★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問

1辺aの正四面体のそれぞれの頂点を中心とする半径aの球をかくとき,それら4つの球の共通な部分の体積を求めよ。

東大実戦の問題らしいです。

東大実戦ってこんな難いの？
力技むりぽ

ABCD=4C1A-4C2A*B+4C3A*B*C-4C4A*B*C*D

>>348
これ>>346の答え？答えπ入らんの？

>>349
お前は346ではないな。346はわしじゃ！！！

>>350
?

>>350
おれ>>349だけどなにか？>>346だなんて一言もいってないけど？

とある円Oを外接円とする三角形ABCの内接円を外接円とする三角形DEFの内接円を外接円とする
三角形GHIの内接円を外接円とする三角形JKLの内接円を外接円とする三角形PQRの内接円を
外接円とする三角形STUがある

円Oの半径をR、三角形ABCの∠Aを30°とする時三角形STUの内接円の半径rを求めよ

誤爆です＞＜しかも問題おかしい＞＜

>>352結婚して

>>352
俺もおまえが>>346だなんて一言もいってないぞ？

どうでもいいからだれか>>346やろうぜ
試しにa=√3として
xyz空間上に正四面体の頂点として(1,0,0)(-1/2,√3/2,0)(-1/2,-√3/2,0)(0,0,√2)をとってみたけど
z≧0の部分は断面書いたら何とかなりそうだがz<0の部分がぬるぬるポッポー

>>346は釣りでそ

>>358
俺にはできないが、できない問題ってわけでもなさそうだから釣りじゃないだろ

受験板行ってみれ

>>346
おれはとりあえず4頂点をABCDにしてABCDの外接円の中心をO、半径を1にした。
一辺は√(8/3)。で平面BCDと平行でAとの距離がhである平面を考えαとした。
αと直線AB,AC,ADとの交点をE,F,Gとすると△EFGは△ABCと相似で相似比が
4/3:hであるので一辺が√(8/3)(3h/4)=(√(3/2))hの正三角形。
つぎにαと球S:|PA|≦√(8/3)の共通部分をかんがえる。EFGの重心をHとすると
AH=hなのでそれは半径√(8/3-h)^2の円。
でα上の三角形EFGと円S∩αの面積もとめるんだけどこれがメンドイ。
4/3≦h≦2のうち8√(11/3)≦h≦2のとこは円になるからいいんだけど
4/3≦h≦8√(11/3)のとこでは
π((8/3)-h^2)(1-3arcsin(s)+(3/2)((8/3)-h^2)s
(ただしs=√(((3/8)h)/((8/3)-h^2)))
これを4/3≦h≦8√(11/3)で積分･･･やりたくねーと思ってギブ。

>337
　>344 より
x^2 + y^2 ±x = {(a+c)/2}^2 + {(b+d)/2}^2 ± (a+c)/2 = ･･･
　= (a^2 +b^2 -1)/4 + (c^2 +d^2 -1)/4 + bd/2 + (1±a)(1±c)/2 ≧ bd/2.
　題意より b≧0, d≧0 だから (左辺) ≧ 0.

　逆に (x,y)が上式を満たせば、>344 より g≦|y/x|.
　∴ α,β = Arctan(y/x) ± Arctan(g) は [0,π] にありまつ。
　∴ (a,b) = (cosα, sinα), (c,d) = (cosβ, sinβ) とすればよい。

　※ ここで Arctan() の値域は [0,π] としますた。

>>360
どのスレ？
数学の質問スレ、問題出し合うスレ、東大数学スレ、東大実践スレのぞいてみたけどなかった。

どう見ても無理。少なくとも受験生には。

奇跡的にうまい方法でもない限り表記可能な値にならない

>>334
　>>329 の式は ↓ になるらしいYo...

　[ {3(2n+1)^2}/4 +1/2 ] = [ 3{n(n+1) +1/4} +1/2 ] = 3n(n+1) + [ 3/4 + 1/2 ] = 3n(n+1) +1.

そう？なんかいちおうできるのはできそうな気はするけど。

いや、勘違いしてた。ムズイっす。

球面と中心を通らない3つの平面で囲まれた部分の体積は普通出せない。
球面と2つの平面でさえ求積できる場合はごく限られている。
>>346が解けたらその奇跡と美しさに間違いなく感動する。

平面が球内部で交わる場合ね

'準' ルーローの四面体

http://www.sansu.org/bbs2/readlog.cgi?START=25794&END=25836&TITLE=前週（第４６８回）分の過去ログ
もしかして、ここの最後らへんの投稿が出典元？

半径aの球に(3^-.5-1)a/2だけ立方体のかどを球の中心に向けて
差し込んでカットしたかけらの８倍
あとは自分でやってね

>>373
ホンマか？　形は違うようだが？

>346
　難しい稜のところは除外して、残りの部分の体積を考える。

Aを中心とする半径aの球面を考える。頂点B,C,D はこの球面上にある。
平面ABC, ACD, ADBのうちの2面がなす角は、いずれも θ= arccos(1/3) = 70.5287794…°
球面三角法の面積公式から、
　S_o = (3θ-π)a^2 = arccos(23/27)･a^2 = 0.5512856…a^2.
　V_o = (a/3)S_o = (arccos(1/3) - π/3)a^3 = 0.183761866…a^3.

一方、正四面体ABCDの表面積および体積は
　S_4 = (√3)a^2, h = √(2/3) a,
　V_4 = (h/12)S_4 = {1/(3√8)}a^3.

∴ 求める体積は
　V_4 + 4(V_o -V_4) = {4arccos(1/3) -(4/3)π - (1/√8)}a^3 = 0.381494073…a^3

これは 求める体積 0.3925…a^3 より若干小さい。

結局>>346は出題ミスということで桶？

粘土でやるのがいちばん簡単かも

体積の問題とか解いてるとき
>>377みたいな糞くだらないこと言う香具師がいて激しく萎えることがよくある
測ればいいじゃんとか数えればいいじゃんとか物質名ビンのふたに書いてあるじゃんとか

f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+dとする。2次以下の関数をg(x)として∫f(x)g(x)dx=0がどのような場合でも成り立つように関数g(x)を決定せよ。

絶対神：医学　法学　理論経済学　美学　歴史学　
ーーーーーーーー特権階級の壁ーーーーーーーーー
超最高神：（　　）　哲学　神学　形而上学　抽象的
ーーーーーーーーメタ・超越の壁ーーーーーーーーー
脱最高神：理論物理学←形而下学ｗ　具体的
ーーーーーーーーー真理の壁ーーーーーーーーーー
最高神：最高裁判事　主要官庁次官　皇族　
一等神：財務・経済産業・総務省　日本の心臓部
二等神：浅田彰　批評空間　天才　米国大統領ｗ
ーーーーーーーーー聖域の壁ーーーーーーーーーー
三等神：文部科学省　神一人で皇帝１０人を支配
四等神：厚生労働省　主に医学部教授で構成
ーーーーーーーーー権力の壁ーーーーーーーーーー
皇帝：物理学者　相対的な権力者
大臣：（　　　）　皇帝のブレーンとして不可欠な存在
貴族：宇宙物理学者　地球物理　皇帝の血族
ーーーーーーーー支配階級の壁ーーーーーーーーー
大商人：Bill Gates 　Google 　Warren E. Buffett
ーーーーーーーーー富裕層の壁ーーーーーーーーー
商：生物学者　地位は低いが景気（流行）もあって
　　　　　　　結構いい思いをしている
ーーーーーーーー人気・好感度の壁ーーーーーーーー
工：地鉱学者　影が薄い
農：化学者　実際一番圧力が厳しく貧しい暮らしをしている。
ーーーーーーーーー人間の壁ーーーーーーーーーー
奴隷：ゴミ講究　被差別階級。大臣が直々に管理。
ーーーーーーーー生存不能の壁ーーーーーーーー
飽食：博士崩れ　元は支配階級だったものの没落。
　　　稀に復活する者もいるが大半は野垂れ死に。
ーーーーーーーーーバカの壁ーーーーーーーーー
その他：どうしようもないｗ

0

>>379
任意の３次関数f(x)について∫f(x)g(x)dx=0が成立するような２次以下の多項式を求めよ？
積分区間がわからんけど明らかにg(x)≡0しかないような。それを示せ？

f(x)=x^3 +ax^2 +bx+cとする。2次以下の関数をg(x)として∫[-1,1]f(x)g(x)dx=0がどのような場合でも成り立つように関数g(x)を決定せよ。

>>383
任意のモニックな３次関数f(x)について∫[-1,1]f(x)g(x)dx=0が成立するなら
任意の実数kについて∫[-1,1](x^3+kg(x))g(x)dx=0が成立するからｋの定数項と
１次の項はともに０。よって∫[-1,1](x^3)g(x)dx=0、∫[-1,1]g(x)^2dx=0よりg(x)=0。
でいいんでね？

g(x)を具体的にして、必要条件を探ってみるのが良いと思うけど・・
答えあんの？

あ、ごめん、なんでもない

あ、ごめん^2、なんでもない

>>386
だれおまえ？>>383？

g(x)=px^2 +qx+rとして恒等式、奇偶関数の考えを利用。
答えはa=c=0を満たす3次式。

<f,g>=0,g=dx^2+ex+f
<f,g>=<x^3,g>+a<x^2,g>+b<x,g>+c<1,g>=0
=d<x^5>+(e+ad)<x^4>+(f+ae+bd)<x^3>+(f+be+cd)<x^2>+(bf+ce)<x>+cf<1>
=(e+ad)<x^4>+(f+be+cd)<x^2>+cf<1>=0
f=0,e=-ad=-a^2b/c,d=ab/c (c<>0)
f=-be,e=-ad,d=any (c=0)

>>389
はぁ？？g(x)を決定せよの答えがなんで３次式やねん？？？

f(x)=x^3 +ax^2 +bx+cとする。2次以下の関数をg(x)として∫[-1,1]f(x)g(x)dx=0がどのような場合でも成り立つように関数f(x)を決定せよ。

こっちが本問

>>392
それで答えがa=c=0？そんなハズねー。任意の二次関数g(x)について
∫[-1,1]f(x)g(x)=0である３次関数f(x)は存在しないだろ？

>>393
計算ミス

>>389
[x^3/3]=2/3!=0.

手順

p、q、rを任意の定数としてg(x)=px^2 +qx+rとおく
∫[-1,1]f(x)g(x)dxを計算
計算式をp、q、rについて整理
奇関数、偶関数の考えを利用
得られた式が0となるための条件を恒等的に求める
f(x)の決定

すまん。そんなことはないな。
f(x)=((x^2-1)^3)’’’/120は任意の２次以下の多項式g(x)について
∫[-1,1]f(x)g(x)dx=0を満たす唯一のモニック多項式だ。これがこたえね。

バカばかりのスレに成り下がったな

↑いやおまえだけ

答えが合っているが高校生らしい答えではない
これでは一点ももらえない

おれ０点でいいや。

393ﾜﾛｽｗ

0<b<a<π/2とする。
(a-b)/2=∫[cos(a),cos(b)]√(1-(x^2))dxを満たすa,bが存在するようなaの条件を求めよ。

>>403
?

>>404
ヒント:円

a,bが存在するようなaの条件を求めよ。
?

語呂の問題だよ。気にスンナ

>>403
偏角がa,bとなる点を単位円上にとってA,Bとする。A,Bからx軸におろした垂線の足をとする。
左辺はOA,OB,小弧ABでかこわれる部分の面積、
右辺はAC,BD,CD,小弧ABでかこわれる部分の面積。
よって左辺-右辺=△OACの面積-三角OBDの面積。
△OACの面積=(1/2)sinacosa=(1/4)sin2a、
△OBDの面積=(1/2)sinbcosb=(1/4)sin2b
なので結局sin2a=sin2b、0<b<aなるbが存在するaの範囲がもとめるaの範囲。
それはπ/4<a<π/2。

y=|sin(nx)|とx軸で囲まれる領域をD1
x=|sin(ny)|とy軸で囲まれる領域をD2
4点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)を頂点とする正方形の内部の領域をD3
D1,D2,D3の共通部分の面積をSとするとき
lim[n→∞]Sを求めよ。

>>377
　年度でやると 〜0.422157a^3 になったが...

こちらにもご迷惑かかってしまったようですね。申し訳ないです。
向こうの掲示板にも書きましたが、>>346は幾何学大辞典５巻に載っています。
Amer,Math.Monthly,Vol.16(1909)の課題274
正式名称はAmerican Mathematical Monthlyですかね?
アメリカの数学雑誌による懸賞(?)問題か演習問題かは知りませんが。

僕が見つけたのはスレのタイトルがあれですが
受験板の「京医首席 改め俺と戯れるスレ」の>>501
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1124026804/l50

この共通部分がどんなのであるかは
ttp://image.blog.livedoor.jp/czax/imgs/f/2/f2dc9f2c.PNG
図でN,Mが途中変わっていますがNをABの中点,MをDCの中点としています。
赤い部分はAによる球欠の一つでこれがそれぞれの面に４つあります。
手書きで汚いのはご容赦を。
尚、幾何学大辞典の解答は見ていただければわかると思いますが間違っています。
因みに答えはどうやっても逆関数、あるいは自分で設定した定数を用いないと出せないようです。

先の出題者がなぜ実戦だと偽ったのかは知りませんが、これが仮に本当に出題されていたとしたら
・多重積分を使わずに時間内に出せるだろうか？(多重積分を使えばわりかし速くできます。)
・問題文の文字a以外を使わずに答えが出せるだろうか？

>>411=>>346？？とけないとわかっててだしたん？

>>409
直感的にはD3は埋め尽くされそうだが、、、

>>409
俺は(1/π)^2と予想。これを受験数学の範囲で解けと。

>>412
いぇ,僕は今朝はじめてこのｽﾚに投下されているのを見て書き込みましたから別人ですょ｡
僕は算ﾁｬﾚ掲示板で実戦の問題だろうかあるいは釣りだろうかと聞いただけですね｡

>>337
>>344
>>362

もうちょっと初等的にできる。
誰か興味があれば説明しまつ。

>>416
おながいしまつ

>>416
条件を満たすP(p,q)が半円の内部にあれば、Pがｙ軸上の点でなければPをとおってOPに垂直な直線とx軸との交点のx座標がx≦-1または1≦xを満たすんじゃん？
ｙ軸上の点と半円上の点は簡単に条件を満たすっていえる。

>>416
おらおら、おらがきょうみあるから証明せい！

>>409
これなら受験数学の範囲？arcsinとか[x]とかは気にしない。
以下f(x)=1-(2/π)arcsinxとおく。
a∈[0,1]にたいして直線x=aとD3の共通部分にある線分の長さの合計とする。S=∫[0,1]h(x)dx。
x=aとD3の共通部分は[n|sinnx|/π]個のながさ(π/n)f(a)の線分を含み、
[n|sinnx|/π+1]個のながさ(π/n)f(a)の線分の合併にふくまれる。よって
f(a)|sinnx|-π/n≦h(a)≦(π/n)f(a)[nsinnx/π+1]≦f(a)|sinnx|+π/n
これをa:0〜1で積分してさらに0≦f(a)|sina|≦1を利用して
∫[0,1]f(x)sinnxdx-π/n≦S≦∫[0,1]f(x)sinnxdx+π/n
f(x)が単調減少であることから1≦k≦[n/π]=mである整数kに対し
∫[(k-1)π,kπ]f(kπ/n)sinnxdx≦∫[(k-1)π,kπ]f(x)sinnxdx≦∫[(k-1)π,kπ]f((k-1)π/n)sinnxdx
f(kπ/n)(2/n)≦∫[(k-1)π,kπ]f(x)sinnxdx≦f((k-1)π/n)(2/n)
∴�納k=1,m]f(kπ/n)(2/n)≦∫[0,1]f(x)sinnxdx≦�納k=1,m]f((k-1)π/n)(2/n)。
区分求積の原理より
lim[n→∞]�納k=1,[n/π]]f(kπ/n)(2/n)
=(2/π)lim[n→∞]�納k=1,[n/π]]f(kπ/n)(π/n)
=(2/π)∫[0,1]f(x)dx
=(2/π)^2
同様にlim[n→∞]�納k=1,[n/π]]f((k-1)π/n)(2/n)=(2/π)^2。よってはさみうちの原理より
∴lim[n→∞]∫[0,1]f(x)sinnxdx=(2/π)^2。

>346
球が1個だけのとき
　V_1 = (4π/3)a^3 = 4.18879020478639･･･a^3

>346
球が2個 のとき
　2つの球の中心 O_1,O_2 をとおる直線をx軸とする。
　O_1=(-a/2,0,0), O_2=(a/2,0,0) とすると、
　V_2 = 2π∫[0,a/2] {a^2 -(x+a/2)^2} dx = 2π[(a^2)(x+a/2) -(1/3)(x+a/2)^3](x=0→a/2)}
= (5π/12)a^3 ≒ 1.30899693899575･･･a^3.

