代数的整数論 018

代数的整数論 018
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

過去スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208646742/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212143770/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246160488/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247494646/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1251012346/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255385658/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1264907022/l50

過去スレ017の819の双対

C を圏とする。
f:X → Y
g:X → Y
を C における射とする。

余積(過去スレ017の867) X＋Y が存在するとする。

(f, 1_Y)：X＋Y → Y
(g, 1_Y)：X＋Y → Y
を>>868で定義した射とする。

(f, 1_Y) と (g, 1_Y) のファイバー余積(過去スレ017の867)を P とする。

T を C の任意の対象とする。
過去スレ017の861より、
Hom(P, T) → Hom(Y, T)×Hom(Y, T) ⇒ Hom(X＋Y, T) は完全(過去スレ017の774)である。

標準同型：Hom(X＋Y, T) ⇔ Hom(X, T)×Hom(Y, T) が存在するから

Hom(P, T) → Hom(Y, T)×Hom(Y, T) ⇒ Hom(X, T)×Hom(Y, T) は完全(>>774)である。

よって、過去スレ017の818より、
Hom(P, T) → Hom(Y, T) ⇒ Hom(X, T) は完全(過去スレ017の774)である。

よって、過去スレ017の853より、
X ⇒ Y → P は完全(過去スレ017の870)である。
即ち P = Coker(f, g) である。

過去スレ017の820の双対

命題
C を圏とする。
C において始対象(過去スレ017の288)と任意のファイバー積(過去スレ017の866)が存在すれば
C において任意の有限個の対象の余積(過去スレ017の837)と
任意の差余核(過去スレ017の850)が存在する。

証明
s を C の始対象とする。
X と Y を C の対象とする。
ファイバー余積 (X＋Y)_s は余積 X＋Y と同型である。
よって、過去スレ017の848より、C の任意の有限個の対象の余積が存在する。
>>3より、任意の差余核が存在する。
証明終

>>4の修正

過去スレ017の820の双対

命題
C を圏とする。
C において始対象(過去スレ017の288)と任意のファイバー余積(過去スレ017の867)が存在すれば
C において任意の有限個の対象の余積(過去スレ017の837)と
任意の差余核(過去スレ017の850)が存在する。

証明
s を C の始対象とする。
X と Y を C の対象とする。
ファイバー余積 (X＋Y)_s は余積 X＋Y と同型である。
よって、過去スレ017の848より、C の任意の有限個の対象の余積が存在する。
>>3より、任意の差余核が存在する。
証明終

過去スレ017の822の双対

例
C を圏とする。
S を C の対象とする。
(S↓C) を C における S の下にある対象の圏(過去スレ017の470)とする。

(S↓C) の対象 S → X と S → Y の余積(過去スレ017の837)とは
ファイバー余積 (X＋Y)_S (>>867)に他ならない。

>>6の修正

過去スレ017の822の双対

例
C を圏とする。
S を C の対象とする。
(S↓C) を C における S の下にある対象の圏(過去スレ017の470)とする。

(S↓C) の対象 S → X と S → Y の余積(過去スレ017の837)とは
ファイバー余積 (X＋Y)_S (過去スレ017の867)に他ならない。

例
CRng を小さい(過去スレ017の321)可換環全体の圏とする。

f:A → B
g:A → C
を CRng における射とする。

B と C の A 上のテンソル積 (B※C)_A は
B と C の A 上のファイバー余積(過去スレ017の867)である。

681 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/03/05(金) 21:20:35
>>677
Grothendieckが偉大なことは勿論ですが、ユークリッドが旧約聖書だというのも賛成です。
公理から出発して個々の命題を証明するというのは、偉大な発明だと思います。
日本の和算には証明という概念はなかったんじゃないですか？


↑ニートのおばかさんの薀蓄ｗ

429 ：１３２人目の素数さん：2010/02/27(土) 23:20:31
低脳の隔離スレと聞いて来ましたｗ

466 ：１３２人目の素数さん：2010/03/01(月) 17:52:31
どうでもいいけど、このスレ主は何の仕事しているの？

467 ：１３２人目の素数さん：2010/03/01(月) 17:58:06
たぶん入院患者だろう
これだけ暇なやつは

480 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 13:36:58
悔しいのお

仕事がないので、２ちゃんに書き込みだけして

時間をつぶすのってｗ

482 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 17:32:27
>>480
仕事がないと無条件に惨めなわけか
貧乏人の考えそうなことだなｗ
自分に引き付けて他人を判断するなって
ほとんどのスポーツとかゲームはイギリス起源なわけだが何故かわかるか？
イギリスには貴族階級というのがあってな、貴族はあくせく仕事はしないんだよ。
ヒマがたっぷりあるんで遊びを考えるわけだ。

483 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 17:33:58
>>481
世間知らずだなｗ
もしそうだったらパソコン自由に使えるわけないだろ

484 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 17:45:42
>483
治療おわったのかW
>もしそうだったらパソコン自由に使えるわけないだろ
入院してみないとそういう細かいことはわからないよなWWWW



485 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 17:47:14
このスレの読者って
くまーの自演以外に
誰かいるのか

いたら手をあげろ
金をだせ

486 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 17:48:53
>仕事がないと無条件に惨めなわけか

やっぱり仕事ないんだ


487 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 18:04:35
>>486
なこたあ言ってないだろ
確かのはサラリーマンじゃないってこと

　　　　　∧∧　　 　＿　ドスッ
　　　　 (　 　,,)┌─┴┴─┐
　　　　/　　　つ　原理　 　　|
　　〜′　/´　└─┬┬─┘
　　　∪ ∪　　　 　 ││　_ε３

猫に応援されて
尻尾振ってよろこぶ
くまー

735 ：１３２人目の素数さん：2010/03/06(土) 10:02:15
中年ニートに何をねたむのか。

736 ：１３２人目の素数さん：2010/03/06(土) 10:10:26
くんまーが同性愛者だと聞いてとんで来ました（＾＾）

770 ：１３２人目の素数さん：2010/03/06(土) 17:44:27
冷静と情熱の間ですなｗ

クマーのは情熱というよりも、うんこ垂れ流す変質者のそれですなあ
771 ：１３２人目の素数さん：2010/03/06(土) 17:46:14
クマをばかにするな
クマはイギリスの貴族で、企業のオーナで
同性愛者だから子供もおらないので
暇をもてあまして
嫌がらせをしているだけなんだからね

778 ：１３２人目の素数さん：2010/03/06(土) 19:54:24
>>776
> Kummerも大概だが、それを荒らしてる奴はKummer以下だな

と言うか、ホモの嫉妬じゃねぇか？

なるほど

くまーを応援するのは自演したくまーで
ホモなんだ

645 ：１３２人目の素数さん：2010/03/05(金) 02:53:45
>>624
>企業のオーナーならば、上の方で指摘されているように
>遊星社あたりから本を出版してもらってはどうかな？

わかってないな
何回も言わせるなよ
ここに書いてるのは読者の反応を見るという意味もあるし
自分の覚え書きという意味もある
ノート代わりｗ
659 ：１３２人目の素数さん：2010/03/05(金) 16:37:13
読者の反応ねえｗ
どんな反応があったｗ？

661 ：１３２人目の素数さん：2010/03/05(金) 16:41:04
>>659

１．「うんこ」だから迷惑であるというクンマー以外からの反応

２．猫から慇懃無礼な礼賛（その一方で名無しで蔑みもしているｗ）

３. クンマーの慈円による励ましと、自問自答ｗ

これに類別される。２ちゃんねるでやるという意味が分からんｗ

露出凶が暴れていると解釈すればいいんだね？ｗ

イギリス貴族
企業のオーナー

こうした話も前スレから転載してください

>>13

でも猫は奈々氏でクマをさげすんでいるよｗ

563 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 02:02:23
kummerさんも大変だな、粘着に居座られて。

唯一途に代数的整数論を展開しているだけなのに。
564 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 02:26:19
＞展開しているだけなのに

どこを読んだらそうなるのかな
自演はみっともないぞkummer君
565 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 02:29:17
今までだあれも助っ人にでてくれないのに
こんな夜中急に誰かが
>kummerさんも大変だな、粘着に居座られて。
なんて言うか

ばかだねくんまー
566 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 07:44:08
そうだよ
くんまー＝イギリス貴族にして会社のオーナーにして入院患者
が慈円しているんだよｗ

422 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/27(土) 22:54:04
間違いを恐れることは真実を恐れることだと Grothendieck は
彼の本「Recoltes et semailles」(収穫と蒔いた種と) に書いている。

因みに岡清は数学は農業に似ていると言っている。
つまり種を播いて熟成を待って収穫するものだと。
物理は金物屋に似ているとも言っている。
Grothendieck と似た考えをしているのは興味深い。

423 ：１３２人目の素数さん：2010/02/27(土) 22:56:04
＞間違いを恐れることは真実を恐れることだと

ってｗ
で、岡清ってｗ
日本人というものの感性を大切にした大数学者の
お名前を間違えていいのかいｗ？
424 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/27(土) 23:05:24
あ岡潔ね
ちょっと酔ってるｗ
425 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/27(土) 23:14:53
つーか２ｃｈで誤字脱字をいちいち指摘するやつウザイんだが

482 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 17:32:27
>>480
仕事がないと無条件に惨めなわけか
貧乏人の考えそうなことだなｗ
自分に引き付けて他人を判断するなって
ほとんどのスポーツとかゲームはイギリス起源なわけだが何故かわかるか？
イギリスには貴族階級というのがあってな、貴族はあくせく仕事はしないんだよ。
ヒマがたっぷりあるんで遊びを考えるわけだ。

492 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 18:16:05
仕事っつうか金や地位だな
ただイギリスや古代ギリシャはともかく
日本にはそういう階級はほぼ無いだろ
もっとも、もし皇族の人だったりしたら話は別だが

それに相続税その他の税はあるから資産の運用は
真面目にやらないとものすごい勢いで没落するぞ
ヤコビとかも資産家に生まれながら晩年は相当貧乏だったはず
アーベルは最初から貧乏だけど

495 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 18:20:13
貴族とか資産家とか
いうことが
妄想じみてるな

500 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 18:25:41
>貴族は喩えだ

自分を貴族に喩えるなよ

505 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 18:33:50
１日２、３時間働いて優雅に暮らすのは現代ではそんなに珍しくはないだろ
お前らがそういうやつらに嫉妬する気持ちはわからなんでもないが、見苦しいぞｗ

506 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 18:34:28
わかったわかった

オマエは地主で貴族
企業のオーナーだけど
暇すぎてにちゃんに書き込む

これでいいか

あとひとつ
イギリス人
507 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 18:36:09
珍しくないって人口の何パーセントの事を言ってるんだよ
505はそういう家に生まれたのか？

511 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 18:55:11
わかったわかった

オマエは地主で貴族
企業のオーナーだけど
暇すぎてにちゃんに書き込む

あとひとつ
イギリス人

という妄想を抱く
パソコンをつかう入院患者


512 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 19:00:01
統合失調症＝精神分裂病ということでつか？

Kummer ◆g2BU0D6YN2 はイギリス人で、日本語でものを書き
平日の昼間から、本の内容を必死になってボードに書き写し
しかし、地主であり、貴族であり、企業のオーナーをしている
そおいうパソコンをつかう入院患者っつうことでつか？

524 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 19:30:06
>>519
>失業者ということは確かでしょ

あんた世の中知らな過ぎ。
例えば、仮にKummerが企業のオーナーだとしよう。
彼は失業者なのか？
世の中には自分は働かないで人を働かせて金を得る人間もいる。

525 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 19:32:34
>>524
わかりました。仰ることはわかりました。
Kummerは企業のオーナーで、貴族で
人をはたかせて仕事しているのに、
掲示板に本をあれこれ数学の記号を使いながら書き込む際には、
自分で書き込むという奇特な入院患者なんですね？

537 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 23:11:12
しっ‐と【×嫉×妬】

［名］(スル)

１ 自分よりすぐれている人をうらやみねたむこと。「他人の出世を―する」

平日の昼間から書き込みしている失業者そのもので、メンヘルのクンマーの
何がすぐれているのだろうかｗ？　失業していることをうらやむのだろうか？
基地外であることをうらやむのであろうかｗ？　平日の昼間から
２ちゃんねるにどっぷりとつかっている、無意味な人生の浪費をうらやむのだろうか？
誰も読まないスレッドに、本から苦労して書き写す無意味さをうらやむのだろうか？
スレッドに書き込むことへの異常な執着は気持ち悪いことはあれ、
うらやむようなことなのだろうかｗ？

失業者と問われて、イギリスの貴族であるとこたえる妄想癖をうらやむのだろうか？ｗ

多くの識者は、このスレを読み、スレ主をうらやむよりも、気の毒に思い
医者の手を煩わせることに、思いを馳せるに違いあるまい。

556 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 01:19:25
ねたみに異常に執着するKummerって
誰かを妬んでいるわけだが

わしらは道端にうんこがおちているのを見て汚いから
掃除してくれって思う程度にこのスレを排除したいと
思っているだけで


あほのくんまーがときどき反応してくれれば
からかうけどあすぺだからどうにもならない

うんこだからやめてくれと
いったのに
貴族だとさ

うんこのなかの貴族に嫉妬するやつ見たいもんだわ

乙です

うんこについてもお願いします

>>27

疲れたよ
自分でやってくれんかな

クンマーは

（１）無職
（２）ホモ
（３）自称　イギリス人
（４）貴族
（５）企業のオーナーで人をつかっている
（６）悪口を書かれると、嫉妬していると勘違いする
（７）人をつかっているのに、ネットの書き込みは自分でやるのが楽しみだと


他にありますかね？

>>29
休んでから、またお願いします。

整数論やらヒルベルト問題やらを馬鹿でも分かるように説明してくれ
どの入門書見てもいきなり難易度が上がって無味乾燥過ぎて結局何をしたいのかわからなくなって頓挫する

ここで元に戻って圏論における基本的な定義を追加しよう。

定義
C を圏とする。
C は次の条件(T)を満たすとする。

(T) X, Y を C の任意の対象とするとき、
Hom(X, Y) は空集合であるか１個の元からなる。

このとき、C を痩せた圏(thin category)と言う。
過去スレ017の281より、痩せた小さい圏は前順序集合と見なせる。

定義
C と D を圏とする。
F: C → D
を関手とする。

F が忠実(過去スレ017の360)で、F：Ob(C) → Ob(D) が単射のとき
F を埋め込み(embedding)と呼ぶ。

定義
C と D を圏とする。
F: C → D
を関手とする。

F(f)：F(X) → F(Y) が恒等射であるような同型射 f：X → Y は恒等射に限るとき
F を準忘却的関手(amnestic functor)または準忘却関手と呼ぶ。

amnestic とは健忘症のとか記憶喪失のという意味の形容詞である。
しかし、日本語の数学的用語としてはふさわしくないように思うので
準忘却という用語にした。
単に忘却関手としなかったのは忘却関手(forgetful functor)という用語が
すでに別の意味で存在し、しかもほとんどの忘却関手が準忘却関手でもあるからである。

例
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
Grp を小さい群全体の圏とする。

Grp の対象 G にその台集合を対応させることにより
関手 F：Grp → Set が得られる。

このとき、F は準忘却的(>>35)である。

例
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
Top を小さい位相空間全体の圏とする。

X ∈ Ob(Set) に対して X に離散位相を与えて位相空間にしたものを
対応させることにより F：Set → Top が得られる。

このとき、F は充満(過去スレ017の403)な埋め込み(>>34)である。

命題
F：C → D が埋め込み(>>34)であるためには D の部分圏 C’と
同型 G：C → C’で F = JG となるものが存在することが必要十分である。
ここで J：C’ → D は包含関手である。

証明
必要性：
F：C → D が埋め込みであるとする。
Ob(D’) = F(Ob(C))
Ob(Hom(D’)) = F(Hom(C))
と定義することにより D の部分圏 C’が得られる。
G：C → C’は F の値域を C’に制限したものとすればよい。

十分性：
同型関手は埋め込みであることに注意すればよい。
証明終

>>39は、埋め込み F：C → D により C を D の部分圏と同一視出来ることを示している。
これが埋め込みという用語の由来である。

>>26
うんこと言ったり教科書丸写しとか言ったり支離滅裂だなｗ

命題
F：C → D が同型(過去スレ017の358)であるためには
F が充満かつ忠実(過去スレ017の403)で F：Ob(C) → Ob(D) が全単射であることが
必要十分である。

証明
自明である。

定義
F: C → D を関手とする。

F(f)：F(X) → F(Y) が同型なら f：X → Y は必ず同型であるとき
F は同型を反映する(F reflects isomorphisms)という。

全ての関手が同型を反映するわけではない。

例
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
Top を小さい位相空間全体の圏とする。

F：Top → Set を X ∈ Ob(Top) に X の台集合を対応させる関手とする。
X ∈ Ob(Top) を離散でない位相空間とする。
X の台集合に離散位相をいれた位相空間を Y とする。
恒等写像 1_X：Y → X は連続であるが同相ではない。
よって、F は同型を反映しない(>>43)。

命題
充満かつ忠実(過去スレ017の403)な関手 F：C → D は同型を反映する(>>43)

証明
f：X → Y を C における射で、F(f)：F(X) → F(Y) は同型であるとする。
F(f) の逆射を g’とする。
F は充満かつ忠実であるから F(g) = g’となる g：Y → X が一意に定まる。
F(gf) = F(g)F(f)は F(X) の恒等射であるから F の忠実性から gf = 1_X である。
同様に fg = 1_Y である。
よって、f は同型である。
証明終

例
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
Top を小さい位相空間全体の圏とする。

F：Top → Set を X ∈ Ob(Top) に X の台集合を対応させる関手とする。
F は忠実(過去スレ017の403)かつ準忘却(>>35)であるが充満(過去スレ017の403)でも
埋め込み(>>34)でもない。

充満な埋め込み(>>34)の例

米田関手(過去スレ017の647) h: C → Fumc(C^o, Set) は
米田の埋め込み定理(過去スレ017の650)により充満かつ忠実である。
X ≠ Y であれば h_X ≠ h_Y であるから、h は埋め込みである。

定義
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
関手 P：Set → Set を以下のように定義する。

X ∈ Ob(Set) のとき P(X) は X のべき集合(すなわち X の部分集合全体の集合)とする。
Set における射 f：X → Y に対して P(f)：P(Y) → P(X) を
A ∈ P(X) のとき、P(f)(A) = f(A) により定義する。

P を共変べき集合関手と呼ぶ。

定義
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
関手 Q：(Set)^o → Set を以下のように定義する。

X ∈ Ob(Set) のとき Q(X) は X のべき集合(すなわち X の部分集合全体の集合)とする。
Set における射 f：X → Y に対して Q(f)：Q(Y) → Q(X) を
A ∈ Q(Y) のとき、Q(f)(A) = f^(-1)(A) により定義する。

Q を反変べき集合関手と呼ぶ。

例
共変べき集合関手(>>48) P および 反変べき集合関手(>>49) Q は
ともに埋め込み(>>34)であるが充満(過去スレ017の403)ではない。

>>41

オマエのアタマが支離滅裂だよ

389 ：１３２人目の素数さん：2010/02/24(水) 21:41:07
>>371
いい加減聞き飽きた。

数学の教科書、解析の教科書でもいいし線型代数の教科書でもいい、
例えば高木の解析概論でもいい、それらとこのスレに何か本質的違いはあるのか？
既成の数学、少なくとも５０年以上前に確立された数学理論に関する教科書というのは
オリジナリティはほとんど望むべくもないし、望むのはお門違い。
このスレの存在意義は手近なレファレンスであり、自給自足(self-contained)、
ギャップのない証明、代数的整数論に対する多様なアプローチ、etc.

392 ：１３２人目の素数さん：2010/02/25(木) 16:05:13
>このスレの存在意義は手近な

ぷっ
393 ：１３２人目の素数さん：2010/02/26(金) 08:20:30
>>392
何がおかしいか分からないが、このシリーズが完成した場合の話をしてる。
何も手を加えないでレファレンスにしろとは言ってない。
間違いを正して目次や索引をつければレファレンスになる。395 ：１３２人目の素数さん：2010/02/26(金) 09:31:35
カッパライ行為でしょう
396 ：１３２人目の素数さん：2010/02/26(金) 09:39:19
>>395
それを言ったらほとんど全ての教科書がかっぱらい行為になる。
というか他人の業績を無断で利用する論文も一種のかっぱらい行為になる。

>>52

盗人たけだけしい

462 ：１３２人目の素数さん：2010/03/01(月) 10:24:48
>>461
445 ：１３２人目の素数さん：2010/02/28(日) 18:16:01
>つーか２ｃｈで誤字脱字をいちいち指摘するやつウザイんだが

オマエのうざさにくらべれば可愛いもんだよ
447 ：１３２人目の素数さん：2010/02/28(日) 18:28:04
>>445
ウザイと思ったらこのスレを見なきゃいいだろｗ
それを承知で見るなら文句言うなって
アホさんですか？
449 ：１３２人目の素数さん：2010/02/28(日) 18:50:53
>>447 激同

このスレはとっても大事なスレなんだお！

465 ：１３２人目の素数さん：2010/03/01(月) 17:47:23
>>449

自演はみっともないな

Kummerを貶す訳ではないが、この「代数的整数論」はDiuedonneの解析教程みたいに「何でもあり」になってないか？
ま、それでも良いのかも知れないが…

464 ：１３２人目の素数さん：2010/03/01(月) 17:44:42
>それらとこのスレに何か本質的違いはあるのか？

あるにきまってんじゃん

528 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 19:34:33
企業のオーナーならば、自書を慈悲出版すればよいのではないか？

クンマー著「代数的整数論」　○○病院出版部発行　２８００円

とか。アマゾンで書評を書いてやるよｗ

543 ：１３２人目の素数さん：2010/03/03(水) 23:19:51
＞２ちゃんねるにどっぷりとつかっている、無意味な人生の浪費をうらやむのだろうか？
＞誰も読まないスレッドに、本から苦労して書き写す無意味さをうらやむのだろうか？

そうだな　クンマーがここにかける時間は全くの無駄だな

559 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 01:24:52
>>556
>わしらは道端にうんこがおちているのを見て汚いから
>掃除してくれって思う程度にこのスレを排除したいと
>思っているだけで

汚いとおもうなら見なきゃいいだろ
馬鹿かお前は（つーか馬鹿決定だがｗ）

562 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 01:36:22
>汚いとおもうなら見なきゃいいだろ

道端にうんこしておいてそうやって開き直れる精神構造が
おかしいっていうのよ

それとおまえいつもそればっかり

604 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 17:13:17
見たくなかったら見なけりゃいいという理屈は
自分でブログを書いている場合なら通るけど
ここじゃうんこの垂れ流しだから迷惑だよね

有害番組作ったテレビ局だって
有害と思えば見るな
なんて言わないよ
605 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 17:15:16
うんこは臭いしバッチイから、こんなところで出さないで下さい

久マーの仕事かっこ無職について
だれかまとめてください

>>51
お前は子供か
>>41の言ってることにまともに反論出来ないならｆ黙ってろよ

>59

ガキはおまえだろ
もうすこしまともなこと書けないのか

なんだその f

778 ：１３２人目の素数さん：2010/03/06(土) 19:54:24
578 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 15:29:50
>１日２、３時間働いて
ケツ貸して儲けてる男娼だな
>優雅に暮らすのは現代ではそんなに珍しくはないだろ
なにかあったらオマエは相手にホモだという文脈にない攻撃してたな
>お前らがそういうやつらに嫉妬する気持ちはわからなんでもないが、
おれはオマエの気持ちはわからないね
>見苦しいぞｗ
たしかにオマエは見苦しいなあ


736 ：１３２人目の素数さん：2010/03/06(土) 10:10:26
くんまーが同性愛者だと聞いてとんで来ました（＾＾）

>>776
> Kummerも大概だが、それを荒らしてる奴はKummer以下だな

と言うか、ホモの嫉妬じゃねぇか？

622 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 22:03:32
カウンセリングというのは１回じゃなかなかうまくいかないんだ。
何回か話し相手になってもらっているうちに、しだいに打ち解けて
互いのことがわかってきて、癒されるんだよ。
くんまークンも治療の効果はどうかね？
623 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 22:07:01
人をたくさん使っているのならば、
手書きの原稿を使用人に渡して
使用人に２ちゃんに書き込んでもらったらいいんじゃないかな？
面倒だろ？　タテの矢印なんかがずれないように
可換図式とか書くのはｗ

普通はTEXを使うのだが、くんまーはテフ打ちも出来ないのか？
テフで打っておいた方が、くんまーの使用人も
電子的に蓄積されるので、意義あるのではないかな？ｗ
624 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 22:09:34
それとも、人をたくさん使っている企業のオーナーなんだが、
細かいつまらん作業をすることしか、時間の使い道がないってことなのかな？
企業のオーナーならば、上の方で指摘されているように
遊星社あたりから本を出版してもらってはどうかな？

