◆ わからない問題はここに書いてね １１ ◆

　　　 , ― ﾉ）
　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 わからない問題はここに書いてね ♥
　 ヽ　| |　l　 l |〃　過去スレ，業務連絡・その他，関連スレ，
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 数学記号の書き方例は >>2-10 の中にあるよ♪
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

【前スレ】
◆ わからない問題はここに書いてね １０ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=995448453

【過去スレ】
◆ わからない問題はここに書いてね ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=967755172
◆ わからない問題はここに書いてね ２ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=970795775
◆ わからない問題はここに書いてね ３ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=974911042
◆ わからない問題はここに書いてね ４ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=978209589
◆ わからない問題はここに書いてね ５ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=981372834
◆ わからない問題はここに書いてね ６ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=985594205
◆ わからない問題はここに書いてね ７ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=988952592
◆ わからない問題はここに書いてね ８ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=991223596
◆ わからない問題はここに書いてね ９ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=993571403
◆ わからない問題はここに書いてね １０ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=995448453

【業務連絡・その他】
■９００を超えたら新スレに移行準備．
■旧スレ側 → 終了宣言，新スレへの誘導．
■新スレ側 → 開始宣言と目次，旧スレのリンク，掲示板での数学記号の書き方例，業務連絡・その他，旧スレ側の残り問題の移動．
■数学板の要望スレで数学板の注意書き（リンク先）の変更依頼．

■単独の質問スレは，このスレか「くだらんスレ」に誘導して下さい．
■誤って過去スレに書き込まれた質問は，最新スレに誘導して下さい．


【数学板削除依頼スレ】
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=986384122 （レス削除）
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=987829968 （スレッド削除）

【数学板要望スレ】
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=993571288

【リンク先更新総合スレッド】
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=992178408

【掲示板での数学記号の書き方例】
■数の表記
　●スカラー：a,b,c,...,z, A,B,C,...,Z, α,β,γ,...,ω, Α,Β,Γ,...,Ω, ... （← ギリシャ文字はその読み方で変換可．）
　●ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V) （← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．）
　●テンソル（上下付き１成分表示）：T^[i,j,k...]_[p,q,r,...], T[i,j,k,...;p,q,r,...]
　●行列（１成分表示）：M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]
　●行列（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...]',[0,1,0,...],...] （← 行（または列ごと）に表示する．）

■演算・符号の表記
　●足し算：a+b
　●引き算：a-b
　●掛け算：a*b, ab （← 通常"*"を使い，"ｘ"は使わない．）
　●割り算・分数：a/b, a/(b+c), a/(bc) （← 通常"/"を使い，"÷"は使わない．）
　●複号：a±b=a士b, a干b （← "±"は「きごう」で変換可．他に漢字の"士""干"なども利用できる．）
　●内積・外積・３重積：a・b, aｘb, a・(bｘc)=(aｘb)・c=det([a,b,c]), aｘ(bｘc)

■関数・数列の表記
　●関数：f(x), f[x]
　●数列：a(n), a[n], a_n
　●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2) （← "√"は「るーと」で変換可．）
　●指数・指数関数：a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) （← "^"を使う．"exp"はeの指数．）
　●対数・対数関数：log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) （← 底を省略する場合，"log"は常用対数，"ln"は自然対数．）
　●三角比・三角関数：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
　●絶対値：|x|
　●ガウス記号：[x] （← 関数の変数表示などと混同しないように注意．）
　●共役複素数：z~
　●転置行列・随伴行列：M', M† （← "†"は「きごう」で変換可．）
　●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
　●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （← "Π"は「ぱい」で変換可．）

【掲示板での数学記号の書き方例（つづき）】
■微積分・極限の表記
　●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y,x （← "∂"は「きごう」で変換可．）
　●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf （← "∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
　●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, �点[C]f(r)dl （← "∫"は「いんてぐらる」，"∬��"は「きごう」で変換可．）
　●数列和・数列積：Σ_[k=1,n]a(k), Π_[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
　●極限：lim_[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）

■その他
　●図形："△"は「さんかく」，"∠"は「かく」，"⊥"は「すいちょく」，"≡"は「ごうどう」，"∽"は「きごう」で変換可．
　●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換可．
　●等号・不等号："≠≒≦≧≪≫"は「きごう」で変換可．

※ ここで挙げた表記法は１例であり，標準的な表記法からそうでないものまで含まれているので，後者の場合使う時にあらかじめことわっておいたほうがいい．
※ 関数等の変数表示や式の括弧は，括弧()だけでなく[]{}を適当に組み合わせると見やすい場合がある．
※ 上記のほとんどの数学記号や上記以外の数学記号は大体「きごう」で順次変換できる．

移転完了 (o^-')b

■■■■■■■　第　１　１　ス　レ　開　始　■■■■■■■

★__________________________.
｜.　　　　　　　 　　　 │
│　はにゃ〜ん.　　　│
｜　γ∞γ~　　＼ 　　　│
│人ｗ/　从从) ）　　 │
│ ヽ　| |┬　ｲ |〃　　│
│　｀ｗﾊ~　.　ノ） 　　 │
│　 /　＼｀「 . 　　　　│
｜ 数学板さくらスレ. │
｜_________________________│
｜
｜
｜
｜
｜
（● ´ ー ｀ ●）ﾉ さくらスレ旗掲揚

さくらたんどこいっちゃたのかな。。。

がいしゅつっぽいが、どうして質問スレは「さくらスレ」って呼ばれているの？

さくらと名乗る人物が始めたから。

ｘ,ｙ,ｚは正の数でχ＋ｙ＋ｚ＝１のとき、1/ｘ＋4/ｙ＋9/ｚの最小値を求めよ。

1/ｘ＋4/ｙ＋9/ｚ=(1/ｘ＋4/ｙ＋9/ｚ)(χ＋ｙ＋ｚ)
展開して相加平均≧相乗平均をつかうんだとおもう

>>1
スレ立て＆コピペお疲れさまです。
謝謝！

>>10
コーシーシュワルツでもいいな。

>>8
１番最初のさくらスレをみてごらん．創設者のさくらたんの苦労がよくわかる．

>>12
いえいえ．はにゃ〜ん

前スレの805の奴くだらんスレで苦戦してるぜー。
あっちのスレの奴が悪いのかあいつが悪いのか

次の問題が解けません。
どうやって解くのか教えてください。

an,bnを実数の数列で
an>0,bn>0
とする。
また、
lim[n→∞]an^n=α
lim[n→∞]bn^n=β
α,β>0
を満たすとする。

(1)
この時
an=1+logα/n+o(1/n)を示せ。
但し、o(1/n)は
lim[n→∞]n・o(1/n)=0
となる項を表わす。

(2)
lim[n→∞]{(an+bn)/2}^n
をα、βを用いて表わせ。

どうすれば良いのか全く分かりません。

>>15
“こんな方法もあるぜ”ってしゃしゃりでてやれよ。

工房だったらしいな。

>>18
だれがどうみても受験問題だもんな。この板では受験問題にはレス
つきにくいからな。おらもやるきせん。もそっとおもろいのなら
やる気もおこるけど。

>>19
まぁあっちはくだらんスレだから答えてもｲｲかとは思うがな。

受験問題わかんない奴のためのとこってねぇの課？
まぁあったとしてもすぐ廃れるか

ラグランジュの未定係数は、高校で教えてないから
だめか。。。

>>22
いいよ

こんな問題が
「ともよちゃん×さくらちゃん」
といてください（；；

ちょっとお邪魔します。
早速ご質問なのですけれど

１．1〜Nまで数字を書いたカードを左から順に並べます。
２．1〜Nまでの数を無作為に２つ（Ａ，Ｂ）選びます。（重複可）
３．左からＡ番目のカードとＢ番目のカードを入れ替えます。

上記のような操作を行なう場合２〜３の操作を最低何回行なえば
1〜Nまでの数が取りうる全ての順列が同確立で現れるようになるのでしょうか？
数学板の博識者の皆様宜しくお願いしますm(_ _)m

>>24
ロリコン同人誌だろ。

>>24
またその表記の場合ともよが攻めでさくらが受けです。

>>22
昔、京大の入試で似たような問題があったんだけど、
(要するに、未定定数方使いたくなるような問題)
問題集の解答では、偏微分みたいなことしてといてた。

要するに、「変微分使ってます」って明示はしてないものの、
「まずyを固定して、xで微分して、その最小値をyであらわす。
　次に、その結果をyで微分して最小値を求める」
って感じ。

>>25
N>2なら何万回やってもむり。k回やるとき全可能性はN^(2k)
しかして1〜Nをならべると組み合わせはN!。もしこのN!がN^(2k)
のなかに同じかずづつあらわれるとN^(2k)=N!dがみたされないと
だめだけどこれはN>2では整数解はない。

これまだ決着してないので持ってきました。

01 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2001/08/09(木) 11:00
次の問題をどうやって解けば良いのか分かりません。
教えてください。

a>0:定数
Ω={z∈C;|Imz|<a}
f(z)はΩ上の正則関数で、閉包cl(Ω)で連続とする。
更に
f(z+π)=f(z) ;z∈Ω
f(0)=0
と仮定する。この時
|f(π/2)|≦(sinha)^(-1)・sup[z∈∂Ω]|f(z)|
を示せ。

>>30
おお、それは私の書いた質問。
Phragmen-Lindelof の定理が解らないから結局良く解らない・・・。
教科書にも載ってないし、検索しても良く分からない。
誰か教えてくれないかな。

http://www.himawari.sakura.ne.jp/%7Eloveseat/index.html
http://www.himawari.sakura.ne.jp/%7Eloveseat/index.html
http://www.himawari.sakura.ne.jp/%7Eloveseat/index.html
http://www.himawari.sakura.ne.jp/%7Eloveseat/index.html

∫[π/3,5π/3]dθe^(iθ)/{e^(iθ)-1}
をどうやって計算すれば言いか教えてください。
閉曲線にならないのでCauchyの積分定理を使えず
どうすれば良いのか分かりません。

>>33
おもいっきり安直に高校数学で片付ける（ｗ
e^(it)/{e^(it)-1} =...= 1/2 -i*sin(t)/{2-2*cos(t)}

>>34
御免なさい、よく分からないです。
どうして左辺が右辺になるのでしょうか？

今気付いた。
実はlog|e^(it)-1|の形に積分できるのね。

>>34
つまらない質問してしまってスマソ。

tan^(-1)2+tan^(-1)3
の値を求めてください．

>>30
これむずい。さくらの１０で答えてたひとはすぐ答えてたけど専門家
にはあたりまえなのかな？
おらこうやった。f(z)の|imz|=aでの最大値をMとおく。
g(z)=f(z)/sin(z)とおくとf(πn)=0からこれは
|imz|<aで正則、|imz|≦aで連続なので最大値の原理から
|g(z)|≦M/|sin(ia)|=|M/sin(ia)|=M/sinh(a)
が任意の|imz|≦aで成立する。これにz=π/2を代入すればよい。

>>37
3π/4

>>38
訂正
×|g(z)|≦M/|sin(ia)|=|M/sin(ia)|=M/sinh(a)
○|g(z)|≦M/|sin(ia)|=M/|sin(-ia)|=M/sinh(a)

＞39
くわしく教えて下さい。

>>41
これ結構有名な公式。
Oを原点としてA(1,0),B(1,2),C(1,-3),β=∠AOB,γ=∠AOC
とおく。tanβ=2よりβ=tan^(-1)(2),tanγ=3よりγ=tan^(-1)(3)。
よってβ+γがもとめる角。OB=√5,OC=√10,BC=5から

　cos(β+γ)=(5+10-25)/2√50=-(1/2)

よってβ+γ=3π/4。

>>42
タンジェントの加法定理で
tan(Atan2+Atan3)={tan(Atan2)+tan(Atan3)}/{1-tan(Atan2)*tan(Atan3)}
=(2+3)/(1-2*3)=-1
Atan2もAtan3も第１象限なのでAtan2+Atan3は第２象限、よって3π/4
ってのでもいいよね

>>29
ありがとうございます。
そっか無理なのかぁ…

ところでN^(2k)=N!dのdってなんですか？
出来れば最適解なり（これってもしかして無限大？
（つまりやればやるほど必要な状態に近づく））
適当な精度（何回やればどの程度必要な状態に近づくか）
を求めてみたいので理解しておきたいのですけれど…
よろしくお願いしますm(_ _)m

>>38 いいとおもうけど，補うと・・・
Im z=a 上で |sin z|≧sinh a は z=x+ia とおいて
sin の定義式に入れて三角不等式使うのかな

>>30, >>38, >>45 へ。 >>38 の証明は間違ってるよ。
彼のアイディアは正しいし、この問題が難しいということには俺も賛成だけど。
いったい誰が出したんだよ。

>>38 は証明中に最大値原理を使ってるけど、
これは一般に有界領域でしか成り立たない。
実際 Ω = { z∈C : | Im z | < π/2 } とし、 h(z)=exp(exp(z)) とすると、
|h(s±iπ/2)| = | exp(±exp(s)) | ≦ 1, for all s∈R
だから h は ∂Ω 上有界だけど、
h(s)=exp(exp(s)), s∈R は非有界。

Ω = { z∈C : | Im z | < π/2 } とし、函数 f が Ω 上で正則、
Ω の閉包上で連続かつ有界、 |f(s±iπ/2)| ≦ 1 for all s∈R とする。
このとき、|f(0)| ≦ 1 であることを示そう。
(これさえ示せば定数倍、平行移動と >>38 を使って結論が導ける)

まず ε>0 を任意に取り、g(z)=exp(-ε(exp(z/2)+exp(-z/2))), z∈C とおく。
すると z=s+it, s,t∈R and 0≦t≦π/2 に対して
Re(exp(z/2)+exp(-z/2)) = cos(t/2)(exp(s/2)+exp(-s/2)) ≧ cos(π/4)(exp(s/2)+exp(-s/2))
だから A(s)=cos(π/4)(exp(s/2)+exp(-s/2)) に対して |g(s+it)| ≦ exp(-εA(s))
ここで A(s)>0 だから Ω 上 |g(z)|≦1 であることに注意しておく。
lim_[s->±∞]A(s)=∞ だから S>0 で exp(-εA(±S))sup_[z∈Ω]|f(z)| < 1 となるものがある。
(ここで仮定 sup_[z∈Ω]|f(z)|<∞ を使った)
有界領域 Ω_S={ s+it : -S < s < S and π/2 < t < π/2 } と函数 fg に対して
最大値原理を用いることにより、 |f(0)g(0)| ≦ 1 を得る。
よって |f(0)| ≦ |g(0)|^(-1) = exp(2ε)

ε>0 は任意だったので |f(0)| ≦ 1
QED

>>46 を修正

>|h(s±iπ/2)| = | exp(±exp(s)) | ≦ 1, for all s∈R
>だから h は ∂Ω 上有界だけど、

は間違い ( i が抜けてた) で

>|h(s±iπ/2)| = | exp(±i exp(s)) | ≦ 1, for all s∈R
>だから h は ∂Ω 上有界だけど、

が正しい。

さあて出勤すっかな。

>>47-48
おら>>38。おおsさんありがとう。sさんの証明は最初おらの思いついた
のとまったくおなじ。そもそも
f(z+π)=f(z)
だからfがf(z)=g(exp(2iz))とかけることを利用すればいいんっすよね。
もっと初等的にとくならf(z+π)=f(z)からfの像は{s+it||s|≦π/2,|t|≦a}
に制限したものの像と等しいのでかならず最大値をとる。(これは前スレでも
指摘されてる。)それをMとおきf(w)=Mとなるwをとる。もし|imw|=aで
ないと領域{s+it||s|≦π,|t|≦a}をかんがえるとwはこの内点なのでfは
定数になる。って感じでもいいよね。
う〜ん。前スレで証明されてる部分は説明せんでええじゃろと手を
抜いてしまってわかりにくかった。みなさんのご助力感謝。

>>49 ほんとだ。>>49の方がずっと簡単だ。教えてくれてありがとう。
Phragmen-Lindelofの定理(cf. >>47)を知ってたばかりにそっちに引きずられてしまった。
ものごとは難しく考えちゃあイカンよね。。。

>>44
おら>>29。dはN^(2k)のなかにでてくるN!の回数という意味。簡単な
例で１〜４のでるルーレットででための合計を４でわった余りをもとめる
問題では余りをＲとすると
１回目　２回目　　Ｒ
ーーーーーーーーーー
　１　　　１　　　２
　１　　　２　　　３
　１　　　３　　　０
　１　　　４　　　１
　２　　　１　　　３
　２　　　２　　　０
　２　　　３　　　１
　２　　　４　　　２
　３　　　１　　　０
　３　　　２　　　１
　３　　　３　　　２
　３　　　４　　　３
　４　　　１　　　１
　４　　　２　　　２
　４　　　３　　　３
　４　　　４　　　０
となってＲ＝０、１、２、３はすべて同様に確からく全事象の数4^2
のなかにＲ＝０、１、２、３が４回づつ(=d)でてくるので同様に
確からしいがいえる。N^(2k)とN!ではこうはならないということです。

>>50
その定理ステートメントだけでもおしえてください。

>>52
ああ>>47で証明している内容がそのステートメントなんすね。わかりました。

次の問題を頼みます。

正方形ＡＢＣＤの内部に、
点Ｐを∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＢ＝１５°となるようにとる。
　このとき、∠ＡＰＤは何度か？

60度

>>55 どうして？

うまい方法はわからん

AB=BC=2
Pを通りABに平行な直線とAD，BCの交点をM，N
PN=tan15=sin(45-30)/cos(45-30)=2-√3
MN=AB-PN=√3
∴AD=AP=DP

訂正　PM=AB-PN=√3

>>57,58
よくわかりました。
thank you

質問です。

　X^4+1∈(Ｑ(√２))[Ｘ]

　を因数分解せよ。

こはいかに？

Ｘ＾４＋１＝（Ｘ＾４＋２Ｘ＾２＋１）−（√２Ｘ）＾２

次の問題の解法がよくわかりません。教えてください。

　四角形ＡＢＣＤの内部に点Ｐをとり、
　内部にできる４個の三角形の面積は全て等しい。
　⇒
　対角線ＡＣまたは、ＢＤの少なくとも１つは、
　四角形ＡＢＣＤの面積を二等分する。

です。たのみます。

表記法の質問です。
f(x)をｎ回微分した場合の書き方はどうしたらよいでしょうか？

>>61
ヒントありがと！

ABの長さ１３センチ、CAの長さ１１センチ、BCの長さ不明の三角形ABCがあり、
AB上にAD＝７センチの点D、CA上にEAの長さ９センチの点Eがある。
今、BCの中点をFとすると、DF,FEを一辺としDEが対角線となる正方形DFEGが書ける。
この正方形の面積を求めなさい。

>>51
えっとつまり変形すると　N^(2k) mod N! = 0　って事ですか？
これが成り立たないのを証明するのは…　難しそうですね。
あとこゆ式が成り立つことを証明できても全順列が
等確率に現れる証明としては不充分なんですね…
ふみゅ難しひ…　でも大変助かりました　ありがとうございます♪

>>30,>>38,>>45->>50
すっかり蚊帳の外になってしまいましたが、
いまっやと理解できました。
有難う御座います。

>>63

df[x]^(n)/d^(n)x
D^(n)f[x]
とかどう？

>>16
(1)
nlog(a_n)→logα
log(a_n)=(logα)/n + o(1/n)
あとはexpとれ。

(2)
(1)の逆も成り立つから、√αβ

わからない問題があるんですけど、誰か解き方を教えてください。
�@三角形ＡＢＣで∠Ａ＝６０゜、∠Ｂ＝２０゜
、ＡＢ＝１のとき、１／ＡＣ−ＢＣの値は？
�Aサイコロを１回振って、１、２、３のいずれかがでれば
２点。４、５のいずれかがでれば１点。６が出れば０点。
サイコロを繰り返しｎ回振って、得点の合計がｋになる確率
をＰｎ（ｋ）と表す。
Ｐｎ（ｎ＋ｋ）／Ｐｎ（ｎ−ｋ）　（０≦ｋ≦ｎ）
をできるだけ簡単な式で表すと？

f(x) = { x^3sin1/x + xsinx (x=/=0)
{ 0 (x=0)
で与えられているとき、
(1)f(x)はx=0で微分可能である事を示し、f'(0)を求めよ。
(2)f(x)はx=0で極小値をもつことを示せ。

------------------------------------------------
とゆう問題があったのですが、まず(1)で、微分可能を示すにはこの
場合どうすればいいのですか。教えてください。
次に(2)で、x=0で極小値もつことがいえるためには何がいえれば
いいんですか？
結構がんばってはみたんですが・・・おねがいします！

>>70

自分でどこまでやったかぐらいかけ
ヴォケ！

問題集をやってて次の２問が解けなくて困ってます。
�@整式f(x)は恒等的に
　f(x^2)=x^3f(x+1)-2x^4+2x^2
を満たすとき、f(x)を求めよ。
�A方程式ａχ^2+bχ+c=0の解をαとする。a>b>c>0ならば|α|＜1である
ことを証明しなさい。

70=73
宿題は自分でやりましょう

>>65
27.2

>>71
>まず(1)で、微分可能を示すにはこの
>場合どうすればいいのですか。教えてください。

lim[x->0]f(x)=f(0)
を示せばよい。

>>73
αは実数？

>>73
x^3f(x+1)ってx^3・f(x+1)の事だよね？

fをk次多項式とする。
左辺の次数＝2k
右辺の次数＝max{3+k,4}
よって
2k=4且つ3+k≦4
or
2k=3+k且つ4≦3+k
よって、k=3となり、f(x)は3次式。
後は
f(x)=px^3+qx^2+rx+s
と置いて、元の式に代入すればよい

夏休みの宿題コーナーかよ！（笑

厨房コーナーと分けてもらいたいな。
くだらねえの方がレベル高かったりして（ｗ

次の問題がさっぱり分かりません。
どうすればいいのか教えてください。

３次元球体
B³={x∈R³|||x||≦1}
の点について同値関係〜を次のように定める。
x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)∈B³

x〜yとは次の(a),(b)のいずれかが成り立つ事である。
(a)x=y
(b)x,y∈∂B³で、あるσ∈S3が存在して
yj=xσ(j) (j=1,2,3)
と表わされる。

S3は３次対称群を表わす。Xを同値類
X=B³/〜
とし、自然な写像p:B³-->Xによって商位相を入れる。

(1)Xは微分多様体の構造を持つか？
(2)XのZ係数ホモロジー群H*(X;Z)を求めよ。

Xは万華鏡のような図形です。
一般にB³は多様体にならないですが、
この場合商位相によって上手く開集合が取れるかも知れず、
どうすればいいのか分かりません。

>>71
(1)平均値の定理を使う。
(2)f(x) = (x^2)*{x*sin(1/x) + sin(x)/x}
と書くと 0<|x|<<1 のとき {...}>0 であることがわかる。

俺のもっている本に
不可思議の次は無量大数だと書いてあった
なぜなんだろう
ちなみに無量大数は１０の６８乗らしい

とりあえず無量大数は数なのだから
１無量大数などと書くのだろう
（無量大数は単位？だから億などと同じ用に前に数字をつける）
1無量大数の次は当然１無量大数１になる
（１億の次が１億１になるのと同じ）
じゃあずっと次の数字は２無量大数になる
（１億→２億）
じゃあもっともっといくとどうなる
９９９９無量大数になるだろ
その次はどうなんだ？
１万無量大数か？
（９９９９無量大数１というつっこみはなし）
１万億といっているようなものだ
たぶん１万億などというものはないはずだ
もし１万無量大数があるとして
それでさらにすすむと１兆無量大数になるのか？
で１京無量大数になるのか？
でさらに１無量大数無量大数無量大数とかいう
きちがいな数がでてくるのか

結局俺は無量大数は
数ではないと思う
理由は↑な
実は違うかもしれないがな

では↑の感想をどうぞ

>>83
不可思議も無量大数も漢数字における単位です（万とか億とかと同じね）
で漢数字では九千九百九十九無量大数九千九百九十九不可思議…（略）…九十九
までしか表せないという話であって無量大数が数ではないって事ではないです。

余談だけれどローマ数字だともっと上限が早いんじゃないかなぁ…と思う。
それがどーゆ数字かは知らないけれど。

ＩＤにutuと出たら氏ぬスレ(Ver.2)
http://www2.bbspink.com/test/read.cgi?bbs=ascii&key=997199631&ls=50

より、ＩＤにutuと出る確率を教えてください。

参考：

http://www2.bbspink.com/test/read.cgi?bbs=ascii&key=997199631&st=134&to=134&nofirst=true
http://www2.bbspink.com/test/read.cgi?bbs=ascii&key=997199631&st=140&to=140&nofirst=true

