【行列で】m次元ユークリッド幾何学【n単体の5心】

点・線分・三角形・四面体…など各次元において最も単純な図形を
n次元単体と呼ぶ。m次元空間内のn次元単体は、互いに線型独立な
n本のm次元ベクトルを列挙したm×n行列で表せる。

そこで、n次元単体の図形的性質（5心など）を導出する過程から、
m×n行列を用いた線型代数計算の意味について幾何学的に
理解できるのではないかと考えた。←いまココ

しかし、既存研究を探したところ、あまり情報が見つからなかったので、
このような考えについて2ちゃんねるで情報を頂きたく思い、その後
下記のまとめ＠ウィキに結果をまとめたいと思っております。
詳しい方いらっしゃいましたらどうかよろしくお願いいたします。

なお、ライセンスについては、2ちゃんねる書込規約などをふまえて、
クリエイティブコモンズ-by-ncライセンスということにしたいのですが、
著作権も詳しくないので、あわせてどなたかご教授頂けるとありがたいです。

m次元ユークリッド幾何学スレまとめ＠ウィキ
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/

2ちゃんねる9周年おめでとー、という2get！

糞スレ分類
A.　定義や基礎的な定理を疑うタイプ（1+1=2、負×負＝正など）
B.　問題自体はまともだが妙な事を言っている
C.　単発質問
D.　数学の存在意義を疑うタイプ（数学なんて社会で役に立たねーよ、など）
E.　よくわからんが私怨系？（対象は個人だったり組織だったりコテハンだったり）
F.　単調作業系（2進数で数える、など）
G.　数学と関係ない


C　単発質問
　1　宿題がわかりません＞＜
　2　僕は何が分からないんでしょうか　　　　　　← 判定ココ
　3　トリビアを僕の代わりに検索してください
　4　アンケート・面白いこと言ってください

>>3 ある始点から線型独立なn本の方向ベクトルが出てるときに、
それによって作られるn次元単体（n+1点で囲まれる図形）の
重心・垂心・外心・内心・傍心への始点から方向ベクトルが美しい式で表せる気がしました。

そして、2次元単体（三角形）ではフェルマー心・シムソン線など様々な図形的性質が
あるので、それをn次元単体に拡張するといろいろ応用出来そうだし面白いと思ったんだ。
ということで、既存研究や行列演算でn次元幾何学やってらっしゃる先人の
お知恵やそのURIなどを教えていただけるとありがたいです。← ココ

社会へ出てからしばらく経ってますが、幾何学をふまえた行列演算の美しい関係式を
まとめたいと思ったので、どうかよろしくお願いします。

>>4 3行目：始点から方向ベクトル→始点からの方向ベクトル

>>3 あえていうならCの単発質問で3かなーゴメンナサイ。
n次元単体の垂心が存在する条件とか、傍心は何個あるかとか、
僕が検索したところずばり答えみたいのは見つかりませんでした。
外接超球・内接超球・傍接超球の半径の比とか、
分かる人にはトリビアすぎて取り上げるまでもない問題なのか、とか感じてます。
でも、とても応用できると思うんだけど全然見つからなくて。

>4
>フェルマー心・シムソン線など様々な図形的性質が あるので、それをn次元単体に拡張する

じゃあ、まず三次元単体　つまり立体でやってみせてくれ

3次元単体（四面体）の場合、正単体などじゃないと垂線が
1点で交わらなくなるみたいな？以後、n次元への拡張案ですが、

フェルマー心（等角中心・トリチェリ点）は、単体内部の点から
各辺を見込む角度が等しい（cos \theta = - 1/n）点と定義すれば、
あまりぺっしゃんこでない単体内部にはただ一つありそうな気がします。

シムソン線の拡張は、外接超球上の一点からn単体の各面に下ろした(n+1)個の
垂線の足を通る(n-1)次元超平面（1点は従属みたいな感じ？）とすれば、
一意に定まる気がします（いやむしろ定まるならすごい）。

考えてはいるのですが、式ではまだ解いてないのでごめんなさい。

3次元にすら拡張できないのに　
以下略

いや、3次元単体以上の垂心だけ存在する条件があるということで…
7などの方法でフェルマー心(5心)に関しては間違いなくn次元に拡張できると思うのですが…

たとえばn次元単体の各頂点をi点\bm{p}_i(i=0〜n)とし、
i点に対面する(n-1)次元単体面をi対面とし、0点からi点への方向(列)
ベクトルを\bm{l}_iとし、i=1〜nまで\bm{l}_iを行方向に並べた行列を\bm{L}とすれば、
重心=\bm{L} \bm{1} /(n+1)、垂心=\bm{L} (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{1}（ただし、
\bm{l}_i^T \bm{l}_j (i ≠ j)が全て同じ値（\bm{L}^T \bm{L}が等内積行列）の場合に限る）
みたいな式になるみたいな。いや想像で書いてるのでたぶん違うんでしょうけど。

n次元単体には外接超球・内接超球・傍接超球があるらしいことは、
統計学のほうの多変量解析で調べてると出てくることがありますが、
n次元単体の5心・フェルマー心(三角形の場合でも存在する条件がある)
などを行列演算でずばり解いてある文献が私は見けられなかったし、
日本でこれについてやってる人が見つけられなかったので、
ぜひ知っていらっしゃったら教えていただきたいです。

数学＠2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
ttp://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/index.html

>>1 のアットウィキに重心の項目など追加しました。

要素が全部1のベクトルは$$ \mathbf{1} $$と書いたけど、
アルファベットと違って数字は太字にならないようでした。

がんばれ

>>12 ありがとうございます！ざっと計算してみたので、今atwikiに書いています。
どうもうまく書けないので、意見などいただけるとありがたいです。

ところで、m次元空間内でn次元単体を作るn本の方向ベクトルを列記した行列 Lとし、
同様にn次元単体を作る(n+1)点への位置ベクトルを列記した行列 Pとすると、
n×n行列 (L^T L)の行列式det[L^T L]と、(n+1)×(n+1)行列 (P^T P)の余因子行列の
全ての要素の和1^T C[P^T P] 1が等しくなると思いました。

これを仮に余因子総和の定理とか呼んでみたいのですがどうでしょうか？
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/16.html

>>1
↓おまえか

http://pc11.2ch.net/test/read.cgi/internet/1212744583/569
569 名前：192.168.0.774[sage] 投稿日：2008/06/08(日) 21:56:52 ID:kC905/vn0
糞記事を書いてきた。
[[三角形の中心]]

http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83&action=history
(最新版) (前の版) 2008年6月8日 (日) 12:54 60.45.13.173 (会話) （1,283 バイト） (なんとなく書いてみた)

>>14 私はＷｉｋｉｐｅｄｉａのアカウント持ってない（なくても書けるようですがＩＰはブロックされてました）
ので別人なのですが、大変勉強になります！情報ありがとうございます！ジェルゴンヌ点・
ブロカール点・ド=ロンシャン点などは、atwikiに等角中心の項まで書いたら考えたいです。

私はよくWikipedia見たりするのですが、ＧＦＤＬのライセンスということで引用するのに
編集してる何人かのアカウントを表示する必要があるらしいと聞き気を付けて見てます。
あと、ウィキペディアには個人的な研究の内容は書いてはいけないとかあった気がしました。
しかし、atwikiの数式環境ではsmallmatrixやcasesが使えないようなのでうらやましかったり。

ちょっと調べたら、「三角形」のページ↓のが五心については詳しかったりしました。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2

ちなみに、n次元単体において i点(i=0〜n)からi対面への垂線ベクトルをh_iとすると、
\sum_{i=0}^n (h_i / (h_i^T h_i)) = 0（m次元ゼロ列ベクトル）となることを発見しました。

これを仮に逆垂線総和の定理とか呼んでみたいのですがどうでしょうか？
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/17.html

内心について解きました。解が垂心の形（調和平均のような）に酷似してる！美しい！
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/18.html

とりあえずおじさんに位置ベクトル p_i と方向ベクトル l_i の関係を教えてくれ
l_i = p_i - p_0 でいいの？高校の時には位置ベクトルと方向ベクトルというのが別にあったなぁという記憶があるような無いような。

>>18 そうです！ご指摘のとおりです！atwikiの「n次元単体を表す行列」↓の
項に図入りで詳しく書こうと思いつつ、まだ放置中でした…ごめんなさい。

私は文中で、m次元空間の原点を始点とするm次元列ベクトルを位置ベクトルと呼び、
n次元単体の頂点の一つ0点を始点とするm次元列ベクトルを方向ベクトルと呼んでいます。

そして、m次元空間内の(n+1)点あるn次元単体の頂点を順番にi点(i=0〜n)と名付け、
m次元空間の原点からそのi点(i=0〜n)への位置ベクトルを p_i として、
0点から他のi点(i=1〜n)への方向ベクトルを l_i = p_i - p_0 としています。

n次元単体の五心などを計算するときに、辺に対応するn本の方向ベクトル l_i (i=1〜n)
の方で計算すると、線型独立ということを使ってうまく計算できる感じです。
一方、頂点に対応する(n+1)個の位置ベクトル p_i (i=0〜n)の方で計算すると、
1次元過剰なので計算が大変ですが、0点を特別視しないので式が美しくなる感じです。

自分で調べて見つからなかったものなど、いろいろ私独自の用語を使ってしまっているので
他にもいろいろご指摘くださるとありがたいです。

atwiki「n次元単体を表す行列」（書き中…）
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/14.html

おじさんは昔秋山仁訳、Ron Graham 著の離散数学入門を読んで
Heron の公式の高次元版(n次元単体の体積を辺の長さをつかってあらわす)
が書いてあって衝撃を受けたよ。あんまり離散数学じゃないけど。
まだ知らなかったら考えてみたら？Wikipedia をみたら答えが載ってるので見ないようにしましょう。

>>20 マジっすか！？離散数学は集合とかグラフとかやった気がしますが、
その分野からは調べてませんでした。ありがとうございます！
秋山仁先生はNHKの高校数学か何かに出てらっしゃってお見受けしたことありますー

私的には、v^n = det[L^T L] = 1^T C[P^T P] 1 (C[X] は X の転置余因子行列)とすると、
（n次元単体の超体積） = \sqrt{ v^n } / (n !)となるとatwiki「n次元単体の体積と表面積」
の項 ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/16.html に書いてましたが、それは知りませんでした。

Heron の公式のn次元拡張ということで n(n-1)/2本の全ての辺の長さと媒介変数sを何個か
使うような気がしますが……思いつきません！安西先生、Wikipediaが見たいです！！

あと、離散数学入門の本を調べて組合せ幾何というのに辿り着きました。そういえば、
この前たけしのコマ大数学科でやってたシュタイナー点はグラフ理論＋幾何学っぽい
雰囲気ありました。俺は今までなぜ気付かなかったのかアッー

この問題は分野的には、ルネ・デカルトに始まるとされる解析幾何学の中で
超立体解析幾何学とかの分野に入ると思た。

>>20 Heron の公式のn次元拡張を考えました。i, j = 0〜n とし、
i点からj点への辺の長さを x_ji (x_ii = x_jj = 0)として、
x_ji を j行i列の要素に持つ(n+1)×(n+1)行列を X （歪対称行列のような）とすると、

（n次元単体の超体積） = \sqrt{ 1^T C[ X ? X ] 1 } / ( 2^n )
（ ? は両側の行列のj行i列要素同士の積をj行i列要素に持つ行列を返す
二項演算子とする）となると考えました。ヘロンの公式っぽくなりませんでした。
ギブアップです。Wikipediaの答えを見てもうちょっと考えてみようと思います。

Heron's formula： ttp://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula
正四面体の幾何学： ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/320_tetra.htm
上を参考に、Heronの公式のn次元拡張（3次元はEuler・Tartagliaの公式？）は下記だと思います。

n次元単体のi点からj点への辺の長さ x_ji を要素に持つ(n+1)×(n+1)行列 X について、
（n次元単体の超体積） = \sqrt{ 1^T C[ X ⊙ X ] 1 / ( (-2)^n ) } / (n !)
（⊙ は両側の行列のj行i列要素同士の積をj行i列要素に持つ行列を返す
二項演算子、C{X}はXの転置余因子行列とする）となる。
（1・2・3次元単体ではだいたいあってそうですが、4次元以上の証明は難しそう…）

>>20 さんあってますか？ずばり答えみたいのが見つからなかったので、仮に超Heronの公式
と呼びますが、探しているうちに美しい公式がいろいろ見れました！ありがとうございます！
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/16.html にも追記しておきました。

べつにヘロンの公式の拡張が離散数学だというわけじゃないです
なぜか無関係に乗っていただけで。高校のときは秋山仁に流されて離散数学って
面白いのかなと思っていたけど結局やらなくなってしまった。

ああ、それですそれです。
あんまり変な演算子は導入するのは止めて、単に X の i行j列 要素は x_{ij} ^2 だ、といったほうがいいんでは ...
まあ頑張って証明してください。そこも面白いところだし、〜心とか慣れた概念とは違う手法が証明に必要になるから勉強になると思います。

X と 演算子 ⊙ の定義で分母のマイナスを吸収しようとしたり、
X だけで何かすごいことができるとか、そんなふうに考えていた時期が俺にもありました。
証明には、位置内積行列 P^T P から x_{ij}^2 = (p_j - p_i)^T (p_j -p_i) を
要素に持つ行列（仮にBとします）へ変形していくと……って難っ！

全ての辺の長さを使うことやグラフ理論からのアプローチは言われなければ気付かなかったです。
しかし、こんなすごい公式が既に世の中にあるなら五心の方もありそうですね。
もし、この公式の名前とかご存知でしたら教えてくださるとありがたいです。

n次元単体の外心できました。あまり美しい式にならなかった…
外心の計算から、辺の長さの自乗の半分が重要な値だと考え、0点から出る
辺についてこの値を列記したベクトルを b_0、原点とi点との辺について \tilde{b}_σ、
>>27 関係の全ての辺についてこの値を要素に持つ行列を \tilde{B}とすることにしました。

これより、-\tilde{B} = P^T P - 1 \tilde{b}_σ^T - \tilde{b}_σ 1^T と表せることから、
まだ証明できてない余因子総和の定理 1^T C[ X - a 1^T ] 1 = 1^T C[ X ] 1 より、
1^T C[ -\tilde{B} ] 1 = 1^T C[ P^T P ] 1 が示せて、n次元単体の超体積と同じ
と言えるので証明というかツジツマは解決できた気が個人的にしてます。

詳しくは、下記にまとめたいと思います。
n次元単体の体積と表面積： ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/16.html
n次元単体の外心： ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html
あとは、この \tilde{B} で外半径と内半径を表せれば……（無理っぽい）

n次元単体の(n+1)個ある頂点からの距離の比が一定値になる点を
仮に分点心と呼ぶことにします。1次元単体（線分）の場合をふまえて、
内分点・外分点に相当するものを内分点心・外分点心とします。
そして、アポロニウスの円に相当するものを仮に分点心補超球と
呼ぶことにします。ということを今日は書きました。↓

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html

高次元ユークリッド幾何って、ベクトル使わずに
平面幾何/立体幾何みたいにほんとにユークリッドの公理みたいに出来ないの？

>>30 さんありがとうございます！私は厳密なことについては苦手なのでアレなんですが、
やってて特に高次元が2次元・3次元と違うということはあまりないので、できると思います！

今は私の線型代数好きが講じて、ユークリッドの公理・公準などをふまえた空間上で、
行列演算によって問題を解くという解析幾何学的なアプローチ（？）しかできてませんが、

>>30 さんの意見から新しい視点が見つかりそうなので、例えば的な問題をいただけるとありがたいです。
例えば、角度の拡張とか、バラバラな(n+1)点を通るn次元超球がある（第3公準拡張）みたいなですか？

外接超球の半径r_Oと、分点心補超球の半径的な値R_{T0}と、それらの
中心同士の距離的な値R_{TR}を、俺はまだ位置ベクトルで美しく表せないッ！

ということで、Google schoolerとか ci.niiとかで調べてて、下記を発見しました。
四面体の全ての辺の長さで外半径を無理矢理ひねりだした感がすげぇ！

これはあとで解読するとして、今日は等角中心（フェルマー点・トリチェリ点）を、
明日は超Simson対面（仮）をやろうと思た。

<研究論文>四面体の外接球の半径について
ttp://ci.nii.ac.jp/vol_issue/nels/AN0016383X/ISS0000046091_jp.html の一番上

>>32 R_{T0}とR_{TR}が逆だった…orz
あと、下記を発見したが有料だった…五十嵐さんにお会いしたい！

Simsonの定理の拡張に関する考察 : 「三角形幾何」と数式処理」
ttp://ci.nii.ac.jp/naid/110003727121/

多面体好きなら Coxeter の "Regular Polytopes" は持ってる？Dover で売ってるから是非買いましょう。高次元の正多面体を全部説明してあります。

とりあえずまずは三次元の正多面体の内接外接球の半径を一辺のながさであらわすとかやってみると面白いとおもいます

あと、自分で新分野を開拓するのはいいことだけど、そのありあまる情熱でなんか高等数学を勉強したら良いんじゃないかなと思います。
高次元ユークリッド幾何がすきなら、Weyl 群とかルート系は気に入るんではないかとおもいます。
あとはもう大学生ならぜひ図書館で Conway-Sloane の Sphere packings をかりましょう。これはすごい。
以上おじさんのコメントでした。

>>34-35 ありがとうございます！面白そうです！ぜひやってみたいと思います！

群論や代数系については昔挫折した感があり、（４次元接吻数より少し上の年齢です）
正多面体群や球充填問題など聞くと黒歴史ヨミガエルみたいな気持ちありますが、
がんばります！インターネッツと大きい本屋と昔の大学の図書館で調べます！

>>34 とりあえず、1辺の長さを1としたときの 3次元正？面体の頂点の数(n'+1)と
内半径r_Iと外半径r_Oと中心から1辺を見込む角度の余弦 \cos \thetaを出しました！

？, (n'+1), r_I, r_O, \cos \theta
4, 4, √(6)/12, √(6)/4, -1/3
6, 8, 1/2, √(3)/2, 1/3
8, 6, √(6)/6, √(2)/2, 0
12, 20, √(250+110√(5))/20, √(18+6√(5))/4, √(5)/3
20, 12, √(42+18√(5))/12, √(10+2√(5))/4, √(5)/5

となりました。ざっとなので間違ってるかもしれませんが、美しい！
Coxeter"Regular Polytopes"はAmazonで1630円でした！結構安かったので巷で見つけたらゲットします↓
ttp://www.amazon.co.jp/Regular-Polytopes-H-S-Coxeter/dp/0486614808

n'次元正単体を3次元に正射影したとき、正？面体となるような方向を求めると面白いと思ったけど、難しかった

ttp://www.nikonet.or.jp/spring/origami2/origami_6.htm
↑を見て、正12面体の外半径が√(18+6√(5))/4 = (√(15)+√(3))/4とできること、
中接球というのがあることを知りました。せっかくなので、atwikiにまとめたいと思います↓
3次元正多面体について ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/24.html

中接球をn次元単体に拡張すると、全ての辺に接するn次元超球ですか…
ありそうなので、これを仮に辺接超球と呼び、その中心を辺心と呼びたいと思います。
n次元単体の辺心 ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/25.html

n次元単体の(k+1)個（k=0〜n-1）の頂点で作られる全てのk次元平面との距離が等しい点を
k次元面心と仮に呼びます。（k=0のとき外心、k=1のとき辺心、k=n-1のとき内心）

ちなみに、n次元正単体の1辺の長さを1としたとき、n次元正単体のk次元面接超球の
半径は、r_{K_k} = √( (n - k) / (2 (n + 1) (k + 1)) ) と書けるらしいとこまで行きました。

辺心は今考えてますが、内心っぽい雰囲気で、式は外心に似てて、垂心のように存在する条件
がありそうという、今までの集大成的な感じがしてます。
n次元正単体について ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/26.html

>>30 さん的な感じのサイトをハケーンしますた。三次元 Euclid 空間論↓
ttp://phaos.hp.infoseek.co.jp/part3/linalg/stereo/euclid3.htm
私的には、ここで言われている「Vectors を基礎とする立場」なのであります！Vectorsカコイイ

>>40
3次元だからできてあたりまえなんでは？Euclid の原論も3次元までカバーしてあったはず。頑張って4次元をやってください。

>>41 >>40の前の方はワイル（Weyl群の人）の公理だと思うのでWikipediaのアフィン空間のページ（定義の項）に説明ありました。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%A9%BA%E9%96%93
>>40 の後の方は、三垂線の定理だと思うのでｎ次元でも p_y~T (\sum l_i k_i) = 0 とかで言えると思います。

私がユークリッド空間の定義について書かないまま（Vectorsだから？）、標準基底やユークリッド内積などを前提に
計算してるのがいけませんが、非ユークリッド幾何学とかにも応用していきたので、定義もちゃんと書こうと思ってます。
m次元ユークリッド空間 ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/13.html

>>35 さん的なことを調べていて、ttp://en.wikipedia.org/wiki/Root_system
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_group　ttp://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_group
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%84%E7%B3%BB

より、「ルート系とはある集合の要素に対して鏡映という写像を行っても
その集合のどれかの要素となるような（集合と演算（鏡映群）が定義された）代数系」と感じました。
ワイル群はユークリッド空間の鏡映群、コクセター群はCoxeterさん独自の拡張（鏡映⊂対合など）、ティッツ系は
さらに一般化しコクセター群をユークリッド空間における鏡映として捉えれることを言ったという感じですか？
この話から正多胞体について ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/251_cox.htm が詳しいと思いました。

例えば、私的に書書き換えると、n次元ユークリッド部分空間 L を張る n本のベクトル l_{x_i} = L x_i (i=1〜n)について、
l_{x_i} の直交補空間に対する l_{x_j} の鏡映がちょうど l_{x_k} となるすれば、
l_{x_k} = l_{x_j} - 2 l_{x_i} l_{x_i}^T l_{x_j} / (l_{x_i}^T l_{x_i}) と書けるので、
全ての i, j, k = 1〜nにおいて x_k = x_j - x_i c_{ij} (c_{ij} = l_{x_i}^T l_{x_j} / (l_{x_i}^T l_{x_i}))
となるような互いに線型独立な n次元列ベクトル x_i の n個の組を求めれば、
ユークリッド空間内の鏡映によって不変な基底 l_{x_i} = L x_i が求まる　みたいな？（長文スマソ）
（ちなみに、c_{ij}を要素に持つ行列をカルタン行列と呼び、その行列に対応する平面グラフをディンキン図形と呼ぶらしい）

そして、その解は特定の解しかないことがわかっていて、*_*型（E8型など）みたいに名前が付いている
みたいな？す、すごすぎるぜッ！群論オソロシス！とりあえず、今はどの組織にも属してないので
個人的には見たことない美しい定理や公式の宝庫である n次元単体関係についてまったりとまとめてから、
そっち系の第一線的な研究や応用について考えたいと思ってます。しかし、最近は辺心あたりでもうダメポ状態です

>>43
>群論オソロシス！
べつにルート系の分類には群論はたいして使わないよ。
ルート系の分類は 43 さんみたいにほぼ純粋にユークリッド幾何的にできます。
むしろルート系の分類が群論に応用されます

>>43 c_{ij} = 2 (l_{x_i}^T l_{x_j}) / (l_{x_i}^T l_{x_i})でしたし、
しかも、x_k = x_j - x_i c_{ij}の時点で線型従属だった…

鏡映の計算の定義がまちがってるのかな…鏡映を行っても回転と並進で元に戻る
（合同）となる単体（仮にルート単体とする）と定義すればありそうなのですが…

>>44 さんお詳しそうなので、何か情報をいただけるとありがたいです。

ルート系は線形独立性は課さなくていいんですけど。
単に、n 次元空間の中の、N 本のベクトル x_1 , ... x_N で、
かってな x_i と x_j にたいして、
x_j - x_i c_{ij} ただし c_{ij} = 2 (x_j , x_i) / (x_i, x_i)
というベクトルがまた x_1, ... x_N のなかのどれかになっている、
というのがルート系の定義です。(a,b) はベクトル a と b の内積ね。
a^T b と書きたかったらそれでもいいけど。

E8 は8次元空間のなかに240本あります。

>>46 情報ありがとうございます！ベクトルの始点は固定とか考えてました…
例えば、A_n型ルート系と呼ばれるものは、n次元正単体の n(n-1)本の全ての辺について
0点から1〜n点へ・1点から2〜n点へ…と向き付けすることでようやく一つイメージできた気がします。

そして、この n(n-1)本の有向辺ベクトルを無理矢理1つの始点から出るように移動すれば、
この始点を中心とするn次元半超球上にベクトルの終点となる n(n-1)点が均等に
配置されることがイメージできて、正のルート系という用語も理解できそうです。

しかし、x_j - x_i c_{ij}を再帰的に満たすことから c_{ij} が整数となることや、
これより x_iと x_jの成す角が30・45・60・90・120・（135・150？）度になると言えても、
確実に分類することは私には皆目検討もつかない状態なので、
世の中にはすごい人いるんだなぁとつくづく思った今日この頃です。

そういえば、34氏的な正多胞体のリスト発見しました→ ttp://en.wikipedia.org/wiki/List_of_regular_polytopes

>>46 ま、まさか、8次元接吻数 240 は E8 からキテるんですか(((( ;ﾟДﾟ))))ｶﾞｸﾌﾞﾙ

>>47 n次元正単体の辺の数はn(n+1)/2だった…3回も間違っとる…orz

>>48
そうですよ。E8 格子が最密のはず。
とにかく図書館が使えるなら、Conway-Sloane の Sphere packings を借りましょう。これはすごい。

>>50 すごい！今後の日程として、7月中旬に県一大きい本屋に行って、
前学期が終わる7月31日頃に大学の図書館に行こうと思てます。
それまでに、LaTeXでPDF形式も作れたらうｐしたいと思います。

>>51
県一大きい本屋にも Conway-Sloane があるとは限らないきがする...
洋書の専門書って本屋の注文担当の人がランダムに決めてるとしか思えない、
東京大阪中心部の大型書店でも。
お金が余ってるなら Amazon で買うのをおすすめします

http://www.amazon.co.jp/Packings-Lattices-Grundlehren-Mathematischen-Wissenschaften/dp/0387985859/

これは格子、球の充填に興味のある人は1万3千円出して絶対損はない本です

最近は、ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/ のatwikiをいじったりしていて、
JavaScriptなしで誰でも編集できるように「このページを編集 」リンクを付けたりしてました。
アクセス解析の機能はatwiki的には提供してないらしいので気軽にお願いします。

あと、ttp://en.wikipedia.org/wiki/Heron's_formula のGeneralizations項の
ルートの中身の行列式に-1かけないと間違ってる気がしました。
私的に余因子総和を行列式にするなら、ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/28.html のように
1だけの列を-1だけの列に変えるといいと思いました。

>>52 早速レスありがとうございます！12,595円高いけど何かめちゃくちゃ欲しいです。
この前秋葉原のヨドバシカメラ7階くらいで少し欲しかった岩波数学大辞典とかいうのが、
昔第3版くらいは5,000円くらいだったのに第4版くらいで文字が大きくなって
CDかDVDがついたらしく15,000円になってたような感じを思い出しました。

懸念事項は、私が英語不得手なこと・10年前発売なこと・ネットショッピング怖いこと・金額面という感じですが、
来週からバイト始めようと思ってた矢先なので、ちょうど買い時という自分の流れが逆に怖いです。

>>54
本が10年前でなぜだめなの？自分の知ってる内容が50年前ぐらいの状況だったら何の問題もないでしょう。
あとアマゾンはネットショッピング最大手なので大丈夫だと思うよ。

ただやっぱり高いので、図書館でちょっと読んでからというのをおすすめしますが。

>>55 私の新物好きや、ネットで匿名活動は、IT系から来る特殊な性癖なのだぁ（謎）
また、50年前どころか読んで理解する上での前提知識も自分は乏しい気もするので、
おすすめのように、大学の図書館に3日ぐらい引きこもってきてから、今後の応用の主軸をどこにおいて
いくか決める方向でいきます。正多胞体・充填問題・英語論文を目指すなら間違いなく買いであります！

見てくるにあたって、格子や球充填の本丸の他に、全てのルート系の例えば的な全てのベクトルの値とか、
正多胞体を形作るベクトル l_i を再帰的に l_{i+1} = X l_iのように生成する変換行列 X (X^n = E) とか、
超立体角をうまく表すためのきっかけとか、n次元単体を絡めた応用のきっかけとか得たいと思てます。
また、自分なりに調べたりわかったり思うところなど書いていきたいと思ってまう。

あと、今日中に外心のページ・今週中にk次元面心のページなどを書けば、
一応n次元単体の五心ネタは出し切れる感じしてますが、
これから動くにあたってもっと情報が欲しい的なこともあり、
近々 線型代数スレかどこかでお力添えを頂けないか頼もうか考える今日このご(ry

n次元単体の(n+1)個の頂点からのベクトルの長さの自乗和 F_G が最小となる点は重心であり、
その自乗和の最小値をベクトルの数で割った値の平方根を重均半径 r_G = √(min[F_G]/(n+1)) とすると、
ｊ点からi点への辺の長さの自乗の1/2をji成分に持つ行列（仮に辺乗行列と呼ぶ） \tilde{B} を用いて、
r_G = √(1^T \tilde{B} 1) / (n+1) と書けるような気がしてます。
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/12.html

>>56
IT 系は dog year だから、2年前に出た本を買う人は馬鹿だというのは納得しますが、数学の発展なんて遅々としてますから、10年前の本でも全然古くないですよ。

>>58 そういわれてみると、全くそのとおりな感じします。
数学系は著名な人や系統的にまとめられた名著は何年前のでも参照される感じします。
例えば、関孝和さんとかユークリッド原論とか思いつきました。

IT系は例えばC言語だと昔の創始者（？）のカーニハン＆リッチーとか見る人もいるけど、
実務的にはANSI Cとか新しい規格や仕様に準拠してる方を見たい感じですし。
月刊誌的にもIT系は結構買いますが、数学系は数学セミナー4月号のみ…ってそれは私の趣味か

>>59
カーニハン=リッチーはANSI対応版も出てると思うけど ...

n次元単体のi点(i=0〜n)からi対面（i点以外のn頂点によって作られる(n-1)次元単体）
への垂線（i垂線と呼ぶ） h_i の長さは、辺乗行列 \tilde{B}・余因子行列 C・
余因子総和行列 \tilde{C}・（(n+1)列）標準基底 e_i (i=0〜n)を用いて、

√(h_i^T h_i) = √((1^T C[ -\tilde{B} ] 1) / (e_i^T \tilde{C}[ -\tilde{B} ] e_i)) と書ける
ような気がします。ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/17.html

>>60 僕的にカーニハン=リッチーといえば関数の引数を宣言と実装の間に列記する感じします。
UNIX系の昔のX Window systemの本とかで古そうなソースコードとか見たりして
生じた先入観かも。今はもっぱら流行ってないC89や難しいC++に興味ありますが、
何分私は仕事もしてない適当な人間なので。しかし今週からバイト始まるかもみたいな

>>62 3行目「流行ってないC89」→「流行ってないC99」

n次元単体の内接超球の半径は$$ r_I = 1/(Σ_[j=0,n] 1/√(h_i^T h_i)) $$となることから、
辺乗行列 \tilde{B}・余因子行列 C・余因子総和行列 \tilde{C}・行列 X の全ての成分
を平方根した行列 √(X)・行列の対角成分の総和（トレース） tr を用いて、

r_I = √(1^T C[ -\tilde{B} ] 1) / tr[√( \tilde{C}[ -\tilde{B} ] )] と表せると思います。
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/18.html

なお、n次元単体の傍心は 2^n 個（内心を含む）定義できるような気がしてます。

>>62
C++0x いいよね。
function( [&](){return 0} ):
みたいなかんじ。

>>65 C++0x キターー（・∀・）ーー！！
いつのまにこんなすごいものできてたんですか…全然知りませんでしたよ…
やりてー

>>65
> function( [&](){return 0} ): 

なにこれ？

Closure というか λ 式というか、C++ 的には無名局所関数オブジェクトです。
http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2008/n2550.pdf

>>68 ざっと見てポカーンでした！クロージャやラムダ式は敬遠ッ敬遠です！
無名シリーズといい、やっぱり、C++って難しいスね。。
IT系は、gcc4とかHTML5とかしばらく見ないうちに超展開しててびっくり人間。

今日は角心、明日は外心、週末にk次元面心について書くことにした、うん。
そこで、ある点からn次元単体の1辺を見込む角度の余弦が等しく - 1 / n となる点を
n次元単体の角心（等角中心・特に2次元ではフェルマー点とも呼ばれる）と仮に呼びます。

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/22.html のような計算により、n次元単体の0点から角心
への方向ベクトルを解くことは、n次元単体を作るn本の方向ベクトルのうち2本 l_i, l_j を使った
n次元単体の0点から角心への自乗距離 R_F についての4次方程式を解くことに帰着できそうです。

特に、その2本のベクトルの長さが等しい場合は、式が2次(1次)^2=0の形に因数分解できるし、
また、n=2の三角形の場合には、R_Fについての3次方程式になりそうです。
n=2でその2本のベクトルの長さが等しい場合について、当たってそうなことを確認しました。
あと、もう1回ぐらいブレイクスルー起きればいい式に書ける気がしてます。

一番上から読み返してましたが、超わかりづらい…
でも、この分野はけっこう新規性があるものが眠ってる気が個人的にするんだ…

例えば、n次元単体の外接超球の半径 r_O は、
n次元単体のｊ点とi点(j,i=0〜n)との距離の自乗値の 1/2 を
ji成分に持つ行列（仮に辺乗行列と呼ぶ） \tilde{B} を用いて、

r_O = 1 / √(1^T \tilde{B}^{-1} 1) と書けると個人的に予想していて、
ちゃんと証明できたらすごいことだと個人的には思ってるんだ…

外心について少し書きました ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html

>>32 の論文（？）にある地道な計算式からは、どうも >>71 の予想に持っていけないので、
n次元単体の体積を 外心とi対面で作られる(n+1)個のn次元単体の体積の和差と
関連付けて成り立つ関係式（仮に外心分積定理と呼ぶ）でなんとかしようとしてます。

外心のページの外心分積定理の項で出てる、外心から i対面への垂線 h_i \alpha_i
について \sum_{i=0}^n \alpha_i = 1 となるという関係式は、分面心座標
（2次元の場合、三線座標と呼ばれるもの）関係の何かの総和みたいなのが
常に 1となるとかを先に言って、それを用いればはしょれるしわかりやすいと思った。

>>72 の外心分積定理において p_i の係数についてだけ考えれば、
\alpha_i = (\tilde{c}_i^T \tilde{b}_\sigma) / (\tilde{c}_i^T \tilde{e}_i h_i^T h_i)
と書けると思った。

k次元面心について少し書きました ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/25.html

* n次元単体のk次元面心の定義

n次元単体の(k+1)個（k=0〜n-1）の頂点で作られる全てのk次元平面との距離が等しい内部点をk次元面心と呼ぶ。
n次元単体においてk次元面心から(k+2)個の頂点で作られる(k+1)次元単体面への垂線の足は
その(k+1)次元単体の内心となる。逆に言えば、n次元単体の内部にある(k+1)次元単体面についてその内心を通る
(n-k-1)次元直交補空間の$$ {}_{n+1} C_{k+2} $$通り全てが一点で交わるとき、そこがk次元面心となる。

どんなn次元単体でもk次元面心が存在すれば唯一であり、
(n-1)次元面心は内心として常に求まり、0次元面心は後述の外心として常に求まるが、
k=1から k=n-2までの k次元面心が存在する n次元単体は特別な場合に限られる。
例えば、n次元正単体の場合はk=0から k=n-1までの k次元面心が全て同じ点として唯一求まる。

>>74 にあるように \alpha_i = (\tilde{e}_i \tilde{C}[P^T P] \tilde{b}_\sigma) / v^n
としか考えられないけど、\sum_{i=0}^n \alpha_i = 0 \neq 1 だと思うので、うーん…
今日は分面心とi対面によってn次元単体の体積を(n+1)個に分けたときを考えたいと思います。

あとできるとしたら(n-2)次元面心と1次元面心の存在する条件と解を求めるくらいで、
ここら辺が今の俺の限界ラインなので、今週は図とPDFに力を入れたいけど、
バイト暇なし的な感じで萎えー線型代数スレも過疎ってるなぁー

リアルで真面目に働いてて放置プレイしてました。
そして、久々に大型連休キターと思ったら、図書館も休みだった…

とりあえず、このスレやまとめサイトがGoogle検索では結構上に出てくるー
しかし、過疎ってるー17日までにいろいろがんばろうっと… という保守。

元気？

元気じゃないよー最近はmixiを試したりしてた（謎）
早くレポート的なものを作って大学や図書館に行きたいぉ

あと、i点・○心を通る直線とi対面の交点（i○足）が作る単体（仮に○足単体と呼ぶ）や、
(n+1)通りあるi対面の○心で作られる対面○心単体（仮）の諸性質を考えると、
あと2倍は楽しめると思ったけど、難しいし時間がないしなぁー

まず、もっとちゃんとまとめるべきか、拡張させるか、新しい方向に行くか、迷ってる。
とりあえず、今は垂足単体の内心が元の単体の外心になるような気がして、気になってる。

例えば、重足単体は対面重心単体であり、元の単体がひっくり返って相似比ｎ：１
となるような単体となり、位置行列Pで表すとP (1 1^T - E) / n となる図形であるとか。

また、垂心がある単体（等内積単体）の垂足単体は等内積単体となるのか？
など、アイディアや考え方によって興味あるネタ満載な気がするのですが、
誰かやってくれないですか？私もおいおいやっていきますので…

>>79 の○足単体の定義では、垂心が定義できない単体では
垂足単体が定義できなくなる気がしるなぁ。

i垂線とi対面の交点をi垂足としたいので、重線・内線・傍線・外線を定義するとか…
傍線とか○心が単体の外側にある場合、まだ想像できないなぁー

●心から i○線方向に行って i対面と交わる点を i●○足とすれば、
●○足単体が定義できそうな気もするけど、今はまだ考えちゃダメな気がする。うん。

えーもう1ヶ月かーはやいなぁー（汗）

シムソン超平面については正四面体で考えてたら
ならなさそうなことがわかりました。けど、何かあるとしたら
外接超球上の点の関係だよなぁーと思ってますぅ…

バイトとかやってる暇じゃねー、レス付くのが早いか、辞めるのが速いか（謎） という保守。

すごい

やべぇ、83さんレス速すぎッ（汗
僕はバイト辞めるんだ、ゼッタイ辞めるんだ…

>>82 について、n次元単体にその外接超球上の1点を加えて作られる複体を考えると、
トレミーの定理関係の拡張とかで、超球内接複体定理みたいなのができる気がする。。

n次元単体 P の外心 p_O と 外半径 r_O および外球点 p_X について成り立つ
(p_X - p_O)^T (p_X - p_O) = r_O^2 という式をトレミーっぽく変形していくと…
つまり、辺乗行列 Ｂ の式で表すように持ってけばいいのか…むずい… やりてー！

i=0〜n, j=0〜n, b_{ij}=(p_i - p_j)^T (p_i - p_j), b_{(n+1)(n+1)} = 0,
b_{i(n+1)}=b_{(n+1)i}= (p_X - p_i)^T (p_X - p_i) としたとき、
b_{ij}（i=0〜(n+1), j=0〜(n+1)）をi行j列の成分に持つ
(n+2)×(n+2)行列を拡大辺乗行列 \tilde{ \tilde{B} } と呼ぶ。

これをふまえて、>>85 の感じで考えると、n次元単体と
その外接超球上の1点で作られる拡大辺乗行列について、
\det[ \sqrt[ \tilde{ \tilde{B} } ] ] = 0 みたいになると予想できる。

っていう、我ながら激しく怖ろしい発想をしてしまった…
符号さえあわせれば、トレミーの定理にはなる気がする。
3次元以上はまだ想像すらできないけど… っていうか何かあるならすげぇ

¥det ¥sqrt って ¥sqrt ¥det と等価だとおもうんだけど。
ふつうの数学の定義では。
¥sqrt A = B なら A = B.B 、行列のかけ算として、なので。
成分毎に ¥sqrt するということ？

>>87 さん、レスありがとうございます！

行列のルートは、私的に成分毎のルートと言う意味で定義なしに使ってしまいました。
構想段階だったのと、↓の内接・傍接超球の半径のページで使っていたので、
配慮無くすいません。http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/18.html

使った理由としては、行列にルートかけた式を個人的に見たことなかったし、
行列式やトレースかける前に成分毎にルートかける需要が私的にあったので、
ここでは行列にルートかけると成分毎のルートするということにしたいのですが
いかがでしょうか？個人的に他にいい書き方が思いつかなかった…

しかも、>>86 なんかは、二乗して\tilde{ \tilde{B} }の成分になればいいという意味で
配慮無く\sqrtを使い、+か-か成分ごとの符号は後でコジツケようとしていましたが、
いろいろ符号変えてトレミーの定理の式にしようとしたけど出来ませんでした。

ここは視点を変えて、>>85 の式が (l_X - l_O)^T (l_X - l_O) = r_O^2 = l_O^2 とも書けて
l_X^T l_X = 2 l_X^T l_O であることから、b_{i(n+1)}=b_{(n+1)i}= (l_X - l_i)^T (l_X - l_i) で
この式を b について書き換えることで、きれいな Ｂ の式に持って行きたいと思っています。

