シンプルで難しい問題

こんな問題あったけど。
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1068983002/554

>>304
上下をひっくり返して考える。つまり正方形を底面とする。
すると (1,0,1/cosθ)と(0,1,1/cosη)によって張られる
平面が底面となす角がαになるから、
(1,0,1/cosθ)×(0,1,1/cosη)と(0,0,1)のなす角を計算すればよい。

cosα = {(1/cosθ)^2+(1/cosη)^2}^(-1/2)

待てよ、1/cos じゃなくてtanだな。

cosα = {(tanθ)^2+(tanη)^2}^(-1/2)

>304
上下をひっくり返さずに考える。正面図を(x,y)面、側面図を(z,y)面とする。
正方形の単位法線をOA↑とする。
2辺OB↑、OC↑の方位角はθ,π-ηである。 天頂角をβ,γとおくと、
OA↑= (0, -cosα, sinα)
OB↑= (sinβcosθ, sinβsinθ, cosβ)
OC↑= (-sinγcosη, sinγsinη, cosγ)
題意より、これは正規直交基をなす。
(OB↑・OC↑) =-sinβsinγcos(θ+η)+cosβcosγ=0 ⇒ cos(θ+η)=1/(tanβtanγ).
(OA↑・OB↑) =-cosαsinβsinθ+sinαcosβ= 0 ⇒ sinθ=tanα/tanβ.
(OC↑・OA↑) =-cosαsinγsinη+sinαcosγ= 0 ⇒ sinη=tanα/tanγ.
∴ tanα = √{sinθsinη/cos(θ+η)}.

∴ sinα = √(tanθ･tanη)

>>304が見えないのですが、どんな問題？

>>307-308
正解。
すばらしいです。

ちなみに出題者はこんな風に考えていました。
http://vom.fc2web.com/img/setumeizu.jpg

>309
setumeizu.jpg は漏れも上だけしか見えない。
mondai.jpg まで見えないのは mondaiでは？

>>312
どちらも見られますよ。
リロードすればいいかも。

>>277,280-281
くだらんスレ ver.3.14(28桁略)5028 にあったYo.
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1079485235/513

↑スレは鬼籍に逝ったようなので、再記しておく（改変あり）。
【定理】 a,b,c≧0, Min(a,b,c)=m のとき
F(a,b,c)≡ Σ[k=-m,m] (-1)^k･Ｃ[a+b,a+k]･Ｃ[b+c,b+k]･Ｃ[c+a,c+k] = (a+b+c)!/[a!･b!･c!]

N=a+b+c に関する帰納法による.
N=0 のときは a=b=c=0 で成立.
N≦2のときは m=0, k=0 で成立.
いま N-1 に対して成立したとする.
(x-y)^(a+b) = Σ[i=-a,b] Ｃ[a+b,a+i] x^(b-i)･(-y)^(a+i)
(y-z)^(b+c) = Σ[j=-b,c] Ｃ[b+c,b+j] y^(c-j)･(-z)^(b+j)
(z-x)^(c+a) = Σ[k=-c,a] Ｃ[c+a,c+k] z^(a-k)･(-x)^(c+k)
を辺々掛けて G_{a,b,c}(x,y,z) とおく.
Fの中の x^(b+c)･y^(c+a)･z^(a+b) の係数が F(a,b,c) である.

ところで、(x-y)(y-z)(z-x) = -xy･(x-y) -yz･(y-z) -zx･(z-x) だから
G_{a,b,c}(x,y,z) = -xy･G_{a,b,c-1}(x,y,z) -yz･G_{a-1,b,c}(x,y,z) -zx･G_{a,b-1,c}(x,y,z)
∴ F(a,b,c) = F(a,b,c-1) + F(a-1,b,c) + F(a,b-1,c)
帰納法の仮定より、
= (N-1)!/[a!･b!･(c-1)!] + (N-1)!/[(a-1)!･b!･c!] + (N-1)!/[a!･(b-1)!･c!]
= (a+b+c){(N-1)!/[a!･b!･c!]}
= N!/[a!･b!･c!]
となり, Nに対しても成立することが示された. (Dickson)

>>315 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ

　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼
　　　　／　ノ（　　　nCr命　　＼　　ﾜｸﾜｸ
　　　/　　　＾　　　　　　　　　　　　ヽ　　ｿﾞｸｿﾞｸ
　 　 l:::::::::　　　　　＼,, ,,／ 　 　 　 .|　ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
　 　 |:::::::::: 　　（●） 　 　 （●）　　 |
　　　|::::::::::::::::: 　 ＼＿＿_／　　 　 |
　 　 ヽ:::::::::::::::::::.　　＼／　　　　　ノ

271の応用例でつ。
m≧nのとき、 Σ[k=0,n]Ｃ[m-k,m-n]･q^k = Σ[r=0,n]Ｃ[m+1,n-r]･(q-1)^r
とくに m=nのとき、= [q^(n+1)-1]/(q-1)
(§4.2.5 No.43,44)

>>317
271をどう応用すればいいかサパーリ

>318
2項定理 q^k = {(q-1)+1}^k = Σ[r=0,k]Ｃ[k,r](q-1)^r
により左辺を展開して整理すると,
Σ[r=0,n] {Σ[k=r,n] Ｃ[m-k,m-n]Ｃ[k,r]} (q-1)^r
この{ }の中に[271]を適用しまつ。

>>300
最後の行の意味に今気づいた。
俺も301に書いた方法で出そうかな…

うーん、めんどいからいいや。

なるほどっ！
　　 ＿＿＿　　　　　 ＿＿＿　　　　　 ＿＿＿　　　
　.／　 nCr ＼.　　.／　　≧　＼.　　.／ 　 cos ＼
　|:::: 　＼ .／　|　　|:::: 　＼ .／　|　　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　　|::::: (●　(● |　　|::::: (●　(● |　ﾜｸﾜｸ
　ヽ::::... .∀....ノ 　　ヽ::::... .ワ....ノ 　　 ヽ::::... .▽....ノ　

「さくらスレ」の方が一枚上？

928 ：１３２人目の素数さん ：04/04/12 20:55
これの計算のしかたを教えて下さい．

Σ[k=0, n/2] n!m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)
ただし, mは正の整数, nは正の偶数で, m>nとします．

952 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/04/13 07:57
とりあえず[>>928]は、nを固定したとき、mのn次多項式になることが分かった。
n=0のとき、1
n=1のとき、m^2
n=2のとき、m^4-4m^2+3m=(m-1)m(m^2+m-3)
n=3のとき、m^6-20m^4+45m^3-26m^2=(m-2)(m-1)mm(m^2+3m-13)

141 ：１３２人目の素数さん ：04/04/16 01:24
(1/2 +x+x^2)^m の展開式で x^(2m-2n) の係数を考えてみる･･･
それに (2n)! を掛けてみる･･･

224 ：141 ：04/04/17 16:29
(1+y+(1/2)y^2)^m の展開式で y^(2n) の係数･･･

◆ さくらスレ １４２ ◆
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1080180668/928,952

◆ さくらスレ １４３ ◆
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1081800988/83,141,224

>>322 ｸﾞｼﾞｮ-ﾌﾞ!
　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼.
　|:::: 　＼ .／　|　ﾜｸﾜｸ
　|::::: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

322の参照先を追加

◆ さくらスレ １４４ ◆
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1083686853/24

なるほどっ！
(1+y+(1/2)y^2)^m の展開式で y^n の係数が、多項定理より
Σ[k=0, n/2] n!m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!) になってますね。

　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼.
　|::u　＼ .／　|　…。
　|:u: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

(1+y+(1/2)y^2)^m をいじった式を二項展開してy^nの係数を出せばいいんですね。
　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼.
　|::u　＼ .／　|　続きは、このnCrヲタに やらせてください。
　|:u: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

とりあえず、>>325の訂正。

(1+y+(1/2)y^2)^m の展開式で y^n の係数が、
Σ[k=0, n/2] m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)

(1+y+(1/2)y^2)^m
= Σ[k=0,m]C[m,k]{(1/2)y^2}^k](1+y)^(m-k)
= Σ[k=0,m]C[m,k]{(1/2)y^2}^k]Σ[r=0,m-k]C[m-k,r]y^r
= Σ[k=0,m]Σ[r=0,m-k]C[m,k]C[m-k,r](1/2)^k*y^(2k+r)

におけるy^nの係数は 2k+r=nのときだから、
Σ[k=0,n/2]C[m,k]C[m-k,n-2k](1/2)^k なので、

Σ[k=0,n/2] m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)
= Σ[k=0,n/2]C[m,k]C[m-k,n-2k](1/2)^k

　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼.
　|::u　＼ .／　|　もっと簡単になるかなぁ…。
　|:u: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

もとに戻ってる…



　　　　　　　　　　r〜〜〜〜〜
　　　＿_　　　　_ﾉ あああ‥‥
　 ／__　 ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼. ☆ ﾋﾟｷｰﾝ！
　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　ﾋﾗﾒｲﾀ！
　ヽ::::... .∀....ノ

1+y+(1/2)y^2 = (1/2)(1+(1+y)^2) より

(1+y+(1/2)y^2)^m
= (1/2)^m(1+(1+y)^2)^m
= (1/2)^mΣ[k=0,m]C[m,k](1+y)^(2k)
= (1/2)^mΣ[k=0,m]C[m,k]Σ[r=0,2k]C[2k,r]y^r

のy^nの係数は、k≧n/2 かつ r=n のときだから
(1/2)^mΣ[k=n/2,m]C[m,k]C[2k,n] である。よって

Σ[k=0, n/2] m!/(2^k*k!(n-2k)!(m-n+k)!)
= (1/2)^mΣ[k=n/2,m]C[m,k]C[2k,n]
　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼.
　|::u　＼ .／　|　合ってるかなぁ…？
　|:u: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

左辺も二項係数を用いて表すと、こんな感じ。

Σ[k=0,n/2]C[m,k]C[m-k,n-2k]2^(m-k) = Σ[k=n/2,m]C[m,k]C[2k,n]

>>292の右辺訂正。証明が分からんちん。
Σ[k=0 to [n/2]]C[n-4,k](-4)^k = (n+2)/(2^{n+1}) を示せ。

>292,333
左辺→振動発散, 右辺→０ (n→∞)

問題を写し間違ったか…
図書館行ってくる

Σ[k=0 to [n/2]]C[n-k,k](-4)^k = (n+2)/(2^{n+1}) でした。

すみません、写し間違ってました。
死んでお詫びを…
　　　　　　 　　∧＿∧
　　　　　　 　 （´Д｀　）　　　
　　　　　 　　 / 　y/　 ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

>331
min(m-n/2,n/2)=M, [M/2]=L とおくと,
最後の式 = (1/2)^(n/2)･Σ[k=-L,L] {(-1)^k}･Ｃ[m,n/2+2k]･Ｃ[m,n/2-2k]

どのようにして変形するのでござるか？ ﾆﾝﾆﾝ

へっへっへ

（´д｀；）教えれ！

>>336
n=1のときですでに右辺と左辺が違うんだが。

Σ[k=0 to [n/2]]C[n-k,k](-4)^k = {α^(n+1)-β^(n+1)}/(α-β)
ここでα,βは方程式x^2-x+4=0の解。

右辺を F_n とおくと、漸化式は
F_(n+2)-(α+β)F_(n+1)-αβ･F_n = 0.
母函数は
G(x) = Σ[k=0,∞) F_k･(1/x)^k = (x^2)／{x^2-(α+β)x+αβ} = (x^2)/(x^2-x+4).

まちがえた。 漸化式は F_(n+2) - (α+β)F_(n+1)＋αβ･F_n = 0.

>341
Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n-k,k]･q^k ≡ F_n(q) とおくと、
F_0=1, F_1=1,
F_{n+2} = Σ[k=0,[n/2]+1] Ｃ[n+2-k,k]･q^k
= Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n+1-k,k]･q^k + Σ[k=1,[n/2]+1] Ｃ[n+1-k,k-1]･q^k
= Σ[k=0,[(n+1)/2]] Ｃ[n+1-k,k]･q^k + q･Σ[k=0,[n/2]] Ｃ[n-k,k]･q^k = F_{n+1} + q･F_n.
q<-1/4 のとき 特性方程式 x^2-x-q=0 の根は √(-q)･exp(±iθ) と書ける。ここに、θ=arccos{1/√(-4q)}.
∴ F_n(q) = {(-q)^(n/2)}sin{(n+1)θ}/sinθ = {(-q)^(n/2)}･U_n{1/√(-4q)},
U_nはn次の第2種チェビシェフ多項式。 (注) nは偶数だからqの多項式になる。
なお, q>-1/4のときは sinh で表わされる。

304のリンク先の問題ってどんなんだったの？

>345
画像サイトが見えなくなったので、文章で書きまつ。
空間内に正方形 ＯＢＤＣがあって、Ｏは水平面(y=0)上にある。
・正面図(xy面)： ＯＢ↑は左上に向いて傾きθ、ＯＣ↑は右上に向いて傾きη
・側面図(zy面)： 正方形は一直線に見え、水平面(y=0)となす角がα
である。このとき、αを θとηで表わして下さいです。。。

>345
∠BOC=90°しか使わないから、長方形でも四分円でもいいんだが．．．(w

　 ,､|,､　>>336
　(f⌒i　何度も書き間違いスマソ。死んでお詫びを…。
　 U j.|　Σ[k=0 to [n/2]]C[n-k,k]/(-4)^k = (n+1)/(2^n)
　　UJ
　　 ：　左辺をa_nとおいて、２項間漸化式を解くとでました。
　 ‐＝‐

こんなのを見つけたんですが、証明の仕方を教えて下さい。
【Strehl Identities】
Σ[k=0 to n](C[n,k])^3 = Σ[k=0 to n]C[2k,n](C[n,k])^2
Σ[k=0 to n](C[n,k])^2(C[n+k,k])^2 = Σ[k=0 to n]Σ[j=0 to n]C[n,k]C[n+k,k](C[k,j])^3

　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼
　|:::: 　＼ .／　|　ﾜｸﾜｸ
　|::::: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

　　　　　　　　　　　　　　 _.. ..‐::´／
　　　　　　　　　　　　　_/::::::::::::/
　　　　　　　　　　　＿/:::::::::::::/　＿＿＿_
　　　　　　　　 ,..::::´:::::::::::::::::::::￣:::::::::::._／
　　　　　　　／:::::::::::::::::|　ヽ､:::::;::::::::::::／
　　　　　　 /:::::::::::::::::::::|´|ヽ　　　|/_:::.::／
　　_ .. -─':::::::::::::::､::|｀'　 　,　　　.!::∠
　　｀''　‐-.._:::::::;-‐､｀（●）　　（●）　|::::｀::-､　　　オッス！オラ悟空
　=ﾆ二::::::::::::::::|６ 　 　＼＿＿_／､｜　-──｀ nCrヲタクを見てると
　　　　‐=.二;;;;;｀‐ｔ　　 　＼／　　ノ　　　　　　　なんだかすっげえワクワクしてきたぞ！

>348
[344]で q→-1/4 のとき、θ→0, F_n(q)→(n+1)/(2^n).