>>85

＞９９９９無量大数になるだろ
＞その次はどうなんだ？

10の72乗

下の問題を別板で聞かれたのですが、出題者が正解を示さないので、ご面倒ですが正解と解法をお示し下さい。
正解がわからないとすっきりしないので。

9個の異なる玉を3組に分ける方法は何通りあるか。
ただし組に区別はつけず0個の組はあってはならない。

つまらん問題で、ご面倒おかけしてすみません。

>>85
(2^3*6*64^5-2^5*4*64~3-2*2^7*2*64-(2^3*2^3*6*64^2-2^5*2^3*2))/64^8
左から
utu
ututu
utututu
utuが二つ
ututu とutu
に関する項です。

>>88
まず組に区別をつけて考えます。
０個の組がある場合もふくめると、
各玉が３つの組に属する可能性があるので
3^9通り
０個の組がある場合は
3*2^9-3通り
よって0個の組を除くと
3^9-(3*2^9-3)通り
組を区別しないので
(3^9-(3*2^9-3))/6=3025通り

あんまりすっきりしない回答ですが。

>>90
なるほど、重複登場時を除外するのを忘れてたってわけですね。

>>91
ありがとうございます。
やっぱりそれが正解ですよね。
出題者が間違っていると言ったまま、答えを教えてくれなかったので。
すっきりしました。

教えてください。
R^3上の関数
f:(x,y,z)→(y+z,z+x,xy)
とし、２次微分形式wを
w=x^2・dy∧dz
とした時に、wのfによる引き戻し
f*w
はどうやって求めればいいのでしょう？

z=f(x,y) x=rcosΘ　y=rsinΘ　のとき
(1) Zr,ZθをZx,Zy,R,Θ　を用いて表せ。
(2) Zx,ZyをZr,Zθ,R,Θ　を用いて表せ。
という問題がわかる人、いますか？おねがいします。

>>95
Θ=s
Zr=coss・Zx+sins・Zy
Zs=-rsins・Zx+rcoss・Zy

>>95
>>96から逆行列を用いて
Zx=cossZr-sins/r・Zs
Zy=sinsZr+coss/r・Zs

132人目の素数さんありがとうございました。

>>62
挑戦してみる。
以下平面上の２点ＸＹについて[ＸＹ]でＸＹベクトルをあらわす。
また外積に関する知識は証明なしでつかう。
ＡＢＣＤはこの順に正の向きにあるとする。
仮定にあるＰがＡＣにないと仮定する。ＡＣの中点をＭとする。
[ＰＭ]=(1/2)([ＰＡ]+[ＰＢ])はＰがＡＣ上にないので０ベクトルではない。
2(ＡＢＰの面積)=[ＰＡ]×[ＰＢ]
2(ＢＣＰの面積)=-[ＰＢ]×[ＰＣ]
より[ＰＢ]×([ＰＡ]+[ＰＣ])=0。∴[ＰＢ]×[ＰＭ]≠０
[ＰＢ]も[ＰＭ]も０ベクトルでないのでＰＢＭは一直線上にある。
同様にしてＰＤＭも一直線上にある。よってＢＤは直線ＰＭ上に
ある。それは対角線ＢＤ(の延長)にひとしい。よってＰは対角線ＢＤ
上にある。
以上によりＰはＡＣ上にあるかもしくはＢＤ上にある。
もしＰがＡＣ上にあればＡＣがＡＢＣＤを２等分し
もしＰがＢＤ上にあればＢＤがＡＢＣＤを２等分することがわかる。
以上。あってると思う。

あや。まちがってら。
×:2(ＢＣＰの面積)=-[ＰＢ]×[ＰＣ]
○:2(ＢＣＰの面積)=[ＰＢ]×[ＰＣ]

まただ。もうまちがってない自信喪失。
×：∴[ＰＢ]×[ＰＭ]≠０
○：∴[ＰＢ]×[ＰＭ]＝０

Z[√２]の単数群をできるだけ具体的に知りたいのでどなたか教えてください。
参照する本などの紹介でもありがたいです。

>>62
　四角形ＡＢＣＤの内部に点Ｐをとり、
　内部にできる４個の三角形の面積は全て等しい。
　⇒
　対角線ＡＣまたは、ＢＤの少なくとも１つは、
　四角形ＡＢＣＤの面積を二等分する。

「Ｐが対角線上にあるなら」という仮定が抜けてませんか？
お望みなら証明も書きますが。

>>99
外積は分からないけども、
「ＰＢＭは一直線上にある」
「ＰＤＭも一直線上にある」
から
「直線ＰＭが直線ＢＤに等しい」
は導けないと思われるが。
ＢＤ上にＭがない場合があるので。

>>103
なぜ？ＰＤＭMが一直線にあるならＤは直線ＰＭ上にあるし
ＰＢＭMが一直線にあるならＢも直線ＰＭ上にあるし
ＢもＤも直線ＰＭ上にあるので直線ＢＤ上は直線ＰＭに一致するんじゃないの？

>>104
じゃ反例をば。
∠Ａ＝90度、ＡＢ＝ＡＤとして、Ｃを十分遠くにとると、
ＡＣの中点ＭはＢＤ上にないですよね？

証明書きなおしてたらちょっとあやしげかもｗ

>>105
それは反対例にならない。反例というなら
「ＰＢＭは一直線上にある」
「ＰＤＭも一直線上にある」
という４点ＰＢＤＭで
「直線ＰＭが直線ＢＤに等しい」
ことが言えない例をあげなくては。

すんません。
E(n) = 0 (n <= 0)
E(n+1) = 7*E(n)/6 - E(n-6)/6 (n > 0)
の一般解を知りたいのですが。

あ、E(1)=1です。

>>106
確かに。
大変失礼いたしました。

でも直線ＢＤは直線ＰＭに一致しない例があるのは
同意していただけますか？

>>102
Dirichletの単数定理よりZ[√2]の単数群はtorsion×Zと同型。
明らかにtorsion={±1}だから、free partの生成元をεとすると
Z[√2]の単数群= <-1>×<ε> となる。
εの共役や±εもfree partの生成元となり得るから、
ε=a+b√2 (a,b≧0,(a,b)≠(0,0))と仮定してよい。
ということは、a+b√2 (a,b≧0,(a,b)≠(0,0))という形をした単数の中で
最も小さいものがεである……以下略

>>109
それは同意するけど問題は
　４角形ＡＢＣＤ(多分凸４角形)とその内点ＰがありＭを
　ＡＣの中点とする。三角形　ＡＢＰ、ＢＣＰ、ＣＤＰ、ＤＡＰの
　面積がひとしくかつ(証明中の仮定)ＰがＡＣ上にないとき
　直線ＢＤと直線ＰＭが等しくないことがあるか？
について反例をあげないと。>>99の証明でもこれらの事実を利用して
ＰＭ＝ＢＤを証明してるんだから。そんな反例もってるの？

>>109
仮定抜けてる。
ＰがＡＣにある場合じゃないの？

>>111
面積が等しいってところをすっ飛ばして考えてたようです。
すいません。

答えは１ｋｊです

教えてください。
複素数列anが
�納n=1,∞]|an|^2 < ∞
を満たす時、
�納n=1,∞]|an|
はCauchy sequenceになりますか？

次の問題を教えてください。

H:Hilbert space
B(H):Hのbounded operator

(1)B(H)は通常の線形演算と作用素ノルムによってBanach spaceになる事を示せ。
(2)A∈B(H)に対して||A*A||=||A||^2を示せ。
但し、A*はAの共役作用素であり||A||はAのノルムである。
(3)S∈B(H)が等長作用素であるとは、任意のk∈Hに対して
||Sk||=||k||が成り立つ事とする。
{Sn}をB(H)内の互いに値域が直交する等長作用素の列、
{an}を�納n=1,∞]|an|^2 < ∞　を満たす複素数列とする。
この時、�納n=1,∞]anSnが作用素ノルムに関して収束する事を示せ。

(1),(2)は解けました。
(3)で
Kn=�納j=1,n]ajSj
と置いて、KnがCauchy sequenceである事を示そうとしたのですが
上手くいきません。
n < m として
||Kn-Km||=||�納j=n-1,m]ajSj|| ≦ �納j=n-1,m]|aj|・||Sj||
=�納j=n-1,m]|aj|
としたのですが、n.mを無限大に飛ばした時�納j=n-1,m]|aj|が
0に収束するかどうか分かりません。
�納j=n-1,m]|aj|は0に収束するのでしょうか？
それとも、別の方法でないと解けないのでしょうか？

値域が直交することを使えば x∈H に対して
|| Σa_iS_ix ||^2 = Σ || a_iS_ix ||^2 = Σ |a_i|^2 ||x||^2
だから
|| Σa_iS_i || = Σ |a_i|^2

|| Σa_iS_i || = ( Σ |a_i|^2 )^(1/2) だった

なんか新しい論文ない？

(1)lim 1-cos3x/x*x
x→0

(2)lim√1+x/logx
x→∞
の問題がわかる人教えてください。おねがいします。

化学の論文を読んでいたら、tanh(x)という関数が出てき
たんですけど、具体的にどういう関数なのでしょうか？
最終的にはBASICのプログラムで、そのルーチンを作りたいのですが・・・。

tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

前回はありがとうございました。

さて，さいころをｎ回なげて１の目がでる確率をｆ（ｎ）とする．
ｆ（ｎ）が最大をとるｎの値を求めなさい．

をお願いします。

>>123
問題文の意味がわからない・・・。

確率が最大になるｎという意味？

>>117-118
どうも有り難う御座います！！

>>120
ごめん、式が分かりにくい。

(1)は
lim[x--> 0] {1-cos3x}/(x^2)
で
(2)は
lim[x--> ∞] √(1+x)/logx
って言う事？

>>120
一般に
lim[x--> 0]f(x)=0
lim[x--> 0]g(x)=0
となる関数f,g,に対して
lim[x--> 0]f(x)/g(x)
=lim[x--> 0] {f(x)-f(0)}/{g(x)-g(0)}
=lim[x--> 0] {(f(x)-f(0))/x}/{(g(x)-g(0))/x}
=lim[x--> 0] f'(x)/g'(x)
と考える事が出来る。

127が言ってるとうりの問題ならロピタル使ったらいいのでは？

距離空間の問題です。

距離空間<X,d>からそれ自身への写像fが任意のx,y∈Xに対して
d(f(x),f(y))=d(x,y)
とする。
Xがコンパクトならばfは全射である事を示せ。

コンパクト性から、ある正数Mが存在して、任意のx,y∈Xに対して
d(x,y)<M
となる事が分かりました。
全射でないと仮定してf(X)に含まれない点pを取って
矛盾を導こうと思ったのですが、上手くいきません。
どうすればいいのでしょうか？

すいません。120の問題は不定形の極限を求めよ、という問題です。
式は127であっています。

>>130
Ｘが連結って条件ぬけてるだろ。Ｘが連結でなかったらいくらでも
反例あるぞ。
そこで連結として話をすすめる。Imfが１つの連結成分だといえれば
よい。つまり開かつ閉であることをいえればよい。
閉であることは距離空間のコンパクト集合だからあきらか。
開であることはｙをImfでない点とする。実数値関数d(f(?),y)
は仮定から正値連続関数で像はコンパクトなので最小値ｍをとる。
このときｙを中心とする半径ｍ／２ボールはImfとまじわらない。

>>132
うわ〜まちごうた。>>132はでたらめ。無視してくれ〜。

俺は東大の物理学科の学生なんだけど、おまえらの所属している
私大とか地方国立大の数学科にいるやつってどれくらい数学の勉強してるんだ？

たとえば、本に載ってる定理の証明とかスラスラできるのか？
話しを聞いてやるから語ってみろよ。

俺はスラスラできるんだけどね・・・。

>>134
痴呆ドキュソ大数学科です。
コーシーの積分定理の証明をすらすらやってください。
もちろん、（可能な限りの）一般閉曲線についてです。

>>134
学歴板へ逝ってください。

>>134
このスレでまだ解かれていない問題を解いてあげなさい

>>137
なんでも解いてやるから、番号書いてみろよ。

>俺は東大の物理学科の学生なんだけど、

嵐山か？
随分態度がでかくなったな。

>>138
t:時刻、t>0
x(t):tの実数値関数、連続、微分可能
a(t):tの実数値関数、連続
b(t):tの実数値関数、連続

dx/dt=x(t)・{a(t)-b(t)x(t)}・・・(e)

この時
(1)x(0)>0ならば(e)の解x(t)はt>0に対して常にx(t)>0である事を示せ。
(2)x(t),y(t)を(e)の二つの解とする。
x(0)>y(0)>0であれば、任意のt>0に対して,x(t)>y(t)>0である事を示せ。
(3)x(t),y(t)を(e)の二つの解とする。
x(0)>0,y(t)>0ならば、ある定数C>0が存在して
lim[t→∞]y(t)/x(t)=C
である事を示せ。
(4)ある解x(t)>0に対して
∫[0,∞]b(s)x(s)ds=∞
とすれば、任意の解y(t)>0は
∫[0,∞]b(s)y(s)ds=∞
を満たし、
lim[t→∞]y(t)/x(t)=1
となる事を示せ。

>>138
(1)数列anを an＝n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき lim[n→∞]an をもとめよ。
(2)極限lim[n→∞]({∫[0,1]x^(n-1)・e^(x^2)dx}/{∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx})
を求めよ。

>>134
あなたそんなことやってたの？
ごくろうさま、私が超電導物質発見してる間に。

>>130
再挑戦。以下でXの部分集合Sの直径diamSをsup{d(x,y)|x,y∈S}でさだめる。
もしimf=Xでないとする。y∈X＼imfをとる。imfはコンパクト距離空間
のコンパクト部分集合であるためe=d(imf,y)は正の値となる。そこでXの
open cover X=∪[i∈I]U_iを各U_iの直径がe未満でIが有限集合でその数が最小
となるものをとる。y∈U_λなるλ∈Iをとる。U_λとimfは共有点をもたない
ためJ=I＼{λ}とおくと∪[i∈J]U_iはimfをふくむ。よってこのとき
∪[i∈J]f^{-1}(U_i)はXのopen cover。いっぽうfに関する仮定から
diamf^{-1}(U_i)はすべてe未満。これはIの最小性にはんする。
どうよ。

>>143
なるほど。
それで示せているみたいです。
fは連続写像だったんですね（今まで気付かなかった・・・）。

どうも有り難う御座います。

すみません、線形代数で出てきたんですけど
正定値ってなんですか？

>>145
正の定数

2-formの正定値でないかい？

行列Aは正定値とするって感じで出てきたんですけど
正の定数じゃないと思うのですが・・・・>>146
正値形式のことですか？>>147

>>110
ぽ 様。ありがとう御座います。
助かりました。

3+2√2

>>69
有難う御座います。

>>147
行列Ａが正定値とかいうのはふつう対称行列のときだが，
固有値がすべて正のことだ。
Ａを係数行列とする２次形式 Σa_ij x^i x^j
が x_1=・・・=x_n=0 の時を除いて正の値をとる
ことと同値

次の不定形の極限を求めよ。
(1)lim[x→0]{1-cos3x/x*x}
(2)lim[x→∞]{√(1+x)/logx}
この問題をどなたか解ける人はいませんか？教えてください。
おねがいします。

>123
すみません。問題文が抜けてました。

さいころを100回なげるとき，１の目がｎ回出たときの確率をｆ（ｎ）とする。
ｆ（ｎ）を最大にするｎの値を求めなさい．

でした。たぶんこれでいいと思うんですが．．
よろしくお願いします，

頭ならしに･･･、
次の数字はある規則に従って配列されている。□に適する数字をいれよ。
第一問　１，２，３，４，５，□，７，１６
第二問　１，２，３，□，３，４，３，４，５
第三問　２，６，１２，２０，３０，□，５６，７２
まあ時間つぶしにでも･･･

>>152
だから、分母と分子を微分するんだって。
>>128を読め。

>>152
(1)
lim[x→0]{1-cos3x/x*x}
=lim[x→0](1-cos3x)'/(x^2)'
=lim[x→0]3sin3x/2x
=lim[x→0](3sin3x)'/(2x)'
=lim[x→0]9cos3x/2
=9/2

(2)は適当に変数を変換する。

数列の問題で
b_k+1=2^k+2b_k
をどう解けばいいのでしょうか？
b_0,b_1などは適当に使っていいとします。

>>157
両辺2^(k+1)でわって１日かんがえてミソ。

>>153
nCkをコンビネーションとして
P(k)=100Ck・(1/6)^k・(5/6)^(100-k)
P(k)とP(k+1)について増加しているか減少しているかを評価すればよい。

>>158
おお、成る程。
どうも有難う御座います。

f:[0,∞)上の連続的微分可能な関数
f(x),xf'(x)が共に有界。

(1)任意のa>0について広義積分
I(a)=∫[0,∞] sinax/x・f(x)dx
は収束する事を示せ。
(2)f(0)=0の時、lim[a-->+∞]I(a)を求めよ。

(1)は|f(x)|≦Mとして
|∫[0,∞] sinax/x・f(x)dx|≦M|∫[0,∞] sinax/xdx|
とすれば解けるのですが、(2)をどう解いていいのか分かりません。
教えてください。

Aは固有値がすべて正のn次正方行列、Bはn次正方行列、列ベクトルX=(x_1,・・・,X_n)^t
をn次ベクトルとして　f(x)={(x^t)Bx}/(x^t)Ax
がx=ｂで最小値、x=aで最大値を持つとすれば
(a^t)Ab=0を示せ。ただしx^tはxの転置した行ベクトルとする。

教えてください。

>>49
dっていうのは「何らかの整数」という意味だろう。多分。
ランダムな順列を作るなら、>>25の方針じゃなくて、こんなのはどう？
1. 1〜Nのカードを順に並べる。
2. 1以上N以下の一様乱数kを作り、k=Nならそのまま、そうでなければ
Nのカードとkのカードを交換する。
3. 1以上N-1以下の一様乱数kを作り、k=N-1ならそのまま、そうで
なければ左からN-1番目のカードと左からk番目のカードを
交換する。
3. 1以上N-2以下の一様乱数kを作り、k=N-2ならそのまま、そうで
なければ左からN-2番目のカードと左からk番目のカードを
交換する。
4. 以下繰り返し。
思いつきだから間違ってるかもしれないけど。

おっと、>>49は>>44ね。

あ、番号も狂ってるな。
補足だけど、プログラムで実装するときは、乱数の扱いに
十分注意すること。
たとえばCなら、rand()%n+1 ではなく
rand()/(RAND_MAX/n)+1 (nはint型) とするのが吉。

∞！って何になんの？
何かにはなるらしいんですけど、最後まで教えてくれませんでした。
ガセネタでしょうか。

実数の連続性って、何なの？
この連続性の性質は、公理によって付されている性質なの？
それとも、実数を定義するもっと根本的な条件があって、
その必然として、導かれる性質なの？

>>167
“実数が連続”という概念はないよ。>>167さんはルート２スレの人？
あのスレでもつっこみが確かつっこみがはいってたと思うけど
それをいうなら正しくは“完備性”というもので切れ目がないって
ことだと理解されたし。

　学校では、有理コーシー列の極限となるもの全てから成る
集合が、たしか実数と習ったような気がします。
その集合は完備性を備えているというんですよね？
　けど、この説明は良くわからないんですよ。
自然数は、ペアノの公理系を満足する集合で、１を無定義の出発
点として、２，３，４、、、、って言う風に数が定義されていって
つぎに、整数、有理数っていうふうにどんどん、自然数の集合が拡張
されて行く訳ですよね？　自分は、数直線で数を理解するのがどうしても
馴染めないもので、よく悩んだんですが、この最後の実数と、有理数の
関係が理解できません。やっぱり、授業で習ったように、この有理数の
集合に、有理コーシー列の極限となるべき対象を付加した集合が実数で
その実数は、結果的に、連続性の公理である「上限下限の存在」などの
性質を持つようになるのですか？　けど、そうだとしたら、連続性の
公理を”公理”と呼ぶ意味がないように思われます。公理は、概念を
定義する際の条件や、その概念が満たすと証明抜きで認める性質の事
を言うんですよね？　　それでは、変じゃないでか？
　ちなみに、私は、√２の人ではありません。

>>169
極限を加えただけでは連続かどうかは分からないんでは？

>>169
おお。なんと専門的な疑問。その疑問に答えるには私は力不足のようなのですが
わかる範囲で答えてみます。ちょっと長くなるかもしれないので興味ないひと
(あるいはうさんくさいな〜と思う人)はよみとばすべし。

そもそも“〜とは何か？”という疑問に答えるのは大変むずかしいのです。
なぜならその疑問に答えるとその答えにはまた別の概念をふくめねばならずまた
新たな“〜とは何か？”という疑問に答えなくてはならなくなるからです。
これをさけようとCantor,G.というひとが“素朴集合論”というものをつくりました。
これは
　(1) すべてのものは集合である。
　(2) すべての集合Ｓは命題Φ(X)により{X|Φ(X)}なる形をしている。
　(3) すべての命題ΦはX∈Yなる形の命題を∀,∃,not,or,and,⇒
　　　などの記号で(ある規則で)連結したものである。
　(4) すべての命題Φにたいし
　　　Φ(X)⇔X∈{X|Φ(X)}　
が成立する。というものです。これによって“集合は命題によって定義され命題は
集合によって定義される”ため前述のようないたちごっこをたちきろうとしたわけ
です。しかしこの方法は有名な“Russelのparadox”によって否定されたため失敗に
おわりました。
そこで代用策としてつくられたのが“ZF集合論”というものでそこではいくらかの
定義できない“無定義概念”“無定義熟語”をみとめねばなりませんでしたが、
一応そのなかで現代数学のおもだった概念を“再構成”することができました。
(このような作業を“モデル化”といいます。)
たとえば自然数は>>167さんがおっしゃられているとうり一般にはペアノの公理と
いわれるものを満たすtriple(N,0,~)とするものですがそのモデル(平たくいえば例)
として
　N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},....}
　0=Φ
　X~=X∪{X}
がとれるのでZF集合論を(つまりその“無定義概念”“無定義熟語”“公理”を)
みとめれば自然数論もみとめることができます。同様にして次々にZF集合論のなかに
“有理数”、“実数”といったものをある特殊な集合の組として実現していくことが
できます。その一例が>>167さんのいわれた実数を“コーシー列(の同値類)”として
理解する方法です。これによりいわば“ZFさえ磐石ならすべての数学もまたしかり”
となるわけです。

　しかしこの方法も完全ではありません。まず“ZFさえ磐石ならすべての数学もまた
しかり”は裏をかえせば“ZFこければみなこける”となります。しかし仮にZFがこけた
としても(つまり矛盾をはらんでいたとしても−現代数学者の多くはそんなこたーない
と思っていますが)その中でモデル化されていた理論がすべて矛盾しているわけでは
ないはずです。自然数の例でいえばZFのなかにつくったひとつの“例”がおかしかった
というだけで自然数のかんがえかたすべてを否定することはできません。もっと根本的
なのはあくまでそれはひとつのモデルにすぎないということです。たとえば２とは
３とは５とはというと大変哲学的になってしまいますがそもそもは
　２本＋３本＝５本
　２個＋３個＝５個
　２人＋３人＝５人....
といった“共通性”が２であり３であり５であったはずで“２とは{Φ,{Φ}}のこと
である。”と説明されてなっとくする人はいないでしょう。つまりこの時点でわれわれ
は“２とはなにか”という疑問について答えたというよりは“２みたいなもの”を
ZFのなかにつくりあげたにすぎません。
結論からいってしまえば“２とは何か”という問いにこたえることはどうも不可能で
あるようです。それはほとんど哲学の問題に思えます。そこで“２とは何か”、
“３とは何か”に答えていくよりも“それらの性質の何と何から何がいえるのか？”
を問うことのほうがより建設的であるという立場にたつこととします。これが
公理主義というものです。この立場では“〜とは何か”という説明よりも“〜とは
どんな性質をもつものか”という問いが重要となりそれがたとえば実数論における
「上限下限の存在」などであるわけです。この立場ではもはや２とは{Φ,{Φ}}では
ないのです。ただしくは
　自然数論の公理を満たす３対(N,0,~)における２とは0~~のことである。
　その一例として(モデルとして)({Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},....},Φ,?∪{?})における
　{Φ,{Φ}}がある。
となるわけです。
もちろんこの２つの立場は相互が足りない部分をおぎなうような相補関係にあるので
どちらも理解しておく必要があります。つまり“ZFのなかで実数とはどうモデル化され
ているのか”、“実数とはどんな機能、性質をもつものなのか”です。
>>167さんはこの２つの立場があることを無意識に感じとられて混乱を感じられたんだ
と思います。
以上私見ですが簡単にまとめてみました。しかし基礎論は学部時代に独学でかじった
程度なのでぜひその道のひとのかかれたものなどをよんでウソかいてる部分を
なおしてよんでください。たぶんほとんどウソです。
なお公理論的集合論については以下のサイトが参考になると思います。
自然数論についても簡単にふれられています。

http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kada/html/settheory.html