手がかりは、0点から外接超球上の一点（外球点と呼びたい）へのベクトル l_X と、
0点から n+1個あるn次元単体の i番目の点（i点）へのベクトル l_i を交換しても、
同じ式になる（個人的にはサイクリックになるとか呼んでる）ことなので、使いたいです。

あと、行列のトレースは今 \tr で書いていますが、正方行列 X の対角成分以外を0にした
対角行列を \Sigma[ X ] で表すとすれば、成分が 1 のみのベクトル \bm{1} に対し、
\tr[ X ] = \bm{1}^T \Sigma[ X ] \bm{1} とよくある形で書きたいと考えています。

これは、内接・傍接超球の半径などで対角成分に符号を付けてからトレースする需要
があるのですが、上記を用いると、成分が +1 か -1 の符号ベクトル \delta に対し、
\tr[ X \Sigma[ \delta ] ] = \bm{1}^T \Sigma[ X ] \delta とうまく書けるからです。
（ここで、\Sigma[ \delta ] は、\deltaの成分を対角成分に持つ対角行列とする）

あと、>>87-88 についてですが、正方行列 A, B に対して
A A = A^2 = B となるときは A = B^{1/2} で表そうとしてました。

私的な知識不足もあり、標準の記号からいろいろ紆余曲折あって記号を
変えてしまったりしてしまっていますが、逆にわかりづらくてすいません。

今思いついた感じでは、行列式 \det のi行j列の各項ごとに付く符号
\delta_{ij} = (-1)^{i+j} を変えて、歪対称行列のように対角成分をはさんで
上三角部分が＋で下三角部分が−となる符号が付く変形行列式を
仮に \sdet とでもすれば、\sdet[ \sqrt[ \tilde{ \tilde{B} } ] ] = 0 が成り立つと思た。

しかし、仮に1次元でトレミーの定理ッぽいものを考えるとすれば、
一直線上に3点あるときの式と思うので、でそれそれの辺の長さをa, b, cとすると、
一般式が1次元の場合において(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=0 という式になる
とも考えられます。1次元の場合は球じゃないから除外でいいのかなぁー

あれっ、今更だけど普通トレミーの定理ってどうやって出すんだっけ…？
この土日で 89の方法とかで3次元以上もちゃんと詳しく理論付けしたいです。

ｎ次元サイコロのまわりに最短直線を描いたとき、その展開図を書きなさい。　１０点
ｎ次元円錐の体積を求めなさい。　５点
ｎ次元空間でオイラー数の式を作りなさい。　3点

１→シュタイナー木の問題？（ｎ次元単体サイコロなら角心関係）
２→ｎ次元超球とその外の１点で作られる図形（ｎ次元超球錘と呼びたい）として
∫_0^(超球の中心とその点の距離 x) （ｎ次元超球の体積（半径は適に）） dx みたいな？
３→超球体と同相なn次元複体なら（n次元単体の数）-（(n-1)次元単体面の数）+…（頂点の数）＝２？忘れたー

今から仕事行って来るから、後で詳しくやるわーっていう逃げ

>>92 まず、「ｎ次元サイコロのまわりに最短直線を描いたとき、その展開図を書きなさい。」についてですが、
正n次元単体の(n-1)次元対面や2次元面（正三角形）を展開した図が私的に思い浮かびませんが、
「n次元単体の表面において0点から出発して0対面の重心を通りまた0点に戻ってくる最短距離を求めよ」
とか「n次元単体をその0点と0対面の重心を通る超平面で切った切り口の超体積について最小最大値を求めよ」
とかなら少し興味あるかも。。

希望的観測で題意を意訳して、「n次元単体を作る(n+1)点を結ぶ最短経路を求めよ」という問題だとすると、
そのn次元単体のi点（i=0〜n）からそのn次元単体の角心へ引いた(n+1)本の線分がその答えと思う。
まだ証明できんし角心も4次方程式を解く所まで ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/22.html
しか出してないっス。その時の合計の最短距離は↑をふまえると、全ての角が cos \theta < -1/n
となるとき \sqrt{R_F} (1 + Σ_{i=1}^n t_i) でいいと思うが、角が cos \theta ≧ -1/n となるものが
ある場合どうなるかわかりません。先は長いなぁー

>>94 cos \theta ≧ -1/n の所の不等号逆でした。

>>92 次に、「ｎ次元円錐の体積を求めなさい。」についてですが、
半径 r の n次元超球とその中心から n次元超球があるn次元部分空間ではない
方向へ距離 d の所にある1点で作られるn次元超球錘の体積 V_{rd} は、

V_{rd} = ∫_0^d (π^(n/2)/Γ(n/2 + 1)) (x r/d)^n dx = (π^(n/2)/Γ(n/2 + 1)) r^n d/(n+1)

であり、元の n次元超球の d/(n+1) 倍となる（一瞬で気付けなかった俺って…）。

半径 r の n次元超球とその中心から n次元超球があるn次元部分空間のどこかの
方向へ距離 d の所にある1点で作られるn次元アイスクリーム型の体積も求めたいな。
後々、n次元単体角みたいな超立体角を定義するとき必要となりそうだなぁー

>>92 最後に、「ｎ次元空間でオイラー数の式を作りなさい。」についてですが、
Wikipediaの「多胞体」のページがヨカッタのでリンク張ります。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E8%83%9E%E4%BD%93

超球と同相なn次元複体のオイラー標数χ について、そのn次元複体を単体分割して
得られるそれぞれの i次元単体(i=0〜(n-1))の数を a_i とすれば、シュレーフリの
n次元公式より χ=Σ_{i=0}^(n-1) (-1)^i a_i = 2（nが奇数） or 0（nが偶数） だと思います。
超球と同相なというと4次元での exoticな多様体とか少し気になりましたが、関係ないよね。

>>92 さんありがとうございます！とても興味深い問題です。
今の私的には上記な感じですが、解答・ご意見・レスお待ちしております。。

n次元超球の表面積および体積については、

ttp://www.geocities.jp/the_cloudy_heaven/laboratory/highsphere/highsphere.html

が詳しかったです。

もうすぐ、100ですね。

４次元立方体のとき
面(3次元立方体）＝４軸x2面＝８
角（3次元辺）＝４軸x２面x8(3次元）辺＝６４
辺（3次元面）＝４軸x２面x6（3次元）面＝４８
K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 として

χ(K) = V − E + F

角ー辺＋面＝６４ー４８＋８＝２４？

４次元三角錐のき
面(3次元三角錐）＝４軸x2面＝８
角（3次元辺）＝４軸x２面x６(3次元）辺＝４８
辺（3次元面）＝４軸x２面x４（3次元）面＝１６
点（3次元角）＝４軸x２面x４(3次元）角＝１６
K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 ，点　C＝q３として

χ(K) = V − E + F−C

角ー辺＋面−立体＝４８ー１６＋８ー１６＝１４？

４次元立方体のとき
面(3次元立方体）＝４軸x2面＝８
角（3次元辺）＝４軸x２面x１２（次元）辺＝９６
辺（3次元面）＝４軸x２面x6（3次元）面＝４８
点（3次元角）＝４軸x２面x８(3次元）角＝６４

K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 ，点　C＝q３として

χ(K) = V − E + FーC

角ー辺＋面＝９６ー４８＋８ー６４＝ー８？

一般に、n次元の図形（単体的複体）のm次元の辺の数を am とするとき交代和

Σ{m=0ー＞n-1} (-1)^m a_m = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + 。。。

をその図形のオイラー標数と呼び、この公式をシュレーフリのn次元公式という。

奇数次元の多胞体の場合はオイラー数は 2 で、偶数次元の多胞体の場合はオイラー数は 0 である。

４次元トーラスのオイラー数は？　５点
４次元クラインの壷のオイラー数は？　１０点
４次元クラインの壷の展開図を作りなさい　５点

４次元立方体のとき
０次元の辺＝４C０x2=２
１次元の辺＝４C１x2=４
２次元の辺＝４C2x2=１２
３次元の辺＝４C3x2=８

２ー４＋１２ー８＝２

４次元トーラスのオイラー数は、トーラスって球よりも2個下がった記憶あるから、-2じゃないかな？
クラインの壷もトーラスが向き付け不可能になったぐらいの違いだからオイラー標数は同じじゃないかな？
いやまって、トーラスもクラインの壷も2次元閉曲面かそれに囲まれた（？）3次元体のことだったっけ？
え！？n次元のやつは直積するの！？やだーおいおい調べますわー。この分野って位相幾何学？

４次元立方体は偶数次元多胞体で４次元超球と同相（位相同相？）だと思うので、
オイラー標数 χ（４次元立方体）＝０だと思いますー単体分割めんどそうー

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93

ttp://www.google.co.jp/search?q=%E8%B6%85%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93+%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%A8%99%E6%95%B0

5次元以上の正多胞体は 3種類ってのは、このスレでこの前教わったけど、
この一件で、それらを正単体（α体・regular simplex）・正軸体（β体・cross-polytope）・
正測体（超立方体・γ体・hypercube）と呼ぶことを改めてちゃんと覚えました。
４次元立方体は英語でtesseractっていうですか？めっちゃかっこいい！

とりあえず、100ゲットおめでとう！

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/423_s16.htm

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/618_ag2.htm

　　　Square Cube Tesseract
Vertices 4 8 16
Edges 　　　　4 12 32
Squares 1 6 24
Cubes 　　　　– 1 8
X　　　　　　　4-4=0 8-12+6=2 16-32+24-8=0

>>105-107 ありがとうございます！すごい人いた！
β体は双対立方体とも呼ばれるようですね。
ポアンソって見た時、一瞬誤植かネタか頭をよぎりました。。
エキゾチックなミルナーの定理とか（怪）…代数幾何学…ムズイ

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/T/tesseract.html

Σ＝ΣCni
T1ー＞T2->T3->T4・・・
Cn+1,i＝２Cn,i+Cn-1,i

4,4,1
8,12,6,1
16,32,24,8,1
32,80,80,40,10,1
...

4,4,1 4-4=0
8,12,6,1 8-12+6=2
16,32,24,8,1 16-32+24-8=0
32,80,80,40,10,1 32-80+80-40+10=2
...

T1=
8,12,4 8-12=-4
16,32,20,4 16-32+20=4
32,80,72,28,4 32-80+72-28=-4

ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは，接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれています．

４次元の場合はどうなるでしょうか？　２４個の面心立方格子状配置の接触点

1/√2（±１，±１，０，０）

1/√2（±１，０，±１，０）

1/√2（±１，０，０，±１）

1/√2（０，±１，±１，０）

1/√2（０，±１，０，±１）

1/√2（０，０，±１，±１）

で重ならないように置けるので，τ4≧２４は明らかです．また，τ4≦２５は示されていますが，現在でもτ4が２４であるか２５であるかは未解決です．

http://www7.atwiki.jp/neetubot/

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%8D%98%E4%BD%93

４次元三角形のピタゴラスの定理を作りなさい　３点
４次元円でオイラーの公式をつくりなさい　５点
４次元での結晶構造をすべて分類しなさい　50点

その疑問に対して、ある化学者はひとつの考え方を持っている。つまり自然界には高次元図形のさまざ
まな投影があふれているかも知れないが、もしそうだとしても、特殊な分かりやすいもの以外は複雑す
ぎて3次元人には理解できず、もし理解できても今のところ何の役にも立たない、というのである。

その後、この問題に関わらないようにしていたところ、鉱物の結晶、放散虫の骨片、花粉、雪の結晶な
ど、自然界のいろいろな微小な構造体の中に、4次元図を見せるかたちを見つけた。簡単にいえば、1点
（あるいは多くて4点）から発散しながら幾何級数的に成長したり膨張したりする立体的な造形は、4
次元透視図を具現化しているといえる。

４次元投影GPSを作りなさい　20点

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４次元フラクタル次元を計算しなさい　25点

結晶学からみた4次元体の3次元体への投影 : 4次元空間の3次元空間ヘの線形変換的考察
Transformation of Four Dimensional Body to Three Dimensional One from View-point of Crystallography : Linear Algebraic Consideration of Four Dimensional Space to Three Dimensional One
満塩 大洸 1 新関 章三 2
MITUSIO Taikou 1 NIIZEKI Shozo 2
1高知大学理学部自然環境科学教室 2高知大学理学部数理情報科学教室

4次元結晶構造解析に基づく酵素・基質複合体の反応過程の追跡. データベース. 登録. 2006・7. 氏名他. 神谷 信夫、理学研究科・物質分子系専攻、教授. ＜概要＞. 我々は SPring-8 に代表される高輝度放射光施設を利用して，蛋白質の結晶に適用可能な4 ...

上の論法を高次元に敷衍していくと，ＳＯ（４）の合同変換群は，
　　(1)巡回群とその裏返し
　　(2)正多面体群とその裏返し
　　(3)正多胞体群（４次元の場合は正２４胞体があるので，４系列）
　
　ＳＯ（５）の合同変換群は
　　(1)巡回群
　　(2)正多面体群とその裏返し
　　(3)４次元正多胞体群とその裏返し
　　(4)５次元正多胞体群（正１２面体，正２０面体に相当するものはなくなるので，２系列）
になると予想されるのだが，私の直観が正しいとはまず考えられない．落とし穴にはまっているだけかもしれないのである．

４次元のフェドロフ結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在

C. J. Bradley and A. P. Cracknell, The Mathematical Theory of Symmetry in
Solids.
Clarendon Press, OXFORD ( 1972 )

http://www.astro.uu.nl/~snik/html/NTS.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Calabi-Yau.png

４次元メビウス変換をつくりなさい　8点

>>109-128 寝て起きたら超展開ありがとうございます！一読した雑感としては、
このスレよりも 位相幾何学スレの方が詳しく答えてもらえる気がします。
たぶん、この前 代数幾何学スレはdat落ちしたようです。

位相幾何学/トポロジー/topology 2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1132648631/

僕もおいおいやりますー。今日はトレミーやってますー

>>120 と言われてパッと思いついたのは カントール集合です。
log(2)/log(3)次元らしいから、4次元にしたら4倍で約2.5次元みたいな？
しかしこれ、フラクタルじゃないか…

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88

>>114
τ_4=24はすでに示されてる。

>>128 メビウス変換は複素数zに対し T(z)=(az+b)/(cz+d) (ad-bc=1) となる変換らしいので、
n次元メビウス変換は 1次元過剰な (n+1)×(n+1)行列 A （さらに m次元空間上でやるなら
対象とするn次元部分空間の正規直交基底をPとすれば P A P^T）で対象のベクトルを
かけてから同次系ベクトルのように過剰な成分で全部の成分を割る感じみたいな？
射影幾何学やってたとき合同式≡か相似っぽい〜でつないでた気がする。
そして定義域は複素数体みたいな？いや、適当です。ゴメンナサイ

>>131 あ、本とだ。。Wikipediaですが…↓

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E5%90%BB%E6%95%B0%E5%95%8F%E9%A1%8C

日進月歩なんですね。。俺もよく見る人↓の記事とか

ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/283_ball.htm

>>102 について、ちょっと考えたんだけど、立方体の縦横奥行き方向に4本ずつある辺を
それぞれ同一視した（くっつけた）場合、４次元トーラスになりますか？クラインの壷は
どこを逆に付けるんだ…展開図が立方体って俺には単体分割も想像もしたくないけど…

>>98 や前述あたりに基づいてトレミーの定理の拡張について考えているんですが、
四角形の4点の位置が固定であるからトレミーのあの式になるのであって、私的には
ベクトルや辺の長さのみで点の位置は固定せず関係式を導出したいと思ってます。

今回、あるn次元単体が存在するn次元部分空間内にある1点(以下、x点)について
そのn次元単体の外接超球の内部か球上か外部のいずれにあるのかいい式で出せる
気がしてます。

このn次元(n+2)点複体の外接超球があるときの式を「複体外接超球の定理」と仮に
呼びますが、既にこのような定理があることを知ってる方は情報いただけると
ありがたいです。まだ世の中に無いときは皆で名前とか付けたいです。

以下に、今日できたところまで書きますー

0点から出るn本の互いに線型独立なm次元列ベクトル \bm{l}_i (i=1〜n)と
それらn本のベクトルの線型結合で表される x点 \bm{l}_x を考え、
n本のベクトルが作る n次元単体の外接超球とx点との距離Fを求める。

n本のベクトル \bm{l}_i が作る n次元単体をm×n行列 \bm{L} = [\bm{l}_1, …, \bm{l}_n]で表すと、
0点からこのn次元単体の外接超球の中心（外心）へのベクトルは l_O=\bm{L} (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_0
（ただし、\bm{b}_0 = [(\bm{l}_1^T \bm{l}_1)/2, …, (\bm{l}_n^T \bm{l}_n)/2]^T）と書ける。

これより、外接超球とx点との距離を F= (l_x-l_O)^T (l_x-l_O) - l_O^T l_O= l_x^T l_x - 2 l_x^T l_O とする。

ここで、iとjは0〜nまたはxとなるとし、i点と j点の距離の二乗を b_{ij} = (\bm{l}_i - \bm{l}_j)^T (\bm{l}_i - \bm{l}_j)
とおき、\bm{b}_x = [(b_{x0} - b_[x1})/2, …, (b_{x0} - b_[xn})/2]^T）として、このFの式を書き換えると
F= \bm{b}_x^T (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_x - \bm{b}_0^T (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_0 となる。
（これを整理すると \det()-\det() の式になる。）

上記を用いて、x点についてこのFの値が負となる場合は x点は ｎ次元単体の外接超球の内部にあり、
F=0でx点が外接超球上、F>0となるならx点は外接超球の外部にあることが言える。
これを仮に「複体外接超球の定理」と呼ぶ。

例えば、1次元のみで考えると、F=(b_{x0} - b{x1} - b_{01}) (b_{x0} - b{x1} + b_{01}) / b_{01}
となり、x点は0点と1点の間にある場合 F<0 で、0点1点上にあればF=0、それ以外でF>0となる。

2次元の場合を計算すると、F= (b_{01} (b_{2x} - b_{0x}) (b_{2x} - b_{1x}) ) + (b_{12} (b_{0x}
- b_{1x}) (b_{0x} - b_{2x}) ) + (b_{20} (b_{1x} - b_{2x}) (b_{1x} - b_{0x}) ) - b_{01} b_{12} b_{20}
というどこかで見た式になる。幾何学的に本当かどうかとトレミーの定理との関係はまだ謎。

今後は、x点が外接超球上にあるときはサイクリックとなることを利用してつめていきたいです。
という感じの今日（もう昨日か）でした。まだめちゃくちゃでゴメンナサイ。眠い…

>>136 について解けた気がするので、↓にまとめました。
といっても、紙に手書きで書いてスキャンしたもの貼り付けただけですが…

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/55.html

結局、n次元(n+2)点複体が外接超球を持つためには、全ての辺の長さに関する
(n+2)×(n+2)行列 [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [\tilde{\bm{b}}_x^T, 0]]
の余因子総和が 0になるということになりそうです。
サイクリックを考えると符号が怪しいですが…

>>134 について、普通のトーラス（やクラインの壷）の展開図では、
正方形の対辺を同一視するので、じゃあ、立方体の3つの対面をそれぞれ
同一視したらいいかなと思って、思って、頭が、頭がアッー！

トーラスの表面を覆う厚みの内側と外側をくっつけたような3次元体が
4次元トーラスか！？って何を言ってるんだ俺は…

The flat torus is constructed by a very simple formula, namely

[u,v] -> [cos(u + v), sin(u + v), cos(u - v), sin(u - v)]/sqrt(2)

where u and v both run from zero to 2 pi. The sum of the squares of these four coordinates
is 1 so the object is completely contained in the hypersphere of radius 1 centered at the
origin in four-space.

http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/script/b3d/hypertorus.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Torus
<x,y,z,w> = <Rcos u, Rsin u, Pcos v, Psin v> where R and P are constants determinging the aspect ratio.
<x,y,z> = <(R + Psin v)cos u, (R + Psin v)sin u, Pcos v>

http://www.foundalis.com/phy/4Dsphere.htm
http://cgg-journal.com/2001-2/01/FOM-ART.html

４次元空間での３次元重力曲面を書きなさい　（バリエーショナル）

http://images.google.co.jp/imgres?imgurl=http://www.math.brown.edu/TFBCON2003/mathematics
/JPG/torus.jpg&imgrefurl=http://www.math.brown.edu/TFBCON2003/mathematics/welcome.html&h=
100&w=125&sz=8&hl=ja&start=72&um=1&usg=__jQ2xnZkOLDfsS58T9N5Tx-Cv39M=&tbnid=SbKQW1ZQIF6u5M:
&tbnh=72&tbnw=90&prev=/images%3Fq%3D4%2Bdimensional%2Bflat%2Btorus%26start%3D60%26ndsp%3D20%
26um%3D1%26hl%3Dja%26lr%3D%26sa%3DN

http://www.research.ibm.com/journal/rd/471/martens.html

http://www.uwec.edu/physics/thomas/Physics315/index.1.jpg

見えているものは高次元からの埋め込み

http://www.essentia.com/discovery/images/000AF072-4891-1F0A-97AE80A84189EEDF_p64.jpg

http://www.enm.bris.ac.uk/staff/hinke/vectorfields/lorenz/lor_zoom.html

http://www.tony5m17h.net/SegalConf.html

http://webuser.hs-furtwangen.de/~webers/membthe1.htm

http://www.valdostamuseum.org/hamsmith/cosm.html

http://www.valdostamuseum.org/hamsmith/Sidharth.html

http://www2.le.ac.uk/departments/mathematics/extranet/staff-material/staff-profiles/kl96/visualization

>>139-151 ありがとうございます！いつもお世話になっております！
今から、仕事行ってくるので帰ったらがんばります！という（以下同文）
この土日は、複体外接超球の定理をトレミーの定理にこじつけたり、
方向ベクトル L と 位置ベクトル P できれいに書いたりしたく思てます。

家帰って来ましたー >>139-140 あたりのリンク先などを読んで、
Three Sphere→ 3つの球→ サンキュー！とかいって、
一人で小声で凍えてました。今日は寒いっすねー。

高次元の射影が低次元の複雑さに関係があるって、マルデンブロートってそうかもしれない。

AC.BD=AD.BC+AB.DC
BD=BC+CD
AC=AD+DC
AC.BD=AD.BC+AD.CD+DC.BC+DC.CD=AD.BC+AD.CD+DC.BC-DC.DC
AD=AC+CD
AD.CD=AC.CD+CD.CD
AD.BC+AC.CD+CD.CD+DC.BC-DC.DC=AD.BC+AC.CD+DC.BC=AD.BC+AC.CD+CB.CD
=AD.BC+AB.CD

>>155 トレミーっぽい！ありがとうございます！

さっき、長風呂から出ました！

>>144 さん同感です！日常の生活もいろいろな要素に関係してて高次元ですが、
見えるのは一瞬一瞬の時間で切り取られた現実の3次元空間を網膜に透視投影した2次元だけ、みたいな？
>>154 さんマルデンブロートでググったけどわかりませんでした。図形の一種？

正射影なら何次元でも落とせるけど、透視投影は光学中心に向かって1次元しか
落とせない気がする。そこで、弱透視投影の出番ですよ、みたいな？

そんな感じの第一感（適当）

>>141 さん、重力曲面っていう言葉が私的に初耳だったので、
Google先生で調べたところ、一件、2次超曲面っぽいこと書いてありました。気がします。

重力というと万有引力やクーロン力のように距離の逆二乗に比例する力のように思いますが、
ベクトル解析でスカラー場 φ（\bm{x}） に関して \grad φ のような気もします。

またしても個人的な希望的観測で、m次元ユークリッド空間内におけるn元2次超曲面の話
（例えば、2次超曲面上のある点 \bm{p}_x の 接線方向 \bm{d}_i における 曲率半径など）
についてかと予想しますが、今回の複体外接超球の定理に絡んで面白そうな感じしてるので、
再来週あたりまとめたいです。

>>145 ５次元と聞くと、ランドール博士を思い出しますw
なんか最近、超弦理論とかM理論とか１１次元とかすごすぎ！
僕的には、現実に則さないといけない物理学より、
頭の中だけで後は応用し放題の数学のがいいと思てる、とか言ってみたり

トレミーはｎ次元でも円なら成立するよ。
４次元なら距離は普通のベクトルの内積。
ミンコフスキーならテンソル積

重心は位置ベクトルを体積積分して体積で割る。ｎ次元でもおなじ。

曲率を体積積分するとオイラー数になってしまう。
これ証明は未解決？

http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem

http://planetmath.org/encyclopedia/Pfafian.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Chern-Weil_homomorphism
http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology

曲率を面積分することは構造と群に関係してる。ラプラシアンは交換子。

３次元の体積積分を４次元で記述すると？
スムースな多様体の曲率の面積積分は反対側の側面とキャンセルしあうので、結局、ひものトポロジーと
同相になってしまう。
３次元のトーラスを２次元に埋め込むと２つ穴の平面になる？

４次元の中の３次元のトーラスは内側と外側がつながっている。
３次元に４次元の中の３次元トーラスを展開すると、メビウスみたいに裏と表がつながったトーラスになる？

４次元で３次元のトーラスを見るとメビウスにみえる。
４次元で３次元の球を見ると、４軸上に移動することで球の内と外に移動できる。
４次元のなかで３次元球を見ると円にみえる。
４次元で３次元のトーラスを見ると２つの円にかこまれた形にみえる。
４次元でクラインのツボを見るとメビウスにみえる。
４次元トーラスは３次元で見ると時間とともに円に閉じてしまうクラゲ？
４次元クラインのツボは３次元で見ると、おなじように時間とともに円に閉じてしまうクラインのツボ？

>>160 体積内で密度が違うところある場合、その方法すごく有用だと思います！ありがとうございます！
俺は気付かなかったので、天下り的に重心ベクトル＝（各頂点へのベクトルの合成）÷（頂点の数）とやりました。

>>161 閉曲面での話！？ 2次超曲面なら…うーん…接線方向によって曲率って変わりそう…
曲率って曲率半径の逆数でいいんだっけ？ガウス曲率とかいう名前だっけ？なんかすごそう。
>>162 が解？ポアンカレ予想とペレルマンさんの件かもしれないけど私よく知らない…

英語…もよくわからない！勉強します！私は日本語もうまく書けませんが…（欝）

寝て起きた！ >>163 Pfaffianキター！！！こういうのが欲しかったんやー！
余因子総和の式とどういう関係か急激に調べ中！めちゃくちゃありがとう！

パフィアン調べてたら二度寝してた。そして起きた！
>>166 私的には2次元への像と考えて、アニュラスか円板になると想像してます。

>>167 4次元内で3次元トーラスを考える場合などの向き付け可能性は、
3次元の体に沿っていったら辻褄が合わなくなるというか 体の内部から外部に出ちゃうというか
だと今想像したので、3次元トーラスは普通に射影したらメビウスに見えることはない気がしてます。

>>168 のことに関連して、これから私見で２つの想像図↓、
分点心補超球（仮）を用いた m次元ユークリッド空間内におけるn次元超球の概念図、および、
3次元トーラスと3次元クラインの壷 の展開図（立方体）、を書いてみたいと思います。

私は、位相幾何学とか代数幾何学とか今は全く無知なので悪しからずでお願いします。

位相幾何学について、わかりやすいPDF発見した！イイ！

ttp://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topview/apltop06.pdf

ｎ次元複体のオイラー標数はn次元単体も数えるんか… >>97 間違ってた！
n次元トーラスのオイラー標数は 0らしい。 >>104 で完全に間違えてました。
今、3次元トーラスの展開図？としての立方体を単体分割してオイラー標数だしたら 0になった感じ

http://www.youtube.com/watch?v=BYEG60e7S54&feature=related

ビッグバングはブラックホールにむかう？　トロイダルウニバース

まず、>>134 >>138 についての、3次元トーラスと3次元クラインの壷の
概念図・立方体への展開図・オイラー標数について書きました↓

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/56.html

3次元クラインの壷は、3次元トーラスの展開図である立方体において
くっつける3つの面の全てを逆向き（上下か左右反転）にくっつければ
よいと思いましたが、考えづらいので、一つの面だけ反転させて付ければ
後の面は同相な変換によって逆向きに付けたものと同相になると信じてます。。

http://www.youtube.com/watch?v=sdnzcEO-FcY

4d torus cross section

http://www.dr-mikes-maths.com/4d-torus.html

コンフォーマルマッピングは４次元トーラスではどうなるの？

やばい、3次元クラインの壷の展開図としたものでは、
3次元トーラスの展開図で使った単体分割ではおかしい！
でも、おなじだよね。。そう信じることにした。

3次元の立方体の単体分割を探してるときに、多面体の「表面（2次元）の」
オイラー標数は「球面（2次元）と」同相なので同じく 2という記述はよく見かけたけど、
3次元体のオイラー標数については見つけられなかった。あと、単体分割は
めんどくさいので胞体分割という手法があるらしい。初耳ー

>>173 さんありがとうございます！ようつべ見れないのでアレですが、
それはどこまで本気でどこまでネタなんでしょうか？みたいな

クリフォードトーラスを２次元に埋め込むと、パイナップル
４次元からクリフォードトーラスを見るとやっぱりパイナップル
それか、円にむすんだテープ
球は円盤、クラインのツボはメビウス
４次元トーラスは４次元球面の２点を同一視すること。
４次元クラインのツボは４次元球の裏面と表面をつなぐこと。５次元のメビウス。

http://www.arthuryoung.com/

10. PS]
CONFORMAL MAPPING OF RIEMANN SURFACES AND THE CLASSICAL THEORY OF ...
File Format: Adobe PostScript - View as HTML
is naturally and closely connected with the theory of conformal mapping (cf. ...... to study the change of modulus of the torus under the conformal sewing. ...
www.emis.de/journals/PIMB/089/n089p217.ps.gz - Similar pages
by M Shiba - Related articles - All 3 versions

http://books.google.com/books?id=XmsbvP1uUeIC&pg=RA1-PA535&lpg=RA1-PA535&dq=torus+conformal+mapping&source=web&ots=cWYYmuaRnx&sig=QUnvtxLeMYPDbnO8vxoeBuixqLU&hl=en&sa=X&oi=book_result&resnum=10&ct=result#PPA79,M1

トーラスはラプラシアンが使えるからにんきもの：

Conformal Mapping on Riemann Surfaces
By Harvey Cohn

Conformal Representation
By Constantin Caratheodory

Quadratic Differentials
By Kurt Strebel

http://everything2.com/e2node/Weierstrass%2520Elliptic%2520Function

>>171 で言ってた分点心補超球（と外接超球）の私的な概念図書きました↓
最初は、↓のページの内容全部をノートに書き直そうかと思ってたけど、
そんな時間は無かったので概念図だけ書いて↓の末尾に追加しました。

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html

↑のようなことも考えているため、個人的には超球を三日月が2つくっついた形で書きたいこともあります。
しかし、この図を客観的？に見たら、俺そうとう頭いかれてるなぁーと思った（自画自賛）

>>175 からたくさんありがとうございます！
位相幾何学・物理学・微分幾何学あたりの話ですか？
私の頭では難しくてほとんど理解できませんですた。
パフィアンもまだよくわかってません。

ということで、今日は起きてから >>152 やりますー。

>>187 言い忘れましたが、分点心補超球とは、2次元内の1次元で2点間の
内分点と外分点を通るアポロニウスの円と呼ばれてるものを一般化し、
m次元内のn次元で(n+1)点からの距離が一定の比にある点
（そのn次元内にある点は私的に内分点心・外分点心と呼んでる）
の軌跡のことについて仮に俺が勝手に呼んでる名前です。

まとめ：　分点心補超球とは アポロニウスの円を m次元に拡張したときの仮の名前として使ってます。

>>187 の図では内分点心がn次元単体の0対面上にあるように見えますが、
本来、内分点心はn次元単体の内部、外分点心は外部にあり、内分点心と
外分点心が一致する場合はn次元単体のどこかの対面上になると思ってます。
計算式からまだそこまで証明とかできてませんが…

穴の数って・・・表面上の群に影響するから面積分に現れる。　幾何化予想になるのかな。

ｎ次元の幾何化予想ってあるのかな？

お万個は穴になるのか？

z=c+z^2
x=+-(+-(+-(z-c)^.5-c)^.5-c)^.5....

とりあえず三次元でやってみては
これじゃ相手にされんよ

http://www.elesoft.com/elentor.htm

Möbius Transformations in Dimension <Emphasis Type="Italic">n ...
The general n-dimension MObius transformation is conjugate ..... The table indicates the conjugacy classes of Yn for n -- 1, 2, 3, 4. The ...
www.akademiai.com/index/7V3877P846521032.pdf - Similar pages
by JB Wilker - 1983 - Cited by 1 - Related articles

http://www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/penrose.html

pa:pb=n:m
(p-a)*(p-a)m^2=(p-b)*(p-b)n^2
p*pm^2-2a*pm^2+a*am^2=p*pn^2-2b*pn^2+b*bn^2
p*p(m^2-n^2)-2(m^2a-n^2b)*p+a*am^2-b*bn^2=0
(p-(m^2a-n^2b)/(m^2-n^2))^2-(m^2a-n^2b)^2/(m^2-n^2)^2+(a*am^2-b*bn^2)/(m^2-n^2)=0

(p-a)*(p-a)=(p-b)*(p-b)c^2 c=n^2/m^2
p^2-2(a-bc^2)p/(1-c^2)+(a^2-b^2c^2)/(1-c^2)=0
(p-(a-bc^2)/(1-c^2))^2=-(a^2-b^2c^2)/(1-c^2)

http://klein.math.okstate.edu/IndrasPearls/cover-art/

自分で200ゲトッ戦記ー >>152 についてやってたけど、うまくできんなぁー
全ての辺の長さを使って書くと >>137 のようにいい式になるのになぁー
そして、３連休が終わってもーた…

>>190-199 ありがとうございます！
>>193 なるほど、僕は相手にされてなかったわけか…（笑）

m次元ユークリッド空間内での n次元単体の五心を
行列演算を駆使して出してみました。どうですか？では、
ネタ的に足りないのかと思って、分点心補超球の案とかを
私的に出してみたりしてました。恥ずかしいー

n=1,2 次元の平面幾何とかでいろいろ成り立つことまでは確認してる気がしますが、
n=3 代入すればいい 3次元の立体幾何とか以上の資料が
あまり見つからないので答え合わせも出来ないことから、
mとnを一般化して計算した結果だけでも同じかなと思って油断してた！

時間をとって、3次元（や2次元や1次元）で例示しながら、わかりやすくまとめたいと思ってます。
その前に、この分野の先人の知恵（わかりやすい 著書やURLや書き方）などをもし教えて頂けるか
自分で見つけたなら引用して、自分は其処の所を手抜きしようとしてました。ゴメンナサイ。
じゃあ、俺、この分野、新規性はあると見た！ということで、ガンバリマス。
まぁーこのスレ見る限り、俺の言葉や書き方では、まとめたとしても伝わらない気がしますが…

>>197 アポロニウスの円っぽい！>>198 2次元？ 重ね重ねありがとうございます！

>198 ベクトルだからね、ｎ次元でもつかえるよ。

>>197 >>198 >>201 などをふまえて、m次元空間内での
内分点・外分点・アポロニウスの円の導出を、例によって紙に書いてうｐしますた↓

なお、同じ手法で m次元空間内の n次元単体の各頂点との
距離の比が一定になる軌跡（分点心補超球）についてもやりました↓

どちらも、m次元空間内で i点(i=0〜n)との距離の比 t_i が一定となる点
（分点心） l_T の軌跡について (l_T -l_{TO})^T (l_T - l_{TO}) = R_T^2 となる
(m-n+1)次元超球の（分点心）中心 l_{TO} と（分点心）半径 R_T を導出した感じです↓

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html

↑について、式がダメとか、字汚いとか、図が意味不明とか、いろいろ
おかしいことあると思うので、相手にしていただけるとありがたいです（￣ー￣）ニヤリッ

この土日はどうしようか今考えてます。とりあえず、昨日の夜から↑やってて疲れた。
やってる間にも、複体外接超球の定理は(m-n)次元直交補空間の方向も考えると、
n次元単体にとりあえず外接するm次元超球上の点で成り立ってしまうという罠、
とか少し考えてた（謎）

>>202 の文の最後の段落で「n次元単体にとりあえず外接するm次元超球」って
言ったけど違った！「n次元単体の外接超球（n次元）の中心と半径が同じm次元超球」
じゃないと成り立たないス。前提条件で F_X = (l_x - l_O)^T (l_x - l_O) - l_O^T l_O = 0 だから、
m次元超球を n次元部分空間で切った小円（以後、小超球）としての n次元超球がその
n次元単体に外接してる場合、>>202 じゃおかしいもんね。という間違いだらけの人生。

>>202 の計算結果を見るに、0点からの距離と1点からの距離の比が
t_0 : t_1 となる点の軌跡であるアポロニウスの円の中心は、
距離の比が t_0^2 : t_1^2 となる 0点と1点の外分点となるっすか？

すごくね？

アポロニウスの円（座標編）
「定点A,Bがあり、
　点Pが、AP:BP=m:nを満たすように動く時の
　点Pの軌跡を求めよ。（ただし、mとnは異なる複素数とする）」

１　アポロニウスの円の面積を求めなさい。
２　タイトル : 写真から撮影位置を予測する(2) : アポロニウスの円の発見とその利用 (数学科授業研究会記録(2)) (数学科)

アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列
ポンスレーの定理
フースの定理

パップス・ギュルダンの定理
デザルグの定理
パップスの中点定理
パスカルの共線定理
ニュートンの定理
パスカルの定理
ブリアンションの定理

球面定理とは、「適当な条件を満たすRiemann多様体は球面と（微分） 同相である」

有限性定理

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チャーン／チャーン特性類トム／コボルディズム理論、カタストロフィー理論小林昭七／ 小林双曲的多様体の理論ヒルツェブルッフ／リーマン‐ロッホの定理の解決スメール／双曲型力学系ミルナー／微分位相幾何学、異種球面の発見クリンゲンバーグ／ ...
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ピタゴラスの定理がわかれば，球面幾何学の意味がすっきりし，双曲幾何学が手に取るようにわかります。さらに ピタゴラスの定理見方を変えて再度吟味してみると，球面 幾何学の意味がすっきりし，双曲幾何学が手に取るようにわかります。 ...
gihyo.jp/book/2006/4-7741-2903-8 - 70k - キャッシュ - 関連ページ

トレミーの定理の球面バージョン

会社から帰って…＿…　キター（◎∀◎）ー！！

>>205-213 を書いてくれた聡明な御方、すごく重要で貴重な情報 超ありがとうございます！
俺の頭の中でいろいろ超展開しそうな予感であります！明日休みてームリorｚｚｚ

しかし、>>205-213 に答えが載ってそうで、直視できない自分がいるｗｗｗ
>>137 の式に n=2 次元単体（三角形）を代入して因数分解したら、
トレミーの式が零因子として出てくると俺は信じたいんだッ。

>>213 トレミー自体が \bm{1}_1, \bm{l}_2で作られる三角形の外接円上の \bm{l}_x に対して
\bm{l}_x = a_1 \bm{l}_1 + a_2 \bm{l}_2 (a_1, a_2>0)のような制約の下での式だと思いますので、
3次元の球面上の5点に拡張しようとするとその5点の位置によってそれぞれ結ぶ
辺の長さ(10本)の性質（どこが対角線となるかなど）が変わってきて難しいと思います。
しかし、点がどこにあるか固定しないでベクトルを用いて >>137 の式に n=3 を代入した式が
トレミーの定理の3次元バージョンのような気が、今は僕はそう思てる。

先日、別に円に内接してなくても、四角形（2次元4点複体）の辺と対角線のそれぞれの長さ（6本）の間には、
何かしら制約式（チェバメネラウスの定理みたいな？）があるような気がしまして、それを拡張すれば
n次元(n+2)点複体のそれぞれの全ての辺の長さに対して何かしらの制約式となる気がしまして、
それを用いれば >>137 の式を因数分解できると今は考えておりますので、この件はしばしお待ちください。

それでは、一旦CM…もとい、寝まーす

>>214 の後半で言及した何かしら制約式の計算は 金曜の夜からやるとして、
>>205-206 あたりを今日から明日の夜にかけてやることにした！

>>207 について、アルベロスの定理とサリノンの定理を見ました！↓

ttp://thaler.blog.so-net.ne.jp/2007-10-21

すげぇ！ってアルベロス違いか…円列やボンスレーやフースは

ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/508_ct.htm
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/587_g2.htm

でちらっと見ましたが、大円小円基線という用語に途惑いよくわかりませんでした。しかし、
「『ポンスレーの閉形問題』（ポンスレーの定理）ー２つの定円に内外接する三角形の問題ー」

という所で図とか見て→ ttp://horibe.jp/Poncelet.HTM

うわぁ、めっちゃ「あるn次元部分空間内で2つのn次元超球に内外接するn次元単体の問題」
へのm次元拡張を考えたくなってきた。。外接超球の半径 R_O、内接超球の半径 R_I、
外接超球と内接超球の中心（n次元単体の内心と外心）間の距離 d_{IO}に対して、
「d_{IO}^2 = R_O^2 - 2 R_O R_I となるとき（に限り？）、この外接超球に内接し、かつ、
この内接超球に外接するような n次元単体が無数に存在する」とかが成り立っちゃうのかなぁ？