もう切腹するお腹も、吊る首もありませんが…。

>349
http://mathworld.wolfram.com/StrehlIdentities.html
で見つけたかな．．．．

上式は Franel数で、Fr(0)=1, Fr(1)=2, Fr(2)=10, Fr(3)=56, Fr(4)=346, Fr(5)=2252, Fr(6)=15184, Fr(7)=104960, ････
下式は Apery数で、 Ap(0)=1, Ap(1)=5, Ap(2)=73, Ap(3)=1445, Ap(4)=33001, Ap(5)=819005, ････

（´д｀；）ﾊｧﾊｧ そこから発掘しました。

>338
変形できますたか？ ﾆﾝﾆﾝ

http://www.toho.co.jp/lineup/ninnin/welcome-j.html

「分からない問題はここに書いてね１６７」の203より

>203 Σ(C[k＋n,n]/2^k)=2^n (Σはk=0,1,2,・・・n)

210 名前：nCrヲタ ：04/05/18 09:10

【計算による解法】 左辺をS(n)とおく。
はじめに漸化公式 C[n+1+k,k]=C[n+k,k]+C[n+k,k-1] を用い、
ころあいを見て、吸収等式 C[n,k]=(n/k)C[n-1,k-1]を用いれば
S(n)=S(n+1)/2 を得るから、等比数列であることが分かる。

【組合せ論的解法】
コイン投げを、表か裏のどちらか一方が n+1回でるまで遊ぶとき、
n+1+k回で終了する確率を考え、kについて総和をとる。
　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼
　|:::: 　＼ .／　|　呼んだ？
　|::::: (●　(● |　　君も今日からnCrヲタだ！
　ヽ::::... .∀....ノ

>>203, >>210　（ｷﾊﾞﾔｼ流に解説）
漸化公式を用いると
　S(n) = Σ[k=0,n]C[n+1+k,k]/2^k - Σ[k=0,n]C[n+k,k-1]/2^k
第２項について、k=0のときはノイズだから取り去り、
お得意のアルファベットに変換(k-1=jと変換)すると
　= Σ[k=0,n]C[n+1+k,k]/2^k - Σ[k=0,n]C[n+1+k,k]/2^(k+1) + C[2n+1,n]/2^(n+1)
　= Σ[k=0,n]C[n+1+k,k]/2^(k+1) + C[2n+1,n]/2^(n+1)
　= (1/2)Σ[k=0,n]C[n+1+k,k]/2^k + C[2n+1,n]/2^(n+1) - C[2n+2,n+1]/2^(n+2)
第２項と第３項に吸収等式を用いると、消えてしまうから
　=S(n+1)/2
　　＼ヽ　　　＿ ／/ / |　　＼　　 ｜　
　　　ヽ＼二＿二//　∠二二二| ﾍ|　なんと、S(n)は等比数列だったんだ〜！
　　　　| | | ヽゝｿゝ|TT|<ゝｿ ﾌ　|/ｂ｝　
　　　　ヾ| ヽ＿__ ﾉ/|| .ミ＿＿ ﾉ | ﾉ
　　　　　 | 　 　 　 �凵@　　　　 /ﾌ
　　　　　　|　u　.F二二ヽ　　 /|/
　　　　　　＼. 　 |/⌒⌒|　　 ｲヽ
　　　　　　/. ＼　 ＝＝′／ |.| |
　　　　 ￣|｜　 ヽ＿＿／　　/ /￣

278 ：銭形代数 ：04/05/18 21:49
>>210,249
非負整数nについて
Σ {Ｃ[k+n,n]/(2^k)} = 2^(n+1), (Σはk=0,1,2,・・・∞)

はどうやら正しいようなのですが、うまいやり方が思いつきません。
証明できた方は教えてください。お願いします！

平次親分 「やめずに投げ続ければきっと n+1回でるに違ぇねえ．．．」

308 ：１３２人目の素数さん ：04/05/18 22:54
>>278
S_n(x)=Σ[k=0,∞]C(k+n,n)*x^k 　とおく。
xS_n(x)=Σ[k=1,∞]C(k+n-1,n)*x^(k) より
(1-x)S_n(x)
=1+Σ[k=1,∞]{C(k+n,n)-C(k+n-1,n)}*x^k
=1+Σ[k=1,∞]{C(k+n-1,n-1)}*x^k
=Σ[k=0,∞]{C(k+n-1,n-1)}*x^k=S_(n-1)(x)　ゆえ
S_n(x)=1/(1-x)*S_(n-1)(x)
S_0(x)=Σ[k=0,∞]x^k=1/(1-x)　なので
s_n(x)=1/(1-x)^(n+1)
x=1/2でΣ[k=0,∞]C(k+n,n)/2^k=2^(n+1)

>>358-359
なんかひっかかるのよね。356の記号でいうと、
S(n)=2^n、 S(n+1)=2S(n)
だから、S(n)は単調増加してるのに、358は
S(∞)=2^(n+1)=S(n+1)
と有限の値になってるのが納得いかないなぁ。
359の証明はあってる？

>>359
無限級数の和において、分配法則 Σ(a_n+b_n) = Σa_n + Σb_n
が成り立つのは、Σa_n と Σb_n が収束するときだから、
次の個所が間違っていると思います。

> (1-x)S_n(x)=1+Σ[k=1,∞]{C(k+n,n)-C(k+n-1,n)}*x^k

　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼
　|:::: 　＼ .／　|　どうですか？
　|::::: (●　(● |　　Σ[k=0 to ∞]Ｃ[k+n,n]/(2^k) = S(∞)
　ヽ::::... .∀....ノ　は、>>356-357に書いたように発散すると思います。

>>360-361
そりゃ>>356でいうところのS(n)でのS(∞)は
あえて書くなら
S(∞)=Σk=0,∞](C[k＋∞,∞]/2^k)　だろ。
一方私が書いたものにおいては
S(n)=Σk=0,∞](C[k＋n,n]/2^k)
全く別物でしょ。

ちなみに>>359でのS_n(x)が収束半径が1なのは
ダランベールの判定法からすぐわかることだ。

嗚呼、確かに違う…。
死んでお詫びを…
　　　　　　 　　∧＿∧
　　　　　　 　 （´Д｀　）　　　
　　　　　 　　 / 　y/　 ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

>359
tan x
コイン投げの表（裏）の確率xが 1/2 でないときも使えます。 欠け銭、ビタ銭、．．．？

「銭形平次：銭型平次＝線形代数：線型代数」というわけでもあるまいが……

http://www5a.biglobe.ne.jp/~sunomono/iro0048.html 2002-06-03 (1) 23:39:45

>359
Ｃ[n+k,k] p^(n+1) (1-p)^k = NegBinomDist(k,n+1,p)
を負の二項分布（パスカル分布） NB(n+1,p) とか言うらしい．．．

藤田岳彦: 数セミ,No.513, p.68-72「基本離散分布と初到達時間分布」(2004.6)

　　∧ ∧　
Σ(； ゜Д゜)　ﾊｯ! ｻｯｿｸ ﾖﾐﾆ ｲｶﾈﾊﾞ…
　 （つ＿つ

こんなのを見つけた

Σ[0≦k≦n]Σ[0≦j≦k](-1)^j/{j!(n-k)!}

1か？

In general, Σ[k=0,n] Σ[j=0,k] a_{n-k}･b_j = Σ[k=0,n] Σ[j=0,n-k] a_k･b_j
= Σ[0≦j, 0≦k, j+k≦n] a_k･b_j = Σ[L=0,n] c_L,
where c_L ≡Σ[k=0,L] a_k･b_{L-k} ･････ convolution of a & b.

f(x)=Σ[k=0,1,･･･) a_k･x^k, g(x)=Σ[j=0,1,････) b_j･x^j ⇒ f(x)g(x)=Σ[L=0,1,････) c_L･x^L.

>368
In case a_k=1/(k!) & b_j={(-1)^j}/(j!),
c_L = Σ[k=0,L] {(-1)^(L-k)}/{(k!)(L-k)!} = {1/(L!)}Σ[k=0,L]{(-1)^(L-k)}Ｃ[L,k]
= {1/(L!)}{(1-1)^L} = {1/(L!)}δ_(L,0) ････Kronecker's delta symbol.
∴ 与式 = Σ[L=0,n] c_L = 1/(0!) = 1.

Summary: f(x)=exp(x), g(x)=exp(-x) ⇒ f(x)g(-x)=1.

まちがえた．．．
Summary: f(x)=exp(x), g(x)=exp(-x) ⇒ f(x)g(x)=1.

　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼
　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　|::::: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

297

こんなのを発掘しました。 ﾊｧﾊｧ

Σ[n=0 to M-1]Π[k=0 to n](M-k)/(M+N-k) = ?

ﾑｽﾞｯ・・・

>375
Π[k=0 to n]{(M-k)/(M+N-k)}
= {M!/(M-n-1)!}/{(M+N)!/(M+N-n-1)!}
= {M!/(M+N)!}･{(M+N-n-1)!/(M-n-1)!}
= {M!/(M+N)!}･Π[j=n+1 to n+N](M+N-j)
= {M!/(M+N)!}･{Π[j=n to n+N](M+N-j)−Π[j=n+1 to n+N+1](M+N-j)}/(N+1)
[n=0 to M-1] について和をとって、
与式 = {M!/(M+N)!}･{Π[j=0 to N](M+N-j)−Π[j=M to M+N](M+N-j)}/(N+1)
= {M!/(M+N)!}･{[(M+N)!/(M-1)!]-[n!･0]}/(N+1)
= M/(N+1).

>377
早っ、正解です。
さすがですね。

フフフ…、これはどうですか？

Σ[k=0 to n](-1)^kC[n,k]/(k^3+9k^2+26k+24) = ?

Re:>>379
1/(k^3+9k^2+26k+24)=1/((k+2)(k+3)(k+4))
=1/2/(k+2)-1/(k+3)+1/2/(k+4)

どうにかして1/2/(n+3)/(n+4)を示したい。

がんばれ king！

[>>379]について、
f(n)=Σ[k=0 to n](-1)^kC[n,k]/(k^3+9k^2+26k+24)とする。
f(n)=1/2/(n+3)/(n+4)を証明したい。
n=0のとき、f(n)=1/24=1/2/3/4=1/2/(n+3)/(n+4)である。
n=0,1,…,m-1で、f(n)=1/2/(n+3)/(n+4)が成り立つとする。
f(m)=Σ[k=0 to m](-1)^kC[m,k]/(k^3+9k^2+26k+24)
=Σ[k=1 to m](-1)^kC[m-1,k-1]/(k^3+9k^2+26k+24)
+Σ[k=0 to m-1](-1)^kC[m-1,k]/(k^3+9k^2+26k+24)
=f(m-1)-Σ[k=0 to m-1](-1)^kC[m-1,k]/((k+3)(k+4)(k+5))
なんだかなぁ…。

Σ[k=0 to n](-1)^kC[n,k]/(k^3+9k^2+26k+24)
=Σ[k=0 to n](-1)^kC[n,k](1/(2(k+2)(k+3))-1/(2(k+3)(k+4)))
とかはやる意味あるかなぁ？

(-1)^kC[n,k]/(k^3+9k^2+26k+24)
=(-1)^kn!*(k+1)/(k+4)!/(n-k)!=(-1)^k*(k+1)C[n+4,k+4]/((n+1)(n+2)(n+3)(n+4))
いかがなものか。

後は任せた。

ｶﾞﾝｶﾞﾚ!

>379
フフフ…、これでどうですか？
[380]より f(x)≡ Σ[k=0 to n] (x-1)^(k+4)･Ｃ[n,k]/(k^3+9k^2+26k+24)
= Σ[k=0 to n] (x-1)^(k+4)･Ｃ[n,k]/(k+2)(k+3)(k+4).
3回微分して
f'''(x) = (x-1)Σ[k=0 to n] {(x-1)^k}･Ｃ[n,k] = (x-1)(x^n) = x^(n+1) - x^n.
3回積分して
f(x) = {x^(n+4)-1}/{(n+2)(n+3)(n+4)} - (x-1)/{(n+2)(n+3)} - {(x-1)^2}/{2(n+2)}
- {x^(n+3)-1}/{(n+1)(n+2)(n+3)} + (x-1)/{(n+1)(n+2)} + {(x-1)^2}/{2(n+1)}.

与式 = f(0) = -1/{2(n+4)} + 1/{2(n+3)} = 1/{2(n+3)(n+4)}.

　.／　 nCr ＼　>>380-387
　|:::: 　＼ .／　|　　帰納法や微分、さすがですね。
　|::::: (●　(● |　　　一応、用意してた解答を…。
　ヽ::::... .∀....ノ　
(与式) = {1/(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}Σ[k=0 to n](-1)^kC[n+4,k+4](k+1)

右辺のΣは、次の２式の差だから (n+1)(n+2)/2 なので (与式) = 1/{2(n+3)(n+4)}

Σ[k=0 to n](-1)^kC[n+4,k+4](k+4)
　=(n+4)Σ[k=0 to n](-1)^kC[n+3,k+3]　←（吸収等式を利用した）
　=(n+4){ Σ[k=0 to 2](-1)^kC[n+3,k+3] - Σ[k=0 to n+3](-1)^kC[n+3,k+3] }
　=(n+1)(n+2)(n+4)/2

3Σ[k=0 to n](-1)^kC[n+4,k+4]
　=3{ Σ[k=0 to n+4](-1)^kC[n+4,k+4] - Σ[k=0 to 3](-1)^kC[n+4,k+4] }
　=(n+1)(n+2)(n+3)/2

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ﾎﾞｯｷしますた！
　 人　Y　/
　(　ヽ し
　（＿）＿）

792

シンプソンの公式が成り立つことを確かめてください

>>391
臭せぇ、臭せぇ〜ぞ、おい！
オヤジ臭がプンプンしやがるッ！
シンプルとシンプソンかよ、おめでて〜な！

柳橋、柳昇、柳朝、一朝、鯉昇、昇之進、昇太、小朝、勢朝、鹿の子、･･････

>>392
なるほど、そういうことか。
まったく気がつかなかった。

2003年9月号P.90「エレ解キボンヌ」より
　Σ[n=0 to ∞](n^k)/(n+m)! = ?
分からん、分からんYo！ 教えて下さい

　　　　　　　　　　r〜〜〜〜〜
　　　＿_　　　　_ﾉ 　ζ氏は化け物か？・・・
　 ／__　 ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

>395
m=1のときは↓だったな。

Σ[n=0 to ∞](n^k)/(n+1)! = a_k･ｅ + (-1)^(k-1), a_k∈N

そうでしたね。
模範解答の解３から、
a_k = Σ[r=2 to k]Σ[i=2 to r]{(-1)^(r-i)}{(i-1)^k}/{i!*(r-i)!}
となることとか、a_kの組合せ論的意味も分からなかったYo!
書いてあることを理解するのに精一杯でした…

発掘してきました。
Σ[j=k to [(n-1)/2]] C[j,k]C[n,2j+1] = ?

帰納法？
直接ゴリゴリできないかなぁ？
　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼
　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　|::::: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

>398 同じ形で偶数のやつも。
Σ[j=k to [n/2]] C[j,k]C[n,2j] = ?
　　　　　　　　　　r〜〜〜〜〜
　　　＿_　　　　_ﾉ ﾜｶﾗﾝ､ 結局 俺は三流数ヲタ。
　 ／__　 ｀ヽ_ ⌒ヽ 只のnCr収集家なのか…。
　 |〈___ﾉf レ1　　　ヽ〜〜〜〜〜
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

　　　　　　　　 ＿＿＿
　　　　　　　.／　 nCr ＼　　　師匠降臨まだぁ〜
　　　　　　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　　　　　　|::::: (●　(● |
　　　　　　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　　　　　　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　　　　　　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　　　　　　＼|　　愛媛みかん　|

気体age

>400-401
�納k=0 to m] �納j=k to m]････ = �納j=0 to m] �納k=0 to j]････ を使う。
�納k=0 to [n/2]] (-1)^k･x^(n-2k)･{与式} = �納j=0 to [n/2]] Ｃ[n,2j]･(x^2-1)^j･x^(n-2j)
= (1/2) �納j=0 to [n/2]] {1+(-1)^(2j)}･Ｃ[n,2j]･(x^2-1)^j･x^(n-2j)
= (1/2) �納J=0 to n] {1+(-1)^J}･Ｃ[n,J]･(x^2-1)^(J/2)･x^(n-J)
= (1/2) [ {x+√(x^2-1)}^n + {x-√(x^2-1)}^n ]
≡ Ｔ_n(x). 第１種のチェビシェフ多項式.

Generating function:
Σ[n=0 to ∞) Ｔ_n･ξ^n = (1/2)[1/{1-(x+√(x^2-1))ξ} + 1/{1-(x-√(x^2-1))ξ}]
= (1-xξ)/{(1-xξ)^2-(x^2-1)ξ^2} = (1-xξ)/(1-2xξ+ξ^2).

>398
�納k=0 to [(n-1)/2]] (-1)^k･x^(n-2k-1)･{与式} = �納j=0 to [(n-1)/2]] Ｃ[n,2j+1]･(x^2-1)^j･x^(n-2j-1)
= (1/2) �納j=0 to [(n-1)/2]] {1+(-1)^(2j)}･Ｃ[n,2j+1]･(x^2-1)^j･x^(n-2j-1)
= (1/2) �納J=1 to n-1] {1-(-1)^J}･Ｃ[n,J]･(x^2-1)^((J-1)/2)･x^(n-J)
= (1/2) [ {x+√(x^2-1)}^n - {x-√(x^2-1)}^n ]/√(x^2-1)
≡ Ｕ_n(x). 第２種のチェビシェフ多項式。

Generating function:
Σ[n=0 to ∞) Ｕ_{n+1}･ξ^n = (1/2)[1/{1-(x+√(x^2-1))ξ}-1/{1-(x-√(x^2-1))ξ}]/{√(x^2-1)･ξ}
= 1/{(1-xξ)^2-(x^2-1)ξ^2} = 1/(1-2xξ+ξ^2).

