bは実数で a+b=2 ab=6 a^2+b^2=16 a^3+b^3=44 を満たしている。
nを2以上の整数とするとき、a^n+b^n は4の倍数であることを数学的帰納法を用いて示せ。
という問題です。黄チャ数学UB の443の例題です。
解説には
(a^k+2)+(b^k+2)=(a+b){(a^k+1)+(b^k+1)}-ab{(a^k)+(b^k)}
であるから、n=k+2の場合を考えるとき、n=k,n=k+1の場合の仮定が必要である。
とあるのですが、この解説の意味が全く分かりません。なぜこうなるのでしょうか?
よろしくお願いします
616 :
大学への名無しさん:2008/08/09(土) 21:34:19 ID:vYk0BEvTO
原点Oと点A(2,4)を直径の両端とする円Cがあり、直線OA上に
点P(t,2t)をとる。ただし、t>2とする。 @円Cの中心と半径を求めよ。
A点Pを通り、傾きが1/2の直線lの方程式をtを用いて表せ。
また、直線lが円Cと接するとき、tの値を求めよ。
B点Pから円Cに引いた2本の接線と円Cとの交点をそれぞれQ,Rとする。
△PQRが正三角形であるとき、tの値と求めよ。また、このとき直線QR
の方程式を求めよ。
@AはわかったのですがBがわかりません…
正三角形といわれても長さが等しいことぐらいしか思いつきませんでした
よろしくお願いします
>>615 (a^k+2)+(b^k+2)=(a+b){(a^k+1)+(b^k+1)}-ab{(a^k)+(b^k)}-@
(a+b){(a^k+1)+(b^k+1)}
=(a^k+2)+(b^k+2)+b(a^k+1)+a(b^k+1)-A
ab{(a^k)+(b^k)}
=b(a^k+1)+a(b^k+1)-B
A-Bより@
で、@の左辺が4の倍数であるためには右辺も4の倍数でないとダメだが
a+b=2 ab=6だから(a^k+1)+(b^k+1)と(a^k)+(b^k)が4の倍数でないとダメ
ということ
・・でもないか
> a+b=2 ab=6 a^2+b^2=16
これをみたす実数a,bが存在しない気が...
>>615 その変形で、n=k+2の場合をn=k+1とn=kの場合に帰着できる
逆に見れば、n=kとn=k+1のときに成り立っていればn=k+2のときも
成り立つことがわかる
数学的帰納法の証明問題では、1つ手前だけでなくこういう風に2つ手前とかでも
成り立つと仮定してやることもある
n≦kのとき成り立つと仮定すると、とすることもあったりする
Oを中心、ABを直径とする半径の円がある。この円周上に点P,QをA,P,Q,Bがこの順に並ぶようにとり、四角形APQAの面積をSとする
(1)∠AOP=α、∠BOQ=βとおく。Sをαβを用いて表せ
(2)P,Qがα+β=tを満たしながら動くとき、Sの最大値をtで表せ。ただしtは0<t<πを満たす定数とする
(3)Sの最大値を求めよ
お願いします
>>617-618 ご協力ありがとうございます。
>>619 回答ありがとうございます。ab=-6でした。すいません。
なるほど・・・概ね理解できたと思います。また質問して申し訳ないのですが、
2つ手前まで成り立つ事を仮定する必要がある問題をすぐに見分ける事は可能ですか?
やはりそういうのは慣れだったりするのでしょうか。
>>620 半径の値を書き落としてると思う。
(1)2辺の長さがb,c で挟む角の大きさがA のとき、三角形の面積は (1/2)bc・sinA
考えている四角形APQB(だよね)を△AOP、△POQ、△QOBの3つの2等辺三角形に
分割してこの公式を適用。ここで、∠POQをα、βを使って表すのが要点。
∠AOP+∠POQ+∠QOB=π であることを利用。
(2) sinα+sinβ がα+β=一定のとき最大値はいくつになるか。
和積を使うのが簡単かな?
(3)(2)の条件で考える。
624 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 00:36:49 ID:nwNesITh0
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Date: Sun, 10 Aug 2008 00:25:33 +0900
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[email protected] アドレスブックに追加
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[email protected] 関数f(x)=e^−x(Ax^2+Bx−1)は任意の実数xに対して、関係式−f''(x)+2f'
(x)+3f(x)=16xe^−xを満たす
(1)定数A,Bの値を求めよ
(2)曲線y=f(x)の接線で(1/3,0)を通る方程式を求めよ
お願いします
あげ
626 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 00:44:57 ID:nwNesITh0
ここで答える人たちって学生なのかな??
>>616 円Cの半径をrとする。円Cの中心(1,2)もCで表すとする
△PQRが正三角形のとき△PCQは∠CPQ=30°の直角三角形と
なるのでPQ=√3*r
直線OAと円Cの交点のうち原点でない方をDとすると、方べきの定理から
PO*PD=PQ^2、PD=PO-2r、なのでPOをtで表す
この2つからtは求まる
直線QRの方程式はマジメに求めずに定番の方法で
接点をそれぞれQ(p1,q1)、R(p2,q2)とおくと接線はそれぞれ
(p1-1)(x-1)+(q1-2)(y-2)=5、(p2-1)(x-1)+(q2-2)(y-2)=5
と書ける、これがPを通るので(以下略
>>621 n=k+1のときの変形がどうなるか、かと
kのときだけに帰着できるならいつもの通り
k-1まで利用した方がいいなら2つ手前まで、みたいな
は
630 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 02:28:23 ID:qVLUf6w/O
や
631 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 02:29:21 ID:qVLUf6w/O
らやた
疲れた
633 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 06:41:51 ID:gxZxf7gwO
>>626 ありがとうございます!
でもどうして∠CPQ=30゜とわかるのでしょうか?
1から9までの自然数を無作為に三つ取って小さい順にx,y,zとする。すなわちy<y<zである
(1)5<xとなる確率を求めよx
(2)x≦5かつz≧5である確率を求めよ
これの(2)をお願いします
>>580、634
>A^n+1−2A^n
>={A−2E}3^n
A^n+1 がA^(n+1) のことで、]のあとの"3" が A のことであれば、
確かにA^(n+1)-2A^n= (A-2E)A^n にはなる。
計算についての質問です。
x^2-ax+a+7=0
の2解をα、βとすると、解と係数の関係により
α+β=a
αβ=a+7 となる。
aを消去して、αβ=α+β+7
上式を変形して(α-1)(β-1)=8
と解説に書いてあるのですが、自分が変形すると(α-1)(β-1)=6になってしまいます。
どうして8になるのでしょうか?
何回も計算しましたが、もし計算ミスならごめんなさい。
よろしくお願いします。
>>636 余事象でやれば、ある事象が起きる確率をP(事象)として
P(最小が6以上 または 最大が4以下)
=P(最小が6以上) + P(最大が4以下) - P(最小が6以上 かつ 最大が4以下)
(集合の要素の個数の考え方で)
最後は成り立ち得ないので確率0。確率の分母はC[9,3]
したがって、"余事象の"確率は
C[4,3]/C[9,3] + C[4,3]/C[9,3]
-----
(x,z)=(1,9)のとき間に7個。(1,8),(2,7)の時間に6個*2通り、……、
(1,5)(2,6)…(5,9) で間3個*5通り、(2,5)(3,6)… で間2個*4通り、
(3,5)(4,6)(5,7)で間1個*3通り、とやって合計しても、この問題ならそんなに手間じゃない。
一般化してΣを取ろうとするとけっこう面倒なんで、余事象を使わないなら
数えちゃったほうが楽。
>>638 αβ=α+β+7
αβ-α-β=7
左辺に作りたいのは
αβ-α-β+1 だから両辺に1を”足す”。
>>640 なるほどorz
ありがとうございました!
645 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 14:41:23 ID:iU8a954A0
2次関数 y=ax^2+bx+cのグラフは原点を通る。
このグラフをy軸方向に-8だけ平行移動すると、点(4,-8)を通りx軸と接する。
このときa,b,cの値を求めよ
どなたか教えてください
できれば計算も含めてお願いします
647 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 14:55:26 ID:Xm/6oe/hO
昨日記述受けて答えもらってないんだが
t=α+βとおいてS=sinα+sinβ+sin(α+β)をtで表すにはどうすればいんですかね?
よろしくお願いします
和積の変換公式
649 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 15:05:25 ID:Xm/6oe/hO
あっなるほど
2sin二分のα+βcos二分のα-βですかね?
でもα-βはtでどうやって表せば?
650 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 15:11:55 ID:CgwqW9MCO
>>649 ひょっとして
>>620の問題?
>>622に方針は示したけど、
sinα+sinβ+sin(α+β) そのものは tでは表せないけど、
その最大値なら t で表せるよ。
652 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 15:16:44 ID:Xm/6oe/hO
>>651 そうです。この問題です。一番は解けたけどこれからがわからなくて解けなかった。
式をTであらわさずどうやって最大値を求めればいんでしょうか?ヒント見ても解りませんでした
>>650 Mがなんだか画像に入ってる部分には書かれていないが、
PSの中点だとするとMPが半径、Mが中心になるんだから、
MQがそれと同じ長さなら同一円周上にあるのは自明だと思うが。
蛇足だが(1)について、点(0,-r)をLとして線分LR,LQを作ると
相似な直角三角形がたくさん見えてきて、S(r^2/a,0) は即座に導けるよ。
具体的な問題の質問じゃないんですけど、ベクトルの問題で、まずどこのベクトルに目をつければいいのかわかりません。
この問題はここのベクトルの内積を使う とかここはこっちのベクトルの平面上だからこうする とかうまく自分で見つけられません。
解説見て、ああそうかと納得しても、いざ自分で解くときにはどこから手を付けて良いのか今ひとつつかめませんorz
問題解きまくって感覚で覚えるしかないのでしょうか?
解き方とか考え方のコツとかありませんか?
ありません。
656 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 15:38:19 ID:QMq9pXET0
>>652 α-β=sとすれば
sinα= sin((t/2)+(s/2))=sin(t/2)cos(s/2)+cos(t/2)sin(s/2)
sinβ= sin((t/2)-(s/2))=sin(t/2)cos(s/2)-cos(t/2)sin(s/2)
sinα+sinβ=2sin(t/2)cos(s/2) ここまでがすでに出している通り和積
(ここまでは
>>644のため)
最大値を求めたい値=sin(t)+2sin(t/2)cos(s/2)
今tはいったん値を固定して考えていいんだから、
(「tを決めた時に」式が取れる最大値を考えていることを思い出そう)
sin(t)、sin(t/2)は(2)では決まった値として考えていい。
ってことはcos(s/2)が最大のとき式の値が最大。cosの最大値ったら
定義域無制限なら1で、α=βのときちゃんとそれを満たすs=0を取れる。
657 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 15:54:05 ID:rxk5dCjO0
>>653 すみませんMについて書くの忘れてました
問題文ちゃんと理解していなかったようです
ありがとうございました
(1)についてもわかりやすく説明していただき助かりました
>>653 引き続き図形的に解いてみる
(2) 上下対称性からSQLの3点も一直線上に並び、
∠NQL=90°(NLが半径rの円の直径、Qがその円周上の点)
これより∠PQS=90°。QはPSを斜辺とする直角三角形の直角をなす
頂点になるから、この直角三角形の外接円上にある。この外接円の
中心は斜辺の中点であるから、考えている円の円周上に点Qが
存在することになる。
(3)∠ONP=θとすると△ONQは等辺の長さrの二等辺三角形なので、
∠PQO=θ。同様に△MSQで考えて、∠MQS=θ。
ここで∠OQMの大きさを考えると、(2)より∠PQS=90°だったから、
∠OQM=∠PQS-∠MQS+∠PQO=90°-θ+θ=90°
これは線分MQが円Cの半径OQと直交する、
すなわち直線MQが点Qにおける円Cの接線であること、
線分OQが第2の円の半径MQと直交する、
すなわち直線OQが点Qにおける第2の円の接線であること、
これら両接線が直交することを示している。
(1)の相似性をややすっ飛ばしたことは確かだけど、それをちゃんと
やった上で図形的に考えれば、これは中学範囲で解ける問題。
まあ、ゴリゴリ力押しで解けることにこそ座標幾何の意味があるのでは
あるけれど、もしこうした図形的アプローチに一切触れてないとしたら
その問題集なり参考書なりは、個人的にはちょっとヤだなぁ、と思う。
>>654 ベクトルをちんこに置き換えてイメージする。
663 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 19:23:10 ID:jkl78nfS0
多項式x^m+x-1が多項式x^n+x^2-1で割り切れるような2以上の整数の組
m,nをすべて求めよ。
商と余りを置いてみましたがわかりません。
よろしくお願いします。
1+1=2なんですよ
y=−2X^2+2Xとy=−X+1とで囲まれた部分の面積を求めよ
交点を求めるとX=1/2 1
面積公式を使って計算すると1/24で正解なのですが
面積公式を使わずに計算すると答えが合いません。
∫[1/2 1]−2X^2+2X+X−1
=∫[1/2 1]−2X^2+3X−1
=[−2/3X^3+3/2X^2−X] [1/2 1]
上の式を計算してもマイナスの値になってしまいます
どなたか助けてください
>>685 積分記号のうしろのdxが抜けてる。
係数が分数だったらカッコをつけないと式が読めない。
F(x)=(-2/3)x^3+(3/2)x^2-x として、ちゃんとF(1)-F(1/2)を計算してる?
