面積最大の三角形

”三辺和が等しい三角形で面積最大のものは正三角形である”
の簡単な証明、ありますか？（出来れば高校レベルで）

簡単なようでこれがなかなか難しくって
とりあえずの証明は出来たけど、議論も曖昧だし、計算の手間もすごかった・・・

”三辺和が等しい
意味不明

ヘロンの公式使って

まず
三辺の和と一辺の長さを固定したとき二等辺三角形が一番大きい
次に二等辺三角形より正三角形のほうが大きい
でだめ？

まあ、スレを一つ使うといろいろ問題あるから、質問スレ使ったほうがいいね。

スイマセン

”三辺和が一定”の方が正確ですね。
（”三辺和が等しい三角形の集合”を意識したら曖昧な記述に・・・）

＞＞３
自分もそれに似た感じでやったんですが（数式混ぜて）それで十分なんですかねぇ
よく分からなくて・・・

直感的にただしいので
示された

＞＞６
直感的！

そうだ、数学はセンスだ〜！・・・ってわけにもいかないし・・・

なんか
アレクシの初等幾何は美しいって本にのってそうな
問題だな
戸田は理�V5年生

√1/2(s-a)(s-b)(s-c)
の極大値を求める
さらにＡについての関数と見て最大を求め
ＢについてＣについてとやっていくと
最大値が求まる

√1/2s(s-a)(s-b)(s-c)
の極大値を求める
無理か
4次式だもんな

A(0,0)B(1,0)C(p,q)として
三辺の和が等しい条件でCの軌跡を求めてたら
出来そうじゃない

３辺の長さをa+b,b+c,c+aと置いてみたらどうだろう．．．
とか思った。

p^2+q^2=p^2-2p+1+q^2=1
p=1/2
q=(±√3)/2

正三角形しか存在しない条件つくって同寸の

ごめん　3辺の　和　がひとしいね

＞＞９
ヘロンの公式ですよね（でも、形あってます？）。それも考えてみました。
最後の”Ｃについて”というのは三辺和が一定なのでＣがΑとＢの２変数関数で、だから面積はΑとＢの２変数関数なのですが、その極大値を求める計算は骨が折れませんか？
それともこれくらいなら普通の計算の類に入るのかなぁ・・・？

３辺の長さがa+b,b+c,c+aかつa+b+c=1の三角形で全ての形を尽くせませんか？
もしそれが可能なら、ヘロンの公式が三平方の定理で一発なんですが。

楕円の方程式OK?

＞＞１８
楕円の方程式なら大丈夫です（楕円方程式（？）とかいうのは知りませんが・・・）

＞＞１７
三辺和が２の三角形ならどんな三角形を与えられても３つの方程式が立ち、かつ３変数なのでただ１組のa,b,cが定まるので、すべての形を尽くしていると思います。
これならヘロンの公式で一発というのは？

>>20
ヘロンの公式に代入してみて。
例えば、さっきの設定でa+b+c=1とすると、
ヘロンの公式はS=1/4√s(s-2c)(s-2b)(s-2a)
だから、a→a+b、b→b+c、c→c+a
とやると、上手いこと文字が消えて相加相乗平均に．．．

＞＞２１
上のヘロンの公式に入れてみました。（s=a+b+cというのが普通とちがっていて（普通はs=(a+b+c)/2,S=√s(s-a)(s-b)(s-c)）少し混乱・・・）
確かにS=√abcとなりましたけど、相加相乗平均は(a1*a2*…*an)^(1/n)≦(a1+a2+…+an)/nが公式では？
（例えば√abc≦(a+b+c)/3は成立ちません　反例：a=b=c=2）

>>22
おれ>>21じゃないんだが･･･ちょっとみてられないので
三角形の面積S＝√(s(s-a)(s-b)(s-c)) (s=(a+b+c)/2)
それで相加相乗平均の関係式から得られる式
(s-a)(s-b)(s-c)≦(((s-a)+(s-b)+(s-c))/3)^3=s^3/27
(等号はa=b=cのとき)
を上に入れる。

しまった。やっぱり書きこまないほうがよかった･･･もりあがってたのに･･･

馬鹿の見本市がおわってすっきりして
いいじゃないですか

2s=a+b+c
とおく。
{(s-a)+(s-b)+(s-c)}/3≧{(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3) (相加平均≧相乗平均)
だから
(3s-2s)/3≧{(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3)
∴　(s-a)(s-b)(s-c)≦s^3/27
∴　s(s-a)(s-b)(s-c)≦s^4/27
∴　{s(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/2)≦s^2/(3√3)
ヘロンの公式により左辺は3角形の面積。等号はa=b=cの時成り立ちます。

＞＞２３
おぉ、こんな素晴らしい証明があったとは・・・！（もしかして常識ですか？）
確かにS≦(√３)s^2/9 （ただし、s=(a+b+c)/2、等号成立はa=b=cに限る）となり、正三角形の時面積最大、しかもa=b=cのときs=3a/2だから、これを代入するとS≦(√3)a^2/4となり、右辺は確かに正三角形の面積だから、等号が意味を持つ！

どうもありがとうございました。
今夜はいい夢が見られそうです。

ある一辺を固定すると他の２辺の和は一定であり、この条件のもとで面積
を最大にするためには２辺の位置をずらして二等辺三角形にする必要があ
る。一般に三辺和が一定の三角形の中には面積が最大の三角形は必ず存在
するが、この三角形の場合は上記のずらしが必要のない三角形である。
従って、それは正三角形以外にない。

>>28
すごーい。

>>28
底辺が同じで、面積最大は、高さ最大で、この場合それは二等辺三角形ですからね。
ううん、なるほど。

> 一般に三辺和が一定の三角形の中には面積が最大の三角形は必ず存在するが

どうして？

三辺和が一定つまり有限ならば、面積は高々有限

一晩寝て思ったんですが・・・

次の推論ってどこが間違ってますか？

2s=a+b+cとおく
s(s-a)(s-b)(s-c)≦((s+(s-a)+(s-b)+(s-c))/4)^4=(s/2)^4 (等号成立はa=b=c=0のときに限る)
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))≦(s/2)^2=s^2/4
ここで等号が成立するときa=b=c=0,2s=a+b+cより、s=0
したがって
S≦0　？

