現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12 [転載禁止]©2ch.net

旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む9
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/

（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）

age

他の板では、３日で３０レス行かないと即DAT落ちとか

数学板は、過疎なので、そうでもないみたいだが

一応最初の件数稼ぎをしています

再age

再age

?

スレ主ID:wOLNHI5U宛て
昨日のID:Mni4k+dmの者だが、前スレの>831でのレス
>学生じゃないのか？>822
>で、イメージをクリアにするために、確認しておきたいが、>498を出題したのはあなたですね。
について、これは認める。30分待ってみたが、スレ主が正の有理数全体や正の実数全体が
通常の乗法について群になることが分からず、レスがなかったようで、もうやめてちょっと寝た。
群の定義が分かれば、有理数の稠密性や実数の完備性、極限による実数の乗法や除法の定義から、これは直ちに従う。

スレ主ID:wOLNHI5U宛て。
位相が頭に入らないということは、もしかしたら
微分積分も怪しいかも知れないから、群論だけでなく微分積分もだな
(これは、杉浦解析入門のようなマトモなモノね)。

ある体で重根をもつならその拡大体でも重根をもつ、ってどうやって証明するんですか？

>>9
馴れ合うとパカが染るぞ

>>10
妖しいなんてもんで無く全然分かってないはずだ

>>11
どうも。スレ主です。
ID:6mR0nJ32くんか、難しく考えすぎだろ
高校レベルに戻る話だな
f(x)=0が重根を持つとする。それをαとする
f(x)＝g(x)*(x-α）^2と因数分解できることと同値
数学的に突っ込みがあるなら、”同値を証明しましょ”という突っ込みだろう
あと、頼むわ

>>14 訂正

因数分解
　↓
２次の因子を持つ

（こうしておく方が数学的に綺麗だから）

>>14
ヒント：微分を使うんかね、あとユークリッドの互除法

ガロア記法の問題は１週間かかったのに、こっちは早いね

”同値を証明しましょ”とか明後日のこと言ってるから相変わらずだよ

>>14 訂正

数学的に突っ込みがあるなら、”同値を証明しましょ”という突っ込みだろう
　↓
数学的に突っ込みがあるなら、”拡大体でも成り立つを証明しましょ”という突っ込みだろう

だな
なんか勢いに任せて書くとだめだね

ID:+pmfu2q9くんか、君は鋭いね。君は正しい>>19
因みに、>>16のヒントも外しているかな・・

>>17
どうも。スレ主です。
ガロア記法の問題は、まる一日だね。基本、土日以外はだめだから

>>9
学生じゃないなら、おっちゃんと呼ばせてね

おっちゃん、勘違いしているよ。前スレを引用するね
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/826-828
826 ：１３２人目の素数さん：2015/02/14(土) 16:12:16.50 ID:Mni4k+dm
>>819
あと、
>２．簡単な例として、１より大の３つの数から生成される群GとHを考える
>３．g1,g2,g3∈G,h1,h2,h3∈H,として、各３つの数の最低のものをg1,h1として比較する
これは、必ずしも出来るとは限らない(1以上の有理数全体は
通常の乗法について群をなし、有理数の稠密性からこのような操作は不可能)
827 ：１３２人目の素数さん：2015/02/14(土) 16:18:13.53 ID:Mni4k+dm
>>819
>>826の「1以上の有理数全体」は「0以上の有理数全体」と訂正。
828 ：１３２人目の素数さん：2015/02/14(土) 16:24:50.16 ID:Mni4k+dm
>>819
失礼。>>826の「0以上の有理数全体」は、>>827ではなく「正の有理数全体」と訂正。
つまりな、正の有理数全体や正の実数全体がなす、通常の乗法についての群だと、
単位元の1に近い実数が幾らでも存在するが故に、>>819のような論法は通用しなくなる。

>>22 続き
で、前スレで、>>501で、”ある一つの複素数（≠1）c∈C^{×}＝C-{0}からなる最小の部分群”を構成したろ（引用下記）
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/501
501 ：１３２人目の素数さん：2015/02/01(日) 17:29:42.87 ID:3tUKswY5
１．複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}は、通常の乗法での群とする
２．通常の乗法は可換だから、アーベルで、部分群もアーベル。従って、部分群は全て正規部分群となる
３．ある一つの複素数（≠1）c∈C^{×}＝C-{0}からなる最小の部分群を考える。それをそうだなGoとでもしようか
４．群の定義より、Goには単位元１と逆元が含まれる。かつ、c^n(cのn乗でnは自然数)が含まれる。逆元c^(-n)も含まれる
５．最小性より、Goはこれで尽くされる
６．単位元１＝c^0と考える。c^n→nの単射が定義できる。これは、整数全体に拡張できる
７．よって、あるcから生成される部分群Go→Z（整数）の全単射が定義できる

正規部分群かんけーねーじゃんｗｗｗｗｗ

>>23 続き
で、501を使って、「一般性を失わずc0≠c1かつ1＜|c0|＜|c1|とする（|c0|、|c1|などは複素数の絶対値を表す記号）」として
絶対値で１を超える複素数から成る部分群の族と、絶対値で１を超える複素数から成る複素平面との全単射を構成した（引用下記）

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/508
508 ：１３２人目の素数さん：2015/02/01(日) 20:32:19.43 ID:3tUKswY5
　証明には、c0とc1が、代数的に無関係である（もっと言えばべき乗での関係が付かない）という二つの数の間の関係がポイントだから
１．なので、こうしよう。一般性を失わずc0≠c1かつ1＜|c0|＜|c1|とする（|c0|、|c1|などは複素数の絶対値を表す記号）
２．c1から生成される任意の元 （c1）^n (c1のn乗でnは任意の整数) に対し、容易に分かるように|(c1）^n|≦１（nが負または0のとき）または|c0|＜|(c1）^n|（nが正のとき）
３．従って、c0 ∉ G1 が言えるので、c0≠c1 かつ 1＜|c0|＜|c1| のとき G0≠G1 が言える
４．よって、1＜|c|である任意の複素数cから生成される部分群Bを考えると、複素数C→部分群Bの単射が定義できる。
５．つまり、1＜|c|である任意の複素数cから生成される部分群Bを要素とする集合をB’とすると、B’は複素平面1＜|c|の部分と同じく非可算無限集合である
６．そこで複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群の集合をUとすると、明らかにB’⊂Uであるから、Uは非可算無限集合である
７．なお、乗法は可換でアーベルだから、部分群が即正規部分群であることは先に述べた通り
８．また、複素平面 1＜|c| の部分が非可算無限集合であることを証明していないが、それは集合論にゆずる
（c0から構成される乗法群の詳細は>>501に記した通り）

>>24
ID:+pmfu2q9くんか、君は鋭いね。君は正しい
が、元の問題は下記だ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498
498 ：１３２人目の素数さん：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt
>>497
次の問題はどう？　スレ主でも解けるでしょう。
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。

>>23
これは酷い

>>25　つづき
そして、”c0≠c1 かつ 1<|c0|=|c1| となる複素数もあるので、１〜３の論証に問題あり”の指摘で下記を追加した
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/643-645
643 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 10:14:22.18 ID:t/vpJ8+y
ここに戻る
>>518
ID:lt99Vx/mさん、どうも。スレ主です。

>c0≠c1 かつ 1<|c0|=|c1| となる複素数もあるので、１〜３の論証に問題あり
> ４.で定義された写像が単射であるということ自体は正しいから
>ちょっと修正すればいける

鋭いね。当たっている。
で、>>508に９．を追加する
９．c0≠c1 かつ 1<|c0|=|c1| となる場合にも、c0 ? G1 が言えるので、「複素数C→部分群Bの単射が定義できる」はなお有効である。
　（∵ G1の定義*)から、群G1の要素でc1^r(rは任意の有理数)として、r=1の場合はc0≠c1^rであり、r≠1場合は|c0|≠|c1^r|であるからc0 ? G1 が言える。）

*)G1の定義は、>>508の括弧および>>501だが、>>501後述のように修正する

>>28　つづき
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/643-645
645 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 10:46:47.36 ID:t/vpJ8+y
>>643 つづき
>*)G1の定義は、>>508の括弧および>>501だが、>>501後述のように修正する

>>501に追加
G1を、複素数c1から生成される>>501の１〜５項で定義された最小の部分群とし、G0も複素数c0から生成される同様の群とする
（c1、c0≠0 とする）

なお、c1^r(rは任意の有理数)としたが、整数とした方が分かりやすく正解だった

>>29　つづき
で、問題となっている819は、訂正２箇所を入れて下記
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/819-821
819 ：１３２人目の素数さん：2015/02/14(土) 13:44:42.75 ID:4dGjuo/v
>>716

>で、この「非可算無限個」の濃度をאy、連続濃度を1אとすると、אy＝2^1א
>が成り立つという予想ができる
>つまり、「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」と予想ができる
>（∵ >>712のように、一つの数cから成る部分群を構成したが、一つの数cに限定する必要はなく、任意の数の組み合わせで部分群が構成できるから）

ここをちょっと考えてみた
１．まず、正の実数の成す乗法群の集合を考える
２．簡単な例として、１より大の３つの数から生成される群GとHを考える
３．g1,g2,g3∈G,h1,h2,h3∈H,として、各３つの数の最低のものをg1,h1として比較する
４．g1≠h1なら、G≠Hが成立する。
５．g1＝h1なら、２番目の数を比較する
６．これを繰り返し、もし３番目の数も一致するなら、G＝Hが成立することは自明で、単射性は成立する
７．上記の議論は、３つの数に制限されるものではなく、任意の個数から成る群に適用できる
７−１．さらに、この論法は、１より大の任意の実数の部分集合から生成される二つの群の比較に拡張できる
８．よって、１より大の任意の実数の部分集合から生成される群の集合の濃度は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ
９．但し、集合論的な証明の部分は、そちらにゆずる

この証明は、複素数の絶対値を考えることで、複素平面C上の乗法群C^{×}の部分群の集合の濃度に拡張できる

>>30　つづき

おお、３０レス超えたね

１．で、>>23に書いたように、もともと、一つの数から成る乗法群には、無限個の元c^n（nは任意の整数）が含まれていることは示している
２．勘違いの一つの可能性は、”無限個の元c^n（nは任意の整数）が含まれていること”を既に示していることを理解していない
３．で、この>>30の構成法では、最初に３つの数を選んで群を構成するから、選んだ３つの数同士の比較だから、それは可能だ
　　（構成された二つの群GとHの直接比較ではないから）
４．なので、有理数の稠密性は関係ない

>>31
これは酷い

>>31
でもな・・・、>>30に穴があるね
おっちゃんの言いたいことが、ちょっと分かった
例外的に、単射性が崩れる場合があるってことだね
つまり、>>30の論法で構成されるGとHが一致する場合がある
おそらく例外的に
その例外の濃度の評価が難しいね
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいと思うが

>>32
ID:RU7X0PMsさんか。なんか一言ありそうだから
先に書いておくか

「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

くだらんスレ建てるな！！

べ様久々のおでまし

*スレたて
*次スレ誘導
以外やんなよ頭弱すぎスレ主

ぱーちくりんが上から目線するスレ

ぱーちくりんが基礎もわからず偉そうに解説したがるスレ

>>34
糞問出すなって

>>34
α,β≧ℵ_0 ならば、αxβ = α+β = max {α,β}、
|RxR| = |R|、
E ⊇S, |E| > ℵ_0, |S| ≦ℵ_0 ならば、|E-S| = |E|

∴ |C^{x}| = |RxR - {(0,0)}| = |RxR| = |R| = 2^{ℵ_0}

馬鹿のくせに上から目線て最悪やん

すれ主はぱーちくりんのくせに上から目線て最悪やん

誰がぱーちくりんだ？
>>41の解答が不満か？

ホンモノスレ主はいつもあげあげだよ

>>44
おまえだよ！
聞くまでもないだろ！

以前スレ主は数学板に政治板のスレを間違えて立てたことがあった
http://peace.2ch.net/test/read.cgi/seiji/1367708422/473-

スレ主はおっちゃん

／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| 　　表彰状、スレ主殿。
| 　　貴殿はとにかく本当に嘘を吐くスキルが優れているので優勝者にするニダ。
| 　　よって、捏造数学オリンピックの金メダルを授与するニダ。
＼＿＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　Ｖ
　 　 　　　∧__∧　　　　　　　　　 .　+　 ∧,,__∧　　+
　　　　 　< *｀Д´>/￣/￣/　　　　　 .< ｀∀´0>　ﾎﾙﾎﾙﾎﾙ
　　　　　 （ 二二二つ /　と）　　　　 .　（　　　0）　+　マンセー！！
　　　 　 　.| .　 　/　 / 　/　　　　　　 　｜ 　 　| 　　+
　 　　　　. | 　|　.i￣￣￣　　　　　　　　｜ ｜　| .
　　　 　 . （＿_）__）　　　　　　　　　　　.（＿（_＿）

　　　　　　　　　 /⌒ヽ＿__/⌒ヽ､ 　　　
　　　　　　　　 ./　　<ヽ｀Д´>　　` 誇らしいニダ
　　　　　　　　　　　 /(ﾉ三|)
　　　　　　　　　　　(∠三ノ
　　　　　　　　　 _ / ∪∪L

くだらねぇ糞スレw

くだらねぇスレ主www

>>12-13
バカがこっちにも伝染すると思い、もうスレ主のレスは読まずにいるけどね。
確かに、スレ主は微分積分も分かっていない。

>>48
論理的な証明は出来ないが、「おっちゃん」が日常言語でのおっちゃんでなく、
このスレの意味での「おっちゃん」なら、外れ。
これも論理的な証明は出来ないことだが、昨日は書き込んでいない。

スレ主、芸風変えたと思いきや偽物だったか

【命題】
スレ主は馬鹿である

【証明】
自明

普通に代数学の教科書を読み進めていくのが、一番分かりやすいのに
原典にこだわってガロアの理論を学ぼうとするのは馬鹿ばかりだよ

現代的な理論を理解した上で、もう一度ガロアの原論文に立ち返る
なら理解はできるが、正規部分群もわかってない馬鹿が古典に取り組んでも
馬鹿なレスを重ねるだけ

ひらたく言うと
スレ主はぱーちくりん

どうも。スレ主です。

>>35-36
β、べ様？
まあ、同じ穴のむ・・
ですよ

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1333745333/
数学板を荒らしている六大糞コテ 4
1 ：１３２人目の素数さん：2012/04/07(土) 05:48:53.58
数学板を荒らしている六大糞コテ
猫◆MuKUnGPXAY
キチガイ発見ｗｗｗ◆jK4/cZFJQ0Q6（通称バカオツ)
あんでぃ◆AdkZFxa49I
こうちゃん
仙石６１
べ
を規制する有効な方法を考えよう。コイツらを追放して数学板に平和を取り戻そう｡
6 ：１３２人目の素数さん：2012/04/07(土) 13:16:00.17
六大糞コテって
猫が圧倒的に糞過ぎて、他はどうでもいい
アイツが来ると、スレタイと全く関係ない方向に話が進む

>>57　補足
以前も書いたが、圧倒的と言われた猫さまと仲良くなったのがこのスレだよ

どうも。スレ主です。
>>34の設問が、えらく効いたね
難問ですかね？

>>59
>>49

>>55
スレ主は「正規部分群もわかってない」は正しいが、君よりは分かっているつもりだよ。君もむじなだよ

前スレより引用
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/497
497 ：１３２人目の素数さん：2015/02/01(日) 14:51:17.01 ID:3tUKswY5
ID:kLXANPjWくんか。>>480に書いたが、君のレベルが透けて見える。「正規部分群を理解できる力量もない」んだね？
＜２ちゃんねる数学板「おなじ穴のむじな」仮説＞ >>491がもろ、当てはまると見た

もし、君が仮に「正規部分群を理解できる力量もない」としたら、私スレ主が「正規部分群を理解している」と納得させることは不可能だろう
で、うざいから、こうしないか？
君だけに、問題を出題一題だけ出題する権利を与えよう

１．出題にあたっては、”1/31(土) ID:kLXANPjW”と名乗ること（他の人はだめだよ。ここは問題スレじゃないから）
２．「正規部分群を理解している」かどうかを試す問題とすること
３．東大京大の院試なみの問題は不可。せいぜい君が解ける学部の練習問題か期末試験問題程度でお願いしますよ
４．出題期限は１週間
５．解答期限は出題後２週間（大体見るのは週末に限られるので、解くのは次の週末かな）

出題がないか、あるいは出題された問題を解けば、ID:kLXANPjWくんとは＜２ちゃんねる数学板「おなじ穴のむじな」仮説＞ 成立ということで

（で、498がおっちゃんの出題だったんだが・・）
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/501
また、君は注意書き「出題にあたっては、”1/31(土) ID:kLXANPjW”と名乗ること（他の人はだめだよ。ここは問題スレじゃないから） 」
を読んでいないね。問題文を良く読むというのは、入試の鉄則であって、院試なら首が飛んでいるよ
今回だけ、例外として答えた
よって、”1/31(土) ID:kLXANPjW”くんと名乗る人には、なお一題の出題の権利が残っている

ほぼ定義を確認するだけの問題に1週間もかかったお前が言うな

>>59
ほう難問に見えるか？
瞬殺レベルの問題だぞ

何を出題するかで、出題者側のレベルが透けて見えるからねｗｗｗ

京大数学科とかの殺伐としたゼミにスレ主が出されたら吊るされて泣きながらション便ちびってママのところに逃げ帰るに500朝鮮ウォン

位数60まででいいから、有限群を全部自分で分類しておけば
ガロア理論やるのに、よい準備になる。
数学科なら、3年の代数の演習で似たようなことをやってる。
3年で習う群論のいろんな知識を使うことになって、理解を深めるのに良い

今はネットで探せば結果くらいはすぐに見つかるけど、自分でやるのが大切

32なんかは二度とやりたくないが、一度やるだけなら大した手間でもないな

出番だぜGAP君

ここに戻る

>>33
>でもな・・・、>>30に穴があるね

これ、>>30”７−１．さらに、この論法は、１より大の任意の実数の部分集合から生成される二つの群の比較に拡張できる ”がおかしい
「閉区間（例えば[101〜102]）のすべての実数の集合から生成される乗法群は、すべての正の実数を含む」が成り立つ
（説明不要と思うが、閉区間[101〜102]のすべての実数を使って乗法群を作ると、それは全ての正の実数を含むように拡張できるってこと）
これ分かりますか？　分かる人、証明するか理由を述べよ

>>69

ヒント：前すれ828でおっちゃんの書いた実数の稠密性で、単位元の1に近い実数が幾らでも存在を使う
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/828
828 ：１３２人目の素数さん：2015/02/14(土) 16:24:50.16 ID:Mni4k+dm
つまりな、正の有理数全体や正の実数全体がなす、通常の乗法についての群だと、
単位元の1に近い実数が幾らでも存在するが故に、>>819のような論法は通用しなくなる。

>>70

でも、閉区間[101〜102]のすべての有理数を使う乗法群では、全ての正の有理数を含むように拡張はできないと思うんだ（これは証明できていない）

>>67
60までだと、位数32=2^5と48=2^4*3のところが種類多いですからね

>>1
http://i.imgur.com/B0SQlgb.jpg

どうも。スレ主です。
>>63
>ほう難問に見えるか？
>瞬殺レベルの問題だぞ

難問だと思う
（理由）
１．べき集合は、あまり分かっていない
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
２．任意の実数の部分集合を選べば、その集合に含まれる数からなる乗法群を構成できる
３．任意の実数の部分集合の成す集合は、実数のべき集合で濃度は連続濃度より大
４．が、任意の実数の部分集合の成す乗法群で、異なる二つの部分集合で、乗法群が同じになることがある
５．ここのところの処理が、難しいと思うんだ

どうも。スレ主です。
>>41は、しゃれでしょ
そもそも群の性質を使っていない

>>55
ちょっとマジレスすると

Q1.普通に代数学の教科書を読み進めていくのが、一番分かりやすいのに
A1.まあ、正論だが。しかし、世の中ガロア理論簡略解説本（とまでいうと語弊があるが）が沢山ある
　数学ガールとか小島本とか。ブルーバックス本もあったかな？　かつ代数学の教科書も教師の数だけある。つまり”何が分かりやすいか”は人による

Q2.原典にこだわってガロアの理論を学ぼうとするのは馬鹿ばかりだよ
A1.Coxを上げておく。君は、Coxより賢いか？　Jean-Pierre Tignol も居たね。Edwardsも

Q3.現代的な理論を理解した上で、もう一度ガロアの原論文に立ち返る
A3.それも良い。が、平行して読めば良いんでないの？

Q4.正規部分群もわかってない馬鹿が古典に取り組んでも馬鹿なレスを重ねるだけ
A4.これも本質を外している。「スレ主」なんてしゃれだよ。２ちゃんねるには厳密な意味の「スレ主」は居ない。問題の本質は、君がガロアを理解出来ているかだ。

追伸
学部でガロア理論を勉強しました。卒業しました。それで終わり。そういう人もいるだろう
が、院に行く人もいるだろう
また、就職して一般企業に行けば、そこは応用の場。あるいは、教師になれば教える立場

いずれにせよ、代数学の教科書が、整然と舗装された道とすれば、君が通る一般の世の中は舗装されていない道の方が多い
ガロアが、自分の理論を作ったとき、当然そこは舗装されていない世界だった
かれは、そこに道を作った。いや、道を見つけたのかもしれない・・

いずれにせよ、舗装された道だけでなく、ガロアが見ていた原風景がどうだったのか
それを知ることは、現代ガロア理論を理解することと同じくらい君の人生にとって意味あることと思うよ
（それは私スレ主がどうなのかとは、全く無関係な話だ）

いくら頭の弱すぎ野郎とはいえ
やっと理解したかと思いきや
やっぱパーチクリンのスレ主は
まだ自分の性能を理解できてなかったか

パーチクリンのスレ主はスレたてと
たてたスレへの誘導だけしてろよ！

>>77
うむ。連投規制解消のグッドジョブ。これからも頼むよ

>>78
黙れパーチクリン
お前の仕事は

スレたてと
たてたスレへの誘導だけのみだ！

>>77
では、君に出題する

「閉区間（例えば[101〜102]）のすべての実数の集合から生成される乗法群は、すべての正の実数を含む」が成り立つ
（説明不要と思うが、閉区間[101〜102]のすべての実数を使って乗法群を作ると、それは全ての正の実数を含むように拡張できるってこと）
これ分かりますか？　分かる人、証明するか理由を述べよ >>69

これの正否
スレ主は、これは成り立つと思う
もし、不成立の証明ができれば、君はスレ主より上と認めよう
以上

>>80
ひっこめパーチクリン
お前の出した課題なぞパーチクリンがうつるから読むきもせんわ！

オレにレスしてくんな
パーチクリン
お前のパーチクリンがうつるだろ
お前の仕事は
スレたてと
そのスレへの誘導だけだ！

>>76 補足

前スレより
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
850 ：１３２人目の素数さん：2015/02/14(土) 21:19:04.19 ID:4dGjuo/v
>>834 ここに戻る
>別の正規部分群の定義(gH=Hg)を知っていればそこからH=g^{-1}Hgを導くのは容易になるが
>「gH=HgならばH=g^{-1}Hg」のgH=Hgの発見はガロア記法にこだわる必要は無い

良い質問ですね(池上語録より) >>794
ガロアは知っていた。別の正規部分群の定義(gH=Hg)を（下記）
では、どうやってガロアは知ったのか？　「ガロア記法を通じて」とスレ主は推定している。（が、真実はガロアしが知らない）
なお、「H=g^{-1}Hg」では、ガロアは表現していないようだね（スレ主の知る限りだが）
http://plaza.rakuten.co.jp/azabird/diary/201001130000/
2010.01.13 オーギュスト・シュバリエへの手紙(ガロアによる）抜粋
　Ｇの夢より http://galois.motion.ne.jp/index.html
http://galois.motion.ne.jp/stories/G_Math_13.html
　Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。
　群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは
　　Ｇ = H + HS + HS' + ･･･
と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また
　　Ｇ = H + TH + T'H + ･･･
と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。
　この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。

士錬「２００年前には“固有分解”って言っていたんだ。」
Ａ「当然そのときには、現代風の群論の用語は無かったんだ。なにせ、これが最初なんだからね。もう少し昔の手紙を読み進めてみようか。」

>>81-82

へへー、口ではなんとでも・・・ね

まあ、君には無理だわ

>>85
パーチンクリンができる問題やっても
意味ないだろ
できてもパーチクリンなんだもん
読む価値すらないこともわからんのか

さすがパーチクリン
頭弱すぎるぜ！

>>83 つづき

>良い質問ですね(池上語録より) >>794
>ガロアは知っていた。別の正規部分群の定義(gH=Hg)を（下記）
>では、どうやってガロアは知ったのか？　「ガロア記法を通じて」とスレ主は推定している。（が、真実はガロアしが知らない）
>なお、「H=g^{-1}Hg」では、ガロアは表現していないようだね（スレ主の知る限りだが）

ガロア記法を取り上げる意義は、３つある
１．一つは、どうやってガロアは正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけたのか？　おそらく「ガロア記法を通じて」
２．二つ目は、ガロアの原論文を読むときに役に立つから
３．三つ目は、君ならどうか？　君が1830年頃に生きていたとする。どうやって、正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけ、ガロア理論を構築するのか？

>>86
じゃあ、明日朝まで１日くらい待ってみる
それで、だれも解けないようなら、君が書いてみな

一日待って、明日の午前中に君が一番最初に>>80の正否とその理由を書く
それなら、君は皆よりレベル上という証明にはなるだろうさ。それでどうだ？

もし、君が午前中に書けなければ、君は皆と同じレベルだと
もちろん、君以外の他の人が今日ないし明日朝君より早く解いてしまうかも知れないが、そのときはこの挑戦状は無効だけどね
以上

