数学の質問スレpart25

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレで。

質問をする際の注意
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・必要と思われる場合は、自分がどこまで履修済みか書く。（例：1A2Bまで）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　例えば、1/2aより、(1/2)a あるいは 1/(2a) のように書いた方が分かりやすい。

数学記号の書き方　
http://ime.nu/members.tripod.co.jp/mathmathmath/
図・グラフ掲示板　
http://ime.nu/www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi

前スレ
数学の質問スレpart24
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1069023159/

過去ログ
Part1
http://school.2ch.net/kouri/kako/1016/10160/1016008085.html
Part2
http://school.2ch.net/kouri/kako/1020/10200/1020087580.html
Part3
http://school.2ch.net/kouri/kako/1025/10257/1025785783.html
Part4
http://school.2ch.net/kouri/kako/1029/10298/1029866597.html
Part5
http://school.2ch.net/kouri/kako/1032/10320/1032026826.html
Part6
http://school.2ch.net/kouri/kako/1033/10334/1033469482.html
Part7
http://school.2ch.net/kouri/kako/1036/10367/1036785888.html
Part8
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1040034565/l50
Part9
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1042765761/l50
Part10
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044101232/l50

part11
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044828874/l50
part12
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045895181/l50
part13
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1047118250/l50
part14　
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1049381621/l50
part15
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1052403965/l50
part16
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1054193413/l50
part17
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1056518836/l50
part18
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1058461770/l50
part19
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1060183061/l50
part20
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1061665677/l50

Part21
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1063269681/l50
Part22
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1065931301/l50
part23
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1067761519/l50

>>1
乙

xy=yz=zx
でx,y,zの値どうなる？

x=y=z=α　αは任意の数

0を含む場合を忘れているよ。

例えば
x=y=0,z=α　αは任意の数
でも成立するよね？

>>前スレ987
サンクス。ありがとうございました。
このスレって大学受験板のものだったんですね。
数学板にも同じスレタイのがあって、こっちが本スレかと思いました。
たぶん、前スレ995も間違って数学板に誘導しようとしたんですね。

age

三角形ABCはどのような三角形であるか示せ、という問題なんですが、
解答には「∠A＝３０、∠B＝６０、∠C＝９０である三角形」とありますが、
「AB：BC：CA＝２：１：√３である三角形」では駄目でしょうか？

同値だしOK

この問題を教えて下さい。
どれか１つでもいいので分かったらレス下さい。お願いします。

�@２択の問題を100問でたらめに解答した時、60％以上正解する確率を
　小数点以下第３位まで求めよ。
�Aある学力テストの得点Ｘは平均55、標準偏差10の正規分布に従うとする。
　大きさ４の標本をとり、これらの平均値Ｙを求める時
　(a)41を超える確率を小数点以下第３位まで求めよ。
　(b)62を超える確率を小数点以下第３位まで求めよ。
�Bある農園のある果物の重さの分布は、過去の経験で標準偏差８グラムの正規分布に
　なると知られている。今年の作柄の状況を調べるために、果物の重さを２回量ったところ
　それぞれ61、72グラムであった。
　(a)今年の重さの平均値の90％信頼区間を小数点第１位まで求めよ。
　(b)今年の重さの平均値の99.7％信頼区間を小数点第１位まで求めよ。
�Cある市長選挙において、ある候補を支持するかしないか400人の有権者を
　無作為に調査した結果117人がこの候補に指示すると答えた。
　この候補の全有権者に対する支持率の95％、信頼区間を0.1％未満を
　四捨五入して求めよ。

>>14
ひょっとして、宿題やらせようとしてない？

>>15
問題丸投げはだいたいそうだな
自分で考えたけどどうしてもわからないって場合は
途中までの自分の考えを書くし

√i (iは虚数単位)って複素数平面上のどこに存在するんですか？
てゆーか複素数平面上にあるんですか？

>>17
(1/√2)(1+i)と-(1/√2)(1+i)

>>18
ちがうな。
(1/√2)(1+i)だけだ。

>>17
極形式にすれば答でそうな気がするけど 出ない？

>>8
どーゆーことですか？

>>18-19 あ、かぶった。ｽﾏｿ

あ、そっか
たしかに二乗したらiになる

>>18-19-20

ありがとうございます

cos2A+cos2(90°-A)+cos2(90゜+A)+cos2(180゜-A)
って答え何かわかる？
2は二乗の事です。。

>>25
90ﾟｰAとか、そういうのをなくせ
角度はAに統一しる
cos(90ﾟｰA)=sinAとか使って

>>26
おねがいやってみて！
答え0にならへん？？

>>27
えー泥酔しててよくわからん、ごめん
0か2だと思うけど2じゃないかな

>>27
2

あ、やっぱ違うよごめん、０？？
誰か酔ってない人…

ab^2+ac^2-bc^2-ba^2=0
がなんで
c^2-ab=0
ってわかるの？
お願いします。

>>25
2

>>31
ab^2+ac^2-bc^2-ba^2=0
⇔(a-b)c^2-ab(a-b)=0
⇔(a-b)(c^2-ab)=0
⇔a-b=0∨c^2-ab=0
ですが。

>>31
ab^2+ac^2-bc^2-ba^2=0
(b-a)ab+(a-b)c^2=0
(a-b)(c^2-ab)=0
まあa=bかもね

>>33
ありがとうございました

ありがとう！そっか、やっぱ2になるんや。
数学の先生にやりかた聞きます

>>18-19
実数aに関しては(√a)=aの平方数のうち正のものってする立場があるわけだけど
複素数zに関しては同じようには言えないわけで、どうするのが妥当なんだろうね。
zを複素数としたらzと-zって別に正負で分けられるわけではないし。

f(x)=2x^3 - (3a+6)x^2 + 12ax
があり、aがどんな値でも、２定点（o,o）と(A,Ｂ)を通る、
というもので、
この（A,Ｂ)の求め方が分かりません。

f(x)=2x^3 - (3a+6)x^2 + 12ax
= 2x^2(x-3) - 3ax(x-4)
だから、とあるのですが…。この式変形の意味も分かりません。
どなたか分かりやすい説明をお願いします…。

すいません、(0,0)ですね。
オーにしてしまった

>>39
aについての恒等式とみる。

あっ、そうか！
なんだそうですね、そらそうだ。
すいません朝からありがとうございました。

新課程赤チャート例題８７

問題文
０≦ｘ≦５のすべての値に対して、x^2−２ｍｘ＋ｍ+２＞０が常に成り立つような
定数ｍの値の範囲を求めよ。

で、ｍ≦０、０＜ｍ＜５、５≦ｍ、に場合分け去れてるんですけど、なんでこういう
ふうに場合分けされてるかわかりません。
ｍ＜０、０≦ｍ≦５、５＜ｍじゃいけないんですか？

いいです
両方等号入れてダブってもok

>>43
じゃあ、ｍ≦０、０≦ｍ≦５、５≦ｍでも
ｍ＜０、０≦ｍ≦５、５≦ｍでもいいんですか？

そのとおり

>>45
ありがとうございます！
５時間以上悩んでいましたが、
やっぱり、質問した方がいいですネ！

>>46
５時間もこれで悩んだ君の根性に敬服する。









が、ｍ＝０，５の時を考えて、どちらの式も条件を満たす事に気付かなかったのか？

>>47
あ、なるほど。俺もよくわかった。
俺は42じゃないけど、thx

ちょいと質問なんですが

0<a,b,c<1
a+b+c=1を満たす時
ab+bc+caの最大値を求めよ

みたいな問題は普通どう考えますか？
とりあえず自分の出した答えは

�@相加相乗平均（足し算の項が三つのほう）
�A三次方程式の解と係数の関係から

というふたつの指標からのものです。
�@のほうは証明なしで答案に使ってよいものなのかどうか不安です。

何かエレガントな解答ありましたら教えてください。

>>14
(1)と(2)についてだけ・・。

(1)
標本が大きいので，二項分布を正規分布に近似してみましょう。
近似した正規分布はどう書けますか？
また，その正規分布を標準化するとどうなりますか？

(2)
標本平均Yは正規分布に従うけど，その標準偏差はいくつになるでしょうか？

てか宿題だ罠これは・・（´Д｀;）
受験でほとんど出ない範囲だから，受験生だと思えないし・・

>>49
「相加相乗平均の法則より」とか適当に付け加えれば大丈夫。

>>49
ベクトルで・・・
エレガントじゃないけど

>>49
エレガント性に拘るのは程々にしる

半径１の円に内接する三角形の面積の最大値を求めよ。

よろしくお願いします。

>>55
難しいのもってきた（のか）？

>>56
え？

>>55
A(cosθ，sinθ)，B(-cosθ，sinθ)，C(x，y) (0≦θ＜π/2) とし、
△ABCの面積をSとする。θを固定し、ｘ、ｙを動かすと、
Sが最大となるのは点Cから直線ABに下ろした垂線の長さが最大になるときであるから、
y=-1 ，ｘ＝０のときである。
このとき、S＝2cosθ（sinθ＋１）*(1/2)=cosθ(sinθ+1)　（0≦θ＜π／２）
となるので、ｆ（θ）＝cosθ(sinθ+1)　（0≦θ＜π／２）の最大値を求める。
f'(θ)＝−(2sinθー1)(sinθ＋1)
0＜θ＜π/6でf'(θ）＞0．π/6＜θ＜π/2でf'(θ）＜０
θ＝π/6で極大かつ最大。
よって、最大値はｆ（π/6)=(3√3)/4である。
そのとき、A(√3/2、1/2),B(-√3/2,1/2)、C(0、−1)
となるので、三角形は正三角形をなす。

>>55
(sinα+sinβ+sinγ)/2の最大値 α+β+γ=2π
とかにしてもできそう

>>58
ありがとうございます。
相加相乗平均の定理を使えないものでしょうか？

質問です。

ルートの左上に３が乗ってるのは「3乗根」と読みますか？
例えば
3√-8
は「3乗根8」でいいのですか？

レスありがとうございます。
その後予備校だのなんだのとありまして、遅レスになってしまってすみません。

>>52
その後もう一度相加相乗平均で考え結果、うまくいきませんでした。計算ミスしてたようです。
これから他の問題で相加相乗平均を使う時はそうします。

>>53
ベクトルでの解釈はどのようなものでしょうか？
できたらお聞かせください。

>>54
エレガントというのはちょっと言い方がまずかったかもしれません。
直感的に納得できるような解法を探していたので（汗

あと、自分が�Aの方でやったやり方を一応ここに記しておきます。

ab+bc+ca=Sとした時
a+b+c=1だから
P(t)=t^3 - t^2 + St - abc
について、a,b,cはP(t) = 0の解である。（ただし0 < t < 1でなければならない）
この三次方程式が三つの実数解をもつための必要条件として
P'(t)=3t^2 -2t +S = 0 なるtが0 < t < 1において存在することがあげられるが
これを満たすためにはP'(t)の判別式D >= 0であることが必要で
D >= 0 ⇔ S <= 1/3でることから、
Sは少なくとも1/3をこえることはない。
又、S=1/3かつP(t)=0が三つの解を持つ時、
P(ｔ)=0は三重解をもつ（この時のt = 1/3）。
これはa+b+c=1、0<a,b,c<1を満たすので
確かにS=1/3が最大（a=b=c=1/3の時）

いま高1です。数Aの教科書のBASICの問題です。
（「いわゆる『大砲の弾問題』」って教科書に書いてありました。）

自分で下のプログラムを書いて実行してみたものの、
パソコンが非力なせいで、なかなか答が出ません（endになりません）。
（行番号は省略。*aaaはラベルです。）

どなたか実行して答教えていただけませんか。
それとも、パソコンでも計算できない途方もなくデカイ数なんでしょうか。

「大砲の弾問題」や「Cannon Ball Problem」でググっても、
日本語ではヒットしませんでした。
（英語のページはヒットしましたが、英語が読めなくてスミマセン。）

n=25
*aaa
s=n*(n+1)*(2*n+1)/6
if int(sqr(s))=sqr(s) then print n,s,sqr(s):end else n=n+1:goto *aaa

このプログラムを手持ちのVBで組みなおし実行してみましたが
n=1024でオーバーフローします。下がソースです。

Option Explicit

Private Sub Form_Load()

Dim n As Long
Dim s As Long

n = 25

Do

s = (n * (n + 1) * (2 * n + 1)) / 6
If Sqr(s) = Int(Sqr(s)) Then MsgBox n: End

Debug.Print n
n = n + 1
DoEvents
Loop

End Sub

大砲の弾問題というのがどういうものなのかは知りませんが
そもそも平方数の総和が何かの平方数になる（みたいな問題なのか？）
ということが一体どのようなことなのか一回紙上で検討しみてるといいかもしれません。

>>64
ありがとうございます。
教科書の文章が、「解があるかもしれない」という非常にあいまいな記述だったので、
ひょっとしたら25以上だと解は無いのでしょうか。

教科書会社（東京書籍）に一度手紙してみます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/＼　　　　　　　 /＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 /:::::::ヽ＿＿＿＿/::::::::ヽ、
　　　　　　　　　　　　　　　 　　丿　::.__　　.:::::::::::::　 __　 ::::ヽ_
　　　　　　　　　　　　　　　　 ／　／。 ヽ_ヽｖ /:　／。ヽ　 ::::::ヽ
　-┼-　　　丿~~~|　　　　　/　／￣￣√_＿＿丶 ￣￣＼　 ::::|　　　　　　　　　 　 ■　■
　-┼-　　 /~~~~/ ━━━ |　.::::::::::　/ / ｔーーー|ヽ　　　　 ..::::: ::|━━━━━━　　▼　▼　
　　.|　　　 　　 丿 　　　　　|　.:::::.　　..:　|　　　　|ヽ　　　 　 　 ::|　　　　　　　 　　 　●　●
　　　　　　　　　　 　　　　　|　:::　　　　| |⊂ニヽ| |　　　　　　:::::|　＼
　　　　　　 　 　　　　 ／ ／|　:　　　　| |　 |:::T::::|　!　　　　　 .::|　＼　＼＼
　　　　　　 　 　　　　／　／ ＼:　　　　ト--^^^^^┤　　　　　 丿 ＼＼＼　＼＼＼

>>63
まず問題文を書かないのか

>>62
ab+bc+ca=tとする
↑u=(a,b,c)
↑v=(b,c,a)
↑u･↑v=|↑u||↑v|cosθから
t=(a^2+b^2+c^2)cosθから
t=(1-2t)cosθから
t=cosθ/(1+2cosθ)
あとは微分したりして

だめかな？

ｔ≦１−２ｔ。

>>68
なるほど！うまいですね！
内積にはみえなかった・・
しかも微分している最中に>>69氏のレスがみえて思わずふきだしてしまいました。
確かにその通りです（ｗ

ただ少し問題と思ったのはこのベクトルu,v同士が為す角θの範囲でした。
確かにθ=0の時に成り立ちますが、これが値としてとりうるのかどうかの論議がいるのかなと…。
まったく立体的な点のイメージがわいてないんで今のところいい案が思い浮かんできません（汗
t=1/3の時に確かに成り立つんだという>>62で書いた確認の式をここに用いればいいのかもしれませんが…。


>>65
さっき風呂の中で少し考えたんですが、nとn+1と2ｎ+1がそれぞれ互いに素である（と思う）ことから
もう少しプログラムをまとめることができるかもしれません。
nとｎ+1と2ｎ+1について、それぞれが平方数かそれに2だの3だの6だのを適宜かけた数字になるはずだから、
6の約数達のかけ方の組み合わせで場合わけをすると
かなり大きい数字まで調べられると思います。

lim(x→π/2-0)tanx　=＋∞　　　これは間違ってますか？

>>49
本質的には>>62と同じだと思いますが、こんなのもありかと思います。

シュワルツの不等式により

(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)>=(ab+bc+ca)^2
⇔a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca　(∵a>0,b>0,c>0)
⇔1-2(ab+bc+ca)>=ab+bc+ca　(∵a+b+c=1)
⇔ab+bc+ca=<1/3
(等号はa/b=b/c=c/aかつa+b+c=1すなわちa=b=c=1/3のとき成り立つ）

ニュー速+のスレより

【国際】最大素数は６３２万けた　米大学院生が発見
http://news5.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1071123456/l50/427

>「1971年にソ連のマチセアビッチの
>発表した19変数の多項式 ｆ は、
>すべての素数を、また素数のみを、
>その返り値として持つ。」

と、ありますが、これは素数の一般式が
発見されたとか理解していいんでしょうか?

>>49
エレガントな解答って聞くと
東京大学物語の高校時代に出てきた数学教師を思い出すな。
懐かしい。

>>70
θ=0のときは↑u=(a,b,c)と↑v=(b,c,a)が平行になる。
つまりこの場合は長さが同じなのでa=b,b=c,c=aのときθ=0をとる。
だからa=b=c=1/3のとき↑u=↑vとなり等号成立とでも書いとけばいい。
まあ、ベクトルで解くならコーシー・シュワルツってことにしといたほうが
答案は書きやすいかもしれん。

>>55
相加平均・相乗平均の関係使えますよ。

線分ＡＢを固定すると、△ＡＢＣの面積が最大になるのは二等辺三角形
のとき（図をかいて確かめてください）。
円の中心をＯとし、Ｏと線分ＡＢの距離をx(0＜x＜1)、△ＡＢＣの面積をＳ
とする。
面積の最大値を考えるから
　　　Ｓ＝(1/2)×2√(1-x^2)×(1+x)
よって　Ｓ^2＝(1-x^2)(1+x)^2=(1+x)^3(1-x)
1+x＞0、1-x＞0であるから、相加平均・相乗平均の関係により
　(1+x)/3+(1+x)/3+(1+x)/3+1-x＞＝4×｛(1+x)^3(1-x)/3^3}の4乗根
すなわち　2＞＝4×｛(1+x)^3(1-x)/3^3}の4乗根
よって　　(1+x)^3(1-x)＜＝27/16
（等号は(1+x)/3＝1-xすなわちx＝1/2のとき成り立つ）
したがって、△ＡＢＣの面積の最大値は　√(27/16)＝3√3/4

S^2を出したら普通は微分して増減表を書きますけどね（笑）

問題

次の極限式を解け

4Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}/2k-1]

↑質問じゃなく面白い問題なので出してみた
高校生にとっては非常におもしろい答のはず

グレゴリーっすか。

訂正)　括弧が抜けてました

問題

次の極限式を解け

4Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}/(2k-1)]

>>80
これでいいのかな？

　　1-x^2+x^4-x^6+……=1/(1+x^2)
両辺を積分すると
　　x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……=arctanx
両辺にx=1を代入すると
　　1-1/3+1/5-1/7+……=arctan1
すなわち　Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}/(2k-1)] =π/4
よって　　　4Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}/(2k-1)] =π

将棋の羽生名人のスレ行ったら「数学オタクいらね(゜△゜)」とか言われました。
むかつきますよね。でもなんで?　そんなに数学ってオタク?

そんなイメージを払拭したくて、「青春の補完」というサイトつくりました
http://jbbs.shitaraba.com/sports/11183/

実は僕自身が数学オタクでして(これがオチ(汗))、勉強ばっかりしてきたので、
も　っ　と　学　生　の　頃　遊　ん　で　い　れ　ば　良　か　っ　た、と
いま頃反省しているわけです。共感してくださるかた、ぜひいらしてください。

「おしゃれなグルメ店オフ」「カラオケオフ」「夜遊びオフ」「肝試しオフ」「アイドルおっかけオフ」
などなど、ジャンジャン「青春に特化したオフ会」を企画しにきてちょ〜
http://jbbs.shitaraba.com/sports/11183/

サイトの性質上、ひょっとしたらイケてない人が集まるかもしれませんが、
これからはイケイケの若者を目指せばいいじゃないか、というノリで。

レスのためまたここに見には来ます

質問なんですが
積分で面積とか求めるとき
どんな場合でも
必ずグラフ書かなければならないのでしょうか？

>>84
書かなくても頭でイメージできてれば書かなくてok
じゃないかな

オレ、大学受験までの数学では、そうしてた

>>85
じゃ難しい形のものだけ
書けばいいわけですね？

>>86
難しいのでも
グラフに書かなくてもできる場合が多いよ

なんだっけ。f'(x)とf''(x)が含まれる表さえきちっとおさえとけば。
(表すら頭脳の中にイメージできれば書く必要なし)

しょうもない質問ですけど、
どっちが内接で外接でしたっけ？
http://v.isp.2ch.net/up/6b3cde5214d8.JPG

ｾﾝﾀｰ形式の数学の60分問題なんですが、時間がいつも足りなくて応用まで手が回りません。
どうしたらこれを解決できますか？
ちなみに、1Aでは確率の問題に時間をとられます。

>>88
A→四角形が円に内接
B→四角形が円に外接

>>89
時間がたっぷりあれば全問ちゃんと解答できます(Y/N)?

