◆ わからない問題はここに書いてね １０ ◆

　　　 , ― ﾉ）
　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 わからない問題はここに書いてね ♥
　 ヽ　| |　l　 l |〃　過去スレと関連スレ，数学記号の書き方例，
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 業務連絡・その他は >>2-10 の中にあるよ♪
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

【前スレ】
◆ わからない問題はここに書いてね ９ ◆
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=993571403

【過去スレ】
◆ わからない問題はここに書いてね ◆
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◆ わからない問題はここに書いてね ２ ◆
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◆ わからない問題はここに書いてね ３ ◆
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◆ わからない問題はここに書いてね ９ ◆
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【数学板削除依頼スレ】
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=986384122 （レス削除）
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=987829968 （スレッド削除）

【数学板要望スレ】
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=993571288

【リンク先更新総合スレッド】
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=992178408

【掲示板での数学記号の書き方例】
■数の表記
●スカラー：a,b,c,...,z, A,B,C,...,Z, α,β,γ,...,ω, Α,Β,Γ,...,Ω, ... （← ギリシャ文字はその読み方で変換可．）
●ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V) （← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．）
●テンソル（上下付き１成分表示）：T^[i,j,k...]_[p,q,r,...], T[i,j,k,...;p,q,r,...]
●行列（１成分表示）：M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]
●行列（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...]',[0,1,0,...],...] （← 行（または列ごと）に表示する．）

■演算・符号の表記
　●足し算：a+b
　●引き算：a-b
　●掛け算：a*b, ab （← 通常"*"を使い，"ｘ"は使わない．）
　●割り算・分数：a/b, a/(b+c), a/(bc) （← 通常"/"を使い，"÷"は使わない．）
　●複号：a±b=a士b, a干b （← "±"は「きごう」で変換可．他に漢字の"士""干"なども利用できる．）
　●内積・外積・３重積：a・b, aｘb, a・(bｘc)=(aｘb)・c=det([a,b,c]), aｘ(bｘc)

■関数・数列の表記
　●関数：f(x), f[x]
　●数列：a(n), a[n], a_n
　●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2) （← "√"は「るーと」で変換可．）
　●指数・指数関数：a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) （← "^"を使う．"exp"はeの指数．）
　●対数・対数関数：log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) （← 底を省略する場合，"log"は常用対数，"ln"は自然対数．）
　●三角比・三角関数：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
　●絶対値：|x|
　●ガウス記号：[x] （← 関数の変数表示などと混同しないように注意．）
　●共役複素数：z~
　●転置行列・随伴行列：M', M† （← "†"は「きごう」で変換可．）
　●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
　●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （← "Π"は「ぱい」で変換可．）

■微積分・極限の表記
　●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y,x （← "∂"は「きごう」で変換可．）
　●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf （← "∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
　●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, �点[C]f(r)dl （← "∫"は「いんてぐらる」，"∬��"は「きごう」で変換可．）
　●数列和・数列積：Σ_[k=1,n]a(k), Π_[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
　●極限：lim_[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）

■その他
　●図形："△"は「さんかく」，"∠"は「かく」，"⊥"は「すいちょく」，"≡"は「ごうどう」，"∽"は「きごう」で変換可．
　●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換可．
　●等号・不等号："≠≒≦≧≪≫"は「きごう」で変換可．

※ ここで挙げた表記法は１例であり，標準的な表記法からそうでないものまで含まれているので，後者の場合使う時にあらかじめことわっておいたほうがいい．
※ 関数等の変数表示や式の括弧は，括弧()だけでなく[]{}を適当に組み合わせると見やすい場合がある．
※ 上記のほとんどの数学記号や上記以外の数学記号は大体「きごう」で順次変換できる．

【業務連絡・その他】
●９００を超えたら新スレに移行準備．
●旧スレ側 → 終了宣言，新スレへの誘導．
●新スレ側 → 開始宣言と目次，旧スレのリンク，掲示板での数学記号の書き方例，業務連絡・その他，旧スレ側の残り問題の移動．
●数学板の要望スレで数学板の注意書き（リンク先）の変更依頼．


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｜.　　　　　　　 　　　 │
│　はにゃ〜ん.　　　│
｜　γ∞γ~　　＼ 　　　│
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｜ 数学板さくらスレ. │
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（● ´ ー ｀ ●）ﾉ さくらスレ旗掲揚

移転完了 ъ( ﾟｰ^)

*******************　第　１０　部　開　始　**************************

H(q1,q2,p1,p2)=((p1^2+p2^2)/2)-(GmM/√(q1^2+q2^2))
で定まるハミルトン方程式の積分曲線について、

第一積分 H と A=q1*p2-q2*p1 が不等式
　0>H>-(GmM)^2/(2A^2) を満たすとき (q1(t),q2(t))が
楕円運動をする。そのとき、楕円運動の周期Tと長軸lを求め、
T^2/l^3 を求めよ。

おつかれさまでーす＞１

＞方程式　２＾x＝x＾２　のx＝２、４以外の解はどのようにもとめたらよいのでしょうか？

-0.7666646959621231　あたりに解があるね。

最近さくらスレとくだらんスレのバランスが悪くないですか？

In[29]:=
f[x_] = 2^x - x^2;
g[x_] = x - f[x]/f'[x];
NestList[g, N[-1/2, 60], 8]

Out[31]=
{-0.500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, \
-0.80675650174018001210821514140676870461019408460338073412770, \
-0.76735361222287430883993246159748743176825709503848811101596, \
-0.76666490586344323695196074784616054733996528049442143739511, \
-0.7666646959621425895172014036516221072307291495240612279911, \
-0.7666646959621230931112044226785177227489947792764276652000, \
-0.7666646959621230931112044225103148480066753466698320584734, \
-0.7666646959621230931112044225103148480066753466698320584609, \
-0.766664695962123093111204422510314848006675346669832058461}

助けてください！お願いします！！
デシジョンツリーを用いた問題で

Ａ社は、新製品グッドをＸ社に納入したいと考えている。グッドがＸ社
テストに合格すれば、1000万円を得る事が出来る。不合格だと、300万円
の違約金を払わなければならない。
　グッドを現在の製法(A1)で作れば製造費は400万円であるが、上手くいく
確立は70%であろ。これを150万円の金をかけて改良すれば（製法A2）成功
の確立は90%に高まる。A1でうまくいかなくても、A2に移行する時間的余裕
はあるが、そこで止めてもいい。もちろんA2で上手くいかなければ、止める
ことになる。A社はどのような決定を下したらいいか？

なんですけど、全くわかりません、お願いします！

3人組がある女性をレイプしました。
1人は脚を攻め、1人は股間を攻めていましたが、
もう1人は傍らで見ていました。
その後この3人は逮捕され、裁判の結果、
脚を攻めていた者と股間を攻めていた者はともに懲役3年でしたが、
見ていた者は懲役8年でした。

どうしてでしょう？

腿クリ３年掻き８年

突然おじゃまします。
数学の計算言語の問題なのですが、どなたかわかる方はおられるでしょうか？
もし親切な方がおられましたら、解説のほう宜しくお願いします・・・。


1．アルファベット　Σ＝｛ａ、ｂ｝上の言語

　　Ｌ＝｛ａ＾ｎ*ｂ＾２ｎ｜ｎ＝1、2、3…｝
　　に対し、

1-1　Ｌが正規言語でないことを証明せよ
1-2　Ｌを生成する文脈自由文法を与えよ


2．

　　　　　　　　 ａ
　　　　　　┌────┐
　　　　　　│　ｂ　ｂ↓
　　　　　　┌←┐┌←┐
───→ｑ0　 ｑ1　ｑ２
　　　　　　└→┘└→┘
　　　　　　↑　ａ　ａ│
　　　　　　└────┘
　　　　　　　　　ｂ


　　　上の状態遷移図で与えられるＤＦＡの受理言語を表す正規表現を与えよ。

すいません、図失敗してました

　　　　　　　　　　ａ
　　　　　　┌────┐
　　　　　　│　ｂ　　　ｂ↓
　　　　　　┌←┐┌←┐
───→ｑ0　　ｑ1　　ｑ２
　　　　　　└→┘└→┘
　　　　　　↑　ａ　　　ａ│
　　　　　　└────┘
　　　　　　　　　　ｂ

1-1 aの個数を保持するのに有限状態機械では不可能である
1-2 σ→aσb, σ→ab

2 はまたあとでね

すいません、これで最終調整です

　　　　　　　　　　ａ
　　　　　　┌────┐
　　　　　　│　ｂ　　　ｂ↓
　　　　　　┌←┐┌←┐
───→ｑ0　　ｑ1　　ｑ２
　　　　　　└→┘└→┘
　　　　　　↑　ｂ　　　ａ│
　　　　　　└────┘
　　　　　　　　　　 ａ

>>16
おおっ！
早速のレスありがとうございます。
意外と単純な答えだったんですね・・・

実数aに対して，集合{(x,y)|y≦−x^2＋3a､y≧x^2−ax＋a}をDで表す。
(1)Dが空集合とならないaの範囲を求めよ
(2)1≦a≦2を満たすすべてのaに対してつねに(x、y)∈D となる点(x、y)の
集合を図示せよ。

小学生です。質問があります。
７で割り切れる数はどうやって見分けるのですか？

実際に7で割ってみるとよい。

>>19
基本は図を書くことです。

(1)Dが空集合となるようなaの範囲を求めてみる。
任意のxに対して
−x^2＋3a＜x^2−ax＋a　・・・(a)
となればよい。
(a)を変形して
(x-a/4)^2＞a+(a^2)/16　・・・(a)'
(a)'が任意のxについて成り立つので、結局
0＞a+(a^2)/16　・・・(a)''
が成り立てば良い事が解る。
(a)''より
-16＜a＜0
これがDが空集合となるaの範囲である。
求めるものはDが空集合とならないaの範囲であったから
a≦-16,0≦a　・・・(答)

(2)求める点を(u,v)∈Dとする。
1≦a≦2に対して
v≦−u^2＋3a　・・・(b)
v≧u^2−au＋a　・・・(c)
図を書くと解るが、
(b)は結局
v≦−u^2　・・・(b)'
となる。
(c)はちょっと難しい。
f(x)=x^2−ax＋a=x^2+a(−x＋1)
はxを代入するとaの多項式として出て来るが、x=1の時は
f(1)=1
となってaは出て来ない。
y=f(x)と言うグラフはaを変化させればxy平面上を動いていくが、
aを0から1へ増やしていった時、
x＜1部分はグラフが上側(+y方向)にシフトして行き
x=1部分は恒等的に1の値をとり
x＞1部分はグラフが下側(-y方向)にシフトして行く。
よって、それぞれの場合にグラフが一番上にある状態を考えればいい。
だから結局(c)は
v≧u^2−u＋1　(u≦1の時)　・・・(c1)
v≧u^2　　　　(u≧1の時)　・・・(c2)
のようになる。
求める領域は(b)',(c1),(c2)の共通領域となっているので図示すればよい。
(ちなみに、(b)と(c)の共通領域は無い。)

　Brezisの書いている本「函数解析」（産業図書）の
９章のSobolevの不等式（系�\．１３）の証明教えてください。
　具体的にはp>Nの場合です。
それ以外の２つは出来ました。。。

次の問題がわかりません。
ご教授ください。

X:Hilbert space
P,Q:X上の直交射影
P≦Q ⇔ RanP⊂RanQ
を示せ。

>>20
３桁ずつに区切って＋−を繰り返して、その数が７で割り切れれば
元の数も７で割れる。

ちなみにこの方法で１３で割れれば、元の数も１３で割れる。

>>20
1の位を2倍して残りから引く。
たとえば2492だと1の位の2を2倍して4、これを249から引くと245。
同じようにに245の1の位5を2倍して10、これを24から引いて14。
14まで来ると7の倍数と分かるのでもとの2492は7の倍数。

13の倍数は似た方法で1の位を4倍して残りに足すといい。

みなさん、ありがとうございます。
いろいろ試してみます。

RanP てなに？
P≦Q の定義は Q-P の固有値≦0 でいいのかな？

＞22
サンクス!
ただ(2)は　1≦a≦2　だからちょっと直すとこがあると思われ。

でもx＝1が動かない事などいろいろためになったでおじゃる。

18=40-X/{2.3log(40/X)}
どうやって解くんですか？

>>26

これ、いい方法だね。
有名なやりかたなの？

In[7]:=
x /. FindRoot[18 == 40 - x/(2.3Log[40/x]), {x, 10}]
Out[7]=
24.5995

>28
Ran(P)って値域のことだとおもうよ。
　それと、固有値も違うと思う。
君は多分１，２年生かな？
　解析系に行くならこういうのもそのうち習うと思うよ。

射影平面と射影直線について、バカでもわかるような説明お願いします。

test

正四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をMとおき、また
∠ABM＝α、∠AMD＝β、∠ADM＝γとおく。
このとき、sinα、sinβ、sinγの大小関係を調べよ。

わかりません、教えて下さい。

R^3の部分空間{(x_1,x_2,x_3);x_1,x_2,x_3のいずれかは整数}
を同値関係(x_1,x_2,x_3)〜(x_1+n_1,x_2+n_2,x_3+n_3) n_j∈Z
で割った空間をXとおく。
(1)Xのオイラー数を求めよ。
(2)3次対称群S_3は座標の入れかえでR_3に働き、これは自然にS_3のXへの
作用を与える。このとき、商空間X/S_3の整係数ホモロジー群を求めよ。

という問題を教えてください。方針が全くわかりません。お願いします。

>>34
射影直線は平面の原点を通る直線の全体をＰとする。
原点を通らない直線を１個考えＡとする。
Ｐの要素のうちＡと平行な直線をのぞいて---これが無限遠点---
Ｐの要素とそのＡとの交点を同一視することができる。
これが射影直線。
これのまねをして射影平面の定義も考えて見なさい。

求め方を教えて欲しいんですが、
Y＝Xの２乗の放物線上を、Y＝−１/３Xの２乗の頂点が動いていく
とき、Y=−1/3ｘの２乗が通らない領域はどうやって求めるんですか？

ＡＢＣの３人が逮捕され、このうち二人が処刑されることになった。
３人は別々の部屋に隔離されており、
また３人それぞれの囚人には「二人が処刑される」としか知らされていない。

ここで、Ａが看守に
「ＢとＣのどちらかは確実に死ぬんだから一人死ぬ人を教えてくれ」
と言った。
看守はＢだと答た。
するとＡは
「今まで死ぬ確率が２／３だったのが１／２になった」
と喜んだ。
Ａが喜んだのは論理的に正しいでしょうか。



なんとな〜くは分かるんだが･･･
具体的な数値的な、
「〜〜〜〜〜〜　だから確率は2/3のままである」
っていう感じのスパッと納得できる解答を誰か教えてくれませんか？

>>37
(1)まともに単体分割して数えたらXのオイラー数＝１になった。
(2)テキトーに図を描いてたらX/S_3はメビウスの帯ってことになった。
…ホンマかいな（ｗ

>>41
37では無いけど、もっと詳しく教えて欲しい。

>>39
y=-(1/3)x^2 を、頂点が(a,a^2)上に来るように平行移動したものは
y = -(1/3)(x-a)^2 + a^2
になる。この式をaに付いてまとめなおすと、
y = (2/3)(a+(1/2)x)^2 - (1/2)x^2
ここで、xを固定したとき、aをいろいろと動かしてみると、
y ≧ -(1/2)x^2
となることが分かる。
これが求めたい領域。

300ccの升だけを使って500cc測るには？

微分幾何に出てくる接続形式って幾何学的にはどういう意味
を持つのですか？

ガウスの定理とストークスの定理とグリーンの定理
の幾何学的意味を教えて下さい

∫[∂D]ω＝∫[D]dω

>>46
?

>>47
?

>>46
ω=A・dS のとき dω=div(A)dV
ω=A・ds のとき dω=rot(A)・dS
を示せ

車板であったやつなんだけど
1=(1/3)+(1/3)+(1/3)
=(0.33333･･････ )+(0.33333･･････ )+(0.33333･･････ )
=0.99999･･････
がいまいちよくわからん
誰かおせーて

＞５１
１＝０．９９９９９・・・・・・
であってるよ

1=0.99999･･････ でいいんですよ，そのままで。

y=(1+x)^(1/3)を、X=0のまわりでTayler展開せよ。
が分かりません。教えてください。
ちなみに、自信の無い僕の解答を書きますので添削も宜しくお願いします。

(1+x)^(1/3)=�納n=0,∞]{1/3*(1/3-1)*(1/3-2)…(1/3-(n-1))}*x^n/n!
　　　　　　=�納n=0,∞]{1*(-2)*(-5)…(4-3n)}*x^n/3^n*n!
　　　　　　=�納n=0,∞](-1)^(n-1)*{2・5・…(3n-4)}*x^n/{3・6・9・…(3n)}
　　　　　　　(-1≦x≦1）

1≒0.999999・・・・・・ てこと？

＞1≒0.999999・・・・・・ てこと？

ちがう
1＝0.999999・・・・・・

1=0.99999･･････ でいいんだよ。

>>54
a(n)=(1/n!)f^(n)(0)
を計算しろ

>>58
a(n)={1/3*(1/3-1)(1/3-2)…(1/3-(n-1))}/n! ?

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　　| 　 　 　 　 　　つ）　　　　　　 　 |
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a(n)={1/3*(1/3-1)*(1/3-2)*…*(1/3-(n-1))}/n!
=(-1)^(n-1)*{2*5*…*(3n-4)}/(3^n*n!)
=[Π[k=1,n-1](3k-1)]*(-1)^(n-1)/(3^n*n!)

>>61
すみません、a(n)を出してどうすればいいんでしょう？
で、54の解答は間違ってるんでしょうか？

あってるよ

やったー！あってるの？これはこのまま解答としていいのでしょうか？
何とかの定理より見たいなのは書かなくていいの？
あと、他に解答というか、他の表し方は無いのでしょうか？

いいんじゃないの

なんか、みんなさっぱりレスだね。
おれ、嫌われてるな…

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　|　|　　　＼ ´　 ￣￣二ｰ､_ヽ |:::|,-─-..､_
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r===-､￣　　/:／/ :／::../　/| i　ヾ　　 ..i|:　　.::|ｰ'ヾ　＼
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|;;;;;;;;;|| |　　|/ |rｰ|:/i::/,-|- |　|;' l ─|､|::::::||:::::::::::::|　|　　 　ﾄゝ
二二ｰ'　　　　　 |/-|i　 |　 |　ヽ　 ,r‐､＼:|'|::::i:::::::|ｰ｀y⌒ヽ|
ヾ::;;:::ﾉ　　　　　/::|::::ヽ　,=、　　 　　０i　 |' |:::::|::::::i-､:|
　 ￣　　　　　//::/:::i::|　　　 、　　 ー'　　 |:::/:::::/ ) l'　　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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　　　　　　　　　|/i' |r'' i＼　 ー'　　　_, ｲ/::/::/|::;/:| ＜ さくらたん、帰ってきて
　　　　　|ヽ､__　　　　 _｀　　ー　_'l　　　　|;/:;ノ |ﾉヾ|　 ＼
　　　　 ｜　　￣　l　 ヽ￣￣￣／!　　 ／'-'　＼_　　　　 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　 |　　 __ ｜ /:::|　i i　/ 　 　／　　　___ノﾉ＼_
　　　　　 ,|／ __｀) |/::::::ﾄ ヽヽ|､__／ _,r'二ﾆ-- ',-―､ゝ_
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三三|彡|＼　　　')::::::::|::::::/､__〕::::::::::::::::::〈:::::::::__/　´　j￣ト､
三三|彡|　　Tー'::::::::/:::::/　　|:::::::::::::::::::::::ヽ:〔　__,　-'　ー'ノj

すいません。めちゃくちゃ初歩的な質問なんですが、
誰か教えてください。
Ｇ＿αをαのＧにおける安定部分群とします。
この時、a∈Ｇ＿αb⇔Ｇ＿αa＝Ｇ＿αbであることは
自明のことみたいなんですが、どうしてだかわかりません。
誰か教えてください。

>>40は？

あっとるけ？
「sinxはxの整式として表わせないことを示せ。」

　sinxがxの整式で表せるとし、nを自然数、a_n≠0とすると
　sinx＝a_n･x^n＋a_(n−1)･x^(n−1)＋・・・＋a？･x^2＋a_1･x＋a_0
　 ＝x^n{a_n＋a_(n−1)/x＋・・・＋a_2/x^2＋a_0/x^n} (･･･＠）
　と表せられる
　ここで sinx は常に −1≦sinx≦1 を満たすが
　(＠の左辺)は x→∞のとき (＠の左辺)→∞ と発散するので＠は矛盾する
　よって sinxはxの整式として表わせない

>(＠の左辺)は x→∞のとき (＠の左辺)→∞ と発散する

これは自明のように見えるけど、これをちゃんと証明しなければいけない、ってのがもとの問題の意味なんじゃないの？

>>70
何回微分しても０にならないでいいじゃん。

>>68
一般に H が G の部分群のとき
aH=bH <=> b^{-1}a ∈ H

質問です。
どんな集合Xに対しても離散位相を入れればXは0-dim C^∞ manifoldになるのですか？
例えば、Rとかにも離散位相を入れれば0-dim C^∞ manifoldになるのですか？

>>73
ありがとうございました。

>>72
そうなの？

>>73
Oh, I see.

あの〜〜僕の二問目どなたかご教授していただけないでしょうか・・・
厨房チックで申し訳ないっす。（切実）

すいません、この問題をご教授していただけないでしょうか?
二次関数の問題らしいのですが

下記のような図が与えられている
http://mathlove.virtualave.net/a.jpg
このとき赤色部分の面積の最大値を求めよ

>>78
正方形になる時に面積が最大になるよ。
詳しくは座標を適当に置いて計算すれば良い。

工房です。次のが分かりません。

log_(2)3とlog_(3)6の大小を比較せよ。

0≦x＜1で定義された連続関数f(x)があって，
f(0)＝0 かつ x_1＜x_2 ならばつねに f(x_1)≦f(x_2) である。
このとき，もしすべての 0≦x＜1 について
f(x)≦∫[0→x]f(t)dt　が成り立てば，f(x)は恒等的に0である事を証明せよ。
　　　　　　　
当然なんだろうけど書けない。おっせーて。

>>78
その四角の幅(底辺の長さ)をx、
高さ(左の偏の長さ)をyとすると、
4x+3y=12
が成り立つ。
面積は
xy = x(4 - (4/3)x)
= -(4/3)(x - (3/2))^2 + 3
よって、x=3/2, y=2 のとき、面積は3で最大。

次の問題を教えてください。

X:Banach space
B(X):Xのbounded operator
A,B,A_n,B_nはB(X)の元
A_nがAに弱収束し、B_nがBに弱収束するがA_nB_nはABに弱収束しない例を与えよ。

>>80
底の変換公式を使う。

組み合わせ理論で次の定理が有名らしいのですが、証明を学校の図書館（学部向け）で探しても見つかりませんでした。
本当に有名な定理？
どなたか証明を知っていますか？

ラムゼ−の定理：
任意の自然数rに対して、r個の自然数からなる集合（以下、r-集合と呼ぶ）の族を有限個の組に分割するとき、次の条件（Ａ）を満たすＮ（自然数全体）の無限部分集Ｎ’が存在する。

（Ａ）Ｎ’の任意のr-集合が、Ｎのr-集合の族を分割したときの組とまさに同じ組に属している

＞３８
すいません。射影直線いまいちよくわかりません。
もっと具体的に説明していただけないでしょうか？

4桁の平方数であって、上1桁、下3桁も平方数であるものを全て求めよ。
おかしな退会の問題です

>>85
定理のstatementがさっぱり理解できん。
もっと分かりやすく書いてくれ。

すみません、
s/(s+1)のラプラス逆変換を教えてください。

大きさ、形がまったく同じりんごが３個あります。
その３個のりんごを５人で均等にわけるには、どのように切れば良い？

･･･････････やっぱ５等分づつ切る??