いや、まさか、そんなことは、うそだろ、えっ、でも、どう導出や証明すればいいのか全くわからないッ！
さて、複素数でアポロニウスの円を考えつつ…　寝まーす

>>205 について昨日から考えてましたが、>>202 の全ての要素について複素数体上に拡張して考えれば答えは同じ
様に書ける（？）と思ってますが、m次元ユークリッド空間内の各点との距離の比だけ複素数比となるとするなら、
実数比の場合でも3点以上であると思われる分点心半径の自乗がマイナスになってしまう場合と同じように、
複素数比に分ける点の軌跡は虚数の方向にある双曲線のような形の(m-n+1)元2次超曲面（下図参照）となると思います。

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html の上から3つ目の画像↓
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref&page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%B0%8E%E5%87%BA%2F%E5%88%86%E7%82%B9%E5%BF%83&file=irt.JPG

これは、まだちゃんと計算してないのでたぶん間違ってます。でもあえて「虚分点心補超球」の問題と呼びたいです。
そして、この問題は置いといて、これから複体の全ての辺の長さについて、何かしら制約式があるか考えますー。

>>216 単純に(n+2)点がn次元におさまってる複体では(n+1)次元超体積が0になるということで、
\det( [\bm{L}, \bm{l}_x]^T [\bm{L}, \bm{l}_x] ) = \bm{1}^T \bm{C}[ [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [-\tilde{\bm{b}}_x^T, 0]] ] \bm{1} = 0
なら x点がn次元単体と同じn次元部分空間内にある、というのが前述の何かしら制約式の正体だった感じです。

さらに、>>214 より、>>137 の式 \bm{1}^T \bm{C}[ [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [ \tilde{\bm{b}}_x^T, 0]] ] \bm{1} = 0
は x点がn次元単体の外接超球の中心から外接超球の半径と等しい距離にあるときに成り立つという感じです。

つまり、上の2式とも成り立つとき、x点がn次元単体の外接超球上にある（x点とn次元単体が作る複体に外接超球が存在する）
ことになる感じです。特にn=2とすると、四角形に外接円が存在する場合の式となり、上の2式からトレミーの定理が導出でき、
特にn=3を代入すれば、四面体ともう1点で作られる3次元5点複体に外接球が存在する >>213 の場合に満たすべき2式が求まる、

ということに帰着できたと思うので、寝て起きてから、1と2次元で確認して、複体外接超球の定理としてまとめますー

ダメだ！トレミー出てこない！↓を見て余因子総和はdetの２乗になる予感…パフィアン？
ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/kika.htm
佐藤郁郎さんすごすぎ！メールで何か聞いてみようかな…

今気付いたトレミー！四角形に円が外接しているということで、円周角が同じ事を使って、
4点の位置を固定した上で、その円周角における余弦の式を用いて>>137を式変形すれば、
トレミーの定理の式が出てきそうです。4点の位置を固定しない場合やn次元では、一応
きれいな式になる >>217 の方法の計算式で止めといていいと思った。しかし、2次元のトレミーと
>>213 の3次元の場合（5点あって10辺の関係式になると思う）は確認します。

あと、>>207 >>208 >>210 >>211 は応用的過ぎてまだ手が出せませんが、
>>205と>>206の１は虚分点心補超球（と2次超曲面）に絡めてやってみたいと思ってます。

さらに >>206 の２は、「n次元単体とその重心（またはn次元超球とその中心）という物体を、直交補空間を含む方向にある
ある光学中心に向かってある像面に射影（撮影）してできるn次元像と1点の情報（遠方短縮の写真）を用いて、
その物体から光学中心へのm次元方向ベクトル（相対的な撮影位置）を求める」という問題に置き換えてやってみたいです。
具体例としては、「n次元単体とその重心」ではなく「長方形」を用いて m=3, n=2の時について例示したいです。

ところで、デザルグの定理は個人的に消失線のことを言ってるような気がしますが、n次元透視投影でも、
n次元単体の重心と各頂点 i点(i=0〜n)を結ぶ直線方向の無限遠点（n+1個）を撮影してできる(m-1)次元
像面内の(n+1)点が(n-1)次元部分空間内におさまる（1点過剰みたいな）感じだと思いますので、後々…

>>219 のように円周角の定理を代入してはダメで、与式だけから円周角の定理（および
トレミーの定理）などを導出しなければいけないことは木曜あたりに気付きました。
そこで、四角形（2次元4点複体）に外接円が存在する場合は、>>217 の n=2 のときの2式を足した
式を整理したもの、およびその点の位置を入れ換えたとき（サイクリックで）成り立つ式を用いて、
円周角の定理およびトレミーの定理（のようなもの）が導出できることを確認しました↓

まとめると、私案の n次元(n+2)点複体に外接超球が存在する場合に満たすべき式
「複体外接超球の定理」と、n=1, n=2, n=3 の次元の場合における例示（トレミーの定理も含む）
を例によって紙に書いてまとめてみました、ということです↓

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/55.html の上から2番目の画像
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref&page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%BF%9C%E7%94%A8%2F%E8%A4%87%E4%BD%93%E5%A4%96%E6%8E%A5%E8%B6%85%E7%90%83&file=vfx.JPG

1次元（直線上3点）でも2次元（四角形）でもうまくいく事が↑で確認できたと思うし、
>>213 の人も言及していた3次元（3次元5点複体）の場合でもこの等式以上にするのは
難しいと思うので、3次元以上もこの複体外接超球の定理で間違いないと思うんですが、
どうですか？

個人的にはこの問題はこれで解決したと思うので、ちょうどこれらを始めて半年になる11月30日
までにPDFのレポート的な総括的な何かを公開したいと思って、今がんばってますー

>>220 の画像中で「前ページをふまえて」という言葉を使ってしまいましたが、
その前ページというのは「n次元単体の外接超球の中心からその外接超球の
半径と等しい距離に点があるときの式」をがんばって導出した↓のページのことです。

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/55.html の上から1番目の画像
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref&page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%BF%9C%E7%94%A8%2F%E8%A4%87%E4%BD%93%E5%A4%96%E6%8E%A5%E8%B6%85%E7%90%83&file=fx.JPG

これ出したのって >>137 だから、もう1ヶ月前になるんだなぁーはやいなぁー

先週から Google ウェブマスター ツール使い始めましたので、1週間分を引用します（いいのか？）
といっても、@wikiの方のページに関する誰かの検索クエリしかわかりませんが…

●ここから引用
表示回数
サイトの検索に使用された上位 20 の検索キーワードと、上位 20 の検索キーワードが各検索で使用された割合です。

上位の検索クエリ

順位 % クエリ 広告掲載位置
1 12% "超 平面" wiki 7
2 9% neetubot 5
3 9% "幾何 学" "傍 心" 8
4 9% "外 心" ベクトル 17
5 5% 内心 ベクトル 14
6 5% "行列 の 内積" 35
7 5% 楕円 体積 公式 38
8 5% "正 多 胞体" 48
9 3% 単体 "外 心" "位置 ベクトル" 1
10 3% 正 複 1
11 3% ｎ 単体 体積 6
●ここまで引用

9位の検索クエリ「単体 "外 心" "位置 ベクトル"」がガチですなぁー
垂心が存在する等内積単体のときに外心と重心の間にあるか（オイラー線だっけ？）もやらなきゃなぁー
まぁーといっても、これ全部俺の検索クエリかもしれませんがwworz

　　 　　　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　　　 ＼　　　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　　　　　＼　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　　　　　　 ＼　　　　　　　　　／
　　　　　　　　　　　　　＼∧∧∧∧／
　　　　　　　　　　　　　＜　 　 俺　＞
　　　　　　　　　　　　　＜　予 し　 ＞
　　　　　　　　　　　　　＜　 　 か　＞
─────────＜　感 い　＞──────────
　　　　　　　　　　　　　＜　　　な　＞
　　　　　　　　　　　　　＜　 !!! い　＞
　　　　　　　　　　　　　／∨∨∨∨＼
　　　　　　　　　　 　／　　∧＿∧　!? ＼
　　　　　　　　　　／　　　（　´_ゝ`）　　　 ＼
　　　　　　　 　／　　　　／　　　＼　　　　　＼
　　　　　　　／　　　　 /　　 　/￣￣￣￣/　　＼
　　　　　 ／　　　　＿_(__ﾆつ/　 FMV　 /＿　　　＼
　　　 　　　　　　　　　　　＼/＿＿＿＿/

n次元単体でも、垂心が存在する等内積単体となる場合には、垂心・重心・外心は一直線上にありました↓

ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/57.html

等内積単体でない一般的なn次元単体でも外心と重心は常に存在することから、
私的にn次元単体の外心と重心を通る直線を広義オイラー線と仮に呼び、
その外心と重心を(n+1)：2に外分する広義オイラー線上の点を「n次元単体の広義垂心」と仮に呼ぶことにする。

広義垂心はどんなn次元単体にも存在し、特にn次元単体が等内積単体となる場合、広義垂心は
そのn次元単体の頂点から対面への垂線（(n+1)本）の交点である通常のn次元単体の垂心になる。

という感じに、垂心だけ存在するための条件があって気持ち悪かったので、オイラー線あったしこの際
垂心の自然な拡張として、どんなn次元単体にもある広義垂心を考えようと、また俺一人で暴走してるわけですが…
↓を見ると、いろいろ応用が思いつきますなー1次傍心n次元単体とか広義ドロンシャン点とか…

Wikipedia: オイラー線
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%B7%9A

うるさい。

ん？誤爆？（笑）

>>79 で勘違いしてて、言うとしたら、あるn次元単体の(n+1)点の垂線の足が作る
垂足単体の内心が元のn次元単体の垂心となるような気がすると言うべきだった。
三角形（2次元単体）の場合なら、鋭角三角形の場合のみ成り立つらしいし、
こっちを広義垂心と呼ぶべきか考えてるけど、今はオイラー線上の広義垂心と
一致してくれることを祈るのみです。

あるn次元単体において、i対面(i=0〜n)上に中心を持ち それ以外のn個あるj対面(j=0〜n、j≠i)に接する
n次元超球（対象のn次元単体の内部と外部に半超球ずつ）が常に存在し、そのn次元超球の中心は
対象のn次元単体のi点から内心へ向かう直線とi対面との交点（i内足と呼ぶ）にあることを発見しました。
あと、↓とかで「角心」って言葉が出てきて、ちょっとうれしかった。「角心」激しく同意。。

ttp://web2.incl.ne.jp/yaoki/a6sin.htm

速いもので もう公開して半年になるので、PDF的なレポート的な形式を作ってみました。
といっても、まだ章立てを書いただけですが…2週間で中身入れて1.0作りてぇ。。

132人目の素数さん『m次元ユークリッド空間内でのn次元単体の五心などの導出』
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pub/neetubot-0.0.pdf

実はおれ、ここ数年で、多次元ユークリッドで、全く新しい定理発見してるけど、未発表だ。
童貞だからしゃーない。

>>230 一緒にやらないかっ？むしろ何か手伝わしてくださいーヒント教えてー
あと、未発表で新しいってわかるってすごいっす。。俺は新しいかわからなかったから２ちゃんで発表した（笑）
童貞関係なくね？？かくいう私も童貞でね…（合田一人風）

速いもので 0.0から1ヶ月になるので、中身の文章も少し入れてみました。
といっても、まだ全然途中ですが…次は元旦あたりに1.1の予定…

【PDF形式】132人目の素数さん『m次元ユークリッド空間内でのn次元単体の五心などの導出』【1.0】
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pub/neetubot-1.0.pdf

線形代数/線型代数 5
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/
の160が私ですが、「行列方程式の解法」について、私的に以下のように行き着いたのでこっちに書いときます。

Mをm次正方実行列、Eをm次単位行列、Oをm次正方零行列として、
|λ_1| ≧　… ≧ |λ_i| ≧ … ≧ |λ_n| ≧ 0 (m ≧ n)とするとき、
(Σ_{j=0}^m α_j M^j =) Π_{i=1}^n (M - λ_i * E) = O を満たすような M の解は、

λ_i を大きい順に飛びと重複を許し対角成分に配置したn次対角行列 Λ'、もしくは、
その行列の中に重解が k_i 個ある λ_i が対角に k'_i 個あるブロックがあれば k_i 次以下の
k'_i×k'_i冪零行列をそのブロックに付加し組み合わせた行列 Λ' （特に、j=1〜nのいずれでも
Π_{i≠j} (M - λ_i * E) ≠ O となるという制約があるなら、Λ' は対角成分にλ_1〜λ_nを持つジョルダン標準形となる）
と任意のm×n正規直交行列 Θ を用いて、M = ΘΛ' Θ^{-1} と書ける気がする。。

スレに動きが…最小多項式か、むずかしいなぁー

>>233 をふまえて、言葉や変数の定義とかいろいろ考えてました↓

例えば、m×m正方行列をm次行列と呼ぶとか、k_i乗すると零行列になるn'_i次k_i乗冪零行列を\overset{[n'_i×n'_i]}{\bm{O}_{k_i}}とか、
n'_i次k_i乗ジョルダンλ_iブロックを\overset{[n'_i×n'_i]}{\bm{\Lambda}_{O k_i}} = \bm{\Sigma}[\bm{1} \lambda_i] + \bm{O}_{k_i}とか、
そのブロックの対角の組合せであるm次ジョルダン行列を \bm{\Lambda}' […, \bm{\Lambda}_{O k_i}, …] または単に \bm{\Lambda}' とか。

この行列多項方程式や指数行列や図も含めて、PDF形式1.1は1月30日あたりにします…。

やぁ、ひさしぶり。じゃあ、最近考えてたことなどを書いていきますー


まず、非斉次？の行列多項方程式について考えてました。m次行列 X と実数係数 v_i について
Σ_{i=1}^n v_i X^i = M = Θ Λ' Θ^T （Θはm×n正規直交行列、Λ'はn次ジョルダン行列）

が成り立つとする。X = Θ X' Θ^Tとし、Λ'の n'_i次k_i乗ジョルダンλ_iブロック Λ_{O k_i}とすれば、
Σ_{i=1}^n v_i (X'のn'_i次ブロック）^i = Λ_{O k_i} = λ_i E + O_{k_i} （O_{k_i}はn'_i次k_i乗冪零行列）と分解できる。

上式は、((Σ_{i=1}^n v_i (X'のn'_i次ブロック）^i) - λ_i E)^{k_i} = O と変形できるので、条件に応じて導出される
この式を満たす解を (X'のn'_i次ブロック）=Λ_{i X'} とすれば、同様に導出できる i以外の(X'のn'_i次ブロック）も全て
用いて対角成分に並べた X' = Λ' […, Λ_{i X'}, …] = Λ'_X を使って、「 X = Θ Λ'_X Θ^T 」と導ける。…と思いましたが、

どうでしょうか？この非斉次行列多項方程式（と↑を勝手に仮に呼んでます）は 線型システムの話では結構出てくる
と思って いろいろ検索してましたが、引っかかるのは微分方程式系ばかりで この解法のヒントは発見できませんでした。
↑だといろいろおかしいし、つっこみどころ満載だと思いますので、誰か何か情報をくれるとありがたいです。。

次に、県内の一番大きい本屋に行っていろいろ見てきたんだけど目新しい情報は
Plucker relations（といっても名前だけは大学で聞いてた）ぐらいだったので、それについて書きます。
プリュッカー関係式は位置行列について通常より1列多い同次座標系で成り立つ関係式のような気が
しますが、大事なのはm×n方向行列Lとその中の方向ベクトルl_iをあわせた行列 (L l_i) の中から
(n+1)列選んだ行列の行列式が0になるという( _m C_(n+1) )×n通り（多分独立な関係式はその
中でも n(n-1)/2通りぐらい）の関係式が成り立つということだと思いました、が使い道は不明…

Plucker coordinates - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_coordinates

あとは、m次元ユークリッド空間 U^m 内のあるn次元部分空間の基底を表すm×n行列を L とすれば、
m次元ユークリッド空間内のベクトルなどをその n次元部分空間へ正射影するm次基底変換行列
（正射影行列）は W[L] = L (L^T L)^{-1} L^T と書けるということが、↓の Orthogonal projections
の項で既に世界に概出してたのを発見しました。

Projection (linear algebra) - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra)

しかしまだ、位置行列 P と余因子行列 C[] と余因子総和行列 \tilde{C}[] を用いて 正射影行列が
W[L] = \frac{P \tilde{C}[P^T P] P^T}{1^T C[P^T P] 1} = \tilde{W}[P] と書き換えれることや、
U^m内での L の直交補空間の基底 Y に対して W[L] W[Y] = O, W[L] + W[Y] = E（単位行列）
となることや、始点は同じ基底 L と L' で作られる和空間の基底が Θ[L ∪ L'] = Θ[W[L] + W[L']]
（Θ[ ] は []内で与えられる空間や行列の基底を 列の基本変形や特異値分解によって返す関数）
であったり、積空間の基底は Θ[L ∩ L'] = Θ[ E - W[W[ E - W[L] ] + W[ E - W[L'] ]] ] と表せたり
するようなことは、世界に概出してない！こともないか…　という雑感。。

そういえば、あまり関係ない簡単な話ですが、任意のn次元列ベクトル \bm{a} について、
\bm{a}^T \bm{a} = 1 のとき、-√n ≦ \bm{1}^T \bm{a} ≦ √n （原点から単位超球上へのベクトルと\bm{1}の内積）が成り立ち、

また、\bm{1}^T \bm{a} = 1 のとき、\bm{a}^T \bm{a} ≧ 1/n （\bm{1}/nを通る\bm{1}/nの直交補空間上へ原点から向かうベクトルの長さ）
という関係式が成り立つと思われ。。美しいちゃ美しいけど、トリビアっちゃあトリビアル。

「線形代数/線型代数 5」の416さんの問題
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/416

>任意の正整数 n に対して次の条件を満たす4n×4n行列Aが存在する．
>(1) Aの成分は±1, (2) A A^T = 4n I
成分が±1/(√m)であるm次正規直交行列Θ（Θ^T Θ = E）は存在するか？だとすれば、
i≠jでθ_i^T θ_j = 0より、互いに半分の成分の符号が違わねばならず、満たすとすれば
m=2のときの[1/√2, 1/√2; 1/√2, -1/√2]のみでそれ以外のmでは存在しない？

>実数 a_1, ..., a_n が非負行列の固有値となる必要十分条件は何か．
m≧nのあるm×n正規直交行列Θに対して その非負行列が ΘΣ[a_1, ..., a_n]Θ^T と書けること？

だと思いました。先方のスレでは華麗にスルーするふいんき（←）を感じた。。

「線形代数/線型代数 5」の話
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/392-393

先方のスレでは、449さんがスルーしない空気を作りましたが、俺は こっちの>>238で恥ずかしいこと
書いてしまったので、あっちでマルチもリンクも書けない！やっちまったなぁー。こっちにだけ書く！

>(392の意訳) n次正則行列 A, B を並べた行列 [A B] の n次部分行列 C で perm(C) ≠ 0 なるものが存在する。
この条件なら、A=B=Cとしてもいいと思うので、perm（正則行列C） ≠ 0 なるもの、存在する。

>(393の意訳) 有限体Fを剰余類Z/kZ (k≧4)とする。F上の任意のn次正則行列 A に対し、
> 全ての成分に零元 [0]_k を含まないF上のn次元列ベクトル x, y で A x = y を満たすものが存在する。
例えば、Aを単位行列 A=[E]_k とすれば、[0]_kを含まないベクトル A x = x = y が存在するのはわかりますが、
任意の正則行列Aとなると、たぶん存在すると思いますが、どう証明すればいいのかちょっと浮かびません…

ーーここまでーー
というのが向こうで未解決問題と言われてるもののの全てかな。さすが、難しいーぉ。。

「線形代数/線型代数 5」の455さんの問題について
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/455

向こうの流れを妨げたくないので、例によって、問題を意訳しつつこっちにパクリます。

(1)n次元ベクトル a, x とおいたとき、xに対して成分積 a ⊙ x を対応させる線型変換は、
a ⊙ x = Σ[a] xより、aの成分を対角に持つ対角行列 Σ[a] で表せる。

(2)ｎ次行列 A のi列 a_i をn次元列ベクトル x で置き換えてできるｎ次行列を A_i(x) = \underset{(a_i ← x)}{A}
としたとき、行列式について |[ \underset{(a_i ← x)}{A} ]| = e_i^T C[A] x と（e_i は i成分が1の単位ベクトル）
書ける。これより、xから n次元列ベクトル [A_1(x), …, A_n(x)]^T = C[A] x への線型変換に対応する行列は
Aの転置余因子行列 C[A] で表せる。

(3) |[ A ]| = |[ (a_1 a_2 a_3) ]| = 1 のとき、f(x) = |[ ((3x+6)a_1+3a_2+(2x-1)a_3, -4a_1+(x+7)a_2-a_3, 5a_1+5a_3) ]|
= |[ A ]| |[ [(3x-6), -4, 5], [3, (x+7), 0], [(2x-1), -1, 5] ]| = 5 ((x+1)^2 -27)となることから、この行列式 f(x) は
x=-1のとき最小値 f(-1) = -135をとり、f(x)の絶対値の最小値は0でそのときはx=-1±3√3のどちらかである。

(2)はn次元単体を作る基底 L やその基底と座標 a = [a_1, …, a_n]^T で表される点を l_a = L a としたとき、
a_i は n次元単体のi点を除くi対面と点 l_a によって作られるn次元単体の体積を 元のn次元単体の体積で
割った値（以下、正規i分積）である（a_i = |[\underset{(l_i ← l_a)}{L}^T \underset{(l_i ← l_a)}{L}]| / |[L^T L]|）
となること、つまり、点を表す基底の座標ベクトル a は そのまんま 「点が基底を分割する体積比」であることを
表している！しかし、こっちで書いてる俺独特の表記を使っていろいろ書きたかっただけだった気持ちもあった…

「微分幾何学２」の13さんの情報
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181801767/13

意訳＞平面上にある2つの閉曲線の距離がどこも r なら、
　その外側と内側の閉曲線における周の長さの差は 2 π r である。

と、昨日見て、うわっすげぇーと思いつつ、曲率半径が ｒ 未満の曲率中心方向には囲めないとか、
n次元多様体に拡張して距離 r で囲んだら表面の差は 半径rのn次元超球面と同じにはならない（！）
とか考えてました。同心超球とか萌え。しかし、n次元多様体で成り立つ関係式がなんかあった気がしたんだが…

いや、そして、何もオチはないですが…　さて、m次元ユークリッド幾何学っと。。

>>240 の（正規i分積）=（p_a= P \tilde{a} で表される内部点の単体座標 \tilde{a} のi成分(i=0〜n)）= a_i は
（n次元単体を作る(n+1)点への位置ベクトルを列挙した位置行列 P も線型独立（原点から
　n次元単体への垂線ベクトルp_y= P C[P^T P] 1 / (1^T C[P^T P] 1) ≠ \bm{0}）のときでなければ、
　P \tilde{a}_\bm{0} = \bm{0}と任意のαで P \tilde{a} = P (\tilde{a} + \tilde{a}_\bm{0} α)に注意）
a_i = √(|[\underset{(l_i ← l_a)}{L}^T \underset{(l_i ← l_a)}{L}]| / |[L^T L]|)でした（ルート忘れてた）。
（↑はi=1〜nで、a_0 = √(|[(L - l_a 1^T)^T (L - l_a 1^T)]| / |[L^T L]|） = |[(E - a 1^T)]| = 1 - 1^T a）

a_i を 位置行列 P で書き換えると、a_i = √(1^T C[\underset{(p_i ← p_a)}{P}^T \underset{(p_i ← p_a)}{P}] 1) / √(1^T C[P^T P] 1)
であるので、Σ_{i=0}^n a_i = 1^T \tilde{a} = 1よりΣ_{i=0}^n √(1^T C[\underset{(p_i ← p_a)}{P}^T \underset{(p_i ← p_a)}{P}] 1) = √(1^T C[P^T P] 1)
（n次元単体Pの超体積は、そのn次元単体を内部点p_aによって(n+1)個のn次元単体に分けたi分積の総和に等しい）が成り立つ。
これは、Σ_{i=0}^n √(1^T C^T[\underset{(\tilde{e}_i ← \tilde{a}_i)}{\tilde{E}}] X C[\underset{(\tilde{e}_i ← \tilde{a}_i)}{\tilde{E}}] 1) = √(1^T X 1)
(ただし、1^T \tilde{a} = 1、a_i ≧ 0)であることを表していると思うが、まだ計算で左辺から右辺に持っていけてはないです。。

このことを用いれば、n次元単体Pについて、その重心 p_G = P \tilde{a}_G = P \tilde{1}/(n+1) により分けられるi分積は全て等しい（a_{iG} = a_{j G} = 1/(n+1)）、
および、その重心から各i対面への距離（下ろした垂線の長さ）の比が 元のn次元単体の各i垂線の長さの比に等しい（i対面×垂線＝超体積）
などが言えます。とここに適当に掻い摘んでダラダラ書いたところでただのオナニーでしかなく、ちゃんと@wikiとかにまとめなきゃいけねーんだなぁー大変だなぁー

いろいろ迷って止まってます…このご時世で2月3月は暇そうなので がんばろうと思てます…

【PDF形式】132人目の素数さん『m次元ユークリッド空間内でのn次元単体の五心などの導出』【最新】
ttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pub/neetubot.pdf

「線形代数/線型代数 5」の497さんの問題
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/497

（意訳）> m次元ユークリッド空間で、0-点(8,0,0,0…)・1-点(0,4,0,0…)・2-点(0,0,8/3,0…)を通る平面に対し、
　3-点(5,4,3,0…)からの垂線と垂足を求めよ。（解は垂線(-1,-2,-3,0…)、垂足(4,2,0,0…)のようだ。）

をこっち的に言えば、m次元ユークリッド空間内の3次元単体の3点目の頂点からの3-垂線と3-垂足を
　求めるという問題なので、各i点(i=0〜3)をm次元列ベクトルp_iで表し、p_iを列挙した位置行列をm×4行列P
　とすれば、（3-垂線）=-(P \tilde{C}[P^T P] e_3)/(e_3^T \tilde{C}[P^T P] e_3)、（3-垂足）=p_3+（3-垂線）より、
（ただし、余因子総和行列\tilde{C}[X]の[j,i]成分は、正方行列Xからi行とj列を除いた小行列X_{ij}の余因子行列C[X_{ij}]の
　全ての成分の和1^T C[X_{ij}] 1に(-1)^{i+j}を掛けた値、すなわち、e_j^T \tilde{C}[X] e_i = (-1)^{i+j} 1^T C[X_{ij}] 1とする）
　　　| 8　0　0　5 |　　　　　　　　　　　　　　| 6496/9　896/3　-672　-7168/9 |
P = |　0　4　0　4 | 、 \tilde{C}[P^T P] = |　896/3　12544/9 -896　-7168/9 | であることから、
　　　| 0 0 8/3 3 |　　　　　　　　　　　　　　|　-672　　-896　　1120　　　0　　 |
　　　|↓0 0 0　0 |　　　　　　　　　　　　　　|-7168/9 -7168/9　 0　14336/9 |
3-垂線(-1,-2,-3,0…)、3-垂足(4,2,0,0…)となる。（ちなみに、0-垂足(160/29, 80/29, 168/29, 0…)、1-垂足(8/7, 16/7, 24/7, 0…)、
2-垂足(24/5, 16/5, 0, 0…)と解ける。）この例では計算重いし、ぱっと見で あってるかわからないので、

以上より、@wikiとかに書く例は、原点とi点(…0, r_i, 0…)(i=1〜n)で作られるn次元直交単体(n=2,3,n)の五心がいいなと。。

２ヶ月間　超だらけてたけど　またがんばります。
以下、最近　考えてたことなど↓

線形代数/線型代数 5 のレス 790-797
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/790-797
から、任意の n次実行列Aが、ある n次正規直交行列Θと n次上三角行列Λを用いて、

１：　A=ΘΛΘ^T と分解できる？（上三角分解？）
２：　ケイリーハミルトンの定理より、Aの固有値λについての固有方程式を f_A (λ) = |[ λE - A ]| = 0 とすれば、f_A (A) = 0
３：　k=0,1,…,nについて ||Λ^k p|| = 1 および |[Λ]| = 1 なら、k=n+1,…についても ||Λ^k p|| = 1 となる？

とか考えました。上のスレでもまだ答えは出てないようです。
n次元列ベクトル pを Λの正規一般固有ベクトル p_i (i=1〜n)の線型結合で表して、
f_Λ (Λ) = 0とかも使ってグリグリ計算すると答え出る気がしないでもないですが、うーん…

今まで転置余因子行列をC[・]で表してたけど、これから余因子行列をC[・]で表し 前述をC^T[・]で表そうと思いました。

理由は、n次元列ベクトル x_i (i=1〜n)の列挙で作られる n×n行列 X=[x_1, …, x_n] とすれば、
Xの余因子行列を C[X] = [c_1, …, c_n] （c_i はC[X]のi列ベクトル）と書いたときに、
X^T C[X] = C^T[X] X = E |[X]| （Eは n×n単位行列、|[X]|は Xの行列式）と書けて、
c_i と x_j の内積 c_i^T x_j が　i=jのとき|[X]|で i≠jのとき0と言えるので、

x_i をn次元ユークリッド空間内のn次元単体の 0点からi点への有向辺ベクトルと考えれば、
c_i = C[X] e_i は そのn次元単体のi点を除く(n-1)次元単体である i対面を表すベクトルとも考えられる。
ちなみに このとき、i点からi対面への i垂線ベクトルは 「 - c_i (|[X]| / (c_i^T c_i)) 」と表せる。
（ちなみに、このXで表されるn次元単体の超体積は|(|[X]|)|/(n!)、i対面の(n-1)次元超体積は(√(c_i^T c_i))/((n-1)!)。）

（個人的な趣味（位置行列Pと方向行列Lの間に成り立つ関係式を 1^T C[P^T P] 1 = |[ L^T L ]| と書きたかった）から
行列式を|[・]|で表してたけど、行列ノルムとして || L || = √( |[ L^T L ]| ) と書いていいなら、さっき使った苦肉の策の
行列式の絶対値を |(|[X]|)| = || X || と書けるのになぁと思った。そのうち、Wikipediaにある行列ノルムが満たすべき性質
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 を満たすか調べようと思った。）

あと、全く関係ないですが、質問者→回答者よりも、出題者→解答者という言葉のが好きかな、とか。という備忘録

下手の考え休むに似たり

>>247 まぁ、あなたがどれほど上手で
僕に何を求めてるかはわかりませんが、
休むと休まざるとでは似て非なるものでしょう？（笑）

>>246 は、今まで、m次元ユークリッド空間内のn次元部分空間を表すL （以下、U^m ⊇ U_{p_0}^n [L] と書く）で
やってたものを、n次元ユークリッド空間内のn次元部分空間を表すX （以下、U^n ⊇ U_{p_0}^n [X]）を用いたら、
余因子行列C[・]が意味するところ（C[X]は Xの 直交行列）は 幾何学的には「0対面以外の対面を表す行列」
と言えるのではと提言しました。ちなみに、0対面を表すベクトルは c_0 = - C[X] \bm{1} / n と書けると考えてます。

ちなみに、U^(n+1)内で n次元単体を位置行列Pで表す場合（以下、斉次を区別する記法\tilde{・}を\{・}で略す）は、
\{U}^(n+1) ⊇ \{U}^n [P] とか書き、(n+1)×(n+1)の余因子総和行列 \{C}[P] がそのまま「0〜n対面を表す行列」
になるかと思ってますが、これはまだ詳しく試してません。

>>246 の過程から、ベクトルの大きさを表すユークリッドノルムのm×n行列（例えば L）への拡張として、
|| L || = (√( |[ L^T L ]| )) / (n!) と考えようと思いました。これを「単体積ノルム」とか呼びたいのですが、
Wikipediaにある || L || > 0 以外のノルムの性質？（ || L α || = || L || | α^n | ≠ || L || | α | や他の

条件）を満たさないようなので、いいものかどうか…



とりあえず、わかってるところまでは書いてる気がするし、先人も全く見つけられないなか 暗中模索しながらやってるので、
あとは新しい情報や考えが浮かんでくるまで、みなさんも気長に読んだり書いたり ゆっくりしていってね！！！

U^m ⊇ U_{p_0}^n [L] のとき、n次元単体を作るL=[l_1, …, l_n]の各l_i はn次元部分空間を張るので線型独立となる。

しかし、\{U}^m ⊇ \{U}^n [P] で原点\bm{0}から Pで表されるn次元単体の各頂点へのベクトル p_i (i=0〜n) は
1次元だけ線型従属となる(p_0がLの線型結合で表せる)場合があり、このときは P \{a}_\bm{0} = \bm{0} でも
\{a}_\bm{0} が零ベクトル以外の 1次元の任意性を表す解を持ち、原点\bm{0}から Pで表されるn次元単体への
垂線ベクトルも p_y = P ((C[P^T P] \bm{1}) / (\bm{1}^T C[P^T P] \bm{1})) = \bm{0} と書ける。このことから、

Pが線型独立の場合、P \{a}_\bm{0} = \bm{0} なら \{a}_\bm{0} = \bm{0}_n でしかなく、p_y ≠ \bm{0} 。
Pが線型従属の場合、P \{a}_\bm{0} = \bm{0} でも \{a}_\bm{0} ≠ \bm{0}_n が存在し、p_y = \bm{0} でもあるため、
　\{a}_\bm{0} = ((C[P^T P] \bm{1}) / (\bm{1}^T C[P^T P] \bm{1})) α （αは任意の実数） という式が成り立つと思う。
　しかし この式は、p_i = \bm{0} を含む場合や、Pが線型独立の場合との整合性などが怪しいので確かめたい。

そろそろ一年やってみて、この先 一年くらいは これまでの成果などを まとめるターンかと 個人的に思ってますが、
同じような事を何度も書くのは けっこうトリビアルだとも思って 休んでしまうときもあるので、　…ゆっくりしていってね！！！

今日、たぶんもうdat落ちしている「シンプルで難しい問題」スレにあった
「凸五角形Sと その対角線によって作られる内部の凸五角形S'の 面積比S/S'の最大値を求めよ」
という問題に興味を持ちました。昔の数セミの問題らしいけど僕にエクセレントな回答は思い浮かびそうも無いので、
xy平面上の5点を[x0,y0],…,[x4,y4]として面積比を出して　凸の条件から導出するくらいしか考えつかないなぁー。

例えば、凸四角形と その頂点からその頂点を含まない2つの対辺の中点へ向かう線の組み合わせで
得られる内部の凸四角形との面積比とかなら、よりやりやすい気もした。　n次元(n+1)点複体ならどうか…zzz

平面の話ということで、これまた気になってたクリフォードの定理などと結び付けられたら面白くなりそうだな、と思った。

>>251 まず問題は「凸５角形の面積をS、対角線で作られる小５角形の面積をS'とするとき、S'/Sの最大値を求めよ。 」と逆でした。
最小値は凸５角形じゃなくなるときのS'/S=0かな。俺がやったのは、小五角形の内部点から凸五角形の5点への2次元ベクトルを
x_i = [r_i cosθ_i, r_i sinθ_i] （極座標のように）として、x_iの始点から反対側にある小五角形の点への2次元ベクトルを y_i とすれば、
y_0 = (1-a) x_1 + a x_3 = (1-b) x_2 + b x_4などからy_iが出て、S'/S=(y_0×y_1 +…)/(x_0×x_1 +…)で定式化できると考えましたが、
計算が重すぎて、いろいろやったあげく、4 √(5+2√5) = (1+√5) √(10+2√5) という等式が成り立つのを見つけたところでギブアップ。

ということで、答えを探した結果、五角形の面積比問題
http://cheese.2ch.net/math/kako/955/955485321.html
で解である 「正五角形のとき S'/S=(7-3√5)/2≒0.146」 （小さすぎる？）が最大値というのと、
証明らしきものが載ってましたが、よくわからなかった。それより下記が気になった↓

106 名前： 甘美なノルム空間 投稿日： 2000/12/21(木) 05:01
凸Ｎ角形の面積をＳ、
頂点を反時計回りにV(0), v(1), ..., V(N-1)とし
V(x)とv((x+2)mod N)を結んで小Ｎ角形をつくる。
小Ｎ角形の面積をＳ'と するとき、

Ｑ１．正Ｎ角形の場合、ＮについてＳ'/Ｓを求めるの関数を求めよ。
Ｑ２. Ｓ'/Ｓの最大値をＮについて求める関数を存在するか。
Ｑ３. Ｎ＝５のとき、Ｓ'/Ｓの最大値を求めよ。

↑の凸Ｎ角形の縮小変換を再帰的に行って収束する点を求める問題とかも面白いかも。
時計回りに点を選んで逆方向で縮小変換を繰り返したら　反時計回りと違う点に収束するかも！？

「面白い問題おしえてーな 九問目」スレ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/1093676103.html
176 名前：１３２人目の素数さん：04/09/17 06:14:35
別スレみてて思いついた
――問題――
P1･･･P(n+1)をn次元ユークリッド空間の点としてΔをその凸包とする。
行列A=(aij)を次でさだめる。
aij=
0　　　　　　(i=j)
1　　　　　　(i≠j, n+2∈{i,j})
d(Pi,Pj)^2　(otherwise)
(ただしd(Q,R)はQとRの距離)
このときdetA=-(-2)^n(n!volΔ)^2が成立することをしめせ。
――――――
たぶんいけると思うんだけど。

179 名前：１３２人目の素数さん：04/09/18 20:27:35
>>176の公式ってなんか名前ついてんの？

というやりとりを発見しましたが、この後この発言にはレスが付いてませんでした。当スレでは >>20さんの情報から これは「Heron の公式の高次元版」として公知であると思ってます。
私的には、m次元ユークリッド空間内の(n+1)点への位置ベクトルを p_i (i=0〜n)として、b_{ji}=(p_j-p_i)^T (p_j-p_i) / 2 を (j+1)行(i+1)列の成分に持つ(n+1)×(n+1)行列 \{B} （辺乗行列と
呼んでいる）とすれば、-\{B}の余因子行列 C[-\{B}] と 全ての成分が1のベクトル \{1}を用いて、

p_i (i=0〜n)で表される(n+1)点の凸包であるn次元単体Lの超体積||L||は √(\{1}^T C[-\{B}] \{1}) / (n!)と書くと美しいと思ってます。（参考：http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/16.html）

個人的に使っているこの辺乗行列\{B}を用いれば、i番目の斉次n次元単位ベクトル\{e}_iや余因子総和行列\{C}[・]を使って、
辺乗行列が\{B}となるn次元単体の外接超球の半径 r_O が r_O = √(|[ - \{B} ]| / (\{1}^T C[-\{B}] \{1})) と書けたり、
そのn次元単体の内接超球の半径 r_I が r_I = 1/(Σ_{i=0}^n √((\{e}_i^T \{C}[-\{B}] \{e}_i) / (\{1}^T C[-\{B}] \{1})))
と書けたり、n次元単体の重心と各頂点との自乗距離の総和が (\{1}^T \{B} \{1}) と書けると思います。という宣伝。

>>237 で自分で書いときながら、半分忘れてて、↓スレで質問しつつ、回答から拡張してたのの備忘録↓

分からない問題はここに書いてね３０５
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1239022787/40

40 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2009/04/07(火) 15:00:47
　「x_1 + x_2 + … + x_n = 1 のとき、x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2 ≧ 1/n」
　のような不等式（とその名前）を何処かで見かけた気がするのですが、誰か知ってませんか？
　コーシーシュワルツやヘルダーの不等式の関係っぽい気もしましたが、うまく導けない…

71 名前：40[] 投稿日：2009/04/08(水) 00:03:49
　>>43 さんのように、コーシーシュワルツの不等式 (Σ_{i=1}^n x_i^2)(Σ_{i=1}^n y_i^2) ≧ (Σ_{i=1}^n x_i y_i)^2
　に y_1=y_2=…=y_n=1 と仮定のΣ_{i=1}^n x_i = 1を代入して　Σ_{i=1}^n x_i^2 ≧ 1/n　を導く方法と、
　>>44 さんのように、数学的帰納法を使って証明するやり方を納得できました。　ありがとうございます！

　このような不等式をヘルダーの不等式にあてはめて考えて、
　「　Σ_{i=1}^n | x_i | = a のとき、p > 1 なら　Σ_{i=1}^n | x_i |^p ≧ (a^p)/(n^(p-1))、
　0 < p < 1 なら　Σ_{i=1}^n | x_i |^p ≦ (a^p)/(n^(p-1))　」という不等式も出ました。

　これは、第1象限で n次元超平面と n変数p次曲面の位置を比べてるとも考えられたりして、
　ヘルダーの方の式で 絶対値をとれるかとか p < 0 の場合どうなるかとかも考えてみたいと思いました。

というのを また忘れそうなので、このスレにコピペしおてく。。
今日こそ、2ヶ月いやもっと長く戦ってきた見えない敵（垂足単体の内心が元のn次元単体の垂心となるか）に決着を付けたい…

任意のm×n行列L (m≧n)について、m×n正規直交行列Θと n×n上三角行列Λを用いて、
L = Θ Λ と分解できないかな？m=nの場合に成り立つならできそうだけど…何分解だっけか…
何がしたいかというと、任意のn次元単体は うまく回転変形すれば n次元空間で拡縮を含むせん断変形（shear）成分だけになる
と言いたい感じです。そして、この成分をn乗Λ^nして…ってことじゃなかった気がしたけど…あれ？なんだったっけ

