★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/l50

　関連スレ
面白い問題おしえてーな 九問目
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/l50
昔の大学入試問題を載せるスレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1092333634/l50

京大を忘れんじゃねーぞ！ モルァ！
乙。
俺は立てられなかった。

　関連スレ
シンプルで難しい問題
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1011067036/l50

　　　　　　　　　　　　　　 /　　／　　　　　／　　　|　 　 　 ＼ ヽ
　　　　　　　　　　　　 　 /　／　 ／　　 / /　　　 ||　 |　　i　 ヽ i
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　　　　　　　　　　 　 　 |//　 /　/___, -一ｧ|　　/! |ﾄ、|│　|　|　く」
　　　　　　　 　 　 　 　 |,-‐¬ ￣---┘'７ |!　 ﾊ! |,､-┼十|!　|　| |
　　　　　　　　　 , -‐ ''"　　し' '´_ ／,ィ二l |ﾄ、/!ヽﾄ､＼_ヽ!|!l　| ﾊ |
　　　　　　　,r／　　　　　　__　　 ,イ|ﾘ ヾハ! ヽ!　 ,ィ⌒ヾﾐﾘﾉ!/ﾘ　 |
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　　／　ヽ　　　 `ーｿ　 '　|　|ﾄ､,ﾍ ′""　　　　　　　 　 "" / / ||　|　　　
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　　 　 　 　 　 ／　　 /　/ |　 ヽ 川＼　 　 ヾ三ﾆ‐'′／/! |　 | |　 | 　　　新スレ、乙であります
　　　　　　　 /　　　 /　/ 八　 ＼川| |`ト-　..　 __ , イ‐ｧﾍ |　 | ||　 |!
　　　　　　／　　　 /　/ /　 ＼　 ＼ 「`ー- ､　　　　／ 　.〉　 ト､|　 ヽ、
　　　　 ,イ　　　 ／-─＝¬ﾆヘ､_　 ＼ 　 厂＼　厂ヽ　/!| 　 |　`ｰ＝ﾍ
　-‐ ￣ /─　' ￣　　　　　├-　ヽ＼　 ＼ﾉ＼　＼　人 ﾊ!ヽ　||　　|-┤ ヽ
　 　 　 /　　　　　　　　　 ／!‐--　| |＼ 　 ﾄ､_｀ヽ oヽ　　ﾄ､!　 ||　　|‐┤- ヽ
　　／/ 〉　　　　　　__ ／　 ├‐-　 ||　 | 川-‐　　|　|　　厂7! ﾊ!　 ├:┤　￣ヽ
　　／ / ｰ ─ 　 ￣ 　 　 　 ├‐-　ﾘ　 || ﾊ!ﾍ　　 |　|　　ト┤|/′　ヾ,┤　　　ﾞi_
　　‐ '　　　　　　　　　　　　　 〉‐-　　　 | /　/＼ .|o |　/ヽ/（′　 　 ∨　　　　 ＼
‐--─　──-r､___-､　　　　/ー_　　 　 {(　　　'´＞､! /ヽ/　　　　　　 |＼ 　 　 　 ＼
なんとなく良い雰囲気のAAだったので前スレから引っ張ってきました
全→前

>>1
乙ロリ

>1にロリAAがありませんが、失敗ですか？

>>984
正円で考えて相似変換すればすむことなので、正円で考えます。
正円の中心をO、十二角形の各頂点をA、B、…Lとします。
点Bのみを移動して、三角形AOB、BOCの面積の和を最大にするという問題を考えると、
三角形ABCの面積を最大にするという問題に帰着します。
点Bのみ移動するので、底辺AC、高さ＝BとACの距離の三角形の面積はAB＝BCの二等辺三角形
のときに最大になることは明らかです。
三角形AOB、BOC、…KOL、LOAの十二個の三角形の順番を入れ換えて考えれば、
これら十二個の三角形は合同、すなわち、面積を最大にする正円に内接する十二角形は
正十二角形であることが証明されます。
あとは正十二角形の面積を半角公式を用いて求めれば求まります。

>>6
最大値の存在が仮定されていると思う。
---
どういうことか説明すると
---
単位円に角度が\theta_i（i=0......11、\theta_0=0、\theta_iは相異なる）(*)ととると
面積は11変数函数S(\theta_1,......,\theta11)になる。有界なのは明らか。
最大値の存在を示せ、というのだからSの値域が例えば
(a,b)とか[a,b)のように〜<bとなっている可能性が排除される必要がある。
ここで最大値がmだというのは
ある(*)をみたす\alpha_iたちがあって(、(*)を満たす任意の\theta_iたちに対して
m = S(\alpha_1,......,\alpha_11) \leq S(\theta_1,......,\theta_11)を満たすことが証明できること。
ところが、任意に隣り合った3頂点A,B,CをえらんでBを弧ACの真ん中に移動させる、ということを
繰り返しても、一般には有限回で正十二角形には到達しない。これは三角形【四角形】のときも同じ。
ところが、このときは、三角形ABCたち【四角形ABCDたち】に対しては、それぞれAB=AC
【AB=BCかつCD=DA】となるように変形した後ではSが一変数の函数とみなせるので
あとは増減表を書けば、（あまり厳密にやらない高校数学の範囲では）
最大値の存在も一緒に示したと見做されるのではないか、ということ。
---
ちなみに、『解析入門30講』の第6講のTea Time（pp.49,50）にこのあたりの事情が書いてある。
金子晃先生の『数理系のための基礎と応用微分積分II』の例題6.2を見ても、一般には
大学の教官は（少なくても東大の教官は）こういった細部にかなり気を配って採点を
行うことが推察できる。

>>7
東大の教授だって、
「所詮高校生が書いた答案だし……」
って思うと、数学の厳密性についてはあまり深くつっこまないと思うが

>>8
まあ漏れもそう思うけど大学生以上なら間違いだと
思わなくてはならない、ということ。
似た話で、昔加法定理の証明がそのまま出たことがあったけど、
アレを複素数のde Moivre使った香具師は流石に減点されたと思う。
（高校では加法定理を使ってde Moivreを証明するはずなので、
これでは循環論法になってしまう！）
まあ高校のカリキュラムなんて全然知らない教官も多いし、
そんな詰まらんもの知りたくも無い、という潔癖な姿勢は
数学者としては悪くは無いんだけど。

>>8
まあ漏れもそう思うけど大学生以上なら間違いだと
思わなくてはならない、ということ。
似た話で、昔加法定理の証明がそのまま出たことがあったけど、
アレを複素数のde Moivre使った香具師は流石に減点されたと思う。
（高校では加法定理を使ってde Moivreを証明するはずなので、
これでは循環論法になってしまう！）
まあ高校のカリキュラムなんて全然知らない教官も多いし、
そんな詰まらんもの知りたくも無い、という潔癖な姿勢は
数学者としては悪くは無いんだけど。

それにどこで読んだか忘れたけど（日々の雑感だっけ？）
東大の採点は各問ごとに
採点基準作成
→科類あたり一人の教官が頑張って全部採点
→採点基準および実際の採点自体をチェックする別の教官が居て、チェック（要するに採点の採点）
→疑義があれば討論後もう一回採点やり直し
とかいう恐ろしく厳正な方法が取られるらしいので二十点中数点は減点されるかも

二重投稿しちゃった、エヘ&heart;

heartsのs忘れちまった、なんてこった……

>>7
円に内接する三角形を考えれば、
任意の三角形 &leq 二等辺三角形
任意の二等辺三角形 &leq 正三角形
が言えるので、
最大性は示せるのでは?

三角形のときはそれでOK。つまり予選で
二等辺三角形だけが勝ち抜いて決勝戦をやる、という方式。
決勝戦で微分積分が要るけど。それに比して五角形の場合、
操作
(*)任意に隣り合った3頂点A,B,CをえらんでBを弧ACの真ん中に移動させる
で正五角形に移るような五角形たちの集合X
の中では正五角形が最大であることはいえるし、
「最大値が存在する→最大値は正五角形」も明らかだが、
この前提が必ずしも自明ではない。
（自明だけど証明が難しい、が正しいかも）

つまり(*)の繰り返しで得られないような操作
（もしこんな操作があれば一気に二つ以上頂点を動かす操作であることは間違いない）で、
五角形Pから面積が減少して正五角形になる可能性がある。
もちろんあくまで「可能性」ですよ。

>>9
> 高校では加法定理を使ってde Moivreを証明するはずなので、
複素平面が導入されたときの初期の教科書には、
積の絶対値=絶対値の積、積の偏角=偏角の和を
三角関数の加法定理を用いずに証明したものがあった。

本スレあげ

>>15
『線型代数の基礎』（永田ほか）の最初のほうにあるよね。
もし高校の先生がその本にしたがって教えていたら必ずしも
循環論法にはならないのか。高校のカリキュラムは奥が深い。

>>984
sin ｘ （0≦ｘ≦π）に対して凸不等式を使えば自明。

(ﾟдﾟ)ﾌｧｲ?

前スレの気になる問題

957 ：１３２人目の素数さん ：04/11/03 14:43:39
微積じゃないけど（且つ、易しいけど）

1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + .........　＜ 2.75

は？

これは以前、入試の範囲じゃないっていわれた問題ね。
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ......1/n! ＜ 2.75 , n = 1, 2, 3, .....
としたらどうかしら

>>20

(1 + 1/1!+ 1/2!) + (1/3! + 1/4! + ...)

と分けると前半の和は5/2
後半は初恒1/3!　公比1/3の等比級数で抑えることができて1/4未満と判る

5/2 + 1/4 = 2.75

だよね

お見事！
他に東大入試問題スレに書いたあったような方法もあるわね。

0≦|x|≦|y|≦|z|≦1
0≦bcx≦cay≦abz≦abc (a,b,cは正の定数)
この立体の体積を求めなさい

別々の問題?
それとの二つの条件を同時に満たすという事かしら？

>>25
x,y,zがこの条件を満たすとき、P(x,y,z)の体積だと思います。
なにせ問題文がこれだけだったもので

�@0≦|x|≦|y|≦|z|≦1
�A0≦bcx≦cay≦abz≦abc (0≦a,b,c)
�A<->�A`0≦x/a≦y/b≦z/c≦1(0<a,b,c)ora=0orb=0orc=0
�@<->�@`1≦1/|z|≦1/|y|≦1/|x|orx=0orx=y=0orx=y=z=0

>>27
０っちゅーことですか？

>>21
前ｽﾚのﾚｽをなぞるなよ、ﾎﾞｹ

×>27
○�@0≦|x|≦|y|≦|z|≦1
�A0≦bcx≦cay≦abz≦abc (0＜a,b,c)
�A<->�A`0≦x/a≦y/b≦z/c≦1(0<a,b,c)
�@`はいらね。

�@だけなら、８。

�@かつ�Aだと思われ

>>31
まじぼけですか

いや、�@、�A、�@かつ�Aの３パターンで思考しようとした。
�A`のイメージがめんどい。

マジボケですが何か？

おい。�Aはどんな立体だ？

これは文系の問題らしい。数式処理で瞬殺できる解法がある

それを書けよ、さっさと。

なぜお前に命令されんといかないんだ？
ちっとは考えろ

>36
底面が(0,0,c),(0,b,c),(a,b,c)で原点を頂点とする三角錐。
だから、ab/2*c/3=abc/6。�Aだけなら。

�@かつ�Aなら、瞬殺はないと思われる。
場合わけがめんどくさい。

>>41
あとで出典はいいます。瞬殺可能かどうかは知りませんが、記事に３秒でできる書いてあります

俺が逝くのより早いな。

>>42
早めに誤っておけ
理解していない問題をコピペする習慣もやめるべきだ

>>44
なにがいいたい。

> 早めに誤っておけ

そんなことゆうとますます間違えるだろ

謝るだけで許してやれ

問題は1,a,b,cの大小関係で、多分1<a,b,cで答えは1/6とか？
でもそれをどう言うかだな。

何をあやまるんだ？

>>47

a=b=c=1/2でもx=y=z=1/2とおけば�Aは満足する(x,y,z)は
存在するからそれはないぞ〜

瞬殺できる問題だとしたら44(=46?)のいうとおり転記ミスだな

ああ、わかった。�Aからx,y,zが正が言えて、�@`の線で考えて、
�A`の式でx,y,zで割って、結局1<a,b,cが言える訳だな。

という訳で最終的に答えは1/6でover.

>>49
http://www.toshin.ac.jp/hs/todai_tokushin/8_29special/8_29nagaoka.html
これで満足か？

>>51
�Aだけじゃん

(1)と(2)に分かれてるから天気ミス。>>51氏ね

24 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：04/11/05 15:02:07
0≦|x|≦|y|≦|z|≦1
0≦bcx≦cay≦abz≦abc (a,b,cは正の定数)
この立体の体積を求めなさい


25 名前：working woman[] 投稿日：04/11/05 15:09:29
別々の問題?
それとの二つの条件を同時に満たすという事かしら？


26 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：04/11/05 15:31:21
>>25
x,y,zがこの条件を満たすとき、P(x,y,z)の体積だと思います。
なにせ問題文がこれだけだったもので

まだ謝ってなかったの？

どっかから、問題こぴぺすな。塾で聞いてコイや。

クズ提供者はほっといて(2)はa,b,cが排卵か？

>>49
もうめんどくさいが、多分、=は場合分けで別途思考が必要って気がするす。

２４の登場マダー？チンチン

(2)の解答は>>40の通り　abc/6

何が嫌いって、この問題が解けてすごいだろとかこの問題知っててすごいだろとか
こんな知識知っててすごいだろとかおじさんは嫌いです。
それより、この問題が解けておもしろいだろとかこの問題知ってておもしろいだろとか
こんな知識知ってておもしろいだろとかがおじさんは好きです。

でも、皆さんは好きにしてください。

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
リンク先が存在しないとなる。ログ自体消滅したのかorz

x^2+y^2+z^2≦3,x≧1,y≧1
で与えられる立体の体積を求めよ。

自演ぅザ過ぎ

>>18
例の１２学帽、じゃなくて、１２角形の問題ですか？
もしよかったら、もう少し詳しく説明して頂けませんか？

またkingか

平面に△ABCと点Pがある。点Pの直線AB,BC,CAに対する対象な点をそれぞれQ,R,Sとおく。
Q,R,Sが同一直線状に並ぶような点Pの存在範囲を求めよ。

△ABCの外接円

　　　　　　　　　　,..　-―--　､、　 __ ,...
　　　　　　 ,．' ´ ｀`´ ￣ ｀`丶ｖ'"´　　 |_
　　　　 ,. '´　　 ,　　　、　　　　 ＼　　　| ￣＼
　　　／　　 ,　 l　　i　 ヽ ＼ヽ＼　ヽ、　|　　 /
　　 /　./　/,'　 !ヽ ヽ　 ヽ. ヽ ヽ ヽ. ヽ＼i　 /
　　/　/　./ l　_⊥ヽ‐ヽ、'Ｔ''|ヽ i 　 i　i 　 > {
　　{{　|　 |　ﾚ'! ヽ＼_＼,,-,‐-!､'} ﾄ､ l　|／｀ヽ〉
　　ｌ ｌ ｌ　 |　| |/Tﾊ　　　 |::f;;}| ﾚ'r.｝' / 、ヽ　 ｀ヽ､, _
　　 !ヽN |､ | !` l:ﾘ｝ 　 　 ‐'‐' ,._,ノ ./ 　i　｀、 ヽ ／　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 　 `!ヽN ヽ" ｀ｰ　　　 ／!ﾍ.|./__　 |　 ヽ ｆ´　＜　次スレまだカナ？まだカナ？
　　　　　　|　|　| ｀i - ..,.． '´''´ 　 ﾘ´ﾚ｀ヽ　,.-､|　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　 　 　 !　! ｌ,-┴/ハ　　　 ,．'´ ｀ヽﾚ'|/
　　　　　　 ヽ N,. '´,.=El=､､／ ／　／,.>、
　　　　　　　 ,＼l〃〃||　ヾ ／ 　./ / 　 ヽ
　　　　　　 / //《_〃|!||ヾ、》　　/ /　　　|
　　　 　 　 | //　｀´ l」l」. ｀´　　|　|　　　 〉

口開けて物言え

くち

>>27の�@は�Aでa=b=c=1の８倍で、4/3。
あっごめん。わかってた？

次の命題の真偽を検討せよ。

関数f(x)が任意の自然数nに対して、n次導関数が連続であり、
∫[0,1] f(x)dx=0　　∫[0,1]xf(x)=1
を満たすならば、

f(x) (0≦x≦1)の最大値は4以上である。

じっくり吟味致した。
以上。

>>73
なんか不自然な仮定だね。

>>73　　dxが抜けてた


次の命題の真偽を検討せよ。

関数f(x)が任意の自然数nに対して、n次導関数が連続であり、
∫[0,1] f(x)dx=0　　∫[0,1]xf(x)dx=1
を満たすならば、

f(x) (0≦x≦1)の最大値は4以上である。

検討した。以上。

１辺が１の正方形に内接する三角形のうち、周りの長さが最大となる三角形
はどのような三角形かを求め、その最大値を求めよ。

折りかえしゃいいじゃん。

>>24
ｘ／ｙ≦ｍｉｎ（１，ａ／ｂ）。
ｙ／ｚ≦ｍｉｎ（１，ｂ／ｃ）。
ｚ≦ｍｉｎ（１，ｃ）。
ｘ＝ｐｍｉｎ（１，ａ／ｂ）ｍｉｎ（１，ｂ／ｃ）ｍｉｎ（１，ｃ）。
ｙ＝ｑｍｉｎ（１，ｂ／ｃ）ｍｉｎ（１，ｃ）。
ｚ＝ｒｍｉｎ（１，ｃ）。
０≦ｐ≦ｑ≦ｒ≦１。
（１／６）ｍｉｎ（１，ａ／ｂ）ｍｉｎ（１，ｂ／ｃ）＾２ｍｉｎ（１，ｃ）＾３。

凸n(n≧3)角形に互いに端点以外の共有点をもたないn-3本の対角線をひいて
n-2個の３角形に分割する方法の組み合わせの数をanとおく。(ex. a3=1、a4=2、a5=5、･･･)
anを求めよ。
　
↑最近これ知ってへぇ〜って結構感動したんだけどこれってもしかして有名問題？

これも結構感動したぞ。

x(i)をn個の互いに異なる実数とする。
Σ[i=1,n] ( ((x(i))^(n-1))/( Π[j=1,n j≠i](x(i)-x(j)) ) )
を簡単にせよ。

>>82
簡単にせってなんかやだ。答えかいて等しいことをしめせにしよう。

んじゃ、1に等しいことを示せ

>>73
ｆ（ｘ）＝−２４ｘ＾２＋３６ｘ−１０＝−２４（ｘ−３／４）＾２＋７／２。
−２４×（１／３）＋３６×（１／２）−１０×１＝０。
−２４×（１／４）＋３６×（１／３）−１０×（１／２）＝１。
｜ｆ（０）｜＝１０。

>>85　意味不明

>>84
1？(a+b)/(a-b)(b-a)とか(a^2+b^2+c^2)/(a-b)(b-a)(b-c)(c-b)(c-a)(a-c)とかが1？

あれ、俺なんか間違えたっぽい。

もう少し調べてくる。ちとまて

>>87
まて、それはお前が勘違いしている

>>88
あ、いや、オレの早とちりだ。
( ((x(i))^(n-1))/( Π[j=1,n j≠i](x(i)-x(j)) ) )
これをi:1〜nまで足すのね。

>>87
ネタですか？

いや、>>82も間違ってるっぽい。

よかった、間違ってない。上のでいいんだ。
ちゃんと1になるよ。

あれ？やっぱり1にならないような？
a/(a-b)+b/(b-a)なんて1にならないよね？こんどの解釈はあってるよね？

あ、なるや。すばらしい。

>>78
楕円はそれの接線によって分けられる平面の片方に含まれるので
三角形の頂点が正方形の頂点と一致するとき周の長さは最大になり
最大値は２＋√（２）。

>>82解けるっぽいけど、高校レベル超えてるっぽい。
簡単な方法あるかなぁ……

>>97
早っ。とりあえずできた解答はってたも。

んじゃ、整理してからうぷる。

でも、俺の解凍ってヴァンデルモンドの行列式使ってるよ。

>>99
なるほど。オイラもやっとわかった。すばらしい。

ヴァンデルモンドの行列式を考える。すなわち、i行j列の成分がx(i)^(j-1)で表されるような行列の行列式である。
この行列式の値は、ぐぐれ。因数分解すればすぐに分かる。

行列式をn列目の成分に注目して展開すると、
Σ[i=1,n] ( (x(i)^(n-1)) * (-1)^(i+n) * Π[m＜n,m,n≠i] (x(m)-x(n)) )
=Π[a＜b] ( x(a)-x(b) )
が成立する。

両辺をΠ[a＜b] ( x(a)-x(b) )で割ることを考える。

今、
( (-1)^(i+n) * Π[m＜n,m,n≠i] (x(m)-x(n)) ) / Π[a＜b] ( x(a)-x(b) )　　　　式A
を考える。明らかにこの式は
( (-1)^(i+n) )/ Π[a＜b aまたはbがiに等しい] ( x(a)-x(b) )
と変形されるはずである。分母に含まれる
x(i) - Yの形の因子は n-i個
Y - x(i)の形の因子は i-1個
である。　これらを全て x(i)-Yの形に直すには分母・分子に-1をi-1回かける必要がある。