>346
球が3個のとき
[類題]
43 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/02/22 00:53
「半径１の３つの球体が互いの中心が各表面にある様に重なりあっている。
球体の共通部分の体積を求めよ。」という問題で、縦か横かどっちに切ったらラクだろうか？

くだらんスレ ver.3.141592653
　http://cheese.2ch.net/math/kako/1014/10141/1014191253.html


　3つの球の中心を通る平面をxy-面とする。
　φ = arccos(a/2r) - π/6 = arctan(√{3 -4(z/a)^2}) -π/6.
　3円の交点の相互の距離は b = (√3)√{r^2 -(a/2)^2} -a/2 = (√3)√{(3/4)a^2 -z^2} -a/2.
　共通部分の高さzでの断面積は、
　S(z) = 3(r^2)(φ-sinφ･cosφ) +(1/4)(√3)b^2
　　= 3(r^2)φ - (3/2)a√{r^2 -(a/2)^2} +(1/4)(√3)a^2
　　= (a^2 -z^2)(3･arctan√{3 -4(z/a)^2} -π/2) -(3/2)a√{(3/4)a^2 -z^2} +(1/4)(√3)a^2.
　S(0) = {π/2 -(1/2)√3}a^2,　S(±√(2/3)) =0.
　V_3 = 2∫[0,a√(2/3)] S(z)dz
　　　= a∫[0,a√(2/3)] (3a^2-z^2)(z^2)/{(a^2-z^2)√[(3/4)a^2-z^2]} dz -(9/8)arccos(1/3)(a^3) +(1/4)(√2)a^3
　　　= V_30 - 1.38482934450837･･･a^3 + 0.353553390593274･･･a^3
　　　= (1.7031062891167･･･ - 1.031275953915･･･)a^3
　　　= 0.671830335208･･･a^3.

※　{(√3)a/2 -z)}/{(√3)a/2 +z} =u^2 とおくと、
　z=(√3)(a/2)(1-u^2)/(1+u^2),　dz= -(2√3)au/(1+u^2)^2 du.

　V_30 = a∫[0,a√(2/3)] (3a^2 -z^2)(z^2)/{(a^2 -z^2)√[(3/4)a^2 -z^2]} dt
　= (27/4)(a^3)∫[0.1715728752538･･･,1] (1+3u^2)(1+(1/3)u^2)(1-u^2)^2 /{(1+14u^2+u^4)(1+u^2)^3} du
　= (a^3)∫[0.1715728752538･･･,1] { 8(1+u^2)/(1+14u^2 +u^4) -(5/4)/(1+u^2) -3/(1+u^2)^2 +3/(1+u^2)^3 } du
　= 1.7031062891167･･･a^3.

>346,410-411
球が4個のとき
　V_4 ≒ 0.422157･･･a^3.

>>337
a, b を消去すると、以下の問題と同値になる。

「x^2+y^2-cx-dy=0, c^2+d^2=1, 0≦d≦2y を満たす実数 c, d が存在する実数 x, y の条件を求めよ。」
（実は d≦2y は不要）

x≠0 のとき、c を消去した d に関する2次方程式 (x^2+y^2)d^2-2y(x^2+y^2)d+(x^2+y^2)^2-x^2=0 が
0≦d≦2y で解を持つ条件を求めればよい。

f(d)=(x^2+y^2)d^2-2y(x^2+y^2)d+(x^2+y^2)^2-x^2 とおくと f(0)=f(2y)=(x^2+y^2)^2-x^2≧0 が必要。

（以下略）

>>346幾何学大辞典5にたしかにあるな。計算がどうこう以前に解答には辺回りの体積が全く無視されていて図が間違っている。

“円周率を10進法表記したとき同じ数字が百万個連続する箇所が存在することを証明せよ”
とある大学の問題らしいぞ。ネタくさいが

>>427
板違い。

>>428
どこが？

>>418
意味不明。

6^2005/1999の余りを求めよ

>>431
6^2005を1999で割ったあまり？
1999は素数なので
6^1998≡1(mod1999)
6^2005≡6^7(mod1999)
6^5≡1779(mod1999)から
6^7≡1779*36≡76(mod1999)
∴6^2005を1999で割った余りは76

フェルマーの定理はありやなしや

あり、というか>>431みたいな問題だと(1)に誘導のための証明問題がつくべきだろう

>423
　（補足）V_30の計算

　V_30 = ∫[0,a√(2/3)] (3a^2 -z^2)(z^2)/{(a^2 -z^2)√[(3/4)a^2 -z^2]} dz
　= (27/2)(a^3)∫[(√2 -1)^2, 1] (1+3u^2)(1+(1/3)u^2)(1-u^2)^2 /{(1+14u^2+u^4)(1+u^2)^3} du
　= (a^3)∫[(√2 -1)^2, 1] { 16(1+u^2)/(1+14u^2 +u^4) -(5/2)/(1+u^2) -6/(1+u^2)^2 +6/(1+u^2)^3 } du
　≡ { I - (5/2)J_1 -6J_2 +6J_3 }a^3.

部分分数に分けて、
16(1+u^2)/(1+14u^2+u^4) = 4(2+√3)/(1+(2+√3)^2･u^2) + 4(2-√3)/(1+(2-√3)^2･u^2).
I = 16∫(1+u^2)/(1+14u^2+u^4) du = 4{arctan((2+√3)u) + arctan((2-√3)u)} = 4arctan(4u/(1-u^2)).

J_n ≡∫ {1/(1+u^2)^n} du = {1/(2n-2)}u/(1+u^2)^(n-1) + (2n-3)/(2n-2)}J_(n-1). 　(←部分積分)

∴ I -(5/2)J_1 -6J_2 + 6J_3 = I -(5/2)J_1 -(3/2)J_2 +3u/[2(1+u^2)^2]}
　= I -(13/4)J_1 -3u/[4(1+u^2)] +3u/[2(1+u^2)^2]
　= 4arctan(4u/(1-u^2)) -(13/4)arctan(u) -3u/[4(1+u^2)] +3u/[2(1+u^2)^2].

u: (√2-1)^2 → 1,　1+u^2: 6(√2-1)^2 → 2,　arctan(u): π/4 - (1/2)arccos(1/3) → π/4 より,

V_30 = { I -(5/2)J_1 -6J_2 +6J_3 }a^3
　　= {2π -(29/8)arccos(1/3) -(√2)/12}a^3 = 1.70310628911667･･･(a^3)

V_3 = {2π -(19/4)arccos(1/3) +(√2)/6}a^3 = 0.671830335208･･･a^3.

>>421-424 から

　V_n ∝ n^(-5/3)

乱流のエネルギー･スペクトルを表わす、コルモゴロフの -5/3乗則は、>>346 で説明できる・・・

というワケではあるまいが。。。

>>364, 410, 424

V_4 = {(8/3)π -(27/4)arccos(1/3) +(√2)/4}a^3 = 0.422157733115825･･･a^3.

http://www.sansu.org/bbs2/readlog.cgi?START=25794&END=25867
　uchinyan@ネコの住む家 氏による 9月25日(日) 16:02:44 No.25867

>>346, 410, 424
　↑訂正、すまそ。

http://www.sansu.org/bbs2/readlog.cgi?START=25825&END=25867

>>438
>>411のアドレス削れば・・・

>>346, 410, 424
[25867]の概略

問題の立体を正4面体の2面、3面、4面で切った立体の体積 V2, V3, v を求める。

　A, B を中心とする球の共通部分の体積V_1は、V1 = (5π/12)a^3　…… (1)
　正四面体ABCDの2面がなす角をcπとすると、
　(1)とAB軸のまわりの角度比から、 V2 = V1*(c/2)　…… (2)

　V3=(1/3)aS'.　球面3角形の面積 S' = (3c-1)πa^2, V3 = {(3c-1)π/3}a^3　…… (3)

　正四面体の体積は v = {(√2)/12}a^3　……　(4)

さて、ここでトイレの個室の中(汚い話で申し訳ない)で「う〜む」と考えると、次の考えが浮かぶ。

4平面の切断によってVは11個の切片に分かれる*)。中央の正四面体の体積はvであった。
稜に対する切片の体積をVe, 面に対する切片の体積をVf とおくと、
　V = v + 6*Ve + 4*Vf = 6*(v + Ve + 2*Vf) -8(v + Vf) +3v = 6*V2 - 8*V3 + 3v
これに (2)〜(4) を代入する。
　V = {-(27/4)cπ +(8/3)π +(√3)/4}a^3,　　cπ=arccos(1/3).

なお、V2、V3 は球面上の幾何学の定理・公式を使うと、積分なしでそれこそ算数っぽく、求められます。
もちろん、球面上の幾何学は高校でも習わないので、考え方は算数でも、実際には大学レベルになってしまいますが。

* 一般には15片あるが、本題は頂点が表面に露出しているため、頂点に対する4片はない。

>440 から
v　= {(√2)/12} a^3,
Ve = {(2/3)π -(43/24)arccos(1/3) + (√2)/12 }a^3 = 0.00677727652206493･･･a^3,
Vf = {arccos(1/3) -π/3 -(√2)/12}a^3　　　　　　 = 0.0659107359464192･･･ a^3.

V_3 = 2(v + 3Ve + 3Vf) = 2v + 2{π -(19/8)arccos(1/3)}a^3 = 0.671830335206422･･･a^3.

きのう >>423, >>435 でゴリゴリ積分してたのが馬鹿だった...

>>337のﾊﾞｰｼﾞｮﾝｱｯﾌﾟ版

a、b、ｃ、d 、e、f は次の性質を満たす実数とする。

a^2+b^2=1、c^2+d^2=1,、e^2+f^2=1、b≧0、d≧0、f≧0

このとき、xy平面上の点 （(a+c+e)/3, (b+d+f)/3） が存在する部分の面積を求めよ。

>>442
勘で
x^2+y^2≦1、x^2+y^2≧1/9、(x-2/3)^2+y^2≧1/9、(x+2/3)^2+y^2≧1/9、y≧0
の部分？

>>442
・>>337の領域内を動く点Pと半円上を動く点Q についてPQを1:2に内分する点のとりうる範囲
・A,B,Cがそれぞれ0≦ｔ≦πの任意のtの値をとるときの((cosA+cosB+cosC)/3,(sinA+sinB+sinC)/3)のとりうる範囲
。。。だからどうしたっていわれると困る

>>444
だからどうした？

>>12
　 各面がp角形, 各頂点にq枚の面が会するとき、二面角をθとすると　sin(θ/2)=cos(π/q)/sin(π/p).
　正20面体では p=3, q=5, sinθ=2/3 だから,
　2R = a･sin(π/q)/{sin(π/p)cos(θ/2)} = a√{(5+√5)/2} = 1.9021130325903･･･a.

>>45
　(∂_x -1)^(-1) f(x) = exp(x){∫_[0,x] exp(-x') f(x')dx' +c}　らしいので
　y(x) = (∂_x -1)^(-2) ０ = (∂_x -1)^(-1) c1･exp(x) = (c1･x+c0)exp(x).
　
>>59
r=3, R=8
　sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2) = r/4R = 3/32.
　S = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ = 4Rr･cos(α/2)cos(β/2)cos(γ/2)
　
　(cosα,cosβ,cosγ) = (1/4,1/4,7/8) のとき最大値 S=15√15 = 58.0947501931113･･･
　(cosα,cosβ,cosγ) = (3/4,3/4,-1/8) のとき最小値 S=21√7 = 55.5607775323564･･･

>>71
　>76,78 をノルムで書くと
　{(a-c)^2 +(b-d)^2}{(a+c)^2 +(b+d)^2} = {(a^2 -c^2) +(-b^2 +d^2)}^2 + 4(ab-cd)^2 =0.
　ベクトルで書くと ラグランジュ
u↑=(a-c, -b+d), v↑=(a+c, b+d), |u|^2|v|^2 = (u･v)^2 + |u×v|^2 =0.

>>81
　e^(1-t) = 1/e^(t-1) < 1/t より、
　e^{1 -e^(1-x)} < e^{1-(2-x)} = e^(x-1) = {e^(1 -1/x)}^x < x^x.
　両辺を e^(e-1)乗して、x=e-1 とOK.

>>106
　a_n = ±{(√2+1)^(2n) + (√2-1)^(2n)}/2.
　b_n = ±{(√2+1)^(2n) - (√2-1)^(2n)}/(2√2).
　　(n=0,1,2,･･･)
A.O.Gel'fond(著): 銀林 浩(訳): ｢方程式の整数解｣ 東京図書, 数学新書5 (1960) §4

>>183
　(π/2)cos(x) > π/2 -x とか (π/2)sin(x) >x とか使うらしい...

>>256 ,268
　[nx -n[x]] = [nx] -n[x] = m とおくと 0≦m<n, x = [x] + (m+{nx})/n
　y_i = [x +(i/n)] = [x] + [(m+i+{nx})/n]　= [x] + [(m+i)/n]
　0≦i≦n-1-m　⇒　y_i = [x],
　n-m≦i≦n-1　⇒　y_i = [x] +1
　左辺 = ��(i=0,n-1) y_i = n[x] +m = [nx].

>>278
　不等式への招待２
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/315-324

>>443
詳しく

>>448
勘でっていってんじゃん

>>59
　S =(底辺)*(高さ)/2.
　2斜辺が 4√15, 底辺が 2√15, 高さが 15 のとき 最大値S=15√15,
　2斜辺が 4√7, 底辺が 6√7, 高さが 7 のとき、最小値S=21√7

>>252
三角関数スレ
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1062225260/249-250
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1123801389/31

>>288
　{n･log_5(|x|)} = n･log_5(|x|) -[n･log_5(|x|)],
n は自然数

>>145
(解1)
　球の最高点をN, 最下点をS, 中心をO,とする。
　球面上の円Cはある平面Π上にもある。
　Oからこの平面（円の中心）に下ろした垂線が球面と交わる点をHとする。
　ON=OH より, ∠ONH=∠OHN,
　∴ 直線OHは、Πおよび 問題の平面に 等しい角度で交わる。
　Nと問題の円Cを結ぶと楕円柱になる。
　OH軸の周りに180°回転しても楕円柱は元通りである。
　一方、円Cは問題の平面に平行な円C'に移る。
　∴ 円C' は平面上のCの射影と相似である。

(解2)
　球の最高点をN, 最下点をS, 中心をO,とする。
　球面上の円Cはある平面Π上にもある。
　問題の平面を xy平面, これと垂直に z軸をとる。
Π平面の方程式: aξ+bη+c(ζ-2R)+ 2R^2 =0.
　(ξηζ) は球面上にあるから ξ^2 +η^2 +ζ(ζ-2R) =0.
　N(0,0,2R) と (ξ,η,ζ) を結ぶ直線がxy平面と交わる点(x,y,0)は 比例関係から
　x=2Rξ/(ζ-2R), y=2Rη/(ζ-2R)
　∴ 4R^2{ ξ^2 +η^2 +ζ(ζ-2R) }/(ζ-2R)^2 -4R{ aξ+bη+c(ζ-2R)+ 2R^2 }/(ζ-2R)
　　= x^2 +y^2 +4R^2 -2(ax+by +2cR)
　 = (x-a)^2 +(y-b)^2 -r^2.
　ところで、(ξηζ) は球面上にあるから、
　　　aξ+bη+c(ζ-2R)+ 2R^2 =0　　⇔　　(x-a)^2 +(y-b)^2 -r^2 =0.

　例) >209 のとき、R=2, N(0,0,4), ξ=1,
　　　　 (x-8)^2 + y^2 -48 =0.

