★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

>>889
b≦1/4だとぶつからないの？今日はねむいから明日計算してみよ。おやすみなさいませでごじゃる。

>>889
わかった。最後の
＞だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。
ここがまちがってるや。b≦1/4なら確かに一回しかぶつかんないや。

f(t)をtについての連続な関数とし、 0≦t≦1の範囲の最小値を0、最大値を1とする。
二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) , ( f(t) )^2 )
によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。

1/6＜S≦4/3かな

思いっきり間違えた。ちと簡単すぎたよ

f(t)をtについての連続な関数とする。
二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) + 1 , ( f(t) )^2 )
によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。

（１／３，４／３］。

[13/24,∞)

>>898
んな、単純になるか？

俺からも1問　単発問題だけど、
eは自然対数の底として，
　(ax/(2x+1))*e＜(1+(1/x))^x (0＜x)
が成り立つような定数ａの最大値を求めよ．

>>899
f(t)≡-1/2で最小じゃない？　最大値はいくらでも大きくできるし

a*eを1つの文字にしてないのはヒントなのかなあ

>>901
いや、証明を聞いているのだが

普通に考えれば、
x-y座標に置いて
A( 0,0 ) B(-1,1) C( a+1, a^2 ) D(b+1,b^2)
と置いて、線分ACとBDが
1) 交点を持たない、または、D(C)のみを共有する場合
2) D以外の交点を持つ場合
の二つに分け、１）の場合、放物線y=(x-1)^2上、C,Dの間に１点をとりそれをEと置けば、
線分AE、BE、放物線AB( これで言いたいことは分かるよね？ )で囲まれる部分の面積
は線分AC,BD、放物線AB,CDで囲まれる部分の面積より小さい。
従って、S≧m またはS＞mを満たす最良のmを検討するためには、1)の場合関数ｆが定数関数のみの
場合を検討すればよい。
この場合、この部分の面積は 線分AE、BE、ABによって囲まれる三角形の面積、と線分AB、放物線ABで囲まれる
面積の二つの和になる。　後者の面積は一定なので、△ABEの面積を最小にする場合を検討すればよい。
このような、場合はABに平行な直線が放物線y=(x-1)^2に接するところを求めればよく、その場合の面積は……


2)の場合、線分AC,BDの交点をEとおく。
明らかに求める部分の面積は、
(放物線AB、線分AE,BEで囲まれる部分の面積) ＋ (放物線CD、線分CE,DEで囲まれる部分の面積)
以下であるため、このような部分の面積に注目すればよい。
また、線分ACが放物線y=(x-1)^2と交点を持てば、それを新たにCと置き直して、面積を小さくすることができるため
ACとこの放物線は交点を持たないと考えて良い。　同様にBDとこの放物線も交点を持たない。

このような場合……で計算がめんどくさくて、やってないのだが、どーなのよ？
そんな単純になるんかね？

>>903
あー、確かに。

はみ出し削りで考えると四角形ABCDが平行四辺形のとき最小になりそうだが、このときは線分ACが
放物線y=(x-1)^2と2点で交わり無駄があるので、ACがy=(x-1)^2の接線かつBE=EDで最小になると思う。

接点は頂点寄りで

スマソ。はみ出し削りならAE/AC=BD/BE=1/√2か

訂正AE/AC=BE/BD=1/√2
書き間違いorz

>>875-876
できた。しかし･･･すげーながい。も少しがんばって短くなるようなら解答うｐしてみる。
結局ポイントは条件をみたすm,nがあるとすればmもnも3の倍数であるものが
存在するってことしめすとこみたいだけど。