Yならどんどん問題練習。テクも自分で見つけ身につける。
Nなら復習。弱点分野は徹底的に。

勉強で疲れたら
遊園地にいきませんか?
息抜きです。「遊園地オフ」
ジェットコースターでは真上でも落ちないことを体で体感しましょう(物理)。

http://jbbs.shitaraba.com/sports/11183/

>>89
ありがとうございました。Yのほうなんでこれからどれだけやれるか分かりませんががんばってみます。

青チャート�UＢの１８６ページ１３５番の対数方程式の解法がよくわかりません。
[問]４＾ｘlog8x＝x√x

底はなんですか？
(4^x)log8x
4^(xlog8x)
どっち？

ａを正の定数とする。
ｆ(x)＝∫(0→x)｜ｘ−ａｔ｜sinｔ dt とする。
任意のｘに対してｆ(x)＝ｆ(−x)が成立することを示せ。

という問題なんですが、ｆ(−x)＝∫(0→−x)｜−ｘ−ａｔ｜sinｔ dt
−ｔ＝ｚとおくと、ｔ＝−ｚ、dt＝−dz
ゆえに
ｆ(−x)＝∫(0→ｘ)｜−ｘ＋ａｚ｜sin(−ｚ)(− dz)
と、−ｔ＝ｚとおいただけで、ｆ(−x)の積分区間が(0→−x)から(0→ｘ)になる理由がわかりません。。。
どなたかよろしくお願いします。。

たとえば
tが0から1まで変化するなら
z(=-t)は0から-1まで変化すると思いますが

>>95
下のほうです

>>98
で、底はなんなの？8？それなら
4^(xlog[8]x)
=4^(xlog[4^(3/2)]x)
=4^{(2/3)xlog[4]x}
=4^<log[4]x^{(2/3)x}>
=x^{(2/3)x}
x√x=x^(3/2)より
(2/3)x=3/2
でx=9/4
また1^n=1なので
x=1も解

x=1,9/4
かな？

>>蝋翼
ありがとうございました！！
本当に助かりました！

レスありがとうございます。

>>72
なるほど。ベクトルの解釈によく似てますね。

>>75
成分が相当ってわけですね。なるほど・・。

総じて自分が不等式の問題に慣れてないということがよくわかりました。
シュワルツ、コーシー・シュワルツなどは名前も聞いたことがあり
幾度か演習で証明したことがあるような気もしますが、
全く使うということはできていなかったようです…
実際今日もググって調べました（汗
入試までに詰めておくべき点がみえました。これからこういう問題を演習していきます！
式があっているのに不等式が解けなかったらあほらしいですもんね。
皆さんどうもありがとうございました！

>>81

>　　1-x^2+x^4-x^6+……=1/(1+x^2)
>両辺を積分すると
>　　x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……=arctanx
>両辺にx=1を代入すると
>　　1-1/3+1/5-1/7+……=arctan1
>すなわち　Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}/(2k-1)] =π/4
>よって　　　4Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}/(2k-1)] =π

この解法は正しいの？一行目は無限等比級数の公式でしょ？
だったら、公比の絶対値は１未満だよね？
でも、四行目でxに１を代入してるんだけど・・・。
だれか、>>80の解答キボンヌ。

>>102
その例でのｘ＝１の代入は結果的には正しいけど
収束円上の代入は収束するかどうかを吟味しないとダメ

arctan xのテイラー展開
arctan x =Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}*{x^(2k-1)}/(2k-1)]　　　･･･(1)
x=1のとき
((1)の左辺)=π/4
((1)の右辺)=Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}/(2k-1)]
よって
π/4=Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}/(2k-1)]
ゆえに
4Σ_[k=1,∞][{(-1)^(k+1)}/(2k-1)]=π

arctan xとテイラー展開は高校で習いません。
これ以外の解法はありますか？
>>104は>>81と全く同じですが、
テイラー展開も解答に含めたほうがいいでしょうか。

テーラー展開くらい結構みんな使ってると思うんですが

>>104
どうも、ありがとうございます。

>>94
次のような方法でもいいかと思います。

両辺の底を2とする対数をとると
　　　log[2]2^(2xlog[8]x)=log[2]x^(3/2)
　　　2xlog[8]x=(3/2)log[2]x
左辺の底を2にそろえて
　　　2x×(log[2]x/log[2]2^3)=(3/2)log[2]x
　　　(2/3)xlog[2]x=(3/2)log[2]x
　　　{(2/3)x-3/2}log[2]x=0
よって　　(2/3)x-3/2=0　または　log[2]x=0
したがって　　x=9/4　または　x=1

おかげさまで少し盛り上がってきました。

オフ会とかも、どんどん企画していただいて結構ですので
よろしくおねがいいたします。

性別年齢職業不問。どなたでも参加ください。

★いまより若いときは二度とない
★青春をとりもどすチャンス
★始まったばかりのサークルです

■青春の補完■
http://jbbs.shitaraba.com/sports/11183/

あぼーん

ＴＯＵＨＯＫＵの７文字を一列に並べる時、Ｔ、Ｈ、Ｋの文字がどれも
隣り合わない確率を求めよ。

誰かお願いします。できれば詳しくお願いしたいのですが‥

コーシーシュワルツの不等式を、ベクトルを使わないで証明出来るらしいんですが、どうすれば証明出来るんでしょうか？

多項式(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1は多項式x^2+x+1で割り切れるか？

すいません、間違えました‥

隣り合わない確率を求めよ。×
隣り合わないのは何通りか。○

でした‥。

>>112　判別式

>>115
それだけじゃ分かりません。
具体的に。

>>112
(Σ[m=1 n]A_mB_m)^2≦(Σ[m=1 n]A_m^2)(Σ[m=1 n]B_m^2) について
Σ[m=1 n](A_mx+B_m)^2として展開して
Σ[m=1 n]A_m^2x^2+2(Σ[m=1 n]A_mB_m)x+Σ[m=1 n]B_m^2≧0
これがすべてのxについて成立するから判別式より
(Σ[m=1 n]A_mB_m)^2≦(Σ[m=1 n]A_m^2)(Σ[m=1 n]B_m^2)
>>113
ωとωバーで因数定理

（（以下でOPやAPなど文字だけのものは全てベクトルだと考えてください））

三角形OABがあり、点Pが　2OP＋AP＋2BP＝0　を満たしている、このとき

OP=[ア]/[イ]×（OA＋[ウ]OB）/[エ]　　　と表せる。

したがって辺ABを　[ウ]：１　に内分する点をCとすれば、点Pは線分OCを

[オ]：[カ]に内分する点であることがわかり、このことから3つの三角形PAB､PBO､POA　の面積を

それぞれS1、S2、S3とすると、　　S1:S2:S3=[キ]：[ク]：[ケ]　　である。（キ、ク、ケは整数）

また、直線APと辺OBの交点をDとすると、OD=[コ]/[サ]×OBであるから、AP⊥OB　かつ　OP⊥ABならば

OA:OB=√[シ]：[ス]　　である。

問題の最初からつまずいています。
OPがなんであんな形に表せるのかがよく分らないんですが。

111》隣り合う確率を求めて、全体の確率からひきましょう。

贅沢なクソ餓鬼だな。てめーで考える事も覚えろやボケ！！


　コーシー・シュワルツの不等式の証明
-----------------------------------
xについての二次方程式
Σ[k=1,n] ( a(k)*x - b(k) )^2 = 0
を考える。この方程式は二乗和=0の形なので、重解を持つか、あるいは実数解を持たないかの
どちらかである。この方程式の左辺を展開すれば

Σ[k=1,n] (a(k)*x)^2 - 2a(k)*b(k)*x + （b(k))^2 = 0

この方程式が上の条件を満たすためには判別式より

( - 2a(k)*b(k) )^2 - 4(a(k)*b(k))^2 ≦ 0

が成立する必要がある。等号が成立する場合は最初の方程式が重解を持つ場合であり、
その場合、全てのkについて
( a(k)*x - b(k) )^2　= 0
が成立する必要がある。以下略。

>>118
AP=OP-OA,BP=OB-OP
あとは絵を見ながら出来ると思う
というかなぜ[ア][イ][エ]はまとめてないの？

>>117
正直醜くて何かいてあるかさっぱりわかんない。

>>122
訂正
BP=OP-OB

いや、そういう風にやったんですが、
その結果　OP=1/5(OA+2OB)　ってなって、答えの形と違うんですよ。
[ア][イ][エ]をまとめてないのは、そういうマークの形だからです。

>>121
独りよがりの説明ですね。

>>118
ア3
イ5
ウ2
エ3
かな?

>>127
そうです。
こういう変形って当たり前ですか？
全然思いつかなかったよ（´・ω・｀）ｼｮﾎﾞｰﾝ

>>128
厳しいことをいうようだが、当たり前。

すまん、当たり前はいいすぎた。
典型的な変形すぎる。に訂正しとく。

すまん、当たり前はいいすぎた。
典型的な変形すぎる。に訂正しとく。

>>128
今おぼえちゃえ

そうですか。
精進します。

>>133
がんがろ

あぼーん

あぼーん

n,a_1,a_2,･･･,a_mを正の整数とすると
n!/{(a_1)!*(a_2)!*･･･*(a_m)!}は
�納k=1 m]a_k≦nなら必ず整数になる気がするんですが
どうでしょう？

数列の

n
��(n^4)
K=1

と、

n
��(n^5)
K=1

の公式教えてください。

>>138
あるの？

�納k=1,n]n^4=n^5
�納k=1,n]n^5=n^6

>>１４０
なんか違うような･･･

>>141
いやいや、>>138に対する答えは>>140で合ってるよ。
なにかおかしい？

間違いでした
n
��(k^4)
K=1

と、

n
��(k^5)
K=1

こっちでした。ｽﾏｿ

(n+1)^5-1=Σ[k=1,n]{(k+1)^5-k^5}=Σ[k=1,n](5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)
5Σ[k=1,n]n^4=(n+1)^5-1-Σ[k=1,n](10n^3+10n^2+5n+1)

>>144はボクの知り合いかな？

(n+1)^5-1=Σ[k=1,n]{(k+1)^5-k^5}=Σ[k=1,n](5k^4+10k^3+10k^2+5k+1)
5Σ[k=1,n]k^4=(n+1)^5-1-Σ[k=1,n](10k^3+10k^2+5k+1)
pugera

ａを自然数、pを素数とする。その時　ａ＾pをｐで割った余りとａをｐで割った
余りが等しいことを示せ。

>>147
http://www.google.com/search?&q=%83t%83F%83%8B%83%7D%81%5B%82%CC%8F%AC%92%E8%97%9D

高校の範囲で解答できる？modの定理書いてそれで証明すりゃいいだけ？

>>147
a^p={(a-1)+1}^p≡(a-1)^p+1,(mod(p))
よって、帰納的に
a^p≡(a-k)^p+k,(k=0,1,2,・・・,a-1),(mod(p))
となり、k=a-1のとき、
a^p≡(a-(a-1))^p+(a-1)≡a,(mod(p))

平面上にどの３点も同一直線上にない１００個の点があります。
この点の中から３点を選び、それらを結んだ三角形を考えます。
このような三角形で鋭角三角形は高々70%しかないことを示してください。

「sinθが有理数になる確率を求めよ。」

お願いします。

あぼーん

Ｃ；2X^2+y^2=1がある。点(1.a)からＣに２本の
接線を引くとき、２本の接線のなす角がΠ/4のときのaを
求めよ

あぼーん

あぼーん

あぼーん

質問たまってるところすいません。
解答を紛失してしまったのでどなたか答え合わせしていただけませんか…。
計算みすが不安です。

△ABCの外心Oから直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれP,Q,Rとするとき、
↑OP + 2↑OQ + 3↑OR = ↑0 が成立しているとする。
(1)　↑OA,↑OB,↑OCの関係式を求めよ
(2)　∠Aの大きさを求めよ

(1)はP,Q,Rを各辺の中点とみて計算すると
　(5/2)↑OA + 2↑OB + (3/2)↑OC = 0.
(2)は(1)の結果から∠BOCを求めて半分にすると
　∠A = 45ﾟとなりました。

お願いいたしますm(_ _)m

>>154
±(√14)/2

lim_[x→∞](x+√(x^2+1))

答えは∞なんですが、
これが1/((√x^2+1)-x)になって∞になりそうですけど
イマイチ納得できません。変形の仕方が間違ってるんでしょうか。

>>158
答えはあっています。(1)の関係式は分母払っていた方がいいでしょう。
この問題は昔の京大の問題なので、過去問見ればいいかも。ひょっとしたら古すぎて現在発売中の赤本などには
載ってないかもしれませんが……。
この問題で注意する点は、外心Ｏが△ＡＢＣの内部にあることをきちんと断ることでしょうか。なんとなく鋭角三角形
をかいてしまうと危険です（結果的に、この問題では正しいのですが）。

因数分解の問題が分かりません。
とっかかりを教えてください。

「(X+1)の三乗+1」と「(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)-120」の二つの因数分解を
よろしくお願いします。

f(x)=x^3+3x^2-9x+aの極大値はa+27である。
また、方程式f(x)＝0が異なる三つの実数解を持つ条件は

（　　）＜a＜（　　）である

この問題の解き方教えてください。

>>162

(x+1)^3+1=(x+1)^3+1^3と考えて、因数分解の公式a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)を使うとできます。

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120=(x+1)(x+4)×(x+2)(x+3)-120
　　　　　　　　　　　　　　　　=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-120
この式で、x^2+5x=Aとおいて因数分解してみてください。

>>161
素早いレスありがとうございます。助かりました。
外心が内部にあるかどうか…あるだろって感じで適当にやってしまいました。
普段そのへんちゃんとしてないから詰まったときｸﾞﾀﾞｸﾞﾀﾞになるんですね…
ほんと参考になりました。どうもでした！

>>163
この問題ではすでに極大値が与えられているので、以下のように
解くのがよいでしょう。

f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)
f(x)はx=-3のとき極大値a+27、x=1のとき極大値a-5である。
f(x)=0が異なる3つの実数解をもつ条件は
　　　　　　　　（極大値）>0、（極小値）<0
よって　a+27>0、a-5<0　　　　　したがって　-27<a<5

また、方程式を変形すると
　　　　　　　-x^3-3x^2+9x=a
となります。
y=-x^3-3x^2+9xのグラフと直線y=aの共有点の個数が
3個になるようなaの値の範囲を求めても解けます。
定数を分離して、曲線のグラフと直線との共有点の個数を調べる
方法はよく使います。参考書などを見ると載ってるはずです。

>>164
どうも有り難うございました！

>>151
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo70.html
一番最後の問題。　日本語の解答が読みたければ
http://jp.mathnori.com/top/math/math_proof.asp?math_type=previous&level=&order=CREATION%5FDATE&sort=desc&ID=11
でユーザー登録して、ログイン、ギブアップとすれば解答を読む事ができる。

n,a_1,a_2,･･･,a_mを正の整数とすると
n!/{(a_1)!*(a_2)!*･･･*(a_m)!}は
�納k=1 m]a_k≦nなら必ず整数になる気がするんですが
どうでしょう？


誰か場合の数を使わないでこれ示して・・・

>>160
lim_[x→∞](x+√(x^2+1))=lim_[x→∞]x(1+√(1+1/x^2))
と変形すると、x→∞のとき1/x^2→0となるから、極限は∞となります。

160さんの用いた変形は、lim_[x→∞](x-√(x^2+1))のように差の形で表された
場合に使います。

>>169
同じものを含む順列の数が整数であることを用いれば示せますが、
「場合の数を使わないで」という条件では残念ながら分かりません。

>170
素直にそうすれば良かったんですね。
どうもありがとうございます。

>>169
まず、
【n】C【k】=【n-1】C【k】+【n-1】C【k-1】
を使って、帰納法で、m=2の場合に成り立つことを示す。
あとは、分母の塁乗数がいくつあっても、２つから１つにくっつけていけば、m=2の場合に帰着できる。

あぼーん

広告がウザイですね。

そうですね。
sage進行にすればマシになる・・・のかな？

a(1)=4、a(n+1)=√{(a(n)-1)/2}+2で表される数列{an}に対し
lim(n→∞)anを求めよ。

ｻﾊﾟｰﾘでつ。
n=1,2・・ってやっても手掛かりが掴めませんですた。

a_k>3のとき
a_(k+1)=√[{(a_k)-1}/2]+2>3
a_1>3より任意の番号nについてa_n>3(帰納法)
また、{a_(n+1)-3}/{(a_n)-3}=(√[{(a_n)-1}/2]-1)/{(a_n)-3}=1/2(√[{(a_n)-1}/2]+1)
a_k>3より√[{(a_n)-1}/2]>0,従って0<1/2(√[{(a_n)-1}/2]+1)<1
max 1/2(√[{(a_n)-1}/2]+1)=tとおくと
a_n-3=<t^n(a_1-3)=t^nより
a_n→3(n→∞)

＃4行目の"-3"は特性解利用

＃4行目等に出てくる"3"は特性解

a_n-3=<t^(n-1)(a_1-3)=t^(n-1)より

いい加減吊ってきます

a(1)は４じゃなくてもいいね。


> max 1/2(√[{(a_n)-1}/2]+1)=tとおくと
せっかくだから、最大値が存在することも理由を述べたほうがいいと思う。

>>177-180の方々、ありがとうございます。
でも、自分が数学DQNゆえ、わからないところがたくさんあります。
よければ質問に答えてください。
>>177はどういう方針で解答を進めているのしょうか？

もし、極限が存在して、lima(n+1)=lima(n)=aとなるならば、
与えられた漸化式にこれらを代入して、
a=√{(a-1)/2}+2 となるので、これを解くと、a=3/2 or 3.
あとは、a(n)-a を等比数列のような形に変形すればよい。

スケッチ

a[n+1]-3=(a[n]-3)/(√2)(√(a[n]-1)+√2)
ここでa[n]>2だから
1/(√(a[n]-1)+√2)<1/(1+√2)
よって
|a[n+1]-3|<|(a[n]-3)|/(√2)(1+√2)<|a[1]-3|/(√2+2)^n → 0

以上によりlim[n→∞a[n]=3

自然数m,nについて、
m^2+29^2=n^2
を満たすような、自然数組(m,n)を求めよ。

これ、コンピュータ使えば、求まるんだけど、人間の計算力で解く方法はないのでしょうか？
たとえば、この式が29^2ではなく、3^2,4^2,5^2,12^2だったら知識でなんとかなるよね？
確立された筆算法があるなら、どなたか教えてください。

>>184
29^2=n^2-m^2=(n-m)(n+m)で29は素数だから・・・

(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2

2mn=29 として解くとか？

>>185
ありがとうございます。

あぼーん

>それは 必然で偶然の出会いでした

必然で偶然とはこれ如何に！

>>173
分かるようなわからんような、
う〜ん、必ずしも二つから一つにできるんだろうか

これに対するレスはもうしなくていいです

>>190
n!/{(n-k)!*k!}∈N
ならば、有理数1/{(n-k)!*k!}は有理数1/(n!)の倍数となるから、分母の階乗数はこの調子で減らしていける。

>>191
なるほど!!そういうことですか
わかりましたありがとうごさいます

>>189
ナイス突っ込みｗ

多分単純な問題だとは思うんですが全く手がかりが掴めないのでお願いします。

a,b,cを自然数とする。二次関数y=ax^2+bx+cのグラフが二点(-2,3)(3,28)を
通る時、定数a,b,cの値を求めよ。

>>194
代入。

(a,b,c)=(1,4,7) (2,3,1)
自然数に0を含むなら (0,5,13) も

2次関数って書いてあるから、a≠0だね。

(-2,3)(3,28)の点の他に何の値を代入したら良いんでしょうか？

α＋β、αβ

>>198
代入？a,b,cを自然数とするって自分で書いてるだろ？


(-2,3)(3,28)を代入したら
3=4a-2b+c　　　　�@
28=9a+3b+c　　　　�A
上から下をひいて5=a+b
a,bは自然数だから(a,b)=(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)
あとは�@でも�Aでも代入してcだせ。

任意のn次対称式はn種類の基本対称式であらわせることを証明してください。

なんか名前がついてたようなついてなかったような・・

いまさら自分で言うのもなんだが訳わからんな・・・

ようはなんで対称式は基本対称式で表せるのか、ってことでお願いします。
対称式論の基本定理らしいけどぐぐっても証明見つからん・・・

漸化式の特性方程式というものがよくわからないです。
そういう式があることと数列の変形に使うことはわかるのですが、

式そのものの意味やどのように導かれたかが今いちよくわかりません。
教えてください。

幾何の問題です。お願いします。

【問題】
円に内接する△ABCの頂点Aと、線分BC上の適当な点Pを結んだ直線AP
と円との交点をQとする。
AB・AC=AQ・APになるとき、AQは∠Aを２等分することを証明せよ。

>>204
図を使うから、答案は書きません。
（概要）
幾何のほとんどの問題は代数と違って、同値でしか、方程式を変換しないので、逆証を利用する。
つまり、∠Aが２等分されるなら、AB・AC=AQ・APであることを示す。
方針は、いくつか方程式を立てて、余分な変数を消去していく。
この場合は、トレミーの定理、△ABP∽△CQP、△ACP∽△BQPの３つの関係式から導くことができる。

学習院の数学って理系の皆さんから見てどうなの？
難しい？　標準？　易しい？

このスレだけウザイ広告一掃されてすっきりしましたね（笑）。
見やすくていいです。

>>202
以下のＰＤＦファイルの定理1.8の証明がそれにあたるかと思います。

http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/sym_pol.pdf

大学の内容なので、パッと分からないかもしれません。私もハッキリ
とは分かりません。

>>201-202
ニュートンの定理だったと思う。n=2のときの証明は割と簡単です。
過去スレpart2を参照してください。

∠Ｃ＞∠Ｂである鋭角三角形ＡＢＣの、∠Ａの２等分線と辺ＢＣとの交点
をＤとし、ＡからＢＣに下ろした垂線をＡＨとする。このとき、
次のことを証明せよ。∠ＤＡＨ＝1/2（∠Ｃ−∠Ｂ）

どこから目をつけていいかわかりません。

手だろ

目でも無問題

>>210
∠ＢＡＤ＝∠CＡＤ＝a、∠ＤＡＨ＝x とおく。
∠ＢＡH＋∠Ｂ＝90°、∠ＣＡH＋∠Ｃ＝90°であるから
　　　　a＋x＋∠Ｂ＝90°、aーx＋∠Ｃ＝90°
辺々を引くと　　2x＋∠Ｂー∠Ｃ＝0°
よって　　　　x＝1/2（∠Ｃ−∠Ｂ）
すなわち　　∠ＤＡＨ＝1/2（∠Ｃ−∠Ｂ）　

文字aのかわりにαまたはθを使ってください。
高校数学では、aは∠Aの対辺BCの長さを表すことが多いので。

>>203
高校生なら、隣接２項間漸化式の場合だけ。

a[n+1]=p*a[n]+q　（漸化式）と
k=p*k+q　（特性方程式）の
２式を引き算する。

a[n+1]-k=p*(a[n]-k)…(※)となり、
a[n]-k が、公比 p の等比数列になる。

あるいは、(※)の形が目標だから、
これを展開して解を k とする方程式を p，q で表すと…

>>208-209
ありがとう。
早速読んでみる・・・







n次対称群ってなんぞや・・・(´Д`;)

>>216
まぁ、どこにも証明が載ってないということは高校範囲では証明が困難だったり不可能だったり
するってことでしょう。

次数を均等になるようにしていけばいいだけで簡単。

関数ｆ(x)を　　ｆ(x)＝(x^3)e^-2　　　と定める
f(x)を最大にするxの値をaとする時、次の問いに答えよ。

（１）aとｆ(a)を求めよ。
（２）∫(0→a)f(x)dx　　を求めよ。


これの(１)は解けるんですが、（２）の部分積分のところで解答は、
I＝[x^2（(-e^-2)/2）]−∫2x（(-e^-2)/2）dx
となってるんですが、何でこうなるんですか？
自分でやった時は、
I＝[x^3((-e^-2/2x)）]−∫3x^2（(-e^1-2/2x)）dx
となって、2回目､3回目の部分積分に突入してしまいます。

ちなみに2003年度学習院大学理学部の問題です。

>>219
e^-2：=e^(-2)ですか？

>>219
f(x)=(x^3)*{e^(-2)}

で、質問内容はと・・

>>219
ｆ(x)＝(x^3)e^(-2x)
じゃないんですか

あ、ごめんなさい。
標記に慣れてないんで。

えっと、f（x）＝（xの3乗）*（eの-2乗）　です。

>>219
解なし

同型な単項式←どう読むんですか？
どうがた？どうけい？

単型対称式←これは？

f（x）＝（xの3乗）*（eの-2乗）　だと単調増加

>>219
学習院大学サイトの過去問で見たけど、eの乗数のフォントが切れてるね。
見づらいけど、たぶん　f(x)=(x^3)e^(-2x)だと思うよ

過去問の本くらい買えよ、と一コマ・・（ｒｙ

>>219
（1）をどうやって解いたのかが知りたい

すみません質問です。

放物線ｙ＝ｘ^2直線ｙ＝ｍｘ＋ｍ（ｍ＞0）の交点をＰ，Ｑとする。
ｍが変化するとき、放物線の点Ｐ，Ｑにおける二本の接線の交点が描く
図形の方程式を求めよ。

なんですが、Ｐ，Ｑにおける接線を求めて、交点を出してｍを消せばいいんですよね。
Ｐ（Ｘｐ、Ｙｐ）、Ｑ（Ｘｑ、Ｙｑ）とおいて接線をだそうとしたのですが、
回答を見ると「ｙ＝ｘ^2のｘ＝Ｘｐにおける接線は・・・」
なんです。Ｙｐはなぜに放置なのでしょうか。
確かにＹｐもいれて計算すると上手く答えが出せません。

