線形代数/線型代数 6

1 １３２人目の素数さん 2008/11/04(火) 21:00:00
線型代数に関する話題全般のスレッドです。

過去スレ

線型代数に関する話題はこちら
http://cheese.2ch.net/math/kako/971/971641965.html
線形代数/線型代数 総合スレッド
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1056170095/
線形代数/線型代数 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1090754133/
線形代数/線型代数 3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1134640067/
線形代数/線型代数 4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/
線形代数/線型代数 5
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1225800000/

記号の書法は>>2-3参照のこと

●スカラー：a,b,...,z, A,...,Z, α,β,...,ω, Α,Β,...,Ω,...（「ぎりしゃ」「あるふぁ〜おめが」で変換）
●ベクトル：V=[v1,v2,...], |V>,V↑,vector(V) （混同しないならスカラーの記号でいい。通常は縦ベクトル）
●テンソル：T^[i,j,k...]_[p,q,r,...], T[i,j,k,...;p,q,r,...]　　（上下付き１成分表示）
●行列　　M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]　　M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（右は全成分表示。行または列ごとに表示する。例：M=[[1,-1],[3,2]]）
●転置行列・随伴行列：M ',tM, M†（"†"は「きごう」で変換可）　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)

●複号：a±b（"±"は「きごう」で変換可）
●内積・外積・３重積：a・b, a×b, a・(b×c)=(a×b)・c=det([a,b,c]), a×(b×c)

●関数・数列：f(x), f[x]　a(n), a[n], a_n
●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2)=sqrt(a+b) （"√"は「るーと」で変換可）
●指数関数・対数関数：exp(x+y)=e^(x+y)　ln(x/2)=log[e](x/2)（exp(x)はeのx乗、lnは自然対数）
●三角比：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●絶対値：|x|　　●共役複素数：z~　●ガウス記号：[x] （関数の変数表示と混同しないよう注意）
●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n,k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （"Π"は「ぱい」で変換可）

●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y_x （"∂"は「きごう」で変換可）
●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf
（"∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬[D]f(x,y)dxdy, ∬[C]f(r)dl
（"∫"は「いんてぐらる」，"∬"は「きごう」で変換可）
●数列和・数列積：Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k) （"Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可）
●極限：lim[x→∞]f(x) （"∞"は「むげんだい」で変換可）

●図形："△"は「さんかく」 "∠"は「かく」 "⊥"は「すいちょく」 "≡"は「ごうどう」 "∽"は「きごう」
●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換
●等号・不等号："≠≒＜＞≦≧≪≫"は「きごう」で変換

いいと思います！>>1-3ありがとんカツカレー

過去ログ倉庫
http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public

R上の関数ｆが次の条件を満たすとする。
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）、ｘ、ｙ∈R

このとき、選択公理を仮定しなければ、ｆは線形であるということはできますか？

　a_n = (3/4)a_(n-1) + (1/4)b_(n-1),
　b_n = (1/4)a_(n-1) + (1/2)b_(n-1) + (1/4)c_(n-1),
　c_n =　　　　　　　　　(1/4)b_(n-1) + (1/2)c_(n-1) + (1/4)d_(n-1),
　d_n =　　　　　　　　　　　　　　　　 (1/4)c_(n-1) + (1/2)d_(n-1),
　e_n =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1/4)d_(n-1),

こんな e_n の一般項は求められますか？


http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1238753325/001 , 021
漸化式の質問です

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1237904961/747
分かスレ３０４

>>7
遷移行列(?)Tは
T =
　[ 3/4, 1/4, 0, 0 ]
　[ 1/4, 1/2, 1/4, 0 ]
　[ 0, 1/4, 1/2, 1/4 ]
　[ 0, 0, 1/4, 1/2 ]

固有多項式は
　|T-xI| = {x^3 -x^2 +(3/16)x +(1/64)}(x - 3/4)
　　　　= {(x -1/3)^3 -(7/48)(x -1/3) +7/(12^3)}(x - 3/4),
固有値は
　λ_1 = 1/3 + ((√7)/6)sin(α -2π/3) = -0.0617449009293667652625024420021･･･
　λ_2 = 1/3 + ((√7)/6)sinα　　　　　=　0.3612604669781572021444512822484･･･
　λ_3 = 1/3 + ((√7)/6)sin(α -2π/3) =　0.7004844339512095631180511597537･･･
　λ_4 = 3/4,
ここに
α = (1/3)arcsin(1/√28)
　　= (1/3)arctan(1/√27)
　　= (1/6)arccos(13/14)
　　= 0.06337520111548891924700549173166･･･

∴ 一般項は
　e_n = (1/4)d_(n-1) = k_1･(λ_1)^n + k_2･(λ_2)^n + k_3･(λ_3)^n + k_4･(λ_4)^n,
　k_1 〜 k_4 は初期条件で決まる定数。

エルミート行列Ａが正定値⇔Ａの対角成分は全て正の実数

これって真？　偽？

>>9
→ は成り立つ（正定値 iff 全ての主小行列が正）。
← は成り立たない。[1,2; 2,1] くらいで反例。

>>9 偽
→ は成り立つ。
x = ｅ[i] = (0,･･･,0,1,0,･･･,0) のとき
　（第i成分のみ1で、他の成分は0）
0 < (x･Ａ･x†) = Ａ[i,i]

訂正、ｽﾏｿ
　λ_3 = 1/3 + ((√7)/6)sin(α ＋2π/3) =･･･

L:y=2x+1
(1) この一次変換の表現行列を計算しなさい。
(2)Lが通る点が(1,1)のとき、この一次変換の表現行列を求め、次に平面上の点がどこに移るのが計算しなさい。
意味がよくわかりません。教えていただけるとありがたいです。

(1)一次変換が存在しない。
(2)通らない。

ワロタ

>>8
固有多項式は
　|T-xI| = {x^3 -(3/2)x^2 +(9/16)x -(3/64)}(x -3/4)
　　　　= {(x - 1/2)^3 -(3/16)(x - 1/2) -1/64}(x - 3/4),
固有値は
　λ_1 = (1/2){1 - sin(50ﾟ)} = 0.11697777844051098239880367472229･･･
　λ_2 = (1/2){1 - sin(10ﾟ)} = 0.41317591116653482557414168661534･･･
　λ_3 = (1/2){1 + sin(30ﾟ)} = 0.75
　λ_4 = (1/2){1 + sin(70ﾟ)} = 0.96984631039295419202705463866237･･･
だと思うよ。

またこのスレか

>>6
ZFだけでは、R上線型ともR上非線型とも言えない。

>>18
ありがとう

折角だからもう一言。
「R上の任意の集合が可測」という仮定はZFに矛盾せず（ZFC+ACとは矛盾）、
これを仮定すると妥当な空間において、線型関数は全て連続となることが示せる。
上の例はQ上の線型関数になることは明らかだから、連続性があればR上でも線型になる。

ZFC+ACはZF+ACのミス

>>20-21
参考になります。
詳しくありがとうございます。

１　０　１
３　２　２
０　X　　５
１　１　y
という３本のベクトルの線形部分空間が２だとしたら

１　３　０　１
０　２　x　１
１　２　５　y

という４本のベクトルの線形部分空間の次元はいくらか。

ってやつ。頼れる所がここしかないの＞＜お願いしますm(__)m
能登サイコー

マルチする暇で
教科書嫁

>>24
教科書読みましたよ！
だからわかんないから聞いてるんですよ！

マルチすっとよ、書くほうもマルチなんじゃよ。しぼれや

>>26
申し訳なかった。私が大人気なかった。
気分を害したなら誤ります。すいませんでした

学部生のための数学の質問スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1240143686/127
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1240143686/131
分からない問題はここに書いてね３０８
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242515952/955
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242515952/960
か？法線[2,-2,1]より、(1)P=[[5,4,-2],[4,5,2],[-2,2,8]]、(2)2/3
声優はいいけど、しゃべりかたキモイだろJK二度と来るなm(__)m

〔問題〕
xは実数、Ａ,Ｂは正方行列とし、
　Ｓ(x) = exp((x/2)Ａ)･exp(xＢ)･exp((x/2)Ａ),
とおく。このとき
　exp(-(x/2)(Ａ+Ｂ))･Ｓ(x)･exp(-(x/2)(Ａ+Ｂ)) = I + (1/24)x^3･[[Ａ,Ｂ],Ａ+2Ｂ] + O(x^5),
を示せ。ここに [Ａ,Ｂ] = ＡＢ - ＢＡ, (Suzuki-Trotter)

全角文字は行列でつ。
よろしくおながいします。

〔問題〕
　x は実数、Ａ,Ｂは正方行列、Ｓ(x)は↑の行列とし、
　p = q = 1/{4 - 4^(1/3)}, r = -{(4^(1/3)}/{4 - 4^(1/3)} とする。このとき
　exp(-(x/2)(Ａ+Ｂ))Ｓ(px)Ｓ(qx)Ｓ(rx)Ｓ(qx)Ｓ(px)exp(-(x/2)(Ａ+Ｂ)) = Ｉ + Ｏ(x^5),
を示せ。(Suzuki-Trotter)

全角英文字は正方行列でつ。
よろしくおながいします。

>>29-30

つ [Reference]

1. M. Suzuki, Communications in Mathematical Physics, Vol.１８３, No.2, p.339-363 (1997)
　　"Quantum analysis---non-commutative differential and integral calculi",
　　http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1158328180 (1553KB)

2. M. Suzuki, Communications in Mathematical Physics, Vol.１６３, No.3, p.491-508 (1994)
　　"Convergence of general decompositions of exponential operators",
　　http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104270582 (1519KB)

3. M. Suzuki, Communications in Mathematical Physics, Vol.５７, No.3, p.193-200 (1977)
　　"On the convergence of exponential operators---the Zassenhaus formula, BCH formula and systematic approximants",
　　http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103901324 (612KB)

4. M. Suzuki, Communications in Mathematical Physics, Vol.５１, No.2, p.183-190 (1976)
　　"Generalized Trotter's formula and systematic approximants of exponential operators and inner derivations with applications to many-body problems",
　　http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103900351 (499KB)

>>29-30
　Ｓ(x)は左右対称だから Ｓ(x)Ｓ(-x) = Ｓ(-x)Ｓ(x) = Ｉ,
また、問題の左辺をＴ(x)とおくと、x^1 の項は exp( ) の中身の和だからＯ,
　Ｔ(x)Ｔ(-x) = Ｔ(-x)Ｔ(x) = Ｉ,
にＴ(x) のマクローリン展開
　Ｔ(x) = Ｉ + Ｔ_2･x^2 + Ｔ_3･x^3 + Ｔ_4･x^4 + ････
を代入すると、
　Ｉ = Ｉ + 2Ｔ_2･x^2 + {(Ｔ_2)^2 + 2Ｔ_4}x^4 + [Ｔ_3,Ｔ_2]x^5 + ････
　Ｉ = Ｉ + 2Ｔ_2･x^2 + {(Ｔ_2)^2 + 2Ｔ_4}x^4 + [Ｔ_2,Ｔ_3]x^5 + ････
　　（Ｔ(x)Ｔ(-x) + Ｔ(-x)Ｔ(x) はxの偶関数なので、x^(偶数)の項のみ.）
∴ Ｔ_2 = Ｏ,
　 Ｔ_4 = (-1/2)(Ｔ_2)^2 = Ｏ,
∴ Ｔ(x) = Ｉ + Ｔ_3･x^3 + Ｏ(x^5),
あとは頑張って Ｔ_3 を計算するだけ。。。

>>32 の補足
　Ｔ(x)Ｔ(-x) = Ｉ + 2Ｔ_2･x^2 + {(Ｔ_2)^2 + 2Ｔ_4}x^4 + [Ｔ_3,Ｔ_2]x^5 + ････
　Ｔ(-x)Ｔ(x) = Ｉ + 2Ｔ_2･x^2 + {(Ｔ_2)^2 + 2Ｔ_4}x^4 + [Ｔ_2,Ｔ_3]x^5 + ････
でつ。

「2　　-1　 　5|
｜　　　　　　　｜
| 0　　2　　　2｜
|　　　　　　　 ｜
｜1　　0　　　3」


を簡約化するという問題だけど答えがでません

すみません>>34
は却下でおねがいします

おすすめの問題集ない？

東大出版の演習本がいい

線型と微積の本は専用スレなかったっけ？

斎藤 正彦「線型代数演習」東大出版
　定評ある斎藤線型の演習書。理論的な問題が多い演習書は少ないね

塹江 誠夫「詳説演習線形代数学」 培風館
　姉妹書「詳説演習微分積分学」に比べればイマイチかな。バランスは良い。

寺田 文行他「演習線形代数」 (サイエンスライブラリ演習数学 2)
寺田 文行他「基本演習 線形代数」 (基本演習ライブラリ) サイエンス社
　非数学科ならこの程度で十分。寺田文行先生の演習書、どれも似たり寄ったりでね・・・

横井 英夫他「線形代数演習」 (数学演習ライブラリ) サイエンス社
水田 義弘「詳解演習 線形代数」 (詳解演習ライブラリ) サイエンス社
　こっちのほうが少し骨があるみたいだが、しょせんはサイエンス社の演習書です（笑