このとき、
1^3-(1/2)^3 = 7/8
1^2-(1/2)^2 = 3/4
1^-(1/2) = 1/2
と、先にべき乗の差の部分だけを計算して
(-2/3)(7/8)+(3/2)(3/4)-(1/2) を計算するようにすると間違えにくい。
(清の受け売りじゃなくて、これは昔からある手法)
(-2/3+3/2-1)-(-1/12+3/8-1/2)=(5/6-1)-(7/24-1/2)=(-1/6)+(5/24)=1/24
そこに書き込まれた式は合ってるよ。
668 :
665:2008/08/10(日) 22:27:33 ID:CeB7nIEcO
>>666 >>667 ありがとうございます
-(2/3)(1-1/2)^3…
みたいに計算してたのが原因でした
本当にありがとうございました
>>646 タイムスタンプから判断しても
一行追加のマルチだろ
向こうの280に対して礼は言ってみたものの
頭が悪くて理解できなかったので
「計算も含めてお願い」してると見た
>>637 って良く見たら違うよww
3がAだったら 中学生の問題だよww
数列として 3が公比になるから3をかけるから その変わりに前のAの次数を1つ下げるのが出来るのかを聞きたかった
>>670 >数列として 3が公比になるから
そんなことは元の書き込みから判断できるわけなかろう。
どこまでが与えられた条件式でどこからがお前さんの変形か
見てる側には区別しようがないんだから。
おっくうがらずに全部問題書け。
すんません。こいつの極限を教えてください。
lim(x→∞) x(2-x)e^(-x)
673 :
大学への名無しさん:2008/08/10(日) 23:54:26 ID:jkl78nfS0
sin2x+cos2x≧(1/√2)を合成せよ
どなたかこのやり方、なるべく詳しくお願いします
675 :
大学への名無しさん:2008/08/11(月) 00:35:28 ID:fUU4hYLF0
xy平面上の原点Oと第1象限にある点Pを結ぶ線分OPの垂直二等分線と
x軸,y軸によって囲まれる三角形の面積が√3であるとき,点Pのx座標
の最大値を求めよ
お願いします
>>674 その式全体を「合成する」のは無理だ。
左辺だけ合成して不等式を解くことならできるが。
そして、この問題くらいひねりのないところで引っかかってるなら
教科書か参考書の合成のところをちゃんと読むべきだと思う。
多少は進められるなら進めたところまで晒してみましょう。
>>675 数IIIの微分使っていい?
だめだとしたらどこまで使える?
以前講習で頂いたプリントの問題です。
答えはわかっているのですが、辿り着きません。
lim[x→∞] (1-3/x)^3x
解答を見るとh=-3/x とおいて計算し、
lim[h→-0] (1+h)^-3/h =lim {(1+h)^1/h}^-3 =e^-3 =1/e^3
となるようです。
どうすれば3x乗が-3/h 乗になるのかがわかりません。
どなた様か教えてください。お願いします。
679 :
大学への名無しさん:2008/08/11(月) 03:01:18 ID:0by067Da0
それ間違ってるよ。正しくは((1-3/x)^(-x/3))^(-9)→1/e^9
681 :
675:2008/08/11(月) 13:29:09 ID:fUU4hYLF0
>>677 高校の範囲までで微分でも構いません。
(X^2+Y^2)^2 / XYの形になったのですがそこからYを定数とみてこれをF(X)として
やっていく方法以外に手段はありますか?
>>681だと X,Yが何を指しているのか分からないのでこっちの解答案で。
OPの中点をM、OPの垂直二等分線がx軸と交わる点のx座標をα、
y軸と交わる点のy座標をβ、さらにこの直線がy軸となす角をθとする。
さらに簡単のため、√(α^2+β^2)=kとする。
#今のチャートには「文字使いけちけちするな」って載ってるんだろうか
すると、cosθ=β/k、αβ=2√3
OM=αcosθ、Mのx座標の値=OM・cosθより、この値は
α・(β/k)^2 = ( αβ^2) / k^2 = ((2√3)β)/(α^2+β^2)
=((2√3)β^3)/(α^2β^2+β^4)=((2√3)β^3)/(12+β^4)
これをβの関数とみなして微分し、β>0の範囲で考えると
Mのx座標の最大値が求まる。Pのx座標の最大値はその2倍。
垂直二等分線Lとx軸,y軸との交点をX,Yとすると三角形の面積が√3を
満たすにはXY = 2√3を満たすようにLを書けばいい。
右下がりのLを書けば原点のLに関して対称な点Pが第1象限に必ずあるから
Xは無限に大きく出来る気がする。
↑どこに穴があるんだろうか、おせーてエロイ人。
あ、気が付いた、勘違い。スマソ。
685 :
675:2008/08/11(月) 18:07:04 ID:fUU4hYLF0
X、Yはpの座標です
686 :
大学への名無しさん:2008/08/11(月) 18:10:37 ID:0by067Da0
>>685 X^2+Y^2があるのでX=rcos(θ), Y=rsin(θ)とするとよろし。一般化して
r^2/(cos(θ)sin(θ))=k
これからr=f(θ)と表せるので、これをX=rcos(θ)に代入し、ルートの中身の最大値を考えればよろし
>>685 >>681 に書かれた式の意味は分かったが、YはXと独立して決められないので
定数とはみなせない。
>>686の方針で継続することは可能だと思うけど、
自説にこだわるわけじゃないが、
>>682の方針のほうが数式の処理は簡単だと思う。
最後までやったけどそんなに面倒なく、きれいな結果が出るよ。
P(2a,2b)とおけばOPの中点は(a,b)で垂直二等分線の方程式は
法線ベクトルが(a,b)だからa(x-a)+b(y-b)=0
よってx軸,y軸との交点はそれぞれ((a^2+b^2)/a,0) (0,(a^2+b^2)/b)
よって題意より
1/2*(a^2+b^2)^2/ab=√3
これより(a^2+b^2)^2=2√3*ab
a=rcosθ,b=rsinθとおけば
r^4=2√3*r^2*cosθsinθ
⇔r^2=2√3*cosθsinθ
このとき(2a)^2=4r^2*cos^2θ
>>671 行列A=(1 2)
(−1 4)
とするとき
A^n(A−2E)=3^n(A−2E)
ただしnは自然数
を証明せよ
(2)A^nを求めよ
690 :
大学への名無しさん:2008/08/11(月) 22:45:23 ID:U47duFh30
>>689 A^2-5A+6E=0
(A-3E)(A-2E)=0より
A(A-2E)-3(A-2E)=0
A(A-2E)=3(A-2E)・・@ ここで両辺にAをかけると
A^2(A-2E)=3A(A-2E)
ここで右辺のA(A-2E)は@の左辺に等しい。よってA(A-2E)を3(A-2E)で
置き換えれば
A^2(A-2E)=3^2(A-2E)
これを繰り返し用いて
A^n(A−2E)=3^n(A−2E) ・・A
(2)でも(1)と同じ変形をして
A^n(A−3E)=2^n(A−3E)・・B を導き
A、BよりA^n+1の項を消去してA^nが得られる。
>>689 まず前半。
まあ、数学的帰納法でやるのが穏当?
n=1のとき、左辺=A^2-2A 右辺=3A-6Eと変形できる。
ケーリー・ハミルトンの定理より、A^2-5A+6E=Oが成立するから、
いj工によりA^2-2A=3A-6E が成立、よって仮定した関係はn=1のとき成立する。
n=kのとき成立するとすれば
A^k(A-2E)=3^k(A-2E) が成立している。
このとき、A^(k+1)(A-2E)= A(A^k(A-2E))
=A(3^k(A-2E)) (※n=kの時の成立を上で仮定している)
=3^k(A(A-2E))=3^k(3(A-2E)) (※n=1 の時の関係がそのまま使える)
=3^(k+1)(A-2E)
これはn=k+1の時も仮定した関係が成立していることを示す。
以上により、数学的帰納法によって与えられた関係はすべての自然数nにおいて成立。
>>690,691
この問題を見てすぐに最後までの流れを掴めるの?
それとも この問題が典型問題とかで だから前に解いたことあるの?
学校でVCやらなかったし独学だから そこら辺が良く分からなくて
693 :
大学への名無しさん:2008/08/11(月) 23:54:30 ID:U47duFh30
>>692 ぶっちゃけ私はこの問題は事前に解いたことがなければ解けません。
こういう解き方をする、と覚えていたから解けたのです、はい。
ちなみにこの問題は頻出問題というほどではないですが、
かといってできるひとは必ず抑える有名問題なので暗記して損はない、
と思います。
あなたの志望校がどこか知りませんがはっきり言ってけっこうな難関でも
これができればボーダーラインから浮上すると思えるので
コストパフォーマンス的に記憶容量を消費してもペイする、
というのが私の評価ですが、
>>691さんなどは本格派っぽいので、また別の評価をなされるのでは
ないでしょうかね。
694 :
大学への名無しさん:2008/08/11(月) 23:58:01 ID:a3BtAodY0
Dを半径1の円盤、Cをxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dがつぎの条件
をともに満たしながらxyz平面内を動くときDが通過する部分の体積を求めよ。
Dの中心はC上にある
Dが乗っている平面は常にベクトル(0,1,0)と直行する。
おねがいします!!
695 :
678:2008/08/12(火) 00:01:26 ID:WGRO8Ekk0
>>679さん、お答えありがとうございます!
やっぱり解答間違っていますよね。安心しました。
本当にありがとうございました。
>>694 y=kで切る。すると切断面は円二つ重ねたやつになる。その切断面の面積を適当にθをおいて求め、-1≦k≦1で積分。そのさいθとkの関係に注意。
答は2π+16/3
697 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 00:18:26 ID:KBvfVGCG0
>>687 >>686の方法では極座標変換のもとで f(x)=x(1-x^2) (0<x<1) の最大値を考えるだけで済んだよ。
x^3/(12+x^4)を微分するよりも遥かに楽だと思うのだけども・
>>693 どうもでした
一応阪大か名大を狙ってます
それでは失礼します
699 :
691:2008/08/12(火) 00:45:38 ID:tInUSuJ00
>>692 完結しちゃったようだけど、前半はケーリー・ハミルトンを使うと言うところまでは
定石ストックの中から。そこからは数学的帰納法でいけるよね、と思ったので
それで自己完結。
後半どうすっかなぁ、と思ってとりあえず書き込んだら
>>690さんがきれいに
解いてたんで放置しちゃった。自分でやるとゴリゴリΣの式を考えたと
思うので、ああなるほど、この手があったよ、と言う感じ。
で、
>>690さんが書いてないけど、取られた手法は(定数を含まない)
三項間漸化式の処理として知られた定石と、実質的に同じ手法
(連立漸化式と行列の処理には見えないところでつながってる部分が
あります)。旧帝理系志望なら、漸化式側の処理については見ておく
べき、行列への応用まで見通せると心強い、というところでしょうか。
700 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 00:51:14 ID:rs0hh1Fm0
>>696さん
cosθ=x sinθ=y-√(1−t^2)っておいたんですけど間違いないでしょうか??めんせきはどのように
求めればよろしいでしょうか・・・?何度もすいません・・・
問題を解くのには関係無いんですけど・・・
順像法、逆像法ってどこが順でどこが逆なんですか?
後、問題を見てどっちの方法を使うかってどうやって考えてますか?
よろしくお願いします
704 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 01:41:25 ID:rs0hh1Fm0
>>702さん ありがとうございます!!わかりました!!
