【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】

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定義 40（Lang)
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)を要素とするある集合とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。

1) K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K ∈ Ψ であるためには L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ が必要十分である。

2) 任意の E/K ∈ Ψ と任意の体(>>82) F に対して EF/F ∈ Ψ

定義 41
E と F を体(>>82)とする。
E(F) (>>91) を E と F の合成体または合成と呼び EF と書く。

命題 42
E と F を体(>>82)とする。
E[F] (>>91)は α_1β_1 ＋ ．．．＋ α_nβ_n の形の元全体からなる。
ここで、α_1、．．．、α_n は E の元であり、
β_1、．．．、β_n は F の元である。
よって、E[F] = F[E] である。

合成体(>>132) EF は E[F] の商体である。

証明
自明である。

>>131は>>132の後に持ってくるべきだった。

命題 43
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)からなる正則(>>131)な集合とする。
E/K ∈ Ψ かつ F/K ∈ Ψ のとき EF/K ∈ Ψ である。

証明
E/K ∈ Ψ であるから>>131の 2) より EF/F ∈ Ψ である。
F/K ∈ Ψ であるから>>131の 1) より EF/K ∈ Ψ である。
証明終

>>131の修正

定義 40（Lang)
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)を要素とするある集合とする。
Ψ が以下の条件を満たすとき Ψ は正則であると言う。

1) K ⊂ L ⊂ M を体とする。
M/K ∈ Ψ であるためには L/K ∈ Ψ かつ M/L ∈ Ψ が必要十分である。

2) 任意の E/K ∈ Ψ と任意の拡大(>>82) F/K に対して EF/F ∈ Ψ

>>135の修正

命題 43
Ψ を体(>>82)の拡大(>>82)からなる正則(>>131)な集合とする。
E/K ∈ Ψ かつ F/K ∈ Ψ のとき EF/K ∈ Ψ である。

証明
E/K ∈ Ψ であるから>>136の 2) より EF/F ∈ Ψ である。
F/K ∈ Ψ であるから>>136の 1) より EF/K ∈ Ψ である。
証明終

命題 44
体の有限拡大(>>87)全体の集合 Ψ は正則(>>136)である。

証明
>>136の 1) の証明：>>125で証明済みである。

>>136の 2) の証明：
E/K ∈ Ψ とする。
α_1、．．．、α_n を K-線型空間としての E の K 上の基底とする。
E = K(α_1、．．．、α_n) である。
任意の拡大(>>82) F/K に対して EF = F(α_1、．．．、α_n) である。
>>124より、各 α_i は K 上代数的であるから F 上代数的でもある。
よって、>>126より EF/K ∈ Ψ である。
証明終