面白い問題おしえて〜な 十四問目

面白い問題、教えてください

過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/

数学板の代表スレ乙

0.68 < log2 < 0.71を証明せよ

なんてのがメモ帳の隅にあったんだが、このスレで出た問題でしたっけ？

>>1乙


>>4
電卓で済む問題だなぁ……

>>4
ここ3,4年の東大過去問検索しる

自作問題。誰も(2)を解いてくれない(＾o＾)

(1) cを自然数とし、自然数列a(n)(n＝1,2,3,…)を
a(1)＝c , a(n＋1)＝[ a(n)|sin a(n)| ]＋1　(n≧1)
で定義する。どんなcに対しても、a(n)は発散しないことを示せ。
ただし、[ ]はガウス記号とする。

(2) cを自然数とし、自然数列a(n)(n＝1,2,3,…)を
a(1)＝c , a(n＋1)＝[ a(n)|sin a(n)| ]＋2008　(n≧1)
で定義する。どんなcに対しても、a(n)は発散しないことを示せ。
ただし、[ ]はガウス記号とする。

1でも2でも100でも2008でも正の数なら何でも発散しない事を示せばいいのか
ちょっと待ってれ

(1)は、自然数a(n)に対して|sin a(n)| < 1だから[ a(n)|sin a(n)| ]<a(n)-1となって、a(n+1) ≦ a(n)

(2)は、あるnについて|sin n| > dならば、m=n+1,n+2,…,n+2008 に対して|sin m| < dとなるようなdが存在することを示せばいいのかな？

>>7
b_n := a_n / 2008

そんなわけ無いな。すまそ。

2008って入ってんだな
数学オリンピックの問題みたいだ

|sin(π/2 + n)| (n=1,2,…,2008)の最大値をMとする。
0<θ<π/2の範囲で、M=sin(π/2-θ)となるものをθと置く。
d=sin(π/2-θ/2)とする。このとき、あるnについて|sin n| > dならば、m=n+1,n+2,…,n+2008 に対して|sin m| < dとなる。

|sin k| > dとなるkは無限にあるので、そのうちでk > max{c, 2008/(1-d)} となるものをひとつ取る。
a(n+1) > k+2008 となるようなnが存在するとして、そのようなnのうち最小のものに対しては、k< a(n) ≦ k + 2008となるはずであるが、
その時、|sin a(n)| < dなので、a(n+1) < a(n)d + 2008 < kd+ 2008d + 2008 < k + 2008d となり、
a(n+1) > k+2008であることに矛盾するので、a(n)は有界

x-y平面上の四点(0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1)からの距離が全て有理数になるようなx-y平面上の点を求めよ。

>>15
既出じゃないか？

RからRへの連続写像からなる集合Sを考える。
f_1、f_2∈Sに対し、S^2からR+(非負実数の集合)への写像d(f_1,f_2)を考える。

この時、S,dが距離空間になるようなdの具体例を一つ与えよ。

>>14
前半の議論が分からない。PCで、2008じゃなく10の場合で試してみたら反例が
あったのだが(誤差が丸め込まれていて、実は反例ではないかもしれないが)。

全ての項が整数である数列A(n)はA(n+2)=A(n+1)+A(n)を満たす。
任意の自然数mに対し、m|A(n)なるnが少なくとも一つ存在するとき、A(n)=aF(n+b)、（a,bはある整数、Fはフィボナッチ数列）
であると言えるか。

>>17
ガッコウの宿題か？
f∈Sに対して、pn(f)＝sup[|x|≦n]|f(x)|と定義する。
d(f,g)＝Σ[n＝1〜∞]pn(f−g)/{(2^n)＋(2^n)pn(f−g)}
とおけば(S，d)は距離空間。しかも完備。

>>18
単位円を思い浮かべたときに、(cos(π/2 + n),sin(π/2 + n)) (n=1,2,…,2008)をプロットして
一番y軸に近いものとy軸との角度をθとする。その時π/2-θ 〜 π/2+θと、π+π/2-θ 〜 π+π/2+θの範囲には
点が入ってない。(π/2-θなどはx軸正方向からはかった角度)
それを少し回転させて考えると、φ+n (n=1,2,…2008)に対して(cos(φ+n ),sin(φ+n ))をプロットすると
φ±θとπ+φ±θの範囲には点が入ってこなくなる。
φがπ/2±θ/2か、π+π/2±θ/2の範囲にあれば、π/2±θ/2とπ+π/2±θ/2の範囲には点が入ってこない。
d=sin(π/2-θ/2)とすると、|sin(φ)| > dとなるのは、φがπ/2±θ/2か、π+π/2±θ/2の範囲にある時だから
その時、π/2±θ/2とπ+π/2±θ/2の範囲には点が入ってこない⇒n=1,2,…2008で|sin(φ+n)| ≦ dが成り立つ
という考え

＞一番y軸に近いものとy軸との角度をθとする。その時π/2-θ 〜 π/2+θと、π+π/2-θ 〜 π+π/2+θの範囲には
＞点が入ってない。(π/2-θなどはx軸正方向からはかった角度)
↑ここまではその通りだけど、

＞それを少し回転させて考えると、φ+n (n=1,2,…2008)に対して(cos(φ+n ),sin(φ+n ))をプロットすると
＞φ±θとπ+φ±θの範囲には点が入ってこなくなる。
＞φがπ/2±θ/2か、π+π/2±θ/2の範囲にあれば、π/2±θ/2とπ+π/2±θ/2の範囲には点が入ってこない。
↑これはどうして？

＞それを少し回転させて考えると、φ+n (n=1,2,…2008)に対して(cos(φ+n ),sin(φ+n ))をプロットすると
＞φ±θとπ+φ±θの範囲には点が入ってこなくなる。
は、最初に描いた(cos(π/2 + n),sin(π/2 + n))を全部いっせいに回転したのと同じだから。
ようするに、φ=π/2 + δとした時に、最初に描いたものをδ回転したことになる

＞φがπ/2±θ/2か、π+π/2±θ/2の範囲にあれば、π/2±θ/2とπ+π/2±θ/2の範囲には点が入ってこない。
のほうは、例えばφがπ/2+θ/2の時π/2-θ/2 〜 π/2 + 3θ/2に点が来ないことを考えればわかると思う

＞ようするに、φ=π/2 + δとした時に、最初に描いたものをδ回転したことになる
y軸の「近く」には無かった点がφ±θとπ+φ±θの範囲に入る可能性があるのでは？

一応、PCでの計算結果を貼っておく。

cos(1)=0.5403023058681398
cos(2)=-0.4161468365471424
cos(3)=-0.9899924966004454
cos(4)=-0.6536436208636119
cos(5)=0.28366218546322624
cos(6)=0.960170286650366
cos(7)=0.7539022543433046
cos(8)=-0.14550003380861354
cos(9)=-0.9111302618846769
cos(10)=-0.8390715290764524

M　　 =0.960170286650366　(t=6)
cosθ=0.960170286650366　(θ=0.2831853071795866)

cosθ+cos(2n)=-0.03979053974427116　(n=11)

i=1：cosθ+cos(2n+2i)=1.384349293987363
i=2：cosθ+cos(2n+2i)=1.6070896089790063
i=3：cosθ+cos(2n+2i)=-0.0024355796632006265　←ここで既に反例
i=4：cosθ+cos(2n+2i)=1.11442173653795
：
：

なお、>>14は次のように言い換えられることに注意する(p＝2008)。

0＜θ＜π/2なるθで、max[1≦n≦p]｜cos n｜＝cosθが成り立つものを取る。
もし、cos(2n)＋cosθ＜0なる自然数nが存在したら、1≦i≦pに対して
cos(2n＋2i)＋cosθ＞0である。

↑例えば、|sin n|＞dという式は、両辺2乗して半角の公式・2倍角の公式を使って整理すると
cos(2n)＋cosθ＜0と変形できる。

>>24の計算は、p＝10のときのもの。

f(x)をxの多項式とする。この多項式f(x)に対し、P(f)をf(x)の0でない項の個数とする。
つまり、
f(x)=x^3+2x+1の時、P(f)=3、
f(x)=x^10+2x^3+x+1の時、P(f)=4
である。

この時、P(f^2)≧P(f)は成り立つといえるか。ただし、f^2とは(f(x))^2のことである。

うーむ。
＞それを少し回転させて考えると、φ+n (n=1,2,…2008)に対して(cos(φ+n ),sin(φ+n ))をプロットすると
＞φ±θとπ+φ±θの範囲には点が入ってこなくなる。
ここはさ、少し回転させる角度がφなのだから、特にφ＝0(つまり回転させない)を代入すると、範囲がおかしい。
±θとπ±θの範囲に点が入らないことになってしまう。
π/2−θ＋φ〜π/2＋θ＋φ の範囲と、π＋π/2−θ＋φ〜π＋π/2＋θ＋φの範囲の間違いでは？

なんか間違えてたかな
自分では何が違うかわからないけど。
>>27はφは回転角じゃないのでφ=π/2が回転させない状態です。わかりにくくてすまん
もう一回考えてみる

>>24
＞M　　 =0.960170286650366　(t=6)
M　　 =0.9899924966004454　(t=3)では？

＞>>27はφは回転角じゃないのでφ=π/2が回転させない状態です。わかりにくくてすまん
('A`)ｵｲｵｲ……
そのφでやってみたら理解できた。これなら合ってると思う。

>>29
そういうことのようです／(＾o＾)＼

転載
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208602546/740

整列集合 X において、切片 X(a)=｛x∈X | x<a｝が非可算集合となる a∈X が
存在するとき、a'∈X を以下のようにとる。
a' = min｛a∈X | X(a)：非可算｝
このとき、Xにおける点列 (x[n])(nは自然数) が a' に収束するならば、
次が成り立つことを示せ。
∃n'(自然数) such that n≧n' ⇒ x[n] = a'

(1)ここにいびつな形のコインが1枚がある｡これを使って勝率1/2の賭けをするにはどうしたらいいか
(2)ここにいびつな形のサイコロが1個ある｡これを使って勝率1/6の賭けをするにはどうしたらいいか

いびつなコインのほうは２回セットで投げて裏表の順で出るか表裏の順で出るかどちらかにかければいいかな。
裏裏、表表の場合はやり直し。

と思ったけど、表（か裏）が出る確率が０だったら成立しないなぁ。
一応、裏表とも出る確率が０じゃないってことは問題の条件として必要なんじゃない？

>>32
(1) そのコインがどのようにいびつで裏表どちらに偏るようにできているのか解らない以上
裏、または表に賭けて、勝つ確率は１／２
ただし、この方法では同じコインを繰り返し賭けに用いることはできない。

(2) そのサイコロがどのように(ry
１〜６のどれかにかに賭けて勝つ確率は１／６
ただし、この方法では（ry


賭ける先を、裏表ではなくABにし、ABと裏表の対応はディーラーがひと勝負毎に事前に決めておく
という方法なら、同じコインで何度でも賭けができる。
サイコロもA〜Fでやれば同じ。

35の方法は、裏または表どちらかの出る確率が０でも有効

>>32
(1)「どっちの手にコインが入っているか当ててみな」

>>32
(2)「（両手を背後に回して座り込み）サイコロにどの指が触れているか当ててみな」

右手の親指と、人差し指／中指／薬指のいずれか
左手の親指と、人差し指／中指／薬指のいずれか

誰か解ける方、ご教授下さい！
財務関係の利子率ｒを用いた問題です。

10000×(1+r)^-1 + 10000×(1+r)^-2 + 10000×(1+r)^-3 = 27000

上記が成立するときの、ｒの値を求めなさい。

答えが何％になるのでしょうか。
どうかよろしくお願いします。

>>39
質問スレに行きなさい。 ここはそういうスレではない。

１０個の点
http://puz.hp.infoseek.co.jp/hirameki/suuri_4.html

この問題が解答を見ても分かりません。どなたか解説お願いします。

>>41
今１０個の点を固定する。
それらをシートで覆うと必ず一点がはみ出ると仮定すると
各点がはみ出る可能性は1/10、
つまり覆われる可能性は９０％ととなる。
それらがシートで覆えない、つまり必ず一つ以上はみ出ると仮定すると
各点がはみ出る可能性は９０％以下

訂正
＞各点がはみ出る可能性は９０％以下
→各点が覆われる可能性は９０％以下

必ず少なくとも1点がはみ出てしまうような10個の点の配置があったとする。
10個の点に1,2,…,10と番号をつける。番後iの点が覆われない確率をAiとすると、
P(A1∪A2∪…∪A10)＝1が成り立つことになる。P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A10)＝pと
おくとp＜0.1 であるから、P(A1∪A2∪…∪A10)≦P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A10)＝10p＜1
となり、P(A1∪A2∪…∪A10)＝1に矛盾する。

>>41
検索したら出てきたほかの解法

１０個の点a[1],a[2],…,a[10]を任意に固定する。
ここにシートを適当にかぶせた時、はみ出る点がある確率を考える
点a[i]がはみ出る事象をAiとおくと　P[Ai]=100-90.69%=9.31%
したがって
P[少なくとも一つの点がはみ出す事象]
＝P[A1∪A2∪…∪A10]
≦P[A1]+P[A2]+…+P[A10]
＝93.1％＜100％
したがって少なくとも6.9％分、全ての点を覆う事象が存在する。

>>39

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209929873/167
さくらスレ２４２

>>46
全然面白くない

>>41です。まだ良く分かってませんが、のんびりと考えてみます。ありがとうございます。

一辺の長さ30の正方形をいくつかの多角形に分割する。
それぞれの多角形はその中のどの2点を取っても、二点間の距離が1以下になると言う。
この時、ある多角形Pが存在し、Pに隣接する多角形が六つあることを示せ。
ただし、隣接する多角形A,Bとは、A,Bに属する点をそれぞれ適切に選べば、0に出来るような多角形A,Bのことを言う。

>>49
> ただし、隣接する多角形A,Bとは、A,Bに属する点をそれぞれ適切に選べば、0に出来るような多角形A,Bのことを言う。 

これの意味がわからん

ただし、隣接する多角形A,Bとは、A,Bに属する点をそれぞれ適切に選べば、0に出来るような多角形A,Bのことを言う。

ごめん、
ただし、隣接する多角形A,Bとは、A,Bに属する点をそれぞれ適切に選べば、それらに転換の距離を0に出来るような多角形A,Bのことを言う。

>32 (2) 普通に手本引きができる予感

昔どっかの本で見た問題。

回転する円形のテーブルの周上に、区別のつかないn個の小箱が、
正n角形の頂点をなす配置で固定されている。小箱にはそれぞれ
1枚ずつコインが入っていて、それらが「全部表」もしくは「全部裏」の
状態になった瞬間にチャイムが鳴る仕掛けになっている。
このチャイムを鳴らすことが目的である。

さて、あなたは同時に好きな2つの箱を開けて中を確認し、コインの
状態（裏/表）を自由に変えることができる。これを「一手」とする。
一手が済んだらあなたには目をつぶってもらい、その間に誰かが
テーブルを無作為に回転させる。テーブルが止まったら二手目をやる。
また回転させる‥‥

これを繰り返し、有限手のうちにチャイムが鳴ればあなたの勝ち。

(1) n=3 のときの必勝戦術を考えよ。
(2) n=4 のときの必勝戦術を考えよ。
(3) n=5 のとき、必勝戦術はあるか？

※(3)はよくわかりません。

>>53
(１)
Step 1: 選んだ2つを両方表にする
Step 2: 選んだ2つが両方表なら両方裏にする
　　　　　表と裏なら両方表にする

(2)
Step 1: 隣り合う2つを選び、両方表にする
Step 2: 対角にある2つを選び、両方表にする。
Step 3: 隣り合う2つを選び、表と裏なら両方表にして終了。
　　　　　両方表なら片方を裏にする。
Step 4: 対角にある2つを選び、両方同じなら両方を反転して終了。
　　　　　表と裏ならそのまま。
Step 5: 隣り合う2つを選び、両方を反転。
Step 6: 対角にある2つを選び、両方を反転。

(3)は、5つの箱のうち2つを全く選択できないという
可能性があり得て、そこに裏と表が入っていれば
クリアできない。よって必勝戦術はない。

age

>>54
はやっ
お見事。

｛1,2,3,....p-1 |p素数 ｝をp-1個の変数と見なしてk (=1.2...p-2)次基本対称式をつくると
mod pで0となることを示せ。

>>57
p元体F_p上の1変数多項式環F_p[x]を考える。この環はUFD。
多項式x^(p-1)-1について、フェルマーの小定理から、
この多項式に1,2…,p-1を代入すると0になる。ゆえ因数定理から
x^(p-1)-1=(x-1)(x-2)…{x-(p-1)}と因数分解できる。
右辺を展開したものと左辺を比較すれば>>57が示される。

なお、定数項の比較からはWillsonの定理が得られる。

最近どっかで見た問題の変形。

回転する円形のテーブルの周上に、区別のつかないn個の小箱が、
正n角形の頂点をなす配置で固定されている。小箱にはそれぞれ
1個ずつサイコロが入っていて、それらが「全部1」もしくは「全部2」もしくは…もしくは「全部6」の
状態になった瞬間にチャイムが鳴る仕掛けになっている。
このチャイムを鳴らすことが目的である。

さて、あなたは同時に好きな2つの箱を開けて中を確認し、サイコロの
状態（1/2/3/4/5/6）を自由に変えることができる。これを「一手」とする。
一手が済んだらあなたには目をつぶってもらい、その間に誰かが
テーブルを無作為に回転させる。テーブルが止まったら二手目をやる。
また回転させる‥‥

これを繰り返し、有限手のうちにチャイムが鳴ればあなたの勝ち。

(1) n=3 のときの必勝戦術を考えよ。
(2) n=4 のとき、必勝戦術はあるか？

※(2)はよくわかりません。

>>59
(1)はたいして変わらん

・１，１にする。
・ぞろ目が出たら、両方＋１にする、ぞろ目でなければ小さいほうの目にそろえる。

□に−,×,÷の何れかを入れて等式を成立させて下さい
＋の使用や空白(12にする等)は不可

　1□2□3□4□5□6□7□8□9＝1

(全通り求めて下さい)

>>61
パズル板いけ

>>61みたいな虫食い系は問題数も多く粗製乱造になりがち。
前スレは酷い有様であった。

要するにパズル板行け。

直径5kmのトーチタスがワシントンに落ちたら人類滅亡までどれくらいかかるか？

VIPで糞スレ立てて教えてもらえ

>>59 (2)
「出目が2種類のみの状態であり、かつその2種類の数値が判明している」★
この状態は、コインの場合に帰着されるのでクリアできる。

[手順1](任意の状態から)
まず対角を11とし、続けて隣接を11とする。
これでクリアしないなら、111X(2≦X)になっている。

[手順2](状態111X, 2≦X から)
隣接をとり、Xが出たらそれを1にしてクリア。
11が出たら22にする。これで221X(2≦X)になる。

[手順3](状態221X, 2≦X から)
対角をとり、22ならX=2であり、★の状態なのでクリア。
2X(3≦X)ならX→2で★になるのでクリア。
12なら、1→2で222X(3≦X)になる。

あとは[手順2][手順3]を、数値を1つずつ上げながら実行することで、
Xはどんどん追いつめられていって、最長まで粘っても555X(6≦X)、
すなわち5556となる。これは★なのでクリア。おしまい。

どっかに穴があるかも。

>>61
1*2/3*4*5*6-7-8*9=1
これ以外ある？

1 = 1+2+3+4+5-6-7+8-9 = 1+2+3+4-5+6+7-8-9 = 1+2+3+4*5-6*7+8+9
= 1+2+3-4-5-6-7+8+9 = 1+2+3*4*5/6*7-8*9 = 1+2-3+4-5-6+7-8+9
= 1+2-3-4+5+6-7-8+9 = 1+2-3-4+5-6+7+8-9 = 1+2-3*4*5/6+7-8+9
= 1+2-3/4-5-6*7/8+9 = 1+2*3-4*5+6+7-8+9 = 1+2*3*4-5*6+7+8-9
= 1-2+3+4-5+6-7-8+9 = 1-2+3+4-5-6+7+8-9 = 1-2+3-4+5+6-7+8-9
= 1-2+3*4*5/6-7+8-9 = 1-2+3/4+5+6*7/8-9 = 1-2-3+4+5+6+7-8-9
= 1-2-3-4+5-6-7+8+9 = 1-2-3-4-5+6+7-8+9 = 1-2-3-4*5+6*7-8-9
= 1-2-3*4*5/6*7+8*9 = 1-2*3+4*5-6-7+8-9 = 1-2*3*4+5*6-7-8+9
= 1*2+3-4*5+6-7+8+9 = 1*2+3*4+5+6-7-8-9 = 1*2-3+4*5+6-7-8-9
= 1*2-3-4+5*6-7-8-9 = 1*2-3*4-5+6-7+8+9 = 1*2-3*4*5+6*7+8+9
= 1*2-3*4*5-6+7*8+9 = 1*2-3*4*5-6-7+8*9 = 1*2*3+4+5-6-7+8-9
= 1*2*3+4-5+6+7-8-9 = 1*2*3+4*5-6*7+8+9 = 1*2*3-4-5-6-7+8+9
= 1*2*3*4-5+6-7-8-9 = 1*2/3*4*5*6-7-8*9 = 1/2-3/4+5+6*7/8-9
= 1/2*3*4-5+6-7-8+9 = 1/2*3*4-5-6+7+8-9 = 1/2/3-4+5/6*7+8-9

10 = 1+2+3+4*5-6+7-8-9 = 1+2+3*4-5+6-7-8+9 = 1+2+3*4-5-6+7+8-9
= 1+2+3*4*5-6-7*8+9 = 1+2-3+4+5*6-7-8-9 = 1+2-3-4*5+6+7+8+9
= 1+2-3-4*5-6*7+8*9 = 1+2-3*4+5+6+7-8+9 = 1+2*3+4-5-6-7+8+9
= 1+2*3-4+5-6+7-8+9 = 1+2*3-4-5+6+7+8-9 = 1+2/3/4+5/6+7-8+9
= 1-2+3+4*5-6-7-8+9 = 1-2+3*4-5-6-7+8+9 = 1-2-3*4+5-6+7+8+9
= 1-2-3*4*5+6+7*8+9 = 1-2-3*4*5+6-7+8*9 = 1-2*3+4-5+6-7+8+9
= 1-2*3-4+5+6+7-8+9 = 1-2/3/4-5/6-7+8+9 = 1*2+3+4+5+6+7-8-9
= 1*2+3-4+5-6-7+8+9 = 1*2+3-4-5+6+7-8+9 = 1*2+3-4*5+6*7-8-9
= 1*2-3+4+5-6+7-8+9 = 1*2-3+4-5+6+7+8-9 = 1*2-3*4+5*6+7-8-9
= 1*2-3*4-5+6*7-8-9 = 1*2-3/4+5-6*7/8+9 = 1*2*3+4*5-6+7-8-9
= 1*2*3*4*5/6+7-8-9 = 1*2/3+4*5/6+7+8-9 = 1/2+3/4+5-6*7/8+9
= 1/2/3*4*5*6+7-8-9

100 = 1+2+3+4+5+6+7+8*9 = 1+2+3-4*5+6*7+8*9 = 1+2-3*4+5*6+7+8*9
= 1+2-3*4-5+6*7+8*9 = 1+2*3+4*5-6+7+8*9 = 1+2*3*4*5/6+7+8*9
= 1-2+3*4*5+6*7+8-9 = 1-2+3*4*5-6+7*8-9 = 1-2*3+4*5+6+7+8*9
= 1-2*3-4+5*6+7+8*9 = 1-2*3-4-5+6*7+8*9 = 1*2*3+4+5+6+7+8*9
= 1*2*3-4*5+6*7+8*9 = 1*2*3*4+5+6+7*8+9 = 1*2*3*4+5+6-7+8*9

なんでこう問題すらろくに読まないやつが得意げにレスしてるわけ？

>>70
>>62>>63
レスがついたことをありがたく思え

なんで出題者でもないのに有り難がらないといけないのか？

もし出題者だとしても有り難くないよな、問題も読まないような奴は

61のたぐいのパズルは出題者しか有難くない。パズル板でやれ。

読みもしないで得意げにレスする奴には有り難いみたいだよ

昔、他所で未解決だった問題

1辺が 1 の正四面体 OPQR の辺 OP, OQ, OR 上にそれぞれ
動点 X, Y, Z が存在し、OX*OY*OZ = 1/3 を満たしながら動くとき、
△XYZ(内部を含む)が動く領域の体積を求めよ。