鈴木 七緒他「詳解 線形代数演習」 (大学課程数学演習シリーズ (8)) 共立
サイエンス社のと並んで古本屋で安く買えるから

内田 伏一他「線形代数演習」裳華房
　東北地方の人向き（笑）。

浅野 功義他「線形代数演習」 (理工系の数学入門コース/演習 (2)) 岩波
　岩波の理工系の数学入門シリーズも、演習の方は特にどうということない

リプシュッツ「線形代数」〈上〉〈下〉 (マグロウヒル大学演習シリーズ)
　非数学科向けマグロ演習は悪くないが品切れ。古本屋で高い値段で買う価値はないよ

矢野 健太郎他「線形代数」 (演習数学選書) 裳華房
　昔は定番だったかもしれないね

初歩的な質問ですが、線形代数って何に使うんですか？

まあ、まず微積で使うね
その後学校やめるとしても

〔問題〕
(1)
　a_1 = a,
　a_n = d + r*a_(n-1),　　　　(n>1)
のとき a_n を求めてくださいです。

(2)　p≠0 のとき
　b_1 = b,
　b_n = {d + r*b_(n-1)}/{1 + p*b_(n-1)},　　(n>1)
のとき b_n を求めてくださいです。

>>42 (1)

・r=1 のときは
　a_n = a_(n-1) + d = ････ = a + (n-1)d,　　　　(等差数列)

・r≠1 のとき
　a_n + d/(r-1) = {a_(n-1) +d/(r-1)}*r = ･････ {a+d/(r-1)}r^(n-1),　　(等比数列)
　a_n = {a+d/(r-1)}*r^(n-1) -d/(r-1),

>>42 (2)

・r=pd のとき b_n = d,　(n>1)

・r≠pd のとき（一次分数形）　特性方程式
　　pt^2 -(r-1)t -d = 0,
　の根をα,βとおくと、根と係数の関係から
　　α+β = (r-1)/p,　αβ = -q/p,
　・b=α のとき b_n=α, b=β のとき b_n=β,
　・b≠α,βとする。
　r≠pd より r-pα≠0,
　(r-pα)/(b_n -α) = a_n,　p=D, (1+pα)/(r-pα) =R とおくと、
　a_n = D + R*a_(n-1),　
　線形漸化式 (>>43) に帰着する。
　・(1-r)^2 +4pd =0 のとき
　　α=β より R=1, 等差数列
　　a_n = a_(n-1) + D = ････ = a + (n-1)D,
　　b_n = α + (r-αp)/{p(n-1) + (r-αp)/(b-α)},
　・(1-r)^2 +4pd >0 のとき
　α≠β より R≠1, 等比数列
　(β-b_n)/(b_n-α) = {(β-b_(n-1))/(b_(n-1)-α)}R = ････ = {(β-b)/(b-α)}R^(n-1),
　b_n = α + (β-α)(b-α)/{(b-α)+(β-b)R^(n-1)},
　・(1-r)^2 +4pd <0 のとき
　特性方程式は実根をもたない。

情報系学科で利用するために基礎からやりたいと思っています。
どのような参考書に手を出すのが良いでしょうか。

大学の教科書

次の参考書うちどれがわかりやすい?
･すぐわかる線形代数
･理系なら知っておきたい数学の基本ﾉｰﾄ
･線形代数ｷｬﾝﾊﾟｽ･ｾﾞﾐ

ちょっと質問。

「F線形空間Vと線形写像f:V→Vに於いて,
fの相異なる固有値の固有ベクトルが互いに直交する⇔fは自己随伴写像」

は真で宜しいですか?

>>48
f が固有値を持たなかったり、対角化可能でなかったりすると
⇒ が成立しないのは明らか。

>49

f が固有値を持たなかったり、対角化可能でない
場合は
⇒は自動的に真になるのではないですか。仮定が偽だから。。

設問が分かりにくいんだけど、
「fの固有ベクトルからなるＦの正規直行基底が取れる⇔fはself adjoint」
なら正しい。
→の証明は、固有ベクトルからなる直行基底でベクトルを表せば明らか。

>51

どうも参考になりました。

行列式に関する問題なのですが、

Ａ：正則
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ：ｎ次行列　
ＡＣ＝ＣＡ

｜Ａ Ｃ｜
｜Ｂ Ｄ｜＝｜ＢＡ−ＤＣ｜　となることを示せ。　　


がどうしても分かりません。
出題ミスじゃないのかな…と思ってしまうのですが、証明方法あるのでしょうか？

>>53
どう見ても間違ってるよね．A = D = 1, B = C = 0 で反例．

>>54
ありがとうございます。
反例とともにいろいろ聞いてみようと思います。

大学の線形代数の講義で挫折したんだが線形性って何?
この前重積分の変数変換のところで出てきたんだけど…

>>56
f(x+y) = f(x) + f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つこと。つまり
入力が足し算になったら出力も足し算になり、
入力が定数倍されたら出力も定数倍されるもの。

線形性って、あまりにも人間の直観に合致しすぎてるので、一般の数学的構造から見て
その性質がいかに異常であるかがなかなか「自然には」理解できないんだよね

>>58
あんまり直観に合致してる気はしないんだけど、
何か良い例みたいなのはある？

>>59
たとえば数の掛け算だと分配法則a(x+y)=ax+ayなんかが成り立って線型性を示す。
これが三角函数を習いたてのやつがsin(x+y)=sin(x)+sin(y)なんて簡単に
間違いをやっちゃうわけだよ、こいつは線型じゃないんだな。

>>60
それは直観に合致というよりも、
それ以外の演算を知らないってだけじゃないかな

そうかもね

普通の物理現象が（なぜかは知らんが）だいたい線形性を持つので、
普通の人間が持つ普通の直観は線形性を前提にしてしまうのだと思う。
数学を勉強するごく一部の奇特な人間だけが、線形性の異常性を認識する。

> 三角函数を習いたてのやつがsin(x+y)=sin(x)+sin(y)なんて簡単に

するかなあ？
二次関数でもしないだろ

>>63 数学と物理を同一視してるアホが多いんだよなぁ。
　両者が互いに発展の刺激を与えあってるのは事実だが
　物理は数学になりえないし数学は物理になりえない。
　これを勘違いしてるアホは物理板でも多く見る。

数学と物理の区別がつかないと、永遠に数学はできないよ。

>>64

する！
あなたにも採点の経験があればわかる！

[Q1] Let T∈L(V) (where L(V):={T∈Map(V,V);T is linear}).
Write down matrix representation of [T]_β and [T]_β' given the following basis:
β:=[v_1,v_2,…,v_n], β:=[v'_1,v'_2,…,v'_n].

の問題で質問です。
[T]_βは基底βに於けるTの表現行列という意味です。

[Q1]については
表現行列の定義から,T(v_j)=Σ_{i=1}^n a_ij v_iと書けるので[T]_β=(a_ij)
T(v'_j)=Σ_{i=1}^n a'_ij v'_iと書けるので[T]_β'=(a'_ij)
が答えになろうかと思いますがこれでいいのでしょうか?

(1 1 1)
(1 2 3)
(1 x x^2)
の階数を求めよ
という問題の解答を教えてくださいm(_ _)m

行列式が0になるとき、(x-1)^2=0つまりx=1のときに限り階数2、
それ以外のx≠1のときは階数3か。いい問題だな

test

a_[i,j]（ｔ）はｔに関して微分可能とし、A(t)=(a_[i,j](t))は任意のｔに対して正則行列であるとする。このとき、derA(t)は微分可能であり、

d/dt(detA(t))=detA(t)tr(A(t)＾(-1)・d/dtA(t))
であることを証明せよ。
という問題で証明法がわかりません。
だれか分かる方は教えてください。

>>72 detABの微分を考えたあと
　1=detA(A^-1)を微分する

>>72です
d/dt(detAB)=detB×d/dt(detA)+detA×d/dt(detB)
1=detA(A^-1)の両辺をtで微分して
0=det(A^(-1))×d/dt(detA)+detA×d/dt(detA^(-1))
すなわち　d/dt(detA)=(d/dt(detA^(-1))×detA)/(detA~(-1))

となりましたが、これからどうやったらトレースが出てくるのかが分かりません・・・
どうすれば良いのでしょうか。ご指南のほど、宜しくお願い申し上げます。

>>74
その一行目は何の入れ知恵だ？

hage

>>75
条件を付け忘れていましたが、AとBはｎ次正方行列です。。。

だからdet(AB)=detA×detBとなるので、あとは合成関数の微分法で一行目の式になりました。
やっぱり違いましたか？

>>77
> 合成関数の微分法

ネーミングセンスも疑わしいけど、そもそもそれ、成立するの？

>>78
合成関数では無くて、積の微分公式でした。
detAとdetBはtの関数と見なせるから、
fg=f'g+fg'を用いてそうなりました。

ddet(A(t))/dtの計算はできるの？

>>80
死ね

>>81
できないの？

>>81は誤爆です。

なんというタイムリー誤爆

>>72です
>>81は自分ではありません。。
それぞれの列を微分したものの行列式の和ですよね？

それはdet(dA/dt)だろ。

>>73と>>86は学力が怪しい。

>>85
それを、各項で微分した列に関して余韻視点開したらtrが見えてくる。

>>88
各項を余因子展開して、余因子行列式が逆数と逆行列の成分の積になっていることを用いて、
よく見たら各項がA^(-1)とd/dtAの積の{i,i}成分になってるということに気づきました。
おかげさまで無事出来ました。
ありがとうございました！
>>73さんも私に指南していただきありがとうございました!

>>73の模範解答が知りたいな。かなりスマートな証明な気がするが。

〔問題〕
n次行列Ａを
　{A}ij = 1/(i+j-1),　　　　(i,j=1,2,････,n)
とおくとき
　det(Ａ) = {FF(n-1)}^4 / FF(2n-1),
を示せ。　ここに FF = 1!･2!･････n!

>>91 n=1のとき、det(A)=1, {FF(n-1)}^4 / FF(2n-1)=1より成り立つ。
nのときdet(Ａ) = {FF(n-1)}^4 / FF(2n-1)が成り立つとして、
(n+1)次行列A'=[[A, a_(n+1)], [a_(n+1)^T, a_{(n+1)(n+1)}]]のとき、
det(A') = det(A) a_{(n+1)(n+1)} + det([[A, a_(n+1)], [a_(n+1)^T, 0]])
= det(A) a_{(n+1)(n+1)} - a_(n+1)^T C[A] a_(n+1) （ただし、C[A]はAの余因子行列）
= det(A) ( a_{(n+1)(n+1)} - a_(n+1)^T A^(-1) a_(n+1) )
となるので、a_{(n+1)(n+1)} - a_(n+1)^T A^(-1) a_(n+1) = (n!)^4 / ( ((2n)!)^2 (2n+1) )
が示せれば、数学的帰納法により det(Ａ) = {FF(n-1)}^4 / FF(2n-1) が成り立つと言える。
しかし、A^(-1)が…

>>91
一般化して H_{ij} = 1/(x_i - y_j) の行列式を計算する．
det H の極は x_i = y_j だけで，いずれも一位．
また，x_i = x_j と y_i = y_j は det H の零点．したがって
det H は Π[i<j](x_i - x_j)(y_i - y_j)/Π[i,j](x_i - y_j) の多項式倍．
この式は x, y に関する -n 次の斉次式なのでdet H は上式の定数倍．
さらに x_i - y_i = 1 として x_i, y_i → ∞ にすると H → I，
これに注意して比較すれば定数は 1．以上より
det H = Π[i<j](x_i - x_j)(y_i - y_j)/Π[i,j](x_i - y_j)

あとは x_i = i, y_j = 1-j を代入すれば
det = Π[i<j](i - j)^2/Π[i,j](i+j-1)
となり，Πの順番を変えて数えれば主張の式を得る．

>>72
det と log に関する公式 log det A = tr log A
の両辺を t で微分して (det A)'/(det A) = tr (A' A^{-1})

線形写像fが固有値を持つ条件を知りたく思っています。
fの表現行列を[f]とすると
[f]v=λvとしてdet([f]-λI)=0ならぱ固有値持つ事は分かりますが

fがどんな写像ならdet([f]-λI)=0が必要十分条件になりますでしょうか?

日本語でおｋ

>>95
３行目以降は意味不明。
１行目にだけ答えると、有限次元の線型変換は常に固有値を持つ。

>>97
スカラーが代数閉体ならば。

>>98
補足ありがとう

固有値と特性根はどうちがうのですか

特性多項式なんて有限次元でしか使えないからな

>>100
有限次元なら同じ

>97,98

> ３行目以降は意味不明。

すんません。

> １行目にだけ答えると、有限次元の線型変換は常に固有値を持つ。
> スカラーが代数閉体ならば。

つまり,VをF上線形空間,WをF'上線形空間でf:V→Wが線形写像とする時,
V=WでFが代数的閉体(Fの任意の多項式はF内に必ず解を持つ)

この時,fは必ず固有値を持つのですね。

〔問題〕
n次行列Ａを
　{Ａ}ij = 1/(i+j-1),　　　　(i,j=1,2,････,n)
とおくとき、Ａの固有値はすべてπより小さいか？（πＩ−Ａ は正定値か？）

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/126
不等式スレ４

>>91
　FF(n) = 1!･2!････ n!

