【神々の】ガロア生誕200周年記念スレ【愛でし人】
224 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：
命題 91
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば f’(X) ≠ 0 である。
証明
deg f(X) = n とし、
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 とする。
f’(X) = na_nX^(n-1) + (n-1)a_(n-1)X^(n-2) + ．．．+ 2a_2X + a_1 である。
a_n ≠ 0 であり、char(Ω) = 0 であるから na_nX^(n-1) ≠ 0 である。
よって、f’(X) ≠ 0 である。
証明終
K を体(>>82)とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば f’(X) ≠ 0 である。
証明
deg f(X) = n とし、
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 とする。
f’(X) = na_nX^(n-1) + (n-1)a_(n-1)X^(n-2) + ．．．+ 2a_2X + a_1 である。
a_n ≠ 0 であり、char(Ω) = 0 であるから na_nX^(n-1) ≠ 0 である。
よって、f’(X) ≠ 0 である。
証明終
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225 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/11/09(水) 01:23:01.38
命題 92
K を体(>>82)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば K は完全体(>>222)である。
証明
f(X) ∈ K[X] を任意の既約多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
>>224より、f’(X) ≠ 0 である。
deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから f’(X) は f(X) で割り切れない。
よって、f(X) と f’(X) は互いに素である。
よって、>>194より、f(X) は分離的(>>193)である。
よって、K は完全体(>>222)である。
証明終
K を体(>>82)とする。
char(Ω) (>>192) = 0 であれば K は完全体(>>222)である。
証明
f(X) ∈ K[X] を任意の既約多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
>>224より、f’(X) ≠ 0 である。
deg f’(X) ＜ deg f(X) であるから f’(X) は f(X) で割り切れない。
よって、f(X) と f’(X) は互いに素である。
よって、>>194より、f(X) は分離的(>>193)である。
よって、K は完全体(>>222)である。
証明終
くだらん 塾の教科書でもかいてるのか？
227 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/11/09(水) 09:30:46.00
>>214の修正
>このとき環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。
Z を有理整数環とすると、環準同型 ψ：Z → A が一意に存在し、
ψ(Z) は D に含まれる。
>このとき環準同型 ψ：Z → Ω が一意に存在する(ψ(1) = 1 と仮定する)。
Z を有理整数環とすると、環準同型 ψ：Z → A が一意に存在し、
ψ(Z) は D に含まれる。
228 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/11/09(水) 09:42:31.44
命題 93
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ K[X^p] である。
証明
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 = Σa_iX^i とする。
f’(X) = Σia_iX^(i-1) = 0
よって、各 i、0 ≦ i ≦ n に対して ia_i = 0 である。
よって、a_i ≠ 0 のとき i は p の倍数である。
よって、f(X) は X^p の多項式である。
証明終
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ K[X^p] である。
証明
f(X) = a_nX^n + a_(n-1)X^(n-1) + ．．． + a_1X + a_0 = Σa_iX^i とする。
f’(X) = Σia_iX^(i-1) = 0
よって、各 i、0 ≦ i ≦ n に対して ia_i = 0 である。
よって、a_i ≠ 0 のとき i は p の倍数である。
よって、f(X) は X^p の多項式である。
証明終
229 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/11/09(水) 09:51:20.72
記法
A を標数(>>214) p ＞ 0 の可換環とする。
ψ を A のFrobenius自己準同型とする。
ψ(A) を A^p と書く。
さらに任意の整数 n ≧ 0 に対して ψ^n(A) を A^(p^n) と書く。
但し、n = 0 のとき ψ^n(A) = A とする。
A を標数(>>214) p ＞ 0 の可換環とする。
ψ を A のFrobenius自己準同型とする。
ψ(A) を A^p と書く。
さらに任意の整数 n ≧ 0 に対して ψ^n(A) を A^(p^n) と書く。
但し、n = 0 のとき ψ^n(A) = A とする。
230 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/11/09(水) 10:03:34.80
命題 94
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)で K = K^p (>>229) とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ (K[X])^p (>>229) である。
証明
>>228 より f(X) = g(X^p) となる g(X) ∈ K[X] がある。
K = K^p であるから g(X) の各係数の p 乗根が K に存在する。
g(X) の各係数をその p 乗根で置き換えた多項式を h(X) とする。
>>219より (h(X))^p = g(X^p) である。
よって、f(X) = (h(X))^p ∈ (K[X])^p
証明終
K を標数 p ＞ 0 の抽象体(>>197)で K = K^p (>>229) とする。
f(X) ∈ K[X] を多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式(>>182)とする。
f’(X) = 0 なら f(X) ∈ (K[X])^p (>>229) である。
証明
>>228 より f(X) = g(X^p) となる g(X) ∈ K[X] がある。
K = K^p であるから g(X) の各係数の p 乗根が K に存在する。
g(X) の各係数をその p 乗根で置き換えた多項式を h(X) とする。
>>219より (h(X))^p = g(X^p) である。
よって、f(X) = (h(X))^p ∈ (K[X])^p
証明終