どなたかお願いします。

本当にごめんなさい、
たしかに指摘どおり、e^（-2x）です。
でも単純にこれは書き込むときに付け忘れただけなので、問題の分らない所自体は同じです。

>>229
（１）は普通に微分して増減表を書き、極大極小を求めて、
　　　lim(x→±∞）f(x)を調べてaの値をだしました。
　　　a＝±√6/2　が答えです。

>>230
Ypを入れるってどうやって入れるんだよ。どんな式立ててんだ？
とにかく接線の方程式が２つで、未知数4つにしたら答えは出るわけねーよ。

>>231
f(x)=(x^3)*e^(-2)
の最大値をどうやって求めたのかが知りたかっただけ
e^(-2x)なら、大した問題じゃないけど

>>231
あ、ミス。
±√6/2じゃなくて√6/2だけです。

関数ｆ(x)を　　ｆ(x)＝(x^3)*｛e^(-2x)｝　　　と定める
f(x)を最大にするxの値をaとする時、次の問いに答えよ。

（１）aとｆ(a)を求めよ。
（２）∫(0→a)f(x)dx　　を求めよ。


これの(１)は解けるんですが、（２）の部分積分のところで解答は、
I＝[（x^2）*（-e^(-2x)/2x）]−∫2x*（-e^(-2x)/2x）dx　　　　（区間は両方0→a）
となってるんですが、何でこうなるんですか？
自分でやった時は、
I＝[x^3*(-e^(-2x)/2x）]−∫3x^2（-e^(-2x)/2x）dx
となって、2回目､3回目の部分積分に突入してしまいます。

訂正でごちゃっとしてしまったので、書き直しました。
お願いします。

>>235
(x^3){e^(-2x)}=(x^2){xe^(-2x)}=(x^2)<{-e^(-2x)}/2>'
だから

ごめん、嘘

ﾜﾗﾀ

>>225
同型（どうけい）
単型（たんけい）
でいいですよ。

>>235
正しくはｆ(x)＝(x^3)*｛e^(-x^2)｝だと思います。

(2)では置換積分法を使うと、部分積分は1回ですみます。

x^2=tとおくと

∫[0→a]f(x)dx=1/2∫[0→3/2]te^(-t)dt

あとは計算のみです。　　　(答)　1/2-5/4e^(-(3/2))

>>240
おっしゃる通りです。
答えもそれであってます。
なるほど、置換積分を使うんですか、納得です。

てか何度も何度も間違ってもうだめぽ＿|￣|○

>>230
問題の解答はたとえば次のようになります。

Ｐ(p，p^2)，Ｑ(q，q^2)とする。
y'=2x
よって，点Ｐにおける接線の方程式は
　　　　　　y=2p(x-p)+p^2　　すなわち　　y=2px-p^2　……�@
同様に，点Ｑにおける接線の方程式は
　　　　　　y=2qx-q^2　……�A
�@，�Aからyを消去すると　　2px-p^2=2qx-q^2
整理して　　2(p-q)x=(p+q)(p-q)
p≠qであるから　　x=(p+q)/2
このとき，�@から　　y=2p((p+q)/2)-p^2=pq
ゆえに，直線�@，�Aの交点の座標を(X，Y)とすると
　　　　　　X=(p+q)/2，Y=pq
p，qはx^2=mx+mすなわちx^2-mx-m=0……�Bの異なる2つの実数解である。
解と係数の関係により　　p+q=m，pq=-m
よって　　X=m/2，Y=-m
mを消去すると　　Y=-2X
�Bの判別式をＤとすると　Ｄ=m^2+4m=m(m+4)
m>0であるから，常にD>0が成り立つ。
また，m=2X>0であるから　　X>0
したがって，求める軌跡は　直線y=2xのx>0の部分


接線の方程式は，微分法を学んでいれば簡単に求められます。
もし，微分法が未習であれば，点Ｐ(p，p^2)における接線の方程式を
y=a(x-p)+p^2とし，y=x^2とからyを消去して整理した2次方程式の判別式
がＤ=0となることを利用してaを求めます。

>>242
答えの最終行に誤植がありました。
（誤）直線y=2x→（正）直線y=-2x

-------------------------------------
ごしょく ［誤植］

印刷で活字の組み誤り．ミスプリント．

-------------------------------------
まぁ、いいけど。

厳密には誤記というべきでしたね。
確かに，現在では電算写植が主流になったため，昔のように型に文字を一本一本植える
活版印刷はほとんどなくなりました。それでも昔の名残で「誤植」という言葉は残っている
んですよね。

ついでですが，>>230の問題文では「図形の方程式を求めよ」となっているから，軌跡の
限界まで求める必要はないかも（笑）。「軌跡の方程式を求めよ」でも同じ。
「軌跡を求めよ」「どのような図形を描くか」などと問われた場合は除外点を考えなくては
いけません。

言葉って難しいですね。

なんか小うるさい親父って感じだな

>>239
ありがとう。

曲線　y=2^x　について、この曲線状に任意の点Pをとる。

(1)Pを直線y=xに関して折り返した点をQとし、Qをx軸方向に2、y軸方向に2だけ移動した点を
Rとすると、Rは曲線　y=log[ア]_（[イ]x−[ウ]）　　を描く。
次に、S（x，log2_x）としてSRがy軸に平行でSRの中天が直線　y=2　上にあるとき、Sのｘ座標は
x=[エ]＋√[オ]　　である。

(2)　曲線　y=2^x　上に任意に取った点Pに対して，点TをPTを2:1に内分する点が定点
A（[カ]/[キ]，[ク]）であるように取るとき、Tは曲線　y=−（[ケ]/[コ]）^x　上を動く。


（1）は分るんですが、（2)が全く分りません。
どなたか解法、解説お願いします。

すみませーん！！；；
この時期になんなんですが・・・。
奇跡の問題ってものすごく苦手なんです。
除外点が良く解りません
例えば、

ｌ：ｘ＋ｔ（ｙ−3）＝0　　ｍ：ｔｘ−（ｙ＋3）＝0
を考える。ｔは実数。
ｔが実数全体を動くとき、ｌとｍの交点はどんな図形を描くか。

で、ｘ^2＋ｙ^2＝9　　（0,3）を除く。。ですが


（0,3）は除いて（0、−3）は除かなくていいんですか？
いつも奇跡の問題やっててよく解んないんです＞＜
除外点にすら気付かない時もあります。
何かコツとかありますかね・・・？

>>249
yに3を代入すると、　ｌ：x=0　m：-6=0　　となって、mが成り立たない。
yに-3を代入すると、　ｌ：x-6t=0　m：tx=0　となり、t=0　x=0　で成り立つ。

って事じゃないんですか？
特にtに範囲もないし。

>>249
割り算

>>249
x=6t/(t^2+1)
y=3(t^2-1)/(t^2+1)

こんな直前におばかですみません
確率でＰのつかい方とＣの使いかたがいまいちわかりません


どんなときＰでどんなときＣなんですか？？


どなたかレスお願いいたします。

>>253
確率考える前に、場合の数考えれ。

順列の数P
組み合わせの数C

あとは教科書で確認してちょ

＞＞254
そっか☆ 一気にかんがえるからわかんなかったのかも。
親切にどうもありがとう（･∀･）

四面体を形成できる４つの合同な三角形が満たすべき、必要十分条件を求めよ。

よろしくお願いします。

http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/resource/bin/grps623.exe
ｺﾚおとして
陰関数のところにcosyxr^2tanx(sinPixyr) を貼りつけてOKしてみ

>>256
平面上に△ABCをとりAとは反対がはにDをとる
合同な三角形なのでDの位置は一つに決まる(四角形ABDCが平行四辺形になるところ)･･･�@
平行四辺形ABDCをBCを折り目として徐々に折り曲げる
空間上でBC=ADとなることがあるかどうか考える
�@の時点でBC≧ADなら無理
AとDから直線BCにおろした垂線の足をそれぞれG,Hとすると
BC≦GHでも無理
BC≧ADかつBC≦GHとなるのは△ABCが鋭角三角形のとき


あと折り曲げていくときADの長さが単調減少であることの証明がいると思います

>>249
x+t(y-3)=0
tx-(y+3)=0
からt=-x/(y-3)となりy=3を認めるとtが存在できない
t=(y+3)/xとなりx=0を認めるとtが存在できない

と思うんですが

>>258
ありがとうございます。

だれかお願いします。
解説プリーズ（´・ω・｀）

>>256
こんな別解もありかも。

直方体ＡＢＣＤ-EFGHの内部にある，四面体ＡＥＣＨの4つの面はすべて合同である。
AB=l，AD=m，AE=nとするとき，l>0，m>0，n>0となるl，m，nが存在する条件を求めればよい。
△ＡＥＣにおいて，AC=a，，AE=b，CE=cとすると
　　　　a^2=l^2+m^2　……�@，　b^2=l^2+n^2　……�A，　c^2=m^2+n^2　……�B
(�@+�A-�B)÷2から　　l^2=1/2(a^2+b^2-c^2)
同様にして　　m^2=1/2(c^2+a^2-b^2)， n^2=1/2(b^2+c^2-a^2)
l>0，m>0，n>0となるl，m，nが存在する条件は
　　　a^2+b^2-c^2>0， c^2+a^2-b^2>0， b^2+c^2-a^2>0
すなわち　　a^2+b^2>c^2， c^2+a^2>b^2， b^2+c^2>a^2
したがって，求める必要十分条件は，4つの面が鋭角三角形になることである。

>>248
点Ｔが突然出てきていますが，他に条件ないのですか。
なにか抜けているように思うのですが……。

Ｔに関してはありません。
問題文を全文写したので。

これ某出版社のセンターパックの問題なんですが・・・答え見ても全然分らんのです。

>>264
そうですか。センターパックのわりに難しいですね。
何か見落としてるかもしれませんので，(1)から解きなおしてみます。

>>248
A(1/3,0)
T:y=-(1/4)^x
ですか？

>>266
正解です。
なんでそうなるんですか？

A(a,b)としP(x,y)としT(X,Y)とするとPTを2:1に内分する点が定点Aなので
X=x+(a-x)+(1/2)(a-x)=-(1/2)x+(3/2)a
Y=y+(b-y)+(1/2)(b-y)=-(1/2)x+(3/2)b
となり
x=-2X+3a
y=-2Y+3b
となり
y=2^x
に代入して
-2Y+3b=2^(-2X+3a)
Y=-(2)^(-2X+3a-1)+(2/3)b
で
A（[カ]/[キ]，[ク]）であるように取るとき、Tは曲線　y=−（[ケ]/[コ]）^x　上を動く。
にあうようにしてb=0,a=1/3⇒T:y=-(1/4)^x

>>268
う〜ん、なんとなく分りました。
難しいなぁ・・・（´・ω・｀）

内分点の公式のあと、答えの形を上手く利用するんですね。
なんか本末転倒な感じの問題だなぁ・・・。

本来なら解けない問題だな・・・

>>270
同意見です。こんな悪問センターには出ないから，無視していいでしょう。

「正の整数」
と
「自然数」
って同じ意味ですよね？
参考書に区別して書かれていたので混乱していまつ。

正の整数
0.1.2.3.4.・・・

自然数
1.2.3.4・・・・

>>273
オマエ中学一年から勉強しなおせ

>>273
まぁ、ゼロも自然数なんだけどね・・・ほんとは。

あ、そうだ。
>>273はかなり変だ。

０は正じゃないという

数学的帰納法で、まず始めにn=1を証明して、次にn=kと仮定するんですよね？
そっからなんでn=k＋1を証明しなければならないのか分かりません。
誰か教えてください。

白チャートでもセンターに対応できるんでしょうか？
国公立志望で59から62くらいの所を狙ってます。数学偏差値32くらいで、他の教科は50前後。今は一応黄チャやってます。高2です。

帰納法はドミノ倒しと似たようなもん
まず一つ目を倒した事を確認する(n=1で成り立つ事を確認)
次に第k番目が倒れてるとしよう
(ここで頭にいれとかないといけないのは､ドミノ倒しは1つ目が倒れたら必ず2つ目も倒れるよね｡んで､2つ目も倒れたら3つ目…とつづくよね)
で第k番目が倒れてたら第k+1番目も倒れてるはず｡
ってわけで第k+1番目が成り立つ事示せば､すべての自然数において成り立つの

kは自然数ネ
いいわすれてたけど

ぶふぅ
まちがえた
第k+1番目が倒れてたら第k番目も倒れてる筈
です
_/￣|◯

青チャートI＋Aの例題240があまり理解できません。

1000以下の自然数で、3の倍数であり、かつ、５で割ったときのあまりが2となるものは
小さい順に並べると、初項（　ア　　）で公差（　イ　）、項数（　ウ　）の等差数列となり、その総和は（エ）である。

（解答）
3の倍数で、かつ5で割ったときのあまりが2の自然数をxとする。
m,lを自然数として
x=3m=5l+2=5l+(5-3)　が成り立つ。
3と5は互いに素であるから、m+1=5n(nは自然数)とおける。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
の部分がよく分かりません。なんでこういう風におけるんでしょうか？教えてください。

>>283
3m=5l+2=5l+(5-3) yori 3(m+1)=5l yotte m+1 ha 5 nobaisuu nari.

>>278
数学的帰納法を使って、このスレの住人はみんなアフォであることを証明してさしあげよう。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
インターネットの世界は広いのに、2chなんかにスレを立てる者(=1)はアフォである。・・・[1]
2chのスレの最新の書き込みにレスをする者もアフォである。・・・[2]

[1][2]より、このスレの住人はみんなアフォであることが証明された。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

よろしいでしょうかな?
これで1も2も3も・・・280も281もみんなアフォなわけ。
どうして281がアフォかというと、280がアフォだから([2]のため)
どうして2がアフォかというと、1がアフォだから([2]のため)
どうして1がアフォかというと、それは[1]のため


息抜きページはこちら
http://jbbs.shitaraba.com/sports/11183/

たがいに素

ってどういう意味？

他にも結構なぞな数学用語あるよな。

一般に〜。

は例外があるのかと思いきやそうではないし。

285は厳密に言うと、ちょっと違った

2番目のやつ、
「アフォにレスをつける者は、さらにアフォである。・・・[2]」
にしたほうがいいかな。

帰納法はハゲのやつのが面白いな

>>286
1以外の公約数を持たない＝互いに素

>>288
知らないけど
想像では

生まれたときはみんな髪の毛がある・・・[1]
髪の毛が一本抜けたくらいではハゲじゃない・・・[2]
よって[1][2]よりハゲは存在しない

みたいな?

>>289
３　２０
とかですか？
３　１８
は互いに素でないですよね？

【自然数】
正の整数1、2、3、4、…の総称。物の多少の度合を示す目的に使用された場合は基数、物の順番を示す目的に使用された場合は序数という。また、0を含めていうことがある。

【零（ゼロ）】
数字の一つ。「0」のこと。また、正でも負でもない実数。0で表す。零（れい）。

【数学的帰納法】
数学の証明法の一つ。自然数に関するある条件について、自然数1がその条件を満たす、自然数nがその条件を満たせばn＋1もその条件を満たす、という二つのことが成立するならば、いかなる自然数もその条件を満たすという原理に基づくもの。完全帰納法。

【素】
数学で、数または整式の関係の一つ。いくつかの数または整式のどの二つの最大公約数も1のとき、それらの数または整式は互いに素であるという。

中学生レベルの質問で申し訳ないんですがお願いします。
因数分解を使って次の二次方程式を解いてください。
答えまでの手順も書いてください・・・お願いします。

(1) 2x^2-1/8=0

(2)x^2+0.2x-0.03=0

>>293
(1) 2x^2-1/8=0
⇔x^2-1/16=0
⇔(x+1/4)(x-1/4)=0
⇔x=1/4、-1/4

(2)x^2+0.2x-0.03=0
⇔(x+0.3)(x-0.1)=0
⇔x=0.1、0.3

>>294
ごめん
(2)はx=0.1、-0.3に訂正。

続けて質問させてください

-4±2√13 / 2　=x=-2±√13　らしいのですが

分子の2と-4が約分して-2になるのはわかるのですが
その場合±2はどこへいくのですか？

意味不明でした・・・・

-4±2√13 / 2　=　-2±√13　

円に内接する四角形ABCDの辺BA、CDの延長の交点をPとするとき、PA=4、AB=2、CD=5となった。
また、このとき2点C、Dを通るほかの円にPから接線を引き、接点をTとするとTA=3√6であった。
TBの長さを求めよ。
http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/data/IMG_000105.png

　（-4±2√13） / 2
=(-4/2)±(2√13)/2
=-2±√13

>>296
±√13=±1×√13

>>299
>>300
全く意味がわかりません・・・
=(-4/2)±(2√13)/2
で(-2)±(2√13)じゃないんですか？
なぜ(2√13)の2まで消えるのですか？

(2√13)/2=(2/2)*(√13)
根号は文字と同じように考えるから自然数だけで処理

>>301
分数の勉強をやり直しましょう。

2√13=2×(√13)　だから。

-4と2両方を1/2かけるということですか？

ついでに質問なんですが-4±2√13の場合は単純に-4と2を足せばいいんですよね？
2が+として√から取り除いた場合

どなたか・・・

君はもう無理

>>305
-4+2√13は-4＋2×√13のことなんだから×から計算しなきゃダメでしょ

-4＋2×5とかに置き換えて考えてみな

>>306
(1) (2√13)/2=√13は分からんってことですか？
(2) 2√13とは2×√13であることはいいですか？
(3) (2×a)/2を約分すればaになることは認められますか？
(4) その他
不明なのは何番ですか？

＞＞２９８
右側の円に対して、方べきの定理をあてはめて、
ＰＡ×ＰＢ＝PD×PC ⇔ ４×６＝ＰＤ×（ＰＤ＋５）　⇒　ＰＤ＝３

左側の円に対して、方べきの定理と接弦定理をあてはめて、
ＰＤ×ＰＣ＝ＰＴ＾２ ⇔ ３×８＝ＰＴ＾２　⇒　ＰＴ=２√６

△ＴＰＢと点Ａに対して、スチュワートの定理をあてはめて、
ＴＰ＾２＋２×ＴＢ＾２＝３×ＴＡ＾２+（２／３）ＰＢ＾２
　⇔　２４＋２×ＴＢ＾２＝３（３√６）＾２＋（２／３）６＾２
　⇒　ＴＢ＝９

こけちゃんのホムペどこいったの？

>>298
図と本文でＴＡの長さが違っているから，解法だけ書きますね。

方べきの定理により
　　　　PA×PB＝PD×PC＝PT^2　　←CD=5であるから，PD=3となりますが本問では必要ありません。
よって　　4×(4+2)＝PT^2　　　ゆえに　PT＝2√6
△PATにおいて余弦定理により，cos∠Pを求めます。
次に，△PBTに余弦定理を適用して
　　　TB^2=PT^2+PB^2-2PT×PBcos∠P
これで，TBの長さは求まります。

x,yが単位円上を動く時、3x+4y の最大、最小をベクトルの内積を用いて求めよ

苦しいよぉ

>>313
↑a=(3，4)，↑p=(x，y)とし，そのなす角をθ（0ﾟ≦θ≦180ﾟ)とすると
　　　　　3x+4y=↑a・↑p=|↑a||↑p|cosθ=5・1・cosθ=5cosθ
θ=0ﾟすなわち↑p=(3/5，4/5)のとき最大値5
θ=180ﾟすなわち↑p=(-3/5，-4/5)のとき最小値-5

>>314
なるほど！わざわざ解いてくださって有難うございました。
数学って面白いなぁ。

（1）a,b,cは実数でa+b+c=3とする。

　　この時、不等式　ab+bc+ca≦3 が成立することを証明せよ。

（２）a,b,cは正の数とする。

　　　この時、　｛a +( 1/b)｝｛b+(4/c｝｛c+9/a｝≧48　が成立することを証明せよ、また等号が成立するのはどんなときか。

こういう問題がサッパリです。上手な考え方を教えていただけませんか？

>>316
(2)相加相乗

１から１０という数字、どこから発見されて、なぜ１０進法なんでしょう？

>>318
人間の指が10本だから

>>318
矢野健太郎さんの「数学の考え方」とか読んでみるといいよ。

>>316
a,b,cは
t^3-3t^2+(ab+bc+ca)t-(abc)=0の解だから
f(t)=t^3-3t^2+(ab+bc+ca)t-(abc)とすれば
f'(t)=0の判別式Dはa,b,cが実数より
D≧0
よってab+bc+ca≦3を得る。

青チャート　２・Ｂ　３０７ページの例題（Ａ）なんですけど

　　　問題
　　　　　↑OA=↑a　　↑OB=↑b　 l↑a l=l↑b l＝１ 　　↑a・↑b = k
　　　　　のとき、線分ＯＡの垂直２等分線の方程式を媒介変数 t と　↑a 、↑b 、 k
　　　　　を用いて表せ。

で、ＯＨを求めるところの

　　　l↑a l = 1　であるから　　↑ＯＨ ＝（cosθ）↑a＝k↑a

↑ＯＨ ＝（cosθ）↑a　となるところがわかりません
お願いします

Hが突然でてきてるけど何？

青チャートもってないから式の形から
あてずっぽうで無責任に言わせてもらうと
要は正射影を求めてるんだろ？

>>323
>>324
どうもありがとうございますm(__)m　
正射影なんて聞いたこともなかったので、いろいろ調べてなんとか理解できました
ＨはＢからＯＡへの垂線をＢＨとしたときのＯＡ上の点Ｈでした
わかりにくくてすみませんでした

滅茶苦茶簡単だと思うけど、混乱してて何が間違ってるのかわからん。
というわけで誰か指摘してくれ・・・。

x^2 - 2(a+1)x - 2a + 6 = 0 が二つの解を持つとき、

判別式D = b^2 - 4ac
= {2*(a+1)}^2 - 4(-2a+6)
= 4*(a+1)^2 + 8a + 24
= 4*a^2 + 8a + 4 + 8a +24
= 4*a^2 + 16a + 24 < 0
⇔ (a-1)(a+5) < 0