あれ、こんがらかってきた。ごめん。

>>100
今度は俺が分からなくなったｗ

>>102
まあ答えわかったからオレ的には満足して心置きなく本日は落ちれる。ありがとん。

>>82
ｙ＾（ｎ−１）＝Σ（ｘ（ｉ）＾（ｎ−１）Π（（ｙ−ｘ（ｊ））／（ｘ（ｉ）−ｘ（ｊ））））。
ｙ＾（ｎ−１）の係数を比較して１＝Σ（ｘ（ｉ）＾（ｎ−１）／Π（ｘ（ｉ）−ｘ（ｊ）））。

>>104
＞ｙ＾（ｎ−１）＝Σ（ｘ（ｉ）＾（ｎ−１）Π（（ｙ−ｘ（ｊ））／（ｘ（ｉ）−ｘ（ｊ））））。
↑これはどうやるの？

おお、なるほど。y=x(1)〜x(n)まで代入するのか。すばらしい。

>>101　自己レス。　超アフォな所間違ってた。吊ってくる。

なんか分からんがすげ〜な
大学で数学もやっているが↑のようなのは一生かかっても分からん

ところで、まじめに言っているのだが、
上のような計算はどういった領域で利用されているんだ？

全角さん起きてるのなら>>85の解説もｷﾎﾞﾝ

なんで多項式に限定していいの？

>>109
多項式ですら反例があるっていってるんじゃない？

多分。>>73は|f(x)|の最大値の間違いだと思って解いてた。

あれ？まてよ？f(0)=-10でも反例にならないな。符合反対にしたらもとの
条件みたさないから。ホントにこっから反例構成できるんかいな。

まあ多項式に限定しても一様近似定理(ワイエルシュトラスだったっけ？)で
桶だとおもうんだけど。さすがに>>73は成立するが答えじゃないのかな？
反例つくる問題はつまらん。

>>73のメール欄に真だと書いてるからな

多分、俺の解釈>>111であってると思うが、答えがますます分からんｗ

>>108
>>104 は Lagrange の補間公式の特別な場合。

>>73
の問題って
＞f(x) (0≦x≦1)の最大値は4以上
この4って2の間違いという可能性はない？なんか最大値2+εの解があるような･･･

>>73
こんな感じになった。↓
F(x)=∫[0,x]f(t)dtとおく。すると示すべきことは
F(x)がC^∞級関数でF(0)=F(1)=0、∫[0,1]F(t)dt=-1のときあるc∈[0,1]で
F'(c)≧4となること。
しかし問題はたとえばG(t)として(0,0)と(ε,-2)、(ε,-2)と(1,0)を結ぶ線分をかんがえて
グラフがこの図形であらわされるものをとる。（ただしこれはx=εのとこでとんがってるので
適当になめらかにしといて）∫[0,1]F(t)dt=-1、F'(c)≦2+εをみたすC^∞級関数が
つくれるとおもうんだけど。あってるよね？
問題がmax{f(t)}≧2を示せ、かmax{|f(t)|}≧4を示せ、ならわかるんだけど。

ｆ（ｘ）＜２（０≦ｘ≦１）なら∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ＜１なので
∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝１なら２≦ｆ（ｘ）（０≦ｘ≦１）となるｘがある。

ｆが連続で−４≦ｆ（ｘ）（０＜ｘ＜１／２），ｆ（ｘ）≦４（１／２＜ｘ＜１）のとき
　∫＿［０，１］（ｘ−１／２）ｆ（ｘ）ｄｘ
＜∫＿［０，１／２］（−４）（ｘ−１／２）ｄｘ＋∫＿［１／２，１］４（ｘ−１／２）ｄｘ
＝１。
ｆが連続で∫＿［０，１］ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝１のとき
∫＿［０，１］（ｘ−１／２）ｆ（ｘ）ｄｘ＝１なので
ｆ（ｘ）＜−４（０＜ｘ＜１／２）となるｘが存在するか
４＜ｆ（ｘ）（１／２＜ｘ＜１）となるｘが存在する。

>>73は端からおかしいって。
問題の設定が不自然。
定積分の仮定では微分可能性すら必要無いのに、C^∞の仮定は異常。
C^0 なら話はわかるが。

不自然でも何でも問題は問題だろうが

すまん、|f(x)|の間違いだった。それと、なんでC^∞にしたかって言うと
高校生の場合、自分の知っている関数のほとんどがそれだからと思って、
利用できる物を制限したくなかったって言う理由がある。

∫[0,1] |f(x)| dx=0
なら、 f は恒等的に 0
(連続性は仮定する)

変分原理の証明
fを[0..1]上の連続関数として、
g(0)=g(1)=0なる全ての連続関数に対して
∫_{0}^{1}f(x)g(x)dx=0ならば
f=0.
誘導付きでないと厳しい？

完全にネタバラします。

f(x)をルベーグ可積分な関数とし、

∫[0,1] f(x) dx=0
∫[0,1] xf(x) dx=1

ならば、{ x| |f(x)|≧4 }∩[0,1]となる領域のルベーグ測度は0より大きい
っていうのが元の問題でございます。
C^∞にしてみたのは、高校生ならなんか、面白い解答思いつくかなぁと
いう希望的観測の元、付け加えてみました。

>>124
易しい

>>124
f から適当な一次関数を引いて、 f_1 (0) = f_1 (1) = 0
g = f_1 とすれば一次関数の場合に帰着。

Re:>126-127 そのようなことでできようとは。しかし、多次元ユークリッド空間になるとどうかな？

高次元は入試の範囲を超えるがな。
g は(一変数)無限回微分可能で、 0, 1 における微分係数はすべて消えるとする

a，b，c は実数の定数とする。
任意の t∈[0，1]、ｘ∈(-∞，∞) に対して
P＝a x^2 + b t^3 x^3 + c t^5 x^4
が上に有界(ある正の数 M が存在して P≦M)となる a，b，c の必要十分条件を求めよ。

>>130
t = 1 と置けば a = b = c = 0

間違った。上に有界だったな。

0でない実数x,yに対し
f(x,y)=x-y
g(x)=1/x
という関数f,gがある。

明らかにx+y=f( f( f(x,y),f(0,y) ) , f(0,y) )
が成立している。

問い１
0でない実数x,yに対して
x×y　、　x÷yが関数f,gのみで表現可能であることを示せ。


問い２
ある関数h：R^2→Rが存在しhのみで、四則演算が記述できることを示せ。

間違えた。0を除かなきゃいかんから、
h：(R-{0})^2→R-{0}
こんな感じか。

x+y=f(x,-y) じゃだめなのか？
ｇは不要だと思うが。

全角がミスるとは

勝手に単項演算-使っちゃダメ。
g使わずに掛け算作るのは流石に無理だろ

>>137
単純に無理。

f(0,y) はOKでf(x,-y)が駄目な理由がわからん
「関数f,gのみで表現可能」の意味をはっきりして欲しい

>>133
問題文が不適切。出題した東大教授はクビ。

じゃあ >>133 はあぽーんという事で

>>133
f(0,y) が OK ならf (π, x) でも何でも OK
問題文が不適切。出題した東大教授はクビ。

>>133
>明らかにx+y=f( f( f(x,y),f(0,y) ) , f(0,y) )
>が成立している。

f(0,y)の値は未定義

ダメポ．．．

勿論 f (f (x, x), y)) とはわけが違う。
あぼ−ん

>>139
同感。
漏れは>>133じゃないが勝手にきちんと書くなら多分こんな感じになるのかな

f_1,f_2,.........,f_nから表現可能な函数の全体F(f_1,f_2,......,f_n)を次で定義する。
・Fはx_1,x_2,.........（変数記号でかつ一変数の函数）を含む。
・Fがf_0,f_1,,......,f_nを含み、f_0に現れる変数がn個、f_1,.........,f_nのどれかに含まれる変数がm個なら
f_0(f_1,f_2,......,f_n)はm変数の函数
・Fは以上を満たす函数の集合の中で最小のもの。（extremal clause）

「函数として等しい」は「定義域が等しくかつ定義域における任意の点で値が等しい」、で外延的に定義。
おのおのの変数x_iはインフォーマルにx,y,zなどとも表記することにする。

このときx\inFを取ってくると一変数の定数函数0=zero(x)=f(x,x)
はF(f)、したがってF(f,g)に含まれることがわかる。
x+y=plus(x,y)=f( f( f(x , y) , f( zero(x) , y ) ) , f( zero(x) , y ) )だから
二変数函数x+y=plus(x,y)もF(f)およびf(f,g)に含まれる。

>>145
見苦しい
クソ問はどうあがいてもクソ問

>>133
>明らかにx+y=f( f( f(x,y),f(0,y) ) , f(0,y) )
>が成立している。

f(0,y)= 0 - y = -yであれば確かに左辺と右辺が
等しくなるからf(x,y)の定義域は「任意の実数x,y」
としておけばよかろう

しかしわざわざ「0でない実数x,y」と書いてしまって
いるからな。まあ致命的な出題ミスであることに
変わりはない．

このｽﾚはここから、ｸｿ問を糾弾するｽﾚになりますた。

>>148
クソ問はスルーしれ

0でない実数x,yに対し
f(x,y)=x-y
g(x)=1/x
という関数f,gがある。

明らかにx+y=f( f( f(x,y),f(0,y) ) , f(0,y) )
が成立している。

問い１
0でない実数x,yに対して
x×y　、　x÷yが関数f,gのみで表現可能であることを示せ。


問い２
ある関数h：(R-{0})^2→R-{0}が存在しhのみで、四則演算が記述できることを示せ。

これこれ

まあ東大じゃ出ないよね。というかこの種の問題はその人の数学的能力に比例しないから
なかなか出題されない。されてもおまけ問題みたいな扱いか。

簡単だと思ったけど回答がないんで、もとﾈﾀを。

実は、偏微分方程式

[∂_ｔ - a (D_x)^2 - b t^3 (D_x)^3 - c t^5 (D_x)^4］u(t,x) = 0， （t，x）∈［0，T］ ｘ R （D_x = -i・∂_x）

が H^∞−Wellposed となる必要十分条件を、ペトロフスキーの定理を使って求めるというもの。
元々は a，b，c は Complex だった。

正直どうかしてたよ。ごめんね。思いっきり間違ってた。

本当はさぁ、x-y=f(x, f(f(x,x),y))ってすべきだったんだよ。
あぁ、マジゴメン。

(1) まずは易しいほうから。
f (x) は、四則(分母は零にならないものとする)、冪根、三角関数、対数関数(真数は正）、
指数関数の組み合わせによって与えられた関数とする。
ｒ ＜ 1 なる実数 r が与えられて、
条件 ： |f (x) - f (y)| ≦ r*|x - y|を満たしていたとする。
この時 f (x) = x なる x が存在する事を証明せよ。
（当然ながら、コーシーの収束条件など、高校範囲を超えるものは使ってはならない。）

もういいさ、一人でかってにやってみるよ。俺が悪かったよ。

>>133　自己レス。

本当はね、こんな感じにしたかったの。

f( g(x), g( f(x,1) ) ) = 1/x - 1/(x-1) = 1/x(1-x)
が成立している。また、
g(1/x(1-x)) = x(1-x)
も成り立つ。
さらに
f( x, x(1-x) )=x^2
が成り立つので、f,gのみでx^2が表現可能。

次に、f( (x+y)^2 ,x^2 ) = 2xy+y^2
f(2xy+y^2,y^2)=2xyより、　f,gのみで2xyが表現可能であり、この関数をhとすれば、
h(x,y)=2xy
h(2xy,1/4)=xyで　x×yがf,gだけでいけるんだよ。っていう問題のつもりだったんだけど
自分で見返しても悪問だわ。　　ﾊｧ……

>>153
複素数に関して上に有界とは?

>>156

潔さに感心しますた。

>>156
死ね

>>156
君が悪かった。

というのは半分冗談だけど意味が明確になるように書きましょう

>>157
偏微分方程式の係数が Complex だったと言う事。
>>130 の問題自体を Complex で考えていたという意味ではない。

>>161
だったら自明だよ。
c ＜ 0
又は
b = c = 0, a ≦ 0.

>>81
スレの進行はやくてオイラの問題ながれちゃったので答えかきます。
an=C[2n-4,n-2]/(n-1)
でつ。これ答えみたとき結構感動したんだけど。有名問題なのこれ？

カタラン数

>>162
全然駄目だな。

反例 a＝1，b＝0，c＝-1

＞反例 a＝1，b＝0，c＝-1
それはc ＜ 0 に含まれているよ。

>>153はちょっと勘違いしてた。
まあ、>>130には影響無いけど。

>>166
ﾊﾞｶだな。
反例って書いてるだろ。
有界にならない例だよ。

>>168
？？？
何ですかこの人は

>>168
馬鹿だな。
上に有界って書いてあるだろ。

>>170
真性か？
上に有界にならない例だよ。

おなにー

>>170
x^2 - t^5 x^4 が上に有界だと証明してみてください。

Σ[k=0,n] ((2n-k)Ck)*2^k
でも求めて、落ち着け。

確かに x^2 - t^5 x^4 は上下に非有界だな。

>>175
上には有界にしか思えません。
よかったら説明してくれませんか？

>>176
tx=1

>>177
は？

>>178
x 任意の正の数
t = 1/x と置く

t∈[0,1]
っていうのを見過ごしているに100タイラさん

なるほど
じゃあ >>162は間違いという事で。

>>180
それは修正可能。
厳密には ｜ｘ｜≧１ で ｔ＝1/｜ｘ｜とおくよろし。

0でない実数x,yに対し
f(x,y)=x-y
g(x)=1/x
という関数f,gがある。

明らかにx+y=f( f( f(x,y),f(0,y) ) , f(0,y) )
が成立している。

問い１
0でない実数x,yに対して
x×y　、　x÷yが関数f,gのみで表現可能であることを示せ。


問い２
ある関数h：R^2→Rが存在しhのみで、四則演算が記述できることを示せ。

>>183
これこれ

長さ2の線分上に異なるn個の点を取り、それらをP(1),P(2),…,P(n)とする。
点P(i)からP(i)以外のn-1個の点までの距離の積、すなわち
Π[j=1,n j≠i] P(i)P(j)
をτ(i)とし、S=Σ[i=1,n] 1/τ(i)とおく。

このとき、Sの最小値を求めよ。

で、結局>>130はどうなのよ。

>>130
は答えはc<0か又はc=0,b=0,a≦0じゃないの？さすがに。反例でたっけ？

あ、そんなに簡単ともかぎらないな。>>187は撤回。

>>187
ログ読んでんのか？

>>130は誰もわからないか。
ﾊﾞｶばっかりだなｗ
漏れが教えてやろう。
a≦0 かつ b＝0 かつ c≦0 だよ。ﾊﾞｶども。




















ただい、十分条件な。

＞ただい、十分条件な。

日本語を磨いてから出なおしてきたまへ。

>>130
できた。c<0、a<0 or b=c=0、a≦0でなければ上に有界でないことはあきらか。裏が成立することをいえばよい。
b=c=0、a≦0なら上に有界なのはあきらか。c<0、a<0のときを考えればよい。
g(t)=(cx^4)t^5+(bx^3)t^3+ax^2とおく。g'(t)=5(cx^4)t^4+3(bx^3)t^2=(t^2)(5(cx^4)t^2+3(bx^3))
c<0なのでこれはa,b,cできまる定数X(a,b,c)より絶対値が大きいxにおいてg(t)<0。つまり
g(t)≦g(0)=ax^2≦0である。よっていま領域 {(x,t) | |x|≦X(a,b,c)、t∈[0,1]}における
ax^2+bt^3x^3+ct^5x^4の最大値をMとすればax^2+bt^3x^3+ct^5x^4はつねにmax{M,0}以下、つまり上に有界。
　
受験の解答ならX(a,b,c)とかMとかちゃんと計算しないといけないかもしれないけど
数学板の解答ならこれでいいよね。

しまった。いま見返したらまちがってるよ。>>192は撤回します。

てわけで>>192を訂正。
c<0、a<0 or b=c=0、a≦0でなければ上に有界でないことはあきらか。裏が成立することをいえばよい。
b=c=0、a≦0なら上に有界なのはあきらか。c<0、a<0のときを考えればよい。
g(t)=(cx^4)t^5+(bx^3)t^3+ax^2とおく。g'(t)=5(cx^4)t^4+3(bx^3)t^2=(t^2)(5(cx^4)t^2+3(bx^3))
領域-3b/5cx≦0＆x≠0および領域-3b/5cx≧1、x=0においてはPは上に有界である。
なぜなら-3b/5cx≦0＆x≠0上ではc<0よりbとxは異符号ゆえbt^3x^3は負、ax^2、ct^5x^4も負より
P<0となる。また-3b/5cx≧1、x=0⇔-25bcx-25(cx)^2≧0は有界閉区間ゆえここでもPは上に有界。
よって領域x≠0、0≦-3b/5cx≦1においてかんがえればよい。この領域では
g(t)はt=√(-3b/5cx)において最大。そのときPは
P=a x^2 + b (√(-3b/5cx))^3 x^3 + c (√(-3b/5cx))^5 x^4
=ax^2+b(√(-3b/5c))^3･x^(3/2)+c(√(-3b/5c))^5･x^(3/2) (-3b/5c≧0のとき)
=ax^2+b(√(3b/5c))^3･(-x)^(3/2)+c(√(3b/5c))^5･(-x)^(3/2) (-3b/5c≦0のとき)
であるがいづれにしても上に有界。
　
案外メンドイ。>>153のペトロフスキーの定理とか使ってもとめる解答(屮ﾟДﾟ)屮 ｶﾓｰﾝ。

ａ＜０，ｃ＜０またはａ≦０，ｂ＝０，ｃ≦０。

ａ＜０，ｃ＜０のとき
　ｂｔ＾３ｘ＾３
≦｜ｂ｜ｔ＾３｜ｘ｜＾３
≦（｜ｂ｜／３）（（ｘ＾２）＾（９／１０）＋２（ｔ＾５ｘ＾４）＾（９／１０））。
ａｘ＾２＋（｜ｂ｜／３）（ｘ＾２）＾（９／１０）と
ｃ（ｔ＾５ｘ＾４）＋（２｜ｂ｜／３）（ｔ＾５ｘ＾４）＾（９／１０）は上に有界なので
ａｘ＾２＋ｂｔ＾３ｘ＾３＋ｃｔ＾５ｘ＾４は上に有界。

>>195で答えはあってますね．
でも必要性の部分が抜けてます．

>>194は「c<0、a<0 or b=c=0、a≦0でなければ上に有界でないことはあきらか。」
の部分が明らかでなく，しかも間違ってます． 反例 a=b=0, c=-1

>>194
>>130をペトロフスキーの定理を使って証明するのではなくて，
>>153の偏微分方程式が H^∞−Wellposed となる必要十分条件が
ペトロフスキーの定理によって与えれれていて，それを書き換えたのが
>>130の問題です．詳しくは以下のようになります．

[∂_ｔ - a (D_x)^2 - b t^3 (D_x)^3 - c t^5 (D_x)^4］u(t,x) = 0 をフーリエ変換すると

[d/dt - a ξ^2 - b t^3 ξ^3 - c t^5 ξ^4] ｖ(ｔ,ξ) = 0 (ただし ｖ(ｔ,ξ) は u(t,x) のフーリエ変換)

よって ｖ(ｔ,ξ) = ｅｘｐ{∫(s=0→t) (a ξ^2 + b s^3 ξ^3 + c s^5 ξ^4)ds} ｖ(0,ξ)

ペトロフスキーの定理の必要十分条件とは exp の部分がξの多項式オーダーで上から
押さえられるといいうものです．実は>>130は積分を考慮に入れてなかったのですが，
問題自体には影響はありませんでした．この手のオーダー評価は定石があります．
その事はまた後で書きます．

>>195
Young の不等式を使ってるの？

>>198
（ＡＢ＾２）＾（１／３）≦（１／３）（Ａ＋２Ｂ）で
Ａ＝（ｘ＾２）＾（９／１０），Ｂ＝（ｔ＾５ｘ＾４）＾（９／１０）とする。

「，」と「．」

>>200
意味不明。

単なる荒らし

81の解答が163にあるけど、どうやっとるんだ。綺麗なんだけどね

>>203
ただ漸化式たてるだけだよ。

163の下にカタラン数とあるから速攻でそうな気がするのだが

何をかカタラン

寒ｩ

>>207
黙れ、禁治産者野郎が。

p(t) = - x^6 + (2 t + t^2) x^8 - t^2 x^10 とする

このとき，任意の t ∈[0，1]，ｘ ∈(-∞，∞) に対して，
∫(s=0→t) p(s) ds は上に有界である事を示せ．

また，t1，t2 ∈[0，1] (t1≦t2)，ｘ ∈(-∞，∞) に対しては，
∫(s=t1→t2) p(s) ds は上に非有界である事を示せ

「，」と「．」

何をやカタラン

最近はカタコラン

>>209
もういいよ、そのタイプ

∫[0,∞]{arctan(πx)-arctan(x)}/x dx=(π/2)ln(π)
を示せ。

f(x,y)=1/(1+x^2y^2)

∫[0,∞] (arctan(πx)-arctan(x))/x dx = π/2∫[1,π] 1/y dy = (π/2)log(π)

>>214
良くある形の積分だな。
何とかタイプの積分とか、名前が付いていたように思うが
重い打線。

おまいら東大の入試問題見たことあるのか？

広義積分は高校範囲外。

f (x) を単位閉区間 I = [0, 1] で 連続微分可能な関数で、
f '(0) = f '(1) = 0 を満たすとする。この時次の不等式を示せ。
∫[0,1] f '(x)^2 dx ≦ π^2∫[0,1] f (x)^2 dx.

