数学の質問スレpart23

ｐ、ｑが自然数であるベータ関数、

Ｂ（ｐ，ｑ） ＝∫[0→1]x^(p-1)*(1-x)^(q-1)dx

　　　　　　 ＝ (p-1)!*(q-1)!/(p+q-1)!

を証明せよ。


方針だけでも教えてください。

>952
なんで突然βﾌｧﾝｸｼｮﾝなんだよｗ
それはさすがに高校範囲外だろ

>>953
予備校のテキストに載ってました。
よろしくお願いします。

あとはｼﾞｵｿに任せたｗ

>>954
　やる必要無いとは思うけど、方針としては部分積分。
　べーた関数より何より、この形で部分積分思いつかないのはちょっとヤバい。
　「べーた関数」なんてかっこ良い名前と結果を覚える前に、こんな形見たら部分積分くらいしか
　やることが無いって直感しナイト！！

>>955
　何故分かった！！！

……
自意識過剰だと思いまつ。
直後に登場するとは思ってなかったし・・

>>958
　ぎゃはは！タイミング良すぎワラタ！

そんなに面白いかな。。

>>956
おお！！
できますね！！


でももうひとつ・・・


ｐ、ｑが整数以外の実数のベータ関数　　　（ｐ、ｑ＞０）

Ｂ（ｐ，ｑ） ＝∫[0→1]x^(p-1)*(1-x)^(q-1)dx

　　　　　　 ＝ (１／２)^(ｐ＋ｑ−１){（1／ｐ)�納i=0→∞]Ａi ＋ (１／ｑ)�納i=0→∞]Ｂi )

を証明せよ。

Ａ0 ＝ １
Ｂ0 ＝ １

Ａi ＝ （ｑ−１）（ｑ−２）・・・（ｑ−ｉ）／（ｐ＋１）（ｐ＋２）・・・（ｐ＋ｉ）
Ｂi ＝ （ｐ−１）（ｐ−２）・・・（ｐ−ｉ）／（ｑ＋１）（ｑ＋２）・・・（ｑ＋ｉ）
（i＝１，２，３，・・・・・）


これも部分積分ですか？

うまくいかないんですが・・・。

>>961
　計算してないけどできるハズ。無責任でしょ。これがウリ。
　と言うか部分積分以外することがない。

　あんまり無責任だと叱られるから一応やってみよっと。
　俺の大事な物理の時間をｊがをｇまｋ：んば、￥ｌ；ふぁ！！！！！

＞963

忙しいところ申し訳ありません。（・A・）

雑談になってしまったので、お詫びにちょっとレスしてみまつ。
（直前期の皆様のお役に立てるかどうかわかりませんが・・ｗ）

>>952は、途中計算でx=0を入れてもx=1を入れても消えるのが味噌だと思いまつ
それと、どちらのｘの多項式の塊を微分するかですが、どちらでも良いと思いまつ
x^(p-1)を微分するなら繰り返しp回微分すれば良いし、
(1-x)^(q-1)ならq回微分すればいいでしょう。
そうすると、前者なら(1-x)^(q-1)をp回積分したものの定積分が
後者ならx^(p-1)をq回積分したものの定積分が残り、あとは計算で済みそうです。

ちょっと特殊なケースの部分積分ですね。
（・・面倒くさかった。）

↑細かい計算ミス等があれば訂正よろ

>>956
最初そう思ったんですがｐ、ｑは整数ではないので、例えば2.3回部分積分するとかになって・・・


もーーむずかしい

解説は652でしたね。すみません」

自然数全体の集合⊂整数全体の集合　だから、
ｐ、ｑは整数の仲間でしょ（ｗ

952でした逝ってきます

整数の仲間というか、整数。

>>961
　少々工夫。これを高校生にやらせるか。解けなくていいよ。

∫[0〜1/2]x^(p-1)*(1-x)^(q-1)dx＝1/p[x^p*(1-x)^q-1]+(q-1)/p∫ｘ^p*（1-ｘ)^(q-2)dx
＝ (1/2)^(p+q-1)/p+ (q-1)/p(p+1)[x^(p+1)(1-x)^(q-2)] + (q-1)(q-2)/p(p+1)∫ｘ^(p+1)（1-ｘ)^(q-3)dx
＝・・・

