集合論なぜなにスレッド

基礎論から抜け出して、数学としての集合論を語るスレ

基礎論なぜなにスレッド　その{φ,{φ},{φ,{φ}}}
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049229/

222222222222

742 ：１３２人目の素数さん ：03/09/20 04:35
皆さんの集合論の教科書でおすすめのものはどれですか？

743 ：１３２人目の素数さん ：03/09/20 06:59
>>742
標準的な教科書ならば、Thomas Jechの「Set Theory」と
Kenneth Kunenの「Set theory : an introduction to independence proofs」。
Kunenの本の方がコンパクトにまとまっていて読みやすいけど副題の通り
独立性証明への導入がメインでlarge cardinalもdescriptive set theoryも
ほとんど扱ってないので、Jechの本と合わせて読むのがいいと思う。


744 ：１３２人目の素数さん ：03/09/21 01:58
>>742
Kunen や Jech よりも introductory で、しかも安価で手に入りやすいのは、
Levy の Basic Set Theory かな。値段のわりに話題豊富で、最初の一冊として
はおすすめ。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486420795/249-7984170-9566721

ちなみに Kunen の本はもう品切れになってる。Jech は事典みたいな本。

745 ：１３２人目の素数さん ：03/09/22 02:50
ありがとうございます。
ところで、Jech　の最近の版と以前のものでは違いがあるのでしょうか？

746 ：１３２人目の素数さん ：03/09/22 03:23
>>745
分量が大幅に増えてて、構成も一新されてます。
別の本といったほうがいいかもしれない。

とりあえず、あの一冊さえあれば、たいていのことは
載ってると思って間違いないです。

747 ：746 ：03/09/22 04:18
>>745
補足。第一版と第二版は、そんなに差はありません。誤植が直ってるのと、
多少増補されてる程度です。最新の第三版で大幅に改訂されました。古本等で
古い版を買われる場合には注意してください。

あと、さらに特化されたトピックに関しては、次のようなモノグラフがあります。

巨大基数全般：
A. Kanamori, _The Higher Infinite_, Springer, Springer, 2003.
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540003843/

内部モデルと巨大基数：
M. Zeman, _Inner Models and Large Cardinals_, de Gruyter, 2002.
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3110163683/

実数の集合論：
T. Bartoszynski & H. Judah, _Set Theory: On the Structure of
the Real Line_, A. K. Peters, 1995.
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/156881044X/

記述集合論：
A. S. Kechris, _Classical Descriptive Set Theory_, Springer, 1995.
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3540943749/

基数算術：
E. Weitz, et al., _Introduction to Cardinal Arithmetic_, Birkhaeuser,
1999.
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/3764361247/

748 ：１３２人目の素数さん ：03/09/22 18:38
絶版になってない邦書ではあるでしょうか？

749 ：１３２人目の素数さん ：03/09/23 02:53
>>748
田中尚夫、『公理的集合論』、培風館、1982年

っていうのが和書では一番いいんだけど、残念ながら品切れ。
現在でも手に入るものだと、

倉田令二朗・篠田寿一、『公理論的集合論』、河合文化教育研究所、1996年
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4879999679/

難波完爾、『集合論』、サイエンス社、1975年
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4781901468/

の二点が、独立性証明まで扱ってていいと思います。
ただ、倉田・篠田本はすごく 素っ気無いです。
難波本は著者の不思議なつぶやきがいっぱいだけど、
Boolean valued model をあつかってる貴重な本。

φ,{φ},{φ,{φ}},...からなる集合を自然数全体の集合とし、これを{0,1,2,3,...}とかく。
自然数の順序対(0,0),(1,1),(2,2)などを0とみなし、(1,0),(2,1)などを1とみなし、
(0,1),(1,2)などを1の加法における逆元とみなし、...として整数を作る。
整数環の商体を有理数体というのだ。そして、有理コーシー列またはデデキントカットによって実数を作り、
実数の2次拡大として複素数を作る。
これで数はできた。さて、写像は、公理的集合論ではどう定義するのか？やはり二項関係を使うのか？

写像の実体は集合だよ

数列は写像だよ

オマンコも写像だよ

掴もうぜ！ オマコンボール ！

外史のブルーバックは良書

集合論は現代数学の基礎だ。
自然数、整数、有理数、実数、複素数はすべて集合で定義できる。
さらにステップアップしよう。
Rを整数、有理数、実数、または複素数として、さらに和と積が入っているとしよう。
R[X]の元は�蚤_kx^k(k=0からnまでの和)と書ける。(a_k∈R)
R[X]の元は、Rの直和として書けることはすぐにわかる。
(和は各項の和で、積はk番目は添え字の和がkになるものの積全体の和になるようにする。)
これで新しい数空間(環という。)ができる。
これの商集合を考えることもできる。
(よく知られているように、複素数体は実数係数多項式環をイデアル(x~2+1)で割ったものだ。)

おかしいなぁ。カレットを書いたつもりがティルデになってしまった。
語るにも語りつくせない集合論。
初等幾何学の三角形、直線、円、直角(角度)なんかは公理的集合論の範疇に収められるのか？気になるところだ。

集合の本質とは何か
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1047674196/
参考までに

>>15 それって圏論に転ぶ前にブルバキがやっちゃってたことでは。

　　　　　 .l''',!　　　　 .r-、　　　　　 .,､�＝@　　　　　　.l''',!　　　　 ./ｰ､,,,_　　　　 .r-，　　　　　
　　 .广''''″.¨ﾞﾞ!　 .,,,丿 {,,､､，　　.ｖ-lﾞ .!-ｒ/i､　　广''''″.¨ﾞﾞ!　　　.!､,　　lﾞ　　　　 | .｝　,�＝@　　
　　 .ﾞl---， ぃ"　 .|　　　　 .|　　 .|　　 _,,{ﾞl .ヽ　 ヽ--i､ .ぃ"　　.,,,,,,,,二ｉ"　　 .,..-" .ヽl、ﾞl　　　
　　 r---┘.―'i､　"',! ./ﾆﾆﾆ、　 ￣| .Ｌ,,,,,ﾞl,,i´ .r---┘.―'i､　 .|　　　 :,!　　 |　　　　.l　.|、　　
　　 |＿＿　._,,,,｝　　ﾉ .| |　　 lﾞ　　.／　　　ﾞ'i､　.|＿＿　._,,,,｝　　"''''ﾂ ./　　　"''ﾄ .|ﾞi､ ||、ﾞl　　　
　　　.,―-" |　　　 .ﾉ .lﾞ `"ﾞﾞﾞ'"　 ,i´,�〕ﾞﾞ^'i､ |　　.,―-" |　　　　 ../　 `i､　　　 lﾞ ,lﾞ |　|.ﾞl.,ﾉ　　
　　 .lﾞ .,,,,,,　.＼　　.lﾞ .lﾞ ,，　　　 .lﾞ .|.｝ |　　| .|　 / .,,,,,,　.＼　　 ../　.,.i､ |　　　 lﾞ .lﾞ .| .,! .゛　　　
　　 |　し,,lﾞ .、 ﾞ,!　,lﾞ ,lﾞ.i".ﾞﾞ'''''"!　ﾞl .″.|.,!'''゛ lﾞ　 | .lﾞ,,,,lﾞ .、 ﾞ,!　,/｀／ .| ."'ﾞﾞl　./ .lﾞr┘,lﾞ　　　　　
　　 .ﾞl,　　.,/｀∪　 ﾞ〃 .`ｰ--丿　.ﾞ'--ヽ{,,,.／　 .ﾞl,,　　_/｀∪　.ﾞl.,i´　 .!,_,,,／ .lﾞ../ |　.,i´　　　　

今外史のブルーバックス読んでる。

751 ：加護天使 ◆j/LLggzims ：03/09/24 01:26
>>749
難波本と倉田・篠田本の違いは、
難波本では、述語論理の完全性証明が付いていて、最初からBoolean valued model でやる、
倉田・篠田本では、NBGとのつながりをつけて、Forcing で独立性やったあと、
Boolean valued mode と Forcing のつながりをつけるぐらい。

私は初等幾何学のモノを公理的集合論でどんな集合で表すか知らないが、
三角形、円、直角、直線、線分、半直線、点、面などに対応する集合を適当に定めて、
対応する公理を付け加えればいいのではないか？

本当の意味での集合なんて無いってテレビで数学者の誰かが言ってたんだが、
どんな意味なんですか？

本当の集合は、公理的集合論から作られる。
ツェルメロの公理は、
外延性公理で集合の相等を定め、
空集合公理、対集合公理、和集合公理、冪集合公理、無限公理、分出公理、正則性公理から作られる。
さらに、置換公理、選出公理を付け加える理論もある。

「有る」とか「無い」ってのはこの場合、どのように考えれば？

>>22
前後の文脈は？　それがわからないと、それだけでは答えようがないよ。

ひとついえる事は、公理的集合論の公理から生成され得ない"集まり"は集合ではないということだ。
たとえば、身長180cm以上の人の集合とか、重さ10グラム以上の硬貨の集合とかは公理的集合論では考えられない(?)ということだ。

>>23
別にいいけど、正則性公理はノイマンが付け足した公理だから
ツェルメロの公理じゃねーぞ。

>>27 一般的にはよくそういうことがいわれてるけど、それ、ちょっと微妙
なんじゃなかったっけ。ツェルメロも正則性公理をノイマンと独立に発見
していた、というような話を聞いたことがある。ちょっと文献ソースが
いまわからない。ごめん。

正則性公理は含めるの普通みたいだね。数学史的にはどうなんだか
しらないけど。

Paul Cohen って，フィールズ賞とったあとにどんな仕事してるの？
少なくとも集合論ではほとんど文献をみかけないんだが．

Stanford のページをみると，専門分野として集合論のほかに，
調和解析，偏微分方程式論があがってるけど，それぞれの分野では有名な
んでしょうか．誰か詳しい方，情報を求む．

新数学におびえる集合論マンセー君↓

889 ：１３２人目の素数さん ：03/10/14 19:05
｢新数学｣はどうなったん？期待してまってんだけど。

908 ：１３２人目の素数さん ：03/10/15 15:00
実無限を認めない｢新数学｣ってのはいつんなったらでてくるの？
きちんと体系だった理論として構築するのに成功した人いるの？
それともいまんとこ｢間違ってる派｣の人の脳内にしかないの？
さすがにそんなことないと思うんだけど。知ってるしといないん？

917 ：１３２人目の素数さん ：03/10/16 03:53
｢新数学｣でも｢旧数学｣でもいいからその｢可能無限｣のみで
規定される数学というのを規定すりゃいいじゃん。
ず〜〜〜〜〜と楽しみにまってるんだから。
誰が理解してようとしてまいと関係ないでしょ？
極端な話もしこの板にオレを含めてだれも理解できないにしても
それをしないことにはなんにもはじまらないでしょ？

>>31
誰も、おびえてはいないと思うよ。
31を書いている人が、誰かをおびえさせてると思いたいだけ
なんだろう。
対角線論法のスレッドたてた人は明らかにその傾向あり、ひょっと
して、あなたが、その人だったりして、、、。

>32
リクエストに答えられなかったってのが
トラウマになっちゃってるんだよ、彼は

Keith Devlin:
The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory,
2nd ed., Springer, 1993.
は、どうでしょうか。
手近にあるのですが、読もうかどうか、迷っています。

おまいらにとって集合論って一体何の役に立つんだ？

Shelah の pcf theory についての解説希望！

>>36
数セミ 2001年7月号に、1/2ページ程度の概略が載っています。

>>37
ありがとう。その記事はみてみましたが、さすがにそれだけではほとんどわからないですね。
そこで挙がってる参考文献にあたってみます。

>>38
Jechの Singular cardinals and the pcf theory にはもう少々書いてあります。
概略としてはこちらも良いと思います。

>>39
サンクス！　さっき Jech のサイトからとってきました。読んでみます。
関係ないですが、Jech のサイトにあるプラハのパノラマ写真は素敵ですね。

保守age

やさしい入門書を教えてください。

集合への３０講とかどうでしょう？
わからないことがあったら、この俺が教えてあげますよ。

さっそく買ってみます。
仕事があるので遅々として進まないかもしれませんが、よろしくお願いします

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

今年のカープ賞は記述集合論の二人でしたね。

> 2003 Carol Karp Prize
> Gregory Hjorth, UCLA and Alexander Kechris, Caltech
>
> The sixth Carol Karp Prize was awarded at the ASL Annual Meeting to
> Gregory Hjorth and Alexander Kechris for their recent work on Borel
> equivalence relations, in particular for their results on turbulence
> and countable Borel equivalence relations.

From: http://www.aslonline.org/Karp_recipients.html

というかこの賞、モデル論と集合論の人しかとってないような気がするんだが…

(0,1)と[0,1]の間の全単射写像をつくれ。

兄さん姉さん！僕に数学を教えてくれ！

f(1/2)=0
f(1/4)=1
f(1/2^n)=1/2^(n-2)　(n≧3)
f(x)=x　(otherwise)

これってどういうジャンル？

455

016

田中尚夫『公理的集合論』では、一般連続体仮説の独立性証明が載っていないのですが、その証明をフォローするのに適した本を教えていただけるとありがたいです。

>>1
ﾃﾝﾌﾟﾚ(･∀･)ｲｲ!!

106

集合論の言語では、普通、変数とか個々の対象とかは
皆、集合をあらわしますけど、
集合をあらわす記号体系と、命題を表す記号体系を別々に同時にもってる
言語が考察された例ってありますか

56の言ってることが良く分らんが、多領域論理のことを
いってるのかな？　それとも、任意の命題に対して〜というような
二階述語論理みたいなことがやりたいのだろうか。

個々の言語自体が数学の考察の対象になることは少ないと思うのだが。

集合の定義を教えてください。

Re:>>58 集合とは、公理的集合論の外延性公理、空集合公理、対公理、和集合公理、冪集合公理、無限公理、分出公理、正則性公理、置換公理、選択公理によって規定される述語のことである。
(述語でいいのだろうか？)

集合と第一階述語論理の関わりを教えてください。
公理的集合論と第一階述語論理の関わりを教えてください。

集合の定義とは一つしかないんですか？

>>59
ありがとうございました。
あと、ｋ口調が似てるけど自分は>>60,>>61とは別人です。

「集合の定義」を定義せよ。
さもなくば答えられん。

Re:>>63 無定義語って知ってるか？

ヤマジンのP=NPとかだろ

開集合の公理の条件の中に、開集合系｛U｝は空集合を含んでいること、
って言う条件が入ってたんですが、むしろ空集合含んでない集合なんてあるのか？？
と思た・・・（空集合自身は除くとして・・・

空集合は空集合を含まないし、{a,b}は空集合を含まないよ。
開集合云々は位相の話だから関係なし。

a≠φ, b≠φな

Re:>>66 「含む」という語は大変行儀が悪い。
ここでは素直に数学記号を使ったほうがよい。
任意の集合Xに対して、空集合⊆Xだが、
空集合∈Xになるとは限らない。
{a}⊆{a,b,c}であり、a∈{a,b,c}である。

あーなるほど分かったぽい、⊂の意味ではつねに含んでるけど、∈の意味では含んでるとは限らないって事か・・・メンドクセー（；；・Д・）！

>>69
＞「含む」という語は大変行儀が悪い。
だから普通は、「部分集合である」とか「要素である」とかいうぞ。

やはり、これからの時代は、何と言っても、御大の「論*狸*学」でしょう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

うちの数学科の学部の人は、みんな必ず「含む」っていってる。
本当に勘違いするひとがいる以上、みんなにはやめてもらおう。
頭悪く見えるし。

なに考えても無駄！
どうせ、パラドックスにより消滅するのだから！

Re:>>74 消滅したのは素朴集合論だ。
公理的集合論が消滅したわけではない。

素朴集合論って消滅したんですか？

Re:>>76 ラッセルのパラドックスって聞いたことないか？

さて、皆さん
自分自身を要素とする集合と
自分自身を要素としない集合を
考えましょう。

ところで、
結局自分自身を要素として含む集合は無いし
自分自身を要素として含むプロパークラスも無いでFAなんだよね？

やはり、これからの時代は、何と言っても、御大の「論*狸*学」でしょう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

がんばるねー、もしくはスクリプトか？

796

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4130629093
のと
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000054244
とはどう違うんですか？
（上の本持ってます。）

著者が違う

具体的に、多くの人に有益であるような、二者の違いを教えてください。

だれか初心者にお勧めな集合論の本教えてください
なるべくわかりやすいやつお願いします
そしてなるべく日本語で書かれたやつお願いします

どこまでやりたいかによる

集合、位相って上のヤツで勉強できるんですか？
個人的には集合論も位相空間論も公理的集合論も中途半端
（あるいは適度に）書いた本だと思ったんだけど。
自分で読んだわけじゃないが。

連続体仮説って本当に正しいんですか？

それは部外秘なんじゃよ‥

まあ勉強君はブルーバックスでも読んで出直してきていただきたい

感覚的には可算集合と連続体の中間には無限集合は存在しないと思うんでですよ。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4130629093/は微妙？

選出公理の意味がよくわかりません。
例えば、A＝｛1｝、B＝｛2｝、C＝｛1、2｝
からひとつづつ元を選び出して、新しい集合を作ったら
Cと同じ集合になるでしょ。それって新しい集合ではないけど、
それでもいいんですか？誰か教えてください。

Re:>>94 新しい集合とは？
とりあえず、A,B,Cの元を少なくとも一つ含む集合が存在することは選択公理からもいえるが。

>>94
選択公理は有限の範囲では自明なので、間違ってはいないけど、
そう考えても選択公理のアイデアをつかむことはできない。

>>95
選出公理：どれも空でないような集合を元とする集合(すなわち、集合の集合)があったときに、
それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
↑
この文章の意味もよく分からない。
その新しい集合の元の数は一個でも無限でもいいって事ですか？
空でない集合の族の直積集合が空でないっていうのも同じ意味なんですか？

>>94
そうだ・・・・選択公理ってようするに何だ？　ないとどう困るのだ？

>>97
選択公理のアイデアを使えば、
何か自明でない事が証明できるんですか？

94の集合の場合だとCの元からは必然的に1と2の二つの元を選ばなければならなくなるので、
定義に書かれているように一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることはできない事になる。
そう考えると選出公理は嘘って事にならないのか？

Re:>>100 選択公理：
空でない集合の列{A_λ}_λ∈Λに対して、選択関数Λ→ΠA_λが存在する。

選択関数とは、どういう働きをするもの？　中学生にもわかるような
説明のしかたはない？

Re:>>102 選択関数の像を考えればいいだろう。
当然ながら、選択関数は、λに対してはA_λの元を対応させるものとする。

>>101
ΠA_λの記号の意味が分かりません。
Πと_　の意味は？

どうでもいいって言えばどうでもいいことなんだが､「選出公理」はもともと「分出公理」の別名であって､選択公理の意味はなかったのだが､誤用する人が結構多いと､難波先生が著書で嘆いておられますた｡

Re:>>104 Πは直積、_はsubscript

なんとなく>>94=>>92だろうな
なんという本を読んでいるの？
ちょっと早とちりして色々頭に詰め込みすぎなんだと思います

>>102
勉強中なので間違ってるかもしれないけど、選択公理によって
無限集合を一つのまとまりとして取り出したり、扱えたりする
ことができるようになるんだと思う。

>>102
「公理的集合論」ISBN4-563-00430-8 より引用
ラッセルの例
ここに無限足の靴の集合がある。
これらの対から片方だけとり出して集合をつくることができる。
それには例えば各対から右足用の靴を選び出してきてまとめればよい。
しかし無限足の靴下の集合が与えられたときは､
これらの対から片方だけとり出して集合をつくることは困難であろう。
なぜならどのようにして片方を選ぶかわれわれにはその手段がないのである。
そこで神様にお願いして各対から片方をとり出す一種の関数をつくってもらう。
ここに天下り式に選択集合を受け取らざるを得ない一例をみるのである。
（引用終）
上の「一種の関数」が選択関数の例で、
選択関数の存在を保証しているのが選択公理

結構色々な人が、「靴下には洗濯が必要、と覚えておこう」
なんて通俗的な解説を付けているよね。
個人的には、ACの発表に際して、すぐさま「いや、ACは必ずしも
直観的に明らかではない」と反対した数学者達のセンスは
素晴らしいと思う。

左右の靴下の区別がつかないんだったら
｛Ａ，Ａ｝＝｛Ａ｝じゃん、既にはじめから

「左右の靴下を区別できない」ではなく、「靴下に左右の区別はない」。
選択公理の ZF からの独立性証明のアイデアは、
Russell の靴下 ⇒ Fraenkel-Mostowski's model ⇒ Cohen's model
と継承されているので、Russell の例を馬鹿にしちゃいけません。

>>112 も書いてるけど、靴は左右という一言で言える区別があるけど、
靴下は区別はあっても、左右とかいう一言で言えるものではない。

もすこし数学な例を挙げると、自然数の空でない部分集合全体
から代表元を選ぶには、各部分集合の最小のものを選べばよくて、
選択公理はいらないけど、
実数の空でない部分集合全体から代表元を選ぶには選択公理がいる。
（{x｜x⊆Ｎ ∧ x≠φ} には、選択公理によらない選択関数
{<x,y>｜x⊆Ｎ ∧ x≠φ ∧ y∈x ∧ (∀z∈x(z≧y))} が存在するが、
{x｜x⊆Ｒ ∧ x≠φ} には、そういうものがない）
実際、コーエンは整列不可能な実数を持つＺＦのモデルを作ることで、
選択公理の独立性を証明している。

選択公理とツオルンの補題はなぜ同値なんですか？

集合論の本読め
だいたいどの本にでも書いてあるだろ

選択公理は、quantifierの順番を∀∃から∃∀に
変えるおまじない

と誰かが言ってたような気がする。

>>109
わかりやすい例をありがとうございます。しかし、靴下のどちらを選んでいいのか
手段がないにしても、適当にどちらかひとつを選ぶことは出来るのではないでしょ
うか？　ある集合が空でないなら、すくなくともひとつの元をそこから取り出せる
でしょう。それを無限回くりかえせば、選択はつねに可能なのではないでしょうか？

ツオルンの補題の帰納的全順序集合のイメージがわきません。
例えば、集合｛ｘ｜0＜ｘ＜1、ｘは実数｝はどうして帰納的全順序集合にならないんですか？

・・・たぶん、そのようにして作った無限集合は、集合の定義に反する
という事なのだと思いますが、選択公理というのは、そのような本来、
集合の定義に反するようなものも集合として認める・・・という考え方
なのでしょうか？

靴下の数は可算個ですよね。
集合の数が非可算の場合にも選択公理は成り立ちますか？

>>117
んじゃ「その選択の仕方を説明してくれ。俺も全く同じようにやってみるから」って言われたらどうする？
有限回で説明出来ないって言ったら「その選択ほんとに出来るの？妄想じゃねーの？」と言われるかも。
そう考えるとこれが思ってるほど簡単な話じゃないってことがわかるでしょ。