蟻＝鯛

1×1の正方形を4個縦横につなげた図形をﾃﾄﾛﾐﾉと言い5種類あります
(回転,裏返しで重なるものは同じ図形と見なします)
この5種類のﾃﾄﾛﾐﾉを以下の条件で組み合わせて6×6の正方形にして下さい
(1)ﾊﾟｰﾂの回転,裏返し可
(2)ﾊﾟｰﾂを重ねたり隙間があるものは不可
(3)どの種類のﾃﾄﾛﾐﾉも最低1つは使って下さい
(4)同じ種類のﾃﾄﾛﾐﾉが縦あるいは横で隣り合ってはいけません

全部で何通りあるか？

nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ
ただしnPkは順列の個数を意味する

AP＋PBを最小にする円周上のPの位置を求めよ
http://i.pic.to/q71vu

>>80
PCからでも見れる所にupしねーとわからねー！

落書きで困っている商店街がある。

その商店街のシャッターに『落書きするな』と書くのは

落書き　であろうか。

>>81
見れるようにしました
http://i.pic.to/q71vu

>>82
落書きの定義による。
通常は、権利者（たいていはシャッターの持ち主）に無断で書いたものは落書き。

>>83
∠APO＝∠BPOになるの点P

>>85
証明は？

>>86
つ「接線について線対称の位置にA'を置く」

どこの接線？

釣りか？ 普通に考えりゃ円のだろ。
他に接線が引けそうなとこがあるか？

でも、それで証明になるのか？

この場合接線も動くのでその方法だと証明にならないと思う

>>79

ここら辺↓に解答…

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/333-334
不等式スレ３

nは3以上の自然数とする。1辺の長さが1の正方形を碁盤の目のように
縦にn個ずつ、横にn個ずつ、全部でn^2個敷き詰める(一辺の長さがnの
大きな正方形が出来上がる)。このn^2個の正方形のうち、k個の正方形を
黒で塗りつぶす。ただし、次のような配置が出来ないように塗りつぶす。

　■　…　■

　 ：　　　　：　　(4つの■が　正　方　形　の4頂点を形作るような配置)

　■　…　■

例：n＝3,k＝4のとき。

これは当然OK　　　これもOK　　　これは×　　これも×
　　□■■　　　　　　□■■　　　　■□■　　　■■□
　　■□□　　　　　　□□□　　　　□□□　　　■■□
　　□□■　　　　　　□■■　　　　■□■　　　□□□

k≦(1/√3)*(8n^5)^(1/4)のとき、このような塗りつぶしは可能であることを示せ。

>>91
接線を動かす必要はないんじゃないか？

点ｘ、ｙ、ｚを順に通る折れ線をｘ〜ｙ〜ｚと書くこととする。

円周上に∠APO＝∠BPOになるように点Pを置く（ただし∠APO>π/2）。
点Pに円の接線Lを引く。

ここで、A〜接線L〜Bをつなぐ線の最短は、例の線対称点A’を考えれば
A〜P〜Bであることは容易にわかる。

円周上のP以外の点Qをとる、QをどこにとってもA〜Q〜Bよりも短い
A〜R〜Bとなるような点Rが接線L上に存在する。 

penis out

直線を6本引き1辺の長さが1,2,3,4,5,6,7,8の正三角形(計8個)を同時に作って下さい

立体的に考えれば余裕

http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#103
簡単じゃないよ。

>>96
２本の線が√2離れた平行線を用意する。
そこに60°の角度で２本の線が2√2離れた平行線を引く。
以上の交差部分を挟むように(9√2)/2離れた平行線を
最初の線から-60°の角度に引く。

任意の円錐は、任意の楕円を断面としてもつ。真or偽？

ただし断面とは平面による切断面とし、
円錐の高さに制限は設けない。

直感的には真だな

円と放物線が作れるから、その間の任意の離心率の楕円が作れる
切る高さを調節すれば、任意の大きさにできるってことか

真
対偶で考えたら明らか

対偶で考えたら明らかになるようなものなのか？

◆ わからない問題はここに書いてね ２４４ ◆
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1211985803/866
から

表と裏が等確率で出るコインを連続して投げて、
1000回連続で表、もしくは1000回連続で裏が出る事象が
99% 以上の確率で起こるためには何回コインを投げればいいか。
有効数字1桁で求めよ。

■が縦横斜(対角線以外も含む)に4個連続して並ばない様にするには
最低何個の■を取り除けばよいでしょう?
又,取り除く箇所は?
■■■■■■
■■■■■■
■■■■■■
■■■■■■
■■■■■■
■■■■■■

■■■□■■
■■□■■■
□■■■□■
■□■■■□
■■■□■■
■■□■■■

後2個置くのだが美しくないな、
だからきっとここまでも正しくないのであろう。

俺は正しそうな気がするなぁ。
８個じゃ無理っぽいし、答えが奇数の９になるというのもなんとなく考えにくいし。

一一一一三四
二二二二三四
五六■■三四
五六■■三四
五六七七七七
五六八八八八

各々最低1つは取り除かなきゃいやん

ごめん8個じゃ無理的な話をしてたのか
俺ｶｯｺﾜﾙｲ
吊ってくる

とりあえず、鳩ノ巣原理で考えてみる。

まず、４の並びが幾つあるか数える。
縦18横18斜め18計54個ある。

升目を次のようにグループ分けする。

ＡＢＣＣＢＡ
ＢＤＥＥＤＢ
ＣＥＦＦＥＢ
ＣＥＦＦＥＢ
ＢＤＥＥＤＢ
ＡＢＣＣＢＡ

それぞれのグループを一つ消したとき並ばなくなる４の並びの数は

Ａ　３
Ｂ　４
Ｃ　５
Ｄ　６
Ｅ　８
Ｆ　１２

である。

>>109より
ABCから4個、BDEから4個、最低取り除かなければならない。
もっとも効率がよいのはC4個、E4個取り除いたときである。
このとき並ばなくなる4の並びは(5+8)*4=52である。

よって最低でも９個は取り除かなければならない。

までしかわからんカッタ。
最後の詰めは頼んだ。

>>111に間違いがありました。すいません。
正しくは以下。

ＡＢＣＣＢＡ
ＢＤＥＥＤＢ
ＣＥＦＦＥＣ
ＣＥＦＦＥＣ
ＢＤＥＥＤＢ
ＡＢＣＣＢＡ

0個以上消す必要があることを証明する。

中央の4マスの中からいくつ消すかで場合わけする。

（１）中央の4マスから２つ以上消した場合。
>>109より中央の4マス以外で８個消す必要がある。
中央の4マスで2マス以上消すので合計１０個以上消さなければいけない。

（２）中央の4マスから一つも消さなかった場合。
Ａ〜Ｌのグループから少なくとも１つ以上消さなければならない。
よって12個以上消さなければならない。

ＡＥＥＥＥＢ
ＦＡＩＪＢＧ
ＦＫ■■ＫＧ
ＦＬ■■ＬＧ
ＦＣＩＪＤＧ
ＣＨＨＨＨＤ

（３）中央の4マスから一つ消した場合。

以下のようにグループ分けすると
Ａ〜Ｉから少なくとも一つ消さなくてはいけない。
よって１０個以上消さなくてはいけない。

■ＡＡＡＡＤ
Ｂ■■ＥＤＧ
Ｂ■□■ＧＩ
ＢＦ■■ＦＩ
ＢＣＧＥ■Ｉ
ＣＨＨＨＨＩ

以上より証明された。

>>115の一行目は
10個以上消す必要があることを証明する。
が正しいです。

図もずれてますね。
すいません。

なるほど、乙

>>106の類似問題
■が縦横斜(対角線以外も含む)に5個連続して並ばない様にするには最低何個の■を取り除けばよいでしょう?(証明も)

■■■■■■■
■■■■■■■
■■■■■■■
■■■■■■■
■■■■■■■
■■■■■■■
■■■■■■■

■ おすすめ２ちゃんねる 開発中。。。 by FOX ★
このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
☆明晰夢☆ピカッ☆ [心理学]
♂容姿を女の子っぽくしたい part12♂ [美容]

>>120
正解の形はきれいだけど、証明は前と同じにできるし面白みがない

>>120
■の間に灰色の点が見えるぞ！

>>123
すげ

[問題]
>>120の■の間に灰色の点が見えるのはなぜか？

>>125
板違い。生物板などへどうぞ。

>>126
あれ、むしろ哲学板じゃねえ？

認識学

コラッツ予想の論文で使われていた手法を応用して出来た問題。
俺の勘違いかもしれないので、解けなくても責任は負わぬ(＾o＾)

f：N→N を f(n)＝n/2 (nは偶数)，2007n＋1 (nは奇数)
として定義する。このとき、lim[k→∞]f^k(n)＝＋∞ を満たす
自然数nが存在することを示せ。ただしf^kはfのk回合成関数とする。

>>125
俺は何回見ても見えないんだけど……

■■■■
■■■×
××■×

↑この図形をいくつか組み合わせて正方形にして下さい
ただし正方形の面積ができるだけ小さくなる様にして下さい
(重ねたり隙間があるものは不可)

>>131
×のところに■を重ねるのはおk？

裏返すのはありなのか？

■
■■■
■■
■■
って書けばいいのに

最低でも8こ使わないとできないな
結構面倒くさい

8個で出来ないと次の候補は18個かのう。

あー裏返しありでも多分8こじゃ無理だわ
18こもやってらんねー

プログラム書いてやったら、18個もダメ
32個だと大量の解がある
全く自信ないが

切っちゃダメなのか？

この形がキーとなるか？

×■■■■×
□■■■□□
□□□■□□
□□■□□□
□□■■■□
×■■■■×

その形を数片に切り分けて並べなおし正方形にしたい。
最低何篇に切り分ければよいか。

>>137
詳しく

32個で急に大量の解が見つかるってのも凄いな。

等幅フォント使えないとこでどう書くかのほうが難しいんだが…
32個だと、回転、反転したものは別の解と数えて 512解ある
下が解の一例

以以以以留留留留闘闘闘闘於於於於
以以以知知留留留闘闘闘為為於於於
呂呂以知知留与与与与闘為為於末末
呂呂知知知遠遠与与与称為為為末末
呂呂呂反知遠遠与称称称為乃末末末
呂反反反遠遠遠太称称称称乃乃乃末
波反反反反奴遠太太太武乃乃乃乃計
波波波奴奴奴太太太太武武武計計計
波波止止奴奴礼礼礼礼武武久久計計
波波止止奴奴礼礼礼奈武武久久計計
仁止止止和和和和礼奈奈奈久久久不
仁仁仁止和和和曽奈奈奈奈久不不不
仁仁利利利利和曽曽曽宇宇宇宇不不
仁仁保利利利加曽曽良宇宇宇也不不
保保保利加加加曽曽良良良宇也也也
保保保保加加加加良良良良也也也也

なんか見づらい…
平面地図は4色で塗れるだろうに

>>131の類似問題

■
■■
■
■

↑この図形をいくつか組み合わせてこれと相似な図形にして下さい
ただし面積ができるだけ小さくなる様にして下さい
(重ねたり隙間があるものは不可)

>>125は「ヘルマン格子」でググるとわかる

ヘルマン格子でぐぐってもおそらく「なぜ起こるのか」はわからない。
（幾つかの仮説は提示されているが、どれもまだ決定的なものではない

>>143
┏━━━┳━━━┳━━━┳━━━┓
┃　 　 ┏┻┓　 　 ┃　 　 ┏┻┓　 　 ┃
┣━┓┃　 ┃┏━┻━┓┃　 ┃┏━┫
┃　 ┣┛　 ┣┻┓　 　 ┣┫　 ┗┫　 ┃
┃　 ┗┳┓┃　 ┃┏━┛┃┏┳┛　 ┃
┃┏━┛┣┛　 ┣┫　 　 ┗┫┗━┓┃
┣┫　 　 ┗┳┓┃┗━┳┳┛　 　 ┣┫
┃┗━┳━┛┣┛　 　 ┃┗━┳━┛┃
┃　 ┏┻┓　 ┣━━━┫　 ┏┻┓　 ┃
┃　 ┃　 ┃　 ┃　 　 ┏┫　 ┃　 ┃　 ┃
┣┳┛　 ┣━┻━┓┃┗━┫　 ┗┳┫
┃┗━┓┃　 　 ┏╋┛　 　 ┃┏━┛┃
┃　 ┏┻┻━┓┃┗━┳━┻┻┓　 ┃
┃　 ┣┓　 　 ┣┫　 ┏┫　 　 ┏┫　 ┃
┣━┛┃┏━┛┃　 ┃┗━┓┃┗━┫
┃　 　 ┗┫　 　 ┗┳┛　 　 ┣┛　 　 ┃
┗━━━┻━━━┻━━━┻━━━┛

GJ
ついでにage

>>148
ぜんぜん正方形じゃないじゃん

どうみても16*16の正方形だが

そうか？俺には縦が長く見える

それは行間のせいだろう

>>152
頭固すぎ

明和さん 664だよ
早く早く

画面がゆがんでんじゃね？

こんな感じか　

　　　　　 　 /./　　　　　　　　 　 　 　 　 　 |　|
　　　　　 ＿/ /-─'''"~~ ,.二.フ-＞　　　　　 ! ,'
　　　 ／ .／, '-─‐ '"￣　 ／ '´＼＼　　　 ,' /
.　　/　／／　ニ二u__,／ //　u,＿_ヽ 〉- ､//
　　{／／-＝＝=:､　　 　 |.! ／　　/ { | r‐ﾉ/　　　　　　　　　／
　 /,.イ　u　　 ＿＿＼、;;;||/　@　〃,.-;=´ｲ,ヽ　　　　　　　 /／
. //ヾ.＼　／　　 @　ﾌ''| |: ミ≡彡' ／ _＼ヽ |　　　　　　 ,' ,'
／ i´r＼ヽu`≡=＝彡v{ .{.＿,.ノ／u,ノ u_ ＼!＼　　　　 / /
　　ヽ.ヽrヽ.} r,ラ',ニニ二´-‐''´、￣　./ヽ/ヽ.ヽ　` ー-/ ./
　　　 ＼`､レ',.イー' ( __ }　| -　’,. ‐ﾍ ／　 ,|　|　　_／／　　　　
.　　　　　`//_| rーrｰ┬ゝィ‐''1´ ,レ'´　 ／ﾝ　!　／､'´￣
　　　　 ／/　 ! l‐┴‐┴‐┴‐ '"´　　／ヽ/ u |､//　　`丶
　　,r‐' ／　　 ＼ヽ.r‐┬‐┬ ''1´.工 -‐'´u　 |//＼
　/ ／　　／|　　 ＼` ┴‐''' ´￣ =＝''＿＿_//／　ヽ
/ / ￣￣| 　 |　　　　`ー､'''"~~´￣￣　　　//
./　　　　|　　 |　　　　　　＼-───‐- ､//

いや、縦横比がってこと

>>137
ちなみに計算時間とか使用メモリはどれぐらい？

20秒

速ッ

□に全て異なる正の整数(何桁でも可)を入れ,
縦横対角線の□の積を全て同じにして下さい
ただし積ができるだけ小さくなる様にして下さい.同じ数字2度使いは不可

□─□─□─□
│＼│ │／│
□─□─□─□
│ │×│ │
□─□─□─□
│／│ │＼│
□─□─□─□

4x4の魔方陣の座標x,yの値をA_x_yとおいて、
各座標x,yに2^A_x_yを入れりゃいーんじゃね。

はて？偶数の魔方陣ってあったかな。

積

積？

積！

いやいやまってくれ。俺が悪かった。
わかるように説明してくれ。

＞縦横対角線の□の【積】を全て同じにして下さい

ここが積だといってるんだな？　　　　　　　　　　　　
で、そのせいで>>163が間違っているといっている？

1が使えるから2で割れよ

素因数分解に注目すれば完成させるのは余裕
あとは最小にするにはどうするか

素数を、2の倍数、3の倍数を除いた自然数として、
双子の素数が無限にあることを証明せよ

2の倍数を除いたら、全部とびとびじゃんか

6ずつ足せよ

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1085836534/l50

反転、回転で重なりあうものをひとつに数えると68解になった
うち、対称性のない解が 60個、180°の回転に対する対称性のあるものが 8個
全ての解が、ひとつの辺に4個、それに向かい合う辺にも4個、
残りの2辺に5個のピースが接している

対称性のある解の例
┏━━━┳━━━┳━━━┳━━━┓
┃　 　 ┏┫　 　 ┏┻┓　 　 ┣┓　 　 ┃
┣━┓┃┗━┓┃　 ┃┏━┛┃┏━┫
┃　 ┣┛　 　 ┣┫　 ┗┫　 　 ┗┫　 ┃
┃　 ┗┳┳━┛┃┏━┻━┳┳┛　 ┃
┃┏━┛┃　 　 ┗╋┓　 　 ┃┗━┓┃
┣┫　 　 ┗┳┳━┛┃┏━┫　 ┏┻┫
┃┗━┳━┛┃　 　 ┗┫　 ┃　 ┃　 ┃
┃　 ┏┻┓　 ┣━━━┫　 ┗┳┛　 ┃
┃　 ┃　 ┃　 ┣┓　 　 ┃┏━┻━┓┃
┣┳┛　 ┣━┛┃┏━┻┻┓　 　 ┣┫
┃┗━┓┃　 　 ┗╋┓　 　 ┃┏━┛┃
┃　 ┏┻┻━┳━┛┃┏━┻┻┓　 ┃
┃　 ┣┓　 　 ┣┓　 ┣┫　 　 ┏┫　 ┃
┣━┛┃┏━┛┃　 ┃┗━┓┃┗━┫
┃　 　 ┗┫　 　 ┗┳┛　 　 ┣┛　 　 ┃
┗━━━┻━━━┻━━━┻━━━┛

>>160 うちのペン2のPCで1秒だけど

>>175
> 全ての解が、ひとつの辺に4個、それに向かい合う辺にも4個、 
> 残りの2辺に5個のピースが接している 

この性質は16×16に限らず
向かい合う辺にn個、もう一組の向かい合う辺にn+1個になる。
また正方形の辺の長さは4の倍数に限る。

なるほど角の４つと、その長さ2の辺がわの隣の４つの
計8個は固定なのか。

集合A⊂Nは、ある自然数Mと、空でないある集合B⊂{1,2,…,M}に対して
A＝∪[k＝0〜∞]Ak　,　Ak＝{b＋kM｜b∈B}
と書けるとき、周期的であるという。MをAの周期と呼ぶ。
Aが周期的であるとき、Aの周期Mの中で最小のものを、Aの基本周期と呼ぶ。
例：偶数全体の集合は周期的であり、その周期は2m (mは任意の自然数)である。
また、基本周期は2である。

[問題]A⊂Nが周期的であるとする。Aの基本周期をpとおく。もしpが
素数ならば、Aの任意の周期Mについてp｜Mが成り立つことを示せ。

>>162
3, 70, 7, 30
5, 42,105,2
210,1,10,21
14,15, 6,35
のとき積が210^2で最小か？

平面上の３個以上の点について条件Ａを以下で定める。
条件Ａ：どの２点間の距離も整数値で、どの３点も同一直線上にない。

(1)条件Ａを満たす４個の点の配置を考えなさい。

(2)
(1)で配置した４点は動かさず、もう１個点を追加して条件Ａを満たす配置を考えなさい。

(3)
(1)で配置した４点は動かさず、もう2008個点を追加して条件Ａを満たす配置を考えなさい。

難しくはないがこういうの好きです。

>>145
64個までは解なし
81個だと、7629解見つかった
　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┏━━━┳━━━┳┓
　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┣┓┏━┻━┓┏┛┃
　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┃┗╋┓┏━┻┻┓┃
　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┃┏┛┗┻┓┏┳┫┃
　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┃┣┳━━┻┫┃┗┫
　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┣┛┣┓┏┳┛┃┏┫
　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┣┓┃┗┫┗┓┃┃┃
　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┃┃┃┏┫┏╋╋┛┃
　 　 　 　 　 　 　 　 　 ┃┗┫┃┃┃┃┗┓┃
┏┳━━━┳━━━┫┏╋┛┣┛┃┏┻┻━┳┳━━━┳┳━━━┳┳━━━┳┓
┃┗┓┏━┻━┓┏┻┛┗┓┣┓┃┣┓┏━┛┗┳┓┏┛┗━┓┏┛┗━┓┏┛┃
┃┏┻┻━┓┏╋┻━━┳╋┛┣╋┛┗┻┳┳━┛┗╋━━━╋╋━━━╋╋┓┃
┃┣┳┓┏╋┛┗━┓┏┛┣┓┃┗┳┳━┛┗┳━━┻┓┏━┛┗┳┓┏┛┃┃┃
┣┛┃┣┛┗━┳━┻┻┓┃┃┃┏┛┗━┳━┻━┓┏╋┻━━┳┛┗┻┓┃┗┫
┣┓┃┗┳┳━┻━┓┏┫┃┗┫┣┳━━┻┳┓┏┻┛┗┓┏┳┻━━┳┫┃┏┫
┃┃┃┏┛┗━┓┏┻┛┗┫┏┻┛┗┓┏━┛┗╋━━━╋┛┗━┓┏┛┗┻┫┃
┃┗╋╋━━━╋╋━━━╋╋━━━╋╋━━━╋┓┏━┻━┳┳┻┻━┳┳┛┃
┃┏┛┗━┓┏┛┗━┓┏┛┗━┓┏┛┗━┓┏┛┗┻┓┏━┛┗┓┏━┛┗┓┃
┗┻━━━┻┻━━━┻┻━━━┻┻━━━┻┻━━━┻┻━━━┻┻━━━┻┛

>>181
すごいな
何がすごいって、ズレない図を描ける事だよ
よくいるじゃねえ？得意げに（そう見える）AA貼ってみせるけどズレててさっぱりな奴が

半角スペースは二つ以上は省略される
どうしても失敗したくないならプレビューできるソフトがある

まぁ等幅だし

この問題は数学的に何か面白い構造があるのかな？

パソコンにぶち込むしかない問題なんて・・・

いやいや、何か数学的な構造があるかもよ。
(1)一辺の長さが全て異なる有限個の正方形を組み合わせて、新たな正方形を作れるか？
(2)一辺の長さが全て異なる有限個の立方体を組み合わせて、新たな立方体を作れるか？
という問題がある。一辺の長さが全て異なるというのがポイントで、この条件を
満たさなくてもよいならば、(1)は「田」みたいなのが答えになり、(2)はルービックキューブ
みたいなのが答えになる。しかし、一辺の長さが全て異なるようにすると、これが難しい。
なんと、(2)は「解なし」になってしまう(これは簡単に証明できる)。さらに驚くべきことに、
(1)には解がある。そして、解があることの証明には、正方形の配置から、対応する
「電気回路(物理の)」が得られ、その電気回路にキルヒホッフの法則を使って…
とかやるらしい(　´д｀)
ttp://www-lab15.kuee.kyoto-u.ac.jp/~t-naka/resistor/

ホモロジーみたいなものなのだろうな。

ホモロジー - ある種の図形（多様体と呼ばれる）に対して代数を対応させる行為。(はてなダイアリー)

□に1から9の数字を1個ずつ入れ同一直線上の数の合計が全て同じになる組み合わせは何通りありますか？(全8列)
同じ数字の2度使いは不可(※は無視して下さい

※※※※※※□
※※※※※／
□─□─□
│＼│／│
□─□─□
│※※＼│
□───□

>>188
コンピュータで解きました、じゃ面白くないぜ。
ちゃんとエレガントな回答を用意してるんだろうな？

　　　　　　６
　　　　　／
１−９−３
│＼│／│
７−４−２
│　 ＼│
５−−−８

あ、途中で送っちゃったよ。 
ずれてるけど、ま読めるか。
ちゃんと検証してないけど、これ一通りしかないんじゃないか？

右上の６のとこに来るのは３の倍数だけ、

残りを３，３，２に２通り(縦323と横332)に同じ数に分けられて
さらに／の３つも作れるのは３通りしかない
そのとき＼も同じ数にできるのは１通り。

ズレない図を作る方が難しかったわけだな

方程式ax^2+bx+c=0を考える。ただし、a,b,cは整数をとるものとする。
このｘについての方程式が実数解をもつ確率をS、虚数解をもつ確率をT、解を持たない確率をＵとしたとき、
それらの積ＳＴＵはいくらになるか。求めよ。