訂正、すまそ。
451 (1)
　斜円錐（oblique circular cone）とか呼ぶらしい。2次曲面の1つ。

>>451
詳しく。
＞　Oからこの平面（円の中心）に下ろした垂線が球面と交わる点をHとする。
＞　ON=OH より, ∠ONH=∠OHN,
＞　∴ 直線OHは、Πおよび 問題の平面に 等しい角度で交わる。
これ意味わからん。HはOからαにおろした垂線の足じゃないの？
だったらOHとαは垂直なんでしょ？つまりHは円の中心？
ONはもとの球の半径でOHはもとの球と円の間の距離だからあきらかに球の半径より
小さいと思うんだけど。

>453
　(解1)
　球の最高点をN, 最下点をS, 中心をO,とする。
　球面上の円Cはある平面Π上にもある。
　Oからこの平面（円の中心）に下ろした垂線の延長線が球面と交わる点をHとする。
　ON=OH より, ∠ONH=∠OHN,
　∴ 直線OHは、Πおよび 問題の平面に 等しい角度で交わる。 ･････(a)

　円CをNHの法平面に投影すれば楕円である。これをEとすると E⊥NH。
　補題より、半直線NHはEの中心をとおる。
　NH軸の周りに180°回転しても楕円Eは元通り。∴ '斜円錐' も元通り。
　(a)より、円Cは問題の平面に平行な円C'に移る。
　∴ 円C' は平面上のCの射影と相似である。

〔補題〕半直線NHはEの中心をとおる。
　円Cの上端をN',下端をS'とすると、半直線NHは∠N'NS' を2等分する
　　∠HNN' = (1/2)∠HON' = (1/2)∠HOS' =∠HNS'
　∴ NHは∠N'NS' を2等分する。
　∴ NH⊥Eだから NHは楕円の主軸の中点をとおる。 (終)

454 の訂正
∴ 半直線NHは、Πおよび 問題の平面に 等しい角度で交わる。 ･････(a)

まだあった...orz. ﾍﾞﾘｨすまそ

>>454
全然わかんないすorz。
平面Πって球上の円Cを通る平面だよね。でHは球の中心Oから平面Πにおろした垂線と球の交点だよね。
ってことはこの直線とΠって直交してるでしょ？この直線と最初の平面、つまりSでの球の接平面ってあきらかに
いっぱんには直交してないとおもうんだけど。どうしてこの２角が等しくなるの？

>456
半直線NHと問題の平面の交点をPとすると
∠(NH,C) = 90°-∠OHN = 90°-∠ONH = 90°-∠SNP = ∠NPS

みんな私が悪いのよ♪

>>457
なるほど。やっとわかった。どもです。つまりNを頂点、底面を円Cとする斜円錐を延長してできる
の軸を中心にCをくるっと１８０°ひっくりかえすとこの斜円錐は（集合として）不動で（つまりこの操作で安定で）
Cはこの操作の後所与の平面、つまりSでの接平面と平行になってしまうっつーことか。なるほど。すばらすぃ。

>453,456,458
どもです。 つまり、斜円錐 = (直)楕円錐

>>59

面積最大の三角形
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1041437063/267-269

>>442のﾊﾞｰｼﾞｮﾝｱｯﾌﾟ版。実はこちらの方が簡単。

a、b、ｃ、d 、e、f、g、h は次の性質を満たす実数とする。

a^2+b^2=1、c^2+d^2=1、g^2+h^2=1、e^2+f^2=1、b≧0、d≧0、f≧0、h≧0

このとき、xy平面上の点 （(a+c+e+g)/4, (b+d+f+h)/4） が存在する部分の面積を求めよ。

logf(x)=logx /x（x>0）とする。
(1)f(x)の増減表を書け。
(2)99^100と100^99の大小を比較せよ。

恐ろしくどこかで見た問題なんだけど……

>>462
青チャートじゃないんだから、、
せめて(2)を単独で出せよ、それでもすぐにlogx /xにたどり着くけど。

>462 (2)
　Ｃ[n,k] = n(n-1)…(n-k+1)/(k!) < (n^k)/(k!) なので、二項定理より、
　(1 +1/n)^n = �納k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k < �納k=0,n] 1/(k!) < e.
　(n+1)^n / {n^(n+1)} = (1/n)(1+1/n)^n < (1/n)e <1.　　(n≧3)
　∴ n^(n+1) < n^(n+1).

>464
　たどり着きませんですた。

>465 の訂正でつ。
　∴ (n+1)^n < n^(n+1).

>>462
logf(x) =logx /x
両辺微分すると、
f'(x)/f(x) = (1-logx)/x^2
∴f'(x)=(1-logx)f(x)/x^2
一方 x>0 より、
logx/x <0 (x<1)
logx/x >0 (x>1)
であるから
f(x)<1 (x<1)
f(x)>1 (x>1)
増減表は
x　0　1　e
　 ×+++０-

a>0とする。関数f(x)はすべてのxについて
f(x)=2x+∫[0,a] f(t)dt
f(0)=1
を満たす。定数aの値を求めろ。

長万部工科大学の作問者になるスレじゃない

>>468
a={√(5) -1}/2

５分かからなかった。合ってるかどうかわからないけど。

f(x)=2x+∫[0,a] f(t)dt
f(0)=1

f(0) = ∫[0,a] f(t)dt =1
f(t)=2t+1
∫[0,a] (2t+1)dt
=a^2 +a =1
a>0より
>>468

という感じで解いたのだが、合ってる？

>>468
宿題は質問スレに出せ！

>>470-471
釣られるなよｗ

>>472
で、答え合ってる？

a={√(5) -1}/2

>>337
おもしろかった。これ自分で作ったの？だとしたらすごいね。

f(x) = x/x
y=f(x)
をxy平面に図示せよ

>>476
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　巛 ヽ.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ 〒ｰ|　イャッホォォォオゥ！！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　|　 |
　　 ■■■　　　　　　　　■■■　　　　　　　+/　/　　　■■■■■■■■
　　　 ■■　　　　　　　／⌒ヽ　　　　 ∧＿∧/　/　　　　　_ 　∩ 　　　 　　 ■■
　　　　■■⊂二二二（　＾ω＾）二⊃.（´∀｀_/　/.　　 　　(　ﾟ∀ﾟ)彡　　 　 　　■■
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>>475
なわけないだろ。
幾何の問題を書きなおしただけ。

>>478
冷たいな・・

ていうか、>>337は半円周上の2点の中点の存在範囲を求めている事位気付かﾅｲﾄ。

すべての面の面積が１の四面体の体積の最大値を求めよ。

答えだけは駄目だｼﾞｮｰ

中心を含んで球に内接するやつ

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/simenv.htm

0<r<1とし、xyz空間において原点を中心とする半径rの球と点(1,0,0)を中心とする半径sqrt(1-r^2)の球との共通部分体積をV(r)とする。
V(r)を求め、rが0<r<1の範囲を動くときのV(r)の最大値とそのときのrの値を求めろ。

>>484
xy平面において領域x^2+y^2≦r^2と(x-1)^2+y^2=1-r^2の共通部分を、x軸の周りに回転させた図形の体積を考えればいい
円x^2+y^2=r^2と円(x-1)^2+y^2=1-r^2の交点は(r^2,±√(r^2-r^4))であるから
V(r)=π∫(0,r^2)(1-r^2-(x-1)^2)dx+π∫(r^2,1)(r^2-x^2)dx=π(-r^4+r^2+1/3)
V(r)=-π(r^2-1/2)^2+7π/12と0<r<1からr=1/√2のときV(r)の最小値7π/12

積分範囲がちがうな
V(r)=π∫(1-√(1-r^2),r^2)(1-r^2-(x-1)^2)dx+π∫(r^2,r)(r^2-x^2)dxか。
計算はまたあとで

円周率を少数第4位まで求めよ
ただし求め方も書け

>>486
V(r)=π{-r^4 +2r^3 /3 +r^2 +(2/3)(1-r^2)^(3/2) -2/3}
となればおｋ

>>487
∫(1-(x^2)+(x^4)-(x^6)+(x^8)-…+(-(x^2))^(n-1))　…�@
=∫[0,1] (1-(-1)^n)dx/(1+x^2)
=∫[0,1] 1/(1+x^2) -∫[0,1] ((-x)^n)dx/(1+x^2)
(積分計算打つのめんどいので略します)
=π/4

一方、((-1)^(n-1))/(2n-1) = (-1)^(n-1)∫[0,1] x^(2(n-1))dx
であるから、n=1,2,3,・・・・n　で、
�@∫(1-(x^2)+(x^4)-(x^6)+(x^8)-…+(-(x^2))^(n-1))
=1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)-(1/11)+…+((-1)^(n-1))/(2n-1)
=π/4
となるので
π=4(1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)-(1/11)+…+((-1)^(n-1))/(2n-1))≡f(n)
n項までの和をf(n)と表記するとf(k)の少数第4位が、f(k-1),f(k=1)の少数第4位と等しくなるようなkを見つけ、
そのkにおける少数第4位をn=∞項までの和の少数第4位として採用する。
f(1)=4 f(2)=2.6666 f(3)=3.4666 f(4)=2.8952　・・・略 orz
π = 3.14159265 (∵pi = http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=pi&lr= )(死
∴πの少数第4位は5

>>487
粘ったのに最終的にはわからんかった
どうやるのか教えてください

>>484

少数第4位を求めよ　ではなくて
少数第4位まで求めよか・・・
問題も読み間違えた上に解けなかった俺は馬鹿だな・・ｗ

lim（n→∞）で円に内接する正n角形の外周を求める公式＝円周率の公式
それ作ってnに少数第5位くらいまで求めれる数代入するとかじゃきついか？

円に内接する正ｎ角形が出来る時、円の中心と正n角形の隣り合う二つの角で作れる二等辺三角形の中心からの角はn/2π
円の半径を1、正n角形の1辺をaとおくと、a=√{2-2cos(n/2π)}
円周率は、円の直径に対する円周の割合だから
π＝lim(n→∞) (n/2)√{2-2cos(n/2π)}＝3.14159...
・・・代入ﾏﾝﾄﾞｸｾ
面積でやったほうが簡単かも

東大になんかありそうだね

円周率が4より小さいことを証明せよ。

円に外接する正方形より円周が小さい事より明らか

>>496
明らかか？

円ＯとＯの内部(周含まない)の２点Ａ、Ｂがある。円Ｏに接し、点Ａ、Ｂをそれぞれ周上にもつ円Ｐを作図しなさい。

(円Ｐが円Ｏの内部にあることは示す必要ありません。)

>>498
問題の意味がようわからんのだけど。ABの垂直２等分線と円Oの交点のうちのどっちかCを
作図してABCの外接円を作図すればいいのかな？

しまった。いやちがう。垂直２等分線が直径とはかぎらんのか。吊ってくる。

>>498
Oの中心をC、Oの半径をrとして
点PがAを通りOと外接する円の中心⇔OP+AP=1−(1)
点PがA,Bを通る円の中心⇔AP=BP−(2)
だから楕円(1)と直線(2)の交点をもとめてそれを作図する方法をあたえよ？って問題？

>>498
そうか。方程式たててやらなくてもいいんだな。
まずどこでもいいから円上に直径NSをとる。Sを端点とする半直線SA、SB上にそれぞれ
SA･SA’=SN^2、SB･SB’=SN^2となるA’、B’を作図する。NにおけるOの接線lを作図する。
つぎにA’、B’の垂直２等分線とlの交点C’を作図する。Sを端点とする半直線SC’上に
SC･SC’=SN^2となるCを作図する。最後にABCの外接円を作図する。
これで終了と。

しまった。ちがうや。A’、B’をとおりlに接する円を作図しないといけないのか。

再挑戦。>>502までの前半はまで同様にしてA’、B’、lを作図する。
A’、B’の垂直２等分線とlの交点Pを作図する。Pを中心としA’、B’を通る円ΓとA’、B’の垂直２等分線mを
作図しΓとmの交点をU、Vとする。ただしlにかんしてUの方がA’、B’と同じ側にあるとする。
Vを端点とする半直線A’V、B’V上にA’’、B’’をA’V･A’’V=UV^2、B’V･B’’V=UV^2となる点を作図する。
直線A’’B’’の垂直２等分線とΓの交点のうちの一方をC’’とする。
Vを端点とする半直線C’’V上にC’V･C’’V=UV^2となる点を作図する。
以下>>502の後半につなげる。
今度こそきっと桶。

次の不等式を示せ。
√2 ＜ e^(1/e)

>>505
宿題は質問スレに行け！

>>505
f(x)=(1/x)*ln(x)の増減を調べる。

みなさま、スレ汚しまことにもってｽﾏｿ。>>504もまちがってる。で以下再修正、というか全面改定。
Step1)OをCの中心とする。Oに関してのAの対称点を作図しA’とする。C上の点JをOJ⊥OAと作図する。
直線OA上にJA’⊥JKとなるKを作図する。
Step2)OAの中点Lを作図する。さらにKLの中点Mを作図する。Mを中心、半径MK=MLの円C2を作図する。
CとC2の交点の一方をNとする。
Step3)直線KB上に∠KNB+∠KNB'=πとなる点B’を作図する。
Step4)Oを中心、半径がCの半径の半分の円C2を作図する。OB’の垂直２等分線とC2の交点の一方をPとし
OPを2:1に外分する点をD’とする。
Step5)直線KD’上に∠KND+∠KND’=πとなる点を作図する。
Step6)△ABCの外接円を作図する。←これが答え。
　
円−円対応の理論しってるひとにはこれが答えになることはわかる筈･･･あってんだろなコレ？･･･今度こそ？？

>>495
確か東大で過去に
「円周率は3.15より小さいことを示せ」みたいなのが出てた気がする
劣化し杉

それ去年の問題

それでぉｋだと思います。お疲れ様です(^O^)/

一辺の長さが1の立方体を平面で切るとき、
断面の面積の最大値を求めよ。

>505-507
x=e^t >0　とおくと e^t = e･e^(t-1) > e･t,
　f(x) = log(x) /x = t/(e^t) ≦ 1/e =f(e).
　x^(1/x) ≦ e^(1/e) ≒ 1.44466786100977･･･

f(x)=(1/(√2π)σ)exp[(x-μ)^2 /2σ^2]について、f(x)の概形を描け。

おっぱい

>515
　ただし陥没乳頭

K子の乳輪の大きさは半径2cmの正確な円である
ある時K子の乳輪の外に接したところに毛が生えてきた
その後次々と乳輪の外側と一つ前に生えた毛と同時に接するところに毛が生えていった
毛の直径を計ると0.3mmだった
K子の乳輪を毛が埋め尽くした時、毛は何本生えているか

訂正　毛が条件通り生えることが出来なくなった時、乳輪の周りに毛は何本生えているか

>>515-518

↓いいスレでつよ...

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1128697145/

だれが性器分布を描けといったか

ｴﾛいくせになかなか難しいな

二つの毛の中心と乳輪の中心で三角形を作って
乳輪の中心からの角度を360から割ってガウスつけりゃいいんか

複素数zが|z|=1を満たす場合、|z|+1/|z|を求めお

２

>>523
サンクス

おまえは四則演算もできないのか

zを複素数とする。|z|=1が満たされるときz+1/zを求めの

zを複素数とする。|z|=1が満たされるときz+1/zを求めぬ

z=cosθ+isinθ

z^(-1)
=cos(-θ)+isin(-θ)
=cosθ-isinθ

z+z^(-1)
=2cosθ

複素数zが|z|=1を満たしながら動くとき、
w=(1+z)^2 /2
について考える。
(1)Im[w]がとりうる値の範囲を求めよ。
(2)wが複素数平面上に描く曲線の長さを求めよ。

>530 (1)
z=e^(iθ) とおくと、1+z = 2cos(θ/2)e^(iθ/2),
　arg(w) = 2arg(1+z) = θ = arg(z) だから, w = |w|z,
　|w| = (1+z)(1+z~)/2 = 1 +cosθ.
　これは心臓形（cardioid）の極座標表示である。
　w=u+iv とおくと u^2 +v^2 -u = |w|^2 -u = |w|.
　デカルト表示: (u^2 +v^2 -u)^2 = u^2 +v^2.
　| Im[w] | = |v| ≦ (3/4)√3.

こうこうのはんいでとけ

>530,532

(1)　w = u+iv = (1+cosθ)z より、u=(1+cosθ)cosθ, v=(1+cosθ)sinθ.
　v^2 = (1+c)^3･(1-c) =(1/3)(1+c)^3･(3-3c) ≦ (1/3){(1+1+1+3)/4}^4 =27/16.　(←相加･相乗平均)
　|v| ≦ (3/4)√3, 等号は cosθ=1/2, u=3/4 のとき.

　蛇足だが、u=(1+c)c=(1/2 +c)^2 -1/4, -1/4≦u≦2, 等号はcosθ=-1/2, 1のとき.

(2)　z=e^(iθ) だから dz=izdθ, |dz|=dθ.
　w=(1+z)^2 /2 だから dw = (1+z)dz, |dw| = |1+z|･|dz|
　また、|1+z| = √(2+2cosθ) = 2|cos(θ/2)|.
　∴ �倒dw| = 2∫[-π,π] cos(θ/2)dθ = 2［ 2sin(θ/2) ］(θ:-π→π) = 8.