>>88
お前よりは数段賢いから安心しろパーチクリン

>>88
パーチクリンに性能確認されるつもりなぞないのだ
だいたいそんなパーチクリンに出来るもんだいなぞ読むきもせん
どうせできるから

パーチクリンは
苦労してもまともに基礎すらわからないパーチクリンなんだから
はやくひっこめよ
サルマネできて自慢してることかバーチクリンの証明になってることにも
はやく気付けよ

サルマネなぞかなりのおバカでも時間かけりゃできるのだから

傍からみてるとパーチクリン連呼してるやつの方がおかしいのだが

だいたいお前は時間かけても
サルマネすらまともにできてないパーチクリンじゃん
はよひっこめよ

楽しくやるものであって
ファッションでやるものちゃうよ
だいたいサルマネできても性能判断につかえんし
馬鹿でもサルマネは時間かけりゃできるんだから

>>87 補足
> 三つ目は、君ならどうか？　君が1830年頃に生きていたとする。どうやって、正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけ、ガロア理論を構築するのか？

当時ガロアが知っていたこと、原論文に引用されていること
コーシー、ガウス、アーベル（なお、ヤコビは手紙に出てくる（楕円関数に関してだろうが））
ラグランジュは？　倉田（下記）はP206で、知っていた or 知らなかったか影響は軽微の両説を取り上げている
（倉田自身は後者（影響は軽微）みたい）
http://www.amazon.co.jp/dp/4535781583
ガロアを読む―第1論文研究 単行本 – 1987/7/15 倉田　令二朗 (著)

以前の書いたが、高瀬オイラー研究所所長は、ガウスの影響大だと（下記）
http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-292.html
20080426アーベル方程式とガロアの第一論文
（抜粋）
ガウスが円周等分方程式を解いていく道筋を忠実に再現すれば、そのままガロア理論が出現するという事実もまた注目に値します。
アーベルはガウスの理論の根幹をなす数学的思想の泉から直接、アーベル方程式の概念を取り出しましたが、ガロアはガロアでガウスの理論の「証明の構造」を学び、ガウスの理論をその雛形と見ることを可能にする大きな理論を構想したのでした。

　ガウスに端を発し、アーベルが洞察した代数的可解性の基本原理は、ガロアに継承されてひとつの完結した姿形を獲得したのでした。

　ガロアが言及しているもうひとつの応用例は、楕円関数論におけるアーベルの予想の証明である。
アーベルは論文「楕円関数研究」において、モジュラー方程式は一般に代数的には解けないであろうと予想しましたが、ガロアはこれを受けて次のように述べています。

《代数方程式論のさまざまな応用のうち、一部分は楕円関数の理論のモジュラー方程式に関係がある。
モジュラー方程式を冪根を用いて解くのは不可能であることが証明されるであろう。》

　楕円関数論と代数方程式論の関係は密接かつ不可分であり、しかもアーベルの予想の証明こそ、ガロアの理論の眼目なのでした。
ガロアの言葉にはガウス、ルジャンドル、アーベル、ヤコビなどの手になる浩瀚な楕円関数論の全史が凝縮されていて、印象は深遠です。
さながら数学の神秘の淵をのぞき見るような感慨があります

サルマネすら時間かけて色々な本つかっても
まともにできないパーチクリンはやくひっこめよ！

>>92
どうも。スレ主です。

その声は、おっちゃんかね？

>傍からみてるとパーチクリン連呼してるやつの方がおかしいのだが

同意だね。そもそも、自分の数学レベルが知れるカキコが皆無。というか、ばれないようにしているんだろうね
ということは、しょせんたかが知れていると

まあ
連投規制解消には役立っているが>>78

相変わらずのスレになっているね。

パーチクリンスレ主は書き込むなって書いとるだろ！
理由もパーチクリンにも理解できるように書いたけど
パーチクリンすぎて理解できんのか？
はよひっこめパーチクリンスレ主！

>>96
おっちゃんは、>97だよ。

>>92

彌永先生も、類似。彌永本(下記) P280に　
「ガウスが『数論研究』の最終章に展開した”円分論”をガロアは注意深く読んで感銘を受け、その一般化から彼の理論へと進んだのかも知れない」と記されている
http://www.amazon.co.jp/dp/4431708022
ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本 – 2002/8 彌永 昌吉 (著)

>>99

どうも。スレ主です。
おっちゃん、おはです
レスありがとう

ひっこめパーチクリン スレ主
次スレ誘導以外書き込むんじゃねーパーチクリンは

>>99

どうも。スレ主です。
おっちゃんの出した前スレの問題(下記)ね
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か >>34 に拡張すると、難しい
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498
498 ：１３２人目の素数さん：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt
>>497
次の問題はどう？　スレ主でも解けるでしょう。
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。

>>102
君は、このスレに来る人の知的レベルの高さを見誤っているね
君のレベルの低さは、みなさんお見通しのようだよ

>>87
> ガロア記法を取り上げる意義は、３つある
> １．一つは、どうやってガロアは正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけたのか？　おそらく「ガロア記法を通じて」
> ２．二つ目は、ガロアの原論文を読むときに役に立つから
> ３．三つ目は、君ならどうか？　君が1830年頃に生きていたとする。どうやって、正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけ、ガロア理論を構築するのか？
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/858
> 言いたいことは、ガロア記法を使って、楕円関数のモジュラ方程式の代数的解法も研究していた
> その過程で、“固有分解”(正規部分群)に気付いたのではないかと
> これが、スレ主の推理だよ

「スレ主の推理」と言っても「ガロア記法を通じて」とか「その過程で」とかのみ書いて肝心の中身を自分の言葉で
書けないならガロア記法にこだわらずにシンプルに中身を考えるのが良いと思うよ
(楕円関数のモジュラ方程式とか書けば高級なことを書いた気分になれるかもしれないが)

推理の一例(3.の答えも一部兼ねて)
ガロアはガロア記法を使ったかもしれないがgH=Hgの確認はガロア記法でなくてもできる
「Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる」というガロアの言葉からガロアは巡回群を意識していた
ことがうかがえる
おそらくガロア群が巡回群であるときの考察から出てきた物だろう
巡回群の場合は群の位数が素数でなければ「固有分解」を行うことは可能である(gH=Hgが成立している)
たとえば4次方程式が代数的に解けることは既に分かっているからどの性質が成り立つかあるいは
成り立たないかを比較すれば良い

「有限群の分類をする」って有意義な話は、完全にスルーなんだよな…

>>106
「有限群の分類をする」は、嫌いじゃ無い
過去なんども取り上げているよ

Red catさんだっけ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/500
500 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2012/03/04(日) 20:38:45.46
位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日

あと本格的には、有限単純群とかモンスター群とか過去にもいろいろ

「有限群の分類」を本格的にやり出すと、スレがいくらでも伸びるでしょ
面白いから

>>107 補足
失礼、正確な引用は下記（初代スレより）

位数119 までの群の分類が下記にある
http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf
位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日

>>109
あーあ、タイトルだけ見て中身を見てないんだね…

>>105
どうも。スレ主です。

>たとえば4次方程式が代数的に解けることは既に分かっているからどの性質が成り立つかあるいは
>成り立たないかを比較すれば良い

全く考えていることは同じだよ
というか、4次方程式の解法の説明を、ガロアは原論文でしている

論文は原ガロア理論→4次方程式の解法の説明だが、時系列では4次方程式の解法解明→原ガロア理論の着想かと
かつ、論文ではその説明にガロア記法を使っているし、論文自身もガロア記法を使っている

コーシーを知らないわけじゃない。コーシーを引用しているから
だが、だれが考えても、１行で済むなら２行に書く必要もない

初心者ならコーシーが分かりやすいだろうが、ガロアはそうじゃないってことだろ？
かつ、ガロア記法の利点は、ガロア分解式との一対一対応が付くこと（もちろんコーシーだってつくが）

ガロア分解式との一対一対応は、ガロア論文の命題１の証明で使っている
言いたいことは、そう違っていないよ

>>110
意味わかんねーし、初代スレ以降なんどもアップしているけどなにか？
ああ、そういや、Red catさん手抜きしていたところがあったかな？
それを言いたいのか？

そりゃあ、貼るだけで中身見てなきゃ意味わかんねーだろｗｗｗ

>>105
どうも。スレ主です。

>(楕円関数のモジュラ方程式とか書けば高級なことを書いた気分になれるかもしれないが)

ここな、別に言い訳する気はないが、モジュラ方程式の話は、スレ主がわざわざタイプしたわけじゃない
高瀬（正仁）オイラー研究所所長先生が、アップしているのを、コピペしただけ>>94

が、倉田　令二朗>>94のP210では
「第１論文に直結していたのはラグランジュではなく、楕円関数、第II論文だった。
その通り、モジュラー方程式のもとではガロア群が見えてくるのだ。」なんて書かれている

だから、一応モジュラ方程式の話も引用したんだ
お説の通り、私はモジュラ方程式は詳しくないよ

>>113
どうも。スレ主です。

>そりゃあ、貼るだけで中身見てなきゃ意味わかんねーだろｗｗｗ

はいはい、ありがとうよ
では、君の見ているところを示してくれよ

２行で良い
１行目は、Red catの何ページのどこ
２行目が、君の問題意識

それでどうだ？

なんで、上から目線の馬鹿にいちいち教えなきゃいかんのだｗ
pdf読めば誰でも分かるのに。はい2行ｗｗ

>>114 補足

いま、倉田　令二朗を見ていて、気付いたが、P211に
”（第２説は高瀬正仁氏に負うところが大きい）”と書かれているね

なんだ、震源地は高瀬正仁氏かよ
そういえば、倉田　令二朗氏も九大だったね。じゃ、九大説とでもするか

Coxを読むと、ラグランジュ−ガロアという流れで書いてあるね

>>116
問題文をよく読むように

１行目は、Red catの何ページのどこって書いたろ？　設問の読み落としだな
２行目は、君の問題意識を書いて、数学レベルの高さを示すこと。レベル０という認定だ
院試なら首が飛んでいるよ

スレ主が馬鹿って、このスレ読んでるまともな人にはわかってもらえる
から、俺の目的は達成♪

>>117 補足

>そういえば、倉田　令二朗氏も九大だったね。じゃ、九大説とでもするか

正確には、1954 東大数学科卒、1964 九州大学工学部助教授だった

>Coxを読むと、ラグランジュ−ガロアという流れで書いてあるね

倉田本P207では[ブルバキ2]にそのようなことが書いてあると
P209で、ガロアが「ラグランジュを引用したことは一度もない（両者の資質−−というより数学観の違い−−についてはここでは触れない）」とある

が、彌永本では、P276に
「このごろの論文ならば、既出の論文を引用するときには出所を明記するのが通常になっているが、
ガロアの時代にはそういう週間がなく、ガロアが既出論文の著者の名前を出しているのがむしろ異例のことであった」とある

ならば、「ラグランジュを引用したことは一度もない」ということを、重視すべきかどうかから、要検討だろう

>>119
へー、でもその証明には大きな穴があるよ
スレ主には、「同じ穴のむじな定理成立」の証明にしか見えないね

>>120 訂正

ガロアの時代にはそういう週間がなく、
　↓
ガロアの時代にはそういう習慣がなく、

>>114

笠原乾吉　モジュラー方程式 1990（下記）があるね。
「モジュラー方程式という語は１９世紀数学にはよく登場するが、日本数学界編「数学辞典」には見つからないほどに、今日では忘れられている。
楕円関数の本、例えばS.Lang「Elliptic Functions」に出てくるが、その定義からは何故モジュラー方程式と呼ぶのかよく分からない。
最近、高瀬正仁氏のおかげでずいぶんその事情が明解になった。」
と記されている
高木の近世数学史談など読むと、けっこうモジュラー方程式とその関連記述が出てくるので、これは参考になるね
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/
数学史シンポジウム報告集
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo01/
19世紀数学史, 第1回数学史シンポジウム(1990.11.17)　　所報 1　1991

笠原乾吉　モジュラー方程式 http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo01/01kasahara.pdf
高瀬正仁　数学史における本質的連鎖と論理的連鎖　　---多変数函数論と虚数乗法論からの二つの例--- http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo01/01takase.pdf
三宅克哉　デデキントの数論について http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo01/01miyake.pdf
足立恒雄　p進解析の系譜 http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo01/01adachi.pdf
杉浦光夫　書評 高瀬正仁著 『ガウスの遺産と継承者たち　　ドイツ数学史の構想』　（海鳴社）http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo01/01sugiura1.pdf
山本敦之　19世紀数学史研究概観
長岡亮介　イギリス形式主義とHamilton
鹿野健　級数論小史
杉浦光夫　リーとキリング・カルタンの構造概念 http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo01/01sugiura2.pdf
坂口勝彦　ヒルベルトに於ける公理主義の形成過程
倉田令二朗　Bounded Arithmeticと初等整数論

馬鹿がどんな難解な本を読んでも馬鹿は治らんよ

おまえら
素人のアホ話に少しは付き合ってあげて
数学の普及に努めようとかいう発想はないのか

>>125
スレ主の拾ってきた資料の中に、面白いのが偶に有るからかw

>>124-126
面白いね
はっきり書いておくが

１．しょせん２ちゃんねる。皆さんも「１３２人目の素数さん」（他のスレなら「名無しさん」）でしかない
２．そこが、米の実名専門掲示板とは違うところ
３．素人のアホ以外は、ほとんど居ないと思っている（例外は居ると思うが）
４．学部生は、素人認定。プロ認定は、数学で食っている人のみ。但し、院生から上はセミプロかな？ あと、数学隣接分野で食っている人も
５．自分が分かっていなくても、情報紹介はするよ。一つは人寄せのため。一つはメモ帳として。一つは自分の記憶と理解のため
　（書く方が勉強になり、記憶に残る）
６．自分が書いたことが、間違っていれば指摘してくれれば良い。期待するのはそれだけだ。それ以上でも以下でもない。教えて貰う必要はない
７．人寄せで沢山くれば、クラウドだ。間違いの指摘も的確だろうと
８．他人のカキコをとやかく言うつもりもない。規制もできない。だから、好きに書いてくれ。当方も同じだ

以上

看護婦の本性w

637 名前：愛と死の名無しさん ：2015/02/21(土) 15:55:20.96
民間病院だと女でも若い男のちんちんにカテーテルいれるよ。
皮むいて穴広げて至近距離で見つめながらグイグイと。
皮むいて亀頭を消毒してる時にボッキしまくってるしね。ほとんどの男
あんな明るいところで。

638 名前：愛と死の名無しさん ：2015/02/21(土) 15:59:39.54
まあ清純さとか、エッチで恥ずかしめが好きな人は看護師無理だろ。
ちんこなんで平均3582本見てるから。あと皮むいたり、毛剃ったり、精液検査にかかわったり、包茎手術みたり。風俗嬢よりちんこは詳しいぞ

>>116

最近、ツイッターとかラインとか
短文しか書かないから、若者がまともな文章を書けないという
まあ、その類かね？

「「有限群の分類をする」って有意義な話は、完全にスルーなんだよな… 」>>106
「60までだと、位数32=2^5と48=2^4*3のところが種類多いですからね」>>72
「32なんかは二度とやりたくないが、一度やるだけなら大した手間でもないな 」>>67
「位数60まででいいから、有限群を全部自分で分類しておけば
ガロア理論やるのに、よい準備になる。
数学科なら、3年の代数の演習で似たようなことをやってる。
3年で習う群論のいろんな知識を使うことになって、理解を深めるのに良い
今はネットで探せば結果くらいはすぐに見つかるけど、自分でやるのが大切」>>66

上記あたりの話なんだろうね。
社会人はね、確認が入ったら手間を厭わずしっかり確認するんだよ。相手と自分と両方に分かる（共通認識になる）ように
それが社会常識だ

>>129 つづき

で
http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf
位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日

いまこれを見ると、P79 「21 未分類の群」で

位数　素因数分解　同型類の個数
32　 　 2^5　 　 　 51 個
48　 　 2^4・3　 　 52 個
64　 　 2^6　 　 　 267 個

なんて上がっているから、この話だね

>>130 つづき

で
位数　素因数分解　同型類の個数
32　 　 2^5　 　 　 51 個

だけでも考えてみる・・・と行きたいが、正直正確にやり切る自信はない
なにせ、Red catさん（実力は>>130を読めば、スレ主よりはるかに上でしょう）が、放置したくらいだからね

でも、ヒントは、Red catさんにあるでしょ？

パーチクリン(当然スレ主のことね)は
書き込むな！
解説すんな！

>>131 つづき

ヒント１
１）P25 「13 位数16 の群」:"本節の議論には[3] を大いに参考にした.","[3] W.S.Burnside「有限群論」(現代数学の系譜9), 共立出版, 1970"
２）引用文献をみると、ちょっとびびるけど
３）P31 結論 ("G＝"を省略した（＝を合同記号と思って下さい。正確にはP31を）)

C16,C2xC8,C4xC4,C2xC2xC4,C2xC2xC2xC2, D16,Q16,C2xD8,C2xQ8
〈a, b|a^8 = b^2 = 1, bab^-1 = a^3〉
〈a, b|a^8 = b^2 = 1, bab^-1 = a^5〉
〈a, b|a^8 = b^2 = 1, bab^-1 = a^-1〉
〈a, b, c|a^4 = b^2 = c^2 = 1, ab = ba, ac = ca, cbc^-1 = a^2b〉
〈a, b, c|a^4 = b^2 = c^2 = 1, ab = ba, cac^-1 = ab, bc = cb〉

計14個
（細かい点は誤記があるかもしれませんがご容赦）

>>132
連投規制解消のグッドジョブ。これからも頼むよ
そうそう、宿題は出来たか？

>>133 つづき

ヒント２
１）C16などは巡回群,D16などは二面体群。これは分かるでしょ？ 添え字は位数だと。P80に解説があるね
２）Q16は一般四元数群（P26,P80）
３）〈a, b|a^8 = b^2 = 1, bab^-1 = a^3〉 辺りは、きちんと定義が書かれていないが
４）aが位数8の元で、bが位数２の元で・・・とP25の(ii)の場合だと
５）とまあ、P25 「13 位数16 の群」をそんな調子で、参考にする

３）〈a, b|a^8 = b^2 = 1, bab^-1 = a^3〉 辺りは、きちんと定義が書かれていないが
３）〈a, b|a^8 = b^2 = 1, bab^-1 = a^3〉 辺りは、きちんと定義が書かれていないが
３）〈a, b|a^8 = b^2 = 1, bab^-1 = a^3〉 辺りは、きちんと定義が書かれていないが 👀

>>135 つづき

ヒント3
１）位数32は、16の倍（自明ですが確認）
２）で、位数16 の登場人物は、C16,C8,C4,C2,D16,D8,Q16,Q8
３）加えて〈a, b|a^8 = b^2 = 1, bab^-1 = a^3〉さんたち
４）位数32だと、32の番号の群が登場するはずと予想される

>>136
分かってますよ
普通は、学生用の教科書なら書いてあることを省いているんだと
書き方は、多少本によって流儀があるから（意味は、群論の常識があれば分かるでしょうけど）
もっとも、この板ではアスキー表記で既に崩れているが）
参考文献 [4] 赤尾和男「線形代数と群」(共立講座21 世紀の数学3) , 共立出版, 1998 は書棚にあったから、あとで見とくわ
（位数６０の単純群が同型を除いて一つに定まることの証明を参照した本だが）

>>137 つづき

ヒント4
１）で、Red catさんがP25から展開している”位数16 の非可換群を決定しよう.”の32版をやらんといかんのやろうね
２）がりがりと、場合分けを
３）有限群論はそんなものなんでしょうね （なんか、大理論の補助定理で使えるのがあるかも知れないが、存じません。赤尾和男に何かあるかも？）
４）GAPとか、ソフトは使えると思うけど（答え合わせには良いでしょう）
５）答えを書いてあるサイトも、英文ではあったように思う（前スレ１０か１１のドイツのスレだったかな）
　”3年で習う群論のいろんな知識を使うことになって、理解を深めるのに良い
　　今はネットで探せば結果くらいはすぐに見つかるけど、自分でやるのが大切”というから、あえて検索紹介はしません
６）登場人物（出てくる群たち）の概要は>>137のヒント３に書いた。あとは場合分け
７）私スレ主には、それをやる時間も能力もありませんし、やって答えを書いたも3年の練習にならないので（仮に出来ても）書きません
以上

>>114
> モジュラ方程式の話は、スレ主がわざわざタイプしたわけじゃない

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/858
> 言いたいことは、ガロア記法を使って、楕円関数のモジュラ方程式の代数的解法も研究していた
> その過程で、“固有分解”(正規部分群)に気付いたのではないかと
> これが、スレ主の推理だよ

細かいことだがこれはコピペじゃないでしょう

>>111
> 全く考えていることは同じだよ
> 言いたいことは、そう違っていないよ

スレ主はガロア記法を使っているとかガロア記法の利点を書いても
「どうやってガロアは正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけたのか」
ということの中身について一切書かないのはなぜ？
確かにgHとHgが等しいかどうかはガロア記法で確認することはできるが
スレ主はgHとHgの両方を計算する必要性をガロア記法で説明できますか？

パーチクリンにもわかりやすく書いたけど
ぱーちくりんすぎて理解できないようなだな
ぱちくりんスレ主！
書き込みやめろ！ぱーちくりん！

>>140
ID:Rh1f0QNzさんか

鋭いけど、細かすぎ

>細かいことだがこれはコピペじゃないでしょう

前スレの858 は、コピペじゃないよ
だが、>>114で指摘した>>94 はコピペだ。あなたは858しなかった。だからどちらも正しい
そして、前スレの858を持ち出すなら、それよりずっと以前にも同様の文をタイプしてあるかもね
かつ、実質はコピペだ。それの言い出しっぺは、高瀬（正仁）オイラー研究所所長先生で、このスレが出来るずっと以前に発表されている
倉田が書いている通りさ>>114。私は受け売りだ

>スレ主はガロア記法を使っているとかガロア記法の利点を書いても
>「どうやってガロアは正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけたのか」
>ということの中身について一切書かないのはなぜ？
>確かにgHとHgが等しいかどうかはガロア記法で確認することはできるが
>スレ主はgHとHgの両方を計算する必要性をガロア記法で説明できますか？

その説明には、共通認識（知識）として、ガロア原論文を読んでいることを前提としたいのだが
手元にガロア原論文が載っている彌永か守屋を置いてくれるかね？（どちらか宣言してくれ）
それを前から頼んでいるだがね・・（Edwardsも手元にあるが、引用のときに英文タイプがだるいから・・）

>>142 訂正

あなたは858しなかった。
　↓
あなたは858に言及しなかった。

>>141
宿題出来たか？　期限が迫っているぞ

>>139

（補足）
１．位数48も類似だが
２．48＝16ｘ3 だから、位数16は参考になる
３．また、48＝24ｘ2 だから、位数24が参考になる
４．P42 「15 位数24 の群」だね
５．・・”本節の手法は[4] による.”・・って、参考文献 [4] 赤尾和男じゃん。そんな話があったかね？ と、見ても一般論しかないね
６．で、いまRed catさんを読んだ感じでは、位数24をベースに場合分けという感じだね。そのときに、位数16を参照して
以上蛇足ですが、自分のメモとして書いた

>>139 訂正
答えを書いたも3年の練習にならない→答えを書いても3年生の練習にならない

>>123　補足
笠原読んでみたが、モジュラー方程式を結構詳しく説明している。虚数乗法も分かり易く説明しているね
高木の近世数学史談「20 初発の楕円関数論」の最後に、アーベル、ヤコビ、ガウスの寄与の話がある
「アーベルの虚数乗法が最も適当であろう」「虚数乗法が大物であることは歴史が明らかに示している」と書かれている
”大物”というのは、その後笠原乾吉にあるように、Kronecker、Weierstrass, その後の”４．Kleinのモジュラー方程式”で有名なDedekindのJ(τ)の研究に繋がってきたからかな（以上は笠原より）

高木にガウスのmodular function が出てくる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F （文字化けは修正しないので原文を見て下さい）
http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_form
モジュラー函数はウェイト 0 のモジュラー形式である。これはつまりモジュラー群の作用に関して（所定の変形を受ける代わりに）「不変」であることを意味する。
楕円曲線上の函数としての扱い
C における任意の格子 Λ は C 上の楕円曲線 C/Λ を決定する。ふたつの格子が同型な楕円曲線を定めるのは、一方にある定数 α を掛けたものが他方に含まれるとき、かつそのときに限る。
モジュラー函数は複素楕円曲線の同型類の成すモジュライ空間上の函数と考えることができる。
たとえば、楕円曲線の j-不変量は楕円曲線全体の成す集合上の函数とみなせばモジュラーである。モジュラー形式もまたこのように楕円曲線のモジュライ空間上の直線束の切断という幾何学的な方向で攻めるのが有効である。
モジュラー形式 F を複素一変数の函数に変換するのは簡単で、z = x + iy で y > 0 かつ f(z) = F(〈1, z〉) とすればよい（y = 0 とすると 1 と z が格子を生成できないので、y が正である場合にのみに限って考える）。
前節の条件 2 はここでは、整数 a, b, c, d で ad − bc = 1 を満たすものに対する函数等式（略）となる。
Milne, James (2010), Modular Functions and Modular Forms, Theorem 6.1. http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/MF.pdf これ比較的新しい

>>146 つづき

modular function：

http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn2/219137/m0u/
goo辞書 モジュラー【modular】
構成要素を組み合わせたもの。また、その構成要素の一つ。ユニット方式の工業製品などをいう。「―生産」「―ステレオ」

って、これは意味が違う

http://ejje.weblio.jp/content/modular+arithmetic
研究社 英和コンピューター用語辞典
modular arithmetic ＜modular＞
・modular arithmetic 法の代数《ある数を法として同じ数は同じとみなした整数の計算; ⇒mod》

これも違う

http://ejje.weblio.jp/content/module
ハイパー英語辞書 ハイパー辞書：会津大学•筑波大学版ハイパー辞書：会津大学•筑波大学版
module 【名詞】
1測定基準[単位].
4〔数学〕加群《スカラー倍の定義された加法群；スカラーは環をなす》.