∴ -5<a<1

どこが違うよ？
若年性痴呆症かもしれん・・・。

最後が＜0じゃなくて＞0だろ。

ミス。-24だ。
これは書き間違えただけ。

というか書き間違えまくってるな。
a^2 + 4a - 5 > 0
となったんだが。

>>327
やばい。理解できない・・・

＿|￣|○

a^2 + 4a - 5 < 0 だ。もう死ぬ。

アホやん俺・・・。
今気付いた。アホ杉。死んでくる。

D/4＝(a＋1)^2−(−2a＋6)＝a^2＋4a−5＞0
⇔(a−1)(a＋5)＞0⇔a＜−5，1＜a

あ、解決したのか。

>>326
2つの解をもつといってもいろいろあります。

１　異なる2つの実数解
２　実数解（重解も2つと数える）
３　異なる2つの虚数解

おそらく１の意味で言っているのだと思いますが，今後虚数について
学習したとき混乱ないように，区別しておいたほうがよいでしょう。

>>316
(1)　a+b+c=3から　c=3-(a+b)
　よって　ab+bc+ca=ab+c(a+b)=ab+{3-(a+b)}(a+b)
　ここでa+b=u，ab=vとおくと，a，bを2解とする2次方程式は
　　　　　　　　　t^2-ut+v=0
　a，bは実数であるから　u^2-4v≧0　　　　よって　v≦u^2/4
　ゆえに　ab+bc+ca=v+(3-u)u≦u^2/4+(3-u)u=-3/4(u-2)^2+3≦3
(2)　(a +1/b)(b+4/c)(c+9/a)
　=4a+9/a+9b+4/b+c+36/c+abc+36/abc
　≧2√{4a×(9/a)}+2√{9b×(4/b)}+2√{c×(36/c)}+2√{abc×(36/abc)}　（相加平均・相乗平均の関係より）
　≧12+12+12+12≧48
　等号が成り立つのは，4a=9/a，9b=4/b，c=36/c，abc=36/abcすなわちa=3/2，b=2/3，c=6のとき。　

>>336
思考手順なんかを書いてもらえるとありがたい。

>>337

長文レスで失礼します。

(1)について
>>321さんが書いてあるように，解くこともできますが，「3次方程式の解と係数の関係」と「3次関数のグラフ」について学習していないと理解できません。
そこで，「条件式a+b+c=3を使って，文字を減らす」ことを考えます。

cを消去すると，ab+{3-(a+b)}(a+b)となりますが，これはaとbの対称式であり，基本対称式a+b，abで表されています。a+b=u，ab=vとすると，a，bを2解とする2次方程式はt^2-ut+v=0となることは，よく使いますので瞬時に連想できるようにしておくとよいでしょう。

2次方程式が実数解をもつ条件なら，判別式Ｄ≧0ですから分かりやすいと思います。
a+b+c=3ですから，aとbが実数であれば，cも実数になるので，「a，b，cが実数」という条件は使い切っています。後は，uの2次関数の最大値を求める問題と同じです。

(2)について
次のように解く人もいらっしゃるかもしれません。

a +1/b≧2√{a×(1/b)}，b+4/c≧2√{b×(4/c)}，c+9/a≧2√{c×(9/a)}として，辺々をかけて
　　　(a +1/b)(b+4/c)(c+9/a)≧2√{a×(1/b)}×2√{b×(4/c)}×2√{c×(9/a)=8×6=48
等号が成り立つのは，a=1/b，b=4/c，c=9/aすなわちa=3/2，b=2/3，c=6のとき。

もちろん，これでも正解なのですが，この方法ではうまくいかない場合もあります。
たとえば，次の問題を考えてみてください。

「a，bが正のとき，(a+1/b)(b+4/a)の最小値を求めよ。」

よく勉強している人なら，すぐ相加平均・相乗平均の関係を連想するはず。上と同様にして

a +1/b≧2√{a×(1/b)}，b+4/a≧2√{b×(4/a)}として，辺々をかけて
　　　(a+1/b)(b+4/a)≧2√{a×(1/b)}×2√{b×(4/a)}=8　　　　　よって，最小値は8

とすると間違いです。なぜなら，a=1/b，b=4/aを満たす実数a，bが存在しないからです。
そのため，相加平均・相乗平均を使うときは，必ず等号成立条件を確認します。積の形になっている場合は，展開してから，使うほうが間違える可能性は減ります。

p1、p2、p3　および　x1、ｘ2、x3 は与えられた定数である。
関数　f(x)=a(x)^2+bx+c に対して、a、b、c　がどのような値をとっても
つねに次の関数が成り立つという。

p1*f(x1)+p2*f(x2)+p3*f(x3)=0

x1、x2、x3　が互いに異なるとき、p1、p2、p3　の値を求めよ。

全くわかりません。誰か教えてください。

>>339
p1*f(x1)+p2*f(x2)+p3*f(x3)=0から
　　　　p1*{a(x1)^2+bx1+c}+p2*{a(x2)^2+bx2+c}+p3*{a(x3)^2+bx3+c}=0
整理すると
　　　　a{p1(x1)^2+p2(x2)^2+p3(x3)^2}+b(p1x1+p2x2+p3x3)+c(p1+p2+p3)=0
これがa，b，cの値にかかわらず成り立つから
　　　　p1(x1)^2+p2(x2)^2+p3(x3)^2=0，　p1x1+p2x2+p3x3=0，　p1+p2+p3=0
これはp1，p2，p3についての3元1次連立方程式ですから，x1，x2，x3が異なることに注意すれば解けます。

>>340
ありがとうございます。
では
x1=x2≠ｘ3 であるとき、p1、p2、p3 がみたす条件を求めよ。

というのはどうやって求めるのでしょうか？

>>341
x1=x2のとき
　　p1(x1)^2+p2(x1)^2+p3(x3)^2=0　……�@，　p1x1+p2x1+p3x3=0　……�A，　p1+p2+p3=0　……�B
�@-�A×x1から　　x3(x1-x3)p3=0
x1≠x3であるから　　x3=0　または　p3=0
[1]　x3=0のとき　�@は　(x1)^2(p1+p2)=0　　　　�Aは　x1(p1+p2)=0
　x1≠0であるから　　p1+p2=0　　　このとき，�Bから　p3=0
[2]　p3=0のとき　　�@は　(x1)^2(p1+p2)=0　　　　�Aは　x1(p1+p2)=0
　�Bから，p1+p2=0となるから，�@，�Aは常に成り立つ。
以上から，求める条件は　　p1+p2=0，p3=0

>>342
ありがとうございました

>>306
分配法則分かってる？

(a+b)×c=ac+bc

Ａ1＝１、０＜θ＜π
Ａn+1＝Ａn COS(θ/2^n)のＡnの極限は？
お願いします！

>>345
n≧1なら
-1/2≦cos(θ/2^n)≦1/2なので、
lim(n→∞){An}=0

スマソ、なんか訳わからんこと言ってるね。
すごく寝ぼけてた。
でも0に収束するのは明らか。

0じゃないらしいです お願いします

>>345
An=cos(θ/2)cos(θ/4) ...cos(θ/2^(n-1))
であるから、両辺にsin(θ/2^(n-1)) をかけて、2倍角の公式をつかうと、
An*sin(θ/2^(n-1))=sinθ/2^(n-1)
両辺をθ/2^(n-1)でわると、
An*[sin(θ/2^(n-1))/{θ/2^(n-1)}]={ sinθ/2^(n-1) } { 2^(n-1)/θ}=sinθ/θ
したがって、
lim An =sinθ/θ　; as n → ∞

>>316
(1)について，もう1個別解があるのであげておきます。
「3次方程式の解と係数の関係」「3次関数のグラフ」「対称式」などを全然知らなくても解ける初心者向けの解答です。

a+b+c=3から　　a+b=3-c　……�@
ab+bc+ca=kとおくと　　ab=k-c(a+b)=k-c(3-c)　……�A
�@，�Aから，a，bを2解とする2次方程式は
　　　　　　　　　t^2-(3-c)t+k-c(3-c)=0
これが実数解をもつから，判別式をDとすると
　　　　　　　　　D=(3-c)^2-4{k-c(3-c)}≧0
よって　　4k≦(3-c)^2+4c(3-c)=-3c^2+6c+9=-3(c-1)^2+12≦12
したがって　　k≦3　すなわち　ab+bc+ca≦3

この解法のポイントは，まずcを定数と見ることです。すると，>>336と同じように2次方程式が実数解をもつ条件にもちこめます。

長助さんを知ってる気がする。

すいません。本当に自分のレベルが低くて情け無いのですが、
どうしても分からなかったので、教えてください。

(a-b)^2(a-c) , (b-a)^3(b-c)^2 , (c-a)^3(c-b)^3の
最小公倍数が、(a-b)^3(b-c)^3(c-a)^3なのですが、
どうやって変形すればこうなるのでしょうか？

6a^3b^7 , 2a^2b^9の最小公倍数がa^3b^9なのですが、
6と2は考えなくていいのでしょうか？

求め方は分かっているのですが、学校で細かい所まで習わなかったので、
参考書などを読んでも、基本過ぎるのか、書いてありませんでした。
なので、教えてくださいお願いします。

>>351
???
>>352
a,b,c に何か条件があるのでは？

>>353
それが、条件とか何も無いんです。
ただ、最小公倍数と、最大公約数を出すだけの問いです。

>>353
○○○○のお孫さんでしょ。

ﾌｰｱｰﾕ？

one of them ですよ、私は。あなたの事は1,2回見かけただけ。噂もちらほら。

>>ID:uScsVjZI
めちゃめちゃ、妄想壁あり。ｗ

･･･

>>358
そうかもね。ｗ

>>359
あれだけの先生方に可愛がられているんだから、こんなトコにいないでもっと真面目に勉強したら？
なんで日本の大学にこだわるの？

失礼。余計な事だったね。

なんだなんだ

お願いします。

複素数平面上に3点Ｏ(0)、Ａ(1)、Ｂ(cosθ＋ｉsinθ)がある。ただし0＜θ＜π、π＜θ＜2πである。
三角形ＯＡＢの周上に2点Ｐ、Ｑをとる。線分ＰＱが三角形ＯＡＢの面積を2等分するとき、線分ＰＱの長さの最小値をθを用いて表せ。

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□■■■■■■■■■■■■□□□■■■■■■■■■■■■■□□
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□□□□□□□□□□□□■□□□□□□■□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□■□□□□■□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□□■□□■□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□□□■■□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

>>363
求めるものはPQの位置ではなく長さなので
対称性に注目して調べる範囲を減らせる。

まず角度θは0<θ<πで十分。
また△OABは二等辺三角形なので、その面積を二等分する直線は
(1)点Oと辺ABの中点を通るもの
(2)点Bと辺ABの中点を通るもの
(3)辺OAと辺OBを通るもの
(4)辺OBと辺ABを通るもの
の四つを考えれば良いが、(1)と(2)はすぐわかるので
実質的には(3)と(4)を調べれば良い。
あとは任せた

おねがいしますι
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1068897693/l50
これのセンターのもんだいの！

>>365
無理ですた…

O(0,0) A(1,0) B(cosθ,sinθ)とする。
PQの候補は
(1)点Oと辺ABの中点を通るもの
(2)点Bと辺ABの中点を通るもの
(3)辺OAと辺OBを通るもの
(4)辺OAと辺ABを通るもの

(1)
PQ=cos(θ/2)
(2)
PQ^2=(cosθ-(1/2))^2+(sinθ)^2=(5/4)-cosθ
(3)
P(p,0) (0<p<1)
Q(q*cosθ,q*sinθ) (0<q<1) と置くと
△OPQ=(1/2)pq*sinθ
これが△OAB=(1/2)sinθの半分になってればいいのだから pq=1/2
PQ^2=(q*cosθ-p)^2+(q*sinθ)^2=p^2+1/(4*(p^2))-cosθ>=1-cosθ 等号はp=1/(√2)
(4)
P(p,0) (0<p<1)
Q(1+q(cosθ-1),q*sinθ) (0<q<1) と置くと
△APQ=(1/2)(1-p)q*sinθ=(1/2)△OAB (1-p)q=1/2
PQ^2=(2q*sin(θ/2))^2+1/(2*q)^2+cosθ>=2*sin(θ/2)+cosθ

続く

続き

(2)のPQ>(3)のPQは明らか。
x=sin(θ/2) (0<x<1) と置くと、PQ^2は
(1)1-x^2
(3)2*x^2
(4)-2*x^2+2x+1
これらのうち 0<x<1 の範囲で最小のものを決めれば良い。
0<x<=1/(√3) ⇒ 2*x^2
1/(√3)<x<1 ⇒ 1-x^2
つまり
0<cosθ<=1/3 ⇒ PQ=(√2)sin(θ/2)
1/3<cosθ<1 ⇒ PQ=cos(θ/2)

なんかもっと簡単に解ける方法がありそう…

あ、間違ってる…

大学入試で変数分離形の微分方程式ってつかっていいの？

>>371
使わないほうが無難だと思う。９９年の循環論法の例もあるし･･
（範囲外の問題で使わなければ解けそうにない問題は除く）

>>339
河合の冬期のﾃｷｽﾄの問題じゃん。
つまんねーからこんなとこで聞くなよ。
答ここで聞いて、授業に臨んでなんの意味があんの？アホじゃない？

>>373
意味はあるだろｗ

てｓｔ

この数学の問題解ける人います？
明らかにベクトルなんですけど､なぜか解答で複素数で解いてる。
わざとなのか､あえてなのか……
ベクトルで解ける人､できれば解答希望です。お願いします。
http://ime.nu/raus.de/crashme/
直リンすいません…ｗ

>>376
あぶね

>>376
というかアドレス見た瞬間にアレだとわかるんだけどｗｑ

今時crashmeにひっかかるヤシなんているのかw

まぁ、踏んでも無効化してるから効かないわけだが。

>>376
どれどれちょっと見てみますね。待っててください。

>>379
すいません引っかかりました。（哀

>>363
とりあえず，こんな感じで解いてみました。でも自信なし。

まず，0＜θ＜πの範囲で考える。対称性に着目すると次の3つの場合がある。
[1]　PがOA上，QがOB上にあるとき
　OP＝p，OQ＝q（0＜p≦1，0＜q≦1）とする。
　△OAB＝2△OPQであるから
　　　(1/2)・1・1・sinθ＝2・(1/2)・pqsinθ　　よって　　pq＝1/2
　ゆえに　PQ^2＝p^2+q^2-2pqcosθ≧2pq(1-cosθ)＝1-cosθ＝2{sin(θ/2)}^2
　等号はp＝q＝1/√2のとき成り立つ。
[2]　PがOA上，QがAB上にあるとき
　AP＝u，AQ＝v（0＜u≦1，0＜v≦1）とする。
　△OAB＝2△APQであるから
　　　(1/2)・1・2sin(θ/2)・sinA＝2・(1/2)・uvsinA　　よって　　uv＝sin(θ/2)
　ゆえに　PQ^2＝u^2+v^2-2uvcosA≧2pq(1-cosA)＝2sin(θ/2){1-sin(θ/2)}
　等号はp＝q＝√{sin(θ/2)}のとき成り立つ。
[3]　PがOと一致するとき
　PQ^2＝{cos(θ/2)}^2＝1-{sin(θ/2)}^2
sin(θ/2)＝tとおくと，0＜t＜1であり
[1]の場合　PQ^2＝2t^2　　　　[2]の場合　PQ^2＝2t(1-t)　　　　[3]の場合　PQ^2＝1-t^2
0＜t＜1の範囲でグラフをかいて，上下関係を調べると，PQ^2の最小値は
　　　　　　0＜t≦1/2のとき　2t^2　　　　1/2＜t＜1のとき　2t(1-t)
したがって，PQの最小値は
　　0＜θ≦π/3のとき　√2sin(θ/2)，　　π/3＜θ＜π/2のとき　√[2sin(θ/2){1-sin(θ/2)]　　……�@
π＜θ＜2πの場合は，�@においてθを2π-θに置き換えればよいから
　　(3/2)π＜θ＜(5/3)πのとき　√[2sin(θ/2){1-sin(θ/2)]，　　(5/3)π≦θ＜2πのとき　√2sin(θ/2)　　
　　

∫[0→π/2]sind^4tdt-∫[0→π/2]sind^6tdt＝(1-5/6)・3/4・1/2・π/2

なぜこうなるのか分かりません。どなたかお願いします。

>>384
I_n=∫[0→π/2]sin^ntdtとおくと
　　I_n=∫[0→π/2]sin^(n-1)tsintdt
　　　 =[-sin^(n-1)tcost][0→π/2]-∫[0→π/2](n-1)sin^(n-2)cost(-cost)tdt
　　　 =(n-1)∫[0→π/2]sin^(n-2)(1-sin^2t)tdt=(n-1)I_(n-2)-(n-1)I_n
よって　　I_n=(n-1)/nI_(n-2)
ゆえに　　I_4=(3/4)I_2=(3/4)・(1/2)I_0=(3/4)・(1/2)・(π/2)
　　　　　　I_6=(5/6)I_4=(5/6)・(3/4)・(1/2)・(π/2)
I_4-I_6が答えです。　

>>384
それにしても計算過程はしょりすぎですね。何の問題集，参考書の解答ですか？
あまりよくないと思います。
>>385で導いた漸化式により，I_n=∫[0→π/2]sin^ntdtの値は
　[1]　nが偶数のとき　　I_n=(n-1)/n・(n-3)/(n-2)・(n-5)/(n-4)・……・3/4・1/2・π/2
　[2]　nが奇数のとき　　I_n=(n-1)/n・(n-3)/(n-2)・(n-5)/(n-4)・……・4/5・1/3・1
となることが分かります。でも，覚えるべき公式ではありません。
I_nの漸化式をいつでも導けるようにしておくほうが大事です。

質問します。
正五角形ABCDEにおいて↑AB=↑a,↑AE=↑bとおき、↑BC,↑DC,↑EDをそれぞれ
↑a,↑bを用いて表せ、という問題なんですが、↑DCはcos∠ABEを使って求められたものの、他がわかりません…
あとベクトルってこんな表記でいいんでしたっけ？(w

>>387
トレミーの定理でAC・DE＋EA・CD=AD・CEからAB:AC=2:(1+√5)を得る。
でBC↑=AC↑-AB↑=((1+√5)/2)(ED↑)-AB↑
=((1+√5)/2)((AD↑)-(AE↑))-AB↑
=((1+√5)/2)^2(BC↑)-((1+√5)/2)(b↑)-a↑
=((3+√5)/2)(BC↑)-((1+√5)/2)(b↑)-a↑。
これより
BC↑=-((1-√5)/2)(a↑)+b↑。
他も同様。

>>387
頂角36°の二等辺三角形の辺の比を出せるんなら、
BEとADの交点をFと置いて、BF:FEを出せる。
そこからAF↑を出せる。
AF↑とBC↑は平行なことを使って、BC↑を出せる。

>>387
ごめん。もっと簡単に出せる。
頂角36°の二等辺三角形の辺の比を出せるんなら、
ADとCEの交点をGと置いて、
BC↑=AG↑=AE↑+EG↑
EG↑とAB↑が平行に注意。

>>388-390
ありがとうございますm(__)m

合同式ってどの分野に出てくる解法？

>>385-386
ありがとうございます。よくみれば漸化式のやつでしたね。忘れてました。
問題はやさ理です。

書きこみ少ないね〜
なんか問題もってくるか・・・

>>392
数論だよ。整数の事を考える分野

>>394
代数学（群論）というのにも出てきますが。

書き込みホントに少ないな
質問でもするか…
ネタ探さないと、はぁ・・

>>395に、
「数論は代数学のことだぞ」
とか、
「数論は代数学そのものだ」
とかいう、予想されるレスはもし事実であっても無しの方向で宜しく。
数論に興味ないので

>>392
数学。

任意の素数pに対して
(p-1)!+1はpで割り切れることを示せ。

>>397
３９２が数論に興味がないって何で分かるの？

群論ｎなんて大学じゃないか・・・_|￣|○

>>401
『大学への数学』とかいう雑誌等は大学の範囲もやってるんじゃないっけ？
この板は信者が多いみたいだから、代数学くらい知っているものと思ってた。
modなんて頻繁に出てくるし。

この板に大数信者いるんですか・・・
漏れは大数よんでないんでしりませんo┤*´Д｀*├o

>>403
【月刊】大学への数学・総合スレ【4月号】
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1067442279/l50

ｔｈｘ

すいません質問です。
lim(x→0）log(1+x)/x・(x+1)=1
なんですが、これってlim(x→0)log(1+x)/x=1ってやってしまっていいんですか？

>>406
何の式なのかわからないので答えようがないです。
・・(　)や{　}などつけてもらわないことにはどうしようもない

>>406
e=lim_[h→0](1+h)^(1/h)を使えるように変形したほうがいいと思います。

以下，lnは自然対数を表す。
　　lim_[x→0]{ln(1+x)/x}(x+1)=lim_[x→0]{ln(1+x)^(1/x)}(x+1)=lne=1

センター試験や予想問題集の解答を見て疑問に思ったことなんですが、

1、円に内接する四角形ABCDにおいて、ADとBCが平行であるだけで、必ず四角形ABCDは等脚台形。　(2003年数�TA本試験第２問)
２、円に内接する四角形ABCDにおいて、対角線AC、BDの交点をEとすると、必ずBE=CDであり、∠ABE=∠DCE。　(Z会センターパック)

といったことが読み取れたんですが、こういう定義はあるんでしょうか？教えてください、お願いします。

ごめんなさい、２の方は勘違いでした。

少なくとも"定義"じゃないだろ。"定理"ではあっても。
BE=CDは違うな。それ以外は成り立つ。

>>411
ありがとうございます！！２の、∠ABE=∠DCEも成り立つんですか？

>>409=412
>∠ABE=∠DCE
それは中学で習う円周角の定理。
この時期に分かってないなんてやばすぎ。
復習汁。

>>413
ありがとうございます。全然気づきませんでした(w

45°≦α＜９０°

０°≦θ≦４５°

このとき、４５°≦α≦２θ＋α＜９０°＋α＜１８０°

が成り立つ理由がゎかりましぇ〜ん。おιぇてι！！

詳しくおしえてほしいでつっε＝(≧ε≦)プッー

それと、３０°÷３０°って１でつかぁ？？
はたまた１°でつかぁ？？

あげ

>>415-416
教科書を読み直せよ。

教科書に書いてないからきいてるのでつがぁ。

>>419
αとθは独立ニ変数なんだから最大と最小を適当に足せばそうなるだろ

ありがとぅ

>>494
で、おまいはエッセンスだけでどうだったのかと小一時間（ｒｙ

>>499
壁が力を及ぼさないってのはありえなくないか？
まあ説明するのにわかりやすい言葉ではあると思うが。

きちんと証明すれば、高校数学の範囲をぬけてる定理でも使っていいんですか？

>>422
で？おまいは、何で誤爆なんかするのかと小一時間（ｒｙ

┏━Ｂ「x=±1」━━━┓必要条件と十分条件って知ってるか？高校の数学で習うアレだ。
┃　　　x=-1　 　　　　　┃あるＡであれば間違いなくＢである時、ＡはＢの十分条件という。
┃　　　　　　　　　　　　┃逆に、ＢであればＡの可能性があるとき、ＢはＡの必要条件という。
┃┏━Ａ「x=1」━━┓┃図で表してみると左のようになる。
┃┃　　　　　　　　　┃┃（この場合のＡ，Ｂというのは、「事象」。丸めて言えば、数式や法則の事）
┃┃　　x=1　　　　　┃┃一つ例を出してみよう。
┃┃　　　　　　　　　┃┃○事象Ａ「x=1」　　○事象Ｂ「x^2=1」
┃┗━━━━━━┛┃x=1ならば必ずx~2=1になるが、x~2=1の時、x=±1のどちらの可能性もある。
┗━━━━━━━━┛よってこの場合、ＡはＢの十分条件、ＡはＢの必要条件となる。