>>93
�dｸｽ

nが小さいときはそうだが･････

n=1 のとき
　|Ａ-xＩ| = 1 - x,
　x1 = 1,

n=2 のとき
　|Ａ -xＩ| = (1/12) - (1 +1/3)x + x^2,
　x1 = (4-√13)/6 = 0.065741454089335117813463122088251
　x2 = (4+√13)/6 = 1.267591879243998215519870211245082

n=3 のとき
　|Ａ-xＩ| = (1/2160) - (127/720)x + (1 +1/3 +1/5)x^2 -x^3 = 129287/(90^3) + (3/4)･{6559/(90^2)}･y -y^3,
　ここに　y = x -(23/45),
　cos の3倍角公式を使って解くと
　θ = (1/3)arccos(4*129287/(6559)^(3/2)) = (1/3)arccos(0.97355031828127･･･) = 0.0768362020856828･･･,
　y = {(√6559)/90}cosθ, ･･･
　x = {46 + (√6559)cosθ}/90, ･･･
　x1 = 0.0026873403557735
x2 = 0.122327065853906
x3 = 1.40831892712365

n=4 のとき
　|Ａ-xＩ| = (1/6048000) - (41/23625)x + (23387/88200)x^2 - (1 +1/3 +1/5 +1/7)x^3 + x^4,
　x1 = 0.0000967023040225869
　x2 = 0.00673827360576075
　x3 = 0.169141220221450
　x4 = 1.50021428005924

>>104 (続き)

n=5 のとき
|Ａ-xＩ| = (1/266716800000) - (61501/53343360000)x +(852401/222264000)x^2 -(5150467/14817600)x^3 +(1 +1/3 +1/5 +1/7 +1/9)x^4 - x^5,
　x1 = 0.00000328792877217186
　x2 = 0.000305898040151192
　x3 = 0.0114074971623425
　x4 = 0.208534218611013
　x5 = 1.56705069109823

>>104
不等式スレの結果（Hilbert不等式）の等号条件を詰めておけば
任意の a = (a_1, ..., a_N) について πI - A の二次形式を取るだけ．

ただ，普通Hilbert不等式の定数評価をするときには
Hilbert行列の固有値を評価するので，これは循環論法的なんだけどね．

>>104
http://mathworld.wolfram.com/HilbertsInequality.html
参考書[1] の第9章

>>108

[1] "Inequalities", ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，Springer Verlag (2003)
　 　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566

完全な正規直交関数系は線形計量空間を作るそうですが
その正規直交関数系が作れる関数の集合の中ならば、別に任意の関数について
完全性がなくとも線形計量空間が作れると思うのですが…
やはり完全な正規直交関数系でないと計量空間は作れないのでしょうか？

>>110
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1328948978

あぐぇ

>>64
分からない問題はここに書いてね３１６
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1249275844/519
519 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/08/09(日) 14:00:15
(x+1)^2-(x+1)-2を因数分解すると(x-オ)(x+カ)になる。（答えはオ：1、カ：2）
という問題の解き方を教えてください。

とりあえず^2してるとこは簡単に計算できそうなので→　x^2+1-(x+1) -2
+1した後に-2してるので足し引き-1→　x^2-(x+1)-1
-(x+1)=-1*(x+1)で計算すると-x-1→　x^2-x-1-1
(x+1)^2-(x+1)-2=x^2-x-2
ここまで考え方は合ってるんでしょうか？

Vをn次元の線形写像とする。Fを体とすると,Vの双対空間は
D:={f∈Map(V,F);fは線形}と書ける。

「Dの任意の基底{f_1,f_2,…,f_n}は必ずVの双対基底になる」は真ですか?

真ならDの任意の基底{f_1,f_2,…,f_n}に対し,f_i(v_j)=δ_ijなるVの基底
{v_1,v_2,…,v_n}が存在する筈ですよね。
実際はどうなのでしょうか?

偽なら反例をお教え下さい。

>>114

> 真ならDの任意の基底{f_1,f_2,…,f_n}に対し,f_i(v_j)=δ_ijなるVの基底
> {v_1,v_2,…,v_n}が存在する筈ですよね。

存在する

ありがとうございます。

>>>114
>> 真ならDの任意の基底{f_1,f_2,…,f_n}に対し,f_i(v_j)=δ_ijなるVの基底
>> {v_1,v_2,…,v_n}が存在する筈ですよね。
> 存在する

逆に
v:={v_1,v_2,…,v_n}がVの基底ならvに関する双対基底も必ず採れるのですね。

>>116

> v:={v_1,v_2,…,v_n}がVの基底ならvに関する双対基底も必ず採れるのですね。

とれる

どうもありがとうございます。

基底の定義についての質問です。

「Vを有限次元線形空間として、その次元をnとする。
Vのn個の元の集合{v_1,...,v_n}がVの基底であるとは、
{v_1,...,v_n}が次の2つの条件を満たすことである。
　(1){v_1,...,v_n}は一次独立
　(2)Vの任意の元は{v_1,...,v_n}の線形結合で表せる」

って教科書に書いてあるんですが、(1)⇒(2)は明らかなのに
(2)の条件を定義に入れる必要はあるんですか？

次元の定義による。

>>119の前に次元が定義されていて、

「Vの元をn個集めた{v_1,...,v_n}が次の条件を満たすとき、nをVの次元という。
(1){v_1,...,v_n}は一次独立
(2)Vの任意の元uに対し、これを付け足した{v_1,...,v_n,u}は一次従属」

です。

>>119-121

記述の仕方が少し変だが、

Vのm個の元の集合{v_1,...,v_m}がVの基底であるとは
{v_1,...,v_m}が次の2つの条件を満たすことである。
　(1){v_1,...,v_m}は一次独立
　(2)Vの任意の元は{v_1,...,v_m}の線形結合で表せる

と書くと必然的にm=nになってしまうから、おかしいとも言い切れない気もする。
自然な繋がりにしようと思えば、>>121の次元の定義の直後に
「このときの{v_1,...,v_n}をVの基底という」とでも付け加えておけばよかったのでは。

>>122
「必然的にm=nになってしまうから、おかしいとも言い切れない」の意味が
よくわかりませんでした…。必然的に「基底の元の個数=次元」になるなら、
>>119の定義文1行目の「nを次元とする」は不必要な仮定ですよね。

>>119-121のようにわざわざ次元と基底を別々に定義しなくても、
　・>>121の次元の定義の直後に「このときの{v_1,...,v_n}をVの基底という」と付け加える
　・>>122の基底の定義の直後に「このときのmをVの次元という」と付け加える
のどちらかで十分だと思うんですが。

それとも、定義を冗長に記述すること自体は別におかしいことではないんですかね？

その時点では次元の一次性が示されてないのでは？
後のほうもう少し読んでみなよ。

>>123
> >>119の定義文1行目の「nを次元とする」は不必要な仮定ですよね。
「有限次元の話だから」不要と言えば不要なんだけど、無限次元だと次元と同じ濃度の
一次独立系をもってきただけでは(2)が言えないので、有限次元であることを
どこかで断らなければならない。
そして有限次元に話を限定するためには次元を定義しておかないといけない。
だから、「述べ方は少し変だがおかしいと言い切れない」という
歯切れの悪い言い方をせざるを得なかったのですよ。
（わたしならVは有限次元とだけ先に断ってmを使って書いておいて、
注として「このときのmは次元nに一致することに注意」とでもしておくでしょう）

> のどちらかで十分だと思うんですが。
その本が後の参照のために分けて定義したのかもしれないし
それだけではなんとも言いがたいのは事実です。

> それとも、定義を冗長に記述すること自体は別におかしいことではないんですかね？
「それとも」で接続される理由がよくわかりませんが、
一般に言って冗長であることは別段おかしいことではありません。
「後にこの仮定は不要であることを示すが、ここでは〜」という記述の仕方は
割とありふれていますし、ある定理の改良版として「特定の仮定を落としても
成立する」というタイプの定理が提示されることもよくあることです。

有限次元ベクトル空間を張る一次独立な集合の数が常に同じかどうかは
自明な問題ではない。
ちゃんとした本なら証明も載ってる。
証明は意外と面倒。

>>125
なるほど、納得です。ご親切にありがとうございました。

>>124,126
Vの次元、Vを張る一次独立な集合の要素の数が一意に定まるかどうか、
については気づかずに完全にスルーしてました…。工学系＆計算寄りの
テキストみたいで、この辺は証明どころか触れられてもいないです。

ゆとり向けの低レベル本を書く際に、著者が
うっかりして、力の抜き方を間違えることはよくあるね。

ゆとり本を書くのも案外と難しい。

工学系のテキストがゆとり向けと思うのはお前の価値観が偏ってるからだろ
しかも連立方程式の解法をやれば次元の一意性など自明なのだから
必ずしも次元を抽象的に扱う必要はない

＞連立方程式の解法をやれば次元の一意性など自明

アホ　言ってる意味わかってねーだろお前

夏休み暇だから、予習しようと息巻いてたがベクトル空間とか言うものの概念がまるで分からん。ボスケテ

一言で言うなら、足したり伸ばしたりできる空間。

>>131
知らないものを理解できなくてもおかしくないし問題でもない。

暇なうちに少しでも予習しておけば後々楽になると思ってのことなんだが。
数学超絶に苦手な俺にでも分かるような線形代数、出来ればベクトル空間云々のみの入門書ない？

手を抜くことを考えても仕方が無いよ。
中学高校で6年も数学やってきたんだからちょっとくらいわかるはずだってのは気のせいだから、
現時点では自分が理解できないものなんだということをまず認めようよ。
今からまったく知らない例えばロシア語を一から習得するんだぐらいの感じでがんばるべきだとおもうよ。

わからんでもいいから演習をやれ

>>134

n個の文字あるいは記号　e[1],e[2]...e[n]　があるんだよ。
で、それを実数係数をつけて組み合わせるわけ

実数n個の組を a[1],a[2],...,a[n],とすると

a[1]e[1] + a[2]e[2]+ ... + a[n]e[n]

ということね。たんなる形式的な式で、意味はないんだ。

でも、こういう式に「実数をかけたり」「二つの和を作ったり」は自然に考えられるでしょ？

こういう式の全体をベクトル空間というんだよ
以上の説明がおまいの感性にフィットするかどうかは分からんが。。。

わかったつもりで問題解けませんというのより
納得いかないけど解けるという人の方が生存率高い

732

1x1行列は数と見なすと教科書にありますが、
行列の場合積に制限があり、数の場合制限がなく、
すっきりしません。どうなんでしょう？

>>140
その教科書の中ではそうするということでしょ．
君の言うように，見なせないケースもある．

>>140
代数学によると
行列の場合、"一般的に"、積などの演算に制限があることが、かえって"普通"であって
その"特殊"な「1x1行列」（＝数）の場合に限ってのみ、演算に（たまたま偶然に）制限がない。

という解釈でどうか？

僕たち幼児期から小学校以来、慣れ親しんだ、数＝（1x1行列）というのは
広義な一般的な演算を駆使する世界から見ると
むしろ、特殊なんだ


話は少しそれるが、NHKの宇宙の番組で
私たち太陽系は恒星である太陽が、たった一つしかないけど
太陽系外の一般的な、恒星を見てみると、たいていは連星（２つ以上の恒星をもつ）であることが多いらしい
中には、数十個もの太陽（恒星）が群れを成している系もあるそう

そんな中で、地球のような惑星があったら、そこでは私たちのような夜はないと推測される
一つの太陽が沈んでも、まだまだ太陽がそこらへんにポンポンあるため、年がら年中明るいそうだ

こういうふうに考えると、"普通"だと思っていた私たち太陽系は
一般的に見ると、実はかなり特殊な系に入るものだと･･･

なんかねー
宇宙の神秘やロマンを感じないか？

そんなことより女体の神秘を知りたいですぅ＞＜

　　　　　　　　　　　{　　　^ヽ　 ＿{＿j　　/　人
　　　　　　　 　 ／(　_＞=＝　¨´￣￣¨` =＜ /｀ヽ
　　　　　　　　/ (ヽ〃　　　 ／´　　　　　　　 ヾ　j{　　/ / /　　　・’: : ‥’‥‘：“．
.　　　　　 　 /　｛ /'　 　 ／　　 :/　│ }　＼　 ∨ )　/ / /　；　：: ．: : ．: : …>>145
　　　　　 　 j 　 V! 　 ／　⌒ヽ/　／! ∧ヽハ 　∨　　　　　・：’: : ‥“: : ．…
　　　　　　 /　　 j|　 /fｱテ＜/／　/ /　}_j_　l　l│f＾ヽ　 　 _　　・’‥．’‥‘：“…　．
.　　　　　 /　　 /∧ |ｌ {::::::::: cﾄ　／ ´　/厶 ）| rく　|　 }　／　）’‥．・’: : :‥
　 　 　_／／　人　ﾍﾚﾊ:::::::::::ﾉ 　 　 ／::r} 7/l│ ∨　 ﾚ′／　　　　　　 ／／／
　　 ＜ ∠　／　 ゝ､　　`ｰ‐''　　 　 {:::::::7 仏l/{_　 ）　　∠ ..＿　　　　／／／
　　　　　　￣｀Z∠　＼　"" /＾＼　 ヾシ｛/ｲ｛∧)_　　　 ､__＿ノ
　　 　 ノ⌒ヽ〔{ ＼.｀Y个 　 ゝ-　’　 　 厶斗'　 ＼)‐v-､　￣)
　　　　ﾌ二`〜｀＞＼}l|＼rV＞┬‐‐＜　　｛{_　　　`ｰ＜)￣
　 　 （::::. 　 ￣｀V┬ﾍ｣／><＼_j__／_{{_　　ヾ≧r＜´￣！！！！
　　　(＾Y⌒ヽ___ﾉﾆ|　t‐＜/ﾑ__〉少''´　 ￣￣　　　│││││ |
　　 {(＼＿__）ィヽ　＼.＼/__,lr＜__　　　　　　　 　 │││││ |
　　 ヽ-イ／ / 　 ＼__＼　 ノヘxく　　　　　　　 　 / / / / / / /
　　 　 ／　:/　　　　　`ｰ＼_／ ＼＼　 　 　 　 ／／／／／／
　　 ／　　/　　　　　　　　　　 ﾉ　 ＼＼
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∧＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿　　　__l＿
　　　l | 三}.　‐|ｧ┐ 　―-　/丁ヽ　　|王_　　|士土!　＿＿＿　　尸
　　　リ '市'　くl 　し　､＿,　∨　ﾉ　 //ﾊ 〕　ﾉ上 ヒ　　　　　　 cﾉ

a[11] x[1] + a[12] x[2] + a[13] x[3] = c[1]
a[21] x[1] + a[22] x[2] + a[23] x[3] = c[2]
と置いた連立方程式の解が仮に
x[1] = k + α
x[2] = l + α
x[3] = α　（α：任意）
だったとすると、解をまとめたx↑は
x↑ = c↑ + αd↑
と書けるじゃないですか。この時、連立方程式の係数行列Aにc↑とd↑をそれぞれかけると
Ac↑ = o , Ad↑ = [ c[1] , c[2] ]
となるのはどうしてなんでしょうか。