近いか

>>147 つづき

modular function：

http://math-functions-1.watson.jp/　Souichiro-Ikebe
http://math-functions-1.watson.jp/sub1_special_menu110.html
Klein の楕円モジュラー関数
　　日：楕円モジュラー関数，モジュラー関数
　　英：Modular function，仏：Fonction modulaire，独：Modulfunktion
　　日：Kleinのj-不変量，クラインの絶対不変量
　　英：Klein's j-invariant，仏：j-invariant，独：j-funktion

　楕円モジュラー関数とは、楕円関数の二つの周期からなるパラメータ（母数＝モジュラス）を変数化した関数に由来する、特殊な場合の保型関数である。
そこで、まず保型関数について簡単に説明する（楕円モジュラー関数ではない保型関数の詳細およびグラフについては、「保型関数」の頁に掲載している）。
(引用おわり)

これこれ。母数＝モジュラスに由来しているんだと
なお、このページは図が綺麗だ。必見です

>>142-143
> あなたは858に言及しなかった。
>>105には前スレ858のリンクと引用があるが

ガロア原論文に具体的にガロア記法を用いてgH=Hgを見つける話は書いていないというのが
こちらの認識
(一応pdf化された原論文のリンク http://www.gutenberg.org/ebooks/40213 )

>>111の書き込みは「どうやってガロアは正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけたのか？」
の答えになっていないし楕円モジュラー関数のコピベをしなくてもスレ主の考える具体例を
一つ挙げればすむ話
ex. ○○という群のgHやHgのガロア記法から正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけたと考えられる

正規部分群の定義を見つけるのに一番適切な「(固有)分解」は何か？というような問題は
ガロア記法とは関係ないと思うが

ぱーちくりんスレ主まだ
はーちくりんのくせに上から目線で解説してんのかよ
はよ止めろよ！

>>149
どうも。スレ主です。
ID:tjGQ54W1さんか・・

倉田本（下記）P210-211に、ガロア第１論文成立について、ブルバキ史観を否定する
曰く「古典研究に事後的了解は不可避だから略、直結論（注ブルバキ史観のこと）が間違いだというつもりはない」と書いている
http://www.amazon.co.jp/dp/4535781583 ガロアを読む―第1論文研究 単行本 – 1987/7/15 倉田　令二朗 (著)>>94

彌永本(下記) P285に「われわれとしてはできるだけの努力をしたつもりであるが、それでもガロアの真意がついに把握できなかったところもある」という
http://www.amazon.co.jp/dp/4431708022 ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ) 単行本 – 2002/8 彌永 昌吉 (著)

ID:tjGQ54W1さんがそういう説ならそれで良いんじゃ無いですか？
ガロアが亡くなって２００年ほど。あまたのガロア研究とその論文がある
私の説に反対だと。それで結構ですよ・・

が、逆に質問したい
１．gH=Hgなり別の正規部分群の定義でも結構だが、貴方は”どうやって”と考えているのか
２．私が思うに、正規部分群は群の一つの性質だ。だから、おそらく具体的な群を複数考察した結果だろう。
　　群の考察にはなんらかの群の表記が必要だ。ガロアはコーシーの論文は知っていた。
　　が、コーシーの２行記法は使ってない。では、どんな記法を使ったというのか？
３．群の表記は不要だったとでも？　あるいは、ガロアが、普段現在我々が使っているコーシーの２行記法を使って、論文だけ独自記法を採用したのか？

「ぼくの考えた正規部分群の定義」

>>150
どうも。スレ主です。
ID:farzQR3Nくんか？・・

宿題はどうした？　解けたのか？
問題>>80のことだ

今日の夜には、証明を含めた答えを書いてやろうと思ったが
ID:farzQR3Nくんの無能を晒すために、もう一週間時間をやるよ

どうせ君には、無理（解けない）だろうがね
解けなければ、君は一週間恥をさらすのだよ

>>153
ID:farzQR3N に時間をやる必要は無い
いま直ぐおまいの解答を示せ

>>151 訂正

倉田本（下記）P210-211に、ガロア第１論文成立について、ブルバキ史観を否定する
　↓
倉田本（下記）P210-211に、ガロア第１論文成立について、ブルバキ史観を否定する記述があるが

>>154

教えてはやらん
D:farzQR3Nくんに恥をかかせるのだ

ぱーちくりんは書き込むなって言っとるだろ
ぱーちくりんスレ主！

>>151
>>105には以下のように書いた
> ガロアはガロア記法を使ったかもしれないがgH=Hgの確認はガロア記法でなくてもできる
表記についてはガロア記法を使っていてもスレ主が過去スレで書いていたような
省略された1行目を(abcde)から(bacde)に読み替えるような操作が必要なければ
コーシー記法と同等だという考え方
だから正規部分群の定義に数学的な内容で本質的に関わっている訳ではない
極端な例を挙げるとガロアがフランス語を使ってガロア理論を構築したというのは
間違ってはいないが誰もガロア理論にとってフランス語が重要だとは考えていない

gH=Hgを発見していなくても自然に(あるいは無意識にでも)導入することが可能なのは
可換群の場合か非可換群の部分群の指数が2の場合である
群Gの部分群Hに含まれない元をa, b, c, ... としてHの指数が3だとする
商群が{e, a, b}だとすれば剰余類による分類はH+Ha+Hbと書ける
ガロアによる群の元の分け方はH以外の全ての元に関して行えば剰余類による分け方と
結果的に同じになるが「Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる」と書いているように
H+Ha+Ha^2(+Ha^3 = H), H+Hb+Hb^2, H+Hc+Hc^2, ...
巡回群の場合を「(固有)分解」の基準にしておけば必ずgH=Hgでありたとえば4次方程式の
場合は部分群の指数が3のケースを考える必要が出てくるが代数的に解けることは既に
分かっているのでどの性質が必要か基準と比較すれば良い

ひつけーな
ぱーちくりんは書き込むなって言っとるだろ
ぱーちくりんスレ主！

ガロア理論を勉強するには、どっかのスレ主の王にネットをコピペする
だけではダメで、

正規部分群、可解群などを、具体的な有限群の場合に
手を動かして身につけていくのが近道ですよ、

というほんと良い反面教師のようなスレですな

手を動かさずにオナニーで射精まで逝ける人を尊敬します
神技！

ぱーちくりんがまた解説したがっとるのかよ

スレ1が立ったのが3年前

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
1 ：名無しさん：2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu

普通に、今の代数の教科書を読んで勉強すれば、ガロア理論はマスターできました
スレ1からネットの情報のコピペを繰り返すだけでは、何も進歩もありません

ああ「正規部分群が理解できてない」と理解できたのは「進歩」かもしれませんねえ

ガロア理論わからない
一番かんたんなガロア理論の本ってなんすか？

3年経ってこれかよ
いつも効率を言い訳にコピペを多用しているスレ主が一番効率悪かった

機械学習の反例なのか

写教して勉強した気になる教入信
→写教めんどくせー
→コピペでいいよな？
→リンクならもっと楽ちん♪
→リンクぺたぺたっと、良い仕事したなー

>>164
このスレ的には

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
ガロアの時代 ガロアの数学 彌永 昌吉
ガロアを読む―第1論文研究 倉田　令二朗

に決まっておろうｗ

やめとけ、スレ主みたいになるぞ
それは現代版ガロア理論を十分理解した人が読む本だ

>>169
1年かけて、普通にガロア理論を勉強した後に　>>168の三冊を読めば
3年もせずに、原典の価値を味わうことができたろうな

で、スレ主がコピペ貼るだけで、中身さっぱりわからんちんの様々な情報の、
全部とは言わないが、いくつかくらいは理解できる程度になってたろうなあ

ほんと、数学を勉強する上で、良い反面教師スレだわ

ぱーちくりんスレ主の勉強方法なぞ誰も参考にすべきでもないし
興味ないことくらい理解しろよ
いくら頭弱すぎるとはいっても

>>164
群論を前提にすれば、山崎環と加群、藤崎体とGalois理論のセットだろうな。
ただ、どっちも500ページ近くあって、長いけどね。
環と加群は、群論のことも少し書いてあり、演習問題豊富で分かり易くていい代数の本だろうね。
簡単かどうかは知らないが、長いのが嫌なら、可換環と体のコースへどうぞ。

ガロア理論を勉強する目的ってなんなの？
５次方程式に解の公式がないことが知りたいだけ？

ぱーちくりんスレ主は自分の頭の弱さを直視したくないから
その現実から逃避するためにやってるよ
その行為自体が自分の頭の弱さの証明になってしまってることも気付かずに

>>173
あちこちのサイトのコピペを貼るだけで「俺ってすげーだろ」って気分に
3年以上浸れる

これは受け売りだが、群、環、体は代数のスター、ガロア理論はオールスター

>>173
５次方程式に解の公式がないことはガロアより先にアーベルが証明した

>>173
お前が勉強したくないならしなければいいだけ

五次以上でも解の公式はあるよw
バカなの？w
ただし超越的でも良ければって話w

>>179
ぱーちくりんスレ主の方がずっと馬鹿だよ

ガロア理論のスレで超越解を持ち出すほうが馬鹿だろｗ

そこで微分ガロア理論だなｗ

ぱーちくりんスレ主がこのスレでダントツ馬鹿だよ

GAPくんっていうのがいてだな
その人もなかなかだったよ

ぱーちくりんスレ主がこのスレでダントツ馬鹿だよ

ガロアなの？ガロワなの？

ガロイズです

>>173
>５次方程式に解の公式がないことが知りたいだけ？
よく誤解を招く書き方なので指摘しておくが、「５次方程式に解の公式がないこと」は
しっかり「５次方程式に加減乗除とベキ根による解の公式がないこと」と「加減乗除とベキ根による」を明記すること。
加減乗除とベキ根による公式でなければ、チルンハウゼン変換とかする楕円関数を用いた解の公式はある。
歴史的には、アーベルがしたことの意義は「５次方程式に加減乗除とベキ根による解の公式がないこと」を
証明したことより、楕円関数とか超越関数の研究への付与の方が大きい。

>>186
どっちでもいい。

んなこたーここに来る連中はわかってんだろ
数名を除いて

>>188
あのなあ、アーベルは論文のタイトルにそう明記しなかったらガウスは論文をゴミ箱に入れたんだぜ。

どうも。スレ主です。

>>159
ID:tjGQ54W1さんか・・

１．大きな勘違いというか、道を踏み外しているね。この２ちゃんねるで、私との論争に勝つことが自己目的化していることだ
２．私スレ主との論争に勝ったところで、君の人生にとっては無価値さ
３．が、ガロア論文を読むことは、君の人生にとって大いに価値があるだろう
４．音楽ではクラシック、文学では古典。理系の分野では、それは少ないが、ガロアの第一論文は短いが珠玉の古典だろう
５．現代数学の系譜　全14巻 共立出版
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/series/6/
　現代数学の開花は一朝にして成ったものではない。幾多のすぐれた先人たちが培ってくれた伝統によって育てられたものである。
　本講座「現代数学の系譜」は，そうした先人たちの業績の跡をたずね，この輝かしい伝統を明らかにすることを目標としている。
その目標を達成するために，数学発展の途上特に一時期を画したとみられる著書・論文を精選し，
これを忠実に翻訳するとともに，これに親切な注釈を施し，
各論文・著書がその時代時代の数学的背景の前で演じた役割と，その現代数学の上に及ぼした影響について周密な解説を加えている。
http://mathsoc.jp/publicity/pubprize2012.html
2012年度日本数学会賞出版賞 「現代数学の系譜」全14巻 15冊 共立出版
1969年から28年間に及ぶ息の長い企画であり，ヨーロッパ近代の数学を原典に即して概観することができる貴重な叢書として，完結に導いた点を高く評価いたします．

>>191
つづき

１．>>149のpdf化された原論文のリンクね、よく見つけてきたと思ったよ・・
２．が、pdfを開いて見たが、全部仏語でしょ？　君は読めないよね、おそらく（私も仏語は読めない）
３．君が時間を掛けてする価値のあることは、自分の読めない仏語の原論文へのリンクを見つけてくることではない
４．図書館でも良いから、日本語か英語かで、珠玉の古典であるガロア論文を読むことだ
５．そして、ガロアの原初のアイデアに触れて、ガロア理論への理解を深める・・
６．さらには、自分が未知の問題にぶち当たったときに、これを思い出すことだ。ガロアは未知の問題をこう解いたと

ぱーちくりんのおしゃべり

>>160>>163>>165>>170>>175>>189

どうも。スレ主です。
まあ、口先ではなんとでも言える典型だよ、君たちは

では、こうしよう。ID:farzQR3Nくんの無能を晒すために、一週間時間をおいた>>153
そろそろ解答を書こうと思ったが、君たちのために、あと２４時間置こうと思う

問題１
>>80
では、君に出題する

「閉区間（例えば[101〜102]）のすべての実数の集合から生成される乗法群は、すべての正の実数を含む」が成り立つ
（説明不要と思うが、閉区間[101〜102]のすべての実数を使って乗法群を作ると、それは全ての正の実数を含むように拡張できるってこと）
これ分かりますか？　分かる人、証明するか理由を述べよ >>69

これの正否
スレ主は、これは成り立つと思う
もし、不成立の証明ができれば、君たちはスレ主より上と認めよう

問題２
>>34
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

もちろん私は答えを得ている

>>194

この問題は、>>22の”おっちゃん”が前スレで出題した問題から派生したものだよ

問題が解けなければ、君たちは同じ穴の狢さ

>>189
>>173に対し>>179のレスが付き、解釈の違いが生じたことは事実。

>>190
左様でございますか。

>>197
どうも。スレ主です。
その声は、>>22の”おっちゃん”かな？

>>198
そうだが、どうした？
というか、5次方程式の一般的解法の学習にガロア理論は必ずしも必要とは限らないから、
>173に対し>179のレスが付くことは何ら不自然ではないと思うのだが。

>>199
どうも。スレ主です。
いや、sageの１３２人目の素数さんだが、声の調子が”おっちゃん”らしいと思った次第だ

>というか、5次方程式の一般的解法の学習にガロア理論は必ずしも必要とは限らないから、
>173に対し>179のレスが付くことは何ら不自然ではないと思うのだが。

まあ、5次方程式の一般的解法の学習といえば、クラインかね
http://www.amazon.co.jp/dp/443171118X
正20面体と5次方程式 改訂新版 (シュプリンガー数学クラシックス) 単行本 – 2005/10/22
F.クライン (著), 関口 次郎 (翻訳), 前田 博信 (翻訳)
目次
第1部 正20面体の理論(正多面体と群論
(x+iy)の導入
基本問題の定式化と関数論的考察
基本課題の代数的性質について ほか)
第2部 5次方程式の理論(5次方程式の理論の史的展開
幾何学的手段の導入
5次主方程式
Aの問題と6次ヤコビ方程式 ほか)

こんなのも
http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/
ENCOUNTERwithMATHEMATICS

http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/36.shtml
第36回 正２０面体にまつわる数学 -- 2006年 3月10日 (金), 11日 (土) --

第51回 正 20 面体にまつわる数学--その 2 -- 2009年10月2日(金), 3日(土)
ポアンカレホモロジー球面１:　作間 誠 氏（pdf file）
ポアンカレホモロジー球面２:　作間 誠 氏（pdf file）
ポアンカレホモロジー球面３:　作間 誠 氏（pdf file）
ポアンカレホモロジー球面４:　作間 誠 氏（pdf file）
正 20 面体からの旅たち１:　関口 次郎 氏（pdf file） http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/51/ewm51_Sekiguchi1.pdf
正 20 面体からの旅たち２:　関口 次郎 氏（pdf file） http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/51/ewm51_Sekiguchi2.pdf
宇宙は正二十面体の対称性をもつか？:　井上 開輝 氏（pdf file）

つづき

で、”おっちゃん”が言いたいことは、>>188が”おっちゃん”で
>>189-190に反論しているってことでしょ、>>197と>>199

>というか、5次方程式の一般的解法の学習にガロア理論は必ずしも必要とは限らないから、

理屈抜きで、単純に5次方程式が（楕円関数などで）解ければ良いで終わればね
が、さらに進んで「なぜ？」というところが、ガロア理論かね？
一般5次方程式の根の成す群が、S5で、A5が位数60の単純群で、その対称性が正２０面体で表され、楕円関数などが必要・・と繋がる

おっちゃん vs. ぱーちくりん

>>200-202
私が持っている　楕円関数論−楕円曲線の解析学　にもエルミートによる
解法が書いてあって、この本はガロア理論や代数幾何とかが前提になっている。
クラインの本は図書館でザッと見たことがあり、
この本では群論は必要だが、ガロア理論は前提になっていなかった筈。
で、どちらが5次方程式の一般的解法について簡単に読めてかつ詳しいかというと、クラインの方になる。
有限回の加減乗除とベキ根により標数0の体の係数の代数方程式が解けるか？
という問題と、手段はどうでもいいから標数0の体の係数の代数方程式が解けるか？
という問題は別。係数体の標数が0でアルキメデス付値体であるが故に後者の問題は生じる。
いわゆる解析的(超越的)手法で代数方程式を解くっていうことね。

>>194
問題２は
「ゼロを除く複素数全体の成す乗法群の部分群全体の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
とでもしといた方がいい。
それだとC^{×}自身の濃度の話に見えなくもない。
実際>>41に勘違いされてる。

正しい解釈のもと、>>41みたいに手際よく解いてくれ

>>191-192
前スレからの話の流れを書いておくと
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/429
> お分かりか？　「τNはその置換の群を表しているとみなす」と
> τNは、剰余類別だから、コーシーの記法では群ではない
> が、ガロア論文命題III(第２章第２主定理)では違うと彌永は解説しているのだ

とスレ主が書いていることに対して
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/834
の指摘をして

「剰余類別だから、コーシーの記法では群ではない 」だから「剰余類」を用いた正規部分群
の定義は「群ではない 」コーシー記法でも問題なく表記法に関わる問題ではない

が依然としてスレ主は表記法に執着しているから>>105や>>158を書いた

ガロア論文あるいはスレ主の手元にある本のどれかに「どうやってガロアは正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけたのか？」
の答えが書いてあればそもそも
>>87
> どうやってガロアは正規部分群の定義(gH=Hg)を見つけたのか？　おそらく「ガロア記法を通じて」
と書き込まずにそこに書いてある答えを書けば良いだけの話のはずだが

>>194の
>「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
は、乗法群自体が既に集合な訳で、これを敢えて解釈すれば
>「ゼロを除く複素数の成す乗法群は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か。
になるが、C^{×}の濃度が実数直線Rの濃度に等しいから、>>41で終わっているだろう。

まあ、>>41は記号とかについて説明不足で、証明としては論理的な飛躍がありありだがな。
あのような書き方は、単なる下書きに過ぎない。

>>203
いやいや、もう一人。問題の解けないバカがいる

>>194
つづき

そろそろ答えを書こうかと思ったが、>>203のバカを晒すために、もう少し伸ばす

>>204
”おっちゃん”どうも

正20面体と5次方程式 F.クライン (著), 関口 次郎 (翻訳)の初版が手元にある

>クラインの本は図書館でザッと見たことがあり、
>この本では群論は必要だが、ガロア理論は前提になっていなかった筈。

いやいや、それがね、あるんだ
第４章だ
４．２が「代数方程式の群について」で、４．４が「ガロアの分解式特論」だ
クラインの本は、前書きに１８８４年５月とある
つまりは、アルティン流ではなく、原ガロア流のガロア理論なんだね

で、この本の値打ちは、抽象化された現代ガロア理論の対極として、原初のガロア理論が語られていることじゃないかな？

>>205
ID:72qurfIyさん、どうも

ご指摘ありがとう。次に書くときにそうするよ

>実際>>41に勘違いされてる。

ああ、勘違いされてるのか。>>41は意味不明だった
「連続濃度の”べきの濃度”」とあるから、題意は間違いようがないと思ったけどね

>>207
前から粘着している人かね？

おっさんと話してても面白くないからスルーするよ
このスレは、ガロア原論文を読むことを主眼としてるスレなんだ
ガロア原論文に即して説明することに意義がある
ガロア原論文を読む気がないなら帰ってくれ

>>208

”おっちゃん”どうも

>>「ゼロを除く複素数の成す乗法群は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か。
>になるが、C^{×}の濃度が実数直線Rの濃度に等しいから、>>41で終わっているだろう。

面白い人やね
前スレで、”自明ことを証明しようとして間違い
肝心の単射性の証明が出来てない”と批判した人がいた

>>41でやったことは、複素平面の濃度が「= |R| = 2^{ℵ_0} 」て・・、それは証明不要でしょうよ
で、今回も問題は、ゼロを除く任意の複素数を選んで乗法群を作ったときに、選んだ複素数の部分集合が異なっていても、生成される乗法群が同一になる場合が生じる。つまり、
写像：ゼロを除く任意の複素数の部分集合→ゼロを除く任意の複素数の部分集合から生成される乗法群
これが単射ではない

問題の核心は、その評価をどうするかだよ

っぷｗ　何を当たり前のことを上から目線でｗ
√(-1)が生成する群と-√(-1)が生成する群

偉そうに上から目線したがるおバカの集まるスレ。

>>216

面白いやつだね

「ゼロを除く複素数全体の成す乗法群の部分群全体の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
　↓
「ゼロを除く実数全体の成す乗法群の部分群全体の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」

としても本質は同じだよ

なにを勘違いしているのか知らないが・・・

どうも。スレ主です。
長谷川真人がなかなか良い

www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人 京都大学数理解析研究所数学入門公開講座（2002 年8 月5〜8 日）の予稿を改訂（2006 年5 月
／ 2007 年8 月／ 2011 年6 月）

目次
I 自己言及と対角線論法2
1 ラッセルの逆理2
2 カントールの対角線論法2
3 自己適用3
4 停止性問題5
5 対角線論法から不動点へ7
6 不動点定理から具体例を見直す8

II 矛盾したものを構成する11
1 完備半順序集合と連続関数11
2 最小不動点の発想12
3 最初の試み13
4 埋め込みと射影14
5 なぜ失敗したか15
6 正しい解の構成| 逆極限法16

対角線論法２　P5「辞書式順序(lexicographic order)」の説明が良いね
http://www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=T0300&JWC=20131226715015
東京工大 ホーム > 大学院情報理工学研究科 > 数理・計算科学専攻 > 計算量理論
計算量理論 Computational Complexity Theory （ 渡辺 治 ） 更新日：2013年7月5日
第. 5. 章|. 計算複雑さ解析法＃２ 対角線論法
[PDF]計算複雑さ解析法＃2 対角線論法 - TOKYO TECH OCW
www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General...file...

時間では計算できないが，. O. ( l 5). 時間では計算で. きる問題を示す方法である．
こうした差を示すことで初めて計算量に本質的. な意味が与えられる．
差がなければ，. 計算量の大小を議論する意味がなくな. るからだ． これはまた，. 計算複雑さの理論の最も ...