こんなところで汚物をまきちらかして迷惑かけるよりもはるかにましだぜｗ
625 ：１３２人目の素数さん：2010/03/04(木) 22:10:45
>>623

脳内企業なんで、
オーナー＝クンマー
使用人＝クンマー
なんですよ

>>60
やれやれ
Kummerが教科書丸写しで内容がうんこならその教科書がうんこということになる。
それならKummerのダメージにならない
教科書丸写しか内容がうんこかどっちかに決めてからKummerを叩けよ

>なんだその f

やっぱお前はガキだｗ

635 ：１３２人目の素数さん：2010/03/05(金) 01:09:32
>教科書の著者

おまえは教科書を書いているわけでもないし
教科書の著者を引き合いに出して自分のやっていることを
正当化はできない

でたらめな理屈をこねるな
636 ：１３２人目の素数さん：2010/03/05(金) 01:25:16
>おまえは教科書を書いているわけでもないし

体裁や出来はともかく、これを見て誰かが何かを学べばそれは一種の教科書だろ

>教科書の著者を引き合いに出して自分のやっていることを
>正当化はできない

正当化をしてるわけではないしその必要はない
事実を述べてるだけ

>でたらめな理屈をこねるな

でたらめと思うのはあんたの問題だｗ

656 ：１３２人目の素数さん：2010/03/05(金) 16:00:03
くんまー語では
うんこと教科書がおなじ意味らしい

645 ：１３２人目の素数さん：2010/03/05(金) 02:53:45
>>624
>企業のオーナーならば、上の方で指摘されているように
>遊星社あたりから本を出版してもらってはどうかな？

わかってないな
何回も言わせるなよ
ここに書いてるのは読者の反応を見るという意味もあるし
自分の覚え書きという意味もある
ノート代わりｗ
658 ：１３２人目の素数さん：2010/03/05(金) 16:35:08
>>645
だからさ、おまえにとってはノートか知らんが
数学者である俺から見れば、うんこと同じだ
659 ：１３２人目の素数さん：2010/03/05(金) 16:37:13
読者の反応ねえｗ
どんな反応があったｗ？

>れやれ
>Kummerが教科書丸写しで内容がうんこならその教科書がうんこということになる。

くまーはそういってるけど

>>63

だから久マーよ
自演はやめろよ
みっともないから

>それならKummerのダメージにならない

うんこ○写ししてるやつってアホじゃないかな

>やっぱお前はガキだｗ

ごまかすなよ

久マーは大体猫ﾏｽﾀﾞﾃﾂﾔと同世代だが
理由があって修士くらいで予備校に
だからてふがうてない
とうぜん論文など書いていない
だが昔のﾕﾒが捨てがたく
発狂して(ロマンチックだな)
２ちゃんに入り浸り
だから猫ﾏｽﾀﾞﾃﾂﾔとはにた心情
しかしどちらも迷惑な馬鹿に変わりはない

定義
C を圏 D の部分圏とする。
F: C → D を包含関手とする。

F が本質的に全射(過去スレ017の388)のとき、
即ち、D の任意の対象 X に対して C の対象 Y で X と同型なものが存在するとき、
C は D において同型密(isomorphism-dense)であるという。

定義
C を圏 D の部分圏とする。
F: C → D を包含関手とする。

F が本質的に全射(過去スレ017の388)のとき、
即ち、D の任意の対象 X に対して C の対象 Y で X と同型なものが存在するとき、
C は D において同型密(isomorphism-dense)であるという。

>>72の修正

定義
C を圏 D の充満(過去スレ017の403)な部分圏とする。
F: C → D を包含関手とする。

F が本質的に全射(過去スレ017の388)のとき、
即ち、D の任意の対象 X に対して C の対象 Y で X と同型なものが存在するとき、
C は D において同型密(isomorphism-dense)であるという。

>>73の修正

定義
C を圏 D の充満(過去スレ017の403)な部分圏とする。
F: C → D を包含関手とする。

F が本質的に全射(過去スレ017の388)のとき、
即ち、D の任意の対象 X に対して C の対象 Y で X と同型なものが存在するとき、
C は D において同型的に密(isomorphism-dense)であるという。

定義
C を圏 D の充満(過去スレ017の403)な部分圏とする。

C の対象と同型な D の対象は常に C の対象であるとき
C は D において同型的に閉じている(isomorphism-closed)という。

定義
F: C → D を関手とする。
F が本質的に全射(過去スレ017の388)であることを、
同型的に密(isomorphism-dense)であるともいう。
即ち、任意の Y∈ Ob(D) に対して X ∈ Ob(C) で F(X) が Y と同型となるものが
存在するとき F を同型的に密と言う。

C を圏 D の充満(過去スレ017の403)な部分圏とする。
C が D において同型的に密(>>74)であることと、
包含関手 F: C → D が圏同値(過去スレ017の404)であることは同値である。

>>70
>しかしどちらも迷惑な馬鹿に変わりはない

Kummerが何故迷惑なのか普通の人間にわかるように説明してくれ

>>78

しつこい
上のコピーを復習しろよ
久マー君

>>74の修正

定義
C を圏 D の部分圏とする。
F: C → D を包含関手とする。

F が同型的に密(>>76)のとき、
即ち、D の任意の対象 X に対して C の対象 Y で X と同型なものが存在するとき、
C は D において同型的に密(isomorphism-dense)であるという。

>>75の修正

定義
C を圏 D の部分圏とする。

C の対象と同型な D の対象は常に C の対象であるとき
C は D において同型的に閉じている(isomorphism-closed)という。

>>79
どのコピー？

定義
D を圏 C の充満(過去スレ018の362)かつ同型的に密(>>80)な部分圏とする。
D の任意の相異なる二つの対象は同型とはならないとき D を C の骨格(skeleton)という。

例
K を小さな可換体とする。
K 上の有限次元の小さな線型空間全体の圏を K-FVect とする。
K^n (n = 0, 1, 2, ．．．) 全体からなる K-FVect の充満な部分圏は
K-FVect の骨格(>>83)である。

定義
圏 C が C 自身の骨格(>>83)のとき、
即ち、C の任意の相異なる二つの対象は同型とはならないとき C を骨格的(skeletal)な圏という。

>>82

全部見れば

おまいさんの17の過去スレ引用にくらべれば
大した手間じゃない

>>83の修正

定義
D を圏 C の充満(過去スレ017の362)かつ同型的に密(>>80)な部分圏とする。
D の任意の相異なる二つの対象は同型とはならないとき D を C の骨格(skeleton)という。

>>86
誤魔化すなよ
答えられないなら黙ってろと何回（略

命題
任意の圏 C は骨格(>>87)をもつ。

証明
Ob(C) の同値関係〜を対象間の同型により定義する。
Ob(C)/〜 の各同値類から選択公理により、
代表を一つずつ選び出し類(過去スレ017の323) S を作る。
S を対象の類としてもつ C の充満な部分圏 S が一意に定まる。
S は C の骨格である。

>>88

オマエの馬鹿げたスレを読むのに比べたら
なんでもないことなのに

それをごまかすとか
いいがかりつけて
うやむやにしようってのかね

日本語読めないならそう言えよ
いつもごまかしてんのはおまえだろ

大した数でもない引用コピーのなかから
迷惑
って文字すらさがせない無能なのか

骨格の例

Fin を有限集合全体の圏とする。
空集合および集合 {0, 1, ．．．n-1}、n = 1、2、．．．全体のなす
Fin の充満な部分圏は Fin の骨格である。

>>90
まともな理由をあげろと言ってるんだよ

>ここじゃうんこの垂れ流しだから迷惑だよね

理由になってないだろ
第一に何故うんこと断定出来るのか
第二に仮にうんことして何故迷惑なんだよ。
見なきゃいいだけだろ。
うんこと思うなら新スレまでしつこく追っかけてくるなよ、
馬鹿だろお前は

>>93

同じことなんども繰り返すな馬鹿

>見なきゃいいだけだろ。

泣くなよ

それとそんなの何の言い訳にもなってないぜ

>>94
繰り返させてるのはお前だろ

>なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
>原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

なんだろ無視できるだろ
それとも謝るか

ウンコ垂れ流してすみません
でもスレ続けさせてください
って

でもなあ

>第二に仮にうんことして何故迷惑なんだよ。

ってそんなこと聞くやつって馬鹿だと思うけど

>うんこと思うなら新スレまでしつこく追っかけてくるなよ、
>馬鹿だろお前は

これで決まったな

>>98

ごまかすなよアホ

>てそんなこと聞くやつって馬鹿だと思うけど

見なきゃ迷惑になりようがないだろ
お前が馬鹿だと思うけど

新スレまでしつこく追っかけてきてうんこだから迷惑だよかｗｗｗ

>>100

そういう言い訳は世間では通用しないの
病院ではしらなけどな
オマエ世間知らずだなあw

>>101

ウンコスレ17も18も続けておいて
偉そうなこと言うなよ

もうちょっとましな煽りをしろよ
アホすぎ
それとも釣りなのかｗ

１０４とか、クマの自演だな

おれは無内容なスレみるより
こうやってアホが反応してくれた方がいいぜ

自分で自分のスレ荒らすアホを見るのは気持ちがいい

クンマーに言っておくが、ここでクンマーを批判しているのは

多人数いるということだ

一人が批判しているのではない

それだけお前が嫌われているのだ

>>104

謝れよ

命題
圏 C の任意の二つの骨格(>>87)は同型である。

証明
S と T を C の骨格とする。
X ∈ Ob(S) に対して X と同型な X’∈ Ob(T) が一意に決まる。
この X’を F(X) と書く。
選択公理により、各 X ∈ Ob(S) に対して同型 h_X：X → F(X) を選ぶ。
f：X → Y を C の射とする。
射 (h_Y)f(h_X)^(-1)：F(X) → F(Y) を F(f) と書く。
このとき F：S → T は同型である。
証明終

S を圏 C の骨格(>>87)とする。
定義(>>87)から包含関手 F：S → C は充満かつ同型的に密(>>76)である。
よって、F は圏同値(過去スレ017の404)である。

>>107
>それだけお前が嫌われているのだ

嫉妬ですかｗ

>>111

でたな
また嫉妬か
ゲイのないやつだな

それもさんざん叩かれただろ
おまえマゾだな

なんかここまでアホだと
同情しちゃうね

嫉妬については
このアホスレ18の
>>25>>26
などなど参照のこと

反論の余地がなければ、でてこなきゃいいのに。

命題
C と D を骨格的(>>85)な圏とする。
F：C → D を圏同値(過去スレ017の404)とする。

このとき、F は同型(過去スレ017の358)である。

証明
過去スレ017の399より準逆関手(過去スレ017の394) G: D → C が存在する。
C と D はそれぞれ骨格的であるから GF = 1_C かつ FG = 1_D である。
よって、F は同型である。
証明終

命題
C と D を圏とする。
S と T をそれぞれ C と D の骨格(>>87)とする。

このとき、C と D が圏同値(過去スレ017の404)であるためには
S と T が同型であることが必要十分である。

証明
必要性：
C と D が圏同値であるとする。
>>110より S と C は圏同値であり、T と D は圏同値である。
よって、S と T は圏同値である。
よって、>>116より S と T は同型である。

十分性：
S と T が同型であるとする。
S と T は圏同値である。
>>110より S と C は圏同値であり、T と D は圏同値である。
よって、C と D は圏同値である。
証明終

定義
F：C → D
G：D → E
H：D → E
を関手とする。
σ：G → H を自然変換(過去スレ017の370)とする。

自然変換 σF：GF → HF を (σF)(X) = σ(F(X)) により定義する。

定義
F：C → D
G：C → D
H：D → E
を関手とする。
σ：F → G を自然変換(過去スレ017の370)とする。

自然変換 Hσ：HF → HG を (Hσ)(X) = H(σ(X)) により定義する。

嫉妬でないなら何故叩きにわざわざ来るんだよｗ
くだらないことを書いてると思ったら無視すればいいだけ
わざわざ毎回のぞきに来るのはなんでかなーｗ
Kummerが気になって気になってしょうがないらしいなｗ
言っとくがお前らが叩けば叩くほどKummerは元気になるぞ
Kummerにとって一番いやなことは無視されることだ。
完全に無視されたらここに書かないかもな

命題
F：C → D
G：D → E
H：D → E
を関手とする。
σ：G → H を同型とする。

このとき、σF(>>118)は同型である。

証明
任意の X ∈ Ob(C) に対して σ(F(X))：GF(X) → HF(X) は同型である。
よって、過去スレ017の391より、σFは同型である。
証明終

命題
F：C → D
G：C → D
H：D → E
を関手とする。
σ：F → G を同型とする。

このとき、Hσ(>>119)は同型である。

証明
任意の X ∈ Ob(C) に対して σ(X)：F(X) → G(X) は同型である。
よって、H(σ(X))：HF(X) → HG(X) は同型である。
よって、過去スレ017の391より、Hσは同型である。
証明終

命題
F：C → D
G：D → E
をともに圏同値(過去スレ017の404)とする。

このとき、GF：C → E は圏同値である。

証明
F の準逆関手(過去スレ017の394)を F’とし、
G の準逆関手を G’とする。

G’G と 1_D は同型であるから>>121より G’GF と (1_D)F = F は同型である。
よって、>>122より F’G’GF と F’F は同型である。
一方、F’F は 1_C と同型である。
よって、F’G’GF は 1_C と同型である。

同様に GFF’G’は 1_E と同型である。

以上から F’G’は GF の準逆関手である。
証明終

>>117の修正

命題
C と D を圏とする。
S と T をそれぞれ C と D の骨格(>>87)とする。

このとき、C と D が圏同値(過去スレ017の404)であるためには
S と T が同型であることが必要十分である。

証明
必要性：
C と D が圏同値であるとする。
>>110より S と C は圏同値であり、T と D は圏同値である。
よって、>>123より S と T は圏同値である。
よって、>>116より S と T は同型である。

十分性：
S と T が同型であるとする。
S と T は圏同値である。
>>110より S と C は圏同値であり、T と D は圏同値である。
よって、>>123より C と D は圏同値である。
証明終

>>123の補足
>F の準逆関手(過去スレ017の394)を F’とし、
>G の準逆関手を G’とする。

過去スレ017の399により F および G は準逆関手をもつ。

命題
F：C → D
G：D → E
をともに同型的に密(>>76)とする。

このとき GF：C → E は同型的に密である。

証明
G は同型的に密であるから、任意の Z ∈ Ob(E) に対して Y ∈ Ob(D) があり、
G(Y) が Z と同型になる。
F は同型的に密であるから、X ∈ Ob(C) があり、F(X) が Y と同型になる。
よって、GF(X) が G(Y) と同型になる。
よって、GF(X) が Z と同型になる。
即ち、GF：C → E は同型的に密である。
証明終

圏同値は準逆関手をもつということの証明(過去スレ017の399)には
選択公理を使用している。
従って、>>125 より>>123の証明には間接的に選択公理が使用されている。
選択公理を使わないで>>123を証明しよう。

>>123の別証明

命題
F：C → D
G：D → E
をともに圏同値(過去スレ017の404)とする。

このとき、GF：C → E は圏同値である。

証明
F と G はともに充満忠実であるから
GF も充満忠実である。

一方、F と G はともに同型的に密(>>76)であるから>>126より、
GF も同型的に密である。
よって、GF は圏同値である。
証明終

定義
C を圏 D の部分圏(過去スレ017の361)とする。
F: C → D を包含関手とする。

S を D の対象とする。
S から F への普遍射(過去スレ017の572) (X, r) を S の C-反射(C-reflection)と呼ぶ。
即ち、X は C の対象であり r：S → X は C における射であり、
次の性質をもつ。

Y を C の対象とし、f：S → Y を C における射とする。
このとき、次の図式を可換にする射 X → Y が一意に存在する。

S → S
↓　↓
X → Y

ここで、上段の横の射は恒等射である。

用語の濫用だが X も S の C-反射と言う。

定義
C を圏 D の部分圏(過去スレ017の361)とする。
D の任意の対象が C-反射(>>128)を持つとき C を反射的部分圏と言う。

例
Uform を小さい一様空間全体の圏とする。
CUform を完備かつ分離な小さい一様空間全体の圏とする。

X ∈ Ob(Uform) のとき X の分離完備化(過去スレ006の288) X＾と
標準射 X → X＾ の対は CUform-反射(>>128)である。

CUform は Uform の反射的部分圏である。

例
Prord を小さい前順序集合全体の圏とする。
Prord の射としては単調な非減少写像をとる。
Poset を小さい順序集合全体からなる Prord の充満な部分圏とする。

X を Prord の対象とする。
X の元 x, y に対して x ≦ y かつ y ≦ x のとき x 〜 y と定義することにより
X の同値関係〜が得られる。
X/〜 は X の前順序により順序集合となる。
p：X → X/〜 を標準写像とする。
(X/〜, p) は Poset-反射(>>128)である。

よって、Poset は Prord の反射的部分圏(>>129)である。

>>131
>(X/〜, p) は Poset-反射(>>128)である。

(X/〜, p) は X の Poset-反射(>>128)である。

例
Grp を小さい群全体の圏とする。
Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。

G を Grp の対象とする。
G の交換子部分群を [G, G] とする。
即ち、[G, G] は G の部分集合 {xyx^(-1)y^(-1)；x, y ∈ G} から
生成される G の正規部分群である。
p：G → G/[G, G] を標準射とする。
(G/[G, G], p) は G の Ab-反射(>>128)である。

よって、Ab は G の反射的部分圏(>>129)である。

定義
C を圏とする。
C の対象は C-対象とも言う。
C の射は C-射とも言う。

>>128の修正

定義
C を圏 D の部分圏(過去スレ017の361)とする。
F: C → D を包含関手とする。

X を D の対象とする。
X から F への普遍射(過去スレ017の572) (X＾, r) を X の C-反射(C-reflection)と呼ぶ。
即ち、X＾は C-対象で r：X → X＾は D-射であり、
次の性質をもつ。

Y＾を C-対象とし、f：X → Y＾を D-射とする。
このとき、次の図式を可換にする C-射 X＾→ Y＾が一意に存在する。

X　→ X
↓　　↓
X＾→ Y＾

ここで、上段の横の射は恒等射である。

用語の濫用だが X＾も X の C-反射と言う。

>>129の修正

定義
C を圏 D の部分圏(過去スレ017の361)とする。
任意の D-対象が C-反射(>>135)を持つとき
C を D の反射的部分圏(reflective subcategory)と言う。

命題
C を圏 D の部分圏(過去スレ017の361)とする。
X を D-対象とする。
X の C-反射 r：X → X＾は同型を除いて一意である。
即ち、s：X → Y＾ を C-反射とすると
同型 f：X＾→ Y＾で次の図式を可換にするものが一意に存在する。

X　→ X
↓　　↓
X＾→ Y＾

証明
F: C → D を包含関手とする。
(X＾, r) は X から F への普遍射(過去スレ017の572)である。
即ち、(X＾, r) は圏 (X↓F) (過去スレ017の571)の始対象である。
過去スレ017の289より始対象は全て同型である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

>>137の修正

命題
C を圏 D の部分圏(過去スレ017の361)とする。
X を D-対象とする。
X の C-反射 r：X → X＾は C-同型を除いて一意である。
即ち、s：X → Y＾ を C-反射とすると
C-同型 f：X＾→ Y＾で次の図式を可換にするものが一意に存在する。

X　→ X
↓　　↓
X＾→ Y＾

証明
F: C → D を包含関手とする。
(X＾, r) は X から F への普遍射(過去スレ017の572)である。
即ち、(X＾, r) は圏 (X↓F) (過去スレ017の571)の始対象である。
過去スレ017の289より始対象は全て同型である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

命題
C を圏 D の反射的部分圏(>>136)とする。
以下の条件は同値である。
�@ C は D の充満部分圏である。
�A 任意の C-対象 X＾に対して 1_X＾：X＾→ X＾ は C-反射である。
�B 任意の C-対象 X＾に対して C-反射 r_X＾：X＾ → Y＾は C-同型である。
�C 任意の C-対象 X＾に対して C-反射 r_X＾：X＾ → Y＾は C-射である。

証明
�@ ⇒ �A
C-対象 Y＾に対して f：X＾→ Y＾を D-射とする。
C は充満であるから f は C-射である。
下の図式は可換であるから 1_X＾は C-反射である。

X＾→ X＾
↓　　↓
X＾→ Y＾

�A ⇒ �B
r_X＾：X＾ → Y＾ を C-反射 とする。
�@ より、1_X＾：X＾→ X＾ は C-反射である。
>>138より、r_X＾は C-同型である。

�B ⇒ �C
自明である。

�C ⇒ �@
X＾と Z＾を C-対象とし、f：X＾→ Z＾を D-射とする。
r_X＾：X＾ → Y＾を C-反射とする。
C-射 g：Y＾→ Z＾ で f = g(r_X＾) となるものが一意に存在する。
�C より、r_X＾ は C-射であるから f は C-射である。
証明終

命題
C を圏 D の反射的部分圏(>>136)とする。

各 D-対象 X に対象に対して X の C-反射 r_X：X → X＾を選ぶ(選択公理)。
R(X) = X＾とおく。
f：X → Y を D-射とすると、次の図式を可換にする C-射： R(f)：R(X)→ R(Y) が
一意に存在する。

X　 → Y
↓　　 ↓
R(X)→ R(Y)

このとき R：D → C は関手である。

証明
各 D-対象 X に対して R(1_X) = 1_R(X) は R(1_X) の一意性から明らかである。

f：X → Y と g：Y → Z を D-射とする。
次の図式の左右の四角は可換であるから外側の四角も可換である。
よって、R(gf) の一意性より、R(gf) = R(g)R(f) である。

X　 → Y　 →　Z
↓　　 ↓　　　↓
R(X)→ R(Y)→ R(Z)
証明終

定義
>>140の R を D から C への反射関手(reflector)と呼ぶ。

過去スレ017の372の修正

定義
C と D を圏とする。
C から D への関手全体を Func(C, D) または Hom(C, D) または D^C と書く。
Func(C, D) は自然変換(過去スレ017の370)を射とすることにより圏となる。
Func(C, D) を C から D への関手の圏と呼ぶ。

C が小さい圏(過去スレ017の322)のとき Func(C, D) は大きい圏(過去スレ017の324)である。

C が大きい圏のとき Func(C, D) は大きい圏とは限らない。
即ち、U を過去スレ017の321の宇宙とすると、
Ob(Func(C, D)) ⊂ U
Hom(Func(C, D)) ⊂ U
となるとは限らない。

定義
F：C → D と G：F → D を関手とする。
σ：F → G を自然変換(過去スレ017の370)とする。
σ が圏 Func(C, D) (>>142)の射として同型であるとき σ を自然同型と呼び、
F と G は自然同型であるという。

>>143の修正

定義
F：C → D と G：C → D を関手とする。
σ：F → G を自然変換(過去スレ017の370)とする。
σ が圏 Func(C, D) (>>142)の射として同型であるとき σ を自然同型と呼び、
F と G は自然同型であるという。

命題
C を圏 D の反射的部分圏(>>136)とする。
R：D → C と S：D → C を反射関手(>>141)とする。

このとき、R と S は自然同型(>>144)である。

証明
各 D-対象 X に対して次の図式を可換にする C-同型 σ(X)：R(X)→ S(X) が
一意に存在する。

X　 → X
↓　　 ↓
R(X)→ S(X)

次の図式の上の四角と外側の四角は可換である。

X　　 →　 Y
↓　　　　↓
R(X)　→　R(Y)
↓　　　　↓
S(X)　→　S(Y)

よって、X → R(X) → R(Y) → S(Y) = X → R(X) → S(X) → S(Y)
この両辺の射は外側の四角の可換性より、X → Y → R(Y) → S(Y) に等しい。
よって、X → R(X) の普遍性より
R(X) → R(Y) → S(Y) = R(X) → S(X) → S(Y)
即ち、下の四角は可換である。
よって、σ は自然変換である。

過去スレ017の391より、σ は自然同型である。
証明終

>>135の双対

定義
C を圏 D の部分圏(過去スレ017の361)とする。
F: C → D を包含関手とする。

X を D の対象とする。
F から X への普遍射(過去スレ017の573) (X＾, c) を X の C-余反射(C-coreflection)と呼ぶ。
即ち、X＾は C-対象で c：X＾ → X は D-射であり、
次の性質をもつ。

Y＾を C-対象とし、f：Y＾→ X を D-射とする。
このとき、次の図式を可換にする C-射 Y＾→ X＾が一意に存在する。

Y＾→ X＾
↓　　↓
X　→ X

ここで、下の射は恒等射である。

用語の濫用で X＾も X の C-余反射と言う。

>>136の双対

定義
C を圏 D の部分圏(過去スレ017の361)とする。
任意の D-対象が C-余反射(>>146)を持つとき
C を D の余反射的部分圏(coreflective subcategory)と言う。

例
Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
TorAb を小さい捩れアーベル群全体の圏とする。
捩れアーベル群とはすべての元が有限位数であるアーベル群のことである。