どっか計算ミスでもしてるのかなぁ？
わかりません

>>33
ｓが変数であることを考慮していない。

キミのは左辺のｓを変数にして、右辺の変数を定数にしているからそうなる。
実際にはｓは動くので、Ｓ＜(s^2/4)のＳ−ｓグラフを書いて見ればわかる。

しかも、ｓ＞０，Ｓ＞０（第一象限内）であることを先に言っておいたほうが良い。

＞＞３４
sは定数です（三辺和が一定）

それと、＞＞２６あたりの推論（この推論はおそろく正しいと考えられます）との違いが分かると嬉しいのですが・・・

>>33
a=b=c=0ってことは、
等号が成立しないとき、長さが負の辺が有ることに．．．

>>35
漏れが言いたいのは、右辺のｓを０に固定するなってこと。
定数でも、ｓが０であるとはかぎらない。（むしろ、ｓは０より大きい。）
しかも、Ｓはｓに対する関数であると言えるので、ｓの値によっては０＜Ｓ＜ｓ^2/4
となるｓは存在する。（０より大きい場合はすべて当てはまる。）

>>28-32
面積が有限でも最大の三角形が存在するとは限らないような気が…
例えば三辺の長さをa,b,cとしてa+b+c<1の場合とか。

>>35
等号が成立するときが最大とは限らない。
なぜなら、不等号の右辺はｓの値によって変動するからだ。

＞＞３７
Sはsの関数ではありません。a,b,cのうち２つを自由変数とする関数です。
なので、相加相乗平均で出てくるのはあくまでもSのとりうる範囲です。
＞＞２６の推論ではSは正三角形の面積が最大でそれ以上の面積をとりえないことが示されますが、＞＞３３の推論ではSのとりうる範囲が0のみとなってしまいます。
なのであきらかに＞＞３３の推論はおかしいわけですが、どこがおかしいのかが指摘出来ないと同じアルゴリズム（にみえる）の＞＞２６の推論は偶然答えがあっただけで正しいとは言えなくなってしまいます。

>>35
この問題大学受験時代エナの奥田猛先生という方が
α３でだしたのと同一ですな。
先生の解法は、相加相乗などは使わず、
はみ出し削り論法みたいなやつで
エレガントに解かれて感動した覚えがる。

＞＞４１
はみ出し削り論法？
し、知りたい・・・！

＞＞３９
確かに等号を抜かして考えてやれば
S≦s^2/3√３＜s^2/4で矛盾はなくなりますね

あ、a=b=c=0というのが成立たないのか
2s=a+b+cで、sは定数だからaとbが決まったら自動的にcが決まり、a=b=c=0というのはありえない
つまり等号は成立たない、と
これを言いたかったのかなぁ、＞＞３４、＞＞３７は

>>43
つーか
>>28の証明で十分では？

>>33,40
＞a,b,cのうち２つを自由変数とする関数です。
これ違うだろ。ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃで定義されて、ｓを一定にするなら、
答えの中にもｓは残るはずだ。というか、「定数」といわれてる限り
その値に「０」とかを代入することは許されない。
代入して文字を消せるのは、変数だけだと思うのですが・・・

つまり、2=a+b+cと決めていたものにa=b=c=0のときに最小を取るからといって、
２＝０を代入するのと一緒のことをやっている。ここに矛盾があると思うぞ。

だからｓを消していない>>26が正解ということになる。

>>33-37
なんか論点がずれてるね・・・ｓの値に関係せずにつねにａ＝ｂ＝ｃであるときが
面積の最大であることを言えば終わりなのに。

＞＞４４
ある一辺を固定してやれば面積最大の三角形は２等辺三角形、すべての辺について２等辺三角形であればこれ以上面積の大きい三角形は作れない、したがって正三角形が面積最大、ということですよね。
自分も最初に思い付いたのはそれですが証明というには曖昧かなぁ、と思ったんですが、やっぱりそれで十分なんでしょうか？

＞＞４５
＞つまり、2=a+b+cと決めていたものにa=b=c=0のときに最小を取るからといって、
２＝０を代入するのと一緒のことをやっている。ここに矛盾があると思うぞ。
そうみたいですね（＞＞４３に書きました）

>>28
すこし曖昧のような・・・

＞ある一辺を固定すると他の２辺の和は一定であり、この条件のもとで面積
を最大にするためには２辺の位置をずらして二等辺三角形にする必要があ
る。

＞一般に三辺和が一定の三角形の中には面積が最大の三角形は必ず存在
するが、この三角形の場合は上記のずらしが必要のない三角形である。

この２点は一応数式を用いて証明したほうが無難と思ふ。

まだつづいてたのか･･･あげるとウザイといわれるかもしれんのでサゲで。
>>28の書き方だと>>49のいうようにあいまい。>>28でしめされているのは
“もし面積が最大となるものが存在すればそれは正三角形しかない”
ということである三角形のなす集合ＸをとるときＸのなかに面積のものがあるとは
(面積有限のあつまりだとしても)最大があるとはかぎらない。したがって
面積最大のものがあることを別にきちんと証明しておく必要がある。このことを
高校数学の範囲で理解するのは難しいので式でしめしておいたほうが無難。

>>50
あら日本語めためた。校正しすぎでめためたんなった。
ということで、ある三角形のなす集合ＸをとるときＸのなかに
面積最大のものがあるとは(面積有限のあつまりだとしても)かぎらない。
に訂正。

３辺和が一定の三角形の面積は２辺のそれぞれの長さの連続関数として表される。
しかも、これら辺の長さは閉区間を動くから、最大値が少なくともひとつ存在す
る。（ワイヤシュトラウスの定理）

>>52
>>28の詳解ですね。

３辺和＝a　は定数だから、０＜底辺＜a 。
この底辺のそれぞれの値に対して、a-底辺　として表される、2辺和の値が
存在する。
底辺が決まっていれば、あとは高さが決まればいい。
紐でも張ってみればわかるけれど、それが二等辺だと。

ヘロンの式の微分はどうかな

>>54
S^2=1/4{s(s-a)(s-b)(s-c)}
但し、s=(a+b+c)/2=一定。
これより、c=2s-a-b。
ここで、0<a<s,0<b<sとしてｂを固定、ａのみ微分。
dS^2/da=1/4{s(s-a)'(s-b)(a+b-s)+s(s-a)(s-b)(s-c)'}
dS^2/da=1/4{-s(s-b)(a+b-s)+s(s-a)(s-b)}
dS^2/da=1/4{s(s-a)(2s-2a-b)}
これより、三角形はa=(s-b/2)で最大をもつ。
つづいて、a=(s-b/2)のとき、bについて微分すると、
dS^2/db=1/4{s(b^2/4)'(s-b)+s(b^2/4)(s-b)'}
dS^2/db=1/4{s(b/2)(s-b)-s(b^2/4)}
dS^2/db=1/4{s(b/2)(s-3/2b)}
よって、b=2s/3で最大をもつ。