>>220 補足：PDFのURLが、コピペできないので、検索してくれ

対角線論法3
http://aozoragakuen.sak(強制改行)
ura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/taikaku/node1.html
対角線論法と不完全性定理 2013.6.15/2006.12.11/2006.2.9 Aozora 2013-06-16
2006.12に最初にこれをまとめて以降，幾人かの人に貴重な意見をいただいた．ありがとうございました．心からの感謝を述べさせてもらいます．
対角線論法
リシャールの逆理
カントールの対角線論法
べき集合の濃度

数学の基礎
集合論の逆理
数学体系の対象化
非ユークリッド幾何学
ヒルベルトの計画
Cantorの連続体の濃度に関する問題
算術の公理の無矛盾性

不完全性定理
形式化された数学
ゲーデルの対角線論法
不完全性定理
序論
ゲーデル数
証明不能命題
無矛盾性
Bourbaki 『数学史』から
http://aozoragakuen.sak(強制改行)
ura.ne.jp/taiwa/taiwa.html 数学対話第5期

sak(強制改行)
ura が(強制改行)を入れないと通らないようだ
検索してもらった方が早いかも

対角線論法４ （文字化けは修正しません。URLを開いてください。）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95
カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。
1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。
その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。

カントールの定理
Xを任意の集合とするとき、XからXの冪集合2Xへの全射が存在しない（従って特に全単射が存在しない）。つまり、Xの濃度より2Xの濃度のほうが真に大きい。

これは以下のように対角線論法を用いて次のように示される。

Xから2Xへの全射ψが存在したとする。Y=\{x\in X: x\notin\psi(x)\}により定義すると、対角線論法より、ψ(x)=Yとなるx∈Xは存在しない。これはψの全射性に反する。

上の Y の構成はラッセルのパラドックスで用いられる「自分自身を含まないような集合」と酷似していることに注意されたい。

対角線論法５
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
カントールの定理
証明
2 つの集合が等濃（英語版）である（同じ濃度を持つ）こととそれらの間に一対一対応が存在することは同値である。
カントールの定理を証明するには任意の与えられた集合 A に対して、A から A の冪集合へのどんな関数 f も全射になりえないことを示せば十分である。
すなわち f のもとでの A の像の元でない A の少なくとも 1 つの部分集合の存在を示せば十分である。
そのような部分集合は次の構成によって与えられる：B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\}.
これが意味するのは定義によってすべての x ∈ A に対して x ∈ B ⇔ x ∉ f(x) ということである。
すべての x に対して集合 B と f(x) は同じにはなり得ない、なぜならば B は（f による）像が自信を含まないような A の元から構成されていたからである。
より具体的には、任意の x ∈ A を考えると、x ∈ f(x) かまたは x ∉ f(x) である。前者の場合には f(x) は B に等しくなれない、なぜなら仮定により x ∈ f(x) であり B の構成から x ∉ B だからである。
後者の場合には f(x) は B に等しくなれない、なぜなら仮定により x ∉ f(x) であり B の構成により x ∈ B だからである。

したがって f(x) = B なる x は存在しない； 言い換えると B は f の像に入っていない。
B は A の冪集合に入っているから、A の冪集合は A 自身よりも大きい濃度を持っている。
証明について考える別の方法は B は空でも空でなくてもつねに A の冪集合に入っていることである。
f が全射であるためには A のある元は B に写らなければならない。
しかしそれは矛盾を導く： B のどんな元も B に写れない、なぜならそれは B の元の判定法に矛盾するからで、したがって B に写る元は B の元であってはいけなくて、つまりそれは B の元の判定条件を満たし、別の矛盾。
なので A のある元が B に写るという仮定は誤りでなければならない； そして f は全射ではありえない。

式 "x ∉ f(x)" における x の二重の出現のためにこれは対角線論法である。

>>219-225
対角線論法はむずい
が、結局キーワードは、最初の>>219「自己言及の論理と計算」てことなんだ。自己言及がキーワード
最初カントールは、実数の無限濃度が非加算を示すために、「自己言及の論理」ではなく、>>220の対角線論法２　P5「辞書式順序(lexicographic order)」みたいなテクニックを使った
計算量理論みたいに、具体的対象については、どんな証明のアプローチをするかは、複数考えられるんだろう

>>212
元々、問題解きは余り得意ではなく、モラルに反しフルボッコにされる
かも知れないので余り書きたくなかったが、一度恥を書いたこともあり、
私が用意していた解答をする。打ち間違いがあるかも知れないことは伝えておく。

[第1段]：有理直線Qが可算無限集合であることを示す。
各n∈N＼0に対して集合A_nをA_n＝{0、±n、±n/2、…}と定める。このとき、
Nは可算無限集合だから、任意のn∈N＼0に対してA_nは可算無限集合である。
また、可算無限集合の可算和は可算無限集合である。
よって、nをN＼0上で走らせて考えると、∪A_n＝Qは可算無限集合である。

>>212
(>>227の続き)
[第2段]：実数直線Rが非可算無限集合であることを示す。
開区間(0,1)をIで表す。Iが非可算無限集合であることを示す。矛盾に導くため、
Iが可算集合だったとすると、確かにIに属する実数は無限個存在するから、Iは可算無限集合である。
1以上の自然数全体の集合Nは可算無限集合であることに注意すると、
Iは{n_1,n_2,n_3,…}の形で表せる集合である。つまり、I＝{n_1,n_2,n_3,…}。
各(i,j)∈N×Nに対して、ijを添数とする項k_{ij}が10個の数字0、1、…、9の中の1つを表すとする。
各i∈Nに対して、n_i∈Iの10進法による小数表示を、n_i＝0.k_{i1}k_{i2}k_{i3}…k_{ij}…
とする。0でない自然数iの値が小さい方から、可算無限個の10進法による小数表示
n_i＝0.k_{i1}k_{i2}k_{i3}…k_{ij}…を縦に並べて書く。そして、任意の(i,j)∈N×Nに対して
行列の成分のようにして現れた数字k_{ij}のうち、対角線上に並んだ可算無限個の数字
k_{11}、k_{22}、…、k_{jj}、…に着目し、各j∈Nについて、k_j≠k_{jj}かつ1≦k_j≦8 なるような
数字 k_j∈{0,1,2,…,9}を任意に1つ選び、n＝0.k_1k_2k_3…k_j… とおく。
このとき、各j∈Nに対して1≦k_j≦8だから、実数nの10進法による小数表示は唯1通りに定まる。
Iの定義に注意すると、n∈Iだから、或るi∈Nが存在してn＝n_iとなる。
よって、n_i＝n_{ii}となるが、これは満たすべき条件n_i≠n_{ii}に反し矛盾。
よって、背理法により、Iは可算集合ではない。つまり、Iは非可算無限集合である。
故に、I⊂Rから、Rは非可算無限集合である。

>>212
(>>228の続き)
[第3段]：無理数の全体R＼Qが非可算無限集合であることを示す。
R＼Qが可算無限集合であったとすると、2つの可算無限集合Q、R＼Qの和
Q∪(R＼Q)＝Rが可算無限集合であることになるが、これはRが非可算無限集合であることに反する。

各無理数θ∈R＼Qに対して、集合T(θ)をT(θ)＝{e^{i(mθπ)}∈C^{×}|m∈Z}と定義する
と、T(θ)≠φ。a、b、c∈T(θ)を任意に取る。すると、|a|＝|b|＝|c|＝1＜2から、
a、b、cの各主値Log(a)、Log(b)、Log(c)が定義されるから、a、b、cに対して
或るm_1、m_2、m_3∈Zが存在して、a＝e^{i(m_1θ)π}、b＝e^{i(m_2θ)π}、c＝e^{i(m_3θ)π}
となる。よって、A＝{a、b、c}とおくと、A⊂C^{×}であり、加法定理から、任意のx、y∈Aには
通常の乗法・：A×A∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の演算が定義され、任意のa、b、c∈Aに対して
(1)：結合則(ab)c＝a(bc)が成り立ち、(2)：e^0＝1∈T(θ)であり、a1＝1a＝aである。
更に、偏角の不定性に注意してm_1θ∈[0,2π)とすれば、
a^{-1}＝(e^{i(m_1θ)π})^{-1}＝e^{-i(m_1θ)π}だから、
同様に加法定理から、aa^{-1}＝a^{-1}a＝1　である。T(θ)の元a、b、cは任意だから、
a、b、cをT(θ)上で走らせると、確かにT(θ)には通常の乗法
・：T(θ)×T(θ)∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の二項演算が定義され、
T(θ)は乗法・について実数1を単位元とするような群である。つまり、T(θ)は乗法群であり、
満たすべき条件を満たす。任意のa、b∈T(θ)に対して、加法定理からab＝baだから、
T(θ)は可換乗法群である。今、C^{×}の正規部分群が非可算無限個存在することを示す。

>>212
(>>229の続き)
任意のθ∈R＼Qに対して定まる群T(θ)について、T(θ)⊂C^{×}であり、C^{×}には
T(θ)と同じ通常の二項演算・が定義されていることに注意すると、
通常の乗法・の二項演算について、T(θ)は乗法群C^{×}の部分群である。
[第4段]：任意のθ∈R＼Qに対してT(θ)がC^{×}の正規部分群であることを示す。
θ∈R＼Qを任意に取る。群T(θ)をT、乗法群C^{×}をGで略記する。g∈Gを任意に固定する。
gTg^{-1}＝Tを示す。h∈Tを任意に固定する。すると、T⊂Gから、h∈G。
また、Gは通常の乗法・について可換群だから、g^{-1}∈G。
よって、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、
ghg^{-1}＝g(hg^{-1})＝g(g^{-1}h)＝(gg^{-1})h＝1h＝h。h∈Tだから、ghg^{-1}∈T。
Tの元hは任意だったから、gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}
と表わされる集合であることに注意して、hをTの中で動かせば、gTg^{-1}⊂T。
再度h∈Tを任意に固定する。すると、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が
定義され、h＝1h＝(gg^{-1})h＝g(g^{-1}h)＝g(hg^{-1})＝ghg^{-1}。ここで、
gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}と表わされる集合である。
よって、ghg^{-1}＝h∈gTg^{-1}。Tの元hは任意だったから、hをTの中で動かせば、T⊂gTg^{-1}。
gTg^{-1}⊂T、T⊂gTg^{-1}だから、gTg^{-1}＝T。故に、TはGの正規部分群である。
これでT(θ)はC^{×}の正規部分群であることが示された。
無理数θは任意だから、θをR＼Qの上で走らせればよい。

>>212
(>>230の続き)
[第5段]：任意の異なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或るs≠tなるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}　…�@であり、e^{i(msπ−ntπ)}＝1。
よって、偏角の不定性に注意し両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、
i(msπ−ntπ)＝i(kπ)から、ms−nt-k＝0…�A、よってn≠0から、(m/n)s−t−k/n＝0。
故に2つの無理数s、tの集合{s,t}は有理数体Q上線型従属であり、t＝(m/n)s−k/n。
T(s)＝T(t)だから、T(t)＝T((m/n)s−k/n)。
ここで、群T(s)は＝{e^{i(m_1sπ)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
また、群T(t)＝T((m/n)s−k/n)は、＝{e^{i(m_1((m/n)s−k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s−k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
であるから、e^{i(sπ)＝e^{i(((m/n)s−k/n)π)}から、e^{i((((m/n)-1)s−k/n)π)}＝1。
任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s−k/n)は、T(t)＝{e^{i(m_1(s−k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{i(sπ)}はm_1＝1のときのT(s)の元、e^{i((s−k/n)π)}はm_1＝1のときのT(s)の元
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i((s−k/m)π)}から、e^{i(−k/m)π)}＝1、従って、k＝0。
�Aからms−nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs≠tに反し矛盾。

R＼Qは非可算無限集合だから、これでC^{×}の正規部分群が非可算無限個存在することは示された。

>>212
>>227の第1段の「N＼0」は「N＼{0}」と訂正。

>>212
>>231の第5段の途中から
>e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s−k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
>であるから、……
は次のように訂正。
>e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s−k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
>であるから、e^{i(sπ)＝e^{±i(((m/n)s−k/n)π)}から、(以下、複合同順)
>e^{±i((((m/n)-1)s−k/n)π)}＝1。 任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、
>(m/n)-1＝0から、m＝n。 従って、群T(t)つまりT((m/n)s−k/n)は、
>T(t)＝{e^{i(m_1(s−k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
>e^{i(sπ)}はm_1＝1のときのT(s)の元、e^{i((s−k/n)π)}はm_1＝1のときのT(s)の元
>だから、e^{i(sπ)}＝e^{±i((s−k/m)π)}から、e^{i(−k/m)π)}＝1、または、e^{i(2s+k/m)π)}＝1。
>然るに2s+k/mは無理数だから、e^{i(2s+k/m)π)}≠1であって、e^{i(−k/m)π)}＝1であり、よってk＝0。
>�Aからms−nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs≠tに反し矛盾。

位相が頭に入らない・・、で本を読んだ・・、かなり入った・・
http://www.ab.auone-net.jp/~visitors/math/pg253.html
イメージでつかむイプシロンデルタ・位相空間論
村上 仙瑞（せんずい） プレアデス出版 2014年11月発行

本の内容

大学数学でまず最初に躓くとされるイプシロンデルタ論法。
しかも、これを理解しようとして、高校の勉強のやり方で行うがなかなか理解できないものである。
そこで、高校の数学の勉強のやり方に慣れた学生の視点から、イプシロンデルタ論法を解説した。
イプシロンデルタ論法は一言アドバイスを付け加えるだけで、まったく難しい内容でなくなる。
位相空間論もそうである。大学で難しいとされるこの大きな2つの分野を、現中学教師が高校生の視点から解説した。
特に気をつけて解説したことは、突拍子もない定義をいきなりするのではなくて、なぜその考えが必要になってくるのか、大きな流れを大事にして解説した。
　著者である私自身、高校生の視点からイプシロンデルタ論法と位相空間論を解説して本を出版するということは夢であった。
今までの数学所まったく違う視点からかいたこの本をぜひ堪能していただきたいと思っている。

>>227-233

どうも。スレ主です。
”おっちゃん”答え書いたのか？

いや、そろそろ答えを書こうかと思ったが、>>203のバカを晒すために、もう少し伸ばすことにしたんだが>>211
まあ、どうせあのバカには読めないだろうし、読んでも理解できないだろうが・・

>>233
まだやってたのか。
>227-230までは基本事項であり、「自明」で済ませてよく、わざわざ書くまでもない。
肝心の>>231, >>233 は大間違い。というわけで、お前は実際には何も示せていない。
恥の上塗り。いい加減に消えろよザコが。


以下、>>231について具体的にコメント。

＞[第5段]：任意の異なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。

このような主張はそもそも成り立たない。s＝√2, t＝−√2と置けば、
s,t∈R−Qかつs≠tであるが、しかしT(s)＝T(t)が成り立っている。

T(θ)が非可算無限個存在することを言うには、前スレのハメル基でも使えばよいのであって、
前スレで終わっている話である。あるいは、スレ主の { a^n｜n∈Z } (aは1より大きな実数)を
使えば良いのであり、どのみち前スレで話は終わっている。

>>227-233

どうも。スレ主です。
”おっちゃん”らしい答えやね

前スレであった通り、下記が当てはまると思うよ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/524
524 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 15:00:29.48 ID:rAtp1PBP
おい、こら
延々自明で済むことを証明してるな
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/566
566 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 20:31:59.04 ID:KYB7IjhQ
でも>>558は幾らなんでもアホだろ。
そもそもの問題からしてくだらないのに、自明な部分は長文の証明で埋め尽くし、
肝心な部分(異なるH(*)が非可算無限個とれるところ)はいつまで経っても証明できてない上に、
スレ主の方が既に証明できちゃってるという本末転倒ぶり。出題者のくせに何やってんだよ。

>>236

どうも。スレ主です。
わざわざお手を煩わせて恐縮です。手間省こうと、>>237を引用したけど・・

”おっちゃん”に
１．まあ、そのー、ｗikipediaとかネット検索とか、あるいは教科書など数学本でも、既にどこかに書いてあって認められていることは既知で良いでしょ
２．あと、それ常識だと思うけど、２ちゃんねるという場所は、英語の数学専門掲示板と違って、記号など書けないんだよね（上で図を入れた人がいたけど、それは例外として）
３．それから、しょせん証明の細部を議論するところじゃない

>>212
失礼、失礼。>>233は撤回。>>231の第5段は次のように訂正。

[第5段]：任意のs＞t＞1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}　…�@であり、e^{i(msπ−ntπ)}＝1。
よって、偏角の不定性に注意し両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、
i(msπ−ntπ)＝i(kπ)から、ms−nt-k＝0…�A、よってn≠0から、(m/n)s−t−k/n＝0。
故に2つの無理数s、tの集合{s,t}は有理数体Q上線型従属であり、t＝(m/n)s−k/n。
T(s)＝T(t)だから、T(t)＝T((m/n)s−k/n)。
ここで、群T(s)は＝{e^{i(m_1sπ)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
また、群T(t)＝T((m/n)s−k/n)は、＝{e^{i(m_1((m/n)s−k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s−k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
であるから、e^{i(sπ)＝e^{i(((m/n)s−k/n)π)}…�B　または　e^{i(sπ)＝e^{-i(((m/n)s−k/n)π)}…�C
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。

>>212
(>>239の続き)
Case1)�Bが成り立つとき。�Bから、e^{i((((m/n)-1)s−k/n)π)}＝1。
任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s−k/n)は、T(t)＝{e^{i(m_1(s−k/n)π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{i(sπ)}はm_1＝1のときのT(s)の元、e^{i((s−k/n)π)}はm_1＝1のときのT(s)の元
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i((s−k/n)π)}　または、e^{i(sπ)}＝e^{-i((s−k/n)π)}
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、e^{i(−k/n)π)}＝1　または、e^{i(2s−k/n)π)}＝1
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。然るに、任意の有理数aと任意の無理数bについて、
{a,b}は体Q上線型独立だから、e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、
e^{i(2s−k/n)π)}≠1であって、e^{i(−k/n)π)}＝1となる。よって、kに対し或るj∈Zが存在して
k＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、j＝0からk＝0。よって、
�Aからms−nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs≠tに反し矛盾。
Case2)�Cが成り立つとき。�Cから、e^{i((1+m/n)s+k/n)π)}＝1。
然るに、任意の有理数aと任意の無理数bについて、{a,b}は体Q上線型独立だから、
e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s+k/n)π)}≠1であって矛盾。
Case1、2から、異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。

>>236
これは延長戦だ。単射性を示すには、本当はハメル基底もいらない。

>>238　つづき

１．だから、学会レベルの証明とか、新理論とか、新別証明なんか、２ちゃんねるという場所はふさわしくない
２．なので、カントールとかゲーデルとか、それ（下記）全部引用で済ますべき事項なんだわ
　・[第1段]：有理直線Qが可算無限集合であることを示す。 >>227
　・[第2段]：実数直線Rが非可算無限集合であることを示す。 >>228
　・[第3段]：無理数の全体R＼Qが非可算無限集合であることを示す。 >>229
　・[第4段]：任意のθ∈R＼Qに対してT(θ)がC^{×}の正規部分群であることを示す。 >>230
３．第1段から第4段まで、引用も不要のレベル（既知で終わり）だろう。少なくとも、２ちゃんねるで素人の新証明読む時間があったら、専門書読めと
４．”[第5段]：任意の異なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。 ”って、証明に穴があるし
５．それに、部分群の理解が甘いから、証明がぐしゃぐしゃと思うよ
６．で、蛇足だが、部分群の集合をＵとして、「実数Ｒ or 複素数Ｚ（除くゼロ）→Ｕの単射の存在」を一言入れること。ほぼ自明だが
　　院試なら減点されるかもしらんよ。濃度の議論だからね
７．で、>>194出題の「連続濃度の”べきの濃度”を持つ」については、一歩も踏み込んでいないぞ
８．単に、非可算無限集合なら、>>236にあるように { a^n｜n∈Z } (aは1より大きな実数) （つまり、1より大きな実数a一つから生成される乗法群）に問題を落としてしまえば
９．この部分集合Ｕ'として、 { a｜a>1, a∈R } →Ｕ'の単射を示すのは簡単（前スレ>>508参照（複素数の絶対値で考えているがＲでも同じ） ）だから
１０．Ｕ'⊂Ｕとすれば、証明は終わり。（{ a｜a>1, a∈R }の非可算は既知とする。）

>>212
>>240のCase2の「e^{i(2s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」は、
「e^{i((1+m/n)s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」の間違い。

>>241
では、お任せします（しばらく位相を書く）

せやな、スレ主その他、頭悪いのがウリジナリティに拘って延々証明もどきを書きなぐってる所か。

ゴタゴタ書く前に、全体の要約スケッチぐらい書かんかいアンポン！
論理の森で迷子になってグルグル回る自分の姿が見えるでw

嵌める基が要らん？
ほざけ！
おまいのバカ論法で、簡潔なハメル基の議論を代替するなどまず不可能。

前スレ再録

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/817
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/infinite-Galois.pdf
ガロア理論 松本眞 平成18 年11 月22 日 広島大
2 無限次ガロア理論16
2.1 無限次ガロア理論の基本定理: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16
2.2 profinite 位相: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
http://www.amazon.co.jp/dp/4535601410
ガロア理論講義 (日評数学選書) 単行本 – 2003/4 足立 恒雄 (著)
無限次Galois拡大についても触れられている点が良かった。和書では少ないと思う。

>>241
延長戦？
未だに正しい証明が書けないのか？
自分の無知、馬鹿、未熟を自覚しろ！

>>246
他人のコメント朴って知ったかするのがおまいの流儀かwww

>>246 つづき

ガロア理論講義 (日評数学選書) 単行本 – 2003/4 足立 恒雄 (著)
の「無限次ガロア拡大の理論」が読めなかった

で、>>234 村上 仙瑞（せんずい） を読んだ
なかなか良い本です。分かり易い。お薦めです
本になる前のＰＤＦが落ちているみたいだが、絶対本の方が良いでしょう

>>236
＞[第5段]：任意の異なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。

＞>このような主張はそもそも成り立たない。s＝√2, t＝−√2と置けば、
＞>s,t∈R−Qかつs≠tであるが、しかしT(s)＝T(t)が成り立っている。
そうおくと、
T(√2)＝{e^{i(m√2)π)}∈C^{×}|m∈Z}、
T(-√2)＝{e^{i(-m√2)π)}∈C^{×}|m∈Z}
になるが。-e^{i(m√2)π)}とe^{i(-m√2)π)}とを混同しているのではないか？

>>249　つづき

位相は、村上 仙瑞（せんずい）に任せて、射影極限（文字化け放置）（lim← みたいに書くんやね）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90
数学における逆極限（ぎゃくきょくげん、英: inverse limit）あるいは射影極限（しゃえいきょくげん、英: projective limit）は、正確な言い方ではないが、
いくつかの関連する対象を「貼合せる」ような構成法であり、貼合せの具体的な方法は対象の間の射によって決められている。
逆極限は任意の圏において考えることができる。
例
Ai を長さiの有限数列全体からなる集合、fij (i≤j) を数列をi項に切り詰める写像とすると、その射影極限は、数列全体の集合となる。
p-進整数全体の成す環 Zp は、自然数全体に通常の順序を入れたものを添字集合とする整数環の剰余類環の族 Z/pnZ でそれらの間の射として、「剰余の取替え」で得られる準同型をとったものの成す射影系から射影極限として得られる。
p-進整数環における自然な位相は、射影極限としての位相に一致する。
可換環 R 上の形式冪級数環 R[[t]] は、自然数の全体に通常の順序を入れたもので添字付けられる、環の族 R[t]/tnR[t] が自然な射影
R[t]/t^{n+j}R[t] \to R[t]/t^nR[t]
を射として成す射影系の射影極限と見なすことができる。
副有限群は（離散）有限群の射影極限として定義される。
逆系 (Xi, fij) の添字集合 I が最大元 m を持つならば、射影極限 X からの自然な射影 πm: X → Xm は同型である。
位相空間の圏における逆極限は、逆系の各台集合に対して単に集合としての逆極限をとったものを台集合とし、それに始位相を入れて得られる位相空間である。これは極限位相としても知られる。
無限文字列全体の成す集合は有限文字列の集合の逆極限であり、したがって極限位相を持ちうる。
もともとの空間が離散的ならば、得られる極限位相は完全不連結になる。これは、p-進数全体の成す集合やカントール集合を（無限文字列として）実現する一つのやり方である。

三つの元からなる添字集合 I = {i, j, k} で i ≤ j かつ i ≤ k とする（これも有向集合ではない）と、そのような任意の逆系の逆極限は引戻しである。

悲報！

・スレ主が圏論に興味をもったようです

>>251　つづき

射有限群 （副有限群から転送）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
数学において射有限群（しゃゆうげんぐん、英語: pro-finite group）あるいは副有限群（ふくゆうげんぐん）は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。
ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。
射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。
同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。
例
有限群は離散位相に関して射有限である。
p-進整数全体の成す加法群 Zp は射有限である（実際にはさらに射巡回的である）。この群は、n を全ての自然数を亘って動かすとき、有限群 Z/pnZ とそれらの間の自然な射影 Z/pnZ → Z/pmZ (n ≥ m) が成す射影系の射影極限になっており、略
体の無限次拡大のガロア理論では、射有限なガロア群が自然に現れる。具体的に、L/K を（無限次元の）ガロア拡大とし、K の元を動かさない L 上の体自己同型全体の成す群 G = Gal(L/K) を考える。
この無限ガロア群は、F が F/K が有限次ガロア拡大であるような L/K の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(F/K) が成す射影系の逆極限である。
この射影系における射は、F2 ⊆ F1 なるとき、制限準同型 Gal(F1/K) → Gal(F2/K) で与えられる。
得られる Gal(L/K) の位相はヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相 (Krull topology) として知られる。
ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]が、このとき具体的にどのような体 K を選べばよいか決定する方法はいまだ知られていない。
事実、多くの体 K で、どのような有限群が体 K 上のガロア群として得られるかということは一般にははっきりしない。
このような問題は体 K に対するガロアの逆問題と呼ばれる（複素一変数の有理函数体のように、ガロアの逆問題が解決されている体もある）。
代数幾何学において考察される基本群もまた射有限である。略

>>252

ども
圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも）
まあ、圏論もそのうち（いまどき、常識になっている部分が多い感じがするよね。普通に出てくる・・）

>>253

つづき

村上 仙瑞（せんずい）読む前は、１行ごとに分からんという感じだったけど
いまでは、多少読めるように
理解はまだまだだが

普通に教科書買って地道に勉強するのが一番
スレ主流勉強法では三年かかってこのザマ

>>256
マセマでガロア理論って無い？

激励ありがとう
三年かかってこのザマだったら、早い方でしょ？ｗ

だれか「良い本ないか」とか言っていたね・・。前にも紹介した、下記Kojimaだが
hiroyukikojima先生、東大数学科卒で、四半世紀も過ぎて達した境地だという
私が、Kojimaの境地まで到達できたかどうか不明だが、草場公邦は手元にある
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080327
hiroyukikojimaの日記 2008-03-27 ガロアの定理をわかりたいならば
　数学書の読みやすさとは、人によって違うと思う。
それは、「わかるツボ」というのが人によって違うからだ。幾何的なイメージなしには進むことができない人もいれば、
むしろ逆に、非常に形式化されてがちがちに論理的な進み方をしないとわかったような気がしない、という人もいると思う。
だから、何か数学的な知識の必要があった場合、何冊にもチャレンジして自分に合った教科書を探すのがベストだと思う。

　ただ、最大多数にわかりやすい数学書となると、数は限られてくる。
数学の本を書くのを生業としているぼくでさえ、「よくわかる」本と出会えることは滅多にない。
そんな中、最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。

どれもすばらしいが、とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。

ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。

ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。

>>239-240の
>矛盾に導くため、或る異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
の「或る異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「或るs＞t＞1なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違いだった。
あと、>>250は間違いでとぼけて書いちゃったw　偏角の不定性を無視すれば、もっと単純に示せるんだが。