>>169
有理数体の完備化として実数という定義に、連続の公理は含まれている。
（完備性＋Archimedes性　は連続の公理として採用出来る）

実数の定義は一つじゃないんだよ。
連続の公理を用いて実数を定義してもいいし、
逆に、完備性を用いて実数を定義してもいい。
どっちを用いても同じものが出来上がる。

関数解析の質問です。

直交射影P,Qとした時
PQ=QP
は成り立つのでしょうか？
成り立つとしたらどうやって証明すればいいのでしょうか？

指定された階数の偏導関数をすべて求めよ。

(1)f(x,y)=x-y/x+y (2階)
教えてください。お願いします。

>>176
そのまんま。
何も悩む事はない。

この問題をどうやって解けばいいのか教えてください。

X:Banach space
A:Xの有界作用素
σ(A):スペクトル集合
g:正の向きのジョルダン曲線でσ(A)と交わらないもの

P=-1/2πi・∫[g] (A-z)^(-1)dz

この時P^2=Pを示せ。

gの内部にσ(A)が入っていない時にはコーシーの積分定理より
P=0となると思うのですが、そうでない時にはどうやって
考えればいいのでしょうか？

176の問題をそのまんまと言われても、本当にできないのです。解答を教えてください。

一階x:1+y/(x^2)
y:1-1/x
二階xx:-2y/(x^3)
yy:0
xy:1/(x^2)

180は読み方がわかりにくいですね。
xyは、fをx微分してy微分した意味です。

f(x,y)　を 　x について微分する fx(x,y)
y について微分する fy(x,y)
それが 1階の偏導関数だわな。
（この計算自体は大丈夫か？）
fx(x,y),fy(x,y)をxについて微分する
yについて微分する
とすれば、求まる。

質問意図が (x-y)/(x+y) を x についての微分がわからないということ
をふくんでいるのなら高校の教科書から復習すべし。

定積分の計算です。
∫（０→１）X^Xdx

よろしくお願いします。

１８３のものです。
答えは小数点以下第二位まで求めよとのことでした。
解き方を教えてください。宜しくお願いします。

>>184
∫[0,1](xlogx)^n/(n!)dx
は求まる？

>>184
x^x=e^(xlogx)=�納k=0,∞] {(xlogx)^k}/k!
より、
∫[0,1](xlogx)^n/(n!)dx
が求まれば答えが出てくると思われる。

１８４です。ちょっと頑張ってみます。
X^X＝e^Yとおいて解こうとしてました。
とりあえず、頑張ってみます。

また報告に来ます。１８５さん、１８６さんありがとうございます。

関数解析の質問です。

X:Banach space
A:X上の有界線形作用素
||・||:作用素のノルム

でA^(-1)が存在する時、一般に||A||と||A^(-1)||との間に
どんな関係があるのでしょうか？
||A||=||A^(-1)||となるのかならないのかで悩んでいます。

数学板はなんで質問スレが二つあるんでしょうか？
内容による使いわけとかはあるのでしょうか？

>>188
なるわきゃねーだろ A=2I でも考えろ
1 ≦ || A || || A^(-1) ||
は常に正しいけどな

>>190
そういわれればそうですね、有難う御座います。

>>189
二つあったほうが便利だから。
ローカルルールの変更申請する回数も減らせる。

一つだと質問が増えすぎて、質問する側も回答する側も大変になる。
まぁもっと人が増えれば分野ごとにスレを分けたほうがいいかもしれない。
今は2つが丁度いいんじゃないの。

Σの上についてるn=□の□の部分が割り切れない場合って頭で考えるほかないんですかね。たとえば√3とか・・・
あ、ちなみにこれは問題ででたわけでなくてふっと思ってわからなかったからかきました。
みなさんやっぱり数列のところで苦労しましたか？

これマジ分らないので教えてください！

f(x)は閉区間[0 1]で連続とする

∫[0 1]f(x)dx=0 ∫[0 1]xf(x)dx = 1/4 であるとすれば
f(c)>1を満たすcが[0 1]に存在することを示せ。

昨晩はありがとうございます。
疑問点が二点出ました。
x^x=e^(xlogx)=�納k=0,∞] {(xlogx)^k}/k! はテーラー展開でしょうか？
また、リーマン積分で、項別積分が可能なのはどういったときでしょうか？
の二つなのですが、今日家に帰ってから調べます。

一応、問題は解けたので、ありがとうございました。

衆生救済のため今、数学板に降臨！
>>194
∫[0,1]f(x)dx=0 と ∫[0,1]xf(x)dx = 1/4 から
1/4 = |∫[0,1](x-1/2)f(x)dx|
　≦ (max|f(x)|)∫[0,1]|x-1/2|dx =max(|f(x)|)/4

あたまいいなぁ・・・

お前とではステージが違う！！！

あのうー。ドキュソと夏厨はどういう意味なんですか。2ch語がよくわかんないです。あと，厨房は中学坊やのことですか？他にもいろいろあったような。

>>178

ご自身で分かっておいでのように思いますが．．．

>gの内部にσ(A)が入っていない時にはコーシーの積分定理より
>P=0となると思うのですが、そうでない時にはどうやって
>考えればいいのでしょうか？

基本的に，スペクトル分解ができる場合で考えると，
g の内部に入っている固有値に対応する固有空間だけ
複素積分が1になりますから，スペクトルの内
g の内部に入っている成分に対応する固有空間への
射影演算子になります．射影演算子だから当然 P^2=P．

あとは岩波講座基礎数学関数解析III(藤田，黒田)を
図書館で探して，「§6.2作用素の関数」の
c) Dunford積分から必要に応じて遡っていけば
一般の場合もレゾルベントの性質によって切り抜けられる，
と期待します．

っていうか，gの中にあるスペクトル成分に対応する
空間に制限すれば恒等作用素になることを証明すれば
いいのだよね，きっと．

>>161

>(1)は|f(x)|≦Mとして
>|∫[0,∞] sinax/x・f(x)dx|≦M|∫[0,∞] sinax/xdx|
>とすれば解ける

それじゃだめ．| ab+cd | ≦ max{|a|,|c|} (|b|+|d|) であっても，
|ab+cd|≦max{|a|,|c|} |b+d| は不可(b=-d の時反例容易)．
君のやりかただと
≦ M ∫| sin ax / x| dx = ∞
で意味のある評価にならない．

王道は，たぶん，ε＞０を任意に取ると，
f が連続だから |x|＜δ では |f(x)-f(0)|＜εとなるδが
とれるので，
(1) |x|＞δ からの寄与は a→∞で小さくなること．
従って，（このことを f と f=1 に使って）
∫ sin ax/x は ∫[|x|<δ] sin ax/x に
∫sin ax/x f(x) は ∫[|x|<δ] sin ax/x に
それぞれ近い．
(2) |x|＜δからの寄与は f を f(0) で（誤差εで）
近似できるので f(0) ∫[|x|<δ] sin ax /x に近い（差が
定数かけるεで押さえられる)．

の二つを言うことで (1)(2) がほぼ同時に解決する
のでは？

あぼーん

>>201
有難う御座います。

質問です。
r=|1-e^(2πi/5)|
とした時
rの有理数Q上の既約方程式をどう求めればいいのでしょうか？

どなたか教えてください。
(1)関数 f(x)=√(1+2x) のx=0におけるテーラーの公式を３次の項まで
示せ。剰余項R4形も正確に書くこと。

(2)２変数関数　f(x,y)=1/(1-x+2y)＾2 の(0,0)における主要部(一次近似式)を求めよ。
おねがいします。

>>205
(1)f(x)=��(an*x^n)
f^(k)(x)=�婆!*an*x^(n-k)
f^(k)(0)=k!*an

教えてください。

f∈L^2(R)
g(x)=∫[-∞,∞] f(x-y)f(y)dy
(i)g(x)は有界連続関数である。
(ii)lim[|x|-> ∞] g(x)=0

>>205
よく覚えてないけど
f(x,y)=f(0,0)+∂f/∂x(0,0)*x+∂f/∂y(0,0)*y+α
こんな感じじゃないの？

>>196
ありがとうございます
ついでに、そういうぎりぎりの評価を思いつくコツってあるんでしょうか？？

>>201
＞(2) |x|＜δからの寄与は f を f(0) で（誤差εで）
＞近似できるので f(0) ∫[|x|<δ] sin ax /x に近い（差が
＞定数かけるεで押さえられる)．
これダメ。
∫[|x|<δ] |sin ax/x|dx→∞ (a→∞)
だからダメ。

>>200

レス有難う御座います。

|z|＞||A||　==> zはレゾルベント集合の要素
だから、|z|＞||A||の時は
(A-z)^(-1)=-1/z{1+A/z+(A/z)^2+(A/z)^3+・・・}　・・・(1)
と展開でき、z=Re^(iθ)
とすれば
P=-1/2πi・∫[g] (A-z)^(-1)dz = 1
となるようですが、必ずしも|z|＞||A||ではない時には
(1)の展開が収束するとは限らず、
どうやって求めればいいのかが解らないです。

どなたか教えてください。
(1)関数 f(x)=√(1+2x) のx=0におけるテーラーの公式を３次の項まで
示せ。剰余項R4形も正確に書くこと。

(2)２変数関数　f(x,y)=1/(1-x+2y)＾2 の(0,0)における主要部(一次近似式)を求めよ。
おねがいします。
もっとくわしく解答を書いてください。すいません。

>>212
教科書を見てテーラーの公式を書いてみてください

ガンバ

x→1のとき、分子は2ｘ-1→1、分母は（x-1)(x+1)→+0　よって→∞

なぜ、分母は+0になるのですか？　なぜ、この分子と分母の関係により∞になる
のですか？

>>215

>x→1のとき、分母は（x-1)(x+1)→+0

ならないよ
x→+1
の間違いではないの？

>>212
取りあえず>>206に従って計算してみろよ。
f(x)を微分すればanが出てくるだろ？
f(x)を微分できないの？

実数t>0に対して
∫[0,t] e^(-x^2)dx
はどうやって求めればいいのですか？
教えてください。

>>218
それ、不定積分不能。
積分区間が[0,∞]の時の定積分は可能だけど。

>>219
区間が[0,t]の時には定積分は出来ないのですか？

>>195 この場合は一様収束

>>219
存在は明らかだろ。
単に初等関数として求まらないというだけでは？

ガウスの誤差関数
数値積分で求まります。シンプソンの公式その他。
２重指数関数公式だと精度がよい。
あと近似関数もいろいろあります。

>>223
具体的にどんなものなんでしょうか？

>>222
初等関数っていうかさ古典関数の組み合わせでかけるときに
積分可能っていうことがあるから
多分>>219はその意味で不能っていったんではないの？

a(x)とb(x)は共通因子を持たない⇒a(x^{n})とb(x^{n])も共通因子を持たない。

これの証明ってどうやればいいのでしょうか？お願いします。
なお、nは自然数で、a(x)とb(x)は多項式です。

>>161
>>210
これでどうよ。

(1)は 0 < s < t とする時、部分積分を使うと、
∫[s,t] sin(ax){f(x)/x} dx = cos(as)f(s)/as - cos(at)f(t)/at +∫[s,t] cos(ax){xf'(x)-f(x)}/ax² dx
であることが分かる。
両辺の絶対値を取って、三角不等式や|f(x)|,|xf'(x)| < M (有界)であることを用いて、
|∫[s,t] cos(ax){xf'(x)-f(x)}/ax² dx | < 2M/a∫[s,t] /x² dx などから
|∫[s,t] sin(ax){f(x)/x} dx | < N/sa (Nは適当な定数)となり、Cauchyであることが分かる。
よって、I(a)は収束する。


(2)は(1)で出てきた最後の式にs=2π,t=∞として適用すれば、、
|∫[2π,∞) sin(ax){f(x)/x} dx | < N/2πa となり、a→∞の時、0に収束する事が分かる。
だから、I(a)の極限を求めたければ、∫[0,2π] sin(ax){f(x)/x} dx を考えればいい。

g(x) := f'(0)　　(x=0)
　　　　f(x)/x　(x>0)
と置くと、g(x)は[0,2π] で連続だから、一様連続。
よって、ε>0に対し、aを十分大きく取れば、
| x - y | < 2π/a ⇒ | g(x) - g(y) | <ε とできるので、[0,2π]をa等分して

.　 　 |∫[0,2π/a] sin(ax)g(x) dx |
　　< |∫[0,2π/a] sin(ax){g(x) - g(0)} dx | + |∫[0,2π/a] sin(ax)g(0) dx |
　　<∫[0,2π/a] |sin(ax)||g(x) - g(0)| dx + 0
　　<∫[0,2π/a] |sin(ax)|ε dx
　　= 4ε/a

[2πk/a,2π(k+1)/a]でも同様に評価できるから、
|∫[0,2π] sin(ax){f(x)/x} dx | < 4ε + 4sup{g(x);x∈[0,2π]}/a
∴lim I(a) = 0

もし、f(0)≠0ならば、g(x):={f(x)-f(0)}/x と置いて同様に議論すれば、
I(a)→(π/2)f(0) であることが分かる。

>>226
a(x)=(x-a1)(x-a2)・・・(x-ak)
b(x)=(x-b1)(x-b2)・・・(x-bl)

a(x^n)=(x^n-a1)(x^n-a2)・・・(x^n-ak)
=Π[j=1,k]{Π[p=1,n](x-aj*e^(2Πip/n))}
b(x^n)=(x^n-b1)(x^n-b2)・・・(x^n-bl)
=Π[j=1,l]{Π[p=1,n](x-bj*e^(2Πip/n))}

俗に言う青チャートの問題を解いていた所、次のような相加相乗の特殊な場合
の問題がありました。
a_1×a_2×a_3×…×a_n=1のとき、
a_1+a_2+a_3+…+a_n=nを証明せよ。
ただしa_kはすべて正の数とする。
この本の解答は見て納得はできるのですがそうとう長く汚いもので
なにか良い解答があればお教えください。

>>229
正確に問題を書いたら？

>>230
???
問題書いてあるジャン。

>>231
お前馬鹿？？？
証明してくれよ

>>229
a_n＞0，｛Σa_n｝/n≧｛Πa_n｝^(1/n)を使わずに
｛Σa_n｝/n≧｛Πa_n｝^(1/n)＝1を示せってことだよね？

>>230
ん?
問題正確に書けって229はちゃんと書いてあると思うけど?
231じゃないが君のレスはよくわからんぞ

ａ１＝ａ２＝．．．＝ａ（ｎ−２）＝１
ａ（ｎ−１）＝２
ａｎ＝１／２
とすると
ａ１＋ａ２＋．．．＋ａｎ＝ｎ＋１／２≠ｎ
なので証明できない。

>>161 の(2)

S(x)=∫[0,x]sin u/u du とおくと S(x)→π/2（x→∞）は既知とする。
S(0)=0, d/dx S(ax)=sin(ax)/x も確かめよ。

M>0 を適当に選んで部分積分して
∫[0,M]sin(ax)/x f(x) dx＝S(aM)f(M)-∫[0,M]S(ax)f'(x)dx としておく。
第１項は，a→∞ で　S(aM)f(M)→π/2 f(M)
第２項については
f'(x)は[0,M]で連続であるから有界，
（0,M]で，S(ax)→π/2（a→∞）であるから，
有界収束の定理より
a→∞ で　∫[0,M]S(ax)f'(x)dx→π/2∫[0,M] f'(x)dx＝π/2（f(M)-f(0))
以上より∫[0,M]sin(ax)/x f(x) dx→π/2 f(0) となる。

∫[M,∞]sin(ax)/x f(x) dx→0 （a→∞）はまーどんな方法でもできるから省略。

>>229　>>231　>>234

ケアレス三銃士

>a_1×a_2×a_3×…×a_n=1のとき、
>a_1+a_2+a_3+…+a_n=nを証明せよ。
　　　　　　　　　　　　 ↑
　　　　　　　　　　　　 ≧

ガイシュツだったらごめんなさい。

５次方程式の解の公式は存在しないというのは皆さんご存知だと思いますが，
むかし，ある（数学の）専門書を読んでいたら，欄外に，
「条件をひろげて，楕円関数を用いても良いことにすれば，５次方程式にも
解の公式を作る事ができる。だれそれ著の何とか言う本を参照のこと」
と言うような事が書いていたんです。そのとき徹底的に調べなかったのが
今でも悔やまれるんですが，今だにわかりません。どの本の欄外だったか
もう忘れてしまって見つけられないんです。
実を言うと，上には”楕円関数を用いても良いことに”と書いてありますが，
本当に楕円関数だったかは今ではあやふやです。ただ，当時，”要するに積分
使ってもいいって事にするわけね”と思った記憶がかすかに有ります。

誰か教えてくださいませんか。
（スレッド立てたい気分（＾＾；）

すいません、もうすぐゼミで発表なのに以下のことがわかりません。誰か教えてください...。
森田茂之著　微分形式の幾何学２　p.226
f(Ω)が2k形式となるとありますが、そもそもΩが2形式である以上2形式になるような気がしています。
やっぱりどこか間違っているんでしょうか。

>>238
確か楕円関数でいいと思います。
一般のn次方程式の場合には保形関数というのを使えば表現できるという話です。
詳しくは知りません。

誰か>>81の問題教えて！！

>>240
おお！手がかりになる言葉（保形関数）を教えてもらっただけでも
感謝感謝！
その言葉から考えても，その道の人にはじょーしきだったりして。

>>81
これ問題あってんだろうか？このままだと答えは
(1)もたない。
(2)H_i(X)=Z(i=0),0(i≠0)
だと思われ。(1)はεを1/√3-1/√6より小さい定数として
点(1/√2,1/√3,1/√6)のε近傍(のmod S^3の類)が[0,∞)×R^2
と同相になる。(2)はX×I→XをF(x,t)=txで定める(定めることができる。)
とXが可縮となるのでわかる。

>>211

スペクトルが積分路の中と外にすっぱり分かれることが
問題文に含まれていますよね．だから，
中に入っているスペクトルの固有空間への
projection Πをつかって，

(z-A)^{-1} = Π (z-A)^{-1} Π + (1-Π) (z-A)^{-1} (1-Π)

と分解できるでしょ？

でもって，レゾルベントの性質として，きっと，
Π (z-A)^{-1} Π = Π (z-ΠAΠ)^{-1} Π
が言えると思うんだ．

最後に z が積分路上にあるとき ΠAΠ はスペクトルが
内部にしかないから，お望みの通り

|ΠAΠ| < z

を得ると思う．

他方， (1-Π) (z-A)^{-1} (1-Π) からの寄与は，
スペクトルが積分路の外側なので 0

というあらすじで，どうですか？

>>243
>X×I→XをF(x,t)=txで定める(定めることができる。)
とありますが、これは　well-defined では有りません。

どなたか教えてください。
(1)関数 f(x)=√(1+2x) のx=0におけるテーラーの公式を３次の項まで
示せ。剰余項R4形も正確に書くこと。

(2)２変数関数　f(x,y)=1/(1-x+2y)＾2 の(0,0)における主要部(一次近似式)を求めよ。
おねがいします。

解答を最初から最後まで書いてください。おねがいします。

>>246

ここはレポートの無料代筆所ではありません．
そういうことは親しい友達に個人的に頼みなさい．

（その前に自分で教科書を調べるべきなのは
言うまでもないが．．．）

>>246
>>217の言う通りにやれ。
分からないなら何が分からないかぐらい書け。

>解答を最初から最後まで書いてください。おねがいします。

好い加減にしろ。

>>239
ｍ　形式と　ｎ　　形式のexterior productは　ｍ+ｎ 形式ですね。
よって、ｋ 次同時多項式　ｆ　に形式的に　２　形式　Ωを代入して
多項式での積をexterior productに対応させて計算すれば、
当然　2ｋ　形式が得られます。

>>243
レス有難う御座います。

申し訳ありません、どうして点(1/√2,1/√3,1/√6)のε近傍が
[0,∞)×R^2と同相になるのかが良く分かりません。
点(1/√2,1/√3,1/√6)は平面x=y,y=z,z=xのどれにも
乗っかっていないのでεを十分小さく取ったら
それらのどの平面とも共通点を持たず、
D^2-∂D^2と同相になるように思ってしまいます。
どこが間違っているのでしょうか？

大変よく分かりました。ありがとうございます。>249

この問題が分かりません。誰か解き方を教えてください。
x=e^(iθ) y=e^(iμ)とする。
∫{o→2パイ}∫{0→2パイ}(x＋y-1)dθdμ
を求めよ。

宜しくお願いします。

>>218-224

ガウスの誤差関数
f(x)=1/√2π∫[x→∞]exp(-t^2/2)dt の近似式。
x>0 で小数点第６位くらいまで正しい。

f(x)≒0.5*(1+Σ[i=1 to 6]a_i x^i])^(-16)

a1=0.04986 73470
a2=0.02114 10061
a3=0.00327 76263
a4=0.00003 80036
a5=0.00004 88966
a6=0.00000 53830

>>252
とりあえずそのままやってみようぜ。

それでも分からなければ、どこまで理解できてどこからが理解できないのか書いて。

済みません、>>250の後からの５行は訳がわからない事書いてしまいました。
無視して最初の３行だけ読んでください。

>>243
今解りました。
ε近傍を取った時に壁にぶつかって仕舞って
(0,1)×(0,1)×[0,1)
のような図形に同相になって、R^3上の開集合への同相写像を
取れないという事ですよね？
有難う御座います。

>>253
有難う御座います。
大変な計算ですね・・・。
ないよりはましなんだろうけど。

>>254
レスありがとうございます。
とりあえず、自分はie^iθdθ=dx置換積分しようと思ったのですが、
できませんでした。

ん
置換する必要あるのかにゃ

>>258
そのままx,yに代入すればいいんじゃないの？
置換とか使う必要とか無いみたいなんだけど。

それとも問題文が間違ってるのかな。

あ、すいません、言葉足らずでした。置換積分して、
積分したらlogになるように分子を作ってその二つを部分積分したのですが、
詰まってしまいました。

最初の積分のほうは（e^iθ＋定数）分の１の積分ですよね。


もう少し考えて見ます。ごめんなさい。

-(2π)^3？

-(2π)^2?

>>258
もちろん手計算用じゃないよね。

まちがい >>257

いえ、手計算です。答えが -4π^(2)/3になることを証明せよです。
考えていたのですがまだわかりません。

わかった！！！わかりました。どーもです。

なんかあっちこっちの話が混線してるな

>>244
よく考えてみます。

http://salad.2ch.net/test/read.cgi?bbs=ymag&key=997850864
今日11時少女漫画版に攻撃を仕掛けるとかほざくヘタレがいます
どうぞ叩いてください

板違い

ああ、だめだ、勘違いでした。
問題は>>252>>267です。明日の朝まで考えてます。

>>229
≧なら
http://www.interq.or.jp/student/suugaku/mondai/heikinn/heikin.htm

複素数平面の問題なんですけど、教えて下さい。

a,bを実数とする。
4次方程式z^4+az^2+b=0の解が複素数平面上において
正方形の4頂点を成すための必要十分条件は
　a=0 かつ b≠0
であることを示せ。

>>>229
で相加相乗つかってきれいにとけるの?