>>218訂正

f (x) を単位閉区間 I = [0, 1] で 連続微分可能な関数で、
f (0) = f (1) = 0 を満たすとする。この時次の不等式を示せ。
∫[0,1] f '(x)^2 dx ≦ π^2∫[0,1] f (x)^2 dx.

高校で「連続微分可能」なんて習わない。
用語の説明を端折らない事。

f(x)=sin(100πx)とか普通に反例な気が

>>218またまた訂正

f (x) を単位閉区間 I = [0, 1] で 連続微分可能な関数で、
f (0) = f (1) = 0 を満たすとする。この時次の不等式を示せ。
∫[0,1] f '(x)^2 dx ≧ π^2∫[0,1] f (x)^2 dx.

「連続微分可能」
私は習ったが、確かに今の教科書には載っていなかった。

知らない奴が見ると、微分し放題（C∞）と誤解しそうだな。

フーリエ展開で明らかだけど、工房ならどうやるんだろうね。

微分し放題やり放題でもええよ
ただし工房の範囲でやる事

漏れは「連続微分可能」より「連続的微分可能」派だ。

こんどは\sin (\pi x/100)とかでもオッケー？

証明を再確認するので待ってくれ
一時停止

もう相手にしない方がいいみただな。

つうか、氏ね。

>>228
ｆ（１）は０じゃないぞ。

吊るよ

自惚れ酔っ払い層化uxeeeeeeee!

広義積分は高校範囲外。

f (x) を単位閉区間 I = [0, 1] で 連続微分可能な関数で、
f '(0) = f '(1) = 0 を満たすとする。この時次の不等式を示せ。
∫[0,1] f '(x)^2 dx ≦ π^2∫[0,1] f (x)^2 dx.







なにが「広義積分は高校範囲外」だよ。

Wirtinger不等式だから結論は正しい。フーリエ展開で簡単に証明できる。
問題出した人間はどんな証明方法を考えていたのか知らないが。

\Sigma_n 1/n^2=(\pi^2)/6を示せ。以前
東工大後期で途中までやらせる問題が出たが
最後まで出来る。

TeXで書くな。

でもマカーが困ったりしないか？
こういう文字機種依存じゃなかったっけ？
なら別にいいけど

�農{n=1}^{∞} 1/n^2 = π^2/6
を「高校数学の範囲で」示せ

２ちゃんで機種依存文字なんて無問題。

「機種依存文字」って、昔流行したルアーの一種でしょ。

>>239
誘導なしだと無理だと思う。

1/n^2を(π/m)^2cot＾2(nπ/m)で近似して和をとればいい。
後者の和は簡単に求まるから。

>>243
そんな天下り的な解法しかないのなら悪問だな。

天下り的って何？？？

官僚の天下りのように
旧態依然とした権威的な回答のこと

妖精さんのお手伝いなしには思いつかない解答のこと。

　∫＿［０，１］（（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）−πｆ（ｘ）ｃｏｓ（πｘ）／ｓｉｎ（πｘ））＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＾２ｄｘ−π＾２∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾２ｄｘ。

「，」と「．」

数学者の論文はすべて天下り的になっている。
何故なら、アイデアを盗まれないためである。

xについての多項式f(x)が任意の実数xについて非負の値を取る時、
ある二つの多項式A(x)、B(x)が存在し、恒等式
f(x)=(A(x))^2+(B(x))^2
が成立することを示せ。

>>天下り
たとえば石とりゲームの問題でいきなり
さて、「ここで(1/a)+(1/b)=1となるような無理数a,bを考えよう」とか、

\piが無理数であることを示せ、といわれて最初から
さて、「f(x)=x^n(1-x)^n/n!とおこう」とか

いわれても動機が全く不明なのでびっくりする。
こういうときに[ここで『天下り的だが』〜とする」
と断ったりします。そのような証明の実例は数学を勉強していく上で
（オーソドックスな教科書などにはあまり載らないけど）
習得していくものです。

>>251
実係数多項式はガウスの定理により１次式と２次式の積に分かれる。
１次式の部分は各因子が偶数べきになるので問題なし。
２次式の部分は平方和になるので、恒等式
(x^2 +y^2)(u^2 +v^2) = (xu - yv)^2 + (xv + yw)^2
より帰納的に出る。

>>天下り
数学オリムピックは全部天下り

Re:>237 とりあえず、\sumと、\Sigmaを混同しないでくれ。

自分では解けそうにない問題を天下り呼ばわりして
自尊心を維持しているわけですね。

>>251
代数学の基本定理を使わずに
初等的な方法で出来るの？

>>256
そうして何が悪い

>>257
数セミのエレ解で類題があった
初等的に解ける

>>256
大学の入試問題として語ってるんだよ、ボケ。

↓おそらく、正解率０％の問題。

円周率 $\pi $ の小数第 10000 位を求めよ。

>>261
その問題は天下り的杉ｗ

勘で当たるから0％っとことはない。

>>259
教えてチョ

>>261
その用法は間違ってるような希ガス

でも16進法か8進法かどっちか忘れたが、たしか
n桁目だけを求める公式があったろ
10進法でもどうにかなるかもしれん

>>265
まちがえた、>>262だったorz

どっちにしろ正解者はでないだろうな

>>252
確かにあの円周率が無理数である事の証明は、初等的にできるんだけど
仕掛けが全然見えないよな。もしからくりが分かる人がいたら教えて欲しい。

以下、実話。

ある分野で世界的に有名な数学者に、その門下生が尋ねた。
「先生、この論文のここの不等式は、コロンブスの卵的凄い発想ですね。
どうやって思いついたんですか？」

その教授は答えた。
「絶好調だったんですよ！」

やはり、飯の種はおいそれとは聞き出せないらしい。棺桶まで持っていく人が
多いと言う。

>>268
「絶好調だったんですよ！」 ﾜﾗﾀ

絶好調上げ

別に隠そうとしてるんじゃないと思うけどね。人によるだろうけど。
自分でもわけわからんうちに頭の中にわき上がってくるんでしょう。

ラマヌジャンがイギリスのケンブリッジにいた頃、友人のインド人数学者マハーラノービスが
雑誌の難問コーナーからこんな問題を見つけてきた。 「通りに家がずらっと並んでいて、端
から順番に１番、２番、…と番地番号がつけられている。さて、ある家の左側に並んでいる番
地番号を全て足した数と右側に並んでいる番地番号を全て足した数がちょうど同じになると
いう。この家の番地番号は何番で、通りには家が何軒あるか？但し通りの家の数は５０軒以
上、１５００軒以下とする。」

ところがラマヌジャンはすぐに答を口述し始めた。それは通りに並ぶ家の軒数の条件をはず
した一般解を全て連分数によってあらわすものだった。マハーラノービスが驚いて「一体どう
やって見つけたんだい？」と尋ねると、「いやあ、問題を聞いた途端に連分数しかないと閃い
たのさ。それでどうつながるのかなと考えているうちに答が自然に浮かんだのさ。」

おいらにもナマーギリ女神が降臨してくれないかな(´･ω･`)

いつもそれを考えてたからでしょ。
別に何かの神秘がある訳でもない。
数学（の世界や構造、これがあそこに関係したり、、、）そのものには充分神秘があるけど。
彼がそう言ったからって、どっかに神がいてそれでできる様になるわけでもない。
単純にものすごく好きだったんだよ。もうほとんと非常識なレベルで好き。
そればっか。

>>272
そんなにマジレスされても困る。

＞おいらにもナマーギリ女神が降臨してくれないかな(´･ω･`)
比喩なんで。

そうか、悪かった。それじゃそういうことで。しません。
鼻血がでるまで考えれば来るかもよ。

個人的な希望だが、出題者は回答者がいなくても、最初に想定していた解答を記載して欲しいと思う。
今は問題垂れ流しの状態なので、元の問題が高校の範囲で解けるものなのかどうかわからない。
あるいは、単に自分がわからない、若しくはあっているかどうかわからない問題を書いている可能性もある。
出題者が考えた、模範解答を記載する事によってよりよいスレになると思う。

と、マジに書いてみたがこれもスルーかな。

いくらそんな事云ったって、
本人が解答を作って居ない無い自作問題はいくらでも出てくる。

居ない無いばー

解答キボンの声があればうぷするけど完全スルーされてると興味ないのかと思ってしまう。

居ない無い居ない無いばばー

推理力の勝負なのだよ。

背景を推理すりゃいいんだ。
思考の柔軟さを是非、数学以外でも発揮して欲しいものだ。

>>259
解答ｷｳﾞｫﾝﾇ

解答回答

東大は別にどうでもいいけど、大学入試としてありがちな問題。

半径 1 の球面に内接する四面体のうち、体積が最大になるものは正四面体
であることを示せ。また、その体積を求めよ。

視点を変えると意外と簡単に解けるんだよね――――――。

変えなくても簡単だよ

意外でなくて、普通に簡単ですが何か？

>>251　解答

∀x∈Rについてf(x)≧0なので、f(x)=0の解αが実数である場合、f(x)は(x-α)の因子を偶数個持つ。
また、f(x)=0の解αが実数でない場合、f(α)=f(α~)=0なので、f(x)は(x^2-(α+α~)x+αα~)を因子に持つ。
結局、f(x)は次のような実係数二次の式を因子に持つ多項式であることが分かる。
(x^2 - 2ax + b )　　ただし、a^2-b≦0である。
この式を次のように平方完成する。
(x-a)^2 -a^2+b
=(x-a)^2 + c^2　　　( a^2-b≦0　より、このような実数cが存在する )

このような式を二つかければ
((x-a)^2 +b^2)*((x-c)^2 +d^2)
=((x-a)(x-c)-bd)^2 + (d(x-a)+b(x-c))^2
となる。　これを全ての因子に対し用いれば題意の結論が得られる。


Q.E.D.

>>Q.E.D.

誰も回答希望してくれないんで、自演しようかな。

>>288
問題どれだよ

>>266
>>253に書いてあるよ

引用間違い
>>286
>>253に書いてある

最初に因数分解したほうが簡単。

え？　>>286は最初に因数分解してるんじゃないの？
それとも、なんか他にやり方があるわけ？

1+1=2
を証明せよ

1+1=3
の否定を証明せよ

Re:>295 1+1=2であり、2≠3.

Re:>296 お前ほんとに馬鹿だな。

Re:>297 お前ほんとにアホだな。 偽者

どなたか御茶ノ水近辺で家庭教師になってくださいません？
当方中央区在勤会社員です。

は・い？

んなこと、2chに書くのか？

>>299
当方実力派回答者です。13歳。
高給で家庭教師になります。
大学生でも相手に出来ます。

∫(0〜π/2){1/(1+(tanx)^(√2))}dx=？

π／４。

>>299
そんなことは普通2chには書かないっすよ。
2chには個人を識別できる情報は載せられないし、
かといって個人識別できる情報を載せないと話できないし。

家庭教師であれば大学に求人出したらどうでっしゃろか。

x軸上のx≧0の部分を点Aが、ｙ軸上のy≧0の部分を点BがAB=2を満たしながら動いている。
直線ABに関して原点と対称な点をPとするとき、Pの通りうる点全体による曲線をCとする。
曲線Cにより囲まれる領域の面積を求めよ。

半径１の球に内接する六面体がある。この六面体の体積が最大になるのはどの
ようなときか？　またその体積を求めよ。





ガッガッガッ

立方体で体積は(8√3)/9

>>307
証明してーーーーー。

俺には無理

平面を固定して直方体が最大になるのを確認して平面を動かせばいいだけじゃないの？

直方体が最大になるのをどう確認するかだ

というか平面固定した場合、直方体が最大にはならんのじゃねえ？

そもそも、六面体って言っただけだったら各面がどんな形しているかも分からんしなぁ。

なんか適当なこと言っちゃってすいません

各面の形で場合分けしてるとあまりにｱﾋｬ

とりあえず、各面の形が四角形っていうぐらいは問題文に書いても良いのではないかと

>>308
ラグランジュの未定乗数法を使えば、できるかもしれないらむーーーん。

各面が四角形という仮定では難しい。
各面が三角形（三角両錘）にするとどうだ

何面体で、、、？

６面体なら、全て四角形と五角すいだけ思考すればいいんじゃないかな。

三角両錘だから、上に三つ、したに三つで六面体

三角両錘だと一気に難易度が下がるな。

むしろ六面体の形状を分類せよ、とか
誘導で入れると結構良問だと思われ。
分類せよじゃ入試問題にならないが。

各面の辺の数が(3,3,3,3,3,3),(4,4,3,3,3,3),(4,4,4,4,3,3)(4,4,4,4,4,4),(5,3,3,3,3,3)(5,4,4,3,3,3),(5,5,4,4,3,3)で全部かな。

各面が四角形の場合に限り問題を検討する。　　簡単のため、外接球の半径を1とおく。

六面体をABCD-EFGHとおく。この六面体は次の３つの四角錐に分割される。
底面ABFE、頂点H　　底面BCGF、頂点H　　　底面ABCD、頂点H
今、四角錐(底面ABFE、頂点H　　底面BCGF、頂点H)を固定し、四角錐(底面ABCD、頂点H)を動かすことを考える。
このとき、動点は点Dのみであり、これは平面ABCと外接球が交わる平面、すなわち円上を動く動点である。
この動点Dを上記条件の下で動かし、六面体の体積を最大にすることを考える。その際、AD=CDの時に限り議論すれば最大性の検討には十分である。
同様の議論を、動点をBにして行えばBA=BCの時にのみ、議論をすれば最大性を検討できる。

このような時、すなわちDA=DCかつBA=BC、四角形ABCDが円に内接している時、明らかにACは外接円の直径であり、BD⊥ACが成立する。　　[1]
次に、六面体ABCD-EFGHを次の5つの四面体に分割することを考える。
四面体AFHE　、　CFHG　、　ACFH　、　BACF　、DACH
このとき、前者３つ(四面体AFHE　、　CFHG　、　ACFH)の四面体を固定し、さらに平面ABCDを固定して、四面体BACFとDACHの
体積を最大にすることを考える。この場合、[1]よりBDが直径になる時のみを考察すれば、最大性の議論には十分である。
結局、四角形ABCDが正方形の時のみを考察すればよい。同様の議論をEFGHに対して行えば、最終的に
ABCDとEFGHがともに正方形になる時に限り、考察を行えば良いことが分かる。

まず、平面ABCDとEFGHが平行である場合を検討する。　　パターンA
AB=a、EF=bとして　a≠bの時を考える。対称性よりa＜b≦√2としてよい。この場合、四角錐O-EFGHを考え、そこから、四角錐O-ABCDを除いたもの
が求める部分の体積であることが分かる。外接球の半径が1であることから、外接球の中心O'から平面ABCDへの距離は√( 1-(a^2)/2 )、
同様に平面EFGHへの距離は√( 1-(b^2)/2 )、従って、平面ABCDと平面EFGHとの距離は√( 1-(a^2)/2 )+√( 1-(b^2)/2 )
また、点OからABCDへの距離をhとすれば、a/(h√2) = b/( (√2)(h+√( 1-(a^2)/2 )+√( 1-(b^2)/2 )) )である。従って
h=(-a/√2)*( (√(2-a^2)+√(2-b^2))/(a-b) )であり、四角錐O-EFGHの体積から四角錐O-ABCDの体積を引いた部分の体積は
(a^2+b^2+ab)(√(2-a^2)+√(2-b^2))/(3√2)である。aを固定してbを変数と見なし、a＜b≦√2の範囲を動くとすれば、
因子(√(2-a^2)+√(2-b^2))は最大値を持たず、b→aとした時の値より小さい値しか持たない。前半の同様。従って、これは最大値を持たず、
またb→aとした時の値より、小さい値しか取らないことが分かる。従って、パターンAの場合は結局a=bの時、すなわち、正方形ABCDとEFGHが合同な時のみを検討すればよく
そのような場合は直方体となり、さらに、ABCD,EFGHは辺の長さがaの正方形である。考察をここで中断し、他の場合を検討する。　　　　---[A]

平面ABCDとEFGHが平行でなく、ある直線Lで交わる場合を考える。
さらに、この場合の中で、平面ABFEが直線Lと平行である場合を考える　　パターンB
このような場合、平面BCGF、ADHEが直線Lと交わる点をO、O'とすれば、明らかにAB=OO'、EF=OO'なので、正方形ABCDとEFGHは合同である。
このとき、明らかに六面体ABCD-EFGHは底面BCFG、高さABの四角柱と見なすことが可能である。さらに、底面BCGFと上面ADHEは合同である。
このとき、四角形BCGFに注目し、辺長BC,GFを固定、平面BCGFを固定し、辺長BF,CGのみを変数と見なして、四角形BCGFの面積を最大にすることを考える。
今、平面BCGFが固定されているため、四角形BCGFの外接円の半径は固定されている。従って、外接円の中心をPとすれば、△PBC、PGFの二つも固定されている。
従って、この条件下で△PBF、PCGの和を最大にすることを考えればよい。さらにこの和は三角関数を用いてPB=rとすれば、
((sin∠FPB+sin∠CPG)r^2)/2≦sin( (∠FPB+∠CPG))/2 )r^2　　(なぜならば、区間[0,π]においてsin関数は上に凸)
∠FPB+∠CPGは固定されているため、結局上の不等式において等号が成立する時に、四角形BCGFは最大になることが分かる。
そのような場合はBCGFは長方形。結局、この場合も[A]と同じ場合に帰着され、[A]の場合のみを検討すれば、この二つの検討が可能である。

最後の場合として、平面ABCD、EFGHが平行でなく、ある直線Lで交わり、さらに、四平面ABFE,BCGF,CDHG,DAEHがどれも、Lと平行でない場合
を検討する。　パターンC
　　　が面倒なのでまだやってない。　　　いじゃう。

>>325-327
なげーーーーーーー

関数 ｙ＝ｆ（ｘ） が、以下のｘについての恒等式を満たすとする。

｛ｆ（ｘ）-ｘ-ｂ1｝｛ｆ（ｘ）-2ｘ-ｂ２｝｛ｆ（ｘ）-3ｘ-ｂ3｝・・・｛ｆ（ｘ）-ｎx-ｂｎ｝＝0
（ｂ1、ｂ2、ｂ3．．．ｂｎ は定数）

このとき、この恒等式を満たす、すべてのｘについて不連続な関数ｆ（ｘ）が
存在しないための必要十分条件を求めよ。

>>329
日本語の意味がよく分からん。

俺にはわかる

ｋｐ＋ｂ（ｋ）＝ｑ（１≦ｋ≦ｎ）となるｐ，ｑが存在する。

先を越されたが、

n 本の直線 y = nx + b_n が共有点を持つ

付記。証明:自明
出題者乙

言いかえると
数列｛b_n｝が等差数列をなす。

各桁の数がすべて1である100桁の自然数Pがある。
(1)Pを49で割ったときの余りを求めよ。
(2)P^Pを49で割ったときの余りを求めよ。

数オリ予選ならともかく、東大入試にはいかがなものかと。

それいっちゃあまともに東大に出そうな問題はこのスレにはほとんどない罠

だって、アレ知らないと限りなく解けそうにないじゃん。
…実はそうでもないとか？

>>339
知らなくても、答案用紙に群の定義をして、ラグランジュの定理を証明して
オイラーの定理を証明して解くんだよ。




で、誰か六面体の問題解けたか？

二項定理で頑張れ

もののけ姫見てます。

長文書いておいて、今さら間違いに気づいた。







めっさﾊｽﾞｲ……

無問題。誰も読んでないから。

同上

俺も同上

あれさ、面角（単位球上の面積）とか、平面までの距離とかで、うまくいかんのか？
後、maxは必ず対称的とか言えれば、かなり、考察範囲が狭まる。

（突っ込むなよ。これ以上は考えてないんだから、、、）

同情しちゃうな

みんな２３日はミス東大コンテスト見に行こうぜ
去年のミス↓
http://gakusai.yahoo.co.jp/misscam/profile/13.html
http://www.campuspark.net/hikaeshitsu/room_komasa/index.html
今年の候補者
http://todai-kouken.net/index.html
優勝は１ですな

おいおい、東大ってすごいな。見直したよ。

>>349
どれも駄目歩。
インテリジェンスが無い罠。

俺はインテリジェンスより、エロティシズムが好き。

でもそういえば、そっちはあまりかんじないかも、、、。

>>349
去年のミスは、あの歯並びでよくなれたな。
歯並びの悪さは、親の社会的地位の低さを表す。

インテリジェンスのある女性あげてください。特に>351に聞きたいな。

俺から、、、
オードリー・ヘップバーン
ジョディ・フォスター

俺ではないが、日本人中高年にありそうなのは
吉永小百合

ジョディ・フォスターは好きだったなぁ。






すれ違いやめれ

今時では、かえって東大なんかでてても、例えばタレントなら、逆境ぐらいにしか
ならない予感がする。誰も女性に、賢さなんか求めてないのではないのかと子一時間。

このスレはここから、インテリジェンスのある女性をあげるスレになりますた。

若き日の香川京子、これ最高。
吉永小百合も確かにいいよな。
J・フォスターは娼婦役の印象が強いのであまり感じない。

おれにとってのジョディ・フォスターはカール・セーガンのコンタクト主役っていう
イメージが強い。コンタクトは良かった。マジ面白かった。アレ最高。


少なくともハウルの百倍は面白い。

２００１年より面白い？

羊達の沈黙。
あのジョディー・フォスターはいい。

最強のジョディー・フォスターは「白い家の少女」のやつだよ。
炉利必見。
ズラだと思うが、オカッパ頭はよかった。それと替え玉だと思うが、
背後からのヌードシーン有り。

こんなのしかないが。

http://www.paoon.com/250s/zoqlqvniu.jpg

対抗馬はいないのか？

何の対抗馬？

ジョディー・フォスターに匹敵するインテリジェンスのある女性だよ。
君の奥さんとか彼女じゃないよ。

別にジョディー・フォスターにインテリジェンスを感じている訳ではない。
話の流れ上乗っかっただけ。

誰か、おしえれ。

対抗馬居たじゃないか。
皇太子様のアイドル。

正四面体と辛子明太子が相似である事を証明せよ。

>>349
写真判定で、露骨に常習喫煙者左右非対称なことを引いても妥当。
問題は、どう屓目にみても問題ありの４、５が頭数候補に残っていたこと。

>>323
誘導つけても高校の数学の範囲では無理。っていうか、解答用紙が足らなく
なる。ラグランジュの乗数法と、球面上の三点の位置ベクトルを $\vec a ,
\vec b , \vec c $ とすると、その三ベクトルがなす錘の体積が
$ \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) / 6$ であることを用い
れば、計算できなくはない（理論上は）。ただし、六面体の頂点は８つだか
ら、その三つのベクトルの選び方も $\binom{8}{3} = 56$ 通りあって
超大変。

>>371
解答用紙が足らなくなるのは同意なんだが、10年弱ほど
前の東大入試って解答用紙が足らない問題ばっかじゃなかったか？

点が8つなら12面体とかもできるから、それでも立方体が最大になるかはかなり不安な気がする。

だめだね。立方体の向かい合う面を45度ずらして出来る10面体は8頂点すべてもとの立方体の外接球面上にあり、体積はもとの立方体の(2+√2)/3倍

↑正方形を平面内で45度回転するって意味です。

>>124の問題の解答を教えてもらえないでしょうか？

Re:>376 [>127].

