代数的整数論 015

>>578の続き

(1) と (2) より

g(t, μ + h) - g(t, μ) - ψ(t, μ)h
= ∫[t_0, t] (f(s, g(s, μ + h), μ + h) - f(s, g(s, μ), μ)) ds
- ∫[t_0, t] (d_2)f(s, g(s, μ), μ)ψ(s, μ)h ds
- ∫[t_0, t] (d_3)f(s, g(s, μ), μ)h ds ← (3)

ここで
α(s, h) = f(s, g(s, μ + h), μ + h) - f(s, g(s, μ), μ + h)
- (d_2)f(s, g(s, μ), μ + h)(g(s, μ + h) - g(s, μ))

β(s, h) = f(s, g(s, μ), μ + h) - f(s, g(s, μ), μ)
- (d_3)f(s, g(s, μ), μ)h

γ(s, h) = (d_2)f(s, g(s, μ), μ + h)(g(s, μ + h) - g(s, μ) - ψ(s, μ)h)

λ(s, h) = ((d_2)f(s, g(s, μ), μ + h) - (d_2)f(s, g(s, μ), μ))ψ(s, μ)h
とおく。

(3) より
g(t, μ + h) - g(t, μ) - ψ(t, μ)h
= ∫[t_0, t] α(s, h) ds
+ ∫[t_0, t] β(s, h) ds
+ ∫[t_0, t] γ(s, h) ds
+ ∫[t_0, t] λ(s, h) ds ← (4)

(続く)

>>579の続き

>>535より、任意の δ_1 ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、|h| ＜ δ なら
任意の s ∈ J に対して |g(s, μ + h) - g(s, μ)| ＜ δ_1

よって、>>574より、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、|h| ＜ δ なら
任意の s ∈ J に対して
|α(s, h)| ≦ ε|g(s, μ + h) - g(s, μ)| ← (5)
かつ
|β(s, h)| ≦ ε|h| ← (6)

>>535より、δ を十分小さくとれば |h| ＜ δ のとき任意の s ∈ J に対して
|(d_2)f(s, g(s, μ), μ + h) - (d_2)f(s, g(s, μ), μ)| ＜ ε
よって、
|λ(s, h)| ≦ ε|h|M ← (7)
ここで、M = sup{|ψ(s, μ)|; s ∈ J} である。

ρ(s, h) = f(s, g(s, μ), μ + h) - f(s, g(s, μ), μ) とおく。

|ρ(s, h)| ≦ |∫[0, 1] (d_3)f(s, g(s, μ), μ + τh)h dτ|

>>535より、|h| ＜ δ なら、任意の τ ∈ [0, 1] に対して
|(d_3)f(s, g(s, μ), μ + τh) - (d_3)f(s, g(s, μ), μ)| ＜ 1
と仮定してよい。
よって、任意の τ ∈ [0, 1] に対して
|(d_3)f(s, g(s, μ), μ + τh)| ≦ A
ここで、A = 1 + sup{|(d_3)f(s, g(s, μ), μ)|; s ∈ J} とおいた。

よって、
|ρ(s, h)| ≦ A|h| ← (8)

(続く)

>>580の続き

(1) より、
|g(t, μ + h) - g(t, μ)|
≦ |∫[t_0, t] (f(s, g(s, μ + h), μ + h) - f(s, g(s, μ), μ)) ds|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ + h), μ + h) - f(s, g(s, μ), μ + h)| ds|
+ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ), μ + h) - f(s, g(s, μ), μ)| ds|
≦ C|∫[t_0, t] |g(s, μ + h) - g(s, μ)| ds|
+ |∫[t_0, t] |ρ(s, h)| ds|

(8) より、
|g(t, μ + h) - g(t, μ)|
≦ C|∫[t_0, t] |g(s, μ + h) - g(s, μ)| ds|
+ AL|h|

ここで L は区間 J の長さである。

>>527より、
|g(s, μ + h) - g(s, μ)| ≦ (AL|h|)exp(C|s - t_0|)

よって、(5) より、
|α(s, h)| ≦ (εAL|h|)exp(C|s - t_0|) ← (9)

(続く)

>>581の続き

(4), (9), (6), (7) より、
|g(t, μ + h) - g(t, μ) - ψ(t, μ)h|
≦ |∫[t_0, t] α(s, h) ds|
+ |∫[t_0, t] β(s, h) ds|
+ |∫[t_0, t] γ(s, h) ds|
+ |∫[t_0, t] λ(s, h) ds|

≦ (ε|h|AL/C)exp(C|t - t_0|)
+ ε|h||t - t_0|
+ ε|h|M|t - t_0|
+ |∫[t_0, t] |(d_2)f(s, g(s, μ), μ + h)||g(s, μ + h) - g(s, μ) - ψ(s, μ)h| ds|

≦ (ε|h|AL/C)exp(C|t - t_0|)
+ ε|h||t - t_0|
+ ε|h|M|t - t_0|
+ |∫[t_0, t] |(d_2)f(s, g(s, μ), μ + h)||g(s, μ + h) - g(s, μ) - ψ(s, μ)h| ds|

>>535より、任意の |h| ＜ δ なら
任意の s ∈ J に対して |(d_2)f(s, g(s, μ), μ + h) - (d_2)f(s, g(s, μ), μ)| ＜ 1
と仮定してよい。

よって、任意の s ∈ J に対して |(d_2)f(s, g(s, μ), μ + h)| ≦ B
ここで、B = 1 + sup{|(d_2)f(s, g(s, μ), μ)|; s ∈ J}

よって、
|g(t, μ + h) - g(t, μ) - ψ(t, μ)h|
≦ (ε|h|AL/C)exp(CL) + ε|h|L + ε|h|ML
+ B|∫[t_0, t] |g(s, μ + h) - g(s, μ) - ψ(s, μ)h| ds|

(続く)

>>582の続き

>>527より、
|g(t, μ + h) - g(t, μ) - ψ(t, μ)h|
≦ ε|h|((AL/C)exp(CL) + L + ML)exp(B|t - t_0|)
≦ ε|h|((AL/C)exp(CL) + L + ML)exp(BL)

