代数的整数論 019

代数的整数論 019
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
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定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし
族 (X_i)_I を各 i に対して X_i = X となるものとする。
Π(X_i)_I (過去スレ018の857)を X^I と書き X のI乗と呼ぶ。

補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
X と Y を C の対象とする。
このとき次の条件は同値である。

(�@) ある小さい集合 I があり、Y は X^I (>>3)の部分対象(過去スレ018の646)となる。

(�A) (Y, Hom(Y, X)) は単湧き出し(過去スレ018の715)である

証明
(�@) ⇒ (�A)
h：Y → X^I を単射とする。
各 i ∈ I に対して π_i：X^I → X を射影とする。
過去スレ018の901より、(Y, (π_i)h)_I は単湧き出しである。
J = {(π_i)h； i ∈ I} とおく。
J ⊂ Hom(Y, X) である。
よって、過去スレ018の736より、(Y, Hom(Y, X)) は単湧き出しである。

(�A) ⇒ (�@)
(Y, Hom(Y, X)) は単湧き出しであるとする。
各 f ∈ Hom(Y, X) に対して π_f：X^Hom(Y, X) → X を射影とする。
h：Y → X^Hom(Y, X) で各 f ∈ Hom(Y, X) に対して f = (π_f)h となるものが
一意に存在する。
過去スレ018の901より、h は単射である。
よって I = Hom(Y, X) とおけばよい。
証明終

命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
C の対象 X が余分離対象(過去スレ018の219)であるためには
C の任意の対象 Y に対して小さい集合 I があり、
Y が X^I (>>3)の部分対象(過去スレ018の646)であることが必要十分である。

証明
過去スレ018の813より X が余分離対象であるためには
任意の対象 Y に対して (Y, Hom(Y, X)) が単湧き出し(過去スレ018の715)であることが
必要十分である。
よって、>>4より本命題が得られる。
証明終

補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
X と Y を C の対象とする。
このとき次の条件は同値である。

(�@) ある小さい集合 I があり、Y は X^I の極値的部分対象(過去スレ018の646)となる。

(�A) (Y, Hom(Y, X)) は極値的単湧き出し(過去スレ018の755)である

証明
(�@) ⇒ (�A)
h：Y → X^I を極値的単射(過去スレ018の496)とする。
各 i ∈ I に対して π_i：X^I → X を射影とする。
過去スレ018の902より、(Y, (π_i)h)_I は極値的単湧き出しである。
J = {(π_i)h； i ∈ I} とおく。
J ⊂ Hom(Y, X) である。
よって、過去スレ018の807より、(Y, Hom(Y, X)) は極値的単湧き出しである。

(�A) ⇒ (�@)
(Y, Hom(Y, X)) は極値的単湧き出しであるとする。
各 f ∈ Hom(Y, X) に対して π_f：X^Hom(Y, X) → X を射影とする。
h：Y → X^Hom(Y, X) で各 f ∈ Hom(Y, X) に対して f = (π_f)h となるものが
一意に存在する。
過去スレ018の902より、h は極値的単射である。
よって I = Hom(Y, X) とおけばよい。
証明終

命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
C の対象 X が極値的余分離対象(過去スレ018の815)であるためには
C の任意の対象 Y に対して小さい集合 I があり、
Y が X^I の極値的部分対象(過去スレ018の646)であることが必要十分である。

証明
定義(過去スレ018の815)より X が極値的余分離対象であるとは、
任意の対象 Y に対して (Y, Hom(Y, X)) が極値的単湧き出しであることである。
よって、>>6より本命題が得られる。
証明終

命題
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
単位区間 I = [0, 1] は CTop の余分離対象(過去スレ018の219)である。

証明
f：Y → X と g：Y → X を CTop の射で f ≠ g とする。
f(y_0) ≠ g(y_0) となる y_0 ∈ Y がある。
過去スレ007の664より X は正規空間(過去スレ007の663)である。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、連続写像 h：X → I で
h(f(y_0)) = 0 かつ h(g(y_0)) = 1 となるものが存在する。
よって hf ≠ hg である。
よって I は CTop の余分離対象である。
証明終

命題
コンパクト位相空間全体の圏 CTop における単射は写像としての単射である。

証明
Set を集合全体の圏とする。
関手 F：CTop → Set を次のように定義する（F は忘却関手と呼ばれる）。
CTop の対象 X に対して F(X) を X の台集合とする。
CTop の射 f：X → Y に対して F(f)：F(X) → F(Y) は写像としての f とする。

* = {p} を１点からなる位相空間とする。
* は CTop の対象である。
明らかに (*, p) は関手 F の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、F は (*, p) により表現可能(過去スレ017の729)である。
よって、過去スレ018の361より、CTop における単射は
写像としての単射と一致する。
証明終

命題
コンパクト位相空間全体の圏 CTop は平衡的(過去スレ018の452)である。

証明
f：X → Y を CTop における全単射とする。
f が CTop における同型であることを証明すればよい。

>>9より f は写像として単射である。
過去スレ018の408より f は写像として全射である。

A を X の閉集合とする。
A はコンパクトであるから f(A) もコンパクトである。
Y はHausdorffであるから f(A) は Y の閉集合である。
よって f は閉写像である。
f は連続な全単射であるから f は CTop における同型である。
証明終

命題
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を CTop における射とする。
f が正則単射(過去スレ018の456)であるためには
f が X と Y の部分空間 f(X) の同型を誘導することが必要十分である。

証明
必要性：
f が正則単射であるとする。
u：Y → Z、v：Y → Z があり、f = Ker(u, v) となる。
K = {y ∈ Y；u(y) = v(y)} とおく。
過去スレ018の411より、K は Y の閉集合である。
よって K はコンパクトである。
明らかに K = Ker(u, v) である。
よって、f(X) = K であり、f は X と f(X) の同型を誘導する。

十分性：
f が X と f(X) の同型を誘導するとする。
h：f(X) → Y を包含写像とする。
Z = (Y＋Y)_h (過去スレ018の510)と置く。
f(X) はコンパクトであるから Y の閉集合である。
よって、過去スレ018の529より Z はHausdorffである。
よって Z はコンパクトである。

p：Y＋Y → Z
μ_1：Y → Y＋Y
μ_2：Y → Y＋Y を標準写像とする。
h = Ker(pμ_1, pμ_2) である。
よって、f は正則単射である。
証明終

命題
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を CTop における射とする。

以下の条件は同値である。

(�@) f は単射である。
(�A) f は正則単射(過去スレ018の456)である。
(�B) f は極値的単射(過去スレ018の496)である。

証明
(�@) ⇒ (�A)
f を単射とする。
>>9より f は写像としての単射である。
f は連続写像 g：X → f(X) を誘導する。
g は写像として全単射であるから CTop における射としても全単射である。
>>10より CTop は平衡的であるから g は同型である。
よって、>>11より f は正則単射である。

(�A) ⇒ (�B)
過去スレ018の494より正則単射は極値的単射である。

(�B) ⇒ (�@)
自明である。
証明終

命題
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
単位区間 I = [0, 1] は CTop の極値的余分離対象(過去スレ018の815)である。

証明
>>8より I は CTop の余分離対象(過去スレ018の219)である。
>>10より CTop は平衡的である。
よって、過去スレ018の819より I は極値的余分離対象である。
証明終

命題
I = [0, 1] を単位区間とする。
任意のコンパクト空間 X に対してある集合 J があり、
X は I^J (>>3)の閉部分空間と位相同型になる。

証明
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
>>8より I は CTop の余分離対象である。
>>5より、CTop の任意の対象 X に対してある小さい集合(過去スレ017の321) J があり、
X は I^J の部分対象になる。
>>12より X は I^J の正則部分対象(過去スレ018の646)になる。
>>11より X は I^J の部分空間 K と位相同型になる。
K はコンパクトであるから K は I^J の閉集合である。
証明終

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　　　　　　　　　　　　　　／　　　　　　　　＼　　　　　　　陽だまり　さんさん
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湧き出し(過去スレ018の713)の双対概念を吸い込み(sink)と呼ぶ。

定義
C を圏とする。
C の対象 X と射の族 (f_i：X_i → X), i ∈ I の対 ((f_i), i ∈ I, X) を
吸い込み(sink)と呼ぶ。
ここで、I はある類(過去スレ017の323)である。

X を吸い込みの値域(codomain)と呼び、
族 (X_i), i ∈ I を吸い込みの定義域(domain)と呼ぶ。

吸い込み ((f_i), i ∈ I, X) を
(f_i, X)_I、(f_i, X)、(f_i：X_i → X)_I、(f_i：X_i → X)
(X_i → X)_I、(X_i → X) などとも書く。

I が空集合のとき吸い込みは値域 X のみで定まる。
これを (φ, X) と書き、空吸い込み(empty sink)と呼ぶ。
空吸い込みは C の対象と同一視される場合がある。

I が小さい集合のとき吸い込みは小さい吸い込み(small sink)と呼ばれる。

I = {1, 2、．．．、n} のとき吸い込みは n-吸い込み(n-sink)と呼ばれ
((f_1,．．．, f_n), X) とも書かれる。

射 f：X → Y は 1-吸い込み (f, Y) と同一視される場合がある。

X を値域とする射の類 S があるとき S を S 自身を添字の類とする族とみて
吸い込みが定義出来る。これを (S, X) と書く。
S が X を値域とする射全体の類のとき
(S, X) を X を値域とする全吸い込み(total sink)と呼ぶ。

定義
吸い込み(>>16) S = (f_i：X_i → X)_I と射 f：X → Y に対して
吸い込み (ff_i：X_i → Y)_I を fS と書き、S と f の合成(composition)と呼ぶ。

定義
S = (f_i：X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
各 i ∈ に対して T_i = (g_(i,j)：X_(i,j) → X_i)、j ∈ J_i を吸い込みの族とする。
このとき吸い込み (f_ig_(i,j)：X(i,j) → X)、i ∈ I、j ∈ J_i を
S(T_i) と書き、族 (T_i)_I と S の合成と呼ぶ。

定義
S = (f_i：X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
任意の射の対 u：X → T、v：X → T に対して
uS = vS なら u = v となるとき、S を全吸い込み(epi-sink)と言う。

例
空吸い込み(>>16) (φ, X) が全吸い込み(>>19)であるためには
任意の対象 Y に対象に対して Hom(X, Y) が空または１個の射からなることが必要十分である。

例
1-吸い込み(>>16) (f, X) が全吸い込み(>>19)であるためには
f が全射であることが必要十分である。

例
痩せた圏(過去スレ018の33)においては任意の吸い込み(>>16)は全吸い込み(>>19)である。
逆に、>>20よりこの性質を持つ圏は痩せた圏である。

定義
F：C → D を関手とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を C における吸い込み(>>16)とする。
D における吸い込み (F(f_i)：F(X_i) → F(X))_I を F(S) と書き、
F による S の像と言う。

定義
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を Set における吸い込み(>>16)とする。
X = ∪f_i(X_i) のとき S を合併的に全射(jointly surjective)であると言う。

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を Set における吸い込み(>>16)とする。
S が全吸い込み(>>19)であるためには S が合併的に全射(>>)であることが
必要十分である。

証明
必要性：
S が全吸い込みであるとする。
X ≠ ∪f_i(X_i) として矛盾を示せばよい。
Y = ∪f_i(X_i) とおく。
u：X → {0, 1} を任意の x ∈ X に対して u(x) = 0 で定義する。
v：X → {0, 1} を y ∈ Y のとき v(y) = 0、y ∈ X - Y のとき v(y) = 1
で定義する。
u と v は Y で一致するから uS = vS であるが u ≠ v である。

十分性：
X = ∪f_i(X_i) とする。
u：X → T、v：X → T に対して uS = vS であるとする。
任意の x ∈ X に対して x = f_i(x_i) となる i ∈ I と x_i ∈ X_i がある。
uf_i = vf_i であるから u(x) = v(x) である。
よって u = v である。
よって、S は全吸い込みである。
証明終

命題
表現可能な反変関手(過去スレ017の653)による全吸い込み(>>19)の像(>>23)は
単湧き出し(過去スレ018の715)である。

証明
S = (f_i：X_i → X)_I を C における任意の全吸い込みとする。
F は表現可能であるから F = Hom(-, T) と仮定してよい。
F(S) = (Hom(f_i, T)：Hom(X, T) → Hom(X_i, T))_I は
Set における単湧き出しである。
証明終

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F：C → Set を忠実な関手とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を C における吸い込み(>>16)とする。
このとき F(S) (>>23)が合併的に全射(>>24)であれば S は全吸い込み(>>19)である。

証明
射の対 u：X → T、v：X → T に対して
uS = vS とする。
F(u)F(S) = F(v)F(S) である。
>>25より F(S) は全吸い込みであるから F(u) = F(v) である。
F は忠実であるから u = v である。
よって、S は全吸い込みである。
証明終

定義
F：C → D を関手とする。
C における吸い込み(>>16) S に対して、
F(S) (>>23)が D における全吸い込み(>>19)であれば、
常に S が C における全吸い込みであるとき、F は全吸い込みを反映するという。

命題
忠実な関手(過去スレ017の403)は全吸い込みを反映する(>>28)。

証明
F：C → D を忠実な関手とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を C における吸い込みとする。
F(S) (>>23)が D における全吸い込みであるとする。
C-射の対 u：X → T、v：X → T に対して
uS = vS とする。
F(u)F(S) = F(v)F(S) である。
F(S) は全吸い込みであるから F(u) = F(v) である。
F は忠実であるから u = v である。
よって S は全吸い込みである。
証明終

定義
S を全吸い込み(>>19)とし、次の性質(E)を持つとする。

(E)：ある吸い込み T と単射 m があり、S = mT であれば m は同型である。

このとき S を極値的全吸い込み(extremal epi-sink)と言う。

命題
平衡的(過去スレ018の452)な圏における全吸い込み(>>19)は極値的(>>30)である。

証明
過去スレ018の756と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
S が分離対象(過去スレ018の212)であるためには任意の対象 X に対して
(Hom(S, X), X) が全吸い込み(>>19)であることが必要十分である。

証明
過去スレ018の213の(2)より明らかである。

定義
任意の対象 X に対して (Hom(S, X), X) が極値的全吸い込み(>>30)であるとき、
S を極値的分離対象(extremal separator)と言う。

命題
平衡的(過去スレ018の452)な圏における分離対象(過去スレ018の212)は極値的(>>33)である。

証明
S を平衡的な圏における分離対象とする。
>>32より任意の対象 X に対して (Hom(S, X), X) は全吸い込み(>>19)である。
>>31より (Hom(S, X), X) は極値的全吸い込み(>>30)である。
よって定義(>>33)より S は極値的分離対象である。
証明終

定義
P = (μ_i：X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
任意の吸い込み S = (f_i：X_i → Y)_I に対して射 f：X → Y で
S = fP (>>17)となるものが一意に存在するとき P を余積(coproduct)と言う。
P は族 (X_i)_I の余積とも言う。

記法
P = (μ_i：X_i → X)_I を (X_i)_I の余積(>>35)とする。
S = (f_i：X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
このとき射 f：X → Y で S = fP となるものが一意に存在する。
f を [f_i] と書く。

I が有限集合 {1, ．．．, n} のときは [f_i] を [f_1, ．．．, f_n] とも書く。

命題
余積(>>35)は極値的全吸い込み(>>30)である。

証明
過去スレ018の887と双対原理(過去スレ018の159)。

C を圏とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を C における吸い込み(>>16)とする。
I を離散グラフ(過去スレ017の745)と見なすと、族 (X_i)_I は
図式 F：I → C (過去スレ017の833)と見なせる。
ここで、各 i に対して F(i) = X_i である。

このとき S は余錐 F → X (過去スレ018の841)に他ならない。
よって、族 (X_i) を定義域(>>16)とする吸い込み全体は Cocone(F) (>>843)であり、
余錐間の射(>>843)を射とすることにより圏となる。
Cocone(F) を Cocone((X_i)_I) と書くことにする。

(X_i)_I の余積(>>35)とは Cocone((X_i)_I) の始対象(過去スレ017の288)に他ならない。
従って Cocone(F) における同型を除いて一意である。

例
空吸い込み(>>16) (φ, X) が余積(>>35)であるためには X が始対象であることが
必要十分である。

命題
1-吸い込み(>>16) (f, X) が余積(>>35)であるためには f が同型であることが
必要十分である。

証明
過去スレ018の855と双対原理(過去スレ018の159)。

記法
P = (μ_i：X_i → X)_I を (X_i)_I の余積(>>35)とする。
X を Σ(X_i)_I または ΣX_i と書く。
P を (μ_j：X_j → Σ(X_i)_I)_I または (μ_j：X_j → ΣX_i)_Iと書く。
μ_j を入射(injection)または標準単射と呼ぶ。

I が有限集合 {1, ..., n} のときは
ΣX_i を (X_1)＋．．．＋(X_n) とも書く。

命題
Q = P(P_i) を吸い込みの合成(>>18)とする。
各 P_i と P が余積(>>35)であれば Q も余積である。

証明
過去スレ018の891と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
Q = P(P_i) を吸い込みの合成(>>18)とする。
Q が余積(>>35)で各 P_i が全吸い込み(>>19)であれば P は余積である。

証明
過去スレ018の898と双対原理(過去スレ018の159)。

P = (μ_i：X_i → X)_I を余積(>>35)とする。
S = (f_i：X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
このとき f：X → Y で S = fP となるものが一意に存在する。
よって、(X_i)_I を定義域とし Y を値域とする吸い込みの全体と Hom(X, Y) は
１対１に対応する。
即ち、余積により吸い込みを射と見なすことが出来る。

命題
P = (μ_i：X_i → X)_I を余積(>>35)とする。
S = (f_i：X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
f = [f_i] (>>36)とおく。

このとき S が全吸い込み(>>19)であるためには f が全射であることが必要十分である。

証明
過去スレ018の901と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
P = (μ_i：X_i → X)_I を余積(>>35)とする。
S = (f_i：X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
f = [f_i] (>>36)とおく。

このとき S が極値的全吸い込み(>>30)であるためには
f が極値的全射(過去スレ018の580)であることが必要十分である。

証明
過去スレ018の902と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
P = (μ_i：X_i → X)_I を余積(>>35)とする。
i_0 を I の元で各 i に対して Hom(X_i, X_(i_0)) ≠ φ とする。

このとき μ_(i_0) は断面(過去スレ018の430)である。

証明
過去スレ018の903と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
C を圏とする。
C においては任意の類(過去スレ017の323) I を添字類とする余積(>>35)が存在するとする。
このとき C は痩せた圏(過去スレ018の33)である。

証明
過去スレ018の908と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
C を小さい圏(過去スレ017の322)とする。
C においては任意の小さい集合(過去スレ017の321) I を添字集合とする余積(>>35)が
存在するとする。
このとき C は痩せた圏(過去スレ018の33)である。
従って前順序集合と見なされる。

証明
過去スレ018の909と双対原理(過去スレ018の159)。

定義
C を圏とする。
C においては任意の小さい集合(過去スレ017の321) I を添字集合とする余積(>>35)が
存在するとする。
このとき C は余積をもつと言う。

定義
C を圏とする。
C においては任意の有限集合 I を添字集合とする余積(>>35)が存在するとする。
このとき C は有限余積をもつと言う。

命題
S を順序集合とする。
S の元の任意の族 (x_i)_I に対して sup(x_i) が存在するとき
S は完備束(過去スレ018の914)である。

証明
過去スレ017の281より、S は圏と見なせる。
よって、過去スレ018の915と双対原理(過去スレ018の159)を使えばよい。

命題
S を順序集合とし、圏と見なす(過去スレ017の281)。
S は余積をもつ(>>50)とする。
このとき S は完備束(過去スレ018の914)である。

証明
S の元の任意の族 (x_i)_I に対して sup(x_i) は (x_i)_I の余積である。
よって、>>52より S は完備束である。
証明終

命題
C を小さい圏(過去スレ017の322)で、余積をもつ(>>50)とする。
>>49より、C は前順序集合と見なされる。

このとき C に付随する順序集合(過去スレ018の917) C/〜 は
完備束(過去スレ018の914)である。

証明
C/〜 を圏と見たとき C/〜 は余積をもつ。
よって、>>53より C/〜 は完備束(>>914)である。
証明終

定義
C を圏とする。
I を類(過去スレ017の323)とする。
(f_i：X_i → Y_i)_I を C における射の族とする。
P = (μ_i：X_i → X)_I および Q = (ν_i：Y_i → Y)_I を余積(>>35)とする。

[(ν_i)(f_i)] (>>36)を Σf_i と書き、族 (f_i)_I の余積と言う。
I = {1, ．．．, n} のとき Σf_i は (f_1)＋．．．＋(f_n) とも書く。

Σf_i は各 i に対して次の図式を可換にする唯一の射：X → Y である。

X_i → Y_i
↓　　 ↓
X　→　Y

命題
C を圏とする。
(f_i：X_i → Y_i)_I と (g_i：Y_i → Z_i)_I を C における射の族とする。

このとき Σg_iΣf_i = Σg_if_i である。

証明
過去スレ018の920と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
C を圏とする。
(f_i：X_i → Y_i)_I C における射の族とする。

(�@) 各 f_i が同型であれば Σf_i (>>55)も同型である。

(�A) 各 f_i が断面(過去スレ018の430)であれば Σf_i も断面である。

(�B) 各 f_i が引き込み(過去スレ018の328)であれば Σf_i も引き込みである。

証明
>>56と Σ1_(X_i) = 1_ΣX_i より明らかである。

命題
C を圏とする。
(f_i：X_i → Y_i)_I C における射の族とする。

各 f_i が全射であれば Σf_i (>>55)も全射である。

証明
過去スレ018の923と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
C を余積をもつ圏(>>50)とする。
I を小さい集合とし、
(f_i：X_i → Y_i)_I と (g_i：X_i → Y_i)_I を C における射の族とする。
k_i：Y_i → K_i を f_i と g_i の差余核(過去スレ017の850)とする。

このとき Σk_i：ΣY_i → ΣK_i は Σf_i と Σg_i の差余核である。

証明
過去スレ018の978と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
C を余積をもつ圏(>>50)とする。
I を小さい集合とし、(f_i：X_i → Y_i)_I を C における射の族とする。

各 f_i が正則全射(過去スレ018の558)であれば Σf_i も正則全射である。

証明
過去スレ018の981と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
C を圏とする。
I を小さい集合とし、(f_i：X_i → Y_i)_I を C における射の族とする。
各 f_i が正則全射(過去スレ018の558)であれば
Σf_i は極値的全射(過去スレ018の580)である。

証明
過去スレ018の983と双対原理(過去スレ018の159)。

>>3の修正

定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし
族 (X_i)_I を各 i に対して X_i = X となるものとする。
Π(X_i)_I (過去スレ018の857)を X^I と書き X の I べき乗(I-th power of X)、
または略して X の I 乗 または X の I べきと呼ぶ。

定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし
族 (X_i)_I を各 i に対して X_i = X となるものとする。
Σ(X_i)_I (過去スレ018の857)を X^(I) と書き X の I 余べき乗(I-th copower of X)
または略して X の I 余べきと呼ぶ。

補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余積をもつ(>>50)とする。
X と Y を C の対象とする。
このとき次の条件は同値である。

(�@) ある小さい集合 I があり、Y は X^(I) (>>63)の商対象(過去スレ018の653)となる。

(�A) (Hom(X, Y), Y) は全吸い込み(>>19)である。

証明
>>4と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余積をもつ(>>50)とする。
C の対象 X が分離対象(過去スレ018の212)であるためには
C の任意の対象 Y に対して小さい集合 I があり、
Y が X^(I) (>>63)の商対象(過去スレ018の653)であることが必要十分である。

証明
>>32より X が分離対象であるためには
任意の対象 Y に対して (Hom(X, Y), Y) が全吸い込み(>>19)であることが
必要十分である。
よって、>>64より本命題が得られる。
証明終

補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余積をもつ(>>50)とする。
X と Y を C の対象とする。
このとき次の条件は同値である。

(�@) ある小さい集合 I があり、Y は X^(I) の極値的商対象(過去スレ018の653)となる。

(�A) (Hom(X, Y), Y) は極値的全吸い込み(>>30)である

証明
>>6と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余積をもつ(>>50)とする。
C の対象 X が極値的分離対象(>>33)であるためには
C の任意の対象 Y に対して小さい集合 I があり、
Y が X^(I) (>>63)の極値的商対象(過去スレ018の653)であることが必要十分である。