要するに俺が言いたいのは、「大学受験板住人」は「彼女無し」の十分条件だと思うがどうよ？

\\^^

>>425
その、この板には男しかいないという前提に書き込みしてるところが
彼女に縁がない生活してることの十分条件

┏━Ｂ[x=±1].━━┓　その前に この程度の図は
┃　　　x=-1　　　 　┃　なるべくズレを最小限にして欲しい。
┃　　　　　　　　　　.┃　とてもイライラしますので。
┃┏━A [x=1]━┓┃
┃┃　　　　　　　.┃┃
┃┃　　 x=1　　 .┃┃
┃┃　　　　　　　.┃┃
┃┗━━━━━┛┃
┗━━━━━━━┛

>>428
ﾜﾗﾀ

lim[n→∞]a[n]=∞⇔lim[n→∞]1/a[n]=0

lim[n→∞]a[n]=0⇔lim[n→∞]1/a[n]=∞

これってあってる？

>>430
上だけ。下は±∞。

すいません。4a-4b÷4aって答えなんでしたっけ？

4a-(b/a)={(4a^2)-b}/a

f(x)は3次式、g(x)は2次式とする。xy平面上の2つの曲線C1:y=f(x)とC2:y=g(x)は
点P(1,0)で交わり、点PにおいてC1の接線とC2の接線は互いに直交する。またf(x),
g(x)は次の関係を満たすものとする。

i) f(x)+∫[x=1,x] g'(t)dt=-x^3+ax^2-bx
ii) f'(x)g'(x)=3ax^3-15x^2+5ax-2b

このとき、
（１）a,bを求めると、a=□、b=□である。
（２）f(x)を求めると、f(x)=-x^3+□x^2-□xである。

おねがいします！マジでおねがいします！俺の持ってる問題集やらなんやらには、
こんな類題ないんスよ…解法を教えてください…

>i) f(x)+∫[x=1,x] g'(t)dt=-x^3+ax^2-bx

[x=1,x]って違わんか？
書くんなら[t=1,0]じゃないか？

>>434
f(x)+∫[1,x]g'(t)dt=-x^3+ax^2-bx
⇔ f(x)+g(x)-g(1)=-x^3+ax^2-bx
⇔ f(x)+g(x)=-x^3+ax^2-bx・・・ア (∵g(1)=0)

f'(x)g'(x)=3ax^3-15x^2+5ax-2b・・・イ

(1)
アに x=1 を代入すると，f(1)=0，g(1)=0 であるから，0=-1+a-b
イに x=1 を代入すると，f'(1)g'(1)=-1 であるから，-1=3a-15+5a-2b
この2式を解いて，a=2，b=1・・・答

(2)
g(1)=0 であるから，g(x)=px^2+qx-(p+q) (p≠0) とおける．
よって，アより，f(x)=-x^3+2x^2-x-{px^2+qx-(p+q)}．
このとき，f'(x)=-3x^2+(4-2p)x-(q+1)，g'(x)=2px+q であるから，
{-3x^2+(4-2p)x-(q+1)}(2px+q)=6x^3-15x^2+10x-2
-6p=6，-3q+2p(4-2p)=-15，q(4-2p)-2p(q+1)=10，-q(q+1)=-2 より，p=-1，q=1．

∴ f(x)=-x^3+3x^2-2x・・・答

>>436

本っ当にありがとうございました！！！！
これで追試に合格できます。。。。。

θ=360°/7、α=cosθ+isinθ、β=α+α^2+α^4のとき、以下の問いに答えよ。
(1)α~=α^6を示せ
(2)β+β~、ββ~を求めよ
(3)sinθ+sin2θ+sin4θを求めよ。

(2)まではわかったんですけど、(3)がわかりません。
回答には

sinθ+sin2θ+sin4θ=sinθ+sin2θ+sin4θ
(2)よりβ、β~は2次方程式z^2+z+2=0の解であるから

とあるんですが、なんでいきなりこんな式が出てきたのかがさっぱり。
ちなみに(2)の結果はβ+β~=-1、ββ~=2でした。

すいません、半端なところで送っちゃいました。再掲。

θ=360°/7、α=cosθ+isinθ、β=α+α^2+α^4のとき、以下の問いに答えよ。
(1)α~=α^6を示せ
(2)β+β~、ββ~を求めよ
(3)sinθ+sin2θ+sin4θを求めよ。

(2)まではわかったんですけど、(3)がわかりません。
回答には

sinθ+sin2θ+sin4θ=sinθ+sin2θ-sin3θ>0
(2)よりβ、β~は2次方程式z^2+z+2=0の解であるから

とあるんですが、なんでいきなりこんな式が出てきたのかがさっぱり。
ちなみに(2)の結果はβ+β~=-1、ββ~=2でした。

・αは1の原始7乗根
・(z^7)-1=(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)
・α^n=(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)

これらをヒントに考えたまえ

sinθ+ sin2θ+ sin4θ= Im(α+α^2+α^4)

βがあったか・・・

>>437
落ちれば良かったのに。

>>443
まぁそういうてやるな(￣┏Д┓￣)y─┛~~

>>438

>(2)よりβ、β~は2次方程式z^2+z+2=0の解であるから

　とあるんですが、なんでいきなりこんな式が出てきたのかがさっぱり。
　ちなみに(2)の結果はβ+β~=-1、ββ~=2でした。


β~はβの共役複素数のことなのでしょうか？
それはさておき，和がp，積がqである2数を2解とする2次方程式はx^2-px+q=0です。
ですから，いきなり出てきたわけじゃありませんよ。解と係数の関係を復習された
ほうがよいでしょう。

反応がないよ、暇だよ。
皆冬休みに入ったからかな・・・

2^n-3^k=1
を満たす自然数解は(n,k)=(2,1)しかないことを示せ。

Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝（Ｘ−６３）＾２＋Ｙ＾２＝（Ｘ−１５）＾２＋（Ｙ−２０）＾２

これを解くと
Ｘ＝６３/２、Ｙ＝−８

となるのがわかりません。

なんちょなくおもいだした

Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝（Ｘ−６３）＾２＋Ｙ＾２
Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝（Ｘ−１５）＾２＋（Ｙ−２０）＾２

でとけばいいのか？
連立方程式だっけ？

>>449
ですね

ほんとに連立方程式って名前であってる？
べつべつにしないと解けなかったんだけど。

>>431
>>430の上と下は同じ命題だが。

>>451
A=B=Cは「A=BかつB=C」と同値ですから，連立方程式ですよ。

>>430
数列の極限は，きちんと+∞，-∞と書くべきです。
すなわち，問題は

[1]　lim[n→∞]a[n]=+∞⇔lim[n→∞]1/a[n]=0

[2]　lim[n→∞]a[n]=0⇔lim[n→∞]1/a[n]=+∞

となります。

[1]　lim[n→∞]a[n]=+∞⇒lim[n→∞]1/a[n]=0は成り立ちますが，
　逆は成り立ちません。(反例)　lim[n→∞]a[n]=-∞
[2]は>>452さんがいうように[1]と同値です。こんな問題が2つ続けて
出るとは考えにくいです。 次のようになっていれば，多少意味がある
のですが……。


[1]　lim[n→∞]a[n]=+∞⇒lim[n→∞]1/a[n]=0

[2]　lim[n→∞]a[n]=0⇒lim[n→∞]1/a[n]=+∞

すみません。同値というのは言いすぎかもしれません。

[2]　lim[n→∞]a[n]=0⇒lim[n→∞]1/a[n]=+∞は成り立ちません。(反例)　lim[n→∞]1/a[n]=-∞
　逆は成り立ちます。

[1]，[2]ともに正しくないと思います。

a3+a4=3/8

a4+a5=3/16

初項からn項までの和をSnとするとき1.95＜Snを満たす最小のnの値を求めよ。


おねがいｓます

>>456
数列の規則性はなんですか？

>>457
ヒントなのか質問なのか分かり辛いね

等比数列anです

すまそ

a_3=x,a_4=xr,a_5=xr^2
とでもおいて
一般項出してみ。

>>455
同値だよ。
っていうか同じ命題だよ。

>>455
いや，それは分かっているのですが，式の形が違うから「同値とはいいすぎた」
と言っただけです。誤解をまねく表現でした。申し訳ありません。
1/a_n=b_nとおけば，同値であることは確かめることはできますがね。

↑は>>461さんに対するレスです。

>式の形が違うから「同値とはいいすぎた」と言っただけです。
同値って言葉の意味わかってるの？

あと>>430は数列が実数列なのか複素数列なのかも書いてないから
何も言えない。複素数なら∞は無限遠点しか考えないし。

>>464
同値の意味は次のように理解していますが，補足説明がありましたらよろしくお願いします。

条件p，qに対して，「p⇒q」と「q⇒p」がともに成り立つとき，pとqは同値であるといい，
「p⇔q」と表す。

>>465
複素数列の場合はどうなるのですか。説明よろしくお願いします。

このスレって問題出したとたんに流されるのね・・・

2^n-3^k=1
を満たす自然数解は(n,k)=(2,1)しかないことを示せ。

>>467
流したくて流しているのではなく，わからないから書き込めないだけだと思います。
私も少し考えてみましたが，うまくいきませんでした。

間違っていたら申し訳ないのですが，答えを知った上で問題を出しているのですか。
もしそうなら，みんな分からないようなので，答えを教えていただけませんか。

2^n-3^k=1
n>2として考える。
両辺の mod.8 (=2^3) をとると

　3^k≡-1 (mod.8)　　　　　（１）

しかし、3^k≡1,3 (mod.8)となるので
（１）を満たすkはない。

ありがとうございます。
剰余類の性質って学校で習わないし，載ってない参考書多いから
あんまり使ったことないのですが，便利そうですね。

あれ？
上のほうで習わないけど知ってるって書きこみ有ったんだけど知らんかったんか・・・
知ってる人もいるし知らない人もいるって感じなのかな。

modは教科書にのってないから，整数を

�@2k，2ｋ+1
�A3ｋ-2，3ｋ-1，3ｋ
�B4ｋ-3，4ｋ-2，4ｋ-1，4ｋ

などと置いて，解いています。これだと計算が大変。
modが教科書に載ってたら，気兼ねなく試験で使えるのに。

>>467
質問に見えない。

>>467
ここは腕だめし、腕自慢のスレじゃない。
問題だしたいならそのような、
とけること自慢したいならそのようなスレへ行け。

見苦しい。

>>467
それが君の人にものを聞くときの態度か？

揃いもそろって３連続煽りとは、年明け前からめでたいな。
別に質問でも腕自慢でもなく、流れが止まったから問題を提起しただけのこと。

まあまあ、２ｃｈだから。

>>476
嘘までついて、強がりのような弁解するのはよせよ。
流れなんか止まっとらん。
反省を求めるのと煽りの区別ぐらいしろよ。

もっと面白い問題ならおｋだったんだがな。
あんな典型問題じゃ、弁護する気にもなんねーよ。
勘違い君はとっとと逝け。

　　　彡川川川三三三ミ〜 　プウゥ〜ン
　　　川｜川／　　＼｜〜　ポワ〜ン 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　‖｜‖　◎---◎｜〜 　　　　　　　／
　　川川‖　　　　3　　ヽ〜　　　　　　＜　勘違い君はとっとと逝け、と。
　　川川　　　∴）д（∴）〜 　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿
　　川川　　　　　　〜　/〜　カタカタカタ
　　川川‖　　　　〜　/‖　＿＿＿＿＿
　川川川川＿＿＿／‖　 |　　|￣￣＼　＼
　　　／　　　　　　　＼＿＿|　　|　　　　|￣￣|
　　/　　＼ＳＴＡＲＳ命＿　 |　　|　　　　|＿＿|
　　|　＼　　　　　　|つ　　 　|＿_|＿＿／　／
　 /　　偏差値３８　 |￣￣￣￣|　　〔￣￣〕

今国語53英語55で、数学全く手をつけてないんですけど(２Ａ)
今からやっても偏差値50いかない？

ageてやるか

∫√(1-x^2)/x dx
の解き方、教えてください。

>>483
t=√（1-x^2)　とおいてみるといいと思われ

【ゴールデンレス】
このレスを見た人はコピペでもいいので
10分以内に3つのスレへ貼り付けてください。
そうすれば１４日後好きな人から告白されるわ宝くじは当たるわ
出世しまくるわ体の悪い所全部治るわでえらい事です

ある無限等比級数があって、その和は６であり、また、
その各項の２乗を項とする無限等比級数の和は１２であるという。
もとの無限等比級数の初項と公比をもとめよ。

お願いします。

>>486
初項＝a,公比＝r　とすると
a/(1-r)=6
各項の２乗を項とする無限等比級数は
(a)^2+(ar)^2+(ar^2)^+…
=a^2/(1-r^2)=12
だからあとはa,rを求めるだけ

訂正
＞(a)^2+(ar)^2+(ar^2)^+…
＞=a^2/(1-r^2)=12
↓　　↓　　↓　　
(a)^2+(ar)^2+(ar^2)^2+…
=a^2/(1-r^2)=12

解けました！ありが�d

高３の数学問題週だけじゃ日東駒専うからない？

問題：2x^2 - 6xy - 56y^2

この場合、答は
1. 2(x-7y)(x+4y)
2. (2x-14y)(x+4y)のどちらでもいいのでしょうか？

今までどんな問題でも2番のように答えてまして・・

>>491
問題の意味がわかりません。
因数分解するの？

>>492
スマソ、最初因数分解って書いてたんだが
間違えて消してしまって文を短縮してしまった

因数分解です。
答えというより、答え方の質問。

式の因数分解の答えは1.ですよ。
方程式（　（与式）＝０　）だと、どちらでもいいですが。

αとβが共役複素数なら　αの二乗　とβの二乗も共役なんでしょうか？

ー
α＝βならば、

ー
α＾２＝β＾２

よって共役でつ

>>496
それじゃ証明になってないような・・・

複素数zの共役をz~とすると
任意の複素数z,wに対して(zw)~=(z~)*(w~)
だからα~=βのとき
(α^2)~=(α~)^2=β^2
よってα^2とβ^2は共役

ぁ！まぢだぁ。ごめ。

>>498
ｼﾞｵたん久しぶり！

不定方程式ってセンターにでる？
参考書にものってないのでやり方を教えて下さい。

先生！
不定方程式ってどんなのですか？

三乗根の問題なんだけど、

4^(1/3) =2*2^(1/3)

ってあってる？あってるなら、計算の流れを教えてほしいっす。

>>502
いや、両辺を3乗したらいいだけ（ｒｙ

底面が半径1の円、高さが2の円錐がある。
底面の円について、中心をO、円周上のある1点をAとし、
OAの垂直二等分線を通り、
底面に対して垂直な平面で円錐を2分割することを考える。
このうち小さい方の立体の体積を求めよ。（但し、円周率をπとする。）

たのんます(--;)

冬休みの宿題でつか？

そんなところです。

>>496 >>497
即レスありがとうございます、助かりますた

>>503あ、そっか。合ってることはそうやって確認できるね。ども。

なんだけど、僕が言いたかったのは、4^(1/3)がポンって出てきたら、2*2^(1/3)
にどうやってしたかがわからないってことなんです。
しつこいようですが、教えてください。

>504　　　
∫{1/2→1｝-2π（X^2）dx＝７/１２π

>>508
4=2*2だからじゃないの？

いきなり関係ない質問するけどフーリエ展開ってなんすか？
わかりやすく、かつ理論的に教えて下さい。

>>511
必要ない。

>>512
必要ないけど知りたいんです。一応数学の質問だからスレ違いじゃないはずです。

じゃぁ、板違い。
数学板にいってこい。

検索しろよ。
いくらでも勉強できるだろ

微分のところで、媒介変数表示された曲線〜〜、ってのが出てきたのですが
媒介変数って何なのでしょうか？

ごめん全然違ってた。
y＝ｈのときの小さい方の立体の底面積f(h)を求めてｙで積分。
f(h)=（1/3π-√3/4）ｈ^２
∫[０→1/２]f[y]ｄｙ
を求める

>>504
(2π/9)+(1/12){log(2+√3)}-(1/6)
などという狂った数字が出てきた・・＿|￣|○

>>516
独立変数と従属変数の関数関係を説明するために，両者に介在する変数として仮定されたもの。

良いお年を
http://jbbs.shitaraba.com/sports/11183/

>>504
２π／９＋ｌｏｇ（２＋√（３））／１２−１／√（３）。

おはやうございます。
>>518は計算ミスですた。。>>521氏の解答と一致しますた。

xyz空間において，円錐 x^2+y^2={1-(z/2)}^2，0≦z≦2 と平面 x=1/2 を考える．
「x^2+y^2≦{1-(z/2)}^2，0≦z≦2，x≧1/2」で定まる(x，y，z)の領域の体積を求めればよい．
この立体を平面 z=k (0≦k≦1) で切ったときの断面積をS(k)とおく．
cosθ=(1/2)/{1-(k/2)}，0≦θ≦π/2 で定まるθを用いて，
S(k)={1-(k/2)}^2*θ-(1/2){1-(k/2)}sinθ となる．
k：0→1 のとき，θ：π/3→0 であり，dk=-{(sinθ)/(cosθ)^2}dθ．
よって，求める体積は，
∫[0,1]S(k)dk=(1/4)∫[0,π/3]〔{(θsinθ)/(cosθ)^4}-{(sinθ)^2/(cosθ)^3}〕dθ
となる．ここで，I(n)=∫[0,π/3](1/cosθ)^ndθ とおく。

部分積分の公式で，
∫[0,π/3]{(θsinθ)/(cosθ)^4}dθ
=[(-cosθ){θ/(cosθ)^4}][0,π/3]+I(3)+ 4∫[0,π/3]{(sinθ)θ/(cosθ)^4}dθ
=(-8π/3)+I(3)+4∫[0,π/3]{(sinθ)θ/(cosθ)^4}dθ
となるので，∫[0,π/3]{(sinθ)θ/(cosθ)^4}dθ=(1/3){(8π/3)-I(3)}．
また，∫[0,π/3]〔-{(sinθ)^2/(cosθ)^3}〕dθ=I(1)-I(3) であるから，
求める体積=(2π/9)+(1/4)I(1)-(1/3)I(3)・・・ア となる． 　(続く

(続き
I(1)=-(1/2)∫[0,(√3)/2]{(t-1)^(-1)-(t+1)^(-1)}dt
=-(1/2)[log|(t-1)/(t+1)|][0,(√3)/2]
=log(2+√3)．
次に，I(3)=∫[0,(√3)/2]{1/(t^2-1)}^2dt を計算．
{1/(t^2-1)}^2=〔(1/2){(t-1)^(-1)-(t+1)^(-1)}〕^2
=(1/4){(t-1)^(-1)-(t+1)^(-1)}^2
=(1/4)(t-1)^(-2)+(1/4)(t+1)^(-2)-(1/2)*(1/2){(t-1)^(-1)-(t+1)^(-1)}
=(1/4){(t-1)^(-2)+(t+1)^(-2)-(t-1)^(-1)+(t+1)^(-1)}
であるから，
I(3)=(1/4)[{-1/(t-1)}+{-1/(t+1)}+log|(t+1)/(t-1)|][0,(√3)/2]
=(1/4){2(2+√3)-2(2-√3)+2log(2+√3)}
=(√3)+(1/2){log(2+√3)}
となるので，求める体積は，アより，
(2π/9)+(1/4){log(2+√3)}-(1/3)〔(√3)+(1/2){log(2+√3)}〕
=(2π/9)+(1/12){log(2+√3)}-{(√3)/3}・・・答

すごい解答だ。どこの入試問題だよ

素直にx=tで切ればいいのに
って思ったけどそれでも同じくらい計算面倒だった。

y=(x-a)/(x+1) のグラフを平行移動することによって、
y=1/x のグラフと重ね合わすことができるように、aの値を定めよ。

どなたかよろしく

(x-a)/(x+1)=1 + (-a-1)/(x+1)
よって求める条件は、
-a-1=1
∴a=-2

なぜ -a-1=1 なのですか?

そこが2とか3だと双曲線の形が違ってきてうまく重ならないから。

逆に考えれば明らかだべ。
y=1/xをx方向にp、y方向にqだけ平行移動したものは、
y=1/(x-p) + qと書ける。これと比較すればよい。

ｽﾏｿ、いまいち理解できん。 -a-1=1 の１って y=1/(x-p) + q の分子の１ということか？

そういうことっす。言葉足らずだったね、ゴメン。

これで納得したよ、ありがとう

a､b､cを-1<a<1､-1<b<1､-1<c<1を満たす実数とするとき
abc+1>a+bcを証明せよ
って問題なんですが、解法が-1<b<1､-1<c<1より-1<bc<1も言えるので問題ないとなってて、なんで-1<b<1､-1<c<1より-1<bc<1と言えるのかがわかりません
範囲が同じだと他の文字に変えることもできるんでしょうか？教えてください。御願いしますです

放物線ＣとＣ１がある。
Ｃをx軸方向へ-1、y軸方向へ2だけ平行移動した放物線がＣ１である。

で計算してＣ１はy-2(x-1)^2+3まではわかったのですが、
この後にＣを求めるためにはＣ１とｘ軸方向へ１ｙ軸方向へ-2平行移動すればいいんですよね？
それで解答がy=2(x-1-1)^2+3-2=2(x-2)^2+1
なのですが、どうしてこうなるのでしょうか？
y-2=2(x-1+1)^2+3=2x^^2+5ではないのですか？

この関数の平行移動がどうにもよくわからなくて…。

>>533
b=0.9でc=-0.9ならbc=-0.81
b=0.9でc=0.9だとbc=0.81
-1<bc<1になりそうじゃない？

>>535なるほど!!わかりやすく簡潔な説明ありがとうございます!!

