代数的整数論 014

代数的整数論 014
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。

現在は代数的整数論の準備として積分論を述べています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

過去スレ
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過去スレ013の790の訂正
>f を X から [0, +∞] への関数で、

f を G から [0, +∞] への関数で、

過去スレ013の791, 792, 793, 794も同様の訂正

命題
G を局所コンパクト群とする。
H を G の格子(>>667)とする。
μ を G の左Haar測度とする。
λ を>>671で定まる G/H 上の G-不変な正値Radon測度とする。
ψ: G → G/H を標準写像とする。
A を G のμ可測な部分集合で、ψ により１対１に ψ(A) に写されるとする。

このとき、μ(A) = μ(ψ(A)) である。

証明
χ_A を A の特性関数とする。
過去スレ013の793より、
μ(A) = ∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) である。
ここで、ξ は H の元全体を動く。

x ∈ G に対して xH ∩ A ≠ φ とする。
xξ ∈ A となる ξ ∈ H がある。
y = xξ とおけば、y ∈ H で xH = yH となる y が一意に定まる。
よって、xξ ∈ A となる ξ ∈ H も一意に定まる。

よって、xH ∈ ψ(A) のとき Σχ_A(xξ) = 1 である。
xH ∈ ψ(A) でないとき Σχ_A(xξ) = 0 である。
よって、Σχ_A(xξ) = χ_ψ(A) である。

よって、μ(A) = ∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) = μ(ψ(A)) である。
証明終

>>3の訂正
>このとき、μ(A) = μ(ψ(A)) である。

このとき、μ(A) = λ(ψ(A)) である。

>>3の補足
G/H はコンパクトであるから、λ(ψ(A)) ＜ +∞ である。
よって、μ(A) ＜ +∞ である。

命題(Minkowskiの定理(過去スレ013の653)の拡張)
G を局所コンパクト群で、H を G の格子(>>667)とする。
μ を G の左Haar測度とする。
λ を>>671で定まる G/H 上の G-不変な正値Radon測度とする。
A を G のμ可測な部分集合で、μ(A) ＞ λ(G/H) とする。

このとき、y^(-1)x ∈ H となる A の元 x, y が存在する。

証明
ψ: G → G/H を標準写像とする。
このような x, y が存在しないと A は ψ により１対１に ψ(A) に
写される。
よって、>>3より、μ(A) = λ(ψ(A)) ≦ λ(G/H) となって仮定に反する。
証明終

>>3の補足
>よって、μ(A) = ∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) = μ(ψ(A)) である。

過去スレ013の793より、xH → Σχ_A(xξ) はλ可測である。
即ち、χ_ψ(A) はλ可測である。
よって、∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) = ∫^* χ_ψ(A) dλ = λ(ψ(A)) である。

>>6の訂正
>G を局所コンパクト群で、H を G の格子(>>667)とする。

G を局所コンパクト群で、H を G の格子(過去スレ013の667)とする。

補題
X を局所コンパクト空間とする。
(U_λ), λ ∈ Λ を X の開被覆で各U_λの閉包 (U_λ)~ はコンパクト
であるとする。
μ を K(X, C) (過去スレ009の21)上の線型形式とする。
各λ ∈ Λ に対して実数 M_λ ≧ 0 が存在し、
任意の f ∈ K(X, (U_λ)~, C) (過去スレ009の662) に対して
μ(f) ≦ (M_λ)|f|_b が成立つとする。
ここで、|f|_b = sup{|f(x)|; x ∈ X} である。

このとき、μ は X 上の複素Radon測度である。

証明
K を X の任意のコンパクト部分集合とする。
K は有限個の U_λ_1, ..., U_λ_n により被覆される。
このとき、過去スレ010の102(１の分割)により、
X から [0, 1] への連続関数 g_1, ..., g_n で
各i で Supp(g_i) ⊂ U_λ_i
すべての x ∈ X で g_1(x) + ... + g_n(x) ≦ 1 となり
x ∈ K のとき g_1(x) + ... + g_n(x) = 1 となるものが存在する。

Supp(fg_i) ⊂ U_λ_i であり、任意の f ∈ K(X, K, C) に対して、
f = fg_1 + ... + fg_n である。

μ(f) = μ(fg_1) + ... + μ(fg_n)
≦ M_λ_1|fg_1|_b + ... + M_λ_n|fg_n|_b
≦ M_λ_1|f|_b + ... + M_λ_n|f|_b

よって、M = M_λ_1 + ... + M_λ_n とおけば、
μ(f) ≦ M|f|_b
M は K のみで決まるから過去スレ009の705より、μ は複素Radon測度である。
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とする。
(U_α), α ∈ A を X の開被覆で、各αに対して U_α 上の複素Radon測度
μ_α が与えられ、任意の対 (α, β) ∈ A×A に対して、
μ_α 及び μ_β の U_α ∩ U_β への制限が一致するとする。
f を K(X, C) の元とし、K = Supp(f) とおく。

g_1, ..., g_n を K(X, C) の元の列で
各i で Supp(g_i) ⊂ U_α_i
x ∈ K のとき g_1(x) + ... + g_n(x) = 1 とする。

同様に、h_1, ..., h_m を K(X, C) の元の列で
各j で Supp(h_j) ⊂ U_β_j
x ∈ K のとき h_1(x) + ... + h_m(x) = 1 とする。

このとき、
μ_α_1(fg_1) + ... + μ_α_n(fg_n) = μ_β_1(fg_1) + ... + μ_β_m(fg_n)
となる。

証明
fg_i = Σf(g_i)h_j, j = 1, 2, ..., m
よって、
Σμ_α_i(fg_i) = Σμ_α_i(f(g_i)h_j), i = 1, ..., n, j = 1, ..., m

同様に、
Σμ_β_j(fh_j) = Σμ_β_j(f(g_i)h_j), i = 1, ..., n, j = 1, ..., m
である。

Supp(f(g_i)h_j) ∈ U_α_i ∩ U_β_j だから、
μ_α_i(f(g_i)h_j) = μ_β_j(f(g_i)h_j) である。
よって、Σμ_α_i(fg_i) = Σμ_β_j(fh_j)
証明終

sageろよ
　糞野郎

命題
X を局所コンパクト空間とする。
(U_α), α ∈ A を X の開被覆で、各αに対して U_α 上の複素Radon測度
μ_α が与えられ、任意の対 (α, β) ∈ A×A に対して、
μ_α 及び μ_β の U_α ∩ U_β への制限が一致するとする。

このとき、X 上の複素Radon測度 μ で各 U_α への制限が μ_α に一致
するものが一意に存在する。

証明
f ∈ K(X, C) に対して K = Supp(f) とおく。
K は有限個の U_α_1, ..., U_α_n により被覆される。
このとき、過去スレ010の102(１の分割)により、
X から [0, 1] への連続関数 g_1, ..., g_n で
各i で Supp(g_i) ⊂ U_α_i
すべての x ∈ X で g_1(x) + ... + g_n(x) ≦ 1 となり
x ∈ K のとき g_1(x) + ... + g_n(x) = 1 となるものが存在する。
Supp(fg_i) ⊂ U_α_i であり、f = fg_1 + ... + fg_n である。
よって、本命題のμが存在すれば、
μ(f) = μ(fg_1) + ... + μ(fg_n) = μ_α_1(fg_1) + ... + μ_α_n(fg_n)
となり、μ は一意に決まる。

一方、>>10より、μ(f) = μ(fg_1) + ... + μ(fg_n) は、g_1, ..., g_n
の選び方によらない。

X は局所コンパクトだから、X の各点 x に対して x の近傍 V_x で
V_x の閉包 (V_x)~ がある U_α に含まれるようなものが存在する。
μ は、X の被覆 (V_x), x ∈ X に対して、>>9 の条件を満たすから
μ は X 上の複素Radon測度であり、本命題の条件を満たす。
証明終

定義
X と Y を位相空間とする。
f: X → Y を X から Y への写像とする。
f が次の性質をもつとき、f を局所同相と言う。

X の各点 x に対して x の開近傍 U で f(U) が Y の開集合となり、
f の U への制限 f|U : U → f(U) が同相となるものが存在する。

命題
X と Y を位相空間とする。
f: X → Y を X から Y への局所同相写像(>>13)とする。

f は連続である。

証明
x を X の任意の点とする。
x の開近傍 U で f(U) が Y の開集合となり、
f の U への制限 f|U : U → f(U) が同相となるものが存在する。

W を f(x) の任意の開近傍とする。
g = f|U とおき、V = g^(-1)(f(U) ∩ W) とおく。
V は U の開集合であり、x ∈ V であるから x の近傍である。
f(V) ⊂ W であるから f は連続である。
証明終

命題
X と Y を位相空間とする。
f: X → Y を X から Y への局所同相写像(>>13)とする。

f は開写像である。

証明
V を X の任意の空でない開集合とする。
x ∈ V を V の任意の点とする。
定義(>>13)より、x の開近傍 U で f(U) が Y の開集合となり、
f の U への制限 f|U : U → f(U) が同相となるものが存在する。
U ∩ V は X の開集合で f(U ∩ V) は f(U) の開集合である。
f(U) は Y の開集合であるから、f(U ∩ V) も Y の開集合である。
f(x) ∈ f(U ∩ V) ⊂ f(V) であるから、f(x) は f(V) の内点である。
よって、f(V) は Y の開集合である。
証明終

表現論やらないのにこれだけ積分論やる意味あるのか？

とりすとらむしゃんでぃ

>>9から>>15までは過去スレ013の671の別証をするために用意したが、どうも
勘違いしてたようでうまくいかない。
したがって、話題を変えることにする。

涙を拭いてコーヒーを吹け

その前に謝れ。

過去スレ013の749
>Gelfand-Mazurはやるかどうか迷ってます。

Gelfand-Raikovはやるかどうか迷ってます。
つまり任意の局所コンパクト群は十分多くの既約ユニタリ表現を持つという定理。

むしろはやく supercuspidal 表現をやれと

過去スレ013の489の訂正
>p: X → X/G を標準射とする。

f: X → X/G を標準射とする。

過去スレ013の489の X が群で G がその閉部分群のときその証明に選択公理は
必要ないことを示そう。

命題
G を局所コンパクト群とし、H をその閉部分群とする。
p: G → G/H を標準射とする。
L を G/H の任意のコンパクト集合とする。

このとき、G のコンパクト集合 K があり、p(K) = L となる。

証明
V を G の単位元 e のコンパクト近傍とする。
過去スレ013の465より、p は開写像であるから G の任意の元 x に対して
p(xV) は p(x) の近傍である。
よって、G の有限個の元 x_1, ..., x_n があり、
p(x_1V), ..., p(x_nV) は L の被覆となる。
M = x_1V ∪ ... ∪ x_nV とおく。
M はコンパクトであるから、K = M ∩ p^(-1)(L) とおけばよい。
証明終

過去スレ013の556はWeilが
"L'integration dans les groupes topologiques et ses applications" で
始めて述べて証明したものである。
過去スレ013の556の証明はBourbakiによるがやや回りくどい。
Weilのオリジナルの証明は簡潔なのでそれを紹介する。
因みに、この本は全体的にやや簡潔すぎるきらいがある。

命題(過去スレ013の556の必要条件の別証明)
G を局所コンパクト群、H をその閉部分群とする。
χ を G から (R^*)+ = {x ∈ R; x ＞ 0 } への連続準同型とする。
G/H 上に乗因子(過去スレ012の412) χ の 0 でない相対不変(過去スレ012の411)な
正値Radon測度 λ が存在するとする。

このとき、任意の ξ ∈ H に対して
χ(ξ) = Δ_H(ξ)/Δ_G(ξ) となる。
ここで、Δ_H と Δ_G はそれぞれ H と G のモジュール(過去スレ012の477)
である。

証明
βを H のHaar測度とする。
f を K(G, R) (過去スレ009の21) の元とする。
過去スレ013の495より、任意の x ∈ G に対して H 上の関数 ξ → f(xξ) は
K(H, R) の元である。
よって、∫ f(xξ) dβ(ξ) が意味を持つ。
過去スレ013の496より、G 上の関数 x → ∫ f(xξ) dβ(ξ) は連続であり、
過去スレ013の497と過去スレ013の494より、K(G/H, R) の元と見なせる。
よって、∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ) が意味を持つ。
ν(f) = ∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ) とおけば、明らかに ν は
G 上の正値adon測度である。

s ∈ G に対して
∫ f(s^(-1)x) dν(x) = ∫dλ(xH) ∫ f(s^(-1)xξ) dβ(ξ)
= χ(s)∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ)
= χ(s)∫ f(x) dν(x)
よって、ν は乗因子 χ の相対不変な正値Radon測度である。

(続く)

>>26の続き

f ∈ K(G, R) に K(G/H, R) 上の関数 x → ∫ f(xξ) dβ(ξ) を対応させるのは
過去スレ013の506より、K(G, R) から K(G/H, R) への全射である。
よって、ν ≠ 0 である。
過去スレ013の545より、ν = cχμ となる。
ここで、c ＞ 0 は定数で μ は G 上のHaar測度である。
cμ もHaar測度であるから c = 1 と仮定してよい。
よって、任意の f ∈ K(G, R) に対して、
∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ) = ∫ f(x)χ(x) dμ(x)

この等式の両辺の ｆ(x) を f(xη^(-1)) に置き換えると、
左辺は
∫dλ(xH) ∫ f(xξη^(-1)) dβ(ξ) = Δ_H(η)∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ)

右辺は
∫ f(xη^(-1))χ(x) dμ(x) = χ(η)∫ f(xη^(-1))χ(xη^(-1)) dμ(x)
= χ(η)Δ_G(η)∫ f(x)χ(x) dμ(x)

よって、Δ_H(η) = χ(η)Δ_G(η) である。
証明終

>>27の訂正
>f ∈ K(G, R) に K(G/H, R) 上の関数 x → ∫ f(xξ) dβ(ξ) を対応させるのは
>過去スレ013の506より、K(G, R) から K(G/H, R) への全射である。

f ∈ K(G, R) に K(G/H, R) の関数 xH → ∫ f(xξ) dβ(ξ) を対応させるのは
過去スレ013の506より、K(G, R) から K(G/H, R) への全射である。

命題(過去スレ013の556の十分条件の別証明)
G を局所コンパクト群、H をその閉部分群とする。
χ を G から (R^*)+ = {x ∈ R; x ＞ 0 } への連続準同型で、
任意の ξ ∈ H に対して χ(ξ) = Δ_H(ξ)/Δ_G(ξ) とする。
ここで、Δ_H と Δ_G はそれぞれ H と G のモジュール(過去スレ012の477)
である。
このとき、G/H 上に乗因子(過去スレ012の412) χ の 0 でない相対不変
(過去スレ012の411)な正値Radon測度 λ が存在する。
さらに、μ と β をそれぞれ G と H のHaar測度とすると、
λ は次の等式で定まる。
任意の f ∈ K(G, R) (過去スレ009の21) に対して、
∫dλ∫ f(xξ) dβ(ξ) = ∫ χ(x)f(x) dμ(x) である。

証明
f を K(G, R) の元とする。
過去スレ013の495より、任意の x ∈ G に対して H 上の関数 ξ → f(xξ) は
K(H, R) の元である。
よって、∫ f(xξ) dβ(ξ) が意味を持つ。
過去スレ013の496より、G 上の関数 f^1: x → ∫ f(xξ) dβ(ξ) は連続であり、
過去スレ013の497と過去スレ013の494より、K(G/H, R) の元と見なせる。
f^1 = 0 のとき、∫ χ(x)f(x) dμ(x) = 0 を証明しよう。

任意の x ∈ G に対して ∫ f(xξ) dβ(ξ) = 0 であるから、
過去スレ013の510より、
∫ f(xξ^(-1))Δ_H(ξ^(-1)) dβ(ξ) = 0 である。

(続く)

>>29の続き

この左辺に、任意の g ∈ K(G, R) に対して、∫ g(x)χ(x) dμ(x) を掛けて

∫ f(xξ^(-1))Δ_H(ξ^(-1)) dβ(ξ)∫ g(x)χ(x) dμ(x)
= ∫ Δ_H(ξ^(-1)) dβ(ξ)∫ g(x)χ(x)f(xξ^(-1)) dμ(x)　← 積分の順序交換
= ∫ Δ_H(ξ^(-1)) Δ_G(ξ)dβ(ξ)∫ g(xξ)χ(xξ)f(x) dμ(x)
= ∫ Δ_H(ξ^(-1)) Δ_G(ξ)χ(ξ)dβ(ξ)∫ g(xξ)χ(x)f(x) dμ(x)
= ∫ dβ(ξ)∫ g(xξ)χ(x)f(x) dμ(x)　← χ(ξ) = Δ_H(ξ)/Δ_G(ξ) より
= ∫ χ(x)f(x) dμ(x)∫ g(xξ) dβ(ξ)　← 積分の順序交換
= 0

K = Supp(f) とおく。
g ∈ K(G, R) に K(G/H, R) の関数 xH → ∫ g(xξ) dβ(ξ) を対応させるのは
過去スレ013の506より、K(G, R) から K(G/H, R) への全射である。
p: G → G/H を標準写像としたとき p(K) はコンパクトだから
x ∈ K のとき ∫ g(xξ) dβ(ξ) = 1 となる g ∈ K(G, R) が存在する。
よって、∫ χ(x)f(x) dμ(x)∫ g(xξ) dβ(ξ) = 0 より
∫ χ(x)f(x) dμ(x) = 0 である。

よって、f と h が K(G, R) の元で f^1 = h^1 のとき
∫ χ(x)f(x) dμ(x) = ∫ χ(x)h(x) dμ(x) である。
よって、G/H 上の正値Radon測度 λ で、λ(f^1) = ∫ χ(x)f(x) dμ(x) と
なるものが存在する。
即ち、∫dλ∫ f(xξ) dβ(ξ) = ∫ χ(x)f(x) dμ(x) である。

s ∈ G のとき、
∫ χ(x)f(s^(-1)x) dμ(x) = χ(s)∫ χ(s^(-1)x)f(s^(-1)x) dμ(x)
= χ(s)∫ χ(x)f(x) dμ(x)
であるから、λ は乗因子 χ の相対不変な正値Radon測度である。
証明終

別証明といっても、>>26も>>29も本質的には過去スレ013の556の証明と同じである。

過去スレ013の656の命題の証明はあまりよくないので改めて述べる。

まず次の補題を用意する。
この補題の証明は過去スレ013の511(樽と半ノルムの関係)の証明と
ほぼ同じである。

補題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
B を E の空でない閉集合で原点に関して対称で凸とする。
このとき、B = ∩(1 + ε)B である。
ここで、ε ＞ 0 は正の実数全体を動く。

証明
過去スレ008の438より、B は平衡的(過去スレ006の630)である。
すなわち、|λ| ≦ 1 なら λB ⊂ B である。
ε ＞ 0 のとき、1/(1 + ε) ＜ 1 であるから (1/(1 + ε))B ⊂ B である。
よって、B ⊂ (1 + ε)B である。

x を E の元で任意の ε ＞ 0 に対して x ∈ (1 + ε)B とする。
(1/(1 + ε))x ∈ B となる。
ε → 0 のとき 1/(1 + ε) → 1 だから
(1/(1 + ε))x → x となる。
B は閉集合だから x ∈ B である。
よって、∩(1 + ε)B ⊂ B である。

以上から B = ∩(1 + ε)B である。
証明終

命題(過去スレ013の656)
R を実数体とし、E を R 上の n 次元のベクトル空間とする。
E に標準位相(>>275)を入れて R 上の位相ベクトル空間と考える。
E は局所コンパクトであるから E の加法群の Haar測度 μ が存在する。
G を E の格子(過去スレ013の649)とする。
S を E のコンパクト部分集合で原点に関して対称で凸とする。
さらに μ(S) ≧ (2^n)vol(G, μ) とする。
ここで、vol(G, μ) は G の μ に関する体積(過去スレ013の651)である。

このとき、S は G の 0 でない点を含む。

証明
ε ＞ 0 を任意の実数として (1 + ε)S を考える。
(1 + ε)S は原点に関して対称で凸であるから過去スレ013の654より、
(1 + ε)S ∩ (G - {0}) ≠ φ である。
過去スレ013の91より、G は E の閉部分群である。
よって、(1 + ε)S ∩ G はコンパクトであり、離散であるから
有限集合である。
よって、(1 + ε)S ∩ (G - {0}) も有限集合であるからコンパクトである。
よって、∩((1 + ε)S ∩ (G - {0})) ≠ φ である。
ここで、ε はすべての実数 ＞ 0 を動く。

∩((1 + ε)S ∩ (G - {0})) = (∩((1 + ε)S) ∩ (G - {0}) であり、
>>32より、S = ∩(1 + ε)S であるから S ∩ (G - {0})) ≠ φ である。
証明終

>>32の訂正
>この補題の証明は過去スレ013の511(樽と半ノルムの関係)の証明と
>ほぼ同じである。

この補題の証明は過去スレ008の511(樽と半ノルムの関係)の証明と
ほぼ同じである。

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>>33の補足
>(1 + ε)S は原点に関して対称で凸であるから過去スレ013の654より、
>(1 + ε)S ∩ (G - {0}) ≠ φ である。

E の元 x に (1 + ε)x を対応させる写像 ψ は位相線形空間としての
E の自己同型である。
det(ψ) = (1 + ε)^n であるから過去スレ013の247より、
mod(ψ) = (1 + ε)^n である。
過去スレ012の536より、μ(ψ(S)) = mod(ψ)μ(S) であるから、
μ((1 + ε)S) = μ(ψ(S)) = mod(ψ)μ(S) = (1 + ε)^nμ(S) ＞ μ(S)

仮定より、μ(S) ≧ (2^n)vol(G, μ) であるから
μ((1 + ε)S) ＞ (2^n)vol(G, μ) となる。
よって、過去スレ013の654より、(1 + ε)S ∩ (G - {0}) ≠ φ である。

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また、>>35=37のホモが湧いて出たな。

クマーのことが気になって気になって仕方ないんだろｗ

過去スレ012の536の別証を述べる。
その前に次の補題を用意する。

補題
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上の左 Haar 測度とする。
ψ を G の自己同型とする。
U を G の開集合とすれば、

μ(ψ(U)) = mod(ψ)μ(U)

である。

証明
過去スレ008の115より、ψ(U) の特性関数 χ_ψ(U) は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、

μ(ψ(U)) = ∫ χ_ψ(U) dμ = sup{ ∫ f dμ; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_ψ(U)}
= sup{ ∫ f dμ; f ∈ K+(G, R), fψ ≦ χ_U}
= sup{ ∫ gψ^(-1) dμ; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= sup{ mod(ψ)∫ g dμ; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= mod(ψ)μ(U)

証明終

補題
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上の左 Haar 測度とする。
ψ を G の自己同型とする。

A を G の任意の部分集合とすれば、
μ^*(ψ(A)) = mod(ψ)μ^*(A)


証明
A を G の任意の部分集合とすれば、過去スレ008の16より、
μ^*(A) = inf {μ(U); U は X の開集合で A ⊂ U }

よって、>>40より、

μ^*(ψ(A)) = inf {μ(U); U は X の開集合で ψ(A) ⊂ U }
= inf {μ(U); U は X の開集合で A ⊂ ψ^(-1)(U) }
= inf {μ(ψ(V)); V は X の開集合で A ⊂ V }
= inf {mod(ψ)μ(V); V は X の開集合で A ⊂ V }
= mod(ψ)μ^*(A)

証明終

命題(過去スレ012の536)
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上の左 Haar 測度とする。
ψ を G の自己同型とする。
E をμ可測とすれば、ψ(E) もμ可測で、μ(ψ(E)) = mod(ψ)μ(E) である。

証明
E と ψ(E) がμ可測であれば、>>41より、μ(ψ(E)) = mod(ψ)μ(E) である。
よって、E がμ可測なときに ψ(E) がμ可測であることを示せばよい。

E がμ可測とすれば、過去スレ007の768より、G の任意の部分集合 A に対して
μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A - E))
この等式の A を ψ^(-1)(A) で置き換えれば、
μ^*(ψ^(-1)(A)) = μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E) + μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

この両辺に mod(ψ) を掛けると
mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A))
= mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E) + mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

一方、>>41より、
μ^*(A) = mod(ψ)μ(ψ^(-1)(A))

μ^*(A ∩ ψ(E)) = mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E)

μ^*(A - ψ(E)) = mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

よって、μ^*(A) = μ^*(A ∩ ψ(E)) + μ^*(A - ψ(E)))
よって、ψ(E) はμ可測である。
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
U を G の開集合とすれば、
ν^*(ψ(U)) = μ^*(U)

証明
過去スレ008の115より、ψ(U) の特性関数 χ_ψ(U) は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、

ν^*(ψ(U)) = ∫ χ_ψ(U) dν = sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(X, R), f ≦ χ_ψ(U)}
= sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(G, R), fψ ≦ χ_U}
= sup{ ∫ gψ^(-1) dν; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= sup{ ∫ g dμ; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= μ^*(U)

証明終

>>43の訂正
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
U を G の開集合とすれば、
ν(ψ(U)) = μ(U)

証明
過去スレ008の115より、ψ(U) の特性関数 χ_ψ(U) は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、

ν(ψ(U)) = ∫ χ_ψ(U) dν = sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(X, R), f ≦ χ_ψ(U)}
= sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(G, R), fψ ≦ χ_U}
= sup{ ∫ gψ^(-1) dν; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= sup{ ∫ g dμ; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= μ(U)

証明終

補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。

A を X の任意の部分集合とすれば、
ν^*(ψ(A)) = μ^*(A)


証明
A を X の任意の部分集合とすれば、過去スレ008の16より、
μ^*(A) = inf {μ(U); U は X の開集合で A ⊂ U }

よって、>>44より、

ν^*(ψ(A)) = inf {ν(U); U は X の開集合で ψ(A) ⊂ U }
= inf {ν(U); U は X の開集合で A ⊂ ψ^(-1)(U) }
= inf {ν(ψ(V)); V は X の開集合で A ⊂ V }
= inf {μ(V); V は X の開集合で A ⊂ V }
= μ^*(A)

証明終

>>45の訂正
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。

A を X の任意の部分集合とすれば、
ν^*(ψ(A)) = μ^*(A)