証明
定義(>>33)より X が極値的分離対象であるとは、
任意の対象 Y に対して (Hom(X, Y), Y) が極値的全吸い込みであることである。
よって、>>66より本命題が得られる。
証明終

>>63の修正

定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし
C の対象の族 (X_i)_I を各 i に対して X_i = X となるものとする。
Σ(X_i)_I (>>41)を X^(I) と書き X の I 余べき乗(I-th copower of X)
または略して X の I 余べきと呼ぶ。

例
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とする。
(X_i)_I を Set の対象の族とする。
余積 Σ(X_i)_I (>>41)は (X_i)_I の直和集合、即ち ∪(X_i)×{i} である。

定義
X を集合とし、(X_i), i ∈ I を位相空間の族とする。
各 i に対して、f_i：X_i → X を写像とする。

このとき、全ての f_i を連続にする X の位相の中で最も細かいものを
(f_i), i ∈ I に関する X の終位相(final topology)と言う。

X の部分集合 U が X の終位相に関して開集合であるためには
各 i に対して (f_i)^(-1)(U) が X_i の開集合となることが必要十分である。

命題
Top を位相空間全体の圏とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を Top における吸い込み(>>16)とする。

X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相(>>70)と一致するためには
S が次の性質 (FT) をもつことが必要十分である。

(FT)：Z を位相空間とし、g：X → Z を写像とする。
g が連続であるためには各 g(f_i) が連続であることが必要十分である。

証明
必要性：
S が性質 (FT) をもつとする。
X の位相をτとする。
(f_i), i ∈ I に関する X の終位相をψとする。
σ を X の任意の位相とする。
性質 (FT) より X の恒等写像 1_X：(X, τ) → (X, σ) が連続であるためには
各 (f_i)：X_i → (X, σ) が連続であることが必要十分である。
よって、σ ⊂ τ と σ ⊂ ψ は同値である。
よって τ = ψ である。

十分性：
X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相であるとする。
Z を位相空間とし、g：X → Z を写像とし、各 (f_i)g が連続であるとする。
U を Z の開集合としたとき各 i に対して (f_i)^(-1)(g^(-1)(U)) は X_i の開集合である。
よって、g^(-1)(U) は X の開集合である。
よって、g は連続である。
よって、S は性質 (FT) を満たす。
証明終

例
X を位相空間とする。
R を X の同値関係とする。
商空間 X/R の位相は標準射 X → X/R に関する終位相(>>70)である。

例
(X_i), i ∈ I を位相空間の族とする。
X = ΣX_i を直和位相空間とし、μ_i：X_i → X を入射とする。
X の位相は (μ_i：X_i → X)_I に関する終位相(>>70)である。

命題
Top を位相空間全体の圏とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし、(X_i), i ∈ I を Top の対象の族とする。
X = ΣX_i を直和位相空間とし、μ_i：X_i → X を入射とする。
このとき、吸い込み(>>16) P = (μ_i：X_i → X)_I は余積(>>35)である。

証明
S = (f_i：X_i → Y)_I を Top における吸い込みとする。
X は集合として (X_i), i ∈ I の直和であるから
写像 f：X → Y で各 i に対して f(μ_i) = f_i となるものが一意に存在する。
X の位相は (μ_i), i ∈ I に関する終位相(>>70)であるから
>>71より f は連続である。
よって、P = (μ_i：X_i → X)_I は余積(>>35)である。
証明終

命題
S = (f_i：X_i → X)_I を全吸い込み(>>19)とする。
各 i ∈ に対して T_i = (g_(i,j)：X_(i,j) → X_i)、j ∈ J_i を全吸い込みとする。

このとき吸い込みの合成 S(T_i) (>>18)は全吸い込みである。

証明
過去スレ018の734と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
S = (f_i：X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
各 i ∈ I に対して T_i = (g_(i,j)：X_(i,j) → X_i)、j ∈ J_i を吸い込みとする。

このとき、吸い込みの合成 S(T_i) (>>18)が全吸い込み(>>19)であれば S は全吸い込みである。

証明
過去スレ018の735と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
Top を位相空間全体の圏とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を Top における全吸い込み(>>19)とする。

このとき、X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相(>>70)と一致するためには
S が極値的(>>30)であることが必要十分である。

証明
必要性：
X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相であるとする。
S = mT とする。
ここで、m：Y → X は Top における単射で、
T = (g_i：X_i → Y_i)_I は Top における吸い込み(>>16)である。

>>76より m は Top における全射である。
よって、m は Top における全単射である。
よって m は写像として全単射である。
各 i に対して f_i = m(g_i) であるから m^(-1)(f_i) = g_i である。
よって、>>71より m^(-1) は連続である。
よって m は Top における同型である。

十分性：
S が極値的であるとする。
X に (f_i), i ∈ I に関する終位相を与えたものを Y とする。
m：Y → X を恒等写像とする。
各 i に対して f_i：X_i → Y は連続である。
f_i = m(f_i) であるから>>71より m は連続である。
よって m は Top における単射である。
S は極値的であるから m は Top における同型である。
よって、X の位相は終位相である。
証明終

命題
S = (f_i：X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
各 i ∈ I に対して T_i = (g_(i,j)：X_(i,j) → X_i)、j ∈ J_i を吸い込みとする。
このとき、吸い込みの合成 S(T_i) (>>18)が極値的全吸い込み(>>30)であれば
S は極値的全吸い込みである。

証明
過去スレ018の803と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
S = (f_i：X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
射 f：X → Y に対して fS (>>17)が極値的全吸い込み(>>30)であれば
f は極値的全射(過去スレ018の580)である。

証明
過去スレ018の804と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
S = (f_i：X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
ある J ⊂ I に対して S_J = (f_j：X_j → X)_J が極値的全吸い込み(>>30)であれば
S は極値的全吸い込みである。

証明
過去スレ018の807と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
S = (f_i：X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
ある j ∈ I に対して f_j：X_j → X が極値的全射(過去スレ018の580)であれば
S は極値的全吸い込み(>>30)である。

証明
過去スレ018の810と双対原理(過去スレ018の159)。

例
Ab をアーベル群全体の圏とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし、(X_i), i ∈ I を Ab の対象の族とする。
直和 ΣX_i は Ab における余積(>>35)である。

例
Ab をアーベル群全体の圏とする。
f：G → H、g：G → H を Ab における射で f ≠ g とする。
f(a) ≠ g(a) となる a ∈ G がある。
Z を有理整数全体のなす加法群とする。
n ∈ Z に na を対応させる写像を h：Z → G とする。
h は準同型であり、fh(1) ≠ gh(1) であるから
Z は Ab の分離対象(過去スレ018の212)である。

一方、>>82より Ab は余積をもつ(>>50)。
よって、>>65より、Ab の任意の対象 G に対して小さい集合 I があり、
G が Z^(I) (>>63)の商対象となる。

例
Grp を群全体の圏(過去スレ017の342)とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とする。
(G_i)_I を Grp の対象の族とする。
(G_i)_I の自由積は Grp における余積(>>35)である。
自由積の定義とこの事実の証明は今は行わない。

例
Grp を群全体の圏(過去スレ017の342)とする。
Z を有理整数全体のなす加法群とする。
過去スレ018の215より Z は Grp の分離対象である。

一方、>>84より Grp は余積をもつ(>>50)。
よって、>>65より、Grp の任意の対象 G に対して小さい集合 I があり、
G が Z^(I) (>>68)の商対象となる。

定義
I をグラフ(過去スレ017の325)とし、C を圏とする。
F：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
錐(過去スレ018の838) α: X → F は
湧き出し(過去スレ018の713) (α(i)：X → F(i))_I と見なせる。
このとき α は自然な湧き出しと言う。

命題
任意の limit(過去スレ018の839)は極値的単湧き出し(過去スレ018の755)である。

証明
I をグラフ(過去スレ017の325)とし、C を圏とする。
F：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
各 i ∈ I に対して F(i) を X_i と書く。
>>86より lim F (過去スレ018の839) は湧き出しと見なせる。
L = (f_i：X → X_i)_I を lim F とする。

r：T → X、s：T → X があり Lr = Ls とする。
S = Lr とおけば、r は L により一意に決まる。
よって r = s である。
よって、L は単湧き出し(過去スレ018の715)である。

湧き出し S = (g_i：Y → X_i)_I と全射 e：X → Y があり。
L = Se とする。
即ち、各 i ∈ I に対して f_i = (g_i)e である。

u：i → j を I における任意の射とする。
F(u)：X_i → X_j であり、f_j = F(u)f_i である。
よって、(g_j)e = F(u)(g_i)e である。
e は全射であるから g_j = F(u)g_i である。
よって、S は自然な湧き出し(>>86)である。
よって、射 f：Y → X で S = Lf となるものが存在する。
L = Se = (Lf)e = L(fe)
L は単湧き出しであるから fe = 1_X である。
よって e は断面(過去スレ018の430)である。
過去スレ018の885より、e は同型である。
よって、L は極値的単湧き出しである。
証明終

くまーは学会に関係ない低脳だ
だから学会の時には
うんこスレを書くつらねる

悔しいのおｗ

くまは前々スレで無職であることを自ら語った

またホモであるこもかたった

くまーのマンコの非存在予想

マンコは存在しない

出張でアメリカに行っていた
帰ってくる飛行機に中国人が数人乗っていた
そのうるさいことったら

>>88
> 書くつらねる

>>89
> こもかたった

まあ落着け。顔が真っ赤だぞ。

くまーはどうして学会にいかないのだ？

命題
次の図式において左右の四角が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であれば
外側の四角も引き戻し四角形である。

X　 → Y　 →　Z
↓　　 ↓　　　↓
U　 → V　 →　W

証明
上の図式の各射に次のように名前を付ける。

　　f　　　g
X　 → Y　 →　Z
↓u　　↓v　　↓w
U　 → V　 →　W
　　h　　　k

l：T → Z
m：T → U
を次の図式を可換にする射の組とする。

　　　　l
T　　　→　　　Z
↓m　　　　　　↓w
U　 → V　 →　W
　　h　　　k

(続く)

>>94の続き

次の図式は引き戻し四角形であるから
n：T → Y で gn = l かつ vn = hm となるものが一意に存在する。

　　g
Y　 →　Z
↓v　　↓w
V　 →　W
　　k

即ち、次の可換図式が得られる。

　　n　　　g
T　 → Y　 →　Z
↓m　　↓v　　↓w
U　 → V　 →　W
　　h　　　k

次の図式１は引き戻し四角形であるから
p：T → X で n = fp かつ m = up となるものが一意に存在する。

　　f
X　 → Y
↓u　　↓　　図式１
U　 → V
　　h

gn = l であるから l = gfp である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

命題
次の可換図式において外側の四角と右の四角が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であれば
左の四角も引き戻し四角形である。

X　 → Y　 →　Z
↓　　 ↓　　　↓
U　 → V　 →　W

証明
上の図式の各射に次のように名前を付ける。

　　f　　　g
X　 → Y　 →　Z
↓u　　↓v　　↓w
U　 → V　 →　W
　　h　　　k

l：T → Y
m：T → U
を次の図式を可換にする射の組とする。

　　l　　　g
T　 → Y　 →　Z
↓m　　↓v　　↓w
U　 → V　 →　W
　　h　　　k

(続く)

>>96の続き

次の図式は引き戻し四角形であるから
p：T → X で gfp = gl かつ up = m となるものが一意に存在する。

　　f　　　g
X　 → Y　 →　Z
↓u　　　　　　↓w
U　 → V　 →　W
　　h　　　k

次の図式は引き戻し四角形であるから l = fp となる。

　　g
Y　 →　Z
↓v　　↓w
V　 →　W
　　k

よって、本命題の主張が得られる。
証明終

命題
T を終対象(過去スレ017の288)とする。
次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であることと
P = X×Y であることは同値である。

P　 → X
↓　　 ↓
Y　 → T

証明
自明である。

命題
次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であることと
f：X → Y が単射であることは同値である。

　　1
X　 → X
↓1　　↓f
X　 → Y
　　f

ここで 1：X → X は単位射である。

証明
自明である。

定義
C を圏とする。
C における次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとする。

　　f’
P　 → S’
↓　　 ↓
X　 → S
　　f

f：X → S は圏 C/S (過去スレ017の463)の対象と見なせる。
同様に f’：P → S’は圏 C/S’の対象と見なせる。
このとき f’：P → S’を f：X → S の S’→ S による基底変換(base change)と呼ぶ。
f’：P → S’は f：X → S の S’→ S による引き戻し(pullback)とも言う。

定義
C を圏とする。
M を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
M-射(過去スレ017の645)の任意の引き戻し(>>100)が M-射であるとき
M を引き戻しに関して安定(pullback stable)である、または
引き戻しに関して閉じている(closed under the formation of pullbacks)と言う。

命題
単射は引き戻しに関して安定(>>101)である。

証明
次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)であり、f は単射であるとする。

　　g
P　 → S’
↓u　 ↓v
X　 → S
　　f

r：T → P と s：T → P を gr = gs となる射とする。
vg = fu であるから fur = fus となる
f は単射であるから ur = us となる。
>>87より引き戻し四角形は単湧き出し(過去スレ018の715)であるから r = s である。
よって、g は単射である。
証明終

命題
正則単射(過去スレ018の456)は引き戻しに関して安定(>>101)である。

証明
次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)であり、f は正則単射であるとする。

　　g
P　 → S’
↓u　 ↓v
X　 → S
　　f

r：S → U と s：S → U を f = Ker(r, s) となる射とする。
g = Ker(rv, sv) を証明すればよい。

まず rvg = rfu = sfu = svg である。
p：T → S’を rvp = svp となる射とする。
f = Ker(r, s) であるから q：T → X で fq = vp となるものがある。
P は引き戻しであるから h：T → P で gh = p となるものが存在する。
>>102より g は単射であるからこのような h は一意である。
以上から g = Ker(rv, sv) である。
証明終

命題
引き込み(過去スレ018の328)は引き戻しに関して安定(>>101)である。

証明
次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)であり、f は引き込みであるとする。

　　g
P　 → S’
↓u　 ↓v
X　 → S
　　f

h：S → X で fh = 1_S となるものがある。
k = hv とおく。k：S’→ X である。
fk = fhv = v
P は引き戻しであるから r：S’→ P で
gr = 1_S’となるもがある。
よって g は引き込みである。
証明終

定義
次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとする。

　　m’
T　 → X
↓　　 ↓f
S　 → Y
　　m

m は単射であるとする。
(S, m) は Y の部分対象(過去スレ018の646)である。
>>102より m’も単射であるから (T, m’) は X の部分対象である。
このとき (T, m’) を (S, m) の f による逆像(inverse image)と呼ぶ。

定義
C を圏とする。
T = (g_i：X_i → Y)_I を C における吸い込み(>>16)とする。
T は C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
このとき lim T (過去スレ018の839)を S の多重引き戻し(multiple pullback)と言う。

これは射 f：X → Y と湧き出し S = (f_i：X → X_i)_I の対 (f, S) で
各 i ∈ I に対して f = g_if_i となるもので普遍性をもつものとして特徴付けられる。

低脳アホ　くまー

命題
T = (g_i：X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
(f, S) を T の多重引き戻し(>>106)とする。
各 g_i が単射であれば f も単射である。

証明
f：X → Y
S = (f_i：X → X_i)_I
とする。

r：U → X
s：U → X
fr = fs とする。
各 i ∈ I に対して f = g_if_i であるから
(g_if_i)r = (g_if_i)s である。
各 g_i は単射であるから (f_i)r = (f_i)s である。
>>87より、(f, S) は単湧き出しであるから r = s である。
証明終

　　　　　　　　　　　　　　物価推移
　　　　　　　　　　　７８年　　　　 ８９年　　　 ９５年　　　 　２００１　　　現在
米１０キロ　　　　 ３０００円　　 ３７４１円　　３８５０円　 　２２００円 ２８００円
マックバーガー　 １８０円　　　　１９０円　　　２１０円　　 　５９円　 １００円
牛肉100グラム　　３９８円 　　　２００円　　　１５０円　　 ８０円　 　１００円
卵１０玉　　　　　　２５０円　　　 １８０円　　　１８０円　　　１００円　 　１２０円
無調整牛乳１�g　２２０円 １８０円　　　１５０円　　　１２０円　 １４０円
建売一戸建て　　２５００万　　 ６０００万　　４８００万　 ３５００万 ２５００万円
日経平均　　　　 ６０００円　　３００００円 １８０００円 １４０００円 １０６００円
賃金推移だとこんな感じかな
零細含めた
民間平均給与　　500万　　　　700万　　　　650万　　　　500万　　　350万
政府系職員　　　 450万　　　　750万　　　　800万　　　　850万　　　750万


公務員は現在の民間平均を信じないかもしれないが民間労働者のネラーなら実体験してるからわかるよなｗ
年収350万＝平均月収29.1万　この額でさえ、ほんとにみんなこんなに稼いでるの？と感じる奴さえ増えてるだろうな。

くまーは無職だけど、生活保護で暮らしているの？

定義
(X_i, m_i)_I を Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
Y の部分対象 (X, m) は次の条件を満たすとき
(X_i, m_i)_I の交わり(intersection)と呼ぶ。

(�@) 各 i に対して m = m_if_i となる f_i：X → X_i がある。

(�A) f：T → Y を各 i に対して f = m_ig_i となる
g_i：T → X_i が存在するような射とする。
このとき、f = mg となる g：T → X がある。

>>110の補足
m は単射であるから (�A) の g は m と f により一意に決まる。

いろいろとゴタゴタ苦労して書いているが

homological algberaにしてもcategory theoryにしても

普通の数学の素養があれば誰でも証明出来るので

証明など書かないのがstandard

定義もキーポイントだけで十分

命題
(X_i, m_i)_I を Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
f：X → Y を射とする。
このとき次の条件は同値である。

(�@) (X, f) は (X_i, m_i)_I の交わりである。

(�A) 湧き出し S = (f_i：X → X_i)_I があり (f, S) は
吸い込み (m_i：X_i → Y)_I の多重引き戻し(>>106)となる。

証明
(�@) ⇒ (�A)
(X, f) を (X_i, m_i)_I の交わりとする。
>>110の(�@)より、各 i に対して f = m_if_i となる f_i：X → X_i がある。
S = (f_i：X → X_i)_I とおけば >>110の(�A) と>>111より
(f, S) は吸い込み (m_i：X_i → Y)_I の多重引き戻しである。

(�A) ⇒ (�@)
湧き出し S = (f_i：X → X_i)_I があり (f, S) は
吸い込み (m_i：X_i → Y)_I の多重引き戻しであるとする。
>>108より f は単射であるから (X, f) は Y の部分対象である。
明らかに (X, f) は (X_i, m_i)_I の交わりである。
証明終

>>112
このシリーズのすべてに当てはまりますが
（というより数学書のほとんどにあてはまるでしょうが）
各命題は演習問題でその証明は解答と
捉えてください（しかもその解答は間違っている場合が往々にしてあります）。
自分で考えずに他人の解答を先に見るかどうかは読者の自由です。
私としては先ず解答を見る前に自分で解こうと努力し、どうしても歯が立たなかったら
ちらっと解答を見る。
それから再び自分で考えるというような手順を踏むことを薦めます。

なお、命題自体が間違っている場合があるので証明に取り掛かる前に
レス番号で検索してその命題が修正されていないか確かめたほうがいいでしょう。

因みに簡単な命題でも証明を付けているのは私の勉強を兼ねているからです。
さらに付け加えると圏論は基礎的なことをおろそかにしていると
いつの間にか理解不能になるので舐めないほうがいいです。

>>112
> homological algberaにしてもcategory theoryにしても普通の数学の素養があれば誰でも証明出来る

昔、Langが代数のテキストにそんな事書いてたっけ。
60年代的思考だな。

命題
(X_i, m_i)_I を Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
(X, f) と (X’, f’) を (X_i, m_i)_I の交わり(>>110)とする。
このとき (X, f) と (X’, f’) は同型(過去スレ018の656)である。

証明
>>113より、湧き出し S = (f_i：X → X_i)_I があり (f, S) は
吸い込み (m_i：X_i → Y)_I の多重引き戻し(>>106)となる。
同様に湧き出し S’ = (g_i：X’ → X_i)_I があり (f’, S’) は
吸い込み (m_i：X_i → Y)_I の多重引き戻しとなる。

吸い込み (m_i：X_i → Y)_I を F とおく。
F は考えている圏における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
(f, S) は lim F (過去スレ018の839)であるから
Cone(F) (過去スレ018の840)の終対象(過去スレ017の288)である。

同様に (f’, S’) は Cone(F) の終対象である。

よって、(f, S) および (f’, S’) は Cone(F) の対象として同型である。
よって、同型 h：X → X’で f = f’h となるものが存在する。
よって、(X, f) と (X’, f’) は Y の部分対象として同型である。
証明終

注意
Y の部分対象の族 (X_i, m_i)_I の交わり(>>110)は
Y の部分対象の類(過去スレ017の323) {(X_i, m_i)； i ∈ I} のみに依存し、
写像 I → Sub(Y) によらない。
ここで Sub(Y) は Y の部分対象全体の類を表す。

例
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
Y を Set の対象とする。
(X_i)_I を Y の部分集合の族とする。
各 i に対して m_i：X_i → Y を包含写像とする。
(X_i, m_i)_I の交わり(>>110)は (∩X_i, m) である。
ここで、m：∩X_i → Y は包含写像である。

例
Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の342)とする。
Y を Top の対象とする。
(X_i)_I を Y の部分空間の族とする。
各 i に対して m_i：X_i → Y を包含写像とする。
(X_i, m_i)_I の交わり(>>110)は (∩X_i, m) である。
ここで、m：∩X_i → Y は包含写像である。

例
Grp を群全体の圏(過去スレ017の342)とする。
G を Grp の対象とする。
(H_i)_I を G の部分群の族とする。
各 i に対して m_i：H_i → G を包含写像とする。
(H_i, m_i)_I の交わり(>>110)は (∩H_i, m) である。
ここで、m：∩H_i → G は包含写像である。

>>115
６０年代の思考？はあ？２千年前であっても、正しいことは正しいだろｗ
おまえの腹話術にはあきれるわｗ

言い換えに過ぎないことを延々とやることに意味があるのか？

代数的整数論をやりたいなら

準備はいい加減にして

本格的にやってみてはどうか？

たとえば、整数論ではないが、永田さんのLocal Ringsなんて

単刀直入に本質に迫っているのだが、準備のナンセンスな一般化で

お茶を濁していないで、数論の深い部分をなぜやらないのか？

カテゴリーなんて、何たらの本を法として参照でいいではないか？

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>>122
永田氏のやり方は尊重します。
しかし彼のやり方が唯一の正しいやり方とは限らない。
アプローチの方法はいろいろあります。
私のアプローチは(大部分自明な)準備を十分にして本論はその自明な系と見なすことです。

>>121

幾等図星を突かれたからって、そうファビョルな、チョン。

>>114

数学をなめているのはお前だよ

くまーは学会にはいけなかった

いく理由がなかったからだ
そんなところにいったって得るものはない
第一行きかたがわからない

駅に行って学会までの切符をくださいといってみた

すごすごとかえるじぶんの惨めさに我慢ができない
だれもかれも冷たい目で見る

これじゃまるで猫みたいだ

つづくことがあるだろうか　俺さま

代数的整数論から逃げるkummer
かっこつけてる圏論か
言い訳がましい坊やだね

命題
任意の余極限(過去スレ018の847)は極値的全吸い込み(>>30)である。

証明
>>87と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
次の図式において左右の四角が押し出し四角形(過去スレ017の867)であれば
外側の四角も押し出し四角形である。

X　 → Y　 →　Z
↓　　 ↓　　　↓
U　 → V　 →　W

証明
>>94と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
次の可換図式において外側の四角と左の四角が押し出し四角形(過去スレ017の867)であれば
右の四角も押し出し四角形である。

X　 → Y　 →　Z
↓　　 ↓　　　↓
U　 → V　 →　W

証明
>>96と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
I を始対象(過去スレ017の288)とする。
次の図式が押し出し四角形(過去スレ017の867)であることと
P = X＋Y (>>35)であることは同値である。