以上より、a=s-s/3=2s/3,b=2s/3,c=2s/3のとき最大をもつので、
a=b=cのとき、つまり正三角形のときが最大。

ごめん。関係ないけど歌丸さん危篤。
http://tv3.2ch.net/test/read.cgi/geinin/1041566708/7

　　ヽ､.三 ﾐﾆ､＿ ＿＿＿ _,. ‐'´／/-─==＝＝=-､ヾ 　 　 　 ／ヽ
　　　　　　　 ,.‐'´　`''‐- ､._ヽ 　 /.i　∠,. -─;==:- ､ゝ‐;----//　ヾ.､
　　　　　　　[　|､!　 /'￣r'bゝ}二. {`´ '´＿_ （_Y_）,. |.r-'‐┬‐l l⌒　| }
　　　　　　　 ﾞl |｀}　..:ヽ--ﾞ‐´ﾘ￣ヽd､　''''　 ￣￣　 |l　　　!ﾆ! !⌒ //
.　　　　　　 　 i.! l .:::::　　 　 ｿ;;:..　 ヽ､._　　　　　_,ノ'　　　　　ゞ）ノ./
　　　　　　　　 ｀ ｰ＝=--‐'´(__,. 　 ..、　￣￣￣　　　　　　i／‐'／
　　　　　　　　　 i　　　　 　 .:::ﾄ､ ￣ ´　　　　　　　　　　　 l､_／::|
　　　　　　　　　　!　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 |:　 　 |
　　　　 　 　 　 　 ヽ　　　　　ｰ‐==:ﾆﾆﾆ⊃　　　　　 　 　 !::　　　ト､
おれたちはとんでもない思い違いをしていたようだ。これを見てみろ。
まず「面積最大の三角形」を英字で表記する
『MENSEKISAIDAINOSANKAKKEI』
これを逆にすると、
『IEKKAKNASONIADIASIKESNEM』
そしてこれを更に日本語に直すと
『いえっかくなそにあでぃあしけすねむ』
形の綺麗な三角形が正三角形と言う事を考えれば末尾に『せいさんかっけい』を加えるのが当然だ。
すると導き出される解は
『いえっかくなそにあでぃあしけすねむせいさんかっけい』
そして最後の仕上げに意味不明な文字『いえっかくなそにあでぃあしけすねむ』
これはノイズと考えられるので削除し残りの文字を取り出す。
するとできあがる言葉は・・・・・・『せいさんかっけい』。

つまり！『面積最大の三角形』とは『正三角形』を表す言葉だったのだ！！

>>57
あほ

>>58
こういうネタ初めて見たら笑える

　　 ,.´ / Vヽヽ
　　　 ! i iﾉﾉﾘ）) 〉
　　　 i l l.´ヮ｀ﾉﾘ　＜先生！こんなのがありました！
　　　 l く/_只ヽ 　　　
　　|￣￣￣￣￣|
http://muryou.gasuki.com/saitama/

>>60
なんで融資？
禿げしくスレちかい。

全体的にﾜﾗﾀ

98

（＾＾）

ほしゅったらあげろ！

神秘ですね

不定係数法を使えばいいんじゃん？

四面体のうちで、周囲の面積が一定のものの中で、体積が最大のものは
正四面体になるか？

>> 70
これは体積が一定の四面体のうちで表面積が最小のものは正四面体になるか？と同値でござる。
まず、表面積最小の四面体があることを認めてほしいでござる。
まず、四面体の１面を固定して残り一点を体積を変えずに動かすことを考えるでござる。
その一点から面に垂線をおろしたときの垂線の足が三角形の内心にくるとき、表面積が最小になるでござる。
次に、向かい合う面と頂点の組４つ全てについて頂点から垂線をおろした時の
垂線の足が三角形の内心にくるのは正四面体しかないことを確かめればいいでござる。

この問題の証明はもう出来てるの？
俺答え分かったからうｐしてもいいけど、もう出てるなら面倒くさいからしない。

というか、こんな問題も解けないで数学やってるの？はぁ？って感じ。

>72
せっかくだからうｐしときなよ

五年以上前に>>28を思いつきかけたが間違っていると思い込んでいた。
正しいということに今日気付いた。
ちなみに当時>>21と同じ方法を思いついて一人で悦に入ってました。

この手の問題で最も大変なのは「何々を最大にする図形の存在」を示すことで、
それさえ言えればあとは楽。(あとは>>28のように必要条件で絞り込んでいけばよい)

肝心な部分を示さず(示す必要性すら理解できずに)楽な部分だけやって
解けたつもりになる人が多いのが問題ではあるが。

>>74
>>28と同じでした。
>>28が一番自然だと思います。

ヘロン乃式やらずに出来るか学校で確かめてくる

「面積最大の三角形があればそれは正三角形に限られる」
ことしか言えてないのにこの問題が解けたと思う人は
分配法則から(-1)*(-1)=1を導いて
(-1)*(-1)=1が証明できたと思う人や
三角関数を単位円の座標で定義した後に
オイラーの公式を使って加法定理を証明しようとする人と同類。
何を前提として何が示されたかというロジックに気を使わず、
とにかく式変形らしきものがあれば証明になると思っているのだろうな。

>>79
このスレにそんなひとがいるの？

>>80
>>28が何の説明も無しに「最大の三角形は必ず存在するが」と言いきるところとか。
>>38>>49のように問題点を指摘している人もいるにはいるが、
指摘内容を理解せず>>28で良いと思っている人が多いように見える。

存在は>>52にあるような理由で明らかだと思っていたが
そういえば一応位相空間論の知識を使ってるのか。
いわれてみればそうかもしれない。

間接的に存在を示すには「コンパクト集合上の実数値連続関数には最大値が存在する」
を援用するしかないと思うが、これもきちんとやろうとすればいろいろ説明が要るよ。
「三辺和s(一定値)の三角形全体の成す集合M」をどういう位相空間(の部分空間)と考えるか。
合同変換群で移り合う三角形を同一とみなすかとか、人によってMの実現方法は
様々だろうから、具体的に実現方法を言って置かないといけない。
また、通常の意味での三角形(長さ0の辺を持たない)だけで考えると
多分Mは閉集合にならず、(ある位相空間内での)Mの閉包がコンパクトに
なるだけだから、その場合はMの境界で面積最大とならないことも言わないといけない。