ケーリーハミルトンの定理？
ハミルトンケーリーの定理？
どっちが正しいっすか？

どっちも正しい。

>>147
a[11] x[1] + a[12] x[2] + a[13] x[3] = c[1]
a[21] x[1] + a[22] x[2] + a[23] x[3] = c[2]
つまり、A (x↑) = (c↑)の一般解 x↑ について、
A (y↑) = (c↑)となる特殊解(y↑)と、A (z↑) = (0↑)となる特殊解(z↑)を用いれば、
A (x↑) = (c↑) = (c↑) + (0↑) α = A (y↑) + A (z↑) α = A (y↑ + z↑ α) （α：任意）と書けることから、
この一般解が x↑ = y↑ + z↑ α と考えられるという理解でいかがでしょうか？

なるほど。ありがとうございます。

ここは問題を解くスレのようですけど…

ベクトル（いわゆる幾何ベクトル）は歴史が浅いそうですが、もともとどの数学者たちの理論が大成したんでしょうか？
幾何ベクトル（２，３元程度と特にベクトル空間の一次独立性）の歴史をあつかったHPはあまりみないのですが、この辺りの事情をご存知の方がいらしたら解説してください。

手元の線形代数の問題で、

　　2　3 　1　　　　　2　1
A=[0　-1　2 ]　,　B=[1　1] とする。

t(BA)=tAtB が成立する事を確かめなさい

という問題があります。
ここで、tの文字が添字の様に小さくて左上にあります。
このtの意味がまったくわからないので、誰か教えてもらえないでしょうか？

transepose

>>152
雑談スレで少し触れましたが、線形代数小史
http://www.math.hc.keio.ac.jp/itoseminar/index.php?plugin=attach&pcmd=open&file=%C0%FE%B7%C1%C2%E5%BF%F4%BE%AE%BB%CB.pdf&refer=FrontPage
はどのくらい理解できるのか逆に解脱してください。
>>153
Ａの転置行列をtAと書く本がある。

むしろそっちのほうが主流だろう

>>155 ありがとうございます！！

157はどっちなんだろう……
153なら154ですでにtranspositionだという答えを得ているのだから
152の可能性がたかいかな…？

ﾆﾔﾆﾔ（・∀・）ﾆﾔﾆﾔ

153、157です。

>>154, 155
ありがとうございます！
>>154
すいません！読み飛ばしてました！！

ﾆﾔﾆﾔ（・∀・）ﾆﾔﾆﾔ

>>155
解脱？！

>>162
よく気付きましたね。152がちゃんと読んでいるなら今頃浮世の苦しみから解放されて…
＝駄レススマソン＝

んん？
先生か何か、関係者ですか？ｗ

pdfの方も読んでみましたけど、wikiにある行列の一通りの記事と同じでそんなもんでしょうか。
pdfの記事では、URLから察するにたぶん数学関係者なんでしょうけど、行列とベクトル、ベクトル空間の違いとかごっちゃにしてるし、まったく分かってないって感じです。
多分、知識埋め込みがたの教育ばかりで、行列やベクトル（空間）の本質を理解し、これを使いこなすようなことができる人物じゃないんでしょう（そしてそういう論文ばかりなんでしょう）。

なぜなら、お聞きしているのは「幾何ベクトルの歴史」であって数ベクトル（行列）の歴史じゃないですから。
現代的に言うとたぶん（代数）多様体とかでしょうけど、「幾何ベクトルの歴史」という歴史から先人の知恵を学ぶのもいいもなんですけどね…

またコンピュータ君の釣りだよ

>>165
んん？
そのコンピュータ君とやらに恨みでもあるのかあ。

おまえは頭弱そうだから、脳みそほじくられたりでもしたんだろ？ｗ

とうとう自分をコンピュータ君と名乗る

>>164
情報を小出しにすると、あまりかまってもらえませんよｗ後出しで悦に浸りたいだけなら構いませんがｗｗ
固定ハンドルでもつけない限り、あなたの専門分野やレベルがわかるまで、このように手間がかかるものですから。
雑談スレでも言いましたが、確度の高い情報をお求めならＨＰでなく出版物をあたるべきでは？
>>166
代数幾何学が詳しい方に聞きたいならhttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1238027592/でどうぞ。
そのときには、あなたの意図する幾何ベクトルというものが具体的にどんなベクトルか詳細を書いたほうがいいかとは思います。
あなた自身が知恵を学ぶことはいいことだと思いますし、何か学習できたら発表でもしてくれやコンピュータ君ｗｗｗ

知らないなら素直に「知りません」といえないといけませんよね…

土人に煮られる宣教師の気分ですかな(･∀･)ﾆﾔﾆﾔ

>>169
幾何ベクトルなんてあえて呼ぶ奴は、個人的に初学者か物理屋という印象があるので、より専門的に、
代数幾何学に使われているベクトルの歴史などが知りたいとかなら、そう書いた方がいいと思っただけですよ。
雑談スレで自演のためにとっさに出した話題かもしれないが、よかったらおちでもつけてしめてくれｗ

>>171
そんな回りくどい言い方するから変なあてつけをされるんです
貴下ベクトルと代数多様体は殆ど無関係な概念だと素直に教えてあげればいいのに

>>171-172
昔は矢線ベクトルといえば通じたんですけどね・・・

>>172
一見無関係だから強引に関連付けたいんですよ。
そもそも多様体（代数・位相など）は抽象的過ぎて数学というより論理学（集合とか基礎論）や哲学の域になってますから。
これを高校ベクトルと同じく、もうちょっと「計量」や「変数xと代入f[x]、そして写像y」など演算できるようにしてやると、
問題を解く作業が機械的となり抽象的なイメージ不要で、「ベクトルの和」のように馴染み深くよりイメージしやすくなると思いますよ。
実際、連立方程式なんかは、交点（intersection)を求めているだけですから…

歴史といえば、ベクトル解析の歴史がそのままジャンとか言われたら、まあ、そうなのかなって感じですけど。
高校大学の近代的な数学も大事ですけど、産業・工学からの要請で「動き」「変化」（境界とか）に偏ってるんですよね…
もっと「構造」の方をモデル化できる機械的な手法を求めているんですけど、先人はそういうさまざまな手法がなくても基本的に「幾何学」だけで問題を解いていたんですからね…幾何学はいつの時代でも王道ですし別に廃れてるわけじゃありませんよ。

別に専門でもないんで、専門家の間でしか通用しない用語とか高度な抽象化の議論はあまり興味ないです。
個人的には「構造」のモデル化手法に今は興味あるんで、よくあるとこだとガベージコレクトと到達可能性とか、画像解析とかで画像２枚の類似度とか、
数学分野では写像一般なんかよりもグラフ理論とかですか。

ヤフーとかグーグルのラボで次世代画像検索とかあるけど、あの辺りなら高校数学（せいぜい高校ベクトル程度）の応用と同じで、
学んだ知識をすぐに技術に生かせるのが面白いんじゃないですか。
数学科では演習とか実験とかないですし気がつきにくいですけど、自分で実際に取り掛かってみると、
大学専門課程の教科書を読みこなし高度な数学議論を理解しているようで、実は高校ベクトル程度すらまったく理解してなかった（理解が浅はかだった）ていうのが露見しますよ。

アホの妄想に付き合わされるのは御免だね

>>174-175
何こいつｗ
長文とかいってもう終わってるって感じだしｗ

＞一見無関係だから強引に関連付けたいんですよ。
一見じゃなくて、実際に無関係なんだが。

このスレの人はやさしいなぁーいいおちがついたようだし、
もう一度雑談スレに誘導してしめましょう。スレ汚しスマソ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1251701920/

どうでもいいけど、つまんねー能書き垂れるなら便所でやれよしょんべん

>>176
ﾆﾔﾆﾔ（・∀・）ﾆﾔﾆﾔ

ネット数学者頑張れ。リアルで。

>>179
ﾆﾔﾆﾔ（・∀・）ﾆﾔﾆﾔ

>>183
ﾆﾔﾆﾔ（・∀・）ﾆﾔﾆﾔ

ゆとり教育は嘆かわしい。
中学生の息子の机に数学のノートが開いていた。
なんと、数式にビックリマークを付けて遊んでいた。
出てくる数字はほとんどが1桁の整数のかけ算。
しかも答が間違ってる。
小学校の九九の復習にもなってない。
本当に嘆かわしい...。

>>185
吹いたｗ

中学校では階乗は習わないと思うが

同時方程式の解について質問します.
同時方程式の解は自明解(全部0)とそうでない解がありますよね.
それで、自明解以外の解があるかないかを判定するよい方法はないですか？

斉次方程式の係数行列のdeterminantが0

　すいません情報を小出しにして申し訳ないのですが
変数3つで式4つの同次方程式でお願いします

こういう方程式です
3α-2β+γ＝0
4α　　+8γ＝0
２α+β+7γ＝0
　　β+4γ＝0

それで係数行列の行列式を計算できないのです
解答には「自明の解しかない」と書かれているのですが
説明がなくてよくわからないのです.
　ちなみに問題は「4次元のベクトルが3つあり1次独立かどうか判定せよ」という問題です

斉次方程式の係数行列のminarが0

すいませんminarって何ですか？
ググっても出てこなくて・・・

[3,4,2,0]、[-2,0,1,1]、[1,8,7,4]を
並べてできる3×4行列式のひとつの列を
削ってできる3×3行列式（小行列式）のうち
ひとつでも0にならなければ
もとの3つのベクトルは1次独立になるということじゃない

>>193
なるほどありがとうございました
小行列式のことをminarとも言うのですね

minorだろ？

質問です。

1)　任意の実数 x,y,z に対してつねに
　x^2 + y^2 + z^2 -2pxy -2qyz -2rzx ≧ 0,
となるための、p,q,r についての条件を求める。


2)　p,q,r は与えられた正数とする。任意の実数 x,y,z に対してつねに
　p√(x^2 + y^2) + q√(y^2 + z^2) + r√(z^2 + x^2) ≦ K√(x^2 + y^2 + z^2),
が成立する定数Kの最小値を求める。(コ−シーの不等式を使わずに)


3)　p,q,r は与えられた実数で、pq+qr+rp > 0 かつ (p+q)(q+r)(r+p)≠0 とする。
任意の実数 x,y,z に対してつねに
　(px+qy+rz)^2 + K(x^2 + y^2 + z^2 -2xy -2yz -2zx) ≧ 0,
が成立する最大な正数Kを p,q,r で表わす。

お願いします

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/511
不等式スレ４

>>196
↓ここら辺に解答

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/531
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/221

(中)
　a = √(x^2 + y^2),　b = √(y^2 + z^2),　c = √(z^2 + z^2)　とおく。
・(p,q,r) が鋭角△条件を満たすとき、K = √{2(p^2 +q^2 +r^2)},
　　等号条件は a:b:c = p:q:r (相似)。

・(p,q,r) が鋭角△条件を満たさないとき、p^2 + q^2 < r^2 のとき、K = r + √(p^2 +q^2),
　　等号成立は a:b:c = p:q:√(p^2 +q^2) (直角��)のとき。

(下)
　K = pq+qr+rp のとき、固有値は
　λ = p^2 + q^2 + r^2 + pq + qr + rp,
　λ = 2(pq + qr + rp),　
　λ = 0,　　　(x,y,z) = k(q+r, r+p, p+q)