証明
A を X の任意の部分集合とすれば、過去スレ008の16より、
μ^*(A) = inf {μ(U); U は X の開集合で A ⊂ U }

よって、>>44より、

ν^*(ψ(A)) = inf {ν(U); U は X の開集合で ψ(A) ⊂ U }
= inf {ν(U); U は X の開集合で A ⊂ ψ^(-1)(U) }
= inf {ν(ψ(V)); V は X の開集合で A ⊂ V }
= inf {μ(V); V は X の開集合で A ⊂ V }
= μ^*(A)

証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。

E をμ可測とすれば、ψ(E) はν可測で、ν(ψ(E)) = μ(E) である。

証明
E がμ可測で ψ(E) がν可測であれば、>>46より、
ν(ψ(E)) = mod(ψ)μ(E) である。
よって、E がμ可測なときに ψ(E) がν可測であることを示せばよい。

E がμ可測とすれば、過去スレ007の768より、G の任意の部分集合 A に対して
μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A - E))
この等式の A を ψ^(-1)(A) で置き換えれば、
μ^*(ψ^(-1)(A)) = μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E) + μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

一方、>>46より、
ν^*(A) = μ(ψ^(-1)(A))

ν^*(A ∩ ψ(E)) = μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E)

ν^*(A - ψ(E)) = μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

よって、ν^*(A) = ν^*(A ∩ ψ(E)) + ν^*(A - ψ(E)))
よって、ψ(E) はν可測である。
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。

このとき、μ = ψ^(-1)(ν) である。

証明
ν は、任意の f ∈ K(X, R) に対して
∫ f(x) dν(x) = ∫ f(ψ(x)) dμ(x)
となるRadon測度として特徴付けられる。

この等式の f を fψ^(-1) で置き換えれば、
∫ f(ψ^(-1)(x)) dν(x) = ∫ f(x) dμ(x)

よって、μ = ψ^(-1)(ν) である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。

E を X の部分集合とする。
ψ(E) がν可測であるためには E がμ可測であることが必要十分である。
さらに、このとき、ν(ψ(E)) = μ(E) である。

証明
>>47と>>48より明らかである。

補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
f : X → [0, +∞) を単関数(過去スレ007の298)とする。

f がν可測であるためには、f(ψ(x)) がμ可測であることが
必要十分である。

さらにこのとき、
∫^* f(y) dν(y) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) である。

証明
A を X のν可測な部分集合とし、 f = aχ_A の場合に本命題を証明すればよい。
ここで a ≧ 0 は有限な実数である。
fψ = aχ_ψ^(-1)(A) である。

f がν可測であることは、A がν可測であることと同値である。
>>49より、これは ψ^(-1)(A) がμ可測であることと同値である。
fψ = aχ_ψ^(-1)(A) であるから、これは fψ がμ可測であることと
同値である。

このとき、
∫^* f(y) dν(y) = aν(A) = aμ(ψ^(-1)(A)) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
f : X → [0, +∞) を任意の関数とする。

f がν可測であるためには、f(ψ(x)) がμ可測であることが
必要十分である。
さらにこのとき、
∫^* f(x) dν(x) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) である。

証明
f がν可測であるとする。
過去スレ007の304より、次の条件を見たす可測で有限な単関数 f_n が存在する。
1) 0 ≦ f_1 ≦ f_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき f_n(x) → f(x)

任意の x ∈ X において、
0 ≦ f_1(ψ(x)) ≦ f_2(ψ(x)) ≦ . . . ≦ f(ψ(x))
n → ∞ のとき f_n(ψ(x)) → f(ψ(x)) である。

>>50より、各f_n(ψ(x)) はμ可測であるから、過去スレ007の295より
f(ψ(x)) はμ可測である。

このとき、Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の435)より、
∫^* f(x) dν(x) = lim ∫^* f_n(x) dμ(x)
∫^* f(ψ(x)) dμ(x) = lim ∫^* f_n(ψ(x)) dμ(x)

一方、>>50より、lim ∫^* f_n(x) dμ(x) = lim ∫^* f_n(ψ(x)) dμ(x)
よって、
∫^* f(x) dν(x) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) である。
証明終

>>51の補足

f(ψ(x)) がμ可測のとき、f がν可測であることの証明が残っているが、
これは>>48から出る。

命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
f : X → [-∞, +∞] を任意の関数とする。

f がν可積分であるためには、f(ψ(x)) がμ可積分であることが
必要十分である。

さらにこのとき、
∫ f(x) dν(x) = ∫ f(ψ(x)) dμ(x) である。

証明
f : X → [0, +∞] と仮定してよい。

f がν可積分であるとする。
f はν可測だから、>>51より、f(ψ(x)) はμ可測であり、
∫ f(x) dν(x) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) ＜ +∞ である。
よって、f(ψ(x)) はμ可積分であり、>>51より、
∫ f(x) dν(x) = ∫ f(ψ(x)) dμ(x) である。

逆に f(ψ(x)) がμ可積分であるとする。
>>48より、μ = ψ^(-1)(ν) であるから、
f(x) = f(ψ(ψ^(-1)(x))) はν可積分である。
証明終

命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
f : X → C を複素数値関数とする。

f がν可積分であるためには、f(ψ(x)) がμ可積分であることが
必要十分である。

さらにこのとき、
∫ f(x) dν(x) = ∫ f(ψ(x)) dμ(x) である。

証明
f の実部と虚部をそれぞれ Re(f), Im(f) とすれば、
f = Re(f) + iIm(f) である。

f がν可積分であるためには、Re(f) と Im(f) がν可積分であることが
必要十分である。
よって、本命題は>>53から直ちに得られる。
証明終

>>53は過去スレ011の819の特別の場合である。
過去スレ011の819の証明はBourbakiによる。
この証明は、実質的には正値Radon測度全体の空間 M+(X) に値をとる関数の
積分(過去スレ013の720)の一般論から導かれている。
>>53の証明は伝統的な方法による。

命題
G を局所コンパクト群とし、μを G 上の左Haar測度とする。
f : X → [0, +∞) をμ可測関数とする。

任意の s ∈ G に対して γ(s)f (過去スレ013の551)はμ可測であり、

∫^* γ(s)f dμ = ∫^* f dμ である。

証明
γ(s): G → G は位相同型である。
ν = γ(s^(-1))(μ) (過去スレ011の765)とおく。

ν は、任意の g ∈ K(G, R) に対して
∫ g(x) dν(x) = ∫ g(γ(s^(-1))(x)) dμ(x) = ∫ g(s^(-1)(x)) dμ(x)
となる Radon測度として特徴付けられる。

ところが、∫ g(s^(-1)(x)) dμ(x) = ∫ g(x) dμ(x) であるから
ν = μ である。

よって、>>51より、γ(s)f(x) = f(s^(-1)(x)) はμ可測であり、
∫^* f(x) dμ(x) = ∫^* f(s^(-1)(x)) dμ(x) である。
証明終

命題
G を局所コンパクト群とし、μを G 上の左Haar測度とする。
f : X → [0, +∞) をμ可測関数とする。

任意の s ∈ G に対して δ(s)f (過去スレ013の552)はμ可測であり、

∫^* δ(s)f dμ = Δ(s^(-1))∫^* f dμ である。
ここで、Δ は G のモジュール(過去スレ012の474)である。

証明
δ(s): G → G は位相同型である。
ν = δ(s^(-1))(μ) (過去スレ011の765)とおく。

ν は、任意の g ∈ K(G, R) に対して
∫ g(x) dν(x) = ∫ g(δ(s^(-1))(x)) dμ(x) = ∫ g(xs) dμ(x)
となる Radon測度として特徴付けられる。

ところが、過去スレ012の474より、
∫ g(xs) dμ(x) = Δ(s^(-1))∫ g(x) dμ(x) であるから

ν = Δ(s^(-1))μ である。

一方、>>51より、δ(s)f はμ可測であり、
∫^* f(x) dν(x) = ∫^* δ(s)f dμ(x) である。

よって、
Δ(s^(-1))∫^* f dμ = ∫^* δ(s)f dμ である。
証明終

補題
X を位相空間とし、f, g を X から [0, +∞) への
下半連続関数(過去スレ008の113)とする。
このとき、fg は下半連続である。

証明
a を X の任意の点とする。
h を 0 ≦ h ＜ f(a)g(a) となる任意の実数とする。
h/f(a) ＜ g(a) であるから h/f(a) ＜ s ＜ g(a) となる s がある。
0 ＜ s かつ 0 ＜ f(a) であるから、h/s ＜ f(a) である。
r = h/s とおく。

h = rs であり、
r ＜ f(a)
s ＜ g(a)
となる。

f および g はそれぞれ a で下半連続であるから、
a の近傍 V があり、x ∈ V なら r ＜ f(x)
a の近傍 W があり、x ∈ W なら s ＜ g(x)

よって、x ∈ V ∩ W なら h = rs ＜ f(x)g(x)
よって、fg は a で下半連続である。
a は X の任意の点だから fg は下半連続である。
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
g: X → [0, +∞) を局所μ可積分(過去スレ010の504)な連続関数とする。
ν = gμ (過去スレ011の765)とおく。
U を G の開集合とすれば、
ν(U) = ∫ (χ_U)g dμ

証明
過去スレ008の115より、ψ(U) の特性関数 χ_ψ(U) は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、

ν(U) = ∫ χ_U dν = sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(X, R), f ≦ χ_U}
= sup{ ∫ fg dμ; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_U}

一方、過去スレ008の120より、
sup{fg; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_U} = sup{f; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_U}g
= (χ_U)g

(χ_U)g は>>58より下半連続であるから、過去スレ008の144より、
∫ (χ_U)g dμ = sup{ ∫ fg dμ; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_U}

よって、
ν(U) = ∫ (χ_U)g dμ
証明終

補題
X を位相空間とし、f を X から [0, +∞) への
下半連続関数(過去スレ008の113)とし、
g を X から [0, +∞] への下半連続関数とする
(g は +∞ をとる可能性があることに注意)。
このとき、fg は下半連続である。

証明
a を X の任意の点とする。
h を 0 ≦ h ＜ f(a)g(a) となる任意の実数とする。
h/f(a) ＜ g(a) であるから h/f(a) ＜ s ＜ g(a) となる s がある。
0 ＜ s かつ 0 ＜ f(a) であるから、h/s ＜ f(a) である。
r = h/s とおく。

h = rs であり、
r ＜ f(a)
s ＜ g(a)
となる。

f および g はそれぞれ a で下半連続であるから、
a の近傍 V があり、x ∈ V なら r ＜ f(x)
a の近傍 W があり、x ∈ W なら s ＜ g(x)

よって、x ∈ V ∩ W なら h = rs ＜ f(x)g(x)
よって、fg は a で下半連続である。
a は X の任意の点だから fg は下半連続である。
証明終

補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
g: X → [0, +∞) を局所μ可積分(過去スレ010の504)な連続関数とする。
ν = gμ (過去スレ011の765)とおく。

f: X → [0, +∞] を下半連続関数(過去スレ008の113)とする。
このとき、∫^* f dν = ∫^* fg dμ である。

証明
過去スレ008の120より、
f = sup { h ∈ K+(X, R) | h ≦ f }
よって、過去スレ008の144より、

∫^* f dν = sup{ ∫ h dν; h ∈ K+(X, R), h ≦ f}
= sup{ ∫ hg dμ; h ∈ K+(X, R), h ≦ f}

一方、
sup{ hg; h ∈ K+(X, R), h ≦ f} = sup{ h; h ∈ K+(X, R), h ≦ f}g
= fg
であり、>>60より、fg は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、
sup{ ∫ hg dμ; h ∈ K+(X, R), h ≦ f} = ∫^* fg dμ である。

よって、
∫^* f dν = ∫^* fg dμ である。
証明終

>>61は、過去スレ011の617の別証明のために用意した。
しかし、この別証明は意外に難しいので中止する。

過去スレ011の738の訂正

命題
X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の関数とする。

∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y) である。

証明
g ∈ I+(X×Y) (過去スレ008の119)、g ≧ f のとき、任意の x ∈ X に対して
∫^* g(x, y) dμ(y) ≧ ∫^* f(x, y) dμ(y)
よって、
∫^* dλ(x) ∫^* g(x, y) dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y)

この左辺は、過去スレ011の736より、∬^* g(x, y) dλ(x)dμ(y) に等しい。
よって、
∬^* g(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y)
この左辺の g に関する inf をとって、
∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y) である。
証明終

まだ、いろいろと見直したい箇所(例えば積測度とかRadon-Nikodymの定理とか)が
あるが、それらはひとまず置いて先に進むとする。
これからコンパクト群の表現について述べる。
ひとまずPeter-Weylの定理を目標とする。

定義
G を群とし、E を可換体 K 上の線形空間とする。
G から Aut(E) への準同型を G の E における線型表現と言う。
ここで、Aut(E) は E の自己同型群である。

定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
U を G の E における線型表現(>>65)とする。
G×E から E への写像 (s, x) → U(s)x が連続なとき、
U を E における連続な線型表現と言う。

E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
E はその標準位相(過去スレ013の275)により K 上の位相線型空間となる。
Hom(E, E) を K 上の線型空間としての E の自己準同型全体とする。
Hom(E, E) の各元は E の標準位相で連続であるから、Hom(E, E) は
K 上の位相線型空間としての E の自己準同型全体でもある。
Hom(E, E) は K 上の有限次代数であるから過去スレ013の278より、
局所コンパクトな位相環である。

GL(E) を K 上の線型空間としての E の自己同型群とする。
GL(E) は Hom(E, E) の可逆元全体と一致するから過去スレ013の299より、
Hom(E, E) の開集合であり、Hom(E, E) の部分空間としての位相により、
局所コンパクト群になる。
この位相を GL(E) の標準位相と言う。

命題
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
E はその標準位相(過去スレ013の275)により K 上の位相線型空間となる。
U を G から GL(E) (>>67)への群としての準同型とする。

U が E における連続な線型表現(>>66)であるためには、
GL(E) に標準位相(>>67)を与えたとき、U が G から GL(E) への写像として
連続であることが必要十分である。

証明
E の基底を任意にとり、E を K^n と同一視するとき、
GL(E) は GL(n, K) (過去スレ013の151)と同一視される。
このとき、s → U(s) が連続であることは、U(s) の各成分 u_(i, j)(s) が
連続であることと同値である。

よって、s → U(s) が連続であれば、
G×E から E への写像 (s, x) → U(s)x は連続である。

逆に、(s, x) → U(s)x は連続であるとする。
e_1, ..., e_n を K^n の標準基底とする。
各 j に対して、U(s)e_j = Σu_(i, j)(s)e_i である。
s → U(s)e_j は連続であるから各写像 s → u_(i, j)(s) は連続である。
よって、s → U(s) は連続である。
証明終

定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
E はその標準位相(過去スレ013の275)により K 上の位相線型空間となる。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
E の K 上の次元を U の次数(degree)と呼ぶ。

>>69の訂正
>U を E における連続な線型表現(>>66)とする。

U を E における G の連続な線型表現(>>66)とする。

定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E と F を K 上の位相線型空間とする。
U と V をそれぞれ E および F における G の連続な線型表現(>>66)とする。

f: E → F を連続な線型写像とし、任意の s ∈ G と x ∈ E に対して
f(U(s)x) = V(s)f(x) となるとする。
このとき、 f を U から V への準同型写像または単に準同型と呼ぶ。

f が位相線型空間としての同型写像のとき、f を U から V への同型写像または
単に同型と呼ぶ。

U から V への同型写像が存在するとき、U と V は同値と言う。

定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の位相線型空間とする。
U を E における G の連続な線型表現(>>66)とする。
F を E の部分空間とする。
任意の s ∈ G と x ∈ F に対して U(s)x ∈ F となるとき
F を E の (U に関して) G-不変な部分空間と呼ぶ。

定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の分離位相線型空間とする。
U を E における G の連続な線型表現(>>66)とする。
E の G-不変な閉部分空間(>>72)は {0} および E のみであるとき、
U を既約という。
U が既約でないとき U は可約という。

>>73の訂正
>G を位相群とし、E を K 上の分離位相線型空間とする。

G を位相群とし、E ≠ {0} を K 上の分離位相線型空間とする。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次ベクトル空間とする。
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の有界なRadon測度とする。
即ち、μ(X) ＜ +∞ である。
μ は K が実または複素に応じて実または複素とする。

U: X → E を連続写像とする。
e_1, ..., e_n を E の任意の基底とする。
x ∈ X に対して U(x) = ΣU_i(x)e_i とする。
各 i に対して x → U_i(x) は連続である。
μは有界だから、U_i(x) はμ可積分である。

このとき、Σ (∫ U_i(x) dμ(x))e_i は基底 e_1, ..., e_n の
選び方によらない。

証明
f_1, ..., f_n を E の基底とする。
f_i = Σa_(i, j) e_j とする。
x ∈ X に対して U(x) = ΣV_i(x)f_i とする。

U(x) = ΣV_i(x)f_i = Σ(V_i(x)Σa_(i, j)) e_j

よって、U_j(x) = Σa_(i, j)V_i(x)
よって、∫ U_j(x) dμ(x) = Σa_(i, j)∫ V_i(x) dμ(x)
よって、Σ(∫ U_j(x) dμ(x))e_j = Σ(∫ V_i(x) dμ(x))f_i
証明終

定義
>>75の Σ (∫ U_i(x) dμ(x))e_i を
∫ U dμ または ∫ U(x) dμ(x) と書き、U の μ に関する積分と呼ぶ。

補題
G を局所コンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
μ を G 上の有界なRadon測度とする。
μ は K が実または複素に応じて実または複素とする。

U を G から Hom(E, E) への連続写像とする。
F を E の部分空間とし、すべての s ∈ G に対して U(s)(E) ⊂ F とする。
このとき、(∫ U(s) dμ(s)) (E) ⊂ F である。

ここで、∫ U(s) dμ(s) は Hom(E, E) の元であり、>>75で定義されたもの。

証明
E の基底 e_1, ..., e_n を、e_1, ..., e_r (r ≦ n) が F の基底に
なるように選ぶ。

任意の s ∈ G に対して U(s)(E) ⊂ F であるから、
U(s)(e_j) = Σu_(i, j)(s) e_i とすれば、
i ＞ r のとき u_(i, j)(s) = 0 である。

よって、i ＞ r のとき ∫ u_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。
よって、(∫ U(s) dμ(s)) (E) ⊂ F である。
証明終

>>77の訂正
>ここで、∫ U(s) dμ(s) は Hom(E, E) の元であり、>>75で定義されたもの。

ここで、∫ U(s) dμ(s) は Hom(E, E) の元であり、>>76で定義されたもの。

命題
G を局所コンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
F を E の (U に関して) G-不変な部分空間(>>72)とする。
このとき、E = F + W (直和) となる G-不変な部分空間 W が存在する。

証明
p: E → F を射影とする。
s ∈ G に対して U(s)pU(s^(-1)) ∈ Hom(E, E) である。
E のある基底に関する U(s)pU(s^(-1)) の表現行列の各成分は
s の関数として連続である。
よって、s → U(s)pU(s^(-1)) は G から Hom(E, E) への写像として連続である。
F は G-不変だから、U(s)pU(s^(-1))(E) ⊂ F である。
よって、q = ∫ U(s)pU(s^(-1)) dμ(s) とおくと、
>>77より、q(E) ⊂ F である。

一方、 x ∈ F のとき、U(s^(-1))(x) ∈ F であるから
pU(s^(-1))(x) = U(s^(-1))(x)
よって、U(s)pU(s^(-1))(x) = x である。
よって、q(x) = x である。
よって、W = Ker(q) とおけば、E = F + W (直和) である。
さらに、次に示すように U(s)q = qU(s) となるので、
x ∈ W なら 0 = U(s)q(x) = qU(s)(x) となり、U(s)(x) ∈ W である。
即ち、W は G-不変である。

U(s)qU(s^(-1))
= ∫ U(s)U(t)pU(t^(-1))U(s^(-1)) dμ(t)
= ∫ U(st)pU((st)^(-1)) dμ(t)　　← U は G の表現だから
= ∫ U(t)pU(t^(-1)) dμ(t)　　← μ はHaar測度だから
= q
証明終

>>79の訂正
>G を局所コンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
>有限次ベクトル空間とする。

G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。

>>79への補足
>よって、q = ∫ U(s)pU(s^(-1)) dμ(s) とおくと、

μ は g のHaar測度で μ(G) = 1 となるもの。

>>79の主張およびその証明は
Serre の "Representations lineaires des groupes finis"
からヒントを得た。
この本ではもっぱら有限群のみを扱っているが、コンパクト群の表現は
有限群のそれとある程度並行的な取り扱いが出来る。

もっとも、G が有限群の場合の>>79の主張(Mashkeの定理)およびその証明は、
Serre の本を持ち出すまでもなくかなり有名である。

定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の位相線型空間とする。
U を E における G の連続な線型表現(>>66)とする。
このとき、E を G の表現空間と呼ぶ。
用語の濫用で E を G の表現とも言う。

さらに F を E の G-不変な部分空間(>>72)とする。
このとき、U(s) の F への制限を V(s) とすれば
s → V(s) は G の F における連続な線型表現である。
このとき、V を U の部分表現と言う。
用語の濫用で F を E の部分表現とも言う。

>>79の状況において G の表現 U の F と W への制限をそれぞれ U_1, U_2 とする。
このとき、U は表現 U_1 と U_2 の直和であると言う。
また、用語の濫用で E を表現 F と W の直和であると言う。

>>79への補足説明
>一方、 x ∈ F のとき、U(s^(-1))(x) ∈ F であるから
>pU(s^(-1))(x) = U(s^(-1))(x)
>よって、U(s)pU(s^(-1))(x) = x である。
>よって、q(x) = x である。

A(s) = U(s)pU(s^(-1)) とおく。
e_1, ..., e_n を E の基底で e_1, ..., e_r (r ≦ n) が F の基底に
なっているとする。
1 ≦ j ≦ n のとき、A(s)e_j = Σa_(i, j)(s)e_i とする。

1 ≦ j ≦ r のとき、A(s)e_j = e_j であるから、
1 ≦ j ≦ r, 1 ≦ i ≦ n で、i ≠ j のとき a_(i, j)(s) = 0
i = j のとき a_(i, j)(s) = 1 である。

従って、1 ≦ i ≦ r, 1 ≦ i ≦ n で、i ≠ j のとき ∫ a_(i, j)(s) dμ(s) = 0
i = j のとき ∫ a_(i, j)(s) dμ(s) = 1 である
(ここで、μ(G) = 1 を使っている)。

よって、1 ≦ j ≦ r のとき、
q(e_j) = Σ(∫ a_(i, j)(s) dμ(s)) e_i = e_j である。

よって、 x ∈ F のとき、q(x) = x である。

コンパクト群の任意の有限次元連続表現はユニタリ表現に同値であることを
証明しよう。
最初にユニタリ変換について述べる。
後の引用のために無限次元を含めて述べる。

Serre の本はダメだな

だったら久マーだめじゃん。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線型空間とする。

写像 h: E×F → K が任意の x, y ∈ E と u, v ∈ F と任意の α, β ∈ K
に対して次の条件を満たすとき、h を半双線型形式(sesquilinear form)と呼ぶ。

1) h(x + y, u) = h(x, u) + h(y, u)
2) h(αx, u) = αh(x, u)
3) h(x, u + v) = h(x, u) + h(x, v)
4) h(x, βu) = β~h(x, u)

ここで、β~ は β の複素共役である。

K が実数体のときは β = β~ であるから h は双線型形式(bilinear form)である。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とし、h: E×F → K を半双線型形式(>>89)とする。

sup{|h(x, y)/|x||y|; x ∈ E - {0}, y ∈ F - {0}}
= sup{|h(x, y)/|x||y|; |x| = 1, |y| = 1}
を h のノルムと言い |h| と書く。

|h| ＜ +∞ のとき h を有界という。

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線型空間とし、F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
h: E×F → K を半双線型形式(>>89)とする。

このとき、線型写像 T: E → F で h(x, y) = <T(x), y> が
任意の x ∈ E と y ∈ F に対して成り立つものが一意に存在する。

証明
x ∈ E を固定する。
y → h(x, y)~ は F 上の線型であるからRieszの定理(過去スレ011の20)より、
任意の y ∈ F に対して、h(x, y)~ = <y, z> となる z ∈ F が一意に存在する。
h(x, y) = <y, z>~ = <z, y> である。
z は x により決まるから z = T(x) と書くことにする。
即ち、h(x, y) = <T(x), y> である。

任意の x, y ∈ E と z ∈ F と α, β ∈ K に対して、

<T(αx + βy), z> = h(αx + βy, z) = αh(x, z) + βh(y, z)
= α<T(x), z> + β<T(y), z>
= <αT(x) + βT(y), z>

よって、T(αx + βy) = αT(x) + βT(y)
よって、T は線型である。
T の一意性は h(x, y) = <T(x), y> から直ちに出る。
証明終

>>87
なんでダメなの？

ソレって
Cours d'arithmetiqueじゃなくって
Representations lineaires des groupes finis
ですよね。

ワシも何でダメなのか理由が知りたいですな。

>>87, >>92, >>93

俺も知りたいね。
Serreの本は「外れ」は少ない筈だよ。ま、スタイルが50-60年代だから無味乾燥なきらいはあるが。
具体的に言うと：
Representations lineaires des groupes finis はそんな酷い本じゃない思うが？
ついでだが、Cours d'arithmetiqueもそれなりに興味深いよ（全然初心者向きではないが。）

ワシはCours d'arithmetiqueは大好きですねん。
昔にコレの和訳を４年のセミナーで使ったら
スグに潰れた事がありますが。

Serre 古すぎるから現代の普通の表現論の感覚が取り入れられていない

>Serreの本は「外れ」は少ない
それは正しいけど「あたり」とはかぎらない

これはワシの印象ですけどね、
セールの講義とか論文とか本とかが
合う人と合わない人とが居ますわな。
まあこういうクリアーカットの人は
ワシは好きですが。ソレで必ずしも
判る訳ではなくって「判った気になる」
だけですけど。

やっぱしセールじゃないと買わないよ
フランスではセールの時期が決まっているんだろ

100

n人の人がいっせいにジャンケンをするとき、１回で勝った人数をX人とする。
(1) X=k(k=1,2,3,...,n-1)となる確率を求めよ
(2) X=0となる確率を求めよ
(3) Xの期待値を求めよ

(3)は方針だけでも。(1),(2)は答えまで正確に頼む

819 名前：１３２人目の素数さん ：2009/09/01(火) 18:31:10
にほんではだれもたかぎをこえられないのか？
820 名前：１３２人目の素数さん ：2009/09/01(火) 18:33:58
教師で落ちこぼれるのは教科書書かないで引き写すやつ。
たかぎなんか超えて当たり前です。 でも超えられない。
それが解析学者の実力。

