【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日

おめでとう

おめ

おめめーーーーー

がろあたん

数セミ１０月号読んだか？

>>6
読んだお

ガロア様

おめー

もしあの時、ガロアが生き続けていたら、今頃・・・・・

200年前の今日、ガロアが生まれたんだよな.....（胸熱

ガロアみたいなアホ崇めてどうすんだ？
命はもっと大切にせんと数学できんだろ。

おめでとー

２００年祭のまえにガロアの理論を完全に理解したい。

ガロア誕生日おめでとう
200年前の日本は幕末か

うぉぉおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお
おめでとうううううううううううううううううううううううううううううううううううううううう

ガロア！ガロア！ひゅぅぅぅうううぅううぅぅぅぅぅ

僕は、ガロアみたいにかっこ良く二十歳で死にたいです。

GrothendieckもGaloisの才能を称えていたな。

Grothendieck曰く、もしGaloisが長生きしていたら私より遥かに先を行っていたに違いない。

つまり、そのあとにはぺんぺん草（＝グロ）もはえなかったと。

クソスレ立てるな！>>1

削除依頼だしておけよ

>>18
Grothendieckが最も恐れていた数学者は恐らくはそのGaloisでしょうね。

猫

Galoisってそんなにすごい人なの？

とくにぶちぬけた天才だから、ガロアと他のぶちぬけた奴の共通点から
真の天才は云々カンヌンっていう風説まで生まれたことがある。
十代後半で数学に出会い20になるまでに業績をあげ３０になるころには死期みたいなの

「天才数学者はこう解いた、こう生きた　方程式四千年の歴史」っていう本で見た。

わしは40代で数学に出会った。何が出来る？

まあグロタンの仕事にはかなり本質的だと思いますが。

猫

ガロア賞創設のお知らせマダァー？（ﾁﾝﾁﾝ

>>26
ひとつ言える事はグロタンがモジュラー形式に興味があって
それに関して何か書き残したか？と言うことらしい。
CartierがIHESの講演で言ったのだが、
もしGrothendieckとLanglandsが実際に
顔を合わせたことは無いのだが、もし実現すれば
二人はどういう会話を交わしたであろうか？

Grothendieck「ハルヒってかわいいよね。」

Langlands「誰やねん、そいつ」

Galoisはえらいねえ
それにくらべると

>>28
ああ、そうですか。Cartierはそんな事を言いましたか。でもその二人が
実際に顔を合わせてないのはかなり勿体無い感じですね。いやGodement
のモジュラー形式の論文を読んでいて、ソコに「グロタンがどうの」とい
う話が出て来てたのは何となく覚えてますが。

いやでももしその二人の会話が実現してたら、そりゃ是非とも傍で聞い
ていたいですよね。

猫

カルチエとピカソと坊主

グロタンの構想したガロア群とラングランズのL群は同じなの？

今年中は毎日通ってこのスレを支援します

今日で支援終わると思います。

再開

素晴らしいと思いませんか？ガロアさん。
ところで、ガロアはエヴァリスト・ガロアでしたよね？
凄く魅力的な名前ですね〜

エヴァリスト・ガロワ（ Évangelion Galois , 1811-10-25日 〜 1832-5-31 ）

ガロアってあのグロタンにもその実力を認められていたのかー
スゲー

ガロワとガロア、どっちで呼べばいいんですか？

oiはフランス語では、ワと発音する。だから、ポアンカレは正しくは
ポワンカレ。同じように、トイレはトワレが正しい発音だ。従って、
オードトワレとはトイレの臭いを意味する。

マンダム、男の世界。

なるほど。
おっと、失礼、最近お腹の調子が悪くてね。
ちょっとトワレに行ってきますので、悪しからず。

オサーンや爺の加齢臭は御免蒙り

ガロワアゲ。

でも、みんなガロアって呼んでませんか？

ギャロイスと呼んでもまったく問題なし

ガロワがババロワたべたを１０回いいなさい

ガロアに憧れる無能の禿ジジイ

ポワンカレ
ポオワンカレ

2012年10月までにガロア理論を理解すると決意した。

ガロア理論の基本定理だけなら１５分で理解出来るだろ

四次方程式の解の公式はないだっけ？

Evalist Galoisでよい
カタカナ表記すんな

Évangelion Galois

>>51

ガロア理論を理解する＝＝ガロア理論を自由に使いこなせる。
15分云々ならいまでもできているよ

15分で本格的体論はさすがに無理

藤崎の「体とGalois理論」15分で読んでみろよw

↑
仙石のにせものめ！　
ﾍﾞｰﾀ　市ね!

ガロアの理論を理解するニートめ！

支援アゲ

猫VSガロア

これは激戦

Drinfeld

ガロア支援age
お前らそれでも数学住人か！！！！！！！！！

現代においてガロアクラスの数学者ってたとえばどんな人？

哲也

二十歳前の数学者でガロアクラスはだれ？

俺。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,;r'"
　　　　　　　　_.r-―‐-,､_　　　　　　　　　 ,ノ
　　　　　 __,ノ　-─―‐-,､)　　　　　　　,ィ´
ー‐''"´￣　　　-─―‐-,､)　　　　　,;r'"
　　　　　　　　 -─―‐-,､)　　　 .,‐':､
　ガロア　　　ｒ-─―‐-､)__＿,ノ　　ﾞl、　　　群
　　　　　　　　|　　　　　（_　　　　　　｝
　__＿_　　　　"､_＿__,ノ⌒i￣｀`'‐、,i´
　　　　￣｀`'‐､＿__＿,_..-'"　　　　 ｀ヽ、　　　　　　　　　ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｀`'ー、　　　　 ,人

ガロアクラスって言われてもなー
そりゃあの時と比べたら今の時代の数学は更に複雑になってるし、
知識量で言えばそりゃー現代の数学者達のほうが上。

才能で言えば、2年間の教材を2日で読み解いたり
刑務所で超複雑な式を頭の中で解いたり
あまりにも凄すぎてまわりには理解不能だったり
20までにとんでもない業績を上げ数学界に絶大な影響を与えたりしたり

そんな奴が現代にいればガロアクラスって事じゃないかな。

>>69
＞知識量で言えばそりゃー現代の数学者達のほうが上。

今の数学者は受験勉強の影響で、勉強ばかり好み
新しいことをやりたがらないから、全然ダメ。

＞才能で言えば、2年間の教材を2日で読み解いたり
＞刑務所で超複雑な式を頭の中で解いたり

あんた、ガロアの何がどうスゴイか全然分かってないね。
ガロアはそんなことはやっちゃいないよ。

ガロアに限ったことではないが、
天才というのは目の前の壁を
あたかもシャボン玉の膜のように
すり抜ける。

実際、彼等にはわかるのだ。
目の前の壁が実はシャボン玉の膜
にすぎないってことが。

>>70ウィキにはそう書いてありましたよ。
よければガロアの何がスゴイのか詳しく御教授お願いします。

>>72
＞ウィキにはそう書いてありましたよ。

どうせなら、こっちを引用すればいいのに

「彼（ガロア）は五次方程式の解法を発見したと錯覚し、
　凡庸な数学的才能しか持たないヴェルニエ
　（ルイ・ル・グランの数学教師）は対応に苦慮した」

教訓：天才とトンデモは紙一重。

この文章も忘れてはならんな。

「（留年により）時間を持て余したガロアは、
　数学準備級の授業にも出席するようになった。
　当時のフランスでは数学教育は重視されておらず、
　数学は将来の進む方向によって補習科で教えられていた
　のみだった。」

今でいえば、学業不振の生徒が
音楽に目覚めちゃうみたいなもんだなｗ

ガロワとゲーデルってどっちが天才なの？

俺。

俺

ぼくちゃん

儂じゃ

>>74 明治大学理工学部生が漫才に目覚めちゃった
たけしみたい。

猫撲滅記念

まず次の性質 (*) を満たす可換体 Ω を考え、以後固定する。

(*) Ω係数の定数でない任意の１変数多項式は Ω において根を持つ。

Ω の例としては複素数体がある。

以下に考えるすべての体は Ω の部分体とする。

定義 1
K と L を体とし、K ⊂ L のとき K と L の対を L/K と書き(K の)拡大と呼ぶ。

定義 2
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_m = L を体の有限列とする。
各 i、1 ≦ i ≦ m に対して K_i = K_(i-1)(α_i)、(α_i)^(n_i) ∈ K_(i-1) とする。
ここで n_i ≧ 1 は整数。
このとき L/K を根拡大と呼ぶ。

定義 3
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
K(α_1、．．．、α_n) ⊂ L となる根拡大(>>83) L/K が存在するとき f(X) は根可解または可解であると言う。

次の定理の証明を最終目標とする。

定理(Galois, 1832)
Ω(>>82)の標数を 0 とする。
K を体(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f(X) の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
f(X) が可解(>>84)であるためには K(α_1、．．．、α_n)/K の自己同型群が可解群であることが必要十分である。

>>84
K はもちろん体(>>82)である。

定義 4
L/K を体の拡大(>>82)とする。
L は K 上の線型空間と見なせる。
この線型空間の次元、即ちこの線型空間の基底の濃度を [L : K] と書く。
[L : K] が有限のとき L は K 上有限である、または L/K は有限であると言う。
[L : K] が無限のとき L は K 上無限または L/K は有限であると言う。

命題 5
K ⊂ L ⊂ M を体(>>82)とする。
(e_i)、i ∈ I を L の K 上の(線型空間としての)基底、
(f_j)、j ∈ J を M の L 上の基底とする。
このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は M の K 上の基底である。
よって、[M : K] = [M : L][L : K]

証明
任意の z ∈ M に対して L の元の列 (α_j)、j ∈ J があり、
z = Σ(α_j)(f_j) と書ける。
ここで、有限個の j を除いて α_j = 0 である。

各 j ∈ J に対して K の元の列 (b_(j, i))、i ∈ I があり、
α_j = Σ[i] (b_(j, i))(e_i) と書ける。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて b_(j, i) = 0 である。

よって、z = Σ[i, j] (b_(j, i))(e_i)(f_j) と書ける。
よって、M は K 上 ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J で生成される。

K の元の列 (c_(j, i))、i ∈ I があり、Σ[i, j] (c_(j, i))(e_i)(f_j) = 0 とする。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて c_(j, i) = 0 である。
各 j に対して Σ[i] (c_(j, i))(e_i) は L の元であるから Σ[i] (c_(j, i))(e_i) = 0 である。
よって、各 (i, j) に対して c_(j, i) = 0
よって、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は K 上一次独立である。

以上から ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は M の K 上の基底である。
証明終

定義 6
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) とする。
K 係数の定数でない１変数多項式 f(X) があり f(α) = 0 となると α は K 上代数的であるという。
K 上代数的でない元を K 上超越的であるという。

定義 7
L/K を体の拡大(>>82)とする。
L の各元が K 上代数的(>>89)のとき L は K 上代数的である、または L/K は代数的であるという。

定義 8
K を体(>>82)とし S を Ω(>>82) の部分集合とする。
K と S を含む Ω の最小の部分環を K[S] と書く。
K と S を含む最小の体を K(S) と書く。

(α_i)、i ∈ I を Ω の元の族とする。
S = {α_i； i ∈ I} とおく。
K[S] と K(S) をそれぞれ K[α_i； i ∈ I]、K(α_i； i ∈ I) と書く。

I が有限集合 {1、．．．、n} のとき、K[S] と K(S) をそれぞれ
K[α_1、．．．、α_n]、K(α_1、．．．、α_n) と書く。

突然クマさんが現れた
スレを間違えてるんじゃないの

命題 9
K を体(>>82)とし α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
K[X_1、．．．、X_n] を K 上の n 変数の多項式環とする。
このとき、
K[α_1、．．．、α_n] (>>91) = {f[α_1、．．．、α_n]； f ∈ K[X_1、．．．、X_n]}

K(α_1、．．．、α_n) (>>91) = {f[α_1、．．．、α_n]/g[α_1、．．．、α_n]/；
f, g ∈ K[X_1、．．．、X_n]、g[α_1、．．．、α_n] ≠ 0}

証明
自明である。

あーあ、呆けちゃって。
ついに厠が何処かも分からなくなったかw

>>93の修正

命題 9
K を体(>>82)とし α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
K[X_1、．．．、X_n] を K 上の n 変数の多項式環とする。
このとき、
K[α_1、．．．、α_n](>>91) = {f(α_1、．．．、α_n)； f ∈ K[X_1、．．．、X_n]}

K(α_1、．．．、α_n)(>>91) = {f(α_1、．．．、α_n)/g(α_1、．．．、α_n)、
f, g ∈ K[X_1、．．．、X_n]、g(α_1、．．．、α_n) ≠ 0}

証明
自明である。

命題 10
K を体(>>82)とし、f(X) を K 係数の次数 n ≧ 1 の１変数多項式とする。
(f(X)) を f(X) で生成される K[X] のイデアルとする。
剰余環 K[X]/(f(X)) は K 上の線型空間と見なされる。
このとき K[X]/(f(X)) の K 上の次元は n である。

証明
ρ：K[X] → K[X]/(f(X)) を標準的な準同型とする。
ρ(X) = x とおく。
任意の g(X) ∈ K[X] に対して g(X) = f(X)q(X) + r(X)、deg r(X) ＜ n となる q(X)、r(x) ∈ K[X] が
存在する。
このとき、g(x) = f(x)q(x) + r(x) = 0q(x) + r(x) = r(x) である。
よって、K[X]/(f(X)) の任意の元は 1、x、．．．、x^(n-1) の K 上の一次結合として表される。

K の元の列 a_0、．．．，a_(n-1) があり a_0 + (a_1)x_1 + ．．． + (a_(n-1))x^(n-1) = 0 とする。
このとき、多項式 a_0 + (a_1)X_1 + ．．． + (a_(n-1))X^(n-1) は f(X) で割り切れるから
a_0 = a_1 = ．．． = a_(n-1) = 0 でなければならない。
よって、1、x、．．．、x^(n-1) は K 上一次独立である。
即ち、1、x、．．．、x^(n-1) は K 上の線型空間としての K[X]/(f(X)) の基底である。
証明終

定義 11
A を可換環とする。
B を A-加群とする。
ρ：B×B → B をA-多重線型写像とする。
即ち、x, y, z, w ∈ B、a ∈ A のとき、
1) ρ(x + y, z) = ρ(x, z) + ρ(y, z)

2) ρ(x, z + w) = ρ(x, z) + ρ(x, w)

3) ρ(ax, z) = ρ(x, az) = aρ(x, z)

このとき、三つ組み (A, ρ, B) または B を A 上の代数または A-代数と言う。
通常 x, y ∈ B のとき ρ(x, y) を xy と書く。

A-代数 (A, ρ, B) が算法 ρ に関して結合律を満たすとき B を結合的な A-代数と言う。
結合的な A-代数は A 上の線型環または A-線型環とも言う。
特に断らない限り A-線型環は単位元 1 を持つとする。

A 上の零加群 0 は自然に単位元 1 = 0 を持つ A-線型環と見なせる。

定義 12
A を可換環とする。
E と F を A-線型環(>>97)とする。
A-線型写像 f：E → F は環準同型であるとき A 上の準同型または A-準同型と言う。
特に断らない限り A-準同型は単位元を単位元に写すものとする。

命題 13
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
任意の α ∈ A に対して α1 ∈ E を対応させる写像を f：A → E とする。
f は環としての準同型であり、f(A) は E の中心に含まれる。

証明
自明である。

命題 14
A を可換環とし、E を環とする。
f：A → E を環としての準同型で f(A) は E の中心に含まれるとする。
このとき、任意の α ∈ A と x ∈ E に対して αx = f(α)x と定義することにより、
E は A-線型環(>>97)となる。

証明
自明である。

定義 15
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
E の環としてのイデアルを E のイデアルと言う。

命題 16
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
E の(左、右、両側)イデアルは E の A-部分加群である。

証明
I を E の左イデアルとする。
E は単位元 1 をもつから任意の α ∈ A と任意の x ∈ I に対して αx = (α1)x ∈ I
よって、I は E の A-部分加群である。

右または両側イデアルに関しても同様である。
証明終

命題 17
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
I を E の両側イデアルとする。
E/I は環であるが >>102より E/I は A-加群でもある。
このとき E/I は A-線型環とみなせる。

証明
自明である。

定義 18
A を可換環とし、E と F を A-線型環(>>97)とする。
f：E → F を A-準同型(>>98)とする。
f^(-1)(0) = {x ∈ E；f(x) = 0} を f の核と言い Ker(f) と書く。
Ker(f) は E の両側イデアルである。

Kummerさん、何をしているんですか？

発狂中

信者を求めて流れ着いた。
愚かなGalois崇拝者たちにクマが有難い教えを垂れる。

定義 19
A を可換環とし、E を A-線型環(>>97)とする。
F を E の A-部分加群であり、同時に E の部分環であるとする。
このとき F を E の A-線型部分環と言う。
特に断らない限り E の A-線型部分環 は E の単位元を含むものとする。

定義 20
A を可換環とし、E と F を A-線型環(>>97)とする。
f：E → F を A-準同型(>>98)とする。
f が全単射のとき f を同型と呼ぶ。
このとき E と F は同型であると言う。

命題 21
A を可換環とし、E と F を A-線型環(>>97)とする。
f：E → F を A-準同型(>>98)とする。
このとき f(E) は F の A-線型部分環(>>108)であり、
E/Ker(f) (>>103、>>104)と f(E) は A-線型環 として同型(>>109)である。

証明
自明である。

>>105

>>85

定義 22
A を可換環とし、E と F を A-線型環(>>97)とする。
E から F への A-準同型(>>98)全体の集合を Hom-alg(E, F) または Hom-alg(E, F)/A と書く。

例 23
K を体(>>82)とし、L/K を拡大(>>82)とする。
このとき >>100より L は K-線型環(>>97)と見なせる。

命題 24
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) とする。
>>113より Ω は K-線型環(>>97)と見なせる。
このとき K-線型環としての K-準同型(>>98) ψ：K[X] → Ω で ψ(X) = α となるものが一意に存在する。

証明
自明である。

定義 25
A を可換環とする。
A 係数の定数でない１変数多項式で最高次の係数が１であるものを(A 係数の)モニックな多項式と言う。

定義 26
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
>>114より、K-線型環としての K-準同型(>>98) ψ：K[X] → Ω で ψ(X) = α となるものが
一意に存在する。
α は K 上代数的であるから Ker(ψ) ≠ 0 である。
K[X] は単項イデアル整域であるから Ker(ψ) = (f(X)) となるモニック(>>115)な多項式 f(X) が
一意に定まる。f(X) を α の K 上の最小多項式と言う。

命題 27
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
α の K 上の最小多項式(>>116) f(X) は K[X] において既約である。

証明
f(X) = g(X)h(X) とする。ここで、g(X)、h(X) ∈ K[X] であり、deg g(X) ≧ 1、deg h(X) ≧ 1 である。
f(α) = g(α)h(α) = 0 であるから g(α) = 0 または h(α) = 0 である。
g(α) = 0 とすると g(X) ∈ (f(X)) となり g(X) は f(X) で割り切れる。
deg g(X) ＜ deg f(X) であるから、これは不可能である。
h(α) = 0 としても同様に矛盾である。
証明終

命題 28
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116) とする。
K[X]/(f(X)) は K[α] (>>91)と標準的に同型である。
この同型は g(X) ∈ K[X] のとき g(X) の mod f(X) の剰余類に g(α) を対応させることにより得られる。

証明
>>114より、K-線型環としての K-準同型(>>98) ψ：K[X] → Ω で ψ(X) = α となるものが
一意に存在する。
このとき、ψ(K[X]) = K[α] である。
Ker(ψ) = (f(X)) であるから >>110より本命題が得られる。
証明終

命題 29
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
このとき、K[α] = K(α) (>>91) である。

証明
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116) とする。
>>118より K[X]/(f(X)) は K[α] と同型である。
>>117より f(X) は K[X] において既約である。
よって、K[X]/(f(X)) は体である。
よって、K[α] = K(α) である。
証明終

命題 30
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116) とする。
このとき、[K(α) : K] (>>87) = deg f(X) である。

証明
n = deg f(X) とする。
>>118より、K[X]/(f(X)) は K[α] (>>91)と K-線型環として同型である。
>>96より、K[α] の K 上の次元は n である。
一方、>>119より、K[α] = K(α) である。
よって、[K(α) : K] = n である。
証明終

定義 31
K と L を体とする。
環としての準同型 σ：K → L で σ(1) = 1 となるものは単射である。
このとき、σ を埋め込みと呼ぶ。
全射埋め込みを同型と呼ぶ。

定義 32
K を体(>>82)とする。
E/K と F/K を拡大(>>82)とする。
E から F への埋め込み(>>121)で K の元を固定するものを K-埋め込みと呼ぶ。
E から F への同型(>>121)で K の元を固定するものを K-同型と呼ぶ。

定義 33
K を体(>>82)とし、L/K を拡大(>>82)とする
L から L への K-同型(>>122)を L/K の自己同型と呼ぶ。
L/K の自己同型全体は群をなす。
この群を L/K の自己同型群と言い、Aut(L/K) と書く。

命題 34
L/K を体の拡大(>>82)とする。
L/K が有限(>>87)なら L/K は代数的(>>90)である。

証明
n = [L : K] (>>87) とする。
任意の α ∈ L に対して 1、α、．．．、α^n は K 上一次従属である。
よって、α は K 上代数的(>>89)である。
よって、L/K は代数的である。
証明終

命題 35
K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K が有限であるためには L/K が有限かつ M/L が有限であることが必要十分である。

証明
>>88より、[M : K] = [M : L][L : K] である。
これより明らかである。
証明終

命題 36
K を体(>>82)とし α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
各 α_i が K 上代数的(>>89)なら K(α_1、．．．、α_n) (>>91)は K 上有限(>>87)である。
従って、>>124より K(α_1、．．．、α_n) は K 上代数的(>>90)でもある。

証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは本命題は>>120で証明されている。
n ≧ 2 とし、K(α_1、．．．、α_(n-1)) は K 上有限であると仮定する。
α_n は K 上代数的であるから K(α_1、．．．、α_(n-1)) 上代数的である。
よって、>>120より K(α_1、．．．、α_n) = K(α_1、．．．、α_(n-1))(α_n) は
K(α_1、．．．、α_(n-1)) 上有限である。
よって、>>125より K(α_1、．．．、α_n) は K 上有限である。
証明終

命題 37
K を体(>>82)とする。
Ω(>>82)の元で K 上代数的なもの全体は体(>>82)をなす。

証明
α と β を Ω の元で K 上代数的とする。
>>126より、K(α、β) は K 上代数的である。
これから本命題の主張は明らかである。
証明終

定義 38
K を体(>>82)とする。
>>127より、Ω(>>82)の元で K 上代数的なもの全体は体(>>82)である。
この体を K~ と書き K の代数的閉包と呼ぶ。

命題 39
K を体(>>82)とし S を Ω(>>82) の部分集合とする。
S の各元が K 上代数的(>>89)なら K(S) (>>91)は K 上代数的(>>90)である。

証明
α を K(S) の任意の元とする。
このとき、S の有限部分集合 T があり α ∈ K(T) となる。
>>126より、K(T) は K 上代数的(>>90)である。
よって、α は K 上代数的(>>89)である。
よって、K(S) は K 上代数的である。
証明終

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　　　　　　　　　 ,'　　ｲ　/--/i　ﾊ　　　 ',./ﾍ
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　　 '､　(＾ヽ〉ヽ,　 ｀ヽ､_ !､ 　σ　 "ﾉ　|　　　　　　l
　　 　 ﾞｰﾆ´_ノ　　　 ヽ.ル＞,.-r 'iﾉハﾉ　　　　　┼ 、
　　　　　　｀ヽ､___,,,...ン:::ﾞヽ/ooﾚiﾞ'ｰ- ､／＾).　　 ´d-
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　　 ,..ｲヽ.／　 ｀ゝ,.-=-;､:::::::|:」
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　 ﾞｰ '´　　　　,.ｲﾆ／
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定義 40（Lang)
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)を要素とするある集合とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。

1) K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K ∈ Ψ であるためには L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ が必要十分である。

2) 任意の E/K ∈ Ψ と任意の体(>>82) F に対して EF/F ∈ Ψ

定義 41
E と F を体(>>82)とする。
E(F) (>>91) を E と F の合成体または合成と呼び EF と書く。

命題 42
E と F を体(>>82)とする。
E[F] (>>91)は α_1β_1 ＋ ．．．＋ α_nβ_n の形の元全体からなる。
ここで、α_1、．．．、α_n は E の元であり、
β_1、．．．、β_n は F の元である。
よって、E[F] = F[E] である。

合成体(>>132) EF は E[F] の商体である。

証明
自明である。

>>131は>>132の後に持ってくるべきだった。

命題 43
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)からなる正則(>>131)な集合とする。
E/K ∈ Ψ かつ F/K ∈ Ψ のとき EF/K ∈ Ψ である。

証明
E/K ∈ Ψ であるから>>131の 2) より EF/F ∈ Ψ である。
F/K ∈ Ψ であるから>>131の 1) より EF/K ∈ Ψ である。
証明終

>>131の修正

定義 40（Lang)
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)を要素とするある集合とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。

1) K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K ∈ Ψ であるためには L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ が必要十分である。

2) 任意の E/K ∈ Ψ と任意の拡大(>>82) F/K に対して EF/F ∈ Ψ

>>135の修正

命題 43
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)からなる正則(>>131)な集合とする。
E/K ∈ Ψ かつ F/K ∈ Ψ のとき EF/K ∈ Ψ である。

証明
E/K ∈ Ψ であるから>>136の 2) より EF/F ∈ Ψ である。
F/K ∈ Ψ であるから>>136の 1) より EF/K ∈ Ψ である。
証明終

命題 44
体の有限拡大(>>87)全体の集合 Ψ は正則(>>136)である。

証明
>>136の 1) の証明：>>125で証明済みである。

>>136の 2) の証明：
E/K ∈ Ψ とする。
α_1、．．．、α_n を K-線型空間としての E の K 上の基底とする。
E = K(α_1、．．．、α_n) である。
任意の拡大(>>82) F/K に対して EF = F(α_1、．．．、α_n) である。
>>124より、各 α_i は K 上代数的であるから F 上代数的でもある。
よって、>>126より EF/K ∈ Ψ である。
証明終

ガロスｗｗｗｗ

基地外が延々と

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_人　　 _,,.. - ''''""￣｀"'''7:::∠__
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）　 ,. '"　　　　　　　　　 !ﾍ/:::／､
　＿＿＿　　　　　　＿l⌒l＿　　　　　　　　　　　 ／　　　　　　　ﾊ,　__i　 i:::::>!　　 ',
（＿＿ 　 ）　　　　 （＿　　＿）l⌒l　　　　　　　　/　 　　/'!　ﾊ　 /!二_ﾊ　i´　|　　　ﾊ
　＿／ ／　　　　　 ／　／　　|　 |　＿＿＿　　|　 / ,.ｨ‐-V　ﾚ゛´!´.ﾊ｀ヽｲ　/　　 !　!
（＿＿　　） ＿＿ （＿／ l⌒l　`ｰ' /　　　　　ヽ i　 i　 ｲ「ﾊ　　 　 !__,ﾘ　ﾉ | /|　　　　|
　 ／　／（＿＿＿）　　　|　 l＿　│ .○　／ヽ　| /.|　| ! !ｿ　　　　￣ 〃　ﾚ'　|　　　 |
　│ │＿　　　　　　　 （ ○ ＿） 丶＿／　 /　/　 ﾚｿ〃 ,-=ﾆﾆ'ヽ.　 　　7　,'　　　　|
　 丶＿＿）　　　　　　　 `─' 　　　　　　　　`ｰ'　 　|7!　　i　　　　　!　 u /　/!　　　　|
　　　　　　　＿l⌒l＿＿　/⌒ヽ　　　　　　　　 ／⌒/ .'ゝ､_ヽ､　　 _ﾉ 　 /　/ /　 i 　 ,'
　　　　　　（＿　　　　　＼＼　 |　／⌒ヽ＿／ ／￣レﾍ/,./^i,.-,r　　イ´レﾍ/ヽ､ハノ
　　　　　　　／　／￣ヽ　|　`ｰ'（＿／＼　　／　　　　　r| !　!　ﾚ^i／ ￣'7ｰ-､　
　　　　　　（＿／　　 /　/　　　　　　　　`ｰ'　　　　　 　ﾊ　　　 　/ﾍ__／/／　ヽ,
　　　　　　　　　　　　`ｰ'　　　　　　　　　　　　　　,. '⌒ヽ,r‐''"´￣ﾄ､::::::/　　　　 !