0

同一平面上に2 つの三角形ABC，A'B'C' があり，それぞれの外接円の半径は共に1であるとする．
この2 つの外接円の中心を結ぶ線分の中点をM，線分AA'，BB'，CC'の中点をそれぞれP，Q，R とする．
(1) 　MP ≦1，MQ≦1，MR≦1 となることを示せ．
(2) 　もし三角形PQRが鋭角三角形でその外接円の半径が1 となるならば，点Mはこの外接円の中心と一致することを示せ．
さらにこのとき三角形ABC，A'B'C',PQRはすべて合同となることを示せ

2回ｺｲﾝを投げ両方表の時が勝ちなら勝率1/4
では勝率1/3にするにはどうすればいいでしょうか？
その方法を二通り以上求めて下さい

>>196
> では勝率1/3にするにはどうすればいいでしょうか？ 

「２回コインを投げて」という条件なのか？
他に条件はあるのか？

サイコロそっくりの形のコインを投げて1または2が出れば勝ちとすればおｋ

もっときちんと問題を書け

>>196訂正
ここに投げれば表裏が同確率で出るコインが1枚ある
このコイン1枚だけを使って勝率1/4の賭けをするには2回投げ両方表の時に勝ちにすればいい
ではこのコイン1枚だけを使って勝率1/3の賭けをするにはどうすればいいか？
その方法を二通り以上求めて下さい

>>199
有限回で決着しないとダメなのか？

>>199
�@投げる前に表１裏２の３通りの組合せから１つ選びコインを３回投げる。
表１、裏２以外だったらやり直すものとして選んだのが当たる確率
�A�@で表２裏１とした場合

Xを非負整数全体の集合とする。

(1)f：X^2→Xをf(x,y)＝[(√2)*x^2]＋[π*y^3] (x,y∈X)と定義する。
ただし[　]はガウス記号とする。このとき、X−Im(f)は無限集合である
ことを示せ。すなわち、
f(x,y)＝m
の解(x,y)が存在しないような非負整数mが無限にあることを示せ。

(2)f：X^n → Xをf(x(1),x(2),…,x(n))＝Σ[i＝1〜n] [a(i)*(x(i))^b(i)]
で定義する。ただしa(i),b(i) (i＝1,2,…,n)は正の実数とする。
Σ[i＝1〜n]1/b(i)＜1ならば、X−Im(f)は無限集合であることを示せ。すなわち、
f(x(1),x(2),…,x(n))＝m
の解x(i) (i＝1,2,…,n)が存在しないような非負整数mが無限に存在することを示せ。

>>199

コインを裏返しに置く。 （これが０回目の結果とする）
何度もコインを投げる。 
n回目の結果が(n-1)回目の結果と一致したら賭けは終わり。
それが裏なら負け、表なら勝ち。

>>200-201
有限回で決着させないとダメです

201だけど>>201だめなの？なら>>203もだめでは？

だめでしょ

いくら1/2を組み合わせても作れるのはm/2^nばかりで
有限の回数では1/3は作れない。

なにか他の方法を考えないとダメだ。

有限回が無理なら決着するまでの回数の平均値が一番低いやつを求めて下さい

出題者答えわかってないのかよｗ

○○○
○○×　　☆
○×○　　☆
○××　　★
×○○　　☆
×○×　　★
××○　　★
×××

>>201の�@�A両方を組み合わせた形
表１、裏２と表２、裏１の両方から一つずつ選ばせておく方法

1回でも3/4の確率で決着がつく

10回以内で決着がつく確率は0.99999904632568359375

あ、今思いついたけど
○○○
×××
このハズレの場合でも同様に3回ずつで仕切れるからもう少し早く決着できそうだな。

3^n回目でn回ハズレ抽選できる

>>210

> 1回でも3/4の確率で決着がつく 

いやそれ３回振ってるじゃん。

もしそれを１回と認めるなら
2n回コインを振って、その結果を表を0裏を1の
二進数とみなし0〜2^(2n)-1の値を決め
それが0だったらやり直し
0以外なら、３で割った余りが0なら勝ち、0以外なら負け
というルールにしてnを大きくすれば
一度で決着のつく確率をいくらでも大きくできる。

ちなみに>>203の方法なら
決着が付くまでにコインを投げる平均回数は
Σ_{n=1→∞}(n/2^n) = 2 回

┌-┬-┬-┐
│1│2│3│
│4│5│6│
└-┴-┴-┘
好きな桝目にコインを置き
サイコロを振る。

コインを振る平均回数は0回

コイン「だけ」を使い・・・

>>216
そのコインは一枚だけしかつかってない

とんち問題なのか？

うんち問題だろう
↓
・回答は用意されていない
・にもかかわらず２種以上の回答を要求する
・有限回でないとならないはずが、なるべく短い無限回になる。

>>213　やり直し回数は限りなく0回に近い
>>214　おそらく平均最小
>>215　振るのは0回

もうこれらでFAでないか？
あとは>>214の最小の証明くらい？

Aは一分間に3個の皿を洗い,Bは一分間に2個の皿を洗います
またAは一分間に9個のｺｯﾌﾟを洗い,Bは一分間に7個のｺｯﾌﾟを洗います
ここに汚れた皿とｺｯﾌﾟが合わせて134個あります
A,Bの二人が協力して,20分で全部洗い終えました
ｺｯﾌﾟは何個,皿は何個あったのでしょうか？

二人ともきちんと洗う気ないな
どれだけ適当に洗ってるんだ

それとも居酒屋とかではコレくらいのスピードでやらないと追いつかないのかね

よほどの大皿でもない限りむしろ遅い。
遅すぎるくらいである。

自動食器洗いを導入してＡとＢに別の仕事をさせるか解雇する。無駄な労働と人件費を節約するべきだ。
それにコップと皿を分けるなんてナンセンス。洗いとすすぎを分担した方が効率は良いだろう。

皿は一枚二枚だよなあ

コップと皿を分けてなどいない
>>223

コップと皿を洗う個数について分担しているでしょ。

>>226

「個数について分担」というのはどういう意味だ？

くもはえ算ならぬ食器洗い算

>>228
早食い算

>>220
> Aは一分間に3個のポテトチップを食べ、Bは一分間に2個のポテトチップを食べます
>またAは一分間に9個のピーナッツﾟを食べ,Bは一分間に7個のピーナッツを食べます

> ピーナッツﾟ

下の様に16個の点が4×4の格子状に並んでいます.各点の縦横の間隔は1です
16個の点を全て通る一筆書きの線を引いて下さい
ただし曲がる回数は5回にし､線の長さも出来るだけ短くなる様にして下さい
また､その時の線の長さを小数点以下第二位まで求めて下さい

・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・

・ ・ ・ ・

少数点第2位ってなんだよ？
まさか代数的数にならないの？

短そうなのは思いつくが
それが最小であることの証明がうまくいかん。

12+6√2より短いのってできる？

13+5√2がいけるかも

>>235
線の引き方は？

座標(0,0)〜(3,3)に点があるとして

(0,3)→(0,0)→(3,0)→(3,4)→(0,1)→(3,1)→(1,3)

　　　　　　　　　　　　／┃
　　　　　　　　　　／　　┃
●　　　●　　　●　　　●
┃　　　　＼　／　　　　┃
┃　　　　／＼　　　　　┃
●　　　●　　　●　　　●
┃　／　　　　　　＼　　┃
┃／　　　　　　　　＼　┃
●━━●━━●━━●
┃　　　　　　　　　　　　┃
┃　　　　　　　　　　　　┃
●━━●━━●━━●

>>202 (2)
�納m∈Im f＼{0}] 1/m が収束することを示せばよい。それには
�� 1/f(x(1),…,x(n))　　(和は f(x(1),…,f(n))≠0であるようなすべての(x(1),…,x(n))∈X^nにわたる)
が収束することを示せばよい。f(x(1),…,x(n))≧1 のとき
(n+1)*f(x(1),…,x(n)) ≧ f(x(1),…,x(n)) + n ≧ �納i=1〜n] a(i)*(x(i))^b(i) だから、
右辺の和をg(x(1),…,x(n)) とおくと、結局
�� 1/g(x(1),…,x(n))　　(和は x(1)=…=x(n))=0以外のすべてのX^nの元にわたる)
が収束することを示せばよい。それには、g(x(1),…,x(n))＞0 のとき、不等式
g(x(1),…,x(n)) ≧ A*{Π[x(i)≠0] x(i)}^B　(☆)
(ただし、Aはx(1),…,x(n)によらない正定数、1/B=�納i=1〜n] 1/b(i) )
が成立することを示せばよい。そうすれば、条件よりB＞1だから、
�� 1/g(x(1),…,x(n)) ≦ (1/A)*(1+ζ(B))^n
であることが示される。

p,q,s,t,y,zを正の実数とするとき、対数関数が上に凸であることから
log(p*y^s + q*z^t) - log(s+t) ≧ {t*log((p/t)*y^s) +s*log((q/s)*z^t)}/(s+t)、
したがって
p*y^s + q*z^t ≧ (s+t) * (p/t)^(t/(s+t)) * (q/s)^(s/(s+t)) * (yz)^(1/(1/s + 1/t))。
これから帰納的に、(p(1),…,p(k),s(1),…,s(k),y(1),…,y(k)を正の実数とするとき)
�納i=1〜k] p(i)*(y(i))^s(i) ≧ C*{Π[i=1〜k] y(i)}^(1/(�納i=1〜n] 1/s(i)))　　(Cはy(1),…,y(k)によらない正定数)。
いまn個あるa(i)*(x(i))^b(i)から上のような不等式が2^n個できるが、それらの右辺の定数Cで最小のものをAとする。
また、右辺の指数のうち最小のものはB=1/(�納i=1〜n] 1/b(i)) である。これから不等式(☆)が成り立つ。

>>199
方法１：部屋の中でコインを転がすとか放り投げるって方法は？
　�@止まって表を向く
　�A止まって裏を向く
　�B壁で斜めに止まって表か裏かわからない
（ないしは部屋の中にあるモノの中や下に入り込んでわからなくなるとか…）
要はごきげん○うのサイコロ方式ねｗ
ただこれだと�Bが1/3よりかなり低そうかな^^;

方法２：コインをひん曲げて（横から見てL字型とか、かなり反則？）トス。
(手で受けると下の�@か�Aだけになるのでこの場合は地面やテーブルに落とす形で）
　�@凸型に止まる。
　�A凹型に止まる。
　�Bコインが立って止まる。
　　
今日問題初見で、こちらもかなり遅レスだけど、
そろそろ正解出してもいいんじゃ？>>199

Xを非負整数全体の集合とし、Yを非負実数全体の集合とする。1≦i≦nに対して、
f i ：Y → Yは狭義単調増加でf i (y)→＋∞ (y→＋∞)が成り立つとする。また、

limsup[y→＋∞] { g1(y)*g2(y)*…*gn(y) } /y＜1

が成り立つとする。ただし、g i ：Y → Y はf i の逆関数とする。
[　]をガウス記号として、F：X^n → Xを

F(x(1),x(2),…,x(n))＝Σ[i＝1〜n] [f i (x(i))]

で定義する。このとき、X−Im(F)は無限集合であることを示せ。すなわち、
F(x(1),…,x(n))＝mの解x(i) (i＝1,2,…,n)が存在しないような非負整数mが
無限に存在することを示せ。

>>37
あたまいいな

>>242
ホントだ

>>199
>>37の考え方を使うと、両手足のうちから３つ決めてどれかにコイン持つ又は踏んで、３つのうちどこにコインがある？と聞く。

>>244
215 と 本質的にどこが異なるのだ？

>>245
>>215はマス目をつくるってのがマズくね？
結局同じことだけど。

手や足ならかまわないのか？

本質的な違いがあるとしたらコインの用途。
コインで示すことと、コインを探すことの違い。

>>244
確率1/3に出来ていることが証明できない。
どこに持つ（踏む）をどうやって決めるのか？

どうやって決めても、それを当てる人に知られていなければ問題ない。

>>249
んなこたねえよ

>>249
それでOKなら、選択肢が三つならなんでもOKになるぞ。

期待値は１/３だが
実際に当たる確率が1/3になるとは限らないということかな？

同様に確からしくないんだろ

何が？

>>250,251
なぜ？ 
くじを引く(右手左手足を選ぶ？)人が
どれが当たりやすい当たりにくいとかの情報を
持っていなければ同じではないのか？

↓

３枚の封筒のうちひとつにあたりを入れる。
あたりを入れる封筒を決めるルールは、プレイヤーには知らされていない。

さて、目の前に封筒が３枚並べられた。 プレイヤーはどの封筒を選んでもよい。

このくじの当たる確率は１／３ではないのか？

1/3と答えたとして誰かがニヤニヤしたとしよう
それでも君は1/3と断言できるか？

1/3の確率で当たるくじと、当たる期待値が1/3のくじとは
ちがうという立場だな？

おそらくね、くじを引く人がどんな作戦を立てようが
次に引くくじも変わらず当たる確率は常に1/3という保障がないと、
つまり、過去の100回の結果が100回連続して右手にコインが入っていようと
次の回にも右手にコインが入っている可能性はやはり1/3だと言えるようなものでないと
題意を満たさないと考える人がいるということだと思う。

では、>>256の封筒のくじがその題意を満たさないのか？といえば
過去の100回がいつでも一番右の封筒にあたりが入っていたとしたら
次の回は、やっぱり右の封筒に入っている可能性が高いのだろうか
それともそんなことは決してなく、やはり1/3なのだろうか？ よくわからない。

この「よくわからない」を、「保証がないのだから題意を満たしていない」と考えるのか
「わからない以上は予測が立たないのだから題意を満たしている」と考えるのか

私にはどちらが正しいのかよくわからない。

>>255
> くじを引く(右手左手足を選ぶ？)人が
> どれが当たりやすい当たりにくいとかの情報を
> 持っていなければ同じではないのか？

それを言うなら、そもそも
いびつなコインを使う場合でも
当てようとする人が表裏どっちが出やすいかの情報を持っていなければ
同じ理由で１／２になってしまう

なので、解答として題意に沿っていないと思う

>>259
前半は同意。情報を持っていなければ1/2だと思う。

後半は現状では不同意。
なぜそれだと題意に沿っていないのかを詳しく論じてほしい。

題意にそぐわないというひとは、ぜひ>>255の後半の封筒のくじは
なぜ題意にそぐわないのかについても論じてほしいな。

コインを使ってないからとか、封筒を使ったからというのは無しで

自分はどちらなのかがわからない。

>>261
・あたり封筒を決める人のクセ（あたり封筒を置くときちょっとキョドってしまう等）
・あたり封筒の外見（厚さ、透けて見える等）

などなどが、厳密には排除できないので
確率が厳密に1/3というわけではないでしょう。

>>262
マジレスさせてもらうが、不毛な難癖はやめにしようぜ。
正直そういうのはもう飽きてる。

ふむ。題意の捉え方の違いだな。
>>32は>>263のいう「不毛な議論」を回避するにはどうすれば良いか、という問題だと思った

もしかしてゲーム理論が関係してくるのかな。
しっぺ返し戦略とか。

相手がなんらかの戦略に基づいてゲームをプレイするがその戦略は知らされていない。
そのとき勝率を上げることはできるか？ということだよね。

封筒のゲームの場合、プレーヤーとディーラーの戦略によっては
長期の勝負をしても勝率が1/3に収束しないことがありうる。
ディーラーの戦略はプレーヤーの戦略にかかわらず、
長期の勝負で勝率が1/3に収束する必要がある。
てことでしょ。

封筒の問題は>>216でFAでないの？
コイン以外使うな、っていう…

>>268
封筒を使わなくても同じことはできるだろ。

ディーラーのとり得る戦略に制限がなく、
有限回の勝負でプレーヤーがディーラーの戦略を特定できないのであれば、
プレーヤー側が確実に勝率を1/3以上に上げることはできない。

しかし有限回の勝負でプレーヤーがディーラーの戦略を特定できないという仮定は
ディーラーがランダムにプレーしていると仮定するのと等価ではではないのか？

識者の意見求む。

「有限回で特定できない」というのは
「いかなる仮定も間違っている」
ということなのじゃないかな？
だとしたらそれはランダムと何も変わらないと思うが…

単語の意味が曖昧なのですこし補足しておくと
「特定」は、ディーラーの戦略全体を知る必要はなく、
どんな小さな癖でもひとつ掴めばいい。
当然だが「仮定」は、出目の偏りがあると
仮定するものである必要がある
（「出目はランダムだ」という仮定は当たっていても意味はない）

「仮定が間違っている」というのは、
「そのような偏りはなかった」というのに他ならない。
なぜなら、ある偏りがあると仮定すると同時に
その逆の偏りがあると仮定できるからだ。

結局、仮定できるすべての偏りについて間違っているなら
それは偏りのない（つまりランダム）と等しいと考える。

> 「仮定が間違っている」というのは、 
> 「そのような偏りはなかった」というのに他ならない。 

ここちょっとわかりにくいな…
ある偏りを仮定したときに、その逆の偏りも仮定できるので
出目に正の偏りも負の偏りも許されないということ。

あー、でも、それと
有限回の勝負でその偏りを見つけられるかどうかとは関係ないのかな？

「偏りは、有限回の勝負で必ず見つけられなければならない」ということなら
有限回の勝負では見つけられない偏りが存在するディーラーの戦略
というのは、あるのかもしれない…
わからなくなってきた…

もし出目に偏りがあるならプレーヤーは今までで一番でた回数の多い目にかけ続ければ最終的には勝てるんじゃない？
ディーラーの戦略は偏りが無いのはもちろんのこと、それ以上のものが求められるかと。

てめーら期待値で考えろよ

期待値なんてものは同様に確からしい何かを前提とした議論だろ。
ディーラーの戦略がその前提を満たして無くても賭けが成り立つのか？というのが問題になってるんだろうが。

276 ：１３２人目の素数さん ：2008/07/04(金) 19:53:48
期待値なんてものは同様に確からしい何かを前提とした議論だろ。
ディーラーの戦略がその前提を満たして無くても賭けが成り立つのか？というのが問題になってるんだろうが。

俺の主張はこうだ。

封筒のゲームはディーラーがどうであれ、最初の一発目のゲームの期待値は1/3になる。
なぜなら、プレーヤーがなんの情報も持っていないから。

しかし繰り返しゲームを行ったとき、プレーヤーは過去の出目の情報を持ってしまっている。
この情報を全くの無価値にするにはディーラーの戦略がランダムであらねばならない。

つまり、繰り返しゲームを行うとき、ディーラーの戦略がどんなものであれ、ゲームの期待値が1/3になるとは思えない。

こんなたとえ話はどうだ。

あなたはカジノのオーナーです。
今回、ルーレットマシンを購入することにしました。
A社のルーレットマシンは出目が完全にランダムであることが保障されています。
B社のルーレットマシンは出目があるアルゴリズムによって決定されますが、
B社の機密保持は完璧でアルゴリズムがプレーヤーに漏れることはありません。
しかし、プレーヤーは過去の出目を参考に戦略を立ててくるかもしれません。
あなたはB社のルーレットマシンを購入しますか？

276 ：１３２人目の素数さん ：2008/07/04(金) 19:53:48
期待値なんてものは同様に確からしい何かを前提とした議論だろ。
ディーラーの戦略がその前提を満たして無くても賭けが成り立つのか？というのが問題になってるんだろうが。

ナッシュ均衡

>>274
出目に偏りがあるというのは、どれかが多いというだけではない。

たとえば、封筒の例で言えば、「あたりを入れる封筒は右→左→中の順の繰り返し」
というディーラーの戦略だとしたら、どれかの出目が多いとということはなくなる。

しかしこのディーラー戦略には、前のあたりと次の出目の関係に強い偏りがあるので
多くのプレイヤーが簡単に勝つことが可能になってしまうだろう。

なんかよほど>>２７６の言葉に傷心しちゃったやつでもいるのか？

>>278
そのたとえ話はあまり役に立たんと思う。

いったいどこのカジノが、完全にランダムに出るルーレットを持っているんだ？

どこのカジノも、出目のランダムでないルーレットを使って商売をしているのは
ルーレットのルールが、完全なランダムなど要求しなくても
ディーラーが勝てるように設計されているからだよ。

そもそもランダムってちゃんと数学的に定義された言葉なのか？

>>283
ルーレットのルールが多少ディーラーに有利になっていてもプレーヤーに出目がばれていればディーラーは負ける。
完全なランダム性は要求されないにしても、実用的な時間で出目がばれない程度のランダム性は必要だろう。
カジノのオーナーとしてB社のアルゴリズムの安全性が気になりませんか？ということだ。

それはすなわち、

「ディーラーの戦略がどんなものであれゲームの期待値が1/3になる、とは思えない。」
(ちょっと句点の位置をずらさせてもらった。）

という主張と一致する。


たとえ話から主張するところが読み取りにくいというならそうかもしれない。

>>284
「同様に確からしい」とほぼ同意語ということでいいんじゃないか？

>>285

> 完全なランダム性は要求されないにしても、実用的な時間で出目がばれない程度のランダム性は必要だろう。 
> カジノのオーナーとしてB社のアルゴリズムの安全性が気になりませんか？ということだ。 

つまり、それなりにバラけていれば、完全にランダムである証明など要らないということになってしまうので
その例は主張したいことと異ならないか？

今要求されているのは、実用的なランダム性ではなく
両手片足のどれにコインが握られて（踏まれて）いるかを決めルールが提供されていて
かつそれが厳密に１／３だと証明されていることだと思うのだが。

というわけで、主張するところが読み取りにくい。

同様に確からしい、という概念自体、わかっているようでよくわからない。

さいころを振ったとき1〜6がでることが同様に確からしいというのはどういうことか？
それぞれが出る確率が1/6ということか？
ならばそれぞれが出る確率が1/6とはどういうことか？
1〜6がでることが同様に確からしいということか？

これでは循環定義で何の説明にもなっていない。

では過去の出目が未来の出目に全く影響を与えないという定義はどうだろうか？
この場合「全く影響を与えない」ということの定義がよくわからない。
ある数列が与えられたときに、この数列の項は互いに全く影響を与えていない、
あるいは何らかの関係があるということを定義することができるのか？

そもそも同様に確からしいという概念自体公理であって他の公理から定義することは無理なのか？

独自研究はいいから本を読んでみたまえ

>>241
Nを、十分大きな正整数とする。
0≦F≦Nならば、すべてのi (1≦i≦n)について
0≦[f_i(x_i)]≦N、よって 0≦f_i(x_i)＜N+1 だから 0≦x_i＜g_i(N+1)。
したがって、0≦F≦Nであるような(x_1,…x_n)∈X^n の個数は
高々 [g_1(N+1)+1]*…*[g_n(N+1)+1]であり、これはもちろん {g_1(N+1)+1}*…*{g_n(N+1)+1}以下。
以上より、0≦m≦Nで、Fで表現できる m の個数は{g_1(N+1)+1}*…*{g_n(N+1)+1}以下である。

条件より、ある正定数 K, L (L<1)が存在して、N＞K なら g_1(N+1)*…*g_n(N+1)＜L^2*(N+1)。
また、すべてのi (1≦i≦n)について、g_i(y)→+∞ (y→+∞)だから、
Kを十分に大きくとれば、N＞Kのとき {1+1/g_1(N+1)}*…*{1+1/g_n(N+1)}＜1/Lとなる。

P(N)を、0≦m≦Nで、Fで表現できない m の個数とすると、N＞Kなら
P(N)≧(N+1)-[g_1(N+1)+1]*…*[g_n(N+1)+1]
　＞(N+1)-{g_1(N+1)*…*g_n(N+1)}/L
　＞(1-L)*(N+1)
であるから、P(N)→+∞ (N→+∞)。

確率の定義から堂々巡りしてる男の人って・・・

まあ普通の計算問題を解いてる分にはあんまりボロが出ないのかもしれんが
教科書の最初の方だろ

高校の教科書の最初には定義なんてありませんよ

１等賞金支払い後も「くじ」販売、契約違反と州を提訴　米国
http://www.cnn.co.jp/usa/CNN200807080024.html

>くじの１等賞金を得る確率が非常に低いこととゼロでは、まったく意味が違うと主張

なるほど、提訴は正しい

22×26の長方形を16個の正方形に分割する方法は何通りあるか？
正方形の一辺は整数に限る

□□□□□□□
□◎◎◎◎◎□
□◎◎◎◎◎□
□◎◎◎◎◎□
□◎◎◎◎◎□
□◎◎◎◎◎□
□□□□□□□

以下の条件で上図の25個の◎を取り除いて下さい
(1)◎は他の◎を1つだけ飛び越して縦横斜めに移動できる(移動先に◎がある場合は不可)
(2)飛び越された◎は取り除かれる
(3)最後に◎が1つだけ中央に残る
(4)最短手数で取り除く
(5)1つの◎が連続して飛ぶ場合は一手と数える

ＡＢＣＤ×ＥＦＧＨ＝ＤＦＦＤＩＤＧＨ

同じ文字に同じ数字、違う文字に違う数字を入れ等式を成立させて下さい

正１２面体の頂点を赤、白で塗る塗り方の数はいくつでしょうか？
回転して同じになる塗り方は同じとします。

>>297
17824

>>296
4781 * 2095 = 10016195
5601 * 2378 = 13319178

正多角形（何でも良い）を用いて3.1<π<3.2を証明せよ

面白そうだったので「わからない問題はここに書いてね ６７６」スレより転載

数列a[n]=cos((n-1)π/2)がある。a[n]を次のように並べて、群の中の項数が1ずつ増えていく群数列b[n]を考える。

b[n]=a[1],｜a[2],a[3],｜a[4],a[5],a[6],｜a[7],a[8],a[9],a[10],｜a[11],a[12],・・・・｜

(1)第n群の初めの項b[n,1]をnで表せ。
(2)第n群のｍ番目めの項b[n,m]をnとmで表せ。(m≦n)
(3)第n群に含まれるすべての項の和を求めよ。
(4)b[100,50]からb[200,100]までの和を求めよ。

質問者は(3)以外はわかったらしい。俺は(1)(2)しかわからなかったorz
件のスレに(3)の解法も載ってるのだが、それを読んでなお理解できなかったよ・・・
その質問者もその後、理解できたのかどうか音沙汰が無いしなあ

◎
│＼
◎─◎
│＼│＼
◎─◎─◎
│＼│＼│＼
◎─◎─◎─◎
│＼│＼│＼│＼
◎─◎─◎─◎─◎

以下の条件で上図の◎を取り除いて下さい
(1)最初に◎を1つ取り除く
(2)◎は線にそって他の◎を1つだけ飛び越して移動できる(移動先に◎がある場合は不可)
(3)飛び越された◎は取り除かれる
(4)最後に◎が1つだけ残る
(5)最短手数で取り除く
(6)1つの◎が連続して飛ぶ場合は一手と数える

>>301
a[n]={i^(n-1)+(-i)^(n-1)}/2と書けば、等比数列の和の公式から
n群の和＝�納k=n(n-1)/2+1,n(n+1)/2]a[k]は書けることはかける・・・
あとはn=4m+sっておいて、s=0,1,2,3で場合わけでいけるんじゃない？

AからGに正の整数(何桁でも可)を入れて等式を成立させて下さい.同じ整数の2度使いは不可
値が最も小さくなるものを答えて下さい
Aの3乗＝Bの3乗＋Cの3乗−Dの3乗＝Eの3乗＋Fの3乗−Gの3乗

微分の応用問題
V cm3 の水を入れると，深さが3√ (V^ 2)cm(Vの2乗の3乗根) になる容器がある。この容器に，毎秒一定の割合で水を注ぎ入れると
き，水面の上昇する速度は，水の深さの平方根に反比例することを証明せよ。
これどうなりますかね??よろしくお願いします!!