I　 → X
↓　　 ↓
Y　 → P

証明
自明である。

命題
次の図式が押し出し四角形(過去スレ017の867)であることと
f：X → Y が全射であることは同値である。

　　f
X　 → Y
↓f　　↓1
Y　 → Y
　　1

ここで 1：Y → Y は単位射である。

証明
自明である。

定義
C を圏とする。
C における次の図式が押し出し四角形(過去スレ017の867)であるとする。

　　f
S　 → X
↓　　 ↓
S’ → P
　　f’

f：S → X は圏 (S↓C) (過去スレ017の470)の対象と見なせる。
同様に f’：S’→ P は圏 (S’↓C) の対象と見なせる。
このとき f’：S’→ P を f：S → X の S → S’による基底変換(base change)と呼ぶ。
f’：S’→ P は f：S → X の S → S’による押し出し(pushout)とも言う。

定義
C を圏とする。
M を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
M-射(過去スレ017の645)の任意の押し出し(>>135)が M-射であるとき
M を押し出しに関して安定(pushout stable)である、または
押し出しに関して閉じている(closed under the formation of pushouts)と言う。

命題
全射は押し出しに関して安定(>>136)である。

証明
>>102と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
正則全射(過去スレ018の558)は押し出しに関して安定(>>136)である。

証明
>>103と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
断面(過去スレ018の430)は押し出しに関して安定(>>136)である。

証明
>>104と双対原理(過去スレ018の159)。

定義
次の図式が押し出し四角形(過去スレ017の867)であるとする。

　　e
X　 → Q
↓f　　↓
Y　 → Q’
　　e’

e は全射であるとする。
(e, Q) は X の商対象(過去スレ018の653)である。
>>137より e’も全射であるから (e’, Q’) は Y の商対象である。
このとき (e’, Q’) を (e, Q) の f による順像(direct image)と呼ぶ。

定義
C を圏とする。
T = (g_i：Y → X_i)_I を C における湧き出し(過去スレ018の713)とする。
T は C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
このとき colim T (過去スレ018の847)を S の多重押し出し(multiple pushout)と言う。

これは射 f：Y → X と吸い込み(>>16) S = (f_i：X_i → X)_I の対 (S, f) で
各 i ∈ I に対して f = f_ig_i となるもので普遍性をもつものとして特徴付けられる。

命題
T = (g_i：Y → X_i)_I を湧き出し(過去スレ018の713)とする。
(S, f) を T の多重押し出し(>>141)とする。
各 g_i が全射であれば f も全射である。

証明
>>108と双対原理(過去スレ018の159)。

定義
(e_i, X_i)_I を Y の商対象(過去スレ018の653)の族とする。
Y の商対象 (e, X) は次の条件を満たすとき
(e_i, X_i)_I の余交わり(cointersection)と呼ぶ。

(�@) 各 i に対して e = f_ie_i となる f_i：X_i → X がある。

(�A) f：Y → T を各 i に対して f = g_ie_i となる
g_i：X_i → T が存在するような射とする。
このとき、f = ge となる g：X → T がある。

>>143の補足
e は全射であるから (�A) の g は e と f により一意に決まる。

菅直人財務相と亀井静香金融・郵政改革担当相のバトルが再燃した。２８日放送のテレビ朝日
　「サンデープロジェクト」に出演し、郵政改革法案の概要を発表する直前の連絡をめぐり
　水掛け論を展開。鳩山内閣の支持率回復につなげるどころか、閣内の不協和音を
　あらためて印象付けてしまった。

　亀井氏が今月２５日に発表した「ゆうちょ銀行」の預金限度額引き上げ方針。１０００万円から
　２０００万円への倍増を示すフリップが戦いのゴングとなった。

　亀井氏「（郵政見直しを）総理は了解されたということで、菅さんにも全部申し上げた」
　菅氏「（概要の公表まで限度額の）数字は私も知りませんでした。仕組みの問題は事前に
　　相談されていました」
　亀井氏「電話で言ったでしょ」　菅氏「数字は聞いてませんって」
　亀井氏「直嶋さん（正行経済産業相）、小沢さん（一郎民主党幹事長）、重野さん（安正社民党
　　幹事長）にも話をしましたよ。数字のない話をすると思いますか？私がイカれててもそんな
　　ことする訳ない。冗談じゃない」

　興奮気味の亀井氏は、２人の間に座る福島瑞穂消費者担当相（社民党党首）の存在を無視
　するように、菅氏の方に身を乗り出して口角泡を飛ばした。対照的に菅氏は、語気を強める
　場面はあったが、亀井氏の方を見ようともしなかった。福島氏は「社民党としては了承している」と
　亀井氏を援護。

　足並みのそろわない３閣僚のドタバタぶりばかりが目立ち過ぎて“反撃”の機会を失ったのは
　自民党の谷垣禎一総裁、公明党の山口那津男代表ら野党側。「政府の中でやってくださいよ。
　議論にならないよ！！」と内輪もめにあきれ顔だった。（抜粋）
　http://www.sponichi.co.jp/society/news/2010/03/29/01.html

・亀井氏が「首相からは全然（苦情の）電話がない。菅さんにも全部申し上げた」と発言すると、
　菅氏は「首相が言うことが首相の認識」と反論し、「私は数字は聞いてません」とかみついた。
　これに亀井氏は「申し上げたじゃないか」「あなたの耳が悪いんだよ」とむきになった。（抜粋）
　http://mainichi.jp/life/money/news/20100329k0000m010056000c.html

＞余交わり

どうせどこかのものを写しているだけなんだからｗ
全部英語で書けよｗ

自滅党は永久に自滅です。

命題
(e_i, X_i)_I を Y の商対象(過去スレ018の653)の族とする。
f：Y → X を射とする。
このとき次の条件は同値である。

(�@) (f, X) は (e_i, X_i)_I の余交わり(>>143)である。

(�A) 吸い込み S = (f_i：X_i → X)_I があり (S, f) は
湧き出し (e_i：Y → X_i)_I の多重押し出し(>>141)となる。

証明
>>113と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
(e_i, X_i)_I を Y の商対象(過去スレ018の653)の族とする。
(f, X) と (f’, X’) を (e_i, X_i)_I の余交わり(>>143)とする。
このとき (f, X) と (f’, X’) は同型(過去スレ018の667)である。

証明
>>116と双対原理(過去スレ018の159)。

注意
Y の商対象の族 (e_i, X_i)_I の余交わり(>>143)は
Y の商対象の類(過去スレ017の323) {(e_i, X_i)； i ∈ I} のみに依存し、
写像 I → Quo(Y) によらない。
ここで Quo(Y) は Y の商対象全体の類を表す。

例
Set を集合の圏とする。
X を Set-対象とする。
過去スレ018の672より、X の商対象の同値類は X 上の同値関係と見なせる。
このとき、X の同値関係の族 (R_i)_I の余交わり(>>143)は
(R_i)_I で生成される同値関係 R である。

例
Grp を群の圏とする。
G を Grp-対象とする。
過去スレ018の677より、G の商対象の同型類は G の正規部分群と見なせる。

このとき、G の正規部分群の族 (N_i)_I の余交わり(>>143)は
(N_i)_I で生成される G の正規部分群 N である。

G を群とし N をその正規部分群とする。
H = G/N とおく。
f：G → H を標準写像とする。
C = {(x, y) ∈ G×G； x ≡ y (mod N)} = {(x, y) ∈ G×G； f(x) = f(y)}
とおく。
C は G×G の部分群である。
p_i, p_2 を射影 G×G → G とし、m：C → G×G を包含写像とする。
p = (p_1)m、q = (p_2)m とおく。

次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)である。

　　p
C　 → G
↓q　　↓f
G　 → H
　　f

>>153を圏論的に解釈して次の定義が得られる。

定義
次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとき、
対 (p, q) を f の合同関係と呼ぶ。

　　p
C　 → X
↓q　　↓f
X　 → Y
　　f

定義
次ぎのような射の対 (p, q) を考える。

　　p
C　 → X
↓q
X

対 (p, q) がある射 X → Y の合同関係(>>154)となるとき
対 (p, q) を合同関係と呼ぶ。

命題
次の図式を引き戻し四角形(過去スレ017の866)とする。
即ち (p, q) が f の合同関係(>>154)であるとする。
このとき、f が正則全射(過去スレ018の558)であれば
f = Coker(p, q) (過去スレ017の850)である。

　　p
U　 → X
↓q　　↓f
X　 → Y
　　f

証明
次の図式において f = Coker(r, s) とする。

　　r
T　 → X
↓s　　↓f
X　 → Y
　　f

このとき、h：T → U で r = ph, s = qh となるものがある。

g：X → S を gp = gq となる射とする。
gr = gph = gqh = gs
よって、k：Y → S で g = kf となるものがある。
f は全射であるから k は g と f により一意に決まる。
よって f = Coker(p, q) である。
証明終

命題
次の図式を引き戻し四角形(過去スレ017の866)とする。
即ち (p, q) が f の合同関係(>>154)であるとする。
このとき、f が正則全射(過去スレ018の558)であれば
この図式は押し出し四角形(過去スレ017の867)でもある。

　　p
U　 → X
↓q　　↓f
X　 → Y
　　f

証明
次の図式は可換である。

　　1
X　 → X
↓1　　↓f
X　 → Y
　　f

ここで 1 は X の単位射である。
よって、h：X → U で ph = 1_X, qh = 1_X となるものがある。

(続く)

>>157の続き

一方、次の可換図式を考える。

　　p
U　 → X
↓q　　↓r
X　 → Z
　　s

rp = sq であるから
r = rph = sqh = s

>>156より、f = Coker(p, q) であるから
g：Y → Z で r = gf となるものがある。
f は全射であるから g は r と f により一意に決まる。
よって 本命題の主張が得られる。
証明終

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします

文部科学省は大学の女性教員を増やす為に、その経費を一定期間国が負担するという
施策を実施している。これに伴って

奈良女子大学の数学教室が女性限定の人事・公募（具体的な内容は>>2以降に掲載予定)

を行うなど 女性限定公募の動きが、数学界でも広がっている。
院生の女性割合をはるかに超える女性を、大学教員に優先採用することは、
その分だけ、実力のある男性数学者のポストを奪うことになり、
日本の数学の研究のレベルの低下を招くだろう。
文部科学省のこの愚かな施策を放置しても良いのか？ 歴史の法廷に官僚は立てるのか？
本来、男女に関わりなく、業績で評価されて、アカポスに就くべきものだ。
これを施策で捻じ曲げてしまうことを、数学界は看過するのか？
財団法人　日本数学会はこのようなことを許すのか？
女性限定公募を行う数学教室は、公平な数学者の人事について責任ととれるのか？
ここでは全ての女性限定数学者の公募を転載し、結果を報告する。
この趣旨に賛同する方々のご協力をお願い致します。

関連スレ：
【いい気に】女性数学者の困ったところ２【なるな】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1253778453/
【いい気に】女性数学者の困ったところ１【なるな】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209592716/
研究業績の少ない大学教員名を晒す2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255962937/
日本の数学者の実力とデータベース
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255578159/

定義
C を圏とする。
C において任意の差核(過去スレ017の772)が存在するとき C は差核をもつという。

定義
C を圏とする。
C において任意の差余核(過去スレ017の850)が存在するとき C は差余核をもつという。

定義
C を圏とする。
C において任意の2-吸い込み(>>16)の引き戻し(過去スレ017の866)が存在するとき
C は引き戻しをもつという。

定義
C を圏とする。
C において任意の2-湧き出し(過去スレ018の713)の押し出し(過去スレ017の867)が
存在するとき C は押し出しをもつという。

定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の部分対象の族の交わり(>>110)が存在するとき
C は交わりをもつと言う。

注意
>>165において部分対象の族の添字の定義域は類(過去スレ017の323)であり
必ずしも小さい集合とは限らない。

定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の商対象の族の余交わり(>>143)が存在するとき
C は余交わりをもつと言う。

定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の部分対象の有限個の交わり(>>110)が存在するとき
C は有限個の交わりをもつと言う。

定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の商対象の有限個の余交わり(>>143)が存在するとき
C は有限個の余交わりをもつと言う。

定義
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
Ob(I) と Hom(I) が有限集合のとき I を有限グラフと呼ぶ。

おまえのホンは定義の羅列だなｗ
定理とかたまに出てくれば
証明は自明ｗＷＷＷ

kummer ってさ､いままでも馬鹿だと思ってたけどさ､このごろとくにひどいね｡
春だからな｡

くまー
論文書いた？

低脳くまー
いつまで無意味なことを続けているんだｗ？
仕事さがせよｗ　無職なんだろｗ

くまものがたりの再開はまだ〜〜？

>>175
つまんねーし

定義
C を圏とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とし
F：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
I が有限グラフ(>>170)のとき F を有限図式という。

定義
C を圏とする。
任意の有限図式(>>177)の極限(過去スレ018の839)が存在するとき
C を有限完備(finitely complete)という。

定義
C を圏とする。
C の任意の有限図式(>>177)の余極限(過去スレ018の847)が存在するとき
C を有限余完備(finitely cocomplete)という。

定義
完備(過去スレ017の828)かつ交わりをもつ(>>165)圏は強完備(strongly complete)と呼ばれる。

定義
余完備(過去スレ017の829)かつ余交わりをもつ(>>167)圏は強余完備(strongly cocomplete)と呼ばれる。

記法
C を圏とする。
C の対象の族 (X_i)_I に対してその積(過去スレ018の858) Π(X_i)_I を
Π[i ∈ I]X_i とも書く。

同様に余積(>>35) Σ(X_i)_I を Σ[i ∈ I]X_i とも書く。

命題
積(過去スレ018の910)と差核をもつ(>>161)圏は完備(過去スレ017の828)である。

証明
I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とし
F：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
lim F を構成すればよい。

u ∈ Hom(I) に対してその定義域(source)を s(u) と書き、
値域(target)を t(u) と書いた(過去スレ017の325)。

P = Π[i ∈ Ob(I)]F(i) (>>182)とおく。
各 i ∈ Ob(I) に対して p_i：P → F(i) を射影とする。

Q = Π[u ∈ Hom(I)]F(t(u)) (>>182)とおく。
各 u ∈ Hom(I) に対して q_u：Q → F(t(u)) を射影とする。

f：P → Q を各 u ∈ Hom(I) に対して次の図式を可換にする射とする。
　　　　　f
P　　　　→　　　Q
↓p_t(u)　　　　↓q_u　　図式１
F(t(u))　→　F(t(u))
　　　1_F(t(u))

g：P → Q を各 u ∈ Hom(I) に対して次の図式を可換にする射とする。
　　　　　g
P　　　　→　　　Q
↓p_s(u)　　　　↓q_u　　図式２
F(s(u))　→　F(t(u))
　　　　F(u)

(続く)

>>183の続き

(K, m) = Ker(f, g) (過去スレ017の772)とおく。
即ち次の図式は完全(過去スレ017の774)である。
　m　　f
K → P ⇒ Q
　　　 g

湧き出し(過去スレ018の713) ((p_i)m：K → F(i))_Ob(I) が
lim F に等しいことを証明しよう。
u：i → j を I の任意の射とする。

F(u)((p_i)m)
= F(u)((p_s(u))m)　← i = s(u) より
= (q_u)gm　　　　　← 図式２の可換性より
= (q_u)fm　　　　　← m = Ker(f, g) より
= (p_t(u))m　　　　← 図式１の可換性より
= (p_j)m　　　　　← j = t(u) より

よって、((p_i)m：K → F(i))_Ob(I) は自然な湧き出し(>>86)である。
(h_i：T → F(i))_Ob(I) を自然な湧き出しとする。
h = <h_i> (過去スレ018の872) とおく。

u：i → j を I の任意の射とする。
(q_u)fh = (p_t(u))h = (p_j)h = h_j = F(u)(h_i)
(q_u)gh = F(u)((p_s(u))h) = F(u)((p_i)h) = F(u)(h_i)
よって、fh = gh

m = Ker(f, g) より、k：T → K で h = mk となるものが一意に存在する。
即ち、各 i ∈ Ob(i) に対して (p_i)mk = (p_i)h = h_i
よって、自然な湧き出し ((p_i)m：K → F(i))_Ob(I) は lim F である。
証明終

>>168の修正

定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の部分対象の有限個の交わり(>>110)が存在するとき
C は有限交わりをもつと言う。

>>176

そうだな
ないとつまんねえな

くまーは焦っていた

みんなが学会に行っているあいだに　仕事　をしておかなくては！
俺さまの大事な　仕事　を理解しないやつらは
学会なんかで時間を潰している

くまーは優越感に浸りながら
自分が無職でよかったと思った

そして妻も子供も温かい家庭も
そんなものもたなくてよかったと思った

くまーは　すっぱいぶどう　が嫌いだった

つづく

>>169の修正

定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の商対象の有限個の余交わり(>>143)が存在するとき
C は有限余交わりをもつと言う。

命題
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとする。

　　u
P　 →　X
↓v　　↓<1_X, f>
X　 → X×Y
<1_X, g>

このとき u = v であり、(P, u) = Ker(f, g) である。

証明
p：X×Y → X
q：X×Y → Y
を射影とする。

p：X×Y → X
q：X×Y → Y
を射影とする。

p1_X, f>u = (1_X)u = u
p<1_X, f>v = (1_X)v = v
である。
一方、<1_X, f>u = <1_X, f>v であるから u = v である。

fu = q<1_X, f>u = q<1_X, g>u = gu である。

(続く)

>>189の続き

h：T → X を fh = gh となる射とする。

p<1_X, f>h = h = p<1_X, g>h
q<1_X, f>h = fh = gh = q<1_X, g>h
よって、
<1_X, f>h = <1_X, g>h
よって、k：T → P で h = uk となるものが一意に存在する。
よって、(P, u) = Ker(f, g) である。
証明終

命題
有限積(過去スレ018の911)と有限交わりをもつ(>>185)圏は差核をもつ(>>161)。

証明
C を有限積と有限交わりをもつ圏とする。

f:X → Y
g:X → Y
を C における射とする。

<1_X, f>：X → X×Y
<1_X, g>：X → X×Y
を過去スレ018の872で定義した射とする。

p<1_X, f> = 1_X は単射であるから <1_X, f> も単射である。
同様に <1_X, g> も単射である。

よって、<1_X, f> と <1_X, g> の交わり (P, h) が存在する。
即ち、次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)である。

P　 →　X
↓　　　↓<1_X, f>
X　 → X×Y
<1_X, g>

>>189より P → X は f と g の差核である。
証明終

命題
積(過去スレ018の910)と有限交わりをもつ(>>185)圏は完備(過去スレ017の828)である。

証明
C を積と有限交わりをもつ圏とする。
>>191より C は差核をもつ。
よって、>>183より C は完備である。
証明終

命題
完備かつ冪良(過去スレ018の650)な圏は強完備(>>180)である。

証明
C を完備かつ冪良な圏とする。
X を C の対象とし、(X_i, m_i)_I を X の部分対象の族とする。

C は冪良であるから小さい集合 J と X の部分対象の族 (Y_j, f_j)_J があり、
X の任意の部分対象 (Y, f) に対して j ∈ J があり、
(Y, f) と (Y_j, f_j) は同型となる。

よって、各 i ∈ I に対して α(i) ∈ J があり、
(X_i, m_i) と (Y_α(i), f_α(i)) は同型である。

C は完備であり、α(I) は小さい集合であるから (Y_α(i), f_α(i))_α(I) の
多重引き戻し(>>106)が存在する。
よって>>113より、(Y_α(i), f_α(i))_α(I) の交わり (Z, g) が存在する。
(Z, g) は (X_i, m_i)_I の交わりである。
よって、C は強完備である。
証明終

例
Set を集合の圏(過去スレ017の342)とする。
Set は積を持つ。
>>118より Set は有限交わりをもつ。
よって、>>192より C は完備である。
Set は冪良であるから>>193より強完備である。

例
Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
Grp は積を持つ。
>>120より Grp は有限交わりをもつ。
よって、>>192より C は完備である。
Grp は冪良であるから>>193より強完備である。

例
Top を位相空間の圏(過去スレ017の342)とする。
Top は積を持つ。
>>119より Top は有限交わりをもつ。
よって、>>192より Top は完備である。
Top は冪良であるから>>193より強完備である。

例
C を順序集合とし圏と見なす(過去スレ017の281)。
C が完備であるためには C が完備束(過去スレ018の914)であることが必要十分である。

証明
必要性：
C が完備であるとする。
過去スレ018の916より C は完備束である。

十分性：
C が完備束であるとする。
C の元の任意の族 (x_i)_I に対して inf(x_i) は (x_i)_I の積である。
よって、C は積をもつ。
x を C の任意の元とする。
y と z を x の部分対象とする。
即ち、y ≦ x、z ≦ x とする。
inf(y, z) は y と z の交わりである。
よって、>>192より C は完備である。
証明終

命題
余積(>>50)と有限余交わりをもつ(>>188)圏は余完備(過去スレ017の829)である。

証明
>>192と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
余完備(過去スレ017の829)かつ余冪良(過去スレ018の660)な圏は強余完備(>>181)である。

証明
>>193と双対原理(過去スレ018の159)。

例
Set を集合の圏(過去スレ017の342)とする。
Set は余積を持つ(>>69)。
>>151より Set は有限余交わりをもつ。
よって、>>198より C は余完備である。
Set は余冪良であるから>>199より強余完備である。

例
Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
Grp は余積を持つ(>>84)。
>>152より Grp は有限余交わりをもつ。
よって、>>198より C は余完備である。
Grp は余冪良であるから>>199より強余完備である。

命題
余積(>>50)と差余核をもつ(>>162)圏は余完備(過去スレ017の829)である。

証明
>>183と双対原理(過去スレ018の159)。

>>200

Set が余完備であることは、過去スレ017の852より Set が差余核をもつことと、
>>202からも分かる。

例
Top を位相空間の圏(過去スレ017の342)とする。
X と Y を Top の対象とする。
f：X → Y
g：X → Y
を射とする。

S = {(f(x), g(x)) ∈ Y×Y； x ∈ X} とおく。
S で生成される Y の同値関係を R とする。
商空間 Y/R は Coker(f, g) (過去スレ017の850)である。
よって Top は差余核をもつ(>>162)。

>>187
おまえ才能ないよ

例
Top を位相空間の圏(過去スレ017の342)とする。
>>74より、Top は余積を持つ。
>>204より、Top は差余核を持つ。
よって、>>202より Top は余完備である。
Top は余冪良であるから>>199より強余完備である。

偉くない人の厳密主義は相手にされない。

くまーは本当に焦っていた

くまーものがたりはいまだにつづく
いらいらする
だから　みえみえの　なりすましで
「おまえ才能ないよ」などと書いてはみたが
いつも自分に言われていることを自分自身に言ってしまったのだ

うっかりしていたが　すぐに気を取り直して
自分自身に言い聞かせた
俺様は　ブルバキや　グロタンさまより
厳密に　数学を　再構成するのだ　
この　し　ご　と　は　誰にも邪魔されない

いつものように　自惚れ鏡に　みとれるくまーであった
誰にも邪魔されない
そして誰にも相手にされないのであった

つづく

例
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
CTop は差核を持つ(>>161)。

証明
f:X → Y
g:X → Y
を CTop における射とする。

K = {x ∈ X； f(x) = g(x)} とおく。
Y はHausdorffだから K は X の閉集合である。
よって、K はコンパクトである。
h：K → X を包含写像とすれば (K, h) = Ker(f, g) (過去スレ017の772)である。
証明終

くまーは焦っていた

くまーは他人にほめてもらいたくて焦っていた
俺様はこれだけながいあいだ　スレを　19　も
潰しながら　し　ご　と　を続けてきた
誰か誉めてくれたっていいじゃないか

猫でもいい　誉めてくれ

そして自分の修士論文のことを思い出した
手書きの日本語だ

英語で書けばよかったなあ
でも　俺様は日本人だ
だから日本語で数学をするのだ
数学用語も　き　ち　ん　と　日本語に訳すのだ
でないと日本人になりすませないじゃないか

くまーは自分がどこの国籍だか忘れかけていた

つづく

例
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
Tychonoffの定理(過去スレ009の432)よりCTop は積を持つ(>>161)。
>>209より CTop は差核を持つ(>>161)。
よって、>>183より CTop は完備である。
CTop は冪良であるから>>193より強完備である。

>>210
ワシはクンマーさんを尊敬しますナ、アンタは心底から見下すけどやね。

猫

>>212
猫に見下されて落ち込むなあ
すっごいダメージやなあ
(そういうのを反語っていうのよ)