Ab-対象 A に対して T(A) を A の有限位数全体のなすアーベル群とする。
包含写像：T(A) → A は TorAb-余反射(146)である。

>>120
が効いたと思ってるんだろうな
哀れをもよおすほどの情けない反撃

クンマー様、

この議論にファンクター・カテゴリーが必要というのはちょっと意外ですね。
唯言葉として使ってるだけなら判りますが。

猫

>>138の双対

命題
C を圏 D の部分圏とする。
X を D-対象とする。
X の C-余反射 c：X＾ → X は C-同型を除いて一意である。
即ち、d：Y＾ → X を C-余反射とすると
C-同型 f：Y＾→ X＾で次の図式を可換にするものが一意に存在する。

Y＾→ X＾
↓　　↓
X　→ X

証明
F: C → D を包含関手とする。
(X＾, c) は F から X への普遍射(過去スレ017の573)である。
即ち、(X＾, c) は圏 (F↓X) (過去スレ017の573)の終対象である。
過去スレ017の289より終対象は全て同型である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

>>150
必要じゃないですが自然変換を Func(C, D) の射として捕らえる視点は
重要だと思います。
Grothendieckは自然変換を functorial morphism と呼んでますよね。
私も natural transformation よりこちらの呼び名が好きなんですが
英語圏では一般的ではないですね。

>>152
はい、納得しました。かの大Grothendieckはmorphismという言葉遣いが
大好きですよね。だからまあ「この話」に関しては導来関手と導来圏の
関係みたいに理解すれば良いんですよね。

どうも有難う御座いました。

猫拝

>>139の双対
命題
C を圏 D の余反射的部分圏(>>147)とする。
以下の条件は同値である。
�@ C は D の充満部分圏である。
�A 任意の C-対象 X＾に対して 1_X＾：X＾→ X＾ は C-余反射である。
�B 任意の C-対象 X＾に対して C-余反射 c_X＾：Y＾ → X＾は C-同型である。
�C 任意の C-対象 X＾に対して C-余反射 c_X＾：Y＾ → X＾は C-射である。

証明
�@ ⇒ �A
C-対象 Y＾ に対して f：Y＾→ X＾を D-射とする。
C は充満であるから f は C-射である。
下の図式は可換であるから 1_X＾は C-余反射である。

Y＾→ X＾
↓　　↓
X＾→ X＾

�A ⇒ �B
c_X＾：Y＾ → X＾ を C-余反射 とする。
�@ より、1_X＾：X＾→ X＾ は C-余反射である。
>>139より、c_X＾は C-同型である。

�B ⇒ �C
自明である。
�C ⇒ �@
X＾と Z＾を C-対象とし、f：Z＾→ X＾を D-射とする。
c_X＾：Y＾ → X＾を C-余反射とする。
C-射 g：Z＾→ Y＾ で f = (c_X＾)g となるものが一意に存在する。
�C より、c_X＾ は C-射であるから f は C-射である。
証明終

>>140の双対

命題
C を圏 D の余反射的部分圏(>>147)とする。

各 D-対象 X に対象に対して X の C-余 c_X：X＾ → Xを選ぶ(選択公理)。
F(X) = X＾とおく。
f：X → Y を D-射とすると、次の図式を可換にする C-射： F(f)：F(X)→ F(Y) が
一意に存在する。

F(X)→ F(Y)
↓　　 ↓
X　 → Y

このとき F：D → C は関手である。

証明
各 D-対象 X に対して F(1_X) = 1_F(X) は F(1_X) の一意性から明らかである。

f：X → Y と g：Y → Z を D-射とする。
次の図式の左右の四角は可換であるから外側の四角も可換である。
よって、F(gf) の一意性より、F(gf) = F(g)F(f) である。

F(X)→ F(Y)→ F(Z)
↓　　 ↓　　　↓
X　 → Y　 →　Z
証明終

定義
>>155の F を D から C への余反射関手(coreflector)と呼ぶ。

>>145の修正

命題
C を圏 D の反射的部分圏(>>136)とする。
R：D → C と S：D → C を反射関手(>>141)とする。

このとき、R と S は自然同型(>>144)である。

証明
各 D-対象 X に対して次の図式を可換にする C-同型 σ(X)：R(X)→ S(X) が
一意に存在する。

X　 → X
↓　　 ↓
R(X)→ S(X)

次の図式の上の四角と外側の四角は可換である。

X　　 →　 Y
↓　　　　↓
R(X)　→　R(Y)
↓　　　　↓
S(X)　→　S(Y)

よって、X → R(X) → R(Y) → S(Y) = X → R(X) → S(X) → S(Y)
よって、X → R(X) の普遍性より
R(X) → R(Y) → S(Y) = R(X) → S(X) → S(Y)
即ち、下の四角は可換である。
よって、σ は自然変換である。

過去スレ017の391より、σ は自然同型である。
証明終

>>157の双対

命題
C を圏 D の余反射的部分圏(>>147)とする。
F：D → C と G：D → C を余反射関手(>>156)とする。
このとき、F と G は自然同型(>>144)である。

証明
各 D-対象 X に対して次の図式を可換にする C-同型 σ(X)：F(X)→ G(X) が
一意に存在する。

F(X)→ G(X)
↓　　 ↓
X　 → X

次の図式の下の四角と外側の四角は可換である。

F(X)　→　F(Y)
↓　　　　↓
G(X)　→　G(Y)
↓　　　　↓
X　　 →　 Y

よって、F(X) → F(Y) → G(Y) → Y = F(X) → G(X) → G(Y) → Y
この両辺の射は外側の四角の可換性より、F(X) → G(X) → X → Y に等しい。
よって、G(Y) → Y の普遍性より
F(X) → F(Y) → G(Y) = F(X) → G(X) → G(Y)
即ち、上の四角は可換である。
よって、σ は自然変換である。

過去スレ017の391より、σ は自然同型である。
証明終

ここで圏論における双対原理について述べよう。

ある圏 C における命題 P を考える。
P に現れる C の対象はそのままで P に現れる各射の向きを
逆にした双対命題 P^* を考える。
P^* は C の双対圏(過去スレ017の352) C^o における命題と見なせる。
よって自明な次の原理が得られる。

[双対原理] P が C で正しいためには P^* が C^o で正しいことが必要十分である。

この双対原理は自明だが非常に強力である。
例えば、>>158は>>157の双対命題である。
双対原理から>>158は>>157から自動的に得られるので証明の必要はない。
しかし、>>158の証明を繰り返したのは圏論における証明に慣れるという意味からである。

圏論を使わない（例えば代数の）教科書などではこの双対原理が
明確に意識されていない場合が多い。
例えば圏論の立場からは加群の Hom と テンソル積は双対的であるので
一方の関手的性質から他方の関手的性質が自動的に得られる。

自然変換(過去スレ017の370)について補足する。

F：　C → D、F’：C → D
G：　D → E、G’：D → E
を関手とする。

σ：F → F’
τ：G → G’
を自然変換とする。

　 F　　G
C → D → E
　↓　　↓
C → D → E
　 F’　G’

>>118より、自然変換 τF　：GF　 → G’F が定義される。
>>119より、自然変換 G’σ：G’F → G’F’が定義される。
よって、自然変換 (G’σ)(τF)：GF　 → G’F’が得られる。

同様に、
Gσ　：GF　→ GF’
τF’：GF’→ G’F’
よって、自然変換 (τF’)(Gσ)：GF　 → G’F’’が得られる。

τが自然変換であるから任意の C-対象 X に対して次の図式は可換である。
GF(X)　 → G’F(X)
　↓　　　　　↓
GF’(X) → G’F’(X)

よって、(G’σ)(τF) = (τF’)(Gσ)
この自然変換を τ*σ と書く。

F：　C → D、F’：C → D
G：　D → E、G’：D → E
を関手とする。

σ：F → F’
τ：G → G’
を自然変換とする。

　 F　　G
C → D → E
　↓　　↓
C → D → E
　 F’　G’

このとき、
τ*(1_F) = τF
(1_G)*σ = Gσ
(1_G)*(1_F) = 1_GF

【自演中】
　　　　　　 ∧,,∧　 ∧,,∧　　　　　　　　 ∧,,∧ 　∧,,∧
　　　　∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧　　∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧
　　　(　´・ω)　Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )(　´・ω)　Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )
　　　｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　と ﾉ ｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　と ﾉ
　　　　ｕ-ｕ （l 　　 　∧,,∧ 　∧,,∧　ｕ-ｕ （l 　　 ) (∧,,∧ 　∧,,∧
　　　　　　　 `ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧
　　　　　　　　　(　´・ω)　Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )(　´・ω)　Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )
　　　　　　　　　｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　と ﾉ｜　Ｕ (　　´・) (・｀　　)　と ﾉ
　　　　　　　　　　ｕ-ｕ （l 　　 ) (　　　ﾉu-ｕ　　ｕ-ｕ （l 　　 ) (　　　ﾉu-ｕ
　　　　　　　　　　　　　 `ｕ-ｕ'.　`ｕ-u'　　　　　　　　　`ｕ-ｕ'.　`ｕ-u'

失業者、無職のクンマーは
どうやって暮らしているの？
こんな無意味な書き込みを延々と続けて
人生が無駄になっているという思いさえ
抱かないの？

このスレッドって、個人のスレッドなんだから
規約違反だろ？

スレッドストッパーをかけてくれ

だれか依頼してくれないか？

　　　　　　　　_....._{{ 〃
　　　　 　, - ' ,..､､.ヾ{{フ'⌒`ヽ､
　　　　／　 ,:', -‐‐` ´ '´⌒ヽ　ヾ:､
.　　　,'　　 ,'´　,ィ ,ｨ ,' , 　 ｀ヽ',　 ',-<
　 　 ,' 　　.i　 /|. /.| { i,　 i,　　}.　 }_,,）)
　　　!　|　 ! .,'-.{ !　!|; |`､.}ﾞ!.!　|.　 !　ヽ.
　　　',　',　|Vｧ=､ﾞ､ ｀ﾞ､!-_:ﾄ,ﾘ', l !　| 　 ﾞ',
　　　 ヽ､', l:!Kノ}. 　 　 f:_.)iﾞi: ﾘ !　l　ル　
　　　　 | l!iヽﾞ- '　, 　　.!__:ﾉ ﾞ ,ﾘ l ﾘ'´ 　 　　
.　　　　 ',|!!､ 　 　r‐┐ 　 ｀ ノ'. /,ｲ　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　
　　　　　 'i!ﾞ､ヽ､　ﾞｰ'　　_, ィ,:',:''´　　　 ＜　 Mathematica に関する話題はここに書いてね！
　　　　　　ﾞ:､ｨ､jヾｰ::: 'iﾍ　.ノ',ﾘ. 　 　 　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　,､- '´　ヽ､ﾞ､　　 {　｀＞"､ 　
　　/＼＼　　　　',　　 }　　 //｀ヽ

提案します

このスレッドを「雑談スレ」

として使いましょう

命題
F：　C → D、F’：C → D
G：　D → E、G’：D → E
H：　E → K、H’：E → K
を関手とする。

σ：F → F’
τ：G → G’
ρ：H → H’
を自然変換とする。

　 F　　G　　H
C → D → E → K
　↓　　↓　　↓
C → D → E → K
　 F’　G’　H’

このとき、ρ*(τ*σ) = (ρ*τ)*σ

わかりました。
政治について話しますか？

>>167の証明
任意の C-対象 X に対して
ρ*(τ*σ)(X)：HGF(X) → H’G’F’(X) は次の可換図式における、
合成射：HGF(X) → H’GF(X)→ H’G’F’(X) = HGF(X) → HG’F’(X)→ H’G’F’(X)
である。

HGF(X)　 →　H’GF(X)
　↓　　　　　　↓
HG’F’(X) → H’G’F’(X)

(ρ*τ)*σ(X)：HGF(X) → H’G’F’(X) は次の可換図式における、
合成射：HGF(X) → H’G’F’(X) → H’G’F’(X) = HGF(X) → HGF’(X)→ H’G’F’(X)
である。

HGF(X)　 →　H’G’F(X)
　↓　　　　　　↓
HGF’(X) → H’G’F’(X)

一方、次の図式の上と射の四角は可換であるから外側の四角も可換である。
よって、ρ*(τ*σ)(X) = (ρ*τ)*σ(X)

HGF(X)　 → H’GF(X)
　↓　　　　　↓
HG’F(X) → H’G’F(X)
　↓　　　　　↓
HG’F’(X) → H’G’F’(X)
証明終

調査捕鯨って税金が数百億円使われているんだろ

鯨なんて、日本人の９９％は１０年以上も食ったことないんじゃないか？

そんなもん、とらなくてもいいんじゃないか？

どうせ、調査捕鯨は農林水産省の役人の天下り団体のためにやっているんだろ

調査捕鯨はやめて、商業捕鯨をするか、捕鯨自体をやめるかどっちかにすればいい

鯨の肉なんて、食いたくないよ

ツナ缶用の漁のために、２５年余りで数百万頭のイルカを虐殺したアメリカ。
東太平洋の７５％(全世界の５０％)のマダライルカをそれで殺したアメリカ。
あわてて９０年代にドルフィンセーフ(イルカを傷つけずに捕ったツナ)しか
売れなくしたにも関わらず、ツナ業者の圧力で１０年しない内に規制を緩和
したアメリカ。
今日も、「イルカにやさしい」ラベルの付いたツナ缶をアメリカ人が食べる
ためにイルカが虐殺されている。

４００年間イルカ漁を続けても、絶滅などさせずに未だに漁が可能な太地。

野蛮なのはどちら？

以前の記事からの引用だが

＞ニュージーランド・ヘラルド紙によると、ベチューン船長はニュージーランド人で、現在４４歳。もともとは海底油田を発掘する
＞エンジニアで、北海やリビアなどで暮らしていたこともあったが、夫婦で家を担保に入れて、高速艇「アース・レース号」を建造した。

＞この高速艇が後にアディ・ギル号に“改造”されることになる。ベチューン船長は、この高速艇でバイオ燃料を使って世界一周すると
＞いうイベントに参加していたが、途中、グアテマラの漁船と衝突事故が起き、死者も出たため、多額の補償金の支払いを背負うことになったという。


マスコミはこのニュース掘り下げろよ
船沈めた所からここまで間違いなく金目当てだろ

いるかを食うやつも鬼畜だな

なんでスレ主はLaTexで打たないのかな？
LaTexを打てないのか？
数学の本にしろ、論文にしろ、いまどきLaTexで打つのが普通だろ

命題
F：　C → D、F’：C → D、F”：C → D
G：　D → E、G’：D → E、G”：D → E
を関手とする。

σ：F → F’
τ：G → G’
σ’：F’→ F”
τ’：G’ → G”
を自然変換とする。

　 F　　G
C → D → E
　↓　　↓
C → D → E
　↓　　↓
C → D → E
　 F”　G”

このとき、(τ’*σ’)(τ*σ) = (τ’τ)*(σ’σ) である。

>>175の証明
次の図式の各小四角形は可換であるから外側の四角形も可換である。
外側の四角形から得られる射：GF(X) → G”F”(X) は (τ’τ)*(σ’σ) である。
左上の小四角形から得られる射：GF(X) → G’F’(X) は τ*σ である。
右下の小四角形から得られる射：G’F’(X) → G”F”(X) は τ’*σ’である。
よって、(τ’*σ’)(τ*σ)(X) = (τ’τ)*(σ’σ)(X)

GF(X)　 → G’F(X)　 → G”F(X)
　↓　　　　　↓　　　　　↓
GF’(X) → G’F’(X) → G”F’(X)
　↓　　　　　↓　　　　　↓
GF”(X) → G’F”(X) → G”F”(X)
証明終

えらく醜いなｗ
ど素人の、しかも読みにくくて、何を書いてあるか判読するのも
面倒な書式のものを、誰が読みかね？
LaTexで書いて、どこかにうっぷすればいいだけなんだがｗ

相変わらずの低脳ぶりだね>Kummer

>>174
Tex打てないからここに書いてるわけじゃないだろ。
Kummerは読者の反応を見るのとノート代わりにこに書いてると言ってるぞ。

>>179
自演するなよ、クマ

>>179
はあ？　DVI Fileではなくても、TeXの書式で書けってことだよ
言っている意味がわからんのかい？　打てないんだろ、おまえｗ

低脳のKummerなんざあ、相手にしなさんな
時間の無駄というものだよｗ
所詮、あの病気なので、言葉は通じないｗ

>>181
そんなのよっぽど見づらいだろ

>>182
お前こそ相手にするなよ
自分の言ってることが矛盾してることに気づかないのかｗ

掲示板に数式書くのにtexの書式を使うやつなんかおらんやろｗ

命題
F：　C → D
G：　D → E、G’：D → E
H：　E → K
を関手とする。

τ：G → G’
を自然変換とする。

　 F　　G　　 H
C → D → E → K
　　　 ↓τ
　　　D → E → K
　　　　G’　 H

このとき、(Hτ)F = H(τF)

証明
(Hτ)F = ((1_H)*τ)*(1_F) ← >>161
= (1_H)*(τ*(1_F))　　　　← >>167
= (1_H)*(τF)　　　　　　 ← >>161
= H(τF)　　　　　　　　　← >>161
証明終

なにこのスレこわい

命題
F：　C → D、F’：D → E
G：　D → E
H：　E → K
を関手とする。

σ：F → F’
を自然変換とする。

　 F　　G　　 H
C → D → E → K
　↓σ
C → D → E → K
　 F’　G　　 H

このとき、(HG)σ = H(Gσ)

証明
(HG)σ = ((1_HG)*σ)　　　 ← >>161
= ((1_H)*(1_G))*σ)　　　　← >>161
= (1_H)*((1_G)*σ)　　　　 ← >>167
= (1_H)*(Gσ)　　　　　　　← >>161
= H(Gσ)　　　　　　　　　 ← >>161
証明終

>>178 >>180 >>182
はホモ確定やんか。

>>189

>>181　を忘れちゃいませんかい？

実際のところ

誰もいないね

圏論に行って敵を多く作ったな

>>192
ワシは圏論は大好きや。そやけどアンタは嫌いなんかァー

猫

件論がすきかどうかと関係なく

汚物は嫌いということなんだよ＞この糞猫

「付き合うなら公務員の人が良いな」「お医者さんも魅力的〜！」
　男性のみならず女性でも「こういった職業の人と付き合ってみたい！」と願望を持っている方も多いと思います。
　私の周りのアラサーギャル世代は、医者・弁護士・パイロットといった職業が人気を集めていましたが、
　果たして現役ギャルの間ではどのような職業に就いている男性が人気を集めているのでしょうか。
　GRPで調査を行ってみると、
5位：医者
4位：サラリーマン
3位：公務員・芸能人(同率)
2位：社長
　となり、安定型の職業が人気を集めている一方、華やかな世界に身を置いている男性にも注目が集まっている
　結果となりました。そんな中、堂々1位に輝いたのは…鳶職や土建・大工といった、いわゆる「ガテン系」だったのです！
　「男らしくて、現場で汗水流している姿がかっこいい！」「手に職を付けている感じとか、あの作業服も良い！」
　「普通のサラリーマンとは違うあの強そうな雰囲気とか惹かれる！」
　このようにギャル達の間では、ニッカポッカなどの作業服を着ながら現場で働いている男性に魅力を感じているようです。
　また、「ガテン系」が選ばれた一番の理由には、ギャルの「結婚意識」が関係していることが分かりました。

　というのは、益若つばさや板橋瑠美といった人気モデル達が若いうちに結婚を決めたように、若くしてママと
　なりたいと考えるギャルが多く、尚且つ、若いパパと一緒に家庭を築きあげたいと夢描いているようです。
　だからこそ、イメージ的に10代の頃から働き、更に比較的収入も高いと思われる「ガテン系」で、生活力
　（10代の中で）がある男性にギャル達は魅力を感じでいるんですよね。

　その他、「いつも鍛えている筋肉で守ってくれそう」「頼りがいがありそう」と答えたギャルもいました。
　肉食系、ギャル界で言う「オラオラ」を好むギャル達だからこそ、内面的にも外面的にも「男」を感じることの
　出来る、「ガテン系」に魅力を感じているのかもしれません。(一部略)
　http://www.j-cast.com/mono/2010/03/12062201.html?p=all
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
くまーは社長なんだろ？　ギャルにもてるんだよｗ　でもホモかい？

くまーはイギリス人で貴族、会社のオーナーで沢山人をつかっている。
しかも病院に入院して、「パソコン」を使わせてもらっている。
沢山の人をつかっているのに、TeXも打ったこともなく
打ちにくいメモ帳で２ちゃんに掲載するため、本を写している。
普通、人をつかっているなら、自分は自分のアイデアで
本を写すにせよ、原稿を作成して、「パソコン」とやらを
使うのは使用人だろ？　間違いをチェックするのが面倒？
ならば、原稿をTeXで作って使用人にメモ帳に作り直してもらえば
いいんじゃないか？　ＩＨＥＳ時代のグロタンは
手書き原稿と講義をするだけで、デュドンネとかが
きちんとした原稿にしたもんだ
人をつかっているなら、意味のあるつかい方をしたらどうだ？

柏原さんの退官記念集会って
今日からだっけ？＞Ｎｅｋｏ

くまさんも仕事ないらしくて大変ですね　下記のことをどう思いますか？
★「就職氷河期」はなぜ起こったのか　　　　　　　上
　　池田信夫 blog　2007-09-29

フリーターの告発「『丸山眞男』をひっぱたきたい」をめぐって始まった議論は延々と続き、
コメントも3つの記事の合計で400を超えた。なぜ「就職氷河期」が起こり、10年以上も
続いたのか、こういう状況をどうすれば是正できるのか、についていろいろな意見が
出たが、ここで私なりの感想をまとめておく。
まず「格差が拡大したのは小泉政権の市場原理主義のせいだ」という俗説は、まったく
誤りである。正社員の求人は、1991年の150万人をピークとして翌年から激減し、
95年には退職とプラスマイナスゼロになっている。その原因がバブル崩壊による
長期不況であることは明らかだ。-
したがって福田首相のいう「現在の格差は構造改革の影の部分」だから、改革の手を
ゆるめようという政策も誤りである。むしろ「景気対策」と称して行なわれた90年代の
公共事業のバラマキが生産性を低下させ、かえって雇用環境を悪化させた疑いが強い。
したがって「都市と地方の格差」が最大の問題だというアジェンダ設定も誤りである。

実質成長率と人口移動（1955年＝100とする）
出所：増田悦佐『高度経済成長は復活できる』

上の図は、実質GDP成長率と大都市圏への人口移動（純増）を比較したものだが、
1980年前後を除いて見事に一致している。多くの経済学者が、この「1970年問題」を重視し、
日本の成長率低下の最大の原因は石油ショックではなく、70年代から田中角栄を初めとして
「国土の均衡ある発展」を理由にして進められた社会主義的な「全国総合開発計画」による
バラマキで、都市（成長産業）への労働供給が減少したためだ、という説が有力である。
さらに1970年代とほぼ同じ動きが、90年代に見られる。ここで成長率が激減しているのは、
もちろんバブル崩壊が原因だが、同時にそれに対して行なわれた100兆円以上の「景気対策」
によって地方で大規模な公共事業が行なわれたため、戦後初めて都市から地方へ人口が
「逆流」している。これが不況をかえって長期化させたのだ。

命題
下の図式において H、F、G、G’は関手であり、
τ：G → G’は自然変換とする。

　 H　　F　　　G
K → C　→ D　→ E
　　　　　　↓τ
K → C　→ D　→ E
　 H　　F　　　G’

このとき、τ(FH) = (τF)H

証明
τ(FH) = τ*(1_FH)　　　 ← >>161
= τ*((1_F)*(1_H))　　　　← >>161
= (τ*(1_F))*(1_H)　　　　 ← >>167
= (τF)*(1_H)　　　　　　　← >>161
= (τF)H　　　　　　　　　 ← >>161
証明終

今日も朝から本の書き写しか
いつ仕事しているの＞クマ

>>200
くまは無職だと前スレで認めているぞ

>>201
そのレス番号は？

>>202 クマ乙

自分でさがせよ
おまえは保管しているんだろ、過去ログをｗ

クマには仕事している誠実な人間の気持ちはわからないでしょｗ？
・１通の辞職願で上小阿仁村が揺れている。村唯一の医療機関「上小阿仁村国保診療所」に勤務する有沢幸子
　医師（６５）が「精神的に疲れた」と先月下旬、突然、退職表明し、６１年ぶりの無医村になる可能性が出てきたのだ。
　関係者は必死の慰留を続けているが「辞職の意思は固い」という。
　休みは２０日に１回という激務に耐え、地域医療を支えてきた有沢医師に何があったのか。

　■村の神様
　「死に水を取ってもらえた」「こんなに話しやすい先生は初めて」。村を歩くと村民から、有沢医師への感謝の言葉が
　聞こえて来る。
　有沢医師は昨年１月の赴任以来、午前８時３０分〜午後５時１５分の定時診療のほか、早朝や夜間の往診も
　自発的に続けている。