ある直線上に沿って進むか、戻るかの動作しかできないアリがいる。
このアリが、次のような規則に従って1メートル離れた二つの点A,Bを移動する。
規則は次の通りである。

nを1以上の整数とする。
線分ABをn+1等分し、分割する点をC(1)、C(2)、C(3)、…、C(n)とする。
アリは点Aを出発した後、点列Cをランダムな順番で全て回り、最後に点Bへ移動する。

このとき、アリの移動距離の期待値をnを用いて表わせ。

項数nの単調増加数列 x(i) ( 0＜x(1)＜x(2)＜…＜x(n) )と
x(i) を並び替えて得られる数列 y(i) を考える。

Σ[k=1,n] x(k)y(k)

を最小にするような数列 y(i) は x(i) を逆順に並び替えた物であることを示せ。

かんすうf(x)=3cos2x +7cosxとしゅる。∫[0,π]|f(x)|dxをもとめろ。

>535
　背理法による。
　∃(i,j):　{x(i)-x(j)}{y(i)-y(j)}>0 だったとすると、
　Σ[k=1,n]x(k)y(k) = �納k≠i,j]x(k)y(k) + x(i)y(i) + x(j)y(j)
　> �納k≠i,j]x(k)y(k) + x(i)y(j) + x(j)y(i) となり、最小性と矛盾する。(終)

>536
　へぇへぇ求めますた。
　f(x)の原始函数は F(x)=(3/2)sin(2x) +7sin(x).
f(x) = 6cos(x)^2 +7cos(x) -3 ={3cos(x)-1}{2cos(x)+3}
a = arccos(1/3) とおくと、(a-x)f(x)≧0, sin(a)=(2/3)√2.
　∴ 与式 = ∫[0,a] f(x)dx - ∫[a,π] f(x)dx = 2F(a) - F(0) - F(π) = 3sin(2a) +14sin(a)
　= 2sin(a){3cos(a)+7} = (32/3)√2.

>>536
あのな、宿題は質問スレに書けや、ビチクソがぁ！

>>537
いいかい、屑を甘やかしてたら、また同じことをするぞ！
無視しろや、このビチクソがぁ！！

>>535はお茶の水とか東大に類題が出てたね

age

>>538
死ね

>>535 のとき、

Σ[k=1,n] x(k)y(k)

を最大にするような数列y(i)は x(i)自身であることを示せ。

>>542
それはコーシーになるからやらなかった。。。

ってか{x_k}_{k=1}^{k-N}とy_k}_{k=1}^{k-N}
をそれぞれ一つずつ掛け合わせて足したとき、和が
最大になるのは最小の物同士、小さい方から2番目同士、、の順に足したとき
最小になるのは片方を逆順で足したときであることを示せ、

ってのが既に過去問にあったかと、、

>544
　{y_k} を 「{x_k}を並び替えて得られる数列」 にする必要はない罠．．．

自然数 n に対し関数 f:N→N を次のように考える。

f(n) は n を超えない全ての自然数の内、約数の個数が最大になるような
自然数の中で最小のものである。
例) f(1)=1 , f(2)=2 , f(3)=2 , f(4)=4 , f(5)=4 , f(6)=6 , f(7)=6 , f(8)=6

f(n) が 5 の倍数になるような n をひとつ求めよ。
そのような n が存在しない場合は理由を示せ。

ｆ（５９）＝４８。
６０≦ｎ。

次の式を因数分解しなさい。 できない場合はそのことを照明しなさい。

1) x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
2) x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz

>>548
基本対称式を使って
u = x+y+z
v = xy+yz+zx
w = xyz
1) (与式) = u^3 - 3uv = u(u^2-3v)
2) (与式) = u^3 - 3uv + 6w
１は因数分解できた。
２はできなそう。（未完）

f(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz とおく。
明らかに f(x,y,z) が 因数分解できるならば、xの式 f(x,1,1) も因数分解可能である。
以下、f(x,y,z) が因数分解可能であるとして背理法を用いる。

背理法の仮定より、f(x,1,1) = x^3 + 3x + 2 が因数分解可能である。
明らかに上式はxについての1次式×2次式の形に因数分解することができる。
（ ただし、２次式が既約である保証はない ）

この事から、a,b,c,d,eを整数として
x^3 + 3x + 2 = ( ax + b )( cx^2 + dx + e )
となることが分かる。従って
ac=1
be=2
が成立する。　a=c=1としても一般性を失わないので上の式は
x^3 + 3x + 2 = ( x + b )( x^2 + dx + e )
be=2
と改めることができる。b,eが整数であることから、
b=±1, ±2　となる。

背理法の仮定と因数定理より
f(x,1,1)=x^3 + 3x + 2=0 の解のうち少なくとも一つは x=±1, ±2 である。
しかし、実際にはこのような事は成立しない。

以上より背理法の仮定が成立しないことが分かる。
すなわち、f(x,y,z)は因数分解できない。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Q.E.D.

ってなわけで、>>548に追加。


3) x^4 + y^4 + z^4 + w^4 - 4xyzw
4) x^4 + y^4 + z^4 + w^4 + 4xyzw


解答は持ってないけど多分>>550と同じような形でできると思う。
でも悲しいかな、因数定理が使えない……

age

Σ[k=1,n]3^(nｰ1)と表せるすべての自然数(1,4,13…)は次の性質をもつことを示せ。
性質：その自然数をうまくn個に分割する。分割したn個の数をいくつか使い適当に+,-でつなげると1からΣ[k=1,n]3^(nｰ1)までのすべての自然数をつくれる。

(4ならば1と3に分割することで1、3-1、3、4となる)

x^n + y^n = z^n

nが3以上の自然数であるとき、上式に解がないことを示せ。

>>554
反例
x=y=z=0

こういう阿呆は放置するのが吉かと

ｘ＾２−２ｙ＾２が因数分解できないことを証明しなさい。

>>556
お前のことだ！

>>557
ｘ＾2−2ｙ＾2 = (x+y√2)(x-y√2)

いい子だから、背伸びしないで 算チャレでもやってろ！

因数分解できないことの証明は、明らかに高校までの数学の指導要領から逸脱しているような。

>>560
計算用紙が真っ黒になるまで、算チャレでもやってろ！

talk:>>561 約二週間後に資格試験があるんだよ。

2週間後の試験について心当たりがある方、発言願います。

>>559
そういうのは「因数分解」とは言わない。
単に「因数分解」とあれば有理数の範囲ですのが定説。
どちらがおこちゃまだかｗ

馬鹿降臨！

>>559
あぁ、確かに言われてみればそうだが、一種の揚げ足取りだな……


>>550
整数係数の範囲で因数分解するっていう意味だと思うが、
解答は間違い。

＞ 明らかに f(x,y,z) が 因数分解できるならば、xの式 f(x,1,1) も因数分解可能である。

ここが間違ってるよ。

皆さんの様に数学が出来る様になるにはどうしたらいいのですか(>_<)？

>>567
世俗と縁を切ることからはじめよう！
まずは欲を捨てることだ！
貯金をおろして私に差し出しなさい。
君が数学が得意になるために、代わりに処分してしんぜよう！

Doverのぺーパーバック数学シリーズでお勉強すれば、それなりに
なりますよ。上手になったらＵＣＬＡ　バークレーにゆくと、かなりいい
先生たちがいます。

>>564
なにそのライフスペース。

talk:>>568 とりあえず私に1000000000000円くらいくれ。それくらいの金があれば悪を潰すこともたやすいであろう。

>>571
あー、あーあー、聞こえますか？
10^nの形でおながいします

talk:>>572 1.000000000000*10^12円。頭のおかしい人が居なかったらもっと少ない額でも一生暮らせるんだがな。

>>573
おまえが言うなよｗ

次の命題の真偽を判定せよ。

「関数 ｆ(x）が、２つの区間 (a，b) 及び [b，c) で微分可能のとき、
区間 (a，c) で微分可能である。」

ふぁるす

(a，b] 及び [b，c)
でも成立しないよ

>>575
宿題は質問スレに池！

>>577
釣られるなよ！ 命いくつあっても足りないぞ！

>>553
　3進数で考える。
　題意より N =�納k=1,n] 3^(k-1)
　0≦m≦N ⇒ N-m =�納k=1,n] c_k 3^(k-1),　c_k は (0,1,2)の一つ. ←3進表示
　∴ m = �納k=1,n] (1-c_k) 3^(k-1),　1-c_k は (-1,0,1)の一つ.

>>553で言いたいことが分からないけど、、
何で2をあらわすときに3を使って良いの？
使っていいのは1,4,13…じゃないの？

>>580
ﾖｺﾚｽするとたとえば40=1+3+9+27と分割すると1〜40までの数を
この４つの加減であらわせるって意味だよ。>>553の問題もそのような“分け方”がとれる
ことをしめせって言ってる。

いや3の累乗を足したり引いたりですべての数を表せるのは分かるんだけどね
そういうことか

分かりにくい表現だなあ、、

これ結構ネット数学界では有名な問題なんだよな。
１〜３１グラムを１グラム刻みで天秤で測れるようにするには最低何個分同を用意する必要があるか？
みたいな形で出題して１、２、４、８、１６の５個ってひっかける香具師。
実は１、３、９、２７の４つで１〜４０まで測れる。

等式 n・C[n, k-1] - C[n, k] = (k-1)・C[n+1, k] について
(1) 計算して示せ。
(2) 組合せ論的解釈により示せ。
ただし、C[n ,r] は二項係数である。

talk:>>584 「組み合わせ論的解釈」とは何かという問題が出てくる。(私が知らないだけかも知れないが、それでも大学入試には説明なしで出ることはないだろう。)

サイコロとか ジャンケンとか カードを引くとか 袋から玉を取り出すとか
何かの試行を設定して、その組合せの数を２通りの方法で求めることによって
等式を証明することを言うのではありませぬか？

>>584
C[n,k-1]はn個の中から(k-1)個選ぶ組み合わせだから・・・
等と解釈しろってことなのかなー

二項係数タン、ハァハァ…

f(x)=x^2 + ax + b (a,bは定数)とおく。
任意の正整数nに対して

　∫_[0,1] (2x-1)・{f(x)}^n dx = 0

が成り立つための、
a,bの満たすべき必要十分条件を求めよ

>>584
だれか (1) でもいいから、解ける猛者はおらぬか？

ｔ＝2ｘ-1 と置換。

f(x)を実数値をとる連続関数とする。

∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dxdy < ∫[0,1] |f(x)| dx

を満たすf(x)をひとつ求めよ。

2重積分は範囲外。

どのような負でない2つの整数s、tを用いてもx=3s+5tと表せない負でない整数xを求めてね。

1、2、4、7

答えのみは15‰減点

△ＡBCにおいて辺ＡBを1：2に内分する点をD、辺ＡＣを3：1に内分する点をEとする。また２つの線分CDとBE の交点をPとし直線ＡPと辺BCの交点をQとする。
(１)BP：PE、CP：PDを求めよ。
(２)AP：PQを求めよ。

解き方、答えが分からないので教えてください。

ここは質問スレではない
死ね

talk:>>594 3で割って1余る整数は10以上のものは表せる。3で割って2余る整数は5以上のものは表せる。s,tが0以上の整数かつ3s+5tが8未満になる(s,t)の組み合わせは(0,0),(0,1),(1,0),(2,0)のみである。

Σ[k=1,n] k
が 5 以上の素数で割り切れない最大の n を求めよ。

Σ[k=1,n] k^2
が 5 以上の素数で割り切れない最大の n を求めよ。

訂正

Σ[k=1,n] k
が 5 以上の素数で割り切れない最大の n を求めよ。

Σ[k=1,n] k^2
が 7 以上の素数で割り切れない最大の n を求めよ。

p，qを互いに素とする
pの自然数倍とqの自然数倍の和で表せない最大の自然数を求めよ

∞

>600-601
　n(n+1)/2 が5以上の素数を因数に含まないので 2^a･3^b の形である。
　n と n+1 の公約数は1しかないので、 一方が2^a, 他方が3^b となる。
　aが奇数のとき 2^a≡(-1)^a =-1　(mod 3)
　∴ 3^b-2^a=1,または 4^c-3^b=1 の形になる。
　u-v=1 に限れば、u^b-v^a=1 の解は 3^2-2^3=1 だけ。(Le Veque,1952)
　（数セミ1999年6月号に、H.B.Yuによる初等的証明がある。）
　よって n=8

カタラン予想
　http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html

>>589
a=-1

>>602
pq？

P(X≦ｘ)=F(X)=∫[0,x]f(x)dx　μ=∫[0,∞]xf(x)dx　σ=∫[0,∞](x-μ)^2f(x)dxとするとき
P(|X-μ|≧kσ)≦1/k^2を示せ。

訂正

P(X≦ｘ)=F(X)=∫[0,x]f(x)dx　μ=∫[0,∞]xf(x)dx　σ^2=∫[0,∞](x-μ)^2f(x)dxとするとき
P(|X-μ|≧kσ)≦1/k^2を示せ。

追加
ただし全ての実数に於いてf(x)≧0とする。

>>601
後半御願い

このスレの意図は問題をつくらせ改竄し模試に利用しようとしているに違いない。
大手予備校などの問題作成委員が見ている。

このスレは即刻やめにしたほうが良い。

ちっ、見つかったか！

ここの問題を生徒に教えたことはあってもだね

数学が好きな人間（性別、年齢、職業問わず）が何年かかろうとも
オリジナルで興味深く知識ではなくどちらかと言うと思考を重んじた
問題をまるで東大入試問題を装ったかの様で、その実、受験問題の
くだらなさを露呈させるかの様に出題していく、塾がいかにくだらな
く数学ではないと言う事を示す様なそんなスレです。
難易度なんか問題ではありません。実際にぶつかる数学の問題はほとんど
がどっかに正解があったり、先生がいつも教えてくれる様な物ではないか
らです。
形だけ高校生程度の知識で解けるまるで東大入試問題の様ではありますが、
その実、「数学」を考えさせるそんなスレです。

>>606
然り

xとθはsinθ+xcosθ＝1を満たす。
xが2≦x≦3の範囲を動くとき、tanθの取り得る値の範囲を求めよ。

s=1-xc.
c^2+(1-xc)^2-1=0.
c((1+x^2)c-2x)=0.
c=0,c=2x/(1+x^2).
s=1,s=(1-x^2)/(1+x^2).
t=1/0,t=(1-x^2)/2x.

次の条件を満たす関数f(x)を一つ見つけよ。

・任意の点で連続
・稠密な点で微分不可能

フラクタル

619>
返答ありがとうございます。

フラクタルに関連した問題を考えたいのですが、やはり図形的な問題でなければ高校生(東大受験生なら知っているかもしれませんが)には難しいでしょうか？
例えば、さっきの問いを受験問題風にする場合、どうするべきでしょうか？

長文、駄文ｽﾏｿ

高木函数とか
Javaのプログラミング演習のときにグラフ書いた

受験問題に出てくるフラクタルの問題と言えば
コッホ曲線って相場が決まってるだろ

東大後期には別なのも出たことあるんだっけ？

622>
どっかの高校入試にも出たらしいですね。どんな問題か知りませんが、ﾁｮｯﾄ意外。

東大でも他はないのではないでしょうか？候補は…ﾜｶﾝﾈφ(.. ) ド・ラーム関数とか？

無理数では０、分子が偶数の有理数ではうえに凸、分子が奇数なら下に凸
この関数をフーリエ変換してください。凹凸は上下に+/-１．

>>624
> 分子が偶数の有理数ではうえに凸

おーい、誰かこの池沼の相手をしてやれや！

>>624
はい意味不明

e+π及びeπが無理数であることを証明せよ。

f:x->1 x=2n/(2m+1)
x->0 x=R-Q
x->-1 x=(2n+1)/(2m)
n,m=Z

>>627
それは高校生には解けない

高校生には解けないってかそもそも解決されてたっけ？
どちらかが無理数であることなら証明できるけど

eとπの超越性を使わずに示せるの?