よって、
h ≠ 0, |h| → 0 のとき、
|g(t, μ + h) - g(t, μ) - ψ(t, μ)h|/|h| → 0

よって、
(d_2)g(t, μ) = ψ(t, μ)
証明終

証明間違っているよ

ほんとだｗ

>>584
そうですね。
有難うございます。

次の補題とその証明は英語版WikipediaのGronwall's inequalityから
ほとんどそのまま借りた。

補題(拡張されたGronwall の不等式)
I = [a, b) を実数体における区間とする(-∞ ＜ a ＜ b ≦ +∞)。
α(t) と β(t) と f(t) を I で連続な実数値関数で
I の各点 t で β(t) ≧ 0 かつ
f(t) ≦ α(t) + ∫[a, t] β(s)f(s) ds とする。

このとき、I の各点 t で
f(t) ≦ α(t) + ∫[a, t]α(s)β(s)exp(∫[s, t] β(r) dr)ds

証明
s ∈ I に対して、
g(s) = exp(-∫[a, s] β(r) dr)∫[a, s] β(r)f(r) dr とおく。

dg/ds = -β(s)exp(-∫[a, s] β(r) dr)∫[a, s] β(r)f(r) dr
+ β(s)f(s)exp(-∫[a, s] β(r) dr)
= (f(s) - ∫[a, s] β(r)f(r) dr)β(s)exp(-∫[a, s] β(r) dr)

ここで、f(s) - ∫[a, s] β(r)f(r) dr ≦ α(s) で β(s) ≧ 0 だから
dg/ds ≦ α(s)β(s)exp(-∫[a, s] β(r) dr)

g(a) = 0 であるから両辺を [a, t] において積分すると
g(t) = ∫[a, t] dg/ds ds ≦ ∫[a, t] α(s)β(s)exp(-∫[a, s] β(r) dr) ds
g(t) = exp(-∫[a, t] β(r) dr)∫[a, t] β(r)f(r) dr であったから

∫[a, t] β(s)f(s) ds = exp(∫[a, t] β(r) dr)g(t)
≦ exp(∫[a, t] β(r) dr)∫[a, t] α(s)β(s)exp(-∫[a, s] β(r) dr) ds
= ∫[a, t] α(s)β(s)exp(∫[a, t] β(r) -∫[a, s] β(r) dr) ds
= ∫[a, t] α(s)β(s)exp(∫[s, t] β(r) dr) ds

仮定より、f(t) ≦ α(t) + ∫[a, t] β(s)f(s) ds
よって、f(t) ≦ α(t) + ∫[a, t] α(s)β(s)exp(∫[s, t] β(r) dr) ds
証明終

補題(拡張されたGronwall の不等式の系１)
I = [a, b) を実数体における区間とする(-∞ ＜ a ＜ b ≦ +∞)。
α(t) と β(t) と f(t) を I で連続な実数値関数で
I の各点 t で β(t) ≧ 0 かつ
f(t) ≦ α(t) + ∫[a, t] β(s)f(s) ds とする。

さらに α(t) は I において単調増加とする。
即ち、t_1, t_2 ∈ I で t_1 ≦ t_2 のとき α(t_1) ≦ α(t_2) とする。

このとき、I の各点 t で
f(t) ≦ α(t)exp(∫[a, t] β(s) ds)

証明
>>588より、
f(t) ≦ α(t) + ∫[a, t]α(s)β(s)exp(∫[s, t] β(r) dr)ds

α(t) は I において単調増加であり、I の各点 s で β(s) ≧ 0 であるから
f(t) ≦ α(t) + α(t)∫[a, t]β(s)exp(∫[s, t] β(r) dr)ds

ψ(s) = -exp(-∫[t, s] β(r) dr) を s で微分すると
dψ/ds = β(s)exp(-∫[t, s] β(r) dr) = β(s)exp(∫[s, t] β(r) dr)

よって、
∫[a, t]β(s)exp(∫[s, t] β(r) dr)ds = ∫[a, t] dψ/ds ds
= ψ(t) - ψ(a) = -1 + exp(-∫[t, a] β(r) dr)

よって、
f(t) ≦ α(t) + α(t)(-1 + exp(-∫[t, a] β(r) dr)) = α(t)exp(∫[a, t] β(s) ds)
証明終

>>527の別証が次のように>>589より得られる。

>>527の((AC + B)/A)(exp(A(t - a)) - 1) + C は
C exp(A(t - a)) + (B/A)exp(A(t - a) - 1) に等しいことに注意。

補題(拡張されたGronwall の不等式の系２)
I = [a, b) を実数体における区間とする(-∞ ＜ a ＜ b ≦ +∞)。
f(t) を I で連続な実数値関数で
A, B, C を実定数で A ＞ 0 とする。

I の各点 t で
f(t) ≦ ∫[a, t] (Af(s) + B) ds + C とする。

このとき、I の各点 t で
f(t) ≦ C exp(A(t - a)) + (B/A)exp(A(t - a) - 1)

証明
I の各点 t で
g(t) = f(t) + B/A とおく。

I の各点 t で
g(t) ≦ ∫[a, t] Ag(s) ds + C + B/A である。

>>589より、
g(t) ≦ (C + B/A)exp(∫[a, t] A ds) = (C + B/A)exp(A(t - a))

よって、
f(t) ≦ (C + B/A)exp(A(t - a)) - B/A = C exp(A(t - a)) + (B/A)exp(A(t - a) - 1)
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を Banach空間する。
U を E の開集合とする。
I = [a, b] を有限閉区間とする。
f: I×U → F を連続写像とする。

任意の x ∈ U に対して
g(x) = ∫[a, b] f(t, x) dt とおく。

このとき g(x): U → F は連続である。

証明
x_0 を U の任意の点とする。
>>535より、任意の ε ＞ 0 に対して x_0 の開近傍 V ⊂ U があり、
任意の x ∈ V と任意の t ∈ I に対して
|f(t, x) - f(t, x_0)| ＜ ε となる。