誰か、お願いします。なぜ、代表元が任意のものであってはならないの
でしょうか？

いや。だから選択の仕方は無作為に行なうのです。それを無限回繰り返す
ことがなぜ出来ないのでしょうか。その結果、同一の集合は出来ないでしょうが
無限の集合族からそれぞれひとつずつの代表元を選んで集合をつくるという
条件はクリヤー出来ているのではないですか？

>>123
その選択の仕方が、誰でも同じように実行出来るような形で与えられないとダメだとする立場もあるの。
今は君がそういう立場をとってないだけ。だから選択「公理」なんだよ。

では、選択公理のいう選択関数とは、それを使えば、誰が実行しても
ある同一の集合が構成できる。ただ、その関数を明示的には特定できない。
という意味なのですね？　ある同一の集合が構成できるというのが、選択公理
ですね？

>>125
同一の集合が構成出来るというのとはちょっと違うかな。具体的には構成出来なくても存在だけは保証する、ということ。
逆に存在するってのは構成出来ることだという立場もあるから選択公理を認めるかどうかが議論の的になるわけ。

実にあいまいですね。ある空でない集合から任意にひとつの元を取り出す
というのは、我々がつねにおこなっている操作です。
ある無限集合族Ｘがあるとして、その中に空集合が含まれていないならば、
Ｘに属する集合からひとつずつ任意の代表元を持って来て、集合を作る事
自体はそれが出来ないかも知れないという可能性を持たないもののように
僕には思えるのですが・・・。問題の所在は何処にあるのか・・・。

>>127
既に>>113で例に挙げてあるけど、例えば実数体のべき集合P(R)から
空集合を除いたものをXとすればXは空でない集合からなる集合族になる。
この全ての元からどうやって一つずつ元をとりだす？その手続き全部を
示せる？

手続きを示さなくても、空でない以上、Ｘに属する集合から代表元を任意に
ひとつ取れるはずではないだろうか。それが空でないという意味なのだから。

>>129
選出可能　→手続を示せる
手続を示せない　→　選出可能ではない

そうですか。つまり、手続きを示せないから、選択可能でないが、しかし
手続きが示せなくとも、公理として選択が可能である、という事にするわけ
ですか？　つまり、ほんとうは手続きを必要とするのだが、それが不可能
そうなので、公理として可能という事にする・・・と。屈折してますよね？
それから、１２８さんの挙げた例ですが、手続きを示せないという証明は
出来るのでしょうか。もしかしたら、ある日誰かが手続きを発見するかも
知れない・・。

>>131
その場合(>>128)の手続を発見する事ができたのならその場合の選出には選出公理を必要としないが
全ての場合において選出公理を必要とせずに選出の手続（選出関数という）を示す事は出来ない

逆にいえば、選出公理を認める事と、選出関数の存在を認める事は同値
だから屈折してない

>>131
もう一度>>113をよく読んで。P.Cohenが選択公理の独立性を
証明するのに実際に「証明」している。整列不可能な実数の
構成がZF(Zermelo-Fraenkelの集合論公理)から可能だという
ことは、とりもなおさず、この実数体に対して選択公理と同
値な整列定理が成立しないことを意味している。つまり
「手続き」が存在しない。実際「手続き」が存在するとすれば
それを選択関数として使って整列定理が成立する。

なるほど。勉強してみます。ありがとうございました。

誤解を招きそうなので補足。

> 整列不可能な実数の
> 構成がZF(Zermelo-Fraenkelの集合論公理)から可能

もちろんZFだけでは無理。そうでなけりゃ選択公理はZFにおける
命題(恒偽命題)になって独立ではなくなる。

# これでいいのかな? 基礎論に詳しい人お願い。

>>131
>>109にある靴と靴下の例で考えてみたらどうかな。
靴の場合は右の靴だけ選ぶという「手続き」があるけど、
靴下の場合はそういう「手続き」を定める事が出来ない。
つまり、何番目かの靴下の左右が入れ替わったとしても、
元の選び方と違っている事を示す「手続き」がないわけ。
ただ選択公理を仮定すれば、それぞれが異なる選択関数だという事になる。

これは通俗的な説明に聞こえるかもしれないけど、
選択公理の独立性の証明を読むと、結構的を射てるように思えるんだよね。
この場合は「入れ替わり」は置換による自己同型に相当して、
「手続きがある」というのが hereditarily ordinal definable (HOD)に相当する。
HOD の範囲内では実数が整列不可能であるようなモデルを構成して
それが選択公理が成立していないモデルである事を示すんだけど、
これが「手続きを示せない証明」に当たるわけだね。

>>118
それは純粋に、その部分集合として(0,1)をとったとしたら、それには上界
が存在してないからじゃない？

>>113
性格に意味は取れないんだけど、それってRを整列可能にするような
順序≦を具体的には構成できないってこと？

>>131
> つまり、ほんとうは手続きを必要とするのだが、

それが違う。
手続きがあれば十分だが、ほんとうは必要かどうかはわからない。

>>102>>138
このへんの話に興味があるなら↓を勧める。面白くていい本だと思う。
「選択公理と数学」
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4795268908/249-4710288-9644317
序文と組見本
http://www2.odn.ne.jp/yuseisha/logic/ac.htm

>>138
ＺＦだけではＲを整列する２項関係≦（に対応する集合）が存在することを
証明できない。
もちろん、ＺＦＣまで行っても≦を具体的に構成するのは無理。

>>140-141
ありがとう。図書館で借りて見てみる。

>>135
余り集合論に詳しくないんだけど、それはZFで、
ZF+notACを満たす「或る」モデルを構成しただけで、
任意のモデルについてnotACを示したわけじゃないから
必ずしも恒偽とはならないんじゃないの？
ユークリッド幾何(-第5公準)のなかで非ユークリッド幾何
のモデルをつくるようなイメージ。逆に分かりがたかったら
スイマセン。

……というか、それほど基礎論に詳しい漏れが
答えてよいのだろうか。関係ないけど集合論はモデルの話が
混み合ってくる（数学の理論のモデル自体が、集合論の対象
なので、自分自身のなかにモデルを作って、命題の独立性や
無矛盾性を示したりする）面白いらしいです。

>>143
成り立つモデルもあるから恒偽ではないでしょう。

とりあえず。選択公理がなぜ必要なのかわからない人は、現代数学がとことん
「実在的」に扱われていることがわかっていないんだと思う。前別スレでも書
いたが、数学的帰納法を

１で成立。よって、n で成立なら n＋1 でも成立するので２でも成立。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって３でも成立。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって４でも成立。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって………………
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………
よって、すべての自然数で成り立つ。

と思っているうちはだめ。

>>145
それじゃだめだったのか。もし良かったらどう考えればいいのか教えて
欲しい。

数学的帰納法の公理によって成り立つと考える。
「なんじゃそりゃ？」
と思うかもしれんが、それが正しい解釈。
つまり、１４５のように考えるのではなく、

「『１で成り立つ』ことと、
　『n で成り立てば n＋１ でも成り立つ』ことから、
　いっきに『すべての自然数で成り立つ』を言う」

という数学的帰納法によって、その成立が保証されるというのが正しい解釈。
決して順番に成立がいえると言うことからいえるわけではない。

選択公理も同様で、
「順番にとってこれるからそういう関数があるのは当たり前」
というのは、間違い。そのような構成的な考え方を現代数学は
（敢えてそういう研究をしている分野を除いて）していない。
選択関数はあくまでも
「いっきに」
選択できるものでなくてはならない。したがって、明らかな規
則がある場合を除くと、その存在保証は難しくなってしまう。
それを保証するのが、選択公理である。

よくわからないのです。空でない集合からは任意にひとつの元が取り出せる。
という理屈が正しいならば、それが無限個集まろうが理屈はおなじで、それぞれ
から元をひとつずつ持ってこれる・・・と考えても良さそうに思えるのに、それ
はいけなくて、わざわざ公理を作る必要がある、というのが・・・

まあ数学的帰納法は明らかだから、公理は要らない、
なんてもし言ったらだめだよね。でも自然数は、集合論に
よって正当化したくないからか、(以上の操作によって創られる
もの「のみ」が自然数である)の代わりとして数学的帰納法の公理が
あるのだからXの代わりに何らかの仕方でその生徒が自然数を理解
しているなら、その仕方にそって説明しなければならないのでは
ないだろうか。まず最初に（有限個の）公理を定めて、それから
議論を展開する、と言うやり方はヒルベルト辺りからそうなって来た
だけで、ヒルベルトは「数学」を再定義してしまった、と言える。
まあ、直感（観の方が正しいかも）的な理解と正確な理解が異なる、
という意見には勿論同意。
……なんかプラスクワスみたいな話になっちゃった。でも漏れは
数学の人間であってそっち系ではないので悪しからず。

>>敢えてそういう研究をしている分野を除いて
構成主義数学のことを言っているのなら少し不正確なんじゃ?

(誤)自然数は→(正)ペアノの公理系には
Xの代わり→その代わり
実在的、というより公理的じゃないの?、何故公理的に扱うか、
というと扱っている対象が実在すると信じているため、
議論の拠り所をハッキリさせるためetc.だ、と言うことだと思う。
>>決して順番に成立がいえると言うことからいえるわけではない。
そうだけど、それこそが、帰納法の公理を認める理由だよね。

>>148
よくわからないと言われても、ZFからは証明できないという結果がある以上
公理にするしかないでしょう。
それに選択公理自体は直観的に受け入れやすいとしても、
そこから導かれる結果もそうだとは限らないですよ。
バナッハ-タルスキの定理なんかは「パラドクス」と呼ばれてますし。

公理主義が正しいかどうかも、決定できることではないのかも知れない・・・

>>148
素朴に考えれば明らかそうなんだけど、選択公理が、他の公理
から証明できない以上公理を作らないとしょうがないでしょう。
その意味ではユークリッドの第五公準と同じです。ユークリッドも
どうしても平行線は交わらない、ということが証明できなかった
からしようがなく公理に加えたのだろうから。明らかそうなことは、
公理をたてなくても良い理由にはなりません。
それに、実は選択公理はそれほど明らかな公理ではありません。
Banach-Tarskiのパラドックスだとか、決定の公理だとかを
調べてください。

おお、同じこと書いてる人が居た。
因みに152に対するレスですが、アルティンみたいに、
厳密さは時代の函数だからあまり気にせんでいい、
なんてすごいことを言う数学者もいるみたいですよ。
達観しすぎ！（ｗ

どなたかわかる方、教えて下さい。

Löwenheim-Skolemの定理を実数論に当て嵌めると、
可算個の元からなる実数のモデルM_0（可算モデル）が存在し、
その上での実数全体R_0および自然数全体N_0は集合論の意味で可算集合になります。
従って、通常の意味で、R_0とN_0の間に一対一対応φ：R_0→N_0（全単射）が存在します。
しかし、R_0はM_0の意味で非可算だから、M_0ではR_0とN_0の間に一対一対応がありません。
つまり、φは、可算モデルM_0上では全単射として存在しない訳です（Skolemの逆理）。

通常の本では、ここまでしか説明していませんが、
通常の集合論上での解釈と可算モデル上での解釈とが違う、
というというところが私の鈍い頭では直感的に理解できません。
M_0を実際に集合論上に構成し、集合論上でφ：R_0→N_0（全単射）を作り、
これが可算モデルでは全単射として存在しないことを示すことは可能でしょうか？

因みに、これの逆の超準モデルM*について、超準モデル上での自然数全体N*は集合論上非可算ですね？
これも理解しにくいのですが、N*は、超積を使い実際に構成することができるので、
幸い私でも認識可能なのです。

>>155
だいぶ前にその話に対するレスをどっかで見たんだけど…忘れた。
例えば実数を有理数のコーシー列の極限として考えたときに
通常のモデルと可算モデルで考えられる有理数のコーシー列全体の集合に違いがあり
それが実数にまで持ち込まれる、という内容だった気がする。

まあ、Loewenheim-Skolemは世界の七不思議の一つだから。
「可算」とはNとの間に全単射が存在する、と言うことだから、
自然数と写像の概念のどちらかが元と比べて狂っているのでしょう。
恐らく後者でしょうね。

>>156
なるほど、Cauchy列に違いがあるのですか。
それならば、Dedekindの切断でも両者の間に違いが出るんでしょうね。
詳しく知りたいです。

>>157
確かに、写像の概念が狂ってるんでしょうね。
私にとって、Löwenheim-Skolemは、七不思議どころか最大の不思議です。

う〜ん。わからん？？？
加算モデルと標準モデルの差異を詳しく説明した本はないものでしょうか。

>>155
「φ は R_0 から N_0 への全単射写像である」という命題の解釈が
通常の場合と M_0 での場合で違うかどうかが問題になってるんだよね。
異なるモデルで解釈が一致する事を「絶対的」と言うんだけど、
M_0 の構成の仕方によっては「絶対的」になってるケースも考えられる。
その場合は、そもそもφが M_0 の要素になっていない
（よって M_0 の中では全単射が存在しない）って事になるね。

レーヴェンハイム-スコーレムの定理に限った話じゃないけど、
証明を読んで分かるだけじゃなくて「こういう事か！」と
直観的に把握するのって、勉強の蓄積が必要で
かえって大変な事なんじゃないかな。

＞レーヴェンハイム-スコーレムの定理

みたいなことは、公理系を「記述できる述語にしか成り立たない」と
考えるから起きるんで、「記述できようができまいがどの述語でも成り立つ」
とすると無くなる。でも、その場合、必然的に二階の限量子が出てきてしまうが

それは２階の述語論理ということなのでしょうか

そうだね。
ただ、ここで重要なのは、ニ階の論理を一階に還元したりしないこと。
それやっちゃうと、レーヴェンハイム-スコーレムの定理が復活するから。

>>159
>証明を読んで分かるだけじゃなくて「こういう事か！」と
>直観的に把握するのって、勉強の蓄積が必要で
まさにそのとおり！この定理の証明は簡単だけど、その解釈がとてつもなく難しい。
私にはお手上げです。　(ノд<)

>>160-162
知識不足でちんぷんかんぷんです。　(/；_・、)
Löwenheim-Skolemを理解するためには、もっと基礎論を学ばないとダメでしょうか？
できたら、基礎論に深入りせず、前記の超準モデルの場合みたいに、具体的な例で納得したいのですが。

モデル論を勉強すればいいのかな？
漏れは余り良く知らない。

>>163
ま、そういわずにお前にも脳味噌あるんだろ。考えろよ。
つまりだな。モデルでは、記述できる集合しか考えなくていいんだよ。
だからモデルの中で「嘘」の実数の集合をつくってしまって、
それがモデルの中で、自然数の集合と一対一対応になる写像を
持たなければいいってだけのこと。
もちろん、モデルで記述できない写像によって一対一対応があっても
あくまでモデルの外のこととしてシラを切りとおしてよい。
なんたって記述できないんだから集合論上に現れようがない。
つまりモデルを作るってのは「ばれない嘘をつく」って感じだな

ところで作れるから理解できたってのはうそだよ。
簡単に騙されるようじゃ数学はやめたほうがいいね。

低俗プラトニスト万歳！

集合の集合の事を族というのはどうしてですか？
族も集合なんでしょ？

集合と区別したい時に族と呼ぶ

族と写像って違うの？

函数と写像って同じなんでしょ。何で写像って呼ぶの？

と同じこと。ニュアンスの違い。（もっとも族の場合……
と変なことを言う香具師もいるが）

>>170
サンクス。俺の持っている本が族を写像のように定義してないから、
何か特別な概念なのかと思った。

ニュアンスとして、函数の族、と言えば
ある特別なイメージはあるけどね。
通常の数学では、集合と、集合の集合はイメージが
違うだろうから。

商集合って意味不明なんですけど(つД｀)

そもそも何で商集合っていう名前が付いてるんでしょう？
同値類までは分かったのに、その定義の仕方が意味不明・・・

「三角形の形」を数学的に厳密に定義するのに、
三角形全体の集合をTとすると、「T/∽」だって・・・

ｳﾂﾀﾞｼﾉｳ

>173
相似∽が同値類であることは分かる？

>>174
分かります。
だってΔABC∽ΔDEF、 ΔDEF∽ΔGHIなら
ΔABC∽ΔGHI
ですよね？

>>174訂正
相似が同値関係になっているのはわかる？

>175
いたのか。

それなら、ΔABC∽ΔDEFだとすると、
ΔABCとΔDEFは相似が定義する同じ同値類にはいる。
角括弧[]が同値類をあらわすとすると、
[ΔABC] = {Δxyz | ΔABC∽Δxyz} = [ΔDEF]
ということになる。ここまでは理解した？

>>177
おっけーです

そうしたら「三角形の形」を理解するのは簡単。

例えば正三角形を考えてみる。

正三角形にはいろいろな大きさがある。
一辺の長さが1ミリのもあれば、1キロのもある。
一辺1ミリの正三角形は一辺1キロの正三角形とは全く別ものだよね。

ところが、相似を同値関係として商集合を作ると（つまりT/∽）、
その商集合の中では一辺の長さに関係なく正三角形は同じ同値類にはいる。

なぜ商集合T/∽が「三角形の形」を数学的に厳密に定義しているかは、
もう分かったと思う。つまり、「三角形の形」を考えるときは、サイズは
関係ない、すなわち、相似を基準に同じものは同じクラスに分類しよう、
というわけ。

>>179
なるほど。よくわかりました。

ところで、「商」として定義しているのは形式的なものなのですか？
例えば、X/R = C から、(Rは関係、Cは同値類の集合)
Xなる集合が定義されるとかそういう発展があるのですか？

さて、>179ではわざと厳密でない言い方をしてイメージをつかんでもらった。
具体的に言うと、
> ところが、相似を同値関係として商集合を作ると（つまりT/∽）、
> その商集合の中では一辺の長さに関係なく正三角形は同じ同値類にはいる。
この部分は少し厳密さにかける。

どこら辺が厳密さにかけるかというと、商集合(T/∽)の要素は同値類であって、商集合の
もとになった集合(ここではT)の要素、例えば一辺1ミリの正三角形は商集合(T/∽)の要素
ではない。

もう少し一般的に、定義し直そう。今集合Sに同値関係Rが定義されているとする。
そのとき、SにおけるRに基づく同値類[a]とは、Sの部分集合{x∈S | a∈S & aRx}の
ことである。

さらに、同じように集合Sに同値関係Rが定義されているとする。
すると、商集合S/Rとは、Sの部分集合の集合{[a]| a∈S }となる。

＞　Sの部分集合{x∈S | a∈S & aRx}

このxとaとは、Sの任意の元ということですよね。
つまり、関係を持つ元がつくる部分集合が同値類、だと。

あ、aは任意の元じゃないや。
[a]で指定した元だった・・・吊ってくる

かきなおすと
＞　Sの部分集合{x∈S | a∈S & aRx}
とは、aと関係持つ元が作る部分集合が同値類[a]、だと。

もしかして、「商」っていう言葉自体に引っかかっているのかな？

この「商」はもちろん割算の答えの意味の「商」と同じなんだけど、
集合論の中で考えるときは割算をあまり考えない方がいいかも。

どうしても割算の答の意味での「商」をとらえたいと思ってるなら、
剰余群ってのを考えてみるのがいいかもしれない。

郡論の教科書の頭の方に出てくるからちょっとみてみたら？

>>185
あ、集合に和集合とか差集合とかのイメージで考えようとしてたので
わり算のイメージを頭から無くしたら
前よりイメージがわいてきました。

今分かったのは、
商集合っていうのは、同じグループ(同値類)に属さない
部分集合を洗いだすようなイメージですが、
誤りでないですか？

>183
こちらの定義の仕方が不親切でした。

こう書き直すといいかも。
> そのとき、Sの任意の要素aに関して、SにおけるRに基づく同値類[a]とは、Sの部分集合{x∈S | a∈S & aRx}の
> ことである。

>>187
だんだん分かってきました。

Z/5Zだったら、
整数を5で割ったあまりが同じものを同値関係と定義し、
あまりがそれぞれ0,1,2,3,4の部分集合を商集合として取り出す、
ってことですかね？

で、更に言うと、とりだされた部分集合は
[0] = {0,5,10,15,・・・}
[1] = { 1,6,11,16・・・}
[2] = {2,7,12,17・・・}
[3] = {3,8,13,18,・・・}
[4] = {4,9,14,19,・・・}
という風に正整数全体を分類できる、と。

>>186
> 今分かったのは、
> 商集合っていうのは、同じグループ(同値類)に属さない
> 部分集合を洗いだすようなイメージですが、
> 誤りでないですか？

近くなってきた。ここで商集合に関する次の重要な事実を思い出してみるといい。
すなわち、(集合Sに同値関係Rが定義されているのは変わらないとして、)
商集合S/Rは集合Sの直和分割である、つまり、
i) ∪S/R = Sであり、かつ、
ii) S/Rの任意の要素[a]と[b]に関して、[a]≠[b]ならば[a]∩[b] = φ

>188-189
完璧！！

>189
細かいこといえば、Zで考えたなら、負の整数も入れなければいけないね。

>>190
ああ、そうか！
同値関係には推移律があるから
[a]=[b]だったら、同値類全体が等しくなるはずですね。

それで同値類の集合全部を商集合として定義すれば、
集合全体についてもれなく定義することができるんですね。

>>192
あ、そうですね。
正整数ならNか。

ところで、同値類は何故「類」なのか？
どうも集合であるものが多いような気がするのだが。

それと、「群論」ぐらい、漢字を正しく書いて欲しいところだ。

>>195
死ねよ

QmanとMathmaniaとKingMathは皆同類です．

同値類って英語で何ていうの

>>198
equivalence class

カントル「おい、おまいら！！濃度の異なる無限集合発見しますた。集合しる！」
ポアンカレ「詳細ｷﾎﾞｰﾇ」カントル「N＜P(N)ですが何か?」
ヒルベルト「集合論ｷﾀーーーーーーーーー」ブルバキ「ｷﾀーーーーーーーーーー」クロネッカー「無限集合ごときで騒ぐ奴は逝ってヨシ(そんな物は存在しないのだからw)」
カントル「オマエモナー」
ポアンカレ --------終了-------
ヒルベルト --------再開-------
クロネッカー「再開すなＤＱＮが！それより直観主義うｐキボンヌ」
カントル「排中律うp」
ポアンカレ「↑誤爆？」
ヒルベルト「形式主義age」
クロネッカー「糞形式主義ageんな！sageろ」
ヒルベルト「形式主義age」
ブルバキ「形式主義age厨uzeeeeeeeeeeee！！」
クロネッカー「ageって言ってればあがると思ってるﾔｼはＤＱＮ」ラッセル「イタイパラドックスが生まれるのはこの公理系ですか？」
カントル「氏ね」
ブルバキ「むしろイ�`」
ヒルベルト「形式主義age」
クロネッカー「ヒ ル ベ ル ト　、　必　死　だ　な　（　藁　」