大学生で学部レベルの数学についていけてる人にとっては
以上のようなことをちゃんと記述するのもそれほど難しいことではないが、
高校数学しか知らない人がこれをやるとまず間違い無く穴だらけになる。
というわけで高校生はこの問題をヘロンの公式で解いておくのが無難。

はぁ？何言ってんだおめーら？
「３辺の和が等しければ、必ず面積最大の三角形は存在する。」
断言できます。

>>84
何が言いたいのかよくわからない。
何の三辺の和が等しければ存在するの？

不等式
S(a,b,c)≦S_0
が示されて、かつその値を定める実数a,b,cが存在するのだから、S_0が最大値でいいのではないんですか？

あっすいません。今のは無視してください。

最近の理論物理は現世界の事象とやらが公理系で記述されてるような気がしてならない

誤爆。すまん

何故79は前提を忘れるというミスを犯してしまった人を
あそこまで強調するのかが理解に苦しむ。何かトラウマでもあったのだろうか…

と、トラウマ…何て言葉を使ってしまったんだ。私は。恥ずかしいよぅ

（＾＾）

まず、三角形の頂点が単位円周上にすべて乗っているとして始めてよいことに
すれば、やさしくなる。

>>93
どうやるんですか？

>>93
本当にやさしくなりますか？

二等辺三角形を使うことについては既に述べられているが、
論理の展開を次のようにしてはどうかと思う。
１）三辺和が一定で面積最大の三角形は二等辺三角形でなければならない。
２）三辺和が一定の二等辺三角形のうち、面積が最大のものは正三角形である。
３）したがって三辺和が一定で面積最大の三角形は正三角形である。

１）は楕円の軌跡、２）は簡単な数式で証明できる。

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

（＾＾）数学板は荒れ放題（＾＾）

（＾＾）（＾＾）（＾＾）　

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http://togoshi.ginza.st/konno/konno05.html
http://www.togoshi.ginza.st/konno/konno03.html

偏微分使わないと解けないのでは…？
でも、高校レベル超えちゃう品。

>>102
>>21

（＾＾）数学板は荒れ放題（＾＾）

ヘロンの公式なんて計算量が大きくなるから使った試しがない
なんであんな糞な公式があるんだろう

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

11

3

2

虎馬？

11

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

ヘロンの公式を使います。
まず sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} の微分係数の０点と
　　　　s(s-a)(a-b)(s-c) は同じ位置で微分係数が０になることを理解します。
a+b+c=2s だから
一辺の長さを固定する。たとえば　a
残りの辺の長さを　b=(2s-a)/2+x c=(2s-a)/2-x
として最大を求めると x=0 が解となり　
一辺が固定された場合二等辺三角形が最大になることが言えます。

つぎに　任意の二等辺三角形の中の最大を求めます。
a=x b=c=(2s-x)/2
これの最大を求めると x=2s/3 が出てきて証明終わりになります。

以上

18

9

外接円を使う

1)2)から3)はいえない。

いえるのは「面積最大の図形が存在するならそれは正三角形である」ということ。
面積最大の図形が存在することの証明ができてないから0点。

>>96

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

四辺の長さの和が一定である四辺形でその囲む面積が最大なものは
正方形か？

>>122
どうせ発展させるなら，
「周囲の長さが一定であるn角形の最大のものは正ｎ角形
　であることを証明せよ。」
とかにしませんか？(や，正しいことを証明できてないけど)

　　　　　　　　　★★★★疑問浮上★★★★

表面積が一定であるn面体の最大のものはどんな図形になりますか？

イメージすら沸きません．(n=4,6,8,12,20のときはなんとなく予想つくけど)
どなたか，予想でもいいのでｱﾌｫな俺に教えてください(汗)

ちなみに，
>>123
n：3以上の整数
ｎ→n(半角に直してください)
すいません．

>>124
そもそも「最大のもの」が存在するかどうか不明．

図形→立体
(立体って図形かどうか不安になった・汗)
誰かｱﾌｫなｵﾚに教えてくれ。

>>123

n→∞の時は、どうかな？

これは、しかし、非常に難しい。
高校生では多分解けない。。。

>>127
球じゃねーの？証明はできないけど．

>>128

2次元で考えれ

工房の予想：

長さLの曲線で囲むことのできる最大の面積を持つ図形は、円である

あ，ｽﾏﾝ>>124と間違えた。鬱氏。

>>129
ｻﾝｸｽ。そういうことです。

>>130

なるほど。

工房の予想：

長さLの曲線で囲むことのできる最大の面積を持つ図形は、円である
表面積一定で最大の体積を持つ図形は、球である

これでいいかな？

三辺和が等しい三角形で面積最大のものは正三角形である
周囲の長さが一定であるn角形の最大のものは正ｎ角形である


背理法を用いれば、、、簡単かな？

うん、やっぱりそうだ。

背理法なら、すごくわかりやすい。
背理法では直接は円は使わないけど、
円を使うってのは、いい考えだね。

うん、そうすると、

長さLの曲線で囲むことのできる最大の面積を持つ図形は、円である

これも意外に背理法を使えば、比較的簡単かな？
(ポジティブに解こうとすると、これは難しい)

表面積一定で最大の体積を持つ図形は、球である

これも、、、だけど、これも背理法でいける？

>>133
表面積一定で最大の体積を持つ図形は、球である
の証明
http://www2.strangeworld.org/winny.swf

>>134のリンクは、絶対クリックしないこと。

問題

長さLの曲線で囲むことのできる最大の面積を持つ図形は、円である

これを、背理法を用いずに解け。

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

3

003

029

20

>>131-136
背理法を使うってのは
１．円でないとすると、周の長さが等しくてより面積が大きな図形が存在する
２．従って面積最大の図形は円である。
ってのを想定してるだろ？

スレ内で何度も触れられてるけど
「面積最大の図形が存在すること」が証明できてないから全然問題外。

20

959

550

>>1
正4面体をうまく広げると正3角形になるのでそうである。証明終

3角形だけど、実は3角柱で側面積無限大

341

まず北極点から東経　０°を通って、真南に北緯　０°まで線を引き、
　　　そこから北緯　０°を通って、真東へ東経９０°まで線を引き、
　　　そこから東経９０°を通って、真北に北緯９０°まで線を引けば、
角度の和が、２７０°の異常な三角形の完成。

>>135
>>134は何？

面積最大の図形が存在することも背理法で証明汁

ヘロンの公式を使う前提条件は、三辺の長さが三角不等式を満たすこと。
これは、 s-a,s-b,s-c がいずれも正であることだと言い替えられる。
そのために、閉集合の上での最大値に持ち込む為には、
面積が0になる場合も含めて
s = 一定で正の値、例えば1としてよい。
s-a ≧ 0
s-b ≧ 0
s-c ≧ 0
を満たす 0以上のa,b,cの取る閉集合上で、ヘロンの式であらわせる
関数が連続だから、最大値を持つので、、、、とやらないといけない
だろう。

発展問題：
平面上に4辺形がある。辺の長さの和を一定とするとき、面積が
最大になるのは、どのような形をしているときか?
5辺形、6辺形ではどうか?