>>196

　0 ≦ 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr　　　　>531
　　= (1-p^2)(1-q^2) - (pq+r)^2
　　= (1-q^2)(1-r^2) - (qr+p)^2
　　= (1-r^2)(1-p^2) - (rp+q)^2,
から
　(1-p^2)(1-q^2) ≧ 0,
　(1-q^2)(1-r^2) ≧ 0,
　(1-r^2)(1-p^2) ≧ 0,
よって 1-p^2, 1-q^2, 1-r^2 は同符号。
したがって
　(1-p^2) + (1-q^2) + (1-r^2) ≧ 0,　　　>531
⇔　1-p^2 ≧ 0,　1-q^2 ≧ 0,　1-r^2 ≧ 0,
⇔　|p|≦1,　|q|≦1,　|r|≦1,

・大関：「不等式への招待」第1部 例題1., p.3-4 (1987.10)

198 は >>196 (1) へのレス。

〔問題891〕
　(k-1)x^2 + ky^2 -xy = 0, をみたす実数 (x,y)≠(0,0) が存在するような、実数kの値の範囲を求めよ。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/891
東大入試作問者スレ１７

大学の課題についてなんですが・・！

正方４次行列の固有値求めてたんですが、、

出た固有値が±√７、±√１５なんです

これで固有ベクトル出そうとしたら
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｘ4＝０になってしまってよくわかりません(+_+)

どうしたらよいものでしょうか？



ちなみに問題は
ａ14＝７、ａ23＝５、ａ32＝３、ａ41＝１でほかの成分が全部０の行列をどうにかして対角化もしくは上半三角化しろという問題です

ほんと困ってます、お願いしますm(__)m

↑
その4つの固有値はあってて対角化ができると思います。
それぞれの固有ベクトルはゼロベクトルじゃないのがきれいに出ると思うので、もう一度どうぞ（＋_＋）
例えば、固有値√15に対応する固有ベクトルは(0, √5, √3, 0)^Tとかじゃないっすか？

>>202
返信ありがとうございます
今やってみました！
202さんの通りにありました(;_;)
完全に俺の早とちりでした。。

ホントにどうもです

わからないことだらけでまた聞くかもしれませんが、その時はまたよろしくお願いしますm(__)m

613 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2009/10/26(月) 00:37:48
あの…コピペ荒らしがキモクてすぐスレが流れてしまうのでもう一度書きますが、
(1) z^2 = -195/7 + 4i
(2) z^3 = -Sqrt[11] + 58i
を満たすzの解き方をおしえてください。
数学が得意だと自称している数ヲタの話しだと因数定理で解くそうなんですがわかりません。
本来因数定理は根（因数）を求める方法じゃないですよね。
実は(1)は連立方程式にして解けました。
ただの数式操作なので概念とか理論的なところはあまりないし自称数ヲタさんたちなら朝飯前ですよね。
特に(2)の解法をよろしくお願いします。

>>204
(1) z = ±(1+14i)/√7,
(2)　z = (√11 + 2i), (√11 + 2i)ω, (√11 + 2i)ω^2,
　但し　ω = (-1+√3･i)/2,

>>205
なるほどカルダノですか。

>>205
このスレに張ってある以上そもそも行列（線型代数）で解けということだと思うが・・

非線形を行列つかえって？
アホかよ　ｗ

３次元のケリハリ定理ってさ、普通の学部生は軽くやって通り過ぎちゃうよね。

>>206
「カルダノですか。」っていっても、その「カルダノですか。」でこれをどうやって解くのか教えてくれるか？

>>206は、マルチ>>204の発言の元スレ「分からない問題はここに書いてね３２３」
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1256211500/にあったネタだと思います。
とりあえず、このスレの住人はマジメでとても好きです。っていうか、分かスレ最近荒れすぎっぽ…

キチガイ数ヲタの隔離スレか

大学3年の姉なんだが、
飲みサークルOBから『モデルにならないか』って持ちかけられたらしい。
11月にそのための撮影会みたいなのを山奥でやるらしいけど、
これってプロのモデルなら当たり前？

やられるだけだろ

斎藤先生の『線形代数の世界』って本当は『線型代数の世界』にしたかったらしいけど、
出版社が「売れるためには線形でお願いします」といったからああなったんだとよ
もったいなやもったいなや

>>204
>(2) z^3 = -Sqrt[11] + 58i
(z^3*z~^3) = (-Sqrt[11] + 58i)*(-Sqrt[11] - 58i) = 3375 = 15^3
z*z~ = 15 として見当をつける

>>216
線型代数（行列）っぽく成分で計算すると思ってたんですけどね…
それでどういう見当をつけて計算を続けるんですか？

>>215
でもいい本だよね
重宝してる

>>217
当然 z = a*Sqrt[11] + b*i

>>219
答えに向かってそのまま突き進んでください。
もし線型代数（行列）の計算に手馴れてるなら線型代数（行列）を活用する機会があるかもしれません。

ベクトルの内積の公理の分配法則の所を中線定理で置き換えれたっけ？
分配法則　→　中線定理　は自明だけど、
逆の証明が思いつかない。

>>215
「名著はことごとく線型、線形は駄本」って判定条件（たとえば
S武先生の本も、線型は名著、線形は駄本）があるらしいが
あれは数少ない反例だよな。

タケちゃんも、この判定条件は知ってただろうから、出版社の
要望は残念だったろう。

あぼーん

>>221
を誰かﾌﾟﾘー図

>>221
http://www.akanekodou.mydns.jp/mathlog/log/BBS2/200507.html
12063．内積とノルム
参照

問：[a1,a2,…,ar]が１次独立の時、[a1+a2,a2+a3,…,ar+a1]は１次独立が１次従属か？

c1(a1+a2)+c2(a2+a3)+…+cr(ar+a1)=0
(c1+cr)a1+(c1+c2)a2+…+(c(r-1)+cr)ar=0
[a1,a2,…,ar]が１次独立より、c1+cr=c1+c2=…=c(r-1)+cr=0

ここで止まりました。
解答を見るとr=偶数or奇数で場合分けするようですが、上手くできませんでした。
どなたかお力を貸して下さい。

>>226 c1=tとすれば残りのciはすべてその等式から自動的に定まる。
　それからt≠0が可能かどうか判断する

>>227
ありがとうございます！

>>222
でも毅さん曰く、最初は「線形」に抵抗あったけど、慣れたら楽で味を占めたらしい
そして「準同形」とさえ書くように変貌
なんてこったい

そういう日和はゆるせないなあ

線「型」とか同「型」とかのニュアンスって「type」とか「form」の部分なんだから
「shape」という感じになってしまう「形」を用いるのはやはり抵抗を覚える……

アントンのやさしい線形代数って参考書としての評価は一般的にどうなんですかね？

ある商品の売上個数を予測するための数学は、何ですか？
線形代数？？

>>232
大学の先生で生徒に勧める人もそれなりにいるらしいね。多分、線型写像なんかの
イメージがわかないために学習が行き詰ってる生徒なんかに向いてるんじゃないかとか。

自分は読んだ事ないけど

大学教養レベル線形代数ってどのくらい？

ジョルダン標準形くらいまでじゃね？

ジョルダンまでキチンとやってる大学なんて実際には少ないわなｗ

旧帝数学科だけどジョルダンとか授業では2年後期で初めて出てきたよｗ

>>238
頭いー

駅弁だと最後まで出ない

快便だと最後まで出る

ワシはしょっちゅう下痢してるがな

猫

旧帝大でもさらっとやるだけ．．．だけど東大以外の旧帝大はちゃんとやってるの？？
んなわけないか

線形代数くらいはやなァ、講義とかに頼らへんでやなァ、自分で勉強せえや
そやないと再起不能のアホになるゾ

猫

でも実際線型でやってジョルダンが使えるのって
線形微分方程式解くくらいじゃないのか？
代数にいくならもっと一般論でやるだろうし。

まあ色んな議論で花が咲いてるやないけェーーー
ワシは見てるだけやさかいナ。

猫

>>243
京大だけど今やってる

一年生？

はい

猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 は境界性人格障害のコテハンです
彼らは「見捨てられる」ことをいちばん恐れます
うざいと思ったらこのコピペを貼り付けて放置してください

>>249
あのな、京大生やったらやナ、一年生でもルベーグ積分くらいは勉強せんかい！
ワシは勉強せえへん京大生なんて許さへんさかいナ。

猫

猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 は境界性人格障害のコテハンです
彼らは「見捨てられる」ことをいちばん恐れます
うざいと思ったらこのコピペを貼り付けて放置してください

>>249
おお、そやそや。先に一変数函数論かて勉強しとけや
アレは大事やさかいナ。

猫

筑波大卒だとやっぱり一年っぽにも
嫉妬心燃やしちゃうんすか？＾＾

>>249
ほんでやナ、物理かて数学に役立つさかいやナ、
まあ理論電磁気学とか量子力学程度は三年生になる前
に勉強しといた方がエエよ。
まあ頑張ってナ、応援してるさかい。

猫

>>249
ソレって誰の話やねん？

猫

猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 は境界性人格障害のコテハンです
彼らは「見捨てられる」ことをいちばん恐れます
うざいと思ったらこのコピペを貼り付けて放置してください

The message >>256 should be deleted. Instead, the correct message
should be:

>>254
ソレって誰の話をしてんねん！　ちょっと言うてみいや

猫

猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 は境界性人格障害のコテハンです
彼らは「見捨てられる」ことをいちばん恐れます
うざいと思ったらこのコピペを貼り付けて放置してください

>>259
まあアンタ等がワシを「うざい」と思てんならワシの行為は
ほぼ成功っちゅう事やなァ
ホンマはやね、うざいんじゃなくってやなァ、迷惑千万に
ならへんとアカンのや。そやしワシはもっともっと頑張らな
アカンっちゅう事やナ。千里の道も一歩からやデ。

猫

猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 は境界性人格障害のコテハンです
彼らは「見捨てられる」ことをいちばん恐れます
うざいと思ったらこのコピペを貼り付けて放置してください

あぼーん

ぼちぼちじゃマスターできない。全身全霊を込めて短期間で高校レベルからやり直せ。遅いと曖昧さが増す。

もし高校の数学Cからやり直してるんだったら、飛ばして大学の教科書
とか線形代数入門みたいな本で始めたほうが良いと思うよ

>>264
おそらく、一次変換などのイメージが湧かないというレベルの症状なんだと思われ。

明けましておめでとうございます。今年もよろしくお願いします。さて…
次のベクトルの組は、それぞれR^3の基底になるかどうか判定せよ。
(1)
(0)
(-1)
,
(0)
(1)
(1)
,
(3)
(4)
(5)
,
(0)
(1)
(0)

…という問題ですが、任意のベクトル、例えば
(1)
(2)
(3)
を表したいときは
(1)
(4)
(0)
(-2)
を掛ければ表現できますよね（3行目は常に0ですけど）？でも、なんで答えは「基底ではない」のですか？
（多分、「n+1個のn項数ベクトルは1次従属である」という定理のせいだと思うのですが
その定理もよく理解できていません。）

自己解決しましたんで忘れてください(^^ゞ

素人の質問で恐縮ですが、シュール分解と固有値分解は何が違うんですか？シュール分解だと何のメリットがあるのでしょうか。

>>268
固有値分解は常にできるとは限らないが
シューア分解は常にできる

固有値分解の場合、A=QλQ^{-1}と分解（λが対角行列）
シューア分解の場合、A=QUQ^{-1}と分解（Uが三角行列）

凄い基本的なことかと思うのですがお聞きしたい事が有ります

空間の一次変換
x' x 2 -1 -2
( y' )= M( y ) M=( -1 1 -1 )
z' z -4 3 m

により点(x,y,z)が点(x',y',z')に移っているとする。点(1,1,n+1)に
移る点の全体がなす集合をFとする。

もはや数学の未熟さというか日本語が未熟なのかもしれないのですが
このFにあたる図形がなにを指しているのか理解できません。

どうかご教示をお願いします。

>>271
[1,1,(n+1)]^T = [[2,-1,-4]^T,[-1,1,3]^T,[-2,-1,m]^T] [x,y,z]^T
を満たす点[x,y,z]^Tがn,mの値によってとりうる解全体の空間がF。

>>272
ありがとうございます
そこは恐らく理解できました


その後に図形Fが一点になるとき、空集合になるとき、直線になるときm,nはそれぞれどうなるか、という問があるのですが集合を図形として考えるというのがいまいちぱっとしなくどう場合分けするべきかわかりません。よろしければ解答をお願いしたいのですが・・・

日本語がわからないのか？>273
国語勉強して出直せ

>>274
すいませんわかりません。
図形が空集合、という意味だけでも教えていただけたら幸いです。
すべての成分が0ということなんでしょうか？

図形だろうがなんだろうが空集合の意味がわかんないのか
馬鹿だなあ

例えば

xは実数とする。
2x^2-ax+4=0
の解が空集合になるaの範囲を求めよ。

こんな高校レベル問題もわからんの？

>>273 クラメールの公式から、det[[2,-1,-4]^T,[-1,1,3]^T,[-2,-1,m]^T]]=m+24≠0のとき、
x=det[[1,1,(n+1)]^T,[-1,1,3]^T,[-2,-1,m]^T]/det[[2,-1,-4]^T,[-1,1,3]^T,[-2,-1,m]^T]]
y=det[[2,-1,-4]^T,[1,1,(n+1)]^T,[-2,-1,m]^T]/det[[2,-1,-4]^T,[-1,1,3]^T,[-2,-1,m]^T]]
z=det[[2,-1,-4]^T,[-1,1,3]^T,[1,1,(n+1)]^T]/det[[2,-1,-4]^T,[-1,1,3]^T,[-2,-1,m]^T]]
という1点[x,y,z]のみの集合が図形Fとなる。