しかしまあちゅうとはんぱに表現論にはいったものだな
ぺーたーわいるのためにはまたじゅんびの横道に行くだろう
有限群だってどこまでやるのかしらんけど

ほんなら豊富な知識と深い理解を誇る
アンタがちゃんと見てはったら宜しいがな。

>>104
黙れ

イチャモン付けはったんはアンタですがな！
何でワシが黙らなアカンのん？

猫は照明が嫌いなんだ。

>何でワシが黙らなアカンのん？
黙れ

別にそんな事あらへんよ。
そやけど、まあ、全体の流れが判り易い方が
エエのかも知れませんなぁ
少なくとも論理構造がかっちりしてんのが
大好きなんですが。

全体の流れ・・・・・・・・・・＞見えたかあ？

アーベル群の無限次元既約表現の使い方について

>>何でワシが黙らなアカンのん？
黙るな

>何でワシが黙らなアカンのん？
謝れ！

猫だとか熊だとか
動物園かね÷÷÷÷÷…………

>ワシが黙らなアカンのん？
アカン

>>96
>Serre 古すぎるから現代の普通の表現論の感覚が取り入れられていない

「現代の普通の表現論の感覚」って何？具体的にオセ−て。

>>75の訂正
>X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の有界なRadon測度とする。
>即ち、μ(X) ＜ +∞ である。

X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の台(過去スレ010の118)が
コンパクトな複素Radon測度とする。

>>117
μを X 上の有界な正値Radon測度とすると、連続関数 f: X → [0, +∞) に対して
∫ f dμ ＜ +∞ とは限らない。

μ の台 S がコンパクトなら f は S 上で有界だから ∫ f dμ ＜ +∞ である。

>>117
>>75の訂正
>X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の有界なRadon測度とする。
>即ち、μ(X) ＜ +∞ である。

X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の台(過去スレ010の118)が
コンパクトなRadon測度とする。

>>77の訂正
>μ を G 上の有界なRadon測度とする。

μ を X 上の台(過去スレ010の118)がコンパクトなRadon測度とする。

しかしレベル低いな

>>121 じゃあお前がもっと低レベルな書き込みしろよ

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
h: E×F → K を有界(>>90)な半双線型形式(>>89)とする。

このとき、連続な線型写像 T: E → F で h(x, y) = <T(x), y> が
任意の x ∈ E と y ∈ F に対して成り立つものが一意に存在し、
|T| = |h| である。

証明
>>91より、線型写像 T: E → F で h(x, y) = <T(x), y> が
任意の x ∈ E と y ∈ F に対して成り立つものが一意に存在する。

T = 0 なら h = 0 であるから |T| = |h| である。
よって、 T ≠ 0 と仮定する。

>>90より、
|h| = sup{|<T(x), y>|/|x||y|; x ∈ E - {0}, y ∈ F - {0}}
≧ sup{|<T(x), T(x)>/|x||T(x)|; x ∈ E - {0}}
= sup{|T(x)|^2/|x||T(x)|; x ∈ E - {0}}
= sup{|T(x)|/|x|; x ∈ E - {0}}
= |T|

よって、|T| ＜ +∞ であるから過去スレ006の693より、T は連続である。

逆向きの不等式はCauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より得られる：
|h| = sup{|<T(x), y>|/|x||y|; x ∈ E - {0}, y ∈ F - {0}}
≦ sup{|T(x)||y|/|x||y|; x ∈ E - {0}, y ∈ F - {0}}
= sup{|T(x)||/|x|; x ∈ E - {0}}
= |T|
証明終

>>90
過去スレ007の134より、h が有界であることと h が連続であることは同値である。

自己レスする奴はたいていキチガイ

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
T: E → F を連続な線型写像とする。

このとき、連続な線型写像 S: F → E で <T(x), y> = <x, S(y)> が
任意の x ∈ E と y ∈ F に対して成り立つものが一意に存在し、
|T| = |S| である。

証明
h: F×E → K を h(y, x) = <y, T(x)> により定義する。
h は明らかに半双線型形式(>>89)である。
T は連続だから過去スレ006の693より、|T| ＜ +∞ である。
Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より：
|h(y, x)| ≦ |<y, T(x)>| ≦ |y||T(x)| ≦ |T||x||y|
よって、>>90 より |h| ≦ |T| である。

他方、|h| = sup{|<y, T(x)>|/|y||x|; y ∈ F - {0}, x ∈ E - {0} }
≧ sup{|<T(x), T(x)>|/|T(x)||x|; x ∈ E - {0}}
= sup{|T(x)|^2/|T(x)||x|; x ∈ E - {0}}
= sup{|T(x)|/|x|; x ∈ E - {0}}
= |T|

よって、|h| = |T| である。
>>123より、連続な線型写像 S: F → E で h(y, x) = <S(y), x> が
任意の y ∈ F と x ∈ E に対して成り立つものが一意に存在し、
|S| = |h| である。
よって、|T| = |h| = |S| である。

<y, T(x)> = <S(y), x> であり、両辺の複素共役をとれば
<T(x), y> = <x, S(y)>
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線型空間とし、F を K 上の分離的(過去スレ010の592)な
前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → F を線型写像とする。

任意の x ∈ E と y ∈ F に対して <T(x), y> = 0 であれば、
T = 0 である。

証明
F が分離的であることの定義(過去スレ010の592)より明らかである。

定義
>>126の S を T の随伴写像と呼び、 T^* と書く。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
S: E → F と T: E → F を連続な線型写像とする。
S^* と T^* をそれぞれ S と T の随伴写像(>>128)とする。

このとき、以下が成り立つ。

1) 任意の x ∈ E と y ∈ F に対して <T^*(y), x> = <y, T(x)>

2) (S + T)^* = S^* + T^*

3) 任意の α ∈ K に対して (αT)^* = α~T^*

4) (T^*)^* = T

証明
随伴写像の定義(>>128)と>>127より単純計算により証明される。
詳細は読者にまかす。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
S: E → F と T: F → G を連続な線型写像とする。
S^* と T^* をそれぞれ S と T の随伴写像(>>128)とする。

このとき、(TS)^* = S^*T^*

証明
任意の x ∈ E と z ∈ G に対して、
<TS(x), z> = <S(x), T^*(z)> = <x, S^*T^*(z)>
よって、(TS)^* = S^*T^*
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
T: E → F を連続な線型写像とする。

このとき、|T^*T| = |TT^*| = |T|^2

証明
Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より
|T(x)|^2 = <T(x), T(x)> = <x, T^*T(x)> ≦ |T^*T(x)||x|

この両辺の |x| = 1 における sup をとって
|T|^2 ≦ |T^*T|

過去スレ007の141より、|T^*T| ≦ |T^*||T| = |T|^2
よって、|T|^2 = |T^*T|

この等式の T を T^* に変えて (T^*)* = T (>>129の 4)) を使うと

|T^*|^2 = |TT^*|

|T^*| = |T| (>>126)だから |T|^2 = |TT^*|
証明終

>>103
>しかしまあちゅうとはんぱに表現論にはいったものだな

どこが中途半端なの？

そやねぇ、ソレもワシは訊いときたいなァ
中途半端っちゅうんやったらやね
どないしたら中途半端やないんかを
言うて貰わんとなァ

そのヲッサンにはちゃんと答えて貰わんと
アカンなァ、早うカキコしいや！

35000の90％返金っていくらですか！？至急教えてください。

何アホな事カキコしてんねん！
アッチへ行かんかい！

補題
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
任意の x, y ∈ E に対して

|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>

|x + iy|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>

証明
|x + y|^2 = <x + y, x + y> = <x, x> + <y, y> + <x, y> + <y, x>
= <x, x> + <y, y> + <x, y> + <x, y>~ = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>

|x + iy|^2 = <x + iy, x + iy> = <x, x> + <y, y> + <x, iy> + <iy, x>
= |x|^2 + |y|^2 - i<x, y> + i<y, x>
= |x|^2 + |y|^2 - i<x, y> + i<x, y>~
= |x|^2 + |y|^2 + i(<x, y>~ - <x, y>)
= |x|^2 + |y|^2 + i(-2iIm<x, y>)
= |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>
証明終

>>136の訂正

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
このとき、任意の x, y ∈ E に対して
|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>

K が複素数体のとき、任意の x, y ∈ E に対して

|x + iy|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>

証明
|x + y|^2 = <x + y, x + y> = <x, x> + <y, y> + <x, y> + <y, x>
= <x, x> + <y, y> + <x, y> + <x, y>~ = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>

|x + iy|^2 = <x + iy, x + iy> = <x, x> + <y, y> + <x, iy> + <iy, x>
= |x|^2 + |y|^2 - i<x, y> + i<y, x>
= |x|^2 + |y|^2 - i<x, y> + i<x, y>~
= |x|^2 + |y|^2 + i(<x, y>~ - <x, y>)
= |x|^2 + |y|^2 + i(-2iIm<x, y>)
= |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>
証明終

補題(polarization formula)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。

任意の x, y ∈ E に対して
Re<x, y> = (1/4)(|x + y|^2 - |x - y|^2)

K が複素数体のとき、任意の x, y ∈ E に対して
Im<x, y> = (1/4)(|x + iy|^2 - |x - iy|^2)

証明
>>137より、任意の x, y ∈ E に対して
|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>
|x - y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2Re<x, y>

よって、Re<x, y> = (1/4)(|x + y|^2 - |x - y|^2)

K が複素数体のとき、>>137より、任意の x, y ∈ E に対して
|x + iy|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>
|x - iy|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2Im<x, y>
よって、Im<x, y> = (1/4)(|x + iy|^2 - |x - iy|^2)
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。

U: E → E を線型写像とする。
以下の条件はすべて同値である。
1) U は全射で、任意の x, y ∈ E に対して <U(x), U(y)> = <x, y>

2) U は全射で、任意の x ∈ E に対して |U(x)| = |x|

3) U は連続な全単射で U^* = U^(-1)
ここで、U^* は U の随伴写像(>>128)である。

証明
1) ⇒ 2) は明らかである。
2) ⇒ 1) は>>138から直ちに出る。

1) ⇒ 3)
|U(x)| = |x| より、U は連続である。
U(x) = 0 なら |U(x)| = |x| より、x = 0 である。
よって、U は単射であり、仮定より全単射である。
よって、U^(-1) が存在する。
U^* の定義(>>128)より、
<U(x), U(y)> = <U^*U(x), y)> = <x, y>
よって、>>127より、U^*U = 1 である。
この等式の両辺に U^(-1) を掛けて
U^*UU^(-1) = U^(-1)
この左辺は U^* だから、U^* = U^(-1)

3) ⇒ 1)
<U(x), U(x)> = <U^*U(x), y)> = <x, y>
証明終

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
>>139の同値な条件を満たす U をユニタリ変換またはユニタリ作用素と呼ぶ。

基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報
基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報
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>>141
>基地外
ホモの自己紹介乙。

補題
K を可換とは限らない位相体とする。
E と F を K 上の位相線型空間とする。
f: E → F を位相線型空間としての同型とする。
このとき、f は一様同型である。
従って、E が完備なら F も完備である。

証明
f は連続な線型写像であるから、過去スレ006の351より一様連続である。
f の逆写像も同様である。
従って、f は一様同型である。
証明終

次の定理は過去スレ006の651であるが、その証明にやや説明不足のところが
あったので改めて述べる。

定理
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414, 過去スレ006の422)とする。
K はこの絶対値による位相で完備とする。

E を K 上の n 次元の分離位相ベクトル空間とする。
e_1, . . . , e_n をその任意の基底とする。

写像 (ξ_i) → Σ(ξ_i)(e_i) は K^n から E への位相同型である。

証明
n に関する帰納法による。

n = 1 のときは過去スレ006の648より成り立つ。

H を e_1, . . . , e_(n-1) で生成される部分空間とする。
帰納法の仮定より、
写像 (ξ_1, . . ., ξ_n) → ξ_1e_1 + . . . + ξ_(n-1)e_(n-1) は
K^(n-1) から H への位相同型である。
よって、>>143より K^(n-1) と H は一様同型である。
過去スレ006の255より K^(n-1) は完備だから H も完備である。
よって 過去スレ006の253 より H は E の閉部分空間である。

L = Ke_n とする。
E は H と L の直和である。
過去スレ006の650 より E は H と L の位相直和(過去スレ006の642)である。
よって写像 (ξ_i) → Σ(ξ_i)(e_i) は K^n から E への
位相同型である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とすると、
E はHilbert空間(過去スレ010の600)である。

証明
>>144より、E は K^n と位相線型空間として同型である。
過去スレ006の255より K^n は完備だから >>143より E も完備である。
よって、E はHilbert空間である。
証明終

ブルバキの丸写しかね？

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。

(x_i), i ∈ I を E の元の族で、 i ≠ j なら常に <x_i, x_j> = 0 となる
ものとする。
このとき、(x_i), i ∈ I を E の直交族(orthogonal family)と呼ぶ。
I が可算のときは、直交列(orthogonal sequence)と呼ぶ。

さらに、各 i に対して <x_i, x_i> = 1 となるとき、
(x_i), i ∈ I を E の正規直交族(orthonormal family)と呼ぶ。
I が可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)と呼ぶ。

S を E の部分集合とする。
S から S への恒等写像 I は E の元の族 (I(x)), x ∈ S を定める。
(I(x)), x ∈ S が直交族となるとき、 S を E の直交集合(orthogonal set)と
呼ぶ。
(I(x)), x ∈ S が正規直交族となるとき、 S を E の正規直交集合
(orthonormal set)と呼ぶ。

>>147の訂正
>I が可算のときは、直交列(orthogonal sequence)と呼ぶ。

I が可算のときは、直交列(orthogonal sequence)とも呼ぶ。

>I が可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)と呼ぶ。

I が可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)とも呼ぶ。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線型空間とする。
E の部分集合 S は S が生成する E の代数的な線型部分空間 M が
E において稠密なとき完全(total)と言う。

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
(x, y) → <x, y> は E×E から K への連続写像である。

証明
任意の (x, y), (a, b) ∈ E×E に対して、
|<x, y> - <a, b>| = |<x, y> - <x, b> + <x, b> - <a, b>|
= |<x, y - b> + <x - a, b>| ≦ |<x, y - b>| + |<x - a, b>|
≦ |x||y - b| + |x - a||b|

|y - b| ＜ ε, |x - a| ＜ ε であれば、
|x| = |x - a + a| ≦|x - a| + |a| ≦ ε + |a|

よって、|<x, y> - <a, b>| ≦ (ε + |a|)ε + |b|ε = (ε + |a| + |b|)ε

よって、ε → 0 のとき |<x, y> - <a, b>| → 0 となって
(x, y) → <x, y> は (a, b) で連続である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の部分集合 S が完全(>>149)なら S^⊥ = {0} である。
ここで、S^⊥ は S の直交補空間(過去スレ010の601)である。

証明
x を S^⊥ の任意の元とする。
S が生成する E の代数的な線型部分空間を M とする。
M の閉包は E だから M の元の列 (x_n), n = 1, 2, ... で
lim x_n = x となるものが存在する。
x ∈ S^⊥ だからすべての n に対して <x, x_n> = 0 である。
>>150 より、(z, w) → <z, w> は連続だから
<x, x> = 0 である。
E は分離的だから x = 0 である。
よって、S^⊥ = {0} である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
E の部分集合 S が S^⊥ = {0} であれば、S は完全(>>149)である。
ここで、S^⊥ は S の直交補空間(過去スレ010の601)である。

証明
S が生成する E の代数的な線型部分空間を M とする。
x を M^⊥ の任意の元とする。
x ∈ S^⊥ であるから x = 0 である。
よって、M^⊥ = {0} である。
N を M の閉包とする。
>>150 より、(z, w) → <z, w> は連続だから
N^⊥ = 0 である。

一方、N は完備空間 E の閉部分空間であるから完備である。
よって、過去スレ010の607より、E = N + N^⊥ (直和)である。
N^⊥ = 0 であるから E = N である。
即ち、S は完全である。
証明終

返事がない件

>>87
なんでダメなの？

>>103
>しかしまあちゅうとはんぱに表現論にはいったものだな

どこが中途半端なの？

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の任意の正規直交族(>>147) (e_i), i ∈ I は一次独立である。

証明
I は有限集合 {1, 2, ..., n} と仮定してよい。
α_1, α_2, ..., α_n を K の元で、
α_1e_1 + ... + α_ne_n = 0 とする。

各i に対して、
<α_1e_1 + ... + α_ne_n, e_i> = α_i<e_i, e_i> = α_i = 0
よって、(e_i), i ∈ I は一次独立である。
証明終

命題(Gram-Schmidt)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
x_1, ..., x_n を E の K 上一次独立な列とし、
この列で生成される E の部分空間を [x_1, ..., x_n] とする。

このとき、E の正規直交列(>>147) e_1, ..., e_n で
[x_1, ..., x_n] = [e_1, ..., e_n] となるものが存在する。

証明
帰納的に e_1, ..., e_n を構成する。

x_1 ≠ 0 で E は分離的だから |x_1| ≠ 0。
e_1 = x_1/|x_1| とおく。

i ＞ 1 のとき、E の正規直交列 e_1, ..., e_(i-1) で
[x_1, ..., x_(i-1)] = [e_1, ..., e_(i-1)] となるものが存在するとする。
f_i = x_i - <x_i, e_1>e_1 - ... - <x_i, e_(i-1)>e_(i-1)
とおく。
x_1, ..., x_i は一次独立だから、f_i ≠ 0 である。
E は分離的だから |f_i| ≠ 0 である。
e_i = f_i/|f_i| とおく。

e_1, ..., e_i は正規直交列で、[x_1, ..., x_i] = [e_1, ..., e_i]
である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次Hilbert空間とする。
このとき、E の正規直交列(>>147) e_1, ..., e_n で
E の基底となるものが存在する。

証明
>>155より明らかである。

　　　　　　　 　 　 　 _.｡ｬぁ大将軍ﾌ7ゎ｡._
　　　　　　 　 　 ,.ィ炙ヲ�i≠┴⇒弍j込ｽ＞｡
.　　　　　　　 ,ｨ升ｦナ'´ 　 　 　 　 　 ｀ﾞ'＜弖心、
.　　　 　 　 ;夕ﾌア´　　　　　 　 　 　 　 　 ＼ﾎi心.
　　　　 　 んfiУ　　　　　　　　　　　　　　　　▽ij∧
　　 　 　 从j'Y　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ∨iハ
. 　 　 　 斤W　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 �kい　バカにはできないコピペです
　　　　　|友ｶ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 }ｿ川　できるもんならやってみろ
. 　 　 　 い叭　　　　　　　　　　　　　　　　　　　仄ガ
.　　　　　Ｗi从　　　　　　　　　　　　　　　　　　从ﾉﾘ
.　　　　　 ∀t△　　　　　　　　　　　　　　　　 ∧fﾘ/
　　　　　　 ﾞﾏじへ、　　　　　　　　　　　　　／リiУ
　　　　　　　 ＼夊i�d､_ 　 　 　 　 　 　 ,.イ!刋／
　　　　　　　　　`マ才i｢≧ｪ｡。._＿｡っ夭テ少'ﾟ
　　　　　　　　　　　｀ﾟ'' ミうんもり祭　=‐'´

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
e_1, ..., e_n を E の正規直交列(>>147) とする。
x を E の任意の元とする。

y = Σ<x, e_i>e_i とおくと、<x - y, y> = 0 である。

証明
<x - y, y> = <x, y> - <y, y>
= <x, Σ<x, e_i>e_i> - <Σ<x, e_i>e_i, Σ<x, e_j>e_j>
= Σ<x, e_i><x, e_i>~ - Σ<x, e_i><x, e_i>~
= 0
証明終

補題(ピタゴラスの公式)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の元 x, y が <x, y> = 0 であれば、
|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2

証明
>>136より、
|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y> = |x|^2 + |y|^2
証明終

>>157
余りにも見事で極めて完成度が高く、ただただ恐れ入るばかりです。
この様な作品はただ単に目に触れるだけでも、その機会に巡り会った
幸運に感謝したいと思います。

どうも有難う御座いました。最高の敬意を捧げます。

敬具

猫拝

追記：かつてマッキントッシュのアプリケーションで
Textureというのがありましたが、其処にサンプルファイル
として配布されていた円形のDVIを出力する作品を
思い出しました。

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
e_1, ..., e_n を E の正規直交列(>>147) とする。

x を E の任意の元とするとき、
Σ|<x, e_i>|^2 ≦ |x|^2

証明
>>158より、
y = Σ<x, e_i>e_i とおくと、<x - y, y> = 0 である。

>>159より、
|x|^2 = |x - y + y|^2 = |x - y|^2 + |y|^2
よって、|y|^2 ≦ |x|^2

|y|^2 = Σ|<x, e_i>|^2 であるから Σ|<x, e_i>|^2 ≦ |x|^2
証明終

命題(Besselの不等式)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。

x を E の任意の元とするとき、
Σ|<x, e_i>|^2 ≦ |x|^2

このとき、<x, e_i> ≠ 0 となる i の集合 J は可算である。

証明
Σ|<x, e_i>|^2 ≦ |x|^2 は>>161より明らかである。
過去スレ010の156より、J は可算である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。
(α_i), i ∈ I を K の元の族とする。

(α_ie_i), i ∈ I が E において総和可能(過去スレ006の147)なためには
(|α_i|^2), i ∈ I が K において総和可能なことが必要十分である。

証明
J を I の任意の有限部分集合とする。
S(J) = Σα_ie_i とおく。
T(J) = Σ|α_i|^2 とおく。
ここでそれぞれの右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0, T(J) = 0 とする。

(e_i), i ∈ I は正規直交族であるから、|S(J)|^2 = T(J) である。
よって、(α_ie_i), i ∈ I が Cauchy の判定条件(過去スレ006の153)を
満たすためには、(|α_i|^2), i ∈ I が Cauchy の判定条件を満たすことが
必要十分である。

一方、過去スレ006の152と過去スレ006の158より、
(α_ie_i), i ∈ I が総和可能なためには、
(α_ie_i), i ∈ I が Cauchy の判定条件を満たすことが必要十分であり、
(|α_i|^2), i ∈ I が総和可能なためには、
(|α_i|^2), i ∈ I が Cauchy の判定条件を満たすことが必要十分である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。
(α_i), i ∈ I を K の元の族とする。

(α_ie_i), i ∈ I が E において総和可能(過去スレ006の147)であるとする。
x = Σα_ie_i とおけば、任意の i ∈ I に対して
<x, e_i> = α_i である。

証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
Φ(I) は包含関係で上向きの有向集合である。
J ∈ Φ(I) とし、S(J) = Σα_je_j とおく。
ここで j は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
任意の j ∈ J に対して、<S(J), e_j> = α_j である。

x = lim S(J), J ∈ Φ(I) である。
>>150より、(z, w) → <z, w> は連続であるから、
任意の i ∈ I に対して
<x, e_i> = <lim S(J), e_i> = lim <S(J), e_i> = α_i
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。
x を E の任意の元とする。

このとき、(<x, e_i>e_i), i ∈ I は
E において総和可能(過去スレ006の147)である。

証明
Besselの不等式(>>162)より、
(|<x, e_i>|^2), i ∈ I は K において総和可能である。
よって、>>163より、(<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能である。
証明終

>>164の補足
>x = lim S(J), J ∈ Φ(I) である。

念のために、この意味について説明する。

X をHausdorff位相空間とし、Ψ を X におけるフィルター基底(過去スレ006の77)
とする。
x を X の点とする。
x の任意の近傍 V に対して F ⊂ V となる F ∈ Ψ が存在するとき
Ψ は x に収束するといい、Ψ → x または x = lim Ψ と書く。
x のことを Ψ の極限とも言う(過去スレ006の131)。

A を前順序関係(過去スレ008の139) ≦ による上向きの有向集合
(過去スレ008の140)とする。
α ∈ A のとき、A(α) = {β ∈ A; α ≦ β} と書く
Ψ = {A(α); α ∈ A} は A におけるフィルター基底である。

f: A → X を写像とする。
f(Ψ) は X におけるフィルター基底である。
f(Ψ) が X の点 x に収束するとき f は x に収束すると言い、
x = lim f または x = lim f(α), α ∈ A と書く。

即ち、x = lim f(α), α ∈ A とは、x の任意の近傍 V に対して
ある α ∈ A があり、α ≦ β なら常に f(β) ∈ V となることである。

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。
(α_i), i ∈ I を K の元の族とする。
(α_ie_i), i ∈ I が E において総和可能(過去スレ006の147)であるとする。

このとき、(|α_i|^2), i ∈ I は K において総和可能であり、
|Σα_ie_i|^2 = Σ|α_i|^2 である。

証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
Φ(I) は包含関係で上向きの有向集合である。
J ∈ Φ(I) とし、S(J) = Σα_je_j とおく。
ここで j は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。

任意の J ∈ Φ(I) に対して |S(J)|^2 = Σ|α_j|^2, j ∈ J である。
関数 x → |x|^2 は連続であるから、
|Σα_ie_i|^2 = |lim S(J)|^2 = lim |S(J)|^2 = Σ|α_i|^2
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。

次の条件は同値である。
1) (e_i), i ∈ I は完全(>>149)である。

2) E の任意の元 x に対して (<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能
(過去スレ006の147)であり、x = Σ<x, e_i>e_i となる。

3) E の任意の元 x に対して (|<x, e_i>|^2), i ∈ I は総和可能であり、
Σ|<x, e_i>|^2 = |x|^2 となる。

証明
1) ⇒ 2)
>>165より、(<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能である。
y = Σ<x, e_i>e_i とおき、M = {e_i; i ∈ I} とおく。
>>164より、任意の j ∈ I に対して
<x - y, e_j> = <x, e_j> - <Σ<x, e_i>e_i, e_j> = <x, e_j> - <x, e_j> = 0
よって、x - y ∈ M^⊥ である。
一方、>>151より、M^⊥ = 0 である。よって、x = y となる。

2) ⇒ 3)
>>167より、明らかである。

3) ⇒ 1)
(e_i), i ∈ I が完全でないとする。
>>152より、E の元 x ≠ 0 で任意の i ∈ I に対して <x, e_i> = 0 となるものが
存在する。
ところが、3) より、|x|^2 = Σ|<x, e_i>|^2 = 0 となり、x = 0 となって矛盾。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
A を E の正規直交集合(>>147)とする。
A を含む完全(>>149)な正規直交集合 S が存在する。