>>150
わしは135ではないが
134はノートン先生が「これはやばいので削除しました」と
言ってくるようなもの

発展問題。
半径Rの円筒(無限に長いとする)の表面上で、閉曲線Cの周の長さLを
与えた時に、Cの囲む面積が最大であるのは、どのような形状の時か?
(円筒をぐるりと回って曲線が重なる時については、それはあたかも
重なって居ないとして面積などを考えよ)
問題：
半径Rの球面上に、閉曲線Cとその周長Lを与えたときに、Cが囲む
面積が最大となるのは、Cの形状がどのようなときか?
(これもLが大きくなると、Cが自己交差を持つようになるが、それも
適切に考えて、面積を定義する。二重に覆っている時は、2重に加える
ということ。)

>>28の方針否定されてるけど、こういうのはどう？

１．
三辺の長さが一定である三角形には、
正三角形と、正三角形でない二等辺三角形と、そのどちらでもない普通の三角形がある。
この三種類に限られる。

２．
あらゆる普通の三角形よりも、大きい面積を持つ二等辺三角形が必ず存在する。
（楕円の軌跡）

３．
正三角形は、あらゆる二等辺三角形よりも大きい面積を持つ。
（二等辺三角形の形を維持したまま底辺の長さを変える簡単な計算）


以上より、正三角形が面積最大であると分かる。

>>96と同じく>>155もOKだな。

２．より、
あらゆる普通の三角形＜ある二等辺三角形　・・・４

３．より
あらゆる二等辺三角形＜正三角形　・・・５

４．５．より、
あらゆる普通の三角形＜ある二等辺三角形＜正三角形
すなわち
あらゆる普通の三角形＜正三角形　・・・６

５．６．より、
あらゆる普通の三角形、および、あらゆる二等辺三角形＜正三角形　・・・７

１．７．より、
正三角形でない三角形＜正三角形

正三角形が面積最大。

>>156

>>96は（１）がまずいと思った。
「でなければならない」と必要条件で絞ってるから。

で、俺は積極的に「より大きい」を使ってみたわけです。

言ってること間違ってるかな？

＞　２．
＞　あらゆる普通の三角形よりも、大きい面積を持つ二等辺三角形が必ず存在する。

これちょっと誤解を招く表現だったな。

全ての普通の三角形に対して、
絶対的に面積の大きい二等辺三角形が存在するという意味ではなく、

どんな普通の三角形を想定してみても、
その個別の三角形に対し、それよりも面積の大きい二等辺三角形が存在するという意味です。

・・・って、前者じゃないのは明らかだから分かるか。

>>155および>>96への意見きぼん

>>96を更にちゃんとやれば>>155になる、って感じではねーかな。
間違ってる点はどちらにもねーべ。

>>96
>>119

やはり>>96は間違いかと。
こと論理展開を問題としてるだけに、ここは厳しくいかねばなるまい。

んなことないか。
別のとこで言葉足らずなとこはあるが、
基本的に正解だわ。たぶん。>>96

>>96は何ヶ月か前の大数で>>119の理由により0点と断罪されておりますた。

>>96は
１）を証明する際に「普通の三角形≦二等辺三角形」
２）を証明する際に「二等辺三角形≦正三角形」
を証明するから自動的に最大の三角形も存在する事が示されてOKだとｵﾓﾃﾀ。

>>96は正しいような気がしてきた。
（１）より、「面積最大のものが存在するならば、それは二等辺三角形の中にある」
（２）より、「二等辺三角形の中に、確かに面積最大なものは存在し、それは正三角形である」
これは面積最大なものが存在することを言えてるのでは？


「面積最大のものが存在するならば、それは二等辺三角形の中にある」
→この必要条件を用いて計算
→正三角形が面積最大となることを確認
→OK


「面積最大のものが存在するならば、それは二等辺三角形の中にある」
→この必要条件を正三角形に拡張
→「面積最大のものが存在するならば、それは正三角形である」
→不十分


ではないかな？

楕円だよ。
1辺を固定して、残りの2辺の和の長さが一定のとき、
高さが一番高いとき2辺は同じ長さになる。
固定した辺についておなじことすれば、3辺は同じながさになる。

>>167
その操作を無限に繰り返せばね。

>>166
言えてない。>>96の論理展開は

順序集合Aとその部分順序集合B(B⊂A)に対して
(1) Aの最大元が存在するならばその最大元はBの元である
(2) Bには最大元bが存在する
の二つの事柄から
(3) Aには最大元が存在してそれはbである
を導く

という形でしょ。一般の順序集合で(1)(2)を満たして(3)を満たさないA,Bの例は
沢山あるから、この論理は明らかに間違い。

>>169
確かに。
>>96は駄目だね。

では、俺のはどうですか？

>>165のような事をやって>>169(3)が示せている事になると思うのだが、違うのか？

D={(a,b,c) ∈ R3; a≧0,b≧0,c≧0,a+b≧c,b+c≧a,a+b≧c,a+b+c=2s}
とすると、D⊂R3は有界閉集合であり、その境界は、
∂D={(a,b,c) ∈ R3; a≧0,b≧0,c≧0,(a+b=c=s or b+c=a=s or a+b=c=s)}
となる。(a,b,c)を3辺とする三角形の面積Sは、S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}である。
∂D上では、S=0であり、D-∂D上では、S > 0であることが直ちにわかる。
Sを最大にするには、S2=s(s-a)(s-b)(s-c)を最大にすれば良い。
S2をD上の関数と考えると、連続なので、有界閉集合D上で最大値mを取る。
m > 0より、最大値mは、D-∂D上の点で取る。 S2はa,b,cの多項式関数であるので、a,b,cにより偏微分可能であり、
最大値を与える点で極値をとる。束縛条件a+b+c=2sを考慮すると、Lagrangeの乗数法により、(a,b,c)で極値をとる必要条件は、
ある未知の定数λについて、
F(a,b,c)=s(s-a)(s-b)(s-c)+λ(a+b+c-2s)
とするとき、
∂F/∂a=∂F/∂b=∂F/∂c=0 である。
つまり、
-s(s-b)(s-c)+λ=-s(s-a)(s-c)+λ=-s(s-a)(s-b)+λ=0
s(s-b)(s-c)=s(s-a)(s-c)=s(s-a)(s-b)=λ
となる。(a,b,c)∈D-∂Dなので、s-a > 0,s-b > 0,s-c > 0より,
a=b=c=(2/3)s, λ=s3/9
を得る。
D-∂D上で極値を取る点は、1点((2/3)s,(2/3)s,(2/3)s)のみなので、S2は、実際に、この点で最大値m=s4/27をとる。