３つとも半分に切って、５人で半分ずつとって、
余った半分を、５等分する。

1/nの和に分けるってことかな

>>77＝>>14
図は>>17でほんとにいいの？
方程式たてて解くだけなんだけれど・・・
q0,q1,q2 が受理する言語をそれぞれ X,Y,Z とするとき方程式は

X=1+Yb+Za
Y=Xb+Za
Z=Xa+Yb 　　　　だけど・・・

すいません。８進数の１２３．４を１０進数と１６進数で
表すにはどうしららよいですか？

さっきから考えているんですがワカリマセン。教えてください。

>>16
図は17で完成です。
なにしろ天然のアホなもので・・・（；；
丁寧な解答ありがとうございました。

うざく感じた皆様すいませんでした。

「A（←n次）の特性多項式が(x-λ)^{n}（λは固有値）だから、これは
対角化できないので・・・」と、説明されている方がいた。
けど・・・そりゃ違いますよねぇ？

A=diag(λ,λ,・・・,λ)　は対角だけど特性多項式は(x-λ)^{n}
だよね。最少多項式は x-λ

２次曲線。
a*x^2+b*y~2+c*xy+d*x+e*y+f=0
のとき、
円になる条件と楕円になる条件って
abcdefを使って出るものなのでしょうか？

出るものなのです

>>97
ちょっと覚えてないが、出来たはず。
高校の参考書なんかにも書いてあるくらいだから
式は結構単純だったはず。

平行移動と回転して標準形
a x^2 + b y^2 = 1
の形に直すべし。

>>89
1/(s-a) の逆らブラス変換は分かるか？
exp(at)っての。

あと、定数の逆らプラス変換がΔ関数になるのは知ってるか？

知ってたらすぐに解けるはずだ。

s/(s+1) = 1 - 1/(s+1)

チェビシェフの定理ってどんなことを言っている定理なんですか？
数式とか、難しい用語はなしで教えてください。
お願いします。

ｆ(ｘ)＝ｘ＾２−｜ｘ−ａ｜−ａ＾２＋３ａ　について

（１）　　関数f(x)の最小値をｍ（ａ）とするとき、ｍ（ａ）を求めよ。

（２）　　ａが　−１≦ａ≦２　を動くとき、（１）で求めたｍ（ａ）の最大値は？　

>>87
1225 = 1^2*1000 + 15^2 = 35^2
4225 = 2^2*1000 + 15^2 = 65^2
4900 = 2^2*1000 + 30^2 = 70^2
9025 = 3^2*1000 + 5^2 = 95^2

>>100
わかりました！！
ありがとうございます。

答えてくれにゃいの？

>>105

<Px,Px>≦<Qx,Qx>
P=PQ
P=QP

このくらい段階踏めば、誰でもできるだろ。

log_(2)3とlog_(3)6の大小を比較せよ。

>>81
f(x)≦∫[0→x]f(t)dt≦xf(x)
(1-x)f(x)≦0 より f(x)≦0
いっぽう 0=f(0)≦f(x)

>>101
ttp://www.google.com/search?hl=ja&safe=off&q=%83%60%83F%83r%83V%83F%83t+%92%E8%97%9D+%82%C6%82%CD&lr=

>>107
他になんか条件なかったか？
対数表引いていいとか、log_(2)3の値が与えられてるとか。

>>106
有難う

フーリエの問題ですが、
関数f(x)がｘについて微分可能な区間で導関数f'(x)=df(x)/dxを
もつとする。このとき、h(x)=f'(x)のフーリエ変換H(jw)とF(jw)
の関係を導け。
という問題なのですが、どのような関係なのでしょうか？

>>107

log_(2)3 = a とおくと、
　iog_(2)3 - log_(3)6
　= log_(2) - 1/log_(2)3 - 1
　=(a^2 - a -1)/a　･･･☆
ここで、2^8 > 3^5 であることから、
a<8/5 がわかる（また明らかに1<a)。

このことから、☆の分子が負であることを示してみよ。

>>113
タイプミス訂正
二行目　iog→log
三行目　log_(2) - 1/log_(2)3 - 1
　　　→log_(2)3 - 1/log_(2)3 - 1

H(jw)=jwF(jw)

自然数全体のなす集合Nの濃度は、そのべき集合全体のなす集合Rの濃度よりも小さい。
さらにRのべき集合全体のなす集合Xの濃度はRの濃度よりも大きい。
このように、べき集合全体のなす集合を考えることにより、幾らでも
大きい濃度を考えることが出来るのだが、これにより、「濃度の極限」
というものを考えたとき、それは存在するのであろうか？
存在するとしたら、その「濃度」の性質は？

＞113
＞ここで、2^8 > 3^5 であることから

great!
分子のグラフ書いて 1＜a＜8/5＜(1＋√5)/2　でＯＫ！
すごいよ１１３!
　

>>93
8進数を10進数
1*8^2+2*8^1+3*8^0+4*8^-1=83.5

8進数を16進数
まずは2進数に直して、それを16進数にするのが簡単。
001 010 011.100
これを4桁ごとで見ると
0　0101 0011.1000
つまり16進数では53.8

>>115
いきなし答え書かないで途中もお願いしますよ。

すいません
確率漸化式の問題を一題お願い致します

1〜13まで番号が振られたボールが一コずつある。
この中から無造作にnコ選ぶ時、カードに書かれている数の和が
3の倍数になる確率をF(n)とおく。
F(5)とF(9)を求めよ

>>120
G(n)=3の倍数＋1となる確率，H(n)=3の倍数＋2となる確率
F(1)=4/13,G(1)=5/13,H(1)=4/13
F(n+1)=(4/13)F(n)+(4/13)G(n)+(5/13)H(n)
G(n+1)=(5/13)F(n)+(4/13)G(n)+(4/13)H(n)
H(n+1)=(4/13)F(n)+(5/13)G(n)+(4/13)H(n)

すいません
軌跡の問題を質問させてください
抽象的で全然わからないもので、、

xy平面の原点Oを中心とする半径1の円周上で
点Pはy>0の部分を、点Qはy<0の部分を動く。
線分PQの中点Mの存在範囲をもとめて

すいません、
×もとめて
○求めよ

です。

>>122
P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)(0<α<π,π<β<2π)

>>120-121
ついでにF(9)=G(4)　(∵1+2+...+13≡1(mod3)

>>124
すいません。
そう置いた後どうすればいいでしょうか。

いまチャートなので調べているのですが。。

行列の問題をご教授お願い致します。
お忙しい中恐縮です。

Aは下記の行列である。
(6 -4)
(0 10)

Xは二次の正方行列で
(X^2)＋AX＋9E=Oを満たす。(Eは単位行列、Oは零行列)

(1)AX=XAを示せ
(2)Xを求めよ

次の問題を教えてください。

t∈Cに対して３次元複素線形空間C^3から自分自身へのC上の線形写像T_tが
　　(z1)　(1 1 0　)(z1)
T_t((z2))=(0 t 0　)(z2)
　　(z3)　(0 0 1-t)(z3)
（行列を作用させています）

(z1)
(z2)∈C^3
(z3)

で与えられているとする。C^3の線形部分空間EがT_t(E)⊆Eを満たす時、
EはT_t-不変であるという。
(1)T_t-不変なC^3の線形部分空間の個数が有限個になるようなtを決定せよ。
(2)(1)で求めた全てのtに対してT_t-不変な線形部分空間の個数を求めよ。

(1)もよく解りません。

>>128
V1:={(x1,x2,0)}
V2:={(0,0,x3)}
とすると、C^3はこれらの直和で、T_tはV1,V2に作用する。
・V1の固有空間への直和分解を考えると、ある固有値に対応する
　固有空間の次元が1より大なら、T_t不変なsubspaceの個数は無限。
　そうでなければ有限で、この場合各々の固有空間にT_tは作用する。
・dimV2=1なので、vector subspaceはV2自身と{0}だけ。

というわけで、
(1)t!=1
(2)2^3=8

あっているかな？

∫1/√(x^2+a)dx　と　∫√（x^2+a）dx のふたつが答えしか出てなくて
途中式が分かりません。くだらない問題かもしれませんが、宜しくお願い
します。

x = (t-1/t) /2 などで置換してみる。

>>107

2^8 > 3^5 によりlog_(2)3 < 8/5 。
3^8 < 6^5 によりlog_(3)6 > 8/5 。
よって、
　log_(2)3 < 8/5 < log_(3)6 。

>>129
(1)は
　　(1 1 )
At= (0 t )

として
det(xI-At)=(x-1)(x-t)
t≠1であれば二つの相異なる固有空間が存在する事になって条件を満たさない。
故にt=1
という事でよろしいでしょうか？

また、(2)が全然解らないです・・・。

>>131
どうやってその置換に気づけばいいのでしょうか？
それとも定石というものですか？
テストの最中に気づけといわれても無理っぽいので・・・。

>>133
手抜きでごめんYO!
>t≠1であれば二つの相異なる固有空間が存在する事になって条件を満たさない。
>故にt=1
これは逆だYO！
t≠1なら有限個。
(2)は、有限個のときはC^3が次元1の固有空間3つの直和に分解できる
から、T_t不変なsubspaceの基底として、上の3個のsubspaceの基底を
とるかとらないかということだYO!

dx/dt=(-k+λx)x
を初期条件(x,t)=(x0,0)の元で解く問題なんですが、

-k+λx0/x0=e^k(-k+λx0/x0)

e^kt=x0(k+λx)/x(-k+λx0)

まではどうにか分かったのですが、これを整理して
x=・・・
にするにはどう展開すればよいのでしょうか？

この後に閾値に関して考察したいのですが、上手く整理できずここで止まっています。
どうかよろしくお願いします。

この問題の４問目がわかりません。
１．２．３．問目はわかりました。
よろしくお願いします。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=sci&key=989503027&st=54&to=54&nofirst=true

>>136
dt=dx/((-k+λx)x)=1/k(-dx/x+dx/(-k/λ+x))
t=1/k log((-k/λ+x)/x)+C
(-k/λ+x)/x=A exp(kt)
x=-λ/(k(A exp(kt)-1))
初期条件(x,t)=(x0,0)より A=-k/(λx0)+1

>>127
-1/9 (X+A)X=E より -1/9 (X+A) と X は互いに逆行列だから
-1/9 (X+A)X=-1/9 X(X+A) これより XA=AX がいえる。
これより平方完成できる：
(X+1/2 A)^2=1/4 A^2-9E=((0,-16),(0,16))
あとは自分で・・・

>>138
回答ありがとうございます。

dx/dt=(-k+λx)x
log(-k+λx)-logx=kt+c
log((-k+λx)/(x))=kt+c
(-k+λx)/x=e^kt*e^c

初期条件(x,t)=(x0,0)を用いると
(-k+λx0)/x0=e^c

(-k+λx)/x=e^kt*((-k+λx0)/x0)
e^kt=(x0(k+λx))/(x(-k+λx0))　-ｱ

この後に、ｱ式を"x="に変形するにはどうすればよいかという質問でした。
分かり辛くてすいません。

うまく変形して、閾値を出せるようにする方法がないでしょうか？

x=-λ/(k(A exp(kt)-1))
初期条件(x,t)=(x0,0)より A=-k/(λx0)+1

A<>1 で解が全然違う。これを x0 についての条件に直すのかな。

水に沈んだ物体が受ける浮力は押し出した水の質量に等しい事を数学的に証明しなさい。
水の密度は一様でｐとします。物体は一様になだらかな曲面で構成されています。
物体の各点にかかる水圧はその点に接する面に垂直な方向にかかるものとする。
水圧は深さに比例して大きくなるものとする。

という問題が解けません。
なんか舌足らずな説明で申し訳ありませんが、
誰か分かる方がおいでになるならご教授お願いします。

>>142

<Proof>
アルキメデスの原理より自明
<Q.E.D>

>>143
誤　<Q.E.D>
正　<Q.E.D.>

>>144
>誤　<Q.E.D>
>正　<Q.E.D.>

Dの後の．は省略可能です

おしえてください。

A、Bの2人が対戦し、先に2連勝したほうを優勝者とするルールで
ゲームをおこなう。
各対戦につき、Aが勝つ確率はp (0<p<1)であり、また
引き分けはないものとする。
このとき、優勝者が決まるまでの対戦回数の期待値を求めよ。

>>124
M((cosα+cosβ)/2,(sinα+sinβ)/2)
加法定理から
(cos((α+β)/2)cos((α-β)/2),sin((α+β)/2)cos((α-β)/2))
=cos((α-β)/2)(cos((α+β)/2),sin((α+β)/2)

g(x)=f((x-b)/a)のフーリエ変換G(jw)とF(jw)
との関係を導いてください。

途中の式もお願いします。

[x]をxを超えない最大の整数を返すものとして、
f(x) = [x]の積分はどう定義されてるんですか？
不定積分 ∫f(x)dx が存在しなさそうなのはわかるんですが
グラフとx軸で囲まれる面積を考えて(実際には連続じゃないけど)
∫[0, 1]f(x)dx = 0 とか
∫[0, 2]f(x)dx = 1 で合ってるんでしょうか？

>>142,143
アルキメデスの原理はストークスの定理を使って
証明できます｡物体の表面全体にかかる水圧の和が
浮力で、それを物体の体積での積分に置き換えます。
正確な書き方かどうかは自信がないですが
Vを物体、Sをその表面とすると
∫_S （p・水深）dS
=∫_V （p）dV=p(Vの体積)=押しのけた水の重さ。
のようにして書けると思います｡

>>149 合ってます。不定積分は折れ線です。
>>150 ガウスの定理です

>>151
ベクトル解析ではガウスの定理っていうんですね。
そういえば8年くらい前に勉強したような…。

我々トポロジストは
｢バウンダリーの積分は外微分して中身の積分」型の公式は
全部ひっくるめてストークスって呼ぶのが習慣になっています｡

>>148
をお願いします。

>>148 g(x)=f((x-b)/a)のフーリエ変換G(jw)とF(jw)

G(jw)=|a|exp(-jb)F(jaw)

(x-b)/a=y とおいて置換積分。
a<0 のときは -∞と∞がいれかわるから元に戻すとき
符号がかわるから。

すいません。
今日河合塾で正18角形がコンパスと定規で作図可能だとおそわれました。
それを発見したのはガウスだと教わったのですが
ガウスが証明したのは17角形だと私は記憶しております。
18角形は作図可能なのでしょうか?

作図できません。
作図できたとすると20°の作図ができることになる。

>>155
正9角形の作図が不可能なので正18角形もだめ
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/takaku.htm
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/atakaku.htm

>>155

>>156-157 ということで、その講師のミスでしょう。

なるほど、みなさんありがとうございます

>>155
誰が言ったの？
やがみ？
種草？

３＋３

>>146
場合が少ないから確立を全部調べてから期待値を求めればいいんじゃない？
Aの勝ちをa,Bの勝ちをbと置く。
最初にAが勝って、次にB画２連勝する場合を
abb
と言うように表記する。

aa　　p^2
aba　 p^2(1-p)
abb　 p(1-p)^2
baa　 p^2(1-p)
bab　 p(1-p)^2
bb　　(1-p)^2

期待値は
2・{p^2+(1-p)^2}+3・{p^2(1-p)+p(1-p)^2+p^2(1-p)+p(1-p)^2}
これは自分で計算して。

次の問題を教えてください。

G:有限生成アーベル群
Gの自己同型群Aut(G)が可換群になるような群Gの構造を決定せよ。

取っ掛かりが全くわかりません。

>>85
ラムゼーの定理の証明なら、
『現代組合わせ論』　ピーターフランクル、秋山仁著　共立出版　ISBN4-320-01396-4
の第二章『ラムゼー理論』に証明がある。定理2.6がそれ。
ラムゼー数が存在することの証明は難しくはない。

>>162

君、
abab…abaa みたいなケースを忘れてないか？

>>163
とりあえず、「有限アーベル群の構造定理」は知っているか？
それでＧの具体的な構造を書いて、Ｇの自己同型群を求めてみたら？

>>165
>A、Bの2人が対戦し、先に2連勝したほうを優勝者とするルールで
>ゲームをおこなう。

abab,abaaは該当しない。

>>167
ﾁｶﾞｰｳYO
abab…abaa＝abababababababababababababababababaa
ﾄｶﾀﾞYO

>>165
おお、勘違いしていた。
２回勝つんじゃなくって２連勝か。
スマソ。

http://ton.2ch.net/test/read.cgi?bbs=employee&key=992954196&ls=50

サイコロをｎ回投げたとき１の目が偶数回でる確率をＰ(ｎ）とする。
ただし、１の目が全く出なかった場合は偶数回出たと考える。

（１）　　Ｐ(1）は？

（２）　　Ｐ(n+1）とＰ(n）の関係式は？

宜しくお願いします。

>>154

>>148 g(x)=f((x-b)/a)のフーリエ変換G(jw)とF(jw)

G(jw)=|a|exp(-jb)F(jaw)

↑これってG(jw)=|a|exp(-jwb/a)F(jwa)じゃないの？

(1)aで始まったと仮定する。
aa
abb
abaa
ababb
・・・・

2k回で優勝が決まったとすると
{p(1-p)}^(k-1)・p^2
2k+1回で優勝が決まったとすると
{p(1-p)}^k・(1-p)

(2)bで始まったと仮定する
bb
baa
babb
babaa
・・・・

2k回で優勝が決まったとすると
{p(1-p)}^(k-1)・(1-p)^2
2k+1回で優勝が決まったとすると
{p(1-p)}^k・p

よって期待値は
�納k=1,∞]{2k・{p(1-p)}^(k-1)・{p^2+(1-p)^2}+(2k-1)・{p(1-p)}^k・{(1-p)+p}}
p(1-p)<1なので等比数列の無限和の公式を使って計算できる。

>>166
すみません、知らないです。
教科書見てみたけど載ってないようです。
簡単だったらステートメントだけでも書いて頂けないでしょうか？
後は自分で調べてみます。

>>171
サイコロをｎ回投げたとき１の目が偶数回でる確率をＰ(ｎ）とする。
ただし、１の目が全く出なかった場合は偶数回出たと考える。

（１）　　Ｐ(1）は？

（２）　　Ｐ(n+1）とＰ(n）の関係式は？

宜しくお願いします。


(1)は解るよね？
n+1回投げた時に1の目が偶数回出る場合は
n回目に投げた時に1の目が偶数回出ていて次に1の目以外の目が出る場合と
n回目に投げた時に1の目が奇数回出ていて次に1の目が出る場合とがある。

P(n+1)=5/6・P(n)+1/6・{1-P(n)}

コーシー・シュワルツの不等式ってどんなのでしたっけ？

175さん、ありがとうです。

>>176
そんぐらい自分で調べろ。
教科書にかいてあるだろ

>>26の7で割りきれる数のみつけ方の証明をだれかしてくれませんか？
ドキュンのお願いですが聞いてやってください。

The structure theorem for finite abelian groups says that a finite abelian G is isomorphic to a direct sum of cyclic groups Z_(r_i), where r_i is a power of a prime, and that this decomposition is unique up to ordering.

検索したら見つけたけど、英語だからよく解らない・・・。

>>166
この定理の仮定は有限アーベル群のようなのですが、
有限生成アーベル群に対して適用できるのでしょうか？

>>180
スマソ。問題読み間違えた。
鬱だ、逝ってくる...

