数学の質問スレ【大学受験版】part31

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレで。

質問をする際の注意
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・必要と思われる場合は、自分がどこまで履修済みか書く。（例：1A2Bまで）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　例えば、1/2aより、(1/2)a あるいは 1/(2a) のように書いた方が分かりやすい。

数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
図・グラフ掲示板
http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi

過去スレ
part30 http://school3.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1083211973/

それ以前は>>2

22

過去ログ
Part1 http://school.2ch.net/kouri/kako/1016/10160/1016008085.html
Part2 http://school.2ch.net/kouri/kako/1020/10200/1020087580.html
Part3 http://school.2ch.net/kouri/kako/1025/10257/1025785783.html
Part4 http://school.2ch.net/kouri/kako/1029/10298/1029866597.html
Part5 http://school.2ch.net/kouri/kako/1032/10320/1032026826.html
Part6 http://school.2ch.net/kouri/kako/1033/10334/1033469482.html
Part7 http://school.2ch.net/kouri/kako/1036/10367/1036785888.html
Part8 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1040034565/l50
Part9 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1042765761/l50
Part10 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044101232/l50
part11 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044828874/l50
part12 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045895181/l50
part13 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1047118250/l50
part14 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1049381621/l50
part15 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1052403965/l50

part16 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1054193413/l50
part17 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1056518836/l50
part18 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1058461770/l50
part19 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1060183061/l50
part20 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1061665677/l50
Part21 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1063269681/l50
Part22 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1065931301/l50
part23 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1067761519/l50
part24 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1069023159/l50
part25 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1071117417/l50
part26 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1073739135/l50
part27 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1075254162/l50
part28 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1076522562/l50
part29 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1078963285/l50

　しんすれおめ！>>1おつ！ありがとー

>>1
乙です！！

>>1
乙

>>前スレ1000取った香具師！
一人で２回以上書くのは反則だろ！ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧﾝ

数学って、暗記だけで高得点狙えますか？

オリジスタン�VСって答えは売ってないんですかね？

>>9
暗記暗記って言うけど俺は
それは「多様な問題を経験すること」を意味してると思うんだが。

4STEP(新課程)数�Uの『383』

関数f(x)=x^3＋ax^2＋bx＋c　について次の問に答えよ
(1)x=1で極大になるための条件を求めよ。
で
答え↓
(1)y=f(x)とおいて
　　求める条件は「y'の記号がx=1の前後で正から負に変わる」ことである
　　したがって
　　　　　y'(1)=0　　　　　　　　　　―�@
　　　y=f'(x)の軸について -3/a>1　―�A　
　すなわち
　　　2a＋b＋3=0 , a<-3

この�@は分かるんですが、�Aがよく分かりません軸がポイントのようなんですが
どこからこの数値がきたのか・・・・。
お願いします。

>>12
y'(1)=0の点は２箇所ある
-3/a <0だとすると極大にならずに極小になる。
かな？

ああ、考えずに書いてたらミスった…
-a/3 <1ね

>>12
文字だからといって構えずに，普通の数字と同じ感覚で解いてみると
理解できるかもしれません。(考え方を変えれば理解できるかもしれません。)

f(x) が x=1 で極大値をとるためには，f'(1)=0 ⇔ 3+2a+b=0・・・ア
であることが必要。アのもとで，f'(x)=(x-1)(3x-b) となる。
ここで，1とb/3の大小について場合わけする。

[1] 1＜b/3 のとき
x＜1 で f'(x)＞0，1＜x＜b/3 で f'(x)＜0，b/3＜x で f'(x)＞0 となる。
よって，この場合，x=1 でf(x)は極大となる。

[2] 1=b/3 のとき
f'(x)=3(x-1)^2≧0 となり，f(x)は極値を持たない。

[3] b/3＜1 のとき
x＜b/3 で f'(x)＞0，b/3＜x＜1 で f'(x)＜0，1＜x で f'(x)＞0 となる。
よって，この場合，x=b/3 でf(x)は極大となる。
したがって，b/3=1 ⇔ b=3 であればよいが，これは，b/3＜1 に反する。


以上より，求める条件は，「3+2a+b=0 かつ 1＜b/3」 である。


つまり，『2次方程式f'(x)=0 が相異なる2実数解を持ち，そのうちの小さい方の解が x=1 になる』ような条件を
求めればよいということです。
そうなるためには，まず，f'(1)=0 が必要であり，次に，放物線 y=f'(x) の軸 x=-a/3 が 1 よりも大きければよいのです。
(図を書いてみてください。)
もし，軸で考えるのが嫌なら，上記のように2解の大きさで比べても良いと思います。
つまり，「f'(x)=0 の2解 x=1，b/3 が，1＜b/3 であればよい」と考える方法です。こっちの方が楽かな。

書き込めない・・・ﾃｽﾄ。

2003京大文系の問題です。

数列｛a｝k＝2、0、7、2、0、7、2、0、7、2、0、7・・・

この時、�煤i1≦k≦n）｛a｝/3^k を求めよ。


さっぱり解けません・・・、周期が三なので三つに分類して考えるのはわかりますが。
どなたかお願いします。出来れば解説を入れてくれるとうれしいです。

前スレのy=x^2(0≦x≦1)の弧長について、∫√(1+x^2)dxが解ければよい。
S=∫√(1+x^2)dx=∫(cosθ)^(-3)dθ(x=tanθ)【置換積分】
=∫(tanθ)'(cosθ)^(-1)dθ
=tanθ(cosθ)^(-1)-∫tanθsinθ(cosθ)^(-2)dθ【部分積分】
=x√(1+x^2)-∫(tanθ)^(2)(cosθ)^(-1)dθ
=x√(1+x^2)-∫{(cosθ)^(-2)-1}(cosθ)^(-1)dθ
=x√(1+x^2)-∫{(cosθ)^(-3)-(cosθ)^(-1)}dθ
=x√(1+x^2)-S+∫{(cosθ)^(-1)}dθ
とすればSは出る。∫{(cosθ)^(-1)}dθは分母分子にcosθをかけて
部分分数分解すれば解ける有名問題。

>>17
とりあえず、n=3m（最後の項が7の時）とn=3m+1（末項が2の時）で分ける!（mは自然数）

S(n)=�煤i1≦k≦n）｛a｝/3^kとおく、ご指摘どおり三つに分類します
S(3m)=2/3^1+0/3^2+7/3^3+2/3^4+…+2/3^(3m-2)+0/3^(3m-1)+7/3^(3m)
S(3m)=2/3(1+1/3^3+…+1/3^(3m-3))+7/3^3(1+1/3+…+1/3^(3m-3))
S(3m)=(18/27+7/27)*27(1-3^(-3m))/26　　　等比数列の和（初項1、公比1/3＾3）
S(3m)=25/26(1-3^(-3m))→S(n)=25/26(1-3^(-n))

S(3m+1)はS(3m)に2/3^(3m+1)を足して出す。0足しても変わらないからS(3m+2)はS(3m+1)に等しい。
こんなかんじでどですか？まちがってたらごめんなさーい

3lzl=lz+4lとなる複素数zの描く軌跡を求めよ。
お願いします

>>18 の続き
結局∫{(cosθ)^(-1)}dθ=1/2 log{(1+sinθ)/(1-sinθ)}になるが、
1/2 log{(1+sinθ)/(1-sinθ)}=1/2 log[(1+sinθ)^2/{1-(sinθ)^2}]
=log{(1+sinθ)^2/(cosθ)^2}^(1/2)=log{(1+sinθ)/(cosθ)}
=log(1/cosθ+tanθ)=log{x+√(1+x^2)}となる
以上より、S=1/2[x√(1+x^2)+log{x+√(1+x^2)}]となる。

>>20
3lzl=lz+4lなる式は、常に(zと-4の距離):(zと0の距離)=3:1であることを示している。
よってこれは、-4と0を3:1に外分する点である2と、-4と0を3:1に内分する点である
-1とを直径の両端とする円である。

アポロニウスの円で調べてみること。

>>22
ありがとうございます。両辺二乗ではどうやるか教えてください

>>23
おい、アポロニウスの円は調べたんかい(-"-#)
知っておいた方が得だと思うんだけどなあ…ま、ともかく。
3lzl=lz+4l⇔9lzl^2=lz+4l^2⇔9zｚ~=(z+4)(z+4)~ (z~はzと共役な複素数を表す)
⇔9zｚ~=(z+4)(z~+4)⇔8zz~-4z-4z~=16⇔(z-1/2)(z~-1/2)=9/4
⇔(z-1/2)(z-1/2)~=9/4⇔|z-1/2|^2=9/4⇔|z-1/2|=3/2
よってzは1/2を中心とする半径3/2の円。

きっと調べてないんだろうなー

##ジオソたんいないかな・・・彼のこと好きなんだが

8zz~-4z-4z~=16から次の式を導く経過みたいなのを教えてください。どこに目をつけてそのような変形が気付くのですか？

携帯からの書き込みなんであまり長く書けない。 要は、「zz~が式の中にあってzとz~の係数が同じなら円の形にできる」と覚えておく。

複素数w,zはlz-1l=1
z=(w+b)+(w-a)iを満たす。
wの軌跡を求めよ。
お願いします

最近ヤフーの掲示板で
3を割りたけゃ3進法でやれ、楽に割り切れる。とレスしたところ
他の人も驚いていることに驚いた。(えーっ！皆知らんかったんか？)
基準が変わると質は変わります。割り切れない→割り切れる。

数字を駆使して宇宙を解明する？

笑わせる。
基礎の基礎も知らないで。

>>28 a,bの定義が書かれていないので
a,b,m,n は実数ということで話を進めます。
w＝m+niとおくとz-1=(m-n+b-1)+(m+n-a)i
lz-1l=1⇔=(m-n+b-1)^2+(m+n-a)^2=1
⇔(m-n)^2+2(m-n)(b-1)+(b-1)^2+(m+n)^2-2a(m+n)+a^2=1
⇔【m+(b-a-1)/2】+【n+(1-a-b)/2】＝1/2
計算ミスとかあったらスマソ

30の訂正と追加【m+(b-a-1)/2】+【n+(1-a-b)/2】＝1/2⇒
　　【m-(a-b+1)/2】^2+【n-(a+b-1)/2】^2＝(√2/2)^2 より
　　wの軌跡は、中心〔(a-b+1)/2，(a+b-1)/2〕、半径√2/2の円

（前文省略）
…
ＢＱはＲで割り切れる
がわかる。
ここでＢは二次式、Ｑも二次式、Ｒは一次式だから、
ＢＱはＲで割り切れる
⇒ＢまたはＱがＲで割り切れる

ってあるんだけど、
最後の"または"って意味がよく分からないのですが…

（注：一般論っぽかったので具体的な式の値は要らないと勝手に判断しちゃいました）

またまた抽象的な質問でスマソ

x+y=xy
⇔xy-x-y=0
⇔(x-1)(y-1)-1=0
⇔(x-1)(y-1)=1

や

2x+2y=xy
⇔xy-2x-2y=0
⇔(x-2)(y-2)=4

という変形が解説を見ると納得できても初見で自分で変形できると思えないのですが、
なにか公式みたいなものは存在するのでしょうか？

>>33
とりあえず同類項でまとめてみる。
　xy-x-y=0
　⇔x*(y-1)-y=0
両辺に１たす。
　⇔x*(y-1)-y+1=1
　⇔x*(y-1)-(y-1)=1
　⇔(x-1)(y-1)=1

どうだろう…

>>32
例えば、
　30は3で割り切れる。
　⇒(6×5)は3で割り切れる。
　⇒(5×6)は3で割り切れる。

ＢＱはＲで割り切れる
⇒ＢまたはＱがＲで割り切れる

つまり、ＢかＱどっちかがＲで割り切れればいいってことかな。
もちろん両方割り切れてもいい。さっきので言えば、
　45(15×3)は3で割り切れる。
みたいな。


A×B＝０⇒AまたはBが０
のまたはと一緒と思えば理解できるかな？

34,35を書かれた方と重複してしまいますが･･･(34,35を書かれた方スミマセン)
>>32 数学で用いられる『または』は日常生活で使われる『または』とは異なります。
数学では『ＢまたはＱがＲで割り切れる』とはＢとＱのうち一方がＲで割り切れる場
合とＢとＱが両方ともＲで割り切れる場合とを合わせたことを指します。ベン図を思
い浮かべてみるとわかりやすいかと思います。
>>33 33のような変形は整数の問題でよく見かけます。例えば整数x,yがx+y=xyを
満たすときx,yを求めよ。などでこのような式変形をする問題は整数に関する問題に
多いかと思います。初見で変形できなくとも大丈夫でしょう。

>>34-35氏
>>36氏
共に丁寧な対応ありが�dございますた！

>>34
同類項でまとめるてっていうのが手の一つですか。勉強になりますた。

>>36
分かりました。日常生活とは違うんですか…。
確かにこの問題（センターの問題です）では

ＢＱはＲで割り切れる
⇒ＢまたはＱがＲで割り切れる

ことをＱがＲで割り切れないことから偽と結論づけてますね。認識を改めておきます。

予選決勝法って１文字固定して、なんかするやつですよね？
これって必須テクニックですか？

数学１もAも難しい・・・
黄チャ使ってるんだけどむずい・・・・。
うちの学校の授業カスで中学の復習からやってて・・・
どうすればいいでしょうか

>>39
大検受けて塾へ通う。

>>39
そこで踏ん張らないとどうにもならない

∫x^2/(9+x^2)^2dx･･･(1)
全スレでも質問したのですが､未だに解らないです。
一度、途中しき書いてみるので
どこが間違えてるのか教えてください。

x=3tan(θ)とおくと、dx=3/(cos(θ))^2dθ
(1)=9(tan(θ)^2)/{9(1+tan(θ)^2)}^2
=9(tan(θ)^2)/{81/cos(θ)^4}
=1/9*sin(θ)^2*cos(θ)^2*3/cos(θ)^2
=1/3*sin(θ)^2
=∫1/6(1-cos(2θ))dθ･･･(3)

(3)の第一項は1/6*Arctan(x/3)となるのは解るんですが
第二項がどうなるか解りません。

ちなみに答えは
1/2(-x/(x^2+9)+1/3tan(-1)x/3)
です。

一応自分流のやり方書いておきますね！
いきなり（３）から。ちなみに全スレどおり、x=3tan(θ)→θ=tan^(-1)(x/3)ですね。

∫1/6(1-cos(2θ))dθ=θ/6-sin2θ/12…（A）

ここで、x=3tan(θ)の両辺にcos^2(θ)をかけると、x*cos^2(θ)=3sin(θ)cos(θ)
んで、cos^2(θ)=1/(tan^2(θ)+1)=1/((x^2/9)+1)

あとは適当に形を変えて代入すると…
(A)=(1/6)tan^(-1)(x/3)-x/2(x^2+9)となる。

>>40
>>41
塾って数学だけってありなのでしょうか？

そゆ塾もあるにはあるのかな？
ごめん答えになってないね。

5x-3/3<m<5x-3/2を満たす整数ｘただ１つであるような整数ｍの最大値を求めよ

2m+3/5<x<3m+3/5
↑を満たす整数ｘがただ1つであるので
3m+3/5-2m+3/5≦２
↑ここで何故２がでるのですか？？

にちゃんねるで同じＩＤがでる確立を教えて

にちゃんねるで同じＩＤがでる確立を教えて

1/54^8

「Aの箱には赤玉二個白玉三個、Bの箱には赤玉三個白玉三個、
Cの箱には赤玉四個白玉三個が入っている。
また、無作為に箱A、B、Cを選ぶ事象をそれぞれA、B、Cとし、
赤玉１個取り出す事象をRとする。」


無作為に１箱選んで１個の玉を取り出したら赤であった。
選んだ箱がAであった確率を求めよ。


さぱーりﾜｶﾘﾏｾﾝ。答えは28/103なのでつが。
解説願います。

なんか最近凄く重くないか？なかなか書き込めないよ。なんとかしてほしい。

>>46
題文より、2m+3/5〜3m+3/5の間に整数はxただ１つですよね
考え方によっては、x-1≦2m+3/5＜（x）＜3m+3/5≦x+1(正確ではないかもしれないけど)
x-1≦2m+3/5、3m+3/5≦x+1　この辺々を足すと…あら、２が出てくるｗ

>>50
高校三年生なら数学Bの条件付確率よめ。

求める確率は
(Aの箱から赤玉を取る確率)÷(赤玉を取る確率)

左側は、(1/3)×(2/5)
右側は、(1/3)・(2/5)＋(1/3)・(3/6)＋(1/3)・(4/7)
(1/3)は「ABCどの箱を選ぶか」の確率。

結果は28/103になる。

>>50

>>53さんのおっしゃるとおり，数B条件つき確率だと思います。

P(A)=1/3，P(B)=1/3，P(C)=1/3
P(R)=P(A∩R)+P(B∩R)+P(C∩R)=(1/3)*(2/5)+(1/3)*(3/6)+(1/3)*(4/7)=103/210
求める確率は条件つき確率P_R(A)。
条件つき確率の公式に当てはめて，
P_R(A)=P(A∩R)/P(R)={(1/3)*(2/5)}/(103/210)=28/103・・・答

＃
事象Xが起きるもとで事象Yが起きる確率を条件つき確率P_X(Y)と書き，
P_X(Y)=P(X∩Y)/P(X) が成り立ちます。
個人的には，P(X∩Y)=P(X)*P_X(Y) と書いたほうが理解しやすい気もするんですが，
だいたいの参考書は上の式をデフォルトとしているようです。

>>49
うそくせぇ。

ｶﾐｻﾏｶﾞﾀありがとう。一応浪人です。
なんか青チャ解答がわかりづらく書いてあって理解できませんでした。
つまり、
「赤が出る確率分のAから赤がでる確率」
って考えでおーけーですか？

それぐらいのことは教科書に書いてあるのに
また、>>53でもそうするように勧められているのに
なぜ教科書を読まないか理解に苦しむ

>>57
もちろん読みましたよ。ただ、事象Aがどうのこうのいまいち捉えづらいので
わかりやすく言ってみただけです。教科書読んだと一言添えれば良かったですね。
失礼いたしました。

>>43
よくわかりました。
どうもありがとうございました。

>>46
引き算が距離を意味することを考えて数直線を書けば（イメージだけでもいいけど）
すぐにわかるとおもいます。

積分についてですが、x=g(t)とするとdx/dt=g'(x)であるが、これをdx=g'(t)dt
と「形式的」に書けることがよく分かりません。微分商というらしいですが、
なぜ割り算のように扱うことができるのでしょうか？教科書には形式的としか
書かれておりません。

dx/dt=g'(t)　じゃねーの

それはライプニッツによるもう一つの微分法。 分かりやすさが特徴。 Δx=g'(t)Δt+o(Δt)# Δx/Δt=g'(t)+o(Δt)/Δt# Δt→0で# Δx/Δt=g'(t)但しo(Δt)/Δt→0# 高校でやるのは近代の微分法。

>>62
その通りです。タイプミススマソ。
>>63
すいません。よく分かりません・・・。形式的ってあるからdy/dxと同じで
そういう風に表記するものと捉えて、計算上dx=g'(t)dtを利用していると
捉えているのですが・・・。微分商については高校では詳しく解説されない
のですか？独学なもので。

試験で
（１）命題Pを証明しろ
（２）〜の値を求めよ（←（１）使わないと絶対解けない）

って問題があったら（１）の証明できなかったとしても
（２）で「命題Pより」とかって利用しちゃっていいんですか？

>>65
減点されるだろうけど、何も書かないよりましじゃないかな。

>>65
あたりまえだろ
>>66
得点は(2)の分そのままもらえるんじゃないの？

全然あたり前ではないんだなこれが。全く逆で(2)は0点になるのが普通。

>>65
　「但し、（１）が証明できなくても、（１）の結果を利用して（２）を解いてよい」
　とかって注が書いてある大学の問題見たことある。

　一般的にどうなのかは知らないけど、加点される可能性も十分あるのでは？

a^4+b^4+c^4≧abc(a+b+c)の証明の問題なんですが、

a^4+b^4+c^4≧a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
＝(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2
≧(ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab)
＝abc(a+b+c)
の変形の２〜３行目の不等式がわかりません。だれか解説お願いします。

１対1の数2の102ページの問題の（2）の解説にある

ｘ＾3−(3a^2−2a^3)=0と解と係数の関係よりとなっているところの求め方がわからないので教えてください。

>>71
それだけじゃわからんのでそれまでの(2)の解説一応全部コピーしてもらえますか？
俺一対一もってないんで。

>>70
((a-c)^2+(c-b)^2+(b-a)^2)/2=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)/2

=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0

a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca　（a=b=cの時等号成立）を使ってる！

漸化式の問題で

　A1=1/2　An+1=An/2An+3
一般項Anを求めよ

みたいなのありますよね。
これで、もちろん逆数つかって解くんですが
解答の最初に

　An≠0

を示さないといけませんよね。
コレの示し方がわからないんです。

>>74
式が読めないのですみませんが書き直しぷりーず

「式が読めない」とは？
文字化けしているということですか？

>>76
そうではないのですが、
　＞An+1=An/2An+3
の部分においてAn/2An+3はどういう意味かわからなかったもので・・

A_(n/2)A_n + 3なのかA_(n/2)A_(n+3)なのか・・・（以下略

ここで、
X_m m：Xの添え字
書き忘れすまそ

>>77
ああ、そういうことですか。
すみませんでした。
んと、

　An+1=An/(2An+3)

こう書けばいいのかな・・・。

A_n+1=A_n/(2A_n+3)

こうかな。

>>74
問題はたぶん、A(n+1)=A(n)/{2A(n)+3}ですよね？(中括弧ｽﾏｿ)

A(n)≠0を示したいのなら、
A(n)=0の時、漸化式よりA(n-1)=0
A(n-1)=0の時、漸化式よりA(n-2)=0
〜
A(2)=0の時、A(1)=0→A(1)=1/2に反する

これじゃダメですか。問題違う？

「A1>0＆漸化式の形よりA2>0（正/2正+3は正）.以降も帰納的にAn>0.」

程度で十分だと思います（´д｀；

>81>82
どっちも正解だと思う。
つか、1行目に『A(n)≠0は題意より明らか』とか書くだけでもいいかと思うんだが。
なるべく明らかは使いたくないか…

この場合は、A(n)=0でもいいような・・
〜〜
A(n)=0と仮定すると、n=1のときA(1)=1/2に反する
よって、A(n)≠0
〜〜
こういうのではダメだっけ？

>>81-83
ありがとうございました。
わかってませんが、わかったことにします。

>>84さんもﾃﾝｷｭｳ

>>84は>>81と微妙にダブった気が・・。
>>82はあるにはあるけどやや高度ですねー

>>84
これが一番わかりやすいです。
できれば、解答にはこれを使いたいのですが
マルくれるのかな？

A(n)=0と仮定すると、
A(n+1)[=A(n)/{2A(n)+3}=0/(2*0+3)]=0
よって、与えられた漸化式よりA(n)≡0
一方、A(1)=1/2
ゆえに、A(n)≠0
〜〜
こんな感じかなー。
>>88
あぽ氏他の意見求む

なんか>>89はまわりくどい印象を受ける・・
これで本当にいいのかな？

84さんのは微妙じゃないかな（´д｀；
つまり、得られた結論が「全ての番号nに対して0なわけじゃない」⇔「番号によっては0かも」みたいな
感じがするのです。

>>91
そうですか・・。
この項目を勉強しなおしてきます

>>71
まだ解決してませんよね？してたら良いんですけど…。

xの３次式の３個の解をα、β、γとすると、この問題では　2a^3=-αβγ
与式はx=aを重解に持つからα=β=aとすると、γ=-2a

これで良いかな？分からなければ、もっと説明の上手（ｒｙ

・・・・・。

>>94
…（´д｀；

>>94
(ﾟДﾟ)!!