超越性を使えば示せるの？

>>632
解と係数の関係を使う。

(x-e)(x-π)=0なる方程式を考える。
e,πの超越性より、明らかにe+π、eπのどちらかは無理数。

>>633
それで示せるなら解と係数の関係など使わなくても出来るだろ

超越数の定義を書け

>>635
質問は質問スレに行け！

それで問題は十分

1+(t)*Pf1+(t)/t=1+(t)logt

>>633が一寸意味わかんないんだけど、、
誰か解説ｷﾎﾞﾝﾇ

I(a)=∫[0,1]|x-a|e^(-x) dxの極値を求めよ。

求めました。

次の問題どうぞ。
↓↓↓↓↓↓↓

>>640
>>636

>640
　a<0　⇒　|x-a|=(-a)+x, I(a)=(-a)∫[0,1]e^(-x)dx +I(0) > I(0).
　a>1　⇒　|x-a|=(a-1)+(1-x), I(a)=(a-1)∫[0,1]e^(-x)dx +I(1) > I(1).
　0<a<1　⇒ I(a) = (a-1) + (a-2)/e +2e^(-a)

どのような三角形ABCに対しても、
sinAsinBsinC ≦ k ABC
が成り立つような最小のkを求めよ。
ただし、ABCは△ABCの面積である。

>>644
そのような k は存在しない。これを背理法で示す。

仮にそのような k があったとすると、
任意の △ABC に対して
　sin A sin B sin C ≦ k ABC　……(1)
が成り立つから、特にいま
直角二等辺三角形 ABC であって
　AB = AC = √(1/2k)
　∠A = 90°
なるようなものに対しても、
(1) が成り立たなければならない。

しかし、この △ABC において
　sin A sin B sin C = sin 90°sin 45°sin 45°= 1/2
また
　k ABC = k × 1/2×AB×AC = 1/4
ゆえに、(1) は
　1/2 ≦ 1/4
という式であって、これが成り立つのは不合理である。

すなわち題意の k があったとする仮定は不合理で、
したがってそのような k は存在しない。

>>645
すまん、なんか条件が抜けてたらしい

とりあえず、周長が1っていう条件を足してみる。
そうしたら、AB = AC = √(1/2k) っていうとり方は容易にできないからな

マジごめん、思いっきり勘違いしてた。

sinAsinBsinC ≦ k ∠A∠B∠C

の間違いだったorz
でも、これじゃ簡単すぎルポ

それは一年生の期末テストだな

>643
　a=1-ln((1+e)/2) ≒ 0.379885493041722･･･ のとき
　最小値 1-{(1+e)/e}log{(1+e)/2} ≒ 0.151758114759607･･･

>644
　凡例：　面積が (3/8k)√3 より大きい三角形

　(略証)　sin は 区間(0,π) で上に凸、 3^5=243<256=2^8 だから、
　左辺 ≦ {[sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3}^3 ≦ sin[(A+B+C)/3]^3 = sin(π/3)^3 = (3/8)√3.
　面積が (3/8k)√3 より大きい三角形ABC をとれば不成立。

>648
f(x) ≡ log{sin(x)/x} とおく。
　f "(x) = -1/sin(x)^2 +1/x^2 < 0 (上に凸)より、
　f(A) + f(B) + f(C) ≦ 3f((A+B＋C)/3) = 3f(π/3) = 3log{(3√3)/2π}.
　sin(A)sin(B)sin(C)/(∠A∠B∠C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ≡k.
　等号成立は正3角形のとき。

不等式スレ
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/458

以下の条件を全て満たす関数を1つ作れ

全区間で無限回数微分可能
常に下に凸
定義域、値域ともに[-∞,∞]

以下の条件を全て満たす関数を1つ作れ

全区間で無限回数微分可能
常に下に凸
定義域、値域ともに[-∞,∞]
漸近線が存在しない

>>653
恐らく、漸近線が存在しないっていう条件は
f(x)=e^x - x
っていうのを避けるための表現だろうな。

ところで、f(x)=e^xの漸近線って、e^xそれ自体も含むんだっけ？
後は、e^(2x)　（x->-∞）　とかさ、そういうの

漸近線って普通は直線だろ、、

>>654
ゆとり教育ワロス！
さらしあげ

654 １３２人目の素数さん sage New! 2005/10/31(月) 14:08:40
>>653
恐らく、漸近線が存在しないっていう条件は
f(x)=e^x - x
っていうのを避けるための表現だろうな。

ところで、f(x)=e^xの漸近線って、e^xそれ自体も含むんだっけ？
後は、e^(2x)　（x->-∞）　とかさ、そういうの

定義域が[-∞,∞]って(-∞,∞)の誤植？

>>654
ゆとり脳でスカスカになったスポンジ野郎でも数学をするのですか？

まー漸近線の定義はテキトーだよな。
例えば、x軸はy=0やy=(e^x)sinxなどの漸近線かって言われると
定義によるとしか言えないよな。

恥の上塗りはやめろ

>>661
何も知らないんだね

>>660
もう喋らないほうがいいと思うよ。
引き篭もってないで、岩波の数学辞典でも読んできたら？

うは、視野狭スｗ

言葉の定義一つでここまで言うか……
本質的でもないだろうに

ぜんきん‐せん【漸近線】
ある曲線が、原点から無限に遠ざかるにつれて、
限りなく近づいてはいくが、決して交わらないし、接しもしない直線

|f-g|->0　as t->∞
∫|f-g|dt=0　f=g　a.e.

数学的には交わるのも許可したほうが定義しやすいよな。

交わる漸近線もあるの？

つy=(e^x)sinx

>>668
定義しやすいが性質が弱い。
曲線までの距離が単調減少してこそ漸近線。

以下の命題の真偽を述べよ。
「直線y=0は曲線y=(e^x)sinxの漸近線である。」

このアンケートは成績に反映されることはありません。

>>672
岩波数学辞典の曲線の章の曲線の形状の項(87g)にのってる定義にしたがえば
漸近線ぽいね。
――
Cが無限分岐C0をもつ、たとえばC0がy=f(x)であたえられかつxの変域が[a,∞)の形
になっているとき、(t,f(t))における接線がt→∞で極限の位置をもつときその位置を
漸近線とよぶ。
――
極限の位置って定義がないけどたぶん曲線をP^2の元とみなしたときの極限という
意味だろう。y=f(x)の形の曲線の接線ならy=f’(t)x-f’(t)t+f(t)だから
t→∞のときf’(t)も-f’(t)t+f(t)もある値に収束するときその極限を漸近線とよぶという
定義にみえる。だとすると>>672の例はf’(t)=e^t(sint+cost)で(-∞,0]で定義される分岐で
y=e^t(sint+cost)x-te^t(sint+cost)+e^tsintはt→∞でy=0x+0に収束する。

あ、t→-∞ね。ちなみに文章は多少かえてるけどだいたい本文どおり。

次の条件を満たす最小の正の実数Sを求めよ。

条件
x-y平面上に面積S以上の三角形をどのように描いても
その三角形の内部（周を含む）に格子点が存在する。

>>673
岩波持ってないから質問するけど
漸近線って曲線を許すの？許さないの？

無限遠点で曲線に接する直線を，有限曲線の漸近線という。

>>675
ごめん、なし

>>675
そんなの存在する？どんなにおおきなSをとっても面積Sで内部にも周にも格子点を
もたない三角形がとれるような気がする。底辺4Sで高さ1/2で内部に格子点もたないように
三角形作れるような･･･

>>676
直線だけだとおもうよ。たぶん極限の位置って直線全体の集合における極限で当然直線。

>>679
ｺﾞﾒｿ
勘違いしてた。

>>676
お前>>654だな。

あ、という意味だと思うって意味。極限の位置って定義がのってないからなんとも
いえないけど普通に考えてそういう意味だとおもう。すくなくとも数学辞典の定義では
無限回交叉するとかしないとかは関係ないみたい。

訂正

x-y平面上に三角形をおく。
この三角形は、どのように平行移動しても、回転しても必ずx-y平面上の格子点を含む。

三角形の面積Sの範囲を求めよ。

>>673
thx

>>682
なんか、あったの？

ｙ＝（２＋ｓｉｎ（ｘ＾２））／ｘ。

曲がった曲線が漸近線で無いのは確かっぽいな

ってか岩波数学辞典の定義ってかなり分かりにくいな
何だこれ

わかりにくいっちゃわかりにくいけどまあようするに
接線の傾きも定数項もt→∞とかt→-∞で収束するときに漸近線とよぶって意味だろ。
だからy=ax+b+f(x)でlim[t→∞]f(t)=0、lim[t→∞]f’(t)=0の形のときに
y=ax+bを(t→∞における)漸近線と呼ぼうという定義だと思う。

>>686
なにがいいたいの？こんな例が漸近線だけどf’(t)→∞じゃないぞっていいたいの？
んなこといわれてもおれが数学辞典の定義かいたわけじゃないからしらねーよ。
そういうのは漸近線ってよばないんだろ？数学辞典の定義によれば。
文句あるんなら岩波に手紙でも書いたら？

高校の教科書に漸近線の定義って載ってるのか
乗ってなければ、範囲外だろ

f’(t)→0は収束しないぞっていいたいの？だ。orz。
ほんというと数学辞典の定義よむまではオレ>>686の曲線はy=0に漸近するって
答えてたかもしれん。しかし漸近するの意味にはどうも傾きも収束しないといかんようだ。

>>666だとなるな

>>690
漸近線そのものは出てきてた。
定義は憶えてないが。

こりゃ岩波次版改訂だな

俺らが決めるこっちゃねーべ

>>666だと>>686でもy=0は漸近線だね。確かに。しかし>>666の出典があきらかでないから
オレは岩波の定義を採る。理由：長いものにはまかれろ。

>>685
うせろ！

チャート式に出てるのでもなるな

受験数学だと>>686は漸近線だよな

しっかし、そもそも>>653の意図は
lim[x->∞] f(x)-(ax+b) = 0
lim[x->∞] f(x)-(cx+d) = 0
を満たすような実数a,b,c,dが存在しないような……

って事なんじゃないのか。細かいことをｸﾞﾀﾞｸﾞﾀﾞと……












すまんせん、俺が発端ですorz

>>699
んなことはない。
数研出版の教科書では>>666だ！

意外だ。岩波数学辞典よりチャートに載ってる定義の方が人気あるな。
オレはべつに岩波のまわしもんでも曲線の項の筆者のシンパでもないからどっちでもいいんだが。

広辞苑引いてみた

曲線k上を点Pが限りなく遠くへ移動する場合に、点Pからの距離が
無限小となるような定直線gが存在するとき、gをkの漸近線という。

広辞苑も岩波なのに

こういうことですな。
曲線は漸近線には含まない。

いまあらためて岩波数学辞典みてみた。やっぱり
t→∞で直線と(t,f(t))の距離→0は必要条件ではあるみたいな記述があるので
（正確には｢このときC0上の点P(x0,y0)からlまでの距離は,x0→∞のとき0に収束する｣とある）
岩波数学辞典は距離→0は漸近線であるための必要条件の一つではあるが
十分条件ではないという立場をとってるように見える。
意外に支持されないな。数学辞典。

　　　　　　　　　1/x 　(e^x)sinx 　(2+sin(x^2))/x
岩波数学辞典　　○　　　　　○　　　　　　　×
広辞苑　　　　　　 ○　　　　　○　　　　　　　○
数研出版　　　　　○　　　　　×　　　　　　　×

そこで解析概論でつよ！

俺は広辞苑がいちばん明快だと思う
岩波は(2+sin(x^2))/xをはじく根拠がよくわからん

>>707

> 703 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/31(月) 23:37:10
> 広辞苑引いてみた
>
> 曲線k上を点Pが限りなく遠くへ移動する場合に、点Pからの距離が
> 無限小となるような定直線gが存在するとき、gをkの漸近線という。

定直線gが
定直線gが
定直線gが

どうやら、日本語に不自由している方々が多いようですね・・・

こうじゃないか？

　　　　　　　　　1/x 　(e^x)sinx 　(2+sin(x^2))/x
岩波数学辞典　　○　　　　　○　　　　　　　×
広辞苑　　　　　　 ○　　　　　○　　　　　　　○
数研出版　　　　　○　　　　　×　　　　　　　○

馬鹿が増えたな。

>>708
解析概論は岩波数学辞典と同じだね。7章、微分法の続き（陰伏函数）§86曲線の方程式(p312)。
つうか数学辞典の方が解析概論ひきうつしたのかもしれないけど。

撤回。解析概論の定義は岩波のソレと同じとはいいがたいかもしれない。
正確には解析概論には漸近線の定義はなくて一例として曲線
x^3+y^3-3axy=0 (a>0)
があげられていてt=y/xを媒介変数としてこの点における接線は
Xt(2-t^3)-Yt(1-2t^3)=3at^2
になりt→-1のとき極限の位置としてX+Y=-aを得るとある。その後の文章を丸写しすると
｢t→-1のとき、接線の極限の位置としてX+Y=-aを得る。それは漸近線(asymptote)である。
実際、点tからX+Y+a=0へのきょりは･･･中略･･･で、t→-1のとき限りなく小さくなる。｣
とある。つまり漸近線であることのチェックを点と直線の距離がかぎりなく小さくなるか否かでチェック
してるので解析概論では距離→0で漸近線であることの必要十分条件であるようにあつかってるように見える。

解析概論ﾋﾞﾐｮｽｗ
ビシッと定義してくれよ

Bourbakiとかどうなってるんだろ

>>684
２かな？とりあえず内部に格子点をもたない三角形のうち面積最大であるものを求めよって
問題によみかえると２になるみたいなんだけど。

俺も2と思うがループ注意

つまり解析概論は広辞苑と同じってことか

>>718
これってまだやっぱ問題がおかしくね
たとえば面積0.1の三角形でも、うまく動かしたら格子点を含むようにできるんだけど

>>720
いや、>>684の問題はどう配置しても絶対格子点にふれてしまうような三角形の面積の最小値をもとめろって
いってるんだろ。面積0,1の三角形だとどんな変な形の三角形をつくってもうまく配置すれば格子点に
ふれないようにできる。

>>718の読み替えがおかしいだけだろ

>>722
なんで？>>684の問題は文章がちょっとうまくないので補足すれば
　
条件　△ABCはどのように平行移動しても、回転しても必ずx-y平面上の格子点を含む。
　
この条件を満たす△ABCの面積の範囲をもとめよ。
　
がまあ妥当な補足で>>718と同じ答えになると思うけど。

>>718を冷静に読んでみな

>>724
ああ、すまん。>>718はおかしかった。>>723のように書けばよかったorz。
たぶん答え２じゃないかな？かなりラフに議論してるから勘に近い。

漸近線は直線だ。覚えておけ

曲線も可だったらカルチャーショックだよ

ああそういうことか。ｽﾏｽ

　条件Ａ　「この三角形は、どうやって配置しても格子点を含んでしまう。」
これの否定は
　条件Ａ′「この三角形は、うまく配置すれば格子点を含まないようにできる。」

で、元々の S の条件は
　「面積 S の三角形のうちに、条件Ａをみたすものがある。」
だけど、これの否定は
　「面積 S の三角形は、どれも条件Ａをみたさない。」
つまり
　「面積 S の三角形は、どれも条件Ａ′をみたす。」

S が十分小さければ、面積 S の三角形は、どれも条件Ａ′をみたすわけだ。
スレを汚して申しわけない

こんなことじゃ東大通らないなｗ

>>726
君が一番まともだね

>>729
あんたが一番

Wikipediaはこんな感じだな
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Asymptote

Asymptote
From Wikipedia, the free encyclopedia.

An asymptote is a straight or curved line which a curve will approach arbitrarily closely.

A specific example of asymptotes can be found in the graph of the function f(x) = 1/x,
in which two asymptotes are being approached: the line y = 0 and the line x = 0.
A curve approaching a vertical asymptote (such as in the preceding example's x = 0,
which has an undefined slope) could be said to approach an "infinite limit".

Asymptotes need not be parallel to the x- or y-axis, as shown by the graph of x + 1/x,
which is asymptotic to both the y-axis and the line y = x. When an asymptote is not parallel
to the x- or y-axis, it is called an oblique asymptote.
（以下略）

漸近線は曲線だ。覚えておけ

1/xの漸近線は？って問題で
-1/xとか1/3xとか(sin x)/3xとか答えられても困ると思うんだが、、
こういうのも漸近線なのか？

漸近線です

>>684
とりあえず、2より大きいことは間違いなさそう。

△ABCの辺で最も長いものをBCとする。
条件よりBCをx軸上に配置し、Aをy>0の領域に配置しても△ABCは格子点を少なくとも一つ含む。

(1)　点Aのy座標は1以上である。
証明　　( つか、明らかなんだけどね )
　背理法で示す。Aのy座標をhとして、0＜h＜1とする。
(1-h)/2 だけ△ABCをy軸方向に移動すれば、三点A,B,Cのy座標は
すべて0より大きく、1より小さい値をとる。
この事より、Aのy座標は1以上である。

(2) △ABCと直線y=1との共通部分(点or線分)の長さは1以上である。
証明　(これも明らかだよなぁ)
　背理法で示す。共通部分の長さが1未満であるとすると、△ABCをBCをx軸上に置いたまま
平行移動することで、 △ABC中にy=1を満たす格子点を持たないように配置することができる。
　また、辺BCの最大性より、∠B,∠C＜π/2が成立するため、このとき、△ABCに含まれる
格子点はy=0を満たすはずである。 従って、この△ABCをy軸方向に少しずらせば、
△ABC上に格子点を含まないようにできる。

(3) BCの長さをa、△ABCとy=1との共通部分の長さを1としたとき
　△ABCの面積はa =1+2/(√3) の時に最小値をとる。
証明　( ﾁｮｲﾑｽﾞｲ )
辺BCの最大性より∠A≧∠B,Cが成立する。
今、辺BCの長さを固定し、点Aのy座標を一定にしたまま、x-y平面を移動することを考える。
この場合、△ABCの面積は一定に保たれたまま、∠Aの値が変化することが分かる。
そして∠Aの値はAB=ACの時、最大になる。従って(3)の条件を満たし、かつBCの最大性を満たすためには
AB=AC≦BCの場合を考えればよい。このとき、a≧1+2/(√3)となる。
今、Aのy座標をhとすると、h=a/(a-1)が成立する。 従って△ABC=ah/2であることから、
(a^2)/(a - 1) = (a^2 - 1 + 1)/(a-1) = a + 1 + 1/(a - 1)の最小値を求めればよい。
この式はa≧1+2/(√3)の範囲で単調に増加するため、a=1+2/(√3)の時、最小値をとる。