>>247
>>239-240の論法は間違いなのか？

ハメル基を使わない積極的理由が無い
使わないのは単なる自己満足

>>256
ども

ID:TS3FUA1wくんね、君にも>>194の問題投げておくよ
まあ、口ではなんとでも言えるわ

「普通に教科書買って地道に勉強するのが一番
スレ主流勉強法では三年かかってこのザマ 」

はいはい、お説の通りです。なら、>>194は簡単やろね・・、っておまえには解けそうに思えないがね

>>212
じゃ、>>239-240の第5段は次のようにして読んで。

ハメル基底をHで表わす。
[第5段]：任意の異なるs、t∈Hに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
Hが可算無限集合集合だったとする。基底ベクトルの
有理数体Q上一次独立性についてのハメル基底の定義から、
任意のr∈Rに対して或るn∈N＼{0}が一意に存在して、更にrに対して或る
((a_1,…,a_n)、(r_1,…,r_n))∈Q^{n}×H^{n}が一意に定まって、
r＝a_1・r_1＋…＋a_n・r_n。また、Q、Hは可算無限だから、
任意のm∈N＼{0}に対して、Q^{m}、H^{m}は可算無限で、Q^{m}×H^{m}は可算無限。よって、
A＝{((a_1,…,a_m)、(r_1,…,r_m))∈Q^{m}×H^{m}|m∈N＼{0}、a_1・r_1＋…＋a_m・r_m∈R}
とおくと、Aは可算無限集合で、Hの基底ベクトルの有理数体Q上線型独立性
についてのハメル基底の定義から、RからAへの単射fが存在する。
しかし、Rは非可算、Aは可算無限だから、fは存在し得ず矛盾。
故に、Hは非可算集合である。任意のs≠tなるs、t∈Hに対して
基底ベクトルs、tはQ上線型独立だから、T(s)≠T(t)である。

>>212
>>262の上の「Hが可算無限集合集合だったとする。」の「可算無限集合集合」は「可算無限」の間違い。

>>239, >>259

＞[第5段]：任意のs＞t＞1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。

それでもダメ。s＝√2＋2, t＝√2と置くと、s＞t＞1かつs,t∈R−Qであるが、
T(s)＝T(t)が成り立っている。
恥の上塗り。消えろザコ。

>>262
論旨がメチャクチャ。
＞[第5段]：任意の異なるs、t∈Hに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
これを示すにあたって、Hが可算無限であるか否は全く不必要な情報であり、必要な情報は
＞任意のs≠tなるs、t∈Hに対して
＞基底ベクトルs、tはQ上線型独立だから、T(s)≠T(t)である。
この2行だけであり、[第5段]の証明はこの2行で終わっている。
>>262のその他の行は全て「Hが非可算無限であることの証明」に関する記述であり、
[第5段]の証明とは関係が無い。

C^x の正規部分群が非可算無限個あることを証明するときに初めて、
Hが可算無限かどうかという情報が必要になるのであり、そこで初めて
Hの濃度に関する議論を行うのが正しい順番である。>>262のように、
ぐちゃぐちゃの順番で情報が羅列してあるのは もはや国語の問題である。

さらに言うと、ハメル基を使うのなら、それは前スレで完全に終わっている話題なのであり、
わざわざ全く同じ話題を>>262で焼き直す必要は無い。
そもそも、話の発端は「私が用意していた解答をする(>>227)」というものであったはずだ。
それなのに、前スレの「ハメル基」まで話題が逆行してしまうのであれば、もはや本末転倒である。
恥の上塗り。消えろザコ。

>>212
>>262の上の「任意の異なるs、t∈Hに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」の部分の「s、t∈H」と、
下の「故に…」の行の「任意のs≠tなるs、t∈Hに対して」の「s、t∈H」は、
両方「s、t∈H＼Q」の間違い。

論証の森で遭難中

>>264
演習がてらハメル使ってみたので、見てください
赤ペン先生だろw

>>264
>そもそも、話の発端は「私が用意していた解答をする(>>227)」というものであったはずだ。
最初は>>239-240で正しいと思ったが、ケチを付けられてな。ハメル基底を用いるなら、話は別だ。

>>212
ということで、書き直し。

ハメル基底をHで表わす。
各θ∈Hに対して、集合T(θ)をT(θ)＝{e^{i(mθπ)}∈C^{×}|m∈Z}と定義する
と、T(θ)≠φ。a、b、c∈T(θ)を任意に取る。すると、|a|＝|b|＝|c|＝1＜2から、
a、b、cの各主値Log(a)、Log(b)、Log(c)が定義されるから、a、b、cに対して
或るm_1、m_2、m_3∈Zが存在して、a＝e^{i(m_1θ)π}、b＝e^{i(m_2θ)π}、c＝e^{i(m_3θ)π}
となる。よって、A＝{a、b、c}とおくと、A⊂C^{×}であり、加法定理から、任意のx、y∈Aには
通常の乗法・：A×A∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の演算が定義され、任意のa、b、c∈Aに対して
(1)：結合則(ab)c＝a(bc)が成り立ち、(2)：e^0＝1∈T(θ)であり、a1＝1a＝aである。
更に、偏角の不定性に注意してm_1θ∈[0,2π)とすれば、
a^{-1}＝(e^{i(m_1θ)π})^{-1}＝e^{-i(m_1θ)π}だから、
同様に加法定理から、aa^{-1}＝a^{-1}a＝1　である。T(θ)の元a、b、cは任意だから、
a、b、cをT(θ)上で走らせると、確かにT(θ)には通常の乗法
・：T(θ)×T(θ)∋(a,b)→a・b＝ab∈T(θ)の二項演算が定義され、
T(θ)は乗法・について実数1を単位元とするような群である。つまり、T(θ)は乗法群であり、
満たすべき条件を満たす。任意のa、b∈T(θ)に対して、加法定理からab＝baだから、
T(θ)は可換乗法群である。今、C^{×}の正規部分群が非可算個存在することを示す。

任意のθ∈Hに対して定まる群T(θ)について、T(θ)⊂C^{×}であり、C^{×}には
T(θ)と同じ通常の二項演算・が定義されていることに注意すると、
通常の乗法・の二項演算について、T(θ)は乗法群C^{×}の部分群である。

>>212
(>>262の続き)
[第1段]：任意のθ∈Hに対してT(θ)がC^{×}の正規部分群であることを示す。
θ∈Hを任意に取る。群T(θ)をT、乗法群C^{×}をGで略記する。g∈Gを任意に固定する。
gTg^{-1}＝Tを示す。h∈Tを任意に固定する。すると、T⊂Gから、h∈G。
また、Gは通常の乗法・について可換群だから、g^{-1}∈G。
よって、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が定義され、
ghg^{-1}＝g(hg^{-1})＝g(g^{-1}h)＝(gg^{-1})h＝1h＝h。h∈Tだから、ghg^{-1}∈T。
Tの元hは任意だったから、gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}
と表わされる集合であることに注意して、hをTの中で動かせば、gTg^{-1}⊂T。
再度h∈Tを任意に固定する。すると、g、h、g^{-1}の間には互いに通常の可換な乗法・の二項演算が
定義され、h＝1h＝(gg^{-1})h＝g(g^{-1}h)＝g(hg^{-1})＝ghg^{-1}。ここで、
gによるTの両側剰余類gTg^{-1}は＝{gh'g^{-1}|h'∈T}と表わされる集合である。
よって、ghg^{-1}＝h∈gTg^{-1}。Tの元hは任意だったから、hをTの中で動かせば、T⊂gTg^{-1}。
gTg^{-1}⊂T、T⊂gTg^{-1}だから、gTg^{-1}＝T。故に、TはGの正規部分群である。
これでT(θ)はC^{×}の正規部分群であることが示された。
Hの基底ベクトルθは任意だから、θをHの上で走らせればよい。

>>212
(>>270は、>>262でなく>>269の続き)

(>>270の続き)
[第2段]：Hが非可算集合であることを示す。
Hが可算無限集合だったとする。基底ベクトルの
有理数体Q上一次独立性についてのハメル基底の定義から、
任意のr∈Rに対して或るn∈N＼{0}が一意に存在して、更にrに対して或る
((a_1,…,a_n)、(r_1,…,r_n))∈Q^{n}×H^{n}が一意に定まって、
r＝a_1・r_1＋…＋a_n・r_n。また、Q、Hは可算無限だから、
任意のm∈N＼{0}に対して、Q^{m}、H^{m}は可算無限で、Q^{m}×H^{m}は可算無限。よって、
A＝{((a_1,…,a_m)、(r_1,…,r_m))∈Q^{m}×H^{m}|m∈N＼{0}、a_1・r_1＋…＋a_m・r_m∈R}
とおくと、Aは可算無限集合で、Hの基底ベクトルの有理数体Q上線型独立性
についてのハメル基底の定義から、RからAへの単射fが存在する。
しかし、Rは非可算、Aは可算無限だから、fは存在し得ず矛盾。 故に、Hは非可算集合である。

[第3段]：任意の異なるs、t∈H＼{0}に対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈H＼{0}に対して群T(θ)は定まる。
任意のs≠tなるs、t∈H＼{0}に対して、基底ベクトルs、tはQ上線型独立だから、T(s)≠T(t)である。

これでC^{×}の正規部分群が非可算無限個存在することは示された。

>>264
そもそも、論文にしている訳ではあるまいし、
2チャンで論旨がどうのこうのとか関係ないだろw
ハメル基底を用いるなら、有理直線Qは可算無限集合、R＼Qは非可算集合は前提だ。

まあ、正確には「>>239-240の手法で示せると思った」だがな。

>>272
＞そもそも、論文にしている訳ではあるまいし、
＞2チャンで論旨がどうのこうのとか関係ないだろw

バーーーーカ。お前のやってることはダブルスタンダードだよ。

2チャンで論旨がどうのこうのとか関係ないのであれば、
「>>262では いい加減な書き方をしたけど、そのまま書き直さないことにする」
として済ませるのが筋だろう。
にも関わらず、実際には>>269-271で「整理して書き直している」ではないか。
論旨を気にしまくっているではないか。
しかも、俺の指摘どおりに「[第5段]の証明」と「Hが非可算無限であることの証明」を
キレイに分割しているではないか。論旨を気にしまくっているではないか。

もっと言えば、>>227-230の「ご丁寧な証明」の時点で、論旨を気にしまくっているではないか。
こんなものは全て「自明」でいいんだよ。にも関わらず、ご丁寧に証明しているではないか。

いい加減にしろよザコが。
清書した>>269-271にしたって、結局は前スレの話題に過ぎず、
ここで蒸し返すようなことでは無いんだよ。
結局お前は、自分の方針では何1つとして証明できず、
前スレの話題に頼らざるを得なかったわけだ。
しかも、>>272のような負け惜しみと来たもんだ。実に笑えるｗ

人に読んでもらってわかってもらうには、論旨（が筋道立っていて論理的であること）は大事
２ちゃんでも論文でも

>>274
自明な議論は、スレ主宛てだ。スレ主でも分かるように書いた。
本当は、>>239-240の手法で示せると思うのだがな。
ハメル基底の議論では、有理直線Qは可算無限集合、R＼Qは非可算集合が前提になるが。

>>273
＞まあ、正確には「>>239-240の手法で示せると思った」だがな。
>>239-240は間違ってるからダメだけど、ハメル基を使わない方針でもちゃんと示せるよ。
お前の低レベルな脳みそでは間違った証明しか出来なかっただけで。

「ハメル基でいいじゃん」という突っ込みは、お前の間違った証明だからこその
突っ込みなのであり、「私が用意していた解答をする(>>227)」の時点で
1発でスパッと正しい証明(ハメル基でないもの)が提示できていたら、
このような突っ込みが出る幕は無かったんだよ。情けない話だな。

自分流の証明をやってみた
→ 間違っていた
→ ハメル基でいいじゃんという突っ込みが入る
→ ハメル基を使った証明に乗り換える(この時点でお前の負け)
→ ハメル基だったら前スレで終わってるから、蒸し返す必要がないという別の突っ込みまで入る

お前のやってることは周回遅れなんだよ。まるで話しにならない。

>>277
前スレは見てなく、話はうる覚えだが、あっそう。
あ〜、「s＞t＞1」ではなく
「任意のs＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」
とすればよかったのか。そうすれば>>239-240の手法が通用したな。

>>274
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”、呼んだか？

>自明な議論は、スレ主宛てだ。スレ主でも分かるように書いた。

自明な議論は不要だよ。２ちゃんねるで分かり易い証明はいらん（そもそも、アスキーベースの板だから数学記号が読みにくい）
検索用キーワードを書いて貰えれば、検索して読む。あるいは、テキスト（本）を示して貰えれば、本を取り寄せるさ

>ハメル基底の議論では、有理直線Qは可算無限集合、R＼Qは非可算集合が前提になるが。

スレ主的には、「ハメル基底」など未消化な道具に頼るのは好きじゃ無いね
しかも、「ハメル基底」について調べた範囲では、可算無限と非可算無限との区別までだろ？
>>194の”連続濃度の”べきの濃度””について、なにか言えるのかね？

いや、>>278の「任意のs＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」では
なく「任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」か。

>>279
私も本当は自明なことは書く気がしなかった。普段、机に置いたパソコンに向かい、
床に座って左手だけでキーを打っててな、パソコンで書きにくいんだわ。
有理数全体Qは可算で、無理数全体R＼Qは非可算は、本当は前提にするべきだよ。

>>279
>スレ主的には、「ハメル基底」など未消化な道具に頼るのは好きじゃ無いね
いや、>>239-240は、
>[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
として読めば、少し訂正が必要だが大体は通用する議論になる。

>>279

つづき

>スレ主的には、「ハメル基底」など未消化な道具に頼るのは好きじゃ無いね

これな、ミスリードされたと思うよ、”おっちゃん”が
「ハメル基を使わない積極的理由が無い 使わないのは単なる自己満足」>>260
だが、
「ハメル基を使う積極的理由が無い 使うのは単なる自己満足」という方が正しいと思うよ
>>260って、”マセマでガロア理論って無い？ ”>>257って言っている人でしょ？

>>280, 282
＞「任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」か。

それが言えた「だけ」では全く不十分であり、T(x) が非可算無限個あることは言えないよ。
このことは、次のように一般化して考えるとよく見えてくる。

問題：Y は集合とする。写像 F：(0,2)−Q → Y は、
2＞s＞1＞t＞0 なる s,t∈R−Q に対して常に F(s)≠F(t) が成り立つとする。
このとき、F(x) (x∈(0,2)−Q) は非可算無限個あると言えるか？

解答：言えない。Y を2元以上の集合として、Y の異なる2元 a, b を1つずつ取り、
x∈(0,2)−Q に対して、 F(x)＝a (0＜x≦1), b (1＜x＜2) と置けば、
このFは問題の仮定を満たすが、F(x) (x∈(0,2)−Q) はaとbの2種類しか無い。
非可算無限個どころか、「有限個」である。■

というわけで、>>280のやり方「だけ」では不十分であり、
T(x) が非可算無限個あることは絶対に言えない。
なぜなら、もし >>280 のやり方「だけ」で非可算無限個あることが言えたなら、
その論法は上の問題にも適用できてしまって、F(x) が非可算無限個あることが
言えてしまうが、それは上の解答に矛盾するからだ。

>>281
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”、か

>私も本当は自明なことは書く気がしなかった。普段、机に置いたパソコンに向かい、

まあ、出題の前スレ498 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498
「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。 」って
”正規”って、おいおいという感じだったわ
それを、またご丁寧に証明して、さらにおいおいだった（この感覚分かりますか？）
まあ、群論初心者丸分かりですねって・・

>有理数全体Qは可算で、無理数全体R＼Qは非可算は、本当は前提にするべきだよ。

当然ですよ。カントールがやった対角線論法以外の証明法を知らない。そこらの無限集合論は、予備知識として前提にして良いんだ
（そうしないと泥沼だぜ。だから、ハメルも要らないんだ）

嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ
何言ってるの？

>>254 補足
>まあ、圏論もそのうち（いまどき、常識になっている部分が多い感じがするよね。普通に出てくる・・）

例えば、ガロア理論 松本眞 平成18 年11 月22 日 広島大 2.2 profinite 位相>>246 より
「F がK 上のガロア拡大であるときは、
1 → G(L/F) → G(L/K) → G(F/K) → 1 なる短完全列を得る。右の射の全射性は、G(F/K) ≒ HomK(F,Ω) と推移性から従う。」
なんてね、すらっと普通にね

まあ、短完全列なんて、習うより慣れろ、本格的圏論の外だぞ、常識だよと
そういう書き方なんだよね。「圏論でございます」という断り書きなしの時代なんだよね
どこまでが常識か良く分からないが、結構普通に出てくるよね

>>286
どうも。スレ主です。

出来ないと思うんだけど
１〜３行くらいで、簡単にあらすじ言ってみて

>>288
誤魔化すな
お前が自分の間違いを認めたら書いてやるよ

>>289
どうも。スレ主です。

>>出来ないと思うんだけど
>>１〜３行くらいで、簡単にあらすじ言ってみて
>誤魔化すな
>お前が自分の間違いを認めたら書いてやるよ

はいはい、おそらく君には書けないと思うので、こちらから書いておく

（スレ主の証明）
１．出題は前スレ498 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498
「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。 」って>>285
２．それで、この問題の前提として、無限集合論は前提知識として既知と考えて良いとする>>295
３．そうすると、問題を簡単化して、複素Z→実数R→1より大の実数の集合{ x｜x>1, x∈R } と簡略化して考えれば良い
４．>>242でも書いたように、1より大の一つの実数xを考える。
５．その一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）と書ける
６．x1＜x2 なる実数からなる二つの最小の乗法群 G1とG2を考える。x1∉ G2 だから、G1≠G2となる。（細かい点は分かるだろうから省略）
７．よって、1より大の実数一つから生成される最小の乗法群の集合U'と、1より大の実数とは、一対一対応（全単射）が成り立つ
７．よって、集合U'は、1より大の実数と同じ濃度であり、連続の濃度を持つ
８．U'⊂乗法群C^{×}だから、C^{×}は連続の濃度、即ち非可算無限の濃度を持つ。QED

はい、では”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）

>>290　訂正

５．その一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）と書ける
　↓
５．その一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } （Zは整数の集合）と書ける

まあ、そのままでも分かると思うが

>>290
G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？

>>292
n=0

正規部分群の定義すら知らないスレ主でも単位元の定義は知ってたかｗ

はい、では”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）

ぱーちくりんスレ主は
お前の解説も
使た本も
需要ないことにはやく気付けよ
ぱーちくりんの書き込みなぞ読まんのだから

ぱーちくりんスレ主は
お前の解説も
使った本も
需要ないことにはやく気付けよ
ぱーちくりんの書き込みなぞ読まんのだから

と言う理由で
*スレたて
*次のスレ誘導
以外はしなくてよろしい

と言うか
ぱーちくりんスレ主は
*スレたて
*次のスレ誘導
以外はするな

>>296
おお、君か！
宿題出来たか？　>>153 恥さらしくん
問題は>>80だよ

ID:08QQ84Zxくんは、一番レベル低いと認定して上げるよ

>>294
>正規部分群の定義すら知らないスレ主でも単位元の定義は知ってたかｗ

ごまかせたと思っているのだろうか？　質問で君のレベルが分かったよ

>>301
「ハメル基底」ね・・、下記wikipediaみたいなことを考えているんだろうが・・
君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつなかなくなると思うのよ・・・

”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
実数全体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見たときの代数基底はハメル基底として知られる（文献によってはもっと広く、ベクトル空間の任意の代数基底の意味で「ハメル基底」の語を用いるものもあるが）。
通約不能な任意の二数は線型独立であることに注意する。
例えば 1 と π などはそうで、これらを含むハメル基底を構成することができる。
さらに R から R への写像 f で f(π) = 0 かつそれ以外の基底ベクトルの上には恒等的に作用するようなものを定め、これを R 全体にまで線型に拡張する。
ここで、π に収斂する任意の有理数列 {rn}n を取れば、limn f(rn) = π だが f(π) = 0 となる。
即ち、作り方から、f は Q-線型（R-線型ではない）となるが、連続でない。
f は可測ですらないことに注意（加法的な実函数が線型となることと可測であることとは同値、ゆえに任意の非線型実函数に対してヴィタリ集合が存在する）。
この f の構成法は選択公理に依っている（ハメル基底の存在を示すのにツォルンの補題が要る）。

>>301
あの質問で私のレベルが分かったと言う君のレスで、君のレベルは分かったよ
まあ正規部分群すらわかってないことは元々分かってたがねｗ

はいはい

”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）

>>302も読んでね
「君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつなかなくなると思うのよ・・・ 」
これ当たっているだろ？

>>302>>305
訂正

君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつなかなくなると思うのよ・・・
↓
君のレベルでは、「ハメル基底」なんか持ち出したら・・、収拾がつかなくなると思うのよ・・・

追伸
楽しみに待っているよ
予想は、君の逃亡だがね・・

>>304
∀σ∈G に対し σN〜Nσ なら NはGの正規部分群
とか言って赤っ恥晒した自称ガロア原論文研究家の釣り針にはかからないよｗ

>>307
はいはい、では君を「ハメル基底」くんと名付けよう

Q.G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？ >>292
A.n=0 (>>293), 「ごまかせたと思っているのだろうか？　質問で君のレベルが分かったよ 」(>>301)

ここをちょっと附言しておく
１．君は、”一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）”>>290を、なんか勘違いしていたんだと思う
２．だから、「ハメル基底」が使えると思い込んでいたんだね・・？
３．だが、”一つの実数xからなる最小の乗法群Gは、G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）”で、それでさえ、群Gは加算無限個の元から成る
４．スレ主が思うに、「ハメル基底」の使い方は、加算無限濃度のQを使って、実数R及び複素数Zを構成するという流れだろう>>302
５．だが、そうしたところで、具体的な群G={ x^n｜x>1, x∈R, n∈Z } （Zは整数の集合）に適用しようとしたときに、非常な困難にぶち当たる
６．なぜなら、群Gの元は、加算無限個（全ての整数と同じだけ）あるから、一つ一つの元を処理し出したら大変になる
７．なので、「ハメル基底」を持ち込むことは、問題を複雑化しただけだ。それに、ようやく君は、>>294かあるいはその後に気付いた

スレ主的には、そう思っての「ごまかせたと思っているのだろうか？　質問で君のレベルが分かったよ 」(>>301)なのだ

はい、では”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね
お願いします（おそらく書けないだろうが）

この推定を覆す素晴らしい証明を期待しています。スレ主より

では君には名誉称号　正規部分群君　を授けよう
これからも大いに住人を笑わせてくれ賜え

>>309
はいはい、「ハメル基底」くんの敗北宣言ですね
良く分かりました。逝ってよし！

追伸
笑いを取るのは、「ハメル基底」くんの方が上だね
スレ主も顔負けだよ

ではいきますか

259 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 09:35:59.87
>>258
どうも
スレ主です。

>>255と同一人物と見たので、コメントしておく（ここではIDが出ないので不便だ）

>Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。
>念のため書いとくとＨからσ-1・Ｈ・σへの同型写像はh→σ-1・h・σで与えられる。

ここ、なんか勘違いしてないか？　σには、何の制約も付かないのか？
大本の群をG、Ｈ⊂G, σ∈G として
σには、何の制約も付かないとしたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
自分で気付くまで放置しようと思ったが、うるさいので一言

★★★　勘違い野郎はお前だよｗ　気付かなきゃいけないのもお前ｗ　★★★

269 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:12:12.88
>>265
どうも
スレ主です。

>＞σには、何の制約も付かないとしたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？

何の制約も付かないを、∀σという意味で使っている>>259
だから、大本の群をG、Ｈ⊂G, ∀σ∈G として
σには、何の制約も付かない（∀σ∈G）としたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？

★★★　違うがｗ　★★★

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4
正規部分群（せいきぶぶんぐん、英: normal subgroup）は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。
正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。

283 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:55:59.33
>>269-272
どうも
スレ主です。

なんか、勘違いしてない？

★★★　だから勘違い野郎はお前だってｗ　腹いてええええｗ　★★★

１．「Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。」>>255 という陳述が、成り立つ条件を教えてくれ
　（無条件で成り立つ場合が、正規部分群だと思うが）
２．ああ、辿ると>>247か
　”さっきも書いたように任意のＨ、σに対してσ-1・Ｈ・σはＨと同型なので、
ここから正規部分群の概念に気づく方がおかしい。 ”？
　これ>>244 "○Ｇの部分群ＨがＧの正規部分群であるとは、任意のＧの元σに対しσ-1・Ｈ・σがＧの部分集合としてもＨと同じであるということである。"
　からの継続だったので、Ｈは正規部分群という前提で考えていた。違うのか？

あと、正規部分群は大本の群Gとの関係があることも注意しておく
>>260"群Ｇの異なる部分群ＨとＫが同型になることはあり得る。
というか、ＨがＧの正規部分群でなければ必ずそのようなＨとＫの組は存在する。
例えば、S5の、1→2→3→4→5→1という置換から生成される部分群と、1→3→2→4→5→1という置換から生成される部分群は、
同型ではあるが(どちらも5次巡回群)、S5の部分群としては異なる。"で

言いたいことが不明だが、群ＧがS5のとき、位数５の巡回群は正規部分群ではない
が、>>166-167の線形置換から成る位数２０の群Gでは、正規部分群になるよ

284 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:58:15.71
>>283
どうも
スレ主です。

これだけ言って分からないようなら、以降無視（スルー）だな

★★★　これだけ言ってもわかんないのはお前だよｗ　オ・マ・エｗ　★★★
★★★　馬鹿のくせに「以降無視（スルー）だな」ｗ　腹が攀じれるｗかんべんしてえええｗ　★★★