　脳梗塞(こうそく)で倒れた母（８８）の看病を続ける小林ユミ子さん（６６）の元にも、有沢医師は診療時間の合間を
　縫って連日訪問。今月８日の流動食開始日には３度往診し、「鼻から胃へ液体を落とすのよ」と優しい口調で
　説明を続けた。小林さんは「分からないことは丁寧に教えてくれる。有沢先生は私たちの神様なんです」と話す。

　斉藤ヒサコさん（７０）は昨年３月に他界した義理の母（享年９２歳）に対する有沢医師の献身的な診療が
　忘れられない。ふりしきる大雪の中、深夜の午前１時でも３時でも容体が悪化すると点滴や酸素ボンベを持って
　夫と駆け付けてきた。嫌な顔一つせず、「少しでも休んで」と家族をいたわってくれた。
　「息を引き取る瞬間まで、『ばぁちゃん、早く元気になれ』と声を掛け続けてくれた。先生が居なくなったら私は
　生きていけない」と斉藤さんは声を絞り出した。

記法
>>186における (Hτ)F = H(τF) を HτF と書くことにする。

クマの人生って意味あるのかしらんｗ？
■心に傷
　辞意を表した理由を有沢医師は公にしないが、小林宏晨村長（７２）は「言われ無き中傷により、心に傷を
　負わせてしまったことが最大の原因」と語る。
　村幹部らによると、有沢医師は昨秋、診療所向かいの自宅に「急患にすぐに対応できるように」と自費で照明を設置。
　だが、直後に「税金の無駄使いをしている」と言い掛かりを付けた村民がいたという。
　また、昼食を食べに行く時間が無く、診療所内でパンを買った際、「患者を待たせといて買い物か」と冷たい言葉を
　浴びせられたり、自宅に嫌がらせのビラがまかれたこともあったという。
　昨年、有沢医師の完全休診日はわずか１８日。土日や祝日も村内を駆け回り、お盆期間も診療を続けた。
　しかし、盆明けの８月１７日を休診にすると「平日なのに休むとは一体何を考えているんだ」と再び批判を
　受けたという。
　診療所の小嶋有逸事務長補佐（６０）は「こんなに身を粉にして働く医師は過去に例が無い。無医村になったら
　村民が困る。自分で自分の首を絞めている」と憤る。

　■翻意なるか
　村は、有沢医師の負担を軽減するため、土曜日の完全休診制や村の特別養護老人ホームへの往診免除などを
　申し入れ、交渉を続けているが結果は芳しくない。

　村民の中には有沢医師に「辞めないで」と懇願するために受診する人もいる。署名活動の動きもあり、旅館経営の
　高橋健生さん（６２）は「一人でも多くの声を伝えなければ手遅れになってしまう」と話す。

　有沢医師は兵庫県出身で、海外や北海道の利尻島などで診療に携わった経験がある。村へは夫と共に移住した。
　有沢医師は後任が見つかるようにと辞職日を来年３月末にした。だが翻意しなければ、村は２〜３か月後に
　医師募集し、後任探しをしなければならない状況に追い込まれる。
　小林村長は「一部の不心得者のために人格も腕も一流の医師を失うのは不本意。医師不足は深刻で、無医村になる
　公算は限りなく大きい」とため息をつく。（

またぞろ、荒らしが出始まったか。
クマーのことが気になって気になってどうしようもないんだなｗ

>>203
アホか
犯人が自分に不利な証拠を自分から探しに行くわけないだろ。
それは警察のやる仕事だ
といってもアホにはこの比喩がわからんかｗ

>>207 自演乙ｗ

命題
下の図式において F、G、G’、G”、H は関手であり、
τ：G → G’
τ’：G’→ G”
は自然変換とする。

　 F　　G　　H
C → D → E → K
　　　　↓τ
C → D → E → K
　 F　　G’　H
　　　　↓τ’
C → D → E → K
　 F　　G”　H

このとき、H(τ’τ)F = (Hτ’F)(HτF)
ここで、H(τ’τ)F、HτF、Hτ’F の記法については>>205参照。

証明
任意の C-対象 X に対して
(τ’τ)F(X) = (τ’F)(τF)(X)：GF(X) → G’F(X) → G”F(X)
よって、
H(τ’τ)F(X) = (Hτ’F)(HτF)(X) ：HGF(X) → HG’F(X) → HG”F(X)
証明終

命題
F：C → C を関手とする。
F と 1_C が自然同型(>>144)であれば F は圏同値(過去スレ017の404)である。

証明
f:X → Y を C における射とすると、次の図式は可換である。
ここで ⇔ は同型を表す。

F(X) ⇔ X
↓　　　↓
F(Y) ⇔ Y

よって、Hom(X, Y) ⇔ Hom(F(X), F(Y)) である。
ここで ⇔ は集合としての同型を表す。
即ち F は充満かつ忠実である。
F(X) ⇔ X であるから F は同型的に密(>>76)である。
よって、F は圏同値である。
証明終

定義
C を圏とし、S を C-対象とする。
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
関手：Hom(S, -)(過去スレ017の721)：C → Set が忠実(過去スレ017の403)のとき、
S を C の分離対象(separator)と呼ぶ。

命題
C を圏とし、S を C-対象とする。
以下の条件は同値である。

(1) S は分離対象(>>212)である。

(2) f：X → Y、g：X → Y を C-射で
任意の h：S → X に対して fh = gh であれば f = g となる。

(3) f：X → Y、g：X → Y を C-射で f ≠ g とすると、
h：S → X で fh ≠ gh となるものが存在する。

証明
自明である。

例
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
S を任意の空でない小さい集合とする。
f：X → Y、g：X → Y を Set-射で f ≠ g とする。
f(x) ≠ g(x) となる x ∈ X がある。
h：S → X を任意の s ∈ S に対して h(s) = x により定義すると、
fh ≠ gh であるから>>213より S は分離対象である。

例
Grp を小さい群(過去スレ017の321)全体の圏とする。
f：G → H、g：G → H を準同型で f ≠ g とする。
f(x) ≠ g(x) となる x ∈ G がある。
Z を有理整数全体のなす加法群とする。
n ∈ Z に x^n を対応させる写像を h：Z → G とする。
h は準同型であり、fh(1) ≠ gh(1) であるから>>213より Z は Grp の分離対象である。

まだうんこ垂れ流しをしているの？　失業者クンマー君

クマを失業者というのは間違いだろ？
クマは求職していないからな
クマは働けないんだよ
理由はわかるだろｗ

3月13日〜3月16日：柏原正樹氏退官記念研究会"Algebraic Analysis and Beyond"

--In honor of Professor Masaki Kashiwara on the occasion of his retirement --

>>212の双対

定義
C を圏とし、S を C-対象とする。
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
関手：Hom(-, S)(過去スレ017の615)：C^o → Set が忠実(過去スレ017の403)のとき、
S を C の余分離対象(coseparator)と呼ぶ。

>>213の双対

命題
C を圏とし、T を C-対象とする。
以下の条件は同値である。

(1) T は余分離対象(>>219)である。

(2) f：X → Y、g：X → Y を C-射で
任意の h：Y → T に対して hf = hg であれば f = g となる。

(3) f：X → Y、g：X → Y を C-射で f ≠ g とすると、
h：Y → T で hf ≠ hg となるものが存在する。

証明
自明である。

例
Set を小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
T を少なくとも２元を含む小さい集合とする。
a と b を T の元で a ≠ b とする。
f：X → Y、g：X → Y を Set-射で f ≠ g とする。
f(x) ≠ g(x) となる x ∈ X がある。

h：Y → T を h(f(x)) = a, h(g(x)) = b となる任意の写像とする。
このとき、hf(x) ≠ hg(x) であるから>>220より T は Set の余分離対象(>>219)である。

>>209 >>216-217

いいからホモは糞して寝ろ。

定義
X を位相空間とする。
x と y を X の任意の相異なる２点とする。
このとき x の近傍 U で y を含まないものがあるか
y の近傍 V で x を含まないものがあるとき X を T_0 空間と呼ぶ。

命題
X が T_0 空間(>>223)でないためには
X の部分空間で密着位相を持ち、少なくとも相異なる２点を含むものがあることが
必要十分である。

証明
必要性：
X が T_0 空間でないとする。
X の相異なる２点 x, y で x の任意の近傍が y を含み、y の任意の近傍が x を含む。
よって、X の部分空間 {x, y} の位相は密着位相である。

十分性：
X の部分空間 Y で密着位相を持ち、少なくとも相異なる２点 x, y を含むものがあるとする。
このとき、x の X における任意の近傍 U に対して Y ∩ U は x の Y における近傍である。
Y は密着空間であるから Y ∩ U = Y である。
よって、y ∈ U である。
同様に y の X における任意の近傍 V に対して x ∈ V である。
よって、X は T_0 空間でない。
証明終

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
　　.キッ！　 　／　＼　 　／ ＼　くりいむレモン、プレミアの予感
＿＿＿∧,､ ／　 （●） 　（●）　 ＼＿＿＿＿
￣￣￣`'`　|　　　　（__人__）　　　　|￣￣￣￣
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

イギリス人の貴族で会社のオーナーで沢山の人を使いながら
精神病院に入院して、ホモで無職で家族のいないクンマーさん
こんにちはｗ

命題
Top を小さい位相空間(過去スレ017の321)全体の圏とする。
Top-対象 T が Top の余分離対象(>>219)であるためには
T が T_0 空間(>>223)でないことが必要十分である。

証明
T を T_0 空間でない小さい位相空間とする。
>>224より、X の相異なる２点 a, b で X の部分空間 {a, b} が密着空間となるものがある。

f：X → Y、g：X → Y を Top-射で f ≠ g とする。
f(x) ≠ g(x) となる x ∈ X がある。
u：Y → {a, b} を u(f(x)) = a, u(g(x)) = b となる任意の写像とする。
{a, b} は密着空間であるから u は連続である。
ι：{a, b} → T を包含写像とする。
h = ιu とおくと h は連続であり、h(f(x)) ≠ h(g(x)) である。
よって、T は Top の余分離対象である。

逆に T を Top の余分離対象とする。
X = {x, y} を相異なる２点 x, y からなる密着空間とする。
f = 1_X とおく。
g：X → X を g(x) = y、g(y) = x により定義する。
g は連続である。
f ≠ g であるから連続写像 h：X → T で hf ≠ hg となるものがある。
a = h(x)、b = h(y) とおくと、a ≠ b である。
a の T における任意の近傍を U とする。
h^(-1)(U) は x の近傍であるから X に等しい。
よって、b ∈ U である。
同様に b の T における任意の近傍を V とすると a ∈ V である。
よって、T は T_0 空間でない。
証明終

猫をさっき京大で見たよｗＷＷＷ

元気そうだったなｗ

>>226 会社のオーナーがなんで、こんな地味なことをしているの？

クンマーがホモと聞いて飛んできました

>>229

だからさ、クマが認めているように、無職だよ
会社のオーナーというのは妄想ｗ

>>227
おまえ脳味噌腐ってるだろ？ｗｗｗ

定義
X を位相空間とする。
X の任意の点 x に対して {x} が閉集合となるとき、X を T_1 空間と呼ぶ。

>>231
>だからさ、クマが認めているように、無職だよ

どこで認めてる？
それこそお前の妄想だろｗ

>>232
> おまえ脳味噌腐ってるだろ？ｗｗｗ

自己紹介乙

>>234 >>235
クマしかクマを応援していないねｗ

クマ、いい加減、このスレをやめたらどう？
仕事をさがして、まっとうな人生を歩め
でも、ブログでやる分には干渉しないからｗ

>>234 前スレを嫁
多少とも読解力があるという前提だがｗ

>>238
レス番号を示せよ
それがどっちが妄想か判断するには一番手っ取り早い
示せないならあんたの妄想確定ｗ

代数的整数論で検索して
このスレが見つかっても得るもの少ない

>>240
>>1を１００回読め

>>240
添削が必要な文章だな

得るものが少ない　→　得るものが全くない

>>239 必死だなｗ　クマｗ

いずれにせよ、週に７日、昼も夜もこのスレで書いておれば無職だねｗ

＞なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

きもい文だなｗ　猫が励ますと、喜んでレスを書いているのだがｗ

>>241
読んだけど何？
何が言いたいのか分からないんだが？

>>245
．．．

>>244
レス番号は？

因みに>>246は呆れて声も出ない

んーわからないな
さすがに100もあんな駄文は読んでないぞ。
ただ理解はしている。

>>193
圏論なんて50過ぎた人間のやるものじゃない
プロはべつだがな

猫にしろ熊にしろそんなことで残り少ない人生を無駄にしてどうするんだね

グロ先生みたいな使命感があれば別だけどおまえらにはその覚悟はないだろ
単に好きなんて悠長なことを言ってる場合か

あ　　すまん　猫は人生捨てていたんだな
なら好きに　し　ろ　よ

圏論なんて50過ぎた人間のやるものじゃない
プロはべつだがな


意味がわからん。プロじゃなかったら好きなことやって別にいいじゃんｗ

くまーは
学生時代はそれなりの才能を光らせていた
だがそれではプロになれない
指導教官かっこ当時が少し違う分野をすすめてそれなりに
勉強がすすんだ
それが整数論だ
しかし心からすきな分野じゃないだから
予備校の添削のアルバイト三昧で金をかせいでいるうちに
おかしくなった
数学ができなくなってしまった

続く

くまーの専門は代数幾何だよ。たぶんな。

>>251


あのな
圏論のプロなら別だがな
数学を普通にする人間
とくに職業数学者
つまり論文を書く人間だ
それが50すぎて
なかみのない圏論なんかやってる時間はないということよ

わかるかな坊や

ブログで圏論でもなんでもやるなら好きにしていいと思うがな

いや
本当は有限群論をやりたかったのだ
しかしそのときはすでに分類もおわって
有限群論の専門家はみんな転職をしはじめていた

なんちう不幸なじんせいだ

くまーは自らをのろった

つづく

くまーは無職ってことは確かだな
本人も認めているし

釣りだ、釣り！

もう何もかも全部釣りだ！！

くまのかいていることって、圏論をやるとかいうレベルじゃねえだろｗ
ちょこっとやったらわからなくなって、別のことをやるってｗ
くまは頭悪い　馬鹿であることも明らかｗ

>>254
頭の堅い人だね。
何が有効かなんて結局後からしかわからんよ。
グロタンだって最初は批判されてたんだからな。

横からだけど、クマは無職で低脳で書いているものは「うんこ」
グロは大天才でＥＧＡ、ＳＧＡ・・・・人類の宝物。
自演しているクマの誇大妄想に呆れるぜｗＷＷ>>260

もう昨晩のことだが、ＴＢＳの報道特集で４０歳無職でネトゲ中毒の男性のことをやっていた

くまーもほんのちょっとだけやっていることが違うが、そのおっさんと同じだね

そのおっさん、狭いアパートの部屋で日がな一日ネトゲ
週に３回風呂に行く時にコンビ二によるだけが外出
で、父親が亡くなってその葬儀の時の母の気丈さに打たれて
ゲームを封印　バイク便のアルバイトの求人をさがす
というところで終わっていた

くまーもそんな生活なんだろう
いつ、クマーはバイク便のバイトに目覚めるのか？

いいはなしだ

>>260

そういう高級な話じゃない
ディレッタントであるにしても
もうちょっと内容のあることをすべきだ

自演ごくろう

けっきょく予備校ではそれなりの働きをして
稼ぎもあった
が
むなしい日々

ああ
俺の才能はこんなことで浪費されようとするのか

そんなときにちゃんにであう

俺様の才能をこのばかどもに教えてやろう

そうおもったのだ

つづく

学校秀才のくまー

教科書なんてくそだ
俺様がかけばもっとよいものができる

そう妄想しているうちに

ああ

予備校自体が立ち行かなくなる
18歳人口がどんどん減る

ついに首だ

嫁さんももらわず子供もいない

なにを生きがいにしていけばよいんだ

つづく

おれさまが何か書けばにちゃんのやつらは
ひれ伏すさ

だって俺様は某国立大修士だし
そのきになれば博士だって

その慢心が執念が
彼をしてここまでうんこを撒き散らす動機となったのである

叩かれる叩かれる

しかし平気だ妄想は膨らむばかり

続く

俺の教えになぜきづかないのか
うぬぼれのつよいくまーは次第に
妄想の泥沼に陥っていく

イギリス貴族
そうだ
ケンブリッジの伝統は結婚もしないホモでもいい
おれさまはそんな世界に生きていくのだ

妄想は膨らむ

俺様を批判するやつらはホモで嫉妬深いやつらなのだ

そんな声がきこえてくる
気がつくとそこは病室だった

続く

猫が柏原をのろって研究会をめちゃめちゃにしにきたというのか

味方がいると思っていた　　でも　　誰もいない

>>249
現在は準備だと書いてなかったか？
準備つまり本題に入ってないわけ
だから代数的整数論の知識を今ここで得ようとしても無理なわけ
とゆーかここまで書かないと分からないようじゃあんた無理だわ悪いけど

>>268
お前が病院に行くべきｗコピペじゃなく妄想でよくそこまで書けるなｗ

例
X を位相空間とする。
X における関係 ≦ を x ≦ y ⇔ {x}~ ⊃ {y}~ で定義する。
ここで、{x}~ は {x} の閉包である。
≦ は前順序関係(過去スレ008の139)である。
これが順序関係になるためには X が T_0 空間(>>223)であることが必要十分である。

X における関係 〜 を x 〜 y ⇔ ｘ≦ y かつ y ≦ x で定義する。
y は同値関係(>>131参照)である。
商空間 X/〜 は T_0 空間である。

Top を小さい位相空間(過去スレ017の321)全体の圏とする。
Top_0 を T_0 空間よりなる Top の充満部分圏とする。
X を Top-対象とする。
標準射 p：X → X/〜 は (Top_0)-反射(>>128)である。
よって、Top_0 は Top の反射的部分圏(>>129)である。

今後、群の圏などを扱うときにその対象に対する形容詞「小さい」、
例えば小さい群など、を省略する。

>>273の修正

例
X を位相空間とする。
X における関係 ≦ を x ≦ y ⇔ {x}~ ⊃ {y}~ で定義する。
ここで、{x}~ は {x} の閉包である。
≦ は前順序関係(過去スレ008の139)である。
これが順序関係になるためには X が T_0 空間(>>223)であることが必要十分である。

X における関係 〜 を x 〜 y ⇔ ｘ≦ y かつ y ≦ x で定義する。
〜 は同値関係(>>131参照)である。
商空間 X/〜 は T_0 空間である。

Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の324)とする。
Top_0 を T_0 空間よりなる Top の充満部分圏(過去スレ017の362)とする。
X を Top-対象とする。
p：X → X/〜 を標準射とすると、(X/〜, p) は X の (Top_0)-反射(>>128)である。
よって、Top_0 は Top の反射的部分圏(>>129)である。

「ディレッタント」って何ですか？

「ディレッタント」って何ですか？
教えてください。
よろしくお願いします。

ディレッタントとは、芸術や（哲学などの）学問が大好きだけれども芸術家や学者ではない、という、その道のアマチュアの事です。

マニアといっても良いかも知れませんし、今の言葉で言う「オタク」に近いところもありますね。

自分の好きな事しか知ろうとしない、小説など次々に書きかけるが完成させない、自分の実力を棚に上げて批判ばかりしている、といった批判的な意味で使われる事が多い言葉です。

>>271 準備は続くよ〜♪　
　　　永遠に〜〜〜♪
　　　そ〜の〜♪
　　　あいだに〜〜〜♪
　　　会社を〜〜〜♪
　　　く〜〜びになり〜〜〜♪
　　　生き〜〜〜がいは〜〜〜♪
　　　このを〜〜〜〜♪
　　　スレ〜〜だけ〜〜〜〜♪
　　　だれか〜〜〜♪　
　　　読んで〜応援してくれると〜〜♪
　　　思い込み〜〜〜♪
　　　しだいしだいに〜〜〜〜♪
　　　気が狂う〜〜〜♪
　　　ああ〜〜〜♪
　　　かなし〜〜〜♪
　　　わびし〜〜〜♪
　　　くんま〜〜の〜〜〜♪
　　　人生かな〜〜〜♪
　　　準備は続くよ〜♪　
　　　永遠に〜〜〜♪

くまのものがたり　続きを宜しくお願いします

>>278は「線路はづづくよ」という歌詞の曲で歌って下さい

俺もこのスレッドで「くまものがたり」が一番面白かった

もっといろいろと書いてほしい

命題
Top_0 を T_0 空間(>>223)全体の圏とする。
Top_0 の対象 S が Top_0 の余分離対象(>>219)であるためには
S が T_1 空間(>>233)でないことが必要十分である。

証明
T_0 空間 S が T_1 空間でないとする。
{a} が閉集合でないような a ∈ S がある。
よって、b ≠ a かつ b ∈ {a}~ となる S の元 b がある。

f：X → Y、g：X → Y を (Top_0)-射で f ≠ g とする。
f(x_0) ≠ g(x_0) となる x_0 ∈ X がある。
Y は T_0 空間であるから f(x_0) を含む開集合 W で g(x_0) を
含まないものがあると仮定してよい。

写像：Y → S を
y ∈ W のとき h(y) = a
y ∈ Y - W のとき h(y) = b
により定義する。

y ∈ W のとき h(y) = a の任意の近傍 U に対して h(W) = {a} ⊂ U であるから
h は y で連続である。
y ∈ Y - W のとき b ∈ {a}~ より h(y) = b の任意の近傍 U に対して
a ∈ U である。
よって h(Y) ⊂ U である。
よって、h は y で連続である。
以上から h は連続写像である。

hf(x_0) = a、hg(x_0) = b であるから hf ≠ hg となる。
よって、>>220より S は Top_0 の余分離対象である。

(続く)

>>282の続き

逆に S が Top_0 の余分離対象であるとする。
S が T_1 空間であるとして矛盾を導けばよい。

Y = {y_1, y_2} を相異なる２点 y_1, y_2 からなる集合とする。
Y の開集合として空集合と {y_1} と Y をとることにより Y に位相を与える。
Y は T_0 空間であるが T_1 空間でない。

X = {x} を１点からなる位相空間とする。
X は T_0 空間である。
連続写像 f：X → Y と g：X → Y を
f(x) = y_1
g(x) = y_2
により定義する。
f ≠ g であるから>>220より連続写像 h：Y → S で hf ≠ hg となるものがある。
よって、h(y_1) ≠ h(y_2) である。
S は T_1 空間であるから h(y_2) ∈ U となる開集合 U で h(y_1) を
含まないものがある。
h^(-1)(U) は Y の開集合で y_2 を含み y_1 を含まない。
よって {y_2} は開集合となり Y の位相のとり方と矛盾する。
よって、S は余分離対象ではない。
証明終

くまさん
どんなお仕事しているの？

くまーはロボットなのではないか？

>>284
ワシは
どんなお仕事もしていないの。

猫

例
CReg を完全正則(過去スレ007の94)な位相空間全体の作る圏(過去スレ017の342)とする。
I = [0, 1] を実数体における区間とする。
I はコンパクトであるから過去スレ007の707から完全正則である。

f：X → Y、g：X → Y を CReg-射で f ≠ g とする。
f(x_0) ≠ g(x_0) となる x_0 ∈ X がある。
Y は完全正則であるから連続写像 h：Y → I で
hf(x_0) = 0 かつ hg(x_0) = 1 となるものが存在する。
hf ≠ hg であるから>>220より I は CReg の余分離対象(>>219)である。

例
K を実数体または複素数体とする。
K-Norm を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)全体の作る圏(過去スレ017の342)とする。
K-Norm の射は連続線型写像とする。

f：X → Y、g：X → Y を (K-Norm)-射で f ≠ g とする。
f(x_0) ≠ g(x_0) となる x_0 ∈ X がある。
Hahn-Banach の定理(過去スレ006の754)の系(過去スレ006の755)より、
連続線形写像 h: Y → K で、hf(x_0) ≠ hg(x_0) となるものが存在する。
よって、>>220より K は K-Norm の余分離対象(>>219)である。

例
CRng を可換環全体の圏(過去スレ017の342)とする。
A と K を CRng-対象とし、K は可換体であるとする。
任意の射 f：K → A は単射である。
従って |K| ＞ |A| であれば Hom(K, A) は空である。
ここで、|K| および |A| はそれぞれ K と A の濃度である。

A を任意の CRng-対象とする。
A のべき集合 2^A から生成される有理整数環上の多項式環 を B とする。
B の商体を K とすると |K| ＞ |A| である。
よって、A は CRng の余分離対象(>>219)にはなり得ない。
即ち、CRng には余分離対象は存在しない。