すまん更に訂正。
切断面の面積が2(π-θ)+sin2θってことな。
分からなければ赤本でも調べな。
面積は出てるのに-π/2〜π/2まで積分しても出来ない・・・
707 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 02:02:48 ID:NhS/cDZXO
>>706 面積はkで積分。つまりk=sinθだからdk→cosθdθに変わることに注意
出来た!2π+32/3ってあれ・・・orz
とある問題の解答を見ててちょっとひっかかったんですけど
放物線が2つあり、その2つの放物線の交点を結んでできる直線の式は
放物線どうしを足したものになるのでしょうか?
解答を見ていてこんな公式あったっけ?って感じで・・・
なんでも公式と呼べばいいと思ってんのか
2次の項が消えるように連立しただけだろうに
>>710 なるほど。単純なことでしたね
ありがとうございました。
714 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 03:54:55 ID:Wie4esDhO
おまいら微分とか極座標とか言ってるけど
>>675って相加相乗で瞬殺じゃないな?
数列{an}が
(a1)=2,1/2(a1)+1/3(a2)+1/4(a3)+・・・・・+1/(n+1)・(an)=1/2(an)
を満たしているとき一般項anを求めよ
お願いします
716 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 12:24:49 ID:RYJvr9fY0
1/2(a1)+1/3(a2)+1/4(a3)+・・・・・+1/(n+1)・(an)=1/2(an)…@
1/2(a1)+1/3(a2)+1/4(a3)+・・・・・+1/(n+1)・(an)+1/(n+2)(a_n+1)=1/2(a_n+1)…A
A-@
717 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 12:26:08 ID:QYSTxVpM0
>>715 1/2(a1)+1/3(a2)+1/4(a3)+・・・・・+1/(n+1)・(an)=1/2(an)・・・@
@でn→n+1として
1/2(a1)+1/3(a2)+1/4(a3)+・・・・・+1/(n+1)・(an)+1/(n+2)*(a_(n+1))=1/2(a_(n+1))・・・A
A-@より
1/(n+2)*(a_(n+1))=1/2*(a_(n+1)-a_(n))
⇔a_(n+1)=(n+2)/n*a_(n)
∴a_(n)=(n+1)/(n-1)*n/(n-2)*(n-1)/(n-3)*・・・*4/2*3/1*a_(1)=n(n+1)
半径のa球に内接する直円錐の体積の最大値はいくらか
お願いします
719 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 18:08:26 ID:MfOj1Cr3O
a,bが素数であって二次方程式3x^2-12ax+ab=0が二つの整数解をもつときa,bのあたいとその整数解を求めよ
という問題なんですけど、
この式に解と係数の関係を使ってやるとなぜa=3またはb=3と限定できるんでしょうか
お願いします
二つの整数解α、βとしてαβ = ab/3だからα、βどちらかが
3を因数に持つ必要がある
それだけなら3,6,9・・・と可能だが素数だから3
721 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 18:42:06 ID:MfOj1Cr3O
>>720 レスありがとうございます
3を因数にもつっていうの解が整数より分母の3で割りきれなきゃいけないからですか?
んだ。
次の不定積分を求めよ
∫x/1+√x+1 dx
という問題で、
・分母を有理化すると正解「2/3(x+1)^3/2-x+C」にたどり着きました。
ただ、t=√x+1
とおいて解くとなると、
答えが「2/3(x+1)^3/2-x-1+C」になってしまうのですが、
この場合-1もCに含めて考えるのですか?
よろしくお願いします
725 :
大学への名無しさん:2008/08/12(火) 20:28:12 ID:piKai43L0
lim[n→∞]nr^n=0(0<r<1)
を二項定理を用いて示せ
という問題なんですが・・・
(1+r)にすると∞になるしさっぱりです
ヒントでもいいので教えていただけませんか?
Σ[K=0、n](2n−2K+1)が(n+1)^2になんでなるのかおしえてください
>>725 r=1/(1+h) (h>0) とおいてやってみて
>>727 あぁ!そうやればいいのか
ホントありがとうございます
nr^n≦1/(n-1)h^2→0とかで合ってるんだろうか…
書き方ミスってました、すみません
次の不定積分を求めよ
∫x/1+√(x+1) dx
という問題で、
・分母を有理化すると正解「2/3(x+1)^3/2-x+C」にたどり着きました。
ただ、t=√(x+1)
とおいて解くとなると、
答えが「2/3(x+1)^3/2-x-1+C」になってしまうのですが、
この場合-1もCに含めて考えるのですか?
よろしくお願いします
その通り。
定数をまとめてCっておいてるんだからいいんだよ。
各位の数の全てが素数であるようなn桁の自然数Nについて考える。各位の数の和が奇数になるようなNの個数を求めよ!
教えてください
全く分かりません
>>732 求めよ!
って、出題者元気良過ぎだろwwww
さらばあたえられん!
>>732 1,2,3,5,7でn桁を作る。
nが偶数
2を奇数個含む
2をk(奇数)個含むときnCk・4^(n-k)-@
2を偶数個含む>無理
nが奇数
2を奇数個含む>無理
2を偶数個含む
2をm(偶数)個含むときnCm・4^(n-m)-A
@Aを合わせて
Σ[t=0~n]{ nCt・4^(n-t) }個
737 :
大学への名無しさん:2008/08/13(水) 01:51:27 ID:7iuc9DHe0
1は素数じゃないんだけど
738 :
大学への名無しさん:2008/08/13(水) 02:17:02 ID:GKynjTA6O
1を素数としている以前に無茶苦茶な答案
739 :
大学への名無しさん:2008/08/13(水) 02:20:32 ID:fhXuE7230
これはひどい
あ、そうだね。Σも要らないな。無かったことに・・
741 :
大学への名無しさん:2008/08/13(水) 02:29:41 ID:GKynjTA6O
nが奇数のとき
nC1*3^1+nC3*3^3+…+nCn*3^n
になるから
(3+1)^nと(3−1)^nの差をとって半分にすればいい
nが偶数のときも同様
742 :
かばとっと:2008/08/13(水) 02:46:12 ID:Dl6l7dGG0
年賀状の配達は無事すんだかどうかわかりますでしょうか。
>>732 なんですが、まだよくわかりません↓↓
頭悪くてすみません…
744 :
大学への名無しさん:2008/08/13(水) 10:15:00 ID:LvZ2ujRW0
そこ俺がよく行く掲示板だ。せっかちなやつだ。
全然読めない
Oを原点とする座標平面上に
A(2、0)がある。
連立不等式
X^2+(Y-2)^2=≦5
Y≧X+3
で表される領域をDとする。
OP=√(X^2+Y^2)
AP=√{(X-ア)^2+Y^2}
であるから
s=イ(X^2+Y^2-ウX+エ)
=イ{(X-オ)^2+Y^2}+カ
となる。
この式において
(X-オ)^2+Y^2は
点Pと点(オ、0)の間の距離の平方であるから
sはX=キク、Y=ケのとき最大値をとり
X=コサ、Y=シの時最小値をとる。
です。
ある行列A(detA≠0)の固有値ベクトルを使って正規直交行列Uを作りました
UtをUの転置行列、A^-1をAの逆行列として、
Ut(A^-1)UをA^-1を直接求めずに解く方法はありますか?
752 :
751:2008/08/13(水) 20:30:41 ID:rW9p67/h0
×解く
○求める
X^2=E
ただしX:n次正方行列
E:n次単位行列
これを満たすXってE以外にありますか?
>>753 あります。
例
X=(2 -3)
(1 -2)
二次正方行列の場合を補足します。以下、
(a b)
(c d)
を(a,b,c,d)と表記します。
A=(a,b,c,d)とすると、
A^(-1)=(d,-b,-c,a)/(ad-bc)で、
A^2=E⇔A=A^(-1)が成り立つことから、各成分を比較すると
a=d/(ad-bc)
b=-b/(ad-bc)
が導かれ、これより(A≠Eとすれば、bあるいはc≠0は明らかなので)
ad-bc=-1,
a=-dがわかります。
従って、
A=(a,b,c,-a)で、bc+a^2=1を満たすものが、題意を満たす行列となります。
756 :
大学への名無しさん:2008/08/13(水) 21:47:18 ID:q19BPyRA0
>>755 そのまま(a,b,c,d)^2を計算した方が早かったorz
758 :
大学への名無しさん:2008/08/13(水) 22:45:59 ID:n+WOUek90
xy平面上の放物線y=2x^2を平行移動して得られる放物線をCとし
放物線y=-x^2+3をC1とする。
(1) 次の条件を満たす放物線Cの頂点の軌跡をxy平面上に図示せよ
条件:「CおよびC1で囲まれる図形の面積が4」
(2)(1)で得られた軌跡とC1で囲まれる図形の面積を求めよ
えっと早稲田の帰国生入試の文系数学からです
1は平行移動した放物線を2(x-p)^2としてC1と連立してみて
積分しようとしたんですがp^6とかになってしまいうまくいきません。。
2はまだ手をつけてないです。条件の面積4とどう違うのかがよく分からないです
よろしくお願いします
759 :
大学への名無しさん:2008/08/13(水) 22:59:05 ID:WSyvHtYg0
>>758 平行移動は y-q=2(x-p)^2 で表されるけど、二次の係数まで違うんじゃ……
>>758 平行移動した先の放物線Cの方程式はy=2x^2+bx+cの形。
C1との交点のx座標をα、β(α<β)とすると
面積4=∫[α,β](-x^2+3-(2x^2+bx+c)) dx
被積分関数=0 という2次方程式の解がα、βであることから
=∫[α,β](3(β-x)(x-α)=(1/2)(β-α)^3
※いわゆる1/6公式。使いたくなければまじめに積分。
これよりβ-α=2.。よって、α=m-1、β=m+1とおける。
これより、y=-x^2+3 上の点 (m-1, -(m-1)^2+3) および (m+1, -(m+1)^2+3)が
y=2x^2+bx+cの上にもあることになる。
座標に代入して整理し、さらに連立してb,cをmの式で表すと ◎ b=-6m、c=3m^2
よってCの方程式はmを使って
y=2x^2-6mx+3m^2 = 2(x-(3/2)m)^2-(3/2)m^2
頂点の座標は((3/2)m ,-(3/2)m^2) で、このy座標をx座標で表すと
y=-(2/3)x^2 これがCの頂点の軌跡の方程式。 範囲はC1:y=-x^2+3 の下で
C1との2交点を含む。
ここまでできれば(2)は交点出して1/6公式もう一度使えば終了。
計算ミスしてるかもしれんが、◎の手前までは間違いないし、その後も方針自体は
問題ないはず。
↑5行目の定積分 ∫[α,β](3(β-x)(x-α))dx
>>718,756 安田亨のブルーバックス本で見たような気がする。
円錐の頂点Aと球の中心Oと円錐の底面の中心Mは一直線上に並ぶ。
この直線を含む平面で断面図を描くと、半径aの円に二等辺三角形が
内接した形になる。二等辺三角形の底辺BCが円錐の底面の直径、
等辺AB,ACは円錐の母線。AOMは一直線上にあり常にBCと垂直。
今、AOに垂直な円の直径を考えると、BCがこの直径よりもAに近い側に
あると体積細大にはならない(ここら辺読んだ記憶から影響されてる)
この直径とOBのなす角をθとすると、
底面の半径BM=acosθ、円錐の高さAM=a+asinθ
あとは円錐の体積を公式にしたがって出して微分で処理。
sinθ=tと置き換えれば数II範囲で解けるような。
単純に二次元射影した三角形の最大値問題に帰結されるんだけどね。
765 :
大学への名無しさん:2008/08/14(木) 02:56:31 ID:7KDp03bI0
>>759 よく気づいたね。
代ゼミの解答は間違ってるよ。その場合改めて厳密にg(x)=f(x)/xの
増減を調べるなりしなければならない。
ちなみに東北大の第6問の解答にも誤りがあってずいぶん前にメールを送ったのに
未だに訂正されない。どうなってるんでしょうね。
∧_∧
ピュー ( ^^ ) <これからも山崎を応援して下さいね(^^)。
=〔~∪ ̄ ̄〕
= ◎――◎ 山崎渉
>>761 Cの頂点の軌跡だが、C1内に限る必要はないな。別に頂点がC1の内側に
入らなくても、面積4になる部分を切り取ることはできる。PC落として
寝床に入って気づいた。
>>765 予備校発表の解答もそんなに信じられないということか…
赤本(教学社製品)の通常版(「東大の数学」等でないもの)も露骨なミスが
結構多い。あるグラフの法線の方程式を出せ、という問題で、元のグラフが
明らかにx=0でx軸と平行になるのに「直線x=0」が入ってなかったとか。
768 :
大学への名無しさん:2008/08/14(木) 10:50:57 ID:7cLKMf8YO
シグマの記号がうまくかけません…
コツ教えてください…
まあ、数学程度ではないけど、東工大の化学だと予備校によって
解答が違うこともあるしな。東工大の化学は予備校泣かせ。
770 :
大学への名無しさん:2008/08/14(木) 20:15:16 ID:fPNm/k2u0
∫の-1〜1の
|x|e^x/(e^x+1)
dx
が出来ません。
お願いします。
X=e^x+1
dx=e^(-x) dX
log(e^x)=log(X-1)
x=log(X-1) > 0
|x|=x=log(X-1)
log(X-1)dX
>>732の解答お願いします
ヒントいただいても分かりません↓↓
帰納法でやれ
775 :
大学への名無しさん:2008/08/15(金) 00:21:11 ID:Mr4wwqgdO
解説が丁寧な参考書教えて!