命題 45
体の代数的拡大(>>90)全体の集合 Ψ は正則(>>136)である。

証明
>>136の 1) の証明：
K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K ∈ Ψ なら L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ は明らかである。

逆に L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ とする。
M/L は代数的拡大であるから、任意の β ∈ M に対して L 係数の定数でない１変数多項式 f(X) があり
f(β) = 0 となる。
f(X) の係数を α_1、．．．、α_n とする。
各 α_i は K 上代数的であるから、>>126より K(α_1、．．．、α_n)/K は有限である。
他方、β は K(α_1、．．．、α_n) 上代数的であるから、
>>120より K(α_1、．．．、α_n、β)/K(α_1、．．．、α_n) は有限である。
よって、>>125より K(α_1、．．．、α_n、β)/K は有限である。
よって、>>124より K(α_1、．．．、α_n、β)/K は代数的である。
よって、β は K 上代数的である。
よって、M/K ∈ Ψ である。

>>136の 2) の証明：
任意の E/K ∈ Ψ と任意の拡大(>>82) F/K をとる。
E の各元は K 上代数的であり、K ⊂ F だから E の各元は F 上代数的でもある。
よって、>>129より、EF = F(E) は F 上代数的である。
即ち EF/F ∈ Ψ である。
証明終

命題 46
σ： K → L を体の同型(>>121)とする。
このとき、環としての同型 ψ：K[X] → L[X] で f(X) ∈ K[X] のとき ψ(f(X)) = (σf)(X) となるものが
存在する。
ここで、(σf)(X) は f(X) の各係数にσを作用させたものである。

証明
自明である。

命題 47
σ： K → L を体の同型(>>121)とする。
f(X) ∈ K[X] のとき>>143の同型 ψ：K[X] → L[X] は
環としての同型 K[X]/(f(X)) → L[X]/((σf)(X)) を引き起こす。
ここで、(σf)(X) は f(X) の各係数にσを作用させたものである。

証明
自明である。

命題 48
σ： K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
このとき、埋め込み τ：K(α) → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
L = σ(K) とおく。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
(σf)(X) の Ω における任意の根をβとする。
ここで、(σf)(X) は f(X) の各係数にσを作用させたものである。
>>118と>>119より、K(α) は K[X]/(f(X)) と同型である。
同様に L(β) は L[X]/(σf(X)) と同型である。
よって、>>144より、K(α) は L(β) に同型である。
この同型対応は g(X) ∈ K[X] のとき g(α) に (σg)(β) を対応させることにより得られる。
よって、この同型は σ の拡張である。
証明終

命題 49
L/K を体の有限拡大(>>87)とする。
σ： K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
このとき、埋め込み τ：L → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91)と書ける。
例えば α_1、．．．、α_n として L の K 上の基底をとればよい。
>>124より、各 α_i は K 上代数的である。
よって、>>145と n に関する帰納法を使えばよい。
証明終

命題 50
K を体(>>82)とする。
σ： K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
α_1、α_2、．．．、α_n、．．．を Ω (>>82)の元の可算無限列で
各 α_i は K 上代数的(>>89)であるとする。
L = K(α_1、α_2、．．．、α_n、．．．) とおく。
このとき、埋め込み τ：L → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
各整数 n ≧ 1 に対して K_n = K(α_1、．．．、α_n) とおく。
>>145と n に関する帰納法により、各 n ≧ 1 に対して埋め込み σ_n：K_n → Ω で
σ_n は σ_(n-1) の拡張となっているものが存在する。
ただし、σ_0 = σ とする。

写像 τ：L → Ω を次のように定義する。
L = ∪K_n であるから、任意の x ∈ L に対して x ∈ K_n となる n がある。
τ(x) = σ_n(x) とおく。
τ(x) は n の取り方によらない。

このとき、τ が埋め込みであり、σ の拡張となっていることは明らかである。
証明終

Zornの補題を使えば>>147を任意の代数的拡大 L/K に拡張できる。

命題 51
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
σ： K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
このとき、埋め込み τ：L → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
K ⊂ E ⊂ L となる体 E と埋め込みρ： E → Ω で σ の拡張となっているものの対 (E, ν) 全体Ψを
考える。
(K, σ) ∈ Ψ であるから Ψ は空でない。
(E, ν)、(F, μ) ∈ Ψ、E ⊂ F で μ が ν の拡張になっているとき (E, ν) ≦ (F, μ) と書く。
関係 ≦ により Ψ は順序集合となる。
Φ を Ψ の空でない全順序部分集合とする。
G = ∪{E；(E, ν) ∈ Ψ} とおく。
G は体である。写像 ρ：G → Ω を以下のように定義する。
x ∈ G のとき (E, ν) ∈ Φ で x ∈ E となるものがある。
ρ(x) = ν(x) と定義する。
ρ は (E, ν) の選び方によらない。
(G, ρ) ∈ Ψ である。
各 (E, ν) ∈ Φ に対して (E, ν) ≦ (G, ρ) である。
よって Zornの補題により Ψ は極大元 (H, τ) を持つ。
このとき、H = L を示せばよい。
H ≠ L とする。
α を L の元で H に含まれないものとする。
>>145より、τ は埋め込み H(α) → Ω に拡張される。
これは (H, τ) が Ψ の極大元であることに反する。
証明終

定義 52
K を体(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
f の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
K(α_1、．．．、α_n) (>>91)を f(X) の最小分解体と言う。

定義 53
K を体(>>82)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
各 f_i の Ω における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
K(S) (>>91)を (f_i)、i ∈ I の最小分解体と言う。

注意： I が有限集合のとき (f_i)、i ∈ I の最小分解体は g = Πf_i の最小分解体(>>149)である。

命題 54
K を体(>>82)とする。
α_1、．．．、α_n を Ω(>>82) の元の有限列とする。
各 α_i が K 上代数的(>>89)なら
K(α_1、．．．、α_n) = K[α_1、．．．、α_n] (>>91)である。

証明
n に関する帰納法による。
>>119より、K(α_1) = K[α_1] である。
n ≧ 2 とし、K(α_1、．．．、α_(n-1)) = K[α_1、．．．、α_(n-1)] と仮定する。

K(α_1、．．．、α_n)
= K(α_1、．．．、α_(n-1))(α_n)
= K(α_1、．．．、α_(n-1))[α_n]　　← >>119
= K[α_1、．．．、α_(n-1)][α_n]　　← 帰納法の仮定
= K[α_1、．．．、α_n]
証明終

命題 55
K を可換体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
σ：V → V を K-線型写像とする。
σ が単射であれば σ は全射である。

証明
σ(V) は V の部分線型空間で V と同じ次元である。
よって、σ(V) = V である。
証明終

命題 56
K を体(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
L を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
σ：L → Ω (>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(L) = L であり、σ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。

証明
f(X) の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
L = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 i に対して f(α_i) = 0 であるから σ(f(α_i)) = f(σ(α_i)) = 0
よって、σ(α_i) は f(X) の根である。

一方、各 α_i は K 上代数的(>>89)であるから>>151より、
K(α_1、．．．、α_n) = K[α_1、．．．、α_n] である。
よって、L の任意の元 x は x = P(α_1、．．．、α_n) と書ける。
ここで、P(α_1、．．．、α_n) は K 係数の n 変数多項式 P(X_1、．．．、X_n) の
各変数 X_i に α_i を代入したものである。
σ(x) = P(σ(α_1)、．．．、σ(α_n)) であるが、
上で示したように各 σ(α_i) は f(X) の根であるから σ(x) ∈ L である。
よって、σ(L) ⊂ L である。

各 α_i は K 上代数的であるから、>>126より L/K は有限である。
σ は K-埋め込みであるから、K-線型写像と見なせる。
よって、>>152より σ(L) = L である。
証明終

>>153を多項式の族の最小分解体(>>150)に拡張しよう。
そのため次の命題を準備する。

命題 57
L/K を代数的拡大(>>90)とし、σ：L → Ω(>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
σ(L) ⊂ L なら σ(L) = L である。
従って、σ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。

証明
α を L の任意の元とする。
f(X) を α の最小多項式(>>116)とする。
f(X) の L における根全体を S とする。
α ∈ S であるから S は空でない。
任意の β ∈ S に対して σ(β) は f(X) の根である。
仮定より σ(β) ∈ L であるから σ(β) ∈ S である。
よって、σ(S) ⊂ S である。
σ は単射で S は有限集合であるから σ(S) = S である。
よって、σ(β) = α となる β ∈ S がある。
よって、σ(L) = L である。
証明終

命題 58
K を体(>>82)とする。
I を任意の空でない集合とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
(f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)を L とする。
σ：L → Ω (>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(L) = L であり、σ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。

証明
各 f_i の Ω における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
L = K(S) (>>91) である。
J を I の空でない任意の有限部分集合とする。
S_J = ∪{S_i；i ∈ J} とおく。
f_J = Π{f_i；i ∈ J} とおく。
K(S_J) は多項式 f_J の最小分解体(>>149)である。

L の任意の元 x に対して I の空でない有限部分集合 J があり、x ∈ K(S_J) となる。
σ：L → Ω は K-埋め込み K(S_J) → Ω を引き起こすから>>153より σ(x) ∈ K(S_J) である。
よって、σ(L) ⊂ L である。
よって、>>154より σ(L) = L である。
証明終

“In my life I have dared to advance propositions about which I was not sure.
But all have written down here has been clear in my head for over a year,
and it would not be in my interest to leave myself open to the suspicion that
I announce theorems of which I do not have complete proofs.
Make a public request of Jacobi or Gauss to give their opinions not as to the truth but
to the importance of these theorems.
After that, I hope some men will find it profitable to sort out this mess.”
– Évariste Galois, Letter to Auguste Chevalier, May 29, 1832

>>Kummer
あのな、お前は被災者の方への謝罪は済んだのかァ！
ちゃんと謝罪と賠償をしてから出直せや。分かったな。

>>Kummer
ｵﾗｧ、分かったら返事しろや！
分かったな？

次の命題はGalois理論において重要である。

命題 59
K を体(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
L を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
E を K ⊂ E ⊂ L となる体(>>82)とする。
σ：E → Ω (>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(E) ⊂ L であり、σ は L/K の自己同型(>>123)に拡張される。

証明
f(X) の Ω における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
L = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 α_i は K 上代数的(>>89)であるから>>126より、 L/K は有限拡大である。
よって、L/E も有限拡大である。
よって、>>146より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
σ は K-埋め込みだから τ も K-埋め込みである。
よって、>>153より τ(L) = L であり、τ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。
τ は σ の拡張だから σ(E) = τ(E) ⊂ L
証明終

>>155の補足
>よって、>>154より σ(L) = L である。

これを言うには L/K が代数的であることを示す必要がある。
しかし、これは>>129より明らかである。

>>159は容易に多項式の族の最小分解体(>>150)に拡張される。

命題 60
K を体(>>82)とする。
I を任意の空でない集合とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
(f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)を L とする。
E を K ⊂ E ⊂ L となる体(>>82)とする。
σ：E → Ω (>>82) を K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(E) ⊂ L であり、σ は L/K の自己同型(>>123)に拡張される。

証明
>>129より、L/K は代数的(>>90)である。
よって、L/E も代数的である。
よって、>>148より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
σ は K-埋め込みだから τ も K-埋め込みである。
よって、>>155より τ(L) = L であり、τ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。
τ は σ の拡張だから σ(E) = τ(E) ⊂ L
証明終

定義 61
L/K を体の拡大(>>82)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
f(X) が L において１次多項式の積になるとき、f(X) は L で分解するという。

これは f(X) の Ω(>>82) における全ての根が L に含まれることと同値である。
これはまた f(X) の最小分解体(>>149)が L に含まれることと同値である。

定義 62
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
任意の α ∈ L に対して α の K 上の最小多項式(>>116)が L で分解(>>162)するとき
L/K を正規拡大(normal extension)または準Galois拡大(quasi-Galois extension)と言う。

命題 63
K と L を体(>>82)とし、σ： K → L を同型(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
β を σf(X) の Ω(>>82) における根の一つとする。
このとき、同型 τ：K(α) → L(β) で
σ の拡張となっているものが存在する。

証明
>>118と>>119より、K(α) は K[X]/(f(X)) と同型である。
同様に L(β) は L[X]/(σf(X)) と同型である。
よって、>>144より、K(α) は L(β) に同型である。
この同型対応は g(X) ∈ K[X] のとき g(α) に σg(β) を対応させることにより得られる。
ここで、σg(X) は g(X) の各係数にσを作用させた多項式である。
よって、この同型は σ の拡張である。
証明終

>>164の修正

命題 63
K と L を体(>>82)とし、σ： K → L を同型(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
β を σf(X) の Ω(>>82) における根の一つとする。
このとき、同型 τ：K(α) → L(β) で τ(α) = β となり、
σ の拡張となっているものが一意に存在する。

証明
>>118と>>119より、K(α) は K[X]/(f(X)) と同型である。
同様に L(β) は L[X]/(σf(X)) と同型である。
よって、>>144より、K(α) は L(β) に同型である。
この同型対応は g(X) ∈ K[X] のとき g(α) に σg(β) を対応させることにより得られる。
ここで、σg(X) は g(X) の各係数にσを作用させた多項式である。
よって、この同型は σ の拡張であり、τ(α) = β である。
τ の一意性は明らかである。
証明終

命題 64
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
以下の条件は互いに同値である。

1) L/K は正規拡大(>>163)である。

2) K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
L は (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)である。

3) σ：L → Ω (>>82) を任意の K-埋め込み(>>122)とする。
このとき σ(L) = L である。従って、σ は L/K の自己同型(>>123)と見なせる。

証明
1) ⇒ 2)
各 α ∈ L に対して f_α を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
仮定により、各 f_α は L で分解する。
よって、L は多項式の族 (f_α)、α ∈ L の最小分解体(>>150)である。

2) ⇒ 3)
>>155で証明済みである。

3) ⇒ 1)
任意の α ∈ L に対して f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
β を f(X) の Ω(>>82) における任意の根とするとき、β ∈ L を示せばよい。
>>165より、K-同型(>>122) σ：K(α) → K(β) で σ(α) = β となるものが一意に存在する。
L/K は代数的拡大であるから L/K(α) も代数的拡大である。
よって、>>148より、埋め込み τ：L → Ω で
σ の拡張となっているものが存在する。
σ は K-同型であるから τ は K-埋め込み(>>122)である。
よって、仮定より τ(L) = L である。
よって、β = σ(α) = τ(α) ∈ L
証明終

くだらねぇ命題と証明の羅列やってんじゃねぇーぞコラ

↑理解できないからって怒るなよ

隔離病棟から出て来たな

>>168
ブル履き直接読んだ方がいいぞ

命題 65
L/K は正規拡大(>>163)とする。
F/K を任意の拡大(>>82)とする。
このとき、LF/F (>>132)は正規拡大である。

証明
>>166より、K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
L は (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)である。
各 f_i の Ω における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
L = K(S) (>>91)である。
K ⊂ F であるから LF = F(L) = F(K(S)) = F(S) である。
各 f_i は F[X] の元でもあるから LF は (f_i)、i ∈ I の F 上の最小分解体である。
よって、>>166より LF/F は正規拡大である。
証明終

命題 66
K ⊂ E ⊂ L をそれぞれ体(>>82)とする。
L/K は正規拡大(>>163)とする。
このとき、L/E も正規拡大である。

証明
>>166より、K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
L は (f_i)、i ∈ I の K 上の最小分解体(>>150)である。
各 f_i の Ω(>>82) における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
L = K(S) (>>91)である。

L = K(S) ⊂ E(S) ⊂ L であるから L = E(S) である。
各 f_i は E[X] の元でもあるから
L は (f_i)、i ∈ I の E 上の最小分解体である。
よって、>>166より L/E は正規拡大である。
証明終

命題 67
E/K と F/K を正規拡大(>>163)とする。
このとき、EF/K (>>132)は正規拡大である。

証明
>>166より、K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (f_i)、i ∈ I があり、
E は (f_i)、i ∈ I の K 上の最小分解体(>>150)である。
各 f_i の Ω(>>82) における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
E = K(S) (>>91)である。

同様に K[X] の次数１以上の元からなる空でない族 (g_j)、j ∈ J があり、
F は (g_j)、j ∈ J の K 上の最小分解体である。
各 g_j の Ω における全ての根の集合を T_j とする。
T = ∪{T_j；j ∈ J} とおく。
F = K(T) である。

よって、EF = E(F) = K(S)(T) = K(S∪T) である。
よって、EF は (f_i)、i ∈ I と (g_j)、j ∈ J の K 上の最小分解体である。
よって、>>166より EF/K は正規拡大である。
証明終

命題 68
E/K と F/K を正規拡大(>>163)とする。
このとき、(E∩F)/K は正規拡大である。

証明
E∩F は体(>>82)である。
K ⊂ E∩F ⊂ E であり、E/K は代数的拡大(>>90)であるから
(E∩F)/K は代数的拡大である。

任意の α ∈ E∩F の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
E/K は正規拡大であるから α_1、．．．、α_n ∈ E である。
F/K は正規拡大であるから α_1、．．．、α_n ∈ F である。
よって、α_1、．．．、α_n ∈ E∩F である。
よって、(E∩F)/K は正規拡大である。
証明終

命題 69
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を σf(X) の最小分解体とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
f(X) の Ω(>>82) における全ての根を重複度を含めて α_1、．．．、α_n とする。
即ち f(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) である。
ここで、c ≠ 0 は f(X) の最高次の係数である。
このとき、E = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 α_i は K 上代数的(>>89)であるから>>126より、E/K は有限拡大である。
よって、>>146より埋め込み τ：E → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
>>143より、環としての同型 ψ：E[X] → τ(E)[X] で g(X) ∈ E[X] のとき ψ(g(X)) = (τg)(X)
となるものが存在する。ここで、(τg)(X) は g(X) の各係数に τ を作用させたものである。
f(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) の両辺に ψ を作用させると、
σf(X) = σ(c)(X - τ(α_1))．．．(X - τ(α_n)) となる。
よって、τ(α_1)、．．．、τ(α_n) は σf(X) の Ω における全ての根である。
一方、E = K(α_1、．．．、α_n) であるから τ(E) = L(τ(α_1)、．．．、τ(α_n)) である。
よって、τ(E) は σf(X) の最小分解体である。
よって、F = τ(E) である。
証明終

命題 70
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
τ：E → Ω(>>82) を埋め込み(>>121)で σ の拡張となっているものとする。
このとき、τ(E) は σf(X) の最小分解体である。

証明
>>175の証明と同様である。

命題 71
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
E を (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)とする。
各 i に対して σf_i を f_i の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を (σf_i)、i ∈ I の最小分解体とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

証明
E/K は代数的拡大(>>90)であるから、
>>148より埋め込み τ：E → Ω(>>82) で σ の拡張となっているものが存在する。
各 f_i の Ω における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
E = K(S) である。
>>175の証明と同様にして 各 i に対して τ(S_i) は σf_i の Ω における全ての根である。
τ(E) = L(τ(S)) であるが、τ(S) = ∪{τ(S_i)；i ∈ I} であるから
τ(E) は (σf_i)、i ∈ I の最小分解体である。
よって、F = τ(E) である。
証明終

命題 72
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
E を (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150)とする。
各 i に対して σf_i を f_i の各係数にσを作用させた多項式とする。
τ：E → Ω(>>82) を埋め込み(>>121)で σ の拡張となっているものとする。
このとき、τ(E) は (σf_i)、i ∈ I の最小分解体である。

証明
>>177の証明と同様である。

　　　　　　　ヽ|/
　　　　 ／￣￣￣｀ヽ、
　　　 /　　 　　　　　　ヽ
　　　/　 ＼,, ,,／ 　　　|
　　　|　（●） （●）|||　 |
　　　| 　/￣⌒￣ヽ　U.| 　　・・・・・こいつ本当に馬鹿だ
　　　|　 | .ｌ~￣~ヽ |　　 |
　　　|U ヽ ￣~￣ ﾉ　　 |
　　　|　　 ￣￣￣　　　

集合 S の濃度を |S| と書く。

L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
L/K の自己同型群を Aut(L/K) と書いた(>>123)。
|Aut(L/K)| (>>180) と [L : K] (>>87) の関係を調べよう。

まず L = K(α) となる α ∈ L がある場合を考える。
α の K 上の最小多項式(>>116) を f(X) とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
|S| ≦ deg f(X) である。
>>165より |Aut(L/K)| = |S| である。
一方、>>120より deg f(X) = [L : K] であるから
|Aut(L/K)| ≦ [L : K] である。

|Aut(L/K)| = [L : K] となるのは f(X) が重根を持たない場合に限る。
f(X) が重根 β を持つとする。
f(X) = g(X)(X - β)^m、m ≧ 2 とする。
Ω (>>82)が複素数体のとき f(X) を複素関数とみて f’(X) を f(X) の導関数とする。
即ち h ∈ Ω、h ≠ 0 として f’(X) = lim[h → 0] (f(X + h) - f(X))/h
このとき、f’(X) ∈ K[X] である。

f’(X) = g’(X)(X - β)^m + mg(X)(X - β)^(m-1)
よって、f’(β) = 0 である。
f(X) は β の最小多項式であるから f’(X) は f(X) で割り切れる。
しかし、deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから、これは矛盾である。
よって、f(X) は重根を持たない。

Ω (>>82)が複素数体以外の場合にも f(X) の導関数は以下のように形式的に定義出来る。

定義 73
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 を A[X] の元とする。
f(X) の導多項式(derivative)とは次の多項式のことを言う。

na_nX^(n-1) + (n-1)a_(n-1)X^(n-2) + ．．．+ 2a_2X + a_1

f(X) の導多項式を Df(X)、df(X)/dx、f’(X) などと書く。

命題 74
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
D：A[X] → A[X] を f(X) ∈ A[X] にその導多項式(>>182) Df(X) を対応させる写像とする。
このとき、D は A-加群の準同型である。
すなわち、f(X)、g(X) ∈ A[X]、c ∈ A のとき。

1) D(cf(X)) = cD(f(X))

2) D(f(X) + g(x)) = D(f(X)) + D(g(X))

証明
直接に計算しても簡単であるが、次のようにも証明出来る。

1、X、．．．X^n、．．．は A-自由加群 A[X] の基底である。
よって、A-加群の準同型 ψ：A[X] → A[X] で
各 n に対して ψ(X^n) = nX^(n-1) となるものが一意に存在する。
明らかに ψ = D である。
証明終

A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
D：A[X] → A[X] を f(X) ∈ A[X] にその導多項式(>>182) Df(X) を対応させる写像とする。
f(X)、g(X) ∈ A[X] のとき、次の等式を(f(X) と g(X) に関する)Leibnizの公式と言う。

