〜〜数学の質問スレ Part.17 〜〜

>>948-951
解説ありがとうございます。
おかげで解くことができました。

y=f(x)=X^4+2X^3+aX^2
のグラフが異なる２点で接する直線を持つためのaが満たす条件はどのように考えればいいのでしょうか？
「接線の方程式をy=mx+nとおいて連立させた式が二重解を持つ」という方針で考えてもあまりうまくいきませんでした。
どなたか方針だけでもかまいませんので解説していただけないでしょうか？

>>953
それで解けないか？
二重解を二つ持つは(x-b)^2(x-c)^2と表せる。

>>954
x^4+2x^3+ax^2-mx-n=0と
(x-b)^2(x-c)^2=x^4-2(b+c)x^3+(c^2+4bc+b^2)x^2-2bc(b+c)x+(bc)^2=0
の係数を比較して
b+c=-1 　c^2+4bc+b^2=a 　2bc(b+c)=m 　(bc)^2=-n
が得られる所まではわかるのですが、aの条件からm,nの文字を消すにはどうすればいいのでしょうか？
答えはa<3/2らしいです。

>>955
m,nは任意なので放置。
だから問題もxの一次以下はない関数。

たぶん解決しました。
c=-1-bをc^2+4bc+b^2=aに代入してcの存在条件（判別式）として
考えればいいんですよね？

胸がｷｭﾝ²

実数a,b,cに対して
f(x)=x^3＋ax^2＋bx＋c
g(x)=f(f(x))
とする、このとき、g(x)-xはf(x)-xで割り切れることを示せ、
回答２
因数定理より
f(y)-f(x)=(y-x)Q(x,y)
（Q(x,y)はx,yの整式)
とあらわせる。………略

どういうことですかいまいちわかりません

>>959
f(y)-f(x)の値を考えるとx＝yの時ゼロでしょだからxーyで割れると云うこと。

>>960
ありがとうございます
なんとなくわかったきがします

理解しやすい　Ｐ．１７６の問３８
｛問題｝
lim_[x→1]x^2＋ax＋b/x^2＋4x−5＝−2/3が成り立つとき、a=？　ｂ＝？　である。

｛解答｝
ｘ→１のとき、x^2＋ax＋b→0より、1+a+b=0・・・�@
このとき x^2+ax+b=(x-1)(x-b)となるので、（以下、解説が続く）　　　　　　←ここわかりません！

なぜこうなるのでしょうか？aはどこに行っちゃたの？

１の式を代入してaを消去し、因数分解。

f(x)=xならばf(f(x))=xなのでf(x)=xの解はf(f(x))の解に含まれます。
したがって整式f(f(x))-xは因数定理によりf(x)-xで割り切れます

この説明がよくわからんのですが、もう少しかみくだいて
説明していただけないでしょうか・・・？お願いします。

訂正です

f(x)=xならばf(f(x))=xなのでf(x)=xの解はf(f(x))=xの解に含まれます。
したがって整式f(f(x))-xは因数定理によりf(x)-xで割り切れます

この説明がよくわからんのですが、もう少しかみくだいて
説明していただけないでしょうか・・・？お願いします。

a^2+b^2=1…�@

c^2 +d^2=1…�A

ac+bd=0…�B
�@�A�Bよりb,dを消去して
a^2+c^2をだすにはどうしたらいいでしょうか？

ベクトルなら楽なんだけどね・・・

>>966
b,d≠0
とかいう条件は無いの？

良スレ
代ゼミ出身の大学生があなたの質問に答えるスレ
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1057906972/l50

>>966
面倒臭がらず普通にやれば出るが。
d≠0のときb=ac/d
a^2+b^2=a^2+a^2*c^2/d^2=1
a^2*c^2=(1-a^2)d^2=(1-a^2)(1-c^2)
a^2+c^2=1
d=0のときはc=±1,a=0,b=±1なので，やっぱりa^2+c^2=1
（ってか，�@�A�Bなんて文字見ただけで萎えるんだが。）

>>965
これ以上かみ砕くのは難しいが，そもそも，この説明は間違い。
（結論が合ってるかどうかは知らんが。）
f(x)-xが(x-α)^2を因数に持つ場合，この説明だけでは，
f(f(x))-xがx-αを因数に持つことはわかるが，(x-α)^2を因数に持つという
ことの説明にはなっていない。

>971
待った
左に注があって厳密に言うとf(x)-x＝０がジュウカイをもつときは
因数定理より〜とは出来ないとかいてある。でも結果的にはOKとかよくわかんないことかいてあるな…
ちなみにこれ東京出版の数学ショートプログラムって本です。