2次方程式3X^2−6√3X+8=0 の解を教えて下さい

2次方程式X(X+2a-1)=3a(a+1)の解を教えて下さい

>>97,98
解の公式も知らんのか釣りなのかどっちだと。

99→てめぇ いちいちうるせぇよ

取りあえず、巡回上げ

>>98はXの2次方程式なのかaの2次方程式なのかわからんのだが

>>100
メル欄嫁。
そして礼ぐらい言えと。

また抽象的な質問で申し訳ないのですが、

なんで分数はひっくり返せるのでしょうか？

解説読んだあとで、「この問題は途中で
ひっくり返すんだな」と知っているのは出来るんですが、
初見の式でどうも躊躇われるんですが。

102→Xです よろしくお願いします

103→あっ?なんでテメェに礼言わなきゃなんねーの つうか2ch用語つうの(読め→嫁みたいな)? 見にくくてうざいから オタクさん!

>>64
微小量Δx,Δtに対して、
Δt=Δx*g'(x)+o(Δx);
が成り立つのは図を書いて見れば明らか。
但しo(Δx)はΔxの高位の微小量かつ
Δx→0の時0;

なので、Δx→dx (小さくした)の時、;
dt=dx*g'(x)
となる。これから、
dt/dx=g'(x)⇔dt=dx*g'(x)
が成り立つ。
先の式の両辺を積分して、
∫dt=∫dx*g'(x);
t=g(x)+const

大学の物理で良く使うが、結論は分かりやすい。
dx/dt=dx/dy *dy/dx
の理由も良く分かる。

袋のなかにiと書かれた玉がi個あり、この袋から玉を１個取り出す。
取り出された玉に書かれた数の期待値Eを求めよ。

ただしiは1からnの自然数。


解説願います。解答は（2n＋1）/3 です。

n(n+1)(2n+1)/6 *2/{n(n+1)}

>>107-109
レスありがとうございます。ですが当方文系・独学なもので現時点のレベル
ではまだ理解できません。高校レベル超えてる気がして・・・。出直します。

>>106
釣りじゃないっすよね…

>99 名前：大学への名無しさん[sage x=4√3/3, 2√3/3 x=3a,-a-1と釣られてみる]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^










あ〜あつられちまった、漏れ。

>>111
ｺﾞﾒﾝﾅｻｲそれだけ書かれても意味がわかりません。

そこに至る経緯を願います。

>>114
じゃあ、でしゃばって。

袋の中には、1と書かれた玉が1個、2と書かれた玉が2個、…、nと書かれた玉がｎ個
つまり全部で、（1+2+…+ｎ）=n(n+1)/2…S (個)

1が出る確率*値=1^2/S
2が出る確率*値=2^2/S
〜
nが出る確率*値=n^2/S

E=1^2/S+2^2/S+…+n^2/S=(1^2+2^2+…+ｎ^2)/S

分子=Σ（ｋ=1〜ｎ）ｋ＾2=n(n+1)(2n+1)/6、分母=Σ（ｋ=1〜ｎ）k=n(n+1)/2
いかが？

すっごいわかりやすいです！
ぺさんありがとー。

慣れれば、111さんの書き込みだけで分かるようになるよ！（たぶんｗ）

ak=log{2}(1+(2k+3)/(k^2+2k))のとき、
lim_[n→∞]Σ_[k=n+1,2n]akを求めよ。

取りあえずakを変形しようと思ったのですが、
方針が分からず停滞中です。ご教授願います。

>>118
答は-2かな？
あってたら途中式かくけど

>>113
釣られちゃったね

>>118
k=n+1〜2nってなってるあたりが区分求積クサいけど
その式忘れたから力になれそうにないｗ
頑張れ。

遅かった…orz

-2じゃなくて2だった

>>119
答えは２になってます。
まだ履修終了レベルなので区分求積などは全く知らず…orz

>>118
まず1+(2k+3)/(k^2+2k)=(k^2+4k+3)/(k^2+2k)=( (k+1)(k+3) )/( k(k+2) )と変形する！
もとの式に代入して、ak=log{2}( (k+1)(k+3) )/( k(k+2) )

ここで、Σ_[k=n+1,2n]akを考えると、連鎖して（ｒｙ

>>109
?????

一応かいときますわ
ak=log{2}(1+(2k+3)/(k^2+2k))
=log{2}[{(k+1)(k+3)}/{k(k+2)}]
Σ_[k=n+1,2n]ak
=log{2}[{(n+2)(n+4)}/{(n+1)(n+3)}]+
log{2}[{(n+3)(n+5)}/{(n+2)(n+4)}]+…+
log{2}[{(2n+1)(2n+3)}/{2n(n+2)}]
=log{2}[{(n+2)(n+4)*(n+3)(n+5)*…*(2n+1)(2n+3)}/
{(n+1)(n+3)*(n+2)(n+4)*…*2n(n+2)}]
=log{2}[{(2n+1)(2n+3)}/{(n+1)(n+3)}]
∴lim[n→∞]Σ_[k=n+1,2n]ak=log{2}4=2
まちがってたらスマソ

ありゃ、遅かったのね

>>124
>>126
ようやく理解できました。
分かりやすい解説ありがとうございます。

>>125
要するに、dx、dyは一つの値と見なせて、dy/dx=dy/dt *dt/dxはdtを約分して消せば左辺になるんだから当然ということ。変数変換もdx=g'(t)dtから∫dx=∫g'(t)dtになるのも代入しただけと考えれば楽だし、dxにdt/dtを掛けたと考えてもいい。

a(n)=-2×2^(n-1)＋3

これを簡単にした式を教えてください。。

yをxで積分すれば面積になるのも、
yをに微小な長さdxを掛けそれを少しずつ集めたものは面積なんだから、当然ということになる。

これより、dxdy=rdrdθも出てくる。が、これらは大学レベル。考え方の結果のみ分かれば良い。

>>130
2^n+3

>>129
>>125は記述ミスについていってると思われる

>>132
えっと、途中式を教えて下さい。

>>129
>>109

>>132
?????

くっそ〜!ID:Pw…め!人のタイプミスをからかいやがって!

sine

>>130
a(n)=-2×2^(n-1)＋3を簡単にした式…うーん？

-2*2^(n-1)+3=-2^n+3

>>136, sine.

>>130
教科書の読むべし。

113→釣りの意味がわかりません 私オタクじゃないんで2ch用語わかりません

>>143
>>113を読みつつ、>>99のメール欄に注目。
>>99は突き放しているかのように見えて実は
メール欄で答えを書いてやっていた、ということ。

中学レベルの問題でスイマセン!a.bをそれぞれ小数第2位で四捨五入すると2.8, 3.3となった｡このとき､次の式のとる値の範囲を求めよ ｢bの値の範囲が3.25≦b<3.35になるのが何でかわかりません

暇だから答えるか

bは四捨五入して3.3になるんだから.3.2xxxxxx(以下略か3.3xxxxxxxxxxxxxxxx(以下略
な数字だ
で、初めの方は小数第2位がなに以上ならばいい?
するとそれよりも下の桁はなんでもいいから一番小さくなるのは?
後ろの方も小数第2位はなに以下だったらいい?
すると同じように考えると一番大きくなるのは?
すると書けないだろう?

146→あーわかったわかった

この流れだと目につかなそうなんで再質問させて下さい

>>104

144→あっ?それを釣りつうの?意味わかんねー 2chはネックな奴ばっかだね こわっ

>>148
具体例を出してくれ

>>149
2chが嫌なら2chで質問するなよ
っていうか頼むから
明らかに受験レベルからは程遠い質問はやめてくれ

２^n−２^(n-1)＝２^(n-1)

↑は、なぜ２^(n-1)になるんですか？

３^n−３^(n-1)も答えは３^(n-1)になるのでしょうか？

どなたか２^n−２^(n-1)＝２^(n-1)になる理由を教えていただけないでしょうか？

>>152
2^(n-1)でくくる

(2-1)2^(n-1)=?

152は自分で考えろ

無視されたかな・・

3^n=3*3^(n-1)だから、3^n-3^(n-1)=3*3^(n-1)-3^(n-1)=2*3＾（ｎ-1）かな

>>153
す、すごい…。

つまり、
２×２^(n-1)−１×２^(n-1)と考えて、(2-1)2^(n-1)とくくるわけですか。

３^n−３^(n-1)は、３×３^(n-1)−１×３^(n-1)と考えて、
３^n−３^(n-1)＝(３−１)×３^(n-1)＝２・３＾(ｎ-1)となるわけですか。

貴方は神でございます。ホントにありがとう…。

>>156
ぺさんもありがとう！！
お二方とも感謝いたします、ホントありがとう…。

＾使ってる時点でネタとわかる

わからん・・・。

ネタではないと信じたい。
それでわ・・・

{(x+y)(x-y)-(x-y)}/{(x+y)^2-(x+y)}
＝{(x-y)(x+y-1)}/{(x+y)(x+y-1)}
になる理由がわかりません。
どなたか分かる方教えてください。お願いします。

ab+ac=a(b+c)を使って分母は(x+y)で、分子は(x-y)でくくる（´д｀；

ほ・・・ほんとだ！！！
こんな基本的なことに答えてくださってありがとうございました。
多分またあとで質問にきます。

攣りではなかったのか（終

e^(cos(x^2)-1)の第四次導関数まで求めたいのですが
f'(x)=-2xsin(x^2)f(x)から計算が大変になってしまいます
うまく計算する方法はありませんか？

今月の学コンの６番の（１）って２００１年の北大前期２番とほとんど一緒の問題だな。
これって、ちゃんと証明しようと思うとかなり大変だと思う。
小問として出すには無謀なんじゃないのか？（１）だけで十分難問になりえると思う。

>>166
1次導関数
-2e^(-1+cos(x^2))xsin(x^2)
2次導関数
-2e^(-1+cos(x^2))(-x^2+2x^2cos(x^2)+x^2cos(2x^2)+sin(x^2))
3次導関数
2e^(-1+cos(x^2))x(3-6cos(x^2)-3cos(2x^2)+x^2sin(x^2)
+6x^2sin(2x^2)+x^2sin(3x^2))
4次導関数
-2e^(-1+cos(x^2))(-3+x^4+6cos(x^2)+4x^4cos(x^2)+3cos(2x^2)
-24x^4cos(2x^2)-12x^4cos(3x^2)-x^4cos(4x^2)-6x^2sin(x^2)
-36x^2sin(2x^2)-6x^2sin(3x^2))

…('A`)ﾏﾝﾄﾞｸｾ

>>166
1次導関数
-2e^(-1+cos(x^2))xsin(x^2)
2次導関数
-2e^(-1+cos(x^2))(-x^2+2x^2cos(x^2)+x^2cos(2x^2)+sin(x^2))
3次導関数
2e^(-1+cos(x^2))x(3-6cos(x^2)-3cos(2x^2)+x^2sin(x^2)
+6x^2sin(2x^2)+x^2sin(3x^2))
4次導関数
-2e^(-1+cos(x^2))(-3+x^4+6cos(x^2)+4x^4cos(x^2)+3cos(2x^2)
-24x^4cos(2x^2)-12x^4cos(3x^2)-x^4cos(4x^2)-6x^2sin(x^2)
-36x^2sin(2x^2)-6x^2sin(3x^2))

…('A`)ﾏﾝﾄﾞｸｾ

黒大数の極限の問題で質問です。

下のように自分は解答したのですが模範解答と異なってました。
極限はどういうところが論理的にまずいかが自分では判りにくく、
やばいところがあるかもと不安なので見て頂けますでしょうか。
＜問題＞
ベルヌイの不等式
h>0ならば(1+h)^n>1+nh(n=2,3,4,...)
を用いて,

aを1より大きい数とするとき、lim[n→∞]a^(1/n)=1

である事を示せ。
＜僕の解答です。＞
a>1より両辺のn乗根をとると
a^(1/n)>1 ・・・�@
よって、a^(1/n)-1>0だからベルヌイの不等式でh=a^(1/n)-1として
代入でき、整理すると
a/n-1/n+1>a^(1/n)
となる。
ここで（右辺）→1(n→∞)であるから�@とはさみうちの定理より
lim[n→∞]a^(1/n)=1
である。　　　　　　　　　　　　　　　　　(おわり）

>>170
　模範解答が気になるな。
　なんか、半ば強引に、大学初級の数学を高校生に小難しく導入してるだけの問題に思えた。
　>>170の解答の最後の部分で、a/n→０やら1/(n+1)→０を使っちゃってるってことは
　アルキメデスの原理は認めてるんだよね？
　論理的に正しいかどうかは、何を認めてて何を認めてないかによると思うよ。

>>171さん
ありがとうございます。
アルキメデスの原理は、その前の問題では使うように指示が
あるうえで解くようになってたのですがこの問題では特に指示が
ありませんでした。
問題はメモしてきたのですが、模範解答は今手元にありません。
大筋はこんな感じでした。
ベルヌイの不等式が
　　1<1+nh<(1+h)^n
である事に注意した上で全辺のn乗根を取り
　　1<(1+nh)^(1/n)<1+h
とした後で、1+nh=aとおきます。このときh=(a-1)/n>0なので
上に代入できて、その後最右辺でn→∞としてました。

>>170
極限の前に、何の断りもなく「a>bならばa^c>b^c」のように導いているのはペケ

　んー、例えば、
　・アルキメデスの原理a/n→０
　・logx→ａならば、ｘ→e^a
　の２つを認めちゃえば
　loga^(1/n)＝1/n*loga→０　なので　a^(1/n)→１
　としてもいいわけで。なんだかなー、気にしなくていい希ガス。

よって、ゆえに、したがって
ってどう使い分けるもんなんですか？
A→B→Cのときに順番に使うとか
そのくらいしか知らないんですけど・・・

工房にアルキメデスの原理も糞もないだろ。

>>176
高校生用ですから本質的なことは全然やってなくて、
単にはさみうちの定理の練習の意味で出てきたんです。

２ちゃんねる重すぎ。

>>176さん
高校生用ですから本質的なことは全然やってなくて、
単にはさみうちの定理の練習の意味で出てきたんです。

２ちゃんねる重すぎ。

連投すみません。

最近やたら重い・・・。解答で分数の累乗の形ってありですよね？例えば
x^3/2でもx√xでもどちらでも正解ですよね？参考書とかの模範解答には後者
が多いのですが。

>>180
どっちでも正解。
後者が好まれるのは、定義域（x≧0）が分かりやすいから。

大学への数学スレはどこにありますか・・？

http://www006.upp.so-net.ne.jp/tasumi/02/studyunder/103.htm

個々の卒業率を見ると、アメリカの大学は卒業率90％を超える名門私立大学から、10％を切るFランク大まで、大まかに入学難易度と卒業率は比例します。

入学が簡単でも、卒業者のレベルの妥協はできるだけしないのがアメリカの大学なので、各大学の卒業生のレベルは、入学時の格差に比べかなり平均化されます。


「アメリカの大学は卒業が厳しい」というのは全体的には本当なんですが、実は多くの留学生達が言うほど厳しくはありません。

日本より少し厳しい程度です。

例えば、アメリカでも日本と同様、大雑把に言って全部の授業がC以上（日本の“可”以上）で卒業できるんです。　全部の授業がCパスでよければ、普通の基礎知識さえ持ち合わせていれば、かなり遊んでも卒業できます。

ただ、アメリカでは大学の時のGPAが就職や進学に直結する仕組みになっているので、「いい成績で卒業するのは」難しいというだけです。（日本でも全部“優”で卒業するのは大変です

>>182
前スレは１０００まで行って落ちたから新スレ立ててくれ
次は7月号

a(n)=(-2/3)(-2)^n-1を、a(n)=-2/3(-2)^n-1と表し、
a(n)=√2(√3)^n-1を、a(n)=√2√3^n-1と表したら、何か不都合がありますかね？

>>184
わかりました
立てます

ホスト制限食らって立てれませんでした
申し訳ありません

>>187
テンプレきぼん

aを実数の定数とする｡2次方程式2X^2+(a+4)X+a+1=0は異なる2つの実数の解をもつことを示せ ｢途中式と答えお願いします｣

2次方程式2X^2+6X+1=0の大きい方の解をαとするとき 2α^2+4α+5の値を求めよ ｢途中式と答えお願いします｣

>>189
D=a^2+8>0

>>190
-2α+4=7-√7

こいつ学校いっとんのか？

>>191
D=(a+3)^2+5>0
だろが

見間違えた

受験数学の最高峰ともいえる大学への数学。
月刊・大学への数学をはじめとして、一対一対応、スタンダード演習、新数学演習など
初心者〜高偏差値までの演習書を完備。
微積分基礎の極意、マスターオブ整数など特定分野ごとの参考書も出版。
あまり有名ではないが、知る人ぞ知る超感動テクニック集参考書「数学ショートプログラム」。
その他、入試物理プラスなどを出版。

東大京大合格者の多数が支持し、抜群の実績と信頼をもつ大学への数学。
そんな偉大な大数シリーズ、東京出版について語ろうではないか。

★大数派の人は赤チャ派とケンカしないように。
★非大数派の人は、ウワサ(大数やると落ちる、とか)だけで煽らないように
★以前にも何回か大数スレはDAT落ちしているので、大数派の人はやばそうだったらageて1000までいきまっしょい
★締め切り前のネタバレは禁止。

前スレ
大学への数学・総合スレ　６月号
http://school3.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1080471220/

>>175をお願いします・・・

大学への数学・総合スレ　七部目

だろ正しくは。雑誌の何だから「冊」か「部」だろ

×雑誌の何だから
○雑誌なんだから

数学ってなんでこんなにつまらないんでしょう？物理はエッセンスや高橋の電磁気など良質の参考書で楽しくできるんですが、数学は硬い参考書でただひたすらに解きまくって覚えまくるしかなくて非常につまらないです。

物理と違って原理も本質も分からないですし、本当にただ解き方や公式を暗記して覚えるだけです。何よりめんどくさいのが場合分けするときですね。どんな時にどんな場合分けをするのか考えるだけでも頭が痛くなります。

なんか楽しくやる方法ないんでしょうか？

>>199
数学の本質とｺﾓﾝｾﾝｽを身に付けること。

物理の本質とか難しい話は良くわからんけど、自分は数学も物理も好きですね！

199さんは、エッセンスなどを物理における良書と考えるのなら、その数学編を探してみれば良いのでは？
まー、それが他の人にとって黒、茶、大数、解法、マセ、etc.だったりするわけで、
どれが良いとは言いけれない訳ですが…。

（関係ないですけど文体が釣りっぽいですねｗ）

旧課程�VＣ青チャートの２０ページ例題２(２)でグラフ書いて答えを出すのは分かったんですが、なんで計算で解くとだめなんでしょうか？計算で解いてみたら
(２ｘ−３)/(ｘ−２)≧ｘ(ｘ≠２)

展開して整理すると
(ｘ−３)(ｘ−１)≦０

ｘ≠２だから１≦ｘ＜２、２＜ｘ≦３となってしまいました。解答はｘ≦１、２＜ｘ≦３となってます。式は正しいはずなのになんで解答が違っちゃうんでしょう？

>>200-201
ありがとうございました。とりあえず�TＡと�VＣは青チャがあるのでそれやって黒大数�UＢやろうと思います。

>>202
ｘ-2＞0とは限らんよ！
だからx-2＜0の時不等号の向きは…。

>>２０２
Ｘ−２がマイナスかプラスかで場合分けしないと駄目なんじゃない？

一応age

>■１２月２９日（月）　走り収め・・・・
>こないだ、家の近所に居た猫にRS125のクラッチプレート咥えて盗まれた時、
>瞬間的に頭きて、おもいっきり、猫蹴っ飛ばしたら、屋根まで飛んでった。。。
>それ以来、近所のネコに避けられてます。。。。hi.
>早速、野良猫とピットをハイカイしてたノラ経太（虎刈りモード）をGET!!!
>早速、しっぽつかまえて、ジャイアントスイングして遊んでたら、
>すっぽ抜けて、空中に猫が飛んで行ったよ。
>あれれ？？？
>ふーーーん。猫って、空飛ぶんだ！！！
>高さ３ｍくらいは楽勝で飛んでた。。。。すごーーーーい。
>飛んでる姿を激写！！

まとめサイト
ttp://www.geocities.jp/soukacats/

ネコをジャイアントスイング（画像あり） 4んでないよね？
ttp://news12.2ch.net/test/read.cgi/news/1085766321/

>>204-205
よく分かりませんが・・・。じゃあｘ−２＞０の時とｘ−２＜０の時ではどんな式になるんでしょう？

>>208
分母払うときに正か負かで不等号の向きが変わるでしょ

>>208
説明不足スマｿ

x-2＞0の時、(2x-3)≧x(x-2)→（x-3)(x-1)≦0
x-2＜0の時、(2x-3)≦x(x-2)→(x-3)(x-1)≧0　って事！

これで良い？

>>199
俺は数学も物理も好きだなぁ。
俺の場合はもともと数学は勉強しなくてもそこそこできる方だったから好きになったん
だろうけどやっぱり問題の解き方を考えるの楽しいよ。

多分
＞数学は硬い参考書でただひたすらに解きまくって覚えまくるしかなくて非常につまらない
っていう意識が駄目なんだと思う。
一度難しい問題を苦戦して解いて見れば楽しくなるかもね。

>>209-210
分母払う時分母の符号によって不等号が変化するんですか？全く知らなかったです・・・。−をかけるか−で割る時だけだと思ってました。どうもありがとうございました。

>>211
僕も昔は好きだったんですが�VＣ入って微積の応用とかが結構難しくて分からずじまいになることが多くなってつまらなくなりました。あと、�TＡ→�UＢ→�VＣとどんどん進んだせいで暗記が追い付かなくなったのも原因です。理解できれば楽しいもんですよね。

もともと物理も嫌いだったんですけど得意になってからは楽しくなりましたし。

>>212
−をかけるか−で割る時だけだよ。
この場合x-2が正である保障がないでしょ？
マイナスだったら掛けた場合正負が逆になるから符号も逆にしなくちゃいけない。
（わかってるとは思うけど分母を払うってのは両辺に分母を掛ける操作だからね）

「バカの壁」著者曰く、「数学ができないという人は規則が守れていないだけだ」

>>213
やっと全部分かりました。これで青チャート進められます。几帳面なんでこういうのがすっきりするとやる気が出てきます。みなさんありがとうございました。

おまいら,
>>175も>>196も無視とはいい度胸ですね

>>216
使い分けとかでもいいと思うよ。
全部　よって　でもいいくらい。
まぁそれは流石に馬鹿っぽくみえるけどね

やっぱり明確にどうっていうのはないんですね・・・
辞書で引くと
ゆえに　の類語に　よって　があったり
よって　の類語に　したがって　があったり
で混乱してたんですっきり出来ました

だうもありがたうでした

>>212
暗記に頼るからまずい。基本が一番難しい。基本をしっかり身に付けてから
先に進まないと後々困ることになる。

「問題」
x､yを正の整数とするとき、15x^2+2xy-32x-44=0を満たすx､yの値をもとめよ。

「解答」
15x^2+2xy-32x-44=(15x^2+2xy-32x-16)-60

(3x+y+4)(5x-y+4)=60

x､yは正だから、3x+y+4≧8　　1≦5x-y+4<8

3x+y+4と5x-y+4の組み合わせは

(x+y+4、5x-y+4)=((10,6)(12,5)(15,4)(20,3)(30,2)(60,1)

ここまでは分かるのですが、この後

(3x+y+4)+(5x-y+4)=8(x+1)に適する組み合わせは

(x+y+4、5x-y+4)=(10,6))(20,3)(30,2)(60,1)

と言う風に和の場合の組み合わせも出さないと行けないのですか？

教えてください、お願いします。

別にしなくてもよい．
たまたま和が８の倍数になったので，絞込みが早くなるだけの事．

どうして和を出したら、絞込みがはやくなるんですか？

>>222
>>221

>>220
横レス失礼。

（3x+y+4，5x-y+4）が整数だからといって，(x,，y)が整数とは限らないから，
連立方程式をそれぞれ解いて(x,，y)が整数であるものを探さなければいけない。
これが結構面倒。

この問題の場合，少し楽をしようという話だ。
（3x+y+4，5x-y+4）=(p，q）　（ｐ，ｑ は整数）とすると，
連立方程式を解いて，x=(ｐ＋ｑ)/8-1，　ｙ=ｐ−3x-4
であるから，(x,，y)が整数であるための必要十分条件は，｢ｐ＋ｑ が８の倍数｣であること。
各（3x+y+4，5x-y+4）の値から(x,，y)の値を求めるまでも無く
どれが整数値になるかすぐに判別できる。

この問題はたまたま p+q を調べたら早く解けるのであって，いつもそうとは限らない。


ところで
>3x+y+4)+(5x-y+4)=8(x+1)に適する組み合わせは
>(x+y+4、5x-y+4)=(10,6))(20,3)(30,2)(60,1)
の部分は間違ってるぞ。(10,6），(30,2)だけが答え。

>>224
ありがとうございました。

部分積分の公式で、”積分して’をつける（微分する）”とかってなってますけど、
あれって結局、積分してるだけじゃないですか？’つけたってみかけだけで、何も
作用してないじゃん。なのに、なんで単に積分するっていうような言い方をしない
んですか？

>>226
>部分積分の公式で、”積分して’をつける（微分する）”とかって
>なってますけど、
どこでそうなってるのかを私は知らない。少なくとも私はこのような
記述を見たことがない。部分積分の式はただ積の微分法をほんの
少し変形しただけのもの。(fg)'=f'g+fg'⇔f'g=(fg)'-fg'として両辺を
積分して∫f'g=fg-∫fg'としただけ。何がおかしいのだろう?