カントル「おい、おまいら！！濃度の異なる無限集合発見しますた。集合しる！」
ポアンカレ「詳細ｷﾎﾞｰﾇ」
カントル「N＜P(N)ですが何か?」
ヒルベルト「集合論ｷﾀーーーーーーーーー」
ブルバキ「ｷﾀーーーーーーーーーー」
クロネッカー「無限集合ごときで騒ぐ奴は逝ってヨシ(そんな物は存在しないのだからw)」
カントル「オマエモナー」
ポアンカレ --------終了-------
ヒルベルト --------再開-------
クロネッカー「再開すなＤＱＮが！それより直観主義うｐキボンヌ」
カントル「排中律うp」
ポアンカレ「↑誤爆？」
ヒルベルト「形式主義age」
クロネッカー「糞形式主義ageんな！sageろ」
ヒルベルト「形式主義age」
ブルバキ「形式主義age厨uzeeeeeeeeeeee！！」
クロネッカー「ageって言ってればあがると思ってるﾔｼはＤＱＮ」
ラッセル「イタイパラドックスが生まれるのはこの公理系ですか？」
カントル「氏ね」
ブルバキ「むしろイ�`」
ヒルベルト「形式主義age」
クロネッカー「ヒ ル ベ ル ト　、　必　死　だ　な　（　藁　」

ゲーデル落ちかと思いきや。
ところでクロネッカーって、自然数全体の集合すら認めなかったん？

というかそもそも集合論を認めなかった。

>>203
なんだ、クロネッカーって有名だけど
俺よりバカだったんだな

>>204
どうして集合論を否定しただけで馬鹿になるんだ？

>>205
数学の超基礎の集合論も理解できないなんてタダのバカだろ

別に集合論は必ずしも数学をやる上で必要ないだろ。
現にワイエルシュトラスなんかは集合論を知らずに
解析学の基礎付けに成功したわけだし

>>207
しかし現実に集合論は数学にとって必須だろ

ガウスの時代に集合論がなかったことはどうやって説明するんですか？

というかクロネッカーは極端だと思うが、彼が責められるべきは
そんなところじゃないだろ

>>209
だからガウスなんて現代数学じゃないだろ。
現代数学＝集合論と言ってもいいほど密接だぞ。（言い過ぎだが）

>>206
理解するのと否定するのは別じゃないか?
いや、クロネッカーが理解していたかどうかはしらんが

どっちにしても、クロネッカーが現代に蘇ったら成功すると思うか？
集合論も認められない立場では無理に気魔ってんだろ。

いや、アメリカには構成主義数学者がいるから、
どうにかなるかもしれない（ｗ
というかクロネッカーの時代の数学ではまだ集合論に
密接に関与した数学なんて殆どなかっただろ

高級な数学使ってれば大丈夫？
基礎ってあと百年ぐらいしたら取り替えられるかもしれない
それが不安で仕様がない。選択公理よりも良いものが出てきたりとか…。

関数ってどっちの定義かな。
俺は
f : A → Bなら
f ⊂ A×B
＃ただし ∃!b∈B ∀a∈{a∈A | (a,b) ∈f }　( (a,b)∈f )
だと思ってたんだが、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
の流儀は違うっぽい。

どっちでもいいの？

疑問！
とりあえずSを空集合でない集合とし、φを空集合としよう。
また、写像の始域をdom()で、終域をcod()で示そう。
写像fで、dom(f)=φ,cod(f)=Sとなるものは唯一つ存在し、
dom(f)=S,cod(f)=φとなるものは存在しない。
では、dom(f)=cod(f)=φとなるfは存在しないのだろうか、それとも唯一つ存在するのか？

Re:>>215 [>>216]とは関係ないのだが、どうも云いたいことがよく分からない。

>>217
関数の定義の仕方の違いについて、です。

>>215
> ＃ただし ∃!b∈B ∀a∈{a∈A | (a,b) ∈f }　( (a,b)∈f )

限定の仕方が逆じゃなかろうか？これだと定値写像になるような。
写像だからそもそも定義域と始集合が一致して、

(f⊂A×B)∧(∀a∈A(∃!b∈B ((a,b)∈f)) )

となるような気がするけど。

>>216
ただ一つ存在する。始集合が空だから、空集合は直積の部分集合と
して写像のグラフの条件を満足する。つまりφ^φ={φ}で濃度は0^0=1。

Re:>>219 やはり存在するの方が有力ですね。

>>219
うわうわっ
記号、勘違いしてました。

すみません。それで…
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
これの流儀じゃなくてもOKですか？

どっちでもいいが、どっちの定義か分かるように
書いた方が良い。
全域函数、函数といって使い分けるか、
函数、部分函数といって使い分けるかの差

無限集合の要素∞個と
無限集合の冪集合の要素2＾∞個と
を一対一対応させてから
無限集合の冪集合の要素2＾∞個以外の要素もう1個を
対角線論法で作ると
無限集合から冪集合への上への一対一の写像にならなくなって
冪集合はもっと大きい濃度の無限集合になるのだそうですが
∞=∞+1　（　2＾∞=2＾∞+1　）　なのに
なぜ要素を1個プラスすると濃度が大きくなるのですか

∞ < 2^∞

>>223
どんな一対一対応を仮定しても対角線論法で崩れるんだから
一対一対応が存在するという仮定がそもそも間違っている。
従って∞≠2^∞

実際にプラスすることができる要素はとてもたくさんある

実際には少なくても（十進法で対角線論法をやったときには）
9*9*9*9*9*9*……個一対一対応で自然数と対応しない実数がある。

476

集合の集まりがクラスならクラスの集まりって何なの

すくーる

集合の族
集合族の族

善良な生徒も居ると言うに、何故、族になってしまうのだ？

そうだよ。真性包茎のクラスもあるというのに…

ずいぶんと臭そうなクラスだな

クラスの集まりはクラス。

１９世紀の投稿がなぜ今頃

例えば自然数の集合Ｎの存在は認めたとしてそのべき集合2^Nの
存在は自明ではないだろう。何故ならその要素をすべて生成
する方法などないだろうから。構成不可能なものの全体を
あたかも存在するかのように思う。
これがクロネッカーが集合論に反対した理由ではないか？

以上は無限論の教室という本の受け売りであるかもしれない。

Re:>>237 だがしかし、公理的集合論には、冪集合公理がある。

そういえばべき集合公理からはなんか妖しげな結果とかでてこないの？

>>238
だから？ 何を言いたいのか不明。べき集合公理があるから
べき集合が存在すると考えて問題ないという意味か。
それとも、べき集合の存在はあやしいから公理もあやしいという
意味なのか？　それとも単純にそういう公理があるよという
ことを書いただけなのか？

グラスの集まりはシャンペンタワー

クラスは集めちゃいかん

クラスA、B、Cが
A = { x | p(x) }
B = { y | q(y) }
C = { z | r(z) }
の時（ x,y,zはx,y,z∈aを満たさなくてもよい ）、
D = { α | p(α) ∨ q(α) ∨ r(α) }
のDはクラスの集まりっていえる？

集合の可算族の和や共通分の演算は測度論で頻繁に使うし、
集合論ではCantor-Bernsteinの定理の証明にも使われたり
するけど、どうもきちんと丁寧に解説してある教科書が少
ない気がする。何故だろう？そのくらい自分でやれ、とい
うことかな？

<script language="JavaScript">
roop = prompt("好きな数字を入れてください(20)以上はブラクラになります…","");
roop = parseInt(roop) - 1;
if(roop > -1){
initial = "{φ}";
for(i=0;i<roop;i++){
initial = initial + ",{" + initial+ "}";
}
document.write(roop+1+"="+initial+"<br/>");
}else{
document.write("Error - 1以上で入力しませう");
}
</script>

適当に作ったんだけど、これって妥当？

Re:>>245 11行目のメッセージおかしくない？

>>246
なんとなく意味は汲み取ってくれよん。
message - detail
形式だす。0が駄目なのは仕様ということで。

<!-- こんなとこ手抜きすんなよ -->
<script language="JavaScript">
roop = prompt("好きな数字を入れてください(20)以上はブラクラになります…","");
roop = parseInt(roop) - 1;
if(roop > -1){
initial = "{φ}";
for(i=0;i<roop;i++){
initial = initial + ",{" + initial+ "}";
}
document.write(roop+1+"="+initial+"<br/>");
}else if(roop==-1){
document.write("0=φ<br/>");
}else{
document.write("Error 0以上で入力しませう");
}
</script>

荒らすなボケども。

N^∞　の濃度って何になるんですか？

基礎論Part4は立てないんですか？

180

336

同値類の集合の定義ってなんです？
定義と言われても、同値類の集合としか答えようが無いと思うのですが・・・。

>>254
何が言いたいんだ？

商集合のことではなかろうか？分からなきゃ代数学は全滅だと思うが。

>>254
日本語としてよくわからんのだが。
「同値類の集合の定義を書け」とかいう問題が出されたとかってことか？

>>257
漏れへのレスだと思うが、〜をX上の同値関係として

[a]={x∈X; a〜x},
X/〜={[a]; a∈X}

と書け、ってことなんでないの？

集合論の基礎の基礎を学んでるけど、なんというか、
頭の中のイメージでは分かるけどそれを鉛筆で紙に書くとなると…う?ん?
って感じだ......orz

先生の話聞いてる分には面白いんだけどなあ

それは物理学で量子力学の啓蒙っぽい話聞くのとおなじような
かんじだと思うがどうだろうか…？

元とはなんですか？

要素のことです。

>>262さん
ありがとうございました

>>259
うーん、素朴集合論なら高校生でも
普通に分かると思うんだけどな…
（基数、序数云々はどうか知らんが）
竹内外史のブルーバックスはまあまあいいよ。
ただ彼は集合論は専門ではないけど。
（証明論が専門だから基礎論つながりではある。
じっさい公理的集合論の本も何冊か書いている）

環とか体とか郡とはなんの事？

郡→群のまちがいです。

ぐぐったら定義ぐらい出てくるんでない？
UFDってなんのこと？とか聞かれたら本を買えと言うけれども

>>264
公理的集合論も偏差値55以上の高校生なら理解可能。

>>268
でも成績は良いけど一寸勘違いした系の
電波の入った香具師が訳分からんことを言い出す
可能性がある（ｗ
というか数学なんだから別に独学でも若くても
才能があれば理解可能なのは当たり前

>>269
そこが数学好き。

っていうかたまに偏差値よくても感覚の海を渡り歩いてる香具師に
出会うことがある。文系にやや多め。

数学科だったら「集合と位相」って重要でしょうか？

Re:>>271 おそらく、位相は殆どの分野で現れる。

＞272
工学系でも位相は重要になってくるのでしょうか？

Re:>>273
工学系で何をやるのかよく知らないが、
位相の概念は、位相的性質(同相写像によって変わらない性質)を扱うにあたっても重要だし、
点列の収束、連続写像の概念も位相の話題である。
時間が許すなら、やって損は無いと思う。

つまり、工学系ではあまり重要でないということだ。

工学の人にはそこまで重要ではないと思うけどなあ
まあ朝倉の30講くらい読んでも罰は当たらんよ。
ただ役に立つことは度外視してもらわないといけないが。

本を読んでいてLevyの原理が云々と書いてあったんですが
どなたか大雑把にでもどういうものか教えていただけませんか？

集合の濃度の概念がよく分かりません

図書館に行って調べましょう

>>278
有限集合の場合、その濃度は集合の要素の個数となる
個数の概念を拡張した考え方。

質問する時は具体的に書かないと無視される一方です

大きな図書館の管理人が、
本のタイトルに関し、
（1）いずれかの本の本分中に記載されている本　と、
（2）記載されていない本　との
2種類に分類した。

そして、
（1）と（2）の一覧をまとめた本をそれぞれ新たにつくり、
その2冊の本を図書館に置いた。

しかし、
（2）の一覧に載っている本は、
「タイトルがいずれかの本の本文中に記載されていない本」では
なくなるため、
（1）に分類されることとなる。

管理人はどうやってこの問題を解決したか。

管理人をやめて旅に出た。

外延性公理についてなのですが、
∀x∀y( ∀a(a∈x ⇔ a∈y) ⇒ a=b )
であるということなのですが、
∀a(a∈x ⇔ a∈y) ← a=b
を満たさない集合でもあるのでしょうか？

∀x∀y( ∀a(a∈x ⇔ a∈y) ⇒ a=b )
でbは急に出てくるのかい？変だな？

x=yの間違いじゃない？

多分等号（に関する）公理equality axiomが前提されているんだろ。
一方公理が等号を定義しているとみなすときには⇔を使う。
だから難波『集合論』では⇒を使っているけど
それ以前に＝に関する公理に対する言及がある。
ShoenfieldのSet Theoryの章も同じ。
田中『公理的集合論』では⇔を使っている。

ということだと思う。違ったら失礼。

122

565

正則性公理は集合論の帰納法の原理。

ＪｅｃｈのSet Theory を読むぞー！！！

>>290
ｶﾞﾝｶﾞﾚｰ

A,B,Cを集合とする。次の中で成り立つとは限らないものをすべてあげ、その理由を具体的に説明せよ。

1, AxB=BxCならば、A=B
2, A+C=B+Cならば、A=B
3, 2^A=2^Bならば、A=B

わかりましたら、お願いします。

まったく

誤記?
> AxB=BxCならば、
AxC=BxCならば、

Re:>292 直和なんだろうけど、一応+の意味を説明してくれ。

>>289
古典論理の上の集合論では同じだが、直観主義になると違うのでご注意を。

Re:>295 私はそれを、パラドクスを排除するためにあるものだと認識していた。

>>296
日本だけに広まっている迷信ですね。

斉藤正彦が集合論を知らずに数学者になっている人も大勢いると言っていたが、本当？

公理的集合論なら別に知らなくてもいいんじゃない？

>>298
齊藤正彦さんって集合論知ってるわけ?

>>300
さすがに、講義で超準集合論の話をするためには集合論を知らないと。
一般教養ゼミナールで学生とゲーデルの本も読んだそうです。

そもそもカントール以降だから、
リーマン以前は集合論なんてしらなかったっと…

>>302
現代の話をしているのではないかと。

非標準解析はモデル理論だからモデルの構成法を沢山知る必要性はある。
Brun 理論だとか・・・

もし可測基数がが存在すればネーター環のウルトラ積がネーター環になるから、
代数の反例が一挙に構成される。

>>298
日本語？

>>300
そいつの本を読んでいる俺は…

>>306
へたくそだと言いたいのか？

Monatshefte fur Mathematik und Physikを1931前後だけ入れてる図書室はモグリ

Monatshefte fur Mathematik und Physikを1932前後だけ入れてる図書室はモグラ

Monatshefte fur Mathematik und Physikを1932前後だけ入れてる図書室はモジラ

Monatshefte fur Mathematik und Physikを1933前後だけ入れてる図書室はゴジラ

集合族と集合系の違いって何？
集合族は集合が像の写像で、記号だと（Ｏλ）λ∈Λ
集合系は集合の集合だと思ってたけど。
なんか、同じ意味だって人もいるし、全く逆の意味で使ってる本もあるし…。
どうなってるの？

>>312
集合系って見たことないなあ。
集合族ならその意味（添数付けられた集合の集まり）でいいと思うよ。

開集合系（開集合全体の集まり）って言うじゃん。
記号で書くとしたら{Ｏλ｜λ∈Λ}　？
この言葉自体一般的じゃないのかな。

とにかく集合族で検索したら（集合の集合）の意味で定義したページが多数ヒットするのが気になる。

クラス？

同じ

集合族は集合の集合

集合系（Ｏλ）λ∈Λ　は（集合に限らず）
λ　が異なっていても　Ｏλ　が同じでも良い

内田伏一ってひとの本では
集合系＝添字のついた集合
集合族＝集合の集合
ってなってるんだけど、松坂さんの本だと全く逆だった。
ちなみに東大出版の数学の基礎には集合系は載ってないが
集合族は添字集合の意味で載っていた。
結論：どっちでもいい。

定義はそれぞれの本に依る
その本の定義に従うのが一番良い
書かれていなければ、どのような定義が最適か自分で考える

世界統一定義決めちゃった方が早くね？

統一定義なんて作るほどのことじゃあない

でも面倒だし
さっさと数学の標準機関でも作って表記法とか統一しちゃえよ

「添字のついた集合」なんて言葉で数学的対象が確定している
ような気持ちになっている著者がおかしい。
>312 にあるように、添字集合からの写像が数学的対象であり、
A_i のようなものは A が写像、A_i はその値を表す。いまの場合
これが集合である。
(一般に集合 X があるとき、X の要素に X を添字集合として自然に
添字をつけたものが、X 上の identity となる。)
「添字のついた集合」という言葉を使っている人のなかには、形式
記号 x_1, x_2 と上記の A_i の区別がない人が多い。

>323
そんなこたぁない
「添字のついた集合」っていうとき、
厳密には「A_i のようなものは A が写像、A_i はその値」なのは当たり前で、
いまさら誰もそんなことでごたごた言わないだけ。

そんなのいちいち解説するのは大学初年度向け（集合・位相など）の本で十分。
また大学初年度向け（集合・位相など）の本で説明して無いなら本は落第点。
添字集合と集合族（考察対象）がはっきりしていれば普通は脳内補完

>形式 記号 x_1, x_2 と上記の A_i の区別がない人が多い。
「形式記号」か「写像の像」なのかの区別も初心者向けの本だけで十分

>>323
いや、本にはちゃんと「写像」って書いてあるんだけど
俺が勝手に添字集合って呼んでるだけです。すみません

>>325
それなら、324 さんのいわれるとおりで問題ないと思います。
>>324
「形式記号」か「写像の像」なのかの区別は初心者向けの本には
書かない方が無難と思われます。この区別が本当に必要なのは、
形式体系をコード化するときで、そのことが問題になるのは本当に
一部の人だけでしょうから。

形式体型をコード化するか…
なんだか空しいように思える

確かに、意味があるのにはあるのだが、意味がないといえばない気がしてしまう

>326
そうだね

>>324の最後の行
↓
〜の区別もその手の分野の初心者向けの本、もしくはそれが主題の本だけで十分

141

集合論って将来性ありますか?
専攻にしたいんだけど。

>>330
これでも読んで判断してみてください。

S. Shelah, “The future of set theory”
ttp://shelah.logic.at/E16/E16.html

>>331
thx
そんなに悲観的なことは書いてないですね。

S. Shelah
は有能な人。
Qの微分代数閉方が存在しないことを示した。

ttp://www.geocities.co.jp/SweetHome-Ivory/6352/sub3/soft.html
↑
弦集合論について誰か解説して！！

有能というのは、激辛な評価ではないだろうか。

まったくだ

現役でやってる著名な集合論の研究者って誰?
コーエンってまだやってるのかな。

>>337
モデル論なら、集合論と近いのが沢山居るけれども･･･

>>337
淵野さんもお嘆きのように日本であまり集合論が講義されないから、
著名な学者は昔の学者に限られてしまうのかな。

819

786

>>335
論理的には、「激辛」といういえないが、通常の感覚でいえばそうだね。
Shelah はすごい! Fileds 賞は受賞しなかったが、すごさは数学者の
間でも有名らしいね。

http://www010.upp.so-net.ne.jp/intruder/books.htm
哲クズが数学について偉そうにコメントしている。
哲くずって、なんでこうも数学に粘着するんだ?

例)
松坂和夫『集合・位相入門』、岩波書店、1968
集合論はやはり古さを感じる。素朴集合論だし。
位相空間論の方はとても面白かった。
最初のinformalな動機づけの方がむしろ私には分かりにくかったりした
（これは前に志賀浩二を読んでいたので、informalな考えは少し身に付いていたからかもしれない）。
この本の位相空間論の読書は、日々の読書の中でもっとも楽しい時間だった。

333

「集合全体の集合」というものが集合にならないって本当ですか？

>>345
本当

Re:>345 正則性公理を満たさない。

>>345
集合全体は、集合でないというべきでは無いでしょうか？
これが集合であるとすると矛盾するというのが有名な話しで、正則性公理
とは関係なく矛盾がでる。(ラッセルのパラドックス)

そうそう、順序数全体、基数全体でもラッセルのパラドックスのたぐいが生じる。
だから、普通はクラスを導入する。

でも、Fefermanみたいなその他の道もあり。

http://academy3.2ch.net/test/read.cgi/sociology/1094986423/
「ゲーデル不完全性定理と学問の客観性」

自己言及やミクロコスモスとマクロコスモスの対応や観察って、
古より連綿と続く問題なのに、
いまさら不完全性定理にだけ結びつけられてもモナー。

>>350
不完全性定理、相対性理論、不確定性原理




電波ＤＱＮの三種の神器と言われていることを

知っておくように

Fefermanは何をしたのですか。

集合を内包的に扱い、外延的でない扱いの理論もあるよという程度のつもりが、
べき集合もなりたたないので私が書きすぎた。
集合全体ではelementarinessを満たさないし、、。

林晋先生の本にも紹介してあったと思う。

「集合全体」が集合にならないのだとしたら、どれくらいの大きさ
までは集合と見なして問題ないのでしょうか。

巨大基数について、素人にでも分かる本を教えてください。

>>355
集合に関する公理破んなきゃOK。公理から導きだされればOK。

>>356
素人って、どれくらいの素人？　構成可能宇宙や強制法の知識があるんなら、

・A. Kanamori, _Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings_,
　2nd ed., Springer, 2000.

がいいと思う。もっと初歩的なところから知りたいのなら、ちょっと古いけど、

・F. Drake, _Set Theory: An Introduction to Large Cardinals_, North-Holland, 1974.

ぐらいかなあ。

>355

>>357のような公理集合を目一杯見つけていこうとしている所

>>358
本のことを教えていただき、ありがとうございました。
高校の数学程度しかわからず、また、あとは、いわゆる素人向けの
ブルーバックスや一般読者向けの数学のガイドものしか知りません。
最近では「素数に憑かれた人たち・リーマン予想への挑戦」（ジョン・ダービージャー著）
などを読んでいる程度です。
頭も悪いし、ここの板に書き込みをされているみなさんのように、明晰、博学でも
ありませんが、素人向けの本の中に、
到達不可能個数、弱コンパクト数、ラムゼイ個数、、、、超膨大個数などという言葉があり、
いずれも、想像上の巨大な基数で、その存在を認めると、実数の集合にまで影響を及ぼすとか。
可算無限と実数の無限などはイメージできても、さらにそれらさえ、どんな操作をしても、
届かない無限となると、イメージすることさえ、かないません。
本当に残念です。せめて、間違っていても、自分なりに少しでも納得、イメージできれば、と思うのですが、
なにしろ、無学。余裕ができれば、大学の一回生の講義を受けて、時間がかかっても死ぬまでに、
到達したいと思います。
ご親切に、感謝します。
もし、どなたか、イメージできる方法を教えてくだされば、助かります。
よろしくお願いいたします。

すいません、続きです。
もし、どなたか、巨大基数のイメージをつかむ、簡単な方法が
あれば、お教えいただけると幸いです。
よろしく、お願いいたします。

可測基数を考えてみろ

１，３，７，１３，２１・・・

>>360, 361
到達不能なκとは「κより小さい基数」を「κより小さい基数」用いただけでは表現できない基数
もうちょっと詳しく言うと、次の2条件をみたすκが到達不能基数

　１．regular：
　　　κより小さい基数の上昇列の極限としてκをあらわそうとすると、その列の要素数はκとなる
　２．strong limit：
　　　κより小さい基数λのベキをとっても κに達しない （λ＜κ⇒ 2＾λ＜κ）

定義を説明しただけだが、これ以上は簡単にはならないと思う
巨大基数といってもZFCの公理だけからではその存在が証明できない基数の総称
当然、それぞれの巨大基数の定義によってイメージも異なる
巨大基数について簡単に検索しても↓だけあるね
ttp://www.fact-index.com/l/la/large_cardinal.html
イメージを掴むには、字面（論理式）から基数をイメージするトレーニングする、つまり基礎からやるしかないと思う

>>364
ありがとうございました。
この掲示板のお世話になる前に、ｋ大学の方のページにも、巨大基数の研究に
ついての記述がありました。それらを参考にしながら、いつかは、大学の集合論を
受けて、自分なりに、がんばってみます。
ご親切に大変、感謝いたします。

>>364
条件が一つ抜けている
κ は極限基数である事。

極限基数にどんな操作を加えても、到達できない、巨大な基数があるとすれば、
どんな数学が考えられるのか、と理解すればいいのでしょうか？
そして、その仮定の方法によって、さまざまな巨大基数が考えられる。

それは、実際には“存在”しないのに、虚数の“存在”を仮定することで数学が進歩したのと
同じようなものと考えれば、いいのでしょうか？
もしよろしければ、どなたか、お教えください。

０でない。

pyupyonさんは
集合と論理に関してどの程度の知識をお持ちなのですか?