証明
Zornの補題より A を含む極大な正規直交集合 S が存在する。
S の極大性より S^⊥ = {0} である。
>>152より、S は完全である。
証明終

>>168
3) の Σ|<x, e_i>|^2 = |x|^2 を Parseval の等式と言う。

土

可算集合とは自然数全体の濃度をもつ集合のことを意味するのが通例であるので
有限集合を含まない。
有限集合を含めたいときは高々可算と言う。
よって、これに関していくつか訂正をする。

>>147の訂正
>I が可算のときは、直交列(orthogonal sequence)と呼ぶ。

I が高々可算のときは、直交列(orthogonal sequence)とも呼ぶ。

>I が可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)と呼ぶ。

I が高々可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)とも呼ぶ。

>>162の訂正
>このとき、<x, e_i> ≠ 0 となる i の集合 J は可算である。

このとき、<x, e_i> ≠ 0 となる i の集合 J は高々可算である。

>過去スレ010の156より、J は可算である。

過去スレ010の156より、J は高々可算である。

>>169より、任意のHilbert空間 H には完全正規直交集合が存在する。
S と T をそれぞれ H の完全正規直交集合とすると S と T の濃度は一致する。
この事実の証明はやや面倒であるし、後で応用する機会があるとも思えないので
やや躊躇したが、成り行き上証明することにする。
そのため、集合の濃度についていくつかの補題と命題を述べる。

定義
集合 A の濃度を |A| と書く。

補題
自然数全体の集合を N とする。
即ち、N = {1, 2, ...} である。
A を有限集合とする。
|N + A| = |N| である。
ここで、N + A は N と A の直和集合である。

証明
簡単なので読者に任す。

補題
自然数全体の集合を N とする。
即ち、N = {1, 2, ...} である。
|N + N| = |N| である。
ここで、N + N は N と N の直和集合である。

証明
簡単なので読者に任す。

>>153
毎日にちゃん見てるわけでもないからすぐに返事なんかできねえよ
どこがダメかとか中途半端とか
見てればわかるよ

何でも他人にきいて答えてくれると思うなよ

>>116
質問の仕方が間違ってるな

補題
自然数全体の集合を N とする。
即ち、N = {1, 2, ...} である。
A を空でない有限集合とする。
|N×A| = |N| である。
ここで、N×A は N と A の直積集合である。

証明
|A| = n による帰納法による。

|N×{1}| = |N| は明らかである。

|N×{1, 2, ..., n - 1}| = |N| と仮定する。
N×{1, 2, ..., n} = N×{1, 2, ..., n - 1} + N×{n} である。
よって、>>178より、|N×{1, 2, ..., n - 1}| = |N| + |N| = |N|
証明終

補題
自然数全体の集合を N とする。
即ち、N = {1, 2, ...} である。
|N×N| = |N| である。
ここで、N×N は N と N の直積集合である。

証明
簡単なので読者に任す。

>>179
だめだめ詐欺乙
知ったかは哲厨以上にうざい。消えれ。

>>183
> >>179
>だめだめ詐欺乙
>知ったかは哲厨以上にうざい。消えれ。

同感だね。

>>183
オマエが消えろ
知ったか厨め

>>184
一人二役乙

>>185
今時メル欄にレスとかはやんねーぞ、おっさんｗ

>>187
妄想乙

指標なんか使ってるだろ
ダメだよセンスわるい
お前らにはわからないだろうけどな

>>182
恩あるブルバキに逆らうなんて！

補題
自然数全体の集合を N とする。
M を無限集合とする。
このとき、集合 S で |M| = |N×S| となるものが存在する。

証明
M の部分集合の集合 Ψ で次の条件(*)を満たすものを考える。

(*) Ψ の各元は可算集合であり、Ψ の相異なる元は交わらない。

このような Ψ の全体を Σ とする。
Σ は M のべき集合 P(M) の部分集合である。
M は無限集合であるから可算部分集合を含む。
よって、Σ は空でない。
Σ は包含関係により帰納的な順序集合になるから、Zornの補題より、
極大元 Ψ が存在する。
T = ∪{A; A ∈ Ψ} とおく。
M - T = U とおく。
U が無限集合であると仮定すると、U は可算集合を含み、Ψ の極大性に反する。
よって、U は有限集合である。
Ψ から任意の元 A を取り出す。
>>177より、A ∪ U は可算集合である。
Ψ の A を A ∪ U で置き変えたものを Φ とすれば、
M = Σ{A; A ∈ Φ} (直和)となる。
よって、|M| = |N×Φ| である。
証明終

補題
M を無限集合とし、F を有限集合とする。
|M + F| = |M| である。

証明
M は無限集合だから可算集合 A を含む、
B = M - A とおけば、|M| = |B| + |A| である。

|M + F| = |B| + |A| + |F|
= |B| + |A|　　← >>177より
= |M|
証明終

補題
M を無限集合とし、S を M の無限部分集合と同じ濃度の集合とする。
このとき、|M| + |S| = |M| である。

証明
>>191より、|S| = |N×T| となる集合 T が存在する。
S は M の無限部分集合 A と同じ濃度とする。
B = M - A とおけば、
|M| = |B| + |A| = |B| + |S| = |B| + |N×T|

よって、
|M| + |S| = |B| + |N×T| + |S| = |B| + |N×T| + |N×T|
= |B| + |(N + N)×T|
= |B| + |N×T|　　← >>178より
= |M|

証明終

定義
集合 A から B への単射が存在するとき |A| ≦ |B| と書く。
|A| ≦ |B| かつ |A| ≠ |B| のとき |A| ＜ |B| と書く。

>>194への補足

|A| ≦ |B| は |B| ≧ |A| とも書く。

ヒルベルト空間初等理論を写すつもりか

定理
A と B を集合とする。
|A| ≦ |B| かつ |A| ≧ |B| なら |A| = |B| である。

証明
A が有限集合のときは明らかであるから、A は無限集合とする。
|A| ≦ |B| だから B も無限集合である。
>>193より、|A| = |A| + |B| = |B|
証明終

な

>>189
とりあえず俺のコーヒーを返せ

＞＞１９９こーしーって完備性のことか？
返さないよ。

111 ：１３２人目の素数さん：2009/09/01(火) 19:36:40
アーベル群の無限次元既約表現の使い方について

>>189
>指標なんか使ってるだろ

有限群の表現に指標使うのは当然なわけだが

定理
M を無限集合とする。
|M×M| = |M| である。

証明
部分集合 A と A から A×A への全単射 f の組 (A, f) 全体の
集合 Ψ を考える。
M の無限M は可算集合 A を含む。
>>182より、|A×A| = |A| である。
よって、Ψ は空でない。
(A, f), (B, g) ∈ Ψ で、 A ⊂ B かつ g は f の拡張となっているとき
(A, f) ≦ (B, g) と定義すると Ψ は帰納的な順序集合である。
Zornの補題より Ψ には極大元 (S, h) が存在する。
T = M - S とおく。
|T| ≦ |S| なら>>193より、|M| = |S| + |T| = |S| となって、
|M×M| = |S×S| = |S| = |M| である。
よって、この場合は本定理が成り立つ。

|T| ＞ |S| と仮定する。
T は S と同じ濃度の部分集合 U を含む。

(S + U)×(S + U) = S×S + S×U + U×S + U×U
|S×U + U×S + U×U| = |S×S| + |S×S| + |S×S|
= |S| + |S| + |S|
= |S|　　← >>193より

よって |(S + U)×(S + U)| = |S×S + U| である。
よって、h: S → S×S の拡張となる全単射 g: S + U → (S + U)×(S + U) が
存在し、(S, h) の極大性に反する。
証明終

命題
M を無限集合、A を空でない集合で、|M| ≧ |A| とする。
このとき、|M×A| = |M| である。

証明
|M×M| ≧ |M×A| ≧ |M| である。
>>203より、|M×M| = |M| であるから、|M×A| ≦ |M| となる。
よって、>>197より、|M×A| = |M| である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
S と T をそれぞれ E の完全正規直交集合とすると S と T の濃度は一致する。

証明
S が有限の場合は、>>155より S は E の線型空間としての基底であるから
|S| = |T| は明らかである。

よって S は無限集合であるとする。このとき T も無限集合である。
S の元 x に対して、>>162より <x, y> ≠ 0 となる T の元 y の集合 T_x は
高々可算である。
>>151より、S^⊥ = {0} であるから T の任意の元 y に対して
<x, y> ≠ 0 となる x ∈ S がある。
よって、T = ∪T_x, x ∈ S である。
よって、|T| ≦ |S×N| である。ここで N は自然数全体の集合である。

>>204より、|S×N| = |S| であるから |T| ≦ |S| である。
同様に |T| ≧ |S| であるから >>197より |S| = |T| である。
証明終

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
>>205より E の完全正規直交集合の濃度は完全正規直交集合の選び方によらない。
これを E のHilbert次元と呼ぶ。

>>191, >>197, >>203などは現代数学概説�T(岩波)による。

>>202
> >>189
> >指標なんか使ってるだろ
>有限群の表現に指標使うのは当然なわけだが

だからさ、189は知ったかチャンなんだろ。

悲しみのKummerさんへ

2chに毎日書き込んで〜〜ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
あなた明日が見えますか〜〜ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
f: E → F を線型写像とする。
f が全単射で、任意の x, y ∈ E に対して <f(x), f(y)> = <x, y> となるとき
f を前Hilbert空間 E から前Hilbert空間 F への同型写像または同型と呼ぶ。

同型が存在するとき E と F は前Hilbert空間として同型であると言う。
同型写像の逆写像は明らかに同型写像であるから、この関係は同値関係である。

お前の方が哀れに見えるが

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
f: E → F を線型写像とする。
f が全単射で、任意の x ∈ E に対して |f(x)| = x となるとき
f は前Hilbert空間としての同型(>>210)である。

証明
Polarization formula(>>138)より明らかである。

>>212の訂正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
f: E → F を線型写像とする。
f が全単射で、任意の x ∈ E に対して |f(x)| = |x| となるとき
f は前Hilbert空間としての同型(>>210)である。

証明
Polarization formula(>>138)より明らかである。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
E と F が同型(>>210)であるためには E と F のHilbert次元(>>206)が
一致することが必要十分である。

証明
必要性は明らかである。
十分性を証明する。

(e_i), i ∈ I を E の完全正規直交族(>>149, >>147)とする。
仮定より F には I を添字集合とする完全正規直交族 (f_i), i ∈ I が
存在する。

>>168より、E の任意の元 x に対して (<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能
であり、x = Σ<x, e_i>e_i となる。
>>163より、(|<x, e_i>|^2), i ∈ I は総和可能である。
よって、再び>>163より、(<x, e_i>f_i), i ∈ I は F において総和可能
である。
f(x) = Σ<x, e_i>f_i として、写像 f: E → F を定義する。
任意の x, y ∈ E と任意の α, β ∈ K に対して
f(αx + βy) = Σ<αx + βy, e_i>f_i = Σ(α<x, e_i> + β<y, e_i>)f_i
= αΣ<x, e_i>f_i + βΣ<y, e_i>f_i = αf(x) + βf(y)

よって、f は線型である。

(続く)

>>214の続き

Parsevalの等式(>>170)より、|f(x)|^2 = Σ|<x, e_i>|^2 = |x|^2
よって、|f(x)| = |x| である。
これから f は単射であることがわかる。

>>168より、F の任意の元 y に対して (<y, f_i>f_i), i ∈ I は総和可能
であり、y = Σ<y, f_i>f_i となる。
>>163より、(|<y, f_i>|^2), i ∈ I は総和可能である。
よって、再び>>163より、(<y, e_i>e_i), i ∈ I は E において総和可能
である。
x = Σ<y, f_i>e_i とおく。
>>164より、<x, e_i> = <y, f_i> である。
よって、f(x) = y である。
即ち、f は全射である。

>>212より 、f はHilbert空間としての同型である。
証明終

定義
I を任意の集合とする。
I に離散位相を入れて局所コンパクト空間とみなす。
μ を I の各点 x で μ({x}) = 1 となるRadon測度とする。
K を実数体または複素数体とする。
過去スレ011の41より L^2(I, K, μ) は K 上のHilbert空間である。
これを l^2(I, K) または l^2(I) と書く。

I を任意の集合とする。
I に離散位相を入れて局所コンパクト空間とみなす。
μ を I の各点 x で μ({x}) = 1 となるRadon測度とする。
f: I → [0, +∞) を任意の関数とする。

f は連続であるからμ可測である。
よって、∫ f dμ = Σf(i), i ∈ I である。
ここで、右辺は I の有限部分集合 J における f の部分和 Σf(j), j ∈ I 全体の
上限である。

よって、f がμ可積分であるためには Σf(i), i ∈ I が
総和可能(過去スレ006の147)であることが必要十分である。

よって、f が X から (-∞, +∞) への関数とき、
f がμ可積分であるためには Σf(i), i ∈ I が
総和可能であることが必要十分である。

よって、f が X から複素数体への関数とき、
f がμ可積分であるためには Σf(i), i ∈ I が
総和可能であることが必要十分である。

>>217の訂正
>よって、f が X から (-∞, +∞) への関数とき、

よって、f が I から (-∞, +∞) への関数とき、

>よって、f が X から複素数体への関数とき、

よって、f が I から複素数体への関数とき、

K を実数体または複素数体とする。
I を任意の集合とする。
f: I → K を任意の関数とする。

>>217より、f ∈ l^2(I, K) (>>216)となるためには
Σ|f(i)|^2, i ∈ I が総和可能であることが必要十分である。

K を実数体または複素数体とする。
I を任意の集合とする。
f, g ∈ l^2(I, K) (>>216)に対して
<f, g> = ∫ f(i)g(i)~ dμ(i) = Σf(i)g(i)~, i ∈ I である。

i ∈ I に対して e_i ∈ l^2(I, K) を
i = j のとき、e_i(j) = 1
i ≠ j のとき、e_i(j) = 0
で定義する。
明らかに (e_i), i ∈ I は l^2(I, K) の正規直交族である。

f ∈ l^2(I, K) に対して <f, e_i> = 0 が任意の i ∈ I に対して
成り立つとすると、<f, e_i> = f(i) であるから f = 0 である。
よって、>>152より、(e_i), i ∈ I は完全である。
よって、l^2(I, K) のHilbert次元(>>206)は I の濃度に等しい。

よって、>>214より、任意のHilbert空間は、ある l^2(I, K) に同型である。

定義
X を距離空間とする。
X の高々可算な部分集合 A で X において稠密なものが存在するとき
X を可分(separable)という。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的(過去スレ010の592)な前Hilbert空間(過去スレ010の598)で
可分(>>221)とする。
このとき、E には高々可算な完全(>>149)正規直交集合(>>147)が存在する。

証明
E は可分であるから、 E の高々可算な部分集合 A で E において稠密なものが
存在する。
A で生成される E の線型部分空間を V とする。
Gram-Schmidtの方法(>>155)により、V に含まれる正規直交集合 S で
A と同じ濃度を持ち、V を生成するものが存在する。
V は E で稠密であるから S は完全である。
証明終

>>222の証明は間違いなので訂正する。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的(過去スレ010の592)な前Hilbert空間(過去スレ010の598)で
可分(>>221)とする。
このとき、E には高々可算な完全(>>149)正規直交集合(>>147)が存在する。

証明
E は可分であるから、 E の高々可算な部分集合 A で E において稠密なものが
存在する。
A で生成される E の線型部分空間を V とする。
V の基底は高々可算である。
よって、Gram-Schmidtの方法(>>155)により、V に含まれる高々可算な
正規直交集合 S で、V を生成するものが存在する。
V は E で稠密であるから S は完全である。
証明終

>>208
>>202
>有限群の表現に指標使うのは当然なわけだが
>だからさ、189は知ったかチャンなんだろ。

おまえらのレベルはその程度なのよ。ガキンチョは
スッコンデな。　言ってもわからないだろからな。
コンパクトじゃない群の直積で既約表現どうなるか考えてからものをいえ。

朝のはよから熱心な書き込みですな
今日は幼稚園お休みですか？
それにしても無駄に細かい
積分より病気が進行してる感じがするぞ

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の600)とする。
M を E の部分線型空間で、E = M + M^⊥ (直和) とする。
p: E → M をこの直和分割の射影とする。

このとき、任意の x ∈ E と任意の y ∈ M に対して、
|x - y|^2 = |x - p(x)|^2 + |p(x) - y|^2

これから特に、
|x - y| ≧ |x - p(x)| となる。

即ち、|x - p(x)| は x と M の点との距離の最短である。

証明
x - p(x) ∈ M^⊥
p(x) - y ∈ M
よって、<x - p(x), p(x) - y> = 0
よって、ピタゴラスの公式(>>159)より、
|x - y|^2 = |x - p(x)|^2 + |p(x) - y|^2
証明終

>>224
コンパクト群の表現の話をしてるときにコンパクトじゃない群の表現を
持ち出してSerreの本はダメと言っても通らないわけだが

>>224
202は有限群の表現って言ってるのに何でコンパクトじゃない群なの？
馬鹿なの？死ぬの？

>>227>>228
まあお前らそのレベルだから
死ね

>>227>>228
どうせ言ってもわからないだろうけど
セールの本が古いということを理解するのに
証明の感覚の古さをいってるわけだ
お前らがわかるのはせいぜいセールが書いてくれた証明
自分の力じゃ証明できないからな
だからコンパクトじゃない群で通用する証明ができる程度に
なってから発言しろよと言ってるんだよ
わかるかなガキども

だいたいやり方が古いからセンスがないとか言ってる人の方がセンスがない。
古いやり方が時を経て見直されるなんてことは何度もあっただろうに。

>>231
バカが一般論でものを言うな

>>230
非コンパクトに通用しないからだめとかｗ
非可換に通用しないからだめだって言ってるのと
同レベルの発言てことに気付けｗ

>>233
全然ちがう
お前らの実力を試してるだけだよ
偉そうにいうならちゃんと自分で証明してからにしろよ

>>233
いっとくけど無条件じゃいえないからな
成立するための条件もわからなきゃいかんで

どうでもいい、黙れ

>>234
お前は子供かｗ
この問題が解けないからお前はだめだとか、そんなのは水掛け論にしかならんの。
お前の言う直積群の既約表現の議論が、表現論の中でどのような位置づけにあって、
従って指標を用いて証明しているセールの本は現代において読む価値が薄い
っていうことなら、そこからはじめて議論が始まるんだよ。
問題の出し合いをしたいなら他スレに行け。

人類への念の無許可知による介在を阻止せよ。

>>237
どこまでもバカだな
問題の出し合いなんかしてないだろ
オマエに発言する実力がないことを証明しただけだ
オマエには議論する資格はないな

もういいから黙っておけ恥さらし

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間とする。
M を E の閉部分線型空間とする。
過去スレ010の607より、E = M + M⊥ (直和) となる。
p: E → M をこの直和分割の射影とする。

M はHilbert空間であるから、>>169より、M における
完全正規直交族 (e_i), i ∈ I が存在する。
>>165より、E の任意の元 x に対して (<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能
である。

このとき、p(x) = Σ<x, e_i>e_i), i ∈ I である。

証明
y = Σ<x, e_i>e_i, i ∈ I とおく。
M は E の閉集合だから y ∈ M である。

>>164より、任意の j ∈ I に対して
<x - y, e_j> = <x, e_j> - <Σ<x, e_i>e_i, e_j> = <x, e_j> - <x, e_j> = 0

M は集合 {e_i; i ∈ I} で生成される E の線型部分空間の
E における閉包であるから、Hermite 形式 < , > の連続性(>>150)より、
x - y ∈ M^⊥ である。
x = y + (x - y) であるから y = p(x) である。
証明終

きたきた
>過去スレ010の607より、E = M + M⊥ (直和) となる。
ふえ〜どんな過去だ

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の高々加算なHilbert次元のHilbert空間とする。
このとき、E は可分(>>221)である。

証明
K が実数体の場合も同様であるので、K は複素数体として証明する。
(e_i), i = 1, 2, ... を E の完全(>>149)な正規直交列(>>147)とする。
各整数 k ≧ 1 に対して、A_k を
(r_1 + is_1)e_1 + ... (r_k + is_k)e_k の全体とする。
ここで、各 i, 1 ≦ i ≦ k に対して r_i と s_i は有理数である。

A_k で生成される E の線型空間を M_k とする。
M_k は有限次元の分離的な前Hilbert空間であるから、
>>145よりHilbert空間である。
よって過去スレ010の607より、E = M_k + (M_k)^⊥ (直和) となる。
p_k: E → M_k をこの直和分割の射影とする。
(e_i), i = 1, 2, ... は完全だから、
E の任意の元 x と任意の ε ＞ 0 に対して、整数 k ≧ 1 があり、
|x - y| ＜ ε/2 となる y ∈ M_k がある。
>>226より、|x - y| ≧ |x - p_k(x)| である。
よって、|x - p_k(x)| ＜ ε/2 となる。

一方、>>240より、p(x) = Σ<x, e_i>e_i, i = 1, 2, ..., k である。
|Σ(<x, e_i>e_i - γ_i)e_i| ＜ ε/2 となる γ_i, 1 ≦ i ≦ k がある。
ここで、γ_i = r_i + is_i で r_i と s_i は有理数である。

z = Σγ_ie_i, i = 1, 2, ..., k とおけば、z ∈ A_k である。
|x - z| ≦ |x - p_k(x)| + |p_k(x) - z| ＜ ε/2 + ε/2 = ε
よって、A = ∪A_k, k = 1, 2, ... とおけば A は E で稠密である。
A は高々加算であるから E は可分(>>221)である。
証明終

>>242
>E を K 上の高々加算なHilbert次元のHilbert空間とする。

E を K 上の高々可算なHilbert次元(>>206)のHilbert空間とする。

次の命題は過去スレ010の607の特別な場合だが簡単な別証があるので紹介する。

命題
K を実数体または複素数体とし、E を K 上の有限次Hilbert空間とする。
M を E の線型部分空間とする。
E = M + M^⊥ (直和) となる。

証明
M の K 上の次元を r とする。
Gram-Schmidtの方法(>>155)により M には正規直交列 e_1, ..., e_r が存在する。
>>154より、e_1, ..., e_r は一次独立であるから M の基底である。

x を E の任意の元とする。
y = Σ<x, e_i>e_i は M の元である。

任意の j, 1 ≦ j ≦ r に対して、
<x - y, e_j> = <x, e_j> - <x, e_j> = 0
よって、x - y ∈ M^⊥ である。
即ち、x = y + (x - y) ∈ M + M^⊥
よって、E = M + M^⊥ となる。

一方、z ∈ M ∩ M^⊥ とすると |z|^2 = <z, z> = 0 であるから z = 0
即ち、M ∩ M^⊥ = {0} である。
よって、M + M^⊥ は直和である。
証明終

定義
K を実数体または複素数体とし、E と F を K 上の線型空間とする。
写像 f: E → F が次の性質をもつとき、f を半線型写像(semilinear)と呼ぶ。

任意の x, y ∈ E と任意の α ∈ K に対して、
1) f(x + y) = f(x) + f(y)
2) ψ(αx) = α~ψ(x)

ここで、α~ は α の複素共役である。

なんでセミ？

次の命題はRieszの定理(過去スレ011の20)の特別な場合だが
簡単な別証があるので紹介する。

命題
K を実数体または複素数体とし、E を K 上の有限次Hilbert空間とする。
f を E 上の線型形式とする。
f(x) = <x, y> が任意の x ∈ E に対して成り立つような y ∈ E が
一意に存在する。

証明
y ∈ E に対して、x → <x, y> は E 上の線型形式である。
この線型形式を、δ_y と書く。

ψ: y → δ_y は E から Hom(E, K) への半線型写像(>>245)である。
よって、ψ(E) は Hom(E, K) の線型部分空間である。
ここで、Hom(E, K) は E 上の線型形式全体の作る線型空間である。

ψ(y) = 0 とすると、δ_y = 0 であるから δ_y(y) = <y, y> = 0 となって
y = 0 である。
よって、ψ は単射である。

一方、Hom(E, K) の K 上の次元は E の K 上の次元と等しいから
ψ は全単射である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

自動証明検証システム Mizar や ら な い か ？

>>239
>どこまでもバカだな

ホモの自己紹介乙

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の K 上の次元を n とする。
E は K^n と位相同型である。
ここで、K^n には K の直積位相を入れるものとする。

証明
Gram-Schmidtの方法(>>155)により E には正規直交列 e_1, ..., e_n が存在する。
>>154より、e_1, ..., e_n は一次独立であるから E の基底である。

各 i (1 ≦ i ≦ n) に対して、K^n の元 x = (x_1, ..., x_n) に x_i を
対応させる写像を p_i とする。

x ∈ K^n に対して Σp_i(x)e_i を対応させる写像を f とする。

|f(x) - f(y)| = |Σp_i(x)e_i - Σp_i(y)e_i| = |Σ(p_i(x) - p_i(y))e_i|
≦ Σ|p_i(x) - p_i(y)|

よって、f は連続である。

E の元 x に (<x, e_1>, ..., <x, e_n>) ∈ K^n を対応させる写像を g とする。
g は f の逆写像である。
各 i に対して x → <x, e_i> は連続である(>>150)から g は連続である。
よって、f: K^n → E は位相同型である
証明終

>>250の訂正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の K 上の次元を n とする。
K^n には、K 上の有限次線型空間としての標準位相(過去スレ013の275)をいれる。
このとき、E は K^n と位相線型空間として同型である。

証明
Gram-Schmidtの方法(>>155)により E には正規直交列 e_1, ..., e_n が存在する。
>>154より、e_1, ..., e_n は一次独立であるから E の基底である。

各 i (1 ≦ i ≦ n) に対して、K^n の元 x = (x_1, ..., x_n) に x_i を
対応させる写像を p_i とする。

x ∈ K^n に対して Σp_i(x)e_i を対応させる線型写像を f とする。

|f(x) - f(y)| = |Σp_i(x)e_i - Σp_i(y)e_i| = |Σ(p_i(x) - p_i(y))e_i|
≦ Σ|p_i(x) - p_i(y)|

よって、f は連続である。

E の元 x に (<x, e_1>, ..., <x, e_n>) ∈ K^n を対応させる線型写像を
g とする。
g は f の逆写像である。
各 i に対して x → <x, e_i> は連続である(>>150)から g は連続である。
よって、f: K^n → E は位相線型空間として同型である
証明終

>>145の別証

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とすると、
E はHilbert空間(過去スレ010の600)である。