>>735 の続き……


えーっと、こっから、一辺の長さが1+2/√3の正三角形が条件を満たすことを言ってやれば
いいと思うんだけど、後は任せた


↓　↓　↓　↓　↓　↓

>>736
漸近線は直線だ。覚えておけ

>>735の続き

以上より、三角形ABCの面積が一辺1+2/(√3)の正三角形の面積( >2 )を下回るときは、
条件を満たさないような三角形を描くことができることが分かる。

次に一辺1+2/(√3)の正三角形ABCが条件を満たすことを示す。
△ABCの座標を次のようにして考える。

(1) A,B,Cのうち一番y座標が小さいものの中で、最もx座標が小さいものを点Aとする。
(2) 点Aのx座標がA,B,Cの中で最も小さい場合は (4)へ、真ん中の場合は (3) へ、
　　一番大きい場合は三点A,B,Cのx座標値に-1をかけて(4)へ。
(3) 三点、A,B,Cのy座標値に-1をかけて(1)へ。
(4) 点Aが0≦x,y＜1の範囲に収まるよう、x,y軸方向に整数値分だけ平行移動する。


あとは虱潰しか・・・面倒なのでやめ

talk:>>718 面積が1000の三角形を構成してやろうか？

>>739
やってみろ！

>>684
たぶん9/4だ。証明すべきことは
(I)△ABCの面積が9/4より小さいなら適当に平行移動、回転させれば周、内部に
　格子点がないようにできる。
(II)最大辺BCが3である直角２等辺３角形ABCはどのように配置しても周か内部に格子点をふくむ。
(I)には次のI’が十分条件
(I’)いかなる３角形ABCにたいしてもそれと相似で内部に格子点をもたないものが存在する。
(I’)⇒(I)は簡単なので(I’)をしめす。
α+β+γ=πである正の実数を任意にとる。∠A=α、∠B=β、∠C=γである三角形ABCで
内部に格子点がないものを構成すればよい。αが最大として一般性をうしなわない。
B(cotβ+1,0)、C(-cotγ,0)、B’(1,1)、C’(0,1)として直線BB’、CC’の交点をAとする。
△ABCの面積が9/4よりおおきいことをしめす。Aのy座標1+aはacotα+bcotβ=1を満たすから
a=。結局ABCの面積=S=1+(1/2)cotβ+(1/2)cotγ+(1/2)(1/(cotβ+cotγ))。
cotβ+cotγ=tとおくとS=1+(1/2)(t+1/t)で凸不等式からt≧2cot((β+γ)/2)≧2。
∴S≧9/4。
(II)をしめすためには次が十分
(II’)最大辺BCが3である直角２等辺３角形ABCについて辺ABと辺AC上にそれぞれ異なる格子点が
のるときAB、AC上以外の場所にも格子点がのる。
(II’)⇒(II)はもし(II)を否定すると辺、内部に格子点をもたない最大辺BCが3である直角２等辺３角形
が存在するはずであるがこれを辺AB、ACに平行に２回平行移動すると(II’)を否定する直角２等辺３角形
が構成できることからでる。容易ゆえ詳細は略。
で(II’)の証明だが3角形の直径、つまりいちばん遠い２点がBC=3であることから
AB、AC上にのってる格子点をP、Qとするとき
(i)P(0,0)、Q(0,1)、(ii)P(0,0)、Q(1,1)、(iii)P(0,0)、Q(,2,1)、(iv)P(0,0)、Q(3,0)
として一般性を失わず、それぞれAB、AC外に格子点をもつことがいえる。
ちょっとメンドイ。
いまんとここんな泥臭いやりかたしか思いつかんけどとりあえず答えは9/4。

y=1/xにy=1/(3x)が漸近するってのはみとめるにしてもそれを｢漸近線｣とはいわんだろ？
接線＝｢接(する直)線｣とおなじ理屈で
漸近線＝｢漸近(する直)線｣だろう。実際漸近線の定義がのってる文献がいくつかあがってるけど
微妙なちがいがあるにせよ曲線の漸近線を許す定義はひとつもあがってないし。

ってか曲線も漸近線だと言い張っている人は
曲線を漸近線だとして扱っている文献を何か一つでも挙げてくれよ

>>743
元々は単に質問だったじゃないか。
それがどうして、漸近線を曲線に含むと主張するって変わるんだ？

主張と質問だとまるで違うぞ。

ひとつもあがってないっつーのはいいすぎだった。>>731のWikipediaの定義は
曲線もいれるんだな。しかし･･･まあ･･･Wikipediaだからな〜。

事の発端は>>653-654か。

>>735 と >>741はどっちが正しい？

talk:>>740 三頂点が(1/4,0),(3/4,0),(1/2,4000)となる三角形。

しまった。>>735の方がただしいようだ。答え(√3)/4(1+2/√3)^2なのかな？

正しいも何も、俺のは途中で終わってるんだが・・・

簡単かと思ったが、意外と面倒な続き何でやってない……

>>748
皆が一日前に通り過ぎた道を…

すまん。>>741はβ+γの範囲をまちがってる。最大角をαとしたとき
β+γ≦(2/3)πだからcotβ+cotγのとりうる範囲は
cotβ+cotγ≧2cot((β+γ)/2)≧2cot(π/3)=2/(√3)、等号はβ=γ=π/3のときだ。
面積が(√3)(1+2/√3)^2/4よりちいさければ格子点とふれないように配置できるのは
>>741のI’とおなじ方針でいけるハズ。
でたぶんこの一辺1+2/√3の正３角形がきっとSの最小値できっとどのように配置しても
格子点とふれるんだろう。その証明はたしかにめんどくさそうだ。9/4のときもめんどくさかった。

>>684
ガッコンに類似の問題あり

座標空間内に3つの円柱T1，T2，T3がある。
T1：y^2+z^2≦1，xは任意
T2：z^2+x^2≦1，yは任意
T3：x^2+y^2≦1，zは任意
このとき、T1の側面上にあって、T2とT3の内部にある部分の面積を求めよ。

くだらねえ。宿題は宿題スレにいけ！

第1群{1}
第2群{2,4}
第3群{3,6,9}
第4群{4,8,12,16}
・
・
・
なる数列{an}がある。
ただし第k(kは1以上の整数)群は、初項k,交差k,項数kの等差数列である。
また自然数mに対して,f(m)を{an}にmが現れる回数とする。

(1)f(2m)=2f(m)となるmはどのような自然数か。
(2)f(m)=2006となる最も小さい自然数mを求めよ。

×交差
○公差

> また自然数mに対して,f(m)を{an}にmが現れる回数とする。
スマソ　意味不明なので訳してくれないか？
第5群{5, 10, 15, 20, 25}
の場合5が3回出てきているからf(5) = 3ということ？

>>758

恐らく
第1群{1}
第2群{2,4}
第3群{3,6,9}
第4群{4,8,12,16}
・
なので、

数列{an}っていうのは
1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……
になるんでないかと、

この数列に4が表れる個数は2個なので
f(4)=2かと

>>758 文章そのままだぞ。

一応自作問題うｐするスレだがどうでもいいか

平面状に凸図形がある。
この図形を三本の直線で分割することを考える。

(1)
　一点で交わる三本の直線を用いて凸図形を6等分できることを示せ。

(2)
　どのように三本の直線を引いても7等分することはできないことを示せ。

>>759
なるほど。そういう解釈の仕方ですか。
そうすると、f(2m) = 2f(m)となるのは、公約数がかぎになりそう。
m = 2,3,4,5は成り立つけど、12は2×2×3で・・・面倒くさいからやめた。

>>756に出てくる数列に現れる数は
正整数n,kを使ってn^2+n(k-1)=n(n+k-1)と表せるから
f(m)はn(n+k-1)=mの解の数となる。

これはmの約数のうち√m以下のものの数に一致する…かな？

>>764
nって何を指してるの？

>>765
表をタテに見ていくとn列目は初項n^2、公差nの無限列になってる
1
2 4
3 6 9
4 8 12 16
5 10 15 20 25

>>759
> 数列{an}っていうのは
> 1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……
> になるんでないかと、

これからそうぞうすると
a(1) = 1
a(2) = 2
a(3) = 4…と思っていた。問題が悪い気がする。はしょりすぎと思われｗ

>>767
どこを省略してるの？
問題文の言っていることは理解できるがな……

まぁまぁ、今の大学生が ちょうど ゆとり脳の世代だからな。
大目に見てやろうぜ！

ちょいと晒し上げ！

第α群 と {an}の関係が不明なんですよ。

> 第1群{1}
> 第2群{2,4}
> 第3群{3,6,9}
> 第4群{4,8,12,16}
> ・
> ・
> ・
> なる数列{an}がある。
って書いてあっても 数列a(n)と群との関係がわかりません。
俺の暗黙の了解を読み取る能力が不足しているといえばそれまでですけどね。

１　>>759解釈
　　数列{an}っていうのは
　　1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……

２　>>764解釈　
　　>>756に出てくる数列に現れる数は
　　正整数n,kを使ってn^2+n(k-1)=n(n+k-1)と表せる

というものを読んでも、問題解釈は各人に委ねられており、問題から一意に読み解けることは
できないと思います。

>>770
君の言うとおりだね！

>>770
その二つは同じ意味だろ。
数列1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……に含まれる数っていうのは
ある正の整数nと1≦k≦nなる整数kを使って、
n^2+n(k-1)とあらわされるわけだろ。

問題解釈が各人に委ねられている訳ではないと思われ。

あれ。。。>>772は間違い。

すまん、

単に>>764が間違ってるだけジャン。

と思ったら、>>766に説明があったな。どうやら、あっているみたいだ。

結局>>772に書いたとおりか。>>770の二つは結論として同じ意味。

はああ・・・

うぉ、また間違った
>>772　訂正
数列1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……に含まれる数っていうのは
ある正の整数nと正の整数kを使って、
n^2+n(k-1)とあらわされる

>>756　さっさと解けよ雑魚ども！
(1)
f(n)を考えるためには、第n群までの数列を検討すればよい。
また、第n群までに整数nが含まれるとすれば、それはk|nかつk^2≧nなる自然数をkとして
第k群に一個ずつ含まれているはずである。
従ってf(n)はnの約数のうち、√n以上のものの個数である。
nが非平方数であるとき、f(n)はnの約数を2a個( nが非平方数の時はnの約数は偶数個 )として、 f(n)=a
nが平方数であるときは、f(n)はnの約数を2a-1個として、f(n)=a
　　2mが平方数、mが非平方数のとき。
m=2^p*3^q*……として、
2mの約数の個数は (p+2)(q+1)……
mの約数の個数は (p+1)(q+1)……
となる。　(q+1)……=Aとおけば、f(2m)=2f(m)は
(A(p+2)+1)/2 = 2( A(p+1)/2 )
と書き直せる。この式を変形すると、
A(p+2) + 1 = 2A(p+1)
Aｐ=1
より、A=p=1が成立する。従って、m=2．
　　2mが非平方数、mが平方数の時。
A(p+2)/2 = 2( (A(p+1)+1)/2 )
A(p+2) = A(2p+2) + 2
Ap=2
A=1、p=2またはp=1、A=2.
従ってm=4または、m=2q(qは奇素数)
　　2m,mが非平方数のとき、
A(p+2)/2 = A(p+1)
A(p+2) = A(2p+2)
Ap=0
従って、条件を満たすmは存在しない。

以上をまとめると、m=2q (qは1または素数)

無限等比級数�納∞,n=0]n/z^nを求めろ

存在するなら-z/(1-z)^2

>>779
質問は質問スレに行けや、ゆとり脳野郎！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

>>778
m=3のとき
f(2*3)=2
2f(3)=2でf(2*3)=2f(3)になるけど
因みにf(6)とf(3)はプログラムで数を確認した

f(n)を順番に
f(1)=1,f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2,f(5)=1,f(6)=2,f(7)=1,f(8)=2,f(9)=2,f(10)=2,f(11)=1,f(12)=3,f(13)=1,f(14)=2,f(15)=2,f(16)=3,f(17)=1,f(18)=3,f(19)=1,f(20)=3

２と平方数でない奇数。
２＾５８×３＾１６×５×７。

思いっきり計算間違えとるな。
(1)
f(n)を考えるためには、第n群までの数列を検討すればよい。
また、第n群までに整数nが含まれるとすれば、それはk|nかつk^2≧nなる自然数をkとして
第k群に一個ずつ含まれているはずである。
従ってf(n)はnの約数のうち、√n以上のものの個数である。
nが非平方数であるとき、f(n)はnの約数を2a個( nが非平方数の時はnの約数は偶数個 )として、 f(n)=a
nが平方数であるときは、f(n)はnの約数を2a-1個として、f(n)=a
　　2mが平方数、mが非平方数のとき。
m=2^p*3^q*……として、
2mの約数の個数は (p+2)(q+1)……
mの約数の個数は (p+1)(q+1)……
となる。　(q+1)……=Aとおけば、f(2m)=2f(m)は
(A(p+2)+1)/2 = 2( A(p+1)/2 )
と書き直せる。この式を変形すると、
A(p+2) + 1 = 2A(p+1)
Ap + 2A + 1 = 2Ap + 2A
Ap=1
より、A=p=1が成立する。従って、m=2．
　　2mが非平方数、mが平方数の時。
A(p+2)/2 = 2( (A(p+1)+1)/2 )
A(p+2) = A(2p+2) + 2
Ap+2A = 2Ap + 2A + 2
0=Ap+2
従って条件を満たすmは存在しない。
　　2m,mが非平方数のとき、
A(p+2)/2 = A(p+1)
(p+2)/2 = p+1
p+2=2p+2
p=0
従って、mは奇数。かつ、非平方数。
以上をまとめると、m=2または、平方数でない奇数。

a>0,b>0のとき、(a^b)+(b^a)>1を示せ

talk:>>786
1/e付近の挙動が微妙すぎて、とても計算機なしでは解けない。

へたれ

aとbを、a+b=1を満たす性の無理数とし、
　A = { [na] | n=1,2,3,・・・}
　B = { [nb] | n=1,2,3,・・・}
とおく。ただし、実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
Nを正の整数とする。

（1) Nが集合Aの要素であれば、Nは集合Bの要素でないことを示せ。
（2）Nが集合Aの要素でなければ、Nは集合Bの要素であることを示せ。

有名題

((a+d)^b)+(b^(a+d))は展開できるかえ

ヴィノグラードフの定理より明らか
本当はレイリーの定理って言うんだっけ

>>787
高校範囲で解けるよ
計算も複雑じゃない

>786
不等式スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/466-467

talk:>>793 アナリストは馬鹿だと思っただろう。だが、大学入試に向かないことに変わりはない。

覚醒剤売人・未公開株詐欺の実話。 投資顧問を経営している元彼Y(元暴力団員)との体験記です。
webランキング3位
http://gduy.cure.to/
覚醒剤の売人・覚醒剤に溺れる人達・警察捜査情報横流し・未公開株詐欺の手口・二八商法に騙された人達・・・すべて実話です。
･･･････・
私は、この時の出来事を、綾瀬署に確認しました。
確かに、誰か、Yに連絡した事実はあると、綾瀬署、捜査の高橋さんが
言っていました。
･････････
事実かどうかは、わかりませんが、Yは、わたしが逮捕された時、自分が
逮捕される事をふせぐ為に、
ある刑事さんに100万円のお金を渡したそうです。
Yから聞きました。その証拠に、Yが話した事、すべてテープに録音してあります。

>789-790,792
　1/a + 1/b = 1 とする。
　(1) N∈A　⇔　∃n; N≦na<N+1　⇔　b(N-n)≦N, N+1<b(N-n+1)　⇔　∀n; [bn]≠N.
　(2) ∀n; [an]≠N　⇔　∃n'; an'≦N, N+1<a(n'+1)　⇔　N≦b(N-n)<N+1　⇔　N∈B.

(解説)
　1/a + 1/b = 1 より、
　[N/a] + [N/b] = N-1.
　∴ Nを1増やすと、左辺のいずれかが1増える。

>>789
追加
A∪B=N( 自然数 ) になるとき、a,bを求めよ。

あれ・・・ごめん、嘘

>789-790,792
　A_N = A∩{1,2,･･･,N-1} の要素の数 [N/a]
　B_N = B∩{1,2,･･･,N-1} の要素の数 [N/b]
　A_N + B_N = {1,2,･･･,N-1}

>>789 って

× a+b=1を満たす性の無理数とし、
○ 1/a + 1/b =1を満たす性の無理数とし、

だよね。

Sexual irrational numbers.

>>802
やっぱ、お前を NGname に入れとくよ。
ろくな発言しないからな。
あばよ！

ラマの定理ってなに？

talk:>>803 What are sexual irrational numbers?