よって、Sが最大になるのは、a=b=c=(2/3)sのときで、最大値はs2/{3*sqrt(3)}である。

>>171
>>96は論理展開としてまずいということだろう。
>>165は後付け。
>>165の内容を省略してる>>96は認められない。

ところで「認められない」って…誰に？

>>174
個人的に。

>>170
155は

順序集合Aとその部分順序集合B(B⊂A)に対して
(0) Aの任意の元xに対しx≦yなるBの元yが存在する
(2) Bには最大元bが存在する
の二つの事柄から
(3) Aには最大元が存在してそれはbである
を導く

という方針で、これは一般的に正しいからOK。

>>154
単連結な領域にしとかないと収拾がつかなくなるんじゃないか．

円筒の表面の場合は、それは平面に可展な面であるから、円筒に無限に巻き付
けた平面を展開したのと同じことになり、曲線の弧長やその囲む面積は展開
された平面上に書かれたのと同じである。
よって、曲線Cの周の長さLを与えたときに、その囲む面積が最大となるのは
やはり、平面上の円周である。よってそれを元の円筒に巻き付けた曲線が
答えになる。

1)円筒の一次ホモロジー群の生成元は誇張有限な閉曲線だけど，
それを普遍被覆の平面に持ち上げたらそもそも閉じないでしょ．
2)円筒上に描かれた閉曲線の内部の領域が最大 <==> ある同相写像 (円筒)-->(平面)が存在して
閉曲線の，この写像による像が平面で最大．
の証明を教えてくださいませませ．

円筒を1回だけぐるっと回る曲線は、円筒を左右にわけるけど、そのどちらも
面積は定義出来ないね。普遍被覆の平面上で閉曲線になっているものを
考えれば十分でしょう。もしも、それじゃあダメだというのであれば、
円筒の半径をRとするときに、閉曲線の周の長さが2πR以下に限定して議論
すればどうよ? 球面の時も、その半径をRとするときに、閉曲線の長さが
2πR以下の場合に限定して議論すれば?

179です．
定義を確認してきました．有界領域でのみ面積は定義されるのね．
では OKです．

ちなみに球面の方の話で曲線の周の長さが 2πR より大きいときに囲む面積が
最大になるのはどんなときなんでしょ．
赤道を一周させて残りの周を適当に配置する，っていう方法でいいのかな．

球の場合は、
緯線が効率が良くて、
緯度が低いほど更に効率がいい
ということを言えれば終了？

証明は面倒だけど、PLOTすればすぐわかる？なら
証明はいらないのでは？

球面上で囲んだ面積ってのはどっち側なの？
小さいほう？
それとも線を引く時に右側とか定義すんの？

球面の北極を一点抜いたものは、リーマンの立体写像によって
平面と同相だから、平面の上での閉曲線を引き戻した
球面上の閉曲線に考察を限定するということにすれば、
どうだろうね。

コンパクト使って最大性示せないの？

立方体があるとするときに、この立方体の表面上の3点を選んで
その3点を頂点として作られる三角形のうちで、面積が最大と
なるものを求めよ。

>>187
三角形は立方体の内部を通っていいんだよね？
明らかに斜めにぶった切った奴だけど、それを示せという問題？

＞188
そういうことだ。
立方体の表面ではなくて、球面であれば、大円に内接する正三角形が
面積最大であることは容易に分かる。

長径と短径の比が s＾2 であたえらえる楕円があったときに、
この楕円の周上に3点を選んで、それを頂点とする三角形のうちで
面積が最大なものを求めよ。

183

809

☆面積最大のｎ角形☆

>　110 ：１３２人目の素数さん ：04/05/27 15:00
>　どれも「1番近い点との距離が1以下」という条件を満たすn個の点を
>　平面の上に与える時、このn個の点の凸包の面積の最大値を教えて下さい。

>　129 ：１３２人目の素数さん ：04/05/27 21:43
>　>>110の問題は「無限に大きくできる」が答えみたいだが、
>　「長さ1以下の線分で構成される折れ線ですべての点を繋ぐことが出来る。」
>　って条件ならどうなるんだろう？　各線分の両端はn個の点のうちの2点ってことで。

「正2n-2角形の半分」説が優勢？？

さくらスレ１４５
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085311797/110,129

501

170

☆ 2種類の辺から成る2n角形 ☆

【問題】円に内接する2n角形があり、n辺の長さがa, n辺の長さがbとする。このとき
（１）周の長さ L_n と面積 S_n を求む。
　　　　･･････　S_n = {n^2/(4π)}[c_n･(a-b)^2 + c_{2n}･4ab] の形になるらしいYo.
（２）S_n/(L_n)^2 は単調増加か?
（３）Lim(n→∞) S_n/(L_n)^2 =?

よろしくおながいしまつ。

>190
長径方向に1/s倍、短径方向にs倍した円周で考えれ。

円盤から中心の点を除いた領域Cを考えると、
このCに含まれる三角形のうちで面積が最大なものは存在しない。

さくらスレ146にあったYo

461 ：１３２人目の素数さん ：04/06/27 17:18
F(x,y) = sin(x) + sin(y) + sin(x+y)
の最大値、最小値を教えてください。公式通りにやってもうまく行きませんでした
たのんます

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1087307114/461


半径1の円周上に3点とり、中心角を 2x,2y,2(π-x-y) とすると、
周長=2･F(x,y), 面積=(1/2)F(2x,2y)

>199
面積の式おかしくね？

>198
F(a-t,a+t) = sin(a-t) + sin(a+t) + sin(2a) = 2sin(a)･cos(t) + sin(2a).
∴ - 2|sin(a)| + sin(2a) ≦ F ≦ 2|sin(a)| + sin(2a), 等号は t=nπ (n∈N)のとき.