証明
>>251より、E は K^n と位相線型空間として同型である。
K は完備だから過去スレ010の255より、K^n も完備である。
よって、E は完備である。
証明終

命題
E を実数体または複素数体上のHilbert空間とする。
E 上のユニタリ変換(>>140)全体は群をなす。

証明
U: E → E と V: E → E をユニタリ変換とする。
>>139の 2) より、UV は全射であり、
任意の x ∈ E に対して |UV(x)| = |V(x)| = |x|
よって、UV はユニタリ変換である。

>>139の 3) より、U は全単射であり、逆写像 U^(-1) が存在する。
>>139の 2) より、任意の x ∈ E に対して |U(x)| = |x| である。
よって、x を U^(-1)(x) で置き換えて、
|UU^(-1)(x)| = |U^(-1)(x)|

この左辺は |x| だから U^(-1) はユニタリ変換である。
証明終

定義
E を実数体または複素数体上のHilbert空間とする。
E 上のユニタリ変換(>>140)全体のなす群(>>253)を U(E) と書く。

定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体上のHilbert空間とする。
G から U(E) (>>254)への抽象群としての準同型 U を
G の E における(抽象群としての)ユニタリ表現と言う。

G×E から E への写像 (s, x) → U(s)x が連続なとき、
U を E における連続なユニタリ表現と言う。

命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
このとき K 上の有限次Hilbert空間 F と、
G の F における連続なユニタリ表現(>>255) V があり、
U は V と同値(>>71)になる。

証明
E の K 上の基底 e_1, ..., e_n を任意に選ぶ。
E の元 x = Σx_ie_i と y = Σy_ie_i に対して
f(x, y) = Σx_i(y_i)~ とおく。
f は明らかに正値Hermite形式(過去スレ010の593)である。
f(x, x) = 0 なら x = 0 であるから f は分離的(過去スレ010の592)である。
よって、f により E は K 上の分離的な前Hilbert空間になる。
>>252 より、E は K 上のHilbert空間である。

>>251より、f により定まる E の位相は E の標準位相と一致する。
よって、x, y ∈ E に対して s → f(U(s)(x), U(s)(y)) は連続である。
よって、∫ f(U(s)(x), U(s)(y)) dμ(s) が意味を持つ。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

g(x, y) = ∫ f(U(s)(x), U(s)(y)) dμ(s) とおく。
g は明らかに正値Hermite形式である。
g(x, x) = 0 とすると、
∫ f(U(s)(x), U(s)(x)) dμ(s) = ∫ |U(s)(x)|^2 dμ(s) = 0
よって、|U(s)(x)|^2 = 0 となり、U(s)(x) = 0となる。
U(s) は単射だから x = 0 である。
即ち、g は分離的である。
(続く)

>256の続き

任意の t ∈ G に対して、
g(U(t)(x), U(t)(y)) = ∫ f(U(s)U(t)(x), U(s)U(t)(y)) dμ(s)
= ∫ f(U(st)(x), U(st)(y)) dμ(s) = ∫ f(U(s)(x), U(s)(y)) dμ(s)
= g(x, y)

よって、U(t) は g に関してユニタリ変換である。
>>251より、g により定まる E の位相は E の標準位相と一致する。
よって、t → U(t) は連続なユニタリ表現である。

E と g により定まるHilbert空間を F とし、V = U とすれば本命題の主張が得られる。
証明終

>>79の別証

命題
G を局所コンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
F を E の (U に関して) G-不変な部分空間(>>72)とする。
このとき、E = F + W (直和) となる G-不変な部分空間 W が存在する。

証明
>>256より、E はHilbert空間で、U は連続なユニタリ表現と仮定してよい。
>>244より、E = F + F^⊥ (直和) となる。

任意の s ∈ G と任意の x ∈ F^⊥ と任意の y ∈ F に対して
<U(s)(x), U(s)(y)> = <x, y>

この両辺の y を U(s^(-1))(y) ∈ F で置き換えれば、
<U(s)(x), y> = <x, U(s^(-1))(y)> = 0

よって、U(s)(x) ∈ F^⊥ である。
よって、F^⊥ は G-不変である。
W = F^⊥ とすればよい。
証明終

>>258の訂正

>>79の別証

命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
F を E の (U に関して) G-不変な部分空間(>>72)とする。
このとき、E = F + W (直和) となる G-不変な部分空間 W が存在する。

証明
>>256より、E はHilbert空間で、U は連続なユニタリ表現と仮定してよい。
>>244より、E = F + F^⊥ (直和) となる。

任意の s ∈ G と任意の x ∈ F^⊥ と任意の y ∈ F に対して
<U(s)(x), U(s)(y)> = <x, y>

この両辺の y を U(s^(-1))(y) ∈ F で置き換えれば、
<U(s)(x), y> = <x, U(s^(-1))(y)> = 0

よって、U(s)(x) ∈ F^⊥ である。
よって、F^⊥ は G-不変である。
W = F^⊥ とすればよい。
証明終

定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体上の分離位相線形空間とする。
U を G の E における連続な線型表現(>>66)とする。
E ≠ {0} かつ E の G-不変(>>72)な閉部分線形空間は {0} と E のみとする。
このとき、U および E を既約と言う。

定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体上の分離位相線形空間とする。
U を G の E における連続な線型表現(>>66)とする。
E ≠ {0} かつ U が既約(>>260)でないとき U および E を可約と言う。

命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
U は既約表現の直和(>>84)となる。

証明
dim E による帰納法による。
dim E = 1 のときは U は既約である。

dim E = n ≧ 2 とする。
E が既約でないとすると、E には G-不変な部分線型空間 F で
F ≠ 0 かつ F ≠ E となるものが存在する。

>>79(およびその訂正>>80)より、E = F + W (直和) となる。
ここで、W は G-不変である。

dim F ＜ dim E かつ dim W ＜ dim E であるから
帰納法の仮定より F および W はそれぞれいくつかの既約な
G-不変部分線型空間の直和になる。
よって、E もいくつかの既約な G-不変部分線型空間の直和になる。
証明終

補題
X と Y と Z を位相空間とする。
f: X → Y を全射連続写像とし、
g: Y → Z を写像とする。

gfが開写像であれば g も開写像である。

証明
U を Y の開集合とする。
f は連続であるから f^(-1)(U) は X の開集合である。
f は全射であるから f(f^(-1)(U)) = U である。
gf は開写像であるから gf(f^(-1)(U)) = g(U) は Z の開集合である。
よって、g は開写像である。
証明終

補題
X と Y と Z を位相空間とする。
f: X → Y をidentification(過去スレ013の467)とし、
g: Y → Z を全単射でとする。

gfが連続開写像であれば g は位相同型である。

証明
f は全射連続写像であるから、>>263より、g は開写像である。
一方、過去スレ013の468より、g は連続である。
よって、g は位相同型である。
証明終

命題
(G_i), i ∈ I を位相群の族とする。
(H_i), i ∈ I を位相群の族で、各 H_i は G_i の正規部分群であるとする。
G = ΠG_i
H = ΠH_i
とおく。
各 i に対して h_i: G_i → G_i/H_i を標準射とする。
h: G → ΠG_i/H_i を (h_i), i ∈ I の積とする。

g: G/H → ΠG_i/H_i を h から定まる写像とする。

このとき、g は位相群としての同型である。

証明
f: G → G/H を標準射とする。
h = gf である。

f はidentification(過去スレ013の467)である。
g は抽象群としての同型である。

各 h_i は開写像で全射であるから h は開写像である。
h は連続でもあるから>>264より、g は位相同型である。
証明終

定義
G を群とし、E を可換体 K 上の線形空間とする。
写像 f: G × E → E が与えられ、以下の (1) と (2) を満たすとする。
ただし、f(s, x) を sx と書く。

(1) ex = x が任意の x ∈ E に対して成り立つ。
ここで e は G の単位元である。

(2) s(tx) = (st)x が任意の s, t ∈ G と任意の x ∈ E に対して成り立つ。

(3) s(x + y) = sx + sy が任意の s ∈ G と任意の x, y ∈ E に対して成り立つ。

(4) s(αx) = α(sx) が任意の s ∈ G と任意の x ∈ E と任意の α ∈ K に
対して成り立つ。

このとき、 E を K 上の G-線型空間と呼ぶ。

定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の位相線形空間とする。
さらに E は K 上の G-線型空間(>>266)であるとする。
写像 f: G × E → E を f(s, x) = sx で定まるものとする。
f が連続のとき E を K 上の連続な G-線型空間と呼ぶ。

>>267の訂正

定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の位相線形空間とする。
さらに E は K 上の G-線型空間(>>266)であるとする。
写像 f: G × E → E を f(s, x) = sx で定まるものとする。
f が連続のとき E を K 上の G-位相線型空間と呼ぶ。

G を群とし、 E を K 上の G-線型空間(>>266)とする。
s ∈ G に対して U(s): x → sx は E から E への線型写像である。

s, t ∈ G と x ∈ E に対して U(s)(U(t)x) = s(tx) = (st)x = U(st)x
よって、U(st) = U(s)U(t)

ex = x であるから U(e) = 1

よって、U(s^(-1))U(s) = U(s)U(s^(-1)) = U(ss^(-1)) = U(e) = 1
即ち U(s) は可逆である。

よって、s → U(s) は G の E における線型表現(>>65)である。

逆に、G の E における線型表現 U が与えられると、
s ∈ G と x ∈ E に対して sx = U(s)x と定義することにより
E は K 上の G-線型空間となる。

よって、G-線型空間と G の線型表現とは本質的には同じものである。

さらに G は位相群で、E は実数体または複素数体 K 上の位相線形空間とする。
このとき E に K 上の G-位相線形空間(>>268)の構造を与えることと、
G の E における連続な線型表現(>>66)を考えることは本質的には同じものである。

定義
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の G-位相線型空間(>>268)とする。

f: E → F を K 上の線型写像で連続とする。

任意の s ∈ G と任意の x ∈ E に対して、f(sx) = sf(x)
となるとき、f を G-位相線型空間としての準同型または射と呼ぶ。

G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の G-位相線型空間(>>268)とする。
E の G-不変な部分線型空間は>>72と同様に定義される。
E のG-不変な部分線型空間は E のG-部分線型空間とも言う。

G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
E をG-位相線型空間(>>268)とする。
E の既約／可約は、>>260, >>261と同様に定義される。

命題
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の G-位相線型空間(>>268)とする。
F を G-部分線型空間(>>271)とする。

このとき、E/F はG-位相線型空間(>>268)である。

証明
p: E → E/F を標準写像とする。
f: G×(E/F) → E/F を f(s, p(x)) = p(sx) で定義する。
f が連続であることを証明すればよい。

h: G×E → E を h(s, x) = sx で定義する。
E は G-位相線型空間であるから連続である。
p は連続であるから ph: G×E → E/F は連続である。

g: G×E → G×(E/F) を (s, x) → (s, p(x)) で定義する。

ph(s, x) = p(sx)
fg(s, x) = f(s, p(x)) = p(sx)
よって、ph = fg である。
ph は連続であるから、fg は連続である。

一方、>>265より、(G×E)/({e}×F) と G×(E/F) は位相群として同型である。
よって、g はidentification(過去スレ013の467)である。

fg: G×E → G×(E/F) → E/F

fg は連続であるから、過去スレ013の468より、f は連続である。
証明終

G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上有限次元の分離的なG-位相線型空間とする。
>>144より、E の位相は E の標準位相(過去スレ013の275)と一致する。
F を E の部分線型空間とする。
F は完備であるから E の閉部分線型空間である。
よって、E/F は分離的である。
よって、E/F の位相は標準位相である。

定義
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。

M の G-部分線型空間の列
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0
があるとする。

>>273と>>274より、各 M_i/M_(i+1) は分離的 G-位相線型空間であるが、
これは既約(>>272)とする。

このとき、列 (M_i) を M のG-組成列または組成列と呼ぶ。
n をこの組成列の長さという。

命題
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M と N を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。
f: M → N をG-位相線型空間としての準同型(>>270)で全射とする。
このとき M/Ker(f) は標準的に N とG-位相線型空間として同型である。

証明
>>273より、M/Ker(f) はG-位相線型空間である。
M/Ker(f) は N と K 上の線型空間として標準的に同型である。
>>274より、両者とも標準位相であるから位相線型空間として同型である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

命題
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M と N を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。
f: M → N をG-位相線型空間としての準同型(>>270)で全射とする。
このとき M/Ker(f) は標準的に N とG-位相線型空間として同型である。

証明
>>273より、M/Ker(f) はG-位相線型空間である。
M/Ker(f) は N と K 上の線型空間として標準的に同型である。
>>274より、両者とも標準位相であるから位相線型空間として同型である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

>>277
誤って２重ポスト

命題
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。
A と B を M のG-部分線型空間(>>271)とする。
このとき、A/(A ∩ B) は (A + B)/B とG-位相線型空間として同型である。

証明
A + B は M の部分線型空間であり、明らかに G-不変である。
よって、>>273より、(A + B)/B はG-位相線型空間である。
f: M → M/B を線型空間としての標準射とする。
f はG-位相線型空間としての射でもある。

f(A) = (A + B)/B であるから
g: A → (A + B)/B を f の制限とすると、g は全射である、

Ker(g) = A ∩ B であるから>>276より、本命題の主張が得られる。
証明終

命題(Jordan-Holder)
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。

M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 をG-組成列(>>275)とする。
M の任意のG-組成列の長さは n であり、その剰余群の列は、
順序を別にして 列 (M_i/M_(i+1)) とG-位相線型空間として同型である。

証明
>>279を使用すれば、過去スレ001の286とまったく同様にして証明される。

G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
U が部分表現 U_1 と U_2 の直和(>>84)になるとき U = U_1 + U_2 と書く。

命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
>>262より、U は既約表現直和(>>84)となる。
U = U_1 + ... + U_n 及び
U = V_1 + ... + V_m をそれぞれ
U の既約表現への直和分割とする。

このとき、n = m であり、U_1, ..., U_n を適当に並べ替えると
各 i に対して U_i と V_i は同型になる。

証明
各 U_i に対する E の部分表現空間を E_i とする。
E = E_1 + ... + E_n (直和) である。
各 E_i はG-位相線型空間(>>268)であり既約(>>272)である。

M_0 = E
M_1 = E_2 + ... + E_n
M_2 = E_3 + ... + E_n
.
.
.
M_(n-1) = E_n
M_n = 0
とおく。

M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 となり、
M_(i-1)/M_i は E_i と同型である。

よって、本命題の主張は>>280から出る。
証明終

天才さま

圏と関手の定義について知らない読者はWikipediaの記事を参照されたい。
英語版のほうが良いが日本語版でも十分である。

定義
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
左 A-加群全体の圏を A-Mod とし、
左 B-加群全体の圏を B-Mod とする。
T を A-Mod から B-Mod への関手とする。

M, N を任意の A-加群とする。
任意の f, g ∈ Hom(M, N) に対して、T(f + g) = T(f) + T(g) となるとき
T を加法的関手という。

命題
M_1, M_2, M を A-加群とする。

f_1: M_1 → M
f_2: M_2 → M
を A-加群の射とする。

M_1 + M_2 を直和とする。

(x_1, x_2) ∈ M_1 + M_2 に対して f_1(x_1) + f_2(x_2) ∈ M を対応させる
写像を f とする。
f が同型であるためには、A-加群の射
g_1: M → M_1
g_2: M → M_2
で、次の条件を満たすものが存在することが必要十分である。

1) i = j のとき g_jf_i = 1
2) i ≠ j のとき g_jf_i = 0
3) f_1g_1 + f_2g_2 = 1

証明
簡単なので読者に任す。

命題
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
左 A-加群全体の圏を A-Mod とし、
左 B-加群全体の圏を B-Mod とする。
T を A-Mod から B-Mod への加法的関手(>>284)とする。

M_1, M_2 を A-加群とする。
M = M_1 + M_2 を直和とする。

f_1: M_1 → M
f_2: M_2 → M
をそれぞれ標準単射とし、
g_1: M → M_1
g_2: M → M_2
をそれぞれ射影とする。

このとき、
(y_1, y_2) ∈ T(M_1) + T(M_2) に対して T(f_1)(y_1) + T(f_2)(y_2) ∈ M を対応させる写像 ψ は T(M_1) + T(M_2) から T(M) への同型である。

証明
T は加法的関手であるから、以下が成り立つ。

1) i = j のとき T(g_j)T(f_i) = 1
2) i ≠ j のとき T(g_j)T(f_i) = 0
3) T(f_1)T(g_1) + T(f_2)T(g_2) = 1

よって、>>285より本命題の主張が成り立つ。
証明終

A を可換環とする。
M を A-加群とする。
M^* を M の双対加群、即ち Hom(M, A) とする。
F を A-加群とし、(M^*)※F を M^* と F の A 上のテンソル積とする。

M を固定して、T(F) = (M^*)※F とおけば、
T は A-Mod から A-Mod への加法的関手(>>284)である。

M を固定して、S(F) = Hom(M, F) とおけば、
S は A-Mod から A-Mod への加法的関手(>>284)である。

u ∈ M^*, y ∈ F とする。
x ∈ M に u(x)y ∈ F を対応させる写像を ρ(u, y) と書く。
明らかに ρ(u, y) ∈ Hom(M, F) である。
ρ(u, y) は双線型であるから T(F) から S(F) への準同型 θ(F) を
引き起こす。

用意に確かめられるように θ は T から S への自然変換である
(自然変換の定義についてはWikipediaの関手の項を参照)。

命題
A を可換環とする。
M を A-加群とする。
M^* を M の双対加群、即ち Hom(M, A) とする。
F を有限生成の自由 A-加群とし、
(M^*)※F を M^* と F の A 上のテンソル積とする。

このとき、θ(F)(>>287): (M^*)※F → Hom(M, F) は同型である。

証明
>>287より、θ は加法的関手 T から S への自然変換である。
F = A のとき、明らかに θ(F) は同型である。
よって、本命題は>>286から得られる。
証明終

定義
A を可換環とする。
M を有限生成の自由 A-加群とする。
M^* を M の双対加群、即ち Hom(M, A) とする。
(M^*)※M を M^* と M の A 上のテンソル積とする。

>>288 より、θ(M)(>>287): (M^*)※M → Hom(M, M) は同型である。
この逆写像を τ: Hom(M, M) → (M^*)※M とする。

ρ: (M^*)※M → A を A-加群の射で、u ∈ (M^*), x ∈ M のとき
ρ(u※x) = u(x) となるものとする。

A-加群の射 ρτ: Hom(M, M) → A をトレース写像(trace map)または
単にトレースと呼び、Tr と書く。
f ∈ Hom(M, M) のとき、Tr(f) を f のトレースと言う。

おい、クンマー
２ちゃんねるを私物化するな

>>290
>おい、クンマー
>２ちゃんねるを私物化するな

Threadを立てて書き込むのは「私物化」とは言わんだろう。
気に入らなければ見なければいいだけの話だ。

定義
A を可換環とし、X = (x_(i, j)), 1 ≦ i, j ≦ n を
A 上の n 次の正方行列とする。
Σx_(i, i), i = 1, ..., n を X のトレース(trace)と呼び、Tr(X) と書く。

A を可換環とし、M を有限生成の自由 A-加群とする。
M^* を M の双対加群、即ち Hom(M, A) とする。
(M^*)※M を M^* と M の A 上のテンソル積とする。
>>288 より、>>287のθ(M): (M^*)※M → Hom(M, M) は同型である。

e_1, ..., e_n を M の基底とする。
(e_1)^*, ..., (e_n)^* は M^* の基底である。
ここで (e_i)^* は (e_i)^* (e_j) = δ_(i, j), 1 ≦ i, j ≦ n
を満たすM^* の元である。
ここで、δ_(i, j) は Kronecker のデルタである。

f を Hom(M, M) の任意の元とする。
任意の x ∈ M は x = Σ(e_i)^*(x)e_i と表される。
よって、
f(x) = f(Σ(e_i)^*(x)e_i) = Σ(e_i)^*(x)f(e_i)
よって、
f = θ(M)(Σ(e_i)^*※f(e_i))

よって、>>289より、Tr(f) = Σ(e_i)^*(f(e_i))

一方、f(e_j) = Σc_(i, j)e_i, c_(i, j) ∈ A とする。
行列 C = (c_(i, j)), 1 ≦ i, j ≦ n は M の基底 e_1, ..., e_n に関する
f の表現行列である。

このとき、
Tr(f) = Σ(e_j)^*(f(e_j)) = Σ(e_j)^*(Σc_(i, j)e_i) = Σc_(j, j)

>>292より、Tr(f) = Tr(C) である。

>>291
気に入らなければ気に入らないと書くのがまともな人間だよ。
オマエだって>>290が気に入らないから余計なこと書き込んでるんだろ。
もっともオマエはまともじゃないけどな。

>>294
>>291はクンマーだよ
ブログでやれよ、うざい
おまえ＝クンマーは目立ちたがり屋のバカ

マンフオードがハーバード卒の最初のフイールズ賞受賞者

広中はハーバード卒ではない

悔しいのおｗ

クンマー、２ちゃんを私物化するな！
低脳の分際で、自己顕示欲丸出しで、きもい
誰も、おまえの書くことに関心ない
バカが数学を語るなｗ

>>289ダメだ不合格

命題
A を可換環とする。
M を A-加群とする。
E と F を有限生成の自由 A-加群とし、
f: E → F と g: F → E をそれぞれ A-加群としての射とする。
このとき、Tr(fg) = Tr(gf) である。

証明
(f, g) → Tr(fg) と (f, g) → Tr(gf) は
それぞれ Hom(E, F)×Hom(F, E) から A への双線型写像である。

>>288 より、>>287のθ(F): (E^*)※F → Hom(E, F) は同型である。
よって、 f = θ(F)(Σ(a_i)^*b_i), 1 = 1, ..., n と書ける。
ここで、(a_i)^* ∈ E^*, b_i ∈ F である。

同様に、θ(E): (F^*)※E → Hom(F, E) は同型である。
よって、 g = θ(E)(Σ(c_i)^*d_i), 1 = 1, ..., m と書ける。
ここで、(c_i)^* ∈ F^*, d_i ∈ E である。

以上から f: x → a^*(x)b, g: y → c^*(y)d の場合に本命題を証明すればよい。
ここで、a^* ∈ E^*, b ∈ F, c^* ∈ F^*, d ∈ E である。

fg(y) = a^*(c^*(y)d)b = c^*(y)a^*(d)b
よって、Tr(fg) = c*(a^*(d)b) = a^*(d)c^*(b)

gf(x) = c^*(a^*(x)b)d = a^*(x)c^*(b)d
よって、Tr(gf) = a^*(c^*(b)d) = c^*(b)a^*(d)

よって、Tr(fg) = Tr(gf) である。
証明終

>>299の訂正
>命題
>A を可換環とする。
>M を A-加群とする。

命題
A を可換環とする。

命題
A を可換環とする。
X = (x_(i, j)), 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ j ≦ n
Y = (y_(i, j)), 1 ≦ i ≦ n, 1 ≦ j ≦ m
をそれぞれ A 上の行列とする。

このとき、Tr(XY) = Tr(YX) である。

証明
>>293と>>299より明らかである。

次のように直接計算しても証明できる。

Tr(XY) = Σx_(i, k)y_(k, i), 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ k ≦ n
Tr(YX) = Σy_(k, i)x_(i, k), 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ k ≦ n

よって、Tr(XY) = Tr(YX)
証明終

定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
G から K への写像 s → Tr(ρ(s)) を ρ の指標(charcter)と呼ぶ。
ここで、Tr(ρ(s)) は ρ(s) のトレース(>>289)である。

クンマー

おまえは出て行け！

そこで猫ですよ
熊猫

50 名前：１３２人目の素数さん ：2009/09/07(月) 15:36:55
なにをやろうと勝手だがなにか？

51 名前：１３２人目の素数さん ：2009/09/07(月) 15:43:05
>なにか？
なにをひとまえでやってはいけないよ

charcter

かみさま　ぼくの　どりょくが　むくわれて　きょうじゅに　なれますように

今のところ、熊がいる天体は地球しか確認されてないからなあ。

命題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E と F を K 上の有限次線型空間とする。
ρ と τ をそれぞれ E および F における G の連続な線型表現(>>66)とする。
ρ と τ が同値(>>71) であれば、ρ と τ の指標は一致する。

証明
f: ρ → τ を同型写像(>>71)とする。

即ち、f: E → F は線型写像で、任意の s ∈ G と x ∈ E に対して
f(ρ(s)x) = τ(s)f(x) となるとする。

fρ(s) = τ(s)f であるから、fρ(s)f^(-1) = τ(s) である。

>>299より、Tr(τ(s)) = Tr(fρ(s)f^(-1)) = Tr(ρ(s)f^(-1)f) = Tr(ρ(s))
証明終

あなた、あまり人好きあいは苦手のようですけど、その考え方、改めたほうがいいですよ。

>人好きあい

いいね

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の有限次元のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
f: E → F を線型写像とする。
e_1, ..., e_n と f_1, ..., f_m をそれぞれ E と F の正規直交基底(>>147)とする。
f の e_1, ..., e_n と f_1, ..., f_m に関する行列表現を A = (a_(i, j)) とする。
f の随伴写像(>>128) f^* の e_1, ..., e_n と f_1, ..., f_m に関する
行列表現は (A^t)~ である。
ここで、A^t は A の転置行列であり、(A^t)~ は A^t の複素共役である。

証明
f^* の f_1, ..., f_m と e_1, ..., e_n に関する行列表現を B = (b_(i, j))
とする。

f(e_j) = Σa_(i, j)f_i
f^*(f_j) = Σb_(i, j)e_i
である。

よって、
a_(i, j) = <f(e_j), f_i> = <e_j, f^*(f_i)> = <f^*(f_i), e_j>~
= <Σb_(j, i)e_j, e_j>~ = b_(j, i)~

よって、a_(i, j)~ = b_(j, i)
即ち、B = (A^t)~
証明終

定義
K を実数体または複素数体とする。
A を K 上の (n, m)型の行列とする。
(A^t)~ を A の随伴行列と呼び、A^* と書く。
ここで、A^t は A の転置行列であり、(A^t)~ は A^t の複素共役である。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次元のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
f: E → F を線型写像で全単射とする。
f の e_1, ..., e_n に関する行列表現を A = (a_(i, j)) とする。
f がユニタリ変換であるためには A^* = A^(-1) が必要十分である。