入院している間に学校の授業でベクトルが始まり終わってしまったので
ベクトルが全くわかりません。
これをやれば理解できる＆大丈夫という参考書＆問題集を教えてください。

>>228　基本の理解には受験教科書,解法習得には細野シリーズ

>>229
ありがとうございます。受験教科書って学校でやってる教科書ってコトですか？

>>230
SEG出版で検索すれ

各社の社説を読み比べていた青年が

電話で社説についての方針を聞いてみたくなった

日経に電話した。
「経済から日本という国を見つめて逝きたい」
青年は納得した

次に読売に電話した
「５０年後に読まれても恥ずかしくないよう掲載していきたい」
青年は感心した

最後に朝日に電話した
「シッパル！　チョッパリ！　がちゃん！！　ツーツーツーツー」
電話をかけ間違えたと再度電話した
「日本鬼子！！！　東洋鬼！！！！！！！　がちゃん！！！！！！　つーつーつー」

不審に思った青年はＮＴＴに問い合わせてみた
「＊＊＊ー＊＊＊　では、朝日新聞社に通じませんが、電話帳間違って無いですか？」
すると担当者は答えた。

「いいえ、間違ってはおりません。　その番号は海外にある本社につながるようになっておりますので
　差し出がましいようですが、東京にある日本支社の電話番号をお教えしましょうか？」
青年は呆れた。

よろしくおねがいします。

２直線A:2x+4y-7=0とB:x+y-2=0の交点をRとおく。Rを通る直線のうち
円C:X^2+Y^2=1と２点α,βで交わり、αβ=√2となるような直線の
方程式を求めよ。

という問題の解説でわからないところがあります。

解説　　AとBの交点Rを通る直線を2X+4Y-7+K(X+Y-2)=0...�@とおく。
　　　　直線�@が円C:X^2+Y^2=1と異なる2点α,βで交わり、αβ=√2となるとき、
　　　　αβの中点をMとおくと、OM=1/√2

　この、OMがなぜ1/√2になるのかがわかりません。
どなたか、教えてください。

>>233 ３平方の定理　Oa=Ob=1 aM=bM=√2 /2
　　　あと円の中心から弦に引いた垂線は弦の中点を通るので∠OMa=90゜から
　　　Oa^2=OM^2+aM^2 ⇔1=OM^2+1/2 ∴OM=1/√2

>>234 あーーわかりました！ありがとうございます。
　　　　ばかでした。。

>>226
部分積分の公式ってのは積分しにくいf(x)g'(x)を積分しやすいf'(x)g(x)
を用いて積分する公式。したがってf(x)は微分しやすいもの、g'(x)は積分
のしやすいものにするのがコツ。

【鯖争奪】school4鯖をゲットしませんか？【脱出】
http://school3.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1085922340/

1 ●弥生● ◆bcFBfYaYoI 04/05/30 22:05 ID:45IgEuaG
【oyster争奪戦】新サーバ情報スレッド 12
http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/operate/1085415969/173


前回の新サーバ争奪戦で敗れてしまったがために、
夜は非常に重たいサーバに入れられてしまったschoolサーバ

ここらで新しいサーバをゲットして、夜も快適に2chしませんか？

みなさんの投票をお待ちしています。


★投票先
http://info.2ch.net/oystvote/vote1/
★締切
04/05/31 20:00:00　夜8時までです！

あ

1/sin(x)の積分のやり方が解りません。お願いします。

>>239

1.tan(x/2)=tなる変換を施す。
2.分母分子にsin(x)を掛ける。

1は一般の三角関数の積分脱出法
2について。
∫sin(x)/(1-cos(x)^2)dx=1/2∫sin(x)(1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x)))dx=log( (1+cos(x))/(1-cos(x)) ) +C

>>239
1の手法は宿題として自分でやっておけば良いかと。

△ABCにおいて、頂点Cから底辺ABまたはその延長に垂線CHを下ろすと、
CHの長さは底辺ABに対する△ABCの高さである。

この場合、ACsinα=CH
になるらしいのですが

なぜ ACsinα=CHになるのかがわかりません。どなたか教えてください

>>242
sinの定義は知ってる？

>>242
＞なぜ ACsinα=CHになるのか
そういう風に定義したから

任意の自然数nにたいして　１＾２００４＋２＾２００４＋３＾２００４＋・・・・＋ｎ＾２００４　はｎ＋３でわりきれないことをしめせ

この問題駿台の箱根セミナーのパンフにのってたんだけどさっぱりわからん、誰か助けてください

帰納法かつちょっとした倍数の法則を用いた面白い証明方法を思い付いたが、
紙が足りないのでここに書くことは出来ない。

>>240
１の方法は青チャートに載ってますね。一般的に積分は個々のケースに応じて
解き方に様々なパターンがあり難しいです。置換積分法、部分積分法、三角関数
の積分、部分分数の形にするなど・・・。これはやっぱり問題演習を重ねて
経験を積むしか上達する手はないのでしょうか？抽象的な質問ですいません。

>>247
はい、それしかありません。

>>240
そう考えればよかったんですね。
どうもありがとうございました。
(1)については自分で考えてみようと思います。

去年の１，２，３月はすさまじい難問の嵐だったのをおもいだした
受験生のレベルを反映するスレだな

青チャート例題１１４からの質問ですが、∫√(1+x^2)dxを,√(1+x^2)+x=t
とおいて積分する場合、√(1+x^2)=t-xよりx=1/2(t-1/t),dx=1/2(1+1/t^2)dt
1+x^2=1+1/4(t-1/t)^2=1/4(t+1/t)^2,t>0　　以下は与式に代入して計算。

となっていますが、ここでt>0となっているのはどうしてですか？

>>251
√(1+x^2)+x=tにおいて|√(1+x^2)|>|x|ということでしょうか・・？
1+x^2>x^2であるから・・・

t=√1+x^2
のグラフをtx平面に書くと、tは０以下の値をとれないんじゃないか？
tが０になるときはx^2=-1のときだから

さっさと円グラフにでも直せよ。
困ったやつだな・・

本当に円グラフになるわけではありません（ｗ

積分範囲とか無いの?
てかx=tanて置きたい。すごく。

よくおぼえてないけど慶応とか小樽商大の問題だったようなきがする
置き換えするとうまくいかない or tと置く誘導だったような気がした

>>253
√(1+x^2)+x=tなんですよ。一応+xが付いてるんです・・・。やっぱグラフ
書かないと分かりませんか？チャートの解答にはいきなりt>0と書かれてい
てたのですが・・・。

>>256
不貞積分なんですよ。

問題見れないからわかんないけどxの定義されてる範囲は出てないの？

252で自己解決してるじゃん。

x=1/2(t-1/t)なのか
計算したら間違ってた。。。
おれももうだめだな＿|￣|○

あれ？x=1/2(t-1/t)
って
x=1/2{(t^2-1)/t}
とおなじか。おれあってんじゃん

>>256
この積分をx=tanθの置換したくなるヤツは素人。
いや、マジで。一時期この積分流行ったんだけどな。京大でも出たし。
今解けるようになったといたほうがいいよ。

3/7の少数第2002の位は？

5

どうやるの？

循環数列　428571が延々と続く　nを0以上の整数とすると小数第6n+4位は5になる
n=333とすると小数第2002位は5となる

>>264
(1+x^2)^(1/2)=(1+x^2)/(1+x^2)^(1/2)
=(1/(1+x^2)^(1/2))+(x^2/(1+x^2)^(1/2))
=(1/(1+x^2)^(1/2))+x*((1+x^2)^(1/2))'
=(1/(1+x^2)^(1/2))+(x*(1+x^2)^(1/2))'-(1+x^2)^(1/2)と

(x+(1+x^2)^(1/2))'=(x+(1+x^2)^(1/2))/(1+x^2)^(1/2)より

(1+x^2)^(1/2)=(log(x+(1+x^2)^(1/2)))'+(x*(1+x^2)^(1/2))'-(1+x^2)^(1/2)
=((1/2)*(log(x+(1+x^2)^(1/2))+(x*(1+x^2)^(1/2)))+定数)'

のことを言ってるの？

>>264
今やってみたら、
x=tan(t/2)
でも余裕で解けたんですけど。

ごめんtanθ

>>269
うん、だから√(x^2+1)の不定積分のことね。

>>270-271
もちろんx=tanθの置換でも解けないことはないと思うが
そもそも√(ax^2+bx+c)形の積分ってのは
t=√(ax^2+bx+c) + √(a)xの置換をすることで有利関数の積分に帰着するから。

>>265
マルチポストすな。マナーを知らんのか。

昨日の鯖争奪で勝ったおかげでかなり軽いな。
これで年明け後も大丈夫なんかね。
昨日頑張ってよかったよマジで。

ていうかさその積分は誘導じゃなかった？
置き換えないで√(x^2+1)=t-xって置くように・・・・

x=tanθとおくのは初心者。
x=(t-(1/t)/2 とか
x=(e^t-e^(-t))/2 とかおきかえるのが粋。

>>276
確かに粋な置き方だな。

y=log(x)^3を微分するとどうなるんですかね？

お願いします。

α=sin10°とするとき、αは3次方程式8X^3-6X+1=0の解となることを
示せ。

解説によると、30°=3*10より、3倍角の公式を使って
sin30°=3sin10°-4sin^310°,1/2=3α-4α^3

8α^3-6α+1=0　ゆえにαは3次方程式8X^3-6X+1=0の解である。　（終）

とあるのですが、3倍角の公式を使って求めたものは、一体なんの意味が
あるのかわかりません。それと、なぜXの式にαを代入しただけで
解であることが示されたのかさっぱりわかりません。

どなたかお願いします。

だってαはＸの３つある解のうちのひとつなんでしょ？
じゃあＸの式にα代入しても成り立ってなきゃいけないよね？

4a^3-3a=-1/2

なにがしたいｗ

>>279はこれを2倍すれば意味が分かる。

>>279
解って何か知ってますか？

いや中途半端な変形だなってｗ
問題はそこだったのか

多分なw

αが解であれば代入できることはわかっているのですが、
α=sin10°とするとき　という前書きがあるので
その条件を使って示さなければいけないのかなと思ったのですが、
そんなに単純でいいのですか？

３倍角の公式はなんのために使ったのでしょうか？いくら考えても
わがりばぜん。（；；）

は？有名角にするためだろが

有名角ってなんですか？？

30°を使うためってことですか？
でもsin30°=3sin10°-4sin^310°,1/2=3α-4α^3は
求めて一体何になるのかがわかりません。
それを求めなくても
8α^3-6α+1=0　ゆえにαは3次方程式8X^3-6X+1=0の解である。　
は出てきますよね？？

数学の質問ってか、今から数学勉強して来年のセンターには
間に合いますかね…。�T・Ａだけでいいんだが…。
今年の受験で数学使わなかったから完全に０からのスタートになる。

>>290
１/2=3α-4α^3
両辺を2倍して
1=6α-8α^3
これを移項して整理すると、
8α^3-6α+1=0

ゆえにαは3次方程式8X^3-6X+1=0の解である。

>>長介さん！
やっとわかりました！！ありがとうございます！！！
ばかですみませんでした。

質問です

-180°＜x＜180°の範囲で、次の方程式を解け
（√3+1)cos^2 (x)/2 +｛（√3-1)/2｝sinx-1=0

が出来ません、どなたか教えて下さい

>>294
ごめん、前半部の式がわからんｗ
（√3+1)・(cos(x/2))^2 か？

ぶっちゃけ俺はセンター数１Ａの勉強しを特別それといってしなかった。
模試のやりなおしくらい。数�Vやってたらどんどん数学伸びた

質問です。

lim[x→0](√(1-cos x))/x

の極限値が模範解答では「なし」
になってました。
sin xを作って1/√2が答えだと思うのですが。
なぜなのでしょうか？

【切磋】青チャを極める【琢磨】
http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1086175535/l50

√sin^2(x)=|sin(x)|
で、近付け方によって値が変わるから。

>>275
誘導でしたよ。

2x^4＋4x^3−5x^2−3x＋1を割ると商が2x^2−3、余りが3x−2となる整式を求めよ。

これは、求める整式×商＋余り＝2x^4＋4x^3−5x^2−3x＋1　とすればいいのでしょうか？
そうすると計算で行き詰っちゃって･･･
ヒントに割り算の恒等式を利用と書いてあったんですけどこれのことですか？
どなたかお願いします。

>>301
商が２次式なので与えられた整式から、求める整式は２次
よってax^2+bx+cとおく。
で、求める整式×商＋余り＝2x^4＋4x^3−5x^2−3x＋1として
同類項ごとにまとめる。
んでx^4 x^3 ・・・x^0　の係数が０になるようにa,b,cをとるとメール欄に書いてる答えになると思う。

>>301-2
整式をx^2+ax+bと置くと楽ですよ〜

ぁ
気づかんかった…

「湯浅の数学110番」の　-講義11-　数学的帰納法　　　　の問題なんですけど

1+1/2＾3+1/3＾2+・・・・≦1/2（3-1/ｎ＾2）　　　　　・・・*

(i) ｎ＝1のとき　　　　　　　　　左辺＝1　　　右辺＝1/2（3-1/1＾2） よって *は成り立つ

(ii) ｎ＝ｋのとき　　　
1+1/2＾3+1/3＾3+・・・・+1/ｋ＾3≦1/2（3-1/ｋ＾2）　　　　・・・**
　　ｎ＝ｋ+1のとき　
1/2｛3-1/（ｋ+1）＾2｝-1/2（3-1/K^2）-1/（ｋ+1）＾3
≧1/2｛3-1/（ｋ+1）＾2｝-1/2（3-1/ｋ＾2）-1/（ｋ+1）＾3　　・・・A
　　　　　　　　　　　　　　━━━━━━
　　　　　　　　　　　　　　この部分は**の右

で、Aの式は**の（右辺）-（左辺）を用いているのだから右辺（下段）の式は0じゃないの？
Aの式は1/2｛3-1/（ｋ+1）＾2｝-1/2（3-1/K^2）-1/（ｋ+1）＾3≧0じゃないの？って事です。

式があらわしている意味はわかるんですが、なぜ右辺（下段）の式のようなものをわざわざ
持ってきて難しい不等式出すのかわかりません。

初めての質問なんでうまくできているか心配ですがお願いします。

もうしわけない！右辺の　（3-1/ｎ＾2）　及び　1/2（3-1/ｋ＾2）　や　1/2｛3-1/（ｋ+1）＾2｝-1
は　（3-（1/ｎ＾2））っていう意味です！　ｎの二乗分の3-1ではないです
ごめんなさいm(_ _)m

>>302->>303
解けました！ありがとうございました(^^）
整式をx^2+ax+bと置くのは2x^2−3と掛けるから
係数を合わせるためですか？

>>301
{(2x^4＋4x^3−5x^2−3x＋1)-(3x−2)} ÷ (2x^2−3) でいいだろ。

ax^2と置いても、一回 2a=2 (x^4係数の比較)を解くだけなので、たいして変わらないのですが、
これだと、xの係数も確認しなくてはいけない（？）ので、ほんの少し面倒です。

この系統の問題は、最低限の文字で解くほうが、後々いいかと…。
この問題では、与式の最高次数の項（2x^4）と、商の最高次数の項(2x^2)から、整式の最高次数の項を予測できますよね〜。

>>308
それも良いですね
ただ、二次式で割る組み立て除法を知らないと面倒くさいかと…。

連続ｽﾏｿ

>>305
正直言うと、

>で、Aの式は**の（右辺）-（左辺）を用いているのだから右辺（下段）の式は0じゃないの？
>Aの式は1/2｛3-1/（ｋ+1）＾2｝-1/2（3-1/K^2）-1/（ｋ+1）＾3≧0じゃないの？

が分かりません！
Aの式は1/2｛3-1/（ｋ+1）＾2｝-1/2（3-1/K^2）＞1/（ｋ+1）＾3を求めるだけの話で…
そもそも**の（右辺）-（左辺）を用いているのかな…うーん

>>305
考えようと思ったけど
全角や半角、大文字と小文字が入り混じってて
読む気にならん、なんとかならない？

だから√(1+x^2)の積分は>>18

>305ですが、画像アップしました
ttp://metal.bbzone.net/up/uprom/source/up0023.jpg

でまるで囲んであるところは0じゃないんですか？
書いてある式の意味もどうやってできたのかもわかりますが
なぜあの式が出てきて使われるのかわかりません。
おねがいします。

n=kの時
1+(1/2)^3+…+(1/k)^3≦(1/2){3-(1/k)^2}
を仮定しているので
n=k+1の時
1+(1/2)^3+…+(1/k)^3+{1/(k+1)}^3≦(1/2)[3-{1/(k+1)}^2]
が成り立つことを示せばいいよね
不等式の証明の定石は差をとることなので、それにならうと
(右辺)-(左辺)≧0を示せればいい、
A=(1/2)[3-{1/(k+1)}^2]
B=1+(1/2)^3+…+(1/k)^3
C={1/(k+1)}^3
D=(1/2){3-(1/k)^2}
とおくと
A-B-C≧0が示せればいいんだけど、Bの計算が面倒。
ここで、仮定を使うと楽になる
B≦D　だから　A-B-C≧A-D-C
A-D-C≧0が示せればそれより大きいA-B-Cも当然
0以上になって証明が完了するという流れ。
丸で囲んであるところは計算すればわかるけど
今はk≧2なので0にはならないよね

Ａ≦ＢからＡ＋Ｃ≦Ｄを示すとき
Ｃ≦Ｄ−Ｂであることを示せればＡ≦Ｂに足してＡ＋Ｃ≦Ｄになる。

参考書内に(b/a)~3+(a/b)^3=(b/a+a/b)^3-3a^2b^2(b/a+a/b)←こんな式があったんだが、間違ってるよな？
a^2b^2なんて出てこないと思うんだが。１になるはずだよな？

基本的な問題なんですけど、
微分可能と連続との関係ですが区間a<x<bで微分可能であり,区間
a≦x≦bで連続である関数について、端点a,bで微分可能でないのは、
lim[Δx→+0](f(x+Δx)-f(x))/Δxとlim[Δx→-0](f(x+Δx)-f(x))/Δx
がそれぞれ片方しか存在しないためですよね？つまりaに十分近いときはΔx→+0
であり、bに十分近いときはΔx→-0の場合しかないからですよね？
微少量Δxが正と負どちらも考えられないといけないってことですか・・・？
連続でなければ微分可能ではないってのは分かりますが。例えばy=√xなんか
だとx=0で微分可能ではないのは、分母が0になるし、連続ではないから
って認識してます。

>>318
単純に考えると端点では接線が無数に引けちゃうから微分できない。
微分可能の定義については教科書しらべるなりなんなりすべし。

>>319
ごめん。しっかり読めてなかった。
右側極限と左側極限が存在してしかも一致しなくちゃけないんだけど
端点では片方しか存在し得ないから微分できない。
３１８さんのいう通りってことです。

出来る場合もある。
但し自分で出来るかどうか調べなければならない。

1^2＋2^2＋3^2＋・・・n^2をΣで表せって問題なんですが

これΣ使わないで表すとどうなるんでしょうか？

等比数列か等差数列なのかもわかりません_|￣|○

1^2＋2^2＋3^2＋・・・n^2=Σ[k=1〜n]k^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)のこと？

1^2＋2^2＋3^2＋・・・n^2=Σ[k=1〜n]k^2
これだけでよさそうな悪寒

>>320
サンクスコ

>315さん >316さん　どうもありがとうございました。

この問題の解答教えてください

｢３で割ると２余る素数は無限に存在することを示せ｣

素数が無限個ある証明はできるんですが・・・・

素数がn個で有限であるとする。
1からnまでその素数を掛け合わせたものに1を足したものは、
そのどの素数でも割れない。

よって素数は有限でない。(背理法)

｢３で割ると２余る素数は無限に存在することを示せ｣
こっとの場合をお願いします。こっちの背理法でやるやり方が
どうもわからない。

コーシー・シュワルツの不等式
ってどういうところで使えるんですか？

不等式を証明する時などに、有名不等式の利用という形で使ったり
すると思います。

ありがとうございました、

ということで>>329に誰か解答おねがいたまふ

質問なんですが、

ｙ＝√(４−ｘ)

を変形して公式の

ｙ＝√{ａ(ｘ−ｐ)}＋ｑ

のグラフに当てはめると

ｙ＝√{−(ｘ＋４)}

になりますよね？とするとこれは

ｙ＝√(−ｘ)をｘ軸方向に−４動かしたものだから頂点は(−４、０)になるはずですよね？ですが旧課程青チャート�VＣの例題８で頂点が(４、０)になっています。いったいなぜなんでしょう？

ｙ＝√-（x-4）
じゃない？

ｙ＝√{−(ｘ＋４)}だと計算あわないよ

>>335
おっしゃるとおりでした。最近物理と化学しかやってなくて計算能力が落ちてしまって・・。ありがとうございました。

>>329
ここを参考に
http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/suuron/node31.html
やり方はほとんど同じ

4n-1型の･･･
のところです

ありがとうございました

>>794
埋もれたやつが検索で出てくるってか？(´Д`)ﾌﾟｯ

>>795
何が無惨だよ。去年ので偏差値出したら５７くらいだったよチンカス。まだ勉強始めて１ヵ月ちょいなのに記述でこんだけ取って中堅大クラスの俺になんか文句あるかよ？

１ヵ月でこんだけ偏差値上がるなら８月のマークで６２、９月記述で６５、１１月には７０近くなってるだろうな。

>>338
あんがと！！

誤爆です。すいません。

任意のxについて、
f(x/2)=(1/2)*{f(x)+f(0)}
を満たす整式f(x)を求めよ。

一応、
f(x)=ax+b　（a,bは任意の整数）…（答）
と答えを出して見たんですが、どうも自信が無いです…。

>>800
何言ってんのキチガイ。お前ホントにしつけーなキチガイ。合計偏差値÷教科数だよキチガイ。

>>344
新手の荒らしでつか？(´･ω･`)

(ア)f(x)=k（kは定数）の時、与等式は恒等的に成立する。

(イ)f(x)の最高次の項a*x^n（a≠0,nは自然数）として、係数比較するとn=1
　　よってf(x)=ax+b　（a≠0,bは任意の整数）
この時、与等式は恒等的に成立する。

以上よりf(x)=ax+b　（a,bは任意の整数）…（答）

となったんですが、論証が滅茶苦茶のような気がするんですよね…。

アドバイスお願いします。

>>318
y=√x は ｘ＝0 で 連続だよ。
区間の端点の場合は、通常片側極限が存在すれば微分可能言って差し支えない。

>>345
また誤爆です。すいませんでした。

>>347
えっ？そうなんですか？３２０さんと異なってますね。この場合だとx=0のとき
微分可能といえるんですか？分母ゼロになるし・・・。片側極限だけなら、
lim[x→+0]f(x)=f(0)　　(f(x)=√x ) で連続であるとはいえますが・・・。
連続の場合、プラス方向とマイナス方向の両方の極限が成立しないといえない
んじゃないでしょうか・・・？

>>347
間違えました。最後の行は連続じゃなくて微分可能の場合です。

旧課程�VＣ青チャート持ってる人います？例題10で、
２ａ−１≦０のときと、

２ａ−１＞０のとき

で場合分けされてますが、なんでなんでしょうか？

区間の端点の場合は、通常片側極限が存在すれば微分可能言って差し支えない。
と書いてるはずだが．．．

a＜x＜bで微分可能であり、区間 a≦x≦bで連続である関数の例としては
ｙ＝√(1-ｘ＾2) ，|ｘ|≦1 とかだね。

>>351
君おもしろいな。
問題うpしてみてよ。
持ってないからわからん。

>>352
ありがとうございました。

>>353
放物線ｙ＝ｘ^2上の点Ｐとｙ軸上の点Ａ(０、α)との距離をＬとする。Ｐが放物線上を動くときのＬの最小値をｆ(ｘ)のグラフをかけ。

です。

>>355
軸の位置で場合分けしているだけ

P(t,t^2)とおくと
L=t^2+(t^2-a)^2
t^2=sとおくとs≧0で
L={s+(1-2a)/2}^2+a-(1/4)
となるので軸がどこにあるかで最小値が異なってくるので
場合分けが必要

>>346
だいたい合ってるけど、a,bは任意の「定数」だよ。
整数である必要はない。
「整式」の定義を確認すべし。

lx+1l^3の絶対値の外し方がわかりません。
３乗がわからない

x+1が正なら、全体も正
負なら負。
∴|x+1|^3
=(x+1)^3 (x≧-1)
=-(x+1)^3 (x≦-1)

全体も→3乗しても

ありがとうございました。

6n-1って素数多いよね。何で?