D(f(X)g(X)) = D(f(X))g(X) + f(X)D(g(X))

命題 75
任意の f(X) ∈ A[X] を固定する。
f(X) と g(X) に関するLeibnizの公式(>>184)が成り立つような g(X) ∈ A[X] の集合を Λ(f(X)) と書く。
このとき、Λ(f(X)) は A[X] の A-部分加群である。

証明
記法を単純にするため f(X) や g(X) をそれぞれ f、g などと書くことにする。

1) c ∈ A、g ∈ Λ(f) とする。
D(fcg) = cD(fg) = c(D(f)g + fD(g)) = D(f)(cg) + fD(cg)
よって、cg ∈ Λ(f) である。


2) g, h ∈ Λ(f) とする。
D(f(g + h)
= D(fg) + D(fh)
= D(f)g + fD(g) + D(f)h + fD(h)
= D(f)(g + h) + f(D(g) + D(h))
= D(f)(g + h) + fD(g + h))

よって g + h ∈ Λ(f)
証明終

命題 76
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
任意の f(X)、g(X) ∈ A[X] に対してLeibnizの公式(>>184)が成り立つ。

証明
n と m を任意の整数 ≧ 0 とする。
D(X^(n+m)) = (n+m)X^(n+m-1)
D(X^n)X^m = nX^(n+m-1)
X^nD(X^m) = mX^(n+m-1)
よって、X^n と X^m に関してLeibnizの公式(>>184)が成り立つ。
よって、>>185の記法で X^m ∈ Λ(X^n) である。
>>185より、Λ(X^n) は A[X] の A-部分加群であるから Λ(X^n) = A[X] である。
よって、任意の f(X) ∈ A[X] に対して X^n ∈ Λ(f(X)) である。
再び>>185より、Λ(f(X)) は A[X] の A-部分加群であるから Λ(f(X)) = A[X] である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

熊ーさんすげーな

命題 77
A を可換環とし、A[X] を A 係数の１変数多項式環とする。
D：A[X] → A[X] を f(X) ∈ A[X] にその導多項式(>>182) Df(X) を対応させる写像とする。
一方、ψ：A[X] → A[X] を次の条件を満たす写像とする。

1) ψ は A-加群の準同型である。

2) 任意の f(X)、g(X) ∈ A[X] に対して
ψ(f(X)g(X)) = ψ(f(X))g(X) + f(X)ψ(g(X))

3) ψ(X) = 1

このとき ψ = D である。

証明
2) において f(X) = 1、g(X) = 1 とおくと ψ(1) = ψ(1) + ψ(1)
よって、ψ(1) = 0 である。
任意の整数 n ≧ 1 に対して ψ(X^n) = nX^(n-1) を n にかんする帰納法で証明しよう。

3) より n = 1 の場合は成り立つ。
n ≧ 2 として、ψ(X^(n-1)) = (n-1)X^(n-2) と仮定する。
2) より、ψ(X^n) = ψ(X)X^(n-1) + Xψ(X^(n-1)) = X^(n-1) + (n-1)X^(n-1) = nX^(n-1)

以上で任意の整数 n ≧ 1 に対して ψ(X^n) = nX^(n-1) が証明された。

よって、1) より ψ = D である。
証明終

定義 78
K を体(>>82)とする。
f(X) を定数でない K 係数の多項式とする。
α ∈ Ω (>>82) を f(X) の根とする。
このとき、f(X) = g(X)(X - α)^m、m ≧ 1、g(α) ≠ 0 となる g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
m = 1 のとき α を f(X) の単根と呼び、m ≧ 2 のとき α を f(X) の重根と呼ぶ。
m を α の f(X) における重複度と呼ぶ。

命題 79
f(X) を K 係数の定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
α ∈ Ω (>>82) を f(X) の根とする。
α が f(X) の重根(>>189)であるためには f’(α) = 0 が必要十分である。

証明
必要性：
α が f(X) の重根であるとする。
f(X) = g(X)(X - α)^m、m ≧ 2、g(α) ≠ 0 となる g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
f’(X) = g’(X)(X - α)^m + mg(X)(X - α)^(m-1)
m ≧ 2 えあるから f’(α) = 0 である。

十分性：
α が f(X) の単根(>>189)であるとする。
f(X) = g(X)(X - α)、g(α) ≠ 0 となる g(X) ∈ K[X] が存在する。
f’(X) = g’(X)(X - α) + g(X)
よって、f’(α) = g(α) ≠ 0
証明終

命題 80
Ω (>>82)には最小の体(>>82) P が存在する。
P は有理数体 Q または Z/pZ に同型である。
ここで Z は有理整数環であり p はある素数である。

証明
環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。
ψ(Z) は Ω の最小の部分環である。
よって、ψ(Z) の Ω における商体 P は Ω の最小の体(>>82)である。

ψ(Z) は環として Z/Ker(ψ) に同型である。
よって、Ker(ψ) = 0 のときは P は有理数体 Q に同型である。

Ker(ψ) ≠ 0 のときは Ker(ψ) = nZ である。
ここで、n は有理整数 ≧ 2 である。
よって、ψ(Z) は環として Z/nZ に同型である。
Z/nZ は整域であるから n は素数である。
このとき、Z/nZ は可換体である。
よって、ψ(Z) は Ω の最小の体(>>82)であり、ある素数 p に対する Z/pZ に同型である。
証明終

定義 81
>>191より、Ω (>>82)には最小の体(>>82) P が存在する。
P を(Ω の)素体と言う。
>>191より、以下の二つの場合がある。

1) P は有理数体に同型である。
2) ある素数 p があり、P は Z/pZ に同型である。

1) のとき Ω の標数は 0 であると言う。
2) のとき Ω の標数は p であると言う。

Ω の標数を char(Ω) と書く。

定義 82
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f(X) の Ω(>>82) における全ての根が単根(>>189)のとき f(X) を分離的という。

命題 83
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f(X) が分離的(>>193)であるためには f(X) と f’(X) が互いに素であることが必要十分である。

証明
必要性：
f(X) と f’(X) が互いに素でないとする。
定数でない多項式 g(X) ∈ K[X] があり f(X) と f’(X) は g(X) で割り切れる。
g(X) の Ω(>>82)における根の任意の一つを α とする。
f(α) = 0 かつ f’(α) = 0 であるから、>>190より α は f(X) の重根である。

十分性：
f(X) が重根 α を持つとする。
>>190より f(α) = 0 かつ f’(α) = 0 である。
g(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とすると、f(X) と f’(X) は g(X) で割り切れる。
よって、f(X) と f’(X) は互いに素ではない。
証明終

K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする
>>194より f(X) が分離的かどうかは f(X) と f’(X) の最大公約多項式 gcd(f(X), g(X)) を
求めれば分かる。
gcd(f(X), g(X)) はEuclidの互除法(例えばWikipedia参照)により K[X] における有限回の手続きで求まる。

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Ω(>>82)の部分体とは必ずしも限らない可換体のことを抽象体と呼ぶことにする。

　　　　　　　　　　_,,..--――--,,..
　　　　　　　　／:::　　　　　　　　　＼
　　　　　　　/:::"　　　　　　　　　　　　ヽ
　　　　　　 ,i ::　　-=ﾆ=-　　-=ﾆ=- 　　i
　　　　　　　＼..　 　　/ ｰ-' ヽ.　　 　／
　　　　　　　　 ＼：：.| ト‐＝‐ｧ' |.：.／　　いい加減にしないかね？
.　　　　　　　　 　＼　　｀二´　 　'/
　　,r――--､,,＿ノ　r､ 三 η 　 L___,,..-―‐-､
　 （　 　　　　　　　〃ヽヽ //ヾヽ 　　　 　　　　）
　　ヽ　　｀ヽ、　　⊂ニ　◎　ニ⊃　　　 ,r''　　/
　　　ヽ　　 ｝ ` ｰ-ヾヽ// ヽヽ〃ー‐''７　　　/
　　　 ヽ 　.{　 　　 　ι' 三 ヽ)　　　　{.　　/

定義 84
必ずしも可換とは限らない体のことを斜体(skew field)と呼ぶ。

　　　　　　　_,,..--――--,,..
　　　　　／:::　　　　　　　　　＼
　　　　/:::"　　　　　　　　　　　　ヽ
　　　 ,i ::　　-=ﾆ=-　　-=ﾆ=- 　　i
　 　 　 ',　　　　　　　,　　　　　　　i
　　　　　ヽ　　　 　　 } 　　 　　　 ﾊ　　　２００ゲット！
　　　　　　 ＼　　 　 ′`　　　　　　＼
　　　　　　　　＼　　　　 ､　　　　　′ `ー- ､
　　　　　　　　 　 ヽ､　　　!　　　　　　 　 　 　 ヽ
　　　　　　　　　　 　 ＼　　　ヽ　　 　 　 　 　 　 ',
　　　　　　　　　 　 　 　 >、　　　　　　 /　　　　　|
　　　　　　　　　　　　　ﾉ　　､ r､ 三 η　　　　　　|
　　　　　　　　　　　　/　　　〃ヽヽ //ヾヽ　　　　 |
　　　　　 　 　 　 　 /　　　⊂ニ　◎　ニ⊃ 　　 　!
　　　　　　　 　 　 /　 　　　ヾヽ// ヽヽ〃 　 　 　 l
　　 　 　 　　　　./　　　 　 　 ι' 三 ヽ)　 　 　 　 |

体は可換のもののことで,可換でない体は存在しない.
R-{0}が積について可換群になる環Rを体(field)という.
R-{0}が積について群になる環Rを斜体という.
0≠1の仮定もあるかもしれない.非可換のもののみを斜体と呼ぶかもしれない.

こんな所で学習ノートを公開するしかないのは哀れ越えてはた迷惑。

くんまー

お前はまた論破されとるやないか

数学をナメとんか オラ

体は一般には乗法の可換性を仮定しない。
乗法の可換な体を可換体と呼ぶ。
これに反して英語の field は乗法の可換性を仮定するのが普通である。
乗法の可換性を仮定しない体のことを英語では division ring または skew field と呼ぶ。
しかし、英語で環のことを ring と言うが一般には乗法の可換性を仮定しない。
乗法の可換な環を commutative ring と呼ぶ。
英語ではこのあたり一貫性がない。

>>Kummer
これだけは言っておく…

『学問をナメるな』


分かったか 分かったら返事しろや

Wikipediaより：
単に「体」とよぶとき、その意味するものにはいくつかの流儀が存在する。
たとえば、可換である体を単に「体」 (field) と呼び、非可換なものを含めてよぶときは
多元体あるいは可除環（かじょかん、division ring, division algebra）
あるいは斜体（しゃたい、skew field）と呼ぶのはイギリス流（英語圏）である。
一方（ヨーロッパ）大陸流（ドイツ、フランス語圏）では、必ずしも可換でない体を単に「体」
(Körper, corps) とよび、可換であるときを特に可換体 (kommutativ Körper, corps commutatif)
とよぶ。ただし、歴史的経緯はどうあれ時代が下るにつれ英語圏の流儀に合わせる傾向は見られる。
またいずれの流儀においても、文脈に応じて「可換」「必ずしも可換とは限らない」「非可換」などを
冠することで明示的にこれらの概念を区別することがある。これらの区分のうち「非可換」なものの
指すべき範疇は文脈にまったく依存するものであることには留意が必要である。
たとえば「斜体」と呼ぶとき、それが可換体を含むのか含まないのかは文脈を踏まえなければ
定かではないし、「非可換体」が可換体を含む意味で用いられることもある。

くんまー

素直に自分の過ちを認めろ

それが前に進む唯一のステップだ

見苦しいぞ

禿山のにぎやかしと言うにはちとくどいな。
お勉強の公開は専用スレでやれクマ。

そうだそうだ

過疎スレの流用、有効活用のつもりなんだろ。

このスレでは環は単位元 1 を持つとする。
このとき 1 = 0 となる可能性を否定しない。
環の準同型は単位元を単位元に写すものとする。
A を環としたとき A の部分環は A の単位元を含むとする。
M を A 上の加群としたとき、任意の x ∈ M に対して 1x = x とする。

いい年して今さら体論かよ。バカじゃねぇーかｗ

定義 85
Z を有理整数環とし、p を任意の素数とする。
有理数体または Z/pZ に同型な抽象体(>>197)を素体と呼ぶ。

定義 86
A を環とし、A は斜体(>>199) D を部分環(>>)として含むとする。
このとき環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。
Ker(ψ) は 0 または pZ である(p は素数)。
このとき A の標数をそれぞれ 0 または p と定義する。
A の標数を char(A) と書く。

D の中心 C は可換体であり、ψ(Z) は C に含まれる。
ψ(Z) の C における商体は素体(>>213)である。
これを A の素体と呼ぶ。
A の素体は char(A) = 0 のとき有理数体に同型であり、
char(A) = p ＞ 0 のとき Z/pZ に同型である。
A の素体は A の最小の部分斜体である。

>>214への補足

A の素体は A の中心に含まれる。

ここでやってくれ。

体論 Part 1
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1320762869/

>>215
続きはここです。

命題 87(二項定理)
A を可換環とし、x, y を A の元とする。
このとき、任意の整数 n ≧ 0 に対して
(x + y)^n = Σ[0 ≦ k ≦n] C(n. k)x^ky^(n-k) となる。
ここで、C(n. k) = n!/(n-k)!k! である。

証明
良く知られているので省略する。

命題 88
A を可換環で抽象体(>>197)を部分環として含むとする。
さらに A の標数(>>214)は p ＞ 0 とする。
このとき A の任意の元 a, b に対して (a + b)^p = a^p + b^p である。

証明
>>218より、(a + b)^p = Σ[0 ≦ k ≦ p] C(p. k)a^kb^(p-k)

ここで、C(p. k) = p!/(p-k)!k! である。
即ち、C(p. k)k! = p!/(p-k)!
1 ≦ k ≦ p - 1 のとき p!/(p-k)! は p で割れるから C(p. k)k! ≡ 0 (mod p)
一方、k! は p で割れないから C(p. k) ≡ 0 (mod p) である。
よって、C(p. k)a^kb^(p-k) = 0 である。
よって、(a + b)^p = a^p + b^p である。
証明終

定義 89
A を可換環で抽象体(>>197)を部分環として含むとする。
さらに A の標数(>>214)は p ＞ 0 とする。
A の元 a に a^p を対応させる写像を ψ とする。
>>219より A の任意の元 a, b に対して (a + b)^p = a^p + b^p である。
さらに (ab)^p = (a^p)(b^p) であり、1^p = 1 であるから
ψ は A の自己準同型である。
これを A のFrobenius自己準同型と呼ぶ。

こいつキチガイだろｗ

定義 90
K を体(>>82)とする。
K[X] における全ての既約多項式が分離的(>>193)なとき K を完全体と呼ぶ。

おなかごろごろ、糞死体

命題 91
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば f’(X) ≠ 0 である。

証明
deg f(X) = n とし、
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 とする。
f’(X) = na_nX^(n-1) + (n-1)a_(n-1)X^(n-2) + ．．．+ 2a_2X + a_1 である。
a_n ≠ 0 であり、char(Ω) = 0 であるから na_nX^(n-1) ≠ 0 である。
よって、f’(X) ≠ 0 である。
証明終

命題 92
K を体(>>82)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば K は完全体(>>222)である。

証明
f(X) ∈ K[X] を任意の既約多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
>>224より、f’(X) ≠ 0 である。
deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから f’(X) は f(X) で割り切れない。
よって、f(X) と f’(X) は互いに素である。
よって、>>194より、f(X) は分離的(>>193)である。
よって、K は完全体(>>222)である。
証明終

　くだらん　塾の教科書でもかいてるのか？

>>214の修正
>このとき環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。

Z を有理整数環とすると、環準同型 ψ：Z → A が一意に存在し、
ψ(Z) は D に含まれる。

命題 93
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ K[X^p] である。

証明
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 = Σa_iX^i とする。
f’(X) = Σia_iX^(i-1) = 0
よって、各 i、0 ≦ i ≦ n に対して ia_i = 0 である。
よって、a_i ≠ 0 のとき i は p の倍数である。
よって、f(X) は X^p の多項式である。
証明終

記法
A を標数(>>214) p ＞ 0 の可換環とする。
ψ を A のFrobenius自己準同型とする。
ψ(A) を A^p と書く。
さらに任意の整数 n ≧ 0 に対して ψ^n(A) を A^(p^n) と書く。
但し、n = 0 のとき ψ^n(A) = A とする。

命題 94
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)で K = K^p (>>229) とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ (K[X])^p (>>229) である。

証明
>>228 より f(X) = g(X^p) となる g(X) ∈ K[X] がある。
K = K^p であるから g(X) の各係数の p 乗根が K に存在する。
g(X) の各係数をその p 乗根で置き換えた多項式を h(X) とする。
>>219より (h(X))^p = g(X^p) である。
よって、f(X) = (h(X))^p ∈ (K[X])^p
証明終

削除対象アドレス
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/130-138
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/142-156
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/159-166
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/171-178
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/180-195
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/197
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/201
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/204
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/206
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/213-215
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/218-220
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/222-225
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/224-230

削除理由・詳細・その他：
５． 掲示板・スレッドの趣旨とは違う投稿
６． 連続投稿・重複

>>Kummer
ださっ…
しかも間違いだらけやし

命題 95
Ω(>>82)の標数(>>192)を p ＞ 0 とする。
K を体(>>82)とする。
a を K の元で K^p (>>229)に含まれないとする。
このとき任意の整数 e ≧ 0 に対して X^(p^e) - a は K[X] で既約である。

証明(Bourbaki)
f(X) = X^(p^e) - a とおく。
f(X) の Ω における任意の根を α とする。
可換環 Ω[X] の標数(>>214)は p であるから
>>219を繰り返し使って (X - α)^(p^e) = X^(p^e) - α^(p^e) = f(X)
α の K 上の最小多項式(>>116)を g(X) とする。
f(X) = g(X)h(X) となる h(X) ∈ K[X] がある。 g(X) はモニック(>>115)だから
h(X) の次数 ≧ 1 なら α は h(X) の根であるから h(x) は g(x) で割り切れる。
よって、f(X) = (g(X)^2)r(X) となる r(X) ∈ K[X] がある。
以上を繰り返して、f(X) = c(g(X))^q となる c ∈ K と整数 q ≧ 1 がある。
g(X) はモニック(>>115)だから c = 1 である。
よって、f(X) = (g(X))^q
q は p^e の約数であるから q = p^s となる整数 s で 0 ≦ s ≦ e となるものある。
g(X) の定数項を c とすると c^q = -a である。
a は K^p (>>229)に含まれないから q = 1 でなければならない。
よって、f(X) = g(X) である。
証明終

経済学板の「経済学の数学の使い方が気持ち悪い」スレに行ってみて下さい。
経済学＝数学らしいです。　

>>Kummer
被災者の方への謝罪は済んだのでしょうか？

>>231
>５． 掲示板・スレッドの趣旨とは違う投稿

ガロア生誕200周年記念スレなので彼の業績であるガロア理論を紹介しています。

おまえは相手を無視して一方的に自分のノート貼ってるだけだ。
自分のブログか専用スレでやれ阿呆。

命題 96
Ω(>>82)の標数(>>192)を p ＞ 0 とする。
体(>>82) K が完全体(>>222)であるためには K = K^p (>>229)が必要十分である。

証明
必要性：
K ≠ K^p とする。
K の元 a で K^p に含まれないものがある。
>>233より X^p - a は K[X] で既約である。
X^p - a の Ω における任意の根を α とする。
可換環 Ω[X] の標数(>>214)は p であるから
>>219よりを X^p - a = (X - α)^p
よって、X^p - a は分離的(>>193)ではない。
よって、K は完全体でない。

十分性：
K = K^p とする。
f(X) を K[X] の任意の既約多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら、>>230より f(X) = (g(X))^p となる g(X) ∈ K[X] がある。
しかし、f(X) は既約だからこれは不可能である。
よって、f’(X) ≠ 0 である。
deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから f’(X) は f(X) で割れない。
f(X) は既約だから、f(X) と f’(X) は互いに素である。
よって、>>194より、f(X) は分離的(>>193)である。
よって、K は完全体である。
証明終

>>237
書いてある内容に関する質問や誤りの指摘には返事をします。

この特別な年にみんなでGalois理論を学ぶ事は非常に素晴らしい事だと思います。
僕はKummer氏にこのスレで続けて欲しいです。

うんこ

巣へｶｴﾚ

【Kummer's】代数的整数論024【Mathematical Note】
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1304472397/

これが数学オタクの成れの果てだ
学生はよく見ておけよ、こんなやつになっちゃだめだ

ポスト無し、就職無し、ペーパー書けない、出版出来ない・・・

クマってTeX分からんらしいよ。

命題 97(完全体でない例)
Ω(>>82)の標数(>>192)を p ＞ 0 とする。
K を体(>>82)とする。
t ∈ Ω を K 上超越的(>>89)とする。
このとき t は (K(t))^p (>>229)に含まれない。
よって、>>238より K(t) は完全体ではない。

証明
t ∈ (K(t))^p とする。
K[t] (>>91)の元 f と g があり t = (f/g)^p となる。
t は K 上超越的だから K[t] は多項式環 K[X] に同型である。
よって、f と g は t の多項式と見なしてよい。
よって、f と g は互いに素と仮定してよい。
よって、f^p と g^p も互いに素である。
t(g^p) = f^p であるから t は f^p で割れる。
よって、f は定数、即ち K の元である。
よって、t(g^p) も K の元であるが、これは不可能である。
証明終

定義 98
K を体(>>82)とする。
α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>89)とする。
α の K 上の最小多項式(>>116)が分離的(>>193)なとき
α を K 上分離的であるという。

定義 99
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
L の各元が K 上分離的(>>247)なとき L は K 上分離代数的または単に K 上分離的という。
このとき L/K は 分離代数的または分離的という。
さらに L/K が有限なとき L/K は有限分離的という。

次の命題はGaloisの方程式論において重要である。

命題 100
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f の Ω(>>82) における全ての根の集合を H = {α_1、．．．、α_n} とする。
ここで、α_1、．．．、α_n は互いに異なるとする。
L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91)とおく。
即ち L は f(X) の最小分解体(>>149)である。
σ を Aut(L/K) (>>123) の任意の元とすると σ は H の置換を引き起こす。
よって、群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られる。
ここで、S(H) は H 上の置換全体のなす群、即ち H 上の対称群である。
このとき、ψ は単射である。
よって、Aut(L/K) は有限群であり、|Aut(L/K)| ≦ n! である。

証明
各 α_i ∈ H は f(X) の根だから f(α_i) = 0
よって、σ(f(α_i)) = f(σ(α_i)) = 0
よって、σ(α_i) ∈ H である。
よって、σ(H) ⊂ H
σ は単射で H は有限集合だから σ(H) = H である。
よって、σ は H の置換を引き起こす。
これから群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られることは明らかである。
σ ∈ Ker(ψ) とする。
各 α_i ∈ H に対して σ(α_i) = α_i である。
L の任意の元 x は α_1、．．．、α_n の K 係数の有理式 P(α_1、．．．、α_n) で表されるから
σ(x) = σ(P(α_1、．．．、α_n)) = P(σ(α_1)、．．．、σ(α_n)) = P(α_1、．．．、α_n) = x
よって、σ = 1 である。
よって、ψ は単射である。
|S(H)| = n! であるから |Aut(L/K)| ≦ n! である。
証明終

エバリスト・ガロワ（蠍座？）１０月２５分生まれとは知りませんでした。
本日、ヘルマン ワイル先生（蠍座）の生誕記念。
野口英世先生（福島県ご出身）も本日。

俺も今日です。（某数学団体会費未納反省。某通信制大学、学費２期未納反省。）

定義 101
分離的(>>248)な正規拡大(>>163)をGalois拡大という。
L/K がGalois拡大のとき Aut(L/K) (>>123) を L/K のGalois群と言い、G(L/K) と書く。

なんで拡大を正規やら分離的やらに限定しないといけないの？

命題 102
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
このとき、次数１以上の f(X) ∈ K[X] があり、
L は f(X) の最小分解体(>>149)である。

証明
L/K は有限であるから L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91) と書ける。
各 α_i に対して f_i(X) を α_i の K 上の最小多項式(>>116)とする。
L/K は正規拡大であるから、各 f_i は L で分解する。
よって、f(X) = Πf_i(X) とおけば L は f(X) の最小分解体である。
証明終

>>252
後で説明します。

|￣|　∧∧
ﾆニニ(ﾟДﾟ∩ｺ
|＿|⊂　　ノ
　　 /　０
　　 し´

えっ…と､
糞ｽﾚはここかな…､と
　∧∧　∧∧
∩ﾟДﾟ≡ﾟДﾟ)|￣|
`ヽ　　 /)ニニニｺ
　 |_　i〜　 |＿|
　 ∪ ∪


　　∧∧ ミ　ﾄﾞｽｯ
　 (　　) ＿ｎ＿
　 /　　つ 終了｜
〜′　/´ ￣||￣
　∪∪　　　||_ε3
　　　　　　ﾞﾞﾞﾞ

以下のレスにハンドルを入れ忘れた。
後の検索に便利なように指摘しておく。
>>246
>>247
>>248
>>249
>>251
>>253

命題 103
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
このとき、Aut(L/K) は有限群である。

証明
>>253より、次数１以上の f(X) ∈ K[X] があり、
L は f(X) の最小分解体(>>149)である。
よって、>>249より、Aut(L/K) は有限群である。
証明終

命題 104
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
このとき、G(L/K) (>>251) は有限群である。

