不等式への招待 第２章
東大入試スレにありますた。
786 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/05(土) 00:26:13
a>0, b>0のとき、(a^b) + (b^a) >1 を示してくださいです。。。
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/786
786 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/05(土) 00:26:13
a>0, b>0のとき、(a^b) + (b^a) >1 を示してくださいです。。。
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/786
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467 ：１３２人目の素数さん：2005/11/05(土) 16:18:37
>466
a≧1 のとき a^b≧1, b^a>0 より成立。 b≧1 のときも同様。
残るは 0<a,b<1 のときである。
ベルヌーイの不等式で 1+x=1/b とおくと
(1/b)^a < 1 + a(1/b-1) = (a+b-ab)/b.
∴ b^a > b/(a+b-ab),
同様に a^b > a/(a+b-ab).
辺々たして a^b + b^a > (a+b)/(a+b-ab) >1. (終)
〔ベルヌーイの不等式〕
(1+x)^a < 1+ax if 0<a<1, x>-1.
http://mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html
a≧1 のとき a^b≧1, b^a>0 より成立。 b≧1 のときも同様。
残るは 0<a,b<1 のときである。
ベルヌーイの不等式で 1+x=1/b とおくと
(1/b)^a < 1 + a(1/b-1) = (a+b-ab)/b.
∴ b^a > b/(a+b-ab),
同様に a^b > a/(a+b-ab).
辺々たして a^b + b^a > (a+b)/(a+b-ab) >1. (終)
〔ベルヌーイの不等式〕
(1+x)^a < 1+ax if 0<a<1, x>-1.
http://mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html