よって、任意の x ∈ V に対して
|g(x) - g(x_0)| = |∫[a, b] (f(t, x) - f(t, x_0)) dt|
≦ ∫[a, b] |f(t, x) - f(t, x_0)| dt
≦ ε(b - a)

よって、g は x_0 で連続である。
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
X を位相空間とし、E を K 上のBanach空間する。
I = [a, b] を有限閉区間とする。
f: I×X → E を連続写像とする。

任意の x ∈ X に対して
g(x) = ∫[a, b] f(t, x) dt とおく。

このとき g: X → F は連続である。

証明
x_0 を X の任意の点とする。
>>535より、任意の ε ＞ 0 に対して x_0 の開近傍 U があり、
任意の x ∈ U と任意の t ∈ I に対して
|f(t, x) - f(t, x_0)| ＜ ε となる。

よって、任意の x ∈ U に対して
|g(x) - g(x_0)| = |∫[a, b] (f(t, x) - f(t, x_0)) dt|
≦ ∫[a, b] |f(t, x) - f(t, x_0)| dt
≦ ε(b - a)

よって、g は x_0 で連続である。
証明終

補題
(X, d) を距離空間とする。
A を X の空でない部分集合とする。
x ∈ X のとき d(x, A) = inf {d(x, a); a ∈ A} と定義する。

このとき、x → d(x, A) は X 上で連続である。

証明
x, y ∈ X とする。

任意の a ∈ A に対して d(x, a) ≦ d(x, y) + d(y, a)
両辺の inf をとれば d(x, A) ≦ d(x, y) + d(y, A)

同様に d(y, A) ≦ d(x, y) + d(x, A)

よって、|d(x, A) - d(y, A)| ≦ d(x, y)
よって、x → d(x, A) は連続である。
証明終

補題
(X, d) を距離空間とする。
A を X の閉集合とする。

x ∈ X - A のとき d(x, A) = inf{d(x, a); a ∈ A} ＞ 0 である。

証明
d(x, A) = 0 とする。
A の元からなる点列 (a_n), n = 1, 2, ... があり lim a_n = x となる。
A は閉集合だから x ∈ A となり矛盾である。
証明終

補題
(X, d) を距離空間とする。
A を X の空でない閉集合とする。
C を X のコンパクト集合とする。
A ∩ C = φ とする。

このとき実数 r ＞ 0 があり、
U = {x ∈ X; d(x, C) ＜ r} とおくと U は C を含む開集合であり、
U ∩ A = φ となる。
ここで、d(x, C) = inf {d(x, y); y ∈ C} である。

証明
x ∈ X に対して d(x, A) = inf {d(x, a); a ∈ A} とおく
>>594より、x → d(x, A) は X 上で連続である。
C はコンパクトだから x → d(x, A) は C 上で最小値 d(x_0, A) をとる。
>>595より d(x_0, A) ＞ 0 である。
0 ＜ r ＜ d(x_0, A) となる r をとり、U = {x ∈ X; d(x, C) ＜ r} とおく。

>>594より、U は開集合である。
C ⊂ U は明らかである。

U ∩ A ≠ φ と仮定して矛盾を導く。
a ∈ U ∩ A とする。
C はコンパクトだから d(a, C) = d(a, x_1) となる x_1 ∈ C がある。
d(x_0, A) ≦ d(x_1, A) ≦ d(a, x_1) = d(a, C) ＜ r

これは r ＜ d(x_0, A) に矛盾。
証明終

命題(>>561および>>576の修正)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間する。
U を E の開集合とし、V を F の開集合とする。
I を実数体 R の開区間とする。
f: I×U×V → E を次の条件 (C) を満たす連続写像とする。

(C) I×U×V の各点 (t, x, μ) で (d_2)f(t, x, μ) および
(d_3)f(t, x, μ) が存在し、それぞれ I×U×V 上で連続である。
ここで、(d_2)f(t, x, μ), (d_3)f(t, x, μ) は
それぞれ x, μ に関する偏微分である(過去スレ014の833)。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。
J を t_0 を含む開区間で J ⊂ I とする。
g: J×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

a) g(J×V) ⊂ U
b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0
c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

このとき、J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) が存在し、
任意の μ ∈ V に対して t → (d_2)g(t, μ) は
次の微分方程式の解 Ψ(t): J → L(F, E) である。

dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)

(続く)

>>597の証明

過去スレ014の829より、L(F, E) はBanach空間である。

任意の μ ∈ V と任意の (t, T) ∈ J×L(F, E) に対して
h_μ(t, T) = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)T + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)
とおく。
h_μ: J×L(F, E) → L(F, E) である。

任意の μ ∈ V と任意の t ∈ J と任意の T, S ∈ L(F, E) に対して
|h_μ(t, T) - h_μ(t, S)| ≦ |(d_2)f(t, g(t, μ), μ)||T - S|

よって、>>483より、任意の μ ∈ V に対して微分方程式
dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)
の解 Ψ_μ(t): J → L(F, E) で Ψ_μ(t_0) = 0 となるものが一意に存在する。
ψ(t, μ) = Ψ_μ(t) と書く。

J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) = ψ(t, μ) を証明すればよい。

J×V の任意の点 (t_1, p) を固定する。
W(p, b) ⊂ V となる b ＞ 0 をとる。
ここで、W(p, b) = {μ ∈ F; |μ - p| ＜ b} である。
h を W(0, b) = {μ ∈ F; |μ| ＜ b} の任意の元とする。

∫[t_0, t_1] (dg/dt)(t, p + h) dt
= g(t_1, p + h) - g(t_0, p + h)
= g(t_1, p + h) - x_0

∫[t_0, t_1] (dg/dt)(t, p) dt
= g(t_1, p) - g(t_0, p)
= g(t_1, p) - x_0
(続く)

>>598の続き

よって、
∫[t_0, t_1] ((dg/dt)(t, p + h) - (dg/dt)(t, p)) dt = g(t_1, p + h) - g(t_1, p)