>>377
それがわからない・・・教えてくださいな。。。

Re:>378
f_1(0)=f_1(0)=0となる連続関数に対して、
g(0)=g(1)=0なる全ての連続関数に対して
∫_{0}^{1}f_1(x)g(x)dx=0ならば
g=f_1を選ぶことで、f_1=0が分かる。
一次関数をf_2としてf=f_1+f_2としよう。
(逆に、任意のfに対して、f_1+f_2と分解できることに注意。)
g(0)=g(1)=0なる全ての連続関数に対して
∫_{0}^{1}f(x)g(x)dx=0ならば、
g(0)=g(1)=0なる全ての連続関数に対して
∫_{0}^{1}f_2(x)g(x)dx=0
となる。

Re:>378 と思ったが、[>379]の説明には欠陥がある。

Re:>378
要するに、最後のf_2が0になってしまうこと。
やはり、地道にやるのが一番か。
0<x<1とするとき、
十分大きい正の整数Nに対して、(x-2^(-N)..x+2^(-N))⊂(0..1)となり、
g_nを、台が(x-2^(-N-n)..x+2^(-N-n))に含まれるとし、
(x-2^(-N-n-1)..x+2^(-N-n-1))ではfに等しいとして、
(x-2^(-N-n)..x-2^(-N-n-1)),(x+2^(-N-n-1)..x+2^(-N-n))ではそれぞれ一次関数となっている連続関数としよう。
nをどんどん大きくとることで、f(x)=0になることを示し、
最後に、f(0)=f(1)=0を示すという方法をとればできる。

>>389
は馬鹿
回答者失格
Catman と同程度のばか

Re:>382 君は未来予知が出来るのか？

http://news17.2ch.net/test/read.cgi/news5plus/1098968706/69

http://info.2ch.net/guide/map.htmlに載せる
紹介文を雑談スレで議論してますので
ご意見のある方は、ネタでも結構ですので是非いらしてください。

a(1)=a(2)=1
a(n+2)=a(n+1)+2a(n)
とする。
nを1以上の自然数とする時、
[ (1+a(n+2))/4 ]
を求めよ。
ただし、[ x ]はxを超えない最大の整数とする。





これぐらい、簡単な問題がちょうど良いと思われ

>>386
b(n)=(1+a(n+2))/4 - a(n)ぐらいの誘導付けたらセンター試験でもいける

前スレの某問題の拡張版

ｆ(ｘ)は実数全体で定義された、定数で無い、連続な周期関数とする。
そのとき、ｆ(ｘ)は任意の閉区間[ａ，ｂ]でｘの多項式では表せない事を示せ。

>>388
間違い。
反例あり。

ちょっと勘違い

× 連続な周期関数
○ 何回でも微分可能な周期関数

>>388-390
だったら容易。
多項式なら有限回微分すると 0.
周期的だから有限回微分すると零。
そのような関数は多項式以外に無い。
周期的な多項式は定数のみ。

「周期的だから有限回微分すると零」というのがよくわからない

>>392
ある区間で多項式だとすると有限回微分すると零
周期的だからその階数だけ微分すると零
(ここに無限回微分可能性を使う)

>>390は反例有り。
>>393は嘘。

「周期的だからその階数だけ微分すると零」てのが間違い。

普通にf(x)=1なんていうのは周期関数だよね？

ある区間は多項式、その前後はＣ＾∞関数で任意階の微分係数が一致するように、
周期的に繋げれば、反例は簡単に作れる

素直にSin(x)はどのような区間[a,b]に対してもxの多項式で表せない事を示せ。


とかにしとけ

前スレ読んでないのか？
そんなレベルの問題はもう話は終わってる。

４００げと

なんか「東大」入試作問者になったつもりなのに、
どちらかというと「京大」入試作問者になったつもりの人が多いような。。。

東大の試験で高得点取れるようになるためには
どうすればいいですか？
それと、どんな問題集や参考書をやったらよいですか？

>>402
学校や予備校で聞け

質問スレか、受験板で聞きんさい
点数計算して、自分でどうやったら一番効用が大きいか考えて行動すれば、
400点はカタイですよ

400/550ね。そのうち100点くらいセンターだから二次は300。

板違いだから、この話題はここで終了

>>388-395
＞任意の閉区間[ａ，ｂ]
任意だから周期より長い幅を取れば成立。

っていうか、任意の区間[a,b]において、xの多項式で表せるxの関数f(x)ってそもそも、多項式しかないんじゃ？？

f(x)は実数全体で定義された、定数で無い、連続な（C^\infty級の？）周期関数とする。
そのとき、

f(x)は（任意の閉区間[a,b]でxの多項式では表せる）でないことを示せ、なの？
f(x)は任意の閉区間[a,b]で（xの多項式では表せない）事を示せ、だと思ってたが。

こういう何通りにも解釈できる問題は悪問ですよ。。。
もっとも、数年前、数学オリンピック本選で、そんな問題が出た気がしたが。

ってか定数じゃない周期関数なら、定数だけ移動すれば、
零点が無限個出てくるから、有限次多項式では表せない(q.e.d.)

じゃないのかね。
そんな簡単な問題出るわけないし

>>402
英語と化学でかせげ．
数学は趣味にしとけ．

6面体の問題は結局未解決なのか・・・

6面体予想の誕生だな。

>>410
最近の数学は稼ぎどころです

ってか点数が低いのは一科目くらいにしとかないと
実際のところ厳しいぞー

>>408
君の読解力がないだけ。
前者の訳ない。

>>414
あなたが空気読んで無いだけ
>>406に対するレスのつもりで書いたのは明らか。

ってか煽りあいは止めましょうや。漏れも後者だと思ってたんだってば。
入試問題でこんなの出すと、ごねられた場合面倒ですよ。。。ってだけ。

多分、解けたから、ここに書く。（全て単位球内接で思考。）
�@任意の四面体においてある一つの面を固定して考えると、対する３辺が等しい
物が最大体積を持つ。（高さが最大になる。）
�A全ての面に対して条件�@を満たす物は正四面体だけである。
�@�Aより、単位球内において体積最大の四面体は正四面体である。

->六面体へ（着想）
任意の物から条件をずらしていく。
対称性をとりだす。
すべてについてこれを満たす物をとりだしていく。

>>416
�A全ての面に対して条件�@を満たす物は正四面体だけである。 　　　( ←これはわかるよ )
�@�Aより、単位球内において体積最大の四面体は正四面体である。 　　( ←でもこれは分からん )


な〜〜ぜ？


俺としては、普通に四面体をABCDとして、三点A,B,Cを固定して、Dの位置を決定。
外接球の中心をOとして、Oから平面ABCへの距離をhとし、外接球の半径をRとして点Dの位置が平面ABCからh+R離れた所にあること、
△ABCが半径√(R^2-h^2)の円に内接していること、を利用して……って感じで解いていくのが普通だと思うけど、


>>416のやり方だと、体積最大の図形が存在することを仮定して解いているとしか思えない。


六面体の方に至っては何言ってるんだかサッパリ分からん。

>>416
ついでに、もう一つ追加だ。

過去に東大だか、どこだか忘れたが、次のような問題が出たことある。( 多分東大 )

空間上に５つの点O,A,B,C,Dがある。
OA=OB=OC=2
OD=3　　　　　　　　　　　　　　　　(  ←数値は適当ｗ  )
が成立している時、四面体ABCDの体積の最大値を求めよ。


この問題を考えた時>>416は全く有効でないぞ。
>>417なら、解答を少し書き換えるだけで応用が利く。その意味でも>>416は意味が分からん。

体積最大の図形があるとすれば
体積最大->�@からどの面をとっても３辺が等しい。->正四面体はこれを満たす。

しかも、この条件を満たす図形は正四面体だけである。
だから、明らかに正四面は体積最大である。

君の最後の例示は具体的数値を問題にしている。それに応用がきかないのは当たり前。

体積最大の図形が満たすべき条件を満たしている図形が実際にただ一つある。

このただ一つの図形が体積最大であるのは当たり前。

六面体問題でも同じ事が言える。
体積最大図形が満たすべき条件（これが対称性だ。）をどんどんあげていく。
それらすべてを満たす図形が正六面体ただ一つである事を言う。

体積最大図形の存在は仮定しているが、それが満たすべき条件すべてを満たす
図形の具体例が手元にある。こいつが、もしたった一つ存在すれば、
それが体積最大なのは当たり前です。

それ（正四面体、Ａとする）よりも体積の大きい図形（Ｂとしよう）が存在すると仮定しよう。（当然、Ａ≠Ｂで）
Ｂも当然先の条件を満たす。

ところが先の条件を満たすのはＡだけだ。それゆえ、Ａ＝Ｂになる。

だからＢは存在しない。だからＡが体積最大になる。

ある条件を満たす図形はこの条件を満たさない図形よりも体積が大きい。

ある条件を満たす図形がただ一つある。

この図形は体積最大である。

六面体の話はもういいよ。

>>419
＞体積最大の図形があるとすれば

証明しろ

>>422
＞それ（正四面体、Ａとする）よりも体積の大きい図形（Ｂとしよう）が存在すると仮定しよう。（当然、Ａ≠Ｂで）
＞Ｂも当然先の条件を満たす。

お前駄目すぎ。　これも証明しろ

>>421
＞体積最大図形が満たすべき条件（これが対称性だ。）をどんどんあげていく。


で？　たとえばなに？

はあーーーーーーーーーー。

ある点をとりあげた時にこの点から出ている３個の辺が等しい物はそうでない物
より、体積が大きい。
これには４つの集合（各点毎だから）がある。
これら４つの集合の共通部分は何？それはあるの？ないの？
ただ一つあるの？それともいくつもあるの？

君さあ、思考がきたないんだよ。数学センスないから、早めにやめた方がいいよ。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1041437063/l50

汚物が混入してきたようです。
ｽﾙｰよろしく。

なんだかなぁ……
１．このスレが何のスレなのか考えてない。
２．自分が数学できると思っているだけで、実際はそうでない。

そう言う人がいます。

どっちがそうなんだか、、、？

最大性の証明とか言ってる人は議論が微妙にループしてるから、
上の方の十二角形問題を見てよ。といいたい。
ちなみに、前スレで、単位円に内接する十二角形の面積の最大値を求めよ、
という問題が出ていた。（最初は楕円だったが、適当に拡大縮小すれば、単位円になるので）

それで、
体積最大の図形の存在を仮定していても、それで
正四面体が最大であることが示されれば、優れた回答だと思う。
で、問題は>>416が全く意味不明なのですよ
まず(1)が良く書いてあることがわからないんだけど、誰か解説してよ
と思ったら>>428見てやっと言ってる意味が分かった。

でも六面体は全然意味不明だという意見に同意。
だれか次の問題出してくれ。

間違えた。
【誤】　最大性の証明とか言ってる人
【正】　最大なのは明らかとか言ってる人

で、>>416はもう少し答案の書き方を勉強した方がいいよ。
読んだ人にわかりやすい、詳細な答案と、略解の書き方。

>>428こそ意味不明じゃね？

>>428は文章能力０

数学的にも正しいとは思えない。

じゃあ漏れがきちんと証明。
・まず最大値の存在を仮定する方法。
四面体をABCDとしよう。Aを固定したときに、BCDを、
三点が成す平面（と球の交わる円）内で、正三角形になるまで動かすと、
面積は大きくなる。（高さが等しく、底面が大きくなるから。）
よって、体積最大の四面体は（あるとすれば）正四面体である。
・最大値の存在を仮定しない方法は
>>417みたいに、Oと三角形ABCの距離をdとして、d=hでまず最大値調べて、
次に増減表書けば良いかと。

>>439
仮定が正しいことを証明しなきゃ。
でも証明しようとすると>>417みたいなのをやることになる。
何かいい方法でもあるのかな。

>>417みたいなことって……全く問題ないじゃん。
それでいいと思うけど。



でだ、立体問題で他の有名な奴。
０より大きい体積を持つ、ある立体はどのような平面で切っても、その断面図が円( または点、空集合 )になる。
この立体は球であることを示せ。


これやってみ。

>>440
折衷で、「Oと三角形ABCの距離をdとして、d=hでまず最大値調べて、
次に増減表書けば」最大値が存在する事が分かる。さて、……
なら一応正しいけどな

>>441
いや、できるだけ無駄な計算をしたくない、ということかと。
で、問題の方は…うーん、即答は出来ないなあ…

Ａ，Ｂの２チームが先に４勝した方が優勝の試合をする。
勝つ確率はどちらも1/2で引き分けはないものとする。
Ａが優勝したとき、Ａが最初の２試合で連敗している確率を求めよ。

>>441

予想された誤答例
立体を切った断面図のうち最大の面積を持つものを一つ考えて、その直径の一つをABとおく。
直線ABを通る平面で立体を切断した場合、条件より断面図は円になるがその直径はABの最大性よりABとなる。
従って直線ABを通るどの平面で切っても断面図が同じ大きさの円になるため条件を満たす立体は球となる。



最大性の利用に対する警告か

有界閉集合上の連続関数ととれるから、最大も最小も有る。

>>445
何が有界閉集合なの？

問題

平面上の有限な面積を持つ点集合のうち、次の二つの条件を満たすようなものは存在するか。

条件１．　平面上のどのような直線とも有限の長さを持つ線分、または空集合を共通部分に持つ。
条件２．　与えられた点集合は非有界である。

>>447　訂正

問題

平面上の有限な面積を持つ点集合のうち、次の二つの条件を満たすようなものは存在するか。

条件１．　平面上のどのような直線とも有限の長さを持つ有限個の線分、または空集合を共通部分に持つ。
条件２．　与えられた点集合は非有界である。

受験数学からかけ離れてるような気がするから、ばりばりの受験問題1問

nを2以上の整数とする。xy平面内の領域
　　D={(x,y)|0≦x≦π、0≦y≦sinx}
を、直線x=kπ/n (k=1,2,･･･,n-1)によってn個の小領域に分割する。
このとき、左から数えて奇数番目の小領域の面積の総和Sと、
左から数えて偶数番目の小領域の面積の総和Tについて、
　　S=T
が成り立つことを示せ。

代ゼミの東大模試であったなあ。

>>450
すおお！よく知ってるね5〜6年ぐらい前かな・・・いろいろ引っ張り出して選んでみた
受験数学ヲタだから、この手の問題いっぱいあるぜい

｜ｙ−ｘ＾２｜≦１／（１＋ｘ＾２）。

>>452　>>448の答え？

まぁ、確かめてないけど多分正解。
で、>>448で何がいいたかったかっていうと、二次元の場合で全ての断面図( 直線との共通部分 )が有界だからっていって
その図形そのものが有界であるとは限らないっていうことを言いたかった。


俺が考えていた例は

x^2≦y≦x^2 + Exp(-x^2)

これは非有界だが、どの直線で切っても断面図( 共通部分 )が有界でいくつかの線分から構成されるし
この点集合自体も有限の面積を持つけど、だからって言って有界じゃない。


なので>>444のような解答は誤答になるのではないかと言いたかった。

>>452
すまんよく見るとｱﾝﾀの例の方がよく見るとわかりやすいわ。それをy軸で回転してx-y-z空間で考えると
どのような平面で切った断面図の面積も有限になるような非有界集合が作れる。

(1)xyz空間内で(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=3で表される図形を求めよ。
(2)xyz空間内で(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≦3かつx^2≦1で表される立体の体積を求めよ。

(1)xyz空間内で(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=3で表される図形を求めよ。
(2)xyz空間内で(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≦3かつx^2+y^2≦1で表される立体の体積を求めよ。

>>448の立体バージョン
0＜z≦1/(x^2+y^2+1)
とか
0＜z≦1/(|ｘ|+|y|+1)

>>445はどういう意味なの？

ちょっと疑問が沸いたんだが
>>441の問題は断面図が全て円なんだろで、これを有界な図形と解釈したり断面図の半径(R)の集合を実数の有界な部分集合と
証明無く見なしてしまうのは問題ありっていうので、色々と例を出してみたんだけど>>441の場合、断面図が円になるんだよな。

で、思ったことは

どの平面で切った断面図も有界で凸な図形になるような立体がある。
この立体は有界であると言えるか？


っていう疑問が沸いてきたんだけどｴﾛｲ人教えて。

どの平面で切った断面図も凸
より、その立体自身凸。
凸で非有界な立体は半直線を含む。

菊川伶って最近見ないけどどうしたんかしら。引退？

1+1=2を証明しなさい。

X，Y２つの袋の中に、それぞれ１からｎまでの番号が１つずつ書かれたｎ枚のカードが入っている。
ただし、ｎは３以上の整数とする。X、Yからそれぞれ２枚ずつカードを取り出した時、
次の（条件１）（条件２）がともに満たされる確率を求めよ。
（条件１）Xから取り出したカードの番号のうち小さい方は、Yから取り出したカードの番号のうち大きい方より小さい。
（条件２）Yから取り出したカードの番号のうち小さい方は、Xから取り出したカードの番号のうち大きい方より小さい。

俺の作った問題だぜ。解けた香具師は東大レベル！！

２（ｎ＾２−ｎ＋１）／３ｎ（ｎ−１）。

なんか大きな勘違いしてるみたいだが、
最大値の存在が問題になる場合もあるし、対称性がかぎの場合もある。
どこから切っても有界で連続で単連結な閉集合なら
ある一つの軸がとれて、断面図をこれの変数と見れば
有界で連続で単連結な閉集合上の
有界で連続な関数が断面積でとれるから、自明でしょう。

ある所では勿論、それが（最大値の存在）問題になるが、
全然、問題外の場合もある。ピントのずれた馬鹿疑問は
教えてくださいってスレがあるから、そこでやれ。

問題にはならない例：
円に内接する多角形の最大値

三角形分割し、連続変形ができ、有界で連続で単連結な閉集合上の
有界で連続な関数としての表現が自明だから。

こんなの問題にかけよな、いちいち、なんて東大が言うなら、入る必要ないね。

>>464
>どこから切っても有界で連続で単連結な閉集合なら
>ある一つの軸がとれて、断面図をこれの変数と見れば

普通解答に一言断らない？

一応断っておくと、別に>>441の問題で断面図の円の半径が最大値を持つことを
証明できない訳じゃないし、俺だって自明だと思ってる。ただ、それを解答に書くと書かないとでは
まるで違うと思っているわけ、俺だったら解答に二三行かけてでも書くけどね。もしくは最大性を利用しない別の方法で書く。

>>463

論証のない香具師は東大にはいりませんｗｗ君は不合格ですｗ

あのね。測度が必要もないのに測度を定義したりする？
異なった論理体系が必要もないのにいちいちそれを使うのかい？
君見てると必要もないのにやたらナイフ振り回してる様にみえるよ。

解析の基礎をいつお勉強して、それをどう使いたいのかしらないけど、
何を問うているのかは問題の顔みればわかるよね。
高校でどこまで解析の基礎をやるんだが詳しくは知らないが、
それでそのたいして学習してもいない基礎に関して出問されるとも思えないな。

面積が疑わしいからって問われてもいない場で、測度論から始めるのかい？
はっきり言って、馬鹿みたいにしか見えないよ。

>>458は有界であることは証明できるのか？

>>469
＞高校でどこまで解析の基礎をやるんだが詳しくは知らないが、
＞それでそのたいして学習してもいない基礎に関して出問されるとも思えないな。

だったら、なおさら最大性については十分注意しないといけないだろ。

>>469
＞高校でどこまで解析の基礎をやるんだが詳しくは知らないが、
＞それでそのたいして学習してもいない基礎に関して出問されるとも思えないな。

だったら、なおさら最大性については十分注意しないといけないだろ。
とりあえず、>>458みたいな問題は最大性を利用しなくても解ける問題なのに、最大性を利用して
しかも、証明無しに利用して、それで解くって言う姿勢が駄目だと言ってるの。

あと、類題なら>>418に書かれているだろ。これを同じように解くのか？
＞高校でどこまで解析の基礎をやるんだが詳しくは知らないが、
＞それでそのたいして学習してもいない基礎に関して出問されるとも思えないな。