すれち
数学の勉強の仕方 Part118
Σ_[k=1,n]cosKθを計算せよ。θ≠2πの倍数
さっきからしてるんですができませんでした…
お願いします。
んー、オイラーの公式をつかえば簡単なんだけどな。
範囲外だから。昔どこかの医大で出題されたよね。
そのやり方でいいのなら、e^{ikx}=cos(kx)+isin(kx)というのを利用して、
まず覇^(ikx)を級数の公式に代入。そのあといろいろ式変形して、
実部、虚部に分ければおk。実部がcos(kx)で虚部がsin(kx)。
779 :
大学への名無しさん:2008/08/15(金) 01:55:48 ID:YDmKtmKz0
>>777 sin(θ/2)*Σ_[k=1,n]coskθ
=Σ_[k=1,n]{coskθ*sin(θ/2)}
=Σ_[k=1,n]1/2*{sin(k+1/2)θ-sin(k-1/2)θ} (∵積→和の公式)
=1/2*Σ_[k=1,n]{sin(k+1/2)θ-sin(k-1/2)θ}
=1/2*{sin(n+1/2)θ-sin(θ/2)}
条件よりsin(θ/2)≠0だから
Σ_[k=1,n]coskθ={sin(n+1/2)θ-sin(θ/2)}/{2sin(θ/2)}
さらに簡単にできるな
sin(n+1/2)θ-sin(θ/2)
=2cos{(n+1)θ/2}sin{nθ/2} (∵和→積の公式)
から
Σ_[k=1,n]coskθ={sin(n+1/2)θ-sin(θ/2)}/{2sin(θ/2)}
=[cos{(n+1)θ/2}sin{nθ/2}]/{sin(θ/2)}
それでおk。
でも、これ知っているか知らないかの問題だよなぁ。
知らない人にはまずsin(x/2)を掛ける発想が出てこない。
帰結を知っていれば自ずと出てくるんだけど。
θ≠2πがヒントってわけじゃないのか
θ≠2πは、
>>780のやり方だと分母を0で割る、
>>778のやり方だと"1"に対し級数の和の公式が使えない…ので
それを防ぐための条件にすぎない。
θ≠2πという条件だけで何か考えるんだったら、
(θ-2π)とかいう項が出てもおかしくないし。
θ=2πだったら0じゃんか。
cos(kx)ね^^;
Σ_[k=1,n]coskθ=xと置いたとき、
Σ_[k=1,n]coskθ=x⇔v*Σ_[k=1,n]coskθ=v*x
を用いるために、θが2πの倍数のときv=0になるおそれのあるvを用いて↑のような変形をするんだろうな、と問題から推測できるんじゃないかと思ったのです。
まあ、そういう推測法もいいと思うけど、
別の間違った推測をしたらおしまいでしょ。
推測ばかりに頼るのは、試験本番ではよろしくない。
結果が分かっての推論だからね。もし、結果が
ぜんぜん違う問題で同様の推論をしたら間違いなくはまるよ。
数学的にちゃんと求めるんだったら、
>>778の方法なんだけど、
軽く範囲外だからな。詳しく知りたかったら探してみて。
まあ、このような「知ってるもの勝ち」の問題を出すのも悪いのだが。
ちなみに、この問題のねらいは量子力学への利用。coskxの波の重ね合わせ。
普通の大学入試(/高校教師)ならば「知ってる者勝ち」な問題は「試験本番」には出しませんから、
とらえどころのない問題に唐突に出てきたθは2πの倍数ではないという条件がヒントだと思うのは当然でしょう。
そういうわけで、sin(θ/2)をかけるのを類題を知らなければ思いつかないかというと、そうではないと思ったのです。
っと
もはや問題と全く関係なくなってるな、すまn
それが出すんだよなぁ。
現にこの問題だってそうでしょ。
知っている人はしっている、超有名問題。
「θ≠2π」は単なる条件。それ以上でも以下でもない。
ヒントを与えようとしているわけではない。これがないと数学的におかしくなるから。
別にヒントとして勝手に深読みするのは構わないが。
結果を知っているからこそ、「θ≠2πから推測して解くことができる」と
言えるのであって、このようなことは一般には言えない。
θ≠2πで0になるものだったら、別にsinθでもいいじゃん。ふつうは
こっちのほうが形式的にも簡単だし先に推定するだろうけど、なぜ
sin(θ/2)のほうが推定できるのか。結果知っての推定だからこうなる。
てか、君は高校生?推論だとか、「知ってるもの勝ち」の問題の多さを知らないようなら
あまり、持論を展開しないほうがいいよ。スレチだから、これ以上書かないけど。
この問題を解いたことあるけど同意
俺はオイラーの方法を知ってたから使ったけど
こういう問題は東大とかちゃんとした大学ではなく私大の医学部で出すんだよな
投稿してから思ったよ、なんて私は頭が悪いんだろう、と。
申し訳ない
もはやどうでもいいですけど、
>θ≠2πで0になるものだったら、別にsinθでもいいじゃん。ふつうは
>こっちのほうが形式的にも簡単だし先に推定するだろうけど、なぜ
>sin(θ/2)のほうが推定できるのか。結果知っての推定だからこうなる。
条件が「θがπの倍数でない」ではないことから推定できます。
推定じゃなくて推測。
結果論。
>>790の言うように結果を知っているからこそこの推論があっているといえるわけであって。
はじめから結果が分からない試験でまちがった推論をしたら泥沼にはまるだろうし。
でもそのような推論は悪くはない。
それで解ければもうけもの。
ROMってたが一言
結果が分からなければ普通は思いつかない推測だな
頭がいいやつらは平気でこのくらい推測するけどなwww
途中が相殺されて和が求められる、というのはあるから
そういう形にならないかな、という推測は無理でもない気がする。
俺なら、ならないな、で終わる自信があるけど。
798 :
大学への名無しさん:2008/08/15(金) 09:29:12 ID:5pezJArIO
ある問題の解答で
|-x-1|=|x+1|
となっていたんですがどうしてでしょうか?
>>798 |-1|=|+1|
|+5|=|-5|
|-x|=|x|
800 :
777:2008/08/15(金) 09:37:45 ID:kcu1e+xgO
みなさんありがとうございます。思い付きませんでした…
有名問題だったんですね、オイラーの公式も見てみようと思います。
801 :
大学への名無しさん:2008/08/15(金) 09:45:39 ID:5pezJArIO
>>799 ありがとうございますやっとわかりました
わかるとなんでこんなのわからなかったんだろうって感じです
超初歩的な質問してすみませんでした
2f(x)−xf'(x)−1=0
f(1)=0
を満たすxの整式f(x)を求めよ
お願いします
804 :
大学への名無しさん:2008/08/15(金) 20:27:20 ID:y65ks8J40
>>765 レスありがとん。
自分は最初赤本で見たのだけど、そちらは、そのへん全くのスルーだし
図の凹凸さえ間違っている・・・
(二次導関数さえ出してない)
厳密な検討は大学入試レベル・・少なくとも北大数学レベルではないので、時間の無駄だと
考えて、それ以上悩むのは辞めましたが・・・。
納得いかない回答です。
赤チャートで有界については、触れてたので、最初からそれで解きましたが、
本番でやったら減点なるんでしょうかね。
>>803 f'-2f/x=-x
f= exp{∫(2/x)dx} * [∫exp{-∫(2/x)dx} * dx/x + C]
= x^2 * [ ∫(x^-3)dx + C ]
= x^2 * [(-1/2)(x^-2) + C]
= (-1/2) + Cx^2
f(1) = -1/2 + C = 0
C=1/2
f= (-1/2) + 1/2x^2
= (1/2)(x+1)(x-1)
符号間違えた
f'-2f/x=-x
f= exp{∫(2/x)dx} * [-∫exp{-∫(2/x)dx} * dx/x + C]
= x^2 * [ -∫(x^-3)dx + C ]
= x^2 * [(1/2)(x^-2) + C]
= (1/2) + Cx^2
f(1) = 1/2 + C = 0
C=-(1/2)
f= (1/2) - (1/2)x^2
= (1/2)(1+x)(1-x)
807 :
大学への名無しさん:2008/08/15(金) 20:59:13 ID:foiAOreHO
すみません、この問題についてお願いします
y=f(x)=3x^2+3上の点(1,6)における接線の方程式をy=g(x)としF(x)をF(x)={f(x)(x≦1),g(x)(x>1)}と定義する。y=F(x)とx軸および2直線x=a,x=a+8とで囲まれる部分の面積を最小にするaの値を求めよ。
という問題についてですが、解答に題意の面積をS(a)とするとa≧0においてS(a)は明らかに増加関数であるからa≦0において最小となる。
a≦-8においてはS(a)は減少関数だからa≧-8において最小になる。
と書いてあるのですが、S(a)のグラフを書いても(a≧0、a≦-8の範囲で)なぜa≦0、a≧-8において最小となるのか全くわかりません。
どのように考えてあのような範囲になったのか教えて下さい。
それと解答の続きに、そこで-8≦a≦0においてS(a)を最小にするaの値を求める。と書かれており、-8≦a≦-7と-7≦a≦0の2通りで場合分けをしているのですが、なぜこの2通りの場合分けなんでしょうか?
自分はy=F(x)、x=a、x=a+8(a≦0、a≧-8)とx軸を書いて、a+8と1の大小によって場合分けしたのですが・・・
長文すみません、よろしくお願いします。
expって何?
というか分からないです…
分かりやすく説明してください_(._. )_
exp(・) = e^(・)
xf'-2f+1=0
f=1/2
xdf/dx=2(f-1/2)
df/(f-1/2)=dx/x
log|f-1/2|=log|x|+C=log|exp(C)x|
|0-1/2|=log|exp(C)|=C
C=1/2
f=sqrt(e)x+1/2
あれ・・
>>807 前半はちゃんと見れば分かると思うが。
a=1/2 くらいの時の面積と a=0のときの面積を見比べる。「共通部分でない部分の
面積が広いほうが、全体の面積も広い」ということに注目すればいい。
x=0〜x=1/2 の幅1/2、高さ3の長方形よりちょっと大きい部分より、x=8〜x=17/2 の
ずっと大きい台形で近似できそうな図形のほうが面積は明らかに大きい。
同様に、逆向きに範囲をとって、x=0〜x=-8 の ときの面積より、x=-1/2〜x=-17/2の
面積のほうが大きいのも見て分かる。だから最小値はa=-8〜a=0の間にある。
-8≦a≦-7 だと、面積を考える範囲の上端は0≦a+8≦1で、このときF(x)は範囲全体において=f(x)
一方、-7≦a≦0 だと、x=1から先(1<x≦a+8) ではF(x)=g(x)になって明らかに条件が変わるから。
つまり、あなたのやってるa+8と1の大小で考えるのと同じことをしてる。
>>806出あってますよ。だだ教育的に問題なので、高校レベルで。
2f(x) - xf'(x) - 1 = 0 …@
まず、@の式にx=2を代入すると、
f'(1) = -1 …A
が得られる。
ここで、@をxについて微分してまとめると、
f'(x) = xf''(x) …B
これにx=1を代入すると、
f''(1) = f'(1) = -1 …C
ここで、Bをさらに微分して整理をすると、
xf'''(x) = 0 …D
ここで、x=0以外でもDが成立するためには、x^3以上のべきの項は
存在してはいけない(よく考えればわかる)。つまり、
f(x) = ax^2 + bx + c …E
とおくことができる。
ここで、f(1)、f'(1)、f''(1)のそれぞれはすべて分かっているので、Eと、E微分した
f(x) = ax^2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a
らにそれぞれx=1を代入して、比較すれば、
a = -1/2、b = 0、c = 1/2
が得られる。
てか、
>>806はわざとやっているとしか思えない。
旧課程でも、微分方程式はやらないし。旧々過程ではやってたけど。
そのくらいの人なのかな?それとも大学生か。
教育的な解法を載せたほうがいいですよ^^;
815 :
大学への名無しさん:2008/08/15(金) 23:02:36 ID:5PZySyBnO
だから帰納法でやれ…と。
こういう試行系の問題は自分で手を動かさないとまったくの無意味。やらないほうがまし。
…それとも何かの課題かな?