直接ゴリゴリしますた。要約すると、
多項式T_n(x) の x^(n-2k)の係数×(-1)^k が [400]
多項式U_n(x) の x^(n-2k-1)の係数×(-1)^k が [398]
ということでつ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 ⌒
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⌒　　）　　（　　）　人　ヽ
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 （⌒　　　　（　 `ー'　　　）　）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　...（　人｜　|　|| |　|`ｰ'　ノ
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理解するのは、これからですが… ＿ﾄ￣｜○

>>398-405
出典は 数セミ2001年2月号 PP.98-103
３通りの解法が載ってるけどサッパリ分からんちん。
１つ目の解法の前にちょこっと書いてある、398と400を同時に扱うというのも…。

>407
同時に扱いますた。
Ｔ_n ± Ｕ_n･√(x^2-1) = {x±√(x^2-1)}^n

真実そうで真実でないもの、真実でなさそうで真実なものの例を探しています。
たとえば、うさぎと亀のレースで、うさぎが一生亀に追いつけないって話です。
うさぎが亀がいたA地点についた時には、亀も同時に動いてるわけですからB地点に
つくとします。うさぎがB地点についた時には亀もちょっとは進んでC地点につく。
説明悪くてすみません。わかってくれる人いると思います。
これ以外で例ないですか？ぜひ教えてください。２つのパターンで。

凸領域 A の内部に凸領域 B が有る。この時、
A の周長 ＞ B の周長

面白い問題おしえてーな８問目　スレで盛り上がってます。


「左」を数学的に定義せよ。

さくらスレ147で苦戦してまつ．．．

a,bが互いに素な自然数で、
(a^2 +b^2)/(ab+1) ≦ c < (a^2 +b^2)/ab
を満たす整数cが存在するならば c=(a^2 +b^2 -1)/ab を示したいんですけど

という問題でつ。よろしくお願いしまつ。

c=[(a^2 +b^2 -1)/ab] となるので、[　]内が整数になれば十分。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1089552815/533,560,928,935

434

面接官 「特技は問題収集とありますが？」
数ヲタ 「はい。いろんなところから集めてきます」
面接官 「で、それが当社で働く上で何の役に立ちますか？」
数ヲタ 「問題を考えながら (´д｀；)ﾊｧﾊｧとかできます」
面接官 「ふざけないでください。だいたい(´д｀；)ﾊｧﾊｧされても…」
数ヲタ 「あれあれ、怒らせてもいいんですか？ 問題出しちゃいますよ？」
面接官 「いいですよ。出してください、問題とやらを。それで満足したら帰って下さい」
数ヲタ 「前置きが長かったな…。

非負整数 n に対して、次式の値を求めよ。
Σ[k=0 to ∞] Σ[j=0 to k] C[2k,k] C[2k+1,k+1+j] (-1)^j (2j+1)^(2n+1) / {(2k+1) 16^k}

>414
「それは δ(n,0) ぢゃないか？」
.　　　↑ クロネッカーのデルタ記号

>415
数ヲタ 「…。残念だったな。解答を持っていない。」
　　　　　　　　　　r〜〜〜〜〜
　　　＿_　　　　_ﾉ すまぬ・・・
　 ／__　 ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

>416
「k>n ⇒ Σ[j=0 to k] C[2k+1,k+1+j] (-1)^j (2j+1)^(2n+1) = 0.
なので、結局 Σ[k=0 to n] ･･･ では？」

[153]落ち武者 04/07/25 23:58 *GuyOcl4RyNJ*2RwJTDpJ8Pt
【問題。】
　４で割ると３余る素数が無限個存在することを示せ。

シンプルな問題を出すスレ
http://math.ten.thebbs.jp/1085582151/153,157

>>418

明らか

>>418
まず、素数は無限個あることを証明する。
素数が有限個だと仮定する。この素数を p_1, p_2, ・・・, p_n とする。
p_1*p_2*・・・*p_n + 1 は p_1, p_2, ・・・, p_n で割り切れないので、素数である。
これは、素数が有限個であるという仮定に反する。
よって、素数は無限個存在する。・・・（１）

次に、４で割ると３余る素数が無限個であることを証明する。
４で割ると３余る素数が有限個であると仮定する。
このとき、４で割ると３余る最大の素数を p_n とし、それ以下の素数を p_1, p_2, ・・・, p_(n-1) とする。
このとき、
　p_1*p_2*・・・*p_n ≡ 2 (mod 4) （∵２の倍数であって４の倍数でない）
なので、
　p_1*p_2*・・・*p_n + 1 ≡ 3 (mod 4)
この式の左辺は素数であり、かつ４で割り切れる。
これは、４で割ると３余る素数が有限個であるという仮定に反する。
したがって、素数は無限個存在する。（Q.E.D.）

>>420
　p_1*p_2*・・・*p_n + 1 ≡ 3 (mod 4)
この式の左辺は素数であり

なんで素数？

p_1, p_2, ・・・, p_n は p_n 以下の全ての素数であるとする。
p_1*p_2*・・・*p_n + 1 が合成数だと仮定する。
素因数 q は
　1 < q < p_1*p_2*・・・*p_n + 1 ⇔ 1 < q ≦ p_1*p_2*・・・*p_n
を満たす。
このとき、q は p_1, p_2, ・・・, p_n のうちのいずれかである。

・・・とは言えないんですよね。逝ってきます。

算術級数定理の特殊な場合だからgcd(3,4)=1をどこかで使うはず

と言ってみる（だけ）．

http://mathworld.wolfram.com/ChoquetTheory.html
証明はこれだね

>421
　p_1*p_2*・・・*p_n + 1 ≡ 3 (mod 4)
4で割って3余る奇素数および p_1=2 に関して、この式の左辺は素であり、

→ 4で割って1余る奇素数たちの積である

２問ほど拾ってきました。答えはありませんでした。
そろそろ解けるだけの力はついたかなと やってみましたが…

(1) Σ[k=0 to n] C[2n-k,k](-1)^k = ?
(2) Σ[k=0 to [n/3]] C[n,3k] = ?

　 ,､|,､　
　(f⌒i　 あいかわらず
　 U j.|　解けない自分に
　　UJ　　終止符を打つ。
　　 ：　　
　 ‐＝‐

>426
(1) n=3m のとき 1, n=3m+1 のとき 0, n=3m+2 のとき -1.

>426
(1) S_m≡Σ[k=0 to n]Ｃ[m-k,k](-1)^k の特性函数は 1/(1-x+x^2)　∴ S_m はフィボナッチ列.

>476
(1) Σ[k=0 to [m/2]] Ｃ[m-k,k](-1)^k = （2/√3)cos[(m-1/2)π/3] ∈ Z.
(2) Σ[k=0 to [n/3]] Ｃ[n,3k] = (2^n +r)/3, r≡2cos(nπ/3) ∈Z.

http://kazumi.jdyn.cc/cgi-bin3/stored/up0662.pdf
とりあえず、図はかけたのですが、それからサパーリです。
よろしくおねがいします。

>>430
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1091541529/479
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1091520993/151
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1090394976/749
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/678
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/390

>427
ω=(-1+√3)/2, ω~=(-1-√3)/2 とおく。
(1) S_m = �納k=0 to [m/2]] Ｃ[m-k,k](-1)^k = i{-(-ω)^n + (-ω~)^n}/(√3).
特性函数 = i{-ω/(1+ωx) + ω~/(1+ω~x)}/(√3) = 1/(1-x+x^2).

(2) Σ[k=0 to [n/3]] Ｃ[n,3k] = {2^n + (-ω)^n + (-ω~)^n}/3.
特性函数 = {1/(1-2x) + 1/(1+ωx) + 1/(1+ω~x)}/3 = {1/(1-2x) + (2-x)/(1-x+x^2)}/3.

[432]の訂正、すまそ。
　ω=(-1+i√3)/2, ω~=(-1-i√3)/2 とおく。(1の3乗根)
　(1) Ｓ_m = ････ = i{(-ω)^(n+1)−(-ω~)^(n+1)}/(√3).

複素数を使うのは邪道か．．．

�dクス。
とりあえず、そのレスを理解します

S_n=Σ[k=0 to [n/3]] Ｃ[n,3k]に対し
C[n,k]=C[n-1,k]+C[n-1,k-1]を2回適用すると
S_n-S_(n-1)+S_(n-2)=2^(n-2)　という漸化式が導ける。

>435
Ｃ[n,3k] = Ｃ[n-1,3k] + Ｃ[n-1,3k-1] = Ｃ[n-1,3k] + Ｃ[n-2,3k-1] + Ｃ[n-2,3k-2]
= Ｃ[n-1,3k] - Ｃ[n-2,3k] +{Ｃ[n-2,3k] + Ｃ[n-1,3k-1] + Ｃ[n-2,3k-2]},
Σ[k=0 to [(n-2)/3]]{Ｃ[n-2,3k] + Ｃ[n-2,3k-1] + Ｃ[n-2,3k-2]} = Σ[m=0 to n-2]Ｃ[n-2,m] = (1+1)^(n-2) = 2^(n-2).
ぬるぽ

皆様�dクス。印刷して今夜読みます。

お礼代わりに拾ってきた問題を。極限の問題です。
lim[n→∞] e^(-n)Σ[k=0 to n](n^k)/(k!)
　　 ＿＿＿
　.／　 nCr ＼
　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　|::::: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

>437
1/2 + 0.026587/√n + O(n) → 1/2 (n→∞).
ぬるぽ

>>438
意味不明

>437の解き方を教えて下さい。
　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪
　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪
　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/"
　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､
　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、
　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ

>440
kがポアソン分布（平均n）に従うとき、0≦k≦nである確率を考えれ。。。

あげ

348

>>1
素数を一般式f(k)（ただしk=1,2,･･･n)で示せ。
当然のことながら、f(1)=2，f(2)=3，f(3)=5，･･･が成り立たなければならない。

クズばかり…

>445
漸化式ならあるが(Gandhi,1971)。
f(k) = [ 1 - Ln{-1/2 +Σ[dはf(1)f(2)･･･f(k-1)のすべての約数を亘る] μ(d)/(2^d -1) } /Ln(2)]
μ(d)：メビウス函数
　μ(1)=1, μ(n)=-1(nが各素数を高々1回含むとき), μ(n)=0(nがある素数を2回以上含むとき)
別証： Vanden Eynden(1972), Golumb(1974)

吾郷孝視：「素数の世界 -その探索と発見-」 共立出版 (1995.1)
　第３章　素数を定義する函数は存在するか

　μ(1)=1, μ(n)=(-1)^r (nがr個の相異なる素数の積のとき)

どんな自然数も
(1)偶数なら2で割る
(2)奇数なら3倍して1を加える
という操作を繰り返すといつか1になる

>449
スレ違い

コラッツ予想
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072595845/

>449

56 ：１３２人目の素数さん ：04/01/11 07:57
http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html
よめ

かぶってたか　orz
でもスレ違いではないんでない？
だってシンプルだし難しいもん

397

頂点x1〜xdがいずれもZ^mに属するような凸多面体がある。
多面体の境界と内部の点を含めた集合をPとする。
f(n)=#{x∈P|nx∈Z^m}はnの多項式となる事を証明せよ、って問題。

>>447
ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑで計算してみたら、確かに素数が出力されました。
但し、桁数の制限の関係で、正常に出力されたのは f(16)=53 まででした。
その漸化式で桁数の大きな素数を求めるのは困難ですね。
ただ、数学的には非常に面白い式だと思います。

>>454
P∈Z^m ですか？

349

>>455
例えばx1=(0,0) x2=(1,0) x3=(0,1)だったら
P={(x,y)∈R^2|0≦x, 0≦y, x+y≦1}でf(n)=(n+1)(n+2)/2という風に考えて下され。

592

>445,455
f(n) = 1 + Σ(m=1,2^n) ［{n/(1＋π_m)}^(1/n)］
π_m = #{p|pは素数, p≦m} はm以下の素数の個数。［　］はガウス括弧。(Willans)

π_m = Σ(j=2,m) F(j)
ただし、F(j)=1 (jが素数のとき), F(j)=0 (それ以外のとき)。　たとえば、
F(j) = ［{(j-1)!+1}/j −［{(j-1)!}/j］］　(Minac)
F(j) = ［cos{(((j-1)!+1)/j)π}^2］　(Willans)
F(j) = {sin(({(j-1)!}^2)/j)π}^2／{sin(π/j)}^2

漸化式 f(n) = 1 + p + Σ(k=1,p) F(p+1)･･･F(p+k)
ここに、p=f(n-1)

吾郷孝視：「素数の世界 -その探索と発見-」 共立出版 (1995.1)
　第３章　素数を定義する函数は存在するか

訂正、すまそ。

漸化式 f(n) = 1 + p + Σ(k=1,p) F(p+1)~ ･･･ F(p+k)~
ここに、p=f(n-1), F(j)~ =1-F(j)

794

おい、スレタイ嫁
「シンプル」で難しい問題だぞ
その限りなく意味不明なプーパラな文字の羅列は
数学版にいってやれ

ここ数学版でした、ごめんなさい、勘違いです

Σ[k=0 to n]C[2k,k]・C[2(n-k),n-k]=?

>>465
4^n?

>>465
Yes。「？」はなんだよｗ

記憶に自信なかったから。(1-4t)^(-1/2)=�納k=0,∞]C[2k,k]t^kを使ってやるんだったかな？

　　　　□□
　　　×８□
--------
□□□
　　　□□
----------
□□□□

答えは１通り

　　□□
　×８□
--------
　□□□
　□□
--------
□□□□

>>467
そう。
負の2項展開を使わない証明ってできないのかな、やっぱり。

　　　□□□
　　　□□□
----------
　　　□□□
　 □□□
□□□
----------
□□□□□

□の中には0-9の数字がそれぞれ2回ずつ入る。最上位の0は不可。
解は一通り。

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>469
　　１２　
　×８９　
--------　
　１０８　
　９６　
--------
１０６８ ＜ぬるぽ　

734

明日までの宿題でわかりません・・・
解き方だけでも良いのでおしえてください。
（a+b+c+d)(x+y+z)を展開した時異なる項はいくつできるか
数学良くわかんない。。。高１です
お願いします。

>>475
このスレは「シンプルで難しい問題」を出すスレだ。
簡単すぎる問題出してんじゃねぇよｳﾞｫｹ。

すみません

>477
馬鹿はサッサと氏ね！

>>475
すれ違い。

【sin】高校生のための数学質問スレPart12【cos】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094512312/l50

そちらに書きました４７９さんありがとうございます

>480
荒らすなクズ！
いちいちあげんな、池沼！
サッサとペプシ工場のラインに組み込まれろ！

なんという大人げない態度
いくらキモヲタ童貞引きこもりで、外に出れば高校生から馬鹿にされたような目で見られてるからって・・・

>471
　　１７９
×　２２４
−−−−−
　　７１６
　３５８
３５８
−−−−−
４００９６　＜ ぬるぽ

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（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）

Re:>484 お前に何が分かるというのか？

（参考書）
パウロ・リベンボイム著，吾郷孝視 訳編：「素数の世界 -その探索と発見-」 (2001.10)
　原書名: "The little book of big primes"
　ISBN:432001684X, 第2版, 240p, 21cm(A5), 共立出版, 販売価:\3,990
本書は素数2,3,5,7,11･･･が有しているいろいろな特性を理解するための入門書であると同時に，
素数に関する種々の問題が現在どこまで解決，進展しているかを知る情報源でもある。

990

「ピタゴラス定理の証明方法を１００種類以上挙げよ。」
などは、シンプルで、しかも難しい問題ではないですか。

私は４種類しか知りませんが、照明方法はいくらでもあると聞いています。
ならば、「１００種類を挙げて見よ」と言われて、できる人がいるかもしれません。
実際はいないと思いますが・・・。

「ピタゴラス定理の証明方法を２＾１００種類以上挙げよ。」

ピタゴラス定理の証明なんて予言定理で一発じゃん。
循環論法って突っ込みはなしな。
漏れの予言定理はピタゴラス定理なしで証明してるから。

316

自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明自明

自民と公明か

>>454
答えｷｯｳﾞｫﾝﾇ

ｷﾎﾞｫｯﾝﾇage

>ピタゴラス定理の証明
厨房か消防の頃補助線を引きまくってまじ考えた。
みんなそうしてるんだと思っていたんだが実に
そんな事をするのは漏れくらいだった模様ｗ

定規とコンパスだけで正五角形を描いて頂戴

Re:>497
ある線分の√(5)倍の線分を作り、
そして、(√(5)+1)/2の線分を作り、
三辺の比が1,1,(√(5)+1)/2である三角形を作る。
すると、2π/5の角ができる。

Re:>498 偽者がでたらめを教えるな。

あぼーん

Re:>499 お前何しに来た？
Re:>500 お前何考えてんだよ？

835

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　◆　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。

複素数列a_{n+1} = a_{n} + 1/2
について、初項をいろいろとかえてその挙動を調べよ。

Re:>504 お前の目的は何だ？

a_{n}^2のような気がする。

だったらフラクタルじゃないか
（離散力学系）

>506-507

　漸化式 z_{n+1} = (z_n)^2 +ｃ および初期値z_0=0 で定義される複素数列 {z_n}n∈N は
　２つの複素パラメータ(c,z_0)∈Ｃ^2 をもつ。
　{z_n}が n→∞ の極限で無限大に発散しない、という条件を満たす（c,z_0）が作る集合を考える。

　特に z_0=0 の断面を マンデルブロ集合（Mandelbrot Set）、ｃ=一定の断面をジュリア集合
　 (Julia Set) というらしいYo.
　ｃ∈MS ⇔ JS(c)が連結

フラクタル
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069943371/

むず

ちょっと理論を勉強すればそれほど難しくは無い

305

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　￣￣

>>512
馬鹿だなもう。
見てらんない

487

で？

?