猫に尊敬されるくまーはかわいそうやなあ

猫は自分の存在がすべてネガティブなものになっていることに
きづかないのかなあ

アホだなあ

くまーは苦笑した

猫が尊敬してくれる
いくら猫でもいい
と
いったって

本当に書いたのは俺様じゃない
ねこって馬鹿だな
でもいいやつだな
友達になりたい

そして抱き合ってなめ回してあげたい

くまーはそんな妄想に耽るのであった

つづく

圏論は誤解されやすい。
何故かというと命題の価値はその証明の難しさに比例するという誤った考えが
広まっているからである。
命題でなくてもある概念でも同じことが言える。
その概念の価値はそれを理解する難しさに比例するというわけである。
数学者でもこの考えを持っている人は多い。

この考えに対する反例はいくらでもある。
例えば圏論の応用であるホモロジー代数の個々の命題は自明なものが多い。
しかしこれを使って得られた定理にはそれなしには証明するのが非常に難しいものがある。
例えば Auslander-Buchsbaum による正則局所環が一意分解整域であるという命題がある。
彼らがホモロジー代数を使ってこれを証明するまでは伝統的な方法(Krull、永田)では
特殊な正則局所環に対してしか証明出来なかった。
また Serreによる正則局所環の局所化が正則局所環であるという定理もそうである。
ホモロジー代数を使えばこれは自然に証明されてしまう。
しかし伝統的な方法では非常に難しい。
現在でもホモロジー代数を使わない証明があるのかどうか私は知らない。

Dirichletの部屋割り論法もそうだろう。
これ自体は自明であるがこれを使って証明される整数論の命題には重要なものが多い。

逆に証明が難しくてもあまり価値のない命題というのがある。
例えば位相空間の距離付け可能性の必要十分条件を見つけるという問題があったが
その結果が後の数学に大きい影響を与えたとは思えない。
志村氏が「記憶の記憶の切繪図」という本の中で述べているが
Artin-Whaplesの定理もそうかもしれない。
これはある種の積公式の成り立つ体は代数体と有限体上の１変数代数関数体しかないというもの。
この結果が後の数学に大きい影響を与えたということはあまり聞かない。
４色問題もそうかもしれない。

「記憶の切繪図」

>>212
> >>210
> ワシはクンマーさんを尊敬しますナ、アンタは心底から見下すけどやね。

俺はKummerを尊敬はしないが、少なくとも彼の情熱に感心はするね。
>>210は他人を貶す事しか出来ない人間の屑である事に異論はないよ。
ま、>>210はホモとかチョンとか言われても反論出来ない低レベルである事は間違いないな。

>>217
jien-ha-migurushii-zo
語るに落ちるとはこのことだよ
ホモとかチョンといわれて反論できないなどと書く人間性のほうが
低劣であることだけは間違いないなあ

>>215
数学者でもない人間がなにをえらそうなことをほざくんだ

KUMMerの書いた論文見てみたい。どこで読めるの。

>>218
たしかに書き込み時間を見ると自演らしい。KUMMerさんって卑怯なんだな。がっかり。

補題
X をコンパクト空間とする。
Y を Hausdorff空間とする。
f：X → Y を連続写像とする。
このとき f は閉写像である。

証明
C を X の閉集合とする。
X はコンパクトであるから C もコンパクトである。
よって、f(C) は準コンパクト(過去スレ006の104)である。
Y はHausdorff空間であるから f(C) は Y の閉集合である。
よって、f は閉写像である。
証明終

くまーの自演はすぐにばれるなｗ

>>219 そうだよね

＞圏論は誤解されやすい。


ていうか、category theoryがどうたらということではなくて
くまがうざいし、うんこたれながすな
ということなんだがねｗ

そんなこともわからんのかなｗ

補題
X をコンパクト空間とする。
R ⊂ X×X を X 上の同値関係で R は X×X の閉集合であるとする。
f：X → X/R を標準写像とする。

このとき f は閉写像である。

証明
C を X の閉集合とする。
p：X×X → X と q：X×X → X を射影とする。

f^(-1)(f(C))
= {y； (x, y) ∈ R となる x ∈ C がある}
= q(p^(-1)(C) ∩ R)

R は閉集合だから p^(-1)(C) ∩ R は閉集合である。
>>222より q は閉写像であるから q(p^(-1)(C) ∩ R) = f^(-1)(f(C)) は閉集合である。
よって、f(C) は閉集合である。
証明終

命題
X をコンパクト空間とする。
R ⊂ X×X を X 上の同値関係で R は X×X の閉集合であるとする。
このとき商空間 X/R はコンパクト空間である。

証明
p：X → X/R を標準写像とする。
p は全射であるから X/R は準コンパクト(過去スレ006の104)である。
よって、X/R がHausdorff空間であることを証明すれば良い。

p(x) ≠ p(y) を X/R の２点とする。

p^(-1)(x) ∩ p^(-1)(y) = φ である。

p^(-1)(x) と p^(-1)(y) は X の閉集合である。
過去スレ007の664より、X は正規空間であるから
p^(-1)(x) ⊂ U、p^(-1)(y) ⊂ V、U ∩ V = φ となる
X の開集合 U, V がある。

>>226より p は閉写像である。
よって、過去スレ018の528より、p(x) ∈ W_1 となる X/R の開集合 W_1 で
p^(-1)(W_1) ⊂ U となるものがある。
同様に、p(y) ∈ W_2 となる X/R の開集合 W_2 で
p^(-1)(W_2) ⊂ V となるものがある。

p^(-1)(W_1 ∩ W_2) = p^(-1)(W_1) ∩ p^(-1)(W_2) ⊂ U ∩ V = φ であるから
p^(-1)(W_1 ∩ W_2) = φ である。
よって、W_1 ∩ W_2 = φ である。
よって、X/R はHausdorff空間である。
証明終

自演のばれたくんまーはすごすごとうんこの垂れ流しに
もどるのであった

例
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
CTop は差余核をもつ(>>162)。

証明
f：X → Y
g：X → Y
CTop における射とする。

S = {(f(x), g(x)) ∈ Y×Y； x ∈ X} とおく。
S を含む X 上の同値関係で Y×Y の閉集合となっているもの全体の共通集合を R とする。
R は同値関係であり Y×Y の閉集合ある。
>>227より Y/R はコンパクト空間である。

p：Y → Y/R を標準射とすると、pf = pg である。
(p, Y/R) = Coker(f, g) を証明しよう。

h：Y → T を CTop における射で hf = hg とする。
P = {(y_1, y_2) ∈ Y×Y； h(y_1) = h(y_2)} とおく。
P は Y 上の同値関係であり、S ⊂ P である。
q：Y → Y/P を標準写像とする。
T はHausdorff空間だから P は閉集合である。
よって、R ⊂ P である。
よって、写像 u；Y/R → Y/P で q = up となるものが存在する。
q は連続であるから u も連続である。

一方、写像 v：Y/P → T で h = vq となるものが存在する。
h は連続であるから v も連続である。
k = vu とおけば k：Y/R → T は連続であり、kp = vup = vq = h である。
p は全射であるから kp = h となる k は h により一意に決まる。
よって、(p, Y/R) = Coker(f, g) である。
証明終

うんこうんこ

どうや？　

例
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
CTop は有限余積をもつ(>>51)。

証明
空集合は CTop の始対象である。
過去スレ017の848より、CTop の任意の対象の対 (X, Y) に対して
X と Y の余積が存在することを証明すれば良い。
P を X と Y の直和位相空間とすれば P はコンパクトである。
よって、P は X と Y の余積である。
証明終

>>231への補足

CTop は無限個の対象の余積をもつことが知られている。
このことの証明は後で行う。

命題
有限積と差核をもつ(>>161)圏は有限完備(>>178)である。

証明
>>183の証明と同様にすればよい。

命題
有限積と有限交わりをもつ(>>185)圏は有限完備(>>178)である。

証明
C を有限積と有限交わりをもつ圏とする。
>>191より、C は差核をもつ。
よって、>>233より C は有限完備である。
証明終

命題
終対象と引き戻しをもつ(>>163)圏は有限完備(>>178)である。

証明
C を終対象と引き戻しをもつ圏とする。
e を C の終対象とする。
CTop の任意の対象の対 (X, Y) に対して X と Y の e 上のファイバー積(>>866)は
X と Y の積である。
よって、C は有限積を持つ。

f：X → Z
g：Y → Z
を Z の部分対象とする。

次の図式を引き戻し四角形(過去スレ017の866)とする。

P　 → X
↓ 　　↓f
Y　 → Z
　　g

P は (X, f) と (Y, g) の交わりであるから C は有限交わりをもつ(>>185)。
よって、>>234より C は有限完備(>>178)である。
証明終

いつまでクマは数学から逃げているのだろうか？

>>236
クマは仕事からも人生からも逃げているから、無理

命題
f：X → Y を断面(過去スレ018の430)かつ全射とする。
このとき、f は同型である。

証明
f：X → Y を断面かつ全射とする。
gf = 1_X となる g：Y → X がある。
fgf = f である。
f は全射であるから fg = 1_Y である。
よって f は同型である。
証明終

命題
f：X → Y を引き込み(過去スレ018の328)かつ単射とする。
このとき、f は同型である。

証明
>>238と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
f：X → Y
g：X → Y
を射とする。

f = g であるためには差核 Ker(f, g) (過去スレ017の772)が同型であることが
必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
u：T → X を Ker(f, g) とし、u は同型であるとする。
fu = gu である。
f = fuu^(-1) = guu^(-1) = g
証明終

命題
C を差核(>>161)と交わりを持つ圏(>>165)とする。
S = (f_i：X_i → X)_I を C における任意の吸い込み(>>16)とする。

このとき全吸い込み(>>19) E = (g_i：X_i → Y)_I と単射 m：Y → X があり
S = mE となる

証明
S = m_j(S_j) と分解されるような単射 m_j：Y_j → X の全体を J とする。
ここで S_j = (f_(i, j)：X_i → Y_j)_I は吸い込みである。
J は類(過去スレ017の323)である。
1_X は J に含まれるから J は空でない。
C は交わりを持つから J の交わり m：Y → X が存在する。

任意の m_j ∈ J に対して S = m_j(S_j) だから
各 i に対して f_i = (m_j)f_(i, j) である。
よって、g_i：X_i → Y で f_i = m(g_i) となるものがある。
E = (g_i：X_i → Y)_I とおけば S = mE である。
E が全吸い込みであることを示せばよい。

r：Y → T
s：Y → T
rE = sE
とする。

(K, u) = Ker(r, s) とする。
即ち次の図式が完全(過去スレ017の774)であるとする。

　u
K → Y ⇒ X

(続く)

>>241の続き

rE = sE であるから E = uE’となる吸い込み E’がある。
S = mE = muE’である。
u は単射だから mu も単射である。
よって、mu = m_j となる m_j ∈ J がある。
m は J の交わりであるから m = m_jh_j となる射 h_j がある。

muh_j = m_jh_j = m
よって、uh_j は単位射である。
即ち u は引き込み(過去スレ018の328)である。
u は単射であるから>>239より u は同型である。
よって、>>240より r = s である。
よって E は全吸い込みである。
証明終

くまーは花見をした

病院から見る桜はもの悲しい
春の憂鬱である

いつまでやっても圏論はおわらない
なぜって圏論こそは数学のすべてだからだ
俺様はもっとも崇高な数学を記述しているのだ
しかし

だれも誉めてくれない
春なのに

猫もどこかへ行ってしまった
どぶにでも落ちてのたれ死にしたのだろうか

春なのに

だれも相手にしてくれない

つづく

さっきから受験マニアのゆとりがぐだぐだとwww

受験数学なんて答えが（一つでなくても）最初から期待されている答えのある問題を解いてるだけだろ。そんなの数学じゃねーよw

数学ってのはだな、与えられた問題を解くんじゃなくて、問題を作るところから始まるものなんだぜ

わ　　　　　か　る　　　　　　か　　ゆ　　と　　　　　りw

どうしたんだ？コンプレックス自己紹介か？ｗ

こんぷも
ゆとりも
どっこい
どっこい

失業者でニートで精神病のスレぬし

命題
C を積を持つ圏(過去スレ018の910)とする。
I を集合とし J ≠ φ を I の部分集合とする。
このとき X^J から X^I (>>62)への断面(過去スレ018の430)が存在する。

証明
K = I - J とする。
K が空集合のときは本命題は自明であるから K ≠ φ と仮定する。
X^I = (X^J)×(X^K) である。

J は空でないから j_0 ∈ J がある。
p_(j_0)：X^J → X を第 j_0 成分への射影とする。

各 k ∈ K に対して q_k：X^K → X を第 k 成分への射影とする。
g：X^J → X^K を各 k ∈ K に対して (q_k)g = p_(j_0) となる射とする。
f = <1_X^J, g> (過去スレ018の872)とおく：f：X^J → (X^J)×(X^K)

π：(X^J)×(X^K) → X^J を射影とすれば
πf = 1_X^J である。
よって、f は断面である。
証明終

命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積(過去スレ018の910)および
余分離対象(過去スレ018の219) S を持つ圏とする。
E = (f_i：X_i → X)_I を C における任意の小さい(>>16)全吸い込み(>>19)とする。

このとき X は S^(Π[i∈I]Hom(X_i, S)) の部分対象(過去スレ018の646)であるか
S^φ の部分対象である。

証明
E = (f_i：X_i → X)_I は全吸い込みであるから
Hom(X, S) → Π[i∈I]Hom(X_i, S) は単射である。
よって、>>248より Hom(X, S) ≠ φ であれば
S^Hom(X, S) は S^(Π[i∈I]Hom(X_i, S)) の部分対象である。

一方、>>5より、X は S^Hom(X, S) の部分対象である。
よって、Hom(X, S) ≠ φ であれば X は S^(Π[i∈I]Hom(X_i, S)) の部分対象であり、
Hom(X, S) = φ であれば X は S^φ の部分対象である。
証明終

命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余分離対象(過去スレ018の219) S を持ち、
冪良(過去スレ018の650)かつ完備(過去スレ017の828)とする。
このとき、C は余冪良(過去スレ018の660)かつ余完備(過去スレ017の829)である。

証明
e：X → Y を C における全射とする。
>>249より、Y は S^(Hom(X, S)) の部分対象であるか、S^φ の部分対象である。
C は冪良であるから S^(Hom(X, S)) および S^φ の部分対象の同型類全体は
小さい集合である。
よって C は余冪良である。

D：I → C を小さな図式(過去スレ017の834)とする。
C は冪良であるから S^(Π[i∈I]Hom(D(i), S)) の部分対象の同型類の全体は
小さい集合である。
同様に S^φ の部分対象の同型類の全体は小さい集合である。
この両者の各同型類から代表を選びその全体を Z とする。
Z の元を頂点にもつ余錐(過去スレ018の841) S_j = (f_(i, j)：D(i) → X_j)_I 全体を
G = {S_j；j ∈ J} とする。
G は小さい集合である。

P = Π[j∈J]X_j とおき、p_j：P → X_j を射影とする。
各 i ∈ I に対して (f_(i, j)：D(i) → X_j)_J は湧き出しであるから
f_i：D(i) → P で (p_j)f_i = f_(i, j) となるものがある。
T = (f_i：D(i) → P)_I とおけば、各 j に対して S_j = (p_j)T である。

u：i → k を I における射とする。
各 j ∈ J に対して S_j は余錐であるから
(p_j)(f_k)D(u) = (p_j)(f_i) である。
よって、(f_k)D(u) = f_i である。
よって、T は余錐である。
(続く)

>>250の続き

>>241より 全吸い込み L = (g_i：D(i) → X)_I と単射 m：X → P があり
T = mL となる。
L = colim D (過去スレ018の847)であることを証明しよう。

T は余錐であり m は単射だから L も余錐である。
M = (h_i：D(i) → Y)_I を余錐とする。
>>241より 全吸い込み E と単射 n があり
M = nE となる。
>>249より、同型 h と j ∈ J があり、E = hS_j となる。
M = nhS_j = nh(p_j)T = nh(p_j)mL
よって、f = nh(p_j)m とおけば M = fL である。
L は全吸い込みであるから f は M と L により一意に決まる。
よって、L = colim D である。
証明終

例
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
>>211より CTop は完備である。
CTop は冪良(過去スレ018の650)であるから>>250より余完備である。

>>252の修正

例
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
>>8より CTop は余分離対象を持つ。
>>211より CTop は完備である。
よって、>>250より　CTop は余完備である。

命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で分離対象(過去スレ018の212) S を持ち、
余冪良(過去スレ018の660)かつ余完備(過去スレ017の829)とする。
このとき、C は冪良(過去スレ018の650)かつ完備(過去スレ017の828)である。

証明
>>250と双対原理(過去スレ018の159)。

定義
F：C → D を関手とする。
W：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(f_i：L → W(i))_Ob(I) を G の極限(過去スレ018の839)とする。

(F(f_i)：F(L) → F(W(I)))_Ob(I) が 図式 FW：I → D の極限であるとき
F は図式 G の極限を保存すると言う。
この事実を F(lim W) = lim FW とも書く。

定義
F：C → D を関手とする。
I をグラフとする。
F が I 型のすべての図式(過去スレ017の833)の極限を保存する(>>255)とき
F は I 型の極限を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
I を２個の対象 a, b と２個の射 u：a → b, v：a → b からなる
グラフ(過去スレ017の325)とする。
F が I 型の極限を保存するとき、F は差核(過去スレ017の772)を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべての小さい離散グラフ(過去スレ017の745) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は積を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべての小さいグラフ(過去スレ017の325) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は小さい極限を保存すると言う。

>>255の修正

定義
F：C → D を関手とする。
W：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(f_i：L → W(i))_Ob(I) を W の極限(過去スレ018の839)とする。

(F(f_i)：F(L) → F(W(I)))_Ob(I) が 図式 FW：I → D の極限であるとき
F は図式 W の極限を保存すると言う。
この事実を F(lim W) = lim FW とも書く。

定義
F：C → D を関手とする。
W：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(f_i：W(i) → L)_Ob(I) を W の余極限(過去スレ018の847)とする。

(F(f_i)：F(W(I)) → F(L))_Ob(I) が 図式 FW：I → D の余極限であるとき
F は図式 W の余極限を保存すると言う。
この事実を F(colim W) = colim FW とも書く。

定義
F：C → D を関手とする。
I をグラフとする。
F が I 型のすべての図式(過去スレ017の833)の余極限を保存する(>>261)とき
F は I 型の余極限を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
I を２個の対象 a, b と２個の射 u：a → b, v：a → b からなる
グラフ(過去スレ017の325)とする。
F が I 型の余極限を保存する(>>262)とき、
F は差余核(過去スレ017の850)を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべての小さい離散グラフ(過去スレ017の745) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は余積を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべての小さいグラフ(過去スレ017の325) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は小さい余極限を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
(X_i, m_i)_I を C の対象 Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
(X, m) を (X_i, m_i)_I の交わり(>>110)とする。

各 F(m_i) が単射で、(F(X), F(m)) が (F(X_i), F(m_i))_I の交わりのとき
F は (X_i, m_i)_I の交わりを保存すると言う。
F が C の任意の対象の任意の部分対象の族を保存するとき F は交わりを保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
(e_i, X_i)_I を C の対象 Y の商対象(過去スレ018の653)の族とする。
(e, X) を (e_i, X_i)_I の余交わり(>>143)とする。

各 F(e_i) が全射で、(F(e), F(X)) が (F(e_i), F(X_i))_I の余交わりのとき
F は (e_i, X_i)_I の余交わりを保存すると言う。

F が C の任意の対象の任意の商対象の族の余交わりを保存するとき
F は余交わりを保存すると言う。

夜中から朝から昼間から
なにやってんだこいつ

圏論の下痢が止まらない　・・・・・　くまー

余交わり

なんか卑猥な用語
ホモのkummerらしさがでている

＞＞２６８
そりゃあ、基地外で無職だからｗ

くまーさん、勉強になります。

定義
F：C → D を関手とする。
C における 2-吸い込み(>>16) S は C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
lim S は S の引き戻し(過去スレ017の866)である。
F が S の極限を保存する(>>260)とき、F は S の引き戻しを保存すると言う。

F が C における任意の 2-吸い込みの引き戻しを保存するとき、
F は引き戻しを保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
C における 2-湧き出し(過去スレ018の713) S は
C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
colim S は S の押し出し(過去スレ017の867)である。
F が S の余極限を保存する(>>261)とき、F は S の押し出しを保存すると言う。

F が C における任意の 2-湧き出しの押し出しを保存するとき、
F は押し出しを保存すると言う。

命題
C を完備な圏とし、F：C → D を関手とする。
F が小さい極限を保存する(>>259)するためには
F が積と差核を保存(>>258, >>257)することが必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
F が積と差核を保存するとする。
I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とし
G：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。

>>183の証明から次の図式は完全(過去スレ017の774)である。
　m　　f
K → P ⇒ Q
　　　 g

ここで、
P = Π[i ∈ Ob(I)] G(i)
Q = Π[u ∈ Hom(I)] G(t(u))
(K, m) = Ker(f, g)
である。

このとき、lim G = ((p_i)m：K → G(i))_Ob(I) である。
ここで、各 p_i：P → G(i) は射影である。

(続く)

>>275の続き

F は差核を保存するから次の図式は完全(過去スレ017の774)である。
　　　m　　　　f
F(K) → F(P) ⇒ F(Q)
　　　　　　　　g

F は積を保存するから
F(P) = Π[i ∈ Ob(I)] FG(i)
F(Q) = Π[u ∈ Hom(I)] FG(t(u))
である。

よって、>>183の証明から
lim FG = (F(p_i)F(m)：F(K) → FG(i))_Ob(I) = F(lim G) である。
よって、F は小さい極限を保存する。
証明終

命題
C を余完備(過去スレ017の829)な圏とし、F：C → D を関手とする。
F が小さい余極限を保存する(>>265)するためには
F が余積と差余核を保存(>>264, >>263)することが必要十分である。

証明
>>275と双対原理(過去スレ018の159)。

例
Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の342)とする。
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。

関手 U：Top → Set を次のように定義する（U は忘却関手と呼ばれる）。
X ∈ Ob(Top) に対して U(X) ∈ Ob(Set) を X を集合とみたものとする。
ｆ: X → Y を Top における射としたとき U(f)：U(X) → U(Y) を
集合間の写像としての f とする。

U は積と差核を保存するから>>275より小さい極限を保存する。
同様に U は余積と差余核を保存するから>>277より小さい余極限を保存する。

例
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。

関手 U：CTop → Set を次のように定義する（U は忘却関手と呼ばれる）。
X ∈ Ob(CTop) に対して U(X) ∈ Ob(Set) を X を集合とみたものとする。
ｆ: X → Y を CTop における射としたとき U(f)：U(X) → U(Y) を
集合間の写像としての f とする。

U は積と差核を保存するから>>275より小さい極限を保存する。
しかし、U は余積および差余核を保存しない。

例
Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。

関手 U：Grp → Set を次のように定義する（U は忘却関手と呼ばれる）。
X ∈ Ob(Grp) に対して U(X) ∈ Ob(Set) を X を集合とみたものとする。
ｆ: X → Y を Grp における射としたとき U(f)：U(X) → U(Y) を
集合間の写像としての f とする。

U は積と差核を保存するから>>275より小さい極限を保存する。
しかし、U は余積および差余核を保存しない。

例
Haus をHausdorff位相空間全体の圏とする。
Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F：Haus → Top を包含関手とする。

F は積と差核を保存するから>>275より小さい極限を保存する。
F は余積を保存するが差余核を保存しない。

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべての有限グラフ(>>170) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は有限極限を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべての有限グラフ(>>170) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は有限余極限を保存すると言う。

>>266の修正

定義
F：C → D を関手とする。
(X_i, m_i)_I を C の対象 Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
(X, m) を (X_i, m_i)_I の交わり(>>110)とする。

各 F(m_i) が単射で、(F(X), F(m)) が (F(X_i), F(m_i))_I の交わりのとき
F は (X_i, m_i)_I の交わりを保存すると言う。
F が C の任意の対象の任意の部分対象の族の交わりを保存するとき
F は交わりを保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F が C の任意の対象の任意の有限個の部分対象の族の交わりを保存(>>284)するとき
F は有限交わりを保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F が C の任意の対象の任意の有限個の商対象の族の余交わりを保存(>>267)するとき
F は有限余交わりを保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
e を C の終対象とする。
F(e) が D の終対象とする。

e’を C の終対象とすると e と e’は同型である。
よって、F(e) と F(e’) も同型である。
よって、F(e’) は終対象である。

このとき、F は終対象を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
0 を C の始対象とする。
F(0) が D の始対象とする。