証明
>>140より、f がユニタリ変換であるためには、f^* = f^(-1) が必要十分である。
>>312より、これは A^* = A^(-1) と同値である。
証明終

命題
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標とする。
任意の s, t ∈ G に対して χ(tst^-1) = χ(s) である。

証明
u = ts
v = t^(-1)
とおけば、
tst^-1 = uv
s = vu

逆に、任意の u, v ∈ G に対して u = ts, v = t^(-1) となる s, t ∈ G が、
一意に定まる。
よって、χ(tst^-1) = χ(s) は χ(uv) = χ(vu) と同値である。

χ(uv) = χ(vu) はトレースの性質(>>299)より明らかである。
証明終

定義
G を群とし、K を実数体または複素数体とする。
G から K への関数 f が、
任意の s, t ∈ G に対して f(tst^-1) = f(s) となるとき、
f を中心的(central)という。

これは、>>315の証明でみたように、
任意の u, v ∈ G に対して f(uv) = f(va) となることと
同値である。

命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次線型空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標とする。
任意の s ∈ G に対して χ(s^-1) = χ(s)~ である。

証明
>>256と>>309より、E はHilbert空間で、U は連続なユニタリ表現と仮定してよい。
>>140より、任意の s ∈ G に対して ρ(s^-1) = ρ(s)^* である。
よって、χ(s^-1) = Tr(ρ(s)^*)
一方、>>314より、Tr(ρ(s)^*) = Tr(ρ(s))~ = χ(s)~ である。
証明終

>>317
>一方、>>314より、Tr(ρ(s)^*) = Tr(ρ(s))~ = χ(s)~ である。

一方、>>312より、Tr(ρ(s)^*) = Tr(ρ(s))~ = χ(s)~ である。

補題
A = (a_(i, j)) を可換体 K の n 次の正方行列とする。
A の固有多項式 f(X) は
X^n - Tr(A)X^(n-1) + ... + (-1)^n det(A)
の形である。

証明
固有多項式の定義から f(X) = det(X1_n - A) である。
ここで、1_n は n 次の単位行列」である。

f(X) = X^n + a_1X^(n-1) + ... + a_n とする。

a_1 は (X - a_(1, 1))(X - a_(2, 2))...(X - a_(n, n)) の
X^(n-1) の係数であるから
a_1 = -a_(1, 1) - a_(2, 2) - ... - a_(n, n)) = -Tr(A) である。

f(0) = a_n であるから、a_n = det(-A) = (-1)^n det(A)
証明終

補題
A を可換体 K 上の n 次の正方行列とする。
K~ を K の代数的閉包とする。
A の固有多項式 f(X) は K~ において一次式に分解する。
f(X) = (X - α_1)(X - α_2)...(X - α_n) とする。
ここで、α_1, α_2, ..., α_n は K~ の元である。

このとき、
Tr(A) = α_1 + α_2 + ... + α_n である。
det(A) = α_1α_2...α_n である。


証明
>>319より明らかである。

定義
K を実数体または複素数体とする。
A を K 上の n 次の正則行列とする。
A^* = A^(-1) となるとき、A をユニタリ行列という。
ここで、A^* は A の随伴行列(>>313)である。

命題
E を複素数体上の有限次Hilbert空間とする。
f を E 上のユニタリ変換(>>140)とする。
f の固有値の絶対値は 1 である。

証明
α を f の任意の固有値とする。
fx = αx となる E の元 x ≠ 0 がある。

|f(x)| = |x| であるから、|f(x)| = |α||x| = |x| である。
|x| ≠ 0 であるから、|α| = 1 である。
証明終

補題
K を可換体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
W を V の部分線型空間とする。
f: V → V を線型写像で、f(W) ⊂ W とする。
f を W に制限した線型写像を g とする。
f は線型写像 h: V/W → V/W を引き起こす。
e_1, ..., e_r を W の基底とし、
e_1, ..., e_r, e_(r+1), ..., e_n を V の基底とする。
f の基底 e_1, ..., e_r, e_(r+1), ..., e_n に関する表現行列を
A = (a_(i, j)), 1 ≦ i, j ≦ n とする。

このとき、C = (a_(i, j)), r+1 ≦ i, j ≦ n は
V/W の基底 p(e_(r+1)), ..., p(e_n) に関する h の表現行列である。
ここで、p は V から V/W への標準写像である。

証明
α_(r+1), ..., α_n を K の元の列とし、
α_(r+1)p(e_(r+1)) + ... + α_np(e_n) = 0 とする。
p(α_(r+1)e_(r+1) + ... + α_ne_n) = 0 であるから、
α_(r+1)e_(r+1) + ... + α_ne_n ∈ W である。
よって、α_(r+1) = ... = α_n = 0 となり、
p(e_(r+1)), ..., p(e_n) は V/W の基底である。

任意の 1 ≦ j ≦ n に対して
f(e_j) = Σa_(i, j)e_i, i = 1, ..., n

よって、任意の r+1 ≦ j ≦ n に対して
h(p(e_j)) = Σa_(i, j)p(e_i), i = r+1, ..., n
よって、 C は V/W の基底 p(e_(r+1)), ..., p(e_n) に関する h の
表現行列である。
証明終

補題
K を代数的閉体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
f: V → V を任意の線型写像とする。
V の基底を適当にとると、その基底に関する f の表現行列は
三角行列になる。

証明
V の次元 n に関する帰納法で証明する。
n = 1 のときは明らかである。
K は代数的閉体であるから f は少なくともひとつの固有値 α を持つ。
α の固有空間を W とする。
即ち W = {x ∈ V; f(x) = αx} である。
明らかに f(W) ⊂ W である。
W の基底を e_1, ..., e_r とする。

p: V → V/W を標準写像とし、
f が V/W に引き起こす線型写像を g とする。
dim V/W ＜ n であるから V/W の基底 p(e_(r+1)), ..., p(e_n) で
その基底に関する g の表現行列が三角行列になるものが存在する。

α_i, i = 1, ..., n を K の元とし、
α_1e_1 + ... α_re_r + α_(r+1)e_(r+1) + ... + α_ne_n = 0 とする。
この両辺に p を作用させると、
α_(r+1)p(e_(r+1)) + ... + α_np(e_n) = 0 であるから、
α_(r+1) = ... = α_n = 0 である。
よって、α_1e_1 + ... α_re_r = 0 となり、
α_1 = ... = α_r = 0 である。
よって、e_1, ..., e_r, e_(r+1), ..., e_n は V の基底である。
>>323より、この基底に関する f の表現行列は三角行列である。
証明終

>>324の補足および訂正

f の W への制限写像を h とすると、h の e_1, ..., e_r に関する表現行列は
対角行列、したがって三角行列である。

>dim V/W ＜ n であるから V/W の基底 p(e_(r+1)), ..., p(e_n) で

V = W のときは、f の e_1, ..., e_n に関する表現行列は対角行列である。
よって、 V ≠ W と仮定してよい。

charcter

明らかなスペルミスをしつこく指摘する件

そのくせ証明の間違いについては指摘しない（出来ない）件

charcter

>>328
やりたかったらオマエがやれよ金魚の糞

補題
K を可換環とする。
A = (a_(i, j)) と B = (b_(i, j)) を K 上の n 次の上三角行列とする。
AB = C = (c_(i, j)) とする。

このとき、
c_(i, i) = a_(i,i)b_(i, i), i = 1, ..., n である。

証明
c_(i, i) = Σa_(i, k)b_(k, i), k = 1, ..., n である。

i ＞ k のとき a_(i, k) = 0
k ＞ i のとき b_(k, i) = 0 である。

よって、
c_(i, i) = a_(i, i)b_(i, i) である。
証明終

>>328

本になったとき序文で２ちゃん所属金魚の糞氏には証明の誤りを指摘していただいた
ここに衷心より感謝する

って書いてもらえるぞ

補題
K を可換環とする。
A = (a_(i, j)) を K 上の n 次の上三角行列で可逆であるとする。
A^(-1) = (b_(i, j)) とする。

このとき、b_(i, i) = a_(i, j)^(-1), i = 1, ..., n である。

証明
1_n を K 上の n 次の単位行列とする。
AA^(-1) = 1_n である。
>>331より、1 = a_(i,i)b_(i, i), i = 1, ..., n である。
よって、b_(i, i) = a_(i, j)^(-1), i = 1, ..., n である。
証明終

>>333の訂正
>このとき、b_(i, i) = a_(i, j)^(-1), i = 1, ..., n である。

このとき、b_(i, i) = a_(i, i)^(-1), i = 1, ..., n である。

>よって、b_(i, i) = a_(i, j)^(-1), i = 1, ..., n である。

よって、b_(i, i) = a_(i, i)^(-1), i = 1, ..., n である。

charcter

命題
K を代数的閉体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
f: V → V を線型写像で全単射とする。
f の固有値を重複度を込めて α_1, ..., α_n とする。

f^(-1) の固有値は重複度を込めて (α_1)^(-1), ..., (α_n)^(-1) である。

証明
>>324より、V の基底を適当にとると、その基底に関する f の表現行列は
三角行列になる。
よって、本命題の主張は>>333から直ちに出る。
証明終

線型代数スレでどうぞ

命題
K を代数的閉体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
f: V → V を線型写像とする。
f の固有値を重複度を込めて α_1, ..., α_n とする。

このとき、任意の整数 r ＞ 0 に対して
f^r の固有値は重複度を込めて (α_1)^r, ..., (α_n)^r である。

証明
>>324より、V の基底を適当にとると、その基底に関する f の表現行列は
三角行列になる。
よって、>>331より本命題の主張が得られる。
証明終

命題
K を代数的閉体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
f: V → V を線型写像で、ある整数 r ＞ 0 に対して f^r = 1 とする。

このとき、f の任意の固有値は 1 の r 乗根である。

証明
>>338より明らかである。

無限集合のうち最小のものを構成せよ。また、それは可算濃度より小さいか、判定不能かを述べよ。

有限群は離散位相でコンパクト群になる。

>>317において G が有限群のときの別証を述べる。

命題
G を有限群とし、E を複素数体 K 上の有限次線型空間とする。
ρ を E における線型表現(>>65)とする。
χ を ρ の指標とする。
任意の s ∈ G に対して χ(s^-1) = χ(s)~ である。

証明
ρ(s) の固有値を重複度を込めて α_1, ..., α_n とする。
>>336より、ρ(s^-1) の固有値は重複度を込めて
(α_1)^(-1), ..., (α_n)^(-1) である。

よって、>>320より、χ(s^(-1)) = (α_1)^(-1) + ... + (α_n)^(-1) である。

一方、s は有限位数であるから>>339より、各 α_i は 1 のべき根である。
よって、|α_i| = 1 である。
よって、(α_i)^(-1) = (α_i)~ である。

よって、>>320より、χ(s^(-1)) = (α_1)~ + ... + (α_n)~ = χ(s)~ である。
証明終

>>320の補足

この補題は、>>324から直ちに得られる。

命題(Schurの補題)
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
V と W はそれぞれ ρ と τ によりG-位相線型空間(>>268)となる。
f: V → W を G-位相線型空間としての準同型(>>270)とする。

このとき f = 0 または f は同型となる。

証明
f ≠ 0 とする。
Ker(f) は V の G-不変(>>72)な閉部分線形空間で V でないから
Ker(f) = {0} である。

他方、f(V) は W の G-不変(>>72)な閉部分線形空間で {0} でないから
f(V) = W である。

以上から f は同型である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
G を位相群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ をそれぞれ V における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
V は ρ によりG-位相線型空間(>>268)となる。
f: V → V を G-位相線型空間としての準同型(>>270)とする。

このとき、α ∈ K があり、f = α(1_V) となる。
ここで、1_V は V の恒等写像である。

証明
f の任意の固有値をαとする。
g = f - α(1_V) とおく。
g : V → V は G-位相線型空間としての準同型である。
Ker(g) ≠ 0 であるからSchurの補題(>>343)より、
g = 0 である。
証明終

>>344は K が実数体のときには一般に成り立たない。
f の固有多項式は実根をもつとは限らないからである。

位相群とか連続とか　唖

ぶちこわしだな。

バレバレ

補題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
V と W はそれぞれ ρ と τ によりG-位相線型空間(>>268)となる。

h: V → W を任意の線型写像とする。
t → τ(t^(-1))hρ(t) は G から Hom(V, W) への連続写像である。
よって、f = ∫τ(t^(-1))hρ(t) dμ(t) ∈ Hom(V, W)
が意味を持つ(>>76)。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

このとき、f: V → W は G-位相線形空間としての準同型(>>270)である。
従って、Schurの補題(>>343)より、f = 0 または f は同型となる。

証明
τ(s^(-1))fρ(s) = ∫τ(s^(-1))τ(t^(-1))hρ(t)ρ(s) dμ(t)
= ∫τ((ts)^(-1))hρ(ts) dμ(t)
= ∫τ(t^(-1))hρ(t) dμ(t)
= f

よって、fρ(s) = τ(s)f
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次ベクトル空間とする。
X をコンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度とする。

ρ: X → Hom(E, E) を連続写像とする。

f = ∫ ρ(x) dμ(x) (>>76)とおく。

このとき、
Tr(f) = ∫ Tr(ρ(x)) dμ(x)
である。

証明
E の基底 e_, ..., e_n を選び ρ(x) のこの基底に関する表現行列を R(x) とする。
S(x) = ∫ R(x) dμ(x) とおく。
Tr(S(x)) = ∫ Tr(R(x)) dμ(x) である。

よって、Tr(f) = ∫ Tr(ρ(x)) dμ(x)
である。
証明終

補題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約(>>260)とする。

h: V → W を任意の線型写像とする。
t → ρ(t^(-1))hρ(t) は G から Hom(V, V) への連続写像である。
よって、f = ∫ρ(t^(-1))hρ(t) dμ(t) ∈ Hom(V, W)
が意味を持つ(>>76)。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

このとき、f = (1/n)Tr(h)(1_V) となる。
ここで、1_V は V の恒等写像であり、n = dim V である。

証明
>>349より、f: V → V は G-位相線形空間としての準同型(>>270)である。
>>344より、α ∈ K があり、f = α(1_V) となる。

>>350より、Tr(f) = ∫ Tr(ρ(t^(-1))hρ(t)) dμ(x)
= ∫ Tr(h) dμ(x) = Tr(h)

一方、Tr(f) = nα である。
よって、α = (1/n)Tr(h) である。
証明終

>>344の訂正
>ρ をそれぞれ V における G の連続な線型表現(>>66)
>で既約(>>260)とする。

ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。

>>351の訂正
>h: V → W を任意の線型写像とする。

h: V → V を任意の線型写像とする。

>よって、f = ∫ρ(t^(-1))hρ(t) dμ(t) ∈ Hom(V, W)
>が意味を持つ(>>76)。

よって、f = ∫ρ(t^(-1))hρ(t) dμ(t) ∈ Hom(V, V)
が意味を持つ(>>76)。

>>346
位相群の連続表現になんか問題あるのか？

>>330
>>328が熊かもしれない件に気づいてない件

命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
さらに、ρ と τ は同型でないとする。

e_1, ..., e_n を V の基底とし、
f_1, ..., f_m を W の基底とする。
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とし、
τ の f_1, ..., f_m に関する行列表現を T とする。

R(s) = (R_(i, j)(s)), T(s) = (T_(k, l)(s)) とする。

このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ T_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

証明
h: V → W を任意の線型写像とし、h の e_1, ..., e_n と f_1, ..., f_m に
関する表現行列を H とする。

>>349より、∫T(s^(-1))HR(s) dμ(s) = 0 である。

H として (l, i) 成分が 1 でその他の成分が 0 の行列を取ると、
∫ T_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約(>>260)とする。

e_1, ..., e_n を V の基底とし、
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とする。

R(s) = (R_(i, j)(s)) とする。

このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ R_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(k. j)δ_(l. i) である。

ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度であり、
δ_(k. j), δ_(l. i) は Kroneckerのデルタである。

証明
h: V → V を任意の線型写像とし、h の e_1, ..., e_n に
関する表現行列を H とする。

>>351より、∫R(s^(-1))HR(s) dμ(s) = (1/n)Tr(H)(1_n)

H として (l, i) 成分が 1 でその他の成分が 0 の行列を取ると、
∫ R_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(k. j)δ_(l. i)
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次Hilbert空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続なユニタリ表現(>>255)
で既約(>>260)とする。
さらに、ρ と τ は同型でないとする。

e_1, ..., e_n を V の正規直行基底とし、
f_1, ..., f_m を W の正規直行基底とする。
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とし、
τ の f_1, ..., f_m に関する行列表現を T とする。

R(s) = (R_(i, j)(s)), T(s) = (T_(k, l)(s)) とする。

このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ T_(l, k)(s)~R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

証明
>>356より、任意の i, j, k, l に対して、
∫ T_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。

T はユニタリ行列であるから T(s^(-1)) = T^*(s) である。
よって、T_(k, l)(s^(-1)) = T_(l, k)(s)~である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次Hilbert空間とする。
ρ を V における G の連続なユニタリ表現(>>255)で既約(>>260)とする。

e_1, ..., e_n を V の正規直交基底とし、
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とする。

R(s) = (R_(i, j)(s)) とする。

このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ R_(l, k)(s)~R_(i, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(k. j)δ_(l. i) である。

ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度であり、
δ_(k. j), δ_(l. i) は Kroneckerのデルタである。

証明
>>357より、
このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ R_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(k. j)δ_(l. i) である。
R はユニタリ行列であるから R(s^(-1)) = R^*(s) である。
よって、R_(k, l)(s^(-1)) = R_(l, k)(s)~である。
証明終

>>358において、ρ だけが連続なユニタリ表現であればよい。

>>360の訂正
>>>358において、ρ だけが連続なユニタリ表現であればよい。

>>358において、τ だけが連続なユニタリ表現であればよい。

命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
さらに、ρ と τ は同型でないとする。
ρ と τ の指標をそれぞれ χ_1, χ_2 とする。

このとき、∫ χ_1(s)χ_2(s)~ dμ(s) = 0 である。

証明
>>256と>>309より、W はHilbert空間で、τ は連続なユニタリ表現と仮定してよい。

>>358と>>361より、任意の i, j, k, l に対して、
∫ T_(l, k)(s)~R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。

よって、∫ χ_1(s)χ_2(s)~ dμ(s) = 0 である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約(>>260)とする。
ρ の指標を χ とする。

このとき、∫ χ(s)χ~(s) dμ(s) = 1 である。

証明
>>256と>>309より、V はHilbert空間で、ρ は連続なユニタリ表現と仮定してよい。

e_1, ..., e_n を V の正規直交基底とし、
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とする。
R(s) = (R_(i, j)(s)) とする。

>>359より、任意の i, j に対して、
∫ R_(i, i)(s)~R_(j, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(i. j) である。

よって、
∫ χ(s)χ~(s) dμ(s) = 1 である。

証明終

転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙
転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙

>>362と>>363の証明には>>256を使っている。
G が有限群の場合には>>341を使うことにより、>>362と>>363の証明において
>>256を避けることが出来る。

E を実数体上の有限次線型空間とし、n = dim E とする。
E※C は 複素数体上の線型空間で、n = dim E※C である。
ここで、E※C は E と 複素数体 C の実数体上のテンソル積である。

G を位相群とし、ρ を E における G の連続な線型表現とする。
τ(x※α) = ρ(x)※α と定義することにより、
τ は E※C における連続な線型表現となる。
τをρの複素拡大と呼ぶ。

E の基底を e_1, ..., e_n とする。
e_1※1, ..., e_n※1 は E※C の基底である。
R を ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現とすれば、
R は τの e_1※1, ..., e_n※1 に関する行列表現でもある。
よって、τの指標はρの指標と一致する。
よって、通常、τはρと同一視する。

定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標(>>302)とする。

K が実数体のとき、χ を実指標といい、
K が複素数体のとき、χ を複素指標という。
単に指標というときは、複素指標を意味する。
>>366より、実指標は複素指標でもある。
ρが既約のとき、χ を既約指標という。

G をコンパクト群とする。
μ を μ(G) = 1 となる G のHaar測度とする。
>>362と>>363により、G の既約指標(>>367)の全体 X(G) は
L^2(G, C, μ) (過去スレ008の299) の正規直交集合(>>147)である。

G 上の複素数値連続関数全体 K(G, C) は L^2(G, C, μ) の部分空間であり、
前Hilbert空間となる。
X(G) は K(G, C) に含まれるから K(G, C) の正規直交集合でもある。

命題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G の連続な線型表現(>>66)とする。
χ_1 と χ_2 をそれぞれ ρ_1 と ρ_2 の指標とする。
V = V_1 + V_2 (直和) とする。
V はρ_1 と ρ_2 の直和(>>84) ρ を定める。
ρ の指標を χ とする。

このとき、
χ = χ_1 + χ_2 である。

証明
V_1 の基底 (e_i) と V_2 の基底 (f_j) を任意に選ぶ。
V の基底は、(e_i), (f_j) である。
ρ のこの規定に関する行列表現を考えれば、χ = χ_1 + χ_2 は明らかである。
証明終

>>367の訂正
定義
K を複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標(>>302)とする。

ρが既約(>>260)のとき、χ を既約指標という。

G を位相群とし、E を 実数体上の有限次線型空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標(>>302)とする。
τをρの複素拡大(>>366)とする。
ρが既約(>>260)であっても、τ は既約とは限らない。

定義
G をコンパクト群とする。
f, g ∈ L^2(G, C, μ) (過去スレ008の299) に対して、
<f, g> = ∫ f(s)g(s)~ dμ(s) と書く。

(f, g) → <f, g> は正値Hermite形式(過去スレ010の593)であり、
L^2(G, C, μ) は、< , > によりHilbert空間になる(過去スレ011の41)。

χ_1, χ_2 を G の指標(>>302)とする。
χ_1, χ_2 ∈ L^2(G, C, μ) であるから、
<χ_1, χ_2> = ∫ χ_1(s)χ_2(s)~ dμ(s) が定義される。

G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
さらに、ρ と τ は同型でないとする。
ρ と τ の指標をそれぞれ χ_1, χ_2 とする。

このとき、χ_1 ≠ χ_2 である。
何故なら、χ_1 = χ_2 とすると、<χ_1, χ_2> = |χ_1|^2 であるが、
>>362より、|χ_1|^2 = 0 となり、χ_1 = 0 となって矛盾となるからである。
χ_1 ≠ 0 は χ_1(e) = n からわかる。
ここで、 n は V の次数である。

以上から、G の有限次既約表現は、その指標により一意に決まる。

命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)とし、
ρ の指標を ψ とする。

V = W_1 + ... + W_r を既約表現の直和とする。
W を K 上の任意の既約な有限次線形表現とし、その指標を χ とする。

このとき、W と同型な W_i の個数は <ψ, χ> (>>372)である。

証明
各 W_i の指標を χ_i とする。
>>369より、ψ = χ_1 + ... χ_r である。

>>362, >>363より、W_i が W と同型なら <χ_i, χ> = 1,
同型でないなら <χ_i, χ> = 0 である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

>>374より、>>282の別証が直ちに得られる。

>>374より、コンパクト群の連続な線型表現はその指標により
一意に決まることがわかる。
即ち、同じ指標をもつ表現は同型である。

命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V ≠ 0 を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)とし、
ρ の指標を ψ とする。

<ψ, ψ> は整数 ＞ 0 である。
ρ が既約であるためには <ψ, ψ> = 1 が必要十分である。

証明
V は (m_1)W_1 + ... + (m_r)W_r と同型である。
ここで、各 W_i は既約であり、i ≠ j のとき W_i と W_j は
同型ではないとする。
各 m_i は整数 ＞ 0 である。

W_i の指標を χ_i とする。
>>369より、ψ = Σ(m_i)χ_i である。
>>362と>>363により、<ψ, ψ> = Σ(m_i)^2 ＞ 0 である。

<ψ, ψ> = Σ(m_i)^2 = 1 であれば、r = 1 で m_1 = 1 である。
よって、V = W_1 となり、ρ は既約である。
逆に ρ が既約なら >>363により、<ψ, ψ> = 1 である。
証明終

定義
K を可換環とし、A, B, C, D を K-加群とする。
f: A → C
g: B → D
を K-加群の射とする。
A※B と C※D を、それぞれ K 上のテンソル積とする。

(a, b) ∈ A×B に対して f(a)※g(b) ∈ C※D を対応させる写像は
双線型である。
よって、K-加群の射ψ: A※B → C※D で ψ(a※b) = f(a)※g(b) となるものが
一意に定まる。
ψ を f※g と書き、f と g のテンソル積という。

K を可換環とし、A, B, C, D を K 上の有限生成の自由加群とする。
A, B, C, D の K 上の階数をそれぞれ n, m, p, q とする。

A, B, C, D の K 上の基底をそれぞれ (a_i), (b_j), (c_k), (d_l) とする。
f: A → C
g: B → D
を K 上の線型写像とする。

f の基底 (a_i), (c_k) に関する表現行列を M = (μ_(k, i)) とし、
g の基底 (b_j), (d_l) に関する表現行列を N = (ν_(j, l)) とする。

f(a_i) = Σμ_(k, i)c_k
g(b_j) = Σν_(l, j)d_l
である。

(f※g)((a_i)※(b_j)) = f(a_i)※g(b_j) = (Σα_(k, i)c_k)※(Σβ_(l, j)d_l)
= Σα_(k, i)β_(l, j)(c_k)※(d_l)

よって、f※g の基底 ((a_i)※(b_j)), ((c_k)※(d_l)) に関する表現行列は、
(μ_(k, i)ν_(l, j)) である。

(続く)

>>379の続き

A※B の基底を

(a_1)※(b_1), (a_1)※(b_2), ..., (a_1)※(b_m),
(a_2)※(b_1), (a_2)※(b_2), ..., (a_2)※(b_m),
.
.
.
(a_n)※(b_1), (a_n)※(b_2), ..., (a_n)※(b_m)
の順に並べる。

同様に C※D の基底を
(c_1)※(d_1), (c_1)※(d_2), ..., (c_1)※(d_q),
(c_2)※(d_1), (c_2)※(d_2), ..., (c_2)※(d_q),
.
.
.
(c_n)※(d_1), (c_n)※(d_2), ..., (c_p)※(d_q)
の順に並べる。

この基底に関する f※g の表現行列は、次のようになる。

μ_(1, 1)N, ..., μ_(1, n)N
μ_(2, 1)N, ..., μ_(2, n)N
.
.
.
μ_(p, 1)N, ..., μ_(p, n)N