今参考にしてるのは
Abstract and concrete categories, the joy of cats, by Adamek, Herrlich, Strecker
これは無料でインターネットからダウンロード出来る。
この本は Mac Lane の本 Categories for the working mathematician より読みやすいし
Mac Lane が扱ってないことも書いてありお勧め。
特に concrete category という概念が面白い。

別におまえの論評なんか、興味なしｗ

>>291
そんな事あらへんがな。ワシは大変に興味がアルな。
そやから興味が無いっちゅうか頭が悪くて理解が出来ひん
アンタみたいなド阿呆はサッサとすっこんだらエエがな。
アンタが居てへんでも誰も困らへんさかいナ。

猫

例
LCAb を局所コンパクトアーベル群全体の圏とする。
T = R/Z を１次元トーラス群とする。
ここで R は実数体の加法群であり、Z は有理整数全体のなす加法群である。
T はコンパクトアーベル群である。
後に示すように T は LCAb における余分離対象(>>219)である。

任意のアーベル群は離散位相により局所コンパクトアーベル群と見なせるから
T はアーベル群全体の圏 Ab における余分離対象でもある。

断面と引き込み(過去スレ017の346)について補足する。

例
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
f：X → Y を Set-射とする。
X と Y は空でないとする。
f は単射であるとする。
写像 g：Y → X を次のように定める。
y ∈ f(X) のとき g(y) = f^(-1)(y) とおき、
y ∈ Y - f(X) のとき g(y) = x_0 とおく。
ここで x_0 は X の任意の固定点である。
このとき、fg = 1_X であるから f は断面である。

逆に f：X → Y が断面であれば、過去スレ017の347より f は単射である。

例
Set を集合全体の圏
Top を位相空間全体の圏
Grp を群全体の圏
R を必ずしも可環とは限らない環とし、R-Mod を左 R-加群全体の圏とする。

C を上記のいづれかの圏とする。
f：X → Y を C-射とする。
G_f：x → (x, f(x)) は X から X×Y への単射である。
p：X×Y → X を射影とする。
p(G_f) = 1_X であるから G_f は断面である。
G_f(X) = {(x, f(x)) ∈ X×Y； x ∈ X} は f のグラフである。

C が Set または Top で f が定値写像 f(x) = a のとき
G_f：x → (x, a) は X から X×Y への単射である。
このとき、G_f(X) = {(x, a) ∈ X×Y； x ∈ X} は
X×Y を横に切断した断面と見なされる。
これが断面(section)という用語の由来である。

命題
R を必ずしも可環とは限らない環とし、R-Mod を左 R-加群全体の圏とする。
(R-Mod)-射 f：X → Y が断面であるためには
f が単射で f(X) が直和因子であることが必要十分である。

証明
必要性：
f：X → Y が断面であるとする。
過去スレ017の347より f は単射である。
gf = 1_X となる射 g：Y → X がある。
このとき Y = f(X) + Ker(g) (直和) となることを証明しよう。
y ∈ Y に対して y = f(g(y)) + y - f(g(y)) であり、
f(g(y)) ∈ f(X)、y - f(g(y)) ∈ Ker(g) である。
f(x) ∈ f(X) ∩ Ker(g) なら x = g(f(x)) = 0
よって、f(x) = 0 となり、f(X) ∩ Ker(g) = 0 である。
以上から Y = f(X) + Ker(g) (直和) でる。

十分性：
f が単射で f(X) が直和因子であるとする。
Y = f(X) + Z (直和) となる Y の部分加群 Z がある。
p：Y → f(X) を射影とする。
g = f^(-1)p とおけば gf = 1_X である。
証明終

くんまーってどこの大学を出たの？
数学は独学？

【コラム】死を選んだ有名科学者の隠された真実

　世界的物理学者、李星翊（イ・ソンイク）西江大教授が自宅マンションから
飛び降り自殺したのは2月24日のことだった。当時着用していた衣服のポケットからは
短い遺書が発見された。「物理学を非常に愛していたが、うまくいかなくてつらい…」
と書かれていた。

　李教授は超伝導分野における世界的権威だった。ノーベル賞受賞も近いと言われた
有望な科学者が、突然命を絶ったのだから、青天のへきれきだった。
警察は、自殺の理由を「うつ病」と断定した。このところ研究成果が思わしくなく、
ストレスが重なっていたという。

　しかし、疑問はぬぐい去れない。それまで意欲的に活動していた
52歳の有望な科学者は、なぜ突然うつ病に悩まされるようになったのか。
毎年数十本の論文を発表していた李教授は、なぜ研究不振に陥ったのだろうか。

　周囲の人々を取材したところ、意外な事実が明らかになった。
自殺の背景には、李教授の個人的責任の範囲を超えた社会的な要因があった
ことが分かった。2年前、李教授が浦項工科大学から西江大学に移籍した際に起きた
「韓国的な状況」が、世界的権威をうつ病に追いやったのだ。

　李教授が大学を移籍するまでの経緯は順調とはいえなかった。
母校・西江大は破格の条件を提示し、攻撃的なヘッドハンティングを展開したが、
浦項工科大も李教授を手放そうとはしなかった。両大学の駆け引きは半年余り続いたが、
結局、李教授は母校へ行くことを選んだ。

　このとき突如として、研究費流用をめぐる疑惑が浮上した。
「李教授がプロジェクト費用を個人的に使用した」という投書がばらまかれたのだ。
浦項工科大側は「研究費の割り当てに不満を抱く内部研究員の情報提供と思われる」
と語った。投書の時期が、偶然にしては実に巧妙だった。

　この疑惑に、李教授は非常に苦しんだ。浦項工科大は約1カ月間、真相を調査するため、
李教授の懲戒手続きを行った。教授が西江大への移籍を強行すると、
懲戒の効力が実質的には無効となり、浦項工科大の調査は終わったものの、
今度は警察の捜査が待っていた。

　所轄の浦項警察署による捜査は半年以上にも及んだ。既にソウルに引っ越していた
李教授は、たびたび浦項に出向き、警察の取り調べに応じなければならなかった。
結局、捜査は「嫌疑なし」に終わったが、「李教授が受けたショックは大きかった」と
関係者は話す。このころから、李教授には情緒不安定の症状が現れ始めた。

　李教授をヘッドハンティングした西江大側の受け入れ準備も順調ではなかった。
約束した研究室をすぐに用意できず、李教授はかなり長い期間、
まともな実験ができなかったという。その上、実験設備の問題も重なった。
李教授は浦項工科大で自身が使っていた研究機材を運び込むことを希望していた。
ところが、その希望はかなわず、新しい機材を購入し、
実験室を新たにセッティングし直すのに、さらに数カ月を無駄に費やした。

　李教授は普段、テニスやスカッシュを楽しむ明るい性格だった。
しかし、こうした問題が積み重なり、人格が180度変わってしまったという。
自身の部屋に引きこもり、対人恐怖症のようになり、絶えずたばこを吸い続けた。
研究しか知らない世間知らずの学者としては、耐えがたい状況だったとみられる。

　李教授の死には、時計の針を戻したいほどの無念さが残る。
大学の人材確保競争をとがめるつもりはないが、大学側がもう少し広い見地に立った
姿勢を示していれば、どうなっていただろうか。韓国社会に、優秀な学者をより細かくケアし、
手厚く保護するシステムや文化が形成されていれば、結果は違っていたのではないだろうか。

　李教授は遺書に、誰かを恨んでいるとは書いていなかった。
ただ、「（研究が）うまくいかなくてつらい」とだけ書かれていた。
しかし、自らを責めるこの言葉こそが、世間に向けた最後の反論であるかのように、
わたしたちの胸に重く突き刺さる。

年間数十本の論文書けるなんて暇なんですね。
年間数十本の論文書けるなんて暇なんですね。
年間数十本の論文書けるなんて暇なんですね。
年間数十本の論文書けるなんて暇なんですね。
年間数十本の論文書けるなんて暇なんですね。

＞毎年数十本の論文を発表していた李教授は、
論文年間数十本、売れっ子漫画家でも二桁連載持つと
ペンが荒れます、其れがギャグなら尚更でしょう

論文と言うネタをクリ過ぎて精神病んだのでは？

【朝鮮のことわざ】

「女は三日殴らないと狐になる。」
「他人の牛が逃げ回るのは見ものだ。」
「他人の家の火事見物をしない君子はいない。」
「弟の死は肥やし。」
「梨の腐ったのは娘にやり、栗の腐ったのは嫁にやる。」
「母親を売って友達を買う。」
「営門で頬を打たれ、家に帰って女房を殴る。」
「姑への腹立ち紛れに犬の腹をける。」
「あんな奴は生まずにカボチャでも生んでおけば、煮て食べられたものを。」
「人が自分にそむくなら、むしろ自分が先にそむいてやる。
「家と女房は手入れ次第。」
「野生のまくわ瓜は、最初に独り占めした物が持ち主だ。」
「らい病患者の鼻の穴に差し込まれたにんにくの種もほじくって食べる。」
「一緒に井戸を掘り、一人で飲む。」
「自分の食えない飯なら灰でも入れてやる。」
『川に落ちた犬は、棒で叩け。』　　←←←
「泣く子は餅を一つ余計もらえる。」

>>294の修正

断面と引き込み(過去スレ017の346)について補足する。

例
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
f：X → Y を Set-射とする。
X と Y は空でないとする。
f は単射であるとする。
写像 g：Y → X を次のように定める。
y ∈ f(X) のとき g(y) = f^(-1)(y) とおき、
y ∈ Y - f(X) のとき g(y) = x_0 とおく。
ここで x_0 は X から任意に選んだ点である。
このとき、gf = 1_X であるから f は断面である。

逆に f：X → Y が断面であれば、f は単射である。

>>296の修正

命題
R を必ずしも可環とは限らない環とし、R-Mod を左 R-加群全体の圏とする。
(R-Mod)-射 f：X → Y が断面であるためには
f が単射で f(X) が直和因子であることが必要十分である。

証明
必要性：
f：X → Y が断面であるとする。
gf = 1_X となる射 g：Y → X がある。
明らかに f は単射である。
このとき Y = f(X) + Ker(g) (直和) となることを証明しよう。
y ∈ Y に対して y = f(g(y)) + y - f(g(y)) であり、
f(g(y)) ∈ f(X)、y - f(g(y)) ∈ Ker(g) である。
f(x) ∈ f(X) ∩ Ker(g) なら x = g(f(x)) = 0
よって、f(x) = 0 となり、f(X) ∩ Ker(g) = 0 である。
以上から Y = f(X) + Ker(g) (直和) でる。

十分性：
f が単射で f(X) が直和因子であるとする。
Y = f(X) + Z (直和) となる Y の部分加群 Z がある。
p：Y → f(X) を射影とする。
g = f^(-1)p とおけば gf = 1_X である。
証明終

命題
Grp を群全体の圏とする。
Grp-射 f：X → Y が断面であるためには
f が単射で Y = f(X)Z、f(X) ∩ Z = {e} となる Y の正規部分群 Z が
存在することが必要十分である。

証明
必要性：
f：X → Y が断面であるとする。
gf = 1_X となる射 g：Y → X がある。
明らかに f は単射である。
Z = Ker(g) とおく。
y ∈ Y に対して y = f(g(y))f(g(y))^(-1)y である。
g(f(g(y))^(-1)y) = g(y)^(-1)g(y) = e であるから
f(g(y))^(-1)y ∈ Z である。

f(x) ∈ f(X) ∩ Z なら x = g(f(x)) = e
よって、f(X) ∩ Z = {e} である。

十分性：
f が単射で Y = f(X)Z、f(X) ∩ Z = {e} となる Y の正規部分群 Z があるとする。
Y の任意の元 y は y = f(x)z、z ∈ Z と一意に書ける。
このとき g(y) = x とおくことにより写像 g：Y → X を定義する。
g は準同型であり、gf = 1_X である。
証明終

命題
K を可換体とする。
K-Mod を K 上の線型空間全体の圏とする。
(K-Mod)-射 f：X → Y が断面であるためには
f が単射であることが必要十分である。

証明
f(X) は Y の直和因子であるから>>305から明らかである。

くんまーは童貞なんでしょ？

童貞のまま、５０代になって

無職で２ちゃん中毒か・・・

気の毒だな・・・

>>308

そのクマよりもっと悲惨なのがオマエだろ。
いいから粘着は止めろ、このホモ野郎。

過去スレ017の346の修正

定義
圏における射 f: X → Y は射 g: Y → X で gf = 1_X となるものがあるとき
切断(section)または左可逆と呼ぶ。

命題
f：X → Y と g：Y → Z が切断(>>310)であれば gf も切断である。

証明
hf = 1_X となる h：Y → X と
kg = 1_Y となる k：Z → Y がある。

hk：Z → X であり、hkgf = h(1_Y)f = hf = 1_X
証明終

命題
f：X → Y と g：Y → Z を射とし、gf が切断(>>310)とする。
このとき f は切断である。

証明
射 h：Z → X で hgf = 1_X となるものがある。
hg：Y → X は f の左逆射であるから f は切断である。
証明終

命題
F：C → D を関手とする。
f：X → Y を C における切断(>>310)とする。

このとき F(f) は D における切断である。

証明
自明である。

命題
F：C → D を充満かつ忠実な関手とする。
f：X → Y を C-射とする。

このとき F(f) が D における切断(>>310)であれば、f は C における切断である
（この事実を F は切断を反映するという）。

証明
u：F(Y) → F(X) で uF(f) = 1_F(X) となるものがある。
F は充満であるから u = F(g) となる射 g：Y → X が存在する。
uF(f) = F(g)F(f) = F(gf) = 1_F(X)
よって、F の忠実性より gf = 1_X である。
証明終

定義
X を位相空間とし、Y をその部分空間とする。
連続写像 f：X → Y で Y の各点 y で f(y) = y となるものが存在するとき
Y を X のレトラクト(retract)と呼び f を引き込み(retraction)と言う。

そうしているうちに
自分の本当のすがたがわかってきた

そう

すきなのだ
男が

それを秘密にして
こころのうちに秘めていた
だが

その秘密がみずからのこころをひきさくことになった

続く

くんまーは童貞なんでしょ？

童貞のまま、５０代になって

無職で２ちゃん中毒か・・・

気の毒だな・・・

やっぱ、無職なのは
ネトゲ中毒と同じなの？
くま　病院でみてもらったほうがいいよ

無意味なスレッド
しかし、クンマーにとっては
心のよりどころであった

自演しても守りたい
このスレを・・・・

クンマーは偏執的に
このスレッドを
毎朝、昼間も、夜も
ご飯を食べている時も
自動更新のフリーソフトによって
更新されるのを
眺め続けるのであった

誰かに助けてほしい・・・
くんまーの心の叫びを
誰か聞いてあげるのだろうか？

鳩山内閣最新支持率（３月１４日現在）

産経新聞　４４％←産経必死だなｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
読売新聞　４４％←ナベ常ｗｗｗｗｗｗｗｗおまえもかｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
毎日新聞　４３％
日本経済新聞　４３％
ＡＮＮ　４２％
新報道２００１　４０％
日本テレビ ３９％★
ＮＨＫ ３８％★
朝日新聞 ３７％★
ＪＮＮ　３７％★
共同通信３６％★
時事通信　３０％★
ニコニコ動画　１０％ ★

★は一般的に危険水域と呼ばれるレベル

ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ ☆＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄ从☆`ヾ/゛／'　　"＼' /". ☆　 　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡= ＜ 　　　　　　EGA！　SGA！ 　　　＞
ｽｯﾄｺﾄﾞｯｺｲｽｺｺｺ'=巛≡从ミ.（・∀・* ）彡/ﾉ≡》〉≡　.|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿　＿|
ﾄﾞｯｺｲｼｮﾄﾞｽﾄﾞｽﾄﾞｽ=!|l|》ﾘｎl⌒!Ｉ⌒Ｉ⌒I⌒Iﾂ从=≡|l≫,ﾞ　　 ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ《l|!|!l!'~'⌒^⌒(⌒)⌒^~~~ヾ!|l!|l;"ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞl|l|（（　(〇)　））（（　(〇)　））|l|》;ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞ`へヾ―-―　　　 ―-―　.へヾｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
　　　　　　　　　　　　　　／|＼人 ＿.ノ _||_.　／|＼

>>320
それはこっち↓に貼り直してくれ。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1264254180/l50

>>271 準備は続くよ〜♪　
　　　永遠に〜〜〜♪
　　　そ〜の〜♪
　　　あいだに〜〜〜♪
　　　会社を〜〜〜♪
　　　く〜〜びになり〜〜〜♪
　　　生き〜〜〜がいは〜〜〜♪
　　　このを〜〜〜〜♪
　　　スレ〜〜だけ〜〜〜〜♪
　　　だれか〜〜〜♪　
　　　読んで〜応援してくれると〜〜♪
　　　思い込み〜〜〜♪
　　　しだいしだいに〜〜〜〜♪
　　　気が狂う〜〜〜♪
　　　ああ〜〜〜♪
　　　かなし〜〜〜♪
　　　わびし〜〜〜♪
　　　くんま〜〜の〜〜〜♪
　　　人生かな〜〜〜♪
　　　準備は続くよ〜♪　
　　　永遠に〜〜〜♪

専門用語は知らないけど、ちゃんとした数学者（私の出身大学
の教官）が「球面が裏返る」と生徒の前で言ってたよ。

それから、重大ニュースがあります。私ノニジュース飲むの止める
かも知れません。
もっと、栄養価のあるフルーツが在るの今日友達から聞きました。
試しに飲んでみる事に決めました。
ハンドルネーム変えても、トリは同じになるのか知ってる人いらっしゃい
ますか？猫が色んなハンドルネームなので、多分大丈夫ですよね。
ノニのおかげでかなり体調が良くなって感謝してるのですが、病気
が治りきらないし、値段がもっとリーゾナブルで、イチローも飲んでる
ものらしいので・・・。

最先端の科学技術研究３０テーマに対し、今後４年間で１０００億円の資金を支援する
政府のプロジェクトの予算配分が決まった。

　配分は９日夕方、鳩山首相も出席して行われた総合科学技術会議で了承された。
内訳は、京都大学・山中伸弥教授によるｉＰＳ細胞研究を実際の医療に使えるまでに
技術を確立するプロジェクトに最高の５０億円、有機ＥＬを使った大型照明パネルの実用化を
目指す九州大学（安達千波矢教授）に３２億４０００万円、近未来の超巨大データベースのために、超
高速検索エンジンを開発する東京大学（喜連川優教授）に３９億５０００万円が配分される。
また、メガトン級で海の水を淡水化する施設の研究を提案した「東レ」の研究に２９億２０００万円、
宇宙の２割を占めるとされる未知の物質「ダークマター」の正体を突き止める東京大学（村山斉教授）
の研究に３２億１０００万円などとなっている。

　この「最先端研究開発支援プログラム」は、もともと麻生内閣が補正予算で２７００億円を配分すると
したものだが、政権交代した民主党がマニフェスト実現のため、額を１０００億円に減らしていた。
担当の津村内閣府政務官は「麻生内閣は『金額ありき』だったが、我々は時間をかけ経費節減を図った」
と話しているが、今後、予算の追加もありえることは否定していない。

http://news24.jp/articles/2010/03/10/07155034.html

「ダークマター」の正体を突き止める東京大学（村山斉教授）
の研究に３２億１０００万円などとなっている。


これって東大の柏の数学と物理の連携事業なんじゃないかな？
ＰＤたくさんやとってくれるぞ

２７００億円が、１０００億円に減らされた先端研究予算ｗ

一方で、子供手当てが、日本に働きに来ている外人の
外国にいる子供・養子にまでばら撒かれるｗ

さらには鳩山いにちあちぶとやらで、途上国に
税金がばらまかれるｗ

この国は成長せんでいいんですかいな？

過去スレ017の346の修正

定義
ある圏における射 f: X → Y は射 g: Y → X で fg = 1_Y となるものがあるとき
引き込み(retraction)または右可逆と言う。
このとき Y は X のレトラクト(retract)と呼ぶ。

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
f：X → Y を Set-射とする。
f が引き込み(>>328)であるためには f が全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が引き込み(>>328)であれば、g: Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
任意の y ∈ Y に対して f(g(y)) = y であるから f は全射である。

十分性：
f が全射であれば、選択公理より g: Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
証明終

くまーは激怒した

あの無能で無意味な教科書どもを駆逐せねばならない

くまーは長い予備校教師に飽きてきた
たしかに金はもうかった
しかし満たされぬものは名声
いくら欲しても得られぬものだ

にもかかわらずアホな教科書がいつまでもでている

くまーは激怒したのだ
俺様はもっともっと徹底して理解しているぞ

くまーの没落はここから始まった

続く

てはじめに代数的整数論としてみよう
くまーは学生時代に結局なにもできなかったテーマを選んだ

指導教官は保型形式こそが整数論の重要なテーマだといって
Weil をすすめた

しかしもとが有限群論志向だったものだから
つい重要性においておとる代数的整数論を思い出したのだ

つづく

最初のころの書き込みは
そこそこ成功した

と思われた

なにしろにちゃんだ　まともな数学のかきこみは少ない

しかし調子にのって書いているうちにまともの批判もくる
高をくくっているくまーは
おれさまがいちばんとおもっているくまーは

おごりたかぶってまともな批判を無視しつづけた

くまーの堕落はすでに始まっていた

つづく

くまーは批判を受け入れては負けだと思った
なにしろ俺様は有名一流大学大学院修士だ
その気になれば博士号だって

おごり高ぶるくまー

あわれなくまー

学会とは無縁だったことをすっかり忘れ
できあいの数学を祖述しているだけでも数学だと思い始めていた

なにしろ俺様が理解していることなんだからな

くまーの没落は止め処がなくなっていた

つづく

代数的整数論としてみたものの

ねたはすぐ切れた

予備校はピンチだ
生徒はこない
質は落ちる
それより問題なのは予備校の教師だ

くまーは焦った

いつか見切りをつけなくては
そしてそのためには
この俺様スレを続けなくてはいけない
まとまれば
そんじょそこらの教科書以上だ

なにしろ俺様が書いているのだからな

くまーの勘違いは度を越し始めていた

つづく

命題
Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の342)とする。
f：X → Y を Top-射とする。
f が引き込み(>>328)であるためには
f = hr と書けることが必要十分である。
ここで、r：X → Z は位相的な引き込み(>>315)であり、
h：Z → Y は位相同型である。

証明
必要性：
f が引き込みであれば、g: Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
Z = g(Y) とおく。
r = gf：X → Z とおく。
任意の y ∈ Y に対して
r(g(y)) = gfg(y) = g(y)
よって r は位相的な引き込み(>>315)である。

h = f|Z：Z → Y とおく。
hg = 1_Y
gh = 1_Z
よって、h は位相同型である。
hr = hgf = f

十分性：
r：X → Z を位相的な引き込み、
h：Z → Y は位相同型とし、
f = hr とする。
ι：Z → X を包含写像とし、g = ιh^(-1) とおく。
fg = hrιh^(-1) = hh^(-1) = 1_Y
よって、f は引き込みである。
証明終

命題
R を必ずしも可環とは限らない環とし、R-Mod を左 R-加群全体の圏とする。
(R-Mod)-射 f：X → Y が引き込み(>>328)であるためには
f が全射で Ker(f) が X の直和因子であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が引き込みでであるとする。
g: Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
f は全射である。
任意の x ∈ X に対して、
x = gf(x) + (x - gf(x)) ∈ g(Y) + Ker(f)
g(Y) ∩ Ker(f) = 0
よって、X = g(Y) + Ker(f) (直和) である。

十分性：
f が全射で Ker(f) が X の直和因子であるとする。
X = Z + Ker(f) (直和) となる X の部分加群 Z がある。
f|Z = h とおく。
h：Z → Y は同型である。
g = h^(-1) とおけば、fg = 1_Y である。
証明終

このスレだけは猫が居ないなあ

自滅党の爺さんたち大変だね

命題
Grp を群全体の圏とする。
Grp-射 f：X → Y が引き込み(>>328)であるためには
f が全射で X = ZKer(f)、Z ∩ Ker(f) = {e} となる X の部分群 Z が
存在することが必要十分である。

証明
必要性：
f：X → Y が引き込みであるとする。
g: Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
f は全射である。
x ∈ X に対して x = g(f(x))g(f(x))^(-1)x である。
f(g(f(x))^(-1)x) = f(x)^(-1)f(x) = e であるから X = g(Y)Ker(f) である。
g(Y) ∩ Ker(f) = {e} である。

十分性：
f が全射で X = ZKer(f)、Z ∩ Ker(f) = {e} となる X の部分群 Z があるとする。
f|Z = h：Z → Y は同型である。
g = h^(-1) とおけば fg = 1_Y である。
証明終

命題
K を可換体とする。
K-Mod を K 上の線型空間全体の圏とする。
(K-Mod)-射 f：X → Y が引き込み(>>328)であるためには
f が全射であることが必要十分である。