来週、数学�Vの微分のテストがあります。（中間）
私は数学�Vが入試に要らないため、おろそかにしてしまっていましたが、さすがにテストはある程度点を取っておかねばなりません。
ある程度の知識はあることはありますが、不足しているのは明らか。他の教科も考えたら時間が足りません。
バカで申し訳ありませんが、今から微分〜微分法の応用を短期でやるに当たって重点を置くべきポイントを指南してください。

数三の微分は計算できる？
できれば問題ないと思うけど

>>363
中間テストなら難しいのはでないんじゃないかな。
教科書の例題だけさっと目を通しておけばどうにかなる気がする。

一応、普通の微分と、sin　cos　tan　やlogの微分は出来ます。
あと、グラフの練習を少々しておこうかと思っていますが。

テストを作る先生が根性悪くて有名なんですよ。
良く言えば、授業〜センターにも対応できるレベルの問題まで出してきます。
悪く言えば、学校の定期テスト程度の事なのに難易度が高めです。（しかも難問の配点が9とか…）

追試好きなので要注意なんですよね…。
中途半端な事じゃいつも点取れないですよ…。(;´Д｀)

「パソしてる暇あったら公式のひとつでも覚えろ」っていうツッコミは無しでｗ

そのレベルの微分なら、
教科書を20分ほど眺めてればOKだ。
気になるなら章末を。

ちなみに、赤点など少々取っても卒業出来る。

>>366
微分っていう分野は教科書レベルにしっかり慣れておけば大抵の問題を
解けてしまう分野だから教科書やるのがお勧め。
ただ極限の分野はある程度慣れが必要な問題もあるかもしれないけど。

３６７さんの言うとおり赤点きにする必要もないとおもうよ。

ふむふむ…、ありがとうございます。
プラス思考で例題して、ワーク数問やって穴潰しして仕上げたいと思います。

赤点、気にするなと言われても、赤点取ったら合格点取るまで止めさせてくれない追試がありまして…。
他の勉強の妨げになるのでそうにもいかないのですよ…。(;´Д｀)

>>354
形だけ御礼を言っておいて他の板で再質問か？

すいません、質問です
休んでしまった授業の分のノートを友人から借りたのですが、そこに

∫(xcosx)dx
=xcosx-∫(cosx)dx
=xcosx-sinx+c

と書いてあったのですが…
自分では何度やってもxsinx+cosx+cになってしまいます。
これってなんででしょうか？

>>371
君が正しい

>>372
どうも有り難う御座います。
多分友人が書き間違えたのかと思います

>>370
意見が割れたもので数学板でも聞いてみたのです。昨日書き込もうと思った
のだけど、あまりに夜遅かったのでね。片側極限だけでは微分可能とはいえ
ないというレスでした。一応そちらで理解しておこうと思います。レスくれ
た人にはありがとうと返すのが質問者の筋だと思ったので礼だけは書き込んだ。

リンゴ18個、柿15個、梨13個を40人に配ってリンゴだけの人が9人柿だけの人が8人梨だけの人が5人で
1人が同じ種類の果物を貰わないっていう条件の下で
リンゴ、柿、梨を計三個貰った人は最高何人1個ももらえない人は最高何人って言うのを求める問題なんですが
残りの人数　40-(9+8+5)=18　人
残りの果物　リンゴ9個柿7個梨8個
って考えて1個ももらえない人は18-リンゴの9=9　人　(これは答えと同じ)
3個もらえる人は柿の個数の7人と考えたのですが答えは6人になっています。
この考え方のどこかが間違っているんでしょうがどこが間違っているのか分かりません
どなたかどこが間違っているのか教えてください。

>>374
老婆心ながら忠告するが、間違ってるよ。

>>376
俺もわからん。微分可能の定義って何だ？

左[右]微分係数;ある点に対し、hを正[負]から近付けて極限をとって微分したもの。
……
こうして左微分係数1を得る。このことが右端点における微分可能を意味する。
……

by 教科書。

｢右端点における微分可能を意味する｣

もう一度言う。
端点において、微分可能であり得る。

正負が逆。

微分可能

lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h=A
なる定数Aが存在すること。

>>375
りんごだけの人が新たに一人生まれてしまうから。

>>378
厳密さの問題だな。厳密に言うと「定義」上端点で微分可能といえるが、一般的
には普通、両方極限が言える状態で微分できる状態という・・・。

定義域の端点においてはその微分係数が存在すれば微分可能とするらしいよｂｙ大学の教科書

>>382
ピントがずれてる。
元々>>318は、定義域の境界点における微分可能性の定義に関して質問している。

数学　ここの住人は何やってる?

>>381
レスありがとうございます。
どうやって考えるとそれが分かりますか？

>>386
…注意深さがあればいいのかな?

最初の、〜しか食べて無い人は、の条件を見た時に、
その後の考察を、〜しか食べて無い人はいない、という条件の下で行うとか。

てか、ぶっちゃけオレには引っ掛け問題にしか見えないがな。

>>383,>>384
数�Vの教科書の平均値の定理のところでは
関数f(x)が閉区間[a,b]で連続であり、開区間(a,b)で微分可能ならば
{f(b)-f(a){/(b-a)=f'(c) a<c<b
となる実数cが存在すると書いてある。定義域における端点では微分可能で
はないのでは・・・？

>>388
間違い。上記は連続である場合だな。定義域外では不連続だから・・・。

>>388
それは曲解してるな。
その意味は、境界点での連続性は必要だが、微分可能性は必要ないという意味だよ。
つまり、後者の条件は少し緩くなっていると言う事。

>>390
なるほどね。

>>362
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
:
とこんな感じに、自然数を６列に並べてみる。
２以外の偶数を消していく。
３以外の３の倍数を消していく。
（理由にはなってないけど）

結局、３１８の質問でいえば、定義域の端点においては微分できる場合とで
きない場合があるってことかな・・・？定義域外においては、端点において
不連続であれば微分できないが、連続である場合は微分できる場合とできな
い場合に分かれる。

>>393
不連続でもできる場合があるな。すまん。

>>393
定義域外はそもそも関数が存在していなんじゃないの？

>>394
微分可能⇒連続

>>394
不連続だと微分できない。
微分可能⇒連続⇔連続でない⇒微分可能ではない
対偶は真。

>>393
定義域外は関数が存在してない。定義域のところを区間に変えれば意味が
通じる。

更に言うなら定義域の境界点においては、微分係数が存在すれば微分可能と
いえる。片側極限（有限値）が存在すればよい。

区間の端点において連続である場合は右側極限と左側極限が一致すれば微分
可能といえる。３１８は多分、定義域と区間を混同していたのではないか。

積分についての質問なんですけど
xを0から1まで積分するのと､1から0まで積分するのでは答えの符号が逆に
なってしまいますが、どちらも同じ面積を求めているはずなのに答えの
正負が逆になってしまうのは何故でしょうか？

又､これに関連した質問なのですが、"アステロイドx=a*(cos(t))^3 y=a*(sin(t))^3
(0<=t<=2π,a>0)で囲まれた面積を求めよ。"という問題で
アステロイドを四等分しｘ(0からaまで）の面積を４倍して答えを求めたのですが
xの範囲を(0→a)か(a→0)にするかで答えの符号が逆になってしまいました。
面積なので−はおかしいとわかるのですが･･･
どうもしっくりこないので解説をお願いします。

もともと、微小面積を集めたものだから。例えばxを0→1まで積分する場合、
lim[n→∞] �納k,0→n] {(k+1)-k}/n*1/n
の微小面積、
{(k+1)-k}/n*1/n
が、
{k-(k+1)}/n*1/n
になるから。

>>401
xy平面描くとき、x軸のラベルのところには
右向きの→を書くっしょ？
ってことは、「x増加⇔右向き」を自ら認めてるわけですよ。

本当のところは単に、
b<aに対し、
∫[a→b] = -∫[b→a]
b=aに対し、
∫[a→a] = 0
なる定義なだけの様だが、イメージとしては上で良かろ。

後はx座標軸を逆に取ったことになるので、
dx=-dx'
になるから、とかな。

もっと進むと右手系、左手系の話にも行ってしまいそうな。

>>402
>>403
解説ありがとうございました。
助かりました。

二つ質問です。

センター過去問の途中計算より

b^3-3a^2b+2a^3=0

という式までいったあとに、b=aが成り立つので(b-a)(…)と書ける

って変形があるんだけど、初見で全く気付かなかったのでは経験不足ってことでＯＫ？

あと

36a^4 - 20a^2 + 25/9 = 0

という式を（6a^2 - 5/3 ）^2 ＝0　って変形してるんだけど、
コレも言われれば気付くけど解説見るまでは思いつきもしなかったんですが。

上の二つのミスに対応できる策みたいなのって無いでしょうか。
経験積めと言われればそれまでですがｗ　ってかセンター難しいよ…

ガンガレ一橋！

>>401
面倒だったら絶対値とればいいよ。

>>407
先の２つの式変形は、
上の様な3次以上の多項式は、b=±a,±2a…を代入して解を探すのが主流。
それで無理なら別法を考える。

下は、
aの項がa^(2n)のみなので、a^2をAとかに置きたくなる。
そうすれば、簡単な式に帰着する。

これらは数学の問題が解ける人間がもつ共通の感覚であり、
常々きちんと計算することを心掛ければ、
経験や良い先生に教わることで身につく。

１０進法であらわして５桁以上の平方数に対し、１０００の位の数、１００の位の数、１０の位の数、
および１の位の数の４つすべてが同じ数となるならば、その平方数は
１００００で割り切れる事を示せ。

と言う問題で、解答に

平方数10000n+4444=4(2500n+1111)
⇒2500n+1111が平方数

とあるのですが、
何故　4(2500n+1111)⇒2500n+1111が平方数　となるのでしょうか？

最初の数が平方数ならば、4で割っても平方数ってことじゃね?

＞＞２４６改行できないさん、その方針でここ数日ずっと考えましたけど俺には無理でした
さしつかえなければ概略だけでも教えてほしい

中一です。

Ｂ÷(−３)　　の答えを教えてください。

よろしくお願いします。

-B/3

>>413
(1+x^2)^(1/2)
だっけ。もう一回やってみるよ。

あぁ、Σn^2004の奴ね…

今間違いに気づいて、改めて考えてたんだが、
Σn^mとおいて、m=1の時、
n(n+1)/2 は (n+3) で割れない。
m=i-1 の時、割れるとすると

ってして、教科書に載ってる、一次元上の和を求める方法からやれるかも。

やり方忘れたし教科書無いから分からないけど。

これで出来なきゃもう分からん。
他の人に聞くべし。
それか駿台乗り込むか。

>>407
> b^3-3a^2b+2a^3=0

f(x)=x^3-3a^2x+2a^3
と書いてあれば比較的気がつきやすいかも。
与式を「bの３次方程式」に脳内変換できれば吉。

> 36a^4 - 20a^2 + 25/9 = 0

先の指摘にもあったけど、2a^2=Aと置けば
9A^2-10A+25/9=0
81A^2-90A+25=0
になるから、数字が小さくなって少しは見えやすいかも？

>>407

36a^4 - 20a^2 + 25/9 = 0

に関しては、第１項と第３項をまず見ると、どちらも平方の形となっている。
真中の項は符号がマイナスだから、（6a^2 - 5/3 ）^2 ＝0 になってくれたら
ラッキーだなと思って展開してみる。それで駄目ならたすき掛けとか別の方法を考える。

x≧0.y≧0の時√（x+y）+√y≧√(x+ay)がなりたつような正の定数aの最大値をもとめる際になんでいきなりx=0,y=1代入するんですか?この時のaがなぜ最大値といえるんですか?x.yの値を変えたら他の値になるし…

正六角形ABCDEFの辺と対角線全体の集合をXとする。Xから2本の異なる線分を選ぶ。
ただし、線分は端点を含むものとする。
（１）2本の線分の選び方は何通り？
（２）2本の線分が共有点をもつような選び方は何通り？

これってどう解く？わからん

>>421
その解き方は、必要条件でまず絞り込んで、後で十分条件となる事を確認しようとしてるんじゃないの。

>>421
この問題はy=0の時aを任意として、0で無いyで割って図を書いてみればいいし、さっきの意味も何となく分かると思うのだが、
それよりも、y=0でaが任意なのが気になる。

>>421
まずaの範囲を絞り込むため、
・x=0を入れてみる→4≧aが必要とわかる
・y=0を入れてみる→1≧aが必要とわかる
ということで4≧aと推測してから十分性を確認して（答）。

１対１の数�@の45ページの(2)の解答に書いてあることがはじめからわかりません。書いてある解答を説明して欲しいです。持ってる人お願いします。

>>422
地道に数えてみた?

>>422
Xの要素の個数（線分の総数）は6C2=15通り
(1)15C2=105通り
(2)いま数えてるところ

421です。てことはまず見当をつけてからその十分性を確認してるんですね?

>>422
マルチですか

マルチでもいいだろ、答えてやれよ
ホントおまえら性格悪いな
ルールルールうっせーんだよ、ヴォケが

>>426
コーシーシュワルツの問題？だとしたら「（１）読め」としか言えないが

>>422
15C4

>>431
向こうで答えた

>>434
いい奴だな

6C4のまつがいだった。

すごい基礎的なことで申し訳ないんですが
曲線の長さを求める問題で､
√(sin(x)^2)=sin(x)このようにルートをはずすと
sin(x)>=0
↑
なぜ0以上じゃなければいけないんでしょうか？

>>437
sin(x)<0なら√(sin(x)^2)=-sin(x)になります。
一般に√(x^2)=|x|ですから。

>>438
一般にはそうなるんですか。
どうもありがとうございました。

受験に証明・説明なしで以下のものは使えますか？
バームクーヘン分割
極座標の放射状分割
斜回転の傘型分割
合同式
チェビシェフの不等式
幾何の教科書に載っていない定理etc

良く分からないものがいくらかあるし、
数学の先生に聞くのが一番かと。

ちなみに基本的に高校レベルを超えた定理は使用不可とされているが、

オレの中での結論としては、
大学の教授も適当なので、
合っていれば○にするだろうということだ。

少なくとも点数は大分くれる。

ただ、そんなもの使わなくても解ける様に問題は作られているし、
リスクがあるのは確かだから、
普通に解く訓練をすることを勧める。

但し、近似系は合っていれば○

三角関数で、２倍角や余弦定理、正弦定理、加法定理などはともかく、３倍角や積和公式や和積公式なども全て覚えるべきですか？一応京大か阪大志望なんですが数学苦手で困ってるんで教えて下さい。

>>442
どうしても覚えられないなら導けるようにさえしとけばいいんでないかい？
導いても１分かからないし。
まぁ俺ならその１分で見直ししたいけど。
覚えてれば時間短縮になるというだけかもね。

無駄な知識をやたらめったら収集することは円滑な思考能力育成を妨げる可能性がある。

理解の上での記憶を勧める。

ちなみに3倍角や積和等は大体の形と作り方を知っておいて、
試験中に直ぐ(20秒以内か?)に作れる様になっておけば良い。

ただ、余裕があれば知っておくに越したことは無いわけだが。

>>443
導けるようにですか…。そうですね。他のは暗記しますが積和と和積だけは導いた方がいいかも知れませんね。正直言ってあんまり使わない公式ですしね。余裕があれば覚えてみます。ありがとうございました。

ところで青チャートって練習問題や演習問題もやるべきでしょうかね？とりあえず例題進めてるんですが。例題全部解けるようになったら演習やるべきでしょうか？

積和と和積は連立方程式とくだけじゃなかった？

>>446
そうだね。慣れれば暗算でできる。
俺は覚えてなどいなかった。

見落としてました。>>444さんもありがとうございました。

>>440
「極座標の放射状分割」は数学Cで出てこなかったっけか?

>>410,419,420
サンクスです。
良い先生か…浪人の身なんでキツイもんですな…
とりあえず演習積みます。

原典　山本俊郎のベクトルが面白い〜　P66

以下、OPとかOAとかはベクトルです。

直線AB上に点Pがある
OP＝αOA＋βOB　（α＋β＝１）

線分AB上に点Pがある
OP＝αOA＋βOB　（α＋β＝１、α≧０　β≧０）

と二つの公式があるのですが、区別が良く分からないのですが。
一応その後にある例題は解けるのですが（α＋β＝１を使えば大丈夫なんで）

>>451
>直線AB上に点Pがある
これはOP↑＝OA↑+kAB↑（kは全ての実数）とも表すことができ、
AB↑＝OB↑−OA↑なので、OP↑＝(1-k)OA↑+kOB↑となります。
（つまりα＝1-k、β＝k）

これに対し、
>線分AB上に点Pがある
これもOP↑＝OA↑+kAB↑と表すことができますが、
点Pは線分AB上という制限がついているため、kの範囲は0≦k≦1に限られます。
ここでOP↑＝(1-k)OA↑+kOB↑＝αOA↑＋βOB↑とすると
0≦k≦1から0≦α≦1、0≦β≦1となります。


てか俺はOP↑＝αOA↑＋βOB↑　（α＋β＝１、α≧０　β≧０）よりも
OP↑＝OA↑+kAB↑（0≦k≦1）の方が変数も少ないしわかりやすいと思うんだがどうよ？

>>451
直線は内分点と外分点の集まり
線分は内分点だけの集まり

すごい簡単な質問かもしれませんが、マジでわかんないで教えてください。
数学的帰納法で
(4^k)+3*(4^k)=4^(k+1)
という式があったんですが、
どうして
(4^k)+3*(4^k)=4^(k+1)
になるんですか？
教えてください。

>>454

(4^k)+3*(4^k)
=（1+3）*（4^k)
=4*（4^ｋ）
=4^（ｋ+1）

>>452
サンクス。禿ムズそうな文章なんで明日の朝ゆっくり読みますｗ

>>453
要するに点Pが間に挟まってるか外にあるかってことですか？

なんか俺の知能は猿のようだな orz

>>455
ありがと〜

>>456
「直線」：両側に無限に延びている
「線分」：AからBまでに限定（＝辺AB）
で、どう？

>>440
正しく使ってれば問題なし。
よく「ロピタル禁止」っていうのは、
うろ覚えで使ってる場合が多いから、らしい。

>>442
３倍角の公式くらいは覚えられると思う。積和、和積は導ければいいかと。
ていうかこの質問前にもあったねｗ

sin3θ=3sinθ       -        4(sinθ)^3
         サンシャインひいて夜風が身にしみる

y=x^3/3+1/(4x) 区間[1,2]の長さを求めよ。

答えでは59/24となっていましたが計算しても合いません・・・
↑の答えって本当にあっているんでしょうか？

合ってたよ。

>>463
確かめてみたら答えと合いました。
お騒がせしました。

関数f（�I）＝√X分の１の導関数を求めよ
という問題なのですが何度やっても答えがー2X√X分の１になります
ちなみに模範解答は−２√X3乗分の１です

→:微分変換
x^(-0.5)→-0.5x^(-1.5)

>>465
「√X３乗＝X√X」な予感。合ってるのでは？

age

>>459
ロピタルは普通にダメだが…。

一体何を根拠にデマを流すのか。
作問するとき高校数学の範囲で解けるものを、
十分な吟味をした上で選定していますよ。
それなのにロピタル使われちゃ…

われわれも高校数学の範囲をしっかり認識
させられますから。その辺の先生より知ってます。

ただ、どの大学でもそうなのかはわかりません。
推測の域は出ませんが、ほとんどの大学は
「どこまで出していいのか」「どう解かせればいいのか」
を作問者にしっかり考えさせていると思いますよ。

ひどい問題を作ると国公私立を問わず文部科学省に
呼び出されるのを知らないんですね。
軽くお話するだけですが、
私立大学にとってはとっても大きなプレッシャーです。

>>469
実際に採点している複数の大学教官に直接聞いた事あるが、
漏れが聞いた範囲では、ロピタルの定理とか高校範囲外の定理に
関しては肯定的だったぞ。

少し確かめたいんですが
log|x+y|-log|x|-log|2x|
って
log|x+y/x|-log|2x|
=log|x+y/2x^2|
ってまとめられますよね？

>>471
log|(x+y)/2x^2|と書け…

東大理系の2004年度の入試問題第６問からです。

片面が白、片面が黒の板が３枚あり、初期状態が白白白である。
さいころを振って1,2が出たら左、3,4は真ん中、5,6は右をひっくり返す。
n回の操作の結果、色の並び方が白白白または白黒白となる確立を求めよ。

という問題で、解答に以下の様にあります。

(白の枚数、黒の枚数)である。
(2k+1)回後に(2,1)となる確率をP(の2k+1)と表す。
P(の2k+1) = P(の2k-1)(4/9 + 1/3) + (1-P(の2k-1))2/3
⇔P(の2k+1) - 3/4 = 1/9(P(の2k-1) - 3/4);P(の3) = 7/9
⇔P(の2k+1) = 3/4 + 1/4(1/9)^n

の、２行目から３行目の変形はどうしてこうなるのでしょうか？
確かに、P(の2k-1)に1や7/9を代入してみると分母に９倍の差がありますが・・・
他のkの場合も同様に言えるのは何故なのかが解りません。
教えて下さい。

旧課程青チャートやってるんですが、３６ページ例題１４の写像ってなんでしょうか？意味が分からないんですが…。ちなみに問題は

集合Ａ＝{１、２、３}、Ｂ＝{ｎ｜ｎは自然数}とする。
ｆ：Ａ→Ｂ、ａ∈Ａの時ｆ(ａ)＝２ａ∈Ｂ
ｇ：Ｂ→Ｂ、ａ∈Ｂの時ｇ(ａ)＝３ａ∈Ｂ
また、ｆの領域をＣとし、ｆ^ｰ1：Ｃ→Ａとする。
(1)ｇ・ｆ(分かりにくいですが積じゃなくｇとｆの合成関数です)
(2)ｆ^ｰ1
を求めよ。という問題です。意味が分からないので誰か教えて下さい。

y=x^2上の点Ａ(2,4)におけるＣの接線の方程式
って傾きはy'=2xだから２になりますよね？
なぜか回答は4になってるのですが

y'=2*2=4だねｗ

このスレあまりにも基本的な質問が多いせいで数学神な回答者が来なくなって無いかい？

ロピタルの定理って青チャートに載ってなかったっけ？おれまだやってない
んだけど高校範囲超えてるの？でも載ってるってことは知ってて当然の定理
じゃないの？

載っているが、範囲ではない！

>>478
範囲じゃないけど確か証明しても１分かからなかったと思うから
証明して使えばいいんでないかい？

>>474に答えられる人はいませんか？(ﾉ_･｡)

>>480
ロピタルの定理は幾つもパターンがある。
君が言っているのは一番証明が簡単なやつだよ。

>>481
難しいからね、わからないかも。

と言うだけでは無責任すぎるかな？？
ちなみに、>>473は面倒なのでパス（誰か説明してあげてｗ

>>477 昔が異常にレベルが高かっただけ。

>>473
いきなりnが出てきたりして変だが?
2行目から3行目は漸化式を解いてるだけ

>>474
(1) g・f(a) (a∈A)を具体的に計算してみなさい、ヒントになる
(2) Cはどんな集合?