ところで、2{1±cos(a)}･|sin(a)| = 2(1±c)･√(1-c^2)
= (1/2)√{27 - (-1±2c)^2･[(3±2c)^2 + 2]} ≦ (√27)/2 = 3(√3)/2.
∴ -3(√3)/2 ≦ F ≦ 3(√3)/2, 等号成立は-1±2c=0 のとき, a=60°,120°,････のとき

353

441

顔が三角形の人はどういうときに顔の面積が最大になるのだろう？

968

小学校の時に先生が「大きな円を紙に書いてください」と言った
漏れはノートにひとつの点を打って、「地球全体を囲む円です」と言い張った・・・

何かこのスレタイ見て思い出したから、書きこんでみるテスト

物凄く大きな円を書きましたが幅がないので見えません

737

507

749

去年の東工大プレ（代ゼミ）に出てたぞ。
(1)で１辺は固定、残りの２辺の和が等しいときの最大は二等辺三角形であることを証明させて、
(2)で正三角形であることを証明させる問題だった。

俺は(1)で楕円、(2)で微分を用いて満点もらった。

215

776

104

847

168

652

143

ΘΙ

>とりあえずの証明は出来たけど、議論も曖昧だし、
>計算の手間もすごかった・・・
もしかして出来てないのでわｗ

キングって変態なのか

271

787

487

理想三角形

age

　　　　　　　　　　　_,,.. -──‐- .､.._.
　　　　　　　 　 ,　'´　　　　　 ╋　　 ヽ
　　　　　　　　〈:::::::　　　　　　　　　　 _:::)
　　　　 　 　 /´＼:::::::::_,.　- ― -　､.〃/
　 　 　 　 , '/〈∨〉’‐'´ 　 　 　 　 　 ｀ ' ､
　　　　　/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ }　! `, ヽ ヽ　＼
　 　 　 ｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ|　.Ll_!　}　、.ヽ
　　　　 {ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l　}
　 　 　 ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 　 　 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿
＼　　　!（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_]　　　　|iﾘ {､|,ﾉ!'　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 <＼ｎ　)’（ (‘ｰｌ |　 ° ´　　__,'　 ﾟ,' ）　　　　 |　 Kiｎgくん♪
　　/.）＼_,　 ｀ ） ﾉﾉ＼　　　　 ｔﾉ　／(（.　　　 ＜　 うんこ食べのお時間よ！
　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
　　 {. r_〉｀!　}>' 　） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 ＼　 　 ｆ　 ,. '´／　　　　 　 o　..:::　 ＼
　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ

263

254

402

275

365

976

365

話題が無いならもう終了しろ

Re:>234 うるせーよ。

BlackLightOfStar ◆ifsBJhJOKE
は消えろ

そうかそうじょうって理系の問題だとあまり使えない気が…

229

479

ｎ角形

二年一時間。

age

620

431

351

東京理大生ら９人逮捕　振り込め詐欺で５０万円だまし取った疑い
　東京理科大学の学生ら９人が、振り込め詐欺の疑いで逮捕された。
　逮捕された東京理科大学４年・谷口風太容疑者ら９人は先月中旬、警察官などを装って「ご主人が追突事故を起こした」などと電話をかけ、兵庫県内の４９歳の女性から現金５０万円をだましとった疑い


理科大ざまあw

449

615

959

589

変分法の問題じゃないのか。三角形程度ならラグランジュ方程式などをつかうまでもなく、
二変数関数として処理できる。

982

S=bc sinA
保守

age

621

√(256) = 16

2+5=7

では、定円に外接する三角形の面積が最小になるのは、正三角形のときであ
ることを証明しな埼玉。

1

age

184

>>258
定円の半径を１としてよい。中心をO、３接点をABCとして
∠BOC=2x、∠COA=2y、∠AOB=2zとすると
x,y,zは凸領域x+y+z=π、0＜x,y,z＜π/2を動く。
この領域において面積S=tanx+tany+tanzが最小となるのは凸不等式より
x=y=z=π/3のとき。

>>258
ラグランゲの乗数法使ってもええがな。

では、定円に内接する三角形の面積が最大になるのは、正三角形のときであ
ることを証明しな西条。

>>264
定円の半径を１としてよい。中心をO、３接点をABCとして
∠BOC=2x、∠COA=2y、∠AOB=2zとすると
x,y,zは凸領域x+y+z=π、0＜x,y,z＜π/2を動く。
この領域において面積S=sinx+siny+sinzが最大となるのは凸不等式より
x=y=z=π/3のとき。

>>264
ラグランゲの乗数法使ってもええがな。

他スレから

（問題）
内接円の半径が3，外接円の半径が8であるような三角形の面積の最大値を求めよ．

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/59 ,446, 450

>>267
これは未定乗数法つかうのしかおもいつかんな。
めんどいので外接円の半径１、内接円の半径3/8の場合をかんがえる。
定円の半径を１としてよい。中心をO、３接点をABCとして
∠BOC=2x、∠COA=2y、∠AOB=2zとすると
x,y,zは凸領域x+y+z=π、0＜x,y,z＜πを動く。
さらに内接円の半径が3/8⇔(1/2)(3/8)(2sinx+2siny+2sinz)=(1/2)(sin2x+sin2y+sin2z)
F=(1/2)(3/8)(2sinx+2siny+2sinz)-(1/2)(sin2x+sin2y+sin2z)とおけばgradFはx+y+z=πにおいて０でないので
M={F=0}は１次元の多様体。S=(1/2)(sin2x+sin2y+sin2z)がMにおいて最小になるのはSがM上でなめらかだから極大値。
L=S-wFとおいてLx=0、Ly=0、Lz=0、Lw=0となるところをかんがえると
cos2x-w((3/8)cosx-cos2x)=0、cos2y-w((3/8)cosy-cos2y)=0、cos2z-w((3/8)cosz-cos2z)=0、F=0。
ここでcos2xが0ならcosxは0でなくこのときw=0。よってcos2y,cos2zも0になるがそのような点はM上にはない。
∴w=((3/8)cosx-cos2x)/cos2x=((3/8)cosy-cos2y)/cos2y=((3/8)cosy-cos2y)/cos2y。
ここでw=(3/8)cost/cos2t-1がおなじ値になる0≦t≦πで高々２つ。よってSが極値をもつときそれは
x=y or y=z or z=xをみたす。つまり２等辺３角形。
つまり外接円の半径1、内接円の半径が3/8である２等辺三角形のときのみ極値をもつ。x=zのときのみ考えればよい。
(3/4)(2sinx+siny)=2sin2x+sin2y (2x+y=π)、1+cosx≠0、sinx≠0等をもちいてcosx=1/4 or 3/4。
この面積のでかいほうが最大値、小さい方が最小値。しんどなった。以下略。