ガソリンが２００円になったら需要が激減して、原油先物市場が暴落する。
それまでの原油価格の変動曲線を計算しなさい。

>>305
容器の形状に依るのでは？

>>305
応用ってか、微分するだけじゃねえの？

レスの時刻をフーリエしなさい

面白半分で数学スレに来たんだが、おまえら、いや貴方たちすごいわ、

>>307
条件を満たす容器は形状によらず一定にならないか？

>>305
毎秒一定の割合で水を注ぎ入れる
ってことから、dV/dt=a　（aは正の定数）とおける
また、体積Vの水が入ってるときの深さをhとおくと、
h=V^(2/3)
水面の上昇する速度はhをtで微分したものだから
dh/dt=(dh/dV)*(dV/dt)=(2a/3)*V^(-1/3)=(2a/3)*(1/√h)

って感じでいいんじゃね？
あと、条件を満たす容器の形状は一つに決まらないと思うのだが
ラッパ型になるのは分かるが、円が積み重なったラッパ型も
正方形が積み重なったラッパ型等も考えられる

適当にいじって変形しただけで特に背景とか脈絡とかはない問題。
問．計算せよ。

　　∞　　　1
(1) �� ――――
　　n=1　n*2^n

　　∞　　　　　　1
(2) �� ――――――――
　　n=0　n!*(2n+1)(2n+3)

　　∞　　16n^2+28n+11
(2) �� ――――――――
　　n=0　　　 (4n+4)!

問題を間違えた・・・

　　∞　　　　　6n+5
(2) �� ――――――――
　　n=0　n!*(2n+1)(2n+3)
です。

それは面白いの？

>>313
(1) log(2)
(2) e
(3) 問題間違えてないか？初等関数で表せない気がする。

>>316
すばやいですね〜。(1)も(2)も当たりです。
(3)も初等関数を用いたシンプルな値になりますよ。
今googleで検算しましたが、n=1で既に相当近い値になりますね。

　　∞　　16n^2+28n+11
(3) �� ――――――――
　　n=0　　　 (4n+4)!

>>317
1 - cos(1)

やっぱり面白くねえな。

微分の問題ありがとうございました!!助かりました

tan(π/24)の値を求めよ。

そんなに難しいわけじゃないけど、
結果は面白いと思うんだ。

tan(x) = sin(x)/cos(x),
sin(π/24) = (√(2-√(2+√3)))/2,
cos(π/24) = (√(2+√(2+√3)))/2,
これらを使って、
tan(pi/24) = (√(2-√(2+√3)))/(√(2+√(2+√3)))
分母分子に√(2-√(2+√3))を掛けると
(分子) = 2-√(2+√3)
(分母) = √(4-(2+√(3))) = √(2-√3)
さらに分母分子に√(2-√3)を掛けて
(分子) = (2-√(2+√3))√(2-√3)
　 　 　 = 2√(2-√3) - √(4-3)
　 　 　 = 2√(2-√3) - 1
(分母) = 2-√3
更に分母分子に2+√3を掛けて
(分子) = (2√(2-√3) - 1)(2+√3)
　 　 　 = 4√(2-√3) - 2 + 2√(3)√(2-√3) - √3
(分母) = 1
あとは分子をなるべく簡単な形にする。
(与式) = √(2-√3)(4+2√3) - (2+√3)
　 　 　 = (2+√3)(2√(2-√3) - 1)
ここで、2√(2-√3) = √(8-2√12) = √((√(6)-√(2))^2) = √(6)-√(2)　より
(与式) = (2+√3)(√6 - √2 - 1)
　 　 　 = 2√6 - 2√2 - 2 + 3√2 - √6 - √3
　 　 　 = √2 - √3 + √6 - 2
答え. tan(π/24) = √2 - √3 + √6 - 2
これ以上簡単に出来るかどうかはわかりませんでした。

>>321
合ってます。これ以上簡単にできるか？という点ですが、
√2-√3+√6-2=(√3-√2)(√2-1)
と変形できます（どちらが簡単かは好みの問題だと思いますが）。

sin(π/24)やcos(π/24)は二重根号が現れるのに対し、
tan(π/24)は分数にもならず意外ときれいな形で求められるところが
個人的に面白いと思いまして。

>>322
じゃあtan(π/48)はどうなの

>>323
な、なんと！その質問は予想できなかった。
ちょっと計算してみます。

tan^2(x)=(1-cos(2x))/(1+cos(2x))
の公式で求めることができるのですが、
いかんせんcos(π/24)の値が二重根号入っているので、
ためらってしまう……。

腕力の訓練だな．若干の計算によって，
a = 2+√3, b = 2+√a, c = 2-√b とおいて
tan(π/48) = a b c^2 となる．この多重根号は外れない．

一辺が1の正四面体OABCにおいてOA、OB、OC上に点P、Q、Rが
四面体OPQRの体積が正四面体OABCの1/3になるように動く。
このとき三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めよ。

>>326
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1217503374/
こっちで終了してる

直径5の円の中に10個の点をどのように取っても必ず互いの距離が
2より小さい2個の点があることを示せ

使う道具はわかるけどどう使うかに苦慮する問題です

>>328
直径2の同心円、およびその外側の領域を放射状に8等分でどうよ？

>>329
正解です。頭いいですね。

ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0
をxについて解け

>>331

x=N-(p/3),p=b/a、q=c/a
m=(-1/3)p^2+q、n=(2/27)p^3-(pq/3)+r
N=u+v、ωu+(ω^2)v、(ω^2)u+ωv　(ω=[3]√1=(-1+i√3)/2)
u=[3]√[-(n/2)+√{(n^2)/4+(m^3)/27}]
v=[3]√[-(n/2)-√{(n^2)/4+(m^3)/27}]

次の虫食い算を解いてください。

　KYOTO + OSAKA = TOKYO

00000+00000=00000.
01010+09000=10010.
14131+17010=31141.
27252+25020=52272.
41373+32040=73413.
54494+40050=94544.

シュワルツの不等式を用いて次の不等式を証明せよ。（sqrtは√を表す）

sqrt[ Σ[k=1,n]{x(k) - y(k)}^2 ] <= sqrt｛ Σ[k=1,n]x(k)^2 ｝ + sqrt｛ Σ[k=1,n]y(k)^2 ｝

>>335
どこが面白いの？

>>335
腹抱えてﾜﾛﾀ

>>333
それは一般的には虫食い算とは言わないと思う。

この図形を合同な二つの図形に分割して下さい
(×はずれないように書いてるだけだから無視して下さい)

×□□□□□□
□□□□□□□
□□□□□□□
□□□□□□□
□□□□□××

×■■□□□□
■■□□□□□
■■□■■□□
■■■■□□□
■■■■□××

なかなかおもしろい

いろんな問題あるからよかったら来てね
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1202402941/l50

699 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/08/11(月) 20:44:20
3√(5+2√5)-√(25+10√5)を√(A+B√5)の形にせよ。ただし、AとBは整数とする。

700 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/08/11(月) 21:14:02
>>699
さすがにそれはない

701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/08/11(月) 21:18:34
>>699
これはひどい

704 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/08/11(月) 21:40:14
>>700-701
あれ？わかると思ったけどなぁ・・・
別のスレに書いたほうが良かった？

ドラえもんの「4次元ポケット」には「どこでもドア」は入らないのではないでしょうか？
（「四次元ポケット」「数学」でぐぐるとこの話は色々出てきますが、数学板では未出っぽいので出してみる）

4次元ポケットは、縦・横・厚さは（伸び縮みしますが、高々）それぞれ30cm以下に見えます。(*1)
「4次元」というからには、縦・横・厚さ以外にあと一つ「何か」があるんでしょう。その「何か」の大きさは問いません。
4次元ポケットのなす空間を P ⊂ R^4 とおくと、(*1)より、開区間 (0,30) に対して
P ⊂ (0,30)×(0,30)×(0,30)×R (*2)
とできる思われます。

一方、どこでもドアは、縦（高さ）は1.5m以上、横も80cm以上でしょう。厚さは5cm以上として
どこでもドアのなす空間を D ⊂ R^3 とおくと、同様に
D ⊃ (0,150)×(0,80)×(0.5)　(*3)
とできるでしょう。

(*2)(*3)の条件から、 DはPに「入らない」ような気がします。証明できてませんけど。
ここで、「入る」の定義は…えーと…えーと…、
　　f: R^3→R^4 で、任意の2点間の距離を保つような写像f が存在して、
　　f(D) ⊂ P であるならば「DはPに入る」と定義します。

問題ていうか課題としては、
（１）DはPに入るかどうか。
　　（fが存在すると仮定して、fは線分を同じ長さの線分に写す、ってことは簡単に示せそう。その後は…？）
（２）もしDがPに入らないならば、上記Pの決め方や「入る」の定義などをうまく変更して、DがPに入るようにしてください。
　　「4次元ポケット」という名称やその形状ともうまくマッチするような、面白い考え方はありますかね？
　　（例えば P ⊂ C^4 ? R^8 と解釈すれば簡単に入るけどいまいち面白くない）

１．４次元ポケットを裏返す。ドラえもんものびたも、どこでもドアも、これでポケットの中。

２．４次元ポケットはスモールライト装備である。

>>343 空間Dを細かく分解して各パーツを違うtに配置すればいい。

３．もう一つの次元は「スケール」である。

厚さが５cmなんだから、縦にすれば、あと必要なのは横だけじゃないか？
８０cmは４次元方向を用いればよい。

４．ポケットの口がゴム製だった。

５．ポケットの入り口で空間が歪んでいた。

６．ドラえもんの作者が実は赤塚不二夫だった。


これでいいのだ。

30x30x30x∞って、また、ものすごく狭い４次元空間だな。

ガリバートンネル的な機能が付いてるんじゃないのか？

>>352
無限大に狭いも広いもない

…ないことはないが

半径１５cm,深さ１５cmの中華丼ぶりにスープが深さ３cmのこっているとき、どんぶりをてでもって
傾けて回すとき、スープの水面が作る空間の体積は？

>>355　断面図書いて回転体の体積求める。

>>356
> 断面図書いて
問題は↑ココだろ

体積条件でエンベロープの接平面群を出すのがものすごく難しい。数値解析に回す。
バリエーショナルならいけるかも。
学部２年の演習問題レベル。

解をしっているのは、ラーメン屋のおやじぐらいだ。

どんぶりにある長さの箸を縁から滑らせればいい。それが接平面

いっきに高３レベルに落ちてしまった・・・中３でもできるかも。

体積を箸の長さで計算してから体積条件で長さを決める。

>>355
意味不明

U(t):v*(p-s)=0
v=(cost,sint)
p=(x,y)
s=12(cost,sint)
Ut:vt*(p-s)-v*st=0
vt*p=0
(-s,c)*(x,y)=-sintx+costy=0
cost(x-12cost)+sint(y-12sint)=costx+sinty-12=0
(y^2+x^2)cost=12x cost=12x/(x^2+y^2)
sint=12y/(x^2+y^2)
(12^2)/(x^2+y^2)=1
x^2+y^2=12^2
途中から円であとは直線の壁・・・

微分方程式からフィボナッチの一般項求める問題が面白かった。
有名なんかな？
f(x)=�蚤_nx^n　を弐階まで微分して求める。

1,2,3　の 3つの数字で演算子（重複無しで高校レベルまで）を使って出来る限り大きな数を作ってください
123など繋げるのもありです
()はいくつつかってもいいです

>>365
線形の場合に母関数を考えるのは常套手段。

(3^21)!

>>368
不正解
(2^31)!の方が大きいしね

1/(3-2-1)

>>370
1を二つも使ってる

なんかわろた
>>370せめて-log(3-2-1)と書けよ

(3^21)!の方が大きいぜ！

おまえが作った値がｘだとしたら俺は(x)!を提出してやる。

というわけで、いくらでも大きくできるでFAだろう。

>>374
チッチッ！
>演算子（重複無しで・・・

2^31!かな。

>>376
正解です
31!>2^31　ですしね

エクセルの画面出して、どこでもいいからセルを右クリックして
ハイパーリンクを選んで「ファイル・ウェブページ」の
「ブラウズしたページ」をクリックする。

2^(31!) だろう。

3^(21!)と比べるとどうなんだろう？
そもそも　>>374 の (3^21)! は明らかにダメなのか？

>>379
そうですね　書き方の問題です
それで正しいです

>>380
これは対数をとればいいですね
21!log3 31!log2
後者が大きいのは自明です

９を３つ使って作れる最大の整数を求めよ。
ただし階乗は使っちゃダメ。

>>383
当然、９を三つ使いさえすればいいんだから
9999999999999999999999999999999
とかもOKなんだな？

>>383
9^99

9^9^9

次の極限値を求めよ。（ガウス記号を使用してもよい）

　lim [x + h]　（xは実数、[]はガウス記号）
h→1-0

[x+1](x∈R-N)
x(x∈N)

xの場合分けで来ましたか。まんまやねｗ
ちなみに、場合分けなしの以下の表現を想定してました。
-[-x]

今､自分を含めて100人の死刑囚がいます.この100人に対して悪い王様から次の様な問題が出されました

｢1から100までの数字(整数に限る)の中から一つの数字を紙に書きなさい
次に紙に書かれた100人全員の数字の平均の1／2を予想(整数に限る)しなさい｣

最も近い数字(整数)を予想した人だけが釈放され､残りはその場で処刑される事になっています
釈放される確率をできるだけ高くするにはどんな数字を書き､どんな数字を予想したらいいでしょうか？
ただし100人の死刑囚は互いに相談する事はできず､全員が死刑は嫌だと考え合理的な判断をするものとします

>>390
１かな？

>>386
正解

>390
単純に25かと考えてしまうけど、違うんだろうなぁ。分からない。

A君(自分)とB君は階段(段数は20)を使って勝負をしています
じゃんけんをしてグーで勝てば3段,チョキで勝てば5段,パーで勝てば6段上れます
じゃんけんを繰り返して先に階段の一番上に到達すれば勝ちです
今,二人は階段の下にいます.A君は勝つ確率を高める為にはグーチョキパーをどう出すのが最良でしょうか？
ただしB君も勝つ為に最良の手を出すものとします

グーチョキパーをそれぞれ以下の確率で出すときに進める期待値は315/196歩で最大
グー⇒5/14、チョキ⇒3/14、パー⇒6/14

>>390
数字、予想ともに1

もしそうでない考えをする人が何人かいたときに
もっとも予想が外れにくいから
（平均の1/2を整数で予想というのがミソだな）

>>395
相手がそういった確率出すとして
こちらも対策を練れば変わってくるのでは
そしてそれに相手が対策を練れば…

永遠にあいこですね

>>397
そういうことを言うなら、変わることを示せよ。

>>395
には全部チョキで対抗するのがいいだろうな

>>399
変わらないことを示してくださいよベイベ〜

>>400
そしてそれには全部グーで返してループするのね

そもそも勝つための最良の手とは何だろう？
>>395は進める歩数の期待値を最大にしたが、はたしてそれでいいのだろうか？
進める歩数の期待値がどんなに大きくても、自分と相手のその期待値が等しいならば
勝つのは五分五分、ということはそれは勝つための手とはいえないのではないか？

勝つための最良の手とは、（自分の期待値-相手の期待値）が最大になるような手ではないのだろうか？

ここで、「相手も自分もどちらも最良の手を出す」ということを考えると
（自分の期待値-相手の期待値）は０にしかならないのではないか？

>>394
これって、今いる段数によって
各手を出す確率の配分が変わる？
17,18,19段目にいればどんな手で勝ってもいいし

いやそもそも、相手のいる段数も関わってくるのかな

そうすると、グーチョキパーそれぞれを出す最適な確率Pg,Pc,Ppは
Pg(n,m), Pc(n,m), Pp(n,m)というように
自分の今居る段数nと相手のいる段数mの関数にならなきゃいけないのかな

>>394 こういう問題いっつもみるけど
　相手も最良の手考えるなら結局相子しかでなくね？

>>405
ランダムという要素を入れればあいこではなくなる。
もちろん統計的に長い目で見れば引き分けかもしれないが

もしくは裏のかき合いになって結局運否天賦
確率の問題としては適してない題材だな。

もし最強の手というものがあるとしたら
あいても自分も同じ手がとれる以上
相手も自分も同じ勝率にしかならない。

このことから、以下のことがわかる。
・最強の手があるとしてもたかだか５０％の勝率である。

>>408
いや逆だろ。最低50％だ。
相手も同じ手を使ってくるとは限らないし。

>>409
同じ手を使ってこない時点で最強の手ではないことになるね

最強の手が"あったら"その勝率は50%だな

自分がn段,相手がm段のとき
両者が最適戦略をとったときの自分の勝率を V(n,m) とする

V(n,m)を再帰的に算出し、その過程で、最適な戦略( Px(n,m)の値 )を得る。

・再起計算の初期値
V(n,m) =1 ( x=g,c,p,  20≦n, m＜20 )
V(n,m) =0 ( x=g,c,p,  n＜20, 20≦m )

・V(n,m)の再帰計算
V(n,m)
 = (PgPg'+PcPc'+PpPp') V(n,m)
 + PgPc' V(n+3,m) + PcPp' V(n+5,m) + PpPg' V(n+6,m)
 + PcPg' V(n,m+3) + PpPc' V(n,m+5) + PgPp' V(n,m+6)
≡ (sum[x] PxPx')V(n,m) + (sum[x,y] PxP'y C(n,m,x,y))

( ただし >>404の Px(n,m) を Pxと略記, 相手の手の確率をPx'と書く,  x,y は g,c,pを渡る変数 )
C(n,m,x,y) は (x≠yのとき) 右辺PxPy'の係数, x=y の時 0 と定義
C(n,m,x,y) は 再帰計算の過程ですでに算出されている

以上から
V(n,m) = (sum[x,y] PxP'y C(n,m,x,y))/(1-sum[x] PxPx')

上記のV(n,m)を Px, Px' の関数V(Pg,Pc,Pp,Pg',Pc',Pp')とみなし
sum[x]Px=sum[x]Px'=1 の拘束条件のもと
VがPxに関して極大,Px'に関して極小となるようなPg,Pc,Pp,Pg',Pc',Pp'を見つけることで
最適戦略が得られる、と思う

戦略をいつ決定するかとか、どのような戦略がありうるかとかを
定めない以上、数学の問題としては不備。

>>394
AはA:B:C(A+B+C=1)の確率でグー、チョキ、パーを出すとすると、
(Aが進む歩数の期待値)
=3(Aがグーを出す確率)(Bがチョキを出す確率)
+5(Aがチョキを出す確率)(Bがパーを出す確率)
+6(Aがパーを出す確率)(Bがグーを出す確率)
=3Ab+5Bc+6Ca
(Bが進む歩数の期待値)
=3(Aがチョキを出す確率)(Bがグーを出す確率)
+5(Aがパーを出す確率)(Bがチョキを出す確率)
+6(Aがグーを出す確率)(Bがパーを出す確率)
=3Ba+5Cb+6Ac
よって(Aが進む歩数の期待値)=(Bが進む歩数の期待値)のとき、
3Ab+5Bc+6Ca=3Ba+5Cb+6Ac
(6C-3B)a+(3A-5C)b+(5B-6A)c=0
6C-3B=0かつ3A-5C=0かつ5B-6A=0
A:B:C=5:6:3
よって5:6:3の確率で出せばよい

>>414
の通り5：6：3でグーチョキパーを出す予定の相手には
全部グーで挑ませてもらおう。

A=5/14, B=6/14, C=3/14
a=1, b=0, c=0

Aの進む歩数の期待値
3Ab+5Bc+6Ca=6Ca=18/14

Bの進む歩数の期待値
3Ba+5Cb+6Ac=3Ba=18/14

>>415
ジャンケンそのものの勝率は上がっても
歩数の期待値の意味では相打ちじゃね？

>>416
Bの進む歩数の期待値は
5Ba+6Cb+3Ac=5Ba=30/14

>>416
期待値を競ってるわけじゃないので>>415の勝ち。

>>417
Ｂａはグーで勝ち。

>>355
０。

>>418
期待値が同じならゲームの勝率も同じじゃね？

ゲーム勝利条件は
どちらが先に20段以上まで登ったか、だろうから
厳密には歩数の期待値が多ければ
勝率も高いとは言えないだろうけどね

実際、双方ともに17段から19段でゴール間近のときは
>>414 の戦略に対しては >>415 のようにグーを出した方がいい

やっぱりここは
自分と相手の段数に対して各々
グーチョキパーの割合を変えて決めなければいけないと思う

>>420
相手が過去に選んだ手によって現在の手を変える戦略は考えないの？

>>419
>>414がグーを出す場合は影響がないので省ける。
チョキかパーを出した場合１０回の内
パーが４回以上なら>>414の勝ちで
３回以下なら>>415の勝ち。

あ、なるほど。 ２０段以上は無駄になるからか。

最強戦略が存在することの(不完全な)証明
π1,...,πnを全ての戦略をとし、V(πi,πj) を 戦略πjが戦略πiに勝つ確率とする

ゲーム開始時に確率Piで戦略πiを選択し、以後その戦略を突き通すという戦略を新たにπ(P1,...,Pn)とする
この戦略はP1,...,Pnのパラメータを適当に調整することでどんな戦略もエミュレートできる

自分が戦略π(P1,...,Pn)を用い、相手が戦略π(Q1,...,Qn)で挑んでくるとする。Qiのパラメータの選び方によらず勝率50%を達成するPjの存在を示す