というかそもそも、f(x)-x＝０のときf(f(x))-xがf(x)-xで割り切れるかが分からない（＞＜）

(x^3-2^3)=(x-2)^3


でしたっけ？？

>>965 >>972
そもそも，問題文はどんな感じ？

２＋２＝５スレからですが

2＋2＝4であることは明らかである。
そこで、5−4＝1より、4と1を比べる。
この時、基準を1.0･10^(-∞)とすると、4の方が1よりも遙かに大きい。
よって、この1を無視して良い。
4＝5すなわち2＋2＝5である。
∴2＋2＝5

これは４＝５であって２＋２＝５ではないと思うんですがどうですか？

>>974
ネタ？

>>946
ありがとうございました。そもそもP(x)を(x^2-x+3)で割るという事が何をすることなのかわかってませんでした。
P(x)=(x^2-x+3)Q(x)+3ｘ+1というのを思い浮かべて割ったつもりになってました。これはP(x)を(x^2-x+3)を因数にして表しただけで、
割ってないですもんね。とんでもない勘違いをしていました。おかげで助かりました、有難うございます。

>>973
いや，だから，>>965の説明では
「f(x)-x＝０がジュウカイをもつとき」は
f(x)-x＝０だからといってf(f(x))-xがf(x)-xで割り切れるかどうかは
わからんのだってばさ。
「結果的にはOK」の中身が書いてないんだったら，その本はひでーな。

＞975問題文は
ｘの４次方程式(x^2-a)^2-a=xが４つの実数解を持つようなaの範囲を求めよ
ただしジュウカイは２個、サンジュウカイは３個の解とみなす

>>977
マジッス。本気で解答お願いしますよ・・・。

>>981
自分で展開すれば間違ってることは一目瞭然だろ？

＞９７９
今別のページぱらぱらとめくってたら↓を発見

f(x)=xならばf(f(x))=xなのでf(x)=xの解はf(f(x))=xの解に含まれます。
f(x)が多項式ならf(f(x))-xはf(x)-xで割り切れます
（原文ママ）

(1/x-2)-(12/x^3-8)=x^2+2x+4-12/(x-2)(x^2+2x+4)


これがわからんでつ・・・・。

＞f(x)が多項式ならf(f(x))-xはf(x)-xで割り切れます
これは正しいから、例えばfを２次式として証明してみな。

あー１０００になりそうーーーー！！！！

>>980
なるほど。そういう問題で因数分解するためのアタリをつけるだけなら
問題なさそうだな。
しかし，この問題でf(f(x))などというヤヤコシイものを持ち出すのも
どうかと思うが．．．。
ちなみに，f(x)-x＝０が重解をもたないときという条件付きで
>>965の説明を読むなら，
f(x)-x=0の解をα，β，．．．とすると，
f(x)-x=a(x-α)(x-β)．．．と書け，
α，β，．．．はf(f(x))-x=0の解でもあるので，
f(f(x))-xは(x-α)，(x-β)，．．．を因数として持つ
よって，f(f(x))-xはf(x)-xで割り切れる
．．．ってお話。

やばい頭こんがらがってきた(><)
「f(x)=xならばf(f(x))=xなのでf(x)=xの解はf(f(x))=xの解に含まれます。」
これさっきまで理解してた気がするんだけど、なんでこうなるのかが・・・
これがわかれば987は理解できるんだけど。。。
てか神レベルですね・・・

.>988
f(a)=aなら、f(f(a))=f(a)=a だから。

f(f(a))=f(a)=a これは
f(a)=aとf((fa))=aを満たすってことですよね？
もうﾀﾞﾒﾎﾟ・・・

(1/x-2)-(12/x^3-8)=x^2+2x+4-12/(x-2)(x^2+2x+4)


これがマジでわからんでつ。誰かマジで答えてチョ

>>991
おまえ学校の数学の授業についていけてる？

>>990
y=f(x) を　「関数fがxをｙに移す」と考えると、
a=f(a) というのは、「aはｆによって動かない」と解釈できる。
だから何回fを適用しても動かない訳で、
a=f(a)=f(f(a))=f(f(f(a)))=.....

>>990
どこまでが「仮定」で，どこからが「それから導かれたこと」なのかを
明確に区別しないから混乱するのだと思うぞ，この文を見る限りでは。

この場合は
仮定：xはf(x)=xを満たす
そこから導かれること：xはf(f(x))=xを満たす（∵f(f(x))=f(x)=x）

このことから
「f(x)=xを満たす数の集合」は「f(f(x))=xを満たす数の集合」に含まれる
ということが言える。

>>991
通分してるだけ

>>993、>>994
な、なんとなくですが、分かった気がしますが。。。
どうもシックリこない＞＜
>>993さんや>>994さんはこういうのスパっと理解できたんですか？

>>996
不動点、ってのは数学では大事な概念だから、馴染んでるといったほうが正しいかも

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