では >268 の続きを...
　2等辺三角形だから y=π-2x, z=x とおける。
　2F(x,π-2x,x) = (3/2)sin(x) -(5/4)sin(2x) + sin(4x)
= (3/2)sin(x) -(5/2)sin(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x){2cos(x)^2 -1} = (1/2)sin(x){3 -13cos(x) +16cos(x)^2}
= (1/2)sin(x){1+cos(x)}{3-4cos(x)}{1-4cos(x)} =0.
　ここで sin(x){1+cos(x)}>0 より、
　cos(x)=cos(z)=1/4, cos(y)= 7/8 のとき最大値 S=(15√15)/64.
　cos(x)=cos(z)=3/4, cos(y)=-1/8 のとき最小値 S=(21√7)/64.

115

526

二年。

119

581

417

一辺が3↑↑↑↑3cmの正三角形の面積を数字のみで表記せよ。

age

age

671

529

kingシヌえ

talk:>>284 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

803

654

620

770

king

私を呼んだだろう？

内接円の半径を最大にすればいい。

楕円で考えるとそうなる

225

四年三時間。

104

198

674

892

三辺の長さがa,b,cの三角形Xと
a,b+h,c-hの三角形Yがあったとき
b<b+h<c-h<cならXよりYの方が大きい
これは中学の数学で証明出来る

a+b+c=3となる三角形Zがあったとき、
a,b,cの何れかが1でないならx<1 y>1となるようなx,y∈{a,b,c}が必ず存在する
x=a,y=bとおいても一般性は失われない
これも中学の数学で証明出来る

1-a<b-1なら三辺がa,b,cの三角形Zより三辺が1,a+b-1,cの三角形Z'の方が大きい
そしてZ'より三辺が1,1,1の正三角形の方が大きい
1-a>b-1なら三辺がa,b,cの三角形Zより三辺がa+b-1,1,cの三角形Z'の方が大きい
そしてZ'より三辺が1,1,1の正三角形の方が大きい
1-a=b-1なら三辺がa,b,cの三角形Zより三辺が1,1,1の正三角形の方が大きい

よってa+b+c=3となる三角形では正三角形が最大である
普通に中学数学で解けるじゃん

>>83とか何が「ヘロンの公式で解いた方が無難」ですか
変な助言には従わない方がいいですな

一般のn角形の場合も基本的に同じような方法で
中学数学だけで正n角形が最大な事示せるし
工夫を怠るから色々と苦労する方法になっちまうのですね情けない

age

三辺の長さが　ab+bc+ca=1 を満たすときの面積の最大値は？

>>304
最大の面積が正三角形という証明をした上で、
a,b,cは等価の関係にあるのでa=b=cを代入、で一辺を求める

171

次は>>1を少し変えて

「周囲の長さが一定のとき面積が最大になるのは円」

の証明をお願いします。

　

五年八日十五時間。

424

>>308
「任意の曲線で囲まれた領域に大してそれに幾らでも面積と周囲長の近い多角形が存在する」
さえ示せればいいんだが、これの証明が難しい

というより面倒くさい

よくもまあ、こんな題材でここまで伸びたものだな。

>>314
こんなというくらいなら>>308解けよ

073

>>300
問題が別物ですよ。
定円に内接するから周りの長さが等しいとは。。。

G=SdA-r(Sds-c)

三辺の和が一定の面積最大の三角形の形を求める。
楕円の焦点をＢ、Ｃとする。
点Ａを楕円の曲線上にとるとき、ＡＢ＝ＡＣとなる点に取ると、
三角形ＡＢＣの面積は最大になる。
題意を満たす三角形は二等辺三角形である。
この時の三角形を回転させ、焦点をＡ、Ｃに変える。
この時面積最大となるのはＡＢ＝ＢＣの時である。
よって題意を満たす三角形は正三角形である。

図を描けば小学生でも正解が貰える。

5年と半年も経っているのか

オレの書いた似たような証明が出てるなぁ。
某高校生は高２か…？
１月にココに来ていて、楕円の方程式を知っているが、某がつくのだから
有名高校の生徒だろう。
今は大４か？ストレートでいっていれば院試勉強か就職活動にはげんでいるのだろう。
この時のこの事なんて、すっかり忘れてしまっているだろう…。
しかし彼はまた、ふらりと、何かに誘われて、この場所に舞い戻って来るだろう。
今度は回答者として…。

βってまだいたのかよ

実は弟子だ

>>323
バカが抜けてる

>>322-334はアホ

自分も含まれてる…

155

hage

閉区間上の連続関数は必ず最大値をとる。

って、言っておかないと正しくない。って皆はよくこの問題に関して言うが、
それは自明な事で、ここで問われる事とは、俺には思えない。

閉区間上の連続関数として表現できるのはあまりにも自明ではないのかね？
こんな所でも、いちいちそれでは証明になっていないとか言ってる奴の神経が
俺にはわからん。

>>317
何が別もんなんだ？意味が分からん

最大値の存在証明を含め

ヘロンの公式＆相加相乗平均の公式

詰まり(>>23&>>28)or>>52で終了

>>30、固定辺を変え全て二等辺三角形となるのは正三角形、とも言えるな

又はヘロンの公式の微分>>54-55で終了

発展問題>>70-71

最大値存在証明は無限でない事を示せば良い、と言うか
相加相乗平均の公式があれば拘らんでええな
最大値が示される

負の値なんぞ余計な事は捨て置け

所で、はみ出し削り論法、不定係数法とは何か？

どの固定辺でも二等辺三角形になるのは
じねん、正三角形なり

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六年三時間。

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200まで見たけど、面積一定で周長最小問題にするのはないようだな。
面積一定は高さ一定だから、楕円使わなくても済むぞ。

区間{0<=x<=a}で連続な関数y=f(x)において
f(0)=0,f(a)=0,f(x)>0 {0<x<a}とする
0<=x<=aの曲線f(x)の長さが一定の場合
∫[0,a]f(x)dxが最大になるf(x)は？

∫[0,a]√(1+f'(x)^2)dx=一定の条件で
∫[0,a]f(x)dx =が最大になるf(x)を求めれば良いですよ

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