この行列を M と N の Kronecker積という。

Kummer ◆g2BU0D6YN2 のオナニースレは、やめてくれないかな？
少なくともサゲでやれよ＞Kummer ◆g2BU0D6YN2

>>380
>この行列を M と N の Kronecker積という。

M と N の Kronecker積を M※N と書くことにする。

381 名前：１３２人目の素数さん ：2009/09/10(木) 09:45:46


Kummer ◆g2BU0D6YN2 のオナニースレは、やめてくれないかな？
少なくともサゲでやれよ＞Kummer ◆g2BU0D6YN2


同意

命題
K を可換環とし、E, F を K 上の有限生成の自由加群とする。
f: E → E
g: F → F
を K 上の線型写像とする。
f※g (>>378) は K 上の線型写像: E※F → E※F である。

このとき、Tr(f※g) = Tr(f)Tr(g) である。
ここで Tr はトレース(>>289)である。

証明
(f, g) → Tr(f※g) と (f, g) → Tr(f)Tr(g) は
それぞれ Hom(E, E)×Hom(F, F) から K への双線型写像である。

>>288 より、>>287のθ(E): (E^*)※E → Hom(E, E) は同型である。
よって、 f = θ(E)(Σ(a_i)^*b_i), 1 = 1, ..., n と書ける。
ここで、(a_i)^* ∈ E^*, b_i ∈ E である。
即ち、任意の x ∈ E に対して f(x) = Σ(a_i)^*(x)b_i となる。

同様に、θ(F): (F^*)※F → Hom(F, F) は同型である。
よって、 g = θ(F)(Σ(c_i)^*d_i), 1 = 1, ..., m と書ける。
ここで、(c_i)^* ∈ F^*, d_i ∈ F である。
即ち、任意の x ∈ F に対して g(x) = Σ(c_i)^*(x)d_i となる。

以上から f: x → a^*(x)b, g: y → c^*(y)d の場合に本命題を証明すればよい。
ここで、a^* ∈ E^*, b ∈ E, c^* ∈ F^*, d ∈ F である。
f※g(x※y) = (a^*(x)b)※(c^*(y)d) = a^*(x)c^*(y)(b※d)

写像 x※y → a^*(x)c^*(y) は (E※F)^* の元であるから
>>289より、Tr(f※g) = a^*(b)c^*(d) である。
よって、Tr(f※g) = Tr(f)Tr(g) である。
証明終

>>384は>>380からも明らかである。

猫たん

海外の数学者と交流が多かったでしょ？
ペニスって、国によって長さが違うのですか？

Cartierはかなりの爺さんですよ
先日、フランスで会いました

ああ、そうですか。
Cartier先生は今でもお元気なんですかね。
彼は昔ですね、自分の自転車でChartresまで行って、
所が流石に帰りはダウンしてしまったんで、
観念してSNCFで帰還しはった、な〜んて言ってはりました。
まあ数学も体も超元気なオッサンしてはりました。
食事のテーブルでの話も面白いしね、
下ネタは言わないしフランス語はゆっくりだし。

命題
K を可換環とし、E, F を K 上の有限生成の自由加群とする。
E と F の K 上の階数をそれぞれ n, m とする。
f: E → E
g: F → F
を K 上の線型写像とする。

f※g (>>378) は K 上の線型写像: E※F → E※F である。

このとき、det(f※g) = det(f)^m det(g)^n

証明
f※g = (f※1_F)(1_E※g) である。
ここで、1_E, 1_F はそれぞれ E と F の恒等写像である。

E のある基底に関する 1_E 表現行列を 1_n とし、
F のある基底に関する g の表現行列 を N とする。
1※g のこれ等の基底に関する表現行列は>>380より、

δ_(1, 1)N, ..., δ_(1, n)N
δ_(2, 1)N, ..., δ_(2, n)N
.
.
.
δ_(p, 1)N, ..., δ_(n, n)N

となる。
ここで、δ_(i, j) はKroneckerのデルタである。
よって、det(1_E※g) = det(N)^n = det(g)^n である。
よって、det(f※1_F) = det(f)^m も同様である
(ただし、基底の並べ方は>>380と逆である)。
証明終

命題
K を可換環とし、E, F を K 上の有限生成の自由加群とする。
E と F の K 上の階数をそれぞれ n, m とする。
f: E → E
g: F → F
を K 上の線型写像とする。

f※g (>>378) は K 上の線型写像: E※F → E※F である。

このとき、f と g が可逆であれば f※g も可逆である。

K が可換体であれば逆も言える。

証明
f と g が可逆であれば
(f※g)(f^(-1)※g^(-1)) = (ff^(-1)※gg^(-1)) = 1※1 = 1
同様に、(f^(-1)※g^(-1))(f※g) = 1
よって、f※g は可逆である。

K が可換体で、f※g が可逆であるとする。
>>389より、det(f※g) = det(f)^m det(g)^n ≠ 0
よって、det(f) ≠ 0 かつ det(g) ≠ 0
よって、f と g は可逆である。
証明終

定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G の連続な線型表現(>>66)とする。
ρ: s → ρ_1(s)※ρ_2(s) は G の (V_1)※(V_2) による G の連続な線型表現である。ここで、ρ_1(s)※ρ_2(s) は、ρ_1(s) と ρ_2(s) のテンソル積(>>378)である。
ρ が連続なことは ρ(s) の行列表現(>>379)よりわかる。

このとき、ρ を ρ_1 と ρ_2 のテンソル積と呼び ρ_1※ρ_2 と書く。

命題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G の連続な線型表現(>>66)とする。
ρ_1 と ρ_2 の指標(>>302)をそれぞれ χ_1, χ_2 とする。

このとき、ρ_1※ρ_2 (>>391) の指標 χ は、(χ_1)(χ_2) である。

証明
>>384より明らかである。

定義
K を実数体または複素数体とする。
G_1 と G_2 を G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G_1, G_2 の連続な線型表現(>>66)
とする。

ρ_1※ρ_2(s_1, s_2) = ρ_1(s_1)※ρ_2(s_2) とおく。
ここで、ρ_1(s_1)※ρ_2(s_2) は、ρ_1(s_1) と ρ_2(s_2) のテンソル積(>>378)
である。

ρ_1※ρ_2 は明らかに G_1×G_2 の V_1※V_2 における連続な線型表現である。

ρ_1※ρ_2 を ρ_1 と ρ_2 のテンソル積と呼ぶ。

命題
K を実数体または複素数体とする。
G_1 と G_2 を G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G_1, G_2 の連続な線型表現(>>66)
とする。

ρ_1 と ρ_2 の指標(>>302)をそれぞれ χ_1, χ_2 とし、
ρ_1※ρ_2 の指標を χ とする。

任意の (s_1, s_2) ∈ G_1×G_2 に対して
χ(s_1, s_2) = χ_1(s_1)χ_2(s_2)

証明
>>384より、
χ(s_1, s_2) = Tr(ρ_1(s_1)※ρ_2(s_2)) = Tr(ρ_1(s_1))Tr(ρ_2(s_2))
= χ_1(s_1)χ_2(s_2)
証明終

>>393と>>394の訂正
>G_1 と G_2 を G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。

G_1 と G_2 を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。

命題
K を複素数体とする。
G_1 と G_2 をコンパクト群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G_1, G_2 の連続な線型表現(>>66)
とする。

ρ_1 と ρ_2 が既約であれば、ρ_1※ρ_2 (>>393) も既約である。

証明
ρ_1 と ρ_2 の指標(>>302)をそれぞれ χ_1, χ_2 とし、
ρ_1※ρ_2 の指標を χ とする。

μ_1 を μ_1(G_1) = 1 となる G_1 のHaar測度とする。
μ_2 を μ_2(G_2) = 1 となる G_2 のHaar測度とする。

μ = μ_1×μ_2 とおく。

>>394と>>363より、

∫χ(s_1, s_2)χ(s_1, s_2)~ dμ
= ∫χ_1(s_1)χ_(s_2)χ_1(s_1)~χ_(s_2)~ dμ
= ∫χ_1(s_1)χ_1(s_1)~dμ_1∫χ_2(s_2)χ_2(s_2)~ dμ_2
= 1

>>377より、ρ_1※ρ_2 は既約である。
証明終

78 名前：猫は残飯 ◆ghclfYsc82 ：2009/09/10(木) 11:16:18
そんな事は貴方が心配してもどうにもならないし、
それにしょうがないでしょう。
まあお気遣い戴いているという事だけ気に留めておきますんで。

脱出までは何とか持ちこたえたいと思っています。
どうも有難う御座います。

猫拝

猫さんへ：

脱出はいつごろになりますか？
何を待っているのですか？　すぐにでも脱出してはいかがでしょうか？

フランスにこの夏行った時、向こうの人で気にしている人がいましたよ

あげ

猫さんの回答を要求します

ばかでづね　べーだーばいるはよいけや

>>380
A※B の基底を

(a_1)※(b_1), (a_2)※(b_1), ..., (a_n)※(b_1),
(a_1)※(b_2), (a_2)※(b_2), ..., (a_n)※(b_2),
.
.
.
(a_1)※(b_m), (a_2)※(b_m), ..., (a_n)※(b_m)
の順に並べる。

同様に C※D の基底を
(c_1)※(d_1), (c_2)※(d_1), ..., (c_p)※(d_1),
(c_1)※(d_2), (c_2)※(d_2), ..., (c_p)※(d_2),
.
.
.
(c_1)※(d_q), (c_2)※(d_q), ..., (c_p)※(d_q)
の順に並べる。

この基底に関する f※g の表現行列は、次のようになる。

Mν_(1, 1), ..., Mν_(1, n)
Mν_(2, 1), ..., Mν_(2, n)
.
.
.
Mν_(p, 1), ..., Mν_(p, n)

この行列を M と N の Kronecker積ともいい、M※N とも書く。

今後、どちらの定義を採用するかは、決めないでおく。

アスペルガーだな。

そうだな　低脳だな

命題
K を実数体または複素数体とする。
G と H を位相群とし、V ≠ 0 と W を K 上の有限次線型空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V と W における G と H の連続な線型表現(>>66)
とする。
τ が可約(>>261)であれば ρ※τ も可約である。

証明
>>79より、W = W_1 + W_2 (直和)となる。
ここで、W_1 ≠ 0 と W_2 ≠ 0 は H-不変である。

V※W = V※W_1 + V※W_2 (直和)である。
V※W_1 と V※W_2 は (G×H)-不変で、V※W_1 ≠ 0 かつ V※W_2 ≠ 0 である。
よって、ρ※τ は可約である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
G と H をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を V における G×H の連続な線型表現(>>66)で既約とする。

このとき、ρ は ρ_1※ρ_2 と同型である。
ここで、ρ_1 と ρ_2 は、それぞれ G と H の
K 上の連続な有限次線型表現で既約である。

証明
任意に選んだ V の基底に関する ρ の行列表現 R を考える。
R(s, e) = S(s) とおく。
S は G の行列表現である。

同様に、
R(e, t) = T(t) とおく。
T は H の行列表現である。

R(s, t) = R(s, e)R(e, t) = S(s)T(t)
R(s, t) = R(e, t)R(s, e) = T(t)S(s)
である。
よって、S(s)T(t) = T(t)S(s)

>>262より、S は既約表現の M_1, ..., M_m の直和となる。
S(s) は行列 M_1(s), ..., M_m(s) が対角線上に並んでいるとしてよい。
各 M_i の次数を r_i とする(i = 1, ..., m)。

(続く)

>>404の続き

n = dim V とし、A を K 上の n次の行列で、任意の s ∈ G に対して
S(s)A = AS(s) とする。

A を (r_i, r_j) タイプの小行列 A_(i, j) に分割する。
S(s)A = AS(s) より、M_iA_(i, j) = A_(i, j)M_j, i, j = 1, ..., m である。

i ≠ j となる任意の組 (i, j) に対して M_i と M_j が同型でないとする。
Schurの補題(>>343)より、A_(i, j) = 0 となる。
よって、A は A_(1, 1), ..., A_(m, m) が対角線上に並び、
その他の成分は 0 である。

今の結果を A = T(t) に適用すると、
T(t) は、小行列 T_(1, 1)(t), ..., T_(m, m)(t) が対角線上に並び、
その他の成分は 0 である。
よって、R(s, t) = S(s)T(t) は可約となる(m ≠ 1 のとき)。
これは仮定に反するので、M_1, ..., M_m は全て同型である。

基底を適当にとり、M_1, ..., M_m は全て同じ M としてよい。
M の次数を r とする。
1_m を m 次の単位行列とする。
S(s) = M(s)※1_m である。ここで、M(s)※1_m は Kronecker積(>>400)である。

(続く)

>>405の続き

再び、A を K 上の n次の行列で、任意の s ∈ G に対して
S(s)A = AS(s) とする。
A を (r, r) タイプの小行列 A_(i, j) に分割する。
S(s)A = AS(s) より、MA_(i, j) = A_(i, j)M, i, j = 1, ..., m である。
>>344より、A_(i, j) = β_(i, j)1_r となる。
ここで、β_(i, j) ∈ K である。
よって、B = (β_(i, j)) とおくと、A = 1_r※B である。

A として T(t) をとると、T(t) = 1_r※N(t) となる。
ここで、 N(t) は m 次の連続な行列表現である。

以上から
R(s, t) = S(s)T(t) = (M(s)※1_m)(1_r※N(t)) = M(s)※N(t)

N(t) が可約とすると、>>403より、R(s, t) も可約となり、仮定に反する。
よって、N(t) は既約である。
証明終

>>404の証明は Weilによる。
ポントリャーギンの本では、Peter-Weylの定理を使っている。

どっちにしろほめられたものではない

増田哲也ってデブでみっともない小男と聞いたが
実際にはどうなの？

小男というのはちょっとちがうけど
残りは多分当たってるね
主観の問題だけどね

>>404
あのさ、その定理の述べ方だと、不正確だよ
よするにクロネッカー積に分解可能だということだけど
そうは読み取れないね

君はもう少し、論理的に厳密に述べる習慣をつけた方がいいよ

>その他、内容についてのご意見は歓迎します。
>例えば、誤りの指摘、証明の改良など。

歓迎して

>>411
具体的にどこがおかしいのか指摘していただけるとありがたいです。

たしかに論理に欠点があるな

命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線型空間とする。
n = dim V とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約とする。
χ を ρ の指標とする。

f: G → K を連続で中心的(>>316)な関数とする。

g = ∫ f(t)ρ(t) dμ(t) とおく。
ここで μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

このとき、 g = λ(1_V) である。
ここで、1_V は V の恒等写像であり、
λ = (1/n)∫ f(t)χ(t) dμ(t) = (1/n)<f, χ~> である。

証明
ρ(s^(-1)gρ(s) = ∫ ρ(s^(-1)f(t)ρ(t)ρ(s) dμ(t)
= ∫ f(t)ρ(s^(-1)ts) dμ(t)
= ∫ f(sus^(-1))ρ(u) dμ(u)
= ∫ f(u)ρ(u) dμ(u)
= g

よって、>>344より、λ ∈ K があり、g = λ(1_V) となる。
よって、Tr(g) = nλ である。
一方、
Tr(g) = ∫ f(t)Tr(ρ(t)) dμ(t) = ∫ f(t)χ(t) dμ(t)
よって、λ = (1/n)∫ f(t)χ(t) dμ(t) である。
証明終

指摘されても無視するだけか

おそらく具体的に指摘してくれと言ったのにとか言い訳するに違いない。
しかし普通なら読み返してすぐわかるはず。
バカなのか傲慢なのか。

>バカなのか傲慢なのか。
バカかつ傲慢　ﾃﾞｼｮ

直積群の既約表現のプロがこのスレを監視しています。

>>419 それで固まったのか

>>405
>これは仮定に反するので、M_1, ..., M_m は全て同型である。

ここがおかしいですね。
ありがとうございました。

バカかつ傲慢かつ低脳かつ禿げでオナニストなのだろう
違うか？

定義
K を実数体または複素数体とする。
G を有限群とする。
G の元を基底とする K 上の線型空間 K[G] を考える。
即ち、K[G] の元 x は形式的和 Σ(α_t)t, t ∈ G, α_t ∈ K である。
s ∈ G に対して t → st は 線型写像 γ(s): K[G] → K[G] を引き起こす。
γ(s)(Σ(α_t)t) = Σ(α_t)st である。

γ(s) は明らかに G の線型表現である。
これを G の (K 上の) 正則表現という。

G を有限群とする。
G に離散位相をいれると G はコンパクト群である。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。

f を G 上の複素数値関数としたとき、
∫ f(s) dμ(s) = (1/|G|)Σf(s), s ∈G である。
ここで、|G| は G の位数である。

命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
γ を G の K 上の正則表現(>>423)とする。
γ の指標を ψ とする。

このとき、
ψ(e) = |G|
s ≠ e のとき ψ(s) = 0

証明
ψ(e) = |G| は明らかである。
s ≠ e のとき、任意の t ∈ G に対して st ≠ t である。
よって、γ(s) の K[G] (>>423)の基底 {t; t ∈ G} に関する
表現行列の対角成分はすべて 0 である。
よって、ψ(s) = Tr(γ(s)) = 0 である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
G の K 上の任意の既約表現 W は(同型の違いを無視して)
G の K 上の正則表現(>>423)に重複度 r で含まれる。
ここで r は W の次数である。

証明
G の K 上の正則表現(>>423)の指標を ψ とする。
W の指標を χ とする。

>>425より、
<ψ, χ> = 1/|G|Σψ(s)χ(s)~ = (1/|G|)ψ(e)χ(e)~ = (1/|G|)|G|r= r

よって、>>374より、本命題の主張が得られる。
証明終

>>426より、有限群の既約表現の同値類の個数は有限である。
しかし、既約でない表現の同値類は明らかに無数にある。

命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標の全体とする。
各 χ_iの次数を n_i とする。

Σ(n_i)^2 = |G| である。

証明
G の K 上の正則表現(>>423)の指標を ψ とする。
>>426より、ψ = Σ(n_i)χ_i である。

|G| = ψ(e) = Σ(n_i)χ_i(e) = Σ(n_i)^2
証明終

>>405
Weilの証明は間違いかもしれないですね（恐れ多いですが）。

Weilの証明は、
i ≠ j となるある組 (i, j) に対して M_i と M_j が同型でないとする。
Schurの補題(>>343)より、A_(i, j) = 0 となる。
これを A = T(t) に適用して、R(s, t) = S(s)T(t) は可約となる。
というものですが、何故、可約なのかわかりません。

>>429

>>404のPontryaginの証明はPeter-Weylの定理を使っている。
Serreの証明(有限群が対象だが)も似たような手法を使っている。
したがって、Weilのように初等的かつ簡単に証明出来るとは、
話がちょっとうますぎる感じがしないでもない。

命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標の全体とする。
G 上の中心的(>>316)な複素数値関数全体を Cent(G) とする。
χ_1, ..., χ_h は Cent(G) の正規直交基底である。

証明
>>362と>>363により、χ_1, ..., χ_h は正規直交列である。
f ∈ Cent(G) がすべての (χ_i)~ と直交するとする。
このとき、f = 0 を言えばよい。

V を K 上の有限次線型空間とする。
n = dim V とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標とする。
g = (1/|G|)Σ f(t)ρ(t) とおく。

ρ が既約なら、>>415より、g = λ(1_V) である。
ここで、1_V は V の恒等写像であり、
λ = (1/n)<f, χ~> である。
仮定より、<f, χ~> = よって、g = 0 である。

ρ が既約でないときは、ρ は既約表現の直和になるから
やはり、g = 0 である。

ρ として K 上の正則表現(>>423)をとる。
g(e) = (1/|G|)Σ f(t)ρ(t)(e) = (1/|G|)Σ f(t)t
ここで、g(e) = 0 であるから、(1/|G|)Σ f(t)t = 0 である。
よって、全ての t ∈ G で f(t) = 0 となる。
即ち、f = 0 である。
証明終

>>431の補足
>f ∈ Cent(G) がすべての (χ_i)~ と直交するとする。
>このとき、f = 0 を言えばよい。

すべての (χ_i)~ で生成される Cent(G) の部分線型空間を W とする。
>>244より、Cent(G) = W + W^⊥ (直和) となる。

f = 0 なら W^⊥ = 0 となり、Cent(G) = W である。
よって、任意の h ∈ Cent(G) に対して h~ = Σα_i(χ_i)~ と書ける。
よって、h = Σ(α_i)~(χ_i) と書ける。
即ち、Cent(G) は、すべての χ_i で生成される。

命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標の全体とする。
h は G の共役類の個数に等しい。

証明
G 上の中心的(>>316)な複素数値関数全体を Cent(G) とする。
任意の f ∈ Cent(G) は、G の各共役類において定数をとる関数として
特徴付けられる。
よって、Cent(G) の K 上の次元は G の共役類の個数に等しい。
よって、>>431より、h は G の共役類の個数に等しい。
証明終

>>422
そいつが気になってしかたないんだろう
違うか？

ｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( ﾟ)━( )━( )━(･ )━(∀･ )━(･∀･)━ｲｲ!!!!
ｷﾀ━━━( ´∀`)･ω･) ﾟДﾟ)･∀･)￣ー￣)´_ゝ`)ﾟ∀ﾟ)´-`)━━━!!!!
ｷﾀ━━(´∀`)･ω･);ﾟДﾟ)･∀･)￣ｰ￣)´_ゝ`)≧｡≦)^◇^)ﾟзﾟ)━━!!!!
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━━━!!!!!!!!!!
キカ━━<｀Д´>━< ｀Д>━< 　｀>━━( ｀)　>━(∀｀) >━<(´∀｀)>━━!!!!
ｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( ﾟ)━( )━( )━(･ )━(∀･ )━(･∀･)━ｶｴﾚ!!!!!
ｷﾀ━━━( ´∀`)･ω･) ﾟДﾟ)･∀･)￣ｰ￣)´_ゝ`)-_-)=ﾟωﾟ)ﾉ━━━!!!!
ｷﾀ━━━ヽ( ﾟ∀ﾟ)人(ﾟ∀ﾟ )ﾒ( ﾟ∀ﾟ)人(ﾟ∀ﾟ )ﾒ( ﾟ∀ﾟ)人(ﾟ∀ﾟ )ﾉ━━━!!!
ｷﾀ━━━━━━━━━━(´Д(○=(ﾟ∀ﾟ)=○)Д｀)━━━━━━━━━━!!!
ｷﾀ━━━( ´∀`)･ω･) ﾟДﾟ)･∀･)￣ｰ￣)´_ゝ`)´,_ゝ｀)・A・）━━━!!!
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━(∀ﾟ )━(ﾟ　 )━(　　)━(　　)━(　 ﾟ)━( ﾟ∀)━(ﾟ∀ﾟ)━ !!
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( ﾟ)━( )━(ﾟ )━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━━━!!!!!
ｷﾀ━(ﾟ∀・)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(＿ﾟ＿)━(ﾟ 　)━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!!

ｷﾀｰﾝ━(´∀`)━(　´∀)━(　　´)━(　　 )━(`　 )━(∀` )━(σ´∀`)σｹﾞｯﾂ!!
ｷﾀ━━( ´∀`)･ω･) ﾟДﾟ)･∀･)￣ｰ￣)´_ゝ`)`Д´)-_-)冫､ )ﾉД`)=ﾟωﾟ)━━!!!
ｺﾈ━━(ﾟДﾟ)━( ﾟД)━( 　ﾟ)━(　　)━(　　)━(ﾟ 　)━(Дﾟ )━(ﾟДﾟ)━━ !!!!!
キタ━━━( ´∀`)・ω・) ゜Д゜)・∀・)￣ー￣)´_ゝ`)-_-)=゜ω゜)ノ━━━!!!
ｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(　　)━(ﾟ 　)━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━━━!!!