大して学習もしていない基礎を利用して、>>418を解くわけ？
それこそおかしいでしょ。

まあ大学入試でそこまで書く必要ないじゃん、という意見には同意ね

厳密じゃない、とは思うけど高校の数学が厳密じゃないのは当たり前だし

とりあえず、色々言ってスマンが、一つだけ最後に測度論云々って言い出したのは
多分>>469が最初だと思う……469=464=445な気がしたので言ってみた。


で、>>441なんだが平行な二平面α、βで立体を切って、切った断面図が面積が０より大きい円になるとする。
両円の中心をO,O'として、α、βに垂直でO,O'を含む平面γで立体を切る。この時、γとαが交わる直線をL、βが交わる直線をL'として
L、L'が立体をγで切った断面図の円周と交わる点をA,B、およびC,Dとする。L//L'よりAB//CD。円の定義よりABの中点がO、CDの中点がO'
ABCDは同一円周上にあることから、結局、O'は平面αに垂直で点Oを通る直線状に存在することが分かる。

最後に、二点O,O'を通る平面で立体を切れば(以下略)


あぁ、色々うるさいこと言ってｽﾏｿ。

次の条件を満たす連続な関数f：R→Rを求めよ。

f(x+f(x)f(y)) = f(x)+xf(y)

「立体に平行な光をあてて，光の進行方向に対して垂直な平面へ映る影の形
および大きさが立体の回転によらず不変のとき，その立体は球に限る」事を示せ。

反例　1≦x^2+y^2+z^2≦2

△ABCにおいてBC^2=AB(AB+AC)ならば∠A=2∠Cを示せ

1以上の自然数a,b,c,dが　a/b=c/d　かつ　a+b+c=d　を満たす時、a,b,c,dを全て求めよ。

C(n,k)は二項係数を表すとする。すなわちn!/(k!(n-k)!)である。
この時、Σ[k=1,n] 1/C(n,k) = ((n+1)/(2^n))Σ[k=1,n](2^(k+1))/k
を示せ

>>468
東大はいりません。

そうね。もうそろそろ東大はｲﾗﾈ｡

n人の子どもがいる。各人は両手を使い他の人と手をつなぐことが出来る。
ここで、以下の操作を、つなげられる手がなくなるまで行う(最終的に輪ができるか1人ぼっちになる）。
どの手とどの手がつながるかはそれぞれの手で等確率である。
☆操作
まだつながっていない異なる２つの手をつなげる(自分で自分の手はつなげない)
(1)n=4のとき、1人ぼっちの子どもが出来る確率を求めよ。
(2)n=5のとき、1人ぼっちの子どもが出来る確率を求めよ。
(*)一般のnのときはどうなるか分かる人がいたら教えてください。

東大生は子供か

　　　　　　　　　　　_,,.. -──‐- .､.._.
　　　　　　　 　 ,　'´　　　　　 ╋　　 ヽ
　　　　　　　　〈:::::::　　　　　　　　　　 _:::)
　　　　 　 　 /´＼:::::::::_,.　- ― -　､.〃/
　 　 　 　 , '/〈∨〉’‐'´ 　 　 　 　 　 ｀ ' ､
　　　　　/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ }　! `, ヽ ヽ　＼
　 　 　 ｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ|　.Ll_!　}　、.ヽ
　　　　 {ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l　}
　 　 　 ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 　 　 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿
＼　　　!（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_]　　　　|iﾘ {､|,ﾉ!'　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 <＼ｎ　)’（ (‘ｰｌ |　 ° ´　　__,'　 ﾟ,' ）　　　　 |　 Kiｎgくん♪
　　/.）＼_,　 ｀ ） ﾉﾉ＼　　　　 ｔﾉ　／(（.　　　 ＜　 うんこ食べのお時間よ！
　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
　　 {. r_〉｀!　}>' 　） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 ＼　 　 ｆ　 ,. '´／　　　　 　 o　..:::　 ＼
　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ

>>486
アホ
やめれ

>>479
AB=c,BC=a,CA=bとする
点Bを中心とした半径cの円を書き直線BCとの点B以外との交点をDとする（接する場合はB=C）。
CD=kとすると方べきの定理より(a-c)(a+c)=bk
条件の式と比較してk=c
よって∠A=∠BDC(鈍角の場合は∠BDCの外角)
=2∠C（なぜならDB=DC）

>>480
(a,b,c,d)=(a,a+1,(2a+1)a,(2a+1)(a+1))or(a,a+2,(a+1)a,(a+1)(a+2))

訂正
○よって∠A=∠BDA(鈍角の場合は∠BDAの外角)

>>480の答えに整数倍忘れてた

東大入試問題教えてくれ

いつぞやの入試問題らしい

三次関数y=ax^3+bx^2+cx+dとxy平面上の単位円が４点を共有し
その４点が正方形をなしている。a,b,c,dを求めよ。

ダメやねん｡叩いたるねん｡いややねん｡関西弁って…

a,b,cを1より大きい自然数とし、
(a^2)+1がbで割り切れ、(b^2)+1がcで割り切れ、(c^2)+1がaで割り切れるとする。

a,b,cの組を全て求めよ。

ってか東大入試作問者になったつもりなら、模試ででてくるような
問題出せばいいんだが、数学板にはそんな香具師はさすがに居ないな

以下某所で拾ってきた問題。このスレで考えてもよし。各スレに持ち帰ってもよし。
ただし、他スレに貼る場合はこのスレから又貸ししていることを
併記しないとコピペ嵐みたいになるので注意。
　自分を含めて100人の人が1から100までの好きな数を1つ選んで紙に書きます
　100人の中で2番目に高い数字を書いた人達が勝ちです
　どの数字を書くのが最も勝率が高いでしょうか？

カン違い君が迷い込んだな

なんらの禁止が無いので、他人に100を書くように頼んで
自分は99を書けばよい。

「2番目に高い数字」なんて書いてる時点で低能丸出し。

「自分」以外全員１と書くので勝率０。

「自分」以外って何だよ。

100と書くと確実に負けるので100と書く馬鹿はいない。
すると99を書いても確実に負けるので99もなし。
同様にしてすべての数字で勝ち目なし。全員1と書いて引き分け。

492がわかりまへん

>>492
ある点P(p,q)がx^2+y^2=1および、y=ax^3+bx^2+cx+dの共有点であるとする。
共有点が正方形をなすという条件より明らかに( p,q ) (-q,p) ( -p,-q) ( q,-p )の四点が、円と三次曲線との共有点になる。
従って
p^2+q^2=1　　　　　　　　　　　　　---1
q=ap^3+bp^2+cp+d　　　　　　　　---2
-p=aq^3+bq^2+cq+d　　　　　　　---3
-q=-ap^3+bp^2-cp+d　　　　　　 ---4
p=-aq^3+bq^2-cq+d　　　　　　　 ---5
が満たされる。2式と4式を、3式と5式を加えて
0=2bp^2 + 2d　　　---6
0=2bq^2 + 2d　　　---7
が成立する。 この 2式をさらに加えて( 最初から全部加えろよという突っ込みは不可 )
0=2b+4d
が成立する。b=-2dのため、これを6式に代入し0=b(2p^2 - 1)が得られる。
仮に2p^2-1=0だとすれば、p=±1/√2　だが、この場合、条件を満たす正方形の四点のうち二つのx座標が等しくなり
x座標の等しい、異なる２点が三次曲線上に存在することになる。従って矛盾。そのためb=0、d=0が得られる。

次に、b=d=0 の条件が満たされた時、単位円と三次曲線が四つの共通点を持つ場合を検討する。
グラフを書けば明らかに、四つの共通点を持つ場合はある点で二曲線が接していることが分かる。その点を再び(p,q)とおけば次の式が得られる。
p^2+q^2=1　　　　　　　　　　　---8
q=ap^3 +cp     　　　　　　　　---9
-p=aq^3+cq       　　　　　　　---10
3ap^2 + c = -p/q
が得られる。この連立方程式を解けば、求める三次曲線は
y=(8√3/3)x^3-(5√3/3)x　または
y=-(8√3/3)x^3+(5√3/3)x

n人でじゃんけんして、
(1)あいこの場合 -> もう一回繰り返す
(2)勝負がついた場合 -> 勝った者同士で繰り返す
という動作を一人が勝ち残るまで続ける。
x回じゃんけんして(一人が勝ち残って)糸冬了するとするとき、
xの期待値を求めよ。

高校までの知識で果たして解けるのか。

お前が考えろ

>>494誰か教えてくれ。

>>506
民間掲示板で聞くんだな。風アザミが答えてくれる。

Re:>507 風アザミって何者？
Re:>506
a=2,b=5,c=13
正整数i,j,kで、a^2+1=ib,b^2+1=jc,c^2+1=kaとすると、
i^4j^2ka=i^4j^2(c^2+1)=i^4((jc)^2+j^2)=i^4((b^2+1)^2+j^2)=((ib)^2+i^2)^2+i^4j^2=((a^2+1)^2+i^2)^2+i^4j^2
これじゃあただの回答か。
本当に大学入試のレベルで解けるのか？
(それにしても、この問題はどこかで見たんだよなあ。どこだろう？)

それ以外にもありますが、何か？

見たことある香具師はスルー汁！

p を素数とし、このとき、どんな大きな自然数 N に対しても、
p^nの b 進法による表記において、 0 が N 個以上連続して
並ぶような自然数 n があることを示せ。

>>508
10年ぐらい前の早稲田で類題

>>511
b が p の倍数でない場合は簡単だが、一般でも出るのか？

>>512
その類題を教えてくれ。

pがbの倍数のときの方が簡単だと思う。

まちがった
>>513
bがpの倍数のときの方が簡単だと思う。

>>511
b=p^e･c (c,p)=1とおく。c=1のときは容易ゆえc≠1とする。φをオイラーの関数とする。
自然数kにたいしてp^(φ(c^k)+ke)をb進法で展開したときの0の個数を下から評価する。
Fermatの小定理よりc^k|p^φ(c^k)-1。∴(p^e･c)^k|p^(φ(c^k)+ke)-p^(ke)。
よってp^(φ(c^k)+ke)-p^(ke)をb進数展開したときの下k桁は0である。一方
log_[b]p^(ke)=k(log(p^e)/log(b))ゆえp^(ke)はb進数展開で高々[k(log(p^e)/log(b))]+1桁。
よってp^(φ(c^k)+ke)はb進数展開ですくなくともk(1-(log(p^e)/log(b)))-1桁の0がつづく。
(1-(log(p^e)/log(b)))>0ゆえ与えられた自然数Nにたいし十分大きいkをとれば
k(1-(log(p^e)/log(b)))-1>Nとなる。

>>風あざみ

整数関係の問題は得意だと思うから>>494解いてくれ

x軸に垂直な平面で切ったときの断面が常に正方形(または点)で、その一辺の両端の点が
xy平面上の単位円x^2+y^2=1上にあり、他の2点はz≧0の部分にあるような立体Vがある。
(1)立体Vの体積を求めよ。
(2)平面y=kでこの立体を切ったときの断面積をSy(k)とする。k=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)としてSy(k)をθで表せ。
(3)平面z=kでこの立体を切ったときの断面積をSz(k)とする。k=2sinθ(0≦θ≦π/2)としてSz(k)をθで表せ。

>>517
なるほど。
b が p の倍数でない場合、私の考えた解はこうだった。
p^1, p^2, p^3, ..... の b 進法の末尾 N 桁を考えると、
少なくとも一つの配列は無限に出てくるから、十分大なる a ＞ b ＞ 0
(a - b も十分大）
を適当に取れば p^a - p^b は b^N で割り切れる。
よって p^(a-b) の最後の N 桁は .......00000001.
これなら高校数学範囲でも容易。

>>520
それだ！

>>521
高校範囲で解いてくれ

>>516は何か勘違いしていたようだ。
>>518
すまん、力になれそうにない。

しっかりしろよ。 Nori には書いているのか。

>>470
有界こそ自明だろ。円や球より大きくでもなるんかい？
それともマイナスの大きさでも出てくるんかい？
>>472>>473
あほか？
だから、高校生にはその厳密な基礎を問わない問題が問われるんだよ、馬鹿だな。
どうしてたいして教えてない事に厳密な理論を要求するんだよ。
>>475
そこだよ。君が数学に向いてないのは。
君は自分の言ってる事がわかりやすいと思ってるらしいが、
常に、ポイントを押さえてないので、はっきり言って読む気がしない。
君がわかりにくいって言ってる方は、ポイントをよくつかんで大変読みやすい。
読解力がないって意味わかるか？

ともかくね、信仰心はいらんのだよ。東大に対しても、いらないTPOでの解析基礎論もな。
さっさと予備校か東大に帰って、お勉強してくれよ。

何この人？一週間以上前の書き込みに対して必死にレスしてるよ。

＞だから、高校生にはその厳密な基礎を問わない問題が問われるんだよ

そうでない問題が出題されたという事実をまるで無視ですか。





それはともかく、必死だなｗ

いや、必死なのはあちらではないかと、
まあいいか。言いたい事は言った。

おまえ、自己分析できてないとか言われたことあるでしょ

いや、おまえほどでもないがな。

こいつらレスおせーんだよな。また、一週間ほど寝てくるよ。

1以上の任意の自然数nに対し、
{ n√3 } ＞ a/( n√3 )
を満たす最大のaを求めよ。

ただし、{ x }はxの小数部分を表すものとし
xを超えない最大の整数を[x]としたとき
{x}=x-[x]である。

>>525　その他スレの皆様。

大変不快な思いをさせてしまったことをお詫びいたします。
誠に申し訳ありませんでした。　以後はその場の雰囲気を考え
一つ一つの書き込みに注意を払っていきたいと思います。

重ねて>>525様、私の至らぬ書き込みをお詫びいたします。
また、丁寧な返答につきましては非常にありがたく受け止めております。

>>525
証明できないなら自明ではない。

>>533の意訳

馬鹿に粘着されたよ、こんな昔のレスを掘り出して
いちゃもん付けるやつ脳みそ足りないんじゃないの。
とりあえず、付きまとわれるのが面倒だから、適当にあしらっとくか。


>>534
>>525の言う有界なことが自明、はそれほどおかしいことでもないと思う。

>>494
Mathematica回して探してみた
(a,b,c)=(2,5,13)、(5,13,17)、(5,26,677)、(17,29,421)
が発掘された。

（２，５，１３），（５，１３，１７），
（１７，２９，４２１），（５，２６，６７７），
（４５０５，１７８，６３３７），（４５５３，１０６５８，１０８０５），
（１７３，２０５，２１０１３），（３５０５，１１５７，２６７７３），
（８５，７２２６，３０５５３），（３６５，４５９４，３３５５３），
（２９３８，３２５７３，３６１４５），（２６，６７７，４５８３３），
（４５１３，１６５０５，４９７３８），（２２５７，２３０５，６４７９３），
（６０１，５７７，６６５８６），（６１，３７２２，６７５７７），
（５３，２８１０，６９８７７），（２７４，３８９，７５６６１）。

>>537
お疲れ様です。

で、>>494 の一般解は？

pを3以上の4で割ると3余る素数であるとする。
p-1個の連続する自然数を考える。これらの数をどのように二つのグループに分けても、
各グループの積が等しくなるようにはできないことを示せ。

それって一般のnでピーターフランクルの
高校時代の友人が証明してたような
ただしチェビシェフの定理と
シルヴェスターの定理（←こっちはどういう定理なのか知らない）
を使うけどね。

＞pを3以上の4で割ると3余る素数であるとする。

このとき p 元体の 0 でない全ての元の積は、 -1 となり、
これは他の元の自乗にならない。

>>542
p-1個の連続する自然数にpで割り切れるものがなければそれでOK
そうでなければ、一方のグループの積はpで割り切れ、他方のグループの積は
pでわりきれないので、やはり正しい

>>543
＞p-1個の連続する自然数にpで割り切れるものがなければそれでOK

なんで？

>>544
>>543以上の説明は誰にもできないので、ここには来ないでください。
ってか>>543の最後の２行を穴のあくほど読め！

なんか、論理を最後まで読まずにそんな事は言えない！！ってがんばりそうな奴が紛れ込んでいる
に１００万ペソ。

論理を読む？
論理を読む？

単に>>542の理由が分からないだけだと思うが……

まぁ、pを奇素数、x^2≡-1 mod.pとすればx^4≡1 mod.pで、x^a≡1 mod.pとなる最小のaが4になって
フェルマーの小定理使ってpは4で割ると1あまる素数になるわけで

>>542は当たり前なんだけど

>543は自己完結してるだろうが？それ以上何を説明するんだい？

>>549
恐らく542と543を読んでも問題の解答が分からない人なんでしょ。
で、問題の解答を説明して欲しいと。ウィルソンの定理とか使うから
高校レベルの人は中々気づきにくいと思うよ。

うん。いいんだけどさ、この間まではどっかにある問題をはりつけるスレじゃなくて
自分で考えた問題をはりつけるスレだったからな、つい、、、。

>>551
これ、一応自分で考えたんですけど。
といっても数檻を改造しただけだが……

問題の解答？？？

わかった。
>1に書いてあったよ。
理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。

納得しました。

>>554
何をどう納得したんだか全く分からんｗ

ウイルソンの定理って高校でやるの？

やらないっぽい

じゃ、使わないで回答しないと。

ウイルスオン

xy平面上の動点Pは円x^2+y^2=1上では速さa(a＞π)で移動し、それ以外の点(x^2+y^2≠1)上では速さ1で移動する。
はじめは点Pは点(1,0)にあるものとし、以下の問いに答えよ。
(1)点Pが点(1,0)を出発し円x^2+y^2=1の周および内部の任意の点に到達できるために必要な時間の最小値を求めよ。
(2)点Pが(1)で求めた時間だけ移動するとき、移動可能な領域の面積を求めよ。

三点が格子点上にある三角形の面積が整数値を取る時、
三角形の辺上に頂点以外で格子点となるものが存在することを示せ。

見たような気がするのは気のせいなんだな。どんなにまずくても、自分で造った問題が好き
だし、好感が持てる訳だが、、、。

>>562
正直好感もてないって言ってくれた方が嬉しいよ。

>>561
(0,0),(a,b),(c,d)で考える。
三角形の面積の公式よりad-bcは偶数となる。
よってa,b,c,dを2で割った余りは(0,0,0,0),(0,0,1,1),(0,1,01),(1,0,1,0),(1,1,0,0,),(1,1,1,1)のいずれかだが、
どの場合も3点のうちの二点の中点が格子点になるような点の組を選べる。

>>562
俺の出題は自作色が濃くなるよう意識してるがスルーされまくり。
見たことないような問題はやっぱ敬遠される気がする。

足りない。

(0,0,0,1)たちが抜けてたか

>>565
例えば、どれ？

x^2+y^2+z^2≦3,x≧1,y≧1
で与えられる立体の体積を求めよ。

x軸上のx≧0の部分を点Aが、ｙ軸上のy≧0の部分を点BがAB=2を満たしながら動いている。
直線ABに関して原点と対称な点をPとするとき、Pの通りうる点全体による曲線をCとする。
曲線Cにより囲まれる領域の面積を求めよ。

各桁の数がすべて1である100桁の自然数Pがある。
(1)Pを49で割ったときの余りを求めよ。
(2)P^Pを49で割ったときの余りを求めよ。

(1)xyz空間内で(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=3で表される図形を求めよ。
(2)xyz空間内で(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≦3かつx^2+y^2≦1で表される立体の体積を求めよ。

x軸に垂直な平面で切ったときの断面が常に正方形(または点)で、その一辺の両端の点が
xy平面上の単位円x^2+y^2=1上にあり、他の2点はz≧0の部分にあるような立体Vがある。
(1)立体Vの体積を求めよ。
(2)平面y=kでこの立体を切ったときの断面積をSy(k)とする。k=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)としてSy(k)をθで表せ。
(3)平面z=kでこの立体を切ったときの断面積をSz(k)とする。k=2sinθ(0≦θ≦π/2)としてSz(k)をθで表せ。

xy平面上の動点Pは円x^2+y^2=1上では速さa(a＞π)で移動し、それ以外の点(x^2+y^2≠1)上では速さ1で移動する。
はじめは点Pは点(1,0)にあるものとし、以下の問いに答えよ。
(1)点Pが点(1,0)を出発し円x^2+y^2=1の周および内部の任意の点に到達できるために必要な時間の最小値を求めよ。
(2)点Pが(1)で求めた時間だけ移動するとき、移動可能な領域の面積を求めよ。

>>568
前スレから

｜z｜=｜z-α｜を満たす複素数z,αがある。
(1) z+(1/z)が実数となるzがちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2であるようなαの条件を求めよ。

xyz空間内に底面がxy平面上の円x^2+y^2=a^2,(a＞0)頂点が(0,0,2b),(b＞0)の直円錐がある。
円錐内部は光を通さないものとして以下の問いに答えよ。
(1)点A(a,0,b)に点光源を置き円錐を照らしたとき、円錐の側面のうち光のあたる部分の面積を求めよ。
(2)光のあたる円錐の側面(底面は除く)の面積が(1)で求めた値と等しくなるような点光源の位置(x,y,z)全体の集合Zを求めよ。
(3)a,bが互いに素な自然数のとき、Zの要素のうち原点に最も近い格子点の1つが点Aであるようなa,bの条件を求めよ。

xの関数f(x)=(ax+b)(2+e^x)-1についてf(x)=0を満たす実数xが3つあり、それをα,β,γ(α＜β＜γ)とする。
∫[α,γ]{f(x)/(2+e^x)}dx=0のとき、∫[β,γ]{f(x)/(2+e^x)}dxをγの式で表せ。

