【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

定義 90
K を体(>>82)とする。
K[X] における全ての既約多項式が分離的(>>193)なとき K を完全体と呼ぶ。

おなかごろごろ、糞死体

命題 91
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば f’(X) ≠ 0 である。

証明
deg f(X) = n とし、
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 とする。
f’(X) = na_nX^(n-1) + (n-1)a_(n-1)X^(n-2) + ．．．+ 2a_2X + a_1 である。
a_n ≠ 0 であり、char(Ω) = 0 であるから na_nX^(n-1) ≠ 0 である。
よって、f’(X) ≠ 0 である。
証明終

命題 92
K を体(>>82)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば K は完全体(>>222)である。

証明
f(X) ∈ K[X] を任意の既約多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
>>224より、f’(X) ≠ 0 である。
deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから f’(X) は f(X) で割り切れない。
よって、f(X) と f’(X) は互いに素である。
よって、>>194より、f(X) は分離的(>>193)である。
よって、K は完全体(>>222)である。
証明終