行列V を i,j成分が V(πi,πj) である行列と定義する
P,Qをそれぞれ、P1,...,Pn、Q1,...,Qnを並べた縦ベクトルとする
P = V^(-1) [1/2,...,1/2]' と、すべての要素が1/2の縦ベクトルにVの逆行列をかけたものを選ぶ
(Vの正則性、Pi>0,sum[i]Pi=1が成り立つ事の証明は…まだしていない、多分 "V+V'=1を並べた行列" 等の性質を使う)

このときの自分の勝率は
V(π(Q1,...,Qn),π(P1,...,Pn)) = sum[i,j] Qi V(πi,πj)Pj = Q'VP= Q' [1/2,...,1/2] = sum[i] Qi (1/2) = 1/2
とQjの値に依存することなく常に50%になる。つまりπ(P1,...,Pn)は最強の戦略になる。

>>424
「戦略」を定義せずに議論しても全く無意味でしょ．

(1)
> π1,...,πnを全ての戦略をとし
ここから破綻している。「戦略」は有限個しかないの？
実際 π(P1,...,Pn) は任意のパラメタに対して「戦略」ではないの？

(2)
> Vの正則性
普通に「戦略」を定義するとVは正則にならないと思われる．
実際，ある「戦略」が複数の「戦略」の和で書けている場合を考えれば
逆が無いのはかなり直感的に分かる．

>>424
結局君の証明は，戦略集合 C が凸集合（「戦略」の凸結合が取れる）
ことを踏まえたうえで，
　『C の端点が高々有限個（基本的な「戦略」π1, ..., πn が存在）』
を仮定している（こうすれば，その証明を正当化できる）．

しかしこの仮定は相当強くて，C がコンパクトになってしまう．
よって勝率関数 V: C×C → R が最適解を持つのはほとんど自明．

凸集合であることは通常認められる仮定だが，
端点が有限個という仮定は，ほぼ絶望的だろう．

次のような非常に制限の強いプログラム言語X_1を考える。
1.使用できるデータ型（変数、定数とも）はC言語で言うところのunsigned charのみである。
2.使用できる演算は代入、足し算、引き算、論理演算(AND,OR,NOT,XOR,右シフト、左シフト)のみである。
3.if,while,goto,関数呼び出し等の制御構造は一切なし。プログラムは上から下へ順番に実行されるのみである。
4.unsigned char型の変数を使うことが出来る。個数に制限はない。
5.一ステップで代入一回、演算一回行うことが出来る。つまり１ステップは以下のどれか。
　a=b;
　a=~b;
　a=b+c;
　a=b-c;
　a=b&c;
　a=b|c;
　a=b^c;
　a=b<<c;
　a=b>>c;
　(※単項の-は禁止）　
6.プログラムの終わりに次のような値を返す文を入れる。
　return a;
　この値をプログラムの値と呼ぶ。
7.プログラム中で使用できる定数は0x01のみである。

問題1
プログラム言語Pにおいてプログラムの値がaになるもので
最小ステップのプログラムを、Pにおけるaを返すエレガントなプログラムと呼ぶ。
0〜255についてそれぞれその値を返すX_1におけるエレガントなプログラムを一つ挙げよ。

問題2
プログラム言語X_1に対してプログラム中で使用できる定数を0x01では無く、他の値aに変えたものをプログラム言語X_aと呼ぶ。
また、エレガントなプログラムのステップ数が最も大きくなるような値をそのプログラム言語の最悪の値と呼ぶ。
プログラム言語X_0〜X_255の内、最悪の値に対するステップ数が最も小さくなるプログラム言語はどれか。

×プログラム言語X_0〜X_255の内、最悪の値に対するステップ数が最も小さくなるプログラム言語はどれか。
○プログラム言語X_0〜X_255の内、最悪の値に対するエレガントなプログラムのステップ数が最も小さくなるプログラム言語はどれか。

問題1って、回答は256個書かないといけないの？

256個が面倒だったら、X_1における最悪の値どれか一つとそのエレガントなプログラム１個でいいや。

よく分からんけど
「エレガント」ってのは計算機科学では
何か厳密な定義があるの？

>>428見る限りはあるんだろうね。
そういう出題の仕方だから。

>>431
出題者じゃないが、問題文はちゃんと読もうぜ。
> 最小ステップのプログラムを、Pにおけるaを返すエレガントなプログラムと呼ぶ。

と定義がある。

>>431
グレゴリーチャイティンて言う人の知の限界って本を読んだらエレガントなLisp式という言葉が出てきた。
これはその本を読んでみて作った問題。

ああ、Kolmogorov計算量とかそういう話題ね

ちなみに俺も答え知らないので宜しくｗ
ひょっとしたらめちゃくちゃ難しい問題なのかもしれない。
とくに問題２は。

2項演算子で枝刈りがうまくできん。キレイに解く方法あるんだろうか。

とりあえず。
「エレガントなプログラムを作るためには一度値を代入した変数に再度値を代入する必要はない。」
多分正しいと思う。

あと、もう一つ。
「エレガントなプログラムの実行過程で異なる変数が同じ値になることはない。」
これも多分正しいと思う。

X_1 で 0 を返すエレガントなプログラムってこうならない？
　a=0x01;
　b=0x01;
　c=b-a;
　return c;
以下みたいな別解もあるけど、上のもエレガントだよね？　>>438って正しいかなあ。
　a=0x01;
　b=~a;
　c=b&a;
　return c;

紛らわしかったかもしれませんが、一応演算の引数に定数を書くのはありとします。
だから０を返すエレガントなプログラムは

a=0x01-0x01;
return a;

ということで。
return文の中での演算は禁止としましょう。

あと、２項演算の引数に同じ変数を用いるのも可とします。
a=b<<bとか。

もう一つあった。
「X_1におけるエレガントなプログラムのステップ数が１４を越えることはない。」

証明は各ビットが立った変数を用意するのに７ステップつかって、
さらに各ビットのオアをとるのに７ステップ使えばどんなデータも生成できる。
１４と言う数字はとっても荒くて、ちょっと頑張ればもっと良い数字が得られると思う。

プログラムが豊富すぎて解析が難しいが、
さらにプログラム言語を制限し、加減とビットシフトのみが許される言語で、
数値 n が k 手以下で作れるかどうかの判定がNP完全になる。
(STOC2005くらいだったと思う）

なので、きっとこの問題も、エレガントな解答があると
P=NPの解決に近づく問題だと思われる。

X_1におけるエレガントなプログラムのステップ数は7以下。
返したい値のビット表示において1の個数が5個以上の時は、
最後にNOT演算を使えばよい。
以下説明が面倒なので例だけｗ

（例）55(=00110111)を返す
a=0x01<<0x01
b=a|0x01
b=b<<a
b=b<<a
b=b|a
b=<<a
b=~b
return b

ちなみに必要な演算は<<と|と~のみ。

X_aにおけるエレガントなプログラムのステップ数は多めに見積もって11以下。
何故なら定数をCと置いて
a=C-C
b=~C
b=b+C
a=a-b
により1を生成できるため。

>>445
a=C-C
b=~a
a=a-b
で1を生成できる。
よって、
X_aにおけるエレガントなプログラムのステップ数は10以下。

今休刊になってる古いパズル雑誌の問題ですが

あなたは役人で７種類の通貨の単位を設定できる
(１円玉、２円玉、３０円玉など)

一度に使用する硬貨を三枚以内で(同じ額の硬貨複数使用も可能)で1円〜70円の70通りを表現できるように
硬貨を設定するには、７種類の単位をどうするべきだろう？

(考え中)
最低単位の１円玉は絶対必要。また、24円玉以上が一つはないと70円が表現できないですね

>>447
>>427の問題とかなり近い気がする。

>>447
ボトムアップでやっていけば解けないかな？
ちゃんと確かめてないけどイメージはこんな感じ。

for(i=1;i<=70;i++)
{
if(iを今までの硬貨３枚以内で表現できない)
　{
iを通貨の単位として設定する。
}
}

ごめん、なんか全然駄目っぽい。
>>449は忘れて。

>>447
１円玉の次に低い単位が
２円玉か３円玉か４円玉かのどれかになるんですが
分岐が多くなりそうで

まぁ樹形図書いて二時間くらいしらみつぶしにやってればできるね。
うまい解法はなさそうだし。

３５円玉は必要になる予感。

この流れで言ってしまってはミもフタもないが
たとえ造れたとしても現在流通している以外の貨幣（紙幣）って要らないよな
一と五のみで構成された金額体系は秀逸すぎる

だからこそ五万札や十万札でなく、二千札考えた奴にはポカーンとしてしまう
ミレニアムのしょぼい魔力にとり憑かれただけだろうな

>>454
> 一と五のみで構成された金額体系は秀逸すぎる

そろばんやってりゃ誰にでも思いつくと思う。

> だからこそ五万札や十万札でなく、二千札考えた奴にはポカーンとしてしまう
> ミレニアムのしょぼい魔力にとり憑かれただけだろうな

これには、同意。

>>447
1, 4, 5, 15, 18, 27, 34で作れるな．
また，多分これ以外では不可能．

1,1+1,1+1+1,4,5,1+5,1+1+5,4+4,4+5,5+5
1+5+5,4+4+4,4+4+5,4+5+5,15,1+15,1+1+15,18,1+18,5+15
1+5+15,4+18,5+18,1+5+18,5+5+15,4+4+18,27,1+27,1+1+27,15+15
4+27,5+27,1+5+27,34,1+34,18+18,5+5+27,4+34,5+34,1+5+34
5+18+18,4+4+34,4+5+34,5+5+34,18+27,1+18+27,5+15+27,15+15+18,15+34,1+15+34
15+18+18,18+34,1+18+34,27+27,1+27+27,4+18+34,5+18+34,4+27+27,5+27+27,15+18+27
27+34,1+27+34,18+18+27,15+15+34,4+27+34,5+27+34,15+18+34,34+34,1+34+34,34+18+18

>>456
エレガントな解法？
どう解いたかぜひ教えていただきたい。

>>457
期待させて申し訳ないが，全くエレガントでない．
プログラムを書いて探索した．

参考までにソースコード（C言語）：
http://kansai2channeler.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/joyful/img/7662.c

>>458
数学はもうコンピュータ無しでは立ち行かない時代になってしまったのだなぁ。（大げさか

皆様ありがとうございました

>>454
全くだ。ユーロ圏に住んでるが
2セント、20セント、2ユーロコインは無駄すぎる

>>461
ユーロ圏で日本語版のWindowsだかMacintoshだかが使える事に驚いたわ

人間の行動そのものが無駄でしかない。損得勘定無しに動ける故の欠陥かね

そもそも無駄とは何か？
文学は無駄か？
芸術は無駄か？

>>427
適当に枝刈しながら、総当りでやってみた。

問題１の最悪のステップは 7

最悪のステップの例として、例えば 71 を求めるには。

1: a = ~1 [254]
2: b = a - 1 [253]
3: c = 1 - b [4]
4: d = c << c [64]
5: e = d + c [68]
6: f = e - b [71]
7: return f

ステップ数が 7 ぐらいなら数分で解けるから、問題２も２日ぐらいあれば
解けると思う。

>>464
解けましたか。乙です。

X_1における最悪の値になにか特徴は見出せますか？
もしかしてunsigned char じゃなくてunsigned shortでもいけそうですか？

>>464
ステップ数は6の間違い？

>>465
> X_1における最悪の値になにか特徴は見出せますか？

ぱっと見、特に特徴はなさそう。

各ステップの分布は以下の通り。

Step 1: 1
Step 2: 0, 2, 254
Step 3: 3, 4, 8, 127, 252, 253, 255

Step 4:5, 6, 7, 9, 10, 12, 16, 24, 31, 32, 63, 64, 125, 126, 128, 129, 130, 240, 244, 247, 248, 249, 250, 251

Step 5: 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 36, 40, 48, 60, 61, 62, 65, 66, 68, 80, 96, 120, 122, 123, 124, 131, 132, 160, 176, 190,
191, 192, 193, 194, 195, 196, 208, 216, 220, 223, 224, 225, 226, 228, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 241, 242, 243, 245, 246

Step 6: 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 67, 69, 70, 72, 73, 75, 76, 78, 79, 81, 82, 84, 85, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95,
97, 98, 99, 100, 101, 102, 104, 108, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 144, 152, 155, 156, 157, 158,
159, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 168, 171, 172, 174, 175, 177, 178, 180, 181, 183, 184, 186, 187, 188, 189, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 209,
210, 211, 212, 213, 214, 215, 217, 218, 219, 221, 222, 227, 229

Step 7: 71, 74, 77, 83, 86, 87, 89, 103, 105, 106, 107, 109, 143, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 153, 154, 167, 169, 170, 173, 179, 182, 185

> もしかしてunsigned char じゃなくてunsigned shortでもいけそうですか？

俺の頭とマシンじゃとても無理。

>>466
どういう意味？

>>468
return文をステップ数にカウントするかどうかってことじゃない？

>>464
71 って 6 手で作れない？ビットシフトの仕様が違うのかしら。

1: a = ~1 [254]
2: b = 1 + 1 [2]
3: c = b << b [8]
4: d = a >> b [63]
5: e = c + d [71]
6: return e

俺の手元の結果では >>467 のリストと
71 103 143 151 153 185 が違う（これらが6手で作れる）

あと，問題2は，最悪に対するステップ数最小は
使える定数が 29 67 98 99 101 163 226 227 の場合で，
そのステップ数は5手になった．
ちなみに最悪ステップ数最大は定数が 0 の場合で9手．

右シフトの挙動ってunsignedとsignedで変化するからなぁ。

>>470-471
すまん、バグってて刈り込みすぎてた。orz
修正したら、>>471 の言う通りだった。

>>472
今回の場合は、unsigned が前提でしょ。

チャイティンさんの本によると、問題１の最悪の値はランダム性の高いビット列になるはずです。
半丁博打の親をやるとき最悪の値のビット列によって出す手を決めると負けにくいかもしれません。

そして使用するレジスタのビット幅を８から１６、３２と大きくしていって、レジスタ幅を無限大へ飛ばしたときの
最悪の値こそ真の乱数列と呼ばれるものにひょっとしたらなるかもしれません。

>>464さんの作成しているプログラムが完成したら、それは真の乱数検定アルゴリズムと呼べるかも？
万が一そうだとしたらちょっとすごいですね。

乱数は定数とは違うだろ

乱数の種にルドルフ数を使おうとネイピア数を使おうと勝手だけど、それは乱数とは言いがたいと思われ

何か誤解しているか、文章が不正確だと思う。とりあえず

> 問題１の最悪の値はランダム性の高いビット列になるはずです。

これは嘘。最悪の値 = 7 = 111b のランダム性は低い。

最悪の値となる数値 (74, 77, 83, ...) も複数あるから、その並び順によって
ランダム性も違うし。

とにかく、>>474 はそのチャイティンさんの本の題名ぐらい示すべきかと。

どうでもいいけどステップ数の数え方を統一しようよ。
>>444はreturn文を数えてない。
>>427の5番目のルールを見る限り、return文は数えなくていい。

>>476-477
>>433に書きましたが知の限界という本です。
たしかにこの本の内容は私には難しめなので全部は理解してないし誤解があるかもしれません。
ランダム性の高いビット列といってるのは>>477の方の意味です。

真の乱数というキーワードは刺激が強すぎてフレームの元かもしれませんね。
十分良い乱数、ぐらいに弱めておいたほうが無難でしょうか。

これです。
http://www.amazon.co.jp/知の限界-G-J-チャイティン/dp/443401238X/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1220165773&sr=8-1

>>479
>>477 に書いた通り最悪の値になる数値は複数あるからその並び順が問題になる
と思うが、そう言うことには言及してないの？
あと、そもそも 0 より 1 のビットの方が多いし。(0 は、89個、1 は 95個)
74: 01001010
77: 01001101
83: 01010011
86: 01010110
87: 01010111
89: 01011001
105: 01101001
106: 01101010
107: 01101011
109: 01101101
145: 10010001
146: 10010010
147: 10010011
148: 10010100
149: 10010101
150: 10010110
154: 10011010
167: 10100111
169: 10101001
170: 10101010
173: 10101101
179: 10110011
182: 10110110

>>482
乱数の種（プログラムに使用できる定数が0x01であること）が関係しているのかもしれません。
この定数は0x00のほうがよりふさわしいかもしれません。
あと演算もNOTを廃止してNORやNANDを追加したほうがより綺麗な議論になるかもしれません。
プログラムによって圧縮不能なビット列をランダムであると呼ぶ、と本に書いてありました。
もっともこの場合のプログラムはチューリング完全なプログラム言語での話なのですが。

私はX_1においても最小ステップ数の大きい値ほどランダムであると予想しました。

あと、真の乱数が複数あってもおかしく無いと思ってますし、
レジスタ幅が大きくなるほど0より1のビットのほうが多いといった誤差のようなものは小さくなっていくと期待しています。

どっちにしろ真の乱数は言いすぎですかね。

そこまで機能を限定したいなら、Malbolgeのcrzで同じ事をやろうか

>>484
真の乱数ってのは有限の状態から導き出せるのかい？

>>484
ビット数が 10 個ぐらいのところで chaitin の議論が適用できると思うのが間違い。

>>486
無限長の真の乱数を有限の状態から導き出すのは無理だと思います。
今回の方法でもレジスタ幅が有限のうちは破綻せずにプログラムを走らせられますが、
レジスタ幅を本当に無限にしてしまったら破綻してしまいます。

所詮は乱数列の長さが有限の場合に限って通用する方法だとは思います。
やっぱり真の乱数はフレームの元ですね。すいません。

問題いい？

(1)平面上に4つ以上の幾つかの点を置く。
どの3点も1直線上になく、どの4点も同一真円周上になく、どの2つの点の距離も無理数である。
平面上には幾つ点が置けるか？

(2)もしも平面上に(1)の置き方で置ける点の個数に上限があるとき、立体に拡張したらどうなるか。
ただしどの5点も同一真球上にないものとする。

あぁ、書き忘れた。
どの点のx座標、y座標、存在するならz座標をとっても
その値は有理数であるものとする。

例えば(1,-3)はOK、(√3,1)、(5,π)等は駄目

>>489
(1)(n,n^2)で表される点(nは非負整数)を取っていけばいくらでも。

>>483
つまり >>474 の
> チャイティンさんの本によると、...
というのは嘘で
「『知の限界』を読んで427が考えたところ，...」
が正しいんだよな．しばらく探してしまった．

>>492
申し訳ないです…。

>>483
> 私はX_1においても最小ステップ数の大きい値ほどランダムであると予想しました。

この予想をちゃんと書くとどうなるかに依存するが，
厳密な意味で解釈すると，これが成り立たないことが示せる．

何より，こんな読み物読んで下手な予想をする前に，
ちゃんとした本を読んだほうがよい．

>>494
そうでしたか。すいません。
後学のためにどこがまずいのか解説していただけるとありがたいです。
たとえば、レジスタ幅が大きくなったとき０と１の割合が大体半々にならずに、
大きく違ってしまうといたことが起こるのでしょうか。

>>495
一番まずいのは言語がチューリング等価でないこと．
>>483 の予想を厳密に解釈し，それが成り立つと仮定すると
X_1 とチューリングマシンが等価になることが示せるが，それはない．

あと，マイナー（でもないが）な考え違いを指摘しておくと，
今の意味のランダム性には
> レジスタ幅が大きくなったとき０と１の割合が大体半々
という性質は不要。これは統計的（一様）ランダム性の条件だが，
情報論的ランダム性の条件ではない。

もうちょっと食い下がらせてもらいます。

X_1がunsigned charしか使えないのであればチューリング等価でないのは明らかです。
しかし、レジスタ幅が任意の有限長になることを許すならば私にはチューリング等価の可能性も捨て切れません。
そもそも論理回路はチューリング完全だと思っていました。

あと、統計的ランダム性と情報論的ランダム性は情報論的ランダム性のほうがずっと強い制約なのだと思っていました。
情報論的ランダム性を満たすならば、統計的ランダム性は当然満たされるはず、と思っていたのですが…。

未だによく分からんのだけど、チューリング等価性の証明ってどうやるん？

>>497
関数も作れない、ジャンプも出来ない
どうやってループすんのさね

>>497
ねぇ、昔はどうやって8bitマイコンとかで32bit演算をやってたか知ってる？
あと、どうやってパソコンが負の数を扱ってるか知ってる？

X_1の場合、次の条件を満たせばunsigned intだろうが、signed intだろうが、
扱えるようになるでよ
・無数のレジスタがある
そう、これだけ。

どうしても分からなかったら「多倍長演算」とか「2の補数表現」とかでググってみなよ。
あぁ、この2つのキーワードは全く別物だから単体でね

たしかにループできませんね…。
ループが出来なければ任意の大きさの入力を捌くことは出来ないし…。
結局、事前に入力の大きさに上限がある必要がありますね。

しつこくてすいません。
もうちょっと教えてください。
出来ればこの問題はすっきり理解したい。

>X_1 とチューリングマシンが等価になることが示せるが

ここはどうやるのでしょう。

>>483 の予想を厳密に解釈し，それが成り立つと仮定すると
X_1 とチューリングマシンが等価になることが示せるが

すいません。引用が足りないですね。
正しくはこうですね。

>>503
アルゴリズム的情報理論の基礎事項。適当な本読め。
あといいかげんスレ違い。

n次空間上に2つの点A(a1,a2,...,an)点B(b1,b2,...,bn)がある。
・2点AB間の距離が超越数になる
・a1,...,an,b1,...,bnのいずれかは超越数である
は同値か？

距離の定義はどれ？

>>505　n=1のとき、a=π+1,b=πとおくと
　d(a,b)=1だがbは超越数である。よって命題は偽。

ちょー面白い問題だな

次の( )にそれぞれｱﾗﾋﾞｱ数字(何桁でも可)を入れて文を成立させて下さい
漢数字やﾛｰﾏ数字等は不可(全通り答えて下さい)

｢この文には
０が( )個
１が( )個
２が( )個
３が( )個
４が( )個
５が( )個
６が( )個
７が( )個
８が( )個
９が( )個
含まれています｣

｢この文には
０が( 1)個
１が( 11)個
２が( 2)個
３が( 1)個
４が( 1)個
５が( 1)個
６が( 1)個
７が( 1)個
８が( 1)個
９が( 1)個
含まれています｣

頻出

各辺の長さが１で底面が正三角形の三角柱ABC-DEFがある。
この三角柱をAEF,BDF,CDEをそれぞれ通る３つの平面で切断する。

問１
平面DEFを含む立体の体積を求めよ。

問２
平面DEFを含む立体の展開図を作図せよ。

問２は平面ABCを含む立体の展開図の方が面白いかも。

>>510
これ以外に解はないの？

>>513
DEFのときとなにか違うのか？

空間上に正三角柱をねじったような6つの頂点を持つ立体があり、
その頂点ABCDEFが次を満たすように並んでいる。

ABの長さは1
三角形ABCは正三角形
三角形DEFは正三角形
三角形ABDは正三角形
三角形BCEは正三角形
三角形CAFは正三角形
三角形ADFは正三角形
三角形BEDは正三角形
三角形CFEは正三角形

このとき、立体ABCDEFの体積を求めよ。

>>516
一辺の長さが２の正四面体から４つの角を取った形になるのかな？

であれば、一辺の長さが１の正四面体の体積をVとして>>516の答えは4V。

( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ

一辺が２の正四面体の、４つの角からそれぞれ一辺が１の正四面体を切り取った形だよな。
それ以外の形で>>516を満たすものがあるのかもしれんが

成分が０と１だけの３x３の行列Ａに対して行または列を任意にひとつ選び
０と１を入れ替える操作をＲとします。
任意回の操作Ｒで移りあう行列を「同値な行列」と言うことにすると、
２＾９個の可能な３x３行列のうち「同値でない行列」は何種類あるでしょうか？

>>516
△ABC を底面とすると、立体の高さは √(2/3)
底面からの高さ (√(2/3))t での断面積は
((√3)/4)(1+2t-2t^2)　　(0≦t≦1)
立体の体積は
√(2/3) * ((√3)/4) * ∫[0,1](1+2t-2t^2)dt
= (√2)/3

>>521
16通り。

略解：
[STEP1]操作Uiと操作Vjを次のように定義する。
U1：1行目の0と1を入れ替える
U2：2行目の0と1を入れ替える
U3：3行目の0と1を入れ替える
V1：1列目の0と1を入れ替える
V2：2列目の0と1を入れ替える
V3：3列目の0と1を入れ替える
次に、行列の各成分はZ/2Zの元であると見なす。こうすると、

