不等式スレッド
>>663
662の(7)を修正
左辺の (1-x^n)^m =f(x) の下限を考える。
a=1-[1/(m+n)]^(1/m), b=[1/(m+n)]^(1/n) とおくと, 0<a≦b<1. （←[705]）
f_1(x) = 1-m(x^n) （0≦x≦b）,
f_2(x) = n(1-x)^m （a≦x≦1） とおく。
f_1, f_2 とも単調減少で、 f_1(x) > f_1(b) = n/(m+n) = f_2(a) > f_2(x) （a<x<b）
次に、これらが f(x) の下限となることを示す。
(1) f(x) ≧ f_1(x) （0≦x≦b）
(2) f(x) ≧ f_2(x) （a≦x≦1）
（略証）
(1) 相加･相乗平均を使う： X^m +(m-1) ≧ mX から。
(2) f(a) > f_1(a) > f_1(b) = f_2(a).
また f(x)^(1/m) = 1-x^n は上に凸、f_2(x)^(1/m)は直線だから
f(x)^(1/m) ≧ [f(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) ≧ [f_2(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) =f_2(x)^(1/m).
同様にして 1-f_1(x) （0≦x≦b）, 1-f_2(x)（a≦x≦1）は [1-(1-x)^m]^n の下限となる。
それぞれの区間でこれらを加えれば ≧1 となる。(終)
ぬるぽ
662の(7)を修正
左辺の (1-x^n)^m =f(x) の下限を考える。
a=1-[1/(m+n)]^(1/m), b=[1/(m+n)]^(1/n) とおくと, 0<a≦b<1. （←[705]）
f_1(x) = 1-m(x^n) （0≦x≦b）,
f_2(x) = n(1-x)^m （a≦x≦1） とおく。
f_1, f_2 とも単調減少で、 f_1(x) > f_1(b) = n/(m+n) = f_2(a) > f_2(x) （a<x<b）
次に、これらが f(x) の下限となることを示す。
(1) f(x) ≧ f_1(x) （0≦x≦b）
(2) f(x) ≧ f_2(x) （a≦x≦1）
（略証）
(1) 相加･相乗平均を使う： X^m +(m-1) ≧ mX から。
(2) f(a) > f_1(a) > f_1(b) = f_2(a).
また f(x)^(1/m) = 1-x^n は上に凸、f_2(x)^(1/m)は直線だから
f(x)^(1/m) ≧ [f(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) ≧ [f_2(a)^(1/m)/(1-a)](1-x) =f_2(x)^(1/m).
同様にして 1-f_1(x) （0≦x≦b）, 1-f_2(x)（a≦x≦1）は [1-(1-x)^m]^n の下限となる。
それぞれの区間でこれらを加えれば ≧1 となる。(終)
ぬるぽ
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