>>875-876
がんばったけどこれより簡単にならん。
まず記号の整理。
w0,w1,w2,･･･
を有限列の列でw0=2,w1=123,w3=213123132,･･･とする。
定義はw0=2、w(i+1)=(12)wi+wi+(23)wi。ただし+は列の連結、
(12)wiはwiの1と2を入れ替えた列、(23)wiはwiの2と3を入れ替えた列。
以下w[k]でwの第k項をあらわすとする。ただし添え字は0からかぞえる。
また|w|はwの長さを表すとする。
たとえばw1=123に対しw1[0]=1、w1[1]=2、w1[2]=3、|w1|=3。
でまずは簡単な補題から。
(補題)
w=wp、l=|wp|、w'=w(p-1)とおく。
(1)mが3の倍数のとき{w[m],w[m+1],w[m+2]}={1,2,3}
　とくにm<nが共に3の倍数のとき第m項から第n-1項までの総和は2(n-m)。
(2)w[3i+1]=w[i+l/3]=w'[i]
(3)wの先頭2文字と最後の2文字は(1,2,2,3)か(2,1,3,2)。(この繰り返し。)
(証明)
簡単な帰納法で定義から容易にでる。以下略。
(命題)
各w=wpと非負整数mと正の整数n>0にたいしてwの第m項から第m+n-1項からなる
部分列uと第m+n項から第m+2n-1項からなる部分列vが共に定義可能であるとき
それらはひとしくない。
(続く)

(続き)
(証明)
l=|w|とおく。
p=0,1ならあきらか。p=1〜P-1までは成立するとしてp=P≧2と仮定する。
n=1のとき。m=l/3-1かm=2l/3-1でなければu+vは
(12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。
ゆえにm=l/3-1かm=2l/3-1であるが
w(p-1)の先頭,末尾が(2,2)のときは第l/3-1項、第l/3項は(1,2)、第2l/3-1項、第2l/3項は(2,3)、
w(p-1)の先頭,末尾が(1,3)のときは第l/3-1項、第l/3項は(3,1)、第2l/3-1項、第2l/3項は(3,1)、
なのでありえない。
n=2のとき。l/3-3≦m≦l/3-1か2l/3-3≦m≦2l/3-1でなければu+vは
(12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。
またm≡1(mod3)でなければu+vの要素には補題1より{1,2,3}のすべてをふくむので
ababの形になりえない。よってm=l/3-2、2l/3-2のいづれかしかありえない。
しかしそれも補題(3)よりn=1の場合同様ありえない。
（続く）

(続き)
一般のとき。まずn≡0 (mod3)をしめす。
(I)m+n≡1(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡0(mod3)。
w[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=b、w[m+n+1]=v[1]=c、w[m+2n-2]=v[n-2]=dとおく。
このときw[m+2n-1]=v[n-1]=a。補題(1)より
wの第m項から第m+n-2項の和=wの第m+n+2項から第m+2n-3項の和+6
よってa+6=a+b+c+d。一方{a,b,c}={1,2,3}よりa+b+c=6。∴a=d。
∴w[m+2n-2]=w[m+2n-1]であるがこれはn=1の場合の結論に反する。
次にn≡2(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。
w[m]=u[0]=a、w[m+n-1]=u[n-1]=b、w[m+n+1]=v[1]=cとおく。
このときw[m+n]=v[0]=a。補題(1)より
wの第m+1項から第m+n-2項の和=第m+n+2項から第m+2n-1項の和
よってa+b=a+c。∴b=c。これは{a,b,c}={1,2,3}に反する。
(II)m+n≡2(mod3)のとき。この場合は(I)と同様。
(III)m+n≡0(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。
w[m]=u[0]=a、w[m+2n-1]=v[n-1]=bとおくと(I)同様にしてa=b。
するとw[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=aとなるがこれはn=1の場合の結論に反する。
次にn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡1(mod3)。
w[m]=u[0]=a、w[m+1]=u[1]=b、w[m+2n-2]=v[n-2]=c、w[m+2n-1]=v[n-2]=d、
とおくと(I)同様にしてa+b=c+d。よって(a,b)=(c,d) or (d,c)。すると
w[m+n-2]=u[n-2]=c、w[m+n-1]=u[n-1]=d、w[m+n]=v[0]=a、w[m+n+1]=v[1]=b、
となるが(a,b)=(c,d)でも(d,c)でもn=1の場合かn=2の結論に反する。
(I)〜(III)よりn≡0(mod3)がいえた。
すると
m≡0(mod3)のときはw'[m/3+i]=w[m+3i+1]=w[m+3i+n+1]=w'[m/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、
m≡1(mod3)のときはw'[(m-1)/3+i]=w[m+3i]=w[m+3i+n]=w'[(m-1)/3+i] (0≦i＜n/3)、
m≡2(mod3)のときはw'[(m+1)/3+i]=w[m+3i+2]=w[m+3i+n+1]=w'[(m+1)/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、
となりいづれにせよ帰納法の仮定に反する。