中の人乙

>>355
得意の自演というやつかｗ

おい増田！
おまえの院生指導？　チャンチャラ笑わせるなｗ
あれが指導かよ！　このバーか

痴漢野郎
懲戒になるときも、グタグダぬかしやがって
往生際が悪かったなｗ

謝罪しろ
土下座して謝れ
おまえのことを許さん　＞猫

土下座しろ＞猫

わかったか！

足をひっぱりやがって＞猫

糞め

696 名前：猫は残飯 ◆ghclfYsc82 ：2009/09/11(金) 06:39:42
オイ、コラ。ワシに文句言っとった馬鹿院生達、出て来んかい！！
ワシに文句言えるんならちゃんと言うてみよ！
ワシがココで訊いたるさかいナ。



697 名前：１３２人目の素数さん ：2009/09/11(金) 06:42:04
おう！　バカ？　おまえがバカだろ！

をいをい、ここではまともそうな役回りをしているが
おまえが同僚についてボロクソに言っていたのを
言われた本人も含めて、みなが知っているわい！

何だか荒れてますなぁ
一体何の騒ぎやねん！

命題
K を複素数体とする。
G を位相アーベル群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約(>>260)とする。

このとき、dim V = 1 である。
よって、ρ はその指標と同一視される。

証明
>>344より、任意の s ∈ G に対して ρ(s) = α(s)(1_V) となる
α(s) ∈ K が存在する。
このとき、dim V ＞ 1 だと ρ は可約となって仮定に反する。
証明終

>>445の証明において G の位相は何の働きもしていないことに注意。

命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
G の K 上のすべての既約表現の次数が１なら G はアーベル群である。

証明
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標の全体とする。
>>428より、|G| = h である。
>>433より、G の各共役類は１個の元よりなる。
よって、 G はアーベル群である。
証明終

猫、いや増田
おまえが謝れ
まずはそれからだ

700 名前：猫は残飯 ◆ghclfYsc82 ：2009/09/11(金) 07:54:36
あのね、ワシは何っちゅうて「誰を」、「どんな風に」
馬鹿にしたんでしたかね？
ちょっと覚えてないんでですね、
ココで思い出させてくれませんかね？

済みませんが宜しくお願いしますョ


ほうｗ　おまえの同僚だよ
主任に何て言ったか思い出せよｗ

ほう、何だか良く判らへんけど「同僚」じゃなくって：
「元同僚」
ってヤツですかね。まあ文句とか謝れとか
言わはるんやったら：
「先ずは自分の名前を名乗る」
事から始めましょうよ。そうでなければ：
「文句の内容に関する数学的な記述」
とかね、とにかく何かそういう話を公開
しはったらどうでっしゃろ！

そやないとワシは無視しますよ。
宜しいですわな。

そうそう、そんでねぇ
「アンタの話みたいなママゴト」
は数学を真面目にやってはる人の迷惑になる
さかいね、何処か別の所でやりませんかね。

ココはちゃんと表現論の話をやってるんやからサ。

命題
K を複素数体とする。
G と H を有限群とし、V を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を V における G×H の連続な線型表現(>>66)で既約とする。

このとき、ρ は ρ_1※ρ_2 と同型である。
ここで、ρ_1 と ρ_2 は、それぞれ G と H の
K 上の連続な有限次線型表現で既約である。

証明
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標全体とする。
ψ_1, ..., ψ_m を H の K 上の既約指標全体とする。
>>396より、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
G×H の既約指標である。

G と H は離散位相でコンパクト群とみなす。
μを G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとし、
νを H のHaar測度で ν(G) = 1 となるものとする。

i, j, k, l に対して i ≠ k なら
>>362より、
∫χ_i(s)ψ_j(t)χ_k(s)~ψ_l(t)~ dμ(s)dν(t)
= ∫χ_i(s)χ_k(s)~dμ(s)∫ψ_j(t)ψ_l(t)~ dν(t) = 0
同様に、j ≠ l なら
∫χ_i(s)ψ_j(t)χ_k(s)~ψ_l(t)~ dμ(s)dν(t) = 0

i = k かつ j = l なら
>>363より、
∫χ_i(s)ψ_j(t)χ_k(s)~ψ_l(t)~ dμ(s)dν(t)
= ∫χ_i(s)χ_k(s)~dμ(s)∫ψ_j(t)ψ_l(t)~ dν(t) = 0

(続く)

>>452の続き

よって、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
Cent(G×H) における正規直交列である。
ここで、Cent(G×H) は G×H 上の中心的(>>316)な複素数値関数全体である。

f ∈ Cent(G×H) がすべての χ_iψ_j に対して
∫f(s, t)χ_i(s)~ψ_j(t)~ dμ(s)dν(t) = 0 とする。

ψ_j に対して、g_j(s) = ∫f(s, t)ψ_j(t)~ dν(t) とおく。

任意の u ∈ G に対して
g_j(u^(-1)su) = ∫f(u^(-1)su, t)ψ_j(t)~ dν(t)
= ∫f(s, t)ψ_j(t)~ dν(t)
= g_j(s)
よって、g は中心的である。

すべての i に対して
∫g_j(s)χ_i(s)~ dμ(s) = ∫χ_i(s)~ dμ(s)∫f(s, t)ψ_j(t)~ dν(t)
= ∫f(s, t)χ_i(s)~ψ_j(t)~ dμ(s)dν(t)
= 0

よって、>>431より、g_j = 0 である。

s を固定したとき、t → f(s, t) は中心的である。
すべての j に対して g_j(s) = ∫f(s, t)ψ_j(t)~ dν(t) = 0 であるから
f = 0 である。
よって、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
Cent(G×H) における正規直交基底である。
即ち、G×H 上の既約指標はこれ等で尽くされる。
証明終

>>452の別証

命題
K を複素数体とする。
G と H を有限群とし、V を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を V における G×H の連続な線型表現(>>66)で既約とする。

このとき、ρ は ρ_1※ρ_2 と同型である。
ここで、ρ_1 と ρ_2 は、それぞれ G と H の
K 上の連続な有限次線型表現で既約である。

証明
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標全体とする。
ψ_1, ..., ψ_m を H の K 上の既約指標全体とする。
>>396より、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
G×H の既約指標である。

和 Σχ_i(e)^2ψ_j(e)^2 を考える。
ここで、和は、すべての組 (i, j) に渡る。
e はそれぞれ G と H の単位元である。

>>428より、
Σχ_i(e)^2ψ_j(e)^2 = (Σχ_i(e)^2)(Σψ_j(e)^2) = |G||H|

よって、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
G×H の既約指標を尽くす。
証明終

>>452の補足
>ρ を V における G×H の連続な線型表現(>>66)で既約とする。

G×H は離散だから G×H 上の任意の有限次線型表現は連続である。
よって、「連続な」という形容詞は余計である。

>>454の証明のほうがやや簡単だが、>>452の証明はコンパクト群の場合にも
通用するという利点がある。

>>452の補足
>μを G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとし、

G 上の任意の複素数値関数 h に対して

∫ h(s) dμ(s) = (1/|G|)Σh(s) である。

Σ を使わなかったのは、コンパクト群の場合との共通性を保つためである。

K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、E を K 上の位相線型空間とする。
U を G の E における線型表現(>>65)とする。
U が連続(>>66)になるための条件を調べる。

命題
X を位相空間とし、Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
C(X, Y) に一様収束の位相(過去スレ007の149)を与える。

C(X, Y)×X から Y への写像 (f, x) → f(x) は連続である。

証明
(f_0, x_0) ∈ C(X, Y)×X とする。
f_0(x_0) の任意の近縁 W をとる。
V^2 ⊂ W となる対称近縁 V をとる。

f_0 は連続だから x_0 の近傍 U があり、
任意の x ∈ U に対して (f_0(x), f_0(x_0)) ∈ V となる。

任意の x ∈ X に対して (f(x), f_0(x)) ∈ V となる
f ∈ C(X, Y) の全体を W(f_0, V) とする。
W(f_0, V) は f_0 の C(X, Y) における近傍である。

(f, x) ∈ W(f_0, V)×U とする。
(f(x), f_0(x)) ∈ V かつ (f_0(x), f_0(x_0)) ∈ V となる。
よって、(f(x), f_0(x_0)) ∈ V^2 ⊂ W である。
よって、(f, x) → f(x) は (f_0, x_0) で連続である。

(f_0, x_0) は C(X, Y)×X の任意の点であるから
本命題の主張が得られる。
証明終

話は変わりますが、コンパクト群および局所コンパクト群の表現についての
良書というと、どんなものがあるんでしょうか？

私の持っているのは Weil, Pontryagin, 壬生、Hewitt-Ross くらいでして。
これ等は局所コンパクト群の表現論には深入りしてないし、古いですし。
類体論に使う局所コンパクトアーベル群上の位相解析には、
さしあたり表現論の深い結果はあまり必要ないんで、これらで間に合いますが。

>>460
>類体論に使う局所コンパクトアーベル群上の位相解析には、

類体論に使う局所コンパクトアーベル群上の調和解析には、

>>439>>460　参考にする本が古すぎだな Weil の証明の方が筋がまとも
>局所コンパクトアーベル群上の調和解析
あんたのすきなブルバキがちゃんとあるのになんでコンパクト群かね

T と X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
写像 f: T×X → Y が与えられているとする。
各 x ∈ X で写像 f_x: t → f(t, x) が連続であるとする。
x ∈ X に対して f_x ∈ C(T, Y) を対応させる写像を ψ とする。

他方、T×C(T, Y) から Y への写像 (t, g) → g(t) を θ とする。

T×X から T×C(T, Y) への写像 1×ψ を考える。
ここで、 1 は T の恒等式 である。
(1×ψ)(t, x) = (t, f_x) である。

1×ψ と θ の合成 θ(1×ψ) は f に等しい：
θ(1×ψ)(t, x) = θ(t, f_x) = f_x(t) = f(t, x)

図式的に、
f: T×X → Y
= θ(1×ψ): T×X → T×C(T, Y) → Y

>>462
>あんたのすきなブルバキがちゃんとあるのになんでコンパクト群かね

Bourbakiのスペクトル解析はまだ読んでないんでｗ
本は持ってますが。

ブルバキのスペクトル論はそのものズバリ
ポントリャーギン双対定理を扱っているのにね
まああれでもちょっともたついているが

因みに、壬生はHewitt-Rossと非常に似てます。
証明の進め方、式の記号もそっくりです。
非難できる立場ではないですがｗ

命題
T と X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
写像 f: T×X → Y が与えられているとする。
各 x ∈ X に対して写像 : t → f(t, x) を f_x とおく。
各 t ∈ T に対して写像 : x → f(t, x) を f_t とする。

このとき、以下の条件が成り立てば f は連続である。

1) 各 x ∈ X で写像 f_x: t → f(t, x) は連続である。

2) H = {f_t; t ∈ T} は F(X, Y) において同程度連続(過去スレ009の315)である。
ここで、F(X, Y) は X から Y への写像全体である。

証明
x ∈ X に対して f_x ∈ C(T, Y) を対応させる写像を ψ とする。
即ち、ψ: X → C(T, Y)
ここで、C(T, Y) は T から Y への写像全体である。
C(T, Y) に一様収束の位相(過去スレ007の149)を与える。

2) より、任意の x_0 と、Y の任意の近縁 V に対して
x_0 の X での近傍 U が存在し、
任意の x ∈ U と任意の t ∈ T に対して (f(t, x), f(t, x_0)) ∈ V となる。
これは、写像 ψ: x → f_x が x_0 において連続であることを意味する。
よって、ψ: X → C(T, Y) は連続である。

一方、>>459より、T×C(T, Y) から Y への写像 θ: (t, g) → g(t) は連続である。

>>463より、1×ψ と θ の合成 θ(1×ψ) は f に等しい：
よって、f は連続である。
証明終

>>465
>まああれでもちょっともたついているが

誤解のないように言っておきますが私は理論の展開を「クリアに」とか「綺麗に」
とか書くことにあまり重点を置いてないです。
また出来るだけ最新の方法を追求するとかも考えてないです。

それより「腑に落ちる」証明をしたいと思っています。
出来るだけ「自然な」証明というのも狙っています。
それから、非構成的な証明より構成的な証明とか。
歴史的な順序とかも気にしています（こだわるわけではないですが）。

以上は、私の願望でして、実際とは違うかもしれません。

>>468
言ってることが支離滅裂だな。

>>462
>参考にする本が古すぎだな

だからお勧めを聞いてるわけでして

無茶苦茶だなあ。表現論に深入りせず
局所コンパクトアーベル群だけでいいなら
局所コンパクト群にまで手を広げる必要はない。
そんなところまで広げたら収拾がつかない。
いまでも収拾がついていないのに。

>>471
表現論の良書を聞いたのは、将来の参考にするためです。
別に今、このスレに応用しようというわけではないです。
早く整数論に行きたいんで表現論はPeter-Weylにとどめておくつもりです。

>コンパクト群および局所コンパクト群の表現についての良書
こういう聞き方が既に笑っちゃうところだが
このような漠然とした言い方では何を知りたいのか
わからないな
コンパクト群だけなら範囲は限定されるけれど
局所コンパクト群となると方向性だけでも桁違いに広くなってしまうし
一般論ではつまらないし(そんなのをいまどき表現論なんて言わない)
まして良書なんて個人の好みによるだろうけど
考えつかないな
本格的なのはどれもこれも分厚いけどそれだけで何かを勉強できて
満足するようなものはない
Kummerの書いているものから推してどんなのが欲しいかは
想像できるが死ぬほど時間をかけてよまないといけないようなのを
良書だなんてとても言えないね

>>473
入門書ですよ

そうだな良書とは思わないが
古風な面影を残した一般論の本だと
辰馬伸彦　位相群の双対定理　きのくにや
なんてあるぞ
現代の表現論を全然代表してないけど
Kummerごのみかも

>>474 入門と言ってもどこに入門したいかがわからんわけだ
局所コンパクト群の表現だけじゃ

>>475
ありがとうございます。

愚問でしたね。
数学辞典（３版ですが）のユニタリ氷原の項を見たら膨大で。
私としては、p進代数群の表現に興味ありますが。
ということで、この質問はなかったことに。

ユニタリ表現

>この質問はなかったことに。

オマエ喧嘩売るつもりか
ふざけんのも大概にしろよ
ひとをおちょくりやがって

ｐ−しんなんていちばんむずかしいぶんやだからな

それよりJacquet-Langlands 読め
はなしはそれからだ
あとは Harish-Chandra 全集と
Gelfand 全集の関係ある論文

Jacquet-Langlands の写経の方がいまのより役に立つ

か

どうかわからんな
この調子じゃな

　　　 　　＿＿＿_
　 　　　／　　 　 　＼
　　　／　 _ノ 　ヽ､_　 ＼
　 ／ oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo ＼ 　ほんとはじゃっけらんぐらんずでやりたいんだお…
　 |　　　　 （__人__）'　　　　|
　 ＼　　 　　｀⌒´ 　 　 ／

　 　 　　　＿＿＿_
　 　　　／　　 　 　＼
　　　／　 _ノ 　ヽ､_　 ＼
　 ／ 　oﾟ⌒　　　⌒ﾟo　 ＼ 　でも表現論の専門的な知識がないと読めないお…
　 |　　　　 （__人__）　　　　|
　 ＼　　 　 ｀ ⌒´ 　 　 ／

　 　 　　　＿＿＿_
　 　　　／⌒　　⌒＼
　　　／（ ●） 　（●）＼
　 ／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼ 　　だからばんぷでやるお！
　 |　　　　　|r┬-|　　　　　|
　 ＼ 　　 　 `ー'´ 　 　 ／

Bump か
イスラエルから来ていたな
ゲルファントの6巻のいちぶとか
いわさわーていととか講義してたな
知ってるないようだけどつきあいで聞いた

>>476
古典群の超尖点表現の入門書を教えてくれ

補題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の位相線形空間とする。
次の２条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) G の単位元 e の近傍 V で、V×E から E への写像 (s, x) → ρ(s)(x) が
連続となるものが存在する。

証明
s_0 を G の任意の点とする。
x_0 を E の任意の点とする。
T を E の 0 の任意の近傍とする。

1) より、0 の近傍 U で x ∈ U なら ρ(s_0)(x) ∈ T となるものが存在する。

2) より、e の近傍 W と 0 の近傍 S で
s ∈ W ∩ V かつ x ∈ x_0 + S なら ρ(s)(x) - ρ(e)(x_0) ∈ U
となるものが存在する。

よって、s ∈ W ∩ V かつ x ∈ x_0 + S なら
ρ(s_0s)(x) - ρ(s_0)(x_0) = ρ(s_0)(ρ(s)(x) - ρ(e)(x_0)) ∈ T

s_0(W ∩ V) は s_0 の近傍であるから
G×E から E への写像 (s, x) → ρ(s)(x) は、(s_0, x_0) で連続である。
(s_0, x_0) は G×E の任意の点であるから ρ は連続である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の位相線形空間とする。
ρ を G の E における線型表現(>>65)とする。
次の３条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) G の単位元 e の近傍 V で ρ(V) が L(E, E) において
同程度連続(過去スレ009の315)となるようなものが存在する。
ここで、L(E, E) は E から E への連続線型写像全体である。

3) E の密な部分集合 D で D の各点 x で s → ρ(s)x が連続となるような
ものが存在する。

証明
過去スレ009の351より、ρ(V) においては、
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)は一致する。
よって、各点 x ∈ E で写像 s → ρ(s)x は連続である。
よって、>>467より、V×E から E への写像 (s, x) → ρ(s)(x) は
連続である。
よって、>>486より、ρ は連続である。
証明終

>>486の訂正
>次の２条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

ρ を G の E における線型表現(>>65)とする。
次の２条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

命題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、E を K 上の樽型空間(過去スレ009の617)とする。
ρ を E における G の線型表現(>>65)とする。
次の２条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) E の各点 x で s → ρ(s)x は連続である。

証明
V を G の単位元 e のコンパクト近傍とする。
2) より、E での単純収束の位相(過去スレ007の161)で
ρ(V) は準コンパクトである。

任意の x ∈ E に対して、L(E, E) から E への写像 ψ_x: f → f(x) は
連続である。ここで、L(E, E) は E から E への連続線型写像全体である。

1) より、ρ(V) ⊂ L(E, E) であるから、ψ_x(ρ(V)) は準コンパクトである。
よって、E の任意の連続な半ノルム p に対して
p(ψ_x(ρ(V))) は有界である。
よって、過去スレ009の633より、ρ(V) は単純有界(過去スレ009の632)である。
よって、一般化されたBanach-Steinhausの定理(過去スレ009の634)より、
ρ(V) は同程度連続(過去スレ009の315)である。
よって、>>487より、ρ は連続である。
証明終

>>489の訂正
>任意の x ∈ E に対して、L(E, E) から E への写像 ψ_x: f → f(x) は
>連続である。

任意の x ∈ E に対して、L(E, E) から E への写像 ψ_x: f → f(x) は
L(E, E) における単純収束の位相で連続である。

補題
X をBaire 空間(過去スレ009の176)とする。
f を X 上の下半連続関数(過去スレ008の113)で有限値のみとるとする。
このとき、X の空でない開集合 U で sup{f(x); x ∈ U} ＜ +∞ となるものが
存在する。

証明
A_n = {x ∈ X; f(x) ≦ n}, n = 1, 2, ... とおく。
各 A_n は閉集合であり、X = ∪A_n, n = 1, 2, ... である。
X はBaire空間だから、ある n に対して A_n は内点を持つ。
U としてこの A_n の内部をとればよい。
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上のノルム空間とする。
ρ を E における G の線型表現(>>65)とする。
次の２条件が満たされるとする。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) E の密な部分集合 D で D の各点 x で s → ρ(s)x が連続となるような
ものが存在する。

このとき、G 上の関数 s → |ρ(s)| は下半連続(過去スレ008の113)である。

証明
|ρ(s)| = sup{ |ρ(s)x|; x ∈ D, |x| ≦ 1} であるから、
|ρ(s)| は下半連続である。
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、E を K 上のノルム空間とする。
ρ を E における G の線型表現(>>65)とする。
次の２条件が満たされるとする。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) E の密な部分集合 D で D の各点 x で s → ρ(s)x が連続となるような
ものが存在する。

このとき、G 上の関数 s → |ρ(s)| は、G の任意のコンパクト集合 K 上で
有界である。

証明
過去スレ009の180より、G はBaire 空間(過去スレ009の176)である。
よって、>>492と>>491より、
G の空でない開集合 U で M = sup{|ρ(s)|; s ∈ U} ＜ +∞ となるものが
存在する。

G の任意のコンパクト集合 K は有限個の s_1U, ..., s_nU により被覆される。
任意の t ∈ U に対して
|ρ(s_it)| = |ρ(s_i)ρ(t)| ≦ |ρ(s_i)||ρ(t)| ≦ |ρ(s_i)|M である。

よって、関数 s → |ρ(s)| は K 上で有界である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、E を K 上のノルム空間とする。
ρ を E における G の線型表現(>>65)とする。
次の２条件が満たされるとする。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) E の密な部分集合 D で D の各点 x で s → ρ(s)x が連続となるような
ものが存在する。

このとき、ρ は連続である。

証明
V を G の単位元 e のコンパクト近傍とする。
>>493より、G 上の関数 s → |ρ(s)| は、V 上で有界である。
M = sup{|ρ(s)|; s ∈ V} とおく。

任意の x ∈ に対して、
sup{|ρ(s)x|; s ∈ V} ≦ sup{|ρ(s)||x|; s ∈ V}
≦ M|x| ＜ +∞

よって、過去スレ009の633より、ρ(V) は単純有界(過去スレ009の632)である。
よって、一般化されたBanach-Steinhausの定理(過去スレ009の634)より、
ρ(V) は同程度連続(過去スレ009の315)である。

よって、>>487より、ρ は連続である。
証明終

おまえはまだ懲りずにオナニースレを書いているのか＞くんまー

補題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上のHaar測度とする。
f を K(G, K) (過去スレ009の21) の任意の元とする。
任意の s ∈ G に対して
ψ(s)f ∈ K(G, K) を ψ(s)f(x) = f(sx) により定義する。

p を 1 ≦ p ＜ +∞ となる実数とする。
L^p(G, K, μ) (過去スレ008の299) におけるノルムを N_p と書く。
即ち、N_p(g) = (∫ |g|^p dμ)^(1/p) である。

このとき、任意の実数 ε ＞ 0 に対して G の単位元 e の近傍 U があり、
st^(-1) ∈ U なら N_p(ψ(s)f - ψ(t)f) ≦ ε となる。

証明
S = Supp(f) とおく。
W を G の単位元 e の近傍でコンパクトかつ対称(W = W^(-1))とする。
S はコンパクトであるから、G の単位元 e の近傍 U ⊂ W で
st^(-1) ∈ U なら |f(s) - f(t)| ＜ μ(WS)^(-1/p) ε となるものがある。

st^(-1) ∈ U のとき、
N_p(ψ(s)f - ψ(t)f)^p = ∫ |ψ(s)f - ψ(t)f|^p dμ
= ∫ |f(sx) - f(tx)|^p dμ(x)
= ∫ |f(st^(-1)x) - f(x)|^p dμ　　← μ は Haar測度だから
= ∫[WS] |f(st^(-1)x) - f(x)|^p dμ(x)
≦ ε^p
証明終

>>495
ワシはアンタを狙っています。覚悟する様に。

Kummerさん：どうしてTeX形式で書かれないのですか？
TeX書式で書いてもらった方が有難いのですが。
st^(-1) \in U って書いてもらってOKですよ。
我々全員TeXでも読めますので。

ほんでやね、βは今何処で何してんねん！
ちょっとココへでも顔出さんかいな。
ワシが相手したるさかいナ。
出て来るんやったら早よせえよ、
人の迷惑になるさかいナ。

ほう・・・おまえはその存在が迷惑であることが分からないらしい脳ｗＷＷＷＷ

鶴巻温泉がなにか？ｗＷＷＷＷＷＷＷＷ

大爆笑

ほんで、どないしたん？
ワシの存在がアンタには迷惑っちゅう事を良く知ってる
さかいココに居るのや！　判ったか！

オマエが直ぐにレスせえへんかったら
もっと追い詰めたるゾ
そやし早うせえや！

ワシはオマエの事を睨んでるだけでやね、
そんなドアホを見てもとても笑えないわなァ
そやけどアンタは大爆笑かいな！
そんな腐った頭で何笑ってんねん！
ちょっと言うてみいや、
ワシが読んだるさかい、
早く早く早く

オラオラ

どうやって追い詰めるのかｗＷＷＷ　
ほら、やってみろよ　はようｗ

おまえは死ねばそれでいい

命題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上のHaar測度とする。
p を 1 ≦ p ＜ +∞ となる実数とする。
f を L^p(G, K, μ) (過去スレ008の299) の任意の元とする。
任意の s ∈ G に対して
γ(s)f ∈ L^p(G, K, μ) を γ(s)f(x) = f(s^(-1)x) により定義する。

このとき、γ は Banach空間 L^p(G, K, μ) における G の連続な線型表現である。

証明
s → γ(s) が G の線型表現であることは明らかである。

過去スレ012の495より、f ∈ L^p(G, K, μ) のとき、
∫ |γ(s)f|^p dμ = ∫ |f(s^(-1)x)|^p dμ(x) = ∫ |f(x)|^p dμ(x)
即ち、N_p(γ(s)f) = N_p(f) である。
よって、γ(s) は連続である。

>>496より、f ∈ K(G, K) (過去スレ009の21) のとき、写像 s → γ(s)f は
G から L^p(G, K, μ) への連続写像である。
過去スレ008の343より、K(G, K) は L^p(G, K, μ) において稠密である。
よって、>>494より、γ は連続である。
証明終

こん

猫ってだれなの？

ＩＨＥＳに行って来たけど、誰か最近行った人いますか？

このスレに書いて有る事項くらいもう既知だと思いますが
βさん、あなたの証明した定理はどういうメリットがあるのですか？







アホのβ調子こいとったらぶっ潰したるからな、ハゲが。

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
T: E → E を連続な線型写像とする。

T = T^* となるとき、T をHermite写像または自己随伴写像という。
ここで、T^* は T の随伴写像(>>128)である。

メリット？知らんな
しかし一流紙に載っているのでそれを見てくれ

クンマーは自分で定理をつくって、それをここで証明したらどうか？

一流誌ねぇ、ソラ是非とも見せて貰わんとアカンなぁ
そやしネ、どの雑誌の何番何号の何ページとかだけでも
言うて貰わんと誰も信用せえへんがな！

アンタ、まさか「狼少年」とは違うんやろ！
データくらいはちゃんと出せや

>>510
ちょっと質問なんですけどネ、最近はお庭の音楽堂で
時々ちゃんと音楽会とか演奏会をやっていますか？

また「夏の常連」の面々ですけどね、ゲルファントとか
メーザーとか来てました？

覚えていたら教えて下さい。

猫

織れの論文？そんなもん、シュプリンがーリンク、
サイエンスダイレクト、プロジェクトユークリッ都
とか見れば、ざっと三十数個は見られるよ

わいは女のお万個をふたつしか知らない
日本には6千万くらいおマンコがあると聞いているが、
齢５０になっても、そのうちの２つしか知らないというのは
どういうことなのか？

>>517
言ってて恥ずかしくならんの？

いいの、いいの。馬鹿が自滅するのを皆で観賞しましょうよ。

K を実数体または複素数体とする。
G を有限群とする。
K[G] (>>423)の基底は G の元であるから積が定義される。
この積を K[G] の元の間の積に線型的に拡大することにより、
K[G] は環となる。
これを G の K 上の群代数と呼ぶ。

G から K への写像全体を C(G, K) とする。
G の元 x = Σ(x_t)t, t ∈ G, x_t ∈ K に、
写像 t → x_t を対応させることにより、K[G] から C(G, K) への
全単射が得られる。
この全単射により、K[G] と C(G, K) を同一視する。

f, g ∈ C(G, K) のとき、f と g の K[G] における積を f*g と書くことにする。
f*g(s) = Σf(t)g(u), tu = s
よって、f*g(s) = Σf(su^(-1))g(u), u ∈ G

f ∈ C(G, K) のとき、写像 g → f*g を T(f) と書く。
T(f) ∈ Hom(C(G, K), C(G, K)) である。
ここで、Hom(C(G, K), C(G, K)) は C(G, K) から C(G, K) への
線型写像全体である。

(f*g)*h = f*(g*h) であるから T(f*g) = T(f)T(g) である。

(続く)

>>521の続き

f ∈ C(G, K) のとき、s → f(s^(-1))~ を f^* と書く。
ここで、f(s^(-1))~ は f(s^(-1)) の複素共役である。
C(G, K) に Hermite形式 <f, g> = (1/|G|)Σf(s)g(s)~ を入れて
Hilbert空間とする。

f, g, h ∈ C(G, K) のとき、

<f*g, h> = (1/|G|)Σ(Σf(su^(-1))g(u))h(s)~
= (1/|G|)Σg(u)(Σf^*(us^(-1))~h(s)~)
= <g, (f^*)*h>

よって、写像 g → f*g の随伴写像(>>128)は h → (f^*)*h である。
即ち、T(f)^* = T(f^*)

f = f^* のとき T(f) はHermite写像(>>512)となる。