「面白い問題おしえてーな 九問目」スレ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/1093676103.html
248 名前：１３２人目の素数さん：04/10/01 04:30:50
　三角形の内部に点Pを取る。
　点Pから三角形の各頂点への距離の和をS
　点Pから三角形の各辺への距離の和をTとするとき
　S≧2Tを示し、等号成立条件を求めよ。

　同様に、四面体において内部に点Pを取り
　点Pから四面体の各頂点への距離の和をS
　点Pから四面体の各辺への距離の和をTとするとき、
　S≧T√8を示し、等号成立条件を求めよ。

284 名前：１３２人目の素数さん：04/10/05 22:26:33
　http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/hutou1.htm
　　　…中略…
　まぁ、俺が張ったアドレスの方が間違いって言う可能性もあるんだし、
　とりあえず、証明出てくるまでは、2ch的未解決っていうことで。

2ch的未解決問題か…オラ ワクワクしてきた！
ということで、このスレ見てる方いらしたら、出題とか質問とか 何でもしてくれたらうれしいです

>>252 凸(n+1)角形の頂点を二点おきに結ぶなら、時計回りも逆回りも関係なく同じ縮小(n+1)角形が作られるだろうに。何を勘違いしてたんだ私は…
凸5角形の各頂点を反時計回りにi点(i=0〜4)と呼び、0点からi点(i=1〜4)へのベクトルをl_iとして、l_2,l_3をl_1,l_4の線型結合で表して解こうとしましたが、
わかったことは、mをnで割った余りを[m]_nで表すとき、i点と[i+2]_5点および [i+1]_5点と[i+3]_5点を結ぶ線の交点を小i'点とすれば、下記のことでした。

・i点と小[i+1]_5点を結ぶ 5つの線は一点で交わらない。
・凸5角形の重心と、小i'点で作られる小5角形の重心は一致しない。
・凸5角形に外接する楕円は一意に求まるが、その外接楕円の中心と小5角形の外接楕円の中心は一致しない。

最後のは目見当ですが…。凸5角形の各辺の中点を結ぶことで再帰的に小5角形を作る場合なら、元の凸5角形の重心に収束しそうなのに、
　って、やべぇ、これは決定的なアイディアが浮かんでしまったか！？でも収束するなら重心しか考えられないけど…それは少しやだなぁ…

凸(n+1)角形（n+1≧5）の頂点をk個(k=2〜⌊n/2⌋)飛ばしで結び、内部にできる縮小(n+1)角形についても同じ縮小変換を繰り返すとき、
この操作を無限回行うことで収束する点を 「凸(n+1)角形k点飛縮収束点」と仮に呼び、以後これらの問題を 形縮収束点の問題とでも呼ぶぉ。

凸5角形の各頂点を反時計回りにi点(i=0〜4)と呼ぶ。
0点からi点(i=1〜4)へのベクトルをl_iとして、l_2 = l_1 s_2 + l_4 t_2、 l_3 = l_1 s_3 + l_4 t_3となるとする。
（このとき凸5角形という条件から、s_2 > s_3 > 0、 t_3 > t_2 > 0、　s_2 + t_2 > 1、 s_3 + t_3 > 1であると考えられる。）
凸5角形の周上のi点と[i+1]_5点の中点で囲まれる小5角形をS'とし、S'の元の凸5角形Sに対する面積比をFとする(0<F<1)。

この場合、 F=1/2 + (s_2 + t_3 - 1)/(4(s_2 t_3 - s_3 t_2 + s_3 + t_2)) と導出でき、
たぶん（s_2 = t_3、s_3 = t_2としてしか試してないが…）凸5角形の条件下で∂F/∂s_2 = ∂F/∂s_3 = ∂F/∂t_2 = ∂F/∂t_3 = 0 となる
s_2 = t_3 = (1+√5)/2、 s_3 = t_2 = 1 の場合に、Fが最大値 max[F]=(3+√5)/8 をとることが示せる。
ちなみに、Fの式から（s_2=s_3=t_2=t_3=1/2に近づくとき）Fは最小値1/2に限りなく近づくと考えられ、「1/2 < F ≦ (3+√5)/8」 だと思う。
このことは、正5角形でない適当な l_1とl_4でも成り立つので、凸(n+1)角形k点飛縮面積比が最大のときも正5角形とも限らないと予想できる。

また、一般的な凸(n+1)角形の各辺の中点（一定比の内分点でも同じか？）で囲まれる小(n+1)角形について、
常にその凸(n+1)角形と小(n+1)角形の内部にある重心が一致することから、再帰的にこの小(n+1)角形を作るとき、
その小小…(n+1)角形が 元の凸(n+1)角形の重心に向かって収束していくことが容易に想像できる。
これを仮に、「凸(n+1)角形辺中囲縮収束点はその凸(n+1)角形の重心となる」と言うことにする。

あと仮に、「n=4のときの凸(n+1)角形辺中囲縮面積比F(n+1)は 1/2 < F(5) ≦ (3+√5)/8 となる（F(3)=F(4)=1/2？）」とも書くことにする。
見てる方、ぜひ感想などをカキコしてくださるとありがたいです。

ちなみに、凸5角形 2点飛縮 小5角形 と、凸5角形 辺中囲縮 小5角形 の
対応する周囲の辺は5組全て平行となるが、この2つの小5角形が相似であるとはいえないようだ。
少なくとも、この2つの小5角形の面積比が明確であるなら 凸(n+1)角形辺中囲縮面積比の答えを使えるのだが…

今後は、k点飛縮にも応用できる補助(n+1)角形をどうにか見つけようとするか、
凸5角形2点飛縮収束点を求めるために 凸5角形 外接楕円 を導出する式をちゃんと作るか、って感じー

後者は例えば、長方形の横に一点加えた凸5角形について、その外接楕円の中心と その凸5角形の重心が
ぱっと見で異なってしまうことからも、あまりいい式になるとは思いませんが…
U^m内で凸5角形の各頂点への位置ベクトルをp_i(i=0〜4)とすると a x^2 + b x y + c y^2 + d x + e y + f = 0 の…
x y うわぁぁああぁあ（AA略）

凸5角形は内接楕円も一意に定めることが出来るのか？
例えば、三角形と それをその重心を中心にその平面内で180度回転させた三角形をあわせた
魔方陣？のような図形が、外接楕円と内接楕円を一意に持つことからも、出来る気がするけど。
（この場合、対称性で1次元分？落ちる6点と6辺では成り立つからという意味）

外接楕円も、2次元内の5点という10変数から 楕円（というか2次曲線）の6変数
（中心点で2変数、長径短径で2変数、長軸の回転角と定数倍で2変数分）
を導出するという 供給過剰っぷりはどうか　と思ってたら、全成分1のベクトル\bm{1}を用いて、
[a/f, b/f, c/f, d/f, e/f]^T = - […, [x_i^2, x_i y_i, y_i^2, x_i, y_i], …]^{-1} \bm{1} で(i=0〜4)
ぴったり導出できますね。しかし、欲しいのは楕円の中心へのベクトルですから、残念。

>>258 凸(n+1)角形辺中囲縮面積比F(n+1)は常に F(3)=1/4、 F(4)=1/2 でした。
>>260 円に外接する野球のホームプレート型の凸5角形に外接する楕円を考えれば、
凸5角形の内接楕円と外接楕円の中心は異なる場合があることが　ぱっと見わかる。

分からない問題はここに書いてね３０５
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1239022787/378

長さlの針金を l = l_1 + … + l_m に分け、それぞれのl_iで正n_i角形を作る時、
その全ての面積の和Sは S(m; n_1, …, n_m) = Σ_{i=1}^m (l_i^2 / (4 n_i tan(π/n_i))) と表せて、
>>254 のコーシーシュワルツの不等式で x_i = l_i / √(4 n_i tan(π/n_i)) および y_i = √(4 n_i tan(π/n_i)) と考えれば、
等号成立条件の x_i:x_j=y_i:y_j つまり l_i : l_j = n_i tan(π/n_i) : n_j tan(π/n_j) という比で針金を分けるときに
Sは最小値 min[ S(m; n_1, …, n_m) ] = l^2 / (4 Σ_{i=1}^m (n_i tan(π/n_i))) をとることが分かる。

端的に書くと、「Σ_{i=1}^m l_i = l のとき、a_i > 0 とすれば、
Σ_{i=1}^m (l_i^2 / a_i) ≧ l^2 / (Σ_{i=1}^m a_i) が成り立つ
（等号成立は l_i /a_i = l_j /a_j のとき）。」ということである。

ところで、「雑談はここに書け！【３４】」スレで
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1234800000/506
で当スレが紹介されてました！あざーす！

いやー数学板って荒れてますねーU^m内のn次元楕円体について考えたこと書きます。

まず、U^m内のU^n_{p_0} [L]で（m次元ユークリッド空間内の 始点p_0からのn次元部分空間を張る基底Lで）
m次元列ベクトルl_i(i=1…n)をi列成分に持つm×n方向行列Lを特異値分解すると L=ΘΣA^T となるとする。
（Θ=[θ_1, …, θ_n]はm次元正規直交ベクトルθ_iを列挙したm×n行列、Σは対角成分にｎ個の特異値σ_iを持つn次対角行列、Aはn次正規直交行列）

（ちなみに、Lは基底なのでA A^Tも単位行列Eとなり、内積行列 L^T L = AΣA^T と分散行列 L L^T = ΘΣΘ^T と固有値分解できる。）

このとき、Lの始点p_0を中心として Lのそれぞれの終点を通る n次元楕円体のm次元半径ベクトルは r_i=θ_i σ_i （i=1…nのn本）で表せる
（R=[r_1, …, r_n]=ΘΣ、および、e_{θ_i}^T e_{θ_i}=1となるn次元正規ベクトルe_{θ_i}を用いて、それぞれ l_i =R e_{θ_i} と書けるので）。
ここまでは固有値・固有ベクトルの性質として公知のものと思います。（参考→ ttp://q.hatena.ne.jp/1215959307）

（訂正： >>263 5行目： 内積行列 L^T L = A Σ^2 A^T と分散行列 L L^T = Θ Σ^2 Θ^T (= R R^T) と固有値分解できる。）

しかし、>>263 は U^m内で n次元単体の0点を中心として 1点…n点を通る n次元楕円体を求めるという方法である。
今回、中心は不明の状態で、n'個の点に適切なn次元楕円体をfitting（以下、当嵌と言う）したい。>>259 の方法を見れば、
n次元楕円体を当嵌するのに必要な点の数は2次超曲面の係数の数以上なければならない気がするので n'≧n(n+3)/2 とする。

一般的のように、2次超曲面の2次係数のn×n対称行列をQ、1次係数のn次元列ベクトルをq_〜、定数倍の不定性を表す項をq_{〜〜}としたとき、
この2次超曲面上の点pを f_Q [p] = p^T Q p + p^T q_〜 + q_{〜〜} = 0 で表したいが、これはpがn次元ベクトルのときしか使えない。

そこで、最初に U^m内のn'個の点を表すm次元列ベクトルp'_i (i=1…n') から、この点が全て入ってるn次元部分空間を求めておくといいと思った。
以下は私的な考えであるが、この全ての点を表す行列 P'=[p'_1, …, p'_n'] とすれば、この全ての点の重心 p'_G = P' 1/(n'+1) を
中心に放射線状に各点へ出るベクトルを固有値分解する感じで得られる (P'-p'_G 1^T)(P'-p'_G 1^T) = P' P'^T - (n'+1) p_G p_G^T = R' R'^T
のR'（重心中心として簡易にn次元楕円体を当嵌したn本の半径の行列）、および、p_i = R' ρ_i となるn次元座標ベクトルρ_i (i=1〜n')を最初に求めておく。

そうすれば、この2次超曲面上の点pを表す座標（p'_GからR'で測った座標R'^† p_i=）ρで、
f_Q [ρ] = ρ^T Q ρ + ρ^T q_〜 + q_{〜〜} = 0 と書けるので、次の方法でρからQ,q_〜および
全ての点p_i (i=1〜n')にとって適切な当嵌であるn次元楕円体の中心とn本の半径ベクトルが求まる…と思う。

（訂正： >>263 下から5行目： = P' P'^T - (n'+1) p'_G p'_G^T、下から4行目： p'_i = p'_G + R' ρ_i、
下から3行目：座標R'^† (p - p'_G)=（ただし、R'の一般化逆行列R'^†=[r_1/(r_1^T r_1), …, r_n/(r_n^T r_n)]））

U^m内で点p'_i (i=1…n')をp'_GからR'で測ったn次元座標ベクトルをρ_i = [ρ_{1i}, …, ρ_{ni}]^T (i=1…n')とし、Qのj行i列成分q_{ji} とq_〜のi行成分q_{i〜} に対し
\ddot{q} = ([q_{11}, q_{12}, q_{22}, …, q_{nn}, q_{1〜}, …, q_{n〜}]/q_{〜〜})^T、および、υ_i=[ρ_{1i}^2, 2 ρ_{1i} ρ_{2i}, ρ_{2i}^2, …, ρ_{ni}^2, ρ_{1i}, …, ρ_{ni}]、
υ_iをi行成分に持つn'×(n(n+3)/2)行列をΥとすれば、f_Q [ρ] = ρ_i^T Q ρ_i + 2 ρ_i^T q_〜 + q_{〜〜} = (υ_i \ddot{q} + 1)q_{〜〜} = 0より、Υ \ddot{q} = -1 となり、
【Υ^T Υが正則の時】 \ddot{q} = - (Υ^T Υ)^{-1} Υ^T 1 と n次元楕円体が通る点の座標の成分の行列Υから n次元楕円体を表す係数\ddot{q}が求まる。

また、このn次元楕円体の中心を表す座標をρ_Q、n次元楕円体のこの座標における半径ベクトルr_i (i=1…n)を列挙したn×n直交行列をRとすれば、
n次元正規ベクトルe_{θ_i}を用いて、(ρ_i - ρ_Q) = R e_{θ_i} と表せることから、ρ_i^T (R R^T)^{-1} ρ_i - 2 ρ_i^T (R R^T)^{-1} ρ_Q + q_{〜〜} = 0
【q_{〜〜} = ρ_Q^T (R R^T)^{-1} ρ_Q - 1とした】。ここで求まった係数\ddot{q}を Q/q_{〜〜}と q_〜/q_{〜〜}=[O E] \ddot{q}の各成分に代入しなおし比べる。

上記をふまえて、Qを固有値分解すれば Q=ΘΣ[λ]Θ^T=(R R^T)^{-1} （Σ[λ]は対角成分がベクトルλの成分となる対角行列）となることから、
n次元楕円体の座標の半径行列は R = ΘΣ^{-1/2}[λ] と求まり、n次元楕円体の座標の中心は ρ_Q = R R^T [O E] (Υ^T Υ)^{-1} Υ^T 1 と求まる。

「このことから、U^m内で 【凸複体を作る】 n'個の点 P'=[p'_1, …, p'_n'] に対して 適切に当嵌できるn次元楕円体は、
中心が p'_G + R' R R^T [O E] (Υ^T Υ)^{-1} Υ^T 1 であり、半径行列が R' R = R' ΘΣ^{-1/2}[λ] である。」と考えられる。
（n'≧n(n+3)/2 だが、特にn'=n(n+3)/2 のとき、上式で与えられるn次元楕円体は 全てのn'個の点を通る。）

>>263-265 は「点列へのn元2次超曲面の当嵌」について一般解を目指した導出のアルゴリズムです。あまり綺麗な式にならなかった。
凸複体を作る n'=n(n+3)/2 点に当嵌するとき、Υが正則になるなら、この式でその凸複体への外接楕円体が作れると思います。
内接楕円体については、複体では出せる気がしないので、n次元単体の重心を中心とする辺接楕円体（前述したっけ？）をのみ考えたいです。

なんかもったいなかったので「球・球面の性質を1000個あげるスレ」を保守しました。みなさんもよろしく、とか言ってみたり
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1108524401/
あと、>>266 ではアンカーを>>264-265として、>>265-266では n次元凸複体とかn次元外接楕円体とか言うべきだと思いました。

ところで、(n+1)個のi点(i=0…n)で作られる n次元単体の重心p_Gを中心とする n次元辺接楕円体は、
>>264 をふまえて、>>265 から ρ_Q = R'^† (p_G - p_G) = 0であるので f_Q [ρ] = ρ^T (R R^T)^{-1} ρ - 1 = 0 として、
n次元単体のj点とi点を結ぶ線分上での辺接楕円体との接点を p_{d_ji} = p_j t + p_i (1-t) とすれば、
このp_{d_ji}の座標ρ→ρ_{d_ji} = R'^† (p_{d_ji} - p_G)で d[f_Q]=2 d^T[ρ] (R R^T)^{-1} ρ→0 となることから、
R'^‡=(R'^†)^T、M=R'^‡ (R R^T)^{-1} R'^†として、上式よりtを消去すれば、

接点は p_{d_ji} = (p_j (p_G - p_i)^T - p_i (p_j - p_G)^T) M (p_j - p_i) / ((p_j - p_i)＾T M (p_j - p_i)) と書ける。
この接点の全てがn次元辺接楕円体上にあることから、ρ_{d_ji}^T (R R^T)^{-1} ρ_{d_ji} = 1 の全てを用いて R を求めればよい…

…うーん…重い…簡易に固有値分解で出せる R' と、真のn次元重中辺接楕円体の半径 R' R の違いは、大変興味があるのですが…

（訂正： >>267 下から3行目： 接点は p_{d_ji} = (p_j (p_G - p_i)^T + p_i (p_j - p_G)^T) M …）

ここで、Δ_{G_ij} = p_j (p_G - p_i)^T + p_i (p_j - p_G)^T + p_G (p_i - p_j)^T とすれば、このm×m行列Δ_{G_ij}は、
掛けることによって p_G, p_i, p_j によって作られる三角形の法線方向への外積のようなものが出る行列だと思う。
例えば、√|(p_G - p_i)^T Δ_{G_ij} (p_j - p_G)|/2 がその三角形の面積になると昔計算したような気がする。

上記より、(p_j - p_i)＾T M Δ_{G_ij}^T M Δ_{G_ij} M (p_j - p_i) = (p_j - p_i)＾T M (p_j - p_i) (p_j - p_i)＾T M (p_j - p_i)
から、n次元単体の各頂点P=[p_0, …, p_n]と その重心p_G=P 1/(n+1)で作る 分散行列を固有値分解して得られる
P P^T - (n+1) p_G p_G^T = R' R'^T の式を用いて、M=(R' R)^‡ (R' R)^† より n×n【直交】行列 R が求まる…

…んだがどうすりゃいいんだ…ぱっと見、Δ_{G_ij}^T M Δ_{G_ij} = (p_j - p_i) (p_j - p_i)＾T と見えるのだが…
Rが対角行列となれば、n次元重中辺接楕円体のn本の半径ベクトルの方向が P P^T - (n+1) p_G p_G^Tの
固有ベクトルの方向と一致すると言えて、幸せになれるのだが、式の数はn(n+1)/2で直交Rにはピッタリっぽいし…

>>268 で式の形からは、U^m内でｎ次元単体の重心p_Gからその各ij辺の垂線x_{G_ij}をn(n+1)/2本分列挙したm×(n(n+1)/2)行列
X = [x_{G_01}, x_{G_02}, …, x_{G_(n-1)n}] の分散行列を固有値分解することによって X X^T = (R' R) (R' R)^T となるm×n直交行列
（重中辺接楕円体の半径行列）R' Rが求まり、その「ｎ次元単体の重中辺接楕円体」（と仮に呼ぶ）が出せると予想します。
しかし、計算の方は全然できないので保留します。数値計算ソフトでいろんな分散行列を固有値分解して図示して確かめたいなぁー

話は変わりますが、「数学の本　第33巻」スレの401さん情報
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1236443234/401

401 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/04/18(土) 21:27:12
google book って数学書がほとんどのページ見られたりするけど大丈夫なのかこれ。

とのことで、ありがとうございます！やったー！このときを待っていた！
>>20 さんのは日本の本だからか見つけられませんでしたが、原著と同じ人の本で似てる本↓
http://books.google.co.jp/books?id=aE_-qdthsWcC&pg=PP1&dq=Ronald+L.+Graham+discrete+Mathematics&lr=&as_brr=3

>>34 さんのは http://books.google.co.jp/books?id=iWvXsVInpgMC&printsec=frontcover&dq=Coxeter+Regular+Polytopes&as_brr=3
>>35 さんのは http://books.google.co.jp/books?id=upYwZ6cQumoC&printsec=frontcover&dq=Sphere+packings&as_brr=3
で発見できました！代数幾何学とか日本語の本もたくさんあった。Googleまじ神！！！

あと、猫先生（？）関係のスレでarXivという論文投稿サーバ（？）というのを知りました。
URI→http://arxiv.org/archive/math
このサイトの分類だと当スレの分野はEuclidianのある math.MG - Metric Geometry かな？
代数幾何学や位相幾何学は難しいので、わかりやすい解析幾何学を生涯かけてやりたいです。

>>269 上の計算じゃ合いません。考えた結果、U^m内でn'個の点列\P=[\p_1…\p_n']があり、その点列の重心\p_G
を中心として 半径を表す直交行列\R=[\r_1…\r_n]で作られるn次元楕円体上にその点列が全てある特別な場合は、
「(\P \P^T - \p_G \p_G^T) (2/n') = \R \R^T」と書けて、重心から点列への行列\P-\p_G \1^Tの各特異値の√(2/n')倍が
そのn'個の点列を通るn次元楕円体の各半径の長さになると言えると思いました。

n'個の点列\Pが楕円体上でなくn次元正規分布に従う時、\Pの重心から点列への\P-\p_G \1^Tの特異値の√(1/n')倍が
その正規分布の標準偏差であるとも考えました。これより、正規分布に従う点列で作る分散行列\P \P^T - \p_G \p_G^Tと
その標準偏差の1/√2倍の半径の楕円体上にある同じ数の点列（その重心は楕円体の中心）で作る分散行列は一致する
と言えると思ってます。これらはもう少し考えたいので、これらを「楕円体当嵌の問題」と呼び、後でまとめたいと思います。

（訂正： >>271 とかいろいろ：U^m内でn'個の点列\P=[\p_0…\p_n']に最小自乗当嵌される、中心\p_G=(\P \1)/(n'+1)で
半径\R=[\r_1…\r_n]のn次元楕円体は (\P \P^T - (n'+1) \p_G \p_G^T)(n/(n'+1)) = \R \R^T を満たす。という予想）

>>264-265 より点列\p_i (i=0…n')にn次元楕円体を当嵌したい場合は、\p_i = \p_G + \R \ρ_i (\ρ_i =[ρ_{1i}…ρ_{ni}])
とすれば、一次独立なυ_i=[ρ_{1i}^2, 2 ρ_{1i} ρ_{2i}, …, ρ_{ni}^2, ρ_{1i}, …, ρ_{ni}]が係数分n(n+3)/2個必要なため
（このとき\p_i (i=0…n')はn次元を張る二次独立な基底で作られると言う）、最低でも n'≧n(n+1)/2 の点列が必要である。
このn次元二次超曲面（楕円体）を当嵌できる点列を、仮に「n次元二次位底以上の(n'+1)点」（n'≧n(n+1)/2）と呼ぶ。
（ちなみに、n次元部分空間（超平面）を定めれるような点列を、仮に「n次元一次位底以上の(n'+1)点」（n'≧n）と呼ぶ。）

また、「標準偏差σの正規分布と、値±σを同確率でとる二値分布は、同じサンプル数なら分散（標準偏差）が等しい」
と統計学関連から言えると思い、多変量解析に応用すれば「標準偏差σ_i (i=1…n)のn次元正規分布と、半径σ_iの
楕円体上の点（と中心をはさんでその反対側の点）を同確率でとる分布は、同じサンプル数なら分散行列が等しい」
と言えると思いました。

ところで、中心を\p_Qと固定してn次元一次位底以上の(n'+1)点にn次元楕円体を当嵌する場合、この(n'+1)点\P_+に
対して中心\p_Qをはさんでその反対側にある(n'+1)点\P_- = 2 \p_Q \1^T - \P_+も一緒に2(n'+1)点\P=[\P_+, \P_-]
と考えれば、中心\p_Q=\P \1/(2(n'+1))=\p_Gと考えれば、本来 分散行列(\P_+ - \p_Q \1^T) (\P_+ - \p_Q \1^T)^T
で計算するところを、前述の分散行列 (\P_+ \P_+^T - (n'+1) \p_Q \p_Q^T)(n/(n'+1)) = \R \R^T の式に帰着できる。

これは、>>271 では中心は重心だけとしていたが、別に任意の中心\p_Qと固定しても上式で一次位底以上の(n'+1)点にn次元楕円体を当嵌できることを示している。

（訂正： >>272 上から1行目： U^m内で(n'+1)個の点列\P=[\p_0…\p_n']）

ところで、「m次元ユークリッド空間内における n次元二次超曲面 f_Q[\p]=\p^T \Q \p + 2 \p^T \q_〜 + q_{〜〜}=0の
概形と、点\p'での接線\d'と、点\p'で接線\d'での曲率半径r'_Qなどを、例によって行列で計算しました。

http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/61.html
http://www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref&page=%E5%8D%98%E4%BD%93%E5%BF%9C%E7%94%A8%2F%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E8%B6%85%E6%9B%B2%E9%9D%A2&file=fq.JPG

これより、特にU^m内において、中心\p_Qと直交半径行列\R_Qで作られるn次元楕円体上の点を\p'=\p_Q + \R_Q \e_θ
（\e_θ^T \e_θ=1）で表せば、その点\p'上での接線\d'は\e_θ^T \e'_θ=0および\e'_θ^T \e'_θ=1となる\e'_θを用いて
\d'=\R_Q \e'_θと書けて、その点\p'上で接線\d'の方向に対する曲率半径\r'_Qは下記のように書けることが言える。

\r'_Q = - \R_Q (\R_Q^T \R_Q)^{-1} \e_θ (\e'_θ^T \R_Q^T \R_Q \e'_θ)。」と考えました。どこかで見たかも、微分幾何学か？

>>273 「二次曲面 - Wikipedia:」↓では楕円体の体積の式も載ってました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2
でも、↑ではm=n（かm=n-1）で固定してる気がする。　おやすみ。

今日のコマ大の問題は、http://tv.dee.cc/jlab-maru/s/maru1242318622236.jpgで、
三角形ABCの外接円上の点PからAB・ACにおろした垂足M・N間の長さが最大になるのは、
APが外接円の中心を通るときで、そのときM・NはB・Cに一致するという話が出てました。

これを、始点を固定したn本の基底\L=[\l_1…\l_n]の始点と終点で囲まれるn次元単体に拡張すれば、
その外接超球上の点から\l_iにおろした垂足が作る(n-1)次元単体の超体積が最大となる点\l_xは、
始点から外接超球の中心へのベクトル\l_Oの2倍の点\l_x=\L (\L^T \L)^{-1} Σ[\L^T \L]と言えそう。

この点を仮に外心対称0点と呼び、n次元単体の外心対称を外心対称単体などとでも仮に呼びます。
すると、n次元単体の重中外接楕円体はその重心対称単体の重中外接楕円体と一致するとか言えます。
一般次元では超楕円体と呼ぶのが普通なら、それは長すぎて嫌で、むしろn次元超楕球とか呼びたい気…

ちなみに、n次元単体の外接超球上の点からそのi対面(i=1…n)におろした垂足が作る(n-1)次元単体の
超体積が最大となる点と考えても、外心対称0点しかありえない気がして、そのときこの垂足(n-1)次元単体
が上記の\l_iへの垂足が作る(n-1)次元単体と超体積が同じになっちゃったりするのか、…おやすみ…

今、n次元単体の外接超球上の点から、i対面への垂足(n-1)次元単体の超体積の最大値の方が、
\l_iへの垂足(n-1)次元単体の超体積の最大値（このとき0対面となる）より小さい気がしました。
ちなみに、>>274の最後の行は、m=n（かm=n+1）と言うべきでした。

『楕円』関係のスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220920513/14
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220920513/22
で、二次超曲面とある点との距離（の最小値）について質問みたいのがあって、
n次元楕円体とある点の距離なら>>273とか使って、空間ごとn次元超球と
ある点との距離に帰着すればいいと思ったけど、なんか計算うまくいかん…

垂足三角形の内心が垂心となるのは、元が鋭角三角形のときだけらしく、
あるn次元単体の垂足単体の内心の点（名前知らない）が垂心となるためには、
けっこう複雑な条件がある気もしました…直角以上があると一致すらしないし…

雑談はここに書け！【３４】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1234800000/741
でおもろないって言われてたし、ネタも尽きたので、
これからコテつけて質問とかに答えるスレにしたいぉ！
なんか言ってみそ

http://blog.livedoor.jp/melbo2_oko3re/
で3次元以下の単体の五心はうまくまとめられてる気がした。
http://blog.livedoor.jp/melbo2_oko3re/archives/488155.html
で『「位相幾何学」のホモロジー群の計算にでてくる「単体の重心座標」』という言葉がありビックリ！

重心座標はここでいうところの、n次元単体の位置行列\Pと同じ空間にある点\p_a=\P \~aの\~aの部分で、
点\p_aによって単体\Pが(n+1)個の単体に分かれるときの体積の2乗の比を表すので単体座標\~aとか>>242で呼んでた気がした。
あと、上で三線座標・四線座標（ある点に対するi対面からの距離比）と呼ばれてるものはここでは、
単体座標\~aをn次元単体の各i対面の超表面積の2乗で割った\~x（つまり、\P \~a=\P \Σ[\~C[\P^T \P]] \~x）を用いれば、
この\~xはまさしく点\p_aに対するn次元単体のi対面からの距離の2乗の比となり、ここでは分面座標と呼んだ気がした。

また、三角形の各頂点からの距離の比を座標にしたものは、三角座標？trianglar functionだっけ？とか呼ばれてるようで、
これはn次元単体に拡張してもこの座標を指定しても満たす点が内分点と外分点のように2点あるのであまり流行ってないっぽく、
しかし、n次元単体の各i頂点からある点\p_aの距離の比をt_iとして、i=0…nのt_i^2をi行成分に持つ\tとすれば、
そのn単体の外心\p_Oから\p_aへのベクトルの方向が\P \~C[\P^T \P] \t （=α(\p_a-\p_O)）となると思い、
ここでは分点座標と呼ぼうと思ってた気がした。参考→http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.html

ベクトルで出すより、ベクトルから座標出すほうが需要があるのか…誰か興味あるなら本気出します（笑）

\Pが一本分一次従属のとき（\P \~a' = \0）があるのを考えてなかった。
たぶんこのとき\~a'=\C[\P^T \P] \1と書けるけど、いや関係ないか…
あと、\undersetや\oversetを{↓(⊖ \l_i)\L}や{↑[m×m]\E}と書こうと思った。

（【訂正】 >>272の上から6行目： 体積の2乗の比→体積の比、上から8行目：
各i対面の超表面積で割った\~x（つまり、\P \~a=\P \Σ^{1/2}[\~C[\P^T \P]] \~x）、
上から9行目：i対面からの距離の比となり、ここでは分面座標）

上をふまえて、n次元単体の位置行列\Pである点\p_aを表すときの座標として、単体座標\~a,(\p_a=\P \~a)、
点\p_aとn次元単体のi対面で作られるi分積の値を用いる分積座標\~v^{n-1},（\p_a=(\P \~v^{n-1})/(v^n)）、
点\p_aとn次元単体のi対面からの距離の値を用いる分面座標\~j,（\p_a=(\P \Σ^{1/2}[\~C[\P^T \P]] \~j)/(v^n)）、
点\p_aとn次元単体のi点からの距離の値を用いる分点座標\~t,（\p_a-\p_O=r_a (\P \~C[\P^T \P] (\~t)^2/2)）
（ただし、分点座標によって定まるある点\p_aは普通は内分点心と外分点心の2点存在する）などと書く。

ちなみに、成分を総和して1になるベクトルを比ベクトル、成分を自乗和して1になるベクトルを正規ベクトル\^{}
とか言ったりし、単体座標は分積座標比ベクトルとか、外心からの正規分点向外線\^x_T上に、とか言ったりします。
あと、n次元単体において分面座標が全て等しい点を内心、1個だけ負で等しい点を傍心と呼び、
内心・傍心を含む分面座標の絶対値が等しい2^n個ある点を広義傍心と呼ぶことにした。

この分野の先人は、>>280 の上のリンクやある御仁のメールから、一松信さんっぽい雰囲気を感じました！

2次元単体→n次元単体
重心座標(barycentric coordinates)→分積座標
三線座標(triliner coordinates)→分面座標
三点座標(tripolar coordinates)→分点座標
と呼びたいけど、http://blog.livedoor.jp/melbo2_oko3re/では四面体で四線座標って言ってる、
3次元単体なら四点で六線で四面なのに、…あぁ垂線は四線ですもんね。やっぱ分面座標っしょ

2ちゃんねる10周年おめでとうございます！
この「【行列で】m次元ユークリッド幾何学【n単体の5心】」スレ
を始めてからちょうど1年たちまして、皆様ありがとうございました。
とりあえず、このスレで解いたりした問題の項目だけPDFにしておきました。
今後は、neetubot名義で小出しにPDFを書き溜めながら1つにまとめることも考えたいです。

【PDF形式】132人目の素数さん『m次元ユークリッド空間内でのn次元単体の五心などの導出』【0.1】
http://www7.atwiki.jp/neetubot/pub/neetubot-0.1.pdf

それでは一年の集大成として、最近思いついた今までで一番美しい公式の予想を紹介して、終わりたいと思います。
↓
m次元ユークリッド空間内で、原点から各(n+1)点(m≧n≧2)への列ベクトル\p_iを
(i=0…n)列挙したm×(n+1)の位置行列\P=[\p_0…\p_n]でn次元単体A^nが作られる場合、
A^nの重心を\p_G=\P \1/(n+1)としたとき、A^nの頂点のうち(k+1)点(0≦k≦n-1)で
作られるk次元面の{_(n+1) C_(k+1)}通り全てに接する\p_Gを中心とするn次元超楕円体
（n次元単体の重中k次元面接超楕円体）の直交半径行列\R_Qは、次式のような
固有値分解する式で解けると予想する。
(n-k)/((n+1)(k+1)) (\P \P^T-(n+1)\p_G \p_G^T) = (n-k)/((n+1)(k+1)) (\P (\E - (\1 \1^T)/(\1^T \1)) \P^T) = \R_Q \R_Q^T
↑
定数倍の補正項はn次元正単体のk次元面接超球の半径を参考にし、>>272にあてはめたら
思いつきました。（参考→http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/26.html）
これは成り立たなくても、近似解などに使えると思いました。
それでは1年間、関係者各位、本当にありがとうございました。

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>>286で出る楕円体はk次元面接ではなくn次元単体の全てのk次元面単体の重心\p'_jを通るものでした。
それなら、Σ_{j=0}^{_(n+1) C_(k+1) - 1} (\p'_j -\p_G) (\p'_j -\p_G)^T = … = n(k+1)/(n-k) (\P \P^T-(n+1)\p_G \p_G^T)
で証明できそうです。これを、n次元単体の重中k次元重通超楕円体に改名し面接の方の近似となるとか言いたいです。

m次元ユークリッド空間内で、\p_Qを中心として 位置ベクトル\p'_i (i=1…n')で表されるn'個の点を通るn次元超楕円体が
一意に定められる場合、その超楕円体の互いに直交するn本の半径ベクトルを列挙した\R_Q=[\r_{1Q}…\r_{nQ}]
について、「(n/n') Σ_{i=1…n'} (\p'_i - \p_Q) (\p'_i - \p_Q)^T = \R_Q \R_Q^T」という公式が成り立つ証明↓

（証明）n'=nのとき、\l_i=\p'_i - \p_Qとすれば、題意のn次元超楕円体が定められる場合は、\l_iが互いに一次独立
である必要がある。これをふまえると、\L=[\l_1…\l_n]を特異値分解により\L=\Θ \Σ \A = \R_Q \Aと分解したとき、
\Aはn×n正規直交行列(\A^T \A = \A \A^T = \E)で書ける。これより、Σ_{i=1…n} (\p'_i - \p_Q) (\p'_i - \p_Q)^T =
Σ_{i=1…n} \l_i \l_i^T = \L \L^T = \R_Q \A \A^T \R_Q^T = \R_Q \R_Q^Tとなるので、与式が成り立つ。

また、n'で題意を満たす「(n/n') Σ_{i=1…n'} (\p'_i - \p_Q) (\p'_i - \p_Q)^T = \R_Q \R_Q^T」が成り立つと仮定してn'+1のとき、
(n/(n'+1)) Σ_{i=0…n'} (\p'_i - \p_Q) (\p'_i - \p_Q)^T = n/(n' (n'+1)) (n' Σ_{i=0…n'} (\p'_i - \p_Q) (\p'_i - \p_Q)^T)
= n/(n' (n'+1)) Σ_{j=0…n'} (Σ_{i=0…n', j≠i} (\p'_i - \p_Q) (\p'_i - \p_Q)^T) = n/(n' (n'+1)) Σ_{j=0…n'} (n'/n \R_Q \R_Q^T)
= \R_Q \R_Q^Tとなるため、与式が成り立つ。よって、この数学的帰納法によりn'≧nで、中心\p_Qから n'個の\p_iのうちから
選んだn点へのベクトルが互いに一次独立という性質が _n' C_n通りの\p_iの全ての選び方で成り立つときに限り、
中心を\p_Qとして n'個の\p_iを通る n次元超楕円体が一意に上記の公式から求められる ということがわかる。■

…中心を指定してn'点を通るn次元超楕円体を導出するとき、中心からn点へのベクトルが一次従属なのを含むとダメなのか？
中心からn'点へのベクトルがn次元部分空間を張っている時は、この公式で中心を指定したn'点への楕円当嵌としたいけど…
\p'_i - \p_Q = \R_Q \θ'_i とすれば、与式から(n/n') Σ_{i=1…n'} \θ'_i \θ'_i^T = \Eというおかしな式になるので、上の証明もどこか違う気が…

>>286>>288は少し間違ってました。>>289を前提とすれば、下記のように証明できたので、書き換えます。
↓
m次元ユークリッド空間内で、原点から各(n+1)点(m≧n≧2)への列ベクトル\p_iを
(i=0…n)列挙したm×(n+1)の位置行列\P=[\p_0…\p_n]でn次元単体A^nが作られる場合、
A^nの重心を\p_G=\P \1/(n+1)としたとき、A^nの頂点のうち(k+1)点(0≦k≦n-1)で
作られるk次元単体の重心\p'_jの{_(n+1) C_(k+1)}=n'通り全てを通り \p_Gを中心とする
n次元超楕円体（n次元単体の重中k次元重通超楕円体）の直交半径行列\R_{G_k}は、
「(n-k)/((n+1)(k+1)) (\P (\E - (\1 \1^T)/(\1^T \1)) \P^T) = \R_{G_k} \R_{G_k}^T」という公式で導出できる。

（証明）>>289の公式から式変形していけば、\R_{G_k} \R_{G_k}^T = (n/n') Σ_{j=1…n'} (\p'_j - \p_G) (\p'_j - \p_G)^T
= (n/n') ( (Σ_{j=1…n'} \p'_j \p'_j^T) - 2 ((_n C_k)(n+1)/(k+1) \p_G) \p_G^T + (_(n+1) C_(k+1)) \p_G \p_G^T )
= (n/n') ( ((_n C_k)-(_(n-1) C_(k-1)))/(k+1)^2 \P \P^T + (_(n-1) C_(k-1))(n+1)^2/(k+1)^2 \p_G \p_G^T - (_(n+1) C_(k+1)) \p_G \p_G^T )
= (n/n') ( (_n C_k)(n-k)/(n (k+1)^2) \P \P^T - (_(n+1) C_(k+1))(n-k)/(n (k+1)) \p_G \p_G^T )
= (n-k)/((n+1)(k+1)) (\P \P^T-(n+1)\p_G \p_G^T) = (n-k)/((n+1)(k+1)) (\P (\E - (\1 \1^T)/(\1^T \1)) \P^T)と書ける。■
↑
この公式で、m×(n+1)の位置行列\Pで表されるn次元単体の重中k次元重通超楕円体の直交半径行列\R_{G_k}が求まります。
この重中k次元重通超楕円体が通るn次元単体内のk次元面単体の重心でちょうど全てのk次元面と接する（条件のあうi,jにおいて
(\p'_j - \p_G)^T (\p'_j - \p_i) = 0）、つまり、重中k次元重通超楕円体＝重中k次元面接超楕円体となりそうなので、今感動してます。

>>290で一番下の感動したところが間違ってました。
正しくは、条件のあうi,jにおいて、\p'_j - \p_G = \R_Q \θ'_j としたとき、 \p'_j - \p_i = \R_Q \θ_i α
（ただし、\θ'_j^T \θ_i = 0）となれば、その超楕円体とn次元単体内のk次元面単体が接するので、
\Xの擬似逆行列を\X^†と書けば、(\p'_j - \p_G)^T (\R_Q \R_Q^T)^† (\p'_j - \p_i) = 0 となることが
重通と面接が一致する条件でした。式の形的には成り立ちそうだけど、今一度のブレイクスルーが必要です…