　 　　　 　　 　＿＿＿_
　　　　　　 ／ ＼　　／＼　 ｷﾘｯ
.　　　　　／　（ー） 　（ー）＼
　　　　／　　 ⌒（__人__）⌒ ＼
　　　　|　　 　　　|r┬-|　　　　|　　これだけ言って分からないようなら、以降無視（スルー）だな
　　　　 ＼　　　　 `ー'´　　 ／
　　　　ノ　　　　　　　　　　 　＼
　 ／´　　　　　　　　　　　　 　　ヽ
　|　　　　ｌ　　　　　　　　　　　　　　＼
　ヽ　　　 -一''''''"~~｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､.
　　ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒))


　 　　　　 　　　＿＿＿_
　　　　　　　 ／_ノ 　ヽ､_＼
　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo　　　　　　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　　だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
/⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼　　　/⌒)⌒)⌒)
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　ヽ　　　 -一''''''"~~｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､
　　ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒))

正規部分群君には大いに笑わせてもらった。感謝感謝。

引き続き「二項演算の定式化」の巻をお楽しみください

668 ：１３２人目の素数さん：2014/12/07(日) 14:21:33.41
ご苦労。スレ主である

>>665
特別のニュアンスまだ〜？ ？
さすがに、ネコには理解できないよな
特別のニュアンスが理解できるようになるには、「入る」という言葉がよく使われている科目
例えば、位相（topology）>>632、微分トポロジー>>615、望月理論>>601、複素構造>>606 を勉強すれば自然に分かる

素養のない君には無理だよ。2ｃｈのネコAAがお似合いの君にはね

>>663
>要素が60個の集合 A 上の演算 f:A×A→A を、A5の群表で定義すればよいだけ
>だね

その通りだ。が、圏論ではないけれども、アブストラクトナンセンスの典型だな
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%96%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%8A%E3%83%B3%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B9

★★★　おいおいｗオマエは　★★★　
★★★　＞圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも） ★★★　
★★★　じゃねーのかよｗ　ハッタリかましてたのバレバレだよ君ｗ　これは恥ずかしいｗ　★★★　

なお、単なる積に、”×”を使うな。初学者まるだしだぜ

★★★　は？単なる積？何それ？　集合×集合　と書けば直積に決まってんだろ　★★★
★★★　初学者まるだしはどう見てもお前だよｗ　オ・マ・エｗ　★★★

大学から上では、”×”は直積あるいはクロス積(外積)用にとっておくんだよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88 直積
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D クロス積(外積)

685 ：１３２人目の素数さん：2014/12/07(日) 21:31:34.78
>>669-682
ご苦労。スレ主である
バカが、一人で何役も書き分けているんだろうな。こんなに何人もバカがいたら、日本も終わりだろう

★★★　バカはお前だよｗ　オ・マ・エｗ　★★★

さすがに、普通の人は気付くよね、よほどでない限り・・

★★★　可哀相に、あまりにフルボッコされ過ぎて被害妄想炸裂させてるｗ　★★★

で、本題は
>>673
>これは恥ずかしい。
>「f:A×A→A」のA×Aはまさに集合の直積なんだが

・へーえ、「要素が60個の集合 A 上の演算 f:A×A→A を・・定義すれば」って書いてたでしょ？　その方が正解に近かったのにね
・言い訳で、さらに墓穴かよ、おい！
・A×Aを、集合の直積としましょうか。じゃ、直積A×Aの要素はいくつになるんだ、ぼうや？　小学校のかけ算から勉強し直しだな
・で、直積A×Aの増えた要素の集合からAへの写像か？　全射になるが、どうやってA5の群表で定義する？　具体的に構成できるのか、おまえに？
・もともとの陳述は、”あなたが言ってることは「要素が60個の集合には5次交代群と同型の群構造が入る」というトリビアルな話である。 ”だった
・それと、直積A×Aの集合からAへの写像とどういう関係があるのか述べよ。趣旨が変わっているだろうよ。誤魔化すなよおい。墓穴だよ

まさか・・、直積A×Aの要素が60と勘違いしてんじゃないだろうな？
言い訳を、書けば書くほど、墓穴かな。おまえ　一句できた！

★★★　もう笑いが止まらねええｗ　勘弁してえええええｗ　★★★

　 　　　 　　 　＿＿＿_
　　　　　　 ／ ＼　　／＼　 ｷﾘｯ
.　　　　　／　（ー） 　（ー）＼
　　　　／　　 ⌒（__人__）⌒ ＼　　まさか・・、直積A×Aの要素が60と勘違いしてんじゃないだろうな？
　　　　|　　 　　　|r┬-|　　　　|
　　　　 ＼　　　　 `ー'´　　 ／
　　　　ノ　　　　　　　　　　 　＼
　 ／´　　　　　　　　　　　　 　　ヽ
　|　　　　ｌ　　　　　　　　　　　　　　＼
　ヽ　　　 -一''''''"~~｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､.
　　ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒))


　 　　　　 　　　＿＿＿_
　　　　　　　 ／_ノ 　ヽ､_＼
　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo　　　　　　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　　だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
/⌒)⌒)⌒. ::::::⌒（__人__）⌒:::＼　　　/⌒)⌒)⌒)
|　/　/　/　　　　　|r┬-|　　　　|　(⌒)/　/ / /／
|　:::::::::::(⌒)　　　　|　|　 |　　 ／ 　ゝ　　:::::::::::/
|　　　　　ノ　　 　　|　|　 |　 　＼　　/　　）　　/
ヽ　　　　/　　　　　`ー'´ 　 　 　ヽ /　　　　／
　|　　　　|　　 l||l　从人 l||l 　　　　 l||l 从人 l||l
　ヽ　　　 -一''''''"~~｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､
　　ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒))

以上、正規部分群君の爆笑劇場でした
お楽しみいただけたでしょうか？

正規部分群の特徴
・普通に数学勉強した人なら当たり前のことが全然わかってない
・間違いを指摘されると、まず自分ではなく相手を疑う
・わかりやすく説明しても聞く耳持たず、あくまで自分が正しいとの迷路から抜け出せない
・間違い指摘者を敵と看做し罵倒する、そして上から目線はぶれない

このような人種は、例のコピペ癖と併せ、数学には最も不向きである
よって三年間も費やしても、上記のような爆笑劇場を繰り広げる始末
普通の人なら恥ずかしくて二度と戻ってこれないが、それでも彼の上から目線はぶれることは無い
何故なら上から目線こそが彼が数学をやる唯一絶対の目的だからだ

正規部分群君ごめんね
皆に笑いをと思って
これに懲りずにまた住人を楽しませてね
まあ懲りずに上から目線は変わらないだろうけどさｗｗｗ

＞2014/10/19(日)

2年10ヶ月、自分より分かってそうなレスには「君の来るところではない」
と追い返し、分かってなそうなレスには、コピペの山でうんざりさせ、
ごまかしてきたスレ主の地位が崩壊した記念日だったなｗ


スレ主には才能がある、、、詐欺師のなｗｗ

>>312-325
どうも。スレ主です。
ID:TS3FUA1wくんか、連投ありがとう

よほど悔しかったんだね。君の悔しさが表れていて、微笑ましいよ
上から目線は君だったんだね。見下していたスレ主に完敗宣言ね。それしか言えないと。数学で完敗しましたと

はいはい、「ハメル基底」なんて、自分が理解していないことを持ち出したのが敗因ですね
実数の乗法群の構造も、分かっていなかったんだ。G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？ >>292ってね

>>327
あの赤っ恥爆笑劇場をサラっと他人事のようにスルーする君は、>>326で指摘されてる通り、
詐欺師の才能があるね、普通の感覚を持った人なら決して立ち直れないと思うよ

>>328
正規部分群の定義の分からないスレ主が、代数専攻で卒業出来た数学科のある大学ってww
どこだろ？

ただ知らないとか間違えたとかなら普通だよ、人間は最初は何も知らないわけだし
間違いもよく犯す。
だけど君の場合は、正しく指摘してる人を罵倒し、ガンとして譲らない頑固さを持っている。
それでいて、間違いと気付いた後でも上から目線を貫くタフなメンタリティも併せ持っている。
これ以上滑稽は人物にはなかなかお目にかかれないからね。

リアルのスレ主はザビエル禿のジジイなんだろうな

>>327
どうも。スレ主です。

もう少し、数学的解説をしておくと
１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。」（下記URL）を認めたとして、しかし、”非可算無限の濃度を持つ”のところは、対角線論法を使っているはず

http://fascinationworld.web.fc2.com/bekutorukukan.htm
Ｆａｓｃｉｎａｔｉｏｎ Ｎ−Ｄ−Ｆｉｌｅ　ベクトル空間
（抜粋）
様々なベクトル空間
一般に体の拡大 L/K が与えられたとき、拡大体 L はその加法と部分体 K の元の（L における）積をスカラー乗法として K 上のベクトル空間になる。
たとえば R は部分体として有理数体 Q を含むから、Q 上のベクトル空間である。
R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。

２．だったら、そもそも対角線論法を認めて、「R が非可算無限の濃度を持つ」というカントールの定理を認めてもほとんど同じだろうよ

３．もし、違いがあるとすれば、解くべき問題の構造から、「R が非可算無限の濃度を持つ」より「Q 上のハメル基底は、非可算無限の濃度を持つ」の方が使い易いとき

４．ならば、今回の解くべき問題の構造がどうなっているのか？ 複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察することなくして、どちらが使い易いということが決まるべき

５．”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね

６．で、ちょっと突っ込み入れたら、逃げまくったあげく、ハメル基底も分かってないし、乗法群も分かってないことがばれたと・・

「ハメル基底」くんのおおぼけかましの芸は、一流だよ
が、腹いせにアラシは、人間としてどうなんかね？　正直こどもだね・・。早くおとなになりなさいよ

>>332
訂正

複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察することなくして、どちらが使い易いということが決まるべき
　↓
複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察して、どちらが使い易いということが決まるべき

（まあ、基本中の基本だろう）

＞R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。
スレ主はその理由はわかってるの？
またいつものようにわかってないのにコピペだけしてるの？

>>334
スレ主に理由が分かるわけないだろw
知ったかの材料を仕入れただけ
理解できる、証明できるフリをして威張るね

そうだね
圏論一つ取っても、さも分かってる風な言い方してたのに、レベルがバレそうになった途端慌てて
＞圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも）
と予防線張っちゃったし

>>329
代数専攻云々はコピペだよ

さすがにあそこまで酷いとどんな大学でも無理でしょｗ

>>279
>>239-240の訂正のまとめ。
(1)、[第5段]：任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)≠T(t)であることを示す。
(2)、>矛盾に導くため、或る異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
　　の部分の「或る異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違い。
(3)、Case2の「e^{i(2s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」は、
　　「e^{i((1+m/n)s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」の間違い(>>243と同じ)。
(4)、>Case1、2から、異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。
　　の部分の「異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違い。
以上、(1)〜(4)のように訂正。

この程度の問題解くのに、一体何回訂正してるんだ…

>>340
まあ、これで例の通り、ハメル基底を使わずに示せたろう。

昨日訂正内容を書こうとしても書けなかったんだが、一体何だったんだろ？
まあ、何か単純に考えてよかったみたい。変なこと考えてた。

>>340
>239-240の手法は、少し訂正すると本当は
(1)、任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝φであること、
(2)、任意の「2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝φであること、
とかも同様に示せるようになっている。

コピペしたら付いちゃったwが、>343で「」はいらなかったな。
まあ、いいや。

>>343ではT(s)∩T(t)＝{1}だった。

>>340
間違えて悪い。>>239-240の手法は、>>343つまり、
>(1)、任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝{1}であること、
>(2)、任意の「2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝{1}であること、
とかまでは通用しなかった。少し他の条件が必要になって来る。
ということで、>343は取り下げ。

>>346
＞[第5段]：任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)≠T(t)
は正しくて、証明も簡単に済むのだが、
お前の>>239-240のやり方では証明にならない(読み替えても)。
具体的には

＞e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s−k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
＞であるから、e^{i(sπ)＝e^{i(((m/n)s−k/n)π)}…�B　または　e^{i(sπ)＝e^{-i(((m/n)s−k/n)π)}…�C
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。

この手の議論が完全に間違っている。T(s)における m_1＝1 のときの元と、
T(t)における m_1＝1 のときの元は対応している必要が無いので、�Bとか�Cとかに限定できない。
お前がこの議論で やっているのは、

「 2つの集合 A＝{ 2*m_1｜m_1∈Z ] と B＝{ 2*m_1＋20｜m_1∈Z } について、
　 m_1＝1のときの A の元は 2 であり、Bの元は 22 だから、一致しておらず、A≠B である」

といった感じの、支離滅裂な議論なのだ(実際には A＝B である)。これじゃ証明にならない。

頭が悪いってのはどうしようも無いなぁ
もう諦めろとしか

>>348
大学の講義って、聞いてほんと有り難いと思ったのは4年間で5つくらい
しかないんだが、このスレ見ると「大学に行って、ちゃんと勉強する」と
いうのは意味があるんだな、と実感するなｗ

ネットで検索して独学ってのは、たいてい無理なんだろう

>>279
>347の通り、よく見たら間違っていた(細かくは確認していなかったw)w
と、いう訳で、>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
或る(m,n)∈(Z＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、
e^{i(ms−nt)π}＝1…�@。よって、偏角の不定性に注意して
両辺に主値を取れば、ms−nt≡0(mod2)。
Case1)：ms-nt≠0のとき。このとき、或るk∈Z＼{0}が存在して、
ms−nt＝2k…�Aであって、n∈Z＼{0}からn≠0だから、t＝(m/n)s-2k/n。
よって、T(s)＝T(t)から、T(s)＝T((m/n)s-2k/n)。
ここで、s∈R＼Qから、任意のr∈Qについて、{r,s}は体Q上線型独立である。
また、群T(s)＝T((m/n)s-2k/n)は、＝{e^{im_1・((m/n)s-2k/n)π}∈C|m_1∈Z}と表わされる。

>>279
(>>350のCase1の続き)
今、j∈Z＼{0}を任意に固定する。すると、j、n∈Z＼{0}からjn∈Z＼{0}だから、
jnに対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、e^{i(jnsπ)}＝e^{ia_j・((m/n)s-2k/n)π}
から、e^{i(jn^2・sπ)}＝e^{ia_j・(ms-2k)π}＝e^{i(a_j・msπ)}…�B。
ここで、x_j＝e^{i(jn^2・sπ)}、y_j＝e^{i(a_j・msπ)}
とおくと、�Bから、x_j＝y_j。従って、偏角の不定性に注意して
x_jとy_jに主値を取れば、或るb∈Zが存在して、
i(jn^2・sπ)＝i(a_j・msπ)+i(2bπ)、両辺を整理してまとめれば、(jn^2-a_j・m)s＝2b。
m∈Z＼{0}に注意すると、jn^2-a_j・m、2b∈Z⊂Qから、jn^2-a_j・m、2b∈Qだから、
jn^2-a_j・m＝0から、a_j・m＝jn^2。よって、m≠0からa_j＝jn^2/m。
Z＼{0}の点jは任意だから、jをZ＼{0}の上で走らせて考えると、
任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が定まって、a_j＝jn^2/m。

>>279
(>>350-351のCase1の続き)
従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。
従って、nに対して或るc∈Z＼{0}が存在して、n＝cm。
ns-mt≠0だから、cms-mt≠0から、cs-t≠0。
故にc∈Qに注意すると、cs、t∈R＼Q。ここで、T(cs)⊂T(s)＝T(t)
だから、csに対して或るj∈Z＼{0}が存在してe^{i(csπ)}＝e^{i(jtπ)}、
よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取って考えれば、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jntπ)}。
一方偏角の不定性に注意して�@の両辺に主値を取って考えれば、e^{i(jms−jnt)π}＝1、
つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。
よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn−jm)sπ＝0、
つまりcn−jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、
c^2m^2＝jm^2だから、j＝c^2≧1。また、cmをnで置換すれば、n^2＝jm^2。
従って、n^2≧m^2。一方、1∈Z＼{0}だから、1に対して或るa_1∈Z＼{0}が定まって、
a_1＝n^2/m。故に、n^2＝a_1・m≧m^2、つまり|a_1|・|m|≧|m|^2だから、
|m|＞0から|a_1|≧|m|。n^2≧m^2から、|n|^2≧|m|^2だから、|m|、|n|＞0から
|n|≧|m|。a_1＝n^2/mから、|n|^2＝|a_1|・|m|…�Cだから、|n|、|a_1|≧|m|から
|a_1|≧|n|≧|m|。ここで、�Cから|n|^2/(|a_1|・|m|)＝1。故に、
|a_1|＞|n|＞|m|　または　|a_1|＝|n|＝|m|。

>>279
(>>350-352のCase1の続き)
Case1-1)：|a_1|＞|n|＞|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|だから、|n|＞|m|から|n|＜|c|。
また、n≡0(mod m)から、|n|≡0(mod |m|)。よって�Cつまり(|a_1|・|m|)/|n|^2＝1に注意すると、
|a_1|≡0(mod |n|)であって、|a_1|＝|c|・|m|となり、|a_1|＝|n|となって矛盾。
Case1-2)：|a_1|＝|n|＝|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|から|c|＝1。故にc＝±1。
Case1-2-1)：c＝1のとき。このときn＝mだから、�Aから、m(s−t)＝2kであって、
s−t＝2k/mからs＝t+2k/m。よって、群T(s)＝T(t+2k/m)について、T(t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
従って、T(t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、偏角の範囲を(-π,π]として�@の両辺に主値を取れば、i(ms−nt)π＝0から、
ms−nt＝0。n＝mだから、s-t＝0からs＝tとなって、これはs＞tに反し矛盾。
Case1-2-2)：c＝-1のとき。このときn＝-mだから、�Aから、m(s+t)＝2kであって、
s+t＝2k/mからs＝-t+2k/m。よって、群T(s)＝T(-t+2k/m)について、T(-t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
従って、T(-t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、Case1-2-1と同様にして�@の両辺に主値を取れば、i(ms-nt)π＝0から、
ms−nt＝0。n＝-mだから、s+t＝0であるが、これはs＞t＞0からs+t＞0であることに反し矛盾。
Case1-2-1、Case1-2-2から、|a_1|＝|n|＝|m|のとき矛盾。　　(Case1-2　終)
Case1-1、Case1-2から、ms-nt≠0のとき矛盾が生じる。　　　(Case1　終)

>>279
(>>353の続きで、>>350参照)
Case2)：ms-nt＝0のとき。このとき、ms＝ntからs＝(n/m)tだから、T(s)＝T(t)からT(t)＝T((n/m)t)。
また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して
両辺に主値を取れば、或るb∈Z＼{0}が存在して、i(jπ)＝ia_j・(m/n)tπ＋i(2bπ)から、
j＝a_j・(m/n)t＋2b、つまり、a_j・(m/n)t＝−2b＋j。
ここで、a_j・(m/n)、−2b＋j∈Qであって、t∈R＼Q。
従って、a_j・(m/n)＝0から、a_j＝0またはm＝0。
然るに、これはa_j≠0、m≠0であることに反し矛盾。　　　(Case2終)
Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

まあ、もう疲れて来たからちょっと寝る。

>>279
>>353のCase1-1)は間違っていたから、後で訂正する。
今は疲れて出来ん。

後藤さん張り切ってるね

>>350-354
難しく考えすぎ。そこまでT(s),T(t)を弄っていて正解に辿り着かないのはセンスなさすぎ。
Case1-1どころか、Case1の途中で既に間違ってる。実はCase2も間違ってる。まずはCase1から。

＞従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
＞単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。

n＝2, m＝4 と置くと、n^2≡0(mod m)は成り立つがn≡0(mod m)は成り立たない。
その他にも、成り立たない(n, m)の例はたくさんある。
なーにが単項イデアルだよ。算数も出来てないじゃないか。
あと、仮に n≡0(mod m) だったとしても、その後が間違ってて話にならない↓

＞つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。
＞よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn−jm)sπ＝0、
＞つまりcn−jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、

ここが間違い。偏角の範囲を限定したところで、cn−jm＝0 は出てこない。
結局は cn−jm≡0(mod 2) までしか言えない。

整数a,bがe^{iaπ}＝e^{ibπ}を満たすとき、偏角の範囲を(-π,π]として両辺の主値を取ろうとしても、
偏角の範囲を限定したがゆえに、まずaπ, bπが(-π,π]の範囲に収まっていなければならない。
ただ1つの整数kに対して (a＋2k)π∈(-π,π] が成り立つようにできて、
ただ1つの整数Lに対して (b＋2L)π∈(-π,π] が成り立つようにできる。
これと e^{iaπ}＝e^{i(a＋2k)π}, e^{ibπ}＝e^{i(b＋2L)π} から、
e^{i(a＋2k)π}＝e^{i(b＋2L)π} となる。
ここまで来れば、偏角の範囲が(-π,π]に収まっているから、i(a＋2k)π＝i(b＋2L)πとなり、
よってa−b＝2(L−k) となる。従って、a−b＝0 なんて式は導出できなくて、
結局は a−b≡0(mod 2) までしか言えない。

次はCase2について。

＞また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
＞よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
＞e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して

e^{i(jπ)}って何だよ。s, t はどこに行ったんだよ。
文脈から察するに、e^{i(jtπ)} の間違いだろ。
で、e^{i(jtπ)}だとして計算を続けると、a_j＝0なんて出てこない。

最後にもう1つ。

＞Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

Case1, Case2 の議論では、s, t が 1＞s＞t＞0 を満たすという性質を使っていない。
唯一、Case1-2-1, Case1-2-2 では s＞t＞0 という性質が使われている。
しかし、1＞s＞t という性質はどこにも使われていないのだ。
従って、もし Case1, Case2 の議論が正しいなら、
「 s＞t＞0 なる任意の s, t∈R−Q に対して T(s)≠T(t) が成り立つ 」
ことが言えてしまうことになる。
だが、これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。
というわけで、この考察だけでも、
「 Case1, Case2 はどこかの議論が間違っている」
ということが分かってしまう。

息をするように間違えまくる大バカ野郎。
1回や2回の間違いではない。
ここまで来るのに延々と間違いを繰り返しているのだ。
話にならん。

もう少し自己査読してから出せばいいのに

>>359
私(>>239-240の訂正をしている者)自身、自己査読していないことは自覚している。
間違いまくっているのも当然。間違いをリサイクルすることも重要
(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
まあ、よく自己査読してから書き込むことにする
(ただ、打ち間違いがあるかも知れないことは、前提)。

>>360
＞(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
＞nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。

何を言ってるかよく分からないのだが、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たしていても、
n＝±k^2が成り立つとは必ずしも限らない。たとえば、nが素数の場合を考えればよい。
n＝3, m＝3 とか。このとき、m^2≡0 (mod n)が成り立つのに、n＝±k^2を満たすkは存在しない。
Case1-1の間違いはリサイクルすら不可能ってこと。

>>279
今まで、本当に恥ずかしい位に肝心なことを見落としていたわ。>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
R＼Qの部分集合A、Bを、A＝{a∈R＼Q|a∈(-1,0)}、B＝{b∈R＼Q|b∈(0,1)}
と定義する。すると確かにAとBの各R＼Qにおける包含関係について、φ≠A、B⊂R＼Q　である。
ここで、任意の(a,b)∈A×Bに対して-1＜a＜0＜b＜1であるから、
任意のa∈Aに対してBの点b＝|a|は一意に定まる。また、同様に、
任意のb∈Bに対してAの点a＝-bは一意に定まる。よって、AからBへの全単射が存在する。
無理数s、tに対して2つの群T(s)、T(t)が定義される。T(s)のT(t)への左作用を
f：T(s)×T(t)→T(t)とする。g＝e^{isπ}とおく。すると、g∈T(s)であるから、
mをZの変数とすれば、定義から任意のe^{i(mt)π}∈T(t)に対して
f(g,e^{i(mt)π})＝(g,e^{i(mt)π})→g・e^{i(mt)π}∈T(t)　が一意に定まる。
つまり、f(g,T(t))：{g}×T(t)→T(t)は全単射である。よって、m＝1とすれば、
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まる。
ここで、-1＜s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{isπ}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
g・e^{itπ}＝e^{i(t+s)π}。従って、e^{i(t+s)π}＝1であり、
偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(t+s)π＝0となり、
i≠0＜πからt+s＝0であり、|s|＝|t|が得られるが、s、tが満たす条件|s|＞|t|に反する。

>>279
(>>362の続き)
[第6段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在してT(s)＝T(t)であったとする。
sについて、1＞s＞0から-1＜-s＜0であり、2つの群T(-s)、T(t)が定義される。
T(-s)のT(t)への左作用をf：T(-s)×T(t)→T(t)とする。g＝e^{i(-s)π}とおく。
すると、g∈T(-s)であるから、mをZの変数とすれば、定義から任意のe^{i(mt)π}∈T(t)に対して
f(g,e^{i(mt)π})＝(g,e^{i(mt)π})→g・e^{i(mt)π}∈T(t)　が一意に定まる。
つまり、f(g,T(t))：{g}×T(t)→T(t)は全単射である。よって、m＝1とすれば、
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まる。
ここで、1＞s＞t＞0から-1＜-s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{i(-s)π}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
g・e^{itπ}＝e^{i(t-s)π}。従って、e^{i(t-s)π}＝1であり、
偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(t-s)π＝0となり、
i≠0＜πからt-s＝0が得られ、s＝tはs、tが満たす条件s＞tに反する。
[第7段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
集合Aは非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。