2006年東大入試予想問題その１

■（理系用）
【 １ 】円周率が3.06より大きいことを証明せよ．
【 ２ 】円周率が3.07より大きいことを証明せよ．
【 ３ 】円周率が3.08より大きいことを証明せよ．
【 ４ 】円周率が3.09より大きいことを証明せよ．
【 ５ 】円周率が3.10より大きいことを証明せよ．
【 ６ 】円周率が3.11より大きいことを証明せよ．

■（文系用）
【 １ 】円周率が3.23より小さいことを証明せよ．
【 ２ 】円周率が3.22より小さいことを証明せよ．
【 ３ 】円周率が3.21より小さいことを証明せよ．
【 ４ 】円周率が3.20より小さいことを証明せよ．
【 ５ 】円周率が3.19より小さいことを証明せよ．
【 ６ 】円周率が3.18より小さいことを証明せよ．

だまってNGNameいれりゃいいものを、何かひとくさり言って見たくなるのは
その行為を肯定して欲しいからなんだな

>>807
透明あぼーんしました！

なのはさんがお空をお散歩中、北東100mのところに
なのはさんと同じ高度で真南に秒速100mで飛行中のヴィータちゃんを見つけました。
なのはさんはヴィータちゃんをディバインバスターで狙撃しようと思いました。
ヴィータちゃんがなのはさんの攻撃に気づかないとき、
攻撃を命中させるために最低限必要なディバインバスターの弾速を求めなさい。

>806
2006年東大入試対策その１

■（理系用）
　内接する正n角形の半周長と比べる:　π > n･sin(π/n)
【１】　　正8角形 π > 8･sin(π/8) = 4√(2-√2) ≒ 3.06146745892072･･･
【２〜５】正12角形 π > 12sin(π/12) = 3(√6-√2) ≒ 3.10582854123025･･･
【６】　　正16角形 π > 16sin(π/16) = 8√{2-√(2+√2)} ≒ 3.12144515225805･･･
　　または正24角形 π > 24sin(π/24) = 12√{2 -(1+√3)/√2} ≒ 3.13262861328124･･･

■（文系用）
　外接する正n角形の半周長と比べる: π < n･tan(π/n)
【１，２】正12角形 π < 12tan(π/12) = 12(2-√3) ≒ 3.21539030917347･･･
【３〜５】正16角形 π < 16tan(π/16) = 16{√(4+2√2) -√2 -1} ≒ 3.18259787807453･･･
【６】　　正24角形 π < 24tan(π/24) = 24{(1+√3)(√2 -1)-1} ≒ 3.1596599420975･･･

>>810数学で二アリーイコールはどうかと

最後の数字まで精確ならいいんじゃない？

talk:>>806 何で文系用の方が難しいんだよ？

[>>495]の答えは、正方形の面積と円の面積を比べることだ。
単位円の面積が円周率になることは高校生でも証明できるはずだ。

　　 ／　　　　　　　　　○　　　　　　　──┐
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⊂ｺ二Lﾌ^´　 ノ, ／⌒)　　　　　　　　 　　　　　　　　　|　　,,,ﾉ(､_, )ヽ､,,　.::|
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│六│六│一│二│三│一│二│三│七│八│九│五│五│五｜
│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬 |

あれ、これ清一色一盃口で合ってるんじゃね？

本人がのみキックいーぺーだってんだからいいんだよ。

　　　　　　 。　　　　　　　　　＿＿
　　　　トー　　　　＼　　　　　　　 |
　　　　Ｌ＿ 　　　＿＿／ 　　　.／
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│一│一│一│二│三│一│二│三│七│八│九│七│八│九｜
│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬 |

メンチン、ピンフ、ジュンチャン、リャンぺーコー
数え約マン子

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　　　　　　　　　ヽ¬.　　　/　ﾉ`ｰ-､ﾍ<ｰ1´|　 ヽ　| :::::::::::::ﾄ、 ＼　(　　./ヽ
　　　　　　　　　　＼l__,.／　　 　 　 i　l.ヽ!　|　　　.| ::::::::::::::l ヽ 　 ｀７ｰ.､‐'´ |＼-､
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　│一│一│一│二│三│四│五│六│七│八│九│九│九│｜九｜
　│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│｜萬｜

リーチしてたら著ン簿やな

ﾜﾛﾀ

　　　　　　｜　　｜　　　　　　　　　　　　　 ._ イ
　　　　　　｜　　｜　　　　ー――　　　　　―┼─
　　　　　　　 .＿ノ　　　　　　　　　　　　　　＿ノ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 /＼＿＿_／ヽ
　　　 (.｀ヽ(｀＞ 、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／''''''　　　'''''':::::＼
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　　　　　　　　(T＿_ノ　　 Tヽ　　　　　　　 , -r'⌒!￣ `":::7ヽ.｀- ､　　　./|　　.
　　　　　　　　　ヽ¬.　　　/　ﾉ`ｰ-､ﾍ<ｰ1´|　 ヽ　| :::::::::::::ﾄ、 ＼　(　　./ヽ
　　　　　　　　　　＼l__,.／　　 　 　 i　l.ヽ!　|　　　.| ::::::::::::::l ヽ 　 ｀７ｰ.､‐'´ |＼-､
　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿__　
　│一│二│三│ I. │ I. │I...I│二│三│三│四│四│五│三│
　│萬│萬│萬│ I. │I...I│I...I│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│

待ち何や！！

六萬待ち

ナイスひっかけ

1223333445

1223445+333　×

12233445+33　36　3純カラ

123　234　345 34　25

talk:>>820 狙っても狙ってもそれは出ない。

最後はなかった

Problem 232.
　線分ABCD があって、AB=CD とする。このとき 任意の点Pについて PA + PD ≧ PB + PC を示して下され。

Problem 233.
　n! を超えない整数k は、高々n個の相異なる正整数（と言ってもn!の約数だが）の和として表わせる
　ことを示してくださいです。。。

http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf

>>830
答えのっとるやん。問題の訳もおかしいし。

z

なのはさんがお空をお散歩中、なのはさんからの水平距離が北東100mのところに
なのはさんとの高度差100mを保ちながら真南に秒速100mで飛行中のヴィータちゃんを見つけました。
なのはさんはヴィータちゃんをディバインバスターで狙撃しようと思いました。
ヴィータちゃんがなのはさんの攻撃に気づかないとき、
攻撃を命中させるために最低限必要なディバインバスターの弾速を求めなさい。

http://blog.livedoor.jp/czax/
ここにおもろそうな問題のっとるがな

数折りの人だからな

ＶＩＰからきますた、数学の天才、ちょっときてくれ(`・ω・´)

開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌

【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】
http://news19.2ch.net/test/read.cgi/news/1131301609/
http://146.progoo.com/rental/img_bbs2/img_data/146_2965_46f7b0e076.jpg

>>836
うはｗｗこれ大学入試なら解けるんだけどな
三平方の定理って使っていいんだっけ？

黒い部分のカド（２つある）のうち、どっちかを点Ａとする
点Ａの位置を求めればいいから、大学入試ならたとえば

点Ａが右の辺からどれだけ離れているかをx
点Ａが下の辺からどれだけ離れているかをyとおく

三平方の定理から　x^2 ＋ y^2 = 10^2
また　(5-x)^2 + (y-5)^2 = 5^2

これらから 10 (x+y) = 125 よって x + y = 12.5
ゆえに x^2 + y^2 + 2xy = 156.25
よって 2xy = 56.25 つまり xy = 28.125
これらから x と y は t^2 - 12.5t + 28.125 の解で 〜〜〜

とかそんな感じに解けるんだけど、小学生の解じゃないよなあｗｗ

つか元スレどこよ

なんだ>>836にリンクあるんじゃんか
ってニュー速かよｗｗVIPで探してた

（中間命題）
とりあえずチラ裏

小円の面積は２５π
扇形の面積も２５π
影の部分の面積をＳとして、
　Ｓ＝扇形−（扇形と小円の重複部分）
が成り立つ。

　　　　|
　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　 |
　　　　|　　　　　 ∩ 　　ジャーッ ゴボゴボ・・・
＿＿ノ　　　　　 .| |　　　　　　　　　|　　＿
| |　　　　　　　　.| |　 　 　 　 　　./ ）ノ＼__ヽ
ヽ二二 ヽ -―- | |　　　 　 　 .／／|＼ノ（◎）
＿____／　／"￣| ヽ∧＿∧／／　.|
　　 /　 /　　　 /　（　；´Д｀） ￣￣＼
　　 |　 |／⌒ﾞ / 　　 　 ／　　　　　　 ＼
　 　.＼ヽ＿_ノ＿＿,,.／｡　ﾟ　 　 |＼ 　　.＼
　 　　 .＼＼::::::::::::::::: ＼＼　ﾟ .／　 ￣￣￣￣￣￣
　 　 　　 .＼＼::::::::::::::::: ＼＼ |　先生！助けて！
　　　　　　　＼＼::::::::::::::::: ＼ .＼＿＿＿＿＿＿＿
　　 　　　　　　＼＼_:::::::::::＿） ）
　　 　　　 　 　 　 ヽ-二二-―'

　　　　|　　　　　　　　　　　　　|
　　　　|　　　　　　　　　ゴボゴポポポ・・・
　　　　|　　　　　　　　　　　　　|
＿＿ノ　　　　　　　　　　　　　 |　　　 ＿
| |　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 |　　ノ＼__ヽ
ヽ二二 ヽ -―- ､ 　 　∩　　　| 　 ＼ノ（◎）
＿____／　／"￣ヽヽ＿| |.＿＿|
　　 /　 /　_∧＿∧ l / /　 　　＼
　　 |　 |／（　；´Д｀）／ 　 　 　　　＼
　 　.＼ヽ∠＿_＿_／＼ﾟ ｡　　　　　　 ＼
　 　　 .＼＼::::::::::::::::: ＼＼.　 　 |＼　　　＼
　 　 　　 .＼＼::::::::::::::::: ＼＼ ／　 ￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　＼＼::::::::::::::::: ＼ |　先せ・・・
　　 　　　　　　＼＼_:::::::::::＿）＼＿＿＿＿＿＿＿
　　 　　　 　 　 　 ヽ-二二-―'

空間内に半径a(a>0)の球Cが固定されている。Cに関する以下の条件（J）を満たす
ような正四面体の存在し得る部分は、Cと中心を共有する球の球面またはその内部
であることを示し、その部分の体積を求めよ。
（J）4個の頂点のうち少なくとも1個がCの球面または内部に含まれ、かつ、その重心
もCの球面または内部に含まれる。

nを2以上の自然数とする。
y = sin x と y = n sin(nx) の交点のx座標うち, 原点に最も近い正数を a とおく。
0≦x≦a において、2つのグラフで囲まれる部分の面積を S とするとき、lim[n→∞](n^2)S を求めよ。

誘導もつけておこう。

(1) S を a と n を用いて表せ。
(2) lim[n→∞](n^2)S を求めよ。

nを自然数とする。
3n+2が素数となるようなnは無数に存在するか。

新しい3n+2型の素数が欲しけりゃ
3n+1型の素数を充分大きなpまで順に掛けて
pまでにある3n+2型の素数の二乗も順に掛けて1足して因数分解すれば良い

>>844
マジレスでan→πだからＳ→２になったんだけど？

m、nを自然数とする。m+1個の数n、n+m、n+2m、…、n+m^2がすべて素数となるようなn、mの組をすべて求めよ。

>>848
(m,n)=(1,1) (2,2)のみ。

>849
(3、2)のみが正解。

間違えた。
(n,m)=(2,1),(3,2)

>>847
nが1000000000くらいのときを考えてみりゃS→2は自明だろ

>>844
ばーかｗｗ

１＋１が２であることを証明せよ

>>844
この数ヲタ！ ＿＿＿　ｵﾗｯ !　　　　　　
　　　 ﾄﾞｯｶﾝ |　　 |　でてこい、ロリコン！
　 　 ∩∩　 |　 　|　　 | 　∩∩　　　　
　　　| | | |　 |　　 |　　 | 　| | | |　　 　
　　..(　　,,)　.|　 　|　　 |　(・ｘ・ ）　　
　　/　　.つ━━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l 　 |Ｕ　
〜（ 　 /　　 | 　 ｜ 　 |⊂＿　|〜
　　し'∪　　 |　　 |　　 |　　　∪　

>>843-845はブラフ出題。
>>845が証明問題でないことからもわかる。
でも>>843は面白い。

e^3の少数第２００位の数字はなに？

>>857
８だよ

８時だよ！

全員オナニー

>>848
むしろ合成数のほうが面白くないか？

m、nを自然数とする。m+1個の数n、n+m、n+2m、…、n+m^2が
すべて合成数となるようなn、mの組は有限個か？

あぁ・・・ごめん、うそだ。　もう少し変えてみよう。


nを自然数とする。n+1個の数n、n+1、n+2、…、n+n^2が
すべて合成数となるようなnが無限に存在することを示せ。


ごめん、簡単っぽい・・・

>>862
n〜n+nのなかに必ず素数があるっぽい。

>>863
ごめん、そうだったね・・・


吊ってくる。

0以上の実数s、tがs＾2+t＾2=1を満たしながら動くときの
方程式x＾4-2（s+t）x＾2+（s+t）＾2=0の解をおしえてください
大至急明日までにお願いします

はいはい s = cos x などとおけばできる

>>864
東大の過去問
大学への数学にも取り上げられてたね

>>867
>>865の間違いですた

>>867
何年何月号？

>>865
たしか今年くらいの東大の問題だろ。
東大も落ちたな…

>>846

>　3n+1型の素数を充分大きなpまで順に掛けて
は要らな伊予柑

nを自然数とする。
3n+1が素数となるようなnは無限に存在するか??


>865
　x^4 -2(s+t)x^2 +(s+t)^2 = (x^2 -s -t)^2
　x = ±√(s+t),　〔両方とも重根〕
　s^2 +t^2 ≦ (s+t)^2 = 2(s^2 +t^2) -(t-s)^2 ≦ 2(s^2 +t^2)　だから 1 ≦ s+t ≦ √2.

>>871
＞>　3n+1型の素数を充分大きなpまで順に掛けて
＞は要らな伊予柑
　
なんで？

本当だ、要らないね
あっても間違いじゃないけど

>>870
東大の昔の問題出したら「平和な時代があったもんだな」と評され、
今の問題を出したら「東大も落ちたな」と評される。
みんな「東大の問題」っていうある１つのイメージを持ってるんだろうね。

問題。
p, qは素数で、m, nは2以上の自然数とする。
p^m-q^n=1をみたすp, q, m, nの組をすべて求めよ。

>874
　カタラン予想を素数に限定したものだから、3^2-2^3=1 だろうな。

マスワールド
　http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
　http://mathworld.wolfram.com/CatalansDiophantineProblem.html

数セミ増刊（日本評論社）
　鹿野 健: 「数学100の問題｣ p.104-105 (1984)
　吾郷孝視: 「数学・物理100の方程式」p.20-21 (1989)

そんな知識使っちゃ駄目だろｗ
片方が2ってことは直ぐに分かるけどそっから方針が浮かばないｗ

ってかPreda って人がもう証明してるけどね
ttp://www.math.waseda.ac.jp/NTseminar/2004.html
＞題名：Catalan予想の証明の紹介
もしPreda の定理より（りゃ とかカタラン予想（肯定的に解決済）より（りゃ
って解答が出たら採点に困るかもしれないから誘導文つけるだろうね

確かな事ではないが、高校の教科書に載っている定理以外を使うときは
証明を載せた方が、模範的な解答だと思うけど、どーなんだろーね？

うーん、いちいち合同式の性質の証明とかされても
採点者も嫌なんじゃないかなあ、、

しかもその証明が間違っていたりしたら点の付け方に困るだろうしｗ

正の整数a,b,cに対して
ab/(a+b),　bc/(b+c),　ca/(c+a)
が全て整数となるためのa,b,cの条件を求めよ。

箱の中に【ス】【ミ】【テ】と書かれたカードがそれぞれ１枚ずつ、合計３枚入っている
箱の中からでたらめにカードを１枚取りだし、書かれた文字を見た上で箱の中に戻すとい
う試行を最高５回まで繰り返す。r回目（２≦r≦５）の試行が終わったとき、【ス】およ
び【ミ】と書かれたカードをそれぞれ少なくとも１回取り出していたら、ゲームはスミ（
終了）とし（それ以降の試行を行わず）、それまでに取り出した【テ】の枚数をテン（得
点）とする。５回目まで行ってもスミとならない場合の得点は０とする。このゲームの得
点の期待値を求めよ。

62/81

正解は146/243　

箱の中に【ス】【ミ】【テ】と書かれたカードがそれぞれ１枚ずつ、合計３枚入っている。
箱の中からでたらめにカードを１枚取りだし、書かれた文字を見た上で箱の中に戻すという試行を繰り返す。
r回目の試行が終わったとき、【ス】および【ミ】と書かれたカードをそれぞれ少なくとも１回取り出していたら、
ゲームはスミ（ 終了）とし（それ以降の試行を行わず）、それまでに取り出した【テ】の枚数をテン（得点）とする。
このゲームの得点の期待値を求めよ。

