数学の質問スレ【大学受験版】part30

1000超えてたから新しくたてました。

げと

すいません、次スレがまだ立ってないことに気付かないで埋めちゃいました（汗

質問なんですが、【新課程】青チャートｐ28重要例題15(2)
（a+b+c）二乗+（b+c-a)二乗+(c+a-b)二乗+(a+b-c)二乗
の工夫した計算の仕方を教えて下さい。
チャートの解答だけじゃわかりません。
中2でもわかるように詳しく教えて下さい。

最初の二つは
b+c=A あとの二つは　b-c=B　っておいたら楽だよ。

(a+A)^2(a-A)^2(a-B)^2(a+B)^2
={(a+A)(a-A)}^2{(a-B)(a+B)}^2
=(a^2-A^2)^2(a^2-B^2)^2

>>5-6
中二じゃわからないと思われ

あ、＋だった…（鬱氏

俺ならこざかしい事せずに
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
使うんだけどな。

>>9
はげどー

この程度なら力技で解いてもスピードは変わらない
頭使う前に手を動かすべし

s=a+b+c

与
=s^2+(s-2a)^2+(s-2b)^2+(s-2c)^2
=4s^2-4(a+b+c)s+4(a^2+b^2+c^2)
=4s^2-4s^2+4(a^2+b^2+c^2)
=4(a^2+b^2+c^2)

>>11
すげぇ。
こんなん思いつかん。対称性性崩さずにですな。

y=2/(1-x^2)の増減表を書く問題なのですが、y'=4x/(1-x^2)^2よりyはx=±1
で定義されないので、ｘ<-1のときy'<0,-1<x<0のときy'<0,x=0のときy'=0,
0<x<1のときy'>0,1<xのときy'>0に応じてyの増減を書けばよいのですが、
解答ではx<-1のときと、1<xのときyの↓、↑と一緒に0が、丁度∞を矢印に合わ
せて書くのと同じように書かれていました。この0が何を示しているのか
分かりません。最初は0に収束するということを示しているのかと思ったけど、
収束するわけありませんし・・・。

ていうか、テンプレくらい貼れと。
まぁ建てちゃったならいいけど。単発質問増えるぞ。

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレで。

質問をする際の注意
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・必要と思われる場合は、自分がどこまで履修済みか書く。（例：1A2Bまで）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　例えば、1/2aより、(1/2)a あるいは 1/(2a) のように書いた方が分かりやすい。

数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
図・グラフ掲示板
http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi

過去スレ
part29 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1078963285/

それ以前は>>2

過去ログ
Part1 http://school.2ch.net/kouri/kako/1016/10160/1016008085.html
Part2 http://school.2ch.net/kouri/kako/1020/10200/1020087580.html
Part3 http://school.2ch.net/kouri/kako/1025/10257/1025785783.html
Part4 http://school.2ch.net/kouri/kako/1029/10298/1029866597.html
Part5 http://school.2ch.net/kouri/kako/1032/10320/1032026826.html
Part6 http://school.2ch.net/kouri/kako/1033/10334/1033469482.html
Part7 http://school.2ch.net/kouri/kako/1036/10367/1036785888.html
Part8 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1040034565/l50
Part9 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1042765761/l50
Part10 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044101232/l50
part11 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044828874/l50
part12 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045895181/l50
part13 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1047118250/l50
part14 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1049381621/l50
part15 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1052403965/l50
part16 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1054193413/l50
part17 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1056518836/l50
part18 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1058461770/l50
part19 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1060183061/l50
part20 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1061665677/l50
Part21 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1063269681/l50
Part22 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1065931301/l50
part23 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1067761519/l50
part24 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1069023159/l50
part25 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1071117417/l50
part26 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1073739135/l50
part27 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1075254162/l50
part28 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1076522562/l50

>>13
よくわからんが、x→±∞ならy→0だが

>>17
なるほど。確かにその通りです。解答の増減表が起点がはっきりしない書き方
だったのでなんか勘違いしてました。

質問です。　マジバカな質問してると思いますが、、「整数問題」って何でしょう？
因数分解とか恒等式、方程式等を駆使して解く問題？？
　教科書的な分野分けで言えば「数と式」にあたるところと考えて宜しいでしょうか？