また、m=-24の場合で、さらにrank[[2,-1,-4]^T,[-1,1,3]^T,[-2,-1,-24]^T,[1,1,(n+1)]^T]＞rank[[2,-1,-4]^T,[-1,1,3]^T,[-2,-1,-24]^T]
となるn≠16の場合は、与式を満たす[x,y,z]の組は存在しないので図形Fは空集合となる。

最後に、m=-24でn=16の場合は、与式を解けば[x,y,z]=[2,3,0]+[3,4,1]t（tは任意の実数）となるので、
与式を満たす無数の点[x,y,z]の集合である 点[2,3,0]を通り傾き[3,4,1]の直線が図形Fとなる。

>>276,7


あまり疑問を持たずにやったら解けました。
ありがとうございました

>>278
詳しい解説ありがとうございました！

・・・なんなんだこいつは

>>277

> xは実数とする。
> 2x^2-ax+4=0
> の解が空集合になるaの範囲を求めよ。

これはいただけないというかマズイだろ。

xは実数とする。
2x^2-ax+4=0
の解集合が空集合になるaの範囲を求めよ。

とでも書くべきだろう。あるいは

{x∈R | 2x^2 - ax + 4 = 0} が空集合になるための・・・

とか。

２次の正方行列 A において，

tr(A)＝tr(A^2)＝0 ⇒ A^2＝0

が成り立つけど，これと同様な性質は次元があがっても成り立ちますか？
例えば，３次だと，

tr(A)＝tr(A^2)＝tr(A^3)＝0 ⇒ A^3＝0

とか．．．

Ｍをｎ次の正方行列でdetM≠０と仮定します。
このとき、exp(S)＝Ｍとなるｎ次正方行列Ｓは存在しますか？
理由ともに教えてください。

>>284 スペクトルが高々有限でゼロを含まないのでσ(M)上でexpの
　逆関数Logが定義出来る。
　Log(f)が求める行列となる。

次の同次連立１次方程式の解全体がつくる部分空間の基底と次元を求めよ。

2x + y - 3z = 0
x + 2y = 0
y + z = 0

この問題の解き方がわかりません。
よろしくお願いします。

係数行列を階段行列に変形しろ

>>283
一般に n 次の行列で成立

>>284
全てを複素行列の範囲で考えるなら成立するが、
全てを実行列の範囲で考えるなら成立しない。

こんにちは、ベクトル空間についての問題が分からないので質問させて頂きます。

「V×Wが

(v1,w1)+(v2,w2):=(v1+v2,w1+w2)

λ(v,w):=(λv,λw)

で定義された演算でベクトル空間になることを証明せよ。」

この問題なのですが俺の脳ではさっぱり分からなくて・・・。
よろしくお願いします。

ベクトル空間の公理を満たすかどうか確かめるだけだろ。
定義しらなきゃそりゃ解けないだろうし教えても無駄だな。

ベクトル空間の定義を満たすことを逐一確認すればいいだけじゃないか。

>さっぱり分からなくて

って、ベクトル空間の定義さえわからないわけじゃないだろ。
それさえ分からないなら教科書でも参考書もまず読め。

すまんレスが被ったようだ

>>292 同じことを思っていたが書かなかった人は多いと思うので
２つくらい被っても妥当かと思われ

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=38244

ベクトル空間の定義が覚えられん

>>295
書き出して机に貼っておけ！

A(1,0,2), B(0,1,1), C(-1,4,2)の3点がある。
2つのベクトルAB↑とBC↑の両方に垂直な単位ベクトルを求めなさい。

・・・という問題で、答えはe=(±2/√6, ±1/√6, -+1/√6) (複号同順)となってます。
（解き方も載っているんですがここでは省略）

自分の解き方では
{-a+b-c=0
{-a+3+c=0

[-1 1 -1 | 0]
[-1 3 1 | 0]

[1 0 2 | 0]
[0 1 1 | 0]

{a+2c=0
{b+c=0

{a=-2k
{b=-k
{c=k
↓続く

続き
e=(-2k,-k,k)

|e|=1

√{(-2k)^2+(-k)^2+k^2}=1
√{4k^2+k^2+k^2}=1
√{6k^2}=1
6k^2=1
k^2=1/6
k=±1/√6

このkを上のeの式に代入して
e=(-+2/√6, -+1/√6, ±1/√6) (複号同順)
・・・となりました。答えと符号が逆になってしまいました。
どこで符号が逆になってしまったのか教えてください。

すみません、>>297の前段階を書くのを忘れてました。

AB↑=(-1,1,-1)
BC↑=(-1,3,1)
で
求めるベクトルをe=(e1,e2,e3)とおく

・・・それ以降に>>297の
{-a+b-c=0
{-a+3b+c=0
が続きます。
では、回答お願いします。

どちらも同じ

>>300
私の答えでも正解ということですか？
でも、符号が逆になっていますよね？

というか、正解かどうかなんて正直どうでもいいです。
質問は「どこで符号が逆になってしまったか」です。
お願いします。

>>301-302
>>300 が書いているとおり同じにしか見えない

複号同順って２つの解をひとまとめで書く方便
上の符号をとった解と下の符号をとった解を並べるのと同じ

並べる順序が逆でも関係ない状況だと思うが？

>>303
ああ！そういうことでしたか！
今まで何百回「±」と「複号同順」を使ったか分かりませんが
それには気付きませんでした。言われてみればそうですね。

>>300さんともども、ありがとうございました！

a[1]=
[1]
[1]
[0]

a[2]=
[0]
[1]
[1]

a[3]=
[1]
[0]
[-1]
とする。R^3においてa[1],a[2],a[3]で生成される部分空間
W={x|x = k[1]a[1] + k[2]a[2] + k[3]a[3], k[1], k[2], k[3]∈R}
の1組の基底とdim Wを求めよ。

解答（本に載っている内容を自分なりに省略してます）:
まず、行列式の結果が0となるので線形従属、
つまり、a[1],a[2],a[3]の中から線形独立なベクトルを選んで基底としなければならない。
線形関係式を得るために
l[1]a[1] + l[2]a[2] + l[3]a[3] = 0
これを解くと
[1 0 1]
[0 1 -1]
[0 0 0]
rank A = rand[A|B] = 2
自由度=3-2=1
↓続く

続き
変形の最後より
{l[1] 　　　+ l[3] = 0
{　　　l[2] - l[3] = 0
l[3]=tとおくと、
l[1]=-t
l[2]=t
t=1として元の線形関係式に代入すると
-a[1] - a[2] + a[3] = 0　　　←問題箇所: a[2]の符号が負!?
∴a[3] = a[1] + a[2]

…となっているんですが、上のa[2]の符号は正じゃないですか？？？
それ以降もa[3] = a[1] + a[2]を前提として計算されています。
でも、正しくはa[3] = a[1] - a[2]じゃないですか？

これは石村園子さん著の「やさしく学べる線形代数」という本の112〜113ページに載っています。
2000年10月25日初版第1刷発行
2001年3月20日初版第4刷発行
…ですから、誤字の可能性ありますよね？
でも、他人に検算していただかないと自信がないです。
どうかお願いします。

>>305-306
>>305 冒頭のベクトルたちの定義を見ると
君の言うとおり a[3] = a[1] - a[2] になっている
不安に思うのがふしぎ

著者の計算違い・確認忘れでしょう
２ｃｈ的にはもう少しちゃんとした本を使えば？
と勧めるところだろうが(ry

>>307
>冒頭のベクトル

あっ、よく見ればそうですね！
こんな単純なことも気付きませんでした。
何はともあれ、安心しました。

実は川久保勝夫さん著の線形代数学を先に読んでいたんですが
まだ理解し難いところがあったのでこっちを先に読むことにしました。
これを読み終わったら当然あちらで証明しながら再度勉強することにします。

超素早い回答、ありがとうございました！

先週、学校でやったテストの中でどうしても解けなかった問題があります。
連立一次方程式の問題なんですが
ｘ-2y+z=5
2x-4y+5z=1
x-2y+3z=-1
という方程式で
1 -2 1 5
2 -4 5 1
1 -2 3 -1
という行列に置いて計算すると�Bがまるまる消えて�Aも2行2列目の数字が0になって、単位行列の形が作れなくて困っています。

どなたか教えていただけますか？

rank2以下なんだから単位行列の形になるわけねーだろ。
何にもわかってないな。

>>310
すいません。
どういう形になって解けるものなんでしょうか

教科書みろよ。
何もわかろうとしない癖に人に聞くな屑。

>>309
変形すると（０行を除いて）

1　-2　 0　 8
0　 0 　 1　 -3

まで変形できることはわかっているとすると x,y,z を再び補うと
x-2y =8
z=-3

よって答は z=-3， x=2y+8， yは任意（自由変数）

>>313
ありがとうございました。
そこまでは変形できたんですが、どういう風に解答すればいいかわからなかったので助かりました。

　　閑散としたスレに救世主が！


　　　ようかんマン参上！！

　　　　 ＼ 　 ＿＿ 　 ／
　　＿＿ 　ヽ|・∀・|ノ　＿＿＿
　　　　　　 　|＿＿|
　　　　　／　 /　ヽ 　＼

正方行列Aとベクトルxの積をAで微分したものは何になるんでしょうか？
d(Ax)/dA = ?

>>316
行列で微分するって定義は何？

定義っていうとある変数sに対してds/dA=(ds/dA(1,1) ds/dA(1,2) .....)ですよね。
ベクトルによる微分だとd(Ax)/dx=Aってなるじゃないですか
それの行列版があるのかと思ったんですけど

何にもわかってない馬鹿の言葉遊び。

>>316
> 定義っていうとある変数sに対してds/dA=(ds/dA(1,1) ds/dA(1,2) .....)ですよね。

ふーんそうなんだ。じゃあその定義にのっとって計算してみたら？

変数を行列で微分するなら各成分での偏微分ということで理解してます。
ベクトルを行列で微分すると上記の定義には当てはまらないのでどう書き表されるのかわからないんです。

>>321
どこかの本で出てきたのなら具体的に本の何章とか書いたら
持っていればわかるかもしれないが
>>316,318,321 を見ただけでは今ひとつ何をしたいのかわからない

行列に関係した微分公式として
d(a'Ab)/dA=ab' とか d(tr(A'A))/dA=2A とかは検索するとすぐでてくるけど、d(Ax)/dAはまったく出てこないので、あるけど載っていないだけなのか、そもそも定義不可能なのかが知りたいのです

>>323
＞d(a'Ab)/dA=ab' とか d(tr(A'A))/dA=2A
こういうものをイメージしていたのですか
ならばそう質問してくれればわかったのだけど
そう質問できるくらいだったら答もわかるからしかたないか

行列独特の公式と考えるのではなく
たとえば d(a'Ab)/dA=ab' は
a'Ab= Σ_{i,j} a_i A_{ij} b_j という A_{11},...,A_{nn}たちの1次式を
A_{ij} で(偏)微分したと素直に見て
d(a'Ab)/dA_{ij} ＝ a_i b_j
これを ij 成分とする行列表記して d(a'Ab)/dA=ab' と書く人も（応用数学では）いる
ということ

同じように考えると
d((Ax)_k)/dA_{ij}= d (Σ_m A_{km} x_m)/ dA_{ij} = δ_{ki} x_j
だけど足（添え字）が３つなので行列表記はできないのでここで変形が止まる
ということ（だから「スカラー」を行列で微分した「公式」しか見あたらないだけ）

線形代数の世界っていい本？

>>325
いい本です。
もっとも目次を見て「いい本」だとわからないと、
読むのはまだ早いかも。

目次だけでいい本って分かるはずないでしょう。

>>326
実用的なコメントも所々にあっていい本だと思うが
せっかく最小多項式を扱うなら一般標準形にも触れて欲しかった
（抽象代数の入口と言うのであれば）、それと図はいまいち分かりにくい、
ペキレイ標準形などは佐武のように階段状に箱を並べた方が分かり易いと思うが

> ペキレイ


ぺ？？

>>329
>ぺ？？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q105572540

線型代数の教科書読んで問題を解いてもいっこうに理解した気にならず
・ガロア理論
・常微分方程式
・代数的整数論
・関数解析（ヒルベルト空間論など）
・表現論初歩
で、線型空間・線型写像の問題に帰着させるごとに、線型代数の本を読み返す
ことで、「線型代数」が解っていったように思う。

なら、線型空間と線型写像は具体的にどう違うか３行以内で書けるようになりましたか？

違うもなにも、全く別物だろうが。その2つ。>線型空間と線型写像

それともｵﾏｲは、その2つを「よく似てる概念でイマイチ区別がつかん」と思うほどの○○か？

まったくの別物なのに、大学向け教本を何冊も何冊も読まないと○○できない高尚な○○だったんですか？

お尻のほうに良くある、テンソルとかのことじゃないのか

四元数代数って線形代数に入るの？それとも四元数代数は非線形性なの？

意味不明。日本語を勉強してから来てください。

線形代数をあるのに高校の数学でやっておくべき範囲はどこですか？

>>338
高校の数学は基礎なのだからやらなくていいところなんてないよ

>>339
そうですね
とりあえず今は高校の範囲を徹底的に復習しておきます。

３つのサイコロを同時に投げる時
２つが同じ目で１つが異なる目となる確率は（　　）である。

>>338
数学Cの行列ベクトルが既に初等線形代数なんだが

高校数学は選択分野にもあるな。統計とかは理系でもやらない学校多いけどなぜか純粋数学の平面幾何を
やらない学校も多い。数学科希望なら必須だし入試数学も平面幾何を使ったほうが解きやすい問題もあった
りするから高校生だったら勉強しておいたほうがいいと思うし卒業生も平面幾何未履修なら改めてやってお
いたほうがいいだろう