1行目の0と1を入れ替える ⇔ 1行目の各成分に1を足す　…＊

が成り立つことが分かる。他の行や列についての操作も同様である。
また、このことから、各操作の順番は可換であることが分かり、
また、同じ操作を2回繰り返すと「何もしない」のと同じである
ことが分かる。よって、任意の操作は

Uiを行うか否か(i＝1,2,3)
Vjを行うか否か(j＝1,2,3)

の6つを決めるだけで決まる。そして、T＝(u1,u2,u3)×(v1,v2,v3)∈(Z/2Z)^3×(Z/2Z)^3に対し、
ti＝1 ⇔ 「i行目の0と1を入れ替える」(i＝1,2,3)
uj＝1 ⇔ 「j列目の0と1を入れ替える」(j＝1,2,3)
という同一視を行うことで、任意の操作はTと同一視できる。
行列A＝(aij)と操作T＝(u1,u2,u3)×(v1,v2,v3)を任意に取るとき、
Aに操作Tを施した行列をTAと書くことにすると、＊より、
(TAのi行j列成分)＝aij＋ui＋vj
と書けることが分かる。

[STEP2]任意の行列に対し、適当な操作をすることで

000
0ab
0cd

という形に変形できるから、初めからこの形の行列だけを考えればよく、
この形の行列の中で、同値でないものの個数を求めればよい。実は、この形の
行列は全て同値でなく、よって答えは16通りとなる。そのためには、

A　　 B
000　000
0ab　0ef
0cd　0gh

という2つの行列A,Bが同値であるとしたとき、A＝Bとなることを言えばよい。
STEP1を踏まえれば、AとBが同値 ⇔ あるT＝(u1,u2,u3)×(v1,v2,v3)に対しTA＝B
となるが、TAの各成分とBの各成分を実際に比較すると、u1＝u2＝u3＝v1＝v2＝v3
となることが分かるので、u1＝0であってもu1＝1であってもTA＝Aとなることが
分かり、A＝Bが従う。

＞ti＝1 ⇔ 「i行目の0と1を入れ替える」(i＝1,2,3)
＞uj＝1 ⇔ 「j列目の0と1を入れ替える」(j＝1,2,3)

↓訂正

ui＝1 ⇔ 「i行目の0と1を入れ替える」(i＝1,2,3)
vj＝1 ⇔ 「j列目の0と1を入れ替える」(j＝1,2,3)

>>521

「行列が同値　⇒　行列Ａの任意の2x2小行列の中の１または０の個数の偶奇は不変」
なので３ｘ３行列の４隅の偶奇のパターンだけつまり、2^4=16種類存在する。

4x4行列の場合は独立な2x2小行列が何個あるのかな？４隅と真ん中の１個で2^5種類？

ここでちょっと雑談を。
なんで数学の問題を面白いと感じたり詰まらないと感じたりするんだろう。
面白い問題と詰まらない問題の間にはどんな差があるのか？

つまらない問題
解法が自然に分かる、総当りで解ける、問題文がやけに長い

面白い問題
解法が非自明、視点を変えるとあっさり解ける、問題文が簡潔

こんなところか

ただ、問題の「良い」解き方、汎用性の高い解き方、
というのはアクロバティックな解き方じゃなくて、
少々証明が長くなっても非自明な命題を自明なステップに分解して
こつこつ進んでいく「詰まらない」解き方だったりするんだよね。

こつこつ進んでいくって言うのは自分の手持ちの思考方法が通用してる間の場合だよね。
自分の手持ちの思考方法がどれ一つ全然通用しなくなってこれ以上一歩も進めなくなったときこそ
数学者としての真価が問われるというか。

>>521
こういう問題は掃き出し法で機械的に解けるのだ。

>>530
つまり俺には数学をやる資格がないんですね、分かります

> 総当りで解ける

総当たりで解けることはわかっていても
そうでない方法で解けるかもしれなさそうな問題は面白いぞ。

総当りで原理的には解けるけど
実際は計算時間的にほとんど無理、みたいな問題もあるよね。

ルート2の10進小数展開の小数第 1 位から 100,000,000 桁までに
60,00,000 桁以上同じ数字が連続して並ぶことは無いことを
（電子計算機を使わずに）示せ、とか。

このスレに良く出てくる虫食いみたいな奴のことを言ってるんじゃないの？

>>526
4×4の場合は2^9通り。523〜524と同じ方法が使える。
というか一般のn×nでも使えて、2^{(n−1)^2}通りになる。

>>526
n×n 行列を F_2 上の n^2 次元ベクトル空間と考える。
与えられた U1,...,Un,V1,...,Vn を生成系とする部分空間 W がこのベクトル空間に作用すると考える。

U1+...+Un+V1+...+Vn=0 だから、部分空間 W の次元は 2n-1 以下。
一方、n×n 行列の 1 行目と 1 列目のなす部分空間の次元は 2n-1 で、
W はこの部分空間に可移に作用しているので、W の次元は 2n-1 以上。

よって、2^(n^2)/2^(2n-1)=2^((n-1)^2) が求める同値類の数。

M 個の石の山と N 個の石の山がある。
二人で交互に一度ずつ石を取っていく。
片方の山から石を取るか、或いは両方の山から同数ずつ石を取れ、
最後の石を取ったほうが負けとなる。

後手必勝となるのはどのような場合か？

M〜Nがある数値の時

M〜Nって何？M-Nなら分かるが。

MとNで大きい方から小さい方を引く

違う。(0,1)は後手必勝なので、
(M,M+1) (M, 1) (1, M)但し M ≧ 1 は先手必勝。
そうすると(2,2)はそこからどのような手をとっても
次の手番に先手必勝の状態にしかならないので後手必勝。なので
(M+2, M+2) (M+2, 2) (2, M+2)は先手必勝。
そうすると(3, 5) (5. 3)はそこからどのような手をとっても
次の手番に先手必勝の状態にしかならないので後手必勝。なので（以下略

一応ageて宣伝してみよう

N, M ≦ 100 の範囲で後手必勝になるものの一覧：

(0,1) (1,0) (2,2) (3,5) (4,7) (5,3) (6,10) (7,4) (8,13) (9,15)
(10,6) (11,18) (12,20) (13,8) (14,23) (15,9) (16,26) (17,28) (18,11) (19,31)
(20,12) (21,34) (22,36) (23,14) (24,39) (25,41) (26,16) (27,44) (28,17) (29,47)
(30,49) (31,19) (32,52) (33,54) (34,21) (35,57) (36,22) (37,60) (38,62) (39,24)
(40,65) (41,25) (42,68) (43,70) (44,27) (45,73) (46,75) (47,29) (48,78) (49,30) (50,81) (51,83) (52,32) (53,86) (54,33) (55,89) (56,91) (57,35) (58,94) (59,96)
(60,37) (61,99) (62,38) (65,40) (68,42) (70,43) (73,45) (75,46) (78,48) (81,50)
(83,51) (86,53) (89,55) (91,56) (94,58) (96,59) (99,61)

× ≦ 100
○ ＜ 100

お、頑張ったｗ

で比とかを取って見れば大体一定値になるのではないか？と
予想が付くよね。でそれを証明。

最終局免から帰納法でやってみようか

答えだけ書いとくと、

a = (-1 + √5)/2 = 1.61803398874989484820458683436564 = (-1 + √5)/2
（黄金比の大きいほう）、[　]をガウス記号（整数部分）として

(0,1),(2,2),
([na], [na] + n)及びその逆のときに後手必勝、その他のとき先手必勝となる。

有名問題： Wythoff game

＞最後の石を取ったほうが負けとなる。
ってのが微妙に改題してるわけだけどね。

misere にしたところで小さなところのGN関数書けば一致するのはすぐ見える。

けど、面白いのは確かだね。

2の常用対数を0.30103、3の常用対数を0.47712とします。
この2値を元に、7の常用対数になりうる値の範囲をなるべく正確に求めてください。

例
log21 = log3+log7 > log2+1 = log20
∴log7 > log2+1-log3 = 0.82391

2^28073<7^10000<2^28074

あれ、なんか見たことある気がする
どこの問題？

四角形abcdで
∠bac=30
∠cad=20
∠adb=105
∠bdc=35のとき、
∠dbc=？

(求め方も詳しく答えて下さい)

誰か面白い問題して。そのとき序でに『面白い問題』の定義も。

>>555
21.389°とかにならない？

>>557
解説ください

30ﾟじゃないか？

>>555
AB上に∠ADE=80°になるように点Eをとる。
∠DCA=∠DAC=20°よりDC=DA
∠DAE=∠DEA=50°よりDA=DE
∠EDC=60°でDC=DEなので、DC=DE=EC、∠CED=60°
∠EDB=∠EBD=25°よりDE=EB
よって、EB=EC
∠BEC=70°より∠EBC=∠ECB=55°
∠DBC=30°

また凧？

>>555
出典おせーて

>>560の解法見て感動した
１本の補助線であとは２等辺三角形がいっぱい
すごいわ

ttp://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.html

ラングレーの問題とか、フランクリンの凧って言われるたぐいの問題だよ
多分な。問題読んでないからわからんｗｗｗ

>>563
> １本の補助線であとは２等辺三角形がいっぱい

だけ読んで、凧だとおもた。

よく分かったな、見直したぞおまいら

以前ラングレーの問題ばっかり沢山集めて分類してるようなサイト見た事あるなぁ。
初等幾何って奥が深いというかなんというか、変にマニアックなんだよね

>>567
>>564のサイトじゃないのか？

「ずけひろ」ってＨＰは消滅したの？
受験が終わったらジックリ見ようと思ってたら、なくなっていた。
待つこと数年、未だにみつからんけど

>>568
そうみたい。てか564のリンクまだ見てなかったのよ。今見たらそうだった。

どうせならこんなの

△ABCの内部に点Dがあり、
∠ABD=21°
∠DBC=67°
∠DCB=16°
∠ACD=32°
∠CAD=？
簡単だよね？

>>571
さすがにちょっとハードルを上げすぎたので、修正。

△ABCの内部に点Dがあり、
∠DAB=7°
∠ABD=21°
∠DBC=67°
∠DCB=16°
∠CAD=？

前のと照らし合わせれば、答えはバレてしまうわけだが、
そうなることを証明してやってくれ。

こたえまだぁ？

>>573
kingにでも聞けば？

Reply:>>574 どうしろという。

>>king
上にある未解決な問題の解法について質問されているので
余裕があれば教えてあげれば良いのではないでしょうか

http://academy6.2ch.net/test/read.cgi/philo/1216049566/541-1001

よかったら物理学／数学／情報工学その他の方からの意見、情報、修正、整理、その他募集します。
もちろんこのスレでもレスOKです。

文系の混乱した思考をスパッと解明してください。

追伸

具体的には、エンドゲーム（特に将棋）でこれが解決できないか考え中です。

追伸

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/sci/1159171809/302-1001

上記スレも参照される事を願います。物理板のスレです。

物理が神の運動を法則化したとしてその動きを悪用するブルジョアのド阿呆を封じ込めるために、
将棋というエンドゲームの「取った駒を活用する」という考え方と、
王将（玉将）を絶対取らない（殺さない）という仕組みを「数学的倫理」として示せれば、
地球に格差や戦争が起こってもこれで解決できはしないかという妄想がありますが、
私の力量ではとても理論化できないです。

力を貸してください。

はい、はい。

>>578
よしんばそのような理論が構築できたとして
同じ仮定の下で誰が実践してくれるんだ？

石の山が一つあり、二人が交互に石を取っていく。
最後に石を取ったほうが勝ちである。
最初の人は一つ以上の石を取る。ただし全部の石を取ることは出来ない。
次からは交互に一つ以上で、前の人が取った数の二倍以下の石を取る。

石の数が n ≧ 4 のとき、先手必勝であることを示せ。

>>581
どうみてもn=5で後手必勝なのだが．．．

>>581
n>4 の場合、残った石の個数をフィボナッチ数に「した」方が勝ちで、「された」方が負け。
正確には、残りがフィボ個の状態で手番を「渡された」プレーヤーは、直後に自分が全部を
取れない限り、負ける。つまり初期値が4以上のフィボ個だったら後手必勝。

略証
f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5, ,,, ,f(k)=f(f-1)+f(k-2) とする。
n=f(1)=2, n=f(2)=3のときは主張は正しい。i.e. その時点で手番を持っている方は、
そこで全部取れない場合は負け。n=f(2),f(3),,,,f(k-1) の全てでそうだと仮定する。

さて、現在f(k)個の石が残っていて、プレイヤーAの手番だとする。
これを直近のフィボ数 f(k-1) にした者が勝ち。それにはf(k-2)個の石を取ればよい。
しかしいきなりf(k-2)個を取ると、次の手番で相手Bに残り全部を取られて即死するから、
それはできない∵ f(k-1) < 2f(k-2)。
つまりこれは、残りがf(k-2)個のゲームと同等であるが、仮定から、
それは相手Bの勝ちであるゆえ、Aは負ける。■

残りがフィボ数以外の時に全て先手必勝になるかどうかは、これだけではわからない。

>>583
n (≧4)がフィボナッチ数なら後手必勝、それ以外は先手必勝と言えそうです。

自然数nについて、次のような「フィボナッチ数展開」とでも言うものを
考える。（世に知られているものがあるかどうかは知らないので、仮に。）

f(1)=1, f(2)=2, f(j)=f(j-1)+f(j-2) (j≧3)とする。

任意の自然数nは、有限個数のフィボナッチ数の和として、
次のような形に１通りに表される。（証明は略）

n=f(p_1)+f(p_2)+…+f(p_k)
ただし、p_j(j=1,…,k)は自然数で、
2≦j≦kにおいてp_j≦p_{j-1}-2を満たす。
（つまり、{p_j}は単調減少で、なおかつ、隣り合う数字の差は２以上）

必勝法
・nがフィボナッチ数以外で、先手の時
　常に、残り個数のフィボナッチ数展開の最小項の個数だけ取ればよい。
　（そうすると、相手はフィボナッチ数展開の最小項は取れず、
　　次の自分の番では必ずまたフィボナッチ数展開の最小項が取れる。）
・nがフィボナッチ数で、後手の時
　１手目で相手が1/3以上取った時、残りを全部取ればよい。
　それ以外の場合は、上記と同様。

>>583
> つまりこれは、残りがf(k-2)個のゲームと同等であるが、仮定から、
> それは相手Bの勝ちであるゆえ、Aは負ける。■
f(k-2)個のゲームが終わった次の手番で、f(k-1)個を取ることができると
Aが勝つから、取れないことを言わないと不十分では？
(簡単に言えそうだけど)

文系的発想からひとつ

将棋において、王将は、正確には「王」（格上）と玉（格下）があります。
さらに、ゲーム開始までに、どちらが上座に座るか、下座に座るかに単なる（格）だけでない駆け引きや気遣いがあります。

もし将棋の順位戦がピラミッドだとしたら（エジプトを想起せよ）、そのピラミッドが二等辺三角形として、もう一つの二等辺三角形を「デモス（民衆）」の位相と考えれば、正方形の地図に本来的な政治と民衆の関係がまとめられませんか？

あと石のゲームに、この石だけは取ったとしても、「相手には返さないといけない」か「（「相手と私がその石と交換しても良いと合意した石」）を代わりに返さないといけない」代わりに、勝った側はただ名誉か生活保障が与えられる仕組みを作れれば、もしかして
これが石器時代から始まる貨幣の歴史に戻る事で「デモス」と「官僚+代議士制度」の戦いが「ポスト資本主義」として、「代理戦争」の仕組みにならないでしょうか？

「デモス」に関しては本日付朝日新聞書評欄の柄谷行人の書評とその本をご覧になられてください。

また思いついたら参加します。

さらにひとつ

地球の地図をメルカトル図法としてそれを正方形に圧縮し、その上で右上から左下、あるいは左下から右下に線を引いて、必ず海だけを横切って正方形内にできた二つの領域の面積が同じになるような境界線は引けないでしょうか？

その上で、二つの世界国家の『王将』と『玉将』を取り合うゲーム、あるいはそれを抑止するゲーム。

これを構築するための基本を固めてください。

今日のところはここまで。

>>577 >>586 >>587
巣に戻れ。関係ないスレを荒らすな

>>586に問題設定に間違いがありました

王将と玉将は、王を玉＝金＝貨幣で買う事ではないです。

王将と王将'はGAMEの前に合意ができていて、必ず、それを交換する事。

これが基本だと思います。

そういえば9.11のあと、黒人系でイスラムにも関わりある大統領が生まれつつあるのは、
もしかしたらビン・ラディンが死を賭けて要請した「王将」（駒ではなく王将位の棋士をご想像ください。）の交代ではなかったか？？

しかしこのタイム・ラグを解決するには地球の自転に斜線を入れないといけません。

この問題設定に誤りがあれば、また修正、意見等お願いします。

>>588
これを荒らしと感じるようでは、
現実から遊離した宗教的＝数学的階級の象牙の塔はまるで壊される事がないかのようではないか？
まぁそう思うならそれでもいい。

ならば数学板でこの話につきあえる方、スレッドのご用意あるいは誘導願います。

>>590
思考盗聴厨　1stVirtue　とは、何者か？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1218896384/
【信者】KingMind教【限定】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219587080/
【マダ】Kingと話し合うスレ8【ヤルカ】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1215354212/
kingさんならといてくれるはず
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1217001041/
Kingと一緒に数学するスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1217063125/

何でわざわざ自演で電波な構ってちゃんの相手をしなきゃあいかんのかって話だな

>>572 の解答例

△ABDの外心をEとする。
円周角の定理より∠DEB=2∠DAB=14°で、
ED=EBより∠EBD=∠EDB=83°
同様に、∠AED=2∠ABD=42°で、
EA=EDより∠EDA=∠EAD=69°
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=97°=180°-∠EDBより、
３点CDEは同一直線上にある。
点Fが直線EBから見て点Aと逆側にくるように正三角形EFBを作ると、
∠EBC=∠FBC=150°、EB=FBより、
△BCE≡△BCF
∠FCB=∠ECB=∠DCB=16°、∠CFB=∠CEB=∠DEB=14°
∠ECF=∠ECB+∠FCB=32°、∠EFC=∠EFB+∠CFB=74°
∠AEF=∠AED+∠DEB+∠BEF=116°で、
EA=EFより∠EAF=∠EFA=32°
∠EAF=∠ECFより、４点EFCAは同一円周上にあり、
∠EAC=180°-∠EFC=106°
∠CAD=∠EAC-∠EAD=37°

数学板住人にも受け入れられる電波と受け入れられない電波があることがわかった
電波ヲチャを自認する俺も論理的思考能力の欠片も見受けられない>>577みたいなのはダメだわ…

論理的思考力のかけらも見受けられないから駄目って、それ電波ヲチャとして三流もいいところじゃねーか

たしかに俺も>>577はきついな。
ところで、>>594の考える魅力のある電波スレ（できれば現存する奴）を教えてくれ。

論理的思考力のある電波が一番面白い

そらまーただの精神分裂病患者を見ても面白くはない罠（>>577は片足突っ込んでるイメージ）
電波でもそこそこの論理性はもっておいてもらわないと

電波なりの論理展開をしている奴が面白いのだ
論理性や一貫性がないと面白くない。

トンデモをいじるおもしろさは論理の稚拙さを突くことにある。
論理のない戯れ言を見ても「なんだ基地外か」としか思えず、食指が動かないな。

面白い問題まだー？

みんなすごいな……。俺は論理性云々以前にあの文章が日本語に見えなかったんだが……。

日頃から「文(主に問題文)を文字通り解釈する」事をやってるんで
日本文を読む事については自信があるが、
多分他の多くのここの人もそうなんだろう。

>>602
漢字カナかな交りだし、使用している単語も文法も日本からは大きく逸脱していない。
論理構造を考えなければ、十分日本語として言葉になっている。
話し言葉などもそうだが、言語は常に論理構造的に正しいわけではないよ。

皮肉の通じない奴ってつまらないね。

>>596
既に知っているかもしれないがいくつか紹介しておく

Rの濃度＝R^2の濃度っておかしくね？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1122625618/
→　アレフとアレフヌルの濃度が等しいと激しく主張する電波コテ、あえなく撃沈
　　そのあとにも後発の電波がチラホラ、類は友を呼ぶ？

【定理？】負×負＝正【定義？】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1162652104/
→　電波コテ「提唱者」が自説の提唱をひっさげて電波の国からコンニチハ
　　コテのあまりの無知さ加減にスレ住人揃って失笑、電波は認識論の最果てへ

リーマン予想考察スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204815723/
→　解析接続も知らないhirokuro氏がゼータ関数とリーマン予想にもの申す
　　hirokuro氏は関数の定義すら知らなかった事が判明、「勉強する」の言葉をのこし姿を消す
　　このスレはリーマン予想スレの２スレ目なんだが１スレ目の方が電波度は凄まじかった

四色問題とHadwiger予想。二色目。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1141729305/
→　hadwigerたんによる四色問題の華麗な証明のご披露スレ
　証明の不備を指摘されるも「改善できる、成り立つと思う」の一点張り。結局証明は未完成のまま
　このスレも２スレ目でhadたんが立ち消えてから過疎化が著しい。
　刺激的な電波浴をしたいなら１スレ目をどうぞ

文系だがゲーデルってバカじゃね？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188624055/
→　珍解釈、迷解釈のもっとも多いゲーデルの業績について文系の視点からもの申す！
　　出オチに近いスレタイでスレを立てた>>1は馬鹿なのはもちろんだが。
　　その馬鹿さ加減を上回る電波が現れて…

>Rの濃度＝R^2の濃度っておかしくね？

お、これ俺も電波側で参戦したやつだｗ

面白い問題を持ってないなら消えろよ

ごめん、名前間違い。
607=596≠569

これは
「そういうおまえらが一番電波」
というツッコミを入れたら負けというルールのゲームですか？
面白くないので、面白い問題をお願いします。

スレの流れを変えたいなら、自分で問題の一つでも持ってきて紹介すればいいんじゃね？

>>584の「フィボナッチ数展開」って、何か名前がついてますか？

学校でふと思いついて、某所にも1ヶ月程前に書いたんだが華麗にスルーされた問題。

a,b,c:実数とする。ただし常にa+b+c=0
また、上記の複素数を用いて関数f(x)=(a^x+b^x+c^x)/xとする

命題1：整数x,y,zを用いてf(x)*f(y)=f(z)となるような組(x,y,z)は(2,3,5),(2,5,7)以外に存在しない。
命題2：a,b,c:複素数の場合についてはどうか。

ミス。
>>613
上記の複素数を用いて→上記の変数を用いて

で、一体何を求めるんだ？

エスパー検定8級の俺によると
命題が正しいことを示せ、じゃないのかな
数学検定は級なしどころのレベルではないのでさっぱり理解できないが

命題の真偽を証明せよって事かと

問１：命題１が真であることを証明せよ。
問２：a,b,c:複素数の場合に命題１と同様の真である命題を作ることは可能か。
　可能ならばその命題（命題２とする）を示せ。

というところか。
華麗にスルーされた理由がよくわかるなｗ
問題文が書けない。命題という言葉の意味がわかってない。

>>613
どこの国の方ですか？　にほん　は　たいへん　でしょうけど　ことば　には　なれてくださいね

全ての自然数nについて
(n^n)/(e^(n-1))≦n!≦(n^(n+1))/(e^(n-1))
が成り立つことを証明せよ。

（１）
任意のa+b+c=0を満たす実数a,b,cに対し、f(x)*f(y)=f(z)を満たす整数x,y,zをすべて求めよ。
ただし、f(x)=(a^x+b^x+c^x)/xとする。

（２）
任意のa+b+c=0を満たす複素数a,b,cに対し、f(x)*f(y)=f(z)を満たす整数x,y,zをすべて求めよ。
ただし、f(x)=(a^x+b^x+c^x)/xとする。