0’を C の始対象とすると 0 と 0’は同型である。
よって、F(0) と F(0’) も同型である。
よって、F(0’) は始対象である。

このとき、F は始対象を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべての有限(>>170)な離散グラフ(過去スレ017の745) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は有限積を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべての有限(>>170)な離散グラフ(過去スレ017の745) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は有限余積を保存すると言う。

なにやってんだろうね、いつまでも｡

命題
C を有限完備(>>178)な圏とし、F：C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)ためには
F が有限積と差核を保存(>>289, >>257)することが必要十分である。

証明
>>275の証明と同様である。

命題
C を有限完備(>>178)な圏とし、F：C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)ためには
F が有限積と有限交わりを保存(>>289, >>285)することが必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
F が有限積と有限交わりを保存するとする。
>>191より F は差核を保存する(>>>>257)。
よって、>>292より F は有限極限を保存する。
証明終

有限極限を保存する関手が有限交わりを保存するとは限らないので、
>>293は間違いである。

命題
C を有限完備(>>178)な圏とし、F：C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)ためには
F が終対象と引き戻しを保存(>>287, >>273)することが必要十分である。

証明
必要性：
F が有限極限を保存するとする。
空集合を添字集合とする C の対象の族の積は C の終対象である。
F は積を保存するから終対象を保存する。
引き戻しは有限極限であるから F は引き戻しを保存する。

十分性：
F が終対象と引き戻しを保存するとする。
e を C の終対象とする。
X と Y を C の対象とする。
X → e と Y → e の引き戻しは X×Y であるから F は有限積を保存する。
よって、>>191の証明より F は差核を保存する。
よって、>>292より F は有限極限を保存する。
証明終

補題
f：X → Y が単射であるためには次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)
であることが必要十分である。


　1_X
X　 → X
↓1_X　↓f
X　 → Y
　　f

証明
自明である。

命題
F：C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)なら F は単射を保存する。

証明
>>296より明らかである。

>>294
>有限極限を保存する関手が有限交わりを保存するとは限らないので、>>293は間違いである。

これは取り消します。

>>293の修正

命題
C を有限完備(>>178)な圏とし、F：C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)ためには
F が有限積と有限交わりを保存(>>289, >>285)することが必要十分である。

証明
必要性：
F が有限極限を保存するとする。
F は当然、有限積を保存する。
>>297より F は単射を保存する。
よって、>>113より F は有限交わりを保存する。

十分性：
F が有限積と有限交わりを保存するとする。
>>191の証明より F は差核を保存する(>>>>257)。
よって、>>292より F は有限極限を保存する。
証明終

金玉痒い

間違いを訂正しても何の意味もない
だれも読まない

>>301
いや、ワシは読んでますがな。そやしアホな事を断言スルのは止めとけやナ。
アンタが自分の馬鹿を晒すだけやさかいナ。

猫

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべてのグラフ(過去スレ017の325) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は極限を保存すると言う。

定義
F：C → D を関手とする。
F がすべてのグラフ(過去スレ017の325) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は余極限を保存すると言う。

記法
G をグラフ(過去スレ017の325)とする。
誤解のない限り Ob(G) を G と略記する。
従って X ∈ G は X ∈ Ob(G) を意味する。

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
C の任意の対象 X に対して過去スレ017の721で定義した関手
Hom(X, -)：C → Set は極限を保存する(>>303)。

証明
G：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(h_i：L → G(i))_I を G の極限とする。
(Hom(X, h_i)：Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I が
図式 Hom(X, G)：I → D の極限であることを証明しよう。

(Hom(X, h_i)：Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I は明らかに錐(過去スレ018の838)である。
(f_i：T → Hom(X, G(i)))_I を錐とする。
各 t ∈ T に対して (f_i(t)：X → G(i))_I は錐である。
よって、f(t)：X → L で f_i(t) = h_if(t) となるものが一意に存在する。
f：T → Hom(X, L) であり、各 i に対して Hom(X, h_i)f = f_i となる。
このような f の一意性は各 t に対して f_i(t) = h_if(t) となる f(t) の
一意性からでる。
以上から (Hom(X, h_i)：Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I は lim Hom(X, G) である。
証明終

命題
表現可能な関手(過去スレ017の729)は極限を保存する(>>303)。

証明
>>306より明らかである。

例
U：Top → Set を>>278で定義した忘却関手とする。
* を一点からなる Top の対象とする。
任意の X ∈ Top (>>305) に対して Hom(*, X) は U(X) と見なせる。
即ち、U = Hom(*, -) と見なせる。
よって、>>306 より U は(必ずしも小さいとは限らない)極限を保存する。

例
U：Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
Z を有理整数全体の加法群とする。
任意の G ∈ Grp (>>305) に対して Hom(Z, G) は U(G) と見なせる。
即ち、U = Hom(Z, -) である。
よって、>>306 より U は(必ずしも小さいとは限らない)極限を保存する。

定義
F：C^o → D を関手とする。
即ち F は C から D への反変関手である。
F：C^o → D が極限を保存する(>>303)とき
F は C から D への反変関手として余極限を極限に写すという。
このとき、G：I → C を任意の図式(過去スレ017の833)とするとき、
F(colim G) = lim FG となる。

極限を余極限に写す、積を余積に写すなども同様に定義される。

>>310の修正

定義
F：C^o → D を関手とする。
即ち F は C から D への反変関手である。
F：C^o → D が極限を保存する(>>303)とき
F は余極限を極限に写すという。
このとき、G：I → C を任意の図式(過去スレ017の833)とするとき、
F(colim G) = lim FG となる。

積を余積に写す、引き戻しを押し出しに写すなども同様に定義される。

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
C の任意の対象 X に対して過去スレ017の614で定義した反変関手
Hom(-, X)：C^o → Set は余極限を極限に写す(>>311)。

証明
>>306と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
表現可能な反変関手(過去スレ017の653)は余極限を極限に写す(>>311)。

証明
>>312より明らかである。

定義
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G：I → C と
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる錐 R = (M → G(i))_I が一意に存在し、
さらに R = lim G となるとき F は I 型の極限を生成する
(F creates limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を生成するとき F は極限を生成すると言う。
F が小さい極限を生成する、有限極限を生成する、積を生成する、差核を生成するなどが
同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を生成する関手が定義される。

例
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F：I → Set を任意の小さい図式(過去スレ017の834)とする。

P = Π[i ∈ I] F(i) (>>182)とおく。
p_i：P → F(i) を射影とする。
x ∈ P と各 i ∈ I に対して p_i(x) = x_i と書く。
L = {x ∈ P；I における任意の射 u：i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
m：L → P を包含写像とする。
このとき、湧き出し ((p_i)m：L → F(i))_I は lim F である。

例
Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
F：I → Grp を任意の小さい図式(過去スレ017の834)とする。

P = Π[i ∈ I] F(i) (>>182)とおく。
p_i：P → F(i) を射影とする。
x ∈ P と各 i ∈ I に対して p_i(x) = x_i と書く。
L = {x ∈ P；I における任意の射 u：i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
L は P の部分群である。
m：L → P を包含写像とする。
このとき、湧き出し ((p_i)m：L → F(i))_I は lim F である。

例
U：Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
U は小さい極限を生成する(>>314)。

証明
>>315と>>316より明らかである。

定義
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G：I → C と
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる G の極限 (M → G(i))_I が[一意に]存在するとき
F は I 型の極限を[一意に]持ち上げる(F lifts limits [uniquely] of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を[一意に]持ち上げるとき
F は極限を[一意に]持ち上げると言う。
F が小さい極限を[一意に]持ち上げる、有限極限を[一意に]持ち上げるなどが
同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を[一意に]持ち上げる関手が定義される。

例
Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F：I → Top を任意の小さい図式(過去スレ017の834)とする。

P = Π[i ∈ I] F(i) (>>182)とおく。
p_i：P → F(i) を射影とする。
x ∈ P と各 i ∈ I に対して p_i(x) = x_i と書く。
L = {x ∈ P；I における任意の射 u：i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
L に P の部分位相を与える。
m：L → P を包含写像とする。
このとき、湧き出し ((p_i)m：L → F(i))_I は lim F である。

例
U：Top → Set を>>278で定義した忘却関手とする。
U は小さい極限を持ち上げる(>>318)。

証明
>>315と>>319より明らかである。

>>318の修正

定義
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G：I → C と
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I が[一意に]存在するとき
F は I 型の極限を[一意に]持ち上げる(F lifts limits [uniquely] of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を[一意に]持ち上げるとき
F は極限を[一意に]持ち上げると言う。
F が小さい極限を[一意に]持ち上げる、有限極限を[一意に]持ち上げるなどが
同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を[一意に]持ち上げる関手が定義される。

命題
F：C → D を関手とする。
次の条件は同値である。

(�@) F は[小さい]極限を一意に持ち上げる(>>318)。

(�A) F は準忘却関手(過去スレ018の35)であり[小さい]極限を持ち上げる(>>318)。

証明
(�@) ⇒ (�A)
f：X → Y を C における同型射とし、F(f) = 1_F(Y) とする。
1_Y：Y → Y は一個の対象からなる族 (Y) の直積である。
同様に f：X → Y は (Y) の直積である。
F(f)：F(X) → F(Y) は 1_F(Y)：F(Y) → F(Y) に等しく
これは (F(Y)) の直積である。
F は[小さい]極限を一意に持ち上げるから f = 1_Y である。

(�A) ⇒ (�@)
G：I → C を[小さい]図式(過去スレ017の834)とする。
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I と、
F(R’) = S となる G の極限 R’= (M’→ G(i))_I が存在するとする。
R = R’h となる同型 h：M → M’がある。
S = F(R) = F(R’h) = F(R’)F(h)
F(R’) = S であるから F(R’)F(h) = F(R’) である。
>>87より、F(R’) は単湧き出しであるから F(h) = 1_F(M) である。
F は準忘却関手であるから h = 1_M である。
よって、R = R’である。
よって、F は[小さい]極限を一意に持ち上げる。
証明終

例
U：Top → Set を>>278で定義した忘却関手とする。
U は小さい極限を一意に持ち上げる(>>318)。

証明
>>320より、U は小さい極限を持ち上げる(>>318)。
U は準忘却関手(過去スレ018の35)であるから>>322より小さい極限を一意に持ち上げる。

定義
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G：I → C と
錐 R = (M → G(i))_I に対して F(R) = (F(M) → FG(i))_I が FG の極限であるとき
常に R は G の極限であるとき、F は I 型の極限を反映する
(F reflects limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を反映するとき
F は極限を反映すると言う。
F が小さい極限を反映する、差核を反映するとなどが同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を反映する関手が定義される。

例
K を実数体または複素数体とする。
K-Norm を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)全体の作る圏(過去スレ017の342)とする。
K-Norm の射は連続線型写像である。
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
関手 U：K-Norm → Set を次のように定義する（U は忘却関手と呼ばれる）。
X ∈ Ob(K-Norm) に対して U(X) ∈ Ob(Set) を X を集合とみたものとする。
ｆ: X → Y を K-Norm における射としたとき U(f)：U(X) → U(Y) を
集合間の写像としての f とする。

K 上の有限次線型空間 K^n のノルム |・|_∞ と |・|_1 を次のように定義する。
x ∈ K^n に対して
|x|_∞ = sup{|x_i|; 1 ≦ i ≦ n}
|x|_1 = Σ[1 ≦ i ≦ n]|x_i|

このとき、X = (K^n, |・|_∞) と Y = (K^n, |・|_1) は K-Norm の対象である。
X の点 x に Y の点 x を対応させる写像 f は K-Norm の射として同型である。
しかし、X ≠ Y であるから f は単位射ではない。
一方、U(f) = 1_U(X) である。
よって、U は準忘却関手(過去スレ018の35)ではない。

>>302
だれも猫など相手にしない
猫が何を断言しようが関係ない
猫は死んだも同然の増田哲也なのだから

増田哲也よ
くやしかったら
数学に復帰してみろよ

>>326
いや、俺は猫さんとKummerのファンだけど。

>>328
どうせ自演だろうが
そうでないとしても
お前も人間の屑だな

猫のファンだと言った時点で死んだも同然
誰の信用も得られないアホだ

急に猫とくまーのファンが現れて助けてくれる

そんなことってあるかなあー

くまーって本当にアホだな

どう　あがいても　もがいても
くまーは泥沼から逃れられないのであった

>>328
自演乙

腐れ猫は何か言うたびにくまーの足を引っ張ることになる

愉快だなーーーーーーー

熊猫だったら貴重な生き物だけど
このタッグチームは天然記念物なみのアホコンビ

くまものがたりのつづきをよろしく

例
U：K-Norm → Set を>>325で定義した忘却関手とする。
F：I → K-Norm を任意の有限図式(>>177)とする。
(F(i)), i ∈ I の線型空間としての直積空間を P とおく。
x = (x_i) ∈ P に対して |x| = sup{|x_i|；i ∈ I} とおく。
(P, |・|) は K-Norm の対象である。
p_i：P → F(i) を射影とする。
湧き出し (p_i：P → F(i))_I は積 Π[i ∈ I] F(i) である。

x ∈ P と各 i ∈ I に対して p_i(x) = x_i と書く。
L = {x ∈ P；I における任意の射 u：i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
L は P の部分空間である。
m：L → P を包含写像とする。
このとき、湧き出し ((p_i)m：L → F(i))_I は lim F である。
よって、関手 U は有限極限を持ち上げる(>>321)。
一方、>>325より U は準忘却関手(過去スレ018の35)ではない。
よって、>>322より、U は有限極限を一意に持ち上げない。

定義
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G：I → C に対して
FG が極限をもてば G も極限をもつとき
F は I 型の極限を検出する(F detects limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を検出するとき
F は極限を検出すると言う。
F が小さい極限を検出する、差核を検出するなどが同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を検出する関手が定義される。

命題
差核を反映する(>>324)関手は忠実(過去スレ017の403)である。

証明
F：C → D を差核を反映する関手とする。
f：X → Y と g：X → Y を C における射で F(f) = F(g) とする。

F(1_X)：F(X) → F(X) は Ker(F(f), F(g)) である。
F は差核を反映するから 1_X：X → X は Ker(f, g) である。
よって、f = g である。
証明終

命題
I 型の極限を持ち上げる(>>318)関手は I 型の極限を検出(>>336)する。

証明
自明である。

くまーは酔っていた

今度こそ自演だと気づかれないようにして
自分を援助できると

猫さんが書き込んでくれたおかげだ

しかし　嗚呼　ばればれだった
猫さんとの援助交際もかなわないのか

くまーは自分の世界に酔っていたが
その世界はごく狭いものだったということに
気づかないでいた

桶に入れられたフナが頭を打つ程度の狭さだ

その証明は

自明である

つづく

定義
C を圏とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G：I → C に対して
G の極限が存在するとき C は I 型の極限を持つと言う。

定義
C を圏とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G：I → C に対して
G の余極限が存在するとき C は I 型の余極限を持つと言う。

くまーは過去スレで

無職＝失業者であること

ホモであること

を認めている

命題
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
D は I 型の極限を持ち(>>340)、
F は I 型の極限を持ち上げる(>>318)とする。

このとき、C は I 型の極限を持ち、F は I 型の極限を保存する(>>256)。

証明
G：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
D は I 型の極限を持つから FG は極限 S = (L → FG(i))_I を持つ。
F は I 型の極限を持ち上げるから
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I が存在する。
よって、C は I 型の極限を持つ。

Q = (N → G(i))_I を G の極限とする。
Q = Rh となる同型 h：N → M が存在する。
F(Q) = F(R)F(h) = SF(h)
F(h) は同型であるから F(Q) は FG の極限である。
よって、F は I 型の極限を保存する(>>256)。
証明終

命題
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
次の条件は同値である。

(�@) F は I 型の極限を生成する(>>314)。

(�A) F は I 型の極限を一意に持ち上げ(>>321) I 型の極限を反映する(>>324)。

証明
(�@) ⇒ (�A)
G：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
S = (L → FG(i))_I を FG の極限とする。
F は I 型の極限を生成するから、
F(R) = S となる錐 R = (M → G(i))_I が一意に存在し、R = lim G となる。
よって、F は I 型の極限を一意に持ち上げる。

錐 Q = (N → G(i))_I に対して F(Q) = (F(N) → FG(i))_I が FG の極限であるとする。
F は I 型の極限を生成するから、Q = lim G である。
よって、F は I 型の極限を反映する。

(�A) ⇒ (�@)
G：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
S = (L → FG(i))_I を FG の極限とする。
F は I 型の極限を一意に持ち上げるから
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I が一意に存在する。

錐 Q = (N → G(i))_I に対して F(Q) = S とする。
F は I 型の極限を反映するから Q は G の極限である。
よって、Q = R である。
よって、F は I 型の極限を生成する。
証明終

例
U：Top → Set を>>278で定義した関手とする。
R を実数体とする。
集合 R×R に離散位相を与えたものを X とする。
p_1：X → R と p_2：X → R を射影とする。
p_1 と p_2 は連続あるから S = (p_i：X → R) は
Top における湧き出し(過去スレ018の713)である。
U(S) は Set における積 R×R である。
X は離散であるから S は Top における積 R×R ではない。
よって、U は積を反映(>>324)しない。
よって、U は極限を反映(>>324)しない。

例
U：Top → Set を>>278で定義した関手とする。
>>345より、U は小さい極限を反映しない。
よって、>>344より、U は小さい極限を生成しない。

一方、>>323より、U は小さい極限を一意に持ち上げる。

定義
F：C → D を関手とする。
f：X → Y を C における射で F(f) が同型なら f も同型であるとき
F は同型を反映する(F reflects isomorphisms)という。

>>324の修正

定義
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G：I → C と
湧き出し(過去スレ018の713) R = (M → G(i))_I に対して
F(R) = (F(M) → FG(i))_I が FG の極限であるとき
R は G の極限であるとき、F は I 型の極限を反映する
(F reflects limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を反映するとき
F は極限を反映すると言う。
F が小さい極限を反映する、差核を反映するとなどが同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を反映する関手が定義される。

>>314の修正

定義
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G：I → C と
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる湧き出し(過去スレ018の713) R = (M → G(i))_I が一意に存在し、
さらに R = lim G となるとき F は I 型の極限を生成する
(F creates limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を生成するとき F は極限を生成すると言う。
F が小さい極限を生成する、有限極限を生成する、積を生成する、差核を生成するなどが
同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を生成する関手が定義される。

>>344の修正
命題
F：C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
次の条件は同値である。

(�@) F は I 型の極限を生成する(>>349)。

(�A) F は I 型の極限を一意に持ち上げ(>>321) I 型の極限を反映する(>>348)。

証明
(�@) ⇒ (�A)
G：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
S = (L → FG(i))_I を FG の極限とする。
F は I 型の極限を生成するから、
F(R) = S となる湧き出し R = (M → G(i))_I が一意に存在し、R = lim G となる。
よって、F は I 型の極限を一意に持ち上げる。
湧き出し Q = (N → G(i))_I に対して F(Q) = (F(N) → FG(i))_I が FG の極限であるとする。
F は I 型の極限を生成するから、Q = lim G である。
よって、F は I 型の極限を反映する。

(�A) ⇒ (�@)
G：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
S = (L → FG(i))_I を FG の極限とする。
F は I 型の極限を一意に持ち上げるから
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I が一意に存在する。

湧き出し Q = (N → G(i))_I に対して F(Q) = S とする。
F は I 型の極限を反映するから Q は G の極限である。
よって、Q = R である。
よって、F は I 型の極限を生成する。
証明終

命題
F：C → D を関手とする。
次の条件は同値である。

(�@) F は小さい極限を生成する(>>349)。

(�A) F は小さい極限を持ち上げ(>>321)、
忠実(過去スレ017の403)かつ準忘却(過去スレ018の35)であり同型を反映(>>347)する。

証明
(�@) ⇒ (�A)
>>350より F は小さい極限を一意に持ち上げ(>>321)、小さい極限を反映する(>>348)。
よって、>>337より F は忠実である。
さらに>>322より F は準忘却である。

f：X → Y を C における射で F(f) が同型であるとする。
過去スレ018の855より、1-湧き出し(過去スレ018の713) (F(f)：F(X) → F(Y)) は
積(過去スレ018の858)である。
F は小さい極限を反映するから 1-湧き出し (f：X → Y) は積である。
よって、過去スレ018の855より f は同型である。
よって、F は同型を反映(>>347)する。

(続く)

>>351の続き

(�A) ⇒ (�@)
F は準忘却関手であり小さい極限を持ち上げるから、
>>322より F は小さい極限を一意に持ち上げる。
>>350より、F は小さい極限を反映する(>>324)ことを証明すれば良い。

I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とし、
G：I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
湧き出し R = (M → G(i))_I に対して
F(R) = (F(M) → FG(i))_I が FG の極限であるとする。
F は忠実だから R は錐(過去スレ018の838)である。
F は小さい極限を持ち上げるから
G の極限 Q = (N → G(i))_I で F(Q) = F(R) となるものが存在する。
R は錐だから射 h：M → N で R = Qh となるものがある。
F(R) = F(Q)F(h) = F(R)F(h) である。
F(R) は極限であるから>>87より単湧き出しである。
よって、F(h) = 1_F(M) である。
F は同型を反映するから h は同型である。
F は準忘却であるから h = 1_M である。
よって、R = Q である。
よって R は G の極限である。
よって、F は小さい極限を反映する。
証明終

>>317の修正

例
U：Grp → Set を>>280で定義した関手とする。
>>315と>>319より U は小さい極限を持ち上げる(>>321)。
U は忠実(過去スレ017の403)かつ準忘却(過去スレ018の35)であり同型を反映(>>347)する。
よって、>>351より、U は小さい極限を生成する(>>349)。

これから随伴関手について述べる。
随伴関手は普遍射(過去スレ017の572)と表現可能関手(過去スレ017の729)に
密接に関係する概念であり数学のいたるところに現れる。

では多元環の表現論における随伴管主の例を教えて下さい

>>355
K を可換体とし、A を K 上の多元環とする。
A の表現を考えることは A-加群を考えることである。
A-Mod を A-加群の圏とする。
A-Mod は圏であるから図式の極限(例えば直積)が考えられる。
後で示すように図式の極限は随伴関手と見なせる。

>>342
好きなAV女優の話しかしてなかったはず

命題
C, D, E を圏とする。
F：C×D → E、G：C×D → E を関手とする。

任意の (X, M) ∈ C×D (>>305)に対して
射 ψ_(X, M)：F(X, M) → G(X, M) が存在するとする。
このとき、次の条件は同値である。

(�@) ψ は自然変換である。

(�A) C における射 f：X → Y と D における射 u：M → N に対して
次の図式が可換になる。

F(X, M) → G(X, M)
　↓　　　　　↓
F(Y, M) → G(Y, M)

F(X, M) → G(X, M)
　↓　　　　　↓
F(X, N) → G(X, N)

証明
(�@) ⇒ (�A)
自明である。

(続く)

>>358の続き

(�A) ⇒ (�@)
仮定より、C における射 f：X → Y と D における射 u：M → N に対して
次の図式の上と下の四角形が可換になる。

F(X, M) → G(X, M)
　↓　　　　　↓
F(Y, M) → G(Y, M)
　↓　　　　　↓
F(Y, N) → G(Y, N)

よって、外側の四角形が可換になる。
よって、ψ は自然変換である。
証明終

>>358の修正

命題
C, D, E を圏とする。
F：C×D → E、G：C×D → E を関手とする。

任意の (X, M) ∈ C×D (>>305)に対して
射 ψ_(X, M)：F(X, M) → G(X, M) が存在するとする。
このとき、次の条件は同値である。

(�@) ψ は自然変換である。

(�A) C における任意の射 f：X → Y と D における任意の射 u：M → N に対して
次の図式が可換になる。

F(X, M) → G(X, M)
　↓　　　　　↓
F(Y, M) → G(Y, M)

F(X, M) → G(X, M)
　↓　　　　　↓
F(X, N) → G(X, N)

証明
(�@) ⇒ (�A)
自明である。

(続く)

>>360の続き

(�A) ⇒ (�@)
仮定より、C における射 f：X → Y と D における射 u：M → N に対して
次の図式の上と下の四角形が可換になる。

F(X, M) → G(X, M)
　↓　　　　　↓
F(Y, M) → G(Y, M)
　↓　　　　　↓
F(Y, N) → G(Y, N)