証明
L/K は有限(>>87)な正規拡大(>>163)であるから>>257より G(L/K) = Aut(L/K) は有限群である。
証明終

命題 105
K と L を体(>>82)とし、σ：K → L を同型(>>121)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
σf(X) ∈ L[X]を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
f(X) の Ω(>>82) における根全体の集合を S とする。
σf(X) の Ω における根全体の集合を S_σ とする。
このとき |S| = |S_σ| (>>180)である。

証明
E を f(X) の最小分解体(>>149)とする。
F を σf(X) の最小分解体とする。
>>175より、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。

S = {α_1、．．．、α_r} とし、f(X) = Π(X - α_i)^(m_i) とする。
>>143より、環としての同型 ψ：E[X] → F[X] で
g(X) ∈ K[X] のとき ψ(g(X)) = τg(X) となるものが一意に存在する。
ここで、τg(X) は g(X) の各係数にτを作用させたものである。
σf(X) = ψ(f(X)) = Π(X - τ(α_i))^(m_i)
よって、S_σ = {τ(α_1)、．．．、τ(α_r)}
よって、|S| = |S_σ| である。
証明終

命題 106
K ⊂ M ⊂ L を体(>>82)の拡大列とする。
L/K が分離代数的(>>248)なら M/K と L/M も分離代数的である。

証明
M/K が分離代数的なことは自明である。
任意の α ∈ L に対して f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ M[X] であるから α は M 上代数的(>>89)である。
g(X) を α の M 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ M[X] であるから M[X] において f(X) は g(X) で割れる。
f(X) は分離的(>>193)であるから g(X) も分離的である。
よって、α は M 上分離的である。
よって、L/M は分離代数的である。
証明終

　　　 ∩＿＿＿∩
　　　 | ノ　　　　　 ヽ
　　　/　　●　　　● |　　　ちょっと通るクマ-ね
　　 |　　　　( _●_)　 ミ
　　彡､　　　|∪|　　､｀
　/ 　　　　　ヽノ　::::i　＼
/　　/　　　　　　　::::|＿/
＼／　　　　 　 　 　::|
　　 |　　　　　　　　::::|　 ｸﾏ-
　　 i　　　　　＼　::::/　ｸﾏ-
　　　＼　　　 　|::／
　　　　 |＼＿／/
　　　　 ＼＿／

定義 107
L/K を体の拡大(>>82)とする。
σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
埋め込み：L → Ω で σ の拡張となっているものを σ-埋め込みと言う。
σ-埋め込み：L → Ω 全体の集合を E(σ、L/K) と書く。
σ が K の各元を動かさないとき E(σ、L/K) を E(L/K) と書く。
即ち、E(L/K) は K-埋め込み(>>122)：L → Ω 全体の集合である。

命題 108
K を体(>>82)とし、σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
このとき、|E(σ、K(α)/K)| = |S| である。

証明
σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
σf(X) の Ω における根全体の集合を S_σ とする。
>>165より S_σ の任意の元 β に対して τ(α) = β となる τ ∈ E(σ、K(α)/K) が唯一存在する。
逆に任意の τ ∈ E(σ、K(α)/K) に対して
f(α) = 0 より τ(f(α)) = σf(τ(α)) = 0
よって、τ(α) ∈ S_σ
よって、|E(σ、K(α)/K)| = |S_σ| である。
一方、>>259より |S| = |S_σ| である。
よって、|E(σ、K(α)/K)| = |S|
証明終

命題 109
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω を K 上代数的(>>89)とする。
このとき、|E(K(α)/K)| ≦ [K(α) : K] である。
ここで、等号が成り立つためには α が分離的(>>247)であることが必要十分である。

証明
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
>>263より、|E(K(α)/K)| = |S| である。
|S| ≦ deg f(X) であるが >>120より、deg f(X) = [K(α) : K] である。
よって、|E(K(α)/K)| ≦ [K(α) : K] である。

α が分離的なら |S| = deg f(X) であるから |E(K(α)/K)| = [K(α) : K] である。
逆に α が分離的ないなら |S| ＜ deg f(X) であるから |E(K(α)/K)| ＜ [K(α) : K] である。
証明終

命題 110
L/K を有限拡大(>>87)とする。
σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
このとき、|E(σ、L/K)| (>>262) ≦ [L : K] (>>87)である。

証明
L/K は有限であるから L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91) と書ける。
n に関する帰納法による。
n = 1 のとき、α_1 の K 上の最小多項式(>>116) を f(X) とする。
f(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
>>263より、、|E(σ、K(α_1)/K)| = |S| である。
|S| ≦ deg f(X) であるが >>120より、deg f(X) = [K(α_1) : K] である。
よって、|E(K(α_1)/K)| ≦ [K(α_1) : K] である。
よって、n = 1 のとき本命題は成り立つ。

n ≧ 2 とし、K_(n-1) = K(α_1、．．．、α_(n-1)) とおく。
|E(σ、K_(n-1)/K)| ≦ [K_(n-1) : K] と仮定する。

α_n の K_(n-1) 上の最小多項式(>>116) を g(X) とする。
g(X) の Ω における根全体の集合を S とする。
任意の τ ∈ E(σ、K_(n-1)/K) をとる。
>>263より、|E(τ、L/K)| = |S| である。
よって、|E(τ、L/K)| は τ ∈ E(σ、K_(n-1)/K) の取り方によらず一定の値 |S| を取る。
よって、
|E(σ、L/K)|
= |S| |E(σ、K_(n-1)/K)|
≦ (deg g(X))|E(σ、K_(n-1)/K)|　　　← |S| ≦ deg g(X) より
≦ (deg g(X))[K_(n-1) : K]　　　← 帰納法の仮定 |E(σ、K_(n-1)/K)| ≦ [K_(n-1) : K] より
= [L : K_(n-1)][K_(n-1) : K]　　　← >>120より
= [L : K]　　　← >>88より
証明終

命題 111(Lang)
L/K を有限拡大(>>87)とする。
σ：K → Ω (>>82) と τ：K → Ω を埋め込み(>>121)とする。
>>265より、E(σ、L/K) と E(τ、L/K) は有限集合である。
このとき、|E(σ、L/K)| = |E(τ、L/K)| である。

証明
L/K は有限であるから L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91) と書ける。
各 α_i の K 上の最小多項式(>>116) を f_i(X) とし、f(X) = Πf_i(X) とおく。
σf(X) と τf(X) をそれぞれ f(X) の各係数にσとτを作用させた多項式とする。
f(X) の K 上の最小分解体(>>149)を M とする。
M_σ と M_τ をそれぞれ σf(X) と τf(X) の最小分解体とする。
各 i に対して f_i(α_i) = 0 であるから f(α_i) = 0
よって、α_i ∈ M よって、L ⊂ M である。
さらに、任意の ρ ∈ E(σ、L/K) に対して ρ(f(α_i)) = σf(ρ(α_i)) = 0
よって、ρ(α_i) ∈ M_σ、よって、ρ(L) ⊂ M_σ である。
同様に、任意の π ∈ E(τ、L/K) に対して π(L) ⊂ M_τ である。

τσ^(-1)：σK → τK は同型である。
よって、>>175より、同型 λ：M_σ → M_τ で τσ^(-1) の拡張となっているものが存在する。
ρ ∈ E(σ、L/K) を任意に取る。
上で示したように ρ(L) ⊂ M_σ であるから埋め込み λρ：L → M_τ が定義出来る。
任意の x ∈ K に対して λρ(x) = λσ(x) = τσ^(-1)σ(x) = τ(x)
よって、λρ ∈ E(τ、L/K) である。
ρ ∈ E(σ、L/K) に λρ ∈ E(τ、L/K) を対応させることにより
写像 ψ：E(σ、L/K) → E(τ、L/K) が得られる。

同様に π ∈ E(τ、L/K) に λ^(-1)π ∈ E(σ、L/K) を対応させることにより
写像 φ：E(τ、L/K) → E(σ、L/K) が得られる。
明らかに ψ と φ は互いの逆写像である。
よって、全単射 ψ：E(τ、L/K) → E(τ、L/K) が得られた。
証明終

定義 112
L/K を有限拡大(>>87)とする。
σ：K → Ω (>>82) を埋め込み(>>121)とする。
>>265より、E(σ、L/K) は有限集合である。
>>266より、|E(σ、L/K)| は σ に寄らず L/K のみで定まる。
この値を L/K の分離次数と呼び [L : K]_s と書く。

命題 113
K ⊂ L ⊂ M を体(>>82)の拡大列とし、M/K を有限拡大(>>87)とする。
このとき、[M : K]_s = [M : L]_s[L : K]_s である。

証明
σ：K → Ω (>>82) を任意の埋め込み(>>121)とする。
任意の τ ∈ E(σ、L/K) (>>262) に対して |E(τ、M/L)| = [M : L]_s である。
即ち、τ：L → Ω を拡張する埋め込み M → Ω の個数は τ に寄らず一定の値 [M : L]_s である。
よって、|E(σ、M/K)| = [M : L]_s|E(σ、L/K)|
即ち [M : K]_s = [M : L]_s[L : K]_s である。
証明終

命題 114
L/K を有限拡大(>>87)とする。
このとき、[L : K]_s ≦ [L : K] である。
ここで、等号が成り立つためには L/K が分離的(>>248)であることが必要十分である。

証明
[L : K]_s ≦ [L : K] は>>265で証明されている。
L/K が分離的なとき [L : K]_s = [L : K] を証明しよう。
L/K は有限であるから L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91) と書ける。
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは>>264より [L : K]_s = [L : K] である。
n ≧ 2 とし、K_(n-1) = K(α_1、．．．、α_(n-1)) とおく。
[K_(n-1) : K]_s = [K_(n-1) : K] と仮定する。
>>260より、L/K_(n-1) は分離的(>>248)であるから、α_n は K_(n-1) 上分離的(>>247)である。
L = K_(n-1)(α_n) に注意して、>>268と>>264と帰納法の仮定から
[L : K]_s = [L : K_(n-1)]_s[K_(n-1) : K]_s = [L : K_(n-1)][K_(n-1) : K] = [L : K]

逆に [L : K]_s = [L : K] と仮定して L/K が分離的なことを証明しよう。
L/K が分離的でないとする。
K 上分離的でない α ∈ L が存在する。
>>264より、[K(α) : K]_s ＜ [K(α) : K] である。

[L : K]_s
= [L : K(α)]_s[K(α) : K]_s　　← >>268による
≦ [L : K(α)][K(α) : K]_s　　← >>265より [L : K(α)]_s ≦ [L : K(α)]
＜ [L : K(α)][K(α) : K]
= [L : K]　　← >>88より
よって、[L : K]_s ＜ [L : K] となって仮定に反する。
証明終

命題 115
L/K を体の拡大(>>82)とする。
α ∈ Ω(>>82) を K 上分離的(>>247)とする。
このとき α は L 上分離的である。

証明
>>260の証明と同様であるが一応証明する。
f(X) を α の K 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ L[X] であるから α は L 上代数的(>>89)である。
g(X) を α の L 上の最小多項式(>>116)とする。
f(α) = 0 で f(X) ∈ L[X] であるから L[X] において f(X) は g(X) で割れる。
f(X) は分離的(>>193)であるから g(X) も分離的である。
よって、α は L 上分離的である。
証明終

命題 116
K を体(>>82)とし、α_1、．．．、α_n ∈ Ω を K 上分離的(>>247)とする。
このとき、K(α_1、．．．、α_n)/K は分離的(>>248)である。

証明
L = K(α_1、．．．、α_n) とおく。
>>269より [L : K]_s = [L : K] を証明すれば良い。

n に関する帰納法による。
n = 1 のとき、>>264より、[L : K]_s = [L : K] である。

n ≧ 2 とし、K_(n-1) = K(α_1、．．．、α_(n-1)) とおく。
[K_(n-1) : K]_s = [K_(n-1) : K] と仮定する。

L = K_(n-1)(α_n) である。
>>270より、α_n は K_(n-1) 上分離的(>>247)である。
よって、>>264より、[L : K_(n-1)]_s = [L : K_(n-1)] である。

よって、>>268より、
[L : K]_s = [L : K_(n-1)]_s[K_(n-1) : K]_s = [L : K_(n-1)][K_(n-1) : K] = [L : K]
証明終

定義 117
L/K を体の拡大(>>82)とする。
>>271より L の元で K 上分離的(>>247)なもの全体は体(>>82) M をなす。
M を K の L における相対分離的閉包または分離的閉包と言う。
明らかに K ⊂ M であり、M/K は分離的(>>248)である。
K の Ω(>>82) における相対分離的閉包を K の分離的閉包と言う。

命題 118
K を体(>>82)とし、S ⊂ Ω を K 上分離的(>>247)な元からなるある集合とする。
このとき、K(S)/K は分離的(>>248)である。

証明
K(S) の任意の元 α に対して S の有限部分集合 H があり、α ∈ K(H) となる。
>>271より、K(H)/K は分離的(>>248)である。
よって、α は K 上分離的である。
よって、K(S)/K は分離的である。
証明終

クマはアク禁になるねw

クマったクマったクマった

Kummerの代数的整数論スレは現在パート24まである。
今後も続編が続くだろう。
この過去スレを見たいと思ってる人は多いし、実際金を出して見てる人もいるはず。
つまりKummerは2chの利益に貢献している。

ガロア理論の主定理を最初にズバッと持ってきてくれないかな。
ボトムアップ方式だと話が長いから見ていて疲れるんだよなぁ。

>>277
Galoisの「方程式論」の主定理は>>85です。
現在、Galois理論の主定理または基本定理と呼ばれているのはこれとは違い
有限Galois拡大(>>251) L/K の中間体と G(L/K) (>>251) の部分群がある方法で１対１に
対応するというものです。これから>>85が得られます。
この定理の正確な記述は後で述べますが、ネット上、例えばwikipediaにも載ってます。

命題 119
K ⊂ L ⊂ M を体(>>82)の拡大列とする。
L/K と M/L がそれぞれ有限(>>87)かつ分離的(>>248)なら M/K も有限かつ分離的である。

証明
>>125より、M/K は有限である。
よって、>>268より、[M : K]_s = [M : L]_s[L : K]_s である。
一方、>>88より、[M : K] = [M : L][L : K]

>>269より、[M : L]_s = [M : L] かつ [L : K]_s = [L : K]
よって、[M : K]_s = [M : K]
よって、>>269より M/K は分離的である。
証明終

>>Kummer
おまえ自分で体論のスレ立てたんだからそこでやれよ
ここは皆がガロアについて語るスレだからお前が私物化したらまずいだろボケ

命題 120
K ⊂ L ⊂ M を体の拡大列とする。
L/K と M/L が分離代数的(>>248)なら M/K も分離代数的である。

証明
任意の α ∈ M に対して f(X) を α の L 上の最小多項式(>>116)とする。
f(X) の係数全体の集合を S とする。
>>126より、K(S)/K は有限である。
K ⊂ K(S) ⊂ L で L/K は分離的(>>248)であるから K(S)/K は分離的である。

α の K(S) 上の最小多項式を g(X) とする。
f(X) ∈ K(S) であるから K(S)[X] において f(X) は g(X) で割れる。
f(X) は分離的(>>193)であるから g(X) も分離的である。
よって、α は K(S) 上分離的(>>247)である。
よって、>>271より、K(S)(α)/K(S) は分離的である。

K ⊂ K(S) ⊂ K(S)(α) に>>279を適用すれば K(S)(α)/K は分離的である。
よって、α は K 上分離的である。
α ∈ M は任意であったから M/K は分離的である。
証明終

Kummerに遠慮せずにガロア関連の話題を振ればいいじゃん
話題がないなら無理して振る必要はないがｗ

Kummerさんの記述も時々見てる。　質問があると理解もすすむのよろしく。

命題 121
体の分離代数的(>>248)な拡大(>>82)全体の集合 Ψ は正則(>>136)である。

証明
>>136の 1) は>>260と>>281で証明されている。

>>136の 2) の証明：
E/K を分離代数的(>>248)な拡大(>>82)とし、F/K を K 上の任意の拡大(>>82)とする。
>>270より、E の各元は F 上分離的(>>247)である。
よって、>>273より EF = F(K) は K 上分離代数的である。
証明終

無限次元のGalois拡大(>>251)は近年重要度を増してきている。
よって、無限次元の代数的拡大に関する命題で有限次元の場合と同様に成り立つ命題
(例えば>>177とか>>281)については、なるべく有限次元に制限しないで述べることにしている。
ただし、ここでは>>85の証明が主な目標なので無限次元のGalois理論に深入りはしない予定である。

無限次元のGalois理論についてもどんどんやって欲しいなぁ。
あと、K[x]とかK[x,y]みたいな関数体の拡大理論はどうなるの？

>>286
無限次元のGalois理論は代数的整数論のスレのpart 1に書いてあります。
一変数の関数体 K(X) の有限次代数拡大については代数的整数論のスレで扱う予定。
多変数の関数体 K(X_1、．．．X_n) の代数拡大については代数幾何の範囲なので
今のところ扱う予定はありません。

>>287
レスどうも。期待しています！

命題 122
K を体(>>82)とし、S ⊂ Ω(>>82) を K 上代数的(>>89)な元からなるある集合とする。
このとき K[S] = K(S) (>>91) である。

証明
>>129より、任意の α ∈ K[S] ⊂ K(S) は K 上代数的(>>89)である。
よって、>>119より、K[α] = K(α) である。
よって、α ≠ 0 であれば 1/α ∈ K[α] ⊂ K[S]
よって、K[S] は体である。
よって、K[S] = K(S) である。
証明終

命題 123
K を体(>>82)とする。
E/K を任意の拡大(>>82)とし、F/K を代数的拡大(>>90)とする。
このとき、EF (>>132) = E[F] (>>91) である。
従って、>>133より、EF は α_1β_1 ＋ ．．．＋ α_nβ_n の形の元全体からなる。
ここで、α_1、．．．、α_n は E の元であり、 β_1、．．．、β_n は F の元である。

証明
F の各元は K 上代数的であるから E 上代数的である。
よって、>>289より EF = E[F] である。
証明終

定義 124
(K_i)、i ∈ I を体(>>82)の族とする。
各 K_i を含む最小の体>>82)を (K_i)、i ∈ I の合成体と言う。

命題 125
(K_i)、i ∈ I を体(>>82)の族とする。
K を (K_i)、i ∈ I の合成体(>>291)とする。
I の空でない有限部分集合全体の集合を Φ とする。
S ∈ Φ に対して (K_i)、i ∈ S の合成体を K_S とする。
このとき K = ∪{K_S； S ∈ Φ} である。

証明
L = ∪{K_S； S ∈ Φ} とおく。
S、T ∈ Φ とし、α ∈ K_S、β ∈ K_T とする。
αβ、α + β ∈ K_(S∪T) である。
α ∈ K_S、α ≠ 0 なら 1/α ∈ K_S
よって、L は体である。
各 K_i は L に含まれるから K ⊂ L である。
他方、S ∈ Φ のとき K_S ⊂ K であるから L ⊂ K である。
よって、K = L である。
証明終

定義 126
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
E/K が正規拡大(>>163)となるような体(>>82)全体の集合を Ψ とする。
K~ を K の代数的閉包(>>128)とすると、K~/K は正規拡大(>>163)である。
よって、Ψ は空でない。
N = ∩{E； E ∈ Ψ} は体であり、N/K は正規拡大である。
N を L/K の正規閉包という。

>>Kummer
じゃがあしい、黙っとれや！
しかも間違いだらけやんけ、数学をナメとんかお前はコラァ？

定義 127
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
E(L/K) (>>262) の各元を L/K の共役写像、または L の（K 上の）共役写像または K-共役写像と言う。
各 σ ∈ E(L/K) に対して σ(L) を L の（K 上の）共役体または K-共役体 と言う。
σ(L)/K を L/K の共役と言う。

α ∈ L と各 σ ∈ E(L/K) に対して σ(α) を α の（K 上の）共役または K-共役と言う。

>>Kummer
集合や位相空間を代数的整数論のスレで勉強する事は出来ますか？

>>296
代数的整数論のスレでは大学の数学科の１、２年次程度の知識を仮定しています。
つまり、集合、線型代数、微積分、位相空間、群、環、体の基本的知識を仮定しています。

>>294　はβの仙石カタリ
相変わらず包茎βはくさいやつ

記法
K_1、K_2、．．．、K_n を体(>>82)の有限列とする。
K_1、K_2、．．．、K_n の合成体(>>291)を (K_1)(K_2)．．．(K_n) または Π(K_i； 1 ≦ i ≦ n)
または ΠK_i と書く。

記法
(K_i)、i ∈ I を体(>>82)の族とする。
I が有限集合のとき (K_i)、i ∈ I の合成体(>>291)を Π(K_i； i ∈ I) と書く。

>>Kummer
そうですか。
書く予定は有りますか？

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命題 128
L/K を有限(>>87)な拡大(>>82)とする。
L の K 上の共役体(>>295)全体の合成体(>>291)、即ち>>300の記法で Π(σ(L)； σ ∈ E(L/K)) は
L/K の正規閉包(>>293)である。

証明
M = Π(σ(L)； σ ∈ E(L/K)) とおく。
N を L/K の正規閉包とする。
任意の α ∈ L に対して、その K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
各 σ ∈ E(L/K) (>>262) に対して σ(α) は f(X) の根であるから σ(α) ∈ N である。
よって、σ(L) ∈ N
よって、M ⊂ N である。
次に、任意の τ ∈ E(M/K) (>>262) に対して τ(M) ⊂ M を証明しよう。
>>265より、E(L/K) は有限集合である。
E(L/K) = {σ_1、．．．、σ_n} とする。
>>290より、M は σ_1(x_1)．．．σ_n(x_n) の形の元の有限和である。
ここで、x_1、．．．、x_n は L の元である。

各 σ_i に対して σ_i(L) ⊂ M であるから τσ_i が定義される。
τσ_i ∈ E(L/K) である。
τσ_i = τσ_k とする。
任意の x ∈ L に対して τσ_i(x) = τσ_k(x) である。
τ は単射であるから σ_i(x) = σ_k(x) である。
よって、σ_i = σ_k である。
よって、{τσ_1、．．．、τσ_n} = {σ_1、．．．、σ_n} である。
よって、x_1、．．．、x_n を L の元としたとき
τ(σ_1(x_1)．．．σ_n(x_n)) = τσ_1(x_1)．．．τσ_n(x_n) は M に含まれる。
よって、τ(M) ⊂ M である。
よって、>>154より τ(M) = M である。
よって、>>166より M/K は正規拡大である。
よって、N ⊂ M である。即ち N = M である。
証明終

>>Kummer
うるさい

命題 129
L/K を有限(>>87)な拡大(>>82)とする。
L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91)とする。
各 α_i の K 上の最小多項式(>>116)を f_i(X) とする。
f(X) = Πf_i(X) とおく。
このとき f(X) の K 上の最小分解体(>>149) M は L/K の正規閉包(>>293)である。

証明
N を L/K の正規閉包とする。
>>166より、M/K は正規である。
L ⊂ M であるから N ⊂ M である。
他方、各 f_i(X) は N で分解(>>162)するから M ⊂ N である。
証明終

命題 130
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
L の K 上の共役体(>>295)全体の合成体(>>291) M は L/K の正規閉包(>>293)である。

証明
N を L/K の正規閉包とする。
任意の α ∈ L に対して、その K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
各 σ ∈ E(L/K) (>>262) に対して σ(α) は f(X) の根であるから σ(α) ∈ N である。
よって、σ(L) ∈ N
よって、M ⊂ N である。

次に、任意の τ ∈ E(M/K) (>>262) に対して τ(M) ⊂ M を証明しよう。
E(L/K) の空でない有限部分集合全体の集合を Φ とする。
各 S ∈ Φ に対して K_S = Π(σ(L)； σ ∈ S) (>>300) とおく。
>>292より、M = ∪{K_S； S ∈ Φ} である。
よって、任意の x ∈ M に対して S ⊂ Φ があり、x ∈ K_S である。
S = {σ_1、．．．、σ_n} とする。
>>290より、x は σ_1(x_1)．．．σ_n(x_n) の形の元の有限和である。
ここで、x_1、．．．、x_n は L の元である。
各 σ_i ∈ S に対して σ_i(L) ⊂ M であるから τσ_i が定義される。
τσ_i ∈ E(L/K) である。
よって、T = {τσ_1、．．．、τσ_n} とおけば τ(x) ∈ K_T ⊂ M である。
よって、τ(M) ⊂ M である。
よって、>>154より τ(M) = M である。
よって、>>166より M/K は正規拡大である。
よって、N ⊂ M である。即ち N = M である。
証明終

命題 131
L/K を代数的拡大(>>90)とする。
L = K(S) (>>91)とする。
各 α ∈ S の K 上の最小多項式(>>116)を f_α(X) とする。
このとき (f_α(X))、α ∈ S の K 上の最小分解体(>>150) M は L/K の正規閉包(>>293)である。

証明
N を L/K の正規閉包とする。
>>166より、M/K は正規である。
S ⊂ M であるから L ⊂ M
よって、N ⊂ M である。
他方、各 f_α(X) は N で分解(>>162)するから M ⊂ N である。
よって、N = M である。
証明終

定義 132
L/K を体(>>82)の拡大(>>82)とする。
L = K(α) となる α ∈ L があるとき L/K を単拡大と言う。
α を L/K の原始元または原始要素と言う。

定義 133
L/K を体(>>82)の拡大(>>82)とする。
K ⊂ M ⊂ L となる体 M を L/K の中間体と呼ぶ。

命題 134
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
このとき、L/M はGalois拡大である。

証明
>>172より、L/M は正規である。
>>260より、L/M は分離的である。
よって、L/M はGalois拡大である。
証明終

定義 135
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
H を G(L/K) の部分群とする。
このとき、M = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ H} は明らかに L/K の中間体(>>309)である。
M を H の固定体と呼び L^H と書く。