3/2

↓の問題お願いします。
http://www10.plala.or.jp/mathcontest/2005r.htm

>>879

これらすべての整数である条件を求める。
答えは、ない。
（証明）
あるならいってみろ！！
酔って題意は示された。■

>>886
a=b=c=2があるだろ馬鹿。

ab/(a+b),　bc/(b+c),　ca/(c+a)
が全て整数となること

>>888
a=b=cが偶数のときは成立してるようにみえる。

なあに、かえって免疫力がつく

とりあえずa=b=cとする
a^2/2a=nとすると
a(a-2n)=0
ちうわけでa=b=c=2n

条件を満たす整数ならいくらでも見つけられるけど
>>879の「答え」が用意されているとは思えない。

>>892
いくらでもみつかるってことはa=b=c=2n以外の解もあるの？
うｐしてちょんまげ。

正の整数を三つとって分数を既約分数で表して
分母の公倍数をかける。
１，２，３なら２／３，３／４，６／５だから
６０ｎをかけて６０ｎ，１２０ｎ，１８０ｎ。

>>894
なるほど。いくらでもあるってか。てことは>>879は出題ミスか。

>>892じゃないけど
12 4 4とか156 13 13とか
奇数が３つになることはなくて、今のところこっちでは３つの内２つが一致するものしか見つかってない

>>896の13は解になってないな。

>>896
奇数３つはありえないけど>>894に３つが全部ことなる解があることがしめされてるじゃん。
>>894の方法でａ：ｂ：ｃがスキな有理数比になる解があることがしめされてるような気がする。

>>895
＞a,b,cの条件を求めよ。
だから別に良いじゃん
有限個とかどこにも書いてないし

こういう問題結構あるよ

>>899
条件をもとめよ型の問題は答えとして想定されてる形にある程度の暗黙の了解が
ないと解けない。なんでもいいなら
　
正の整数a,b,cに対して
ab/(a+b),　bc/(b+c),　ca/(c+a)
が全て整数となるためのa,b,cの条件を求めよ。
　
の答えとして
　
ab/(a+b),　bc/(b+c),　ca/(c+a)
が全て整数となることが必要十分。
　
だって答えになってしまう。大体条件をもとめよ型の問題でそういう暗黙の了解無視した
答えになる問題だす香具師は答えられたくない一心で答えようがない問題つくってくる。
ちゃんと条件２つならべて｢この２つが同値であることを示せ。｣とかにすれば
いい問題になるような問題でもクソ問にしてしまう。

パラメータ表示せよ、くらいの意味じゃないの？

>>901
問題の不備を解答者が補完してやる必要なし。

まあ大学入試問題としては不備だよね

一般の数学の問題であれば
〜の整数解を分類せよ、みたいな問題も結構あるでしょ

xyz空間内で半径1の円板が次の2つの条件を満たしながら動く。

条件　
円板の中心は2点(0,0,0),(1,0,0)を両端とする線分上にある。
円板を含む平面は直線x=y=1を含む。

この円板が存在しうる領域の体積を求めよ。

>904

円板の重心は線分(0,0,0)-(1,0,0)上を動く。G(t)=(1-t,0,0)とする。
原点からG(t)までの道のりは s(t)=t.
円板の面積は S(t)=π (一定).
円板とx軸のなす角は α(t)=arctan(1/t), sinα(t)=1/√(1+t^2).

↓の補題より、
　　V = S∫[0,1] 1/√(1+t^2) dt = S[ log(t+√(1+t^2)) ](t=0,1)
　　= π･log(1+√2) = 0.881373587019543･･･π = 2.76891678604868･･･


〔補題〕Pappus-Guldinの拡張
有界な領域Dを、平面E(t)で切り、その切り口の面積をS=S(t)とする。
Dの各点は唯1枚のE(t)の上にあるとし、切り口の重心G(t)の軌跡をcとし、c上の長さ(道のり)をs(t)、
cの接線と平面E(t)のなす角をα(t)とする。
このとき、領域Dの体積Vは次のように表わされる。
　V = ∫S(t)･sinα(t) ds(t).

栗田 稔: ｢求積公式｣ p.21 (1997.3)　　　← いい冊子でつが....

こんな知識使っちゃ駄目だろうなぁ。>876

>>905
高校範囲の知識から出発した証明を付ければ無問題

俺が採点者ならマニアックな求積公式の知識とその正しい適用を評価して点を与える。

>>905の補題を受験数学の範囲内で証明するのは結構苦しい気がする。

>>908
重心の扱いが面倒だから補題を簡略化して円とその中心の軌跡について証明すればいいと思う。

>>909
どうやるすか？

>>910
半径1の円を微小距離dsだけ動かしたときdαだけ回転したとして、回転の軸までの距離をrとすると
円が動いたことで出来た微小体積はπrdα
rdα=ds・sinα　(αは中心の軌跡の接線と断面のなす角)

微小体積は円を回転させたトーラスをdα/2πして求めた。

>>911
微小体積論法つかっていいのかな？高さが微小な円筒で分割していくときは
体積なるものが存在してA⊂B⇒Aの体積≦Bの体積をみとめれば
断面E(t)がE(t)とE(t+Δt)に（平行移動したとき）包含関係とかつかって
簡単にしめせるし教科書もそんな感じで証明されてるけど笠型積分とか
パップスギルダンとかバームクーヘンとかは微小領域に包含関係が期待できないから
誤差が０に証明するのがむずかしいような。どうやるすか？

>>912
笠型はいけるべ。バームクーヘンもみたことある。もちろん区分的に単調な関数
の場合だけだけど。

>908
E(t)の運動を分解して
　→ 微小平行移動(ds) → 微小回転(dα) → 微小平行移動(ds) → 微小回転(dα) → ･･･
　のようにすると、微小回転は（Gのまわりだから）体積Vには影響しない。
　∴ 平行移動の方だけ考えれば宜ろしい。。。

xyz空間内で半径1の円板が次の2つの条件を満たしながら動く。

条件　
円板の中心は2点(0,0,0),(1,0,0)を両端とする線分上にある。
円板を含む平面は点(0,1,0)を含む。

この円板が存在しうる領域の体積を求めよ。

>>904
5π/3

sin(3π/10)-cos(2π/5)を求めよ。

f(x) と g(x) は区間 a≦x≦b で定義された連続な増加関数とする。
∫_[a,b] f(x)dx = 0 のとき,
∫_[a,b] f(x)g(x)dx ≧0 が成り立つことを示せ。

中間値の定理より。

talk:>>919 f(x)の連続性からか。

>>919
もっと詳しく！

ｆ（ｃ）＝０。
０≦ｆ（ｘ）（ｇ（ｘ）−ｇ（ｃ））。

talk:>>921
[>>919]の代わりに答えてやろう。
fが負でないとすると、fの連続性よりf=0(fが0でない点があったら積分が正になる。).
fが正でないとしてもf=0.
fが正の値と負の値の両方をとるならば、fが0になる点xが存在する。(中間値の定理)
fgの定積分は、gをg(x)だけ値に持つ関数に置き換えたものより小さくならない。
これはx以下の区間とx以上の区間に分けて考えればわかる。
よって、fgの定積分は0より大きいか等しい。

>>922と同じこと言ってる？
変数か定数かﾜｶﾘﾆｸｽ

馬鹿だな

a_1=ｔ、a_n+1=πsina_n　　(0≦t＜2π)
で定義される数列{a_n}について、lim[n to inf]a_nが収束するとき収束値をＡとおく。
Ａの最大値とそのときのｔの値を求めよ。

>>926
収束するとき極限値はx=πsinxの解にかぎられる。
x=πsinxの解は三つあり正の解をαとすれば３解は-α、0、α。
つまりAの可能性はこの３つしかない。
逆にt=αのときa_n=αとなりこのときlim[n to inf]a_n=α。
よってAの最大値はα･･･なんだけど･･･これもとまんの？

>926
x=πsinxの解は分からないねorz
でもt=π/2でも収束しない？

>>928
収束するtをもとめよじゃなくて収束するときの極限値の最大値なんだから最大値は
あきらかにαだよ。

>929
確かに！誤解してた(´Д`)なら具体的な値は難しいね
まして入試じゃﾀﾞﾒだ

自然数nについて、
関数(x^n)logx
のn次導関数が次で与えられることを示せ。

n!(logx+Σ[k=1 to n]1/n)

>>931
宿題は質問スレに行け！

東大に限らず、過去問から難問を抜き出して、
それなりに分野も散らばらして
「最強の６題」みたいなのを作って欲しい。
今の東大後期数学とかは別としても、結構なものになりそう。

>932
宿題じゃねーよ。お前解けんのか？

>>934
愚問だ！
１０年ＲＯＭってろ！

>931
でも、帰納法でやると結構出来ないねこれ

愚問ってか式がなんか間違ってるみたいよ

n=0のとき
xlogx=logx+1
1!(logx+1/1)=logx+1

n=kで成り立つとすると
(d^(k+1)/dx^(k+1))(x^(k+1)logx)
=(d^k/dx^k)((k+1)x^klogx+x^k)
=(k+1)(d^k/dx^k)(x^klogx)+(d^k/dx^k)x^k
=(k+1)k!(logx+Σ[l=1 to k]1/l)+k!
=(k+1)!(logx+(Σ[l=1 to k]1/l)+1/(k+1))
=(k+1)!(logx+Σ[l=1 to k+1]1/l)
よっしゃ、幸一でも解けた

n=1のミスだ

正数a、b、c、dに対して
Ａ=abc+bcd+acd+abdの最大値をa、b、c、dを用いて表せ。

>>940
変数ないやん。てことは最大値=abc+bcd+acd+abd？

a+b+c+d=tとおくと、maxＡ=tだから答えはa+b+c+dってこと？出題ミスか

>>933
自治医大、防衛医大、気象大のを適当に混ぜただけで相当強いよ。
いろんな意味でｗ

>>933
90年代前半は6問のうち5問が最強レベルだったから参考に

東大史上最強の問題ってなんだろ？
ついでに京大史上。東工大史上・・・
人によって違うんだろなー

東大後期最強は大体意見が一致するんじゃないかな

7人の男子と13人の女子が1列に並ぶ。
このとき、男子と女子が隣り合っている箇所の数をＳとおく。
たとえば、
女男男女女女男女男女女女男女男女女男女女
であれば、Ｓ＝１２である。
Ｓの期待値を求めよ。

91/10

>>948
正解っす・・・。
さようなら・・・。

>>947
どっかで見たことある問題なんだが、元ネタがあれば教えてください

7人の男子と13人の女子が縦4列横5列に並ぶ。
このとき、男子と女子が前後または左右で隣り合っている箇所の数をＳとおく。
たとえば、
女男男女女
女男女男女
女女男女男
女女男女女
であれば、Ｓ＝１８である。
Ｓの期待値を求めよ。

拡張

座標平面上に異なるn個の格子点をとり、a+b=nとなる正の整数a,bを任意に決める。
n個の格子点のうちa個を無作為に選んで赤く塗り、残りのb個を青く塗る。
赤い点と青い点を結んでできる線分のうち長さが1のものの個数の期待値をSとする。
あるnに対して最もSが大きくなるようにn個の格子点と整数a,bを選んだときのSをS(n)とすると
lim[n→∞]S(n)/n=1を示せ。

>>951
2821/190 かな

平面状に半径１の円と、その円に内接する正n角形がある。
正n角形のある頂点（これは円上の点である）から、
円上を正の方向に点Ｐが、正n角形の辺上を負の方向に点Ｑが、
それぞれ同じ速さで連続的に移動する。
このとき、移動を始めた後に、２点Ｐ，Ｑが一致することがないことを証明せよ。

「ただし、円周率πが超越数であることを既知としてよい」
と但し書き入れたら、大学入試問題として結構いい気がしてきた。

>>954
高校範囲外なので超越数の定義もよろしく。

超越数とか代数的数の定義は高校までには習わないけどね

>>954
平面状 → 平面上

この俺様の、数ヲタのパソコンなんだから、
漢字変換くらいちゃんとしやがれ！って思う時ない？
このビチ糞IMEがぁ〜〜〜！

sin(aπ)=bπ (b≠0)を満たす有理数a,bが存在しないことを示せ。

完成形かな？だれか解いて下さい。
平面状も修正しました。

平面上に半径１の円と、その円に内接する正n角形がある。
正n角形のある頂点（これは円上の点である）から、
円上を正の方向に点Ｐが、正n角形の辺上を負の方向に点Ｑが、
それぞれ同じ速さで連続的に移動する。
このとき、移動を始めた後に、２点Ｐ，Ｑが一致することがないことを証明せよ。
ただし、ただし、円周率πはmを任意の自然数としたとき、
整数係数のm次多項式の解になり得ない事は既知としてよい。

ただし、ただし、た〜だ〜しっ！

ただ舌出し

関数f(x)は次を満たす

・3次の整数係数多項式
・極大値を2つ持ち、それらは適当な整数aをもってf(a)、f(f(a))と表される
・極小値を2つ持ち、それらは適当な整数bをもってf(b)、f(-f(b))と表される
このようなf(x)で、各項の係数がaとbの(四則演算の)組み合わせのみで表されるものが無数に存在することを示せ。

>>963
Σ(ﾟДﾟ) ﾊｧ？ ﾊｰｧ？ ﾊｧｧ？ ﾊｯﾊｯﾊｧ-ｱ？

次の曲線の長さLをもとめよ
ｙ=√（1-x^）
（0=〈x=〈1）

Σ(ﾟДﾟ) ﾊｧ？ ﾊｰｧ？ ﾊｧｧ？ ﾊｯﾊｯﾊｧ-ｱ？

>>966
トレビアの種ですか？
最もムカつく Σ(ﾟДﾟ) ﾊｧ？ の言い方。

>>963
３次関数に極大値と極小値が２個ずつあるんですか？
( ・∀・)つ∩ へぇへぇへぇーー

( ・∀・)つ∩ へぇへぇへぇーー

>>947
1729/200

>>970
まだまだよのぉ

>363
4次の書き間違いです。
吊ってきます

むずいな。極値が４つある４次関数･･･

>>972
おまえ、馬鹿じゃないの？
４次関数って知ってる？
もうね、小学校からやり直せ！

本当に答え用意してあるのか？
それにしちゃ間違いが酷いような

>>963
こいつは２次関数の問題すらろくに解けない馬鹿です。
知ったかぶりして、どっかで聞きかじった問題を転載したつもりでしたが
問題が理解できていないので、写すことすらできないようです。 （ ´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ

3x+5y=mを満たす自然数x、yの組がn組あるようなmの個数をf(n)とおく。
f(2006)を求めよ。

15？

15の扱いがミソだろうね。

18年前の京大の数学の極限の問題。 笑えるよ・・・

P君が女友達AさんかBさんの家に行くことを考える。
はじめAさんの家に行こうとして、P君の家からAさんの家まである距離を進んでから、思い直して、
Bさんの家を目指してある距離進んで、また思い直してAさんの家を目指して、また思い直してBさんの家を目指して・・・
この迷えるP君の究極の動きを記述せよ。

コイツ優柔不断過ぎｗ

はいはいわろすわろす

>>980
本当に京大の問題ですか？
18年前ということは、1987年？
京大45年の軌跡CD-ROMで、1986、1987、1988年の入試問題を探してみたけど、載っていませんが？

京大とは言っているが入試とは言ってないな

>>983
つまり、どういうことだ？

それ以上でもそれ以下でもない！

http://hw001.gate01.com/akiyoshi/archives.html
置いとくネ

>978さん
正解です。任意のnでf(n)=15となります。

百九十七日。

開平

>>986
乙πです。

やはり載っていないではないか！


　　　　　　　 ＿＿＿　ｵﾗｯ!　　　　　　　
　　　 ﾄﾞｯｶﾝ |　　 |　出て来い >>980　
　 　 ∩∩　 |　 　|　　 | 　∩∩　　　　
　　　| | | |　 |　　 |　　 | 　| | | |　　 　
　　..(　　,,)　.|　 　|　　 |　(・ｘ・ ）　　
　　/　　.つ━━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l 　 |Ｕ　
〜（ 　 /　　 | 　 ｜ 　 |⊂＿　|〜
　　し'∪　　 |　　 |　　 |　　　∪　
　　　　 　 　 ￣￣￣￣　　　　　

正方形を、面積の等しい100個の部分に分ける方法が任意に2通り与えられている。
このとき、正方形の中から適当に100個の点を選び、どちらの方法でも各部分にちょうど1点ずつ点が入っているように出来ることを示せ。

９８０です。
皆様、ご迷惑をおかけしました。

京大ではありませんでした。鳥取大学でした

問題をぼかして投下してんのは馬鹿ですよ

っっっっっっっ隊長！

９９３が釣れました。

梅

うめ

最近変なやつ多いね〜〜〜〜〜〜

らくだの糞をこねはじめた〜〜〜

１０００００

よしっこい！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。