現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 [転載禁止]©2ch.net

>>716

>で、この「非可算無限個」の濃度をאy、連続濃度を1אとすると、אy＝2^1א
>が成り立つという予想ができる
>つまり、「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」と予想ができる
>（∵ >>712のように、一つの数cから成る部分群を構成したが、一つの数cに限定する必要はなく、任意の数の組み合わせで部分群が構成できるから）

ここをちょっと考えてみた
１．まず、正の実数の成す乗法群の集合を考える
２．簡単な例として、１より大の３つの数から生成される群GとHを考える
３．g1,g2,g3∈G,h1,h2,h3∈H,として、各３つの数の最低のものをg1,h1として比較する
４．g1≠h1なら、G≠Hが成立する。
５．g1＝h1なら、２番目の数を比較する
６．これを繰り返し、もし３番目の数も一致するなら、G＝Hが成立することは自明で、単射性は成立する
７．上記の議論は、３つの数に制限されるものではなく、任意の個数から成る群に適用できる
８．よって、１より大の任意の個数の実数から成る群の集合の濃度は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ
９．但し、集合論的な証明の部分は、そちらにゆずる

この証明は、複素数の絶対値を考えることで、複素平面C上の乗法群C^{×}の部分群の集合の濃度に拡張できる

>>819

訂正
えーと、１より大の任意の実数の部分集合から生成される群の議論が抜けているね

で、７と８の間に１行追加
７−１．さらに、この論法は、１より大の任意の実数の部分集合から生成される二つの群の比較に拡張できる

>>820

訂正追加

８．よって、１より大の任意の個数の実数から成る群の集合の濃度は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ
　↓
８．よって、１より大の任意の実数の部分集合から生成される群の集合の濃度は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