ワカラナイ問題はここに書いてね

>670
　Mathemaica でございます。
　>663 の解説をさせていただきます。

πx=θ とおき、
θ^2 = (π^2)/12 + �納m=1,∞) (-1)^m (1/m^2) cos(2mθ)　　　とフーリェ展開する。

与式 = (1/π^3) ∫_[0,π/2] (θ^2) Ln(sinθ) dθ
　　= (1/12π)Ｉ_0 + (1/π^3)�納m=1,∞) (-1)^m (1/m^2) Ｉ_m.

Ｉ_0 = ∫_[0,π/2] Ln(sinθ) dθ = -∫_[0,π/2] θ/(tanθ) dθ = -(π/2)Ln(2).
Ｉ_m = ∫_[0,π/2] cos(2mθ) Ln(sinθ) dθ =-π/4m.　　　　　　　　← p.259

与式 = -(π/24)Ln(2) - (1/4π^2)�納m=1,∞) (-1)^m (1/m^3)
　= -(π/24)Ln(2) + (1/4π^2)�納m=1,∞) (1/m^3) - 2(1/4π^2)�納m=1,∞) (-1)^m 1/[(2m)^3]
　= -(π/24)Ln(2) + (1/4π^2)�納m=1,∞) (1/m^3) - (1/16π^2)�納m=1,∞) (-1)^m 1/(m^3)
　= -(π/24)Ln(2) + (3/16π^2)�納m=1,∞) (1/m^3)
　= -(π/24)Ln(2) + (3/16π^2)ζ(3)
　≒ -0.00604478972953610…

ζ(3) = (5/2)�納n=1,∞) (-1)^(n-1) /{(n^3)Ｃ[2n,n]} ≒ 1.202056903159594284 …
π ≒ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 …　　← �F
Ln(2) ≒ 0.693147180559945 …

(参考書)
　森口繁一、宇田川�_久、一松 信（著）: ｢数学公式�T｣, 岩波全書221 (1956)

Mathematica でございます。
一部の (-1)^m は不要ですた、すまそ....

与式 = -(π/24)Ln(2) - (1/4π^2)�納m=1,∞) (-1)^m (1/m^3)
　= -(π/24)Ln(2) + (1/4π^2)�納m=1,∞) (1/m^3) - 2(1/4π^2)�納m=1,∞) 1/[(2m)^3]
　= -(π/24)Ln(2) + (1/4π^2)�納m=1,∞) (1/m^3) - (1/16π^2)�納m=1,∞) 1/(m^3)