ヒント:
・まずn=1,2,3,4位は実験せよ
・わかっているが使える数は2357
・含まれる素数はどんな桁でも奇数個
・(n+2)桁は、(n+1)桁に2を加えたものか、n桁のものに357から2つ(重複可能)を加えたもの。
あとは注意深く漸化式を作るだけ。
とりあえずできるところまで解いて、そこまでを書き込むこと。
●投げはよろしくない。
【log】高校生のための数学の質問スレPART191【log】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1218100643/l50 948 名前: 132人目の素数さん 投稿日: 2008/08/15(金) 16:03:03
各位の数が全て素数であるようなn桁の自然数Nについて考える。各位の数の和が奇数となるようなNの個数を求めよ。
教えてください
974 名前: 132人目の素数さん 投稿日: 2008/08/15(金) 22:15:13
この問題教えてください
各位の数がすべて素数であるようなn桁の自然数Nについて考える
各位の数の和が奇数となるようなNの個数を求めよ
***数学の質問スレ【大学受験板】part81***
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1216256542/l50 732 名前: 大学への名無しさん [sage] 投稿日: 2008/08/12(火) 23:34:50 ID:abdb5JiqO
各位の数の全てが素数であるようなn桁の自然数Nについて考える。各位の数の和が奇数になるようなNの個数を求めよ!
教えてください
全く分かりません
815 名前: 大学への名無しさん 投稿日: 2008/08/15(金) 23:02:36 ID:5PZySyBnO
>>732 お願いします
>>813 f'(x) = xf''(x) …B
でなんで 2f'(x)でわないのかと
xf'''(x) = 0 …D
が
xf'''(x) = f''(x) にならないのはなんでなのでしょうか?
まと外れなことを言っていたらすいません
>>814 微分方程式ってやつだったんですか
全く
>>806のやり方が分からなくて焦りましたw
>>819 d(2f(x) - xf'(x) - 1)/dx = 2f'-f'-xf'' = f'-xf'' = 0
d(f'-xf'')/dx = f''-f''-xf''' = 0
>>820 あー なんかボケてましたw
ありがとうございました。
>>803 整式f(x)を求めよって書いてあるんだから…
f(x)=ax^n+…(aは0でない)とおくと
(2a-an)x^n+…=0より
n=2
改めて、f(x)=ax^2+bx+cとおいて…
823 :
大学への名無しさん:2008/08/16(土) 06:29:55 ID:cKFKuGA8O
>>817 an+2=an+1+6an
をニコウカンゼンカ式で解けばいいのでしょうか?
a1=4
答えは何になりますか?
825 :
大学への名無しさん:2008/08/16(土) 11:27:34 ID:2SABWmON0
A+Bの最小値を求めるのに
相加相乗平均の定理を使うことがよくありますが、
(A+B)/2 >= √(A・B)
それは、必要条件を満たしているのはわかりますが、
それだけで十分条件も満たしているのでしょうか。
>>825 普通は等号成立条件をチェックすると思うが…
827 :
大学への名無しさん:2008/08/16(土) 12:10:32 ID:v3Jge7cnO
数学の整数問題や近似値とはどういう位置にいるんですか?
数学1A2Bにも出ますか?
>>823 マルチだからこれ以上答えない。
ヒントを与えたから自分で考えてね。
2項間換漸化式自体教科書に解法が載っているからしらべろ。
829 :
大学への名無しさん:2008/08/16(土) 19:05:20 ID:2V6ciRqa0
青茶数A基本例題43(2)の解説の[1]の6行目の(4+9)というくだりがありますが、
この4ってなにを表しているのでしょうか?わかりません。よろしくおねがいします。
831 :
829:2008/08/16(土) 19:15:09 ID:2V6ciRqa0
自己解決しました。失礼しました。
>>831 自力解決は失礼ではありません
貴方は他の人が参考書を持ってることを前提として話を進めるのが失礼です
833 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 02:23:22 ID:8t6qqMLUO
実数x,yがx^2+y^2≦1を満たしながら変わるとき、点(x+y,xy)の動く領域を図示せよ。
という問題です
X=x+y,Y=xyとおいて
x^2+y^2≦1から(x+y)^2‐2xy≦1
よってX^2‐2Y≦1
ゆえにY≧(X^2)/2‐1/2・・・@
また、x,yは二次方程式t^2‐(x+y)t+xy=0
すなわちt^2‐Xt+Y=0・・・A
の二つの実数解であるから、Aの判別式をDとすると
D=X^2‐4Y≧0
ゆえにY≦(X^2)/4・・・B
@Bから(X^2)/2‐1/2≦Y≦(X^2)/4
変数をx,yにおき換えて
(x^2)/2‐1/2≦y≦(x^2)/4
解説が上のようになっていて、領域をxy平面で表していたのですが、最後の置き換えの意味がよくわからないです。
最後のxy平面って、XY平面(x+y,xy平面)のことを表してるんですよね?
そのままXY平面(x+y,xy平面)で表したら駄目なんでしょうか?
xyでの座標とXYでの座標が一対一で対応してないから×
まぁ普通はxy平面上にって断りが問題にあるはずだけど。
>>834 レスありがとうございます。
XY平面で表してはいけないというのは分かりましたけど、
X=x+y,Y=xy
という条件なのに、解説だとX=x,Y=yと置き換えてるじゃないですか。
これって、x^2+y^2≦1を満たして変化している実数x,yが動いてるxy平面とは違いますよね。
置き換える=適当に文字を変えるってこと・・・じゃないですよね。
いまいち問題が理解できてません・・・
xy平面からXY平面に写して、またxy平面に写しただけだろう。
837 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 06:52:12 ID:67tE4J8IO
>>807です。
>>812ありがとうございますm(_ _)m
おかげで後半部分わかりました!けど最初に質問したところがまだわかりません…
S(a)のa≧0におけるグラフを考えるのでもaと1の大小を考えたりしてなんかごちゃごちゃになってわけがわからなくなります…
解答では''S(a)はa≧0において明らかに増加関数であるから''としか書いていなく本当にわからないです。もう少し解答に詳しく書いてあれば良いと思うのですが・・・
しかもa≧0の範囲での最小値を考えているのに、いきなりa≦0において最小になると書かれていたり、わけがわからなすぎです。
本当わからなすぎてヤバいです。
ここらへんの説明を詳しくお願いします…
838 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 09:39:59 ID:WryQCGDrO
a b cはいずれも正の整数とする。
(a+b+3)/(ab+c)
が、2以上の整数になるときのa、b、cを求めろ。
お願いします。
839 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 09:57:13 ID:/nWwI5ZF0
>>835 『XY平面で表してはいけないというのは分かりましたけど、
X=x+y,Y=xy
という条件なのに、解説だとX=x,Y=yと置き換えてるじゃないですか。
これって、x^2+y^2≦1を満たして変化している実数x,yが動いてる
xy平面とは違いますよね。
置き換える=適当に文字を変えるってこと・・・じゃないですよね。』
言っている意味はよくわかるし、言っている内容も当たっているんですが
最後に x、yに直すのはX、Yは自分でもちこんだ文字だから嫌った、
くらいに考えていたほうがいいと思う。
私のならった先生は『最後に流通座標x、yに直して』と言っていましたが
このいいまわしを聞いたら妙に腑に落ちたw
はっきり言って君がひっかかっているのはむしろ表現上のニュアンスとか
あやの問題でうまく説明しにくい
840 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 10:08:29 ID:/nWwI5ZF0
>>838 (a+b+3)/(ab+c)≧2
これを分母払って変形し
(a-1/2)(b-1/2)≦7/4-c
左辺は明らかに正より
0≦7/4-c
これからc=1ときまる。
(a-1/2)(b-1/2)≦3/4
このさきはよくある問題でしょ
(x+y)^2/2‐1/2≦xy≦(x+y)^2/4
を満たすx+y,xyが存在するわけだ。
x座標の値に対応するのがx+y、
y座標の値に対応するのがxyだから、
xy平面に置くとx^2/2-1/2≦y≦x^2/4になる。
「実数x,yがx^2+y^2≦1を満たしながら変わるとき、点(x+y,xy)の動く領域を図示せよ。 」
を「実数a,bがa^2+b^2≦1を満たしながら変わるとき、点(a+b,ab)の動く領域を図示せよ。」
と書き換えた方が理解しやすいかもしれない。
問題におけるx,yはxy平面においてx座標の値,y座標の値と対応している必要は無い。
ということでおkですよね。
842 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 10:35:04 ID:/nWwI5ZF0
数学はつまらない
844 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 13:44:16 ID:WryQCGDrO
>840
助かりました。
ありがとうございました!
>>836 >>839 >>841 ありがとうございます、よくわかりました。
軌跡の考え方と一緒で
(x,y)=点(x+y,xy)
って置いてるんですね。同じ文字だから混同してました。
846 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 19:05:27 ID:7dQRq3d00
次の数列の初項からn項までの和を求めよ
2 2+6 2+6+18 2+6+18+54
これは初項2公比3の等比数列の和だから
(2(3^k-1))/(3-1)=3^k-1
ゆえに S=Σ(3^k-1)
↑これ何で二回和を求めるんですか?
>>846 代入してみるとわかる
k=1・・・2
k=2・・・8
k=3・・・26
とその項単体しか求めてないから
それらをΣをつかってまとめている
848 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 19:14:53 ID:IH4Wwgop0
不等式x<(3a-2)/4を満たすxの最大の整数値が5であるとき、定数aの値の
範囲を求めよ
解答を読むと
x<(3a-2)/4を満たすxの最大の整数値が5であるから
5<(3a-2)/4≦6となってますが、5は分かりますがなぜ6が入るのでしょうか
849 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 19:32:15 ID:I4vn3aQmO
>>848 (3a-2)/4=6を上の式に代入してみると、x<6で最大の整数が5になるよ
850 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 19:36:43 ID:IH4Wwgop0
>>849 いまいちよくわかりません;
考える過程はどうなりますか
>>848 xの最大の整数値が5ってことは、(3a-2)/4が6より大きくなると
その最大の整数値は6になってしまう。
だから5<(3a-2)/4≦6
ちなみに(3a-2)/4=6のときは、6<(3a-2)/4にならないから≦が正しい。
852 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 19:59:02 ID:I4vn3aQmO
<<850
(3a-2)/4=Aと置く
数直線を書いてx<Aを満たす整数の最大が5となるようにAの範囲を考える
わかりやすくするためにAと置きました。
5<A<6位なのは理解出来ると思いますが、端点に注意して考えると5<A≦6となります。
853 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 20:01:18 ID:IH4Wwgop0
854 :
大学への名無しさん:2008/08/17(日) 20:33:07 ID:NpkiaTsq0
855 :
大学への名無しさん:2008/08/18(月) 09:41:02 ID:MjosnzBA0
ベクトルの内積で|a|^2=a・aでの・はかけ算ですか?
かけ算なのであれば|a|=aになってしまいませんか?
かけ算でなければ|a+b|^2=|a|^2+2a・b+|b|^2という等式がよくわからなくなってしまうのですがこれはどう説明するのですか?
かなり初歩的な質問ですいません。
857 :
大学への名無しさん:2008/08/18(月) 11:18:20 ID:SJi7roepO
>>853 849 851 852は低学歴の理科大マーチのバカ。論点がまるで見えてないおバカさん。こういうバカは質問に答えない方がいい。受験生がかわいそう。
]<(3a-2/4)という不等式の意味を考えてみ。]は(3a-2/4)よりは小さいんだよね?(数直線を書いてみるといい)そしたら(3a-2/4)が6を含んでも]はそれより小さいんだから問題はない。
>>855 856みたいな数学がまるで分かってないバカがいるから無視しとけばいいよ。
まず・は掛け算演算子ではなく内積記号の方ね。a・a=|a||a|cos0=|a|^2
よって|a|^2=a・aになる。同様に考えれば|a+b|^2は(a+b)・(a+b)になるから
|a+b|^2=(a+b)・(a+b)=a・a+a・b+b・a+b・b=|a|^2+2a・b+|b|^2 と変形できる。
携帯からだから見辛いかも、ごめんね
ベクトルの演算には外積というa↑×b↑というのもあるのでa↑・b↑とはハッキリ区別させておくこと。
>>857 数学がまるで分かってないバカですよ〜w
>855はベクトル量とスカラー量の区別すらついていないと思われ。
それと内積が分配法則満たすのは自明とするの?