三角形OABの辺OA上に点P,辺OB上に点Q,辺AB上に点Rをとると、
三角形PQRは正三角形になり、さらにPQ//ABになった。
OA↑=a↑,OB↑=b↑とし、OR↑をa↑とb↑で表せ。

ラジャ。

>>560
a＞πなの？

a＞π/2じゃなくて？

訂正し忘れてた
×(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2であるようなαの条件を求めよ。
○(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。

>>569の5問目とか厳密性に欠けるような問題文だけど大目にみてください。

>>572
ごめん、激しく勘違いしてた。多分どっちにせよややこし過ぎて答え出せないからスルーしてください。
アホな出題スマソ。吊ってくる。

先生！！>573の（１）はできましたが、（２）でつまづいています。訂正どうりだとしたら
（１）とどう違うんでしょうか？

｜｛ｚ｜ｚ∈Ｃ，｜ｚ｜＝｜ｚ−ａ｜，ｚ＋１／ｚ∈Ｒ｝｜＝２。
｜｛ｚ＋１／ｚ｜ｚ∈Ｃ，｜ｚ｜＝｜ｚ−ａ｜，ｚ＋１／ｚ∈Ｒ｝｜＝２。

>>575
たとえばα=1ならz=(1±√3i)/2でz+(1/z)=1という実数値をとる。
z+(1/z)を実数とするzの値は2つだが、z+(1/z)の実数値は1つなのでα=1は(1)には適するが(2)には不適。

了解。
でも、先生、かなり癖のある問題群です。

ａ＝１のときｚ＝１／２，（１±√（３）ｉ）／２でｚ＋１／ｚ＝１，５／２。

>>579
ごめん、そうだった。

一辺の長さが1の正五角形１２個で構成される正十二面体に外接する球の半径を求めよ。

>>581
((√3)+√15)/4

>>569の最初の問題は答え出るの？

｜z｜=｜z-α｜を満たす複素数z,αがある。
(1) z+(1/z)が実数となるzがちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2であるようなαの条件を求めよ。

条件�@｜z｜=｜z-α｜<->zは原点と点αから等距離にある直線。仮にLとする。
条件�Az+1/zは実数<->Z=r*e^(it)と置くと、「｜z|=1　or　ｚは実数」と同値なのがわかる。
したがって
（１）二つのzがある場合は
ケース１）Lと円|z|=1が接して、Lが実数直線と平行でない場合。
｜α|＝２かつα≠２、α≠−２
ケース２）Lと円は２点で交わり、Lは実数直線と平行な場合。
α＝ｋi(-2<k<0,0<k<2)
これが（１）の答え
（２）z->w=z+1/zとし、今度はw面で考える。条件�@がうっとうしい。
α=a+bi、z=r*e^(it)とすると
w=z+1/z=(r+1/r)cost+i(r-1/r)sintとなり、
条件�@からはr=(a^2+b^2)/2/(acost+bsint)で
条件�Aはr=1orsint=0だ。
だから、acost-bsint=(a^2+b^2)/2または、r=(a^2+b^2)/2/acost

続きはまたにする。どれもこれもいらいらさせる問題だ。
ついでに言うと
各桁の数がすべて1である100桁の自然数Pがある。
(1)Pを49で割ったときの余りを求めよ。
の答えは１０だ。わかった奴から、わかった範囲でかたずければ、いいと思う。
どっちにしても入試には使えない問題だし、おもしろくはあるけど（実際w=z+1/zなんか
は考えるとおもしろくはあるよ。）、
計算がいきづまろうと知ったことかって感じの問題でもある。

>>583
出るよ。ただ、まともに積分しようとすると複雑すぎて行き詰る。
ヒントはx^2+y^2+z^2≦3の右辺が3であること。数字が違うと答えが出せない気がする。

>>584
複素数の問題(1)は、
ケース3）Lと円は２点で交わり、そのうちの一点が1or-1である場合が抜けてる。

余りの問題(1)は
P=((10^100)-1)/9で
10^100=(2・49+2)^50≡2^50(mod49)
2^50=(2^8)((7+1)^7)^2≡256≡11(mod49)　(なぜならC[7,n](1≦n≦7)は7の倍数)
よって10^100=49m+11
ここでm=9a+b(aは整数、0≦b≦8)とすると
P=49a+(49b+10)/9を整数とするのはb=2のみ
このときP=49a+12より余り12

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/l50

空間内に置いて球 x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1 の内部を通らずに
点 (-1, -1, -1) と 点 (1, 2, 3) をピンと張った糸で結んだとき、
その長さ（即ち最小値）はいくらか

>>587
三点(-1,-1,-1)、(0,0,0)、(1, 2, 3)を通る平面を一つ考えて終了。

>>588
空間内に置いて球 x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1 の内部を通らずに

と書いてあるだろう

ごめん
意味分かった

>>587
最小値が高校範囲で表せるよう数値調整くらいしとけ。

>>587
そーじゃ！ボケ！！センスねーよ、おまいは！！！

>>585ほんとだ！これ傑作問題だよ。
ついでに>>570の2問目(1)の解答希望。

>>593
平面z=bで円錐を切ったときの切断面の円に点(a,0,b)から接線を引き、接点をB,Cとすると弧BCの中心角は2π/3
点B(または点C)を通る母線および点Aを含む平面は円錐に接するので、
点Bまたは点Cを通る母線が光の当たる部分の境界線になる。
弧BCの中心角は2π/3,円錐の側面積はπa√(a^2+b^2)より、求める面積は(π/3)a√(a^2+b^2)

訂正
○弧BCの中心角は2π/3,円錐の側面積はπa√(a^2+4b^2)より、求める面積は(π/3)a√(a^2+4b^2)

>585
(1)了解。
(2)条件�@：zは(a/2,b/2)を通り、傾きb/aと直交だから
L：y=-a/b*(x-a/2)+b/2(z=x+iy)
x=a/2+bt、y=b/2-at、tは実数
w=z+1/z={1+1/(x^2+y^2)}x+i*{1-1/(x^2+y^2)}y
にLの式代入。
w={1+1/(a^2+b^2)/(t^2+1/4)}(a/2+bt)+i*{1-1/(a^2+b^2)/(t^2+1/4)}(b/2-at)
のiの係数が0になる、tがちょうど２個な場合を求めればよい。
{1-1/(a^2+b^2)/(t^2+1/4)}(b/2-at)が０になるのは普通に３個あるから、このうち
２個が重なればいい。
答えは
α=2かつαは実数ではない。
|α|＜2かつα=a+ib(a,bは実数)とした時、a=b or a=-b
（１）と（２）の答えを図にするとおもしろさが見える。

正直、私にはどれもおもしろい問題です。高校の範囲は逸脱はしてるとは思います。
余りが12も了解。もうしばらく、考えます。ほんとおもしろいですよ。

>>570の２問目(2)つまりは>>594の続きの答え
�@(1)の２本の母線での接平面２つの交線は求める集合Zの一部である。
z=-b/a*x+2b(z<2b,y=0)
�A２本の母線をその相対的位置を保って回転させる。
z=-b/a*√(x^2+y^2)+2b (z<2b)
変形し、b^2*(x^2+y^2)-a^2(z-2b)^2=0 (z<2b)
z>2bでは反対側（4π/3も）に光が当たってしまい、集合Zは存在しない。
（この観察はおもしろい。Z>2bでは必ず半分以上に光があたっている。）

先生！！おもしろすぎます。誰かが正解したら仕方ありませんが、ネタばらしは
やめてください。考えるおもしろさがなくなってしまいます。回答ミスは申し訳
ありませんができれば、考察が抜けてるとか、その余りは正解ではないとかにし
ていただけると、かなりうれしいです。（幾何的イメージやオリジナリティーが
おもしろくてたまりません。）

>>570２問目（３）
r^2=x^2+y^2とすれば、集合Ｚはz=-b/a*r+2b (z<2b)と表される。
このうちの格子点はｒがr^2=x^2+y^2なる整数x,yで表せて、
aで割り切れれば良い（zが整数だから）。
すると、r=0,a,2aだけ考えれば良い事がわかる。
格子点でなければ、集合Ｚ中最も近い時のr=2ab^2/(a^2+b^2)。
条件は
1)a<bの時
2ab^2/(a^2+b^2)-a≦2a-2ab^2/(a^2+b^2)
<->4ab^2≦3a
<->4b^2≦3(a^2+b^2)
<->b^2≦3a^2
<->b≦√3a
まとめると、1<b/a≦√3
2)a=bの時、題意を満たす。
3)a>bの時、
2ab^2/(a^2+b^2)≧a-2ab^2/(a^2+b^2)
<->4b^2≧a^2+b^2
<->√3b≧a
まとめると、1>b/a≧1/√3
1),2),3)より、答えは1/√3≦b/a≦√3

x^2+y^2+z^2≦3,x≧1,y≧1
で与えられる立体の体積を求めよ。

一辺が２の立方体(体積8)が半径√3の球(体積4√3π)に内接している事がこの問題のみそ。
V1={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦3,1≦x},求める領域をV2とすれば
球＝立体+6*V1-12*V2となっているのが、わかる。
V2=∫(1〜√3)π(3-x^2)dx=[3πx-πx^3/3](1〜√3)
=(2√3-8/3)π
V3=1/12*{8+6(2√3-8/3)π-4√3π}
=1/12*{8+(12√3-16)π-4√3π}
={2+(2√3-4)π/3が答え。

={2+(2√3-4)π}/3

各桁の数がすべて1である100桁の自然数Pがある。
(2)P^Pを49で割ったときの余りを求めよ。
1がｎ個並んだ数を1(n)と書く。（レプユニットとか言われてる。）
以下mod49
12^21≡-1に着目する。
1(6)=111111=3*7*11*13*37=21*(11*13*37)で
1(100)=1(6){1+10^6+10^12+,,,+10^90}*10^4+1(4)だから
12^{1(100)}={12^(21×偶数)}*12^{1(4)}≡1*12^{1(4)}
1(4)=1111=21*52+19より
12^{1(100)}≡12^{1(4)}≡{12^(21×52)}*12^19≡12^19
≡33

>599訂正。
V1=(2√3-8/3)π
V2={2+(2√3-4)}π/3

付言すると、>569,>570はどれも大学教養範囲内を少し突っ込んだ問題かと思います。

age

ウイルソンの定理って高校でやるの？

真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　〜〜〜終了〜〜〜
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

>>605
やるよ。数Aの教科書読んでみな。

age

xの関数f(x)=(ax+b)(2+e^x)-1についてf(x)=0を満たす実数xが3つあり、それをα,β,γ(α＜β＜γ)とする。
∫[α,γ]{f(x)/(2+e^x)}dx=0のとき、∫[β,γ]{f(x)/(2+e^x)}dxをγの式で表せ。

関数 g(x)=1/(2+e^x) が(log2,1/4)を中心とした１８０度回転対称図形である事がこの問題の肝。
よって、β=log2,α=log2-(γ-log2)=2log2-γ
alog2+b=1/4　より b=1/4-alog2
aγ+(1/4-alog2)=1/(2+e^γ) より　a(γ-log2)={1/(2+e^γ)-1/4}
a={1/(2+e^γ)-1/4}/(γ-log2)

∫[β,γ]{f(x)/(2+e^x)}dx=∫[log2,γ]{ax+b-1/(2+e^x)}dx
=[a/2*x^2+bx-(1/2)*log{e^x/(2+e^x)}](log2〜γ)
=[a/2*x^2+bx-x/2+(1/2)*log(2+e^x)](log2〜γ)
=[a/2*x^2+(1/4-alog2)x-x/2+(1/2)*log(2+e^x)](log2〜γ)
=[a{x^2/2-xlog2}-x/4+(1/2)*log(2+e^x)](log2〜γ)
=[a{γ^2/2-γlog2}-γ/4+(1/2)*log(2+e^γ)]-[a{(log2)^2/2-log2*log2}-(1/4)*log2+(1/2)*log(2+2)]
=[a{γ^2/2-γlog2}-γ/4+(1/2)*log(2+e^γ)]-[-a(log2)^2/2-(1/4)log2+(1/2)*2log2]
=[a{γ^2/2-γlog2}-γ/4+(1/2)*log(2+e^γ)]+[a(log2)^2/2-(3/4)log2]
=a{γ^2/2-γlog2+(log2)^2/2}-γ/4+(1/2)*log(2+e^γ)-(3/4)log2
=(a/2)(γ-log2)^2-γ/4+(1/2)*log(2+e^γ)-(3/4)log2
={1/(2+e^γ)-1/4}(γ-log2)/2-γ/4+(1/2)*log(2+e^γ)-(3/4)log2
=(γ-log2)/(2+e^γ)/2-3γ/8+(1/2)*log(2+e^γ)-(5/8)log2

(1)xyz空間内で(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=3で表される図形を求めよ。
(2)xyz空間内で(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≦3かつx^2+y^2≦1で表される立体の体積を求めよ。

(1)
X=(x+y+z)/√3,Y=(-x+z)/√2,Z=(x-2y+z)/√6と変数変換を行うと、Y^2+Z^2=1を得る。
従って答えは半径１の無限円柱です。ちなみに変換は行列式１の物、つまり右手系の直交
座標です。
(2)
無限円柱の重なった部分は４つの同じ図形からできている。
この1/4を元の座標でx=y方向にｒ軸をとって積分すると、断面はきちんとした長方形になる。
V=4∫(0〜1)2√2r(1-r^2)^(1/2)dr
=4√2∫(0〜π/2)2sintcostdt
=4√2∫(0〜π/2)sin2tdt
=4√2[-(cos2t)/2](0〜π/2)
=4√2

age

x軸上のx≧0の部分を点Aが、ｙ軸上のy≧0の部分を点BがAB=2を満たしながら動いている。
直線ABに関して原点と対称な点をPとするとき、Pの通りうる点全体による曲線をCとする。
曲線Cにより囲まれる領域の面積を求めよ。

原点をO、OPとx軸のなす角をtとする。A(2sint,0),B(0,2cost)となる。
OH:OB=OA:ABより、OH=4(sintcost)/2=2sintcost
OP=4sintcostでP(4sint(cost)^2,4(sint)^2cost)となる。
x=4sint(cost)^2,y=4(sint)^2costとおくと、
x^2+y^2=16(sintcost)^2{(sint)^2+(cost)^2}=16(sintcost)^2
xy=16(sintcost)^3
よって、(x^2+y^2)^3/16^3=(xy)^2/16^2,(x^2+y^2)=16(xy)^2
x=rcost,y=rsintとすれば、ｒ^6=16*r^4(sintcost)^2
r^2=16*(sintcost)^2
この曲線はレムニスケート（二葉）の四葉タイプ。
求めるのはx>0,y>0の部分だから
Ｓ=2*∫(0〜π/4)(r^2/2)dt=∫(0〜π/4){16(sintcost)^2}dt
=∫(0〜π/4){4(2sintcost)^2}dt=∫(0〜π/4)4{sin(2t)}^2dt
=∫(0〜π/4)2{1-cos(4t)}dt=2*[t-(1/4)*sin(4t)](0〜π/4)
=π/2

x軸に垂直な平面で切ったときの断面が常に正方形(または点)で、その一辺の両端の点が
xy平面上の単位円x^2+y^2=1上にあり、他の2点はz≧0の部分にあるような立体Vがある。
(1)立体Vの体積を求めよ。
(2)平面y=kでこの立体を切ったときの断面積をSy(k)とする。k=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)としてSy(k)をθで表せ。
(3)平面z=kでこの立体を切ったときの断面積をSz(k)とする。k=2sinθ(0≦θ≦π/2)としてSz(k)をθで表せ。

(1)
V=∫(-1〜1){2*(1-x^2)^(1/2)}^2dx=∫(-1〜1){4*(1-x^2)}dx=[4x-4x^2/3](-1〜1)
=(4-4/3)*2=16/3

以下、θをtで表す
(2)
(-π/2≦ｔ≦π/2)に注意する。0≦sint,-1≦cost≦1
Sy(k)=∫(-√(1-k^2)〜√(1-k^2)｝zdx=2∫(0〜√(1-k^2))(2√(1-x^2))dx
=4[(1/2)(x√(1-x^2)+arcsinx)](0〜√(1-k^2))
=2{√(1-k^2)*k+arcsin√(1-k^2)}
=2{|cost|sint+arcsin|cost|}
=2{cos|t|sint+arcsin(cos|t|)}
=sun(2|t|)+2{π/2-|t|}
=sin(2|t|)+π-2|t|
(3)
Sz(k)=∫(-√(1-k^2/4)〜√(1-k^2/4)｝2|y|dx
=∫(-cost〜cost)2√(1-x^2)dx
=2[(1/2){x√(1-x^2)+arcsinx}](-cost〜cost)
=2sintcost+π-2t=sin(2t)+π-2t

0より大きい相異なる３実数ｘ、ｙ、ｚに対し
(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)|
の最小値を求めよ。

よろしくおねがいしまつ。

マルチ！

バルス！

>>614
マルチでも解法を知りたいぞ。(；´д｀)ﾊｧﾊｧ

>>614
数学セミナーエレガントな問題を求むのコーナーに寄せられた
問題だな。かなーーり昔だったと思う。

解法は与式を二乗して、基本対称式使って書き換えて
解と係数の関係を使って愚直にやっていくというもの。

答えはきれいな形にならず、三乗根が入ってきたはずだ。

>>618
何年前か分かりますか？
年明けたら図書館に行ってきます。

age

>>619
http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/

ここの目次検索を使って『エレガントな問題』で検索してみ。
解答じゃないぞ。

(1-√2)^2005+(1+√2)^2005は整数であることを示し、その数の一の位と十の位の数を求めよ。

aを1より大きい定数とし、xy平面上の原点をO、動点をP,Qとする。
二点P,QはOQ=1　、PQ=a(＞1)　Pはx軸上の点でx座標が正。
という条件を満たしつつ動くとする。

線分PQをPR/QR=s/tと内分する点をRと置くとき、
Rの軌跡で囲まれる領域の面積を求めよ。ただし、s,t＞0とする。

===

俺的に自作問題で感動したのは二問目。計算用紙なくても解けるレベル。

>>621>>616
他スレに答えが書いてあった。
結論から言うと、最大･最小、極大･極小は無い。

>>614>>618
だった。

>>624
結論から言うと、そんなことはない。

>>614>>618>>626
＞他スレに答えが書いてあった。
＞結論から言うと、最大･最小、極大･極小は無い。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/838
にあったよ。

>>627
結論から言うと、そんなことはない。

>>628
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/838
から言える

>>629
結論から言うと、そんなことはない。

馬鹿。

>>631
氏ね

>>622-623
解答希望

>622
　a_n = (1-√2)^n + (1+√2)^n とおくと a_0=a_1=2 で、次の漸化式を満たす。
　a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n
　a_{n+12} = 13860a_{n+1} + 5741a_n = 140[99a_{n+1} +41a_n] +a_n ≡ a_n (mod 140)
　a_2005 ≡ a_1 = 2 (mod 140) ∴一の位は2.

　同様に a_{n+60} ≡ a_n (mod 2800)
　a_2005 ≡ a_25 = 3710155682 ≡ 82 (mod 2800)　∴下2桁は 82.

（蛇足）
　a_2005 = ・・・・・・ 342717919915282 らしい。
　2次の漸化式は [a_{n+1}]^2 -2(a_n)a_{n+1} -(a_n)^2 = -8(-1)^n.

　a_2005 ≡ a_25 = 3710155682 ≡ 1682 (mod 2800)
ですた。スマソ

>614,627,629
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/845-847
のあたりに解答
（三乗根がないんだが．．．）

>>623
条件を満たす点Rを二つ考え、それをR,R'とおき、y座標を等しくとる。
定義より明らかに、R,R'に対応するQをそれぞれQ,Q'とすれば、この二点のy座標も等しく、
明らかに四角形RR'Q'Qは平行四辺形をなす。 このため、QQ'=RR'が成立する。

線分RR'をx軸方向に平行移動させ、その中点がy軸上になるよう移動させる。
この線分をSS'とおけば、SS'のy座標はRR'に一致するため、Q,Q'のy座標をs/(s+t)倍した値になる。
また、S,S'のx座標はそれぞれQ,Q'のx座標に等しい。　---[A]

カヴァリエリの原理より、Rの軌跡により囲まれる領域の面積は結局Sの軌跡で
囲まれる領域の面積に等しく、Sの軌跡は[A]よりQの軌跡をy軸方向にs/(s+t)倍したものである。
Qの軌跡はOQ=1より単位円であるので、求める面積はsπ/(s+t)

>>636
すまん三乗根は記憶があいまいなうちに発言した内容なので
間違ってる可能性が高くなってしまった。多分、そっちがあってる。
どっちにしろ、そのうち確認できるだろうから、図書館行って責任もって調べてくる。

　　　　　　　　　　 ○/ ＿_
　　　　　　　　　　　/￣＞
　　　　　　　　　　　　　　　ｶﾞｯ
　　_,.-―'"⌒"~￣"~⌒ﾞﾞ"'''ｮ　　 ヾ○ｼ
　ﾞ~,,,.-=-‐√"ﾞﾞＴ"~￣Y"ﾞ=ﾐ　　　ﾍ/ >>638
　Ｔ　　|　　l,＿,,/＼ /l　　|　　 ﾉ
　,.-r 'l＼,j　　/　 |/　L,,/ 　　　
　,,/|／＼,/　_,|＼_,i_,/ ／
　_V＼　,,/＼,| 　,,∧,|_/

>>637
スゲェ……積分使わないで求まるものなんだな。
類題ｷﾎﾞﾝ

>614
[618][621] や 不等式スレ[839] が指摘したように、この問題は
　創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題２
と同じようでつ。（作問者は西宮の人）
　問題： 数セミ，３１(4), p.79 (1992.4)
　解答： 数セミ, ３１(8), p.59-60 (1992.7) ･･･ 基本対称式を持ち出してもしかた無いんぢゃ(以下ry


東大入試作問者になったつもりのスレ４
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/614,618-621,624-629,636,638-639

さくらスレ１５４
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1103204972/417

不等式スレッド
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/836-849,857

＞[618][621] や 不等式スレ[839]

全部同一人物ですｗ


俺が調べるべきところを調べてくれて、マジサンクス。
これで明日図書館に行く手間が省けたｗ

>>623
解答希望

>>642
文章から察するに、このスレの>641は、不等式スレの住人のヌルポ神だろう・・・
不等式スレの868-869は間違いなく不等式ヲタだな

>>642
>これで明日図書館に行く手間が省けたｗ

最後の一行はいらんな、ｗが気に入らん、ちゅーかむかつく

>642
【試脳賞】
　凸５角形の面積をS,対角線でつくられる小５角形の面積をS'とするとき、
　S'/S の最大値 きぼんぬ。

　これの解答おねがいしまつ。（92年8月号 p.56-59）

注）朝日新聞（1992/04/07夕刊）にも載ったらしい。

>>646
数学セミナーを読んでいくと、清宮先生が解いたっていう記事が載ってたと思うが……

>>646
図に乗るな！
図書館に行って読んでこい！
1992年11月号だ。

>>648
図書館によってはおいてないし
国会図書館は20歳以上でないと利用できず東京と大阪にしかない。

>>649
数蝉の置いてないDQN大学に通うDQN大生などに用はない！
(　´,_ゝ｀) ﾌﾟｹﾗ

>>647
　載ってますた。�dクス.
　最大値は c^4=0.145898033750316･･･, ただしc=(√5 -1)/2.
　最大は正5角形あるいはその射影の場合.