質問させていただきます。
大学入るまでにちょっと線形代数かじろうと思ったんですが、
平面のベクトル全体の集合V2というのが腑に落ちません。
その集合V2をとりあえず認めるとして、その中のすべてのベクトルの和のベクトルはV2から漏れるような気がするのですがどうなっているのでしょう？
どなたかご教授していただけませんか？

原点を通る平面（2次元線型空間）内の全てのベクトル（の集合）
の和が普通に零ベクトルになるか、トリッキーな数え方で無限大
の大きさのベクトルになるかってことですか？

どっちのベクトルを考えるにしても、線型空間の定義から、平面から漏れないことは
自明のような気がするのですが、どこの教科書の部分が腑に落ちないのでしょうか？

質問したら何か理解が深まりました。ありがとうございます。
全体の集合とくくると、どうしても何か有限の感じがしてしまったのです。
平面から漏れないというのはおっしゃる通りそうなのですが、
素数が無限にあることの証明
最大の素数をmとする
2*3*5*・・・・・・*m+1はそれよりも大きな素数となる
すなわちどんな大きな素数をとってもそれより大きな素数が存在する
というやつに近いイメージを感じて、
どんな平面ベクトルの集合をつくってもそれらすべての和を考えれば作った集合から漏れるベクトルが出てしまうのではないか
とか考えて、すべての平面ベクトルの集合？とか思ったわけです。
先日読んだ集合論の話の影響かも。
なにはともあれアドバイスありがとうございました。

素数 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
の素数の無限性のユークリッドによる証明ですか。

無限に大きい素数も素数であるように、
無限に大きい平面内のベクトルも平面内のベクトルです。
ということですか。２ちゃんえるがお役に立ててよかったです。

しかし、可算無限と非可算無限が、まぁいいか

>348
多分そこらへんでおかしくなっていたと思います。
無限に対する知識がまだない・・・・
高校では真正面から無限を扱っている感じがしなかったのですが、
なんとなく大学の数学のイメージがつかめたような気がします。
かじってよかった。
また何かあったらよろしくお願いします。
ありがとうございました。

齧ったと言うよりは嘗め損ねたとでも言うべきだと思うがな。

>>344
そもそもベクトル空間の公理に無限個の元の和など定義されてないだろ。お前は何を言っているんだ。

今日は掃き出し法を勉強した、
計算が面倒だった、
こんな計算ズーーっと続くのかな?

>>352
お前が工学屋ならずーっとそのまま続く。
お前が数学屋ならそのうち終わるが、ややもしないうちに
そんな計算ばっかりだったら楽だったのにと
後悔にも似た経験をすることになる。

>>352
計算だけで物足りないなら
ついでに代数学もやっとけ

高校時代、こんなことを考えていた。
線形代数は、群環体のような代数的概念とランクの概念が混在しているけれど、
両者は不可分ではない...というか、ランクだけを残すような
もう一段抽象的な枠組みがありえるんじゃないかと思って色々思案していた。

大学に入って、マトロイドというものを知った。ちょっとがっかりした。
そりゃ、工房の考えることなんざとっくに誰かが考えてるよな。

hoge

人いないかな？

固有値が存在するけど固有ベクトルが存在しない場合ってある？

例えば、
8 0
0 2
の固有値は2,8だけど、
それぞれの固有ベクトルが求められない。

neeyo. それぞれ{{0}, {1}}, {{1}, {0}}とか

>>357
固有値が複素数になっちゃうせいで固有ベクトルが実ベクトルじゃなくなっちゃうことなら普通にあるけど。

例：回転行列の固有値は±i

まじでわからん
置換a=|123456789|
|768214935|を互換の積に分解すると
教科書では(3 8)(2 4)(2 6)(1 5)(1 9)(1 7)
らしい。これって(123456789)の２か所を固定して
入れ替えていけば(768214935)になるってことだよな？
(3 8)(2 4)(2 6)(1 5)(1 9)(1 7)でやってみたら
(768214935)にならないんだが。

de?

>>360
普通に(3 8)(2 4)(2 6)(1 5)(1 9)(1 7)=(768214935)だが．．．

_ _
・(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
_ _
・(1 2 8 4 5 6 7 3 9)　： 3番目と8番目を交換した（互換(3, 8) )
_ _
・(1 4 8 2 5 6 7 3 9)　： 2番目と4番目を交換した（互換(2, 4) )
_ _
・(1 6 8 2 5 4 7 3 9)　：互換(2, 6) を施した
_ _
・(5 6 8 2 1 4 7 3 9)　：互換(1, 5) を施した
_ _
・(9 6 8 2 1 4 7 3 5)　：互換(1, 9) を施した

・(7 6 8 2 1 4 9 3 5)　：互換(1, 7) を施した

しまった半角スペースでスペーシングしてしまった orz

　　　　＿　　　　　　　　　　　　　　＿
・（1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9）
　　　　＿　　　　＿
・（1　　2　　8　　4　　5　　6　　7　　3　　9）　：　3番目と8番目を交換した（互換(3,　8)　)
　　　　＿　　　　　　　　　＿
・（1　　4　　8　　2　　5　　6　　7　　3　　9）　：　2番目と4番目を交換した（互換(2,　4)　)
　　＿　　　　　　　　　＿
・（1　　6　　8　　2　　5　　4　　7　　3　　9）　：　互換(2,　6)　を施した
　　＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿
・（5　　6　　8　　2　　1　　4　　7　　3　　9）　：　互換(1,　5)　を施した
　　＿　　　　　　　　　　　　　　＿
・（9　　6　　8　　2　　1　　4　　7　　3　　5）　：　互換(1,　9)　を施した

・（7　　6　　8　　2　　1　　4　　9　　3　　5）　：　互換(1,　7)　を施した

まだおかしいし．もういいや〓■●　ﾎﾟﾃｯ

>>362
ちょっとまってくれ・・・めちゃくちゃおそろしい。

互換の(a,b)ってのは数字を変えるってことじゃないの？
a,bってのは順番を表してるの？

俺は数字を変えるという概念で右からつまり(1,7)から
やっていくと普通に（7　　6　　8　　2　　1　　4　　9　　3　　5）　
になったんだが・・・・

教科書三冊読んだけど全くわからんわ
あと教えてほしいんだが
(1,2,3,4,5,6)という置換と
(2,3,4,5,6,1)は等しいの？
つまり同じ互換の積であらわせるの？

あともう一つ巡回置換と互換の違いってなんですか？
わかりません。

http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/lecture/butsurisuugaku2/html/model/img309.png
http://ufcpp.net/study/linear/vector05.png
http://www19.atpages.jp/imagelinkget/get.php?t=v&u=ufcpp.net/study/linear/vector04.png

教科書123456回嫁

>>362
(1 2 3 4)=(1 4)(1 3)(1 2)
って教科書でなってるんだが
その考えて
入れ替えてみると
(1 2 3 4)↓
(4 2 3 1) (1 4)を施した
(3 2 4 1)(1 3)を施した
(2 3 4 1)(1 2)を施した。

(1 2 3 4)にならない件

何なの聞く人によって何で意見がわかれてんのｗｗ

>>370
作用のさせ方によって変わるから

ちなみに>>360は左作用だから右から計算する必要がある。
あるいは左から計算したければ>>362がやったように番号の置換と解釈することになる。

互換の説明では２文字の巡回置換
を互換というしか説明してないんだが。

左作用で番号の置換やってもそうならない奴はどうしたらいいの？

>>373
そうならないとは？
「２文字の巡回置換を互換という」という文には作用の左右は無関係ですが。

ほらまた意見わかれた
>>370=作用の仕方によってわかれる
>>374=作用の左右は無関係。

意味わかんねーよ。

数学質問板で聞いたら
1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3 8)(2 4)(2 6)(1 5)(1 9)(1 7)
7 2 3 4 5 6 1 8 9 (3 8)(2 4)(2 6)(1 5)(1 9)
7 2 3 4 5 6 9 8 1 (3 8)(2 4)(2 6)(1 5)
7 2 3 4 1 6 9 8 5 (3 8)(2 4)(2 6)
7 6 3 4 1 2 9 8 5 (3 8)(2 4)
7 6 3 2 1 4 9 8 5 (3 8)
7 6 8 2 1 4 9 3 5

順番を変えてるんじゃなくて、数字を変えてる。しかも右から。

>>370
(1 2 3 4) == (2 3 4 1)

じゃ満足しないの？

>>375
分かれていない。

(1 2 3 4)=(1 4)(1 3)(1 2) ーー＞(1 2 3 4)(1 2)(1 3)(1 4)＝(2 3 4 1) =(123４）

>>376
だから、数字を変えたいのならそれは左作用だから右から順番に計算しないといけない
左から軽暖したいなら番号の置換になると>>372に説明されている。
「二文字の巡回置換を互換と呼ぶ」という定義には作用の左右は関係ないし
これらのふたつの事実は独立していて、>>372と>>374の意見はわれていない。

文章をおかしなところで切り取るから>>375のような意味不明なことを
口走る羽目になるのだ、小学校から国語の勉強をやり直すべき。

>>370
巡回置換 (1 2 3 4) とは置換

(1 2 3 4)
(2 3 4 1)

のことなのだから
> (1 2 3 4)にならない件

というのはお前の勘違いの一人相撲。もう死んだほうがよくね？

f（x、y）＝f（y、x）作用の左右は無関係。
F(X、Y)G(X、Y)　｜＝　G(X、Y)F(X、Y)　作用の仕方によってわかれる

＞３８１　もう死んだほうがよくね？

いや　しんだつもりで勉強するのがよい。

しかし　数学のれべるの高い小学生ほど、より深く考えるから教科書の
日本語より複雑な日本語を脳内につくる見たいです。
つまり勝手に理解しすぎなのです。　だから　　死ななく定位です

ｱﾅｽｲでも涌いてるのか

ガロアの論文は当時は難しかったらしいね

>>375-376
なんだ、冷やかしか。

>>380
小学校の国語じゃなくて概念の理解な。概念の理解に対する先入観が
言葉を歪曲または都合削除したんだよ。

作用の仕方によって変わるって何？そんなこと教科書に書いてないがな。
教科書ので一発で分かる奴いたら天才だぞ。練習問題解いて分かるみたいな
感覚だからな

まぁもっというと歪曲または都合削除しなきゃいけないほど
補足説明がないともいえるけどな

>>388
小学校の国語からやりなおしなさい

>>390
国語？数学に対するセンスがないのが正しいんだが？
お前らにとっちゃ感覚で分かってるから相手が分からない
ポイントが分からんのだろ。だから日本語の事を持ち出してきた。
今もまだ分からないがね。

何となくわかったのは置換という概念は数字の移動の様子を観察
するためにあるんだなと、上の数字をそろえる理由は、上を固定
することによって下の置換同士を比べて規則的に置換を表せるた
めだろう。ここまでは分かった。だが互換において順番を変える
のが数字自体を変えるのか、ここらへんは全然分からんというか
教科書に載ってない

写像です

小学校の国語からやりなおしなさい

>>394
そうやって勝った気でいろよ、くだらね。

俺は数学のセンスないが口では負けんからな。
くだらんレスならよこすな。
まーレスしてくれた人申し訳ない。
理解できんからもう一回概念つかんでみる。

(1 3)というのは

f(1)=3
f(3)=1
kが1でも3でもないならf(k)=k

という写像fのこと

小学校の国語からやりなおしなさい

>>396
よくわからん、
置換ってのは数字の行き先の事じゃねーの？
例えば置換(2 3 4 1)があるとする。
これは1→2　2→3 3→4 4→1ってことじゃないの？
ほんでからずらした置換(3 4 1 2)と(1 2 3 4)、(2 3 4 1)は
等しいっていうんだろ？
でも(3 4 1 2)の場合1→3 2→4　3→1 4→2で
一緒じゃなくね？

>>398
(3 4 1 2)という表示法は巡回置換限定の表示法であって

一般の置換の表示法である
1 2 3 4
3 4 1 2
（注：左右の括弧は省略した）とは意味が違う

>>399
で巡回置換は何を表してるの？数字の行き先もひったくりも
全くわかりませんが

つうか教科書読め

置換のnotationが混乱しやすいのは事実だけどね

>>400
小学校から国語の勉強をやり直したほうがいいよ

右作用か左作用かってことだな。教科書によって違っていても不思議じゃあない。

単なる知識不足からの質問で申し訳ないんだけど
traceless part　ってなに？
トレースが対角成分の和だから，それがゼロの行列かと思ったけど
それはただのトレースレスな行列のようで．

>>401
せめてどの教科書読めとかいえよ。
どの教科書でも分かるはずねぇだろ。

>>405
おめーの教科書だよカス

教科書じゃなくて、読む人間の問題なのに。

>>406
わかんねぇから質問してんだろうが、まじでぶんなぐるぞこの野郎。
いいから教えてくれよ。せめて質問したことについては教えろ。
教えたくないなら黙っとけばいいだろうが、いちいち勘に触るレス
すんな