351

352

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
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　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
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　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

一回投稿してacceptされる確率は1/100

１＋１＝２
とやらを知りたいんですが、雑学王さん教えて！

１の定義
２の定義
足し算の定義より自明

>>522
二回連続は 1/10000

単位正方形 [0, 1]×[0, 1] の稠密部分集合で、
任意の直線との交わりが高々２点からなる物が存在する。

すげぇ儲かる！！！！
http://miho1112111.fc2web.com/mail.htm

>>527
すげぇ損する！！！！

この前第２回東大プレで
「ピタゴラス三角形が無限に存在することを証明せよ。」
って問題が出てたぞ。

一つあれば n 倍してイクラでも出来る。

実ユピタフ空間上において、任意の歪Hermite変換Ａについて
eup{Ａ}=0を示せ

定義より明らか

イラクでも出来る

∫_[0,∞](1/√(x^2+1))*Arctan(1/√(x^2+1))dxを求めよ。お願いします。

インランでも出来る

>534
　(√y)･Arctan(√y) = y -(y^2)/3 +(y^3)/5 -･･･ Σ[k=1,∞) (-1)^(k-1) (y^k)/(2k-1).
　∫_[0,∞) {1/(x^2+1)}^k dx = {(2k-3)!!/(2k-2)!!}(π/2).
ぢゃない？

(arcsin x)^2 をマクローリン展開せよ

いやだ！

アホか?

伊丹公理はking並。NGワードであぼ〜ん決定だな。

>>538
は自分が解けないのをごまかすのは、
イソップのキツネだな。

素数が無限につづく証明

>>542
ユークリッドの素数定理だね。これ初見で解けたら、結構、才能あると思われ。

アホか.

ところでふぇるまー型の素数は無限にあるのかい？

無限にというか6個目があるかどうかも

奇数の完全数はあるのかい？

>>547
奇数の完全数ならこの前渋谷でみかけたよ。

シンプルで難しい問題教えてくれ

星ばっかり書く馬鹿には絶対わからんシンプルで難しい問題教えてくれ

N≠PN 問題
既出でしたら、堪忍。

n人の子どもがいる。各人は両手を使い他の人と手をつなぐことが出来る。
ここで、以下の操作を、つなげられる手がなくなるまで行う(最終的に輪ができるか1人ぼっちになる）。
どの手とどの手がつながるかはそれぞれの手で等確率である。
☆操作
まだつながっていない異なる２つの手をつなげる(自分で自分の手はつなげない)
(1)n=4のとき、1人ぼっちの子どもが出来る確率を求めよ。
(2)n=5のとき、1人ぼっちの子どもが出来る確率を求めよ。
(*)一般のnのときはどうなるか分かる人がいたら教えてください。

>549-550
（問題）次を示してくださいです。
　a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.

不等式スレッド
　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/705

ζ(4)が無理数か有理数か判定せよ。

{sinx/x}{sin(3x)/(3x)}…{sin(nx)/(nx)} という関数（ただしｎは奇数）と
いう関数を −∞ から ∞ まで積分すると、あるｎまでは正確にπになるが、
あるnから突然、πと微妙に違う値になる。

ζ(4)は計算できるじゃんorz　ζ(5)だよ。。。

問題じゃないけど、ﾍﾞｸﾄﾙのﾃｽﾄでこういう系統の問題は出やすいとかそういうのありますか？

>>556
解ける問題挙げてくれ

>549-550,558
（問題）　次を示してくださいです。
　自然数 m,n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m + {1-(1-x)^m}^n ≧1
　等号成立は m=1, n=1, x=0, x=1 ★

不等式スレッド
　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/563

>559
不等式スレッド で解決の余寒
　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/706

ただし >553 が成り立てば．．．

age

980

263

352

こんな奇問がゼミで出題されて困っています。
漏れは数学専門外なので、どなたかわかる人がいたら
スマートな答えをお願いします。

「近未来のお話。
AさんとBさんは自分の体形がいやでお互いに首から下半分を挿げ替えることにしました。
手術は無事成功。しかし、その後、その体が確かにお互いのものであるか、
第三者のものでないか、疑問がわいてきました。
ではどうやったら確かにこの二人の間で体を交換したことを証明できるでしょう。
ただし、遺伝的に調べるのはなし。完全に一致していることにします。
数学的に証明してください。」という問題

こんなのはだめらしい。
もう一度挿げ替える。×
写真を撮って合成してみる。×
お互いにお互いの体を（ほくろの位置とかで）確かめ合う。×

冬厨の季節だな…

572

>>565
設問自体が無意味でない？
だって、遺伝的に完全に一致しているなら、
クローンか双子などしかありえないでしょ。
でも、そしたら相手と同じ体形なわけで、
「自分の体形が嫌で」っていっても、交換することが無意味ではないの?
ま、手術の様子をビデオにでもとっておいてそれで確認するみたいな、
そういう数学的じゃあない答えしか思い浮かばないなぁ。

　 　, -‐−-､　　ヽ∧∧∧ //　　|
. 　/////_ﾊ ヽ＜ 釣れた！＞　ハ
　 ﾚ//ｊ け ,fjlﾘ　/ ∨∨V ヽ　　h. ﾟl;
　ﾊｲｲﾄ､"ヮノﾊ　　　　　//　　　|::: ｊ　　｡
　 /⌒ヽヾ'ﾘ、　　　　　// 　 　　ヾ､≦ '
.　{ 　　j｀ｰ' ﾊ 　 　 　//　ヽ∧∧∧∧∧∧∨/
　 ｋ〜'ｌ 　　ﾚﾍ. 　 ,r'ス　＜ 初めてなのに　＞
　 |　ヽ ＼　ト､ ヽ-kヾｿ　＜ 釣れちゃった！＞
.　 l　　＼ ｀ｰ‐ゝ-〈/´　　　/ ∨∨∨∨∨∨ヽ
　　l 　 　 `ー-､___ﾉ
　　ﾊ 　 ´￣｀　〈/‐-､

565
数学的にやるのならまず両者の体重をはかり足す。(手術によって出血した血も残してもらう)これで手術後の２人の体重＋出血量がイコールならばできる。(実際はできてない)とりあえずできそうなのまとめてみようぜ。そうすれば解けそう。

∫[0,π/2] (1+cos2t)/(1+(cos2t)^2) dt を求めよ。

>571
　↓のあたりに解答
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1104037200/85-86

問題的には簡単（すぎる）。
直感で答えて全部合ったら結構すごい（らしい）
ついでにこれは○×クイズｗ

９９９１は素数である。
１１１１１・・・・・・と１が３個以上続くもののなかに素数はない。
３２４の２の指数は３
[√１]＋[√２]＋・・・・＋[√１０]＝２０
答えは誰か用意してください（笑
一応２番目の答えのみかいておきます。
（面倒でしょうが矢印をたどってください、
問題見ずに答え見るといやでしょうから。
スタートこれね（笑
　　　　↓　
ここから→↓→↓
↓×←↓→→↑↓
○←↓←↑↓←←
→↓←↑↓→→↓
↑×→→↓←←←
↑←←↑↓↑→○
↓←↑←←↑↑↓
→↑○←←←←↑

　 ｧ　 ∧＿∧　ｧ,､
　,､'` （　´∀｀）　,､'`
　 '`m9　　 ⊂)　　'`

三年四時間。

ここから
↓
○

シンプルな問題を作れたので載せとく。
難しいかと聞かれれば微妙だが。

次の数列の一般項を求めよ。
1,3,20,40,73,125,207,336,540,…

↑勝手に改変させてもらう。

次の数列の一般項をできるだけ多く求めよ。
1,3,20,40,73,125,207,336,540,…

>>578
無数に作れるのだが、何か？

自転車板で「自転車の重さを体重計ではかりたいがうまくいかない」という問いに、
「自転車を持って体重計に乗って、体重を引け」という答えが出るまで相当かかっていた。

正方形を、コンパスを使わずに定規だけで（二点を結ぶ直線だけで）七等分する方法
は？

マルチねす

>565
二人で体を替えた（仮定）⇒もう一度替えると元に戻る（結果）
ただし結果は確実に二人だけで替える。
仮定が真⇒結果は真
仮定が偽⇒結果は真

554

108

正方形を、コンパスを使わずに定規だけで（二点を結ぶ直線だけで）七等分する方法
は？ ->七つ折して定規で線引く

http://oekaki.s56.xrea.com/x/uploader/src/oe0165.jpg
のような板から細長部分を取りたいのですが、
幅を50としたとき、長手方向は最長いくつになりますか？
求め方を教えてください。
念のため細長部分の角は直角です。

無限個の点によって曲線が構成できる理由を示せ
公理と言えるのか？

曲線を定義すれば自明だよ。

>577,578
a_n = 1 + 2(n-1) +(15/2)(n-1)(n-2) -2(n-1)(n-2)(n-3) +(11/12)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
　　-(13/60)(n-1)(n-2)…(n-5) +(7/144)(n-1)(n-2)…(n-6) -(43/5040)(n-1)(n-2)…(n-7)
　　+(11/8064)(n-1)(n-2)…(n-8) + (n-1)(n-2)…(n-9)b_n.
　　b_nは任意

>577,578
　for MS-Excel users only
　= 1 + ($A3-1)*(2 +($A3-2)*((15/2) +($A3-3)*(-2+($A3-4)*((11/12)+($A3-5)*(-(13/60)+($A3-6)*((7/144)+($A3-7)*(-(43/5040)+($A3-8)*(11/8064))))))))

>>578
無数に作れるから、愚問だぞ！

>577,578
周期9をもつとか制限すると、θ=2π/9 に対し
a_n = (1345/9)
　+ 2{72.8819809435937cos(nθ)+46.1385563979066cos(2nθ)+(355/9)cos(3nθ)+36.812795991833cos(4nθ)}
- 2{57.6059958873994sin(nθ)+31.9486719978338sin(2nθ)+15.7809073578498sin(3nθ)+4.6535652428898sin(4nθ)}

for MS-Excel users only:

A列に n, C1 に 2*pi()/9 を入れて、
= (1345/9)
+ 2*(72.8819809435937*COS($C$1*$A3)+46.1385563979066*COS(2*$C$1*$A3)+(355/9)*COS(3*$C$1*$A3)+36.812795991833*COS(4*$C$1*$A3))
- 2*(57.6059958873994*SIN($C$1*$A3)+31.9486719978338*SIN(2*$C$1*$A3)+15.7809073578498*SIN(3*$C$1*$A3)+4.6535652428898*SIN(4*$C$1*$A3))

簡単に書けば
　a_n = 1　 (n mod 9)=1
　a_n = 3　 (n mod 9)=2
　a_n = 20　(n mod 9)=3
　a_n = 40　(n mod 9)=4
　a_n = 73　(n mod 9)=5
　a_n = 125 (n mod 9)=6
　a_n = 207 (n mod 9)=7
　a_n = 336 (n mod 9)=8
　a_n = 540 (n mod 9)=0
だが。

Re:>573 1111111111111111111の素因数分解ってどうやるの？

x^n-1 (nは自然数)
を整数係数の範囲で因数分解するとき係数は +1,-1 に限るか?

>>596
反例：x^105-1
ちなみに、x^n-1 において n が高々2個の素数の積ならば、整数係数の範囲で
因数分解したときの係数は ±1（または0）に限られる。

を、ありがと↑
分解式が知りたい
これについての文献ありますかね?

19桁のレピュニット数は素数。23桁も。それ以降はかなり先まで合成数
昔、17桁の素因数2071723を自力で見つけたときは嬉しかったなあ

漏れは数学シロウトなんですが、自分で偶然つくた
（つくれた）、気になる問題があるんです・・・・
　
　　碁盤の中心を円心とする半径Ｒの正円の内側に　
　　ふくまれる格子点の数をＲをもちいて表せ。　
　
よかったら解いてみて。つか、数学板の人には余裕ですか
似た問題がいっぱいあるとおもうんですが

r(n)

子供が二人並んでいて、一人は男である。
もう一人が女である確率は？
１／２ではない。

>>602
サンプルの採取法が不明なので答えは決まらない。
1/2でもおかしくはない(正しいわけでもないが)。

ｎが奇数のとき正ｎ角形の対角線はどの3本も1点で交わらない。

７００兆円の財政赤字（国債）を消すにはインフレしかない。
しかしインフレの過程で国債の利払いができなくなる。

>>605
そこで革命を起こして日本円あぼーんですよ。

じゃあ、俺が新政府のトップね。つーか幕府にするから、よろしく。

nは自然数とする。このとき、
(n)^2〈 p〈 (n+1)^2
となるような素数pが存在する。

楽そうだけど、解けないみたい。

これが示せるとｾﾞｰﾀ関数がどっかで正則、って言えてｽｹﾞｰ事になるとか聞いた事あるけどしっかりした証明はないらしいよー。

>>608
リーマン仮説と同値な命題じゃなかったけ？

>596

Φ105(X) = X^48 + X^47 + X^46 - X^43 - X^42 - 2*X^41 - X^40 - X^39 + X^36 + X^35 + X^34 + X^33 + X^32 + X^31 - X^28 - X^26 - X^24 - X^22 - X^20 + X^17 + X^16 + X^15 + X^14 + X^13 + X^12 - X^9 - X^8 - 2*X^7 - X^6 - X^5 + X^2 + X + 1

が因数のひとつらしい

ttp://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~yamasaki/a3c.html

数理科学１月号 P56

問題４　平方数間に素数はあるか

中略

なお，この問題とリーマン予想とが同値，あるいは，リーマン予想から導かれる等の
誤解が解説文にもときどき見受けられる．それは，間違いであるので注意されたい．

学校で先生から教えてもらった問題。
意外と難し・・・くないかも。

∫[0,π/2] {sin^n(x)}/{sin^n(x)+cos^n(x)} dx を求めよ。

ちなみにsin^n(x)は(sinx)^nという意味です。悪しからず。

平方数間に素数はあるかー＞なかったら素数は存在しないでしょ(1,n^2)

馬鹿は帰っていいよ。

>>612
バカ正直に解いたあと激しく後悔した。

　　　　　 ___ ___　　　　　　 　 　
　　　 , ´::;;;::::::;;;:ヽ　　　　　　 　 >>612
　 　 i!::::::::::::;ﾊ;::::::ヽ　　　　　　　
　 　 |:::::::ivv'　'vvvﾘ　　　 　 　 瞬殺 π/4 ですか？
　　　|:::(i:| （ l　l　|::|　　　　　　
　　　.|::::l:| 　 ヮ ﾉi:|　　　./〉
　　　|:::::|:l〈＼/i:::|:|,　 ./iｱﾉ
　　　!/^ﾘ;;;;;;;个;;;;ﾘ;;∨::/ﾞ

がっかりさせちゃって、すみません。
>>616正解。

見た目大変だけど計算がシンプルってのはやっぱ駄目？

>>603
男と女が同じ人数（n人）だけいた時に、
先に男を選んでるから、次に女が出てくる確率は
n/(2n-1)ってことが言いたかったんじゃない？

>>618
違うよ。602を603のようにひねくれずに解くと 2/3。

子供２人の組み合わせは、男男、男女、女男、女女の４通り。
少なくとも一人は男であるという条件なので、男男、男女、女男の３通りのどれか。
このうちもう一人が女である確率は 2/3。