証明
Ker(f) は X の直和因子であるから>>336から明らかである。

命題
射 f：X → Y が同型であるためには
f が切断(>>310)かつ引き込み(>>328)であることが必要十分である。

証明
過去スレ017の349より明らかである。

>>311の双対

命題
f：X → Y と g：Y → Z が引き込み(>>328)であれば gf も引き込みである。

証明
双対原理(>>159)より

>>312の双対

命題
f：X → Y と g：Y → Z を射とし、gf が引き込み(>>328)とする。
このとき g は引き込みである。

証明
双対原理(>>159)より

>>313の双対

命題
F：C → D を関手とする。
f：X → Y を C における引き込み(>>328)とする。

このとき F(f) は D における引き込みである。

証明
自明である。

>>314の双対

命題
F：C → D を充満かつ忠実な関手とする。
f：X → Y を C-射とする。

このとき F(f) が D における引き込み(>>328)であれば、f は C における引き込みである
（この事実を F は引き込みを反映するという）。

証明
双対原理(>>159)より

命題
C を圏 D の同型的に閉じている(>>81)充満(過去スレ017の362)
な反射的部分圏(>>136)とする。
X を C-対象とし f：X → Y を D における引き込み(>>328)とする。
このとき、Y は C-対象であり、f は C-射である。

証明
D-射 g：Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
u：Y → Y^ を C-反射とする。
h：Y^ → X で g = hu となるものが存在する。
fhu = fg = 1_Y
よって、ufhu = u
射の一意性より ufh = 1_Y^
よって、u は同型である。
C は D において同型的に閉じているから Y は C-対象である。
C は充満だから f は C-射である。
証明終

圏における単射(monomorphism)と全射(epimorphism)について補足する。

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F：C → Set を表現可能(過去スレ017の729)な関手とする。

このとき、f：X → Y を C における単射とすると
F(f) は D における単射である。

証明
自明である。

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
f：X → Y を Set における射とする。
f が圏論的に単射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として単射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に単射(過去スレ017の345)であるとする。
x と y を X の元とし、f(x) = f(y) とする。
{p} を１点からなる集合とする。
u：{p} → Y を u(p) = x
v：{p} → Y を v(p) = y
で定義する。
fu = fv であるから u = v である。
よって、x = y である。
よって、f は写像として単射である。

十分性：
f が写像として単射であるとする。
u：T → X
v：T → X
を Set における射で fu = fv とする。
f は写像として単射であるから u = v である。
よって、f が圏論的に単射である。
証明終

命題
Grp を群全体の圏とする。
Set を集合全体の圏とする。
F：Grp → Set を忘却関手とする。
即ち、Grp-対象 G に対して F(G) は G を集合と見なしたものとし、
Grp-射 f：G → H に対して F(f)：F(G) → F(H) は f を写像と見なしたものとする。

このとき F は表現可能(過去スレ017の729)である。

証明
Z を有理整数全体の加法群とする。
Grp-対象 G に対して Hom(Z, G) と F(G) は標準的に同型である。
この同型は Hom(Z, -) と F の自然同型である。
証明終

>学会とは無縁だったことをすっかり忘れ
>できあいの数学を祖述しているだけでも数学だと思い始めていた

確かに、くまーのこのスレに対する執着は
「数学する」ということを誤解しており
こんなもんを書いても「数学者」であるとさえ
思い込んでいる節があるなー

数学の研究というものは
こんなもんと全然違うのだが
滑稽だなｗ

>>348の修正

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F：C → Set を表現可能(過去スレ017の729)な関手とする。

このとき、f：X → Y を C における単射であるためには
F(f) が Set における単射であることが必要十分である。

証明
自明である。

＞くまーの堕落はすでに始まっていた


っていうか、くまーはもともと底辺の低脳ｗ
そして無職となった

翻訳の場合でも、翻訳権を取得しないと
勝手に訳してサイトにアップするのは
著作権法違反になるだろ

警察に通報した方がよくないか？

>>352の修正

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F：C → Set を表現可能(過去スレ017の729)な関手とする。

このとき、f：X → Y が C において単射(過去スレ017の345)であるためには
F(f) が Set において単射であることが必要十分である。

証明
自明である。

例
Grp を群全体の圏とする。
>>350と>>355より Grp における圏論的単射は写像としての単射と一致する。

昼間にヒマな人妻の相手して、夕方からパチソコ。
夜は飲みに行って精力温存して明日に備える。
どう考えても俺って天才だよな(笑)

翻訳の場合でも、翻訳権を取得しないと
勝手に訳してサイトにアップするのは
著作権法違反になるだろ

翻訳の場合でも、翻訳権を取得しないと
勝手に訳してサイトにアップするのは
著作権法違反になるだろ

翻訳の場合でも、翻訳権を取得しないと
勝手に訳してサイトにアップするのは
著作権法違反になるだろ

翻訳の場合でも、翻訳権を取得しないと
勝手に訳してサイトにアップするのは
著作権法違反になるだろ

命題
Ab をアーベル群全体の圏とする。
Set を集合全体の圏とする。
F：Ab → Set を忘却関手とする。
即ち、Ab-対象 X に対して F(X) は X を集合と見なしたものとし、
Ab-射 f：X → Y に対して F(f)：F(X) → F(Y) は f を写像と見なしたものとする。

このとき F は表現可能(過去スレ017の729)である。

証明
Z を有理整数全体の加法群とする。
Ab-対象 X に対して Hom(Z, X) と F(X) は標準的に同型である。
この同型は Hom(Z, -) と F の自然同型である。
証明終

例
Ab をアーベル群全体の圏とする。
>>359と>>355より Ab における圏論的単射(過去スレ017の345)は
写像としての単射と一致する。

>>355の修正

命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F：C → Set を表現可能(過去スレ017の729)な関手とする。

このとき、f：X → Y が C において単射(過去スレ017の345)であれば、
F(f) は Set において単射である。

証明
自明である。

>>356の修正

例
Grp を群全体の圏とする。
>>350と>>361より Grp における圏論的単射は写像としての単射である。
逆に写像としての単射は明らかに圏論的単射(過去スレ017の345)である。

・政府は11日、首相官邸で地球温暖化問題閣僚委員会を開き、地球温暖化対策基本法案の
　内容をまとめた。焦点となっていた国内排出量取引制度については、企業に温室効果ガス
　排出量の上限を課す「総量規制方式」を基本としつつ、生産量当たりの排出量に上限を
　設ける「原単位方式」も検討するとした。原子力発電については、国民の理解と安全確保を
　前提に推進するとし、社民党の削除要求は退けた。法案は12日に閣議決定し、今国会に
　提出する。

　法案では、「2020年までに1990年比25％削減」の中期目標を、「全主要国が公平で実効性
　ある国際枠組みで、意欲的な目標を合意した場合」との前提付きで明記。2050年までの
　長期目標は1990年比80％減とした。

　排出量取引制度を巡り、環境省や外務省は国が企業ごとの排出量を決める「総量方式」を
　主張していたのに対し、一部産業界や労働組合が「経済に悪影響を与える」と反発し
　「原単位方式」を求め、合意は難航していた。このため、同日の閣僚委では制度の
　創設時期を明示せず、法案の成立後１年以内に法的措置を講じることで合意した。

　原子力発電については、発電時に温室効果ガスを出さないため「温暖化対策に必要不可欠」
　とする直嶋経産相の意見と、脱原発を掲げる社民党の意見が対立していたが、温室効果
　ガス削減目標の達成に欠かせない手段として推進することで落ちついた。

　ほかに、地球温暖化対策税(環境税)を2011年度から実施することや、太陽光・風力などの
　再生可能エネルギーを電力会社が一定価格で買い取る制度の創設も盛り込まれた。
　http://jp.ibtimes.com/article/biznews/100312/51997.html

・鳩山由紀夫首相は１２日午前、首相公邸前で記者団に対し、地球温暖化対策基本法案に
　ついて、２０２０年までに温室効果ガスを１９９０年比で２５％削減する目標が明記されたことを
　挙げ「非常にいいものができたと思っている。これを果たさなければならない」と述べた。

２４日付の国際紙、インターナショナル・ヘラルド・トリビューンは、オーストラリアのラッド首相が、
調査捕鯨をやめなければ日本を国際司法裁判所に提訴すると発言したことを、反捕鯨諸国の
偽善性を指摘しながら異例の厳しさで非難したフィリップ・バウリング氏のコラムを掲載した。

　氏は、道徳的優位性をにじませたラッド発言の調子が、アジアの近隣諸国に今もくすぶる
西欧植民地主義への嫌悪を呼び覚まし、日本よりも豪州のイメージを傷つけるだろうと分析。

　豪州の反捕鯨運動を、科学的ではなく感情的な「十字軍」だとし、「日本の捕鯨船を悩ましている
豪州、ニュージーランド人活動家らに与えられた英雄的地位にも、それがみられる」との表現で
シー・シェパードの活動も切って捨てた。

　その上で、ノルウェーが国際捕鯨委員会（ＩＷＣ）の規制を拒否、アイスランドがいったんは脱退し、
カナダは脱退後、復帰していないのに対し、日本は少なくともＩＷＣに属していると日本にも理解を示し、
ラッド発言は捕鯨諸国にＩＷＣに協力する気をなくさせるものだとやり込めた。

　さらに、「鯨に銛（もり）を打ち込むことは、牛や羊の肉を常食としている者の間にさえ感情を
かき立てるのかもしれないが、豪州は、作物や牧草を守るため年間３００万頭余の野生の
カンガルーを撃っているときに、苦情を言える立場にはほとんどない」と、反捕鯨国の偽善性にまで踏み込んだ。

　西洋人が東洋での犬肉消費にゾッとするのは感情からで理性ゆえではなく、鯨肉を、
一部欧州国の食卓に乗る馬肉と違う扱いにする道理はないとも断じた。

　そして、「豪州が選別的感情の問題をアジアの主要同盟国との
外交対立にまでしたのは愚劣以外の何物でもない」と結んでいる。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
調査捕鯨は税金の無駄つかいだからやめてほしいがなー

脳をスキャンできると書いていた数学板の小手半がいたが、だれだったか？
脳の活動をスキャンすることで、その人が考えていることを知ることができると
いう研究結果が、11日の米科学誌「カレント・バイオロジー（Current Biology）」
（電子版）に掲載された。

ロンドン大学ユニバーシティー・カレッジ（UCL）のエレナー・マグワイヤ氏らは、
「機能的磁気共鳴画像装置」（fMRI）を用いて、ひとつひとつの記憶と関連した
脳活動を特定することができ、さらに、それをもとに思考のパターンを特定できる
ことをつきとめた。この研究結果は、人が過去の記憶のうちどの記憶を呼び起こして
いるかを、脳活動のパターンだけで特定することができることを示唆している。

「脳の海馬において、ぞれぞれの記憶が異なった形で表されていることをつきとめた。
記憶のありかをつきとめたので、今後は、記憶が保管される方法や、記憶の時間経過に
よる変化について調べることができるだろう」（マグワイヤ氏）

研究は、被験者10人に対し、3本の短編映画を見せたあとで脳をスキャンした。3本の
映画はよく似たごくふつうの生活の場面を撮影したもので、別の女優が出演していた。

映画を見た後、被験者はそれぞれの映画を思い出すよう促され、その際に脳のスキャンが
行われた。研究者らは、スキャン結果にコンピューターで画像化処理を行い、それぞれの
映画の記憶に対応する脳活動のパターンを識別した。

その結果、脳の画像パターンから被験者が3本の映画のうちのどの映画を想起しているか、
正確に特定できたという。

>>360の修正

例
Ab をアーベル群全体の圏とする。
>>359と>>361より Ab における圏論的単射(過去スレ017の345)は
写像としての単射である。
逆に写像としての単射は明らかに圏論的単射である。

>>350への補足

(Z, 1) は忘却関手 F の普遍元(過去スレ017の579)である。

例
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
1_Set：Set → Set を恒等関手とする。
* = {p} を１点からなる Set-対象とする。
(*, p) は関手 1_Set の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、F は (*, p) により表現可能(過去スレ017の729)である。
よって、>>349は>>361からも得られる(論理的道筋は本質的には変わらない)。

例
Top を位相空間全体の圏とする。
Set を集合全体の圏とする。
F：Top → Set を忘却関手とする。
* = {p} を１点からなる Top-対象とする。
(*, p) は関手 F の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、F は (*, p) により表現可能(過去スレ017の729)である。
よって、>>361より、Top における圏論的単射(過去スレ017の345)は
写像としての単射と一致する。

http://www.sod.co.jp/asx/300k/dvuma109_300k.asx

忘却関手って何ですか？　英語名も教えて下さい

例
Rng を必ずしも可換とは限らない環全体の圏とする。
Set を集合全体の圏とする。
F：Rng → Set を忘却関手とする。
Z[X] を有理整数環上の１変数多項式環とする。
(Z[X], X) は関手 F の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、F は (Z[X], X) により表現可能(過去スレ017の729)である。
よって、>>361より、Rng における圏論的単射(過去スレ017の345)は
写像としての単射と一致する。

>>371
忘却関手(forgetful functor)とは>>350のように集合上の構造を無視して得られる関手

例
CRng を可換環全体の圏(過去スレ017の342)とする。
Set を集合全体の圏とする。
F：CRng → Set を忘却関手とする。
Z[X] を有理整数環上の１変数多項式環とする。
(Z[X], X) は関手 F の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、F は (Z[X], X) により表現可能(過去スレ017の729)である。
よって、>>361より、CRng における圏論的単射(過去スレ017の345)は
写像としての単射と一致する。

例
R を必ずしも可環とは限らない環とし、R-Mod を左 R-加群全体の圏とする。
Set を集合全体の圏とする。
F：R-Mod → Set を忘却関手とする。
(R, 1) は関手 F の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、F は (R, 1) により表現可能(過去スレ017の729)である。
よって、>>361より、R-Mod における圏論的単射(過去スレ017の345)は
写像としての単射と一致する。

定義
アーベル群 G は任意の整数 n ＞ 0 に対して nG = G となるとき
可除(divisible)であると言う。

圏論的単射は必ずしも写像としての単射を意味しない。

命題
DivAb を可除アーベル群(>>376)全体の圏とする。
このとき、Q と Q/Z は DivAb-対象であり、
標準射 p：Q → Q/Z はDivAbにおける単射(過去スレ017の345)である。
ここで、Q は有理数全体のなす加法群であり Z は有理整数全体のなす加法群である。

証明
Q と Q/Z が DivAb-対象であることは明らかである。
G を DivAb-対象とし、f：G → Q と g：G → Q をDivAb-射で
pf = pg とする。
h = f - g とおく。
ph = 0 である。
h(x) ≠ 0 となる x ∈ G があるとして矛盾を導けばよい。
ph(x) = 0 であるから h(x) = n は整数である。
n ≠ 0 で G は可除だから 2ny = x となる y ∈ G がある。
よって、2nh(y) = h(x) = n
よって、h(y) = 1/2
これは ph(y) = 0 に矛盾である。
証明終

命題
F：C → D を忠実な関手とする。
f：X → Y を C-射で F(f)：F(X) → F(Y) は単射であるとする。
このとき、f は単射である(即ち F は単射を反映する)。

証明
u：T → X
v：T → X
があり fu = fv とする。
F(fu) = F(fv) より F(f)F(u) = F(f)F(v)
よって、F(u) = F(v)
F は忠実だから u = v
証明終

命題
f：X → Y と g：Y → Z を単射(過去スレ017の345)とすると、
gf も単射である。

証明
定義(過去スレ017の345)から明らかである。

命題
f：X → Y と g：Y → Z に対して gf が単射であれば f は単射である。

証明
定義(過去スレ017の345)から明らかである。

命題
f：X → Y を引き込み(>>328)で単射とする。
このとき f は同型である。

証明
g: Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
fgf = f
よって gf = 1_X
証明終

命題
Set を集合全体の圏とする。
f：X → Y を Set における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
{a, b} を相異なる２点からなる集合とする。
u：Y → {a, b} を任意の y に対して u(y) = a で定義する。
v：Y → {a, b} を y ∈ f(X) のとき v(y) = a、
y ∈ Y - f(X) のとき v(y) = b で定義する。
uf = vf であるから u = v である。
よって f(X) = Y である。

十分性：自明である。
証明終

全部自民の勝利　テレビは放送しないけどな
03/14　石川県知事選挙 　　　　　　　…民主党元衆議院議員落選
03/14　石川県輪島市長選挙
03/14　福岡県宮若市長選挙
03/14　和歌山県橋本市長選挙
03/14　栃木県大田原市長選挙
03/14　岩手県奥州市長選挙 　
03/14　岩手県久慈市長選挙 　　　　…民主党県連、社民党県連合推薦候補落選

命題
Top を位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を Top における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
{a, b} を相異なる２点からなる密着空間とする。
u：Y → {a, b} を任意の y に対して u(y) = a で定義する。
v：Y → {a, b} を y ∈ f(X) のとき v(y) = a、
y ∈ Y - f(X) のとき v(y) = b で定義する。
{a, b} は密着空間であるから u, v は連続である。
uf = vf であるから u = v である。
よって f(X) = Y である。

十分性：自明である。
証明終

命題
R を必ずしも可環とは限らない環とし、R-Mod を左 R-加群全体の圏とする。
f：X → Y を R-Mod における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
f(X) ≠ Y として矛盾を導く。
Y/f(X) ≠ 0 である。
p：Y → Y/f(X) を標準射とする。
pf = 0f であるから p = 0 となり矛盾である。

十分性：自明である。
証明終

　TBSで3月13日の夕方に放送された『報道特集NEXT ネトゲ依存からの脱出』にて捏造疑惑が浮上した。

　その疑惑を生んだのは放送時に映っていた液晶時計の中のカレンダーの日付だ。液晶画面上には「22日火曜日」
と映し出されており、さらに別の場所には紙のカレンダーも掛けられておりそちらは12月。22日火曜日といえば
昨年の12月が当てはまることになる。このシーンは「1月に父親を亡くし、それをきっかけに仕事探しを始めた」という
本人の言葉の後に、実際にパソコンを操作し、職を探している様子が12月のカレンダーと共に映されているのだが、
まるで時間が戻ってしまっている。

　これが撮影された日は12月22日火曜日。しかし番組内では1月に父親を亡くしたといっている。
この矛盾はどう生まれたのだろうか？　もしかしたら紙のカレンダーを2010年の物に取り替えるのが面倒だっただけだろうか？

くまーは少し焦った
俺様が　オ　リ　ジ　ナ　ル　だと言っても
誰も気にもとめない

あたりまえだ
オリジナルの意味をはきちがえている

む　し　ろ
き　ち　が　い　ている
といってもよいだろう

くまーの苦悩は底なしである

つづく

くまーは現実から逃避した
そして妄想の世界に住み着いた

くまーは苦悩した

なぜみんなは俺様を嫌うのだ
ホモだからか

ホモは妬み深いからな

くまーは鏡をみながらそう思った

続く

以前荒らしてアクキンをくらったおまぬけさんがいたけど、
お前もそうならないように気をつけろよｗ

悔しいのおｗ
次から次に出てくるｗ

>>390

オマエが一番きをつけなくちゃいけないのじゃないかな
ぷふ

病院にでも行ったか？

圏論における証明をする場合
objectとmorphismは一階の無定義述語だから
それについての明示はいらないのか？

>>271
なるほど今は意味がないよというわけね
ならスレタイを　代数的整数論　準備
とかにしれば嵐は減るかもね

少なくとも現在代数的整数論やってて
いろんな人の意見を聞きたくて検索したのに
これが見つかると嫌だからさ

どのみち「うんこ」だよ、くまーの

定義
X を集合とする。
X の部分集合の族 (X_i)、i ∈ I が次の条件を満たすとき
(X_i)、i ∈ I を X の直和分割と言う。

(�@) 各 X_i は空でない。

(�A) X = ∪X_i、i ∈ I

定義
X を集合とする。
(X_i)、i ∈ I を X の直和分割(>>397)とする。

このとき X の同値関係 R で R による同値類全体が {X_i；i ∈ I} と
一致するものが一意に素材する。

証明
自明である。

>>398の修正

定義
X を集合とする。
(X_i)、i ∈ I を X の直和分割(>>397)とする。

このとき X の同値関係 R で R による同値類全体が {X_i；i ∈ I} と
一致するものが一意に存在する。

証明
自明である。

定義
X を位相空間とし A ⊂ X を部分空間とする。
X の部分集合の集合 I を次のように定める。
B ∈ I ⇔ B = A または {x}、x ∈ X - A

(B)、B ∈ I は X の直和分割(>>398)である。
よって、>>398より、X の同値関係 R で R による同値類全体が I と
一致するものが一意に存在する。

このとき商空間 X/R を X/A と書く。
X/A は A を１点に縮めた空間である。

>>384の別証

命題
Top を位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を Top における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
f(X) ≠ Y として矛盾を導けばよい。

p：Y → Y/f(X) (>>400) を標準射とする。
h：Y → Y/f(X) を任意の y ∈ Y に対して h(y) = {f(X)} により定義する。
h は定値写像であるから連続である。
pf = hf であるから p = h である。
一方、f(X) ≠ Y であるから p は定値写像ではない。
これは矛盾である。

十分性：自明である。
証明終

>>400の修正

定義
X を位相空間とし A ⊂ X を部分空間とする。
X の部分集合の集合 I を次のように定める。
B ∈ I ⇔ B = A または B = {x}、x ∈ X - A

(B)、B ∈ I は X の直和分割(>>398)である。
よって、>>398より、X の同値関係 R で R による同値類全体が I と
一致するものが一意に存在する。

このとき商空間 X/R を X/A と書く。
X/A は A を１点に縮めた空間である。

>>401の修正

>>384の別証

命題
Top を位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を Top における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
f(X) ≠ Y として矛盾を導けばよい。

p：Y → Y/f(X) (>>402) を標準射とする。
h：Y → Y/f(X) を任意の y ∈ Y に対して h(y) = {f(X)} により定義する。
h は定値写像であるから連続である。
pf = hf であるから p = h である。
一方、f(X) ≠ Y であるから p は定値写像ではない。
これは矛盾である。

十分性：自明である。
証明終

朝日新聞社が１３、１４の両日に実施した全国世論調査（電話）によると、鳩山内閣の支持率は３２％で、前回調査
　（２月２０、２１日）の３７％から下落した。不支持率は４７％（前回４６％）だった。夏の参議院選挙で民主党議員の
　一連の政治とカネの問題を「重視したい」と答えた人は５６％で、「そうは思わない」の３６％を大きく上回った。

　政党支持率では民主が２７％（前回３２％）で、政権発足時の４６％から２割台にまで落ち込んだ。自民も１５％と
　前回の１８％から下げ、無党派層が５０％（同４１％）に膨らんだ。

　仮にいま投票するならとして聞いた参院選比例区の投票先でも、民主が３０％（前回３２％）、自民が２１％
　（同２３％）と、ともに減り、みんなの党が６％（同３％）、「答えない」「わからない」が３７％（同３２％）と増えている。

　民主党の小沢一郎幹事長が自身の政治資金問題の責任をとって「辞任するべきだ」は７４％に達し、前回（６４％）
　より増えている。民主支持層でも「辞任するべきだ」が６０％（前回４８％）と多い。民主党議員の「政治とカネ」の
　問題については、民主支持層でも４割が参院選で「重視したい」と答えている。

　発足から半年間の鳩山内閣の仕事ぶりは、「大いに」「ある程度」を合わせ「評価する」意見が４２％。発足１カ月後の
　昨年１０月調査の７５％から大幅に減っている。「あまり」「全く」を合わせた「評価しない」は５７％（昨年１０月２２％）だった。
　政権交代が起きたことを「よかった」と思う人は６７％で、「よくなかった」１７％を圧倒する。だが、政権交代で政治が
　「よくなった」と思う人は１６％で、「変わらない」が６３％と最も多く、「悪くなった」が１２％いた。

　一方、自民党が野党としての役割を十分に「果たしている」と思う人は９％にとどまり、「果たしていない」が７９％と
　大多数を占めた。
　米軍普天間飛行場の移設問題をめぐる内閣の対応については「評価する」が２３％、「評価しない」が５８％。
　県内移設の賛否を聞くと、「賛成」２８％、「反対」３９％で、無回答を含め賛否を保留する人が３３％いた

直和分割の定義が和集合かよｗ
くまーって低脳だな

命題
X をコンパクト空間とする。
A を X の閉集合とする。

このとき X/A (>>402)はHausdorff(従ってコンパクト)である。

証明
p：X → X/A を標準写像とする。
x, y ∈ X - A かつ x ≠ y とする。
X はHausdorffだから x ∈ U、y ∈ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V がある。
U’= U ∩ (X - A)
V’= V ∩ (X - A)
とおく。
U’と V’は開集合であり、
x ∈ U’、y ∈ V’、U’∩ V’= φ
p(U’) と p(V’) は開集合であり、p(x) ∈ p(U’)、p(y) ∈ p(V’)、
p(U’) ∩ p(V’)’= φ

x ∈ X - A、y ∈ A とする。
X はコンパクトであるから過去スレ006の406より正則である。
よって、過去スレ006の211より x の開近傍 U と A の開近傍 V で交わらないものがある。
p(U) は p(x) の開近傍で、p(V) は p(y) の開近傍であり、p(U) ∩ p(V) = φ