命題 136
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G = をそのGalois群(>>251)とする。
このとき、K = L^G (>>311) である。

証明
α ∈ L^G とする。
σ ∈ E(K(α)/K) (>>262) とする。
即ち、σ は K-埋め込み(>>122)：K(α) → Ω(>>82) である。
>>148より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
L/K は正規拡大(>>163)だから>>166より、τ ∈ G と見なせる。
τ(α) = α だから σ は K(α) の恒等写像である。
よって、|E(K(α)/K)| = 1
即ち [K(α) : K]_s (>>267) = 1 である。
一方、K(α)/K は分離的であるから>>269より、[K(α) : K]_s = [K(α) : K]
よって、[K(α) : K] = 1
即ち K(α) = K
よって、α ∈ K
よって、K = L^G である。
証明終

>>312はGaloisの基本定理の一部をなす。
その証明には L/K が正規かつ分離的であることが本質的に使われている。
分離的でない正規拡大では>>312は必ずしも成り立たない。

>>312の証明は次のようにしたほうが分かりやすいかもしれない（実質的には同じであるが）。

α ∈ L^G とする。
α が K に含まれないとする。
α の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
>>120より、[K(α) : K] = deg f(X) である。
[K(α) : K] ≧ 2 であるから deg f(X) ≧ 2 である。
L/K は分離的(>>248)であるから f(X) は分離的(>>193) である。
よって、α ≠ β となる f(X) の根 β ∈ L がある。
>>165より、K-同型(>>122) σ：K(α) → K(β) で σ(α) = β となるものが一意に存在する。
>>148より、埋め込み τ：L → Ω(>>82) で σ の拡張となっているものが存在する。
L/K は正規拡大(>>163)だから>>166より、τ ∈ G と見なせる。
よって、τ(α) = σ(α) = β
一方、α ∈ L^G だから τ(α) = α
よって、α = β となって矛盾。

(注) この証明は背理法を使っていて直接的でないので>>312の証明を優先させた
(私の個人的な好みである)。

>>312の証明は>>148を使っているからZornの補題、即ち選択公理を本質的に使っている。
しかし、L/K が有限(>>87)なら>>148の代わりに>>146が使えるから選択公理は必要ない。
L/K が K 上可算無限個の元を添加して得られるなら>>148の代わりに>>147が使える。
>>147では一般の選択公理より弱い可算選択公理を使っている。
K 上可算無限個の元を添加して得られる拡大の重要な例としては次のようなものがある。

例
Ω(>>82)として複素数体をとる。
有理数体を Q とする。
Q の代数的閉包(>>128)を Q~ とする。
Q~ の濃度は可算無限であることが知られている。
よって、Q~ は Q に可算無限個の元を添加して得られる。
Q~/Q は無限次Galois拡大(>>251)である。

命題 137
L/K を有限(>>87)な正規拡大(>>163)とする。
G = Aut(L/K) (>>123) とおく。
このとき、|G| = [L : K]_s (>>267)である。

証明
>>166より、G = E(L/K) (>>262) と見なせる。
よって、|G| = [L : K]_s である。
証明終

命題 138
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
このとき、|G(L/K)| = [L : K] (>>87)である。

証明
L/K は正規拡大(>>163)であるから、>>316より、|G(L/K)| = [L : K]_s である。
L/K は分離的(>>248)であるから>>269より、[L : K]_s = [L : K] である。
証明終

>>312において L/K が有限(>>87)であれば次のような別証がある。

命題 139
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
このとき、K = L^G (>>311) である。

証明
n = [L : K] (>>87) とする。
>>317より、|G| = n である。
M = L^G とおく。
M ≠ K と仮定する。
[M : K] ≧ 2 である。
>>88より、n = [L : M][M : K] である。
よって、[L : M] ＜ n

G ⊂ E(L/M) (>>262)と見なせるから |G| ≦ |E(L/M)|
E(L/M) = [L : M]_s (>>267)である。
L/K は分離的(>>248)であるから>>260より L/M も分離的である。
よって、>>269より、[L : M]_s = [L : M] である。
よって、n ≦ [L : M] となって矛盾である。
証明終

命題 140
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とおく。
このとき、M = L^H (>>311) である。

証明
>>310より、L/M はGalois拡大である。
よって、H は L/M のGalois群である。
よって、>>312より、M = L^H である。
証明終

命題 141
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
L/K の中間体(>>309)全体の集合を Φ(L/K) とし、G の部分群全体の集合を Sub(G) とする。
M ∈ Φ(L/K) に Aut(L/M) ∈ Sub(G) を対応させることにより
写像 ψ：Φ(L/K) → Sub(G) が得られる。
このとき、ψ は単射である。

証明
M、N ∈ Φ(L/K) とし、ψ(M) = ψ(N) = H とする。
>>319より M = L^H、N = L^H
よって、M = N
証明終

命題 142
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
このとき、L/K の中間体(>>309)の個数は有限である。

証明
G を L/K のGalois群(>>251)とする。
>>317より、G は有限群である。
よって、G の部分群の個数は有限である。
よって、>>320より L/K の中間体(>>309)の個数は有限である。
証明終

命題 143
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を分離的(>>193)な多項式とする。
このとき f(X) の最小分解体(>>149) L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。

証明
>>166より、L/K は正規拡大(>>163)である。
f(X) の Ω における根の全体を α_1、．．．、α_n とする。
L = K(α_1、．．．、α_n) である。
各 α_i の K 上の最小多項式(>>116)を g_i(X) とする。
f(X) は g_i(X) で割れるから g_i(X) は分離的(>>193)である。
よって、α_i は K 上分離的(>>247)である。
よって、>>271より、L/K は分離的(>>248)である。
よって、L/K はGalois拡大(>>251)である。
>>126より、L/K は有限(>>87)である。
証明終

命題 144
K を体(>>82)とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の分離的(>>193)な多項式からなる族とする。
このとき (f_i)、i ∈ I の最小分解体(>>150) L/K はGalois拡大(>>251)である。

証明
>>166より、L/K は正規拡大(>>163)である。
各 f_i の Ω(>>82) における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
L = K(S) (>>91) である。
α を S の任意の元とする。
α ∈ S_i となる i ∈ I がある。
α の K 上の最小多項式(>>116)を g(X) とする。
g(X) は f_i(X) を割るから g(X) は分離的(>>193)である。
よって、α は K 上分離的(>>247)である。
よって、>>273より、L/K は分離的(>>248)である。
よって、L/K はGalois拡大(>>251)である。
証明終

命題 145
L/K が分離代数的(>>248)な拡大(>>82)とする。
N を L/K の正規閉包(>>293)とする。
このとき N/K はGalois拡大(>>251)である。

証明
L = K(S) (>>91)とする。
各 α ∈ S の K 上の最小多項式(>>116)を f_α(X) とする。
>>307より、(f_α(X))、α ∈ S の K 上の最小分解体(>>150) は N である。
各 f_α(X) は分離的(>>193)であるから>>323より N/K はGalois拡大である。
証明終

命題 146
L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
N を L/K の正規閉包(>>293)とする。
このとき N/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。

証明
L = K(α_1、．．．、α_n) とする。
各 α_i の K 上の最小多項式(>>116)を f_i(X) とする。
>>307より、(f_i(X))、i ∈ {1、．．．、n} の K 上の最小分解体(>>150) は N である。
各 f_i(X) は分離的(>>193)であるから>>323より N/K はGalois拡大である。
>>126より、N/K は有限(>>87)である。
証明終

ところで、ガロア拡大でない場合のガロア理論ってあるの？

>>326
An extension of Galois theory to non-normal and non-separable fields by N. Jacobson

>>327
レスありがとう。さがしたらこんなのもありました。
A GALOIS THEORY FOR NONCOMMUTATIVE RINGS by H. F. KREIMER

命題 147
K を無限体(>>82)とする。
L/K を有限>>87)な拡大(>>82)とする。
L/K の中間体(>>309)の個数が有限なら L/K は単拡大(>>308)である。

証明(Lang)
L/K の中間体全体の集合を Φ とする。
α、β ∈ L とする。
任意の t ∈ K に対して L_t = K(α + tβ) とおく。
t に L_t を対応させることにより写像 ψ：K → Φ が得られる。
K は無限集合であり、Φ は有限集合である。
よって、ψ は単射ではない。
即ち、t、s ∈ K、t ≠ s があり ψ(t) = ψ(s) となる。
よって、K(α + tβ) = K(α + sβ) となる。
よって、(t - s)β = (α + tβ) - (α + sβ) ∈ K(α + tβ)
t - s ≠ 0 だから β ∈ K(α + tβ)
よって、α = (α + tβ) - tβ ∈ K(α + tβ)
よって、 K(α、β) ⊂ K(α + tβ)
逆の包含関係は明らかだから K(α、β) = K(α + tβ)

L = K(α_1、．．．、α_n) とする。
上記の結果を使って n に関する帰納法により L/K が単拡大であることを示そう。

n = 1 のときは L/K は単拡大である。
n ≧ 2 のとき K(α_1、．．．、α_(n-1)) = K(β) と仮定する。
L = K(β、α_n) である。
よって、上記より L/K は単拡大である。
証明終

>>329の証明より、K(α_1、．．．、α_n)/K の原始要素(>>308) γ として
γ = α_1 + (t_2)α_2 + ．．． + (t_n)α_n の形の元が取れることが分かる。
ここで、t_2、．．．、t_n ∈ K である。

>>329は K が有限体の場合でも成り立つ。
その証明をするため次の命題を用意する。

命題 148
G を位数 n の有限群とする。
n の任意の約数 m ≧ 1に対して方程式 X^m = 1 の解の個数 ≦ m とする。
このとき、G は巡回群である。

証明(Gauss)
n の任意の約数 m ≧ 1 に対して位数 m の G の元の個数を ψ(m) とする。
ψ(m) ≠ 0 とする。
このとき G の位数 m の元 a がある。
本命題の仮定より、a で生成される巡回群 {1, a, ．．．、a^(n-1)} は X^m = 1 の解全体である。
よって、ψ(m) = φ(m) である。
ここで φ(m) はEulerの関数である。
よって、n の任意の約数 m に対して ψ(m) = 0 または ψ(m) = φ(m) である。
一方、n = Σψ(m) である。ここで、Σ は n の約数 m 全体を動く。
同様に n = Σφ(m) である。
よって、n の任意の約数 m に対して ψ(m) = φ(m) でなければならない。
特に ψ(n) = φ(n) であるから G は位数 n の巡回群である。
証明終

命題 149
K を可換体とする。
K の乗法群の有限部分群は巡回群である。

証明
>>331より明らかである。

命題 150
K を有限体(>>82)とする。
L/K を有限>>87)な拡大(>>82)とする。
このとき L/K は単拡大(>>308)である。

証明
L は有限体だから L の乗法群 L^* は有限群である。
よって、>>332より L^* は巡回群である。
その生成元を α とすれば L = K(α) である。
証明終

命題 151
K を体(>>82)とする。
L/K を有限な拡大とする。
L/K の中間体の個数が有限であるためには L/K が単拡大であることが必要十分である。

証明
必要性：
K が無限体の場合は>>329で証明済みである。K が有限体の場合は>>333で証明済みである。

十分性：
L/K が単拡大で、L = K(α) とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式とする。
M を L/K の任意の中間体とする。
α の M 上の最小多項式を g(X) とする。
g(X) の係数の全ての集合を S とする。K(S) ⊂ M である。
α の K(S) 上の最小多項式を h(X) とする。
h(α) = 0 で h(X) ∈ M[X] であるから h(X) は g(X) で割れる。
g(α) = 0 で g(X) ∈ K(S)[X] であるから g(X) は h(X) で割れる。
g(X) と h(X) は両方ともモニックだから g(X) = h(X) である。
よって、[L : K(S)] = [L : M]
一方、>>88より、[L : K(S)] = [L : M][M : K(S)]
よって、[M : K(S)] = 1 だから M = K(S)
よって、M は g(X) から一意に決まる。

一方、f(α) = 0 で f(X) ∈ M[X] だから f(X) は g(X) で割れる。
Ω(>>82) における f(X) の根のすべてを重複度も込めて α_1、．．．、α_n とする。
f(X) = (X - α_1)(X - α_2)、．．．、(X - α_n) である。
g(X) は f(X) を割るから (X - α_i) のいくつかの積である。
よって、可能な g(X) は有限個しかない。
上で見たように L/K の中間体は g(X) から一意に決まるから L/K の中間体は有限個しかない。
証明終

命題 152(原始要素の定理)
L/K を有限>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
このとき L/K は原始要素(>>308)を持つ。
即ち、単拡大(>>308)である。

証明
L/K の正規閉包(>>293)を N とする。
>>325より、N/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。
>>321より、N/K の中間体(>>309)の個数は有限である。
よって、L/K の中間体の個数も有限である。
よって、>>334より、L/K は単拡大である。
証明終

>>Kummer
どの文献を参考にして書いてる？それとも独力で書いてるの？

　　　　　　　　　,ﾝ''"""ﾞ:ヽ
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　　　　　　　 ,;'::::,;' ｼﾞ:::;:::::::::;::::::;:::::::::::::::::::ﾞ''''';;;'""::::::: ::: :::: :: ﾞヾ／ｼ
　　　　　　　ｼ;;:/,ｼ:::::;::::::::::;　:::; :::::; :::::;::　　r--- ､_::::: ::::: :::;::; ::::ﾐ
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　　　　　, -'"::;::::;　　　:::::::::::::::::: ; ::::::;:::::::::::;;彡ﾚ':::::::::::::::::::;:;; 　:,:ﾐ:::　,　　__ ,__）
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　 r'　　, -'""""""　 """''-'-'-';,,,,, ::;::::::;::::: ;::､彡,::彡三ｼﾞ: -ｪﾉ 　　
　 ﾞｰ‐'　　　　　　　　　　　　　　　 ﾞヽ;::;: ::::;　　"'- ､⌒"'''''''"　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾞヽ､:;　　　　　 ﾞ''ヽ,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　"ﾞヽ､　　　　 　 ﾞ;,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾞヽ､　i　ヽ ﾉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｀ｰ'ー'

主に参考にしてるのは以下の著者の代数学の教科書。
しかし、これ等の本は今回これを書くために参考のために開いてみただけで、
熟読したわけではないし、まる写ししてるわけでもない。
自分の頭にあるものとの比較のために参照してるという程度。
例えば Ω(>>82)の中で理論のほぼ全てを展開するというのは私のアイデア。
WeilのFoundation of algebraic geometryのまねだが。
Galois理論に関しては、この中ではLangが一番優れていると思った。

Lang
Bourbaki
Jacobson
Dummit-Foote
van der Waerden

Langの本では私と同様に有限次拡大を無限次代数拡大の特別な場合として扱っている。
これはいいのだが、そのためLangは有限次拡大の場合の証明にもZornの補題を使った>>148を援用している。
論理的には正しいのだが、これはスズメを打ち落とすのに機関銃を使うようなものだろう。
そのため、私は有限次拡大の場合には>>148の代わりに>>146を使うことにしている。

＞例えば Ω(>>82)の中で理論のほぼ全てを展開するというのは私のアイデア。

そんな古臭いやり方、今時誰もやろうとはしないだろうからな。

古臭いかどうかは知らないが、可換体 K の任意の代数拡大 L/K は K の代数的閉包に埋め込まれるから
代数拡大を扱う限り Ω(>>82)の中だけで考えることに何の問題もない。

あほう

お前は間違っとるのや ボケが

さっさと致命的欠陥を修復しろ

謝罪しろ

固定した Ω の中で考えるのが嫌いであれば、このスレで現れる全ての体を Ω の部分体と
考えなければいいだけである。
証明は（必要なら自明な僅かな変更だけで）そのまま成り立つ。
ただし、任意の可換体 K は代数的閉包を持つという定理(後で証明する)を認める必要があるが。

>>Kummer
うるさい、謝れ。

命題 153
L/K を有限(>>87)な拡大(>>82)とする。
>>124より、L/K は代数的(>>90)である。
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
このとき S = {σ(α)； σ ∈ E(L/K) (>>262)} は F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合と一致する。

証明
F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合を T とする。
f(α) = 0 だから、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(f(α)) = f(σ(α)) = 0
よって、σ(α) ∈ T である。
よって、S ⊂ T である。

逆に β ∈ T とする。
>>165より K-同型(>>122) τ：K(α) → K(β) で τ(α) = β となるものが一意に存在する。
>>146より、埋め込み σ：L → Ω で τ の拡張となっているものが存在する。
τ は K-同型であるから σ も K-同型である。
よって、σ ∈ E(L/K) である。
よって、β ∈ S である。
よって、T ⊂ S である。
よって、S = T である。
証明終

命題 154
L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合を T とする。
このとき α が K 上の原始要素(>>308)であるためには
|T| = [L : K] (>>87)となることが必要十分である。

証明
必要性：
α ∈ L が K 上の原始要素であるとする。
n = [L : K] とおく。
L = K(α) であるから >>120より deg F(X) = n である。
L/K は分離的だから F(X) は分離的(>>193)である。
よって、|T| = n である。

十分性：
|T| = n とする。
F(X) は分離的(>>193)だから deg F(X) = n である。
よって、>>120より [K(α) : K] = n である。
よって、L = K(α) である。
証明終

命題 155
L/K を有限>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
α ∈ L に対して S = {σ(α)； σ ∈ E(L/K) (>>262)} とおく。
このとき α が K 上の原始要素(>>308)であるためには
|S| = [L : K] (>>87)となることが必要十分である。

証明
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
>>345より、S は F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合と一致する。
よって、本命題は>>346より直ちに得られる。
証明終

命題 156
L/K を有限>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
α ∈ L とする。
σ ∈ E(L/K) (>>262) に σ(α) ∈ Ω(>>82) を対応させる写像を ψ：E(L/K) → Ω とする。
このとき、α が K 上の原始要素(>>308)であるためには ψ が単射であることが必要十分である。

証明
>>267より、|E(L/K)| = [L : K]_s である。
よって、>>269より、|E(L/K)| = [L : K] である。
よって、本命題は>>347よりより直ちに得られる。
証明終

いいいい」

命題 153
L/K を有限(>>87)な拡大(>>82)とする。
>>124より、L/K は代数的(>>90)である。
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
このとき S = {σ(α)； σ ∈ E(L/K) (>>262)} は F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合と一致する。

証明
F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合を T とする。
f(α) = 0 だから、任意の σ ∈ E(L/K) に対して σ(f(α)) = f(σ(α)) = 0
よって、σ(α) ∈ T である。
よって、S ⊂ T である。

逆に β ∈ T とする。
>>165より K-同型(>>122) τ：K(α) → K(β) で τ(α) = β となるものが一意に存在する。
>>146より、埋め込み σ：L → Ω で τ の拡張となっているものが存在する。
τ は K-同型であるから σ も K-同型である。
よって、σ ∈ E(L/K) である。
よって、β ∈ S である。
よって、T ⊂ S である。
よって、S = T である。
証明終

命題 157
L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
f(X) を α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)とする。
F(X) の Ω(>>82) における根の全体の集合を T とする。
このとき α が K 上の原始要素(>>308)であるためには
|T| = [L : K] (>>87)となることが必要十分である。

証明
必要性：
α ∈ L が K 上の原始要素であるとする。
n = [L : K] とおく。
L = K(α) であるから >>120より deg F(X) = n である。
L/K は分離的だから F(X) は分離的(>>193)である。
よって、|T| = n である。

十分性：
|T| = n とする。
F(X) は分離的(>>193)だから deg F(X) = n である。
よって、>>120より [K(α) : K] = n である。
よって、L = K(α) である。
証明終

命題 158
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G = をそのGalois群(>>251)とする。
このとき、K = L^G (>>311) である。

証明
α ∈ L^G とする。
σ ∈ E(K(α)/K) (>>262) とする。
即ち、σ は K-埋め込み(>>122)：K(α) → Ω(>>82) である。
>>148より、埋め込み τ：L → Ω で σ の拡張となっているものが存在する。
L/K は正規拡大(>>163)だから>>166より、τ ∈ G と見なせる。
τ(α) = α だから σ は K(α) の恒等写像である。
よって、|E(K(α)/K)| = 1
即ち [K(α) : K]_s (>>267) = 1 である。
一方、K(α)/K は分離的であるから>>269より、[K(α) : K]_s = [K(α) : K]
よって、[K(α) : K] = 1
即ち K(α) = K
よって、α ∈ K
よって、K = L^G である。
証明終

>>335は重要なので別証明を与えよう。
そのため次の補題を用意する。

補題 157
K を無限体(>>82)とする。
α_1、．．．、α_n と β_1、．．．、β_n を K の元とする。
各列には元の重複があっても良いとする。
S = {α_1、．．．、α_n}
T = {β_1、．．．、β_n}
とおく。

各α_i と各β_k に対して対 (α_i、β_k) を直積集合 S×T の元とする。
i ≠ k のとき (α_i、β_i) ≠ (α_k、β_k) とする。
このとき、i ≠ k なら常に α_i + cβ_i ≠ α_k + cβ_k となる c ∈ K がある。

証明
i ≠ k のとき方程式 L(i, k)： α_i + Xβ_i = α_k + Xβ_k の K における解を考える。
この方程式は X(β_i - β_k) = α_k - α_i と変形出来る。
β_i - β_k = 0 のときは、本命題の仮定より α_k - α_i ≠ 0 であるから L(i, k) に解はない。
β_i - β_k ≠ 0 のときは、X = (α_k - α_i)/(β_i - β_k) が L(i, k) の唯一の解である。

i ≠ k のとき方程式 L(i, k) の K における解の集合を S(i, k) とする。
上で見たように |S(i, k)| = 0 または 1 である。
S = ∪{S(i, k)；i ≠ k} とする。
S は K の有限部分集合である。
K は無限体だから K の元 c で S に含まれないものがある。
この c が求めるものである。
証明終

>>350
>>351
>>352
は私ではない

>>Kummer
悔しい？

Kummer、すれ違いだ。消えろ。新規にスレ立てろ。

次の命題はGaloisの方程式論において重要である。

命題 158
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f の Ω(>>82) における全ての根の集合を H = {α_1、．．．、α_n} とする。
ここで、α_1、．．．、α_n は互いに異なるとする。
L = K(α_1、．．．、α_n) (>>91)とおく。
即ち L は f(X) の最小分解体(>>149)である。
σ を Aut(L/K) (>>123) の任意の元とすると σ は H の置換を引き起こす。
よって、群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られる。
ここで、S(H) は H 上の置換全体のなす群、即ち H 上の対称群である。
このとき、ψ は単射である。
よって、Aut(L/K) は有限群であり、|Aut(L/K)| ≦ n! である。

証明
各 α_i ∈ H は f(X) の根だから f(α_i) = 0
よって、σ(f(α_i)) = f(σ(α_i)) = 0
よって、σ(α_i) ∈ H である。
よって、σ(H) ⊂ H
σ は単射で H は有限集合だから σ(H) = H である。
よって、σ は H の置換を引き起こす。
これから群の準同型 ψ：Aut(L/K) → S(H) が得られることは明らかである。
σ ∈ Ker(ψ) とする。
各 α_i ∈ H に対して σ(α_i) = α_i である。
L の任意の元 x は α_1、．．．、α_n の K 係数の有理式 P(α_1、．．．、α_n) で表されるから
σ(x) = σ(P(α_1、．．．、α_n)) = P(σ(α_1)、．．．、σ(α_n)) = P(α_1、．．．、α_n) = x
よって、σ = 1 である。
よって、ψ は単射である。
|S(H)| = n! であるから |Aut(L/K)| ≦ n! である。
証明終

>>356
専用スレはあるが、クソ馬鹿が独りでは淋しいらしく、ここにいすわってる。

なるほど。
つまりKummerは承知の上で書いているカスってことか。
数学的間違いも散見されるし、数学を舐めているとしか思えない。

ほんとKummerは荒らしやめろ。

猫

>>361
久しぶりやん

>>359
ニートの老人が勉強の成果を人に見てもらいたくて暴れてる。
コミュニケーション障害。
数学者気分を味わうには、論文の出版、講義が必要だが出来なくて悶々とする日々。

>>Kummer
交渉に応じましょう。

>>363
そういう事で文句を言うたらアカン。ニートである事なんかはどうでも
エエのや。加えて講義をスル事もどうでもエエのや。まあ論文を書いて
る事はソコソコ必要やろナ。そやけどその出版も必要アラヘン。要は自
分の頭をちゃんと使うてる事だけが重要なだけや。

猫

>>365
聞きたくも無い者に強引に聞かせるのほ間違いだ。

荒らし仲間を支援する

　　　　∧__∧
　　　 (´･ω･｀) 　　知らんがな。
　　　.ノ^　yヽ、
　　　ヽ,,ﾉ==l ﾉ
　　　　/ 　l |
"""~""""""~"""~"""~"

>>365
独学だと間違いにも気付きにくいしねー

>>365
お前は使ってないよな、頭。

カルチャーセンターかNHK学園池。
お門違いだ。

>>366
そんな事はアラヘン。ココは誰でも書き込める自由掲示板やさかいナ。
そやしそういう文句を言うんやったらアンタ等かて同罪や。アンタ等か
て好き勝手な事をカキコしてるんやからナ。

猫

>>353は間違いではないが使用するのに不便なので次のように変更する。

補題 158
K を無限体(>>82)とし、L/K を K の任意の拡大(>>82)とする。
α_1、．．．、α_n と β_1、．．．、β_n を L の元とする。
各列には元の重複があっても良いとする。
S = {α_1、．．．、α_n}
T = {β_1、．．．、β_n}
とおく。