603はひねくれてない。至って正論

age

このスレで教えてもらった問題。
意外と難し・・・くないかも。

∫[0,a] f(x)/{f(x)+f(a-x)} dx きぼんぬ。

ちなみに a>0, f(x)≠0 です。海驢らず。

612の一般形？

　　　　　 ___ ___　　　　　　 　 　
　　　 , ´::;;;::::::;;;:ヽ　　　　　　 　 >>622
　 　 i!::::::::::::;ﾊ;::::::ヽ　　　　　　　ミエミエで面白くありません
　 　 |:::::::ivv'　'vvvﾘ　　　 　 　
　　　|:::(i:| （ l　l　|::|　　　　　　シンプルで難しい問題をおねがいします
　　　.|::::l:| 　 ヮ ﾉi:|　　　./〉
　　　|:::::|:l〈＼/i:::|:|,　 ./iｱﾉ
　　　!/^ﾘ;;;;;;;个;;;;ﾘ;;∨::/ﾞ

　漏れは　　　６００　　であります。　
だれも解いてくれないの・・・・！？　
　・・・・易し過ぎ・・・・ですか・・・・！？　

>>625
で、おまいは結果を知っているのか？

>>600
> 漏れは数学シロウトなんですが、自分で偶然つくた
> （つくれた）、気になる問題があるんです・・・・
> 　　碁盤の中心を円心とする半径Ｒの正円の内側に
> 　　ふくまれる格子点の数をＲをもちいて表せ。
> よかったら解いてみて。つか、数学板の人には余裕ですか
> 似た問題がいっぱいあるとおもうんですが


円心とか正円とかって、数学板では普段使わない言葉だと思うんだけど
どこからきたの？

　　６００　・　６２５　　　です。
レスが遅れて申し訳ありません。
　＞６２６　　結果は・・・・しりません　（涙）。
　＞６２７　　どこからきたんでしょう・・・・
　　　
　ちなみに、問題文の　「・・・内側・・・」には
境界上の点も　含みます。
　・・・・漏れ自身は解けません。意外と難しい・・・？
　　　

>>628
結果がシンプルじゃないから却下。
http://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html

>>628
どこの組の者じゃい？

　　６００　・　６２５　・　６２８　　　　です。
　＞６２９　　　・・・・・・　　　すげーーーーー！！！！！
　数学って・・・・・すげーーーーーーーーーー！！！！！！！！！！

>>625
> 　漏れは　　　６００　　であります。

もしかして女？
「漏れ」というのは801女がよく使うと聞いたが・・・
女の体の構造上、漏れやすいからとか

　　６００　・　６３１　　　です。　別のスレで　　
　「マラオ」　といわれたことあります。
女ではありませんが・・・・・「８０１女」　
てなんですか　・・・・・　！？　
　　　　　
６３１　でのレスをみてください・・・・・
　女だったら　「数学すげえ」　なんていわない　
数学のスゴさに感動できるのは　単細胞なイキモノ
　（　＝男　）　。　　　　

>627
追加しますた。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1046692329/210

>>633
要はウザイって言われてるんだよ。

>>635
(ノ∀‘) ｱﾁｬｰ、言っちゃった

n∈自然数とする。
(2^n)+1がnで割り切れるための
必要十分条件を求めよ。

Re:>637 nが3の正整数冪になることが十分条件になることが分かった。(数学的帰納法とオイラーの定理。)

n=1

(2^n)+1=nM

n=354537

>>637 シンプルで難しい問題

アルカンの異性体の個数って公式あるの？

>>638
でも必要条件ではない。自明な例は
n=1のとき。2^1+1は1で割り切れる。
これはまぁつまらないけど、たとえば、
2^171+1＝2993155353253689176481146537402947624255349848014849
は171で割り切れるね。

難しいなぁ。

>>643
そんなものアルカン

>>643
あるよ。

>643,646
http://www2.tokai.or.jp/deepgreen/shortnotes/alkane/
高橋謙一郎さんのＨＰの掲示板でアルカンの構造異性体の数を求める話が話題になりました。

この問題は、グラフ理論の入門書にも記述されていたりして、結構有名な問題のようです。
しかし、一般のｎに対して求める方法は、入門書レベルの本には出ていないようです。
掲記の掲示板では、組合せ論的に解く下記の論文の紹介があり一件落着となりました。

「アルカンの構造異性体の組合せ論的数え上げ」
入谷 寛: J.Chem.Software, Vol.5, No.2 (1999)
http://cssjweb.chem.eng.himeji-tech.ac.jp/jcs/v5n2/indexj.html

異性体カウンター for Windows
http://taylor.gotdns.org/isomer/
結果
http://taylor.gotdns.org/isomer/alkane-list-1-1000.txt

>>637
これって証明できるの？

>>637
答えろよ。

角をコンパスと定規で三等分せよ。

2893476103842456892735092038947601891は素数か？

とか

100件に新聞を配達する時　最短のルートはどれか？とかね

100!通り全て考えなきゃないから

>>649
ttp://f23.aaa.livedoor.jp/~musou/9man/todai-part2.html
ここの362〜

アルカンの「鉄道 op.27」の楽譜を買ってきました。
これから練習するつもりです。

>647
その結果では　nが大きいところで N_n ∝ exp(1.0325n)　ぐらい？

〔シクロアルカン類は除外している。「或る環なしのアルカン」とでもよぶか？〕

難しい。挫折しますた。

Alkan ←→ Alkane

問題文に出てくる数字はシンプルだけど、手計算ではなかなか答えにたどり着かない問題。

10問の○×問題を当てずっぽうで答えるとき、7問以上正解できる確率はいくらか。

ここは宿題書くスレではありません

一人が７つの懸賞問題を全部答えて賞金をかっさらっていく確率を求めなさい。

また、センター試験を当てずっぽうで全教科満点を取れる確率を求めなさい。

>>657
問題は全部で１０問あって一問一問に正解する確率は
それぞれ独立で２分の１。故に７問以上正解できる確率は
７分の３

(,,ﾟДﾟ)

ﾋｿ(´д)(д｀)ﾋｿ

>>661
現代音楽ですか？

瞬獄さｔキャンセルスパイラルアロー

>661
10問正解できる確率が(1/2)＾10
9問正解できる確率が{(1/2)＾10}*10
8問正解できる確率が{(1/2)＾10}*10C2
7問正解できる確率が{(1/2)＾10}*10C3
全部足して確率11/64になったんですが。
普通に考えて確率3/7って43%だし、高すぎだからすぐ気づくでしょ？

┃３　１　１　…　１┃
┃１　３　１　…　１┃
┃１　１　３　…　１┃　（ｎ次）
┃　　　　…　　　　┃
┃１　１　１　…　３┃

↑の行列式の値の求め方。

>667
(1) 第2行目、第3行目、・・・、第(n-1)行目 を 第1行目に加えると n+2.
(2) 第1行目の n+2 を外に出すと 1.
(3) 第2行目、第3行目、・・・、第(n-1)行目 から 第1行目を引く。
(4) 三角行列の行列式は対角要素の積。 → (n+2)2^(n-1).

（続き）
┃ａ　ｂ　ｃ　…　ｚ┃
┃ｚ　ａ　ｂ　…　ｙ┃
┃ｙ　ｚ　ａ　…　ｘ┃　（ｎ次）
┃　　　　…　　　　┃
┃ｂ　ｃ　ｄ　…　ａ┃

巡回行列式の値の求め方。

ωを1のn乗根とする。 ω^n=1, ω≠1.
(1) 第2行目×ω、第3行目×ω^2、・・・、第n行目×ω^(n-1) を 第1行目に加えると、
　　{ａ + ｂω^(-1) + ｃω^(-2) + …… + ｙω^2 + ｚω}ω^(j-1). jは列番号。
(2) ∴ ａ + ｂω^(-1) + ｃω^(-2) + …… + ｙω^2 + ｚω は因数。
(3) 同様にして ａ + ｂω^k + ｃω^(2k) + …… + ｙω^(-2k) + ｚω^(-k) も因数。
　　 （k=0,1,…,n-1)
(4) ａ^n の係数は１.

∴ 与式 = Π[k=0,n-1] {ａ + ｂω^k + ｃω^(2k) + …… + ｙω^(-2k) + ｚω^(-k) }

age

548

アルティン環はどうして生まれたか述べよ。

京大の入試問題。
難しい問題ではないが、単純でなかなか面白いよ。

先頭車両から順に 1 から n までの番号のついた n 両編成の列車がある。
ただし n≧2 とする。
各車両を赤色、青色、黄色のいずれか一色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。

>>673
これ、河合も駿台も答間違ってんだよな

>>672
教えてください！

無限にあるんじゃないの？何両か決まって無いんだから。

Pn：最後がRの塗りわけ数
Sn：最後がRでない塗りわけ数
Pn+1=Pn*1+Sn*1
Sn+1=Pn*2
P2=2
S2=2
P9=P8+S8=P7+2P7=P6+S6+4P6=5P5+5S5+2P5=7P4+7S4+10P4=17P3+17S3+14P3
=31P2+31S2+34P2=65P2+31S2=130+62=192
S9=2P8=2P7+2S7=2P6+2S6+4P6=6P5+6S5+12S5=18P4+18S4+12P4=22P3+22S3+36P3
=58P2+58S2+44P2=102P2+58S2=204+116=320
192+320=512?

P9=P8+S8=P7+S7+2P7=3P6+3S6+2P6=5P5+5S5+6P5=11P4+11S4+10P4
=21P3+21S3+22P3=43P2+43S2+42P2=85P2+43S2=170+86=256
256+320=576?

>>676
だから車両が n 車両のときって書いてあるでしょ。

この問題って漸化式を立てるまでが難しいよね。

コンビナトリクスでは漸化式でとくか生成関数を考えるのが常套手段です。
高校生は知りません。遊ばれているんだよ。大学の大人に。

モンテカルロで解いたら大学院に入れてやるよ。

ところで素数生成式をロシアだかの数学者がみっけたとかいう噂をだいぶん前に聞いたんだけど本当なのかね。
17次の式だとか言ってたが...

>>683
ttp://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html
これのことかな？

高校の時解いた奴。
受験生居たらやってみそ。

△ABCについてtanA,tanB,tanCが整数のときそれらを求めよ。

内積ベクトル空間の任意のベクトルaに対してa0=0になることを証明せよ。

は？

>>685
解答キボンヌ！

685の問題はそれぞれa,b,cとおいてa+b+c=abcを解くんだべ？
どれか一つは1になる（角度が60度以下だから）事を利用して後はしこしこ。

a≦b≦cとおいてみる。
3a≦a+b+c=180°より
0°≦a≦60°
tanxのグラフは0°から90°で単調だから
tan0°≦tana≦tan60°
→0≦tana≦√3=1.73..
tanaは整数だから1で、このときa=45°
めんどいからtanb=B、tanc=Cとおいてみると
加法定理使って
tan(b+c)=(B+C)/(1-BC)=tan135°=-1
→B+C=-(1-BC)
→BC-B-C-1=0
→(B-1)(C-1)=2
B,Cが整数ならB-1、C-1も整数だから
{(B-1)、(C-1)}=(1,2)(2,1)(-1,-2)(-2,-1)のどれか
→(B,C)=(2,3)(3,2)(0,-1)(-1,0)
0だと0°で駄目。
よって求める組み合わせは1,2,3。

ＯＫ？

シンプルでめんどくさい問題

光の速さは秒速３０万ｋｍです。
太陽から地球まで光の速さで８分１５秒かかります。
１年は３６５．２４日とします。
地球は太陽の周りを秒速何ｋｍで公転しているでしょう。（小数点以下四捨五入）

>>238似たような経験で……
昨年、自分が高一で体育水泳の時、前を横切ったクラスの女子の胸が激しく上下運動していたんだよ
それを見て不覚にも勃起してしまい、何とか押さえようとしたのだが、その動きが対岸に居る女子達に状況を伝える様なものであって……
それ以来女子から一度も話しかけられません

すみません、誤爆しました。すみません、すみません。

「前を泳ぐ女子学生の胸が激しく上下運動していた」

シンプルでエロい文章ですな

現実的な話どうやったらここに誤爆するのか？

（４・２＾ｎ−（−１）＾ｎ）／３。

平方数であり三角数であるような数に関し法則性を見つけよ

>>694
そのときの単振動の方程式を求めよ

>>669
> ところで素数生成式をロシアだかの数学者がみっけたとかいう噂をだいぶん前に聞いたんだけど本当なのかね。
> 17次の式だとか言ってたが...

マチャーセビッチがヒルベルトの第１０問題の副産物として発見した、正の値がすべての素数の集合となる
多変数の高次多項式のことかな。17次だったかは知らんが、かなり改良されたと聞く。

かなり改良されたって変数の数が少なくなったって事を指してるの？
だったらその代わりに多項式の最高次数がエラい事になってるからあんまり改良とは言えないような…

ABCDに正の整数を入れて,等式を成立させて下さい

(A÷B)の3乗＋(C÷D)の3乗＝17

Σx^pn,pnはn番目の素数はどんな式になるのかな？

f=Σx^pn
fn=Σx^pn(1->n)
Pn=dfn/dx(1)-dfn-1/dx(1)
fn->f

f'(1)=ΣPn

359

問１
元素周期表において、原子量をその元素の元素番号の関数として表せ。
（近似式でよい）

問２
元素周期表において、質量数をその元素の元素番号の関数として表せ。
（近似式でよい）


（どちらか片方だけでもいいです）

周期表上の原子量を統計的に見て規則性を見出すことは可能なのか・・・？
（勿論少なくとも問２なら論理的思考によって関数を導く事も可能であるだろうけど）
｛原子量は同位体の存在比の関数となり、その同位体の存在比は確率的に決まったものであるため、
観測データがなければ論理的思考のみでは問１の関数を作ることは難しいため。｝

1＋1＝2となることの証明

とかいうのなかったっけ?

古谷哲夫は何故結婚できないのか？

http://profiles%2eyahoo.co%2ejp/tetsuya%319630714_osaka

>>708
やはりテッド自身に問題があるんじゃね？

三辺がそれぞれ等しい二つの三角形は合同であることを示せ。

>>710
中学の数学では合同条件は証明無しだね。
で、結局証明は知らず仕舞。

まだ早いが
次スレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1119795447/

M(n)およびD(n)をそれぞれ、nxn行列の積、nxn行列の行列式を計算
するのに要する時間とする。このとき行列式の計算が行列積を計算
することよりも難しくないこと、すなわちD(n)=O(M(n))を示せ。

nijnjk=e(ijkl)nijnkl

nijnjk=e(ij...kl)nij...nkl

物理のテキストでいきなり出てくるバリエーショナルの式

２乗するとｉ（複素数）になる数を求めなさい。
ただし、√ｉ（ルートアイ）は不可。難しいですよね。

>>717
極刑式使え

>>717
i^1/2

720 = 6　!

>>717
　±(1+i)/√2.

やっぱ，４，２，１，４，２，１……ではないかな

格子点x=(x1,x2,...,xn)に対してL(x)=(-1)^�培xi|と定義する。
�農{x≠0かつxはR^nの格子点}　L(x)/|x|　はいくつ？

>723
　‖x‖=√{Σ|x_i|^2} なら、n次元マーデルング数M_n *(-1)

　M_1 = 1.38629436111989061882… = 2Ln(2).　　(メルカトル級数)
　M_2 = 1.6155…
　M_3 = 1.747565…　　(NaCl型)
　おそらく単調増加?

>706 問2

原子核の結合エネルギーは半経験的に
　E(Z,A) = a1･A -a2･A^(2/3) -a3･Z^2 /A^(1/3) -(a_4/A)･(Z-A/2)^2 ±f.
と近似される。ここに Z:原子番号, A:質量数, A-Z:中性子数.

Ａが与えられたとき、β-安定核は(∂E/∂Z) ≒0 によりほぼ決まる。
　(∂E/∂Z) = -2･a3･Z /A^(1/3) - a_4･(2Z/A -1) = 0.
　∴ Z ≒ (A/2)/{1 + (a3/a4)A^(2/3)} 　　　「ハイゼンベルクの谷」
　これを逆に解くと　A ≒ 2Z{1+(a3/a4)(2Z)^(2/3)+…}
Ａ偶数のとき2〜3個、Ａ奇数のとき1個、が多い　（←パリティ項fのしわざ）

ヴァイツゼッカー・ベーテの半経験的質量公式
http://scienceworld.wolfram.com/physics/WeizsaeckersSemi-EmpiricalMassFormula.html

>692-693
gif

http://www.sweetnote.com/images/4e5191adada51493e8e9241c9869b290.gif
150 x 163 407KB (gif)

http://www.sweetnote.com/images/081f3d72137bb541ba338203c08cc9dd.gif
160 x 120 260KB (gif)

http://www.sweetnote.com/images/12e3d7744487d634d239565cc0899af1.gif
190 x 145 225KB (gif)

>>725
おおっ！！
もう既に半経験的質量公式ってのが作られてたのか。

∫[0,∞]exp(-a*x^3)dxって解けるんでしょうか。

aは実正定数でお願いします。

>728-729
　a*x^3=t とおくと、
　与式 = c∫[0,∞) t^(-2/3)exp(-t)dt = cΓ(1/3) = 2.67893853490c,
　ただし c=1/[3a^(1/3)].