>>369
高校の数学程度しかわからず

と書いてあるじゃん。
日常的な言葉で、素人にも分かったつもりになれるように、表現してくれ　ってことでしょ。おそらく。

>>366
サンクス、けどそう細かいことまで要求されてないと思う、イメージしたいんでしょう

>367
ただ巨大基数に見せられてというヒトもいるだろうけど、やっぱり次の2つが動機じゃないかな
　ZFCだけでは解けない問題を解決するためには、どんな巨大基数存在公理を考えれば良いか
　またそのような巨大基数の存在から、他にどのようなことがいえるのか

>実際には“存在”しないのに
虚数の存在を否定しても、ただ実数の世界に狭まるだけ
「巨大基数」はさまざまに定義されたさまざまな基数の総称であって、
巨大基数の一つの存在性が何らかの意味で否定されても、別の巨大基数は否定されていない
実際に存在しないかどうかはわからないし、ただZFCのみを前提としただけではその存在がいえないってだけのこと
そう考えると虚数の存在よりもっと不確実で土台固めの段階のように見える

あと、定期的に「いつかは、大学の集合論」と言う人がでてくるが、公理的集合論やるなら大学を選ぶ必要があるよ

>>366
無学なものに貴重なお話、本当にありがとうございました。
ついでに、甘えてよいのでしたら、教えてください。
選択公理を認めるか、認めないかで、先の数学が変わるとききます。
バナッハの“定理”は選択公理を用いるそうですが、
明らかに現実の世界とは異なります。
ほかにも、現実に対応しないようなものもたくさんありそうです。
すると、どんな公理を選ぶかで、数学の世界が異なるのなら、
極論すると、公理を選択する人の数だけ、数学もあるのでしょうか？
となると、いったい、明晰、論理的に“正しい”といえるものはなくて、
恣意的に、人が選ぶ、大樹の枝分かれした形のように思えます。
そのあたりは、結局、選んだ公理の先で得られる世界が“豊か”かどうかで
数学の未来は続いていくのでしょうか？　その場合の豊かさの基準は？
本当に素人のバカな質問で恐縮ですが、どなたか、ご親切な方に
お教え頂ければ、幸いです。

>>371
何大学がいいですか？ちなみにボクは、今浪人しています。

>>372
>明晰、論理的に“正しい”といえるものはなくて、 恣意的に、人が選ぶ、大樹の枝分かれした形のように思えます。
>結局、選んだ公理の先で得られる世界が“豊か”かどうかで 数学の未来は続いていくのでしょうか？

そうだと思う。
ただ、今は「数学の未来」というより「公理的集合論の未来」という感じ
当事者には数学他分野の未来ももといわれるかもしれないが

そのＫ大学（Ｋって関西のでしょ？）の研究室に連絡とって聞けば良い
大学に入ってないからといって邪険にはされないはず

本当に研究したいなら、別のＯ大学に入ったとしても、Ｋ大学のセミナーに参加させてもらえばいい
仮にやりたい分野がある大学に入っても、普通は研究室配属は3年以降だから、
自分から連絡取らない限り、１，２年時は自分で勉強するしかなくなるぞ

>>374
ご親切、ありがとうございました。公理の選択の組み合わせの数だけ、数学の世界があると
分かっただけ、少し納得できました。現実の世界と矛盾しても、それはそれで数学。
面白いものですね。まだ、何年かは、仕事をしないと生活ができませんが、ひとりで
コツコツ、行けるところまで、行ってみます。
こうして、専門の方のお話を聞ける機会があって、本当にありがとうございました。

先端の数学で、神と戯れることのできる、みなさんが、うらやましく思いました。

横レスすまんが。

>現実の世界と矛盾しても

ってのはちょっと、どうかと思うぞ。おそらくバナッハ・タルスキの
ことを指してるんだと思うが（違ってたら、ごめんね

アレは見ての通り、分割のやり方そのものが非可測的なのであって、
現実の感覚と異なる帰結となるのも、ある意味仕方がないというか。
要するに、「矛盾」っていう表現は不適切だと思われ。

最後の一文には、激しく同意だな(^^;

Ｋ大は京大のことか？
集合論に限れば、他のほうがいいだろう。

神戸じゃないの？

集合論といえば、神戸でしょう。

神戸だわな

べっこうあめは神戸産だ

881

673

526

瓦せんべいｂ

>>実際には“存在”しないのに
>虚数の存在を否定しても、ただ実数の世界に狭まるだけ
ある意味では，虚数の存在を否定する人が実数の存在を認めるというのは非常に妙な
話だったりするわけで。神が作ったのは整数までで，残りはすべて人工だという言葉も
あるし。

神が造ったものは全てであり、また別の面では、最小の現実である。

人間が作ったものは、‘現実’や、自然数、整数、有理数、実数、複素数、四元数、
あげればキリがないし、これらは人間の頭の中にある論理体系から
出てくる構造、つまり神がもとから創っていたようなものだと考えられる。

つまり、神が誰だかわからない。何をしたのかわからない。
人間は人間の感じるものを作っている。目の前の現実というやつも人工だ。

そういう時は神/人間を脱構築とかえぽけーとか、
ってこういう話からは脱却�k　

あぼーん

Re:>389 お前何考えてんだよ？

856

うんちせんべいでも作って喰ってろ

Re:>392 お前がやって見本を見せてくれよ。

うんこ連発してる奴、なんか俺の大学の奴っぽい、
なんかウンコネタ書いていろんな奴にメールで送ってるし、
最初、何考えてんだコイツと思ってたけど、
はじめて数学版きて分かった、あいつ２ｃｈねらーだったのかー
俺が注意しとくから安心しとけKingサンよ

ワロタ

>>394
どこの大学だよ・・・('A`)

>>394
言っていいのか？祭りになるぞ？？

↑
>>394じゃなくて>>396ね

＞巨大基数について

アレフ０は一応"到達不可能基数"だぞ。うわー巨大基数だ（ｗ
もっともこれで集合論のモデルを考えると、
全ての集合は有限だということになるが（ｗ

＞次の2条件をみたすκが到達不能基数
＞１．regular：
＞　　κより小さい基数の上昇列の極限としてκをあらわそうとすると、その列の要素数はκとなる
＞２．strong limit：
＞　　κより小さい基数λのベキをとっても κに達しない （λ＜κ⇒ 2＾λ＜κ）

これって結局、集合を空集合から構成していく場合の限界点なのよね。
有限集合の場合はω＝アレフ０がその限界になるわけだが
同様のものを無限集合の場合にも考えるとこうなるってわけだ。

で、そろそろ可測基数の話に逝かねぇ？

>>400
可測基数の話ができるのであれば、ぜひおながいします。

>>397
щ(ﾟДﾟщ)ｶﾓｫｫｫﾝ ﾏﾂﾘ (屮ﾟДﾟ)屮 ｶﾓｰﾝ

627

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072058641/299
＞Bourbakiの集合論（実は結構公理的に面白く書かれていて
＞\epsilon(なぜか\tauが使われてるが)記号を使って
＞ZC^-位の強さでできるだけ集合論の公理を最小に抑えて現代数学を展開し、
＞例えば集合論的な公理の選択にできるだけ依存しないように定式化されている）

F(置換公理)を使わないことがそんなにおめでたいかな？

>>400も書いてるけど、集合全体のクラスの濃度が到達不可能基数
になるっていうのは、（集合論を認めるのであれば）自然な感覚なわけで、
その意味ではFが不合理だとは思わないな。

別に不合理だとは思ってませんよ。おめでたいとも思いませんが、
特になくても数学の大部分が展開できるから
集合論を数学の設計思想と考えた「Bourbakiは」使わなかった、というだけです。
あの人たちは無くても良い公理は極力使いませんから。

あ、>>405書いたのは…まあお分かりになりますよね。

>>405
どうせなら集合論そのものを使わないのが一番。

無限集合とベキ集合を認めたら連続体の濃度の問題が出てくるのは
当然のことだが、結局のところこれは決定不能問題である。

しかし実際のところ、連続体の濃度なんて今の数学にいかほど
関わりがあるのか？大いに怪しいといわざるを得ない。

> 連続体の濃度なんて今の数学にいかほど
> 関わりがあるのか？

（゜○゜）ﾎﾟｶｰﾝ

>>407
解析をやるなら連続体を扱わざるを得ない。

>>409
＞解析をやるなら連続体を扱わざるを得ない。

しかし、そこでは濃度を積極的に使っているかな？

>>408
>>409
CHに依存した解析の問題って具体的にどんなの？
それに万が一あっても
「そういった集合論的な公理に依存する問題はさして重要ではない」と考える人が多い。
（「いいや、重要だよ！」といってくれれば集合論の人が喜びますｗ）

積極的ってどういう意味？
扱うのは有限個の記号列であっても頭の中では使っている

>>412
＞頭の中では使っている
ってどういう意味。
結局記述できることが全てではないかい。

頭を使わない奴は馬鹿な事しか思いつかない。

馬鹿はちょっとしか頭を使わないのに大いに考えたつもりになる。

ああ、>>412さんにはL\"owenheim-Skolemの定理がお勧めです。
（基礎論や集合論を勉強し始めの頃ビックリしてついつい
変なことを口走っちゃう定理ですがｗ
ただ証明が文系の人には難しいので不完全性定理、相対論、
不確定性原理の二の舞にならずに済んでいる幸福な？定理です）
ついでに易しめのテキスト紹介
Ebbinghaus他"Mathematical Logic"
UTMの一冊なのでスイスイ読めます（少なくとも初めの方は）
紹介ページ
ttp://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic-1.html
倉田令二朗『数学基礎論へのいざない』
命題論理＋述語論理＋不完全性定理＋（公理論的）集合論入門
これもスイスイ読めます。
他にも良いヤツはあると思うけど

じゃあ不完全性定理や相対論や不確定性原理が
あんな目に遭わされているのはL\"owenheim-Skolemよりも
証明が簡単だからだっての？

つうかL\"owenheim-Skolemのほうがよほど簡単だろ

>>416
＞L\"owenheim-Skolemの定理がお勧め

なるほど、君は形式主義者というわけか。

＞ただ証明が文系の人には難しいので
＞不完全性定理、相対論、不確定性原理の
＞二の舞にならずに済んでいる幸福な？定理です

文系の人という言い方は不適切だなぁ。
それに非常識な定理には必ず絡む人がいるものだよ。

L\"owenheim-Skolemの定理に絡む一般人がみられないのは
「濃度」という概念が、一般人にはピンと来ないからだろう。
それに対して
「真であるが証明できない命題がある！」
「光の速度は不変で同時は観測者に依存する！」
「位置と運動量、時間とエネルギーは同時に１つの値には決まらない！」
というのは、少なくとも言ってることが理解でき、さらに
素朴な常識に真っ向から反するので、思わず反発する（ｗ

松本は白石スレへ

白薙は数学板から退去しる

>>418
いや、文系でも分析哲学の人とかだと証明論や非古典論理ばかり
やってる哲学者なのか数学者なのか良く分からん面白い院生が
居たりするみたいですｗ因みに漏れは理系ですしバリバリの
形式主義者でもないので誤解のなきよう。

>>418,419
そうでしょうね。「可算言語Lの上の理論は可算なモデルを持つ！」
とか言われても、数学が得意でなくて実数が非可算集合だかと
知らない人には( '_ゝ`)フーン……
……大体分かったんだけどさ、可算ってなに？とか、それで？となるでしょうしｗ
まあ大学教養までに実数が非可算個あることも教わらなければ
普通そうなるでしょうね。

「ただ証明が文系の人には難しいので」
は不適切かつ誤った発言でした。

文系のに人には優しいw

このスレも意外と馬鹿が多いな
連続体仮説は真か偽かどちらかに決まっとる

>>425
俺昨日、ZFで選択公理証明しちゃったぜ！！もう公理じゃNEEE!!
選択定理！！

明日は選択補題？
あさってはやり放題?

>>416　ただ証明が文系の人には難しいので
>>418　文系の人という言い方は不適切だなぁ。
>>422　いや、文系でも分析哲学の人とかだと
　　　　証明論や非古典論理ばかりやってる
　　　　哲学者なのか数学者なのか良く分からん
　　　　面白い院生が居たりするみたいですｗ

別に面白くもなんともない。
哲学者が数学してはいけないとか、
文系理系で区別するとかいうのは
愚の骨頂だとは思わんか？

>>422　漏れは理系ですしバリバリの形式主義者でもないので

"理系"だから数学はバッチリってわけでもないだろう。
大抵の"理系君"は、そもそも形式主義とはどういうものか
全くわかっていないし。ロジック関係はいわゆる文系理系
に関わらず、簡単に誤解するからね。
君が単純素朴な誤解にドップリはまってる可能性は大いにあるよ。

>>422　数学が得意でなくて実数が非可算集合だかと知らない人には…

そもそも"（無限集合の）濃度"というものが、
"(有限集合の)要素の個数"に比べて直観に
訴えにくいものだよ。

>L\"owenheim-Skolemの定理がお勧め
こんなもの何の役にも立ちゃせん

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　◆　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。アホ

役に立つ、立たないの話を始めたか
ほー・・・

まるでイソップのキツネだな　>>431

置換公理を使って、例えばどのような部分集合が作れて、どのような部分集合が作れないのだろう？

>>434
岩波数学辞典の公理的集合論のところにも出ていますが
｛ω、P(ω）、P(P(ω))、･･･}　（P(ω)はωのベキ集合）
は、置換公理ぬきには作れません。

Re:>435 サンクス。

_,,.. -──‐- .､.._.
　　　　　　　 　 ,　'´　　　　　 ╋　　 ヽ
　　　　　　　　〈:::::::　　　　　　　　　　 _:::)
　　　　 　 　 /´＼:::::::::_,.　- ― -　､.〃/
　 　 　 　 , '/〈∨〉’‐'´ 　 　 　 　 　 ｀ ' ､
　　　　　/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ }　! `, ヽ ヽ　＼
　 　 　 ｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ|　.Ll_!　}　、.ヽ
　　　　 {ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l　}
　 　 　 ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 　 　 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿
＼　　　!（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_]　　　　|iﾘ {､|,ﾉ!'　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 <＼ｎ　)’（ (‘ｰｌ |　 ° ´　　__,'　 ﾟ,' ）　　　　 |　 Kiｎgくん♪
　　/.）＼_,　 ｀ ） ﾉﾉ＼　　　　 ｔﾉ　／(（.　　　 ＜　 うんこ食べのお時間よ！
　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の素数さんに迷惑だからおとなしくしなさいね♪
　　 {. r_〉｀!　}>' 　） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 ＼　 　 ｆ　 ,. '´／　　　　 　 o　..:::　 ＼
　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ

カントールの連続体仮説って
どうしてそういう名前がついたの？
連続体っていうからには
連続してるんだろうけど、
点とか面が連続してるってことかな？
賢いお兄さんたち、教えてちょ。

連続 （実数や複素数などのこと）
体 （有理数や実数や複素数などのこと）
仮説 （仮説）

なんとなく有理数体はスカスカ、実数体はギッシリベットリという感じがあるだろ。

連続体とは直線等のようにその名のとおり連続したもののこと。
 平面の濃度も直線と同じくアレフであることが， カントルによって証明されている。

>>441
カントールがaleph記号を導入したのは常識だけど
カントールが連続体濃度を「アレフ」と名づけたというのは初耳

アレフについてる番号って、大きいほうが強いの？

「強い」って何・・・？
　alpha ＜ beta ⇒ aleph_alpha ＜ aleph_beta
か？って聞いてるのならその通りだよ

あれふぜろ＜あれふいち＜あれふに＜・・・・・・・・＜あれふ最強

超実数体の濃度もアレフですか？

だから「アレフなんたら」じゃない「アレフ」って何のことなんだよ

>>445
＞あれふ最強

それって弱到達不可能基数のことを言ってるのかな？

＞カントールが連続体濃度を「アレフ」と名づけたというのは初耳

多分wikipediaの基数のところを見たんだね。
これを書いた人が何を根拠にいってるのか知らないけど。

まあ定義誰か書いたら。
ちなみに「アリ↑フ」みたいな感じで発音すると
いかにもアラビア語っぽくて吉。
しかしよりによってなんでCantorはアラビア語使ったんですかね

>>450
アラビア語じゃなくてヘブライ語
まあ、同じセムハム語族だが。
wikipediaを見た限りでは連続体仮説の項を書いた
Alembertとかいうヤシが震源だな。

ちなみに英語のwikipediaではちゃんと2^aleph0となってるね
その他のページでも連続体の濃度をalephとはしていない。
これは日本だけの現象のようだ。

>>448
ただ単に最大の基数なんか存在しないってことが
わかってないだけじゃない

>>446
N 上のウルトラフィルターから構成すればアレフになるけれど、
もっと大きな集合を基礎にすればいくらでも大きい濃度になるわよ。

もし可測基数が存在したら面白いモデルや例・反例が沢山出来るわよ。

>>454
ありがと

数学板にモデル理論のスレが無いわね。
誰か超準解析とまとめて新スレ作らないこと?

こういう事書くときっと誰かが
>>456が作れというわね。

>>456
Kingスレが無事削除されたら記念に作ってもいいね
ただ、数学板にそういった話題を自信もって話せるだけの
実力を持った香具師がいないだろ
（かくいう漏れもそんな自信ないが）

それはともかく、超準解析スレを作る場合は
超準解析にはいくつか相異なった流儀があるみたいだから
（『二十世紀の数学』杉浦光夫編、の超準解析のところを参照）
テンプレをかなり工夫しないといけないと思う。
（まあ基本的に〜流で議論します、で済ませてもいいが）

いっそ超準解析っていう名前をスレタイに入れないほうがいいかも
「超」っていう文字で厨が集まってくるので

腸潤懐石ってすればいいんじゃない？

じゃあnonstandard analysisか、それを直訳して
非標準解析でいいんじゃ？
まあ「超準」は厨がよって来やすい事を考えなければ
悪い訳語じゃないと思うんだがなあ
英語に直すとsuperstandardかultrastandardみたいな語感だろうか

nonstandard 教員＝婦女子を犯しまくりながら日教組活動に専念し、
馬鹿を作り出すことを専門にしている人

>>89
連続体仮説が正しいかどうかは、
現時点では解決していません。

>>462
なんか凄い遅レスみたいだがそれはともかく、、
一応"解決"したという見方もあるかと。
まあ各人の立場の違いだが。

>>463
立場の違いもありますが、基礎論の専門家に限れば
未解決と言う方が多いのでは?

>>464
それは所謂G\"odelの実在論ってヤツですかｗ
だとしたら断定しすぎだと思います。

G\"odel「流」が抜けた
まあ微妙な脱字だが。

>>464-465
G\"odel流の実在論による連続体問題の解決とは
「巨大基数の公理に基づく連続体問題もしくはその否定の証明」
を指しているのかな？

まあ、それはともかく、どんなに巨大基数の公理をいれても
集合全体の集まりは集合にならないし、全体でなくとも
集合の集まりが、集合にならない場合がどうしてもある。

>>467
最後の3行はトートロジー

>>468
「全体でなくとも集合の集まりが、集合にならない」
を「集合全体の集まりは集合にならない」と
読み間違えたな。ヴァカが

お前こそ馬鹿
以下、
｢ののしり合いで１０００目指す｣
スレに変換

立場じゃないよ、未解決なんだよ。

あれふ１の濃度を持つものがなんであるかはいまだに分かってないらしいね。

ゲーデルとコーエンの結果を参照しなさい

>>473
全然意味が分かっていない香具師

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに独創的な人。人まねする人は嫌い。それが必要条件よ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　その上 Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。投稿料は私が払うわ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
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　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

http://info.2ch.net/guide/map.htmlに載せる
紹介文を雑談スレで議論しています。
ご意見のある方は、ネタでも結構ですので是非いらしてください。

>>473
何か言えよ

教えて下さい

次の命題は証明されていますか？

「任意の集合でないクラスは、任意の集合よりも大きい」

はい。
何らかの集合と同じ大きさかそれ以下だと示されたものは集合である、
というのが置換公理ですから、対偶をとれば
集合でないクラスはいかなる集合よりも大きい、
です。

分出公理から従います

大きいって何？

集合を部分に含むって事か？

大きさって普通は濃度じゃろ
部分集合ってだけじゃ任意の集合どうしの大きさを比べられんじゃろ

>>483
一般のクラスに対して濃度は定まるんでしょうか？

任意の二つのクラスの間には全単射があるんじゃないの？

>>484
包含関係がつけば、大小が比較できますね。
>>485
任意のクラスのあいだの射をどうやって定義しますか？クラスにおさまりますか？

> 任意のクラスのあいだの射をどうやって定義しますか？クラスにおさまりますか？

クラス関数だから実体は2項述語だよね。
でも「クラスにおさまらない」というのはどういう意味で
言ってるのかよくわからん。説明希望。

例えばVとV×Vが同じ「濃度」（厳密には比喩）をもつことは、
　R(u, v) iff v = (u, 0)
　S(u, v) iff u = v ∧ ∃x∃y . u = (x, y)
なる2項述語RとSがそれぞれ
　R : V >→ V×V
　S : V×V ⊂→ V
なるクラス関数になっているので示せるでしょ。

age

> 　R(u, v) iff v = (u, 0)
> 　S(u, v) iff u = v ∧ ∃x∃y . u = (x, y)

これは
　D(u, v) iff v = (u, u)
　I(u, v) iff u = v ∧ ∃x∃y . u = (x, y)
のほうがちょっと美しかったな、という自己レス

集合Aと集合Bに対し集合A＋Bを以下のように定義する。
a∈A,b∈B→a+b∈A+B
もしAとBが閉集合ならばA+Bも閉集合であることを証明せよ。
又、上記の事が開集合に関しては言えない事を例を挙げて示せ。

皆さんならどう証明しますか？？

>>490
まず、Ａ・Ｂに入る位相を決定せよ
お前の言っていることには何も定義されていない

A,B∈R
で、おねがいします。

A,B⊂R
ね。

>>490>>493

A = Z, B = (√2)Z.