>>485
それにしても教科書見ればわかるような（てかそのほうが早いとおもう）質問が多い気がする。

>>487
久しぶりに来た長助のレスが、>>292だからな・・正直つまらんｗｗ

>>485
東大生・京大生らしき書き込みがいたるスレで散見されたからね。

>>487
まぁまぁそう言わずに。
今の教科書が若干不親切な気もするから

>>474の写像についてだけ言っとく。
写像というものは
　何か数がある。　その数に何か、ある計算式を作用させると他の数が出てくる。
この時その作用させた計算の式、変換の式が写像なのだよ。
いまいちうまく説明できないから
[例]
例えばf(x)=2x+3ってのを写像と考えることができる。
　　x=3をこの写像に入れると9を排出する。

他に集合P={1,2,3}にfを作用させると集合Q={5,7,9}ってのが出てくる。

つまり写像は何かから何かへ「移し変えるもの」なわけよ。
上で上げたように関数は写像と見なせるし、他にも行列なんかも写像とみなせる。

俺もよくわかってないので「これ違うぞ」的な突っ込みは勘弁。

>>474
僕も意味分からなかったので、飛ばしてましたが、今参考書を解読してみました。独り言ののでさらっと流して下さい！

そもそも写像とは…(ちょっとややこしい)
２つの集合A、Bにおいて、ある対応により、Aのどの要素にも、Bの要素が１つずつ対応している時、
この対応をAからBの写像といい、記号ｆなどを用いて、f:A→Bと書き表す

Aの要素aに対するBの要素をf(a)と書き、f(a)をfによるaの像と言う

あと、２つの写像 f:A→B、g:B→Cがあるとき、
a(∈A)のfによる像をb(∈B)
bのgによる像c(∈C)とすると、aにcを対応させる写像が考えられる
このaにcを対応させる写像を、fとgの合成写像といいg・fで表す　　g・f:A→C　(チャートより)

では本題に、
問題文より集合Aの要素aは１、２、３ですよね、ってことはaに対応するBの要素f(１)、f(２)、f(３)は2*1、2*2、2*3　これが解答の１行目に書かれていることです。
で、集合Bの要素b(本文と違うけど…)に対応している集合Bの要素g(b)は3b、つまり集合Bの要素bには３倍したものが対応している
よって　g・f:１→(２)→６、２→(４)→12、３→(６)→18　となってる訳ですな

（２）は486さんが言うように、集合Cの要素を考えればなんとか…なる。(２は１に、４は２に、６は３に対応)

ごめんなさい、力不足でした…。490さんの方がわかりやすいです

負でない実数aに対し、0≦r＜1で、a−rが整数となる実数rを｛a｝で表す。
すなわち、｛a｝は、aの小数部分を表す。
このとき、10進法による表示で2^nの最高位が7となる正の整数nを求めよ。
ただし、0.3010＜log2＜0.3011、0.8450＜log7＜0.8451

＃
n=252以外の解がお分かりになられた方お教え願います。
m(_ _)m

原点をOとする座標平面上に2定点A（2,4）B（-2,1)と点Pがあり、三角形PABの面積と三角形OABの面積は等しく、点Pは直線ABに関してOと反対側にあるものとする。
　このとき、点Pは方程式 3ｘ-4ｙ+20=0で表される図形上にある。
　さらに、三角形PABが二等辺三角形になるような点Pは全部で（エ）個あり、このような点Pのうちy座標が最大であるものの座標は（オ）である。


これの（エ）がよくわからないんです。答えは5だとわかるんですが、(iv)AP=AB(v)BP=BA(vi)PA=PBの3つに場合分けして考える時に、d<r<2r=ABに注意して考えるらしいんですが、このd<r<2r=ABに注意するというのがよくわからないんですよ。
それと、「d<r<√3r=(√3/2)ABより、三角形PABが正三角形になることはないから」のd<r<√3r=(√3/2)ABがよくわからないんです。どこから出てくるんですか？dは直線ABと直線3ｘ-4ｙ+20=0との間の距離で、rはABを直径とする円の半径です。（オ）はいいです。

6日の駿台模試の問題です。ｽﾏﾝ頼む・・（；´Д｀）

>>493
(iv)AP=AB の場合、中心A 半径ABの円とその直線が共有点を持たないと
二等辺三角形はできないが、d＜2rだから2点で交わっている
後半は、二等辺三角形になるときだから、正三角形の場合を除かないといけないが、
運良く正三角形になるときはないということ

後半は、正三角形になるときの比を考えたら出てくる
dが高さでABが辺

に訂正

すみません。河合から出ている　こだわって　シリーズって
どうなんでしょうか？河合の全統記述模試で偏差値６５くらい
いきますかねぇ…

>>470
だ〜か〜ら〜、そういうデマを流すのはもう止めなさいって。
ロピタルつかっていいんだったら何で、
「lim[x→∞](x^3/3^x)=0を既知としてよい」なんて注釈がある
問題が存在するの？？？

>>497
下に凸な関数は連続でしたっけ？

>>490
>>491
非常に解り易い説明に感動。
俺474じゃないけど何故かレスしてみる。

>>497
「lim[x→∞](x^3/3^x)=0 を証明するのがその問題の趣旨ではないからだよ．
作問担当とか言ってるが，実際に採点した事あるの？
もしあるのなら，ロピタルは減点するとか申し合わせがあるはずだよ．

あと，あなたの大学の話でしょ．

>>497
> >>470
> だ〜か〜ら〜、そういうデマを流すのはもう止めなさいって。
> ロピタルつかっていいんだったら何で、
> 「lim[x→∞](x^3/3^x)=0を既知としてよい」なんて注釈がある
> 問題が存在するの？？？

ロピは「使えれば使っても差し支えない」というだけのことで、
ロピ使わないと無理って言う問題は出さないでしょ？
だからこそ件の注釈はつくわけで。

一度さあ、模試で、教科書範囲外の公式つかいまくって
どう採点されるか試してみませんか？

あまり関係ない話、
模試はバイトがやってるところが多いから結構いい加減な罠。
大手（駿台を除く）でも。

>>480
青茶に書かれている証明を写すだけで５分かかるよ
で、「答案としてではなく、検算として利用しろ」と書いてある。
ちなみに、紅茶には「使ってはならない」云々は一切かかれていない。

極限の問題の作問者がロピタルの定理を知らないはずがなく、
ロピれば簡単に求まるような問題は、作問者が仕込んだ罠に見えるんだがｗ
まー、自己責任において使いたいなら使ってもいいんじゃないの？
減点されなければラッキーだし、ペケくらってもじぶんのせい。
ロピ使えるような問題は、とりあえず最後にまわして、
時間が余ったらまともに解く、余んなかったらロピって解くというのも一案ですな。

ロピタルの定理って何？

>>245
ずーっと解けなくて気になったので、駿台のパンフ取り寄せたら
問題が違ってたYO!
「K=1^2004+2^2004+...+n^2004 は『n+2』で割り切れないことを証明せよ。」
もとの問題はこうでした。
で、その問題なんですが、
n=4のとき、
1^2004を6で割ると余りは1
2^2004を6で割ると余りは4
3^2004を6で割ると余りは3
4^2004を6で割ると余りは4
となるので、題意不成立のような希ガスのです。
（2005乗だったら証明できましたが）

>>501
以前どっかで読んだんだけど（ソース思い出せない）、
模試で、答えだけは判るが導き方がわかんない問題において、

　　「ラメデータの定理により、答えは○○」

みたいなこと書いたら、採点者が

　　「今回は点数やるけど、高校の範囲を超えた公式は使わないほうが無難」

みたいなコメントいれて返却されてきたとか。
もちろん、ラメデータの定理っつーのは、「デタラメ」からでっち上げた架空の名称。
ちょっと笑った記憶がある。（余談ｽﾏｿ）

>>506
最高です！ラメデータいただきますｗ
あらゆる問題に対応できそう

記述でブ(プ)ラマグプタの公式とか使ってみたいな（センターには使ってるけど…）

連続ｽﾏｿ！
>>504
使ったこと無いけど大まかに言うと、
lim[x→a]{f(x)/g(x)}を求める時、f(x)、g(x)を微分したlim[x→a]{f'(x)/g'(x)}で求められるってやつ

ブラマは、円に内接する四角形ABCDの面積Sを求める時に使用。
４辺の長さの和の半分をs( =(a+b+c+d+)/2 )とすると、

面積Sは　S=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}　で表せる

辺の長さに根号があまり入っていないなら、結構便利ですよ(ヘロンの公式も覚える必要なし)

>>508
ｳﾏｰ!

>>490ｰ491
分かりました。どうもありがとうございましたm(._.)m

今月の（6月号）大数の学コンの最後の問題の注釈についての質問です。（学コンの答えの質問ではない）
次の極限値証明できる人がいたら教えてください。ロピタルはなしでお願いします。
lim[θ→0](θ-sinθ)/(θ^3)=1/6

>>511
θ＞0で
θ-(θ^3/3!)＜sinθ＜θ-(θ^3/3!)+(θ^5/5!)を証明して挟み撃ち

あの、２次関数の最大・最小の場合わけを教えてもらえますか？
高一で数Iまで受けてます。
漠然としててすみません

すいません。
空間内で、平面 π と直線 L が平行であるための必要十分条件ってなんですか？

平面に垂直なものにベクトルが垂直なら良いんじゃね?

>>512
重ねてすみませんがその挟み撃ちの式はどのようにして導出したのですか？

マクローラン展開だと思われ。
高校レベルを超えるが、
知っておいても損はない。

>>513
２次関数のどんな場合わけを知りたいのかを、もうちょい詳しく書こう。

>>517
ありがとうございます。関数近似か。
高校範囲での挟み撃ちで答えを出すのは不可能か・・・。
大数が注釈として書くくらいだからなぁ。

y＝（x~2＋1）~2／8（x＋1） このYの最小値をもとめるんですが、Xで微分してもX＝0の解がでなくて困ってます。
問題から式だしたんだげどまちがってんかな、

ｓ

>>520
y=1/4 が最小？
（微分して０と置いただけだけど）

>>522
大嘘でした（ｺﾞﾒﾝ）

2+√3と2-√3で極地を取るが、-∞で-∞になるからなぁ。

>>513
軸の位置かxの範囲に文字が含まれてる場合はそれで場合分け。グラフ書いて
考えてね。

すいませんこの問題教えてください。

　y=(x+2)^2 …1　y=-x^2+1…2
があり、放物線１上の点Ｐにおける接線が放物線２と
異なる２点Ｑ，Ｒで交わるとする。点Ｐがこの条件を
満たしながら放物線１上を動くとき、線分ＱＲの中点
Ｓの軌跡を求めよ。
　
Ｐを�(a,(a+2)^2)とおいて、接線の方程式が
y=2(a+2)(x-a)+(a+2)^2 になって、
これが放物線２と交わるから、
↑のyが-x^2+1で・・・
もうわかりません。バカです。
お願いします

>>517
マクローリンね

http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi
数学でわからない問題です。
上のＢＢＳにワードの文書入れたのでよろしくおねがいします。

>>527
フランス語読み

すいません、ワード無理ですね。ワードのファイルだせるＢＢＳとかありますか？
捨てアドさらしますう

>>526
まずは接線と一点で交わる状態を考えてみるのも手だし、
判別式を使うのも手

>>529
そうなんだ。初耳だわ
マクローランってなんかエロい

>>526
方針のみ書いておきますね〜(ミスあるかも)

Ｐ(p、(p+2)^2)とすると、点Ｐにおける放物線の方程式はy=2(p+2)(x-p)+(p+2)^2=y=2(p+2)x-p^2+4
これと放物線２の式　y=-x^2+1より

x^2+2(p+2)x-p^2+3=0…(A)

(A)の２つの解をα、βとすると解と係数の関係より、α+β=-2(p+2)、αβ=-p^2+3
QRの中点Sを(X、Y)とすると、X=(α+β)/2 Y=(-α^2+1-β^2+1)/2=-{(α+β)^2-2αβ}/2+1
これから軌跡の式は求められるはず

んで(A)は異なる二つの実数解を持つ(判別式＞0)って条件からpの範囲を求めて、
X=-(p+2)からXの範囲を求める

僕はこんな面倒な方法しか知りませんw

>>497は>>498が分からなくて逃げ出したのかｗｗ

>>533
中点も放物線1の接線上だから Y=2(p+2)X-p^2+4
で計算した方がちょっとは楽?

楽だね

どうやってやればいいかわからなくて困っています・・・。
解答例御願いしますm(_ _)m

等式a^2＋b^2＋c^2＝ab＋bc＋caが成り立つとき、a＝b＝c　となることを証明せよ。

>>537
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2ca
⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0（＊）
⇔a=bかつb=cかつc=a
⇔a=b=c
あ、ちなみに「文字はすべて実数」という条件が無いと
（＊）からあとにいけない。

>>537
自分の書き込みだが…

73 名前：ぺ[sage] 投稿日：04/05/26(水) 17:20 ID:vOMzLGHJ
>>70
((a-c)^2+(c-b)^2+(b-a)^2)/2=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)/2
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0
a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca　（a=b=cの時等号成立）を使ってる！

つまり　a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca={(a-c)^2+(c-b)^2+(b-a)^2}/2≧0
a^2＋b^2＋c^2＝ab＋bc＋caが成り立つ時、a=b=cとなる！(上の不等式はa=b=cの時0になるでしょ)

>>538
>a=bかつb=cかつc=a
に至る議論が抜けている。
>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0（＊）⇔a=bかつb=cかつc=a
この部分が必要十分であることを示す　必要がある
さてどうやるか？意外に難しそう・・

>>540
あ、でも難しい記述で無い限り要らないかな。
こういう直感的に自然に思えることを示すのは苦手だ・・・。

左辺三項はそれぞれ零以上であるので、足し合わせて零になるためには、全て零でなければならないので

ぐらいで良い。別に自明なのでいらない。

>>542
やっぱり要らないのか！

>>543
その説明が必要だとすると２次関数の最大値出す時に
平方完成したあとで説明書かなきゃダメ、ってことになるでしょ。

>>494さん
うおおおどうもありがとうございます！よくわかりました。

∴や∵をつかっているのは日本だけと言う話を聞いたのですが
↑以外にも同じ意味を表す記号や略号ってありますか？

>>538さん
>>539さん
>>542さん
>>544さん
ありがとうございました！2倍すればいいだけなんですね・・・。

それと、もうひとつ・・・

原点を通る放物線をｘ軸の正の方向に平行移動すると、y＝x~2-3x-4となった。
このとき、元の放物線の方程式を求めよ。

求める方程式をy=ax^2＋bx＋cとおいて、y=a(x＋b/2a）-b~2/4a
にするところまではわかるのですが、後がわかんないです。
よろしく御願いしますm(_ _)m

>>547
反対に考える
y＝x~2-3x-4 をx軸の負の方向に平行移動したら原点を通るようになった、と

y=(x-4)(x+1)
だから元の方程式は、
y=(x+5)x
じゃね?

>>548
教育的だ。

>>547
あなたのやり方でいくと、まず条件からa=0,c=0というのは分かるよね？
平行移動しただけだからxの係数は変わらないし、原点を通るからc=0
そんでｘ軸正方向にmだけ平行移動したとすると、
(x-m)^2+b(x-m)=x^2-3x-4
あとは係数比較して計算すればよろし。

>>533
ありがとうございます！
その方法でやってみますね。

低レベルなんですが、
三角関数で
-2/3Πのcosが-1/2
になるのが理解できません。

自分の理論だと、-2/3Π=-120°だから、三角比の表より、120°=-1/2　となって、
よって-120°=1/2
なんです。

おしえてください。

Π=パイです。

>>553
cosθ=cos(-θ)
であり
cosθ=-cos(-θ)ではありません。
cosのグラフを思い出してみてください。

【掲示板での数学記号の書き方例】
■数の表記
　●スカラー：a,b,c,...,z, A,B,C,...,Z, α,β,γ,...,ω, Α,Β,Γ,...,Ω, ... （← ギリシャ文字はその読み方で変換可．）
　●ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V) （← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．）
　●行列（１成分表示）：M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]
　●行列（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...]',[0,1,0,...],...] （← 行（または列ごと）に表示する．）

■演算・符号の表記
　●足し算：a+b
　●引き算：a-b
　●掛け算：a*b, ab （← 通常"*"を使い，"ｘ"は使わない．）
　●割り算・分数：a/b, a/(b+c), a/(bc) （← 通常"/"を使い，"÷"は使わない．）
　●複号：a±b=a士b, a干b （← "±"は「きごう」で変換可．他に漢字の"士""干"なども利用できる．）
　●内積・外積・３重積：a・b, aｘb, a・(bｘc)=(aｘb)・c=det([a,b,c]), aｘ(bｘc)

■関数・数列の表記
　●関数：f(x), f[x]
　●数列：a(n), a[n], a_n
　●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2) （← "√"は「るーと」で変換可．）
　●指数・指数関数：a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) （← "^"を使う．"exp"はeの指数．）
　●対数・対数関数：log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) （← 底を省略する場合，"log"は常用対数，"ln"は自然対数．）
　●三角比・三角関数：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
　●絶対値：|x|
　●ガウス記号：[x] （← 関数の変数表示などと混同しないように注意．）
　●共役複素数：z~
　●転置行列・随伴行列：M', M† （← "†"は「きごう」で変換可．）
　●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
　●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （← "Π"は「ぱい」で変換可．）

■微積分・極限の表記
　●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y,x （← "∂"は「きごう」で変換可．）
　●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf （← "∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
　●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, �点[C]f(r)dl （← "∫"は「いんてぐらる」，"∬��"は「きごう」で変換可．）
　●数列和・数列積：Σ_[k=1,n]a(k), Π_[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
　●極限：lim_[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）

■その他
　●図形："△"は「さんかく」，"∠"は「かく」，"⊥"は「すいちょく」，"≡"は「ごうどう」，"∽"は「きごう」で変換可．
　●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換可．
　●等号・不等号："≠≒≦≧≪≫"は「きごう」で変換可．

※ ここで挙げた表記法は１例であり，標準的な表記法からそうでないものまで含まれているので，後者の場合使う時にあらかじめことわっておいたほうがいい．
※ 関数等の変数表示や式の括弧は，括弧()だけでなく[]{}を適当に組み合わせると見やすい場合がある．
※ 上記のほとんどの数学記号や上記以外の数学記号は大体「きごう」で順次変換できる．

>>555
ありがとうございます！

>>553
単位円による定義を理解しなさい。

(1)(i) n を自然数とするとき、n^2 を4で割った余りを求めよ。
(ii) x^2 - 3y^2 = 7 を満たす自然数 x,y は存在しないことを示せ。

(2) x^3 - 17y^3 = 2004 を満たす自然数 x,y は存在しないことを示せ。

(1)の2つはできたんですが、(2)がさっぱり分からない。
とりあえず、「 x^3 = 17y^3 + 2004 」で移項して、
「右辺＝ 17(y^3+117)+15」とかいろいろ考えたんだけど、できない。
ヒントくださいな。

891 ：１３２人目の素数さん ：04/06/11 01:44
>>871
n=3m-2のときn^3≡1(mod3),n=3m-1のときn^3≡2(mod3),n=3mのときn^3≡0(mod3)
また2004≡0(mod3)、x^3-17*(y^3)=x^3+y^3-18*(y^3)≡x^3+y^3(mod3)なので、
p,qを自然数とすると、
(A)x=3p,y=3q (B)x=3p-1,y=3q-2またはその逆
のどちらか。しかし(A)(B)ともにx^3+y^3≡0(mod9)となるから2004≡6(mod9)と矛盾。
(a+b)^3を展開した係数を考えるとmod3で考えるのが自然。

>>560
>>561
学コンの問題

難問です。おしえてください。

[問題]
x1+x2+．．．+xn＝p，x1^2+x2^2+．．．+xn^2＝q が
実数解 x1，x2，．．．，xn をもつための必要十分条件を求めよ。
またそのときの ｘ1 の範囲を求めよ。

logx*logx=

（logx）^2の微分は2logx/x ? 2/x?

ログわかんね

>>564
(1/x)・2logx

>>564
ログがわからないとかじゃなくて合成関数の微分がわかってないかな。
教科書見てみるといいよ。

>>583
ある発見があったんでカキコ。
q-p=x1(x1 -1)+x2(x2 -1)+.....xn(xn -1)
両辺を1/2倍する
(q-p)/2=x1(x1 -1)/2+x2(x2 -1)/2+......xn(xn -1)/2
個々の項が
Σ_[k=1,n]k
の式と酷似しているってとこまでは分かるがその後は難しいな。

Σ_[k=1,n-1]ですた

和⇔積の公式は必要ないですかね？

>>569
∫sinθcosθdθ

>>570
∫sin2θdθ/2

>>569
(´･ω･)つ「こすたすこすはにこすこす」他はコレから派生させるように
覚えて損するモノじゃないと思う

「An+2= 3An+1 + An. A1=1 A2=3　のときnが3の倍数であればAnは10で割り切れることを示せ」
という問題で
An+3≡3An mod10 はわかるんですけど
ここからAn+3≡An mod10がいえて
A3k-2≡A1=1 mod10
A3k-1≡A2=3 mod10
A3k≡A3=0 mod10　というのはなんでですか？

（logx）^2=logx^2=2logxですよね？
＞＞565＞＞566さんくす

(logx)・(logx)≠logx^2

だと思うけど。
もう忘れ気味・・

>>575
そうだよ

>>574
死んだほうがいいよ

(logx)^2=log(x^logx)

>>574
その等式があってるかどうかは適当な数字を代入して考えてみたらｲｲﾖ!

