面積最大の三角形

他スレから

（問題）
内接円の半径が3，外接円の半径が8であるような三角形の面積の最大値を求めよ．

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/59 ,446, 450

>>267
これは未定乗数法つかうのしかおもいつかんな。
めんどいので外接円の半径１、内接円の半径3/8の場合をかんがえる。
定円の半径を１としてよい。中心をO、３接点をABCとして
∠BOC=2x、∠COA=2y、∠AOB=2zとすると
x,y,zは凸領域x+y+z=π、0＜x,y,z＜πを動く。
さらに内接円の半径が3/8⇔(1/2)(3/8)(2sinx+2siny+2sinz)=(1/2)(sin2x+sin2y+sin2z)
F=(1/2)(3/8)(2sinx+2siny+2sinz)-(1/2)(sin2x+sin2y+sin2z)とおけばgradFはx+y+z=πにおいて０でないので
M={F=0}は１次元の多様体。S=(1/2)(sin2x+sin2y+sin2z)がMにおいて最小になるのはSがM上でなめらかだから極大値。
L=S-wFとおいてLx=0、Ly=0、Lz=0、Lw=0となるところをかんがえると
cos2x-w((3/8)cosx-cos2x)=0、cos2y-w((3/8)cosy-cos2y)=0、cos2z-w((3/8)cosz-cos2z)=0、F=0。
ここでcos2xが0ならcosxは0でなくこのときw=0。よってcos2y,cos2zも0になるがそのような点はM上にはない。
∴w=((3/8)cosx-cos2x)/cos2x=((3/8)cosy-cos2y)/cos2y=((3/8)cosy-cos2y)/cos2y。
ここでw=(3/8)cost/cos2t-1がおなじ値になる0≦t≦πで高々２つ。よってSが極値をもつときそれは
x=y or y=z or z=xをみたす。つまり２等辺３角形。
つまり外接円の半径1、内接円の半径が3/8である２等辺三角形のときのみ極値をもつ。x=zのときのみ考えればよい。
(3/4)(2sinx+siny)=2sin2x+sin2y (2x+y=π)、1+cosx≠0、sinx≠0等をもちいてcosx=1/4 or 3/4。
この面積のでかいほうが最大値、小さい方が最小値。しんどなった。以下略。

では >268 の続きを...
　2等辺三角形だから y=π-2x, z=x とおける。
　2F(x,π-2x,x) = (3/2)sin(x) -(5/4)sin(2x) + sin(4x)
= (3/2)sin(x) -(5/2)sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x){2cos(x)^2 -1} = (1/2)sin(x){3 -13cos(x) +16cos(x)^2}
= (1/2)sin(x){1+cos(x)}{3-4cos(x)}{1-4cos(x)} =0.
　ここで sin(x){1+cos(x)}>0 より、
　cos(x)=cos(z)=1/4, cos(y)= 7/8 のとき最大値 S=(15√15)/64.
　cos(x)=cos(z)=3/4, cos(y)=-1/8 のとき最小値 S=(21√7)/64.