一方、
(dg/dt)(t, p + h) = f(t, g(t, p + h), p + h)
(dg/dt)(t, p) = f(t, g(t, p), p)

よって、
g(t_1, p + h) - g(t_1, p)
= ∫[t_0, t_1] (f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p)) dt ← (1)

同様に
∫[t_0, t_1] (dψ/dt)(t, p)h dt = ψ(t_1, p)h - ψ(t_0, p)h = ψ(t_1, p)h

(dψ/dt)(t, p) = (d_2)f(t, g(t, p), p)ψ(t, p) + (d_3)f(t, g(t, p), p)

よって、
ψ(t_1, p)h = ∫[t_0, t_1] (d_2)f(t, g(t, p), p)ψ(t, p)h dt
+ ∫[t_0, t_1] (d_3)f(t, g(t, p), p)h dt ← (2)

(1) と (2) より

g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(a, p)h
= ∫[t_0, t_1] (f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p)) dt
- ∫[t_0, t_1] (d_2)f(t, g(t, p), p)ψ(t, p)h dt
- ∫[t_0, t_1] (d_3)f(t, g(t, p), p)h dt ← (3)

(続く)

>>599の続き

t_0, t_1 ∈ J であるから r_1 ＜ t_0, t_1 ＜ r_2 かつ [r_1, r_2] ⊂ J となる
有限区間 [r_1, r_2] がある。

[r_1, r_2] はコンパクトで t → g(t, p) は連続さから
Δ = {g(t, p); t ∈ [r_1, r_2]} はコンパクトで Δ ⊂ U である。
E - U は閉集合であるから>>596より実数 a ＞ 0 があり、
Γ = {x ∈ E; d(x, Δ) ＜ a} とおくと Γ は Δ を含む開集合であり、
Γ ⊂ U となる。
ここで、d(x, Δ) = inf {|x - y|; y ∈ Δ} である。
Δ はコンパクトだから d(x, Δ) = |y - x| となる y ∈ Δ がある。
よって、Γ = {x ∈ E; |x - y| ＜ a となる y ∈ Δ がある}

Γ ⊂ U であるから [r_1, r_2]×Γ×W(p, b) ⊂ J×U×V である。

>>535より、b ＞ 0 を十分小さくとって、|h| ＜ b なら
任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して |g(t, p + h) - g(t, p)| ＜ a と出来る。
よって、s ∈ [0, 1] のとき任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して
g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p)) ∈ Γ

よって、任意の (s, t, h) ∈ [0, 1]×[r_1, r_2]×W(0, b) に対して、
(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p), p + h) ∈ J×U×V となる。
よって、φ(s) = f(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p), p + h) が
よって、
f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p)
= ∫[0, 1] dφ/ds ds
= ∫[0, 1](d_2)f(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p)), p + h)(g(t, p + h) - g(t, p))ds

(続く)

>>600の続き

α(t, h) = ∫[0, 1](d_2)f(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p)), p + h)ds
とおけば、

f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p)
= α(t, h)(g(t, p + h) - g(t, p)) ← (4)

(s, t, h) → (d_2)f(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p)), p + h) は
[0, 1]×[r_1, r_2]×W(0, b) から L(E, E) への連続写像である。
よって、>>593より、α(t, h): [r_1, r_2]×W(0, b) → L(E, E) は連続であり、
α(t, 0) = (d_2)f(t, g(t, p), p) である。

同様に任意の (s, t, h) ∈ [0, 1]×[r_1, r_2]×W(0, b) に対して
(t, g(t, p), p + sh) ∈ J×U×V となる。
よって、ω(s) = f(t, g(t, p), p + sh) が s ∈ [0, 1] で定義される。

よって、
f(t, g(t, p), p + h) - f(t, g(t, p), p)
= ∫[0, 1] dω/ds ds
= ∫[0, 1] (d_3)f(t, g(t, p), p + sh)h ds

β(t, h) = ∫[0, 1] (d_3)f(t, g(t, p), p + sh) ds
とおけば、

f(t, g(t, p), p + h) - f(t, g(t, p), p) = β(t, h)h ← (5)

>>593より、
β(t, h): [r_1, r_2]×W(0, b) → L(F, E) は連続であり、
β(t, 0) = (d_3)f(t, g(t, p), p) である。

(続く)

>>601の続き

一方、任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して
f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p)
= f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p + h)
+ f(t, g(t, p), p + h) - f(t, g(t, p), p)

よって、(3), (4), (5) より
g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h
= ∫[t_0, t_1] α(t, h)(g(t, p + h) - g(t, p)) dt
+ ∫[t_0, t_1] β(t, h)h dt
- ∫[t_0, t_1] (d_2)f(t, g(t, p), p)ψ(t, μ)h dt
- ∫[t_0, t_1] (d_3)f(t, g(t, p), p)h dt

= ∫[t_0, t_1] α(t, h)(g(t, p + h) - g(t, p) - ψ(t, p)h) dt
+ ∫[t_0, t_1] (α(t, h) - α(t, 0))ψ(t, p)h dt
+ ∫[t_0, t_1] (β(t, h) - β(t, 0))h dt

よって、
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|
≦ |∫[t_0, t_1]|α(t, h)||g(t, p + h) - g(t, p) - ψ(t, p)h|dt|
+ |∫[t_0, t_1]|α(t, h) - α(t, 0)||ψ(t, p)||h| dt|
+ |∫[t_0, t_1]|β(t, h) - β(t, 0)||h| dt|

>>535より、1 ＞ ε ＞ 0 となる任意の ε に対して
b ＞ δ ＞ 0 となる δ があり、|h| ＜ δ なら
任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して |α(t, h) - α(t, 0)| ≦ ε
および |β(t, h) - β(t, 0)| ≦ ε

(続く)

>>602の続き

ε ＜ 1 であるから、A = 1 + sup{|α(t, 0)|; t ∈ [r_1, r_2]} とおけば、
|h| ＜ δ なら任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して |α(t, h)| ≦ A