球に内接する正四面体ABCDで頂点Aから底面BCDに下ろした垂線が球の中心Oを通るのはなぜ？また4(四面体OBCD)=正四面体ABCDなのはなぜ？教えて下さい。

>>178
これ単純に次見たいな感じじゃだめ？なんせ数学辞典ひきながら作った解答
だから(i.e. 専門書一冊もよんだことない。)だめかもしんないけど。

補題　向き付けられたJordan閉曲線γの内部DにAのスペクトルがないとき
　　　(zI-A)^(-1)は正則で特に∫(zI-A)^(-1)dz=0

を既知として

g'をgの外側にあるジョルダン閉曲線でg'とgで囲われるアニュラス領域にスペクトル
をふくまないものとする。このとき補題よりP=1/(2πi)∫[g'](zI-A)^(-1)dzだから

　P^2
　=-1/(4π)∫[g']∫[g](wI-A)^(-1)(zI-A)^(-1)dzdw
　=-1/(4π)∫[g'][g]{(wI-A)^(-1)-(zI-A)^(-1)}(z-w)dzdw
　=-1/(4π)∫[g'](wI-A)^(-1)(∫[g](z-w)^(-1)dz)dw
　　-1/(4π)∫[g](zI-A)^(-1)(∫[g'](z-w)^(-1)dw)dz
　=1/(2πi)∫[g](zI-A)^(-1)dz
　=P

ここで(∫[g](z-w)dz)=0(∀w∈g')、∫[g'](z-w)dw=2πi(∀z∈g))を利用した。
途中２重積分の交換とかいろいろやってるけど、数学辞典の定義を見る限り
本問のケースではいえてるみたい。(だと思うんだけど“とうしろう”もいいとこ
なんでまちがってるかも。)

>>278
訂正
×補題　向き付けられたJordan閉曲線γの内部DにAのスペクトルがないとき
　　　　(zI-A)^(-1)は正則で特に∫(zI-A)^(-1)dz=0
○補題　向き付けられたJordan閉曲線γの内部DにAのスペクトルがないとき
　　　　(zI-A)^(-1)はDで正則で特に∫[γ](zI-A)^(-1)dz=0

>>278
訂正
×-1/(4π)∫[g](zI-A)^(-1)(∫[g'](z-w)^(-1)dw)dz
○+1/(4π)∫[g](zI-A)^(-1)(∫[g'](z-w)^(-1)dw)dz
×∫[g'](z-w)dw=2πi(∀z∈g))
○∫[g'](z-w)dw=-2πi(∀z∈g))

>>278
訂正。もう以下まちがってても無視します。適当になおしてよんで。
×=-1/(4π)∫[g'][g]{(wI-A)^(-1)-(zI-A)^(-1)}(z-w)dzdw
○=-1/(4π)∫[g'][g]{(wI-A)^(-1)-(zI-A)^(-1)}(z-w)^(-1)dzdw

ちょっと混乱しちゃったんで、教えて下さい。

１次元ベクトルバンドルＥ→Ｘにおいて、Ｅの自明性と向きづけ可能性は、
（Ｘがどんなキテレツな位相構造を持っていても）同値ですか？
同値でない場合、反例を教えて下さい。

>>278->>280

私(=244=200)は，>>178 にレスがついてなかったから
回答してみただけで実はしろうと．

278-280の判定は，
関数解析をかじったことがある人にお願い．

>>229
n=2のときはどう考えても成り立たないが
何か間違ってない？？？

>>275
(<==)は明らか。
(==>)
z^2の式として解くと
z^2=-a/2+-√(a^2/4-b)
0≦a^2/4-bの時には正方形をなさない事はすぐ分かる。
a^2/4-b＜0の時は
z^2=-a/2+-i√(b-a^2/4)
と、実数成分と虚数成分に分かれる。
更にzの式として解くと、実軸対称で、虚軸対称な長方形が
出来上がるが、これが正方形となるのはこの長方形の対角線が
直角になるとき、つまり一つの頂点が実軸とπ/4の角度をなすとき
である。これが成り立つためにはz^2が虚軸になければならない。
これはa=0を意味する。
a=0としてあらためて解くと、
z=e^(2πik/4)*√(-b)
k=0,1,2,3
b=0であればz=0の一点のみが解となり、題意を満たさない。
従ってa=0且つb≠0

>>278
レス有難う御座います。
その解答だと閉曲線gの内部にすべてのスペクトル集合が含まれている時は
示せていると思いますが、gの内部と外部の両方にスペクトル集合が
あるときを考慮していないと思います。

>>286

しろうとが議論を続けるのは無駄が多いかも知れないけど，
どうも専門家が夏休みのようなので，多々ご不満でしょうが，
つきあいます．．．



286が気にしている点は，基本的に，問題の複素積分自体の
収束性のように思います．でも，それについては，
>>244 で提案したようにprojectionで中と外に分ければ
解決する，と思うのですよ（ただ，もっと，スマートな話があっても
よさそうで，それを専門家に期待するけど）．

で，スペクトルが g　の内外両方にある場合でも
積分がwell-defined （積分で定義された演算子が，
bounded とかしかるべき性質を持つことで，
積分順序交換が可能になるとか？）になれば，
あとは，>>278->>280 のように「複素関数論」だけで
やれるのでは？というのが 278-280 の提案なのだ，
と思うのですけど．

f(x,y)=x-y/x+yは、fx(x,y)=-2y^2-2xy/(x+y)^2
fy(x,y)=0
で、いいのでしょうか？

>>288
良くないです。
fx(x,y)={∂(x-y)/∂x*(x+y)-(x-y)*∂(x+y)/∂x}/(x+y)^2
fy(x,y)={∂(x-y)/∂y*(x+y)-(x-y)*∂(x+y)/∂y}/(x+y)^2

∂(x+y)/∂x=1
はいいですよね？

void __cdecl srand ( unsigned int seed)
{
holdrand = (long)seed;
}
int __cdecl rand(void)
{
　　return(((holdrand = holdrand * 214013L + 2531011L) >> 16) & 0x7fff);
}

Ｃ言語の乱数を求める関数です。
どうしてこれで乱数になるんですか？

>>287
おお、解りました。
有難う御座います。

C言語のrand関数は確か厳密にはランダムにはならなかったと思うよ。

ＡとＢが以下のようなゲームをします。

ＡとＢには最初に２０点の持ち点があり、以下の手順を行う。

１：ＡとＢがコインを投げる。
２：Ａが裏を出した場合、Ａは１点を失う。
　　Ｂが裏を出した場合、Ｂは１点を失う。
３：両者が表を出した場合、ゲームを終了する。そうでない場合１に戻る。

ゲームが終了したとき自分持ち点が０以下の場合に負け、１以上の場合に勝ちとする。

以上の場合、以下の確率はどうなるんでしょうか。
１）両者が負ける確率
２）Ａが勝ち、Ｂが負ける確率
３）両者が勝つ確率

（一般的なゲームの勝ち負けとは違い、「両者勝ち」や「両者負け」の状態も存在すると考えます。）

また、Ａ、Ｂの初期持ち点がａ点、ｂ点である場合はどうなるんでしょうか。

２８９の方、質問です。分子はそんなに分数になるのですか？

>>287
文章の１文はもっと短くしろ．
数学以前の問題だ．
ヴォケ！

↑
何をそんなに怒ってるの？

>>286-287
おら>>278。私も数学辞典にかいてある内容をひきうつしてみます。
以下“岩波数学辞典”より適宜引用。
“区間[a,b]で定義されt→t_0で強連続な連続関数x(t)に対して
∫[a,b]f(t)dt=�肺(t')△t_iによって定義される。”
とあるので関数 γ(t)=g(t)I-A:[0,1]→{bdd.op.} の強連続性さえ
checkすれば積分が定義されますが、それはわりと簡単でした。
だから積分自体は問題なく定義されるとおもいます。
というかそれ以外の定義ってみつからないのでわからないのですが
gがAのスペクトルを片側によっている場合だけに通用するような
積分の定義ってあるんでしょうか？というか>>244のスペクトル
分解があきらかにあるってのも辞典にはのってないのでよく
わかりません。というより辞典をよむかぎりだめのような。
あと>>278で利用している補題はあくまで“積分するループをg→g'と
交換してもg,g'を境界とするアニュラス内部にスペクトルがなければ
∫[g](Iz-A)^(-1)dz=∫[g'](Iz-A)^(-1)dzが成立することを
いうために利用しているだけでgでわかれる２つの領域いづれにも
Aのスペクトルがあっても問題ないとおもいます。

１変数の商の全微分の公式
( f/g )' = (f'*g - f*g')/g^2
を思い出せ。単にそれを適用してるだけだろ、

>>279
>あと>>278で利用している補題はあくまで“積分するループをg→g'と
>交換してもg,g'を境界とするアニュラス内部にスペクトルがなければ
>∫[g](Iz-A)^(-1)dz=∫[g'](Iz-A)^(-1)dzが成立することを
>いうために利用しているだけでgでわかれる２つの領域いづれにも
>Aのスペクトルがあっても問題ないとおもいます。

はい、納得しました。
今まで読み違えていました・・・。

次の問題が分かりません。
教えてください。

XからYへの写像f:X->Yとし、そのグラフをGfと表わす。
Gf={(x,f(x))|x∈X}⊂X×Y

次のそれぞれの場合について
「GfがR^2の閉部分集合ならばfは連続である。」
が成立するかどうか、証明つきで答えよ。
(1)X=Y=[0,1]
(2)X=Y=R

(2)は反例付きで答えられるのですが、(1)が解りません。

>>81は証明はともかく
(1)ならない。
(2)基本群は自明
でOKですよね？

すいません
「AはBに限りなく近い」
とはどういうことを言うんでしょうか

>>302
A,Bとはなんですか？

>>303
Rの要素でいいです
くだらない質問でごめんなさい
このときA=Bでもいいのでしょうか

>>304
限りなく近かったらA=Bになると思いますが、文脈にもよるでしょう。
微分の話をしている時は開区間
(A+ε,A-ε)内の点を限りなく近いといったりしますしね。

>>305
どうも、解決しました
ありがとうございます
http://saki.2ch.net/test/read.cgi?bbs=kouri&key=997231133
で毎度毎度の話題をやってるもので・・・

>>301
ＯＫ.

>>307
有難う御座います。

負けました

教えてください。

X:Banach space
A,B:X上の稠密な定義域を持つ閉作用素
D(A):Aの定義域
(1)D(A+B)={0}となるような例を与えよ。
(2)A+Bが閉作用素でないような例を与えよ。
(3)BがX上の有界作用素ならば、A+Bは閉作用素であることを確かめよ。

特に(1)では、定義域が稠密な閉作用素なのにどうして
このような例が与えられるのか分かりません。

http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-Cupertino/9467/match.gif
↑図

図のようにマッチ棒を置いていく時にn段目のマッチ棒の数を
中学生にも分かるよに誰か説明してくれ。
俺の頭じゃ微分方程式使ってといてしまう。

>>311
あんたまじで言ってる？
ネタ？
一応まじで答えたりしておくと
マッチ棒３本でできる三角形を最小単位として考える。
その三角形の数は、「上辺が１、下辺がｎ、高さがｎの台形」の
面積と同じように考えれば、中学生にもわかるんじゃないかな。
そうすると、ｎ段目の三角形の数は
(上辺＋下辺)*高さ/2 = (1+n)*n/2
だから、ｎ段目のマッチ棒の数は
3*(1+n)*n/2

ちょっとわかりにくかったかも
要は、上向きの△の数を数えるってことね。

ドモありがとうございます。
頭が固くなると嫌だ。
中学レベルの問題解くのも苦労してしまう。

微分方程式を使った解き方が知りたい！教えて！

y''=3だからこれをとく。

y=マッチ棒の数
x=段数

y'=3x+C
y=3/2*x^2+C*x+D
連立方程式を立ててC,Dを求めると、
C=3/2,D=0
よって
y=3/2x^2+3/2x
xにnを代入
∴y=3/2n^2+3/2n

くだらない質問で恐縮ですが教えて下さい。
ある掲示板で（-）×（-）＝+となることで証明された
方がいらっしゃいましたが、展開の中で、
（-）×（+）＝-　と当たり前に進められていたことに
疑問があります。
何故、（-）×（+）が（-）　になるのか教えて下さい。

f(z)=g(h(z))
g(z),h(z)は正則。

このときf(z)は正則ですか？
またそれはどうやって証明できますか？
わかる方　よろしくお願いします。

>>320
合成関数の微分公式の証明そのままでＯＫ．

df/dz=dg/dh・dh/dzってことでしょうか？
>>321
すいません。これが何を意味しているのか分かりません

>>322
だからそれの証明だよ。
lim[z→a](g(h(z))-g(h(a)))/(z-a)=g'(h(a))h'(a)
てやつ高校でやらなかったか？
それと同じでいいんだよ。

既数分数って何？

既約分数のマチガイでしょう

実数αを0＜α＜１とする。三角形ABCにおいて、線分AB、BC、CAを
α：（１−α）に内分する点をそれぞれA1、B1、C1とする。
更に、線分A1B1、B1C1、C1A1をα：（１−α）に内分する点をそれぞれ
A2、B2、C2とする。同様にして、Ak、Bk、Ck（k=3,4,5,･･･)定める。
また、正の整数kに対して、三角形Ak、Bk、Ckの面積をSkで表す。
三角形ABCの面積をSoとするとき、Skをk、α、Soで表せ。また、αが
動く時のSkの最小値Tkを求めよ

お願いします。

>>326
△AA1C1の面積=1/2AA1AC1sinA=1/2α(1-α)ABACsinA=α(1-α)△ABCの面積
同様にして
△BB1A1の面積=α(1-α)△ABCの面積
△CC1B1の面積=α(1-α)△ABCの面積
より△A1B1C1の面積=△ABCの面積-3α(1-α)△ABCの面積=(1-3α+3α^2)△ABCの面積
からSkは初項(3α^2-3α+1)So,公比(3α^2-3α+1)の等比数列。
これからSkをもとめてまだわからんかったらきけ。

(X,B,m):有限測度空間
1≦l＜∞
L^l(X):l上可積分な関数のなすBanach空間
||・||l:L^l(X)のノルム
1≦p＜q
この時
L^q(X)⊂L^p(X)が成り立つ。

問題
L^q(X)の単位球B={u∈L^q(X);||u||q≦1}はL^p(X)の閉部分集合である事を示せ。

この問題が分かりません。
どうやって解けばいいのでしょうか？

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+・・・

はどんな値に収束しますか？

>>329
Pn=�納k=1,n](1/k)^2
∫[1,n+1]dx/x^2＜Pn＜1+∫[1,n]dx/x^2
これでn-->∞と極限を取る。

>>329
π^2/6

(1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+・・・

はどんな値に収束しますか？

>>332
ありがとうございます。私の計算結果とも一致しました。

>>331
その方法は気づきませんでした。あとで考えてみますね。
私は、留数定理を使いました。

N[Zeta[3],30]
1.202056903159594285399738161511

>>333
無理数としかいえん。しっとんだろ？

素人の疑問で申し訳ないのですが

∫[1,n+1]dx/x^2＜Pn＜1+∫[1,n]dx/x^2

これは区間縮小法ですよね？
1+∫[1,n]dx/x^2- ∫[1,n+1]dx/x^2は１に収束してしまうように
見えるんですけどどうですか?

>>337
正解。だから>>331ではでない。

>>338

御親切にありがとうございます。
謎は全て解けました。
入試まであと三日・・。頑張らねば。。。。

スマソ・・・

留数定理の解法を知りたい・・・。

>>341
計算は書くには長いので概略だけつまみます。

f(z)=1/(z^2(exp(iz)-1))
の留数が丁度２πの整数倍ででることに着目します。

正方形のカウンターで積分します。たとえば、
点1（２π(-n-1/2)+i2π(-n-1/2))
点2（２π(n+1/2)+i2π(-n-1/2))
点3（２π(n+1/2)+i2π(n+1/2))
点4（２π(-n-1/2)+i2π(+n+1/2))
を頂点とする正方形です。
これでf(z)を積分したものをn→∞とすると0になることが示せます。
すると留数定理より、
（０での留数）＋（答えの定数倍）
が積分値、つまり０になるので、
（答え）＝定数×（０での留数）
という具合です。

>>342
どうも有り難う御座います。
頭いい！！

パチ板から来た厨房です。
某パチスロ機の仕様について、以下のスレの195以降もめています。
http://salami.2ch.net/test/read.cgi?bbs=pachi&key=996395479&ls=50

「簡単な説明」
パチスロには色々な当選役がありますが、
その中にリプレイという役があります。
文字どおりコインを入れることなくもう1プレイできるというもので、
このリプレイは毎プレイ1/7.3で抽選しています。
ここからが問題なのですが、この機種は独自の仕様として、
リプレイが3回連続で出現するとARTという状態に当選して
コインが増える仕組みになっています。
ARTに突入すると終了までARTの抽選を行わないため、
リプレイ3連続の時点でリセットになります。
実際の通常時（非ART時）の確率はいくつなのでしょうか？
なおメーカー発表の当選確率は単純計算で1/389です。

すでに上記スレに正解が出ているのかも知れませんが
厨房の巣窟であるゆえ、どうも信頼できません。
数学板の皆様、迷える厨房をお救い下さい。

>>328
Hölderの不等式使え

http://salami.2ch.net/test/read.cgi?bbs=pachi&key=996395479

>>345
済みません、どうやって使うのでしょうか？
Hölderの不等式は
1/p+1/q=1の時に
|∫f(x)g(x)dx|≦||f(x)||p*||g(x)||q
って言う式ですよね？
それをどう適用するのでしょうか。

>>328

345じゃないけど、こんな感じかな。

>L^q(X)⊂L^p(X)

fをL^q(X)の元とする。XをY＝{x；lf(x)l＞1} W＝{x；lf(x)l≦1}と
２つの部分集合に分けると、p＜q より

∫[X]lfl^p dx
＝∫[Y]lfl^p dx +∫[W]lfl^p dx
≦∫[Y]lfl^q dx +∫[W] dx
≦∫[X]lfl^q dx + m(W)
≦ ||f||q + m(X) ＜∞

ちなみに、m(・)は (X,B,m)の測度,∫[X]、∫[Y]、∫[W]、は
それぞれX、Y、W上での積分ね。最後の所でm(X) ＜∞が効いてくる。

>L^q(X)の単位球B={u∈L^q(X);||u||q≦1}はL^p(X)の閉部分集合

Bから勝手な収束列{a_n}をとってきて、その収束先をaとする。
もし||a||q＜１とすると、ミンコフスキーの不等式よりすぐに
矛盾がでる。だから||a||q≦1じゃないといけない。よって閉集合。

ごめん、『||a||q＜１とすると』じゃなくて『||a||q＞１とすると』ね。

>>348
申し訳ありません、その証明だと単位球BがL^q(X)の閉集合である事を証明
していて、L^p(X)の閉集合である事は証明していないように思うのですが。

>>350
ﾖｺﾚｽｽﾏ。
これしっとるけ？確率測度だと||f||q≦||f||p (p≦q)。
証明は確率測度空間上の可積関数fと下に凸な実数値関数φ(u)にたいし
φ(∫f(x)dx)≦∫φ(f(x))dxよりでる。全測度が有限でも
∀p≦∀q∃c>0 ||f||q≦c||f||pをつかえば
f→0 in L^p⇒f→0 in L^q がいえる。

>>351
>∀p≦∀q∃c>0 ||f||q≦c||f||pをつかえば

済みません、これをどうやって示せばいいのでしょうか？
以前証明しようとして出来なかったので・・・。

>>352
確率測度のとき||f||q≦c||f||pはみとめるとすると全測度v=∫1dμ
が有限であるときべつの測度μ'をμ'(S)=(1/v)μ(S)でさだめると
これ確率測度。この測度ではかったkノルムを||f||k'とかくとすると
||f||k=(1/v)^(1/k)||f||k'よりしたがう。

>>353
訂正“||f||k'=(1/v)^(1/k)||f||kよりしたがう”だった。

>>353
度々済みません、

>確率測度のとき||f||q≦c||f||pはみとめるとすると

これはどうやって示せば良いのでしょうか？

>>319
a>0 b>0 とする。

(a+(-a))*b = 0*b = 0
分配法則により　ab+(-a)b = 0
移項して　(-a)b = -ab
ab>0 だから -ab<0 で結局 (-a)b<0

この説明で結論の先取りはしてないよね？

>>355
下に凸な連続関数φをとる。面倒なのでφは単調増加とする。
(べつに単調増加でなくてもいいはずだけど。)
まず自然数nにたいし∀x∃k:整数 g(x)=k/n,imgが有限集合
(以下こういう関数を段段関数とよぼう。)なる関数について
φ(∫g(x)dx)≦∫φ(g(x))dxをしめす。それは凸関数の定義から簡単。
次に非負値をとる可積関数f(x)にたいし段段関数f_i(x)で
f(x)に下から∫(f(x)-f_i(x))dx→0(i→∞)なる段段関数がとれる
ことを示す。これ簡単。
これからφ(∫f_i(x)dx)≦∫φ(f_i(x))dx≦∫φ(f(x))dx
でi→∞をとるとできっ。

>>252の計算の仕方をどなたか教えて下さい。宜しくお願いします。

>>357
有難う御座います。
じっくり読んでみます。

>>358
∫{0→2パイ}∫{0→2パイ}(x＋y-1)dθdμ
=∫{0→2π}∫{0→2π}{(cosθ+isinθ)+(cosμ+isinμ)-1}dθdμ
=∫{0→2π}∫{0→2π}(cosθ+cosμ-1)dθdμ
　+i∫{0→2π}∫{0→2π}(sinθ+sinμ)dθdμ
でいけるじゃん。

すいません、問題が間違えていました。
x=e^(iθ) y=e^(iμ)とする。
∫{o→2パイ}∫{0→2パイ}(x＋y-1)^(-1)dθdμ
でした。ごめんなさい。

>>361
取りあえず、x,yでの積分にして
一次分数の式にすればどう？

関数f(x)=√(1+2x)のx=0におけるテーラーの公式を３次の項まで示せ。剰余項R4形も正確に書くこと。
という問題は、f(x)=Σ_[k=0,n-1]f^k(a)/k! (x-a)^k+Rn
Rn=f^n(a+Θ(x-a))/n! (x-a)^n
を使えばいいと思うのですが、どうなるのかわかりません。教えてください。

>>363
fを微分してf^k(a)を求めればいいんじゃないの？

>>363
あなたの根性に敬意をはらって１次の項までやる。２次、３次、剰余項は
じぶんでやれ。

　f(x)=f(0)+f'(0)x+(1/2)f''(0)x^2+(1/6)f'''(0)x^3+(1/24)f''''(θ(x))

がx=0での３次までのテーラー展開。
f(x)=(2x+1)^(1/2)だからf'(x)=(1/2)(2x+1)^(-1/2)×2
よってf(0)=1,f'(0)=1。だから最初の２項は

　f(x)=1+x+(???)x^2+(???)x^3+(1/24)f''''(θ(x))

最後の項はf''''(x)もとめてそのxのとこをθ(x)とかきなおすだけ。

>>362さん
アドバイスありがとうございます。
置換は最初に試みたのですが、分母が二次になってしまいお手上げでした。
他に、×１とみて部分積分もしたのですがだめでした。

>>366
分母が二次になっても一次に分解できるでしょ？

本当に恥ずかしい限りです。高校生の頃よりも数学が出来なくなっていたのかもしれません。
ありがとうございます。>>367

>>300が解りません。
教えてください。

分からないので助けて下さい
ランダウの記号を用いて次を求めよ
(1)lim_[x→0]{sin(x)-x}/x^3
(2)lim_[x→0]{√(1+x)-1-x/2}/x^2
ですよろしくお願いします
テーラーの定理を用いての解法でもいいので。

>>369
x=aでfが不連続だと仮定しろ。実際式に書き表して見る。
値域がコンパクトであることを考慮すれば、
x_n→aでありかつ、f(x_n)がf(a)以外に収束する列がとれる。
が、これはグラフが閉に反する。

>>194
「f(x)は閉区間[0 1]で連続とする

∫[0 1]f(x)dx=0 ∫[0 1]xf(x)dx = 1/4 であるとすれば
f(c)>1を満たすcが[0 1]に存在することを示せ。 」


これって正しくない。反例 f(x)=-3(x-1)^2+1

>>196
尊師の答えは、|f(c)|>1なるcの存在を言っているので絶対値がついているので
別問題では。

次の問題が分かりません。
ご教授ください。

３次元射影空間CP^3の部分集合
S_0={[z1:z2:z3:z4]∈CP^3;z1z4-z2z3=0}
がCP^1×CP^1に微分同相である事を証明せよ。

わからないので御教授ください。

s=1を除き複素平面上定義されたζ関数ζ(s)の
|s-2|=3/2における最大値を求めよ。

>>370
テーラー展開するか、ロピタルを使うかすればいいんじゃないの？

>>372
おそらく問題の書き間違いと思われます。
手元にその問題がありますが、絶対値がついています。

∫[(x^2)(e^x^3)]dxがどうして1/3(e^x^3)+cになるのかわかりません。
解説お願いします

合成関数の微分
f(g(x)) を x で微分すると
f'(g(x))*g'(x)
は大丈夫？

f(x) = exp(x)
g(x) = x^3 として
f(g(x)) の導関数を実際に求めてみれば.。。。。。

次の問題が分かりません。
教えてください。

　(2 t -1)
A=(1 3 -1)
　(2 4 -1)
Aが対角化可能<==>t=7/4
である。
この時、複素成分の３×３行列でAB=BAとなるもの全体のなす線形空間をVと置く。
Vの複素次元が最大となるようなtの値を求めよ。

質問です。

　K[X]∋ｆ(X),g(X) 　　互いに素　　　K[X]∋a(X)
　a(X)/{f(X)g(X)}=b(X)+u(X)/f(X)+v(X)/g(X)
　ここで、deg(u)<deg(f) かつ deg(v)<deg(g)
　このような　b(X),u(X),v(X)∈K[x]　は唯一通り存在する。

です。たのみます。

>>379
それ東大の院試問題だろ
dimP^(-1)VP=dimVで、対角化した行列で考えられる
からt=2のときってすぐわかる

???????