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/

>>673>>674
{2^(n+2)+(-1)^(n-1)}/3になった。
でも駿台と河合と解答同じ...orz
何が間違ってるの？

Ln=3LRn-1+LNRn-1
Ln=LRn+LNRn
LRn=Ln-1
LNRn=2LRn-1

半径rの球に内接する四面体の表面積の最大値と最小値をもとめよ。

定規を使わずに正三角形を書け

>>729
では質問を変えると、不定積分∫exp(-a*x^3)dxは存在するんでしょうか。

>>739
正三角形もってきて写したら良い

数学板住人のシンプルってどんなんなんだ？難しくてついていけん
とりあえずシンプルな問題つくってみたよ

問題
短針、長針、秒針が常に動き続けるアナログ時計があります
12時から12時30分の間でこの３つの針がそれぞれ等間隔（120度ずつ）に配置されるときの時刻を求めよ
（答えは秒単位のみ小数点以下四捨五入）

まぁ作っては見たが自分では解けなかったりする
でも数板住人なら･･･数板住人ならきっとなんとかしてくれる

>>737
自分で作ったんじゃないだろ？ 分かってるよ ﾆﾔﾆﾔ…

誰も挑戦する兆しすらない＿|￣|○
てかどうやらこの問題答え出なさそうなことに気付いた
長針と短針が120度になった時点で秒まで決まっちゃうんだね
で、改変

問題
短針、長針、秒針が常に動き続けるアナログ時計があります
一日の間でこの３つの針がそれぞれ等間隔（120度ずつ）に配置されるときの時刻を求めよ
（答えは秒単位のみ小数点以下四捨五入）
あるいはこの３つの針がそれぞれ等間隔（120度ずつ）になることはないということを証明せよ

一日の間なら長針と短針が120度になる機会が24回あるから
もしかしたら全部等間隔になる時刻出てくるかもしれん

>>738
こういう問題既出？

>>739
短針、長針、秒針の初期値と回転速度はどれだけ？

面積体積は物理と数学どちらか

>>741
アホ

>>736
そういう柔軟な思考をもってる香具師は有利だ。

∫(kx^2) dx

∫(kx^3) dx

∫{kx^(-2)} dx

などはすぐ求まるのだが

∫{kx^(-1)} dx
すなわち
∫(k/x) dx
はどうだろうか？
（此処の人たちには簡単過ぎか・・・）

kは任意の定数

>>744は釣りですか

釣りじゃないって！！

意図がわからん。
真性か？
やっぱ、夏なのか？

宿題でしょ

DXっていうと積分デラックス

次の級数は幾つになるか求めよ
�這這這煤c……あ、�狽ﾌ中に何入れるか忘れた

>>744
宿題の質問の仕方から教えてやらないと分からんのか？
馬鹿だな。
日常生活にも不自由してそうだな、こいつ…

普通にklog|x|+Cだろ



俺が思うに憶測でわざわざ反感をかうような言い方する君はそれ以上の
・・・だと思う。君は恐らく次に述べるような結果を予想出来無かったのだろう。

君が俺を不快にする⇒俺が君に反論する⇒君が不快になる

俺は君の価値観を完全には理解できないが、ある程度の推測をする事は可能だ。
統計的に人間は自分が不快になることを目的として行動することは少ない。
（その他の目的の為に副次的に不快になることは在り得るが。）

従って君はこんなにも単純な論理的思考も行うことが出来ないまま掲示板に書き込んだと
考えられる。
俺が考えるに君はこの様な問題提起すら行えなかったのだろう・・・。
与えられた問題を解けることは必要だが君にはもう少し、どの様な問題提起をするのか
ということを考える能力を意識的に学習する事を勧告する。
恐らくこのことは君の日常生活の人間関係に於いて深く関わっているのだろう・・・。

>>747 >>753

短針の角速度をωrad/s、長針の角速度を６０ωrad/s、秒針の角速度を３６００ωrad/sとする。
初期値１２時００分を基準の０radとし、時計回りの方向を正とする。
此処で条件を満たすような短針と長針とのなす角は２π/３radなので開始時からの経過時刻ｔ（ｓ）の
条件は３の倍数でない整数ｎを用いて
　　　６０ωｔ−ωｔ＝２πｎ/３
とかける　すなわち
　　　ｔ＝２πｎ/（３*５９*ω）
同様に、長針と秒針のなす角の条件から３の倍数でない整数ｍを用いて
　　　ｔ＝２πｍ/（３*５９*６０*ω）
同じく短針と秒針の条件から３の倍数でない整数ｌを用いて
　　　ｔ＝２πｌ/（３*３５９９*ω）
とかける
条件を満たすには
　　　２πｎ/（３*５９*ω）＝２πｍ/（３*５９*６０*ω）＝２πｌ/（３*３５９９*ω）
でなければならないが、この等式を簡単にすると
　　　３５９９*６０*ｎ＝３５９９ｍ＝６０*５９ｌ
となり、ｎが整数であると仮定すると、
　　　ｍ＝６０ｎであるため、ｍが３の倍数でないことに矛盾する。
従って、この等式を満たすような、３の倍数でない整数ｌ,ｍ,ｎは存在しない。

以上より、短針、長針、秒針が、厳密に等間隔になることはない。
証明終わり。

>733 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/25(月) 21:22:37
>半径rの球に内接する四面体の表面積の最大値と最小値をもとめよ。

最大値：{(８√３)/３}r^2
最小値は０以外の値をとりながら限りなく０に近づく事が
できるので存在しない。（４つの頂点が同一直線状に限りなく近づくとき）

誰かこの問題を解いてください。
簡単だと思いますが・・・
問題：乗法の公式や因数分解を利用して、次の計算をしなさい。
問題1:36の2乗−34の2乗

36の2乗−34の2乗 = (36+34)*(36-34) = 140 では。

>>757
そもそもこのスレはシンプルな割に
この板の住人では誰も解けないような問題を出すスレだ。

なのに誰かに答えて貰わなきゃ困るような
前提の問題を出してどうするアホ。

△ABCの角B、Cの二等分線が対辺と交わる点をそれぞれD、Eとする。
このとき、BD=CEならばAB=ACとなることを示せ。

一見して中学生の演習問題かと思える内容のくせに、
極端に難しい。お試しあれ。

ちなみに、逆命題はまさに中学生の演習問題レベル。

>>760
模範解答まだぁ〜！！ ﾁﾝﾁﾝ・・・

>>746
Lehmes-Steinerかな？

>>760
降参です。教えてください！

自然数 n を、１個以上の自然数の和で表すことを n の分割とよぼう。
ただし、加える数の順序も区別して考える。 ４の分割は次の８通り。
　1+1+1+1、1+1+2、1+2+1、2+1+1、1+3、2+2、3+1、4
これらすべての分割に現れる２の個数は全部で５個、３の個数は１個。

n≧5 に対し、n の分割を考える。 この分割すべてに現れる２の個数、
３の個数はそれぞれいくらか？

　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |
　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜>760、>764のエレガントな解答まだぁ？＞
　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿|
　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨
　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪
　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧　　　　　☆
　　　　　　♪ 　　／　〃（･∀･ #）　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ
　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ
　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコ ノ　　||
　　　　　　　　　||　ΣΣ 　.|:::|∪〓 　||　　　♪
　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼

ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ ☆＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄ从☆`ヾ/゛／'　　"＼' /". ☆　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=　＜ うぉぉぉぉー、 まだぁ〜〜！！
ｽｯﾄｺﾄﾞｯｺｲｽｺｺｺ'=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡　.|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿＿＿|
ﾄﾞｯｺｲｼｮﾄﾞｽﾄﾞｽﾄﾞｽ=!|l|》ﾘｎl⌒!Ｉ⌒Ｉ⌒I⌒Iﾂ从=≡|l≫,ﾞ　　 ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ《l|!|!l!'~'⌒^⌒(⌒)⌒^~~~ヾ!|l!|l;"ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞl|l|（（　(〇)　））（（　(〇)　））|l|》;ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞ`へヾ―-―　　　 ―-―　.へヾｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
　　　　　　　　　　　　　　／|＼人 ＿.ノ _||_.　／|＼

１をどこかに足すと２になるかってことだろ、コンビ屋にゆけ。

　　　　　　　　　＝≡＝
　　　　　　　 　　／
　　　　　　　　〆 　　　　　　　　　. .∈≡∋
　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコノ　　 ||
　　　　　　　　　||　.｜　　　|:::|　..〓　 .||
　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼

　　　　　　 ∧∧l||l
　　　　 　 /⌒ヽ)･　数ヲタなら軽く解けるに違いない･･･
　　 　 〜（＿__）　　　もそう思っていた時期が私にもありました。

+ +
+ ∧＿∧ ﾜｸﾃｶ +
(0゜・∀・) +
(0゜∪ ∪ +
と＿_) __)

>>767
もっと詳しく！

>>760
全くエレガントじゃないが中学生レベルの知識でできるぞ

BC=a,CA=b,AB=c,BD=CE=xとおく。
BDとCEの交点をPとする。
“三角形の一つの内角の二等分線は対辺を残りの2辺の比に内分する”ので
CP=ax/(a+BE)・・・�@
BP=ax/(a+CD)・・・�A
BE=ab/(c+a)・・・�B
CD=ac/(b+a)・・・�C
�Bを�@に代入して整理すると
CP=x/(a+b+c)
�Cを�Aに代入して整理すると
BP=x/(a+b+c)
よってBP=CP→∠PBC=∠PCB→∠ABC=∠ACB→AB=AC

+ +
+ ∧＿∧+ 　>>772 なるほど！
(0゜・∀・) + 　
(0゜∪ ∪ +　>>760ッ！ 君の解法を聞こうッ！
と＿_) __)

　　　　　　　　　∧＿∧
　　　 　　　 ⊂（´･ω･`)つ-、
　　　　　 ／／/　　 /_/:::::/
　　　　　 |:::|/⊂ヽノ|:::| ／」 　　　じっくりと神の出現を待つか…
　　　 ／￣￣旦￣￣￣／|
　　／＿＿＿＿＿＿／ | |
　　| |-----------|

I just got the answer.
P(n)=D^n(Σx^k(1-x)^-k)(1)

I got the tile,skipper.

How can you ground the seven stupid astronoates and the junk shuttle.

Americans are so idiot to put fortune of money on the junky shuttle.

Nothing wrong with the suttle, but a few pieces of Japs tiles failed.

No,those are Korean made.

Ooops
P(n)=D^n(Σx^k(1-x)^-k)(0)/n!

　〃∩∧＿∧
⊂⌒（　・ω・） 　OK！ OK！ HAHAHA…
　｀ヽ_っ⌒/⌒с
　　　　⌒ ⌒

nを恵子の数字で表現したら、(x+x^2+x^3...)^kでx^nの係数が
個数だからテイラーつかってやればいいとか？それの１からｎまでの
足し算とか？

やっぱりコンビ屋の出展か？

　　　　　　 .∧__,,∧
　　　　　　（´・ω・`）　　>783
　　　　　　 (つ旦と）　　もっと詳しく！ お茶どうぞ
　　　　　　 ｀ｕ―ｕ´

>>784
前のレスから気になっていたコンビ屋ってなんのこと？

Combi屋

>>787
ｎCrを使えというのか？

コンビナトリクス一派のよく考えてるくさい問題だね。

元ネタは、数ヶ月前の○○模試らしい。

パリテッション関数のひとつにあったんじゃない？

>>791
もっと詳しくおねがいします

>>772
�Bと�Cは逆じゃないのか

2がある場合はもうちょっとひねって
P(n,2)=D^n(ΣΣkCmx^2m(x+x^3+x^4+...)^(k-m))(0)/n!
かな？

(x+x^2+x^3+...)^kのx^nの係数はnをk個の数字でパリテイッションした
ときの順序を考えた和だから、2が出るときはx^2x^2...(x+x^3+x^4+...)^(k-m),
(2がm回でる）それの、kCm倍がnのk分割の2の出る個数、あとはkを1から
nまでΣするだけ。それが生成関数で、あとはテイラー展開して(nかい微分）
0いれて、n!で割っとくとか？

順序を考えないときはどーなるかな？

>>795
> (x+x^2+x^3+...)^kのx^nの係数は
> nをk個の数字でパリテイッションしたときの順序を考えた和

ここが理解できないアホにお勧めの本とかありますか？

>>790
工房の模試なら、簡単な方法があるんじゃない？
制限時間内に解けるような問題だろうから・・・

シンプルに見えて難問
m色のビーズn個でできるリングの数とか

これはP関数を見たことないやつには詩ねといってる問題に見えるけど。

マスワールドでparition functionといれてみるとか？

ハードカバーの標準的な英語のコンビナトリクスのテキストとか？

そろそろ工房にも分かるエレガントな解答が出てもいい頃だが…
難問なのか？

やりかたはnを1文字、2文字。。。n文字で表す。
各k文字の表現の中で2が出る場合を考える。
文字式(x+x^2+x^3+...)^kの展開を考える。
2がm個出るからx^2がm個ある
その場所決めでkCmがあたまにつく
のこりは(x+x^3+...)^(k-m)
式を展開してx^nの係数を出す。
高校生にはテイラーなしでとかせるくらいなのだろうか？

いづれにしてもまんどくさい。

難しいですね。
受験生か高校の先生に知り合い居ないかな？

はじめまして。いきなりなんですがラプラス変換とかフーリエ級数がわかりやすく書かれている
本、もしご存知なら教えてくれませんか

>>807
スレ違いだボケ！
どのスレで聞けばいいかすら分からんのか？
よくそれで今まで生きてこられたな！
さっさと氏ね！

通報しますた

>>807
解析学概論　矢野健太郎　石原繁　著

>>760
　全くエレガントぢゃぁねぇが、中学生レベルの知識でできるぜぇ！

辺ABの延長線上に B~C//BD なる点B~を、辺ACの延長線上に C~B//CE なる点C~をとる。
そして次を考える。

１）同位角より　∠BB~C=∠ABD, ∠CC~B=∠ACE
. 　錯角より　　∠BCB~=∠CBD, ∠CBC~=∠BCE

２）△ABD ∽ △AB~C で、相似比は c:(c+BB~),
. 　△ACE ∽ △AC~B で、相似比は b:(b+CC~).
. 相似比：　相似な図形の,対応する部分の長さの比

３）題意よりBD,CEは頂角を2等分するから、
. ∠ABD=∠CBD ⇒ ∠BB~C=∠BCB~ ⇒ BB~=BC=a.
. ∠ACE=∠BCE ⇒ ∠CC~B=∠CBC~ ⇒ CC~=CB=a.

４）相似比 r(x)=x/(x+a) はxについて単調増加、すなわち {r(b)-r(c)}/(b-c) >0.
. 　(左辺)= a/[(b+a)(c+a)] らしい...

５）b>c ⇔ { BC~>CB~　かつ　r(b)>r(c) } ⇒ CE>BD, また　b<c ⇒ CE < BD.