>>19
そうだよ。そういえば整数問題って誰かがある程度パターン化してるって言ってた
けど、どういうパターンがあるんだっけ？
方程式に変形して解く
不等式で解の範囲を絞り込む
偶奇で場合分け
倍数表示で解く
他に思いつくのあったらきぼんぬ。

素数＝１×素数とか？

前スレより持ってきました。答えはひとつだそうですが
どうやって答えをひとつに絞れば良いんでしょうか？
教えて下さい。

数列{ｘ(ｎ)}がｘ(1)＝３，ｘ(n+1)＝{4ｘ(ｎ)-2}／{ｘ(ｎ)+1}で定義されている。
ｘ（ｎ）の一般項を求めよ。（広島県立大：誘導省略）

特性方程式　ｙ（ｎ）＝ｘ（ｎ）+αとおく。
ｘ（ｎ）＝ｙ（ｎ）−αを与式に代入してこれを解く。
即ち、
α＝{4α-2}／{α+1}
（α−２）（α−１）＝０
α＝１，２
これは、α+1≠０を満たす。
・
・
・
・
ｘ（ｎ）＝{6・3^(n-1)-2^n}／{2・3^(n-1)-2^(n-1)}
または
ｘ（ｎ）＝{4・3^(n-1)-2^(n-1)}／{2・3^(n-1)-2^(n-1)}

一応このように自力で解答を出したのですが
αの値が２つあるので、答えが２つ出る物なんでしょうか？？

>>21
途中を略してあるからよくわからないけど、
両方ともｘ(1)＝３になってるか？

分数漸化式を誘導無しで出題するとは、
広島県立はどうなってるんだろ。

>>21
> 数列{ｘ(ｎ)}がｘ(1)＝３，ｘ(n+1)＝{4ｘ(ｎ)-2}／{ｘ(ｎ)+1}で定義されている。
> ｘ（ｎ）の一般項を求めよ。（広島県立大：誘導省略）
:
> ｘ（ｎ）＝{6・3^(n-1)-2^n}／{2・3^(n-1)-2^(n-1)}

これ、約分したらx(n)=2だよ。

>>23
先祖がえり

>>25
スマン、意味が分からん。

>>26
ああ、大昔の入試にはノーヒントで出てたのです。
で、広島県立は突如として大昔の大学の意識に
なってしまったのではないかと。

>>27
そういう意味ね、了解。
今の受験生は漸化式の解き方の知識が少ないらしいね。

>>23
いえ、本当は誘導あるんです。
広島県立がこんなにムズイはずありませんｗ
誘導に沿うと、あっさり解答できるんですが……
一般化したくてこっちで省略しました。
分数漸化式は誘導なしでは出題されないものなのですか？

>>24
なるほど。約分すると変だから×と答えればＯＫですか？
答えだと、確かにそれは不適のようです。
誘導の段階で落とされるようですが、理由がよく分からなかったもので。
結局αの値を両方代入してみて最後まで計算してから
不適切な物を省く方法しかないのでしょうか？

>>29
大体出題されないものです。
三項間漸化式や混合（？）漸化式、対数漸化式も普通は誘導がついてる。

>>28
そうみたいね。なんでかな。予備校でも参考書でも
相変わらず扱ってるのに。
n+1項目がn項目の一次式分の一次式
って格好なら一回やったら、今度はノーヒントでも
できるようになってやろうって思いやすいと思うんだけど。

>>29
普通に解いたら正解の方しか出てこない

文科省の指導要領外だからじゃね？＞誘導つき

細野にあった包絡線のことだけど
何であれで求められるの？

ｼﾗﾈ

>>32
どうやって解くのか教えてください。

x(n+1)=(4x(n)-2)/(x(n)+1)
は
[x(n+1), 1] // [[4, -2], [1, 1]][x(n), 1]
と考えれば、2次正方行列[[4, -2], [1, 1]]のn乗を
求める問題に帰着される

>>36
特性方程式(漸化式のx_(n+1)とx_nをαに置き換えたもの)を解く
異なる2解α、βのときは　y_n＝(x_n-α)/(x_n-β)とおいてy_nの漸化式をつくる
重解αのときは y_n＝1/(x_n-α)とおいて同上

>>21
>>29
この場合は>>21で省略された途中式こそが最も重要なこと。
そこでおかしなことをしているから、おかしな結果が出ただけのことでしょう。
そもそもy(n)の置き方からして怪しげですからね。

