現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 [転載禁止]©2ch.net
501 ：１３２人目の素数さん：
>>498
ID:f3suQEjtくんか。
秒殺っぽいと思ったが、小一時間考えた。それ群論の問題ではなく、集合論の問題では？
で、反例を出す問題だね
１．複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}は、通常の乗法での群とする
２．通常の乗法は可換だから、アーベルで、部分群もアーベル。従って、部分群は全て正規部分群となる
３．ある一つの複素数（≠1）c∈C^{×}＝C-{0}からなる最小の部分群を考える。それをそうだなGoとでもしようか
４．群の定義より、Goには単位元１と逆元が含まれる。かつ、c^n(cのn乗でnは自然数)が含まれる。逆元c^(-n)も含まれる
５．最小性より、Goはこれで尽くされる
６．単位元１＝c^0と考える。c^n→nの単射が定義できる。これは、整数全体に拡張できる
７．よって、あるcから生成される部分群Go→Z（整数）の全単射が定義できる
８．Goは、正規部分群であったから、反例が構成されたことになる（Zが加算集合で反例となることは自明とする）
なお、「自明な正規部分群を除く」としておく方が良い。（これは数学的に細かい気配り（単位元だけからなる部分集合も反例となるから））
また、君は注意書き「出題にあたっては、”1/31(土) ID:kLXANPjW”と名乗ること（他の人はだめだよ。ここは問題スレじゃないから） 」
を読んでいないね。問題文を良く読むというのは、入試の鉄則であって、院試なら首が飛んでいるよ
今回だけ、例外として答えた
よって、”1/31(土) ID:kLXANPjW”くんと名乗る人には、なお一題の出題の権利が残っている
ID:f3suQEjtくんか。
秒殺っぽいと思ったが、小一時間考えた。それ群論の問題ではなく、集合論の問題では？
で、反例を出す問題だね
１．複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}は、通常の乗法での群とする
２．通常の乗法は可換だから、アーベルで、部分群もアーベル。従って、部分群は全て正規部分群となる
３．ある一つの複素数（≠1）c∈C^{×}＝C-{0}からなる最小の部分群を考える。それをそうだなGoとでもしようか
４．群の定義より、Goには単位元１と逆元が含まれる。かつ、c^n(cのn乗でnは自然数)が含まれる。逆元c^(-n)も含まれる
５．最小性より、Goはこれで尽くされる
６．単位元１＝c^0と考える。c^n→nの単射が定義できる。これは、整数全体に拡張できる
７．よって、あるcから生成される部分群Go→Z（整数）の全単射が定義できる
８．Goは、正規部分群であったから、反例が構成されたことになる（Zが加算集合で反例となることは自明とする）
なお、「自明な正規部分群を除く」としておく方が良い。（これは数学的に細かい気配り（単位元だけからなる部分集合も反例となるから））
また、君は注意書き「出題にあたっては、”1/31(土) ID:kLXANPjW”と名乗ること（他の人はだめだよ。ここは問題スレじゃないから） 」
を読んでいないね。問題文を良く読むというのは、入試の鉄則であって、院試なら首が飛んでいるよ
今回だけ、例外として答えた
よって、”1/31(土) ID:kLXANPjW”くんと名乗る人には、なお一題の出題の権利が残っている
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