と和訳してみました。（２）の方が簡単に見えるのはおれの眼の錯覚でしょうか？

俺にはどちらも同じくらい難しく見えます。

>>620
n=1 のとき、等号成立。
n≧2 のとき、各辺の対数を考える。
　　log(n!) = log(2) + log(3) + ･･･ + log(n),
これを積分で近似しよう。
　f(x) = log(x) とおく。
　f "(x) = -1/(x^2) < 0　だから f は上に凸。割線 ≦ f(x) ≦ 接線。
　∫[3/2, n+(1/2)] f(x)dx < f(2) + f(3) + ･･･ + f(n) < (1/2){f(2)+f(n)} + ∫[2,n] f(x)dx,
f(x) = log(x) を代入して
　[ x*log(x) -x ](x=3/2,n+(1/2)) < log(n!) < (1/2)log(2n) + [ x*log(x) -x ](x=2,n),
　(n +1/2)log(n +1/2) -(n-1) -(3/2)log(3/2) < log(n!) < (1/2)log(2n) + n*log(n) -n -2*log(2) +2
　(n +1/2)log(n) -(n-1) -(3/2)log(3/2) + (1/2) < log(n!) < (n +1/2)*log(n) -(n-1) -(3/2)log(2) +1　･････(＊)
　(n +1/2)log(n) -(n-1) +(1/2)log(8e/27) < log(n!) < (n +1/2)*log(n) -(n-1) + log(e/√8),
　√(8e/27) * n^(n +1/2) / exp(n-1) * < n! < (e/√8) * n^(n +1/2) / exp(n-1)
　0.80541･･･ * n^(n +1/2) / exp(n-1) * < n! < 0.96105･･･ * n^(n +1/2) / exp(n-1)
これから与式を示される。
＊)　log(1+(1/2n)) = log((2n+1)/2n) = -log(2n/(2n+1)) = -log(1 - 1/(2n+1)) > 1/(2n+1),

俺の会心の作（と思ってる）>>512がスルーされてるのはなぜディスカ？（TT)
もしかして有名or既出問題だった？

大して面白くもないからだろ

その割には似たような>>516にはレスが付いてるんだぜ？
うー悔しい。

これは”ひねられてる”からだろ

うまいッ…のか？

>>302
9手
o-----*-----*-----*-----*-----*-----*-----*-----*-----*-----
oo----*o----oo----**----*o----*o----*o----*o----**----**----
*oo---ooo---*oo---**o---***---*o*---*o*---*oo---*o*---o**---
oooo--oooo--*ooo--*ooo--*oo*--**o*--**o*--****--***o--****--
ooooo-ooooo-ooooo-ooooo-ooooo-o*ooo-oo**o-****o-****o-*****-

>>509
10進数 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) に対する解
* 0: 1, 1: 7, 2: 3, 3: 2, 4: 1, 5: 1, 6: 1, 7: 2, 8: 1, 9: 1
* 0: 1, 1:11, 2: 2, 3: 1, 4: 1, 5: 1, 6: 1, 7: 1, 8: 1, 9: 1
2個の解が見つかりました(18.787秒)

>>618
問1: 他にも解があるよ。f(-1)f(3)=f(2), f(1)f(n)=f(1)。これで全部だったけど。

ある男が1万人に１人が発症する重病の検査で、陽性反応が出てしまった。
検査は99%の正確性を誇る。
この病気は、有効な治療法もなく、発病すれば確実に死亡する。
この男が助かる確率はいくらか？

>>630　発症者が間違って陰性と言われる場合もある、でいいんだよな？
発症者が陽性と診断される確率は99％
違う場合は1％。
よって、無作為に選んだ人間が、正しく陽性と言われる確率は(1/10000)*99/100
誤って陽性と言われる確率は(9999/10000)*1/100
∴求める確率は[(9999/10000)*1/100]/[[(9999/10000)*1/100]+[(1/10000)*99/100]]
(めんどいので計算略）

なんで、陽性反応が出てるのに陰性の場合の計算なんかいるんだ？
何万人に１人の病気か知らんけど、陽性が出た奴 100人つれてきたら
99人死ぬんだろ？
こいつが助かるのは残りの１人になるしかないんだから、1% だと思うが。

>>632 違うよ、本来死ぬやつが陽性でないことも考えると少なくとも1じゃないことは明らか。

>>620
積分を使わない別解
　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/553

>>630
前に同じような問題で、確率スレで大荒れに荒れた。
問題は、「99%の正確性」という部分の解釈。
「罹患していないものを確率aで陰性と正しく判定し、確率1-aで陽性と間違って判定する」
「罹患しているものを確率bで陽性と正しく判定し、確率1-bで陰性と間違って判定する」
という２通りの確率が想定でき、その表現でa=b=0.99という意味に解釈できるかという
部分が問題になるが、単に出題側が前提を明らかにすればいいだけのところを
なぜか納得できない奴が出現して、gdgd
そんな中に>>632のような奴も紛れ込んで、発散。

>>632
では、陰性と判断された奴のうちの１％は死ぬのか？

たとえば10億人に一人発症する病気で30％の正確性である場合を考えれば
>>632が間違っていることは直感的にもすぐわかるだろう。

検査を受けた任意の一人が陰性または陽性と判定されているものが合っている確率でないの？

陽性反応が出た人が真に陽性である確率が99％っていう意味ではないの？
んで、真に陽性である人が発症する確率が1/10000ってことではないの？

こういうのの評価法を知っている人は、
真の陽性者がいたときに、その人が陽性といわれる確率が99％、
真の陰性者がいたときに、その人が陽性といわれる確率が1％っていう意味だと思うんだろうけど、
数学の問題としてでたら、>>637-638のように解釈される気もする。

> 真の陽性者がいたときに、その人が陽性といわれる確率 
> 真の陰性者がいたときに、その人が陽性といわれる確率 

このふたつは足して１になるとは限らない。

ほとんど出題の不備だな

周期が2πである関数f(x)を、昇冪の順の整式で表せ。
ただし未定義の点については考慮しない。また、f(x)とは以下で表される。

f(x)=-π/4 (-π<x<0)
f(x)=π/4 (0<x<π)

考慮しないってのは、どんな値が来てもいいって意味で使いました。

心理学で出てくる有名問題 ＞630

この種の問題は一度聞いたことがあるけど
（陽性反応が出たからと言って実際に陽性である
確率は必ずしも高くないという結果が出る）

＞検査は99%の正確性を誇る。
ってのはどの出題者もこういう風に表現すんの？

もっとも、そうだとしても不備なのは変わらんけどな。

>>642
整式って言ったら普通は有限項の多項式を意味すると思うんだけど
本当にそれで良いの？

「考慮しない」とかそういう言葉をオリジナルな意味で使ってるようだから
どうもそういう細かい表現をきちんと考えてるとは思えないけど。

重さが相異なる五つの重りA,B,C,D,Eがある。これらを天秤を用いて、重い順に並べなければならない。
(1)天秤の使用回数７回以下で、確実に並べ替え可能であることを証明せよ。
(2)次の条件の時、出された可能性のある結論（並び順）を全て挙げよ。
条件
・天秤使用回数７回以下でソート可能な手順を用いた
・最初の３回は、A>B,C>D,A>Cという結果が出た
・天秤の使用回数６回で結論が出た

>>646
すまん、項数が有限じゃない物も普通は整式って言うと思ってた。
大学出ておいたほうが良かったな・・・

>>647
色々考えてみたが

天秤のみを使うなら8回の比較が必要で、
最も重い錘と最も軽い錘を手で持った時にどちらが重いか分かるなら7回で十分。

という考察結果になったorz

>>645
俺が以前見た問題では、誤った陽性反応が出る確率と書いてあったよ。

ABDEが平行四辺形のとき？は何度になるか
http://p.pic.to/tt3ch

三角関数使って長さ測っていけば一発で終わりだな……
初等幾何の問題なんだろうけど

>>652
直線ADに対してEと対称の位置にFをとると
△DEFは正三角形。
∠DAF=∠DAE=∠ADBで、
AF=AE=DBなので、
四角形AFBDは等脚台形
∠ABF=∠BAD=∠EDA=30°
∠ABE=∠DEB=15°
よって∠FBE=45°
また、∠FEB=∠FED-∠DEB=45°
よって、FB=FE
∠BFD=∠FDA=∠EDA=30°でFB=FDより
∠FBD=75°
∠EBD=75°-45°=30°
∠BEA=∠EBD=30°

ではそれに関連して。

長方形でも菱形でもない平行四辺形であり、
4辺と２本の対角線を加えた６本の直線が互いになす角が全て度数法で有理数となるのは
>>651の形だけであることを証明せよ。

>>631
これ計算すると約99%になるから、要するに陰性が出たときの検査の正確さが
わからないような検査は、あんまり信頼性がないってことだよね。

>651

単純にAD間から点を垂直に二等辺三角形になるように伸ばして
180−(90＋45＋15)=30
ではダメですか？

低学歴の通りすがりの図形好きです。

AD間ではなくAE間でしたm(__)m

>>656
ごめん、わかるように書いて。

>>656
AEの中点をFとして、AEに垂直になるようFから直線をひき、その直線上に点Gを取って、△AEGが直角二等辺三角形になるようにするってこと？





















そうだとしたら、全然だめ

>>656
点を垂直に伸ばす・・・？

656ではないけれど

辺DE上にCD=CFとなるような点Fをとる
このとき三角形ACFは正三角形、また角度を見ればEF=CF
従って三角形AFEは直角二等辺三角形、よって角AECは30度

一般に、15度のところをx度、30度のところをy度、？のところをz度として
zをxとyを用いて表せ、を考えてるんだが酔ってて分からん

ちょっと>>655は無視してちょ。勘違いしてた。

>>659の解釈は間違ってるかな？

656です

自分で読んでも意味がワケワカメでしたのでピクトを使いました。
言葉足らずスイマセンでしたm(__)m

http://i.pic.to/temes

663さん。
微妙に違ってましてFEGを作るはずだったのですが説明が無茶苦茶でしたね(´・ω・｀)
詳しくは一つ上のレスを見ていただければ有り難いです。

皆さん混乱させて申し訳ないですm(__)m

PCから画像が見れなくてゲンナリ
必ずそのような補助線が引けるとは限らなくて更にゲンナリ

まあ、既に>>653と>>661の２通りの解も出たことだし、
>>665のことはそっとしといてやろう．．．

>>659
その無駄な空白に憤りを感じるのだが！

点FからAEに対して垂直に直線を引くところまでは理解できたんだが
FE=FGなる点Gを作った時にそれがED上に来るかどうかは証明が必要かと

もし来なければ、全く意味のない補助線を引いたことになるからな

>>653の方法でも>>661の方法でも一般の平行四辺形では解けないのだが

>>670
だからなに？

俺は670じゃないが

>>671
>>654が解けない

いや、誰か解いてくれないかなーと思って
そんなにカリカリするなよ

>>654はさすがに初等幾何ではなく代数的に考えるんだろうな

これが日教組の算数の授業だ！

1 スレ立て代行 New! 2008/09/29(月) 07:21:52 神 ID:e5OaSCfm0● BE:?-DIA(120000)
http://img.2ch.net/ico/u_shingi.gif
日教組HPの小学生向け算数教室
http://www.jtu-net.or.jp/education/sansu/series/08.html

子供が、戦闘機の感想しか言わないのがなさけない。
教育に、そして数学に思想を入れるなとは言わないが、せめて
「１あたりの数を習うったら、戦闘機が無用に早いことがわかった。
　１あたりの数、超便利。算数、すげー大事。戦闘機いらない。」
くらいの感想が出るような使い方にしておけばいいのに
これじゃあ、偉大なる将軍様の下さった教室の広さのほうがマシだろ。

数学が、科学が、思想のために使われるのはいっこうに構わないが
これでは、子供が科学離れを起こすのも無理はないな。

感想を書いたのも大人

面白い問題まだー？

>>647(2)のヒント
３回の比較終了時点で可能性の残っている並び順を全て列挙してから、
次に比較すべき重りがどれとどれなのか検討せよ。

>>675
> 嘉手納町が東京（とうきょう）より混（こ）んでいるなんて、信（しん）じられない。 

信じなくていいですよ。  嘉手納町の人口密度は基地面積を差っ引いても
東京にある武蔵野市の４０％です。 武蔵野市は東京と下では閑静な住宅街が続く
ゆったりとした街ですが、嘉手納町の2.5倍もの密度で人が住んでいます。
 

この問題、かなり難しい。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1119495251

>>647(2)の回答(前半)
A>C>D、A>Bより、考えられる並び順は以下の15通り。
E>A>B>C>D,A>E>B>C>D,A>B>E>C>D,A>B>C>E>D
A>B>C>D>E,E>A>C>B>D,A>E>C>B>D,A>C>E>B>D
A>C>B>E>D,A>C>B>D>E,E>A>C>D>B,A>E>C>D>B
A>C>E>D>B,A>C>D>E>B,A>C>D>B>E
あと高々4回の比較で全てを特定しなければならないので、1回目の比較でこの数を8:7に分割する。
7の方に分類された物をさらに4:3に分割し、3の方に分類されたものを2:1に分割した時、
1の方に分類されたものは計6回の比較で特定された事になる。
最初の1回で8:7に分割可能な比較方法はCとEとを比較した場合のみ。
A>C>D、A>B、E>Cとした場合に考えられる並び順は以下の7通り。
E>A>B>C>D,A>E>B>C>D,A>B>E>C>D,E>A>C>B>D
A>E>C>B>D,E>A>C>D>B,A>E>C>D>B
2回目の比較でこれを4:3に分割可能な比較方法はEとAとを比較した場合(i)、BとCとを比較した場合(ii)の
2通り。
(i)E>A>C>D,A>Bとした場合に考えられる並び順は以下の3通り
E>A>B>C>D,E>A>C>B>D,E>A>C>D>B
(ii)A>B>C>D、E>Cとした場合に考えられる並び順は以下の3通り
E>A>B>C>D,A>E>B>C>D,A>B>E>C>D
よって6回目の比較で結論が出たとすると、その並び順は多く見積もっても以下の4種類のどれかである。
E>A>B>C>D,E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>D
ここで「多く見積もって」と書いたのは、この比較方法で比較していない残りの部分について、必ず計7回目までで
比較が終了する事を示していないためである。

>>647(2)の回答(後半)
前半の順序で比較した場合に、片割れが必ず7回目の比較までにソートが終了する事を示す。
(i)最初に分割した、残りのC>Eの部分は以下の8通り。(A>C>D、A>B、C>E)
A>B>C>E>D,A>B>C>D>E,A>C>E>B>D,A>C>B>E>D
A>C>B>D>E,A>C>E>D>B,A>C>D>E>B,A>C>D>B>E
まずDとEとを比較する。
(i-i)D>Eの場合
A>C>D>E、A>Bより考えられる組み合わせは以下の4通り。
A>B>C>D>E,A>C>B>D>E,A>C>D>B>E,A>C>D>E>B
ここでBとDとを比較すると2:2に分割されるため、明らかにソート可能。
(i-ii)E>Dの場合
A>C>E>D、A>Bより考えられる組み合わせは以下の4通り。
A>B>C>E>D,A>C>B>E>D,A>C>E>B>D,A>C>E>D>B
ここでBとEとを比較すると2:2に分割されるため、明らかにソート可能。
(ii)2回目に分割した残りの部分について示す。(ii-i)ではAとEとの比較結果、(ii-ii)ではBとCとの比較結果について扱う。
(ii-i)2回目に分割した、残りのA<Eの部分は次の4通り
A>B>E>C>D,A>E>B>C>D,A>E>C>B>D,A>E>C>D>B
ここでBとCとを比較すると2:2に分割されるため、明らかにソート可能。
(ii-ii)2回目に分割した、残りのC>Bの部分は次の4通り
E>A>C>B>D,A>E>C>B>D,E>A>C>D>B,A>E>C>D>B
ここでAとEとを比較すると2:2に分割されるため、明らかにソート可能。

結論：(前半)の順序と方法で分割を行った時に全ての場合において7回目の比較まででソートが可能である事が示せた。

答え：E>A>B>C>D,E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>D

これで合ってますか？>>647

>>680
> 問 原点０から出発して、数直線上を通る点Ｐがある。
> 点Ｐは、硬貨を投げて表が出ると+２だけ移動し、
> 裏が出ると-１だけ移動する。
>
> このとき、
> 点Ｐが座標３以上の点に初めて到着するまで
> 硬貨を投げ続ける。
> このとき、投げる回数の期待値を求めよ。

(略解)
a[n] を
座標 3-n に居るときの、コインを投げる期待回数
とする
a[0] = a[-1] = 0,
a[n] = 1 + (1/2)(a[n-2] + a[n+1])　　(n≧1)
が成立し、これを解くと
a[n] = 2n + (3-√5)(1 - ((1-√5)/2)^n)
求める期待値は
a[3] = (4√5) - 2 = 6.94427191

×　が成立し、これを解くと
○　が成立し、これの a[n]→0 (n→∞) となる解を求めると

訂正になってなかった

a[n] = 1 + (1/2)(a[n-2] + a[n+1])
の一般解は A,B,C を任意定数として
a[n] = 2n + A + B*((1+√5)/2)^n + C*((1-√5)/2)^n
となる。
a[n] = O(n) のはずだから B=0 となる解を求めればよい

>>680
「数学Ａの確率の問題です」という時点で釣りだろう。
答えが１より小さいってのもナメくさっとるｗ
（投稿者が釣られた結果なのかもしらんが）

>>684
隣接4項間の漸化式なので、a[1]の値が確定しないと
それ以上の項が決定できない気がするんだが。

>>688
a[n] = O(n)という情報があるから、初項に関する条件は少し弱められるのでは？

>>686
特性方程式はx^4-2x^3+x+2=0
となり、実数解を持たないわけだが。
＞a[n] = 2n + A + B*((1+√5)/2)^n + C*((1-√5)/2)^n
＞となる。
の所でダウト。

期待値の計算が苦手な俺に
＞a[n] = 1 + (1/2)(a[n-2] + a[n+1])
この式が成り立つ理由を教えてくれ(´・ω・｀)

あ、全然違った。
>>690は無視してちょ

>>690
a[n] = (1/2)*(1+a[n-2]) + (1/2)*(1+a[n+1])
と書いた方が分かり易いかもしれない。

つまり、今いる位置でコインを振って、
表が出たら期待値が1増えて2つ右に移動、
裏が出たら期待値が1増えて1つ左に移動。

>>681

> よって6回目の比較で結論が出たとすると、その並び順は多く見積もっても以下の4種類のどれかである。
> E>A>B>C>D,E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>D

上の部分をよく見直してみてください。その訂正を以て、正解です。

>>647
OK,E>A>B>C>Dが重複してるわ
答え：E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>Dの3通り

comment
678のヒントがなかったらあと1週間位の時間を要求していたと思う。
面白かったよ

>>680
ちょうどn回目に上がるパターン数をf(n)とすると、

f(n) = 0　　　　　　　　　 (n=1 mod3)
　　　 C(n+2, [n/3]+1)　(n=0 or 2 mod3)

だな。[ ] はガウス記号。
あとは Σ[1→∞]n*f(n)/2^n の極限値を求めればいいわけだが‥‥
nCrヲタの出現を待つとしよう。

>nCrヲタ

どんなヲタだｗｗｗ

>>697
ちょうど2回目で上がるパターンは1通りしかないが、その式によると
f(2)＝C(4,1)＝4となってしまう。

>>698
nCrヲタって群生体で不等式ヲタで三角関数ヲタでもあるらしい…

俺はnCrでどんぶり飯三杯はいけるぜ

>>699
指摘サンクス。正しくは以下だった

f(n) = 0　　　　　　　　　　　　　(n=1 mod3)
　　　 C(n+2, [n/3]+1)/(n+2)　(n=0 or 2 mod3)

>>701
それは単なる nCr デブだ。

俺はnCrで3回はヌケる

>>704
それは単なるnCrフェチだ

俺はnCrで三回はコケる。

ついでに>>684の漸化式を、a[1]=aとして解いてみた。
a[n]-a[n-1]-2 = {a[n-1]-a[n-2]-2} + {a[n-2]-a[n-3]-2}
と変形できるので、3項間に帰着される。結果、
p=(1+√5)/2、q=(1-√5)/2 とおくと

a[n] = 2n + {(2p-a)p^2(1-p^n) - (2q-a)q^2(1-q^n)}/√5

となり、確かに>>686のような形になったものの、やはりa[1]の
値が（定数部分にも）入ってきているため、a[1]の値なしには
a[3]を確定できそうにない。

a[n]のオーダーがO(n)になる理由がわからん。
確かにそれを仮定すれば、p^nの項を潰すようにaを決められるな。

>>708
a[n]ってのは、言い換えると、原点から出発して最初にn以上の地点に到達するまでの
回数の期待値だから、たとえばa[100ぐらい]=xぐらいならば、
a[200ぐらい]は、100ぐらいに最初に到達した時点を一区切りとみなすと、
100ぐらいに最初に到達したら終わりという試行を２回繰り返すことを考えればいいので
a[200ぐらい]=2xぐらいと言える。
だから、a[n]のオーダーがO(n)という予想は悪くない。
（a[n]がnにかかわらず無限大に発散するのでないかぎり。）
ただ、オーダーってどうやって証明すればいいんだろう。

ちなみに、1回で+2移動なんてのがなければ（例えばその代わりにプラス方向の確率の方が大きいとかなら）
上記の「ぐらい」は全部消せるのだが。

俺には>>702が成り立つ理由も分からんぜ

一応出来たっぽい。

B ≠ 0 のとき a(n+1) - a(n) は指数函数的に増加。
B = 0 のとき a(n + 1) - a(n) → 2 (n → ∞)。
従ってこれを大雑把に評価すれば良い。

（初期位置の座標 3-n から）
確率 1/2 で -1 進み、確率 1/2 で +2 進むという試行を繰り返す。
k 回の試行のうち、 t 回目の試行までに
-1 が x(t) 回、 +2 が y(t) 回出たとして
試行中常に 2y - x ≦ n-1 となる確率を p(n,k) と置く。
p(n,k)は k に関して単調減少、 n に関して単調増加。
　a(n)
　= �農{k=1}^{k=∞} k(p(n,k+1) - p(n,k))
　= �農{k=1}^{k=∞} p(n,k)。
従って
　a(n+1) - a(n)
　 �農{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)。
2y(t) - 2x(t) ≦ 2k だから 2k ≦ n-1 つまり k ≦ (n-1)/2 のとき
n が充分でかいから p(n,k) = 1。このとき p(n+1,k) も常に 1 となる。
従って
　a(n+1) - a(n)
　= �農{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)
　= �農{k=1}^{k=[(n+1)/2]} p(n+1) - p(n,k)
　< �農{k=1}^{k=[(n+1)/2]} p(n+1) < [(n+1)/2] < (n+1)/2
ここで 0 ≦ p(n+1) ≦ 1 、[ ]は整数部分。
つまり a(n+1) - a(n) は高々 n の一次の速さでしか増大しないので B = 0。
従って実際は a(n) 〜 2n、a(n+1) - a(n) → 2。　　　□

Catalan数使ってどうにか出来ないか試したりして
結局帰宅後すぐ取り掛かって今になるまで掛かった。長かったー、、

「n に関して単調増加」の直ぐ下を
　a(n)
　= �農{k=1}^{k=∞} k(p(n,k-1) - p(n,k))
　　　　　　　　　　　 　 ~~~~~~~~~
に訂正。

>>711
>　= �農{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)
>　= �農{k=1}^{k=[(n+1)/2]} p(n+1) - p(n,k)
のところ
　= �農{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)
　= �農{k=[(n+1)/2]}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)
じゃないのか？

あ、そうかも、、

高３だけど、問題自作してみた。

Oを原点とする座標平面上に、どちらも原点Oではない、
相異なる2点A,Bがある。
線形変換（１次変換）f は、
f (OA↑) ＝ 2*OB↑， f (OB↑) ＝ 3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをf によって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。

【例題】sinθ＋cosθ＝1.5の時､sinθcosθはいくらか？

解答(1)
(sinθ−0.5)の2乗＋(cosθ−0.5)の2乗＝1.5−(sinθ＋cosθ)
sinθ＋cosθ＝1.5を代入して
(sinθ−0.5)の2乗＋(cosθ−0.5)の2乗＝0
sinθ＝cosθ＝0.5
∴sinθcosθ＝0.25

解答(2)
(sinθ＋cosθ)の2乗＝1＋2sinθcosθ
sinθ＋cosθ＝1.5を代入して
1.5の2乗＝1＋2sinθcosθ
∴sinθcosθ＝0.625

解答(1)､解答(2)より0.25＝0.625

どこに矛盾があるのか？

仮定

仮定を認めるなら解答(1)の3,4行目

なるほど。sinθ=cosθ=1/2は
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1満たさないのか・・・・
勉強になりました