いづれ

>>911
乙。　だが、この問題の一番の売りは（２）にあるつもりなんだが、
（２）はできた？

>>913
(2)は(1)でつくった列を真ん中からきったものでいいんじゃないの？
2
123
213123132
123213231213123132312132123
･･･
だから真ん中以降は
2
23
23132
23132312132123
となっていく。つまり前の列の拡張になっていく。このなかにはもちろん繰り返しがない。

単にくりかしのない数列って事なら、
１０進法で言うと自然数をただ並べただけの数列
1234567891011121314151617181920,,,,,にはくりかえしはない。
(これで無理数が作れる。)
3進法にすれば同様な数列が構成されるだろう。
この数列において置換してもやっぱりくりかえしはないはずだ。

>>914
正解

出題者のねらいとしては
2
123
213123132
123213231213123132312132123
･･･

これを持ち出して、無限列っていうアフォを引っかけるつもりだったんだが、
甘すぎたな。

>>914
それじゃどんな有限列wをとってきてもwwがでてきてしまう。

まちがった。>>915だ。その構成だとどんな0,1,2からなる有限列wをとってきてもwがその列の
なかにでてくる。くりかえしのある列012012とか11111111だってもちろんでてくる。

>>915
＞1234567891011121314151617181920,,,,,にはくりかえしはない。
　　　　　　　　　　↑　ココらへｎ

いや、あるように見えるが……

有るな。わりこみsory。続けてください。

>>894

解答マダ−−−−−？

回答のないものの方が多い。
気長に待ちなさい。

非負整数 n に対して、次式の値を求めよ。
Σ[k=0 to ∞] Σ[j=0 to k] C[2k,k] C[2k+1,k+1+j] (-1)^j (2j+1)^(2n+1) / {(2k+1) 16^k}

xyz空間内に底面がxy平面上の円x^2+y^2=a^2,(a＞0)頂点が(0,0,2b),(b＞0)の直円錐がある。
円錐内部は光を通さないものとして以下の問いに答えよ。
(1)点A(a,0,b)に点光源を置き円錐を照らしたとき、円錐の側面のうち光のあたる部分の面積を求めよ。
(2)光のあたる円錐の側面(底面は除く)の面積が(1)で求めた値と等しくなるような点光源の位置(x,y,z)全体の集合Zを求めよ。
(3)a,bが互いに素な自然数のとき、Zの要素のうち原点に最も近い格子点の1つが点Aであるようなa,bの条件を求めよ。

サイコロを振ってk回目に出てきた目をa(k)とする。どの目が出てくる確率も1/6である。
このとき
Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k　　の期待値と
Σ[k=1,∞] (a(k))/7^k　 　　の期待値を求めよ。

　　　　　　　　　　　　／⌒ヽ,　　,／⌒丶､　　　　　　　,-
　　　　　　　`,ヾ　　 ／　 　　,;;iiiiiiiiiii;､　　　＼　　　_ノｿ´
　　　　　　　　iｶ ／　　 　,;;´ 　;lllllllllllllii､　　　 ＼　ｉｶ
　　　　　　　　iｻ'　 　 　,;´　 ,;;llllllllllllllllllllii､　　　　ｆｻ
　　　　　　　　 !ｶ､._　 ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!　＿_ｆｶﾍ.
　　　　　　　/ 　`ヾｻ;三ミミミミﾐご彡彡彡ミヾｻ`´　'i､
　　　　　　 i' 　　,.＿Ξミミミミミミき彡/////ii＿　　　|
　　　　　　 |　　;ｶ≡|ヾヾヾミミミミミぶ､//巛iﾘ≡ｶi　　|
　　　 　 　 |　　iｻ　 |l lヾヾｼヾミミﾐﾐり|iｉ//三iﾘ　`ｻi　 |
　　　　 　 |　　,ｶ ,ｶll|l l lヾリﾘﾘﾘﾘ川川|爪ミミiﾘllｶ､ｶi　 |
　 　 　 　 |　　;iｻ,ｻ |l l l リﾘ川川川川|爪ミﾐiiﾘ ｻi ｻi　 |
　 　 　 　 | 　 iｶ ;ｶ, |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ,ｶi ｶi　　|
　　　　 　 | 　iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｻi ｻi　　|
　　　　 　 |　 iｻ ;iｶ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ　,ｶi :ｻ、　|
　　 　　　　,i厂　ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ　,ｻi　`ヘ､
　　　　　 ,√　　,:ｶ,　|彡彡彡彡ﾉ川川|ゞﾐﾐﾐﾘ 　,ｶi　　 `ヾ
　　　　　´　　 　;ｻ, 　|彡彡彡彡川川ﾘゞﾐミﾘ　　,ｻi
　　　　　　　　　;ｶ,　　|彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ　 　,ｶi
　　　　　　　 　,;ｻ,　 　|彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ　　　 ,ｻi
　　　　　　　 ;ﾒ'´　　　　i彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ　　　　　`ﾍ､
　　　　　　　;ﾒ　　　　　　ヾリリﾘﾘノ巛ゞシ　　　　　　 `ﾍ､
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>>925
1/2, 7/12