→　　　　　　　　　→
ａ（ａ１，ａ２）　　ｂ（ｂ１，ｂ２）　の時

　→　　　　→　　　　　→　→
｜ａ｜二乗｜ｂ｜二乗−（ａ・ｂ）二乗＝（ａ１ｂ２−ａ２ｂ１）二乗

という答えがあったのですが、よくわかりません。なぜ＝になるのですか？

天和の確率を求めよ

>>538
|a|^2|b|^2-(a･b)^2
={(a1)^2+(a2)^2}{(b1)^2+(b2)^2}-(a1b1+a2b2)^2
={(a1b1)^2+(a1b2)^2+(a2b1)^2+(a2b2)^2}-{(a1b1)^2+(a2b2)^2+a1b1a2b2}
=(a1b2)^2-(a1b1a2b2)+(a2b1)^2
=(a1b2-a2b1)^2

ごめん、>>537ね。

(2^x)-{(1/2)^x}=2から
(2^2x)-(2*2^x)-1=0
と変形されていたのですが、どうやったらこう変形できるのか
分りません、どういう風に変形したんですか？

>>541
両辺に2^xを乗じる。

数学の点数　大体何点くらい取れば偏差値５５とれるの？

2＾n+3＾n＜10＾10を満たす最大の正の整数ｎを求めよ

解)

2＾n+3＾n＜10＾10≦2＾(n+1)+3＾(n+1)・・・�@
よって、
3＾n＜10＾10＜2×3＾(n+1)・・・�A


と、あるのですが、どうして�@から�Aがいえるのでしょうか？

>>542
なぞが解けました。ありがとうございました。

＞５３９
ありがとうございました！

>>543
模試によるんじゃないんですか？
進〇記述と駿□の△大実戦とか

>>544
3^n<2^n+3^nかつ2^(n+1)+3^(n+1)<3^(n+1)+3^(n+1)=2*3^(n+1)

だからじゃないんですか

座標平面において、点（ａ，１）を中心とし、ｘ軸に接する円をＣ１とする。
また、ｙ＝1／2ｘ＾2をＣ２とし、Ｃ２上に点Ｐ（ｂ，1／２ｂ＾2）をとる。
ただし、ａ＞０，ｂ＞０とする。

〔2〕ＰにおけるＣ２の接線ｌの傾きは？
（1／2ｘ＾2）´＝ｘ
より、答えは、ｂ

ここ、分かりません。放物線の接線の公式なんてあったっけ？
この解説もよくわかりません。（1／2ｘ＾2）´＝ｘ
これはいったいなに？これがどうして傾きなんだ？↑

>>549
微分法しってる？

>>550
知らないからおしえて〜

>>551
何年生？

>>552
謀　大学いちねんせいです

数学むずい？

>>553
謀=はかりごと
某=なにがし
なんだけど。

>>554
数学むずい

白チャートでもセンターに対応できるんでしょうか？
国公立志望で59から62くらいの所を狙ってます。数学偏差値32くらいで、他の教科は50前後。今は一応黄チャやってます。高2です。

センターは教科書レベルだから白の基礎チャで通用すると思ふ。

y=2^(1)/(x) これってどんなグラフですか？

x=1でy=2，x→-∞でy=0，x→∞でy=∞になるようなグラフ

難関国立大学の確立の問題を完答したぃのでつが
コツとかありまつかぁ？
ちなみにぁたしゎ頭わるいでつ。

sin3x = sin2x　（０°＜θ＜１８０°）
をみたすxの値は？　　　 =
という問題があった時、

nを整数として３x＝2x＋３６０°×n　3x=180°ー2x＋３６０°×ｎ…という解法のようなのですが、
黄チャートめくってもわかりません。
この2x＋３６０°×nが何をもとにした考え方なのかどなたか教えて下さい。
また別解があればそれもお願いします。

一般にsinA=sinB…�@ならば、
1. A=B+360*n
2. 三角関数の公式より、sinA=sin(180-A)…�A
　 �@�Aより、B=(180-A)+360*n

360*nってのはsin関数が360度周期だから。

>>563
1,2より
B=A+360*n or B=(180-A)+360*n (いずれもnは整数)
だろ。

あるいは
sinA-sinB=2sin((A-B)/2)*cos((A+B)/2)
より
sinA=sinB ⇔ sin((A-B)/2)*cos((A+B)/2)=0
⇔ (A-B)/2=nπ or (A+B)/2=(π/2)+nπ (nは整数)
⇔ B=A+2nπ or B=-A+(2n+1)π (nは整数)
としてもいい。個人的にはこっちのほうがいいと思う。

>>560
もう少し詳しく言ってくれませんか？

>>559
反比例

>>566
なぜ反比例になるのですか？

y=2^(1)/(x)

↑そもそもこの表現がわからない
y=2/xのことでいいの？それなら>>566の言う通りだけど

２のｘ分の１乗です

それならこうだ　y=2^(1/x)

図が描けないんで関数の形は微分して自分で調べてくれ
y'<0
y''=0 ⇔ x=-log2

y''=0 ⇔ x=-log2
じゃなくて
y''=0 ⇔ x=-(1/2)log2
だった。すまん

>>570
すいません、y=2^(1/x) ですね。
あと、この問題って　lim[x→+0]2^(1/x) で、
グラフを考えて答えをだそうとしたんですが、やり方あってますよね？

x,y,zが正の整数であって
（ｘ+１７）／３＝（ｙ+２３）／４＝（５５−ｚ）／６　の関係があるとき、
この式のとる値は整数である。そのとりうる値の最大と最小を求めよ。

赤本の問題文そのまま書きました。本に解説がなかったので全然わかりません。
よかったらおしえてください

>>573
x,y,zは互いに独立な変数なので、
x=1,y=1,z=19のとき最小値6
x=10,y=13,z=1のとき最大値9

チャート式の最初のページの汗をかけって改めて読み直すといいな

>>575
あの文章は漏れも前から好きでつ。

整式ｆ（ｘ）を(x+1)^2で割ったときのあまりは2x+3
(x-1)^2で割ったおきのあまりは3x-2であるという

１，(x+1)^2・(x-1)で割った時の余りを求めよ

これの除法の原理というのがわかりません。
(x+1)^2
(x-1)^2
(x+1)^2・(x-1)
それぞれにf(x)＝商・(x+1)^2＋あまりと式をたてるのはわかるのですが
その後f(x)/(x+1)^2のあまり(-2a+b)x-a+cとなってるのですが
このあまりはどこから来たのでしょうか？

参考書は河合塾のやさしい理系数学５０　よくわかる解法の問い2です

>>577
何言ってるのかよくわかんないけど
とりあえず略解

f(x)=A(x)*(x+1)^2+(2x+3)
f(x)=B(x)*(x-1)^2+(3x-2)
より
f(-1)=1 f'(-1)=2
f(1)=1

f(x)=C(x)*(x+1)^2*(x-1)+(a*x^2+bx+c)
より
f(-1)=a-b+c=1
f'(-1)=-2a+b=2
f(1)=a+b+c=1

これより
a=-1 b=0 c=2
よって余りは
-x^2+2

>>577
勝手に省略せずにすべて書け。

　ｆ（ｘ）
＝（ｘ＋１）＾２（ｘ−１）ｇ（ｘ）＋ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ
＝（ｘ＋１）＾２（（ｘ−１）ｇ（ｘ）＋ａ）＋（−２ａ＋ｂ）ｘ＋（−ａ＋ｃ）。

東京理科の過去問より質問ですが、

　　　　　　　4
定積分I＝∫t^2 * sin{(π/4)t√t}dt
　　　　　　　1
の値を求めたい。t√t＝xとおくとdx/dt=(3√t)/2であり
　　　4
I＝∫(2t√t)/3 * (3√t)/2 * sin{(π/4)ｔ√t}dt　…�@と変形
　　　1
1≦t≦4　1≦x≦8より
　　　　　　8
I＝(2/3)∫xsin{(π/4)x}dx　…�A　←解答に書いてあったこの式がわかりません。
　　　　　　1

�@の式まで変形するところまではいけました。
これって�@の式にdx/dtをかければいいんですよね？
しかしそれをすると�Aの式に加えて9t/4があまりませんか？

n(n+1)=210って答えなんですか？
解き方も教えてください

n=14

とき方といおうか…これは当てはめだと思う。
14*14＝196
15*15＝255なわけだし、
210はその真ん中。
ってことで14*15と予想してみる。実際計算してみる。
すると210になる。
ってことはn=14だ。

ということです。

>>581
お前は2次方程式x(x+1)=210も解けんのか。

>>580
＞これって�@の式にdx/dtをかければいいんですよね？
意味がわからんが、普通に
�@=∫[1, 8］(2x/3)・(dx/dt)・sin((π/4)x)(dt/dx)dx
だと思うが。
I=∫［1, 4］((2t√t)/3)･(t√t)'･sin((π/4)t√t)dt
=∫［1, 4］-((2t√t)/3)･(cos(π/4)t√t)'･(4/π)dt
って変形すれば置換積分しなくてもできるが。

時間のある方お願いします。


∠90°の直角三角形ABCの頂点Aから斜辺BCに垂直ADを下す。
∠ABC＝θ,BC=aであるとき、次の線分の長さをa,θを用いて表せ。

（１）　AB　（２）　AD　（３）　CD

tesuto

>>581は釣りではないか？
前スレでもこれあったぞ

>>580
�@の式にdx/dtをかけると仰るが
それではIの値が変わってしまう。
dt=2dx/(3√t)を�@に代入すればいい。
>>581
ｎの条件が明示されていないなら、nが実数として
nの２次方程式として解けばいい。
n^2+n-210=0
⇔(n-14)(n+15)=0
⇔n=14,-15

>>585
1行目は∠A=90°と解釈します。
(1) AB=acosθ(cosの定義みたいなもんです)
(2) AD=ABsinθ=a sinθcosθ(sinの定義みたいなもんです)
(3) CD=ACsin∠CAD=BCsin^2θ(sinの定義みたいなもんです)

>>588
2次方程式だから解は二つ。
210=3・7・2・5=14・15=(-15)･(-14)だから
n(n+1)=210の解は14と-15
でもいいでしょう。

＞＞589
有難う御座いました。

あれ…
dx/dtかけないんですか？
置換積分って
∫[tの範囲](tの式)dt＝∫[xの範囲](tをxであらわした式)dt * dx/dt　ではなかったでしょうか？
だってdt * dx/dt＝dxとなってxの積分になっててちょうどいいような…
ここ1ヶ月化学と英語と日本史だけだったからぼけてるのかなぁ…
>>581の式も普通に2次式って気づかなかったし…

答えてくれたお二方、ありがとうございました。

dx/dtをかける　の意味が分からない。
そんな勝手にかけたりしたら結果が変わるのは当然じゃないかｗ

tとxの因果関係を無視して勝手に掛けたらいけませんよー

dy/dxと言うのは一つの記号
dx=....等と言うのは形式的に書いてあるだけのこと

>>594
高校で教えられる数学ではそれで正しい。

質問であります。
9x-2y=kx
3x+4y=ky
この連立式の解がx≠yになるkの値の求め方を教えてください。

>>596
9x-2y=kx
3x+4y=ky
⇔([9-k, -2]，[3, 4-k])([x], [y])=([0], [0])…�@
det([9-k, -2]，[3, 4-k])≠0とすると
�@⇔([x], [y])=([0], [0])
である。
したがって�@がx≠yなる解をもつためには
det([9-k, -2]，[3, 4-k])=(9-k)(4-k)+2・3=k^2-13k+42=(k-6)(k-7)=0
すなわちk=6またはk=7であることが必要。
k=6のとき�@⇔([3, -2], [3, -2])([x], [y])=([0], [0])であり
k=7のとき�@⇔([2, -2], [3, -3])([x], [y])=([0], [0])であるので
どちらのときもx≠yとなる解をこの連立方程式はもつ。

なぜディターミナントが0でないときX=Y=0なんでしょうか？
なぜディターミナントが0のときはX≠Yなんでしょうか？
ディターミナントが0でないとき逆行列をもつことしか覚えてないもので…

>>598
detが0でなければ逆行列をもつので
その逆行列を�@の両辺の右からかければ
ｘ=y=0を得ます。

６００

>>599
左から…ですよね？

だいたいわかってきました。ありがとうございました。

>>601
失礼。左からでした。

余裕があるなら固有値やっとけ

行列の自由度ってなんですか？

すいません、
０°≦θ≦９０°のとき、
f(θ)=√13sin(θ＋α）の最小値は、θ＋α＝90°＋α、これがわかりません。
最大値は出せました。
θ＋α＝90°＋α…？？

>>597
ｘ−ｙ＝０ならばｘ＝ｙ。

>>605
αは何？　三角関数の合成で出てきた？

>>606
解が必ずx≠yとなるとは限らないから
「x≠yとなる解をこの連立方程式はもつ」
という書き方にしたんだが。

>>608
ｋ＝７のときのｘ≠ｙとなる解は何。

>>609
失礼。k=7のときは必ずx=yだ
k=6のときのみ両方ありだ

０°≦θ≦９０°のとき、
f(θ)=2sinθ＋３cosθを変形すると、
f(θ)=√13sin(θ＋α）となる。
この時の最小値、θ＋α＝90°＋α、の時が答えになるようなのですが、
θ＋α＝90°＋α…？？？？？

だって、sinθってsin90°が最大でしょ。
α°だけ足したら最小になるゃん。

また、０°≦θ≦９０°のとき、
√３sin（x＋６０°）の最小値も出せません。
なぜか最大値は分かります。
自分でも何がわからないのかよく分かっていません…。

-1≦sinθ≦1

ですけど。
？？

>>613
とりあえず単位円を書け。そしたらx+60゜のとりうる角をそこに図示してみろ。
θ+αのαはその場合cosα=2/(√13),sinα=3/(√13)を満たす角。

９７追試の数IA１００点だったんですけどやっぱこの問題ってやや易レベルなんですかね？

>>605

合成したなら、θ＋αの範囲を調べよう。
この問題ではθに範囲があるから、
αがどれくらいの大きさの角なのかが効いてくる。

ここでは45°＜α＜90°かつ0°≦θ≦90°だから、
θ＋α＝90°となることができる。これはf(θ)の最大値を与える。

最小値の候補はθ＝0°のときとθ＝90°のときになるが、
αは45°＜α＜90°のだから、θ＝90°がf(θ)の最小値を与える。


単位円は理解してるか？

>>605
三角関数の合成図よりまず、0°＜α＜90°　が分かるだろ？
それから、その三角形を見て
tanα＝３/２＝１．５　で、
tan45°＝１
よって、45°＜α＜90°　が言える

>>618
援護射撃thanks
で、肝心の605は風呂か晩飯か…

半径１の円に正７角形ＡＢ‥Ｇが内接しているとき、Ａと各頂点を結ぶ線分の長さの積は？いくつですか

(sin(pai/7)^6 * ( 1- cos(5*pai/7) / ( 1- cos(pai/7)

(2sin(pai/7)^6 * ( 1- cos(5*pai/7) / ( 1- cos(pai/7)

(2sin(pai/7))^6 * ( 1- cos(5*pai/7)) / ( 1- cos(pai/7))
3回も書いて間違ってたら恥ずかしいけど

０≦θ≦１８０
２sinθ（θ+３０）+cosθ＝１のとき　　　sinθの値を求めよ
おしえてください

>>624
問題はちゃんと書いてよ。
０だの１８０だの３０だのは°を省略してるんでしょ？
それから
2sinθ(θ+30)ってのは不自然だし
写し間違ってるんじゃないか？って思っちゃうよ。

すみません訂正します
０°≦θ≦１８０°
２sin（θ+３０°）+cosθ＝１

すいません、質問です

xの二次方程式x^2-2mx+9=0の解が２つとも1より大きいとき、mの値の範囲を求めよ

この問題の答えがx軸と共有点を持つ事を前提に解かれてるんですが…
これってmが3未満ならそもそもx軸と共有点持たないですよね？
なのになんでx軸と共有点を持つとして計算するんですか？

言葉が足りてませんでした
x^2-2mx+9をf(x)とした時、y=f(x)の式がx軸と共有点を持つのはどうしてか、という事です…

解が２つとも1より大きいときってことはｘ軸と共有点をもっているということ。
だからこの問題の答えがx軸と共有点を持つ事を前提に解かれてるんだと思います。
ちがってたらすいません

>>627
>この問題の答えがx軸と共有点を持つ事を前提に解かれてるんですが…

その解答を示しくれないと、判断しかねますが・・・
多分、x軸と共有点を持つとして、まず、そのときの m の範囲を求めているのでは？　と・・・？？

因みに、別解を・・・
x^2-2mx+9=0　は　x=0 を解に持たないので
x^2-2mx+9=0　⇔　m=(x+9/x)/2
y=m と y=(x+9/x)/2 のグラフの交点の x座標が、
ともに 1 以上であるときの m の範囲を求めればよい。
y=(x+9/x)/2 のグラフは、
x<0 では y≦-3 ((x,y)=(-3,-3)) 、0<x では 3≦y ((x,y)=(3,3))で、
(1,5) 、(9,5) を通るから、グラフより求める m の範囲は
　　　　　　3≦m＜5

>>624>>626
2sin（ｘ+30'） + cosx = 1
2sinx*cos30' + 2cosx*sin30' + cosθ = 1
root3sinx + 2cosx = 1
で　cos =　
sinx~2 + cosx~2 = 1
に代入して2次方程式といて　
０°≦θ≦１８０°( sinx >= 0 )より
sinxが求まる

>>620
2^6*{Π[1,3]sin(kπ/7)}^2

>>624
与式は
√３sinθ＋２cosθ＝１
sinθ＝ｔとする
√３ｔ＋２√(1-t^2)＝１
⇔√３ｔ−１＝２√(1-t^2)

両辺二乗して
７ｔ^2−２√３t−１＝０
ｔ＞０から
ｔ＝（√３＋√１０)/７

８行目訂正
⇔√３ｔ−１＝−２√(1-t^2)

計算ミスしてるな。

cosθ＝±√２（１−sinθ^2）とでた後は
とるのは＋−どっちですか？

＞＞635
２√(1-sinθ^2)　　でしたすいません

お、遅くなってしまってすみません。元旦挨拶に祖母の家に行っておりました。
ありがとうございました、コピーして考えてきます。
本当にすみませんでした。

>>637=605
またいつでも来られたし

>>627
f(x) = x^2-2mx+9 = (x-m)^2+(9-m^2)

条件は以下の３つ
(1) f(x)=0の判別式 D≧0
(2) 対称軸の位置 m＞1
(3) 端点の符号 f(1)＞0

あとは計算だよ。
(1)よりm≦-3, 3≦m　 …(1')
(3)よりm＜5　…(3')

(1'), (2), (3')より、3≦m＜5

半径１の円に正７角形ＡＢ‥Ｇが内接しているとき、Ａと各頂点を結ぶ線分の長さの積は？いくつですか


答えって７ですか？

x=(√2+1)/(√2-1)のときx^5-4x^4+8x^3-8x^2+9x-4の値を求めよ。
xの値を有理化するところまでしかわかりません・・・
よろしくお願いします。

>>627
＜別解＞
x^2-2mx+9=0の解を、a,bとおく。
すると次の二式が成立する。

(a-1)＋(b-1)＞0⇔a+b-2>0・・・(1)
(a-1)(b-1)＞0⇔ab-(a+b)+1>0・・・(2)
解と係数の関係より、
a+b=2m, ab=9・・・(3)
よって(1),(2),(3)より　m>1,m<5が得られる。
また。判別式Dと置くと、D≧0⇔m≧3,m≦-3　が成立しなければならない。
∴3≦ｍ＜5

>>639
正解
　

連続カキ子スマソ。
>>640
有理化したら、X=3+2√3⇔X-3=2√3と式変形して両辺を2乗する。
すると、x^2+6x-3=0がででくる。
よって　x^5-4x^4+8x^3-8x^2+9x-4をx^2+6x-3で、割ると
x^5-4x^4+8x^3-8x^2+9x-4＝(x^2+6x-3)(x^3+2x^2-x+1)-1となる。

さらにすまそ。>>640のx＝3＋2√3は馬鹿間違い。
実際は、x＝3＋2√2
でも解法はあってるから自分でやってみそ。

レスありがとうございます。
>よって　x^5-4x^4+8x^3-8x^2+9x-4をx^2+6x-3で、割ると
ここでなぜ割るという考えが出てくるのでしょうか？

2乗した式に、x=(√2+1)/(√2-1を代入してみそ。
ちなみに>>640計算間違い多発だから。

>>639
>>641
7になるまでの計算書いてみてくれんか

>>646
複素数は習った？

イエス

a=exp((2π/7)i)=exp(θi)と置くと、求めるものは
Π[k=1,2,3]|1-a^k|^2=Π[k=1,2,3]2(1-cos(kθ))
と表されるというところまではわかる。ここからイコール7ってのがわからない

z^7=1の解は、単位円に内接する正７角形の各頂点を表している。
z^7=1の解の1以外を、偏角が小さい順にb,c,d,e,f,gとおく。
また、点Aを1とすると、Ａと各頂点を結ぶ線分の長さの積は
|1-b||1-c||1-d||1-e||1-f||1-g|　と書ける。
また|1-b||1-c||1-d||1-e||1-f||1-g|=|(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)(1-g)|
と書けるので、以下(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)(1-f)(1-g)を求めよう。

>>650
対称性も何もなしかよ？
あんな糞計算をミスする奴が解けるのかねぇ〜？？（ｗ

z^7=1⇔z^7-1=0より
(z-1)=(z^6+z^5+・・・z+1)=0
(z-1)(z-b)(z-c)・・・(z-g)=0
二式よりz^6+z^5+・・・z+1=(z-b)(z-c)・・・(z-g)
z=1を代入すると・・・

>>650
>>652
おーありがとう
そうすりゃ良かったんだな

(　´_ゝ`）ごめんよまた書き間違えた。
(z-1)(z^6+z^5+・・・z+1)=0
(z-1)(z-b)(z-c)・・・(z-g)=0　　こうでした。

>>651
計算ミスの常連です。

>>654
式に絶対値をつけるべきと思うんですが

aは実数、b>1 とし、
３点 a, 1+√(b-1)i, 1-√(b-1)i が複素数平面においてあらわす点を
それぞれ A, B, C とするとき、△ABCが正三角形になるのは
b = ???

一番はやい計算方法を教えてください。
おねがいします。

↑追加で、√に入るものは()でくくってあります。

>>656
実軸に関して対象なんだから三点,1,a,1+√(b-1)iは直角三角形になっているから
三平方の定理をつかうべし。かな？

>>655
なんで？

>>656
実軸に関して対象なんだから三点,1,a,1+√(b-1)iは直角三角形になっているから
三平方の定理をつかうべし。かな？

>>655
なんで？

>>659
だって
z^6+z^5+・・・z+1=(z-b)(z-c)・・・(z-g)
だったら両辺にz=1を代入しても右辺は、各辺の長さの積じゃなくて
各辺をあらわす複素数の積、ってことになりませんかね

>>660
650スレ目を見てちょ。

ガーン

ごめんなさい　　　（・ω・）ショボーン

>>659
レスありがどうございます。
試してみたわけなんですがどうも馬く計算ができぬという罠で。。
ほかに良いやりかたありましたらお願いします。

>>659
レスありがどうございます。
試してみたわけなんですがどうも馬く計算ができぬという罠で。。
ほかに良いやりかたありましたらお願いします。

>>663
解けたの？

>>663-664
1：√3=√(b-1)：|a-1|
として計算すればいいだけじゃないの？

解けてないです。
解説よんでももいまいちすきっりせんので。
ちなみに答えは
b = (a^2 - 2a + 4) / 3

あれ?ﾆｼﾞｭｳｶｷｺｽﾏｿ.