以上から X/A はHausdorffである。
X はコンパクトであるから p(X) = X/A はコンパクトである。
証明終

今ちょっと酔ってるだけだｗ

>>397の修正

定義
X を集合とする。
X の部分集合の族 (X_i)、i ∈ I が次の条件を満たすとき
(X_i)、i ∈ I を X の直和分割と言う。

(�@) 各 X_i は空でない。

(�A) i ≠ j のとき X_i ∩ X_j = φ

(�B) X = ∪X_i、i ∈ I

命題
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を CTop における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
f(X) ≠ Y として矛盾を導けばよい。
f(X) はコンパクトであるから Y の閉集合である。
>>406より X/f(X) (>>402)はコンパクトである。
p：Y → Y/f(X) (>>402) を標準射とする。
h：Y → Y/f(X) を任意の y ∈ Y に対して h(y) = {f(X)} により定義する。
h は定値写像であるから連続である。
pf = hf であるから p = h である。
一方、f(X) ≠ Y であるから p は定値写像ではない。
これは矛盾である。

十分性：自明である。
証明終

いつも酔っているようだなｗ

歓　生　な
ば　き　ぜ
ぬ　る
　　 こ
　 　と
　　 を

命題
X, Y を位相空間とし、
f：X → Y
g：X → Y
を連続写像とする。

K = {x ∈ X； f(x) = g(x)} とおく。

Y がHausdorffであれば K は X の閉集合である。

証明
x ∈ X - K のとき f(x) ≠ g(x) であるから f(x) の開近傍 U と
g(x) の開近傍 V で U ∩ V = φ となるものがある。
W = f^(-1)(U) ∩ g^(-1)(V) と置く。
W は x の開近傍である。
y ∈ W のとき f(y) ∈ U かつ g(y) ∈ V である。
U ∩ V = φ であるから f(y) ≠ g(y) である。
よって W ⊂ X - K である。
よって、X - K は開集合である。
よって K は閉である。
証明終

さてさて
なぜに　代数的整数論なのか

微積分の復習をしても
圏論の無駄な議論をしても

許される

そんな理屈をこねくりまわす

そのためにくまーは病院にいくことを選んだのだ

ああ　英雄的な　そして　無意味な　くまーよ

イギリスの伝統をたたえるホモよ
自分に酔うおろかなホモよ

鏡を見よ

つづく

命題
Haus をHausdorff位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を Haus における射とする。
f(X) が Y で稠密であれば f は圏論的に全射(過去スレ017の345)である。

証明
u：Y → T
v：Y → T
を Haus における射とする。
uf = vf とする。

>>411より、K = {y ∈ Y； u(y) = v(y)} は Y の閉集合である。
f(X) は Y で稠密で f(X) ⊂ K であるから K = Y である。
よって u = v である。
証明終

いつまで逃げるつもりだ
Kummer

おれたちは許さないぞ

くまーもすげえが粘着もすげえｗ
おまえら早朝から深夜まで２ちゃんかよｗｗｗ

kummer はそうやって自演で自ら首を絞める

粘着って

くまーほどの粘着はいないだろ

相手が一人だと思っているのかなあ？

いちいち言い訳しなくていいからｗじゃねｗ

定義
すべての元が有限位数のアーベル群を捩れ（アーベル）群(torsion group)と言う。
単位元以外に有限位数の元を含まないアーベル群を
捩れのない（アーベル）群(torsion-free group)と言う。

定義
G をアーベル群とする。
G の有限位数の元全体は G の部分群をなす。
これを G の最大捩れ部分群(maximal torsion subgroup)と呼び、t(G) と書く。

命題
TorFr を捩れのないアーベル群(>>419)全体の圏とする。
f：X → Y を TorFr における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
Y/f(X) が捩れ群(>>419)であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
Z = Y/f(X) が捩れ群でないとして矛盾を導けばよい。
t(Z) を Z の最大捩れ部分群(>>420)とする。
仮定より Z ≠ t(Z) である。
Z/t(Z) は捩れのない群である。
π：Z → Z/t(Z) を標準射とする。
p：Y → Z を標準射とする。
u = πp：Y → Z/t(Z) とおく。
uf = 0 である。
u ≠ 0 であるから f は圏論的に全射でない。
これは矛盾である。

十分性：
Y/f(X) が捩れ群とする。
u：Y → T
v：Y → T
を TorFr における射で uf = vf とする。
h = u - v とおく。hf = 0 である。
y を Y の任意の元とする。
Y/f(X) が捩れ群であるから y^n ∈ f(X) となる整数 n ＞ 0 がある。
hf = 0 であるから h(y^n) = h(y)^n = 0 である。
T は捩れのない群であるから h(y) = 0 である。
よって、h = 0 である。よって u = v である。
証明終

例
Z を有理整数全体のなす加法群とする。
Z は捩れのない群(>>419)である。
n ≧ 2 を整数とする。
nZ は Z の部分群であり捩れのない群である。
f：nZ → Z を包含写像とする。
>>421 より f は TorFr において全射である。

例
Rng を必ずしも可換とは限らない環全体の圏とする。
Z を有理整数環とする。
Q を有理数体とする。
f：Z → Q を包含写像とする。

u：Q → T
v：Q → T
を Rng における射で uf = vf とする。

n/m ∈ Q のとき

u(n/m)
= u(n)u(1/m)v(1)
= v(n)u(1/m)v(m)v(1/m)
= v(n)u(1/m)u(m)v(1/m)
= v(n)u(1)v(1/m)
= v(n)v(1/m)
= v(n/m)

よって、u = v
よって、f は Rng において全射である。

補題
H を群とし、K をその部分群とする。
このとき群 G と準同型 f：H → G、g：H → G があり、
K = {h ∈ H； f(h) = g(h)} となる。
即ち K = Ker(f, g) (過去スレ017の772)である。
H が有限群のときは G は有限群にとれる。

証明
H/K = {hK；h ∈ H} を K による左剰余類の集合とする。
S = H/K ∪ {*} とおく。
ここで * は S に含まれない元である。
G = Aut(S) とおく。
ここで Aut(S) は S の置換全体のなす群である。

準同型 f：H → G を f(h)(h’K) = hh’K、f(h)(*) = * により定義する。

σ ∈ G を σ(*) = K、σ(K) = *、hK ≠ K のとき σ(hK) = hK となる置換とする。
準同型 g：H → G を g(h) = σf(h)σ^(-1) で定義する。

h ∈ K のとき
g(h)(*) = σf(h)σ^(-1)(*) = σf(h)(K) = σ(hK) = σ(K) = *
g(h)(h’K) = σf(h)σ^(-1)(h’K) = σf(h)(h’K) = σ(hh’K) = hh’K

h ∈ H - K のとき
g(h)(*) = σf(h)σ^(-1)(*) = σf(h)(K) = σ(hK) = hK ≠ K

よって K = {h ∈ H； f(h) = g(h)} である。
証明終

命題
C を群全体の圏または有限群全体の圏とする。
f：X → Y を C における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f が写像として全射であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射とする。
f(X) ≠ Y として矛盾を導けばよい。

>>424より、C-対象 G と C-射 u：Y → G、v：Y → G があり、
f(X) = {y ∈ Y； u(y) = v(y)} となる。
よって、uf = vf である。
f(X) ≠ Y であるから u ≠ v である。
これは f が圏論的に全射であるという仮定に反する。

十分性：
自明である。
証明終

>>379の双対

命題
f：X → Y と g：Y → Z を全射(過去スレ017の345)とすると、
gf も全射である。

証明
双対原理(>>159)より

>>380の双対

命題
f：X → Y と g：Y → Z に対して gf が全射であれば g は全射である。

証明
双対原理(>>159)より

>>381の双対

命題
f：X → Y を断面で全射とする。
このとき f は同型である。

証明
双対原理(>>159)より

>>378の双対

命題
F：C → D を忠実な関手とする。
f：X → Y を C-射で F(f)：F(X) → F(Y) は全射であるとする。
このとき、f は全射である(即ち F は全射を反映する)。

証明
双対原理(>>159)より

>>310の修正
過去スレ017の346の修正

定義
圏における射 f: X → Y は射 g: Y → X で gf = 1_X となるものがあるとき
断面(section)または左可逆と呼ぶ。

>>311の修正

命題
f：X → Y と g：Y → Z が断面(>>430)であれば gf も断面である。

証明
hf = 1_X となる h：Y → X と
kg = 1_Y となる k：Z → Y がある。

hk：Z → X であり、hkgf = h(1_Y)f = hf = 1_X
証明終

>>312の修正

命題
f：X → Y と g：Y → Z を射とし、gf が断面(>>310)とする。
このとき f は断面である。

証明
射 h：Z → X で hgf = 1_X となるものがある。
hg：Y → X は f の左逆射であるから f は断面である。
証明終

>>313の修正

命題
F：C → D を関手とする。
f：X → Y を C における断面(>>430)とする。

このとき F(f) は D における断面である。

証明
自明である。

>>314の修正

命題
F：C → D を充満かつ忠実な関手とする。
f：X → Y を C-射とする。

このとき F(f) が D における断面(>>430)であれば、f は C における切断である
（この事実を F は断面を反映するという）。

証明
u：F(Y) → F(X) で uF(f) = 1_F(X) となるものがある。
F は充満であるから u = F(g) となる射 g：Y → X が存在する。
uF(f) = F(g)F(f) = F(gf) = 1_F(X)
よって、F の忠実性より gf = 1_X である。
証明終

最大捩れ部分群なんてはじめて聞いたぜｗ
トーションパートだろｗ

数学のセンスだけじゃない
日本語のセンスも欠いているらしいな

【野球】桑田真澄氏が早大大学院を“首席”で卒業
1 ：けん引きφ ★：2010/03/16(火) 17:09:20 ID:???0
元巨人、パイレーツ投手で、早大大学院スポーツ科学研究科在学中の桑田真澄氏（４１）が
首席で卒業することが分かった。２５日に行われる卒業式で総代として謝辞を述べる。

すでに桑田氏の修士論文（卒論）「野球道の再定義による日本野球界のさらなる発展策に
関する研究」は修士課程１年制の最優秀論文に選ばれ、「濱野吉生学術賞」
（奨学金１０万円給付）も受賞。今月６日に表彰式と発表が行われた。

卒論とともに１年間を通じての学業成績も優秀で、卒業に必要な３０単位を大きく上回る
上限の４５単位を取得。１６日付のスポーツ報知によると、その大半が最上級の「Ａ＋」および
「Ａ」評価で、「Ｂ」は２つだけ。スポーツ科学研究科には桑田氏が在籍するトップスポーツ
マネジメントコースをはじめ、４つのコースがあり、総勢３３人の中で首席となった。

修士論文作成では徹夜の連続だったという桑田氏。卒業後について「やはり現場が好き。
ユニホームを着たい気持ちは強い」としたうえで、「１年はのんびりさせてください。
もう（勉強しすぎで）おなかいっぱいですから」と今季は充電にあてる意向だ。

くまは桑田に学歴でも負けたｗ

>>435
岩波数学辞典
捩れ部分群には最大でないものがあるわけだがあんたそれは何て言うの？

くまー　低脳ｗ>>438

俺が忘却看守って何と聞いたら嬉々として返事書いてくれたねｗ
かまうと面白いｗＷＷＷ

岩波数学辞典に最大ねじれ部分群なんて言葉はないが・・・

くまは50代の失業者　失業していることは前スレで本人も認めている
数学の本を写すことが、数学の研究と勘違いしているらしい
失業者なのに、貴族とか会社のオーナーとか妄想にひたり
現実から逃避し、誰も読まないスレを延々と書き続ける
からかい半分に内容について質問すると
嬉しそうに答える
初等的枝葉の質問をしてやると、分からないと答える
集合の分割さえ意味を分かっていない
はて、このうんこスレをやめてもらうにはどうしたらよいか？

>>440
第３版のアーベル群の項
第４版は見てないがアーベル群なんて昔からあるわけでそれに関する用語は
よほどのことがない限り変わらないはず

>>441
５０代というのはなんで？

>>435
>>436
>>439
イタイな

>>441
イテーｗ

代数的整数論を勉強してないので、5次以上の高次方程式が代数的に解ける場合の条件というものを
知らないのですが、具体例として10次方程式：

x^10+4*x^9+7*x^8-6*x^7-18*x^6-6*x^5-4*x^4-6*x^3+5*x^2+2*x+1=0

の解を代数的に解く表現（加減乗除と根号による表示）にすることは出来るでしょうか。
数値解で解くと

-1.52937143040
-0.547454849638
0.83738328558848
1.4044588967894

あたりなのですが、これを正確に表示することは可能なのかという問いです。

Discourageするようで悪いが
「代数的整数論」と「5次以上の高次方程式が代数的に解ける場合の条件」とは
殆ど関係ござんせんぜ。
この手の話題はKuroshのHigher Algebraあたりを見るのが良いんとちゃいますか？

命題
F：C → D を圏同値(過去スレ017の404)とする。
F は単射を保存する。
即ち、f：X → Y が C における単射であれば F(f)：F(X) → F(Y) は単射である。

証明
r：T → F(X)
s：T → F(X)
を D における射で F(f)r = F(f)s とする。
F は同型的に密(>>74)であるから C-対象 Z と同型 h：F(Z) → T が存在する。
rh：F(Z) → F(X)
sh：F(Z) → F(X)
であり、F は充満であるから
u：Z → X
v：Z → X
で F(u) = rh、F(v) = sh となるものがある。
F(fu) = F(f)F(u) = F(f)rh
F(fv) = F(f)F(v) = F(f)sh
F(f)r = F(f)s であるから F(fu) = F(fv) である。
F は忠実であるから fu = fv である、
f は単射であるから u = v である。
よって、F(u) = F(v)
よって、rh = sh
h は同型であるから単射である。
よって、r = s
よって、F(f) は単射である。
証明終

命題
F：C → D を圏同値(過去スレ017の404)とする。
F は全射を保存する。
即ち、f：X → Y が C における全射であれば F(f)：F(X) → F(Y) は全射である。

証明
>>448と双対原理(>>159)

>>434の修正

命題
F：C → D を充満かつ忠実な関手とする。
f：X → Y を C-射とする。

このとき F(f) が D における断面(>>430)であれば、f は C における断面である
（この事実を F は断面を反映するという）。

証明
u：F(Y) → F(X) で uF(f) = 1_F(X) となるものがある。
F は充満であるから u = F(g) となる射 g：Y → X が存在する。
uF(f) = F(g)F(f) = F(gf) = 1_F(X)
よって、F の忠実性より gf = 1_X である。
証明終

定義
f：X → Y を圏 C における射とする。
f が全射かつ単射であるとき f を全単射(bimorphism)と言う。

定義
圏 C において全ての全単射(>>451)が同型であるとき、
C を平衡的(balanced)であると言う。

集合の圏や群の圏は平衡的(>>452)である。
位相空間の圏や位相群の圏は平衡的でない。

例
Rng を必ずしも可換とは限らない環全体の圏とする。
Z を有理整数環とする。
Q を有理数体とする。
f：Z → Q を包含写像とする。

>>423より f は Rng において全射である。
明らかに f は単射であるから f は全単射(>>451)である。
しかし、f は同型でない。
よって Rng は平衡的(>>452)でない。

Top を位相空間の圏とする。
f：X → Y を Top における射とする。
f が Top における単射(過去スレ017の345)であるためには
f が連続で写像として単射であることが必要十分である。
従って、f が単射であることは f(X) が Y の部分空間と同型であることを意味しない。
f(X) が Y の部分空間と同型になることを圏論的に定義するにはどうすれば良いか？
その答えが次ぎの定義である。

定義
f：X → Y を圏 C における射とする。
f がある二つの射の差核(過去スレ017の772)と一致するとき
f を正則な単射(regular monomorphism)と言う。

即ち次の完全な図式(過去スレ017の774)があるとき f を正則な単射と言う。

X → Y ⇒ Z

正則な単車とははじめて聞いた
語源を説明してください

命題
Top を位相空間の圏とする。
f：X → Y を Top における射とする。
f が正則な単射であるためには f が X と Y の部分空間 f(X) の同型であることが
必要十分である。

証明
必要性：
f が正則な単射であるとする。
次の完全な図式(過去スレ017の774)がある。
X → Y ⇒ Z
ここで、Y ⇒ Z は二つの射 u、v を表す。

K = {y ∈ Y；u(y) = v(y)} とおく。
K に Y の部分位相を入れ位相空間と見なす。
包含写像 ι：K → Y は差核 Ker(u, v) であることは見やすい。
よって差核の一意性より f(X) = K であり、f は X と K の同型を与える。

十分性：
f が X と Y の部分空間 f(X) の同型であるとする。
商空間 Y/f(X) (>>402)を考える。
p：Y → Y/f(X) を標準射とする。
h：Y → Y/f(X) を定値写像 h(y) = p(f(x)) とする。
f(X) = {y ∈ Y；p(y) = h(y)} である。
よって、(X, f) = Ker(p, h) である。
証明終

例
C を群全体の圏または有限群全体の圏とする。
>>424より、C における単射は正則(>>456)である。

>>457
語源って、誰かが適当につけたんでしょう（英語版wikipediaに載ってます）。
正則空間とか正則部分多様体とかというのと同じような意味合いで、
普通の単射よりよい性質をもっているという意味ですよ。

過去スレ017の775より、正則な単射(>>456)は単射である。

命題
断面(>>430)は正則(>>456)な単射である。

証明
f: X → Y を断面とし、g: Y → X は gf = 1_X となる射とする。
(X, f) = Ker(fg, 1_Y) を証明しよう。

fgf = (1_Y)f である。
h：T → Y を fgh = (1_Y)h となる射とする。
k = gh：T → X とおく。
fk = fgh = h である。
f は単射であるから k は fk = h となる唯一の社である。
以上から (X, f) = Ker(fg, 1_Y) である。
証明終

くまーはいたがった

痛いのである
しかしまた
にちゃんに居たいのである

いつまでもいたいやつなのである

そして日本語もおかしくなっている

続く

>>463
ほな「続きのアホ文」っちゅうんを早くカキコせえや
ワシがちゃんと読んだるさかいナ。

猫

もうね、正則って言葉使いすぎ。いやクマーさんのことじゃなくて数学全般に対する苦言なんだけどさ。
色々数学の理論が進むと、全然別だった領域と交差したりするじゃないですか。

複素関数論なんかとかぶったらもう最悪。「正則なごにょごにょ（ただし、ここでは複素関数の意味ではない）」とか
言わなきゃいけなくなるでしょ。もう正則禁止で頼むわ。マジで。

>>46
馬鹿猫よ
どうしていつも上から目線なんだ？

>>466
>>46ではなくて>>464

ここで突然だが猫ますだてつやが乱入してきた
恩ある柏原の研究会を穢しに行っておいて
まだ関係ないにちゃんに入り浸り
くまーを同士と思っているらしい

かんぜんにアホである
アホという以上に異常である

でも仕方がない

数学とは無縁な生活を続けるとこうなるのだ

でもよく旅費があったなあ
辺境の地から都までどうやってきたのかな？
ヒッチハイクしたわけでもないだろう
犯罪に手を染めていないか心配だ

わしは増田を歓迎するね。
一緒になってこのスレを盛り上げてくれ。

猫糞の増田君。

>>466
>>467
ソレはや、ワシに「>>463を叩く」という目的が明確にアルからや

猫

ほら増田

さっさとかきこまんか

根性なし

>>470
なぜ叩く？

さっさと叩け根性なし

>>472
ソレがワシの判断やからや

猫

くまーはよろこんでいる
自演以外に本当に俺様を理解してくれそうな
しかも　も　と　数学者という
立派な経歴のお方が応援してくれている

なにやら犯罪者らしいが
そんなこと関係ない

おれだってホモだし男は好きだし
犯罪なんてあんなの他人が勝手に決めたことだから
俺様には関係ない

俺様のスレをうんこだっていうやつらの言うことなんか
聞く必要はないのだ

つづく

くまーは
猫が柏原とかこんぬとかの知り合いだときいて
勇気百倍なのである

うふふ

つづく

>>474
どのような理念、思想を持って
そのように判断したのか
分かりやすくおねがいします。

増田は根性なしや。
くちから出まかせ。

>>477
私の判断の理由は：
１．真面目に数学の議論をしているクンマー氏を揶揄している。
２．一切何も生産的な発言をしない。
３．他人（この場合はクンマー氏）の心情や感情を自分勝手に記述している。

私はこういう事をスル輩を放置スル事は出来ない。

以上。

猫

>>479
1.１人語りと議論では大きく異なる
2.生産的とはなにか？少なくとも私には猫氏の発言は生産的ではない
3.表現の自由では？
また、受け手によりとり方が変わる。
少なくとも私にはまたクンマー氏を煽ってるくらい程度にしか思わない。

よって私にはあなたが批判している理由が分かりかねる。

>>464
猫、ここは一人のコテハンが一所懸命に代数的整数論を書き連ねているんだ
お前が既に数学を捨てたと宣言しているにしても
仮にも元数学徒ならば
騒ぎたければ他所で騒げ
居るなら黙っていろ
それともお前は佐藤や柏原やコンヌの前でも２ちゃんの調子で下らん下衆な騒ぎをしてるのか！？

>>476
アンタのその「アホ文」っちゅうんは「つづく」のやそうやからナ、
ちゃんと書けや　ワシが読んだるさかいナ。

猫

>>482
私はあなたの煽りは見たくありません。
どうぞどこかよそに行ってください。

>>481はお読みになりましたか？いい事が書いてありますよ。

クマーが猫を追い出そうとしているなｗＷＷＷＷＷ

くまものがたり
期待しています

たしかに　アカポスは海外にも公募するべきだろうな
国内だけだと沈滞する

＞猫、ここは一人のコテハンが一所懸命に代数的整数論を書き連ねているんだ

２点異論がある

（１）　一所懸命であろうとなかろうと、「ここは一人の」というのが
　　　　問題だ　それはブログでやれば良いのであって、２ちゃんの掲示板の
　　　　ひとつのスレを一人が自由気ままに自分のノートを公開するべきでない

（２）　「代数的整数論」ではない　「うんこ」だ

>>487
運営でもないくせになに勝手に判断してんの？もし２ちゃんのルールに反してると
思うんなら削除要請すればいい。過去に削除要請してスルーされてるけどね。
自分の意に沿わないから荒らし行為をする方が、よほど掲示板利用のルールに
反してる。

くまーｗ
うんこ垂れ流しやめろよｗ

仕事さがしてこい
２ちゃん中毒で引きこもるなよｗ

横からですが、>>487 は荒らしているとは思いません。
意見です。まともな意見だと思います。
ルールがどうたらの前に、人間としての常識で書かれていると思います。
クマさんの方がよほど荒らしてませんか？

わてもくまーが数学板の荒らしそのものだとオモウ

>>490
>>487が荒らしだとは一言も言ってないが。上でこぴぺを繰り返してる
馬鹿のことを言ってるつもりだが。

＞（２）　「代数的整数論」ではない　「うんこ」だ

これが人間としての常識かｗｗｗ

補題
e: X → Y
h: Y → X
をある圏における射とし、he = 1_X とする。
e が全射であれば e は同型である。

証明
ehe = e
e は全射であるから eh = 1_Y
よって、e は同型である。
証明終

命題
f：X → Y を正則(>>456)な単射とする。
f = ge とする。
ここで
e：X → S
g：S → Y
であり、e を全射とする。

このとき e は同型である。

証明
u：Y → Z
v：Y → Z
f = Ker(u, v) とする。

uf = vf より uge = vge
e は全射であるから ug = vg である。
よって、h：S → X で g = fh となるものが存在する。
よって fhe = ge = f
f は単射であるから he = 1_X である。
>>493より e は同型である。
証明終

>>494より正則な単射より弱い性質を持つ単射の定義が得られる。
これは正則な単射より扱いやすい場合が多い。

定義
f：X → Y を単射とし、次の性質(E)を持つとする。

(E)：f = ge で e が全射なら e は同型である。

このとき f を極値的単射(extremal monomorphism)と言う。

>>494より正則(>>456)な単射は極値的(>>496)である。

命題
f：X → Y を極値的単射(>>496)とする。
g：Y → Z を正則(>>456)な単射とする。

このとき、gf は極値的単射である。

証明
u：Z → W
v：Z → W
g = Ker(u, v) とする：

X → Y → Z ⇒ W

gf = he とする。
ここで
e：X → S
g：S → Z
であり、e を全射とする。
このとき e が同型であることを証明すればよい。

ug = vg であるから ugf = vgf
よって、uhe = vhe
e は全射であるから uh = vh
よって、k：S → Y で h = gk となるものがある。
he = gke である。
gf = he であるから gf = gke
g は単射であるから f = ke である。
f は極値的であるから e は同型である。
証明終

