◆ わからない問題はここに書いてね １１ ◆

>>420-421
自信ないけど。だれもレスしないので挑戦。
以下ρ:Ω^*(D^3)→Ω^*(S^2)を制限写像とする。
(1),(2)はただしく、２形式については(3)はただしくない。はおっしゃるとおり。
(4)も２次で正しくないと思われ。z^2dxdyは完全形式ではない、(閉形式ですらない)
けどρ(z^2dxdy)=ρ(1-x^2-y^2dxdy)は(1-x^2-y^2)dxdyが完全形式ゆえ
((1-x^2-y^2)dxdy=d(xdy-(1/3)x^3dy+(1/3)y^3dx))
ρ(1-x^2-y^2dxdy)=ρ(z^2dxdy)も完全形式。
１次形式については(x^2+y^2+z^2-1)dxは閉形式ですらないけど
ρ((x^2Ly^2+z^2-1)dx=0はあきらかに完全形式なので(3),(4)ともに正しくない。
どう？

>>536
それで正しいのかどうか微妙。>>544にもあるとうり外部もふくめた
空間で完全でなくてもMでは完全ということはありうるので。
それより完全性のチェックはいっぱんに１形式ωについて

　ωが完全
　⇔(1)ωは閉形式。
　　(2)任意の１次特異輪体γ：S^1→Mについて∫[γ]ω=0

をチェックするほうが一般的だとおもう。ざっと計算したら
たぶんydx-xdyはM上で閉形式ですらないとおもわれ。

>>544
あ。(3),(4)の反例なら
(x^2+y^2+z^2-1)dx
(x^2+y^2+z^2-1)dxdy
で十分だね。