よって、外側の四角形が可換になる。
よって、ψ は自然変換である。
証明終

定義
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、G：D → C を関手とする。

(X, M) ∈ C×D に対して Hom(F(X), M) を対応させることにより
関手 Hom(F(-), -)：(C^o)×D → Set が得られる。

(X, M) ∈ C×D に対して Hom(X, G(M)) を対応させることにより
関手 Hom(-, G(-))：(C^o)×D → Set が得られる。

自然同型(過去スレ018の144) ψ：Hom(F(-), -) → Hom(-, G(-)) があるとする。

このとき、F を G の左随伴関手(left adjoint to G)と呼び、
G を F の右随伴関手(right adjoint to F)と呼ぶ。

三つ組み (F, G, ψ) を随伴状況(adjoint situation)と呼ぶ。
ψ を省略して (F, G) を随伴状況とも呼ぶ。

命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、G：D → C を関手とする。
任意の (X, M) ∈ C×D (>>305)に対して
全単射 ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) が存在するとする。
このとき、次の条件は同値である。

(�@) (F, G, ψ) は随伴状況である(>>362)。

(�A) C における任意の射 f：Y → X と D における任意の射 u：M → N に対して
次の二つの図式が可換になる。

Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M))
　　　↓　　　　　　　↓
Hom(F(Y), M) → Hom(Y, G(M))

Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M))
　　　↓　　　　　　　↓
Hom(F(X), N) → Hom(X, G(N))

証明
過去スレ017の391および>>360より明らかである。

定義
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
任意の (X, M) ∈ C×D (>>305)に対して
ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) は全単射である。
f：F(X) → M と u：X → G(M) が ψ_(X, M) により対応するとき
f と u は互いの転置(transpose)であると言う。
このとき、u は f^ と書き、f は u^ と書く。

例
Ab をアーベル群全体の圏とする。
Set を集合全体の圏とする。

X ∈ Set に対して F(X) を X で生成される自由アーベル群とする。
Setにおける射 f：X → Y に対して Ab における射 F(f)：F(X) → F(Y) を
F(f)(Σa_ix_i) = Σ(a_i)f(x_i) で定義する。
ここで、各 a_i は有理整数であり、各 x_i ∈ X である。
このとき、F：Set → Ab は関手である。

関手 U：Ab → Set を次のように定義する（U は忘却関手と呼ばれる）。
M ∈ Ab に対して U(M) ∈ Set を M を集合とみたものとする。
h: M → N を Ab における射としたとき U(h)：U(M) → U(N) を
集合間の写像としての h とする。

h：F(X) → M を Ab における射とする。
h を X に制限することにより写像 h^：X → U(M) が得られる。
h に h^ を対応させる写像を ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, U(M)) とする。

f：X → U(M) を Set における射とする。
Ab における射 f^：F(X) → M を f^(Σa_ix_i) = Σ(a_i)f(x_i) で定義する。
f に f^ を対応させる写像を φ_(X, M)：Hom(X, U(M)) → Hom(F(X), M) とする。
ψ_(X, M) と φ_(X, M) は互いに逆写像である。

ψ_(X, M) が (X, M) に関して自然なことは容易にわかる。
よって、(F, U, ψ) は随伴状況である(>>362)。

例
Set を集合全体の圏とする。
X, Y, Z を Set の対象とし、f：X×Y → Z を射とする。
x ∈ X に対して f^(x)：Y → Z を f^(x)(y) = f(x, y) で定義する。
Hom(Y, Z) を Z^Y と書くことにする。
f^：X → Z^Y である。
f に f^を対応させることにより全単射 ψ：Hom(X×Y, Z) → Hom(X, Z^Y) が得られる。

Y を固定する。
関手 F：Set → Set を F(X) = X×Y により定義する。
関手 G：Set → Set を G(Z) = Z^Y により定義する。
このとき、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

例
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
A-Mod-B を A が左から作用し、B が右から作用する両側加群の圏とする。
A-Mod を左 A-加群の圏とする。
B-Mod を左 B-加群の圏とする。

X ∈ A-Mod-B
Y ∈ B-Mod
のとき、(X※Y)_B を X と Y の B 上のテンソル積とする。
(X※Y)_B ∈ A-Mod である。

X ∈ A-Mod-B
Y ∈ B-Mod
Z ∈ A-Mod
のとき全単射 ψ：Hom_A((X※Y)_B, Z) → Hom_B(Y, Hom_A(X, Z)) が存在する。

X ∈ A-Mod-B を固定する。
F：B-Mod → A-Mod を F(Y) = (X※Y)_B により定義する。
G：A-Mod → B-Mod を G(Z) = Hom_A(X, Z) により定義する。

このとき、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

例(スキーム論の基礎知識を仮定する)
LRngSp を局所環付き空間の圏とする。
CRng を可換環の圏とする。

A ∈ (CRng)^o にアフィンスキーム Spec(A) を対応させる
関手を Spec：(CRng)^o → LRngSp とする。

X ∈ LRngSp に対してその構造層 O_X の大域断面のなす環 Γ(X, O_X) を対応させる
関手を Γ：LRngSp → (CRng)^o とする。

X ∈ LRngSp と A ∈ (CRng)^o に対して
全単射 ψ：Hom(Γ(X), A) → Hom(X, Spec(A)) が存在する。

注意：この Hom(Γ(X), A) は (CRng)^o における Hom である。
これは CRng における Hom(A, Γ(X)) に等しい。

このとき、(Γ, Spec, ψ) は随伴状況(>>362)である。

例
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
A-Mod を左 A-加群の圏とする。
Set を集合全体の圏とする。
X ∈ Set に対して F(X) を X で生成される左 A-自由加群とする。
X に F(X) を対応させることにより関手 Set → A-Mod が得られる。

関手 U：A-Mod → Set を次のように定義する（U は忘却関手と呼ばれる）。
M ∈ A-Mod に対して U(M) ∈ Set を M を集合とみたものとする。
h: M → N を A-Mod における射としたとき U(h)：U(M) → U(N) を
集合間の写像としての h とする。

このとき、(F, U) は随伴状況である(>>362)。

例
C を圏 D の反射的部分圏(過去スレ018の136)とする。
R を D から C への反射関手(過去スレ018の141)とする。
F：C → D を包含関手とする。
X ∈ D, Y ∈ C のとき、全単射 ψ：Hom(R(X), Y) → Hom(X, F(Y)) が存在する。
このとき (R, F, ψ) は随伴状況(>>362)である。

例
Uform を一様空間全体の圏とする。
CUform を完備かつ分離な一様空間全体の圏とする。
F：Uform → CUform を X ∈ Uform に X の分離完備化(過去スレ006の288) X＾を
対応させる関手とする。
G：CUform → Uform を包含関手とする。

F は反射関手(過去スレ018の141)であるから、
>>370より (F, G) は随伴状況(>>362)である。

例
Grp を群全体の圏とする。
Ab をアーベル群全体の圏とする。
過去スレ018の133より、G ∈ Grp に G/[G, G] を対応させる関手 R：Grp → Ab は
Ab-反射(過去スレ018の135)である。
U：Ab → Grp を包含関手とする。

>>370より (R, U) は随伴状況(>>362)である。

例
Prord を前順序集合全体の圏とする。
Poset を順序集合全体からなる Prord の充満な部分圏とする。
過去スレ018の131より、X ∈ Prord に X/〜 を対応させる関手 R：Prord → Poset は
Poset-反射(過去スレ018の135)である。
U：Poset → Prord を包含関手とする。

>>370より (R, U) は随伴状況(>>362)である。

例
Top を位相空間全体の圏とする。
Top_0 を T_0 空間よりなる Top の充満部分圏(過去スレ017の362)とする。
過去スレ018の275より、X ∈ Top に X/〜 を対応させる関手 R：Top → Top_0 は
(Top_0)-反射(過去スレ018の135)である。
U：Top_0 → Top を包含関手とする。

>>370より (R, U) は随伴状況(>>362)である。

例
C を圏 D の余反射的部分圏(過去スレ018の147)とする。
R を D から C への余反射関手(過去スレ018の156)とする。
U：C → D を包含関手とする。
X ∈ C, Y ∈ D のとき、全単射 ψ：Hom(U(X), Y) → Hom(X, R(Y)) が存在する。
このとき (U, R, ψ) は随伴状況(>>362)である。

例
Ab をアーベル群全体の圏とする。
TorAb を捩れアーベル群全体の圏とする。
捩れアーベル群とはすべての元が有限位数であるアーベル群のことである。
Ab-対象 A に対して T(A) を A の有限位数全体のなすアーベル群とする。
過去スレ018の148より T：Ab → TorAb は余反射関手(過去スレ018の156)である。
U：C → D を包含関手とする。
>>375より (U, T) は随伴状況(>>362)である。

むなしく無内容を書き連ねているスレはここですか。

>>377
そんな事はアリマセンな。大変に内容があります。虚しく無内容なスレ
はコレ以外のスレほぼ全部ですワ。ソレが判らへんアンタはド阿呆やナ。

猫

例
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
f：A → B を環の射とする。
f により B は両側 (B, A)-加群と見なす。
A-Mod を左 A-加群の圏とする。
B-Mod を左 B-加群の圏とする。

X ∈ A-Mod のとき (B※X)_A を B と X の A 上のテンソル積とする。
Y ∈ B-Mod のとき f により Y を左 A-加群とみたものを U(Y) と書く。

X ∈ A-Mod
Y ∈ B-Mod
のとき全単射 ψ：Hom_B((B※X)_A, Y) → Hom_A(X, U(Y)) が存在する。

関手 F：A-Mod → B-Mod を F(X) = (B※X)_A により定義する。
関手 U：B-Mod → A-Mod を U(Y) により定義する。

このとき、(F, U, ψ) は随伴状況(>>362)である。

定義
M をモノイド(過去スレ017の299)とする。
K を可換環とする。
M で生成される K 上の自由加群を K[M] とする。
K[M] の２元 x, y の乗法 xy を M の乗法を線型に拡張することにより定義する。
このとき K[M] は K 上の結合的代数となる。
これを M の K 上のモノイド代数(monoid algebra)またはモノイド多元環と呼ぶ。
M が群のとき K[M] を M の K 上の群代数(group algebra)または群多元環と呼ぶ。

例
K を可換環とする。
K-Alg を K 上の単位元をもつ結合的代数の圏とする。
K-Alg における射としては単位元を単位元に移すものとする。
Mon をモノイド(過去スレ017の299)の圏とする。

A ∈ K-Alg のとき A を乗法に関するモノイドとみたものを U(A) と書く。

M ∈ Mon
A ∈ K-Alg
のとき全単射 ψ：Hom(K[M], A) → Hom(M, U(A)) が存在する。
ここで、K[M] は M の K 上のモノイド代数(>>380)である。

このとき、(K[], U, ψ) は随伴状況(>>362)である。

定義
K を可換環、 M を K-加群とする。
T^p(M) を M の K 上の p 重のテンソル積 M※．．．※M とする。
T^p(M)※T^q(M) は T^(p+q)(M) と同一視出来るから、
２重線形写像 f_(p,q): T^p(M)×T^q(M) → T^(p+q)(M) が
f_(p,q)(x, y) = x※y により得られる。
T^0(M) = K と定義して直和 T(M) = ΣT^p(M) を考える。
T(M) は f_(p,q) により成分毎の積を定義することにより、
可換とは限らない単位元をもつ結合的な K-代数となる。
これを K-加群 M 上のテンソル代数と呼ぶ。

例
K を可換環とする。
K-Alg を K 上の単位元をもつ結合的代数の圏とする。
K-Mod を K-加群の圏とする。

A ∈ K-Alg のとき A を K-加群と見たものを U(A) と書く。
M ∈ K-Mod のとき T(M) を M 上のテンソル代数(>>382)とする。

M ∈ K-Mod
A ∈ K-Alg
のとき全単射 ψ：Hom(T(M), A) → Hom(M, U(A)) が存在する。

このとき、(T(), U, ψ) は随伴状況(>>362)である。

定義
K を可換環、 M を K-加群とする。
T(M) を M 上のテンソル代数(>>382)とする。
{xy - yx； x ∈ M, y ∈ M} で生成される T(M) の両側イデアルを I とする。
S(M) = T(M)/I を M 上の対称代数(symmetric algebra)と呼ぶ。
S(M) は K 上の単位元を持つ結合的な可換代数である。

例
K を可換環とする。
K-CAlg を K 上の単位元をもつ結合的な可換代数の圏とする。
K-Mod を K-加群の圏とする。

A ∈ K-CAlg のとき A を K-加群と見たものを U(A) と書く。
M ∈ K-Mod のとき S(M) を M 上の対称代数(>>384)とする。

M ∈ K-Mod
A ∈ K-CAlg
のとき全単射 ψ：Hom(S(M), A) → Hom(M, U(A)) が存在する。

このとき、(S(), U, ψ) は随伴状況(>>362)である。

定義
K を可換環、 M を K-加群とする。
T(M) を M 上のテンソル代数(>>382)とする。
{x^2； x ∈ M} で生成される T(M) の両側イデアルを J とする。
E(M) = T(M)/J を M 上の外積代数(exterior algebra)と呼ぶ。
E(M) は K 上の単位元を持つ結合的な代数である。

猫が空しく応援するスレはここですか。
当然無内容ですが。

例
CRng を可換環のなす圏とする。
Z を有理整数環とする。
Z[x] を Z 上の１変数多項式環とする。
Z[x] 上の(単位元をもち結合的な)可換代数全体の圏を CRng_* と書く。
CRng_* = (Z[x]↓CRng) (過去スレ017の470) である。
CRng_* の対象は可換環 A とその元 a の組 (A, a) であり、
(A, a) から (B. b) への射は f：A → B で f(a) = b となるものである。

A ∈ CRng に (A[x], x) ∈ CRng_* を対応させる関手を F とする。
ここで、A[x] は A 上の１変数多項式環である。
(A, a) ∈ CRng_* に A ∈ CRng を対応させる関手を U とする。

このとき、(F, U) は随伴状況(>>362)である。

例
I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とする。
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で、I 型の極限を持つ(>>340)とする。
Diag(I, C) を I 型の図式(過去スレ017の833)のなす圏とする。
Δ： C → Diag(I, C) を対角関手(過去スレ018の837)とする。
F ∈ Diag(I, C) のとき lim F (過去スレ018の839)は
Cone(F) (過去スレ018の840)の終対象である。
lim F = (X → F(i))_I のとき記号の乱用だが X を lim F で表すことにする。
このとき関手 lim：Diag(I, C) → C が得られる。

X ∈ C、F ∈ Diag(I, C) のとき、
標準的な全単射 ψ：Hom(Δ(X), F) → Hom(X, lim(F)) がある。

このとき (Δ, lim, ψ) は随伴状況(>>362)である。

>>Kummer
おまえ，一体何年数学勉強してんだよ？
さっさと老人ホームいって世界最高レベルのいじめを受けて猛省してこい！

例
I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とする。
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で、I 型の極限を持つ(>>340)とする。
Diag(I, C) を I 型の図式(過去スレ017の833)のなす圏とする。
Δ： C → Diag(I, C) を対角関手(過去スレ018の837)とする。
F ∈ Diag(I, C) のとき colim F (過去スレ018の847)は
Cocone(F) (過去スレ018の843)の始対象である。
colim F = (F(i) → X)_I のとき記号の乱用だが X を colim F で表すことにする。
このとき関手 colim：Diag(I, C) → C が得られる。

X ∈ C、F ∈ Diag(I, C) のとき、
標準的な全単射 φ：Hom(colim(F), X) → Hom(F, Δ(X)) がある。

このとき (colim, Δ, φ) は随伴状況(>>362)である。

>>390
オマエな、ワシにも何かメッセージをよこせや
ちゃんと読むだけは読んだるさかいナ。

猫

例
>>391において I = {1, 2} を離散グラフ(過去スレ017の745)とする。
この場合、Diag(I, C) = C×C である。

X ∈ C, (Y, Z) ∈ C×C のとき
標準的な全単射 ψ：Hom(Δ(X), (Y, Z)) → Hom(X, Y×Z) がある。

このとき (Δ, ×, ψ) は随伴状況(>>362)である。

>>393の修正

例
>>389において I = {1, 2} を離散グラフ(過去スレ017の745)とする。
この場合、Diag(I, C) = C×C である。

X ∈ C, (Y, Z) ∈ C×C のとき
標準的な全単射 ψ：Hom(Δ(X), (Y, Z)) → Hom(X, Y×Z) がある。

このとき (Δ, ×, ψ) は随伴状況(>>362)である。

例
>>391において I = {1, 2} を離散グラフ(過去スレ017の745)とする。
この場合、Diag(I, C) = C×C である。

X ∈ C, (Y, Z) ∈ C×C のとき
標準的な全単射 φ：Hom(Y＋Z, X)) → Hom((Y, Z), Δ(X)) がある。

このとき (＋, Δ, φ) は随伴状況(>>362)である。

例
>>389において I を ・ ⇒ ・ の形のグラフとする。
ここで ⇒ は２本の射を表す。
F ∈ Diag(I, C) は C における２本の射 f, g：X ⇒ Y である。
このとき、lim F = Ker(f, g) である。

よって、(Δ, Ker) は随伴状況(>>362)である。

例
>>391において I を ・ ⇒ ・ の形のグラフとする。
ここで ⇒ は２本の射を表す。
F ∈ Diag(I, C) は C における２本の射 f, g：X ⇒ Y である。
このとき、colim F = Coker(f, g) (過去スレ017の850)である。

よって、(Coker, Δ) は随伴状況(>>362)である。

例
>>389において I を次の形のグラフとする。

　　　　・
　　　　↓
・　→　・

F ∈ Diag(I, C) のとき lim F は F の引き戻し(過去スレ017の866)である。
lim F を pullback(F) と書く。

このとき、(Δ, pullback) は随伴状況(>>362)である。

例
>>391において I を次の形のグラフとする。

・　→　・
↓
・

F ∈ Diag(I, C) のとき colim F は F の押し出し(過去スレ017の867)である。
colim F を pushout(F) と書く。

このとき、(pushout, Δ) は随伴状況(>>362)である。

猫はこのような無内容な数学をやっているうちに
あたまが無内容になってしまった
それが数学だと勘違いして

フランスかぶれのバカネコ
内容でなく形式にかぶれるバカネコ

もてるフランス人になったつもりでいたら
痴漢になってしまった

あげくのはてににちゃんにいりびたり
無意味な生活をつづけることに

いやいや前の生活より有意義だわ
それくらい前の生活には意味がない

意味のない猫のことばには重みもない

>ワシにも何かメッセージをよこせや

かまってもらいたくてしかたがないんだな
哀れすぎるな
そこまで落ちぶれるかな

フランス大法廷ではちちもみして無罪になった判例がある。

ねこねこでてこい
かまってやるぞ
ねこねこでてこ
かまってやる
ねこねこ
かま
ねこ

くまーは思った

俺様はみんながブログで書けというのに
にちゃんでこうもしつこくスレをつづける
それは何故なんだろう

うんこだなんだとケチつけられても平気だ
いや
むしろケチがついたほうがやる気がでてくる
快感を覚えると言った方がいいかもしれない

いやならみなけりゃいいんだ

と
言いつつも見てほしい

なんか女学生に下半身を見せたときのような快感だ

ああ　これじゃまるで痴漢じゃないか

ああ　そうか　だから　俺様は猫さんと気が合うんだ

深く納得する　くまー　で　あった

つ　づ　く

いやでも見て、お　ね　が　い。

現在は代数的整数論の準備だけをしています。
代数的整数論に興味ある方はこのスレは不要と判断することをお勧めします。
ただし、このスレが続く恐れがあるので、
適時チェックして無内容を削除するほうが良いでしょう。

無内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、無内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題については
原則としてなにも書きません（たとえそれが面白くっても）。

命題
F: C → D を関手とする。
D は局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
Set を集合の圏とする。
M ∈ D を固定する。
関手 Hom(M, F(-)): D → Set を H とおく。

X ∈ C とし、u ∈ H(X) = Hom(M, F(X))とする。
このとき、(X, u) が H の普遍元(過去スレ017の579)であることと、
(X, u) が M から F への普遍射(過去スレ017の572)であることは同値である。

証明
(X, u) が H の普遍元であるとは、
任意の Y ∈ C と H(Y) = Hom(M, F(Y)) の任意の元 v に対して
H(f)(u) = v となる射 f: X → Y が一意に存在することである。
これは (X, u) が M から F への普遍射であることを示している。
証明終

くまーは無職で生活保護でくらしている

Ｂなので優先的にもらえるのだ

(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
自然同型 ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) が存在する。

Set を集合の圏とする。
X ∈ D を任意に固定する。
関手 Hom(X, G(-)): D → Set を H とおく。
関手 Hom(F(X), -) と H は ψ_(X, -) により自然同型である。
即ち、H は表現可能(過去スレ017の729)である。

全単射 ψ_(X, F(X))：Hom(F(X), F(X)) → Hom(X, G(F(X))) により、
1_F(X) ∈ Hom(F(X), F(X)) が η_X ∈ Hom(X, G(F(X))) に対応するとする。
過去スレ017の729より、(F(X), η_X) は H の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、>>407より、(F(X), η_X) は X から G への普遍射(過去スレ017の572)である。
よって、任意の X ∈ D に対して X から G への普遍射が存在する。

■妄想とは、
非合理的かつ訂正不能な思いこみのこと。
妄想を持った本人にはその考えが妄想であるとは認識しない場合が多い。←←←←←
妄想の弊害: その妄想に対して否定的な現実を敵視したり、妄想を認めない他人に攻撃的になることがある。

■統合失調症とは、
妄想や幻覚などの多様な症状を示す症候群で精神疾患の一つ。

■偏執病（パラノイア）は、
精神病の一種で、体系だった妄想を抱くものを指す。
自らを特殊な人間であると信じるとか、隣人に攻撃を受けている、などといった異常な妄想に囚われるが、
強い妄想を抱いている、という点以外では人格的に常人と大して変わらない点が特徴。
症状
被害妄想 - 挫折・侮辱・拒絶などへの過剰反応、他人への根強い猜疑心（さいぎしん）。
誇大妄想 - 数を誇大に示したり、大げさな表現を好むなど。
激しい攻撃性 - 誹謗中傷など。

■ルサンチマンとは、
デンマークの思想家セーレン・キェルケゴールにより確立された哲学上の概念。
主に、ある感情を感じたり行動を起こしたりさせる状況下で生きられる人、
すなわち強者に対して、それをなしえない弱い者の憤りや怨恨、憎悪、
非難の感情をいう。この感情は自己欺瞞を含み、嫉妬や羨望から来る。
ルサンチマンの例は、敵との対比（実際の敵であることもあれば空想上の敵で
あることもある）において自己を定義しようとする様々なイデオロギーである。
このようなイデオロギーでは敵（すなわち自分が無力である原因または無力で
あると感じる原因）が悪の元凶扱いされ、反対に、道徳的に優れているのは自分
だとされる。彼らは悪人だ、従ってわれわれは善人だ、というわけである。
あるいはまた、世界はどうしようもなく悪によって支配されている。したがって
われわれのほうが世界より優れている、ともなる。

命題
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η_X ∈ Hom(X, G(F(X))) を>>409で定義した射とする。
η：1_C → GF は自然変換である。

証明
f：X → Y を C における射とする。
ψ：Hom(F(-), -) → Hom(-, G(-)) は自然変換であるから
次の図式の上下の四角形は可換である。

Hom(F(X), F(X))　→　Hom(X, G(F(X)))
　　　　↓　　　　　　　　　　↓
Hom(F(X), F(Y))　→　Hom(X, G(F(Y)))
　　　　↑　　　　　　　　　　↑
Hom(F(Y), F(Y))　→　Hom(Y, G(F(Y)))

この図式において、
1_F(X) の Hom(F(X), F(X)) → Hom(F(X), F(Y)) による像と
1_F(Y) の Hom(F(Y), F(Y)) → Hom(F(X), F(Y)) による像は一致する。
よって、次の図式は可換である。

　X　　　→　　　Y
　↓　　　　　　↓
G(F(X))　→　G(F(Y))

よって、η：1_C → GF は自然変換である。
証明終

猫へ
めっせーじ

このめっせーじ
よむな

定義
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
>>411の自然変換 η：1_C → GF を随伴状況 (F, G, ψ) の単位(unit)と呼ぶ。

>>412
「読んでも無意味なカキコ」だという事実を読んで理解しました。

猫

かまってもらって狂喜する猫

>>415
そうですか。では思いっきりかまってやって下さいな。
但しこのスレが焼け野が原になるのは望まないので、
何処か別のスレで戦いましょう。なのでどうぞお好きな
場所を選んでジャンプして下さいな、ご自分の墓場として。