>>24
本当に約分したらx(n)=2になります？

数�Vの微分でグラフ書くことで質問なんだけど
たとえば
y=2sinx-cos2xだったらy'=0はx=π/2 　3π/2　 7π/6 　11π/6で
増減表をかくとこの数値の間が+とか-とか書くときって全部計算してるの？
第二次導関数とかで凹凸調べるのとかも全部計算してるの？

y'＝2cosx+2sin2x＝2cosx(1+sinx) になるけど、別に適当な値を代入して
正負を決めるとこなんてないぞ。正負はcosxにのみ依存するじゃん？

そういうのを見つけるのはどうやるのでしょう？
今まで適当に代入してたんでおしえてください

？
式を見てわからない？
1+sinx≧0　（∵-1≦sinx≦1)
つまり1+sinxは0以上なんだから、正負に関係ないって感じしない？

わかりました。そういうのを見つけるのは慣れしかないのですか？

慣れっつーか、式を積の形（つまり因数分解）したら（大抵の問題は
出来るようになってる）わかるよ。

一回立ち止まって式の意味を考えるのも必要だと思うよ。

これからその方法を意識してやってみます。ありがとうございました。

,

>>40
ただ、極値見れば増減はわかると思う。
ある極値があって、その次の極値があったとすると、
その極値の大きさ見ればグラフが下がっているか上がっているかわかるべ

三角関数の問題なのですが、
cos^2(π/4+θ)+cos^2(π/4-θ)
の値が求められません。
多分このスレ始まって以来のもっとも簡単な問題
だと思うのですが・・。どうか教えていただけませんでしょうか？
すみません。

加法定理を使ってから2乗を展開

>>50
質問する前に教科書読もうな。

もちろん51の方法でいいが、
半角の公式で２乗を無くしてから加法定理で展開
という方法もある。

>>38
ありがとうございます。
次からその方法でやってみようと思います。

>>39
怪しげですか……。どうやって置いていいか分からなかったので
結構適当に置いてました。省略された部分はα＝１のときと
α＝２のときをそれぞれ計算しただけなのですが、まぁ置き方がダメということで。

f(x)＝−ｘ＾2+2Ax+1　　(1≦ｘ≦2)　この2次関数の最大を求めよ
頂点X座標にも変数A、y座標もAの式なのにグラフが横にしか移動しないのは
なぜですか？
(1≦ｘ≦2)はｘ軸Aの範囲？
低レベルの質問ですがよろしく

縦にも動きますよ。

>>55
＞(1≦ｘ≦2)はｘ軸Aの範囲？

質問の意味がわからん

最大　最小を見つけるときに、縦方向の動きが重要でないのはなぜですか？
レスお願いします

>>58
重要なのはAの範囲（値）だと思われ。
例えば
-A(軸)≦１（xの取り得る最小の値）
ならxがいくつのときf(x)は最大値をとるかわかるか？

それがわからないなら文字のついてない２次関数から勉強しろ

>>40
x=7π/6 　11π/6のときy'=0となる？今、ざっと計算したんだけどならないん
じゃない？y=2sinx-cos2x　y'＝2cosx+2sin2x＝2cosx(1+sinx)

>>54
だからさあ。省略せずにその計算過程を書けってば。
その『ただ計算しただけ』の過程に『単純な計算ミス』が潜んでるだけの話ですよ。

f"(α)＞0だったら極小値か傾き減少だよね。
たのむ

y=2sinx-cos2x

ｙ’＝2cosx+2sin2x=2cosx+4sinxcosx=2cosx(1+2sinx)
でy'=0

cosx=0　sinx=-1/2でいいんじゃない　

対数関数の極限を求めるとき、よく、

lim （1+1/x)^x = e
x→∞
↓
lim(1+x)^1/x = e
x→0
↓
limlog(1+x)/x = 1
x→0
のようになるのですが、２つめから３つめにするとき、両辺の対数をとって、
loglim1+x/x = 1
x→0
となると思うのですがなぜ直でlimの中をlog化できるのでしょうか？

