＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part81＊＊＊

nを４以上の整数とするとき次を証明せよ。
平面にｎ個の点からなる集合Eが与えられたとする。Eのどの二点の距離も１より小さければ、
Eを内部に含む半径√３/２の円がある。
と言う問題なのですがよくわかりません。教えてください

n=3のとき互いに距離が1離れてる図形を考えるんだ
それは一辺の長さ1の正三角形だろ？それから点を加えようとすると、各頂点を中心にした半径1の円を書いて3つの円の共通部分に入ってなくてはいけない。これ即ち正三角形が内接する円。その半径は√3/2

横からだけど
それだと半径は√3/3にならない？

>>948 >>951 は与えられた式を解釈したのだと思う。が、実用的には、
a^6 …bとcの指数の和は0、a^6（b^0c^0)の1通り
a^5 …和は1、 したがってa^5b^1c^0 と a^5b^0c^1の2通り
a^4 … bとcだけ見て、b^2c^0 b^1c^1 b^0c^2 の3通り
この形でa^0 まで考えて
1+2+3+4+5+6+7 = (1/2)*7*(7+1)=28通り で十分に早いし明解じゃなかろうか。

>>953
まず
>これ即ち正三角形が内接する円。
にはならない。辺の外にはみ出る部分の弧の中心は向かい合った頂点。
その正三角形の外接円の中心は、正三角形の外心=重心だから
弧として違うもの。

で、対角線の長さが1の正方形の4頂点は与えられた条件を満たすが、
>>953が描いた図形の中には入らないように見える。

>>947
(1/2)∫r^2dθですよね。
どうして r^2=x^2+y^2 じゃなくて r^2=x^2+(y/2)^2 なのですか？分かりません

>>957
r^2=x^2+y^2でもいいでしょうがその場合rcosθ=tcostですのでdθとdtの関係が複雑になりすぎます（最初はそこを誤解していました）
>>934の方が書かれているようにアルキメデス螺旋をy軸方向に2倍にした曲線ですから3角形の面積もアルキメデス螺旋の場合の2倍になります
r^2=x^2+(y/2)^2はアルキメデス螺旋の場合であって r^2=x^2+y^2の場合は面積要素がその2倍になるわけですから2・(1/2)(x^2+(y/2)^2)dtとなるというわけです

>>956
なんか勘違いしてるやつが・・

実数a.b.cが
a＜b＜c.a＋b＋c＝0、bc＋ca＋ab＝−3
を満たすとき、不等式
−2＜a＜−1＜b＜1＜c＜2が成り立つこと示せ。

この問題がとけません。助けてください。

x^3-3x-abc=0が３つ解を持つ時の解の範囲を考えてみては？

つまりこれは、解と係数の関係の解が3個バージョンと言うことですか？

お願いします
放物線C:y=x|x-1|と直線l:y=kxに関して、Cとlがx＞0で2つの交点を持つようなkの範囲を求めよ。

解答
x|x-1|=kx(x＞0)は|x-1|=k(x＞0)と同値である。…(＊)

よってy=|x-1|とy=kの2つのグラフで考えて求めるkの範囲は0＜k＜1

という問題の(＊)の部分で、なぜx|x-1|=kxとしているかがわかりません。
共有点のことかな？と思ったんですけどしっくりきません。

何故このようにするのか教えて下さい。

>>963
y=f(x)とy=g(x)の交点(x,y)とは(x,y)=(x,f(x))=(x,g(x))となる点のことだからです
ところでCを放物線と書いていましたか？

>>961さん、実数解の個数を調べたら、-2<abc<2となったのですがここからわかりません。どのようにすればいいですか？

y=x^3-3x y=abc(-2<abc<2)の交点のx座標を見てください。

>>951
レスありがとうございます！
後半のは未履修でしたのでわかりませんでしたが前半で理解できました
とても助かりました

bの範囲が-1<b<1なので
-2<abc<2→-2<a<-1<b<1<a<2、と言うことでいいんですか？

>>968
三次関数の性質使えばaとcも範囲が求まります

次スレ立てました。

＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part82＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1219328413/l50

解決しました。何度も何度もありがとうございました。

>>963
グラフ上の共有点は方程式の共通解と同値だから

>>958
なるほど、面積計算にアルキメセス螺旋を持ち出していたのですね。思いつきませんでした。
直接相手にした場合、r(t)*cosθ=tcos(t), r(t)*sinθ=2tsintから最終的にdθをdtに変換して積分するのですね。
確かに大変そうです。どうもでした。

正4 面体T と半径1 の球面S とがあって，T の6 つの辺がすべてS に接しているという．T の1 辺の
長さを求めよ．つぎに，T の外側にあってS の内側にある部分の体積を求めよ．

自分は三平方の定理を用いて、Ｔの１辺は２√２、体積は、はみ出している球の一部を
積分で求めて４倍して、{（７２−３２√３）π}/２７　になったのですが。。
あっているでしょうか？お願い致します。

>>974 よさげ。
こちらは、正三角形の1辺をaとして
球の直径2= 等辺が（√3/2）a、底辺aの二等辺三角形の
　等辺2つが作る頂点から底辺に引いた中線（垂直二等分線）の長さ
でaを出して、

後半は結局π∫[1/√3, 1] ( 1-x^2） dx の4倍として出した。

黄チャートの�Uの１８で
X＝Ｙ＝Ｚ≠0のとき、（与式）＝２のイミがわからないんですけど…

・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
　解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor 問○を教えてください」だけ書くような
　質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。

>>975 レスありがとうございます。東京大学の入試問題らしいのですが、
まだ解答をもらってないので。お手数おかけ致しました。

もう一問お願いします。

空間内に、３点Ｐ（1,1/2,0）、Ｑ（1,-1/2,0）、Ｒ（1/4,0,（√3）/4）を頂点
とする正三角形の板Ｓがある。Ｓをｚ軸のまわりに１回転させたとき、Ｓが通過
する点全体のつくる立体の体積を求めよ。

