位相について語ろう！２

>>493
Xの外のことなど考えていないんだろう
まあありがち
気になるなら、自分で補いましょう

>>494
文脈がわからないので、何とも言えない
距離空間なら、集積点は存在すればただ一つ

>>496
距離空間でも、
M={(-1)^n(1-1/n) | n=1,2,…}

の場合は、集積点は、-1と1の二つありますよね?

>>495
それは、考えているのが「集合X」ではなく「空間X」だから、
空間の外のことは考えないからですか?
「集積点が存在する」と言った場合、そもそも空間の外の
集積点自体がありえないから?

>>497
>>494 で
＞ Mの点列P1,P2,…,Pn…が存在して、この点列は1点Pに収束するが、
と書かれているので、収束しない点列はここでの考慮の対象にならない

>>499
だとすると、その後の
「P1,P2,…,Pn,…　の集積点は明らかにPただ一つである」
の文の必要性は?

その後で使うからに決まってるだろ。

なるほど、少し勘違いしてました。

閉集合Mとは、
「Mの点列P1,P2,…,Pn…が1点Pに収束する　⇒　P∈M」

なので、「Mが閉集合でない」時は：
「Mの点列P1,P2,…,Pn…が1点Pに収束するのにも関わらず、
　P∉M となる点列P1,P2,…,Pn…が存在する。」

ので、>>494の

「Mは、閉集合でないとする、この時、
　Mの点列P1,P2,…,Pn…が存在して、この点列は1点Pに収束するが
　P∉M という事態が起きている。」

と言えるわけですね。

ちなみに、有限集合は必ず「閉集合」ですよね。

違う

どの辺が?

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/htop4.html

↑

「有限集合はいつでもコンパクトである」
とあります。
「コンパクト⇔有界閉集合」
ですから、

「有限集合はいつでも有界閉集合」

ではないのでしょうか?

>>507
コンパクトである事と有界閉集合である事は、常に同値である訳ではない

>>508
例えばどんな場合に同値ではないんでしょう?

二乗総和可能な数列のなすヒルベルト空間では
有界閉集合は必ずしもノルム位相でコンパクトではない

>>510
「数列のなすヒルベルト空間」
「ノルム位相でコンパクト」
の意味が分かりません。

だいたい距離空間でない一般の位相空間で有界も何もないだろ

有界性の概念は一様空間で考えられる

>>512
距離空間でない位相空間というのが分からない。

ぐぐれ

「位相空間Xがコンパクトである事」の定義は、
「Xが加算個の開集合 O1,O2,… によって、X=O1∪O2∪…
　と覆われているならば、これらの開集合の中から適当な有限個の、
Oi1,Oi2,…,Ois をとると、既にこの有限個によって、
　X=Oi1∪Oi2∪…∪Ois と覆われている。」

とのことですが、そもそも「X=O1∪O2∪…」と覆われているとは言えない
場合は、どうやってコンパクトであるかどうか判断するんでしょうか?

例えば、Xが「有界閉集合」の時、開集合 O1,O2,… によって、
X=O1∪O2∪…とは書けないのではないでしょうか?

Aになる可能性が全くないとき、
「A⇒B」
は真。と言うことは、開集合 O1,O2,… によって、X=O1∪O2∪…と
書けない場合は、Xはコンパクトである、と言って良いと言うこと?

ということは、「有界閉集合ならば、コンパクトである」は真?

空間自体が「一点P」しか含んでいない場合、
{P}を集合Aだとすると、Aは、開集合でもあり、閉集合でもある、
という命題は真ですか?

＞例えば、Xが「有界閉集合」の時、開集合 O1,O2,… によって、
＞X=O1∪O2∪…とは書けないのではないでしょうか?
何か勘違いしてると思う
被覆出来ない場合もあるけど出来ることの方が多いと思っといた方が良い

あとX=O1∪O2∪… じゃなくてX⊆O1∪O2∪…

一冊ちゃんとした教科書を読まないと絶対分かるようにならないよ
位相空間の定義ですら分かってないように見える

>>518は正しい

>>519
>あとX=O1∪O2∪… じゃなくてX⊆O1∪O2∪…

>>516 で書いた定義は、群論への30講のp.217に出てます。
誤植ですか?

Wikipedia：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
に
「A の内部（ないぶ、interior）または開核（かいかく、open kernel）とは、
　条件「A は x の近傍である」を満たす X の点 x 全体の集合である。この
　とき x は A の内点（ないてん、interior point）であるという。集合 A
　の内部を Int A または Ao で表す。」
とありますが、

条件「A は x の近傍である」 は誤りで、
条件「x の近傍がAに含まれる」　が正しいのではないでしょうか?

>>519-520
Xは「集合」ではなく、「空間」なので、Xより大きな集合が存在しないので
「⊆」を使う必要がないのでは?

「R^nの中の有界な閉集合はコンパクトである。だから、
　3次元空間の中の球や球面やドーナツ面などは全てコンパクトである。
　一方、数直線や平面全体はコンパクトではない。また、
　球の内部だけを考えると、開集合となってコンパクトではない。」

とありますが、最後の一文が納得できません。
球の内部をMとすると、無限個の開集合O1,O2,…では
M⊆O1∪O2∪…
と出来ても、その内の有限個のOisを取ると覆えない、というのでしょうか?