各α_i と各β_k に対して対 (α_i、β_k) を直積集合 S×T の元とする。
i ≠ k なら常に (α_i、β_i) ≠ (α_k、β_k) とする。
このとき、i ≠ k なら常に α_i + cβ_i ≠ α_k + cβ_k となる c ∈ K がある。

証明
i ≠ k のとき方程式 R(i, k)： α_i + Xβ_i = α_k + Xβ_k の L における解を考える。
この方程式は X(β_i - β_k) = α_k - α_i と変形出来る。
β_i - β_k = 0 のときは、本命題の仮定より α_k - α_i ≠ 0 であるから
R(i, k) は L に解をもたない。
β_i - β_k ≠ 0 のときは、X = (α_k - α_i)/(β_i - β_k) が R(i, k) の L における唯一の解である。

i ≠ k のとき方程式 R(i, k) の K における解の集合を S(i, k) とする。
上で見たように |S(i, k)| = 0 または 1 である。
S = ∪{S(i, k)；i ≠ k} とする。
S は L の有限部分集合である。
K は無限体だから K の元 c で S に含まれないものがある。
この c が求めるものである。
証明終

ところで、グロﾀﾝのガロア理論に詳しい本ないですか？

出番だ教えたれ。
ついでにクマのお勉強の添削もお前がやれ。

>>373
いや、間違いだってば。謝罪しろ

>>Kummer
君、学歴は？

>>Kummer
君、仕事は？

>>Kummer
君、家庭は？

>>356
キミは代数的整数論のスレでも荒らしていただろう。
いいかい？この板ではKummerさんのような人こそが必要とされている。
何故なら、賢い人は、当にKummerさんのような、数学的中身のある書き込みを読むために来ていると思われるからです。

>>356
具体的に間違いを指摘して、さらにそれが批判に耐えて、初めて認められる。
そうでなければ、黙殺されるだけだよ。

熊支援アゲ

>>335の別証明を与えよう。

命題 152(原始要素の定理)
L/K を有限(>>87)かつ分離的(>>248)な拡大(>>82)とする。
このとき L/K は原始要素(>>308)を持つ。

証明
K が有限体の場合は>>333で証明済みであるから K は無限体であると仮定する。
>>329と同様の理由から L = K(α、β) のときに本命題を証明すれば良い。
n = [L : K] (>>87) とする。
L/K は分離的だから>>269より、n = [L : K]_s である。
よって、[L : K]_s の定義(>>267)より n = |E(L/K)| (>>262)である。
E(L/K) = {σ_1、．．．、σ_n} とする。
即ち、各 σ_i は K-埋め込み(>>122) L → Ω(>>82)である。
L = K(α、β) であるから、各 i に対して σ_i は σ_i(α) と σ_i(β) で決まる。
即ち、σ_i(α) = σ_k(α) かつ σ_i(β) = σ_k(β) であれば σ_i = σ_k である。
よって、i ≠ k のとき直積集合 Ω×Ω の元として
(σ_i(α)、σ_i(β)) ≠ (σ_k(α)、σ_k(β)) である。
よって、>>373を拡大 Ω/K に適用して i ≠ k なら常に
σ_i(α) + cσ_i(β) ≠ σ_k(α) + cσ_k(β) となる c ∈ K がある。
よって、σ_i ∈ E(L/K) に σ_i(α + cβ) = σ_i(α) + cσ_i(β) を対応させる写像
ψ：E(L/K) → Ω は単射である。
よって、>>348より α + cβ は L の K 上の原始要素である
証明終

神々の愛でし人がなぜ死ななければならなかったのか？
単なるバカではなかったのか？

>>382=Kummer

与えんでいい。黙ってろ。

>>384
荒らすな、数学嫌い

>>385
こんな糞くだらない記述から学ぶことはないね
お前にはKummerが何を書いているかさっぱり分かっていないんだね
ゴミだよこれ

糞熊はとっとと別スレたてろ
スレ違いなんだよボケが

              
            
          
        
      
    
  


>>388
そうだ。その通りだ。

Kummer＜別証明を与えよう（どやっ

Kummerは相当悔しいようだね。
今なら交渉に応じよう。

>>380
　べろべろばー　　　　　　うほほほほ
　　　おチンチンびろーん ∩＿＿＿∩
　　 ∩＿＿＿∩　　　　　 | ノ　 ○─○ヽ_∩＿＿∩　にひゃひゃひゃひゃひゃ
　　 | ノ　　　　　 ヽ/⌒)　 /　 ／3　　　3　|　 　　　　ヽ　
　 /⌒) (ﾟ)　　　(ﾟ)　|　.| 　 |　　　　( _●_)　|o⌒　　⌒o|
　/　/　 　( _●_)　 ミ/∩―−、　　 |∪|　/⌒（_●_)⌒ ミ
.（　　ヽ　　|∪|　　／ ／　(ﾟ)　､_ ｀ヽ ヽノ　|　　 |∪|　　／
　＼　　　 ヽノ　/ 　/　　(　●　 (ﾟ) |つ 　∩.　　ヽノ∩
　 /　　　　　　/　　|　／(入__ノ 　 ミ　　　| ノ⌒　　⌒ヽ
　|　　　_つ　 / 　　　､　(＿／　　　 ノ　　/　　（。）（ﾟ）|　　　　　
　|　 /UJ＼　＼　　　＼＿＿＿　ノﾞ ─ｰ|　　(⌒＿●⌒)ミ 　　　　　
　|　/ 　　　 )　 )　　　　＼ 　　　　　　＿彡､/ |Ｕ　　ＵＵ_/ 　　　 　
　∪　 　　 （　 ＼　　　　　＼　　　　　＼ 　　| | 　　　　||
　　　　 　　 ＼＿) あびゃばばばだーん　.　.| |ｎn　_nn||　　ぐへへへへへへ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿＿＿）

おまいら分かって無いな。
クマが居たいという所がクマの隔離病棟なんだよ。

ここは、クマが勉強ノートに使うと決定したんだ。
あきらめて、このスレは放棄しろ愚民ども。

Galoisは "Sur les conditions de resolubilite des eqations par radicaux"
（方程式が冪根で解けるための条件について）という論文（前書きに1831年1月16日の日付がある）に
おいて次の命題（元論文では Lemme II）を証明なしで提示している（我々の用語に書き換えて述べる）。

命題
Ω(>>82)の標数(>>192)を 0 とする。
K を体(>>82)とし F(X) を K 係数の分離的(>>193)な多項式とする。
F(X) の Ω(>>82)における根の全体を α_1、．．．、α_n とする。
集合 {α_1、．．．、α_n} の置換全体の群、即ちこの集合上の対称群を G とする。
このとき K の元の列 c_1、．．．、c_n が存在し、次の条件を満たす。
σ ∈ G に (c_1)σ(α_1) + ．．．+ (c_n)σ(α_1) を対応させる写像 ψ：G → Ω は
単射となる。

Galoisはこの命題によって F(X) の K 上の分解体 K(α_1、．．．、α_n) は
K 上の単拡大(>>308)であることを証明している。

この命題を証明しよう。
但し、Ω の標数が 0 という条件を緩めて K が無限体であると仮定する。

うるさいって言ってるだろうが
スレ違いなんだよお前は

>>396
>>393

>>395
　　　 .l''',!　　　　 .r-、　　　　　 .,､�＝@　　　　　　.l''',!　　　　 ./ｰ､,,,_　　　　 .r-，
　　 .广''''″.¨ﾞﾞ!　 .,,,丿 {,,､､，　　.ｖ-lﾞ .!-ｒ/i､　　广''''″.¨ﾞﾞ!　　　.!､,　　lﾞ　　　　 | .｝　,,
　　 .ﾞl---， ぃ"　 .|　　　　 .|　　 .|　　 _,,{ﾞl .ヽ　 ヽ--i､ .ぃ"　　.,,,,,,,,二ｉ"　　 .,..-" .ヽl、ﾞl
　　 r---┘.―'i､　"',! ./ﾆﾆﾆ、　 ￣| .Ｌ,,,,,ﾞl,,i´ .r---┘.―'i､　 .|　　　 :,!　　 |　　　　.l　.|、
　　 |＿＿　._,,,,｝　　ﾉ .| |　　 lﾞ　　.／　　　ﾞ'i､　.|＿＿　._,,,,｝　　"''''ﾂ ./　　　"''ﾄ .|ﾞi､ ||、ﾞl
　　　.,―-" |　　　 .ﾉ .lﾞ `"ﾞﾞﾞ'"　 ,i´,�〕ﾞﾞ^'i､ |　　.,―-" |　　　　 ../　 `i､　　　 lﾞ ,lﾞ |　|.ﾞl.,ﾉ
　　 .lﾞ .,,,,,,　.＼　　.lﾞ .lﾞ ,，　　　 .lﾞ .|.｝ |　　| .|　 / .,,,,,,　.＼　　 ../　.,.i､ |　　　 lﾞ .lﾞ .| .,! .゛
　　 |　し,,lﾞ .、 ﾞ,!　,lﾞ ,lﾞ.i".ﾞﾞ'''''"!　ﾞl .″.|.,!'''゛ lﾞ　 | .lﾞ,,,,lﾞ .、 ﾞ,!　,/｀／ .| ."'ﾞﾞl　./ .lﾞr┘,lﾞ
　　 .ﾞl,　　.,/｀∪　 ﾞ〃 .`ｰ--丿　.ﾞ'--ヽ{,,,.／　 .ﾞl,,　　_/｀∪　.ﾞl.,i´　 .!,_,,,／ .lﾞ../ |　.,i´

　　　∩＿＿＿∩　　　　　/ﾞﾐヽ､,,___,,／ﾞヽ
　　　| 丿　　　　　ヽ　　　　i ノ　　 　 　 ｀ヽ'
　　/　　○　　　○ |　　　 /　｀(○)　 (○)´i､　　先生助けてっ！、
　　|　U　　( _●_) 　ミ　 彡,U　ミ(__,▼_)彡ミ　　　昨日まで機能していたスレが
　彡､　　　　|∪|　,,/　　　,へ､,　　 |∪|　　/ﾞ　　　　　　　熊の落書きで息をしてないの！！
　/　　ヽ　　ヽノ 　ヾ_,,..,,,,_ /　 '　　ヽノ ｀/´ ヽ
　|　　　　　　ヽ 　./ ,' 3　 `ヽｰっ　　/　　　　 |
│　　　ヾ　　　 ヾl　　 ⊃　⌒_つ ソ　　　 　 │
│　　　　＼,,＿＿`'ｰ-⊃⊂'''''"＿＿,,,ノ　　　|

代数は美しいね

クマは現代思想のガロア特集にでも寄稿してくれ。

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






KISSME

ガロア支援

Kummer

総スカン

ワシはKummer氏を徹底的に支持しますのや。そやし総スカンとは違うワ。
ワシが攻撃するんはあくまでも馬鹿共やしナ。

猫

おまえもクマも他所でやれ。
専用スレもある。
体論 Part 1
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1320762869/

ここに居座るのは何故か？
そんなに聴衆が欲しいか？

>>407
早く添削してやれよ。
間違いの指摘、修正をクマが待ってるぞ。

姉妹すれ
猫は朝鮮人 Part 2
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1318861415/

>>409
私はそういう事は一切しません。悪しからず。

猫

補題 159
n ≧ 1 を整数とする。
K を抽象体(>>197)とし、|K| ≧ n + 1 とする。
V を K 上の線型空間とする。
W_1、．．．、W_n を V の線型部分空間とし、V = W_1∪．．．∪W_n とする。
このとき V = W_i となる i がある。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 なら自明である。
n ≧ 2 とする。
W_n ⊂ W_1∪．．．W_(n-1) なら V = W_1∪．．．W_(n-1) となり帰納法の仮定より本補題は成り立つ。
よって、W_n は W_1∪．．．W_(n-1) に含まれないと仮定してよい。
W_n の元 x で W_1∪．．．W_(n-1) に含まれないものがある。
任意の y ∈ V を取る。
任意の t ∈ K に対して x + ty ∈ W_i となる i (1 ≦ i ≦ n) がある。
t ∈ K にこの i を対応させることにより写像 ψ：K → {1、．．．、n} が得られる。
|K| ≧ n + 1 だから ψ は単射ではない。
よって、ψ(t) = ψ(s) となる t、s ∈ K、s ≠ t がある。
ψ(t) = i とすれば、x + ty と x + sy は W_i に含まれる。
よって、(x + ty) - (x + sy) = (t - s)y ∈ W_i
t - s ≠ 0 だから y ∈ W_i
よって、x = (x + ty) - ty ∈ W_i
x は W_1∪．．．W_(n-1) に含まれないから、i = n である。
よって、y ∈ W_n
y は V の任意の元だから V = W_n である。
証明終

補題 160
K を無限個の要素からなる体(>>82)とする。
L/K を拡大(>>82)とする。
L[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
i = 1、2、．．．、m (m ≧ 1)に対して
R_i = α_(i, 1)X_1 + ．．． + α_(i, n)X_n を L[X_1、．．．、X_n] の 0 でない元とする。
各 i に対して R_i = 0 の K^n における解の集合を W_i とする。
このとき K^n ≠ W_1∪．．．∪W_m である。

証明
各 i に対して W_i は K^n の K-線型部分空間である。
e_1、．．．、e_n を K^n の標準基底とする。
即ち、e_i の第 k-成分は i = k のとき 1、i ≠ k のとき 0 である。
各 i に対して e_k が R_i = 0 の解であれば α_(i, k) = 0 である。
よって、K^n = W_i なら R_i = 0 となり、仮定に反する。
よって、K^n ≠ W_i である。
よって、>>412より K^n ≠ W_1∪．．．∪W_m である。
証明終

神々のあいでし人ガロイス　　

くんまーさん、

がんばれ

>>412
像 ψ：K → {1、．．．、n} の構成には選択公理が必要である。
選択公理の使用を避けるには K の有限部分集合 S で |S| = n + 1 となるものを取り、
t ∈ S に対して x + ty ∈ W_i となる i ∈ {1、．．．、n} を対応させることにより
写像 ψ：K → {1、．．．、n} を定義すればよい。

>>413
この補題は>>412の直接の帰結であるから、
K は無限体でなくても |K| ≧ m + 1 でありさえすればこの補題は成り立つ。

>>413は次のように n に関する帰納法を使っても証明出来る。

n = 1 のときは W_1 = W_2 = ．．． = W_n = {0} であるから
K ≠ W_1∪．．．∪W_m である。
n ≧ 2 とする。
I = {1、2、．．．、m} とおき、α_(i, n) = 0 となる i ∈ I の全体を J とする。
J が空なら (c_1、．．．、c_(n-1)) として K^(n-1) の任意の元を取る。
J が空でないなら帰納法の仮定より全ての i ∈ J に対して
α_(i, 1)c_1 + ．．． + α_(i, (n-1))c_(n-1) ≠ 0 となる
(c_1、．．．、c_(n-1)) ∈ K^(n-1) がある。

次に c_n ∈ K を以下のように選ぶ。
I - J が空なら c_n として K の任意の元をとる。
I - J が空でないなら i ∈ I - J のとき α_(i, n) ≠ 0 であるから
α_(i, 1)c_1 + ．．． + α_(i, (n-1))c_(n-1) + α_(i, n)d_n = 0 となる d_n は一意に決まる。
K は無限体であるから、全ての i ∈ I - J に対して
α_(i, 1)c_1 + ．．． + α_(i, (n-1))c_(n-1) + α_(i, n)c_n ≠ 0 となる c_n ∈ K が存在する。

いづれの場合も全ての i ∈ I に対して
α_(i, 1)c_1 + ．．． + α_(i, (n-1))c_(n-1) + α_(i, n)c_n ≠ 0 となる。
即ち、(c_1、．．．、c_n) ∈ K^n - (W_1∪．．．∪W_m) である。
よって、K^n ≠ W_1∪．．．∪W_m である。

補題 161
K を無限個の要素からなる体(>>82)とし、L/K を拡大(>>82)とする。
α_1、．．．、α_n (n ≧ 2)を L の元で相異なるとする。
集合 {α_1、．．．、α_n} の置換全体の群、即ちこの集合上の対称群を G とする。
このとき K の元の列 c_1、．．．、c_n が存在し、次の条件を満たす。
σ ∈ G に (c_1)σ(α_1) + ．．．+ (c_n)σ(α_1) を対応させる写像 ψ：G → L は
単射となる。

証明
σ ∈ G に対して R_σ[X_1、．．．、X_n] = σ(α_1)X_1 + ．．．+ σ(α_n)X_nとおく。
R_σ[X_1、．．．、X_n] ∈ L[X_1、．．．、X_n] である。
G の各元を任意に並べ、G に全順序関係 ≦ を入れる。
G の部分集合 P で |P| = 2 となるもの全体の集合を Φ とする。
{σ、τ} ∈ P、σ ＜ τ のとき
R_{σ、τ}[X_1、．．．、X_n] = R_σ[X_1、．．．、X_n] - R_τ[X_1、．．．、X_n] とする。
α_1、．．．、α_n は相異なるから R_{σ、τ}[X_1、．．．、X_n] ≠ 0 である。
よって、>>413より (c_1、．．．、c_n) ∈ K^n があり、全ての {σ、τ} ∈ P に対して、
R_{σ、τ}[c_1、．．．、c_n] ≠ 0 となる。
この c_1、．．．、c_n が求めるものである。
証明終

>>420
R_σ[X_1、．．．、X_n] などは R_σ(X_1、．．．、X_n) と書くべきだった。

補題 162
K を無限個の要素からなる体(>>82)とし、L/K を拡大(>>82)とする。
f(X_1、．．．、X_n) を n 変数多項式環 L[X_1、．．．、X_n] の 0 でない元とする。
このとき、(c_1、．．．、c_n) ∈ K^n で f(c_1、．．．、c_n) ≠ 0 となるものが存在する。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のとき f(X_1) は L において有限個(零個の可能性もある)の解をもつ。
K は無限体だから f(c_1) ≠ 0 となる c_1 ∈ K がある。
n ≧ 2 とする。
f(X_1、．．．、X_n) = g_0(X_n)^r + g_1(X_n)^(r-1) + ．．． + g_r とする。
ここで、各 g_i ∈ L[X_1、．．．、X_(n-1)] で、g_0 ≠ 0 である。
帰納法の仮定より、g_0(c_1、．．．、c_(n-1)) ≠ 0 となる (c_1、．．．、c_(n-1)) ∈ K^(n-1) がある。
このとき、f(c_1、．．．、c_(n-1)、X_n) ≠ 0 は L[X_n] の元であるから n = 1 の場合より
f(c_1、．．．、c_(n-1)、c_n) ≠ 0 となる c_n ∈ K がある。
証明終

>>420
>{σ、τ} ∈ P、σ ＜ τ のとき

{σ、τ} ∈ Φ、σ ＜ τ のとき

>よって、>>413より (c_1、．．．、c_n) ∈ K^n があり、全ての {σ、τ} ∈ P に対して、

よって、>>413より (c_1、．．．、c_n) ∈ K^n があり、全ての {σ、τ} ∈ Φ に対して、

>>420の別証明

σ ∈ G に対して R_σ(X_1、．．．、X_n) = σ(α_1)X_1 + ．．．+ σ(α_n)X_nとおく。
R_σ(X_1、．．．、X_n) ∈ L[X_1、．．．、X_n] である。
G の各元を任意に並べ、G に全順序関係 ≦ を入れる。
G の部分集合 P で |P| = 2 となるもの全体の集合を Φ とする。
{σ、τ} ∈ P、σ ＜ τ のとき
R_{σ、τ}(X_1、．．．、X_n) = R_σ(X_1、．．．、X_n) - R_τ(X_1、．．．、X_n) とする。
α_1、．．．、α_n は相異なるから R_{σ、τ}(X_1、．．．、X_n) ≠ 0 である。

f(X_1、．．．、X_n) = ΠR_{σ、τ}(X_1、．．．、X_n) とおく。
ただし、Π は全ての {σ、τ} ∈ Φ に渡るものとする。
f(X_1、．．．、X_n) ≠ 0 であるから、>>422より
(c_1、．．．、c_n) ∈ K^n で f(c_1、．．．、c_n) ≠ 0 となるものが存在する。
この c_1、．．．、c_n が求めるものである。

>>395は>>420から直ちに得られる。
しかし、>>395のGaloisの証明は>>424に近いのではないか？

>>395を改めて述べよう。

命題 163
K を無限個の要素を持つ体(>>82)とし f(X) を K 係数の分離的(>>193)な多項式とする。
f(X) の Ω(>>82)における根の全体を α_1、．．．、α_n とする。
集合 S = {α_1、．．．、α_n} の置換全体の群、即ちこの集合上の対称群を Sym(S) とする。
このとき K の元の列 c_1、．．．、c_n が存在し、次の条件を満たす。
σ ∈ Sym(S) に (c_1)σ(α_1) + ．．．+ (c_n)σ(α_1) を対応させる写像 ψ：Sym(S) → Ω は
単射となる。

証明
>>420より明らかである。

>>425
近くねぇよ馬鹿

>>426
改めて述べるなボケ

test

>>428
うるせぇ、謝罪しろ

ちんちん

命題 164
K を体(>>82)とし f(X) を K 係数の分離的(>>193)な多項式とする。
f(X) の Ω(>>82)における根の全体を α_1、．．．、α_n とする。
このとき拡大 K(α_1、．．．、α_n)/K は原始要素(>>308)を持つ。

証明
K が有限体の場合は>>333で証明済みであるから K は無限体であると仮定する。
L = K(α_1、．．．、α_n) と置く。
S = {α_1、．．．、α_n} とする。
S 上の対称群を Sym(S) とする。
>>426より、K の元の列 c_1、．．．、c_n が存在し、
s ∈ Sym(S) に (c_1)s(α_1) + ．．．+ (c_n)s(α_1) を
対応させる写像 ψ：Sym(S) → Ω は単射である。
θ = (c_1)(α_1) + ．．．+ (c_n)(α_1) とおく。
>>249より、各σ ∈ Aut(L/K) は S の置換を引き起こす。
よって、群の準同型 φ：Aut(L/K) → Sym(S) が得られる。
このとき>>249より φは単射である。
よって、ψφ：Aut(L/K) → Ω は単射である。
σ ∈ Aut(L/K) のとき、
ψφ(σ) = (c_1)σ(α_1) + ．．．+ (c_n)σ(α_1) = σ(θ) である。
一方、L/K は正規拡大(>>163)だから>>166より
E(L/K) (>>262) = Aut(L/K) (>>123) である。
>>322より、L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。
特に L/K は分離的(>>248)である。
よって、>>348より θ は L/K の原始要素である。
証明終

>>373
この補題は>>424と同様なアイデアでも証明出来る。
f(X) = Π((α_i + Xβ_i) - (α_k + Xβ_k))、i ＜ k とおけば
f(X) ≠ 0 であるから、K の元 c で f(c) ≠ 0 となるものがある。
この c が求めるものである。

定義 165
K を体(>>82)とし、α ∈ Ω(>>82) を K 上代数的(>>90)とする。
α の K 上の最小多項式の次数を α の次数と言い、deg α または deg(α) と書く。
>>120より [K(α) : K] = deg α である。

Artinの定理(後述)を証明するために次の補題を用意する。

補題 166(Lang)
L/K を分離代数的(>>248)な拡大(>>82)とする。
整数 n ≧ 1 があり、任意の α ∈ L の次数(>>433) ≦ n であれば [L : K] ≦ n である。

証明
仮定より次数(>>433)が最大となる α ∈ L が存在する。
任意の β ∈ L に対して>>126と>>271より K(α、β)/K は有限(>>87)かつ分離的(>>248)ある。
よって、>>335より K(α、β) = K(θ) となる θ ∈ K(α、β) がある。
>>120より [K(α、β) : K] = deg θ (>>433) である。
一方、deg α = [K(α) : K] ≦ [K(α、β) : K] = deg θ ≦ deg α
よって、[K(α) : K] = [K(α、β) : K]
よって、K(α) = K(α、β)
よって、β ∈ K(α)
β は L の任意の元だったから L = K(α)
よって、[L : K] = deg α ≦ n である。
証明終

定義 167
K を体(>>82)とする。
同型(>>121) K → K を K の自己同型と呼ぶ。
K の自己同型全体は群をなす。
この群を K の自己同型群と呼び Aut(K) と書く。

>>435
K を体(>>82)とする。→すんな
同型(>>121) K → K を K の自己同型と呼ぶ。→呼ぶな
K の自己同型全体は群をなす。→なさない
この群を K の自己同型群と呼び Aut(K) と書く。→書くな

分かったか

馬鹿が無駄な抵抗してるワ。あ〜オモロ。

猫

命題 168(Artinの定理)
L を体(>>82)とする。
G を Aut(L) (>>435)の有限部分群とする。
K = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ G} は L の部分体である。
このとき L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)であり、
そのGalois群(>>251)は G である。

証明
|G| = n とする。
K が L の部分体であることは明らかである。
任意の α ∈ L に対して、H = {σ ∈ G； σ(α) = α} は G の部分群である。
σ_1、．．．、σ_m を H を法とする左剰余類の集合 G/H の完全代表系とする。
このとき σ_1(α)、．．．、σ_m(α) は相異なる。
任意の σ ∈ G に対して σσ_1、．．．、σσ_m は G/H の完全代表系である。
よって、{σσ_1(α)、．．．、σσ_m(α)} は集合として
{σ_1(α)、．．．、σ_m(α)} と同じである。
L[X] の元 f(X) = (X - σ_1(α))．．．(X - σ_m(α)) を考える。
f(X) の X^m 以外の項の各係数は σ_1(α)、．．．、σ_m(α) の対称式であるから
任意の σ ∈ G の作用で不変である。
よって、f(X) ∈ K[X] である。
f(X) は分離的(>>193)だから α は K 上分離的(>>247)である。
deg α ≦ n であるから、>>434より [L : K] ≦ n である。
f(X) は L において１次式の積に分解するから L/K は正規拡大(>>163)である。
よって、L/K はGalois拡大(>>251)である。
G の各元は K-埋め込み(>>122)であるから n ≦ [L : K]_s (>>267)である。
L/K は分離的であるから >>269より、[L : K]_s = [L : K] である。
よって、n ≦ [L : K] である。
よって、n = [L : K] である。
よって、G は L/K のGalois群である。
証明終