>>291が下記のように解けました。\p'_j - \p_G = \P \~a, \p'_j - \p_i = \P \~bとすれば、\~1^T \~a=0, \~1^T \~b=0, \~a^T \~b=0
であることを使います。ちなみに、成分が全て1のn次元ベクトルを\1、それの(n+1)次元ベクトルを\~1のように分けて書きます。
なお、n×n単位行列\E、(n+1)×(n+1)単位行列\~E、\Xの擬似逆行列を\X^†、\X^†の転置行列\X^‡などが登場します。

（証明） (\p'_j - \p_G)^T (\R_{G_k} \R_{G_k}^T)^† (\p'_j - \p_i)
= (n-k)/((n+1)(k+1)) \~a^T \P^T (\P (\~E - (\~1 \~1^T)/(\~1^T \~1)) \P^T)^† \P \~b
= α \~a^T ([\0, \L] - \p_0 \~1^T)^T (\L (\E - (\1 \1^T)/(\~1^T \~1)) \L)^† [\0, \L] \~b
= α (\~a^T [\0, \E]^T \L^T \L^‡ (\E - (\1 \1^T)/(\~1^T \~1))^{-1} \L^† \L [\0, \E] \~b + 0)
= α (\~a^T [\0, \E]^T (\E + (\1 \1^T)) [\0, \E] \~b + \~a^T (\~1 \~e_0^T + \~e_0 \~1^T - \~1 \~1) \~b)
= α \~a^T \~E \~b = (n-k)/((n+1)(k+1)) \~a^T \~b = 0 ■

>>289>>290>>292より、「m次元ユークリッド空間(m≧n≧2)においてn次元単体A^nがm×(n+1)行列\Pで位置表記される場合、
A^nの重心を中心とし A^nの頂点のうち(k+1)点(0≦k≦n-1)で作られるk次元単体の{_(n+1) C_(k+1)}通り全てに接する
重中k次元面接超楕円体の直交半径行列\R_{G_k}は、(n-k)/((n+1)(k+1)) (\P (\~E - (\~1 \~1^T)/(\~1^T \~1)) \P^T) = \R_{G_k} \R_{G_k}^T
という公式で導出できる。ちなみに、n次元単体の重中k次元面接超楕円体とそれぞれのk次元単体の接点は、対象のk次元単体の重心となる。」
が言える。>>289の一番下の部分がまだ腑に落ちてませんが、>>286であってるし接点まで重心できれいに出ると確信を持ちました。

□□□□匿名で公知にしておきたい部分は上までで一応終了です。□□□□
この一年では、m次元ユークリッド空間内のn次元単体の五心（重心・垂心・内心・傍心・外心）を導出する公式を
方向表記・位置表記（・辺乗表記）で解き、広義傍心が2^n個で、角心（フェルマトリチェリ点）は4次方程式に帰着でき、
分面心・分点心や単体による座標も出し、シムソン面・k次元面心・●心○足単体・対面●心単体・○心対称単体は失敗し、
トレミーを拡張し複体外接超球の定理を導き、広義垂心・非斉次行列多項方程式・形縮面積比・形縮収束点について言及し、
最後のほうで、n次元単体とn次元超楕円体の関係について解いてたら、n次元単体の重中k次元面接超楕円体を導出できた、

という感じです。あと、今気になってる問題は↓の2つですが、今ログ読み返したら他にもいろいろありそうでした。
・n次元正単体のk次元面単体の重心{_(n+1) C_(k+1)}通り全てで作られる図形はn次元正複体（正多胞体）と呼べるか
・m次元ユークリッド空間内の2次制約がn元の二次超曲面（全体では(m-1)次元あった）の同相という概念による分類
とりあえず今年はだらだらまとめてどこかに投稿とかしたいです。お手伝いできることやご意見ご感想など何でもこのスレや
>>1の＠ウィキhttp://www7.atwiki.jp/neetubot/のフォームやメール(要JavaScript)とかでおっしゃってくださるとありがたいです。

危険な場所に誤爆しちゃったテヘッ。>>292は、位置行列\Pで表される任意のn次元単体について、
その重心から直交半径行列\R_{G_k}^†=\R_{G_k} (\R_{G_k}^T \R_{G_k})^{-1}で逆に拡縮変換すると、
n次元単位超球にk次元面が全て接するn次元正（？）単体に変換できるということを表していると思う。

つまり、n次元単体の重心から重中k次元面接超楕円体の接点（k次元面重心）への{_(n+1) C_(k+1)}=n'通りの
ベクトルを\R_Q \θ'_j (\θ'_j^T \θ'_j = 1)と書けば(j=1…n')、n次元正単体のk次元面がn次元単位超球に
接する時の中心からその接点へのベクトルが\θ'_j で表せて、(n/n') Σ_{j=1…n'} \θ'_j \θ'_j^T = \Eとなると思う。

>>289の疑問は(n/(n'+1)) Σ_{i=0…n'} \θ'_i \θ'_i^T = \Eから\θ'_0 \θ'_0^T = (1/n) \Eとなるのがおかしいと思ったが、
>>289の上のほうの再帰的に計算するほうで計算するならうまくいきそうです。なんぞこれ…

遅自己レスでスマソですが、>>289はあっさり成り立つようなもんじゃない気がしてきたので、
重心中心の制約か、はたまた点の分布に等方性まで課さないとダメなのかって感じです今。

あと、n単体の各頂点からの距離の比がある一定値である分点心関係の応用ですが、
各頂点のi点の場所に質量がm_iの質点がそれぞれあるとき、その質量中心の場所を
考えると、その点への各i点からの距離の比がt_i=1-(m_i / (Σ_{i=0…n} m_i))となる感じです今。

また、n単体の各頂点のi点\p_iの場所にある質量がm_iの質点から受ける万有引力が
等しいもとい つりあう場所\p_Mを考えたい。万有引力定数Gとして、\p_Mにある質量Mの
質点が\p_iの質点から受ける万有引力ベクトルは G M m_i (\p_M - \p_i) / ((\p_M - \p_i)^T (\p_M - \p_i))^(3/2)
などと書ける。（←今ここまで）そこで、上のレスの方を体重中心、こっちを体重衡心とか呼ぼうかとか…

あと、三角形ABCの場合には、等力点という仰々しい名前のついた点（各点A・B・Cの対辺をa・b・cと
すれば、各点A・B・Cからの距離の比が 1/a : 1/b : 1/c となる内分点（？））という点があるらしいですが、
これをn次元単体に普通に拡張すれば、各i対面の(n-1)次元超体積をv_i^(n-1)としたときの
各i点からの距離の比が1/v_0^(n-1) : 1/v_1^(n-1) : … : 1/v_n^(n-1)となる内分点心にあたると考えてます。

ここら辺は、http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/21.htmlにテキトウに書いてある 分点心の位置表記
をちゃんともう一回解いて定式化しとかなきゃ怪しいので、めんどくさいって感じです。あと、n次元単体の
角心（フェルマ・トリチェリ点）の四次方程式について、\l_j^T (\l_j - \l_i)の値とか加味したり
3次元単体以上とか前提に連立方程式化すれば三次や二次方程式まで落とせる気がしてますが、こちらも…

というように、拡張がいろいろできて、ユークリッド幾何学前提なので式は綺麗になるはずなので、
線型代数が得意な人とか、是非いっしょに超立体解析幾何学（高次元計量幾何学）？やりませんか？

これからは、行列計算ネタとかWikipediaで英語→日本語の訳とかやって英語覚えながら、
arXivに英語論文みたいなの投稿すること考えてて、私的には下記のような対訳を考えてます。

これらのcategory ： 多変量解析幾何学 ⇔ Euclidian Metric Geometry
U^m ： m次元ユークリッド空間 ⇔ m-Euclidian Space
A^n (\p_G) ： n次元単体（重心位置） ⇔ n-Simplex (Centroid Position)
~S^n (~S'^n) ： n次元超球体（超楕円体） ⇔ n-Hyperball (Hyperellipsoid)
S^(n-1) (S'^(n-1)) ： (n-1)次元超球面（超楕円面） ⇔ (n-1)-Hypersphere (Hyperellipse)
Q_〜^(n-1) ： (m-1)次元(n-1)元二次超曲面 ⇔ Quadric Hypersurface

ところで、「専門家に論文を見て貰う方法」http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3247881.htmlを見て、
これらは大学院か精神病院でやった方が良かったのかと思いましたが、内容的には単体の五心などを
導出する公式を見かけないので作ったよ的な簡単な行列計算の話ですし、俺のような数学科でもない崩れが
金かけずにネタをみんなで共有するためには、2ちゃんのネタとして公知にするのが一番面白いと思ったんだけど…
あとは怪しいか難しいネタしか残ってないので、時間かかるしホントに日記っぽくなりそうなので、ホントに誰か発言していただけるとありがたいです

あたまがおかしいと思います

>>298 自演乙

自分で300ゲトTT。最近は英語見すぎて嫌になってきました。ところで、この分野って Geometric Algebra なのかと感じてきました。
あと、ここで単体への位置ベクトルと言ってたものは、アフィン独立なベクトルっていう便利な言葉を使えばいいようだった。

Geometric Calculus International
http://sinai.mech.fukui-u.ac.jp/gcj/gc_int.html

Geometric Algebra Primer [PDF] Jaap Suter - University of Twente, The Netherlands
http://www.lomont.org/Math/GeometricAlgebra/Geometric%20Algebra%20Primer%20-%20Suter%20-%202003.pdf

\Lを特異値分解すると\S \Σ \A^Tとなるとき　\Lのムーアペンローズ型擬似逆行列\L^†の転置行列は \L^‡=\S \Σ^{-1} \A^Tと書けると思うので、
↑でベクトル\aのInversion of a vector \a^{-1}と書かれているものは、\a^‡=\a/(\a^T \a)と書いたほうが個人的には純粋な拡張で表せると思った。
例えば、任意のn次元単体の垂線\h_iの逆ベクトル(n+1)本全ての総和は\sum_{i=0…n} \h_i^‡ = \0のように零ベクトルになる（逆垂線総和定理（仮））とか使えるし。

Geometric Algebraについて語ろう
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1142437103/

n次元単体における逆垂線総和定理（仮）から今思いついたのは、ある点\p_xを始点と固定すれば
元のn次元単体の(n+1)本の逆垂線ベクトルの(n+1)終点が作るn次元単体（逆垂線単体と呼ぶ）ができて、
このとき、ある点\p_xは逆垂線総和定理より逆垂線単体の重心となると言えるということです。

これは、五心の中で唯一つ超球と無縁と思われた垂心に、逆垂線単体の重均超球の半径の逆数を半径とする
超球を定義できるかもという光明が見えます。しかし、そのときの中心を広義垂心としていいのか悪いのかだし、むしろ
逆垂線単体自体が何かと相似とか対応してくれるとありがたい。ちなみに、↓をふまえて何か不等式公式が作れそうな気も…

不等式への招待 第３章
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/863
　863 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2009/04/16(木) 01:49:31
　　問題投下
　　３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ

　　ヘロンでどぞー

逆垂線単体と垂足単体が相似…ではないか…全然違う。チッ
まてよ、i対面からそれぞれi垂線の長さの逆数の比になる分面心が>>301の\p_xで、
その分面心から各i対面に下ろした(n+1)垂足が作る単体が 逆垂線単体と相似じゃないか？
おいおいホントかよ！？仮にこれを擬似逆垂線単体、\p_xの方は擬似逆垂線重心とでも名付けておこう！

位置行列\Pで表されるn次元単体において、各i対面からの距離の比がそれぞれ j_i (i=0…n)
となる分面心は\p_J=\P [j_0/√(\h_0^T \h_0), …, j_n/√(\h_n^T \h_n)]^T / (\1^T [j_0/√(\h_0^T \h_0), …, j_n/√(\h_n^T \h_n)]^T)
（\h_iはそのn次元単体のi垂線ベクトル）のように表せる。　これをふまえて、j_i についてそれぞれ比が1/√(\h_i^T \h_i)になる
擬似逆垂線重心は\p_x=\P [1/(\h_0^T \h_0), …, 1/(\h_n^T \h_n)]^T / (\1^T [1/(\h_0^T \h_0), …, 1/(\h_n^T \h_n)]^T)と解ける。

この\p_xの解は、垂心が存在するときの垂心の解 \p_H=\P [1/ν_0, …, 1/ν_n]^T / (\1^T [1/ν_0, …, 1/ν_n]^T)
（ただし、すべての i ≠ j ≠ k ≠i に対して ν_i = (\p_i - \p_j)^T (\p_i - \p_k)となるときに限る）に酷似（ν_i 〜 \h_i^T \h_i）しており、
このとき擬似逆垂線単体の対応するi頂点\p_{x_i}は　\p_xのi垂足として \p_{x_i} = \p_x - \h_i α_i
（ただし、\p_{x_i} = \P […, [i] 0, …]、つまり、α_i = （定数倍）/(\h_i^T \h_i)）のように求まる。

この点\p_xは、広義の垂心の一種として このスレのどこかで触れてた 垂足単体の内心であるような気がしてきた。それはいいとしても、
この点\p_xは、この点から対象のn次元単体の対面に垂足を下ろして作った擬似逆垂線単体の 重心となるという美しい性質を持っており、
以後、この点は 「逆垂心 \p_{/H}」、その垂足単体は 「逆垂足単体 \P_{/H}」 と呼んで位置表記などする。次回、逆垂超球

まとめると、n次元単体の逆垂心への位置ベクトルは \p_{/H} = (\P [1/(\h_0^T \h_0), …, 1/(\h_n^T \h_n)]^T) / (\1^T [1/(\h_0^T \h_0), …, 1/(\h_n^T \h_n)]^T) と書けて、
逆垂心からi対面に下ろした垂足（i逆垂足）への位置ベクトルを \p_{i/H} = \p_{/H} - \h_i α_i = \p_{/H} - r_{/H}^2 \h_i/(\h_i^T \h_i)
（ただし、このとき r_{/H} = √( 1 / (\sum_{i=0…n} 1/(\h_i^T \h_i)) であり、これを「逆垂半径」と呼ぶ) と書き表せば、
逆垂足単体は \P_{/H} = \p_{/H} \1^T - r_{/H}^2 [\h_0^‡, …, \h_n^‡] という位置行列で表せる。

以上をふまえて、 n次元単体において、逆垂心 \p_{/H} を中心とし、そのn次元単体と同じ空間にある 半径 r_{/H} のn元超球を
仮にその「n次元単体の逆垂超球 S_{\p_{/H}}^n [r_{/H}] ≡ S_{/H}」と呼ぶ。　これは、垂心関係の超球の定義としては最も自然なものであると考えられる。
今後は、>>301 の下側の不等式を応用して、逆垂半径ひいては逆垂超球を使った関係式などを導出したい。　それにしても美しい式だった（自賛）

たぶん、n次元単体の逆垂心は、n次元単体の(n+1)個ある頂点からの自乗距離の調和平均が単体内部において最大となる点のような気がする。
そして、n次元単体の内心が、n次元単体の(n+1)個ある頂点からの距離の調和平均が単体内部において最大となる点のような気がする。
ちなみに、n次元単体の角心（拡張フェルマ・トリチェリ点）は、n次元単体の(n+1)個ある頂点からの距離の算術平均（相加平均・総和）が（単体内部において）最小となる点だったと思う。

n次元単体の重心は、n次元単体の(n+1)個ある頂点からの自乗距離の算術平均が（単体内部において）最小となる点であり（この証明は微分すれば一発）、
このときの自乗距離の算術平均の平方根をここでは重均半径と呼んでいる。統計学的にはこの重均半径と実際のn次元単体の頂点からの距離のずれの値を出せるので
それをここでは重均偏差と呼んでいる。重心から重均半径で作られる重均超球は、n次元単体の各頂点との自乗距離の算術平均に関する超球当て嵌めの際に最適であると感じるが、
一方で逆垂超球は、n次元単体の各対面(facet)との自乗距離の調和平均に関する超球当て嵌めの際に最適であると感じる。重均偏差に対して逆垂偏差も定義できると思う。

まとめると、n次元単体での 重均超球および逆垂超球の役割は、それぞれ自乗距離に関する外接超球および内接超球のようなもののn次元単体への当て嵌めであると考えられる。

（訂正： >>305 1行目：n次元単体の(n+1)通りある対面からの自乗距離の調和平均、
2行目：n次元単体の(n+1)通りある対面からの距離の調和平均、とします。とりあえず、頂点からでは違うようです。）

単体の対面からの距離の(絶対値or自乗の)逆数の総和の逆数（以下、単に(絶対or自乗)調和、もしくはsum of harmonicsとかと呼ぶ）（ちなみに、harmonic sum=1+1/2+1/3+…っぽい）
の振る舞いを考えると、とりあえずどこでも非負で、どこかの対面平面上で一つでも0があれば0、距離が全部無限になるなら無限大となる、みたいな性質のようです。

交互に無限に繰り返す系の 算術調和平均や調和算術平均（違うのか）とかは、n次元単体で言えば重足逆垂足単体収束点や逆垂足重足単体収束点となるのか？そもそも逆垂足単体収束点は逆垂心ではない気が…
たぶんn次元単体の六心目までは幾何平均（相乗平均）と相性は悪そうですが、(k+1)次元面単体への垂足がその内心となる感じのk次元面心で使えないかな、ダメだろうな。

垂足三角形とその周辺の話題
http://komurokunio-id.hp.infoseek.co.jp/index3.html

四面体との類似と相違
http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/triangle/node7.html

X(6) = SYMMEDIAN POINT (LEMOINE POINT, GREBE POINT)
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
および http://mathworld.wolfram.com/SymmedianPoint.html より、
逆垂心 ⇔ lemoine-symmedian center、逆垂足単体 ⇔ symmedian pedal simplex などと対訳する。

>>303-304あたりをちゃんと書くと、アフィン独立なm×(n+1)位置行列\Pで表されるm次元ユークリッド空間内のn次元単体A^nについて、
正方行列\Xの対角成分のみの対角行列を\Σ[\X]、\Xの[j,i]小行列の全ての余因子を総和した値を[j,i]成分に持つ行列を余因子総和行列\~C[\X]とすれば、
原点からA^nの逆垂心への位置ベクトルは\p_{/H} = (\P \Σ[\~C[\P^T \P]] \1) / (\1^T \Σ[\~C[\P^T \P]] \1)とも書ける、という感じです。これは、
原点からA^nの内心への位置ベクトル\p_I = (\P \Σ^(1/2)[\~C[\P^T \P]] \1) / (\1^T \Σ^(1/2)[\~C[\P^T \P]] \1)と式形が似ています。
また、内接半径はr_I = (\1^T \C[\P^T \P] \1)^(1/2) / (\1^T \Σ^(1/2)[\~C[\P^T \P]] \1)、（ただし、\C[\X]は\Xの余因子行列）
逆垂半径はr_{/H} = ((\1^T \C[\P^T \P] \1) / (\1^T \Σ[\~C[\P^T \P]] \1))^(1/2)と書けて、辺乗行列\Bで表してもこれと同様の式となります。

ちなみに、重心 ⇔ centroid、分積座標 ⇔ barycentric coordinates、角心 ⇔ fermat-torricelli center などとも対訳します。なお、
2次元単体（三角形）の重中0次元面接（外接）超楕円はhttp://mathworld.wolfram.com/SteinerCircumellipse.html、
2次元単体（三角形）の重中1次元面接（内接）超楕円はhttp://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html、
として既にあり、性質も拙稿のn次元単体の重中k次元面接超楕円のn=2でk=0,1のときと同じようなので安心しました。

>>305-306 についてですが、n次元単体の逆垂心は単純に、n次元単体の(n+1)通りある対面からの距離の自乗算術平均が最小となる点でした。
証明は、n次元単体の各i垂線を\h_iとすれば、各i対面への距離が j_i である任意の分面心に対して、
その分面心でｎ次元単体を分けた各i分積の総和が単体の超体積となることより \sum_{i=0…n} (j_i / √(\h_i^T \h_i)) = 1 なので、
n次元単体の(n+1)通りある対面からの距離の自乗算術平均は r'_{/H}^2 = (\sum_{i=0…n} j_i^2) / (n+1) と書け、
ラグランジュの未定乗数法より f_{/H} = r'_{/H}^2 + λ (- 1 + \sum_{i=0…n} (j_i / √(\h_i^T \h_i)) ) を最小化する各 j_i の組（分面座標）を求める問題に帰着できる。
これより、f_{/H}が各変数j_iについて下に凸な放物線であるので、i成分にj_iを持つベクトル \j で f_{/H} を微分した値が\0になる \j のとき、この制約下でr'_{/H}^2も最小値となる。
計算すると、f_{/H} が最小となるとき \j = [1/√(\h_0^T \h_0), …, 1/√(\h_n^T \h_n)]^T / (\sum_{i=0…n} (1 / (\h_i^T \h_i))) であり、そのときのr'_{/H}^2の最小値
r_{/H}^2 = min[r'_{/H}^2] = (1/(n+1)) / (\sum_{i=0…n} (1 / (\h_i^T \h_i))) となる。これより、 >>304 のr_{/H}について√(n+1)で割ったものを新しく逆垂半径と訂正する。

つまり、以上より、逆垂超球は、n次元単体において各i対面からの距離を用いた最小自乗法による超球当て嵌めであると言える。
そのときの実際の距離とのずれである逆垂偏差は ε_{/H} = √(\sum_{i=0…n} (j_i - r_{/H})^2 ) / (n+1) = r_{/H} √(2 (1 - (r_{/H}/r_I)))
と書けそうである。このときの r_I はn次元単体の内接超球の半径であり、任意のn次元単体について常に r_I ≧ r_{/H} であることが計算するとわかる。

（訂正：>>309 下から2行目：ε_{/H} = √( (\sum_{i=0…n} (j_i - r_{/H})^2) / (n+1) ) = …）
>>309から(r_{/H}+ε_{/H} ≧) r_I ≧ r_{/H} ではあるようだが、直感的に r_G ≧ r_O (≧ r_G-ε_G) とも言えそうである。
ちなみに対訳は、S_G (r_G・ε_G) ： 重均超球（半径・偏差） ⇔ Centroid Least-Square Hypersphere(Circum-radius・Circum-deviation)
S_{/H} (r_{/H}・ε_{/H}) ： 逆垂超球（半径・偏差） ⇔ Symmedian Least-Square Hypersphere(In-radius・In-deviation) のようにしたい。

以上より、n次元単体における重均半径r_G・逆垂半径r_{/H}・内接半径r_I・広義傍接半径r_{J_j}・k次元面接半径r_{K_k}・外接半径r_Oには下式の関係があると思われる。
(r_{J_{1…(2^n -1)}} >> ) r_G ≧ r_O = r_{K_0} ( > r_{K_1} > … > r_{K_{n-2}} > ) r_{K_{n-1}} = r_{J_0} = r_I ≧ r_{/H}
あとは、重中k次元面接超楕円のn本ある半径の長さr_{i G_k}の自乗算術平均 √((r_{1 G_k}^2+…+r_{n G_k}^2) / (n+1))でもr_{K_k}に関係してくれたら嬉しいのだが。

sage

コレは数学の話なんだし、無理してsageんでもエエがな！

（訂正：>>310 下から1行目：自乗算術平均 √((r_{1 G_k}^2+…+r_{n G_k}^2) / n)でもr_{K_k}に）

>>312 猫先生、このスレでははじめまして！見つけてもらってしまった感じで、ありがとうございます！
僕は、2ちゃんねるの読み書きに2ch専用ブラウザJaneDoeView( http://www.geocities.jp/jview2000/ )
というのを使ってるんですが、これに限らず専ブラってのは なぜかデフォルトでメール欄にsageが入ってるようで、
あまり意識しないで書くときが多いので基本sage進行になってました…これから、意識してageageでいきますね。

そういえば、この前2ヶ月以上くらい書き込むの忘れてたら、スレ番号最後の方でスレ落ちかかっててビックリしました。
このスレでやってる分野は、数学の話といっても、まだ先人も見つけられず、あまり流行ってないのかなぁーとか思って、
あまり話しかけてももらえずに、まったりやっておりました。でも今、猫先生にカキコしてもらえてとても嬉しいです！
ちなみに、>>311 は自分でageテストやってました。ちょうど >>310 で区切りがついてネタも尽きてしまった感じだったので…ネーター環

（訂正：>>310 上から2行目：直感的に (r_G+ε_G ≧) r_O ≧ r_G とも言えそうである、
下から2行目：r_O = r_{K_0} ≧ r_G ( > r_{K_1} > … > r_{K_{n-2}} > ) r_{K_{n-1}} = r_I ≧ r_{/H} ）

訂正の件ですが、n次元単体において 各i点からの距離の自乗平均の最小値となるのが重均半径であるので、
min[ (\sum_{i=0…n} (\p_i - \p_X)^T (\p_i - \p_X)) / (n+1) ] = (\sum_{i=0…n} (\p_i -\p_G)^T (\p_i - \p_G)) / (n+1) = r_G^2
という式が成り立ち、これを外接半径にあてはめれば、(\sum_{i=0…n} (\p_i - \p_O)^T (\p_i - \p_O)) / (n+1) = r_O^2 ≧r_G^2
なので、任意のn次元単体で r_O ≧ r_G でした。これより、n次元単体の内部点からk次元面への距離の自乗平均の最小値を
r_{G_k}および偏差をε_{G_k}とでもすれば、(r_{K_{k-1}} > ) r_{G_k}+ε_{G_k} ≧ r_{K_k} ≧ r_{G_k} ( > r_{K_{k+1}}) と思いました。

このように、距離の自乗平均最小値はとてもいい性質を持つので、r_{G_k}をk次元面均半径と呼ぶことにし、
そのときの中心を k次元面均心（それへの位置ベクトル\p_{G_k}）とでもすれば、重心は0次元面均心で外均心？で
逆垂心は(n-1)次元面均心で内均心か？これが、k=1…(n-2)のときに唯一つに定まるかとか対訳も含めて考え直します。

ちなみに、r_I ≧ r_{/H} が任意のn次元単体の辺乗行列 \Bで成り立つことも考えれば、対角成分が0の任意の対称行列 \B について
((n+1) / (\1^T \Σ^(1/2)[ \C[- \B] ] \1))^2 ≧ (n+1) / (\1^T \Σ[ \C[- \B] ] \1)) という、自乗算術平均が絶対算術平均より大きい
というよく見る式（上の実際の式ではその2乗の逆数を比べている）が成り立つ。驚くのは、r_O ≧ r_G にこの方法を用いたときで、
対角成分が0の任意の対称行列 \B について det[- \B] / (\1^T \C[- \B] \1) ≧ (\1^T \B \1) / ((n+1)^2) という公式が成り立つ
と思う。n次元単体の外接半径が r_O = √(det[- \B] / (\1^T \C[- \B] \1)) と表せるかは、まだちゃんと証明してないんだけど…

（訂正：>>314 対角成分が0で「行列式が0とならない」任意の対称行列 \B について det[- \B] / (\1^T \C[- \B] \1) ≧ (\1^T \B \1) / ((n+1)^2) } ）
r_Oの\Bを使った表記（ここでは辺乗表記と呼んでいる）は、n次元単体の外心からi対面への垂足がそのi対面の外心になることを使った気がしましたよ＞俺

今日は特にネタはない

数学者というもの、ネタが無いと辛いですね、判ります。
まあそやけど「そういう日」もある訳で、そんな時は
散歩でもしはったらどうでっしゃろ？
ワシも今日はちょっと疲れてしもうてですナ
まあちょっと電車に乗って遊びに行こうかと
思ってますねん
ちょっと遠くまで行くと魚が美味いっちゅう話も聞きましたしね

そんで「５心」ですが、猫は今ある人と一緒に重心で遊んでますよ

>>317 ご心配ありがとうございます(TT) この頃、新しく何かひらめかないと、手詰まりでネタ無しで辛いです。
散歩いいですよね。私も考え事しながら、半径2mくらいでひたすらグルグル歩き回ってるときがあります（謎）
猫先生に判るって言ってもらえて嬉しいです！魚いいですね、海とかこの時期は人魚さん達がいらっしゃ…
川とか当県の近くに来たときは是非お声をお掛けくださいね。私は超インドア派なのであまり詳しくないですが…

「５心」やってるんですか！？重心は、n次元単体内の各k次元面に接する超楕円面のとき、すごくお世話になったので、
５心の中では一番好きです。猫先生が重心で遊ぶなんておっしゃられると、かなりものすごい事やってそうで恐ろしいですっ
もしよろしければ、お話とか聞かせて頂けると、とてもありがたいです。むしろ、是非よろしくお願いしますm(_ _)m

対訳の方向性が定まりました。面均をFacetargetedに対訳しようと目論見ました。

外心・外接超球（面）(Circumcenter・Circumscribed Hypersphere)
k次元面心・面接超球（面）(Constrained k-Facescribed　Midcenter・Hypersphere)
内心・内接超球（面）(Incenter・Inscribed Hypersphere)

重心・重均超球（面）(Centroid・Centroid 0-Facetargeted Hypersphere)
k次元面均心・面均超球（面）(Least-Square k-Facetargeted　Midcenter・Hypersphere)
逆垂心・逆垂超球（面）(Lemoine-Symmedian Center・Symmedian (n-1)-Facetargeted Hypersphere)

それぞれの半径や偏差の対訳は、Circum-・Mid-・In-とradius・deviationを組み合わせた名前で、上の適な場所を
置き換える感じで。あと、珍しいところでは、重中k次元面接超楕円（面）(Centroid k-Facescribed Hyperellipse)とか。

m次元ユークリッド空間内の n次元単体の k次元面均心について、ひらめきました。
まず、k次元面均心\p_{Φ_k}=\P \a_{Φ_k} (ただし、\1^T \a_{Φ_k} = 1)からあるk次元面Φへの垂足\p_Φについて、
k次元面の内部点\p_Φの単体座標値の(n-k)個が0となることから、ΦからΦに含まれる点以外のi点への垂線\h_{i←Φ}を使って、
\p_{Φ_k} - \p_Φ = \sum_{i \not\in Φ} \h_{i←Φ} a_{i Φ_k} が成り立つ。ここで、n次元単体のk次元面全ての集合を\Φとする。

これまでの、自乗算術平均が最小になる条件をふまえると、n次元単体におけるk次元面Φからk次元面均心\p_{Φ_k}への垂線のΦ全ての和が
ゼロベクトル\0になると考えられる。つまり、\sum_{Φ \in \Φ} (\p_{Φ_k} - \p_Φ) = \sum_{Φ \in \Φ} \sum_{i \not\in Φ} \h_{i←Φ} a_{i Φ_k}
= \sum_{i=0…n} \sum_{Φ \in \Φ, Φ \not\ni i} \h_{i←Φ} a_{i Φ_k} = \0 となると予想できる。

上式は、\h'_{iΦ} = \sum_{Φ \in \Φ, Φ \not\ni i} \h_{i←Φ} と書けば、[\h'_{0Φ},…,\h'_{nΦ] \a_{Φ_k} = H'_Φ \a_{Φ_k} = \0 となる
ということを表している。以上より、コンピュータで地道に計算して出るn階(n+1)×(n+1)行列 H'_Φ に垂直で \1^T \a_{Φ_k} = 1
となる座標ベクトル\a_{Φ_k} を一意に求めることができて、k次元面均心\p_{Φ_k}=\P \a_{Φ_k} を導出できるという方向性が見える。
今後は、i点以外のk次元面Φからi点への垂線を全てのΦについて平均したベクトルを列挙した行列 H'_Φ をきれいな式にして、完全に解きたい。

（訂正：>>320 下から4行目：[ \h'_{0Φ}, …, \h'_{nΦ} ] \a_{Φ_k} = H'_Φ \a_{Φ_k} = \0、下から2行目：n階m×(n+1)行列 H'_Φ）
>>320 を次のように書き換えます。まず、n次元単体における全てのk次元面の集合を{φ}とし、{φ}の元である あるk次元面をφで表す。
すると、k次元面均心\p_{Φ_k}=\P \~a_{Φ_k} (ただし、\1^T \~a_{Φ_k} = 1)からφへの垂線\r_φと垂足\p_φについて、
φに含まれないi点からφへの垂線 \h_{i→φ} = ([\p_i, \P_φ] \~C[[\p_i, \P_φ]^T [\p_i, \P_φ]] \~e_0) / (\~e_0^T \~C[[\p_i, \P_φ]^T [\p_i, \P_φ]] \~e_0)
（ただし、\P_φはk次元単体φの部分だけのm×(k+1)位置行列）を使って、\r_φ = \p_φ - \p_{Φ_k} = \sum_{i=0…n, i \not\in φ} \h_{i→φ} ~a_{i Φ_k} が成り立つ。

【たぶん、\r_φの自乗算術平均が最小値 r_{Φ_k} = min[√(\sum_{φ \in {φ}} \r_φ^T \r_φ) / (_(n+1) C_(k+1)))] となるとき、\sum_{φ \in {φ}} \r_φ = \0 となるので、】
\sum_{φ \in {φ}} \r_φ = \sum_{φ \in {φ}} \sum_{i=0…n, i \not\in φ} \h_{i→φ} ~a_{i Φ_k} = \sum_{i=0…n} \sum_{φ \in {φ}, φ \not\ni i} \h_{i→φ} ~a_{i Φ_k} = \0
、ここで、i点からi点を含まない全てのφへの垂線の平均ベクトル（以下、k次元i垂均）\h'_{iΦ_k} = (\sum_{φ \in {φ}, φ \not\ni i} \h_{i→φ}) / (_n C_(k+1)) を考え、
\~e_j^T \~Φ_k \~e_i = \~e_j^T [[j ≠ i] \sum_{φ \in {φ}, φ \ni j, φ \not\ni i} (-1)^(i+j) (\1^T \C[\underset{(\p_j ← \p_i)}{\P_φ}^T \P_φ] \1) / (\1^T \C[\P_φ^T \P_φ] \1)
/ (_n C _(k+1) or [j=i] 1] \~e_i となる(n+1)×(n+1)の面因子平均行列 \~Φ_k を導入すれば、k次元垂均行列 H'_{Φ_k}= [\h'_{0Φ_k},…,\h'_{nΦ_k}] = - \P \~Φ_k と書けることから、
\sum_{φ \in {φ}} \r_φ = H'_{Φ_k} \~a_{Φ_k} = - \P \~Φ_k \~a_{Φ_k} = \0 が成り立つ。

以上をふまえれば、m次元ユークリッド空間内のn次元単体において、(_(n+1) C_(k+1))通りあるk次元面からの距離の全ての自乗算術平均が最小となる点、すなわち
k次元面均心 \p_{Φ_k} = \P \~a_{Φ_k} を導出するには、面因子平均行列 \~Φ_k を計算し、\~Φ_k \~a_{Φ_k} = \0（ただし、\1^T \~a_{Φ_k} = 1）となる\~a_{Φ_k}を求めればよいことがわかる。

m次元ユークリッド空間内の n次元単体の k次元面心について、ひらめきました。
>>321 と同様に、n次元単体内のあるk次元面をφ、φに含まれないj点とφで作られる(k+1)次元面をjφで表す。
すると、k次元面接超球が存在するためには、k次元面心\p_{K_k}=\P \~a_{K_k} （ただし、\1^T \~a_{K_k} = 1）から
jφに下ろした垂線\r_{jφ}の垂足がjφの内心となり、\p_{K_k}からφに下ろした垂線\r_φの垂足が jφの内足となることが
必要十分条件であるので、\r_{jφ}-\r_φ = (\P_{jφ} \~C[\P_{jφ}^T \P_{jφ}] \~e_0) / (\~e_0^T \~C[\P_{jφ}^T \P_{jφ}] \~e_0) ε_{jφ}
（ただし、ε_{j/jφ} = √(\~e_0^T \~C[\P_{jφ}^T \P_{jφ}] \~e_0) / (\1^T \Σ^(1/2)[ \~C[\P_{jφ}^T \P_{jφ}] ] \1)）が成り立つ。

この式の、\p_jの単体座標について比べると、\p_{K_k}からφへの垂足の\p_{K_k}+\r_φでは0、\p_{K_k}からjφへの垂足の\p_{K_k}+\r_{jφ}では
\sum_{i \not\in φ} (-1)^(i+j) (\1^T \C[\underset{(\p_j ← \p_i)}{\P_{jφ}}^T \P_φ] \1) / (\1^T \C[\P_φ^T \P_φ] \1) ~a_{i K_k} = \~e_j^T \Φ_(k+1) \~a_{[\not\in φ]K_k}
（このとき、\Φ_(k+1)を面因子行列と呼ぶ）であるため、\r_{jφ}-\r_φの\p_jの単体座標について \~e_j^T \Φ_(k+1) \~a_{[\not\in φ]K_k} = ε_{jφ}
と書ける。これは、【k次元面心の単体座標\~a_{K_k}の部分について全てのφで \Φ_(k+1) \~a_{[\not\in φ]K_k} = \ε_φ】が成り立たなければならない
制約を表している。この式の平均は、前述の(k+1)次元面因子平均行列 \~Φ_(k+1) を用いて、\sum_{jφ \in {jφ}} \Φ_(k+1) \~a_{[\not\in φ]K_k} =
\~Φ_(k+1) \~a_{K_k} = \~ε_φ（ただし、~ε_{jφ} = (\sum_{φ \in {φ}, φ \not\ni j} ε_{jφ})/(_n C_(k+1))である？）と書ける気がするので、
前述の(k+1)次元面均心と 存在するならこのk次元面心は違う点となると思う。（分母の係数が前述の面因子平均行列とあってないかも）

さて、心はいい行列が見つかって良かったが、それぞれの半径はどうなることやら…

（訂正：>>320 上から8行目：\sum_{i \not\in φ} (-1)^(i+j) (\1^T \C[\P_{iφ}^T \P_{jφ}] \1) / (\1^T \C[\P_{jφ}^T \P_{jφ}] \1) ~a_{i K_k}
= \~e_j^T \Φ_(k+1) \~a_{[\not\in φ]K_k} （以下、>>281の記法もふまえたい。））お、おかしいぞ、半径がきれいな式になる気が全くしない…

m次元ユークリッド幾何学スレまとめ＠ウィキ 「使用する用語」
http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/51.html
に、そのウィキやこのスレで使っている単体五心関係の用語と式などを少しまとめてみました。

内積・外積の逆演算を考えよう。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1045048250/
の問題は解けそうなので、紹介します。

１：ユークリッド空間内で、ベクトル集合 \L = [\l_1,…,\l_n] と位置ベクトル \a の内積値が一定値 \b となるとき、点 \a の存在する空間を求めよ（内積の逆演算？）。
\L^T \a = \b より、\L = \S \Σ \A^Tと特異値分解されるときの\Lのムーアペンローズ型擬似逆行列\L^†の転置行列 \L^‡ = \S \Σ^(-1) \A^Tを用いて、
拡大係数行列[\L^T, \b]の次元が係数行列\L^Tの次元と等しい場合（以下、u[\L^T, \b]=u[\L^T]と書く） \a = \L^‡ \b + (E - \L^‡ \L^T) \α
（ただし、\αは任意の実ベクトル）と書ける。これは、u[\L^T, \b] = u[\L^T]なら、位置ベクトル\aで表される点は、原点から \L^‡ \b の場所を通り
(E - \L^‡ \L^T)で張られる\Lの直交補空間上に存在すると言える。また、u[\L^T, \b]≧u[\L^T]となる場合は、この式を満たす\aは存在しないことは自明である。
（ちなみに、このスレでは \L \a = \b すなわち\bを表す【基底】\Lの座標 \a を求める問題があり、u[\L, \b] = u[\L]のとき\a = \L^† \b = (\L^T \L)^(-1) \L^T \b とか使った）

とここまで書いて、この問題についてはこのスレで前に言及したような記憶があり、\l_1のみでの略解も上記スレの100にもあったのに気付いた。
外積の逆演算はn次元拡張しても直交補空間ですで終わる話だと思たので、もう一つスレ紹介↓

楕円→放物線→双曲線の順は正しいのか
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247644637/
のスレの6さんが言うとおり、傾いた円の透視投影において その円の半径を無限小から無限大へ増やしていけば、
透視投影される像の二次曲線が 円 楕円 放物線 双曲線 直線 の順に変化することが、そのシステムにおいては想像できる。
しかし、二次曲線を一般化した f_Q = \p^T \Q \p + 2 \p^T \q_y + \q_{yy} = 0 で表される二次超曲面を平面で切った形を考えると、
その平面の基底における二次係数 \Q の固有値については 楕円・双曲線は2個 放物線は1個であるので、これらは違う形といえる。
私的な考えでは、二次超曲面をn次元平面で切った形の分類において、http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2
を参考に、放物軸…あ、バイト数が

（訂正：>>325 上から約8行目：u[\L^T, \b]＞u[\L^T]となる場合は、この式を満たす\aは存在しない）

>>322 のk次元面心は、全てのφにおいて \~Φ_(k+1) ↓{[\not\in φ]}{\~a_{K_k}} = ↓{[\not\in φ]}{\~ε_{φ k}}
となる場合に限り、\p_{K_k}=(\P \C^T[\~Φ_(k+1)] \~1) / (\~1^T \C[\~Φ_(k+1)] \~1) + \P \~C^T[\~Φ_(k+1)] \~ε_k
と位置ベクトルが書けそうです。>>321 のk次元面均心は、\p_Φ_k = (\P \C^T[\~Φ_k] \~1) / (\~1^T \C[\~Φ_k] \~1)
と位置ベクトルが書けそうです。>>324 のページで式の形が画像で見れると思いますので、良かったらどうぞー