B = sup{|ψ(t, p)|; t ∈ [r_1, r_2]} とおく。

以上から、|h| ＜ δ のとき
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|
≦ |∫[t_0, t_1] A|g(t, p + h) - g(t, p) - ψ(t, p)h| dt|
+ εB|h||t_1 - t_0|
+ ε|h||t_1 - t_0|

拡張されたGronwall の不等式の系１(>>589)より、|h| ＜ δ のとき
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|
≦ ε|h|(B + 1)|t_1 - t_0|exp(A|t_1 - t_0|)

よって、
h ≠ 0, |h| → 0 のとき、
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|/|h| → 0

よって、
(d_2)g(t_1, p) = ψ(t_1, p)
証明終

>>603
>拡張されたGronwall の不等式の系１(>>589)より、|h| ＜ δ のとき
>|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|
>≦ ε|h|(B + 1)|t_1 - t_0|exp(A|t_1 - t_0|)

これはGronwall の不等式の系２(>>591)からも出る。
つまり、
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|
≦ |∫[t_0, t_1] (A|g(t, p + h) - g(t, p) - ψ(t, p)h| + ε(B + 1)|h|) dt|

よって、>>591で A = A, B = ε(B + 1)|h|, C = 0 として、
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|
≦ (ε(B + 1)|h|/A) exp(A|t_1 - t_0| - 1)
= ε|h|(B + 1)|t_1 - t_0|exp(A|t_1 - t_0|)

>>591の修正
補題(拡張されたGronwall の不等式の系２)
I = [a, b) を実数体における区間とする(-∞ ＜ a ＜ b ≦ +∞)。
f(t) を I で連続な実数値関数で
A, B, C を実定数で A ＞ 0 とする。

I の各点 t で
f(t) ≦ ∫[a, t] (Af(s) + B) ds + C とする。

このとき、I の各点 t で
f(t) ≦ C exp(A(t - a)) + (B/A)(exp(A(t - a)) - 1))

証明
I の各点 t で
g(t) = f(t) + B/A とおく。

I の各点 t で
g(t) ≦ ∫[a, t] Ag(s) ds + C + B/A である。

>>589より、
g(t) ≦ (C + B/A)exp(∫[a, t] A ds) = (C + B/A)exp(A(t - a))

よって、
f(t) ≦ (C + B/A)exp(A(t - a)) - B/A = C exp(A(t - a)) + (B/A)(exp(A(t - a)) - 1)
証明終

>>590
>C exp(A(t - a)) + (B/A)exp(A(t - a) - 1) に等しいことに注意。

C exp(A(t - a)) + (B/A)(exp(A(t - a)) - 1)) に等しいことに注意。

>>604
>≦ (ε(B + 1)|h|/A) exp(A|t_1 - t_0| - 1)

≦ (ε(B + 1)|h|/A) (exp(A|t_1 - t_0|) - 1)

命題(正規型常微分方程式の解の存在と一意性およびパラメータに関する微分可能性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
R を実数体とする。
Ω を R×E×F の開集合とする。
f: Ω → E を次の条件 (C) を満たす連続写像とする。

(C) Ω の各点 (t, x, μ) で (d_2)f(t, x, μ) および
(d_3)f(t, x, μ) が存在し、それぞれ Ω 上で連続である。
ここで、(d_2)f(t, x, μ), (d_3)f(t, x, μ) は
それぞれ x, μ に関する偏微分である(過去スレ014の833)。

(t_0, x_0, μ_0) を Ω の任意の点とする。

このとき (t_0, x_0, μ_0) の開近傍 J×U×V ⊂ Ω
及び連続写像 g: J×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。
ここで、J は開区間であり、U, V はそれぞれ E, F の開集合である。

a) g(J×V) ⊂ U

b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0

c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

d) J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) が存在し、
任意の μ ∈ V に対して t → (d_2)g(t, μ) は
次の微分方程式の解 Ψ(t): J → L(F, E) である。

dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)

(続く)

>>608の証明

(d_2)f(t, x, μ) 及び (d_3)f(t, x, μ) は (t_0, x_0, μ_0) で連続であるから
t_0 を含む開区間 I, x_0 の凸開近傍 U, μ_0 の凸開近傍 V があり、
(d_2)f(t, x, μ) 及び (d_3)f(t, x, μ) は I×U×V で有界となる。
よって、A ＞ 0, B ＞ 0 があり I×U×V の各点 (t, x, μ) で
|(d_2)f(t, x, μ)| ≦ A
|(d_3)f(t, x, μ)| ≦ B
となる。

U は凸だから任意の s ∈ [0, 1] 及び任意の (t, μ) ∈ I×V と
任意の x, y ∈ U に対して、
φ(s) = f(t, x + s(y - x), μ) が定義出来る。

dφ/ds = (d_2)f(t, x + s(y - x), μ)(y - x)

よって、任意の (t, μ) ∈ I×V と任意の x, y ∈ U に対して、
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| = |∫[0, 1] (d_2)f(t, x + s(y - x), μ)(y - x) ds|
≦ ∫[0, 1] |(d_2)f(t, x + s(y - x), μ)||y - x| ds
≦ A|y - x| ← (1)

V は凸だから任意の s ∈ [0, 1] 及び任意の (t, x) ∈ I×U と
任意の μ, ν ∈ V に対して
ψ(s) = f(t, x, μ + s(ν - μ)) が定義出来る。
dψ/ds = (d_3)f(t, x, μ + s(ν - μ))(ν - μ)

よって、任意の (t, x) ∈ I×U と任意の μ, ν ∈ V に対して
|f(t, x, μ) - f(t, x, ν)|
= |∫[0, 1] (d_3)f(t, x, μ + s(ν - μ))(ν - μ) ds|
≦ B|ν - μ| ← (2)

(続く)

>>609の証明

任意の μ ∈ V に対して (t, x) → f(t, x, μ) は>>499の条件を満たす。
>>499の証明より>>499の区間 J は μ に無関係に定まる。
よって、写像 g: J×V → E で本命題の a), b), c) を満たすものが一意に存在する。
g が連続であることを証明すれば>>597より d) が出る。