>>438
長いわボケ

熊+ガロワ支援age

>>439
無駄やクズ

猫

>>439
低脳ボケ。存在の意味ナシ。

猫

>>439
早く消滅シロ。オマエには墓石も勿体無いワ。精々いいとこ無縁仏や。

猫

>>439
低知能屑。

猫

年上に逆らうな、馬鹿者！

>>445
年上でも踏みつけにして良い典型例がオマエや。そやけどオマエに対して
は徹底無視が相当やナ。オマエの主張はその全部が嘘やったからや。

猫

今の若い奴は理屈で年長者を
打ち負かせば良い。
年齢は関係ない。

>>447
年寄りとは従うモノではなくて利用するモノ。

猫

>>438への補足
>よって、n = [L : K] である。
>よって、G は L/K のGalois群である。

>>317より、|G(L/K)| = [L : K] である。
よって、n = [L : K] より |G(L/K)| = n = |G|
G ⊂ G(L/K) であるから G = G(L/K) である。

命題 169
L/K を拡大(>>82)とする。
以下の条件は互いに同値である。

1) L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。

2) L は 分離的(>>193)な多項式 f(X) ∈ K[X] の最小分解体(>>149)である。

3) Aut(L) の有限部分群 G があり K = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ G}

4) L/K は有限であり、K = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ Aut(L/K)}

証明
1) ⇒ 2)
>>253より、g(X) ∈ K[X] があり、 L は g(X) の最小分解体である。
g(X) の K[X] における相異なる既約因子の全体を f_1(X)、．．．、f_m(X) とする。
f(X) = f_1(X)．．．f_m(X) とおくと、L は f(X) の最小分解体である。
L/K は分離的(>>248)であるから、各 f_i(X) は分離的(>>193)である。
よって、f(X) は分離的である。

2) ⇒ 1)
>>322で証明済みである。

1) ⇒ 4)
>>312で証明済みである。

4) ⇒ 3)
>>265より Aut(L/K) は有限群である。

3) ⇒ 1)
>>438で証明済みである。
証明終

命題 170(Galois理論の基本定理)
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
L/K の中間体(>>309)全体の集合を Φ(L/K) とし、G の部分群全体の集合を Sub(G) とする。
M ∈ Φ(L/K) に Aut(L/M) (>>123) ∈ Sub(G) を対応させることにより
写像 ψ：Φ(L/K) → Sub(G) が得られる。
H ∈ Sub(G) に L^H (>>311)を対応させることにより、写像 φ：Sub(G) → Φ(L/K) が得られる。
このとき、ψ と φ は互いに逆写像である。

証明
φψ が恒等写像であることは>>319で証明されている。
ψφ が恒等写像であることはArtinの定理(>>438)より明らかである。
証明終

>>451
ψφ が恒等写像であることはArtinの定理(>>438)を使わなくても次のようにして証明される。

H ∈ Sub(G) に対して M = L^H (>>311)とおく。
このとき、H = Aut(L/M) を証明すればよい。

>>310より、L/M はGalois拡大である。
よって、>>317より、|Aut(L/M)| = [L : M] である。
原始要素の定理(>>335)より L = M(θ) となる θ がある。
θ の M 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
g(X) = Π(X - σ(θ)) とおく。ここで σ は H の元全体を動く。
g(X) の係数は σ(θ)、σ ∈ H の対称式であるから H の各元で不変である。
よって、g(X) ∈ M[X] である。
g(θ) = 0 であるから g(X) は f(X) で割れる。
よって、|H| = deg g(X) ≧ deg f(X)
一方、>>120より deg f(X) = [L : M] であるから |H| ≧ [L : M] = |Aut(L/M)|
他方 H ⊂ Aut(L/M) であるから |H| ≦ Aut(L/M)
よって、|H| = |Aut(L/M)|
よって、H = Aut(L/M) である。

命題 171
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois(>>251)とする。
α ∈ L の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
β を L における f(X) の任意の根とする。
このとき σ ∈ G(L/K) (>>123)で σ(α) = β となるものがある。

証明
>>159より明らかであるが>>452で使ったテクニックを使用して証明しよう。
g(X) = Π(X - σ(α)) とおく。ここで σ は G の元全体を動く。
g(X) の係数は σ(α)、σ ∈ G の対称式であるから G の各元で不変である。
よって、>>318より、g(X) ∈ K[X] である。
g(α) = 0 であるから g(X) は f(X) で割れる。
よって、g(β) = 0 である。
よって、β = σ(α) となる σ ∈ G(L/K) がある。
証明終

命題 172
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois(>>251)とする。
L/K の中間体(>>309)全体の集合を Φ(L/K) とし、G の部分群全体の集合を Sub(G) とする。
L/K の中間体 M に対して ψ(M) = Aut(L/M) とおく。
M ∈ Φ(L/K) に Aut(L/M) (>>123) ∈ Sub(G) を対応させることにより
写像 ψ：Φ(L/K) → Sub(G) が得られる。
H ∈ Sub(G) に L^H (>>311)を対応させることにより、写像 φ：Sub(G) → Φ(L/K) が得られる。

このとき以下が成り立つ。

1)
M_1、M_2 ∈ Φ(L/K)、M_1 ⊂ M_2 のとき ψ(M_1) ⊃ ψ(M_2)
H_1、H_2 ∈ Sub(G)、H_1 ⊂ H_2 のとき φ(H_1) ⊃ φ(H_2)

2)
M ∈ Φ(L/K) と H ∈ Sub(G) に対して
ψ(M) ⊂ H ⇔ M ⊃ φ(H)

証明
1) は自明である。

2)
ψ(M) ⊂ H とする。
1) より φψ(M) ⊃ φ(H) であるが>>451より φψ(M) = M である。
よって、M ⊃ φ(H)

逆に M ⊃ φ(H) とする。
1) より ψ(M) ⊂ ψφ(H) であるが>>451より ψφ(H) = H である。
よって、ψ(M) ⊂ H
証明終

>>Kummer






























fuck you

>>454
Φ(L/K) は包含関係により順序集合となる。
同様に Sub(G) は包含関係により順序集合となる。
Sub(G)^o をSub(G)の双対順序集合(代数的整数論021の168)とする。
2) より (Φ(L/K), ψ, φ, Sub(G)^o) はGalois対応(代数的整数論021の642)である。
そもそも、Galois対応という用語はこれから来ている。

>>456
それは違う。謝罪しろ

あぼーん

>>454
>G をそのGalois(>>251)とする。

G をそのGalois群(>>251)とする。

>>459
ほら言ったやろ！ボケが

謝罪しろ

命題 173
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とする。
任意の σ ∈ G に対して、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。

証明
任意の h ∈ H と任意の x ∈ M に対して σhσ^(-1)(σ(x)) = σh(x) = σ(x)
よって、σhσ^(-1) ∈ Aut(L/σ(M)) である。
よって、σHσ^(-1) ⊂ Aut(L/σ(M)) である。

逆に 任意の τ ∈ Aut(L/σ(M)) と任意の x ∈ M に対して τσ(x) = σ(x)
よって、σ^(-1)τσ(x) = x
よって、σ^(-1)τσ ∈ H
よって、τ ∈ σHσ^(-1)
よって、Aut(L/σ(M)) ⊂ σHσ^(-1) である。

以上から Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
証明終

命題 174
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
H を G の部分群とする。
M = L^H (>>311)とする。
このとき、任意の σ に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

証明
>>461より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
証明終

>>462
>このとき、任意の σ に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

このとき、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

うるせぇ謝れ

>>453
>このとき σ ∈ G(L/K) (>>123)で σ(α) = β となるものがある。

このとき σ ∈ G で σ(α) = β となるものがある。

次の命題は>>253と>>159より明らかである。
ここでは、原始要素の定理(>>335)を使った別証明を紹介しよう。

命題 175
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M と N を L/K の中間体(>>309)とする。
τ：M → N を K-同型(>>122)とする。
このとき σ ∈ G で τ の拡張になっているものが存在する。

証明
原始要素の定理(>>335)より M = K(α) となる。
このとき、N = K(τ(α)) である。
α の M 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
f(α) = 0 だから f(τ(α)) = 0 である。
よって、>>453より、σ ∈ G で σ(α) = τ(α) となるものがある。
M = K(α) であるから σ の M への制限は τ と一致する。
よって、σ が求めるものである。
証明終

552 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/11/14(月) 12:28:51.47
どうでもいいと思うのは他人がすでに証明してくれているからであって、
未知の分野だったらどうでもよくないだろ。
証明しないと間違ってるかもしれない。
高木貞治は自分の発見した結果に自信がもてなくてノイローゼになったらしい。

また、他人がすでに証明してるからといってその証明が正しいとは限らない。

命題 176
L/K を正規拡大(>>163)とする。
G = Aut(L/K) (>>123)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
このとき、M/K が正規拡大であるためには
任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M となることが必要十分である。

証明
必要性：
M/K が正規拡大であるとする。
任意の σ ∈ G は σ を M に制限することにより、
K-埋め込み τ：M → Ω (>>82) を引き起こす。
>>166より τ(M) = M である
即ち σ(M) = M である。

十分性：
任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M となるとする。
τ：M → Ω (>>82) を任意の K-埋め込み(>>122)とする。
>>148より、埋め込み σ：L → Ω で τ の拡張となっているものが存在する。
>>166より、σ ∈ G である。
よって、仮定より σ(M) = M である。
即ち τ(M) = M である。
>>166より、M/K は正規拡大である.
証明終

>>468
お前、頭悪いんだから数学なんかやめとけ。

>>469
頭が悪いのはオマエの方や。そやしすっ込めや。騒いだらワシが叩くゾ。

猫

次の命題は>>468の特別な場合であるが、>>453を使って証明しよう。

命題 177
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
このとき、M/K がGalois拡大であるためには
任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M となることが必要十分である。

証明
必要性：
M/K がGalois拡大であるとする。
任意の α ∈ M に対して α の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
任意の σ ∈ G に対して σ(α) は f(X) の根である。
f(X) は M で分解する(>>162)から σ(α) ∈ M である。
よって、σ(M) ⊂ M である。
よって、>>154より σ(M) = M である。

十分性：
任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M とする。
任意の α ∈ M に対して α の K 上の最小多項式(>>116)を f(X) とする。
f(X) の L における任意の根を β とする。
>>453より σ ∈ G で σ(α) = β となるものがある。
σ(M) = M であるから β ∈ M である。
f(X) は L で分解する(>>162)から M でも分解する。
よって、M/K は正規拡大(>>163)である。
L/K は分離的だから M/K も分離的である。
よって、M/K はGalois拡大である。
証明終

元々糞スレなんだし、勉強ノート晒したい人に使わせときゃあええんでない。

命題 178
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とする。
このとき、M/K がGalois拡大であるためには H が G の正規部分群であることが必要十分である。

証明
必要性：
M/K がGalois拡大であるとする。
>>166より、任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
一方、>>461より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
よって、H = σHσ^(-1) である。
よって、H は G の正規部分群である。

十分性：
H を G の正規部分群とする。
>>462より、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
σHσ^(-1) = H であるから L^H = σ(M) である。
一方、Galois理論の基本定理(>>451)より L^H = M である。
よって、σ(M) = M である。
よって、>>471より M/K はGalois拡大である。
証明終

支援支援

命題 179
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、M/K はGalois拡大であるとする。
H = Aut(L/M) (>>123)とおく。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
このとき、σ|M ∈ G(M/K) である。
σ ∈ G に σ|M ∈ G(M/K) を対応させる写像 λ：G → G(M/K) は全射準同型であり、
その核は H である。
よって、G(M/K) は G/H に同型である。

証明
>>471より σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
よって、σ|M ∈ G(M/K) である。
λ：G → G(M/K) は明らかに準同型である。
>>466より、λ：G → G(M/K) は全射である。
明らかに λ の核は H である。
証明終

>>Kummer
間違いだらけやん

消えろや

>>461は代数的拡大とは限らない任意の拡大(>>82)で成り立つ。

命題 180
L/K を任意の拡大(>>82)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とする。
任意の σ ∈ Aut(L/K) に対して、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。

証明
>>461とまったく同じである。

>>476
ソレを言うならオマエが自分で『その間違いとやら』を指摘するべき。
さもなくばオマエはワシの攻撃の対象になるだけや。そやからオマエが
自分から消えた方が安全やゾ。その程度やったら低脳な馬鹿でも判るナ。

猫

>>462は有限(>>87)とは限らないGalois拡大(>>251)でも成り立つ。

命題 181
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
H を G の部分群とする。
M = L^H (>>311)とする。
このとき、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

証明
>>477より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
>>319より、L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
証明終

さっき日経サイエンスの記事を調べたが
１２月号の予告も含めてガロワ関係の記事は皆無だった

>>462への補足
Galois理論の基本定理(>>451)より Aut(L/M) = H であるから
>>461より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。

>>479の修正

命題 181
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
H を G の部分群とする。
M = L^H (>>311)とする。
このとき、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

証明
x ∈ L^(σHσ^(-1)) とする。
任意の η ∈ H に対して σησ^(-1)(x) = x
よって、ησ^(-1)(x) = σ^(-1)(x)
よって、σ^(-1)(x) ∈ M
よって、x ∈ σ(M)
よって、L^(σHσ^(-1)) ⊂ σ(M) である。

逆に、x ∈ σ(M) とする。
x = σ(y) となる y ∈ M がある。
任意の η ∈ H に対して
σησ^(-1)(x) = σησ^(-1)(σ(y)) = ση(y) = σ(y) = x
よって、x ∈ L^(σHσ^(-1))
よって、σ(M) ⊂ L^(σHσ^(-1)) である。
証明終

定義 182
L を体(>>82)とする。
H を Aut(L) (>>435)の部分群とする。
このとき、M = {x ∈ L； σ(x) = x、各σ ∈ H} は明らかに L の部分体である。
M を H の固定体と呼び L^H と書く。

>>482は任意の拡大(>>82)に拡張できる。

命題 183
L/K を任意の拡大(>>82)とする。
H を Aut(L/K) (>>123)の部分群とする。
M = L^H (>>483)とする。
このとき、任意の σ ∈ Aut(L/K) に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

証明
>>482の証明とまったく同じである。


x ∈ L^(σHσ^(-1)) とする。
任意の η ∈ H に対して σησ^(-1)(x) = x
よって、ησ^(-1)(x) = σ^(-1)(x)
よって、σ^(-1)(x) ∈ M
よって、x ∈ σ(M)
よって、L^(σHσ^(-1)) ⊂ σ(M) である。

逆に、x ∈ σ(M) とする。
x = σ(y) となる y ∈ M がある。
任意の η ∈ H に対して
σησ^(-1)(x) = σησ^(-1)(σ(y)) = ση(y) = σ(y) = x
よって、x ∈ L^(σHσ^(-1))
よって、σ(M) ⊂ L^(σHσ^(-1)) である。
証明終

命題 184
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とする。
H = Aut(L/M) (>>123)とする。
このとき、M/K がGalois拡大であるためには H が G の正規部分群であることが必要十分である。

証明
必要性：
M/K がGalois拡大であるとする。
>>166より、任意の σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
一方、>>461より、Aut(L/σ(M)) = σHσ^(-1) である。
よって、H = σHσ^(-1) である。
よって、H は G の正規部分群である。

十分性：
H を G の正規部分群とする。
>>319より、M = L^H (>>311)である。
よって、>>482より、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。
σHσ^(-1) = H であるから L^H = σ(M) である。
M = L^H であるから σ(M) = M である。
よって、>>468より M/K はGalois拡大である。
証明終

>>473への補足
> >>462より、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

Galois理論の基本定理(>>451)より L^H = M であるから
>>462より、任意の σ ∈ G に対して L^(σHσ^(-1)) = σ(M) である。

命題 185
L/K を正規拡大(>>163)とする。
M と N を L/K の中間体(>>309)とする。
τ：M → N を K-同型(>>122)とする。
このとき σ ∈ Aut(L/K) で τ の拡張になっているものが存在する。

証明
>>148より、埋め込み σ：L → Ω で τ の拡張となっているものが存在する。
>>166より、σ ∈ Aut(L/K) である。
証明終

>>475の拡張

命題 186
L/K をGalois拡大(>>251)とし、G をそのGalois群(>>251)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、M/K はGalois拡大であるとする。
H = Aut(L/M) (>>123)とおく。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
このとき、σ|M ∈ G(M/K) (>>251)である。
σ ∈ G に σ|M ∈ G(M/K) を対応させる写像 λ：G → G(M/K) は全射準同型であり、
その核は H である。
よって、G(M/K) は G/H に同型である。

証明
>>468より σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
よって、σ|M ∈ G(M/K) である。
λ：G → G(M/K) は明らかに準同型である。
>>487より、λ：G → G(M/K) は全射である。
明らかに λ の核は H である。
証明終

>>488は正規拡大(>>163)でも成り立つ。

命題 187
L/K を正規拡大(>>163)とする。
G = Aut(L/K) とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、M/K は正規拡大拡大であるとする。
H = Aut(L/M) (>>123)とおく。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
このとき、σ|M ∈ Aut(M/K) である。
σ ∈ G に σ|M ∈ Aut(M/K) を対応させる写像 λ：G → Aut(M/K) は全射準同型であり、
その核は H である。
よって、Aut(M/K) は G/H に同型である。

証明
>>468より σ ∈ G に対して σ(M) = M である。
よって、σ|M ∈ Aut(M/K) である。
λ：G → Aut(M/K) は明らかに準同型である。
>>487より、λ：G → Aut(M/K) は全射である。
明らかに λ の核は H である。
証明終

定義 188
Galois拡大(>>251)はそのGalois群(>>251)がAbel群であるときAbel拡大と言う。

定義 189
Galois拡大(>>251)はそのGalois群(>>251)が巡回群であるとき巡回拡大と言う。

定義 190
G を群とし、H をその部分群とする。
G/H = {σH； σ ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
|G/H| (>>180)を [G : H] と書く。

命題 191
L/K を正規拡大(>>163)とし、G = Aut(L/K) (>>123)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、H = Aut(L/M) とする。
このとき |E(M/K)| (>>262) = [G : H] (>>492) である。

証明
(σ_i)、i ∈ I を H を法とする左剰余類の集合 G/H の完全代表系とする。
ここで、I はある空でない集合で i ≠ k のとき (σ_i)H ≠ (σ_k)H である。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
任意の K-埋め込み(>>122) τ：M → Ω(>>82)に対して
>>148と>>166より、σ ∈ G で τ の拡張となっているものが存在する。
σ ∈ (σ_i)H となる i ∈ I が一意に定まる。
他の λ ∈ G が τ の拡張となっているとする。
σ|M = λ|M だから σ^(-1)λ ∈ H
よって、(σ_i)H = σH = λH
よって、K-埋め込み τ：M → Ω に対して上記の i ∈ I は一意に定まる。
よって、ψ：E(M/K) → I が定まる。
逆に i ∈ I に対して σ_i|M ∈ E(M/K) を対応させる写像を φ とする。
τ：M → Ω に対して σ ∈ G を τ の拡張とし、σ ∈ (σ_i)H とする。
σ = (σ_i)η、η ∈ H と書ける。
任意の x ∈ M に対して σ(x) = (σ_i)η(x) = σ_i(x)
よって、τ = σ|M = σ_i|M
よって、φψ(τ) = τ

逆に、任意の i ∈ I に対して τ = σ_i|M とすると ψ(τ) = i
よって、ψφ(i) = i

以上から ψ と φ は互いに逆写像である。
よって、|E(M/K)| = |I| = [G : H]
証明終

>>493は次のように証明したほうが分かりやすいかもしれない。

命題 191
L/K を正規拡大(>>163)とし、G = Aut(L/K) (>>123)とする。
M を L/K の中間体(>>309)とし、H = Aut(L/M) とする。
このとき |E(M/K)| (>>262) = [G : H] (>>492) である。

証明
G/H = {σH； σ ∈ G} を H を法とする左剰余類の集合とする。
σ ∈ G に対して σ の定義域を M に制限した写像を σ|M とする。
σ ∈ G に対して σH の各元の M への制限は同じ K-埋め込み M → Ω(>>82)を引き起こす。
よって、σH に σ|M を対応させることにより写像 φ：G/H → E(M/K) が定まる。

逆に、任意の K-埋め込み(>>122) τ：M → Ω に対して
>>148と>>166より、σ ∈ G で τ の拡張となっているものが存在する。
このとき、σH の各元は τ の拡張である。
λ ∈ G が τ の拡張となっているとする。
σ|M = λ|M だから σ^(-1)λ ∈ H
よって、λ ∈ σH
よって、σH = {λ ∈ G； λ|M = τ} である。
よって、τ に σH を対応させることにより写像 ψ：E(M/K) → G/H が定まる。

明らかに φ と ψ は互いに逆写像である。
よって、|E(M/K)| = [G : H] である。
証明終

命題 192
L/K を正規拡大(>>163)とし、G = Aut(L/K) (>>123)とする。
M_1 と M_2 を L/K の中間体(>>309)とし、M_1 ⊂ M_2 とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i = 1、2 とする。
[M_2 : M_1] ＜ ∞ のとき [M_2 : M_1]_s (>>267) = [H_1 : H_2] (>>492)である。

証明
>>172より、L/M_1 は正規拡大である。
よって、本命題は>>494より直ちに得られる。
証明終

命題 193
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
M_1 と M_2 を L/K の中間体(>>309)とし、M_1 ⊂ M_2 とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i = 1、2 とする。
[M_2 : M_1] ＜ ∞ のとき [M_2 : M_1] = [H_1 : H_2] (>>492)である。

証明
>>495より、[M_2 : M_1]_s = [H_1 : H_2]
>>260より、M_2/K は分離的であるから M_2/M_1 も分離的である。
よって、>>269より、[M_2 : M_1]_s = [M_2 : M_1]
よって、[M_2 : M_1] = [H_1 : H_2]
証明終

命題 194
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
M_1、M_2、．．．、M_r を L/K の中間体(>>309)とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i =1、．．．、r とする。
(M_1)(M_2)．．．(M_r) (>>299) を合成体(>>291)とする。
このとき Aut(L/(M_1)．．．(M_r)) = (H_1)∩．．．∩(H_r)

証明
Galois理論の基本定理(>>451)と>>454の 1) より明らかである。

>>497は L/K が任意の拡大でも成り立つ。

命題 195
L/K を任意の拡大(>>82)とする。
M_1、M_2、．．．、M_r を L/K の中間体(>>309)とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i =1、．．．、r とする。
(M_1)(M_2)．．．(M_r) (>>299) を合成体(>>291)とする。
このとき Aut(L/(M_1)．．．(M_r)) = (H_1)∩．．．∩(H_r)

証明
各 M_i ⊂ (M_1)．．．(M_r) だから Aut(L/(M_1)．．．(M_r)) ⊂ H_i
よって、Aut(L/(M_1)．．．(M_r)) ⊂ (H_1)∩．．．∩(H_r)

逆に、σ ∈ (H_1)∩．．．∩(H_r) なら σ は各 M_i の元を固定する。
よって、σ ∈ Aut(L/(M_1)．．．(M_r))
よって、(H_1)∩．．．∩(H_r) ⊂ Aut(L/(M_1)．．．(M_r))
証明終

>>498は無限個の中間体についても成り立つ。

命題 196
L/K を任意の拡大(>>82)とする。
(M_i)、i ∈ I を L/K の中間体(>>309)の族とする。
各 i ∈ I に対して H_i = Aut(L/M_i) とする。
M を (M_i)、i ∈ I の合成体(>>291)とする。
このとき Aut(L/M) = ∩{H_i；i ∈ I}

証明
各 M_i ⊂ M だから Aut(L/M) ⊂ H_i
よって、Aut(L/M) ⊂ ∩{H_i；i ∈ I}

逆に、σ ∈ ∩{H_i；i ∈ I} なら σ は各 M_i の元を固定する。
I の空でない有限部分集合全体の集合を Φ とする。
S ∈ Φ に対して (K_i)、i ∈ S の合成体を M_S とする。
>>292より、M = ∪{M_S； S ∈ Φ} である。
σ は各 M_S の元を固定する。
よって、σ ∈ Aut(L/M)
よって、∩{H_i；i ∈ I} ⊂ Aut(L/M)
証明終

299 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/11/15(火) 10:03:17.62
Galois理論の基本定理は体論の初歩が理解出来ていれば簡単に理解出来る。
実際、高木の代数的整数論では正味１ページ程度で（数体において）基本定理を証明している。
その証明はガロア生誕200周年記念スレの318と452とほぼ同じである。
しかし、方程式の可解性の必要十分条件はその方程式のGalois群が可解群となることという
Galoisの主定理の証明はそれほど簡単ではない。

簡単だから。
簡単でないと思うのはお前が馬鹿な証拠

命題 197
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とし、そのGalois群(>>251)を G とする。
M_1、M_2、．．．、M_r を L/K の中間体(>>309)とする。
H_i = Aut(L/M_i)、i =1、．．．、r とする。
H_i、i =1、．．．、r で生成される G の部分群を H とする。
このとき、Aut(L/(M_1)∩．．．∩(M_r)) = H である。