>>811
４）からが分からん。

>812
　CE=BC~*r(b),　BD=CB~*r(c)　から５）を出すための準備でつ。
　・r(b)とr(c)の大小：　４）で比べますた。
　・BC~ とCB~ の大小：　2辺がaの2等辺3角形の底辺は、頂角が大きいほど大きい。

>>772
�Bと�Cは逆じゃないか？

訂正して代入すると、CP=(a+b)x/(a+b+c)、BP=(a+c)x/(a+b+c) にならないですか？

おらおら、出て来い！！！！！！

'`ィ(´∀｀∩　　鳴門思います

つまり 772 の証明は間違っているということかにゃ？

ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺ
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ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄ从☆`ヾ/゛／'　　"＼' /". ☆　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=　＜ うぉぉぉぉー、 わかりやすい証明まだぁ〜〜！！
ｽｯﾄｺﾄﾞｯｺｲｽｺｺｺ'=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡　.|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿＿＿|
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　　　　　　　　　　　　　　／|＼人 ＿.ノ _||_.　／|＼

x２＋ａ(a＋１)x＋a−１＝０・・・�@
↑２乗
x２＋(a−１)x＋a(a＋１)＝０・・・�A
↑２乗
が共通解をもつとき、方程式�@の解と、そのときのaの値を求めよ。ただし、aは定数とする。

っていう問題があったんですけど・・・どうやって解いたらいいでしょうか。。（＞＜。）涙

△ABCに於いて余弦定理より
　　　cosA=(AC^2 +AB^2 -BC^2)/2AB*AC　・・・�@
同様に△AECに於いて余弦定理より
　　　CE^2=AC^2 +AE^2 -2AE*ACcosA　・・・�A
がそれぞれ成り立つ　�@を�Aに代入して変形すると
　　　CE^2 *AB=(AC^2 +AE^2)*AB-AE(AC^2 +AB^2 -BC^2)
これに　AB=AE+EB　を代入して
　　　CE^2 *(AE+EB)=(AC^2 +AE^2)*(AE+EB)-AE(AC^2 +(AE+EB)^2 -BC^2) ・・・�B
此処で　AC：BC=AE：EB　から　BC*AE=AC*EB
これを�Bに代入して簡単にすると
　　　CE^2=AC*BC-AE*EB 同様に　BD^2=AB*BC-AD*DC
が成り立つ　ここで
　　　AE=AC*AB/(BC+AC)　　　EB=BC*AB/(BC+AC)
なので、BC=a AC=b AB=c とおくと
　　　CE=√[ab-(abc^2)/(a+b)^2]　　　BD=√[ac-{a(b^2)c}/(a+c)^2]
であり、条件では　CE=BDなので
　　　ab-(abc^2)/(a+b)^2=ac-{a(b^2)c}/(a+c)^2　より
　　　b-(bc^2)/(a+b)^2=c-{(b^2)c}/(a+c)^2・・・※
が成り立つ　此処で、この等式（※）から最終的にb=cを導きたい　その為、
b≠c　という仮定から矛盾を導く方法をとる
�@b＞c　と仮定した場合
　　　b-(bc^2)/(a+b)^2＞c-{(b^2)c}/(a+c)^2
となり、※に矛盾する
�Ab＜c　と仮定した場合
　　　b-(bc^2)/(a+b)^2＜c-{(b^2)c}/(a+c)^2
となり、※に矛盾する　　従って、b=cである

以上より　BD=CEならばAB=ACである。　証明終わり

>>818
�@と�Aの共有解をαとおくと、
　　　α^２＋ａ(a＋１)α＋a−１＝０
　　　α^２＋(a−１)α＋a(a＋１)＝０
なので
　　　α^２＋ａ(a＋１)α＋a−１＝α^２＋(a−１)α＋a(a＋１) より
　　　(a-1)(1-α)+a(a+1)(α-1)=0
　　　(a-1)(1-α)-a(a+1)(1-α)=0
(1-α){(a-1)-a(a+1)}=0
(1-α){(a-1)-a(a+1)}=0
(1-α)(a^2 -1)=0
故にα=1

従って、�@、�Aより
　　　1+ａ(a＋１)＋a−１=0
a^2+2a=0
a(a+2)=0
より
a=0,-2
以上より　共有解は１、a=0,-2

819は
>>760に対してです。

2,0,0,5 の4つの数字と、数学で良く使われる記号を使って、17を作って下さい。

0+2+�納k=0, 5]k
とか

2^(5-e^0) + e^0

eはダメだろ、数字だし

0!はOK?
2^(5-0!)+0!

>>826
いいんじゃない？

どーでもよいが、eは数値を表す文字、数字でない

(1/2)!

あくまでΓ(1.5)≠0.5!だろうか？というか未定義?

>>830
日本語から勉強しなおせや、出来損ない

sin,cosでしきつくっておわりだろ。B=Cがすぐでるよ。

Lcos.5B+Lsin.5B/tanC=Lcos.5C+Lsin.5C/tanB

体重45kg、身長180cmが7.60mを棒高跳びするときに必要な
ポールのばね係数はいくつ？50mを8secで走るものとする。

直径60cmの鉄の塊が地球を貫通するのに必要なスピードは？

２，１，１，１。
２，１，１＋１。
２，１＋１，１。
２，１＋１＋１。

１，２，１，１。
１，２，１＋１。

１，１，２，１。
１＋１，２，１。

１，１，１，２。
１，１＋１，２。
１＋１，１，２。
１＋１＋１，２。

ｎ＜ｍ。
０。

ｍ＝ｎ。
１。

ｍ＜ｎ。
（ｎ−ｍ＋３）２＾（ｎ−ｍ−２）

気温を１度下げるのに地軸を何度傾けたらいいか

地軸を傾ける事とは無関係。
今の少し外側を好転すればいい。

フェルマーの定理をシンプルに解け

>>832
でますた！

>>760-761,763,765-766,768,817
>811の続き

６） ５）の対偶をとると、
　BD=CE ⇒ b=c.　(終)

反転法？

>832,840
　>>760 は 中学生の演習問題レベルの解法をキボンヌ．．．（sin, cosは？）

x+y=9のとき、xはいくつか。
とか。

x=9-y

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ﾐ.ﾂﾉ i i l'｀｀ﾞﾞ ｀"''⌒｀ヽヾﾐ=ﾂ,ヽ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;'ヽシ /,! |　　　　 ,.,　　　! !ヾ;_'ノ),）;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;l'ﾆﾂﾉﾉ,ﾉl l　　　　｛,!ゝ、　! l i ヽ_彡;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ミ三彡'//..,,,,,_　　:ヽ, ''ヽ, ヾ;ヾ､;;_ノ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;｀ﾒ､ソ''"-=tｯﾐ｀ 　;;;;':, ,.ヾ_"｀i.'､ヾ,;;;;おかえり。
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;〈 !｀l　　 ｀￣　　　;;;;;;':,　 ヽ､ﾉ　/;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:;',く,　　　　 　　｛´｀'ヾ　　　 ヽ;';;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:;;:
;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;'-i　　　 　 ヽ､,> ､　 ヾ　　　 l;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:
;::;::;::;::;::;::;::;::;::;::;::;::;:':,　 　 .,,＿_'､　　　　　　　 !;::;::;::;::;::;::;::;::;::;::;::;:
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::':,　 　 '─く "　　　　　　 |::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::l ' , 　　　 ｀ヽ　　　　　　 !:::::::::::::::::::::::::::::::::

岡絵里

(AB=AC)^->(BD=CE)^

問題作ってみた。

正方形の各頂点にC,B,A,Dと書いてあるカードが反時計回りにこの順に置かれている
この順でも確かに何も問題はないのだが、冨樫さんという几帳面な人が何とかして
A,B,C,Dの順に並べ変えたいらしい。
　このとき、任意の隣り合う３つのカードを時計回り、もしくは反時計回りに移動させることができるとする。
このような操作のみで冨樫さんはカードをA,B,C,Dの順に並べ替えることは可能だろうか？

ぐーちかんとかきちかんとか

>>848
>>849の通り。
問題は[C,B,A,D]に長さ3の巡回置換を繰り返し施して
[A,B,C,D]に持っていけるか？ということに帰着される。

長さ3の巡回置換は、互換2つの積に分解される。
すなわち、許される操作を何度施しても、その結果は
偶置換ということになる。

一方、[C,B,A,D]を[A,B,C,D]に直す最小の操作は、明らかに
1番目と3番目を入れ換える互換(1,3)。これは奇置換である。

ゆえに不可能。

放物線y=x^2上の点Pと、放物線y=-x^2-16x-65上の点Qに対して、線分PQを考える。
このとき線分PQの長さの最小値を求めよ。

この問題がさっぱり分かりません。自分は１A2Bをやって３は頭の方だけやりました。
どなたか解説お願いしますm(_ _)m

>>851
おいおい、宿題は質問スレで聞けや、この出来損ないが！
どこで質問すれば相応しいかくらいの判断力もない奴は、さっさと氏ね！

放物線y=x^2上の点Pと、放物線y=-x^2-16x-65上の点Qに対して、線分PQを考える。
このとき線分PQの長さの最小値を求めよ。

この問題がさっぱり分かりません。自分は１A2Bをやって３は頭の方だけやりました。
どなたか解説お願いしますm(_ _)m

-∞を二乗すると+∞になるんですか？

talk:>>854 lim_{x→∞,y→∞}((-x)*(-y))=+∞.

kingもgagaには負けるな

x人が円卓に座っている。(x∈Natural,2<x)
それらx人を順に、1からxまでの番号を振り当てる。つまり、
1,2,3,...,(x-2),(x-1),x
の順で座っており、最初の状態では1は2とxに挟まれて座っているものとする。
ここで、1から順番に一人跳びで円卓から抜けていく。
これを最後の一人になるまで続けるとき、最後に残った人の番号をf(x)とする。
f(x)をxで表せ。

座標平面上に以下の条件を満たすように点が配置されている。
1.どの3点も同一直線上にない。
2.どの2点間の距離も整数。
この条件を満たす点が有限個であることを証明せよ。

>>857
いやだ
　
>>858
いやだ

分からなかったらレスしなくていいよ

>>858
反例を示す。
求める3点をx-y平面状においてO(0,0),X(x,0),Y(0,y)とする。
このとき条件1.を満たす。
x=3n,y=4nの時(x∈Natural)、OX=3n、OY=4n、XY=5nで、条件2.を満たす。
これはn=1,2,...∞で成り立つので、1.2.を満たす点は無限個である//

・・・のわけねーだろと思うんだが、俺はどこを読み間違えた？

ワロス

嗤うことしかできなかったらレスしなくていいよ

>>861
それだと、「1.2.を満たす3点の組」は無限個あることは言えてるね。

>>861
thx

>>861
多分、問題の意図するところは、
　　　条件１、２をみたす平面上のｎ個の点は有限個であることを示せ
じゃないの？

>>866
？？、そんなことは>>861もわかってると思うが

>>858
与えられた整数Nに対してN個の点を配置することは可能。
（大数・宿題で出題済み）
無限個が不可能な証明は載ってたかどうか。

x = y = z でなく, n >= 3 の場合(x, y, z, n はすべて自然数)
x^n + y^n = z^n を満たす解が存在しないことを証明しろ

できるかな〜フフフ

あぼーん

>>869
フェルマーの最終定理しか知らないんですって言いたいのかな？

難しいかどうかは解らないが、

問題:
　任意の実数x,yについて、x≦yのときz=x、x>yのときz=yとなるようなzを
　1つの式で場合分けせずに表しなさい。

talk:>>872 x,yの二変数関数ではmin{x,y}だな。絶対値記号だけで表すと(|x+y|-|x-y|)/2となる。

>>872
ややこしい式ならつくれそうだが、シンプルなの？

(|(-1)+0|-|(-1)-0|)/2=0

(x+y-|x-y|)/2だな。

プログラム本に載ってたりするだろ。

こんなのどうでしょう。極限としての値だからちょっと厳密性が怪しいけれども。
z=(atan(n(y-x+1/n))/π+0.5)x+(atan(n(x-y-1/n))/π+0.5)y
n→∞のとき、この式は条件を満たす。

野暮な解説をしますと、
引数が正なら1、負なら0となるような関数があれば
x-yの形で引数を与えることで2変数の大小比較ができる。
で、引数を実数でなく符号付無限大に限定するならば、
アークタンジェント関数が使える。
ただしx=yの時に引数が0となってしまいﾏｽﾞｰだから、
無限小を加えることで対処。

無限大と三角関数を用いるアプローチって面白いけどインチキ臭がする…
ディリクレ関数の表示とか。

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　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |
　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　　>>870の模範解答まだぁ？　　　　　　＞
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　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨
　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪
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>>881
“個人情報はまずいだろ”

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　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |
　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　　>>878の模範解答まだぁ？　　　　　　＞
　　　☆　　　　　　ﾄﾞﾑﾄﾞﾑ　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿　＿|
　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨
　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪
　　　　　　　　　＝≡＝　∧＿∧　　　　　☆
　　　　　　♪ 　　／　〃（･∀･ #）　　　　/　ｼｬﾝｼｬﾝ
　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ
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　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼

(z-x)(z-y)=0を解の公式で解くと>>876にたどり着ける

連立１次方程式
２ｘ　＋４ｙ　＋６ｚ　＋４ｗ　＋１２ｕ　＝８
−３ｘ−６ｙ　−９ｚ　＋ｗ　　＋１０ｕ　＝−５
の解と
3x-3y+3z+w-19u+10v=-5
-1x+5y+3z+2w+23u+7v=5
2x+2y+6z-3w-8u+11v=12
の解すべて書き出してください

talk:>>885 それのどこがシンプルだよ？

>>884
あぼーんしてるから、見えてなかったよ。
�dクス！

talk:>>887 何やってんだよ？

ジャグラーのレバオン抽選で50G以内に20連以上フラグ成立させる確率は数学的に見て何パーセントなのでしょうかhttp://news18.2ch.net/test/read.cgi/slotk/1124266619/

889
設定はいくつのときだ？

場合分けが面倒だったけど、もしかして簡単な解答あるかにゃ？

x≦0 のとき、g(x)=x(x+2)
x> 0 のとき、g(x)=2x^2 +1 と定義する。

任意の実数xに対して g(x)-g(a) ≧ b(x-a) をみたすような実数の組 (a,b) の存在範囲を求めよ。

次の式を満たす整数(a,b)の組をすべて求めよ
　　　a^2 - 2b^2 = 1　

a,b≧0で考える。
a^2=2b^2+1よりaは奇数。a=2m+1 (m≧0)とおく。
4m(m+1)=2b^2より、bは偶数。 b=2n (n≧0)とおく。
m(m+1)=2n^2
n≧2ならば、m or m+1がn^2の倍数で無ければならず、この式を満たすn,mは存在しないことがわかる。
したがって、満たすのは(m,n)=(0,0),(1,1)のみ。

(a,b)=(±3,±2),(±1,0)

>>893
8*9=2*6^2

>>894
しまったorz
>>893は無しで。

既出か？1+1の証明

>>896
たぶん未出だからよろしく。

>>896
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1124763627/3-5

>892
　(a,b)が題意を満たすなら(2a^2-1,2ab)も満たす。
　a_n=(β^n +α^n)/2,　b_n=(β^n -α^n)/(2√2), α=(√2 -1)^2, β=(√2 +1)^2 も題意を満たす。

900

>892
http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

>892
[899]以外に解がないことは、無限降下法(背理法の一種)で示せる。
もし a+b√2 = (a0+b0√2)^n 以外の解 a'+b'√2 があったとすると、
　a"+b"√2 = (a'+b'√2)α^n →0, (n→∞)
も解になるから、a0+b0√2 が最小解だったことと矛盾する。

A.O.Gel'fond: ｢方程式の整数解｣　(1957)
〔邦訳〕銀林浩 訳: 東京図書・数学新書5 (1960)

age

急にすいません、誰か教えてください・・・。

三角形ABCにおいて、
sin＾2A+sin＾2B=sin＾2C 、cosA+5cosB+cosC=5
が成立しているものとする。辺BC、CA、ABの長さを、それぞれa、b、cで表したとき
a+c/bの値を求めよ。

よろしくお願いします。

(5a+b)/cの値なら教えてあげてもいいよ

>>905
それには興味ないので遠慮しておきます。

>>904
質問は、質問スレに池！
場所をわきまえないクズに誰が教えようか？
サッサと師ね！
生まれの頭の悪さを呪うがよい！

>>907
それには興味ないので遠慮しておきます。

>904
　正弦定理から
　sin(A)＾2 +sin(B)＾2 =sin(C)＾2　⇔　a^2 +b^2 =c^2.