　　K[X]∋f[X] K∋a aがf(x)のｍ重根
⇔
　　f[a]=f^(1)[a]= =f^(2)[a]=f^(3)[a]=…=f^(m-1)[a]＝０ ，　f^(m)[a]≠０

正の実数aとbが1/a＋1/b＝１を満たし、さらにある自然数ｍとｎに対し、
[ｍa]=[ｎa]が成り立つならば、aとbはともに有理数であることを証明せよ。
[]はガウス記号です。

:[@@:[:::[[[:[::[[[:[:[[:[:@@[:
@:[:[@:[:[@[:[[:[[::[[[:[@@:[@[:
[[[:@@@[:[[:[:[[[@:[[[@[:[[:[:@[
@:[[[:[[:[::[:[@@:[::[::[@[:[:[
:@:[:[:[:[:[:@[@[:[::[[[:[:[@[:
@[@[@:[@@[[[:::@[@[:[[:[@:[@[:[[
@[:[:[:::[[:[:[:[[[[:[::::[[@[:[@
@[@:[:[:[:[:@:[:[::[:[@[:[:[@[::[
[:[@[:[@[:[:[[:[@:[@[[[:[::[:[@:[
@[:[:[:[:[:[:[:[:[:[:::[[[:[[@[:
::[:[:[@[:[:@[:[@[[:[[:[:[:[:[
:[@[:[@[:[[[:[@[@[:[@@[:[:@[:[@
@[:[:[:[[:[:[:[@[[@[:[@:@:[:[[:
@[:[:[:[[:[[:[@[:[:[:[@:[@[:[:[
[::[[@[:[@[:[@[:[@[[:[@[:[@[:[
[:[:@[:[:[@[:[[[:[@[:[@[@[:[@[:

>>351
>これしっとるけ？確率測度だと||f||q≦||f||p (p≦q)。

逆じゃねえの？（ｗ

>>385
逆だった。鬱死
(証明はあってる。⇒逆を示してるよ。しまった。）

>>328は分かったけど面倒

>>381
有難う御座います。

>>382
(==>)
実際f(x)=(x-a)^m*Q(x)と書いてみればよい。
(<==)
f(a)=0よりaはfの根。
f(x)=(x-a)*P(x)
f'(x)=P(x)+(x-a)*P'(x)
f'(a)=P(a)=0
よってP(x)はaを根にもち、P(x)=P1(x)*(x-a)
・・・
示せる。

>>387
まえのレスでは調子こいてウソ教えてしまったのでちょっと
責任感じてる。そんなこといわんとカキコしたげてＹＯ。

>>328 >>390

1<=p<q<=∞ とする。
>>351でもHölderの不等式使ってもいいから、
||f||p≦K||f||q であることがわかるから、L^q(X)⊂L^p(X)でしょ。
で、上のinclusionが(L^q(X),weak* topology)⊂(L^p(X),weak topology)で連続なことを言う。
これは L^p(X) (1<=p<∞) の双対空間が、L^r（X)(1/p + 1/r =1)だから、すぐに言えると思う。
ここまで、言っておけば、後は簡単。
Banach-AlaogluからBはL^q(X)でweak* compact。
BはL^p(X)でweak compact。それ故、weak closedで、norm closed。

これでどう？もっと簡単にできる？

>>391
＞これは L^p(X) (1<=p<∞) の双対空間が、L^r（X)(1/p + 1/r =1)だから、すぐに言えると思う。
しらなんだ。こんな便利な定理があるのね。これなんて定理？
つまりこれ成立する？

　||f_i-f||p→0
　⇔ ∀s 1/s≧1-1/p ∀g∈L^s(X) ∫[X]f_igdμ→0

二行目の“≧”はL^s(X)⊂L^r(X) (s≦r)を使った。(r=1/(1-1/p))
これがいえるんならq≧pにたいして

　||f_i-f||p→0
　⇔ ∀s 1/s≧1-1/p ∀g∈L^s(X) ∫[X]f_igdμ→0
　⇒ ∀s 1/s≧1-1/q ∀g∈L^s(X) ∫[X]f_igdμ→0
　⇔||f_i-f||q→0

て感じでL^p norm においてf_i→f⇒L^q norm においてf_i→f
つまりどのnormで定義しても位相はおんなじになるのね。
(逆はすでにいってるから。)そういやそんなの確率論でならった。
もしまちがってたら教えて。以下我輩はＲＯＭである。

>>383
多分問題間違ってます。正しくは次？

正の実数aとbが1/a＋1/b＝1を満たし、さらにある自然数mとnに対し、
[ma]=[nb]が成り立つならば、aとbはともに有理数であることを証明せよ。

以下、この問題に対しての方針。
[ma]=[nb]=p（pは整数）とおけて、p≦ma＜p+1かつq≦nb＜q+1
あとはこれを1/a＋1/b＝1が利用できるように変形すれば解けるでしょう。

>>392
>　||f_i-f||p→0
>　⇔ ∀s 1/s≧1-1/p ∀g∈L^s(X) ∫[X]f_igdμ→0

||f_n||p→0 ⇔ ∀s 1/s≧1-1/p ∀g∈L^s(X) ∫[X]f_ngdμ→0
ってことだよね。

X=[0,2π],p=2 にしておいて
f_n(x):=exp(-inx) にしたら、 ∀g∈L^1(X) ∫[X]f_ngdμ→0 だけど、f_nは0にnorm収束しない。
【∀g∈L^1(X) ∫[X]f_ngdμ→0】ここが怪しいけど、どうかな？

>>393
自己訂正（鬱）
(誤)q≦nb＜q+1　(正)p≦nb＜p+1

>>394
ＲＯＭしようと思ったけど勉強になりそうなのでまたカキコ。
それってp=∞のときの反例って意味？もしかしたらそれでダメかな？

　||f_n||p→0 ⇒ ∀s 1/s≧1-1/p ∀g∈L^s(X) ∫[X]f_ngdμ→0

はよさそうなので問題は反対向きだよね。||f_n||→0でないとして
これからf_nの部分列で０でないとこに収束してくれる部分列がとれれば
終わりだけどL^p(X)って完備じゃなかったっけ？だめだ。ちがうかも。
てっきりそうだと思ってた。ゴメソ。いづれにしてももう寝る。
つきあってくれてありがと。勉強なった。

>>394
> それってp=∞のときの反例って意味？

いや、p=2って書いたんだけど・・・。

弱収束とnorm収束は違うでしょ。
ただ、右の条件は弱収束よりやや条件が厳しい。
でも、まだnorm収束より弱い条件じゃないのかな？

それと、そもそも、f_n*gって言うのは、可積分なの？
たとえば、p=2,s=1とした時、L^2の元と、L^1の元を掛け合わせたことにからね。
具体的に、f(x)=x^(1/3),g(x)=x^(2/3) としたら、
f∈L^2[0,1],g∈L^1[0,1]でf*gは可積分じゃないよ。

>>397
ねる前にチェックしたのがまずかった。まさかレスしてくれてるとは。

　 ∀s 1/s≧1-1/p ∀g∈L^s(X) ∫[X]f_ngdμ→0 ⇒||f_n||p→0

の反例がほしいんだよね。もしp=2なら∀s 1/s≧1-1/p だから1/sが
1/2以上のすべてのs、つまり２以下のすべてのsとg∈L^s(X)について
∫[X]f_igdμ→0だけどf_i→0でない反例をみつけないとだめだよね。
>>394の例では∀g∈L^2(X) ∫[X]f_ngdμ→0 まで言えるの?
だめだ。こんなのまでチェックできないよ。なさけない。
＞それと、そもそも、f_n*gって言うのは、可積分なの？
これもL^s(X)とL^r(X)の包含関係まちがってた。ごめんなさい。
もうかんべんしてください。おこらないでください。
ほんとうに悪気はなかったんです。いい気になってカキコして
すいませんでした。

> >>394の例では∀g∈L^2(X) ∫[X]f_ngdμ→0 まで言えるの?

L^2（X）⊂L^1（X）でしょ。∀g∈L^1で言えれば、L^2でも言えるでしょ。
それと、g∈L^2の時は簡単で、>>394で例に挙げたf_nを考えれば、
∫[X]f_ngdμはgのフーリエ係数でしょ。

>>399
わかりました。どうもありがとう。いまわかった。
L^kの包含関係全部逆にしてた。

>>399
ねる前に質問してねよ。
Banach-Alaogluって

　定理　X^*の単位球はw^*位相でcompactである。

というやつ？いま教科書久しぶりにひらいたら最初の１０ページめ
にのってた。こんな最初のほうにあるのがつかえてないってことは
やっぱこのジャンルまだものになってないみたい。

　L^q⊂L^p⇔p≦q⇔s≦r⇔L^r⊂L^s (1/p+1/s=1, 1/r+1/q=1)

だからnorm収束だけで考えるかぎりどうやってもだめなのね。
弱収束って大切なのね。はじめて威力がわかった。
勉強なりました。ありがとう。

>>399
追加レス。

＞これは L^p(X) (1<=p<∞) の双対空間が、L^r（X)(1/p + 1/r =1)だから、すぐに言えると思う。

だれの定理かはのってなかったけどこれもべつの教科書にのってました。
はあ〜。まだまだ勉強不足だな。

>>401
> Banach-Alaogluって
>
>　定理　X^*の単位球はw^*位相でcompactである。

そうそう。
L^p(X) (1<=p<∞)はsecond dualが自分自身でしょ。（回帰的って言うんだっけ？）
だから、（p=1を除いて）弱位相と汎弱位相が一致するんだよね。
>>391のinclusionは>>391の位相で連続になると思う。

で、よく聞かれるのが、「回帰的なBanach空間と回帰的でない空間の例を挙げろ」
で、L^p(X) (1<=p<∞)は回帰的だけど、L^∞（X）は一般的に回帰的じゃない。
この辺の話は関数解析の教科書見れば載っていると思う。
l^∞か何かを考えるんだったかな？

>L^p(X) (1<=p<∞)は回帰的だけど、L^∞（X）は一般的に回帰的じゃない。

大嘘。
【L^p(X) (1<p<∞)は回帰的だけど、L^1(X),L^∞（X）は一般的に回帰的じゃない。 】
だった
L^1(X)^*=L^∞（X）だけど、L^∞（X）^*がL^1(X)にならないんだね。確か。

積分で質問です
∫[e^(1/t)/t^2]dxなんですけど
u=1/t du=-1/t^2
としてやると-∫e^u duで答えが-e^(1/t)になったんです。
でも解答には-e^(1/t)/ln(e)と書いてあり、どこが間違ってるのか
わかりません。教えてください。

ln(e)=1?

＞４０６
それでいいんですかね？
いまいち積分ちゃんとわかってないから不安なんです。

いいんでないの？
-e^(1/t)をtで微分すれば確かにe^(1/t)/t^2になるんだし。

安心しましたどうも。
でもなんでわざわざ混乱するような答えを書いてるんだろう・・・

それは俺にもわからん（ｗ

∫[xsecxtanx]dxがわかりません
部分積分法を使うにしても３つもあったらわからんです
解き方お願いします

>>411
sec と tan を cos sin で表してから部分積分してみそ。

Inってどういういみですか？？

>>413
底がeのlog

>>403
おう。レスついてる。なんとか証明は理解した(つもり)です。
つまり(L^q,norm)→(L^p,norm)は線形連続であることから

　c:(L^q,norm)→(L^p,norm)
　　　a:↓　　　　b:↓
　d:(L^q,weak)→(L^p,weak)

がすべて連続な可換図式でa(B)⊂(L^q,weak)はBanach-Alaogluと
(L^q,norm)が回帰的だからcompact。だからda(B)もcompactで
(L^q,weak)の閉集合。でつぎの
＞weak closedで、norm closed。
がまだわからないけどすくなくともda(B)がclosedだから
c(B)=b^(-1)da(B)もclosed。ってことすね。なるほど。よくわかりました。
あざやかっすね。ありがとう。

質問っす。

ｎ次元球面Ｓ^ｎは、どういうｎの場合に平行なのでしょうか？
ｎが偶数の場合には、平行ではないのでしょう（証明は知らんが、教科書に
書いてあった(^^;）。
ｎが１の場合は、もちろん平行です。
では、３以上の奇数の場合は、どうなのでしょうか？

知ってる人、教えて下さい。

>>416
Adams' Hopf invariant one theorem により、
ｎ次元球面Ｓ^ｎは、n=1,3,7　の時に限り平行です。

日本語の参考文献としては、ちょっと古いですが、
紀伊国屋から出た、荒木「一般コホモロジー論」や
戸田・三村「ホモトピー論」に、Ｋ理論を用いた
証明が載っています。

次の問題を教えてください。

∫[0,y]exp(x^2)cosxdx/∫[0,y]exp(x^2)dx
は収束するか。

↑すみません、ちょとだけ訂正です
∫[0,y]exp(x^2)cosxdx/∫[0,y]exp(x^2)dx （y→∞）

D^3上の２次微分形式ωのS^2への制限をω'とする。
次の主張のうち、正しいものは理由を書き、間違っているものは
反例を書け。
(1)ωが閉形式ならω'も閉形式
(2)ωが完全形式ならω'も完全形式
(3)ω'が閉形式ならωも閉形式
(4)ω'が完全形式ならωも完全形式

1,2は正しいですよね?3,4がわかりません。教えてください。

すいません。ωが１次微分形式の場合もでした。
ω'が２次微分形式ならω'は必ず閉ですよね。ということは、２次の場合の
3はω=zdxdyなんかが反例になりますよね。

最近東大の院試問題書くやつ多いな
それを答えてるやつって東大のやつ？

　>171
とても、丁寧なレスをありがとうございます。
　お陰で、実数に関する知識が大幅に増えました。　ありがとうございます。
よって、この知識を使って、バカな友人に自慢します。

∫[xsecxtanx]dxを変形したとしてもやっぱり何がなんだかわかりません・・・
誰かどうやって解いていったらいいか順に教えてください。

>>415
>　c:(L^q,norm)→(L^p,norm)
>　　　a:↓　　　　b:↓
>　d:(L^q,weak)→(L^p,weak)

この図式で d:(L^q,weak*)→(L^p,weak) にしておいた方が良くない？
　　　　　　　　　　　　^^^^^^
L^∞のweak* topologyはわかるけど、weak topologyって簡単に分からないだろうし
そもそも、閉単位球がweak compactじゃないから。

【閉単位球がweak compact ⇔ 回帰的】
が成り立ったはず。

> weak closedで、norm closed。
weak topology って norm topology より弱い位相なんだよね。
だから、弱い位相で閉じてれば、強い位相でも閉じてるでしょ。
別の言い方で言えば、>>415の図式で、aやbが連続になるってことね。

>>424
xが明らかに邪魔っぽいので、これを部分積分法で
消すにはどうすればいいか考えれてみなよ。よく見る形が出てくるはず。

そうすると、残りは三角関数の有理式の積分になる。
機械的にやっていけば普通に答えが求まる。

１０、５０、１００、５００円硬貨をつかって１００００円を作る方法は何通りあるか？なるべく早く解ける方法を教えて下さい。

>>425
レスありがとございます。ちょっとわかりにくかったかな。
>>415の図式は全部連続ってかいたつもりです。

> weak closedで、norm closed。

これよみまちがえてた。あたりまえっすね。ぼくがつけた証明と
まったく同じ。
ぼくがあえて d:(L^q,weak)→(L^p,weak) と*をとってるのは
一般にf:(X,norm)→(Y,norm)が線形連続なら誘導射
f:(X,weak)→(Y,weak)も連続になって自然な射(X,norm)→(X,weak)を
自然変換ととらえられるのでcategoricalな一般論にもちこめると
おもったので。
実は私専門は幾何なのでどっちかっていうと“可換図式”は
できれば自然変換と誘導射のなす図式が好きなので*ははずし
ました。
あと【回帰的⇒閉単位球がweak compact】はBanach-Alaoglu
からすぐでるし【L^qが回帰的】をおさえとけばOKと思いました。
(と>>415にも書いたよね。)

>>373
これやっとできた。
X=CP^1×CP^1={([a:b],[c:d])}
Y={[p:q:r:s]|ps-qr=0}
としてf:X→Yをf([a:b],[c:d])=[ac:ad:bc:bd]とさだめるとこれで
全単射C^∞連続。多様体から多様体への全単射連続は同相であることを
つかえばこれでＯＫ。どう？

>>429
有難う御座います！！
局所座標を使えば微分可能な事も示せますね。

教えてください。

X={z∈C;r≦|z|≦l}
〜:同値関係
a,b∈X
a〜b
<==>(1)or(2)

(1)a=b
(2)|a|=|b|=lかつ
あるk∈Zに対して
a*e^(2πik/3)=b

D=X/〜

とした時にDのホモロジー群をどうやって求めればいいのでしょうか？
連結なのでH0(D)=Z、基本群を考えるとH1(D)=Z/3Zになりそうな雰囲気なのですが。
H1(D)は自信がないし、H2(D)は分からないし・・・。

>>429
CP^1×CP^1 から CP^3 への Segre imbedding というものだそうです。
…知らなかった（汁

>>431
問題あってる？これじゃH_1(D)=Z/3Zにならんよ。
XとYがホモトピー同型ならH_*(X)=H_*(Y)なのでDをなるたけ
簡単にすることをかんがえる。S={z||z|=l}/〜とおくと
Dのidentityとπ(d)=dl/|d|で定義される写像π：D→Sは
ホモトープなのでH_*(D)=H_*(S)。H_*(S)なんて簡単だよ。
X={z∈C;|z|≦l}だったらもうちょっとむづいけど。

>>432 はどっから汁（しる）を出したんですか？！

>>433
>問題あってる？これじゃH_1(D)=Z/3Zにならんよ。

あ、いえ、別に模範解答にそう書いてあるわけではないです。
私がそうなりそうだなあ、と思っただけです。
済みません。

{z||z|=l}/〜
のホモロジー群ってZ/3Zにならないのでしょうか？

>>435
ならないよ。{z||z|=l}/〜ってS^1と同相でしょ？

>>436
確かにそうですね、有難う御座います。
S^1は基本群がトリビアルじゃないから普遍被覆面を使った方法は使えないのですね。

どなたか教えてください。
y''-ay=b
の解です。この式の解は、
　　 y''-ay=0
の一般解と、
　　 y''-ay=b
の特殊解の和であるというのは分かっているので
すが、その特殊解の求め方がよく分かりません。

ちなみに、
　　 y''-ay'=0
の一般解は、
　　 y=exp(ax)
でよいのでしょうか？

お願いします。

「モォオオオオオ〜」。窓の外の元気な牛の鳴き声で目が覚めた。
　十勝管内新得町郊外にあるファームイン（農家民宿）の「つっちゃんと優子の牧場のへや」。

　まだ朝の六時前なのに、湯浅ファームの湯浅健（つよし）さん（46）、優子さん（50）夫妻らが忙しそうに牛舎を動き回っている

解いてみたんですが自信が無いので、間違ってる所が有ったら
ご指摘お願いします。

∬_[x^2 + y^2 < 1](x^4 + 6x^2 y^2 + y^4)log(x^2 + y^2) dxdy を求めよ。

解答
∬_[1/n^2 < x^2 + y^2 < 1](x^4 + 6x^2 y^2 + y^4)log(x^2 + y^2) dxdy
= ∬_[1/n^2 < x^2 + y^2 < 1]((x^2 + y^2)^2 + 4x^2 y^2)log(x^2 + y^2) dxdy
= ∫_[1/n,1]∫_[0,2π] (r^4 + r^2 sin2θ) * 2log(r) r dθdr
= ∫_[1/n,1] ((r^5 * θ - r^3 cos2θ) * 2log(r))|_[θ=0,2π] dr
= ∫_[1/n,1] (2πr^5) * 2log(r) dr
= 4π ∫_[1/n,1] r^5 * log(r) dr
= 4π( ((r^6)*log(r)/6)|_[1/n,1] - ∫_[1/n,1] (r^5)/6 dr )
= 4π( log(n)/(6n^6) - (1/36 - 1/36n^6) )

n→∞ として
∬_[x^2 + y^2 < 1](x^4 + 6x^2 y^2 + y^4)log(x^2 + y^2) dxdy
= -π/9

>>438
ｙ＝−ｂ／ａ

ｙ''−ａｙ＝ｂ
（ｙ＋ｂ／ａ）''−ａ（ｙ＋ｂ／ａ）＝０

>>424
>>426でわかったと思うけど、 sinθ / (cosθ)^2 が
簡単に積分できる所がポイント。あとは部分積分で
出来らーね。

>>439
他大から灯台受けるの？

>>440
＞= ∬_[1/n^2 < x^2 + y^2 < 1]((x^2 + y^2)^2 + 4x^2 y^2)log(x^2 + y^2) dxdy
＞= ∫_[1/n,1]∫_[0,2π] (r^4 + r^2 sin2θ) * 2log(r) r dθdr
ここで
４ｘ＾２ｙ＾２＝ｒ＾２ｓｉｎ２θが違う。

>>444
あ・・・。r^4 ｓｉｎ2θですね。他は大丈夫でしょうか？

４ｘ＾２ｙ＾２＝ｒ＾４（ｓｉｎ２θ）＾２だから
他の間違いを探す意味はないと思う。

>>446
勘違いだった。
定数倍の違いだから意味がないことはなかった。

>>447
う・・・。ボロボロですね。情けなくなってきました。

((x^2 + y^2)^2 + 4x^2 y^2
= r^4 + r^4 (sin2θ)^2
= r^4 ( 1+ (sin2θ)^2)
(sin2θ)^2 を cos4θ で表して、後はさっきと同じように積分。

今度こそ・・・。

>>417
丁寧な解答、ありがとうございました。

いや、Ｓ^３の場合は、
０でないベクトルv=(x1,x2,x3,x4)に対して
(-x2,x1,-x4,x3)
(-x3,x4,x1,-x2)
(-x4,-x3,x2,x1)
の３つのベクトルが、ｖに直交し、かつ常に互いに独立です。だから、
ＴＳ^３の独立な切断が３つとれて、これは平行だな、って思ったんです。
で、同じようにＳ^５の平行性を示そうと思ったんですが、どうもうまく
独立なベクトルをとれないんですよね。
「やり方が悪いのかな？」って思ってたんですが。
悪いのは、私の頭だったワケですね（苦笑）。

ご指摘の書籍、もう少し予備知識を準備して、チャレンジします(^^;

すみません。これ教えて下さい。
複素ベクトルの時、
・内積はなぜ片方を共役にするのですか？
・外積の場合はどうするのですか？
・その場合ベクトル３重積の公式はどうなりますか？

ボレル可測とカラテオドリ可測ってどこがちがうの？

>>450
共役にしないと絶対値が実数にならないから。

> 内積はなぜ片方を共役にするのですか？
a・aがaの2乗ノルムになるようにしたいからじゃねーの。

> 外積の場合はどうするのですか？
a×bがa,bに直行するベクトルになるようにしたけりゃ
共役にしないほうがいいんでないか。

> その場合ベクトル３重積の公式はどうなりますか？
|a b c| で定義すれば。

>>207

>> その場合ベクトル３重積の公式はどうなりますか？
>|a b c| で定義すれば。

それはスカラー３重積だろ（ｗ

仕事でベジェを使っていますが、
ベジェの公式ってスカラー展開できるもんなんでしょうか？
形状を見るとループしたり、尖がっていたりするんで
ムリっぽい気がするんですが・・・・・

すみません。
スカラー展開→テイラー展開
の間違い。
ｽﾏｿ(w

教えてください。

{a_n}:実数の収束列
b_n:1/n-1/(n+1)
lim[n ->∞]a_n=g
lim[n ->∞](a_n a_(n+1))/b_n=1/2
この時
lim[n ->∞]n(a_n-g)=？

三角形の内角の和は１８０度だが、
四面体で同様の定理ってあるんですか。
それぞれの面の角度の総計は１８０×４＝７２０度、っていうことを聞いてる訳じゃないのは分かると思うけど
平面での単位円の弧の長さで角度を表すように
立体において、半径１の球の「弧」の面積で「立体角」を定義したけど
うまくいかない。