>>575
ありがと。

>>577
うん

>>580
ゐ�`

>>563
コーシーシュワルツじゃダメかなあ？
nq≧p^2

言葉の定義の問題なんすけど、
たとえば、y = x を「単調に増加」って言うのはわかるんだけど、
y=√x は、どのように増加してるって表現したらいいんでしょう？

減少部分が無いと言う意味で、
単調増加。

>>573
10で割った余りは後ろ2項で決まり、
1
3
3×3＋1＝0
同様に、
1、3、0、1、3、0、1、3、0…

>>570
はcosがsinの微分形なので2秒で不定積分に直せる。

>>574
?

>>573
ちょい違った。
1、3、0、3、9、0、9、7、0、7、1、1、0
を繰り返す。
実際、1、3、10、33で4項は1 mod10ではないんじゃないか?

>>573
再訂正。
1、3、0、3、9、0、9、7、0、7、1、0
これで良いかな?

>>584
ありがとうございます。
減少がない場合に、「単調に増加」でいいんすね。
ちなみに、y = x^3 などは、減少はありませんが x=0 が変曲点になってますよね。
このような場合にも、「単調に増加」は使えるのでしょうか。

結論としては使える。

もう少し厳密な話をすると、
ある範囲において、
a≠bに対しa<bならばf(a)≦f(b)なるときf(x)はこの範囲で単調増加関数であると言い、
f(a)<f(b)なるときf(x)はこの範囲で狭義単調増加関数であると言う。
逆に、
a≠bに対しa<bならばf(a)≧f(b)なるときf(x)はこの範囲で単調減少関数であると言い、
f(a)>f(b)ならばf(x)はこの範囲で狭義単調減少関数であると言う。

であり、x^3は
ε>0に対して必ずf(0)<f(ε)となるし、
ε<0に対して必ずf(0)>f(ε)となるので、
x=0付近でも(狭義)単調増加関数であると言える。

まぁ、減ってなかったら単調増加なんだよ。

解くのにノート一冊くらいかかる問題ってないですか？

>>591
1. x^n+y^n=z^n (n≧3,n∈N)
に対し、x,y,zが自然数解を持たないことを示せ。

2. cos(x)=xなるxを求めよ。(これはどうだろ?)

＞＞592
１番は不可能なやつでしょ
２番は図でしめしたら駄目かな、この辺とか

1番は誰かが解いてたよ。
2番はまぁ、大体の値なら求まるんだけどねぇ…。

単に難しい問題ってんなら、
同じ半径の円柱3本が軸を垂直にして交わっている時の、共有体積を求めよ。

とか

0<a<1
0<b<1
y=a^3-b^3
x=a-b
なる時の点(x,y)が動きうる範囲を図示せよ

とか…

>>588
ひょっよしてAn+3≡3An mod10 ⇔An+3≡An mod10が間違ってるんですか？

何でそうなるのか良く分かんないけど、
違うんじゃない?

>>590
ありがとうございやす！
非常にわかりやすい説明でした。

ｙ＝x(x-1)log(x+2)
の極値を求めたいのですが、計算ができません。
助けてください。お願いします。

もともとどういう問題なの?

>>599
極値は存在しないと思うんだけど・・・

>>599
1回微分して、増減表を書く。
あとはｘの定義域に注意な。極大値と極小値の両方出るとは限らないから

極小値2コ、極大値1コの予感…

-0.62と0.55の辺りにf'(x)=0が存在するのは確かだよ。

599です。もともとはｙ＝ｆ（ｘ）とｘ軸で囲まれる面積を求める問題です。
グラフはなんとなくなら描けるので、解けるのですが
適当に、グラフを書いていいのかわからなくて
ちゃんと計算してグラフを描けるものなのかと思っていました。
ところが、微分しても謎だし
確かに理論上（？）は-0.62と0.55の辺りにあるはずなのですが
これは計算で正確な値は測定不可なのでしょうか。

>>605
ははは…
問題文はちゃんと書いてね、無駄な計算しちゃったじゃないか。

>>606
ごめんなさい。
極値は必ず計算できるものだと思いこんでいたので……

ある問題の解説に
100!=1*2*3*・・・*100は5^mで割り切れるとき必ず2^mで割り切れる
と書いてあるのですがなぜこうなるのですか？

f(x)は-2＜x＜-1で、f(x)＜0　-1＜x＜0で、f(x)＞0　0＜x＜1で、f(x)＜0（たぶん）

f(x)=x(x-1)log(x+2)=x^2log(x+2)-xlog(x+2)

部分積分すると（自信ないけど…）
∫f(x)dx=(1/6)(2x^3-3x^2+16)log(x+2)-(1/9)x^3-(4/3)x+Ｃ(積分定数)

Ｓ=-∫[-2〜-1]f(x)dx+∫[-1〜0]f(x)dx-∫[0〜1]f(x)dx　で出たりして

いろいろな曲線の極形式で
オリジスタンIIICの31番の括弧1で起きることなんだが、
r(1+√3/3cosθ)=2*√3/3
を直交座標で表すとき、
式を展開、移項して
r = r√3/3cosθ+2*√3/3
として r cosθ=xとすると、左辺に r　が残るんだが、
ここで r = √x^2+y^2 として計算すると、 r<0 もありうるから同値変形でなくなってしまう。
そこでうちの先生は、
極座標において ( r , θ)と( - r , θ+180°)は同じものであるから、
　r =r √3/3cosθ+2*√3/3　と　- r =-r √3/3cos(θ+180°)+2*√3/3は同値で、
右がわの式は
-r = r√3/3cosθ+2*√3/3
と変形できるから、
r^2 =(r√3/3cosθ+2*√3/3)^2
⇔ r = r√3/3cosθ+2*√3/3
になるということで、
上の式を変形して、
x^2+y^2=(√3/3x+2*√3/3)^2
となり、
(x+1)^2 /3 + y^2 /2 = 1　の楕円である、という事だった。
これで同値変形ができるわけだが、
論証がめちゃくちゃ長くなるので、短くてすむ変わりの方法知りませんか？

・・・あとたまに公式としてr = √x^2+y^2 とか書いてたりする参考書があったりするけど、
不親切だと思わない？

高校の範囲では
r<0
も含むのか?オレは常にr>0でやっていたが…
でないとx,y座標と1対1で対応しないではないか。
0<θ<π
なら分かるが。

数研出版の教科書だけど、r>0のとき極座標が(-r,θ)である点は極座標が(r.θ+180°)であると考える、
と書いてあるから、rは常にr>0で、符号をつけて考えて、かと。だからθも一般角。

>>596
> >>588
> ひょっよしてAn+3≡3An mod10 ⇔An+3≡An mod10が間違ってるんですか？

たぶんその解答が違ってますね。
An+3≡3An mod10より
A_3k+1≡(3^k)*A_1≡3^k≠0
A_3k+2≡(3^k)*A_2≡3^(k+1)≠0
A_3k≡0
でよいのでは。公比３の等比数列扱いで。

>>608
１から１００まで、ぜんぶ素因数分解したとき、
素因数５が現れる回数＞素因数２が現れる回数
だから。
「必ず」っていう表現が少々強引な気がしますね。

１+１＝２
これを証明して。

>>615
使える公理は？
公準もあわせて書いてくれ

>>610
> r(1+√3/3cosθ)=2*√3/3
> を直交座標で表すとき、
> 式を展開、移項して
> r = -r√3/3cosθ+2*√3/3
（移項の際に符号が違っていたので修正）

> として r cosθ=xとすると、左辺に r　が残るんだが、

r = -x*√3/3+2*√3/3
⇔ r = (-x+2)*√3/3
⇔ r^2 = (-x+2)^2/3 かつ -x+2>0
⇔ 2x^2+4x+3y^2 = 4 かつ x<2
⇔ 2(x+1)^2+3y^2 = 6 かつ x<2
⇔(x+1)^2/3 + y^2/2 = 1 かつ x<2
は結果として楕円全体。
あんまりすっきりしてないけど‥

7^7^7^7^7^7^7
を13で割ったあまりはいくつ？？

0

あ、勘違いしてた。
無視してくれ。

(x+2y)^2=5x^2-5
4(x-2y)^2=16y^2-3
の連立方程式が解けません。展開するところまでは
できたのですがまとめられません。教えてください。
とけなくてくやしいです

>>621
(x+2y)^2=5x^2-5 を3倍したものから
4(x-2y)^2=16y^2-3 を5倍したものを引けば定数項が消える。
あとは、因数分解でどうだ？

>622
いわれたとうりに定数項をけしてみまして
32x^2-92xy-12y^2=0
とだしてみましたが、この方程式がとけません。
数学�Uの知識だけでとけるのでしょうか?

自然数の列を次のように群に分ける。
1/2,3/4,5,6,7/8,9,10,11,12,13,14,15/...
第n群の項の総和を求めよ。

答えは 3*2^(2n-3)-2^(n-2) です。

誰か解いてください。
解き方はあってるはずなのに出てきた答えが違う。
3なんて数字どこから出てくるのかもさっぱり、、

>>624
自分の解答を晒してみてくれ。

>>623
因数分解汁。

>>623
まず、４で割りたまへ。

>626 627
とりあえず4でわって因数分解しました
(x-3y)(16x+2y)=0
になりました。
これからどうしたらいいでしょうか。

４で割ってないと思うが。
ま、後は自分で考えなたい。

第ｋ群には2^(k-1)個、第ｋ群の一番最初の項は2^(k-1)、第ｋ群の一番最後の項は2＾k-1

等差数列の和だから、第n群の項の総和S(n)は〜
S(n)=(1/2)2^(n-1){2^(n-1)+2^n-1}=2^(n-2){2^(n-1)+2*2^(n-1)-1}=2^(n-2){3*2^(n-1)-1}

S(n)=3*2^{(n-2)+(n-1)}-2^(n-2)=3*2^(2n-3)-2^(n-2)

>>624です

>>617
ありがとう。よく考えたらr>0で(r,θ)と(-r,θ+180°)が同じなわけだから、
　 r = (-x+2)*√3/3
⇔ r^2 = (-x+2)^2/3 かつ -x+2>0
だから両辺正にしてで二乗しちゃえば早かったんだな。
本当にありがとう。

>621です

(x-3y)(8x+y)=0
x=3yとして、(8x+y)に代入すると
０になってしまいます。どうしてらいいでしょうか。

>633
おいおい、その式からでてくるのはx=3y「または」x=-y/8だろ。
一緒にしてどうする。

明らかに大学受験のレベルに満たないような質問が増えてきてるから
別にスレ立てたほうがよくね？
「やさしい理系数学＆ハイレベル理系数学」スレでもいいけど。

ちが
「やさしい理系数学＆ハイレベル理系数学」スレを勘違いしてた…

やっぱ新スレ建てたほうが(・∀・)ｲｲ!!？

>634
x=3yは一番最初の式に代入すればいいのでしょうか

>637
やってみ。答出るから。

ど忘れしたので聞きたいんですが、球の体積って4/3・πｒ^3ですよね？球の表面積はどうでしたっけ？４πｒ^2で合ってますか？

>>639
合ってる。

>>640
m(._.)mﾍﾟｺﾘ

cosθ=0　の一般解って，(π/2)×nπ　ではだめなの？
チャートには(3π/2)×2nπと(π/2)×2nπが両方書いてあるのですが。
超初歩的な質問ですまそ。。。

コーシーシュワルツの不等式をｎ次元のベクトルで説明されたのですが
その際ｎ次元での内積が何を意味するかわからないのですが・・・

>>642
×じゃなくて＋ならよろしいかと。

>>643
n次元ベクトル x=(x_1, x_2, ... , x_n), y=(y_1, y_2, ..., y_n) に対して
その内積は x・y=�納i=1, n]x_i*y_i で定義されます。

白球と赤球が５個ずつ計１０個入った箱がある。いま任意に一個を取り出すとき
白球なら箱に戻さず、赤球なら箱に戻してよくかき混ぜ、次の一個を取り出す。
この作業を繰り返すとき、次の確立を求めよ。
(2)２回目が赤である確率

答えでは7/36になっているんですが、どうしても19/36っていう答えが
でてしまいます。この問題の解法を教えてください。

>>635
高校数学レベルの質問もいいんじゃね？
だいたいどこまでが受験レベルかで揉めるぞ
大学によっては教科書レベルでさえ受験レベルだしさあ

>>645
合ってる、答えが誤植されてると思う

直線 (a-2)x+ay+2=0 と x+(a-2)y+1=0 が垂直となるときのaの値を求めなさい。

(a-2)/a * 1/(a-2) = -1
(a-2)で約分して　 a = -1

とやったんですけど答えは　　a = -1.2 となっていました。
問題文の式に a = 2 を代入すると　y = -1 . x = -1 となって垂直に交わるのはわかるんですが
(a-2)/a * 1/(a-2) = -1　の式で a-2 が分母になっているからこの時点で a ≠ 2 のような気もして
もうわけがわかりません。

どなたか何がいけないのか教えてください。

　

>>648
あなたは (a-2)/a, 1/(a-2) と書いた時点で, a≠0, 2 であることを仮定しています.
もしその方針で解くのならば, a＝0, 2 のときは別個に調べる必要があります.

別の解法.
2つの直線の法線ベクトル ((a-2), a), (1, (a-2)) (≠(0, 0)) が直交することから,
(a-2)*1+a*(a-2)＝0 ⇔ a＝-1, 2.

a-2を分母にしたときに、a-2=0の可能性を排除してるから。

傾きをかけて-1となるのは傾きが存在するとき．
場合わけでやるか，別の垂直条件 (a-2)・1+a・(a-2)＝0 を使う．

>>650-652
レスありがとうございます。

>あなたは (a-2)/a, 1/(a-2) と書いた時点で, a≠0, 2 であることを仮定しています.
もしその方針で解くのならば, a＝0, 2 のときは別個に調べる必要があります.

この方針で解く時 a＝0, 2 のときは別個にどうやって調べればいいんですか？

>>653
もとの直線の式に代入して垂直か否か確認

>>654
サンクス。しょーもない質問ですみませんでした。

>>643
逆に内積によって，ベクトルの大きさや，ベクトル同士のなす角を定義する．

>>647
答えが間違ってましたか､レスどうもでした。
えっと、その7/36って答えはもしかして
(3)２回目と３回目がともに白球である確率は？
の答えですか？

高校の範囲じゃないんですけど、
tanの逆関数tan^-1を積分するやり方が分かりません。
どなたかご教授下さい。

>>658
arctanθ=xっておけば
∫θ/(cosθ)^2　dθになって部分積分できるんじゃね？

>>658
で、答えが
xArctanx - 1/2 log(1+x^2)になるね。

誰かこの問題の問題解いてみてください。

放物線y=x^2+2ax+aがx軸を異なる2点で交わるように、
aの値が変化する時、この放物線の頂点pの軌跡を求めよ。

間違えた。

「x軸を」→「x軸と」

>>635
答えられないていない質問の数がたまる一方なのだが・・・

>>661
y=-(x+1/2)^2 + 1/4 (-1<x<0)
か？
軌跡なんて激しく忘れたから自信nothin'

　　 ｎ-1
[1/3+Σ{2^n/3^(n+1)}]3^n
k=1
をどういう風に計算したら、3＾ｎ-2＾ｎになりますか？
自分で計算したら
3^(n-1){4-(2)^(n-1)}
になりました。これでもnに代入してみると答えは
合うのであってるのかなとは思うんですが・・・。

>>613
アリガ�d
613の解答友達にも教えてやろうと思います。

点と直線の距離の公式の証明で、A(X,Y)から直線�@:ax+by+c=0までの距離ｄは
�@の法線ベクトルが(a,b)であるから法線方向の単位ベクトルは
e=｛1/√(a^2+b^2)}(a,b)　
またP(p,q)とすると
ｄ=|PA・e|=うんぬんかんぬん…でいつもの公式が証明できるんですがなんで
PAとeのないせきで出てしまうのですか？

>>661
2点で交わる⇔a^2-a>0 (条件1とおく)
また、与式は
y=(x+a)^2-a^2+a
と変形出来ることから、
頂点p(-a,-a^2+a)となり、pのx座標y座標をそれぞれX,Yとおくと、
p(X,-X^2-X)
∴Y=-X^2-X
条件1より、
X^2+X>0
∴X<-1,0<X
∴Y=-X^2-XかつX<-1,0<X

>>667
その文章中に書かれてないが点 P を点 A からの最短距離を与える直線�@上の点だとすると…
その場合、e と PA はおなじ方向のベクトルだから２つのベクトルのなす角θは 0°または 90°になります。
また、e は単位ベクトルなので大きさは 1 。すなわち|e|=1
PA の大きさは求めたい距離そのものなので |PA|=d となります
cos0°=1 , cos90°=-1 だから |cosθ|=1 で
|PA･e|=|(|PA|･|e|･cosθ)|=|PA|･|e|･|cosθ|=|PA|=d

>>669ミスった。90°のところ全部180°に読み替えてくれ。

>>668
サンクス

>>669
ありがとうございます！

すべての実数xに関して次の不等式が成り立つことを示せ。
　　
　　　e^x+e^-x≧x^2+2

これの解き方教えてください。

f(x)=e^x+e^(-x)-x^2-2
と置いて微分かな。
この問題の場合右辺が整関数だから何度か微分すれば絶対解けるとおもう。

>>673
e^x+e^(-x)≧2√{e^x・e^(-x)}=2

>>675
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?

ハァ、ってなんだよｗ
ひどいな。

>>673
e^x-2+e^(-x)={e^(x/2)-e^(-x/2)}^2 に注目したらどうですか.

>>673
左辺−右辺の増減表を書け！

>>673
e^x=1 + (x/1!) + (x^2/2!) + (x^3/3!) +　‥・ +(x^n/n!) ‥・　というのがあるってのをさっき見てたから(高校の範囲じゃないから使えないけど)
e^x≧1 + (x^2/2!)　　　　 ‥・�@
e^(-x)≧1 + {(-x)^2/2!}　 ‥・�A
で辺ぺん加えて終わり。
でもこれだと部分点すらもらえないだろうから�@�Aをそれぞれ微分とかで示して辺ペン足すとかでどう？

ごめん�Aの不等式成り立たないな。アホや・・・

>>675じゃだめなの？

簡単な問題でごめんなさい

|z+2i|/|z+i|=1　をみたす複素数zの虚部は？

お願いします

偶関数なんでX>=0で証明するとして,
f(x)=e^x+e^(-x)-x^2-2＞e^x-x^2-2
だから
g(x)=e^x-x^2-2＞を示す。
これは2回微分すればできる。
ま、そもそも
(e^x＋e^(-x))/2=cosh x （ハイパボリックコサイン）と言う関数
の表すカテナリー（懸垂曲線）と、放物線の関係だな。
ちなみに指数関数＞整関数の証明は大抵はさみうちを使う。

684は>>673ね

ついでに4行目は
g(x)=e^x-x^2-2＞0ね。
連続カキコスマソ。

>>683
|z+2i|/|z+i|=1
|z+2i|=|z+i|
z=a+biとおくと
|a+(b+2i)|=|a+(b+1)i|
a^2+(b+2)^2=a^2+(b+1)^2
あとは自分で。

>>683
|z-(-2i)|/|z-(-i)|=1
つまりzは複素平面上で、点A(-2i)と点B(-i)からの距離の比が等しい点の集合
→zは線分ABの垂直二等分線

よってzはABの中点(zの描く直線と虚軸と交わる点)を通る
→zの虚部は-3/2i

>>684
その証明間違ってませんか?

687のようにやるにせよ、
688の言ってることはイメージできないといけない。
複素平面は新課程ではなくなったんだっけ？

>>675
e^x+e^(-x)≧2√{e^x・e^(-x)}=2…うん。x^2+2≧2…うん。しかしどっちが大きいか分からない。
>>689
確かに>>684はおかしい。なぜならば、0<x<1くらいで明らかにe^x-x^2-2>0でないから。

多分以下でいい。>>675と>>684を混ぜてみた。リスペクトってことで。
f(x)=e^x+e^(-x)-x^2-2、f'(x)=e^x-e^(-x)-2x、f''(x)=e^x+e^(-x)-2≧2√{e^x・e^(-x)}-2=0
よってx≧0のときf''(x)≧0かつf'(0)=0なのでf'(x)≧0である。
よってx≧0のときf'(x)≧0かつf(0)=0なのでf(x)≧0である。
よってf(x)はx≧0でf(x)≧0である。ここで、f(x)は偶関数であるからx≦0でもf(x)≧0である。
よってf(x)≧0が成り立つ。

>>690
複素平面はなくなった。点の回転は数学Cの行列で行うことになっている。

結局は674の解き方だな。

点の回転は数学Cの行列で行うって、1次変換復活なの？

>>693
なんかそうらしいね
現役生ではないので知らないけど。

１次変換は再来年から復活のようです。
計算が合わないので、教えてください。

∫[π/3→π/2]｛3/2−3/2(cosθ)＋1/2(cos2θ)−3/2(cos3θ)＋cos4θ｝dθ

＝[3/2θ−3/2(sinθ)＋1/2*1/2(sin2θ)−3/2*1/3(sin3θ)＋sin4θ](π/3→π/2)

＊π/2−π/3＝π/6　だから

3/2*(π/6)−3/2(sinπ/6)＋1/4(sinπ/3)−1/2(sinπ/2)＋sin2π/3

＝π/4＋√3/4-5/4

と答えを出したのですが、解答は
π/4＋3√3/4−1　になってます。どこか違うのでしょうか。

>>695
cos4θ を積分するとこだけ sin4θ になって 1/4 を付け忘れてる。

そして根本的な間違いは「＊π/2−π/3＝π/6　だから〜〜」の部分です。
素直に上の値と下の値をそれぞれ代入してから引きましょう。そうすればわかります。
引いてから代入するのと代入してから引くのが同じになるのは一次関数だけです。

y=a|x-1|-aとy=√xのグラフが３つの異なる共有点を持つための
実数aの範囲を求めよ。
お願いします！

だれか　　


x^2/logx

を二回微分してくれーーー

>>698
単純に商の微分でいける予感。

>>698
( 2(logx)^2 - 3(logx) - 2) / (logx)^3
チャレンジしたが、間違ってたらｽﾏｿ

>>698
ｽﾏｿ、-2 じゃなくて +2 な悪寒
(2(log x)^2 - 3log x +2 ) / (log x)^3

ありがとうございました。
自分計算ミスしてたみたい。

やっぱり(2(log x)^2 - 3log x +2 ) / (log x)^3になりますよね？

このとき(2(log x)^2 - 3log x +2 ) / (log x)^3＝0ってないですよね？

logx=Xとおいても解が出ないんですが。
編曲店無しでＯＫ？

>>697
グラフ描いてみたら？　x<1 と x≧1 で場合わけ汁。
x<1 の側の１次式が (1,1) より上側を通過できるように a を定めれば、
原点入れて３箇所共有できると思うけど。

>>692
その通り。
>>703
OK。

>>696
ありがとう！！　わかったよ！

立方体の各面に数字がなく区別がつかないものとする。各面を赤か青のいずれかに塗るとき、色の位置関係にだけ注目すると色の塗り方はなん通りあるか。という問題を教えてください。

>>707
0と6で塗り分けると一通り
1と5で一通り
2と4で二通り
3と3で二通り
か？ｼﾗﾈ('A`)