>>522
あ、なるほど
そうでしょうね

>>521
「A は x の近傍である」
⇔x∈O⊆Aとなる開集合 O が存在する
⇔「x の近傍がAに含まれる」
だからどっちでも良い

>>523
例えば原点中心の半径 r の球の内部（開球）をB(r)とすると
{B(r)| 0<r<1}は単位開球B(1)を被覆するけど、その有限部分では端っ子が絶対覆えない

言ってることは正しいけど「コンパクト」は位相空間論の中でも比較的難しい話題だから
群論への30講だけで理解しようとせずに主に位相空間について書いた本で勉強した方が良いよ

>>524
後半の球の内部については納得しました。

中間の
>「A は x の近傍である」
>⇔x∈O⊆Aとなる開集合 O が存在する

が分かりません。

ある正数εがあって、
A=O_ε(x)={y; |x-y|<ε}
という意味ではないんですか?

近傍の定義が違うのかな?

A⊇O_ε(x)={y; |x-y|<ε}ね
それなら同値

後は教科書参照

だとすると、
1.「A は x の近傍である」と
2.「A は (x の近傍)である」とでは違ってきますね。

xの近傍 ≡ O_ε(x)={y; |x-y|<ε}

と定義されているのですよね?

＞xの近傍 ≡ O_ε(x)={y; |x-y|<ε}
＞
＞と定義されているのですよね?
O_ε(x) = {y; |x-y|<ε} は x の近傍だけど
x の近傍はそれだけじゃないよ

後は教科（ｒｙ

A、Bがコンパクトのとき、
A∩BやA∪Bがコンパクトにならない例ってありますか？
距離が入らない例を探さないといけないので
こんな簡単な問題で躓いて先に進めません

一晩考えましたがどうも閉集合と同様に
Aiがコンパクトの時、A1∪A2、∩Aiはコンパクトで
∪Aiはコンパクトとは限らないみたいですね

∪_[ε↓0] [x+ε, y-ε] = (x, y)

岩波の復刊で、彌永、彌永の「集合と位相」きましたね。例が幅広く取られていて、20年位前に大分お世話になりました。

>>531
コンパクトというときに、ハウスドルフ性を仮定していないのならば、
共通部分がコンパクトになるとは限らない。

集合・位相空間要論（培風館）の161〜162ページについて質問です。

X:ノルム空間　M：Xの線形部分空間　x_0：Xの元であるがMの元ではない
[x_0]：x_0のスカラー倍全体の集合
M_0 = M + [x_0]：Mと[x_0]で張られた空間
ｆ_0：M_0上の連続線形汎関数

M_0の任意の元yは、y = x + α*x_0 (xはMの元、αは実数)と一意に表される。
||f_0|| = 1 を満たすためには、|f_0(x + α*x_0)|≦||x + α*x_0|| とすればよい。

最後の不等式は十分条件ではないような気がするのですが、解説をお願いします。

作用素ノルムならそれでいいだろ、何が疑わしいのかちゃんと説明したほうがいいぞ
質問しようと疑問点を整理してたら質問するまでもなく解決したなんてざらにある。

>>536
これでいいのですか。
よく分かっていないのですが、||f|| = sup (||f(x)||/||x||) ですよね？
|f(x)|≦||x||ならx≠0のとき|f(x)|/||x||≦1とはなりますが、
これだと||f||≦1しか言えないのではないでしょうか？
よろしくお願いします。

>>537へ補足です。
||f|| = sup (||f(x)||/||x||) = 1　は、|f(x)|/||x||が1に限りなく近づけるか
最大値が１という意味に解釈しています。
よろしくお願いします。

age

R^nの部分集合Xで
Xは可算個のコンパクト集合の和で表せるけど
R^n-Xはそうは表せない奴を教えて下さい

age

>>540
Q^n

内田伏一著の「集合と位相」の90ページ例19.1の説明がよくわかりません。
積位相のところですが。。

『n次元ユークリッド空間(R^n,d^(n))について、d^(n)から定まるR^nの距離位相をO_nで表そう。R^pの点x=(x_1,..,x_p)と
R^qの点y=(y_1,...,y_q)の対(x,y)に対して、R^(p+q)の点(x_1,..,x_p,...,y_1,...y_q)を対応させることによって、直
積R^p×R^qとR^(p+q)を同一視すれば、積空間(R^p,O_p)×(R^q,O_q)の積位相O_p×O_qは距離位相O_(p+q)に一致すること
がわかる。なぜならば、ユークリッドの距離について、等式
(d^(p+q)((x,y),(x',y'))^2 = (d^(p)(x,x'))^2 + d^(q)(y,q'))^2
が成り立つので、開球体について
B_p(x;ε/√2) × B_q(y;ε/√2) ⊂　B_(p+q)((x,y);ε) ⊂ B_p(x;ε) × B_q(y;ε)
が成り立つからである。』

となるのですが、なぜこれが成り立つことが、積位相O_p×O_qは距離位相O_(p+q)に一致するといえるのかわかりません。
どう理解すればよいのでしょうか。

>>543
R^(p+q) の部分集合Uが、O_p×O_qでopenと仮定する
Uの点を任意に取って (x,y) とする
これに対してε_1とε_2が存在して、(x,y) ∈ B_p(x;ε_1) × B_q(y;ε_2) ⊆ U
ε' = min{ε_1,ε_2} とおけば、(x,y) ∈ B_p(x;ε') × B_q(y;ε') ⊆ U
従って、(x,y) ∈ B_(p+q) ((x,y);ε') ⊆ U
よって、UはO_(p+q)でもopen

逆は自分でやって