Ｘ＊Ｘ＋Ｙ＊Ｙ＝１という条件の下で、
Ｆ（Ｘ、Ｙ）＝Ｘ＊Ｘ＋２Ｘ＊Ｙ＋２Ｙ＊Ｙの極値を求めよ
、っていうもんだいです。だれかわかるかた至急解いて下さい。

>>182
律儀にも解答した(てゆーか、ヒントくれた)奴がいるみたいなんで、貼っとくよ。

3 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2001/07/23(月) 00:28
X=cosθ
y=sinθって置いて、F(θ)を微分すればいいよ。
まあラグランジュの未定乗数法が普通だろうけど。

4 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2001/07/23(月) 00:31
>>3
微分までしなくてもいいだろう。
sin(2θ)とcos(2θ)の1次式で書けるんだし。

πってどうやって求めるんですか？

>>184
http://www.kumei.ne.jp/c_lang/intro/no_48.htm

>>185
　こんなくだらないことを答えてもらってありがとう。

　高校の数学もまともに覚えてないほど馬鹿なので助かりました。

　

平面上の4点によるアフィン不変量はこれら４点が作る面積の比として計算すること
もできる。二つのベクトルx_2-x_1,x_3-x_1が作る平面四辺形の面積S_1と、二つ
のベクトルx_3-x_1,x_4-x_1が作る平行四辺形の面積S_2はそれぞれつぎのように
表せる
S_1=| x_2-x_1 x_3-x_1 |
S_2= |x_3-x_1 x_4-x_1 |
この平行四辺形の式の証明をといてください。お願いします。

>>179
整数を10a+b（0≦b≦9）とする。a、bは整数。
10a+b≡0 (mod 7)⇔a-2b≡0 (mod 7)

10a+b≡0 (mod 7)ならば
b≡-10a (mod 7)
したがってa-2b≡a+20b≡21a≡0 (mod 7)

また、a-2b≡0 (mod 7)ならば
a≡2b (mod 7)
したがって10a+b≡20b+b≡21b≡0 (mod 7)


でいいんだったかな？

しまった。
a-2b=a+20a=21aだ。

179ではないけど
10a+b≡0 (mod 7)⇔a-2b≡0 (mod 7)
がよく解らないです。

>>190
「合同式」というのをつかってます。
x≡ｙ (mod z)というのは、ｘ-ｙがｚで整除できる（割り切れる）ということ。
すなわち「10a+b≡0 (mod 7)」は、「10a+bが7で割り切れる」ということ。
記号で書かずに言葉で書いたら、
「10a+bが7で割り切れるならばa-2bも7で割り切れる。逆も真。」
ってなとこですか。

>>172
G(jw)=|a|exp(-jbw)F(jaw)
が正解です。ｽﾏｿ

だれかおしえてちょ
一個目ｌog xのテーラー展開ってどうやるの？

dy^2/d^2t-dy/dt+10y=exp(2x)の解法は？

a=-1+√3iの時log aの実部と虚部を求めるにはどうするの？

１９３です。
一個目のはマクローリンです

log(x+h)=log(x)+log(1+h/x)=log(x)+h/x-1/2(h/x)^2+1/3(h/x)^3-・・・
|a|=2, arg a=2/3π より a=2 exp(2/3πi)
log a=log2 + 2/3πi

マクローリンはできません

原点が特異点だからです

１９５、１９６さんありがとう

だれか２コメ解いて！！
虚数の積分しないとだめ？

テストが重複しまくって、なかなか代数に手が回せない・・・。
少しご協力を願いたく思います。

（1）単項イデアル整域はネーター環である。
（2）実数を成分に持つn次正方行列は左アルティン環である。

以上の二つ、何卒宜しくお願い致します。

ネーター環であることの同値な条件として、任意のイデアルが有限生成ってのがあったね
それ使えば(1)は明らか

「左アルティン環」の定義書いてよ。
それ見りゃすぐにわかるかも

正定値対称行列Vを分散行列とするn次元正規分布の確率密度は
P(x)=C exp{-(1/2)x'V^(-1)x}
の形をしている（平均ベクトルを0）ここに、Cはx＝(x1,x2,・・・xn)'
によらない定数(Vには依存する)である。
「確率密度関数は、∫[-∞,∞]・・・∫[-∞,∞]P(x)dx・・・dxn = 1
と満たさねばならない」
と言う条件から、定数Cを定めたい。

(1)Vが単位行列Eの時にCを求めよ
(2)Vが対角行列diag(v1・・・vn)の場合に、Cを求めよ。
(3)Vが一般の正定値対称行列の場合に、Cを求めよ。(Vの固有値の積=detV)
(4)Vがもし正定値でなければどんな不都合が生じるか

教えてくださーい。参考文献だけでも。。。

∫_R exp{-(1/2)x^2}dx=√2π これが元
∫_R exp{-(1/2λ)x^2}dx=√(2πλ)


(1)
C=1/√((2π)^n)
(2)(3)
C=1/√((2π)^n detV)
(4)
積分が収束しない

速レスサンクス。
んーもうちょっと付き合って。
>∫_R exp{-(1/2)x^2}dx=√2π これが元
>∫_R exp{-(1/2λ)x^2}dx=√(2πλ)
こっから分かりません。
そこから、1,2,3の答えの導き方のモデルとかありますか？

お願いします。

こんにちは。MATLABを使って2次元画像の周波数スペクトルを
求めてグラフに表すにはどのようにすればよいのでしょうか？
fft2を使うらしいということまでは分かったのですが。

対角の場合は反復積分するとそのまま反復積分すると
座標成分に分離されるから固有値の積が出でくる
そうでない場合は直交変換で対角化すれがよい。
ヤコビアンは１。行列式＝固有値の積は変わらない

>>207
んー。。。
ごめんなさい。わかりません。
おこがましいですがもうちょっと。
>(2)Vが対角行列diag(v1・・・vn)の場合に、Cを求めよ。
のとき
>そうでない場合は直交変換で対角化すれがよい。
ので
>∫_R exp{-(1/2λ)x^2}dx=√(2πλ)
てこと？

そうです。
diag(v1・・・vn)^(-1)=diag(1/v1・・・1/vn)　ですから

ながながすみませんでした。
ありがとうございます。

∫(x^4+2x^3+6x^2+4x+7)/(x^2+2x+3)dxで
∫(x^2+3-(2x-2)/x^2+2x+3)dxまではできたんだけどその先が・・・

∫(2x+7)/(x^2+4x+13)dxと
∫(3x+4)/√(1-x^2)dx
の解き方の見当がまったくつきません。
できれば細かくどうやって解くのか教えてください。

無限個の閉集合の合併は閉集合とは限らないということですが、
（反例も知っています）

Dn(n:自然数)が全て閉集合であるとします。
この時、任意のnについて
D1,D2,D3,...,Dnの和集合は閉集合となりますよね。
故にD1,D2,D3,...の無限個の和集合も閉集合になるかと思うんですが、
どこに間違いがあるんでしょうか？

>>213
>どこに間違いがあるんでしょうか？
論理

すみません、夏休みの宿題なんですけど、この問題だけ分からないので教えて下さい…。

2x+y-3z=3, 3x+2y-z=2を満たすx,y,zに対して、常にpx^2+qy^2+rz^2=12が成り立つとき、定数p,q,rの値を求めよ。

よろしくお願いします。

>>213 それを認めるとすべての集合は閉集合になります。解りますか？

１点のみからなる集合は閉集合
すべての集合は１点のみからなる集合の和集合だから閉集合と
こうなってしまう。

>>215
>2x+y-3z=3, 3x+2y-z=2

2式よりx=7z+8, y=-7z-5なので
(px^2+qy^2+rz^2-12)はp,q,r,zを使ってあらわせる・・・(#)

(az^2+bx+c)=0がzについて恒等式となる条件はa=b=c=0なので
(#)からp,q,rについての連立方程式がたつのでそれを解く

>>215
2x+y-3z=3, 3x+2y-z=2　から y と z を x で表す。
これを px^2+qy^2+rz^2-12 に代入して
２次１次０次の係数を０とおけば，
p,q,r に関する連立１次方程式ができる。

訂正　(az^2+bz+c)=0

>>217 >>218
ありがとうございます。
こんなに簡単だったんですね…。見落としてました…。

次の問題の解き方を教えてください！！

次の周期信号に対して、フーリエ級数展開を求めよ。

x(t)＝｜cos t｜

>>150
どうもありがとうございました。

X:Banach 空間
B(X):xの有界線形作用素。
A∈B(X)
ρ(A):Aのレゾルベント集合
とする。
あるnについてz^n∈ρ(A^n)ならばz∈ρ(A)である事を示せ。
また、これより、
|z|>lim inf[n→∞]||A^n||^(1/n)　⇒　z∈ρ(A)
を導け。

この問題を教えてください。
前半部分は解けました。
後半部分を教えてください。

教えて！！
平面座標（ｘ，ｙ）両座標軸を３０度正方向に回転させた座標軸を（Ｘ，Ｙ）
とする。曲線ｘ＾２＋４ｘｙ＋２ｙ＾２＝９を（Ｘ，Ｙ）座標であらわせ

>>221
フーリエ級数は良く知らないのですが
x^(k)=∫[0,π]｜cos t｜exp(-i2tk)dt
として展開すれば良いのではないでしょうか？

192 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2001/07/23(月) 13:06
教えて！！
平面座標（ｘ，ｙ）両座標軸を３０度正方向に回転させた座標軸を（Ｘ，Ｙ）
とする。曲線ｘ＾２＋４ｘｙ＋２ｙ＾２＝９を（Ｘ，Ｙ）座標であらわせ


193 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2001/07/23(月) 13:12
>>192
x=Xcos(-30ﾟ)-Ysin(-30ﾟ)
y=Xsin(-30ﾟ)+Ycos(-30ﾟ)
これらをx^2+4xy+2y^2=9に代入

>>224
座標の回転の仕方は知っていますか？
(x,y)をθだけ回転させたものが(X,Y)であるとすると。

(X)= (cosθ -sinθ) (x)
(Y)　(sinθ　cosθ )(y)

となります。
これが分かれば解けるはずです。

かぶった・・・、スマソ。

助けてくれ−！
「帰納的枚挙可能集合であって，帰納的集合でない集合」の例ってなにがありますか。教えてください。

44 名前：名無しさん 投稿日：2001/07/23(月) 16:31
[5:4] 【オイ、この問題解いてみろよ（数学編）】 ■▲▼
1 名前：名無しさん 投稿日：2001/07/23(月) 16:18
痴漢積分もの。

連続な関数f(x)がある定数cに対してf(x)=-f(x+c)を満たすとき

∫xf(x)dx（上端2c、下端0）＝c∫f(x)dx（上端2c、下端c）

を示せ。



2 名前：名無し 投稿日：2001/07/23(月) 16:19
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　　＞＿＿＿＿＿＿＿＿　　 .|
　　￣ 　　.|./＿　　 ＿＼ |　　 |　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　| /　 ヽ／　 ヽ　|　　|　　 　 ／
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　　　＿　 |.＼　 人＿_ノ　　　6 |　　＜ 　　だまれハゲ！！
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　　　　　￣￣, -/へ／＼/｀- ､
　　　　　　 ／./　 ./o　　　　i.　＼


3 名前：名無しさん 投稿日：2001/07/23(月) 16:22
重複スレいくつも立ててんじゃねえっ！！


4 名前：名無しさん 投稿日：2001/07/23(月) 16:27
t=x+cと置いてf(x)=−(t)、dx=dt
後分からん。

(1+X^2)^(-3/2)
の積分ってどうやるんですか？

f(n n)≧0のとき
f(n＋1 n＋1)≧0を示せ

但しnはn≧2を満たす自然数であり
f(x y)は実数x.yに関する関数である

というタイプの問題で詰まっているのですが
こういう問題を考えるときというのはどうやってやるといいでしょうか?
個人的には領域に持ちこむのがうまいのではと考えていますが、、

もしよろしければ何を使うとうまくいくか、どういう本を読むといいか
といったアドバイスを頂けないでしょうか?

「というタイプの問題」じゃなくて
問題をそのまま書いたほうがいいのでは？

ここにきている方々は数学めちゃめちゃ得意なんですかねー？
あたしは今高３で、受験に数学を使うのですが、まったくまったくできなくて
なにからやったらいいかわかりません。
しかもみると吐き気がしてきて眠くなります・・・（−＿−）
でも、進路的に数ＩＡだけは外せません。。。（IIBは耐え切れなくて無理やりやめた）
どうしたらようのでしょーか・・・・（涙）

ちなみに今は、数列をやろぉとしてるんですが、昨日のセンター模試では、
ア　からわかりませんでした・・・・・・・・
帰納法ってなに？ジュウブンジョウケンってなに？ヘロンてなに？？？

センターの模試なんて最低でも190点以上は取らんとナ

数学っていつかわかったと思える瞬間なんてあるのかな〜？何をもってりかいしたといえるのかな？
テスト期間中で愚痴ってみました！
　＞ひなこ様
　まずちゃんと教科書読むことから始めたら？俺も人のこと言えないけど...。

>>234-235
いっそ死んだほうがましですな

>>234-235 死ぬのはまだ早い。
教科書を最初から読めば全部書いてあります。
問題をやるより前に，
夏休みに数ＩＡの教科書の，どこに何が書いてあったか
すぐ言えるくらいに読み込みなさい。

>>223
zがスペクトル半径より大きければ、レゾルベントに入るだろ。

>>201
おお、どうもです。
>>202
「R自身を"左"R-加群とみてアルティン加群のとき、Rを左アルティン環」が定義と思われ。
違ったりして・・・。

>>221 a0/2+Σ(an cos(nt)+bn sin(nt)) の形で考える
まず偶関数より bn=0 .
またグラフの形より a_(2m+1)=0
a_(2m)=4/π∫[0→/2]cos(t)cos(2mt)dt=4/π (-1)^(m-1)/(4m^2-1)

>>232の
(1+x^2)^(-3/2)
の積分お願いします。

x=tan(u) とおけ
∫(1+x^2)^(-3/2)dx=∫cos(u)du
=sin(u)+C=cos(u)tan(u)+C=x/√(1+x^2)+C

数学的センスってどうやって養うんですか？

>>245
冷静になること

>>246
至言だ…心にとめておこう。

>>230
ﾀﾞﾒだ解けない・・・

正の整数x,y,z,wが
x^2+y^2=z^2+w^2を満たすならば{x,y}={z,w}(集合として等しい)
が成り立つようですが、どうやったら証明できるでしょうか？

>>249
3^2+4^2=5^2
5^2+12^2=13^2

13^2(3^2+4^2)=(13*5)^2
5^2(5^2+12^2)=(13*5)^2

∴39^2+52^2=25^2+60^2　(=65^2)
反例はいくらでも、、、

>>249
1^2+8^2=4^2+7^2 ですが何か?

>>230
連続な関数f(x)がある定数cに対してf(x)=-f(x+c)を満たすとき
∫xf(x)dx（上端2c、下端0）＝c∫f(x)dx（上端2c、下端c）

∫_0^c xf(x)dx= -∫_0^c xf(x+c)dx=-∫_c^{2c}(x-c)f(x)dx
∫_0^{2c}xf(x)dx=∫_c^{2c}(x-(x-c))f(x)dx
=c∫_c^{2c}f(x)dx

「当然研究者になるために理系に来たんだよな?」スレ
http://ebi.2ch.net/test/read.cgi?bbs=rikei&key=995812176

>>240
レス、有難う御座います。
|z|>||A||
あるいは
|z|^n>||A^n||　・・・(1)
をどう示せば良いかが分からないです。
右辺は下極限を取っているので、
すぐに(1)が言えないのです。

Please teach me!!

22 名前：no name 投稿日：2001/07/23(月) 14:00
Teach me please!!
お願いします。

zはx,yの関数。
p:zをxで微分したもの。
q:zをyで微分したもの。

(z-px-qy)(px+qy)+pq=0
の完全解を求めよ。また、一般解、特異解についても考察せよ。

Lagrange-Charpitの式を書いてみたものの。
どうしていいか分からなくなってしまいました。
計算過程を含めて教えてく欲しいです。

すいません、この問題のヒントをいただけないでしょか
何をすべきかまったくわからないもので、、
よろしくおねがいします

f(Σ(i=1〜n)A(i)/n Y(n))≧0のとき
f(Σ(i=1〜n＋1)/n＋1 Y(n＋1))≧0を示せ

※Y(n)=2・Σ(i≠j〜n)A(i)A(j)/n(n-1)である

但しnはn≧2を満たす自然数であり
(A(1).A(2)....A(n)、A(n＋1)はn＋1この任意の正数、
f(x y)は実数x.yに関する関数である

線形代数の基本的な問題だと思われますが、

３×４行列の第２行の４倍を第３行に加える基本変形を
実現する基本行列を求めなさい。

で答えは
( １　０　０)
( ０　１　０)
( ０　４　１)

ですが、どんな感じにこういう答えは求められるのでしょうか。

>>257
具体的に書いてみれば？
すぐわかると思うよ。

それとも一般にどう求めるかって言う話？

>>258さん
他の問題と答えみてすぐに気づきました。
要するに、「こうすれば階段行列になる行列は？」
って趣旨の設問だったんですね･･･。
そこでまた疑問がわいたのですが、３×４行列なら
（a_11 a_12 a_13 a_14）
（a_21 a_22 a_23 a_24）
（a_31 a_32 a_33 a_34）
こういうのではないんですか？
他の４×２行列や２×５行列の問題も、
解答では４×４、２×２行列になっているんですが･･･。

>>259
３×４行列に作用させる（左からかける）行列を求めるって言う問題でしょ？
だから３×３で良いんだよ。
具体的に書いて計算してごらん。

y=(x+2)^7
y'=7(x+2)^6

上の微分だけでは不十分でしょうか？(x+2)^6も展開しなければダメですか？
展開しないでもいいとしても、カンタンに展開できるやり方を教えてください。
(x+2)を６コ並べて展開するのはどうしても避けたいんです。お願いします。

>>261
二項定理を使えば簡単に展開できるんじゃない？
ていってもこの場合は展開しない方が良いと思うけどね。

>>262
おお。早速のレスありがとうございます。でもごめんなさい。
二項定理が分からないんです…。確かそれって三角の形したやつですよね？
さわりだけでもいいので教えてくれませんか？お願いします。本当にごめんなさい。

>>260さん
ありがとうございます。問題と解説のない解答だけで
明日のテストを迎えるのでいろいろと質問しました。
今から1人で計算したりして考えてみます。

>>263
コンビネーションって知ってる？
確か確率統計の教科書に載ってたと思うけど。
nCkみたいなやつ。

多分確率統計の教科書に載ってたような気がするんだけどなあ。

コンビネーションアタック！！
高校の教科書でのってるでしょ。

気合で展開してみるのもおもしろいかも

1+1ってどうやるの？　僕ぅ〜
2Chは予備校ではない！　駄スレ決定　カキコ不要

〇〇〇〇〇ー〇〇〇〇＝３３３３３
〇のなかに１〜９の数字をそれぞれひとつずつ入れて、式を成り立たせなさい。

どーゆーふーに解けばよいですか？

>>268
ＶＢで絨毯爆撃。（藁

x+y=1 xy=-2分の1
のとき、x分の1+y分の1、（x-ｙ分の1)(y-x分の1）の値を求めよ
解いてくれませんか？

>>270
「x分の1+y分の1」は 1/x+1/y と書け。
1/x+1/y --- 通分しろ。
(x-1/y)(y-1/x) --- 展開しろ。

球を適当に分割してまた寄せ集めると
元の球と全く同じ球を2つ作ることができる
パラドクスについて教えて下さい。お願いします。

>>163
Z+Z、
(Z/(aZ))+(Z/(bZ)) 　（2≦a≦b，bはaの倍数）、
(Z/(aZ))+Z 　（a≧3）
の自己同型群はどれも非可換。だから
「有限生成アーベル群の基本定理」でGを分解したとき
上記の型のものは出て来ない。
…てな感じでやるんじゃないの？

>>272
バナッハ=タルスキーのパラドックスね。
えっと、「パラドックスではない」という意見が多数派かな。
それと、「元の球と全く同じ球を2つ作ることができる」というけど、
その方法は分からないところがミソなのです。

ごめんなさいごめんなさいごめんなさい！！

ローラン展開がよく分りません。
誰か教えてくださーい！
詳しく解説しているＨＰあったら情報きぼーん

＞２７５

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat16.htm

>>276

ごめん、よくわからないよ

>>272
砂田さんの本(ISBN4-00-006549-1)の付録に証明書いてあった。
読んだけど忘れてしまった（汁

これ>>268どなたか解いてもらえないですかねえ。
できれば答えだけじゃなくて具体的に。

>>265
>>266
ありがとうございます。でも、ウチの高校は進学校じゃないせいか、
教科書にも載っていないんです。googleで「コンビネーション　二項定理」と
検索してヒットしたんですけど、難しくて分からないんです。
本当にごめんなさい。教えてください。お願いします。

>>280
とりあえず、6乗までを気合いで展開してごらん。
そういう経験を積んでから、も一度Webのを見てみると
わかると思うよ。

>>275
直感的に分かるように詳しい証明は省いて話すぞ。

まず、|z|=0 って経路上での �奴^n dz の値を求めろ。
n=-1 つまり、1/z の時だけ2πiになるから。

で、もし仮にf(z)が無限級数に出来たとする。
f(z) = �納-∞,∞]a_n z^n

こいつをさっきのと同じ経路で周回積分すると、1/zの係数に2πiかけたもの、
即ち 2πi a_(-1) だけが残る。
a_(-1) = (1/2πi)�吐(z) dz

同様に、f(z)をz^(n+1)で割ってから周回積分すると
n次の項の係数 a_n が求まる。
a_n = (1/2πi)�吐(z)/z^(n+1) dz

これが原点におけるローラン展開。
今までの議論をzをζだけ平行移動させると、

f(z) = �納-∞,∞]a_n (z-ζ)^n
a_n = (1/2πi)�吐(z)/(z-ζ)^(n+1) dz

＞まず、|z|=0 って経路上での �奴^n dz の値を求めろ。

|z|=r のまちがいでしょ。
z=r exp(it) (0<t<2π)とおくと
�奴^n dz=i r^(n+1)∫_0^{2π}(exp(i(n+1)t)dt

2×2なら分かるんですが、3×3の逆行列はどんな風に求めればいいのですか？

>>284
連立方程式を解け

>>285さん
もし宜しければ具体的に教えて頂けますか？
やはり、2×2とは違って複雑になってしまうのでしょうか。

x=rcosθ,x=rsinθ
dxdy=rdrdθなんで？

dx∧dy=(cosθdr-rsinθdθ)∧(sinθdr+rcosθdθ)
=rcos^2θdr∧dθ-rsin^2θdθ∧dr=rdr∧dθ

検索したら載ってました。ご迷惑をおかけしました。

>288 は子供にはちとむごい。
半径 r の円周にそった幅 dr の帯を考え
それを中心角 dθ分だけ切り取った領域
は，ほぼ rdθ×dr の長方形と考えることができる

>>273
有難う御座います。

理系板「数学科から実学系の院に射きたいんですけど。」
http://ebi.2ch.net/test/read.cgi?bbs=rikei&key=986110998

＞dx∧dy=(cosθdr-rsinθdθ)∧(sinθdr+rcosθdθ)
=rcos^2θdr∧dθ-rsin^2θdθ∧dr=rdr∧dθ

これはグラスマン代数（これについては分かりません）だろうと思います。これと同じようなことを今井塾セミナーの２次元ベクトルの外積をでやっています。実はこれには確たる自信が無いのです。形式的にうまいこといく、だから正しいだろう、掲載しておこう。これは全く無責任なページです。どなたかこれに確かな根拠を与えてくださいませんか？

http://www.imai.gr.jp/users/imai/japanese/bibun/no0261.html

>>284-286
３×３なら余因子行列も非現実的とはいえない。
特に０成分が幾つかあれば

∫「0→1」dx/x^x＝Σ「n=1→∞」1/n^n
を示せ。

あぼーん

　現実世界で微積分ってどこで使えるの？
例をａｇｅてもらえるとかな〜りありがたいんＤＥＡＴＨけど。

歴史的にはニュートン力学が産業革命につながった
というのが圧倒的だけど，
常識的すぎ？

＞２９８
デキれば数式に示せるものを・・・

　　　　　　　　　　 　　　　　 ./　　/≡≡=-
　　　　　　　　　　 　　　　　/ も /≡=-
　　　　　　　　　　 　　　　./ う ./=-
　　　　　　　　　　　　　　/ 来./-
　　　　　　　　　　　 　　/ ね./
　　　　　 　　　　　　　./ え /
　　　　　　　　　　　　/ よ /
　 　　　　　　　　　　/ !!　/　　　ｺﾞﾙｧ　　　　ﾊｴｰﾖ
　　ﾌﾟﾝﾌﾟﾝ 　　 　　/￣￣
　　　（Д´ ）≡=-ヽ(`Д´)ﾉ　ヽ(`Д´)ﾉ≡ヽ（´Д｀;）ﾉ ≡=-
　　　U┌/　）□─|￣￣￣|─|￣￣￣|─|￣￣￣| ≡≡=-
　　◎└<−◎　　 ￣◎

円周率の出し方教えて下さい。
全く分かりません。誰か分かるならメール下さい。

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/pi/formula1.html

Σ_{k=0}^n C[2n-2k,n-k]C[2k,k]＝2^{2n}
を示せ

1984年、ブラハIMOの問題の改竄なのですが
下記の問題を一題教えて頂けないでしょうか?

nを２以上の自然数とする。
n＋1個の任意の自然数の組(A(1).....A(n＋1))について

2・Σ(k≠m→n＋1)[{A(k)A(m)}/n(n＋1)]=2・Σ(k≠m→n)[{B(k)B(m)}/n(n-1)]を示せ。

但しB(k)、B(m)は任意の自然数とする。

次の問題おしえてください。

50人のクラスで委員を2人選出することになり、
A君を含む5人が立候補した。選挙方法は
・50人全員が、棄権することなく、5人のうち2人に投票する。
・上位2人を当選とする。ただし同得票数の者がいるときは
　その者たちでくじ引きをして決着をつける。
とする。
このとき、A君は、（　）票以上得られれば確実に当選であり、
（　）票以下であれば確実に落選である。

>>240
解けました、有難う御座います。

>>305
１００票のうち、３４票取れば最低でも２位には入れる
３３票だと、３４票−３３票−３３票でくじ引き落選があり得る

最低２０票でも全員２０票ならくじ引き当選があり得る
１９票だと、残り８１票を４人にどう割り振っても２０票以上が
２人以上できてしまうので落選

答え：３４，１９

次の問題が解りません。

n>=3
Δ_n={(x1,x2,・・・,xn)∈R^n : xi>=0,x1+x2+・・・+xn=2π
と置くとき、Δ_nでの
sinx1+sinx2+・・・+sinxn
の最大値、最小値を求めよ。

xnを消去してxi（1<=i<n）について微分して増減を求めようとしたのですが
訳が分からなくなってしまいました。
どうすれば良いか教えてください。

>>282

解説ありがとうございます！

仮に、「f(z)=e^z/z^2を、Z=0でローラン展開せよ」
という問題は、どのように解けばいいんでしょうか？？
もしよろしければ、具体的な解法を教えてください。

>>308
条件付極値問題だな。
ラグランジュの未定定数法を調べてみ。

>>307

「19」は違うと思われ。

e^z=Σ「n=0→∞」1/n! x^n ですから
e^z/z^2=Σ「n=-2→∞」1/(n+2)! x^n
でいいんでしょう。

>>310
おお、そんな定理があるんですね。
有難う御座います。

>>312

＞e^z/z^2=Σ「n=-2→∞」1/(n+2)! x^n

なぜそうなるのですか？？ｽﾏｿ

下げちゃった・・・。

>>311
307じゃないけど。
なぜ？

>>316
だってたとえば、1位から順に
　50票、13票、13票、12票、12票
の場合、13票でも当選する可能性あるよ。
　

>>317
確かにそうだ。

>>317 のように13票で当選する可能性はある。
一方、12票で当選したと仮定すると、自分を含めた下位4人が
いずれも12票以下なので、1位の人は 100-(4×12) = 52票以上。
これは矛盾。
だから2つ目の答えは 12.