>>650
高校生は・・中学生は・・

>>652
セックルてもしてろ！
(　´,＿ゝ｀) ﾌﾟｹﾗ

654

セックスしてーーーーー。




と、放言してみた。

656

>>655
声が小さい

>>657
別にでかい声で叫ばなくてはならないことでもない。

難しいな。

704

さっき理の香具師からメールがあった
なんかすごい情報があるらしい
あとで詳しく書くのでまってろ

>>661
　 どきどき 　 | 　　　　　マダー？　　マダー？
　　　　　　 , -┴‐-､ﾟ ｡
　　　　　/´ 　 ∠}ヽ　 ∧＿∧　∧＿∧　∧＿∧
　　　 　 |　　　u　ノ)）））（　・∀・）（　´∀｀）（ ´･ω･） 　
　　　 　 | u　　 ｄ!!!l　　 （　∪ ∪（　∪ ∪ （　∪ ∪
　　　f^ｉﾉ　 　u　ﾘノ　　 と＿_）__）旦＿）__）旦＿）__） 旦
　 　 「((（(( (（（((ト､
　　　|　 i######|　}
　　　`ｰ'l######レ'　｡oO（ど、どしよ……）
　　　　 ﾉ#####〈

なんでも理�Vの香具師が手当たり次第
荒らしまわっているそうな
気をつけような

>>663
え、それだけ？
なんか、ものすごいことだと思って期待してたのに…

　|
　8 < ﾀﾞﾒﾎﾟ…
　'`
　￣

初心者なんだろうね。
あまりにも当然すぎることだ。
東大２ちゃんねらーなら
理�Vがどういう集団か
たいてい認識してるから。

荒らしってどういう荒らし？
ゴキブリのAA貼るとかそれ系？
それとも質問スレでマルチしか言わない類の荒らし？
学歴系の話ばっかり振るとかそういうこと？

岡山大学の問題を改題。結構難問だと思う。

f(x)は連続関数で、逆関数g(x)を持つとする。

F(x)＝∫(0→g(x)){x−f(t)}dt＋∫(g(x)→1){f(t)−x}dt

とするとき、F'(x)を求めよ。

>>667
改造前の問題は？

>>668
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho01/okayama/zenki/sugaku_ri/mon4.html
の(2)

元の問題もわからない、ｶﾞﾝｶﾞﾚ、漏れ。

>>670
おれも解答見ても分からん…
(2)の一行目からさぱーり・・・
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho01/okayama/zenki/sugaku_ri/kai4.html

駄目ぼ。

http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho01/okayama/zenki/sugaku_ri/mon4.html
の元ﾈﾀは、(ﾏﾑｺ)はみ出し削り論法だよ。

>>672
マムコハメ出し削り論法について、
もっと詳しく！！！

184 名前：& ◆FQZ6HI7eMg ：03/12/29 02:00 ID:6vJUu1jC
はみ出し削りにたいする問題
与えられた積分をI(a,b)、f(x)=x^3＋ax^2＋bとおく。aを固定すると、[0,1]上でf(x)＞0となるｘの集合はｂによって定まるいくつかの区間なので,それらの長さの和をL(b)とおく。
εを絶対値の十分小さい実数とすれば,ｂをｂ＋εに変化させたとき、L(b＋ε)≒L(b)
であり、ｆのグラフは上にεだけずれるので、I(a,ｂ＋ε)−I(a,b)≒L(b)×ε（網目部分）−(1−L(b))ε（打点部分）＝（2L(b)−１）ε（注；図�T）・・・�@
が近似的に成り立つよってL(b)≠1/2ならば、εをうまく正または負にとればI(a, b＋ε)−I(a,b)<0とでき、L(a,b)は最小ではない。よってL(b)=1/2でなければならない。
（これが所謂はみ出し削り論法）

f(x)＝０が[0,1]に高々２個しか解を持たないことは容易にわかるから、次の(甲)解が１個のとき。(乙)解が２個のときに場合わけをして考える。

図�T→http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/data/IMG_000107.png

で、>>667は誰もできないの？

F(x)＝∫(0→g(x)){x−f(t)}dt＋∫(g(x)→1){f(t)−x}dt
=[x*t-F(t)](0→g(x))+[F(t)-x*t](g(x)→1)
=x*g(x)-F(g(x))+F(0)+F(1)-x-F(g(x))+x*g(x)
=2*x*g(x)-3*x+F(0)+F(1)

F'(x)=2*g(x)+2*x*g'(x)-3

676×
F(x)not=∫f(x)dx sorry

>>676
大体 g(x) の微分可能性は仮定されてないんだから、g'(x) が出てきたとこでｱｳﾄ

>>674
なんかエロっぽい

>>667
定義に沿って
｛g(x＋h)−g(x)｝/ｈ をシコシコ計算すればいいのでふぁ？

× ｛g(x＋h)−g(x)｝/ｈ
○ ｛F(x＋h)−F(x)｝/ｈ

>>680-681
詳しく

代ゼミによる今年度の本物の問題と解答例ですが、
ttp://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho05/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon2.html
ttp://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho05/tokyo/zenki/sugaku_ri/kai2.html

なんかこの解答例は間違ってるらしいんです。
判定おねがいします。

>>683
有罪！ おまえがな！

>>683
どこが間違ってるの？

はい残念でした

ちょっと調べたが下のﾔｼはどこも厳密には誤答だな。まだ、代ゼミが一番ましか。

代ゼミ ttp://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho05/tokyo/zenki/index.html
河合塾 ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/05/t01-22a/3.html
駿台 ttp://www.sundai.ac.jp/yobi/sokuhou/toudai1/sugakub/k02.htm

本質的な間違いは、上のどこの予備校も、複素係数の２次方程式が複素数の範囲で（重解も含めて）
丁度２個解を持つ事を自明としている。これは高校の範囲外。

私見だが、出題者は w＝z^2−2z と表せない複素数は存在しない事をまず示して欲しかったと思う。
つまり、もし w＝z^2−2z と表せない複素数 w がもし存在すれば、すべて T の要素となる。例えば、
この問題を z が実数に限定すると、最大値は存在しない。

>>687
大儀であった。下がって良いぞ。

>>687
>本質的な間違いは、上のどこの予備校も、複素係数の２次方程式が複素数の範囲で（重解も含めて）
>丁度２個解を持つ事を自明としている。これは高校の範囲外。
2次方程式に限れば高校の範囲じゃね？

>>689
勿論、範囲外。

>>690
平方完成して x^2 = a (aは複素数)が複素数の（ｒｙ　なのは、極形式にでもすれば
自明（？）程度で良いと思ったが…
重複度の定義をまともにやっていない（というかできない）から？

>>691
そういう説明をしてればいいと思うけど、一般論として既知とするのは駄目でそうな。
通常、複素係数の２次方程式の問題は、実部と虚部にわけて共通解の問題として解かれる。

しかし、東大理系2番は地雷が2発も仕掛けてあった訳で、撃沈した香具師は数多い事だろう。

>>687
なんだコイツ？

複素係数の２次方程式が複素数の範囲で（重解も含めて）
丁度２個解を持つ事

四則演算とルートを取る操作だけで、xに関する二次方程式が
xに関して解けることは中学三年生以上の人間には自明じゃないのかな？

通常、複素係数の２次方程式の問題は、実部と虚部にわけて共通解の問題として解かれる。

勝手にそんな事言われても困るんですが……
受験数学でそういうのが多いだけだろ
採点基準とは無関係

>>694
真性？
虚数のルートは高校では未定義だぞ(ﾟДﾟ)ｺﾞﾙｧ!!

>>694は

「複素係数の２次方程式が複素数の範囲で（重解も含めて） 丁度２個解を持つ事」
が自明なら
「w＝z^2−2z と表せない複素数 w は存在しない事」
も自明。

に気付いてない悪寒。

６９６は>>694を誤読しているように見える。

>>687
＞複素係数の２次方程式が複素数の範囲で（重解も含めて）
＞丁度２個解を持つ事

四則演算とルートを取る操作だけで、xに関する二次方程式が
xに関して解けることは中学三年生以上の人間には自明じゃないのかな？

>>692
＞通常、複素係数の２次方程式の問題は、実部と虚部にわけて共通解の問題として解かれる。

勝手にそんな事言われても困るんですが……
受験数学でそういうのが多いだけだろ
採点基準とは無関係

なんか受験テクニックの話になってきたな
ただ、二次方程式の解の導出のやり方を知ってれば、
要するに -a/2 だけ平行移動して X^2=ほにゃらら、の形になるのは明らかだし、
この方程式が解けるのも、ド・モアブルの公式から明らかだと思うんですが……

まあ、明らかなはずの、
三角関数の加法定理の導出が出ましたからね、あそこは……
最近の東大生は他の有名私立や国立よりも頭悪いということだと思う。

加法定理を知っていても
加法定理が何故成り立つのか
分かるとは限らない。

東大受けるくらいの奴なら、例えばハミルトン・ケーリーの定理を
証明できない理系の奴はいないだろうが、加法定理を証明できない
奴はかなりいるだろう

>>701
＞加法定理
三角関数の？
だったら、一般角の三角関数の定義が言えれば出来る。
(定義は一通りでは無い。)

>>699
だから東大の作問者はその説明を要求してると思う。

実際に加法定理の証明問題出たのって東大は東大でも
文系の方じゃなかったっけ？

理系の方だったらどれぐらい正解したのかな。
知りたいなぁ・・・

うーん、東大入試は採点基準自体が
別の教官によって採点、というかチェックされるらしいけどな
オレだったら、そんなことは明らかでいいんじゃないですか？
というと思うな

簡単過ぎたか？

f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d (a≠0)とする。
|x|≧M ならば |f(x)|＞0 が成り立つ M の例を a、b、c、d を用いて１つ挙げよ。

元ネタって代数学の基本定理の証明だよね

>>705
今はそんなことは無い。
お前いくつだ?

a, b, c d を実数とするとき次の x，y に関する連立方程式は
常に実数解を持つ事を示せ。

x^2 - y^2 + ax -by +c = 0,
2xy + bx + ay + d = 0

0〜9の10種類の数字からなる、n文字の数字列全体を考える（n>1）。
これらの中で、「2つ以上連続で並んだ0を含まない」列の総数をnを用いて表せ。

>>709
消去したら4次方程式になる。
解けるのか？

>>709
X = x + a/2, Y = y + b/2 とおくことにより

X^2-Y^2 = (a^2-b^2-4c)/4
XY = (ab-2d)/4

が右辺の値によらず交点を持つことを示せばよい。
あとは誰か任せた。

>>712
(x+yi)^2+(a+bi)(x+yi)+(c+di)=0

>710
求めるものをf(n)とおく。 そのうち
(i) 右端が0でないものは 9･f(n-1).
(ii) 右端が0のものも、右端の0を除けば↑になる(但しnが1少ない)。 9･f(n-2).
∴ 漸化式 f(n) = 9f(n-1) + 9f(n-2).
特性方程式 x^2 -9x -9 =0 の根を a=(3/2){3-(√13)}, b=(3/2){3+(√13)} とする。
f(n) = {(10-a)b^n +(b-10)a^n}/(b-a), ここに b-a = 3(√13).

(例) f(1)= 10, f(2)=99, f(3)=981, f(4)=9720, f(5)=96309, f(6)=954261, ……

m,nを正整数とし、各項が1または1-mからなる項数mn+1の数列{a(0),a(1),a(2),･･･,a(mn)}がある。
この数列の部分和をS(k)=Σ[i=0,k]a(i) (0≦k≦mn)とすると
0≦k≦mn-1を満たすすべてのkでS(k)>0,S(mn)=1が成り立っている。
(1)m=2のときこのような数列は何通りあるか。
(2)m=3のときこのような数列は何通りあるか。

cos(π/9)は無理数であることを証明せよ。

>>716
もっと一般に　cos（πｒ）　（０＜ｒ＜１/２）　が有理数となるのは　ｒ＝１/３　だけという事が
高校までの範囲で証明できる


は知ってて作問したんだよね？

>>717
有理数以外のrに対して成り立つとは初めて知った。
ぜひ教えてもらいたい。

>>717
その条件で証明してみろよ。

このｽﾚは問題垂れ流しｽﾚです。

>>718
では有理数の場合の証明をおながいします。

断る！
　　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　　 （　´∀｀）
　　　　　　　　　/ 　　 ヽ､
　　　　　　((　（_'（＿,　）´　ふきふき
　　　　　　　　(:･:ω:･:)
　　　　　　　　(∩　∩)　← >>721

できないと言う事でよろしいか？

まあ、できないんだろうな

では、できないと言う事で。
次よろ。

簡単じゃん　でも長いからヤダ

しようがないな。

これ結構有名な問題じゃないか？解答としては↓みたいでどうだ？

今cos(n+1)πz＋cos(n-1)πz＝2coszcosnz・・・（１）
で、今、x=2cosz Pn(x)=2cosnz とおくと、（１）は
Pn+1(x)=xPn(x)-Pn-1(x)となり、これから、Pn(x)は整数係数のn次多項式・・・（２）
であることがわかる（証明は帰納法で）。
さて、cos(mπ/n)=b/a とおくと
x=2b/aとなり、Pn(x)=Pn(2b/a),Pn(x)＝２cos(mπ)=2(-1)^m
となるので、（２）より、2b/aはｎ次の整数係数の多項式の根となる（但し、ｎ次の項の係数は１であることに注意）。
ここで、一般に、整数係数の整方程式が有理数の解をもつならば、その解は
（０次の項の係数）/（ｎ次の項の係数）　となる（証明は「マスターオブ整数」など参照）。
したがって、2b/a=2cos(mπ/n) は整数となる。よって、b/a=0,±1/2,±1であるから、
もとめるｑは、n/3(nは整数）・・・（答え）　となる。

bakaがやってしまったスレはココですか？

いい加減解答書け。

っていうか、漢字の読み書きと一緒で、作る側は読むレベルで作れるが、
解く方は書くレベルじゃないと解けない。

よって、誰も解けないレベルの問題が垂れ流しとなる悲しい佐賀。

>>729
むずかしい暗号ですね
要約してください

>>717
じゃ、これについても教えてください。
rを有理数としたとき
sin(πr),tan(πr),cos(r),sin(r),tan(r)
がそれぞれ有理数になるかどうか。
また高校までの範囲で証明できるかどうか。

>>731
>>729を見てないのか、見ても応用がきかないか、どっちだ？

> 作る側は読むレベルで作れるが、
> 解く方は書くレベルじゃないと解けない。

言ってる意味が分からないんですが？
おれだけ？

読むレベル、書くレベル、というのは不適切な比喩、
というか意味不明なので忘れた方がいいと思う。
要するに、誰にも解くことが出来ない難しい問題を
誰でも作る事が出来る、とそういうことかと。
Gaussが何故Fermatの問題に挑戦しないのか？と聞かれて
そう答えてた気がする。

さて、このスレで実際にそうか、ということだが、
そんな事はないと思うんだけどなあ。。。
「入試作問者になったつもり」なんだから解答くらい
用意してると思う。実際、作られた問題も、いかにも
高校生に解けそうなものばかりだし。

ちょっと待て、>>717はrに何も条件無いの？
それじゃ解ける訳ないじゃん

>>730
暗号はこれ以上要約できません。あしからず。

>>735
突っ込みの時期を逸した間抜けの見本ｗ

ってか>>727って絶対背伸びした中学生か高校生だろ
（寧ろ大学生だったらそっちの方が恐ろしいが）
全角と半角が混じってるし、明らかな事をウダウダ書いてるし。
いきなりｑとか出てくるし
そして、致命的なのが、
>整数係数の整方程式が有理数の解をもつならば、その解は
>（０次の項の係数）/（ｎ次の項の係数）
って嘘ばっかじゃん >>Ex. (3x - 2)(4x - 3)
「マスターオブ整数」ってそんな出鱈目ばかり書いてあるのか？
「の約数」を付ければ正しいけど、それ付けたら証明が成立しなくなる。

>>738
「マスターオブ整数」 お話に出してくる時点で
高校生か、数学に変なロマンを持った理工系ＤＱＮ大生か もっさんだろうよ。

>>739
それは最初見たときに思ったけど、まあ言わなかった
個人的には高校生以下であって欲しいですね

なんだ高校生に嫉妬するDQN大学生の集まりかｗ
>>731のどれかに回答でもしろよ。

Re:>> じゃあ誰か超越数論の本でも持ってきてくれ

とか某コテハンみたいなことを言ってみるテスト
確か三角関数や対数関数とかに対しては
一般的な結果が出ていたはず

結局なにも答えられないということねｗ

>>727はコピペとも知らずにめでたいなｗ

>>741は>>731を教えて欲しくてウズウズしています。

>>738
重箱の隅を突付くような揚げ足しかとれないかわうそうなﾔｼ。
同情するよ。

いや、「致命的な」以下は全然重箱の隅じゃないんですが。。。
じゃあ貴方が書き直してくださいな。。。
大体〜は〜となる、とか書いて反例があった時点で駄目でしょ

どこが致命的なのか分からない。

>>748
どこが致命的なのか分からないことが致命的！

>>738 のオツムが致命的。

Pn(x)-2(-1)^m=0の定数項を求めてみよう。
また例えば
x^5-x=0が有理数解をもつならば
（０次の項の係数）/（ｎ次の項の係数）=0/1=0は正しいか考えてみよう。

（０次の項の係数の約数）/（ｎ次の項の係数の約数）だった。

でたな！
数学に変なロマンを持ったDQN。

やっぱ、重箱の隅じゃん。

多分、「致命的」を誤用してるんだろう。

>>739
>>753

ａが整数のとき０＝ａ×０なので
０はａの倍数でａは０の約数。

age

Σn^8を計算しなさい。

でたな！
数学に変なロマンを持ったDQN。

Σn^-3を計算しなさい。

Σn^(-0.5+i)を計算しなさい。

自然数Anは自然数であり、条件
A1＋A2＋A3＋・・・・・+An＝4M(Mは自然数）、1≦An≦6
を満たす。
Ｕ＝{A1、A2、A3、・・・・・、An}とおくとき、集合Ｕは何通り考えられるか。nを用いて表せ。

Ak(k＝1〜n､n≧1）は自然数であり、条件
1≦Ak≦6、A1＋A2・・・・・+An＝4M(Mは自然数）
を満たす。
Ｕ＝{A1､A2､・・・・・､An}とするとき、集合Ｕは何通り考えられるか。nを用いて表せ。

nを自然数とする。正2n＋1角形の3本の対角線が頂点以外の一点で交わることがないことを示せ。

もう問題は（･∀･)ｲｲ!よ。
回答を見たい。

>>765
特におまえは解答を用意しておくこと。

数列a_n(n≧1)は
a_(n+3)=5a_(n+2)+5a_(n+1)+a_n (n≧1)を満たす。
このような数列のうちa_2の値が最小となるものを求めよ。

数列a_n(n≧1)は 全ての項が平方数で、
a_(n+3)=5a_(n+2)+5a_(n+1)+a_n (n≧1)を満たす。
このような数列のうちa_2の値が最小となるものを求めよ。

>>765の反例となるnを全て求めよ。

>>768
a_n=0

半径rの円をn本の平行線でn+1等分(面積)する。隣合う平行線のうち間隔が最大のもの同士の距離をa_n
間隔が最小のもの同士の距離をb_nとするとき、
lim[n→∞]a^n/(b_n)^cが0でない値に収束するようにcを定め、その収束値を求めよ。

次の□に当てはまる数字は？
またその理由も答えなさい　

1　3　5　□　11　25　35

つーか今年の東大の問題の１番で代ゼミと河合塾が
解答速報でうそ書いてるのはスルーでいいのか？

>>774
詳しく

>>774
スレ違い。

>>774

問題ないと思うけど。

>>777
河合のは間違ってる。
けど代ゼミはあってるだろ

あ
　 ど
　　 れ
　　　　す



ｷﾎﾞﾝ！！

同じに見えるが

>>779
ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/05/t01.html
の参照ページ1の(2)だ。この解答作成している香具師漸化式も
解けないんだろうか？

