1+1=?

証明するには前提となる公理系が要請されていなければならない．

1+1=2 は自然数の範囲で示せばいいと思うので，ここではペアノの公理系を採用する．

公理1 自然数 0 （先頭元）が存在する．

公理2 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する．

公理3 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）．

公理4 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる．

公理5 0 がある性質を満たし，a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき，すべての自然数はその性質を満たす．（数学的帰納法）

定義 suc(0)=1, suc(1)=suc(suc(0))=2, suc(2)=suc(suc(suc(0)))=3 などと略記する．

定義 f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f を定義する．

この関数は，これから示すが自然数の和の法則を満たし，f(b) は a に b を加えた和 a+b を表すことがわかるので，f(b)=a+b と略記できる．

定理1 f(0)=a （つまり f(0) の略記 a+0 に対して，a+0=a となるから 0 は和の右単位元である．）

証明 f(suc(x))=suc(f(x)) で x=0 を代入して f(suc(0))=suc(f(0))，suc(0)=1で左辺を置き換えて，f(1)=suc(f(0))．

f(1)=suc(a) で左辺を置き換えると，suc(a)=suc(f(0))．

公理4の対偶をとって，a=f(0) がいえる．



定理2 g(1)=suc(0)，g(suc(x))=suc(g(x)) を満たす関数 g を定義すると，g(a)=a．

（つまり g(a) の略記 0+a に対して，0+a=a となるから 0 は和の左単位元である．）

証明 a に関する数学的帰納法．

g(suc(x))=suc(g(x)) で x=0 を代入すると g(suc(0))=suc(g(0))，g(1)=suc(g(0))，suc(0)=suc(g(0))，公理4の対偶で 0=g(0)である．

x=a のとき，g(a)=a とすると，g(suc(x))=suc(g(x)) で x=a とすると，g(suc(a))=suc(g(a))=suc(a) より x=suc(a) でも成り立つ．

ゆえにすべての自然数 a で g(a)=a といえる．



定理3 0 は和の単位元である．（つまり a+0=0+a=a）

証明 定理1,2 より明らか．

定理4 f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f と，g(1)=suc(b)，g(suc(x))=suc(g(x)) を満たす関数 g を定義すると，f(b)=g(a)．（つまり f(b)=a+b，g(a)=b+a に対して和の交換律 a+b=b+a が成り立つ．）
証明　a, b に関する数学的帰納法．

a=0 について，定理1,2 より成り立つ．

a で成り立つと仮定する．

　b=0 なら定理 1,2 より成り立つ．

　f(b)=g(a) と仮定．f(suc(b))=suc(f(b))=suc(g(a))=f(suc(a)) より f(suc(b))=f(suc(a)) でも成り立つ．

よって，すべての a, b について成り立つ．

よって，交換律が成り立つ．

よって，f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f は自然数の和の性質を満たしている．

具体的に f がどんな関数か書いてみる．たとえば a=5 なら，

f(1)=suc(5)=6，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f は

f(2)=f(suc(1))=suc(f(1))=suc(6)=7，これが 5+2=7 を表す．

f(3)=f(suc(2))=suc(f(2))=suc(7)=8，これが 5+3=8 を表す．

定理5 1+1=2 である．
証明 f(1)=suc(1), f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f について，

f(1)=suc(1)=suc(suc(0))．つまりf(1)=suc(suc(0))．

f(1) は 1+1 の略記であり，suc(suc(0)) は 2 の略記であるから，1+1=2