正しい理科教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

軽率だった....スマン。
フォロー感謝。

>>314 まず x と z とまちがえてた。それなおしてこれでどうですか
e^z=Σ「m=0→∞」1/m! ｚ^m より
e^z/z^2=「m=0→∞」1/m! ｚ^(m-2)
=Σ「n=-2→∞」1/(n+2)! z^n (m=n+2)

４次行列を余因子行列を用いて逆行列を求める場合どうしたらいいのか
わかりません。
その方法をできるだけ詳しく教えてください。
僕はあと１時間ちょっとで家を出なければなりません。今日試験なんです。
できるだけ早急なアドバイスをお願いします。

３次と一緒。

質問です。

θを無理数とする。任意のn∈Ｎに対し
|θ−p/q| ＜1/(q(n+1)),q≦n
を満たす既約分数p/q(p∈Ｚ,q∈Ｎ)が存在することを示せ。

これが全く分かりません。このままではクラス全滅です。
できるだけ早く返事をお待ちしています。

方程式 a^b＝b^a を満たすすべての自然数の組(a、b)を求めよ｡(ただし，a＜b)

鳩ノ巣原理（ディリクレの部屋割り論法）を使え。

>> 326 (2,4) 確かこれなんどか出てるぞ。

>>310
一応解けました、有難う御座います。

>>328
どうやって解くの？

　当校で出された数学の宿題です。
　ａ、ｂ、ｃ、ｄはａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ＞０となる整数である。
　ａｃ＋ｂｄ＝（ｂ＋ｄ＋ａ−ｃ）（ｂ＋ｄ−ａ＋ｃ）
　が成立するとき、ａｂ＋ｃｄが素数でないことを証明せよ。
　高校数学レベルの知識で解ける、らしいです……どなたかご教授願います。

頭が良ければ、IDからＩＰを逆算できますか？

>>326これです
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=995154656&ls=50

いっとくがここのＩＤは不可逆だぞ。

>>334
不可逆を証明して

>>332
変換のアルゴリズムって公開されてたっけ？

>>327
ありがとうデス！
おかげで何とか解けました。

>>327
ありがとうデス！
おかげで何とか解けました。

>>322

ありがとうございます。
なんとかなりそうな雰囲気です。

行列Ａのｎ乗がＥならばＡは対角行列に相似であることと
Ａのｎ乗が０でＡが０でないならばＡは対角行列に相似でないことを
示すという問題なのですがよろしくお願いします。

誰か教えてくれー！
「平面を直線n本で、最大いくつに分割できるか」という問題の答えは
　　(n^2+n+2)/2
だけど、これはどう証明すればよいのでしょうか？証明できる方、
証明してください。

>>340
前者は最小多項式を考える。
後者は対角行列と仮定して矛盾を導く。

で、できそうだ。

>３４２
　後者はAの固有値が０になることを示してもいいのでしょうか？

>>341
平面状の直線は平行（重なるも含む）でない限り必ず１点で交わる。

ｎ本目に引かれた直線は最大（ｎ−１）本の点と交わる。
つまり、ｎ個のエリアをそれぞれ２つに分割することになるから、
ｎ本目の線によってエリアはｎ個増える。

ゆえに、ｎ本の線によって分割されるエリアの最大数は、

Σ［ｋ＝１，ｎ］ｋ＋１

で求められる。

>>343
正解！！！

＞３４５
　最小多項式ってｘ−１のｎ乗ですよねえ、それと対角行列と相似と
どういう関係があるのでしょうか？

>>346
＞最小多項式ってｘ−１のｎ乗ですよねえ
違うよ。

＞３４７
　あの混乱してるんで詳しく教えてくださらないでしょうか？

>>348
最小多項式が単根ならば対角化可能（対角行列に相似）
これ↑を用いれば簡単にできる。

Aの最小多項式をφ(x)とする。
φ(x)はx^n-1を割り切るので、φは単根しか持たない。

誰かがもっと簡単な方法を教えてくれるかもしれないけど、とりあえずこれでできた。

>>331
当校ってどこだよ? これ, 今年の国際数学オリンピックの問題だろ?

ab+cd = (a+d)c+(b-c)a = m × gcd(a+d,b-c)
(mは整数, gcd(a+d,b-c)はa+dとb-cの最大公約数)
と書ける. m>1, gcd(a+d,b-c)>1を示せば充分.

m=1と仮定すると
gcd(a+d,b-c) = ab+cd > ab+cd-(a-b+c+d)
= (a+d)(c-1)+(b-c)(a+1) ≧ gcd(a+d,b-c).
これは矛盾. よってm>1.

gcd(a+d,b-c)=1と仮定する.
ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)の左辺にac+bd=(a+d)b-(b-c)aを代入すれば
(a+d)b-(b-c)a=((a+d)+(b-c))(b+d-a+c).
整理して,
(a+d)(a-c-d)=(b-c)(b+c+d).
(a+d)と(b-c)が互いに素なので, ある自然数kに対して
a-c-d=k(b-c)
b+c+d=k(a+d)
と書ける. 辺々足して, a+b=k(a+b-c+d). つまり, k(c-d)=(k-1)(a+b).
k=1ならばc=dとなり矛盾.
k≧2ならば 2≧k/(k-1)=(a+b)/(c-d)>(a+b)/c>2. これも矛盾.
以上よりgcd(a+d,b-c)>1が示された.

＞３４９
　理解できました、どうもお手数かけて申し訳ありませんでしたand
　どうもありがとうございました。

A^n=E
Aをジョルダン標準形に変形する。
P^(-1)AP・P^(-1)AP・・・P^(-1)AP=E　・・・(1)
P^(-1)AP=T+S
T:対角行列
S:余り

(1)の左辺=(T+S)^n
=T^n+nT^(n-1)S+・・・+S^(n-1)
ここで2項以降は対角成分が全て0の行列になる。
そして、その構造をよ〜〜〜く眺めると
(1)より
S=0
となるので
A〜T
従ってAは対角行列に相似。

で、どう？

＞最小多項式が単根ならば

最小多項式が単根しか持たなければ
　　　　　　　　　　　　^^^^

あら、遅かったのね。
失礼。

＞３５４
　そっちのやり方の方がわかりやすいかも、ジョルダン使っているので
遅くないです、どうもありがとうです。

大学に入って、思ったんですけど、
線形代数と行列の違いって何ですか？
図書館でも、分類が違うんで、名前だけではないと…。

　>>350
　ありがとうございます。
　えっと……ＩＭＯの問題が、ＨＷに出されたのです。
　数学の教員がWolframResarchにいる友人から送ってもらったとかで。
　あと５問も残っています。つまり、全く解けていません……。
　英語のまま問題を渡されたので訳さなければですし。３問目は捨てようかと思っています。
　どうも本当に、ありがとうございました。

>>330
対称性から、a ＞ bとしてよい。
a ＞ b ≧ 4のとき
b^a ＞ a^bを示す。
関数f(x)=ln(x)/x(x > 0)は、x≧eで単調減少だから、
f(a) ＜ f(b)よって、b^a ＞ a^bがいえる。
b = 3のとき、b^a = a^bとすると、aは3のべき乗だから、
a=3^r(r≧2)が成り立つ。
一方で、r≧2のとき3^r＞3*r(rについての帰納法で示せる)
より、矛盾。
b = 2のとき、b^a = a^bとすると、同様にして
a=2^r(r≧2)が成り立つ。
一方で、r≧3のとき2^r＞2*r(rについての帰納法で示せる)
より、r=2つまりa=4のときのみ等式b^a = a^bは成立しうる。
逆にa=4、b=2のとき明らかに等式b^a = a^bが成立する。

「f(x)=1/(z(z+2)^3)を、特異点z=0でローラン展開せよ」
という問題が分りません。（z=-2でなら解けたんですが）
どなたか解法を教えてください。
ちなみに答は、
f(z)=・・・(-1)^n*(n+2)!/(n^(n+4)n!)*z^(n-1)・・・
です。（分りにくくてすみません）
おねがいします。。。

　抽象的な質問なのですが、

　人間の努力と成果をグラフ化すると対数曲線の近似になる。
　その式の変数がｅよりも大きい場合、能力は努力に応じて飛躍的に伸び、
　逆にｅよりも小さい場合は努力をしても報われない。

　という話をどこかで聞いたのですが、なぜですか？

これ簡単に示せるものなんでしょうか？
-------
R上のR値関数fがルベーグ可測で
任意のx、yに対してf(x+y)=f(x)+f(y)となるなら
f(x)=f(1)xである。
-------

正しい数学教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

Ｒ＾３内の図形から定まる２次元複体Ｋを考える（２つの正４面体の表面が
１点ａのみ共有している）
このときＫの基本群π（Ｋ，ａ）を求めよ。

これを教えてください。

ｎ人いて，誕生日が同じ人が少なくとも１組はいる確率というのは
そんなに難しくないのですが，以下の問題はどうすればいいでしょう？

問題
１７人（ｎ人でも構わない）いて，誕生日が同じもしくは１日違いの人が
１組以上いる確率は？

三角形ABCにおいて，tanA，tanB，tanC の値がすべて整数であるとき，
それらの値を求めよ。

日付 (1-31) -> 6bits IP(8*4) -> 32bits
ID(7*6+4) -> 46bits

日付*ＩＰ ＜ ＩＤ なので、ロッシーの証明にはならない。

>>363
あきらかに単連結。
ザイフェルト、ファンカンペンの定理を使う。

test

>>365
1,2,-3しかないと思う。たぶん。

>>369
1,2,3だった。

教えてください。

XをL^p(R^n)とします。
u∈X
x,k∈R^n
に対してずらし作用素
V(k)u(x)=u(x-k)
を考えた時V(k)のレゾルベント集合はどうなるのでしょうか？

＞370
それ見つけれたけど他に無いことを示せないのよね〜。

>>372
おらこうやった。
もし４以上の整数がまじってるとする。tanC=k≧4とする。
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC=-k
そこで1-tanAtanB=-lとおくとl＞0はすぐわかる。
よってtanA,tanBは２次方程式
t^2-(kl)t+(l+1)=0
の２解。これが整数解をもつためには判別式(kl)^2-4(l+1)=m^2が平方数
であることが必要。m≧0としてよい。変形して4l+4=(kl+m)(kl-m)
(i)m≧4のとき kl+m≧4l+4 から k=4,m=4,kl-m=1。∴l=5/4は不適。
(ii)m=3のとき (k^2l-4)l=13 をといて解なし。
(iii)m=2のとき (k^2l-4)l=8 をといて(k≧4なる解は)解なし。
(iv)m=1のとき (k^2l-4)l=5 をといて(k≧4なる解は)解なし。
(v)m=0のとき (k^2l-4)l=4 をといて解なし。
からtanA,tanB,tanCのなかに４以上の整数はまじらない。
内２つは正の数なのでそれをtanA≧tanBとすると可能性は
(tanA,tanB)=(1,1),(2,1),(3,1),(2,2),(3,2),(3,3)
このなかでtanCも整数になるのは(2,1),(3,1),(3,2)でいづれにしても
{tanA,tanB,tanC}={1,2,3}

正しい数学教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

>>373
これもっと簡単にとけた。tanA=P,tanB=Q,tanC=Rとおけば
(P+Q)/(1-PQ)=-RよりP+Q+R=PQR。∴1/PQ+1/QR+1/RP=1。
よって1/PQ,1/QR,1/RPのいづれかは1/3以上。よってPQ,QR,RPの
いづれかは3以下。PQ≦3,P≦Qとしてよい。
このとき(P,Q)=(1,1),(1,2),(1,3)。
ところで>>369=>>370=>>373=おらだけど>>372はおらじゃないぞ。
だれだおめ〜。だれでもいいけど。

3次元球面S^3={(z,w)∈C^2 ; |z|^2+|w|^2=1}の中の二つの
部分集合L_1,L_2をL_1={(z,0)∈S^3}, L_2={(0,w)∈S^3}
と定義する。このとき、次の問に答よ。
(1)S^3\(L_1∪L_2)はT^2×Rに微分同相であることを示せ。ただし、
T^2は2次元トーラスとする。
(2))S^3\L_2はS^1×R^2に微分同相であることを示せ。
(3)S^3の中でL_1を境界とする任意のコンパクトな局面をΣとするとき、
ΣとL_2とは必ず交わることを証明せよ。

を教えてください。幾何は難しいです。よろしくお願いします。

363のことで,１３２人目の素数さん見てくれてありがとうごさいます。
でも実は，四面体の基本群の求め方がわかりません。
具体的に言うと，一次元ならわかるのですが二次元複体の面についてどのように計算していくのかわかりません。
どうすれば良いのでしょうか。

>>377
367じゃないけど、四面体と2次元球面がホモトピー同型であることから、
四面体の基本群はわからない？

>>376
(1)T^2×R={(u,v,t)∈C×C×(0,π/2)||u|^2=|v|^2=1}として
C^∞写像f:T^2×R→S^3＼(L_1∪L_2)をf(u,v,t)=(usint,vcost)
とすればよい。
(2)S^1×R^2={(u,k)∈C×C||u|^2=1}として
C^∞写像g:S^1×R^2→S^3＼L_2をf(u,t)=(u/(1+|k|^2),uk/(1+|k|^2))
とすればよい。
(3)もし∂��=L_1,�煤ｿL_2=φとするとL_1のS^3＼L_2におけるホモロジー
類がゼロになるけど(2)よりそれはゼロではない。
こんな感じかな？

>>379
速いレス、どうもありがとうございます。今夜は安心して寝れます。

具体的な解答教えて下さい.お願いしますう−

変な人が揚げ荒らししているので、対抗して有料レスあげ。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
世の中にはどうしようもない最低の人間がいるってだけのことですよ。
今井弘一のような最低の人間が何を言おうが無視すればいいんです。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

対抗するなよ

どうしてもわかりません。問題の意味すらよくわからないよ。
わかる人助けてください。

<問>
メビウスの帯の標示式
x=cos*u(R+v*cosPu/2)
y=sin*u(R+v*cosPu/2)
z=v*sinPu/2
（-π≦u≦π　-1≦ｖ≦1）
について、パラメータR、Pはどのような効果を持つか説明せよ。

>>384
絵は描いたかい？
それ以前に、式がヘンだと思うが。

>>384
問題まちがってない？
x=cos*u(R+Pv*cosu/2)
y=sin*u(R+Pv*cosu/2)
z=v*sinPu/2
ならわかる。これはメビウスの帯を半径Rの円の上をながさ2Pの線分を
中点を中心にして回転させながら原点の周り一周させることを意味して
いる。一周したときに線分が半周してもどってくるように
“cosu/2”のように“/2”がついてる。もし“cosPu/2”だと
Pが奇数の整数でないとメビウスの帯にならないよ。
もちろん私の書いた式でも“R>P”でないと回転させるとき線分が
ぶつかってしまうけど。

>>386
まちごうた。
x=cos*u(R+Pv*cosu/2)
y=sin*u(R+Pv*cosu/2)
z=Pv*sinu/2
だった。

>>385
ﾚｽｶﾌﾞｽﾏｿ

M(2,R):2×2の実行列全体の集合
SL(2,R)={A∈M(2,R);detA=1}

(1)SL(2,R)はM(2,R)の３次元部分多様体であることを示せ。
(2)SL(2,R)はS^1×R^2と可微分同相であることを示せ。
但し、S^1は一次元球面とする。

(1)は解けます。
(2)が分かりません。
A∈SL(2,R)
を取った時、Aは平面上の一次変換なので
ベクトルx1=(a11,a21),x2=(a12,a22)を考えて
x1の回転部分をS^1にして、残りをR^2に上手く割り振ろうとしたのですが
上手くいきません。
どうすればいいのか教えてください。

ﾚｽｶﾌﾞはいいけど、>>387もヘンじゃない？
大雑把に言って、トーラス内にメビウスの帯（または腹巻き）を作るという
式だよね？
たぶん、uがS1上のファイバーへの作用を表すモノのつもりだろうけど。

>>385
絵もぜんぜん書けないぐらいにわからないんです。。

>>387
その式が正しいと思います。
まちがってごめんなさい。

>>389
いわさわ分解一発じゃだめだよね。
有名な定理だから、途中の分解を真似れば？

>>390
>大雑把に言って、トーラス内にメビウスの帯（または腹巻き）を作るという
式だよね？

そうです。腹巻というかドーナツというかそういう形状のものです。
↓絵
http://www.xmath.ous.ac.jp/~shimeno/maple/psurface.html

>>390
あれ？おかしい？とりあえず(x,y)を極座標にして(x,y,z)を
(r,u,z) (rがz軸からの距離、uが仰角) であらわすと
x=rcosu,y=rsinu,z=z
uを固定してrとzの関係をかんがえると
点(r,z)=(R,0)を中心として仰角がu/2、長さ2Pの線分は
r=R+Pvcos(u/2),z=Pvsin(u/2) (-1≦v≦1)
とパラメータ表示されるからもとめる方程式は
r=R+Pvcos(u/2),z=Pvsin(u/2),u:any
これを
x=rcosu,y=rsinu
を利用してx,yの方程式になおすと>>387になると思うけど。

>>392
岩澤分解ですか。
そう言えばそんなものがあったような・・・。

岩澤分解は
NAK→SL(2,R)
(n,a,k)→nak

で、nはx∈R
aはy>0
kはθ∈S^1
ですよね。

yが半直線の部分だけになって不都合のような気がするのですが。

>>281様
アドバイスありがとうございます。>>261のカキコをしたものです。
気合で展開しました。

y=(x+2)^7
y'=7(x+2)^6
y'=7(x^2+4x+4)(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)
y'=7(x^3+6x^2+12x+8)(x+2)(x+2)(x+2)
y'=7(x^4+8x^3+24x^2+32x+16)(x+2)(x+2)
y'=7(x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32)(x+2)
y'=7(x^6+12x^5+60x^4+160x^3+240x^2+192x+64)
y'=7x^6+84x^5+420x^4+1120x^3+1680x^2+1344x+448

疲れました。すみません。これだけやってもまだコツがつかめないんです。
関連のホームページをみて、もう少し頑張ってみます。

>>394
それならわかるけど、やっぱり　>>387の
>x=cos*u(R+Pv*cosu/2)
>y=sin*u(R+Pv*cosu/2)
はヘンだよ。
あげあしとりになってｽﾏｿ｡

>>395
いわさわ分解は、いまの場合は
R^2xSO(1) = SL(2,R) (as. top. space)
だよ。
問題そのまんまだろって突っ込みはなしね（ｗ

まちがえた、SO(2)だよ。

>>395
いま手元にないけど、横田一郎の群と位相あたりならexplicitな証明が
のっていると思う、たぶん。
泥臭い構成が見たくなったら参考になる本だよ。
俺はそろそろ半角板へ帰るYO！

>>400
有難う御座います。
検索したらうちの大学の図書館にあるようなので、今度参照してみます。

単なるユニタリ上三角化の話だろ。
A=UTU^*, T={a,b}{0,a^-1}

>>402
A∈SL(2,R)

T=(a o　　)
　(0 a^-1 )

と言う意味ですか？

>>403
なんで T が対角行列なんだよ。上三角だろ。
そんで、SL だから対角成分は (a,a^-1), a∈R,
1-2成分は b∈R

>>402-403
>>402はそのままじゃおかしいゾ。だって[[0,1],[-1,0]]は
>>402のUTU^*の形にはかけないもん。ただしくは
“任意のSL(2,R)の元Aは直交行列Uと上三角行列T=[[a,b],[0,1/a]]
でA=UTと一意に書ける。”
じゃないか？ただし[[A,B],[C,D]]は

ＡＢ
ＣＤ

という行列の意。

>>404
おお、成る程。
しかし、それからどうやって389の問題を解けば良いのか良く分からないです・・・。

>>405 おお、俺の間違いだった。そまそ
>>404 ユニタリ=(cos x, -sin x)(sin x, cos x), x∈トーラス

>>405 おお、俺の間違いだった。そまそ
>>404 ユニタリ=(cos x, -sin x)(sin x, cos x), x∈トーラス

菊川令がトキオの番組で解いてた数学の問題ってどんな問題だっけ？？

もちろん、上三角分解のときのユニタリは
SO(2)={(cos x, -sin x)(sin x, cos x)}
からとるんだぞ。
あとは写像 SO(2)×SL上三角 -> SL(2,R) が連続かつ全単射である
ことを示せば、コンパクト性から同相であることもわかる。

正しい数学教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

T=(a b　　)
　(0 a^-1 )

に関して
b∈R
a>0
ですよね？

SO(2)がS^1に対応するのは分かるのですが、aは正の部分だけだから、
aとbじゃR^2に対応できないと思うのですが・・・。

{a∈R|a>0}はＲと同相でしょ？

>>413
そうでした、申し訳ありません。
f(x)=logxとすれば同相ですね。

＞400
＞俺はそろそろ半角板へ帰るYO！

おもろいYO！
「半角板に帰る」だと！半角板に住み着いてる感じがしてグーだよ。
　

おーい

俺も気になる！！

Sorry, R was not compact!