証明
Galois理論の基本定理(>>451)と>>454の 1) より明らかであるが、一応証明しよう。
>>451より (M_1)∩．．．∩(M_r) = L^H (>>311) を証明すれば良い。

α ∈ L^H なら α ∈ L^(H_i)、i = 1、．．．、r である。
>>451より、L^(H_i) = M_i であるから α ∈ (M_1)∩．．．∩(M_r) である。

逆に α ∈ (M_1)∩．．．∩(M_r) なら α ∈ L^(H_i)、i = 1、．．．、r である。
H の元は各 H_i の元の積として表されるから α ∈ L^H である。
証明終

命題 198
L/K をGalois拡大(>>251)とする。
F/K を任意の拡大(>>82)とする。
このとき LF/F はGalois拡大である。
ここで LF は L と F の合成体(>>132)である。

証明
>>171より、LF/F は正規拡大(>>163)である。
>>284より、LF/F は分離代数的(>>247)である。
よって、LF/F はGalois拡大である。
証明終

次の命題はGaloisの主定理(>>85)の証明において重要な役割をする。

命題 199
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
F/K を任意の拡大(>>82)とする。
>>503より、LF/F はGalois拡大である。
K ⊂ L∩F ⊂ L であるから>>310より L/L∩F はGalois拡大である。
このとき、任意の σ ∈ G(LF/F) (>>251)に対して σ の L への制限 σ|L は
G(L/(L∩F)) の元である。
σ ∈ G(LF/F) に σ|L ∈ G(L/(L∩F)) を対応させる写像 λ は
G(LF/F) から G(L/(L∩F)) への同型である。

証明
>>166より、任意の σ ∈ G(LF/F) に対して σ(L) = L である。
よって、σ|L ∈ G(L/(L∩F)) である。
λ：G(LF/F) → G(L/(L∩F)) が準同型であることは明らかである。
σ が λ の核の元なら σ は L の各元を固定する。
一方、σ は F の各元を固定するから σ = 1 である。
よって、λ は単射である。
よって、λ が全射であることを証明すればよい。
λ の像を H とする。
H = G(L/(L∩F)) を示せばよい。
それにはGalois理論の基本定理(>>451)より L∩F = L^H を示せばよい。
α ∈ L∩F とする。
α ∈ F だから、任意の σ ∈ G(LF/F) に対して σ(α) = α である。
即ち α ∈ L^H である。
よって、L∩F ⊂ L^H である。

逆に α ∈ L^H とする。
任意の σ ∈ G(LF/F) に対して σ|L ∈ H であるから σ(α) = α である。
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より、α ∈ F である。
よって、α ∈ L∩F である。
よって、L^H ⊂ L∩F である。
証明終

>>505は L/K が有限でなくても成り立つ。
その証明には無限次Galois理論が必要である。

命題 200
L_1/K、．．．、L_n/K をGalois拡大(>>251)とする。
G_i = G(L_i/K)、i = 1、．．．、n とおく。
E を L_1、．．．、L_n の合成体(>>291)とする。
このとき、E/K はGalois拡大である。
G = G(E/K) とおく。
σ ∈ G に (σ|L_1、．．．、σ|L_n) ∈ (G_1)×．．．×(G_n) を
対応させることにより写像 λ：G → (G_1)×．．．×(G_n) が定義される。
ここで σ|L_i、i = 1、．．．、n は σ の定義域を L_i に制限した写像である。
このとき、λ は単射準同型である。

証明
>>173(と n に関する帰納法)より、E/K は正規拡大である。
>>284と>>137(と n に関する帰納法)より、E/K は分離代数的である。
よって、E/K はGalois拡大である。

>>166より、任意の σ ∈ G(E/K) に対して σ|L_i ∈ G_i、i = 1、．．．、n となる。
よって写像 λ：G → (G_1)×．．．×(G_n) が定義される。
λ が準同型であることは明らかである。
σ ∈ G(E/K) が各 L_i の全ての元を固定すれば、σ は E の全ての元を固定する。
よって、σ = 1 である。
よって、λ は単射である。
証明終

命題 201
L_1/K と L_2/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
G_i = G(L_i/K)、i = 1、2 とおく。
E を L_1 と L_2 の合成体(>>291)とする。
G = G(E/K) とおく。
>>507より E/K はGalois拡大である。
このとき、L_1 ∩ L_2 = K であれば、>>507の λ：G → (G_1)×(G_2) は同型である。

証明
>>507より、λ は単射準同型であるから λ が全射であることを証明すればよい。
>>505より、任意の τ_1 ∈ G_1 に対して σ_1 ∈ G(E/L_2) で σ_1|L_1 = τ_1 となるものがある。
σ_1|L_2 = 1 だから λ(σ_1) = (τ_1、1) である。
同様に、任意の τ_2 ∈ G_2 に対して σ_2 ∈ G(E/L_1) で σ_2|L_2 = τ_2 となるものがある。
σ_2|L_1 = 1 だから λ(σ_2) = (1、τ_2) である。
このとき、λ(σ_1σ_2) = λ(σ_1)λ(σ_2) = (τ_1、1)(1、τ_2) = (τ_1、τ_2)
よって、λ は全射である。
証明終

>>508は L_1/K と L_2/K が有限でなくても成り立つ(>>506参照)。

クズ。お前に才能はなし。

>>510
才能が無いクズはオマエや。

猫

定義 202
L/K を拡大(>>82)とする。
L = K(α)、α^n ∈ K となる α ∈ L と整数 n ≧ 1 があるとき L/K を単冪根拡大と呼ぶ。

定義 203
K = K_0 ⊂ K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n = L を体(>>82)の増大列とする。
各 K_i/K_(i-1)、i = 1、．．．、n が単冪根拡大(>>512)であるとき
L/K を冪根拡大(radical extension)と呼ぶ。

定義 204
L/K を拡大(>>82)とする。
冪根拡大(>>513) E/K があり L ⊂ E となるとき L/K を可解拡大という。

定義 205
K を体(>>82)とし、f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f(X) の最小分解体(>>149)が K 上可解(>>514)となるとき f(X) を（K 上）可解という。

命題 206
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数で割れない整数とする。
このとき、多項式 X^n - 1 の Ω における根の全体は Ω の乗法群の
位数 n の巡回部分群である。

証明
X^n - 1 の Ω における根の全体は明らかに Ω の乗法群の有限部分群である。
よって、>>332より巡回群である。
この群を G とする。
n = 1 なら |G| = 1 である。
よって、n ≧ 2 とする。
X^n - 1 の導多項式(>>182)は nX^(n-1) であるから
Ωの標数の仮定より、nX^(n-1) ≠ 0 である。
よって、nX^(n-1) の根は 0 のみである。
よって、X^n - 1 と nX^(n-1) は共通根を持たない。
よって、>>190より、X^n - 1 は重根(>>189)を持たない。
よって、|G| = n である。
証明終

つぶやき猫

命題 207
Ω(>>82)の標数(>>214)を p ≠ 0 とする。
n ≧ 2 を p で割れる整数とし、 n = (p^e)m とする。
ここで m は p で割れない整数である。
このとき、多項式 X^n - 1 の Ω における根の全体は Ω の乗法群の
位数 m の巡回部分群である。

証明
A = Ω[X] は>>219の条件を満たす可換環である。
よって、X^n - 1 = (X^m - 1)^(p^e) である。
よって、本命題は>>516より直ちに得られる。
証明終

つぶしや猫

猫

定義 208
n ≧ 1 を整数とする。
X^n - 1 の Ω(>>82) における根を 1 の n 乗根と言う。
n が Ωの標数(>>214)で割れないとき、>>516より 1 の n 乗根全体は
Ω の乗法群の位数 n の巡回部分群である。
この巡回部分群の生成元を 1 の原始 n 乗根と言う。

定義 209
K を体(>>82)とする。
n ≧ 1 を整数とする。
X^n - 1 の K 上の最小分解体(>>149)を K 上の位数 n の円分体(cyclotomic field)と言う。

記法
A を環とする。
A の可逆元全体のなす群を A^* と書く。

命題 210
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
K を体(>>82)とする。
このとき、K 上の位数 n の円分体(>>521) L はGalois拡大(>>251)であり、
そのGalois群は (Z/nZ)^* の部分群に同型である。
ここで Z は有理整数環である。
よって、L/K はAbel拡大(>>490)である。

証明
>>516より X^n - 1 は分離的(>>193)である。
よって、>>322より、L/K は有限(>>87)なGalois拡大(>>251)である。
G を L/K のGalois群(>>251)とする。
>>516より、多項式 X^n - 1 の Ω における根の全体は Ω の乗法群の位数 n の巡回部分群である。
この群を μ_n とする。
L = K(μ_n) である。
ζ を 1 の原始 n 乗根(>>520)とすると、μ_n の元はすべて ζ の冪である。
よって、L = K(ζ) である。
任意の σ ∈ G は μ_n の自己同型を引き起こす。
よって、σ(ζ) は 1 の原始 n 乗根である。
よって、σ(ζ) = ζ^i となる。
ここで、i は n と素な整数である。
ζ^i = ζ^k なら i ≡ k (mod n) である。
よって、σ ∈ G に i (mod n) ∈ (Z/nZ)^* を対応させることにより
写像 ψ：G → (Z/nZ)^* が得られる。
σ、τ ∈ G とし、σ(ζ) = ζ^i、τ(ζ) = ζ^k とする。
στ(ζ) = σ(ζ^k) = (σ(ζ))^k = ζ^(ik)
よって、ψ(στ) = ψ(σ)ψ(τ) である。
よって、ψ は準同型である。
ψ(σ) = 1 なら σ(ζ) = ζ
よって、σ = 1 である。
よって、σ は単射である。
証明終

■■■■■■フジデモwith電通・朝日新聞 抗議デモ■■■■■■

日時　　　　１１月２０日(日）　

場所　　　　　JR東京駅八重洲南口から徒歩約８分

　　　　　　　地下鉄有楽町線銀座一丁目駅７番出口から徒歩約１分

集合場所　　水谷橋公園

集合時間　　１２時３０分　

出発時間　　１２時４５分　雨天決行

主催　　　　２ch大規模off フジデモwith朝日新聞・電通抗議デモ 実行委員会

命題 211
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
よって、>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含む。
K を体(>>82)とし、ζ ∈ K とする。
a ∈ K とし、X^n - a の Ω における根を α とする。
このとき、K(α)/K は巡回拡大(>>491)であり、
[K(α) : K] は n の約数である。

証明
a = 0 の場合は自明であるから a ≠ 0 と仮定する。
よって、α ≠ 0 である。
α、αζ、．．．、αζ^(n-1) は X^n - a の相異なる根である。
よって、X^n - a は分離的(>>193)である。
よって、>>450より、X^n - a の K 上の最小分解体(>>149) L は K のGalois拡大(>>251)である。
L = K(α、αζ、．．．、αζ^(n-1)) であるが ζ ∈ K であるから L = K(α) である。
G を L/K のGalois群(>>251)とする。
>>516より、多項式 X^n - 1 の Ω における根の全体は Ω の乗法群の位数 n の巡回部分群である。
この群を μ_n とする。
σ ∈ G に対して σ(α) は X^n - a の根であるから σ(α) = ωα、ω ∈ μ_n と書ける。
σ ∈ G にこの ω ∈ μ_n を対応させることにより写像 ψ：G → μ_n が得られる。
よって σ(α) = ψ(σ)α である。
σ、τ ∈ G のとき στ(α) = σ(ψ(τ)α) = ψ(τ)σ(α) = ψ(τ)ψ(σ)α
よって、ψ(στ)α = ψ(τ)ψ(σ)α
α ≠ 0 であるから ψ(στ) = ψ(τ)ψ(σ)
よって、ψ：G → μ_n は準同型である。
L = K(α) であるから σ(α) = α なら σ = 1 である。
よって、ψ は単射である。
よって、G は μ_n の部分群に同型である。
よって、G は巡回群であり、|G| = [K(α) : K] は n の約数である。
証明終

命題 212
>>525と同じ条件の下で d = [K(α) : K] とすると α^d ∈ K である。
よって、α^m ∈ K となる整数 m ≧ 1 の最小値が n であれば
[K(α) : K] = n となる。
よって、このとき X^n - a は K[X] において既約である。

証明
|ψ(G)| = |G| = d であるから、任意の σ ∈ G に対して ψ(σ)^d = 1 である。
よって、σ(α^d) = (σ(α))^d = (ψ(σ)α)^d = α^d
よって、Galois理論の基本定理(>>451)より、α^d ∈ K である。
証明終

>>117の証明は次のようしたほうが良い。
f(X) = g(X)h(X) とする。ここで、g(X)、h(X) ∈ K[X] であり、deg g(X) ≧ 1、deg h(X) ≧ 1 である。
f(α) = g(α)h(α) = 0 であるから g(α) = 0 または h(α) = 0 である。
しかし、deg g(X) ＜ deg f(X) であるから g(α) ≠ 0 である。
同様に h(α) ≠ 0 である。

命題 213
p を Ω(>>82)の標数(>>214)と異なる素数とする。
よって、>>516より、Ω は 1 の原始 p 乗根(>>520) ζ を持つ。
K を体(>>82)とし、ζ ∈ K とする。
a ∈ K とし、X^p - a は K において根を持たないとする。
このとき、X^p - a は K[X] において既約である。

証明
X^p - a の Ω における根を α とする。
>>525より、[K(α) : K] は p の約数である。
よって、[K(α) : K] = p または [K(α) : K] = 1 である。
仮定より、[K(α) : K] ≠ 1 であるから [K(α) : K] = p である。
よって、X^p - a は α の K 上の最小多項式(>>116)である。
よって、>>117より X^p - a は K[X] において既約である。
証明終

次の命題が示すように>>528は ζ ∈ K でなくとも成り立つ。

命題 214
p を Ω(>>82)の標数(>>214)と異なる素数とする。
K を体(>>82)とする。
a ∈ K とし、X^p - a は K において根を持たないとする。
このとき、X^p - a は K[X] において既約である。

証明
>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を持つ。
X^p - a の Ω における根の一つを α とする。
α は K に含まれないから α ≠ 0 である。
よって、α、αζ、．．．、αζ^(p-1) は X^p - a の相異なる根である。
X^p - a = g(X)h(X) とする。
ここで、g(X) と h(X) は K[X] のモニックな多項式で、1 ≦ deg g(X) ＜ p とする。
g(X) の根は αζ^i の形であるから g(X) の定数項を b とすると、
b = ±(α^kζ^m) である。ここで、k = deg g(X) である。
この両辺を p 乗する。α^p = a、ζ^p = 1 であるから、
p が奇素数であれば b^p = ±a^k である。
p = 2 なら b^p = a^k である。
p が奇素数で b^p = -a^k のとき (-b)^p = -b^p = a^k
よって、どの場合でも c^p = a^k となる c ∈ K がある。

Γ = K^* (>>522)とおき、Γ^p = {x^p； x ∈ Γ} とおく。
Γ^p は Γ の部分群である。
π：Γ → Γ/Γ^p を標準的な準同型とする。
即ち、π(x) = x (mod Γ^p) である。
α = π(a) とおく。
X^p - a は K において根を持たないから α ≠ 1 である。
一方、α^p = π(a^p) = 1
よって、群 Γ/Γ^p の元として α の位数は p である。
しかし、c^p = a^k より α^k = 1 である。
1 ≦ k ＜ p であるから、これは矛盾である。
証明終

定義 215
A を可換環とする。
a ∈ A^* (522)と b ∈ A に対して写像 λ：A → A を λ(x) = ax + b で定義する。
この写像を φ(a, b) と書く。
φ(a, b) = φ(1, b)φ(a, 0) である。
φ(a, 0) と φ(1, b) はそれぞれ全単射であるから φ(a, b) も全単射である。
φ(a, b)(0) = b
φ(a, b)(1) = a + b
よって、a = φ(a, b)(1) - φ(a, b)(0)
よって、a と b は写像 φ(a, b) により一意に決まる。

(a, b)、(c, d) ∈ (A^*)×A のとき
φ(a, b)φ(c, d)(x) = a(cx + d) + b = acx + ad + b
よって、φ(a, b)φ(c, d) = φ(ac, ad + b) である。
よって、φ(a, b)φ(a^(-1), -(a^(-1))b) = φ(1, 0)
φ(1, 0) は A の恒等写像であるから φ(a^(-1), -(a^(-1))b) は φ(a, b) の逆写像である。

以上から {φ(a, b)； (a, b) ∈ (A^*)×A} は集合 A 上の対称群 Sym(A) の部分群である。
この群を A 上の一次の一般affine群と言い、Aff(1, A) と書く。

>>531
Aff(1, A) の元を A 上の一次のaffine変換と言う。

A を可換環とする。
>>531の記号で (a, b)、(c, d) ∈ (A^*)×A のとき
φ(a, b)φ(c, d) = φ(ac, ad + b) であった。
よって、φ(a, b) に a を対応させる写像 f：Aff(1, A) → A^* は準同型である。
f の核は N = {φ(1, b)； b ∈ A} である。
よって、N は Aff(1, A) の正規部分群である。
f は全射であるから Aff(1, A)/N は A^* に同型である。
よって |Aff(1, A)/N| = |A^*| (>>180)
よって、|Aff(1, A)| = |N||A^*|
一方、|N| = |A| であるから |Aff(1, A)| = |A||A^*| である。

b, c ∈ A のとき φ(1, b)φ(1, c) = φ(1, b + c)
よって、b ∈ A に φ(1, b) ∈ N を対応させる写像は A の加法群から N への準同型である。
この写像は単射であるから N は A の加法群に同型である。

H = {φ(a, 0)； a ∈ A^*} とおく。
a ∈ A^* に φ(a, 0) を対応させる写像は単射準同型である。
よって、H は A^* に同型である。
(a, b) ∈ (A^*)×A のとき φ(a, b) = φ(1, b)φ(a, 0) であるから
Aff(1, A) = NH である。
明らかに N ∩ H = {1} である。

リンク貼ってくれてるから読むのに助かる

じゃあ俺はハルヒ

定義 216
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} となるとき G を N と H の半直積と言う。

命題 217
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
以下の条件は互いに同値である。

(1) G は N と H の半直積(>>536)である。
(2) G = HN、N ∩ H = {1}
(3) G の任意の元 g は g = nh、n ∈ N、h ∈ H と一意に書ける。
(4) G の任意の元 g は g = hn、h ∈ H、n ∈ N と一意に書ける。
(5) 標準単射 ι：H → G と標準全射 π：G → G/N の合成は H と G/N の同型である。
(6) 準同型 μ：G → H で H 上で恒等写像になり、Ker(μ) = N となるものがある。

証明
(1) ⇔ (2)：HN = NH より明らか。
(1) ⇒ (3)：
G = NH だから g = nh、n ∈ N、h ∈ H と書ける。
nh = mk、n、m ∈ N、h、k ∈ H とする。
m^(-1)n = kh^(-1) ∈ N ∩ H = {1}
よって、n = m、h = k

(3) ⇒ (1)：
G = NH である。
g ∈ N ∩ H とする。
g = g1 = 1g
g ∈ N、g ∈ H だから一意性より g = 1 である。
よって、N ∩ H = {1}

(2) ⇔ (4)：上と同様

(続く)

>>537の続き

2) ⇒ 5)
λ = πι とおく。
λ(H) = HN/N = G/N である。
Ker(λ) = H ∩ N = {1}
よって、λ：H → G/N は同型である。

5) ⇒ 6)
λ = πι とおく。
λ：H → G/N は同型である。
μ = λ^(-1)π とおく。
h ∈ H のとき μ(h) = λ^(-1)π(h) = λ^(-1)λ(h) = h
任意の g ∈ G に対して μ(g) = λ^(-1)π(g)
λ^(-1) は同型だから μ(g) = 1 と π(g) = 1 は同値である。
よって、Ker(μ) = N

6) ⇒ 1)
任意の g ∈ G に対して μ(g) = h とおく。
h ∈ H である。
μ(gh^(-1)) = μ(g)μ(h^(-1)) = hh^(-1) = 1
よって、gh^(-1) ∈ N である。
よって、g ∈ Nh ∈ NH
よって、G = NH
h ∈ N ∩ H とする。
h = μ(h) = 1
よって N ∩ H = {1}
証明終

A を可換環とする。
>>533より Aff(1, A) (>>531)は N = {φ(1, b)； b ∈ A} と
H = {φ(a, 0)； a ∈ A^*} の半直積(>>536)である。

命題 218
L/K を有限(>>87)なGalois拡大(>>251)とする。
E と F を L/K の中間体(>>309)とする。
以下の条件が成り立つとする。

1) E/K はGalois拡大である。

2) L = EF (>>132)

3) E ∩ F = K

G = G(L/K) (>>251)、N = Aut(L/E) (>>123)、H = Aut(L/F) とおく。
>>485より、N は G の正規部分群である。
このとき G は N と H の半直積(>>536)である。

証明
>>505より、η ∈ H = G(EF/F) に η|E ∈ G(E/(E ∩ F)) = G(E/K) を対応させる写像は同型である。
一方、>>488より、σ ∈ G に σ|E ∈ G(E/K) を対応させる写像は全射準同型であり、
その核は N である。

上記から任意の σ ∈ G に対して σ|E = η|E となる η ∈ H が一意に存在する。
η^(-1)σ|E は E の恒等写像であるから η^(-1)σ ∈ N である。
よって、σ ∈ HN である。
τ ∈ N ∩ H とすると τ は E と F の元を固定する。
L = EF だから τ = 1 である。
よって、N ∩ H = {1} である。
よって、>>537の (2) より G は N と H の半直積である。
証明終

>>540は L/K が有限でなくても成り立つ(>>506参照)。

命題 219
n ≧ 1 を Ω(>>82)の標数(>>214)で割れない整数とする。
K を体(>>82)とする。
a ∈ K とし、X^n - a の K 上の最小分解体(>>149) を L とする。
このとき L/K はGalois拡大(>>251)である。
G をそのGalois群(>>251)とする。
このとき、G は Aff(1, Z/nZ) (>>531)の部分群に同型である。
ここで Z は有理整数環である。

証明
>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含む。
X^n - a の Ω における根の一つを α とする。
a = 0 の場合は G = {1} であり、本命題は自明であるから a ≠ 0 と仮定する。
よって、α ≠ 0 である。
よって、α、αζ、．．．、αζ^(n-1) は X^n - a の相異なる根である。
よって、X^n - a は分離的(>>193)である。
よって、>>450より L/K はGalois拡大(>>251)である。
L = K(α、αζ、．．．、αζ^(n-1)) であるが α ≠ 0 より、ζ = (αζ)/α ∈ L である。
よって、L = K(α、ζ) である。

(続く)

>>542の続き

任意の σ ∈ G に対して σ(ζ) は 1 の原始 n 乗根であるから σ(ζ) = ζ^b、b ∈ Z と書ける。
このとき b は n と素である。
ζ^b = ζ^e なら b ≡ e であるから b (mod n) は σ により一意に決まる。
このとき、b (mod n) ∈ (Z/nZ)^* (>>522)である。

一方、σ(α) は X^n - a の根であるから σ(α) = αζ^c、c ∈ Z と書ける。
上と同じ理由により c (mod n) は σ により一意に決まる。

よって、σ ∈ G に対して (b mod n、c mod n) ∈ (Z/nZ)^*×(Z/nZ) が定まる。
よって、φ(σ) = (b mod n、c mod n) と定義することにより
写像 φ：G → (Z/nZ)^*×(Z/nZ) が得られる。
L = K(α、ζ) であるから任意の σ ∈ G は σ(α) と σ(ζ) で決まる。
よって、φ は単射である。

σ、τ ∈ G とし、φ(σ) = (b mod n、c mod n)、φ(τ) = (d mod n、e mod n) とする。
στ(ζ) = σ(ζ^d) = ζ^(bd)
στ(α) = σ(αζ^e) = (αζ^c)ζ^(be) = αζ^(be + c)
よって、φ(στ) = (bd mod n、be + c mod n)
よって、>>531より φ は G から Aff(1, Z/nZ) への単射準同型と見なせる。
証明終

くまーさんって、血の通った人間なのだろうか。
淡々と書き込んでる様子を想像できない。

>>544
アンタ等みたいに大脳が腐ってるよりもよっぽどマシ。

猫

ガロア支援してやろう

命題 220
p を Ω(>>82)の標数(>>214)と異なる素数とする。
>>516より、Ω は 1 の原始 n 乗根(>>520) ζ を含む。
K を体(>>82)とする。
[K(ζ) : K] = p - 1 とする。
a ∈ K とし、X^p - a は K において根を持たないとする。
X^n - a の K 上の最小分解体(>>149) を L とする。
このとき L/K はGalois拡大(>>251)であり、
そのGalois群(>>251) G は Aff(1, Z/pZ) (>>531)に同型である。
ここで Z は有理整数環である。

証明
X^n - a の Ω における根を α とする。
α は K に含まれないから α ≠ 0 である。
>>542の証明と同様に L/K はGalois拡大であり、L = K(α、ζ) である。

>>530より、X^p - a は K[X] において既約である。
よって、[K(α) : K] = p である。
よって、[K(α) : K] ＞ [K(ζ) : K] である。
よって、[K(α、ζ) : K(ζ)] ＞ 1 である。
一方、>>525より、[K(α、ζ) : K(ζ)] は p の約数である。
よって、[K(α、ζ) : K(ζ)] = p である。
よって、>>88より、[K(α、ζ) : K] = [K(α、ζ) : K(ζ)][K(ζ) : K] = p(p-1)
一方、>>542より、G は Aff(1, Z/pZ) の部分群に同型である。
>>533より、|Aff(1, Z/pZ)| = p(p-1) であるから G は Aff(1, Z/pZ) に同型である。
証明終