>>362
＞[第5段]：任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。

お話にならない。その[第5段]には何の価値も無い。
なぜなら、それが示せた「だけ」では、T(x) が非可算無限個あることは示せなからだ。
s＜0＜t のように、sとtの間に実数が挟まれていると価値が無くなってしまうのだ。
>>284にも書いたことだが、ここでもう一度書いておく。

次のように一般化して考えるとよく見えてくる。

問題：Y は集合とする。写像 F：(−1, 1)−Q → Y は、
|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1 なる s,t∈R−Q に対して常に F(s)≠F(t) が成り立つとする。
このとき、F(x) (x∈(-1,1)−Q) は非可算無限個あると言えるか？

解答：言えない。Y を2元以上の集合として、Y の異なる2元 a, b を1つずつ取る。
x∈(-1, 1)−Q に対して、 F(x)＝a (−1＜x≦0), b (0＜x＜1) と置けば、
このFは問題の仮定を満たすが、F(x) (x∈(-1, 1)−Q) はaとbの2種類しか無い。
非可算無限個どころか、「有限個」である。■

というわけで、上記の[第5段]には何の価値もなく、[第5段]だけでは全く不十分であり、
T(x) が非可算無限個あることは絶対に言えない。
なぜなら、それだけで非可算無限個あることが言えたなら、
その論法は上の問題にも適用できてしまって、F(x) が非可算無限個あることが
言えてしまうが、それは上の解答に矛盾するからだ。

>>363
おっと、[第6段]が増設されたのか。
これは早とちりをしてしまった。申し訳ない。

>>279
一体、私は何を考えてたんでしょ。
感じなことを忘れていたというか、見落としてた。

>>279
>>363の[第7段]の「集合A」は「集合B」の間違い。

>>362
＞f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まる。
＞ここで、-1＜s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
＞g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{isπ}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
＞g・e^{itπ}＝e^{i(t+s)π}。従って、e^{i(t+s)π}＝1であり、

ここが意味不明。
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まることと、
g・e^{itπ}＝1 が成り立つこととは何の関係も無い。
Cの実軸に関する対称性が根拠になっているようだが、Cが実軸に関して対称だったからといって、
写像 f とは何の関係もない。f には、対称性に関する性質が何も設定されてないからだ。

>>363でも同様の論法を使っているので、そこもアウト。

どのみちダメじゃねーか。

アイヤー

哀号
また駄目ニダか…

>>279
単純に行く。>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
2＞s＞1＞t＞0から、或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、
e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、e^{i(msπ−ntπ)}＝1。
よって、偏角の不定性に注意し両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、
i(msπ−ntπ)＝2kπiから、ms−nt-2k＝0。今2kをkで略記する。
すると、k∈Zであって、ms-nt-k＝0…�@が成り立つ。
ここで、n≠0だから�@から、(m/n)s−t−(k/n)＝0。
故に2つの無理数s、tの集合{s,t}は有理数体Q上線型従属であり、t＝(m/n)s−(k/n)。
T(s)＝T(t)だから、T(t)＝T((m/n)s−k/n)。
ここで、群T(s)は＝{e^{i(m_1・sπ)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
また、群T(t)＝T((m/n)s−(k/n))は、
＝{e^{i(m_1・((m/n)s−(k/n))π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、
e^{i((m/n)s−k/n)π}はm_1＝1としたときのT(t)の点であるから、
e^{isπ}＝e^{i((m/n)s−(k/n))π}…�A　または　e^{isπ}＝e^{-i((m/n)s−(k/n))π}…�B
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。

>>279
(>>371の続き)
Case1)：�Aが成り立つとき。�Aから、e^{i(((m/n)-1)s−k/n)π}＝1…�C。
ここで、s∈R＼Qだったからsは無理数で、任意の有理数aに対して、
{a,s}は有理数体Q上線型独立である。よって、偏角の範囲を(-π,π]として
�Cの両辺に主値を取れば、i(((m/n)-1)s−(k/n))π＝0であり、i≠0＜πから
((m/n)-1)s−k/n＝0、故に(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s−(k/n))は、
T(t)＝{e^{i(m_1(s−(k/n))π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、e^{i(s−(k/n))π}はm_1＝1としたときのT(s)の点
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i(s−(k/n))π}　または、e^{i(sπ)}＝e^{-i(s−(k/n))π)}
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、
e^{i(−k/n)π)}＝1　または、e^{i(2s−k/n)π)}＝1のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
然るに、任意の有理数aに対して{a,s}はQ上線型独立だから、e^{iθπ}＝1
を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s−k/n)π)}≠1であって、
e^{i(−k/n)π)}＝1となる。よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取ると、
kに対して或るj∈Zが存在してk＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、
j＝0からk＝0。よって、�@からms−nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs＞tに反し矛盾。
Case2)：�Bが成り立つとき。�Bから、e^{i((1+(m/n))s+(k/n))π}＝1。
然るにsは無理数だから、任意の有理数aに対して{a,s}は体Q上線型独立である。
よって、e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s+k/n)π)}≠1であり矛盾。
Case1、2から、2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。

>>279
(>>372の続き)
[第6段]:任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
θを実変数とするとe^{iθπ}はmod2の周期関数であるから、第5段の結果から従う。

[第7段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
複素平面Cは実軸について対称であるから、第6段の結果から従う。

[第8段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。

>>371-373
大間違い。今までのミスと全く同じミスを繰り返している。

＞e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、
＞e^{i((m/n)s−k/n)π}はm_1＝1としたときのT(t)の点であるから、
＞e^{isπ}＝e^{i((m/n)s−(k/n))π}…�A　または　e^{isπ}＝e^{-i((m/n)s−(k/n))π}…�B
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。

大間違い。支離滅裂。m_1＝1としたときの両者の点は
対応している必要が無いので、�Aとか�Bとかに限定できない。
このことは>>347でも指摘した。そのときと全く同じミスを繰り返している。

＞Case1)：�Aが成り立つとき。�Aから、e^{i(((m/n)-1)s−k/n)π}＝1…�C。
＞ここで、s∈R＼Qだったからsは無理数で、任意の有理数aに対して、
＞{a,s}は有理数体Q上線型独立である。よって、偏角の範囲を(-π,π]として
＞�Cの両辺に主値を取れば、i(((m/n)-1)s−(k/n))π＝0であり、i≠0＜πから

大間違い。偏角の範囲を(-π,π]に限定するなら、�Cの主値を取る前に、
(((m/n)-1)s−k/n)π が(-π,π]の範囲内に収まっていなければならない。
しかし、(((m/n)-1)s−k/n)π のままでは必ずしも範囲内に収まらないので、
一般的には>>357の後半で指摘したことと全く同じ状態になり、
結局は「 ある k∈Zに対して (m/n)-1)s−k/n＝2k 」までしか言えない。

＞e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、e^{i(s−(k/n))π}はm_1＝1としたときのT(s)の点
＞だから、e^{i(sπ)}＝e^{i(s−(k/n))π}　または、e^{i(sπ)}＝e^{-i(s−(k/n))π)}
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、

大間違い。支離滅裂。既に指摘したとおり、
m_1＝1としたときの両者の点は対応している必要が無い。
このことは>>347でも指摘した。そのときと全く同じミスを繰り返している。

間違いはさらに続く。

＞然るに、任意の有理数aに対して{a,s}はQ上線型独立だから、e^{iθπ}＝1
＞を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s−k/n)π)}≠1であって、

ここの記述は間違っているわけではないが、θは有理数どころか
「偶数(負の偶数でもよい)」に限られるので、内容が冗長。

＞e^{i(−k/n)π)}＝1となる。よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取ると、
＞kに対して或るj∈Zが存在してk＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、

ここは完全に間違い。(−k/n) は「偶数(負の偶数でもよい)」となるので、
せいぜい (−k/n)＝2j という程度の等式までしか言えない。
そもそも、(−k/n)は「πの係数」なんだから、その係数に対して k＝2jπ などと
新しくπが出現するわけ無いだろ。おかしいと思わないのかよ。
いくら背理法を使っているからって、そんな支離滅裂な矛盾が出てきたら
自分の計算ミスを疑うのが普通だぞ。概念的に何も理解してない証拠じゃないか。

さらに言うと、[第5段]では「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t), s＞t 」という条件しか使っていない。

＞すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
＞2＞s＞1＞t＞0から、或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、
＞e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、e^{i(msπ−ntπ)}＝1。

この部分では、あたかも 2＞s＞1＞t＞0 を使っているかのように見えるが、
実際には「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t) 」さえ成り立っていれば十分であり、それだけで
「 ある(m,n)∈(Z＼{0})^2 に対して e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)} 」が言えてしまう。
従って、この部分では せいぜい「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t) 」しか使っていない。
そして、その後の議論で新しく使っている性質は s＞t だけなので、結局、
[第5段]全体を通しては「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t), s＞t 」しか使っていない。

となれば、「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t), s＞t ならば矛盾 」が言えたことになってしまい、
すなわち「 s,t∈R−Q, s＞t ならば T(s)≠T(t) 」が言えたことになってしまうが、
これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。というわけで、この考察だけでも、
「 [第5段]の証明はどこかが間違っている」ということが分かってしまう。

証明中に安易に「 2＞s＞1＞t＞0 」という呪文を書き込んだだけでは、
その条件を使ったことにはならないのだ。その後の議論が、その条件を
使わなくても成り立つものであるならば、実際には その条件は使われていないのだ。

>>376
>その後の議論が、その条件を
>使わなくても成り立つものであるならば、実際には その条件は使われていないのだ。
これははじめて知った。場合分けが生じる背理法の議論の真偽の見分け方について、参考になった。
というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
とばかり思っていた。一体、何にそういうことが書いてあるんだ？

>>359
>>360の
>(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
>nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
の部分は条件が必要にで、この部分は取り下げ。

age

どうも。スレ主です。
>>333から>>397まで、その間はご無沙汰です

なんか、規制に引っかかって、書けなくなりました
そこで、「2ちゃんねるプレミアム Ronin」を購入して、Jane Styleを復活させました
コテ”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”も復活です。はい

>>376
1つ聞きたいことがある。
私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。
単純に反例を挙げるだけでは済まなくなると思うが、この真偽については如何？

>>359
>>378の最後の行の「必要にで、」は「必要で、」の間違い。

ID:/NeL5nxqさんは、”おっちゃん”だと思うけど
”おっちゃん”らしいね
まあ、頑張って下さい

ID:AVlvxq7Sさんは、いつもの方と思いますが
まあ、お呼びするとしたら、”導師”か”メンター”か
私より、だいぶレベルが上ですね
辛抱強く、”おっちゃん”のご指導で、頭が下がりますね
私ら、”おっちゃん”のカキコを読む気がしない・・

スレ主よ。
私の証明に対し反例を挙げて間違いを指摘している人間をどう思う？
意見を聞きたい。

>>382
”おっちゃん”、どうも。スレ主です。
連投規制になるかなと思ったが、おかげでクリアーできそうだ

>私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
>という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。

なるほど、私に聞いているのではないと思うが
y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
そういう関数fのことかな？

>>384
”おっちゃん”の方が正しいと
心情的には言いたいが
私の数学的直感は逆だね
証明を細かく読んでないが

>>385
>なるほど、私に聞いているのではないと思うが
>y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
>そういう関数fのことかな？
数論の或る病的な現象になっているんだよ。
本当に数論は正しいのだろうか？　と思っているんだよ。

>>386
まあ、そのあたりはどうでもいいけどね。

>>334-338
どうも。スレ主です。
まあ、口だけ達者だな

ID:/CImvwKh、D:d/R6BEmu、ID:W+oQWcvbくんたちか

１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？ 」：はい、分かりません
２．圏論は、最初から徹底コピペですよ。分かってないだろうというのは、正しい
３．「どんな大学でも無理でしょｗ 」も、多分正しい。入試は通るかも。卒業だけならできるかも
４．が、君たちとは同じあなのむ・・

で、君たちにも出題しておく。>>194の２問だ

問題１ は易しい。すぐ出来るはずだ
問題２ むずい。いまだに悩んでいる。なんとなく解らしいところに辿り着いたが、>>280のような簡単な証明が出来ないで悩んでいるんだ
君たち、賢いんだろ？　教えてくれよ（笑い）

q∈Q とする。
定義により、ある n,m∈Z が存在して、q=n/m を満たす。
qは (m/n)x-1∈Q[x] の根であるから、定義によりqは代数的数である。

>>389
訂正 >>280→>>290

で、>>290で一つ小さな間違いがある
だれも指摘しないが

>７．よって、集合U'は、1より大の実数と同じ濃度であり、連続の濃度を持つ
>８．U'⊂乗法群C^{×}だから、C^{×}は連続の濃度、即ち非可算無限の濃度を持つ。QED

ここ、C^{×}は連続の濃度→C^{×}は連続の濃度以上とすべきだった
U'⊂乗法群C^{×}の包含関係から言えるのは、”連続の濃度以上”だ
実際、個人的には、連続濃度の”べきの濃度”を持つと思っているので、なおさらそう書くべきだった

どうも。スレ主です。
この問題は、>>22の”おっちゃん”が前スレで出題した問題から派生したもの（いま、これに拘っているんだ）
誰かが何か書くまで、私の答えは書かないことにする。その方が楽しそうだからね（＾＾

>>194から再録
どうも。スレ主です。
まあ、口先ではなんとでも言える典型だよ、君たちは

では、こうしよう。ID:farzQR3Nくんの無能を晒すために、一週間時間をおいた>>153
そろそろ解答を書こうと思ったが、君たちのために、あと２４時間置こうと思う

問題１
>>80
では、君に出題する

「閉区間（例えば[101〜102]）のすべての実数の集合から生成される乗法群は、すべての正の実数を含む」が成り立つ
（説明不要と思うが、閉区間[101〜102]のすべての実数を使って乗法群を作ると、それは全ての正の実数を含むように拡張できるってこと）
これ分かりますか？　分かる人、証明するか理由を述べよ >>69

これの正否
スレ主は、これは成り立つと思う
もし、不成立の証明ができれば、君たちはスレ主より上と認めよう

問題２
>>34
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

もちろん私は答えを得ている

>>390
どうも。スレ主です。

定義によりqは代数的数である。
　↓
”定義によるが”、qは代数的数である。

かな？　ちゃちゃ入れて悪いが

>>390 は間違いじゃないけど美しくなかったので修正

q∈Q は x-q∈Q[x] の根だから、定義により代数的数である。

ぱーちくりんスレ主が書き込みまくるから良くスレ伸びとるね
わかりやすく説明してるのにまだ理解できとらんとは
さすがぱーちくりんの中のぱーちくりん

>>387
>数論の或る病的な現象になっているんだよ。
>本当に数論は正しいのだろうか？　と思っているんだよ。

いや、心情的にはよく理解できる
なぜなら、カントールやゲーデル、ノイマンなど、その時代の基礎論の天才たちが何人も、人生をかけて挑んだ難問だ
はっきり言って、２１世紀の現代数学も分かっていない部分が多いという
細かい部分に入って行くと、霧の中というか富士の樹海の中というか・・

例えば、超越数（下記）。”ただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない”！
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られているにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。

1996年、ネステレンコにより、長い間懸案であった、πと、e^π（ゲルフォントの定数） の代数的独立性が証明された。

横からだけど、俺が>>194の問題１を解いたら
俺がスレ主に正規部分群の問題出してもいいかな

ID:8nSsMcKhくん登場か
君は微笑ましいね
ぱーちくりん連呼くんか・・
これから、君を”連呼くん”と呼ぼう

”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
あれから、２週間以上経つ。まあ、君には無理と思ったが、当たっていたね
君の知能レベルは、スレ主以下と認定してあげるよ（＾＾

>>397
良いよ

>>399
よし。しばしお待ちを

>>390-394の代数的数関連部分

ここは、初心者も来ると思うので、世間の代数的数の定義を確認しておこう（下記。文字化けは修正せず）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0 抜粋
数学、特に代数学における代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数学の標準的な記号 \ \mathbb{Q}[x]\ で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って \ A\ と書けば、
A=\Big\{a \in \mathbb{C}\ \Big|\ \big(\exists p(x) \in \mathbb{Q}[x]\big)\big[p(x) \neq 0 \ \&\ p(a)=0\big]\Big\}
となる。

概要
複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式
f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0
が存在して、f(α) = 0 となるとき α を代数的数という。
α が有理数ならば
f(x) = x - α
は、α を根に持つので、有理数はすべて代数的数である。
無理数ではたとえば \sqrt{2} は
f(x) = x2 - 2
の根であるので代数的数であるし、複素数でも
f(x) = x2 + 1
の根である ±i は代数的数である。
しかしながら、全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。たとえば円周率 π や 自然対数の底（ネイピア数）e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。
このような数のことを超越数と呼ぶ。

>>382
全く駄目。
当たり前だが、反例が一個でも存在すればその命題は偽である。
具体的内容が書かれていないので何とも言えないが、「任意の実数」がただ単に「任意の無理数」とかの間違いなのでは？

>>401　追加

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0 抜粋追加
代数的性質
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、\overline{\mathbb{Q}} と表す。

\overline{\mathbb{Q}} の性質
\overline{\mathbb{Q}} は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、\overline{\mathbb{Q}} は、代数的閉体である。
さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、\overline{\mathbb{Q}} を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。

集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、\overline{\mathbb{Q}} が可算集合であることを証明した。その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。

しかしながら、代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。

>>389　追加

ここは、初心者も来ると思うので、下記でもご参照（補足：これ読んでも整理されていないから、あまり時間を掛けないようにご注意）
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150111004b223ebd/res30
可分でも何故ベクトルが非可算無限　作れるのか？

>>404　追加

これ、ハメル基底関連な
”１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？ 」：はい、分かりません ”

正の実数全体のなす乗法群を R+ とする。
a,b を a < b なる正の実数とし、閉区間 [a,b] で生成される R+ の部分群を G とおく。

まず、任意の c∈[a,b] に対し c/a∈G である。
区間 [a,b] に属する数を a で割った数全体の集合は、区間 [1,b/a] に等しい。
したがって　[1,b/a]⊂G、特に 1∈G
なお、a < b より 1 < b/a である。

さて、r を 1 より大きい任意の実数とする。
　lim[n→∞] r^(1/n)=1
であり、数列 {r^(1/n)} は単調減少だから、十分大きなある n で
　1 < r^(1/n) < b/a
となる。これは
　r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
を意味し、したがって r=(r^(1/n))^n∈G

0<r<1 なる実数 r については、1/r > 1 より 1/r∈G
したがって r∈G

以上から G=R+ □

＞r を 1 より大きい任意の実数とする。
に対して
＞　r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
が真なのは、nが十分大きいときだけだね

「十分大きなある n で」以降は n をその値に固定してると思って読んでくれ

>>377
＞というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
＞とばかり思っていた。

なに言ってるんだコイツ。矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
その一方で、お前の議論は間違っていて矛盾が示せてない。それだけのこと。
俺が言っていることは

・証明 A が正しくて、なおかつ A の中で条件 P が実際には使われてないなら、
　その証明文 A の文中から条件 P を削除した新しい証明文 A’もまた正しい証明となる

ということに過ぎない。これをお前の証明に適用すると、A’に相当する証明が
明らかに反例を持っているので、もともとの A (＝お前の証明) も間違っている、というわけ。

＞一体、何にそういうことが書いてあるんだ？

たぶんお前は、俺の言っていることが理解できていない。
でなければ、そんな質問が出てくるわけが無い。

>>408
了解。問題無いようだ。

>>382
ややや。どこかで同じ内容の文章を見たことがあるぞ。

＞私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
＞という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
＞本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。

だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
その場合、「仮定が偽である命題は常に真である」ことを用いて、その命題は「真」となる。


具体例を挙げる。

「 有理数 x が x^2−2＝0 という条件を満たすならば、x は超越数である 」

という命題を考えると、この命題は「真」である。なぜなら、x^2−2＝0 を満たす
有理数 x は存在しないので、これは「仮定が偽の命題」となるからだ。
仮定が偽の命題は常に真であるから、この命題は真なのだ。

ガロア以前に松坂の「数学読本」でも読んだ方が良さげ

>>406
どうも。スレ主です。
了解。細かい点は別にして、証明の筋は同じだ
r^(1/n)で、nを十分大きく取ると、１に近づく
一方、連続区間があれば、十分１に近い比が取れる
だから、任意の実数0<ｒがＧに含まれる

開区間でも同じことは成り立つ

>>413
だから、連続区間を含むと、部分群は正の実数を全て含むようになる
正の実数の部分集合で、連続区間を含む場合、Ｇは正の実数全体と一致し、同じになる
ここの処理が、>>392の問題２の「連続濃度の”べきの濃度”を持つ」を示すときに悩ましい

天体現象に隠されたイエス・キリストの正体

zeitgeist／(時代精神) 日本語字幕版

https://www.youtube.com/watch?v=UMZYZM4tL6o#t=46
https://www.youtube.com/watch?v=demGXvUgT14
https://www.youtube.com/watch?v=BpiPmt_KO2I
https://www.youtube.com/watch?v=1LvSumf1fAE

>>414 つづき

>>392の問題２で、複素数の場合も似た事情がある
但し、複素数場合は、連続区間でも面積的広がりを持つ場合は、ゼロを除く複素平面全体に群が広がる
偏角θが一定で、絶対値のみ連続の場合は、ちょっと違う挙動みたいだね
まあ、ここらをどう処理するかを考えている・・

じゃあ問題

(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

(2)
G を群とする。
　C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。

(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。

(1)(2)は「正規」だけでなく部分群であることの証明もあればうれしい。
(3)は定義を知らなければスルーで。知識でなく理解を問いたいので。

>>404-405　ハメル基底追加

１．ハメル基は、具体的な構成はできない　（英語のサイトもあったような。Smithさん”we have little use”と）
www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topology/topology10.pdf 北大 石川剛郎 ２０００年
問．プリントの質問ですが，ハメル基とは具体的にはどんなものなのでしょうか？R をQ 上のベクトル空間としたときの基とはいったい何ですか？何けた続くかわからない無限に続く数をそんな１次結合で表される基底があるのでしょうか？
答．存在はしているが，具体的にはわからないもの，と考えるとよいと思います．あれば安心，保険のようなものでしょうか．

http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/ Karen E. Smithさん女性で写真があった
http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/teach.html
Math 513: Linear Algebra, University if Michigan, Winter 1999 Supplementary Write up: Bases for Infinite Dimensional Vector Spaces
http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/infinite.pdf
BASES FOR INFINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACES MATH 513 LINEAR ALGEBRA SUPPLEMENT Professor Karen E. Smith University of Michigan.
"There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space."

２．線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（下記）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1298332077
2012/12/7 線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの証明です。
ベストアンサーに選ばれた回答
これに関してはハメル基（Hammel basis）という有名な反例がよく挙がります。このハメル基というものを構成するときに選択公理を用いるので、選択公理から出る"病的な"の一例としてもよく挙げられます。

３．Hamel基？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1364772673 2011/6/18 Hamel基について質問があります！

>>418 追加

４．Hamel bases and measurability ？ 濃度の話にはあまり役に立たないかも知れないが・・
https://www.imsc.res.in/~sunder/ SUNDER'S HOME-PAGE The Institute of Mathematical Sciences (インド？)
https://www.imsc.res.in/~sunder/mgnvss.pdf Hamel bases and measurability, with M.G. Nadkarni, Mathematics Newsletter, vol. 14, No. 3, (2004).