>>663
レス無いんで連続カキ子します。
>>656のを参照するよ。
BCと実軸の交点をDとおく。
Dは、1なので、　AD=|a-1|,AB=√{(a-1)^2+b-1}　となる。
また、ABCが、正三角形の時、∠BAD=30°なので、
BAcos30°=AD ∴b=1/3*(a-1)^2+1

ベクトルによく出てくる一次独立ってのは
二つの式を比較するときには必ずつけなければならないのでしょうか？

今更だけど、早起きして暇なので・・・
>>656
α=1-a+i*√(b-1) とすると、AB(α)、AC(α~)とおけて、
△ABCが正三角形　⇔　AB=AC 、∠BAC=60ﾟ　⇔　|α/α~|=1 、arg(α/α~)=±60ﾟ　⇔　α/α~=cos(±60ﾟ)+i*sin(±60ﾟ) (複号同順)
⇔　α^2/|α|^2=cos(±60ﾟ)+i*sin(±60ﾟ)　⇔　α/|α|=±{cos(±30ﾟ)+i*sin(±30ﾟ)} (複号同順)
⇔　(1-a)：√(b-1)=±√3：1　⇒　3(b-1)=(1-a)^2　⇔　b={(1-a)^2+3}/3

ごちゃごちゃしちゃったな。ま　いいでしょ。（ｗ

>>669
俺のその文章についての脳内解釈が正しければ
yes

しかし、IDにちとワロタ

ふと思ってわからなかったので書きます。
三角形の面積の公式で
1/2|a[1]×b[2]+a[2]+b[1]|
の証明ってどうやるのか教えてください。

√{(|a||b|)^2-(a･b)^2}/2
=√{(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1b1+a2b2)^2}/2
=√{(a1b1)^2+(a1b2)^2+(a2b1)^2+(a2b2)^2-(a1b1)^2-a1b1a2b2-(a2b2^2)}/2
=√{(a1b2)^2-a1b1a2b2+(a2b1)^2}/2
=|a1b2-a2b1|/2

>>673を書いたあと調べたら、こんな証明も見つけた。

OAとx軸のなす角をα、OBとx軸のなす角をβとする
　OA＝Ｌ、OB＝Ｍ　とすると、△OAB の面積は、
　Ｓ＝(1/2）｜ＬＭｓｉｎ(β−α)｜
　　＝(1/2）｜ＬＭ(ｓｉｎβｃｏｓα−ｃｏｓβｓｉｎα)｜
　　＝(1/2）｜Ｍｓｉｎβ・Ｌｃｏｓα−Ｍｃｏｓβ・Ｌｓｉｎα)｜
　ここで、Ａ(a1，a2)、Ｂ(b1，b2) とすれば、
　　　　a1＝Ｌｃｏｓα　、　a2＝Ｌｓｉｎα
　　　　b1＝Ｍｃｏｓβ　、　b2＝Ｍｓｉｎβ
　なので、
　　　　　　　　Ｓ＝(1/2）| a1b2−a2b1 |

>>672
外積使うといっぱつ。

>>675
外積の定義って何です？
外積の意味って何です？

>>672
【別解研究】
A(a1,a2)、B(b1,b2)とすると
直線OA：a2x-a1y=0
へ点Bから下ろした垂線の足をHとすると
BH=|a2b1-a1b2|/√{(a2)^2+(a1)^2}
また、OA=√{(a1)^2+(a2)^2} より
三角形OABの面積Sは
S=(1/2)OA*BH=(1/2)|a2b1-a1b2|

>>676
定義まではわからんが、意味と計算方法をカキ子します。
1次独立なベクトルを、↑x,↑y で表す。
↑x=(a,b,c) ↑y=(d,e,f) とおく。
また、↑xと↑yに垂直なベクトルを↑zと、おくと
↑z=(bf-ce,ac-fd,ac-bd)が成立します。
で、これの絶対値が、↑x+↑yと原点と、↑x,↑yを結ぶ平行四辺形の面積を、表している。
xy平面の場合は、c,f=0として計算すると、s=(1/2)*|ae-bd|となる。
へたな日本語すまむ。

ほんとスマソ。
上から5行目を修正
↑z=(bf-ce,ac-fd,ae-bd)が成立します

３つも出てる。ありがとうございます

>>673
1/2|OA||OB|sinθからの変形ですね？

πabさん、そういわれても・・・

>>676
高校ではやらないそうです。
２つの幾何ベクトルA,Bにおいて大きさはA,Bによって作られる平行四辺形の面積と等しく、
方向はA,B両方に垂直で、Aを180°以内回転して、Bの方向に重なるとき右ねじの進む方向として定まるベクトルを、
A,Bの外積といいA×Bで表す。
だとか。・・・？？？さっぱり

P.S　どうでもいいけどDQNって何ですか？

書いてるうちに説明ありましたね・・・

>>676
1/2|OA||OB|sinθからの変形じゃないっす。
まー高校受験じゃ裏技的なものらしいからね。

DQNは、110100110001110100011101011001100110という意味です。

πabさんへではなく673さんへ向けてのせりふです。わかりにくくてすいません。
ついでに673の3,4行目のa1a2b1b2は係数の２が抜けているかと思います。

・・・２進法ですか？

>>683
ｽﾏｿ、抜けた。

あのー、一辺の長さが１の正５角形の面積ってどうやって求めるんですか？
教えてください。

それくらいググってもいいんでないかい

>>686
だれにいってるの？

>>685に。
googleで「正五角形　面積」とでも入れればいくらでもヒットする

レスありがとうございました。
なんかうまくいかんと思っていたら、自分が描いた図形が間違ってました。
ﾓｳﾀﾞﾒﾎﾟ・・
でも分かってよかったです。

定数項って何のことでしょうか？
数列の二項定理のとこで出てきたのですが・・・

{(x^3)(-1/x^2)}^10を展開した時のの定数項を求めよ。という問題です。

たとえば、式が
ax^3+bx^2+cx^1+dx^0
なんて表現されるとすると、dの値が定数項。

もう少し詳しく解説をお願いできないでしょうか？
いまいち理解できてません･･･

(^_^;)

2項定理より、(x^3 - 1/x^2)^10 = x^30 - 10x^25 + ........ + 1/x^20
と、合計11の項に展開されるが、この中でxを含まないのが定数項。

東進センタープレの問題で、
{xｰ(3aｰ5)}{x+(aｰ2)}<0
となるから、この不等式は3aｰ5=ｰa+2
てあるんですけど何で＝になるのかわかりません。
教えてください。

>>695
他に条件は？

>>695
説明不十分なので問題がわかりませんので・・・
答えられません。

>>695はマルチ

うざ。

a,bは整数、ｐ、ｑは有理数、ｑ≠０かつｐ＋ｑi（iは虚数単位）が方程式ｘ＾２＋aｘ＋ｂ＝０の解
であるならばｐ、ｑはともに整数であることを証明しなさい。という問題なんですがｐ、ｑがともに整数であることを証明
するにはどういう手順でいけばいいでしょうか？

これゎ複素数の問題だねぇ。
αが2次方程式の解なら、αの共役な複素数も解だからねぇ。

360の正の約数について奇数であるものの個数の求め方を教えてください

360=2^3・3^2・5
奇数は2を素因数に持たないから
(2+1)(1+1)=6（個）

［別解］
360の正の約数は
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360
であるが、そのうち奇数であるのは
1,3,5,9,15,45
の6個である。

質問です。
a>1である定数aに対して、xy平面上の点(x,y)が媒介変数tにより
x=2cost + sint
y=cost + a*sint
と表されている。tが0≦t≦Π/2の範囲を動くとき
点(x,y)の描く曲線をCとする。
また、定数kに対してx+y=kで表される直線をlとする。

問：曲線Cと直線Lが共有点を持つようなkの範囲を求めよ。

x+y=kに前述の式を代入してできた式を合成するのだろう…とは思うのですが、
それ以降がわかりません。
おねがいします。

7行目のlは、大文字Lの間違いです。

>>704
自身ないんで答え晒してもらえる？
一応答えは、
√13<k≦√{(a+1)+9}になったけど・・・

√13<k≦√{(a+1)^2+9}
たびたびスマソ

あ、答え晒すの忘れてました…
どうもスンマソ。
答えは
a≧2のとき　3≦k≦√{9+(1+a)^2}
1<a<2のとき　1+a≦k≦√{9+(1+a)^2}
です。
そもそも場合わけが出てくる理由がわからん…

合成したときの(t＋α)のαがあるだろ？
αとπ/4の大小関係によって、kを最小にするtが変わる。
だから場合分けが必要。

kの最大値はt＋α=π/2のとき。

最小の出し方がわからんのだよ。

具体的には、
k = x+y = √(9+(a+1)^2) sin(t＋α)

1<a<2 すなわち √(a+1) < 3 のとき
0<α<π/4となる。
よって最小値はt=π/2のとき。

a≧2のとき
ｒｙ...
最小値はt=0のとき

最小値の候補は
sin(0＋α)と sin(π/2 ＋α)
で、この２つの大小関係が重要。それはαの大きさで決まってくるわけだ

あー確かに。
k=3cost+(1+a)sint=√(9+(a+1)^2)sin(t+α)という式から
3/√(9+(a+1)^2)と1/√2の大小関係を調べる必要があるというわけですな。
ようやくわかりました。ありがとうございます。

>>711
サンクス。
　一応聞いとくけど、1<a<2の時、π/4<α　でしょ？

1<a<2のときπ/4<α<π/2
2≦aのとき0<α≦π/4
かと。

>>714-715
慌てて間違えますた。お恥ずかしい限りで…

>>716
気にするな。俺なんて　ヽ(`Д´)ﾉ　ﾐｽﾘﾏｸﾘ

そのミスを本番でやるから困ったもんだ、俺よ。

�@�A�B�Cと番号のついたカードがそれぞれ一枚ずつ
入っている箱から、カードを一枚取り出して
番号を確認してからカードを箱にもどす試行を繰り返し行なう。
すべてのカードを取り出した時点でこの試行を終わることにする。五回取り出した時点でこの試行が終わる確率は？

この答えがなんで36通りなんですか？

間違えました。五回目に�@を取り出して終わるカードのだし方は何通りか？って問題です

例えば
２２３４、１
３３２４、１
４４２３、１
みたいに出せばいいんだから
4Ｐ2＝４×３＝１２
１２×３＝３６
うん、３６ですよ

そう！その４Ｐ２になる理由がわかりません。
教えてください

ttp://up.thebbs.jp/sum.html?1/up1/img/1073235659954479.jpg

うーん、説明はニガテ…
２２３４、１
２３４２、１みたいな並べ方（＝取り出し方）は、

〇〇〇〇、１

この空いてるスペースに３、４を入れれば自然に並び方が決まる（残ったスペースに２２を詰め込む）

〇〇〇〇に３、４を入れる順列は
4Ｐ2だから…

このように数字が連続してるのは、
２２３４
３３２４
４４２３
の３つだから×３…

わ、わかったかな…（≧▽≦；）

お〜わかりました！マジありがとうございます。

x^4-19x^2+25=0

これおねがいします

>>726
与式＝(x^2-3x-5)(x^2+3x-5)

どうやって (x^2-3x-5)(x^2+3x-5) までもっていけばいいのですか？

x^4-19x^2+25
=(x^2+5)^2-(3x)^2
=(x^2+3x+5)(x^2-3x+5)

それって ＝ にならなくないですか？

そのままやっても出来ないんだから、式を分裂させる必要がある。
xの乗数４と整数項の２５から（〜）^2の形が推測できる。
(x^2-5)^2とすればこれはx^4-10x^2+25となり、これを元の式と等しくさせるには
-9x^2を加えれば良いことになる。よって、
与式=x^4-10x^2+25-9x^2
=(x^2-5)^2-9x^2
=((x^2-5)-3x)((x^2-5)+3x)

3個のさいころを同時に投げる時の1つだけ偶数の目が出る確率を
求める問題で求め方がわかりません。
どたなか詳しく教えてください

納得しますた。ありがとうございました

>732
1/9でいいの？

>>734
違います

>>734
答えは3/8なんですが求め方がわからないんです

さいころひとつにつき偶数が出る確率は1/2。
（偶、奇、奇）の並び方は3C1通り
よって(1/2)^3*3C1＝8/3では？

最後のところ8/3じゃなくて3/8ね。

(1)
偶数が一つ、奇数が二つとなる組み合わせの数
×偶数が出る確率×奇数が出る確率×奇数が出る確率　

C[3,1]*(3/6)*(3/6)(3/6)=3*(1/2)*(1/2)*(1/2)=3/8

(2)
偶偶偶
偶偶奇
偶奇偶
奇偶偶
偶奇奇
奇偶奇
奇奇偶
奇奇奇

これより
3/8

>>736
問題をココに丸写しして、自分の考えと回答に必要な情報を出来るだけ書いてみ。

>>737だが、奇数が出る確率も1/2.
まぁ>>739も同じ様なことかいてるし。

(3)
偶数の目の個数は0,1,2,3のどれか。
0,3の確率は1/8ずつ、
1,2の確率は、サイコロごとの偶奇の確率が等しいので同じ。
よって
(1-(2*1/8))/2 = 3/8

とか、色々考え方有るさね

もしこのさいころを同時に投げたとしても答えは一緒？
CとPの使い分けが苦手TT

[円の中に三角形ABCがある。ABCの面積が最大になるときは
どのような時か。]

教えてくださぃ。

＞＞744
それは難しい問題

内接する正三角形のときだっけ？

>>744
円の半径をrとおくと
r/2(sinα+sinβ+sinγ)　　　α+β+γ=2π、α,β,γ<π
の最大値を求める問題に置き換えられるから

1/31(土)「青春オフ」at新宿
ドンキー氏により参加受付開始しました

http://jbbs.shitaraba.com/sports/11183/

求める三角形の面積をS、3角をα、β、γ、対辺をa、b、c、円の半径をrとする。

まず、S = ( 1 / 2 ) * a * b * sinγ
また正弦定理より、sinγ = c / ( 2r )
以上2式より、S = ( a * b * c ) / 4r

ここで(相加平均) >= (相乗平均)より、( a + b + c ) / 2 >= √( a * b * c )
つまり、a * b * c <= ( ( a + b + c ) ^ 2 ) / 4
故に、a + b + c が最小のとき S は最大となる。

ところで、a = 2r * sinα、b = 2r * sinβ、c = 2r * sinγ なので、
a + b + c = 2r * ( sinα + sinβ + sinγ ) である。

よってこの問題は、α + β + γ = 2π 、 0 < α、β、γ < π における
( sinα + sinβ + sinγ ) / 2 の最大値を求める問題へと置き換えることが可能である。

あり？
>>747氏と少し違う・・・。（氏

○
ここで、(相加平均) >= (相乗平均)より、( a + b + c ) / 3 >= ( a * b * c ) ^ ( 1 / 3 )
つまり、a * b * c <= ( ( a + b + c ) ^ 3 ) / 27
故に、a + b + c が最小のとき S は最大となる。


脳内変換よろ。
ついでに「あり？」以降もシカトでよろ。

>>749
ぼくのいってるα,β,γは三角形の3角じゃなくて
円の中心をO、三角形の頂点をA,B,Cとした時
α=∠BOC,β=∠COA,γ=∠AOBとしています

>>747さ、rの後の^2が抜けてた

>>743
C,Pを使い分けるとか、そういった発想から察するに
そもそも確実に組み合わせ・順列を理解しているか怪しい。

もう一度基礎のおさらいをお薦めする。

>>744
BCを固定してAを外接円上で動かす。
BCを底辺と見れば高さが最大になるのはAB=ACの二等辺三角形のときで、
とくに円の中心Oが内部またはBC上にあるとき。
AからBCに下ろした垂線の足をHとして、OA=r、OH=x（0≦x＜r）とおくと
△ABC = (r+x)√(r^2-x^2)
= √{(r-x)(r+x)^3}

あとはルートの中を微分するなり相加相乗不等式を使うなりでできる。

「直線7x+9y=1上にあって、x,yがともに整数であるような
座標平面上の点(x,y)をすべて求めよ」

【自分の解答】
(x,y)=(4,-3)は解の一つなので
7x+9y=7*4+9*(-3)
7(4-x)=9(y+3)
7と9は互いに素なのでkを整数として
4-x=9k　　y+3=7k
とおけるので
x=4-9k,y=7k-3　(kは整数)

問題集の解答では(x,y)=(-5,4)からはじめて
同じようにして
x=9k-5,y=-7k+4　(kは整数)

となっているんですけど、自分の解答は
どこか間違ってますか？
自分の解答の式からも
一応(x,y)=(-5,4)の組み合わせは出てくるんですが。
まちがってないとしたら
最初に見つけた解の組み合わせによって
答の形(式)が違ってくるということでしょうか？

宜しくお願いします。

>>755
君の解答の k を、改めて k' と表せば
(x,y)=(4-9k',7k'-3) (k'は整数)
ここで k=-k'+1 とおくと、k'=-k+1 だから　−(*)
(x,y)=(4-9(-k+1),7(-k+1)+4)=(9k-5,-7k+4)
これは問題集の解答と一致する。
つまり、君の解答の k(=k') と、問題集解答の k は (*) の違いがあるだけで、
解の集合は等しい。

数学じゃないけどちょっと教えてくれないか？
化学なんだけどさ。
「�Iを求めよ」
108(g)／1(mol)＝8.06(g)／�I(mol)

比の計算ができないの。

>756
うむ、わかりやすい。
kは任意の整数と定義したから解の表現の仕方は数通り出てくるわけだな。
それは合ってる訳で点引かれないから>755は安心しる。

>>756
なるほど、納得しました。
ありがとうございました。

>>758
ありがとうございます

>>757
銀 Ag 8.06(g) は 何mol か　ってことだな？
Ag 108(g) は 1(mol) だから、8.06(g) は x(mol) とすると
108：1 = 8.06：x　⇔　108/1 = 8.06/x　⇔　108x = 8.06　
　　∴ x＝8.06/108＝0.07462･･･ ≒ 7.46*10^(-2) (mol)
（結果は有効数字を考慮すること）

第１問
　Ｈ８　筑波大学付属駒場中学校　１（３）
　１未満の分母が５６７である既約分数の総和を求めよ。
　エレガントな解答を教えてくれ。

>>762
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/kiyaku.htm

y=x^3logx

関数の値の増減　凹凸　変曲点のだしかたを教えてください。

これこれ、Xの3logX乗なのか　Xの3乗 * logXなのか
どっちなんだ？

あっと、指摘ありがとうございます。
X^3*logXのほうです。
よろしくお願いします。

すまんが、答え晒してくれないか？
なんかとんでもない答えになってしまった…

だれか…俺、とき方そのもの間違えてる可能性大…
一応答えは出してみたが、駄目出しよろしく。

X^3 * logX = f(X) とする
f(X)' = 3X^2 * logx + X^2
=X^2 * (3logX + 1)
X^2 * (3logX + 1)は、X>0より、単調増加

そして、f(X)'' = X * (6logX + 5)
これもX>0より単調増加
f(X)'' = 0 となるには
X = 0,1/(e^5 の6乗根)
X>0より
X = 1/(e^5 の6乗根)
よって、変極点のX座標は 1/(e^5 の6乗根)

ちなみに
f(X)' = 0 となるには
X = 0,1/(eの3乗根)　ただし、0>Xより、
X = 1/(eの3乗根)
単調増加で極大、極小を持たないグラフの場合、このX座標も変曲点

よって、0<X<1/(e^5 の6乗根)では下に凸
1/(e^5 の6乗根)<X<1/(eの3乗根)では上に凸
1/(eの3乗根)<Xでは下に凸

…これでいいのか！？！？

まぁ、俺もあと数日しかないしな…
間違えてたらちょっと鬱だ…

下らん間違え発見（とき方が間違ってるならまったく意味無いが。）
＞X = 0,1/(eの3乗根)　ただし、0>Xより、
じゃなくて
X = 0,1/(eの3乗根)　ただし、0<Xより、
デシタ。

>>699
a,bは整数、p、qは有理数、q≠0かつp+qi（iは虚数単位）が方程式x^2+a*x+b=0の解であるならばp、qはともに整数であることを証明しなさい。

これ、場合分けが結構、面倒くさかった。
q=n/m,(m>0,m,nは互いに素)
とおいて、m=1のとき、m=2のときってやったんだけど、もっとエレガントな解法キボンヌ。

>>771
訂正
>>699→>>698

>>772
訂正
>>698→>>700

あく禁くらいそう。ｗ

↓エレガントでは無さそうだが…

p+qiが解なのでp-qiも解
すなわち
(1)a=-2p
(2)b=p^2+q^2

(1)よりp=(1/2)s (s∈Z)と置ける。これと(2)から 4q^2=4b-s^2∈Z となるから
q=(1/2)t (t∈Z)と置ける。改めて(2)より4b=s^2+t^2となるが、この式においてs,tの偶奇
を考えると、s,tともに偶数でなければならないことがわかる。よってp,qは整数。

>>768
6乗根が出てくるところでちょっと臭うが…

いいんじゃないの？

>>774
サンクス！

>4b=s^2+t^2となるが、この式においてs,tの偶奇
>を考えると、s,tともに偶数でなければならないことがわかる。

ここ、端折りすぎない？

>>764
定義域はx＞0．
y'=3x^2*logx+x^3(1/x)=x^2(3logx+1)
増減は，0＜x＜e^(-1/3) で y'＜0，e^(-1/3)＜x で y'＞0．

y''=2x(3logx+1)+x^2(3/x)=x(6logx+5)
よって，0＜x＜e^(-5/6) で y''＜0，e^(-5/6)＜x で y''＞0 であるから，
0＜x＜e^(-5/6) のとき，上に凸．e^(-5/6)＜x のとき，下に凸．

y''=0 となるx(＞0)は x=e^(-5/6) であるから，変曲点は(e^(-5/6)，-(5/6){e^(-5/2)})．

>>768　>>777さんありがとうございました。

またわからない問題が出てきてしまったので教えてもらいたいです。
x=2*(θ-sinθ),y=2*(1-cosθ) (0≦θ≦2π)

この曲線の長さの求め方がわからないのでお願いします。

>>778
x=2(θ-sinθ)、y=2(1-cosθ) (0≦θ≦2π)
dx/dθ=2(1-cosθ)、dy/dθ=2sinθ
v=√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}=2√{(1-cosθ)^2+(sinθ)^2}=2√{2(1-cosθ)}=4sin(θ/2)
求める曲線(サイクロイド)の長さを L とすると
L=∫[θ=0,2π]vdθ=4∫[θ=0,2π]sin(θ/2)dθ=4[-2cos(θ/2)][θ=0,2π]=16

>>777
あちゃーーーーー…
その答えみて『エ？』と思ったけど
よく考えてみれば一回微分した式が単調増加でも意味ないじゃないか…
元の式が単調増加だったら変曲点になったのに…
ケアレスミスをこんなところで披露してしまった。
修正サンクス。

>>778
X=(変数tであらわされた式)
Y=(変数tであらわされた式)

この場合のあるtの範囲の曲線の長さLは
L =∫[tの範囲]√｛（dx/dt）^2 +（dy/dt）^2｝ dx
です。覚えておいたほうがいいです。

数列わからん!2000の本誌だれかやりかたおしえて!

