不等式への招待 第３章

〔問題620〕
全ての自然数nについて
　n*log(n) -(n-1) ≦ log(n!) ≦ (n+1)log(n) -(n-1),
が成り立つことを証明せよ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/620

(略証)
　左辺を a_n, 右辺を b_n とおく。
nについての帰納法による。

　log(1!)=0　より a_1 = log(1!) = b_1,
n>1 のとき
　a_n - a_(n-1) = n*log(n) -(n-1)log(n-1) -1
　　= n*log(n) - (n-1){log(n) + log(1 -1/n)} -1
　　= n*log(n) - (n-1){log(n) - log(1 + 1/(n-1))} -1
　　< n*log(n) - (n-1){log(n) - 1/(n-1)} -1
　　= log(n),
　b_n - b_(n-1) = (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
　　= (n+1)log(n) -n*log(n-1) -1
　　= (n+1)log(n) -n{log(n) + log(1 -1/n)} -1
　　> (n+1)log(n) -n{log(n) - 1/n} -1
　　= log(n),
よって成立。