昔、Rはコンパクトじゃなかったのかぁ。
今はどうなんだろ（ｗ

>>356 >「線形代数と行列の違い」
こう言ってる時点でアウト
日本史と大化の改新の違いは？
といってるようなもの

>>229
だれもレスしてないみたいなので・・・
S={n|n∈ゲーデル数ｎの帰納的枚挙可能集合｝
とおく。
Ｓは帰納的枚挙可能集合だがＳの補集合は帰納的枚挙可能集合でない。
Ｓの補集合が帰納的枚挙可能集合とし，そのゲーデル数をｓとすると
s∈Ｓ ⇔ ¬ｓ∈Ｓ

>>122の答えは出たんでしょうか。
私はいま見ていい問題だと思いましたが
まだ答えは得られてません。

>>122，>>422
面白そうな問題ですね。

＜以下、解答です（正しいかどうかは不明）＞
円内の任意の点M(a,b）をとる。次の必要十分条件が成り立つ。

円周上の２点P,Qの中点がMである。
↓↑必要十分
円周上の２点P,Qは、点Mを通ってOM↓に垂直な直線a(x-a)+b(x-b)=0と円との２交点である。

２交点のｙ座標は
ｂ±√（a^2＋1/(a^2+b^2)）
で、これらが異符号になるような
（a,b)が求める領域である。
計算すると、
　b^4<1+a^4
になると思う。＜解答終わり＞

計算間違ってたら本当にごめん。
でも、考え方は多分合ってると思う。

点M(a,b)が原点かどうかで
場合わけが必要だった・・・。

>>122，>>422-424
○○　めがね

高々３次の実数係数の多項式のつくるR上の線形空間Vに、
基底｛１,x,x^2,x^3｝をとる。
線形変換δを

　δ：V→V,　δf[x]=∫[x-2,x+2]f[t]dt

で定める。
δの、上で与えたVの基底に関する表現行列を求めよ。


よろしくお願いします。

>>426
実際、1 , x , x^2 , x^3 をδで移して見ろ。

>>423
計算ミスがあるようです。直して続けてみます。

M(a,b)=(0,0)のとき
Mを通る任意の直線と円との交点であるP,Qのy座標は
常に異符号なのでOK

M(a,b)≠(0,0)のとき
x^2+y^2=1,a(x-a)+b(y-b)=0
xを消去して(a^2+b^2)y^2-2b(a^2+b^2)y+(a^2+b^2)^2-a^2=0
解と係数の関係から2解の積は｛(a^2+b^2)^2-a^2｝/(a^2+b^2)なので
2解が異符号となるのは
　　(a^2+b^2)^2-a^2<0
⇔｛(a-1/2)^2+b^2-(1/2)^2｝｛(a+1/2)^2+b^2-(1/2)^2｝<0
⇔｛(a-1/2)^2+b^2-(1/2)^2｝<0 または ｛(a+1/2)^2+b^2-(1/2)^2｝<0

以上より求める領域は
2円(x±1/2)^2+y^2=(1/2)^2の内部（境界含まず。ただし原点は含む）

>>425
たしかに（ｗ

>>422
極座標で考えたら簡単でしょう。

>>429
だったら解いてみろ(w

256の問題むつかしいYO!
Σ(i≠j〜n)A(i)A(j)/n(n-1)というのがうざったいな。
凸n角形関連ぽいけど違うみたいだし。。

A(1).A(2)...A(n＋1)の中から異なる
2個をとる組み合わせC[n＋1.2]個についてのその積を足したもの
というのはやっぱり凸n角形しか発想できんけど。。

423（≠428）です。
428さん、フォローありがとうございます。
解と係数の関係を使うと計算が楽なのですね。
（計算間違ってましたか・・・すみません）
とにかく感謝！

>>295
1/x^x=exp(-x log x)=Σ「n=0→∞」(-x log x)^n/n!
∫「0→1](-x log x)^n dx=∫「0→∞](u^n exp(-(n+1)u)du ( x=exp(-u) )
=1/(n+1)^(n+1)∫「0→∞] v^n exp(-v)dv ( u=v/(n+1) )
=n!/(n+1)^(n+1)

正しい数学教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

ﾋﾞｸｯ. ∧ ∧ ∧ ∧　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　　(ﾟДﾟ；≡；ﾟдﾟ) ＜　うお！なんかすごいところに迷い込んじまったぞｺﾞﾙｧ！
　　 　 ./ つ　つ　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　〜（＿⌒ヽ　ﾄﾞｷﾄﾞｷ
　ﾌﾞｯ ω)ノ ｀Jззз

>>429
今井ってあの間違いだらけのHP公開してる今井さんですか？

どっから来たの？
ﾌﾞｯ ω)ノ ｀Jззз

z=(2+i)/3のとき，z^n=a(n)+ib(n) (n=1,2,3,.....)
により定まる実数の数列{a(n)}{b(n)}について

(1)a(n+1),b(n+1)をa(n),b(n)を用いて表せ．
(2)lim[n→∞]{a(n)^2+b(n)^2}を求めよ．
(3)Σ(n=1,∞)a(n) , Σ(n=1,∞)b(n)を求めよ．

(3)が分かりません......お願いします．

ちなみに，

(1)
z^n=(√5/3)^n*(cosα+isinα)
[αはcosα=2√5/5，sinα=√5/5を満たす]
a(n)=(√5/3)^n*cosαn,b(n)=(√5/3)^n*sinαn
z^(n+1)=√5/3*{a(n)+ib(n)}*(cosα+isinα)
=(2/3)*a(n)-(1/3)*b(n)+{(1/3)*a(n)+(2/3)*b(n)}i
よって，
a(n+1)=(2/3)*a(n)-(1/3)*b(n)
b(n+1)=(1/3)*a(n)+(2/3)*b(n)

Σ(n=1,∞)z(n)=(1+3i)/2 （等比級数の和）
より
Σ(n=1,∞)a(n)=1/2
Σ(n=1,∞)b(n)=3/2

sage忘れてた......

(2)
lim[n→∞]{a(n)^2+b(n)^2}
=lim[n→∞]{(5/9)^n*cos^2(α)+(5/9)^n*sin^2(α)}
=lim[n→∞][(5/9)^n*{(cos^2(α)+sin^2(α)}]
=lim[n→∞](5/9)^n
=0

です．

Σ(n=1,∞)z^n = Σ(n=1,∞)a(n) + iΣ(n=1,∞)b(n)
なので、
Σ(n=1,∞)a(n) = Re(Σ(n=1,∞)z^n)
Σ(n=1,∞)b(n) = Im(Σ(n=1,∞)z^n)
がなりたつ。

ここで、
Σ(n=1,∞)z^n = ((2+i)/3) / (1 - (2+i)/3)
　 = (2+i)/(1-i)
　 = (3-i)/2
だから、

Σ(n=1,∞)a(n) = 3/2
Σ(n=1,∞)b(n) = -1/2

>>442 マチガイ >>440 アッテル

>>440
もう少し解説して頂けないでしょうか.
z(n)はz^nのことですか．
何故
Σ(n=1,∞)z(n)=(1+3i)/2
になるのでしょうか．
また，それから
Σ(n=1,∞)a(n)=1/2
Σ(n=1,∞)b(n)=3/2
となるのは何故ですか．
すいません......

>>442
Re()やIm（）とはどういうものですか？

a、bが正の定数の、
ｚ＝ｚ（ｘ、ｙ）＝ｘのa乗＋ｙのb乗
という式を対数変換すると、
ｚ＝ｚ（ｘ、ｙ）＝alogｘ＋blogｙ
になるそうですが、
この対数変換とは、どのようなことをしているのでしょうか？

単純に１変数に例えるとしますと、対数変換とは、
たとえば10のｘ乗＝ｙという指数の式を、logｙ＝ｘと対数の形にしてから、
ｘとｙを入れ替えてlog10ｘ＝ｙとして、
ｘを独立変数として扱うというような変換をいうのでしょうか？

また、このように対数変換しても、
（∂ｚ（ｘ、ｙ）／∂ｘ）／（∂ｚ（ｘ、ｙ）／∂ｙ）は変わらない
そうなのですが、これは、なぜ変わらないと分かるのでしょうか？

よろしくお願い致します

>>444
z(n)={(1+3i)/2}^n
の間違いだろ。あとは等比級数とみなせば普通に解けるんじゃないの？
計算うざいのでやらないけど。

Re()は実部、Im()は虚部のこと。
Re(a+ib)=a, Im(a+ib)=b

＞z(n)はz^nのことですか．
そうですね。コピペしたあと直し忘れたみたい。
＞何故 Σ(n=1,∞)z(n)=(1+3i)/2
等比級数ですね

>>445
ｚ＝ｚ（ｘ、ｙ）＝ｘのa乗・ｙのb乗
という式を対数変換すると、
logｚ＝logｚ（ｘ、ｙ）＝alogｘ＋blogｙ

が正しいと思われ

>>427
[[28/3,0,0,0][0,20,0,0][0,0,4,0][0,0,0,4]]
って出たんですけど、合ってますか？

F（ｎ）＝Σ【ｋ＝0・・・ｎ】n-k+1Ｃｋ
（※Ｃは組合せです）
とすると、Ｆ（ｎ＋２）＝Ｆ（ｎ+１）＋Ｆ（ｎ）となることを証明したいのですが、どうしたらいいのでしょうか？
ちなみにnＣmにおいて、ｎ＜ｍのとき、nCm＝0と定義されています。

あと、
Ｓ（ｍ＋1，ｎ＋1）＝Σ【ｋ＝０・・・ｎ】（ｍ＋１）^（n-k）Ｓ（ｍ，ｋ）
（Ｓは第２種のスターリング数）
という等式が成り立つことを証明したいのですが、どうもうまくできません。
是非教えてください、よろしくお願いします。

>>445
実際に変微分をそれぞれやってみろよ。

「正規形常微分方程式の初期値問題
　ｘ´(ｔ)＝ｆ(ｘ(ｔ),ｔ)，ｘ(０)＝ａ
　を考える。ここでｆはｘとｔについて連続で,かつ,
　‖ｆ(ｘ,ｔ)−ｆ(ｙ,ｔ)‖≦ｋ_０‖ｘ−ｙ‖
　‖ｆ(ｘ,ｔ)‖≦ｋ_１(ｔ)‖ｘ‖＋ｋ_２（ｔ）
　を,全てのｘ∈Ｃ^ｎ,ｙ∈Ｃ^ｎ,ｔ∈Ｒについて満たしているものとする。
　但し,ｋ_０は正定数,ｋ_１(ｔ),ｋ_２(ｔ)は非負値連続関数とする。
　この時,解ｘ(ｔ)は存在する限り,
　‖ｘ(ｔ)‖
≦(‖ａ‖＋|∫[０，ｔ］ｋ_２(τ)ｄτ｜）exp(｜∫[０,ｔ]ｋ_１(τ)ｄτ｜)
　を満たすことを示せ。」
という問題が分かりません。
ちなみにヒントとして
ｘ(t)＝ａ＋∫[０,t]ｆ(x(τ),τ)dτと
Ｇｒｏｎｗａｌｌの補題を用いるそうです。
どなたか御教授下さる様お願いします。

In[3]:=
Integrate[{1, t, t^2, t^3}, {t, x - 2, x + 2}]
Out[3]=
({4, 4 x, 16/3 + 4 x^2, 16 x + 4 x^3})

だから>>449は違っていると思われ

ありがとうございました．わかりました．
初項(2+i)/3，公比(2+i)/3の無限等比級数だったんですね．．．なるほど..．

ところで(2)の結果を使った求め方もあるらしいんですが，これはどうするのですか？

誰かおしえてください。
「ネピアの数eの微積分における基本思想」を教えてください。
お願いします。

>>450
「第２種のスターリング数」
の定義を書いてださい。それをもとに考えてみます。

>>450
探すのに苦労した。何かくれ。
http://www.junko-k.com/collo/collo27.htm

「第二種のスターリング数」ってなんですか？？
教えてください。

>>437
ゲーム板ですｺﾞﾙｧ
謎めいた言葉が一杯ですｺﾞﾙｧ
凄いですｺﾞﾙｧ

レスありがとうございます。

∫[x-2,x+2](t^3+t^2+t+1)dt=4x^3+4x^2+20x+28/3
と出たので、
求める行列をAとすると
[28/3,20x,4x^2,4x^3]=[1,x,x^2,x^3]A,A∈M4(R)と思ってました。

>>453から察するに
[4,4x,16/3+4x^2,16x+4x^3]=[1,x,x^2,x^3]A
∴A=[[4,0,16/3,0][0,4,0,16][0,0,4,0][0,0,0,4]
という事で合っていますか？

合ってるみたいです。

>>462
どうもありがとうございました。
助かりました。

説明不足ですみません。
第２種のスターリング数は、
異なるｎ個のものを、同種のｋ個の箱に空き箱を作らないように入れる入れ方をS（ｎ，ｋ）で表したもので、
たとえば、S（3，4）＝6です。
公式としては、
S（ｋ，ｎ＋1）＝S（k-１，ｎ）＋ｋS（ｋ，ｎ）　（1＜ｋ＜ｎ）
S（1，ｎ）＝S（ｎ，ｎ）＝1　（ｎ≧1）
S（ｎ，ｍ）＝０　　（ｎ＞ｍ）
の2つがあり、S（ｋ，ｎ）を表にすると
　ｋ１　２　３　４　５
ｎ
１　１　１　０　０　０
２　１　３　１　０　０
３　１　７　６　１　０
４　１　15　25　10　１
という感じでパスカルの三角形に似たようなものになります。（ずれてたらごめんなさい）
S（ｋ，ｎ）の一般式は少し複雑で、
S（ｋ，ｎ）＝（１／ｋ！）×Σ【i=0・・・ｋ】（−１）^i×ｋＣi×（ｋ−ｉ）^n
です。
よろしくお願いします。

すみません、表間違えました
　ｋ１　２　３　４　５
ｎ
１　１　０　０　０　０
２　１　１　０　０　０
３　１　３　１　０　０
４　１　７　６　１　０
５　１　15　25　10　１

スターリング数の公式の追加です
Ｓ（０，０）＝１
Ｓ（ｎ，０）＝Ｓ（０，ｎ）＝０　（ｎ≧１）
これをわすれちゃいけませんよね(^^;

第１種のスターリング数
というのももちろんあるんでしょうねー
できれば知りたい

α≠０　βを実数とし、Ｔｘ＝αｘ＋β（ｘ∈Ｒ）と定義する。
Ｍとｍをそれぞれルベーグ測度とルベーグ外測度とする。
以下の２問を教えてください。
（１）任意の集合Ｂに対してｍ（Ｔ（Ｂ））＝｜α｜ｍ（Ｂ）
（２）Ａがルベーグ可測ならばＴ（Ａ）もルベーグ可測であって
Ｍ（Ｔ（Ａ））＝｜α｜Ｍ（Ａ）

>458
ありがとうございます！
具体的な証明までは記述されていませんが、十分ヒントになりました。
これなら自分で考えられそうです。
本当にありがとうございました。
ところで、お礼なんですがどうやって渡せば・・・
メアドでもあればよかったのですが、見当たらないし・・・
今から書いてもらうと本物かどうかが確認できないし。
う〜ん、困ったなぁ〜

＞467
第１種のスターリング数は、
s（ｒ，ｎ）と書き、＜sが小文字
Σ【ｎ＝０・・・ｒ】s（ｒ，ｎ）ｘ^n＝ｘ（x−１）・・・（ｘ-ｒ＋1）
として定義されています。
すなわち、ｘの係数ですね。

第２種のスターリング数ですが、役に立つか分かりませんがもういくつか公式がありました。
Ｓ（２，ｎ）＝｛２^（ｎ-1）｝−１
Ｓ（ｎ−１，ｎ）＝ｎＣ2
Ｓ（ｍ，ｎ＋1）＝Σ【ｊ＝0・・・ｎ】ｎＣｊ×Ｓ（ｍ-1，ｊ）
です。

被覆のおのおのをＴで動かせば？

＞375って違うと思うが。

＞よって1/PQ,1/QR,1/RPのいづれかは1/3以上。よってPQ,QR,RPの
＞いづれかは3以下。PQ≦3,P≦Qとしてよい。
＞このとき(P,Q)=(1,1),(1,2),(1,3)。

PQ≦−2がありえないことを示してない気が。
　

>>256さん，>>431さん

256の問題、面白そうなので挑戦してみましたが、よく分かりませんでした。
ｆとA(n)は、他に何か条件はありますか。
（↓問題を誤解しているようでしたら、ご指摘お願いします。）

−−−−−
とりあえず、反例と思われるものを挙げてみます。
f(x,y)＝1000x-y　と定義し、
A(n)=n　と置いたら、
f(X(n),Y(n))>=0かつf(X(n+1),Y(n+1))<0となるｎが存在する。（＊）

ここで、
X(n)＝Σ(i=1〜n)A(i)/n …256のxの定義どおりですが、便宜上X(n)と置きます。
　　＝A(n)の平均
Y(n)＝1/n(n-1)*2*Σ(i≠j〜n)A(i)A(j)　…256のY(n)の定義どおりです。
　　＝1/n(n-1)*｛（Σ(i＝1〜n)A(i）)^2　−　Σ(i＝1〜n)A(i)^2　｝
　　＝1/n(n-1)*｛nの２乗 * A(n)の平均の２乗　−　n * A(n)の分散｝
とします。
（＊）の理由は、
X(n)はｎのオーダーで増加し、Y(n)はnの２乗のオーダーで増加するからです。
−−−−−

これからがいしゅつするので、しばらく落ちます。

>>473
これから既出するって？よく意味が分からねぇや。

>>474
外出だろ？あほか。

つまり　２ｃｈ語のガイシュツじゃやなくて
本当の外出なのね。。。

任意の自然数nに対して

x^2+y^2=73^n

を満たすx,yが存在することを示せ。


が分かりません。ご教授ください。

あまりにも簡単な質問ですが、分かる人は答えてくださいm（_ _）m

ｎ×ｎ行の行列を（ｎ−１）×（ｎ−１）行の行列にするときの
手法と具体例（５×５→４×４etc.）それとできれば
証明もいっしょにお願いします

>>474-476
おおい、大丈夫か？>>473は「これからが移出する」って言ってるんだよ。

>>477
x,yが実数なら自明だが、何か？

n=1のとき　3^2+8^2=73^1
n=kで成立と仮定すると、
ある自然数 x,y があって、x^2+y^2=73^k
ここで、
　73^(k+1)
= 73*73^k
= (9+64)*(x^2+y^2)
= 9*(x^2) + 9*(y^2) + 64*(x^2) + 64*(y^2)
= (3x)^2 + (3y)^2 + (8x)^2 + (8y)^2
　：
　：
こっから先分かんねえや。
役立たずsage

書き忘れたけど、>>477のやつね。

>>481
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2で何とかなるのでは？

>>483
サンクス！！

というわけで、>>481の続き。
　73^(k+1)
= 73*73^k
= (3^2+8^2)*(x^2+y^2)
= (3x+8y)^2 + (3y-8x)^2
よって n=k+1 の時も成立。
故に >>477 は示された。

うわぉ．流石......
どうもありがとうございました．多謝．

S^1×R^2のZ係数ホモロジー群はどうやって求めればいいのか教えてください。

＞477、485
その問題ってこの間の東大プレの問題だろ。
（1）に　(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2　の誘導があった。
でもこのくらいテスト本番で解けないと。
　

>>487
そうなんだ。誘導あったらすぐだな。
ていうか>>483さんの援護無しで解けなかった私はどうなんでしょうか？

っつうか質問するときに誘導を隠すのってイヂワルだよな（ｗ

任意の自然数nに対して
x^2+y^2=73^n
を満たすx,yは何組あるでしょうか。

>>490
ほんとに分からなくて質問してるの？
それとも答えようとしてるやつを馬鹿にしてるの？

[n/2+1]組かな。ちがう？

>>479

わー，混乱を巻き起こした．
2ch で「がいしゅつと書くときは
ひらがなはやめましょー．

>>490

Z[i]がUFDだということを使う必要があるがそれは受験数学の範囲外では?
ちなみにこれを使えば

(x+yi)(x-yi)=73^n=(8+3i)^n(8-3i)^n.

Z[i]はUFDなのでx+yi=i^k(8+3i)^n1(8-3i)^n2, x-yi=i^(4-k)(8+3i)^(n-n1)(8-3i)^(n-n2).

よってn-n1=n2なので,
x+yi=i^k(8+3i)^n1(8-3i)^(n-n1), x-yi=i^(4-k)(8+3i)^(n-n1)(8-3i)^n1.

逆は明らかなので全部で4(n+1)通り.

Z[i]がUFDであることの証明は後程.