A = Z, B = (√2)Z
の場合。Ａ＋Ｂも、limit-point(収束点？)が一つも無いことから、
開集合になりませんか？

あ。でもそのまえに　(√2)Z　の定義がつかめません。

＞(√2)Z　= { 0, ±√2, ±2√2, ±3√2, .... }

＞limit-point(収束点？)が一つも無いことから、
閉集合となる。開集合にはならない。

まちがいです。すんません。
そして問題の書き方も間違ってました、
後半の部分は、
Ａ，Ｂともに開集合のときＡ＋Ｂが開集合で無い例で、
おねがいします。

あ、ごめんなさい。
おいらが開って言ってるところは閉で、
閉って言ってるところは開です。
たびたびもうしわけない、、、。

Z + (√2)Z はdense だが可算なので閉集合でない。

連続書き込み申し訳ないですがもう一度問題書き直させてください。

When A and B are sets of real numbers, define A+B as follows.
a∈A,b∈B→a+b∈A+B
Show that if A and B are open sets, A+B is also an open set.

ＡとＢがともに実数の集合であるとき、Ａ＋Ｂを以下のほうに定義する。
a∈A,b∈B→a+b∈A+B
もしＡとＢがともに開集合であるとき、Ａ＋Ｂが開集合であることを示せ。

です。ちなみに上記の英文が原文です。

そんで持って、問題の後半は、

ＡとＢが開集合のとき、
Ａ＋Ｂは必ずしも開集合にならない事を例によって示せ。

です。

問題をはっきりさせてくれ。
A, B の少なくとも一方が開ならば A + B も開になる。

又間違った、、、ほんとにごめんなさい。
５０１の
「開」→「閉」です。

>>501 は >>499 で反例を挙げている。
しばらくは自分で考えてください、

しかし、
Ｚも(√2)Zもともに閉集合なので反例にはならないと思います。

反例は、
ＡとＢがともに閉でＡ＋Ｂが閉で無い例です。

>>505
意味分からん。どっちも閉だったら反例になるじゃん
Z＋\sqrt{2}Zが閉になる証明は結構難しいような
（Kroneckerの定理だっけ？）
しかも、どっちかというと集合スレじゃなくて
位相スレか微積スレの話題なような

訂正
Kroneckerの定理（を使うん）だっけ
　　　　　　　　　　　

>>507
＞Z＋\sqrt{2}Zが閉になる
閉にならないでは?

閉にならないという事は、a_n→aかつa_n\in A+B := Z + \sqrt{2}Zで
しかもa\not \in A+Bとなる例があるということ？

なんか見にくいな

∃{a_n} a_n → a かつ a_n ∈ A+B := Z + √2 Zで
しかもa∈ A+Bとならない例がある？

もう見てらん無いからレスする。

Z , √2 Z はともに閉集合
Z + √2 Z は dense なぜなら、|1 - √2| ＜ 1, (1 - √2)^n を展開して何倍かする。
ところが R は非可算。よって閉集合ではない。

＞なぜなら、|1 - √2| ＜ 1, (1 - √2)^n を展開して何倍かする。
本当にそれだけでdenseが示せている？
もっとちゃんと書いてみれ

なんだ出来ないのか

(1 - √2)^n はいくらでも小さな数になる。
その整数倍はは Z + √2Z に属している。
だから当然 dense

>>514
だからそれを厳密に書いてみれと言っている

そのくらい自分で考えろ。

>>516
簡単にはいかないことを認識しているのか？

>>503
別な反例
A = {2+(1/2), 3+(1/3), 4+(1/4), …}
B = {-2, -3, -4, …}

A, B は閉集合で、A+B は 0 を含まない。
ところが、
A+B ⊃ {1/2, 1/3, 1/4, …}
なので、A+B は 0 を集積点に持つ。
ゆえに A+B は閉集合ではない。

>>518
みごと

>>518
美しいなぁ・・・

とおもったら>>518乙。マジ乙。

>>516
簡単にいくじゃん
(1 - √2)^n ∈ A + B は幾らでも小さく取れる。
つまり、任意の正数εに対して、a ∈ A + B で、a <εなるものが取れる。
a ∈A + Bなら、2a , 3a , … , na ∈ A + Bだから、長さ2εの範囲には
必ずA + Bの数が含まれる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（q.e.d.）

というか、俺見てらんないレスの主だったりするけどｗ
「ところが R は非可算」が多少不適切なような……
濃度の問題じゃなくて、完備性の問題だと思う……

ここで類題ね。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/511

>>522
＞ところが R は非可算
A+B≠Rであることを云う為じゃねーの？A+Bは加算だから
一方denseであるから(A+Bの閉包)=R
よってＡ+Ｂは閉でない
という流れでは？

皆さん頭いいね

集合の初歩的質問ですが、集合A，Bの演算で
A∪B∩B
を簡略化すると
A∪（B∩B）＝A∪Bと結合則を使うのか
A∩（B∪B）＝A∩Bと交換してから計算するのか分かりません
どちらでもよいのですか？

Re:>525
集合の演算では、
(A∪B)∩C=A∪(B∩C)となるための必要十分条件は、
AがCの部分集合になること。
一般の束の場合は多分左からだろう。
(しかし、コンピュータのorとandの場合はandを優先するケースが多い。)

ありがとうございます
上式のやり方が正解で下式は間違いのようですね
解答の文が難しくて正確に把握できていませんが

ってか括弧つけて書け

コンパクト集合＋コンパクト集合。
閉集合＋コンパクト集合。

>>529
だから何?

age

位相空間論の本スレはどこいった

位相について語ろう！２
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1101898799/l50

900くらいあった方はどうも落ちたっぽいですね
カウントさんがage忘れたんだと思うｗｗｗ
（数学板の人って過疎スレでもあまり保守しないでしょ？）

移転後は一度も圧縮はないから
移転後に一度も書き込みがなくても落ちない。


1000 名前：伊丹公理 投稿日：04/11/30 22:46:39

>>534
あれは俺じゃないよ馬鹿だな

>>535
「十一月三十日に１０００いった。」が何故馬鹿なの。

>>535
俺はあんなアホなAA貼ったりしないよ。

単にレスの1行目をコピペしただけちゃうんか
別にあれがお前だとは特に言ってへんやろうに

トリップも使わない馬鹿が何言ってんだかな

>>538
お前だったのか

Re:>540 トリップも使えない奴は荒らし。

BlackLightOfStar ◆ifsBJhJOKE
お前誰だ
よほどのアホである事は確か

Re:>541 どうもお前は自分が見えないらしい。

908

ここに二つの集合AとBがあったとして、
これらが共通要素を一つも持たない場合、
そういう関係を表す言葉って何を使うとよいのでしょうか？

出来ましたら英語表現もお願いしたいです。
よろしくお願いしまつ。

互いに素と言う人もいる

英語なら disjoint が一般的

早速有難うございます。
互いに素という言い方はちょっとためらいがありますが(スイマセン)、参考にさせていただきます。

あと、追加で質問させてください。

A⊂B

のとき、AをBの部分集合と呼びますが、
BはAの何と呼ぶのでしょう?
全体集合とは違いますよね?

先ほどから変な質問ばかりですが、
プログラムのメソッド名をつけるのに
少々悩んでいるところなのです。

>>547
あ、すれ違いでした。有難うございます、使わせていただきます!
感謝感謝!

あ、先ほどの質問自己解決です

上位集合(superset)

で良いようでした。
失礼しました。

うん、supersetでいいよ。ただ、上位集合の反対語は
普通の感覚では下位集合になるとおもうけどね。
かといって、超集合なんて訳語使うのもｲｸﾅｲ。

うーん、なんだろう……

age

↓うざいコピペ

age

>>548
英語だとsupersetだな。日本語訳はあるのかな？

『集合への30講』をやっているのですがだんだん分からないところがたまってきました
どなたか助けて下さいませんでしょうか

１．　p. 32 最終行「このとき、少なくとも１つのＭnに含まれる元全体を考えることによって」
　　　→　この条件文はどう効いているのでしょうか？

２．　p. 79 下から二行目「上に述べたような対応を知った上で、・・・」の文
　　　→ 直前の直積集合の話は理解できたのですが、
　　　　　なぜこのように言いかえられるのかがつかめません

閉にならないでは

>>556
『集合への30講』をもっていない人間が答えられるように質問の仕方を考えてくれ。

age

どうもすみません

１．「M1, M2, ・・・, Mn が加算集合ならば、M1∪M2∪・・・∪Mn も加算集合である。
　　もう一歩進めて加算個の和集合の場合も考えておこう。
　　M1, M2, ・・・, Mn, ・・・　を加算集合の系列とする。このとき　〜　によって、
　　和集合　M1∪M2∪・・・∪Mn∪・・・　が得られる」とあるのですが
　　なぜこのように考えることによってということなのでしょうか。
　　考えないとどうまずいのかがわかりません。
　　557の方が答えてくださっているのかもしれないのですが、
　　それが答えなのかどうかもわからないくらいのど素人です。
　　お暇な方年明けてからでかまいませんのでよろしくお願いします。
　　２はまたにします。

>>560
「少なくとも１つのＭnに含まれる元全体」というのは
「和集合　M1∪M2∪・・・∪Mn∪・・・」の定義そのものだ。
おまいにとって和集合とはなんだ？

>>560
少なくとも
「〜と考えることによって…が得られる」という文章を
「〜と考えないとまずい」と読み取る日本語能力に問題がある。
ということは言えるかもしれません。

>>560
可算集合を加算してる時点でもうわかる筋からはずれている。
定義がなにかをしらないで、わかったとか、証明ができるとか、いう考え方
なんだろうと推察する。

>>563
まぁまぁ、初学者の頃はこういう状態になることは珍しくないのだから
質問者本人が降臨するまで生暖かく見守ってあげようじゃないか。
最初は「M1またはM2に含まれる」という認識であったものを、次にどこかで
「M1とM2の少なくとも一方に含まれる」という認識に移行していく作業を行うのは
学習の流れとしては自然なことです。

あけましておめでとうございます。
皆様ご解答ありがとうございました。

「少なくとも１つのＭnに含まれる元全体を考えることによって」 の
「少なくとも」を「１つの〜によって」にかけて読んでしまっていました。
なので、
「Ｍ１、Ｍ２などどれでもよいがそれらの集合の元全体を考えることによって、
だから例えばＭ１を考えることにしたのならばＭ１の元全体を考えることによって」
ととっていたので理解できませんでした。

「（以上の系列のどれでもよいが）少なくともいずれかのＭｎに含まれるような元、
そういった元の全体を考えることによって」ということだったのですね

>>561
そのとおりです　おかげでわかりました

>>562
うーん　言葉のあやみたいなものだと思うのですがだめですか？
原文は日本語の文法から言って複数の読みを許しているので
私の読み取り能力だけのせいだとは思えないのですが
「少なくとも１つのＭｎ、このＭｎに含まれる元全体を考えることによって」
「少なくとも、１つのＭｎに含まれる元全体を考えることによって」
「少なくともいずれか１つのＭｎに含まれるような元、この全体を考えることによって」

>>563
「加算集合を加算」というのがちょっとわからないのですが、括弧内は一応全部引用です。
文章を見るに著者は「加算集合を加算」していて、それがまずいということでしょうか？

>>564
アドバイス頂いているようでありがたいのですが、
「M1またはM2に含まれる」と「Ｍ１とＭ２の少なくとも一方に含まれる」の違いがわかりません。
両立的選言と背反的選言の話かなとも一瞬思ったのですが違いますよね。
なんとか違いを出そうと考えてみたのですが
前者が「（含まれるとしたら）M1またはM2に含まれる（が実際に含まれているかどうかは不明）」
後者が「M1とM2の少なくとも一方に含まれる（わけだから実際にどちらかに含まれている）」
とかなのでしょうか　すみませんがちょっとわかりません

age

これ答えれる方！
〇〇〇／〇〇〇＋〇〇／〇〇＝1
わかる方いますか？
後半のフタ桁の分母は36〜56以内です
お願いします

>>566
>>561は疑問文で聞いているのに「そのとおりです」とはどういうことだ？

>>562は「こう考えれば〜が得られる」という文章を「こう考えないとまずい」ととらえるのがおかしいと言っているのだろう。
「こう」の部分の読み取り方が何通りあろうが関係ない。

>>563はおまいさんの学習レベルを推察しているのだろう。
有限集合の有限個の和集合をイメージだけでとらえているような学習段階なのではなかろうか？　と

>>567
>>564は同じことを二通りに言い換えているわけだが
和集合の素朴なイメージは「または」だが、この言い方では数えられる個数のものの和集合しか考えられない
しかし、「少なくとも」を用いるほうの言い方だと非可算個の和集合も考えられる。
まずは素朴なイメージから入って、その後抽象化してより一般的な概念に拡張してやる。
というのは学習の流れとして自然なことだ。と言っている。


このように>>561-564の文章すらまともに読解できていないので、まずは日本語を読み取る能力をつけましょう。
多分この文章も誤解されまくるんだろうな。ほんの少し注意深く読めばよいだけなのにな。

>>560 >>565 >>566 >>567 を書き込みました。

１．疑問文に対してではなく、「「〜」というのは「〜」の定義そのものだ」と書いて頂いた文章に対して
　　「そのとおりです」と返事をしたのですが、そんなにまずかったのでしょうか。
　　>>561を読んだ結果として、わからなかった文章が定義そのものだということに気づけたので、
　　その点に関してお礼の意味をこめてそう述べたのです。

　　後半の文については、>>561 の方が「おまいにとって和集合とはなんだ？」と聞かれたのは、
　　「そもそも和集合の定義を述べているに過ぎない文がわからないなら、
　　おまえは和集合を全く誤った仕方で理解しているのだろう、そうだとしたらそれはなんだ？」
　　という意味でのことだと思います。
　　私は、>>565 で、そもそもそれが定義だと気づかなかった旨を説明しました。
　　なので、>>565　をあわせて読んでいただければそんなにおかしいとは思えないのですが、
　　なにかまだ私が気づいていないような失礼をしてしまっているのでしょうか。

２．「まずい」文を書いた時点で、私は当の文章を全く誤った仕方で考えていました。
　　そのため、なぜその文章がそこにあるのか、その存在意義が理解できませんでした。

　　けれども、すべての文は、説明全体の過程の中で何らかの役割を大抵は果たしているのだから、
　　自分ではなぜそこにあるのかがわからない文も、きっと何らかの理由があってそこにあるはずだ、
　　と想定することはそれほど異常なことではないと思います。

　　そこで、当の文を全く誤った仕方で考えていた私は、
　　「一見関係ないように見えるこの文は、どのような理由でここにあるのでしょうか。
　　書いてあるからには何らかの理由があるのでしょうが、それはどのような理由なのでしょうか。
　　（もちろん何か意味があるのだろうから、取っ払ってしまってはまずいのだろうけれども）
　　仮にこの文をとっぱらってしまうと、どのように不都合が起こるのでしょうか」
　　というつもりであの文を書きました。

　　私はそんなにおかしな用法だとは思っていなかったのですが、
　　これからは認識を改めるよう気をつけます。

563 を書いたものですが、可算集合、可算個と書くべきところが、加算(足し算)
となっていたので、ふざけて揚げ足をとったのです。
「可算集合を加算してる」というのは、いま、あなたが色々自分の表現について
説明しているようなやり方でいうなら、「加算と書き間違っている」というの
と、570 さんの説明のように「足し算と同じように漠然と考えているのではな
かろうか」、という2つのことをまぜこぜに書いたつもりだったのです。
数学における日本語表現は数学的に意味があるように理解するのが前堤ですか
ら、変なときは、自分の読み方を変えてみるべきなのです。ただ、変かどうか
はある程度の慣れが必要なのでしょう。それが 564 さんの優しいような、皮
肉のかたまりのような書き込みなのでしょう。

３、４．「まずは日本語を読み取る能力をつけましょう」とおっしゃって頂いているのですが、
　　　　私に日本語読解能力がないことが問題なのではないと思います。
　　　　日本語が使いこなせるということと、専門知識を有しているということは別の事柄で、　
　　　　私が　>>567 を理解できなかったのは、私が集合論を理解できていない、
　　　　つまり専門知識を有していないということがその理由なのだと思います。

　　　　すでに専門知識を使いこなせる方にとっては、その知識は日本語の一般的な知識と同様
　　　　誰でも知っている当たり前の事柄になるのでしょうが、非専門家にとってはそうではありません。
　　　　非専門家の私は、いくら注意深く読んでみても >>564 を理解できません。
　　　　だからこそ、これほどまでに初歩的な質問をさせて頂いているのです。

　　　　一応　>>560　で自分のことを「ど素人」と説明したのですが、>>570 さんの書かれた文の意味を
　　　　読み取ろうとすると、残念ながら「素人はこのスレにくるな」とおっしゃられているように思えます。
　　　　情け無い話ですが、素人であることを馬鹿にされるというのは結構しんどいものです。
　　　　スレの皆様、集合論とは関係ない話ばかりになってしまって申しわけありませんでした。
　　　　大変失礼なので、もう書き込むのをやめておきたいと思います。どうもありがとうございました。

>>573
失礼しました。私の書き誤りでした。ご指摘ありがとうございました。

内容の無い長文レスはやめてくれ。（このように、短文ならば内容が無くても良い）

>>571
いや、「おまいにとって和集合とはなんだ？」というのはただ単におまいが和集合をどのように定義しているのか聞きたかっただけだ
「AまたはBに含まれる要素の全体」として定義しているなら、その定義と
「A,Bの少なくとも一方に含まれる要素全体」というのは同じものを表すんだと説明するつもりだったし
他にも定義の言葉の言い換えは色々あるだろうから、おまいがどういう言葉で定義しているのかを聞かないと説明しづらいんだよ。
和集合という言葉を使っているからにはその言葉の意味を知っているはずだしな。正しいか誤りかにかかわらず。
おまいの理解が誤りかどうかなどはおまいがどうとらえているのか聞かないとわかるわけがないだろう。決め付けはいかんよ。

数学板⊂２ちゃんねる⊂掲示板

「数学の素人だからイジメられた」などと勘違いしないせぬようにな。

イジメ

集合を集めたものが類なら類を集めたものは何ですか。

集めてはいけない

ルイルイ

質問です　集合論や基礎論においてどんな事柄でもよいので
有限集合について成り立っている事柄が無限集合でも成り立つ
というような議論はありますか？

べき集合が存在して、その濃度はもとの集合より高い、とかは、
どっちでも成り立つだろうけれど、それじゃダメ？

>>583
何がしたいのかよくわからんな。
帰納的集合とか？

何が言いたいの？
任意の有限集合で成り立っているから
ほぼ同様なカラクリで任意の無限集合でも成立、ということ？
それなら一寸違うけど、超限帰納法とかのことでしょうか。

それとも議論に有限性、無限性を使ってないから
どっちでも明らかに成立する、とただそれだけの
議論の事でしょうか。

例えば数列S={s_1, s_2, ・・・, s_n,・・・}に対して
任意の自然数n<∞に対して有限集合S_n={s_1, s_2, ・・・, s_n}を考え
この有限集合S_nに対してある量d(S_n)を設定します
このとき任意の自然数n<∞に対してd(S_n)=0となることがわかっています
主張はd(S)=0となることです
この主張の証明法には集合論あるいは基礎論的にどのような方法が考え得るでしょうか？
解析などで用いる普通の意味でのlimitはうまく機能してくれません

>>587
not(d(S)=0）なら何らかのSnについてnot(d(Sn)=0)となることを
個別のdの定義から証明しなければならないんじゃないでしょうか？
（論理のコンパクトネスの証明みたいなものですよね。）

あともうひとつ質問なんですが
SetとClassの本質的な違いはなんですか？
あるＳがSetであるかClassであるかを判定する方法にはどのようなものがありますか？

Classのうちで集合論の公理からSetであることを証明できるものがSetなんでしょ？
俺に質問の趣旨が分かってないのかな？

ゲーデルの公理系では、何らかのClassの要素になってるのがSetだったっけ？

>>587
dがどんな数か分からんと答えようが無いじゃん
別に一般的な方法はないと思いますよ

>>589
何らかの集合、或いは類の要素になれるのが
集合、なれないのが類。要するに、
Set(s) ⇔ ∃x s∈x
です。 x は集合全体の上を走ると考えても
類全体の上を走ると考えても好きな方で構いません。
何故要素になれないのか、という疑問は
数学では、Russelのパラドックスが起きてしまうから、
以上のことはあまり突っ込んで考えませんが、
一応類が"大きすぎる"から、ということで
大方の意見は一致していると思います。

集合論は間違っています
http://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/math/welc.htm

Re:>593 とりあえず2-3まで読んだ。さて、区体論では位相空間をどのように定義するのだろう？可測空間をどのように定義するのだろう？

おいKing、そこまで読まなくても
A∪φ=A、φ＠A∪φより任意の区体はφを含むから
＠はφにしか使えない
という致命的な欠陥があるぞ。

ああ、例の区体論ですかｗｗｗ
何というのか、公理論がどういう背景の下生まれたのか、
勉強してきましょうとしか言いようが無いですね
しかも、素朴集合論と公理論的集合論は違う⇒2つは相矛盾する、
とか論理がつながってないしｗｗｗ
どちらでも定式化できる問題には、どちらでも同じ答えが出てくるのが
分からないんですかねｗ

ちなみに、592の なれないのが類 の類は、
正しくは固有類 proper class ですね

不正確だった
どちらでも証明できる問題には、どちらでも同じ答えが出てくる
片方でφ、もう片方で¬φが出てくるような事は無い

例えば、算術の理論の公理系、というやつは、目的のようなものが見え易いのですが、
公理的集合論ＺＦの公理系ってのは、つまるところ、あれ、なんの目的すか？

自然数とか、を捉える、っつー、目的ですか？（数論というやつの一環ですか？）

ちらっと、公理を見てみたのですが、
別に、論理式の形式的な体系というわけでもないみたいだし、
何が展開されるのか、よくわかんないぽ・

>>598
何やってる人ですか? なんでそんなことを知ろうとしてるんですか?
なんかいろんなことを誤解されてるようで、
完全に分かってもらえるようには説明できなさそうなんですが。

ま、集合論というやつも、ちょっとかじっておくか、みたいなことをいうと、叩かれそうなので、少し興味ｱﾘﾏｽ、くらいなかんじで


ぐぐるしか、今、材料が手元にないのですが、集合論的論理式という形で、公理をあらわすこともできるみたいすね。

にしても、そっから展開される内容が、なんなのかが、俺には、まだ、よくわからんとですが・

∈というやつを、述語記号として採用した、論理式の形式的体系みたいですな、ZFてのは

違ってたらｶｺﾜﾙｲけど

>>600
今は公理論的方法が当り前になりすぎて、かえって意義が掴みづらいのかもね。
ちょっとかじっておきたいだけなら、歴史的経緯を調べた方が分かりやすいと思うよ。
キーワードとしては、公理主義、数学の危機、ラッセルのパラドクス、等々。

ぐぐってたら、
ペアノ算術を、ZF集合論の内部で展開することができる、
というのを見たんですが、

これどういうことですか、
ZFの公理を置いたら、そこで、自然数の算術の理論が展開できる（ペアノ算術と同じ内容のことが）、ということですか

そうです。
ZFは、自然数の体系を含みますからね。

>>603
ペアの算術の公理を適当な読み替えでZFに再構築でき、かつ
それらがZFの定理になる。暇つぶしになるからやってごらん。

選択公理は独立性証明以前にはおそらく正しいだろうと思われていたのですか？
普通の数学の探求に選択公理を採用する理由は現代においては何ですか？
実数を整列集合にするような順序の入れ方が存在するけど、具体的には構成できない
などの奇妙な事実を現代の数学者は当然のことと受け入れているんですか？

>>606
奇妙だとなんで思う？

>>607
Banach-Tarski の定理、これが奇妙でなくてなんだっていうんだ!