あっと、俺は重大なミスを犯してたということか…鬱氏

>>64
logの連続性を使ってます

>>63
スマソ。41のタイプミスか計算ミスのy'をそのまま使ってたので間違ってた。

>>65
ドンマイ

>>64
logそのものは「操作」を意味しているのであって例えばy=logxにおいて、
xの値に対応するyの値はただ１つ決まる。xの値が変化（x→0など）
することによって変化するのは(1+x)^1/xのみであるから、それはlogによって
ただ１つに決定づけられる。うまく説明できない。数列の極限でも似たような
のがあったから教科書を参照してくれ。

logは連続関数である　lim_[y→a]log(y)=log(a)
今の問題で y=(1+x)^(1/x)と考えてみれば
x→0 のとき y→e
これらを組み合わせて
lim_[x→0]log(1+x)/x=log(e)=1

↑
名前欄
64×
66○

ｘ^2＋16／x　の最小値を求めよ。

微分汁

>>72
lim_[x→-0](x^2＋16/x)=-∞　? (ry　

>>50　へのレスがみるに耐えないので・・・
cos^2(π/4+θ)+cos^2(π/4-θ)=cos^2(π/4+θ)+cos^2{π/2-(π/4+θ)}=cos^2(π/4+θ)+sin^2(π/4+θ)=1　
オ・ワ・リ (ry

>>72
x＞0 が抜けてるかな
ｘ^2＋16／x＝ｘ^2＋8／x + 8／x として相加相乗使えば早い

>>66
thx

>>70
分かり易いね。

>>66
lim(1+x)^1/x = e
x→0
↓
limlog(1+x)/x = 1
x→0

この過程で、両辺をlog化したのなら
limlog(1+x)^1/x=lim1/xlog(1+x) = 1
x→0
になるのではないでしょうか？

>>79
君自身が式を正確に書いてないのではないか？
例えば
lim(1+x)^1/x = e　
x→0
は
lim(1+x)^(1/x) = e
x→0
あるいは
lim[x→0](1+x)^(1/x) = e
と書くべきだな
つまり
limlog(1+x)/x = 1
x→0
は
lim[x→0]{log(1+x)}/x = 1
とすべきだな
何かを伝えたいなら共有するルールに則って表現してくれ

あほな質問かもしれないけど
A/B=C ∴B=A/C
これって途中の式変形って、
A/B-C=0
A-BC/B=0
A-BC=0
BC=A
B=A/C
っていうことですか？

>>81　マジできいてるのか？
A/B=C の両辺に B をかけて A=BC
左右を入れ替えて BC=A
両辺 C（C≠0）で割って、B=A/C

>>80
lim[x→0]{log(1+x)}/x = 1
その通りです。６４のをそのままコピペしたので。スマソ。

>>82
サンキュー。
マジできいてました。

xの方程式　√(x-a)=x　の実数解を求めよ。（aは実数）

これって両辺二乗して解の公式でいいの？なんか裏がある？

２条したときにx>0っておく。

そっか、ルートは正だからx>0になるね。
つまり解の公式で出てくる「±」の解のうち「＋」を採用すると。
86さん、ありがとです。

一般項が以下の数列の極限って問題なんだけど
1+4+7+.......+(3n-2)/n^2

これって分母と分子をΣで和を計算してlim[n→∞]でいいんお？
無限級数とこんがらがってしまう。

>>88
0じゃない？
lim[n→∞](3n-2)/n^2＝lim[n→∞](3/n)-2/n^2＝0-0＝0

>>88
{1+4+7+.......+(3n-2)}/n^2　だろ？　正確に書けよ！

>これって分母と分子をΣで和を計算して・・・

これは例えば
1/2+2/3=(1+2)/(2+3)=3/5　ってことか？　(ry

Σ[k=1](3k-2)とΣ[k=1]k^2を計算して

lim[n→∞]{9ｎ-3}/2n^2+3n+1を計算は違うんですか？

一般項が
a_n={1+4+7+.......+(3n-2)}/n^2
なんだろ？
だったら分母の和って何だよ？
それに
>・・�狽ﾅ和を計算
って、「�煤vは「和(級数)」の略記号だろ？
�狽ｪ和の計算をするわけじゃないよ。
まず基本事項の確認すべきだな。
勘違いも甚だしいし、式表現すらマトモに出来ていない。

a_n={n(3n-1)/2}/n^2=(3-1/n)/2　→　3/2 (n→∞)

>>85 aの値によって場合わけするとよさげ。

√(x-a)=x ⇔「x^2-x+a=0 かつ x≧0 かつ x≧a」・・・★
よって，f(x)=x^2-x+a とし，xに関する2次方程式 f(x)=0 の判別式をDとおく．