860 :
855:2008/08/18(月) 11:39:24 ID:MjosnzBA0
>>856 高1なので教科書がありませんでした
>>857 あれ?
|a+b|^2=(a+b)・(a+b)の・も内積記号なのではないのでしょうか?
そのまま計算しても良いのですか?
>>858 分かりました。
>>859 内積の定義から分配速は自明なはず。あと交換即は実数のとき定義から自明に成り立つ。
内積空間でググってミルンダ
>>860 (a+b)・(a+b)の・も内積記号でしょ。ベクトル使うとき・であらわしたらほとんど内積だよ。(×であらわしたら外積ね。)
スカラー倍のときはαc↑とか書いて・は使わない。
>>861 いや>855のレベルで自明なのかと聞いたんだが‥
まさか質問者と同レベルで分かってないとまでバカにされたのか‥w
てか高校生だし難しいこと考えないで自明でいいじゃん・・・
大学に入ったら勉強するんだし
>>863 難しくはないでしょ。
その辺りの説明を通じて内績と掛け算の違いを理解するのが一番だと思うんだが‥
でもめんどくさくなってきたから後は任せるわ。
>>866 めんどくなったのに
まだいるってことは
どういうことでしょうか?
自分が説明しきれないから
悔しくて
他の人が答えるのを盗み見ようとしてんだろ
>>867 バカなくせに人をバカ呼ばわりする回答者の相手するのが面倒なだけ。
自分にレスついてんだから見るぐらいは見る。
たまには内容のある回答しろよw
>>860 高1だからとか関係ないだろ
教科書もないのに独学とか馬鹿じゃないのか
871 :
大学への名無しさん:2008/08/18(月) 15:06:33 ID:+y/+bZL/O
内積の唐突な定義に疑問を持つことから始めよう。
873 :
大学への名無しさん:2008/08/18(月) 15:25:55 ID:ysFqex/fO
ID:EfAjOcrRPは高3理系偏差値65位の天狗だと思う
てか、ガキだろ
黙って解答しとけ
a,b のなす角 θ, (a+b)・(a+b)=|a+b|*|a+b|cos(0)=|a+b|^2=|a|^2+|b|^2-2|a|*|b|cos(π-θ) (第二余弦定理)
=|a|^2+|b|^2+2|a|*|b|cos(θ)=a・a+b・b+2a・b.
>>873 ガキンチョと一緒にすんなw まぁそのくらい若返りたい気もするがw
しっかし、粘着野郎がいるな〜
質問者へ
教科書なり詳しい参考書なりを見てベクトルの定義・内積の定義を
しっかり理解するのが一番。
定義を理解することが難しいからといって飛ばすのが最悪。
教科書もなしに何を見て独学してるのかは知らないが、一番大事な
基本的な内容を押さえないまま問題ばっか解いててもいいことないぞ。
俺がかわりに謝るから落ち着けよ
877 :
大学への名無しさん:2008/08/18(月) 17:50:27 ID:r9qM724W0
おれも謝るわ
f(x)=(x+1)log(x+1/x)に対してf(x)はx>0で単調減少関数であることを示せ
お願いします
ほぐも謝ります
いやいや、ここは俺こそが謝るべき
881 :
865:2008/08/18(月) 21:06:17 ID:M86jEaJ60
今日は大漁だったぜ
こんな大物がいるとは・・・
なかなかの穴場だな
,. '"´三 ̄`ヽ、
/ l´ ─- 、 ヾ\
/ , l'ヘ \ ヽ
,イ / | ヽ X 、ヽ \ ヽ l、
/ レ' | |、 \ヽキ三ゞi }_l ! lヽ
. { /!| l K⌒ ` ´{じ}ゝリr,) !lヽ
!/ }ヽト、{ _r;= ~` ノ!´ l } }! ト、
,' ! i i (ヽ、 `-n .イ__} ! ! / ノ }
>>858 . { ノ | l ,ヘ`,,.>‐-| |'´ l\}ルイ( '
V lヽ!├'「!/ |,へ! | __/'´/`>i でも外積は、大学レベル(大人の世界)なので
ヽヽ トゝ|{ ̄Lぅ- 〉_」\// | まだ高校生の良い子のみんなは、のぞいちゃダメよ
ト 、} y′/´ /' //
. l 丶l /{. {|、 r'/ ,イ
. {、 { < ヽ | ヽr' / { !
) ヽ) 7'‐ゝ'-'"`ヽ.`レ
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>>882 あれ、外積って高校の範囲じゃなかったか
885 :
大学への名無しさん:2008/08/18(月) 23:06:14 ID:/pAsyF28O
a^2+b^2=c^2
a,b,c∈N
a⊥b
aが奇数のときa+c=2d^2となる自然数dが存在することを証明せよ。
886 :
大学への名無しさん:2008/08/18(月) 23:11:41 ID:/pAsyF28O
885お願いします
>>886 a^2=(c+b)(c-b) でありaが奇数なので、適切な奇数m,nを使って
a=mn、c+b=(m^2)n、c-b=n と書けるはずである。このとき、
b=(n/2)(m^2-1) がaと互いに祖であるためにはn=1でなければならない。
したがって、b=c-1である。
これより、a^2+b^2=c^2 であるから、a^2-2c+1=0、c=(1/2)(a^2+1)である。
よってa+c=(1/2)(a^2+2a+1)=(1/2)(a+1)^2
aは奇数であるから、a+1=2d となる自然数dが存在し、このdに対して、
上記の式の値は2d^2に等しい。
888 :
大学への名無しさん:2008/08/18(月) 23:42:02 ID:/pAsyF28O
>>887 うわーなんか最初の一筆からおれとはちがってた^^;
よく読んでみます。ありがとうございます
889 :
大学への名無しさん:2008/08/19(火) 00:04:50 ID:q+ql3gNM0
>>887 >c+b=(m^2)n、c-b=n と書けるはずである
ここで、たとえば
c+b=m^2、c-b=n^2 としてはいけない理由はあるんですか?
>>888 奇数を足していくと自然数の2乗になるというのは良く知られた事実で、
たとえば小中学生に納得させるには
●○●○●
○○●○● …
●●●○●
○○○○●
●●●●●
…
のように正方形が作れていくからだ、という説明がある。
ここで新たに足される部分がa^2個、その内側にできている
正方形の1辺がb^2 個であれば、b+1=cとして
a^2+b^2=c^2 になる組を作れる。。このとき、a^2は1辺が
b+1の正方形の2辺分、ただし頂点がダブルカウントされるから
a^2=2(b+1)-1=2b+1=2c-1
になっている。三平方の定理を満たす自然数として有名な組、
3,4,5 も 5,12,13 もこうして作れる。
問題を見てなんとなくこのパターンに帰着させればよさそう、と
思ったのが着想。で、aが奇数でaとbが互いに素(
>>887では誤字
スマソ)であるのはこのパターンだけ、というのを言うのをちょっと
考えて答案を作った次第。
>>889 うわ、ダメだねw
>>890の図で言えば、外側に2列分足して
それが偶数の2乗になってる場合がありえたのね。具体的には
15^2+8^2=17^2 なんてのがそう。
(16*2-1)+(17*2-1)=64=8^2
3列分の差が奇数になることもあるだろうから、最初からから
やり直しか… 申し訳ない
>>885 aが奇数ならb,cは奇数・偶数、または偶数・奇数の組み合わせ
ただし奇数の2乗は4の倍数+1、偶数の2乗は4の倍数だから
b偶数、c奇数に確定と、問題はここから先か…
たびたび申し訳ない、「最初に」戻らなくてもいいのか。
奇数m,nを使ってa=mn と書け、(b+c)(b-c)=(mn)^2 まではOK、
ここでb+c > b-cだから
(1) b+c=m^2n 、b-c=n の場合…これはすでに示したとおり。
(2) b+c=m^2、b-c=n^2 の場合(ただしm>n>1)
このとき、c=(1/2)(m^2+n^2)、a=mnだから
a+c=(1/2)(m^2+2mn+n^2) =(1/2)(m+n)^2
m+nは偶数だから2dと書けて以下(1)の時と同様。
893 :
大学への名無しさん:2008/08/19(火) 01:26:18 ID:QrZLRAf4O
1800と3240の正の公約数について偶数の公約数はいくつあるか
本当にわかんないので教えてください
>>893 1800=2^3*3^2*5^2
3240も同様に素因数分解。両者を比較して、素因数の指数が小さいほうを選ぶと
最大公約数ができる。まずはここまでやって書いてみ。
これができれば、あとは「公約数は最大公約数の約数」という考え方を使う。
895 :
大学への名無しさん:2008/08/19(火) 01:34:10 ID:bi03qeqF0
896 :
大学への名無しさん:2008/08/19(火) 01:35:32 ID:bi03qeqF0
897 :
大学への名無しさん:2008/08/19(火) 01:36:13 ID:m737dmAd0
そうです。
>>895 じゃあ、場合わけをもうちょっと変えてみよう。
c+bとc-b が1でない奇数の共通因数p を持ったとする。このとき、
奇数p,q,rによりc+b=pq、c-b=prと書けるはずだが、
この場合 a^2=p^2qr、b=((q+r)/2)pとなり、a,bが互いに素という
仮定と矛盾する。したがってc+bとc-bは互いに素である。
((1)の前半部分を改良した形になった)
このとき、互いに素な2つの奇数m,n によって、
a=mn、c+b=m^2、c-b=n^2 と書ける(m>n≧1) このあと(2)に帰着。
((2)ではn=1 を除外しなくても議論は成立していたので)
↑ b=((q-r)/2)p の間違い。
900 :
889:2008/08/19(火) 08:57:44 ID:8Oj8kgbJ0
901 :
大学への名無しさん:2008/08/19(火) 19:31:35 ID:VQwhPHZ8O
繁分数式←これなんて読むんですか?
辞書でぱんふん〜などで調べてもでませんでしあ
903 :
大学への名無しさん:2008/08/19(火) 20:40:51 ID:PAG2k691O
東大数学全完の俺が通ります
904 :
大学への名無しさん:2008/08/19(火) 21:41:27 ID:bi03qeqF0
>>902 正しい式は(x+1)log((x+1)/x)?
2つの円
(*) x^2+y^2+(2√2sinθ)x-(√17/2)y+sin^2θ+17/16=0
(**) x^2+y^2=9/16
について考える。ただし0°<θ<180°とする。
(1) 円(*)の半径と中心の座標をθを用いてあらわせ。
(2) 円(*)と円(**)が共有点を持たないようなθの値の範囲を求めよ。
(1)は解けましたが(2)が分かりません
お願いします
>>905 (1)を解いてないんで断定しないが、(*)の円の中に(**)がすっぽり入る
可能性があるかどうかを検討。この可能性がないなら、
(*)の円の中心(-√2sinθ、(√17)/4) と原点との距離が
(*)の円の半径+3/4 より大きい、という三角不等式を立てて解く。
同一平面内の2つの円が共有点を持たないのは
・一方の円の周を含まない内部にもう一方の円がすっぽり入る
(これは「中心間の距離が2つの円の半径の差より小、とも言える)
・2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の長さの和より大
のいずれかのとき(図をかけば明らか)
α-β=2、α^2-β^2=4√2のとき、(β^4-3β^3+5β^2-3β+1)/(α^4-3α^3+5α^2-3α+1)=17-12√2となるようです。途中過程の式をお願いします。
908 :
大学への名無しさん:2008/08/20(水) 02:03:23 ID:Mywt/+ZeO
xは200以下の自然数
B…xを4でわると2余る数
この条件から
xは4で割り切れる数から2をひいたものだから、
n(B)=200÷4=50
と回答にかかれていたのですが何故4で割り切れる数と同じやり方になるのでしょうか?
お願いします。
909 :
大学への名無しさん:2008/08/20(水) 02:17:28 ID:J5oR+zwAO
全く解らないので解る方お願いします…。
一つのサイコロを3回投げた時、3回の目の和が17以下である確率を求めよ。
>>909 サイコロ3回振ったときの出た目の和はいくつからいくつ?
「その和が17以下でない」のはどんな目が出たときになる?