>>607
論理学的には∃xA(x)が証明可能でもA(a)が証明可能とは確かに限りませんが、
なんか奇妙じゃないですか？自分の存在のイメージからすると奇妙です。
そんなものを数学に押し付けた所で仕方ないですが・・。
あと、実数を整列〜の証明を実は見たことが無いので、何か掲載されている本を教えてもらえるとありがたいです。

>>606
言い方は詭弁ぽくなるけど、
選択公理を認めるってのは排中率を認めるというのと状況がよく似ていると思う。

認めないと今までの多くの定理や数学的な考察が無に帰されてしまうからだ。
たとえば選択公理を認めなけば、とくにジェネラルトポロジーは先にすすめない
ことが多いし、ルベーグ積分論もかなりのところでつまづく。

多くの数学者は、「無矛盾生徒と独立性が」証明されている限り、便利な命題な
らそれをくみいれてとして新たな数学を構築していく。
いうなら選択公理は数学公理のデファクトスタンダード。

ただ連続対仮説だけはちょっと毛色は違ってきますけど。
（連続対仮説は認める場合も、逆に認めない場合も結構興味深い定理がでてい
る）

>>610
ありがとうございます。
選択公理を採用したほうが面白いという点では意見が一致しているということでしょうか。
そういえば、ＮＦという選択公理の否定が定理になる体系もあるそうですが、
あまり耳にしないことを考えると、やっぱり面白くなかったということなんですかね。

普段、数学というと固定された一つの体系というイメージがなぜかありますが、
たとえば連続体仮説のそういう結果によって、対等な二つの数学ができると面白いですね。
連続体仮説の採用不採用がそこまで広範な分野に影響を与えることはなさそうな気もしますが。

選択公理のスレッドがあるはず

633

>>610
選択公理が気に入らないという人は、選択公理が間違ってる
というより、選択公理を使うと具体的な構成を一切無視する
から詰まらないと感じるのでしょう。

それからトポロジーや測度論が展開できないからといって
面白くないとは思わない。宗教の信徒の「興味」は、信徒
以外には理解されないものだ。

ADもおもしろいよ。

>>615
詳細ｷｳﾞｫﾝﾇ

815

選択公理自体は非構成的でない。
ε量化記号を導入すると選択公理は導出できるから。
選択公理と排中律を両方仮定すると激しく非構成的になる。

ε記号を使えば構成的だって？
ご冗談をｗｗｗ

　しからば、ε記号を使い、かつ排中律を使わない（外延性公理も排中律を導出するから仮定しない）
で非構成的な結果が出る例を挙げてみよ。

　あ、それからいわゆるε公理：
∀x(Ｐ⇔Ｑ) ⇒ (εxＰ)=(εxＱ)
も仮定しない。このε公理は非構成的である（事実、これを仮定しても排中律が導かれる）。
ε記号に関連する推論規則・公理で仮定していいのは
“ある項に対して Ｐ(Ｔ) が証明できたら Ｐ(εxＰ) は証明可能”
という推論規則だけだからね。よろしく。

ながれぶった切って申し訳ないが、集合族について解説きぼんぬ。

age

978

>>587
>例えば数列S={s_1, s_2, ・・・, s_n,・・・}に対して
>任意の自然数n<∞に対して有限集合S_n={s_1, s_2, ・・・, s_n}を考え
>この有限集合S_nに対してある量d(S_n)を設定します
>このとき任意の自然数n<∞に対してd(S_n)=0となることがわかっています
>主張はd(S)=0となることです

もうすでに答えられているかもしれないが..

一般論としてはこれは証明できないことで(例:"S_n は各nについて有限集合である、
S も有限集合である"は間違い）、個別のdについて無限集合の場合は別個の議論
がいる。

>>http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1097659610/333
>有限の次が有限なのはわかるけどね、それを常に
>適用させると有限である自然数を
>並べ終わったあとに余る実数なり部分集合なりから、
>一対一の矛盾を導く対角線論法がおかしくなるべ。
有限でない自然数はないですよ。
「有限な自然数」の個数は無限個。

それに最後、つまり最大の自然数nは存在しない。
なんとなればnが自然数ならn+1＞nも自然数。
しかるにnは最大の自然数であったからn+1≦n
∴不合理。

age

区体論そのものには興味ないんですが、>>593 のページの
Part2で、
『われわれの世界には、有限も、第一無限も、第二無限
（←連続体濃度のことね）も存在するが、』と前置きして、
連続体よりさらに大きい集合はわれわれの世界に無縁のもの
として退けられてます。
個人的な感覚なんですが、僕の比較的弱いｗ信念として
『人間に想像できる程度の概念は自然界にもともと対応物が
存在している』というのがあって、この物理世界は連続体
程度で終わりどころか、どんな巨大基数だろうと隠されている
のではないかという気がします。
そのへん、皆さんの感覚ではどうですか？

あまり関係ないんじゃない？

age

730

>>628
ではこの物理世界では連続体仮説は成り立っているのか？

>>632
巨大奇数はこの宇宙を外側に広げて得られるんじゃなくて
たとえば一つ一つの素粒子とかの内側にぎゅっとつまってるんですよ。
「濃度」という言い方がピッタリくるでしょ？

だから「この物理世界ではどうか？」というマクロな問題ではなく、
極端に言うと個々の素粒子ごとに連続体仮説が成立してたり
成立してなかったり。

×巨大奇数→○巨大基数

じゃ物質は連続体仮説が成立する方で反物質は成立しない方？

公理論的集合論て使い方がよくわかりません。

・推論規則は使わないの？
使わないとすると、述語論理とだいぶ考え方が違いますね。

・新しい構造はどうやって定義するの？
たとえば写像という概念は、この枠組みの中でどう定義されているのですか？

>>636
公理論的集合論って述語論理の上で展開されるものだと思うのだが…。
あと写像は直積で表現出来るし直積の表現方法も幾つか知られているよ。

あぁなるほど、写像は順序対を作って直積ですか。それ以外にはないのですか？
同値関係・同値類・商集合を定義するのはどうするのでしょう？

自分で考えるか文献調べるか少しはしろよ

もちろん自分で調べていますよ。今日も３冊図書館で見てきました。
公理論的集合論の本では公理の解説が最初にありますね。公理の当たり前さは
わかるのですが、その適用の仕方についてほとんど触れられていないと思います。

述語論理の本では、推論規則を使え等と口を酸っぱく書いてあって分かり易いのに
公理論的集合論の本では、公理のみを有り難そうにして、実際の使い方がよくわからない。
その辺、片手落ちな気がします。

普通の集合論では、集合のイメージを著者と読者で共有して話を進めていきますよね。
一方、公理論的集合論の趣旨は、集合のイメージを使う部分をも形式化して、
定まったパターンのみを使うようにしよう、というものだと思います。

だから普通の証明を、公理論的集合論の方法を使って扱う実例と実感を得られれば、
ああそういう使い方するのか、と納得できると思うのです。

写像は直積を使えばいいということで比較的自明で、あまり良くない例でした。

だから今知りたいのは同値類・商集合ですね。これをどのように処理するか理解したいです。

関数作って、分出でよくない？

そんなの本の最初のほうに書いてあるだろ？

>>640
> 今日も３冊図書館で見てきました。
> 公理論的集合論の本では公理の解説が最初にありますね。公理の当たり前さは
> わかるのですが、その適用の仕方についてほとんど触れられていないと思います。

何を見たのかは知りませんが、公理論的集合論の本で、写像に関する概念をどのように
扱うかを書いていない本はありません。

素朴集合論における諸概念の構成方法を知った上でこういうことを書いているならば、
欠陥があるのは書籍の方ではないと思います。

Z/〜 = {a : (a ⊂ Z) & ∃x∈A(∀y(y∈a ⇔ x〜y) )}

↑
これでいいのかな？

冗長

>>640
同値関係から同値類へ
同値関係の順序対を関数にするために値域となるものを一意化する
つまり、べき集合への関数にする。その値域が同値類。
同値類から同値関係へ
直積集合を両方とも同値類のある要素に含まれていることでふるい分ける。
そのふるい分けられた順序対の集合が同値関係になる。

それぞれ、チェックしてね。

公理的集合論て相当複雑な公理使うけど、このままの形で
使わなきゃいけないの？
例えば和集合の公理とか、うまく名前をつけて定義の本体を隠蔽することとかできないの？

両側剰余類 Ｓ＼ＳＧＳ／Ｓの意味を教えてください。

>>648
普通、定義による言語の拡張とか書いてあると思う。

Mendelsonとかは多分書いてあるんじゃないかな
哲学の人がよく読む本で大分丁寧に書いてあるらしいから

しかしZFCの公理がそれほど複雑だとは思わないけどな

もうちょっとくわしく教えてくれますか？
どんな導入をするのか、だけでも。
〇〇をみたす××を△△と定義する、
的なのだと、せっかくの形式論がそこで終了しちゃうでしょ？
推論規則まで作ってがんばって、自然言語を排除してきたのに。
ずっと疑問だったのです。

>>652
述語論理で束縛変数の書き換えとかやってませんか？
アルファ同値とか、エルブランの定理とか。

なんか変な電波ばっかり送受信してないで
焦らずに一生かけて考えれば？

アルファ同値とか、エルブランの定理って何？
推論規則とは違うん？
λ論理の系譜に属するものかな？

＞推論規則まで作ってがんばって、自然言語を排除してきたのに。

こういう態度って自分の影を嫌って走り回るようなもので
滑稽で馬鹿馬鹿しいが、なんかもの哀しいな。
自分の精神の中にパラドックスができちゃってるというか。

せっかく、集合論の本を読んでくれるんだから親切にしようよ。
イイ疑問の持ち方なんだから。
とりあえず、林晋『数理論理学』（コロナ社）でも読んでくれるといい。

＞〇〇をみたす××を△△と定義する、
＞的なのだと、せっかくの形式論がそこで終了しちゃうでしょ？

定義の本体を隠蔽しても、
この「定義」が必ず本来の形式的な公理と推論規則に帰着できればいいわけだ。
プログラム組むときでも同じだが、
内部で働くけれどその名前は外部からはどうでもいい変数があるよね。
集合論の場合でも同じだ。
たとえば、空集合だと∃x∀y(¬y∈x)と∃z∀x(¬x∈z)は意味を表す、
これと同様のことが出来るというわけ。

>たとえば、空集合だと∃x∀y(¬y∈x)と∃z∀x(¬x∈z)は意味を表す、
たとえば、空集合だと∃x∀y(¬y∈x)と∃z∀x(¬x∈z)は同じ意味を表す、

書き落としすまん。

>>656
そんなこたあない。そういう態度は非常に重要だし、実際に歴史的にも
そうやって進歩している部分もあるじゃね？

ラッセルのPMには、もともと推論規則がなかったとか、そういう話は
割に有名だろう。

ところで、公理的集合論において、今現在知られている中で基数濃度が最も大きい集合って何なの？
最小の濃度が「自然数全体」だとすると、最大は「？？？」？

>>660 冪で基数自体はいくらでもおおきいものがあるが。

意味のある基数で存在すれば大きさが最も大きいもの
という質問と解釈すればどうなる？

「意味のある」という言葉の解釈によるな。

age

よく聞く到達不可能な基数っていうのは大きいの？大きくないの？
全然理解してないけど・・・

>>664
大きいよ。なんたって巨大基数と呼ばれるものの一種だし。
どれくらい巨大かと言うと、存在する事が公理から証明できないくらい。

>>664
大きいよ。どれくらい巨大かと言うと、定義自体が卑劣にならざるを
えないくらい。

到達不能基数を「巨大」基数と呼ぶ人はあまり多くないと思う。
可測基数の付近から巨大という雰囲気が出てくるのかな。

858

渕野先生の長髪がｶｺｲｲ(･∀･)!!

数学の世界には髪がかっこいい人が割と多いですね．

訂正
【誤】 かっこいい
【正】 "かっこいい"

672 年　壬申の乱

壬申の乱は681年

（１）|-¬A∨A
（２）|-((A⇒B)⇒(¬A∨B))∧((¬A∨B)⇒(A⇒B))
この論理式の形式的証明がさっぱりわかりません。
形式的規則はヒルベルト流を用いてます。
どなたかわかる方がいればお願いします。

微妙にスレ違い

数学基礎論の質問スレッドできけよ。

一応ヒント。あまりに当然だが、背理法を使え。

いやまあ背理法を使うといっても
その前にまず背理法を"証明"しないといけない訳で．

定義にもどれ

675=677ね．

>>678
(2) が問題になるということは、たぶん「∨」は定義による導入で
はないんだろう。

ヒルベルト流とかいわれても公理が分からないとなんとも言えないな。
ヒルベルト流でも、¬A∨Aを公理にする体系もあるんだぞ（w

まず公理を示せよ。

age

１から100までの整数で、100と1以外の公約数をもたない数の個数を求めよ

という問題の答えが40で、かいせつが「100＝2の二乗×5の二乗より、2の倍数でも5の倍数でもないのを求めるとよい」
となってるのですが納得できません。誰か教えてください。

スレ違

これ集合の問題らしいんですが。

>>682
> １から100までの整数で、100と1以外の公約数をもたない数の個数を求めよ
>
> という問題の答えが40で、かいせつが「100＝2の二乗×5の二乗より、2の倍数でも5の倍数でもないのを求めるとよい」
> となってるのですが納得できません。誰か教えてください。
>
中学受験レベルかな

100＝2の二乗×5の二乗

だから、１から100までの整数の集合から2の倍数と5の倍数の和集合を引けばいい。

１から100までの中に2の倍数は100÷2=50個
１から100までの中に5の倍数は100÷5=20個
１から100までの中に2の倍数かつ5の倍数であるような数、つまり2と5の公倍数10の倍数は100÷10=10個
したがって2の倍数と5の倍数の和集合の個数は50+20-10=60個

100ー60=40個が答え

では区体論はどおよ。

>>686
まずは自分の考えを話してみろよ。

本人降臨きぼんぬ

ご本人は神戸院生に泣きついてまつ。みっとも藁。

「トンデモレポート(May,2005)」
h ttp://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~sato/essays/shorts.html#tondemo_report

おれはロジックちょっと勉強しただけだけど、
区体論ちらっとみて、なぜこんなでたらめが書けるのかと寒くなった。

sageすまん

6/(√9)=2

6-(√9)=3

　この人、「小泉の波立ち」のような主義主張の文章はまともなのに、学術系
（それも理系）の内容となると途端に、区体論だけでなく、シュレーディンガ
ーの猫（物理）、クラス進化論（生物）も全部とんでもになっちゃってるって
いうのは一体どういうわけだ？

区体論ってちょっと読んだだけで破綻してるかどうかなんて分かる？
まあ、普通の公理系と単なる同値ってのはありそうだけど・・・
詳しく読んでないけど、連続体濃度以上の濃度がないってのと
連続体公理の否定をつけた公理系との関係はどうなんだろうかと思ったり･･･

破綻できないことがわかるほど不毛という可能性大。

>>695
　別に区体論は「破綻」しているはけではない。
著者が「通常の集合論はココが不合理だ」と主張している箇所が誤解に基づいて
いて、何も不合理でないという事実と、区体論が現代数学を展開するのに全く役
不足で使い物にならない、ということ。
　この二点をもって区体論はトンデモだと言っているわけ。この二点に気付くだ
けなら、数学科一年生程度の知識があれば、ちょっと読んだだけですぐわかる。

まぁまぁ、これでも読んで落ち着いて。
ttp://jiten.www.infoseek.co.jp/Kokugo?qt=%CC%F2%C9%D4%C2%AD&sm=1&pg=result_k.html&col=KO&sv=DC

>>695
そこまで難しく考えなくても分かるはず。

age

7^0=1

これはどおよ。Quine が開祖らしい。

h ttp://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html

http://www005.upp.so-net.ne.jp/greentree/koizumi/

お！ご本人は２ちゃんねるを覗いてるようだ（８月02日の項参照）

AFAで幸福になればいいのに。

おい、専門家ども。おれの楽しみを奪うな。おれは東大卒だからとんでもでもいいんだ。だから区体論もあれでいいんだ。病院なんかぜったいいかんぞ

Rの濃度＝R^2の濃度っておかしくね？
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1122625618/

>>705
　あんまりおちょくってばかりいると、あの人かえって自説に自信を持つと思うよ。
　だれかまじめに内容の誤りを解説しない？（といってもそんな暇人はいないか・・・）。

>>707
だからといって、帰納法は大丈夫ですかとたずねてもモナー

半順序集合の component って、日本語でなんて呼ぶ？

区体論でちょっと考えてみようと思ったけど、関数という言葉が
意味不明の概念に使われてしまっているので不便すぎてやめた

＞ 関数という言葉が意味不明の概念に使われてしまっているので

　こんなことを書くから区体論の人から勝ち誇ったように言われるんだな。
　彼の関数という概念は全然意味不明じゃないよ。
　それより、区体論の人が「公理的集合論では元もすべて集合なので、素朴
集合論のような『カラスの集合』のような概念が扱えない。これでは公理的
集合論が素朴集合論の修正版であるとはとても言えない」と主張していると
ころにこそ間違いがある。
　ＺＦＣにちょこっと自明な手直しをすれば、『カラスの集合』でも何でも
扱える公理的集合論は簡単に作れる。それなのにわざと集合論より不便な、
実数論とか積分論が（今のところ？）扱えない区体論などというものを新た
に作ったって意味が無い、ということ。
　これは記号法だけユニークにした複ベクトルを考案した○井数学より価値
が低い。

>>711
BGだったらいいのかというと納得しないだろうし、
高階述語論理や２階算術でもなあ。
それはともかく少なくとも、区体論の人が言ってる
超準解析に関して集合論でまともに扱えないというのは明白な間違いだな。

区体論の人がやりたかったことって、
FefermanやAczelの理論みたいなことなんじゃないかな。

Fefermanってこれか↓

http://www-personal.ksu.edu/~aarana/papers/FefermanReviewMathIntelligencer.pdf

そんな大層なもんじゃないだろ

age

てめーらアフォか

トンデモ南堂の逆襲（激藁）

h ttp://hp.vector.co.jp/authors/VA011700/math/partps.htm

↑その話題は隔離しました。

トンデモバトル＠数学版
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1123762243/l50

集合演算の集合と、複素平面上の集合（点集合）と、意味が異なる気がするのだが・・・
数学において、両者を明確に区切っているのだろうか？

後者は前者の一般的な場合
一般の集合について成り立つ事は
点集合についても成り立つ
逆はそうではない

集合が、集合演算の集合と、複素平面上の集合（点集合）と、
群の定義である実数の集合に大別できることに気がついた。

意味が分からない

群の定義である実数って何？

>>720
それは間違っていると思う

集合が３つに分けることが出来ることをいっている。
１）　論理的集合
２）　幾何学的集合
３）　代数的集合
これらは数学の範疇で有りすべてである。

>>724
それぞれ厳密な定義を明確に述べよ

>>725
厳密な定義は数学（物理数学を含めて）のすべてに渡ることです。

>>726
解説は良いから定義を書け。
Aが論理的集合であるとは? 幾何学的集合であるとは? 代数的集合であるとは?

>>727
数学とか集合とか範疇の概念についてもう一度一考してください。

また奇怪なことをいい始める奴がでてきたな(笑)
ところで誰か知っていたら教えてください、群の全体は集合なんでしょうか？

>>729
群の全体は集合になりません

>>730
どうもです、もし参考になる書籍とかあったら教えてください。

>>728
解説は良いから定義を書け。
Aが論理的集合であるとは? 幾何学的集合であるとは? 代数的集合であるとは?

数学における用語には全て定義がある。
数学では定義を明確に書けない用語は単なるバカの戯言だ。
論理的集合・幾何学的集合・代数的集合なる用語がバカの戯言でないというなら、
その定義を明確に書け。

対象と構造をきっちりコードすりゃなんであれ同一視できるべ。
集合を論理的とか幾何学的とか代数的とか区別するのは非本質的。

>>731
ごめん今ぱっとは思いつかない。

>>734
どもです、集合にならない例(順序数を使って群を作ってその全体を考えたら出来た)を今作れたのでとりあえず納得しました、ていうかちょっとは考えて書けって感じでした、すんません。

自分が数学初学者いうことで数理的定義については勘弁してください。
例えば代数的集合という意味合いにおいては、
数列と行列の収束に関する線形同一性に関しては、
群論と代数的集合の考えで説明がつくのではと、
思ったりもしています。

>>736
集合抜きにしてもいよいよ意味不明だな

確かに初学者は無知だが、こいつは勉強してもバカのままだろうな。

そういう決め付けは良くないと思う。

まず数学初学者に対して疑いたくなることは、
集合の公理からの、自然数の構成
自然数からの、整数の構成
整数からの、有理数の構成
有理数からの、実数の構成
実数からの、複素数の構成
という一連の流れ自体を知っているのかどうかを確認したい。
知っているのであればこれら基本的な集合たち
のどこに貴方のいう線引きが入り込んできて、
何故それが意味のある考え方なのかを説明してもらいたい。

阿呆に説明出来るわけないやんｗ

基地外に説法といても無駄ｗ

>>740

初学者君は、単に要素の集まりでしかない
下部構造としての集合と、その上部構造である
位相構造や代数構造という、レイヤーの発想が
欠如していると思われ。

ちなみにブルバキは基本的な上部構造として
順序、位相、代数の３つの構造を考えた。

＞群の全体は集合になりません

ところで多様体の全体は集合になるのかな？

>>720は、主張の前に
（自分が今までの数学の学習で触れた事の在る）
と補わないと真にならないな

>>744
群全体とか多様体全体とかが集合になるわけないじゃん
群構造全体も多分集合にならないと思う
多様体の微分構造の全体（同型なものは互いに同じとみなす）
なら集合だろうけど、、

>>745
位相多様体の構造を入れ得る集合全体の成す類が集合でない事の証明きぼん

だって濃度さえ同じだったら構造を入れうるでしょ？
連続濃度の集合全体の成すclassが集合でない事示せばいいんでしょ
簡単に示せる「と思う」けど

任意の濃度κについてκ次元の多様体がある、じゃ駄目なの？

非可算次元の多様体かあ、、
α≠βとしたときに
R^αとR^βの間に位相同型写像がないことは簡単に証明できるんだっけか

Universeってどういう意味だっけ？
全体集合って意味だったりclassって意味だったり
述語論理では議論領域とかいう意味だったり
Grothendieckとかはまた違う意味に使ってたり
色々と定義の一定しない述語だけど

>>747
もし連続濃度の集合全体の成す類cが集合なら、Rを実数全体として、
R∪{c}も集合で、c∈R∪{c}∈cが成り立つ。
これから…∈R∪{c}∈c∈R∪{c}∈cなる集合の無限降下列の存在で正則性公理に矛盾。
詳しくは、類を変数として含まない述語Pを
P(x)⇔∃z(c∈z∈x)∨c∈xと定めて、正則性公理の否定:
∃xP(x)∧∀x(P(x)⇒∃y(P(y)∧y∈x))
が証明されて、矛盾。

証明できた。
調べもしないで証明きぼんしてすまんかった。

正則性公理をそういう風に使うのか、、
微妙、、

自然数の集合と偶数の集合では、
含まれる数は、
どちらが多いのですか？

自然数が答えなら・・・
∞＝∞で矛盾？

同じが答えなら・・・
自然数の集合の中の奇数は偶数に含まれないので矛盾？

>>752
なんか変だった?