∠B:∠C=1:3である三角形ABCがある。
辺BC上に点Dを、CD+CA=ABとなるようにとると、BD:DC=4:5となった。
このとき、AB:ACを求めよ。

3 3 8 8 を１つずつ使って２４になるような式を作りなさい
+−×÷と（）はつかってもよい

エレガントな解答をキボンヌの過去問 1997-12より。
結果だけ載ってた (★) について解説をお願いします。

金庫 A、B、C、D、E、F とその鍵 a、b、c、d、e、f がある。
どの金庫にも、自分を開ける鍵以外の鍵を１個ずつ入れる。

例えば、A(b)、B(c)、C(d)、D(a)、E(f)、F(e) のとき、２つのサイクル
A→B→C→D→(Aにもどる)、E→F→(Eにもどる) ができる。
m個の金庫のサイクルを m-サイクルとよぶことにする。

いま、金庫がn個のときを考える。
2-サイクルがk_2個、3-サイクルがk_3個、…、n-サイクルがk_n個あるとき、
　 2k_2 + 3k_3 + … + nk_n = n
をみたすのは明らか。これをみたす鍵の入れ方は、以下の式で与えられることが知られている

　 (n!) / { (k_2)!*2^(k_2)*(k_3)!*3^(k_3)* … (k_n)!*n^(k_n) } 　… (★)

>>912 の続き。

一方, サイクルの個数は k = k_1 + k_2 + … + k_n で、
これをみたす鍵の入れ方を d_{n, k})で表すと、次が成り立つ。

　 d_{n, k} = (n-1)(d_{n-1, k} + d_{n-2, k-1}) 　… (★★)

金庫に自分を開ける鍵も入れられるとき、1-サイクルは平均でちょうど1個できる。 　… (★★★)

(★★) と (★★★) についても、手取り足取り解説をお願いします。

４／Ｘ＝１／Ｑ＋１／Ｙ＋１／Ｄ

この式を成り立たせる数ＸＱＹＤは何か？ＸＱＹＤは全て違う数とする。

（でも、この式を成り立たせる数が実際にあるかどうかも分からない。）

>>914
まったく、アホか！

>>914
エルデス-シュトラウスの予想の亜流か。

>>914
どう考えても無限にある

円周率を十進法で表記したとき
1234567890という10個の数字が
並ぶことはあるか。

>>914ですが、そんな難しい問題だとは知りませんでした。すみません。
　未解決問題らしいですね。

>>918
お望みなら何回でも連続して並ぶ。

>>920
なんで？

答えは風の中にある

>>918
たくさん計算したらとりあえず出てきたそうだ。
何回でも出てくるかどうかは、たぶん未解決。

昔は918の問題は、「正しいか間違っているかのどちらかだが
決めることができない」問題の例だったらしい。

確率は 測度 １

>>912
金庫の並べかたはｎ！通りでそれをサイクルに分けると
ｍサイクルがｋ個あるときｍサイクルの並び替えｋ！通りで
それぞれのｍサイクル内の並び替えｍ通りが
同じものなのでｋ！ｍ＾ｋで割る。

>>913
金庫を一つ決めるとその金庫に入っている鍵はｎ−１通り。
その金庫を含むサイクルが２サイクルのとき
そのサイクルを除くと金庫はｎ−２個でサイクルはｋ−１個。
その金庫を含むサイクルが３以上のサイクルのとき
その金庫の除きサイクルの長さを１短くすると
金庫はｎ−１個でサイクルはｋ個。

それぞれの金庫についてその金庫の鍵がその金庫に入る確率は
１／ｎなので（１／ｎ）ｎ＝１。

Ｘ＝１。
Ｑ＝１／２。
Ｙ＝１／３。
Ｄ＝−１。

>>925
なるほどッ！
ありがとうございます。

任意の３つの実数を四捨五入して整数にした和と、和を四捨五入して
整数にした数とが異なる確率を求めよ。

シンプルで超難しい。。教えてください。。

>>926さん、ありがとうございます。

>928
　xを超えない最大の整数を[x], {x}≡x-[x] とおくと、0≦{x}<1.
　a = [a+1/2] +{a+1/2} -1/2, etc. だから
　[a+b+c+1/2] - [a+1/2] - [b+1/2] - [c+1/2] = [D], D≡ {a+1/2} + {b+1/2} + {c+1/2} -1,
　A={a+1/2}, B={b+1/2}, C={c+1/2} は [0,1) に含まれ、互いに独立である。
　(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1) を頂点とする立方体内に一様に分布する。
　[D]≠0　⇔　D<0 または D≧1.
　その部分の体積は 1/6 + 1/6 = 1/3.

　超やさしい。。。

　　 ９　　　 ８　　　 ７　　　 ６　　　 ５　　　 ４　　　 ３　　　 ２　　　 １
┌──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┐
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▲と │＿＿│一
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽金│▽玉│＿＿│＿＿│▽香│二
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽歩│＿＿│＿＿│▲角│＿＿│三
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│四
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│五
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│六
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│七
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│八
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│九
└──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┘

持駒　飛飛

>931
▲３二角成、△同玉、▲３四飛打、△４二玉寄、▲４一飛打、△同玉引、▲３一飛行成まで７手。

（２手目△５一玉の早逃げは▲７一飛打、△６一合、▲４一飛打以下、４手目△３三合も▲３一飛打以下）

（詰上り図）
　６　　　 ５　　　 ４　　　 ３　　　 ２　　　 １
　──┬──┬──┬──┬──┬──┐
　＿＿│＿＿│▽玉│▲龍│▲と│＿＿│一
　──┼──┼──┼──┼──┼──┤
　＿＿│▽金│＿＿│＿＿│＿＿│▽香│二
　──┼──┼──┼──┼──┼──┤
　＿＿│▽歩│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│三
　──┼──┼──┼──┼──┼──┤

　持駒　なし

>931-932
　板違い
　http://game9.2ch.net/bgame/

　　 ９　　　 ８　　　 ７　　　 ６　　　 ５　　　 ４　　　 ３　　　 ２　　　 １
┌──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┐
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽桂│▲角│一
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽玉│＿＿│▽香│二
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽銀│▽歩│＿＿│▽歩│＿＿│三
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽歩│四
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│五
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│六
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│七
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│八
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│九
└──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┘
持ち駒：飛飛金

>934
　マルチ
　▲２二金打、△３三玉、▲３五飛打、△３四桂合、▲３二飛打、△２四玉、▲３四飛引成、△１三玉、▲２三五桂打まで９手。

（詰上り図）
　　　　　 ５　　　 ４　　　 ３　　　 ２　　　 １
　　─┬──┬──┬──┬──┬──┐
　　＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽桂│▲角│一
　　─┼──┼──┼──┼──┼──┤
　　＿│＿＿│＿＿│＿＿│▲金│▽香│二
　　─┼──┼──┼──┼──┼──┤
　　＿│▽銀│▽歩│＿＿│▽歩│▽玉│三
　　─┼──┼──┼──┼──┼──┤
　　＿│＿＿│＿＿│▲龍│＿＿│▽歩│四
　　─┼──┼──┼──┼──┼──┤
　　＿│＿＿│＿＿│▲飛│▲桂│＿＿│五
　　─┼──┼──┼──┼──┼──┤

　　持駒　なし

ワカスレ
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1125407590/600-

>935
　訂正スマソ。　▲２五桂打まで９手、ですた。

　それにしても板違い...

age

　　 ９　　　 ８　　　 ７　　　 ６　　　 ５　　　 ４　　　 ３　　　 ２　　　 １
┌──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┐
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▲馬│▲と│＿＿│＿＿│一
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽玉│二
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽銀│三
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│▽角│＿＿│▽桂│＿＿│▽歩│＿＿│四
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▽銀│▲銀│五
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│▲香│＿＿│＿＿│＿＿│六
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│七
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│八
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│＿＿│九
└──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┘

持駒　銀歩

俺、碁しかﾜｶﾝﾈ

プッ

talk:>>939 ヒント：打ち歩詰め禁止。

へをこくな

将棋ソフトに掘り込んでみたら？

世界が100人の数学者だったらと考えたら。。。

まあ、もって一年。

talk:>>944 私がテントを設計してやろう。

テントを作るには、設計技術以前に、布を作れないといけないな。
布の手織りなんてのはまた気の遠くなる話だ。

植物の知識、そして投石器。

まず、男女に分ける
４０代ぐらいまでをテストして、成績順にＦＬＣ５５をやるー＞繁殖
５０代以降は元老院を作る
あとは、釣り針と糸とたけざおとミミズ探し

ブーメランが帰ってくる原理は？

>939

┬┬┬┬○┬┬┬┐
┼┼○○●○●┼┤
┼┼┼┼●┼┼●┤
┼┼○○●┼┼┼┤
┼┼┼┼○○○○┤
┼┼┼┼┼┼┼┼┤
┼┼┼┼┼┼┼┼┤

黒先活き

>.951
おれは939ぢゃないが…
クダラン、実にクダラン！

┬┬┬┬○┬┬●┐
┼┼○○●○●┼┤
┼┼┼┼●┼┼●┤
┼┼○○●┼┼┼┤
┼┼┼┼○○○○┤
┼┼┼┼┼┼┼┼┤
┼┼┼┼┼┼┼┼┤

>>952
おいら囲碁はじめて３ヶ月のトウシロウでつ。
できれば解説をおながいしまつ。
２手目以降の想定される進行を解説してつかーさい。

┬┬┬┬○┬┬●┐
┼┼○○●○●┼hos
┼┼┼┼●┼┼●┤
┼┼○○●┼┼┼┤
┼┼┼┼○○○○┤
┼┼┼┼┼┼┼┼┤
┼┼┼┼┼┼┼┼┤

スレ違い。
消えろ、クズども！

vipでも行って来い。

○1-2の後は●4-1に放りこむんかな？

これ以上荒らすと通報しますよ （by そ）

>>911
全部掛けて、ルートに入れれば良い

もしも有限回（ゼロ回も含む）しか出現しないとしたらそれは特別な性質だ
πがそんな性質をもつ確率は0であることは確かだな

∫[0,1/2]x^2*log(sinΠx)dxをお願いします

>>961
スレ違い。
宿題は質問スレに書け、クズめ！

∫[0,1/2]x^2*log(sinΠx)dxをお願いします

>>963
ペプ！

(x^3)y-x(y^3)-(x^2)+(y^2)-2xy+1 を因数分解してください

これ以上荒らすと通報しますよ （by そ）

>961,963

ワカすれ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1125407590/692-693

>965
{x(x+y)-1}{(x-y)y-1}

>968
(問題)
　>965 の式の値が０になる曲線も求めてくださいです。

>969
(略解)
　>968 により x(x+y)-1=0, (x-y)y=1=0 であるが、これでは分かりにくいので
　x,y軸を角αだけ回転してみる。
　x = X･cosα - Y･sinα,　　y = X･sinα + Y･cosα.
　これより
　x(x+y) -1 = (B+1/2)X^2 - (B-1/2)Y^2 +2CXY -1,
　(x-y)y -1 = (B-1/2)X^2 - (B+1/2)Y^2 +2CXY -1.
　ここに B={cos(2α)+sin(2α)}/2, C={cos(2α)-sin(2α)}/2.
　交差項を消すため C=0 とおくと、α=π/8, B=1/√2.
　x(x+y) -1 = (B+1/2)X^2 - (B-1/2)Y^2 -1,
　(x-y)y -1 = (B-1/2)X^2 - (B+1/2)Y^2 -1,　B=1/√2.
　∴ 2本の双曲線である。これらは主軸を共有している。

970の訂正、いつもすまそ。

　>968 により x(x+y)-1=0, (x-y)y-1=0 であるが、･･･

　∴ 2組4本の双曲線である。･･･

>970
(問題)
　>965 の式の値について。
　X軸上では X=0 で極大値1、X=2^(3/4) で極小値-1、その後単調に増加しまつ。
　Y軸上では Y=0 で極小値1、単調に増加しまつ。
　原点を通る直線 Y=MX 上での増減を調べてくださいです。

>972
(略解)
　上下・左右に対称だから、第一象限で考える。

　X^2=ξ, Y^2=η とおくと
　(与式) = (B^2 -1/4)(ξ^2 +η^2) -2(B^2 +1/4)ξη -2B(ξ-η) +1
　　　= (1/4)(ξ^2 -6ξη +η^2) -(√2)(ξ-η) +1.

　Y=±MX　⇔　η=(M^2)ξ を代入すると
　(与式) = (1/4)(1-6M^2 +M^4)ξ^2 -(√2)(1-M^2)ξ +1.

　軸のξ座標は ξ_1 = (2√2)(1-M^2)/(1 -6M^2 +M^4).

　0≦ M < √2 -1 のとき 下に凸、ξ=ξ_1>0 で極小。
　M = √2 -1 　　のとき -2(2-√2)ξ ：直線的に減少。
　√2-1 < M ≦ 1 のとき 上に凸、 ξ_1≦0 より 単調に減少。
　1 < M < √2 +1 のとき 上に凸、ξ=ξ_1>0 で極大。
　M = √2 +1 　　のとき 2(2+√2)ξ ：直線的に増加。
　√2 +1 < M 　　のとき 下に凸、ξ_1<0 より 単調に増加。

>973
　臨界点の近くの熱力学函数みたぁい･･･　（M はオーダー パラメーター）

　L.D.Landau, E.M.Lifshitz: "Statistical physics", 2nd ed., Pergamon press (1969)
　[ランダウ,リフシッツ著: ｢統計物理学｣ 小林秋男ほか訳, 岩波書店] 第14章

>930
４つの実数を四捨五入した整数の和と、和を四捨五入した整数と
が異なる確率を求めよ。

教えてください。。。

>975
n個のときは、x = {a_1 +1/2} + ･･･ + {a_n +1/2} - (n-1)/2

今回は n=4 なので、x = {a +1/2} + {b +1/2} + {c +1/2} + {d +1/2} - 3/2 である。

ところで、xの分布函数を f_n(x) とする。
これはf_{n-1}(y) を x±1/2 の範囲で移動平均したものに等しい。
　f_n(x) = ∫_[x-1/2,x+1/2] f_{n-1}(y) dy　　　･･･ 漸化式

f_1(x) = 1　(0≦x<1),　0　(その他)
f_2(x) = x+1/2　(-1/2≦x<1/2),　3/2 -x　(1/2≦x<3/2),　0　(その他)
f_3(x) = (1/2)(x+1)^2　(-1≦x<0),　1/2 +x(1-x)　(0≦x<1),　(1/2)(2-x)^2　(1≦x<2),　0　(その他)
より、
f_4(x) = (1/6)(x+3/2)^3　(-3/2≦x<-1/2),
　1/6 + (1/2)(x+1/2) +(1/2)(x+1/2)^2 -(1/2)(x+1/2)^3　(-1/2≦x<1/2),
　1/6 + (1/2)(3/2 -x) +(1/2)(3/2 -x)^2 -(1/2)(3/2 -x)^3　(1/2≦x<3/2),
　(1/6)(5/2 -x)^3　(3/2≦x<5/2),　0　(その他)

したがって、[X] の分布は
　n=2 のとき(-1,0,+1)　1/8 : 6/8 : 1/8
　n=3 のとき(-1,0,+1)　1/6 : 4/6 : 1/6
　n=4 のとき(-2,-1,0,+1,+2)　1/384 : 76/384 : 230/384 : 76/384 : 1/384

>976 への補足

　[a_1 +… +a_n +1/2] - [a_1 +1/2] … - [a_n +1/2] = [x]
　となる。ここに、x = {a_1 +1/2} + … + {a_n +1/2} -(n-1)/2.

三年二百五十四日。

1辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。

>>522
百回も投稿したのか？

>979
V_4 = {(8/3)π -(27/4)arccos(1/3) + (√2)/4}a^3 = 0.422157733115825･･･a^3.

東大入試作問者になったつもりのスレ５
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/346- ,410,424,437

http://www.sansu.org/bbs2/readlog.cgi?START=25794&END=25867
uchinyan@ネコの住む家 氏による 9月25日(日) 16:02:44 No.25867

三年二百六十日。

age

三年二百六十一日。

>>144-146 ,235
　r0 = r1･r2･r3/{(r1･r2+r2･r3+r3･r1)±√{r1･r2･r3(r1+r2+r3)}
　3円に外接する内円のとき ＋
　3円を包接する外円のとき −
　http://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html

>>183-185
　四辺の長さを a,b,c,d とおく。a+b+c+d=L. ヘロンの公式より
　Ｓ = √{(L/2 -a)(L/2 -b)(L/2 -c)(L/2 -d) -abcd･cos((α+γ)/2)^2}
　　≦ √{(L/2 -a)(L/2 -b)(L/2 -c)(L/2 -d)}　　　（← 円に内接する場合)
　　≦ (L/4)^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(←相加･相乗平均)
　　= (L^2)/16.

この発言だけは次スレにも語り継ぎたい。河合君の恋のために。
皆さん協力よろしくお願いします。
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47 名前：名無しさん＠６周年 投稿日：2005/10/04(火) 15:56:53 ID:TbRms0ML0
この速さなら言える
静岡県清水西高校三年二組の吉村真理ちゃん愛してるぜ！

三組　河合光信

talk:>>986 こいつ誰だよ？

Up the photos right here now!

0に収束する単調減少数列 {a_n} が、a_{n-1} - a_n > a_n - a_{n+1} をみたすとき、
b_n + b_{n+1} =a_n をみたす数列 {b_n} が単調減少数列であるための必要十分条件を求めよ。

三年二百六十三日。