不等式への招待 第２章

21.
　a,b,c≧0 のとき (bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.

30. （USAMO 1977/5)
　0<p≦a,b,c,d,e≦q のとき
　(a+b+c+d+e)(1/a +1/b +1/c +1/d +1/e) ≦ 25 + 6(p/q +q/p -2).

　http://mathcircle.berkeley.edu/inequalities.ps

y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。

誤爆スマソ

このスレは無限に降下する...

【問題】
　u,v,x,y∈Ｚ, u^2+v^2=x^2, u^2-v^2=y^2 ⇒ v=0

さくらスレ１６６
　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117681200/383


証明は >>395-398 をご覧ください.

>>395で仮定した、x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
　x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること ・・・※
の証明が知りたければ
　http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node25.html
をご覧ください。

395 ：風あざみ ：2005/06/07(火) 00:18:26
>>383
x^2-y^2とx^2+y^2が共に平方数ならばx^2-y^2=ａ^2、x^2+y^2=ｂ^2
したがってｘ^4-ｙ^4=(ｘ^2+ｙ^2)(ｘ^2-ｙ^2)=(ab)^2
したがって、x^4-y^4は平方数である。

以下で、x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないことをいいます。

証明には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること ・・・※
を証明なして使います。


x^4-y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、xの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod　4で考えると、x_0が奇数でy_0が偶数と奇数の場合のみが起こりえます。

y_0が奇数のとき

({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)*({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)={(z_0)/2}^2
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2と{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2の公約数は
x_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)+({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)、y_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)-({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)
の公約数となるので、これは1以外にはありえない。
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2=u^2、{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2=v^2
とおくとu^4-v^4=(u^2+v^2)(u^2-v^2)={(x_0)(y_0)}^2
(x_0)^2＞u^2={(x_0)}^2+(y_0)^2}/2となってx_0の最小性に反する。

396 ：風あざみ ：2005/06/07(火) 00:19:27
y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。

398 ：風あざみ ：2005/06/07(火) 00:26:01
>>395-396より
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないから、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0あるいはz=0でなければならない。
仮定よりy≠0だからz=0ゆえにx=y
したがって2x^2=b^2よってb/x=√2

よって、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0でなければなりません。
したがって、√2が有理数となって不合理。

>311

B.3821
　A=a^2, B=b^2, C=c^2 の基本対称式をA+B+C=s, AB+BC+CA=t, ABC=u とおく。
　t^2 -3su = (AB)^2 +(BC)^2 +(CA)^2 - (A+B+C)ABC = (1/2){A^2(B-C)^2 +B^2(C-A)^2 +C^2(A-B)^2} ≧0.
　t ≧ √(3su).
　与式 = (AB＋BC+CA)/√(ABC) = t/√u ≧ √(3s).

B.3829
　(a_k)^2 /(a_k +a_{k+1}) = (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1} + �兩k ≧ (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1}.
　これを循環的にたす。
　なお、�兩k = (a_k -a_{k+1})^2 /[4(a_k +a_{k+1})] ≧ 0.

>315
【21】a,b,c≧0 のとき
　(bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ (1/3)(a+b+c)^6 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.
(略証)　基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左側)
　s^2 -3t = (a+b+c)^2 -3(bc+ca+ab) = (1/2){(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2} ≧0.
　∴ t ≦ (1/3)s^2.
(右側)
　9(a^3 +b^3 +c^3) = 9{s(s^2 -3t) +3u} = 9s^3 -27st+27u = s^3 +8(s^3 -4st+9u) +5(st-9u).
　st-9u = (a+b+c)(bc+ca+ab)-9abc = a(b-c)^2 +b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧0.
　s^3 -4st+9u = a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b) = a(a-b)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) +c(b-c)^2 ≧0.
　(↑ bはa,cの間にあるとしてよい. (a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0)
　∴ s^3 ≦ 9(a^3 +b^3 +c^3).

【30】a_1,…,a_n>0 のとき
　n^2 ≦ (a_1 + a_2 + … + a_n)(1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_n) ≦ n^2 + N(p/q +q/p -2), N=[(n/2)^2]
(略証)
　(中辺) -n^2 = Σ[1≦i<j≦n] (a_i/a_j +a_j/a_i -2) ≡ f(a_1,a_2,…,a_n) とおくと、
f(p,a,q) - 2f(p,q) = f(p,a)+f(a,q)-f(p,q) = -(p+q)(q-a)(a-p)/(paq) ≦0 (反･三角不等式)
　また p≦a_1≦a_2≦……≦a_n≦q としても一般性を失わないから
　f(a_1,…,a_n) ≦ f(p,a_2,…,a_{n-1},q) ≦ f(p,p,a_3,…,a_{n-2},q,q) ≦ ……
　 ≦ f(p,p,…,p,q,…,q,q) = Nf(p,q) = N(p/q +q/p -2).
　nが偶数のとき N=(n/2)^2, nが奇数のとき N={(n+1)/2}{(n-1)/2}=(n^2-1)/4=[(n/2)^2].

訂正、スマソ
【30】0<p≦a_1,…,a_n≦q のとき