　あーめんどくせ。以下略で大丈夫だよね。途中の[・・・]は全部0〜1/2

数学のマーク式の問題やってるとだんだんイライラしてきて
発狂しそうになるんですけど・・・

記述式の問題だと普通なんですが・・・他にもこんな症状の人います？

たぶん、大学のレポートなんじゃないかな。。

すいません。スレ違いでした・・・逝ってきます

がんま関数知ってれば瞬殺できるのかな。
とにかく解けなくていいの！！「部分積分しかすることない！！」と思えるようになっとけ。

以上、ｼﾞｵｿ先生による講義でした。

>>971
おおお！
積分区間を1/2にすれば出てきますね」。

本当にありがとうございました。

大学生の方ですか？

>>977
　いや、始め普通に０〜１でやったらさ、1/2がどこにも出てこない漸化式になるじゃん？
　1/2が出てくるようにしてみたら偶然うまくいった。どうも有名な工夫らしいよ。

　大学1年生ですすすす。最近数学疎かですすすすす。

>>978
ｼﾞｵｿ先生、
名無しで書き込んでも固定で書き込んでも同じみたいだね。名無しで書いても意味ないような

>>978
数学科ですよね？

どこの大学に行ってるんですか？

志望校だったりして・・

ｼﾞｵｿ先生は数学科より上におられます。

医学部ですか！？

すげーー

とりあえずセンターまでがんばります。

今日はありがとうございました。

y=x^2上のA,Bに対してOA・OB（←内積）=tとする。
t=2のときOP = OA + OB(ベクトルの和)となるPの軌跡を求めよ。
っていうのなんですが・・。解き方ｷﾎﾞﾝ

>>982
医学部でなくて、多分医学科でしょ・・

失礼した。

むむむ

＞そこらへん
　うるせー馬鹿

>>983
　それこそ地道に設定して進めて行けば記号が一人歩きしてくれると思うんだけど。
【ヒント】A(a,a^2)　B(b,b^2)と設定する。これで「y=x^2上のA,B」を必要十分に捉えた。
　t＝ab+a^2b^2＝ab(1+ab)。これで「OA・OB（←内積）=t」を必要十分に捉えた。
　P(x,y)とすると、t＝２より、問題文は以下のように還元される。
　「ab(1+ab)＝2のとき、x＝a+b　y＝a^2+b^2なる（ｘ、ｙ）の軌跡を求めよ」

数学科より上と聞いて医学部を思い浮かべるのって、どうかと思うぞ。

誰か新スレを・・・。

>>986
レスありがと。
ab = 1 or -2だから、a = 1/b or a = -2/bで
x = 1/b + b or -2/b + bで
辺辺b倍して、たとえば1つめの場合
b^2-bx+1 = 0だから、bが実数になるには D = x^2-4 ≧ 0で
ってやってxの範囲を求めて・・・。
って感じでいいのかな？
質問してばっかでごめん。

>>989
「ab(1+ab)＝2のとき、x＝a+b　y＝a^2+b^2なる（ｘ、ｙ）の軌跡を求めよ」
ｙ＝(a+b)^2-2ab＝x^2-2abとした方が早いかと。

ｘの変域はどうやって出すの？

レスお願い。>>991

次ｽﾚたれかたてれ

>>992
t^2-2xt+1/2(x^2-Y)=0

に解があればいいんじゃね？

ん？何言ってんだ？>>994

10^3

a,b が存在するには、

t^2-(a+b)t+ab=0

に解があればいいんじゃね？

D = (a+b)^2 -4ab = (a-b)^2 >= 0 だから必ず存在するんじゃない？

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