今回、k次元面心・面均心の式の形の方向性が見えた（それぞれの半径の導出は今はあきらめました）ということで、
重心＝第1心、（広義）垂心＝第2心、内心・広義傍心＝第3心、k次元面心＝第4心、外心＝第5心、角心＝第6心とし
（たぶん明示的に使うことはないですが…）、来週は角心(Fermat-Torricelli Center)について思い当たってることを解決したいです。

アフィン独立なベクトルを列挙した\Pの擬似逆行列の転置行列\P^‡と正射影行列を絡めて考えてたら、
任意の正方行列\Xの行列式|[\X]|・余因子行列\C[\X]・余因子総和行列\~C[\X]に対して、
\Pが線型従属の場合 \P^‡ = \P (\~C[\P^T \P]) / (\1^T \C[\P^T \P] \1)となりそうなんですが、

\Pが線型独立の場合 \P^‡ = \P ((\C[\P^T \P] \1 \1^T \C[\P^T \P]) / |[\P^T \P]| + \~C[\P^T \P]) / (\1^T \C[\P^T \P] \1)
= \P \C[\P^T \P] / |[\P^T \P]| = \P (\P^T \P)^(-1) となると思うので、任意の正則対称行列\Xに対して
\X^(-1) = \C[\X] / |[\X]| = ((\C[\X] \1 \1^T \C[\X]) / |[\X]| + \~C[\X]) / (\1^T \C[\X] \1)となり、たぶん

任意の正則行列\Xに対して \C[\X] \1 \1^T \C[\X]^T = \C[\X] (\1^T \C[\X] \1) - \~C[\X] |[\X]| でも成り立って、
\X^T \~C[\X] + \1 \1^T \C[\X]^T = \C[\X] \1 \1^T + \~C[\X]^T \X = \E (\1^T \C[\X] \1) っぽくなりそうです。
果たしてどうなんでしょうか？対称行列×違う対称行列は 普通は対称行列にならないっぽい！ご意見お待ちしておりますー

m次元ユークリッド空間内でｎ次元単体の位置行列を\Pとし、
n次元単体があるn次元部分空間上の点への位置ベクトルを\p_Xとすれば、
>>328より、\P^T \p_X = \~b_X となるとき、 \p_X = \p_y + \P^‡ \~b_X と書ける
（ただし、原点からn次元部分空間\p_y=(\P \C[\P^T \P] \1) / (\1^T \C[\P^T \P] \1)）。
しかし、\p_X = \p_y + \P^‡ \~b_X であっても、\P^T \p_X が \~b_X となるとは限らない、と思う。
ということで、\p_X = \p_y + \P^‡ \~b_X となる \~b_X を辺乗座標(Half-squared Edge Coordinates)と呼ぶ。

ある点への辺乗座標が\~b_Xと書けるなら、\P^T \P^‡ \~b_Xもまたその点への辺乗座標である。また、位置行列\Pに対し、
(\P^T \P \~C[\P^T \P] \P^T \P) / (\1^T \C[\P^T \P] \1) = \P^T \P - (\1 |[\P^T \P]| \1^T) / (\1^T \C[\P^T \P] \1)
という式も成り立つ。と思った。

φは空集合だと思われるといけなかったので、表記をいろいろ変えました↓
単体導入 > 使用する用語
http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/51.html

平石司さん『高次元単体の諸心』
http://homepage2.nifty.com/hiraishi-tsukasa/Folder_SimplexesOfHighDimensions/SimplexesOfHighDimensions.htm
のページにn次元単体の五心の性質から、三角形における九点円をn次元単体へ拡張したｐ次の面重心球面、
および、任意のn次元単体に存在するｐ次の面重心球面の中心に相当する「究点」という新しい概念など、
非常に素晴らしくまとまっており、私的にも「究点」を方向表記で導出し確認できたので、ここでも紹介します！

平石さんにはとてもお世話になっており、大変ありがたく思っております！

@ウィキのほうのトップページ/メニューでライセンスの項目を
-#image(http://i.creativecommons.org/l/by-nc/2.1/jp/88x31.png,http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.1/jp/)
-This Work by 132人目の素数さん is licensed under a [[Creative Commons 表示-非営利 2.1 日本 License>http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.1/jp/]]
+#image(http://i.creativecommons.org/l/by-nc/3.0/88x31.png,http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/)
+This Work by １３２人目の素数さん・他 is licensed under a [[Creative Commons Attribution-Noncommercial 3.0 Unported License>http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/]].
と変えました。英語論文はneetubot名義のCC-by-ncでいきたいのと2chだしncかなってのをふまえてます。

たけしのコマ大数学科　Part11
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1243708405/568-600
の番組を見て、「m次元ユークリッド空間内のn次元部分空間にある(n+1)個のn次元超球体の全てに接する超球の分類」
について、「m=n=2で一直線上に無く互いに重ならない3個の円の全てに接する円は8通りある」らしいようなこと言ってました。

この問題をこのスレっぽく言えば、「U^m内のn次元単体のi-頂点からの距離がそれぞれ(r±ε_i)となる分点心と
そのときのrの組を求めよ」って感じだと思うのですが、この場合、内分点心と外分点心のうちどちらかしか満たさない
（かどちらも一致する）ような気がしますし、最高で広義傍心系の2倍の2^(n+1)通り求まる気がしますが、うーん…
（たぶん、この解があれば、n次元音源位置推定で時間測定誤差があるとき、音源が存在しうる位置の範囲が求められる）

「m=n=2で一直線上に無く互いに重ならない3個の円の全てに接する円は8通りある」

配置による。
８通りあるためにはどの１つの円と他の２つの円との間に
円に接さない直線で境界が引ける程度に各円が離れている必要がある。

>>335さんフォローありがとうございます！コマ大スレで議論が行われてるようですが、>>335さんの条件に同意です。
2つの円に内接しもう1つの円に外接する円っぽい場合には8通り無い状況が私も想像でき、>>334ではダメなことがわかりました。

この接する円がなくなる場合には、漸近線が直交する双曲線として接しているという状態なのか、とかにも興味がありますし、また、
この条件をn次元に拡張したような「U^mでn次元単体を作る(n+1)点のうち、(k+1)点を選んで作られる k次元部分単体(m≧n≧2, (n-1)≧k≧0)と
それに含まれない(n-k)点で作られる部分対面との間に 各i-頂点からの距離がそれぞれ(r+ε_i)となる部分境界(n-1)次元超平面があり
r＞0となるとき、部分単体の方に含まれるそれぞれのi-頂点を中心とし半径ε_iのn次元超球体の全てに内接し 部分対面の方に含まれる
それぞれのi-頂点を中心とし半径ε_iのn次元超球体の全てに外接するっぽい超球が必ず1つ求まる。」とかを言うためのn次元単体の
k次元部分境界(n-1)次元超平面~U_{ψ≠ψ}[\ε]とそのときのrを求めたいと思いました。このとき、n次元単体の~U_{ψ≠ψ}[\ε]
が2^n通り（∵部分単体と部分対面が逆の場合も同じ物なので）全部存在する場合に限り最高の2^(n+1)通りの接超球が求まるみたいな…

今後とも是非また宜しくお願い致します。

(n+1)個の超球の全てに内接する超球と関係するn次元部分単体のとき、および、
(n+1)個の超球の全てに外接する超球と関係する(-1)次元部分単体（便宜上0個の
点から作られる何も無い図形を表す）のとき（k=nのとき、および、k=-1のとき）を失念しておりました。

前者の部分境界超平面はn次元単体があるn次元部分空間の無限遠面全体(r→∞)と考えられるが、
(n+1)個の超球のうち1つが1つを内包してしまうときなどに全てに内接する超球（外接超球？）は存在しなくなる。
（各頂点から部分境界超平面への距離の間を他の超球面が横切ってはいけないなどの条件を加えればよいか…）
後者の部分境界超平面はn次元単体内部において各i-頂点からの距離がそれぞれ(r+ε_i)となる1点となり、
r>0なら全てに外接する超球（内接超球？）が存在する。（r=0のときは部分境界超平面と同じ1点に縮退する）

今日はAGEたい気分・・

そうでっか、AGEな気分でっか。
ワシなんかはEGAな気分やでー
IHESで買って来たヤツ全巻持ってるさかいナ。

アンタも読んでみはりまっか？

EGA・・江頭２：５０っすか！？　というのは冗談として、

Alexander Grothendieck 『Elements de Geometrie Algebrique』
http://people.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/pubtexts.php
のリンク先などでSGAもFGAもフランス語のpdfなら入手できそうですが、読めなそうなので、

【Motifs】グロタンディーク 8【Topos】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1149181307/
でも紹介されている、黒田貞玖作「EGA日本語翻訳計画」
http://grothende.gozaru.jp/の完成を待ちながら、入門から勉強したいと思います＞＜

猫先生はフランスのI.H.E.S（Institut des Hautes Etudes Scientifiques）
http://ja.wikipedia.org/wiki/IH%C3%89S
の研究所に行った事があるっすか！？　なんかすごい・・

と一通り調べないと話についていけなかった私です…今度メール返信でがんばりますっ

この聖書は絶対に翻訳するべきではない。
学ぶ者はフランス語の原典に当たるべき。

そもそも神が著わしたものに人間が手を加える
等は僭越至極なので、翻訳等は即刻止めるべき。

黒田貞玖さんの更新が滞っているようなのは、そういう理由なのかもしれません。
私のような門外漢には解説書ぐらいの勢いで原文＋対訳っぽい感じで何かあると
手が付けやすいのですが…確かに原典や原著をご存知の方から一手に非難を浴びそうですね。

自分で出来る範囲で何かアウトプットしたいという気持ちはすごく共感や好意が持てますし、
２ちゃんねるで言うところの改変コピペみたいなのはその分野をより多くの人に知ってもらう
ためなどに効果があると思いますが、やはり原著者に対する敬意やその分野への造詣や見識の
深さなどが求められるとこかもしれません。などとは私に言えることではありませんでした。ご容赦下さい。

ついでに保守。最近やる気でてない間も、＠Wikiの方には各所からお越し頂いていたようで、その節はどうもありがとうございます。
ここに質問など書いて頂いたら、できるだけ即レスします！

あけましておめでとうございますー　今年もよろしくお願いしますー

数学板では最近は四色問題が流行っているようで、じゃあ、
「(n-1)次元超球面（とそれをリーマン球面の考え方で変換できる(n-1)次元超平面）と同相な図形（単体的複体）は、
（その図形を単体分割すれば(n+1)面あるn次元単体に分割できることから、）たかだか(n+1)色で塗り分けられる」
とざっくり考えました。。あまり深く考えてませんが、みなさん、よい数学お年をー

　　 _,,....,,_　 ＿人人人人人人人人人人人人人人人＿
-''":::::::::::::｀''＞　ゆっくり幾何学していってね！！！　＜
ヽ:::::::::::::::::::::￣^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^￣
　|::::::;ノ´￣＼:::::::::::＼_,. -‐ｧ　　　　　＿_　　 _____　　 ＿_____
　|::::ﾉ　　　ヽ､ヽr-r'"´　　（.__　　　　,´　_,, '-´￣￣｀-ゝ 、_ イ、
_,.!イ_　　_,.ﾍｰｧ'二ﾊ二ヽ､へ,_7　　　'r ´　　　　　　　　　　ヽ、ﾝ、
::::::rｰ''7ｺ-‐'"´　 　 ;　 ',　｀ヽ/｀7　,'＝=─-　　　 　 -─=＝',　i
r-'ｧ'"´/　 /!　ﾊ 　ハ　 !　　iヾ_ﾉ　i　ｲ　iゝ、ｲ人レ／_ルヽｲ i　|
!イ´ ,' |　/__,.!/　V　､!__ﾊ　 ,'　,ゝ　ﾚﾘｲi (ﾋ_] 　　 　ﾋ_ﾝ ).| .|、i .||
`! 　!/ﾚi'　(ﾋ_] 　　 　ﾋ_ﾝ ﾚ'i　ﾉ　　　!Y!""　 ,＿__, 　 "" 「 !ﾉ i　|
,'　 ﾉ 　 !'"　 　 ,＿__,　 "' i .ﾚ'　　　　L.',.　 　ヽ _ﾝ　　　　L」 ﾉ| .|
　（　　,ﾊ　　　　ヽ _ﾝ　 　人! 　　　　 | ||ヽ、　　　　　　 ,ｲ| ||ｲ| /
,.ﾍ,）､　　）＞,､ _____,　,.イ　 ハ　　　　レ ル｀ ー--─ ´ルﾚ　ﾚ´

>>344 の(n-1)次元超球面と同相な複体表面の彩色問題については、
表面が全て(n-1)次元単体となる複体表面Aの場合を数学的帰納法で証明した後、
1点まわりの点全てがある(n-1)次元超平面上にあるとき この多胞体錐のまわり
が高々n色で彩色でき、Aの各部分で多胞体錐を取り除いた任意の複体表面も(n+1)色で
彩色できることを証明すればいいと思ったが、いろいろダメそうなので、
Hadwiger氏のように(n+2)完全グラフ以上が書けないことを証明した方がいいとも思った。

あと、２次元多様体の分類定理における全ての曲面の彩色問題について少し調べた所、
「ヒーウッドの公式について(http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/270_heawood.htm)」
あたりが詳しかった。射影平面とクラインの壺上では6色、トーラス上では7色必要らすぃ！！？？すげぇ

猫先生のどんな質問にもマジレスするスレ（弐）(http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262693441/)
の14でも触れましたが、改めてこのスレで下記の問題について解いていこうと思います。

「m次元ユークリッド空間内でn次元単体を作る(n+1)個の頂点列\P=[\p_0…\p_n]と
その単体の内部点\p_a=\P [a_0…a_n]^T (ただし、全てのa_i≧0, \sum_{i=0…n} a_i =1)があるとき、
頂点\p_iおよび\p_aを結ぶ直線と　\p_i以外の頂点で作られる(n-1)次元単体との　交点を\p'_iとすれば、
\p'_0…\p'_nで作られる内部n次元単体（Cevian Simplex）の超体積がこのとき取りうる値の範囲を求めよ。」

http://www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref&serial=37
>>347 のCevian Simplexを方向表記(Simplex Direction Formula 上図左)で表すと、
\l'_i=(\p'_i-\p_0)-(\p'_0-\p_0)=\L (\a (1/(1-a_i)-1/(1-a_0)) - \e_i (a_i/(1-a_i)))
と書けるため、\L'=\L (\a (\1-\a)^{-T} - \a/(1-a_0) \1^T - \Σ^{-1}[\1-\a] \Σ[\a])
と略記でき、|[\L'^T \L']| = |[\L^T \L]| ( |[\a […,1/(1-a_i)-1/(1-a_0),…]^T - \Σ[…,a_i/(1-a_i),…]]| )^2
となるため、http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemmaより、
√( |[\L'^T \L']| / |[\L^T \L]| ) = |-(1- […,1/(1-a_i)-1/(1-a_0),…]^T \Σ^(-1)[…,a_i/(1-a_i),…] \a)| |[\Σ[…,a_i/(1-a_i),…]]|
= |([…,1/(1-a_i)-1/(1-a_0),…]^T […,(1-a_i),…]-1)| (\prod_{i=1…n} (a_i/(1-a_i)))
= n \prod_{i=0…n} (a_i/(1-a_i)) ≧ 0 （条件より全て0≦a_i≦1であるため）が成り立つ。
この形から上限はa_0=…=a_n=1/(n+1)のとき、√( |[\L'^T \L']| / |[\L^T \L]| ) ≦ 1/(n^n)であると予想する（証明まだ）

http://www7.atwiki.jp/neetubot/?plugin=ref&serial=37
>>347 のCevian Simplex（以下、点足単体と呼ぶ）を位置表記(Simplex Position Formula 上図右)
で表すと、\p'_i=(\p_a-\p_i a_i)/(1-a_i)となるため、点足単体の位置行列は
\P'=\P \A' = \P (\a […,1/(1-a_i),…]^T-\Σ[…,a_i/(1-a_i),…])と書ける。

ここで、元の単体の超体積はv^n=√(\1^T \C[\P^T \P] \1)/(n !)であり、
点足単体の超体積はv'^n=√(\1^T \C[\P'^T \P'] \1)/(n !)=√(\1^T \C[\A']^T \C[\P^T \P] \C[\A'] \1)/(n !)
と表せることから、\C[\P^T \P]=\A' \X \A'^Tを代入することで v'^n = |( |[\A']| )| v^nが成り立つ。

したがって、|( |[\A']| )|はhttp://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemmaより、
|( |[\A']| )| = |( -(1-[…,1/(1-a_i),…]^T \Σ^{-1}[…,a_i/(1-a_i),…] \a) \prod_{i=0…n} (a_i/(1-a_i)) )|
= n |( Π_{i=0…n} (a_i/(1-a_i)) )| と解けるため、この問題は、\p_aが単体内部点となる条件の

「\sum_{i=0…n} a_i = 1 で全てのi=0…nに対し 0≦a_i（≦1） 」の範囲（単位単体内部条件）で
「v'^n/v^n = |( |[\A']| )| = n \prod_{i=0…n} (a_i/(1-a_i)) 」の値の範囲を求める問題に帰着できる。
この問題は、一見 相加相乗平均を使いそうだがうまくいかず、今 数学的帰納法で導出を試みている。

>>348>>349 のつづき。a_0+a_1=αのとき、\prod_{i=0…1} (a_i/(α-a_i)) =1である。
また、\sum_{i=0…(n-1)} a_i =αで \prod_{i=0…(n-1)} (a_i/(α-a_i)) ≦1/(n-1)^n
が成り立つと仮定したとき、\sum_{i=0…n} a_i =αとすれば \prod_{i=0…n} (a_i/(α-a_i))
…うーんダメだな。\prod_{i=0…n} ((1-a_i)/a_i)を展開して各項に相加相乗平均を使うか…

>>348>>349 のつづき。\sum_{i=0…n} a_i = 1 ≧ (n+1) (\prod_{i=0…n} a_i)^(1/(n+1)) = (n+1) x ≧ 0とおく。
同じく相加相乗平均を用いて、\prod_{i=0…n} ((1-a_i)/a_i)=(1-(Σ a_i)+(Σ a_i a_j)-…+(-x)^(n+1))/x^(n+1)
≧ (1 - (n+1) x + (n+1)C2 x^2 - (n+1)C3 x^3 + … +(-x)^(n+1))/x^(n+1) = ((1-x)/x)^(n+1)
ここで、仮定より0≦x≦1/(n+1)であり、この範囲で(1-x)/x=(1/x)-1は単調減少関数であるため、
\prod_{i=0…n} ((1-a_i)/a_i) ≧ ((1/x)-1)^(n+1) ≧ n^(n+1)
（等号成立条件は a_0=…=a_n=1/(n+1) のとき）となる。

よって、「\sum_{i=0…n} a_i =1 で全てのi=0…nに対し 0≦a_i（≦1）」の範囲（単位単体内部条件）で
>>347の解「0 ≦ v'^n/v^n = |( |[\A']| )| = n \prod_{i=0…n} (a_i/(1-a_i)) ≦ 1/(n^n)」が成り立ち、
超体積v^nの単体の内部ではその重心で作られる点足単体(Cevian Simplex)の超体積v^n/(n^n)が最大であることがわかった。
QED

次は、点足単体が元の単体と相似となる条件は \A'が全て等しい固有値を持つことなのかや、
点垂足単体の超体積が最大値をとる点（内心？）などを求めたいです。

点足単体(Cevian Simplex) http://mathworld.wolfram.com/CevianTriangle.html
点反足単体(Anticevian Simplex) http://mathworld.wolfram.com/AnticevianTriangle.html
点垂足単体(Pedal Simplex) http://mathworld.wolfram.com/PedalTriangle.html
点反垂足単体(Antipedal Simplex) http://mathworld.wolfram.com/AntipedalTriangle.html
垂足単体(Orthic Simplex) http://mathworld.wolfram.com/OrthicTriangle.html
について http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/51.html に追記しています。

位置行列\Pから点足座標行列\A'で点足単体\P \A'まで出るのはいいが、
点反足座標行列\A'^†で\P \A' \A'^† = \P \A'^† \A' = \Pとなるはずはない気がする、、

|[ \~A' ]| ≠ 0 だから普通に点足座標行列\~A'の逆行列\~A'^{-1}出ました。
点反足座標行列\~A'^{-1}=([…,(1-a_i),…] […,1/(n a_i),…]^T - \Σ[…,(1-a_i)/a_i,…])
でした。ちゃんと、(\P \A') \A'^{-1} = (\P \A'^{-1}) \A' = \Pで元の単体に戻ります。

点垂足単体の超体積が最大値をとる点はたぶん逆垂心だな。
と書こうと思って放置しとった。今までn次元単体のある内部点
を通して(n-1)次元単体面に作られる図形を点足単体と呼んでいたが、
これを拡張し、n次元単体の一内部点からk次元面に作られる図形を
「n次元単体のk次元点足（_(n+1) C_(k+1)点）複体P'_k」と呼ぶことにし以下に示す。
これで、高々(n+1)点（とその一内部点）が決まれば作れる複体の全てが表せることになる（と思う。）

次レスで0次元点足単体から簡単に定義できることを示すが、
あえてここで地道なn次元点足単体からの定義を示す。

まず、m次元ユークリッド空間内で原点からのアフィン独立な
位置ベクトル\p_0…\p_nが表す点が囲むn次元単体を
m×(n+1)行列 \P=[\p_0, …, \p_n] で表す。

ここで、n次元単体\Pの内部点を位置ベクトル \p_a = \P [a_0, …, a_n]^T = \P \a
（内部点なので、\sum_{i=0…n} a_i = \1^T \a = 1、全て a_i ≧ 0）で表すとき、
\Pの頂点\p_iから\p_aを通る直線と \p_i以外の頂点で作られる(n-1)次元単体面との
交点を\p'_{i (n-1)}すれば、全てのi=0…nの点\p'_{i (n-1)}で作られるn次元単体は
(n-1)次元点足複体 \P'_{(n-1)}=[\p'_{0 (n-1)}, …, \p'_{n (n-1)}] と書ける。

また、\p_0から\p'_1を通る直線と \p_1から\p'_0を通る直線の交点を計算すると
\p_2…\p_nで作られる(n-2)次元単体面上の点\p'_{j (n-2)}=\P [0, 0, a_2/(1-a_0-a_1), …, a_n/(1-a_0-a_1)]^Tとなる。
ここで、(n+1)個の成分のうち(k+1)個が1で残り(n-k)個が0の列ベクトルを
全て列挙した (n+1)×(_(n+1) C_(k+1))行列 \~E'_{C_k^n} を定義すると
（例えば、\~E'_{C_1^2} = [[1,1,0]^T, [1,0,1]^T, [0,1,1]^T]となる）、
n次元単体の全ての(n-2)次元単体面上で点\p'_{j (n-2)}のような(_(n+1) C_(n-1))点
\P'_{(n-2)}=[\p'_{0 (n-2)}, …, \p'_{(_(n+1) C_(n-1) - 1) (n-2)}]が計算でき、
この行列\P'_{(n-2)}で表される複体を(n-2)次元点足複体と呼ぶ。

上記のように(k+1)次元点足複体\P'_{(k+1)}が作られると仮定したとき、
例えば元のn次元単体のある頂点\p_i（i=(k+1)…(n+1)）と\p_0…\p_kで作られる
(k+1)次元単体面にある\P'_{(k+1)}の頂点を\p'_{i (k+1)}とすれば、
\p_iと\p'_{i (k+1)}を通る直線は全て\p'_{ j k}=\P [0, …, 0, a_(k+1)/(1-a_0…-a_k), …, a_n/(1-a_0…-a_k)]^T
で交わることがわかり「\P'_k = \P \Σ[\a] \~E'_{C_k^n} \Σ^{-1}[\~E'_{C_k^n}^T \a] = \P \A'_k」
が成り立つと言える。

この操作でk次元点足複体\P'_kを作りつづけると、1次元点足単体\P'_1は
元のn次元単体の頂点\p_iと頂点\p_jを結ぶ辺をa_j : a_iに内分する点が頂点
（全部で(_(n+1) C_2個）で、最後に0次元点足単体\P'_0は元の単体自体となる。

まず、m次元ユークリッド空間内で原点からのアフィン独立な
位置ベクトル\p_0…\p_nが表す点が囲むn次元単体を
m×(n+1)行列 \P=[\p_0, …, \p_n] で表す。

ここで、ある(n+1)個の定数a_0, …, a_nと添字i,j,l=0,…,nを用いて、
n次元単体\Pの頂点\p_iと頂点\p_jを結ぶ辺をa_j : a_iに内分する点
\p'_{t 1}の全ての組み合わせを頂点とする1次元点足（(_(n+1) C_2)点）複体\P'_1を作る。

次に、\Pの\p_iと\p_jと\p_lが作る三角形で、上記\p'_{t 1}と
\p_lの間をa_l : (a_i+a_j)に内分する点を\p'_{t 2}とすれば
（この\p'_{t 2}は、\p_jと\p_lをa_l:a_jに内分する点と \p_iを a_i:(a_j+a_l)に内分する点であり、
またこのとき、\p_lと\p_iをa_i:a_lに内分する点と \p_jを a_j:(a_l+a_i)に内分する点である）、
このような\p'_{t 2}の全ての組み合わせを頂点とする2次元点足（(_(n+1) C_3)点）複体\P'_2を作る。

上記のような計算操作で、n次元単体\Pの(k-1)次元点足複体が下式で決定されると仮定すると
「\P'_{(k-1)} = \P \Σ[\a] \~E'_{C_{(k-1)}^n} \Σ^{-1}[\~E'_{C_{(k-1)}^n}^T \a] = \P \A'_{(k-1)}」、
例えばこのn次元単体\Pの頂点\p_0…\p_{(k-1)}と \p_i（i=k…(n+1)）で作られるk次元単体面では、
\p_0…\p_{(k-1)}で作られる(k-1)次元単体面上に存在する\P'_{(k-1)}の頂点と
\p_iをa_i:(a_0+…+a_{(k-1)})で内分する点が\P'_kの頂点ということができ全ての組み合わせで
「\P'_k = \P \Σ[\a] \~E'_{C_k^n} \Σ^{-1}[\~E'_{C_k^n}^T \a] = \P \A'_k」と計算できる。

この数学的帰納法で次々に導出できるk次元点足複体\P'_kは、\P'_{(n-1)}=
\P (\a […,1/(1-a_i),…]^T-\Σ[…,a_i/(1-a_i),…])となりこれは確かに前述の(n-1)次元点足単体であり、
\P'_nを最後にむりやり計算すれば単体の内部点\p_a自体となることが導出できる。

以上より、n次元単体\Pが一つ決まれば、定数a_0, …, a_nの値によって、
0次元点足複体\P'_0（元の単体\P自体）からn次元点足複体\P'_n（単体内部点\p_a）まで
一意に決定され、これらのk次元点足（n次元(_(n+1) C_(k+1))点）複体は
n次元単体同様に使いやすく、超体積が簡単に導出できたり、
これら複体は常に外心などを持つなどの美しい性質が期待できる。

これらは、
分からない問題はここに書いてね３２７
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262413352/260
260 ：２５１：2010/01/16(土) 16:10:07
>>259
よく確認をしたら垂心の考え方を使って垂心ｈの位置ベクトルoh→を求める問題でした
ご迷惑おかけしました。 問題書き直しましたのでよろしくおねがいします

△abcでa,b,cの位置ベクトルをoa→、ob→、oc→
垂心をｈ、ahとbcの交点をdとすると
dはbcをtanc:tanbに内分する
またhはadを(tanb+tanc):tanaに内分する点だから（ここでどうしてこのような内分比になるか教えていただけませんか？）
oh→=tanaoa→＋tanbab→+tancoc→/tana+tanb+tanc

をn次元拡張して思いつきました。上の場合、ただの平面幾何ですが>>357>>358あたりをふまえれば
2次元単体（鋭角三角形とする）ABCの周囲をそれぞれtanb:tana・tanc:tanb・tana:tancに内分する点で作られる
三角形FDEが1次元点足（2次元3点）複体であり、AD・BE・CFをそれぞれ(tanb+tanc):tana・
(tanc+tana):tanb・(tana+tanb):tancに内分する点が一致し、それは2次元単体ABCと
定数a_0, a_1, a_2=tana/(tana+tanb+tanc), tanb/(tana+tanb+tanc), tanc/(tana+tanb+tanc)
の値によって作られる2次元点足（2次元1点）複体の単体内部点\p_aにほかならないと言えよう。
？計算いいのか？

さて、n次元単体\Pのk次元点足複体\P'_k = \P \Σ[\a] \~E'_{C_k^n} \Σ^{-1}[\~E'_{C_k^n}^T \a] = \P \A'_k
のn次元超体積は、k次元点足複体\P'_kの内部には必ずn次元点足複体\P'_n（単体内部点\p_a）
があるといえるので、\P'_kのそれぞれの(n-1)次元面と\P'_nで作られる複体錐を足し合わせることで
超体積求まると思いきや…4次元単体（五胞体）の1と2次元点足複体は↓なので、
http://en.wikipedia.org/wiki/Rectified_5-cell
4次元までは切頂で超体積求まるのか！？けっこう難しい…あと、外接超球面ではなく外接超楕円面の方が都合良さそう

m次元ユークリッド空間内でn次元単体\Pの定数a_0, …, a_nの値によって決まる
1次元点足複体\P'_1の超体積 v^n[\P'_1] は、\Pの超体積を単にv^nで表せば、
v^n[\P'_1] = ( 1 - \sum_{i=0…n} \prod_{j=0…n≠i} (a_j)/(a_i+a_j) ) v^n
と書ける、と感じた。これはnは2で1/4, 3で1/2, 4で11/16と、nが大きくなるにつれn次元単体に近づく（！？）
しかし、各頂点周りの単体を取り除く方法はこの1次元点足（n次元(_(n+1) C_2点）複体にしか使えないだろう。

>>361 の＞これはnは2で1/4, 3で1/2, 4で11/16と、nが大きくなるにつれn次元単体に近づく
のは、超体積が最大値をとると思われるa_0=…=a_n=1/(n+1)のときでした。

\sum_{i=0…n} a_i =1 で全てのi=0…nに対し 0≦a_i のとき、
F=\sum_{i=0…n} 2/( \prod_{j=0…n} (1 + a_i/a_j) ) ≧ (n+1)/(2^n)
（F≦1）を証明…できん…

>>362 \sum_{i=0…n} a_i =1 で全てのi=0…nに対し 0≦a_i とすれば、F_0=\sum_{i=0…n} 2/( \prod_{j=0…n} (1 + a_i/a_j) )
（算術平均≧幾何平均 より、） F_0≧2(n+1)/(( \prod_{i=0…n} \prod_{j=0…n} (1 + a_i/a_j) )^( 1/(n+1) ))=F_1
（1/(幾何平均)≧1/(算術平均) より、） F_1≧2(n+1)^(2n+3) / ( \sum_{i=0…n} \sum_{j=0…n} (1 + a_i/a_j) )^(n+1)
　=2(n+1)^(2n+3) / ( (n+1)^2 + \sum_{j=0…n} (\sum_{i=0…n} a_i/a_j) )^(n+1)=2(n+1)^(2n+3) / ( (n+1)^2 + (\sum_{j=0…n} 1/a_j) )^(n+1)=F_2
（仮定より、調和平均 \sum_{j=0…n} 1/a_j ≧ (n+1)^2 となるので、） F_2 ≦ (n+1)/(2^n) …えっ！？

ムリタポ…

前略、neetubotという猫先生の代理のものです。遅れましたが、代理でメッセージをお伝えします！

------------------------以下、猫先生からのメッセージ--------------------------

今ちょっとプロバイダーの問題でネットが止まっています。現在プロバイダーとやり取りをする
為に準備中で、一時的にネット接続が通っていますがまた直ぐに切れてしまいます。なので
２ちゃんへの書き込みが出来ません。

実はネット接続が切れたのは１月２０日（つまり昨日）の午前中で、明日の朝１０時にまたネット
の接続が切れてしまうそうです。私としてはきちんと話し合いをして状況を理解してから物事
に対して対応しようと考えていますので、取り敢えずは２ちゃんにはカキコはしない考えです。

とにかく何かとこの世は厄介ですが、毅然とした態度で臨む考えです。

取り敢えずは早急に何とかしてネット接続を確保してから事態を分析しなければならないので、
暫くは２ちゃんではROMになってしまう事を恐れますが、でも私がめげるという考えは皆無な
のでどうかご安心下さい。

なるべく早急に２ちゃんに復活してバリバリとカキコを開始したいと考えています。なので、
もし機会がありましたらこの「私のメッセージ」を２ちゃんの皆様にも貴方様からお伝え下さい。

敬具

猫は淫獣拝

２０１０年１月２１日

------------------------以上、猫先生からのメッセージ--------------------------

私も、猫先生のご復活を祈り、応援しております！かしこ！

さて、バカやってないでがんばるか…

m次元ユークリッド空間内でn次元単体のk次元点足複体の各頂点\P'からの
自乗距離が最小になる点は、他ならぬ\P'の重心\p_G[\P']=\P' \1 / (_(n+1) C_(k+1))である。
\P'にk次元外接n次元超楕円面が存在するとすれば、元のn次元単体と
点足単体のk次元外接n次元超楕円面の中心を考えれば、
\P'のk次元外接n次元超楕円面は\p_G[\P']が中心であると考えられる。
それをふまえて、次に、この\P'のk次元外接n次元超楕円面の半径行列を求める。

正確には、m次元ユークリッド空間U^m内の位置行列\P'で作られるn次元単体の（m≧n≧2）
内部点\p_aによるk次元点足複体\P'_kの（n≧k≧0）のk'次元面（n≧k'≧0）全てに
接する(n-1)次元超楕円面（たぶん、存在するとしたら重心を中心として全ての面の重心で接する）
なので、仮にn次元単体の k次元点足 重中 k'次元面接（(n-1)次元） 超楕円面S'_{A_k^k'}^(n-1)と呼…
誰の超スーパー必殺技だよｗ

まったく、もっとまともな議論をしたらどう？
猫とかに構っているとお粗末になるのか？

>>367 ん？はじめましてｗどんな議論がお望みですか？
猫先生に構ってなかった頃はお粗末ではなかった所までは読んでくれたんですか？
どこまで理解できてますか？

>>366 の2行目：k'次元表面
過去ログ見てたらすげぇいかれてるぜｗ 数学は楽しいなぁ
>>289 より、(n/n') Σ_{i=1…n'} (\p'_i - \p_Q) (\p'_i - \p_Q)^T = \R_Q \R_Q^T
までは見つけた。

>>366 の2行目：（(n-1)≧k≧0） （(n-1)≧k'≧0）
k次元点足複体\P'_k に対し、そのk'次元表面の重心全てを\P'_{a_k^k'}で表せば、
n次元単体のk次元点足重中k'次元面接超楕円面の半径行列\R_{a_k^k'}に対し、
\R_{a_k^k'} \R_{a_k^k'}^T = (n/n') Σ_{i=0…(n'-1)} (\p'_{i a_k^k'} - \p_G[\P'_{a_k^k'}]) (\p'_{i a_k^k'} - \p_G[\P'_{a_k^k'}])^T
= (n/n') \P'_{a_k^k'} (\E - (\1 \1^T)/(\1^T \1)) \P'_{a_k^k'}]^T = \P \X \P^T
となる。このサイクリックな式形からk'の値のみが違うこの超楕円面は全て相似になると推測する。厳密な計算はそのうち…

http://www.youtube.com/watch?v=xJMdAcPWs-c
http://www.youtube.com/watch?v=FRqJ2gZYBmA
http://www.youtube.com/watch?v=8gIP4FKjr9Q
http://www.youtube.com/watch?v=LVpydYb1B6E
http://www.youtube.com/watch?v=xJMdAcPWs-c
http://www.youtube.com/watch?v=qxWy19lQyLk
http://www.youtube.com/watch?v=z-SCVL3aZXg&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=-Tl23hSSiuA&feature=related

盛大にAKB48を誤爆しましたねｗ
誰が好きなんですか？言われてもわかりませんが。

k次元点足複体\P'_k に対し そのk'次元表面の重心全てを\P'_{a_k^k'}で表したとき、
\P'_{a_k^k'}の頂点の全てからの自乗距離が最小となる点\p_Xは、F'_G[\p_X]=
\sum_{i=0…n'-1} (\p'_{i a_k^k'}-\p_X)^T (\p'_{i a_k^k'}-\p_X) →最小となればよいので、
\p_X = \p_G[\P'_{a_k^k'}] = \p_G[\P'_k] であり、このときF'_G[ \p_G[\P'_k] ] = n' r_{a_k^k'}^2が最小値となる。

上記は、\P'_{a_k^k'}の全ての頂点は\p_G[\P'_k]からだいたい最小の自乗平均距離 r_{a_k^k'}
（統計学的に標準偏差も定義すれば r_{a_k^k'}±ε_{a_k^k'}）の位置にあると見込むことが出来る。
ということで、\P'_kの重心\p_G[\P'_k]を中心とし半径r_{a_k^k'}の超球を仮にk次元点足k'次元面重重均超球S_{a_k^k'}と呼ぶ。

点足複体の関係で美しい性質を持つと考えられる概念は今の所はこれぐらいです。不等式の玉手箱や〜

n次元単体\Pに対して（その同じ部分空間内の）点\p_a = \P \a（ただし、\1^T \a = 1）を使って
点足単体\P_A=\P \Aの点足単体\P \A \Aの点足単体\P \A \A …と無限回繰り返して
作られる点足無限単体は \P \A^∞ = \P \a \1^T と収束するはずなので、点足k回単体と同じ部分空間内の
どんな点\P \A^k \b / (\1^T \b)でも点足無限収束点は \P \a自身であると考えられる。

上記をふまえて、点反足k回単体 \P \A^(-k) に対してその同じ部分空間内の点\P \A^(-k) \b / (\1^T \b)
を定義したとき、点反足無限単体に対してこの点反足無限発散点\P \A^(-∞) \b / (\1^T \b)はどこに行くだろうか？
\A^Tを固有値分解（ひとつは固有値1に対する固有ベクトル\1とか）できれば求まる気がするんだけど…朝青龍…

↑はまだ計算できてはいませんが、\P \A^(-∞) \bは\P \a と \P \b が通る直線の無限遠点だと思います。
ところで、全てのn次元単体は、n次元正単体を剪断拡縮・回転・平行移動して作られることから、
このスレではその座標行列である(n+1)×(n+1)アフィン変換行列（群？）全体の性質を調べていたようです。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267096322/67
> http://anond.hatelabo.jp/20100226161245
> 数学的には何もない空間は何次元になるんですか

というとても興味深いレスを発見し、このスレでもどこかで便宜上-1次元を使った
記憶もありますが、１次元増やして計算する斉次座標系というかアフィン変換で
n次元部分空間というかm次元ユークリッド空間全体考える時に垂直で常に存在する虚軸を
一本入れて常に1次元増やした系で計算するとうまくいきそうで、今ちょうど計算してます。

ということで、上記の質問に関して、何次元だろうが何もない空間は普通にいくらでもありますが、
美しく考えるためにどうしても必要だと思われる-1次元単体というものが何を表しているか
という質問だと思えば、何もない空間か無限遠全体の空間か虚軸方向も入れて何か定義するか
、特に先行研究に思い当たる節がないので、今自分で考えるところです、みたいな感じです。

まぁ、みなさんは興味ないかもしれませんが、n次元単体の重中k次元面接超楕円面の証明に
オイラー公式やリーマン球っぽく個人的趣味でどうしても虚軸方向を加味したいので、
まぁ、うまくできたらUPします。実数体でなく複素数体で考えたら、頭がフットーしそうだよおっっ（

>>375 は別に虚軸じゃなくて、もととなるm次元ユークリッド空間の１軸からm軸まで
全てに垂直な実数の0軸を入れて考える、つまり、普通の斉次ベクトルで考えた方が、
複素数体に拡張するときにもいいと思うので、そうします。っていうかそっちのが計算しやすかった。
座標の斉次と違って計算に一時的にしか出てこないし、これが射影幾何学のように
分母になるための項だと言えるなら、そのときは私も斉次も同次も同じだと主張します。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1261794262/291
の二つの二次曲線の交点の問題ですが、二つの二次曲線をそれぞれ
線型化したときの係数ベクトルを \a=[a, b, c, d, e, f]^T, \a'=[a', b', c', d', e', f']と
すれば、二つの二次曲線両方の上に存在する点 \x=[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^T に
対し、次の自乗和の式 α(\a^T \x)^2 + α'(\a'^T \x)^2 がこのとき最小値0をとる。
ということで、上式の\xについての最小自乗法から(\a α \a^T + \a' α' \a'^T) \x = \0
となる \x で各成分が条件[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^Tを満たすものが最大4点あるらしいと…

これじゃ4次方程式どころじゃねぇ解けねぇ。という2ch復活記念カキコ

最小自乗法じゃなくても連立方程式から [\a, \a']^T \x = \0
となる \x で各成分が条件[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^Tを満たす…と同じことでした。
意味もなく難しく言っちゃった。てへっ。しかし、以下同文です。

連立方程式から [\a, \a']^T \x = \A^T \x = \0 より、固有値分解によって得られる
\Aに直交する\Bを介して \x = (\E - \A (\A^T \A)^(-1) \A^T) \y = [\b_1, \b_2, \b_3, \b_4] \t
= [\s_1, …, \s_6]^T \t と表せば、[x^2, x y, y^2, x, y, 1] = [\s_1^T \t, …, \s_6^T \t] であるので、