△ＰＱＲ内でＺ＝ｔ上にある線分をｚ軸上で回転させ、最短距離、最長距離から
ドーナツ型の切断面がえられ、それを０≦ｔ≦（√３）/４までｔで積分してみたら、
体積が{（√３）ｘπ}/４８　となったのですが、どうでしょうか？

>>979
>体積が{（√３）ｘπ}/４８　となったのですが

√3 と π の間に謎のｘが入ってるけど、これがなければOKだと思う。

こっちは、
・RからPQの中点に引いた直線をx=f(z)の形に表現
・R'(1/4,0,0) を考えると△R'PQは△RPQのｘｙ平面上への正射影、
　これでR'Pの方程式を考えてこの辺の上のｙ座標をy=g(x)の形に表現
辺RP上に動点Tを取り、この座標を(x,y,z)とすると、
これらの座標の間にx=f(z) および y=g(x)の関係が成立。
高さｚにおける、体積を出す立体の断面積は、π（x＾2+y＾2）-π(x^2)
=π・y＾2 になるから、前の二つの式を組み合わせて
y=g(f(z)) でこれをｚの式として表現し、z=0〜(√3)/4 で積分

被積分関数は π（（-2/√3）ｚ + (1/2)）＾2 で、値は（√3）π/48 になった。

>>980 早速のレスありがとうございます。そういう解き方もあるんですね。とても勉強になります。
謎のｘは要りませんでしたね。すみません。ちなみにこれも東京大学の入試問題なのだそうです。
（my teacher 曰く）

この問題で半角公式を使わない解法ってのは存在するのでしょうか？
解答では半角公式（ (sin(a))^2 ＝ (1-cos(a))*(1/2) ）を使用していたのですが、
半角公式を用いない別解がありそうな気がしてなりません。


0≦θ＜π　のとき、
f(θ) ＝ (5*3^(1/2))*(cos(θ))^2 ＋ (3^(1/2))*(sin(θ))^2 − 4 * sin(θ) * cos(θ)
の最大値と最小値を求めよ。　　(帯広畜産大)

>>982
(sinθ)^2 を （sinθ）^2+(cosθ)^2=1 で消して、(cosθ)^2 と sinθcosθ（と定数）の式にする
→倍角の定理を逆に使ってcos2θとsin2θに直す
→合成

倍角の定理を逆に使って(cosθ)^2 をcos2θに直すのが、半角の定理と同じじゃないか、
というのであれば、微分して増減表という手もある。

ただ、こっちでも結局は倍角を逆に使うことになる。
4(sinθ)^2-4(cosθ)^2を-4cos2θに直すのと、
-（8√3）sinθcosθを -（4√3）sin2θになおすものとだから、半角定理をつかったことには
ならないが。この後合成するのは同じ。

あと、数IIまでで解きたければ当然ダメだが。

>>976
キチャ持ってないからわからんけど、０じゃないことを確認したんでない？
直接(与式)＝２につながってるとは思えないな。

つーか質問するなら詳しく書いてくれ

>>984
レスありがとうございます

解答の手順が>>983にかなり近かったので、別の手順として

(3^(1/2))*( 6*(cosθ)^2 ＋ 2*(sinθ)^2 − 1 − (4/3)*3^(1/2) )
と変形してみたら（　A ( B * cosθ - C * sinθ )^2 − D　）
みたいな形にならないものかと思案してたのですがどうもうまくいかないようだったので質問させていただきました。


>>984の微分を利用した方法もおもしろそうなのでこれからやってみようと思います

円に内接する四角形ABCDはAB=2,BC=√2,CD=3√3,AC=√10,AB<ADを満たす

角ABC=アイウ　角ADC=エオ°AD=カ sinBCA=キ/√ク

BD=ケ√コ　角BAD=サシ°
点Aから対角線BDに下ろした垂線の長さはス/√セ

アイウ　135
エオ 45
カ　　　　4
キ/√ク 1 5
ケ√コ 2 5
サシ 90
ここまでは解りましたが残りの垂線の長さだけが解りません
助けてください…

>>987
CD=3√2 だべ。設定数値はしっかり確認よろ。

で、AからBDに下ろした垂線の足をHとすると、
△ABDと△HBAが相似（どちらも∠ABDを共有する直角三角形）。

>>988
ありがとうございます。
とても助かりました。

>>979-981
謎の×って(掛ける)のことじゃねーの？

>>952
最大に離れている2点間の距離をa
その2点を結ぶ直線から上下（もしくは左右）最も離れている2点の直線からの距離の和をbとすると
b<aであり
すべての点は2辺がa,bの長方形に含まれる
この長方形は1辺が1の正方形に含まれその正方形は半径√2/2の円に含まれる

>>952
もっとも離れた2点をA,Bとする。
すべての点はA,Bを中心とする半径1の2つの円の内部の
共通部分に含まれる。
すなわち、この2円の共通弦を直径とする円の内部に含まれる。
この円の半径が√３/２である。

>>990 そうです。表記の誤解を避ける為に書いたのですが、特に無くても式の意味
は通じるかなってとこです。√のなかに３πが入ると取られかねないと思ったので。。。

>>992
それだとAB≒0のときに2円の共通弦がほぼ2となります

ですがA,Bを中心とする半径ABの円を考えれば正当な考察となります

>>994
最も離れた2点だからAB≒1のときを考えれば十分。
実際の答案はもっと厳密にかくべきだけどね。

>>991
√2/2は最善ではなくおそらく最善は√3/3じゃないでしょうか

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