XY平面上において、X座標、Y座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ。格子点を頂点にもつ三角形ABCを考える。（１）辺AB、AC　それぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると、BC上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ。

ｙ＝x二乗−２aｘ＋a（０≦ｘ≦２）の最大値・最小値を求めよ。を解説、頼みます。

これはなんか、場ワイわけが４つ、あるんですけど。なんでですか？
それとなぜ、頂点がどこにあるかわかるのですか？
だれでもいいから、おしえてください。
それと、グラフをかくって、aかxどちらに代入？
できるだけ、詳しく頼む。

ふ〜ん

>>460
思いついた方針だけを書いてみます。次の事実に注目。
格子点を両端とする線分ABが奇数個の格子点によって等分されることは、
AとBの座標の差がX,Y共に偶数であることと同値である。

>>461
まず、係数がすべて与えられている場合の２次関数のグラフは描けるのか？まずはそれからだ。
それが描けるようになったら（or既に描けるのならば）、同じやり方を使ってこの問題のグラフを「描こうとしてみろ」。
定義域を考慮して描こうとすると、自然に場合分けの必要が出てくるはずだ。
グラフが描ければ、最大値と最小値はグラフから求まる。

>>461
y=(x-a)^2 - a^2 + a と変形できる。
ここまで書くと分かる？
範囲の中に頂点が含まれるかどうかで、Max,Minは
変わってくるよね。
＃中学数学…？

465＞そこまでは承知だ。
　　　その次を！

>>466
ｘを変数とする放物線の一部というのはOK？
aは定数だよ

>>466
もし（０≦ｘ≦２）が頂点より左側or右側だけなら最大値、最小値は（０≦ｘ≦２）の端っこだけど
頂点がこの区間にある場合は頂点が最小値で、最大値は（０≦ｘ≦２）の端っこのどっちかだよ

ちなみに放物線y=x^2を平行移動したものはy=(x-p)^2+qの形だよ

どなたか教えてください。
　　f : R^n → R^n
が固有写像のとき、
　　f(R^n) が閉集合になる
どうしてでしょうか？

468＞こたえがたくさんあり、判別がつきません。

>>470
パターンは４通りだけだよ

頂点がなぜどこかわかる？
パターンはどうやってみきわめる？

>>469
固有写像ってなんすかー？
コンパクト集合の逆像がコンパクトってゆうアレのことかにゃ？

もしそうだとすると、次のようにして示せるね

x ∈ R^n が f の値域に入っていないとする。
B(x,r) を x を中心とする半径 r の閉球とする。
∩_{n∈N}f^{-1}(B(x,1/n))=f^{-1}(∩_{n∈N}B(x,1/n))=f^{-1}(x)=Φ
f^{-1}(B(x,1/n)) はコンパクト集合の減少列で交わりが空だから、
有限交叉性によって、ある n があって f^{-1}(B(x,1/n))=Φ
よって x の近傍で f の値域と交わらないものがある。
これは f の値域の補集合が開であることを意味する。

へ、だれもとけないのか。
関数ぎらい？

>へ、だれもとけないのか。
わかってないのはおまえだけだよ。
ここまで丁寧に教えてもらってもわからないなら
あきらめたほうがいいと思う。

解けないのなら解けないと正直に言ったらどうなんだ、この蛆虫め

あと、２ちゃんねるの先輩方には教える義務もあると思うんです

ここってレベル低いね（プ

13＝３＾２＋２＾２、２９＝５＾２＋２＾２のように２つの整数「２つの整数は同じでもよい」
の平方の和の形で表される整数の集合を考える。
１　この集合に含まれる任意の２つの自然数の積は必ずこの集合に含まれることを証明せよ。

２１３×２９を２つの整数の平方の和の形で表せ。



自然数の平方を３で割った余りは２にならないことわ証明せよ。

この２つを解説してください。

(x^2+y^2)(z^2+w^2)=(xy+zw)^2+(xw-yz)^2
n≡0→n^2≡0 (mod 3)
n≡1→n^2≡1 (mod 3)
n≡2→n^2≡1 (mod 3)

次の問題が解けません。
教えてください。

A:n次実対称行列
N={x∈R^n;txAx=0}
V:Nに含まれる部分ベクトル空間
==>　2dimV≦2n-rankA

>>472
＞頂点がなぜどこかわかる？

y=x^2の頂点は(0,0)ってのは大丈夫？
ｘ方向にｐだけ平行移動すると
y=(x-p)^2で頂点は(p,0)
ｙ方向にｑだけ平行移動すると
y-q=(x-p)^2で頂点は（p,q)だよ。

微分して０になるところを求めてもいいけど
質問のレベルからして知らなそうだne！

＞パターンはどうやってみきわめる？
>>468にある通りだけど…

>>482
任意の u,v∈V に対して tuAv＝0．
よって
任意の u∈V に対して V⊂{ x∈R^n | tuAx＝0 }．
よって
dimV ≦ n - dim{ Au | u∈V }．
これから
2dimV≦2n-rankA が出るとおもうけど．出ない？

>>484
申し訳ありません。
どうして

>任意の u,v∈V に対して tuAv＝0．

が成り立つのでしょうか？

>>484
分かりました。
Vが線形部分空間だから
<.>を内積として
u+v∈V
0=<u+v,A(u+v)>=2<u,Av>
から出るんですね。

有難う御座います。

2tuAv = t(u+v)A(u+v) - tuAu - tvAv = 0 - 0 - 0 = 0

>>487
有難う御座います。

ここは、大学入試のレベルの問題も取り扱ってくれるの？

どうやら、ここの先輩は質問の意味を理解できていないようだ。
２次関数の基礎は網羅した。頂点というのは今場合ｘ＝aならどこでもなありえる。
ａは文字だから、０≦ｘ≦２の中にあるとはかぎらないし、文字だから、下に凸ぐらいの
グラフしかわからん。だから、代入法をつかうとおもうんだが、ｘかaどちらに代入する。
それに場合わけについてもせつめいしてほしい。
たのみます。
ちなみに東京６だいがくはどこさす？

>>490
ウザイからここに逝け
http://bbs5.otd.co.jp/507669/bbs_plain

491<<
ばかにはようはない。どけ！

n次実正則行列GL(n,R)に自然に可微分多様体の構造を入れる。
Z:n次実行列
A∈Gに対して曲線gを
g(t)=(Ae^(tZ))^2
で定める。

(1)
g(0)=A^2に於けるgの速度ベクトルg'(0)をAとZで表わせ。
(2)
f:GL(n,R)->GL(n,R)
f(X)=X^2
で定める。D∈GL(n,R)を対角成分がl1,l2,・・・,lnの対角行列とする。
Dのある近傍U⊂Gが存在して、fのUへの制限が微分同相となるための
l1,l2,・・・,lnの満たすべき条件を求めよ。

(1)は解けました。
(2)が全然解りません、教えてください。

>>490
>ａは文字だから、０≦ｘ≦２の中にあるとはかぎらないし、文字だから、下に凸ぐらいの
>グラフしかわからん。

少なくとも、
a＜０の場合
０≦a≦２の場合
a＞２の場合
の３通りの場合分けの必要があることは分かる？

そしてグラフを描くと
a＜０の場合０≦ｘ≦２で単調増加
a＞２の場合０≦ｘ≦２で単調減少
なのは分かる？

くだらない質問です。ａの３乗＝0.1
ａはどうやって計算すればいいですか？
おしえてください。

gumonn

>>495
Newton method

>>494
馬鹿に親切にし過ぎるとつけあがるので
ほどほどでよろしくお願いします。
出来る限り放置の方向で。

469です。>>474さん、どうもありがとうございました。

はじめて質問させていただきます。
過去の東大の入試で
「xy平面上で、x座標y座標共に整数である点を格子点という。
各格子点を中心に半径rの円が描かれている。
傾き2/5の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点を持つ。
rの最小値を求めよ。」
という問題があると思うのですが、この問題の答えがわかりません。
一応、河合塾のホームページに残っている過去問のほうは全部調べてみたんですが・・・
どなたか、教えて頂けないでしょうか？
お願いします。

４９８＞＞ばかはあんただ！

>>500
√29/58

>>500
これ結構有名。kを固定しy=(2/5)x+kと格子点(m,n)の距離は
d(k,m,n)=|2m-5n+5k|/√(29)。
　(m,n)を中心とする半径rの円と共有点がない
　⇔d(k,m,n)<r
よって
　ある格子点(m,n)を中心とする半径rの円と共有点がある。
　⇔d(k,m,n)<rがあるの格子点(m,n)について成立。
　⇔d(k,m,n) (m,n:整数)の最小値dがr未満。
まず|2m-5n+5k|/√(29) (m,n:整数)の最小値を求める。これは5kに一番
ちかい整数をg(k)としたとき|g(k)-5k|/√(29)。これが
“つねにr以下”がもとめる条件だから|g(k)-5k|/√(29)の最大値が
もとめるrの最小値。|g(k)-5k|は5kに一番ちかい整数との差だから
これが一番おおきくなるのは5kが半整数のときつまり
5k=±0.5,±1.5,±2.5,±3.5,...のときでそのあたいは1/2。
よって|g(k)-5k|/√(29)の最大値は1/2√(29)。
よってrの最小値は1/(2√(29))
だったと思う。

>>503
訂正(３行目)
×：(m,n)を中心とする半径rの円と共有点がない
○：(m,n)を中心とする半径rの円と共有点がある
あと“＜”は全部“≦”のまちがい。
>>502
はやいね。まけた。

開平計算の立方根版「開立（かいりゅう）」があるという話をどこかで聞きました。
やりかた教えてください

教えてください。

b:R^n×R^n -> R　対称双線形形式
G={A∈GL(n,R);任意のu,v∈R^nに対してb(Au,Av)=b(u,v)}
がGL(n,R)の部分多様体となる事を示せ。

関数fを
f:GL(n,R) ->R
f(X)=b(Xu,Xv)
としてP∈f^(-1)(b(u,v))を取って、Pの接空間を計算したのですが
点Pに於ける接ベクトルをQとしてb(Qu,Pv)+b(Pu,Qv)のような式が出て、
どうやって全射である事を証明すればいいのかわかりません。

忘れてました。

前問のGの連結成分の個数と二次形式bとの関係を明らかにせよ。

これもです、よろしくお願いします。

次のようなものになにか名前はあるでしょうか。
あるのならそれはなんでしょうか？

「数列 a_i が与えられたとき、
1以上m以下の整数 j、k、...、l を合計してnになるような
j、k、...、l の順列すべてについて、
それらを添字にする数列 a_i を掛け合わせたものの合計」

例えば、m=2、n=4 だと、
1と2だけを合計して4になるようなものは、
    1+1+1+1、1+1+2、1+2+1、2+1+1、2+2
なので、これらを添字とする数列の積は、
    a_1*a_1*a_1*a_1、a_1*a_1*a_2、a_1*a_2*a_1、a_2*a_1*a_1、a_2*a_2
なので、これらを合計して、
    a_1*a_1*a_1*a_1 + a_1*a_1*a_2 + a_1*a_2*a_1 + a_2*a_1*a_1 + a_2*a_2
となります。

また、例えば、m=3、n=3 だと、
1、2、3だけを合計して3になるようなものは、
    1+1+1、1+2、2+1、3
なので、これらを添字とする数列の積は、
    a_1*a_1*a_1、a_1*a_2、a_2*a_1、a_3
なので、これらを合計して、
    a_1*a_1*a_1 + a_1*a_2 + a_2*a_1 + a_3
となります。

もしかすると順列という言い方は間違っているかもしれません。

このような合計の名前はなんでしょうか？

ちょっとめんどくさいハナシなのですが、f(z)=Σ[k=0,∞]z^{d}^{k}とします。
そこで以下について考えます。

任意の正整数lに対し、次数がl以下の正係数多項式P_{0}(z), ... ,P_{l}(z)で
そのうち少なくとも一つが0でなく
Σ[i=0,l]P_{i}(z)f(z)^{i} = Σ[h=0,∞]b_{h}z^{h}　…（1）
と書くとき
∃b_{0}=b_{1}= … =b_{l^{2}}=0　…（2）

証明に際して、求めるl+１個の多項式を
P_{i}(z)=a_{i,0}+a_{i,1}z+…+a_{i,l}z^{l} (0≦i,j≦l)
と書き（ただし係数a_{i,j}は未知数）、（1）の両辺の係数を比較すると、
係数b_{h}はa_{i,j}の整係数一次結合となる。条件（2）は、式の数がl^{2}+1の
(l^{2}+1)変数連立一次方程式となる。

”(l^{2}+1)変数”ってのはa_{i,j}の総数から来ているように思われるのですが、
l=1で試してみたところ、”l^{2}”という条件のせいで変数が3つしかでてきません。
私の解釈が間違っているのかもしれませんので、なぜ(l^{2}+1)変数なのかをどなたか
教えてください。お願いします。

>>509
式の数がl^{2}+1の(l+1)^{2}変数連立一次方程式となる。
の間違いじゃない？誤植か、たんなる間違いか。

教えてください。
△ＡＢＣがあります。ＡＢ上にＤ，ＢＣ上にＥ，ＣＡ上にＦを取ります。
ＤＦ＝４，ＥＦ＝６で，∠ＤＦＥは９０°，またＤＢ＝ＢＥ＝ＥＣ＝ＣＦです。
△ＡＢＣの面積は？
宜しくお願いします。

>>506
次をみとめれば多様体であることはすぐでると思う。

　定理 GL(n,R)上の(成分に関する)C^1級の関数f_1,...f_tに対しこれらの
　　　　共通零点の集合H={A∈GL(n,R)|f_i(A)=0}が積,逆元について閉じていれば
　　　　それは部分多様体(Lie群)になる。

証明)ヤコビ行列∂f/∂xのrankが最大値rをとる点Aをとる。Aの近傍Uを
rank∂f/∂x(b)=r (B∈U)となるようにとる。陰関数の定理からV=U∩Hは
次元がdimU=dimGL(n,R)-rの多様体。このとき任意のB∈HにたいしBVも
多様体でしたがってH=∪[B∈H]BVも多様体となる。□
これからb(u,v)=u~Svなる対称行列Sをとるとき(ただしu~は転置ベクトル)
G={A∈GL(n,R)|A~SA=S}でこれは成分の多項式だから上の定理より
Lie群となる。

>>807
連結成分数は>>806の証明中のSをとるときSの固有値で分類して
正の固有値　負の固有値　０の固有値　連結成分数
ある　　　　ある　　　　ある　　　　８
ある　　　　ある　　　　ない　　　　４
ある　　　　ない　　　　ある　　　　４
ない　　　　ある　　　　ある　　　　４
ない　　　　ない　　　　ある　　　　２
ない　　　　ある　　　　ない　　　　２
ある　　　　ない　　　　ない　　　　２
だと思う。証明は次元に関する帰納法。まちがってるかも。

>>513
すま。ずれた。わかるろ？

すばやいレスどうもありがとうございます。

本を読んでいたらS^m×S^1のホモロジーを求める時に、
X1={(x,y);x^2+y^2=1 y≧0} X2={(x,y);x^2+y^2=1 y≦0}
として、S^m×S^1=S^m×(X1∪X2)に対して、Mayer-Vietorisを使っていたの
ですが、
Hm{S^m×{1}}+Hm{S^m×{-1}}→Hm{S^m×X1}+Hm{S^m×X2}
をψmとして、「Mayer-Vitoris完全系列の定義から明らかなようにKerψm=Z」
と書いてあったのですが、これはどういう意味なのでしょうか？

Hm{S^m×{1}}=Hm{S^m×X1}=Zなどはわかるのですけれど。

>>516
ψmって自然な埋め込み

　S^m×{(1,0)}∪S^m×{(-1,0)}→S^m×X1∪S^m×X2

から誘導される準同型とおもわれ。しぜんな埋め込みをそれぞれ

　i:S^m×{(1,0)}→S^m×X1
　j:S^m×{(1,0)}→S^m×X2
　k:S^m×{(-1,0)}→S^m×X1
　l:S^m×{(-1,0)}→S^m×X2

として

　Hm(S^m×{(1,0)})=Hm(S^m×{(-1,0)})
　=Hm(S^m×X1)=Hm(S^m×X2)
　=Z

の生成元a,b,c,dをうまくとるとi(a)=c,j(a)=d,k(b)=c,l(b)=d
となってψm=[[i,j],[k,l]]のランクは１、よってKernelはＺとなる。
((a,-b)がkernelの生成元。)

>>420-421を教えてくれませんか？

｢2^n +1 / n^2　を満たす1以上の整数ｎを全て求めよ｣
って問題を友人に出されて、余裕で解けるよと答えてしまったのですが、
これが難しくて僕の手におえません。
昼飯賭けてるのでなんとしても解いて見せないとならないので
どうかお知恵をお貸しくださいませｍ(_ _)ｍ

> 2^n +1 / n^2　を満たす

意味わからん

>昼飯賭けてるのでなんとしても解いて見せないとならないので

ズルしてもいいのか（ｗ

(２のｎ乗)＋１　÷　ｎの２乗　ってこトッス

ズルって？
ズルでもいいYo!　

>>518
昔の数学オリンピックの問題の気がする。

連投スマソ
ちなみに期限は金曜の４コマ目なんス。

>>519でした。

マジすか。
逝くか……図書館。。。

>>524
たしか、日本初参加のときだから、北京大会だな。

まあ、俺は解けるがな。

http://yasai.2ch.net/army/index2.html#1

>>512-514
有難う御座います。

教えてください。

P=P(r,s)
Q=Q(r,s)
D={(r,s)∈R^2;1＜r,0≦s≦2π}
とした時に
∫[D]{∂P/∂r*∂Q/∂s-∂P/∂s*∂Q/∂r}drds
をどうやって計算すればいいのでしょうか？

πが来年から３になるというのは、ガセだったようです。
それはどうでも良いんだけど、あれを少数でどんどん表してくと、
アルゴリズムが存在するとはいえ、一見、乱数みたく見えます。
で、あれは０〜９までの数字は、同程度の頻度で出てくるのだろうか？
と、ふと疑問に思いました。
ある実数を少数展開したとき、上記のような状況になるのがほとんどなんだろうか？

もう少し話を単純化します。０〜１の実数について考察すれば十分だし、
２進法でやっても話はおなじです。

０＜α＜１　となる実数αを２進法で少数展開するとする。２通りに展開可能な場合は高々可算個しかないんで
以下の話には関係ないんで無視する。

αi＝少数弟i位に出てきた数（０または１）とする。
これによって、数列が定義できた。

ｎを自然数とするとき、Ｆ(α、ｎ)＝α1〜αnの中の「１」の個数
　　　　　　　　　　　　　　　　＝α1＋α2＋α3＋、、、＋αn

とする。

さて、ほとんどのαについて、lim_[ｎ→∞]Ｆ(α、ｎ)／ｎ＝１／２
と言えるのでしょうか？

つまり、極限値が１／２とならない０＜α＜１全体の集合のルべーグ測度は０なんでしょうか？

例えば、極限値が１／３となるものはどのくらいあるか考えました。

１００、０１０、００１　の３つのパターンだけを繰り返すものは
極限値が１／３になります。もちろん、逆は正しくありません。

３種類のパターンを可算無限個並べるんだから、実数濃度と同じになります。
１／３だけじゃなく、０より大きく１より小さい有理数すべてについて
同様のことが言えます。

無理数に収束するばあいや、極限値を持たない場合については、手も足も出ませんでした。

とにかく、極限値が１／２とならない場合も、濃度で言ったら実数と同じだけあるけど
ルべーグ速度は０と言えるんでしょうか？

>>533
＞πが来年から３になるというのは、ガセだったようです。

ガセというより、途中で文部省が手のひらを返したの
それまで３にすると言ってたのに…
でも計算自体は３と近似して計算することになるんじゃなかったっけ？

>>517
ありがとうございます。生成元について考えればいいのですね。

あと、>>516のVitorisはVietorisでした。

M={(x,y,z)∈R^3;x^2+y^2-z^2=1}とする。R^3上の1次微分形式ydx-xdyをMに
制限してえられるM上の微分形式をωとすると、ω=dfをみたすM上の関数fは
存在しないことを示せ。

単に∂f/∂x=y,∂f/∂y=-x,∂f/∂z=0なるfが存在しないことを言えばいいの
でしょうか？

>>508
よくわからんがこいうことか？
Σ_[i∈{(x,y,...,z)|x+y+...+z=n}]Π_[j=iの要素]a_j
これの呼び名なんてとくについてないんじゃないか？
宿題ならまず学校の先生に聞いてみろ。

>>427
速いかどうかはともかくとして、

100*n円を10円と50円で表す方法は、2n+1通り
よって、100*n円を10円と50円と100円で表す方法は
100円の個数を変えて足すと
1+3+...+2n+1=(n+1)^2通り
よって、問題の答は、500円の個数を変えて足すと
1^2 + 6^2 + 11^2 +...+ 101^2=
25*20*21*41/6+5*20*21+20+1=73871通り
計算は間違っているかも。でも、方針はわかるでしょ。

それとも、Σの計算とかはわからないか?

>>534
イヤ、私が文部省に直接電話したら、ぞんな話は全くなく、なぜそうなったか分からないっていってたけど。
週刊朝日の記事だと、能力検だかの電車広告が発端だとか

>イヤ、私が文部省に直接電話したら、

warata

「S={1,2,3,…,n}(n>=2)で、２つの要素からなるSの部分集合をk個取り出し、
そのうちどの２つも交わりが空集合であるようにする方法は何通りあるか？」

>>541

ｎＣ2*ｎ-2Ｃ2*ｎ-4Ｃ2*,,,*ｎ-(k-1)Ｃ2／ｋ！
＝ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)(ｎ−３)(ｎ−４)・・・(ｎ−２ｋ＋２)(ｎ−２ｋ＋１)／２^ｋ＊ｋ！

Ｓから２個ずつ取り出して、順番に並べる並べ方は
ｎＣ2*ｎ-2Ｃ2*ｎ-4Ｃ2*,,,*ｎ-(k-1)Ｃ2
順番は無視できるので、ｋ！で割る

あるいは、全部で２ｋ個取り出して並べる　ｎＰ2k
２個ずつに分ければ、ペアとなった数同士は順序を入れ替えても同じ　(２!)^ｋで割る
ｋ個のペアの順序を入れ替えても同じ　ｋ！で割る

すいません。
不等式の証明おねがいします

a≧0、b≧0のとき
(2a^3)＋(b^3)＋3≧3a(b＋1)を示せ

>>420-421
自信ないけど。だれもレスしないので挑戦。
以下ρ:Ω^*(D^3)→Ω^*(S^2)を制限写像とする。
(1),(2)はただしく、２形式については(3)はただしくない。はおっしゃるとおり。
(4)も２次で正しくないと思われ。z^2dxdyは完全形式ではない、(閉形式ですらない)
けどρ(z^2dxdy)=ρ(1-x^2-y^2dxdy)は(1-x^2-y^2)dxdyが完全形式ゆえ
((1-x^2-y^2)dxdy=d(xdy-(1/3)x^3dy+(1/3)y^3dx))
ρ(1-x^2-y^2dxdy)=ρ(z^2dxdy)も完全形式。
１次形式については(x^2+y^2+z^2-1)dxは閉形式ですらないけど
ρ((x^2Ly^2+z^2-1)dx=0はあきらかに完全形式なので(3),(4)ともに正しくない。
どう？

>>536
それで正しいのかどうか微妙。>>544にもあるとうり外部もふくめた
空間で完全でなくてもMでは完全ということはありうるので。
それより完全性のチェックはいっぱんに１形式ωについて

　ωが完全
　⇔(1)ωは閉形式。
　　(2)任意の１次特異輪体γ：S^1→Mについて∫[γ]ω=0

をチェックするほうが一般的だとおもう。ざっと計算したら
たぶんydx-xdyはM上で閉形式ですらないとおもわれ。

>>544
あ。(3),(4)の反例なら
(x^2+y^2+z^2-1)dx
(x^2+y^2+z^2-1)dxdy
で十分だね。

>>458教えてください。

教えてください。

RP^2:２次元射影空間
C={[x:y:z]∈RP^2;x^2*y+y^2*z+z^2*x=0}
が部分多様体である事を示せ。

D={[x:y:z]∈C;z≠0}
とすればDがRP^2の部分多様体になる事は解ります。
でも、C全体になるとどうやればいいのかわかりません。

>>533
Borelの定理というやつだな。
１０進展開した時に、０〜９が平均して出現する実数のことを、「基底１０に関する単純正規数」という。
定理（Borel）
区間（０，１）に属する実数は、零集合を除くと、基底１０に関する単純正規数となる。

らしいぞ。

右や左の旦那様〜、教えて下さい。

白色雑音R(t)(すべての周波数成分が均等に存在)のフーリエ変換を
どうやって計算したらいいでしょうか?