>>925
k回目に出てきた目をa(k)としているだけで、それはただの記号じゃん。
「k回目に出る目の期待値をa(k)」とするとかならわかるけど。

>>928
いや、期待値じゃなくて値っていうなら、お前の突っ込みも分かるけど
Σ[k=1,∞] ××
全体で確率変数なんだろ。んで、その期待値を求めろっていうんだろ？
普通に積分すればいいじゃん。

あれだべさ、 >>926の前半の概略はこうなるべ
αを0＜α＜1の6進数、小数点以下第n位までの有理数とする。
α = Σ[k=1,n] ( a(k)-1 )/6^k
となる確率は1/6^n　従って、α≦β＜α＋1/6^nなる実数βの集合を考えると
Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k
がこの集合に含まれる確率は1/6^n　とかってやるんじゃないの？

>>929
あああ、言いたいことわかる！！わかるけどパッっとしないなあ。
何が引っかかってんだろ・・・優しく語ってくれないか？
確率めっちゃ苦手だ

>>931
連続確率の問題だからなぁ、間違いなく高校レベル超えてるだろこれｗ

>>931
とりあえず、ルベーグ積分を覚えてみ。
そうすれば、理解できるようになると思われ

>>932
>>933
サンクス、最初っから高校レベルじゃないんだな。安心したよ

>>934　つーても、それほど逸脱しすぎてるわけでもないと思うから出題してみたのだが

普通に
Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k
を有限で止めて、>>930みたいにやっていくわけだが、
高校生でもできるんでないかい？

>>931
たぶんA={1,2,3,4,5,6}をμ({1})=μ({2})=μ({3})=μ({4})=μ({5})=μ({6})=1/6
なる測度で(A,μ)を測度空間とみなしてそのコピーを可算個容易して
(An,μn)としたときX=(ΠAn,Πμn)を積測度としてそれが確率測度になるからその
測度空間上で関数a(n)=(第n成分を取り出す関数)をとるとき
関数Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^kが可測関数であることを示して
その期待値をもとめろってんじゃないのかな？なんとなくa(k)/6^kが可測で
Σ[k=1,K] (a(k)-1)/6^kが一様に可積分だからなんとなく当たり前のような気もするけど。

>>935
測度空間が無限集合になるのは受験数学の範囲を逸脱してると思う。

>>930>>936
なるほどね・・・受験数学ヲタだから、あまり大学数学は知らないんだよな。
ルベーグ積分はかじった程度。>>936の説明ならわかった希ガス

E[a(k)]=7/2なんだから、
E[Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞]E[( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞](5/2)/6^k

答えを出すのは簡単。
Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^kが実際に確率変数になる（可測性）とか、limとΣの交換可能性とか細かいことを言わないなら高校生でも解けるだろ。

いや、工房でもlimとΣの入れ替えぐらいはうるさく言うだろ

>>939
高校生に解答はかけないだろう。
予想はできても。
ま、マーク式問題なら勘のいいヤツなら正解できるな