＞４９３
くだらんネタで今ごろまで盛り上がるな。オワットルわい。

>>101

もう戻ってこないかも知れないけど．．．

期待値に比べて相対的に大きな値を取る確率は小さい，
あるいは同じことだが，
大きな値を取る確率がある程度あれば期待値は大きい．

>>494 数えすぎてない？
たとえば・・・n=1,n=2 のときは？

>>494
多すぎない？ n=1 のときは？

>>490 は問題を文字通り解釈すれば答えは 0 だよな。
x,y がなんであれ、「任意の自然数nに対して x^2+y^2=73^n」とはならないもん

位相多様体の定義とC^r級微分可能多様体の定義
この二つの違いが説明できません

>>500
位相多様体は何回微分可能なの？

>>501
位相空間Ｍが次の条件（１）（２）をみたすとき、Ｍを
ｍ次元位相多様体という。
（１）Ｍはハウスドルフ空間である。
（２）Ｍの任意の点ｐについて、ｐを含むｍ次元座標近傍（Ｕ、φ）
が存在する。

この定義から座標変換の微分可能性を含めたものがC^r級微分可能
多様体だってことしかわからないんです。
ですから何回微分可能なのかはわかりません。

>>502
おちょくっとるんか？ｺﾞﾙｧ(ﾟдﾟ)

C^(r+1)級微分可能多様体はC^r級微分可能多様体か？

>>502
それなんて教科書？
松本幸夫先生のやつ？

>>503
スイマセン。
まじめに答えたつもりです。
これから多様体の勉強をはじめるので、戸惑ってます

>>505
授業でやってるの？
それとも自分で教科書見て勉強してるの？

>>506
教科書見て勉強してます。
東京大学出版　多様体の基礎　松本幸夫
を使ってます。

>>507
42ページを見ろ。

っていうか君ひょっとして９月の試験のために今から勉強始めた三年生？

>>508
そうです。
演習としてノートにこの問題？があったんです。

>>452

Gronwallの補題を知りませんが，
こんなふうに話が進むのだと想像します．

x'(t)=f(x(t),t), x(0)=a

f の連続性と | f(x,t)-f(y,t)| ≦ K0 |x-y| から，
連続関数解 x(t) の存在が保証される．
＃　「解が存在する限り」というのは分かりません．
＃　この条件は解の存在保証(Lipschitz条件)では？

y'(t)=(K1(t) y(t) + K2(t)), y(0)=|a|,
y: [0,∞) → R, はあらわにとけて，
y(t)=(|a| + ∫[0,t] K2(s) exp(-∫[0,s] K1(r)dr) ds)
x exp(∫[0,t] K1(s)ds)

|f(x,t)| ≦ K1(t) |x| + K2(t) なので，
|x(t)| ≦ y(t) が成り立つ（たぶん）．
＃　証明思いつきません．詳しい方フォローを．

よって
|x(t)| ≦ (|a| + ∫[0,t] K2(s) exp(-∫[0,s] K1(r)dr) ds)
x exp(∫[0,t] K1(s)ds)
＃ K2 を含む積分のところ exp( - ... ) が
抜けていると思います．

うちの大学じゃないんだ。
42ページの(1)(2)(3)はＯＫ？

>>511
いまいちつかめませんが、がんばってみます。
ありがとうございました。

移出から帰ってきた者です。
以下、かなり長文失礼します！

>>493さん他
＞わー，混乱を巻き起こした．
＞2ch で「がいしゅつと書くときは
＞ひらがなはやめましょー．

大変すまないでございます〜！

>>452さんへ　（>>510さんのレス読む前にこのレスを作成したので重複失礼します）
私、計算苦手なのですが、とりあえずトライ。
問題を誤解しているようでしたら、ご指摘お願いします。
（Ｇｒｏｎｗａｌｌの補題の内容が知りたいです。検索エンジンで探したけどヒットしませんでした。）

まず、‖x(t)‖´＜＝‖x(t)´‖を証明します。
‖x(t)‖´＝　lim(h→0)｛‖x(t+h)‖−‖x(t)‖}/h
　　　　　＜＝lim(h→0)　‖x(t+h)−x(t)‖/h
　　　　　＝　‖lim(h→0)｛x(t+h)−x(t)｝/h‖
　　　　　＝　‖x(t)´‖
問題の条件より、
‖x(t)‖´＜＝‖x(t)´‖＝‖ｆ(ｘ,ｔ)‖≦ｋ_１(ｔ)‖ｘ‖＋ｋ_２（ｔ）
が成り立つ。
（以下、p(t)＝‖x(t)‖，a(t)＝k_1(t)，b(t)＝k_2(t)で読み替えてください。）
p(t)´　　　　　＜＝a(t)p(t)＋b(t)
p(t)´−a(t)p(t)＜＝b(t)　　　　　　の両辺にexp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）をかけると、
p(t)´exp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）＋p(t)｛-a(t)exp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）｝
　＜＝b(t)exp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）
すなわち
p(t)´exp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）＋p(t)｛exp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）｝´
　＜＝b(t)exp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）
となる。両辺を[0,t]で定積分すると、
p(t)exp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）−p(0)exp（−∫_[0,0]a(τ)dτ）
　＜＝∫_[0,t]｛b(α)exp（−∫_[0,α]a(τ)dτ）｝dα　………………（＊）
両辺にexp（∫_[0,t]a(τ)dτ）をかけると、

p(t)＜＝｛p(0)＋∫_[0,t]｛b(α)exp（−∫_[0,α]a(τ)dτ）｝dα}＊exp（∫_[0,t]a(τ)dτ）
となる。

もし（＊）の時点で都合よく、exp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）＜＝１という条件が存在してくれたら、
（＊）の右辺＜＝∫_[0,t]b(α)dα
が成り立つので、問題がうまく解決するのですが・・・。世の中そんなにうまくいかないか・・・。

ここまで引っ張って、結局解けなかったのかYo！　（自己つっこみ）
解析系が得意な方、フォローを頼みます。

つ、つかれた・・・。数学欲満腹・・・。

>>486の問題わあ？

>>513

>もし（＊）の時点で都合よく、exp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）＜＝１
>という条件が存在してくれたら、
>（＊）の右辺＜＝∫_[0,t]b(α)dα
>が成り立つので、問題がうまく解決するのですが・・・。

a(t)＝k_1(t) ≧ 0 (非負が仮定) なので，
その条件成り立っていますね！
じゃ，それでＯＫ？

>>497 >>498
x, yが負の場合も考えて書いたつもりなのだが。

n=1だったら、x+yi∈{±8±3i, ±3±8i}で整数解は8つだ。

自然数解だったらnが奇数の時はこの1/4でn+1、nが偶数なら
>>494 の言葉で言えばn=2n1の場合xy=0になるのでn+2になる。

>>516　>>497-498
そもそも490の問題文が悪いのさ

>>502
＞この定義から座標変換の微分可能性を含めたものがC^r級微分可能
＞多様体だってことしかわからないんです。

条件が増えてるのにどうして違いが分からないのかわからん…っていうか
条件が増えてることを認識できないのは数学科には向いていないんじゃないか？

>>510,513さん
うわ。レス有り難うございます。

Ｇｒｏｎｗａｌｌの補題っていうのは，
ｆ，ｇ，ｈを，[ａ，ｂ]上の実数値連続関数で，
ｈ(ｔ）≧０とする。この時，
ｆ(ｔ)≦ｇ(ｔ)＋∫[ａ，ｔ]ｈ(ｓ)ｆ(ｓ)ｄｓ
(∀ｔ∈[ａ，ｂ])ならば，
ｆ(ｔ)
≦ｇ(ｔ)＋∫[ａ，ｔ]ｈ(ｓ)ｇ(ｓ)ｅｘｐ(∫[ｓ，ｔ]ｈ(ｕ)ｄｕ)ｄｓ
が成立する。
と言うものです。
やはりＬｉｐｓｃｈｉｔｚ条件は，この問題を解く上では
使わないんですかね？
問題は確認しましたが，間違ってないです。

>>516 n=1 の場合(x,y)=(3,8) の一組だけというのが普通でしょう。
もちろん(8,3)は同じとみる。
Z[i] で数えろなんてだれも言ってないよ。

もちろん，負の整数は数えない。
２乗すると同じになるのだから。
まとめると，正の整数のunoedered pairで
数えるというのが普通の感覚では？

>>520
問題文があいまいなので>>516，>>520どちらも各々間違いではない。
普通か否かは関係ないでしょう。あえていうと正しいのは>>499ですね。

>>520
unoederedなんてだれも言ってないよ。
unorderedが普通の感覚では？

>>519

じゃ，>>510 または >>513 と >>515 で十分ですね．
（510 で「ここが分からないと書いたところはGronwallの
補題の中に含まれていると思う．513+515はそれも含めて
証明したことになる．)

Lipschitz条件は「 x(t) がある」という意味しか考えられない
ので，これなしで他の問題の通りとするか，この条件を
残すなら，>>510 に書いたとおり，
問題文の最後「x(t)がある限り」が不要になる
と思います．（もちろん問題文のままで間違ってはいませんが
条件が無駄になっています．）

オーダの計算方法について教えてください。
本を読んでいたら

　Ｏ(f(n)*g(n)^f(n)) = 2^Ｏ(f(n))

となっているのですが、どのようにしたらこう変形できるんでしょうか？
さっぱりわかりません。

素数でない奇数のうち575番目の数は何?

1)正17角形を作図し、
2)なぜ17角形になるのか説明せよ。

1)の作図法は検索かけてすぐ見つかったんですけど
2)の説明ができません。
今日中に出さないといけない宿題なんで助けてください。。

xy平面上の a＞0、b＞a^2 をみたす定点M(a、b)と、放物線 y＝x^2 上を
動く点T(x、x^2)に対して、f(x)＝|MT|^2とおく。
(1)P(p、p^2)、Q(q、q^2)（p＜q）としたとき、点Mが中点となるような
　放物線の弦PQがただ一つ存在することを示せ。
(2)qを(1)で求めたものとする。４次関数f(x)の最小値を与えるxはa＜x＜qの
　範囲にあることを示せ。

>>526
1673

>>527
とりあえず
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/drawing/heptadecagon.html
ここでも見てくれ。正十七角形の一辺は+ - * /　√を使えば表せることが証明されている。
あとは四則演算も作図できる事を説明すればいいんじゃないか？

>>527
とりあえず
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/drawing/heptadecagon.html
ここでも見てくれ。正十七角形の一辺は+ - * /　√を使えば表せることが証明されている。
あとは四則演算も作図できる事を説明すればいいんじゃないか？

なんか狂った日本語だ・・・ｽﾏｿ

Ｒ^nの有界領域の境界は常に零集合なんでしょうか？
また、そうなのだとしたらそれはどのように証明するんですか？

>>533
境界の定義を忘れてしまったのだが、常に零集合とは限らないんじゃないか？
R^2上で
A=[0,1]×[0,1]
とした時に
Aに含まれる有理数の集合をBとすると
Bの境界は零集合でないと思うが。

あれ、でも領域って開集合の事だっけ？
じゃあ違うかも。

確認ですが・・・
有界領域て，有界開集合ということかな。

533です
>>534-535
レスどうも。
有界領域ってのは有界開集合で連結なものという意図で言っています。
他にもあるのかもしれませんが…。
よろしくおねがいします。

>>536
R^n上の有界領域をAとする。
Aを加算個の
I_m={(x1,x2,・・・,xn)∈R^n;ai≦xi＜bi,i=1,2,3,・・・,n}
m=1,2,3,・・・
によって覆う。
m(A)=inf�培I_m|
Aの閉包cl(A)を考える。
I_mはcl(A)を覆っているだろうか？
一般には覆っているとはいえない。
しかし、I_mを少し広げて
J_m={(x1,x2,・・・,xn)∈R^n;ai≦xi＜bi+ε,i=1,2,3,・・・,n}
とすると覆っている事が分かる。
ここでεは任意の正の数であれば良い。
よって
m(cl(A))=inf�培J_m|
εは任意の正の数であったのでいくらでも小さくできる。
だから、
m(cl(A))=inf�培J_m|=inf�培I_m|=m(A)
よって境界は零集合。

A が連結開集合だというの何処で使ってる？
＞I_mを少し広げて
＞J_m={(x1,x2,・・・,xn)∈R^n;ai≦xi＜bi+ε,i=1,2,3,・・・,n}
＞とすると覆っている事が分かる。
ここが問題だと思うよ。

>>538
＞I_mを少し広げて
＞J_m={(x1,x2,・・・,xn)∈R^n;ai≦xi＜bi+ε,i=1,2,3,・・・,n}
＞とすると覆っている事が分かる。

まさにここで開集合っていう条件を使ってるんじゃない。
連結性は必要なし。

誰か教えてください。徹夜で考えてますがわからない・・・

行列Ａが定める線形写像の核(ＫｅｒＡ)と値域の求め方ってどうやるんですか？

>>525
＞　2^Ｏ(f(n))
こんな書き方はない。もういっかい調べてみ

>>539
開集合だったらなぜそれがいえるんだ？

>>543
I_mはAを覆っている。
cl(I_m)はcl(A)を覆っている。
cl(I_m)⊂J_m
よって
J_mはcl(A)を覆っている。

＞ cl(I_m)⊂J_m

これがおかしい。

>>545
おかしくない。

>>514
S^1×R^2とS^1はホモトピー同型

>>547
有難う！！
でもどうして？

>>547
今、解った。

(cost,sint,x,y)∈R^4
とした時に
(cost,sint,kx,ky)
0<k<1
として動かせばいいのね。

有難う。

>>546
ぼくもおかしくないと思う．よって
>>537,>>539,>>544
でＯＫでは？

気にしている人がいる（いた）みたいだから
気になる．

533です。
レスくれた人どうもありがとうございました。
まだ２回なので測度とかはやってないんですが、とても参考になりました。
もう１回頑張ってみようと思います。

曲線を表すベクトルってどういうものか１例を教えてください！！
またそのベクトルの接線ってどうあらわしますか？

>>513で私が書いた証明ですが、しょっぱなでいきなり大勘違いしてました。
いろいろ迷惑かけてすみませんでした・・・。もっと慎重にならねば・・・。

＞まず、‖x(t)‖´＜＝‖x(t)´‖を証明します。

のところですが、
‖x(t)‖＝０となるｔでは‖x(t)‖´の存在が保証されないので
‖x(t)‖´が存在しないｔを除外して考えなければなりませんでした。
でも、それをいちいち考えてると、あまりきれいな証明にならないですね。

>>510さんフォローありがとうございます。

＞a(t)＝k_1(t) ≧ 0 (非負が仮定) なので，
＞その条件成り立っていますね！

全くその通りですね。これまた大勘違いしてました。
証明の中ではexp（−∫_[0,t]a(τ)dτ）＜＝１　と書いた（＝コピペ）のですが
頭の中では　exp（　∫_[0,t]a(τ)dτ）＜＝１　となっていました。

>>452さん、Ｇｒｏｎｗａｌｌの補題ありがとうございます。きれいな式ですね〜。

(1)だけでもいいから教えてください。かっきーやり方ありませんか？

xy平面上の a＞0、b＞a^2 をみたす定点M(a、b)と、放物線 y＝x^2 上を
動く点T(x、x^2)に対して、f(x)＝|MT|^2とおく。
(1)P(p、p^2)、Q(q、q^2)（p＜q）としたとき、点Mが中点となるような
　放物線の弦PQがただ一つ存在することを示せ。
(2)qを(1)で求めたものとする。４次関数f(x)の最小値を与えるxはa＜x＜qの
　範囲にあることを示せ。

>>554
出典は？問題集？模試？

0/0 ∞/∞等は不定形であることは知られているが
実は0+0も不定形になる。なぜならば0+0＝∞

>>554
b>a^2なんだからb=a^2+cとでも置いてみろ。
（1）はそのまま解ける。

（2）はよく分からん。

＜強迫性人格障害の診断基準＞
アメリカ精神医学界　DMS-IV
秩序、完全主義、精神面および対人関係の統制にとらわれ、柔軟性、開放性、効率性が犠牲にされる。 成人早期に始まり、種々の状況で明らかになる。
以下のうち４つ（またはそれ以上）で示される。

1.活動の主要点が見失われるまでに、細目、規制、一覧表、順序、構成、予定表にしばられる。
2.課題の達成を妨げるような完全主義を示す。
（例：自分自身の過度に厳密な基準が満たされない という理由で１つの計画を完成させることができない。）
3.娯楽や友人関係を犠牲にしてまで仕事と生産性に過剰にのめりこむ。
（明白な経済的必要性はない。）
4.道徳、倫理、価値観についての事柄に、過度に誠実で良心的かつ融通がきかない。
5.感傷的な意味のない物の場合でも、使い古した、または価値のないものを捨てることができない。
6.他人が自分のやるやり方に従わない限り、仕事をまかせることができない。また一緒に仕事をすることができない。
7.自分のためにも他人のためにも、ケチなお金の使い方をする。お金は将来の破局に備えて貯めるべきだという歪んだ信念を持っている。
8.堅さと頑固さを示す。

>>83
X={ (x_1, x_2, x_3, ...) | Σ|x_k|^2 ＜∞ },
A_1((x_1, x_2, x_3, ...))=(x_2, x_3, x_4, ...),
B_1((x_1, x_2, x_3, ...))=(0, x_1, x_2, x_3, ...),
A_n=(A_1)^n,
B_n=(B_1)^n.

＞555
拾い物。

正八面体の各面に、辺に接しないように円を書き、それぞれの周上に任意に3点を取った。
また、その正八面体の各面を赤･青･緑色各１面、黒色５面に塗り分けた。
この正八面体の内部に３点を結んで三角形をつくるとき、一つの頂点は黒色で
他の２頂点は赤･青･緑色のいずれか２色になる三角形はいくつか。　('００･岡山大)

これが一体ぜんたいわかりません。どうか教えてくださいませ(ﾍﾟｺﾘ

もう、みんな博士に行くよね。もち、学位とって
企業に就職する。学生のうちから、バンバン派遣
とかやって、スキルも身につけておこうかなー、
って思ってます。

初歩的な問題ですが、よろしくおねがいします。

Ｒを x+y=1, x=0, y=0 で囲まれた領域とする。
∬_[R]cos{(x-y)/(x+y)}dxdy = (sin1)/2
であることを示せ。

(マグロウヒル大学演習 微積分(下) P241問32)

ヒントには、x-y=u,x+y=vとして、変数変換せよと
書いてあるのですが、途中でのｖ*cos(1/v)の積分が実行できず
途方に暮れてます。

562の補足です。分かっているところまで書きます。
上の訂正です。
×ｖ*cos(1/v)の積分
○2v*sin(1/v)の積分

領域Rより、0≦v≦1,-1≦u≦1
ヤコビアンは、1/2
∫_[v:0,1]∫[u:-1,1](1/2)*cos(u/v)dudv
= (1/2)*∫_[v:0,1]2v*sin(1/v)dv
…ここからわかりません。

積分領域は v≧0,-v≦u≦v でしょう。

じゃなかった。0≦v≦1,-v≦u≦v だ。
これで u で先に積分すればうまくいくよ。

>>566
レスありがとうございます。
多重積分の問題で、いつも積分領域がよく分からなります。
uがvによって、拘束されているのは分かるのですが、どのような
拘束のされ方をしているのかが分かりません。
考え方のコツのようなものはあるのでしょうか？

x=(u+v)/2, y=(-u+v)/2 と解いて，
x≧0，y≧0, x+y≦1 に代入する。

複素数a,b,c,dが同一円周上にのるときに成り立つ関係を
教えてください。

((a-c)/(b-c))/((a-d)/(b-d))∈Ｒ
証明は円周角の定理

z=x^2+y^2 と z=2x で囲まれる領域の体積。
の求め方が分かりません。
空間極座標に移行するんでしょうか？

＞570
(a-c)/(b-c)はＲでない
かつ
(a-d)/(b-d)はＲでない
という条件は不要ですか？

その条件は「同一直線上」の場合を除外する意味になるみたい。

>573
つまり、a,b,c,dが同一直線上になくて
同一円周上にあるときに成り立つってこと？

というか ((a-c)/(b-c))/((a-d)/(b-d))∈Ｒが
「４点a,b,c,dが同一円周上または同一直線上」
(a-c)/(b-c)∈Ｒが「３点a,b,cが同一直線上」
(a-d)/(b-d)∈Ｒが「３点a,b,dが同一直線上」

>>571
D: r^2<r cosθ
V=∬_D (r cosθ-r^2)rdrdθ

0<r<cosθは分かったのですが、θの範囲が分かりません。
0<θなのは分かるのですが…。
V=(1/12)*∫[0,?](cosθ)^4dθ
=(1/96)*∫[0,?](cos4θ+4cos2θ+3)dθ

ここまではなんとかいけました。

＞θの範囲が分かりません。
領域Ｄの図を描いて見なさい

一応描いてみたのですが、いまいち分かりません。
もしかして、arctan(1/2)<θ<(π/2)なのでしょうか？

確率積分なんですけど誰か証明できる人います？

　T T
∫ tdB(t)=TB(t)-∫ B(t)dt
　0 0

　
∫ tdB(t)=TB(t)-∫ B(t)dt

∫ の範囲はともに0からTです。

>>581 グラフ書け。

>>571
z=kで切れば楽勝だよ。

>>579
D は(0,0)と(1,0)を直径とする円。
ということはθは？

(0,0)と(1,0)を直径とする→線分(0,0)(1,0)を直径とする

５６１教えてもらえませんかー。。。

え？領域Dって放物面と平面で囲まれた領域ですよね。
よくわからない立体を描いてたんですが、違うんでしょうか？
＃放物面を平面が切っているような図

やはりθ:0->πなのでしょうか？

D: r^2<r cosθ

これをxy座標で書き直してみ

dy/dx = y/x * (ay - b)

これを積分してy=の形にしたいのですけど
おしえてもらえませんか？

数学でもオナニーできるんですか？

ふうこさん　って実在するのですか？

円を、y軸に平行な直線で切ったような領域ですよね。
この領域の、極座標での表し方が分かりません。

なんどもレスしてヒントやってるんだから，
よく読んでそのとおりやってみろ。
いつまでもトンチンカンいってると見放すぞ。

迷惑メール・・・の記事
http://news.yahoo.co.jp/headlines/mai/010801/dom/10000000_maidomm166.html

んで　　47 名前： 名無しさん＠お腹いっぱい。 投稿日： 2001/06/07(木) 05:24

>>35　「５０００兆通り」は少ない。
数字・アルファベット・記号（アンダーバー、ハイフン、ピリオドの３種）
の３９文字がメールアドレスに使用できるとして、だいたい６〜１２文字
ぐらいが一般的な長さだろうから、

12　　k
Σ３９　≒ １２７０京
k=6

つまり５０００兆の２０００倍ぐらいは作成できないと役に立たないと思われ

49 名前： 名無しさん＠お腹いっぱい。 投稿日： 2001/06/07(木) 05:34

あ〜、そもそも５０００兆のメアドが自動作成できたとして、
一日１０００万通送信しても全部送るのに１００万年かかるわ（藁

計算ＯＫですか？

>>593
もうかれこれ、半日近く悩んでます。
お手間をかけさせてすいません。
588は、D:y^2<x-x^2になりました。
…これってどういう意味の式なんでしょうか？
しかも、領域Dって円なんですか？平面が切り取っている
ので、z=kで切ると円を直線が切った領域になると思ったのですが。

θは仰角ですよね？xz平面でz=x^2とz=2xが接するところが、
θの最小値だと思ったのですが、θの求め方が分からずにいます。
もしかして、方針まるっきり間違ってますか…？

>>589

∫ dy/ y / (ay-b) = ∫ dx /x

左辺は c/y + d/(ay-b) と書ける(c,d を a,b で表せる)ので，
それぞれ積分できる．
それで
y^c*(ay-b)^d = f(x) の形までは持ってこれるが，

それを y について解いて y=g(x) と初等関数で書くのは
必ずしもできないのでは？
でも上記の形で通常は十分と思うが．

>>581

離散近似
左辺= lim Σ t_i (B(t_{i+1}-B(t_i))
を組み替えれば右辺のリーマン和になっている．

唯一問題は左辺は２乗の期待値(ブラウン運動について)
の意味の収束，右辺でリーマン和といったときは，
ブラウン運動のpath毎に一様収束．

でも，きっと右辺も２乗の期待値で収束するのだろう．

>>594
たしか最初の文字はアルファベット以外は使用不可なんじゃない？
そんな細かい事はいいか。

多分合っているとは思われる。
が、自動送信ソフトの作成者だって馬鹿じゃない。
そんな単純なアルゴリズムだと「[email protected]」
とかにも送る事になる。
新しい加入者はランダムなメアドが初期設定となっているらしいが、
こんな乱数生成のメアドを使いつづける馬鹿はいないだろう。