任意の t ∈ J と任意の μ, ν ∈ V に対して

∫[t_0, t] dg/ds(s, μ) ds
= g(t, μ) - g(t_0, μ)
= g(t, μ) - x_0

同様に
∫[t_0, t] dg/ds(s, ν) ds = g(t, ν) - x_0

よって、
g(t, μ) - g(t, ν)
= ∫[t_0, t] (dg/ds(s, μ) - dg/ds(s, ν)) ds
= ∫[t_0, t] (f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν), ν)) ds

よって、(1), (2) より
|g(t, μ) - g(t, ν)|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν), ν)| ds|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν), μ)|
+ |f(s, g(s, ν), μ) - f(s, g(s, μ), ν)| ds|
≦ |∫[t_0, t] (A|g(s, μ) - g(s, ν)| + B|μ - ν|) ds|

(続く)

>>610の続き

Gronwall の不等式の系２(>>591)より、

|g(t, μ) - g(t, ν)|≦ (B/A)|μ - ν|(exp(A|t - t_0|) - 1)

区間 J の幅を L とすれば
|g(t, μ) - g(t, ν)|≦ (B/A)|μ - ν|(exp(AL) - 1)

任意の s ∈ J に対して

|g(t, μ) - g(s, ν)| ≦ |g(t, μ) - g(t, ν)| + |g(t, ν) - g(s, ν)|
≦ (B/A)|μ - ν|(exp(AL) - 1) + |g(t, ν) - g(s, ν)| ← (3)

ν を固定したとき t → g(t, ν) は微分可能、従って連続であるから
t → s のとき |g(t, ν) - g(s, ν)| → 0

よって、(s, ν) を固定し、(t, μ) → (s, ν) とすれば
(3) より |g(t, μ) - g(s, ν)| → 0

よって、g: J×V → E は連続である。
証明終

>>610
>>>609の証明

>>609の続き

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
I を R の開区間とする。
U を E の開集合とし、V を F の開集合とする。

f(t, x, μ): I×U×V → E を連続写像として次の条件 (*L) を満たすとする。

(*L) 任意の (t_1, ν_1) ∈ I×V に対して t_1 の開近傍 I_1 ⊂ I と
の開近傍 V_1 ⊂ V と定数 M ＞ 0 があり、
任意の (t, μ) ∈ (I_1)×(V_1) と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ M|x - y| となる。

(t_0, x_0) を I×U の点とし、g: I×V → U を次の条件を満たす写像とする。

a) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0 となる。
b) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の I における解で、

このとき、g は I×V 上で連続である。

証明
(t_1, ν_1) を I×V の任意の点とする。
t_0, t_1 ∈ I であるから r_1 ＜ t_0, t_1 ＜ r_2 かつ [r_1, r_2] ⊂ I となる
有限閉区間 [r_1, r_2] がある。
[r_1, r_2] はコンパクトであるから条件 (*L) より次の条件 (**L) が得られる。

(**L) 任意の ν_1 ∈ V に対して ν_1 の開近傍 V_1 ⊂ V と定数 M ＞ 0 があり、
任意の (t, μ) ∈ [r_1, r_2]×(V_1) と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ M|x - y| となる。

(続く)

>>613の続き

さて、(t_1, ν_1) を I×V の任意の点とする。
(*LL) より、ν_1 の開近傍 V_1 ⊂ V と定数 M ＞ 0 があり、
任意の (t, μ) ∈ [r_1, r_2]×(V_1) と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ M|x - y| となる。

t → g(t, ν_1) は微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の I における解であるから、
I 上で連続である。
よって、(t, μ) → f(t, g(t, ν_1), μ) は [r_1, r_2]×(V_1) 上で連続である。
よって、>>535より、任意の ε ＞ 0 に対して V(ν_1, δ) ⊂ V_1 となる
δ ＞ 0 があり、μ ∈ V(ν_1, δ) なら任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して
|f(t, g(t, ν_1), μ) - f(t, g(t, ν_1), ν_1)| ＜ ε となる。
ここで、V(ν_1, δ) = {μ ∈ F; |μ - ν_1| ＜ δ} である。

よって、任意の (t, μ) ∈ [r_1, r_2]×V(ν_1, δ) に対して
|f(t, g(t, μ), μ) - f(t, g(t, ν_1), ν_1)|
≦ |f(t, g(t, μ), μ) - f(t, g(t, ν_1), μ)|
+ |f(t, g(t, ν_1), μ) - f(t, g(t, ν_1), ν_1)|
≦ M| g(t, μ) - g(t, ν_1)| + ε ← (1)

一方、任意の (t, μ) ∈ (r_1, r_2)×V(ν_1, δ) に対して

∫[t_0, t] (dg/ds)(s, μ) ds = g(t, μ) - g(t_0, μ) = g(t, μ) - x_0
∫[t_0, t] (dg/ds)(s, ν_1) ds = g(t, ν_1) - g(t_0, ν_1) = g(t, ν_1) - x_0

よって、
g(t, μ) - g(t, ν_1) = ∫[t_0, t] ((dg/ds)(s, μ) - (dg/ds)(s, ν_1)) ds
= ∫[t_0, t] (f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν_1), ν_1)) ds

(続く)

>>614の続き

よって、(1) より、任意の (t, μ) ∈ (r_1, r_2)×V(ν_1, δ) に対して
|g(t, μ) - g(t, ν_1)|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν_1), ν_1)| ds|
≦ |∫[t_0, t] (M| g(t, μ) - g(t, ν_1)| + ε) ds|

よって、>>511より、任意の (t, μ) ∈ (r_1, r_2)×V(ν_1, δ) に対して
|g(t, μ) - g(t, ν_1)|
≦ (ε/M)(exp(M|t - t_0|) - 1) ≦ (ε/M)(exp(M(r_2 - r_1)) - 1)