頭も性格も悪い奴が紛れ込んでいるなあ

>>409
頭悪くても参加だけはできるからね

>>406
なんかどう見ても現実では理系のどもりっぽいし

何という本を読んでわからなかったか書いてみたら
暇な人が答えてくれるかもしれないよ

>>408
>わかんねぇから質問してんだろうが、まじでぶんなぐるぞこの野郎。
>いいから教えてくれよ。せめて質問したことについては教えろ。

何でそんなに偉そうなんだ？
どんな教科書にも書いていることだと思うよ。
わかりやすいかどうかは別として。

>>410理系のどもりって何？

>>410 は文系の基地外

>>412
書いてねぇから聞いてんだろ、何でそんないちいちどうどうめぐるの？
黙ってろよ。答えられないなら黙ってろ。
巡回置換は何のためにあるのって聞いてるだけだろ？
それに答えろつってんの。
教科書の説明じゃわけわからんの。
教科書読んで分かるならこんなスレいちいちつくんな。
次からこんなスレいらねぇよﾎﾞｹ

あげんなカス
いらないのはお前

>>404
このスレは質問禁止なの？

>>415
特に深い意味を感じたことはないけど、とりあえず置換ってのは巡回置換に
分解できるんだよ。
1 2 3 4
3 4 1 2
の場合なら、(1 3) と (2 4)に分けることができる。
で、巡回置換はさらに互換に分解することも出来て、互換の個数で偶置換、
奇置換の２種類があって、対称性の話をするときに重要になってくる。

>>415
黙れ
ﾁﾝｶｽ

>>419
全く分からん、巡回置換と互換の違いは？

巡回置換の要素の数を「長さ」と表現する。
例えば、
(1 2 3 4)
なら要素の数は４つなので、長さは４。
このとき、特に長さが２の巡回置換を互換といいます。
なので、上の例だと既に互換になってるわけです。
ちなみに、(1 2 3 4) = (1 4)(1 3)(1 2)です。
本によっては、(1 2 3 4) = (1 2)(2 3)(3 4) かもしれません。
この違いは、積を右から左へと見るのか、左から右へと見るのかだけです。
ここでは、右から左へ見るとして、(1 2 3 4) = (1 4)(1 3)(1 2)とします。
実際、左辺は1 → 2 → 3 → 4 → 1ですが、
右辺は、1 を代入すると (1 2)で 2 になって、(1 3), (1 4)は2 を含まない
ので、そのまま2 になります。
2 を代入すると、(1 2) で 1 になって、(1 3) で 3 になって、(1 4) は
スルーなので 3。
3, 4 も同様にして考えると、右辺も確かに 1 → 2 → 3 → 4 → 1
となることが確かめられるはずです。

ここらへんの話は、群論の対称群とかを勉強した方が分かりやすいかも。

教科書読めよ、ルーピー

>>422 の(1 2 3 4) = (1 2)(2 3)(3 4)は間違いです。
左から右なら、(1 2 3 4) = (1 2)(1 3)(1 4)でした・・。
ボケてますね、すみません。

>>423
死ねよ雑魚が

表現行列なんて斎藤の教科書にはのってないよな？

あの本はそもそも抽象的な線型空間を扱ってないじゃん。
ベクトル空間の公理すら書いてない高校生向けの糞本だよ。

>>421
ちゃんと読んでないだけだろ
自分で二文字の巡回置換が互換だって教科書に書いてあったって書いてるくせに

よく覚えてないが最低限でも線型空間の公理と、
K（=C又はR）上n次元の線形空間VはK^nと同型だ
ということくらいは書いてるはずだけど

前半で具体的なK^nについて詳しく調べておいて、
後でVとK^nが同型だということが分かればもうVの構造は完璧に分かったということ

齋藤正彦著「線型代数入門」のＰ４８、４９の［４．１］（だったかな…）
「ＡＸ＝Ｅを満たすＸが存在したらＡは正則」って定理の数学的帰納法による証明なのですが、テクニカルすぎてあの証明に至った経緯がよく解りません。何を根拠にしてあの証明が思いつくのでしょうか。

単純に次数下げるためにsize1のブロックとsizen-1のブロックに分けただけだろ。
次数が下がるように工夫するってのは帰納法の基本だと思うが。

というか帰納法を用いた証明は大抵訳分からない
テクニカルな証明になる
高校の数列の問題とかでもそう

「自分自身への全射が単射となる」が成立するためには、
有限次元でなければならないので、帰納法を使うのは普通の発想。

文系だけど線形代数面白い　線形代数勉強しまくると何か良い事ある？
とりあえず斎藤は固有値まで読んで、自大の工学部の線形数理要論って授業に潜ってる

> 線形代数勉強しまくると何か良い事ある？

ない。

いったい何が面白わけ？

お前よりは面白い

>>430ですが
帰納法を用いるのまでは思いついたのですが、それ以降がわかりません。sizen-1のブロックが正則であることを示す方法とか。
試行錯誤であれに至ったんですかね

> sizen-1のブロックが正則であることを示す方法とか。

書いてること分かってるか？
数学的帰納法がテクニカルだとか言ってるのは高2で落第だろ

n=2から始めてn=3を証明してみろ

場数を踏んでないからだよ
なんで自分の脳内イメージにこだわるかなー

>>434
ＴＡです．こんばんは．

テクニカルというか、何故その定理が成立するのか
本質を教えてくれない証明になってしまうということ

x^n + y^n = z^n
の等式は、実数の底でn>=3において成り立つか数学的帰納法で検証せよ。

>>443
日本語でおｋ

>>441　線形数理要論って講義名は一般的なものじゃなかったんですね
レポートの答えは配布されないのですか？一応やったので答え合わせしたいです

>>441
特定されるよ？

>>445
答え配布の予定はありませんでした．
要望が多ければ考えます．

｜３５７｜
｜５７３｜
｜７３５｜

この行列式の計算を
教えてください!

ここのとこ頭悪い質問多いけどよく落第しないね

それが日本の大学クオリティw　

それが不満ならお受験偏重の今の高等教育プログラムを変えるしかないwww

あなたの「ｗ」はなんでそんなに小さいんですｋ？

>>450
ちょっと質問なんやけんどナ、その「日本の大学のクオリティ」
っちゅうんは何やねん？　ちゃんとカキコをせえや！
全国ネットの２ちゃんでちゃんと読んだるがな。
ワシはアホやさかいや、ワシにかて判る様にナ。

猫

>>452　
あんたまだいたのかよ

>>453
そうや、ワシはまだいるのや

猫

数学なんて慣れなんだけどな。論理に強い奴は文系だっている。
むしろ論理に強すぎないほうがいい。数学者だってまともに
述語論理分かってないけど立派にやってる。

対角行列以外のジョルダン標準形って何につかうの？

スピノル

>>455
お前にとっての論理とは述語論理なのか？

>>456 一番最初にならうのは常微分方程式じゃないのかな
　まぁ重複する固有値持つ作用素扱うにはやらないかんのよ

3　4
-1 -2　を対角化せよ
という問題なのですが。
固有値を求め、そこから固有ベクトル、変換行列Pと順に求めていく際に
固有値をλ1＝2 λ2＝-1とするか、λ1＝-1 λ2＝2とするかで
たどりつく変換行列Pが変わりますよね
問題集では前者の固有値の組から変換行列を求めているのですが、なぜ後者でダメなのかが
わかりません、なにか決まり事でもあるのでしょうか？
初学者なので要領を得ない文章になっているかもしれませんが
どなたか教えてください、よろしくおねがいします。

別に後者でもいいよ。
基底の取り方が違うだけだから。

>>460
でてくるAのn乗が左右逆になるだけ

レスありがとうございます。
変換行列が違ってくるので最終的に得られる対角行列が違うのですが
両方とも正しいということですか？

対角行列の対角成分は並び替えても本質は一緒。
だから両方とも正しい。

抽象的な線型空間知らないうちは
なんで見た目には違うもんが出てくるのかよくわからんだろうな。

皆さんレスありがとうございました
本質を理解したわけじゃないですが納得できました

線形代数が苦手なので何か参考書を買って勉強しようと思っているのですがおすすめの参考書はありますか？

ちなみに私の大学では教科書がありません

線型代数なんてどんなテキストも同じ。
苦手なら比較的最近出版されたものを選ぶとよい。

自然数体上n次対称行列全体に積と和を入れたものをH_n(N)とおく
A∈H_n(R)とする
B,C∈H_n(R)がA=1/2(BC+CB)を満たすならば必ずB=1,C=AかB=A,C=1のどちらかに限られる時、Aを素行列と言う

とか今読んでる論文に書かれている
指導教官はこの論文を読めば5本は論文を書けると言っているがどうなの？

自然数体ってなに？

佐竹がいいという話だけど？

>>469
ジョルダン代数の話だよね。純粋数学分野では５本もかけない。
応用分野では書けるかもしれないけど、急がないとネタ切れになる。

>>469
素数の非可換化だな
素行列の固有値と素数の対応関係って何か分かっているの？
無限次元の作用素に拡張して固有値が素数全てと一致する様なものが構成出来たら面白いな

固有値といえば、スペクトル写像定理は有るが固有空間写像定理って聞いたことがない気がする

スペルマ射精生理？

>>475
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　　　 ,r.':::／/:::::i:::::::::::::::::::::::::::::::ヽ　っ　　|　　>>475の母です。 　 　 　 　 　 |
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　　/::i:::::!i:::::::i:::::::i:::::::::::::::::::::::::::::::::::i　　　 |　　・・・ごめんなさい、　　　　　 |
　　l:i:i::::l_,|l::!:::i､:::::ヽ:::::::::::::::::::::::::::::::l　　　.|　　軽い気持ちで.　　　　 　 　　|
　　!l::!:::|=､ﾞ!`､!`ﾆ ､::`:::､:::::::::::::::::::::! 　 　 |　　このスレをのぞいた　　　　 |
　　ヽ:!:ｌ|　 　　 ￣`u`､:::::::::::::::::::::::ﾉ　　　 |　　私が馬鹿でした。　　　　 　 |
　　 　|{l　〈 　　　u　　ｌ:l`irr､:::::::::<　　＿ノ　　こんな糞レスを 　　 　 　　　|
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　　　!', , ,　ﾉ ｌ ヽ 　　　u 　/　｜ 　 　 　 |　　>>475　には　　　　　　　　　　｜
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　　　i　　 'i　 |　　 !,　　,/　　　ｌ.　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿／

永尾汎ってなんて読むの？

ごめん誤爆した

ひろし、じゃね？

むずかしくて　今はさっぱりわからないが　できると楽しそうですね。

線形代数は現代数学のカタカナの書き方みたいなもん。
ひらがなは微積

>>481　ありがとうございました。

>>481
じゃ、漢字は何だ？

代数？

線形代数の基礎を英語で復習したいんですが
適切な教科書を知ってる方がいましたら教えてください
レベルは

線型代数入門 (齋藤 正彦
線形代数の世界（斉藤毅

あたりまでで

>>485
「オランウータンビーツ」でググってみな

>>485
gantmacher の二巻本の第一巻いいぞ。第二巻だけ application of matrix みたいなタイトルで出てるけど、
第二巻は「復習」向きではない。

車の両輪のたとえなら0N、釜本杉山今なら本田松井

実固有値を持たないn次の整数成分を持つ
正方行列のうまい構成法はありますか？

少なくとも対称行列でないというのはわかりますが…。

いまのところ行列をランダムに作って、条件に合わなければ
作り直すという手順で作ってるのですが、効率が悪くて…。

3次で作れた？

>>490
偶数次数限定（4次だけでもOK）でお願いします。

奇数次だと共役な複素固有値のペアが作れないため
実固有値を持たない実正方行列は存在しないと思います。

思う･･･。
偶数次なら既存の2x2を対角にならべればいいんじゃないの

>>492
なるほど〜。ありがとうございます。

ブロック対角型以外にもいろんな形の行列がほしいので
そういうときは適当にXAX^-1とかで変換してやればよいわけですね。

しかも特性方程式が2次なので、実根の有無の判定に
判別式D<0が使えるのが嬉しいところです。

工業高校から大学いったやつは数学で苦労する。
ソースは俺　　　つらい。

>>494
('A`)ﾉｼ　<ｵﾚﾓ

線形写像むずっ

（　｀・ω・）つ http://kagennotuki.sakura.ne.jp/la/

何気にわかりやすい…

李儒っ、一瞬見えるAAをなんとかせい！

1　0 -1
-1 4 5
-6 0 2
この行列の固有値と固有空間の基底を求め対角化可能であるか判定せよ
という問題なのですが固有値は-1、4（重複度2）
-1の固有空間の基底は<(1, -9/5, 2)t> 4の固有空間の基底は<(0, 1, 0)>
で固有値4(重複度2)に対して固有空間の基底が1つしかないため対角化不可
という解答でよろしいでしょうか？

age

705

次の行列による線形変換ｆによって座標平面上の各点はどのように動くか？

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２　１

>>502
パッと見たら、(1,1) と (1,-1) が固有ベクトルだとわかるよね。ｙ＝ｘに沿ってぎゅぎゅーっと絞る感じになるよ。