◆ わからない問題はここに書いてね １１ ◆

Ω = { z∈C : | Im z | < π/2 } とし、函数 f が Ω 上で正則、
Ω の閉包上で連続かつ有界、 |f(s±iπ/2)| ≦ 1 for all s∈R とする。
このとき、|f(0)| ≦ 1 であることを示そう。
(これさえ示せば定数倍、平行移動と >>38 を使って結論が導ける)

まず ε>0 を任意に取り、g(z)=exp(-ε(exp(z/2)+exp(-z/2))), z∈C とおく。
すると z=s+it, s,t∈R and 0≦t≦π/2 に対して
Re(exp(z/2)+exp(-z/2)) = cos(t/2)(exp(s/2)+exp(-s/2)) ≧ cos(π/4)(exp(s/2)+exp(-s/2))
だから A(s)=cos(π/4)(exp(s/2)+exp(-s/2)) に対して |g(s+it)| ≦ exp(-εA(s))
ここで A(s)>0 だから Ω 上 |g(z)|≦1 であることに注意しておく。
lim_[s->±∞]A(s)=∞ だから S>0 で exp(-εA(±S))sup_[z∈Ω]|f(z)| < 1 となるものがある。
(ここで仮定 sup_[z∈Ω]|f(z)|<∞ を使った)
有界領域 Ω_S={ s+it : -S < s < S and π/2 < t < π/2 } と函数 fg に対して
最大値原理を用いることにより、 |f(0)g(0)| ≦ 1 を得る。
よって |f(0)| ≦ |g(0)|^(-1) = exp(2ε)

ε>0 は任意だったので |f(0)| ≦ 1
QED

>>46 を修正

>|h(s±iπ/2)| = | exp(±exp(s)) | ≦ 1, for all s∈R
>だから h は ∂Ω 上有界だけど、

は間違い ( i が抜けてた) で

>|h(s±iπ/2)| = | exp(±i exp(s)) | ≦ 1, for all s∈R
>だから h は ∂Ω 上有界だけど、

が正しい。

さあて出勤すっかな。