あとは余事象の確率の考え方。
911 :
大学への名無しさん:2008/08/20(水) 02:28:59 ID:M9m66hZ50
x=4y+2=4(y+1)-2=4z-2
xが200以下にいくつあるか⇔4z-2が200以下にいくつあるか⇔2, 6, 10, ...が200以下にいくつあるか⇔
2, 6, 10,, ... 198の項数⇔4, 8, 12, ..., 200はいくつか⇔4*1, 4*2, 4*3, ... , 4*50はいくつか
912 :
大学への名無しさん:2008/08/20(水) 02:32:05 ID:J5oR+zwAO
>>910 三回の和は3〜18です。17以上の数字は17と18です。その後どうすればいいんですか?
913 :
大学への名無しさん:2008/08/20(水) 02:33:22 ID:M9m66hZ50
1〜17が出る確率の和と18が出る確率の和を足すと1になることは分かるの?
コインを投げて裏表が出る確率をそれぞれ足すと1になるのと同じことなんだけど
914 :
大学への名無しさん:2008/08/20(水) 02:39:07 ID:J5oR+zwAO
>>913 それはなんとなく解りますけど、問題の答えが解りません…。
つまり1から(18になる出る確率)を引けばよいのですが……。
>>914 どの参考書だってこれくらい載ってるだろ……
自分でできることしてから質問しようね^^;
>>907 α^2-β^2=(α+β)(α-β) =4√2
α-β=2 だから α+βが出せて、これからα、βの値が出せる。
ここから後は
方針1 αを解とする2次方程式をつくり、分母の次数下げ。
同様に分子も次数下げ。 計算しやすくしてから数値計算実行
方針2 分子も分母も次数と係数は同じで、しかもそれが中央の次数に対して
対称になっていることに着目。分子で言えば
β^4-3β^3+5β^2-3β+1 = (β^2)(β^2-3β+5-3/β+1/β^2)
=(β^2)((β^2+1/β^2) -3(β+1/β}+5)
後ろのカッコを(β+1/β) の2次式の形に変形。
また、β+1/β の値も代入すると簡単にできる。分母も同様に計算。
>>917ありがとうございます。おかげで楽に解けました。
919 :
905:2008/08/20(水) 07:22:04 ID:YKotuSH4O
ありがとうございました
>>920 普通に微分してx>0の範囲ではf'(x)が常に腐であることを言えば十分じゃないの
922 :
大学への名無しさん:2008/08/20(水) 17:04:46 ID:osBFLV7SO
2004の正の約数の中に偶数が何個あるのかという問題がわかりません
素因数分解をしてからどうすればいいのでしょうか
因数の内どれを使うかという組み合わせ
12=2^2*3なら、2を0〜2個、3を0〜1個使う
計3*2=6通り
この問題では、偶数だから2が1つは入るという条件も考慮する
関係式
a1=β,a(n+1)=2an(1-an) (n=1,2,3,…)
で定められる数列{an}がある。ただし、β<1/2とする。
(1)n≧1に対して、不等式an<1/2が成り立つ事を示せ。
(2)n≧1に対して、bn=log{2}(1/2-an)とおく。このとき、関係式 b(n+1)=2bn+1が成り立つ事を示せ。
(3)anをnとβを用いてあらわせ。
(3)がよく分かりません。
お願いします。
925 :
大学への名無しさん:2008/08/20(水) 21:57:13 ID:MxVf2IkY0
>>924 0<β<1/2ですか?
b[n+1]=2b[n]+1
b[n+1]+1=2(b[n]+1)
b[n]+1=2(b[n-1]+1)=4(b[n-2]+1)=…=2^(n-1)(b[1]+1)=2^(n-1)(1+log[2](1/2-β))=2^(n-1)log[2](1-2β)
a[n]=1/2-2^b[n]=1/2-2^(2^(n-1)log[2](1-2β)-1)=(1-(1-2β)^(2^(n-1)))/2
926 :
大学への名無しさん:2008/08/20(水) 22:31:44 ID:1+JpRrlc0
ab+bc+ca=0を満たす任意の実数a,b,cに対して
f(a-b)+f(b-c)+f(c-a)=2f(a+b+c)
を満たすような多項式f(x)をすべて求めよ。
f(0)=0はわかりました。その先がわかりません。お願いします。
>>925 β<1/2としか書いてありません
b[n+1]+1=2(b[n]+1)と言う所までは分かったんですがあとが・・・
928 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 00:23:08 ID:L/8Z1F4J0
x=t・cost,y=2t・sint (0≦t≦π) とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
よろしくお願い致します。
929 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 00:46:43 ID:d4vd9caO0
>>911 ありがとうございます。
2, 6, 10, ... 198の項数⇔4, 8, 12, ..., 200はいくつか
これがよくわかりません。
931 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 01:29:13 ID:L/8Z1F4J0
>>930 増減表を書いてその範囲でx座標が最大になる点のx座標をx=αと置いて
置換積分で計算したんですが。答えは (π^3)/3 になりました。
合ってるか心配なんです。概形は原点を出発して反時計周りに螺旋のような動き
をして(−π,0)まで進みます。これでよいのでしょうか?
うん∀こ
933 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 01:37:13 ID:KIcFrgIO0
三角形の成立条件は三角形ABCにおいて
|b-c| < a < b+c ∩ |c-a| < b < c+a ∩ |a-b| < c < a+b ですが
a < b < c ならば c < a+b だけでよいとありました
どうしてこうなるのでしょうか?
>>931 (x^2)+(y/2)^2=t^2
極座標でr=tのアルキメデス螺旋をy軸方向に2倍したグラフなので概形は合ってる。
[微分しても増減表書くのさえ厄介に思えるが]
面積は∫[t=pi, 0]ydx=∫[pi, 0]y(dx/dt)dt=∫[pi,0]2 t sin(t) (cos(t)-t sin(t)) dx
計算は面倒なので計算機にやらせたら同じになった。もっと簡単な計算に帰着されるのかな
935 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 01:56:31 ID:y0ne52iO0
>>934さん ありがとうございます。結局、1個の定積分にまとめられるんですが、
計算していくと部分積分が登場したり結構煩雑になりました。おかげで少し自信が
もてました。夏期講習のときみんなの前で発表しなければいけないので助かりました。
937 :
936:2008/08/21(木) 09:28:09 ID:MrGYVjux0
下の問題は自己解決しました
上の問題が分かる方よろしくおねがいします。
938 :
936:2008/08/21(木) 09:55:01 ID:MrGYVjux0
上の問題も自己解決しました。
939 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 09:55:27 ID:ySqh9IZF0
>>926 難しいなあ
a=b=c=0より3f(0)=2f(0)よってf(0)=0
b=c=0よりf(a)+f(0)+f(-a)=2f(a)よってf(-a)=f(a)すなわち偶関数(偶数次数の項のみ)
ab+bc+ca=0なら(ka)(kb)+(kb)(kc)+(kc)(ka)=0だからf(k(a-b))+f(k(b-c))+f(k(c-a))=2f(k(a+b+c))
kは任意だから各次数において(a-b)^n+(b-c)^n+(c-a)^n=2(a+b+c)^nが成立しなくてはならない
(∵a,b,cを固定しkの多項式と見て恒等式となるから)
n=2では
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)=2(a+b+c)^2は成立
n≧4で成立しないことを示せると思うが証明を思いつかない
反例を上げればいいのだろうかたとえばa=-2/3, b=2, c=1は条件を満たすから
(-8/3)^n+1+(5/3)^n=2(7/3)^nとならなくてはならずnは偶数だから
8^n+3^n+5^n=2・7^nとなる偶数nは2に限ることを示せるだろうか
940 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 10:10:33 ID:ySqh9IZF0
>>931 曲線上の2点と原点でできる3角形の面積の総和の極限値と考えると
さらに3角形を扇形で近似して
∫[0,π](1/2)(x^2+y^2)dt
=∫[0,π](1/2)(t^2cos^2t+4t^2sin^2t)dt
=∫[0,π](1/2)(t^2(1+cos2t)/2+4t^2(1-cos2t)/2)dt
=∫[0,π](1/4)(5t^2-3t^2cos2t)dt
=(10π^3+9π)/24
941 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 11:52:11 ID:8BAQZHVj0 BE:144665827-2BP(0)
次の式を因数分解せよ
2x^3+x^2+5x−3
方程式x^3=1の虚数解の一つをωとする。次の式の値を求めよ。
ω^2+ω+1
ω^3
ω^123
(1−ω)(1−ω^2)
お願いします。授業でやってなくて教科書とかにものってないので出来れば解説も
してもらえたら助かります。
942 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 12:04:51 ID:sGkVAHxn0
関数電卓で
54/ルート38*ルート81ってどうやって求めるんですか?
ωはx^3=1の解であるから ω^3=1
また、
(x-1)(x^2+x+1)=0、さらにω≠1であるから
ωはx^2+x+1=0の解である。ゆえにω^2+ω+1=0
以上より
(1−ω)(1−ω^2)
=1-ω-ω^2+ω^3
=1-(-1)+1=3
2x^3+x^2+5x−3
=(2x-1)(x^2+x+3)
945 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 12:24:51 ID:ySqh9IZF0
>>939 >8^n+3^n+5^n=2・7^nとなる偶数nは2に限ることを示せるだろうか
2・(7/8)^n=1+(3/8)^n+(5/8)^n>1
(7/8)^6=117649/262144<1/2よりn=0,2or4
8^4+3^4+5^4=4802
2・7^4=4802
でn=4もOK…
(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4
=2(a^4+b^4+c^4)-4(a^3b+…+bc^3)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
=2(a+b+c)^4-12(a^3b+…+bc^3)-6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-24(a^2bc+ab^2c+abc^2)
=2(a+b+c)^4-12{(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)-(a^2bc+ab^2c+abc^2)}-6{(ab+bc+ca)^2-2(a^2bc+ab^2c+abc^2)}-24(a^2bc+ab^2c+abc^2)
=2(a+b+c)^4
n=4も一般にOK
f(x)=px^4+qx^2
>>942 まず、どんな関数電卓かにもよるが(HPのRPN記法の電卓だと
根本的に話が違う。カシオ一社に限っても、1台の電卓でモードによって
√5を 5→√キー と入力する場合と、
√→5 とそのまま入力する場合があるんで、特定できない。要は
「電卓を特定してマニュアル見れ」
Windowsの関数電卓なら、√キーがないので、
inv(逆関数)にチェックを入れてからx^2キーを使ってルートを表す。
√は加減乗除より優先度の高い単項演算関数として扱われるから、
54/((√38)*(√81))の意味なら、頭の中で
(54/(√38))/(√81) と変換して(√81=9ではあるがこれは措くとして)
54 / 38 inv [x^2] / 81 inv x^2 =
(54/√38)*√81)の意味なら、
54 / 38 inv [x^2] × 81 inv [x^2] =
947 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 14:13:52 ID:ySqh9IZF0
>>940 扇形の面積が正しくない(むしろ偏角が正しくないと言うべきか)
∫[0,π]2(1/2)(x^2+(y/2)^2)dt
=∫[0,π](x^2+(y/2)^2)dt
=∫[0,π](t^2cos^2t+t^2sin^2t)dt
=∫[0,π]t^2dt
=π^3/3
948 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 16:52:36 ID:aN8gj6jmO
(2x-y-3z)^6を展開して整理した項の全部の数を求める問題なんですけど
解答にあった
3*3+3!*3+1=28という式がわかりません
教えてください
すまん誤爆
951 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 17:34:18 ID:ySqh9IZF0
>>948 (a+b+c)^6を展開するとa^ib^jc^k (i+j+k=6)のタイプの項が多数出現します
これを分類していくわけですがa^3b^2c^1とa^1b^3c^2は同じタイプとして扱い
i≧j≧kとして分類すると
(i,j,k)=(6,0,0),(5,1,0),(4,2,0),(3,3,0),(4,1,1),(3,2,1),(2,2,2)となります
ここで(6,0,0),(3,3,0),(4,1,1)はi,j,kの大小の条件を外すとそれぞれ3種類あり
(5,1,0)(4,2.0),(3,2,1)はそれぞれ3!種類あり(2,2,2)は1種類しかありませんので項の総数はその式で表されることになります
あるいはΣ[i+j+k=6, i,j,k≧0]1=1+2+3+4+5+6+7=28として求めることもできます
これは
i+j+k=6, i,j,k≧0である(i,j,k)の組1つに対して1をカウントしていくことで項数を求めようという考えで
Σ[i+j+k=6, i,j,k≧0]1=Σ[i=0,6]Σ[j=0,6-i]Σ[k=6-i-j,6-i-j]1=Σ[i=0,6](7-i)=Σ[n=1,7]n=1+2+3+4+5+6+7
となることによります
ijk空間におけるi+j+k=6という条件式が平面を表すことを知っているなら
i+j+k=6, i,j,k≧0で表される正3角形の上の格子点の数を求めていると解釈することもできるでしょう
952 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 17:44:49 ID:HIahrYpZ0
nを4以上の整数とするとき次を証明せよ。
平面にn個の点からなる集合Eが与えられたとする。Eのどの二点の距離も1より小さければ、
Eを内部に含む半径√3/2の円がある。
と言う問題なのですがよくわかりません。教えてください
n=3のとき互いに距離が1離れてる図形を考えるんだ
それは一辺の長さ1の正三角形だろ?それから点を加えようとすると、各頂点を中心にした半径1の円を書いて3つの円の共通部分に入ってなくてはいけない。これ即ち正三角形が内接する円。その半径は√3/2
横からだけど
それだと半径は√3/3にならない?