違うだろ
sinθ、cosθが実数とは限らないから解答(1)の三行目からは四行目が得られないんだろ

>>720
同じことだと思うが

>>720-721
単に間違ってるという事にそれ以上の説明が必要なのか。

どこがクリティカルなミスかを正しく理解することは大切だと思います

通りすがりの者ですが>>716の解答(1)で
一行目がさっぱりわかりません
どっからこういう風になるんでしょうか
それとも何か、これは何かの冗談でしょうか

それと関係ないけど2乗や小数表記が気持ち悪いです
そこは別にどうでもいいんですが

カスが口をはさむな

今の言葉取り消してください
カスではなくクズです

いいえ、カスであり、かつクズである。が真。

いずれにせよ、式中に「の2乗」なんて書く奴の書き込みは読む気がしない。

>>724
左辺を展開したまえ。さすれば(sinθ)^2+(cosθ)^2=1を使って整理すれば右辺になる。

わざわざ優しすぎたかな・・・・

>>729
すごく・・・優しいです・・・

>>715
何処が面白いんだ？

多分自分で作った問題を自慢したいだけだと思うよ

俺はむしろ自作の問題を
「それを解けなくて困っている」フリをして質問スレに書いたことがあるぞ
この方がはっきりいって面白い

自分の作問能力の程度が測れるし
他人がどんな解法で攻めてくるのかも楽しみだ

それいいなｗｗｗｗ
さっそく試してみるｗｗｗｗ

じゃあ本当に解けなくて困ってる問題を。

x, y平面状の格子点(n, m) （但しn, m は 0 または自然数）を考える。
原点から右または上のみに 1 ずつ進んで (n, m) まで
到達する方法は (n + m)Cn 通りである。
ここで傾き a が正、y 切片 b も正の直線 y = ax + b を考え、
y = ax + b より下にある点のみを通り、
原点から右または上のみに 1 ずつ進んで (n, m) まで
到達する方法を f(n, m) 通りとする。
このとき、n, m が充分に大きければ f(n, m)/(n + m)Cn は充分小さくなることを示せ。

（つまり、任意の正の実数εに対してある正整数 N が存在して以下を満たす：
n ＞ N かつ m ＞ N ならば f(n, m)/(n + m)Cn ＜ ε）

あ、遅レスだけど
>>584の「フィボナッチ数展開」は普通
Zeckendorf representationと呼ぶね。
まあ584は知ってそうだけど。

>>735
反例があった。a=b=1, m≦nのときf(n,m) / (n+m)Cn = 1-m/(n+1)だからn=m^2としてみる。

正方形を､どの2つも合同でない3つの相似な図形に分割して下さい
ただし切り分ける線の長さはできるだけ短くして下さい

>>738
最短かどうかは知らんが、
正方形の１辺を１とし、x^3-x^2+2x-1=0の実数解をaとすると、
(長辺，短辺）＝(1,a)，((1-a)/a，1-a)，(1-a，a(1-a))
の３つの長方形に分割できる。切断線の合計長は2-a。
ちなみにaは約0.56984 (by Mathematica)

>>733
そういう目で見てしまうじゃねーかｗｗｗｗｗｗ

1/A+1/B+1/C+1/D+1/E+1/F+1/G+1/H+1/I+1/2007=1
0<A<B<C<D<E<F<G<H<I<2007
A〜Iはすべて自然数。A〜Iはいくらか

>>741
(7,72,168,223,252,446,669,1561,1784)
ふぅ、疲れた。

2007=223*9なので、分母が223の倍数となるものだけを拾うと
1から8までの整数からいくつかを選んだ組{a_n} (n=1,…,k)を使って
Σ[n=1,k](1/(223a_n)) + 1/(223*9) = (1/(2520*223))(Σ[n=1,k](2520/a_n)+280)
となり、このΣ[n=1,k](2520/a_n)+280の部分を223の倍数にする必要があるので、
{2520,1260,840,630,504,420,360,315}のうちのいくつかと280を足して
合計が223の倍数になるパターンを探したら、
2520+1260+840+360+315+280=5575=223*25となり、
{a_n}={1,2,3,7,8}とすると
Σ[n=1,5](1/(223a_n)) + 1/(223*9) = 5/504となった。
あとは、499/504をなんとかすればいいので
499=252+168+72+7ということで。

>>741
>>742の肝心の答えの部分が全然違った。
(2,3,7,72,223,446,669,1561,1784)
が正解。何をやってるんだ、オレ。

>>581 のゲームで「二倍以下」のところを「3倍以下」にしたとき、
後手必勝となるのは最初の石数がどのようなときか？

>この文章内には1が( )個ある
>この文章内には2が( )個ある
>この文章内には3が( )個ある
>この文章内には4が( )個ある
に
>この文章内には1が(3)個ある
>この文章内には2が(1)個ある
>この文章内には3が(3)個ある
>この文章内には4が(1)個ある
みたいに数字を入れてく問題がいつかあった気がするけど
何スレ目で出てたっけ

>>745
知らぬ
それより問題を出せ

だれかベクトルの問題で難しい奴知ってる？
できれば、高卒〜大学新入生レベルで。

>>747
超有名問題でよければ
一辺の長さが1の正四面体をある平面に正射影したとき、その正射影の面積の範囲を求めよ

>>747
>>715とか

>>715
の問題は、O,A,Bが一直線上にあるときは変換が存在しないな。
おそらく出題者はそういう状況に気づいていないのだろう。
（オレも今気づいたが）

６×６のマスで、対角線上のマスが２つ欠けたマスがある。
このマスを、隣り合う２マスを塗りつぶしていって
３４個のマス全てが塗りつぶせない事を証明せよ。

>>751
６×６のマス目をチェス盤のように塗りつぶす。対角線上のマスは同色になるから、以下略。

鳩ノ巣原理のだろ。有名すぎだな。

鳩ノ巣原理なのか？

一応>>752の以下略の部分を突き詰めると鳩ノ巣原理だな。
でもこの問題のキモは>>752の前半部分だ。

＞突き詰めると鳩ノ巣原理だな
ほぅ
なんか突き詰めるとほとんどの不等式が鳩ノ巣原理になりそうだな

>>748
それって、[√2/4, 1/2]だったりするのか？

>>752の以下略にはどんな文章がはいるのですか？

０÷０＝？と言うもんだいの解に関して考察してます
よかったら見てください。
http://www.nob13.com/game/iappli/BlogTool/m/view.php?username=marques006&year=2008&month=10&day=14

>>759
スレちがい。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1203116217/
へどうぞ。

>>751
塗りつぶせる

>>750
Ａ、Ｂ、ｆ、Ｏが条件を満たす場合を考えてるから
Ａ、Ｂ、Ｏを決めたとき条件を満たすｆが存在しなくても
Ｂ、ｆ、Ｏを決めたとき条件を満たすＡが存在しなくても
この問題に関係ない

>>739
　a = (1/3){1 + [(√{11^2 + 4*5^3} + 11)/2]^(1/3) - [(√{11^2 + 4*5^3} - 11)/2]^(1/3)}
　　= 0.56984029099805326591139995811957････

ある国では人々は生まれてくる子には男の子だけを欲しがりました。
そのため、どの家族も男の子を産むまで子供を作り続けました。
この国では男の子と女の子の人口比率はどうなりますか?

>>764
中絶は一切認めず、男の子を授かる確率と女の子を授かる確率が等しい
という前提ならば、直感的予想に反し、男女比は１：１で変わらない。

数学の問題ではないが、次のようなものもある。

１）中絶を認めず、男の子を授かる確率と女の子を授かる確率は等しく、
ある夫婦が次に子供を作るかどうかの判断は、それまでに生まれた
子供の性別とは独立であるという仮定で考えるとき、
ちょうど２人子供がいる夫婦全体の中から無作為に１組の夫婦を選ぶと
その夫婦の２人の子供の性別が同じである確率は1/2より高いか低いか？
理由も合わせて答えよ。

２）結婚直前のアンケート調査で、
「子供は男女どちらが欲しいですか」という質問と
「男の子」「女の子」「どちらでもない」という選択肢が用意された
項目において、「男の子」と回答した夫婦を集めたグループをＡ、
「女の子」と回答した夫婦を集めたグループをＢとする。
これらの夫婦の10年後を追跡調査し、
各夫婦の子供に女の子が２人以上いるかどうかを調べたところ、
グループＡにおいては女の子供が２人以上いる割合はａ％、
グループＢにおいては女の子供が２人以上いる割合はｂ％であった。
ａとｂはどちらが大きいと考えられるか？理由も合わせて答えよ。

>>765
それらが数学の問題でないならなんなの？

算数かな

>>765
> 中絶は一切認めず、男の子を授かる確率と女の子を授かる確率が等しい 
> という前提ならば、直感的予想に反し、男女比は１：１で変わらない。 

何人目の子供でも生まれる男女の比率が同じいう前提でも
男女比は元と変わらない。

>>766
少なくとも２）は数学じゃないと思うけど。
アンケートの回答（各夫婦の嗜好）による
女児の数の偏りなんて数学の問題じゃないと思うんだけど。
少なくとも与えられたデータから数学的に出て来るようなものじゃないと思う。

生まれたり、内診でわかってしまった性別について中絶や殺すなどの操作しない限りは
男女比は変化しないんじゃないか？

>>769
いや、そういう意味でなく（それは数学の問題だろ？という意味ではなく）
「できの悪い数学の問題」でなければ、そんなことをマジに考えてる学問てのは
いったいなんなのかに興味があったんだ。すまん。

１）は、一卵性双生児が生まれる可能性があるので、２人の性別が同じ確率の方が高い。

２）は、男の子が欲しいという夫婦が、男の子が生まれるまでは子供を作ろうとし、
女の子が欲しいという夫婦が、女の子が生まれるまでは子供を作ろうとすると仮定すると、
前者は、女の子しかいないならばまだ子供を作ろうとするので女の子が複数生まれる可能性があるが、
後者は、女の子が１人生まれたら満足するので、女の子は１人で終わる可能性が高い。
もちろん、２人生まれるまでは作り続けるという行動をとる可能性もあるので、一概には言えないが、
実際世の中で、経済的にそんなに楽ではないのに女の子ばかり３人とか作っている夫婦を見ると
「ああ、男の子が欲しかったんだな」と思う。
というわけで、ａの方が大きいであろうと予測できる。

１）も２）も、男女構成比が１：１という事実とは矛盾しない。
というわけで、数学ではないでそ。

>>771
すまん、別の何かの学問というわけではなく、
「数学ではない」の真意は、「多湖輝的パズル」って意味だったので．．．

あげとけ

模範解答見つけた

模範解答
自然体で女の子が産まれる可能性をp（0＜p＜1）とすると、 1人目で男の子が産まれる可能性は1−p
1人女の子が産まれた後に2人目で男の子が産まれて男の子1人・女の子1人となる可能性はp×(1−p）
2人女の子が産まれた後に3人目で男の子が産まれて男の子1人・女の子2人となる可能性はp＾2×（1−p）
n−1人女の子が産まれた後にn人目で男の子が産まれて男の子1人・女の子n−1人となる可能性はp＾（n−1）×（1−p）
これを言い換えれば、 子どもが1人だけの場合、男の子1人で、その確率は1−p
子どもが2人だけの場合、男の子1人・女の子1人で、その確率はp×（1−p）
子どもが3人だけの場合、男の子1人・女の子2人で、その確率はp＾2×（1−p）
子どもがn人だけの場合、男の子1人・女の子n−1人で、その確率はp＾（n−1）×（1−p）

以後同様に考え、この国での男女比は、
男の子の出生数/女の子の出生数＝（1−p）＋p×（1−p）＋p＾2×（1−p）＋・・・＋p＾（n−1）×（1−p）＋・・・/p×（1−p）＋2×{p＾2×（1−p）}＋・・・＋（n−1）×{p＾（n−1）×（1−p）}＋・・・
分子を（1−p）で、分母をpくくると、
男の子の出生数/女の子の出生数＝（1−p）×{1＋p＋p＾2＋・・・＋p＾（n−1）＋・・・}/p×[1−p＋2×p×（1−p）＋・・・＋（n−1）×{p＾（n−2）×（1−p）}＋・・・]
ここで、分母中の大括弧の中身を考え、子どもの数がn人の場合について展開し、
n×p＾（n−2）−n×p×p＾（n−2）−p＾（n−2）＋p×p＾（n−2）
＝n×p＾（n−2）−n×p＾（n−1）−p＾（n−2）＋p＾（n−1）
＝p＾（n−2）×（n−1）−p＾（n−1）×（n−1）
となり、これにn−1人の場合の、
p＾（n−3）×（n−2）−p＾（n−2）×（n−2）
とn＋1人の場合の、
p＾（n−1）×n−p＾n×n
を加えたとき、n人の場合の
p＾（n−2）についてはn−1人のそれとの合算でp＾（n−2）だけが残り
（p＾（n−2）×（n−1）−p＾（n−2）×（n−2）＝p＾（n−2））、p＾（n−1）についてはn＋1人との合算でp＾（n−1）だけが残り
（p＾（n−1）×n−p＾（n−1）×（n−1）＝p＾（n−1））、
これをすべてのnについて行えば、結局のところ分子の中括弧の中身と同様に、1＋p＋p＾2＋・・・＋p＾（n−1）＋・・・といった数列となるので、約分可能。したがって、
男の子の出生数/女の子の出生数＝（1−p）/p
であり、自然体と変わらない男の子と女の子の人口比率となる。

まあ、その国で新たに子供が生まれたら必ず「人口管理局」に連絡が入るとして、
その管理局の職員の目線で見れば，
「報告！新生児が誕生しました！」「性別は？」「＊であります！」の
＊に入るのが男であるか女であるかは、親がどういう経緯で子供をこさえようと思ったかとは
関係のない事象なわけで、>>775、>>776の結果になるのは当然ではあるのだけど。

>>763
どうやって線を引けばいいのですか？

>>777
激しくｶﾞｲｼｭﾂ

>>764
短期的にはその国本来の性比(人種や環境に依存する)、例えば105:100になる。
長期的には女の子が生まれやすい遺伝子が次の世代に多く受け継がれるため性比は低下する。

>>780
＞ 長期的には女の子が生まれやすい遺伝子が次の世代に多く受け継がれるため性比は低下する。 

ここがわからん kwsk

女の子を産みやすい夫婦ほど子供をたくさん作ることになるから。

性を決めるのは両親のうち男の側の遺伝子。
この世界の男の子はどの両親からも一人しか生まれない。
男を産みやすい両親からも、女を産みやすい両親からも。
これで本当に女の子を生みやすい遺伝子は後世に強く残るのだろうか？

男の子が生まれるまで頑張れなかった、両親もいるかもしれないことを考えると
減るかもしれない。

もっとも性を決めるのは男親の遺伝子ではあるが、どちらを受け入れるかは
女親が決めているという考え方はできる。

> 性比は低下する。

比が低下するってのは 比が小さくなる（１：１に近くなる）という意味だと思っていたら
比が大きくなるって意味だったのね。

>>783
そこまで細かいこと考えるんだったら
性決定と適応度の関係は生物学的にかなり難しいのだから
実際にシミュレーションなり実験なりしてみるしかない、としか言いようが無い。

実際統計学的には明らかに男児が生まれる割合の方が
大きいが、そうなる分子生物学的機序など何も分かっていない。

√2より大きく17/12より小さい有理数q/p [p, qは互いに素な正整数] のうちp+qが最小となるものを考えよ

たぶん、>>780が主張しているのは、
例えば、男女比はちょうど１：１であっても、
遺伝形質の中に、男児が生まれやすい（例えばそれが女性の側の
形質だとすると、受精時にＹ染色体を持つ精子の方に有利に働く
なんらかの条件があるとか）というものと、女児が生まれやすい
というものが存在して、それらのバランスで全体としては男女比
が１：１になっているのだと仮定して、

ある日を境に全国民一斉に
>>764のように「男の子を産むまで子供を作り続ける」という
行動をとるようになったとすると、
結果的に女児が生まれやすい形質を持った女性の方が
平均すると多産となり、
長期的にみると女児が生まれやすい形質の方が多く生き残る、
ということだと解釈した。

ただ、もしそうなら、短期的にも、生まれてくる子供の割合は
女児の方が男児よりも多くなる気がするが．．．。
（女児が生まれやすい夫婦の方が、２子目を作ろうとする割合が
大きいことになるので。）

つまり、分子レベルのメカニズムうんぬんはともかく、
全体で平均した男女の生まれてくる確率とは別に、
夫婦毎に異なる確率を持つというモデルを採用した時点で、
「男の子を産むまで子供を作り続ける」という意思によって
男女構成比は崩れる、と。

>>786
58/41ですかね。
手計算でどうやって探せばいいかはよくわからん。

よく分からないのになぜ出せた

Excel

>>786
これくらいなら一応手でできるね．電卓があればなお簡単．
Stern-Brocot tree を構成する．

[0/1, 1/0] → 1/1 ≦ √2
[1/1, 1/0] → 2/1 ≧ 17/12
[1/1, 2/1] → 3/2 ≧ 17/12
[1/1, 3/2] → 4/3 ≦ √2
[4/3, 3/2] → 7/5 ≦ √2
[7/5, 3/2] → 10/7 ≧ 17/12
[7/5, 10/7] → 17/12 ≧ 17/12
[7/5, 17/12] → 24/17 ≦ √2
[24/17, 17/12] → 41/29 ≦ √2
[41/29, 17/12] → √2 < 58/41 < 17/12

よって 58/41 が解

Stern-Brocot tree の説明はググれば出てくる．

>>785
男児が生まれる確率のが統計的に高いのは
性染色体の部分で重さが僅かに違うから、卵子まで到達するのにかかる時間がXY型の方がXX型より短くなるため

という説を生物の授業中に先生が言ってた。
真偽は知らないけどね

>>786
高校生的解法。
√2＜q/p＜17/12のとき288p^2＜(12q)^2＜(17p)^2=289p^2より
(17p)^2-p^2+1≦(12q)^2≦(17p-1)^2 これよりp≧34が必要と分かる。
p=34から順に探していくとp=41,q=58という解が見付かる。
あとはこれがp+qを最小にすることを示せばよいが、
42'≦p'＜q'/√2を満たす任意のp',q'についてp'+q'＞(√2+1)p'≧42(√2+1)=101.39・・・

2p^2+1,3p^2+1,6p^2+1が全て平方数となるような素数pが存在しない事を証明せよ。

ガイシュツならごめんよ

p^2,2p^2+1,3p^2+1,6p^2+1：平方数であるとする。(仮定より、背理法)
2p^2+1=a^2,3p^2+1=b^2,6p^2+1=c^2とすると
p^2(2p^2+1)(3p^2+1)(6p^2+1)
=(pabc)^2
∴p^2(2p^2+1)(3p^2+1)(6p^2+1)：平方数・・・�@
p^2=nと置くと
p^2(2p^2+1)(3p^2+1)(6p^2+1)
n(2n+1)(3n+1)(6n+1)
=(6n^2+5n+1)(6n^2+n)
=36n^4+36n^3+11n^2+n
=(6n^2+3n+1/6)^2-1/36
∴(6n^2+3n)^2-1/36<(6n^2+3n+1/6)^2-1/36<(6n^2+3n+1)^2-1/36
∴(6n^2+3n)^2<(6n^2+3n+1/6)^2<(6n^2+3n+1)^2
∴(6n^2+3n)^2<n(2n+1)(3n+1)(6n+1)<(6n^2+3n+1)^2
∴(6n^2+3n)^2<p^2(2p^2+1)(3p^2+1)(6p^2+1)<(6n^2+3n+1)^2
∴p^2(2p^2+1)(3p^2+1)(6p^2+1)：平方数ではない・・・�A
�@、�Aより矛盾。

>>794　そんな愚問を出す前に、kを奇数として、2k^2+1　が平方数になる事があるかチェックしたまえ

ｗｗｗ

x^2＝(3n^2＋1)(6n^2＋1)＝18n^4＋9n^2＋1＝9n^2(2n^2＋1)＋1＝y^2＋1

□に0〜9までの数字を1つずつ入れて縦と横の足し算を同時に成立させて下さい.同じ数字2度使いは不可
(全通り求めて下さい)
■は無視して下さい

■■□□│□
■■□□│□
■＋■□│□
■───■■
■■□□■■

　 　 □□│□
　 　 □□│□
　 ＋　 □│□
　 ───　 　
　 　 □□　 　

>>799
一行目の二桁＋二行目の三桁＝三行目の三桁？

　 　 ＡＢ│Ｃ
　 　 ＤＥ│Ｆ
　 ＋　 Ｇ│Ｈ
　 ───
　 　 ＩＪ

AB＋DE＋G＝IJ
DA＋GEB＝HFC

力技で解かせたが、答えが 20個 (*1) もある上に、

14 | 5
39 | 2
+ 7 | 8
----+
60

17 | 8
39 | 2
+ 4 | 5
----+
60

のように、値を交換した (4 ⇔ 7, 5 ⇔ 8) だけの答えもそれなりにあるので、
俺的には面白い問題とは言えない。

# *1: G = 0 のケースを含んでいるから、それを除外すると 18個

>>803
答えを詳しく

自分でやれ。

>>804
20個全部欲しいってこと？
つまんないし、ひと迷惑だからやめとくわ。

>>802のように総当りで解ける問題は面白くない
工夫するのが面白いと思ってるのだろうけど、正直結果も面白くない

意外な結果だとか、成り立ちそうなのに示しにくいとか、そういうのが面白い

じゃあ俺様が面白い問題をだしてやろう

□に入る数字はなにか
３＋□＝８

どうだ面白いだろｗｗｗｗ

>>807を受けて「じゃあ面白い問題を出してやろう」って言うんだから、その問題は

＞意外な結果だとか、成り立ちそうなのに示しにくいとか、そういうのが面白い

という条件を満たしていなければならない。しかし>>808はこの条件を満たしていない。

本人面白いと思ってるんだから、そっとしておいてやるのが大人ってもんだよ。

どうだ？ｗｗｗ
俺様の問題面白かっただろ？ｗｗｗｗ
やっぱ俺様って天才ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>807の提示したような「面白い問題の条件」を満たしていないという「意外性」が面白いんだろう
違うならもう知らん

>>807のような意見が出てきた時点でこの手のレスが来ることは想定内
エスパー検定でも９〜８級レベル

じゃぁ要望にこたえて、某有名、大学入試問題集から一問

次の命題の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ。
「すべての非負整数 n について、0<a(n)<1 ならば、
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=0　」

出題者がAとBの二人に別々に自然数を伝えた後、こういった。
「2以上の相異なる2つの自然数に対し、Aにはその積を、Bにはその和を伝えた。」

A「私には元の二つが何か分かりません。」
B「そうでしょうね。あなたにも分からないと思ってましたよ。」
A「ほほう、ならば分かりました。」
B「そうですか、それならば私にも分かりました。」

AとBの会話から、元の2自然数を決定しなさい。
ただし、それらはともに20以下であると仮定してよい(A, Bの知る限りではない)。

>>813
a_n=1/2^(1/2^n))
lim[n→∞]a(1)a(2)a(3)****a(n)=1/2

>>815
全然驚かれませんでしたね、ガッカリです

こんなもんにどう驚けと。

ボクチンのいおなずん！

>>814
3と14

間違えた4と13

>>814
コンピュータ使っちゃダメ？使って良ければこんな感じで出るんだけど。
> B「そうでしょうね。あなたにも分からないと思ってましたよ。」
よりBが知った和は相異なる2つの素数の和では表せないことが分かる。
そのような和は6=2+4を除けば11,17,23,25,27,29,35,37の8通りである。
> A「ほほう、ならば分かりました。」
より和が集合{11,17,23,25,27,29,35,37}に含まれることから2数が一意に決まる。
Aが知った数は18=2*9(=3*6),24=8*3(=4*6=2*12)など多数考えられるが、
30=2*15=5*6(=3*10)や66=2*33=3*22=6*11などは除かれる。
> B「そうですか、それならば私にも分かりました。」
よりBが知った数として11=2+9=3+8=4+7や23=4+19=5+18=7+16=10+13などが排除され、
最終的に17=4+13だけが残る。ゆえに求める自然数は4と13。

y=□x^2,y=□x+□の交点は(□,□),(□,□)であり、2線で囲まれた部分の面積S=□である。
□に数字を埋めよ。ただし入る数字は全て1桁の自然数である。

>>822
はぁ？どこが面白いんだ？
センターレベルじゃないか

>>822
y = a x^2, y= bx + c
交点での x の値は ax^2 + bx + c = 0
x = (-b±√(b^2 - 4ac)) / (2a)

0 < a, 0 < b, 0 < c, だから、x = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a) は、
負もしくは虚数にしかならない。

つまり、交点 (□,□),(□,□) の□が全て自然数はありえない。

センター試験にこんな問題はでないと思うが、とても面白いと思えない
点では >>823 に同意。