数珠順列
もしくは赤を０面に塗るときから6面に塗るときまでを地道に考える
後者をお薦めします

y=sinx+sin3x/3+sin5x/5 (-π≦x≦π) のグラフを書け。

という問題なのですが、
微分するとcos5xが出て来たりして、詰まってしまいます。
どのようにすればグラフを書くことができますか？

>>709
赤を何面に塗るかで考えてみよう
０面→１通り
１面→１通り
２面→２通り
３面→２通り
４面→２通り
５面→１通り
６面→１通り
計10通り

しまった。>>709じゃなくて>>707

>>710
一回微分については･･･
cosx と cos5x で和→積公式
cos3x でくくれば何かが見えてくる。

>>710
ｙ’＝cosx+cos3x+cos5x 後は「積⇔和」の公式使えばなんとかなるだろ。

(log(1+a(x^2)))/(b+c(x^2))
これをxで積分しろという問題なのですが解けません。
お願いします。a,b,c>0です。

ごめんなさい
526ですがやっぱりわからないので教えてください。
問題もう一度載せておきます↓

　y=(x+2)^2 …1　y=-x^2+1…2
があり、放物線１上の点Ｐにおける接線が放物線２と
異なる２点Ｑ，Ｒで交わるとする。点Ｐがこの条件を
満たしながら放物線１上を動くとき、線分ＱＲの中点
Ｓの軌跡を求めよ。

これに>>533でぺさんが方針を書いてくださったのですが
(A)の式が何を意味するのかもよくわかりません
その後も頭が混乱するばかりです。
よければその後の解答例お願いできますか？

>>714の方に質問なのですが、
うっかりロピタルの定理を使うと誤答になってしまうような極限の問題の例で
どこがおかしいのかが容易には指摘しにくいような好例はありませんでしょうか？

>>716
ごめんよ〜(ToT)、責任をもって解答させていただきます！
説明のしかた考えるから、ちょっと待ってて下さいな

数学がやりたくなってきたからきてみた

なんでご指名なの？
指名料高いよ。

>>716
直線y=2(p+2)x-p^2+4と放物線y=-x^2+1が異なる2点で交わる条件は、
　　　2次方程式：2(p+2)x-p^2+4=-x^2+1
　　　　　つまり⇔x^2+2(p+2)x-p^2+3=0…(A)
が異なる2実数解をもつ事、っていうのはオケーですか？

>>717
714さんではないがちょっと
「グラフを書け」問題＝「微分して増減表、必要なら二回微分して凹凸」が基本だと思う
途中式が必要な場合でも、増減表が書けていればまず部分点取れるわけだし
微分して式を整理してみて、それでも思いつかない場合初めて○○の定理などを持ち出すがよろしい

この問題は
cos5x=cos(3x+2x)
　　　 =cos3xcos2x-sin3xsin2x
　　　 =・・・
と、ひたすら分解してcosxとsinxのみの式に直して、増減表を書くのが一番単純と思う
もちろんcos3xにまとめてもいんだけど、定義域の変更とかちょいと面倒なので
上記のやり方なら計算さえきちっと合わせたら超基本問題だしな
まぁ、好みで好きな方を選んでくれたらいい

cos2x=2(cosx)^2-1
sin2x=2sinxcosx
sin3x=3sinx-4(sinx)^3
cos3x=4(cosx)^3-3cosx
コレは覚えておこうな

∫x・sin(π・x~2/2)dx がわからないです。
部分積分して永久輪廻してしまいます。

置換積分があるだろ？

数学の問題解いてる時、勃起してるんだけど。
皆さんどうですか？

>>723
元の式を「Ｘ」とでも置いたら積分した式の中に「Ｘ」が出てくるだろう？
それを利用してごらん

>>723
多分高校範囲で解けないやつでしょう

公式の証明って出題されます？
例えば点と直線との距離の証明とか・・・。
入試としては簡単すぎかな？

解けるのか・・・
数学神、すげー

だれか青チャートもってたらお願いします。
中間試験中で時間がなく問題はかけませんが
数�V+Cの例題131なのですが（1）の積分の範囲が-ｘからｘに変わっています
変わっていいのでしょうか？

ある解答で
0 < |∫[0→(π/2)] {(sin2nx)/(1+x)^2} dx| < 1/(4n)∫[0→(π/2)]　dx　という不等式があったのですが
これは自明なんでしょうか？証明なしでいきなり使われていたんですけどどうですかね？

>>730
t=-sって置換してんじゃん。

どうも

>>716
まずは少し関係ない話から…

直線L(ここではy=x)と曲線C(ここではy=x^2)がある時、
この２つの線が交わるか調べる時、又は、交わる時の交点のx座標を求めるために、

y=x、y=x^2→x=y=x^2→x^2-x=0…(A)

ってのを利用しますよね。
(A)の式の判別式Dが0以上なら、２つの直線は交点を持ち、0より小さければ交点を持ちません。
また、２つの交点を持つ時に、それぞれ交点のx座標(ここでは0、1)は(A)の２つの解ですから、
問題を解く時に、解と係数の関係を用いて何とかする事ができますよね…。(抽象的過ぎますね)

では533の説明を、
533の（A）は、点Ｐにおける接線の方程式y=2(p+2)x-p^2+4とy=-x^2+1のyどうしをくっ付けて

2(p+2)x-p^2+4=y=-x^2+1→ x^2+2(p+2)x-p^2+3=0…(A)

問題文より接線と放物線２は２点で交わるので、判別式Dは0より大きくなくてはいけません！
D/4=(p+2)^2-(-p^2+3)＞0→これは記入が大変なのでご自分でやっていただけるかな(p＜a、p＞bとなったとしよう)

んで、さっき書いたけど、交点のx座標は(a)の２つの解だから、解をそれぞれα、βとすると
α+β=-{2(p+2)/1}=-2(p+2)、αβ=(-p^2+3)/1=-p^2+3

(つづく)

>>716
さっき書き忘れたけど点Ｑのx座標をα、点Ｒのx座標をβとします！

線分ＱＲの中点Ｓのx座標XはX=(α+β)/2で表せますよね。α+β=-2(p+2)ですからX=-(p+2)
ちなみにp=-X-2であるから-X-2＜a、-X-2＞bとなりXの範囲が求められます。

又、中点Sは接線上の点だから、中点Sのy座標をYとすると
Y=2(p+2)X-p^2+4→Y=2(p+2)(α+β)/2-p^2+4→Y=-2(p+2)(p+2)-p^2+4=-2(p+2)^2-(p+2)(p-2)=-2(p+2)^2-(p+2){(p+2)-4}

ここでX=-(p+2)を代入すると（無理やりだけど…）
Y=-2X^2+X(-X-4)=-3X^2-4X

よって中点Ｓの軌跡はY=-3X^2-4X(X＜-b-2、X＞-a-2)

ご迷惑をお掛けしました、ぐはっ…

716です
ぺさん。本当にありがとうございます！！
迷惑をかけたのはこちらです。
ごめんなさい。
全然ぺさんのせいなんかじゃないです。
全ては私の頭が弱いから・・・
今なるほど！って思ってるので
これから自分で解いて確かめてみます。

ほんとにわかりやすい解説ありがとうございます！

>>728
以前東大に加法定理の証明が出たし、阪大に�納k=1,n]k^5を求める問題が出たし…
点と直線の距離ってそこそこ計算が煩雑だった気もするから狙われるかも。

加法定理の証明はいいとして

�納k=1,n]k^5
は計算めんどいな
�納k=1,n]k^4
を公式にしようと思って求めたことがあるがめんどくさかった

公式�納k=1,n]k^r
r=1:n(1 + n)/2
r=2:n(1 + n)(1 + 2n)/6
r=3:(n^2(1 + n)^2)/4
r=4:n(1 + n)(1 + 2n)(-1 + 3n + 3n^2)/30
r=5:n^2(1 + n)^2(-1 + 2n + 2n^2)/12
r=6:n(1 + n)(1 + 2n)(1 - 3n + 6n^3 + 3n^4)/42
r=7:n^2(1 + n)^2(2 - 4n - n^2 + 6n^3 + 3n^4)/24
r=8:n(1 + n)(1 + 2n)(-3 + 9n - n^2 - 15n^3 + 5n^4 + 15n^5 + 5n^6)/90
r=9:n^2(1 + n)^2(-1 + n + n^2)(3 - 3n - n^2 + 4n^3 + 2n^4)/20
r=10:(n(1+n)(1+2n)(-1+n+n^2)(-5+10n+3n^2-11n^3+2n^4+9n^5+3n^6))/66
r=11:(n^2(1+n)^2(10-20n-3n^2+26n^3-5n^4-16n^5+4n^6+8n^7+2n^8))/24
r=12:(n(1+n)(1+2n)(-691+2073n-287n^2-3285n^3+1420n^4+2310n^5-1190n^6-1050n^7+525n^8+525n^9+105n^10))/2730
r=13:(n^2(1+n)^2(-691+1382n+202n^2-1786n^3+367n^4+1052n^5-326n^6-400n^7+125n^8+150n^9+30n^10))/420
r=14:(n(1+n)(1+2n)(105-315n+44n^2+498n^3-217n^4-345n^5+182n^6+144n^7-81n^8-45n^9+24n^10+18n^11+3n^12))/90
r=15:(n^2(1+n)^2(420-840n-122n^2+1084n^3-226n^4-632n^5+203n^6+226n^7-83n^8-60n^9+21n^10+18n^11+3n^12))/48
r=16:(n(1+n)(1+2n)(-3617+10851n-1519n^2-17145n^3+7485n^4+11835n^5-6275n^6-4845n^7+2775n^8+1365n^9-805n^10-315n^11+175n^12+105n^13+15n^14))/510
r=17:(n^2(1+n)^2(-10851+21702n+3147n^2-27996n^3+5857n^4+16282n^5-5271n^6-5740n^7+2165n^8+1410n^9-565n^10-280n^11+105n^12+70n^13+10n^14))/180
r=18:(n(1+n)(1+2n)(219335-658005n+92162n^2+1039524n^3-454036n^4-716940n^5+380576n^6+292152n^7-167958n^8-80430n^9+48132n^10+16464n^11-9996n^12-2940n^13+1680n^14+840n^15+105n^16))/3990
r=19:(n^2(1+n)^2(438670-877340n-127173n^2+1131686n^3-236959n^4-657768n^5+213337n^6+231094n^7-87665n^8-55764n^9+22835n^10+10094n^11-4263n^12-1568n^13+616n^14+336n^15+42n^16))/840
r=20:(n(1+n)(1+2n)(-3666831+11000493n-1540967n^2-17378085n^3+7591150n^4+11982720n^5-6362660n^6-4877460n^7+2806470n^8+1335510n^9-801570n^10-266310n^11+163680n^12+41580n^13-25740n^14-5940n^15+3465n^16+1485n^17+165n^18))/6930

>>739
ご苦労

ＴｅＸなんか使ってソース貼り付けると円滑に説明進むと思うんだけどどうなのさ

みんながTEX使えるなら良いと思うが。

>>741
大学受験板で、TeX使える人間が何パーセントほどいるか考えれ
いまどき、理系の大学生ですらwordで卒論書く人がほとんどなのに。

>>743
読点の打ち、方キモ、い。

TeXなんてすぐおぼえるさ

�納k=1,n]k(k+1)(k+2)・・・(k+a-1)=k(k+1)(k+2)・・・(k+a-1)(k+a)/(a+1)
が本来の公式だろう。

( 2(logx)^2 - 3(logx) + 2) / (logx)^3　にならん？

>>746
わたしもそう思うのですが
どうもそれ、このスレでは言っちゃいかんことみたいですよ。
過去に何度かそれ書いてえらい反感を買ってしまった。

基本的な質問ですいません
赤チャートで０は一桁の整数に含まないように
なっているんですが
０は何桁の整数になるんですか？

>>746,748
私もその式については導き方を知っておくべきである程に重要だと
思う。>>748は何で反感買ったん？

>>749
どう考えても一桁の整数だな。

>>749
自然数と整数読み間違えてる予感。

>711赤を何面に塗るかで考えてみよう
０面→１通り
１面→１通り
２面→２通り
３面→２通り
４面→２通り
５面→１通り
６面→１通り
計10通り
これの２、３，４面の数え方がいまいちわからないんですけど

>>753
ちょっと説明不足だったかな？
面の区別が付かないから、塗り分け方は単純に赤の配置だけで決まる
０面は当然１通り
１面も当然１通り
２面に赤を塗る場合、その２つの面をくっつけるか離すかの２つだけ
３面に赤を塗る場合は、
�@□□□

�A□□
　 □
この２つだけ
赤４面の塗り方は、青2面の塗り方を考えるのと同じだから２通り
５面と６面は、４面と同じ考え方で各１通り

以上、理解できた？

>>753
1つ、例えば上の面を赤で塗ったところを想像しよう、
そこからもう1面赤で塗ることを思うとき、『そのすでに赤く塗られた面と反対側にぬる』か
『すでに赤く塗った面に隣接した4面のうち1面を選んで塗る』か、が考えられるだろう。
前者と後者では位置関係が違うが、後者の4面のうち1面を選ぶ選択は見方をかえれば同じ塗りかた、
これは最初の1面をどこに塗るかについても同様。

結局、今答えられてない質問はどれ？

完全数より１少ない数は存在しないことの証明

>>757
どういう意味？

>>758
あ、「完全数より１大きい自然数は存在しないことの証明」だ
完全数というのは、ある数Ｘの約数のうち、自身を除いたものの和がＸである数
６→１＋２＋３
２８→１＋２＋４＋７＋１４
という風に

>754,755
arigatougozaimasita wakarimasita.

６は完全数なので７は完全数より１大きい。

>>757と>>759はアフォということでファイナルアンサー

ざ〜〜〜〜んねん！

(-128)^(1/3)=-4(2)^(1/3)
ですが、ルートの中にマイナスが入ってもいいときと悪いときの違いはなんですか？

>>764
偶数乗根の中には実数の範囲で考えている限りマイナスを入れると意味がなくなります。任意の実数の偶数乗は非負なので。
奇数乗根の中には負数を入れても実数の範囲で意味を持たせることができます。負数を奇数乗すれば負になるので。

指数部分に整数ではなく有理数値や実数値を取らせる場合には底は非負とするのが一般的ですが、
分母が奇数の有理数乗については、上のように底が負のときも実数の範囲で意味を持たせることができます。

lim_[x->0]{log(cos2x)/log(cos5x)} の極限値を求めよ。

旧課程青チャート�TＡの例題52(2)、または�VＣ例題15(A)を誰か詳しく教えてくれませんか？合成関数が４パターン出来るのは分かるんですが、定義域をどうやって出すのかよく分かりません。どうかお願いします。

>>767
g(t) = 2t (0≦t<1/2) , 2t-2 (1/2≦t≦1)
という関数を用意したとする。
そうすると、y=f(g(t)) となるよね。
たとえば、f(x)=2x , g(t)=2-2t を合成すると、y=f(2-2t)となる。
すなわち、x=2-2t だから、0≦2-2t<1/2 となるtの定義域をもとめてあげればいい。
（逆にわかりづらい説明だったかな）

>>768
ゴメ、気づいたと思うけど g(t) = 2t-2 (1/2≦t≦1) は g(t) = 2-2t 。（�Tと�Vがごっちゃになってた）

>>768ｰ769
分かりました。ありがとうございました。

>>766
4/25かな？ロピタル使うなりテイラー使うなりしないと私には解けない…一応やり方書くと

ロピタルなら
log(cos2x),log(cos5x)ともにxで微分可能でx=0で0だから
lim[x→0]{log(cos2x)/log(cos5x)}
=lim[x→0]{{log(cos2x)}'/{log(cos5x)}'}(∵ロピタルの定理)
=lim[x→0]{(-2sin2x*cos5x)/(-5sin5x*cos2x)}
=(2/5)*lim[x→0]{(2/5)*(sin2x/2x)*(cos5x/cos2x)/(sin5x*5x)}
=(2/5)^2

テイラーなら
log(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-...(両辺微分すると公比(-x)の無限等比級数の式)
cosx=1-(1/2)x^2+(1/24)x^4-...なので、log(cosx)=log(1+(-(1/2)x^2+(1/24)x^4-...))
ここで、
f(x)=-(1/2)x^2+(1/24)x^4-...
g(x)=log(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-...
とすると、どちらとも0を含む範囲で定義できて、f(0)=0だから、
log(cosx)=g・f(x)=g(f(x))の、テイラー展開におけるx^0,x,x^2,...,x^nの係数{c_n}は、
g(x),f(x)のテイラー展開におけるx^0,x,x^2,...,x^nの部分までを取り出した関数g_n(x),f_n(x)の合成関数g_n・f_n(x)におけるx^0,x,x^2,...,x^nの係数{d_n}と一致するから(こういう定理がある)
たとえば、n=2としてg_2・f_2(x)を計算すると
g_2・f_2(x)=f_2(x)-(1/2){f_2(x)}^2=-(1/2)x^2-(1/8)x^4

つまりlog(cosx)をテイラー展開すると、log(cosx)=-(1/2)x^2+(xの3次以上の無限級数...)になる。よって、
lim[x→0]{log(cos2x)/log(cos5x)}
=lim[x→0]{{-(1/2)(2x)^2+(xの3次以上の無限級数...)}/{-(1/2)(5x)^2+(xの3次以上の無限級数...)}
=lim[x→0]{{4+(xの2次以上の無限級数...)}/{25+(xの2次以上の無限級数...)}
logx,cosx共に、今考えている範囲では一様収束する関数なので上式に出てくる無限級数も同様の性質を持つ。
そのため、上式をlim[x→0]F(x)と書き直すと、F(x)が連続関数になるので、
lim[x→0]F(x)=F(0)=4/25

違ってたらごめんなさい。。

z^3-12z^2+36z-32=(z-8)*(z-2)^2
k^3-k^2-4=(k-2)*(k^2+k+2)

こういう因数分解どうやってやるんでしょうか？

ＡＢ＝２，ＡＤ＝４，∠ＢＡＤ＝１２０°の平行四辺形ＡＢＣＤにおいて，辺ＣＤを
２：１に内分する点をＰ，線分ＡＰと線分ＢＤの交点をＱとする。
ＡＢベクトルをｂベクトル，ＡＤベクトルをｄベクトルとおくとき、

（１）ＡＱベクトルをｂベクトル，ｄベクトルを用いて表せ。
（２）線分ＡＱの長さを求めよ。

教えてください。よろしくお願いします。　　

>>772
１、±1,2,4,8,16,32を順に代入。

２、Z=2を代入した時に等式が成立するので
z^3-12z^2+36z-32=(z-2)(?????)とかける。

３、?????の部分を求める。z^3-12z^2+36z-32=(z-2)(z^2-10z+16)
で?????の部分はz^2-10z+16だとわかる。

４、z^2-10z+16=(z-2)(z-8)なのでまとめると
z^3-12z^2+36z-32=(z-8)*(z-2)^2


１の部分で±1,2,4,8,16,32を代入したが、一般に整数係数の整式の
有理数解の候補は
(定数項の約数)/(最高次数の係数の約数)に限定される。

>>772
簡単な整数を代入して0になったら解
(個人的にはもう少し代入するものを絞り込む方法はあるけど定式化出来ないので略)。

それが無理なら適宜別法を用いるか因数分解する必要が無いか。

>>774-775

＞１の部分で±1,2,4,8,16,32を代入したが、一般に整数係数の整式の
＞有理数解の候補は
＞(定数項の約数)/(最高次数の係数の約数)に限定される。
こんなの初めて知った・・・

よく分かりました。どうも有難うございました。

>>773

(1)


AP(ベク)=1/3b(ベク)+d(ベク)
QはAP上にあるのでAQ(ベク)=kAP(ベク)・・・(A)とおける。kは実数。
つまり、AQ(ベク)=k/3b(ベク)+kb(ベク)
Qはさらに線分BD上にあるのでAQ(ベク)=(1-t)b(ベク)+td(ベク)・・・(B)
ただし、tは実数。

b(ベク)とd(ベク)は一次独立なので(A)と(B)の係数を比較して
t=k=3/4と求まり、AQ(ベク)=1/4b(ベク)+3/4d(ベク)である。

>>773

(2)

｜AQ(ベク)｜^2=1/16｜b(ベク)｜^2+9/16｜d(ベク)｜^2+3/8b(ベク)・d(ベク)・・・(A)

問題文より
b(ベク)・d(ベク)=｜b(ベク)｜×｜d(ベク)｜×cos120°=-4
｜b(ベク)｜=2
｜d(ベク)｜=4

で、これを(A)に代入すると｜AQ(ベク)｜^2=31/4で｜AQ(ベク)｜>0なので
｜AQ(ベク)｜=(31)^1/2 /2

>>777
ありがとうございます。
とても助かりました。

>>776
ちゃんと自分でなんでそうなんのか証明しとこうな。

教育的だ…。

>>781
??