またやっちまった…
L =∫[tの範囲]√｛（dx/dt）^2 +（dy/dt）^2｝ dx
じゃなくて
L =∫[tの範囲]√｛（dx/dt）^2 +（dy/dt）^2｝ dt
です。（式の最後に注目）

>>781
問題を書くことを薦める。

というかセンター問題くらい解説があるのでは？

すごく低脳な質問ですが…。
自然数は０が入らず正の数で、整数には、分数も入りますよね？
無理数はルートがつくやつ？
んでもって割り算の余りって、2÷4だったら、2でいい？
さすがに中学の教科書なんかナイもんで…。

>>785

＞自然数は０が入らず正の数で、
うん。

＞整数には、分数も入りますよね？
おそらくあなたのいう｢分数｣は整数には入らない。

＞無理数はルートがつくやつ？
と、πとeぐらいを覚えておけばいいんじゃない？

＞んでもって割り算の余りって、2÷4だったら、2でいい？
よい。

間違ったこと言ってたらｺﾞﾒｿ。

てか　数学研究してる香具師って

まさに　ｵﾅﾆｰだろ


つーか　本気で数学なんかやりてーとか思ってる香具師いるの？

なんか難しいことやっててかっこいいとか思われたいがためだけに

数学科言ってる香具師多そう

てか　○○研究してる香具師って

まさに　ｵﾅﾆｰだろ


つーか　本気で○○なんかやりてーとか思ってる香具師いるの？

なんか難しいことやっててかっこいいとか思われたいがためだけに

○○科言ってる香具師多そう



○○は自分の嫌いな科目をどうぞ

数列
Z1=1
Z(n+1)=(1+i)Zn/2+1/2　(iは虚数単位)
とするとき、
(1)Zn+1-α=(1/2)(1+i)(Zn-α)となる定数αの値を求めよ。
(2)Z17を求めよ。

と言う問題なんですが、
(1)は(1+i)/2、
(2)は257/2-255/2になりました。合ってますでしょうか。

1/3*3^x+3*3^-x=3^x+3^-x

2000年数�Uの本誌なんですが解説みてもいまいちわかりません
x＝1/2らしいんですが

>>786
ありがとう！1／2とかって、整数じゃないとしたら何になるの？？

高校の数列の問題です。

a,b,cが調和数列、b,c,dが等比数列、c,d,eが等差数列をなすとき、
a,c,eはどんな数列をなすか．

ってやつなんですが、どういう風に考えたらよいのでしょうか？

工房１年　実教出版発行　新盤数学�T　のＰ．９９


１、次の２次関数のグラフとX軸との共有点を求めてください。
(1)y＝x^2−x＋1
(2)y＝３x^2−６x＋３
(3)y＝−x^2＋６x
(4)y＝−２x^2＋３x−２

２、次の２次不等式を回答しる
(1)x^2≧９
(2)x^2−４＜０
(3)x^2＋４x−１２＜０
(4)x^2−２x−２≧０
(5)−３x^2＋５x−１＞０
(6)９x^2−１２x＋４≦０

３、次の２次不等式を解答しる
(1)x^2−３x＋３＜０
(2)−x^2＋４x−５≦０

>>789
(1)は(1-i)/2じゃないかな？

>>791
整数ではない有理数
自然数、整数、有理数、実数、複素数っていう風に広がっていく図を見たことない？

>>793
宿題ができなくても丸投げしない。
まだあしたの朝まで時間はある。

>>791
分数であり、有理数。
有理数は分数であらわせる数。無理数は分数で表すことのできない数。

>>790
正式には、式を3^xと3^-xでまとめる。
そして3^-xで割ると、3^xだけの式が出てくる。
そこから求める。

>>790
3^xを左辺、3^-xを右辺に集めて、
3^x(1/3-1)=3^-x(1-3)
両辺に-3かけて
3^x=3^-x+1
x=-x+1
2x=1
x=1/2
じゃない？

>>796
どうもありがとう！！
やっと解けました

>>796
実際計算したら3^xだけの式じゃなかった…
まぁ、割ったら3^2x-1=1ってなるから
2x-1=0となる数は1/2

>>792
abcやbcdは連続した数列？

>>794,796
ありがとう！実数と書かれていたら分数でも可なんですね？勉強になりました！

>>792
等比数列

えーと、
これは
1/a = 1/b - x = 1/c -2x ・・・�@(xは公差
b = c/r = d/r^2 ・・・�A(rは公比
c = d-y = e-2y ・・・�B(yは交差
とおきます。

c=rbより�@の式に代入して
1/rb - 2x =1/b - x　・・・�C
�C式より
x = (1-r)/rbとなります。c=rbより
x = (1-r)/cとなります。

そして�A式より、
c=d/rとなるので�B式に代入して
y=d-d/rとなるので
d=rcを代入してy=rc-cとなります。
数列a,c,eはc/(1-2cx),c,c+2yとなるので
さっき求めたxとyを代入すれば公比が-1-2rとなる等比数列ということがわかります。

>>792
>>802をみてくだされ。
と思ったら答えだすの先を越されていた…

等差中項
等比中項

>>789
(1)…俺は1/(1-i)となったが…ミスったかな、俺。
(2)はやってないけど。

>>777
y'=3x^2*logx+x^3(1/x)=x^2(3logx+1)
増減は，0＜x＜e^(-1/3) で y'＜0，e^(-1/3)＜x で y'＞0．

どこからe^(-1/3)ってでてくるの？
初歩的ですみまっせソ
ｘ＾2・log(ex^3）までは変換できたのだけど。

y'=0となるxを求めると
3logx+1=0となるか、x^2=0となるかのどちらか。
3logx=-1よりx=eの3乗根、つまりe^(1/3)がでてくる。
x^2=0のときx=0だが式にlogがあるため自動的に0<xという条件がつく。

3logx+1=0
logx=-1/3
∴x=e^(-1/3)

また間違えやがった俺…
二行目
3logx=-1よりx=eの3乗根、つまりe^(1/3)がでてくる。
じゃなくて
3logx=-1よりx=1/eの3乗根、つまりe^(-1/3)がでてくる。
スマン。

>>789
(1)α=(1+i)/2
(2)z(17)=(257/512)+(255/512)i
だと思います。
α=(1+i)/2 を用いて，z(n)の一般項は，z(n)=(α~)*{α^(n-1)}+α と書けます。
ド・モアブルの定理より，α^16=(1/2)^8*(cos720ﾟ+isin720ﾟ)=(1/2)^8
になることを利用してz(17)を求めます。

>>807
>>808
どうもです。

2つともやり方がいまいちつかめないので教えていただきたいです。
0≦θ≦2πの範囲でθが変化するとき
2直線　x=2*（θ−sinθ）、y=2*(1-cosθ）　y=0で囲まれた部分の面積

これと

x≒0　近似式f*(a+x)≒f(a)+f'(a)*xを用いて近似式を求めよ

f(x)=√xの時　f(8.98)

>>812
知ってるだろうけど、サイクロイド曲線ね。
S=∫[0→2π]y(dx/dθ)dθ
=∫[0→2π]2(1-cosθ)*2(1-cosθ)dθ
=…(計算略)…
=12π

後半のやつは、
a=9、x=-0.02として、近似式より、
f(9-0.02)
≒f(9)+f'(9)*(-0.02)
＝3-(1/300)
＝899/300
かな？

『０でない三つの複素数からなる集合Aで次の条件を満たすものを求めよ
条件：α、βがAに含まれるのならばαβもAに含まれる』

という問題で、ω絡みということから先が分からずに答えを見たんですが、
そこにα∈Aとすると、条件よりα、α^2、α^3、α^4は全てAに含まれ…
とあって、その部分が分かりません。何故この４数が含まれるのでしょうか？
あと、この問題の答えも分からないので、申し訳ありませんが教えていただけ
ませんか？宜しく御願いしますm(_　_)m

積だから

>>814
その解答と同じかどうかわかんないけど、答え書くね。
多分途中であなたの疑問も解決されるはずなんで。

求める集合を、A={α、β、γ}としよう。ただし、αβγ≠0、α≠β≠γ。
＞『条件：α、βがAに含まれるのならばαβもAに含まれる』
これをもうちょっと日本語的に解釈すると、
『集合内の要素を集合内の要素に掛けて出来るものは、やはりその集合に属する。』
と言ってるわけだよね。

ここからがミソなんだけど、だったらα、β、γ(集合内のもの)それぞれにα(集合内のもの)を掛けて
新たに出来る3数、α^2、αβ、αγもやはりそれぞれ、もともとの集合{α、β、γ}のうちのどれかになっているはず。
(だから、α^2はAに含まれる。同じことを繰り返せばα^3、α^4も含まれることがわかる)
さらに、もしα^2≠αβ≠αγだったら、結局この3つが集合Sに一致することになるんだけど、
『αβγ≠0、α≠β≠γ』の条件からそれも言えちゃうよね。

よって、集合{α、β、γ}＝集合{α^2、αβ、αγ}(どれとどれが対応するかはまだわからない)
どれとどれが対応するかはわかんないけど、3つ掛け合わせたものの値は同じになってるはずだから、
αβγ＝α^2*αβ*αγ＝αβγ(α^3-1)
αβγ≠0より、α^3-1＝0
∴α^3＝1
∴α＝1、ω、ω^2

β、γを掛けた場合についても同様の結果が得られるので、
結局A={1、ω、ω^2}…(答)

後半にミス発見。スマソ。
×αβγ＝α^2*αβ*αγ＝αβγ(α^3-1)
○αβγ＝α^2*αβ*αγ⇒αβγ(α^3-1) ＝0

>>814
α∈Aとすると、条件より αα=α^2α∈A
同様にして、αα^2=α^3∈A、αα^3=α^4∈A　を得るが、
Aの要素は三つなので、これらの中には等しいものが存在する。
0は要素では無いから　
�@) α=α^2　⇔　α^2=α^3　⇔　α^3=α^4　⇔　α=1
�A) α≠1、α=α^3　⇔　α≠1、α^2=α^4　⇔　α≠1、α^2=1　⇔　α=-1
�B) α≠±1、α=α^4　⇔　α≠±1、α^3=1　⇔　α=ω、ω~ (ただし、ω=(-1+i√3)/2)
の何れかが成り立つ。
これらの中から条件を満たす集合Aは　A={1、ω、ω~}　

>>816
異なる３複素数なら
α≠β≠γ≠α
ですね

ありがとうございました。助かりました！

質問です。
複素数平面上にP1(z1),P2(z2)がある。
原点OとP1,P2の3点は同一直線上にないとする。
線分OP1を3:1に内分する点をQ1(w1)、線分OP2を3:2に内分する点をQ2(w2)
さらにP1Q2とP2Q1の好転をH(z)とする。
HがP1Q2をt:1-tに、P2Q1をs:1-sに内分するとしてzをz1,z2を用いてあらわすと

z=(1-t)z1 + (3t/5)z2 = (3s/4)z1 + (1-s)z2
となるんですが、
このときのtの値の求め方がわかりません。
といおうか、解答には
OとP1,P2は同一直線上にないから
1-t=3s/4
3t/5=1-s
てなってるんですが、どうして同一直線上にないとこうなるのでしょうか？
おねがいします。

>>821
一次独立なベクトルの係数比較と同じ要領です

>>822
ありがとうございました。

x^2−x−6＞0，x^2−(a＋2)x＋2a＜0を同時に満たす整数が
ただ一つとなるような定数aの値の範囲？

a＞2，a＜2，a＝2の三つに分ければいいんだろうけど
そこからaの値の範囲を求めるのがわからないんですけど、誰か教えてください。

>>824
数直線かけ

書いてもわからないんですけど･･･

同時に満たす整数がただ一つと言うのは

k<x<k+2
分った?

え･･･お･･･あ･･･えーと･･･ｷ･･･ｷﾀ━━━ヽ(ヽ(ﾟヽ(ﾟ∀ヽ(ﾟ∀ﾟヽ(ﾟ∀ﾟ)ﾉﾟ∀ﾟ)ﾉ∀ﾟ)ﾉﾟ)ﾉ)ﾉ━━━!!!!
わかったーーーーーーーーーーーーーーーーーーー！！！！！！！！！！！！
ありがとうございました>>827

>>815 816 817 819 819
みなさん有難うございます！おかげで分かりました！

平面上にｎ個（n>2)の点があり、これらの点から任意に選んだ２点を通る直線が、少なくとも、もう１点（つまり、３点以上の点）を通るようなｎ個の点の配置は、すべての点が一直線上にならぶ配置以外に存在しないことを示せ。

ギブアップっす。よろしくお願いします。m(_ _)m

>>830
鳩の巣原理ですかね？

蝋翼って　いつも答えしか書かないよね
嫌がらせ？

>>830
背理法でいけないかな　まだ考えてないけど

円周上に5つの点があり、各点を線で結ぶ。線の色は赤か青で、
それぞれ1/2の確率で結べる。
各点からでる線の色が、赤2、青2本である確率を求めよ。

数学板で答えが割れています。
この板のみなさんはどう思われますか？
お願いします。

-1,0,1にいずれかの値をとるAi(i=0,1,2,3,4)を用いて、
α＝A0+3*A1+3^2*A2+3^3*A3+3^4*A4　　
と表される数を考える（上式より、-121≦α≦121）
このとき-121と121の間にある整数は全て上式の形に表される事を証明せよ

という問題なんですが、この問題の解法は、鳩の巣原理を使って
(A0,A1,A2,A3,A4,A5)≠(B0,B1,B2,B3,B4,B5)
⇒A0+3*A1+3^2*A2+3^3*A3+3^4*A4≠B0+3*B1+3^2*B2+3^3*B3+3^4*B4…（�@）
の対偶をとって、
A0+3*A1+3^2*A2+3^3*A3+3^4*A4=B0+3*B1+3^2*B2+3^3*B3+3^4*B4
⇒(A0,A1,A2,A3,A4,A5)=(B0,B1,B2,B3,B4,B5)…（�A）
を示せばOKなんです。ここで、�Aからの証明はできるのですが、
何故�@のような否定の形から式を立てるか、そもそもB0…の式の意味
は何なのかが分かりません。教えていただけませんか？

なんか立て続けに質問するのも悪いかなっと思いながら質問してみる。。。

底からの高さがXｃｍである点で、底に平行な平面で切った切り口が、
半径4乗根X+1ｃｍの円になる容器がある。この容器の底から8ｃｍまでの部分の容積を求めよ。

文章題がとても苦手+立体が苦手と来てなにがなんだか_|￣|○
どなたかお願いします。

>>836
y=4乗根x+1の0≦x≦8部分をx軸の周りに回転して出来る立体の体積。
V=∫[0→8]πy^2dx
=∫[0→8]π(4乗根x+1)^2dx
=…
=8π[(4√2)/3 + 1 + (8*4乗根8)/5]

>>835
5つの項があって、それぞれの項が3種類の重複しない値をとるのだから、
αは最大で3^5=243通りの数を表すことが出来る。
この243通りの中で重複するものが1つでもあったら、-121〜121間の243個の
全ての整数を表すとはいえないわけだから、243個の中に重複するものがないことを言えばよい。
なので、ある整数を表す方法が2通り以上ないことを言ってやれば解決。
それを直接示すのは面倒だけど、それの対偶なら簡単に示せそう。
だから簡単に示せる否定の式から始まるのだ。
B0云々の式は、2通り以上のあらわし方がないことを示すために持ち出した比較用の式。

オフ幹事のプロフ

大学院生
こんなヤツらしい
http://www.alpha-net.ne.jp/users2/bluefall/chimera.html

オフ参加お待ちしております

>>838 分かりました！ありがとうございました！

e＾iπ＝ｰ1 ってどうやって導かれるんですか？

>>841
実数xに対して
e^(ix)=cos x+i*sin x…�@
が成り立つことによる。
�@自身の証明は大学の範囲。

超初心者な質問で申し訳ないんですが、
ａｘ＝−ｂ　　において、
a＝０、ｂ≠０　ならば解をもたない
a＝０、ｂ≠０　ならば無数の解をもつ

とあるんですが、axのａが０だったらax＝０
になって解をもたないように感じたりする
のですが、間違いをおしえてください。　

>>843
a=0, b≠0ならば解を持たない
a=0, b=0ならば無数の解を持つ

ですね。
axでaは0だったら確かにaxは0に等しくなりますが、
その事実は「xの方程式ax=0」に着いての話と無関係です。

2(x+3)-(x+1)ってのを整理したらx+5と一致すると言う事実を
「2(x+3)-(x+1)=x+5」と表現しますがこれを普通は方程式とは呼ばないのと
同じことです。

a=0のときの方程式「ax=-b」の解について考えるってことは
方程式「0x=-b」の解について考えるってことです。
ただそれだけです。

>>830
P(n)：「平面上にｎ個（n>2)の異なる点があり、これらの点から任意に選んだ２点を通る直線が、
　　　　　少なくとももう１点（つまり、３点以上の点）を通るようなｎ個の点の配置は、
　　　　　すべての点が一直線上にならぶ配置以外に存在しない。」
として、数学的帰納法。

>>845
実際やってみれ

x^4/(x^2)-4 の式を次数下げすると

(x^2) + 4 + {16/(x^2)-4}
この様になるらしいのですが、どうやって次数下げしたのでしょうか？

x^4を(x^2)-4
で割ってみればわかる。

まぁ3/2を1 + 1/2にするようなもん。

すいません。めちゃくちゃ初歩的な質問で悪いんですが
　0.364=x/220+x　の分母の払い方を教えてください

0.364 * (220 + x)=x
でヨロシ。

80.08+0.364x=x
の後はどうすればいいのですか？

80.08=(1 - 0.364)x

xの一次式だから、xについてまとめればok

>>852
>>853
すいません。バカなものでよく意味がわかりません・・・
詳しく教えてください

>>854
中学1年からやり直したほうがいいと思われ。

80.08 + 0.364x＝1x
80.08＝1x - 0.364x
80.08＝（1-0.364）x
80.08＝0.636x

ありがとうございます。続けて質問させてください。

x/AC=tan30°は何故 AC=√3xになるんですか？

x^4を(x^2)-4で割ると

(x^2)-{(x^4)/4}になる所まではわかったのですが
次にどうしたら良いのでしょうか？

>>857
マジ話、君が何年生にしろ数学の教科書をさらっと復習することを勧める。
tan30°＝1/√3　から計算。

>>858
ん？(x^2)-{(x^4)/4}になる所？
割ったらx^2 + 4あまり16にならないか？

>>859
わかりました。ありがとうございます。
この手の次数下げは、分子を分母で割るのが一般的なのでしょうか？

>>860
分数の次数下げの基本はこれだと思うよ。

あああ、説明見てもlogの描き方が分からない…。無能ですいません…。
初歩的な質問ですいません。

log2(3）とlog3(4)　　　それぞれ（　）外の数字が底
の大小を比べるのがイマイチ分かりません。どなたか詳しい解放をお願いします。

あと、
log2(x^2 + √2）　　（　）外の数字は底
の最小値の出し方も分かりません。
解放には、最小は真数の部分x^2＋２が最小になるとき、とあるのですが、√はどこへ
行ったんでしょうか。

あと「底の省略」って何ですか？
立て続けにすみません。
ちなみに対数物凄く苦手です…_|￣|○

有理数変換とはどのようなものなのでしょうか?

すいません！！明日この問題があてられちゃうんですけど、分かりそうで分かんなくて…
助けてください。。。


２つの集合をA,Bとし、n(A)+n(B)=10 かつ n(AUB)=7 とするとき、
_ _　
n(A∩B)+n(A∩B)を求めよ。

こうゆう集合系キライな人もいるかと思いますがお願いします。

上記訂正でつ。

n(AのバーかつB)＋n(AかつBのバー)

>>863
http://www.jssac.org/~murao/rims-ws/rims01/KKroku/Pdf/112-sasaki-takahashi.pdf

>>864
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) より，7=10-n(A∩B) ⇔ n(A∩B)=3．
また，
n(A)=n(A∩B)+n(A∩B~)
n(B)=n(A∩B)+n(A~∩B)
であるから，この2式を足して，n(A∩B)=3 を用いると，
10=2*3+n(A∩B~)+n(A~∩B)
∴ n(A~∩B)+n(A∩B~)=4・・・答

>>862
俺が単にバカなんだろうが、
なにか値が与えられてないと解けないと思う。
といおうか、何か値が与えられてなかった？


あと、二つ目のやつだけぢ、単なるミスプリだと思われ。
どっちにしろ回答はx=0になると思われるが。


＞あと「底の省略」って何ですか？
底がeの場合普通は省略。
たまに底が10のときも省略。

高校のとき、「ある二次元平面の任意の座標を表すには、必ず"2つの変数"が必要」というのが常識なのにもかかわらず
なにかの数学の雑学本で、「"たった1つの変数"でもある二次元平面の任意の座標を表すことができる」との記述を見ました。

当時は、びっくりしましたが、その記述を読んでいるうちに
納得したんです。ていうことは、可能なんでしょう。

しかし今となっては、それがとういうストーリーだったのか全く思い出せません。
どなたか、どんな情報でも結構ですので、教えていただけませんか?

>>862
底の変換公式で，log2(3)=log3/log2，log3(4)=log4/log3．
よって，
log2(3)-log3(4)=(log3/log2)-(log4/log3)
={(log3)^2-2(log2)^2}/{(log2)(log3)}
={(log3)+(√2)(log2)}{(log3)-(√2)(log2)}/{(log2)(log3)}．
ここで，底を2とすれば，(log3)+(√2)(log2)＞0，(log2)(log3)＞0 であるから，
結局，{log(2)3}-(√2){log(2)2}={log(2)3}-√2 の正負を調べればよい．

ところで，3＞2^(3/2) (∵9＞8)，2^(3/2)＞2^(√2) であるから，
3＞2^(√2) である．よって，log(2)3＞√2．

∴ log2(3)＞log3(4)．

log2(3)*log7(8)*log243(343)

これおねがいします

＞868
値を与える…ですか？ﾊﾃ…。
２番目の問題なのですが、解法も教えていただけないでしょうか…。ゼロになる理由は
分かるのだけど求め方が分からないのです。

＞870
ありがとうございました。コピーして考えまつ。

>>871
log2(3)*log7(8)*log243(343)
=(log3/log2)*(log8/log7)*(log343/log243)
=(log3/log2)*(log2^3/log7)*(log7^3/log3^5)
=(3*3(log3)(log2)(log7))/(3*5(log2)(log7)(log3))
=3/5

>>873
なるほど、ありがとうございました。