計算機で計算すると、周波数の振幅成分、位相成分がともに白色雑音になっているようなのですが、
これを式で導出できないものでしょうか?

また、sin(R(t))のフーリエ変換はどうなるでしょうか?

フーリエ変換は以下の式です。
F(w)=∫[-∞,∞]f(t)e^{-j*w*t}dt

確率・統計が絡んでくると思うのですが、本を読んでも方針が立ちません。
どなたか方針だけでもご教授お願いします。

追記
F(w)=∫[-∞,∞]f(t)e^{-j*w*t}dt の j は虚数単位です。

|F(w)|が振幅成分, F(w)/|F(w)| が位相成分です。

よろしくお願いします。

0＜ｘ＜ｋにおける関数ｙ＝ｘ2−８ｘ＋９の最大値と最小値をもとめよ。
　＝　＝
この問題の答え方の範囲がわからないんです。
おそえてください。見にくくてごめんなさい

≦

それです

(sin80°＋sin40°)÷(cos55°＊cos35°)

おねげーします。
バカです。

教えてください。

0＜t＜π/2

lim[t -> +0]∫[0,t]dx/{(sint)^2-(sinx)^2}^(1/2)

>>544-546
ありがとうございます。

>>555
>バカです。

言わんでもわかる

３直線
Ｘ＋２Ｙ−５＝０……(１)
２Ｘ−Ｙ＋４＝０……(２)
２Ｘ−４Ｙ−７＝０……(３)
によって囲まれた三角形の
内接円の中心の座標は(a,b)で、
半径は(r)である。

a,b,rを求めよ。

上に続き、お願いします。

お願いします！＞558

教科書の通りやっても出来ません・・・教えてください！

以下をジョルダン標準形を求めよ
　　　２　１ -１
Ａ＝（１　２　０）
　　　１　０　２


固有値と固有空間は分かったんですが、
重複度２の固有ベクトルが１つしか出なくて困ってます。

上の書き方おかしいですね、すいません。


以下をジョルダン標準形を求めよ
A=[[2,1,-1],[1,2,0],[1,0,2]]

これです、よろしくお願いしますm(__)m

>>561-562
取りあえず出来たところまで書いてみれば？

はい、書かせて頂きます。


det(λE-A)=(2-λ)^3=0
⇔λ=2

(λE-A)にλ=2を代入、固有ベクトルを計算すると

2x+y-z=2x
x+2y=2y
x+2z=2z

これより固有ベクトルは
x=0,y=z=t (t∈Ｒ)
t(0,1,1)

ベクトル空間は
t(0,1,1)　(t∈Ｒ)

ここから先は教科書マネしてやろうとしても、
省略されてて分かりません(^^;

>>564

X^t:Xの転置行列

p=(0,1,1)^t

(A-2E)q=p
(A-2E)r=q

として順番にq,rを求めていって

P=(p,q,r)
とすればいい。

線形代数演習（斉藤正彦、東大出版会）１５９ページ辺りに載ってる。

計算したら一応こうなった。

P=
(0 1 1)
(1 1 2)
(1 1 1)

P^(-1)AP=
ジョルダン標準形=
(2 1 0)
(0 2 1)
(0 0 2)

ありがとうございます、Pがでてきました！
１日頑張ってたのでとても嬉しいです！

ところで、P^(-1)APは、計算でP(-1)を頑張って求めた後、
APに左からかけてやればいいんですか？
対角化のときは、固有値を対角成分に並べてズル？出来たから・・・。
今がりがり計算しているところです・・・566さん計算早いですね。^^;

すいません。中学生ですが、誰かこの問題教えて下さい

縦の長さが２πcm、横の長さが３６ｃｍの透明な長方形に対角線が
一本黒くえがかれている。
この長方形をまるめて円筒を作って真横から見たとき、
対角線はどんな形に見えるか調べよ

問題の意味がよくわかりません、おねがいします

>>568

ルーズリーフ１枚とって、角から角に、斜めにマジックで線引いてみよう。
んでその紙で筒を作って。
マジックの線が作るラインが、その問の答え

多分２番とかあるんだろうけど、その問の答えには縦と横の長さ関係ないよ

>>569
形は分かるんですけど、それをどうやって表現すればいいのか
わからないんです。
何か名前とかついていないですか？

>>570
螺旋（ｗ

いやー
そう書いて出すと多分出さないと同じ結果になりそうです

誰か知ってる人いたら、教えて下さい

>>568
「調べよ」なんだから、>>569のように実際にやってみるのが
いいんじゃないかな。見えたとおりにスケッチしておしまい。

nは自然数である。３^nが３００！の約数になるときのnの最大値を求めよ。
教員採用。試験数学科の問題です.
わかる方教えてください。

>>575
１〜３００までの数字に約数として3がいくつ含まれるか数えればすむでしょ。

>>519の問題　誰か解いてよ　気になるじゃん

>>577

問題がおかしいんだもんなぁ。

> 2^n +1 / n^2　を満たす
何を満たす？

2^n +1 / n^2　が整数を満たす
とか、書いて欲しいんだけどなぁ。
まあ、整数だったとして満たすｎは存在しないけど。

「次の３条件を全て満たす自然数a,bを求めよ。
(i) 2≦a<b
(ii) 1000以上の全ての自然数Nは適当な自然数m,nを使ってN＝ma+nbと表すことができる。
(iii) 自然数m,nをどうとっても、ma+nb=999とすることはできない
」
という問題で答えは４組あるらしいのですが、教えていただけませんか？

300!を、３に注目して素因数分解すると、
300!=300*299*298*...*3*2*1
9=3^2
27=3^3
81=3^4
273=3^5
上の４つを除いた
300,297,･･･,3のそれぞれに、因数として３が含まれてるから、
それを数えて、96こ３があるよね
そして上の４つの因数の３を数えて
96+2+3+4+5=110

300!の中には因数として110こ３が含まれている

だから、ｎ＝１１０

580は>>575ね

19個の相異なる2桁の数が与えられたとき、
必ずその中のある4個a,b,c,dが、
a+b=c+dを満たすことを示せ。

a+b=c+d
a-c=d-b

2桁の数は10から99までしかない。
その組み合わせでできる差は1から89までの90とおり。
ところが19C2は19*18/2=171>90
したがって可能。

↑コレであってます？

>>580
まちがってるよ。

>>582
あってると思われ。

>>578
１と３だよ。数オリの過去問だからどっかに解答ころがってると思われ。
a^φ(n)=1 (mod n) (∀a,n) を使う。

Ｈに直線を３本引いて、３角形を７個つくれ
ただし３角形同士は重なってはいけないとする

ヒントでもいいので教えてください

>>567
>ところで、P^(-1)APは、計算でP(-1)を頑張って求めた後、
>APに左からかけてやればいいんですか？

そう、それでＯＫ

>対角化のときは、固有値を対角成分に並べてズル？出来たから・・・。

実は計算しなくてもジョルダン標準形を知る事はできる。
>>565で書いた本に載っているから図書館に言って読むか
本屋で立ち読みするといいかもしれない。

>>579
その問題の自然数は非負整数の意味ね。これ解釈が２流派あるからね。
以下自然数＝非負整数として
一般に

　定理　互いに素な２以上の自然数 a,b に対しma+nb (m,nは自然数)
　　　　の形にかけない最大数は ab-a-b である。

を利用するともとめるa,bはab-a-b=999よって(a-1)(b-1)=1000。
これを解いて(a,b)=(2,1001),(5,251),(11,101),(26,41)
ちなみに自然数＝正の整数という解釈だと(a,b)=(27,37)
しかない。

>>583
もう少し書いておいたら？>>580は
36=4*3^2
54=2*3^3
のような数を忘れていると思われ

ここが分かれば、あとは数えるだけ
あとは、>>575さんどうぞ

>>585
分子に（）をつけてないので、わり算を先にしてしまったと
思われ>>578

その場合、答えは１だけであることは簡単に分かるけど

ところで、φ(n)ってなに？

limΠ(2n-1)/2n=0
この証明の仕方教えてください

>>590
φ(n)はオイラーの関数。１以上ｎ以下の整数のなかでｎと互いに素（１を含む）
なものの数。n=p_1^(e_1)･p_2^(e_2)･...p_t^(e_t)(p_iは互いに異なる素数)のとき
φ(n)=n(1-1/p_1)･n(1-1/p_2)･...n(1-1/p_t)。
ex.φ(7)=6,φ(55)=40,φ(63)=36。
このとき

　定理　任意の自然数(≧1)と２以上の自然数ｎにたいし

　　　　　a^φ(n)≡1 (mod n)

が成立する。これつかうとできる。もっとかこいいやり方あるかも
しれんけど。

>>592
“定理　任意の自然数a(≧1)と２以上の自然数ｎにたいし”
に訂正。

>>510
私の勘違いでした。スマソです。

>>592
さらに訂正
“φ(n)=n(1-1/p_1)･(1-1/p_2)･...(1-1/p_t)”

>>591
（２／１）（４／３）．．．（２ｎ／（２ｎ−１））＞１＋１／３＋．．．＋１／（２ｎ−１）を示せ。

>>596上手い！

>>596
ありがとう。うまくいきました。

質問があります。

複素数平面において、3点A(α）、B(β）、C(γ）とし△ABCにおいて
おのおのの頂点からその反対側の辺へ垂線を下ろすとき
各垂線が交わる点をH（O)
とすると、点Hが一点で交わることを証明せよ。

一応、α＝a+bi , β＝c+di ,　γ＝e+fi　とおいて証明したんですが
ほかにもスマートな解き方がないでしょうか？
よろしくお願いします！

>>588
そんな定理があったんですね。
ありがとうございます。

>>599
点BからACに垂直な線と点CからABに垂直な線との交点をHとし
点Hを基準とする点A.B.Cの位置ベクトルをabcとすると、
a･b=c･b
a･c=c･b
よってa･b=a･c
したがって線AHは線BCに垂直。
複素数でやるならaとかbに対応する複素数をα、βとかとして
｜a-b｜^2=|αーβ|^2
を考えたらいけるけど、若干式がややこしくなります

>>599

Aを通りBCに平行な直線と、Bを通りCAに平行な直線と、
Cを通りABに平行な直線を書き、△ABCの外側に三角形をつくる。
このときHはこの外側の三角形の外心である（１点で交わる）。
よって垂心は１点で交わる。

>>601-602
理学部１回生より中学３年生の方が賢いな（ｗ

>>556教えてください！！

1000e

なんつったけあれ・・Aの３乗＋B３乗＝Cの３乗ってやつ
なんとかの最終章定理とか・・

>>606
うろ覚えにも程がある。
そんな記憶のかたすみにあるものを引っ張り出してきて
どうしたいんだ君は？

ｙをxの関数とします。
(y^4/y')をｘで微分した時の分子について教えてください。
４ｙ＾３・ｙ’・ｙ’−ｙ’’ｙ＾４となるようですが、
後半部分がわかりません。なぜｙ’を単純にｙ’’と書いてよいのですか？
ｙ’もｘの関数なので、(dy'/dx)をかけなければいけないような気がするのですが。

明日、駿台の模試（高一）があって、偏差値、７０以上取りたいので、
教科書にはのっていない、公式や裏技の伝授をお願いします。

>>606
馬鹿は氏ね

ここはばかのあつまり

>>608
Chain rule（合成関数の微分法）は、uがyの関数でyがxの関数のとき、
du/dx=(du/dy)/(dy/dx)
のように用いますよね。これをy'を微分するときに無理に用いようとすると、
dy'/dx=(dy'/dy')(dy'/dx)
となってしまいます。

２行目を訂正　du/dx=(du/dy)(dy/dx)
　

oltupai

誰かこの問題を教えて下さい

半径１の円を底面とする直円柱２本が右図のように直角に交差している。
二つの直円柱の重なった部分はしたのような立体になる。
（葉っぱみたいな形のが四つくっついた立体です）
　�@　重なった部分のたいせきを求めよ
　�A　葉っぱの形を調べよ（曲線を関数のグラフとして表せ）

>>615
誰もその説明を聞いただけでは理解できないよ。
もっと分かりやすく。

えっと・・・・・・・
なんていうんですかね
同じ円柱を二つどこから見ても対称になるように交差させます
すると重なった部分がある立体になりますよね

>>617
x^2+z^2=1 と y^2+z^2=1 が交差してるんだな。しかしこの体積って
中学生の夏休みの宿題にでるの？

その立体は葉っぱのような形（正方形の頂点から対角の頂点以外のところを
通る円を二つかいたときできるような形）を４つつなげたような立体です

>>618
はい
あのカバリエリの原理を使えって書いているんですけど・・・

Z/2[x]　と 　Z/2[y]　（ともにZ/2上の多項式環）のテンソル積が
Z/2[x,y]と同型であることを示す。
この問題について誰か教えて下さい。　

>>615
確かそれ、10年位前の東大入試の問題じゃないか？

>>622
そうなんですか？
あんまり難しい記号とかを使わないように説明して頂きたいのですが
お願します

>>623
体積の方はカバリエリの原理(＝断面積比が一定なら体積比もその比
に等しい。)でいけるけど(曲線を関数のグラフとして表せ)
は中学の知識でできんのかな？

>>624
多分分かんないけど、一応解答（できれば解説も）
をお願します

>>615

（１）
円柱を交差させた垂直方向に垂直な面でこの立体をスライスすると，
正方形になっているが，これは半径１の球に対して同様にスライスした
ときにできる円に外接する正方形で置き換えたものになっている．
スライスした各面の正方形の面積は，円の面積の4/π倍，一方球の体積は
(4/3)πだから，求める体積は，(4/π)×(4/3)π＝16/3となる．

ホントに小学生？

>>615
図形{(x,y,z) | x^2+z^2≦1 かつ y^2+z^2≦1 }を平面 z＝t で
切った切り口は

|x|≦√(1-t^2)
|y|≦√(1-t^2)

つまりこの切り口は一辺の長さが 2√(1-t^2) の正方形で、
その面積は 4(1-t^2)。
だからもとめる体積は。∫_[-1, 1] 4(1-t^2) dt。

…でいいんじゃないの？
カバリエリの原理は知らない（ｗ

葉っぱを平らにのばすとたぶん
葉っぱの縁はふたつの正弦曲線になるような…

>>615

（２）
この立体の各曲面は，元の円柱の一部．
葉っぱの接続面の曲線は，この円柱を４５度でスパッと切った形で，つまり楕円．
この楕円の長半径は√2，短半径は1である．

中学生の夏休みの宿題って意外と簡単なんですね．

>>612
なんとなくは理解できたのですが。
y'をxで微分するときは、y''と問答無用で書いてもいい（他に書きようがない）ということですか。

>>629
で、結局答えはなんですか？

>>621
次の２つはみとめる。

　定理１　R代数Aの元a_1,...a_tに対しR代数の準同型f:R[x_1,...,x_t]→A
　　　　　でf(x_i)=a_iを満たすものがただひとつ存在する。

　定理２　R代数A,BにたいしA○BをR代数のテンソル積とする。A,Bを
　　　　　a=a○1,b=1○b (a∈A,b∈B)でA○Bの部分代数と同一視
　　　　　しておく。
　　　　　このとき任意のR代数の準同型f:A→Cとg:B→Cに対しR代数
　　　　　の準同型h:A○B→Cでh(a)=f(a),h(b)=g(b) (a∈A,b∈B)
　　　　　を満たすものがただひとつそんざいする。

これをもとめて

　定理３　R[X]○R[Y]とR[U,V]は同型。

∵)定理１よりR代数の準同型f:R[U,V]→R[X]○R[Y]をf(U)=X,f(V)=Yと
なるようにとれる。また定理１よりR代数の準同型g':R[X]→R[U,V]
をg'(X)=Uとなるようにとれる。同様にg'':R[X]→R[U,V]をg''(Y)=V
となるようにとれる。そこで定理２よりg:R[X]○R[Y]→R[U,V]を
g(X)=U,g(Y)=Vととれる。gf(U)=U,gf(V)=VよりgfはR[U,V]の恒等写像。
同様にfgも恒等写像。□

>>631

座標軸が設定していないのに，これ以上の解答に意味があるの？
お馬鹿さん．

>>1つかもう数時間で閉鎖するってのに何あほなこと話してんだｳﾞｫｹ
ｼﾈやｶｽ！！
お前みたいなｻﾞｺが来るからｻｰｳﾞｧｰへの負担大きくなって閉鎖になったんだ！！
氏ね

ラウンジもしくはニュース板逝ってみろ！
のんきにあほ話してんのはここくらいなもんだぞ？

>>627
ネット上には天才少年がたくさん居るのです。どういうわけか…

ってゆうかこの問題開成中3の夏休みの宿題ですよ
開成生には頭がよろしく将来有望なのもいれば
俺みたいに人に頼って生きていくろくでもないのもいるのです

>>634
転送料が払えないとか言うやつ？
3分の１ぐらい消えるらしいね、あんま興味ないけど

>>636

開成かぁ．いいなぁ〜．
私も一応来年，開成中学を受験するつもりです．
>>615の類題はこの前の春休みの集中講習で塾でやりました．
入試でこういう問題が出れば楽勝なのに・・・
もし合格できたらよろしくお願いしますね．

>>637
これか?

・2chが存続の危機。
・2chの危機の真相は、データの『転送料』、ズバリ金。CGIその他の負荷等ではない。
・2chの人口は指数関数的に増加中。サーバ会社のbig-serverはとっくに限界突破。
・２ｃｈは、big-serverの広告を出すことで転送料他をロハにしてもらっているが、
　現在、Big‐serverの料金計算では月に700万円にもなりそうな転送量になっている。
・現在の転送量の内訳は、主としてROM。読込と書き込みの比は、約２０対１。
・Big‐serverとしては転送量（料）が１／３になったらなぁ・・・ということらしい。
　雑談系の板は来週にも閉鎖の見込み。

>>636
改正厨や名田厨はむかしからそうだよ
東大や京大の入試問題や類題で初歩的な知識で解けるものなどをやらせたり
厨工乳歯に混ぜてたりするよ

おっぴかご

>>630
そういうことです。
そもそも、y"はy'の導関数として定義されるものですから。

この計算を教えてください。
よろしくお願いします。

-i∫[π/3,5π/3]e^(it)/{e^(it)-1}*dt

>>643です。
解決しました。
クソレスつけて申し訳ありません。

-i∫[π/3,5π/3]e^(it)/{e^(it)-1}*dt
この手の式よく見るんだけどさー
定積分？
iって虚数のi?
つーか計算問題だったら自分で計算しろよ
ここは数学板だぞ
機械的にできんだろ

>>645
うっせ馬鹿。
俺にいちいち指図するな。

>549

　>Borelの定理というやつだな。
　>１０進展開した時に、０〜９が平均して出現する実数のことを、「基底１０に関する単純正規数」という。
　>定理（Borel）
　>区間（０，１）に属する実数は、零集合を除くと、基底１０に関する単純正規数となる。

　>らしいぞ。

ありがとうございます。直感的に成り立ちそうだけど、実際成り立つんですね。
証明するのはクソ難しそうだけど。
一方、実数濃度と同じで速度が０の集合というのが、感覚的に不思議な気がする。

「基底１０に関する単純正規数」、なるほど、何進法によるかで、違ってくるから、「に関する」
となるんですね。ただ、それによって変わってしまうのは高々可算個になるけど

さらに、「任意の一桁の有限数列」（数列の長さをｎとする）を与えた、
小数弟ｋ位まで展開したとき、その有限数列が現れる回数をφ(ｋ)としたとき

φ(ｋ)／ｋ　のｋ→∞の極限値が１０^ｎとなるものが「ほとんど」だというのも
多分成り立つんだろうな

>>608
そこではｘでの微分を’で表しているので
ｙ’’＝ｄ（ｙ’）／ｄｘ＝（ｄｙ／ｄｘ）’＝ｄ＾２ｙ／ｄｘ＾２
となる。

>>612
ｄ（ｙ’）／ｄ（ｙ’）＝１なので何も問題はない。

>>646
>>643だけど、あんた誰？

虚数αは次の条件（＊）を満たしている。
　（＊）α、α＾2、α＾3、α＾4、α＾5は相異なり、これら5つの数を解にもつ
　実数係数の5次方程式が存在する。
（1）|α|＝1を示せ。
（2）このような虚数αは全部で何個あるか。

これはどう手をつけたらいいんでしょうか？（1）からわかりません。
α＾6−1＝0の因数分解がかかわってるように考えたんですが・・・。
（1）が示せないと使えそうにないので詰まってしまいました。
だれか、ご教授ください。

>>650
とりあえず方針だけ。
実係数５次方程式の解だから、互いに複素共役になるペアが作れるはず。
そのような式を作って、絶対値をとってみると良いのでは？

>>650
間違ってたらごめんなさい・・・
虚数αとのことですが、複素数αで考えます。
今、題意にあうような5次の関数を考えると

a( X-α)( X-α^2)( X-α^3)( X-α^4)( X-α^5) ＝0
そこで、複素数平面上でこの5つの解は原点を中心とした円上に
あるということにすると、たとえばα^2は回転の式とみなすことができる。
つまり、α〜α^5が同一円上にあるためには、|α|＝1でなければ
ならない。よって|α|＝1

次に、このようなαが何個存在するかという問いには、α〜α^5が
相異なるという条件を使います。α＝（cosθ+isinθ）とすると、
1°≦θ≦71°でないといけない（θ＝72になるとα＝α^5になって
相異なるという条件に反する）ということになりαは71個存在する。

と考えたんですが・・・どうでしょう。
ここにいらっしゃる他のすごい皆さんの回答に期待します・・・

でも実際のところ、
ざっと解いたのでこの解答にはなんか穴があるような
気もするんですがね・・・650さんもあくまで参考までに・・・
クソレス失礼しました〜

>>652
全然駄目です。
＞5つの解は原点を中心とした円上にあるということにすると
これを示せというのが（1）の題意でしょう。結論を使ってしまっています。
＞1°≦θ≦71°でないといけない
この理屈なら、1.5°でもよいはずなので、71個にはならないのだが…
というより、条件（＊）を無視して(2)を解いているのが論外です。

訂正
条件（＊）を無視して
　　　　↓
条件（＊）の「実数係数」を無視して

どうすれば、こんなデタラメが書けるんだ。

まあ間違ってたとしても、煽るだけのやつより遙かにマシ
文句言うより、模範解答かけ

一応、おれは652ではないが。

>>656
おまえだよ。

>>657
模範解答なんか書く必要あるの？
…ってゆうか、じぶんでかけば？
ヒントはもう651が言ってる。

一応、おれは656ではないが（ｗ

>>657
>>654で自ら言ってるように論外
救いようも無いくらい駄目な解答なんだ　>652は…
書かない方がいいくらい低レベルな解答だ、文句の1つもいいたくなるだろうよ

>文句の1つもいいたくなるだろうよ

その「1つ」を既に654が言ってる（ｗ

>>650
ズバリα^5−１＝０でしょ。
え？根は５つとも実数でない複素数？そんなのムリだよ。
だって、実係数だろ？
じゃ、５つの根のうち１つは必ず実数だよ。

>>661
虚数なのはαだよ

>>662

あっそ、じゃ>>660でOK。

S1を
　　　S1 = { (x,y) : x^2 + y^2-1 = 0}
　で定義されるR^2の部分空間とする。WをRに同値関係ｘ〜ｙ⇔Z∋x-yで定義される商空間とする。
S1,Wは位相同型であることを示せ
　誰か助けてください！うまく写像を作って同相写像を言えばいいことはわかるのですが
どうとるかがよく解りません。

map S1->W = S1/〜 : 自然な射影、topologｙは商位相
これでダメか？
もしくは、レポート問題が全然わからないなら正直に書くように（ｗ

と適当に書いてみたが、>>664のZって何？

>>664
写像f:R/〜 →S1をf(t)=(cos2πt,sin2πt)で定めれば良いのでは？
>>666
多分整数の集合でしょう。

　Zは整数です。商位相がいまいち理解できていません。
　　　　[0,2π] → S1
　↓
　　　　　 W
　　こんな感じに写像を作るのかな？と考えてみたのですが...