通常はメアド保持者と関係のある何か（名前、誕生日など）を
メアドにするのが普通。使っている本人が覚えられないようなメアドは
常識的に考えて使い続けないだろう。

そういう組み合わせで5000兆とかいう数値が出てくるんじゃないの？

本気で
＞12　　k
＞Σ３９　≒ １２７０京
＞k=6
こう考える奴は単なる馬鹿。どこの板の話題だ？

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm

５９３さん　ありがとう
どこの板かは忘れました。

>>473
他に条件は残念ながらありません。

Σ(i≠j〜n)A(i)A(j)というのは431さんのおっしやるとおりです。

自分としてはConvexfanctionしか思いつかないです。。
473の反例をいまから考えてみたいと思いますです。

>>593
いろいろやってみましたが、私には解けないみたいです。
何回もレスを頂いたのに、申し訳ないです。

>>473さん

Y(n)＝1/n(n-1)*2*Σ(i≠j〜n)A(i)A(j)
　　＝1/n(n-1)*｛（Σ(i＝1〜n)A(i）)^2　−　Σ(i＝1〜n)A(i)^2　｝
　　＝1/n(n-1)*｛nの２乗 * A(n)の平均の２乗　−　n * A(n)の分散｝

上の変形の１行目から２行目がどうもわからないです。

>>595
θは xy平面の極座標のθですよ。
仰角とかは関係ないよ

>>571=>>602
θは必要ない。
593が理解してないだけだから気にするな。
z=kで切って面積を求め、それをz方向に積分する。
それで上手くいく。

>>605
ありがとうございます。もうちょっと頑張ってみます。

z=K平面では、放物面は半径√kの円、z=2x平面は
直線x=k/2に投影されるので、
四分円の式を、k/2から√kまで積分して
小面積を求めようとしたのですが、
S/2 = ∫_[√k,k/2]√(k-x^2)dx
x=(√k)cosθとして、積分式を解こうと思ったのですが、
x=k/2の時のθの値が具体的に求められず、そこで停止しています。
置換積分しなくても、この式は解けてしまうのでしょうか？

>>606
おら>>605じゃないので自信はないけどこの方針でいくかぎりどうしても
式変形の途中で“arcsin√(k/2)”がでてくるのをさけられないとおもう。
そこからさらにｋで(つまりｚで)積分する段階でうまくきえてくれる。
(んだと思う。しんどいので途中でcheckをやめてしまったので。)
この問題そもそも切る“断面”をz=-1/2xに垂直な平面できっていったほうが楽。
平面z=2x+uともとめる領域Sの共通部は(x,y)であらわすと(x-1)^2+y^2=1+u
なのでSのxy平面への射影像の面積はπ(1+u)。z=2x+uとxy平面の
なす角の余弦は1/√5なのでSの面積は√5π(1+u)。これをu=-1/√5から
u=0まで積分すればよい。
もちろん基本はz=kで切るやりかただしその途中の計算は大変だけど
やりぬけばかなり得るものも多いとおもうのでその方針での計算も
ぜひやりぬいてみるべし。

>>607
おっとまちがった。ごめん。切る平面はz=2x+u/√5だった。
よって(√5+5u)を-1/√5から0まで積分せよでした。すま。

>>608
ちょっとあわてて>>608がわかりにくいかもしれないので解説。
一般に体積をもとめるときはx=k,y=k,z=kなどできりとった断面積を
積分するけどax+by+cz=kなるかたちの平面で切りたいときは平面を
うごかすパラメータが“１”うごいたとき“１”はなれるようにしないと
だめ。たとえば(1,2,3)に垂直な平面の族できっていきたいときは
x+2y+3z=u/√(1+4+9)=u/√14で切った断面の面積S(u)を(適当な範囲で)
積分すればよい。参考書のってると思う。

>>608-609
うわ！まだまちがってる！パラメータが“１”うごいたとき“１”
はなれるようにするなら2x-z=(√5)uできるんだ。
(√5+5u)を-1/√5から0まで積分はあってる。(と思う。)
>>609もx+2y+3z=(√14)uで切った断面積を積分だった。
だんだん自信なくなってきた。逝ってきます。

>>611
逝く前にもうひとレス。自分のノートの式をもっかい吟味したら
-2x+z=(√5)uで切ってその断面積π((√5)+5u)をu=-√5からu=0
まで積分してた。(というかノートではもっと違うやりかたやってん
だけど。)
以下まちがいを発見してももう無視するので間違いは自分で訂正して
よんでちょ。

y=|1/x| の ｘが -1〜1 の面積は求まらんが，
ｙ軸に一周まわして
y = 1/r ，ｒが0〜1 r=√(x^2+z^2)
の体積はなんで求まるんだ？
なんか気持ち悪い．

置換積分がわからーん

f:N^2→Nが原始帰納的ならば
g(0)=0
g(1)=1
g(x+2)=f(g(x+1),g(x))
で定義されるgは原始帰納的であることを証明してください。

原始帰納的とは
g:N^m→N、g[i]:N^n→N(i=1,2,…,m)が原始帰納的ならば
f(x[1],…,x[n])=g(g[1](x[1],…,x[n]),…,g[m](x[1],…,x[n]))
は原始帰納的

Pairing function J,K,L s.t.
J(L(x,y))=x,K(L(x,y))=y,L(J(x),K(x))=x
を用いればよい。
G(x)=L(g(x),g(x+1))となることをめざして次の原始帰納法を行う。

G(0)=L(0,1)
G(x+1)=L(K(x),f(J(x),K(x)))

g(x)=J(G(x))

行列
(3 -1)
(1　1)
のジョルダン標準形が上手く求まりません。
det(xE-A)=(x-2)^2
までは解りました。
標準形にする行列Pを求めるとPが
(1 2)
(1 3)
のような形になり、これを使うと
P^(-1)AP
が変な形になってしまいます。
どうすればいいのでしょうか？

体積Ｖの水槽に初期濃度Ｃ0の水溶液が入っています。
ここに単位時間あたりｖの水を入れてオーバーフローさせて、
時間ｔ経過した時の水溶液の濃度を教えて下さい。

>>571 しゃーない。最後まで答え書いてあげるよ。

D: r^2<r cosθ
V＝∬_D (r cosθ-r^2)rdrdθ
＝∫[-π/2→π/2]dθ∫[0→cosθ](r cosθ-r^2)rdr
＝1/12∫[-π/2→π/2]cos^4θdθ
＝π/32

>>616　正解は
　 (1 1)
p＝
　 (2 1)

やりかたは　(A-2I)u=2u, (A-2I)v=u
を解いて P=(u,v) とする。

>>617 fullで入ってたんだよね、時間0のとき。
実務だとそうでもないもんでね。
で、乱流も発生しない、素直な容器だね。なら、計算どおりになる。

これ教えてください

Ｒをx+y=1,x=0,y=0で囲まれた領域とする。
∬_[R]cos{(x-y)/(x+y)}dxdy=(sin1)/2
であることを示せ。

>>563-568

確率の計算で
ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅの５人から３人を選ぶ選び方の数は
5Ｃ3＝３分の１０ですよね？
それが教科書には１０って書かれてるんですけど、誤植ですかね？

お願いします。あした大検なんです。教えてください。

5Ｃ3＝５×４×３／（３×２×１）＝１０

>>624
大検ガムバレ

多分無理だとは思うが

>>625
ちょっと勘違いしておりました（笑
教えて下さりありがとうございました！

>>626
応援ありがとうございます！

>>618
答えは(1/2)πになってます。
z=kで切る方法は、やはりarccosの積分が難しく
（というかどうやるのか全然分からないので）
断念しました。
z=2kに垂直な平面で切る方法は、今理解中です。

>>621
同輩？

Please teach me!!
お願いします。

(1)f,g∈L^2(R)に対して
lim[t→∞]∫[R]f(x+t)g(x)=0
である事を示せ。

(2)R^2上の関数h(x,t)を

xはtでも-tでもないとき
h(x,t)={(sinx)^2-(sint)^2}/{x^2-t^2}
x=t or x=-tの時
h(x,t)=0

とする。この時、全ての実数tについて、h(x,t)はxの関数として
R上可積分であることを示し、
lim[t→∞]∫[R]h(x,t)dx
を求めよ。

(1)は直感的には分かるのですが、どうやって示せばいいのか分かりません。
(2)はどうしてか積分になるのかも分かりません。

>>619
(A-2I)u=2u
は
(A-2I)u=0
の書き間違いですよね。

上手くいきました、有難う御座います！！

Au=2u を (A-2I)u=0 に変えようとして変えきれてなかった
というマチガイだった

>>629
(1) f,gをサポートがコンパクトな連続関数で近似しろ。
(2) sin²x - sin²t = sin(x+t)sin(x-t)
　　 (1)と同様にできる。

Sを３次対称群とするとき、S×Sの部分群であってSと同型になるものの
個数を求めて下さい。

>>571 >>618
ずっと問題を見間違えてたみたい。z=x でやってたけど
z=2x だったんだね。
それならこうだ

D: r^2≦2r cosθ
V＝∬_D (2r cosθ-r^2)rdrdθ
　＝∫[-π/2→π/2]dθ∫[0→2 cosθ](2r cosθ-r^2)rdr
　＝4/3∫[-π/2→π/2]cos^4θdθ
　＝π/2

もっと一般に z=ax (a>0) となっていたならこうなる。

D: r^2≦ar cosθ
V＝∬_D (ar cosθ-r^2)rdrdθ
　＝∫[-π/2→π/2]dθ∫[0→a cosθ](ar cosθ-r^2)rdr
　＝a^4/12∫[-π/2→π/2]cos^4θdθ
　＝(π/32)a^4

>>632
ときどき「sin?t」と見えるときがあるんだが
何でだ？

X⊂R^3
Xは多面体としたときに、Xのある２つの面を取ると
それらの多角形は同じ数の辺を持つ

と言うことを示したいのですが、わかりません。

M=[0,1],N=(0,1]
f:m→n(全単写)
となるようなfの例を教えていただけませんか？

M=[0,1],N=(0,1]
f:M→N(全単射)
となるようなfの例を教えていただけませんか？

誤字、記入ミス失礼しました

1+1/3+1/5+1/7+････=？

1>1/2,1/3>1/4,1/5>1/6,...

>>639
fの行き先をそれぞれ、
1 x=0
x/2 x=1/2^n (nは0以上の整数）
x その他
とすればよい。

ずれた。
f(0)=1,
f(1/2^n)=1/2^(n+1)(nは0以上の整数）
他の点では、f(x)=xとすればよい。

>>637
三角柱は多面体じゃないの?

どう手をつけたら良いのかさえもわかりません。お願いします。
kを定数とするとき、命題
「x^2-x-2＞0ならばx^2-5kx+6k^2≧0」
が真となるようにkの範囲を求めよ。
という問題です。

>>637
えっと、多面体は必ず同じ辺の数の多角形を持つってことですか。
三角柱なら三角形が２つ、四角形が３つあるという風に。
それならば・・・。
すべての面の辺の数が異なっている多面体があるとする。
各面の中で最大の辺数を持つ面がn角形だったとする。
このｎ辺はそれぞれ異なるｎ個の多角形と共有されているが、
辺数がｎ未満の多角形はn-3通りしか存在しないので、必ず
同じ辺の数の多角形が存在する。
ってのでは駄目なんでしょうか。

x^2-x-2＞0 というのは x が 1 と 2 の間にないということ。
x^2-5kx+6k^2≧0 というのは x が 2k と 3k の間にないということ。

つまり、問題中の命題は次のように書きなおせる。
「x が 1 と 2 の間になければ、2k と 3k の間にもない。」

これは 2k と 3k が両方とも 1 と 2 の間にあることを意味している。

ここまでくればわかるだろ。等号が成り立つときについては
自分で考えて見れ。

問題取り違えていた。欝。

n桁(n>2)の数で、同じ数が3つ並ばず、また、どの２つの桁の数を入れ替えても
やはり同じ数が3つ並ばないものはいくつあるか。ただし、0が一番上に来る
ような入れ替えは考えないとする。
たとえば、1233121は条件を満たさないが、1033101は条件を満たす。

これを教えてください。

>>120-121
1〜13まで番号が振られたボールが一コずつある。
この中から無造作にnコ選ぶ時、カードに書かれている数の和が
3の倍数になる確率をF(n)とおく。
F(5)とF(9)を求めよ

121のやり方じゃ駄目だよ。
カードは一枚ひけば減っていくんだから漸化式は成り立たないよ。
しかもn≦13の範囲だし

教えて下さい。
線型空間をＶ,Ｗとして、Ｖの双対空間をＶ*とします。
「×」をテンソル積としたときに、(Ｖ*)×ＷとHom(Ｖ，Ｗ)は
どのような写像で同型対応するのでしょうか？

>>632
すみません、どうやったら
sin²x - sin²t = sin(x+t)sin(x-t)
と変形出来るのでしょうか？

次の数列の和を求めよ。
(１)２・４、４・６、６・８、……、２ｎ(２ｎ＋２）
(２)２・３、３・４、４・５、……、(ｎ＋１)(ｎ＋２）
ちっともわかりません、教えてください…

>>652
おいら>>632じゃないけど横レス。
右辺
=(sinxcost+cosxsint)(sinxcost-cosxsint)
=sin？xcos？t-cos？xsin？t
=sin？xcos？t+sin？xsin？t-sin？xsin？t-cos？xsin？t
=左辺
じゃらう。(ﾖｺﾚｽｽﾏｿ)

>>654
ありゃ？^2のつもりが？になってるよ。
^2ってどうやって入力すんの？コピペじゃだめなのね。

>>654
有難う御座います。

次の問題を教えてください。

R-3上の線形作用素は、ある原点を通る平面をそれ自身の中に写すことを示せ。

表現行列をAとした時にAの固有値が二つ以上存在する時は
固有ベクトル２つの張る平面で解決できそうなのですが
固有値が一つしかない時にどうやって解決すればいいのか分かりません。

>>657
以下ベクトルは列ベクトルでかんがえv~で転置した行ベクトルとする。
nを法線ベクトルとする平面{x|n~･x=0}は行列Aで表現される
一次変換で{x|n~･A^(-1)･x=0}つまり((n~)･A^(-1))~を
法線ベクトルとする平面にうつされる。
これつかわれよ。

653
Σの公式知ってるか？高校で必ずやるはず。
それ使うんだけど・・・

>>658
有難う御座います、そこまでは理解できました。
((n~)･A^(-1))~={A^(-1)}~n
が元のnに対して平行であれば示せるようですが、
どうやって元のnと平行である事を示せばいいのかが分かりません。

>>659
Σっていまいちわからんの…
数学苦手ってゆうか嫌いやのに
宿題がイッパイあってもうやんなる
数�Tに数�Uに数Ａ…そんなイッパイできるわけないやろ〜

宿題おっぱい。

オイラーの贈り物

>>657
三角化。
固有値が虚数となる時は、複素共役同士組み合せて
ユニタリーを実直行行列に取れば、拡大回転行列か
拡大回転行列と裏返しの合成で書くことができる。
すなわち、直行行列を用いて
[* * *]
[* * *]
[0 0 *]
この形に変形できるはず。

＞ユニタリーを実直行行列に取れば、拡大回転行列か
＞拡大回転行列と裏返しの合成で書くことができる。
ここは大嘘だった。ｽﾏｿ

>>663
恥ずかしながら、固有値が虚数となる事を全く考えていませんでした・・・。
ジョルダン標準形を作るということですか？

>>665
＞ジョルダン標準形を作るということですか？
それでも当然OK。

次の数列の和を求めよ。

Σ_[k=1,n] log_{e}(k)

すみません、ぜんぜん分からないんです･･。
どなたか教えて下さい。

Σ_[k=1,n] log_{e}(k)=log_{e}(n!)

>>634-635
あー、2cosθになるんですね。θって何故一回転してるんでしょうか？
図で見る限りでは、θ:0->πに見えるのですが…。
でも0->2π(あるいは-π->+π)じゃないと、答えの値にならないんですよね。

>>668
ありがとうございます。

あの、恐縮ですが n! 以外の解はないでしょうか。
n! は計算機で計算できないので･･。

調べてみたら計算機で解けるようです。
ごめんなさい。(^^;)
そしてありがとうございました。

>>663
どうして三角化すれば証明できるのか良く分かりません・・・。
どうすればいいのでしょうか？

>>658
これで証明した事になるでしょうか？

nを法線ベクトルとする平面をSと置く。
n,x:列ベクトル
x^t:xの転置行列
S={x|n^t・x=0}
n^t・x=0
n^tA^(-1)・Ax=0
{(A^(-1))^t・n}^t・Ax=0
よってAxは(A^(-1))^t・nを法線ベクトルとする平面（に含まれる）。
行列(A^(-1))^tの固有ベクトルは必ず存在するので、このようなベクトルmを
法線ベクトルとすれば、ASはSに含まれる。
但し、ASをSのAによる像とした。

8個>>633

逝ってよし！な質問でｺﾞﾒﾘ

0÷0=0　　であってますよね。

もしかして無限大？

おいら>>658
>>673
いいんではないですか？あらためて問題みてみたら変換って“可逆”って仮定でき
ないみたいだからその場合は場合わけしないとだめかな？
まあそのときはAによる像が２次元以下だからあたりまえだけど。

>>675
どっちも間違い。答えは「不定」

>>669
おら>>607-611。>>634-635さんの計算はわかるのね。だったら
はなしはやい。>>634-635さんの計算は(1/2)rdrdθの(1/2)が
ぬけてるだけ。

中学で習うぞ

>0÷0=0　　であってますよね。

いや、0÷0=1 だろ?　

△ABCにおいて∠Bが鈍角であり、AB=8、BC=6、sinB=5√7/16であるとする。このとき,cosB,AC,外接円の半径Rの値を求めよ。

>>680
0÷0=π でもあります。さらに、0÷0=-1です。

0÷0=∞だろ？

>>682
1/∞ ÷ 1/∞ と考えてはダメ？

>>674
もっと多かない？なんで８？１４じゃないか？(ちょっと自信なし。)

だめ
0/0も周期的にあがるネタだね。

x/y の x->0 y->0 での極限だというなら　x,yの０への近づけ方で
どんな値にもなる。

だから、
0/0 = 1/∞ ÷ 0/∞ = 1/0 = ∞
だろ？

>>673
R^k (k 偶数)のときにはもとの問題の結論は成り立たず、
R-k (k 奇数)のときだけ正しいと思います。

この解答だと k=3 をどこで使っていますか？

>>685
スマソ。6個見落としてた。ということは14個？

>>688
実固有値をもつ、よって実固有ベクトルをもつってとこだと思われ。

>>689
おいら>>685。よかった。答えいっしょになったね。

>>690
わかりました！ありがと。

次の問題が分かりません。
教えてください。

(1)∫[0,1](xlogx)^ndx
n=0,1,2,3,・・・
を求めよ。
(2)定積分∫[0.1]x^xdxの値を、少数以下第二位まで求めよ。

(1)は解けました。
(-1)^n・n!/{(n+1)^(n+1)}のような形になりました。
(2)はどうすればいいのか分かりません。

解けるもんなら解いてください。

正の有理数xを既約分数で表したとき，その分母の平方をf(x)とする
(自然数nに対してはf(n)＝1とする)。
(1)相異なる正の有理数x,yに対して，次の不等式が成り立つことを証明せよ。
　　　2/|x−y|≦f(x)＋f(y)
(2)自然数nに対して x_n＝2/(3n＋4) とするとき，次の極限値を求めよ。
lim[n→∞]{f(x_n)＋f(x_(n＋1))}|x_n−x_(n＋1)|

>>693 これ見てみるべし。>>295 >>433

x^2exp(-ax^2)の不定積分がわかりません。
どなたか教えてください。

>>696
それは不定積分できないよ，
-∞ → ∞ の定積分だったら求まるけど。

＞＞６９７
−∞→＋∞の定積分の時の答えを是非御教授してください。

>>695
有難う御座います。

>>696
exp(-ax~2)
を-∞から∞まで積分する方法はわかると思うので却下。
x~2exp(-ax~2)
を同じ範囲で積分する方法は、上の積分結果をaの関数と見なして
aで二階微分してみるとわかる

>>700 １階微分でしょ。
あと，部分積分でもできる。

返信して頂きありがとうございます。
でも、どうしてもわかりません。
できたら、計算過程から答えまで教えていただけませんか。
何度もお聞きしてすいません。

>>694
解けるもんだから解いてみました。
(1)
x=p/q y=r/s とおいて
2/|x-y|=2qs/|ps-qr|
|ps-qr|>=1より、
2qs/|ps-qr|<=2qs<=q^2+s^2=f(x)+f(y)

(2)
x_2n=1/(3n+2)
x_2n+1=2/(6n+7)
より、
f(x_2n)+f(x_2n+1)=(3n+2)^2+(6n+7)^2
|x_2n-x_2n+1|=3/((3n+2)(6n+7))
よって求める極限は
15/2
以上

>>702
失礼な質問かもしれないが、ひょっとして高校生？
もしそうだとしたら、もしくはそのレベルの微分積分の知識しかないんだとしたら
難しいと思うけどなぁ、まぁ、一応念のために解説は書くけどね
I=exp(-ax^2)の-∞から∞の積分値として
I^2
=exp(-a(x^2+y^2))　の-∞から∞の積分
x=rcosθ
y=rsinθ
として積分変換すると
I^2=(rexp(-ar^2)の-∞から∞の積分値) × ２π
以下省略

>>700

２回も偏微分するの？（ｗ

>>705
すまない間違えた。一回でいい。ごめん
>>704
これも間違えた。
I^2=(rexp(-ar^2)の-∞から∞の積分値) × ２π
ではなく、
I^2=(rexp(-ar^2)の0から∞の積分値) × ２π

>> ７０４
御親切な解答ありがとうございました。

教えてください。
∫[0,1]t^(-1/2)・(1-t)^(-1/2)dt
をどうやって求めればいいのでしょうか？

>703
もう一問質問します。

｢なぜあなたはその問題が解けるのですか？｣
　

(1-t)^(1/2)=u　で部分分数展開

>>709
なぜそんなことを聞くの？
解けるから解けるだけなんだけど

>>710
2∫[0,1]{(1+u)(1-u)}^(-1/2)du
のような式になって
どうすればいいのか分からなくなってしまいました。

>>712
t^(1/2)=cosθ
とおいて積分してみるといいかもしれない

次の問題が全くわかりません、よろしければ教えてください。
∫[-∞,∞]f(x)dx
が広義積分可能であるとき、
g(x)=x-[x]　ただし、[x]はxを超えない最大の正数
として、
lim[k→∞]∫[-∞,∞]f(x)g(kx)dx
もしよろしければお願いします。

こんなの分かるか！
まだ微分積分学もやってないのに

答えは g(kx) の形を思い浮かべればすぐわかる。
1/2∫[-∞,∞]f(x)dx だな。
厳密な証明はゆっくり考えよう

>>708
一般に、∫(t-α)^(-1/2)・(β-t)^(-1/2)dt =　Asin(u/a)
ただし、u=t-(α+β)/2 , a=(β-α)/2
この場合α=0,β=1だから(というか、t:α→βだから)
答えは、Asin(1)-Asin(-1)=π/2-(-π/2)=π
(t-α)(β-t)=a^2-u^2だから、不定積分が上のようになるのは
すぐに分かるでしょう。

次の問題が分かりません、教えてください。

連続写像f:R^n→R^nが任意のx∈R^nに対して
||f(x)-x||≦1
を満たすならば、fは全射であることを示せ。
但し、u=(u1,u2,・・・un)∈R^nに対して
||u||={�納i=1,n]ui^2}^(1/2)とする。

円盤D={ x : ||x|| < 1 }から∂D={ x : ||x|| = 1 }へのレトラクトが
無いことを使え。穴があったらそこをひろげられるだろ。

< と ≦ を間違えた

>>8
log とって log|x|/x のグラフを見よ

>>719-720
申し訳ありません、よく分からないです。
レトラクトがない事をどう使えばいいのでしょうか？

>>135 t=1 でなければ有限個、って本当？

t=0 の時 (1,0,a) を通る直線はどれも不変な部分空間
t=1/2 の時 (1,-1,a) を通る直線はどれも不変な部分空間

>>30
t=40/x とすると t log(t)=200/253 で
t log(t) のグラフを見よ
>>32 しか答がないことが分かる
自然対数で値を求めてるけど。

>>37(2)
8の字とホモトープでは？
b1=2,b0=1

>>651
dimV=n
dimW=m
dim(Ｖ*)×Ｗ=dim{Hom(Ｖ，Ｗ)}=nm

じゃ駄目？

>>589 って
>>141 と同じことでしょ。
>>596 は
(ay-b)^d でなく (ay-b)^(d/a) なのだから

>>199 虚数いらないよ
t=x だね、確認。

A^2-A+10=0を解くとA=(1士√39i)/2なので
y= (a cos(√39 t/2)+b sin(√39 t/2))exp(t/2)+c exp(2t)
とおいて元の式に代入しcを決める.