>>417
さすがにそこまで基本的な問題なら間違えようがないだろう

>>417
どうも。スレ主です。
あれ？　３問か

(1)は、基本問題だね。秒殺と行きたいが、無理。念のため本見るよ
(2)も、同じ。基本問題だね。
(3)も同じか。well-definedね

本みないでも、wikipedia程度で済みそうだが・・
(3)が一番簡単かな？　well-definedだけ確認かな・・

>>420
同意ｗ

>>421
一応これを押さえて・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
また、ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も論理的な矛盾なく上手くいくということ（定義の整合性）が確認されているということを言い表す言葉である。
文脈により、「うまく定義されている」「矛盾なく定まった」「定義可能である」などと表現されることもある。

well-defined は「状態」を表す形容詞であるが、日本語の定訳はなく慣例的に形容詞と動詞の複合語に訳されるか、そのまま形容動詞的に「well-defined である」といった形で用いる。
名詞形 well-definedness などもあり、これを well-defined 性と記すことはできるが日本語訳としてこなれたものは特には存在しない（文脈によっては「定義可能性」などで代用可能である）。
概要

以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。

(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。
(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。

一つの対象のある表示に対して定義が満たされるが、別のある表示については満たされない状況であるとか、
一つの対象の異なる表示を考えると定義の示す結果がそれぞれの表示に対して異なるといった状況であるならば、与えられた定義はその対象自体に対する定義として不適切 (ill-defined) である。

(1)ができないのに(3)が一番簡単って、さすが笑わせてくれる

>>417
Q(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。

Q(3)
g1,g2・・・∈G、積を*で表す。また、n1,n2・・∈Nとする
剰余群 G/Nの要素を、g1N,g2N・・・と表す。g1N＝{g1*n1,g1*n2,・・・}以下同様
但し、g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元とする

剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
（正規部分群であるから、gjN＝Ngjなどが成り立つ）
単位元は、N自身とする。あるいは、eNと解する。実際、eN＝Nであるから

あと、逆元の存在を言って、well-defined の話か・・
まあ、メシ食って考えるわ

いや本とかwikipediaとか見るなって

>>425
定義は
＞剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
までで十分。
そのあとの
＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×

それから、単位元とか逆元とかは well-defined の証明の後にするべき。
そもそも演算になってるかどうかわからないのに単位元も何もない。

あとそういえば
G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切

>>425 つづき
メシ食って考えた

逆元の存在：
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
∵逆元のgi^(-1)∈Nなら、Nは群なのでgi∈Nとなるので矛盾

よって、剰余群 G/Nの積の定義、単位元、逆元の存在は示した。あと、結合法則があるが、元の群の積を流用しているので成り立つ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
群 定義

well-defined：
１．>>423の「(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。 」は、終わった
２．>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すには、>>425”g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元”が一意であることを示せばよい

>>429 つづき

３．正規部分群の定義：「G における H を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。」を認めることとする
４．そうすると、左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まることを言えば、剰余類は一意に定まる
５．そうすると、>>423のwell-definedの(2)がいえるので、well-definedのwikipediaによる定義を満たすことになる

「左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まる」が、ちょっとね
ラグランジュの定理の証明などを使うと思ったが、ちょっと考えてみるよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
剰余類・剰余群
部分群 H と G の元 g について、gH はある G の部分集合になる。2 つの g, g' について gH, g'H は全く一致するか交わらないかのいずれかである。従って、

G = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} H

と直和に書き表せる。それぞれの gH を （H を法とする g の属する G の） 剰余類（または傍系）という。|gH| = |H| が成り立つので結局 |G| = |Λ||H| が成り立つ。
G が有限群ならばこれは H の位数が G の位数を割り切るということをいっている（ラグランジュの定理）。
特に素数位数の群は巡回群である。|Λ| を [G: H] とか (G: H) などと書いて H の（G に対する）指数という。

おいおいスレ主さん大丈夫か？

>>417 つづき (>>429は残して（その内なんか思いつくかも）)

これ行ってみようか？
Q(2)
G を群とする。
　C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。

A(2)
よく見ると、簡単かな？
えーと、Q(3)みたく、単位元と逆元がC(G)が含まれることを言えれば、結合則は自明で良いでしょ

>>417は
・群の定義
・準同型写像の定義
・正規部分群の定義
（・剰余群の定義）
のみを知っていれば、あとは考えればわかるように選んだ。
なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。

>>432
部分群であるためには、あとは積について閉じている、すなわち
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G)
も必要。

>>432 つづき

単位元：
eh=he ∀h∈Gだから、e∈C(G)

逆元:
gh=hg ∀h∈Gから、g^(-1)∈C(G)を導く

gh=hgに、
g^(-1)を掛けて、g^(-1)gh=g^(-1)hg→h=g^(-1)hg
g^(-1)を逆から掛けて、同様に、h=ghg^(-1)が成り立つ

gh=hgに、g^(-2)=g^(-1)g^(-1)を掛けて
g^(-1)h=g^(-2)hg=g^(-2)(ghg^(-1))g=g^(-1)h=g^(-1)ghg^(-1)=hg^(-1)
つまり
g^(-1)h=hg^(-1)。よって、g^(-1)∈C(G)

ここで、結合則は群Gでの演算則を使った
C(G)でも、結合則は群Gと同様とする
よって、C(G)は群を成す
定義より、gh=hg ∀h∈Gであるから、C(G)は正規部分群

>>433
どうも。スレ主です。

>なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。

ああ、いまのところ、参照しているのは、群の定義の確認くらいだ
オリジナルで間に合っているよ
ところで、準同型写像の定義か・・、ああ、あれね。積とか保存される写像だったけね・・

>>417
では、これ

Q(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

A(1)
１．準同型も、群環体といろいろだが、要は代数構造が保存されると
２．群準同型：f(xy)=f(x)f(y)と積の構造が保存されると
３．それで、証明の方針としては、
　保存則は自明として
　１） Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在
　２）群が正規部分群であることを示す。この場合は、「N=gNg^-1」の形が使い易いだろう

絶賛迷走中

>>434
正規であることの証明が本当に理解できているのか怪しい感じだが、まあ間違ってはないか。
積について閉じていることの証明がまだだ。

well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。
知識を問いたいわけじゃないから。
well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書くなんて、少なくとも俺にはできない。

>>436 つづき

Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在：
f(e)=e' でなければならない。（e∈G、e'∈G'）
∵f(e)=bとする。f(a)=a' とすると、f(a)=f(ea)=f(e)f(a)=ba'=a'。ゆえにb=e'。

次に、g∈Ker(f) からg^(-1)∈Ker(f) を導く
g∈Ker(f) からf(g)=e'。このときf(g^(-1))=bとする。f(e)=e' より
e'＝f(e)=f(gg^(-1))=f(g)f(g^(-1))=e'b=b。即ちb＝e'から、g^(-1)∈Ker(f) が言える

g1,g2∈Ker(f) ならば g1g2∈Ker(f) も必要？ まあ、大学の試験なら書いてないと減点だろうね
g1,g2∈Ker(f) から、f(g1)=e' ＆ f(g2)=e'で、f(g1g2)=f(g1)f(g2)=e'e'=e'。よって、g1g2∈Ker(f) が言える

>>439 つづき

群が正規部分群であることを示す。「N=gNg^-1」の形を使う
n∈Ker(f) とする
f(g)=g' (g∈G、g'∈G')とする。このとき、f(g^-1)=g'^-1である
（∵e'=f(e)=f(gg^-1)=f(g)f(g^-1)=g'f(g^-1)であるから、g'^-1を左から掛けて、f(g^-1)=g'^-1を得る）
f(gng^-1)＝f(g)f(n)f(g^-1)=g'e'g'^-1=g'g'^-1=e'

つまり、gng^-1∈Ker(f) であるから、正規部分群の定義を満たす

>>440
これは酷い

>>439>>440
うん、いいんじゃないかな

>>441
逆の包含を言ってないってことか？
それは問題ない。が、スレ主が分かっててやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。

>>438

>積について閉じていることの証明がまだだ。

そうだね。大学の定期試験なら減点だろう
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G) >>433だね

g1,g2∈C(G) ならば 定義より、g1h=hg1 ＆ g2h=hg2
よって、g1g2h=g1(g2h)=g1(hg2)=(g1h)g2=(hg1)g2=hg1g2 が成り立つから、 g1g2∈C(G)が言える

わかっていようがいまいが、それをきちんと示さなければ、定義を満たしていることを示したことにならない。

>>428

>G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切

お言葉なれど、そうでもないと思う
ヒントは、選択公理
つまり、非可算無限集合から適当に選んだと解釈できる

>>444
いやいや、お説ごもっともだ
おっしゃる通りだね

>>438

>well-defined を知らないんだったら

全く知らないわけじゃないが、well-defined は、多義性があると思うんだ
人によって（というか本とか場面で）微妙にね

で、共通認識として、>>423を出した。この線でやってみようと
>>417(3)で、一般に剰余類が、右剰余類が１通り、左剰余類が１通り、計２通り。正規部分群なら、１通り。
それで、>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」に合うだろうと

正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが
右剰余類が１通り・・辺りが、うまく言えない・・

>>429

文字化けしとるね

（訂正）
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
↓
任意のgi（gi not∈N）に対して、逆元のgi^(-1) not∈Nが言える

>>441-442
逆の包含？ ちょっと意味が取れない

やっぱわかってないんかーい

スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
逆はどうなのよ？って話。

>>449
二つの集合が等しいとは？

>>427

>＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
>これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
>剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×

まあ、定義と表現の関係だから、>>425程度で良いと思うよ
N→∀n∈Nとして

∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
　↓
∵gi∀n*gj∀n＝gi*(∀n*gj)*∀n＝gi*(gj*∀n)*∀n＝gi*gj∀n

だと。２ちゃんねるで、TEXなみの表現を求められてもね
上付き下付の文字も使えないし

>>450
なるほど
ご指摘ありがとう
考えてみるよ

>>450

>スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
>しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
>逆はどうなのよ？って話。

>>440の「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」
でどう？

>>454
「n∈Ker(f) とする」と書けば普通「∀n∈Ker(f) とする」の意味だよ
逆に、ある特定の n∈Ker(f) でだけ gng^-1∈Ker(f) だとしたら、g・Ker(f)・g^-1⊂Ker(f) さえ言えていないことになる。

>>452
>>427ではっきりとは言わなかったがそもそもその議論は不要。
giN*gjN＝gi*gjN は定義であって、証明するものじゃない。

あと N*N=N は一般には成り立たないと書いたが間違いだった。すまない。
(環のイデアルについて似たようなことがあったので混同してた)

>>450の包含も逆じゃん・・・
今日はもう寝よう

>>450>>454-457
どうも。スレ主です。

起きてきました
しかし、みなさんレベルが高いね
びっくりしました

”>>440の「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」”
ここね、実はちょっと気になっていたんだ。どう書くべきか。∀を付けるか、別の記号か。あるいは日本語で、”任意の”とするか
が、面倒なので１秒でスルーした

そこをすかさず突っ込みが入る

>スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
>しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
>逆はどうなのよ？って話。

そうそう。数学科だったら、そういうべきだよね
さすがです

>>455
どうも。スレ主です。

>「n∈Ker(f) とする」と書けば普通「∀n∈Ker(f) とする」の意味だよ

もともと、そうですよ
当然ながら

が、>>458で書いたように、丁寧に書けば、３通りくらいの表現は浮かんだけど、「めんどう」と思ったのでスルーした
実際、∀なんて、いま記号一覧開いて入力しているし、他の文からコピペできるけど、手が止まるからね

が、そこに敏感に反応するのは、お二人ともレベルが高いです
「N=gNg^-1」→N⊂gNg^(-1) ＆ N⊃gNg^(-1) が瞬時に浮かんでいるわけね。さすが
こっちは、無意識に、頭に浮かんだKer(f) のイメージで流して書いているから、＝なら集合の包含を二つ（不等式なら＞と＜と）が浮かんでない。まだ甘いね
間違ってはいないが、＝使うならそう見られているという意識は、なかったね、正直

>>456
>>>427ではっきりとは言わなかったがそもそもその議論は不要。
>giN*gjN＝gi*gjN は定義であって、証明するものじゃない。

そうそう。さすがです
定期試験とか、院試とか
ここらは見られるよね（余談だが、だいたいああいう試験は、「基本ができているか？」はしっかり見られるんだ）
専門の論文なら、省略の決まった流儀があるはず

適当に流した。”giN*gjN＝gi*gjN ”をきちんと集合の要素から、丁寧に説明する。群論入門なんかに普通に書いてあるように
が、つい丁寧にが、面倒になってね。手抜きしたら、結局おかしいよね。後から見ると。手抜きしちゃいかんね

>>447
well-definedに戻る

>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すことにする

”複数定まる対象を経由して行われる場合”は無視して、”結果がもともとの対象にのみ依存する”、つまり一意になることを示そう

１．剰余類別 G/Nが一意になることを示す。
　>>438"well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。"と許可があったので、エムポストニコフを参照する
http://www.amazon.co.jp/dp/B000JAFUOC ガロアの理論 (1964年) エム・ポストニコフ (著), 日野 寛三 (著)
（P25より）(ここでは、本に合わせて、群Gを部分群Hで類別することとする)
　１）g∈Hgで、かってなg'∈Hgを取る
　２）定義より、g'=h'g ここに、h'は部分群Hのある元
　３）元g'の剰余類Hg'を考える
　４）任意の元は、hg'、即ちhh'g, h∈Hと書ける
　５）hh'∈Hであるから、Hg'の任意の元はHgに属する
　６）即ちHg'⊂Hg
　７）一方、任意の元 hg∈Hgは、h(h')^-1h'g=h(h')^-1g'と書ける（(h')^-1は、h'の逆元を示す）
　８）h(h')^-1∈Hであるから、hg∈Hg'
　９）このようにして、Hg'⊃Hg

以上より、Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する
また、剰余類Hgは、g∈Hのとき、そのときに限り部分群Hと一致する。（部分群Hは単位元eの剰余類と見なすことができる）

>>461 つづき

前スレで、群Gを部分群Hで類別することの一意性はほぼ示されているが、だめ押し

整列可能定理（下記）を認めるとする
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
（引用おわり）

群Gの要素を、整列可能定理により、g1,g2,g3,・・・と並べる
部分群Hによる類別を頭から行う
類別した要素は、取り除く
これを繰り返して、全ての群の要素を類別する
この類別は一意である（∵手順が一意であるから。なお、一意の証明（例えば一意でないとして矛盾を導く）は思いついていないが、考えればできるでしょう・・（＾＾ ）

２．群Gを部分群Hで類別することが証明されたので、剰余類別 G/Nも一意になる（右剰余類別、左剰余類別とも一意であり、正規部分群だから両者は一致する）
（証明おわり）

よって、”結果がもともとの対象にのみ依存する”が言えたので、>>423の意味でwell-definedである

>>447 補足

>正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが

先に群Gを部分群Hで類別することの一意性から、１通りを言ったが
正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばHg'≠Hg（g'≠g）のような要素が出てくると
例えば、群を成すから、逆元も異なるし、積も異なるしと、全体が異なってしまう・・

そういう筋で証明できると思うんだが・・
実際に実行するとなると、大変そうなのでやめた

>>463 訂正

正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばHg'≠Hg（g'≠g）のような要素が出てくると
　↓
正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばNg'≠Ng（g'≠g）のような要素が出てくると

>>461 補足

群Gを部分群Hで類別することについては、ラグランジュの定理の証明で、どの本にでも書いてあるが
エム・ポストニコフ は、きわめて簡素かつ簡明に記載しているので、個人的には気に入っているんだ

スレ主の脳が極めて単純に出来ていることがよく分かった。

>>411
>矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
そうでないと証明出来ない命題があるから、そうだよな。
今まで、議論の中で条件を背理法の枠組みで使っていなかった訳か。
知らぬ間に、マヌケな幻惑をした。

>だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
いや、実数論の有理数の稠密性が気になって、素数pは可算無限個あるから、
pを分母に持つ有理数q/p＞0を取ったら任意の有理数a＞0に幾らでも近似出来て、
あたかもディオファンタス近似の理論の反例になるとも見えるような、
不等式を使った実数(有理数や代数的無理数も含む)の奇妙な評価が評価が得られているんだよ。
そういう訳で、ディオファンタス近似の反例になるのではないかと思って、
いまいち気になっていた。有理数の稠密性は無理数の構成の前提になっているから、
数論のディオファンタス近似の理論は、本当に正しいだろうか？　と思ってさ。
ディオファンタス近似の理論は有理数の稠密性に矛盾していない訳か。

スレ主よ、おはよう。

>>411
>>467の「任意の有理数a＞0」は「或る条件を満たす任意の有理数a＞0」の間違い。

>>419 ハメル基底追加

５．ハメル基底の説明が詳しい（が、Hの濃度が非加算無限まで言っていない。画竜点睛を欠くの感かな？ でも良いす）
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/class.html
藤岡敦のホームページ
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2014/st1/st1.html
２０１４年度春学期「集合と位相１」
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2014/st1/140626st1.pdf
§１１．選択公理　６月２６日分資料（６月２０日版）

(余談：googleではなぜか下記の古い方がヒットした)
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2013/st1/st1.html
２０１３年度 　春学期　集合と位相１
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2013/st1/130624st1.pdf
§１１．選択公理　６月２４日分資料（６月１８日版）

>>468
どうも。スレ主です。
その声は、”おっちゃん”だね
おはようさん

休むに似たりの思考

>>411
いや、有理直線Qは体でQ^{×}は群だから、>>467は大きな間違いではないな。

>>404-405>>418-419>>470

ここは初学者も来るので、ハメル基についてまとめておく

１．>>404の「可分でも何故ベクトルが非可算無限　作れるのか？ 」辺りを読むと、おまえら分かってないと。世の中分かってないやつが多い。それが、ハメル基
　（もちろん、おれも分かってないけどｗ）
２．Karen E. Smithさん女性（でも大学教授）下記（要は、あまり実用にならないよ？）
　　"There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space."
３．もともとは、ハメルさんが、線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（正確には”関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y)がf(x)=axに限ること”らしい）
４．藤岡敦（関大）などを見れば分かるが、
　　”H をRに対するHamel の基底という. Hamel の基底はベクトル空間に対する基底の概念の特別な場合である.”と
５．結局、Hの濃度が非加算無限は、実数Rが非加算無限であることから導かれると見た
６．つまりは、ハメル基の持つ性質を使って濃度が非加算無限を導くのではなく、Hの構成法から、Rを全て表すためにはHの濃度が非加算無限でなければならないという論理だろう
７．ならば、おっちゃんの出題>>26「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。」に、ハメル基を持ち込むことは本末転倒だろう
８．これは>>334-335への答えであり、>>332への補足だ

だれかが、”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”というから
ちょっと突っ込み入れたら、逃げまくったあげく、ハメル基底も分かってないと（まあ上記１です）
Karen E. Smithさんが正しいと思うぞ

追伸
個人的所感だが、
１．ハメル基のおもしろさは、RがQ係数の有限個のハメル基のベクトル空間と見ることができるというところ
２．しかし、残念ながら、H自身は有限どころか、非加算無限
３．かつ、その具体的構成法は与えられていない・・
（以前書いた超越数の記事などを見ると、もし具体的でなくとももう少し使える構成法を与えたら、なにかの賞でも貰えそうかな・・）

>>466
どうも。スレ主です。

ID:J8kzGD0aくんか。君にはまだ残っている下記を出題しておく

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

まあ、君には無理だろうがね（笑い）

>スレ主の脳が極めて単純に出来ていることがよく分かった。

お褒めを頂き光栄です。私も、若い頃は複雑なことを考えていた
だが、会社でね、偉くなる人はシンプルな考えをしていると気付いたんだ
「複雑なことを整理してシンプルに考える」。それが出来る人が本当に賢い人だと

君の頭は複雑なままのようだね。下記KISSの原則（法則とも）を、アドバイスしておくよ（笑い）
KISSの原則 http://ja.wikipedia.org/wiki/KISS%E3%81%AE%E5%8E%9F%E5%89%87
（KISS の原則 (KISS principle) とは、"Keep it simple, stupid" （シンプルにしておけ！この間抜け）、もしくは、"Keep it short and simple" （簡潔に単純にしておけ）という経験的な原則[1]の略語。
　その意味するところは、設計の単純性（簡潔性）は成功への鍵だということと、不必要な複雑性は避けるべきだということである。）

（参考）
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/237888.html
simple is best は和製英語ですか？ 2002/03/19

>>461-465
正直>>462以降は何が言いたいのかよくわからないが、
>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。

g,h∈G に対して、gN * hN = g*hN と定義したが、
別の g',h'∈G が gN=g'N, hN=h'N を満たすとき、
g'N と h'N の積 g'*h'N が元の g*hN と同じでなければならない。
こういうのが成り立つとき、演算が well-defined であるという。

つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」
という命題。

>>467
＞いや、実数論の有理数の稠密性が気になって、素数pは可算無限個あるから、
＞pを分母に持つ有理数q/p＞0を取ったら任意の有理数a＞0に幾らでも近似出来て、
＞あたかもディオファンタス近似の理論の反例になるとも見えるような、
＞不等式を使った実数(有理数や代数的無理数も含む)の奇妙な評価が評価が得られているんだよ。

いやいや、同じことだろ。
有理数や代数的無理数は、「実際にはその不等式を満たさない」。
もしくは、その評価自体が間違ってる。

どちらにせよ、詳細がぼかしてある以上は、これ以上は話しても無駄だな。

>>476
どうも。スレ主です。

>>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。

こっちも、何が言いたいのかよくわからない
出題で意図された"well-defined"を、はっきりさせてくれるかい・・？

と・・、”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”か・・？

いや、そもそも、"well-defined"については、>>423と>>447で２回言及している
後のレスでは、「全く知らないわけじゃないが、well-defined は、多義性があると思うんだ
人によって（というか本とか場面で）微妙にね 」だと

そのときに、話を出して貰えれば早かったんだ
まあ、はっきり言わせて貰えば、あなたのいう"well-defined"は、特殊ケースであって（この問題限り）
一般の"well-defined"の概念自身は、個別の問題を離れた概念だと思っている。それが上で述べたことだよ

そして、あなたのいう"well-defined"なら十分終わっている
エム・ポストニコフでね
それを今から示そう

>>478 つづき

”証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”

（証明のあらすじ）
１．実質は、>>461のエム・ポストニコフで終わっている
２．それに、Nが正規部分群であることを組み合わせる
　　この場合、下記の中の「G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する」が使い易いだろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4 正規部分群

>>479 つづき

”証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”

（証明）
１．まず、>>461のエム・ポストニコフより、必要な事項を引用する
２．gN=g'Nより、g'∈Ngで、g'=ng ここに、nは部分群Nのある元とすることができる
３．同様に、hN=h'Nより、h'∈Nhで、h'=n'h ここに、n'は部分群Nのある元とすることができる
４．これと、前述の正規部分群の定義「G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する」を使う
５．正規部分群の定義より、ng＝gn”、n'h＝hn'”となる元n”、n'”がNに含まれている。n”*n'”=n”'”としておく（n”'”はNの元である）。
６．g'*h'N=ng*n'h N=gn”*n'h N＝g(n”*n')h N＝g（n”'”）h N
７．ここで再び、（n”'”）h＝hn”'””となるNの元n”'””を取ることができる（∵Nは正規部分群だから）
８．よって、g（n”'”）h N＝ghn”'”” N＝ghN＝g*hN (ここで、n”'”” N＝Nを使った。また、gh＝g*hは積*の定義より)
９．従って、g'*h'N=g*hN が成り立つ
証明おわり

ていねい？とかしゅってん？とか間違い？とか訂正？とか言い訳はいいけど、
(1)-(3)の回答を1レスに納められないって、いろいろと能力を疑うな

何事も基礎を固めるのが重要だよ
急がばまわれ
何年もアタフタするより、しっかり本を読めばアホでも長くても半年である程度物にできると言うのに……

>>461
余談だが、エム・ポストニコフ の
”Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する”

で、これを書いていて思ったのは、
>　３）元g'の剰余類Hg'を考える
>　４）任意の元は、hg'、即ちhh'g, h∈Hと書ける
>　５）hh'∈Hであるから、Hg'の任意の元はHgに属する
>　６）即ちHg'⊂Hg

あたりのからくりが、>>413のからくりに似ていると
つまり、GやHが群を成すから、一つの元g'からつぎつぎに、群の演算で関連事項が紡ぎ出されて、Hg'⊂Hgに到達するんだと
それと、>>413の「連続区間があれば、群演算で結局任意の実数0<ｒがＧに含まれる」という流れに類似性を感じた・・

>>481-482
はいはい、口達者なものたちよ

君たちには、まだ残っている下記を出題しておく

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い）

それと、スレを分けているのは、テクニックだ
どうせ、いままで１０００には到達していないんだし

スレの番号が上がる方が、勢いがあると思われるｗ
それに詰めて書くと、君たち短文しか読めない人にはつらいだろうと（笑い）

>>484
はいはい、口すらまともに使えない人

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

君には、まだ残っている下記を出題しておく
どうせ、君には無理だろうがね（笑い）

どうも。スレ主です。
>>417の出題者は、はっきりスレ主よりレベル上ですな

>>486のID:6EmqTtpHくんは、はっきり下（笑い）
答えを教えて欲しいと懇願しているのか？　教えてはやらんよ（笑い）

後藤さんよかったね、おめ☆

>>417の出題は、一見基本問題だが、普通のテキストでは、おそらく自明ないし簡単に流している部分なんだろう
大学の授業でも先を急ぐから、さらっと流す

おそらく、出題者は、自分で少し考え込んだところを出題したと見た
あまり書物に書いていないが、数学的思考を必要する部分を

それが、さらっと問題として書けるところが、レベルが高いよね
面白い問題だった

ありがとう

はじめの一歩も進めないのに、急ぐとか？

>>441の人もレベル高そうだね
例の”おっちゃん”の証明を添削している人かな

>>481と>>482とは、レベル低そうだな
口だけ達者
どうせ、>>484には答えられないと見た
うかつに答えられないよねー
赤っ恥かく可能性があるからねー、君たちレベルなら（笑い）

>>489
あの問題、どの辺が面白かったの？

>>490
レスする必要もないのかも知れないが
>>417の問題で書いた証明は、何年も前にどこかで見たことを自分なりにアウトプットしただけよ（つまりは、勉強は一通り終わっていると）
スレ主はガロアではない。自分で群論を考え出す力は無いよ。それは、あなたたちも同じはずだ。テキストを読んで、授業で学んで、宿題をして、試験勉強をして、問題が解ける

>>493
どうも。スレ主です。

そうだね、やはり問題（３）で、well-defined（結果の一意性）を示すために、エムポストニコフを読み直したことかな、久しぶりに
エムポストニコフの証明は、なんど読んでも鮮やかで、感心するね

>>495
(1)がヒントってのはわざとオミットしてたの？

>>495　補足

(1)(2)は、落ち着いて問題を読んだら、解答はすぐ浮かんだけどね
まあ、この板では証明は書きにくい。逆元なんて手で書けば−１を肩に書けばしまいだが、アスキーで書くとなると一工夫必要だし・・

そうなんだ、いろいろとたいへんだね

>>496
? 誘導問？　気付かなかったね　（大学入試の大問の中の(1)(2)(3)みたいな配列かい？）
個人的には（３）が一番題意が取りやすかった

そんなこと言うと、出題者さん泣いちゃうよ＞＜
せっかく親切にしてくれたのに

(1)の証明って終ったの？
でいろいろ指摘されてたけど

キモい
せっかく親切心でレスしてやったのに再び見に来たら罵倒されてるし
数学なんてやめたら？
continueじゃなくて、restartするべきだよ

以前、「正規部分群の問題」とか言って出てきたのがちょっとアレだったので
もうちょっとマトモなものをと思って>>417を出した。


>>480
はい、よくできましたっと
(n"'"の置き方をミスってるような気がするが)

>>417の文脈で well-difined ときたら普通は>>476のように解釈すると思うんだが
俺が勉強不足なんだろうか。第三者の意見がないと何とも

>>499
題意取れてなかったじゃないですかー