◆ わからない問題はここに書いてね １１ ◆
512 ：１３２人目の素数さん：
>>506
次をみとめれば多様体であることはすぐでると思う。
定理 GL(n,R)上の(成分に関する)C^1級の関数f_1,...f_tに対しこれらの
共通零点の集合H={A∈GL(n,R)|f_i(A)=0}が積,逆元について閉じていれば
それは部分多様体(Lie群)になる。
証明)ヤコビ行列∂f/∂xのrankが最大値rをとる点Aをとる。Aの近傍Uを
rank∂f/∂x(b)=r (B∈U)となるようにとる。陰関数の定理からV=U∩Hは
次元がdimU=dimGL(n,R)-rの多様体。このとき任意のB∈HにたいしBVも
多様体でしたがってH=∪[B∈H]BVも多様体となる。□
これからb(u,v)=u~Svなる対称行列Sをとるとき(ただしu~は転置ベクトル)
G={A∈GL(n,R)|A~SA=S}でこれは成分の多項式だから上の定理より
Lie群となる。
次をみとめれば多様体であることはすぐでると思う。
定理 GL(n,R)上の(成分に関する)C^1級の関数f_1,...f_tに対しこれらの
共通零点の集合H={A∈GL(n,R)|f_i(A)=0}が積,逆元について閉じていれば
それは部分多様体(Lie群)になる。
証明)ヤコビ行列∂f/∂xのrankが最大値rをとる点Aをとる。Aの近傍Uを
rank∂f/∂x(b)=r (B∈U)となるようにとる。陰関数の定理からV=U∩Hは
次元がdimU=dimGL(n,R)-rの多様体。このとき任意のB∈HにたいしBVも
多様体でしたがってH=∪[B∈H]BVも多様体となる。□
これからb(u,v)=u~Svなる対称行列Sをとるとき(ただしu~は転置ベクトル)
G={A∈GL(n,R)|A~SA=S}でこれは成分の多項式だから上の定理より
Lie群となる。
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513 ：１３２人目の素数さん：2001/08/23(木) 09:50
>>807
連結成分数は>>806の証明中のSをとるときSの固有値で分類して
正の固有値 負の固有値 ０の固有値 連結成分数
ある ある ある ８
ある ある ない ４
ある ない ある ４
ない ある ある ４
ない ない ある ２
ない ある ない ２
ある ない ない ２
だと思う。証明は次元に関する帰納法。まちがってるかも。
連結成分数は>>806の証明中のSをとるときSの固有値で分類して
正の固有値 負の固有値 ０の固有値 連結成分数
ある ある ある ８
ある ある ない ４
ある ない ある ４
ない ある ある ４
ない ない ある ２
ない ある ない ２
ある ない ない ２
だと思う。証明は次元に関する帰納法。まちがってるかも。
514 ：１３２人目の素数さん：2001/08/23(木) 10:03