猫

命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、G：D → C を関手とする。
自然変換 η：1_C → GF があり次の条件（＊）を満たすとする。

（＊）任意の X ∈ D に対して (F(X), η_X) は
X から G への普遍射(過去スレ017の572)である。

このとき、任意の f：X → G(M) に対して u：F(X) → M で
f = G(u)η_X となるものが一意に存在する。
即ち、f：X → G(M) = X → G(F(X)) → G(M)
よって、ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) を ψ_(X, M)(u) = G(u)η_X
で定義すれば ψ_(X, M) は全単射である。

このとき、ψ は自然変換であり、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

証明
f：X → Y を C の射とする。
η は自然変換であるから v：F(Y) → M に対して次の図式は可換である。

X → G(F(X)) → G(M) = X → G(M)
↓　　　↓　　　　↓　↓　　　↓
Y → G(F(Y)) → G(M) = Y → G(M)

即ち、ψ(v)f = G(v)ηf = G(v)G(F(f))η = G(vF(f))η = ψ(vF(f))
よって、次の図式は可換である。

Hom(F(X), M)　　 →　Hom(X, G(M))
　　　↑　　　　　　　　↑
Hom(F(Y), M)　　 →　Hom(Y, G(M))

(続く)

>>417の続き

u：M → N を D の射とする。
w：F(X) → M に対して
G(u)ψ(w) = G(u)G(w)η = G(uw)η = ψ(uw)
よって、次の図式は可換である。

Hom(F(X), M)　　 →　Hom(X, G(M))
　　　↓　　　　　　　　　　↓
Hom(F(X), N)　　 →　Hom(X, G(N))

よって、>>363より (F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。
証明終

命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G：D → C を関手とする。
任意の X ∈ C に対して X から G への普遍射(過去スレ017の572) (X＾, η_X) が
存在するとする。
各 X ∈ C に対して X＾∈ Dを選ぶ(選択公理)。
F(X) = X＾とおく。

f：X → Y を C-射とすると、(F(X), η_X) が普遍射であることより、
次の図式を可換にする D-射： F(f)：F(X)→ F(Y) が一意に存在する。

X　　　→　　Y
↓　　　　　↓
GF(X)　→　GF(Y)

このとき F：C → D は関手である。
よって、>>417より (F, G) は随伴状況(>>362)である。

証明(過去スレ018の140を参照)
各 X ∈ C に対して F(1_X) = 1_F(X) は F(1_X) の一意性から明らかである。

f：X → Y と g：Y → Z を C-射とする。
次の図式の左右の四角は可換であるから外側の四角も可換である。
よって、F(gf) の一意性より、F(gf) = F(g)F(f) である。

X　　　→　　Y　　→　　Z
↓　　　　　↓　　　　　↓
GF(X)　→　GF(Y)　→　GF(Z)
証明終

>>416
自分からのこのこ出てきて偉そうなこと言うな
誰がお前なんかかまってやるかアホ

命題
F: C → D を関手とする。
D は局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
Set を集合の圏とする。
M ∈ D を固定する。
関手 Hom(F(-), M): C^o → Set を K とおく。

X ∈ C とし、u ∈ K(X) = Hom(F(X), M)とする。
このとき、(X, u) が K の普遍元(過去スレ017の580)であることと、
(X, u) が F から M への普遍射(過去スレ017の573)であることは同値である。

証明
>>407と双対原理(過去スレ018の159)。

>>409
>X ∈ D を任意に固定する。

X ∈ C を任意に固定する。

>>409の双対

(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
自然同型 ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) が存在する。

Set を集合の圏とする。
M ∈ D を任意に固定する。
関手 Hom(F(-), M): C^o → Set を K とおく。
関手 Hom(-, G(M)) と K は ψ_(-, M) により自然同型である。
即ち、K は表現可能(過去スレ017の653)である。

全単射 ψ_(G(M), M)：Hom(F(G(M)), M) → Hom(G(M), G(M)) により、
1_G(M) ∈ Hom(G(M), G(M)) が ε_M ∈ Hom(F(G(M)), M) に対応するとする。
過去スレ017の653より、(G(M), ε_M) は K の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、>>421より、(G(M), ε_M) は F から M への普遍射(過去スレ017の573)である。
よって、任意の M ∈ D に対して F から M への普遍射が存在する。

命題
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
ε_M ∈ Hom(F(G(M)), M) を>>423で定義した射とする。
ε：FG → 1_D は自然変換である。

証明
>>411と双対原理(過去スレ018の159)。

定義
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
>>424の自然変換 ε：FG → 1_D を随伴状況 (F, G, ψ) の余単位(counit)と呼ぶ。

>>417
>（＊）任意の X ∈ D に対して (F(X), η_X) は

（＊）任意の X ∈ C に対して (F(X), η_X) は

命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、G：D → C を関手とする。
自然変換 ε：FG → 1_D があり次の条件（＊）を満たすとする。

（＊）任意の M ∈ D に対して (G(M), ε_M) は
F から M への普遍射(過去スレ017の573)である。

このとき、任意の u：F(X) → M に対して f：X → G(M) で
u = (ε_M)F(f)となるものが一意に存在する。
即ち、u：F(X) → M = F(X) → F(G(M)) → M
よって、φ_(X, M)：Hom(X, G(M)) → Hom(F(X), M) を φ_(X, M)(f) = (ε_M)F(f)
で定義すれば φ_(X, M) は全単射である。

このとき、φ は自然変換であり、(F, G, φ^(-1)) は随伴状況(>>362)である。

証明
>>417と双対原理(過去スレ018の159)。

命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D を関手とする。
任意の M ∈ D に対して F から M への普遍射(過去スレ017の572) (M＾, ε_M) が
存在するとする。
各 M ∈ D に対して M＾∈ C を選ぶ(選択公理)。
G(M) = M＾とおく。

u：M → N を D-射とすると、(G(N), ε_N) が普遍射であることより、
次の図式を可換にする C-射： G(f)：G(M)→ G(N) が一意に存在する。

FG(M)　→　FG(N)
↓　　　　　↓
M　　　→　　N

このとき G：D → C は関手である。
よって、>>427より (F, G) は随伴状況(>>362)である。

証明
>>419と双対原理(過去スレ018の159)。

このようなこといくらやってもなんにもならん
だって
くまーは数学者じゃないからな

猫は、空虚な一般論が好きなんだろ。
アホだな。計算が嫌いで碌な数学ができるわけがない。
数学的には去勢された猫だ。
それはKUMMERも同じだ。
その分、現実で痴漢するということになる。
アホアホコンビの気の合いますことよ。

命題
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η：1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
ε：FG → 1_D を (F, G, ψ) の余単位(>>425)とする。

任意の (X, M) ∈ C×D に対して
ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) は全単射である。

このとき次の公式が成り立つ。

(�@) u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u) = G(u)(η_X)

(�A) f ∈ Hom(X, G(M)) のとき ψ^(-1)(f) = (ε_M)F(f)

証明
(�@)
ψ(1_F(X)) = η_X (>>409)と次の図式が可換なことからわかる。

Hom(F(X), F(X)) → Hom(X, G(F(X)))
　　　↓　　　　　　　　↓
Hom(F(X), M)　　→ Hom(X, G(M))

(�A)
ψ^(-1)(1_G(M)) = ε_M (>>423)と次の図式が可換なことからわかる。

Hom(F(G(M)), M) ← Hom(G(M), G(M))
　　　↓　　　　　　　　↓
Hom(F(X), M)　　← Hom(X, G(M))

証明終

命題
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η：1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
ε：FG → 1_D を (F, G, ψ) の余単位(>>425)とする。
過去スレ018の118より、ηG：G → GFG が定義される。
過去スレ018の119より、Gε：GFG → G が定義される。
このとき、次の等式が成り立つ。

　ηG　　Gε　　　1_G
G → GFG → G = G → G

即ち、(Gε)(ηG) = 1_G

同様に次の等式が成り立つ。

　Fη　　εF　　　1_F
F → FGF → F = F → F

即ち、(εF)(Fη) = 1_F

証明
>>423より、任意の M ∈ D に対して ψ^(-1)(1_G(M)) = ε_M である。
よって、ψ(ε_M) = 1_G(M) である。
一方、>>431より、ψ(ε_M) = G(ε_M)(η_G(M))
よって、G(ε_M)η_G(M) = 1_G(M)
よって、(Gε)(ηG) = 1_G
>>409より、任意の X ∈ C に対して ψ(1_F(X)) = η_X である。
よって、ψ^(-1)(η_X) = 1_F(X) である。
一方、>>431より、ψ^(-1)(η_X) = (ε_F(X))F(η_X)
よって、(ε_F(X))F(η_X) = 1_F(X)
よって、(εF)(Fη) = 1_F
証明終

くまーは苦しんだ

ながいあいだの便秘だった
俺様はガウスと同じように
数学者になろうか言語学者になろうか
迷ったこともあったなあ
甘い思い出に浸るくまーだった

しかし実際は
あえて学者となのったとしても
せいぜいが
うんこがくしゃ
にすぎないのであった

つづく

くまーは猫のことを思った

猫は苦しんでいる
あがいている

たすけてやりたい

でも　どうやって？

函館に行って猫さんに会おうか
北海道は俺様の故郷だし
くまーの由来も北海道だし

でも問題は　金だ　飛行機代も　なにもない
猫さん　お金貸して

なさけないくまーだった

つづく

命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、G：D → C を関手とする。
η：1_C → GF と ε：FG → 1_D を自然変換とし、
(Gε)(ηG) = 1_G かつ (εF)(Fη) = 1_F が成り立つとする。

任意の (X, M) ∈ C×D に対して
ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) を
u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u) = G(u)(η_X) により定義する。

φ_(X, M)：Hom(X, G(M)) → Hom(F(X), M) を
f ∈ Hom(X, G(M)) のとき φ(f) = (ε_M)F(f) により定義する。

このとき φ = ψ^(-1) であり、ψ は自然同型である。
よって、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

証明
u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u)：X → GF(X) → G(M)
φ(ψ(u))：F(X) → FGF(X) → FG(M) → M

一方、ε は自然変換であるから次の図式は可換である。

F(X) → FGF(X) → FG(M)
　　　　　↓　　　↓
　　　　　F(X) → M

(εF)(Fη) = 1_F であるから、この図式の F(X) → FGF(X) → F(X) は 1_F(X) である。
よって、φ(ψ(u)) = u である。

同様に f ∈ Hom(X, G(M)) のとき ψφ(f) = f である。
よって、ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) は全単射である。
(続く)

>>435の続き

u ∈ Hom(F(X), M) のとき v：M → N に対して
G(v)G(u)(η_X) = G(vu)(η_X)

よって、次の図式は可換である。
Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M))
　　　↓　　　　　　　↓
Hom(F(X), N) → Hom(X, G(N))

u ∈ Hom(F(X), M) のとき f：Y → X に対して
ψ(u)f = G(u)(η_X)f

一方、η は自然変換であるから次の図式は可換である。

Y　　　→　　X
↓　　　　　↓
GF(Y)　→　GF(X)

よって、GF(f)(η_Y) = (η_X)f
よって、ψ(u)f = G(u)(η_X)f = G(u)GF(f)(η_Y) = G(uF(f))(η_Y) = ψ(uF(f))
よって次の図式は可換である。

Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M))
　　　↓　　　　　　　↓
Hom(F(Y), M) → Hom(Y, G(M))

以上から>>363より (F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。
証明終

命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G：D → C を関手とする。
Set を集合の圏とする。
任意の X ∈ C に対して関手 Hom(X, G(-)): D → Set が
表現可能(過去スレ017の729)であるとする。

このとき関手 F：C → D で (F, G) が随伴状況(>>362)となるものが存在する。

証明
各 X ∈ C に対して X^ ∈ D があり、
Hom(X^, -) と Hom(X, G(-)) は自然同型になる。
よって、全単射 Hom(X^, X^) → Hom(X, G(X^)) が存在する。
このとき、1_X^ ∈ Hom(X^, X^) が η_X ∈ Hom(X, G(X^)) に対応するとする。
過去スレ017の729より、(X^, η_X) は Hom(X, G(-)) の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、>>407より、(X^, η_X) は X から G への普遍射(過去スレ017の572)である。
よって、>>419より、関手 F：C → D で (F, G) が随伴状況(>>362)となるものが存在する。
証明終

定義
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η：1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
ε：FG → 1_D を (F, G, ψ) の余単位(>>425)とする。

この状況を簡潔に表すため、(F, G, ψ, η, ε) も随伴状況と呼ぶ。

うんこに血がまじってきたぞ

C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、G：D → C を関手とする。
η：1_C → GF と ε：FG → 1_D を自然変換とし、
次の条件(＊)を満たすとする。

(＊) (Gε)(ηG) = 1_G かつ (εF)(Fη) = 1_F

任意の (X, M) ∈ C×D に対して
ψ_(X, M)：Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) を
u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u) = G(u)(η_X) により定義する。
>>435より、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

逆に (F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η：1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
ε：FG → 1_D を (F, G, ψ) の余単位(>>425)とする。
>>432より、η と ε は条件(＊)を満たす。

以上から、(F, G, ψ) が随伴状況であることと、
条件 (＊) を満たす自然変換 η：1_C → GF と ε：FG → 1_D が存在することは
同値である。

よって次の定義を行う。

定義
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、G：D → C を関手とする。
η：1_C → GF と ε：FG → 1_D を自然変換とし、
次の条件(＊)を満たすとする。

(＊) (Gε)(ηG) = 1_G かつ (εF)(Fη) = 1_F

このとき、(F, G, η, ε) を随伴状況と呼ぶ。

定義
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G：D → C を関手とする。
関手 F：C → D で (F, G) が随伴状況(>>362)となるものが存在するとき
G を右随伴関手と呼ぶ。

定義
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D を関手とする。
関手 G：D → C で (F, G) が随伴状況(>>362)となるものが存在するとき
F を左随伴関手と呼ぶ。

命題
(F, G, ψ) と (F’, G, ψ’) を随伴状況(>>362)とする。
このとき、F と F’は自然同型である。

証明
η：1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
>>409より、任意の X ∈ C に対して、(F(X), η_X) は
は X から G への普遍射(過去スレ017の572)である。
同様に、η’：1_C → GF’ を (F’, G, ψ) の単位とすると、
(F’(X), η’_X) は X から G への普遍射である。

(F(X), η_X) と (F’(X), η’_X) は圏 (X↓G) (過去スレ017の571)の
始対象であるから同型である。
よって、θ_X：F(X) → F’(X) で η’_X = G(θ_X)η_X となるものが一意に存在する。

f：X → Y を C における射とする。
次の図式において、上の四角と外側の四角は可換である。

X　　　→　　Y
↓　　　　　↓
GF(X)　→ GF(Y)
↓　　　　　↓
GF’(X) → GF’(Y)

X → GF(X) は普遍射であるから次の図式は可換である。

F(X) → F’(X)
↓　　　　↓
F(Y) → F’(Y)

よって、θ：F → F’は自然同型である。
証明終

>>434
お前の書き込みだけあぼーんしたいからコテハンよろしく

>>445
ホウ、そういうカキコがアルんでっかァ！
まあ捨て置いたらよろしゅうおすやん、ワシは全然気付かへんやった
ですワ。まあ「あぼーん」っちゅうよりも続編を待ったらどうでっしゃろ？
打ち下すんは出てからでもよろしゅおすやん

猫

>>445
やだよ

荒らすなよ猫
打ち下す
ってお前なにもできたことがないじゃないかよ

大口ばかりで何もできない猫

>>448
だったらワシの事は恐れるに足らず。従ってワシは安心してカキコが出来まする。

猫

>>449
恐れてないよ
当たり前ジャン

どんどんカキコせえよ
ジャンジャンせんかい

ほらほら

もっとせんかい

函館にはなにがある？
イカが名物
でも猫は生のイカが喰えない
かわいそ

>>450
なるほどナ。ほしたらワシはドンドン・ジャンジャンするさかいナ。
尤も「もっと」っちゅうんは露骨にはせえへんのんやけんどナ。

猫

>>452
何ぐだぐだ言う豚
ちっとは数学に関係ある書き込みしてみろよ
お前の好きな中身のない数学スレなんやで

>>453
アンタは何アホな事を言うてんのや！
何をカキコしようと、ソレは「ワシの勝手」であってですナ、
アンタには無関係や　そやし馬鹿は黙っとれやナ。

猫

>>454
痛いところ突かれて慌てふためく馬鹿猫

そのような馬鹿に育ててくれた親父に感謝しろよ

>>455
猫が大学をくびになったおかげで日本の数学界はちょっと恩恵を受けた。
こんなあほでも大学にいたら数学者として通用してしまう。けれど、
今は単なる痴漢。誰からも尊重されない。大学にいたときから、あたまが
おかしくなって病人だったが、それでも表立ってそう扱うことはできなかった。
今なら虫けらのように無視しても何の問題はない。

はあ、なるほど。誰かの個人情報の漏洩という訳ですか。
とても興味深いお話しですワ。

猫

個人情報?　漏洩？
なに寝惚けトン
のうみそ　だだもれに　もれとん　ちゃう

ああそうなん。ちゃうんかいな

猫

他人の思考を盗聴する奴は地球の外にうんたらかんたら

>>460
その「他人の思考を盗聴する奴」っちゅうんは誰なんや？
ほんでその内容っちゅうんはどんな話なんやねん？

猫

命題
右随伴関手(>>442)は単湧き出し(過去スレ018の715)を保存する。

証明
G：D → C を右随伴関手とする。
(F, G) を随伴状況(>>441)とする。
η：1_C → GF を (F, G) の単位(>>413)とする。

S = (f_i：M → M_i)_I を D における単湧き出しとする。
G(S) が単湧き出しであることを証明すればよい。

f：X → G(M) と g：X → G(M) を G(S)f = G(S)g (過去スレ018の714)となる射とする。

f^：F(X) → M で G(f^)η_X = f
g^：F(X) → M で G(g^)η_X = g
となるものがそれぞれ一意に存在する。

G(Sf^)η_X = G(S)G(f^)η_X = G(S)f
G(Sg^)η_X = G(S)G(g^)η_X = G(S)g
よって、G(Sf^)η_X = G(Sg^)η_X
よって、Sf^ = Sg^
S は単湧き出しであるから f^ = g^ である。
よって、f = g である。
よって、G(S) は単湧き出しである。
証明終

>>462
>(F, G) を随伴状況(>>441)とする。

(F, G) を随伴状況(>>362)とする。

命題
右随伴関手(>>442)は極限を保存(>>303)する。

証明
G：D → C を右随伴関手とする。
(F, G) を随伴状況(>>441)とする。
η：1_C → GF を (F, G) の単位(>>413)とする。

E：I → D を図式とする。
S = (u_i：L → E_i)_I を E の極限とする。
G(S) が GE の極限であることを証明すればよい。

(f_i：X → G(E_i))_I を錐(過去スレ017の742)とする。
各 i に対して (f_i)^：F(X) → E_i で f_i = G((f_i)^)η_X となるものが
一意に存在する。
各 (f_i)^ の一意性から ((f_i)^：F(X) → E_i)_I は錐である。
よって、u：F(X) → L で各 i に対して (f_i)^ = (u_i)u となるものが一意に存在する。
各 i に対して G((f_i)^) = G(u_i)G(u) より、
G((f_i)^)η_X = G(u_i)G(u)η_X
よって、f = G(u)η_X とおけば各 i に対して f_i = G(u_i)f
>>462より f の一意性がでる。
よって、G(S) は GE の極限である。
証明終

>>464は次のように考えると分かりやすい。

L = lim E だから、任意の X ∈ C に対して
Hom(F(X), L) = lim Hom(F(X), E_i)
と見なせる。

(F, G) が随伴状況であることから
Hom(X, G(L)) = lim Hom(X, G(E_i))
と見なせる。

よって、G(L) = lim G(E_i) である。

命題
C, D, E を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D、F’：D → E
G：D → C、G’：E → D
を関手とする。
(F, G)、(F’, G’) を随伴状況(>>362)とする。

このとき、(F’F, GG’) は随伴状況である。

証明
X ∈ C、T ∈ E のとき、
Hom(F’F(X), T) ⇔ Hom(F(X), G’(T)) ⇔ Hom(X, GG’(T))
ここで、⇔ は (X, T) に関する自然同型である。

よって、(F’F, GG’) は随伴状況である。
証明終

ねうしとらうたつみうまひつじさるといぬい

補題
C と D を圏とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
D は I 型の極限を持つ(>>340)とする。

このとき D^C (過去スレ018の142)も I 型の極限を持つ。

証明
各 X ∈ C に対して関手 ε_X：D^C → C を (ε_X)(F) = F(X) により定義する。

R：I → D^C を図式(過去スレ017の833)とする。
各 X ∈ C に対して (ε_X)R：I → D は図式である。
D は I 型の極限を持つから lim (ε_X)R が存在する。
F(X) = lim (ε_X)R とおく。
F は自明に関手 F：C → D となる。
このとき、F = lim R となることが容易にわかる。
よって、D^C は I 型の極限を持つ。
証明終

補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
f：X → Y を C における射とする。
f^:Hom(Y, -) → Hom(X, -) を f から引き起こされる自然変換とする。

(�@) 各 T ∈ C に対して f^_T が単射であるためには
f が全射であることが必要十分である。

(�A) 各 T ∈ C に対して f^_T が全射であるためには
f が断面(過去スレ018の430)であることが必要十分である。

証明
(�@) は全射の定義から明らかである。

(�A)
各 T ∈ C に対して f^_T:Hom(Y, T) → Hom(X, T) が全射であるとする。
f^_X:Hom(Y, X) → Hom(X, X) が全射であるから
g：Y → X で gf = 1_X となるものがある。
よって f は断面である。

逆に f が断面であるとする。
g：Y → X で gf = 1_X となるものがある。
h：X → T に対して h = hgf
よって、(f^_T)(hg) = h である。
よって、f^_T は全射である。
証明終

命題
(F, G, ψ、η, ε) を随伴状況(>>438)とする。

G が忠実であるためには各 M ∈ D に対して ε_M が全射であることが必要十分である。

証明
任意の M, N ∈ D に対して
G：Hom(M, N) → Hom(G(M), G(N)) と
ψ^(-1)：Hom(G(M), G(N)) → Hom(FG(M), N)
の合成 ψ^(-1)G：Hom(M, N) → Hom(G(M), G(N)) → Hom(FG(M), N)
は ε_M：FG(M) → M により引き起こされる。

>>469より ψ^(-1)G が各 N に対して単射であるためには
ε_M が全射であることが必要十分である。
ψ^(-1) は全単射であるから本命題が従う。
証明終

命題
(F, G, ψ、η, ε) を随伴状況(>>438)とする。

G が充満(過去スレ017の360)であるためには
各 M ∈ D に対して ε_M が断面(過去スレ018の430)であることが必要十分である。

証明
任意の M, N ∈ D に対して
G：Hom(M, N) → Hom(G(M), G(N)) と
ψ^(-1)：Hom(G(M), G(N)) → Hom(FG(M), N)
の合成 ψ^(-1)G：Hom(M, N) → Hom(G(M), G(N)) → Hom(FG(M), N)
は ε_M：FG(M) → M により引き起こされる。

>>469より ψ^(-1)G が各 N に対して全射であるためには
ε_M が断面であることが必要十分である。
ψ^(-1) は全単射であるから本命題が従う。
証明終

命題
(F, G, ψ、η, ε) を随伴状況(>>438)とする。

G が充満忠実(過去スレ017の403)であるためには
各 M ∈ D に対して ε_M が同型であることが必要十分である。

証明
G が充満忠実なら>>470と>>471より ε_M は全射かつ断面である。
よって、>>238より ε_M は同型である。

逆にε_M が同型であるとする。
ε_M は全射かつ断面であるかから>>470と>>471より G は充満忠実である。
証明終

補題
F：C → D を関手とする。
任意の M ∈ D に対して (M↓F) (過去スレ017の571) から D への関手 P を
P(M → F(X)) = X により定義する。

このとき、F が積を保存(>>258)すれば P は積を生成(>>349)する。

証明
P は忠実(過去スレ017の403)かつ準忘却(過去スレ018の35)であり同型を反映(>>347)する。
よって、>>351より P が積を持ち上げる(>>321)ことを証明すればよい。

I を小さい集合とし (u_i：M → F(X_i))_I を (M↓F) の対象の族とする。
(f_i：X → X_i)_I を C における積とする。
F は積を保存するから (F(f_i)：F(X) → F(X_i))_I は D における積である。