命題
f：X → Y
g：Y → Z
gf を極値的単射(>>496)とする。

このとき f は極値的単射である。

証明
f = he とする。
ここで、e は全射である。
gf = ghe である。
gf は極値的単射であるから e は同型である。
よって、f は極値的単射である。
証明終

極値的単写なんてくまー用語ですか？

44 名前：１３２人目の素数さん ：2010/03/17(水) 11:19:38
査読付き論文毎年最低2本(共同研究可)
国内研究集会発表時間毎年最低合計120分(学内セミナー不可、ポスターセッション不可)
年1回基礎学力測定を実施(微積分、線形代数、位相、専門で教科書レベルの内容)

思うに荒らしはくんまーさんそれ自身ですよ

よーくかんがえてみてください

クンマーさんに抵抗する者は私が撃ち落とします。

猫

命題
f：X → Y
g：Y → Z
を射とする。
gf を正則(>>456)な単射とする。
g を単射とする。

このとき f は正則な単射である。

証明
gf = Ker(u, v) とする。

X → Y → Z ⇒ W

f = Ker(ug, vg) を証明しよう。
まず ugf = vgf である。
h：T → Y を ugh = vgh となる射とする。
k：T → X で gh = gfk となるものが一意に存在する。
g は単射であるから h = fk である。
よって、f = Ker(ug, vg) である。
証明終

逆に猫を鎮めてさしあげようｗ

Tetsuya Masuda is cited 198 times by 144 authors

俺は猫の半分程度だｗ　ただし、共著の割合が俺の方がはるかに少ないが

命題
位相空間の圏 Top においては正則な単射(>>456)と極値的単射(>>496)は一致する。

証明
>>494より正則な単射は極値的単射である。

f：X → Y を Top における極値的単射とする。
f(X) = S とおく。
f の値域を S に制限した写像を e とする。
S に Y の部分位相を入れたとき e は連続である。
g：S → Y を包含写像とする。
f = ge である。
e は Top における全射である。
f は極値的単射であるから e は同型である。
>>458より、f は正則な単射である。
証明終

>>505
ソレは私に対しては何の効果もアリマセンね。私は全然興味が無いので。

猫

定義
(X_i), i ∈ I を位相空間の族とする。
X = ΣX_i を (X_i), i ∈ I の直和集合とする。
λ_i：X_i → X を標準単射とする。
各 λ_i を連続にする X 上の位相の中で最も細かいものを τ とする。
位相空間 (X, τ) を (X_i), i ∈ I の直和位相空間と呼ぶ。
用語の濫用だが X も (X_i), i ∈ I の直和位相空間と呼び
X = ΣX_i と書く。

U ⊂ X が X の開集合であるためには
各 (λ_i)^(-1)(U) が X_i の開集合であることが必要十分である。

定義
X と Y を位相空間とする。
A を X の部分空間とする。
f：A → Y を連続写像とする。
Z = X＋Y を直和位相空間(>>509)とする。
S = {(a, f(a)) ∈ Z×Z； a ∈ A} とおく。
S で生成される同値関係(過去スレ017の830)を〜とする。
商空間 Z/〜 を (X＋Y)_f と書き、Y に X を f で接着した空間
(the space obtained from Y by attaching X via f)
または略して f による接着空間と呼ぶ。

>>508

興味ないわりには反応してるな
ほかでも


猫のいうことを信じるやつはおらんよ

うそつきだからな

くまーは少し悲しくなってきた

猫はもう少しまともかと思っていた
しかし煽りにあってすぐに反応する

ちょっとアホじゃないか

これじゃ一緒にあらされているのと同じだ

でもでもそんなことは口が裂けても言えない
だって応援してくれてるただひとりだからなあ

つづく

猫の日本語は理解できないな

撃ち落す

数学はもちろん
にちゃんでも効果のあることなど
なにもできたことはないのにね

妄想だけは人一倍

さっさと撃ち落しに来いよ

ばきゅーん　　ううっ
やられた

子供の遊びにつきあってやるぜ

ワシはな
猫みたいに無能の癖に
口先だけのやつがだいきらいなんや

もんくあるならでてこい

そうや
わしも猫がきらいや
２ちゃんでええかっこうしながら
勤務先では散々迷惑をかけておった

>>511-516

お前等、「類はホモを呼ぶ」の典型だな。

卑怯者のねこは

どこに逃げたんや

くちさきだけやからな
いつも

くまー
情けない自演はやめろよ

お前の友達は
犯罪者のねこだけだし

ワシはちゃんと見てるがな。そやし安心せえや

猫

ホモは低脳くまーだろｗ　イギリス貴族で、会社のオーナー
人を沢山つかいながら、なぜかここの面倒な書き込みは
四六時中、くまーが「パソコン」をつかってやっているｗ

さあ、くまー

柏原先生関連の研究集会もをわったし

入試の後期日程の処理もをわったし

これから新年度の講義がはじまるまで

かまってやるでー

あ
ほ
の
く
ん
ま
あ
ｗ

猫は見てるだけ

威勢のいいのは口先だけ

できるのは痴漢だけ

猫よ
命令だ

さっさと出てきて撃ち落せよ
ほっとくとどんどん出てくるぞ

ほんならドンドン出て来いや、ワシは見てるさかいナ。

猫

命題
X を位相空間とする。
A を X の閉集合とする。
f：A → X を包含写像とする。
Z = (X＋X)_f (>>510)とおく。
Y = X＋X とおく。
このとき標準写像 p：Y → Z は閉写像である。

証明
i：X → Y
j：X → Y
を標準単射とする。
i(X) と X を同一視する。
j(X) = X’と書く。
x に対応する X’の元を x’と書く。
Y = X ∪ X’である。

C を Y の部分集合とする。
p^(-1)(p(C)) = C ∪ f(C ∩ A) ∪ f^(-1)(C ∩ A’)
よって C が閉であれば p^(-1)(p(C)) も閉である。
よって p(C) は Z の閉集合である。
証明終

補題
X と Y を位相空間とする。
f：X → Y を閉写像とする。
S を Y の部分集合とする。
U を X の開集合で f^(-1)(S) ⊂ U とする。

このとき、Y の開集合 V で S ⊂ V かつ f^(-1)(V) ⊂ U となるものがある。

証明
V = Y - f(X - U) とおけば V は開集合である。
f^(-1)(S) ⊂ U であるから S ∩ f(X - U) は空である。
よって、S ⊂ V である。

一方、f^(-1)(V) = X - f^(-1)f(X - U) ⊂ X - (X - U) = U
証明終

命題
X をHausdorff空間とする。
A を X の閉集合とする。
f：A → X を包含写像とする。
Z = (X＋X)_f (>>510)とおく。

このとき Z はHausdorff空間である。

証明
p：X＋X → Z を標準写像とする。
z_1 と z_2 を Z の相異なる点とする。
p^(-1)(z_i)、i = 1, 2 は X＋X の１点または２点からなる集合であり、
従ってコンパクトである。
p^(-1)(z_1) ∩ p^(-1)(z_2) は空である。
よって、p^(-1)(z_1) ⊂ U_1、p^(-1)(z_2) ⊂ U_2 となる開集合 U_1、U_2 で
交わらないものがある。

>>527より p は閉写像である。
よって、>>528より z_i ∈ V_i となる開集合 V_i、i = 1, 2 で
p^(-1)(V_i) ⊂ U_i、i = 1, 2 となるものがある。
U_1 と U_2 は交わらないから V_1 と V_2 も交わらない
証明終

命題
Haus をHausdorff空間の圏とする。
f：X → Y を Haus における射とする。

f が正則(>>456)な単射であるためには f(X) が Y の閉集合で
f が X と f(X) の同型であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が正則な単射であるとする。
u：Y → Z、v：Y → Z があり、f = Ker(u, v) となる。
K = {y ∈ Y；u(y) = v(y)} とおく。
Z はHausdorffだから K は Y の閉集合である。
明らかに K = Ker(u, v) である。
よって、f(X) = K であり、f は X と f(X) の同型である。

十分性：
f(X) が Y の閉集合で f が X と f(X) の同型であるとする。
f(X) とおき、h：f(X) → Y を包含写像とする。
Z = (Y＋Y)_h (>>510)と置く。
>>529より Z はHausdorffである。

p：Y＋Y → Z
μ_1：Y → Y＋Y
μ_2：Y → Y＋Y を標準写像とする。
h = Ker(pμ_1, pμ_2) である。
よって、f は正則な単射である。
証明終

猫よ
怖いだろ？　人間を信じられないだろｗ？
柏原さんの最終講義の時には打ち解けていたおまえの知り合いが、
２ちゃんでおまえのことを罵倒していることをどうおもうかね？
わてはおまえと話したが、実はおまえを心底嫌っておるｗ

猫よ

わてがだれだか分かるか？
おまえの近くで微笑んでいたわてをｗ

>>518-519　　>>521-525　>>531-532

ホモでチョンだとこうも往生際が悪いのか…

くまーは前スレでホモであることを告白した。
以来、照れ隠しに、他人をホモと言っているわけだｗ
ちなみに、ホモと名指しされたレスは
くまーの自演でないことになるｗ

945 ：１３２人目の素数さん：2010/03/17(水) 21:10:36
ババアが日記を書くスレかよ

くまーのスレと同じだなｗ

おい失業者、くま

いつまでのこのスレを続けるなよｗ

>>534-536

チョン共、早く痴情の楽園に帰りな。

今度はちょんかｗ
おまえのことだねｗ

この男児のためを思ったら転校した方がいいだろ。
親だって気が気じゃないよ、どこのキチガイに狙われるかわからん。

ただ、この男児が転校してしまうと、東宮夫妻が「子どもを追い出した
大人げないモンスターペアレンツ」ってことに事実上なってしまうし、
愛子さんも学校に行きたくない理由として悪者の男児を必要としているから
東宮側とするとなんとしてでも学習院にいてもらわないと困るんだろうな。

「2009犯罪白書」の強姦犯罪発生件数を見れば11,757件(2005年)、13,573件(2006年)、13,634
件(2007年)と毎年増加傾向だ。これでは華城連鎖殺人事件を扱った映画「殺人の追憶」でパク・ト
ゥジン刑事(ソン・ガンホ)が叫んだように我が国は「強姦の王国」と言える。

それでは韓国は本当に「強姦の王国」か？去る2004年、韓国刑事政策研究院チェ・インソプ研究
員が調査した「世界主要都市の犯罪発生傾向 比較分析」研究結果によれば不幸にもその通りだ。

同書によれば2002年ソウルの人口10万人当たりの強姦発生率は24.1件でニューヨーク(20.9件)、
東京(2.2件)より高かった。深刻なのは他の都市は減っているのにソウルは強姦発生率が増加し
ているという事実だ。ニューヨークの場合、1992年38.2件から20.9件に減ったが、ソウルは10.1
件から24.1件に増えた。

>>537

おまえ数学だけじゃなくて本当にバカなんだな
罵倒することばが類型的すぎる

このスレでそんな言葉で効果があると思う情けなさ

その無神経さがこのアホすれの原動力だ
がんばれ

都合が悪くなったら

みているさかいな

か

猫

圏論にコメントだせよ

くまー
これはフィクションであり実在の人物とはなんらかんけいありません

まして Kummer などという歴史上偉大な数学者の名を騙るばか者が
いたとしても　そんなことしりません

さて
くまーは何度か過去に炎上の危機に直面しながら
自らの信念を貫いてなんとかきりぬけてきた

要するに都合の悪いことはきかないのである

しかし今回は様子が変だ

なぜ今までと違って攻撃の度合いと時間が長いのだろう

考えてみてもわからない

なぜだ　と　つぶやきながら預金通帳をながめていた

つづく

預金通帳？

表紙には　こどもぎんこう　と書いてある
　
つづく

皆、うんこうんこいうのはかわいそうだよ

本人が認めているようにまだ「代数的整数論」でさえ
ないわけだからうんこ以前ですｗｗ

「引用」

１・特定のコミュニティに出向いていって、そのコミュニティ内の暗黙の了解となっている
　　判断・判断基準とは別の行為をすること、またはその行為者。

２・広義では、暗黙の了解事項を理解しないまま、結果として行った迷惑行為を含む。

３・狭義では、掲示板等でケンカを売ったり、
　　罵倒や無意味な長文コピペなどの迷惑行為を繰り返すこと。

「引用終わり」一部省略

くまは、１、及び、２から荒し
猫は、３の「掲示板等でケンカを売ったり、罵倒」から荒し
くまーものがたりは、３行目の
「無意味な長文コピペなどの迷惑行為を繰り返すこと」から荒し

なんでくまは１，２に該当するの？

>>529では次の命題を使った。

命題
X をHausdorff空間とする。
K と L を X のコンパクト部分集合で K ∩ L = φ とする。

このとき、 K ⊂ U、L ⊂ V、U ∩ V = φ となる開集合 U、V がある。

証明
x ∈ K を K の任意の元とする。
X はHausdorff空間であるから
任意の y ∈ L に対して x ∈ U_y、y ∈ V_y、U_y ∩ V_y = φ
となる開集合 U_y、V_y がある。
L はコンパクトだから L の有限個の点 y_1、．．．、y_n があり
L ⊂ V_(y_1) ∪．．．∪ V_(y_n) となる。
V_x = V_(y_1) ∪．．．∪ V_(y_n)
U_x = U_(y_1) ∩．．．∩ U_(y_n) とおく。
x ∈ U_x
L ⊂ V_x
U_x ∩ V_x = φ である。

K はコンパクトだから K の有限個の点 x_1、．．．、x_m があり
K ⊂ U_(x_1) ∪．．．∪ U_(x_m) となる。
U = U_(x_1) ∪．．．∪ U_(x_m)
V = V_(x_1) ∩．．．∩ V_(x_m)
が求めるものである。
証明終

命題
Haus をHausdorff位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を Haus における射とする。
f が圏論的に全射(過去スレ017の345)であるためには
f(X) が Y で稠密であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が圏論的に全射であるとする。
A を f(X) の閉包とし、A ≠ X とする。
h：A → X を包含写像とする。
Z = (X＋X)_h (>>510)と置く。
>>529より Z はHausdorff空間である。

p：X＋X → Z
μ_1：X → X＋X
μ_2：X → X＋X を標準写像とする。
h = Ker(pμ_1, pμ_2) である。
よって、pμ_1f = pμ_2f である。
A ≠ X であるから pμ_1 ≠ pμ_2 である。
これは f が圏論的に全射であることに矛盾する。

十分性：
>>413で証明済み。
証明終

>>530の修正
命題
Haus をHausdorff位相空間全体の圏とする。
f：X → Y を Haus における射とする。
f が正則な単射(>>456)であるためには
f(X) が Y の閉集合で、f が X から f(X) への同型であることが
必要十分である。

証明
必要性：
f が正則な単射であるとする。
次の完全な図式(過去スレ017の774)がある。
X → Y ⇒ Z
ここで、Y ⇒ Z は二つの射 u、v を表す。
K = {y ∈ Y；u(y) = v(y)} とおく。
>>411より、K は Y の閉集合である。
K に Y の部分位相を入れ位相空間と見なす。
包含写像 ι：K → Y は差核 Ker(u, v) であることは見やすい。
よって差核の一意性より f(X) = K であり、f は X と K の同型を与える。

十分性：
f が X から Y の閉部分空間 f(X) への同型であるとする。
h：f(X) → Y を包含写像とする。
Z = (Y＋Y)_h (>>510)とおく。
>>529より Z はHausdorff空間である。

p：Y＋Y → Z
μ_1：Y → Y＋Y
μ_2：X → Y＋Y を標準写像とする。
h = Ker(pμ_1, pμ_2) である。
よって、f は正則な単射である。
証明終

命題
Haus をHausdorff位相空間全体の圏とする。
Haus においては正則な単射(>>456)と極値的単射(>>496)は一致する。

証明
>>494より正則な単射は極値的単射である。

f：X → Y を Haus における極値的単射とする。
S を f(X) の閉包とする。
f の値域を S に制限した写像を e とする。
S に Y の部分位相を入れたとき e は連続である。
g：S → Y を包含写像とする。
f = ge である。
>>549より、e は Haus における全射である。
f は極値的単射であるから e は同型である。
よって、f(X) = S であり、f(X) は Y の閉集合である。
>>550より、f は正則な単射である。
証明終

ほとんどの圏では正則な単射(>>456)と極値的単射(>>496)は一致する。
このような圏では>>498より極値的単射の合成は極値的単射となる。

しかし、正則でない極値的単射が存在する圏がある。

命題
C を任意の圏とする。
f：X → Y を C-射とする。
次の条件は同値である。

(１) f は同型である。

(２) f は極値的単射(>>496)で全射である。

証明
(１) ⇒ (２)
f を同型とする。
f は断面(>>430)であるから>>462より正則な単射(>>456)である。
>>494より f は極値的単射である。
f は同型だから全射である。

(２) ⇒ (１)
f は極値的単射で全射であるとする。
f = (1_Y)f であり、f は極値的単射であるから f は同型である。
証明終

命題
C を任意の圏とする。
次の条件は同値である。

(１) C は平衡的である。

(２) C の任意の単射は極値的である。

証明
(１) ⇒ (２)
C は平衡的であるとする。
f：X → Y を C における単射とする。
f = ge で e が全射とする。
e は単射であるから C が平衡的なことより e は同型である。
よって、f は極値的である。

(２) ⇒ (１)
C の任意の単射は極値的であるとする。
f：X → Y を C における全単射とする。
>>553より f は同型である。
よって、C は平衡的である。
証明終

>>456の双対

定義
f：X → Y を圏 C における射とする。
f がある二つの射の差余核(過去スレ017の850)と一致するとき
f を正則な全射(regular epimorphism)と言う。

即ち次の完全な図式(過去スレ017の870)があるとき f を正則な単射と言う。

Z ⇒ X → Y

ここで ⇒ は２本の射を表す。

くまーは嵐と認定された

命題
任意の圏において正則な全射(>>555)は全射である。

証明
過去スレ017の853より明らかである。

>>555の修正

>>456の双対

定義
f：X → Y を圏 C における射とする。
f がある二つの射の差余核(過去スレ017の850)と一致するとき
f を正則な全射(regular epimorphism)と言う。

即ち次の完全な図式(過去スレ017の870)があるとき f を正則な全射と言う。

Z ⇒ X → Y

ここで ⇒ は２本の射を表す。

>>552
ほとんど=almost all
と解釈していい？

猫さんは民主党に投票したんでしょ？
猫さんの政治理念は社会主義のように見えます

命題
Set を集合の圏とする。
Set においては全射と正則な全射(>>558)は一致する。

証明
>>557より、正則な全射は全射である。

f：X → Y を Set における全射とする。
K = {(x, y) ∈ X×X；f(x) = f(y)} とおく。
p(x, y) = x
q(x, y) = y
により射 p：K → X、q：K → X を定義する。
f = Coker(p, q) である。
よって、f は正則な全射である。
証明終

定義
X と Y を位相空間とし、f：X → Y を連続な全射写像とする。
f が次の条件(ID)を満たすとき f を同一視(identification)と呼ぶ。

(ID)：Y の部分集合 U が開集合であるためには f^(-1)(U) が
開集合であることが必要十分である。

>>560
私は民主党のマニフェストを見て：
★★★「もし民主党が政権を取ったらこの国の崩壊が早まる」★★★
と考えましたね。但しその後の国民のやり方にも辟易スル訳で：
★★★「自分達がマニフェストを読みもしないで妄信した民主党を蹴落とす姿」★★★
も余りにも見事だと思いましたね。まあだから：
★★★「民主党も国民もどっちもどっち」★★★
ですよ。

まあ昨年の選挙では私は★★★「白票」★★★を投じましたね。
つまり選挙権を行使して★★★「どの政党もダメ」★★★という
意思表示をしたと考えています。

最後になりましたが、私の政治理念は確かに社会主義が一番近い
かも知れませんね。但しソレが今の日本に一番適しているとも必
ずしも思いませんが。でもとにかくアメリカの属国状態から一刻
も早く脱却するしかないとは考えています。

猫

では防衛についてですが、
核武装に賛成ですか？

命題
X と Y を位相空間とし、f：X → Y を連続写像とする。
R = {(x, y) ∈ X×X；f(x) = f(y)} とおく。
R は X における同値関係(のグラフ)である。
商集合 X/R に商位相を与える。
p：X → X/R を標準写像とする。

このとき、連続写像 g：X/R → Y で f = gp となるものが一意に存在する。

証明
写像 g：X/R → Y を g(p(x)) = f(x) により定義する。
p(x) = p(y) のとき f(x) = f(y) であるからこの定義に矛盾はない。
f = gp である。

U を Y の任意の開集合とする。
p^(-1)(g^(-1)(U)) = (gp)^(-1)(U) = f^(-1)(U)
よって、g^(-1)(U) は X/R の開集合である。
よって、g は連続である。

g の一意性は p：X → X/R が全射であることから明らかである。
証明終

>>563
民主党はマニュフエストを実施していない詐欺集団
ゆえに、猫さんは現状をむしろ歓迎すべきですよね？

例
X を位相空間とし、R を X における同値関係とする。
商集合 X/R に商位相を与える。
このとき、標準写像 p：X → X/R は同一視(>>562)である。

>>564
核武装である必要がアルのかどうかは慎重な議論が必要でしょうけれど
（例えばイランのケースは非常に参考になるモデルだと思います）、で
すが最低限の武装による防衛は絶対に必要でしょうね。またその力を諸
外国に誇示する為にも武器を生産して世界各国に売り捌くという考え方
もあると思います。

猫

>>566
一度完璧に崩壊した方が将来何とかナルという考え方をスルのであれば、
民主党政権は★★★「非常に優れた国民の選択」★★★だと思いますね。

猫

命題
X と Y を位相空間とし、f：X → Y を全射連続写像とする。
f が開写像または閉写像であれば f は同一視(>>562)である。

証明
f は全射であるから Y の任意の部分集合 A に対して f(f^(-1)(A)) = A である。

f が開写像であるとする。
f^(-1)(U) が開集合であれば f(f^(-1)(U)) = U は開集合である。
よって、f は同一視である。

f が閉写像であるとする。
f^(-1)(U) が開集合であれば f^(-1)(Y - U) = X - f^(-1)(U) は閉集合である。
よって、f(f^(-1)(Y - U)) = Y - U は閉集合である。
よって、U は開集合である。
よって、f は同一視である。
証明終

>>566
追加ですが、「マニフェストを実施していない詐欺集団」だからイケナイ
のではなくて：
★★★「あの程度のマニフェストで国民が騙せる事を知っている」★★★
からイケナイと思いますね。つまり：
★★★「国民の弱点を熟知している」★★★
という印象です。実際に「行政刷新会議（通称仕分けですかね）」
の時も全く同じ原理が働きましたしね。

猫

私は民主党のマニフェストを見て：
★★★「もし民主党が政権を取ったらこの国の崩壊が早まる」★★★
と考えましたね。

ですからね、マニフェストを実際には破っているでしょ？
ならば、猫さんが思った崩壊はしなかったのではないですか？

結局民主党は票を買う為に詐欺的なスローガンをかかげるわけでしょ？

>>573
ソレは最初から明白ですよ。加えて「反自民感情」も非常に有効に活用
しましたしね。とにかく感情を煽りさえすればかなりの事が出来るとい
う印象ですから。

猫

命題
Top を位相空間の圏とする。
Top における引き込み(>>328) f：X → Y は同一視(>>562)である。

証明
連続写像 g: Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
よって f は写像として全射である。
f^(-1)(U) が開集合であれば g^(-1)(f^(-1)(U)) = U は開集合である。
よって、f は同一視である。
証明終

>>547
数学板は数学の議論、相談などをする所であり、
一人語りオナニーをするところではない。

命題
X と Y を位相空間とし、f：X → Y を全射連続写像とする。
f が同一視(>>562)であるためには次の条件 (*) が成り立つことが必要十分である。

(*) 任意の写像 g：Y → Z に対して gf が連続なら g は連続である。

証明
必要性：
f が同一視であるとする。
g：Y → Z に対して gf が連続であるとする。
Z の任意の開集合 U に対して (gf)^(-1)(U) = f^(-1)(g^(-1)(U)) は開集合である。
よって、g^(-1)(U) は開集合である。
よって、g は連続である。

十分性：
条件 (*) が成り立つとする。
R = {(x, y) ∈ X×X；f(x) = f(y)} とおく。
p：X → X/R を標準写像とする。
連続写像 h：X/R → Y で f = hp となるものが一意に存在する。
f は全射であるから h は全単射である。
g = h^(-1) とおく。
gf = h^(-1)hp = p であるから gf は連続である。
よって条件 (*) から g は連続である。
よって、h は位相同型である。

U を Y の部分集合で f^(-1)(U) が X の開集合であるとする。
f^(-1)(U) = p^(-1)(h^(-1)(U)) であるから h^(-1)(U) は開集合である。
h は位相同型であるから U は開集合である。
よって、f は同一視である。
証明終