[1] a＞0 のとき
★ ⇔「f(x)=0 かつ x≧a」となる．ここでさらに，Dの値によって場合わけする．

(1) D＞0，すなわち，0＜a＜1/4 のとき
f(x)=0 の相異なる2実数解をα，β(α＜β)とおく．xy平面上において，下に凸な放物線 y=f(x) は
x軸と異なる2つの共有点 (α，0)，(β，0) を持ち，その軸は x=1/2(＞a) である．
また，f(a)=a^2＞0 であるから，a＜α＜1/2＜β．よって，この場合，★ ⇔ x=α，β ⇔ x={1±√(1-4a)}/2．

(2) D=0，すなわち，a=1/4 のとき
★ ⇔「x=1/2 かつ x≧1/4」⇔ x=1/2．

(3) D＜0，すなわち，1/4＜a のとき
★を満たす実数は存在しない．

[2] a=0 のとき
★ ⇔「x(x-1)=0 かつ x≧0」⇔ x=0，1．

[3] a＜0 のとき
★ ⇔「f(x)=0 かつ x≧0」
また，D＞0，f(a)=a^2＞0，f(0)=a＜0 であるから，a＜α＜0＜1/2＜β．したがって，★ ⇔ x=β ⇔ x={1+√(1-4a)}/2．

以上より，
a＜0 のとき，x={1+√(1-4a)}/2．
0≦a＜1/4 のとき，x={1±√(1-4a)}/2．
a=1/4 のとき，x=1/2．
1/4＜a のとき，実数解は存在しない．
・・・答

>>93
すごい！それが完璧な解答だね。ありがとうございます。

>>85　ｳﾞｨｼﾞｭｱﾙ的別解 （ry
xの方程式　√(x-a)=x　の実数解は、
放物線 y^2=x-a のx軸より上の部分Ｃと直線Ｌ：y=x の交点のx座標である。
グラフを描くことにより次のようになる。
まず、ＣとＬは a=1/4 のとき点(1/2,1/2)で接する。
aの値によりグラフＣの頂点の位置が変化することを考慮して
�@) 1/4<a のとき、交点は持たない。つまり、与方程式は実数解を持たない。
�A) a=1/4 のとき、点(1/2,1/2)で接する。つまり、与方程式は重解 x=1/2 を持つ。
�B) 0≦a<1/4 のとき、異なる２点({1±√(1-4a)}/2,{1±√(1-4a)}/2) (複号同順)で交わる。
　つまり、与方程式は異なる２実数解 x={1±√(1-4a)}/2 を持つ。
�C) a<0 のとき、ただの１点({1+√(1-4a)}/2,{1+√(1-4a)}/2)で交わる。
　つまり、与方程式はただ１つの実数解 x={1+√(1-4a)}/2 を持つ。

【新課程】青チャート【基本例題38・39】
各（1）〜（4）
基本例題37
（2）
の問題でなんで絶対値の場わい分けの仕方がわかりません。
この問題に限らず。わかりません。
特に基本例題の37
Ｐ、Ｑを定数とするＸの不等式PX≦X+Qで
場合わけは、Ｐ＞1の時　Ｐ＜1の時　Ｐ＝1・Ｑ≧0の時　Ｐ＝1　Ｑ＜0の時
とあるのに、Ｐ＞1　Ｑ≧0の時　Ｐ＜1　Ｑ≧0などは考えなくてもいいのですか？　
　　　　　　　　　　　　　　　　

>>96
-2x≧-4
x≦2

2x≧-4
x≧-2
はわかってるのか？場合分けする必要があるかどうかもう一度考えてみれ

赤2白4枚の6枚の円盤を平面上の半径1の円周C上に円盤の中心が等間隔に並ぶようにおく｡
円盤の半径はすべて1/2より小さく､赤い円盤が隣合う確率は2/5である｡
�@赤い円盤の中心がCの直径の両端となる確率は?
�A2枚の赤い円盤の中心間の距離の期待値は?

この二つの問いが分かんないので､どうか教えてほしいです｡

>>98
答えも載せてくれるとマジで助かるんだけど。

1は3/10？めっちゃ自信ないわ

>>98
赤い円盤をひとつ固定して考えると良いよ。たぶん