直交行列\Bの4変数の座標\tに対して、下記の\tについての４式
\t^T \s_4 \s_4^T \t = \s_1^T \t
\t^T \s_4 \s_5^T \t = \s_2^T \t
\t^T \s_5 \s_5^T \t = \s_3^T \t
1 = \s_6^T \t
のような四元二次連立方程式を解くことに帰着できる。

と、ここまでです。この4式から、線型変換で一元四次方程式を解くことに帰着するか、
あわよくば非線型変換で四元一次連立方程式にでもなればと思ったのですが…
1 = \s_6^T \tはオフセット付3次元部分空間（アフィン空間？）だから、\tの解を3次元正単体の
アフィン変換で表すとしたら解が4通り出るのが謎としても、二次形式の拡大係数行列
自体のアフィン変換で単位超球や超平面に帰着するとかかな、難しいなー

非線型は解法を知らないと難しいですから
たしか以前に、非線形連立を線型連立で解こうとしてましたよね？

>>379 おっ、いつのまに、、知ってる方のようですのでお久しぶりです。

>>378 の件と思いますが、二次までなら線型化でいけると思いきや、
例えば二次曲線 \a^T \x = 0 で 座標 \x=[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^Tの点列から
一通り求まるような係数 \a=[a, b, c, d, e, f]^Tを当嵌するのは >>263-265 あたりでうまくいきましたが、
今回の件は、2つの二次曲線の係数 [\a, \a'] = \A から交わる点の座標を求めるということで、
\E - \A (\A^T \A)^(-1) \A^T = \B \B^T と直交行列を求めれば >>378 の式形から
\x = \B \t / (\e_6^T \B \t) さらには \x = \B \C[\B^T \Λ \B] \1 / (\e_6^T \B \C[\B^T \Λ \B] \1)
のような形に導出できそうな気がしてます。

まとめると、線型化した座標の方の導出はそれ自身に条件が入るので難しいと思っている、ということです。
しかし、二次までの幾何学ということで、固有値問題などに帰着すれば美しい解法はあるもんだと思ってがんばってます。
>>379 さん、何か非線型な行列方程式の解放などご存知でしたらご助言頂けるとありがたいです。

お聞きしたいのは私の方なんですが、そうですね…その行き詰まり方だとケーハミ定理の復習ですかね(affineも考えると3x3)。
線型と累乗を深く理解できるようになるでしょうね。
普通は3x3をちゃんと勉強することもないと思いますが…

数学系質問掲示板について語るスレ２
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1206831469/911
　楕円面の族
　2010年03月08日 12:13:44 KM
お願い致します。
　x^2 + 2*y^2 + 3*z^2 + w^2 = 1, 3*x + 2*y + 3*z + 5*w = k
　の交わりをx,y,z空間に正射影し、
　(1)得られる曲面が楕円面になるkの範囲を定め
　　　楕円面の主軸を求めよ。
　(2)上の楕円面の族の包絡面を求めよ。
　(3)楕円面が点に退化するようなkを求めよ。

という、4次元ユークリッド空間内で、3次元超楕円面と kで定まる3次元超平面
との共通部分（前者を後者で切った断面）をx,y,z空間に正射影したもの
（w=(k - 3*x - 2*y - 3*z)/5 を前者に代入しwの成分を消したもの）の問題を解きます。
(1)、後者をベクトル[x,y,z,w]=[3t,2t,3t,5t]の点を通りそのベクトルに直交する
　3次元部分空間と考えれば、(3t)^2+2(2t)^2+3(3t)^2+(5t)^2 = 69 t^2 = 1より
　-1/(√69) < t < 1/(√69) が求めるものなので、-47/(√69) < k < 47/(√69) ■
　で共通部分が楕円面となるが、この楕円面の3つの軸はアレじゃないですか…
(2)、3次元超楕円面の周囲をくまなく3次元超平面で輪切りにしてx,y,z空間に正射影
　してるだけなので、求める2次元楕円面は x^2 + 2*y^2 + 3*z^2 = 1 で表せる ■
(3)、(1)より k=±47/(√69) ■

ということで私は、全ての二次超曲面は、超球面を透視投影すれば得られると思って
ますが、まぁ同じことですが最近は、n次元ユークリッド空間内の(n-1)次元超球面を使って
直交する0軸方向に超球錘を作り、それをアフィン変換したものと元のn次元ユークリッド空間
との共通部分（断面）によって全ての二次超曲面が表せると考えた方が都合良さそう
と思いました。というのは、今後、二次超曲面と超平面の共通部分や最小最大距離を
考えるための備忘録として、ここに書きました。とりあえずゴメンナサイ

>>381 コメント速いっすねー　私が遊んでる間に…
>>378 では\x = (\E - \A (\A^T \A)^(-1) \A^T) \y = [\b_1, \b_2, \b_3, \b_4] \t / (\s_6^T \t)
とおいた瞬間に、普通に二次曲線同士の交点を求める四次方程式が
固有値分解をすることに帰着されたと私は信じたいので、あとは定数倍が関係ない
\t^T \s_4 \s_4^T \t = \t^T \s_6 \s_1^T \t
\t^T \s_4 \s_5^T \t = \t^T \s_6 \s_2^T \t
\t^T \s_5 \s_5^T \t = \t^T \s_6 \s_3^T \t
の3式を満たすように \tの3変数分を解けば、きれいな公式が作れる気がしてます。
いやほんとに \x = \B \C[\B^T \Λ \B] \1 / (\e_6^T \B \C[\B^T \Λ \B] \1)
の形で（\C[]を余因子行列として）6×6制約行列\Λに3変数分入って4通り導出できると
私は信じて疑わない！と言っていてもあとで式から覆ることが何度もあるこのスレ

>>382
ガウス先生は複素数根の真意を悟った者がまた一人増えたので大喜びでしょうね。

>> ケーハミ定理って略は初めて聞きました。n次元拡張もなら↓が詳しいです。
Cayley?Hamilton theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem
しかし、私的には使うと逆に式が長くなるという印象があり、ぶっちゃけ使い方よくわかりません。

というのも、固有値分解（特異値分解）は、ある部分空間に直交する部分空間
を求める場合などに、ソフトで出せる固有値と固有ベクトルとかのセットで出せば、
それが幾何学的に何を表しているか想像や図示できるような感じですが、
こと固有値を求めるための固有方程式（とそれを応用したケーハミ定理）については
幾何学的に全く想像ができないからです。

このスレでも、>>235 あたりで非斉次行列多項方程式を解くみたいな事やりましたが（！？）、
同じアフィン変換を何回もかけるとかじゃなく、n×n行列をn回かけるというような状況でもなく、
今回ただの二次形式なのでいける気がしてますが、今までにこれらをベクトルで定式化した
という話は聞いたことがないので、実際やれと言われたら地道に4次方程式解く方法で私もいくと思います。

>>384 複素数根の真意なんて滅相もございません。とりあえず二次超曲面と二次超曲面の共通部分考える
前に、二次超曲面と超平面の共通部分（たぶん二次超曲面）を考えたほうがいいとわかった、いい問題でした。

>>385
A X + B = C #=>mat

X = A^-1 (C-B) #=>mat

A X A^1 = (C-B) A^1 #=>mat

(A X + B)(u) = C(v) #=>vec

>>386 ？２つの二次曲線の交点のベクトル解の定式化ですか？
たぶん2次拡張座標の方を X = [x, y, 1]^T [x, y, 1] のように3×3行列化する
まだ私は考えたことがない方法のようでしたので、少し考えました。

まず、全ての二次曲線が [a_1, a_2, a_3] [x, y, 1]^T [x, y, 1] [a_4, a_5, a_6] = 0
の形で表すことができるかですが、[x, y, 1] A [x, y, 1]^T =　[x, y, 1] [a_1, a_2, a_3]^T [a_4, a_5, a_6] [x, y, 1]^T
と分解できるためには拡大係数行列 A の階数が1でなければならないので無理でした。

また、Xを上三角行列などのよく見る形にしようとしても、係数の自由度が足りず
任意の二次曲線を表す形にはできませんでした。A X の形には9つの等式が必要で無理です。

ということで、座標から係数出すとき使った[x^2, x y, y^2, x, y, 1]^T [x^2, x y, y^2, x, y, 1]を使うのか…
余計大変です。[x^2, x y, y^2]^T=\B_{上} \t と [x, y, 1]^T=\B_{下} \t で分けるんじゃね？
870 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2010/03/19(金) 00:15:37
　>>833
　>>842
　長い間２元２次交点の難問に付き合っていただきありがとうございます。
　ベクトル空間（体はC^1など）で考えていたのでその完全な証明は幾何ベクトルを使った証明で知っていましたが、
　解法の１つとして、行列成分(行列式)として扱った場合の根（この場合は交点）の最適な配置場所がわかりませんでした。
　行列による解法は別のアプローチを研究中ですが、余因子展開の方法もじっくり検討してみます。
　また良い問題をありがとうございました。

俺も興味あるし、このスレで一緒に考えようぜっ！
とりあえず、四次方程式の解法・解の公式は↓が詳しいよ。
http://www.akamon-kai.co.jp/yomimono/kai/kai.html

とりあえず、↓の人、超好きです。

分からない問題はここに書いてね３２９
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267096322/842
842 ：１３２人目の素数さん [↓] ：2010/03/18(木) 18:38:41
　>>833
　n*n行列で考える
　xI_n-A_n = B_n = [
　　[x-2,-1,0,...,0]
　　[-1,x-2,-1,0,...,0]
　　[0,-1,x-2,-1,0,...,0]
　　...
　　[0,0,0,......,0,-1,x-2]]
　を余因子で展開すると
　|B_n| = (x-2)|B_{n-1}| - |B_{n-2}|, |B_1|=x-2, |B_2|=(x-2)^2-1
　だからx-2=2cosθとおけば帰納的に|B_n|=(sin(n+1)θ)/sinθが得られ
　A_nの固有値λ_kとその固有ベクトルu_kはλ_k=2+2cos(kπ/(n+1)),
　u_k=t[sin(kπ/(n+1)),sin(2kπ/(n+1)),...,sin(nkπ/(n+1))]
　(k=1,2,...,n)

　n=4の場合の固有値は{2+2cos(kπ/5)|k=1,2,3,4}={(5±√5)/2,(3±√5)/2}

この行列、何か名前ついてなかったっけ？
(n+1)×(n+1)行列で考えたときどんな図形の座標を表すのかとか、
3次方程式を三倍角の公式に帰着するようにn次方程式をn倍角に…（それは無理か…）
とか興味深い行列！バンデルモンドだっけ？（適当）

異なる二次係数 \a, \a' で表される二次曲線の交点(x, y)を求める問題を、
[\a, \a']^T [x^2, x y, y^2, x, y, 1]^T = \A^T \x = [0, 0]^T と定式化すれば、
\x = (\E - \A (\A^T \A)^(-1) \A^T) \α = [\s_1, \s_2, \s_3, \s_4, \s_5, \s_6]^T \t / (\s_6^T \t)
と表せて、二次拡張座標 \x 自身の制約から（中身が対称行列となるように変形すれば）
\t^T (\s_4 \s_4^T - (\s_6 \s_1^T + \s_1 \s_6^T)/2) \t = \t^T \F_1 \t = 0,
\t^T ((\s_4 \s_5^T + \s_5 \s_4^T)/2-(\s_6 \s_2^T + \s_2 \s_6^T)/2) \t = \t^T \F_2 \t = 0,
\t^T (\s_5 \s_5^T-(\s_6 \s_3^T + \s_3 \s_6^T)/2) \t = \t^T \F_3 \t = 0 の3式が
成り立たなければならない。これは、3つの決まった4×4変換行列 \F_1, \F_2, \F_3をかけた
ベクトルが元のベクトルと全て垂直となるような4次元列ベクトル \t を求める問題に帰着できたことを表している。

つまり \t は、\F_1 \t = \0, \F_2 \t =\0, \F_3 \t = \0となるkernelの共通部分、
よって、[\F_1^T, \F_2^T, \F_3^T]^T \t = \0 で \s_6^T \t = 1 となる \t に対して
[x, y]^T = [\s_4, \s_5]^T \t のように解ける？と思いきや、これでは解が一通りに定まって
しまうような感じで とても4通り求まらないので、どこか2段落目とかでおかしいことやらかしたな…
とはいえ、あとは通常の4次方程式に帰着する計算と整合性を付ければいいような気がするので、
この解き方ではこれが限界かなぁ。

同じように4次方程式に帰着できる「二次曲線とある点との距離（およびある点を通る接線）」
「n次元単体の等角中心」の問題とともに、これからもこの問題は私のタスクリストに入れときます。

タスクリストってのがるんですか。
同じように4次方程式に帰着できる
「二次曲線とある点との距離（およびある点を通る接線）」
「n次元単体の等角中心」
「二次曲線の交点(x, y)を求める問題」
他のタスクは何かあるんでしょうか？

ちなみに、二次超曲面とある点との距離（およびある点を通る接線）は…
と書いてるうちにコメントが来ました、ありがとうございます！

>>390 漠然と自分の中で考えてるだけでしたので、ここでちゃんとリスト化します。

１：アフィン変換とSimplex Steiner Hyperellipse（５月３１日迄）
（始点が同じ(n+1)単位行列で表されるベクトルの終点全てはn次元正単体となり、
　そのn次元正単体の重心まわりのアフィン変換で全てのn次元単体が表せることを用いて、
　全てのn次元単体にはその重心を中心とし各k次元面に接するような超楕円体が存在することを示す）
２：n次元単体の五心と平石究点（ナルハヤ）
（2次元単体（三角形）と同じように、n次元単体にも五心（重心・垂心（存在条件あり）・
　広義傍心（内心含む）・k次元面心（k=1…(n-2) 存在条件あり）・外心）が定義でき、
　特に重心と外心を結ぶオイラー線上に広義垂心や様々な性質を持つ点が存在することを示す。）
３：n次元単体の諸性質の応用
（アフィン独立な(n+1)点と一定の距離比にある分点心と一定の距離差にある部分境界超平面の関係・
　従属な1点を加えたときに外接超球が存在する条件（複体外接超球）・n次元単体とそのある内部点
　で一意に決まる点足複体の超体積や無限収束点や外接楕円体などの諸性質など）
４：二次超曲面と解析射影幾何学
（二次超曲面上のある点での接空間およびその中のある接線方向に対する曲率半径・
　二次超曲面とある点の距離との距離（およびある点を通る接線）・二次超曲面とある
　超平面の共通部分と超球錐の図との関係・「二次曲線同士の交点」（←new！））
５：数学板の気になった問題を解く

ぐらいですか。。最近、５しかやってねぇ！というわけでもない、ゆっくりしていってね！！！

n次元単体の第６心の等角中心（Simplex Fermat-Torricelli Center）
略して単体角心を忘れてました。結局３かもしくは４と関係するならとても嬉しいという感じです。

一応、3次の項がない 下記の一元4次方程式 を解くことに帰着できているつもりです。
http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/22.html
ここらへんは、一つのアイディアで芋づるだなどと思って、保留してます。俺人生保留中

三線座標と重心座標（１２）
三角形の中心
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%86%86

とかはやらないんですか？
それと、離散ついでで整数（４）やベクトル（３６）は関係してないんですか？
というよりも「面積」のことが良く分かってないみたいで、幾何学上の面積すら意味付けが出来てないって感じですけど・・・

えぬ次元というからには、ABC３点を通る外接円の外心点のベクトル式はすぐ求められますよね。そういことじゃないんですか？

>>393 面積（2次元超体積）がわからないんですか？http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D
ここでは、n次元単体の超体積 http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex#Geometric_properties
がわかっているとして話をしますが、まず↑より、m次元ユークリッド空間内で原点からn次元単体の各i頂点
(i=0…n)への位置ベクトルを \p_i で表せば、正方行列\Xの余因子行列を\C[\X]としたとき 定義より
n次元単体の超体積 v=√(det([\p_1-\p_0, …, \p_n-\p_0]^T [\p_1-\p_0, …, \p_n-\p_0])) / (n !)
=√(\1^T \C[0, \0^T; \0, [\p_1-\p_0, …, \p_n-\p_0]^T [\p_1-\p_0, …, \p_n-\p_0]] \1)/(n !)
=√(\1^T \C[ [\p_0, \p_1, …, \p_n]^T [\p_0, \p_1, …, \p_n] ] \1) / (n !)　と表せます■
（ちなみに、超体積の意味は、方向行列の内積行列の行列式の平方根に比例する量であり、
　図形自体の大きさを示す、昔の人がうまく定義した計量だと思いますw いいものですね）

で、三角形の重心座標ですが、このスレでは拡張してn次元単体の分積座標と呼び、>>282あたりでやりました。
分積座標\aは、n次元単体のあるi頂点(i=0…n)以外のn個の頂点で作られる(n-1)次元単体面をi対面と呼べば、
n次元単体の内部点 \p_A = \p_0 a_0 + … + \p_n a_n （全てのiでa_i>0）と例えば0対面で作られる
内部n次元単体の超体積 v_0 は、内部の列や行の足し引きで値が変わらない行列式の性質から
v_0 =√(\1^T \C[ [\p_A, \p_1, …, \p_n]^T [\p_A, \p_1, …, \p_n] ] \1) / (n !)
=√(\1^T \C[ [\p_0 a_0, \p_1, …, \p_n]^T [\p_0 a_0, \p_1, …, \p_n] ] \1) / (n !) = a_0 v
となり、これは\p_Aの絶対分積座標の値a_0が内部超体積と元の超体積の比v_0/vとなることを表しています。

続きますー

「図形」の「大きさ」ですか。

では「角度」はどうやって定義して、表現してるんですか？
それと、位置ベクトル（普通の[a,b,c]のやつ）と行列（正方n x nやm x n）に何かしらの違いを見出しているか否か？
群は =>matのみか、=>vecのみか、=>mat or vecを考えているかなど何かしらの自分の公理を定義して「交点を出す」「面積を出す」のに適したなどの目的・目標を定めて計算してるんでしょうか？
それとも何らの目的も無くただ行列計算（一次変換）したいだけの「超」一般化なんですか。

>>393 また、三角形での三線座標・四面体での四線（面？）座標は、このスレでは拡張してn次元単体の分面座標と呼んでいます。
定式化は、i対面からの距離がそれぞれj_iとなるn次元単体の内部点を分面心 \p_J と呼ぶと下式のように導出できます。
まず、i対面と分面心 \p_J で作られる内部n次元単体のn次元超体積v_iは元のn次元単体の超体積vの
j_i / √(\h_i^T \h_i)倍（\h_iはi頂点からi対面への垂線ベクトル）となっているので、>>394 の分積（重心）座標より、
\p_J = \p_0 j_0 / √(\h_0^T \h_0) + … + \p_n j_n / √(\h_n^T \h_n) と導出できます。
（このとき、v_0+v_1+…+v_n=vであるため j_0 / √(\h_0^T \h_0)+…+ j_n / √(\h_n^T \h_n)=1
　となる（絶対分面座標の条件））

これらは http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_center#Trivia の範囲であり、>>391の２か３かトリビアです

＞えぬ次元というからには、ABC３点を通る外接円の外心点のベクトル式はすぐ求められますよね。そういことじゃないんですか？
そういうことですよ。そのWikipediaの外接円の式は、岩波数学辞典にも載っていますが、拡張性に優れず、私はあまり好きじゃないです。
このスレでは、古いですが http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html などから、（m次元ユークリッド空間内で）
原点から\P = [\p_a, \p_b, \p_c]の終点で作られる2次元単体ABCの外心\p_Oについて下記のように導出します。
まず、(\p_a - \p_O)^T (\p_a - \p_O) = (\p_b - \p_O)^T (\p_b - \p_O) = (\p_c - \p_O)^T (\p_c - \p_O)
= r_O^2 （外接円の半径の自乗） から、例えば\p_a^T \p_a + (\p_O^T \p_O - r_O^2) = 2 \p_a^T \p_Oとなるので、
[\p_a, \p_b, \p_c]^T \p_O = \P^T \p_O = [\p_a^T \p_a, \p_b^T \p_b, \p_c^T \p_c]^T/2 + \1 (\p_O^T \p_O - r_O^2)/2
で、ごにょごにょして
\~b_σ = [(\p_a^T \p_a)/2, (\p_b^T \p_b)/2, (\p_c^T \p_c)/2]^Tとすれば、
\p_O = \P (\C[\P^T \P] \1 + \~C[\P^T \P] \~b_σ) / (\1^T \C[\P^T \P] \1)と導出できます。
このとき、外接円の半径 r_O は だいたいhttp://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html のようにごにょごにょです。
ごにょごにょの部分は明日のこの時間までに http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html あたりをいじって報告します

>>395 一般的に単位ベクトル\l_1,\l_2同士の「角度」は内積値のアークコサインθ=Cos^{-1} (\l_1^T \l_2)じゃね？
この場合の「面積」なら(√det[[\l_1,\l_2]^T [\l_1,\l_2]])/2=(√det[[1, cosθ], [cosθ, 1]])/2=|sinθ|/2となる
（単位円内の2半径が作る三角形の面積を求めた）し。えー何が言いたいかというと、「面積」「角度」は普通の
ユークリッド空間で使われるものと同じで、それじゃない定義や意味（n次元超立体角とか自分で定義すること）は
今のところないです。別に普通の高校生が直交座標系でやってることと同じというか（まぁ行列計算は使いますが）

私はほとんどベクトルを列で表しますし、行列は列ベクトルを行方向に並べたもの（方向行列\Lとか）として使う場合もあれば、
ある意味を持った変換行列（特に正射影行列\W=\L (\L^T \L)^{-1} \L^Tとか）として使うこともある感じですか。
いや、行列はただの入れ物としてその都度幾何学的意味があれば勝手に名前つけて呼んだり、いろいろ考えます。

アフィン変換群としてなら(n+1)×(n+1)行列で、m次元ユークリッド空間内で位置ベクトル\pや方向ベクトル\lなら
m次元列ベクトル、その中でn次元単体を表すアフィン独立の位置行列ならm×(n+1)行列\P・線型独立の
方向行列ならm×n行列\Lと言うような名前と記号を付けてますね、計算しやすいように。

＞何かしらの自分の公理を定義して「交点を出す」「面積を出す」のに適したなどの目的・目標を定めて計算してるんでしょうか？
普通の「ユークリッド空間内で」と前置きすることによって、天下りするユークリッドの公理を基に、
普通の行列計算がうまくできる普通の直交座標系で、「n次元単体の五心を出す」とか >>391 に例示した
いろいろな幾何学的性質を普通のユークリッド空間内で行列計算によって美しく解くというのが目的・目標です。

＞それとも何らの目的も無くただ行列計算（一次変換）したいだけの「超」一般化なんですか。
？確かに俺は行列の式に美しさを感じる変態で、幾何学的な量を導出するための行列計算はホントに美しいぜw
しかし、目的はあくまで幾何学的性質を一発で導出するための定式化で、そのための行列計算はただの必要な手段にすぎません。
まぁ、あんまり深く考えずに、ネットで見つからないんだけど、こんな感じでできるんじゃねーのって公開してるだけじゃね？

コンピュータチェビチェフさんの目的は何ですか？おやすみなさい。

ん？何か誤解しているようですね？ｗ
「超」とか付いてると見てるほうも何をやってるかさっぱりで、スレにコメントも少なく、
当の本人もなんだか分かってないまま目標もあまりない見たいなんで、少しダメ出ししてやらないとなぁ…って感じでしたけどｗ

私はいつもは横ベクトルを使いますけど、A dot transopose[B]
ニートさんは普段は縦ベクトルなんですか。なら何も成分表示にこだわらず、transopose[B] dot Aと表記すれば十分な感じですが…

確かマテマテカとかマキシマとか扱えたですよね？成分のときはPCやテキスト表記で面倒が無いようにしてるので具体的に計算するときは
例えば教科書にあるような通常の A x = y は x A = y となり x = y . inverse[A] です。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-%7B%7Bu%2Cv%7D%5D+%2B+%7B%7Bx%2Cy%7D%7D+.+inverse%5B%7B%7Ba%2Cb%7D%2C%7Bc%2Cd%7D%7D%5D

行列式化(det)など成分表示で意味があるときは当然必要ですが、そうでないなら体を自分で定義して四則で十分で成分はまったく気にかけなくていいかなって感じです。
行列で突き進むなら普通に環ですし、数学畑の人は多項式で突き進むのでしょうし、ベクトルの割り算を頑張って定義してる人も多いですが、それぞれにその公理と演算の目的があります。

成分表示したところで有限次元なわけで「超」とかいいつつも成分に依拠しているなら実際は一般化しているわけでなく２、３、４元と同じです。
しかも行列写像なのに #=> vec が中心ならそれって行列演算じゃなくてベクトル演算（一次変換とも言う）じゃないのかなーってな感じですがいかがですか？
また成分表示ならそのための中心となるベクトル（原点）があるわけですが、その中心は別の原点を基点として求めるなら堂堂巡りですよね？
私なんか環どころは「＋」とスカラー倍しかないんでかなり辛いです…T_T
…しかしこのモデルはコンピュータの理論構造（但しカウンティングの場合）と同じだったりします。

一次変換はもう高校じゃやらないから別の言い方の方がよかったかな。
一次変換じゃなくて、行列の積（写像）に関心があるならその「超」で整合するんですが、そうすると行列の「積」の定義とその意味付けの議論です。
旺盛な探究心をお持ちならテンソル積なんかもここと同じでしょうか。

ベクトル空間で自分行列の体のため演算「積」について、自分数学で自分計量で必要となった「積」の定義と自分解釈意味付け
ってことです（通常は行列は環で定義して、「割り算」は現在では逆元A^-1でごまかしますが）。
このとき行列の成分に関心を寄せる必要はまったくありません。

えーなんでしたっけ？……角度ですか？
「角度」を未だにrad, atan, acosとかいってるようではたいした抽象かも出来てないようです。
このままではニートさんは現在自分数学を構築しているにもかかわらず日本数学（積分微分定義が多い）や高校数学（一応radだけど「角度」の定義すらなく曖昧）から脱皮できないと思います。
ただ、「角度」をちゃんと理解して使いこなせるようになるには５年以上必要ですからね…ｗ

私が見たところあなたがやりたいのは、mathematics（数理）じゃなくてarithmetic（算術）だと思います。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7Bx%2Cy%7D%7D+.+inverse%5B%7B%7Ba%2Cb%7D%2C%7Bc%2Cd%7D%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse%5B%7B%7Ba%2Cb%7D%2C%7Bc%2Cd%7D%7D%5D+.+%7B%7Bx%2Cy%7D%7D

こっちだった
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7Bx%2Cy%7D%7D+.+inverse%5B%7B%7Ba%2Cb%7D%2C%7Bc%2Cd%7D%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse%5B%7B%7Ba%2Cb%7D%2C%7Bc%2Cd%7D%7D%5D+.+%7B%7Bx%7D%2C%7By%7D%7D

>>399-400 終始煽り口調なので、まだざっと読んだだけですが、３点気になりました。

＞私が見たところあなたがやりたいのは、mathematics（数理）じゃなくてarithmetic（算術）だと思います。
簡単に言えば、私が「理論屋ではなく計算屋ですよね」、って話だと思いますが、一目瞭然まったくもってそのとおりです。
理論は面倒くさいので、ユークリッド空間内と前置きすることで、実数体上とか明示しないで複素数使っても知らんぷりです。
抽象か具体かといえば具体ですし、ただの立体解析幾何学を一般化した線型代数の練習問題ぐらいなもんですか。

＞「角度」を未だにrad, atan, acosとかいってるようではたいした抽象かも出来てないようです。
例えば、ユークリッド空間内で２つの超平面が成す「角度」をあなたならどう定義しどう導出しますか？
天下った式を使う身分で恐れ多いことですが「面積は外積みたいな行列式に関係する計量です」と言うのは
いいとしても、こと「角度」をn次元に一般化するのは内積以外にもいろいろ考えられると思いますし、
特に角度ということで使う需要もないので、普通に考えたら内積に関する計量じゃねくらいな勢いです。

＞横ベクトルがいい、成分表示をするな、ベクトル演算と呼べ、wolframalpha記法を使え
参考にします。主に「行列なら環だろ？」という話だと思いますが、アフィン変換といえど1次元拡大して平行移動も含め
演算は乗法一本でいくので n次一般線型変換群 のようにあえてアフィン変換群（モノイドかな？）と呼びました。
群論とか素人ですが、一部の分野の人には↓のような記法を使った方がわかりやすいかと思って、手を広げてます。
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/matrix_group.html

「スレにコメントも少なく」の部分は、式や根幹に関わる批評はあまりないので、ほのぼのやってます。
あとは、当然人間分からない部分も勉強してる部分もあるが ある程度分かってなきゃ定式化なんてできねぇぜってことと、
目標はとりあえず >>391 ということと、あなたの趣味趣向は垣間見えるが ダメ出しの部分があまり見えないということですか

>>401-402 は横ベクトルも縦ベクトル表記も転置すれば同じということを伝えようとしましたか？
transpose[inverse[{{a,b},{c,d}}] transpose[{{x,y}}]]={{x,y}} inverse[{{a,c},{b,d}}]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=transpose[inverse[{{a%2Cb}%2C{c%2Cd}}]+transpose[{{x%2Cy}}]]%3D{{x%2Cy}}+inverse[{{a%2Cc}%2C{b%2Cd}}]
Trueとか出るんすね。マセマティカは昔使いましたが、便利ですね。

ずいぶんとダメ出ししてもらえたようがが・・・

>>405 横ベクトルがいい、成分表示をするな、ベクトル演算と呼べ、wolframalpha記法を使え などは、
個人の趣味趣向の範疇であり、根幹に関わる批評ではないと見たので、ダメ出しと大言壮語するからには
どこがダメでどうしてほしいか、簡単な事やトリビアではなく、根幹について何か言ってほしいなと思っただけです。
「角度」が何だって？？

>>396 の件で外心について http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html を改変しました。
ごにょごにょはまた明日にするとして、n次元単体に対して、普通の分積座標で表される内部点\P \aから
i対面に下ろした垂線の足が\P (\E - (\~C[\P^T \P] \e_i \e_i^T)/(\e_i^T \~C[\P^T \P] \e_i)) \a
と表せることがわかりました。良かった。。

ニ、ニ、ニートが発狂したぁぁぁ！！

>>406
このスレでいくらかコメントしてくれた人がいると思いますが、その方々と同じようにその人もあなたに対してコメントすることはもう無いと思いますよ。

「超」とか逝ってるけど、ここは高校受験用ベクトル問題集の写本スレだろ（笑）

だなｗ

ここはただのキチガイのスレだったのか・・・（しかもニート）

>>409
だなｗ

？？
高卒ニート専用の隔離スレじゃなかったの？ｗ

さっき「タミフル〜」とか叫びながら窓から飛び降り自殺したらしい
見えない敵と戦いすぎたらしくて「ボクにはタミフルを倒せませんでした生まれてきてごめんなさい」とかなんとか言って生き絶えたって話し

ついに死んだのか

ちょっと前に、「働いている」っていってたけど・・・？

>>407-415 コンピュータ君…こんな過疎スレでそんなになるほど感情的負荷を与えてしまってゴメンナサイ。
雑談スレを見まして、本当に「自分はいいけど、他人はだめ」みたいな考え方の人なのかつっついてみました。
未成年なら笑って許しますが、「大人になれよ三井！」とだけ、私も僭越ながらダメ出し しておきます。

>>416 こんにちはー http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1261794262/291
とかのことですね。明日いやもう今日かからまた雑務をこなしに逝ってきますぉ

ところで、>>396 の件で、http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/20.html のように
n次元単体の外心が\p_O = \P (\C[\P^T \P] \1 + \~C[\P^T \P] \~b_σ) / (\1^T \C[\P^T \P] \1)
の位置にあるのは出てるとして、ここから外接円の半径の自乗を r_O^2=(\p_O - \p_0)^T (\p_O - \p_0)
=(\p_O - \p_n)^T (\p_O - \p_n) = (\sum_{i=0…n} (\p_O - \p_i)^T (\p_O - \p_i)) / (n+1)
（ここで、n次元単体の重心\p_Gを用いれば、）= (\p_O - \p_G)^T (\p_O - \p_G) + ごにょごにょ
で話せば長いんですが、計算すると http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/12.html の最小自乗平均(n-1)次元
超球面の半径（重均半径）r_Gを用いて、r_O^2= (\p_O - \p_G)^T (\p_O - \p_G) + r_G^2 と解けました！

上式は、n次元単体の外心を中心とした半径r_Oの外接超球面と、それと同じn次元単体の
重心を中心とした半径r_Gの最小自乗平均(n-1)次元超球面（重均超球）との共通部分が、
そのn次元単体の重心を中心として半径r_Gの(n-2)次元超球面（n次元単体が存在する空間から
オイラー線（重心と外心を結ぶ直線）の方向を除いた部分空間（重心を通る）上に存在）となることを示しています。

ということで、スレも伸びたことですし、このn次元単体の重均超球と外接超球の共通部分の
(n-2)次元超球面の名前を来週まで公募しますーこのスレかメールneetubot◎gmail.comまでどうぞー
特に無いようでしたら、この分野の名無しの名 neetubot で仮に「重均外接共通重中(n-2)次元超球面」
とでも付けちゃいますよ、なげぇ。（っていうか、本当にあるのかなぁこれ）

>>416-417
自演乙

n次元単体が正単体となるときに限り、重心と外心が一致（(\p_O - \p_G)^T (\p_O - \p_G)=0）し、
重均超球も外接超球も「重均外接共通重中超球面（仮）」（このとき(n-1)次元になる）
も一致する。ということを、書き忘れるところだった、よかった、おやすみー

>>413
（笑）

>>418>>420 特に(n-2)次元超球面の名前の案でもないようなので（笑）、
>>417 のは「重均外接共通重中超球面」と仮に呼ぶことにします。

さて、n次元単体の外接超球にその「重均外接共通重中超球面」で直交する
同じ空間内のn次元超球の中心\p_Xと半径r_Xを考える。これは相似比から、
中心\p_X=(\p_G r_O^2 - \p_O r_G^2)/( (\p_O - \p_G)^T (\p_O - \p_G) ) （広義垂心ではないorz）
半径r_X=(r_O r_G)/√( (\p_O - \p_G)^T (\p_O - \p_G) ) と導出できる。
ただし、n次元単体が正単体となる lim_{\p_O → \p_G} の場合を考えると、
式の上では、中心 lim \p_X=\p_O=\p_G となるが、半径 lim r_X→∞ となってしまう。

きれいな式ですが、「重均外接共通重中超球面」と共にあまり使えなそうだなぁー
n次元単体の内接超球と逆垂超球、あるいは、k次元面接超球とk次元面均超球でも似たように
なるだろうか？とりあえず今日は、\P \Σ^t \1 / (\1^T \Σ^t \1)の軌跡を調べたい。

アフィン独立な位置行列\Pで表されるn次元単体の重心
\p_G = \P \1 / (\1^T \1)から任意の内部点\P \a / (\1^T \a)
を通る曲線上の点\p_σを、対角成分にσ_i（全てのi=0…nでσ_i＞0）を持つ
(n+1)対角行列\Σと実数t≧0によって\p_σ=\P \Σ^t \1 / (\1^T \Σ^t \1)
のように表す。（仮にn次元単体の座標冪乗曲線と呼ぶ）
（t≦0は http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
で座標を変えればt≧0と同じ）

n次元単体の座標冪乗曲線はt→∞で、座標a_iが一番大きい値となる
番号iの位置\p_i（重複がk個あればそれらが作るk次元部分単体面の重心）
へ収束する。今後、d(\p_σ)/dt や d^2 (\p_σ)/dt^2も求めたい。
…なんだろうこのデジャビュー

（n次元単体の座標冪乗曲線は、アフィン変換かける前の
　n次元正単体の重心から出る方向の単位ベクトル\e_θ
　によって、全て分類され記述できると考えた…）

それでは、これからneetubotゼミを始めます。礼。
それでは、おもむろにベクトル
\p_σ=\P \Σ^t \1 / (\1^T \Σ^t \1) = \sum_{i=0…n} ( (\p_i σ_i^t) / (\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t) )
をtで微分します。すごいことになりま…

d(\p_σ)/dt = \sum_{i=0…n} \p_i {σ_i^t log(σ_i) / (\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t)
- σ_i^t (\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t log(σ_j) ) / (\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t)^2 }
= \sum_{i=0…n} ( {(\p_i σ_i^t) / (\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t)}
{log(σ_i) - (\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t log(σ_j) ) / (\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t)} )

d(\p_σ)/dt = \sum_{i=0…n} ( {(\p_i σ_i^t) / (\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t)}
{(\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t log(σ_i / σ_j)) / (\sum_{ｊ=0…n} σ_j^t)} )
となることから、d(\p_σ)/dt |_{t→+0} = \sum_{i=0…n} ( {\p_i / (n+1)^2}
{ log(σ_i^(n+1) / (\prod_{j=0…n} σ_j)) } = \sum_{i=0…n} (\p_i {
log(σ_i)/( \sum_{ｊ=0…n} log(σ_j) ) - 1/(n+1)} {( \sum_{ｊ=0…n} log(σ_j) ) / (n+1)}
= {( \sum_{ｊ=0…n} log(σ_j) ) / (n+1)} \sum_{i=0…n} {(\p_i log(σ_i)/( \sum_{ｊ=0…n} log(σ_j) ) - \p_G}
と変形できる。これは、>>422 のn次元単体の重心\p_Gから内部点 \P \a
（ただし、a_i > 0）を通る座標累乗曲線（\p_σ=\P \Σ^t \1 / (\1^T \Σ^t \1)上の点の軌跡）が、
t→+0の重心近傍において\sum_{i=0…n} (\p_i log(a_i)/( \sum_{ｊ=0…n} log(a_j) ))を
見込む方向に出発することを表している。

逆に、m次元ユークリッド空間内で各列成分がアフィン独立となるm×(n+1)行列
\P=[\p_0,…,\p_n]が表すn次元単体で、t→+0の重心近傍において
\sum_{i=0…n} (\p_i ω_i)/( \sum_{ｊ=0…n} ω_j ))を見込む方向に出発する
座標累乗曲線上の点は \p_ω = \sum_{i=0…n} \p_i e^(ω_i t) / ( \sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t) )
を通ると言える。（のか？これ行列で表したいなぁ）次、これを2階微分しま…

ここで、a_{iω} = a_{iω}[t] = e^(ω_i t) / ( \sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t) ) とおく。
前述より、d(\p_ω)/dt = \sum_{i=0…n} \p_i d(a_{iω})/dt = \sum_{i=0…n} \p_i ({ω_i e^(ω_i t)
/ (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t))} - {e^(ω_i t) (\sum_{ｊ=0…n} ω_j e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t))^2} )
= \sum_{i=0…n} ( \p_i a_{iω} {ω_i - (\sum_{ｊ=0…n} ω_j e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t))} )
また、(d/dt)(d(\p_ω)/dt) = \sum_{i=0…n} \p_i ( {d(a_{iω})/dt (ω_i - (\sum_{ｊ=0…n} ω_j e^(ω_j t))
/ (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t)) )} - {a_{iω} (d/dt)((\sum_{ｊ=0…n} ω_j e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t)))}
これはめんどくせぇ式だな、途中だけど図書館行ってくるわー（あと、今日は重心拡大・重心縮小を定義しよう…）

>>428 ＞/ (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t)) )} - {a_{iω} (d/dt)((\sum_{ｊ=0…n} ω_j e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t)))}
/ (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t)) )} + {a_{iω} (d/dt)((\sum_{ｊ=0…n} ω_j e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t)))}
と間違いを直せば、(d/dt)(d(\p_ω)/dt) = \sum_{i=0…n} \p_i a_{iω} (
{ω_i - (\sum_{ｊ=0…n} ω_j e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t))}^2
+ {(\sum_{ｊ=0…n} ω_j^2 e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t))}
- {(\sum_{ｊ=0…n} ω_j e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t))}^2 )
= \sum_{i=0…n} \p_i a_{iω} (ω_i^2 - 2 ω_i (\sum_{ｊ=0…n} ω_j e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t))
+ {(\sum_{ｊ=0…n} ω_j^2 e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t))})
ちょっと手間取ったが、あとは通分して(d/dt)(d(\p_σ)/dt) |_{t→+0} = 0?を示すのみか…

ということで、(d/dt)(d(\p_ω)/dt) = \sum_{i=0…n} \p_i a_{iω} {
\sum_{ｊ=0…n} (ω_i - ω_j)^2 e^(ω_j t) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t)) }
と解けます。いやーすごいよねーこれ。ということは、
d(\p_ω)/dt = \sum_{i=0…n} \p_i a_{iω} {
\sum_{ｊ=0…n} (ω_i - ω_j) e^(ω_j t) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t)) }
と書いたほうが美しいな。で、ここから曲率半径ってどうやるんだっけ？