>>211
x+1=t と置換し t=√2 tan u と置換
>>212
x+2=t と置換し t=3 tan u と置換
２つめは x=sin t と置換

>>472 補足
P,Q,R のうち少なくとも2つは正。
もしRが負だったとすると
P+Q=(PQ-1)R の左辺は正だが
右辺は負となり矛盾。
従って P,Q,R共に正。

なお (P,Q)=(1,1) は
R=無限大となるので不適。

>>146
Aが最初の対戦に勝った場合の
優勝が決まるまでの回数の
条件つき期待値をaとする。
Bが最初の対戦に勝った場合の
優勝が決まるまでの回数の
条件つき期待値をbとすると
a=1+(1-p)b, b=1+pa

優勝が決まるまでの回数の期待値は
1+pa+(1-p)b=-1+3/(p^2-p+1)
>>173 と一致？

>>722 すまそ。あまり真面目に考えてなかった。
点 z が　f の値域に入ってないとする。
まず A={x : ||x-z|| = 10 } に対して f(A) が球面にホモト−プで
あることを示せばいいんじゃないかな（突然弱気。。。

>>726
それだと V と V* が同型なことも
示せちゃう。変でしょ。

>>651, >>726
T: V^*×W -> Hom(V,W)
T(Σf_i×w_i)v=Σf_i(v)W
だよ。ただし V または W の少なくとも一方は有限次元じゃないとダメ

T(Σf_i×w_i)v=Σf_i(v)w_i だった

>>732
有難う御座います。
f(A)の内部に穴ぼこがあれば、f(R^n)が可縮にならず、
都合が悪くなるという事ですね。

Ｈという文字に３本直線をひいて７つの三角形を作ってください。
ちなみに三角形の中に三角形がある場合は数が大きくなるほうを採用してください。
例　　三角形の中に二つ三角形がある場合は2つと考える。
分かりにくい説明でしたが問題の方宜しくお願いします。

>>736
おら>>732さんじゃないけどﾖｺﾚｽ。
＞f(A)の内部に穴ぼこがあれば、f(R^n)が可縮にならず、
＞都合が悪くなるという事ですね。
いやいや。f(R^n)が可縮というのはそんなに明らかではない。
問題の条件をみたさなければf(R^n)が可縮にならない例なんて
いくらもあるよ。おらは次をしめして証明した。

補題
　S^n={x∈R^(n+1)|||x||=1}とするときf:S^n→S^n}がf(x)≠-x
　をみたすときfは恒等写像にホモトープ。

まあ、>>732さんの方針と大差ないけど。

132人目の素数さんこの前は問題を解いてくださいましてありがとうございました。
今回は新しい問題で、わからない問題ができたので誰かお願いします。
問題1「平面は円n個で最大いくつに分けられますか」
問題2「空間は球n個で最大いくつに分けられますか」
問題3「連結グラフに対して、一筆描きの必要十分条件をもとめよ、
また奇数辺を持つ頂点は0か2個の十分であることを証明せよ」
問題3は全くわかりませんでした。どうかできる方お願いします。

直感的には、ひとふでかきの始点、終点以外の頂点は
何度通過するにしても、
（入ってくる辺と出ていく辺）のペアだから辺の数は偶数のはず
で何となく必要性はわかる。
十分性は。。。。。

>>650 そっか
a=(-1+√3i)/2, b=(-1-√3i)/2 とする。
>>121 の記号で
(1+x)^4(1+ax)^5(1+bx)^4
= Σ(n= 0->13) ( F(n)+G(n)*a+H(n)*b ) 13Cn x^n
左辺は (1+x^3)^4 (1+ax) だから
x^4 の係数は 4a。
つまり F(4)+G(4)*a+H(4)*b = 4a/715
共役は F(4)+G(4)*b+H(4)*a = 4b/715
確率の定義から F(4)+G(4)+H(4)=1
３つを足して３で割ると F(4)=237/715
３つに b,a,1 をかけて足して３で割ると G(4)=241/715
>>125 より F(4)=241/715

>>554 (1)
一般に、放物線上の2点を結ぶ線分は
その2点の中点の真下の点での接線と平行。
したがって、今の場合PQの傾きはN(a,a^2)
での接線の傾きに一致。通過点M と
傾きでPQが決まった。

>>554 (2)
N(a,a^2)とする。
放物線のNより右側を直線MNに関して対称に写すと
元の放物線より内側に入るから
Nよりも左側の部分がMまでの最短距離になることは有り得ず。

PQの傾き=2aは正であるから
QはMの右上にある。
放物線のQよりも右の部分はQよりさらに右で上にあるから
MからはQよりもさらに遠い。
従って最短距離になり得ず。
最短距離はNとQの間。

>>741
タイプわけで考えるとこうなったよ。

1〜13のカードを3の倍数、3の倍数＋1、3の倍数＋2にわける。
枚数に着目すると
3の倍数=x={3.6.9.12}の4枚、
3の倍数＋1=y={1.4.7.10.13}の5枚
3の倍数＋2=z={2.5.8.11}の4枚

ここで9枚ひいて3の倍数になるときのx.y.zについて考える
(x.y.z)
=(4.4.1)、(4.1.4)、(3.5.1)、(3.3.3)、(2.5.2)、(1.4.4)である。
全事象はC[9.13]なので求める確率は

{C[4.4]・C[5.4]・C[4.1]＋C[4.4]・C[5.1]・C[4.4]＋
C[4.3]・C[5.5]・C[4.1]＋C[4.3]・C[5.3]・C[4.3]＋
C[4.2]・C[5.5]・C[4.2]＋C[4.1]・C[5.4]・C[4.4]}/C[13.9]

これ計算すると
257/715

なんか間違えたかな

0以上の整数xに対して、Ｃ(x)でxの下2桁を表すことにする。
たとえば、Ｃ(12578)=78,Ｃ(6)=6である。
nを2でも5でも割り切れない正の数とする。
(1)x,yが0以上の整数のとき、Ｃ(xy)=Ｃ(ny)ならば、Ｃ(x)=Ｃ(y)であることを示せ。
(2)Ｃ(nx)=1となる0以上の整数xが存在することを示せ。

'99の京大の問題らしいですが、解けません。
というか、先生の話によると、この年の京大の合格者で
この(2)を解けた人はいなかったとか・・・

>>744
(3,5,1)はだめだろ。

>>744
(3.4.1)ならいいんじゃない?

だめじゃん(笑
勘違いーごめん

>>745
>0以上の整数xに対して、Ｃ(x)でxの下2桁を表すことにする。

Ｃ(x)は x を 100 で割った余りということ。

>nを2でも5でも割り切れない正の数とする。

したがって n は 100 と互いに素。

>(1)x,yが0以上の整数のとき、Ｃ(xy)=Ｃ(ny)ならば、Ｃ(x)=Ｃ(y)であることを示せ。

問題あってる？

>(2)Ｃ(nx)=1となる0以上の整数xが存在することを示せ。

n は 100 と互いに素なんだから、そりゃあるでしょ。

>>741
F(5)はその方法だとどうやって解くの?

>>741
最後の行は F(9) だろ

n を　１００でわったあまり r は、たかだか４０種類しかないから、
（２でも、５でも割り切れない１００未満の数）
極端な話、その４０個について (r * x mod )100 =1
をみたすxを全部列記したって証明可能だろ。

(1)x,yは0以上の整数の時、C(nx)=C(ny)のならば、C(x)=C(y)であることを示せ。
の間違いでした。
しかし、早いですね。
この板の人に取っては簡単な問題だったのか。。。
どうもありがとうございました。

ところで、試験で４０個本当に列記した場合、
一応正解にしてくれるのかな

わいも同じ解き方した。
mode3で考えたら　0が4枚、1が5枚、2が4枚
(0000､1111､2)(000､111､222)(00､11111､22)(0､1111､2222)(0000､1､2222)
9枚全部異なるカードとして・・・ﾂﾗﾂﾗ

って全くおんなじだ。書く必要なかったわ。
学コンって楽な解き方無いかなぁ､と思って解いてるとあっさり解けちゃうんだよね。

>>738
ちゃんとした証明にはなっていないかもしれませんが、こんなのはどうでしょう。

まず、始点と終点が同一の場合、つまり、すべて頂点が偶数辺をもつ場合で考えてみます。
このグラフの一番外周にある１点から始めて、常に一番外側の辺をたどります。
ここで、一度通った辺と辺が無くなった頂点は取り去ってしまうとします。
一周すると最初の頂点に戻りますが、残ったグラフの頂点はすべて偶数辺を持ちます。
引続き外周をだどっていきますが、２周目以降は出発点に至る辺が１本だけの場合は、
それはたどらずにおいておきます。
最後にはいままで除外してきた出発点に至る辺だけが残るのでそれをたどっておわり。

次に、始点と終点が一致しない場合、つまり奇数辺をもつ頂点が２個ある場合を考えてみます。
上記の手順の前に、まず最初にその始点から外周に向かって辺をだどります。
あとはほぼ上記とおなじになります。

遅レスながら
>>745
(2)
仮定よりnの下1桁は、1,3,7,9のいずれか。
n*x(0)の下1桁が1になる正の整数x(0)をとる。
(n=1,3,7,9に対しては、x(0)=1,7,3,9とすればよい)
n*x(0)=10*k+1(kは正の整数)とおくと、
(n*x(0))^10を100で割ったときの余りは1となる。
((10*k+1)^10を2項展開する)
よって、x=n^9*x(0)^10とおけばよい。

>>738,>>756
レス有難う御座います。
でもどうして

補題
　S^n={x∈R^(n+1)|||x||=1}とするときf:S^n→S^n}がf(x)≠-x
　をみたすときfは恒等写像にホモトープ。

から問題が解けるのか良く分からないです・・・。

>>726
>>734
おお、色々と教えてくれて、ありがとう。
助かりました。

>>758
>>738さんの方針で解くよ。原点Oが f の値域に入ってないとする。
B={ x : ||x|| ≦ 2 }, ∂B={ x : ||x|| = 2 } とおく。
連続写像 g : R^(n+1)-{O} -> ∂B を g(x)=(2/||x||)x で定義し、
連続写像 h : B -> ∂B を h=gf で定義する。
すると x∈∂B に対して
|| f(x) -x || ≦ 1 だから 1 ≦ || f(x) || ≦ 3,
特に || g(f(x)) - f(x) || ≦ 1. よって
|| h(x)-x || ≦ || g(f(x)) - f(x) || + || f(x) - x || ≦ 2.
従って h(x)≠-x. あとは >>738の「補題」を使えば矛盾が導ける。

>>760
解りました、有難う御座います。

>>128の問題どうやって解けばいいでしょうか？
>>129,>>135で答えてもらったのですが>>723で論破されたので・・・・。

表現行列をAとした時にAの固有値は1,t,1-tとなり、
tが0でも1でもないときにT_t-不変な平面が存在する事は分かりました。
t=0の時にT_t-不変な直線が無限個存在する事は分かりました。
t=1の時にはT_t-不変な平面はz=0のみで、T_t-不変な直線はy=z=0のみのようです。
tが0でも1でもないときにどう評価すればいいのか分からないです。

>>762
T_t=(1,1,0)(0,t,0)(0,0,1-t)は
T_tの固有値は 1, t, 1-t の三つで t≠0,1 なら
固有ベクトルはそれぞれ(1,0,0), (1,t-1,0), (0,0,1)
よってt=0,1/2,1のときを除いて三つの固有値は全て異なる。
(i) t=0 のときは固有値 1 に対する固有ベクトル空間 V=<(1,0,0), (0,0,1)>
の任意の部分空間は不変部分空間なので、t=0 のとき不変部分空間は無限個ある。
(ii) t=1/2 のときは固有値 1/2 に対する固有ベクトル空間 V=<(1,-1/2,0), (0,0,1)>
の任意の部分空間は不変部分空間なので、t=1/2 のとき不変部分空間は無限個ある。
(iii) t=1 のときは固有値 1/2 に対する固有ベクトル空間 V=<(1,0,0)>
は一次元で、残りの固有値は 0
よって一次元不変部分空間は <(1,0,0)> ただ一つ。
二次元不変部分空間は <(1,0,0),(0,1,0)> と <(1,0,0), (0,0,1)> の二つ。
(iV) t≠0,1/2,1 のときは三つの固有値が全て異なるので、不変部分空間は
三つある固有部分空間のなかの幾つかの空間の直和。
よって一次元不変部分空間は <(1,0,0)>, <(1,t-1,0)>, <(0,0,1)> の三つ。
二次元不変部分空間はこれらのうちの二つ直和だから三つ。

>>763 訂正
(iii) t=1 のとき
一次元不変部分空間は <(1,0,0)>, <(0,0,1)>の二つだった。

あと <x> はベクトル x で張られる一次元部分空間のことで
<x,y> はベクトル x,y で張られるニ次元部分空間のことね。

>>763 ツマンないことだけどさらに訂正
「(iii) t=1 のときは固有値 1/2 に対する...」
は間違いで正しくは
「(iii) t=1 のときは固有値 1 に対する...」

>>660
顔文字

これを解いて下さい。
　ln(x)=ln(1/√3)+exp(1.6x)

>>763-765
有難う御座います。

次の問題が分かりません、教えてください。

D²、S¹をそれぞれ単位円板とその境界の単位円とする。
任意の可微分写像f:D²-->S¹に対して、可微分写像
g=f|S¹:S¹-->S¹は特異点(gの微分が0になる点)
を持つ事を示せ。

S¹上の点pθ(0<=θ<2π)を取ってきて、
pθのfによる像が角度θについて単調増加と考えて矛盾を導こうとしたのですが
上手く出来ません。

>>767 実数の解はないと思うが？

Ax = g （Aは対角成分のみが虚数の正方行列、xは複素要素を持つ縦
ヴェクトル、gは実数要素のみの縦ヴェクトル）なる行列方程式で、
xの要素のいずれかの実部が０となる条件を求めたい。
これをスマートに解く方法って在るかな？

105 名前：名無しさん 投稿日：2001/08/06(月) 18:15
sin2θ+sinθの最大値（0≦θ＜π/2）を求めよ。

>これをスマートに解く方法って在るかな？

じゃあ、逆にスマートでない方法では解けた？

>>772
cosθ=-1+√33/8
のとき

>>769
それでほとんどそれで正解とおもわれ。ＳをS^1≡R/Zとして

　h:Ｒ→Ｒ
　　｜　｜
　g:Ｓ→Ｓ　(ただし｜は下向き矢印)

という図式が可換になるhがとれる。(gのliftとよばれる。)
hはある整数nでh(x+2π)-h(x)=2πnを満たす可微分関数。
もし結論を否定するとn≠0となる。
そこで関数H(r,t):R×I→RをH(x,t)=th(x)+(1-t)nxとさだめると
H(x,1)=h,H(x,0)=nx,H(x+2π,t)-H(x,t)=2πn(∀t)
をみたすのでHはfと角をn倍する写像f'との間のホモトピー
F:S×I→I,F(?,1)=f,F(?,0)=f'を誘導する。
よってfはf'とホモトープでそれは１次ホモロジー群
H^1(S^1,Q)→H^1(S^1,Q):(x→nx)を誘導するので０ホモトピック
ではない。
一方で仮定よりfはD^2に拡張できるので０ホモトピック。

>>771
補足。gの要素は全て定数。Ａの要素が変数。

>>773
ヴェクトルの大きさが小さい時なら簡単に解けた。

すいません数学から暫く遠ざかっている者です．
レベル低くてすみません．お願いします．

E はベクトルで E = (E_x, E_y, E_z)
X はベクトルで X = (x, y, z)

dE/dt = dX/dt ∂E/∂X は正しいですか？間違えてますか？
あと，こういう計算(dX/dt ∂E/∂X)何て言うんでしたっけ？

いいたいことはわかるが
∂E/∂X はおかしい。 grad E　でしょ

t:時刻、t>0
x(t):tの実数値関数、連続、微分可能
a(t):tの実数値関数、連続
b(t):tの実数値関数、連続

dx/dt=x(t)・{a(t)-b(t)x(t)}・・・(e)

この時
(1)x(0)>0ならば(e)の解x(t)はt>0に対して常にx(t)>0である事を示せ。
(2)x(t),y(t)を(e)の二つの解とする。
x(0)>y(0)>0であれば、任意のt>0に対して,x(t)>y(t)>0である事を示せ。
(3)x(t),y(t)を(e)の二つの解とする。
x(0)>0,y(t)>0ならば、ある定数C>0が存在して
lim[t→∞]y(t)/x(t)=C
である事を示せ。
(4)ある解x(t)>0に対して
∫[0,∞]b(s)x(s)ds=∞
とすれば、任意の解y(t)>0は
∫[0,∞]b(s)y(s)ds=∞
を満たし、
lim[t→∞]y(t)/x(t)=1
となる事を示せ。

この問題が分かりません、ご教授ください。

>>778 回答ありがとう御座います．
では、dE/dt = dX/dt grad E で正解ですか？
それですと，右辺の dX/dt (ベクトル) と grad E (ベクトル)は
どのような演算をすればいいのでしょうか？
内積とったらスカラーになってしまいますよね？
左辺がベクトルなので，右辺もベクトルの筈ですよね？

>>780

dEi/dt = (dX/dt・grad) Ei , i=1,2,3
E の各成分毎に考えれば，合成関数の微分にすぎない，
とわかるはず．

772のが気になるのだが

>>784
>>774さんが答えてんじゃん。f(x)=sinx+sin2x微分して増減表かくだけ。

>>783
まちご〜た。>>782さんへのレスです。

計算したら恐ろしい数値が出たのだが。

(3/32)*√(96-10√33)

Eはベクトルなのにgrad Eって変じゃないか？

y=log{3}(x^2-x+1)-log{3}(x^2+x+1)
の最大値最小値を求めよ、ただし微分積分を使ってはいけない。
この問題の答えがなくて、わからないんです。誰か教えてくれませんか？

>>788
なんちゅ〜もんだいじゃ。こうゆうのも教育的配慮なのか？
解の一例。
y=log(x^2-x+1)/(x^2+x+1)だからz=(x^2-x+1)/(x^2+x+1)の
範囲をもとめてもよい。x=0のときz=1。x≠0のとき
z=(x+1/x+1)/(x+1/x-1)。t=x+1/xとおくとz=(t-1)/(t+1)
x>0のとき相加相乗平均の関係よりt=x+1/xの範囲はt≧2。
同様にx<0のときのtの範囲はt≦-2。(ほんとはもそっと議論が
必要。)そこでz=(t-1)/(t+1)=1-2/(t+1)のグラフを(点線で)
書く。それは反比例の式z=-2/tのグラフを上に１、左へ１ずらした
グラフ。その中で考えている範囲t≧2とt≦-2の部分を実線で
なぞればzの最大値と最小値がわかる。

>>788
y=log{3}{(x^2-x+1)/(x^2+x+1)}

(x^2-x+1)/(x^2+x+1)=k(>0)とおいて
(k-1)x^2+(k+1)x+(k-1)=0
k≠1のとき上のxの二次式が実数解を持つには
判別式>=0　⇔　1/3<=k<=3
∴-1<=y<=1

>>789,>>790さんありがとうございました！！
わかりましたです。

http://www.intelligencetest.com/
ここにあった IQ テストからなんですが、次の問題だけ分かりませんでした。なぜこの数列の次にくる数は odd（奇数）なんでしょうか？（問題の正解は True です。）

26. The next number in this series is odd.
15121310118
True/False

9だから
# 787ってあってるんですか？

>>792
半角スペースがきえてて切れ目がわからんYO!
(切れ目がわかっても絶対答えわかりそうにないけど。)

あの〜答えはもう出てるんですが...
15，12，13，10，11，8，...

>>792
エンコード→西ヨーロッパ言語(ISO)でどーだ？
15…12…13…10…11…8…

階差が交互に-3と+1

>>795
な〜る。三歩さがって一歩上がってるのね。>>793は>>792へのレスなのね。

796の792を794に訂正

完全に無視されてるのかと思いました。鬱

>>793, >>787

>>781 に書いたとおり，各成分毎にスカラーとして
grad を作用させる．

>>796
あ、なんだ、正しいエンコードでは、数字に切れ目が入ってるんだ。だったらまだ分かりや
すいですね。なるほど、ありがとうございました。

集合U={1,2,3,...,n}の部分集合はいくつあるか？

>>802
2^n

Aのべき集合を 2^A と表記するのは　８０３の答えかきてるんだね。

αは|α|＞１の複素数。|z-α|=r(r＞0）を満たす複素数ｚに対し
|α~z+1/z+α|がｚによらない定数となるとき実数ｒの値、、
及び定数の値を|α|を用いて表わせ。

>>775
今やっと理解できました。
有難う御座います。

>>803
計算方法は？
nCrを足していくとそうなるんだっけか？

>>807
部分集合をSとした時
元a∈UがSに含まれる場合と含まれない場合で分ければ
おのおのの元に対して2通りになるので、結局
2^n
となる。

>>777
∂E/∂X はたぶんヤコビ行列を表しているんだと思う。
E = (E_x, E_y, E_z)
を成分ごとに合成関数の微分の公式(chain rule)を使ってtで微分すると
ベクトルと行列の積の形になる。その行列がヤコビ行列です。

>>808さん
さんけう。

ところでnCrみたいの足していくと2^nになるのってありましたよね
どんなんだっけ？

ちょっと補足すると・・・
EをXで微分するとき，
独立変数がx,y,zの3個，従属変数がE_x, E_y, E_zの3個
だから偏微分係数は3×3個でき，それを縦横に並べたものを
ヤコビ行列といいます。