四角形の4辺の長さをa b c d とする時、四角形の面積の最大値を求めよ
っていう問題なんですが、指針すら立ちません。お願いします。

質問者は成績が伸びるだろうねってことさ。

>>784
そんなつもりはなかったんだが(照

>>783

http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/mondai/node17.html

>>783
対角線の長さをLと置けば面積がLの式になるからそれを微分すれば良いのでは無いかと。

sin{f(x)}の積分って-{1/f'(x)}cos{f(x)} であってますか？
つまらない質問でごめんなさい。

>>788
あってません。

>>787
いや、それでもできるけど、計算で死ぬよ・・・。

そこは気合いでw

f(x)=(x-1)/(3x+b)の逆関数がf(x)と一致するときbの値を求めよ。
青チャP.24の問題なんですけど解説では
(-bx-1)/(3x-1)=(x-1)/(3x+b)が恒等式となる条件を係数比較法で解くときに
分母を払って整理してるんですが払わずにこのまま比較したら何かまずいんでしょうか？
分かる人お願いします。

数列で例えば一般項An=2ｎがある場合、Ａ(n+1)＝２(n+1)になりますよね。
このとき、nにはn+1を代入することになりますが、納得できません。
これはどう解釈すればよいでしょうか？n=cを代入し、c=n+1を
代入すればよいと、本質がつかめる数学には書いてますが
もっといい解釈があると思うのです。どうでしょうか？

y=2x
に
x=n+1
と代入したものがA[n+1]
なわけだから
A[n+1]=2(n+1)
がオレの中で基本になってる。

f(x)=2xにx=n（自然数）を代入すれば
f(n)=2nになりこれが一般項だから
f(n+1)=2(n+1)というy=f(x)での関数での解釈ですね？
xが媒介ね。
そもそも第n+1項ってのは一般項からある規則に一回だけしたがうんだから・・・
このあとに続くしっくりくる説明がほしいな

>xが媒介ね。
より下の文章の意味が…良く分からないというか…。

>>793
この場合はb=-1だけしかないからそのまま比較しても答えに変わりはないが、
場合によっては他の数も出る可能性もあるってことでは。

>>793>>795
一般項が An=2n というように書かれている場合は
数列 An は「任意の自然数 n に対して An=2n」が成り立つような数列であるって意味ですね。
n に n+1 を代入するという文脈では普通左の n と右の n+1 の中の n は異なる意味で用いています。

n に m+1 を代入するというのならわかるんですよね？
この n に m+1 を代入するという操作は、「任意の自然数 n に対して An=2n」という命題から
「任意の自然数 m に対して A(m+1)=2(m+1)」という命題を導き出すということに他なりません。
より正確に書くと、任意に自然数 m が与えられたとすると、m+1 は自然数であるから
「任意の自然数 n に対して An=2n」が成り立つことより A(m+1)=2(m+1) となります。
ここまでわかればあと一歩。「任意の自然数 m に対して A(m+1)=2(m+1)」という命題と
「任意の自然数 n に対して A(n+1)=2(n+1)」という命題が全く同じ内容を表している、
すなわち全く同一の命題であることを納得できれば疑問は解決するでしょう。
つまり上の文章の m をそっくり n に変えて読めばよいわけです。

そもそも数列の一般項とは何なのか、一般項の定義は？
といったところから教科書を見直したほうがよさそうです。
個人的には学校で一番数学のできそうな先生つかまえて聞くのがよいと思いますよ。

>>792
分母を払わずそのまま比較するってことは
-bx-1=x-1 として係数比較するってことですか？

一般に A/B=C/D から A=C を導くためには B=D という条件が必要なので
(-bx-1)/(3x-1)=(x-1)/(3x+b) の式から -bx-1=x-1 の式を導くのはまずいと思います。
この時点ではまだ b=-1 とはわかってないから分母が等しいことはわかってないので。

もし b=-1 を認めて分母が等しいので分子も等しくなり、
-bx-1=x-1 より係数比較して b=-1 である。ということをやると循環論法になります。

>>778
f(x)が x の一次式のときかつそのときに限りあってます。

>>766
>>771さんのは賢すぎてわかりません‥専門の方ですか？

log(cosax)/x^2 を変形していくと
=log(1+(cosax-1))/(cosax-1) * (cosax-1)/x^2
=log(1+(cosax-1))/(cosax-1) * (cos^2(ax)-1)/(ax)^2 * a^2/(cosax+1)
=log(1+(cosax-1))/(cosax-1) * (-sin^2(ax))/(ax)^2 * a^2/(cosax+1)
→1 * (-1) * a^2/2 = (-1/2)a^2
よって、
log(cos2x)/log(cos5x)
=log(cos2x)/x^2 * x^2/log(cos5x)
→(-1/2)*4 / (-1/2)*25 = 4/25（答）

>>783
余弦定理より
a^a+b^b-2ab*cosα = c^c+d^d-2cd*cosβ
両辺をαで微分して
2ab*sinα = 2cdsinβ*dβ/dα
よって
dβ/dα = ab*sinα/cd*sinβ (*)
ここで、四角形の面積をSとすると
2S = ab*sinα+cd*sinβ
両辺をαで微分して
2*dS/dα = ab*cosα+cd*cosβ*dβ/dα (*)を代入して
=ab*(cosαsinβ+sinαcosβ)/sinβ
=ab*sin(α+β)/sinβ
よって、α+β=πのときdS/dα=0
増減表をかくと、このときSが最大になることがわかる。
よって、四角形が円に内接するときが面積最大。（以下略）

>>793
一般的には、数列{A(1),A(2),A(3),・・・,A(n)}の一般項は
A(k) k=1,2,3,・・・,n
と表す。
無限数列ならA(n)と書くが、少なくとも「末項」があるならkを使う。
しかしなぜか高校数学ではA(n)なんだよね。
シグマの計算ではちゃんとkなのに。
それよりオイラは,数Aでベーシックやったときの
N=N+1
のほうが抵抗があった。

>>792
この問題では別にまずくない。
>>799
反省せよ。

(X+1)e^x-e^x　って
＝ｘe^x　ですよね？

なんで計算途中の答えが正解なんだろう。

>>804 青チャとチェクリピでは逆関数が一致するって問題を分母払ってたんで気になったんです。

2cosθとcos2θのちがいがわかりません。
教えてください。

>>807
グラフ書け。

>>807
教科書読め

>>808>>809
ｹｺｰﾝ！

>>807
f(2x)と2f(x)の違いだ。
ここに、
y=f(x)=cos(x)
を代入してみよ。

fが線形(ax+b)の時のみ
hf(x)=f(hx)
が成り立つ。

>>811
f(2x)=2f(x)だったら、f(x)=axなの？

任意のhに対して
hf(x)=f(hx)
が成り立つならば、
f(x)=ax
だ。

あ〜、でも>>812も正しいかも。
どうだろ。

まぁ、cos(x)の理解に役立てば良いよ。
線形の話は大学で学べば良い。

質問です。

青チャート�T＋Ａの例題１１１
「南北にまっすぐな道路上をある人が自転車で北に向かって時速１２Ｋｍ
で進んでいた。ある時刻に、その人の真上、高度約４０００Ｍにあった飛行機が
水平に移動して、一分後にはその人から見て、北西の方向に仰角３０度の位置
に見えた。飛行機の時速を求めよ。ただし、√２＝１．４１、√６＝２．４５として
計算せよ」ってやつなんですが、

ある時刻の人の位置をＡ、一分後の人の位置をＢ、飛行機の真下の点をＣ、
飛行機の位置をＣ’として、
∠ＡＢＣ＝１３５度がどうやって出てるのか分かりません。
なんか単純なことを見落としてる気がしているのですが、
教えてください。

北西はどの向き?
135ﾟだよね?

>>817
平面状では１３５度。
仰角３０度は、その人の目の高さから上に３０度です。

>>804>>806
主張の理由を明確に述べている>>799と理由を一言も述べていない>>804では
今のところは>>799の方が比較的説得力があるように思えるのですが
しかし、結局のところ他人がなんと言おうと自分できちんと理解することが大切なので
色々と参考にして自分でよ〜く考えて納得のいくほうを自分で採用すればよいと思います。


正直、>>799のどこが誤りなのか教えてくださいまし。それがわからないと反省のしようもないので…

>>816

　　　 [北]
C
　＼
　 ＼
[西] 　B
　　 ｜
　　 ｜
　　 ｜
　　 A

ずれちゃった・・・

>>820
その図の通りです。
図は分かるんですが、どうして∠ＡＢＣが１３５°なのかが
分からないんです。

>>822
∠AB西=90°
∠西BC は∠西B北の半分だから ∠西BC=45°
∠ABC=∠AB西+∠西BC

>>823
あー、そうかあ。「北西」は数学問題上完全に北西方向ですもんね。
疑問解決しました。ありがとうございます。

32方位とか考えてたのか…

>>796　スルーしちゃってください。時々、自分にしかわからないこと書いたりする癖があるので。

>>798　一般項Anってのはnの式で表されていて、そのnに数（序数）を入れることによって
　　　　その序数番目の項が求まる、っていうシステムなんですよね。
　　　　そんで今、一般項の序数はnだからn番目の項つまり第n項が求まってる状態なんですよね。
　　　　ちなみにnは任意の自然数(序数)。つまり任意の自然数でAn=2nは成り立っていますよ、ということ。
　　　　ここでn+1も、もちろん任意の自然数（序数）。だからn+1でもなりたっていて
　　　　n+1を代入すれば上の解釈よりn+1番目の項を表す。ということになる。
　　　　そう解釈すると確かにnとn+1のnは異質ですね。mで説明すればその違いがよくわかります。
　　　　

　　　　納得できましたが、僕の解釈になにか穴はあるでしょうか？あったらずばり指摘してくれたほうがいいです。

>>826の訂正＞つまり任意の自然数nでAn=2nは成り立っていますよ、ということ。

ここはさらに任意の自然数で一般項が成り立っているのほうがいいですね。
そうすればnとn+1の違いをより区別できて混同しなさそうです。

>>819
別に>799の言ってる事は間違っていないと思うけど…
恒等式時に係数が等しいっていうのは整式に対しての話だから、分数式のまま式を比較するのは普通よくないと思うよ。

ただ、この問題の場合は形とか、他の係数とかがほとんどおなじだからぱっと見の形のまま比較しても答えは出てきてしまう…ってなことを>804は言いたかったんじゃない?
実際、分母払ったときの両式のx^2の係数暗算で比較するだけでb=-1か、解なししかありえないって分かるし…

age

数Aの問題なんですけど、

xの整式f(x)をx-2で割れば8余り、x+3で割ると-7余る。
f(x)を(x-2)(x+3)で割った時の余りを求めよ。

答えは3x+2になるそうなんですが、導き方がよくわかりません
出来たらよろしくお願いします

>>819
必要条件でx=0代入したらｂ＝-１が出るから、十分性確認したらいいだろ。

2を入れれば8になって-3を入れれば-7になるax+bを考えれば良いのではないかと。

>>830
商をそれぞれP(x),Q(x),R(x)として
f(x)=P(x)*(x-2)+8
f(x)=Q(x)*(x+3)-7からf(2)=8, f(-3)=-7
余りをax+bとして
f(x)=R(x)*(x-2)(x+3)+ax+b　←これにx=2,-3を代入して
a=3 b=2

>>832-833
おおお〜〜

分かりやすいように解説していただき、ありがとうございましたm(_ _)m
本当に感謝感謝です♪

学校で使ってる問題集の例題にないのか？

さすがにあると思うが

x^3−6ｘ^2＋9ｘ−1＝0の実数解の整数部分はいくらか。

という問題ので増減表とグラフを書くところまではできました。
模範解答を見たら「０，２，３」となっていました
これはｘ軸との交点が０と１の間、２と３の間、３と４の間にあるからなのですか？
実数解の整数部分というのがわかりません･･･

>>837
実数解が5.35だとすると整数部分は5
f(x)=x^3−6ｘ^2＋9ｘ−1とすると
f(0)=-1<0,f(1)=3>0 (極大),f(2)=1>0,f(3)=-1<0(極小),f(4)=3>0
実数解はy=f(x)のグラフとx軸の交点。グラフをかくと曲線は
0と1、2と3、3と4の間でx軸と交わってるから実数解（交点のx座標）は0.?、2.?、3.?とわかる
よって整数部分は0,2,3
詳しくは微分法の「中間値の定理」を見るべし。

ちなみに3解は2+cos(π/9)+√3 sin(π/9)、2+cos(π/9)-√3 sin(π/9)、2-2cos(π/9)。

>>831＝馬鹿

疑問点は整数部分の意味だけ

理転して数IIICが必要になったのですが、基礎事項をじっくり解説してくれる
お薦めの参考書など、ありますでしょうか？
他教科は現役時にある程度済んでいるので、数学にじっくり時間をかけたいのです。

>>840
うるせーｸｽﾞ

もともとレス先誤爆した馬鹿がいたからﾎﾟ

>>826-827　よろ


>>842　本質がつかめる数学３Ｃ　長岡

>>845
ありがとう。

ベクトルの問題の解説の途中で
-4a・b+b^2 =-15
-2a・b+b^2 =5
という式があって上の式から
b^2=25　a・b=10
b=5
という風になってます。
どうして　b=-5　は当てはまらないんですか？
上の式で文字の上には全て→が入ります。
問題にはlal=4と書いてあります。

>>847
問題書け。

y = 1.3*x^2 + 0.0003*x^4
を x= の式にしたいんですが‥これはさすがに無理ッスよね？

>>847
b^2=lbl^2だ。
てかベクトルの大きさは常に正だ。
当たり前だが。
ちなみにb↑=5なんていう表記は無い。
絶対値ついてただろ本当は。

問題は
|a|=4, |2a-b|=7, (a+b)・(b-3a)=-43でa,bがなす角度θを求めよです。
-4a・b+b^2 =-15
-2a・b+b^2 =5
という式があって上の式から
b^2=25　a・b=10
という所まではわかりました。
あと文字の上には「→」がつきます。

>>851
lb↑l=５より
a↑・b↑=la↑llb↑lcosθ=20cosθ=10
よってcosθ=１/2よりなす角は60°

ってことだろ多分。

>>850
絶対値ついてました。あと正だってコトも知りませんでした。
ありがとうございました。

>>853
どういたしまいて。

>>849
なぜできないと思う?x^2を一塊と考えて二次方程式の解の公式を使って
「x^2=〜」の形にして「x=±√〜」とすればよいじゃないか。

ここのやつらって教科書読めないやつ多すぎだな
頭おかしいんでないの

>>856
そういう香具師は教科書読めないでも受かる３流大学行くんだよ。

ちょっとお聞きしたいんですが、旧課程青チャート�TＡの６５(1)で、�@が解をもつ条件がＤ＞０となってますがなんでなんでしょう？Ｄ≧０のような気がするんですが…。

>>858
上に凸なグラフの頂点がx軸に接している時は、
f(x)>0な領域は存在しないからでは？

>>859
あっΣ(ﾟoﾟ)そうですね。ｆ(x)の条件を見落とすとは…。しかし青チャは解説が不親切ですよね。おかげで助かりましたm(._.)mありがとうございました。

数学を苦手な人間が青チャをするのはあまり薦められないんだけど
ここに質問にくる人は青チャやってる人が多いよな。
まぁそれでも青チャをやりきれる根性があれば苦手なんて吹っ飛ぶとは思うが。

>>861
個人的には、白茶終わらせてから青茶やってもいいと思うんだけどな。
青茶の中で白茶とかぶってる問題はとばしてもいいんだしね。
あと、青１Aは解説がクソすぎると思う。
青２Bは初学者でもなんとかなるような分かりやすさなんだけど。

1-1成分がa、1-2成分がb、2-1成分がc、2-2成分がdの行列Aに対し
T(A)=a+d, D(A)=ad-bc とする。
[1]T(AB)=T(BA), [2]D(AB)=D(A)D(B)を示し、
[3](AB)^2=0ならば(BA)^2=0であることを証明せよ。

という問題で、[1][2]は証明済みなんですが、[3]で
ハミルトン・ケーリ−の法則から
A^2+T(A)A-D(A)E=0、A^2=0のとき、-T(A)A+D(A)E=0
A=aEをみたすaは存在しないからT(A)=D(A)=0・・・と解答は続いてるのですが
この場合、なぜA=aEをみたすaは存在しないのでしょうか。
ここ以外はすんなりと解けたのですが・・
「sA+tEならばs=t=0またはA=aE」は理解してます。
（数C赤チャートの主題12）

青ﾁｬに
｢常にf'(x)>0である区間では､f(x)は単調に増加｣とありますが､f'(x)>0の時とは､f'(x)の判別式がD>0の時のことですか？

どうやったらそういう考えにいたるんだYO！
f'(x)とはf(x)を微分したもののことだ。
f'(x)>0ってーのはそのままんまの意味だ。
もう一回考えろ。

>>863
Eはべき零行列じゃないから。
A=aEが成り立つなら
A^2=0
つまりa^2E^2=0
つまりa=0
ということになるが、これはどういう意味か。

>>864
素直に。たとえばx^2+1は常に正（実数の範囲で）
>>866
確かにA=aEだとA=Oになってしまいますね。そうすると
-T(A)A+D(A)=0 より D(A)=ad-bc=0と・・・ぬぅ、また止まってしまった。
どこかで凄い勘違いでもしてるんだろうかorz

>>867
>A^2+T(A)A-D(A)E=0、A^2=0のとき、-T(A)A+D(A)E=0
>A=aEをみたすaは存在しないからT(A)=D(A)=0
[3]の仮定は(AB)^2=0だから、AのところにABをいれて考えてみなさいな。
多分T(BA)とD(BA)についての条件が出るから、それをBAに関するハミルトン･ケーリーの法則の式に入れて終わり･･･じゃないかな?

あ、A=OってことはT(A)=D(A)=0になって結果に変わりは無いですね。
しかし、解答のA=aEとなるaは存在しないというのはどういうことでしょうか。
A=Oにはなり得ないのだろうか・・・

>>863
> 1-1成分がa、1-2成分がb、2-1成分がc、2-2成分がdの行列Aに対し
> T(A)=a+d, D(A)=ad-bc とする。
> [1]T(AB)=T(BA), [2]D(AB)=D(A)D(B)を示し、
> [3](AB)^2=0ならば(BA)^2=0であることを証明せよ。

AB=Oとすると、(BA)^2=BABA=BOA=Oとなる。
以下、AB≠Oの場合のみ考える。

行列ABにハミケリを適用して
(AB)^2 - T(AB)AB + D(AB)E = O . (AB)^2=Oを代入すると
-T(AB)AB + D(AB)E = O

ここで、AB=kE (k実数)とすると(AB)^2=(k^2)E=Oとなり
k=0 , これはAB≠Oに矛盾。
よってAB≠kEとしてよく、
T(AB) = D(AB) = 0となる。

ここで[1][2]より
T(BA) = D(BA) = 0もいえるので
行列BAにハミケリを適用すると(BA)^2=Oが示される。
こんな感じでいかがでしょうか。

>>870
＞AB=Oとすると、(BA)^2=BABA=BOA=Oとなる。
＞以下、AB≠Oの場合のみ考える。
（・∀・）!!
なるほど、そういうわけでAB≠kEというわけですか。
AB=0の場合はダイレクトに証明できるわけですな。
解決しました。みなさんありがとう！

各大学の数学の入試問題を一言で言うと……

東大……高級　
京大……スマート　
阪大……渋い
東工大……イヤらしい

log(x+1)
部分積分を使うのでしょうか？　よくわかりません。
やり方をお願いします。
数３の積分とりあえずやった程度です。

>>873
∫log(x+1)dx
=(x+1)log(x+1) - ∫(x+1)/(x+1) dx
=(x+1)log(x+1) - x

>>874
わかりました。
早速のご返答ありがとうございます。。。

lim(h^3+6h^2+12h-2a)/h
h→+0

これの計算がまったくわかりません。やり方をお願いします。
青チャなどで調べたのですが、まったく･･･
それから、出来たら　h→-0　もお願いします。

>>876
aって何？実数定数？

>>876
aの符号による。

すいません

f(x)=x^3+ax(x≧2)かつf(x)=bx^2-ax(x<2)がx=2で微分可能となるようなa,bの値を求めよ

という問題の途中計算のつもりだったんですが･･･

>>876は計算ミスしてると思われ。
実際にlim[h→+0](h^3+6h^2+12h-2a)/hを計算すると、
lim[h→+0](h^3+6h^2+12h-2a)/h
=lim[h→+0](h^2+6h+12-(2a/h))から、
a>0のとき、-∞
a=0のとき、12
a<0のとき、∞
となってしまい、a、bの値を求めるどころじゃなくなってしまう。

もう一回f(x)=x^3+ax(x≧2)のときの
｛f(2+h)-f(2)｝/hを計算しなおしてみよう。

ホントにすいません。計算間違いでした･･･
懇切丁寧な対応ありがとうございます

ベクトルで三角形ABCにおいて辺ABを1:1に内分する点をD、辺ACを1:2に内分する点をEとして
線分CDとBEの交点をPとしてベクトルAPを求めよ。　などとかいう問題ってよくあるやつですが
sとかtを使ってs:(1-s)とか利用して１次独立…って解く方法があるじゃないですか。
これはどうでもいいのですが連立方程式にして解く方があるような気がするのですが
参考書とか見ても載っていた様な気がするのに見当たりません。どなたか教えてください。

>>882
メネラウスの定理ってヤツを調べて使ってみてごらん。
確か二次とかの記述でも使えたと思うし、センターなら時間短縮に便利だよ。

>>883
どうも書いていたこと自体は何とか自己完結できました。
メネラウスって２次で使ってもいいんですね。
知りませんでした。学校では使うのは良くないといって禁止されていましたし。
レスありがとうございました。

>>884
いや、うろ覚えだから二次で普通に使えるわからないけど…
まぁ、普通にできたんならメネラウスいらんわな。
でも、センターなら使えるから覚えといた方がいいよ。
辺の比を使ってやるんだけど文字では説明できないわ。ｽﾏｿ
あと、メネラウス使ったら十秒くらいで答え出るから覚えといて損はないよ。

チェヴァの定理何てのも使えますね。

>>886
確かにチェバもあるね。
でも、メネラウスの方が使い勝手良くない?
何よりベクトルでこういう類の問題にはチェバは使いにくいと俺は感じる…
所でこれらの定理って二次で使えたっけ?
誰か教えて下さいな。
まぁこんな問題はあまり二次では出ないと思うけど。

メネラウス学校で禁止って･･･『学校では微積物理禁止』みたいだ･･･
合同式や空間図形の式や教科書に載ってる幾何などは２次で使ってもいいだろ。

>>888
そか、やっぱ使えるよな。
何故に使用禁止かわからないけど…

メネラウスなんか中学受験生でも使うよ。
なんでもかんでもベクトルでやることはない。

>>884>>889
ベクトルの計算のトレーニングという意味でベクトルを使って解きなさいよということは
学習初期の段階における教育的配慮としてはありえなくもないことではあります。

>>890
そんなこと言い出したら、ロピ使う小学生だっていないとは言い切れまいｗ

まったくわからない・・。
2x^2-xy+3y^2-4x-5y-6=0の整数解を求めよ。

>>893
2x^2-(y+4)x+3y^2-5y-6=0として判別式>=0の条件を考えるとyの範囲が絞れるような・・
まずは必要条件を考えるのが定石だと思う。

何をどうすればいいのか・・・OTZ
よろしく御願いします。

関係式f(x)=-1/2＋∫[0,1](x＋f)f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ。

漸化式の問題で

Sn=2a_n＋n (n=1,2,3,･･･) 　　a_n+1をa_nを用いて表せ

って問題がわかりません、解く方針だけでも教えてください。お願いします。

>>896
Snってのはa1+a2+a3+...
なわけだから例えばSn-1を考えて
Sn - Sn-1を計算すると…

>>897
なるほど、階差でやるんですね。ありがとうございました

>>895
(x+f)f(t) というのは xf(t)+f(f(t)) という意味？
はたまた (x+f(t))f(t) の意味？
それとも (x+f) の f は定数で、関数 f(t) の f とは全くの別物ということ？
最初の意味だったら漏れはお手上げぽ。全然わからん。

>>899
定数でないと意味が通らないだろう。

すいません。問題写し間違えていましたOTL

関係式f(x)=-1/2＋∫[0,1](x＋t)f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ。

↑でした。よろしく御願いします(>_<)

>>901
f(x)=-1/2+∫[0,1](x+t)f(t)dt=-1/2+x∫[0,1]f(t)dt+∫[0,1]t f(t)dt
定積分は定数なのでa=∫[0,1]f(t)dt、b=∫[0,1]t f(t)dtとおけば、
f(x)=ax+b-1/2。よってa=∫[0,1](at+b-1/2)dt、b=∫[0,1]t(at+b-1/2)dt
これ計算してaとbの連立方程式を作ればf(x)は求まる。積分方程式と
言って必須の分野なので絶対にマスターすべき。

>>902
なるほど〜。よーくわかりました。
似たような問題をいくつかやって、理解を深めたいと思います。

ありがとうございました＾＾

>>867
では、�@x^2-5 �A-x^2+1 �B-x^2-5
の場合ではどうなるのでしょう？

関数とは？
という問題にでくわしました。

>>904
f(x) がある区間で f(x)>0 を満たすとは
その区間内の任意の点 x において f(x)>0 が必ず成り立つということです。

>>905
ある与えられたものxに対してある数 f(x) を一意的に対応させる規則
このくらいの回答でよいのかしら？
教科書読めばもっとちゃんと書いてあるかも。中学の教科書はなかなか有用です。

>>905
xに対するyの対応のこと。

>>905
任意の値xに対してyの値がただ１つだけ決まる場合yはxの関数という。

関数
ある範囲に渡り変化する量xの各々の値に対して、別の量yの値を対応させる規則が定められているとき、
yはxの関数であり、その対応規則を関数と言う。

↓発展

写像･関数
二つの集合X,Yがあり、Xのどの要素xにも、Yの要素yがちょうど対応している時、この対応をXからYへの関数、又は写像と言う。

すみません。この問題の質問お願いします


ｘの二次方程式a^2x^2＋3ax−3a＋1＝0がある。

この方程式の実数解のとり得る値の範囲を求めよ
【答え】

�@　まず実数解をαと置き、a^2x^2＋3ax−3a＋1＝0に代入
�A　aについて整理　α^2a^2＋3(α−１）a＋1＝0
�B　�Aの式が実数であるよう判別式Ｄ≧０を行う

手順はわかるのですが、なぜ�A、�Bでａの実数であることを求めたのでしょうか？


式の解αの範囲を求めるためにということですか？

すみません、訂正です

×�A、�Bでａの実数であることを求めたのでしょうか？
○�A、�Bでａの方程式にして、それが実数であることを求めたのでしょうか？

です。

α∈F⇔∃a α=f(a) [g(a,α)]
すなわちaの存在条件、判別式Dを考えれば良い。

ということ。
もっと言うと、
α∈F⇔∃a (a∈Rかつg(a,α))なので、
条件としてaが実数かつg(a,α)の条件として判別式D≧0を考えたわけだ。