>>948 >>951 は与えられた式を解釈したのだと思う。が、実用的には、
a^6 …bとcの指数の和は0、a^6(b^0c^0)の1通り
a^5 …和は1、 したがってa^5b^1c^0 と a^5b^0c^1の2通り
a^4 … bとcだけ見て、b^2c^0 b^1c^1 b^0c^2 の3通り
この形でa^0 まで考えて
1+2+3+4+5+6+7 = (1/2)*7*(7+1)=28通り で十分に早いし明解じゃなかろうか。
>>953 まず
>これ即ち正三角形が内接する円。
にはならない。辺の外にはみ出る部分の弧の中心は向かい合った頂点。
その正三角形の外接円の中心は、正三角形の外心=重心だから
弧として違うもの。
で、対角線の長さが1の正方形の4頂点は与えられた条件を満たすが、
>>953が描いた図形の中には入らないように見える。
>>947 (1/2)∫r^2dθですよね。
どうして r^2=x^2+y^2 じゃなくて r^2=x^2+(y/2)^2 なのですか?分かりません
958 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 21:38:22 ID:ySqh9IZF0
>>957 r^2=x^2+y^2でもいいでしょうがその場合rcosθ=tcostですのでdθとdtの関係が複雑になりすぎます(最初はそこを誤解していました)
>>934の方が書かれているようにアルキメデス螺旋をy軸方向に2倍にした曲線ですから3角形の面積もアルキメデス螺旋の場合の2倍になります
r^2=x^2+(y/2)^2はアルキメデス螺旋の場合であって r^2=x^2+y^2の場合は面積要素がその2倍になるわけですから2・(1/2)(x^2+(y/2)^2)dtとなるというわけです
960 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 22:05:59 ID:2EICyzMrO
実数a.b.cが
a<b<c.a+b+c=0、bc+ca+ab=−3
を満たすとき、不等式
−2<a<−1<b<1<c<2が成り立つこと示せ。
この問題がとけません。助けてください。
961 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 22:13:13 ID:P5961SRs0
x^3-3x-abc=0が3つ解を持つ時の解の範囲を考えてみては?
962 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 22:19:57 ID:2EICyzMrO
つまりこれは、解と係数の関係の解が3個バージョンと言うことですか?
963 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 22:32:35 ID:fkfc1KOLO
お願いします
放物線C:y=x|x-1|と直線l:y=kxに関して、Cとlがx>0で2つの交点を持つようなkの範囲を求めよ。
解答
x|x-1|=kx(x>0)は|x-1|=k(x>0)と同値である。…(*)
よってy=|x-1|とy=kの2つのグラフで考えて求めるkの範囲は0<k<1
という問題の(*)の部分で、なぜx|x-1|=kxとしているかがわかりません。
共有点のことかな?と思ったんですけどしっくりきません。
何故このようにするのか教えて下さい。
964 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 22:46:09 ID:ySqh9IZF0
>>963 y=f(x)とy=g(x)の交点(x,y)とは(x,y)=(x,f(x))=(x,g(x))となる点のことだからです
ところでCを放物線と書いていましたか?
965 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 22:47:14 ID:2EICyzMrO
>>961さん、実数解の個数を調べたら、-2<abc<2となったのですがここからわかりません。どのようにすればいいですか?
966 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 22:53:23 ID:P5961SRs0
y=x^3-3x y=abc(-2<abc<2)の交点のx座標を見てください。
>>951 レスありがとうございます!
後半のは未履修でしたのでわかりませんでしたが前半で理解できました
とても助かりました
968 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 23:02:53 ID:2EICyzMrO
bの範囲が-1<b<1なので
-2<abc<2→-2<a<-1<b<1<a<2、と言うことでいいんですか?
969 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 23:13:20 ID:Tavsp2W9O
>>968 三次関数の性質使えばaとcも範囲が求まります
971 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 23:22:26 ID:2EICyzMrO
解決しました。何度も何度もありがとうございました。
972 :
大学への名無しさん:2008/08/21(木) 23:55:32 ID:Tavsp2W9O
>>963 グラフ上の共有点は方程式の共通解と同値だから
>>958 なるほど、面積計算にアルキメセス螺旋を持ち出していたのですね。思いつきませんでした。
直接相手にした場合、r(t)*cosθ=tcos(t), r(t)*sinθ=2tsintから最終的にdθをdtに変換して積分するのですね。
確かに大変そうです。どうもでした。
974 :
大学への名無しさん:2008/08/22(金) 10:02:55 ID:jA5y6tgo0
正4 面体T と半径1 の球面S とがあって,T の6 つの辺がすべてS に接しているという.T の1 辺の
長さを求めよ.つぎに,T の外側にあってS の内側にある部分の体積を求めよ.
自分は三平方の定理を用いて、Tの1辺は2√2、体積は、はみ出している球の一部を
積分で求めて4倍して、{(72−32√3)π}/27 になったのですが。。
あっているでしょうか?お願い致します。
>>974 よさげ。
こちらは、正三角形の1辺をaとして
球の直径2= 等辺が(√3/2)a、底辺aの二等辺三角形の
等辺2つが作る頂点から底辺に引いた中線(垂直二等分線)の長さ
でaを出して、
後半は結局π∫[1/√3, 1] ( 1-x^2) dx の4倍として出した。
黄チャートのUの18で
X=Y=Z≠0のとき、(与式)=2のイミがわからないんですけど…
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor 問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
978 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 00:22:26 ID:E5o11R9Z0
>>975 レスありがとうございます。東京大学の入試問題らしいのですが、
まだ解答をもらってないので。お手数おかけ致しました。
979 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 00:43:38 ID:E5o11R9Z0
もう一問お願いします。
空間内に、3点P(1,1/2,0)、Q(1,-1/2,0)、R(1/4,0,(√3)/4)を頂点
とする正三角形の板Sがある。Sをz軸のまわりに1回転させたとき、Sが通過
する点全体のつくる立体の体積を求めよ。
△PQR内でZ=t上にある線分をz軸上で回転させ、最短距離、最長距離から
ドーナツ型の切断面がえられ、それを0≦t≦(√3)/4までtで積分してみたら、
体積が{(√3)xπ}/48 となったのですが、どうでしょうか?
>>979 >体積が{(√3)xπ}/48 となったのですが
√3 と π の間に謎のxが入ってるけど、これがなければOKだと思う。
こっちは、
・RからPQの中点に引いた直線をx=f(z)の形に表現
・R'(1/4,0,0) を考えると△R'PQは△RPQのxy平面上への正射影、
これでR'Pの方程式を考えてこの辺の上のy座標をy=g(x)の形に表現
辺RP上に動点Tを取り、この座標を(x,y,z)とすると、
これらの座標の間にx=f(z) および y=g(x)の関係が成立。
高さzにおける、体積を出す立体の断面積は、π(x^2+y^2)-π(x^2)
=π・y^2 になるから、前の二つの式を組み合わせて
y=g(f(z)) でこれをzの式として表現し、z=0〜(√3)/4 で積分
被積分関数は π((-2/√3)z + (1/2))^2 で、値は(√3)π/48 になった。
981 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 01:22:23 ID:E5o11R9Z0
>>980 早速のレスありがとうございます。そういう解き方もあるんですね。とても勉強になります。
謎のxは要りませんでしたね。すみません。ちなみにこれも東京大学の入試問題なのだそうです。
(my teacher 曰く)
982 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 01:40:24 ID:geTOq5JU0
この問題で半角公式を使わない解法ってのは存在するのでしょうか?
解答では半角公式( (sin(a))^2 = (1-cos(a))*(1/2) )を使用していたのですが、
半角公式を用いない別解がありそうな気がしてなりません。
0≦θ<π のとき、
f(θ) = (5*3^(1/2))*(cos(θ))^2 + (3^(1/2))*(sin(θ))^2 − 4 * sin(θ) * cos(θ)
の最大値と最小値を求めよ。 (帯広畜産大)
>>982 (sinθ)^2 を (sinθ)^2+(cosθ)^2=1 で消して、(cosθ)^2 と sinθcosθ(と定数)の式にする
→倍角の定理を逆に使ってcos2θとsin2θに直す
→合成
倍角の定理を逆に使って(cosθ)^2 をcos2θに直すのが、半角の定理と同じじゃないか、
というのであれば、微分して増減表という手もある。
ただ、こっちでも結局は倍角を逆に使うことになる。
4(sinθ)^2-4(cosθ)^2を-4cos2θに直すのと、
-(8√3)sinθcosθを -(4√3)sin2θになおすものとだから、半角定理をつかったことには
ならないが。この後合成するのは同じ。
あと、数IIまでで解きたければ当然ダメだが。
>>976 キチャ持ってないからわからんけど、0じゃないことを確認したんでない?
直接(与式)=2につながってるとは思えないな。
つーか質問するなら詳しく書いてくれ
986 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 02:25:09 ID:geTOq5JU0
>>984 レスありがとうございます
解答の手順が
>>983にかなり近かったので、別の手順として
(3^(1/2))*( 6*(cosθ)^2 + 2*(sinθ)^2 − 1 − (4/3)*3^(1/2) )
と変形してみたら( A ( B * cosθ - C * sinθ )^2 − D )
みたいな形にならないものかと思案してたのですがどうもうまくいかないようだったので質問させていただきました。
>>984の微分を利用した方法もおもしろそうなのでこれからやってみようと思います
円に内接する四角形ABCDはAB=2,BC=√2,CD=3√3,AC=√10,AB<ADを満たす
角ABC=アイウ 角ADC=エオ°AD=カ sinBCA=キ/√ク
BD=ケ√コ 角BAD=サシ°
点Aから対角線BDに下ろした垂線の長さはス/√セ
アイウ 135
エオ 45
カ 4
キ/√ク 1 5
ケ√コ 2 5
サシ 90
ここまでは解りましたが残りの垂線の長さだけが解りません
助けてください…
>>987 CD=3√2 だべ。設定数値はしっかり確認よろ。
で、AからBDに下ろした垂線の足をHとすると、
△ABDと△HBAが相似(どちらも∠ABDを共有する直角三角形)。
989 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 07:48:29 ID:G58Bx+4YO
>>988 ありがとうございます。
とても助かりました。
991 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 09:57:59 ID:Uc8mdKFk0
>>952 最大に離れている2点間の距離をa
その2点を結ぶ直線から上下(もしくは左右)最も離れている2点の直線からの距離の和をbとすると
b<aであり
すべての点は2辺がa,bの長方形に含まれる
この長方形は1辺が1の正方形に含まれその正方形は半径√2/2の円に含まれる
>>952 もっとも離れた2点をA,Bとする。
すべての点はA,Bを中心とする半径1の2つの円の内部の
共通部分に含まれる。
すなわち、この2円の共通弦を直径とする円の内部に含まれる。
この円の半径が√3/2である。
993 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 10:20:37 ID:E5o11R9Z0
>>990 そうです。表記の誤解を避ける為に書いたのですが、特に無くても式の意味
は通じるかなってとこです。√のなかに3πが入ると取られかねないと思ったので。。。
994 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 13:10:13 ID:Uc8mdKFk0
>>992 それだとAB≒0のときに2円の共通弦がほぼ2となります
995 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 13:12:08 ID:Uc8mdKFk0
ですがA,Bを中心とする半径ABの円を考えれば正当な考察となります
>>994 最も離れた2点だからAB≒1のときを考えれば十分。
実際の答案はもっと厳密にかくべきだけどね。
997 :
大学への名無しさん:2008/08/23(土) 13:25:09 ID:Uc8mdKFk0
>>991 √2/2は最善ではなくおそらく最善は√3/3じゃないでしょうか
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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。