キリ番ゲット〜じゃなくって、
>>667の言うとおり W -> S1 を構成したほうが簡単じゃない？

x 〜 y ⇔　Z ∋x - yの意味がよく解らないのですが。これは傾き１の直線と
半径１の円の交点を同一視するってこと？ここら辺の意味が理解できずに苦しんでいます。
　W - > S1　とはなんですか？

>x 〜 y ⇔　Z ∋x - yの意味がよく解らないのですが。
線分[0,1]の両端をくっつける（ちょっと乱暴）

>半径１の円の交点を同一視するってこと？
？？？

>W - > S1　とはなんですか？
f: R -> S1 , >>667のものから
W = R/〜 -> S1
が well-definedなのはちゃんとチェックしたうえで、それのこと。

- > って→のことですか？W = R/〜って明らかなんじゃないんですか？

すいません！R/〜がどんな集合かわっかていません。今教科書と格闘しながら
レスしてます。

>>669
>傾き１の直線と 半径１の円の交点を同一視
x-yを中学で習う直線の方程式と勘違いしているのでは？
ここではxもyも同じ数直線上の点なので、“傾き１”は筋違い。
その商集合の解釈については、例えば1.6や2.6などを
区間[0,1]上の0.6に集約する働きをすると考えたらどうでしょうか。
私もやや乱暴な説明になってしまったかもしれませんが。

宿題なんですがわかりません

30ﾟ≦θ≦90ﾟのとき次の関数の最大値、最小値およびその時のθの値を求めよ。
ｙ＝4cos(120ﾟ−2θ)

引用間違い。674は670へのレスです（汗）。
商集合は確かに初学では難しい面がありますね。
教科書を熟読すればきっと理解できるはず。頑張って。

この問題ではWとはRに同値関係を入れたものと定義されていますが、
WとR/〜は違いがあるのでしょうか？

W := R/〜 （定義）でしょ？

>>675
グラフの描き方は習ったか？

f : R/〜 →　S1とする
　定義より　R/〜∋ｔ　f(t) = (cos2πt, sin2πt)
　とできる。これは明らかに全単射である
　ｆ　が連続であることを示す

　何とかこのような指針をたてたのですが、何か問題があればレス下さい。

>これは明らかに全単射である
まあ、そうでしょう。
>ｆ　が連続であることを示す
fの逆の連続性は？（言い訳込みで省略できるはずだけど）

>>680
だいたいあってるけどそれだけじゃ不充分だよ。f:X→Yが全単射連続
でも同型でないことがありうるからね。だから

　(a) 逆写像f^(-1)も連続であることをしめす。
　(b) fが開写像(もしくは閉写像)であることをしめす。

のどっちかだろな。(a)なら文句ナシ同型だけど(b)をしめして終わり
ってのは初学者向きじゃないからあんまりすすめられないかもね。
(b)の方が現代風なんだけど。

V ⊂　R/〜を開集合とする
　V' = f~-1(V) ⊂　R/〜　V'が開集合を示す
　この先がちょっと大変です！今頑張っていますがどうでしょう？

>>683
なんかちがうぞ。よくよんだら>>680もちょっとわかってんのか〜
ってつっこみたくなるよ。ただしくは f:R/〜→S^1 を

　f([t])=(cos2πt, sin2πt)

とさだめる。(ただし[t]はtを代表元とする類。)でしめすべきことは

　(1)定義のwell-defined性。つまり代表元tのとりかたによらないこと
　　　をしめす。
　(2)全単射性。これがしめせた時点で逆写像f^(-1)をgとでもおく。
　(3)fの連続性。これには任意のS^1の開集合Uに対しf^(-1)(U)が
　　　R/〜の開集合であることをしめす。
　(4)gの連続性。これには任意のR/〜の開集合Vにたいしg^(-1)(V)が
　　　S^1の開集合であることをしめす。

でしょ？

>>550

白色雑音って１つの関数ですか？
１つの関数なら，そのフーリエ変換を考える，
というのはあなたの書いている式でわからんでも
ないですが，白色雑音について解析する，
っていうのは１つの関数をかんがえることでは
ないと思いますよ．

最近mathematica手に入れたんですが、使い方説明してるいいページあったら
教えてください。ぜひ、よろしく！

>>550

どうやっても何もホワイトノイズなんだからフーリエ変換したら定関数なんじゃないの？
ホワイトノイズって関数の形決まってるんではない？

"H"に３本の直線をひいて三角形を７個作りたい。
これって可能ですか。
レベル低くてすいません。
可能であればその方法も御教示ください。

問題）下図のような３*３の点を４本の線分で一筆書きできるか。
　　　・・・　　（これは有名ですよね）
　　　・・・
　　　・・・
　　　さて、これをn*nにして一般化できるでしょうか。（もちろん最低の本数です）
　　　誰か、知恵を貸して下さい。
　　　ちなみに、私の予想はn>=3のとき2n-2本である。

AとBがゲームをして、Aが勝つ確率は1/3で引き分けは無し。
先にn回勝ち越した方が優勝とする時、Aが優勝する確率を求めよ。

わからない。解法教えてくださーーい。(答えは 1/(2^n+1))

Ｕ，ＶをR^2上の開集合とする。
Ｕ，Ｖが共に連結であり、Ｕ∩Ｖの１次元ホモロジー群Ｈ１（Ｕ∩Ｖ）＝｛０｝とする。
このとき、Ｕ∩Ｖも連結であることを示せ。

という問題なのですが・・
Mayer-Vietoris完全系列を適用すべきだというのは分かるのですが、具体的にどう適用すれば良いのかが分かりません。
問題の仮定は、
Ｕ，Ｖが共に連結である⇔Ｕ，Ｖの０次元（Ｚ係数）ホモロジー群がＺ＾１と同型
ということだと思いますし、結論は
Ｕ∩Ｖも連結⇔Ｈ０（Ｕ∩Ｖ）＝Ｚ＾１
ということだと思うのですが。
Ｈ０（Ｕ∩Ｖ）＝Ｚ＾１というのは、系列の完全性だけから求まるものなんでしょうか？
それとも、具体的な基底及び準同型の構成から求まるのでしょうか？
よろしくお願いします。

>>688
まだこの問題考えていてくれた人がいたんだね…
どこかのスレに書き込んだ問題だよ
俺の父親の会社で流行っていた？問題で俺が
代わりに解かされたんだが

俺のとった方策というかヒントだけ書いておくと
Hという形にこだわらずに６本の直線を一般の位置に並べて
できるだけ多くの領域に刻むその囲まれた領域が何角形かを
見てできるだけ多くの３角形が得られるようにいろいろ直線をずらす
最後に２本だけ平行にするとできる筈だ。
最後はHの真中の線が線分であることに気をつける必要があるけどね

積分の問題で質問です。
∫[1/(x^2+2x+2)^2]dxなんですけど
∫[1/(x+1)^2+1]dxと変形して、＝arctan(x+1)+cってありですか？

>>693
ｘ+１をｘに変数変換しただけだからあり

>>690
Ａの勝った回数をａ，Ｂの勝った回数をｂとすると
ａ−ｂ＝−ｎとなって決着が付く確率は
ａ−ｂ＝ｎとなって決着のつく確率の２＾ｎ倍。
ｍ回勝負して決着の付かない（−ｎ＜ａ−ｂ＜ｎ）確率は
ｍ−＞∞のとき０になるのでＡの優勝する確率は１／（１＋２＾ｎ）。

>>693
∫[1/(x^2+2x+2)^2]dx≠∫[1/(x+1)^2+1]dx
なので駄目です。

>>690
ｍ回勝負して決着の付かずＡがａ勝ｂ敗となっている確率
≦（ｎ！／ａ！ｂ！）（１／３）＾ａ（２／３）＾ｂ

>>696
訂正
＞≦（ｎ！／ａ！ｂ！）（１／３）＾ａ（２／３）＾ｂ
を
≦（ｍ！／ａ！ｂ！）（１／３）＾ａ（２／３）＾ｂ

>>691
示せないよ。なんか条件ぬけてない？
U=(0,3)×(0,1) ∪ (0,3)×(2,3) ∪ (0,1)×(0,3)
V=(2,3)×(0,3)
とするとU,Vは連結、H1(U∩V,Z)=0であるけどU∩Vは連結じゃないよ。

>>687

答を言ってしまうと，決まっていません．
>>550 はそこで既につまずいている，ということです．

数学板としては許し難い説明になるけど，
ホワイトノイズはブラウン運動の「微分」だ，
っていう言い方を聞いたことがありますか？

ブラウン運動はrandom walk（酔歩)の
連続極限だけど，random walk は
すごろく，つまりいろんな行ったり来たりの道
（関数）がそれぞれ決まった確率で出てきます．

ブラウン運動は決まった形じゃないです．
関数の集合の上の確率測度です．

ホワイトノイズをブラウン運動の「微分」と
とらえるのは数学としてはむずいです．
（関数じゃなくて超関数の上の測度．）
が，とにかく，問題自体を見直すべき，ということ．

この式の値がわかりません。

cos45゜cos30゜＝？

サイン、コサイン、タンジェントだけが頭からｽｯﾎﾟﾘ抜けていました。

>>700 約0.612372435696

>>700
ここはあなたの宿題をみんなで手分けして終わらせる
ところではないのですから、分からない問題をいきなり
転載して誰かにやってもらおうと思うのは良くないです。

＞702
産休です。
＞703
囲碁気お付けます。

三角比の表を使うことを忘れていました。あはは。恥藁

>>699
＞数学板としては許し難い説明になるけど，
＞ホワイトノイズはブラウン運動の「微分」だ，
＞っていう言い方を聞いたことがありますか？


確率積分として取ればそうですね。
すっかり忘れてました。
逝って来ます。

　解析の教科書について、お聞きしたいのですが、
岩波基礎数学講座の解析入門　（小平邦彦著）と、
岩波基礎数学選書の　解析入門　（小平邦彦著）　の内容は
基本的に同じものなんですか？

>>707

あ，これぼくもしりたいので age．

講座は持っているけど，選書を最近になって知って，
もう絶版らしくて手に入らない．

各大学の実力派学生ポータルサイトたん＊萌えなびナビ＊

早稲田(わせ)―http://waseda-links.com
ICU(あしゅ)―http://icunavi.com
立教(りきょ)―http://ri-style.com
東邦(とほ)―http://www.h2.dion.ne.jp/~jn1
東洋(とよ)―http://toyowave.com
中央(ちゅお)―http://chuo.pos.to



↑（　・∀・）ｲｲ！

レスが遅れました。６３２番さんありがとうございます。

高校の問題で、ある２次関数ｆ(x)が与えられて、
係数がａ＋１などという具合に表されていて、
ｆ(x)＝０の２つの異なる実数解がともに０以上となるａの条件は？

というような問題がよくありますが

例えば、「ｆ(x)＝０の実数解はすべて整数である。」
という条件があったときって、

�@ｆ(x)＝０が実数解を持つというのは言わずもがな。
つまり上の条件は「実数解を持つ」と言うことをも意味として
含んでいる。

�Aｆ(x)＝０の実数解全体の集合をＡとするとき、
いかなるＡの元も整数である、という意味だから、
実数解を持たないときはＡ＝φで、上の条件は成り立つのか

�@�A、どっちの解釈が正しいのでしょうか？
φの場合、「いかなるφの元ｘについても、、、、。」というのが
常に真であるというのは大学で習うが、数学的真理、あるいは論理
学的解釈は、問題を読む人がそれを習っているかどうかとは無関係
なはず。つまり、高校生の段階では、�Aの解釈はしない、などとい
うのはナンセンスであるが。

昨日６６４で位相同型の問題を出したものですが、指針は理解できたのですが行き詰まっています。
f:R/〜→S^1 f([t]) = (cos2πt, sin2πt) としたときこのwell-definedはこれが成り立たない元が
存在したと仮定すると矛盾することを示せばよいのでしょうか？
　R/〜は大まかに言うと[0,1]の０と１をつなぎ合わせたものと、書いてあり大体のイメージはつくのですが
具体的にtはどのような範囲の元なのでしょうか？例えば[0,1）だとすると連続ではありませんよね？
R/〜がしっかりと理解できていないのが原因だと思っています。何かよいアドバイスを下さい。

>>711
わかりやすくするために、具体的に問題を出してもらってはだめですか。
具体的に問題があると議論しやすいな。

S^1 = {(x,y) : x^2 + y^2 - 1 = 0}　と定義する
　WをR（実数全体の集合）に同値関係　Z∋ｘ〜ｙ（Zは整数全体の集合）
で定義される商空間とする。S＾１とWは位相同型であることを示せ。

>>714
ここはあなたの宿題をみんなで手分けして終わらせる
ところではないのですから、分からない問題をいきなり
転載して誰かにやってもらおうと思うのは良くないです。

次の問題について教えて下さい。

n = Σn_i * 2^i k = Σk_i * 2^i (ともに i >= 0 ）
ここでn_i　と　ｋ_i　は0か1で、nとkは２進数とする。
このとき　C[n,k] = Π[n_i,k_i]がなりたつ。

ここでC[n,k] が0でない必要十分条件は、それぞれの　i　に対して
k_i = 1 、n_i = 1　となることである。

>>716

ここはあなたの宿題をみんなで手分けして終わらせる
ところではないのですから、分からない問題をいきなり
転載して誰かにやってもらおうと思うのは良くないです。

>>716
問題の意味わからん。

＞C[n,k] = Π[n_i,k_i]

の左辺は２項係数だろうけど右辺の意味がわからん。

>>698
レスどうもです。
すみません、打ちミスでした。
一次元ホモロジー群が消えているのはＵ∩ＶではなくＵ∪Ｖです。
これだとどうでしょうか・・？

>>719
それだと簡単じゃないの？Mayer-Vietoris列から

　0=H1(Ｕ∪Ｖ,Z)→H0(Ｕ∩Ｖ,Z)→H0(U,Z)+H0(V,Z)→H0(Ｕ∪Ｖ)→0

が完全列なんだからこれ短完全列で

　定理１　H0(X,Z)=Z^(Xの連結成分数)、とくに(Xの連結成分数)=rank(H0(X,Z))

　定理２ 0→A→B→C→0が短完全列のとき rankB=rankA+rankC。

をつかえばよい。定理１の証明は位相幾何の入門書ならなんでものってるし
定理２は

　補題１ 加群 A に対し rankA=dim(A○Q) (ただし○はテンソル積)

　補題２ 0→A→B→C→0が短完全列のとき0→A○Q→B○Q→C○Q→0も短完全列

でしめせる。

>>713
過去に塾で生徒に教えていて迷ったんだけど、具体的問題はわすれた。
また出会ったらここに書き込むのでよろしくお願いします。
問題文の解釈に迷う問題って時々ないですか？

>>720
ありがとうございます。
exact sequenceにおけるrankの関係式を使うと良いと。
ここらへんの完全列に関する理解が弱かったようです。

便乗質問でｽﾏｿのですが、Ｚ係数ホモロジー群においてtorsion partは出てこないものなんでしょうか？
０次の場合はＺ＾ｎに同型だから出てこないのは良いとして、ｎが１以上の時は・・？
ホモロジー群の次数次第？底空間の位相幾何次第？常に出てこない？
理解が甘くてすみません。教えて下さると助かります。

>>722
でてくるよ。射影平面P^2のホモロジー群は

　H_i(P^2,Z)=Z(i=0)、Z/2Z(i=1)、0(その他)

証明はP^2=M∪A (M:メビウスの帯、A:アニュラス)とわけて
M,AがS^1とホモトピー同型であることからホモロジー群がすぐ
わかるのでその生成元をもとめておいてあとMayer-Vietoris列
をみればわかる。

>>723
重ね重ねレスどうもです。
そおでした・・確かに昔出てきてました・・忘れてました。

ああ、早く使いこなせるようになりたい・・
ポイントは、代数的技術なんでしょうかね？
続き、勉強してきます。

ジョルダンの閉曲線定理の証明ってどうやるのかご存知でしょうか?

解析概論読んでて難しいとかいてあったもので。。
証明が載っている本なんかも教えていただけると幸いです

>>509について改めてお聞きしたく思います。

やはりf(z)=Σ[k=0,∞]z^{d}^{k}とします。

任意の正整数lに対し、次数がl以下の正係数多項式P_{0}(z), ... ,P_{l}(z)で
そのうち少なくとも一つが0でなく
Σ[i=0,l]P_{i}(z)f(z)^{i} = Σ[h=0,∞]b_{h}z^{h}　…（1）
と書くとき
∃b_{0}=b_{1}= … =b_{l^{2}}=0　…（2）

証明に際して、求めるl+１個の多項式を
P_{i}(z)=a_{i,0}+a_{i,1}z+…+a_{i,l}z^{l} (0≦i,j≦l)
と書き（ただし係数a_{i,j}は未知数）、（1）の両辺の係数を比較すると、
係数b_{h}はa_{i,j}の整係数一次結合となる。条件（2）は、式の数がl^{2}+1の
(l+1)^{2}変数連立一次方程式となる。

”(l+1)^{2}変数”ってのはa_{i,j}の総数から来ているように思われます。
これをl=1,d=2で試してみたところ、
b_{0}=a_{0,0}=0
b_{1}=a_{0,1}+a_{1,0}=0
という具合に変数となるものが3つしか出現しません。

私の解釈に間違えがあるのかもしれませんが、何かご指摘いただければ嬉しいです。

>>725
位相幾何の教科書漁ってみそ

>>726
＞z^{d}^{k}


{z^d}^k
z^{d^k}

？？？

>>726
これあとでどっかでみたことあるなとおもって探してしまった。
塩川本のP52の証明だね。b_iの方は変数じゃないよ。テイラー展開できるってだけ。
l=1 のときなら用意する多項式は２個で次数は１次でP0=a+bz,P1=c+dz,
f=p+qz+(２次以上の項)
とすると
　P0f(z)^2+P1f(z)^1
　=(a+bz)(p+qz)+(c+dz)(p+qz)+(２次以上の項)
　=(pa+pc)+(qa+pb+qc+pd)z+(２次以上の項)
で０〜１次の項がきえてるので
　pa+pc=0,qa+pb+qc+pd=0
と未知変数 a,b,c,d ４個(=(l+1)^2個)に関する式の数が２個(=l^2+1個)の
線形連立方程式になるので非自明解がある。

C[p,i] 0<i<p pは素数 Cはコンビネーション とする。
この時、C[p,i] = 0 (mod p)を証明する。
でずっと考えていたんですけど、p*(p-1)* ,,,, (p-i+1)が連続の数字でi個
あるので、この中に、i,i-1,,,,2の倍数を含むことが分かるので、割り切れて
pが残るのでpの倍数であると思うんだけど、どうやって数学的に示すのか?
教えてください。

>>725
これおれも探した。なかなかないよね。おれは確か“集合論的位相幾何学”
という本でみつけた。今現物がないので著者名も出版社もわからない。
でもその証明だけのこしとこうとおもってうつしたTeXファイルがある。
証明はだいたい２〜３ページほどだった。
あと“位相幾何学、ホモロジー論”、中岡稔、共立に一般化された
Jordanの定理ってのが練習問題でのってた。でも略解しかなくて
よくわからなかった。
“集合論的位相幾何学”の方はたぶん３０年以上前の本でたぶん本屋で
さがすのは難しいとおもう。中岡本のほうは最近復刊されたので
手にはいるとおもう。

>>731
Jordanの定理の証明見たこと無いので非常に興味があります。
そのTexアップしてくれまへん？

>>732
うぷしたいのはやまやまなんだけどうちのプロバイダとHP公開の
契約してないからすぐにはできない。もし興味があるならどっか
さがりきってるくそスレにsageでかきこもうか？それでも
１レスにおさまんないけど。

>>733
悪のアップローダーじゃ駄目？
http://www2.makani.to/akutoku/upload/

本来はエロ画像揚げるとこだったりして・・・

>>734
なにそれ？もしかして“みんなでいろんなファイルうぷしあいましょ”
みたいなとこ？ちょっとみてみる。
あとおれのもってる証明は前述の本の証明から少し手をいれてあるよ。
なんせ本の証明は前の章とかの結果とかつかってたのでそれを
コンパクトにまとめるためにいろいろ改変したから。
もしうぷしたら報告するね。

ＯＫ、待ってるよ〜　ありがとう〜

思いっきりレベル下げて申し訳ないのですが、
ある集団の中で､自分と誕生日が同じ人がいる確率
の求め方を教えていただきたいのですが。
リアル厨房なんで、簡単な方法でお願いします。

>>729
そうでしたか。ありがとうございました。
「塩川本」を細々と読んでいます、私。

「pとqは互いに素な正の整数」
ってどういう意味ですか？
低レベルでスマソ。夏休みの宿題中です

>>739
pとqの最大公約数が１といういみ。たとえばp=2とq=3とか
p=30とq=77とか。

計算問題でスマソ。
log_{4}√(2+√3)-√（2-√3）
{（3/8）・9の1/6乗}+（-24の1/3乗）+（1/9の1/3乗）

しまった、>>741の上は
log_{4}｛√(2+√3)-√（2-√3） ｝だった。度々スマソ

>>741
√(2±√3)=(√（√３±1）^2)/（√2）=（√３±1）/（√2）

√(2+√3)-√（2-√3）=2/（√２）=√２=4^(1/4)

log_{4}｛√(2+√3)-√（2-√3） ｝=log_{4}｛√2 ｝=1/4

後は自分でやれ

>>743
親切にありがとう。

>>740
ようは2つとも素数ってことですね。
問題に意味わからん使い方がしてあったからさぁ
ありがとうございました

>>745
>ようは2つとも素数ってことですね。

違います。
素因数に同じ素数を持たないってことです。
同じ数字で割れないってことね
ｐもｑも両方偶数だった場合、どちらも２で割れてしまうのでこれは
互いに素ということにはなりません。
１６と９を両方割り切る素数はないので互いに素です。

わからないことがあるので、お願いします。
問題: 曲線y=x^2 - x - 2 上の点Pと、点Q(8, 3) との距離を最も短くしたい。
Pの座標を求めよ。

参考書の解答は、
点Pを(x, x^2-x-2) として点Qとの2点間の距離を、差の２乗で求める
方法を利用しています。ちなみに答えはP(3,4) です。

そこで次のような方法で、考え方が間違っている点があれば指摘願います。
----------------------------------------------------------------
点Pでの接線の傾き(2x-1)から、同点Pでの法線の方程式を
y - (a^2-a-2) = -1/(2a-1) * (x - a)
と表し、この直線は点Qを通るので(8, 3) を代入して
a を変数をする２次方程式を得る。
そしてこの方程式の解aが点Pのx座標となる。
----------------------------------------------------------------
この方法では答えが(3, 4) になりません。しかしどこが間違いなのかがわかりません。
どなたかご指摘お願いします。

>>747
円と勘違いしてないか？
それは、Ｑを通る法線を求めたに過ぎない。
最短という保証はどこにも無い。

A=[[1,0,0],[-1,3,2],[1,-2,-1]]とする。(1行,2行,3行の順)

１：Aの最小多項式は何か？
２：e＾(t*(A＾2))　を　e＾(t*A)で示せ。

どなたかお願いします。。。

>>747
>y - (a^2-a-2) = -1/(2a-1) * (x - a)
>と表し、この直線は点Qを通るので(8, 3) を代入して
>a を変数をする２次方程式を得る。

どうみても３次式だ右辺が分数なのだから
俺の計算では整理すると(2a+1)(a+1)(a-3)=0となり
答えの(3,4)を含んでいるよ

>>748
>円と勘違いしてないか？

おぃおぃ円でも一緒だぞ…
法線はPの候補を見つけるためだけのものだよ
円は法線が一致するけど法線上に２点でてくるのだし
Pの位置はさらに絞らなければならない。

>>748
放物線との最短距離は法線とは限らない(頂点の法線を除く)。
ということですか?

やっぱりそうですカー。
図形的に何となしに最短かと思ったんですが。
やはり円のように等方性の図形でないといえないんですね。

そうすると、(メジャーな解き方でいうと)2点間の距離の公式ぐらいしか
この問題を解く方法はないということでしょうか?

>>750
なるほどということは、一応最短のものも含んでいるという
ことですか。他のaのあたいはどうも(8,3)に近そうではありませんが、
では、a=3が最も近いということを、今の方法でさらに言うとしたら、
どうすれば良いのでしょうか?

>>752
この３つの中にあるのだから全て距離を計算して比べる

>>753
やはりそうですか、
では分かりやすく、そして簡単にとくのに初めから2点間の距離
を使って解くのがいいみたいですね。

レス下さったみなさん、ありがとうございました。

>749
とりあえず１だけ。
ハミルトン・ケーリーの定理によって(A-I)^3=0になる
(固有多項式くらい自分で求めてね)
A-I≠Ｏで、(A-I)^2=Ｏだから、最小多項式は(A-I)^2
２は現在解いてます