よって、任意の (t, μ) ∈ (r_1, r_2)×V(ν_1, δ) に対して
|g(t, μ) - g(t_1, ν_1)|
≦ |g(t, μ) - g(t, ν_1)| + |g(t, ν_1) - g(t_1, ν_1)|
≦ (ε/M)(exp(M(r_2 - r_1)) - 1) + |g(t, ν_1) - g(t_1, ν_1)|

t → g(t, ν_1) は連続であるから、
|t - t_1| を十分小さくすれば |g(t, ν_1) - g(t_1, ν_1)| ＜ ε となる。

よって、g(t, μ) は (t_1, ν_1) において連続である。
(t_1, ν_1) は I×V の任意の点であるから、g(t, μ) は I×V 上で連続である。
証明終

命題(線型常微分方程式の解のパラメータに関する連続性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
I を R の開区間とする。
V を F の開集合とする。
a(t, μ): I×V → L(E, E) と b(t, μ): I×V → L(F, E) を連続写像とする。

t_0 を I の任意の点とし、T_0 を L(F, E) の任意の元とする。
このとき連続写像 g: I×V → L(F, E) で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = T_0
b) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dψ/dt = a(t, μ)ψ(t) + b(t, μ) の I における解である。

証明
μ ∈ V を固定する。
t → a(t, μ) および t → b(t, μ) は共に I で連続である。
(t, T) ∈ I×L(F, E) に対して
f(t, T) = a(t, μ)T + b(t, μ) とおく。
f(t, T): I×L(F, E) → L(F, E) は連続である。

任意の t ∈ I と任意の T, S ∈ L(F, E) に対して
|f(t, T) - f(t, S)| ≦ |a(t, μ)||T - S|

よって、>>483より、微分方程式 dψ/dt = a(t, μ)ψ(t) + b(t, μ) の解 g(t, μ) で
g(t_0, μ) = T_0 となり定義域が I となるものが一意に存在する。

a(t, μ) は I×V 上で連続であるから局所的に有界である。
よって、(t, T, μ) → a(t, μ)T + b(t, μ) は>>613の条件 (*L) を満たす。
よって、>>613より、g: I×V → L(F, E) は連続である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間する。
U を E の開集合とし、V を F の開集合とする。
I を実数体 R の開区間とする。
f: I×U×V → E を C^k 級(1 ≦ k ≦ ∞)の写像とする。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。
J を t_0 を含む開区間で J ⊂ I とする。
g: J×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

a) g(J×V) ⊂ U
b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0
c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

このとき、g は J×V 上で C^k 級である。

証明
k ＜ ∞ として本命題を証明すれば k = ∞ のときも本命題は成り立つ。
よって k ＜ ∞ として、k に関する帰納法で証明する。
まず k = 1 とする。
>>597より、J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) が存在し、
任意の μ ∈ V に対して t → (d_2)g(t, μ) は
次の微分方程式の解 Ψ(t): J → L(F, E) である。

dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)

さらに任意の μ ∈ V に対して (d_2)g(t_0, μ) = 0 である。
よって、>>616より (d_2)g(t, μ) は J×V 上で連続である。
即ち、g(t, μ) は J×V 上で μ に関して C^1 級である。
(続く)

>>617の続き

一方、J×V 上で (dg/dt)(t, μ) = f(t, g(t, μ), μ) であるから、
g(t, μ) は J×V 上で t に関して C^1 級である。

よって、g(t, μ) は J×V 上で C^1 級である。

次に k ≧ 2 として k - 1 のときに本命題が成り立つと仮定する。

>>597より、J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) が存在し、
任意の μ ∈ V に対して t → (d_2)g(t, μ) は
次の微分方程式の解 Ψ(t): J → L(F, E) である。

dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)

さらに任意の μ ∈ V に対して (d_2)g(t_0, μ) = 0 である。
f(t, x, μ) は C^k 級だから
(d_2)f(t, g(t, μ), μ) と (d_3)f(t, g(t, μ), μ) は
それぞれ C^(k-1) 級である。
微分方程式 dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)
に帰納法の仮定を適用すると (d_2)g(t, μ) は C^(k-1) 級である。
よって、g(t, μ) は μ に関して C^k 級である。

一方、J×V 上で (dg/dt)(t, μ) = f(t, g(t, μ), μ) であるから、
(dg/dt)(t, μ) は C^k 級である。
よって、g(t, μ) は t に関して C^(k+1) 級である。

以上から g(t, μ) は C^k 級である。
証明終

命題(正規型常微分方程式の解の存在と一意性およびパラメータに関する C^k 級性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
R を実数体とする。
Ω を R×E×F の開集合とする。
f: Ω → E を C^k 級(1 ≦ k ≦ ∞)の写像とする。

(t_0, x_0, μ_0) を Ω の任意の点とする。

このとき (t_0, x_0, μ_0) の開近傍 J×U×V ⊂ Ω
及び C^k 級写像 g: J×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。
ここで、J は開区間であり、U, V はそれぞれ E, F の開集合である。

a) g(J×V) ⊂ U

b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0

c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

証明
>>608と>>617より明らかである。

命題(>>550の改良)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を次の条件 (C) を満たす連続写像とする。

(C) I×U の各点 (t, x) で (d_2)f(t, x) が存在し、I×U 上で連続である。
ここで、(d_2)f(t, x) は x に関する偏微分である(過去スレ014の833)。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I が与えられ、
g: J×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

a) g(J×V) ⊂ U
b) g(t_0, x) = x
c) 任意の x ∈ V に対して写像 t → g(t, x) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の I における解である。

このとき、J×V の各点 (t, x) で (d_2)g(t, x) が存在し、
(d_2)g(t, x) は J×V 上で連続である。

証明
まず証明のアイデアを述べる。
μ ∈ V を任意にとり定数とみなし、y を新しい変数として、x = y + μ とおく。
微分方程式 dx/dt = f(t, x) より
パラメータ付き微分方程式 dy/dt = f(t, y + μ) が得られる。
初期条件 x(t_0) = μ は、初期条件 y(t_0) = 0 となる。
以上のアイデアをもとにして厳密に証明しよう。

(続く)

