不等式への招待 第４章

>>511
(上)
・問題の２次形式が半正値。
・行列
　[ 1, -p, -r ]
　[-p,　1, -q ]
　[-r, -q,　1 ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
　t^3 -3t^2 + (3 -p^2 -q^2 -r^2)t -(1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr) = 0,
の根がすべて非負。
・　3 -p^2 -q^2 -r^2 ≧ 0,　1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr ≧ 0,

(中)
　a = √(x^2 +y^2),　b = √(y^2 +z^2),　c = √(z^2 +x^2),
とおくと (a,b,c) は鋭角△をなす。
∴　これは 条件付きの不等式である。
　(p,q,r) が鋭角△をなすか否かで場合分け。　　>>221

(下）
・問題の２次形式が半正値。
・行列
　[ p^2 +K, pq -K, pr -K ]
　[ pq -K, q^2 +K, qr -K ]
　[ pr -K, qr -K, r^2 +K ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
　t^3 -(p^2 +q^2 +r^2 +3K)t^2 +{(p+q)^2 +(q+r)^2 +(r+p)^2}Kt -4(pq+qr+rp-K)K^2,
の根がすべて非負。
・　0 ≦ K ≦ pq+qr+rp,