二次超曲面の曲率半径はスカラーをベクトルで微分してたので、全く違う感じにいきます。
まず、( d(\p_ω)/dt )^T ( (d/dt)(d(\p_ω)/dt) - s d(\p_ω)/dt) = 0 を考えることにより、
ベクトル (d/dt)(d(\p_ω)/dt) の ベクトル d(\p_ω)/dt に直交するベクトル成分は
( \E - (( d(\p_ω)/dt ) ( d(\p_ω)/dt )^T)/(( d(\p_ω)/dt )^T ( d(\p_ω)/dt )) ) (d/dt)(d(\p_ω)/dt)
と求まる。
ある点における力学での曲率半径 \r が、その点での速度\vと 速度に直交する成分の
加速度\aに対して、\r = ((\v^T \v) / (\a^T \a)) \a と書ける気がする（←自信ない）
ので、座標累乗曲線上のtでの点における曲率半径は
( \E - (( d(\p_ω)/dt ) ( d(\p_ω)/dt )^T)/(( d(\p_ω)/dt )^T ( d(\p_ω)/dt )) ) (d/dt)(d(\p_ω)/dt)
(( d(\p_ω)/dt )^T ( d(\p_ω)/dt )) / { ((d/dt)(d(\p_ω)/dt))^T ( \E - (( d(\p_ω)/dt ) ( d(\p_ω)/dt )^T)
/(( d(\p_ω)/dt )^T ( d(\p_ω)/dt )) ) (d/dt)(d(\p_ω)/dt) } となる？これはどうでもいいな…

つまり、これは n次元単体内部の曲線分を表す 普通の指数関数の最も簡易な拡張であり、その上の点を
\p_ω = \sum_{i=0…n} \p_i e^(ω_i t) / ( \sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t) ) = \sum_{i=0…n} \p_i a_{iω}
とおけば、t→+0の重心近傍において \sum_{i=0…n} (\p_i ω_i)/( \sum_{ｊ=0…n} ω_j )) を見込む方向に出発し、
(d/dt)^n [\p_ω] = \sum_{i=0…n} \p_i a_{iω} (\sum_{ｊ=0…n} (ω_i - ω_j)^n e^(ω_j t)) / (\sum_{ｊ=0…n} e^(ω_j t))
が成り立つ？というところが、このネタの一番の綺麗どころっすかねーこの名前は今日から「指数座標曲線」にしる！

指数座標曲線は重心（任意の内部点でもいける）を中心にn次元単体の内部
（境界を含まない）をくまなく走査できる曲線分であり、n次元単体の全ての内部点を
指数座標曲線のt→+0の初速方向で重心まわりの超球面にくまなくマッピングできる。
重心まわりということで、正単体の基底の拡縮変換に対してのn次元立体角を
考えたりするのに役立つと期待する。そこで下記の重心拡大・重心縮小を定義する。

m次元ユークリッド空間内で各列成分がアフィン独立となるm×(n+1)行列
\P=[\p_0,…,\p_n]が表すn次元単体で、n次元単体のi頂点以外の点を使って
i頂点\p_iが重心となるように拡大する新しいi頂点の位置を「重心拡大i頂点」
\p'_i=(n+2)\p_i-(\sum_{ｊ=0…n} \p_j)と呼ぶ。
また、n次元単体のi頂点以外の点を使って、そのn次元単体の重心を
新しくi頂点と見立てた位置を「重心縮小i頂点」\p''_i=\p_Gと呼ぶ。
さらに、i頂点以外の点と重心縮小i頂点で作られる単体を重心縮小i頂点単体
とかi=0…nの重心縮小i頂点単体の重心で作られる単体を重心縮小重心単体
とか呼ぶ。しかし、あまり使わないような気もする。

ところで、n次元単体の内接超球に対して、>>417 のようになる超球はなぜか
逆垂超球と勘違いしてましたが、普通に考えて正しくは内足重均超球ですぉ。
ちょっと気になると言えば、普通に考えた超平面同士の成す角度など、
まぁこれらは、また来週くらいまで。以上、9レス分の今週のneetubotゼミ終了ー

そういえば先週、>>417 の2次元バージョンの証明をしてくださった方がいて、とてもありがとうございます。

分からない問題はここに書いてね３３０
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1269099055/147
147 ：１３２人目の素数さん [sage] ：2010/03/28(日) 16:06:55
　>>145
　ベクトルで計算したら一致することになった。

　以下の問題に置き換えられる。
　重心G, 外心Pとして、 GP, √(a^2+b^2+c^2)/3 , 外接円の半径を3辺の長さとする三角形は、外接円の半径を斜辺の長さとする直角三角形となるか。

　三角形の頂点をO,A,Bとし、
　OA=a, OA↑=a↑, OB=b, OB↑=b↑, OP=p, OP↑=p↑, OG↑=g↑ とする。

　PとCAの中点を結ぶと、CAと垂直になるので、
　a↑・(p↑-(1/2)a↑) = 0
　同様にb↑・ (p↑-(1/2)b↑) = 0
　変形すれば、a↑・p↑ = (1/2)a^2, b↑・p↑ = (1/2)b^2

　g↑=(1/3)(a↑+b↑)なので、
　GP^2 = |p↑ - (1/3)(a↑+b↑)|^2 = |p↑|^2 - (2/3)p↑・(a↑+b↑) + |(1/3)(a↑+b↑)|^2
　= p^2 - (2/3)(a↑・p↑+b↑・p↑) + (1/9)(a^2 + 2a↑・b↑ + b^2)
　= p^2 - (2/3)((1/2)a^2+(1/2)a^2) + (1/9)(a^2 + 2a↑・b↑ + b^2)
　= p^2 - (2/9)(a^2 - a↑・b↑ + b^2)

　(√(a^2+b^2+c^2)/3)^2 = (a^2+b^2+c^2)/9
　= (a^2+b^2+|a↑-b↑|^2)/9 = (a^2+b^2+a^2-2a↑・b↑+b^2)/9
　= (2/9)(a^2-a↑・b↑+b^2)

　以上より、GP^2 + (√(a^2+b^2+c^2)/3)^2 = p^2 (証明終わり)

ということで、このスレ見ていらっしゃったら、>>417 にあなたの命名する名前を付けたいので、メールとか連絡頂けるとありがたいです。

今週のneetubotゼミは、同じ次元の任意の実数成分の列ベクトル\a,\bに対し、
- (\a \b^T - \b \a^T)^3 / ((\a^T \a \b^T \b) - (\a^T \b)^2)
= - (\a \b^T \a \b^T - \a \b^T \b \a^T - \b \a^T \a \b^T + \b \a^T \b \a^T)
(\a \b^T - \b \a^T) / ((\a^T \a \b^T \b) - (\a^T \b)^2)
= (\a \b^T - \b \a^T) となることがミソです。これリー群の式と似てるけど関係あるのかなぁ？

別に実数成分と仮定しないでよかた。。
では、次元は適当にmとでもしたユークリッド空間内で，
二点間の距離d_{0 0}から二平面間の距離d_{2 2}と角度θ_{2 2}まで求めますー

例えば、このスレでは普通に考えて、m次元ユークリッド空間内（m≧n≧0≦n'≦m）で、
n次元単体Aが存在するn次元部分空間U上の点と
n'次元単体A'が存在するn'次元部分空間U'上の点
との距離の最小値を「UとU'の距離」と呼ぶ。

また、UとU'の距離が0になるように平行移動したとき、
UとU'の共通部分空間∩に対し、U-∩内のベクトルと
U'-∩内のベクトルの成す角の最小値を「UとU'の角度」
と呼ぶのが、順当だと思いますコンピュータ君。

最終的に興味があるのは、二つの単体間の計量ではあるが、
正単体を拡縮変形後に回転変形させ平行移動したもので任意のn次元単体が表せると考えれば、
任意のn次元単体は（元の正単体の回転の自由度はあるが）その重心とn次元基底で表せるため、
下記の方向表記でまず解いておけば、有用であると考える

まず、m次元ユークリッド空間内で、位置ベクトル\p=[p_1,…,p_m]^T
で表される点から、位置ベクトル\p'=[p'_1,…,p'_m]^T で表される点への、
距離ベクトルが \d[\p→\p'] = \p' - \p となることから、

この二点間の距離d_{0 0}は、普通に考えて、
d_{0 0} = √(\d[\p→\p']^T \d[\p→\p']) = √(\d[\p'→\p]^T \d[\p'→\p])
　= √((\p' - \p)^T (\p' - \p)) = √( \sum_{i=1…n} (p'_i - p_i)^2 ) と表せる。
（普通のユークリッドノルム）

訂正： >>438 √( \sum_{i=1…n} (p'_i - p_i)^2 ) じゃなくて √( \sum_{i=1…m} (p'_i - p_i)^2 ) だった。心の目で大目に見て！

次に、m次元ユークリッド空間内で、位置ベクトル\p=[p_1,…,p_m]^T
で表される点を通り 方向ベクトル\l=[l_1,…,l_m]^Tの方向の直線Uから、
位置ベクトル\p'=[p'_1,…,p'_m]^T で表される点U'への、距離ベクトルを
\d[\p_d→\p'] （ただし、\p_dは点U'から直線Uに下ろした足の位置ベクトル）とする。

すると、\p_d = \p + (\l \l^T)/(\l^T \l) (\p'-\p) より、m×m単位行列\Eに対して、
\d[\p_d→\p'] = \p' - \p_d = (\E - (\l \l^T)/(\l^T \l)) (\p'-\p) と書ける。
つまり、上記のように表した場合の直線Uと点U'の距離d_{1 0}は、普通に考えて、
d_{1 0} = √(\d[\p_d→\p']^T \d[\p_d→\p']) = √((\p' - \p)^T (\E - (\l \l^T)/(\l^T \l)) (\p' - \p)) となる。
ここまでなら線型代数の教科書のグラムシュミット直交化あたりとかに普通に載ってる話です。

例えば、d_{1 0}を2次元ユークリッド空間（xy平面）内の
直線 a x + b y + c = 0 （条件略）と点(x'_0, y'_0)の距離
に当て嵌めれば、直線 a x + b y + c = 0 が点(x_0, y_0)
を通り傾き(-b, a)であるとしたとき c = - a x_0 - b y_0 であるので、
d_{1 0} = √( (x'_0-x_0, y'_0-y_0) ( \E - ((-b, a)^T (-b, a))/((-b, a) (-b, a)^T) ) (x'_0-x_0, y'_0-y_0)^T )
　= √( (a^2 (x'_0-x_0)^2 + 2 a b (x'_0-x_0) (y'_0-y_0) + b^2 (y'_0-y_0)^2) / (a^2 + b^2) )
　= | a (x'_0-x_0) + b (y'_0-y_0) | / √(a^2 + b^2)
　= | a x'_0 + b y'_0 + c | / √(a^2 + b^2)
となり、昔習った拡張性はないが美しい式にちゃんと一致する。

また、m次元ユークリッド空間内で、位置ベクトル\p=[p_1,…,p_m]^T
で表される点を通り 方向ベクトル\l=[l_1,…,l_m]^Tの方向の直線Uと、
位置ベクトル\p'=[p'_1,…,p'_m]^T を通り 方向ベクトル\l'=[l'_1,…,l'_m]^T
の方向の直線U'との、距離ベクトルを\d[\p_d→\p'_d] と書く。

このとき、\p_d = \p + \l a および \p'_d = \p' + \l' a' とすれば、
二点\p_d, \p'_d間の距離d_{1 1}の大きさが係数 a, a' の値において
最小となるとき、直線Uと直線U'との距離となる。
つまり、最小自乗法より ∂(d_{1 1}^2)/∂a=∂(d_{1 1}^2)/∂a'=0 となることを用れば、
d_{1 1}^2 = ((\p'-\p) + \l' a' - \l a)^T ((\p'-\p) + \l' a' - \l a)であることから、
\l^T ((\p'-\p) + \l' a' - \l a) = \l'^T ((\p'-\p) + \l' a' - \l a) = 0 を満たすと言える。
（これは、距離ベクトル\d[\p_d→\p'_d]に対し 直線Uあよび直線U'が直交することを表している）

この a, a' を解けばよいのだが、めんどくさいので、ちょっちタンマ（笑）

>>440 の\l^T ((\p'-\p) + \l' a' - \l a) = \l'^T ((\p'-\p) + \l' a' - \l a) = 0より、
(a, a')^T = ({{\l^T \l, -\l^T \l'}, {-\l'^T \l, \l'^T \l'}})^{-1} {{\l^T (\p'-\p)}, {-\l'^T (\p'-\p)}}なので、
a=\l'^T (\l' \l^T - \l \l'^T) (\p' - \p) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2) および
a'=\l^T (\l' \l^T - \l \l'^T) (\p' - \p) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)と解ける。

したがって、\d[\p_d→\p'_d] = \p'_d - \p_d = (\p' - \p) +
　(\l' \l^T - \l \l'^T) (\l' \l^T - \l \l'^T) (\p' - \p) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)
　= ( \E + (\l' \l^T - \l \l'^T)^2 / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2) ) (\p' - \p)
が成り立つ。（ただし、\l^T \l \l'^T \l' = (\l^T \l')^2、つまり、直線Uと直線U'が平行でない場合に限る）

ここで、\l' \l^T - \l \l'^Tは歪対称行列だが、
\E + (\l' \l^T - \l \l'^T)^2 / ( (\l^T \l) (\l'^T \l') - (\l^T \l')^2 ) = \M は対称行列となり、
\M^2 = \E + 2 (\l' \l^T - \l \l'^T)^2 / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2) + (\l' \l^T - \l \l'^T)^4 / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)^2
　= \E + (\l' \l^T - \l \l'^T)^2 / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2) = \M であるため冪等行列ともなる。

これは、(\p' - \p)がちょうどすでに直線Uあよび直線U'に直交している
(\p' - \p) = \M (\p' - \p) 場合にも（そしてたとえ何度 \M を掛けて変換したとしても）
\d[\p_d→\p'_d] = \M (\p' - \p) = \M^n (\p' - \p) となるのは、当然だということを表している。

以上を用いれば、この直線Uと直線U'との距離は d_{1 1} = √( (\p' - \p)^T \M (\p' - \p) )
√( (\p' - \p)^T (\E + (\l' \l^T - \l \l'^T)^2 / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)) (\p' - \p) )
と書けることがわかる。明日までに、ねじれの位置だけでなく平行な場合や交わったり一致する場合
の条件を確認しておきます。あとは、d_{n 0}、d_{2 1}、d_{2 2}を求めたいなぁー

>>434 でミソって言ったのは、>>441 で使った
(\l \l'^T - \l' \l^T) (\l' \l^T - \l \l'^T) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)
が冪等行列になるということに帰着されますた。
こっちの方は、二回外積掛けてるような感じなのですが、
2直線の方向に向かって正射影するようなもんなので、
名前付けるとしたら双正射影行列とかかなぁー。
>>441 の \M = \E - (\l \l'^T - \l' \l^T) (\l' \l^T - \l \l'^T) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2) の方は、
2直線に直交する方向に等長（？）変換するため、
名前付けるとしたら双直交射行列とかかなぁー。

まぁそれらは、2つの部分空間の距離とかまで拡張したところで考えればいいことか…

訂正：>>440>>441 直線Uあよび直線U' →（爆笑）→ および。二回もかよ！？

双正射影行列 \W'=(\l \l'^T - \l' \l^T) (\l' \l^T - \l \l'^T) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)
とすれば、ざっくり lim_{\l'→\l} \W' = lim_{\l'→\l} 2 \l (\l^T \l - \l^T \l) \l^T / ((\l^T \l - \l^T \l) (\l^T \l + \l^T \l))
　= \l \l^T / \l^T \l （これは、直線Uと直線U'が平行な場合、その平行な方向への正射影行列となる
　ということを表す。）と計算できるため、同様に双直交射行列 \Y' = \E - \W' もlim_{\l'→\l} \Y'
　= \E - (\l \l^T)/(\l^T \l) となる。

以上より、二直線間の距離は、二直線が平行な（(\l^T \) (\l'^T \l') = (\l^T \l')^2）場合には、
\l'を考えずに、>>439 のような直線Uと点\p'の距離に帰着されることが言える。

また、二直線が交わる必要十分条件は、二直線間の距離ベクトルが
\d[\p_d→\p'_d] = \Y' (\p' - \p) = \0 となることであり、これは、
(\p' - \p) = \W' \t を満たすm次元列ベクトル解 \t が存在するという
問題に置き換えて、最終的に、「rank[\W', (\p' - \p)] = rank[\W']」 を
満たすことがm次元ユークリッド空間内で二直線が交わる必要十分条件と言える。

この二直線が交わる条件式「rank[\W', (\p' - \p)] = rank[\W']」は、
基本的な演算のみを用いて導出されたものであり、ねじれの位置だけでなく
平行な場合や交わったり一致する場合など、あらゆる条件下で使える式である。

二直線間の距離の中点への位置ベクトル\p_Dも
綺麗に書けると思うので、やってみっかー

普通に考えて（←前置きがめんどくさくなってきた）、
\p_D = \p_d + \d[\p_d→\p'_d] / 2 = \p + \l \l'^T (\l' \l^T - \l \l'^T)
　(\p' - \p) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2) + \Y' (\p' - \p) / 2
　= (\p' + \p) / 2 + (\l \l'^T + (\l' \l^T - \l \l'^T)/2) (\l' \l^T - \l \l'^T)
　(\p' - \p) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)
　= (\p + \p')/2 + (\l a + \l' a')/2
　= {(\p + \p') + ((\l' \l^T)^2 - (\l \l'^T)^2) (\p' - \p) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)}/2
まぁ、この結果は、普通に考えて、二直線の通る点の中点から、二直線
の通る点から距離の足へのベクトルを足して2で割った方向にあるのは自明ですよと。
この点 \p_D は、二直線上のそれぞれの点からの距離の自乗の和が最小となる点
（m次元ユークリッド空間内で一意にこの点）そのものであると、ちょっとがんばれば簡単に示せます。

なお、ねじれの位置にあっても二直線の成す角度θ_{1 1}は、距離ベクトルが
0ベクトルになるように平行移動して考えれば、ただの二直線の方向
ベクトル\l, \l'の成す角度として θ_{1 1} = arccos(\l^T \l' / √(\l^T \l \l'^T \l')) で求められる。

ということで、m次元ユークリッド空間内で、任意の二直線を表すためには、
距離の中点\p_Dおよび二直線の方向\l, \l'とそれに直交する距離ベクトルの半分\d/2
というパラメータで表せば（これでは右回り左回りの配置かとかがわからんが）一番いい感じがするよと。

傾き\lの直線U上の点と 傾き\l'の直線U'上の点とを 結ぶ線分の中点の軌跡
の方向ベクトルは、上でちょっと出てるけど、
{((\l' \l^T)^2 - (\l \l'^T)^2) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)} \t と言えるだろうか？

なぜ、\l と \l' の角の二等分線の方向と一致しないのだろうか？

なぜ、双正射影行列 \W'=(\l \l'^T - \l' \l^T) (\l' \l^T - \l \l'^T) / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)
が示す方向と違うのだろうか？

という三点ぐらいが疑問として残りました。\l と \l' とそれらに直交する距離ベクトルの
実質3次元分しか出てこないけど、存外難しいではないか、あはははあばばー

訂正：>>441 下から3行目 = √( (\p' - \p)^T (\E + (\l' \l^T - \l \l'^T)^2 / (\l^T \l \l'^T \l' - (\l^T \l')^2)) (\p' - \p) )

ところで、m次元ユークリッド空間内で、位置ベクトル\pで表される点を通り
n本の基底 \L=[\l_1,…,\l_n] で作られるn次元超平面Uから
位置ベクトル\p'で表される点U'への 距離ベクトルを\d[\p_d→\p'] と書く。
（ただし、\p_dは\p'からn次元超平面Uに下ろした垂線の足とする。）

仮定より、n次元超平面Uに対する直交射行列 \Y = (\E - \L (\L^T \L)^{-1} \L^T)
を用いて、\d[\p_d→\p'] = \Y (\p' - \p) = (\E - \L (\L^T \L)^{-1} \L^T) (\p' - \p)
と書ける。また、このn次元超平面Uと点U'との 距離 d_{n 0} は
d_{n 0} = √( (\p' - \p)^T \Y (\p' - \p) )
　= √( (\p' - \p)^T (\E - \L (\L^T \L)^{-1} \L^T) (\p' - \p) )
と書ける。これも、線型代数の本の射影行列という項に載ってたりすることもあると思う。
d_{n 0}は >>439 の 直線Uと点U'の距離d_{1 0}の 純粋なn次元拡張であります。

>>445 傾き\lの直線U上の点と 傾き\l'の直線U'上の点とを 結ぶ線分の中点の軌跡
じゃいろんな点になるなぁー直線になんないしー�@と�A・�Aと�Bが違うのはわかった。
しかし、�@と�Bは中点連結定理で同じじゃないんかのぅー

d_{2 1}、d_{2 2}は共通部分があって、まんどくせーので、また来週。

よく考えたら、>>445 の�@は(\p_d+\p'_d)/2に関係する
実際の中点間の方向で、�Bは(\p'_d-\p_d)に関係する
平行移動して差し引きした分の量だから全然違った。
>>445 はどれも違う重要な量なんだなぁー（

この場合、距離ベクトルの方向に三角柱と考えるのがいいが、
d_{n n'}の場合、k次元共通正規直交基底\S''と 空間Uから共通基底を
除外した正規直交基底\Sと 空間U'から共通基底を除外した正規直交基底\S'
として、空間Uの通る点\p と 空間Uの通る点\p' から \S と \S' に 直交する
距離\dを出し、\S''の方向を除外したものを距離としていいと思う。

「5心」を英訳すると「Four Centers of a Triangle（4心)」だね。
内心と傍心は同じ種類の中心だから、まとめて「1個」と数える。
もっとも、「Kimberling Centers(3587心)」のほうが、今では市民権を得ているが。
次の2つのWEBは基礎知識として必ず見てね。
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
http://www.xtec.es/~qcastell/ttw/ttweng/portada.html
X(n)の三角形座標(trilinears)、重心座標(barycentrics)による中心の表示を見れば、
幾つかはすぐ高次元化できるね。

今日もお疲れコンピューター！>>449 有用な情報ありがとうございます！！
ホントに"Four Centers of a Triangle"でググるとFiveより圧倒的ですね。

＞内心と傍心は同じ種類の中心だから、まとめて「1個」と数える。
私も、>>327 ではまとめて「第3心」で数えました。n次元単体では、
傍心のように各(n-1)次元表面から全て等距離にある点は、内心を含めて
2^n個定義できる（このスレでは >>282 あたりから広義傍心と呼んでいる）と考えてます。

ETCについては >>308 や http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/11.html
で触れてますが、個人的に参考知識として上げたいのは http://mathworld.wolfram.com/
の方がよくまとまってますし好きですね。ETCの市民権についてはmathworldで頻出なので同感です。

＞X(n)の三角形座標(trilinears)、重心座標(barycentrics)による中心の表示を見れば、
＞幾つかはすぐ高次元化できるね。
幾何学的性質や意味まで含めて式で高次元拡張しようとし、
座標は定式化の手段というか、副次的なものとしてしか捉えていなかったので、
座標だけで拡張しようとする考えは斬新ですね。

というのも、まぁ下記はたとえ話ですが、
三角形（2次元単体）の心から n次元単体の心に拡張するという事は、
ある数列の初項から 第二項・第三項…と性質を見た上で
第n項の一般的な式を導出することのようだ、と私は思っていて、
それが 等差数列や 等比数列のような簡単な性質ではなく
幾何学的性質を保つような列となるということが結構難しいよと、
例えば私は思うわけですが。まぁ、個人的印象にすぎませんがｗ

今週のneetubotゼミはお休みにしますー

そしてここから、伝説が始まる（笑）

まず、単位行列 \E などの基本をおさらいする。以下はm次元ユークリッド空間内とする。
ここで、正規直交行列\S, \Aと対角行列\Σによって、特異値分解 \L = \S \Σ \A^T
となるとき、擬似逆行列 \L^† = \A \Σ^{-1} \S^T と書ける。

このとき、ベクトル\pを、列ベクトルを並べた行列\Lが作る部分空間内の
ベクトル\L \aと、その部分空間に直交するベクトル\p - \L \aに分けるとすれば、
\L^T (\p - \L \a) = \A \Σ \S^T (\p - \S \Σ \A^T \a) = \0 より、
\Σ^{-1} \S^T \p = \A^T \a であることから \p = (\L \a) + (\p - \L \a)
= \S \S^T \p + (\E - \S \S^T) \p = \L \L^† \p + (\E - \L \L^†) \p と書ける。

このことより、\Lに対する正射影行列を \W[\L] = \L \L^† = \S \S^T と定義し、
\Lに対する直交射行列を \Y[\L] = \E - \L \L^† = \E - \S \S^T と定義する。
これをふまえれば、さきのベクトル\pの\Lに対する直交分解は
\p = \E \p = \W[\L] \p + \Y[\L] \p と書ける。

ということをふまえて、基底\Lで作られるn次元部分空間 U と
基底\L'で作られるn'次元部分空間 U' との 共通k次元部分空間
（以下 n ≧ n' ≧ k とする）の正規直交基底\S''などを求める。

まず、求めやすい U と U' の和空間（次元は n + n' - k ）の
正規直交基底 \S_W については、\S_W \S_W^T = \W[\L, \L'] = [\L, \L'] [\L, \L']^†
（\Lと\L'をくっつけたm×(n+n')行列[\L, \L']に対する正射影行列）
によって求められる。ちなみに、U と U' の和空間の直交補空間
（UでもU'でもない (m - (n + n' - k))次元部分空間）の
正規直交基底 \S_Y については、\S_Y \S_Y^T = \Y[\L, \L'] = \E - \W[\L, \L']
によって求まる（それぞれ固有値1の正規直交な固有ベクトル列として）。

ただし、この２つはあまり使わないと思われる。どーん

つーことで、本題の共通k次元部分空間の正規直交基底\S''の求め方だがや。
和空間なら出せることから、U の直交補空間の\Y[\L]と
U' の直交補空間の\Y[\L']との和空間全体の 直交補空間
\Y[\Y[\L], \Y[\L']] = \S'' \S''^T で求まるちゅーわけじゃんかー
いやーこれでも求まるっちゃーきたねぇんじゃけんどよー

また、Uから共通k次元部分空間を除いた空間（仮に左差空間とでも呼ぶ）
の正規直交基底 \S は \S \S^T = \Y[\Y[\L], \L'] = \Y[\Y[\L], \W[\L']] によって出せるし、
U'から共通k次元部分空間を除いた空間（仮に右差空間とでも呼ぶ）
の正規直交基底 \S' は \S' \S'^T = \Y[\L, \Y[\L']] = \Y[\W[\L], \Y[\L']] によって出せる。

つーか、これらは前にもやった気がするし…けど、今回も式の整形には至らんかった…
地道でめんどくせぇ計算だけど、とりあえず任意の2つの基底から各部の正規直交基底が
出せるよってことが、次の2つの基底（による2つの超平面）の角度を求めるのに重要です。

（上のめんどくせぇ計算とは、\S''を求めるために、まず
m×(2m)行列 [(\E-\L (\L^T \L)^{-1} \L^T), (\E-\L' (\L'^T \L')^{-1} \L'^T)]
の(m-k)本の左特異ベクトルからなる\S''の直交補空間の正規直交基底 \S''' とかを求めて、
次にm×m行列(\E-\S''' \S'''^T)のk本の左特異ベクトルからなる\S''が求まるという
計算のことです。さらに\L, \L'が基底でなければ 計4回ものSVD計算が必要となるので大変です。）

と角度の前に、2つの部分空間（超平面）の距離やります。超単純でした。
（ちなみに、基底\Lで張られる部分空間Uは、直交する（要証明？）
正規直交基底\Sと\S''でも張られるので、\W[\L] = \W[\S, \S''] = \S \S^T + \S'' \S''^T
となるというような計算は、以下では明記しないかもしれないけど、こっそりよく使ってます。）

さて、2つの超平面 U, U' 間の距離について >>448 などのように考えれば、
距離d_{n n'}とUとの交点を\p_d = \p + \L \a、距離d_{n n'}とU'との交点を\p'_d = \p' + \L' \a'
としたとき、超平面Uから超平面U'への距離ベクトルは
\d[\p_d→\p'_d] = (\p' + \L' \a') - (\p + \L \a) = \p' - \p - [\L, \L'] [\a; -\a']
と書けて、これは点\pを通り[\L, \L']で作られる超平面から点\p'への距離ベクトルと
全く同じように考えられるということを表している。

それはさておき、ここの過去ログや最小自乗法をふまえて、距離ベクトルは
[\L, \L']^T \d[\p_d→\p'_d] = [\L, \L']^T (\p' - \p) - [\L, \L']^T [\L, \L'] [\a; -\a'] = \0
を満たすことより、\d[\p_d→\p'_d] = \Y[\L, \L'] (\p' - \p) と書ける。
（ここで、前述の\S''で張られる共通部分空間があるために、距離ベクトルの足
\p_dおよび\p'_dは一意には定まらない。しかし、2つの部分空間（超平面）の距離の中点
への位置ベクトル\p_Dを後述する際に、\p, \p'の位置をふまえた\p_d, \p'_dのある意味最適な
とるべき位置を一意に定義しようと思う。）

よって、「m次元ユークリッド空間内で、位置ベクトル\pで表される点を通り
基底\Lで張られるn次元超平面Uから、位置ベクトル\p'で表される点を通り
基底\L'で張られるn'次元超平面U'への、距離の大きさは
d_{n n'}=√( (\p' - \p)^T \Y[\L, \L'] (\p' - \p) ) で表せる。（m≧n≧n'≧0）」

いらんことごちゃごちゃ書いとったら、文字数制限やでー
>>456 の最後の式で俺の一ヶ月全て一般化され表されてもーた。
つーか、双直交射行列の正体が\Y[\L, \L']=\Y[\S, \S'', \S']っていうのが
驚きやなー >>441-442の直線間距離はこれを展開して計算してあの
特殊な形というわけですわー まぁ
http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#Blockwise_inversion
に習って >>456 も展開したらと思ったけど、まだ全然わかんねぇー
明日、角度、あよび、距離中点位置、を出して、なんぼ

ほな、超平面同士の角度やりますわー
3次元空間内で交わる二平面の成す角度と言われて、
「0です」て答える人いないと思われ、片方をどっちかに何度回転
さしたら二平面が一致するのんかーいう話に当然なるんやろー

だけん、上の方で言う所の、\Lと\L'の成す角度と言われても、
共通な\S''を除いた UとU'内の それぞれの単位方向
\S \u (\u^T \S^T \S \u = \u^T \u = 1)と \S' \v (\v^T \S'^T \S' \v = \v^T \v = 1)
の成す角度としてθ_{n n'} = arccos( (\u^T \S^T \S' \v) / √(\u^T \u \v^T \v) )
によってその成しうる角度全てが記述される。

この方向余弦をラグランジュの未定乗数法を用いて定式化すれば、
cos(θ_{n n'}) = \u^T \S^T \S' \v - σ_a (\u^T \u - 1) - σ_a' (\v^T \v - 1)
と書けて、それぞれの変数に対して極値をとるときの条件を求めると、
∂cos(θ_{n n'})/(∂\u) = \S^T \S' \v - 2 σ_a \u = \0、
∂cos(θ_{n n'})/(∂\v) = \S'^T \S \u - 2 σ_a' \v = \0、のようになることから、
\S^T \S' = [\u_1, …, \u_n'] \�納σ_1, …, σ_k' （, 0, …, 0）] [\v_1, …, \v_n']^T = \U \�� \V^T
（ただし、|σ_1|≧…≧|σ_k'|＞0 とする） と特異値分解されるとすれば、二超平面が成す角度
cos(θ_{n n'}) = ±√((\u^T \S^T \S' \v) / (\u^T \u)) √((\u^T \S^T \S' \v) / (\v^T \v)) = ±2√(σ_a σ_a')
のとりうる値の範囲は、直交半径の大きさがそれぞれσ_1, …, σ_k'の超楕円面
（特異値がn'個ない（0 ≦ k' ＜ n'）の場合は内部も含めた超楕円体）上の点から
その超楕円の中心への距離の大きさの範囲として、全く同値として考えられる。

この超楕円を仮に方向余弦超楕円と呼ぶ。このように考えれば、「方向行列がそれぞれ
共通方向がない正規直交基底\S, \S'（任意の基底\L, \L'が与えられても >>455 の計算でこれを求める）
で張られる2つの部分空間が成す角度cos(θ_{n n'})の範囲は、\S^T \S'の特異値がフルランクで
求まる場合は 絶対値が最大の特異値σ_1と 絶対値が最小の特異値σ_n'に対して
-|σ_1|≦cos(θ_{n n'})≦-|σ_n'|, |σ_n'|≦cos(θ_{n n'})≦|σ_1|となり、
多くの\S^T \S'の特異値がフルランクで求まらない場合は -|σ_1|≦cos(θ_{n n'})≦|σ_1|となる。」
が言える。キター

基底\L, \L'の共通方向をそれぞれ除いた正規直交基底\S, \S'が直交する
（\S^T \S' = \O（零行列））となる この特別な最も単純な場合を考えれば、、
特異値は0しかないので常に cos(θ_{n n'})=0 、つまり直交ですよと。。

そういえば、共通方向\S''がある場合には特異値に1か-1入れて -1≦cos(θ_{n n'})≦1 とかでいいじゃん。
どっちにしろ、どんな「方向余弦半径超楕円」も 単位超球面の境界を含む内部に存在すると言えるぉ。

以上、>>400 のコンピュータ君のために、「角度」を普通に内積と acos のみで考えて、
m次元ユークリッド内のn次元超平面とn'次元超平面の成す角度の範囲を
解析幾何学的に導出したまでの話ですた。「角度」が何だって？？（笑）

以上を >>391 の１に絡めて応用すれば、クラスタリングっぽい話から、
一般化されたユークリッド空間内での二単体間のある意味最短距離経路が
求められると思っております。ASAP ではまた

Bibliography
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H. S. M. Coxeter, "Introduction to Geometry Second Edition", Wiley Classics Library Series, 1989

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　http://books.google.com/books?id=L4ZnoQ6mCAwC&printsec=frontcover
Jon Dattorro, "Convex Optimization & Euclidean Distance Geometry", Lulu.Com, 2006/7/30,
　http://books.google.com/books?id=byqvt2ArOLQC&printsec=frontcover

MIROSLAV FIEDLER, "MATRICES AND GRAPHS IN EUCLIDEAN GEOMETRY",
　Electronic Journal of Linear Algebra ISSN 1081-3810, Volume 14, pp. 51-58, 2005/09,
　http://hermite.cii.fc.ul.pt/iic/ela/ela-articles/articles/vol14_pp51-58.pdf
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　http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0408/0408132v2.pdf

>>459 方向ベクトル同士の余弦については、
正負どっちでもいいっちゃいいので 0≦|cos(θ_{n n'})|≦1 と書くぉ。

二面角 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92
を見れば、対象とする部分空間内の各超平面の法線ベクトルが成す角度
（の範囲）という定義が本筋っぽいので、共通部分は除外で後は同じようにやるぉ。

>>391 の１は一般化されたユークリッド空間内で、二複体のそれぞれの点列を含む
最小の部分空間（やはり私はこれをアフィン空間とは呼べない）同士 が成す角度の
範囲（方向余弦半径超楕円による）が応用のメインで、複体の点列の重心から
Singular Value Decompositionによって求まるCentroid SVD Hyperellipse
の特殊な場合である Simplex Steiner Hyperellipse が基礎のメインとします。

ということで、タイトルは
"Dual Subspace Distance apllied Centroid SVD Hyperellipse
of Simplicial Complex in Homogeneous Euclidean Geometry"
ぐらいしにて、基礎の基礎で単体・複体・特異値分解・疑似逆行列・正射影行列
・直交分解・アフィン変換あたりを、全体の空間をあらかじめ1次元過剰な斉次系で
考える Homogeneous Euclidean Space によって、このスレの基礎とするものを
全て記述できる気がしてます。間に合うかなぁー

このスレで辺乗行列\Bと呼んでいたものは Euclidean Distance Matrix （主にDらしい）
の全ての成分に1/2掛けたものっぽいです。まだ諸説ありよくわかりませんが、、
っていうか今回関係なく使いませんが…

John Clifford Gower, "Euclidean distance geometry"
http://scholar.google.co.jp/scholar?q=euclidean+distance+matrix+gower
とりあえず、↑のGower神関係の文献をあたれば良さそうです。ク、クリフォード？？
Jon Dattorro, "Euclidean Distance Matrix"
https://ccrma.stanford.edu/~dattorro/EDM.pdf
↑の弟子っぽいDattorroさんも良さそうです。ともすれば工学の中の応用数学の分野
とも言えそうですが、このニッチな分野の近況がだんだん見えてきましたよ。

あと、任意の連立方程式の（最小自乗）解法については、
宮岡 悦良, 眞田 克典, "応用線形代数", 共立出版
あたりに載ってます。クラメルの解法どまりの本が多いですが、
（正）射影行列（および直交射行列と書いてあるのは今のところ見ませんが）
や特異値分解まで出てくる本もどっかで見た気がします。

今回、arXivに出そうと思ってるのは、どこかのウェブサイトかGoogle Scholar や
Google Books にpdfがある文献のみReferenceにしようと思ってます。

elsevierの"Linear Algebra and its Applications"
http://www.elsevier.com/wps/find/journaldescription.cws_home/522483/description
にあるH Kurata, T Sakuma, "A group majorization ordering for Euclidean distance matrices", 2007
が気になるなぁーじゃあ５月３１日まで集中します、何かあったらお気軽にどうぞ

Allan L. Edmonds, Mowaffaq Hajja, Horst Martini,
"Coincidences of Simplex Centers and Related Facial Structures"
http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.46/no.2/b46h2ehm.pdf
"Orthocentric simplices and their centers"
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0508/0508080v1.pdf
の参考文献や
Malgorzata Buba-Brzozowa,
"Ceva's and Menelaus' Theorems for the n-Dimensional Space"
http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg01_05/jgg0410.pdf
を発見した！研究者名でまとめたいなぁー

ところで，私がarXiv（Math.MG）へ投稿していいという承認を，
↓のURIから誰かして頂けると大変ありがたいです。
http://arxiv.org/auth/endorse.php?x=S433L3

立体行列
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246851207/

立体行列？について当スレの内容から常識的に考えると、
m次元ユークリッド空間内のある点を表す斉次座標の(m+1)次元
列ベクトル \~p_i に対して、アフィン変換する(m+1)×(m+1)行列
\~M_i を掛けたときに、別の点を表す(m+1)次元列ベクトル
\~p'_i ( = \~M_i \~p_i ) となるとすれば、この式を i=0…n に対して
奥行き方向に並べた式 \~P' = \\~M \~P (↑)の \\~M として立体行列
（階数3のテンソル、または、3次元配列）が得られる。（ただし、行列の標準内積ベースの演算を使っている）

ここで、\~P' および \~P が互いにn次元単体を表す一般的な点列の位置座標だとすれば、
標準的に空間ごと別のアフィン変換をする(m+1)×(m+1)行列 \~M’ を用いて
普通の行列演算で \~P' = \~M’ \~P と書けるはずである。これは、さきの
立体行列 \\~M の各奥行き方向の(n+1)個ある(m+1)×(m+1)行列 \~M_i に対して、
一つの(m+1)×(m+1)行列 \~M’ が一意的に定まる \~M’= f[ \~M_0, …, \~M_n ]
のような奥行き方向の変換式が存在するということになる。

以上より、アフィン変換行列群の例における立体行列は、
普通の一つのアフィン変換行列に帰着できてしまうことになる。
これによって、立体行列による多重線型変換（？）による拡縮・回転・平行移動
の成分がさきの \~M’= f[ \\~M ] を解くことによって一意に求まる．気がする。

面白い問題おしえて〜な 十六問目
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/186
>186 ：１３２人目の素数さん ：2010/05/21(金) 08:45:41
>時計の時針・分針・秒針の全てが同じ長さ・同じ重さだったとする。
>
>
>時計が一番つらい時間は何時何分何秒か？

等速で均質な針が動く時計において、12時ちょうどから時計回りの方向に
時針（長さl・重さm）がθだけ回転したときには、分針（長さl'・重さm'）は12θ
だけ回転し、秒針（長さl''・重さm''）は720θだけ回転していると考えられる。

この連続理想時計で、ちょうど6時の方向に重力加速度gがかかる場合、
時針・分針・秒針の重さによって時計中心にかかるモーメントの大きさの総和 N は、
N = ( l m g |sinθ| + l' m' g |sin(12θ)| + l'' m'' g |sin(720θ)| )/2 と表せる。
よって、Nが最大となるときのθは…絶対値が外れる条件で微分…するのはめんどいし、

結論：　これは離散的な数値計算した方がいいな…
　っていうか、そんなに気になるなら、時計を寝かせて使うか、時を止めてしまえっ！
　むしろ、論文書くの間に合ってないので、私のために世界の時を止めて下さいザワールド

>>465 \~M’= (\~M_0 + … + \~M_n) / (n + 1)としか
予想できんが、証明なんてできそうにないなこれ。

>>466 この連続理想時計の3つの針が12時ちょうど以外の12時間で
ちょうど重なることはあるか考える。まず、時針・分針が重なるとき
0＜θ＜2πで θ+2kπ=12θ（k=1,…,10）となればよいので、
θ=2kπ/11 （12時を基準に1周を11等分した10箇所）で時針・分針が重なる。
同様に計算すると、分針・秒針が重なるのは59等分された58箇所で、
時針・秒針が重なるのは719等分された718箇所であるため、
11と59と719がそれぞれ互いに素であることから時針・分針・秒針が
全て重なりあうことはこの連続理想時計では12時ちょうど以外には
ありえないということが導ける。同じように24時間時計でも離散的に
動くとしてもありえないとは思うけど、本スレの針交換の意味がわからん。

まぁ、俺の考えなどどうでもいいことだから、向こうのスレを汚さずこっちでやりますた

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