>>620の続き

μ_0 ∈ V を任意にとり固定する。
φ: E×V → E を φ(x, y) = x + y により定義する。
φ は連続であり、φ(0, μ_0) = μ_0 ∈ U であるから
0 の開近傍 U_0 ⊂ E と μ_0 の開近傍 W ⊂ V があり
φ((U_0)×W) ⊂ U となる。

よって、
連続写像 h(t, y, μ): I×(U_0)×W → E を h(t, y, μ) = f(t, y + μ)
により定義出来る。

合成写像の微分法から、I×(U_0)×W の各点 (t, y, μ) で (d_2)h(t, y, μ) および
(d_3)f(t, y, μ) が存在し、それぞれ I×(U_0)×W 上で連続である。

μ ∈ W のとき、J の各点 t で (dg/dt)(t, μ) = f(t, g(t, μ))
よって、ψ(t, μ) = g(t, μ) - μ は dy/dt = f(t, y + μ) の解で
初期条件 ψ(t_0, μ) = 0 を満たす。

よって、>>597より、J×W の各点 (t, μ) で (d_2)ψ(t, μ) が存在し、
任意の μ ∈ W に対して t → (d_2)ψ(t, μ) は
次の微分方程式の解 Ψ(t): J → L(F, E) である。

dΨ/dt = (d_2)h(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)h(t, g(t, μ), μ)

よって、>>616より (d_2)ψ(t, μ) は J×W 上で連続である。
よって、(d_2)g(t, x) は J×W 上で連続である。

μ_0 は V の任意の点であり、W ⊂ V は μ_0 の近傍であるから
J×V の各点 (t, x) で (d_2)g(t, x) が存在し、
(d_2)g(t, x) は J×V 上で連続である。
証明終

命題(正規型常微分方程式の解の初期値に関する C^k 級性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を C^k 級(1 ≦ k ≦ ∞)の写像とする。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I が与えられ、
g: J×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

a) g(J×V) ⊂ U
b) g(t_0, x) = x
c) 任意の x ∈ V に対して写像 t → g(t, x) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の I における解である。

このとき、g は J×V 上で C^k 級である。

証明
μ_0 ∈ V を任意にとり固定する。
φ: E×V → E を φ(x, y) = x + y により定義する。
φ は連続であり、φ(0, μ_0) = μ_0 ∈ U であるから
0 の開近傍 U_0 ⊂ E と μ_0 の開近傍 W ⊂ V があり
φ((U_0)×W) ⊂ U となる。

よって、連続写像 h(t, y, μ): I×(U_0)×W → E を h(t, y, μ) = f(t, y + μ)
により定義出来る。
明らかに h(t, y, μ) は C^k 級である。

(続く)

>>622の続き

μ ∈ W のとき、J の各点 t で (dg/dt)(t, μ) = f(t, g(t, μ))
よって、ψ(t, μ) = g(t, μ) - μ は dy/dt = f(t, y + μ) の解で
初期条件 ψ(t_0, μ) = 0 を満たす。

よって、>>617より ψ(t, μ) は J×W 上で C^k 級である。
よって、g(t, x) は J×W 上で C^k 級である。

μ_0 は V の任意の点であり、W ⊂ V は μ_0 の近傍であるから
g は J×V 上で C^k 級である。
証明終

>>610
>任意の μ ∈ V に対して (t, x) → f(t, x, μ) は>>499の条件を満たす。

f(t, x, μ) は (t_0, x_0, μ_0) で連続であるから
初めから I×U×V を十分小さくとっておき f は I×U×V 上で有界と仮定してよい。
よって、>>609と合わせて、任意の μ ∈ V に対して (t, x) → f(t, x, μ) は
>>499の条件を満たす。

定理(正規型常微分方程式の解の存在と一意性および初期値に関する C^k 級性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
R を実数体とする。
Ω を R×E の開集合とする。
f: Ω → E を C^k 級(1 ≦ k ≦ ∞)の写像とする。

(t_0, x_0) を Ω の任意の点とする。

このとき (t_0, x_0) の開近傍 J×V ⊂ Ω
及び C^k 級写像 g: J×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。
ここで、J は開区間であり、V はそれぞれ E の開集合である。

a) g(J×V) ⊂ Ω

b) 任意の x ∈ V に対して g(t_0, x) = x

c) 任意の x ∈ V に対して写像 t → g(t, x) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の J における解である。

証明
f(t, x, μ) は (t_0, x_0) で連続であるから
t_0 を含む開区間 I と x_0 の凸開近傍 U があり、f は I×U 上で有界である。

さらに f は少なくとも C^1 級であるから
(d_2)f(t, x) は (t_0, x_0, μ_0) で連続である。
よって、初めから I×U を十分小さくとっておき、
(d_2)f(t, x) は I×U 上で有界と仮定してよい。
即ち C ＞ 0 があり I×U の各点 (t, x) で
|(d_2)f(t, x)| ≦ C

(続く)

>>625の続き

U は凸だから任意の s ∈ [0, 1] 及び任意の t ∈ I と
任意の x, y ∈ U に対して、
φ(s) = f(t, x + s(y - x)) が定義出来る。

dφ/ds = (d_2)f(t, x + s(y - x))(y - x)

よって、任意の t ∈ I と任意の x, y ∈ U に対して、
|f(t, x) - f(t, y)| = |∫[0, 1] (d_2)f(t, x + s(y - x))(y - x) ds|
≦ ∫[0, 1] |(d_2)f(t, x + s(y - x))||y - x| ds
≦ C|y - x|

よって、f(t, x): I×U → E は>>462の条件を満たす。
よって、>>462より、x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
各 x ∈ V に対して J から U への連続写像 t → g(t, x) で
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の解であり g(t_0, x) = x となるものが
一意に存在する。

よって、>>622より g: J×V → E は C^k 級である。
証明終

>>625の定理の証明が当面の目標であった。
これをBanach空間上で証明するのは意外に難しい。
無限次元のBanach空間は局所コンパクトでないので
コンパクト集合上で定義された連続関数の有界性や一様連続性が使えないのが
その一因である。

結局どこが間違ってたの？