よって、u：M → F(X) で、各 i に対して F(f_i)u = u_i となるものが一意に存在する。
各 i に対して f_i：u → u_i は (M↓F) における射である。
(f_i：u → u_i)_I が (M↓F) における積であることを示そう。

v：M → F(Y) とし、(g_i：v → u_i)_I を湧き出しとする。
ここで、g_i：Y → X_i であり、F(g_i)v = u_i である。
(f_i：X → X_i)_I は積であるから g：Y → X で
(f_i)g = g_i となるものが一意に存在する。

F(f_i)F(g) = F(g_i)
よって、F(f_i)F(g)v = F(g_i)v = u_i

一方、F(f_i)u = u_i であるから u の一意性より F(g)v = u
よって、g：v → u であり、(M↓F) における射として (f_i)g = g_i である。
このような g は一意であるから (f_i：u → u_i)_I は積である。
証明終

補題
F：C → D を関手とする。
任意の M ∈ D に対して (M↓F) (過去スレ017の571) から D への関手 P を
P(M → F(X)) = X により定義する。

このとき、F が差核を保存(>>257)すれば P は差核を生成(>>349)する。

証明
P は忠実(過去スレ017の403)かつ準忘却(過去スレ018の35)であり同型を反映(>>347)する。
よって、>>351より P が差核を持ち上げる(>>321)ことを証明すればよい。

u：M → F(X) と v：M → F(Y) を (M↓F) の対象とし、
f：u → v と g：u → v を (M↓F) における射とする。
ここで、f：X → Y、g：X → Y であり、F(f)u = v、F(g)u = v である。

h：K → X を f と g の差核とする。
F は差核を保存するから F(h)：F(K) → F(X) は F(f) と F(g) の差核である。
F(f)u = F(g)u であるから w：M → F(K) で F(h)w = u となるものが一意に存在する。

h：w → u が f：u → v と g：u → v の差核であることは図を描いてみれば分かる。
ここにその図を描くのは面倒なので省略する。
証明終

補題
F：C → D を関手とする。
C は完備で F は小さい極限を保存する(>>259)とする。

このとき、任意の M ∈ D に対して (M↓F) (過去スレ017の571) は完備である。

証明
>>473と>>474より (M↓F) は積と差核を持つ(過去スレ018の910と>>161)。
よって、>>183より (M↓F) は完備である。
証明終

定義
C を圏とし X, Y を C の対象とする。
S = (f_i)_I を Hom(X, Y) の元の族とする。

S は C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
このとき、lim S を S の多重差核と呼ぶ。

I = {1, 2} のとき S の多重差核は f_1 と f_2 の差核(過去スレ017の772)である。

補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で完備(過去スレ017の828)とする。
C が次の条件 (S) を満たせば、C は始対象(過去スレ017の288)を持つ。

(S) 小さい集合 I と C の対象の族 (W_i)_I があり
任意の X ∈ C に対して i ∈ I と射 f_i：W_i → X がある。

証明
C は完備だから (W_i)_I の積 (p_i：W → W_i)_I が存在する。
条件 (S) より、任意の X ∈ C に対して i ∈ I と射 f_i：W_i → X がある。
f = f_ip_i とおけば f：W → X である。
即ち Hom(W, X) は空でない。

C は局所的に小さいから Hom(W, W) は小さい集合である。
C は完備だから Hom(W, W) の多重差核(>>476) が存在する。
これを e：O → W とする。

(続く)

>>477の続き

O が始対象であることを証明しよう。
X を C の任意の対象とする。
上で示したように f：W → X がある。
よって、fe：O → X となり Hom(O, X) は空でない。
よって、f, g ∈ Hom(O, X) のとき f = g を示せばよい。

h：K → O を f と g の差核とする。

K → O ⇒ X
↑　↓
W → W

上で示したように Hom(W, K) は空でないから s：W → K がある。

ehs ∈ Hom(W, W) である。
e は Hom(W, W) の多重差核であるから ehse = (1_W)e = e である。
よって、e(hse) = e(1_O) である。
e は単射であるから hse = 1_O である。
よって、h は引き込み(過去スレ018の328)である。
h は単射であるから>>239より h は同型である。
よって、f = g である。
証明終

いろはにほへと

命題(Freydの随伴関手定理)
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G：D → C を関手とする。
D は完備で G は小さい極限を保存する(>>259)とする。

G が次の条件 (S) を満たせば、G は右随伴関手(>>442)である。

(S) 各 X ∈ C に対して、小さい集合 I と C の射の族 (f_i：X → G(M_i))_I があり
任意の射 f：X → G(M) に対して f = G(u_i)f_iとなる i ∈ I と射 u_i：M_i → M がある。

証明
>>419より、各 X ∈ C に対して普遍射 η_X：X → G(X＾) が存在することを証明すればよい。
η_X：X → G(X＾) が普遍射であることは、
これが (X↓G) (過去スレ017の571)の始対象であることと同値である。
よって、(X↓G) が始対象を持つことを証明すればよい。
よって、(X↓G) が>>477の条件を満たすことを証明すればよい。
即ち、次の (�@)、(�A)、(�B) が成り立つことを証明すればよい。

(�@) (X↓G) は局所的に小さい圏である。

(�A) (X↓G) は完備である。

(�B) (X↓G) は>>477の条件 (S) を満たす。

(�@) は D が局所的に小さい圏であることから明らかである。
(�A) は>>475から出る。
(�B) は本命題の条件から明らかである。
証明終

こレはホんトにうンこだな

>>481
糞はオマエじゃ。ほんでや、文句がアルんやったら猫スレにカキコせえや
ほしたらワシが読んだるさかいナ。

猫

>>482
関係ないこと書くなよボケ

>>482
かまってちゃん登場w

せっかくお友達になれそうだった
通りすがりのアホ君が
引き籠もってしまって
猫君ストレス溜まってきたね

以前に比べたら今はストレスなんて殆どあらへん

猫

と
強がる
かまってちゃん
でした

かまてっちゃん？

猫、おまえの書き込みを禁ずる

Kummerさんの邪魔になるだけや

くまものがたりの続きはまだ？

>>488
そういう主張がアルんやったら実力行使でもしてみいや
ココは皆が認める自由掲示板やゾ
その「自由」っちゅう意味をちゃんと考えるこっちゃナ。
ワシはアンタ等がやってる事と同じ事をしてるだけや
アンタはワシに文句が言えるかどうか、ちゃんと考えてみ

猫

476 名前：１３２人目の素数さん ：2010/04/22(木) 07:46:51
植物生理学


477 名前：１３２人目の素数さん ：2010/04/22(木) 08:29:39
親父のホンでも読んで

反省しろ＞猫

補題
U：Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
X を小さい集合とする。
このとき、|U(G)| ≦ |X| となる G の同型類全体は小さい集合である。
ここで |　｜ は濃度を表す。

証明
小さい集合 Y 上に定義される群の全体 Ω(Y) は Y^(Y×Y) の部分集合である。
よって Ω(Y) は小さい集合である。
Γ(X) = ∪{Ω(Y)； Y ⊂ X} とおく。
|U(G)| ≦ |X| となる G ∈ Grp は Γ(X) に属す群と同型になる。
よって補題の主張が得られる。
証明終

くまーは困惑していた

この圏論はどこまで続くのだろう
そして
猫は俺様の味方だと思うが
なんのために出てくるのだろう

でも
味方だから悪い奴じゃない

ちょっとアホかもしれないけど
いつも論破されているけど

ネットでは書き続けた方が勝ちなのだ
俺様と同じ原則に従っているのだ

いくら　クソ　でも

あっ　しまった　クソと認定してしまった
いいや　うんこ　より　マシ　だもん

つづく

例
U：Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
U が右随伴関手(>>442)であることを証明しよう。
U が>>480の条件を満たすことを示せばよい。
Grpは完備で U は小さい極限を保存するから U が条件 (S) を満たすことを示せばよい。

X ∈ Set とする。
>>492より |U(G)| ≦ |X| または U(G) が可算集合となるような G ∈ Grp の同型類全体は
小さい集合である。
このような同型類から代表を取り出したものを Ω(X) とする。
射 X → U(G)、G ∈ Ω(X) の全体を M(X) とする。
M(X) は小さい集合である。

任意の射 f：X → U(G)、G ∈ Grp に対して
f(X) で生成される G の部分群を H とする。
|U(H)| ≦ |X| または U(H) は可算集合であるから H と同型な H’∈ Ω(X) がある。
σ：H → H’を同型とする。
g = U(σ)f とおけば、g ∈ M(X) である。
f = U(σ^(-1))g であるから U は>>480の条件 (S) を満たす。

以上から U は左随伴関手 F を持つ。
X ∈ Set に対して F(X) を X から生成される自由群と呼ぶ。
η：1_Set → UF を (F, U) の単位(>>413)とする。
η_X：X → U(F(X)) を自由群 F(X) に対する標準射と呼ぶ。

くまーは平静さを失いかけた

猫がでてきて何を書き込むのも自由だと
主張しているからだ

俺様の庭でそんなことやめてくれんかな
ウンコを垂れ流すようなものじゃないか
だれか猫に砂場を作ってやってくれよ

そう思いながら
ふと気がついた

ウンコを垂れ流しているのは
俺様も同じだ

でも　俺様だけは例外なのだ
崇高な目的のためだからな

本を書き写すというのは難しいのだぞ　えへん

鏡に向かって威張ってみせる猫であった

つづく

例
U：Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
X を小さい集合とする。
>>494から U は左随伴関手 F を持つ。
η_X：X → U(F(X)) を標準射とする。
このとき η_X は単射であることを証明しよう。

x ≠ y を X の元とする。
G ∈ Grp を単位群でない群とする。
g を G の単位元でない元とする。
f：X → U(G) を f(x) = e、f(y) = g となる任意の写像とする。
η_X は普遍射であるから射 g：F(X) → G で f = U(g)(η_X) となるものが存在する。
よって η_X(x) ≠ η_X(y) である。
よって、η_X は単射である。

命題
D を小さい圏(過去スレ017の322)とし、C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G：D → C を関手とする。
D は完備で G は小さい極限を保存する(>>259)とする。

このとき、G は右随伴関手(>>442)である。

証明
各 X ∈ C に対して、射 f：X → G(M) の全体は小さい集合である。
よって、G は>>480の条件 (S) を満たす。
証明終

くまーは反省した

俺様は命題とその逆を混乱することがある

くまーはすぐさま反省を取り消した

いや数学者の猫さんだってそれくらいのことは日常茶飯事だ
だから俺様は完璧なのだ

くまーは強力なよりどころを見つけてほっとむねをなでおろした

つづく

>>494の修正

例
U：Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
U が右随伴関手(>>442)であることを証明しよう。
U が>>480の条件を満たすことを示せばよい。
Grpは完備で U は小さい極限を保存するから U が条件 (S) を満たすことを示せばよい。

X ∈ Set とする。
>>492より |U(G)| ≦ |X| または U(G) が可算集合となるような G ∈ Grp の同型類全体は
小さい集合である。
このような同型類から代表を取り出したものを Ω(X) とする。
射 X → U(G)、G ∈ Ω(X) の全体を M(X) とする。
M(X) は小さい集合である。

任意の射 f：X → U(G)、G ∈ Grp に対して
f(X) で生成される G の部分群を H とする。
|U(H)| ≦ |X| または U(H) は可算集合であるから H と同型な H’∈ Ω(X) がある。
σ：H → H’を同型とする。
f の値域を U(H) に制限したものを f’とする。
g = U(σ)f’とおけば、g ∈ M(X) である。
ι：H → G を包含射とする。
τ = ισ^(-1)：H’→ G とおく。
f = U(ι)f’= U(ι)f’= U(ι)U(σ^(-1))g = U(τ)g
よって、U は>>480の条件 (S) を満たす。

以上から U は左随伴関手 F を持つ。
X ∈ Set に対して F(X) を X から生成される自由群と呼ぶ。
η：1_Set → UF を (F, U) の単位(>>413)とする。
η_X：X → U(F(X)) を自由群 F(X) に対する標準射と呼ぶ。

例
Grp を群全体の圏とする。
Δ:Grp → Grp×Grp を対角関手とする。
即ち G ∈ Grp に対して Δ(G) = (G, G) ∈ Grp×Grp とし、
ｆ: G → H を Grp における射としたとき Δ(f) = (f, f) とする。
Δ が右随伴関手(>>442)であることを証明しよう。
Δ が>>480の条件を満たすことを示せばよい。
Grp は完備で Δ は小さい極限を保存するから Δ が条件 (S) を満たすことを示せばよい。
(G_1, G_2) ∈ Grp×Grp とする。
>>492より |G| ≦ |G_1|×|G_2| となるような G ∈ Grp の同型類全体は
小さい集合である。
このような同型類から代表を取り出したものを Ω とする。
射 (G_1, G_2) → Δ(G)、G ∈ Ω の全体を Γ とする。
Γ は小さい集合である。
任意の射 (f_1, f_2)：(G_1, G_2) → Δ(G) に対して
f(G_1) と f(G_2) で生成される G の部分群を H とする。
|H| ≦ |f(G_1)|×|f(G_2)| ≦ |G_1|×|G_2|
よって、 H と同型な H’∈ Ω がある。
σ：H → H’を同型とする。
f_1, f_2 の値域をそれぞれ H に制限したものを (f_1)’、(f_2)’とする。
g_1 = σ(f_1)’、g_2 = σ(f_2)’とおけば、(g_1. g_2) ∈ Γ である。
ι：H → G を包含射とする。
τ = ισ^(-1)：H’→ G とおく。
(f_1, f_2) = (ι(f_1)’, ι(f_1)’) = (ισ^(-1)(g_1), ισ^(-1)(g_2))
= (τ (g_1), τ (g_2)) = Δ(τ)(g_1, g_2)
よって、Δ は>>480の条件 (S) を満たす。

以上から Δ は左随伴関手 F を持つ。
(G_1, G_2) ∈ Grp×Grp に対して F(G_1, G_2) を G_1 と G_2 の自由積と呼び、
(G_1)＊(G_2) と書く。

(G_1)＊(G_2) は Grp における G_1 と G_2 の余積(>>50)である。

>>500
>(G_1)＊(G_2) は Grp における G_1 と G_2 の余積(>>50)である。

これは>>395からわかる。

例
G_1 と G_2 を群とし、(G_1)＊(G_2) を自由積(>>500)とする。
f_1：G_1 → (G_1)＊(G_2) と f_2：G_1 → (G_1)＊(G_2) を標準射とする。
このとき、f_1 と f_2 は単射であり、f_1(G_1) ∩ f_1(G_2) = {e} である。

証明
G = (G_1)×(G_2) とおく。
g_1：G_1 → G と g_2：G_2 → G を標準単射とする。
h：(G_1)＊(G_2) → G で g_1 = h(f_1)、g_2 = h(f_2) となるものが存在する。
g_1 と g_2 は単射であるから f_1 と f_2 も単射である。

x_1 ∈ G_1、x_2 ∈ G_2 とし、f_1(x_1) = f_2(x_2) とする。
(hf_1)(x_1) = (hf_2)(x_2) であるから g_1(x_1) = g_2(x_2) である。
一方、g_1(G_1) ∩ g_2(G_2) = {e} である。
よって、g_1(x_1) = g_2(x_2) = e である。
g_1 と g_2 は単射であるから x_1 = e、x_2 = e である。
よって、f_1(G_1) ∩ f_1(G_2) = {e} である。
証明終

群論の教科書に書いてあるように自由群および自由積の具体的構成はやや面倒である。
>>499と>>500で示したように随伴関手定理(>>480)を使うとこの具体的構成を使わずに
自由群および自由積の存在が証明されてしまう。

定義
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
任意の X, Y ∈ C に対して Hom(X, Y) がアーベル群の構造を持ち、
射の合成が双線型であるとき C を前加法圏(preadditive category)
または Ab-圏(Ab-category)と呼ぶ。

定義
C を前加法圏(>>504)とする。
X と Y を C の任意の対象とする。
H(X, Y) はアーベル群であるから零元を持つ。
これを零射と呼び 0 と書く。

定義
C を前加法圏(>>504)とする。
f：X → Y を C における射とする。

f と零射(>>505) 0：X → Y の差核(過去スレ017の772)を
f の核(kernel)と呼び Ker(f) と書く。

f と零射 0：X → Y の差余核(過去スレ017の850)を
f の余核(cokernel)と呼び Coker(f) と書く。

定義
C を前加法圏(>>504)とする。
f：X → Y を C における射とする。

Ker(Coker(f)) を f の像(image)と呼び Im(f) と書く。

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
Z を C の対象とするとき、次の条件は互いに同値である。

(�@) Z は始対象(過去スレ017の288)である。

(�A) Z は終対象(過去スレ017の288)である。

(�B) Z は零対象(過去スレ017の791)である。

(�C) 1_Z は零射(>>505)である。

(�D) Hom(Z, Z) = 0

証明
(�@) → (�D)：自明である。
(�A) → (�D)：自明である。
(�D) → (�C)：自明である。

(�C) → (�@)：
f：Z → X を射とする。
f = f(1_Z) = 0
よって、Z は始対象である。

(�C) → (�A)：
f：X → Z を射とする。
f = (1_Z)f = 0
よって、Z は終対象である。

以上から (�@)、(�A)、(�C)、(�D) は互いに同値である。
よって、(�B) もこれらと同値である。
証明終

自由軍と自由席を確保するのにずいぶん長い行列にならんで高い切符を買ったもんだね

定義
有限積を持つ(過去スレ018の911)前加法圏(>>504)を加法圏(additive category)と呼ぶ。

圏論の効用であったコホモロジーはどうなってんだよ

定義
C を加法圏(>>510)とする。
C における任意の射が核(>>506)と余核(>>506)をもつとき
C を前アーベル圏(preabelian category)と呼ぶ。

>>509
単なる応用例だから値段なんかタダみたいなもの

ここまでくるのにくろうしたな

>>513
ただほど高いものはない
借金がそうとう増えたぜ

定義
C を前加法圏(>>504)とする。
f：X → Y と g：X → Y を C における射とする。

このとき、Ker(f, g) = Ker(f - g) である。

証明
h：Z → X に対して fh = gh は (f - g)h = 0 と同値なこと明らかである。

定義
C を前加法圏(>>504)とする。
f：X → Y と g：X → Y を C における射とする。

このとき、Coker(f, g) = Coker(f - g) である。

証明
h：Y → Z に対して hf = hg は h(f - g) = 0 と同値なこと明らかである。

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
X = (X_1)×(X_2) を C における積とする。
p_1：X → X_1
p_2：X → X_1
を射影とする。

h_1：X_1 → X を射 <1_(X_1), 0> (過去スレ018の872)とする。
即ち、h_1 は p_1h_1 = 1_(X_1)、p_2h_1 = 0 となる射である。

同様に、h_2：X_2 → X を射 <0, 1_(X_2)> とする。
即ち、h_2 は p_2h_2 = 1_(X_2)、p_1h_2 = 0 となる射である。

このとき、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。

証明
h = h_1p_1 + h_2p_2 とおく。
p_1h = p_1h_1p_1 + p_1h_2p_2 = p_1 + 0 = p_1
p_2h = p_2h_1p_1 + p_2h_2p_2 = 0 b+ p_2 = p_2
よって、h = 1_X である。
証明終

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
X = (X_1)+(X_2) を C における余積(>>35)とする。
h_1：X_1 → X
h_2：X_2 → X
を入射(>>41)とする。

p_1：X → X_1 を射 [1_(X_1), 0] (>>36)とする。
即ち、p_1 は p_1h_1 = 1_(X_1)、p_1h_2 = 0 となる射である。

同様に、p_2：X → X_2 を射 [0, 1_(X_2)] とする。
即ち、p_2 は p_2h_2 = 1_(X_2)、p_2h_1 = 0 となる射である。

このとき、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。

証明
h = h_1p_1 + h_2p_2 とおく。
p_1h = p_1h_1p_1 + p_1h_2p_2 = p_1 + 0 = p_1
p_2h = p_2h_1p_1 + p_2h_2p_2 = 0 + p_2 = p_2
よって、h = 1_X である。
証明終

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
p_1：X → X_1
p_2：X → X_1
h_1：X_1 → X
h_2：X_2 → X
を C における射で次の関係式を満たすとする。

h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X
p_1h_1 = 1_(X_1)
p_2h_2 = 1_(X_2)

このとき、p_2h_1 = 0、p_1h_2 = 0 となる。

証明
p_1h_1 = 1_(X_1) より h_1 は単射である。
同様にh_2 は単射である。

h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X より、
h_1p_1h_1 + h_2p_2h_1 = h_1 + h_2p_2h_1 = h_1
よって、h_2p_2h_1 = 0
h_2 は単射であるから p_2h_1 = 0 である。

同様に、p_1h_2 = 0 となる。
証明終

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
p_1：X → X_1
p_2：X → X_2
h_1：X_1 → X
h_2：X_2 → X
を C における射で次の関係式を満たすとする。

h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X
p_1h_1 = 1_(X_1)
p_2h_2 = 1_(X_2)

このとき、(X, p_1, p_2) は X_1 と X_2 の積である。

証明
>>520より、p_2h_1 = 0、p_1h_2 = 0 となる。

f_1：Y → X_1
f_2：Y → X_2
を射とする。

f = h_1f_1 + h_2f_2 とおく。
p_1f = f_1 + 0 = f_1
p_2f = 0 + f_2 = f_2

逆に、g：Y → X が p_1g = f_1、p_2g = f_2 を満たすとする。
g = (h_1p_1 + h_2p_2)g = h_1f_1 + h_2f_2 = h

以上から (X, p_1, p_2) は X_1 と X_2 の積である。
証明終

>>521
>g = (h_1p_1 + h_2p_2)g = h_1f_1 + h_2f_2 = h

g = (h_1p_1 + h_2p_2)g = h_1f_1 + h_2f_2 = f

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
p_1：X → X_1
p_2：X → X_2
h_1：X_1 → X
h_2：X_2 → X
を C における射で次の関係式を満たすとする。

h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X
p_1h_1 = 1_(X_1)
p_2h_2 = 1_(X_2)

このとき、(h_1, h_2、X) は X_1 と X_2 の余積(>>35)である。

証明
>>520より、p_2h_1 = 0、p_1h_2 = 0 となる。

f_1：X_1 → Y
f_2：X_2 → Y
を射とする。

f = f_1p_1 + f_2p_2 とおく。
fh_1 = f_1 + 0 = f_1
fh_2 = 0 + f_2 = f_2

逆に、g：X → Y が gh_1 = f_1、gh_2 = f_2 を満たすとする。
g = g(h_1p_1 + h_2p_2) = f_1p_1 + f_2p_2 = f

以上から (h_1, h_2、X) は X_1 と X_2 の余積(>>35)である。
証明終

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
X = (X_1)×(X_2) を C における積とする。
p_1：X → X_1
p_2：X → X_1
を射影とする。

h_1：X_1 → X を射 <1_(X_1), 0> (過去スレ018の872)とする。
即ち、h_1 は p_1h_1 = 1_(X_1)、p_2h_1 = 0 となる射である。

同様に、h_2：X_2 → X を射 <0, 1_(X_2)> とする。
即ち、h_2 は p_2h_2 = 1_(X_2)、p_1h_2 = 0 となる射である。

このとき、(h_1, h_2、X) は X_1 と X_2 の余積(>>35)である。

証明
>>519より、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。
よって、>>523より、(h_1, h_2、X) は X_1 と X_2 の余積(>>35)である。
証明終

>>524
>>>519より、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。

>>518より、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
X = (X_1)＋(X_2) を C における余積(>>35)とする。
h_1：X_1 → X
h_2：X_2 → X
を入射(>>41)とする。

p_1：X → X_1 を射 [1_(X_1), 0] (>>36)とする。
即ち、p_1 は p_1h_1 = 1_(X_1)、p_1h_2 = 0 となる射である。

同様に、p_2：X → X_2 を射 [0, 1_(X_2)] とする。
即ち、p_2 は p_2h_2 = 1_(X_2)、p_2h_1 = 0 となる射である。

このとき、(X, p_1, p_2) は X_1 と X_2 の積である。

証明
>>519より、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。
よって、>>521より、(X, p_1, p_2) は X_1 と X_2 の積である。
証明終

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
C の対象 X、Y の積が存在するためには X、Y の余積が存在することが必要十分である。

証明
>>524と>>526より明らかである。