同じに見えるが

>>781
参照ページって、どこですか？

素数n個の和に分解できる最小の素数をa_nとする。
a_(n+1)≦a_nとなるnは存在するか。

存在しない。

ｎ番目までの素数の和を漸化式であらわしなさい

S_(n)=S_(n-1) +p_(n)
p_(n)はｎ番目の素数

0+0が0になることを証明しなさい。

0は加法の単位元なので
任意のｘに対しx+0=x
よって、特にx=0ととれば0+0=0

786
漸化式が作れるってことはS(n)も求められるんですかね？ちょっと考えてみたけどｱﾀｼにはわかりませんでした。

>>784
a_4=a_5=11

ｎ番目までの素数の和がｎ番目の素数で割り切れる、そんな素数を見つけなさい。

>>792
n=3

>>793 n=3の時素数2と3だから割りきれないじゃん。
と、数学苦手な俺が言ってみる。

>>794
>>794
>>794
>>794
>>794

そして自分の間違えに気付く。

>>796
> そして自分の間違えに気付く。

　　∧_∧　ﾊﾟｼｬ ﾊﾟｼｬ
　　(　　 )】
　　/　 /┘
　ノ￣ゝ 　

ｎ番目の素数をn-1番目までの素数の一次式で表したとき。
その係数の二乗の和が最小にするとき、係数の式を見つけなさい。

>>798
問題文の意味が分からん。
13を例にやってみてくれ！

実数に対して定義され実数の値をとる関数fがあって、任意の実数x,yに対して
　　　　　　f(x+2y)+f(2x+y)=sin(x+y)
が成立するようなものをすべて決定せよ。

ｘ＝ｙ＝ｚ／３とする。
存在しない。

>>801

>>801
何を言っているのか理解できないのですが？

存在しない。

一行目の意味は？

3^1,3^2,3^3,･･･,3^nのn個の数をそれぞれ１０進数で表記したとき
先頭桁の数字が３であるものの個数をa(n)個とする。
lim{n→∞}a(n)/nを求めよ。

-1+2log_3(2)

違うよ。

進んでないな

>>806
log[10](4/3)

0<x<π/2 のとき sin(cosx)>sinxcosx であることを示せ。

0<x<1のとき、sin(x)>x√(1-x^2)であることを示せ。

sin(cosx)>cosx-(cosx)^3/6=cosx(1-(cosx)^2/6)
1-(cosx)^2/6-sinx={(sinx-3)^2-4}/6＞0

>>813
> {(sinx-3)^2-4}/6＞0

> {(sinx-3)^2-4}/6＞0
> {(sinx-3)^2-4}/6＞0
> {(sinx-3)^2-4}/6＞0
> {(sinx-3)^2-4}/6＞0
> {(sinx-3)^2-4}/6＞0
> {(sinx-3)^2-4}/6＞0
> {(sinx-3)^2-4}/6＞0
> {(sinx-3)^2-4}/6＞0
> {(sinx-3)^2-4}/6＞0

(0,1)
(-3,-2)
(4,9)
(0,5)
(0,5/6)

>>814-815
この２者のやりとりは何ですか？

何かすごい発見したんだろ。自分だけの世界で。

ｆ（x）＝sin(cosx)、g（ｘ）＝sinxcosxとおくと、共に［0，π/2］で上に凸。
f（0）＞g（0）、f（π/2）＝g（π/2）、f’（π/2）＝g’（π/2）

まあ、ものすごく簡単だが
さいころをn回投げたときに1が偶数回（0回を含む）出る確率を求めよ。

>>818
(ﾟ∀ﾟ) ﾆﾔﾆﾔ
膨らみ方の違いで、突き抜けることはないのかな？

x^2+(sin(x)/x)^2＞1を示せ

x^2+(sin(x)/x)^2＞x^2+(1/x)^2＞1

>>822
Σ(ﾟДﾟ ｴｰｯ!!

813あたりから、なにやってんのか理解できない

813はあってると思ふ

>>819
(1/2)+(2/3)^n

モーリス･ルブラン 813

まあ、かなり簡単だが
さいころをn回投げたときに1の目が3の倍数回（0回を含む）出る確率を求めよ。

>>827
ＤＱＮ大入試作問者になったつもりかよ！
それともレ○○ーの巣窟大学の入試作問者になったつ…うわなにをｓ…

まあ、やばいくらい簡単だが
さいころをn回投げたときに1の目がnの倍数回（0回を含む）出る確率を求めよ。

>>827
f(x)=(xp+q)^n,p+q=1,p=1/6
{f(1)+f(ω)+f(ω^2)}/3

>>829
ここはウンコ数ヲタのチラシの裏じゃないんだよ！
もういいから消えろ！
これ以上は、塾の先生にでもなってやれ！

>>829
(1/6)^n+(5/6)^n

>>829>>831
nice joke!

x^2+(sin(x)/x)^2＞(x^2)/3+(sin(x)/x)^2＞1

詳しく

点A(0,a) a<0とする。放物線y=x^2上に2点P,Qをとったとき
AP↑・AQ↑の最小値はa^2になることを証明せよ。

>>836は勘違いスマソ

cos1 と　1/√e の大小を比較せよ。

http://www.morinogakko.com/xoops/index.php

ヒポクラテスの三日月

>>835
分母払って微分したらええがな。

>>838
cos1=cos(pi/3-(pi/3-1))=cos(pi/3)*cos(pi/3-1)+sin(pi/3)*sin(pi/3-1)＜cos(pi/3)*1+sin(pi/3)*(pi/3-1)
＜1/2+sqrt(3)/2*0.05＜0.5+0.9*0.05=0.545＜0.57＜1/√3＜1/√e

複素数平面上に異なる5つの複素数z_1,z_2,z_3,z_4,z_5がある。
|z_i-z_j|(i≠j)は2つの値a,b(a＜b)しかとらない。
|w-z_k|≦a (k=1,2,3,4,5)を満たす複素数wの存在領域の面積を求めよ。

複素数ｗ

原点Oから出発して数直線上を動く点Pがある。点Pは硬貨を投げて表が出たら
+m,裏がでたら-nだけ移動する。硬貨はk回投げるとする。
以下の値を求めよ。

(1)m=4,n=2,k=6の時、
(a)点Pの座標が原点である確率
(b)点Pの座標の期待値

(2)m=n=1,k=5の時
(a)点Pの座標の期待値、点Pが期待値の座標にある確率
(b)原点から点Pまでの距離の期待値
(c)「点Pが負の座標に移動すれば、点Pは原点に戻りそこで終了する」
というルールを付加した場合の点の座標の期待値

http://www.geocities.jp/tenninn2983/

東大実践１位超高校級天才蛙スレッドPART３
http://school4.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1111134996/ここのスレ主が東大実践１位だって何か問題提供お願いします

>>845
(2)_(c) k=2a+1として求めよ。

a,b,rはそれぞれa>0,b>0,r>√(a^2+b^2)を満たす定数とする。
(x-a)^2+(x-b)^2≦r^2　xy≧0
の表す領域の面積を求めよ。

>>849
平成教育委員会？
πr^2/2+2ab

曲線y=x^2と直線y=aで囲まれた図形を考える。この図形に
一定の厚みを持たせて、平面上に立てた場合に原点Oを接触点として
安定に立っていられるかどうかを調べたい。(東大編入H9)

(1)この図形の重心を求めよ。この場合厚みが一定であるので、重心は
図形に属する各点のx,y座標の平均となる。
(2)図形がわずかに傾き、平面との接触点が原点Oから微少量uだけ
ずれた時、その新しい接触点Pにおける法線とy軸との交点Qを求めよ。
(3)原点Oで安定に立っているための、定数aについての条件を求めよ。

重心＝∫vρ(v)dv/∫ρ(v)dv

原点Oから微少量uだけずれた時、その新しい接触点Pにおける法線とy軸との
交点Qー＞傾いたら、法線はx軸に垂直じゃないの？ん？

>>851
スレ違い。宿題貼るなよ。

n^n +1　が3の倍数となる自然数nを全て求めよ。

n=6m-1

mは任意の複素数です

方程式　8^x+27^x+64^x+125^x=24^x+30^x+40^x+60^x
の実数解を全て求めよ。

>>858
8^x+27^x+64^x+125^x
=(8^x/3+8^x/3+8^x/3)+(27^x/3+27^x/3+27^x/3)+(64^x/3+64^x/3+64^x/3)+(125^x/3+125^x/3+125^x/3)
≧24^x+30^x+40^x+60^x
∴x=0

Re:>859 相加平均と相乗平均の関係式を使うのだな。なかなか分からなかったぞ。

8×8のマス目から左下隅と右上隅のマス目を除去する。
この盤を1×2の長方形で覆い尽くすことは可能か？

>>861
白黒まだら黒黒不可。ぬるぽ。

>>861
頻出。盤面を2色の市松模様に塗りわけると、除去された2枚は同色なので不可能。

ある集合Aを2つの集合X,Yにわけ、
A,X,Yの要素の数をv,x,yとする。
ある数列{a_n}を考え、
0<a_1≦a_2≦･･･≦a_v
とする。
もし、a_m<mかつa_(n-m+1)<n-mとなる、
m<(v+1)/2が存在しなければ、
x=yであることを示せ。
ただし、
x・y≠0
Σ[i=1..v]a_n=x・yとする。

a_(n-m+1)<n-mじゃないや。
a_(v-m+1)<v-mだ。
失礼m(__)m

「a_m<mかつa_(v-m+1)<v-mとなる、
m<(v+1)/2は存在しない」は常に不成立。

そうか？？不成立か？？

成立するぞ

>864
めんどくせ

>>868
成立する具体例キボン

>>864
もし、a_m<mかつa_(n-m+1)<n-mとなる、 m<(v+1)/2が存在しないと仮定すると、
(�@)vが偶数のとき、m=v/2とするとa_(v/2)≧v/2またはa_(1+(v/2))≧v/2より
どちらにせよΣ[n=v/2..v]a_n>(v^2)/4≧x・y
(�A)vが奇数のとき　省略

以上より、a_m<mかつa_(n-m+1)<n-mとなる、 m<(v+1)/2は存在する。

佐藤エミネムのダルブー直和を佐藤エミネム調和系Ｋとおく。
Ｋが反実稠密であることを示せ。

Re:>872 お前誰だよ？

佐藤−エミネムのこの曲、９位の前が１８位、その前が初登場で４３位。
こういう勢いで上がってくる曲でロックはないんだよね。ロックは地味に
上がってくる。それも５位とか６位ぐらいまで。ラップ･ポップはその上ま
で行けるんだけれど。
小貫−"How You Remind Me"ぐらいですね。

1からn(nは7以上の整数)までの整数から互いに2以上離れた4数を取り出すとき、
何通りの取り出し方があるか？

（・∀・）ｶｴﾚ!

点Pを三角形ABCの内部にとり、D,E,FをそれぞれPから辺BC,CA,ABに下ろした垂線の足とする。
BC/PD + CA/PE + AB/PF を最小にする点Pの位置を求めよ。

三角形ABCの内心

>>877
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=BC%2FPD+%2B+CA%2FPE+%2B+AB%2FPF+&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

eup(x)=exp(x)+cos(x)…�@
�@の解を佐藤エミネム数e[i]（iは自然数）と定義する。
（ただし、i＜jなる自然数に対し、e[i]＜e[j]を満たす）
（１）最小の佐藤エミネム数e[1]を求めよ。
（２）うんこ食べてて楽しい？
（３）S(n)＝Π[k=1,n](e[k])とする。
　　　lim(n→∞)(S(n))を求めよ。

Re:>880 お前誰だよ？

Re:>881　お前誰だよ？

Re:>882 お前誰だよ？

お前ら誰だよ？

円x^2+y^2=1,z=0上に一様な円状光源がある。
原点での明るさがaのとき、点(x,y,z)での明るさを求めよ。

＞円状光源

さすがに干渉するだろう。

>>880
その問題ならすでに 「Marshall-Mathersの定理」として有名なんだけど。
普通は eup(x) じゃなくて rap(x) と書くようだけどね。

詳しくは
Pillage Idiot, Let's do the Math, Princeton University Press, 2004
を読め。

（問題）
オリジナル定理を1つ作り、証明し、その定理を使う"問い"を3題作成して下さい。

Re:>888
f(x)cosh(x)+g(x)sinh(x)の導関数は、(f'(x)+g(x))cosh(x)+(f(x)+g'(x))sinh(x)である。
証明：微分演算の線形性と積の導関数の公式から容易に分かる。
cosh(x)+sinh(x)の導関数を求めよ。
xcosh(x)-xsinh(x)の導関数を求めよ。
0以上の整数nに対して、xsinh(x)のn次導関数を求めよ。

>>889
その「定理」、オリジナリティがやや低いかも。

Re:>890 オリジナリティとは？

>>891
「いままでにない」ということのみならず、
「奇抜さ」や「証明の難しさ」を加味したものでつ。
したがって、オリジナリティにはレベルがありまつ。

自作問題です。

f(x)を多項式とする。
f(x)の係数を一つ選びその係数を無限に大きくしていく時、方程式f(x)=0が
実数解を持つならば、方程式f(x)=0のどの実数解も正または負の無限大に発
散するか、０に収束するかのいずれかであることを証明せよ。

もう一問作ってみました。

nを正整数とする。
xyz空間上の原点をＯとし、また３点Ｐ(n,0,0)、Ｑ(0,n,0)、Ｒ(0,0,n)を通る
平面のx≧0、y≧0、z≧0の領域をＤとする。

（１）四面体ＯＰＱＲの内接球Ｃの中心の座標を求めよ。

（２）x座標、y座標、z座標がすべて整数である点を格子点と呼ぶ。
　　　Ｄに含まれる格子点の総数をA(n)、Ｄに含まれる格子点の中
　　　でその格子点と原点Ｏとを結ぶ線分が内接球Ｃと共有点を持
　　　つようなものの総数をN(n)とする。極限lim(n→∞)N(n)/A(n)
　　　を求めよ。

>>893
類似品です。解き方はほぼ同じ。（次数の偶奇が無意味に）

f(z)を文字係数（複素数でもよい）多項式とする。
f(z)の文字係数の1つをaとし、|a|→∞ とするとき、
方程式f(z)=0の解αについて（a以外の係数にかかわらずに）、
|α|→∞ または α→0 となることを示せ。

>>894
類似品です。難しいかなぁ？

n,mを正整数とする。 m次元座標空間の原点をＯとし、
またm点(n,0,0,0,...),(0,n,0,0,...),...,(0,0,...,0,n)を通る
超平面のすべての座標成分が非負となる領域をＤとする。

（１）上のm点とＯを頂点とする(m+1)超多面体の内接超球Ｃの
　　　中心の座標を求めよ。

（２）すべての座標成分が整数である点を格子点と呼ぶ。
　　　Ｄに含まれる格子点の総数をA(n)、Ｄに含まれる格子点の中
　　　でその格子点と原点Ｏとを結ぶ線分が内接超球Ｃと共有点を持
　　　つようなものの総数をN(n)とする。極限lim(n→∞)N(n)/A(n)
　　　を求めよ。

6面体Vは一辺1の正三角形2つ、一辺１の正五角形2つ、辺の長さが1,xの等脚台形2つから成る。
xを求めよ。

>>897
東工大用底age問題には使えそう。
意外に底ageにならないかも？

勘でx=2と書く奴が多そうだな

xは正五角形の対角線に等しいわけだが気づかないと苦しいか

空間内の異なる8点を、どの2点間の距離もある2種類の値のどちらかと等しいように配置することは可能か？
答え　可能　>>897

では、9点以上ではどうか。

てへっ☆

>>895、>>896
高校生にはﾑﾘﾎﾟ

>>901
早大理工に類題。

一見簡単そうだけどこれ試験問題になりそうだ・・・
誰か解いてみてください。

以下のようなゲームを考える。
(�T)はじめに、ｘ軸上の点x=0に点Ｐを置く。
(�U)サイコロを振り、出た目の分だけｘ軸の正方向に点Ｐを動かす。
(�V)(�U)の操作をｎ回行ったらゲームを終了する。
このゲームが終了するまでに点Ｐがx=kに止まる確率をP(k,n)とする。
ただしkは正の整数である。

(1)P(2,2)を求めよ。
(2)P(2,n)を求めよ。
(3)lim(n→∞)P(k,n)を求めよ。

あ、（１）（２）は無しにするべきか。

>>895
問題に不備がある。

When I watched a quiz show on TV, I astonished the following outcome.

$\frac{0}{0} = 0$

>>901
正五角形をＡＢＣＤＥ，ＡＢＦＧＨとするとＣＦ＜ＣＥ＜ＣＨ。

第1問ならこんくらいでいいんじゃない？
実数a,b,c,dが　a^2+b^2=1,c^2+d^2=2　の関係を満たすとき、
ac+bd の最大値と最小値を求めよ。

駅弁大学でもやさしすぎ。

ベクトルを使うと気づけば一瞬だが・・・

a↑=(1,0),b↑=(2,3),c↑=(0,1)とする。　x≧0,y≧0,z≧0,x+2y+3z≦25を満たす整数x,y,zに対し、
OP↑=x*a↑+y*b↑+z*c↑で定められる点Pの動くことのできる点は何個あるか。
ただし、Oは原点とする。

a_(n+2)+pa_(n+1)+qa_(n)+r=0　(p,q,rは定数、n=1,2,・・・)を満たす数列a_(n)で
a_(3n)は定数列だが、a_(3n+1)は定数列でないものをひとつ求めよ。

また、このような数列でa_(n)のすべての項が正であるものは存在するか？

>>887
Marshall-Mathersの定理を背景にした問題を作るなんて、
さすがBlackLightOfStarは一味違うな。

Re:>914 私を呼んだか？

ここに三個の葡萄がある、この葡萄を、AB 三匹の猿がこうたいごうたい
に一口ずつ食べるとしてAが食べ終わる確率を求めよ。ただし葡萄は
それぞれ十個十五個三十個とする。

猿に聞けやｗ

3個じゃなかったのか？

間違えた、順当に考えれば１０分位でできるはず。

三個なのか十個十五個三十個なのか。
ＡＢ三匹って二匹なのか三匹なのか。
こうたいごうたいってどういうふうに。
一口ってどれだけ。
Ａが食べ終わる確率って必ず食べ終わるから１。

AB二匹！！

>>920全部に答えてくれよ

αを0でない有理数とするときcosαは無理数であることを証明せよ。
必要ならば
α=a/b
f(x)={x^(n-1)}{(a-bx)^(2n)}{(2*a-bx)^(n-1)}/(n-1)!={(α-x)^(2n)}{(α^2-(α-x)^2)^(n-1)}b^(3n-1)/(n-1)!
∫[0,α]f(x)sin(x)dx
をうまく使え。

can you ?

>>922
氏ね　　









氏ね







氏ね







氏ね

＞＞923
α＝60°

氏ね
とかいうなよ。

うはｗｗｗ　クオリティ高すぎｗｗｗ　ﾃﾗﾜﾛｽｗｗｗ

>>1-927
氏になさ-い

age

>904
(1)1/36
(2)n=1のとき1/6 n=2のとき1/36 ｎ≧3のとき0
(3)kは有限な値なので極限値0
一見簡単どころか本当に簡単

Re:>929 お前誰だよ？

Re:>932 お前誰だよ？

閏年は次のように定義されています。
１）西暦年が４で割り切れるとき閏年
２）西暦年が１００で割り切れるとき、１）を無視（つまり閏年ではない）
３）西暦年が４００で割り切れるとき、２）を無視（つまり閏年）

それでは問題です。
六面さいころを振って出た目をｎとします。適当な自然数ｍ（０≦ｍ≦１９９４）に対して、西暦ｍ年と西暦ｍ＋ｎ年の間に閏年がある確立を求めてください。ただし、西暦の範囲は、西暦０年から２０００年までとします。

Re:>933 いいからそのハンドルネームをやめろ。
Re:>934 うるう年は西暦0年からあったっけ？

私(i)の愛情(i乗)は本物(real)か？

Y E S !

（１）ダランベリアンでオナニーしろ。
（２）カノニカル分布でセックスしろ。
（３）数学科には鶏の首を絞めたような声の人がいっぱいいます。
　　　なぜ数学科におおいのか、あなたの知見を含めて論ぜよ（笑）

ここに立方体があるX軸から見ると正三角形に見え、Y軸から見ると楕円形
にみえる、またZ軸から見ると台形に見える、この立方体はいくつの面から
成り立っているか述べよ。

>>ひろし
なにそれ？

>>937









氏ね









氏ね








氏ね

また猿かｗ

数学の話題を一言もせんで粘着してるが、何者なんだ？

>>931
久々に気持ちの良いバカだな

>>939
＞立方体はいくつの面から成り立っているか述べよ。

６個www

炊飯器の内釜の水量の目盛りは米0,5合ごとに対し等間隔に打たれているが、
これは適当と言えるか？

炊飯器のモデルを作成し、上記の問題を考察せよ。

キングのコテいくつあるんだよ！
あぼーんしても、きりがない

「東大入試」なのに、何で明らかに大学レベルの問題がこんなにも・・・

Re:>941 お前誰だよ？

>>949スルーしる。

数学科の人って大学入試どんくらい解けるの？
大学への数学の新演習とかも余裕？

現役の時なら大数なんて簡単すぎてつまらなかった
新規性も何もないし