>>754
いや単に正則性公理使わないと証明できないのかなと思っただけ

この種のは証明してみるとなると、どう手をつけて見るか一瞬アタマが真っ白になりますね。
単に不慣れなだけだという話もありますが・・・

proper class（固有類？）からの単写があれば
集合にはなりそうもないけどね

正則性公理を使わない方法。
>>751と同じ記号を使う事として、A∈2^c (←べき集合)に対し
R×{A}∈cを対応させる単射の存在は矛盾。
べき集合からの単射が存在しない事の証明には選択公理は要らない。

>>757
それは置換公理(一意写像の像は集合)を使ったり
濃度のややこしい考察が必要なんじゃない?

たしかproper class⇔ORとの全単写が存在、
は簡単に言えた気がする
もちろん全単写ってのはclass函数ね

>>759
「V と OR との間に全単射が存在する」から global choice が導かれることに注意。

>>758
そこまでややこしくはないんじゃないかな。
問題のクラス単射 R : P >-> X の逆の関係R~を考えれば
Rの「値域 ran(R)」を「定義域」に、Pを「値域」にする
クラス単射 R~ : ran(R) >-> P になるから、
置換公理より、述語ran(R)が集合を定めるならPも集合。
Pはproper classなのでran(R)は集合にならない。
分出公理の対偶によりXも集合にならない。

>>745
>多様体の微分構造の全体（同型なものは互いに同じとみなす）
>なら集合だろうけど、、

そう思う理由は？

群の同型類の全体は、任意濃度の群が存在するから集合じゃないのは分かるけど、
微分可能多様体の微分同相類の全体は良く分からないな。
任意濃度の微分可能多様体を作るのは厳しそうだし、

パラコンパクトな位相多様体の同相類なら、
高々可算個の座標近傍系で被覆できるから連続濃度なので、
結局Rに入れ得る位相の全体を考えればいいので集合になるけど。

あ、連結でなくて良いなら、Rの任意個の非交和という
互いに同相でない位相多様体が存在するか。
残るは連結でありかつパラコンパクトでないものか…

あ〜(0, 1)+[0, 1)+[0, 1)+…ていう風に任意個の[0, 1)の端点を繋げる和空間を
超限帰納法で構成すれば、互いに濃度の異なる連結位相多様体が作れそうだ。
細かいチェックは嫌だけど。

微分構造も入るでしょ多分。連続書き込み申し訳ない。

あああ後から後から申し訳ないが、多分実解析的構造が入るし、
2n次元でやれば任意濃度の複素多様体が作れた事になる気がする。

>>765
ω_1 未満で止まる．

未満という意味は，ω_1 まで続くが，ω_1 は入れられないという意味．

やっぱ無理か。
http://miyako.math.metro-u.ac.jp/~masanori/Lecture/03kikagaku_A_enshuu.pdf
の24番の問題のΩを任意の順序数にしたものだけど駄目なのかな。
まるでチェックしてないけど。

ω_1 の近傍が separable でなくなる．

>>771
確かに。やっぱり連結位相多様体は連続濃度に限るのかな。

>>760
global choiceってのはBGの選択公理だっけ？
ですなあ、、

>>759-
＞たしかproper class⇔ORとの全単写が存在、
＞は簡単に言えた気がする
＞もちろん全単写ってのはclass函数ね
　
ORってなんすか？Ord全体のなすクラスのことすか？
だとしたら全単射の存在ってどうやって証明するんすか？

>>772
そのようですね。
証明はつぎのようでよいようです。
次元が決まるので、R^n と同相な開集合 O で被覆をつくる。このうち ω_1
個で被覆できることをいえばよい。O の境界がこの被覆の内、可算個のもので
被覆できることに注意する。
すると開集合 U_i (i < ω_1) で
(1) U_i はもとの被覆の可算和である、
(2) i<j ならば U_i の閉包が U_j に含まれる。
というものがつくれる。
この U_i の和の境界点をとると、この点が可算近傍基をもたない。つまり、
この取り方で ω_1 個で被覆される。

>>775
「可算近傍基を持たない」の証明が分かんねぇす。
一般位相の話題を引きずってｽﾏｿ

>>776
この U_i の和の境界点 p の可算近傍基を O_n とする。

p は U_i の閉包に入らないから、U_i と交わらない O_n がある。i < ω_1
だから、ある O_n は非可算個の i についてU_i と交わらない。U_i は単調増
加だから、p は U_i の和の境界点でなくなり矛盾する。

>>777
俺も>>775の証明わかりません。orz。もうすこし詳しく。たとえば
多様体をRとしてUi=(-2+1/i,2-1/i)として条件をみたすけど∪Ui=(-2,2)の境界である
2や-2は可算近傍をもつような。

>>777
なるほど。どうもです。
って事は結局、連結位相多様体の同相類とか
微分構造の微分同相類とかは集合になると。

>>778
iは高々可算順序数であって(一般に)自然数ではないので、
-2+1/iとかは無理。

すまない･･･わからない･･･
集合論スレで幾何の問題で粘着して申し訳ない･･･orz
もうすこしバカにもわかるように書いてくださりませんか･･･
U_iとは開集合の族ではないの？
すいません･･･よろしくおねがいします。

Oの境界の可算被覆を作る時、どこの相対位相での境界を考えているのかとか、
(無限個の和集合の境界)∩(境界の無限個の和集合)=φの場合とか細かく考えてたら
なんか分かんなくなってきたけど、俺はもーいーや。

脈絡なくてすみません。
ZFCのCは、選択公理（axiom of choice）の頭文字Cなのか、
哲学者Cohenの頭文字なのかどちらでしょうか？

>>782
前者

初学者勘違い野郎確定

確定遅すぎ

>>781
すぐ対応しませんで失礼。さっきもう一度かんがえたら、>>775 は具合悪いと
ころがあります。訂正します。

次元が決まるので、R^n と同相な開集合 O で被覆 o をつくる。c で連続体
の濃度を表す。

すると開集合 U_i (i < ω_1) で
(1) U_i の濃度は c 、
(2) i<j ならば U_i の閉包が U_j に含まれる、
というものがつくれる。

U_0 は o から１つえらぶ。
∂U_i の要素は U_i の要素の可算列の極限だから∂U_i の濃度は c 以下。
各々の点 x∈∂U_i について、x ∈ O_x ∈ o をとり、O_x すべてと U_i
の和を U_{i+1} とする。また i が極限のときは、U_j (j<i) の和とする。
これで i < ω_1 について上の(1)(2)を満たす U_i が構成された。

U_i (i < ω_1 ) の和が閉集合となることは >>777 のとおり。
つまり、これが開かつ閉だから全体に一致する。濃度は c× ω_1 = c 。

>>786
やっぱり最後のステップが変じゃないすか？
だって空間がRで開集合族Ui=(-2+1/i,2-1/i)は(1)、(2)の条件をみたす
開集合族だけど∪UiはRの閉集合にならないすよ？

779 に別の人が答えてあるとおりです。あなたは順序数というものを
知らないのでしょう。たぶん、濃度の計算もわかっていないはずです。
もう、答えませんので、悪しからず。

>>788
そうっすか･･･残念です。お察しの通り順序数というのは定義しかしりません。
集合でx≦y⇔x=y or x∈yで定義される関係によってwell orderd setになる集合
でしたっけ？私がいいたかったのはかりにUiのiがi<ω_1 (←これ最小の無限順序数
=加算無限という意味でつまりiは自然数の集合をはしってるんすよね？
実際>>786の帰納的構成にかんしても極限数iにたいしてのUiの定義がないから
Uiのiはこの構成では自然数までしか定義できていないと思います。)
だから>>786の議論は>>786の構成で帰納的にUiを構成していけば
自然数iによってラベル付された開集合の族(Ui)_{i<ω_1}は
(1)、(2)をみたしその事を利用して∪Uiが自動的に閉集合になるという記述にしか
私にはよめないのです。なにか事情通の間ならかかなくても通じ合える
暗黙の了解みたいなものがあるのかもしれないけどもしそうなら
それは何か知りたかったのです。もし>>786の証明が成立してるなら単に
連結な位相多様体は連続体無限であるというのみに限らず
かならず可分ということになります。それが正しいのかまちがってるのか
門外漢なのでわかりませんが、実際に役にたつかどうかはともかくとして
数学を学ぶものにとっては興味深いはなしなので証明ができた人がいるなら
詳しくきいておきたかったのです。まあもう少し自分でも考えてみます。
失礼しました。

>>789
最小の無限順序数はω_0と書き、ω_1 は最小の非可算順序数とする、
っていう暗黙の(しかし順序数の話では周知の)了解は確かにあるな。
極限数iに対してのU_iの定義はそのまんま書いてあるような気がするけど。

>>790
あ、ほんとだ。見落としてた。ｽﾏｿ。
ω_1は最小の非加算無限か･･･最小の無限と勘違いしてた。吊って来る。
つまり>>777の証明では可分まではいえないね。なるほど。おさわがせしますた。

＞∂U_i の要素は U_i の要素の可算列の極限
ここが正しくない気がする。U_i自身はR^nと同相で簡単な形をしていても、
その境界はぐちゃぐちゃになってる可能性が。

位相空間XとA⊂B⊂XについてAのBに関する相対位相での内部、閉包、境界を
それぞれA^i(B), A^a(B), A^b(B)と書いて、問題の多様体をMとし、
i=0の時、U_0=O、半径1のn次元開球をD(1)、f:D(1)→Oを同相写像、gをその逆写像する。
この時O^b(M)がD(1)^b(R^n)と同相になる保証はないと思う。
ただ、O':=f(D(1/2))はMの開集合なので、U_0:=O'とすればうまくいくのかなとも思う。
けど、fの制限写像でD(1/2)^b(R^n)と同相なのはf(D(1/2)^b(R^n))=f(D(1/2))^b(O)=O'^b(O)であって、
O'^b(M)(⊃O'^b(O))じゃないので、やっぱりO'^b(M)の濃度がc以下かどうか分からない。

相対位相絡みでかなり面倒な事になる気がする。

境界がぐちゃぐちゃになる例ってのは、D(1)を含む集合Xに、
D(1)の通常の開集合系及びX自身を開集合系として位相を与えたものとか。
この時D(1)のXでの境界はX-D(1)で、一般に非可算。
ただ、この例だとX≠D(1)の時XはHausdorff空間じゃないので位相多様体じゃない。
けど、どうにかして連結位相多様体でこういう反例が作れそうな気がする。

>>793
そんなにうまく行くかな。
問題の非正規超フィルタ U : Con(U)→Con(U') の逆の単項フィルタU~を考える
Uのマーロ基数 Mar(U)を飽和イデアルに、Vを非再帰的関数にする
群スキーム R~ : ran(R) >-> D(1) になるから、
被覆補題より、ストリームSt(R)が集合を定めるならXも相対平衡。
Uはカルテシアン閉圏なのでran(R)は層化できない。
被覆補題の対偶によりXは位相多様体にならない。

ｐがＵの触点でＯがｐの近傍で
ｆがＲ＾ｎ−＞Ｏの同相写像でｆ（０）＝ｐのとき
ａ（ｋ）∈Ｕ∩ｆ（｛ｘ｜ｘ∈Ｒ＾ｎ，｜ｘ｜＜１／ｋ｝）ととればｌｉｍ（ａ（ｋ））＝ｐ。

>>795
なるほど。>>786は完全に理解できました。

>>794
何の指摘をされてるのかも分からないくらい分からないす。ｽﾏｿ

馬鹿二人(俺=>>776=>>792と>>778)がお騒がせしました。

>>794
ﾜﾛﾀ

>>796
おわかりになったようで、786を書いたかいがありました。
なお 790、795は私ではありません、他の方です。

４次以上のベクトル空間ってベクトル集合ちゃいます？
４次以上の各次元は巾集合になってるから、当然位相が絡んでくる。　

>>799　ﾊｹﾞｼｸﾜﾛﾀ

>>799
何を質問してるのか全く分からない
もう少し普通の人間が読んで分かる文を書け

>>799は漢詩なんだよ。なかなかの名作だ。俺にはわかる。

799 は超光速位相ワープ航法の理論でも作ろうとしているものと思われ

>>802
七言絶句で作ってみた。押韻してないけど

苟空間多於四次
位相空間如集合
多於四則巾集合
是以明位相絡也

数学初学者の過去レスちょっと読み返してみたﾖ、衝撃的発想の連続でつねw

>>804
感動しまつた

いや、韻がバラバラ

それにしても７９９は何度読んでも解読不能だなぁ・・・申し訳ないけど、・・
３次と４次の間になんか線引きがあったら面白いけど・・・ｗ

>>805
やっぱり、今度のがとくにすごい。
論理的集合、幾何学的集合、代数的集合 の話はわかるような気がする。
要素のない対象を空集合だけでなく、論理元、幾何元、代数元という風に
分けておいて、群や体では、そちらを使い、平面や立体は幾何元を使う。
実数体はどっちを使うかは、その人の専門によって違ってくる、、、など。

そこいくと「４次以上の各次元は巾集合になってるから」ってどうなって
るんだ!

だれか数学初学者に過剰な偏執エネルギーを供給してやってくれ。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1123762243/108
人類の進化の過程をこの目でつぶさに観察したい。

集合論なぜなにスレッド age みたいな・・・
数学的集合とは
１）　論理的集合
２）　幾何学的集合
３）　代数的集合
プラス　集合の上部構造としての、
４）　位相
ただし、４）　位相　は集合の境界であり、内包ではない。　

きみは考える事をやめた方がいいんじゃないかな

電波をまき散らすだけの人生ってのはオツなものなのかい？

よくわからんが、じゃあカントールの悪魔の階段の定義域は
1〜3のどれかね？

いい加減電波撒き散らすのはやめてくれよ
＞ただし、４）　位相　は集合の境界であり、内包ではない。　
とか意味分からんし

いったい何を見てそう言ってるのだろうか、・・・
ある集合のベキ集合はどこに属すのか聞いてみたい・・・

ただのカマッテくんじゃねーの？

中身が劣等生なのに自覚が出来ない奴がこんな風になるよね。

既存の数学では満足出来ない（＝理解出来ない）から目新しそうな単語を並べて
理論を構築した様な気になるやつ。

スケールは全然違うけど清家真一なんかと同類。

初学者は優等生。
だけど周りにまともにガイドしてくれる人が居ないので
迷走してるだけ。　できる中学生が、自分の力
だけで数学の世界に飛び込もうとしたら、
最初はこんな風になってしまうのは仕方が無い。
むしろ先を見てる分大変見込みがあるといえる。

Woodinが「今なら、連続体仮説をとける」っていったらしいけど。
そんなこと本当にできるんだろうか。

とけるの意味を誤解してる

Woodinのいう「とける」ってどういう意味？
俺は「今なら、連続体仮説をとける」っていうのは以前海外のサイトで読んだ事ある。
なんかどっかの講演でいったらすぃ。

その講演の記録でも読んで見りゃ良いんじゃね？

WoodinのいったことはWoodinに聞け！

Woodinのいうことが理解できたら、とっくに論文にしているＹＯ！

Woodinのいうことが理解できる奴が2chにいるかYO!

まあ仮に連続体仮説がとけたら、フィールズ賞ものかな？

仮に解けたらって、Cohenが解いただろうが、、

「解ける」というのは、多分に個人の信条的問題
（連続体仮説の否定が非常に自然だと考えることができるような数学的結果とか）
だと思うがな

ヴァカにマジレスカコワルイ

ｎ次元ユークリッド空間で悩んでいた.
無限空間で原点0をどこに置こうと自由であるから、
空間内のすべての点に対して、例えば、n＝∞とおけば、
任意の一点に対して他の一点の無限次元のベクトル空間が定義できる.
ｎ次元ユークリッド空間は距離空間であるから、後はやさしい.

>>827
2行目から既に間違ってるんだが。
それ以下はもうただ意味不明。

２行目は見方の違いでは？
今回の言ってることは特に間違ってない気が、・・・
その分何も主張してない気がする・・・

相変わらず言い方がスゴイなｗ
要するにベクトル空間と、原点が指定されてないアフィン空間は違う、
と言いたいんだろうかｗ

いい加減無限空間がどうのとか、あまり変な事言わなきゃ良いのに

アフィン変換は光学的にアニメの世界に応用されているし、位相数学は、
集積回路に応用されている.
Hausdorff空間やHilbert空間、ベクトル空間は数学において、
その数学的商用価値が無限にあります。
自分は、群論と集合の立場から位相数学を探求したいと思います。

数学的商用価値って何？

>>832
やめとけ。レスが付けば付くほど図に乗る。
放置しとけば3ヶ月もしないうちに消える。

了解。
ってか2chブラウザのあぼーん機能の事すっかり忘れてた。

あぼーんできるヤツばかりだといいんだけどなw

というか内容がスレ違い>>831

数空間C^(n^2)において
n次正方行列α＝(a_ij)の元は点集合と同一視できる.
同様に、n次正方行列β＝(b_ij)を考えるとき、Schwarzの不等式によって
‖α＋β‖≦‖α‖＋‖β‖
はいえるか？
ただし、例えば‖α‖は、
‖α‖＝√(Σ[i,j＝1,n]|(a_ij)|^2)の意.

>>837
それのどこが集合論なんですか？

二年八時間。

age

いつもベタ文でｽﾏｿ.
集合の吸収律について数理式できたのでカキコする.
吸収律 (X∩Y)∪X＝X＝(X∪Y)∩X

証明

(X∩Y)∪X＝(X∪Y)∩Xの左辺は分配律により、(X∩Y)∪X＝(X∪X)∩(X∪Y)
X∪X＝X により、(X∩Y)∪X＝(X∪Y)∩X
X＝(X∪Y)∩X がいえればよい.
X⊃(X∩Y)∪X ⇒ X⊃(X∩Y)＝(X⊃X)∩(X⊃Y)
X⊃X ⇒ X∪X＝X より上式右辺は、(X⊃X)∩(X⊃Y)＝X∩(X⊃Y)
ところで、X⊃Y ⇒ X∪Y＝X 及び X∩X＝X より　　
∴X＝(X∪Y)∩X

>>837でSchwarzの不等式は、三角不等式の間違い！

>>841 修正します

X＝(X∩Y)∪X がいえればよい.
X⊃(X∩Y)∪X ⇒ X⊃(X∩Y)＝(X⊃X)∩(X⊃Y)
X⊃X ⇒ X∪X＝X より上式右辺は、(X⊃X)∩(X⊃Y)＝X∩(X⊃Y)
ところで、X⊃Y ⇒ X∪Y＝X 及び X∩X＝X より　　
∴X＝(X∩Y)∪X

４次元以上のベクトル空間はベクトルの和によって、
４次元以上の距離空間はピタゴラス（三平方）の定理によって、
各々、空間のベクトル及びデカルト空間における２点間の距離に帰着できる.
又、norm はn次元ベクトル空間の norm 及びn次元距離空間の距離に帰着できる.

帰着というか初めから問題なく定義できるのでは？
どんな教科書よんでんの？

４次元以上の距離は、連続する直線でないことは明白でしょう.
あとはその距離を表わす線分が連続かそうでないか、曲率がどうかが問題になります.
また位相空間への第一歩である、ハウスドルフ空間による
他次元への空間の埋め込みがあります.
これは閉曲線の一点を異次元で共有する点の集合と考えます.

ｺﾝﾊﾟｸﾄってどのようにイメージすれば良いんでしょう、、定義通りだと全くイメージできません。距離空間に限定してもよいんですが

talk:>>846 有界閉集合になるとは限らない。今のところ重要なのはコンパクト集合の連続写像による像がコンパクトになることだ。

>>845
>４次元以上の距離は、連続する直線でないことは明白でしょう
この主張が間違っていることは明白だが（ｗ

無限次元Banach空間では、単位閉球はコンパクトでない。
有限次元Banach空間では、単位閉球はコンパクトになる。

定義からも分かるように、コンパクトという性質は有限性と関係がある。

保守拡大

age

実数（0〜1）は自然数では数え上げられないって言うけど、

１←→0.1
２←→0.2
３←→0.3
〜〜〜〜〜〜
１０←→0.01
１１←→0.02

みたいにすれば可能なんじゃないの？これと、平方数や有理数のときは
何が違うんですか？お願いします。

その数え上げで数え上げられてるのは有理数の一部だけでしょ

センス無ッ

なに？なんかボケるとこだった？

>その数え上げで数え上げられてるのは有理数の一部だけでしょ

確かにそうだとは思うんですが・・・。無限まで数え上げるんなら、無理数も
√2/2＝70710678・・・/100000000・・・みたいに有理数内で、表現できるから結局・・・と思ってしまう。
無限まで数え上げると言うのが曲者で、たとえるなら有理数−自然数は、無限遠で０に収束。
実数−自然数は、無限遠で＋∞に発散てかんじなんですかね。

カントールの証明は、実数（0〜1）を数え上げても、小数点以下の位をひとつずつ違う数字で構成した間隙の数字があるから、
数え上げるのは不可能って証明だったけど、これは、有理数の時でもそのまま応用が利かないのかなあ。
・・・だめかあ。思いつくのは、数え上げた中で最小の有理数の分母を２倍したものがあるから・・・とか言うぐだぐだな反証に。
付け足しじゃなくて、間隙を突いてるからアリなのかなぁ。私の数え方でも、無限まで行けば隙間はないはずなんだけどなあ。
ただ、番号が増えれば増えるほど、間隙の数字と今数え上げてる数字との、桁数の差が開いてくるから、
いかにも、無限までいくと発散しそうなカンジではあります。

ていうかお前の数え上げのルールがわからん

>858
○小数点の低い位から順に数え上げる。
○ひとつの位を消化する時は、その位で表せる最小の数字から最大の数字までを数え上げる。
○但し、今消化しているその位が0の数字は既に前の位で数え上げたので飛ばす。

要するにNからQへの順序単射を定義しようってのか。
答: 不可能。

それじゃ10進表示で有限桁で書ける数しか出てこないんじゃないの

ああ、違った。順序単射は可能(f(n)=nで良い)だが「順序同型写像」が
不可能だ。

> 要するにNからQへの順序単射を定義しようってのか。

は？
そんなのいきなり>>853で違ってますが？
ていうか、 f(n) = n/(n+1) はNからQ∩[0,1)への単射な順序保存写像ですけど？
全単射が定義できないことを言ってるんですかな？

もう既に訂正入ってたね

ご苦労。

しかし>>853がありながら順序の保存などと思った理由は
依然として謎のままなんだが。

うん、10以上を見てなかった。

そっか。

ところで853よう。
> それじゃ10進表示で有限桁で書ける数しか出てこないんじゃないの
という疑問についてはどうなったよ。

853に納得させられたら神

1；ひとつ
2；ふたつ
...............
9；ここのつ
10以上；沢山
って奴だな

>868
無限まで数え上げるから、無理数も引っ張っといてくれるんじゃないかと
無邪気に信じてるわけですが・・・。

>>871
まずは定義を正確に理解しろ。自分の電波を混ぜるんじゃなくて。

>>871
あなたの定義だと、f(1)=0.1 f(2)=0.2 .....f(9)=0.9 f(10)=0.01.....となるわけで、そのまま自然に推論すると
f(20)=0.001 f(30)=0.0001とかになるんだろう。
じゃあそうだと仮定して、例えば、f(n)=√2/2の自然数nを具体的に求めてみてよ。
もっと簡単にf(n)=0.15を満たす自然数nは？
まあいかんせん定義が曖昧だからこの指摘が的を射てるかわかんないけど。

>>871

あー、そいじゃ、853の

> １←→0.1
> ２←→0.2
> ３←→0.3
> 〜〜〜〜〜〜
> １０←→0.01
> １１←→0.02

に戻ってだな、いいか、一般に、

　n ←→ x

という対応をお前の定義通り作ったとするぞ。

(1) nが有限桁しかなければ、xも有限桁しかない、というところまではOK？

(2) それゆえ、xが無限小数ならnも無限桁になる、というろころまではOK？

(3) それゆえ、お前の定義する数え上げが無限小数も数え上げていれば、
それをxとして、それに対応するnも無限桁である、というところまではOK？

(4) それゆえ、お前の定義する数え上げが無理数をすべて数え上げるため
には無限桁の自然数nが存在しなくてはならない、というところまではOK？

(5) 無限桁の自然数は存在しないからお前の数え上げは失敗している、
というところまではOK？

さあどこで詰まる？ぐだぐだ言い訳はいらないので番号で答えてください。

>>874
＞ (5) 無限桁の自然数は存在しないから

ここで853が
「えぇっ！（＠＠；）」
と驚く（ｗ

>>872-873
かなり好意的に考えてあげたとして
f(18)=0.09
f(19)=0.11
f(23)=0.15
では？、きっと・・・
間を抜いて数えてくのがめんどいけど・・・
f(27)=0.19
f(28)=0.21
f(36)=0.29
f(37)=0.31
・・・
f(99)=0.99
となって、（ここまではちゃんと数えました。・・・）
１〜９９で、99個の少数が表現できてるからつじつまが合う・・・
次の桁を類推するに、全体で、0.001〜0.999を表現するから、
f(999)=0.999となるっぽい。（間は、1位2位で止まってるやつをよけて埋める

f(N)を考えるとどうも稠密になりそうだけど、
単純に7分の１とかが入ってない（笑

それを数えることに何の意味があるんだ？

> (1) nが有限桁しかなければ、xも有限桁しかない、

の確認か？

何が入ってて何が入ってないのかを厳密に確認するため・・・かなぁ・・・

早く>>874に答えなさい

ＶＩＰからきますた、数学の天才、ちょっときてくれ(`・ω・´)

開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌

【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】
http://news19.2ch.net/test/read.cgi/news/1131301609/

1→0.099999････
2→0.199999････

としても上に言われたｆと同等のものができる。
（そもそも有限桁少数は無限桁少数でもある。）
fの像が有限桁かどうかというのは本質的ではない。

そんな話はしていない

>876
そうです、そうです。すみません、分かりづらくて。
＞その位で表せる最小の数字から最大の数字までを数え上げる。
この言い回しが微妙だったんすね。

>874
（５）まで納得・・・しました。多分。実際ｎに何が入るんだ？って言われたら、何も入らないから
一対一対応ではないと言うことですね。そうか、そう考えると、有理数も数え上げらんないんだ。
ただ、自然数全体は平方数（部分）と対応がつくから、無限集合ではあるんですよね？
無限にあったとしても、ｎに∞とは入れられないから、無理数（循環小数も・・・）は数え上げられない。
この理解でよろしいでしょうか？

>881
そうそう、それは少し思った。実数を相手にしているのに、有限桁までしか無理だよって、
有理数の話まで下がってたり(>863)して(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝでした。
無限桁の自然数は存在しないけど、自然数を循環小数（無限桁）で表すことはできるんですよね。

>>883
> 実際ｎに何が入るんだ？って言われたら、何も入らないから
> 一対一対応ではないと言うことですね。

そういうこと。

> そうか、そう考えると、有理数も数え上げらんないんだ。

あくまでも、>>853の数え方では、ね。
・数え方によっては自然数と有理数との1対1対応はつけられる。
　853はそうなってないが。
・どんな数え方をしようとも自然数と実数との1対1対応は絶対につけられない。
　853も含めて。
という違いがあるので、
・自然数と有理数との1対1対応にはどんなものがあるか
・自然数と実数が1対1対応できないという証明はどんなものか
の2つを理解するのが残ってる。

> 自然数全体は平方数（部分）と対応がつくから、無限集合ではあるんですよね？

お、定義まで戻って考えたのか。偉い。

> 無限にあったとしても、ｎに∞とは入れられないから、無理数（循環小数も・・・）は数え上げられない。

853の数え方では、ね。
でも、「自然数は無限に存在するがどれをとっても有限」ということは
肌身に染み込むまで納得しておいて損はないよ。対角線論法を
教えているときでもそこでつまる学生は結構いるし。

私は工学部なのですが、集合をやっていないません。
今、集合論を勉強するか迷っています。
そこで、皆さんに質問です。
集合という道具を使ったら、例えば高校の時にやった数学や、
物理などで見通しがよくなるのですか？

たとえば、解析学で微分方程式や、複素関数、変分を勉強したら、
高校の時の物理がすごく見通しがよくなりました。
弓矢で戦っていたのにバズーカで問題を殺している快感が味わえます。

そのような快感を集合論は与えてくれますか？
すみませんが、よろしくお願いします。

2 名前：考える名無しさん ：2005/11/08(火) 07:57:36
機械タンは１階述語論理と２階以上の述語論理との区別がつかない。


63 名前：考える名無しさん ：2005/11/08(火) 08:34:14
おれもつかない
おしえてちょ


67 名前：考える名無しさん ：2005/11/08(火) 09:59:22
>>63
『「区別」がつかないという事が区別できれば、「区別」する必要は無い』、という事でもない。

68 名前：考える名無しさん ：2005/11/08(火) 15:01:33
>>63
『「区別がつかない」という事が区別できれば、「区別」する必要は無い』、という事でもない。

括弧が『』と「」とで二重になっているのが２階述語論理の特徴。
「区別がつかない」という括弧を『「区別」がつかない』と書いたり、
単に「区別」がつかない、と書いたりするのは述語論理で関数を書く場合の特徴。


69 名前：考える名無しさん ：2005/11/08(火) 15:14:12
>>68は機械タンより頭がよい。



70 名前：考える名無しさん ：2005/11/09(水) 02:21:11
>>69
はっきり言って、ひらの日本語で述語論理を使うのはよくなかった。
>>67じゃ意味不明だ。２階以上の述語論理で考えて、それから書くとき
に関数の部分を（引数だけでなく）引数と関数とをまとめて括弧でくくる
ように書きかえるべきだった。ようするに、最初から>>68のように書けば
よかった。

ほめてくれてありがとう。


71 ：考える名無しさん ：2005/11/09(水) 03:08:43
日本語だけでなく、英語でもそうだけど、
修飾の階層を区別する記法がないよね。
全て見た目は同一の 「、」や「，」で書くしかない。
手書きのメモならスペースの空き具合で明示できるけど。

>>885
うーん、微妙ですねえ、、
物理の見通しがよくなることは殆ど無い気がします

敢えて言うなら、ヒルベルト空間とかそういうのが分からないでモヤモヤしているのなら
少しは役に立つかも、って程度

>>888
いや、物理じゃなくてもいいです。
数学でも、集合やっててよかった〜と感動することがあれば。
集合の考え方で、バリバリ難問が解けなくても、
問題の記述が簡潔になる、とか何かお得な感覚でもいいですが、
何かあったら教えてください。

あと、初心者に勧める本があれば、お願いします。
一応、高校程度の集合は勉強しています。

えっと、、公理的集合論をバリバリやりたい訳じゃないんだよね
普通の集合論は、大学で習うような数学を勉強する上で
自然に身についていくものだと思います

解析なり代数なり幾何なりの入門書の最初の準備の部分で
勉強すれば充分だと思うけど、どうしても勉強したいなら
斉藤「数学の基礎」とかでしょうか

>>889
とりあえず、集合の濃度の概念は必要。てか、せめて可算と非可算の区別くらい
知ってないと。（逆にいうと、その程度でいい気もするが）

たとえば、誰でもわかる次の素朴な問この素朴な問に答えるのに必要。

問：(1)一点の「長さ」は明らかに0である。 (2)集合の「長さ」は共通点をもた
ない部分集合にわけたとき、それぞれの長さの和になるという性質をもつべきで
ある。
で、区間は一点が無限個集まった集合で、0は無限に足しても0だから、(1)と(2)
は矛盾しないか？ （(2)は有限分割にしか通用しない、というのでは積分は無限分割
だからそれもダメになってしまう。）

>>890
ありがとうございました。参考にします。

>>891
遅くなり申し訳ありませんが、ご回答ありがとうございました。
提示された哲学のような問題に数学が答えるというのは大変興味深いです。
少なくともご指摘をいただいた加算・非加算については理解します。

＞集合という道具を使ったら、
＞例えば高校の時にやった数学や、
＞物理などで見通しがよくなるのですか？

高校レベルでは、おいしい話はないな。
フーリエ変換とかだとどうかな？

というか、使わないと見通しが悪くならない？

使う使わないっていうよりもう一般的な数学のことばだな
カタカナの外来語をまったく使わない！と決めて
生活することは出来ても不便なのと似た感じ

＞使わないと見通しが悪くならない？

例ぬきで漠然と言われても分からん。

>>897
ｱﾌｫですか？

ごめん
晒し上げるのを忘れてました。

おいおい

別に集合といっても、何々をみたす要素の集まり、
といっても実用レベルではほとんど同じだろ

そういうレベルのものを集合論というなら、確かに使わんとやってられないわな

764

>>897
代数学だと、集合論の言葉(ツォルンの補題とか)を使って
代数的閉包とか、極大イデアルの存在を証明するよね。

普通にやっても証明できるらしいけど、
そうするとものすごくややこしいとか聞いた。

>>907
まじっすか？おれはどっかで極大イデアルの存在とツォルンの補題は同値って
聞いた記憶が･･･

選択公理を使って証明する定理は、漠然とした存在定理が多いから
＞普通にやっても証明できるらしいけど
ってことはないだしょ

>>904
選択公理とツォルンの補題と整列可能性定理とが
等価っていう話はあるが…

>>905
もともとシュタイニツが証明していた代数閉包の存在証明を、
後になってツォルンが、集合論の言葉をつかって簡単にした
と聞いたが。
もとのシュタイニツの証明も、選択公理とかを使うのかな？

>>903の
　
＞普通にやっても証明できるらしいけど、
　
のソースがしりたい。

>>907
いや、あんまりはっきりとしたソースはないんだけどね。

>>906で書いたみたいに、ツォルン以前にも証明があったって
教科書に書いてあるから、それは多分、選択公理は使って
ないんだろうなあ…と思ってただけ。

すいません、近傍系が分かりません。X={a、b、c}、θ={空集合、{a}、{a、b}、X}として、a、b、cの近傍系を求めよ。答えはわかってますが、なぜそうなるか分かりません。誰か御教授お願いします。

>>909
じゃあ、答えを書いてみてください。

μ(a)={{a}{a、b}{a、c}X}μ(b)={{a、b}X} μ(c)={X} です。俺自身は分かっていません

点pの近傍系の定義は何でしょうか？
pを含む開集合を含む集合、ということでしたよね。

体が可算集合ならば、その代数的閉包の存在は選択公理なしに証明できる。
一意性の証明には選択公理が必要。
一般の無限集合の場合には存在証明にも選択公理が必要。

>>913
証明おながいします

レモンの『公理的集合論入門』はどうですか？

体が可算であるということは、体が整列可能であるということになる。
一般に体が整列可能なら、その代数閉包の存在は選択公理なしに証明できる。

>>913
こんなところで、証明を訊く閑があれば、自分で図書館にいって勉強すべき。

>>915
また微妙な本を、、

>>946
証明のってる本を紹介してください。

>>918
俺も知りたい

>>916
その論理だと、まず、可算の体Kの代数拡大全体は、
再び可算集合であるということを証明しないとならない気がする。

…が、いいのかな。
K上で既約な多項式も高々可算個しかないから、
代数拡大も高々可算個か。

>>920
オレがしってる証明は体kに対してkの任意の多項式がR上では１次式に
分解する拡大可換環Rを用意してRの極大イデアルmをとればR/mが
代数閉体になるという証明だけどそれだとRが極大イデアルをもつことが
選択公理なしでしめせるか？という問題になってしまう。一番簡単なRの構成としては
kの多項式全体の既約集合をPi (i∈I)とラベルつけといてI×Nの部分集合でラベル
ついてる不定元Xin (i∈I、1≦n≦degPi)で生成される多項式環k[Xin]を
sn(Xi1,･･･,Xid)=cin(-1)^n (1≦n≦degPi)なる形の元で生成されるイデアルで割って
つくるんだけど(ただしsi(x1･･･xd)はi次対称式、cinはPiのn次の係数)
たとえkが整列集合でもこのRが極大イデアルをもつことが選択公理なしに証明できる
ことはそんなに自明でないとおもう。
　
あとkの任意の代数拡大の集合はkと同じ濃度の集合Xを容易してk[X]の剰余体として
かけることを利用して集合S={L| Lはk[x]の剰余体}に
“L≦L’⇔あるk代数の単射L→L’が存在する”で順序をいれたときの極大元が
代数的閉体になることを利用する証明もあるけどやっぱりこのSに極大元が
とれることもやっぱりそんなに自明でないとおもう。
　
もちろん代数閉包の構成はこれだけじゃないからうまく行く方法があるのかもしれないけど。
すくなくとも図書館いって自分でみつける自信はない。

>>918
足立恒雄 数 (体系と歴史) 朝倉書店

922 に書いた本では、十分でないかもしれないが、そこの拡大の方法を
以下の方法と組み合わせればよい。
その都度拡大した、体の要素を係数とする既約多項式を整列しておき、
集合論でよく知られている、簿記式のやり方で、次々に拡大すれば、
拡大の回数を体の基数と同じ回数くり返せば代数閉体となることが証明
できる。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4770704569/qid=1134222990/sr=1-50/ref=sr_1_2_50/503-9660712-9525534

代数的閉体の存在はそれでいいとして一意性となるとどうでしょう？
latticeなら極大イデアルの存在にも選択公理が必要ですが、
選択公理そのものでなくともそれの少し弱いものが入り用になりそうな気がします。

> 代数的閉体の存在はそれでいいとして一意性となるとどうでしょう？

>>913も

> 体が可算集合ならば、その代数的閉包の存在は選択公理なしに証明できる。
> 一意性の証明には選択公理が必要。

って言ってますよね

なんか「選択公理と数学」とかに書いてないの？

　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ　l　!
　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ
　　　 　 {　r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ
　　　 　 ヽl i),ﾞ 　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ!
　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ
　　　　　　　| ヽ　 　 - 　/
　　　 　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､
　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿

ハッハッハ！　見ろ！
Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ

>>913 に書いてあるよ。
もっとはっきりいえば、有理数体 Q の代数閉包に同型でないものがある
という ZF のモデルがあるというのが 1972 年の Symbolic Logic に載って
るぞ。

950踏んだ人次スレよろ

Ｕ=(１から１００までの整数)
Ａ=(２の倍数)
Ｂ=(３の倍数)
のときの
―
Ａ∩Ｂの要素の個数を教えてくれ。

>>930
早すぎ。
>>931
∞。

>>932
Uを全体としてその部分集合のことを言ってるんじゃないかな

建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り

建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り

建部崩れ祭り、Invent崩れ祭り

わっしょいっ、わっしょいっ！

集合論じゃない希ガス

算数のドリルだな。

１から100までの整数という有限の範囲内で、
２と３の公倍数の個数を聞いてるだけなんだから、教えてあげれば？

集合の記号の意味がわからないのか数え方がわからないのかも
書いてない。丸投げじゃん。これで個数だけ教えてやっても、
質問者は集合の扱い方について何も学べない。それは教育でも
親切でもない。質問者を駄目な子にするだけ。まず教科書なり
ノートなり読み返して、自分で考えて、その上でわからないことを
質問してこいよ、と。

それから、Aの上の overbar は補集合でしょ、見落としてるよ。

>>938
ああ、あの線は補集合か。ほんと見落としてました。ありがとうございます。
てことは、２の倍数でない整数かつ３の倍数の個数か。
で、２の倍数＝奇数だから、３の倍数で奇数の個数を答えればよいわけだ。
なんか質問者を押しのけて真剣に問題に取り組んじゃってるが…。勉強になるな。

あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ

あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ

あほがコネ救済される ⇒ Invent君が崩れるｗ

あ、ちゃうやん。２の倍数ではない整数＝奇数、でした。

たけちゃんのウェッブ・ページだよ♪ｗｗｗ
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/%7Et-saito/

たけちゃんのウェッブ・ページだよ♪ｗｗｗ
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/%7Et-saito/

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すみませんが質問させてください。

ttp://academy4.2ch.net/test/read.cgi/philo/1112200786/357
> 無限の濃度の計算は1+1=1(m+m=m)だぞ。
> 現代数学が1+1=2しか認めないってお前馬鹿か？

というレスがあったのですが、何を言っているのかよくわかりません
（そもそも哲学板なんて何を言っているのかわからないレスが大半
なのは重々承知なのですが、現代数学を知っている理系学生を
自認するらしき者のレスだったので、上のレスを読むまではROMで
拾い読みしていました）。

例えばブール代数なら1+1=1だ、と言われるのならまだいいのですが、
無限の濃度の計算で1+1=1になる、などと言われてもそんなものは
聞いたことがありません（もちろん無限の濃度κについてκ+κ=κ
となることは知っています）。
1は無限の濃度でないのだからZFCでも1+1=1にはならないだろうと
レスしても、「m9(^Д^)ﾌﾟｷﾞｬｰｰｰｯ!!!」とか「馬鹿過ぎる」と言われる
だけで、まともにとりあってもらえませんでした。

私はKunenを1冊やり終えただけで、Jechも2、3章拾い読みした程度の
知識しかないので、「無限の濃度の計算は1+1=1」が意味をなすような
集合論の概念をご存知の方、ご教示いただけませんでしょうか。

濃度の話なら１＋１＝２に一票

2chはどこでも理不尽なもんだ

そういった連中は、相手にするだけ無駄。
多分ブール代数とかZFCが何なのかすら知らないだろう。
或いはチラッと見たもののよくわからないので、
お得意の哲学的禅問答に引きずり込もうとするパターン。

その手のスレは見ない方が身のためだ。
1+1がどうとか、くだらなすぎて精神衛生上有害。
トンデモが移りそう。

ちなみに、証明（らしき文字列）の終わりに「QED」とか書く連中は
それだけで大いに警戒した方がいい。

＞私はKunenを1冊やり終えただけで、Jechも2、3章拾い読みした程度
本当に？
Kunenを問題まで全部解くのは相当凄いと思うけど
数学科の普通の学生や、分析哲学の人はそこまで勉強しない

かといって、KunenがどうのとかJechがどうのとか
Boole代数がどうのとか知識を見せびらかす系のレスするのも
かなり傍から見てアレなので
無視すれば良いんじゃないかな

>>944
ですよね。「1が無限なら1+1=1」と言うのもあまり意味がないし。

>>946
1+1=2を疑わない数学者はわかってない、とお決まりのことを言う
「哲学側」に対して、「現代数学側」から、ちょっと変わった絡み方を
するレスがついているのを見かけて興味を引かれてしまいました。
それが、その現代数学の立場からのレスのはずなのに
> 無限の濃度の計算は1+1=1(m+m=m)だぞ。
と言い出したので混乱させられてしまいました。もう無視します。

>>947
弁解すると、独力でKunenを解ききったわけではありません。
幸運なことにヒントや指示を与えてくれる先生がいたので。

ひょっとして何か面白いことを言っているのかもしれない、と思って
食い下がったのですが、誤りでも煽りでうやむやに・・・という
>>945のようなパターンだったか、ということで済ませます。

＞1+1=2を疑わない数学者はわかってない、とお決まりのことを言う
＞「哲学側」に対して
というか、本当に1+1=2であろうか？じゃなくて
足すとはどういう事だろうか？二つの対象が等しいとは？
と考えていって、誰が読んでも「見解の差」が出なくなるまで
ことばによって明晰に表現するのが200年ほど前からの数学の精神だよね

それに対して哲学の人は、充分に定義されていない言葉を使って色々議論、思索するけど

> 「哲学側」に対して、「現代数学側」から、ちょっと変わった絡み方を

それは共食いといいます

528

基礎的な質問でスマソなのだが、浅学な私の知っているZFCの公理では
・置換公理（１）
　∀x∀y∀z(A(x,y)∧A(x,z)→y=z)→∀a∃b∀y(y∈b⇔∃x∈aA(x,y))
・選択公理（２）
　not(φ∈z)∧∀x∀y(x,y∈z∧x≠y→x∩y=φ)→
　　　　　　　　　　　　　　　∃b∀x∃a(x∈z→b∩x=｛a｝)
だったりするのだが、他の本では
・置換公理（３）
　∀x∈a∃yA(x,y)⇔∃y∀x∈a∃z∈yA(x,z)
・選択公理（４）
　∀x∈a∃yA(x,y)⇔∃y∀x∈aA(x,y(x))
となっていた。（他にも違うところがあるが、まずはこれだけ。）
おそらく流儀が違うだけで、両者は同値だと思うのだが、だとすれば
（３）（４）は「浅学な私の知っているZFCの公理」から導けると思うのだが、
まったくできん。どなたか（３）（４）の導き方を教えてもらえないだろうか。

ちなみに「浅学な私の知っているZFCの公理」とは上記の（１）（２）の他は
等号、対集合、和集合、べき集合、空集合、無限、正則
の公理です。

もしや証明は長くなってしまうんだろうか？うーーむ、ムズイ（−−）

意味を考えてみればわかる

>>953
そう簡単にもいかないんスよ。例えば、選択公理（２）では集合ｚの各要素から1つずつ
要素を選んでるけど、選択公理（４）では｛y｜x∈a∧A(x,y)｝でさえ固有クラスになる
可能性があるわけで．．．。